3 System konsumpcji - konspekt

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji Celem każdego konsumenta jest wybór i realizacja takiego planu działania, który maksymalizuje jego użyteczność na zbiorze ograniczeń budżetowych, przy danym systemie cen.



3.1. Podstawowe elementy modelu formalnego Zbiór konsumentów

𝐼 = {1, … , 𝑚} zbiór konsumentów, gdzie 𝑚 ∈ ℕ; Zapis „𝑖 ∈ 𝐼” czytamy „konsument 𝑖 należy do zbioru 𝐼”



Korespondencja zbiorów konsumpcji

Wektor 𝑥 𝑖 ∈ ℝℓ , możliwy do realizacji dla konsumenta konsument 𝑖

nazywamy …………….(lub

…………………) ………………. albo ……………………………………….. konsumenta 𝑖. Zbiór 𝑋 𝑖 ⊂ ℝℓ wszystkich koszyków towarów ……………………………………. ze względu na …………………………………….

nazywamy zbiorem konsumpcji konsumenta 𝑖.

Definicja 3.1. Przyporządkowanie

𝜒: 𝐼 ∋ 𝑖 → 𝜒(𝑖) ≝ 𝑋 𝑖 ⊂ ℝℓ , które każdemu konsumentowi 𝑖 przypisuje zbiór

planów konsumpcji 𝑋 𝑖 nazywamy korespondencją ……………………………………………...

Wektor postaci:

𝑥 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑚 , gdzie 𝑥 𝑖 ∈ 𝑋 𝑖 dla każdego 𝑖 ∈ 𝐼, nazywamy ……………..

…………………………………. Zbiór wszystkich wektorów konsumpcji całkowitej tworzy zbiór konsumpcji całkowitej 𝑋 ⊂ ℝℓ . Zauważmy, że 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑚 .  Relacja preferencji w przestrzeni ℝℓ Jeżeli 𝑥, 𝑥̃ ∈ ℝℓ , zapis 𝑥 ≼ 𝑥̃ czytamy: ̃,  wektor 𝒙 jest preferowany co najwyżej tak jak wektor 𝒙 ̃ jest preferowany co najmniej tak jak wektor 𝒙,  wektor 𝒙 ̃,  wektor 𝒙 jest preferowany nie bardziej niż wektor 𝒙 ̃ jest preferowany nie mniej niż wektor 𝒙,  wektor 𝒙 ̃,  wektor 𝒙 nie jest lepszy od wektora 𝒙 ̃ nie jest gorszy od wektora 𝒙.  wektor 𝒙 Definicja 3.2. Relację ≼ ⊂ ℝℓ × ℝℓ nazywamy relacją (słabej) preferencji w przestrzeni ℝℓ wtedy i tylko wtedy, gdy ≼ jest: 𝑑𝑒𝑓

1) ……………………………. ⇔ ∀𝒙 ∈ ℝℓ 𝒙 ≼ 𝒙, 𝑑𝑒𝑓

̃𝒙 ̂ ∈ ℝℓ 2) ……………………………. ⇔ ∀𝒙, 𝒙, 𝑑𝑒𝑓

̃ ∈ ℝℓ 3) ………………………. ⇔ ∀𝒙, 𝒙

(𝒙 ≼ 𝒙 ̃ ∧ 𝒙 ̃≼𝒙 ̂) ⟹ 𝒙 ≼ 𝒙 ̂,

̃ ∨ 𝒙 ̃ ≼ 𝒙, 𝒙≼𝒙

𝑑𝑒𝑓

̃ ∈ ℝℓ : 𝒙 ≼ 𝒙 ̃} oraz {𝒙 ̃ ∈ ℝℓ : 𝒙 ̃ ≼ 𝒙 } są domknięte 4) ……………………… ⇔ ∀𝒙 ∈ ℝℓ zbiory {𝒙

Zbiór wszystkich relacji preferencji w przestrzeni ℝℓ oznaczać będziemy przez ℘, ℘ ⊂ ℝℓ × ℝℓ .  Beata Ciałowicz

~ 14 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji Uwaga 1) Relację ≼𝒊 ⊂ ℝℓ × ℝℓ nazywamy relacją (słabej) preferencji konsumenta 𝒊, jeżeli ≼𝒊 jest relacją (słabej) preferencji w przestrzeni ℝℓ ………………………………………………………………. 2) Jeżeli ≼𝑖 jest relacją preferencji konsumenta 𝑖, to aksjomaty (1) – (3), określają racjonalne zachowanie konsumenta. Definicja 3.3. Przyporządkowanie

𝜀: 𝐼 ∋ 𝑖 → 𝜀(𝑖) ≝≼𝑖 ⊂ 𝑋 𝑖 × 𝑋 𝑖 , które każdemu konsumentowi 𝑖 przyporządkowuje

relację preferencji zacieśnioną do zbioru 𝑋 𝑖 nazywamy ………………………………………………...



Odwzorowanie zasobu początkowego

Jeżeli (w momencie początkowym) konsument 𝑖 posiada pewne ilości towarów znajdujących się na rynku, to powiemy, że konsument 𝑖 posiada …………………….…..: 𝑒(𝑖) = 𝜔 𝑖 = (𝜔1𝑖 , 𝜔2𝑖 , … , 𝜔ℓ𝑖 ) ∈ ℝℓ , gdzie liczba 𝜔𝑘𝑖 oznacza ilość towaru 𝑘 posiadanego przez konsumenta 𝑖. Definicja 3.4. Odwzorowanie 𝜔: 𝐼 ∋ 𝑖 → 𝜔𝑖 ∈ ℝℓ , które każdemu konsumentowi 𝑖 przyporządkowuje jego początkowy zasób towaru, nazywamy odwzorowaniem ……………………………………... Wartość zasobu początkowego konsumenta 𝑖 przy systemie cen 𝑝 ∶

𝑤 𝑖 ≝ 𝑝 ∘ 𝜔𝑖 = 𝑝 ∘ 𝑒(𝑖)

nazywamy …………………………….konsumenta 𝒊.



Korespondencja zbiorów budżetowych

𝑝 ∘ 𝑥 określa ……………… konsumenta 𝑖 na zakup wektora 𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 przy danym wektorze cen 𝑝

𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) ≝ {𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑝 ∘ 𝑥 ≤ 𝑤 𝑖 } ⊂ 𝑋 𝑖 ⊂ ℝℓ

Zbiór ……………………………konsumenta 𝒊 :

(zbiór planów konsumpcji, na których realizację może sobie pozwolić konsument 𝑖 przy danym systemie cen 𝑝). Zbiór 𝐻 = 𝐻(𝑝, 𝑤 𝑖 ) ≝ {𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑝 ∘ 𝑥 = 𝑤 𝑖 } nazywamy …………………..…….konsumenta 𝒊. Definicja 3.5. Przyporządkowanie

𝛾: 𝐼 ∋ 𝑖 → 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) ⊂ ℝℓ ,

które, przy danym systemie cen 𝑝, każdemu

konsumentowi, o majątku 𝑤 𝑖 , przypisuje jego ………………………………………., nazywamy korespondencją zbiorów budżetowych.

 Beata Ciałowicz

~ 15 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji Przykład 3.1. Wyznaczyć (narysować i opisać) zbiór budżetowy konsumenta 𝑖, jeśli: a) 𝑋1 = ℝ2+ , 𝑝 = (2,0), 𝜔1 = (3,1)

b) 𝑋 2 = [1,8] × ℝ+ , 𝑝 = (1,2), 𝜔2 = (2,4)

c) 𝑋 3 = [4,10] × [2, ∞), 𝑝 = (2,2), 𝜔3 = (3,1)

 Beata Ciałowicz

~ 16 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji 

Korespondencja popytu

Konsument dąży do realizacji takiego planu działania 𝑥 𝑖∗ ze zbioru budżetowego 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ), który jest przez niego najbardziej preferowany. Jeżeli plan 𝑥 𝑖∗ istnieje, to nazywamy go „wektorem (lub planem) …………………………………..” lub „konsumpcją ……………………………..”. Zbiór planów konsumpcji w równowadze konsumenta 𝑖, przy danym systemie cen 𝑝 i majątku 𝑤 𝑖 oznaczamy 𝜉 𝑖 (≼𝑖 , 𝑝, 𝑤 𝑖 ): 𝜉 𝑖 (≼𝑖 , 𝑝, 𝑤 𝑖 ) ≝ {𝑥 𝑖∗ ∈ 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ): ∀𝑥 𝑖 ∈ 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) 𝑥 𝑖 ≼𝑖 𝑥 𝑖∗ }. Definicja 3.6. Przyporządkowanie 𝜉: 𝐼 ∋ 𝑖 → 𝜉 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) ⊂ ℝℓ które, przy danym wektorze cen 𝑝, każdemu konsumentowi 𝑖, o majątku 𝑤 𝑖 , przypisuje zbiór planów ……………………………….. względem relacji preferencji ≼𝑖 w zbiorze …………………………, nazywamy korespondencją ………………………….………

3.2. Model formalny systemu konsumpcji Definicja 3.7. Systemem konsumpcji nazywamy system relacyjny 𝒦 = (𝐼, ℝℓ , ℘; 𝜒, 𝜀, 𝑝, 𝜔, 𝛾, 𝜉), gdzie • 𝐼 = {𝑖: 𝑖 = 1, … , 𝑚} jest skończonym zbiorem konsumentów, • ℝℓ jest ℓ wymiarową przestrzenią towarów i cen, • ℘ jest zbiorem relacji preferencji w przestrzeni ℝℓ , • 𝜒 jest korespondencją zbiorów konsumpcji, • 𝜀 jest korespondencją relacji preferencji, • 𝑝 jest ustalonym systemem cen , • 𝜔 jest odwzorowaniem zasobu początkowego, • 𝛾 jest korespondencją zbiorów budżetowych, • 𝜉 jest korespondencją popytu. Opis działania systemu konsumpcji: 1. Dany jest ………………….. 2. W przestrzeni towarów ℝℓ działa skończona liczba 𝑚 ∈ ℕ …………………... 3. Każdy konsument 𝑖 ∈ 𝐼 scharakteryzowany jest przez: zbiór 𝑋 𝑖 ⊂ ℝℓ planów konsumpcji możliwych do realizacji ze względu na ……………………………, jego zasób początkowy 𝜔𝑖 oraz relację preferencji ≼𝑖 . 4. Przy danym systemie cen 𝑝 ∈ ℝℓ konsumentowi przypisany jest ……………………… 𝛾 𝑖 , który uwzględnia wszystkie ……………………………………………………………………….. 5. Konsument dąży do realizacji takiego planu działania 𝑥 𝑖∗ ze zbioru budżetowego 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ), który jest przez niego …………………………………………………...

 Beata Ciałowicz

~ 17 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji 3.3. Funkcja użyteczności Niech ≼𝑖 będzie relacją słabej preferencji konsumenta 𝑖 oraz 𝑋 𝑖 jego zbiorem konsumpcji. W analizie systemu konsumpcji, z relacją preferencji konsumenta 𝒊, związane jest pojęcie funkcji użyteczności konsumenta 𝒊. Jest ona miarą zadowolenia, danego konsumenta, oceną słuszności dokonanego wyboru. Definicja 3.8. Funkcję 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ nazywamy funkcją ……………………………..konsumenta 𝒊 wtedy i tylko wtedy, gdy ∀𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑥 ≼𝑖 𝑥̃ ⟺ 𝑢𝑖 (𝑥) ≤ 𝑢𝑖 (𝑥̃). Przy ustalonej funkcji użyteczności 𝑢𝑖 , reprezentującej relację preferencji ≼𝑖 , liczbę 𝑢𝑖 (𝑥), która jest wartością funkcji użyteczności dla argumentu 𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 będziemy nazywać ……………………………. 𝑥. Przykład 3.2.

Dla konsumenta 𝑖 o zbiorze konsumpcji 𝑋 𝑖 ⊂ ℝ2 , wyznaczyć: 𝑑𝑒𝑓

a) funkcję użyteczności dla danej relacji preferencji ≼𝑖 , (𝑥1 , 𝑥2 ) ≼𝑖 (𝑥̃1 , 𝑥̃2 ) ⇔ 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 𝑥̃1 + 𝑥̃2 , b) relację preferencji dla funkcji użyteczności, 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ, 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 − 𝑥2 .

 Beata Ciałowicz

~ 18 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji 3.4. Relacja silnej preferencji oraz relacja obojętności Niech ≼𝑖 będzie relacją słabej preferencji konsumenta 𝑖 oraz 𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 . Definicja 3.9. Relację ≺𝑖 ⊂ ℝℓ × ℝℓ nazywamy relacją ………………….(lub ścisłej) preferencji konsumenta 𝒊, jeżeli 𝑑𝑒𝑓

dla dowolnych 𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 zachodzi warunek: 𝑥̃ ≺𝑖 𝑥 ⇔

𝑥̃ ≼𝑖 𝑥 ∧ ~(𝑥 ≼𝑖 𝑥̃).

Uwaga. Zapis 𝑥̃ ≺𝑖 𝑥 czytamy ̃,  plan 𝒙 jest lepszy od planu 𝒙 ̃,  plan 𝒙 jest bardziej (silniej) preferowany od planu 𝒙 ̃ jest gorszy od planu 𝒙,  plan 𝒙 ̃ jest mniej preferowany od planu 𝒙, względem relacji silnej preferencji konsumenta 𝒊.  plan 𝒙 Uwaga. Jeżeli funkcja 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ jest funkcją użyteczności konsumenta 𝑖, to

∀𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑥̃ ≺𝑖 𝑥 ⟺ 𝑢𝑖 (𝑥̃) < 𝑢𝑖 (𝑥). Definicja 3.10. Relację ∼𝑖 ⊂ 𝑋 𝑖 × 𝑋 𝑖 nazywamy relacją …………………………….konsumenta 𝒊, jeżeli dla dowolnych 𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 zachodzi warunek:

𝑑𝑒𝑓

𝑥̃ ∼𝑖 𝑥 ⇔ (𝑥̃ ≼𝑖 𝑥) ∧ (𝑥 ≼𝑖 𝑥̃).

Uwaga. Zapis 𝑥̃ ∼𝑖 𝑥 czytamy ̃.  plan 𝒙 jest obojętny względem planu 𝒙 ̃ są obojętne.  plany 𝒙, 𝒙 Uwaga. Jeżeli funkcja 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ jest funkcją użyteczności konsumenta 𝑖, to

∀𝑥, ̃𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑥̃ ∼𝑖 𝑥 ⟺ 𝑢𝑖 (𝑥̃) = 𝑢𝑖 (𝑥). Definicja 3.11. Jeżeli ∼𝑖 jest relacją obojętności konsumenta 𝒊 oraz 𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 , to zbiór [𝑥] ≝ {𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑥 ∼𝑖 𝑥̃} = {𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑢𝑖 (𝑥) = 𝑢𝑖 (𝑥̃)} = {𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑢𝑖 (𝑥̃) = 𝑐, 𝑢𝑖 (𝑥) = 𝑐} nazywamy …………………………………………… wektora (elementu) 𝒙. Własności krzywych obojętności: 1.

Krzywa obojętności jest zbiorem wektorów o takiej samej …………………………………………...

2.

Przez każdy wektor 𝑥 ∈ 𝑋 𝑖 przechodzi ………………………………………………, co oznacza, że

krzywe obojętności nie przecinają się. 3.

Jeśli krzywe obojętności zawierają się w prostych równoległych, to kierunek wzrostu wartości

funkcji użyteczności w każdym punkcie, wyznacza ………………………………………………….. Definicja 3.12. Wektor 𝑥 𝑖0 ∈ 𝑋 𝑖 nazywamy ……………………………………. konsumenta 𝑖, jeżeli ∀𝑥 𝑖 ∈ 𝑋 𝑖 𝑥 𝑖 ≼𝑖 𝑥 𝑖0 .  Beata Ciałowicz

~ 19 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji Przykład 3.3.

Dla konsumenta 𝑖 o zbiorze konsumpcji 𝑋 𝑖 ⊂ ℝ2 oraz funkcji użyteczności 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ,

narysować przykładowe krzywe obojętności, określić kierunek wzrostu funkcji użyteczności oraz wyznaczyć konsumpcję nasyconą, jeżeli: a) 𝑋1 = [1, ∞) × [0,5] , 𝑢1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥2 ,

b) 𝑋 2 = [1,5]2 , 𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 ,

c) 𝑋 3 = ℝ2+ + {(0,1)}, 𝑢3 (𝑥1 , 𝑥2 ) = min{𝑥1 , 𝑥2 }.

 Beata Ciałowicz

~ 20 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji Przykład 3.4.

Dla konsumenta 𝑖 o zbiorze konsumpcji 𝑋 𝑖 = ℝ+ × [0,3] oraz funkcji użyteczności

𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 + 2𝑥2 , a) porównać koszyki towarów 𝑥 = (0,2), 𝑥̃ = (4,0), 𝑥̂ = (1,3), b) wyznaczyć (opisać i narysować) zbiór planów obojętnych względem planu 𝑥 = (4,2)

c) wyznaczyć (opisać i narysować) zbiór planów gorszych niż plan 𝑥 = (2,3),

d) wyznaczyć (opisać i narysować) zbiór planów preferowanych co najmniej tak jak plan 𝑥 = (5,1),

e) wyznaczyć (opisać i narysować) plany konsumpcyjne o użyteczności równej 4.

 Beata Ciałowicz

~ 21 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji 3.5. Konsumpcja w równowadze Definicja 3.13. Wektor 𝑥 𝑖∗ ∈ 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) nazywamy konsumpcją ……………………………….. konsumenta 𝑖, jeżeli

∀𝑥 𝑖 ∈ 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) 𝑥 𝑖 ≼𝑖 𝑥 𝑖∗ . Schemat wyznaczania konsumpcji w równowadze: 1. Wyznaczamy majątek 𝑤 𝑖 i zbiór budżetowy 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) konsumenta 𝑖. 2. Rysujemy przykładowe krzywe obojętności i określamy kierunek wzrostu wartości funkcji użyteczności. 3. Wyznaczamy zbiór 𝜉 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ) . 4. Obliczamy maksymalną użyteczność konsumenta 𝑖 na zbiorze 𝛾 𝑖 (𝑝, 𝑤 𝑖 ), jeśli istnieje. Przykład 3.5. (Metoda graficzna) Wyznaczyć konsumpcję w równowadze oraz maksymalną użyteczność na zbiorze budżetowym konsumenta 𝑖 o zbiorze konsumpcji 𝑋 𝑖 przy danym systemie cen 𝑝 oraz majątku 𝑤 𝑖 : a) 𝑋1 = [1,8] × [0,4]

𝑢1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 + 2𝑥2 ,

𝑝 = (1,2), 𝑤 1 = 12,

b) 𝑋 2 = ℝ2+ + {(0, −1)}, 𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = max{𝑥1 , 𝑥2 }, 𝑝 = (0,2), 𝑤 2 = 10,

 Beata Ciałowicz

~ 22 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji c) 𝑋 3 = ℝ2+ + {(0,1)},

𝑢3 (𝑥1 , 𝑥2 ) = min{𝑥1 , 𝑥2 }, 𝑝 = (0,2), 𝑤 3 = 10.

Przykład 3.6. (Metoda delty) Wyznaczyć konsumpcję w równowadze konsumenta 𝑖 o zbiorze konsumpcji 𝑋 𝑖 = ℝ2+ + {(1,1}, majątku 𝑤 𝑖 = 5, funkcji użyteczności 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 , przy danym systemie cen 𝑝 = (1,1).

 Beata Ciałowicz

~ 23 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji 3.6. Dodatkowe własności relacji preferencji Definicja 3.14. Niech 𝑥, 𝑦 ∈ ℝℓ , 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑙 ), 𝑦 = (𝑦1 , … , 𝑦𝑙 ). Wtedy mówimy, że:   

𝑑𝑒𝑓

Wektor 𝑥 jest mniejszy lub równy wektorowi 𝑦: 𝑥 ≤ 𝑦 ⇔

𝑑𝑒𝑓

Wektor 𝑥 jest mniejszy od wektora 𝑦:

𝑥<𝑦 ⇔

Wektor 𝑥 jest silnie mniejszy od wektora 𝑦:

𝑑𝑒𝑓

𝑥≪𝑦 ⇔

∀𝑘 ∈ {1, … , 𝑙} 𝑥𝑘 ≤ 𝑦𝑘 . 𝑥≤𝑦 ∧

𝑥 ≠ 𝑦.

∀𝑘 ∈ {1, … , 𝑙} 𝑥𝑘 < 𝑦𝑘 .

Niech ≼𝑖 ⊂ 𝑋 𝑖 × 𝑋 𝑖 będzie relacją preferencji konsumenta 𝑖, 𝑋 𝑖 ⊂ ℝ𝑙 zbiorem konsumpcji tego konsumenta. 

Monotoniczność relacji preferencji

Definicja 3.15. Relację preferencji ≼𝑖 nazywamy …………………………………….w zbiorze 𝑋 𝑖 ⟺

∀𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑥 < 𝑥̃ ⟹ 𝑥 ≺𝑖 𝑥̃ . Interpretacja Monotoniczność relacji preferencji jest odzwierciedleniem zasady „…………………….”, która mówi, że konsument woli mieć więcej niż mniej dóbr. Uwaga. Jeżeli kierunek wzrostu wartości funkcji użyteczności w każdym punkcie zbioru 𝑿𝒊 jest północno – wschodni, to relacja preferencji jest monotoniczna w zbiorze 𝑿𝒊 . Przykład 3.7 Sprawdzić, czy relacja preferencji ≼𝑖 konsumenta 𝑖, dana przez funkcję użyteczności 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ, jest monotoniczna w zbiorze 𝑋 𝑖 = [1,6] × [0,6], jeśli: a) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 3𝑥1 + 𝑥2 ,

b) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 2𝑥1 ,

 Beata Ciałowicz

~ 24 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji 𝒄) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = max{𝑥1 + 1, 𝑥2 },

d) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = min{𝑥1 − 1, 𝑥2 + 1}.

Uwaga. Monotoniczność relacji preferencji ≼𝑖 ⊂ 𝑋 𝑖 × 𝑋 𝑖 zależy nie tylko od postaci funkcji użyteczności, ale również od postaci zbioru 𝑋 𝑖 . Pewna relacja preferencji może być monotoniczna w jednym zbiorze konsumpcji, a w innym już nie. Przykład 3.8 Sprawdzić, czy relacja preferencji ≼𝑖 konsumenta 𝑖, dana przez funkcję użyteczności 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ, 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 ∙ 𝑥2 jest monotoniczna w zbiorze a) 𝑋 𝑖 = ℝ2+ , b) 𝑋 𝑖 = ℝ2+ + {(1,2)}.

 Beata Ciałowicz

~ 25 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji 

Nienasyconość relacji preferencji

Definicja 3.16. Relację preferencji ≼𝑖 konsumenta 𝑖 nazywamy ………………………………w zbiorze 𝑿𝒊 ⟺

∀𝑥 𝑖 ∈ 𝑋 𝑖 ∃ 𝑥̂ 𝑖 ∈ 𝑋 𝑖 : 𝑥 𝑖 ≺𝑖 𝑥̂ 𝑖 . Uwaga. Jeżeli relacja preferencji jest nasycona w zbiorze 𝑋 𝑖 , to istnieje w nim konsumpcją nasyconą. Przykład 3.9 Sprawdzić, czy relacja preferencji ≼𝑖 konsumenta 𝑖, dana przez funkcję użyteczności 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ, jest nienasycona w zbiorze 𝑋 𝑖 = [1, ∞) × [1,6], jeśli: 𝐚) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥2 − 𝑥1 ,

b) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = max{2𝑥1 , 𝑥2 },

c) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = min{𝑥1 , 12𝑥2 }.



Wypukłość relacji preferencji

Niech zbiór konsumpcji 𝑋 𝑖 konsumenta 𝑖 będzie wypukły. Definicja 3.17  Beata Ciałowicz

~ 26 ~

Ekonomia Matematyczna – wykład – studia niestacjonarne

Część 3. System konsumpcji Relację preferencji ≼𝑖 nazywamy ………………………. ⟺

∀𝑥, 𝑥̃ ∈ 𝑋 𝑖 : [(𝑥 ≺𝑖 𝑥̃) ⟹ (∀𝑡 ∈ (0,1): 𝑥 ≺𝑖 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑥̃)] Interpretacja Dla każdego 𝑡 ∈ (0,1), plan 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑥̃ jest planem ……………………… (lub przeciętnym) planów konsumpcji 𝑥, 𝑥̃ z wagami odpowiednio 𝑡, (1 − 𝑡). Plan ten jest wewnętrznym punktem odcinka o końcach 𝑥 oraz 𝑥̃, zawartego w (wypukłym) zbiorze 𝑋 𝑖 . Wypukłość relacji preferencji

oznacza, że każdy plan ……………………..dowolnych dwóch planów

konsumpcji konsumenta 𝑖, które nie są obojętne (plan gorszy będziemy oznaczać przez 𝑥, plan lepszy 𝑥̃) jest………………. od ……………………..z planów 𝑥, 𝑥̃ (czyli planu 𝑥). Przykład 3.10 Sprawdzić, czy jest wypukła relacja preferencji konsumenta 𝒊 dana przez funkcję użyteczności 𝑢𝑖 : 𝑋 𝑖 → ℝ, w zbiorze 𝑋 𝑖 = [0,4] × [0,6], jeśli: a) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥2 + 𝑥1 ,

b) 𝑢𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 ) = max{𝑥1 , 𝑥2 }.

 Beata Ciałowicz

~ 27 ~