3. parametryczne-testy-istotnosci

Parametryczne Testy Istotności Wzory Parametryczne testy istotności – schemat postępowania punkt po punkcie 1. Formułujemy hipotezę główną H 0 odnośnie jakiegoś parametru w populacji generalnej. Hipoteza H 0 ma najczęściej postać parametr  liczba . Formułujemy hipotezę alternatywną H1 . Może ona mieć postać parametr  liczba , parametr  liczba , parametr  liczba .

2. Obliczamy odpowiednią statystykę. 3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 1

I.

Testy istotności dla jednej średniej w populacji generalnej z rozkładem normalnym

I.a Znamy odchylenie standardowe w populacji generalnej  . 1. Formułujemy hipotezy: H 0 : m  m0

H1 : m  m0 lub H1 : m  m0 lub H1 : m  m0 gdzie m to średnia w populacji generalnej, a mo to wybrany przez nas parametr 2. Obliczamy statystykę: Z 

X  m0



 n

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

I.b Nie znamy odchylenia standardowego w populacji generalnej  , liczebność próbki n jest duża. 1. Formułujemy hipotezy: H 0 : m  m0

H1 : m  m0 lub H1 : m  m0 lub H1 : m  m0 gdzie m to średnia w populacji generalnej, a mo to wybrany przez nas parametr 2. Obliczamy statystykę: Z 

X  m0  n S

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 . www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 2

I.c Nie znamy odchylenia standardowego w populacji generalnej  , liczebność próbki n jest mała. 1. Formułujemy hipotezy: H 0 : m  m0

H1 : m  m0 lub H1 : m  m0 lub H1 : m  m0 gdzie m to średnia w populacji generalnej, a mo to wybrany przez nas parametr 2. Obliczamy statystykę: t 

X  m0 n 1 S

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu t Studenta (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) dla n  1 stopni swobody. Pamiętamy o podwojeniu poziomu istotności w obszarach jednostronnych. 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 3

II.

Porównywanie średnich z dwóch populacji o rozkładzie normalnym.

II.a Znamy odchylenia standardowe w populacjach generalnych  1 i  2 . 1. Formułujemy hipotezy:

H 0 : m1  m2 H1 : m1  m2 lub H1 : m1  m2 lub H1 : m1  m2 gdzie m1 , m2 to średnie w obu populacjach 2. Obliczamy statystykę: Z 

X1  X 2

 12 n1



 22 n2

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 . II.b Nie znamy odchyleń standardowych w populacjach generalnych  1 i  2 , a liczebności prób n1 i n2 są duże. 1. Formułujemy hipotezy:

H 0 : m1  m2 H1 : m1  m2 lub H1 : m1  m2 lub H1 : m1  m2 gdzie m1 , m2 to średnie w obu populacjach 2. Obliczamy statystykę: Z 

X1  X 2 S12 S22  n1 n2

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 . www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 4

II.c Nie znamy odchyleń standardowych w populacjach generalnych  1 i  2 , a liczebności prób n1 i n2 są małe. 1. Formułujemy hipotezy:

H 0 : m1  m2 H1 : m1  m2 lub H1 : m1  m2 lub H1 : m1  m2 gdzie m1 , m2 to średnie w obu populacjach 2. Obliczamy statystykę: t 

X1  X 2 n1S12  n2 S22  1 1     n1  n2  2  n1 n2 

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu t Studenta (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) dla n1  n2  2 stopni swobody. Pamiętamy o podwojeniu poziomu istotności w obszarach jednostronnych. 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 5

III.

Testy istotności dla jednej wariancji w populacji generalnej z rozkładem normalnym

III.a Liczebność próbki n jest duża 1. Formułujemy hipotezy: H 0 :  2   02 lub H 0 :    0 H1 :  2   02 lub H1 :    0

gdzie  2 to wariancja w populacji generalnej, a  02 to wybrany przez nas parametr. 2.Obliczamy statystykę: Z  2 2  2n  3 , gdzie  2 

nS 2

 02

.

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (prawostronny). 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 . III.b Liczebność próbki n jest mała 1. Formułujemy hipotezy: H 0 :  2   02 lub H 0 :    0 H1 :  2   02 lub H1 :    0

gdzie  2 to wariancja w populacji generalnej, a  02 to wybrany przez nas parametr. 2.Obliczamy statystykę:   2

nS 2

 02

.

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu chi-kwadrat (prawostronny) przy n  1 stopniach swobody. 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 6

IV.

Porównywanie wariancji z dwóch populacji o rozkładzie normalnym.

1. Formułujemy hipotezy: H 0 : 12   22 lub H 0 : 1   2

H1 : 12   22 lub H1 : 1   2

gdzie  12 i  22 to wariancje w populacjach, tak ponumerowanych, że Sˆ1  Sˆ2 . 2.Obliczamy statystykę: F 

Sˆ12 , dla Sˆ1  Sˆ2 . Sˆ22

3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu F Snedecora (prawostronny) przy n1  1 i n2  1 stopniach swobody. 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 7

V.

Testy istotności dla jednego prawdopodobieństwa (odsetka, frakcji) w populacji generalnej

1. Formułujemy hipotezy: H 0 : p  p0 H1 : p  p0 lub H1 : p  p0 lub H1 : p  p0

gdzie p to odsetek w populacji generalnej, a po to wybrany przez nas parametr.

2. Obliczamy statystykę: Z 

m  p0 n p0 1  p0  n

gdzie m to liczba jednostek w próbie, mających badaną cechę, a

m to odsetek jednostek n

w próbie, mających tą cechę. 3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 8

VI.

Porównywanie dwóch prawdopodobieństw (odsetków, frakcji) w dwóch populacjach generalnych

1. Formułujemy hipotezy: H 0 : p1  p2 H1 : p1  p2 lub H1 : p1  p2 lub H1 : p1  p2

gdzie p1 , p2 to odsetki w populacjach generalnej.

2. Obliczamy statystykę: Z 

m1 m2  n1 n2 m1  m2  m1  m2  1   n1  n2  n1  n2  n1  n2 n1  n2

gdzie m1 , m2 to liczba jednostek w próbie, mających badaną cechę, a

m1 m2 , to n1 n2

odpowiednio odsetki w próbach. 3. Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny dla rozkładu normalnego (obu lub jednostronny w zależności od H1 ) 4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1 . Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 .

www.etrapez.pl Krystian Karczyński

Strona 9