Analiza matematyczna R

Ćwiczenia informacje- MICHAŁ Trzesiok
http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/gr101KL.pdf
Konsultacje:
śr 950-1120 pokój 312D
e-mail: [email protected]
4 kartkówki po 20 pkt. Brak poprawy.
Wykład 1
Teoria mnogości – to dział matematyki, którego przedmiotem jest badanie ogólnych właściwości zbiorów. Pojęciami pierwotnymi teorii mnogości są:
zbiór
przynależność elementu Aksjomatyka teorii mnogości
Aksjomat istnienia – istnieje co najmniej jeden zbiór
Aksjomat równości wzoru
Jeżeli zbiory A i B mają te same elementy, to zbiory te są równe.
Aksjomat sumy
Dla każdych zbiorów A i B istnieje zbiór zawierający wszystkie elementy zbiorów A i B oraz nie zawierający innych elementów.
Aksjomat podzbiorów (wyróżniania)
Dla każdego zbioru A i dowolnej formuły p(x) istnieje zbiór
{xϵA; p(x)}
czyli zbiór tych elementów x ze zbioru A, które mają własność wyrażoną formułą p(x)
Aksjomat zbioru potęgowego Dla każdego zbioru A istnieje zbiór P(A) (lub inaczej 2A)
o elementach będących wszystkimi podzbiorami zbioru A.
Aksjomat wyboru
Dla dowolnego rozkładu zbioru A na niepuste i wzajemnie rozłączne podzbiory A, istnieje zbiór mający z każdym z tych podzbiorów dokładnie jeden element wspólny. SZCZEGÓLNE ZBIORY LICZB
Zbiór liczb naturalnych
Pojęciami pierwotnymi w tym zakresie są:
liczba naturalna 1
własność następowania (bycia pewnikiem)
Aksjomaty arytmetki zbioru liczb naturalnych
1 jest liczbą naturalną
1 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej
dla każdej liczby naturalnej istenieje dokłądnie jedennastępnik
dwie liczby naturalne mające ten sam następnik są równe
jeżeli A jest podzbiorem zabioru liczb naturalnych takim,że 1należyA oraz dla każdej liczby naturalnej k należy A jej następnik k+1nalezyA, to kazda liczba naturalna należy od A
jest to tzw. zasada indukcji matematycznej zupełnej
Zbiór liczb rzeczywistych
Przyjmujemy następujące oznaczenia
N={1,2,3,4…,} - zbiór liczb naturalnych
C={…,-2,-1,0,1,2,3,…} - zbiór liczb całkowitych
W={m/n, m, n ϵ C n≠0} – zbiór liczb wymiernych
Liczby, które nie są postaci m/n nazywamy niewymiernymi, np. π
Q – zbiór liczb niewymiernych
R=W+Q
2. Teoria mocy Ilość elementów zbioru skończonego nazywamy liczebnością zbioru Ilość elementów zbioru nieskończonego nazywamy mocą zbioru. Ilość elementów zbioru A oznaczamy liczbami kardynalnymi. card(A) Uwagi:
Liczby kardynalne zbiorów skończonych są liczbami naturalnymi
Istnienie liczb kardynalnych jest aksjomatem teorii mocy
Zbirom nieskończonym odpowiadają odpowiednie właściwe liczby kardynalne Dwa zbioru nazywamy równolicznymi, jeżeli każdemu elementowi jednego z tych zbiorów odpowiada dokładnie jeden element drugiego zbioru.
Zbiory skończone o tej samej ilości elementów są równolicznymi. Zbiory nieskończone, których elementy można ustawic w ciąg nazywamy zbiorami przeliczalnymi lub zbiorami mocy przeliczalnej.
Zbiór liczb naturalnych N jest przeliczalny.
Moc zbioru liczb naturalny oznaczamy symbolem: card(N) = אO Równoliczne ze zbiorem N (liczb naturalnych) są np. zbiór W (liczb wymiernych) oraz zbiór P (liczb parzystych).
Moc wszystkich zbiorów przeliczalnych oznaczamy symbolem: א
Zbiór liczb rzeczywistych R nie jest przeliczany.
Zbiór liczb rzeczywistych R jest mocy continum, co oznaczamy symbolem: card(R) = c (gotyckie) PODSTAWOWE WŁASNOŚCI MOCY ZBIORÓW I LICZBKARDYNALNYCH
Twierdzenie Cantora Moc zbioru jest mniejsza od mocy jego zbioru potęgowego czyli: card(A) < card[P(A)] = 2card(A)
Uwaga
Z powyższego twierdzenia wynika:
Istnieje nieskończenie wielu różnych liczb kardynalnych
Nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów
Hipoteza continuum Nie istnieją zbiory o mocy pośredniej między mocą zbioru liczb naturalnych i mocą zbioru liczb rzeczywistych, czyli nie istenieje liczba kardynalna większa od N(hebrajskie) i jednocześnie mniejsza od c(gotycka).
WYKŁAD 2
Ciągi
Ciągiem nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych N o wartościach w pewnym zbiorze Y.
Uwagi
Dziedziną ciągu jest zbiór liczb naturalnych.
Gdy Y jest zbiorem liczbowym to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.
Gdy Y jest zbiorem funkcji to ciąg nazywamy ciągiem funkcyjnym.
Gdy Y jest zbiorem macierzy to ciąg nazywamy ciągiem macierzowym.
Definicja
Wartości funkcji będącej ciągiem nazywamy wyrazami ciągu czyli: f(n)=an - n-ty wyraz ciągu
oraz
ciąg o wyrazach a1, a2, a3 ,…. , an , …. oznaczamy symbolem {an}
Ciąg nazywamy skończonym kiedy jego dziedzina jest skończony podzbiór zbioru liczb naturalnych.
Podciągiem ciągu {an} nazywamy ciąg {bn}, którego dziedzina zawiera się w dziedzinie ciągu {an}.
Działanie arytmetycznym na ciągach. Jeżeli symbolem # oznaczymy działanie arytmetyczne,to {an}#{bn} = {an#bn}.
CIĄGI LICZBOWE
Definicja
Ciąg {an} nazywamy ograniczonym. M zawiera się w R, n w N [|an| < M]
Uwagi
W przeciwnym przypadku ciąg nazywamy nieograniczonym
Analogicznie definiuje się ciągi ograniczone od góry lub od dołu
CIĄGI MONOTONICZNE
Def.
Ciąg {an] nazywamy rosnącym jeżeli każdy jego wyraz, jest większy od następnego.
Def.
Ciąg {an} nazywamy malejącym jeżeli każdy kolejny jego wyraz, jest mniejszy od następnego.
SZCZEGÓLNE RODZAJE CIĄGÓW
Ciągi arytmetyczne określone są następująco
a1 = a
an+1 = an + r gdzie r = const
dla ciągów arytmetycznych prawdziwe są następujące wzory.
An = a1 + (n-1)r
a1 + a2 + … + an = ((a1 + a n)n)/2
Ciągi geometryczne określone są następująco
q1 = b
gn+1 = gn * q gdzie q = const
Dla ciągów geometrycznych prawdziwe są następujące wzory
gn = b * qn-1
q1 + q2 + … + qn = b*(1-qn)/(1-q) dla q≠1
q1 + q2 + … + qn = b * n dla q=1
q1 + q2 + … + qn = b/(1-q) gdy: |q| 0] to lim 1/an = +oo
Jeżeli lim an = 0 i [an < 0] to lim 1/an = -oo
Jeżeli [lim an = +/-oo] to lim 1/an = 0
Podsumowanie
W rozważaniach dotyczących granic ciągów, decydujące znaczenie mają wyrazy począwszy od pewnego do nieskończoności.
GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Analiza matematyczna jest działem matematyki, której przedmiotem jest badanie funkcji za pomocą tzw. metod nieskończonych, czyli przy pomocy wykorzystania pojęcia granic ciągów i funkcji.
GRANICE FUNKCJI W tej części rozważań przyjmujemy że, y = f(x)bedzie odwzorowaniem które każdemu punktowi xnależyDf C R, przyporządkowuje dokładnie jeden punkt ynależy Vf C R, co oznaczone symbolem y = f(x) Takie odwzorowanie y=f(x) nazywamy funkcją.
Df – dziedzina funkcji y=f(x)
Vf – przeciwdziedzina y = f(x)
Definicja Couchy'ego granicy y = f(x) w punkcie x0.
G = lim f(x) {|x- x0| < δ → |f(x)- g| < ε}
uogólnienie i alternatywnymsformułowaniem powyższego wzoru jest następujący wzór
Uwagi
Powyższe uogólnienie dotyczy również funckji wielu zmiennych oraz granic w przestrzeni R i Rn z innymi metrykami, niż metryka euklidesowa.
Z podanych wyżej definicji granicy odczytujemy, że liczba g jest granicą funkcji y=f(x) w punkcie x0 wtedy, gdy dla kazddego otoczenia U(g,ε) granicy g istnieje takie sąsiedztwo S(x0, δ) punktu x0,że wszystkie punkty z tego sąsiedztwa są odwzorowane przez funkcję y=f(x) do otoczenia U(g,ε).
Definicja ciągu Heinego -definicja pomocnicza Ciąg {an} dla punktu x0 i Df jeżeli spełnia następujące przypadki
Wszystkie wyrazy ciągu należą do dziedziny funkcji.
Dla każdego n należącego do N są różne od x0, xn≠x0
Granica tegociąg xn. Jest równa x0. Ciąg ma granicę i jest ona równa x0 Def. Funkcja y = f(x) ma w punkcie x0 granicę równą g, jeżeli dla każdgo ciągu Hainegodla punktu x0 i Df zachodzi lim f(xn) = g
(patrz grzybek/chlebek)
Uwagi
Definicja Heinego wyraża pojęcie granicy funkcji za pomocą pojęcie granicy ciągu.
Definicja Heinego stosowana jest głównie do negatywnej weryfikacji problemu istnienia granic funkcji w odpowiednim punkcie x0(czyli dla wykazani, że granicy nie istnieje i nie ma określonej wartości).
Szczgólnym rodzajem granic, są granice niewłaściwe.(inaczej nieskończone) funkcji y = f(x) w punkcie x0 czyli:
lim f(x)= +oo lub lim f(x)= -oo
W oparciu o podane definicje sformułować w analogiczny sposób ścisłe granice (def) granic niewłaściwych.
Oraz granicę y = f(x) w punktach niewłaściwych (nieskończonych) czyli
limf(x) [x → +oo] oraz lim f(x)[x-→ -oo] Dla tych granic szczególnych można odpowiednio zmodyfikować ogólne definicje Cauchy'ego i Heinego
Zmodyfikować powyższe def (Cau/Hei) dla granic w punktach niewłaściwych.
GRANICE JEDNOSTRONNE
Definicja granicy prawostronna
lim f(x) = g(+) (dodatnie) ε>0 δ>0 xnależyD {0>x-x0 0 δ>0 xnależyD {0>x0-x 0 → ε>0 x nalezyU(x0,ε) f(x)>0
czyli, jeżeli granica funkcji y =f(x) w punkcie x0 jest dodatnia, to funkcja ta w pewnym otoczeniu punktu x0 przyjmuje wartości dodatnie.
Lim f(x) = g < 0 → ε>0 xnalezyU(x0,ε) f(x)oo) f(x)/x oraz b=lim(a-->oo)[f(x)-ax]
a=lim(a-->-oo) f(x)/x oraz b=lim(a-->-oo)[f(x)-ax]
Twierdzenie o asymptotach poziomych Prosta o równaniu y=b jest asymptotą poziomą wykresu funkcji y=f(x) gdy
b=lim(x-->+/-oo)f(x)
Definicja asymptoty pionowej Prosta x=c jest asymptotą pionową krzywej o równaniu y=f(x) jeżeli przynajmniej jedna granica jednostronnej funkcji w punkcie c jest niewłaściwa, czyli gdy:
lim(x-→c+/-) f(x) = +/-oo
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Definicja ciągłości funkcji w punkcie Funkcję y=f(x) nazywamy ciąglą w punkcie x0nalezy Dfx jeżeli ma ona w tym punkcie granicę równą wartości funkcji, czyli y=f(x) ciągła w punkcie x0należy Df ←→ lim(x→ x0) f(x) – f(x0)
Definicja ciągłości funkcji w zbiorze Funkcja y=f(x) nazywamy ciągłą w zbiorze A c Df jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie zbioru A.
Definicja ciąłgości funkcji w dziedzinie Funkcję y=f(x) nazywamy ciągłą, jeżeli jes ona ciągła w kazdym punkcie swojej dziedziny Df.
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
Twierdzenie Jeżeli funkcję y=f(x) oraz y=g(x) są ciągłe w punkcie x0 (lub w zbiorze A lub w dziedzinie Df), to suma, różnica, iloczyn i iloraz (gdy g(x0)) tych funkcji też są ciągłe w punkcie x0.
Zachowuje te 4 działania arytmetyczne przy odpowiednich ograniczeniach.
Twierdzenie Złożenie składanych funkcji ciągłych w punkcie x0 jest funkcją ciągłą w punkcie x0.
Twierdzenie Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i sielnie monotoniczna w zbiorze i dziedzinie jest funkcją ciągła w odpowiednim zbiorem.
Pyt: Co to są funkcje odwrotne? Oraz kiedy funkcja jest odwracalna?
Twierdzenie Bolzano – Couchy'ego Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] i przyjmuje na końcach tego przedziału różna znaki to ma ona co najmniej jeden pierwiastek w przedziale (a,b) czyli:
y=f(x) ciągła w przedziale [a,b] ^ f(a)*f(b) < 0 → f(x0)=0
JEDNOSTRONNA CIĄŪŁOŚC FUNKCJI
Definicja Funkcje y=f(x) nazywamy prawostronne ciągłą (lub ciągłą z prawej strony) w punkcie x0nalezy Df jeżeli istnieje granica prawostronna lim(x→x0) f(x) i równa jest ona wartości funkcji f(x0).
Twierdzenie o ciągłości funkcji Funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x0 należy Df wtedy i tylko wtedy gdy jest ona jednocześnie lewostronna ciągła oraz prawostronnie ciagła w punkcie x0.
Twierdzenie PwP (przyjmowania wartości pośrednich) Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] to przyjmuje ona w tym przeziale wszystkei wartości pośrednie między f(a) i f(b).
Twierdzenie Waierstrassa Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła i ograniczona w przedziale domkniętym [a,b] to przyjmuje ona w tym przedziale wartości najmniejszą i największa czyli:
Twierdzenie to ma szczególne znaczenie w procesach poszukiwania rozwiązań. (wartości najmniejszych i największych) Gdyż pozwala stwierdzić czy ekstrema i jest sens ich poszukiwania.
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNCKJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niech dana będzie funkcja y=f(x), oraz przyjmujemy stałe oznaczenia
X0 – ustalony punkt z wnętrza dziedziny Df
X – dowolny punkt dziedziny Df
∆x – przyrost zmiennej nezaleznej x
∆y – przyrost zmiennej zależnej y odpowiadający przyrostowi ∆x , czyli: ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)
Definicja ilorazy różnicowego Ilorazem różnicowym funkcji y=f(x) w punkcie x0 nazywamy następujące wyrażenie: Pochodne funkcji
Definicja pochodne rzędu pierwszego funkcji w punkcie. Pierwsza pochodna lub pochodna rzędu pierwszego funkcji y = f(x) w punkcie x0 nazywamy granicę ilorazu różnicowego funkcji y=f(x) w punkcie x0 przy ∆x 0 i oznaczamy symbolem f(x) czyli: Interpretacja geometryczna pierwszej pochodnej
Lim (∆->0) czyli:
F(x) – współczynnik kierunkowy stycznej S do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie x0 Definicja funkcji różniczkowej w punkcie
Funckje y=f(x) nazywamy różniczkowalną w punkcie x0należy Df jęzeli ma ona pierwsząpochodną w tym punkcie. W przypadku przeciwnym funkcję nazywamy nieróżniczkowalną. Definicja funkcji różniczkowalnej w przedziale
Funkcję nazywamy różniczkowalną w przedziale (a,b) zawiera się w Df Jeżeli jest ona różniczkowalną w każdym punkcje tego predziału. Definicja funkcji różniczkowalnej (w dziedzinie)
Funckję nazywamy różniczkowalną jeżeli jest ona różniczkowalna w każdym punkcie swoejj dziedziny. Definicja
Funkcję f(x) określoną następująco
Podstawowe wozry na pochodne wybranych funkcji (c)’ = 0 (a*x)’ = a (pierwiastek z x)’ = 1/2pierwiastki z x (1/x)’= -1/x2 (sinx)’=cosx (cosx)’= -sinx (ex)’=ex (ln x)’ = 1/x (arctgx)’=1/(x2+1)
Ogólne własności pierwszej pochodnej
Jeżeli funkcji y =f(x) i y=g(x) są różniczkowalne to: [f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x) [f(x)-g(x)]’=f’(x)-g’(x) [a*f(x)]’=a*f’(x) [f(x)*g(x)]’=f’(x)*g(x)+f(x)*g(X) [f(x)/g(x)]=
Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcje y=f(x) oraz z=g(y) są różniczkowalne to funkcja złożona z=g[f(x)] też jest różniczkowalna oraz {g[f(x)]}’=g’[f(x)]*f’(x)
Czyli, pochodna funkcji złożonej jest iloczynem pochodnych funkcji składających się na złożenie.
Y=2x3-7x2+2x-27
Y’=(2x3-7x2+2x-27)’
Y’=(2x3)’-(7x2)’+(2x)-(27)
Y=3*2x3-1-2*7x2-1+1*2x1-1-0
Y=6x2-14x+2
CHARAKTERYSTKI ZMIENNOŚCI FUNKCJI Zakładamy że funkcja y=f(t) jest funkcją czasu twzwiązku z tym przyjmujemy następujące definicje
Definicja 1 Prędkością zmiany funkcji y=f(t) nazywamy : P(y) = y’ lub P(f)=f’(t)
Definicja 2 Tempem wzrostu funkcji y=f(t) nazywamy wzgędną wartość prędkości zmiany funkcji czyli:
T(y)=y’/y lub T(f)=f’(x)/f(x)
Definicja 3 Elastycznosć funkcji y=f(t) nazywamy granicę stosunku względnego przyrostu wartościfunkcji do względnego przyrostu argumentu gdy ∆t 0 czyli Et(y) = t/y * y’ Interpretacja