010 Rownania_rozniczkowe_WZ_nowy

Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ

Równania różniczkowe.

1

Chemia - przełom semestru 1 i 2: Równania różniczkowe. Część 1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego. dy f (x) = . Rozwiązaniem jest dx g(y) Z Z g(y)dy = f (x)dx + C.

1. Równanie o zmiennych rozdzielonych:

2. Równanie jednorodne (względem x i y; nie mylić z równaniem liniowym jednorodnym, tzn. o pray dy wej stronie równej zeru - zob. poniżej): =f . Równanie to można za pomocą podstawienia dx x y u(x) = (wtedy y = ux, y 0 = u0 x + u) sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych. x dy 3. Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego: + p(x)y = q(x). Rozwiązujemy najpierw dx dy równanie liniowe jednorodne czyli +p(x)y = 0 – jest to równanie o rozdzielonych zmiennych. dx R Rozwiązanie otrzymujemy w postaci y(x) = Ce− p(x)dx = CΦ(x), z pewną ustaloną funkcją Φ. Następnie „uzmienniamy” stałą C, tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja postaci: y(x) = C(x)Φ(x), z pewną nową funkcją niewiadomą C(x). Podstawiamy y(x) do rozwiązywanego równania i znajdujemy najpierw funkcję C 0 (x) (samo C(x) powinno wszędzie się uprościć), a następnie, całkując - znajdujemy C(x). dy + p(x)y = q(x)y α (gdzie α 6= 0, 1, bo jeśli α = 0 jest 4. Równanie różniczkowe Bernoulliego: dx to po prostu rozważone poprzednio równanie liniowe, zaś jeśli α = 1 to jest to równanie liniowe jednorodne, a więc o rozdzielonych zmiennych). Po ewentualnym podzieleniu przez y α za pomocą podstawienia z(x) = y 1−α sprowadzamy do równania liniowego. 5. Równanie różniczkowe zupełne: równanie postaci P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, gdzie lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji F (x, y) (zwanej również potencjałem pola wektorowego ∂F ∂F = P (x, y) i = Q(x, y) (równoważnie, dwuwymiarowy gradient funkcji F jest [P, Q]), tzn. ∂x ∂y równy właśnie [P, Q]: [Fx0 , Fy0 ] = [P, Q], czyli Fx0 = P i Fy0 = Q). Rozwiązaniem równania zupełnego (w postaci uwikłanej) jest wtedy rodzina wszystkich krzywych F (x, y) = C. Jeżeli funkcje P i Q posiadają ciągłe pierwsze pochodne w danym obszarze płaskim D, to warunkiem koniecznym na ∂P ∂Q to aby równanie było zupełne (w D) jest, aby pochodne „na krzyż” były sobie równe: = . ∂y ∂x W przypadku gdy obszar D jest jednospójny (mówiąc obrazowo, ale niezbyt ściśle, nie posiada „dziur”), to wspomniany warunek jest również warunkiem dostatecznym. W praktyce zamiast sprawdzać czy warunek konieczny jest również warunkiem dostatecznym, po prostu znajdujemy potencjał F , i fakt możliwości jego znalezienia jest jednocześnie dowodem na to, że dane równanie jest zupełne. Funkcję F o której jest mowa w definicji równania zupełnego (i której znalezienie jest równoznaczne ze znalezieniem rozwiązania danego równania) znajdujemy poprzez dwukrotne całkowanie, wykorzystując najpierw np. warunek Fx0 = P ; całkując obustronnie, znajdujemy F z dokładnością, jak zwykle przy całkowaniu, do stałej; ale ponieważ przy tym całkowaniu druga zmienna (w tym przypadku y) jest parametrem, więc owa „stała” w istocie zależy od tej zmiennej – i zapisujemy ją w postaci ϕ(y). Teraz wykorzystując to co już wiemy o poszukiwanej funkcji F i korzystając z

Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ

Równania różniczkowe.

2

drugiego warunku (Fy0 = Q) dostajemy pewne równanie na pochodną funkcji ϕ(y) czyli ϕ0 (y), przy czym bardzo istotne jest że owa pochodna, podobnie jak sama funkcja ϕ(y) może zależeć tylko od zmiennej y (inaczej mówiąc, wszystkie człony zawierające zmienną x muszą się zredukować). Jeżeli tak nie jest, tzn. wychodzi nam, że ϕ0 (y) i w konsekwencji samo ϕ(y) zależy nie tylko od zmiennej y, ale i od x - może to oznaczać albo że samo badane równanie nie jest równaniem zupełnym – albo że nastąpił błąd przy jednym z całkowań. Aby wykluczyć takie pomyłki, dobrze jest bezpośrednio sprawdzić, czy warunek konieczny zupełności równania jest spełniony. 6. Jeżeli P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 niekoniecznie jest równaniem zupełnym, ale po pomnożeniu przez µ(x, y) powstałe równanie czyli µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 jest równaniem zupełnym, to funkcję µ(x, y) nazywamy czynnikiem całkującym lub mnożnikiem całkującym dla tego równania. W ogólnym przypadku, znalezienie mnożnika całkującego dla równania wymagałoby rozwiązania pewnego równania różniczkowego o pochodnych cząstkowych, co jest na ogół jeszcze trudniejsze niż rozwiązanie pierwotnego równania, ale w szczególnym przypadku gdy istnieje czynnik całkujący zależny tylko od jednej zmiennej (x albo y), to można go znaleźć stosunkowo łatwo, a mianowicie:   ∂Q 1 ∂P − zależy tylko od zmiennej x, to równanie ma czynnik całkujący Jeśli Q ∂y ∂x   Z ∂Q 1 ∂P − dx ∂x µ(x) = e Q ∂y ; 1 jeśli P



∂Q ∂P − ∂x ∂y

 zależy tylko od zmiennej y, to równanie ma czynnik całkujący Z µ(y) = e

1 P



∂Q ∂P − ∂x ∂y

 dy .

Rozwiązać równania różniczkowe: 1) (o rozdzielonych zmiennych): p dy a) = e2x+y ; b) xy 0 + y = y 2 ; c) 2x 1 − y 2 dx + y dy = 0; d) (y 2 + xy 2 )dx + (x2 − x2 y)dy = 0. dx 2) (jednorodne względem x i y) dy x2 + y 2 dy x+y a) = ; b) = ; c) y 2 + x2 y 0 = d) (y 2 − 3x2 )dy + 2xy dx = 0; dx xy dx 3x − y xyy 0 ; e) (x2 + 2xy − y 2 ) + (y 2 + 2xy − x2 )y 0 = 0; f ) y 0 − xy 0 = x + g) (2x − y)y 0 = 2y − x. yy 0 ; dy y 2 3) (liniowe): a) − y tg x = 2 sin x; b) y 0 + = x2 ; c) y 0 + 2xy = e−x ; d) y 0 − 2xy = 2x3 ; dx x 1 − 2x 0 0 x 2x y = 1, y(1) = 1 + e. e) y + y cos x = sin x cos x; f ) y − e y = e ; g) y 0 + x2 √ dy 2 x dy y 3 x 0 2 0 −3 4) (Bernoulliego): a) xy + xy − y = 0; b) y + xy = xy ; c) + y = √ ; d) + = 2 ; dx 3 y dx x y y0 √ 2 e) √ + 4x y = 2xe−x ; f ) y 0 − 9x2 y = (x5 + x2 )y 2/3 ; g) y 0 − 9x2 y = 3(x5 − x2 )y 2/3 . y 5) (zupełne - sprawdzić!)

Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ

Równania różniczkowe.

a) (4x3 + 2xy 2 + 1)dx + (2x2 y − 1)dy = 0; c) ex (y 3 + xy 3 + 1)dx + 3y 2 (xex − 6)dy = 0; 2

3

2 2 3 b) xy  =2 0;   dx + (x2 y +y − 4y)dy y x 1 1 − dx + dy = 0; − d) x (x − y)2 (x − y)2 y

2

e) (y 2 exy + 4x3 )dx + (2xyexy − 3y 2 )dy = 0. 6) (znaleźć mnożniki całkujące, zależne od jednej zmiennej): a) (x + y)dx − x dy = 0; b) y(1 + xy)dx − x dy = 0; c) (sin x + ey )dx + cos x dy = 0; 2 d) (1 − 3x sin y)dx − x ctg y dy = 0; e) y 2 dx + (xy − 1)dy = 0. Chemia - sem. 2. Równania różniczkowe. Część 2. Równania różniczkowe wyższych rzędów. • Równanie różniczkowe II rzędu F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 (w szczególności y 00 = f (x, y, y 0 ) w pewnych przypadkach można sprowadzić do równania I rzędu: 1. Równanie postaci F (x, y 0 , y 00 ) = 0 lub, w szczególności, y 00 = f (x, y 0 ) (a więc nie występuje y): stosujemy podstawienie z = y 0 ; 2. Równanie postaci F (y, y 0 , y 00 ) = 0 lub, w szczególności, y 00 = f (y, y 0 ) (a więc nie występuje x): du stosujemy podstawienie y 0 = u(y) (wtedy y 00 = u0 (y) · u(y) = u ); dy Z 3. Gdy znamy jedno z rozwiązań y1 (x), wtedy stosujemy podstawienie y(x) = y1 (x) u(x) dx. • Równanie an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = f (x), gdzie an 6= 0 nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n o stałych współczynnikach. Ponieważ przez podzielenie tego równania stronami przez współczynnik an 6= 0 zawsze można otrzymać postać, w której współczynnik przy najwyższej (n–tej) pochodnej jest równy zeru, w niektórych podręcznikach równanie tego typu zapisuje się w postaci y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = f (x) – ale tutaj nie będziemy stosowali tego ograniczenia (ma to wpływ na postać układu równań stosowanego w metodzie uzmienniania stałych. (Będziemy rozważać tylko równania o rzeczywistych współczynnikach an , an−1 , . . . a0 , i poszukiwać rzeczywistych jego rozwiązań.) Jeżeli f (x) ≡ 0 to równanie to nazywamy liniowym jednorodnym, w przeciwnym przypadku – niejednorodnym. Najpierw rozwiązujemy zawsze odpowiednie równanie jednorodne. • Rozwiązanie równania zależy od (zespolonych) pierwiastków tzw. równania charakterystycznego: an rn + an−1 rn−1 + . . . + a1 r + a0 = 0, (tych zespolonych pierwiastków jest zawsze n, licząc krotności); na mocy założenia że współczynniki danego równania różniczkowego (a więc i jego równania charakterystycznego) są rzeczywiste, każdy nierzeczywisty (tzn. o części urojonej β 6= 0) pierwiastek (α + βi) występuje zawsze w parze wraz ze swym sprzężeniem (α − βi) – w szczególności krotność danego pierwiastków α + βi i α − βi jest taka sama. Pamiętając o tym, konstruujemy rozwiązanie równania jednorodnego n–tego rzędu o stałych współczynnikach w następujący sposób: 1. Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 równania charakterystycznego odpowiada funkcja y0 (x) = er0 x . 2. Każdemu k-krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada k funkcji: y1 (x) = er0 x , y2 (x) = xer0 x , y3 (x) = x2 er0 x . . . yk (x) = xk−1 er0 x .

Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ

Równania różniczkowe.

4

(każda następna powstaje z poprzedniej przez pomnożenie przez zmienną niezależną x). 3. Każdej parze jednokrotnych pierwiastków zespolonych α + βi oraz α − βi, gdzie β 6= 0 odpowiadają dwie funkcje y(x) = eαx cos βx oraz z(x) = eαx sin βx. [będące odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną funkcji e(α+βi)x = eαx (cos βx + i sin βx)]. 4. Każdej parze k-krotnych pierwiastków zespolonych α + βi oraz α − βi (β 6= 0) odpowiada 2k funkcji: y1 (x) = eαx cos βx, y2 (x) = xeαx cos βx, . . . , yk (x) = xk−1 eαx cos βx, z1 (x) = eαx sin βx, z2 (x) = xeαx sin βx, . . . , zk (x) = xk−1 eαx sin βx, będących odpowiednio częściami rzeczywistymi i częściami urojonymi funkcji e(α+βi)x , xe(α+βi)x , . . . , xk−1 e(α+βi)x . Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego n–tego rzędu o stałych współczynnikach jest kombinacja liniowa wszystkich funkcji y1 , y2 , . . . , yn odpowiadających wszystkim kolejnym n pierwiastkom równania charakterystycznego, tzn. funkcja y = C1 y1 + ... + Cn yn . Jeszcze raz podkreślamy, że ilość stałych dowolnych w rozwiązaniu (i niezależnych funkcji wchodzących do rozwiązania) jest równa rzędowi równania (n). Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywania. (Metoda przewidywania – w dodatku przy końcu zestawu.) Metoda uzmienniania stałych polega na tym, że poszukujemy rozwiązania równania niejednorodnego w postaci y = C1 (x)y1 + C2 (x)y2 + . . . + Cn yn , która powstaje w wyniku zastąpienia stałych Cj w rozwiązaniu ogólnym równania jednorodnego przez pewne pomocnicze funkcje niewiadome Cj (x). Pochodne tych funkcji wyznaczamy z układu n równań liniowych z n niewiadomymi C10 (x), C20 (x), . . ., Cn0 (x):   C1 0 (x)y1 (x) +C2 0 (x)y2 (x) +. . .+Cn 0 (x)yn (x) = 0   0 0 0 0 0 0   C1 (x)y1 (x) +C2 (x)y2 (x) +. . .+Cn (x)yn (x) = 0 ..................................................................   f (x)    C1 0 (x)y1 (n−1) (x)+C2 0 (x)y2 (n−1) (x)+. . .+Cn 0 (x)yn (n−1) (x) = an (Zauważmy, że we wszystkich równaniach z wyjątkiem ostatniego po prawej stronie występuje zero, a w ostatnim funkcja po prawej stronie równania podzielona przez współczynnik przy najwyższej pochodnej występującej w równaniu, tzn. y (n) . Współczynniki przy niewiadomych C1 0 , C2 0 , . . ., Cn 0 w pierwszym równaniu są funkcjami występującymi w rozwiązaniu odpowiedniego równania jednorodnego, w drugim - pochodnymi tych funkcji itd., aż do n − 1-szych pochodnych w ostatnim równaniu; inaczej mówiąc, współczynniki w każdym równaniu oprócz pierwszego są pochodnymi współczynników z poprzedniego równania.) W odróżnieniu od równania liniowego pierwszego rzędu o dowolnych (niekoniecznie stałych) współczynnikach, podstawianie postaci y = C1 (x)y1 + ... + Cn (x)yn do wyjściowego równania niejednorodnego nie pozwoli wyznaczyć funkcji C1 (x), C2 (x), . . ., Cn (x), ponieważ otrzymamy tylko jeden związek, a tymczasem niewiadomych jest bardzo wiele (same funkcje oraz ich kolejne pochodne aż do rzędu n włącznie). Dlatego musimy korzystać z „gotowego” układu równań na wyznaczenie pochodnych tych funkcji.) (Chyba że da się zastosować metoda przewidywań – zob. dalej.) Po wyznaczeniu pochodnych Cj0 (x), w wyniku n całkowań znajdujemy same funkcje Cj (x) = Φj (x) + Dj i wypisujemy ostateczne rozwiązanie y = C1 (x)y1 + C2 (x)y2 + . . . + Cn (x)yn , zawierające n stałych dowolnych D1 , D2 , . . ., Dn .

Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ

Równania różniczkowe.

5

1) Rozwiązać równania różniczkowe drugiego rzędu postaci F (x, y 0 , y 00 ) = 0: a) (1 + x)y 00 = y 0 ; b) (x + 1)y 00 + x(y 0 )2 = y 0 , y(0) = 2, y 0 (0) = 2 (Uwaga: b) daje się też rozwiązać ogólnie, bez tych warunków, ale staje się to dość uciążliwe ze względu na konieczność rozważenia kilku przypadków); c) y 00 (x2 + 1) = 2xy 0 , y(0) = 1, y 0 (0) = 3; d) y 00 = −y 0 tg x + sin 2x; e) xy 00 − y 0 ln (y 0 /x) = 0. 2) Rozwiązać równania różniczkowe drugiego rzędu postaci F (y, y 0 , y 00 ) = 0:  00  yy 00 + y 0 2 = 1, √ 2y = ey 3y 0 y 00 = 2y, a) b) c) y(0) = 0, y 0 (0) = 1; y(0) = y 0 (0) = 1; y(0) = 1, y 0 (0) = 2; 2 y(1 − ln y)y 00 + f ) 2yy 00 − 3(y 0 )2 = 4y 2 ; (y 0 )2 = 0; e) d) y 00 + +(1 + ln y)(y 0 )2 = 0; 1−y  00 y = y 0 ln y 0 , 00 0 3 00 0 2 2 0 g) y = (y ) ln y; h) yy − (y ) = y y ; i) y(0) = y 0 (0) = 1. 3) Rozwiązać równania rzędu drugiego, wiedząc, że y1 (x) jest jednym z rozwiązań:  1   2 00   y 00 + y 0 − 9 y = 0, 0 x y + 2xy − 6y = 0, (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0, 2 x x a) b) c) 2 y1 (x) = x ; y1 (x) = x;   y1 (x) = x3 ;  00 y − y 0 tg x + 2y = 0, d) y1 (x) = sin x. 4) Rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach, jednorodne: a) y 00 − 5y 0 − 6y = 0; b) y 00 + 4y 0 + 4y = 0; c) y 00 + 4y 0 + 5y = 0; d) y 000 − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 0; e) y (4) + 10y 00 + 9y = 0; f1) y (4) − y = 0; f2) y (4) + y = 0; f3) y (IV) − y 0 = 0; f4) y (IV) + y 00 = 0; f5) y (IV) + 4y 00 = 0 f6) y (IV) + 2y 00 + y = 0; f7) y (4) + 2y 00 − 8y 0 + 5y = 0; (4) 000 00 0 h) y + 2y − 11y − 12y + 36y = 0; i) y (4) + 5y 00 + 6y = 0; j) y (5) + 2y 000 + y 0 = 0. 5) Rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach, niejednorodne: a) y 00 + 3y 0 + 2y = 4; b) y 00 − y 0 = 3x2 ; c) y 00 + 2y 0 + y = x2 e−x ; d) y 00 − 6y 0 + 9y = 3x − 8ex ; e) y (IV) − 2y 000 + y 00 = x + xex ; f ) y 00 − 2y 0 + 10y = 37 cos 3x; ex e3x 00 0 ; i) y − 2y + y = ; g) y 00 + y = sin2 x; h) y 00 − 3y 0 + 2y = 1 + e2x x2 1 j) y 00 + y = tg x + xex ; k) y 00 + 4y = + 4x2 + 4e2x + 4 sin 2x. sin2 x 6) Znając układ fundamentalny rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego, napisać odpowiadające mu równanie: a) y1 (x) = e−x , y2 (x) = ex ; b) y1 (x) = 1, y2 (x) = x; x −x c) y1 (x) = 1, y2 (x) = e ; d) y1 (x) = e sin x, y2 (x) = e−x cos x. Chemia - sem. 2 Dodatek Metoda przewidywania („przewidywań”) dla równań różniczkowych liniowych wyższych rzędów o stałych współczynnikach. W pewnych szczególnych przypadkach dla równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach, czyli równania postaci an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y 0 + a0 y = f (x) zamiast metody uzmienniania stałych, możemy zastosować tzw. metodę przewidywania (alternatywnie zwaną „metodą przewidywań”). Metodę przewidywania możemy stosować tylko wtedy, gdy funkcja f (x) występująca po prawej stronie równania ma postać f (x) = eαx (Pl (x) cos βx + Qm (x) sin βx), gdzie Pl (x) i Qm (x) są pewnymi wielomianami stopnia l i m odpowiednio (lub też funkcja f (x) jest sumą pewnej ilości składników tego typu - zob. na końcu). Rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego (RORN) poszukujemy wtedy w postaci RORN = RORJ + RSRN,

Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ

Równania różniczkowe.

6

gdzie: RORJ - rozwiązanie ogólne równania jednorodnego; RSRN - pewne ustalone rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, które można znaleźć w postaci   k αx e e ys = x e Pmax(l,m) (x) cos βx + Qmax(l,m) (x) sin βx , emax(l,m) (x) są pewnymi (na ogół nowymi) wielomianami stopnia co najwyżej gdzie Pemax(l,m) (x) oraz Q max(l, m), zaś k jest krotnością liczby α±βi jako pierwiastka równania charakterystycznego (jeżeli liczba ta nie jest pierwiastkiem równania, to przyjmujemy oczywiście k = 0). Dla f (x) pewnych szczególnych postaci, postać rozwiązania szczególnego ys dalej się upraszcza, a mianowicie: Postać prawej strony równania f (x) Postać rozwiązania szczególnego ys k oznacza Uwagi tu krotność poniższej liczby jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego:  xk eαx Pemax(l,m) (x) cos βx+ αx  e (Pl (x) cos βx + Qm (x) sin βx) α ± βi (Przypadek emax(l,m) (x) sin βx +Q ogólny) αx k αx e e Pl (x) x e P α β=0 l (x) xk Pemax(l,m) (x) cos βx+  Pl (x) cos βx + Qm (x) sin βx ± βi α=0 emax(l,m) (x) sin βx +Q Pl (x) xk Pel (x) 0 α=β=0 Uwaga: nawet jeżeli w funkcji f występuje tylko składnik z kosinusem lub tylko składnik z sinusem, to przy poszukiwania rozwiązania szczególnego musimy w poszukiwanym rozwiązaniu szczególnym ys wypisać OBA składniki. Współczynniki nieznanych wielomianów znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych (wypisujemy wielomiany danego stopnia w ogólnej postaci, wyliczamy kolejne pochodne, podstawiamy je do równania niejednorodnego, przyrównujemy współczynniki przy jednakowych funkcjach po obu stronach równania). Jeżeli prawa strona równania ma postać f (x) = f1 (x) + . . . + fp (x), gdzie wszystkie fj (x) są postaci omawianej wyżej, to dla każdego składnika znajduje się odpowiednie rozwiązanie szczególne ys j i w ostatecznym rozwiązaniu bierze sumę rozwiązań, tzn. RORN=RORJ+ys 1 + ys 2 + ... + ys p . Ponieważ ilość symboli w powyższej tabelce jest dość duża, zamieszczam jeszcze uproszczone omówienie metody przewidywań opracowane przez mgr Małgorzatę Twardowską, z niewielkimi zmianami: Metodę przewidywania możemy stosować wtedy, gdy funkcja f (x) jest postaci Pl (x)eax cos bx lub Qm (x)eax sin bx gdzie Pl (x) jest wielomianem l -tego stopnia, względnie Qm (x) jest wielomianem m-tego stopnia, albo też kombinacją liniową tych funkcji, czyli eax (Pl (x) cos bx + Qm (x) sin bx). Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest zawsze sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i pewnego rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Metoda przewidywań pozwala na znalezienie tego właśnie rozwiązania szczególnego. Najogólniej mówiąc, rozwiązanie szczególne jest postaci podobnej do postaci funkcji f (x), a konkretnie: • jeżeli f (x) = Pl (x), tzn. prawa strona równania, f (x) jest wielomianem stopnia l i liczba 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego (którego pierwiastki posłużyły do wyznaczenia rozwiązania ogólnego odpowiedniego równania jednorodnego), to szukamy rozwiązania szczególnego

Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ

Równania różniczkowe.

7

w postaci (pewnego, na ogół nowego) wielomianu stopnia nie większego niż l: P] l (x). Jeżeli natomiast liczba 0 jest k -krotnym pierwiastkiem tego wielomianu, to należy postać przewidywanego rozwiązania pomnożyć przez xk , czyli wziąć xk P] l (x) • jeżeli f (x) jest iloczynem funkcji wykładniczej eax i wielomianu stopnia l, tzn. eax Pl (x), to szukamy rozwiązania szczególnego w takiej samej postaci, przy zachowaniu stopnia l wielomianu i liczby a, (tzn. w postaci eax P] l (x)), znów z tym zastrzeżeniem, że jeżeli a jest k -krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to należy postać przewidywanego rozwiązania szczególnego pomnożyć przez xk (tzn. wziąć xk eax P] l (x)). • jeżeli f (x) jest iloczynem funkcji wykładniczej eax i jednej z funkcji: stała · cos bx lub stała · sin bx lub suma tych dwóch ostatnich – to szukamy rozwiązania szczególnego w postaci eax (A cos bx + B sin bx), gdzie A i B są pewnymi (na ogół nowymi) stałymi – i znów, tak jak poprzednio, należy pamiętać, że jeżeli a + bi (a wtedy zarazem a − bi) są k -krotnymi zespolonymi pierwiastkami równania charakterystycznego, to przewidywaną postać rozwiązania szczególnego należy pomnożyć przez xk . Ponadto należy pamiętać że nawet jeżeli po prawej stronie występuje tylko cosinus lub tylko sinus, to w przewidywanej postaci rozwiązania trzeba uwzględnić składniki obu typów (!). • w pozostałych możliwych przypadkach postaci funkcji f (x) metoda przewidywań jest dość uciążliwa rachunkowo. W szczególności, jeżeli mamy do czynienia z najogólniejszą postacią eax (Pl (x) cos bx+ Qm (x) sin bx) gdzie Pl (x) i Qm (x) są wielomianami stopni l i m odpowiednio, to oznaczając makfs (x) cos bx + Q fs (x) sin bx) o ile simum liczb l i m przez s, poszukujemy rozwiązania w postaci eax (P fs (x) cos bx + Q fs (x) sin bx) a ± bi nie są pierwiastkami równania charakterystycznego, zaś xk eax (P jeżeli a ± bi są k -krotnymi zespolonymi pierwiastkami równania charakterystycznego. • przypadek gdy odpowiednia liczba (liczby) nie jest (nie są) pierwiastkami równania charakterystycznego można traktować łącznie z pozostałymi, po prostu przyjmując wtedy krotność k danej liczby jako pierwiastka równania charakterystycznego za 0. Współczynniki nieznanych wielomianów znajdujemy metodą nieoznaczonych współczynników.