Asymptoty funkcji 2 (proste)

1

Znajdź równania wszystkich asymptot funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥

1. Szukamy asymptot pionowych w punktach nieciągłości lub nieokreśloności funkcji. Jedynym takim punktem jest 𝑥𝑜 = 0 Liczymy granice jednostronne w punkcie 𝑥0 = 0: a. b.

1

1

1 𝑥

1 0+

1 ∞

lim− 𝑥𝑒 𝑥 = 0 ∙ 𝑒 0− = 0 ∙ 𝑒 −∞ = 0 ∙ (𝑒) = 0 ∙ 0 = 0

𝑥→0

lim+ 𝑥𝑒 = 0 ∙ 𝑒

𝑥→0 ∞

𝑒

1

1

=0∙𝑒

∞

= [0 ∙ ∞] = lim+ 𝑥→0

𝑒𝑥 𝐻 1 𝑥

→ lim+

1

𝑒 𝑥 ∙(− 2) 𝑥

𝑥→0

1 − 2 𝑥

1

1

= lim+ 𝑒 𝑥 = 𝑒 0+ = 𝑥→0

= ∞ ⟹ 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒑𝒊𝒐𝒏𝒐𝒘𝒂 𝒑𝒓𝒂𝒘𝒐𝒔𝒕𝒓𝒐𝒏𝒏𝒂 𝒐 𝒓ó𝒘𝒏𝒂𝒏𝒊𝒖 𝒙 = 𝟎

2. Szukamy asymptot poziomych lub ukośnych w +∞ 𝑖 − ∞ o równaniach: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 1

a. 𝑎1 =

𝑓(𝑥) lim 𝑥→∞ 𝑥

=

𝑥𝑒 𝑥 lim 𝑥→∞ 𝑥

1

1

= lim 𝑒 𝑥 = 𝑒 ∞ = 𝑒 0 = 1 𝑥→∞

1

1

1

b. 𝑏1 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑎1 𝑥 = lim (𝑥𝑒 𝑥 − 𝑥) = lim 𝑥 (𝑒 𝑥 − 1) = [∞ ∙ 0] = lim 𝑥→∞ 1

𝐻

→ lim

𝑥→∞

1

𝑒 𝑥 ∙(− 2 ) 𝑥 1 − 2 𝑥

𝑥→∞

1

𝑥→∞

𝑥→∞

𝑒 𝑥 −1 1 𝑥

1

= lim 𝑒 𝑥 = 𝑒 ∞ = 𝑒 0 = 1 𝑥→∞

𝑨𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒖𝒌𝒐ś𝒏𝒂 𝒘 + ∞: 𝒚 = 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 = 𝒙 + 𝟏 1

c. 𝑎2 =

𝑥𝑒 𝑥 lim 𝑥→−∞ 𝑥

1

1

= lim 𝑒 𝑥 = 𝑒 −∞ = 𝑒 0 = 1 𝑥→−∞

1 𝑥

d. 𝑏2 = lim 𝑥𝑒 − 𝑥 = lim 𝑥 (𝑒 − 1) = [−∞ ∙ 0] = lim 𝑥→−∞ 1

𝑥→−∞

1

1

1 𝑥

𝑥→−∞

𝑒 𝑥 −1 𝐻 1 𝑥

→ lim

𝑥→−∞

1

lim 𝑒 𝑥 = 𝑒 −∞ = 𝑒 0 = 1

𝑥→−∞

𝑨𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒖𝒌𝒐ś𝒏𝒂 𝒘 − ∞ 𝒕𝒂𝒌𝒂 𝒔𝒂𝒎𝒂 𝒋𝒂𝒌 𝒘 + ∞

1

𝑒 𝑥 ∙(− 2 ) 𝑥 1

− 2 𝑥

=