1
1) Pojęcie całki nieoznaczonej. Tablica całek podstawowych
Całka nieoznaczona (zwana także funkcją pierwotną), jest to funkcja ,ܨ której pochodna ...
5 downloads
5 Views
1
1) Pojęcie całki nieoznaczonej. Tablica całek podstawowych
Całka nieoznaczona (zwana także funkcją pierwotną), jest to funkcja ,ܨ której pochodna jest równa
݂, ܨᇱ
= ݂. Proces wyznaczania funkcji pierwotnej nazywa się całkowaniem i może być postrzegany
jako działanie odwrotne do wyznaczania pochodnej.
Tablica całek podstawowych
1. 0݀ݔ = ܥ
2. ݔఈ
݀ݔ =
௫ഀశభ
ఈାଵ
+ ,ܥ ߙ ≠ −1
3.
ௗ௫
௫
= ln||ݔ + ܥ
4. ܽ௫
݀ݔ =
ೣ
୪୬
+ (ܥ ݁௫
݀ݔ = ݁௫
)
5. sinݔ ݀ݔ = − cos ݔ + ܥ
6. cos ݔ ݀ݔ = sin ݔ + ܥ
7.
ௗ௫
ୡ୭ୱమ ௫
= tg ݔ + ܥ
8.
ௗ௫
ୱ୧୬మ ௫
= − ctg ݔ + ܥ
9.
ௗ௫
మା௫మ =
ଵ
arctg
௫
+ ܥ
10.
ௗ௫
√మି௫మ
= arcsin
௫
+ ܥ
11.
ௗ௫
మି௫మ =
ଵ
ଶ
ln ቚ
ା௫
ି௫
ቚ + ܥ
12.
ௗ௫
ඥ௫మ±మ
= ln ቚݔ + ඥݔଶ ± ܽଶቚ + ܥ
13. sh ݔ ݀ݔ = ch ݔ + ܥ
14. ch ݔ ݀ݔ = sh ݔ + ܥ
15.
ௗ௫
ୡ୦మ ௫
= th ݔ + ܥ
16.
ௗ௫
ୱ୦మ ௫
= − cth ݔ + ܥ
2) Całkowanie przez podstawianie, całkowanie przez części w całce
nieoznaczonej. Przykłady.
Całkowanie przez podstawianie.
Przykłady:
න cosଷ
ݔ ∗ √sinݔ ݀ݔ = න cos ݔ ∗ cosଶ
ݔ ∗ √sin ݔ ݀ݔ = න(1 − sinଶ
)ݔ ∗ √sin ݔ ݀(sin)ݔ =
= [ݐ = sin]ݔ = න(1 − ݐଶ) ∗ √ݐ݀ݐ = න ݐ
ଵ
ଶ − ݐ
ହ
ଶ ݀ݐ =
2 ∗ ݐ
ଷ
ଶ
3
−
2 ∗ ݐ
ଶ
7
=
=
2 ∗ √sinଷ ݔ
3
−
2√sin ݔ
7
+ ܥ
2
න
ln ݔ ݀ݔ
1√ݔ + ln ݔ
= න
ln ݔ ݀(ln )ݔ
√1 + ln ݔ
= [ln ݔ = ]ݐ = න
ݐ݀ݐ
√1 + ݐ
= න ݐ ∗ (1 − )ݐି
ଵ
ଶ ݀ݐ =
= න ݐି
ଵ
ଶ + ݐ
ଵ
ଶ݀ݐ = 2ݐ
ଵ
ଶ −
2ݐ
ଷ
ଶ
3
=
2 (ln )ݔ
ଷ
ଶ
3
+ 2 ln ݔ
ଵ
ଶ + ܥ
Całkowanie przez części:
න ݒ݀ݑ = ݑ ∗ ݒ − න ݑ݀ݒ
Przykład:
න ݔ ∗ ݁௫
݀ݔ = ቂ
ݑ = ݔ ݀ݑ = ݁௫
݀ݔ
݀ݑ = ݀ݔ ݑ = ݁௫ ቃ = ݔ ∗ ݁௫
− න ݁௫
݀ݔ = ݔ ∗ ݁௫
− ݁௫
= ݁௫(ݔ − 1) + ܥ
3) Całka oznaczona, definicja. Interpretacja geometryczna.
Pojęcie funkcji pierwotnej było historycznie blisko związane z zadaniem obliczania pola. Przyjmując
tylko dodatnie wartości, rozpatrzmy figurę ABCD. Figurę tego typu będziemy nazywali trapezem
krzywoliniowym.
Podzielmy podstawę AB na mniejsze odcinki w dowolny sposób i poprowadźmy przez punkty
przedziału odcinki pionowe. W taki sposób rozcinamy trapez.
Każdy taki pasek zastąpimy teraz przybliżonym prostokątem o podstawie takiej samej co dany pasek i
wysokości równej jednej rzędnej wysokości paska, np. skrajny z lewej strony. W ten sposób figurę
krzywoliniową zastąpimy pewną figurą schodkową, składającą się z poszczególnych prostokątów.
Niech liczby ܽ = ݔ < ݔଵ < ݔଶ < ⋯ < ݔ < ݔାଵ < ⋯ < ݔ = ܾ () oznaczają odcięte punktów
przedziału. Podstawa ݅ tego prostokąta Δݔ = ݔାଵ − ݔ. Wysokość tego prostokąta wynosi ݕ.
3
Zatem pole tego prostokąta = ݕ ∗ Δݔ = ݂(ݔ) ∗ Δݔ. Sumując pola tych wszystkich prostokątów p
przybliżeniu otrzymujemy pole ܲ trapezu krzywoliniowego.
ܲ = Σୀ
ିଵ
= ݂(ݔ) ∗ Δݔ
Przy nieograniczonym zmniejszaniu Δݔ błąd w tej równości zmierza do 0.
ܲ = lim
௫→
Σୀ
ିଵ
݂(ݔ) ∗ Δݔ ()
Zauważmy, że przypadek gdy funkcja f ma także ujemne wartości jest rozstrzygnięty dzięki uwadze że
pole funkcji znajdujące się pod osią ܱܺ ma wartość ujemną. Dla oznaczenia granicy tej sumy,
niemiecki matematyk Leibnitz wprowadził symbol ,ݔ݀ݕ natomiast gdy funkcja jest w przedziale< ܽ, ܾ >→ ݔ݀ݕ
, gdzie ܽ, ܾ - granice całkowania.
ܲ = න ݂(ݔ݀)ݔ
Granice w postaci () odgrywają szczególnie ważną rolę w analizie matematycznej.
Niech będzie dana funkcja ݕ = ݂()ݔ w przedziale < ܽ, ܾ >. Rozbijamy ten przedział w dowolny
sposób na części wstawiając pomiędzy ܽ i ܾ punkt podziału (1). Największą z różnic Δݔ, gdzie
݅ = 0,1, … , ݊ − 1 będziemy oznaczać ߣ.
max(Δݔ) = ߣ
W każdym z odcinków [ݔ, ݔାଵ] wybieramy dowolny punkt ݔ oznaczony przez ߦ
(ݔ ≤ ߦ ≤ ݔାଵ) i utworzymy sumę oznaczoną przez Σ
ߪ = Σୀ
ିଵ
݂(ߦ) ∗ Δݔ
Suma Σ przy ߣ → 0 ma skończoną granicę ܫ
ܫ = limఒ→ ߪ = ,ܫ jeżeli dla każdej, z góry zadanej wartości ߳ można znaleźć taką dodatnią liczbę ߪ
jeżeli tylko ߣ < ߪ (to znaczy, że rozpatrywany odcinek ܤܣ jest rozbity na części długości Δݔ i mniejsze
niż ߪ) to nierówność |ߪ − |ܫ < ߳ zachodzi przy dowolnym wyborze liczb ߦ, ܫ i nazywamy całką
oznaczoną.
4) Sumy Darboux i ich własności, kryterium istnienia całki oznaczonej.
inf − kres dolny
sup – kres górny
Dolna suma Darboux: ݏ = Σୀ
ିଵ
݉ ∗ Δݔ
݉ = inf ݂()ݔ , ݔ ∈ < ݔ, ݔାଵ >4
Górna suma Darboux: ܵ = Σୀ
ିଵ
ܯ ∗ Δݔ
ܯ = sup ݂()ݔ , ݔ ∈< ݔ, ݔାଵ >ݏ ≤ ߪ ≤ ܵ
Całka istnieje, gdy (ߣ −długość największego odcinka)
lim
→
ܵ − ݏ = 0
5) Klasy funkcji całkowalnych
1. Każda funkcja ݂()ݔ ciągła w przedziale < ܽ, ܾ > jest w tym przedziale całkowalna.
2. Każda funkcja ݂()ݔ ograniczona w przedziale < ܽ, ܾ > i mająca w nim tylko skończoną
ilość punktów nieciągłości jest w tym przedziale całkowalna.
3. Funkcja monotoniczna i ograniczona jest całkowalna.
Dwa rodzaje punktów nieciągłości
1. lim௫→ష = ܾ , lim୶→ୟశ = ܿ
2. lim୶→ష = −∞, lim௫→శ = ∞
6) Własności całek oznaczonych (1-10)
1. Jeśli funkcja ݂()ݔ jest całkowalna w przedziale < ܾ, ܽ > to jest ona również całkowalna w
przedziale < ܽ, ܾ > i ponadto ݂(ݔ݀)ݔ
= − ݂(ݔ݀)ݔ
2. Zakładamy, że funkcja ݂()ݔjest całkowalna w największym z przedziałów< ܽ, ܾ >, < ܽ, ܿ >, < ܿ, ܾ >Wtedy jest ona całkowalna w dwóch pozostałych przedziałach i ponad to przy dowolnym
wzajemnym położeniu punktów ܽ, ܾ, ܿ zachodzi równość
න ݂(ݔ݀)ݔ
= න ݂(ݔ݀)ݔ
+ න ݂(ݔ݀)ݔ
3. Jeśli funkcja ݂()ݔ jest całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ > to również funkcja ݇ ∗ ݂(,)ݔ
(݇- czynnik stały) jest całkowalna w tym przedziale i ݇ ∗ ݂(ݔ݀)ݔ
= ݇ ∗ ݂()ݔ
݀ݔ
4. Jeśli funkcje ݂()ݔ i ݃()ݔ są całkowalne w przedziale < ܽ, ܾ > to również funkcje
݂()ݔ ± ݃()ݔ są całkowalne i zachodzi równość
න [݂()ݔ ± ݃(ݔ݀])ݔ
= න ݂(ݔ݀)ݔ
± න ݃(ݔ݀)ݔ
5. Jeśli funkcja ݂()ݔ jest całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ > i nieujemna w tym przedziale
(przy czym ܽ < ܾ), to całka tej funkcji w tym przedziale również jest nieujemna
6. Jeśli ݂()ݔ jest całkowalna w przedziale
tej funkcji jest dodatnia
7. Jeśli dwie funkcje ݂(
(lub ݂()ݔ < ݃())ݔ to całka
න
8. Niech funkcja ݂()ݔbędzie całkowalna w przedziale
nierówność
(moduł całki jest mniejszy bądź równi niż całka modułu)
9. Jeśli ݂()ݔ jest całkowalna w przedziale
przedziale zachodzi nierówność
10. Twierdzenie o wartości średniej w całkach
Niech funkcja ݂()ݔ będzie całkowalna w przedziale
przedziale zachodzi nierówność
Gdzie ݉ ≤ ߤ ≤ ܯ ֞
ߤ
න ݂(ݔ݀)ݔ 0
jest całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ > i jest wszędzie dodatnia i
tej funkcji jest dodatnia
න ݂(ݔ݀)ݔ
> 0
()ݔ i ݃()ݔ są całkowalne w przedziale < ܽ, ܾ > i zawsze
) to całka ݂()ݔ również jest mniejsza bądź równa niż całka
න ݂(ݔ݀)ݔ
≤ න ݃(ݔ݀)ݔ
ቆන ݂()ݔ
݀ݔ < න ݃(ݔ݀)ݔ
( )będzie całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ > i ܽ < ܾ, wted
ቤන ݂(ݔ݀)ݔ
ቤ ≤ න |݂(ݔ݀|)ݔ
(moduł całki jest mniejszy bądź równi niż całka modułu)
jest całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ >, gdzie ܽ < ܾ i jeśli w całym tym
przedziale zachodzi nierówność ݉ ≤ ݂()ݔ ≤ ,ܯ to sama całka
݉(ܾ − ܽ) ≤ න ݂(ݔ݀)ݔ
≤ ܾ(ܯ − ܽ)
Twierdzenie o wartości średniej w całkach
będzie całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ > i niech w całym tym
przedziale zachodzi nierówność ݉ ≤ ݂()ݔ ≤ ,ܯ to wtedy
න ݂(ݔ݀)ݔ
= ߤ(ܾ − ܽ)
֞ ݉ ≤
(௫)ௗ௫
್
ೌ
ି
≤ ܯ ֞ ݉ ≤
ఓ
ି
≤ ܯ
5
i jest wszędzie dodatnia i ܽ < ܾ to i całka
zawsze ݂()ݔ ≤ ݃()ݔ
również jest mniejsza bądź równa niż całka ݃()ݔ
( )݀ݔቇ
, wtedy zachodzi
i jeśli w całym tym
i niech w całym tym
6
11. Uogólnione twierdzenie o wartości średniej
Zakładamy, że po:
1) Funkcje ݂()ݔ i ݃()ݔ są całkowalne w przedziale < ܽ, ܾ >.
2) ݉ ≤ ݂()ݔ ≤ ܯ
3) Funkcja ݃()ݔ ma w całym przedziale ten sam znak, wtedy całka iloczynu
න ݂()ݔ ∗ ݃()ݔ
݀ݔ = ߤ න ݃(ݔ݀)ݔ
7) Całka nieoznaczona jako funkcja górnej granicy całkowania. Jej własności.
Jeśli funkcja ݂()ݔjest całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ > to na mocy trzeciej własności funkcji
całkowalnych jest całkowalna również w podprzedziale < ܽ, ݔ > tego przedziału, gdzie ݔ jest
dowolną liczbą z przedziału < ܽ, ܾ >. Zastępując w całce oznaczonej górną granicę ܾ całkowania
przez zmienną ݔ otrzymujemy równanie:
ݎ ∗ Φ௫ = න ݂(ݐ݀)ݐ
௫
()
Zmienną całkowalną oznaczyliśmy literą ,ݐ w tym celu żeby nie mylić jej z górną granicą .ݔ Funkcja Φ
nazywa się właśnie całką ze zmienną górną granicą całkowania.
12. Jeśli funkcja ݂()ݔ jest całkowalna w przedziale < ܽ, ܾ > to funkcja Φ௫ jest funkcją ciągłą
zmiennej ݔ w tym przedziale
13. Jeśli funkcja ݂()ݔ jest ciągła w punkcie ݔ = ,ݐ to w tym punkcie funkcja Φ()ݔ ma
pochodną równą ݂()ݔ
Φ୶
ᇱ
= ݂()ݔ
Doszliśmy do wniosku mającego ogromne znaczenie zasadnicze. Jeśli założymy, że funkcja ݂()ݔ jest
ciągła w całym przedziale < ܽ, ܾ > to jest ona całkowalna w tym przedziale. Nasza ostatnia własność
da się zastosować w każdym punkcie tego przedziału:
14. Pochodna (1) względem górnej granicy całkowania ݔ jest wszędzie równa wartości
funkcji podcałkowej dla tej górnej granicy, innymi słowy dla funkcji ciągłej w przedziale< ܽ, ܾ > zawsze istnieje funkcja pierwotna i przykładem takiej funkcji pierwotnej jest
funkcja Φ௫ = ݂(ݐ݀)ݐ
௫
.
8) Wzór Newtona-Leibnitza (wyprowadzić dowód)
Jeśli )ݔ(ܨ jest dowolną funkcją pierwotną dla funkcji ݂()ݔ
ܳ()ݔ = )ݔ(ܨ + ܥ
7
Stałą C znajdujemy łatwo podstawiając w tej równości ݔ = ܽ
ܳ(ܽ) = )ܽ(ܨ + ܥ
0 = ܳ(ܽ) = )ܽ(ܨ + ܥ
ܿ = −)ܽ(ܨ
ܳ()ݔ = )ݔ(ܨ − )ܽ(ܨ
Następnie podstawiamy w tej równości ݔ = ܾ
ݔ = ܾ
ܳ(ܾ) = )ܾ(ܨ − )ܽ(ܨ
න ݂(ݔ݀)ݔ = )ܾ(ܨ − )ܽ(ܨ
= )ݔ(ܨ|
Jest to właśnie podstawowy wzór rachunku całkowego i nosi nazwę wzoru Newtona-Leibnitza. Wzór
N-L jest efektywnym i prostym środkiem na obliczanie całki.
9) Całki niewłaściwe. Przykłady
Wcześniej poznaliśmy pojęcie całki oznaczonej w przypadku przedziału skończonego i funkcji
ograniczonej ݂(.)ݔ Dzisiaj uogólnimy to pojęcie w różnych kierunkach. Zaczniemy od
nieskończoności.
Niech będzie dana funkcja ݂()ݔ w przedziale < ܽ, ∞) i całkowalna w każdej skończonej części< ܽ, ܣ > tego przedziału. Granica tej całki, czyli lim→ஶ ݂(ݔ݀)ݔ
nazywamy całką funkcji ݂()ݔ w
granicy < ܽ, ∞) i oznaczamy
න ݂(ݔ݀)ݔ
ஶ
= lim
→ஶ
න ݂(ݔ݀)ݔ
W przypadku, gdy ta granica jest skończona, mówimy że całka jest zbieżna, natomiast gdy granica jest
nieskończona lub nie istnieje, całka jest rozbieżna.
W odróżnieniu od zbadanej poprzednio całki właściwej, wprowadzoną całkę nazywamy całką
niewłaściwą.
Przykład:
݂()ݔ =
1
1 + ݔଶ
, < 0, ∞)
න
݀ݔ
1 + ݔଶ
= arctg ݔ |
= arctg ܣ − arctg 0 = arctg ܣ
න
݀ݔ
1 + ݔଶ
ஶ
= lim
→ஶ
arctg ܣ =
ߨ
2
න ݂(ݔ݀)ݔ
ஶ
ିஶ
= lim
→ஶ
→ିஶ
න ݂(ݔ݀)ݔ
8
න ݂(ݔ݀)ݔ
ஶ
= )∞(ܨ − )ܽ(ܨ = )ݔ(ܨ|
ஶ
න ݂(ݔ݀)ݔ
ஶ
ିஶ
= )∞(ܨ − )∞−(ܨ = )ݔ(ܨ|ିஶ
ஶ
sin()ݔ ݀ݔ
ஶ
= − cos ݔ |
ஶ
- całka rozbieżna
Rozpatrzmy teraz funkcję ݂()ݔ określoną w przedziale skończonym < ܽ, ܾ > lecz nieograniczoną w
tym przedziale.
0 < Ε < ܾ − ܽ
W granicy całki ݂(ݔ݀)ݔ
ି
, gdy lim→ nazywamy całką niewłaściwą funkcji ݂()ݔ w przedziale< ܽ, ܾ > i oznaczamy jako ݂(ݔ݀)ݔ
lim→ ݂(ݔ݀)ݔ
ି
= ݂(ݔ݀)ݔ
න
݀ݔ
√1 − ݔଶ
ଵ
න
݀ݔ
√1 − ݔଶ
ଵି
= arcsinݔ |
ଵି
= arcsin(1 − E) − arcsin 0 = arcsin1 − E
න
݀ݔ
√1 − ݔଶ
ଵ
= lim
→
arcsin1 − Ε =
ߨ
2
lim→ ݂(ݔ݀)ݔ
ା
= ݂(ݔ݀)ݔ
Pierwsza to całka niewłaściwa pierwszego rodzaju.
Druga to całka niewłaściwa drugiego rodzaju.
10) Pojęcie krzywej prostowalnej. Długość łuku krzywej.
Długość łuku krzywej
Rozpatrzmy krzywą płaską ,ܤܣ przedstawioną równaniami parametrycznymi
൜
ݔ = ߶()ݐ
ݕ = ߰()ݐ
, ݐ ∈< ߙ, ߚ > ()
Gdzie funkcje ߶ i ߰ są ciągłe i różniczkowalne w przedziale
ma punktów wielokrotnych, tak że
parametru .ݐ Przy tych założeniach krzywa nazywa się krzywą zwykłą, np.
Krzywa nie jest zwykła, ale przedział
ݐ ∈ (−∞, −1) (1, ∞
rozpatrywać. Obierzmy na krzywej (1) pewną liczbę punktów.
Pierwsza to całka niewłaściwa pierwszego rodzaju.
Druga to całka niewłaściwa drugiego rodzaju.
Pojęcie krzywej prostowalnej. Długość łuku krzywej.
, przedstawioną równaniami parametrycznymi
są ciągłe i różniczkowalne w przedziale < ߙ, ߚ >. Załóżmy też, że ta krzywa nie
ma punktów wielokrotnych, tak że każdy jej punkt może być otrzymany tylko dla jednej wartości
. Przy tych założeniach krzywa nazywa się krzywą zwykłą, np.
ە
۔
ۓ ݔ = ܽ
ݐଶ
− 1
ݐଶ + 1
ݕ = ܽݐ
ݐଶ
− 1
ݐଶ + 1
, ݐ ∈< −∞, ∞ >Krzywa nie jest zwykła, ale przedział (−∞, ∞) można rozbić na części
( ∞) w których krzywa ta jest zwykła . Takie krzywe będziemy
rozpatrywać. Obierzmy na krzywej (1) pewną liczbę punktów.
9
. Załóżmy też, że ta krzywa nie
każdy jej punkt może być otrzymany tylko dla jednej wartości
. Takie krzywe będziemy
W ten sposób, aby kolejność tych punktów była zgodna ze zwrot
skończony ciąg punktów odpowiadający rosnącym wartościom parametru
Łącząc te punkty kolejno odcinkami prostoliniowymi otrzymamy linię łamaną
wpisaną w krzywą .ܤܣ Ta łamana odpowiada danemu przedziałowi.
݈
Definicja: Długością krzywej ܤܣ nazywa się kres górny
wpisanych w tą krzywą. ݈ = sup
Jeśli ݈ jest liczbą skończoną to krzywą nazywamy prostowalną.
Twierdzenie: Jeśli funkcje (1) mają ciągłe
prostowalna i jej długość ݈ wynosi
Postać jawna
Postać biegunowa
ܯ = ,ܣ ܯଵ, ܯଶ, … , ܯ = ܤ
W ten sposób, aby kolejność tych punktów była zgodna ze zwrotem na krzywej, tzn. obieramy
skończony ciąg punktów odpowiadający rosnącym wartościom parametru ݐ
ݐ < ݐଵ < ݐଶ < ⋯ < ݐ = ܤ
Łącząc te punkty kolejno odcinkami prostoliniowymi otrzymamy linię łamaną ܯ,
. Ta łamana odpowiada danemu przedziałowi.
ݔାଵ − ݔ = ߶(ݐାଵ) − ߶(ݐ)
ݕାଵ − ݕ = ߰(ݐାଵ) − ߰(ݐ)
݈ =< ܯ, ܯାଵ >= ඥ[߶(ݐାଵ) − ߶(ݐ)]ଶ + [߰(ݐାଵ) − ߰(ݐ)]ଶ
݈ = Σୀଵ
݈
nazywa się kres górny ݈ zbioru długości ݈ wszystkich łamanych
ሼ݈ሽ.
jest liczbą skończoną to krzywą nazywamy prostowalną.
Twierdzenie: Jeśli funkcje (1) mają ciągłe ݅ − ݁ݐ pochodne w przedziale < ߙ, ߚ >wynosi
݈ = න ඥ߶ଶ()ݐ + ߰ଶ()ݐ ݀ݐ
ఉ
ఈ
ݕ = ݂(,)ݔ ݔ ∈< ܽ, ܾ >݈ = න ඥ1 + ݂ᇱଶ()ݔ
݀ݔ
10
em na krzywej, tzn. obieramy
, ܯଵ, ܯଶ, … , ܯ
]
wszystkich łamanych
to krzywa ܤܣ jest
Długość łuku krzywej w postaci biegunowej ma postać:
11) Pojęcie pola figury i jego obliczanie
Obszarem wielokątnym lub krócej
ograniczoną jedną lub kilkoma łama
figurę (ܲ), która jest obszarem ograniczonym.
Będziemy zawsze przyjmować, że jej brzeg (inaczej kontur
uwagę wszystkie możliwe wielokąty
zawierające figurę o polu ܤ (ܣ ≤
ܲ∗
−pole wewnętrzne
ܲ∗ − pole zewnętrzne
Definicja: Jeżeli kresy ܲ∗
i ܲ∗ są równe, to ich wspólna wartość
przypadku figurę (ܲ) nazywa się mierzalną i posiadającą pole.
Jak łatwo widać, na to aby figura
Ε (Ε > 0) można było znaleźć takie dwa wielokąty
൜
ݔ = ݎ ∗ ܿ߶ݏ
ݕ = ݎ ∗ ߶݊݅ݏ
ługość łuku krzywej w postaci biegunowej ma postać:
݈ = න ටݎଶ(߶) + ݎᇱଶ
(߶)݀߶
ఉ
ఈ
Pojęcie pola figury i jego obliczanie
Obszarem wielokątnym lub krócej – wielokątem, nazywamy dowolną skończoną figurę płaską
ograniczoną jedną lub kilkoma łamanymi zamkniętymi. Rozpatrzmy teraz na płaszczyźnie dowolną
, która jest obszarem ograniczonym.
Będziemy zawsze przyjmować, że jej brzeg (inaczej kontur)
jest krzywą zamkniętą. Weźmy pod
uwagę wszystkie możliwe wielokąty ()ܣ wpisane w tę figurę o polu A i wielokąty
≤ )ܤ
sup()ܣ = ܲ∗
≤ inf(B) = P∗
ܲ∗
= ܲ∗ = ܲ
są równe, to ich wspólna wartość ܲ nazywa się polem figury
nazywa się mierzalną i posiadającą pole.
Jak łatwo widać, na to aby figura (ܲ) miała pole, potrzeba i wystarcza żeby dla każdej dodatniej liczby
można było znaleźć takie dwa wielokąty ()ܣ i (,)ܤ tak żeby różnica pól tych wielokątów
11
wielokątem, nazywamy dowolną skończoną figurę płaską
nymi zamkniętymi. Rozpatrzmy teraz na płaszczyźnie dowolną
jest krzywą zamkniętą. Weźmy pod
gurę o polu A i wielokąty ()ܤ całkowicie
azywa się polem figury (ܲ) i w tym
miała pole, potrzeba i wystarcza żeby dla każdej dodatniej liczby
, tak żeby różnica pól tych wielokątów
była mniejsza niż Ε(ܤ − ܣ < Ε). Dla ułatwienia będziemy mówili, że krzywa K ma pole równe 0, jeśli
można ją pokryć obszarem wielokątnym o dowolnie małym polu.
Łatwo jest udowodnić, że własność tą ma każda krzywa
nieuwikłane, lub funkcja odwrotna i jej pole można obliczyć
Jeśli zaś wzór ma postać parametryczną
Jeśli krzywa jest podana w postaci biegunowej
Przykład
)߶(ݎ = 1 + cos߶
ܲ = 2 ∗
1
2
න (1 + cos߶
గ
= ߨ + 0 + sin 2߶ = ߨ
. Dla ułatwienia będziemy mówili, że krzywa K ma pole równe 0, jeśli
można ją pokryć obszarem wielokątnym o dowolnie małym polu.
Łatwo jest udowodnić, że własność tą ma każda krzywa ciągła, która ma równanie jawne, czyli
nieuwikłane, lub funkcja odwrotna i jej pole można obliczyć
ܲ = න ݂(ݔ݀)ݔ
ܲ = න [݂ଵ()ݔ − ݂ଶ()ݔ
]݀ݔ
Jeśli zaś wzór ma postać parametryczną
൜
ݔ = ߶()ݐ
ݕ = ߰()ݐ
, ݐ ∈< ߙ, ߚ >ܲ = න ߰()ݐ ∗ ߰ᇱ(ݐ݀)ݐ
ఉ
ఈ
Jeśli krzywa jest podana w postaci biegunowej
ܲ =
1
2
න ݎଶ(߶)݀߶
ఉ
ఈ
߶)
ଶ
݀߶ = න 1 + 2 cos ߶ + cosଶ
߶
గ
= ߶|
గ
+ 2 ߶݊݅ݏ
12
. Dla ułatwienia będziemy mówili, że krzywa K ma pole równe 0, jeśli
ciągła, która ma równanie jawne, czyli
߶݊݅ݏ|
గ
+ න 2 cos 2߶
గ
13
12) Funkcje wielu zmiennych. Definicja, przykłady, interpretacja geometryczna oraz pojęcia
topologiczne (punkty wewnętrzne, zewnętrzne brzegi).
Dotychczas rozpatrywaliśmy łączne zmiany dwóch zmiennych, z których jedna zależała od drugiej
(ݕ = ݂(.))ݔ Często jednak zdarzają się wypadki, gdy zmiennych niezależnych jest kilka, np. objętość
stożka ściętego
ܸ =
1
3
ߨܴ(ܪଶ
+ ܴܸ + ݎଶ)
Sprecyzowanie pojęcia funkcji w przypadku wielu zmiennych zaczniemy od przypadku, gdy są tylko
dwie zmienne: mówiąc o zmianie dwóch zmiennych niezależnych ,ݔ ݕ musimy wskazywać zawsze
jakie pary wartości (,ݔ )ݕ mogą one łącznie przyjmować.
Zbiór M tych par będzie obszarem zmienności x,y
Definicja: Zmienną ݖ (z obszarem zmienności ܼ) nazywa się funkcję zmiennych niezależnych w zbiorze
݉, jeśli każdej parze (,ݔ )ݕ z tego zbioru przyporządkowuje się wg pewnej reguły lub pewnego prawa
jedną określoną wartość ܼ. Same zmienne ,ݔ ݕ nazywamy argumentami funkcji,ݖ a zależność
funkcyjną oznaczamy w sposób ݖ = ݂(,ݔ ,)ݕ ݊.
1. ݖ = ݕݔ
2. ݖ = ݔଷ
ݕ − 4ݔ + 5ݕ − 10
3. ݖ = ඥ1 − ݔଶ − ݕଶ => 1 − ݔଶ
− ݕଶ
0, ݔଶ
+ ݕଶ
≤ 1
4. ݖ =
௫ା௬
ଶ௫ି௬
=> ݕ ≠ 2ݔ
Tak więc podczas gdy dla funkcji jednej zmiennej typowym obszarem zmienności jest przedział, to w
przypadku dwóch zmiennych możliwe są naturalne obszary zmienności argumentów, bardziej
urozmaicone i skomplikowane.
Rozpatrywanie tych obszarów znacznie ułatwia reprezentację geometryczną – dla rozpatrywania tego
obszaru najprościej jest wskazać figurę na płaszczyźnie, które wypełniają odpowiednie punkty.
Ta interpretacja geometryczna jest tak wygodna, że same pary liczb x,y nazywamy punktami.
Również równanie ݖ = ݂(,ݔ )ݕ można interpretować geometrycznie.
Weźmy w przestrzeni geometrycznej układ współrzędnych kartezjańskich ,ݔ ,ݕ ݖ i przedstawmy na
płaszczyźnie ܱܻܺ obszar .ܯ
Wreszcie, w każdym punkcie ,ݔ ݕ tego obszaru wstawmy prostopadłą do płaszczyzny ܱܻܺ i odłóżmy
na niej wartość ݖ = ݂(,ݔ .)ݕ Miejsce geometryczne otrzymanych w ten sposób punktów będzie
pewnego rodzaju wykresem przestrzennym. Będzie to na ogół pewna powierzchnia.
Przechodząc do funkcji ݊ −zmiennych, gdzie
tych zmiennych. W przypadku ݊
geometrycznie jako punkt przestrzeni, a zbiór takich trójek jako część przestrzeni. Natomiast jeżeli
݊ > 3, nie ma już możliwości bezpośredniej interpretacji geometrycznej.
Otoczeniem punktu ݊ −wymiarowego, o współrzędnych
prostopadłościan otwarty, który zapisujemy w postaci
ߪ, ݔ + ߪ). Nazwiemy punkt o współrzędnych
należy on do zbioru ܯ wrez ze swoim pewn
brzegowych.
Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych obszaru M nazywa się wnętrzem tego obszaru, a sam
obszar – obszarem otwartym, natomiast zbiór punktów brzegowych tworzy
13) Granica funkcji wielu zmiennyc
Punktem ݊ ...
