Analiza Matematyczna
Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk
[email protected]
´ Polsko-Japonska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych ´ zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gdansku ul. Brzegi 55 ´ 80-045 Gdansk
Analiza Matematyczna – p. 1
Szeregi liczbowe Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna ˛ jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Analiza Matematyczna – p. 2
Szeregi zbie˙zne i rozbie˙zne Definicja 1.
1. Szeregiem liczbowym nazywa sie˛ formalna suma
u1 + u2 + · · · + uk + · · · = gdzie uk 2. Suma Sn
∈ R dla k = 1, 2, . . . . = u1 + u2 + · · · + un =
cz˛e´sciowa˛ szeregu 1.
n P
∞ X
uk ,
(1)
k=1
uk nazywa sie˛ suma˛
k=1
3. Szereg 1 nazywa sie˛ zbie˙znym, je˙zeli istnieje granica S ciagu ˛ sum cz˛e´sciowych przy n → ∞. 4. Granica ta nazywa sie˛ suma˛ szeregu 1, oznaczenie S
= limn→∞ Sn
=
∞ P
uk .
k=1
5. Szereg, który nie jest zbie˙znym, nazywa sie˛ rozbie˙znym.
Analiza Matematyczna – p. 3
Przykłady szeregów Przykład 2.
1.
∞ P
qk .
k=1
2.
3.
∞ P
k=1 ∞ P
k=1
xk−1 (k−1)! . (−1)k−1 x2k−1 . (2k−1)!
4. Szereg harmoniczny:
∞ P
1 k.
k=1
Analiza Matematyczna – p. 4
Własno´sci szeregów zbie˙znych Twierdzenie 3. Niech dane bed ˛ a˛ dwa zbie˙zne szeregi
∞ P
uk oraz
k=1
Wtedy
∞ P
vk .
k=1
1. Suma i ró˙znica ciagów ˛ jest zbie˙zna, ˛ przy czym ∞ P
(uk ± vk ) =
k=1
2.
∀λ ∈ R szereg
∞ P
k=1 ∞ P
uk ±
∞ P
vk .
k=1
λuk jest zbie˙znym oraz
k=1
k=1
3. Szereg, otrzymany z szeregu
∞ P
∞ P
λuk = λ
∞ P
uk .
k=1
´ uk zamiana˛ skonczonej ilo´sci
k=1
wyrazów, jest zbie˙znym.
Analiza Matematyczna – p. 5
Kryterium Cauchy’ego zbie˙zno´sci szeregów Twierdzenie 4 (Kryterium Cauchy’ego). Szereg
∞ P
uk jest zbie˙znym wtedy
k=1
i tylko wtedy, gdy ∀ε
> 0 ∃N ∈ N takie, z˙ e ∀n1 > n2 > N spełnia sie˛ P n1 u k < ε. nierówno´sc´ k=n2 Wniosek 5 (Konieczny warunek zbie˙zno´sci szeregu). Niech szereg
∞ P
uk
k=1
bedzie ˛ zbie˙znym. Wtedy uk Przykład 6. Szereg
∞ P
k=1
= o(1) przy k → ∞.
1−k2 1+20k+400k2 jest rozbie˙znym.
Uwaga 7. Warunek 5 nie jest dostatecznym warunkiem zbie˙zno´sci szeregu, patrz, na przykład, szereg harmoniczny.
Analiza Matematyczna – p. 6
Szeregi o wyrazach nieujemnych Twierdzenie 8. Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbie˙znym wtedy i tylko wtedy, gdy ciag ˛ sum cz˛e´sciowych jest ograniczonym Twierdzenie 9 (Kryterium porównawcze zbie˙zno´sci szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech, poczynajac ˛ z pewnego k , zachodzi nierówno´sc´ 0 6 uk 6 vk . Wtedy 1. Je˙zeli szereg
2. Je˙zeli szereg
∞ P
k=1 ∞ P
vk jest zbie˙znym, to
uk jest rozbie˙znym, to ∞ P
k=1
oraz rozbie˙znym dla 0 2. Szereg
vk te˙z jest rozbie˙znym.
k=1
1. Szereg
∞ P
uk te˙z jest zbie˙znym.
k=1 ∞ P
k=1
Przykład 10.
∞ P
1 2+bk , gdzie
b > 0 jest zbie˙znym dla b > 1
< b 6 1.
1 kα jest rozbie˙znym dla
0 < α 6 1.
k=1
Analiza Matematyczna – p. 7
Kryterium d’Alemberta Twierdzenie 11 (Kryterium d’Alemberta zbie˙zno´sci szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech bedzie ˛ uk > 0 oraz limk→∞ uuk+1 = L. Wtedy k
1. Je˙zeli L 2. Je˙zeli L
< 1, to > 1, to
∞ P
uk jest zbie˙znym.
k=1 ∞ P
uk jest rozbie˙znym.
k=1
Przykład 12.
∞ P
√ ( k)k k! .
k=1 u
Uwaga 13. Je˙zeli w warunkach twierdzenia 11 limk→∞ uk+1 k ∞ P
uk mo˙ze by´c zarówno zbie˙znym (
1/k 2 , dowód bedzie ˛ podany
k=1
k=1
pó´zniej) jak i rozbie˙znym (
∞ P
= 1, co szereg
∞ P
1/k ).
k=1
Analiza Matematyczna – p. 8
Kryterium Cauchy’ego Twierdzenie 14 (Kryterium Cauchy’ego zbie˙zno´sci szeregu o wyrazach √ nieujemnych). Niech bedzie ˛ uk > 0 oraz limk→∞ k uk = L. Wtedy 1. Je˙zeli L 2. Je˙zeli L
< 1, to > 1, to
∞ P
k=1 ∞ P
uk jest zbie˙znym. uk jest rozbie˙znym.
k=1
Przykład 15.
∞ P
k=1
k 2k .
Analiza Matematyczna – p. 9
Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina Twierdzenie 16 (Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina zbie˙zno´sci szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech dana bedzie ˛ funkcja f (x): nieujemna i niemalejaca ˛ na półprostej [m, +∞), gdzie m ∈ Z. Wtedy szereg
∞ P
f (k) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + . . . jest zbie˙znym
k=m
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica ciagu ˛
lim
Rn
n→∞ m
f (x) dx.
∀k > n, ∀x ∈ [k, k + 1] zachodzi nierówno´sc´ f (k) 6 f (x) 6 f (k + 1). Wynika stad, ˛ z˙ e Dowód.
k+1 k+1 k+1 Z Z Z f (k + 1) dx. f (x) dx 6 f (k) dx 6 k
k
k
Analiza Matematyczna – p. 10
Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina. Przykład Przykład 17.
1.
∞ P
1 kα ,
k=1
2.
∞ P
k=2
1 . k lnβ k
Analiza Matematyczna – p. 11
Zbie˙zno´sc´ warunkowa i bezwzgledna ˛ Definicja 18.
1. Szereg
∞ P
uk nazywa sie˛ zbie˙znym bezwzglednie ˛
k=1
(bezwarunkowo), je˙zeli zbie˙znym jest szereg
∞ P
k=1
2. Zbie˙zny szereg
∞ P
|uk |.
uk nazywa sie˛ zbie˙znym warunkowo,zbie˙zno´sc´
k=1
warunkowa je˙zeli szereg
∞ P
|uk | jest rozbie˙znym.
k=1 ∞ P
Twierdzenie 19. Je˙zeli szereg
k=1
jest zbie˙znym.
|uk | jest zbie˙znym, to szereg
∞ P
uk te˙z
k=1
Analiza Matematyczna – p. 12
Zbie˙zno´sc´ warunkowa i bezwzgledna. ˛ Przykłady Przykład 20.
1.
∞ P
(−1)k−1 , k2
k=1
2.
∞ P
(−1)k−1 . k
k=1
Twierdzenie 21 (Riemann). Niech szereg
∞ P
uk bedzie ˛ zbie˙znym
k=1
warunkowo. Wtedy ∀L ∈ R mo˙zna tak przestawi´c wyrazy szeregu, z˙ e szereg przekształcony zostanie zbie˙znym do L. Twierdzenie 22 (Cauchy). Niech szereg
∞ P
uk bedzie ˛ zbie˙znym
k=1
bezwarunkowo. Wtedy dowolny szereg otrzymany poprzez przestawienie wyrazów z istotnego szeregu bedzie ˛ zbie˙znym bezwarunkowo do tej samej sumy.
Analiza Matematyczna – p. 13
Szeregi przemienne Definicja 23. Szereg
∞ P
uk nazywamy przemiennym, je´sli jego wyrazy sa˛
k=1
naprzemian dodatnie i ujemne. Twierdzenie 24 (Leibniz). Je´sli 1.
0 6 uk+1 6 uk dla k = 1, 2, . . . ,
limk→∞ uk = 0, ∞ P (−1)k uk jest zbie˙znym. to szereg 2.
k=1
Przykład 25.
∞ P
(−1)k k
k=1
Analiza Matematyczna – p. 14
