Aula 06

Estatística p/ AFRFB 2017
Teoria e exercícios comentados
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1. Distribuição conjunta de variáveis discretas
Muitas vezes um experimento gera valores para mais de uma variável, ou seja, um
mesmo ponto amostral se refere a valores de mais de uma variável.
A título de ilustração, suponha que você faça uma pesquisa em vários lares que
adotaram até 3 animais, podendo ser gatos ou cachorros. Neste caso, você pode ter
duas variáveis, uma primeira ( ) que indicaria a quantidade de gatos adotados em
cada lar, e uma segunda variável binária, que assumiria valor igual a 1 se o primeiro
animal adotado for um gato. Assim:
Se nós colocarmos todas as possibilidades em uma tabela:
Resultados X Y
GGG 3 1
GCG 2 1
GGC 2 1
GCC 1 1
CGG 2 0
CGC 1 0
CCG 1 0
CCC 0 0
A partir desta tabela, podemos construir a famosa tabela de dupla entrada de
distribuição de probabilidade conjunta. Essa tabela irá nos mostrar qual a
probabilidade de ocorrência conjunta de valores de ambas as variáveis. Veja a tabela
abaixo.
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Pa
primeira célula é:
Ora, o que está sendo dito é que a probabilidade ( ) e ( ) assumirem valores iguais
a zero, isso é, só serem adotados cachorros, é de 1/8.
O interessante é que podemos obter todas as informações importantes sobre as
distribuições de probabilidade de cada uma das variáveis, somente com base nesta
tabela.
Por exemplo, você pode obter qual a probabilidade de o primeiro animal adotado ser
um gato, independentemente da quantidade de animais adotados. Assim, o que você
estaria buscando é:
Esse é o caso que chamamos de probabilidade marginal. A probabilidade marginal
de um evento é a sua probabilidade de ocorrência, independente do valor assumido
pela outra variável. No presente caso:
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Você entendeu o que fizemos? Nós apenas somamos todos os elementos ao longo
da linha que especifica .
Da mesma forma, poderíamos obter as probabilidades marginais de ao somarmos
as colunas. Por exemplo:
Em outros termos, o que se está fazendo é avaliar qual a probabilidade de ocorrência
de:
Isso facilita a visualização da forma como a probabilidade marginal é obtida por meio
do cálculo da probabilidade da ocorrência de independentemente do valor de .
Além disso, nós podemos usar a tabela de dupla entrada para encontrarmos as
probabilidades condicionais. Lembra-se da fórmula? Para dois eventos quaisquer
( e ), a probabilidade de ocorrência de dado que já ocorreu é dada por:
Então, agora podemos calcular esta probabilidade para valores específicos de cada
evento, sendo que será bem mais fácil.
Vamos a um exemplo. Qual é a probabilidade de adotarmos 3 gatos, dado que a
primeira adoção foi um felino? Ora, isso é a mesma coisa que:
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O denominador é a própria probabilidade marginal de . Essa é fácil de encontrar,
pois basta somar todas as entradas ao longo da linha que indica este valor:
A probabilidade conjunta fica fácil de encontrar na tabela, pois basta procurar a
entrada relativa ao que estamos procurando, no caso e . Se você olhar
na tabela você encontrará:
Olha só como encontrar:
Viu? Basta procurar a intersecção relativa às probabilidades procuradas. Essa
intersecção vai te dizer qual a probabilidade de e assumirem determinados
valores. Assim, o valor procurado é dado por:
Assim, podemos colocar o formato da tabela de uma forma mais didática:
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Assim fica fácil encontrar qualquer probabilidade condicional. A título de ilustração
imagine que queiramos saber a probabilidade de uma pessoa ter 2 gatos adotados
dos seus 3 animais, sendo que o primeiro foi um cachorro. Esta pergunta é
equivalente a:
Primeiramente, precisamos calcular a probabilidade marginal para :
O que já era meio que óbvio, certo? Pois, como sabíamos que esta variável só pode
assumir dois valores, se , então .
Assim, consultando a tabela podemos encontrar a probabilidade condicional em
questão, dada por:
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Agora, eu quero que vocês prestem atenção em algo importante: a
independência entre as variáveis.
Isso vem causando dúvidas em alguns alunos, a definição de independência. No
nosso exemplo, dizer que as variáveis são independentes é o mesmo que defini-las
da seguinte forma:
Ou seja, as probabilidades condicionais são iguais às respectivas probabilidades
marginais. Por exemplo, será independente de se a sua probabilidade
condicionada a esta variável for igual a sua probabilidade marginal.
Assim, nós podemos saber se as variáveis do nosso exemplo são independentes.
Veja o exemplo que resolvemos:
Viram? A probabilidade de ser igual a 2 muda se condicionarmos tal valor a
(de 3/8 para 1/4). Ou seja, estas variáveis não são independentes!
2. Esperança e Covariância
Nós já estudamos o conceito de esperança, então vamos aplica-lo ao nosso estudo
de distribuições conjuntas. Para encontrarmos a esperança de uma variável, basta
aplicarmos o conceito à distribuição marginal de uma variável. Só lembrando:
Sendo a probabilidade associada a variável .
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Assim, a esperança de é dada por:
Entendeu? Agora fica fácil encontrar a variância da variável, pois nós já sabemos que:
Então, basta encontrarmos a esperança dos quadrados para definirmos a seguinte
função:
Então, vamos calcular a esperança dos quadrados:
Portanto, a variância desta variável será dada por:
Viu? Não tem segredo para encontrar a variância de uma variável! O que nós
precisamos estudar ágora é um conceito ligado à variância conjunta de duas
variáveis: a covariância.
-
É isso aí! O que nós vamos tentar encontrar é uma medida que expressa o quanto
dos desvios de duas variáveis.
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Vamos por partes. Defina covariância:
Bom, a forma mais simples de encontrarmos a covariância é com base no segundo
método acima descrito. Vamos fazer isso para nosso exemplo. Nós podemos
encontrar a esperança de cada uma das duas variáveis isoladamente de forma bem
simples, tal como demonstramos acima. Assim, precisamos encontrar a esperança
do produto das mesmas!
Isso é feito da seguinte forma, vamos rearranjar os valores da nossa tabela de forma
a encontrarmos as probabilidades dos produtos das variáveis. Assim:
A covariância é o valor médio do produto dos desvios entre duas variáveis (
e ). Assim, para duas variáveis quaisquer, defina a covariância como:
Porém, há uma forma mais simples de aplicarmos esta fórmula:
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Agora faça assim, veja qual a probabilidade deste produto ocorrer na tabela lá em
cima. Assim, fica fácil. Vamos calcular a esperança dos produtos:
Nós ainda não calculamos a esperança de X, então vamos a ela:
Agora, vamos calcular a covariância:
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as variáveis estiverem positivamente (negativamente) correlacionadas, a covariância
será positiva (negativa).
tendem a estar positivamente correlacionadas, de forma que, na média, quanto maior
a renda, maior deve ser o gasto em consumo. Neste caso, a covariância entre tais
variáveis deve ser positiva.
Se duas variáveis são independentes, a sua covariância é zero! Porém, atenção, o
fato de a covariância ser igual a zero não significa que duas variáveis são
independentes.
Ótimo! Vamos aprofundar um pouco mais e estudar os mesmos conceitos para
distribuições contínuas.
3. Distribuição conjunta de variáveis contínuas tema extra
O que vamos falar agora é um assunto mais complicado. Portanto, não precisa ficar
desesperado, pois isso quase nunca é cobrado em concurso (a não ser em concursos
mais específicos).
A distribuição conjunta de variáveis contínuas é dada por uma função similar a nossa
famosa função densidade de probabilidade (fdp): a função densidade conjunta
(fdc).
A fdc para duas variáveis quaisquer, e , é dada por:
Esta função tem características semelhantes da nossa fdp. Vamos complicar sua vida
um pouquinho (hora de lembrar-se dos conceitos básicos de cálculo):
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-
Calma, vamos por partes.
A primeira propriedade tem a ver com o fato de que, tal como uma fdp, a fdc é ligada
ao conceito de probabilidade de ocorrência. Portanto, o menor valor que a mesma
um evento
ser negativa.
A segunda propriedade nos diz que o somatório (lembre-se de que o conceito de
integral está intimamente relacionado a somatório) das duas variáveis, para todas
suas ocorrência possíveis, deve ser igual a 1. Isso está nos dizendo que a
probabilidade de ocorrência de qualquer elemento contido no espaço amostral é igual
a 1. Lembre-se do conceito de distribuição de probabilidade acumulada!
-
Vejam o seguinte exercício.
Exercício 1
Dada a seguinte fdc:
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Resolução
Ora, vocês sabem que:
Assim, primeiro vamos resolver para e depois para . Bom, primeiramente, vamos
definir os intervalos superiores e inferiores para as duas variáveis, o que pelo
enunciado sabemos que são 0 e 1 para ambas as variáveis.
Agora, vamos substituir a função específica:
Resolver para basta integrar a função nesta variável e tirar a outra para fora como
se fosse uma constante (junto com ).
Bom, vocês já aprenderam qual a integral de , certo? Ora, é o valor que derivado
gera . Assim:
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Derive esta função para ver que isso é verdade! Então, vamos resolver a integral
definida lá em cima:
Assim, defina a função neste intervalo e diminua o valor do intervalo inferior do
superior:
Agora, integre com relação a :
A integral de é fácil, pois é igual a de . Então:
Verdade! Não é nada trivial, mas dá para fazer, caso seja necessário.
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Veja que a integral deve ser definida dentro do intervalo que se deseja analisar,
portanto se você quiser avaliar outro intervalo, basta mudar o intervalo em que
você está definindo a integral. Vamos ver como isso é feito nos exercícios.
Bom, vamos continuar com alguns conceitos importantes que já discutimos, mas
aplicados ao caso de variáveis contínuas, tal como a distribuição marginal para
cada variável.
Olhe, até agora nós encontramos as distribuições marginais por meio da
probabilidade de que esta assuma um determinado valor independentemente do que
nossa tabela de dupla entrada de distribuição conjunta.
O que vamos fazer no caso de variáveis contínuas é muito semelhante. Vamos
intervalo, independentemente do valor assumido pelas demais.
Exercício 2
Dada a seguinte fdc:
Encontre a função densidade de probabilidade marginal para .
Resolução
-
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Exatamente. Pense comigo, se nós integrarmos a função acima, mas sem definir um
intervalo, nós teremos uma função como resultado de tal operação.
Veja, vamos integrar esta função com relação a , tratando como uma constante:
Viram? Esta é uma função de ! Ou seja, para qualquer valor de , a probabilidade
de um determinado intervalo só depende de . Intuitivamente, o que estamos fazendo
para todos os valores possíveis de . Esta é a
função densidade de probabilidade marginal. Se vocês quiserem saber a
probabilidade de um determinado intervalo, basta integrar a função com relação a
e definir a integral no intervalo desejado.
Retornando.
Bom, nós podemos retirar qualquer informação de uma determinada fdc, tal
como variância e covariância. Porém, a maior parte disso não será importante
para o seu concurso. Mas, algumas coisas podem ser importantes, tal como a
esperança de uma variável, bem como o cálculo da probabilidade condicional.
A esperança é fácil, pois nós já vimos como fazer isso na nossa aula anterior. Vamos
usar nosso exemplo para facilitar. A diferença é que nós vamos nos basear na já
calculada função de distribuição marginal.
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Exercício 3
Dada a seguinte fdc:
Encontre a esperança de .
Resolução
Bom, se você quiser a esperança de uma variável, primeira coisa a fazer é calcular
sua função de distribuição marginal. No caso de , se chamarmos a função de
distribuição marginal de , já temos isso calculado:
Essa é a nossa esperança! Agora é só integrar.
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Percebe que no final das contas é a mesma coisa que estudamos na aula
anterior? A única diferença é que você tem que encontrar a distribuição
marginal primeiro.
Para finalizarmos, vamos ver como podemos encontrar as probabilidades
condicionais. Ou seja, se eu te perguntar, qual a probabilidade de que uma variável
esteja em um determinado intervalo, dado que a outra está em outro, como encontrar
tal valor? Pense em termos da nossa antiga fórmula:
Agora aplique ao nosso caso contínuo:
Legal, agora você consegue encontrar a probabilidade condicional. Vamos a mais um
exemplo.
Exercício 4
Dada a seguinte fdc:
Encontre a função que define .
Resolução
Bom, nós já temos calculados, dos exercícios anteriores, e, pelo enunciado,
sabemos , portanto:
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Veja que resultado interessante você chegou. A probabilidade condicional de
dado é igual à probabilidade marginal de . O que isso quer dizer mesmo?
Isso! As variáveis são independentes! Veja no caso de :
Assim, as variáveis são independentes pois:
Boa pessoal, vamos praticar um pouco!
Exercício 5
(MTUR ESAF/2014) Dois eventos A e B são tais que: P(A) = 0,25; P(B/A) = 0,5;
P(A/B) = 0,25. Assim, pode-se afirmar que:
a) A e B são eventos dependentes.
b) P(B) = 0,5 e os eventos são mutuamente exclusivos.
c) P(B) = 0,25 e os eventos são independentes.
d) P(B) = 0,5 e os eventos são independentes.
e) P(A B) = 0 e os eventos são independentes.
Resolução
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Perceba o que está ocorrendo:
Portanto, os eventos são independentes. Se é independente de , então é
independente de . Portanto:
Alternativa (d).
Exercício 6
(MTUR ESAF/2014) Uma variável aleatória contínua x possui função densidade
dada por: f(x) = 0 para x < 0; f(x) = 3x² para
modo, a expectância de x é igual a:
a) 1/3
b) 3/4
c) 1/4
d) 1/2
e) 1/5
Resolução
Vamos definir nosso problema de forma matemática, pois fica mais fácil de visualizar:
A esperança (também chamada de expectância) é dada por:
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Vamos resolver:
Alternativa (b).
Exercício 7
(MTUR ESAF/2014) Considerando a variável aleatória contínua bidimensional
definida por f probabilidade de
a:
a) 2/3
b) 1/8
c) 3/62
d) 3/32
e) 1/6
Resolução
Ótima forma de treinar um intervalo. O que o exercício está pedindo é:
Entendeu? Ora, você quer calcular o valor acumulado de probabilidade até 0,5 para
cada uma das variáveis contínuas, portanto, integre a função e a defina até tal valor.
Vamos lá, começando por x:
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Agora, vamos integrar em y:
Alternativa (d).
Exercício 8
(INEA FGV\2013) Duas variáveis aleatórias discretas X e Y têm função de
probabilidade conjunta dada na tabela a seguir
A probabilidade condicional P[X = 0 | y = 2] é igual a
a) 30%.
b) 40%.
c) 50%.
d) 60%.
e) 70%.
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Resolução
Pessoal, a melhor forma de fazer este exercício é por meio de um raciocínio inverso,
que ela tem a seguinte forma:
x\y 0 1 2
0 0,2 0,1 0,3
1 0 0,2 0,2
Perceba que as probabilidade acima já somam 1, portanto pode-se concluir que o
elemento tem probabilidade de ocorrer igual à zero.
Assim, basta fazer o seguinte cálculo:
Vamos encontrar a probabilidade de y=2:
Olhando na tabela, nós sabemos que , portanto:
Alternativa (d).
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(IMESC VUNESP/2013) Leia o enunciado a seguir para responder às questões
de números 9 e 11.
Uma variável aleatória contínua tem a função de distribuição de probabilidade
dada por:
f(x) = 0 fora desse intervalo.
Exercício 9
Então, a probabilidade de que x seja menor do que 0,8 é igual a
a) 0,84.
b) 0,78.
c) 0,70.
d) 0,64.
e) 0,60.
Resolução
O que o exercício está pedindo é a probabilidade acumulada até 0,8. Nós já vimos
que isso se faz assim:
Portanto:
Alternativa (d).
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Exercício 10
O valor esperado é, aproximadamente,
a) 0,25.
b) 0,38.
c) 0,50.
d) 0,58.
e) 0,67.
Resolução
Nós já sabemos que para encontrar o valor esperado precisamos fazer a seguinte
operação:
Assim:
Isso é, aproximadamente, 0,67.
Alternativa (e).
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Exercício 11
A variância da variável aleatória é, aproximadamente,
a) 0,01.
b) 0,06.
c) 0,11.
d) 0,18.
e) 0,22.
Resolução
Vamos aprofundar um pouco? Não é difícil, você vai ver.
Qual o jeito mais fácil de calcular a variância?
Ora, o segundo membro nós já temos, pois basta elevar o resultado do exercício
anterior ao quadrado.
E o primeiro membro?
Viu? Nada demais. Agora encontre este valor!
Portanto:
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Alternativa (b).
Exercício 12
(DEGASE CEPERJ/2012) Em uma turma há 20 homens e 10 mulheres. Para os
homens, o percentual de aprovação foi de 80%, enquanto para as mulher...