61. Liczby kwantowe w zagadnieniu momentu pędu. W kontekście momentu pędu pojawiają się dwie liczby kwantowe: Rotacyjna liczba kwantowa J: J=0,1,2,3...
10 downloads
27 Views
445KB Size
61. Liczby kwantowe w zagadnieniu momentu pędu. W kontekście momentu pędu pojawiają się dwie liczby kwantowe:
Rotacyjna liczba kwantowa J: J=0,1,2,3,…; dla elektronu liczba J nosi nazwę orbitalnej (pobocznej) liczby kwantowej (oznaczanej jako l) Magnetyczna rotacyjna (orbitalna) liczba kwantowa M: M=0,±1, ±2, ±3…;±J
62. Rotator sztywny: hamiltonian, równanie Schrödingera, wartości własne, degeneracja. ̂
̂
Równanie Schrödingera: ̂ ̂ Wartości własne: (
)
(
)
Degeneracja (zwyrodnienie) k-krotna wartości własnej: tej samej wartości własnej odpowiada k funkcji własnych. Każdy poziom energii rotacji jest (2J+1) –krotnie zdegenerowany. 63. Energia poziomów rotacyjnych; stała rotacyjna; przejścia rotacyjne. Energia poziomów rotacyjnych: ( Stała rotacyjna:
Przejścia rotacyjne:
)
64. Zaproponować wyznaczanie długości wiązania w cząsteczce dwuatomowej w oparciu o jej widmo rotacyjne. (
)
( (
)(
)
)(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
√ 65. Formy energii molekularnej: oscylacyjna, rotacyjna, translacyjna. Porównanie odległości między poziomami energetycznymi w poszczególnych formach. Oscylacyjna: (
√
)
Porównanie odległości:
Translacyjna:
Widmo to jest ciągłe. Rotacyjna: (
)
Porównanie odległości: (
)
Inne porównanie odległości: Translacyjna- ciągłe Rotacyjna- mikrofale Oscylacyjna- podczerwień 66. Hamiltonian i równanie Schrödingera dla atomu wodoru; także zapis z wykorzystaniem masy zredukowanej. Operator Hamiltona: ̂
̂
Równanie Schrödingera : ̂ gdzie:
(
)
67. Kwantowanie wartości własnych hamiltonianu w atomie wodoru; degeneracja, korelacja z teorią Bohra.
Dla atomu wodoru Z=1. Dla różnych wartości parametru n otrzymuje się różne wartości energii. Energie są zdegenerowane: poziomowi n odpowiada n2 funkcji falowych o różnych wartościach l i m.
Korelacja:
Gdzie:
Niepełny opis, nie ma degeneracji, nie ma liczb kwantowych poza główną. 68. Wykazać, że Hamiltonian ̂
(
̂
)
Jest przemienny z operatorem ̂ . ̂ ̂( ) Więc sprawdzam czy ̂ ̂
̂( )̂
̂ ̂
̂ ̂
(
̂
)
)̂
( ̂̂
)̂
(
̂ ̂
̂ ̂
̂
̂
69. Wykazać, że Hamiltonian ̂
(
̂
)
Jest przemienny z operatorem ̂ . ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂( )
Więc sprawdzam czy ̂ ̂ ̂ ̂
̂( ) ̂
̂ ̂ (
̂
)
)̂
( ̂̂
(
)̂
̂ ̂
̂ ̂
̂
̂
70. Funkcje własne Hamiltonianu dla atomu wodoru. Ogólna charakterystyka. ( ) znika dla m>n.
Funkcja własna zależy od dwóch liczb kwantowych n i l wielomian ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
(
)
Przykład funkcji własnej:
71. Część radialna funkcji falowej w jonach wodoropodobnych. ( )
( ).
( )
Część wielomianowa ma ( ) miejsc zerowych i tyle też miejsc zerowych posiada funkcja ( ). Dla funkcja przyjmuje wartości zero także w punkcie (czynnik ). Powierzchnie węzłowe: powierzchnia dla której (| | ). Powierzchnie węzłowe wynikające z części radialnej stanowią powierzchnie kuliste: ( ) powierzchni. 72. Liczby kwantowe w atomie wodoru i jonach wodoropodobnych. Główna liczba kwantowa (n)- przyjmuje wartości kolejnych liczb całkowitych Określa energię i odległość elektronu od jądra. LUB Opisuje energię elektronu wynikającą z odległości tego elektronu od jądra. Im większa jest wartość głównej liczby kwantowej tym większy jest orbital. Poboczna liczba kwantowa (l)- przyjmuje kolejne liczby całkowite od 0 do . Charakteryzuje kształt orbitalu. LUB Opisuje energię elektronu wynikająca z kształtu orbitalu po którym ten elektron się porusza. Magnetyczna liczba kwantowa (m)- przyjmuje wartości od z 0 włącznie. Charakteryzuje zachowanie się elektronu w polu magnetycznym. LUB Opisuje energię elektronu wynikającą ze skręcenia płaszczyzny orbitalu elektronowego pod wpływem pola magnetycznego.
Magnetyczna spinowa liczba kwantowa (ms)- przyjmuje wartości
. Określa
kierunek obrotu elektronu wokół własnej osi. LUB Opisuje energię elektronu wynikająca z kierunku obrotu elektronu wokół własnej osi. Spinowa liczba kwantowa (s)- kwantuje spin. Przyjmuje wartość . 73. Orbitale atomowe postać rzeczywista. 74. Wskazać trzy liczby kwantowe związane z każdym z orbitali:
75. Spośród orbitali: określić wszystkich trzech liczb kwantowych.
.
. Wskazać te dla których nie można
Wytłumaczenie znajduje się w zadaniu 73.
76. Warstwice orbitalu, warstwice gęstości prawdopodobieństwa. Warstwica orbitalu- zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, którym odpowiada ta sama, zadana wartość orbitalu. Warstwica gęstości prawdopodobieństwa- zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, którym odpowiada ta sama, zadana wartość gęstości prawdopodobieństwa. 77. Kontur orbitalu i kontur gęstości prawdopodobieństwa. Kontur orbitalu- powierzchnia najmniejszej figury, na zewnątrz której wartość bezwzględna orbitalu jest wszędzie mniejsza od zadanej wartości. Kontur gęstości prawdopodobieństwa- powierzchnia najmniejszej figury, na zewnątrz której wartość gęstości prawdopodobieństwa jest zawsze mniejsza od zadanej wartości.
78. Powierzchnie węzłowe w części radialnej ( )
( )
i w części kątowej orbitali w atomie wodoru. Powierzchnia węzłowa- to powierzchnia na której jest zerowe prawdopodobieństwo znalezienia elektronu. Powierzchnia dla której . Część kątowa Część radialna 79. Orbitale s: kształt konturu, część radialna
( )
( ), część kątowa.
Kształt konturu:
Część radialna: (
)
Część kątowa: brak 80. Orbitale p: kształt konturu, część radialna
( )
( ), część kątowa.
Kształt konturu:
Część radialna: ( Część kątowa:
)
Część radialna: (
)
(
)
Część kątowa: Część radialna:
Część kątowa:
81. Orbitale p: kształt konturu, część radialna
( )
( ), część kątowa.
Część radialna: (
)
(
)
Część kątowa: Część radialna:
Część kątowa:
Część radialna: (
)
Część kątowa: Część radialna: (
)
Część kątowa: Część radialna: ( (
Część kątowa:
)
)
82. Wykazać, że funkcje falowe 1s
(
i 2s
) są
ortogonalne. ∫ ∫ ∫
(
)
∫
(
)
Zamieniam na współrzędne sferyczne.
∫
(
) (
(
)
)
(
)
83. Wykorzystując dokładną wartość energii atomu helu EHe= -79,009 oblicz potencjał jonizacji atomu helu.
bo to wyrażenie na energię można też zapisać w ten sposób (
)
Po wyrażeniu w jednostkach atomowych otrzymujemy stałą Rydberga ( ) ponieważ nie liczymy dla konkretnych poziomów to pierwszą część tego wyrażenia też upraszczamy.
84. Wyznacz energię dwóch najniższych stanów jonu He+ w jednostkach atomowych i w elektronowoltach. Korzystamy tutaj ze wzoru: (
)
Wyrażenie w jednostkach atomowych: ( ) Podstawiają dla dwóch najniższych czyli 1 i 2 otrzymujemy: ( ) ( ) W elektronowoltach:
85. Oblicz średnią wartość energii kinetycznej elektronu w stanie podstawowym jonu ,∫
wodoropodobnego 〈 ̂〉
∫
(
)
∫
(
)∫
)
∫ (
∫ [
∫
)
(
)
∫
(
∫
(
)
∫
(
)
[
(
]
)
(
)
(
)
]
(
)
86. Oblicz średnią wartość energii potencjalnej elektronu w stanie podstawowym jonu ,∫
wodoropodobnego
〈 ̂〉 〈 ̂〉
∫
(
(
)
)
(
)
∫
87. Oblicz średnią odległość od jądra elektronu w stanie opisanym funkcją 1s w jonie ,∫
wodoropodobnym.
〈 〉
〈 〉
∫
∫
∫
(
)
88. Oblicz średnią odległość od jądra elektronu w stanie opisanym funkcją 2s w jonie wodoropodobnym. 〈 〉
∫
(
(
) (
)
)∫ (
∫
(
∫
(
)
(
∫
)
)
)
∫ [
( )
( )
( )
]
[
]
89. Zjawisko Zeemana. To rozszczepienie zdegenerowanych poziomów energetycznych w polu magnetycznym, w wyniku czego obserwuje się rozszczepienie linii widmowych emitowanego promieniowania. Dzieli się na normalne (dla linii singletowych) i anormalne (dla linii multipletowych). 90. Spin i spinowa liczba kwantowa. Spin- moment własny pędu elektronu. Spinowa liczba kwantowa (s)- kwantuje spin. Przyjmuje wartość .
91. Układ równań własnych dla operatorów spinowych: ̂ (
)
(
)
(
̂ .
)
92. Zapisać operator Hamiltona dla atomu N-elektronowego. ̂
∑
∑
∑
93. Omówić zakaz Pauliego. W układzie wieloelektronowym nie może być dwóch elektronów znajdujących się w jednakowym stanie, tj. w stanie opisywanym jednakową funkcją orbitalną i jednakową funkcją spinową. Jeśli więc funkcje orbitalne dwóch elektronów są jednakowe to ich funkcje spinowe muszą być różne. Weźmy pod uwagę dowolny atom. Stan elektronu w atomie opisany jest przez podanie trzech liczb kwantowych n, l, m, określających funkcję orbitalną oraz liczy ms, określającej funkcję spinową. Możemy powiedzieć, że w myśl zakazu Pauliego nie może być w atomie dwóch elektronów mających jednakowe wszystkie cztery liczby kwantowe, w przeciwnym bowiem razie znajdowałyby się z jednym stanie.
√
|
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )| ( )
Jeżeli dwa elektrony miałaby tą samą funkcję falową to wyznacznik byłby równy 0 czyli funkcja nie istniałaby.
94. Realizacja zakazu Pauliego dla wyznaczonej funkcji falowej.
√
|
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )| ( )
Jeżeli dwa elektrony zajmowałyby jednakowy spinorbital, wtedy dwa wiersze wyznacznika byłyby równe, a wiadomo, że wyznacznik byłby wtedy równy zeru. Funkcja spełnia więc automatycznie zakaz Pauliego. 95. Zapisać N-elektronową funkcję falową w przybliżeniu orbitalnym.
( )
( )
( )
( )
96. Omówić przybliżenie jednoelektronowe. Przybliżenie, w którym każdemu z elektronów przyporządkowujemy oddzielną jednoelektronową funkcję falową, czyli oddzielny spinorbital, nazywamy przybliżeniem jednoelektronowym. Jest ono szeroko stosowane w teorii budowy atomów, cząsteczek i ciał stałych. W zastosowaniu do atomów każdą metodę przybliżonego rozwiązywania równania Schrödingera opartą na przybliżeniu jednoelektronowym tj. na funkcji falowej w postaci równania (patrz zadanie 94), nazywamy metodą orbitali atomowych. W zastosowaniu do cząsteczek metodę taką nazywamy metodą orbitali molekularnych. Wielką zaletą przybliżenie jednoelektronowego jest jego poglądowość i łatwość interpretacji otrzymanych wyników. 97. Podać po dwa przykłady pierwiastków o niezapełnionej podpowłoce f należących do różnych okresów w tablicy Mendelejewa. Prazeodym 4f3 6s2 Uran 5f3 6d1 7s2 98. Podać wyrażenie określające maksymalną liczbę elektronów na podpowłoce o liczbie kwantowej l. ( ̅
)
