3 - Testy

Ćwiczenia 5 i 6 Testowanie wsteczne modeli VaR 1. Instytucja szacuje wartość zagrożoną przy poziomie tolerancji 1%. W ciągu ostatnich 500 dni dzienna strata przekroczyła wartość zagrożoną prognozowaną na dany dzień w 7 przypadkach. Do testowania modelu VaR wykorzystano test przekroczeń Kupca. Przyjęto 5% poziom istotności testu. Czy należy odrzucić model stosowany przez tę instytucję ze względu na liczbę przekroczeń? Dane: Szukane: n = 500 LR PoF q H 0 = 1% n1 = 7 lub z α = 5% Rozwiązanie: Testujemy hipotezę zerową: (1) H 0 : q = q H = 1% 0

przeciw hipotezie alternatywnej:

H 1 : q ≠ q H 0 = 1% . Statystyką testową jest:

LR PoF

(

)

 1 − q H n0 q Hn1 0 0 = −2 ln  (1 − qˆ )n0 qˆ n1 

(2)

(3)

  ~ χ2, 1  

gdzie qˆ jest estymatorem prawdopodobieństwa wystąpienia przekroczenia, liczonym na podstawie próby, jako empiryczna częstość przekroczeń: (4) n1 qˆ = ,

n0 + n1

n1 – liczba przekroczeń, n0 – liczba okresów, w których nie wystąpiło przekroczenie. Oczywiście n0 + n1 = n. Obliczmy wartość statystyki testowej LRPoF:

7 = 0,014 500  1 − q H n0 q Hn1 0 0 LR PoF = −2 ln  (1 − qˆ )n0 qˆ n1 

qˆ =

(

)

493 7   = −2 ln (1 − 0,01) ⋅ 0,01  (1 − 0,014 )493 ⋅ 0,014 7   

  ≈ −2 ln 0,6981 = 0,7191  

Bez zaokrągleń wyników pośrednich:

LR PoF ≈ 0,7187 Wartość krytyczna (z tablic wartości krytycznych testu χ 2 z 1 stopniem swobody):

CRχ 2 (5% ) ≈ 3,841459 ≈ 3,841 1

Hipotezę zerową należałoby odrzucić, gdyby statystyka testowa (analizowana podwójna różnica logarytmów funkcji wiarygodności) była większa lub równa CR χ 2 (5% ) . Tutaj zachodzi: 1

0,7191 < 3,841, tzn.:

LR PoF < CRχ 2 (5% ). 1

Na poziomie istotności 5% nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że q = q H 0 = 1%. Odp.: Biorąc pod uwagę samą tylko liczbę przekroczeń, nie ma podstaw do odrzucenia modelu stosowanego przez tę instytucję. 2. Wartość zagrożona jest szacowana przy poziomie tolerancji 1%. W ciągu ostatnich 500 dni dzienna strata przekroczyła wartość zagrożoną prognozowaną na dany dzień w 7 przypadkach. Przy tym były 3 dni takie, że przekroczenie nastąpiło po dniu, w którym nie było przekroczenia i 4 takie, że przekroczenie nastąpiło po dniu, w

którym było przekroczenie. Okresów dwudniowych, w których żadnego dnia nie wystąpiło przekroczenie było 488. Dni, bez przekroczenia, poprzedzonych dniem z przekroczeniem było 5. Do testowania modelu VaR wykorzystano test Christoffersena niezależności przekroczeń w czasie. Przyjęto, że poziom istotności testu wynosi 5%. Czy należy odrzucić model stosowany przez tę instytucję ze względu na zależność przekroczeń? Dane: α = 5% n = 500

Szukane: LRind

n01 = 3 n11 = 4 n00 = 488 n10 = 5 Rozwiązanie:

Testujemy hipotezę zerową:

H 0 : q 01 = q11 = q

(5)

przeciw hipotezie alternatywnej: H 1 : q 01 ≠ q11 . Statystyką testową jest:

(6)

LRind

(

)

n00 + n10  1 − qˆ qˆ n01 + n11  = −2 ln n01  (1 − qˆ 01 )n00 qˆ 01 (1 − qˆ11 )n10 qˆ11n11 

(7)

  ~ χ2, 1  

gdzie: nij – liczba dni, w których wystąpił stan j (przekroczenie - 1 lub brak przekroczenia - 0), a w dniu poprzednim wystąpił stan i (przekroczenie - 1 lub brak przekroczenia - 0); np. n01 – liczba dni, w których wystąpiło przekroczenie, o ile dnia poprzedniego nie było przekroczenia, n11 – liczba dni, w których wystąpiło przekroczenie, o ile dnia poprzedniego również wystąpiło przekroczenie; qˆ ij – estymator prawdopodobieństwa warunkowego wystąpienia stanu j, pod warunkiem, że dnia poprzedniego wystąpił stan i:

qˆ ij =

nij ni 0 + ni1

(8) ;

qˆ – estymator bezwarunkowego prawdopodobieństwa przekroczenia: n01 + n11 . qˆ = n00 + n01 + n10 + n11

(9)

Obliczanie wartości statystyki testowej

3+ 4 qˆ = = 0,014 500 n01 3 3 qˆ 01 = = = = 0,00611 , n00 + n01 488 + 3 491 LRind

(

)

qˆ11 =

n11 4 4 = = = 0,4444 n10 + n11 5 + 4 9

n00 + n10   1 − qˆ qˆ n01 + n11  = = −2 ln n n n01 n11  10  (1 − qˆ 01 ) 00 qˆ 01 (1 − qˆ11 ) qˆ11   488 + 5   ( 1 − 0,014 ) ⋅ 0,014 3+ 4 = = −2 ln 488 5 3 4   (1 − 0,00611) ⋅ 0,00611 ⋅ (1 − 0,4444 ) ⋅ 0,4444     1,009753 ⋅ 10 −16 (0,986 )493 ⋅ 0,014 7   2 ln = −2 ln = − 488 3 5 4  −11  2,3783 ⋅ 10  0,9939 ⋅ 0,00611 ⋅ 0,5556 ⋅ 0,4444 

(

)

  = 

= −2 ln 4,2457 ⋅ 10 − 6 = −2 ⋅ (− 12,3696 ) = 24,7392

2

Bez zaokrąglania wyników pośrednich:

LRind = 24,7294 Wartość krytyczna:

CR χ 2 (5% ) = 1 − Fχ−21 (5% ) = 3,841 1

1

- z tablicy wartości krytycznych testu χ2 (Tabela 10). Porównując wartość statystyki testowej z wartością krytyczną: 24,7392 > 3,841 ,

LRind > CR χ 2 (5% ) , 1

odrzucamy hipotezę zerową o niezależności przekroczeń. Odp.: Rozpatrywany model wartości zagrożonej należy odrzucić ze względu na zależność przekroczeń w czasie. Wyniki zastosowania dwóch modeli wartości zagrożonej dla tej samej inwestycji w ciągu ostatnich 1000 dni 3. zostały przedstawione w poniższych tabelach (Tabela 1 i Tabela 2) w postaci szeregów rozdzielczych przedziałowych. Każdy wiersz tabeli odpowiada zrealizowanym stopom zwrotu, w podziale na 8 przedziałów klasowych. Kolumny odpowiadają prognozowanej na dany dzień wartości zagrożonej, w podziale na 5 przedziałów klasowych. Wartości w polach tabeli oznaczają liczbę obserwacji. Np. liczba 50 w 3 wierszu i 4 kolumnie oznacza, że było 50 takich dni, w których zrealizowana stopa zwrotu mieściła się w przedziale [-2%, 2%), a jednodniowa wartość zagrożona prognozowana na każdy z tych dni była liczbą z przedziału [3%, 2%). Analityk wykorzystuje funkcję straty zaproponowaną przez Lopeza. Jest ona następującej postaci (równanie (10)): (10) 1 + rt +1 + VaR(%) 2 rt +1 ≤ −VaR(%) (q ) t t LLopez VaR(%) (q ), rt +1 =  . t +1

(

)

t

(



)

0

rt +1 > −VaR(%) (q ) t

Który model uzna za lepszy, jeżeli kryterium jest średnia wartość funkcji straty? Przy obliczaniu średniej wykorzystaj środki przedziałów klasowych dla stopy zwrotu (nie dla wartości funkcji straty) i dla VaR. Tabela 1. Szereg rozdzielczy zrealizowanych stóp zwrotu i prognoz VaR w modelu 1

Model 1: VaR(%) r [-10%, -6%) [ -6%, -2%) [ -2%, 2%) [ 2%, 6%) [ 6%, 10%) [ 10%, 14%) [ 14%, 18%) [ 18%, 22%]

[6%, 5%)

[5%, 4%)

[4%, 3%)

[3%, 2%)

[2%, 1%]

4 1 0 16 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 3 30 300 100 0 0

2 0 50 0 0 0 70 50

0 3 80 90 200 0 0 0

Liczba obserwacji 6 4 134 136 500 100 70 50

Tabela 2. Szereg rozdzielczy zrealizowanych stóp zwrotu i prognoz VaR w modelu 2

Model 2: VaR(%) r [-10%, -6%) [ -6%, -2%) [ -2%, 2%) [ 2%, 6%) [ 6%, 10%) [ 10%, 14%) [ 14%, 18%) [ 18%, 22%]

[6%, 5%)

[5%, 4%)

[4%, 3%)

[3%, 2%)

[2%, 1%]

6 4 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 50 0 0

0 0 134 36 0 50 30 50

0 0 0 100 500 0 40 0

0 0 0 0 0 0 0 0

Liczba obserwacji 6 4 134 136 500 100 70 50

3

4. Wykorzystując dane z poprzedniego zadania (zad. 3) rozważ, czy decyzja inwestora zmieni się, jeśli zamiast funkcji Lopeza będzie stosował funkcję Sarmy-Thomas-Shaha, karzącą również przeszacowanie ryzyka. Funkcja ta jest dana następującym wzorem (równanie (11)): (11)  rt +1 + VaR(%) 2 rt +1 ≤ −VaR(%) (q ) t t LSTS VaR(%) (q ), rt +1 =  . t +1

(

) ( 

t

)

ϕVaR(%)t

rt +1 > −VaR(%) (q ) t

Przyjęto współczynnik ϕ na poziomie 0,4. Zinterpretuj wynik. Rozwiązanie do zadań 3 i 4 Wartości procesu przekroczeń:

1; rt ≤ −VaR(%)t −1 (q ) . I t (q ) =  0; rt > −VaR(%)t −1 (q )

(12)

przedstawiają Tabela 3 – dla modelu 1 i Tabela 4 – dla modelu 2. Liczba przekroczeń dla poszczególnych wierszy (ostatnie kolumny obu tabel) jest liczona następująco: 5

ni = ∑ nij I ij (q ) . j =1

Na przykład dla modelu 1:

n1 = 4 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 4 + 2 = 6 n2 = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 = 3 , przy czym wartości nij zawiera Tabela 1, a wartości Iij - Tabela 3. Tabela 3. Wartości procesu przekroczeń (wartości logiczne) dla modelu 1

Model 1: VaR(%) [6%, 5%) r [-10%, -6%) 1 [ -6%, -2%) 0 [ -2%, 2%) 0 [ 2%, 6%) 0 [ 6%, 10%) 0 [ 10%, 14%) 0 [ 14%, 18%) 0 [ 18%, 22%] 0

[5%, 4%)

[4%, 3%)

[3%, 2%)

[2%, 1%]

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

Liczba przekroczeń 6 3 0 0 0 0 0 0

Tabela 4. Wartości procesu przekroczeń dla modelu 2

Model 2: VaR(%) [6%, 5%) r [-10%, -6%) 1 [ -6%, -2%) 0 [ -2%, 2%) 0 [ 2%, 6%) 0 [ 6%, 10%) 0 [ 10%, 14%) 0 [ 14%, 18%) 0 [ 18%, 22%] 0

[5%, 4%)

[4%, 3%)

[3%, 2%)

[2%, 1%]

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

Liczba przekroczeń 6 0 0 0 0 0 0 0

Wartości funkcji Lopeza dla modeli 1 i 2 przedstawiają Tabela 5 i Tabela 6. Oczywiście rozwiązując te dwa zadania na kalkulatorze, przy tablicy, wystarczy policzyć odpowiednie wartości tylko dla tych pól, dla których wystąpiły jakieś obserwacje (Tabela 1 ma 16 niepustych pól, a Tabela 2 – 11).

4

Tabela 5. Funkcja straty Lopeza dla modelu 1

Model 1 r•

VaR• (%) -8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20%

5,50%

4,50%

3,50%

2,50%

1,50%

Σj(nij LLopez)

1,00063 0 0 0 0 0 0 0

1,00123 0 0 0 0 0 0 0

1,00203 0 0 0 0 0 0 0

1,00303 0 0 0 0 0 0 0

1,00423 1,00063 0 0 0 0 0 0

6,00855 3,001875 0 0 0 0 0 0

ΣiΣj(nij L) =

9,010425

(1/n)ΣiΣj(nij L) = 0,009010425 r• i VaR• (%) oznaczają środki przedziałów klasowych odpowiednio dla stopy zwrotu i dla VaR.

Dla modelu 1 niepustym polom zawierającym wartości funkcji straty (Tabela 5) – jest ich w sumie 6 – odpowiadają tylko 3 niepuste pola zawierające liczbę obserwacji (Tabela 1). Są to następujące konfiguracje: (1,1): r• = −8%, VaR• (%) = 5,5%, L = 1,000625, liczba obserwacji: n11 = 4, (1,4): r• = −8%, VaR• (%) = 2,5%, L = 1,003025, liczba obserwacji: n14 = 2, (2,5): r• = −4%, VaR• (%) = 1,5%, L = 1,000625, liczba obserwacji: n25 = 3. Zatem średnia wartość funkcji straty wynosi:

LLopez

Model 1

=

1 1 ⋅ (4 ⋅ 1,000625 + 2 ⋅ 1,003025 + 3 ⋅ 1,000625) = ⋅ (9,010425) = 0,00901 1000 1000

Tabela 6. Funkcja straty Lopeza dla modelu 2

Model 2 •

VaR• (%)

r

-8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20%

5,50%

4,50%

3,50%

2,50%

1,50%

Σj(nij LLopez)

1,00063 0 0 0 0 0 0 0

1,00123 0 0 0 0 0 0 0

1,00203 0 0 0 0 0 0 0

1,00303 0 0 0 0 0 0 0

1,00423 1,00063 0 0 0 0 0 0

6,00375 0 0 0 0 0 0 0

ΣiΣj(nij L) =

6,00375

(1/n)ΣiΣj(nij L) =

0,00600375

Tabela 6 zawiera oczywiście te same wartości funkcji straty, co Tabela 5, ale inna jest średnia wartość funkcji straty. Wynika to z innego rozkładu prognoz VaR. Tym razem niepustym polom zawierającym wartości funkcji straty (Tabela 6) – jest ich oczywiście tak samo 6, jak dla modelu 1 – odpowiada tylko 1 niepuste pole zawierające liczbę obserwacji (Tabela 2). Jest to następująca konfiguracja: (1,1): r• = −8%, VaR• (%) = 5,5%, L = 1,000625, liczba obserwacji: n11 = 6. Zatem średnia wartość funkcji straty wynosi:

5

LLopez

Model 2

=

1 1 ⋅ (6 ⋅ 1,000625) = ⋅ 6,00375 = 0,006004 1000 1000

Wnioski dla funkcji Lopeza: LLopez = 0,009010 , zaś LLopez Model 1

Model 2

= 0,006004 .

Czyli:

LLopez

Model 1

> LLopez

Model 2

Odp. do zadania 3: Zarządzający ryzykiem uznałby model 2 za lepszy. Gdy funkcję straty Lopeza zastąpimy funkcją Sarmy-Thomas-Shaha (Mandira Sarma, Susan Thomas, i Ajay Shah (2001)), to funkcja będzie przyjmowała wartości niezerowe również dla przypadków, gdy nie nastąpiło przekroczenie VaR (por. Tabela 7 i Tabela 8). Tabela 7. Funkcja straty Sarmy-Thomas-Shaha dla modelu 1

Model 1 •

VaR• (%)

r

-8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20%

5,50%

4,50%

3,50%

2,50%

1,50%

Σj(nij LLopez)

0,00063 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022

0,00123 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018

0,00203 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014

0,00303 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,00423 0,00063 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006

0,00855 0,023875 1,04 1,312 5,4 1,4 0,7 0,5

ΣiΣj(nij L) =

10,384425

(1/n)ΣiΣj(nij L) =

0,0103844

Tabela 8. Funkcja straty Sarmy-Thomas-Shaha dla modelu 2

Model 2 r•

VaR• (%) -8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20%

5,50%

4,50%

3,50%

2,50%

1,50%

Σj(nij LLopez)

0,00063 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022 0,022

0,00123 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018

0,00203 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014

0,00303 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,00423 0,00063 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006

0,00375 0,088 1,876 1,504 5 1,6 0,82 0,7

ΣiΣj(nij L) =

11,59175

0,0115918 (1/n)ΣiΣj(nij L) = Oczywiście przy liczeniu średniej na tablicy można uwzględnić tylko te pary (r•, VaR• (%)), dla których istnieją jakieś obserwacje. Dla modelu 1 będą to: poz. (1,1): r• = −8%, VaR• (%) = 5,5%, L = 0,000625, liczba obserwacji: n11 = 4, poz. (1,4): r• = −8%, VaR• (%) = 2,5%, L = 0,003025, liczba obserwacji: n14 = 2, poz. (2,1): r• = −4%, VaR• (%) = 5,5%, L = 0,022, liczba obserwacji: n21 = 1, poz. (2,5): r• = −4%, VaR• (%) = 1,5%, L = 0,000625, liczba obserwacji: n25 = 3, poz. (3,2): r• = 0%, VaR• (%) = 4,5%, L = 0,018, liczba obserwacji: n32 = 1, poz. (3,3): r• = 0%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n33 = 3, 6

poz. (3,4): poz. (3,5): poz. (4,1): poz. (4,3): poz. (4,5): poz. (5,3): poz. (5,5): poz. (6,3): poz. (7,4): poz. (8,4):

r• = 0%, VaR• (%) = 2,5%, L = 0,01, liczba obserwacji: n34 = 50, r• = 0%, VaR• (%) = 1,5%, L = 0,006, liczba obserwacji: n35 = 80, r• = 4%, VaR• (%) = 5,5%, L = 0,022, liczba obserwacji: n41 = 16, r• = 4%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n43 = 30, r• = 4%, VaR• (%) = 1,5%, L = 0,006, liczba obserwacji: n45 = 90, r• = 8%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n53 = 300, r• = 8%, VaR• (%) = 1,5%, L = 0,006, liczba obserwacji: n55 = 200, r• = 12%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n63 = 100, r• = 16%, VaR• (%) = 2,5%, L = 0,01, liczba obserwacji: n74 = 70, r• = 20%, VaR• (%) = 2,5%, L = 0,01, liczba obserwacji: n84 = 50,

Tak więc średnia wartość funkcji straty wynosi:

LSTS

Model 1

=

1 ⋅ (4 ⋅ 0,000625 + 2 ⋅ 0,003025 + 1 ⋅ 0,022 + 3 ⋅ 0,000625 + 1 ⋅ 0,018 + 1000 + 3 ⋅ 0,014 + 50 ⋅ 0,01 + 80 ⋅ 0,006 + 16 ⋅ 0,022 + 30 ⋅ 0,014 + 90 ⋅ 0,006 + + 300 ⋅ 0,014 + 200 ⋅ 0,006 + 100 ⋅ 0,014 + 70 ⋅ 0,01 + 50 ⋅ 0,01) =

=

1 ⋅ 10,3844 = 0,01038 1000

Dla modelu 2 będą to: poz. (1,1): r• = −8%, VaR• (%) = 5,5%, L = 0,000625, liczba obserwacji: n11 = 6, poz. (2,1): r• = −4%, VaR• (%) = 5,5%, L = 0,022, liczba obserwacji: n21 = 4, poz. (3,3): r• = 0%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n33 = 134, poz. (4,3): r• = 4%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n43 = 36, poz. (4,4): r• = 4%, VaR• (%) = 2,5%, L = 0,01, liczba obserwacji: n44 = 100, poz. (5,4): r• = 8%, VaR• (%) = 2,5%, L = 0,01, liczba obserwacji: n54 = 500, poz. (6,2): r• = 12%, VaR• (%) = 4,5%, L = 0,018, liczba obserwacji: n62 = 50, poz. (6,3): r• = 12%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n63 = 50, poz. (7,3): r• = 16%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n73 = 30, poz. (7,4): r• = 16%, VaR• (%) = 2,5%, L = 0,01, liczba obserwacji: n74 = 40, poz. (8,3): r• = 20%, VaR• (%) = 3,5%, L = 0,014, liczba obserwacji: n83 = 50, Średnia wartość funkcji straty wynosi:

LSTS

1 ⋅ (4 ⋅ 0,000625 + 4 ⋅ 0,022 + 134 ⋅ 0,014 + 36 ⋅ 0,014 + 100 ⋅ 0,01 + 500 ⋅ 0,01 + Model 2 1000 + 50 ⋅ 0,018 + 50 ⋅ 0,014 + 30 ⋅ 0,014 + 40 ⋅ 0,01 + 50 ⋅ 0,014 ) = 1 = ⋅ 11,5918 = 0,01159 1000 =

Wnioski dla funkcji STS: LSTS = 0,01038 , zaś LSTS Model 1

Model 2

= 0,01159 .

Czyli:

LSTS

Model 1

< LSTS

Model 2

Odp. do zadania 4: Zarządzający ryzykiem uznałby model 1 za lepszy. Model 2 przeszacowywał ryzyko. Dlatego przy zastosowaniu funkcji Lopeza, karzącej tylko niedoszacowanie ryzyka, był uznany za lepszy. Natomiast funkcja Sarmy-Thomas-Shaha uwzględniła fakt, że model 2 częściej niż model 1 dawał wysokie prognozy VaR na dni, w których w rzeczywistości zostały zrealizowane zyski.

7

Załącznik 2. Tablice Tabela 9. Rozkład χ

2

(Fχ2(x) = P(X ≤ x))

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

k = 6

x

x

x

x

x

x

Fχ2, k (x)

Fχ2, k (x)

Fχ2, k (x)

Fχ2, k (x)

Fχ2, k (x)

Fχ2, k (x)

…

k = 249

k = 250

x

Fχ2, k (x)

x

Fχ2, k (x)

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,3750 0,4597

0,4500 0,2015 0,5250 0,0866 0,5750 0,0342

0,6250 0,0132 0,6750 0,0050

196,7602 0,0063 197,6484 0,0063

0,7500 0,6135

0,9000 0,3624 1,0500 0,2108 1,1500 0,1137

1,2500 0,0600 1,3500 0,0312

201,6837 0,0125 202,5833 0,0125

1,1250 0,7112

1,3500 0,4908 1,5750 0,3349 1,7250 0,2138

1,8750 0,1338 2,0250 0,0826

204,8213 0,0188 205,7281 0,0188

1,5000 0,7793

1,8000 0,5934 2,1000 0,4481 2,3000 0,3192

2,5000 0,2235 2,7000 0,1546

207,1856 0,0250 208,0978 0,0250

1,8750 0,8291

2,2500 0,6753 2,6250 0,5469 2,8750 0,4210

3,1250 0,3193 3,3750 0,2395

209,1098 0,0313 210,0263 0,0313

2,2500 0,8664

2,7000 0,7408 3,1500 0,6309 3,4500 0,5145

3,7500 0,4141 4,0500 0,3301

210,7472 0,0375 211,6674 0,0375

2,6250 0,8948

3,1500 0,7930 3,6750 0,7012 4,0250 0,5974

4,3750 0,5032 4,7250 0,4205

212,1820 0,0438 213,1054 0,0438

3,0000 0,9167

3,6000 0,8347 4,2000 0,7593 4,6000 0,6691

5,0000 0,5841 5,4000 0,5064

213,4653 0,0500 214,3916 0,0500

3,3750 0,9338

4,0500 0,8680 4,7250 0,8069 5,1750 0,7302

5,6250 0,6556 6,0750 0,5852

219,3271 0,0875 220,2663 0,0875

3,7500 0,9472

4,5000 0,8946 5,2500 0,8456 5,7500 0,7814

6,2500 0,7174 6,7500 0,6554

223,5770 0,1250 224,5254 0,1250

4,1250 0,9577

4,9500 0,9158 5,7750 0,8769 6,3250 0,8238

6,8750 0,7699 7,4250 0,7167

227,0447 0,1625 228,0006 0,1625

4,5000 0,9661

5,4000 0,9328 6,3000 0,9021 6,9000 0,8587

7,5000 0,8140 8,1000 0,7691

230,0506 0,2000 231,0128 0,2000

4,8750 0,9728

5,8500 0,9463 6,8250 0,9223 7,4750 0,8872

8,1250 0,8505 8,7750 0,8134

232,7551 0,2375 233,7231 0,2375

5,2500 0,9781

6,3000 0,9571 7,3500 0,9385 8,0500 0,9102

8,7500 0,8805 9,4500 0,8502

235,2520 0,2750 236,2252 0,2750

5,6250 0,9823

6,7500 0,9658 7,8750 0,9513 8,6250 0,9288

9,3750 0,9050 10,1250 0,8805

237,6019 0,3125 238,5799 0,3125

6,0000 0,9857

7,2000 0,9727 8,4000 0,9616 9,2000 0,9437 10,0000 0,9248 10,8000 0,9052

239,8470 0,3500 240,8297 0,3500

6,3750 0,9884

7,6500 0,9782 8,9250 0,9697 9,7750 0,9556 10,6250 0,9407 11,4750 0,9252

242,0192 0,3875 243,0064 0,3875

6,7500 0,9906

8,1000 0,9826 9,4500 0,9761 10,3500 0,9651 11,2500 0,9534 12,1500 0,9413

244,1437 0,4250 245,1352 0,4250

7,1250 0,9924

8,5500 0,9861 9,9750 0,9812 10,9250 0,9726 11,8750 0,9635 12,8250 0,9541

246,2421 0,4625 247,2379 0,4625

7,5000 0,9938

9,0000 0,9889 10,5000 0,9852 11,5000 0,9785 12,5000 0,9715 13,5000 0,9643

248,3337 0,5000 249,3337 0,5000

7,8750 0,9950

9,4500 0,9911 11,0250 0,9884 12,0750 0,9832 13,1250 0,9778 14,1750 0,9723

250,4370 0,5375 251,4413 0,5375

8,2500 0,9959

9,9000 0,9929 11,5500 0,9909 12,6500 0,9869 13,7500 0,9827 14,8500 0,9785

252,5713 0,5750 253,5798 0,5750

8,6250 0,9967 10,3500 0,9943 12,0750 0,9929 13,2250 0,9898 14,3750 0,9866 15,5250 0,9835

254,7571 0,6125 255,7699 0,6125

9,0000 0,9973 10,8000 0,9955 12,6000 0,9944 13,8000 0,9920 15,0000 0,9896 16,2000 0,9873

257,0182 0,6500 258,0355 0,6500

9,3750 0,9978 11,2500 0,9964 13,1250 0,9956 14,3750 0,9938 15,6250 0,9920 16,8750 0,9902

259,3839 0,6875 260,4058 0,6875

9,7500 0,9982 11,7000 0,9971 13,6500 0,9966 14,9500 0,9952 16,2500 0,9938 17,5500 0,9925

261,8916 0,7250 262,9184 0,7250

10,1250 0,9985 12,1500 0,9977 14,1750 0,9973 15,5250 0,9963 16,8750 0,9953 18,2250 0,9943

264,5924 0,7625 265,6245 0,7625

10,5000 0,9988 12,6000 0,9982 14,7000 0,9979 16,1000 0,9971 17,5000 0,9964 18,9000 0,9957

267,5609 0,8000 268,5986 0,8000

10,8750 0,9990 13,0500 0,9985 15,2250 0,9984 16,6750 0,9978 18,1250 0,9972 19,5750 0,9967

270,9138 0,8375 271,9579 0,8375

11,2500 0,9992 13,5000 0,9988 15,7500 0,9987 17,2500 0,9983 18,7500 0,9979 20,2500 0,9975

274,8541 0,8750 275,9057 0,8750

11,6250 0,9993 13,9500 0,9991 16,2750 0,9990 17,8250 0,9987 19,3750 0,9984 20,9250 0,9981

279,7921 0,9125 280,8529 0,9125

12,0000 0,9995 14,4000 0,9993 16,8000 0,9992 18,4000 0,9990 20,0000 0,9988 21,6000 0,9986

286,8078 0,9500 287,8815 0,9500

12,3750 0,9996 14,8500 0,9994 17,3250 0,9994 18,9750 0,9992 20,6250 0,9990 22,2750 0,9989

288,3766 0,9563 289,4531 0,9563

12,7500 0,9996 15,3000 0,9995 17,8500 0,9995 19,5500 0,9994 21,2500 0,9993 22,9500 0,9992

290,1447 0,9625 291,2245 0,9625

13,1250 0,9997 15,7500 0,9996 18,3750 0,9996 20,1250 0,9995 21,8750 0,9994 23,6250 0,9994

292,1815 0,9688 293,2649 0,9688

13,5000 0,9998 16,2000 0,9997 18,9000 0,9997 20,7000 0,9996 22,5000 0,9996 24,3000 0,9995

294,6008 0,9750 295,6886 0,9750

13,8750 0,9998 16,6500 0,9998 19,4250 0,9998 21,2750 0,9997 23,1250 0,9997 24,9750 0,9997

297,5990 0,9812 298,6921 0,9812

14,2500 0,9998 17,1000 0,9998 19,9500 0,9998 21,8500 0,9998 23,7500 0,9998 25,6500 0,9997

301,6386 0,9875 302,7389 0,9875

14,6250 0,9999 17,5500 0,9998 20,4750 0,9999 22,4250 0,9998 24,3750 0,9998 26,3250 0,9998

308,1100 0,9937 309,2216 0,9937

15,0000 0,9999 18,0000 0,9999 21,0000 0,9999 23,0000 0,9999 25,0000 0,9999 27,0000 0,9999

340,6615 0,9999 341,8277 0,9999

Dla k > 30 rozkład χ2 można przybliżać rozkładem normalnym o średniej k i wariancji 2k (odchyleniu standardowym (2k)0,5)

8

Tabela 10. Wartości krytyczne testu χ

2

( P(X ≥ xi) = α )

P(X ≥ xi) = α

Tablica wartości krytycznych testu chi-kwadrat α

0,99

0,95

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,3

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

1

0,000

0,004

0,016

0,064

0,148

0,275

0,455

1,074

1,642

2,706

3,841

5,412

6,635

2

0,020

0,103

0,211

0,446

0,713

1,022

1,386

2,408

3,219

4,605

5,991

7,824

9,210

3

0,115

0,352

0,584

1,005

1,424

1,869

2,366

3,665

4,642

6,251

7,815

9,837 11,345

4

0,297

0,711

1,064

1,649

2,195

2,753

3,357

4,878

5,989

7,779

9,488 11,668 13,277

5

0,554

1,145

1,610

2,343

3,000

3,655

4,351

6,064

7,289

9,236 11,070 13,388 15,086

6

0,872

1,635

2,204

3,070

3,828

4,570

5,348

7,231

8,558 10,645 12,592 15,033 16,812

7

1,239

2,167

2,833

3,822

4,671

5,493

6,346

8,383

9,803 12,017 14,067 16,622 18,475

8

1,646

2,733

3,490

4,594

5,527

6,423

7,344

9,524 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090

k

9

2,088

3,325

4,168

5,380

6,393

7,357

8,343 10,656 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666

10

2,558

3,940

4,865

6,179

7,267

8,295

9,342 11,781 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209

11

3,053

4,575

5,578

6,989

8,148

9,237 10,341 12,899 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725

12

3,571

5,226

6,304

7,807

9,034 10,182 11,340 14,011 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217

13

4,107

5,892

7,042

8,634

9,926 11,129 12,340 15,119 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688

14

4,660

6,571

7,790

9,467 10,821 12,078 13,339 16,222 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141

15

5,229

7,261

8,547 10,307 11,721 13,030 14,339 17,322 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578

16

5,812

7,962

9,312 11,152 12,624 13,983 15,338 18,418 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000

17

6,408

8,672 10,085 12,002 13,531 14,937 16,338 19,511 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409

18

7,015

9,390 10,865 12,857 14,440 15,893 17,338 20,601 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805

19

7,633 10,117 11,651 13,716 15,352 16,850 18,338 21,689 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191

20

8,260 10,851 12,443 14,578 16,266 17,809 19,337 22,775 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566

(Φ (t) = P(X ≤ t))

Tabela 11. Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego t

Φ(t)

t

Φ(t)

t

Φ(t)

t

Φ(t)

t

Φ(t)

t

Φ(t)

t

Φ(t)

t

Φ(t)

-4,00 0,00003 -3,00 0,00135 -2,00 0,02275 -1,00 0,15866 0,00 0,50000 1,00 0,84134 2,00 0,97725 3,00 0,99865 -3,95 0,00004 -2,95 0,00159 -1,95 0,02559 -0,95 0,17106 0,05 0,51994 1,05 0,85314 2,05 0,97982 3,05 0,99886 -3,90 0,00005 -2,90 0,00187 -1,90 0,02872 -0,90 0,18406 0,10 0,53983 1,10 0,86433 2,10 0,98214 3,10 0,99903 -3,85 0,00006 -2,85 0,00219 -1,85 0,03216 -0,85 0,19766 0,15 0,55962 1,15 0,87493 2,15 0,98422 3,15 0,99918 -3,80 0,00007 -2,80 0,00256 -1,80 0,03593 -0,80 0,21186 0,20 0,57926 1,20 0,88493 2,20 0,98610 3,20 0,99931 -3,75 0,00009 -2,76 0,00289 -1,75 0,04006 -0,75 0,22663 0,25 0,59871 1,25 0,89435 2,25 0,98778 3,25 0,99942 -3,70 0,00011 -2,70 0,00347 -1,70 0,04457 -0,70 0,24196 0,30 0,61791 1,30 0,90320 2,30 0,98928 3,30 0,99952 -3,65 0,00013 -2,65 0,00402 -1,65 0,04947 -0,65 0,25785 0,35 0,63683 1,35 0,91149 2,35 0,99061 3,35 0,99960 -3,60 0,00016 -2,60 0,00466 -1,60 0,05480 -0,60 0,27425 0,40 0,65542 1,40 0,91924 2,40 0,99180 3,40 0,99966 -3,55 0,00019 -2,55 0,00539 -1,55 0,06057 -0,55 0,29116 0,45 0,67364 1,45 0,92647 2,45 0,99286 3,45 0,99972 -3,50 0,00023 -2,50 0,00621 -1,50 0,06681 -0,50 0,30854 0,50 0,69146 1,50 0,93319 2,50 0,99379 3,50 0,99977 -3,45 0,00028 -2,45 0,00714 -1,45 0,07353 -0,45 0,32636 0,55 0,70884 1,55 0,93943 2,55 0,99461 3,55 0,99981 -3,40 0,00034 -2,40 0,00820 -1,40 0,08076 -0,40 0,34458 0,60 0,72575 1,60 0,94520 2,60 0,99534 3,60 0,99984 -3,35 0,00040 -2,35 0,00939 -1,35 0,08851 -0,35 0,36317 0,65 0,74215 1,65 0,95053 2,65 0,99598 3,65 0,99987 -3,30 0,00048 -2,30 0,01072 -1,30 0,09680 -0,30 0,38209 0,70 0,75804 1,70 0,95543 2,70 0,99653 3,70 0,99989 -3,25 0,00058 -2,25 0,01222 -1,25 0,10565 -0,25 0,40129 0,75 0,77337 1,75 0,95994 2,75 0,99702 3,75 0,99991 -3,20 0,00069 -2,20 0,01390 -1,20 0,11507 -0,20 0,42074 0,80 0,78814 1,80 0,96407 2,80 0,99744 3,80 0,99993 -3,15 0,00082 -2,15 0,01578 -1,15 0,12507 -0,15 0,44038 0,85 0,80234 1,85 0,96784 2,85 0,99781 3,85 0,99994 -3,10 0,00097 -2,10 0,01786 -1,10 0,13567 -0,10 0,46017 0,90 0,81594 1,90 0,97128 2,90 0,99813 3,90 0,99995 -3,05 0,00114 -2,05 0,02018 -1,05 0,14686 -0,05 0,48006 0,95 0,82894 1,96 0,97500 2,95 0,99841 3,95 0,99996

9