7.Funkcja kwadratowa

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 1 Funkcja kwadratowa

Zad.1 Narysuj wykresy podanych funkcji kwadratowych. Podaj miejsce zerowe, punkt przecięcia z osią OY , przedziały monotoniczności funkcji oraz znak funkcji. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli, jej postać iloczynową i kanoniczną: a) y = 2x2 + 1 ;

b) y = − 12 x2 + 3 ;

c) y = (x − 1)2 ;

d) y = 2x2 + 6x − 8 ;

e) y = −x2 + 2x − 1 ;

f) y = x2 − x − 2 ;

g) y = −3x2 + 6x ;

h) y = −2x2 − 3x −

1 8

;

i) y = x2 − 2x + 3 ;

Zad.2 Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = |x2 − 4x + 3| ;

b) y = |x2 + 4x − 12| ;

c) y = |−3x2 + 8x| ;

d) y = |x2 + 6x + 8| ;

e) y = |−x2 + 2x + 3| ;

c) y = |−x2 − x + 1| ;

d) y = x2 − 2 |x| ;

e) y = 3x2 + 6 |x| + 3 ;

f) y = x2 + 4 |1 − x| ;

g) y = |x2 + 1| + |x| ;

h) y = (x + 1) |x − 2| ;

i) y =

|x2 −4| x2 −4

x2 ;

Zad.3 Rozwiąż równania: a) x2 + 8x + 12 = 0 ;

b) x2 − x − 30 = 0 ;

c) x2 + 12x − 108 = 0 ;

d) 3x2 − 4x = 39 ;

e) x2 + 2 32 x − 1 = 0 ;

c) 34 x2 − 5x + 8 = 0 ;

d) −7x2 + 42x = 0 ;

e) 41 x2 −

f) (x − 1)(x − 2) = 20 ;

g) 4(x2 − 1) = 4x − 1 ;

h) (x + 3)2 − (x + 4)2 = 3x2 ;

1 9

=0;

i) x2 + 3x +

√

5=0;

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 2

Zad.4 Rozwiąż równania kwadratowe z wartością bezwzględną: a) x2 − 5 |x| + 4 = 0 ;

b) 2x2 − |x − 3| = 0 ;

c) −4x2 + 12 |x| − 1 = 0 ;

d) |3x2 − 3| − 4x = 0 ;

e) (x − 1) |x + 1| − 3 = 0 ;

f) 2x2 − 3x = |x2 − 4| + 2 ;

g) |x2 − 1| = |x + 1| ; Zad.5

h) |x2 − 1| = 2 |x2 − 3|

Rozwiąż algebraicznie i graficznie równania: a) |x2 − 2x| = 1 ;

b) |x2 + 6x + 5| = 3 ;

d) |x2 − 6x + 7| = 2 ;

e) |−x2 + 5x − 6| =

1 4

c) |−x2 + 2x + 25| = 10 ; ;

c) |x2 + 4x + 4| = 4 ;

d) |−2x2 + 3x − 4| = 2, 8 Zad.6 Rozwiązać równania: a) f (x − 1) = 4, jeśli f (x) = x2 + x − 2 ;

b) f (x) = 0, jeśli f (x − 1) = x2 + 3x − 2 ;

Zad.7 Rozwiąż nierówności kwadratowe: a) x2 − 6x < 0 ;

b) 2x2 − 3x − 2 ­ 0 ;

c) 3x2 − 12x + 25 > 0 ;

d) −x2 + 8x + 12 ­ 0 ;

e) |−x2 + 5x| < 3x + 1 ;

f) |x2 + 4x + 4| ¬ 4 ;

g) |x2 − 4| ­ |x + 1| Zad.8 Obliczyć wartość funkcji f (x) = x2 +

1 x2

w punktach, w których x +

1 x

= 5.

Zad.9 Wyznaczyć najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego y = x2 + 4x + 1. Zad.10 Znaleźć maksimum funkcji y =

√

2 . 2x2 −4x+3

Zad.11 Dla jakich ”k” funkcja f (x) = x2 + kx + 1 jest malejąca w przedziale (−∞, 1) i tylko w tym przedziale? Zad.12 Wykres funkcji y = ax2 + bx + c przechodzi przez punkty A(−2, 6) , B(8, 16), a wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji należy do prostej x = 0. Wyznacz tę funkcję.

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 3

Zad.13 Dla jakich wartości parametru ”t” wyrażenie √

x x2 −8x+|t|

jest określone dla każdego x ∈ R?

Zad.14 Dla jakich wartości parametru ”m” najmniejsza wartość funkcji f (x) = (3m − 5)x2 − (2m − 1)x + 14 (3m − 5) jest liczbą dodatnią? Zad.15 Dla jakich wartości parametru ”m” równanie ma dokładnie jeden pierwiastek? Znajdź ten pierwiastek. a) mx2 + 2(m − 1)x + m − 3 = 0 b) (8m − 11)x2 − 5x + m − 1 = 0 c) (m − 1)x2 − 2(m + 1)x + m − 2 = 0 Zad.16 Dla jakich wartości parametru ”m” funkcja: a) f (x) = x2 − mx + 1 b) f (x) = mx2 − x + m przyjmuje tylko wartości dodatnie? Zad.17 Dla jakich wartości parametru ”m” liczba 2 leży między pierwiastkami równania x2 + 4mx + 3m2 = 0? Zad.18 Dla jakich wartości parametru ”m” równanie mx2 − x − 3 = 0 ma dwa pierwiastki spełniające warunki x21 + x22 = 7? Zad.19 Dla jakich wartości parametru ”a” suma kwadratów pierwiastków równania x2 + ax + 4 = 0 jest dwa razy większa od sumy tych pierwiastków? Zad.20 Dla jakich wartości parametru ”k” suma kwadratów pierwiastków równania x2 + (k − 3)x + k − 5 = 0 jest najmniejsza? Zad.21 Sporządź wykes funkcji f (m) , gdzie f (m) jest liczbą pierwiastków równania √ (m − 1)x2 + m 7x + m2 + m + 1 = 0?

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 4

Zad.22 Dla jakich wartości parametru ”m” równanie x2 + 3x −

m−2 m−3

= 0 ma pierwiastki rzeczywiste?

Wyznacz wartość parametru ”m”, dla którego suma sześcianów pierwiastków tego równania równa jest −9. Zad.23 Dla jakich wartości parametru ”m” różnica pierwiastków równania (m−2)x2 −(m−4)x−2 = 0 wynosi 3? Zad.24 Dla jakich wartości parametru ”m” pierwiastki równania x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 są zawarte miedzy −2 i 4 ? Zad.25 Znaleźć trójmian kwadratowy znając sumę jego pierwiastków 8, sumę odwrotności jego pierwiastków

2 3

i wiedząc, że dla x = 0 przyjmuje on wartość 24.

Zad.26 Dana jest funkcja y = (2m − 3)x2 + 4mx + m − 1 a) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta przyjmuje wartości ujemne dla każdego x ∈ R? b) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta ma różne miejsca zerowe spełniające warunek −mx1 x2 < x1 + x2 ? c) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta jest funkcją liniową? Zad.27 Dane jest równanie (m − 5)x2 − 4mx + m − 2 = 0. Dla jakich wartości parametru m równanie: a) Posiada dokładnie jeden pierwiastek. Dla wyznaczonych wartości m oblicz ten pierwiastek. b) Posiada dwa pierwiastki różnych znaków. Zad.28 Wyznacz liczbę rzeczywistych pierwiastków równania x |x| = x + c w zależności od parametru c. Zad.29 Niech f (m) oznacz liczbę pierwiastków równania |4x2 − 4x − 3| = m. Narysować wykres funkcji m → f (m). Zad.30 Znaleźć liczby p i q takie, aby trójmian x2 + px + q dla wartości x spełniających warunek 1 < x < 5 i tylko dla tych wartości, był mniejszy od x.

Inżynieria Materiałowa -

mgr Małgorzata Suchecka - 5

Zad.31 Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax2 +bx+c, jeżeli do wykresu należy punkt A = (3, 0) i ymax = 12 dla x = 1. Zad.32 Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax2 +bx+c, jeżeli do wykresu należy punkt A = (1, 1) i ymin = 0 dla x = 3. Zad.33 Pierwiastkami wielomianu f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, są liczby −1 i 2. Obliczyć

f (1) . f (0)

Zad.34 Wykres funkcji y = −2x2 +4x−5c jest styczny do osi odcietych. Wyznaczyć wartość parametru c. Zad.35 Z kawałka płótna w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie 2 m i wysokości opuszczonej na tą podstawę równej 1 m, hafciarka chce wyciąć prostokątną serwetę o największym polu powierzchni. Jakie wymiary powinna mieć ta serweta? Zad.36 Tabela pokazuje częściowe wyniki obserwacji dotyczącej związku między liczbą osób zwiedzających muzeum a porą dnia. Muzeum otwarte jest w godzinach: 900 − 1900 . pora dnia

1000

liczba osób zwiedzających

58

1200

1800 40

.

10

Przyjmując, że funkcja f (x) = −1, 5x2 +bx+c, gdzie x-oznacza porę dnia wyrażoną w godzinach, dobrze opisuje tez związek: a) wyznacz współczynniki b oraz c b) uzupełnij tabelę. Zad.37 "

#

km Kierowca ustalił, że drogę długości 208km może przejechać z pewną stałą prędkością V , h km większą, wówczas trasę tę pokonałby w w czasie t [h]. Gdyby zaś jechał z predkością o 13 h czasie 0, 8h krótszym. Oblicz, jaką predkość ustalił kierowca.