2B - VaR

Ćwiczenia 4
VaR - pozycje proste
1. Instytucja finansowa gromadzi dane i regularnie szacuje parametry wewnętrznego modelu pomiaru ryzyka
rynkowego dla zerokuponowych stóp procentowych spot o terminach zapadalności między innymi 1 rok i 2
lata. Stopy o tych terminach zapadalności będą dalej nazywane wierzchołkami krzywej dochodowości,
a odpowiadające im hipotetyczne obligacje zerokuponowe oraz pozycje w gotówce – pozycjami
elementarnymi systemu pomiaru ryzyka. W dniu dzisiejszym kwotowania rocznej i dwuletniej stopy spot na
rynku międzybankowym wynoszą odpowiednio 4,72% i 4,86%. Wymień składniki portfela odwzorowującego
długą pozycję w zerokuponowej obligacji skarbowej o wartości nominalnej 100, do której wykupu pozostał rok
i 3 miesiące, podaj ich wartości i wartości obecne na dzień dzisiejszy oraz udziały w tym portfelu. Przyjmij
model kapitalizacji rocznej.
Zakłada się, że zarządzający ryzykiem wykorzystuje wyłącznie dane dostępne w systemie. Przyjmijmy, że stopy
procentowe są interpolowane liniowo, proporcjonalnie do czasu. Przepływ pieniężny nie występujący w
systemie jest odwzorowywany za pomocą sąsiednich pozycji elementarnych oraz, ewentualnie, pozycji w
gotówce, według następujących zasad: (1) należy zachować wartość obecną przepływu odwzorowywanego, (2)
należy zachować wrażliwość (mierzoną pierwszą pochodną) wartości obecnej przepływu odwzorowywanego
na zmiany stóp procentowych sąsiednich wierzchołków krzywej dochodowości.
Dane: Szukane:
FV = 100
rL = 4,72%
rP = 4,86%
L = 1,09%
P = 3,44%
TL = 1 rok
TP = 2 lata
T = 1,25 roku
(wyjaśnić, że L oznacza lewy i P prawy sąsiedni)
C0, WL, WP;
PV(C0), PV(WL), PV(WP);
wC, wL, wP
Rozwiązanie:
Interpolowana stopa procentowa:
  PL rrr   1 , (1)
gdzie:    LPP TTTT  (2)
    75,01225,12  , (3)
%755,404755,00486,025,00472,075,0 r . (4)
Zgodnie z metodologią przyjętą w standardzie RiskMetrics, obliczenia są przeprowadzane dla jednostkowych
przepływów pieniężnych, a wynik zostaje później przemnożony przez odpowiednią kwotę.
Odwzorowujemy przepływ pieniężny 1 zł za 1,25 roku na:
 przepływ pieniężny w (szukanej) wysokości WL za rok,
 przepływ pieniężny w (szukanej) wysokości WP za 2 lata,
 pozycję w gotówce w (szukanej) wysokości C0.
Oznaczmy symbolem CFW strumień elementarnych przepływów pieniężnych C0, WL i WP, a symbolem CFT -
jednostkowy przepływ pieniężny za okres T.
I Warunek zachowania wartości obecnej (kapitalizacja roczna):
(I)    WT CFPVCFPV  (5)
      PL T
P
P
T
L
L
T
r
W
r
W
C
r 



 111
1
0
      PL T
PP
T
LL
T
PL rWrWCrr

 1125,075,01 0
II Warunek zachowania wrażliwości:
II.1. Równość pochodnych cząstkowych wartości obecnej po zerokuponowej stopie rL:
(II.1.)
   
L
W
L
T
r
CFPV
r
CFPV




 (6)
      
L
T
PP
T
LL
L
T
PL
r
rWrWC
r
rr PL






1125,075,01 0
    1175,025,075,01
11

 LT
LLL
T
PL rTWrrT
   
   11
125,075,0175,0

 LT
LLL
T
PL rTWrrT
   
   11
125,075,0175,0

 LT
LLL
T
PL rTWrrT
2
II.2. Równość pochodnych cząstkowych wartości obecnej po zerokuponowej stopie rP:
(II.2.)
   
P
W
P
T
r
CFPV
r
CFPV




 (7)
      
P
T
PP
T
LL
P
T
PL
r
rWrWC
r
rr PL






1125,075,01 0
   
   11
125,075,0125,0

 PT
PPP
T
PL rTWrrT
   
   11
125,075,0125,0

 PT
PPP
T
PL rTWrrT
Zatem należy rozwiązać układ 3 równań:
     
   
   
   
   










11
11
0
125,075,0125,0
125,075,0175,0
1125,075,01
P
L
PL
T
PPP
T
PL
T
LLL
T
PL
T
PP
T
LL
T
PL
rTWrrT
rTWrrT
rWrWCrr (8)
z trzema niewiadomymi: C0, WL i WP.
Czyli, zamieniając dla przejrzystości wyrażenie (0,75rL+0,25rP) spowrotem na r:
     
   
   
   
   










11
11
0
1125,0
1175,0
111
P
L
PL
T
PPP
T
T
LLL
T
T
PP
T
LL
T
rTWrT
rTWrT
rWrWCr (9)
otrzymujemy:
   
 
 
 
   
  
   
  


























11
11
0
1125,0
1175,0
1
1
25,0
1
1
75,011
P
L
T
P
T
P
P
T
L
T
L
L
P
P
L
L
T
rr
T
T
W
rr
T
T
W
r
r
T
T
r
r
T
T
rC
(10)
Wartości obecne:
     
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 P
T
P
T
P
P
P
L
T
L
T
L
L
L
P
P
L
L
T
rr
T
T
r
W
WPV
rr
T
T
r
W
WPV
r
r
T
T
r
r
T
T
rCCPV
P
L





















1125,0
1
1175,0
1
1
1
25,0
1
1
75,011
1
1
00
(11)
Udziały:
 
 
 
     
 
 
 
     
LCP
PL
L
W
L
L
PLW
C
www
WPVWPVCPV
WPV
CFPV
WPV
w
WPVWPVCPV
CPV
CFPV
CPV
w





1
0
0
00
(12)
Obliczenia dla danych zadania:
Wartości elementarnych przepływów pieniężnych odwzorowujących jednostkowy przepływ CFT, T=1,25 roku, w
momencie ich realizacji:
3
 
 
 
 
 
 
 
 
08836,0
04755,1
0486,1
1563,0
04755,1
0472,1
9375,019436,0
04755,1
0486,1
2
25,1
25,0
04755,1
0472,1
1
25,1
75,0104755,1 25,1
0













 
C
( 08831,0 , gdy liczone bez zaokrągleń wyników pośrednich)
    9261,00472,104755,1
1
25,1
75,0
225,2


LW
    1623,00486,104755,1
2
25,1
25,0
325,2


PW
Wartości obecne przepływów elementarnych:
  08836,000  CCPV
 
   
8844,0
0472,1
9261,0
1
1


 LT
L
L
L
r
W
WPV
 
   
1476,0
0486,1
1623,0
1
2


 PT
P
P
P
r
W
WPV
Sprawdzenie wartości obecnej:
 wartość obecna jednostkowego przepływu CFT:
    9436,004755,11
25,1
TCFPV
 wartość obecna portfela odwzorowującego:
    9436,01476,08844,008836,0)( 0  PLW WPVWPVCCFPV
Udziały:
 
 
09364,0
9436,0
08836,00



W
C
CFPV
CPV
w
 
 
9373,0
9436,0
8844,0

W
L
L
CFPV
WPV
w
  15634,09373,009364,01 Pw
Wartości przepływów pieniężnych odwzorowujących przepływ pieniężny o wartości FV = 100:
  836,808836,010000  CFVK
61,929261,0100  LL WFVK
23,161623,0100  PP WFVK
Wartości obecne:
  836,800  KKPV
    44,888844,0100  LL WPVFVKPV
    76,141476,0100  PP WPVFVKPV
Składniki portfela odwzorowującego:
 zaciągnięta pożyczka gotówkowa o wartości obecnej 8,836 (udział: wC = 0,09364), z terminem spłaty za
1,25 roku (najlepiej dokładnie 1,25 roku, ale istotna jest wartość obecna)1
,
 kapitał wysokości 88,44 zainwestowany w obligacje zerokuponowe o terminie zapadalności 1 roku (udział:
wL = 0,9373),
 kapitał wysokości 14,76 zainwestowany w obligacje zerokuponowe o terminie zapadalności 2 lat (udział:
wP = 0,15634).
Udziały oczywiście nie zmieniają się przy zmianie wartości interpolowanego przepływu pieniężnego.
2. Wykorzystując dane z zadania 1 i wiedząc ponadto, że wyrażone w skali rocznej odchylenie standardowe
dziennych stóp zwrotu z rocznego i dwuletniego czynnika dyskontowego oszacowano odpowiednio na 1,09% i
4
3,44%, a ich współczynnik korelacji na 0,4, oraz że założono łączny rozkład normalny stóp zwrotu, podaj
pięcioprocentową dzienną wartość zagrożoną pozycji opisanej w zadaniu 1. Jest to zerokuponowa obligacja
skarbowa o wartości nominalnej 100 i okresie do terminu wykupu rok i 3 miesiące. Oblicz tzw. bezwzględną
wartość zagrożoną, pomijającą średnią (tzn. DEAR – daily earnings at risk). Na potrzeby skalowania wartości
zagrożonej do zadanego horyzontu czasowego przyjmij, że w roku są 252 dni sesyjne. Dla uproszczenia załóż,
że przy rozpatrywanym okresie do wykupu upływ jednego dnia nie skraca istotnie tego okresu (tzn. dzisiaj do
wyceny obligacji o terminie wykupu za rok i trzy miesiące wykorzystywana jest dzisiejsza stopa spot o
horyzoncie rok i trzy miesiące, ale do wyceny tej obligacji jutro będzie można wykorzystać jutrzejszą stopę spot
o horyzoncie rok i trzy miesiące, a nie rok i trzy miesiące bez jednego dnia).
Dane: Szukane:
FV = 100
rL = 4,72%
rP = 4,86%
L = 1,09%
P = 3,44%
 = 0,4
TL = 1 rok
TP = 2 lata
T = 1,25 roku
q = 5%
tVaR = 1 dzień = 1/252 roku  0,003968 roku
wC, wL, wP,
VaR
Rozwiązanie:
Z rozwiązania zadania 1 otrzymaliśmy następujące udziały pozycji elementarnych w portfelu odwzorowującym
analizowaną obligację:
 
 
09364,0
9436,0
08836,00



W
C
CFPV
CPV
w
 
 
9373,0
9436,0
8844,0

W
L
L
CFPV
WPV
w
  15634,09373,009364,01 Pw
gdzie: wC – udział technicznej pozycji spot w gotówce (właściwie – pożyczki zaciągniętej, bo wC