11.Pochodne funkcji jednej zmiennej

Nanotechnologia -

mgr Małgorzata Suchecka - 1 Pochodne funkcji jednej zmiennej

Zad.1 Na podstawie definicji znaleźć pochodne funkcji w punkcie x0 ∈ D: √ a1) y = x3 ; a2) y = x5 ; a3) y = 2x + 1 ; a4) y = ex ; a5) y = ln x ;

a6) y = sin x ;

a7) y = cos(2x) ;

a8) y = tg(3x) .

Zad.2 Oblicz pochodną funkcji: x3 3

b1) y = x3 − 2x2 + 6 ;

b2) y =

b4) y = x2 − 2 sin x + 4ex + ln x ;

√ b5) y = 2 3 x +

√ √ b7) y = 6 3 x − 4 4 x ;

b8) y = 1 −



8

b3) y =

x5 5

;

b6) y =

1 x

;

b9) y = (1 +

+ x2 − 3x + 5 ;

x2 2

3 x2

2

− +

2x3 3

1 x2

√ 3

+x;

+

1 x3

;

2

x) ;

b10) y = (x2 + 5x + 7) ;

b11) y = sin3 x ;

b12) y = tg5x ;

b13) y = ln (2x2 + x + 1) ;

b14) y = earctgx ;

b15) y =

b16) y = 4cos x ;

b17) y = cos3 (x2 + 5x + 2) ;

√ 3 b18) y = (arcsin x) ;

b20) y = x3 cos x ;

b21) y =

b23) y = xarctgx − 12 ln (1 + x2 ) ;

√ b24) y = x x2 − 1 ;

b26) y = x ln2 x − 2x ln x + 2x ;

b27) y = x10x ;

b19) y = 5sin b22) y =

q

2

x

;

ex (x2 − 2x + 2) ;

√ b25) y = 21 x 1 − x2 + 21 arcsin x ; b28) y =

cos x x2

b31) y =

√ √ x x+1

; ;

√ 4

√

5x2 + x + 1 ;

x sin x ;

b29) y =

x2 x2 +1

;

b30) y =

arctgx sin x

;

b23) y =

x cos2 x

− tgx ;

b24) y =

1−ln x 1+ln x

;





b25) y = arctg 1+x ; 1−x

1 b26) y = ln arctg 1+x

b28) y = sin 2x ;

b29) y = sin2 x3 ;

b30) y = ln x +

b31) y = (arcsin x)2 ;

b32) y = arcctg3 x3 ;

b33) y = arctgx − arctg x1 .

;

b27) y = arcsin (sin x) ; 

√



1 + x2 ;

Nanotechnologia -

mgr Małgorzata Suchecka - 2

Zad.3 Znajdź pochodne jednostronne funkcji w zadanym punkcie x0 :

c1) y = |x| w punkcie x0 = 0 ;

c2) y) = |2x − 4| w punkcie x0 = 2 .

Zad.4 Wyznaczyć stałe a , b tak, aby dana funkcja f (x) była ciągła i różniczkowalna w zadanym punkcie x0 :     

x2

  

ax + b

    

ax2 + bx + 1

   

(x + a)e−bx

d1) f (x) = 

d2) f (x) =

x ¬ x0

,

; w punkcie x0 = 1; ,

x > x0

x ­ x0

,

, w punkcie x0 = 0. ,

x < x0

Zad.5 Zbadać różniczkowalność danej funkcji w punkcie x0 = 0.:

e1) f (x) =

e3) f (x) =

    

ex

   

0

    

x3

   

− x1

1

x 6= 0

,

e2) f (x) = |x| sin x ;

; ,

x=0

,

x¬0 ;

e

,

x¬0

e4) f (x) =

√ 3

x2 .

Nanotechnologia -

mgr Małgorzata Suchecka - 3

Zad.6 Wyznaczyć pochodne danych funkcji: f1) y = xsin x ;

f2) y = xln x ;

f4) y = ee ;

x

f5) y = xx ;

2

f7) y = (cos x)sin x ;

f8) y = xx .

f3) y = (cos x)arctgx ; f6) y = (ln x)x ;

x

Zad.7 Dla danych funkcji f (x) obliczyć wartość pochodnych w wybranych punktach: g1) f (x) = x3 − 5x2 + 8x + 2 w punkcie x0 = 1; √ g2) f (x) = x2 + 3x − 9 w punkcie x0 = 3; g3) f (x) = 2 sin x + 3 cos x w punkcie x0 = π4 ; q

g4) f (x) = ln 1−x w punkcie x0 = 12 ; 1+x √ g5) f (x) = x + ln x − √1x w punkcie x0 = 4; g6) f (x) = 21 tg2 x + ln cos x w punkcie x0 = π4 ; g7) f (x) = ln

q

1−sin x 1+sin x

w punkcie x0 =

π1 ;. 3

Zad.8 Wyznaczyć pochodną y 0 funkcji zadanych równaniami parametrycznymi: h1) x = a cos3 t , y = a sin3 t ;

h2) x = ln t , y = sin 2t ;

h3) x = t2 + 2 , y = 31 t3 − t ;

h4) x =

h5) x = arcsin t , y =

√

1 − t2 , t ¬ 1 ;

h7) x = et sin t , y = et cos t ;

√ √ t, y= 3t, t>0;

h6) x = ln (1 + t2 , y = t − arctgt) ; h8) x = e−t , y = e2t .