19. Elektrostatyka I

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 19 19. Elektrostatyka I 19.1 Wstęp Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewodnikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wytworzy się pole równoważące pole zewnętrzne. Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż poniżej powierzchni przewodnika.

S

Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni

∫EdS =

Qwewn.

ε0

Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli

∫EdS =0 Zatem

0 = Qwewn./ε0

Stąd Qwewn. = 0 Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.

19-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

19.2 Kuliste rozkłady ładunków 19.2.1 Jednorodnie naładowana sfera Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą. +Q

r

R

W dowolnym punkcie sfery E  S (prostopadłe do powierzchni) więc

∫ E d S = E (4πr

2

)

Zgodnie z prawem Gaussa: E(4πr2) = Q/ε0 czyli E=

1

Q Q =k 2 2 4πε 0 r r

(19.1)

dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery). Dla r < R, E = 0. 19.2.2 Jednorodnie naładowana kula Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni. Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer. E=k

Qwewn. r2

gdzie Qwewn. = Q(r3/R3) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o promieniu R, rysunek).

Q R r Qwewn

19-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 r3  E (4πr ) = 4πk  Q 3   R  2

Czyli E=k

Q r R3

(19.2)

Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany poniżej. E

2

2

kQ /R

R

r

Przykład 1 Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R = 10-10 m, całkowitym ładunku Q = e = -1.6·10-19 C i masie me = 9.1·10-31 kg. Proton znajdujący się w środku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemieszczony o małą odległość x0 i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotliwość drgań jakie elektron i proton będą wykonywały wokół ich położeń równowagi? chmura elektronowa

R x0

proton

Siła przywracająca proton do położenia równowagi F = eE czyli F = −k

e2 x R3

lub me

d2x e2 x = − k dt 2 R3

19-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną µ =Mpme/(MP + me) ale me << Mp więc µ ≈ me. Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego ke 2 me R 3

ω=

f =

ω = 2.5·1015 Hz 2π

Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierwszym stanie wzbudzonym czyli, że taki model jest uzasadniony. 19.2.3 Liniowe rozkłady ładunków Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długości l >> r. L r +

+

+

Wprowadzamy liniową gęstość ładunku λ (ładunek na jednostkę długości). Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie). Z prawa Gaussa

λL

∫EdS = ε

= 4πk (λ L)

0

E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni więc 2πrLE = 4πkLλ E=

2kλ λ = r 2πε 0 r

(19.3)

Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R. Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Qwewn. = ρπr2L, gdzie ρ - gęstość objętościowa ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy E(2πrL) = 4πk(ρπr2L) 19-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

E = 2kρπr ponieważ

λ = ρπR2

więc E=

2kλ λ r= r 2 R 2πε 0 R 2

(19.4)

19.2.4 Płaskie rozkłady ładunków Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.

E

E

Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Qwewn. = σS, gdzie σ jest gęstością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa 2ES = σS/ε0 gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca. Ostatecznie otrzymujemy E = σ/2ε0

(19.5)

Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator płaski). Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równe Eminus = σ/2ε0 i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej Eplus = σ/ε0 i skierowane jest od płyty.

19-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

I

II -

+ + + + + + + +

III

Zatem w obszarze I EI = σ/2ε0 + (– σ/2ε0) = 0 w obszarze II

EII = –σ/2ε0 + (– σ/2ε0) = –σ/ε0

w obszarze III

EIII = (– σ/2ε0) + σ/2ε0 = 0

19.2.5 Powierzchnia przewodnika Jeżeli przedstawiona na rysunku naładowana powierzchnia stanowi część powierzchni przewodnika to ponieważ cały ładunek gromadzi się na zewnętrznej powierzchni to wewnątrz E = 0. Co więcej E musi być prostopadłe do powierzchni (równoległe do S) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony poruszałyby się. Z prawa Gaussa wynika, że ES = (σS)/ε0 więc

E = σ/ε0

(19.6)

na powierzchni przewodnika. 19.3 Potencjał elektryczny Zgodnie z naszymi rozważaniami różnica energii potencjalnych jest dana przez B

E pB − E pA = − ∫ F d r A

co dla pola elektrycznego daje B

B

A

A

E pB − E pA = − ∫ F d r = − q ∫ E d r

(19.7)

Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej możemy zdefiniować punkt zerowej energii potencjalnej dla ciała znajdującego się w nieskończoności. Wtedy

19-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

r

E p (r ) = −q ∫ E d r ∞

Jeżeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ładunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile elektrycznej, czyli r

r

E p ( r ) = W∞ r

Q  1 = − q ∫ k 2 d r = − qQk −  r  r ∞ ∞ E p (r ) = k

qQ r

(19.8)

jest energią potencjalną ładunków q i Q. Potencjał elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy ładunek V (r ) =

E p (r ) q

=

W∞r q

(19.9)

Dla ładunku punktowego V =k

Q r

(19.10)

Potencjał = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności do r od ładunku punktowego Q. Różnica potencjałów czyli napięcie U pomiędzy dwoma punktami = praca na przeniesienie ładunku jednostkowego między tymi punktami B

V B − V A = U = W AB = − ∫ E d r

(19.11)

A

19-7