Nanotechnologia - mgr Małgorzata Suchecka - 1 Pochodne funkcji jednej zmiennej Zad.1 Na podstawie definicji znaleźć pochodne funkcji w punkcie x0 ∈ D: ...
8 downloads
17 Views
73KB Size
Nanotechnologia -
mgr Małgorzata Suchecka - 1 Pochodne funkcji jednej zmiennej
Zad.1 Na podstawie definicji znaleźć pochodne funkcji w punkcie x0 ∈ D: √ a1) y = x3 ; a2) y = x5 ; a3) y = 2x + 1 ; a4) y = ex ; a5) y = ln x ;
a6) y = sin x ;
a7) y = cos(2x) ;
a8) y = tg(3x) .
Zad.2 Oblicz pochodną funkcji: x3 3
b1) y = x3 − 2x2 + 6 ;
b2) y =
b4) y = x2 − 2 sin x + 4ex + ln x ;
√ b5) y = 2 3 x +
√ √ b7) y = 6 3 x − 4 4 x ;
b8) y = 1 −
8
b3) y =
x5 5
;
b6) y =
1 x
;
b9) y = (1 +
+ x2 − 3x + 5 ;
x2 2
3 x2
2
− +
2x3 3
1 x2
√ 3
+x;
+
1 x3
;
2
x) ;
b10) y = (x2 + 5x + 7) ;
b11) y = sin3 x ;
b12) y = tg5x ;
b13) y = ln (2x2 + x + 1) ;
b14) y = earctgx ;
b15) y =
b16) y = 4cos x ;
b17) y = cos3 (x2 + 5x + 2) ;
√ 3 b18) y = (arcsin x) ;
b20) y = x3 cos x ;
b21) y =
b23) y = xarctgx − 12 ln (1 + x2 ) ;
√ b24) y = x x2 − 1 ;
b26) y = x ln2 x − 2x ln x + 2x ;
b27) y = x10x ;
b19) y = 5sin b22) y =
q
2
x
;
ex (x2 − 2x + 2) ;
√ b25) y = 21 x 1 − x2 + 21 arcsin x ; b28) y =
cos x x2
b31) y =
√ √ x x+1
; ;
√ 4
√
5x2 + x + 1 ;
x sin x ;
b29) y =
x2 x2 +1
;
b30) y =
arctgx sin x
;
b23) y =
x cos2 x
− tgx ;
b24) y =
1−ln x 1+ln x
;
b25) y = arctg 1+x ; 1−x
1 b26) y = ln arctg 1+x
b28) y = sin 2x ;
b29) y = sin2 x3 ;
b30) y = ln x +
b31) y = (arcsin x)2 ;
b32) y = arcctg3 x3 ;
b33) y = arctgx − arctg x1 .
;
b27) y = arcsin (sin x) ;
√
1 + x2 ;
Nanotechnologia -
mgr Małgorzata Suchecka - 2
Zad.3 Znajdź pochodne jednostronne funkcji w zadanym punkcie x0 :
c1) y = |x| w punkcie x0 = 0 ;
c2) y) = |2x − 4| w punkcie x0 = 2 .
Zad.4 Wyznaczyć stałe a , b tak, aby dana funkcja f (x) była ciągła i różniczkowalna w zadanym punkcie x0 :
x2
ax + b
ax2 + bx + 1
(x + a)e−bx
d1) f (x) =
d2) f (x) =
x ¬ x0
,
; w punkcie x0 = 1; ,
x > x0
x x0
,
, w punkcie x0 = 0. ,
x < x0
Zad.5 Zbadać różniczkowalność danej funkcji w punkcie x0 = 0.:
e1) f (x) =
e3) f (x) =
ex
0
x3
− x1
1
x 6= 0
,
e2) f (x) = |x| sin x ;
; ,
x=0
,
x¬0 ;
e
,
x¬0
e4) f (x) =
√ 3
x2 .
Nanotechnologia -
mgr Małgorzata Suchecka - 3
Zad.6 Wyznaczyć pochodne danych funkcji: f1) y = xsin x ;
f2) y = xln x ;
f4) y = ee ;
x
f5) y = xx ;
2
f7) y = (cos x)sin x ;
f8) y = xx .
f3) y = (cos x)arctgx ; f6) y = (ln x)x ;
x
Zad.7 Dla danych funkcji f (x) obliczyć wartość pochodnych w wybranych punktach: g1) f (x) = x3 − 5x2 + 8x + 2 w punkcie x0 = 1; √ g2) f (x) = x2 + 3x − 9 w punkcie x0 = 3; g3) f (x) = 2 sin x + 3 cos x w punkcie x0 = π4 ; q
g4) f (x) = ln 1−x w punkcie x0 = 12 ; 1+x √ g5) f (x) = x + ln x − √1x w punkcie x0 = 4; g6) f (x) = 21 tg2 x + ln cos x w punkcie x0 = π4 ; g7) f (x) = ln
q
1−sin x 1+sin x
w punkcie x0 =
π1 ;. 3
Zad.8 Wyznaczyć pochodną y 0 funkcji zadanych równaniami parametrycznymi: h1) x = a cos3 t , y = a sin3 t ;
h2) x = ln t , y = sin 2t ;
h3) x = t2 + 2 , y = 31 t3 − t ;
h4) x =
h5) x = arcsin t , y =
√
1 − t2 , t ¬ 1 ;
h7) x = et sin t , y = et cos t ;
√ √ t, y= 3t, t>0;
h6) x = ln (1 + t2 , y = t − arctgt) ; h8) x = e−t , y = e2t .