Asymptoty funkcji 3 (z arctg)

1

1

𝜋

Znajdź wszystkie asymptoty funkcji: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 − 𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥) + 2 ) 1. Określamy dziedzinę funkcji 𝑓: 𝑥 ∈ ℝ \ {0} 2. Badamy czy dla 𝑥 = 0 funkcja ma asymptoty pionowe jednostronne: 1 1 𝜋 1 1 𝜋 lim+ (2𝑥 + 1 − (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + ) ) = lim+2𝑥 + lim+1 − lim+ ( ) ∙ lim+ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + ) 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 2 𝑥 𝑥→0 𝑥 2 1 1 𝜋 𝜋 = 2 ∙ 0+ + 1 − + ∙ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( + ) + ) = 0 + 1 − ∞ ∙ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(∞) + ) = 1 − ∞ ∙ 𝜋 = −∞ 0 0 2 2 ⟹ 𝑑𝑙𝑎 𝑥 = 0 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑘𝑗𝑎 𝑚𝑎 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡ę 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑜𝑤ą 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛ą 1 1 𝜋 1 1 𝜋 lim− (2𝑥 + 1 − (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + ) ) == lim−2𝑥 + lim−1 − lim− ( ) ∙ lim− (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + ) 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 2 𝑥 𝑥→0 𝑥 2 1 1 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 = 0 + 1 − − ∙ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( − ) + ) = 1 − (−∞) ∙ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−∞) + ) = 1 + ∞ ∙ (− + ) 0 0 2 2 2 2 1 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥 ) + 2 1 1 𝜋 = 1 + [∞ ∙ 0] = 1 − lim− ( ) ∙ lim− (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + ) = 1 − lim− 1 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 2 1 𝑥 1 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥 ) + 2 1 1 𝜋 1 − lim− ( ) ∙ lim− (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + ) = 1 − lim− 1 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 2 1 𝑥 1 1 2 ∙ (− 𝑥 2 ) 1 𝜋 1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥 ) + 2 𝐻 1 + (𝑥 ) −1 = 1 − lim− → 1 − lim− = 1 − lim− 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 + 1 𝑥 1 1 1 ∙ (− 2 ) 𝑥 1 𝜋 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) + 𝐻 1+( ) −1 𝑥 2 𝑥 = 1 − lim− → 1 − lim− = 1 − lim− 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 + 1 𝑥 1 −1 =1− − 2 = 1 − (−1) = 2 ⟹ 𝑏𝑟𝑎𝑘 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑦 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑜𝑤𝑒𝑗 𝑙𝑒𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒𝑗 𝑑𝑙𝑎 𝑥 (0 ) + 1 −1 =1− − 2 = 1 − (−1) = 2 ⟹ 𝑏𝑟𝑎𝑘 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑦 𝑝𝑖𝑜𝑛𝑜𝑤𝑒𝑗 𝑙𝑒𝑤𝑜𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒𝑗 𝑑𝑙𝑎 𝑥 (0 ) + 1 =0 =0 3. Szukamy asymptot poziomych lub ukośnych w nieskończoności: a.

𝑓(𝑥) 𝑥→+∞ 𝑥

lim

= lim

1 𝑥

1 𝑥

𝜋 2

2𝑥+1− (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( )+ ) 𝑥

𝑥→+∞

2𝑥 𝑥→+∞ 𝑥

= lim 1

1 𝑥→+∞ 𝑥

+ lim 1

− lim

𝑥→+∞

1 𝑥 𝑥2

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( )+

𝜋 2

𝜋

=2 1

1

lim [𝑓(𝑥) − 2𝑥)] = lim [2𝑥 + 1 − 𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥) + 2 ) − 2𝑥 ] = lim (1 − 𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥) +

𝑥→+∞ 𝜋 )) = 2

𝑥→+∞

𝑥→+∞

1

Z istnienia powyższych dwóch granic właściwych wynika istnienie asymptoty ukośnej w +∞: 𝑦 = 2𝑥 + 1 b.

𝑓(𝑥) lim 𝑥→−∞ 𝑥

= lim

𝑥→−∞

1 𝑥

1 𝑥

𝜋 2

2𝑥+1− (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( )+ ) 𝑥

= 1

2𝑥 lim 𝑥→+∞ 𝑥

+

1 lim 𝑥→+∞ 𝑥

1

𝜋

− lim

𝑥→+∞

1 𝑥 𝑥2

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( )+

𝜋 2

=2 1

1

lim [𝑓(𝑥) − 2𝑥)] = lim [2𝑥 + 1 − 𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥) + 2 ) − 2𝑥 ] = lim (1 − 𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑥) +

𝑥→−∞ 𝜋 )) = 2

𝑥→−∞

1

𝑥→−∞

Taka sama asymptota w −∞. Odpowiedź: Funkcja 𝒇 ma dwie asymptoty. Jedną pionową prawostronną dla 𝒙 = 𝟎 oraz jedną ukośną w +∞ 𝒊 − ∞ o równaniu: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏