8. Podpasmowe

FILTRACJA PODPASMOWA (ang. SUBBAND FILTERING) Tematy: 1. Podpróbkowanie 2. Nadpróbkowanie 3. Dwukanałowa filtracja podpasmowa 4. Perfekcyjna rekonstrukcja 5. M-kanałowa filtracja podpasmowa 1

Dekompozycja i rekonstrukcja falkowa, czyli trochę powtórki 2

H

cm

2

~ H

c m 1

 2

G

dm

2

cm1

~ G

sm1 (t )   cm1,n m1,n (t ) n

cm,n   hk  2 n cm1,k k

d m,n   g k  2 n cm1,k k

~ cm1,n   hn2 k cm,k   g~n2 k d m,k k

k

2

Schemat wielorozdzielczej dekompozycji falkowej (3 poziomy)

3

Rysunek podpróbkowania ze stałą 2 (ang. subsampling down-sampling, decimation)

Sygnał oryginalny

Sygnał po podpróbkowaniu

4

Rysunek podpróbkowania ze stałą M=3 Sygnał przed podpróbkowaniem 2 1 0 -1 -2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Sygnał po podpróbkowaniu 2 1 0 -1 -2

0

5

10

15

20

25

30

35

5

Model matematyczny podpróbkowania ze stałą M s we

M

1 s ( z)  M wy

ze

M 1

s wy (n)  s we (nM )



we 1/ M m s z w  M

t wy  Mt we



m 0

gdzie

2 j f

1 sˆ ( f )  M wy

s wy

M 1



wM  e 2 j / M

we ˆ s  ( f  m) / M

m 0



f 

f  0, 0.5 fp

6

 przy Sprawdzenie modelu podpróbkowaniu ze stałą 2 1 s ( z)  M wy

 s z

M 1

we

1/ M

m 0

wMm

w2  e j  1



s wy ( z )  0,5 s we ( z 0,5 )  s we ( z 0,5 )

s we

 H

2

2

s wy

s wy

s we



s wy ( z )  0,5 H ( z 0,5 ) s we ( z 0,5 )  H ( z 0,5 ) s we ( z 0,5 )

 7

Rysunek nadpróbkowania ze stałą 2 (ang. up-sampling)

Sygnał oryginalny

Sygnał po nadpróbkowaniu

8

Rysunek nadpróbkowania ze stałą M=3 2 1 0 -1 -2

0

5

10 15 20 25 S y g n a ł p rz e d n a d p ró b k o wa n ie m

30

35

2 1 0 -1 -2

0

10

20

30

40 50 60 70 S y g n a ł p o n a d p ró b k o wa n iu

80

90

100

9

Model matematyczny M-nadpróbkowania s we

M

s wy

we  s (n / M ) gdy n modM  0 wy s ( n)   dla pozostalych 0

wy we n  nM s ( n ) z  s ( n ) z   n

z0

n

z3

z6

2 4 5 z1 z z z

t wy  t we / M

0

1

2

n

s wy ( z )  s we ( z M ) ze

2 j f

sˆ wy ( f )  sˆ we ( M f ) 10

Widmo sygnału nadpróbkowanego ze stałą M=8 s we

0.06

s wy

8 0.06

s1

s2

0.04

0.02

0

in

Amplitude

Amplitude

in

0

5512.5

11025

16537.5

0.04

0.02

0

22050

0

5512.5

Fre que nc y [kHz]

11025

16537.5

22050

Fre que nc y [kHz]

0.06

0.06

s1

s2

( 8)

0.04

0.02

0

0

5512.5

11025

16537.5

22050

in

Amplitude

Amplitude

in

( 8)

0.04

0.02

0

0

Fre que nc y [kHz]

5512.5

11025

16537.5

22050

Fre que nc y [kHz]

sˆ wy ( f )  sˆ we (8 f ) 11

Przemienność filtracji z pod- i nadpróbkowaniem Podpróbkowanie: 1 s ( z)  M wy

H(zM) 1 s ( z)  M wy

M



M

 H w

M 1 m 0

mM M

z

M /M

s w we

G(zM)

m M



   

s wy ( z )  G z M s we z M

z



1  H ( z) M

G(z)

we 1/ M m s z w  M m 0

H(z)

M 1/ M



M 1

 s w

M 1

we

m0

m M

z1/ M



M

Nadpróbkowanie:

s wy ( z )  s we ( z M ) 12



Schemat filtracji dwukanałowej Dekompozycja

H1

2

Synteza

G1

2



H2

2

2 H,1 H,2

G2 G1 filtry dolnoprzepustowe G2 filtry

górnoprzepustowe

13

Perfekcyjna rekonstrukcja (ang. perfect reconstruction)

s

we

H1

2

2

G1

s wy



H2

2

2

G2

df

s wy ( z )  c z  k s we ( z ) 14

Model dekompozycji sygnału

H0

u0

s we u1 H1

u 0 ( z )  H 0 ( z ) s we ( z ) u 1 ( z )  H1 ( z ) s we ( z )

15

Model sekwencji pod- i nadpróbkowania

sd0 (n) 





1 1  (1) n sd (n) 2

Mnożąc obustronnie przez 0 d

s ( n) z

n



sd

2

sm

2

s d0

z  notrzymujemy

1  sd (n) z n  sd (n) (1) n z n 2



dla

n

Sumując po wszystkich n dostajemy 1 n n n  n s (n) z  2 n sd (n) z  n sd (n) (1) z  0 d

n

1 s ( z )  sd ( z )  sd (  z ) 2 0 d

16

Model syntezy sygnału s d0 Hs

s ( z )  H s ( z ) s ( z )  Gs ( z ) s ( z ) 0 d

wy

gdzie

s d0 ( z ) 

0 g

1 sd ( z )  sd ( z ) 2



1 s ( z )  s g ( z )  s g ( z ) 2 0 g

s wy ( z ) 

s dwy 

s g0

s wy

Gs

s gwy





1 1 H s ( z ) sd ( z )  sd ( z )  Gs ( z ) s g ( z )  s g ( z ) 2 2

 17

Model całego systemu s wy ( z ) 



1 H s ( z ) H d ( z ) s we ( z )  H d ( z ) s we ( z ) 2







1  Gs ( z ) Gd ( z ) s we ( z )  Gd ( z ) s we ( z ) 2 1 s wy ( z )  H s ( z ) H d ( z )  Gs ( z ) Gd ( z )s we ( z ) 2 1  H s ( z ) H d ( z )  Gs ( z ) Gd ( z )s we ( z ) 2

W zapisie macierzowym  H d ( z ) H d ( z )  s we ( z )  1 s ( z )  H s ( z ) Gs ( z )    we  ( ) ( ) G z G z 2  ( ) s z d   d  wy

18

Warunki perfekcyjnej rekonstrukcji s wy ( z ) 

s wy ( z )  c z  k s we ( z )



1 H s ( z ) H d ( z )  Gs ( z ) Gd ( z )s we ( z ) 2

1 H s ( z) H d ( z)  Gs ( z) Gd ( z)s we ( z) 2

H s ( z ) H d ( z )  Gs ( z )Gd ( z )  0

H s ( z ) H d ( z )  Gs ( z )Gd ( z )  2c z  k

19

Perfekcyjna rekonstrukcja przy pomocy filtrów typu FIR

H d ( z )Gd ( z )  H d ( z )Gd ( z )  2 z 2 k 1

H s ( z )

Gs ( z )  c z  k Gd ( z )  H d ( z )

20

Rysunek M-kanałowej dekompozycji i syntezy sygnału u0 ( n )

H0 s

we

u1 (n )

H1

M

M

uM 1 ( n )

H M 1

M

y0 ( n )

y1 ( n )

M

M

y M 1 ( n )

v0 ( n )

v1 ( n )

G0 G1



s wy

vM 1 ( n )

M

GM 1 21

Model M-kanałowej dekompozycji sygnału 1 si ( z )  M

M 1



 



 



wM  e 2j / M

1/ M m we 1 / M m H z w s z wM  i M

m 0



1 we s ( z)  H z1/ M s z1/ M M

s ( z )  s0 ( z ) s1 ( z )  sM 1 ( z )   M T

gdzie



M 1 M

s ( z )  s ( z ) s ( wM z )  s ( w we

we

we

 H 0 ( z) H 0 ( wM z )  H ( z) H 1 ( wM z ) H ( z)   1      H M 1 ( z ) H M 1 ( wM z )

we



T

z)  M

H 0 ( wMM 1 z )    H 1 ( wMM 1 z )    M M      H M 1 ( wMM 1 z ) 

22

Model matematyczny M-kanałowej syntezy i dekompozycji sygnału

M 1

s ( z )   Gm ( z ) sm ( z M )  G T ( z ) s ( z M ) wy

m 0

gdzie G ( z )  G0 ( z )  GM 1 ( z )  M



 

1 we 1 / M 1/ M s ( z)  H z s z M s wy ( z ) 



1 we G( z) H ( z) s ( z) M 23

Warunek perfekcyjnej rekonstrukcji w M-kanałowym systemie s wy ( z ) 



1 G ( z ) H ( z )  cz k M

0  0

1 we G( z) H ( z) s ( z) M



czyli 1 M

M 1

G

m 0

M 1

G

m 0

m

m0

( z ) H m ( z )  cz k

( z ) H m ( wM z )  0

M 1

G

m

m

( z ) H m ( wMM 1 z )  0 24