2 System Produkcji konspekt

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI System produkcji jest jednym z układów relacyjnych tworzących ekonomię Debreu. Opisuje on działalności producentów w przestrzeni towarów ℝℓ . Celem działania każdego producenta jest wybór i realizacja planu produkcji, który przy danym systemie cen 𝑝 ∈ ℝℓ zmaksymalizuje jego zysk. Jednak przy wyborze takiego planu producent musi wziąć pod uwagę możliwości technologiczne, jakimi dysponuje. Dlatego może się okazać, że przy określonym systemie cen, dla jakiegoś producenta problem maksymalizacji zysku nie będzie miał rozwiązania. 2.1. Podstawowe elementy modelu formalnego  Zbiór producentów 𝐽 = {1, … , 𝑛} - zbiór producentów, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 – w systemie działa 𝑛 producentów  Korespondencja zbiorów produkcji Niech 𝑗 ∈ 𝐽. Wektor 𝑦 𝑗 = (𝑦1 , … , 𝑦ℓ ) ∈ ℝℓ możliwy do realizacji dla producenta 𝑗 nazywamy ………………………. 𝑗 (…………… producenta 𝑗 ); ℓ-wymiarowym wektorem typu „wejście – wyjście” w przestrzeni ℓ towarów: wejścia – …………………………………………………………... (wsp. ……………………) wyjścia – …………………………………………………………... (wsp. ……………………) symbolika:

𝑗 𝑛𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑛𝑟 𝑡𝑜𝑤𝑎𝑟𝑢

𝑦𝑘

Zbiór 𝑌𝑗 ⊂ ℝℓ jest zbiorem tych planów produkcyjnych, które są możliwe do przeprowadzenia (realizacji) przez producenta 𝑗 z uwagi na ………………………………………………………….. i stanowi podstawową charakterystykę producenta. Definicja 2.1 Przyporządkowanie 𝛿 ∶ 𝐽 → 𝑃(ℝℓ ), 𝛿(𝑗) ≝ 𝑌𝑗 ⊂ ℝℓ , które każdemu producentowi 𝑗 przypisuje zbiór planów produkcji ……………………………… 𝑌𝑗 nazywamy korespondencją …………………………..

𝑗 1 𝑛 𝑗 𝑗 Wektor postaci: 𝑦 = ∑𝑛 𝑗=1 𝑦 = 𝑦 + ⋯ + 𝑦 , gdzie 𝑦 ∈ 𝑌 dla każdego 𝑗 ∈ 𝐽, nazywamy

wektorem (planem) ………………………… (podażą ………………..) i jest on wynikiem netto działania wszystkich producentów. Zbiór wszystkich wektorów produkcji całkowitej tworzy zbiór ……………………………….. 𝑌 ⊂ ℝℓ :

𝑌 = 𝑌1 + ⋯ + 𝑌 𝑛 = {𝑦 ∈ ℝℓ : 𝑦 = 𝑦1 + ⋯ + 𝑦 𝑛 , 𝑦 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 dla 𝑗 ∈ 𝐽 } ⊂ ℝℓ . Opisuje on ……………………………………………………………………………………………...

 Beata Ciałowicz

~4~

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI  Korespondencja podaży 𝑝 ∈ ℝℓ jest wektorem cen,

𝑝 ∘ 𝑦 𝑗 = (𝑝1 , … , 𝑝ℓ ) ∘ (𝑦1 , … , 𝑦ℓ ) = 𝑝1 ∙ 𝑦1 + ⋯ + 𝑝ℓ ∙ 𝑦ℓ jest ……………… uzyskanym przez producenta 𝑗, z realizacji planu 𝑦 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 przy wektorze cen 𝑝 Definicja 2.2 ℓ

Przyporządkowanie 𝜂: 𝐽 → 𝑃 (ℝ ) , 𝜂(𝑗) ≝ 𝜂 𝑗 (𝑝) ⊂ 𝑌𝑗 , które każdemu producentowi 𝑗 przypisuje zbiór planów produkcji …………………………………………. producenta 𝑗 przy wektorze cen 𝑝 nazywamy korespondencją ……………………………………………...

𝜂 𝑗 (𝑝) ≝ {𝑦 𝑗∗ ∈ 𝑌𝑗 : 𝑝 ∘ 𝑦 𝑗∗ = max {𝑝 ∘ 𝑦 𝑗 } } 𝑗 𝑗

Dla każdego 𝑗 ∈ 𝐽:

𝑦 ∈𝑌

𝑦 𝑗∗ nazywamy produkcją ………………………………………………… 𝜂(𝑝) = ∑𝑛𝑗=1 𝜂 𝑗 (𝑝) (suma algebraiczna zbiorów) - zbiór planów produkcji całkowitej technologicznie możliwych maksymalizujących zysk całego systemu  Funkcja zysku Definicja 2.3 Odwzorowanie 𝜋: 𝐽 → ℝ, 𝜋: 𝑗 → 𝜋(𝑗) ≝ 𝜋 𝑗 (𝑝), która każdemu producentowi 𝑗 przypisuje ………… ……………………………………. przy wektorze cen 𝑝 nazywamy funkcją zysku. Dla każdego 𝑗 ∈ 𝐽:

𝜋 𝑗 (𝑝) ≝ 𝑝 ∘ 𝑦 𝑗∗ = 𝑗max {𝑝 ∘ 𝑦 𝑗 } dla 𝑦 𝑗∗ ∈ 𝜂 𝑗 (𝑝). 𝑗

𝜋(𝑝) = ∑𝑛𝑗=1 𝜋 𝑗 (𝑝) (suma liczb)

𝑦 ∈𝑌

funkcja zysku całkowitego

Definicja 2.4 Systemem produkcji nazywamy system relacyjny P = (𝐽, ℝℓ , 𝛿, 𝑝, 𝜂, 𝜋) gdzie:  𝐽 jest zbiorem producentów,  ℝℓ jest ℓ – wymiarową przestrzenią towarów i cen,  𝛿 jest korespondencją zbiorów produkcji,  𝑝 ∈ ℝℓ jest ustalonym systemem (wektorem) cen,  𝜂 jest korespondencją podaży,  𝜋 jest funkcją zysku maksymalnego. Działanie systemu produkcji można opisać w następujący sposób: 1. Dany jest ………………………………………………………... 2. W przestrzeni towarów ℝℓ działa skończona liczba 𝑛 ∈ ℕ producentów. 3. Każdy producent 𝑗 ∈ 𝐽 scharakteryzowany jest przez zbiór 𝑌𝑗 ⊂ ℝℓ ……………………………… ………………………………………………………... 4. Każdy producent dąży do wyboru i realizacji takiego planu produkcji 𝑦 𝑗∗ ∈ 𝜂 𝑗 (𝑝), który zapewni mu ………………………………………….. przy danym systemie cen 𝑝 ∈ ℝℓ .  Beata Ciałowicz

~5~

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI 2.2 Korespondencja podaży i funkcja zysku maksymalnego Uwaga:  ceny traktujemy jako dane  każdy producent dąży do wyboru i realizacji planów produkcji technologicznie możliwych, które przy danym systemie cen zapewnią mu maksymalny zysk. Zauważmy, że jeśli 𝑝 = (0, … ,0) ∈ ℝℓ , to dla każdego jnego 𝑦 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 zysk wynosi:……………………... Oznacza to, że 𝜂 𝑗 (𝟎) = ⋯ … … … … … … … … .. oraz 𝜋 𝑗 (𝟎) = ⋯ … … … … … ... Załóżmy, że przynajmniej jeden towar w przestrzeni ℝℓ ma niezerową cenę, tj. 𝑝 ≠ (0, … ,0) ∈ ℝℓ . 𝑦̂ 𝑗∗

𝑝̂

𝐻

𝑦 𝑗∗ ̂ 𝐻 𝑌𝑗

𝑝

Wówczas wektor 𝑦 𝑗∗ …………………………. producenta 𝑗 w zbiorze 𝑌𝑗 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑌𝑗 zawarty jest w domkniętej półprzestrzeni ograniczonej hiperpłaszczyzną H, która jest ……………………… do wektora cen 𝑝 ∈ ℝℓ oraz ……………………………………….przez 𝑦 𝑗∗ . Wówczas 𝜂 𝑗 (𝑝) = ⋯ … …. Interpretacja geometryczna: Dla niezerowego systemu cen 𝑝 ∈ ℝℓ , plany 𝑦 𝑗∗ maksymalizujące zysk w zbiorze 𝑦 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 są punktami brzegowymi tego zbioru, tzn. leżą na krzywych ograniczających ten zbiór. Uwaga 2.5 Przy danym wektorze cen 𝑝 ∈ ℝℓ problem maksymalizacji zysku w zbiorze 𝑌𝑗 dla pewnego producenta 𝑗 ∈ 𝐽 ………………………………………………… Stąd

dla

każdego

𝑗∈𝐽

definiuje

się

zbiór

𝑇𝑗 ⊂ ℝℓ

tych

systemów

cen,

……………………………….. w zbiorze 𝑌𝑗 :

𝑇𝑗 = {𝑝 = (𝑝1 , … , 𝑝ℓ ) ∈ ℝℓ : istnieje max{𝑝 ∘ 𝑦 𝑗 } dla 𝑦 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 }. Ponadto 𝑇 = 𝑇 1 ∩ 𝑇 2 ∩ … ∩ 𝑇 𝑛 .

 Beata Ciałowicz

~6~

dla

których

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI Przykład 2.3. Dla producenta 𝑗 ∈ 𝐽 wyznaczyć zbiór wektorów cen, dla których istnieje maksymalny zysk a także wyznaczyć wszystkie plany produkcji w równowadze przy danych wektorach cen oraz obliczyć odpowiadającą im wartość zysku maksymalnego: 1. 𝑌1 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 𝑦1 ∈ ℝ , 𝑦2 ≤ 2} 𝑝 = (1,0), 𝑝̂ = (1,2), 𝑝̃ = (0,2)

2. 𝑌 2 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 𝑦1 ≤ 1 , 𝑦2 ≤ 3}

𝑝 = (1,0), 𝑝̂ = (−1,1), 𝑝̃ = (1,2)

3. 𝑌 3 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 𝑦2 ≤ −2𝑦1 + 5}

𝑝 = (1,0), 𝑝̂ = (1,2), 𝑝̃ = (0,2)

 Beata Ciałowicz

~7~

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI 4 2 4. 𝑌 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ : 𝑦2 ≤ 𝑦1 + 4, 𝑦1 ≤ 2} 𝑝 = (1,2), 𝑝̂ = (2, −1)

Własności korespondencji podaży i funkcji zysku maksymalnego Uwaga 2.6 Jeżeli 𝑝 ∈ 𝑇𝑗 , to dla każdej liczby rzeczywistej 𝑡 > 0, wektor (𝑡 ∙ 𝑝) = 𝑡 ∙ (𝑝1 , . . , 𝑝ℓ ) = (𝑡 ∙ 𝑝1 , . . , 𝑡 ∙ 𝑝ℓ ) ∈ 𝑇𝑗 oraz spełnione są równości:  𝜂 𝑗 (𝑡 ∙ 𝑝) = 𝜂 𝑗 (𝑝)  𝜋 𝑗 (𝑡 ∙ 𝑝) = 𝑡 ∙ 𝜋 𝑗 (𝑝)

2.3 Własności zbiorów produkcji UWAGA: Niektóre własności zdefiniowano dla zbiorów 𝑌𝑗 (𝑗 ∈ 𝐽) inne dla zbioru produkcji całkowitej. Należy jednak podkreślić, że wszystkie własności mogą być rozpatrywane w obu przypadkach.  Domkniętość potocznie: zawiera swoje brzegi, Definicja 2.7 𝑗

𝑗

Zbiór 𝑌𝑗 jest ………………………. ⟺ ∀(𝑦 𝑗 )𝑛 ∈ 𝑌𝑗 (𝑦 𝑗 )𝑛 → 𝑦0 ⇒ 𝑦0 ∈ 𝑌𝑗 𝑗

Interpretacja: Jeżeli dla ustalonego planu produkcji 𝑦0 wszystkie dowolnie mu bliskie plany produkcyjne są

…………………………………………..

(𝑦 𝑗 )𝑛 ∈ 𝑌𝑗 ,

(tj.

𝑛 = 1, 2, …),

to

i

on

sam

jest

𝑗

…………………………………………….. (czyli 𝑦0 ∈ 𝑌𝑗 ).  Możliwość braku produkcji Definicja 2.8 Producent 𝑗 ∈ 𝐽 ma możliwość ……………………………………. wtedy i tylko wtedy, gdy … … … … …. Interpretacja: Technologicznie możliwy do przeprowadzenia jest plan produkcji, w którym wszystkie wejścia i wszystkie wyjścia są ………………………..  Beata Ciałowicz

~8~

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI  Niemożliwość wolnej produkcji Definicja 2.9 W zbiorze produkcji całkowitej zachodzi (zbiór produkcji całkowitej 𝑌 ⊂ ℝℓ spełnia własność) ………………………………………………… wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑌 ∩ ℝℓ+ ⊂ {𝟎}. 𝑌 ∩ ℝℓ+ ⊂ {𝟎} ⟺ ( 𝑌 ∩ ℝℓ+ = {𝟎} 𝑙𝑢𝑏 𝑌 ∩ ℝℓ+ = ∅) Interpretacja: Jeżeli w możliwym do przeprowadzenia planie produkcji całkowitej wszystkie wejścia są równe ………………………., to wszystkie wyjścia …………………………………….  Nieodwracalność produkcji (całkowitej) Definicja 2.10 W zbiorze produkcji całkowitej 𝑌 ⊂ ℝℓ zachodzi własność ……………………………………. wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑌 ∩ (−𝑌) ⊂ {𝟎}. 𝑌 ∩ (−𝑌) ⊂ {𝟎} ⟺ ( 𝑌 ∩ (−𝑌) = {𝟎} 𝑙𝑢𝑏 𝑌 ∩ (−𝑌) = ∅) Interpretacja: Jeżeli możliwy jest technologicznie plan produkcji całkowitej, w którym nie wszystkie wejścia i wyjścia są ……………………., to plan …………………… nie jest możliwy do przeprowadzenia, tzn. jeżeli 𝟎 ≠ 𝑦 ∈ 𝑌 ⇒ (−𝑦) ∉ 𝑌.  Addytywność Definicja 2.11 Zbiór 𝑌𝑗 spełnia własność ………………………………………wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑌𝑗 + 𝑌𝑗 ⊂ 𝑌𝑗

⇔

(∀ 𝑦̂ 𝑗 , 𝑦̃ 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 (𝑦̂ 𝑗 + 𝑦̃ 𝑗 ) ∈ 𝑌𝑗 ).

Interpretacja: Każde dwa technologicznie możliwe plany produkcyjne ……………………………………..  Wypukłość Definicja 2.12 Zbiór 𝑌𝑗 jest ……………. wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ 𝑦̂ 𝑗 , 𝑦̃ 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 𝑡 ∙ 𝑦̂ 𝑗 + (1 − 𝑡) ∙ 𝑦̃ 𝑗 ∈ 𝑌𝑗 dla 𝑡 ∈ (0,1). Interpretacja: Dla każdych dwóch technologicznie możliwych planów produkcji, ich plan ……………… (przeciętny) jest ………………………………………….  Swobodne dysponowanie towarem Definicja 2.13 Zbiór produkcji całkowitej stwarza możliwość …………………………… wtedy i tylko wtedy, gdy −ℝℓ+ ⊂ 𝑌. Interpretacja: Wejścia technologicznie możliwego planu produkcji całkowitej nie są niczym ograniczone.  Beata Ciałowicz

~9~

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI Przykład 2.2. Wyznaczyć zbiór produkcji całkowitej oraz zbadać własności zbiorów 𝑌𝑗 oraz 𝑌, jeżeli: a) 𝑌1 = (−∞, 3] × (−5,2] oraz 𝑌 2 = [−1,4] × (−∞, 5], 𝒀𝟏 domkniętość 𝟎 ∈ 𝑌𝑗 𝑌 ∩ ℝℓ+ ⊂ {𝟎} 𝑌 ∩ (−𝑌) ⊂ {𝟎} 𝑌𝑗 + 𝑌𝑗 ⊂ 𝑌𝑗 wypukłość −ℝℓ+ ⊂ 𝑌

 Beata Ciałowicz

~ 10 ~

𝒀𝟐

𝒀

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI 1 2 b) 𝑌 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ : 2𝑦1 ≤ 𝑦2 ≤ −𝑦1 }, 𝑌 2 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 𝑦1 ≤ 0, 𝑦2 ≤ 3𝑦1 } 𝒀𝟏 domkniętość 𝟎 ∈ 𝑌𝑗 𝑌 ∩ ℝℓ+ ⊂ {𝟎} 𝑌 ∩ (−𝑌) ⊂ {𝟎} 𝑌𝑗 + 𝑌𝑗 ⊂ 𝑌𝑗 wypukłość −ℝℓ+ ⊂ 𝑌

 Beata Ciałowicz

~ 11 ~

𝒀𝟐

𝒀

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI 2.4 Własności zbiorów produkcji z punktu widzenia maksymalizacji zysku Twierdzenie 2.14

Jeżeli 𝟎 ∈ 𝑌𝑗 , to

𝜋 𝑗 (𝑝) ≥ 0 dla 𝑝 ∈ 𝑇𝑗 .

Jeżeli producent 𝑗 (𝑗 ∈ 𝐽) ma możliwość zaniechania produkcji, to jego maksymalny zysk jest ……………………… dla 𝑝 ∈ 𝑇𝑗 . Dowód:

Twierdzenie 2.15

Jeżeli 𝑌𝑗 + 𝑌𝑗 ⊂ 𝑌𝑗 , to 𝜋 𝑗 (𝑝) ≤ 0 dla 𝑝 ∈ 𝑇𝑗 .

Jeżeli zbiór dostępnych technologii producenta 𝑗 spełnia własność addytywności, to maksymalny zysk tego producenta jest ……………………………… Dowód (nie wprost):

Wniosek

Twierdzenie 2.16

Jeżeli 𝟎 ∈ 𝑌𝑗 i 𝑌𝑗 + 𝑌𝑗 ⊂ 𝑌𝑗 , to 𝜋 𝑗 (𝑝) = 0 dla 𝑝 ∈ 𝑇𝑗 . Jeżeli (−ℝℓ+ ) ⊂ 𝑌, to 𝑇 ⊂ ℝℓ+ .

Jeżeli zbiór produkcji całkowitej spełnia własność swobodnego dostępu do dóbr, to 𝑝 ∈ 𝑇 wtedy i tylko wtedy, gdy ceny wszystkich towarów są nieujemne, tzn. 𝑝ℎ ≥ 0 dla ℎ ∈ {1, … , ℓ}. Dowód :

 Beata Ciałowicz

~ 12 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład - studia niestacjonarne Część 2 SYSTEM PRODUKCJI

DODATEK MATEMATYCZNY – Suma i różnica algebraiczna zbiorów Sumą algebraiczną (liniową) zbiorów 𝑋, 𝑌 ⊂ ℝ𝑛 nazywamy zbiór: 𝑋 + 𝑌 ≝ {𝑥 + 𝑦 ∈ ℝ𝑛 : 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌}. Dla 𝑋, 𝑌 ⊂ ℝ2 : 𝑋 + 𝑌 ≝ {𝑥 + 𝑦 = (𝑥1 , 𝑥2 ) + (𝑦1 , 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌} Różnicą algebraiczną zbiorów 𝑋, 𝑌 ⊂ ℝ𝑛 nazywamy zbiór: 𝑋 − 𝑌 ≝ 𝑋 + (−𝑌) ⊂ ℝ𝑛 . gdzie −𝑌 ≝ {𝑦 ∈ ℝ𝑛 : −𝑦 ∈ 𝑌} jest zbiorem wektorów przeciwnych do wektorów ze zbioru 𝑌.

Przykład 2.3 : a) 𝑋 =

ℝ2+ ,

Wyznaczyć 𝑋 + 𝑌 oraz 𝑋 − 𝑌, jeśli: 𝑌 = {(1, 2)}

b) 𝑋 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 : −1 ≤ 𝑥1 ≤ 3 ∧ 2 ≤ 𝑥2 ≤ 4}, 𝑌 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 0 ≤ 𝑦1 ≤ 2 ∧ −3 ≤ 𝑦2 ≤ 1}, c) 𝑋 = [−3,5) × [−1,2]

𝑌 = [−1,3] × (−∞, 4],

d) 𝑋 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 : 𝑥1 ≤ 2 ∧ 𝑥2 < 4}, 𝑌 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 𝑦1 ≥ −1 ∧ 𝑦2 ≥ 5}, 1

1

e) 𝑋 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 : 2𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥1 }, 𝑌 = {(𝑦1 , 𝑦2 ) ∈ ℝ2 : 2 𝑦1 ≤ 𝑦2 ≤ − 2 𝑦1 }

 Beata Ciałowicz

~ 13 ~