1. Funkcja liniowa, kwadratowa, wielomiany

FUNKCJE ELEMENTARNE I Definicja (funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej) Niech X i Y b d dowolnymi zbiorami. Odwzorowaniem f zbioru X w zbiór Y lub funkcj okre lon na zbiorze X o warto ciach w zbiorze Y nazywa si przyporz dkowanie, które ka demu elementowi x ∈ X przyporz dkowuje dokładnie jeden element y = f ( x ) ∈ Y . Odwzorowanie to oznacza si symbolami: f

f : X → Y , f : X ∋ x → y = f ( x) ∈Y , X →Y

Zbiór X nazywa si dziedzin lub zbiorem argumentów, natomiast f ( X ) ⊂ Y przeciwdziedzin lub zbiorem warto ci odwzorowania f. Wykresem funkcji f : X → Y nazywa si zbiór graf f := {( x , y ) ∈ X × Y : x ∈ X ∧ y = f ( x )}

Definicja (funkcji liniowej) Funkcj liniow nazywa si odwzorowanie f : ∋ x → y = ax + b, a ,b ∈ Liczb a nazywa si współczynnikiem kierunkowym lub k towym, natomiast liczb b nazywa si wyrazem wolnym. Definicja (miejsca zerowego) Miejscem zerowym funkcji nazywa si taki argument, dla którego warto

funkcji jest równa zero.

Definicje (odwzorowania to samo ciowego i stałego) Odwzorowanie f : X → X nazywa si (i) odwzorowaniem to samo ciowym lub identyczno ci , gdy ∀x ∈ X f ( x ) = x Odwzorowanie to oznacza si symbolem id X .

(ii) Odwzorowaniem stałym, gdy f ( X ) jest zbiorem jednoelementowym. Definicja (funkcji monotonicznej) Mówimy, e f : X → Y jest funkcj (i) rosn c (silnie rosn c ) w zbiorze X, gdy ∀x1 , x2 ∈ X x1 − x2 > 0 f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0 (ii) słabo rosn c w zbiorze X, gdy ∀x1 , x2 ∈ X x1 − x2 > 0 f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ 0 (iii) malej c (silnie malej c ) w zbiorze X, gdy ∀x1 , x2 ∈ X x1 − x2 > 0 f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0 (iv) słabo malej c w zbiorze X, gdy ∀x1 , x2 ∈ X x1 − x2 > 0 f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ 0 Gdy funkcja spełnia który z warunków (i) - (iv), to mówimy, e jest monotoniczna.

Definicja (warto ci bezwzgl dnej)

x :=

x , gdy x ≥ 0 − x , gdy x < 0

Własno ci warto ci bezwzgl dnej x ≥0 (i) ∀x ∈ (ii) ∀x ∈

−x = x

(iii) ∀x ∈

− x ≤ x≤ x

(iv) ∀x , y ∈

x⋅ y = x ⋅ y

(v) ∀x ∈

∀y ∈

(vi) ∀x ∈

∀k ≥ 0

\ {0}

x x = y y

x ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k

(vii) ∀x ,k ∈

x ≥ k ⇔ x ≤ − k lub x ≥ k

(viii) ∀x , y ∈

x+ y ≤ x + y

(ix) ∀x , y ∈

x − y ≤ x− y ≤ x + y

Definicja (funkcji kwadratowej) Funkcj kwadratow (trójmianem kwadratowym) nazywa si odwzorowanie f : ∋ x → y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 , b,c ∈ Trójmian ten mo na zawsze sprowadzi do tzw. postaci kanonicznej 2

b ∆ − , 2a 4a gdzie ∆ := b 2 − 4ac nazywa si wyró nikiem trójmianu kwadratowego. Gdy ∆ ≥ 0, to trójmian kwadratowy mo na sprowadzi do tzw. postaci iloczynowej (rozło y na czynniki liniowe) y = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) , y=a x+

gdzie x1 =

−b − ∆ −b + ∆ , x2 = s miejscami zerowymi. 2a 2a

Miejsca zerowe x1 , x2 spełniaj wzory Viete’a: Gdy ∆ = 0, to y = a ( x − x0 ) , gdzie x0 = − 2

x1 + x2 = − x1 ⋅ x2 =

b a c a

b jest miejscem zerowym. 2a

Gdy ∆ < 0 , to nie ma miejsc zerowych. Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa zwana parabol . b ∆ ,− Wierzchołek paraboli ma współrz dne W = ( p,q ) = − . 2a 4a

Definicja (pot gi) Pot g o podstawie a ∈

i wykładniku n ∈

oznacza si symbolem a , n =1

a n := a ⋅ ... ⋅ a , n > 1 ×n

a := 1, a ≠ 0 0

00 - symbol nieoznaczony Pot ga o wykładniku całkowitym ujemnym: 1 a − n := n , n ∈ , a ≠ 0 a Pot ga o wykładniku wymiernym: 1 n

(i) a := n a , a ≥ 0 , n ∈ m n

(ii) a := a (iii) a

−

m n

m

1 n

:= a

, a ≥ 0 , m ,n ∈ 1 n

−m

, a > 0 , m ,n ∈

Działania na pot gach (i) a m ⋅ a n = a m + n , a ∈ , m ,n ∈ (ii) a m : a n = a m − n , a ≠ 0 , m ,n ∈ , m ≥ n (iii) ( a ⋅ b ) = a m ⋅ b m , a ,b ∈ , m ∈ m

(iv) ( a : b ) = a m : b m , a ∈ , b ≠ 0 , m ∈ m

(v)

((a) ) m

n

= a m⋅n , a ∈ , m ∈

(vi) Działania na pot gach (i) – (v) o dodatnich podstawach ( a > 0, b > 0 ) i wymiernych wykładnikach zachowuj si . Warunek m ≥ n w (ii) nale y pomin . (vii) Pot ga a x o wykładniku rzeczywistym x ∈ jest okre lona dla a > 0. Działania na pot gach (i) – (v) o dodatnich podstawach ( a > 0, b > 0 ) i rzeczywistych wykładnikach zachowuj si .

Uwagi (o pierwiastkach) (i) Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniej (ii)

a2 = a

Definicja (wielomianu) Wielomianem stopnia n ∈

W:

∪ {0} jednej zmiennej rzeczywistej x nazywa si funkcj ∋ x → W ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 ,

gdzie an ,an−1 , ...,a1 ,a0 ∈ , an ≠ 0 nazywa si współczynnikami wielomianu, a0 nazywa si wyrazem wolnym. Ka d liczb x0 ∈ tak , e W ( x0 ) = 0 nazywa si pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu. ax n , x ≠ 0 , a ≠ 0 nazywa si jednomianem stopnia n ∈ ∪ {0} Funkcj y = a , x=0 jednej zmiennej rzeczywistej x. „y = 0” nazywa si jednomianem zerowym.

Definicja (wielomianów równych) Dwa wielomiany s równe, gdy s zerowe lub gdy s tego samego stopnia i maj równe współczynniki przy jednakowych pot gach zmiennej. Twierdzenie Bézouta Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian P ( x ) = x − x0 .

Twierdzenie (o iloczynie podzielników) Je eli wielomian W jest podzielny przez ka dy z dwumianów ( x − x1 ) , ( x − x2 ) , ..., ( x − xn ) , przy czym x1 , x2 , ..., xn s ró ne, to jest tak e podzielny przez

P ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ...( x − xn )

Definicja (równania algebraicznego) Niech W b dzie wielomianem stopnia n ≥ 1 zmiennej x. Równanie W ( x ) = 0 nazywa si równaniem algebraicznym stopnia n lub równaniem n – tego stopnia. Twierdzenie (o liczbie pierwiastków wielomianu) Równanie algebraiczne n – tego stopnia ma co najwy ej n ró nych pierwiastków. Twierdzenia (o postaci pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych) Niech W ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 , an ,an −1 , ...,a1 ,a0 ∈ Wtedy rozwi zanie równania W ( x ) = 0 jest postaci

p , gdzie p dzieli a0 , q dzieli an . q