2ti, a z od —oo do oo. Pochodne wektorowe we współrzędnych walcowych wyrażają się następującymi wzorami: Gradient: (1.79) Dywergencja: (1.80) J F Gradient :
65
1.5. FUNKGA DELTA DIRACA
dz
J
"TT” )
V
•s-
' i dvz V x v —j ^ d(j>
i-------1 i
Rotacja: 30
z.
(1.81)
I nplasjan: 1
d ( dT'\
d2T
d2T
s2 d(f)2
dz2
1
s cU’ \ ds /
(1.82)
Wzory te zamieszczono także na wewnętrznej stronie okładki.
Zadanie 1.41. Wyrazić wersory układu współrzędnych walcowych s.
0
-h 3z ż.
(b) Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie o dywergencji dla tej funkcji i ob szaru w kształcie ćwiartki walca o promieniu równym 2 i wysokości równej 5, przedstawionego na rys. 1.43. (c) Obliczyć rotację v.
1.5. Funkcja delta Diraca 1.5.1. Dywergencja funkcji r / r 2 Rozważmy funkcję wektorową następującej postaci: v=
1
„
(1.83)
bb
1. ANALIZA WEKTOROWA
W każdym punkcie przestrzeni wektor v skierowany jest zgodnie z promieniem wodzą cym (rys. 1.44); jeśli kiedykowiek zadawaliśmy sobie pytanie, jak może wyglądać funk cja z dużą dodatnią dywergencją, to powinien to być dobry przykład. Kiedy jednak rzeczywiście obliczymy dywergencję tej funkcji (za pomocą równania (1.71)), to otrzy mamy dokładnie zero: V
1 3 ir Łrdr (1) = °.
(1.84)
(Na ten paradoks można było natknąć się już wcześniej, przy rozwiązywaniu zad. 1.16.) Przypuśćmy, że całkujemy po sferze o promieniu /?, której środek położony jest w po czątku układu (zad. 1.38b); wtedy całka powierzchniowa daje
/ ,da=/GH
(K2 sin# dft d r)
(1-85) Ale jeśli wierzyć równaniu (1.84), całka po całej objętości kuli f V • v d r będzie równa zeru. Czy to oznacza, że twierdzenie o dywergencji jest nieprawdziwe? Co tu się dzieje? Źródłem wszystkich problemów jest punkt r = 0 , gdzie v ma osobliwość (i gdzie przy korzystaniu z równania (1.84) niechcący podzieliliśmy przez zero). Oczywiście prawdą jest, że V •v = 0 wszędzie z wyjątkiem początku układu, ale w samym początku układu sytuacja jest bardziej skomplikowana. Zauważmy, że całka po powierzchni (1.85) nie zalety od R\ jeśli twierdzenie o dywergencji jest prawdziwe (a tak jest), to powin niśmy otrzymać /( V • v) dr = 4ti dla dowolnej sfery ze środkiem w początku układu współrzędnych, niezależnie od tego, jak byłaby mała. Oznacza to, że cały wkład do całki pochodzi od punktu /* = 0! Tak więc V • v ma tę dziwną właściwość, że znika wszędzie poza jednym punktem, a jednak całka z tej funkcji (po obszarze zawierającym ten punkt) równa jest An. Żadna zwykła funkcja nie może mieć takich właściwości. Natknęliśmy się tu na twór matematyczny znany wśród fizyków jako funkcja delta Diraca. Funkcja ta pojawia się w wielu działach fizyki teoretycznej. Co więcej, problem, który właśnie rozważaliśmy (słuszność twierdzenia o dywergencji dla funkcji r / r 2), nie jest jedynie
67
1.5. FUNKCJA DELTA DIRACA
wymyślną ciekawostką — jest to w istocie problem o podstawowym znaczeniu dla całej elektrodynamiki. Warto więc zatrzymać się nad nim na chwilę i przyjrzeć bliżej funkcji delta Diraca.
1.5.2. Funkcja delta Diraca w jednym wymiarze Wykres funkcji delta Diraca w jednym wymiarze S(x) można wyobrażać sobie jako krzywą, odpowiadającą nieskończenie wysokiemu i nieskończenie wąskiemu „pikowi”, pod którą pole powierzchni jest równe 1 (rys. 1.45). Mówiąc inaczej:
l oo, i
E d y J:* 0 | gdy jt = OJ
0
.8 6 )
oo
J
8(x) dx = 1 .
(1.87)
— OO
Ściśle biorąc, 6(x) w ogóle nie jest funkcją, ponieważ jej wartość w x = O jest nie skończona. W literaturze matematycznej wielkości tego typu nazywane są funkcjami
S(x)
-pole powierzchni =
Rys. 1.45
uogólnionymi lub dystrybucjami. Jest to w istocie granica ciągu funkcji, takich jak na przykład prostokąty Rn(x) o wysokości równej n i szerokości 1 jn lub trójkąty równo ramienne Tn(x) o wysokości n i podstawie długości 2/ n (rys. 1.46). Jeśli f ( x ) jest jakąś „zwykłą” funkcją (a więc nie może to być inna funkcja delta — w istocie, aby mieć pewność, że nie popełnimy błędu, załóżmy, że f ( x ) jest ciągła), to iloczyn f(x)8(x) jest równy zeru wszędzie poza punktem x = 0. Wynika stąd, iż
f(x)S(x) = f(0)8(x).
(1.88)
(Jest to najważniejsza własność funkcji delta, należy się więc upewnić, czy dobrze rozumiemy, dlaczego tak jest:skoro iloczyn jest tak czy inaczej równy zeru wszędzie
68
1. ANALIZA WEKTOROWA
&(* - a)
- pole powierzchni = 1
Rys. 1.47
z wyjątkiem punktu x = W szczególności
0,
/
to możemy zastąpić f ( x ) jej wartością w początku układu.)
f ( x ) S ( x ) d x = /(O)
-oc
J
(1.89)
8(x)dx = f(0).
-O C
Tak więc funkcja delta pojawiająca się pod znakiem całki „wybiera" wartość f ( x ) w punkcie x = 0. (TU i poniżej całkowanie nie musi przebiegać od —oo do +oo; wystarczy, aby obszar całkowania obejmował punkt, w którym funkcja delta jest różna od zera. Równie dobrze moglibyśmy całkować w granicach od —6 do +e.) Możemy oczywiście przesunąć „pik” z x = 0 do jakiegoś innego punktu, x = a (rys. 1.47): 00
8(x — a) =
, oo. 0
gdy x / a
1
gdy x = a \
oraz
/ 8(x J
a)dx
1.
(1.90)
—oo
Równanie (1.8 8 ) przybiera wtedy postać f ( x) 8( x - a) = f(a)8(x - a ),
(1.91)
a równanie (1.89) przechodzi w oo
J
f {x)8(x — a) dx = f (a).
-0 0
Przykład 1.14 Obliczyć całkę 3
J r 3«5(.r - 2)d.v. 0
(1.92)
69
1.5. FUNKCJA DELTA DIRACA
Rozwiązanie: Funkcja delta wybiera wartość funkcji x* w punkcie * = 2, tak więc wartość całki to 7? = 8 . Zauważmy, że gdyby górna granica całkowania była 1 (a nic 3), to odpowiedź byłaby 0 , ponieważ pik znalazłby się poza obszarem całkowania.
Choć <5 nie może być uznana za funkcję, to całki z 8 mają sens. W istocie najle piej jest myśleć o funkcji delta jako tworze, który stosowany jest jedynie pod znakiem całki. Dwa wyrażenia zawierające funkcję delta (na przykład D\(x) i Di(x)) uznawać będziemy za równe, jeśli7
J
00
J
oc
f ( x ) D t(x)dx =
— CXJ
f ( x ) D 2(x)dx,
(1.93)
— IX J
dla wszystkich („zwykłych”) funkcji f (x).
Przykład 1.15 Pokazać, że
I 8(kx) = — S(x), |k| gdzie k jest dowolną stałą różną od /era. (W szczególności 8(—x) = 8(a ).) Rozwiązanie: Dla dowolnej funkcji próbnej f(x) rozważmy całkę
J
(1.94)
OO
f(x)8(kx)dx.
-oo
Dokonujemy zamiany zmiennych, aby y = kx, czyli x = y/k id.* = l/kdy. Jeśli stała k jest dodatnia, to całkujemy od —oo do -foc, ale jeśli k jest ujemne, to x = oo oznacza y = —oo i vice versa, tak więc kolejność przechodzenia do granicy ulega zmianie. Przywracając „właściwą” kolejność, musimy wprowadzić znak minus. Zatem OO
oo
j f(x)8(kx)dx = ± f /( y /W O O y - ± J / ( 0 ) = — /(O). (Dolne znaki odnoszą się do sytuacji, gdy k jest ujemne, co łatwo zapisać za pomocą symbolu wartości bezwzględnej k w końcowym wyniku.) Wynika stąd, żc pod znakiem całki 8(kx) gra tę samą rolę, co (1 /|A:| OO 00 f(x)8(kx)dx = f(x) 8(x) dx. U*i
J
J
Zgodnie z kryterium wyrażonym równaniem (1.93) 8(kx) i (l/|fc|)<5(*) są równe. 7Nie jest to tak arbitralne, jak może się wydawać. Istotne jest to, że całki muszą być równe dla dowolnej funkcji f ( x ) . Przypuśćmy, że D\(x) i D2(x) rzeczywiście różnią się od siebie w otoczeniu punktu x = 17. Moglibyśmy wtedy wybrać funkcję / (x), która miałaby ostre maksimum w okolicy x = 17, i całki różniłyby się od siebie.
70
1. ANALIZA WEKTOROWA
Zadanie 1.43. Obliczyć następujące całki: 6
(a) /(3 a 2 —2x — 1) 8(x —3) d;c. 2
5
(b)
f cosa«$(a o
—
7T)dx.
3
(c) f x'8(x 4 - l)d.v. o (d) / ln(A 4- 3) <$(a 4- 2) dx. -oc Zadanie 1.44. Obliczyć następujące całki: 2
(a) f (2x + 3)<5(3x)<Łr. -2 2
(b) / ( a ' + 3x + 2) <5( I - x) dv. 0
I (c) j 9x28(3x 4- l)dx. -i a
(d) / 8(x —b)dx. -Oj Zadanie 1.45 (a) Pokazać, że d * — ($(*)) = - it* ). dA [Wskazówka: Skorzystać ze wzoru na całkowanie przez części.] (b) Niech 0(a ) oznacza funkcję schodkową: 0 (a)
1
dla x >
0
0
dla a- <
0
(1.95)
=
Pokazać, że d0/dx — 8(x).
1.5.3. Funkcja delta Diraca w trzech wymiarach Funkcję delta łatwo jest uogólnić na trzy wymiary: «3 (r) = &(x)8(y)8(z).
(1.96)
(Tak jak uprzednio r = x x 4 - y y 4 - z r jest wektorem wodzącym, łączącym początek układu współrzędnych z punktem o współrzędnych ( a . >\ z)). Funkcja delta w trzech wy-
71
1.5. FUNKCJA DELTA DIRACA
miarach ma wartość zero wszędzie poza punktem (0 , 0 , 0 ), w którym jest nieskończona. Całka po całej przestrzeni z tej funkcji równa jest 1:
J
JJJ OO
ó3( r ) d r =
cała przestrzeń
00
00
£(*)^(>0
(1.97)
—OC —OO —OO
Uogólniając równanie (1.92), otrzymujemy
/
(1.98)
/(r)<$3(r —a) dr = /( a ) .
cała przestrzeń
Podobnie jak w jednym wymiarze, całkowanie jakiejś funkcji / z funkcją 8 daje w wy niku wartość / w miejscu, w którym znajduje się pik funkcji delta. Dysponujemy teraz narzędziami, za pomocą których można rozwikłać paradoks, jaki pojawił się w paragrafie 1.5.1. Jak pamiętamy, wyliczyliśmy, że dywergencja funkcji r / r 2 jest równa zeru wszędzie oprócz początku układu współrzędnych, a jednak całka z dywergencji po dowolnym obszarze obejmującym początek układu współrzędnych jest różna od zera (w istocie wynosi 4ti). Są tu właśnie warunki definiujące funkcję delta Diraca; wynika stąd, żc V ■( ^ ) = 4u<53 (r).
(1.99)
Bardziej ogólnie 4tk$3 <7^),
( 1. 100)
gdzie jak zwykle IZ oznacza wektor różnicy położeń: 7Z = r —r . Zauważmy, żc w tym wzorze różniczkujemy po r przy ustalonym r'. Ponieważ jednak (
(zad. 1.13), więc =
-AnShK).
Przykład 1.16 Obliczyć całkę J = f ( r 2+ 2 ) V d r . v gdzie V jest kulą o promieniu R i środku w początku układu współrzędnych.
1 . 10 1 )
( 1. 102)
1. ANALIZA WEKTOROWA
72
Rozwiązanie 1: Wyrażenie z dywergencją przekształcamy za pomocą równania (1.99), a na stępnie obliczamy całkę, posługując się równaniem (1.98). J = / ( r 2 + 2 )47 i($3(r) dr = 4ti(0 + 2) = 8 tt. V
Fakt, że rozwiązanie mieści się w jednej linijce, pokazuje w pewnym stopniu efektywność i piękno funkcji delta. Problem ten można jednak rozwiązać również w inny sposób, który — choć jest znacznie bardziej złożony — dobrze ilustruje zastosowanie metody całkowania przez części, opisanej w paragrafie 1.3.6. Rozwiązanie 2: Korzystając z równania (1.59), przenosimy pochodne z r / r 2 na (r 2 + 2): J=-J ^
|V(r 2 + 2 )ldr + ^ ( r 2 + 2 ) ^ . da.
Dla gradientu dostajemy V(r2 + 2 ) = 2 rr, tak więc dla całki po objętości kuli otrzymujemy , . - r 2 sin 0 dr d0 d$ = 8 tt r 2
J
R
r dr = 4 :t/?2.
o
Z drugiej strony, na sferze (gdzie r = R) da — R2sin# dO d(j>r, tak więc dla całki powierzchniowej otrzymujemy J (R2 + 2) sin(9d« dep = 4n(R2 + 2). Łącząc te wyniki, dostajemy J = -4 tt R1 + 4ti (R2 + 2) = 8 Ti, co pokrywa się z poprzednio uzyskanym wynikiem.
Zadanie 1.46 (a) Podać wyrażenie na gęstość ładunku elektrycznego /o(r) dla ładunku punktowego q znajdującego się w punkcie r'. Upewnić się, że całka po objętości z p rzeczywiście daje w wyniku q. (b) Jaki jest rozkład gęstości ładunku dla dipola elektrycznego, utworzonego z ładunku punktowego —r/, znajdującego się w początku układu współrzędnych, i ładunku punktowego + znajdującego się w punkcie a? (c) Jaka jest gęstość ładunku dla jednorodnie naładowanej powłoki kulistej o promieniu R i infinitezymalnej grubości, jeśli całkowity ładunek zgromadzony na powłoce jest równy Q\ środek powłoki pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. [Uwaga: Całka po całej przestrzeni musi być równa Q.]
73
1.6. TEORIA PÓL WEKTOROWYCH
Zadanie 1.47. O bliczyć następujące całki: (a) /caia p./rstr/.cń^ 2 + r • a + a2)S3(r —a) dr. gdzie a jest stałym wektorem o długości a. (b) j v |r —b|2<$3(5r) dr, gdzie V jest sześcianem o boku 2, którego środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a b = 4y + 3 ż. (c) 4+ r •c) -ł- c,4)£3(r —c) d r, gdzie V jest kulą o promieniu 6 i środku w początku układu współrzędnych, c = 5 \ + 3 y + 2 z, a c oznacza długość wektora c. (d) r (d - r)53(e - r) dr. gdzie d = (1,2. 3). e = (3, 2, 1), a V jest kulą o promieniu 1,5 i środku w punkcie (2, 2, 2).
fy(r r2( fv
Zadanie 1.48. Obliczyć całkę
(v ? ) di'
v przy czym V jest kulą o promieniu R, której środek znajduje się w początku układu współ rzędnych. Obliczenia wykonać dwiema różnymi metodami, podobnie jak w przykł. 1.16.
1.6. Teoria pól wektorowych 1.6.1. Twierdzenie Helmholtza Począwszy od czasów Faradaya, prawa elektryczności i magnetyzmu wyrażano za po mocą pól elektrycznych i pól magnetycznych, E i B.KPodobnie jak wiele innych praw fizycznych, również i te prawa przybierają najbardziej z.wartą postać, jeśli zapisać je jako równania różniczkowe. Ponieważ E i B są wektorami, to naturalne jest, że w tych równaniach występować będą pochodne wektorowe: dywergencja i rotacja. W istocie Maxwell sprowadził całą teorię do czterech równań określających odpowiednio dywer gencję i rotację pól E i B.**9 Sformułowanie podane przez Maxwella stawia nas wobec ważnego pytania natury matematycznej: w jakim stopniu dywergencja i rotacja określają funkcję wektorową? Innymi słowy, przypuśćmy, że pole F (które może być polem E lub B) ma dywergencję równą danej funkcji (skalarnej) Z), to znaczy V • F = D, a rotacja pola F równa jest danej funkcji (wektorowej) C, to znaczy V x F = C, (przy czym konieczne jest, aby C miało zerową dywergencję V • C = 0, sMówiąc bardziej precyzyjnie, E jest wektorem natężenia pola elektrycznego, a B jest wektorem indukcji magnetycznej ( p r z y p . tłu m .) . 9Ściśle biorąc jest to prawda jedynie w przypadku statycznym; w ogólnym przypadku dywergencja i rotacja wyrażają się przez pochodne tych samych pól względem czasu.
1. ANAII7A WFKTOROWA
74
ponieważ dywergencja rotacji jest zawsze równa zeru); czy możemy wtedy określić funkcję F? Odpowiedź brzmi: ta k ..., ale nie do końca. Istnieje bowiem — jak można było się przekonać rozwiązując zadanie 1.19 — wiele funkcji, których dywergencja i rotacja są równe zeru w całej przestrzeni. Oprócz trywialnego przypadku F = 0 mamy też na przykład F = yz x + zx y + xy z, F = sin x cosh y \ — cos x sinh y y itd. Przy rozwiązy waniu równań różniczkowych konieczne jest podanie odpowiednich warunków brzego wych. W elektrodynamice wymaga się zwykle, aby pola znikały w „nieskończoności" (to znaczy daleko od wszystkich ładunków) . 10 Z tą dodatkową informacją twierdzenie Helmholtza gwarantuje nam, że pole jest jednoznacznie określone przez dywergencję i rotację. (Dowód twierdzenia Helmholtza podany jest w dodatku B.)
1.6.2. Potencjały Jeśli rotacja pola wektorowego (F) zeruje się (w całej przestrzeni), to F można przed stawić jako gradient potencjału skalarnego ( V ): V x F = 0 <=> F = —W .
(1.103)
(Znak minus w tym równaniu wynika wyłącznie z przyjętej konwencji.) Taka jest główna myśl zawarta w następującym twierdzeniu: Twierdzenie 1: Pola o zerowej rotacji (lub „hezwirowe”). Następujące warunki są równo ważne (to znaczy F spełnia którykolwiek z nich wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia wszystkie pozostałe): (a) V x F = 0 w całej przestrzeni. b (b) j F • dl nie zależy od drogi całkowania przy dowolnym położeniu po a
czątku i końca drogi całkowania. (c) f F • dl = 0 dla całkowania po krzywej zamkniętej. (d) F jest gradientem pewnej funkcji skalarnej F = —W .
V
Potencjał skalarny nie jest wyznaczony jednoznacznie — do można bezkarnie dodać dowolną stałą, ponieważ nie wpłynie to na wartość jego gradientu. Jeśli dywergencja pola wektorowego (F) zeruje się (w całej przestrzeni), to F można przedstawić jako rotację potencjału wektorowego (A): V F = 0 <=> F = V x A.
(1.104)
,ftW niektórych zadaniach odnoszących się do wyidealizowanych sytuacji fizycznych gęstość ładunku nic dąży w nieskończoności do zera (tak jest na przykład w zagadnieniu wyznaczenia pola elektrycznego wytwarzanego przez nieskończoną naładowaną płaszczyznę lub pola magnetycznego nieskończonego drutu z prądem). W takich przypadkach nie można narzucić typowych warunków brzegowych i w celu jedno znacznego wyznaczenia pól musimy odwołać się do argumentów opartych na symetrii problemu.
75
1.6. TEORIA PÓL WEKTOROWYCH
Taka jest główna myśl zawarta w następującym twierdzeniu: Tw ierdzenie 2: Pola o zerowej dywergencji (lub pola „bezźródłowe”). Następujące warunki są równoważne: (a) V • F = 0 w całej przestrzeni. (b) f F da nie zależy od wyboru powierzchni całkowania w klasie po wierzchni, których brzegiem jest ta sama krzywa. (c) f F • da = 0 dla dowolnej powierzchni zamkniętej. (d) F jest rotacją pewnego pola wektorowego, F = V x A . Potencjał wektorowy nie jest wyznaczony jednoznacznie — do A można dodać gradient dowolnej funkcji skalarnej; nie zmieni to wartości rotacji A, ponieważ rotacja gradientu jest równa zeru. Posługując się podanymi do tej pory wiadomościami, czytelnik powinien bez trudu udowodnić implikacje zawarte w tych twierdzeniach, z wyjątkiem być może twierdzenia, że z (a), (b) lub (c) wynika (d). Te implikacje są bardziej złożone i zostaną wyjaśnione później. Warto zauważyć, że we wszystkich przypadkach (niezależnie od wartości rota cji i dywergencji) pole wektorowe F można przedstawić jako sumę gradientu funkcji skalarnej i rotacji funkcji wektorowej: F = —W
4 -V
x A
(zawsze).
(1.105)
Zadanie 1.49 (a) Niech Fj = x l t i F2 = x \ 4- yy + z z. Obliczyć dywergencję i rotację F, i F>. Które pole wektorowe można przedstawić jako gradient funkcji skalarnej? Znaleźć odpowiedni potencjał skalarny. Które pole wektorowe można przedstawić jako rotację funkcji wektorowej? Znaleźć odpowiedni potencjał wektorowy. (b) Pokazać, że F 3 = yz x + zxy + xy ż można przedstawić zarówno jako gradient funkcji skalarnej, jak i rotację funkcji wektorowej. Znaleźć odpowiedni potencjał skalarny i wektorowy. Zadanie 1.50. Udowodnić następujące implikacje w twierdzeniu 1: (d) =$■ (a), (a) => (c), (c) => (b), (b) =» (c) i (c) => (a). Zadanie 1.51. Udowodnić następujące implikacje w twierdzeniu 2 (d) => (a), (a) => (c), (c) =» (b). (b) => (c) i (c) => (a). Zadanie 1.52 (a) Które z funkcji wektorowych z zad. 1.15 można przedstawić jako gradient funkcji skalarnej? Znaleźć odpow iednie funkcje skalarne. (b) Które z funkcji wektorowych z zad. 1.15 można przedstawić jako rotację funkcji wek torowej? Znaleźć odpowiednie funkcje wektorowe.
76
1. ANALIZA WEKTOROWA
Z a d a n ia d od atk ow e do rozdziału 1 Z ad a n ie 1.53. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem słuszność twierdzenia o dywergencji dla funkcji v = r 2 cos 0 r + r 2 cos 0 0 —r 1cos 0 sin 0
Zadanie 1.55. Obliczyć całkę krzywoliniową z funkcji v = 6 x + y z 2y + (3y + z) z po trójkącie przedstawionym na rys. 1.49. Sprawdzić wynik za pomocą twierdzeniu Stokesa. [Odpowiedź: 8/3.] Zadanie 1.56. Obliczyć całkę krzywoliniową z funkcji v = (r cos 2 0) r — (r cos 0 sin 0) 0 + 3r
77
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 1
Rys. 1.52
(b) Połączyć wniosek 2 z twierdzenia Stokesa z twierdzeniem o dywergencji. Pokazać, że wynik jest zgodny z innymi omawianymi twierdzeniami. • Zadanie 1.60. Z podstawowych twierdzeń całkowych analizy wektorowej — twierdzeń o gra diencie, dywergencji i rotacji — można wyprowadzić szereg dalszych wniosków. Pokazać, że: (a) f v (VT)dz = Zda [Wskazówka: Przyjąć w twierdzeniu o dywergencji, że v = c7\ gdzie c jest stałą; następnie skorzystać z reguły dla różniczkowania iloczynu.] (b) / v (V x v)dr = - $ s v x da. [Wskazówka: W twierdzeniu o dywergencji podstawić za v funkcję (v x c).| (c) /ylT A U + (VT) • (Vf/)] dr = j>g(TVU) • da. [Wskazówka: Podstawić w twierdzeniu o dywergencji v —TV U | (d) fv (T AU —U AT) dr = f $(TVU —IJVT) • da fUwaga: Wniosek ten znany jest jako twierdzenie Greena; wynika on z równania (c), które niekiedy nazywane jest tożsamością Greena.] (e) f<$VT x da = —'fipT dl. [Wskazówka: Podstawić do twierdzenia Stokesa funkcję v = cr . r • Zadanie 1.61. Całka s nazywana jest niekiedy w ektorow ym polem p ow ierzchni dla powierzchni S. Jeśli powierzchnia S jest płaska, to |a| jest oczywiście zwykłym (skalarnym) polem powierzchni. (a) Obliczyć wektorowe pole powierzchni dla półkuli o promieniu R (b) Pokazać, że dla dowolnej powierzchni zamkniętej zachodzi a = 0. [Wskazówka: Sko rzystać z wyników zadania 1.60a. | (c) Pokazać, że powierzchnie mające wspólny brzeg mają tę samą wartość a. (d) Pokazać, że a = j ^ r x dl.
(1.107)
przy czym całkowanie przebiega po krzywej będącej brzegiem powierzchni. | Wskazówka: Jeden ze sposobów na wykonanie tego rachunku polega na posłużeniu się stożkiem zakreślanym przez promień wodzący przebiegający po rozważanej krzywej Należy podzielić powierzchnię stożka na infinitezymalne trójkąty z wierzchołkiem w początku układu i bokiem przeciwległym do tego wierzchołka równym dl, a następnie wykorzystać geometryczną interpretację iloczynu wektorowego (rys. 1.8 ).] (e) Pokazać, że l ( c r)dl = a x c
(1.108)
dla dowolnego stałego wektora c. [Wskazówka: Wstawić do wzoru z zadania 1.60e T — c r.|
78
1. ANALIZA WEKTOROWA
• Zadanie 1.62 (a) Obliczyć dywergencję funkcji r v = —. r Wykonać najpierw obliczenia wprost, podobnie jak w równaniu (1.84). Następnie sprawdzić wynik za pomocą twierdzenia o dywergencji, podobnie jak w równaniu (1.85). Czy w początku układu pojawia się funkcja delta, podobnie jak w przypadku funkcji r / r 2? Jaki jest ogólny wzór na dywergencję funkcji r"r? [Odpowiedź: Jeśli n ^ -2 , to V • (r"r) = (n + 2)rn~]\ w przeciwnym przypadku 4n53(r).] (b) Obliczyć rotację rnr. Sprawdzić wynik za pomocą wzoru z zadania 1.60b. [Odpowiedź: V x (r"r) = 0 ]
Rozdział 2
Elektrostatyka
2.1. Pole elektryczne 2.1.1. Wstęp Podstawowy problem, jaki stara się rozwiązać teoria elektromagnetyzmu, można sformu łować następująco (rys. 2.1): Dane są pewne ładunki elektryczne q\. qi, q3 ,... (nazwijmy je ładunkami-źródłami); jaką siłą działają one na ładunek Q (nazwijmy go ładunkiem próbnym)? Położenia ładunków-źródeł są dane (jako funkcje czasu); trajektoria ładunku próbnego ma być obliczona. W ogólnym przypadku zarówno ładunki-źródła, jak i ła dunek próbny znajdują się w ruchu. •0 <7i#
#
#
ładunki - źródła
ładunek p
Rys. 2.1
Rys. 2.2
Przy rozwiązywaniu tego problemu bardzo pomocna jest zasada superpozycji, która głosi, żc oddziaływanie między dwoma danymi ładunkami jest niezależne od obecności innych ładunków. Aby zatem obliczyć siłę działającą na ładunek Q, możemy najpierw obliczyć siłę Fj, jaką działa na niego jedynie ładunek q\ (ignorując pozostałe ładunki); następnie obliczamy siłę F 2 , wywieraną przez ładunek q2 , itd. Ostateczny rezultat otrzy mujemy dodając te siły wektorowo: F = F] + F 2 + F 3 + . .. Jeśli potrafimy znaleźć siłę, jaką pojedynczy ładunek-źródło q działa na ładunek Q, to w zasadzie problem jest rozwiązany — reszta to kwestia kilkakrotnego powtórzenia tej operacji i dodania otrzymanych wyników. 1 'Zasada superpozycji może wydawać się czymś „oczywistym”, ale wcale nie musi być taka prosta. Na przykład, gdyby siła elektromagnetyczna była proporcjonalna do kwadratu całkowitego ładunku źródła, to zasada superpozycji nie obowiązywałaby, ponieważ (q\ + q2)2 ^ q \ + q j (musielibyśmy uwzględnić „człony mieszane”). Zasada superpozycji jest faktem doświadczalnym, a nie logiczną koniecznością .
2. ELEKTROSTATYKA
80
Na pierwszy rzut oka wydaje się to bardzo proste: Dlaczego więc nie napiszę po prostu wzoru na siłę, jaką ładunek q działa na Q, całkowicie rozwiązując w ten spo sób problem? Otóż mógłbym to zrobić — i zrobię to w rozdziale 10 — ale gdybym przedstawił ten wzór już w tym miejscu, byłby dla was dziwnym zaskoczeniem, po nieważ siła działająca na Q zależy nie tylko od odległości 7Z między ładunkami (rys. 2.2), ale też od prędkości i przyspieszenia ładunku ą. Co więcej, nie jest istotne, ja kie jest położenie, prędkość i przyspieszenie q w danym momencie: elektromagnetyczne „informacje" rozchodzą się z prędkością światła, lak więc dla Q istotne jest położenie, prędkość i przyspieszenie, jakie ładunek q miał w momencie, kiedy „informacja" została wysłana. Choć więc podstawowe pytanie („Jaką siłą q działa na Q T ) łatwo jest sformuło wać, to nie opłaca się atakować go wprost; spróbujemy raczej udzielić na nic odpo wiedzi w kilku krokach. Koncepcje teoretyczne, z jakimi się zapoznamy, pozwolą nam na rozwiązanie bardziej subtelnych problemów elektromagnetyzmu, których nie daje się tak prosto sformułować. Na początek rozważymy szczególny przypadek elektrostatyki, kiedy to wszystkie ładunki-tródła spoczywają (choć ładunek próbny może się poruszać).
2.1.2. Prawo Coulomba Jaką siłą spoczywający ładunek punktowy q działa na ładunek próbny Q znajdujący się w odległości 7Z7 Odpowiedz na to pytanie daje nam (oparte na doświadczeniu) prawo Coulomba qQ *
1
(2 . 1 )
Stała to nazywa się przenikalnością elektryczną próżni. W międzynarodowym układzie jednostek (SI), w którym siłę wyraża się w' niutonach (N), odległość w metrach (m), a ładunek w kulombach (C ), m am y ć0 = 8,85-
10
-1 2
c2
N • m2' Prawo Coulomba głosi, że siła jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunków i od wrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Podobnie jak w poprzed nim dziale (patrz paragraf 1.1.4) TL jest wektorem reprezentującym różnicę położeń ładunków q (wektor r') i Q (wektor r):
7ć = r - r ;
(2.2)
71 jest jego długością, a 7?. wersorem wskazującym jego kierunek i zwrot. Siła jest skierowana wzdłuż linii łączącej q z Q\ jest odpychająca, kiedy q i Q są tego samego znaku, i przyciągająca, jeśli ich znaki są przeciwne. Prawo Coulomba i zasada superpozycji stanowią fizyczne podstawy elektrostatyki — reszta, poza pewnymi szczególnymi właściwościami materii, jest tylko kwestią ma tematycznej obróbki tych podstawowych zasad.
2.1. POLE ELEKTRYCZNE
81
Zadanie 2.1 (a) Dwanaście ładunków o tej samej wartości q umieszczono w wierzchołkach 12-kąta foremnego. (Możemy sobie na przykład wyobrazić, że każdej godzinie na tarczy zegara przypo rządkowano jeden ładunek. ) Jaka jest całkowita siła działająca na ładunek próbny Q znajdujący się w środku wielokąta? (b) Przypuśćmy, że jeden z tych dwunastu ładunków został usunięty (na przykład ten odpo wiadający godzinie 6 ). Jaka siła działa teraz na Q? Wyjaśnij precyzyjnie swoje rozumowanie. (c) Przypuśćmy, że 13 jednakowych ładunków q umieszczono w wierzchołkach 13-kąta foremnego. Jaka siła działa na ładunek próbny Q umieszczony w środku wielokąta? (d) Jaka siła będzie działać na Q, jeśli jeden z trzynastu ładunków zostanie usunięty? Wyjaśnij swoje rozumowanie.
2.1.3. Pole elektryczne Jeśli mamy kilka ładunków punktowych ą2y. . ., q,„ których odległości od ładunku Q wynoszą odpowiednio 7£j, K j ........ Tl,,* to całkowita siła działająca na Q jest dana wzorem F = Fj 4- F 2 4 - ... = 4 tc€o
Q
ffi'fci n]
( { i& i
n\
‘n ^-7Li + — ^7
+
q3
^3 n\
lub inaczej F = Q E,
(2.3)
przy czym E(r) = „
V- « A n, n}
(2.4)
E nazywa się natężeniem pola elektrycznego ładunków-źródeł. Zauważmy, że jest ono funkcją położenia r — ponieważ wektory 7Zj zależą od punktu P, w którym mie rzymy pole (rys. 2.3) — ale nie zależy od wielkości ładunku próbnego Q. Natężenie pola elektrycznego to zależna od położenia wielkość wektorowa, która jest określona przez rozmieszczenie ładunków-źródeł; E(r) można interpretować fizycznie jako siłę na jednostkę ładunku, jaka działa na ładunek próbny umieszczony w P. Czym tak naprawdę jest pole elektryczne? Z rozmysłem rozpocząłem od interpreta cji E jako tworu pomocniczego przy obliczaniu sił elektrostatycznych. Można to nazwać „interpretacją minimalną”. Zachęcam was jednak do myślenia o polu jako „realnej” wielkości fizycznej, wypełniającej przestrzeń w otoczeniu każdego ładunku elektrycz nego. Maxwell uważał, że pola elektryczne i magnetyczne reprezentują naprężenia i de formacje w niewidocznym, wszechobecnym, galaretowatym „eterze”. Szczególna teoria względności zmusiła nas do porzucenia koncepcji eteru, a z nią również mechanicznej
2. ELEKTROSTATYKA
82
interpretacji pól elektromagnetycznych podanej przez Maxwella. (Możliwe jest nawet — choć dość złożone — sformułowanie elektrodynamiki klasycznej jako teorii „oddzia ływania na odległość” i zupełne wyeliminowanie pojęcia pola.) Nie mogę wam więc powiedzieć, czym jest pole — mogę jedynie powiedzieć, jak je obliczyć i jakie mogą być konsekwencje jego występowania.
Zadanie 2.2 (a) Obliczyć natężenie pola elektrycznego (wartość, kierunek i zwrot) w odległości z nad punktem leżącym dokładnie pośrodku między dwoma ładunkami o wartości qy znajdującymi się w odległości d (rys. 2.4). Sprawdzić, czy otrzymany wynik zgadza się z rezultatem, jakiego można spodziewać się dla z d.
P
q d!2
dl2 q
Rys. 2.4
(b) przeciwny.
Powtórzyć część (a) dla przypadku, kiedy zmienimy znak jednego z ładunków na
2.1.4. Ciągłe rozkłady ładunku W przyjętej przez nas definicji natężenia pola elektrycznego (równanie (2.4)) założyli śmy, że źródłem pola jest dyskretny zbiór ładunków punktowych qt. Jeśli jednak ładunek
83
2.1. POLE ELEKTRYCZNE
byłby rozłożony w sposób ciągły na pewnym obszarze, to zamiast sumą musielibyśmy posłużyć się całką (rys. 2.5a):
a) ciągły rozkład b) ładunek liniowy c) ładunek powierzchniowy d) ładunek objętościowy ładunku o gęstości A o gęstości a o gęstości p Rys. 2.5
Jeśli ładunek jest rozłożony w sposób ciągły wzdłuż krzywej (rys. 2.5b), a jego gęstość liniowa wynosi A, to dc/ = Adl' (gdzie di' jest infinitezymalnym przyrostem długości wzdłuż krzywej); jeśli ładunek rozłożony jest w sposób ciągły na pewnej powierzchni (rys. 2.5c), a jego gęstość powierzchniowa wynosi
(
2. 6)
dla ładunku powierzchniowego mamy E(r) =
/• a ( r '
47re0
JW
]izcW-,
(2.7)
wreszcie dla objętościowego rozkładu ładunku mamy
( 2 .8)
Równanie (2.8) często określane jest mianem „prawa Coulomba”, ponieważ jest bar dzo podobne do formuły (2 . 1 ), a objętościowy rozkład ładunku jest w pewnym sensie najbardziej ogólnym i najbardziej realistycznym przypadkiem. We wzorach tych należy zwrócić uwagę na rolę, jaką odgrywa IZ. W równaniu (2.4) początek wektora IZj od-
84
2. ELEKTROSTATYKA
powiadał położeniu ładunku-źródła ą{, a koniec odpowiadał położeniu punktu r, dla którego obliczane jest pole. Zgodnie z tym w równaniach (2.5)-(2.8) 7Z jest wektorem łączącym dq (a więc d/', da lub d r') z punktem r, dla którego obliczamy pole.2
Przykład 2.1 Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z nad środkiem odcinka o długości naładowanego jednorodnie z gęstością liniową /. (rys. 2 .6 ).
2 L,
Rozwiązanie: Wygodnie jest podzielić odcinek na pary identycznych fragmentów, rozmiesz czonych symetrycznie względem środka odcinka (o współrzędnych ± a ) , ponieważ wtedy skła dowe pól od obu fragmentów równoległe do odcinka znoszą się i całkowite pole od każdej pary wynosi „ 1 fxdx\ dE = 2------ ( — — ) cos# z.
47160 V R1 )
We wzorze tym cos# = z/Tl, Tl = s/z2 + x 2, a a przebiega wartości od 0 do /,, zatem 1 f 2Xz 4 jT£„ J' (z2 + x2)V2 01
2\z I ■ x 1 4 tt€0 1,z W z 2 + x>J 1 2XL 47t60 Zy/Z2 + L2 i jest skierowane wzdłuż osi z. Dla punktów leżących w dużej odległości od odcinka (z » L) rezultat ten przybiera znacznie prostszą postać 2
Uwaga: Wektor jednostkowy 71 nie jest wektorem stałym; jego kierunek zależy od położenia źródła we wzorach (2.5)-(2.8) nie można wyciągnąć go przed znak całki. W praktyce oznacza to, że trzeba posługiwać się składowymi kartezjańskimi (wektory x. y. ż są stałe i można w'yciągać je przed znak całki), naw'et jeśli do wykonania całkowania wykorzystujemy współrzędne krzywoliniowe. r', a zatem
2.1. POLE ELEKTRYCZNE
85
E=
1 2XL 7?
co jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem: z dużej odległości odcinek ,,wygląda” jak ładunek punktowy q = 2XL, a więc pole przybiera postać pola ładunku punktowego q/(4n€0z2). Z dru giej strony, w granicy L -+ oo otrzymujemy pole od nieskończonej naładowanej prostoliniowej nici 4 7i ^0 z lub bardziej ogólnie E=
1
2a
(2.9)
4 tt60 .v ’
gdzie s jest odległością od nici.
Zadanie 2.3. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z nad jednym z końców odcinka o długości L (rys. 2.7), jednorodnie naładowanego z gęstością liniową X. Sprawdzić, że wynik jest zgodny z tym, czego można oczekiwać w przypadku z^>L. Zadanie 2.4. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z nad środkiem kwadra towej ramki (o boku a) naładowanej jednorodnie z gęstością liniową X (rys. 2.8) [Wskazówka: Skorzystać z wyniku zad. 2.1.1 TP
JE
i i iz i
Rys. 2.7
Rys. 2.8
Rys. 2.9
Zadanie 2.5. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości " nad środkiem okrągłej pętli o promieniu r (rys. 2.9), naładowanej jednorodnie z gęstością liniową X. Zadanie 2.6. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z nad środkiem cień kiego krążka o promieniu R (rys. 2 . 10 ), naładowanego jednorodnie z powierzchniową gęstością ładunku a. Jaki wynik otrzymujemy w granicy R -> oo? Sprawdzić też przypadek R-
Rys. 2.10
Rys. 2.11
86
2. ELEKTROSTATYKA
Zadanie 2.7. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości z od powierzchni kulistej o promieniu R (rys. 2.11), naładowanej jednorodnie z gęstością powierzchniową a. Rozważyć przypadek z < R (wewnątrz kuli) i z > R (na zewnątrz kuli). Wyrazić wynik przez całkowity ładunek q na kuli. [Wskazówka: Skorzystać ze wzoru cosinusów, aby wyrazić IZ przez R i 6. Upewnić się, że wykorzystywany jest pierwiastek dodatni: >/R2 + z2 —2Rz = (R —z) dla R > z, ale dla R < z jest to (z —/?).| Zadanie 2.8. Posługując się wynikami zad. 2.7. obliczyć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli o promieniu R, naładowanej jednorodnie z objętościową gęstością ładunku p. Wyrazić wynik przez całkowity ładunek kuli q. Narysować wykres zależności |E| od odległości od środka kuli.
2.2. Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1. Linie pola, strumień i prawo Gaussa W zasadzie można powiedzieć, że nasze studia nad elektrostatyką zostały zakończone. Równanie (2.8) pozwala nam obliczyć pole wytworzone przez rozkład ładunku, a rów nanie (2.3) określa siłę, jaka działać będzie na ładunek Q umieszczony w tym polu. Niestety, jak można się było przekonać przy rozwiązywaniu zadania 2.7, wyznaczając w ten sposób E, możemy natknąć się na bardzo trudne całki, nawet dla stosunkowo prostych rozkładów ładunku. Większość dalszych rozważań w dziedzinie elektrostatyki poświęcona jest więc rozwijaniu narzędzi i omówieniu różnych sztuczek pozwalających na uniknięcie obliczania tych całek. Pierwszym krokiem w tym kierunku jest dysku sja dywergencji i rotacji E. W paragrafie 2.2.2 obliczymy dywergencję E hezpośrednio z równania (2 .8 ), najpierw jednak chciałbym pokazać, jak można uzyskać wynik w bar dziej jakościowy i intuicyjny sposób, który zapewne jest też bardziej pouczający. Zacznijmy od najprostszego przypadku: pojedynczego ładunku punktowego q y znaj dującego się w początku układu współrzędnych: E(r)
1 4ne0 r 2
( 2 . 10)
Aby lepiej „poczuć” to pole, można narysować kilka wektorów pola w różnych punktach, jak to zrobiono na rys. 2.12a. Ponieważ pole zmienia się z r jak 1 /r2, więc wektory stają się coraz krótsze, im bardziej oddalamy się od początku układu; poza tym zawsze skierowane są radialnie na zewnątrz. Istnieje jednak bardziej elegancki sposób na zo brazowanie tego pola, polegający na połączeniu strzałek w celu utworzenia linii pola (rys. 2.12b). Pozornie może się wydawać, że w ten sposób tracimy zawartą w długości strzałek informację o tym, jak silne jest pole. W rzeczy wistości jednak tak nic jest. „Siła” pola odzwierciedlana jest przez gęstość linii pola: pole jest silne w pobliżu centrum siły, gdzie linie pola leżą blisko siebie, i słabnie przy oddalaniu się od centrum, gdzie linie pola leżą dość daleko od siebie. Prawdę mówiąc, dwuwymiarowy rysunek linii pola jest nieco mylący, ponieważ gęstość linii pola przechodzących przez okrąg o promieniu r to całkowita liczba linii
? ? DYWFRGFNCJA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO
87
pola podzielona przez obwód (n/2nr)y co daje wynik proporcjonalny do ( 1//*), a nie (1//—). Jeśli jednak wyobrazimy sobie ten model w trzech wymiarach (na przykład jako poduszeczkę z powbijanymi igłami sterczącymi na zewnątrz we wszystkich kierunkach), to gęstość linii pola równa jest całkowitej liczbie linii podzielonej przez powierzchnię sfery (n/Anr2), co daje wynik, który jest proporcjonalny do ( 1/ r 2).
Rys. 2.12
Rysunki podobnego typu mogą być również użyteczne przy przedstawianiu bardziej skomplikowanych pól. Oczywiście liczba narysowanych linii zależy głównie od tego, z jakim zapałem podchodzimy do tego zagadnienia (i jak ostry mamy ołówek), choć powinniśmy narysować ich wystarczająco wiele, by uzyskać dokładny obraz pola. Mu simy też być konsekwentni: jeśli z ładunkiem q wiążemy 8 linii, to z ładunkiem 2 q powinno wiązać się 16 linii. Trzeba też zachować odpowiednie odległości między li niami — powinny one wychodzić z ładunków punktowych symetrycznie we wszystkich kierunkach. Linie pola zaczynają się na ładunkach dodatnich i kończą się na ładun-
ładunki równe co do wartości bezwzględnej, ale przeciwnego znaku
Rys. 2.13
2. ELEKTROSTATYKA
88
kach ujemnych; nic mogą skończyć się tak po prostu w dowolnym miejscu, choć mogą rozciągać się do nieskończoności. Co więcej, linie pola nie mogą się nigdy przecinać — w punkcie, w którym przecinałyby się, pole skierowane byłoby w dwóch różnych kierunkach naraz! Mając to wszystko na uwadze, łatwo jest naszkicować pole prostego układu ładunków. Zaczynamy od narysowania linii w niedużej odległości od każdego z ładunków, a następnie łączymy je lub ciągniemy do nieskończoności (rys. 2.13 i 2.14).
ładunki o równej wartości Rys. 2.14
Przy tej reprezentacji pola strumień pola E przez powierzchnię ó\ ( 2.
11)
jest miarą „liczby linii pola” przechodzących przez S . Określenie to umieściłem w' cu dzysłowie, ponieważ możemy narysować jedynie kilka reprezentatywnych linii pola — całkowita ich liczba jest nieskończona. Ale przy danej gęstości próbkowania linii pola strumień jest proporcjonalny do liczby narysowanych linii, ponieważ — jak pamiętamy — wartość natężenia pola jest proporcjonalna do gęstości linii pola (liczba na jednostkę powierzchni), a zatem E • da jest proporcjonalne do liczby linii przechodzących przez infinitezymalny element powierzchni da. (Iloczyn skalarny wybiera rzut wektora da na kierunek pola E, jak to przedstawiono na rys. 2.15. Mówiąc o gęstości linii pola na jed nostkę powierzchni, mamy na myśli jedynie powierzchnię w płaszczyźnie prostopadłej do E. ) Sugeruje to, że strumień przez dowolną zamkniętą powierzchnię jest miarą całkowi tego ładunku w obszarze ograniczonym przez tę powierzchnię. Wynika to stąd, że linie pola zaczynające się na ładunkach dodatnich muszą albo przechodzić przez powierzch nię, albo kończyć się na ładunku ujemnym wewnątrz zamkniętego obszaru (rys. 2.16a). Z drugiej strony, ładunek na zewnątrz powierzchni nie będzie dawał wkładu do całko witego strumienia, ponieważ linie jego pola będą z jednej strony wchodzić, a z drugiej
2.2. DYWERGENCJA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO
89
Rys. 2.16
wychodzić przez powierzchnię (rys. 2.16b). Taki jest zasadniczy sens prawa Gaussa. Wyrazimy to teraz w sposób ilościowy. W przypadku ładunku punktowego q znajdującego się w początku układu, strumień E przez sferę o promieniu /* wynosi
f
(^ E d a = —!— • (r2 sinfldtf d 0 r ) = —
(2.12)
Zauważmy, że wynik nie zależy od promienia sfery, ponieważ powierzchnia sfery rośnie z r jak r 2, a pole maleje jak l//*2, czyli iloczyn jest stały. Łatwo to zrozumieć za pomocą obrazka z liniami pola, ponieważ liczba linii pola przechodzących przez sferę, której środek znajduje się w początku układu, jest taka sama niezależnie od jej rozmiarów. W istocie, wcale nie musi to być sfera — każda powierzchnia zamknięta, niezależnie od kształtu, uchwyci tę samą liczbę linii pola. Widać więc, że strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek wynosi ą/cę). Przypuśćmy teraz, że zamiast pojedynczego ładunku w początku układu mamy pewien zbiór ładunków rozrzuconych w przestrzeni. Zgodnie z zasadą superpozycji cał kowite pole jest (wektorową) sumą pól od wszystkich ładunków: K = ± E i. i=]
2. ELEKTROSTATYKA
90
Strumień przez powierzchnię obejmującą wszystkie ładunki jest więc równy
Zatem dla dowolnej zamkniętej powierzchni
(2.13)
przy czym Qwew jest całkowitym ładunkiem w obszarze ograniczonym przez tę po wierzchnię. Jest to ilościowe sformułowanie prawa Gaussa. Nie zawiera ono wprawdzie żadnej nowej informacji w stosunku do prawa Coulomba i zasady superpozycji, pozwala jednak na łatwe otrzymywanie bardzo mocnych wyników, co nadaje mu niemal magiczny charakter, jak to zobaczymy w paragrafie 2.2.3. Zauważmy, że wszystko opiera się na zależności 1 /r 2 w prawie Coulomba; bez tej zależności nie doszłoby do znoszenia się zależności od r w równaniu (2.12) i całkowity strumień E zależałby od wyboru po wierzchni, a nic jedynie od całkowitego ładunku obejmowanego przez powierzchnię. Inne siły zmieniające się z r jak 1 /r 2 (mam tu na myśli przede wszystkim prawo po wszechnego ciążenia Newtona) również będą spełniać swoje własne „prawo Gaussa”, a wnioski, jakie uzyskamy poniżej, bezpośrednio odnoszą się również i do nich. Prawo Gaussa w postaci podanej powyżej jest równaniem całkowym, ale możemy łatwo przekształcić je w prawo różniczkowe, stosując twierdzenie o dywergencji: / E .da = / «(V • E) dr. 5
V
Wyrażając Qwew przez gęstość ładunku p, otrzymujemy fiwew — J P dr. V
Tak więc prawo Gaussa przybiera postać
/
dr.
Ponieważ wzór ten obowiązuje dla dowolnego obszaru całkowania, więc funkcje pod całkowe muszą być równe (2.14)
Równanie (2.14) wyraża to samo co równanie (2.13); jest to prawo Gaussa w po staci różniczkowej. Postać różniczkowa jest bardziej elegancka, ale postać całkowa ma
2.2. DYWERGENQA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO
91
tę zaletę, że łatwo w niej w naturalny sposób uwzględnić ładunki punktowe, liniowe i powierzchniowe.
Zadanie 2.9. Przypuśćmy, że w pewnym obszarze stwierdzono, iż wektor natężenia pola elek trycznego jest równy (we współrzędnych sferycznych) E = kr*r , gdzie k jest pewną stałą. (a) Znaleźć gęstość ładunku objętościowego p. (b) Znaleźć całkowity ładunek zawarty w kuli o promieniu R i środku w początku układu współrzędnych. (Wykonać to na dwa sposoby.)
Kvs. 2.17
Zadanie 2.10. Ładunek ą umieszczony jest w wierzchołku sześcianu, jak to przedstawiono na rysunku 2.17. Jaki jest strumień E przez zacieniowaną ściankę?
2.2.2. Dywergencja E Cofnijmy się teraz nieco i obliczmy dywergencję E bezpośrednio z równania (2.8): (2.15) (Pierwotnie całkowaliśmy po obszarze zajmowanym przez ładunek, ale równic dobrze możemy rozciągnąć całkowanie na całą przestrzeń, ponieważ i tak na zewnątrz tego obszaru mamy p — 0.) Zauważając, że zależność od r zawarta jest w T l = r r\ otrzymujemy
Dywergencja pod znakiem całki odpowiada ściśle równaniu (1.100):
92
2. ELEKTROSTATYKA
Tak więc V E = —!— f 47t<$3(r —r')p(r')ÓT' = —p(r). 4tt6o J
(2.16)
Jest to prawo Gaussa w postaci różniczkowej (2.14). Aby uzyskać postać całkową (2.13) tego prawa, musimy przeprowadzić poprzednie rozumowanie w odwrotnej kolejności — scałkować po objętości i zastosować twierdzenie o dywergencji: I V • E d r = (j> E • da = — J p d z = — Qwew. V
S
V
2.2.3. Zastosowania prawa Gaussa W tym miejscu chciałbym przerwać dyskusję teoretyczną, aby pokazać niezwykłą uży teczność prawa Gaussa w postaci całkowej, które pozwala łatwo otrzymać bardzo mocne wyniki. W przypadku gdy problem ma jakąś symetrię, posłużenie się tym prawem to najszybszy i najłatwiejszy sposób na wyznaczenie pól elektrycznych. Zilustrujemy tę metodę szeregiem przykładów.
Przykład 2.2 Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q.
Rozwiązanie: Narysujmy sferę o promieniu r > R (rys. 2.18), nazywaną „powierzchnią Gaussa”. Prawo Gaussa głosi, iż dla tej powierzchni (tak jak dla jakiejkolwiek innej) (f E • da — —Q ^w J *o $ i Swe* = Na pierwszy rzut oka nie zyskujemy w ten sposób zbyt wiele, ponieważ poszu kiwana przez nas wielkość (E) występuje pod znakiem całki powierzchniowej Na szczęście
2.2. DYWERGENCJA I ROTAGA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO
93
symetria pozwala nam wyciągnąć E przed znak całki: jest oczywiste, żc E skierowane jest radialnie na zewnątrz,3 podobnie jak da, możemy więc opuścić znak iloczynu skalarnego,
a wartość E jest stała na powierzchni Gaussa, możemy zatem wyciągnąć tę wielkość przed znak całki:
Tak więc |E| Aur1 = —q lub
Zwróćmy uwagę na niezwykłą właściwość tego wyniku: pole na zewnątrz naładowanej kuli jest dokładnie takie samo, jakie byłoby, gdyby cały ładunek był skoncentrowany w środku kuli.
Prawo Gaussa jest zawsze prawdziwe, choć niekiedy jest mało użyteczne. Jeśli p nie byłoby stałe (lub choćby nie było sferycznie symetryczne) albo gdybyśmy wybrali inną postać powierzchni Gaussa, to dalej byłoby prawdą, że strumień E jest równy (1/co)r/, ale nie mielibyśmy pewności, że E skierowane jest zgodnie z da i ma stałą wartość na całej powierzchni, a wtedy nie moglibyśmy uzasadnić wyciągnięcia |E| przed znak całki. W tym przykładzie zastosowania prawa Gaussa kluczową rolę odgrywa symetria. Z mojego doświadczenia wynika, że istnieją tylko trzy rodzaje symetrii, dla których można uzyskać za pomocą tego prawa znaczące wyniki: 1. Symetria sferyczna. Należy wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie sfery ze środkiem w środku symetrii. 2. Symetria osiowa. Należy wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie walca, którego osią jest oś symetrii (rys. 2.19). 3. Symetria względem płaszczyzny. Należy wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie „pudełka ’, obejmującego wycinek płaszczyzny symetrycznie z obu stron (rys. 2 .2 0 ). Choć przypadki (2) i (3) wymagają, ściśle biorąc, nieskończenie długich walców i płaszczyzn rozciągających się do nieskończoności we wszystkich kierunkach, to często będziemy posługiwać się nimi w celu otrzymania przybliżonych rozwiązań dla „długich” walców lub „dużych" płaskich powierzchni, w punktach leżących daleko od brzegów. •'Jeśli ktoś nie jest przekonany o tym, że E ma kierunek radialny, niech rozważy inne możliwo ści. Przypuśćmy, żc wektor pola skierowany jest wzdłuż „równika", w kierunku „na wschód”. Rzecz w tym, żc wybói przebiegu „równika" jest całkowicie arbitralny — nie ma tu żadnej wyróżnionej osi „północ-południe”, ponieważ nie ma żadnego obrotu. Tak więc każdy argument za tym, iż wektor E skierowany jest na „wschód”, może być równic dobrze użyty do pokazania, że jest on skierowany na „zachód", „północ" lub w dowolnym innym kierunku. Jedynym wyróżnionym kierunkiem na sferze jest kierunek radialny
2. ELEKTROSTATYKA
94
Rys. 2.19
Rys. 2.20
Przykład 2.3 Długi walec (rys. 2.21) naładowany jest z gęstością proporcjonalną do odległości od osi: p = ks, gdzie k jest pewną stałą. Znaleźć natężenie pola elektrycznego we wnętrzu walca.
Rys. 2.21
Rozwiązanie: Narysujmy walec Gaussa o długości / i promieniu s. Korzystając z prawa Gaussa, otrzymujemy dla tej powierzchni E • da = —gwew. *0 £ Ładunek w obszarze ograniczonym tą powierzchnią jest równy
/
J
J
(ks')(s'ds'd
P
dr =
2.2. DYWERGENCJA I ROTAGA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO
95
Wkład od płaskich części powierzchni walca jest równy zeru, ponieważ E jest prostopadłe do da. Tak więc |E| 2Tis/ = —- nkls 3 6o 3 i ostatecznie , E = — ks2s. 3e0
Przykład 2.4 Dana jest nieskończona płaszczyzna, naładowana ze stałą gęstością powierzchniową a. Znaleźć natężnie pola elektrycznego wytwarzanego przez tę płaszczyznę. Rozwiązanie; Należy rozważyć „pudełko Gaussa”, którego ścianki znajdują się w równej odległości nad i pod naładowaną płaszczyzną (rys. 2.22). Stosując prawo Gaussa do powierzchni tego pudełka, otrzymujemy: ^ <^>E • da = — W tym przypadku Q w ew = o A , gdzie A jest powierzchnią „przykrywki” na pudełku. Z symetrii wynika, że E skierowane jest prostopadle do płaszczyzny (w górę dla punktów leżących nad płaszczyzną, w dół dla punktów leżących poniżej płaszczyzny). Wkład od górnej i dolnej
E
E
Rys. 2.22 powierzchni wynosi J F da = 2A|E|. Boki pudełka nie wnoszą żadnego wkładu. Tak więc 2A |E| = * a A lub (2.17)
2. ELEKTROSTATYKA
96
gdzie n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni, skierowanym od po wierzchni w przestrzeń. W zadaniu 2.6 otrzymaliśmy ten sam wynik znacznie bardziej pra cochłonną metodą. Na pierwszy rzut oka może wydać się zaskakujące, że pole nieskończonej płaszczyzny nie z.alezy od odległości od płaszczyzny. Co się stało z czynnikiem 1/r 2 z prawa Coulomba? Odpowiedź jest prosta: w miarę oddalania się od płaszczyzny ładunek będący w naszym „polu widzenia” (stożku z wierzchołkiem w oku obserwatora) staje się coraz większy, co kompensuje malejące oddziaływanie z jakimkolwiek wybranym elementem powierzchni. Pole elektryczne od kuli maleje ze wzrostem r jak 1/ r 2; pole elektryczne nieskończonej prostoliniowej nici maleje jak 1/r; pole elektryczne nieskończonej płaskiej powierzchni nic maleje wcale.
Bezpośrednie wykorzystanie prawa Gaussa do obliczania pola elektrycznego ogra niczone jest do przypadków z symetrią sferyczną, osiową i symetrią względem płasz czyzny, możemy jednak posłużyć się nim także w przypadku układów nie wykazujących tych symetrii, ale będących kombinacją elementów o takiej symetrii. Odwołując się do zasady superpozycji, możemy na przykład obliczyć pole w pobliżu dwóch jednorodnie naładowanych równoległych walców lub pole od układu złożonego z kuli i naładowanej płaszczyzny.
Przykład 2.5 Dane są dwie nieskończone, równoległe płaszczyzny, jednorodnie naładowane ładunkami o przeciwnym znaku z gęstością powierzchniową ±cr (rys. 2.23). Znaleźć natężenie pola w każdym z trzech obszarów: (i) na lewo od obu płaszczyzn, (ii) między płaszczyznami, (iii) na prawo od obu płaszczyzn.
(ii)
+o
i (hi)
-a
Rys. 2.23
Et
E+
E.
E_
E_
E.
(i)
(ii)
(iii)
+o
-o
Rys. 2.24
Rozwiązanie: Płaszczyzna po lewej stronie wytwarza pole (l/26 0)cr, które skierowane jest w kierunku od płaszczyzny w przestrzeń (rys. 2.24), czyli w lewo w obszarze (i) i w prawo w obszarach (ii) i (iii). Prawa płaszczyzna, naładowana ujemnie, wytwarza pole o wartości ( 1/ 2 f0)(J, skierowane w kierunku do płaszczyzny, czyli w prawo w obszarach (i) i (ii) oraz
2.2. DYWERGENCJA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO
97
w lewo w obszarze (iii). Oba pola znoszą się w obszarach (i) i (iii), natomiast wzmacniają się w obszarze (ii). Wniosek: Między płaszczyznami natężenie pola wynosi (1 /^0)
Zadanie 2.11. Posługując się prawem Gaussa, znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli o promieniu /?, której powierzchnia naładowana jest jednorodnie z gęstością powierzchniową <7 . Porów nać rozwiązanie z rozwiązaniem zad. 2.7. Zadanie 2.12. Posługując się prawem Gaussa, znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli (objętościowa gęstość ładunku wynosi p). Porównać wynik z roz wiązaniem zad. 2 .8 . Zadanie 2.13. Znaleźć natężenie pola elektrycznego w odległości s od nieskończenie długiej prostoliniowej nici, naładowanej jednorodnie z gęstością liniową a . Porównać wynik z równa niem (2.9). Zadanie 2.14. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz naładowanej kuli, jeśli gęstość ładunku objętościowego jest proporcjonalna do odległości od środka kuli, p — kt\ gdzie k jest pewną stałą. [Wskazówka: Mamy tu do czynienia z niejednorodnym rozkładem ładunku, aby więc otrzymać całkowity ładunek, należy wykonać całkowanie. | Zadanie 2.15. Dana jest powłoka kulista, na której znajduje się ładunek o następującym roz kładzie przestrzennym:
w obszarze a < r < b (rys. 2.25). Znaleźć natężenie pola elektrycznego w lizcch obszarach: (i) r < a, (ii) a < r < /?, (iii) r > b. Wykreślić zależność |E| od r. Zadanie 2.16. W długim kablu koncentrycznym (rys. 2.26) wewnętrzny walec (o promieniu a) naładowany jest jednorodnie z gęstością objętościowej p , a na zewnętrznej powierzchni walcowej (o promieniu b) rozmieszczony jest jednorodnie ładunek powierzchniowy. Ładunek powierzch niowy jest ujemny i ma akurat taką wartość, że przewód jako całość jest obojętny elektrycznie. Znaleźć natężenie pola elektrycznego w każdym z trzech obszarów: (i) wewnątrz wewnętrz nego walca (.*• < a), (ii) pomiędzy walcami (a < s < /?), (iii) na zewnątrz przewodu (s > b). Wykreślić |E| jako funkcję s.
Rys. 2.25
Rys. 2.26
2. ELEKTROSTATYKA
98
Zadanie 2.17. Nieskończona plaska płyta o grubości 2d naładowana jest jednorodnie z gęstością objętościową p (rys. 2.27). Znaleźć natężenie pola elektrycznego jako funkcję y. gdzie y = 0 oznacza środek płyty. Wykreślić E jako funkcję >\ uznając E za dodatnie, gdy jest skierowane w kierunku +y, i ujemne, gdy skierowane jest w kierunku —y.
+
Rys. 2.28
• Zadanie 2.18. Dwie jednorodnie naładowane kule o promieniu R i objętościowej gęstości ładunku +/) i —p umieszczono w taki sposób, że częściowo nakładają się (rys. 2.28). Niech d oznacza wektor łączący środek dodatnio naładowanej kuli ze środkiem ujemnie naładowanej kuli. Pokazać, że natężenie pola w obszarze nakładania się kul jest stałe i obliczyć jego wartość. [Wskazówka: Wykorzystać wynik zad. 2.12.]
2.2.4. Rotacja E Obliczymy teraz rotację E, postępując podobnie jak w paragrafie 2.2.1. Zaczniemy od rozważenia najprostszego możliwego układu, czyli ładunku punktowego w początku układu współrzędnych. Mamy wówczas 1 H. E = -j-----Y 4n6o r 2 Jedno spojrzenie na rys. 2.12 powinno przekonać nas, że rotacja tego pola musi być równa zeru. Dobrze byłoby mieć jednak jakiś bardziej ścisły argument. Obliczmy wńęc całkę krzywoliniową dla tej konfiguracji pola wzdłuż krzywej biegnącej od punktu a do jakiegoś innego punktu b (rys. 2.29):
99
2.2. DYWERGENCJA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO
Rys. 2.29
We współrzędnych kulistych dl = d/ f + r óti 0 + r sin 0 d(p <}>, tak więc E dl = ----- q.dr. 4ticq r L Zatem
-i
/ Edi= a
i 4ite 0
(g
g \ rb)
(2-18)
a
przy czym ra i /*/, to odległości punktów a i b od początku układu. Całka po krzywej zamkniętej jest w oczywisty sposób równa zeru (ponieważ, wówczas ra = /*/,):
(2.19)
a zatem stosując twierdzenie Stokesa, otrzymujemy V x E = 0.
( 2 . 20 )
Udowodniliśmy w ten sposób słuszność równań (2.19) i (2.20) dla pola pojedyn czego ładunku punktowego znajdującego się w początku układu współrzędnych. Jednak wyniki nie wykazują żadnej zależności od (całkowicie arbitralnego) wyboru układu współrzędnych; pozostaną słuszne niezależnie od tego, gdzie umieszczony jest ładunek. Jeśli mamy do czynienia z wieloma ładunkami, to zasada superpozycji mówi nam, że całkowite pole jest wektorową sumą pól od każdego z ładunków: E = E, + E 2 + . . . , a zatem V x E = V x (E| + E 2 + ...) = (V x Ei) + (V x E 2 ) + ... = (). Tak więc równania (2.19) i (2.20) pozostają słuszne dla dowolnego statycznego układu ładunków.
2. ELEKTROSTATYKA
100
Zadanie 2.19. Obliczyć V x E bezpośrednio z równania (2.8), posługując się metodą omówioną w rozdziale 2.2.2. Jeśli obliczenia okażą się zbyt trudne, przydatne może być przypomnienie sobie zad. 1.62.
2.3. Potencjał elektryczny 2.3.1. Wstępne uwagi o potencjale Natężenie pola elektrycznego E nie jest tylko jakąś tam funkcją wektorową; jest funkcją wektorową bardzo szczególnego typu, mianowicie taką, której rotacja zawsze jest równa zeru. Na przykład pole postaci E = y \ nie może być statycznym polem elektrycznym; żaden rozkład ładunków, niezależnie od ich wielkości i położenia, nigdy nie wytwo rzy takiego pola. W tym paragrafie spróbujemy wykorzystać tę szczególną właściwość pól elektrycznych, aby sprowadzić zagadnienie wektorowe (wyznaczanie E) do znacznie prostszego zagadnienia skalarnego. Pierwsze twierdzenie w paragrafie 1.6.2 głosi, że do wolna funkcja wektorowa o zerowej rotacji może być przedstawiona jako gradient jakiejś funkcji skalarnej. Poniższe rozważania stanowią dowód tego twierdzenia w kontekście elektrostatyki.
Rys. 2.30
Ponieważ V x E = 0, więc całka krzywoliniowa z E po dowolnej krzywej zamkniętej jest równa zeru (wynika to z twierdzenia Stokesa). Jeśli f E • dl = 0, to całka krzywo liniowa z E wzdłuż krzywej przebiegającej od punktu a do b nie zależy od wyboru drogi całkowania (ponieważ inaczej można by wykonać całkowanie od a do b wzdłuż drogi (i), a całkowanie w drugą stronę wzdłuż drogi (ii) — rys. 2.30 — i otrzymać ■/>E • dl 0). Ponieważ całka krzywoliniowa nie zależy od wyboru drogi całkowania, możemy za jej pomocą zdefiniować funkcję4 4Aby uniknąć jakichkolwiek nieporozumień, należałoby w zasadzie zastosować osobne oznaczenie dla zmiennej całkowania, na przykład oznaczając ją znakiem prim: r
V(r) = ~
f
E(r')-df.
O laka notacja jest jednak bardzo nieporęczna, dlatego — jeśli to możliwe — wolę zarezerwować prim dla oznaczania punktów będących źródłami pola. Znaku prim będę jednak uż.ywać przy obliczaniu takich całek w' jawnej postaci (jak w przykł. 2.6).
101
2.3. POTENCJAŁ ELEKTRYCZNY
E dl.
(
2 . 21)
W tym wzorze O jest jakimś standardowym punktem odniesienia, który ustalamy wcze śniej; V zależy wtedy jedynie od r. Funkcja ta nazywa się potencjałem elektrycznym. Łatwo obliczyć, że różnica potencjałów między dwoma punktami a i b wyraża się wzorem V(b) - V(a) = ~
j
u
a
E • dl +
O
J
E • dl
o O
b
b
= - / Ed' - / Ed' = - / E
dl.
(
2 . 22)
Z drugiej strony, podstawowe twierdzenie dla gradientów głosi, że b
tak więc
V(b) - V (a) = J ( V V ) . d l n b
J a
( W ) dl = a
Ponieważ zachodzi to dla dowolnych punktów a i b, więc wyrażenia pod całkami muszą hyc równe: E= -W .
(2.23)
Równanie (2.23) to różniczkowa postać wzoru (2.21); wyraża ono fakt, że natężenie pola elektrycznego jest gradientem potencjału skalarnego, co właśnie chcieliśmy wykazać. Zwróćmy uwagę na kluczową rolę, jaką w tym rozumowaniu odgrywa niezależność całki od wyboru drogi całkowania (lub też równoważny z tym fakt, że V x E = 0). Gdyby całka krzywoliniowa z E zależała od drogi całkowania, to „definicja ’ V zawarta w równaniu (2.21) nie miałaby sensu. Równanie to nie określałoby żadnej funkcji, ponie waż zmieniając drogę całkowania, zmienialibyśmy V(r). Znak minus w równaniu (2.23) bierze się z równania (2 .2 1 ) i wynika z przyjętej przez nas konwencji.
Zadanie 2.20. Jedno z podanych niżej pól nie może być statycznym polem elektrycznym. Które to pole? (a) E = k\xy \ -I- 2 yz y 4- 3xz z]; (b) E = fc[;y2 x + (2xy + z2) y + 2y z z\.
2. ELEKTROSTATYKA
102
W wyrażeniach łych k jesi siaty o odpowiednim wymiarze. Dla pola, które może być polem elek trostatycznym, znaleźć potencjał, przyjmując za punkt odniesienia początek układu. Sprawdzić wynik, obliczając W . [Wskazówka: Do wykonania całkowania należy wybrać jakąś konkretną krzywą. Wynik nie zależy od tego, która krzywa zostanie wybrana, ale wykonanie całkowania nic będzie możliwe, jeśli nie zdecydujemy się na jakąś krzywą.]
2.3.2. Uwagi dotyczące potencjału (i) Nazwa. Termin „potencjał” jest bardzo nieodpowiedni, ponieważ w nieunikniony sposób przywodzi nam na myśl energię potencjalną. Jest to niesłychanie mylące, ponie waż — jak się przekonamy w podrozdziale 2.4 — istnieje pewien związek między „po tencjałem” i „energią potencjalną”. Niestety, trudno jest uniknąć używania tego terminu. Jedyne, co można zrobić, to bardzo mocno podkreślić, że „potencjał” i „energia poten cjalna” to zupełnie różne pojęcia, które w istocie powinny mieć różne nazwy. Dodatkowo powierzchnia, na której potencjał jest stały, nazywa się powierzchnią ekw ipotencjalną (ii) Korzyści z posługiwania się potencjałem. Jeśli znamy V, to możemy łatwo obliczyć E — wystarczy obliczyć gradient: E = —W . Jeśli się chwilę zastanowić, to jest to dość niezwykłe, ponieważ E jest wielkością wektorową z trzema współrzędnymi, a V jest skalarcm. który ma jedną składową. Czy to możliwe, aby w jednej funkcji zawarta była ta sama informacja, co w trzech niezależnych funkcjach? Odpowiedź jest prosta: trzy składowe E wcale nie są aż tak niezależne, jak by się mogło wydawać; w' istocie są ze sobą w jawny sposób powiązane poprzez równanie, które było punktem wyjścia naszych rozważań, V x E = 0. Rozpisując to na współrzędne, otrzymujemy BEX 3y
dEy Bx ’
3 Ez By
3 Ey Bz
3 Ex Bz
3 EBx
To prowadzi nas znów do obserwacji, jaką poczyniliśmy na początku paragrafu 2.3.1: E jest bardzo szczególnym rodzajem wektora. Posługiwanie się potencjałem umożliwia maksymalne wykorzystanie tego faktu i zredukowanie problemu wektorowego do pro blemu skalarnego, w którym nie plączą się współrzędne. (iii) Punkt odniesienia O. Potencjał nie jest określony jednoznacznie, ponieważ istnieje dowolność wyboru punktu odniesienia O. Zmiana punktu odniesienia odpowiada dodaniu do potencjału stałej K : V'(v) = -
J cr
o
J
E dl = —
O'
J
E dl —
E • dl - K + V(r),
o
przy czym K jest całką krzywoliniową z E wzdłuż krzywej łączącej pierwotny punkt odniesienia O z nowym punktem odniesienia O'. Oczywiście dodanie stałej do V nic wpływa na różnicę potencjałów w dwóch punktach: V' (b) - V'(a) = V(b) - V(a),
103
2.3. POTENCJAŁ ELEKTRYCZNY
ponieważ dodatkowe wyrazy K odejmą się w tym wzorze. (W istocie juz na podstawie równania (2 .2 2 ) można stwierdzić, że różnica potencjałów nie zależy od O , ponieważ można ją zapisać jako całkę krzywoliniową z E po krzywej biegnącej od a do b, czyli w sposób nie odwołujący się bezpośrednio do O.) Niejednoznaczność tego typu nie wpływa również na gradient V: V V7' = W , ponieważ pochodna stałej jest równa zeru. Z tego właśnie powodu wszystkie potencjały V różniące się jedynie wyborem punktu odniesienia odpowiadają temu samemu polu E. Widać stąd, że potencjał jako taki nie ma realnego znaczenia fizycznego, ponie waż w dowolnym punkcie możemy dowolnie zmienić jego wartość przez zmianę O. W tym sensie przypomina on wysokość: Jeśli zapytamy kogoś, na jakiej wysokości jest Denver, to prawdopodobnie poda nam wysokość nad poziomem morza, ponieważ jest to powszechnie przyjęty i wygodny punkt odniesienia. Ale moglibyśmy równie dobrze przyjąć, że mierzymy wysokość względem Waszyngtonu lub Greenwich lub jakiegokol wiek innego miasta. To spowodowałoby zmniejszenie naszych odczytów wysokości nad poziomem morza o pewną ustaloną liczbę, ale nie zmieniłoby niczego w realnym świę cie. Istotna jest jedynie różnica wysokości dla dwóch punktów, a ta pozostaje niezmienna niezależnie od tego, jak wybierzemy poziom odniesienia. Przy tych zastrzeżeniach należy jednak stwierdzić, żc w' elektrostatyce istnieje jednak punkt, który wydaje się bardzo „naturalnym” wyborem na C\ podobnie jak poziom morza w przypadku wysokości. Jest to punkt nieskończenie daleko od ładunku. Dlatego zwykle przyjmujemy, że „potencjał zeruje się w nieskończoności”. (Ponieważ V(O) —0, więc wybór punktu odniesienia jest równoważny z wyborem punktu, w którym V jest równe zeru.) Należy jednak podkreślić, żc istnieje pewna szczególna sytuacja, w której ta konwencja się załamuje: gdy rozkład ładunku rozciąga się do nieskończoności. Sygnałem mogących pojawić się trudności jest fakt, że w takich przypadkach w miarę oddalania się od początku układu współrzędnych potencjał dąży do nieskończoności. Na przykład pole jednorodnie naładowanej płaszczyzny ma postać ( a / 2 eo)n, jak to obliczyliśmy w przykl. 2.4; jeśli naiwnie przyjmiemy O = oo, to potencjał na wysokości z przybierze wartość
oc Rozwiązaniem w takich przypadkach jest po prostu wybranie innego punktu odniesienia (akurat w tym zadaniu może to być początek układu współrzędnych). Zauważmy, że trudność ta dotyczy jedynie problemów będących pewną idealizacją; w „realnym świę cie” niemożliwe jest, aby rozkład ładunku rozciągał się do nieskończoności, możemy więc zawsze użyć nieskończoności jako naszego punktu odniesienia. (iv) Potencjał podlega zasadzie superpozycji. Oryginalna zasada superpozycji do tyczy siły działającej na ładunek próbny Q. Głosi ona, żc całkowita siła działająca na Q jest wektorową sumą sił pochodzących od poszczególnych ładunków będących źró-
2. CLCKTROSTATYKA
104
dłami pola: F = Fj -I- F 2 + . . .
Dzieląc przez Q, widzimy, że pole elektryczne również podlega zasadzie superpozycji: E = E| + E2 + ... Całkując od wspólnego punktu odniesienia do r, stwierdzamy, że zasada ta odnosi się również do potencjału: V = V] + V 2 + . .. Inaczej mówiąc, potencjał w każdym punkcie jest sumą potencjałów pochodzących od każdego z ładunków-źródeł z osobna. Tyle tylko, że w tym przypadku jest to zwykła suma, a nie suma wektorowa, co znacznie upraszcza jej obliczanie. (v) Jednostki, w jakich wyraża się potencjał. W przyjętym przez nas układzie jed nostek siła wyrażana jest w niutonach, a ładunek w kulombach, tak więc pole elektryczne ma wymiar niuton na kulomb. Odpowiednio do tego potencjał wyrażany jest w jednost kach niuton razy metr na kulomb lub inaczej dżul na kulomb. Jednostka równa dżulowi na kulomb nazywa się woltem.
Przykład 2.6 Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz cienkiej kulistej powłoki o promieniu R (rys. 2.31), która naładowana jest ze stałą gęstością powierzchniową. Za punkt odniesienia przyjąć punkt w nieskończoności.
Rys. 2.31
Rozwiązanie: Z prawa Gaussa wiemy, że pole na zewnątrz kuli wynosi E=
1 s_ 4tT60 r2
105
2.3. POTENCJAŁ tLtKI KYCZNY
gdzie q jest całkowitym ładunkiem zgromadzonym na kuli. Pole wewnątrz kuli jest równe zeru. Dla punktów na zewnątrz, kuli (r > R) V(r)
dl
J±/_?_dr'= J L l ' = J_«.
4ne0 J (r')2 4k60 r' x 47 i *0 r O oo Aby znaleźć potencjał wewnątrz kuli (r < /?), musimy rozdzielić całkę na dwie części, w któ rych podstawimy wartość pola odpowiednią dla każdego z obszarów - h
R
r
1
+ 0 =
1 ą 4 tT 6 o
R
R
Zauważmy, że potencjał wewnątrz kuli jest różny od zera, choć natężenie pola jest równe zeru. Oczywiście V jest stały w tym obszarze, więc W = 0 i tylko to ma znaczenie fizyczne. W zagadnieniach tego typu należy zawsze obliczcie potencjał krok po kroku, począwszy od punktu odniesienia: w tym punkcie wartość potencjału jest jednoznacznie określona z założenia. Wydawać się może, że moglibyśmy wyznaczyć potencjał wewnątrz kuli jedynie na podstawie znajomości pola w tym obszarze, ale jest to nieprawda: potencjał wewnątrz kuli jest czuły również i na to, co dzieje się poza kulą. Jeśli wokół rozważanej powłoki umieścimy drugą jednorodnie naładowaną powłokę kulistą o promieniu /?' > R, to potencjał w obszarze r < R ulegnie zmianie, choć pole dalej będzie równe zeru. Prawo Gaussa gwarantuje nam, że ładunek znajdujący się na powierzchni otaczającej dany punkt nie daje żadnego pola w tym punkcie, jeśli powierzchnia ta jest kulą lub walcem i ładunek jest rozmieszczony równomiernie. Jednak w przypadku potencjału taka reguła nie obowiązuje, jeśli jako punktu odniesienia używamy punktu w nieskończoności.
Zadanie 2.21. Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o pro mieniu R, jeśli całkowity zgromadzony w kuli ładunek wynosi q. Jako punkt odniesienia wybrać punkt w nieskończoności. Obliczyć gradient V w całej przestrzeni i sprawdzić, że daje on właściwą wartość pola. Naszkicować V(r) jako funkcję r. Zadanie 2.22. Znaleźć potencjał w odległości s od nieskończonej prostoliniowej nici naładowa nej jednorodnie z gęstością liniową k. Obliczyć gradient otrzymanego potencjału i sprawdzić, że daje on właściwą wartość pola. Zadanie 2.23. Znaleźć potencjał w początku układu współrzędnych dla układu ładunków roz ważanego w zad. 2.15. Za punkt odniesienia przyjąć punki w nieskończoności. Zadanie 2.24. Znaleźć różnicę potencjałów między punktem na osi a punktem na zewnętrzym walcu dla układu rozważanego w zad. 2.16. Zauważmy, że na to, by posłużyć się równa niem (2 .2 2 ), nie musimy wybierać żadnego konkretnego punktu odniesienia.
2.3.3. Równanie Poissona i równanie Laplace'a W paragrafie 2.3.1 przekonaliśmy się, że natężenie pola elektrycznego można zapisać w postaci gradientu potencjału skalarnego: E = —W .
2. ELEKTROSTATYKA
106
Można postawić następujący problem: jaką postać przybiorą równania dla E, V E= —
i
V x E = 0.
jeśli zapiszemy je jako równania dla potencjału V? Odpowiedź nietrudno zgadnąć, V • E = V • (—W ) = —AV, tak więc z dokładnością do pojawiającego się wszę dzie znaku minus, dywergencja E jest równa laplasjanowi z V. Prawo Gaussa można zapisać jako AV = —
P
€q
(2.24)
Równanie to nazywa się równaniem Poissona. W obszarach, gdzie nie ma ładunku, czyli p = 0, równanie Poissona redukuje się do równania Laplacc’a, A V = 0.
(2.25)
Przeanalizujemy te równania bardziej szczegółowo w rozdziale 3. Poradziliśmy sobie w ten sposób z prawem Gaussa. A co z równaniem na rotację pola elektrycznego? Mówi ono, że V x E = V x (-V V ) musi być równa zeru. Ale nie wynika z tego żadne ograniczenie na V, ponieważ rotacja gradientu jest zawsze równa zeru. Pamiętamy, iż posłużyliśmy się równaniem rotacji, aby pokazać, że E można przedstawić w postaci gradientu funkcji skalarnej, dlatego ten wynik nie jest zaskakujący: V x E = 0 pozwala na napisanie równania E = —W , a E = —W gwarantuje V x E = 0. Tak więc do wyznaczenia V wystarcza tylko jedno równanie różniczkowe (Poissona), ponieważ V jest skalarem; do wyznaczenia E potrzebowaliśmy dwóch równań, na dywergencję i na rotację.
2.3.4. Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku W paragrafie 2.3.1 zdefiniowaliśmy potencjał K, wyrażając go przez E (równanie (2.21)). Zwykle jednak to E jest właśnie szukaną wielkością (gdybyśmy znali E, to obliczanie V nie miałoby wielkiego sensu). Obliczenie V może jednak okazać się łatwiejsze, a pole E można otrzymać za pomocą operacji gradientu. Tak więc typowy problem to sytuacja, w której wiemy, gdzie znajdują się ładunki (czyli znamy p) i chcemy znaleźć V . Związek między V a p dany jest równaniem Poissona; niestety, pozwala nam ono łatwo obliczyć p, jeśli znamy V, natomiast my chcemy obliczyć V, znając p. Musimy więc jakoś „odwrócić” równanie Poissona. To właśnie będzie naszym celem w tym rozdziale, choć dokonamy tego w nieco okrężny sposób, zaczynając, jak zwykle, od rozważenia ładunku punktowego w początku układu współrzędnych.
107
2.3. POTENCJAŁ ELEKTRYCZNY
Jeżeli przyjmiemy za punkt odniesienia punkt w nieskończoności, potencjał ładunku punktowego t/, znajdującego się w początku układu współrzędnych, przybiera postać V(r) =
-1 47Tfo
J oc
(r':) 2
d r'
4n€o rf
4ii€o r
(Widzimy tu specyficzną zaletę użycia punktu w nieskończoności jako punktu odniesie nia: pozbywamy się w ten sposób wyrażenia związanego z dolną granicą całkowania.) Zwróćmy uwagę na znak V; przypuszczalnie znak minus pojawiający się zgodnie z kon wencją w definicji V (równanie (2.21)) wprowadzono specjalnie po to, aby potencjał ładunku dodatniego był dodatni. Warto pamiętać, że obszary, w których występują ła dunki dodatnie, to „wzniesienia”, a obszary z ładunkami ujemnymi to „doliny”. Wektor natężenia pola elektrycznego skierowany jest „w dół” od plusa do minusa.
Rys. 2.32
Potencjał ładunku punktowego q w ogólnym przypadku ma postać V(r) =
1 ą 4ttćo TV
(2.26)
gdzie K jest jak zwykle odległością między ładunkiem a punktem r (rys. 2.32). Korzy stając z zasady superpozycji, można napisać, że potencjał układu ładunków punktowych ma postać 1 " ą< (2.27) v (f) = -.— L - 4 7xe0 ; = i
i
Dla ciągłego rozkładu ładunków otrzymujemy (2.28) W szczególności dla objętościowego rozkładu ładunku mamy
V(r,=i /
P( r')
dr'.
(2.29)
To jest właśnie poszukiwane przez nas równanie pozwalające obliczyć V, jeśli znane jest p; można to równanie uznać za „rozwiązanie” równania Poissona w przypadku zloka-
2. ELEKTROSTAIYKA
108
lizowancgo rozkładu ładunku.5 Zachęcam czytelników do porównania równania (2.29) z podobnym równaniem na natężenie pola elektrycznego wyrażonego przez p (równa nie (2 .8 )): 1 p(r') Udz'. E(r) = Tl2 Główna różnica polega na tym, że pozbyliśmy się kłopotliwego wektora jednostkowego 7L i nie musimy już martwić się o żadne współrzędne. Nietrudno też zobaczyć, że potencjał liniowego i powierzchniowego rozkładu ładunku ma odpowiednio postać 1 f Mr') dl' da. (2.30) 4 tićo J n 4 ttćo J n
/
Muszę jednak ostrzec czytelników, że wszystkie wzory w tym paragrafie są słuszne przy założeniu, iż punktem odniesienia jest punkt w nieskończoności. Nie jest to zbyt wyraźnie widoczne w przypadku równania (2.29), ale należy pamiętać, że równanie to otrzymaliśmy, posługując sic wzorem na potencjał ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych, (1/4tt6o)((///); wzór ten jest jednak słuszny jedynie wtedy, gdy O = co. Jeśli spróbujemy zastosować te wzory do któregoś z tych wyideali zowanych zagadnień, w których ładunek rozciąga się do nieskończoności, to otrzymamy całki rozbieżne.
Przykład 2.7 Znaleźć potencjał powłoki kulistej o promieniu R, naładowanej jednorodnie z gęstością po wierzchniową o (rys. 2.33).
y
Rys. 2.33
Rozwiązanie: Zagadnienie to rozwiązaliśmy już w przykładzie 2.6, ale tym razem do uzyska nia rozwiązania posłużymy się równaniem (2.30):
5Równanie (2.29) można otrzymać jako wniosek z twierdzenia Helmholtza (patrz dodatek B) za stosowanego do wektora natężenia pola elektrycznego, jeśli uwzględni się, że rotacja E jest równa zeru, a dywergencja jest równa p /ę 0.
2.3. POTENCJAŁ ELEKTRYCZNY
109
Wybierzmy układ współrzędnych tak, aby punkt r leżał na osi z i posłużmy się wzorem cosinusów, aby wyrazić IZ przez kąt 9: IZ2 — R2 + z2 —2Rz cos O1. Infinitezymalny element powierzchni na sferze ma postać /?2 sin0'd0'd0\ tak więc 47I60Vr(
R2sin 9' d9' d
z)=aS .
JR1 -\- z2 — 2Rz cos6' -
f sin#' — . . d9 J J R 2 + z2 -2RzcosQ'
= 2nR a I 0
= 2tiR2g ( —- V /? 2 + z2 —2Rzcos6'\ \ Rz ) 2zi R g
2 ziRci
o
(slR2 + z2 + 2Rz - V /? 2 + z2 -
[yr^TzF -
y/(R -
2 Rz
)
z)2].
Na tym etapie ważne jest, abyśmy w rozwiązaniu uwzględnili dodatni pierwiastek. Dla punktów na zewnątrz kuli z jest większe od R, a zatem y/(R = z /?; dla punktów wewnątrz kuli M - z)2 = R - z. Tak więc Rg
R 2g
Rg
Rg
V(z) = ~— l(R + z) - (z - R)] = ------2ć0Z ćoZ
nazewnątrz;
V(z) ~ -— l(R + z) - (R - z)] = — wewnątrz. 2e0z 6o Wyrażając ten wynik przez całkowity ładunek zgromadzony na powłoce q = 4jiR2a yotrzymu jemy V(z) = (1/4 Ti€o)((j/z) (a w ogólności V(r) = (1/4tc€0)(q/r)\ natomiast dla punktów na zewnątrz kuli otrzymujemy (1/4^ e0)(q/R). Oczywiście w tym konkretnym przypadku łatwiej było otrzymać V z równania (2.21) niż z równania (2.30), ponieważ prawo Gaussa ogromnie uprościło obliczanie K. Jeśli jednak po równamy przykł. 2.7 z zad. 2.7, to z pewnością docenimy efektywność sformułowania opartego na potencjale.
Zadanie 2.25. Posługując się równaniami (2.27) i (2.30), znaleźć potencjał w odległości z nad środkiem rozkładu ładunku w układach przedstawionych na rys. 2.34. W każdym przypadku ob liczyć E = —W i porównać otrzymane wyniki z wynikami zadania 2.2a, przykł. 2.1 i zad. 2.6, odpowiednio. Przypuśćmy, że ładunek po prawej stronie na rys. 2.34a zostanie zmieniony na -ą\ jaki będzie wtedy potencjał w punkcie P? Jakie może być związane z tym pole? Porównać otrzymane wyniki z wynikami zad. 2 .2 b i wyjaśnić dokładnie jakiekolwiek niezgodności. Zadanie 2.26. Powierzchnia boczna stożka (pusty rożek do lodów) naładowana jest jednorodnie z gęstością powierzchniową g . Wysokość stożka wynosi /i, a promień podstawy R. Znaleźć różnicę potencjałów między wierzchołkiem (punkt a) a środkiem podstawy (punkt b).
2. ELEKTROSTATYKA
110
•P
1p 1 1 z I 1 1 1 1 1
i i
q\
1 1 1 1
A! 2L h) jednorodny rozkład ładunku liniowego
-
y
Z i
---------b) jednorodny rozkład ładunku powierzchniowego
Rys. 2.34 Zadanie 2.27. Znaleźć potencjał na osi jednorodnie naładowanego walca, w odległości z od jego środka. Walec ma wysokość L i promień R. a objętościowa gęstość ładunku wynosi p. Korzystając z otrzymanego wyniku, obliczyć pole elektryczne w tym punkcie. (Założyć, że Z > L f 2.)
Zadanie 2.28. Posługując się równaniem (2.29), obliczyć potencjał wewnątrz jednorodnie na ładowanej kuli o promieniu R, jeśli całkowity ładunek wynosi q. Porównać otrzymany wynik z wynikami zad. 2 .2 1 . Zadanie 2.29. Sprawdzić, żc potencjał dany równaniem (2.29) spełnia równanie Poissona. Skorzystać z równania (1.102).
2.3.5. Podsumowanie; warunki brzegowe (graniczne) w elektrostatyce W typowym problemie elektrostatycznym znamy rozkład p ładunku-źródła i chcemy znaleźć natężenie pola elektrycznego E wytwarzanego przez ten rozkład. Z wyjąt kiem przypadków, w których symetria pozwala otrzymać rozwiązanie za pomocą prawa Gaussa, na ogół łatwiej jest rozwiązać problem drogą pośrednią, obliczając najpierw' po tencjał. Mamy więc trzy podstawowe wielkości w elektrostatyce: p, E i V. W naszych rozważaniach wyprowadziliśmy sześć wzorów' wiążących wszystkie te wielkości. Wzory te zostały w obrazowy sposób przedstawione na rys. 2.35. Punktem wyjścia naszych rozważań były dwa prawa potwierdzone doświadczalnie: 1 ) zasada superpozycji, która jest ogólną zasadą mającą zastosowanie do wszystkich sił elektromagnetycznych, oraz (2) prawo Coulomba. które jest podstaw'ow'ym prawem elektrnstatyki. Pozostałe związki były konsekwencją tych praw. Jak można było zauważyć przy analizie przykładów 2.4 i 2.5 lub przy rozwiązy waniu zadań 2.7, 2.11 i 2.16, w natężeniu pola elektrycznego zawsze występuje skok przy przekraczaniu powierzchni, na której zgromadzony jest ładunek powierzchniowy a. W istocie łatwo jest obliczyć, jak wielki jest skok E na takiej granicy. Przypuśćmy, że narysujemy bardzo cienkie pudełko Gaussa, którego szersze ścianki są tylko nieznacznie oddalone od powierzchni po obu jej stronach (rys. 2.36). Z prawa Gaussa wynika, że ((f E • da — Qwew = J
s
*0
*0
gA,
2.3. POTENCJAŁ ELEKTRYCZNY
111
Rys. 2.36
gdzie A jest powierzchnią „denka” pudełka. (Jeśli a zależy od punktu lub powierzchnia jest zakrzywiona, należy po prostu wybrać bardzo małe A.) W granicy, gdy grubość pudełka t; dąży do zera, ścianki boczne pudełka nie dają wkładu do strumienia pola, otrzymujemy więc £ m,d -
E £d
=
<2 -3 1 >
przy czym £ ^ d oznacza wartość składowej E prostopadłej do powierzchni tuż nad powierzchnią, a /T^)d oznacza to samo, tyle że pod powierzchnią. Wniosek: Składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznego E ma na powierzchni granicznej nie ciągłość o wartości a/f.Q. W szczególności, jeśli na powierzchni nie ma ładunków, to E 1 jest ciągłe; tak jest na przykład na powierzchni jednorodnie naładowanej kuli. Dla kontrastu składowa styczna pola E jest zawsze ciągła. Wynika to stąd, że jeśli zastosujemy równanie (2.19), j> E ■dl = 0, do wąskiej prostokątnej pętli pokazanej na rys. 2.37, to krótsze odcinki pętli nie dają wkładu (ponieważ e -> 0 ), a dłuższe boki dają (£^ad/ - E ^ / ) , a więc
2. ELEKTROSTATYKA
112
E L = Epod-
(2-32)
przy czyni E 1 oznacza składową E równoległy do powierzchni. Warunki brzegowe dla E (równania (2.31) i (2.32)) można zapisać za pomocą jednego wzoru: Enad —Epod — —n, (2.33) *0 przy czym ń jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni, skierowanym od „dołu” do „góry”.6
Rys. 2.38
W odróżnieniu od natężenia pola elektrycznego potencjał jest ciągły na dowolnej powierzchni granicznej (rys. 2.38), ponieważ b
V„ad - V pod = - j E - dl a
i w miarę jak długość krzywej całkowania maleje do zera, to samo dzieje się z całką: V„ad = VW
(2.34)
'’Zauważmy, żc nic ma znaczenia, którą zc stron określimy jako „góra**, a którą jako „do?”, ponieważ zamieniając jedno na drugie, powodujemy zmianę zwrotu wektora n Jeśli pytamy tylko o pole pochodzące od (niemal płaskiego) małego elementu ładunku powierzchniowego, to odpowiedź brzmi: (cr/2ćo)n tuż nad powierzchnią i —(<7/2e0)ń tuż pod nią. Wynika to z przykł. 2.4 — jeśli znajdziemy się odpowiednio blisko małego elementu powierzchni, to „wygląda” on jak nieskończona płaszczyzna. Widać wyraźnie, że cała nieciągłość w E pochodzi od ładunku zgromadzonego na tym małym elemencie powierzchni.
113
2.4. PRACA I bNbRGIA W bLhKTROSTATYCE
Jednak gradient V wykazuje taką samą nieciągłość jak E; ponieważ E = —W , więc z równania (2.33) wynika, że V V n a d - V V pod =
lub w bardziej przejrzystej postaci d Fnad dn przy czym
- - a n
eo
(2 .3 5 )
3V p o d
dn
(2 .3 6 )
— = V V- n (2.37) dn oznacza pochodną normalną potencjału V (to znaczy szybkość zmian w kierunku prostopadłym do powierzchni). Zauważmy, żc tc warunki brzegowe wiążą pola i potencjały tui nad i tui pod po wierzchnią. Na przykład pochodne w równaniu (2.36) są wartościami granicznymi, jakie otrzymujemy przy zbliżaniu się do powierzchni od jednej lub drugiej strony.
Zadanie 2.30 (a) Sprawdzić, czy wyniki otrzymane w przykł. 2.4 i 2.5 oraz zad. 2.11 są zgodne z rów naniem (2.33). (b) Posługując się prawem Gaussa, obliczyć pole wewnątrz i na zewnątrz długiej, pustej w środku rury w kształcie walca, naładowanej jednorodnie z gęstością powierzchniową a. Sprawdzić, czy otrzymany wynik jest zgodny z równaniem (2.33). (c) Sprawdzić, czy wynik otrzymany w przykł. 2.7 jest zgodny z warunkami brzegowymi (2.34) i (2.36).
2.4. Praca i energia w elektrostatyce 2.4.1. Praca wykonana przy przesunięciu ładunku Przypuśćmy, że przy danym statycznym układzie ładunków-żródeł chcemy przesunąć ładunek próhny Q z punktu a do punktu b (rys. 2.39). Pytanie: Jaką pracę musimy w tym celu wykonać? W każdym punkcie trajektorii na ładunek Q działa siła F = QE\ siła, jaką my musimy podziałać na ładunek, aby zrównoważyć siłę oddziaływania elektrostatycznego, ma wartość —QE. (Jeśli ktoś nie rozumie, skąd bierze się znak minus, powinien pomyśleć o podnoszeniu cegły: siła przyciągania grawitacyjnego ma
Rys. 2.39
2. ELEKTROSTATYKA
114
wartość mg i jest skierowana w dół, ale my musimy podziałać na nią silą mg skierowaną do góry. Oczywiście możemy podziałać na nią większą siłą — wtedy cegła będzie poruszać się ruchem przyspieszonym, a część wykonywanej przez nas pracy zostanie „zmarnowana” na nadanie cegle energii kinetycznej. Tutaj interesuje nas minimalna siła, jaka wystarczy do wykonania zadania.) Tak więc wykonana praca to b b W=
J
F -d l = -<2
n
J
E • dl = Q \ V ( h ) - V(a)|.
n
Zauważmy, że odpowiedź nie zależy od wyboru trajektorii, po której ładunek przesuwa się od punktu a do punktu b; w mechanice moglibyśmy więc nazwać siły elektrostatyczne „zachowawczymi”. Dzieląc przez
(2.39)
W tym sensie potencjał jest energią potencjalną (czyli pracą, jaką należy wykonać, aby wygenerować dany układ) przypadającą na jednostkę ładunku (podobnie jak natężenie pola elektrycznego jest siłą na jednostkę ładunku).
2.4.2. Energia układu ładunków punktowych Jaką pracę należy wykonać, aby utworzyć układ kilku ładunków punktowych? Wy obraźmy sobie, że umieszczamy ładunki kolejno, przesuwając je z dużej odległości (rys. 2.40). Umieszczenie pierwszego ładunku ą\ w ogóle nie wymaga wykonania pracy, ponieważ nie ma jeszcze zewnętrznego pola, którego oddziaływanie musielibyśmy rów noważyć. Następnie umieszczamy ładunek ą±. Zgodnie z równaniem (2.39) wymagać to będzie pracy równej qiV\{ri), gdzie V\ jest potencjałem ładunku q j, a r2 to położenie ładunku ą^. W2 = (1Z\2 jest różnicą położeń między cj\ a c/2 w ich położeniach docelowych). W kolejnym kroku wprowadzamy ładunek qy, wymaga to wykonania pracy równej q$V\s2(r?>)>gdzie V\ 2 jest potencjałem ładunków q\ i
1
/
,
di
W3 = ----- 43 ( ^ -----H ^r~ 4tI€o \tZ\3 rv23
115
2.4. PRACA I ENERGIA W ELEKTROSTATYCE
Rys. 2.40
Podobny wzór opisuje dodatkową pracę konieczną do umieszczenia ładunku c/4 ( q\ i qiqĄ i q*qĄ\ W = 47160 \ R n Rn Rn R?* Ru Rm ) i*/
,
Widać tu ogólną zasadę: dla każdej pary ładunków bierzemy iloczyn ładunków, dzielimy przez względną odległość i dodajemy wszystkie przyczynki: W=
1
E S c47Tfo L ,=i /=i
(2-40)
}>< Warunek j > i wprowadzony został po to, aby przypominać wam, że każdą parę ładunków należy uwzględniać w tym wzorze tylko raz. Bardziej elegancki za pis można otrzymać, rozmyślnie licząc dwukrotnie wszystkie pary, a następnie dzieląc wynik przez 2: qj ql w = ^ - yY - Y m (2.41) 8™ 0
Rij
“
Mi (oczywiście w dalszym ciągu konieczne jest wykluczenie przypadku i = j ). Zwróćmy uwagę, że wynik zapisany w tej postaci najwyraźniej nie zależy od kolejności, w jakiej rozmieszczane są ładunki, ponieważ w sumie występują wszystkie pary. Wyciągnijmy czynnik przed nawias:
" - ' i»= ( E 1
“
'
47160
Rij
Mi Człon w nawiasie to wartość potencjału wszystkich pozostałych ładunków w punkcie r, (czyli w miejscu, gdzie znajduje się ładunek
= 2 ^ qiV{Ti)/'= !
(2.42)
116
2. ELCKTROSTATYKA
Taką pracę należy wykonać, aby utworzyć układ ładunków punktowych; jest to również praca, jaką moglibyśmy uzyskać z układu, gdybyśmy go „zdemontowali”. Praca ta to energia zgromadzona w danej konfiguracji (można ją nazwać energią „potencjalną”, jeśli komuś zależy na tym określeniu, choć z oczywistych względów wolałbym unikać tego słowa w tym kontekście).
Zadanie 2.31 (a) Trzy ładunki rozmieszczono w rogach kwadratu o hoku ny jak to przedstawiono na rys. 2.41. Jaką pracę należy wykonać, aby przesunąć czwarty ładunek, o wartości +q, z dużej odległości i umieścić go w wolnym rogu kwadratu? (b) Jaka praca jest konieczna do utworzenia całej tej konfiguracji czterech ładunków?
Rys. 2.41
2.4.3. Energia ciągłego rozkładu ładunku W przypadku objętościowego rozkładu ładunku p równanie (2.42) przybiera postać W = ^JpVÓT.
(2.43)
(W przypadku rozkładu liniowego lub powierzchniowego całka w tym wzorze miałaby postać / XV d/ lub f a V dr/, odpowiednio.) Istnieje piękny sposób zapisania tego wzoru, pozwalający na wyeliminowanie p i V na korzyść E. Korzystamy najpierw z prawa Gaussa, aby wyrazić p przez E: p = 6qV • E,
czyli
W = — I (V • E)V dr.
Następnie wykonujemy całkowanie przez części (równanie (1.59)), aby przerzucić pochodną z E na V ; f»
p
E • (W )d r Ale V V
=
+
<Ź> VE • da
E, więc \
i
II
I E2 dr v
^ YJ
+
®
ó
-C
KE • da J. '
(2.44)
2.4. PRACA I ENERGIA W ELEKTROSTATYCE
117
Fo jakiej jednak objętości całkujemy? Wróćmy do wyjściowego wzoru (2.43). Z jego wyprowadzenia jasno wynika, że powinniśmy całkować po obszarze, w którym znajduje się ładunek. Ale oczywiście równie dobrze można całkować po dowolnym większym obszarze: wkład do całki daje tylko obszar, w którym p jest różne od zera. Pamiętając o tym, wróćmy do równania (2.44). Co dzieje się z tym równaniem, kiedy powiększamy obszar całkowania ponad niezbędne minimum konieczne do objęcia całego ładunku? Całka z Fr może jedynie wzrosnąć, ponieważ funkcja podcałkowa jest nieujemna; tak więc całka powierzchniowa musi się odpowiednio zmniejszać, aby suma pozostała stała. W istocie w dużej odległości od ładunku E zmienia się z r jak l / r 2, a V jak l/r , natomiast pole powierzchni rośnie jak r 2. Zatem z grubsza biorąc, całka powierzch niowa musi przy rosnącym r maleć jak l / r . Należy podkreślić, że równanie (2.44) opisuje tę samą energię W niezależnie od tego, jaki wybieramy obszar całkowania (o ile tylko obejmuje on cały ładunek), ale przy wybieraniu coraz większych obszarów przy czynek od całki objętościowej rośnie, a przyczynek od całki powierzchniowej maleje. W szczególności, dlaczego nie mielibyśmy całkować po całej przestrzeni? Wtedy całka powierzchniowa daje zerowy wkład i otrzymujemy
(2.45)
Przykład 2.8 Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i cał kowitym ładunku q. Rozwiązanie 1: Skorzystajmy ze wzoru (2.43) w wersji właściwej dla powierzchniowego rozkładu ładunku:
Potencjał na powierzchni kuli wynosi (1/4nc0)q/R (jest to stała), a więc
Rozwiązanie 2: Skorzystajmy ze wzoru (2.45). Wewnątrz kuli mamy E = 0; na zewnątrz kuli
Tak więc
2. ELEKTROSTATYKA
1 18
Zadanie 2.32. Znaleźć energię zgromadzoną w jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q. Rozwiązać zadanie trzema sposobami: (a) Skorzystać ze w zoru (2.43). O bliczenie potencjału było przedm iotem zadania 2.21.
(b) Skorzystać ze wzoru (2.45). Należy pamiętać, iż obszarem całkowania jest cała prze strzeń. (c) Skorzystać ze wzoru (2.44). Wybrać obszar całkowania w postaci kuli o promieniu a. Należy zwrócić uwagę na to, co dzieje się w granicy a oc. Zadanie 2.33. Oto czwarty sposób na obliczanie energii jednorodnie naładowanej kuli: Wy obraźmy sobie, że tworzymy kulę warstwa po warstwie, za każdym razem przesuwając z dużej odległości infinitezymalny ładunek dq i nakładając go równomiernie na powierzchni, zwiększa jąc w ten sposób promień kuli. Jaką pracę dW należy wykonać, aby zwiększyć promień o dr? Pracę konieczną do utworzenia całej kuli o promieniu R i ładunku q otrzymujemy całkując to wyrażenie.
2.4.4. Komentarze na tem at energii elektrostatycznej (i) Kłopotliwa „niespójność”. Równanie (2.45) jasno pokazuje, że energia statycz nego rozkładu ładunku jest zawsze dodatnia. 7. drugiej strony, równanie (2.42) (które w' istocie było punktem wyjścia wyprowadzenia równania (2.45)) może dawać wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne. Na przykład zgodnie ze wzorem (2.42) energia dwóch ładunków o równych wartościach, ale przeciwnych znakach, umieszczonych w odległości TZ od siebie, wynosić będzie —(\/4n€o)(q2/TZ). Gdzie został popełniony błąd? Które równanie jest poprawne? Odpowiedź brzmi: oba równania są poprawne, ale odnoszą się do nieco odmiennych sytuacji. W równaniu (2.42) nic uwzględniono pracy, jaką należy wykonać, aby stworzyć ładunek punktowy; od początku operowaliśmy ładunkami punktowymi i obliczaliśmy je dynie pracę konieczną do zbliżenia ich na właściwą odległość. Jest to rozsądna taktyka, ponieważ równanie (2.45) wskazuje, że energia ładunku punktowego jest w' istocie nie skończona: W=
*0 2(4 t16q)2
(r2 sin 0 dr dO d(p)
r 8tt€o
/
— dr = rl
c x j
.
Równanie (2.45) jest bardziej ogólne, w tym sensie, że mówi nam, jaka jest całkowita energia zgromadzona w danym rozkładzie ładunku; z kolei równanie (2.42) lepiej nadaje się do zagadnień, w których mamy do czynienia z ładunkami punktowymi, ponieważ lepiej jest (i istnieją ku temu ważne powody!) nie uwzględniać tej części całkowitej ener gii, która jest związana z samym tworzeniem ładunków punktowych. Przecież w praktyce ładunki punktowe (na przykład elektrony) dane są nam w gotowej formie; my je jedynie przesuwamy. Ponieważ nie tworzyliśmy tych ładunków i nic możemy ich unicestwić, więc nie ma znaczenia, jakiej pracy wymagałby ten proces. (Mimo to nieskończona energia ładunku punktowego jest źródłem nieustannych kłopotów w teorii elektromagnetyzmu, zarówno klasycznej, jak i kwantowej. Powrócimy do tego problemu w rozdziale 11.)
2.4. PRACA I ENERGIA W ELEKTROSTATYCE
1 19
Można się zastanawiać, w którym miejscu do naszego na pozór całkowicie ścisłego wyprowadzenia wkradła się niespójność. „Błąd” pojawia się przy przejściu od równa nia (2.42) do (2.43): w tym pierwszym równaniu V (r,) jest potencjałem wszystkich pozostałych ładunków, ale nic samego ładunku qi9 podczas gdy w tym drugim równaniu V(r) jest pełnym potencjałem. W przypadku ciągłego rozkładu ładunku nie ma mię dzy tymi wzorami różnicy, ponieważ ładunek znajdujący się dokładnie w punkcie r jest nieskończenie mały, a jego wkład do potencjału jest równy zeru. (ii) Gdzie zgromadzona jest energia? Równania (2.43) i (2.45) odpowiadają dwóm sposobom obliczania tej samej wielkości. Pierwsze równanie jest całką z rozkładu ła dunku; drugie jest całką z pola. Całki te mogą być związane z zupełnie różnymi obsza rami. W przypadku kuli (przykł. 2.8) ładunek znajduje się jedynie na jej powierzchni, a pole elektryczne występuje wszędzie poza tą powierzchnią. Gdzie zatem jest ta ener gia? Czy jest zgromadzona w polu, na co wydaje się wskazywać równanie (2.45), czy też zgromadzona jest w ładunku, jak to wynika z równania (2.43)? Na obecnym po ziomie naszych rozważań jest to pytanie, na które po prostu nie można jednoznacznie odpowiedzieć: mogę wam powiedzieć, jaka jest całkowita energia układu i mogę wam podać kilka sposobów obliczenia tej energii, ale nie ma potrzeby, aby zajmować się tym, gdzie ta energia jest zlokalizowana. W kontekście teorii promieniowania (rozdz. 11) wygudnie jest przyjąć (a w' ogólnej teorii względności jest to konieczne), że energia jest zgromadzona w polu, a jej gęstość wynosi fo ■} — E = energia na jednostkę objętości. (2.46) Ale w elektrostatyce możemy równie dobrze uznać, że energia zgromadzona jest w ła dunku, z gęstością \ p V . Różnica polega jedynie na innym sposobie „księgowania” energii. (iii) Zasada superpozycji. Ponieważ energia statycznego pola elektrycznego jest kwadratowym funkcjonałem pola, więc nie podlega zasadzie superpozycji. Energia zło żonego układu nie jest sumą energii części układu rozważanych osobno — pojawiają się również „człony mieszane”: Wta.k = - J e 2 d r = | J ( E l + E , ) 2dT = - J ( F 2 + F 2 + 2E] .E 2)d r W\ +
h
■+• £o / E i • E-) d r .
(2.47)
Jeśli na przykład podwoimy wszędzie ładunek, to jednocześnie czterokrotnie zwiększymy całkowitą energię.
Zadanie 2.34. Rozważyć układ dwóch koncentrycznych cienkich powłok kulistych o promie niach a i h. Przypuśćmy, że na wewnętrznej powłoce zgromadzony jest ładunek cp a na ze wnętrznej powłoce ładunek —
120
2. ELEKTROSTATYKA
2.5. Przewodniki 2.5.1. Podstawowe właściwości
W izolatorze, takim na przykład jak szkło czy guma, każdy elektron jest związany z ja kimś atomem. W odróżnieniu od tego w przewodniku metalicznym jeden lub więcej elektronów z każdego atomu może swobodnie przemieszczać się w materiale. (W prze wodnikach będących cieczami, na przykład słonej wodzie, przemieszczają się jony.) Idealnym przewodnikiem byłaby substancja zawierająca nieskończony zapas zupełnie swobodnych ładunków. W realnym świecie nie ma idealnych przewodników, ale wiele substancji ma właściwości zaskakująco zbliżone do idealnych. Z tej definicji wynikają podstawowe właściwości elektrostatyczne idealnych przewodników: (i) Wewnątrz przewodnika E = 0. Dlaczego? Gdyby bowiem w przewodniku wyst powało jakiekolwiek pole, to swobodne ładunki przemieszczałyby się, a więc nie byłby to już problem elektrostatyczny. Z pewnością trudno to uznać za wystarczające wytłu maczenie; można to w końcu zrozumieć tak, że gdy w układzie występują przewodniki, wówczas układ nie da się opisać w ramach elektrostatyki. Dlatego musimy trochę lepiej zastanowić się nad tym. co się dzieje, kiedy umieszczamy przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym Eq (rys. 2.42). Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego swo-
+ + + + + ___ + - Ei + + + + + + +
Rys. 2.42
bodnę ładunki dodatnie będą początkowo przemieszczać się w prawo, a ujemne w lewo. (W praktyce przemieszczają się tylko ładunki ujemne, czyli elektrony, ale kiedy już do tego dojdzie, wówczas po prawej stronie pojawia sie nieskompensowany ładunek dodatni — czyli statyczne jądra — tak więc nie ma w istocie znaczenia, które ładunki się prze mieszczają; skutek jest ten sam.) Pod wpływem pola zewnętrznego ładunki swobodne zaczynają gromadzić się na powierzchni: dodatnie po prawej stronie, a ujemne po lewej. Teraz z kolei te ładunki indukowane wytwarzają własne pole elektryczne E|, które, jak można odczytać z rysunku, skierowane jest przeciwnie do E0. To kluczowa obserwacja — oznacza bowiem, że pole ładunków indukowanych ma tendencję do kompensowania pola zewnętrznego. Ładunki będą przepływać aż do momentu, gdy pola całkowicie się
2.5. PRZEWODNIKI
121
zniosą i sumaryczne pole w przewodniku będzie wynosiło dokładnie zero.7 Cały proces zachodzi błyskawicznie. (ii) p = 0 wewnątrz przewodnika. Wynika lo z prawa Gaussa: V • E = p /e o. Jeśli E = 0, to również p = 0. W ośrodku w dalszym ciągu występują ładunki, ale ładunku dodatniego jest dokładnie tyle, ile ładunku ujemnego, tak więc sumaryczna gęstość ładunku wewnątrz przewodnika jest równa zeru. (iii) Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na powierzchni prze wodnika. To po prostu jedyne miejsce, w którym może się znajdować — patrz punkt (ii). (iv) Potencjał w przewodniku jest stały. Niech bowiem a i h będą dowolnymi punktami wewnątrz (lub na powierzchni) przewodnika, mamy wtedy V(b) — V(a) = - / ał>E • dl = 0, a zatem V(a) = V(b). (v) W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni. W innym przypadku ładunki natychmiast zaczęłyby przemieszczać się po powierzchni, aż zostałaby skompensowana składowa pola elektrycznego styczna do powierzchni (rys. 2.43). (Oczywiście ładunek nie może przepływać prostopadle do powierzchni, ponieważ nie może opuścić przewodzącego przedmiotu.) Fakt, że ładunki w przewodniku przemieszczają się na powierzchnię, może wydać się dziwny. Oczywiście ze względu na odpychanie naturalne jest, że ładunki rozprze strzeniają się na największy możliwy obszar, ale sytuacja, gdy wszystkie ładunki zgro madzone są na powierzchni, może wyglądać na marnotrawstwo przestrzeni wewnątrz przewodnika. Na pozór wydaje się, że uzyskalibyśmy lepszy rezultat, gromadząc część ładunku w różnych punktach wewnątrz przewodnika. Niestety, jest inaczej. Optymalnym rozwiązaniem okazuje się taki rozkład ładunku, w którym cały ładunek znajduje się na powierzchni, niezależnie od rozmiarów i kształtu przewodnika.8 Cały problem można również sformułować w kategoriach energii. Tak jak każdy inny swobodny układ dynamiczny, ładunek w przewodniku dążyć będzie do konfiguracji, ~Na zewnątrz przewodnika pole jest różne od zera, ponieważ tu E0 i Ei nie znoszą się wzajemnie. 8Warto podkreślić, że dla analogicznego zagadnienia w jednym i dwóch wymiarach rozwiązanie jest istotnie różne: ładunek zgromadzony na przewodzącym dysku nic przepływa w całości na krawędź dysku (R. Friedbcrg. Am. J. Phys. 61. 1084 (1993)), a ładunek zgromadzony na przewodzącej igle nie przepływa całkowicie na jej końce (D. J. Griffiths i Y. Li, Am. J. Phys. 64, 706 (1996)). Patrz też zad. 2.52.
2. ELEKTROSTATYKA
122
która minimalizuje energię potencjalną. Właściwość (iii) równoważna jest ze stwierdze niem, że energia elektrostatyczna trójwymiarowego przedmiotu (o zadanym kształcie i całkowitym ładunku) przybiera wartość minimalną, gdy ładunek rozmieszczony jest na powierzchni. Na przykład energia naładowanej kuli równa jest ( \ /?>Ttco)(q2/ R), je śli ładunek jest równomiernie rozmieszczony na jej powierzchni, jak to stwierdziliśmy w przykł. 2.8, ale przybiera większą wartość, (3/20TX€o)(q2/R), gdy ładunek jest rów nomiernie rozmieszczony w całej objętości kuli (zad. 2.32).
2.5.2. Ładunki indukowane Jeśli umieścimy ładunek +q w pobliżu nienaładowanego przewodnika (rys. 2.44), to ła dunek i przewodnik zaczną się przyciągać. Wynika to stąd, że q będzie ściągać w swoją stronę ładunki ujemne i odpychać ładunki dodatnie. (Można też. spojrzeć na to ina czej: ładunki przemieszczą się w' taki sposób, aby wewnątrz przewodnika zrównoważyć pole ładunku q.) Ponieważ wy indukowany ładunek ujemny znajduje się bliżej q niż ła dunki dodatnie, więc w ostatecznym rachunku pojawia się przyciąganie. (W rozdziale 3 przeanalizujemy ten efekt bardziej szczegółowo dla przypadku przewodnika w kształcie kuli.)
Rys. 2.44
Rys. 2.45
Należy w tym momencie podkreślić, żc jeśli mówimy o potencjale „wewnątrz” prze wodnika, to mamy na myśli „materię” przewodnika; jeśli w przewodniku znajduje się wnęka, a w tej wnęce jest jakiś ładunek, to pole we wnęce nie będzie równe zeru. Jednak wnęka i jej zawartość są w zaskakujący sposób odizolowane od świata zewnętrznego przez otaczający je przewodnik (rys. 2.45). Żadne pola zewnętrzne nie mogą przeniknąć przez przewodnik; zostają skompensowane przez ładunki indukowane na zewnętrznej powierzchni. Podobnie pole wytworzone przez ładunki znajdujące się we wnęce zostaje skompensowane na zewnątrz wnęki przez ładunki indukowane na powierzchni wnęki. (Jednak ładunek kumpensujący pozostający na zewnętrznej powierzchni przewodnika „komunikuje” światu zewnętrznemu obecność ładunku q wc wnęce, o czym przeko namy się przy rozważaniu przykł. 2.9). Przy okazji zauważmy, że całkowity ładunek indukowany na ściance wnęki ma wartość bezwzględną równą wartości bezwzględ nej ładunku wewnątrz wnęki, lecz przeciwny znak. Jeśli bowiem otoczymy wnękę po wierzchnią Gaussa, która w całości przebiega przez wnętrze przewodnika (rys. 2.45), to
2.5. PRZEWODNIKI
123
^ E • da = 0, u żalem (na mocy prawa Gaussa) całkowity ładunek w obszarze obejmo wanym powierzchnią Gaussa musi być równy zeru. Ponieważ jednak <2wew —q H- (/ind, więc (/ind = ~q-
Przykład 2.9 Wewnątrz przewodnika w kształcie kuli znajduje się nieregularna wnęka (rys. 2.46). Przewodnik nie jest naładowany, a wewnątrz wnęki znajduje się ładunek q . Pytanie: Jakie jest pole na zewnątrz kuli?
przewuuniK Rvs. 2.46
Rozwiązanie: Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że odpowiedz, zależy od kształtu wnęki i od położenia ładunku. Ale tak nie jest. Pole nie zależy od tych czynników' i zawsze wynosi
Cała informacja o wnęce zostaje ukryta przed nami przez przewodnik, a jedyne, co możemy stwierdzić, to wartość całkowitego ładunku zamkniętego we wnęce. Jak to możliwe? Cóż, po prostu ładunek + q indukuje na ściance wnęki przeciwny ładunek —
174
2. ELEKTROSTATYKA
wytwarzane przez ładunek ą we wszystkich punktach na zewnątrz wnęki. Wyobraźmy sobie sytuację, że ta sama wnęka zostaje zrobiona w olbrzymim kulistym przewodniku o promieniu 27 mil lub lat świetlnych, lub czegokolwiek innego. W takim przypadku ładunek +q, jaki pojawi się na powierzchni kuli, jest po prostu zbyt daleko, aby wytworzyć jakieś znaczące pole, a zatem dwa pozostałe pola muszą znosić się nawzajem. Wiemy więc, że jest to możliwe.. ale czy mamy pewność, że tak właśnie się dzieje? A może w przypadku małych kul natura preferuje bardziej skomplikowany mechanizm kompensacji, wykorzystujący wszystkie trzy pola? Otóż nie: jak się przekonamy przy okazji dyskusji twierdzenia o jednoznaczności w rozdziale 3, elektrostatyka jest bardzo oszczędna, jeśli chodzi o liczbę możliwości; istnieje zawsze dokładnie jeden sposób — nie więcej — na rozmieszczenie ładunku na przewodniku, aby pole wewnątrz było równe zeru. Znalazłszy jeden możliwy sposób, mamy gwarancję, że nawet w teorii nie istnieje żadna alternatywa.
Rys. 2.47 Jeśli we wnęce znajdującej się w przewodzącym ośrodku nie ma ładunku, to pole we wnęce jest równe zeru. Wynika to stąd, że jakakolwiek linia pola musiałaby zaczynać się i kończyć na ściance wnęki, przebiegając od ładunku dodatniego do ujemnego (rys. 2.47). Załóżmy, że taka linia pola stanowi fragment pętli, której pozostała część leży całkowicie we wnętrzu przewodnika (gdzie E = 0), wtedy całka § E • dl jest w oczywisty sposób dodatnia, co kłóci się z równaniem (2.19). Wynika stąd, że w pustej wnęce musimy mieć E = 0, a na powierzchni wnęki nie może występować ładunek powierzchniowy. (Z tego właśnie powodu jesteśmy względnie bezpieczni w metalowym samochodzie w czasie burzy — jeśli trafi nas piorun, to możemy się ugotować, ale nie zostaniemy porażeni prądem. Ta sama zasada stosuje się do czułych przyrządów umieszczonych w uziemionej klatce Faradaya w celu ochrony przed niepożądanymi polami elektrycznymi. W prak tyce okazuje się, że ekran nie musi być wykonany w całości z przewodnika, lecz może być zrobiony nawet z cienkiej siatki drucianej.
Zadanie 2.35. Metalowa kula o promieniu R, naładowana ładunkiem ąy otoczona jest grubą metalową powłoką kulistą o promieniu wewnętrznym a i zewnętrznym b. Powłoka nie jest naładowana.
2.5. PRZEWODNIKI
1 25
(a) Znaleźć powierzchniową gęstość ładunku o na powierzchniach oddalonych od środka kuli o R, a i h. (b) Znaleźć potencjał w środku kuli, przyjmując za punkt odniesienia punkt w nieskoń czoności. I___ <±
JU b Rys. 2.48
Rys. 2.49
(c) Przypuśćmy, że zewnętrzna powierzchnia zostaje uziemiona, co redukuje jej poten cjał do zera (czyli takiej samej wartości, jak w nieskończoności). W jaki sposób zmienią się odpowiedzi w punktach (a) i (b)? Zadanie 2.36. W przewodzącej kuli o promieniu R znajdują się dwie kuliste wnęki o promie niach a i b (rys. 2.49). Kula nie jest naładowana. W środkach obu wnęk umieszczono ładunki punktowe o wartościach qtl i qb, odpowiednio. (a) Znaleźć ładunki powierzchniowe cra, ah i aK. (b) Jakie jest pole na zewnątrz przewodnika? (c) Jakie jest pole wewnątrz każdej z wnęk? (d) Jaka siła działa na q(l i qbl (c) Która z powyższych odpowiedzi zmieni się, gdy do przewodnika zbliżymy trzeci ładu nek, qcl
2.5.3. Ładunki powierzchniowe i sita działająca na przewodnik Ponieważ natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika jest równe zeru, więc z warunku brzegowego (2.33) natychmiast wynika, iż natężenie pola na zewnątrz prze wodnika tuż przy jego powierzchni wynosi E = —ń, (2.48) ćo co jest zgodne z naszą wcześniejszą konkluzją, że wektor natężenia pola elektrycznego jest skierowany prostopadle do powierzchni. Ze wzoru (2.36) otrzymujemy równanie spełniane przy powierzchni przez potencjał o = -fo — •
(2.49)
126
2. CLCKTROSTATYKA
Równania te pozwalają obliczyć gęstość powierzchniową ładunku na przewodniku, jeśli potrafimy wyznaczyć E lub V ; będziemy z nich często korzystać w następnym rozdziale. W obecności pola elektrycznego ładunek powierzchniowy podlegać będzie oczy wiście działaniu pewnej siły; siła na jednostkę powierzchni, którą oznaczymy jako f, równa jest a E. Pojawia się tu jednak trudność, ponieważ pole elektryczne jest niecią głe w miejscu, gdzie zlokalizowany jest ładunek powierzchniowy, nie wiadomo więc, jaką wartość powinniśmy uwzględnić w tym wzorze: Enacj, Epołj czy coś pośredniego? Okazuje się, że powinniśmy użyć średniej z tych dwóch wartości: f =
^Eśrcdnie =
yO" ( E nad +
Epod)-
(2.50)
Dlaczego mamy brać średnią? Powód jest bardzo prosty, choć uzasadnienie może wydać się skomplikowane. Skoncentrujmy naszą uwagę na małym elemencie powierzchni ota czającym dany punkt (rys. 2.50). Załóżmy, że jest on tak mały, iż jest praktycznie płaski i gęstość powierzchniowa zgromadzonego na nim ładunku jest praktycznie stała. Wtedy całkowite pole składa się z dwóch części — pola wytwarzanego przez sam element i pola wytwarzanego przez wszystkie inne ładunki (inne części powierzchni i wszelkie ładunki zewnętrzne): E = Ecicmcnt "b Ejnne. Rozważany element powierzchni nie może działać siłą sam na siebie, podobnie jak my nie możemy podnieść siebie do góry, stojąc w koszu i ciągnąc za rączki. Siła działa jąca na element powierzchni jest wobec tego wyłącznie wynikiem działania pola E j nne, a to pole nie ma nieciągłości (jeśli usuniemy rozważany element powierzchni, to pole w powstałej „dziurze’*będzie idealnie ciągłe). Źródłem nieciągłości jest jedynie ładunek zgromadzony na rozważanym elemencie powierzchni, który z każdej strony wytwarza pole (a /2e()), skierowane od powierzchni w przestrzeń (rys. 2.50). Tak więc Enad = Einnc + — ft, 260 Epod — E j nnc
260
II,
127
2.5. PRZEWODNIKI
a zatem Uśrednianie jest tak naprawdę tylko sposobem na usunięcie wkładu od rozważanego elementu powierzchni. Powyższy argument stosuje się do wszystkich ładunków powierzchniowych; w szcze gólnym przypadku powierzchni przewodnika pole wewnątrz obszaru ograniczonego po wierzchnią jest równe zeru, a pole na zewnątrz jest równe (er/co)ń (równanie (2.48)), czyli średnia wynosi (rr/2fo)n, a zatem siła na jednostkę powierzchni wyraża się wzorem (2.51) Odpowiada to działającemu na powierzchnię, skierowanemu na zewnątrz ciśnieniu elek trostatycznemu, które powoduje, że niezależnie od znaku a przewodnik jest wciągany w pole elektryczne. Wyrażając to ciśnienie przez natężenie pola tuż przy powierzchni po zewnętrznej stronie, otrzymujemy P = - E 2. 2
(2.52)
Zadanie 2.37. Dwie duże metalowe płyty (każda o polu powierzchni A) znajdują się w odle głości d od siebie. Przypuśćmy, że na każdą płytę nanosimy ładunek Q\ jakie jest ciśnienie elektrostatyczne działające na płyty? Zadanie 2.38. Na metalową kulę o promieniu R naniesiono ładunek Q. Jaką siłą odpychają się półkule „północna” i „południowa”?
2.5.4. Kondensatory Przypuśćmy, że mamy dwa przewodniki; na jednym umieszczamy ładunek +{?, a na drugim ładunek —Q (rys. 2.51). Ponieważ V jest stałe dla całego przewodnika, możemy jednoznacznie określić różnicę potencjałów między przewodnikami:
128
2. ELEKTROSTATYKA
Nie wiemy, jak ładunek rozkłada się na obu przewodnikach, a w przypadku gdy mają one skomplikowane kształty, obliczenie pola byłoby trudne, wiemy jednak, iż E jest proporcjonalne do Q. Wynika to z faktu, że E jest dane prawem Coulomba:
jeśli zatem podwoimy p, to podwoimy też E. (Chwileczkę! Skąd wiemy, że podwojenie Q (a także —Q) rzeczywiście spowoduje podwojenie p? A może następuje wtedy prze mieszczenie ładunku i zmiana jego rozkładu, przez co w pewnych miejscach p zwiększa się czterokrotnie, a w innych zmniejsza o połowę, tak że jedynie całkowity ładunek Q ulega podwojeniu? Nie trzeba się jednak niepokoić, podwojenie Q rzeczywiście po woduje podwojenie p w całym obszarze. Dowód tego stwierdzenia zostanie podany w rozdziale 3.) Ponieważ E jest proporcjonalne do Q, więc to samo dotyczy również V. Współ czynnik proporcjonalności nazywa się pojemnością układu (2.53) Pojemność jest czysto geometryczną wielkością, określaną przez rozmiary przewodni ków, ich kształty i odległość między nimi. W międzynarodowym układzie jednostek (SI) pojemność C wyrażana jest w faradach (F); farad to kulomb na wolt. Prawdę mó wiąc, jest to jednostka niewygodna, ponieważ pojemność 1 F jest bardzo duża jak na powszechne zastosowania.9 Bardziej praktycznymi jednostkami są mikrofarady (10~6*F) i pikofarady (1CT12 F). Należy podkreślić, że V jest z definicji różnicą między potencjałem przewodnika do datniego a potencjałem przewodnika ujemnego, natomiast Q z definicji jest ładunkiem na przewodniku dodatnim. Tak więc pojemność jest z założenia wielkością dodatnią. (Niekiedy usłyszycie, że ktoś będzie mówił o pojemności pojedynczego przewodnika. W takim przypadku należy rozumieć, że „drugim przewodnikiem”, z ujemnym ładun kiem, jest wyimaginowana sfera o nieskończonym promieniu, otaczająca dany przewod nik. Taka sfera nie daje wkładu do pola, więc pojemność dana jest wtedy wzorem (2.53), w którym V jest potencjałem z punktem odniesienia w nieskończoności.)
Przykład 2.10 Znaleźć pojemność kondensatora płaskiego, składającego się z dwóch metalowych płytek o po wierzchni A znajdujących się w odległości d od siebie (rys. 2.52). 9W drugim wydaniu tej książki znajdowało się stwierdzenie, że do udźwignięcia kondensatora o po jemności 1 F konieczny jest wózek widłowy. Okazuje się, że nie jest to już prawdą — można już kupić kondensatory o takiej pojemności, który mieszczą się na łyżce stołowej.
2.5. PRZEWODNIKI
129
Rys. 2.52
Rozwiązanie: Przypuśćmy, że na górną płytkę wprowadzamy ładunek +Q, a na dolną ładunek —Q. Jeśli płytki mają wystarczająco dużą powierzchnię i odległość między nimi jest wystarcza jąco mała, to na obu płytkach rozkład ładunku będzie z dobrym przybliżeniem jednorodny.10 Gęstość powierzchniowa ładunku na górnej płytce jest więc równa rr = Q /A, tak więc zgodnie z wynikami uzyskanymi w przykł. 2.5 pole ma wartość ( l/ 60)Q/A. Stąd wnioskujemy, że różnica potencjałów między płytkami wynosi
V A€Q d, =
*
q
a zatem (2.54) Jeśli płytki są na przykład kwadratam i o boku l cm i znajdują się w odległości 1 mm od siebie, to pojemność tego układu jest równa 9 • 10~13 F.
Przykład 2.11 Znaleźć pojem ność układu dw óch koncentrycznych metalowych powłok kulistych o prom ieniach a ib Rozw iązanie: Przyjmijmy, że ładunek + Q um ieszczony je st na w ew nętrzej powłoce, a - Q na zewnętrznej. Pole w obszarze m iędzy pow łokam i ma w artość
4jt:eo r2 tak więc różnica potencjałów między powłokami wyraża się wzorem b
b
a
a
Zgodnie z oczekiwaniem V jest proporcjonalne do Q\ pojemność równa jest zatem C
" V
= 4 ti60
ab
(b - a y
10Ścisłe rozwiązanie jest w tym przypadku dość złożone — nawet dla prostszego zagadnienia z pły tami okrągłymi. Patrz G. T. Carlson i B. L. Illman, Am. J. Phys. 62, 1099 (1994).
130
2. ELEKTROSTATYKA
Aby „naładować” kondensator, musimy przenieść elektrony z „dodatniej” płytki na „ujemną”. Przy takiej operacji musimy przeciwstawić się działaniu pola elektrycznego, które odpycha elektrony od ujemnej płytki w stronę dodatniej płytki. Jaką więc pracę wykonujemy, ładując kondensator ładunkiem Q1 Przypuśćmy, że na jakimś pośrednim etapie ładunek na dodatniej płytce jest
dW = ( i ) dq. Wynika stąd, że całkowita praca, jaką wykonamy przechodząc od ą = 0 do ą — Q, wynosi
o lub inaczej, uwzględniając Q = CV, otrzymamy W = \C l/2,
(2.55)
gdzie V jest końcowym potencjałem kondensatora.
Zadanie 2.39. Znaleźć pojemność przypadającą na jednostkę długości układu dwóch współo siowych metalowych cylindrycznych rur o promieniach a i b (rys. 2.53).
Rys. 2.53
Zadanie 2.40. Przypuśćmy, że w kondesatorze płaskim płytki pod wpływem przyciągania zbliżą się do siebie o infintezymalną odległość e. (a) Posługując się równaniem (2.52), wyrazić pracę sił elektrostatycznych przez E i po wierzchnię płytek A. (b) Posługując się równaniem (2.46), obliczyć energię utraconą przez pole w tym procesie. (To powinno być raczej łatwe zadanie, ale zawiera w' sobie zasadnicze elementy alterna tywnego wyprowadzenia równania (2.52) z zasady zachowania energii.)
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU l
131
Zadania dodatkowe do rozdziału 2 Zadanie 2.41. Znaleźć natężenie pola elektrycznego nad wysokości z na środkiem kwadratowej płyty (o buku u) naładowanej jednorodnie z gęstością powierzchniową o. Sprawdzić otrzymany wynik, obliczając granice a > oo i •: >> «. [Odpowiedź: (cr/2^0){(4/ tt) tg-1 yj 1 + (a*/2z7) -lii
Zadanie 2.42. Jeśli natężenie pola elektrycznego w jakimś obszarze dane jest (we współrzęd nych sferycznych) wyrażeniem „ A r + sin 0 cos ó ó E(r) = ------------------------ , r w którym A i B są stałymi, to jaki jest rozkład gęstości ładunku? [Odpowiedź: €0(A — Złsin0)/r2.]
B
Zadanie 2.43. Znaleźć siłę, jaką „południowa” półkula jednorodnie naładowanej kuli działa na półkulę „północną”. Wyrazić wynik przez promień R i całkowity ładunek Q. [Odpowiedź: (I/4tc€u)(3(?2/16/?2).] Zadanie 2.44. Czasza w kształcie odwróconej „w dół” połówki sfery o promieniu R naładowana jest jednorodnie z gęstością powierzchniową a. Znaleźć różnicę potencjału między „biegunem północnym” na czaszy a środkiem sfery. [Odpowiedź: (Ra/2e{))(y/2 —1).] Zadanie 2.45. Kula o promieniu R naładowana jest z gęstością objętościową p ( r ) = k r, gdzie k jest pewną stałą. Znaleźć energię tego układu. Sprawdzić otrzymany wynik, obliczając go przynajmniej dwiema metodami. [Odpowiedź: Tik1R1/ l Zadanie 2.46. Potencjał elektryczny pewnego układu dany jest wyrażeniem Q-/.r V (r) = A---- , r gdzie A i a są pewnymi stałymi. Znaleźć natężenie pola elektrycznego E(r), objętościową gęstość ładunku p(r) i całkowity ładunek Q. [Odpowiedź: p = ^0A(47 t6 3(r) - k2e~k'/r ).] ! Zadanie 2.47. Dany jest układ złożony z dwóch nieskończenie długich przewodów ułożonych równolegle do osi x , naładowanych jednorodnie z gęstością liniową +A i (rys. 2.54). (a) Znaleźć potencjał w dowolnym punkcie przestrzeni (.v, y, z), przyjmując początek układu za punkt odniesienia potencjału. (b) Pokazać, że powierzchnie ekwipotencjalnc są walcami; znaleźć położenie osi i promień walca odpowiadającego danej wartości potencjału Vq. *
132
2. CLCKTROSTATYKA
! Zadanie 2.48. W diodzie próżniowej elektrony „wyparowują” z gorącej katody o potencjale równym zeru i przemieszczają się ruchem przyspieszonym przez przerwę w kierunku anody, na której utrzymywany jest stały potencjał IV Chmura elektronów poruszających się w przerwie między płytkami (nazywana ładunkiem przestrzennym) szybko się powiększa, aż pole na powierzchni katody zostanie zredukowane do zera. Od tego momentu między płytkami płynie stały prąd /. Przypuśćmy, że płytki mają rozmiary duże w porównaniu z odległością między nimi (A d2 na rys. 2.55), można więc zaniedbać efekty brzegowe. Wtedy V, p i v (prędkość elektronów) zależą jedynie od a . (a) Napisać równanie Poissona dla obszaru między płytkami. (b) Zakładając, że elektrony opuszczające katodę mają zerową prędkość, znaleźć ich pręd kość w punkcie a , w którym potencjał wynosi V(x). (c) W stanie stacjonarnym I nie zależy od a . Jaki jest wtedy związek między p i u? (d) Posługując się wynikami uzyskanymi w trzech poprzednich punktach, wyprowadzić równanie różniczkowe na V, eliminując p i u. (e) Rozwiązać to równanie na V jako funkcję a , V0 i d. Wykreślić zależność V (a ) od a i porównać z potencjałem bez ładunku przestrzennego. Znaleźć też p i v jako funkcje a . (0 Pokazać, że (2.56) i znaleźć stałą K. (Równanie (2.56) nazywane jest prawem Childa-Langniuira. Jest ono słuszne również dla układów o innej geometrii, kiedy tylko prąd ograniczany jest przez ładunek przestrzenny. Zauważmy, że dioda, w której prąd ograniczony jest przez ładunek przestrzenny, jest nieliniowa — nie spełnia prawa Ohma.) ! Zadanie 2.49. Przypuśćmy, że nowe i niesłychanie dokładne pomiary pokazały, iż w prawie Coulomba jest błąd. Odkryto, że siła oddziaływania między dwoma ładunkami punktowymi jest w istocie dana wzorem
gdzie a jest nową stałą podstawową (ma oczywiście wymiar długości i jest bardzo dużą liczbą — odpowiadającą, powiedzmy, połowie promienia obserwowanego obecnie Wszechświata — tak że poprawka jest mała, co wyjaśniałoby, dlaczego nikt nie zauważył tego odchylenia wcześniej). Otrzymujecie za zadanie przeformułowanie elektrostatyki tak, by uwzględnić nowe odkrycie. Zakładamy, że zasada superpozycji nadal pozostaje słuszna. (a) Jaki jest wzór na natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez dany przestrzenny rozkład ładunku p (zamiast wzoru (2 .8 ))? (b) Czy pole elektryczne nadal ma potencjał skalarny ? Wyjaśnijcie krótko, w jaki sposób doszliście do waszego rozwiązania. (Nie chodzi tu o formalny dowód, ale raczej o przekonujący argument.) (c) Znaleźć potencjał ładunku punktowego
S
V
gdzie S jest powierzchnią, a V objętością dowolnej kuli o środku w q.
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 2
133
(e) Pokazać, że wynik ten można uogólnić:
ł
R • da 4- — A*-
/
V
dr = —Q
V
na dowolny rozkład ładunku. (W nowej „elektrostatyce” jest to odpowiednik prawa Gaussa.) (f) Narysować dla tej hipotetycznej teorii trójkątny diagram podobny do przedstawionego na rys. 2.35, zbierając na nim wszystkie odpowiednie wzory. (Odpowiednikiem równania Poissona jest wzór wyrażający p przez V, a odpowiednikiem prawa Gaussa (w postaci różniczkowej) wzór wyrażający p przez E.) Zadanie 2.50. Przypuśćmy, że wektor natężenia pola elektrycznego E(jc, y, z) ma postać Ex = ax,
Ey = 0,
Ez = 0,
gdzie a jest pewną stałą. Jaki jest rozkład gęstości ładunku? Jak wytłumaczyć fakt, że choć rozkład ładunku jest jednorodny, to pole ma wyróżniony kierunek? (To bardziej złożony problem niż się może wydawać, warto go dobrze przemyśleć.) Zadanie 2.51. Wszystkie prawa elektrostatyki można wyprowadzić z zasady superpozycji i z faktu, że w prawie Coulomba zależność od odległości ma postać \/r 7. Analogiczną teorię można więc stworzyć dla prawa powszechnego ciążenia Newtona. Jaka jest zatem energia gra witacyjna jednorodnej kuli o masie M i promieniu /?? Posługując się tym wynikiem, oszaeuwać energię grawitacyjną Słońca (potrzebne dane należy wziąć z tablic). Słońce wypromieniowuje energię w tempie 3,86 • !026 W; jaki byłby czas życia Słońca, gdyby cała wypromieniowana energia miała pochodzenie grawitacyjne? (Słońce jest w istocie znacznie starsze niż wskazuje otrzymany tu wynik, widać więc, że jego energia nie może mieć charakteru grawitacyjnego.) Zadanie 2.52. Wiadomo, że ładunek w przewodniku rozkłada się na powierzchni, jednak postać tego rozkładu nie jest łatwa do wyznaczenia. Słynnym przykładem, w którym udaje się obliczyć powierzchniową gęstość ładunku w jawnej postaci, jest elipsoida: * ? v2 z2 W tym przypadku mamy": 1/2
(2.57)
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem. Dobierając w tym wzorze odpowiednie wartości dla a, b i c\ obliczyć: (a) całkowitą (dla obu stron) gęstość powierzchniową ładunku o(r) na krążku o promieniu R\ (b) całkowitą gęstość powierzchniową ładunku o(x) na nieskończonej przewo dzącej ..taśmie” leżącej w płaszczyźnie xy, rozciągającej się wzdłuż osi y od x = —a do .v —a (całkowity ładunek na jednostkę długości taśmy wynosi A); (c) całkowity ładunek na jednostkę długości A.(jc) na przewodzącej „igle”, rozciągającej się od x = - a do x = a. W każdym przedstawić otrzymane wyniki w postaci wykresu.
"Wyprowadzenie tego wyniku (bardzo nietrywiulne) podane jest w książce: W. R. Smythc, Static (ind Dynamie Electricity, wyd. 3, Hemishpcre, New York 1989, paragraf 5.02.
Rozdział 3
Specjalne metody elektrostatyki
3.1. Równanie Laplace'a 3.1.1. Wprowadzenie Podstawowym zagadnieniem elektrostatyki jest znalezienie pola elektrycznego wytwa rzanego przez dany statyczny rozkład ładunku. W zasadzie rozwiązanie tego zagadnienia dane jest przez wzór (2.8), wynikający z prawa Coulomba (3.1) Niestety, poza bardzo prostymi rozkładami ładunku całki tego typu są na ogół trudne do obliczenia. W niektórych przypadkach możemy tego uniknąć, wykorzystując symetrię i prawo Gaussa, ale na ogół najlepiej jest najpierw obliczyć potencjał V, dla którego mamy trochę bardziej poręczny wzór (2.29): (3.2) Jednak nawet i ta całka jest często zbyt trudna do obliczenia w jawnej postaci. Dodatkowo w zagadnieniach związanych z przewodnikami sam rozkład gęstości ładunku p może nie być znany a priori: ponieważ ładunek może się swobodnie przemieszczać, więc jedynym parametrem podlegającym naszej bezpośredniej kontroli jest w istocie całkowity ładunek (a może raczej potencjał) na każdym przewodniku. W takich przypadkach pomocne jest zapisanie problemu w postaci różniczkowej (2.24) (równanie Poissona) = -----p. (3.3) *0
Równanie to razem z odpowiednimi warunkami brzegowymi równoważne jest z rów naniem (3.2). Bardzo często szukamy potencjału w obszarze, w którym p — 0. (Jeśli p = 0 wr całej przestrzeni, to V = 0 i nic więcej nie da się uzyskać — ale nie o to tutaj chodzi. Możemy rozważać układ, w którym występuje ładunek nawet o znacznej wartości, ale nas interesuje pole tylko w tym obszarze, gdzie ładunku nie ma.) W takim przypadku równanie Poissona redukuje się do równania Laplace’a: AV = 0
(3.4)
13 5
3.1. RÓWNANIE LAPLACE'A
lub w jawnej postaci wc współrzędnych kartezjańskich
a2v
d2v
d2v
dx 2 + dy 2 + 3z2
(3.5)
Znaczenie tego równania w elektrostatyce jest tak duże, że można nieomal powie dzieć, iż dziedzina ta sprowadza się po prostu do analizy równania Laplace’a. Jednocze śnie równanie to pojawia się w wielu odległych od siebie działach fizyki, na przykład w teorii grawitacji, teorii magnetyzmu, teorii rozchodzenia się ciepła i teorii baniek my dlanych. W matematyce odgrywa ono podstawową rolę w teorii funkcji analitycznych. Aby zrozumieć intuicyjnie równanie Laplace’a i jego rozwiązania (które nazywają się funkcjami harmonicznymi), rozpoczniemy od analizy problemów jedno- i dwuwymia rowych, które łatwiej przedstawić graficznie i które dobrze ilustrują istotne właściwości zagadnień trójwymiarowych (choć zagadnienia jednowymiarowe są znacznie uboższe od pozostałych dwóch typów zagadnień).
3.1.2. Równanie Laplace'a w jednym wymiarze Załóżmy, że V zależy tylko od jednej zmiennej .v. Wtedy równanie Laplace’a przybiera postać
Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest V(x) = mx + b.
(3.6)
Wykresem tej funkcji jest linia prosta. Rozwiązanie zawiera dwie stałe dowolne (m i b), co jest zgodne z naszymi oczekiwaniami w przypadku równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu. Wartość stałych określana jest przez warunki brzegowe w danym zagadnieniu. Mogą ońe na przykład przyjąć postać warunku, aby V = 4 dla x = 1 i V = 0 dla A' = 5. Otrzymujemy wtedy m = —1 i b = 5, tak więc V = —x + 5 (rys. 3.1). Chciałbym zwrócić tu uwagę na dwie właściwości tego wyniku; właściwości te mogą wydać się banalne i oczywiste w odniesieniu do zagadnienia jednowymiarowego,
Rys. 3.1
13G
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
gdzie znamy ogólne rozwiązanie w jawnej postaci, ale analogiczne stwierdzenia w dwóch i trzech wymiarach mają daleko idące konsekwencje i bynajmniej nie są oczywiste: 1. V (x) jest średnią z V (x -j- a) i V(x — a), gdzie a jest dowolne: V(x) = \[V (x + a) + V(x - a)]. Równanie Laplace’a odgrywa rolę czegoś w rodzaju instrukcji uśredniania; każe nam przypisać punktowi x średnią z wartości funkcji na lewo i na prawo od x. W tym sensie rozwiązania równania Laplace'a są tak mało urozmaicone, jak to tylko możliwe, a przy tym są zgodne z warunkami na granicach przedziału. 2. Równanie Laplace’a nie dopuszcza funkcji mających maksima lub minima lo kalne; V może przybierać ekstremalne wartości jedynie na końcach przedziału. Jest to w istocie konsekwencja właściwości (1), gdyby bowiem funkcja V miała w jakimś punkcie wewnątrz przedziału maksimum lokalne, to w tym punkcie musiałaby przyjmo wać wartość większą niż po obu stronach, a zatem nie mogłaby to być średnia z tych wartości. (Oczekujemy zwykle, że druga pochodna będzie ujemna w maksimum i do datnia w minimum. Ponieważ z równania Laplace’a wynika, że druga pochodna jest równa zeru, więc ktoś mógłby uznać to za dowód, że rozwiązanie nie może mieć eks tremów lokalnych. Jest to jednak błędne rozumowanie, ponieważ istnieją funkcje mające maksima i minima w punktach, gdzie druga pochodna się zeruje: tak jest na przykład w przypadku funkcji .v4 i punktu x = 0 .)
3.1.3. Równanie Laplace'a w dwóch wymiarach Jeśli V zależy od dwóch zmiennych, to równanie Laplace’a przybiera postać 32V 3x2
d2V _ 3y 2
Nie jest to już równanie różniczkowe zwyczajne (czyli równanie, w którym występują tylko zwykłe pochodne); jest to równanie różniczkowe cząstkowe. Z tego powodu pewne reguły, do których przywykliśmy, mogą w tym przypadku nie obowiązywać. Na przykład nieprawdą jest, że ogólne rozwiązania tego równania zawiera jedynie dwie stałe dowolne — ani jakąkolwiek skończoną ich liczbę — mimo iż jest to równanie drugiego rzędu. W istocie nie potrafimy nawet wypisać „ogólnego rozwiązania” w tym przypadku (w każdym razie nie w jawnej postaci, jak w równaniu (3.6)). Niemniej jednak możemy wydedukować pewne własności wspólne dla wszystkich rozwiązań. W dalszych rozważaniach pomocne może być posłużenie się fizycznym modelem tego równania. Rozważmy cienką gumową membranę (lub błonkę bańki mydlanej) roz piętą na ramce. Wyobraźmy sobie na przykład, że boki tekturowego pudełka rozcięliśmy dokoła wzdłuż jakiejś krzywej, usunęliśmy górną część i przykleiliśmy do brzegów pu dełka mocno rozciągniętą gumową membranę (rys. 3.2), tworząc coś w rodzaju bębna (choć w tym przypadku membrana na ogół nie będzie płaska, chyba że rozcięliśmy pudełko tak, iż krawędzie leżą w jednej płaszczyźnie). Jeśli teraz na dnie pudełka na rysujemy układ współrzędnych (jc,y), to funkcja V (x, y), opisująca wysokość V, na
3.1. RÓWNANIE LAPLACE'A
137
jakiej membrana znajduje się nad dnem pudelka w punkcie (x , y), spełniać będzie rów nanie Laplace’a . 1 (Jednowymiarowym odpowiednikiem tego modelu jest gumka rozcią gnięta miedzy dwoma punktami. Oczywiście gumka będzie przebiegać między punktami wzdłuż prostej.) V
Rys. 3.2
Funkcje harmoniczne w dwóch wymiarach mają dwie właściwości, o których wspo mnieliśmy już przy dyskusji zagadnienia jednowymiarowego: 1. Wartość V w punkcie (*, y) jest średnią z wartości przybieranych przez funkcję dokoła tego punktu. Hardziej precyzyjnie, jeśli wokół punktu (x ,y ) narysujemy okrąg o dowolnym promieniu /?, to średnia wartość V na okręgu jest równa wartości w środku okręgu: okrąg
(Na tej obserwacji oparta jest tak zwana metoda relaksacji, służąca do numerycznego rozwiązywania równania Laplace’a. Zaczynamy z zadanymi wartościami V na brzegu obszaru i jakąś rozsądną hipotezą co do wartości V na siatce punktów wewnątrz obszaru. Przy pierwszej iteracji każdemu punktowi przypisana zostaje wartość średnia z wartości w punktach sąsiednich. W drugiej iteracji ten proces jest powtarzany z użyciem zmody fikowanych wartości, podobnie jest w następnych iteracjach. Po kilku iteracjach wartości zaczynają się stabilizować i dalsze iteracje powodują już tylko mało istotne zmiany. Otrzymane liczby stanowią numeryczne rozwiązanie równania Laplace’a dla zadanych wartości brzegowych.) 2 ‘Ściśle biorąc, równanie opisujące gumową membranę ma posiać
a a*
2-i- 1/2
gdZie
* = [■ + ( - )
+ ( - ) ]
Dla małych odchyleń membrany od powierzchni płaskiej równanie to w najniższym rzędzie przybliżenia przybiera postać równania Laplace’a. 2Patrz na przykład E. M. Purcell, E le c tr ic ity a n d M a g n e tism , wyd. 2, McGraw-Hill, New York 1985, zad. 3.30 (s. 119) [tłum. polskie: E le k tr y c z n o ś ć i m a g n e ty z m , PWN, Warszawa 1971, zad. 3.30, s. 139|.
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
2. Funkcja V nie ma maksimów ani minimów lokalnych: wartości ekstremalne osiągane są na brzegu obszaru. (Podobnie jak w zagadnieniach jednowymiarowych, wynika to z właściwości (1).) Również i w tym przypadku równanie Laplace’a wybiera spo śród funkcji spełniających zadane warunki brzegowe funkcje o możliwie najmniej uroz maiconym przebiegu: żadnych wzgórz, żadnych dolin, jedynie najgładsza powierzchnia z możliwych. Jeśli na przykład na rozciągniętej gumowej membranie przedstawionej na rys. 3.2 umieścimy piłeczkę pingpongową, to stoczy się ona na bok i spadnie — nie na trafi nigdzie na „dolinkę", w której mogłaby się zatrzymać, ponieważ równanie Laplace’a nic dopuszcza takich zagłębień na powierzchni membrany. Z geometrycznego punktu wi dzenia funkcja harmoniczna w dwóch wymiarach odpowiada powierzchni o minimalnym polu przy zadanym brzegu, tak jak linia prosta odpowiada najkrótszej drodze między dwoma punktami.
3.1.4. Równanie Laplace'a w trzech wymiarach W przypadku równania Laplace’a w' trzech wymiarach nie znamy rozwiązania w jawnej postaci (jak w jednym wymiarze), nie ma też przekonującego przykładu fizycznego, który pozwoliłby nam określić jakościowy charakter rozwiązania (jak w dwóch wymiarach). Rozwiązania równania w dalszym ciągu wykazują jednak dwie właściwości, o których mówiliśmy poprzednio. Tym razem podam szkic dowodu tych właściwości. 1. Wartość V w punkcie r jest średnią z V po sferze o promieniu K i środku r:
sfera
2. Z właściwości (1) wynika, że V nie może mieć maksimów ani minimów lokal nych; V może osiągać wartości ekstremalne jedynie na brzegu obszaru. (Gdyby bowiem funkcja V miała maksimum lokalne w r, to z samej definicji maksimum wynika, że istnieje sfera o środku r, taka że wszystkie wartości V na tej sferze — a tym samym i wartość średnia na tej sferze — są mniejsze niż wartość w r.) Dowód: Zacznijmy od obliczenia wartości średniej na sferze o promieniu R dla po tencjału pojedynczego ładunku punktowego q umieszczonego na zewnątrz sfery. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że środek sfery znajduje się w początku układu, a układ współrzędnych wybrany jest tak, że q znajduje się na osi z (rys. 3.3). Potencjał w punkcie leżącym na powierzchni sfery wyraża się wzorem
4lt^o H gdzie U 2 = z2 + K2 - Iz R c o s O ,
1 39
3.1. RÓWNANIE LAPLACC'A
V
Rys. 3.3 tak więc brednie =
/ [z" + ^
4^fo -zK
sin 0 d 0 ^
J z 2 + R2 -2 zR c o sO
_i__L[(z 4zi€() 2 zR
“ 2 z R C0S 0 ■ ^ ^
+
R) - ( z -
1
<7
4 tt€ 0
z
7?)1 -
Jest to dokładnie wartość potencjału ładunku punktowego q w środku sfery! Korzystają z zasady superpozycji, możemy stwierdzić, że podobna równość będzie zachodzić dla dowolnego zbioru ładunków punktowych położonych na zewnątrz sfery: ich potencjał uśredniony po sferze jest równy wypadkowemu potencjałowi w środku sfery. To kończy dowód. 4
Zadanie 3.1. Znaleźć średnią wartość potencjału ładunku punktowego q na sferze o promieniu R w przypadku, gdy ładunek umieszczony jest wewnątrz sfery (odpowiada to z < R w proble mie dyskutowanym powyżej). (Oczywiście w tym przypadku wewnątrz sfery nie jest spełnione równanie Laplace1a.) Pokazać, że w ogólności brednie = środka +
4tt €qR
gdzie V$rodka jest wartością, jaką przybiera w środku sfery potencjał pochodzący od wszystkich ładunków zewnętrznych, a Qwcwjest całkowitym ładunkiem zawartym wewnątrz sfery. Zadanie 3.2. Podać krótkie uzasadnienia twierdzenia Earnshawa: Cząstka naładowana nie może być utrzymywana u równowadze stabilnej jedynie przez siły elektrostatyczne. Jako przy kład rozważyć układ ładunków przedstawiony na rys. 3.4. Na pozór wydaje się, że ładunek dodatni umieszczony w środku tego układu będzie znajdował się w równowadze stabilnej, po nieważ jest odpychany od każdego z rogów. W którym miejscu w tej „elektrostatycznej butelce” znajduje się dziura? (W celu wykorzystania reakcji syntezy termojądrowej jako praktycznego źródła energii konieczne jest ogrzanie plazmy („zupy” cząstek naładownych) do niesłychanie
140
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
Rys. 3.4
wysokich temperatur — tak wysokich, ze kontakt z nią spowodowałby wyparowanie każdego naczynia. Twierdzenie Earnshawa mówi, że niemożliwe jest uwięzienie plazmy siłami elektro statycznymi. Na szczęście jest możliwe uwięzienie gorącej plazmy za pomocą pola magnetycz nego.] Zadanie 3.3. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania Laplace’a we współrzędnych kulistych w przypadku, gdy V zależy jedynie od r. Rozwiązać ten sam problem wc współrzędnych walcowych, zakładając, że V zależy jedynie od .v.
3.1.5. Warunki brzegowe i twierdzenie o jednoznaczości Równanie Laplace’a nic wystarcza do wyznaczenia V; należy jeszcze podać odpowied nie warunki brzegowe. Tu pojawia się delikatny problem: Jakie warunki brzegowe są właściwe, to znaczy wystarczające do wyznaczenia rozwiązania, a jednocześnie nie na tyle mocne, aby prowadzić do sprzeczności? W przypadku jednowymiarowym sprawa jest prosta, ponieważ rozwiązanie ogólne V = mx + b zawiera dwie stałe dowolne, możemy więc nałożyć dwa warunki brzegowe. Moglibyśmy na przykład nałożyć ogra niczenie na wartość funkcji na końcach przedziału, na wartość funkcji i jej pochodnej na jednym końcu, na wartość funkcji na jednym końcu i wartość pochodnej na drugim itd. Nie możemy jednak ograniczyć się jedynie do narzucenia warunku tylko na wartość funkcji lub tylko na pochodną na jednym końcu przedziału — taki warunek nie zawiera wystarczającej informacji. Niewłaściwe byłoby też narzucanie warunków' na pochodne na obu końcach przedziału — prowadzi to do dublowania warunku (gdy pochodne są na obu końcach równe) lub do sprzeczności (gdy są różne). W dwóch i trzech wymiarach mamy do rozwiązania równanie różniczkowe cząst kowe i nie jest łatw'o stwierdzić, jakie warunki brzegowe są dopuszczalne. Na przy kład, czy kształt napiętej gumowej membrany jest jednoznacznie określony przez kształt ramki, na której jest rozpięta, czy też istnieje dla niej kilka stabilnych położeń, między którymi może przeskakiwać, jak to jest w przypadku zakrętki do słoika? Odpowiedź brzmi — i mam nadzieję, że jest to zgodne z tym, co podpowiada wam intuicja że funkcja V jest jednoznacznie określona przez wartości na brzegu obszaru (skąd wniosek, że zakrętki do słoików nie spełniają równania Laplace'a). Możliwe jest jednak stoso wanie również i innych warunków brzegowych (patrz zad. 3.4). Dowód faktu, że dany zestaw warunków brzegowych wystarcza do określenia rozwiązania, przybiera zwykle
141
3.1. RÓWNANIE LAPLACE'A
postać twierdzenia o jednoznaczności. W elektrostatyce istnieje wiele twierdzeń tego typu, przy czym wszystkie mają podobną postać. Przedstawię tu dwa najbardziej uży teczne z nich.3 Pierwsze twierdzenie o jednoznaczności: Rozwiązanie równania Laplace'a w pewnym obszarze V jest określone jednoznacznie, jeśli podana jest wartość rozwiązania V na powierzchni S będącej brzegiem obszaru V.
funkcja V poszukiwana J P w tym obszarze
_
funkcja V zadana na tej powierzchni S
M
v
Rys. 3.5
Dowód: Na rysunku 3.5 przedstawiony jest pewien obszar i powierzchnia bę dąca jego brzegiem. (Dopuszczalne jest, aby wewnątrz obszaru występowały „wyspy", o ile V zadane jest również na wszystkich związanych z nimi po wierzchniach; zewnętrzna powierzchnia ograniczająca może również znajdo wać się w nieskończoności, przy czym zakłada się zwykle, że V przybiera tam wartość zero.) Przypuścimy, że istnieją dwa rozwiązania równania Laplace’a: A V, — 0
i
AV2 = 0,
spełniające te same warunki brzegowe na odpowiednich powierzchniach. Chce my pokazać, że rozwiązania muszą być sobie równe. Trik polega na zbadaniu ich różnicy: V3 = V\ - v 2 . Funkcja ta spełnia równanie Laplace’a, AV3 = AVi
AVz = 0 ,
i przybiera wartość zero na granicach obszaru (ponieważ V\ i V2 przybierają tam takie same wartości). Ale równanie Laplace’a nie dopuszcza istnienia lokalnych maksimów ani minimów — ekstrema muszą leżeć na granicy obszaru. Stąd 3Nie mam zamiaru dowodzić tu istnienia rozwiązań — to znacznie trudniejsze zadanie. Istnienie rozwiązań jest na ogół oczywiste ze względów natury fizycznej.
142
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
wynika, że maksimum i minimum V* musi być równe zeru. Zatem V3 musi być równe zeru wszędzie, czyli V\ = V2, co kończy dowód.
Przykład 3.1 Pokazać, że w obszarze całkowicie otoczonym materiałem przewodzącym i pozbawionym ła dunków potencjał jest stały. Rozwiązanie: Potencjał na ściance wnęki jest równy pewnej stałej V0 (wynika to z punktu (iv) w paragrafie 2.5.1), tak więc potencjał wewnątrz wnęki jest funkcją harmoniczną przybiera jącą wartość V0 na brzegu. Nie trzeba być geniuszem, aby wymyślić jedno rozwiązanie tego problemu: V = V0 w całej wnęce. Twierdzenie o jednoznaczności gwarantuje nam, że jest to jedyne rozwiązanie. (Wynika stąd, że natężenie fjola w' pustej wnęce jest równe zeru — ten sam rezultat uzyskaliśmy w paragrafie 2.5.2 w zupełnie inny sposób.)
Twierdzenie o jednoznaczności pozwala nam wykorzystać naszą wyobraźnię. Nie ma znaczenia, w jaki sposób otrzymaliśmy rozwiązanie: jeśli (a) spełnia ono równanie Laplace’a i (b) spełnia warunki brzegowe, to jest to właściwe rozwiązanie. Znaczenie tego argumentu stanie się jasne, gdy przejdziemy do metody obrazów. Nawiasem mówiąc, łatwo jest udoskonalić pierwsze twierdzenie o jednoznaczności: przyjęliśmy, że w rozważanym obszarze nie ma ładunków, przez co potencjał spełniał równanie Laplace’a, nic jednak nie stoi na przeszkodzie, abyśmy dopuścili obecność ładunku (wtedy V spełnia równanie Poissona). Przebieg rozumowania jest analogiczny, z tym że 1 I AV\ = -----p, A tA = ----- p, £0 *o a więc AV3 = AVi - AV2 = - ~ p + - - p = 0 . £0
*0
Znów okazało się, że różnica rozwiązań (V3 = V\ — V2) spełnia równanie Laplace’a i ma wartość zero na brzegu, a więc V3 = 0, zatem V\ = V2. Wniosek: Potencjał w obszarze V jest wyznaczony jednoznacznie, jeśli podana jest (a) gęstość ładunku w tym obszarze i (b) wartość V na brzegach obszaru.
3.1.6. Przewodniki i drugie twierdzenie o jednoznaczości Najprostszym typem warunków brzegowych w elcktrostatycc jest określenie wartości V na wszystkich powierzchniach otaczających rozważany obszar. Zagadnienia tego typu
143
3.1. RÓWNANIE LAPLACE'A
często pojawiają się w praktyce: w laboratorium mamy do czynienia z przewodnikami podłączonymi do baterii, które utrzymują określony potencjał, lub do uziemienia, jak doświadczalnicy nazywają punkt, w którym V = 0. Istnieją jednak sytuacje, w których nie znamy potencjału na brzegu obszaru, ale ładunki na przewodzących powierzchniach. Przypuśćmy, że umieścimy ładunek Q\ na pierwszym przewodniku, Qi na drugim, i tak dalej — nie wiemy, w jaki sposób ładunki te są rozmieszczone na przewodzących po wierzchniach, ponieważ po wprowadzeniu na powierzchnię rozpływają się one w sposób nie podlegający naszej kontroli. Załóżmy dodatkowo, że w obszarze między przewod nikami mamy ładunki objętościowe o gęstości p. Czy przy tych warunkach natężenie pola elektrycznego jest wyznaczone jednoznacznie? A może ładunki mogą rozłożyć się na przewodnikach na wiele sposobów, z których każdy daje inne pole elektryczne? Drugie twierdzenie o jednoznaczności: W obszarze V otoczonym przez prze wodniki i zawierającym ładunki objętościowe o gęstości p pole elektryczne jest określone jednoznacznie, jeśli zadany jest całkowity ładunek na każdym z prze wodników (rys. 3.6). (Obszar może być otoczony innym przewodnikiem, może też być nieograniczony.) powierzchnie całkowania
Rys. 3.6
Dowód: Przypuśćmy, że istnieją dwa pola spełniające warunki zadania. Oba rozwiązania w obszarze między przewodnikami muszą spełniać prawo Gaussa w postaci różniczkowej: V • E| = —p, V • E 2 = —p. to *0 Oba też muszą spełniać prawo Gaussa w postaci całkowej dla powierzchni Gaussa obejmujących każdy z przewodników: d J
i-ta powierzchnia przewodząca
E| • da = — Qiy ćo
J
d
E2 • da — co
<-lupowierzchnia przewodząca
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
144
Podobnie dla zewnętrznej powierzchni ograniczającej obszar (niezależnie od tego, czy jest to powierzchnia przewodnika otaczającego obszar, czy też po wierzchnia w nieskończoności) Ej da = — Gcatk,
zewnętrzna powierzchnia graniczna
1 E 2
• da = — G catk *0
zewnętrzna powierzchnia graniczna
Tak jak poprzednio, badamy różnicę e
3 =
e
, -
e
2,
która w obszarze między przewodnikami spełnia równanie V •E
3
=
(3.7)
0
oraz równanie £ E 3 • da =
(3.8)
0
na każdej powierzchni granicznej. Mamy jeszcze jedną informację do wykorzystania: choć nic wiemy, w jaki sposób ładunek Qj rozkłada się na /-tej powierzchni przewodzącej, to wiemy, że potencjał na każdym przewodniku jest stały, a zatem na każdej powierzchni przewodzącej Vi, przybiera wartość stałą (choć niekoniecznie jest to ta sama stała). Zauważmy, że stała ta nie musi być równa zeru, ponieważ potencjały V\ i V2 mogą być różne — jedyne, co wiemy na pewno, to to, że oba potencjały są stałe na każdym przewodniku. A teraz posłużymy się pewnym trikiem. Ko rzystając z reguły (5) dla różniczkowania iloczynu funkcji (patrz wewnętrzna strona okładki), otrzymujemy, że V
• (V 3E 3) =
V j(V
• E 3) +
E 3 • ( V V 3) =
- ( E j ) 2.
Wykorzystaliśmy tu równanie (3.7) oraz zależność E 3 = —VV3 . Całkując ten wzór po całym obszarze między przewodnikami i stosując twierdzenie o dy wergencji do lewej strony, otrzymujemy:
J
V • (V3 E3 ) dr =
V
j)
V3 E3 -da = -
S
^
(E3 ) 2 dr.
V
Całka powierzchniowa obejmuje wszystkie powierzchnie graniczne w rozważa nym obszarze — zarówno przewodniki, jak i powierzchnię ograniczającą obszar z zewnątrz. Wiemy, że potencjał V3 jest stały na każdej z powierzchni (jeśli zewnętrzna powierzchnia ograniczająca leży w nieskończoności, to mamy tam V3 = 0 ), możemy więc wynieść go przed znak całki, a to, co pozostaje, równe jest zeru na mocy równania (3.8). Tak więc
J V
(E j ) 2 dr =
0
.
14S
3.1. RÓWNANIE LAPLACE'A
Aic funkcja podcałkowa w tej całce jest nieujemna, a zatem całka może zerować się jedynie wtedy, gdy w całym rozważanym ohszarze = 0. Mamy więc Ei = E 2 , co kończy dowód. Nie jest to łatwy dowód i istnieje realne niebezpieczeństwo, żc samo twierdzenie wyda się wam bardziej prawdopodobne niż jego dowód. Jeśli jednak myślicie, że drugie twierdzenie o jednoznaczności jest „oczywiste”, to zastanówcie się nad następującym przykładem z książki Purcella: na rysunku 3.7 przedstawiony jest prosty układ elektro statyczny, złożony z czterech przewodników z ładunkami -hQ rozmieszczonymi w taki sposób, że ładunki dodatnie znajdują się w pobliżu ładunków ujemnych. Układ wygląda na bardzo stabilny. Co się jednak stanie, gdy połączymy przewodniki parami za pomocą cienkich przewodów, jak to pokazano na rys. 3.8? Ponieważ ładunki dodatnie znajdują się bardzo blisko ładunków ujemnych (i lubią tam przebywać), można się spodziewać, że nic się nic stanic — układ w dalszym ciągu wygląda na stabilny.
©
0
0
©
Rys. 3.7
Brzmi to rozsądnie, ale jest to nieprawda. Układ przedstawiony na rys. 3.8 jest niedo zwolony, ponieważ mamy teraz w efekcie tylko dwa przewodniki i całkowity ładunek na każdym z nich jest równy zeru. Jednym z możliwych sposobów rozmieszczenia zerowego ładunku na tych przewodnikach jest sytuacja, kiedy w żadnym miejscu nic ma ładunku, a zatem pole jest wszędzie równe zeru (rys. 3.9). Na mocy drugiego twierdzenia o jed noznaczności jest to jedyne rozwiązanie: ładunek przepłynie przewodami i wyzeruje się.
Rys. 3.9
Zadanie 3.4. Udowodnić, żc natężenie pola elektrycznego wyznaczone jest jednoznacznie, gdy na każdej powierzchni ograniczającej rozważany obszar dana jest gęstość ładunku p oraz
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
146
jedna z dwóch wielkości: V albo pochodna normalna dV/dn. Nie zakładać, żc powierzchnie ograniczające są przewodnikami ani że V jest stałe na którejkolwiek powierzchni. Zadanie 3.5. Bardziej elegancki dowód drugiego twierdzenia o jednoznaczności można uzyskać, posługując się tożsamością Greena (zad. I.60c) i przyjmując w niej T = U = V3. Podać szczegóły tego dowodu.
3.2. Metoda obrazów 3.2.1. Klasyczny przykład zastosowania metody obrazów Przypuśćmy, że ładunek punktowy q umieszczony jest w odległości d od nieskończonej uziemionej przewodzącej płaszczyzny (rys. 3.10). Pytanie: Jaki jest potencjał w obsza rze nad płaszczyzną? Nic może to być tylko (\ /4neo)q /Tl, ponieważ q wyindukuje na powierzchni przewodnika pewien ładunek ujemny; całkowity potencjał jest sumą poten cjału dawanego bezpośrednio przez q i potencjału od ładunku indukowanego. Ale jak można obliczyć ten potencjał, skoro nie wiemy, jak duży jest wyindukowany ładunek i jaki jest jego rozkład?
Rys. 3.10
Z matematycznego punktu widzenia nasze zadanie wymaga rozwiązania równania Poissona w obszarze z. > 0, z pojedynczym ładunkiem punktowym q znajdującym się w (0 , 0 , d), przy następujących warunkach brzegowych: 1. V = 0 dla z — 0 (ponieważ przewodząca płaszczyzna jest uziemiona) oraz 2. V 0 w dużej odległości od ładunku (to znaczy dla .v2 -4- y 2 4 - z2 » d2). Pierwsze twierdzenie o jednoznaczności (a w zasadzie wniosek z tego twierdzenia) gwarantuje nam, że istnieje tylko jedna funkcja spełniająca te warunki. Jeśli taką funkcję zgadniemy lub obliczymy za pomocą jakiegoś triku, to musi to być właściwa odpowiedź. Trik: Zapomnijmy na chwilę o naszym problemie i przeanalizujmy zupełnie inne za gadnienie. Rozważmy układ złożony jedynie z dwóch ładunków punktowych, +q w punk-
147
3.2. METODA OBRAZÓW
Rys. 3.11
cic (0,0, d) i —ą w punkcie (0,0, —d), bez płaszczyzny przewodzącej (rys. 3.11). Dla takiej konfiguracji łatwo jest znaleźć potencjał V ( x ,y 9z)
1
47160
yjx 2 4- y2 4- (z - d)2
________
(3.9)
(Mianowniki odpowiadają odległości między punktem (jt, y, z) a położeniami ładunków -\-q i —ą, odpowiednio.) Wynika stąd, że 1. V = 0 dla z = 0 oraz 2. V -> 0 dla x 2 + y 2 4- z2 » d2, a jedynym ładunkiem w obszarze z > 0 jest ładunek punktowy +q znajdujący się w (0, 0, d). Ale to są przecież dokładnie warunki naszego wyjściowego zadania! Wnio skujemy stąd, że w „górnym” obszarze, z > 0 , potencjał drugiego układu pokrywa się z potencjałem pierwszego układu. (Potencjał w „dolnym” obszarze, z < 0, jest zupełnie inny, ale to nie jest dla nas istotne. Interesuje nas tylko to, co się dzieje w górnym obsza rze.) Wniosek: Potencjał ładunku punktowego nad uziemioną przewodzącą płaszczyzną dany jest równaniem (3.9) przy z > 0. Zwróćmy uwagę na kluczową rolę, jaką w tym rozumowaniu odgrywa twierdzenie o jednoznaczności: bez tego twierdzenia nikt nie uwierzyłby, że jest to dobre rozwią zanie, ponieważ otrzymaliśmy je dla zupełnie innego rozkładu ładunku. Twierdzenie o jednoznaczności pozwala nam zaakceptować to rozwiązanie: jeśli spełnia ono równa nie Poissona w rozważanym obszarze i spełnia zadane warunki brzegowe, to musi być właściwym rozwiązaniem.
3.2.2. Indukowane ładunki powierzchniowe Teraz, gdy znamy już potencjał, łatwo jest obliczyć gęstość powierzchniową o ładunku indukowanego na przewodniku. Zgodnie z równaniem (2.49)
148
3. SPECJALNE METODY ELEKTR05TATYKI
gdzie SV/dn jest pochodną normalną V na powierzchni przewodnika. W naszym przy padku kierunek normalny jest zgodny z kierunkiem osi z, tak więc 3V O = -€()■
:.=0
Uwzględniając równanie (3.9), otrzymujemy dv 3z
1
47160
q(z 4- d) —q(z - d) + [x 2 4- y 2 4- (z —r/ ) 2] 3/ 2 U 2 4- y 2 4 ( z 4 d)213/ 2
zatem o (x , y ) =
(3.10) 2 7 i( jf 2 + v 2 +
ć/
2 ) 3/2
Zgodnie z oczekiwaniem indukowany ładunek jest ujemny (zakładając, że q jest dodat nie), a jego gęstość powierzchniowa osiąga największą wartość dla x = y = 0 . Obliczmy teraz całkowitą wartość ładunku indukowanego Q =
i
o da.
Tę całkę po płaszczyźnie xy można obliczyć we współrzędnych kartezjaiiskich, przyjmu jąc da = d.t dy, ale obliczenia będą trochę łatwiejsze, jeśli posłużymy się współrzędnymi biegunowymi (r. 0), gdzie r 2 = x2 4- y2 i da = r dr d0. Mamy wtedy o(r) —
~ qd 2 jt(r 2 + c / 2 ) 3/ 2
oo
- o/ /o
—ąd w r dr d 0 — 2tt(r2 4- ć/2)3/2 v/72T r f I
oo (3.11)
Jak widać, całkowity ładunek indukowany na płaszczyźnie jest równy - q \ w świetle naszych rozważań o metodzie obrazów łatw'o jest zrozumieć, że właśnie taki wynik musieliśmy otrzymać.
3.2.3. Siła i energia Ładunek q przyciągany jest przez płaszczyznę, ponieważ znajduje się na niej indukowany ładunek ujemny. Obliczmy siłę, jaką jest przyciągany. Ponieważ potencjał w pobliżu q jest taki sam jak w odpowiednim problemie z dwoma ładunkami +q i będzie też pole, a zatem i siła F
47ieo (2d)2
(3.12)
Ostrzeżenie: łatwo jest ulec wrażeniu, że w tych dwóch problemach wszystko jest takie samo. Okazuje się jednak, że energia nie jest taka sama. W przypadku dwóch
149
3.2. METODA OBRAZÓW
ładunków bez płaszczyzny przewodzącej z równania (2.42) otrzymujemy 1
IV = — 4tt6’o 2 d
(3.13)
Jednak dla pojedynczego ładunku nad przewodzącą płaszczyzną energia jest równa po łowie tej wartości: W = -4 tt€o 4z/
(3.14)
Dlaczego akurat połowie? Jeśli przyjmiemy, że energia zgromadzona jest w polu (rów nanie (2.45)): W= J E2 dr,
f
to w pierwszym przypadku wkład daje zarówno górny obszar (z > 0 ), jak i dolny obszar (z < 0), a z symetrii wynika, że te wkłady są równe. Jednak w drugim przypadku pole jest różne od zera jedynie w górnym obszarze, a zatem energia jest o połowę mniejsza. Moglibyśmy oczywiście wyznaczyć energię, obliczając pracę potrzebną na przesu nięcie q z nieskończoności do położenia rozważanego w zadaniu. Siła potrzebna do zrównoważenia siły elektrostatycznej (równanie (3.12)) jest równa (1/4 ti€o)(^2/4 z2)z, tak więc d i i f F dl = —I W J 47Tf() J 4z2 oo oc d ,1 q 2 1 ( oo 47160 46/ 4tt£o V W miarę przesuwania q w stronę przewodnika wykonujemy pracę jedynie nad ładun kiem q. Ładunek indukowany na przewodniku również się przemieszcza, ale ten ruch nie wymaga wykonywania / naszej strony pracy, ponieważ na całym przewodniku potencjał jest równy zeru. Jeśli jednak zbliżamy do siebie dwa ładunki punktowe (bez przewod nika), to musimy wykonać pracę nad oboma z nich, przez co całkowita wykonana praca jest dwukrotnie większa.
3.2.4. Inne zadania związane z metodą obrazów Przedstawiona wyżej metoda ma szersze zastosowanie niż problem pojedynczego ła dunku punktowego: wprowadzając obraz zwierciadlany (stąd nazwa — metoda obra zów), możemy otrzymać potencjał dla dowolnego statycznego rozkładu ładunku w po bliżu uziemionej przewodzącej płaszczyzny. (Ładunki-obrazy muszą mieć przeciwny znak\ to właśnie gwarantuje nam, że potencjał na płaszczyźnie xy będzie równy zeru.) Istnieją też bardziej egzotyczne problemy, które można rozwiązać tą metodą: najciekaw szy z nich przedstawiony jest niżej.
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
150
Przykład 3.2 Ładunek punktowy q znajduje się w odległości a od środka uziemionej przewodzącej kuli o promieniu R (rys. 3.12). Znaleźć potencjał na zewnątrz kuli.
Rys. 3.12 Rozwiązanie: Przeanalizujmy zupełnie inny układ, złożony jedynie z ładunku punktowego q i drugiego ładunku punktowego R q = ----
Rys. 3.13
na prawo od środka kuli (rys. 3.13). (W tym układzie nie ma przewodnika.) Potencjał tego układu wyraża się wzorem 1 (3.17) V(r) = i + n) • 47lCr (\n gdzie IZ i IZ' są odległościami od q i q \ odpowiednio. Okazuje się (patrz zad. 3.7), że ten potencjał znika we wszystkich punktach na kuli, a zatem pasuje do warunków brzegowych naszego wyjściowego problemu dla obszaru na zewnątrz kuli. Wniosek: Równanie (3.17) opisuje potencjał ładunku punktowego umieszczonego w pobliżu przewodzącej kuli. (Zwróćmy uwagę, że b jest mniejsze od R. a więc mamy pewność, iż ładunek obrazowy q' znajduje się wewnątrz kuli. Nie można umieszczać ładunków-ob razów w obszarze, w którym obliczamy V; zmieniłoby to wyjściową wartość p — rozwiązywalibyśmy w ten sposób równanie z niewłaściwym źródłem pola.) W szczególności siła przyciągania między ładunkiem i kulą wyraża się wzorem
3.2. METODA OBRAZÓW
151
1
4ll€0 (tf “ k)2
ą 2R a
4ne0 (a2 —R2)2
(3.18)
Urzekająca jest prostota tego rozwiązania, choć trzeba mieć dużo szczęścia, aby takie rozwią zanie wymyślić. Metoda obrazów jest w równej mierze sztuką, co metodą naukową, ponieważ musimy jakoś wymyślić właściwy ..problem pomocniczy”. Pierwsza osoba, która rozwiązy wała to zadanie tą metodą, nie mogła wiedzieć, jaki ma być ładunek-obraz q' i gdzie ma być umieszczony. Przypuszczalnie osoba ta rozpoczęła od rozważenia dowolnego ładunku w do wolnym punkcie wewnątrz sfery, obliczyła potencjał na sterze i odkryła, że jeśli ą' i b mają odpowiednie wartości, to potencjał na sferze znika. Ale tak naprawdę to cud, że to w ogóle jest możliwe. Na przykład w przypadku przewodzącego sześcianu niemożliwe jest wyzerowanie potencjału na jego powierzchni za pomocą jednego ładunku, niezależnie od tego, jak będziemy dobierać jego wartość i położenie.
Zadanie 3.6. Znaleźć siłę działającą na ładunek +q w układzie przedstawionym na rys. 3.14. Płaszczyzna xy jest uziemionym przewodnikiem.
3d ' +
Rys.
3.14
Zadanie 3.7 (a) Posługując się wzorem cosinusów, pokazać, że równanie (3.17) można zapisać w' na stępującej postaci: V (r,0 ) =
4tt6o
yjr1 + a2 - 2ra cos 0
v/ / ? 2
-f- (ra/R)2 - 2ra cos 0
(3.19)
gdzie r i 0 to odpowiednie współrzędne kuliste, a oś z przebiega przez środek kuli i ładunek q. W tym sformułowaniu oczywiste jest, żc V = 0 dla r = /?, czyli na powierzchni kuli. (b) Znaleźć ładunek powierzchniowy indukowany na kuli jako funkcję kąta 0. Scałkować ten rozkład i obliczyć całkowity ładunek indukowany. (Jaki wynik powinniśmy otrzymać?) (c) Obliczyć energię lej konfiguracji. Zadanie 3.8. W przykładzie 3.2 założyliśmy, że przewodząca kula jest uziemiona (V = 0). Do dając jednak drugi ładunek-obraz, możemy posłużyć się tym samym modelem do rozwiązania zadania z kulą utrzymywaną pod dowolnym potencjałem V0 (oczywiście względem nieskoń czoności). Jakiego ładunku należy użyć i w którym miejscu należy go umieścić? Obliczyć siłę przyciągania między ładunkiem punktowym q a nienatadowaną przewodzącą kulą.
152
3. SPECJALNE METODY ELEKTRO STATYKI
Zadanie 3.9. Nieskończony prostoliniowy drut, naładowany jednorodnie z gęstością linową ż, znajduje się w odległości d nad uziemioną przewodzącą płaszczyzną. (Załóżmy, że drut biegnie równolegle do osi x , bezpośrednio nad nią, a płaszczyzna przewodząca jest płaszczyzną jcy.) (a) Znaleźć potencjał w obszarze nad płaszczyzną. (b) Znaleźć gęstość powierzchniową cr ładunku indukowanego na przewodzącej płasz czyźnie. Zadanie 3.10. Dwie uziemione przewodzące półpłaszczyzny ustawione są pod kątem prostym. Między nimi znajduje się ładunek
x Rys. 3.15
Zadanie 3.11. Dwie długie proste miedziane rury, każda o promieniu R, znajdują się w od ległości 7d od siebie. Na jednej z nich utrzymywany jest potencjał VQy a na drugiej potencjał —Vq (rys. 3.16). Znaleźć potencjał w całej przestrzeni. [Wzkazówka: Skorzystać z wyników zad. 2.47.1
3.3. Metoda separacji (rozdzielania) zmiennych W tym podrozdziale podejmiemy próbę bezpośredniego rozwiązania równania Laplace’a za pomocą metody separacji (rozdzielania) zmiennych, która jest ulubionym sposo bem fizyków na rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych. Metoda ta ma za stosowanie w przypadkach, gdy dany jest potencjał (V) lub powierzchniowa gęstość ładunku (o) na brzegach pewnego obszaru i chcemy wyznaczyć potencjał wewnątrz obszaru. Zasadnicza strategia jest bardzo prosta: szukamy rozwiązań, które są iloczy nami funkcji zależnych jedynie od jednej współrzędnej. Metoda ta jest dość złożona pod względem algebraicznym, dlatego przedstawię ją za pomocą szeregu przykładów. Rozpoczniemy od współrzędnych kartezjańskich, a następnie przejdziemy do współrzęd nych kulistych (współrzędne walcowe pozostawiam jako zadanie dla czytelnika — patrz zad. 3.23).
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
Ib i
3.3.1. Współrzędne kartezjańskie Przykład 3.3 Dwie nieskończone uziemione metalowe płyty umieszczone są równolegle do płaszczyzny xz w taki sposób, że dla jednej z nich y = 0, a dla drugiej y = a (rys. 3.17). Z lewej strony przestrzeń między płytami zamknięta jest w x = 0 nieskończonym paskiem odizolowanym od płyt, na którym utrzymywany jest potencjał Vo(y). Znaleźć potencjał w tej „szczelinie".
Rozwiązanie: Problem nie zależy od z, jest to więc tak naprawdę zagadnienie dwuwymiarowe. Od strony matematycznej nasze zadanie polega więc na rozwiązaniu równania Laplace’a d2V 32V dx2 + By2 przy następujących warunkach brzegowych: (i) (ii) (iii) (iv)
V =0 V= 0 V = V0(y) V 0
dla dla dla dla
(3.20)
y y x x
= 0, = a, = 0, —►oc.
(3.21)
(Ten ostatni warunek nie był wymieniony w treści zadania, ale jest niezbędny ze względów fizycznych: w miarę oddalania się od „gorącego” paska w x = 0 potencjał powinien dążyć do zera.) Potencjał zadany jest na wszystkich powierzchniach będących granicami rozważanego obszaru, a zatem rozwiązanie jest wyznaczone jednoznacznie. Pierwszy krok polega na znalezieniu rozwiązań mających postać iloczynu V (x,y) = X(x)Y(y).
(3.22)
Na pozór może się wydawać, że jest to absurdalne ograniczenie, ponieważ przeważająca więk szość rozwiązań równania Laplace’a nie ma takiej postaci. Na przykład funkcja V(x%y) = (5* + by) jest rozwiązaniem równania (3.20), ale nie można jej przedstawić jako funkcji od a pomnożonej przez funkcję od y. Oczywiste jest, że w ten sposób utrzymamy jedynie niewielki podzbiór wszystkich możliwych rozwiązań; byłoby też niezwykłym zbiegiem oko liczności, gdyby któreś z tych rozwiązań spełniało warunki brzegowe naszego zadania. Choć
1S4
3. SPEGALNE METODY tLfcKTROSIAIYKI
uzyskane w ten sposób rozwiązania mają bardzo szczególną postać, to łącząc je ze sobą, mo żemy konstruować rozwiązania bardziej ogólne. Wstawiając zatem (3.22) do równania (3.20), otrzymujemy d2X d2Y + X = 0. d^" d^2 Następnym krokiem jest separacja zmiennych (polega ona na zebraniu wyrazów zależnych jedynie od x po jednej stronie, a wyrazów zależnych od y po drugiej). Można to osiągnąć, dzieląc równanie przez V: 1 d2X I d2Y (3.23) X~dxI + Y dy7 Wr równaniu tym pierwszy człon zależy jedynie od x , a drugi jedynie od y; inaczej mówiąc, otrzymaliśmy równanie postaci /(r) + * (y )= 0 . (3.24) Y
Równość taka może zachodzić tylko wtedy, gdy / i # są funkcjami stałymi. Gdyby bowiem funkcja f(x ) zmieniała się, gdy zmieniamy x przy ustalonym y, to zmieniałaby się również suma f(x ) -b £(*), co przeczyłoby równaniu (3.4), zgodnie z którym ta suma jest zawsze równa zeru. (To prosty, ale niekoniecznie łatwy do przyswojenia argument; należy go dobrze przemyśleć, ponieważ na nim opiera się cała metoda.) Z równania (3.23) wynika zatem, że 1 d 2X _ I d 2Y _ gdzie C | + C 2 = 0 . (3.25) X d7 — ' 1 Y d f ~ Stałe C| i C2 muszą mieć przeciwne znaki lub obie przybierać wartość zero. W ogólnym przypadku należy zbadać wszystkie możliwości; jednak w naszym przypadku — z powodów, które za chwilę zostaną wyjaśnione — potrzebne jest jedynie rozwiązanie, dla którego C\ jest dodatnie, a C2 ujemne. Tak więc
d2Y = k2X, —k2Y. (3.26) dx2 dy2 W ten sposób równanie różniczkowe cząstkowe (3.20) zostało zredukowane do dwóch rów nań różniczkowych zwyczajnych (3.26). Korzyść z tego jest oczywista — równania zwyczajne znacznie łatwiej jest rozwiązać. Istotnie: X(x) = AekA + Bt~kx,
T(y) = Csinfcy + Dcosky.
a zatem V(x, y) = (Ackx -b Bc~kx)(C sin&y -b Dcosky).
(3.27)
To jest właśnie szukane przez nas separowalne rozwiązanie równania Laplace’a. Pozostaje nam jedynie narzucić warunki brzegowe i zobaczyć, jakie ograniczenia nakładają one na stałe. Zacznijmy od końca, to znaczy od warunku (iv). który wymaga, aby stała A była równa zeru.4 Włączając B do C i D, otrzymujemy V(x, y) = e~kx(C sin ky -b D cos ky). Warunek (i) wymaga, aby D było równe zeru, tak więc V(*♦ y) = Ce~kx sin ky.
(3.28)
4Z a k ła d a m y , ż e k je s t d o d a tn ie , ale n ie z m n ie js z a to o g ó ln o śc i r o z w ią z a n ia — u je m n e k d a je to sa m o ro z w ią z a n ie (3 .2 7 ) z d o k ła d n o ś c ią d o p rz e d e fin io w a n ia sta ły c h ( A B , C —► —C ) . W n iek tó ry ch z a g a d n ie n ia c h (ale n ic w ty m z a d a n iu ) n a le ż y u w z g lę d n ić ró w n ie ż p rz y p a d e k k = 0 (p a trz zad . 3 .4 7 ).
1 SS
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
Z drugiej strony, warunek (ii) prowadzi do równania sinfca = 0, skąd wynika, ze k=— (« = 1 ,2 ,3 ,...). (3.29) a (W tym momencie widać, dlaczego wybraliśmy dodatnie C\ i ujemne C2: gdyby funkcja X miała przebieg sinusoidalny, to nigdy nie udałoby się spowodować, aby dążyła do zera w nie skończoności, a gdyby funkcja Y miała przebieg eksponencjalny, to nie mogłaby znikać zarówno w 0, jak i w a. Nawiasem mówiąc, przypadek n = 0 jest trywialny, ponieważ wtedy potencjał wszędzie znika. Ujemne wartości n odrzuciliśmy już wcześniej.) To wszystko, co możemy osiągnąć za pomocą rozwiązań separowałnych, jeśli więc V0(y) nie ma przez przypadek postaci sin(/nty/a) z całkowitym n, to po prostu nie możemy speł nić warunku brzegowego dla x = 0. Teraz jednak następuje kluczowy krok, który decyduje o znaczeniu całej metody: separacja zmiennych dała nam nieskończony zbiór rozwiązań (po jednym dla każdego n). Choć więc każde z nich z osobna nic spełnia ostatecznego warunku brzegowego, to możliwe jest jednak spełnienie tego warunku za pomocą pewnej kombinacji rozwiązań. Równanie Laplace’a jest liniowe w tym sensie, że jeśli V,, V2, V3, ... są jego roz wiązaniami, to rozwiązaniem jest też liniowa kombinacja V = a, V, -\-a2V2+ or3 V3 + . . gdzie <*|, a2*... są dowolnymi stałymi, albowiem AV = a lAVl + a2AV2 + ... = Oor, + 0a 2 + ... = (). Korzystając z tej własności, możemy skonstruować z rozwiązań separowalnych postaci (3.28) znacznie bardziej ogólne rozwiązanie: 30 V(x, y) Cnz 'n™ia sin(;iTTy/a). (3.30) n= \
Funkcja ta oczywiście spełnia pierwsze trzy warunki brzegowe; powstaje pytanie, czy dobierając odpowiednio współczynniki C„, możemy spełnić ostatni warunek brzegowy? V(0, >■) = Y C" sin^ny/a) = Vo(y). (3.31) M-l Być może zetknęliście się już z taką sumą — jest to szczególna postać szeregu Fouriera. Twierdzenie Dirichlcta5 gwarantuje nam, że praktycznie każdą funkcję V0 (y) można przedstawić w postaci takiego szeregu (może mieć nawet skończoną liczbę nieciągłości). Jak jednak można wyznaczyć współczynniki C„, skoro są one uwikłane w tej nieskończonej sumie? Sposób na to jest tak piękny, że zasługuje na osobną nazwę — będziemy nazywać go trikiem Fouriera, choć wydaje się, że ten sam pomysł zastosował przed nim Euler. A oto, co należy zrobić: mnożymy równanie (3.31) przez sin(w#7ty/a) (gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą) i całkujemy od 0 do a: sin(miy/a) s'm{rćny/a)ćy Całka po lewej stronie ma wartość: a j sint/nry/a) $\r\(riny f a) dy = o
l
V0(y) sin (nny/a) dy.
0
-
2
dla n' n, dla n' = n.
(3.32)
(3.33)
5Boas M., Mathematical Methods in the Physical Sciences, wyd. 2, John Wiley, New York 1983.
156
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
(szczegóły obliczenia pozostawiam czytelnikowi). Wynika stąd. że w sumie (3.32) różny od zera jest tylko człon odpowiadający n — n i lewa strona równania redukuje się do (a/2)C„-. Wniosek6: a Cn = -
J
Vo(y) s\n(miy/a) dy.
(3.34)
o To kończy nasze obliczenia: rozwiązanie dane jest wzorem (3.30), ze współczynnikami określo nymi wzorem (3.34). Jako konkretny przykład rozważmy zagadnienie, w którym pasek w x = 0 jest metalową płytą, na której utrzymywany jest stały potencjał V0 (jak pamiętamy, pasek ten jest odizolowany od płyt w y = 0 i y = a9 które są uziemione). Dostajemy wtedy Cn
2V Ó
a
i
sin(nny/a) dy
2Vo (1 n 7t
COS
fl
T l) =
0
dla n parzystych,
4Vo tlK
dla ti nieparzystych.
(3.35)
0,8
0.6
V/Vo
0,4 0,2 0
x/a Rys. 3.18
Otrzymaliśmy zatem 4 Vo V(A-,y)_— V TT
1 - c - ^ s i n (nny/a).
(3.36)
“ fl n = 1 . 3 . 5 ..
Rysunek 3.18 przedstawia wykres tego potencjału; na rys. 3.19 pokazane jest, jak przez do dawanie kolejnych wyrazów w szeregu otrzymujemy coraz lepsze przybliżenie dla stałej V0: (a) to jedynie człon n = 1, (b) zawiera człony z n do 5 włącznie, (c) jest sumą pierwszych 10 członów, a (d) jest sumą pierwszych 100 członów. Okazuje się, że sumę szeregu danego wzorem (3.36) można znaleźć w jawnej postaci (zachęcam do prób); wynik jest następujący: 2V0
V ( x , y) = — arctg TT
( sin(Tty la) \
—
— T -
\S in h (T T A 7 « )
)
•
('7.c w z g lę d ó w estety czn y ch o d rz u c iłe m zn ak i p rim ; ró w n a n ie (3 34) zach o d z i d la i n ic m a o c z y w iś c ie z n a c z e n ia , j a k ą lite rą o z n a c z a m y w sk a ź n ik .
(3.37) n=
1 ,2 ,3 .
..
157
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
1,2 0,8
v ' vo
0,6
0,4
0,2 0,2
0
0.4
0.6
0.8
Rys. 3.19
Łatwo się przekonać, że funkcja tej postaci spełnia równanie Laplace’a i cztery warunki brze gowe (3.21).
Skuteczność przedstawionej wyżej metody opiera się na dwóch wyjątkowych wła ściwościach rozwiązań separowalnych (3.28): zupełności i ortogonalności. O zbiorze funkcji f n(y) mówimy, że jest zupełny, jeśli dowolną funkcję f ( y ) można przedstawić jako kombinację liniową tych funkcji: (3.38) Układ funkcji sin(/i7tv/n) jest zupełny na przedziale 0 < y < a. Dzięki tej własności, wynikającej z twierdzenia Dirichleta, mieliśmy pewność, żc przez odpowiedni dobór współczynników Cn uda nam się spełnić równanie (3.31). (Dowód zupełności danego układu funkcji jest zwykle bardzo trudny; obawiam się, że fizycy po prostu zakładają, że jest to prawda, a sprawdzenie tego faktu pozostawiają innym.) Układ funkcji jest ortogonalny, jeśli całka z iloczynu dwóch różnych funkcji jest równa zeru: a (3.39) o Funkcje sin(7ntv/tf) są ortogonalne (równanie (3.33)); na tej własności oparty jest trik Fouriera, pozwalający nam na pozbycie się wszystkich wyrazów nieskończonej sumy z wyjątkiem jednego i obliczenie w ten sposób współczynników C„. (Dowód ortogo nalności jest na ogół dość prosty; można go przeprowadzić metodą bezpośredniego całkowania lub przez analizę równania różniczkowego spełnianego przez układ funk cji.)
158
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
Przykład 3.4 Dwie nieskończenie długie metalowe płyty, umieszczone w y = 0 i y = a, połączone są w x = ±b metalowymi paskami, na których utrzymywany jest stały potencjał Vlh jak to przedstawiono na rys. 3.20 (płyty są odizolowane od pasków cienką warstwą izolacji na każdej krawędzi). Znaleźć potencjał w powstałej w ten sposób rurze o przekroju prostokątnym.
Rys. 3.20
Rozwiązanie: Również i ten układ nie zależy od z. Zadanie sprowadza się zatem do znalezienia rozwiązania równania Laplace*a S2V d2V _ dx2 dy2 spełniającego następujące warunki brzegowe: V =0 dla y = 0 , V =0 dla y = a. V = K> dla x = by V = Ko dla .v = — Szukając rozwiązania, postępujemy w analogiczny sposób jak w poprzednim przykładzie, aż do równania (3.27): V(x, y) = (Ae*v + Be~kx)(Csmky + D cos ky). (i) (ii) (iii) (iv)
Tym razem jednak nie możemy założyć A = 0; rozważany obszar nie rozciąga się do x = oo, tak więc nie ma podstaw do odrzucenia rozwiązań postaci e*A. Z drugiej strony, zagadnienie jest symetryczne ze względu na x, musimy więc mieć V(—x, y) = V(x, v), skąd wnioskujemy, że A = B. Korzystając ze wzoru e*A e-*A _ 2 _j_
i włączając stałą 2A do C i D, otrzymujemy V (x , y) = cosh kx (C sin ky + D cos ky). Warunki brzegowe (i) i (ii) wymagają, tak jak poprzednio, aby D = 0 i k = mi/ci, tak więc V(x, y) = C cosh(w7u:/tf) sin(rmy/a).
(3.41)
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
1 59
Ponieważ V(xy>’) jest parzyste w x, zatem warunek (iv) będzie spełniony automatycznie, gdy tylko spełniony będzie warunek (iii). Pozostaje nam wobec tego skonstruowanie ogólnej kom binacji liniowej V(*,y) =
Cncosh(nnx/a) sin(nny/a) n- 1 i takie dobranie współczynników C„, aby spełniony był warunek (iii): no
V(b< y) = Y ] C„ cosh(nnb/a) sin(miy/a) = Vo. rr=l
Jest to dokładnie ten sam problem z analizy fourierowskiej, z którym zetknęliśmy się poprzed nio, możemy więc przepisać wynik z równania (3.35): dla n parzystych,
f°
C„cosh(mzb/a) = \ 4V0 l /iir
dla n nieparzystych.
Rys. 3.21
Wniosek: Potencjał dla tego problemu ma postać i//
x
4V0 ^ 1 COSh(HJT*/tf) > -------------— — — sin i n n y / c i ) . ti „_7 7 < n c o s n ( m ib /a )
V ( j f , > ) = ------
(3.42)
Wykres tej funkcji przedstawiony jest na rys. 3.21.
Przykład 3.5 Dana jest rura o przekroju w kształcie prostokąta o bokach a i b, rozciągająca się od x = 0 do nieskończoności. Boczne ścianki rury są metalowe. Powierzchnia boczna rury jest uziemiona, a na ściance w x = 0 zamykającej rurę utrzymywany jest potencjał V0 (y, Z) (rys. 3.22). Znaleźć potencjał wewnątrz rury Rozwiązanie: Szukany potencjał w istotny sposób zależy od trzech współrzędnych, mamy więc d 2v
a2v
a2v
160
3. SPECJALNE METODY ELEKTRO STATYKI
i następujące warunki brzegowe: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)
V= 0 V=0 V=0 V= 0 V -» 0 V = Vo(y,z)
dla y = 0 , dla y = a, dla z = 0 , dla z = b. gdy x —> oo. dla x = 0 .
(3.44)
Tak jak poprzednio szukamy najpierw rozwiązań separowalnych V(x, y ' Z ) = X(x)Y(y)Z(z).
(3.45)
Wstawiając tę postać do równania (3.43) i dzieląc przez V, otrzymujemy 1 d2X 1 d2y 1 d2Z X dr 7 + Y dv7 + Z d7 7 Wynika stąd, iż 1 d2X ~Z~T~Z — X dx2
1d2Y 1d2Z vT~ 2 ~ ^ 2’ 7 T T " ^ > Y dy2 Z dz2
gdzie C, + C2 + C3 —0.
Doświadczenie podpowiada nam (przykł. 3.3), że Ci musi być dodatnie, a G i G ujemne. Kładąc C2 = —k2 i C3 = —l2, otrzymujemy C| = k2 + 12, co prowadzi do (3.46) Separując zmienne, znów sprowadziliśmy równanie różniczkowe cząstkowe do układu rów nań różniczkowych zwyczajnych. Rozwiązania mają postać XU) = A e ' ^ > + Y (y) = C sin ky 4- D cos ky, Z(z) = E sin Iz + Fcos/z. Warunek brzegowy (v) wymaga, aby A = 0, warunek (i) wymaga, aby D = 0, a warunek (iii) wymaga, by F = 0, natomiast do spełnienia warunków (ii) i (iv) konieczne jest, aby k = rni/a i / = mn/h, gdzie n i m to dodatnie liczby całkowite. Łącząc pozostałe stałe, otrzymujemy V( a\
v\z) = Ce-7t/>/("/fl)2+(m/fr)2jf s\n(nny/a) s\n(mnz/b).
(3.47)
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
161
Rozwiązanie to spełnia wszystkie warunki brzegowe z wyjątkiem (vi). Występują w nim dwa parametry, n i m, będące liczbami naturalnymi, które mogą mieć dowolną wartość. Naj bardziej ogólna kombinacja liniowa jest zatem podwójną sumą: oo oc _______ V(x, V , = C„.me sin(/niy/«) sin(mnz/*). (3.48) n=1 m=l
Oczekujemy, że uda nam się spełnić ostatni warunek brzegowy PC PO V (0, y, z) = sin(n7t>*/a) sin(m:n:r/fc) = V0 (y» ") (3.49) «— i w=i przez odpowiedni dobór współczynników Cn>m. Aby wyznaczyć te współczynniki, mnożymy równanie (3.49) przez $\i\(riTty/a) smim'nz/b), gdzie n i tri są dowolnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, a następnie całkujemy: u ł/* > PO 00 /* / s*n('I7ty/^) sin(«'’ny/a) dy / sin(/w7iz/ft) sin(m'rtz/ib) dz "=1 o " o « /> = Vo(y, z)sin(w'7iy/^) sin(m'iTz/fc)dydz. o o Lewa strona przybiera wartość (a&/4)CV.mr (patrz równanie (3.33)), tak więc
Ij
V0 (y, z)sin(/t7iy/«) sin(w7tz/Z?) dvdr.
(3.50)
Rozwiązaniem naszego problemu jest ostatecznie funkcja dana wzorem (3.48), ze współczyn nikami danymi wzorem (3.50). Jeśli na przykład ścianka zamykająca rurę na jednym końcu jest przewodnikiem, na którym utrzymywany jest (stały) potencjał V0, to a h 4\/0 f f Cnm = — / sin(wny/«)dy I sin(mnz/b)óz O dla n lub m parzystych, 16V0 , ——■ dla n lub m nieparzystych. 71“ Potencjał w rurze wyraża się wtedy wzorem 1ó V ^ j i— V(x, v, z) = — — e sin(«7iv/«) sin(mnz/b).
Y
(3.51)
(3.52)
„ . „ f i t s ...nm
Zwróćmy uwagę, że wyższe człony w sumie szybko maleją; zatrzymując tylko kilka pierwszych członów, otrzymalibyśmy zupełnie rozsądne przybliżenie.
Zadanie 3.12. Znaleźć potencjał w nieskończonej szczelinie z przykładu 3.3, jeśli ścianka w x = 0 składa się z dwóch metalowych pasków: na jednym, ciągnącym się od y = O do
3. SPECALNE METODY ELEKTROSTATYKI
162
V = aj 2, utrzymywany jest stały potencjał V0* a na drugim, ciągnącym się od y = a /2 do y = a, utrzymywany jest potencjał — Vo. Zadanie 3.13. Dla nieskończonej szczeliny rozważanej w przykładzie 3.3 wyznaczyć po wierzchniową gęstość ładunku a(y) na ściance w x = 0 , zakładając, że jest ona przewodnikiem i potencjał na niej wynosi V0.
Zadanie 3.14. W nieskończonej rurze (rozciągającej się od —oc do +oo) o przekroju prostokąt nym, umieszczonej równolegle do osi z, trzy ścianki wykonane są z metalu: ścianka określona równaniem y = 0, ścianka y = a i ścianka x — 0. Ścianki te są uziemione. Na czwartej ściance, o równaniu .r = />, utrzymywany jest potencjał l/0 (;y). (a) Wyprowadzić ogólny wzór na potencjał wewnątrz rury. (b) Znaleźć potencjał w jawnej postaci dla przypadku stałego potencjału na czwartej ściance: V0 (y) = V0.
Rys. 3.23
Zadanie 3.15. Pudełko w kształcie sześcianu o boku a zbudowane jest z pięciu zcspawanych metalowych płyt; płyty te są uziemione (rys. 3.23). Górna ścianka pudełka również jest me talowa, ale jest odizolowana od pozostałych ścianek: utrzymywany jest na niej stały potencjał Vq. Znaleźć potencjał wewnątrz pudełka.
3.3.2. Współrzędne kuliste W rozważanych do tej pory przykładach wygodnie było posługiwać się współrzędnymi kartezjańskimi, ponieważ granice obszarów były płaszczyznami. Dla przedmiotów za okrąglonych bardziej naturalne są współrzędne kuliste. Równanie Laplace’a we współ rzędnych kulistych ma postać 1 3 ( 7d V \
1 3 / . r 2 sin 9 39
3V \
_ J ___d*V_
(3.53) = 0. r 2 sin2# d(p2 Załóżmy, że rozważane zagadnienie ma symetrię osiową, tak że V nie zależy od 0 ;7 w tym przypadku równanie (3.53) redukuje się do dr
V
Sr
J
sin 0 30 \
+
30
J = 0.
(3.54)
'Ogólny przypadek z potencjałami zależnymi od
163
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
Tak jak w poprzednich przykładach szukamy rozwiązań mających postać iloczynu:
V (r,0 ) = J ? (r)0 (0 ).
(3.55)
Wstawiając funkcję tej postaci do równania (3.54) i dzieląc przez V, otrzymujemy 1 d / 2 d /f \ 1 d / d© \ ------r2— + — :-----------( sin 6 — = 0 R dr \ dr / 0 s in 0 d 0 \ df) )
(3.56)
Ponieważ pierwszy człon zależy jedynie od r, a drugi jedynie od 0, więc każdy z nich z osobna musi być stały:
Iii ( R dr V dr /
= /(/+ !),
1 d / d@ \ ------------ ( sin 6 — ) 0 sin 0 d0 \ d9 )
-/(/+ !).
(3.57)
Czynnik /(/ + 1 ) w tym równaniu pojawia się jedynie na skutek nietypowego oznaczenia stałej wynikającej z separacji zmiennych. Za chwilę stanie się jasne, dlaczego len zapis jest wygodny. Podobnie jak w poprzednich przypadkach separacja zmiennych sprowadziła równa nie różniczkowe cząstkowe (3.5/1) do równań różniczkowych zwyczajnych (3.57). Łatwo jest sprawdzić, że ogólne rozwiązanie równania względem zmiennej radialnej (3.58)
= / ( / + 1)* , ma postać
(3.59)
/?(r) = Ar1 +
Zgodnie z oczekiwaniem rozwiązanie to zawiera dwie stałe dowolne, A i B. Jednak równanie względem zmiennej 9 = - / ( / + l)s in 0
0
(3.60)
jest bardziej złożone. Rozwiązaniem tego równania są wielomiany Legendre’a wzglę dem zmiennej cos 0 :
0 ( 0 ) = P /(cos0).
(3.61)
Wielomiany Pi(x) najlepiej jest zdefiniować za pomocą wzoru Rodriguesa:
Pl(x) = ł ń . Kilka pierwszych wielomianów Legendre’a wypisanych jest w tabeli 3.1.
(3.62)
164
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
Tabela 3.1 Wielomiany Legendre’a —
1
= P2(X) = P ń -0 = P4( x ) =
X
p bU) P \ CO
1
O*
(3.v2 - D /2 (5*3 - 3jc)/2 (35-t4 - 30jc2 + 3)/8 P s ( x ) = (63.t5 + 15jc)/8
Zwróćmy uwagę, że Pi(x) — zgodnie z nazwą — jest wielomianem rzędu / względem zmiennej x\ wielomiany o parzystym / zawierają jedynie parzyste potęgi x , a wielomiany z nieparzystym / jedynie nieparzyste potęgi x. Współczynnik (1 /2 7/ !) został wprowa dzony po to, by P/(1)=l.
(3 .6 3 )
Wzór Rodrigucsa jest oczywiście słuszny jedynie dla nieujemnych całkowitych war tości /. W dodatku daje nam tylko jedno rozwiązanie. Ale równanie (3.60) jest równaniem drugiego rzędu i powinno mieć dwa niezależne rozwiązania dla każdej wartości /. Oka zuje się, że te „inne rozwiązania” mają osobliwość dla 0 = 0 i/lub dla 9 = n i są zwykle odrzucane ze względów fizycznych.8 Na przykład drugie rozwiązanie dla / = 0 ma postać ©(«) = l n ( t g “ ) .
(3-64)
Zachęcam czytelników do samodzielnego sprawdzenia, że rozwiązanie to spełnia rów nanie (3.60). Dochodzimy zatem do wniosku, że w zagadnieniach z symetrią osiową najogól niejsze separowalne rozwiązanie równania Laplace'a, zgodne z pewnymi minimalnymi ograniczeniami natury fizycznej, ma postać
V(r,6) = ^Ar' + — ^ P/(cos6>). (Nie ma potrzeby uwzględniania dowolnej stałej mnożącej wielomiany Legendre’a, po nieważ można ją włączyć w definicję stałych A i B.) Tak jak poprzednio, separacja zmiennych daje nieskończony zbiór rozwiązań, po jednym dla każdego /. Rozwiązanie ogólne jest liniową kombinacją rozwiązań separowałnych:
V(r.0) =
P /(C O S $ ).
(3.65)
Podajemy niżej kilka przykładów ilustrujących możliwości, jakie daje ten ważny wzór. 8W rzadkich przypadkach, gdy z jakiegoś powodu rozważany obszar nic zawiera osi z, konieczne może być uwzględnienie również tych „innych rozwiązań”.
165
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
Przykład 3.6 Na powierzchni powłoki kulistej o promieniu R utrzymywany jest potencjał potencjał wewnątrz powłoki.
Znaleźć
Rozwiązanie: W tym zagadnieniu B, = 0 dla wszystkich I — inaczej potencjał miałby osobli wość w środku kuli. Zatem oo V(r, 0) = Y^A/r'P, (cosfl). (3.66) /=n Dla r = R funkcja ta musi przybierać zadaną wartość Vo(0): 00 V(R.0) = = Vo(0). (3.67) /=0 Czy można spełnić to równanie, dobierając odpowiednio współczynniki A,? Tak: Wielomiany Legendre’a (tak jak sinusy) tworzą zupełny układ funkcji na odcinku —1 <_ x < 1 (O < O < u). W jaki sposób można wyznaczyć te współczynniki? Również i w tym przypadku można posłużyć się trikiem Fouriera, ponieważ wielomiany Legendre’a (tak jak sinusy) są funkcjami ortogonalnymi:9 i n
J
-I
P,(x)P, (x)dx =
J
P<(cos Q)Pr (cos 6) sin# d#
O dla /' # /, 2 /+ 1
dla I' = l.
(3.68)
Mnożąc równanie (3.67) przez P,(cos0) sin0 i całkując, otrzymujemy A‘ R1 21' -ł-1 = J Vq(0)Pi'(cos0) sin0 d0
o lub 21 + 1 f A t - — — / V0(O) Pt(cos 0) sin0 d0. (3.69) o Szukane przez, nas rozwiązanie dane jest wzorem (3.66) zc współczynnikami określonymi wzorem (3.69). Analityczne obliczenie całek ze wzoru (3.69) może być trudne. W praktyce często łatwiej jest po prostu zgadnąć10 rozwiązanie równania (3.67). Przypuśćmy na przykład, że potencjał na sferze jest dany wzorem 14(0) = *: sin2 (0/2), (3.70) 9M. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, wyd. 2, John Wiley, New York 1983, podrozdz. 12.7. l0Jest tak w zwłaszcza wtedy, gdy Vu(0) można przedstawić jako wielomian względem cos0. Stopień wielomianu określa największą wartość /, jaka pojawi się w obliczeniach, a współczynnik przy najwyższej potędze określa odpowiednie A/. Odejmując A/ Rl Pi(cos 0) i powtarzając systematycznie tę procedurę, schodzimy do A0. Zauważmy, że gdy Vb jest parzystą funkcją cos0, wówczas w sumie pojawią się tylko parzyste człony (podobnie jest dla funkcji nieparzystych).
3. SPECJALNE METODY ELEKTRO STATYKI
166
gdzie k jest pewną stałą. Korzystając ze wzoru na sinus kąta połówkowego, możemy tę zależność zapisać jako ^ ^ Vo(0) = - (1 - cos0) = -[P„(cos0) - P, (cos 0)]. Wstawiając tę postać do równania (3.67), możemy natychmiast stwierdzić, że A0 = k /2, A\ = k/(2R)y a pozostałe współczynniki A/ są równe zeru. Otrzymujemy zatem V(r,6) = ^ |V°/>o(cos0) - — P,(cos8) = ^
~ ^ cos(9) •
0 -7«)
Przykład 3.7 Na powierzchni kuli o promieniu R zadany jest potencjał V0(6), podobnie jak w poprzednim problemie. Znaleźć potencjał na zewnątrz, kuli, zakładając, że nie ma tam ładunków. Rozwiązanie: W tym przypadku muszą zerować się współczynniki A, (inaczej V nie mógłby dążyć do zera w oc), tak więc » D V(r.<9) = £ - j Z / > ( c o s 0 ) . 1=0
(3.72)
r
Żądamy, aby na powierzchni kuli V(R,0) =
J
; P,(cos0) = Vo(0).
i=o
Mnożąc to równanie przez P, (cos0) sin0 i całkując, otrzymujemy (dzięki relacji ortogonalności (3.68)) a = / v/o ^ ) ^ ( cos0) sin0d(? O lub 2 /4 - 1
R, = —
/
R,+' / V,o(0)P/(cos0) sin0 d0. o
(3.73)
Rozwiązanie dane jest więc wzorem (3.72) ze współczynnikami danymi wzorem (3.73).
Przykład 3.8 Nienaładowaną metalową kulę o promieniu R umieszczono w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E = E0t. [Pole elektryczne spowoduje przemieszczenie się dodat niego ładunku na „północną” część kuli, pozostawiając na „południowej” części ładunek ujemny (rys. 3.24). Pod wpływem ładunku indukowanego pole w pobliżu kuli ulegnie zmianie.] Znaleźć potencjał na zewnątrz kuli.
3.3. METODA SEPARACJI (ROZDZIELANIA) ZMIENNYCH
167
Rys. 3.24 Rozwiązanie: W kuli potencjał jest stały i możemy przyjąć, że jest równy zeru. Wtedy z syme trii wynika, że potencjał musi zerować się na całej płaszczyźnie xy. W tym przypadku jednak V nie dąży do zera dla dużych z. W dużej odległości od kuli pole ma postać £0ż, a zatem V
~E oZ + C.
Ponieważ na płaszczyźnie xy mamy V = 0, więc stała C musi być równa zeru. Warunki brzegowe dla tego problemu mają zatem następującą postać: (i) V = 0 , gdy r = RA (ii) V —Eorcos0 dla r R. I Szukamy funkcji postaci (3.65), spełniającej te warunki. Pierwszy warunek daje
n 14)
A}R‘ + — = 0 R! V\ lub B, = -A ,R 2l+\
(3.75)
a zatem V(r.O) = £ A, (r 1- — ) P,(cos8). /=o v r / Dla r > R drugi człon w nawiasie jest pomijalny, tak więc warunek (ii) wymaga, aby 00
Axrl Pt(cos 0) = —E0r cos0. /-O Warunek ten można spełnić tylko wtedy, gdy w sumie występuje tylko jeden człon: / — 1. Ponieważ P,(cos0) = cos0, otrzymujemy natychmiast A, = —E0t
pozostałe A, równe zeru.
Wniosek: V(rA>) = - E 0 ^r - — ) costf.
(3.76)
168
3. SPECJALNE METODY ELEKTRO STATYKI
Pierwszy człon w rozwiązaniu (—EorcosO) pochodzi od pola zewnętrznego; wkład od ładunku indukowanego ma więc postać Ry E0— costf. Łatwo jest otrzymać z tego wzoru gęstość powierzchniową ładunku indukowanego: ÓV ( R*\
Przykład 3.9 Na powierzchni kulistej powłoki o promieniu R umieszczono ładunek powierzchniowy o gę stości powierzchniowej ao(0). Znaleźć potencjał, jaki ten rozkład ładunku wytworzy wewnątrz i na zewnątrz powłoki. Rozwiązanie: Zadanie to można oczywiście rozwiązać przez bezpośrednie całkowanie: 1 f (T0 V = ----- / - da,
4tt^o J R
często jednak łatwiej jest otrzymać rozwiązanie metodą separacji zmiennych. Dla wnętrza kuli mamy V(r.6) = A,/■'/>,(cos0) (r < R)(3.78) 1=0
(nic uwzględniamy członów z Bt, gdyż prowadziłoby to do osobliwości w środku kuli); na zewnątrz kuli mamy D V(r,0) = Y ' ~ (r > R ) (3.79) i ^ e/P+1, ( c ^ 0 ) /=o ' (nie uwzględniamy członów z Ah gdyż nic dążą one w nieskończoności do zera). Funkcje te są powiązane warunkiem brzegowym na powierzchni kuli. Po pierwsze, potencjał musi być ciągły w r = R (równanie (2.34)): oc
OO
n
£ A,/?'/>,(COS0) = I ] — 7 />,(cos0). 1=0 1=0 **
(3.80)
Porównując współczynniki przy wielomianach Legendre'a tego samego rzędu, otrzymujemy: 081)
B, = A,R27+1.
(Aby udowodnić to w sposób formalny, należy pomnożyć obie strony równania (3.80) przez Pi (cos (?) sin 0 i scałkować od 0 do 71, posługując się relacją ortogonalności (3.68).) Po drugie, pochodna V w kierunku radialnym ma na powierzchni kuli nieciągłość (równanie (2.36)): dr
_ d Kvcw\ dr ) r=R
—-a 0(0). Go
(3.82)
3 .3 . M E T O D A S E P A R A Ć I (R O Z D Z IE L A N IA ) Z M IE N N Y C H
169
Zatem
B, - TZ— (/ l + l) — " / A , ( c o s 0 ) = ---/?' +2P,(cosfl) - ZY — £na0(0) /= ()/ /=0 lub inaczej, korzystając z równania (3.81), y^(2/ + DA,/?' 'P,(cosć») = -
2*0/?
f a0(9)P,(cos9)sin9 d9.
Jn
(3.83)
(3.84)
Rozwiązanie naszego problemu ma postać daną wzorami (3.78) i (3.79), ze współczynnikami danymi wzorami (3.81) i (3.84). Przypuśćmy na przykład, że cf{)(0) = kco$9 = kP](cos9),
(3.85)
gdzie k jest pewną stałą. Wtedy k C fc ~ / | P\ (cos 0)J2sin GdO — — , 2e0 J 3t„ 0 a wszystkie pozostałe współczynniki At są równe zeru. Potencjał wewnątrz powłoki ma zatem postać £ V (r%9) = rcostf (r < /?), (3.86) 3c0 a potencjał na zewnątrz powłoki dany jest wzorem Ai
V(r,0) = — -co sO (r> £ ). (3.87) 3c0 r2 W szczególnym przypadku, gdy
Zadanie 3.16. Wyprowadzić ze wzoru Rodriguesa postać wielomianu P$(x) i sprawdzić, że P3(cns0) spełnia równanie w zmiennej kątowej (3.60) dla / = 3. Przez bezpośrednie scałkowanie sprawdzić, że i P\ są ortogonalne.
3. SPECJALNE METODY CLCKTROSTATYKI
170
Zadanie 3.17 (a) Przypuśćmy, że potencjał na powierzchni kuli jest stały i wynosi V0. Posługując się wynikami uzyskanymi w przykł. 3.6 i 3.7, znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz kuli. (Wynik już oczywiście znamy, chodzi o sprawdzenie nowej metody rozwiązywania tego typu problemów.) (b) Na powierzchni kuli znajduje się ładunek o stałej gęstości powierzchniowej
(3.88)
gdzie
K
C, -
J
Vo(0) Pi (cos 0) sin 0 d#.
(3.89)
0 Zadanie 3.20. Znaleźć potencjał na zewnątrz metalowej kuli o płomieniu fi, naładowanej ładunkiem Q, umieszczonej w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E0. Wyjaśnić szczegółowo wybór punktu odniesienia dla potencjału. Zadanie 3.21. W przykładzie 2.25 stwierdziliśmy, że potencjał na osi jednorodnie naładowa nego krążka ma postać V(r. 0) = —- (\/r2+ R2 — r). 2e„ (a) Korzystając z tego wzoru i faktu, że Pt(1) = 1, obliczyć trzy pierwsze człony w roz winięciu (3.72) dla potencjału krążka w punktach nie leżących na osi, zakładając r > fi. (b) Znaleźć tą samą metodą potencjał dla / < fi, posługując się równaniem (3.66). [Wska zówka: Należy podzielić przestrzeń na dwa obszary: nad i pod krążkiem. Nie należy zakładać, że współczynniki A, mają taką samą postać dla obu obszarów.] Zadanie 3.22. Na powłoce kulistej o promieniu fi znajduje się ładunek, którego gęstość po wierzchniowa na „północnej” półkuli wynosi
171
J.4. ROZWINIĘCIE MULTIPOLOWE
Zadanie 3.24. Znaleźć potencjał na zewnątrz nieskończenie długiej prostoliniowej metalowej rury o promieniu R, umieszczonej pod kątem prostym do stałego jednorodnego zewnętrznego pola elektrycznego E0. Znaleźć gęstość powierzchniową ładunku indukowanego na powierzchni rury. [Skorzystać z wyników zad. 3.23.J
Rys. 3.25
Zadanie 3.25. Na powierzchni nieskończonego walca o promieniu R (rys. 3.25) znajduje się ładunek o gęstości powierzchniowej danej wzorem cr(
3.4. Rozwinięcie multipolowe 3.4.1. Przybliżona postać potencjału na dużych odległościach Jeśli znajdujemy się bardzo daleko od zlokalizowanego rozkładu ładunku, to „wygląda” on jak ładunek punktowy, a potencjał z dobrym przybliżeniem opisywany jest wzorem (1/4tt€?o)Q /r >gdzie Q jest całkowitym ładunkiem. Często wykorzystywaliśmy ten fakt do sprawdzenia otrzymywanych wzorów na V. Co jednak otrzymamy, gdy Q jest równe leriP. Ktoś mógłby powiedzieć, źe wtedy potencjał jest w przybliżeniu równy zeru, i oczywiście miałby w pewnym sensie rację (ponieważ potencjał dla dużych r rzeczy wiście jest dość mały, nawet gdy Q jest różne od zera.] Chcielibyśmy jednak mieć jakiś wzór, który zawierałby trochę więcej informacji.
Przykład 3.10 Fizyczny dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków o równej wartości bezwzględnej i przeciwnym znaku (dhy), znajdujących się w odległości d. Znaleźć przybliżoną postać poten cjału w dużej odległości od tego układu.
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
172
Rozwiązanie: Niech
będzie odległością od — a 7Z+ odległością od +q (rys. 3.26). Wtedy V(r> -
i
( i - Ir)
Ze wzoru cosinusów wynika, że R 2± = r 2 + (d/2)2 ^rdcosO = r2 Interesuje nas obszar r dostajemy
^ cos# +
.
d, w którym trzeci człon można pominąć. Z rozwinięcia w szereg = ; ( ' T r C0S<>)
s i(l± -c o s « )
Mamy więc -— Tl+ a zatem V (r) =
~ = 4 cos0’ n. r2 1 qd cos 6 4nen r2
(3.90)
+ 2 E 7 I* ‘n
monopol
dipol
— + kwadiupol
(V~ 1Ir)
(V~ Mr2)
(V~ 1/r3)
V +
okiupol (V~ 1/r4)
Rys. 3.27
Widać więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r2 dla dużych r, czyli szybciej niż poten cjał ładunku punktowego, czego zresztą można było się spodziewać. Łącząc dwa identyczne, ale przeciwnie zorientowane dipole, tworzymy kwadrupol. którego potencjał w dużej odle głości maleje jak 1/r3; para przeciwnie zorientowanych kwadrupoli tworzy oktupol, którego potencjał na dużej odległości maleje jak 1/r4, itd. Ta hierarchia struktur przedstawiona jest na rysunku 3.27; dla pełności pokazano też monopol elektryczny, czyli ładunek punktowy, którego potencjał maleje oczywiście jak 1/r.
1/i
3.4. ROZWINIĘCIE MULTIPOLOWE
Przykład 3.10 dotyczy bardzo szczególnego układu ładunków. Proponuję teraz opra cowanie systematycznego rozwinięcia potencjału dowolnego zlokalizowanego rozkładu ładunku względem potęg 1fr. Rysunek 3.28 przedstawia definicje zmiennych, którymi będziemy się posługiwać; potencjał w punkcie r dany jest wzorem (3.91)
I p l r t d r '.
V(r)
p
Rys. 3.28 Korzystając ze wzoru cosinusów, otrzymujemy Tl2 = r1 4- (r')2 - 2rr cos 0' = r2
'\ ,i + ( r'\ - 2„(r-- ) cos 0
W
\>
“
)
lub (3.92)
'IZ = rV 1 + gdzie
Dla punktów leżących daleko poza obszarem, w którym zlokalizowany jest ładunek, c jest znacznie mniejsze od 1, co skłania nas do skorzystania z rozwinięcia w szereg 1 K
1
— = -0 +
r
,„ 1 / 1 3 , 5 , \ 2 = - 1 - - e + - e 2 - — e3 + . . . . r \ 2 8 16 )
()~l
Wyrażając to rozwinięcie przez r, rf i 9 \ otrzymujemy:
k = 7[' - 5(7) (7 - 2cose')+1(7) -^ (7) 1+
+
(
7
(?)’
( 7
(7 - 2c°s9')
- 2cose) +•••_
) (c „ *» ') + ( - ) (3 cos 8 - l)/2
(5 cos3 0’ — 3 cos0')/2 + ...
(3.93)
3 . SPfcCJALNb MhTODY tLfcKTROSTATYKI
174
W ostatnim kroku zebraliśmy razem współczynniki przy tych samych potęgach ( r '/r); dość nieoczekiwanie okazało się, że te współczynniki (czyli wyrażenia w nawiasach) są wielomianami Legendre'a! Ten godny uwagi wynik można zapisać w następującej postaci:11 1 (3.94) Pn(cos0% n r gdzie 0' jest kątem między r i r'. Wstawiając to z powrotem do równania (3.91) i za uważając, że r nie zależy od zmiennych całkowania, otrzymujemy
(r')n Pn(c o s(/)p (r')d r'
V(r) =
(3.95)
lub w jawnej postaci V(r)
=
J J +^}<& (l 6>- (r') +... p(v') d r '
+
cos2
r 'c o s 0 'p ( r ') d r '
5
) P
d r'
(3.96)
Jest to poszukiwany przez nas wynik — rozwinięcie niultipnlnwe potencjału V względem potęg 1/r. Pierwszy wyraz rozwinięcia (n = 0) jest członem monopolowym (zmienia się z r jak 1/r); drugi wyraz (n = 1) jest członem dipolowym (zmienia się z r jak 1/ r 2); trzeci wyraz jest członem kwadrupolowym; czwarty — oktupolowym itd. Równanie (3.95) jest ścisłe, choć jego użyteczność polega głównie na tym, że można z niego otrzymać wzory przybliżone: najniższy różny od zera wyraz rozwinięcia daje przybliżoną wartość potencjału dla dużych r, a dalsze człony mówią nam, jak ulepszyć to przybliżenie, jeśli potrzebna jest większa precyzja.
Zadanie 3.26. Powłoka kulista o promieniu /?, której środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, naładowana jest z gęstością p(r>0) = k
R (R r2
2/*)sin0,
gdzie k jest pewną stałą, a r i 6 to odpowiednie współrzędne kuliste. Znaleźć przybliżoną wartość potencjału dla punktów' leżących na osi z, daleko od kuli.
"Nawiasem mówiąc, jest to drugi sposób na otrzymanie wielomianów Legendre’a (pierwszym jest wzór Rodriguesa); funkcja \/'JZ nazywa się fu n k c ją tw o rz ą c ą dla wielomianów Legendre’a.
17 5
3.4. ROZWINIĘCIE MULTIPOLOWE
3.4.2. Człony monopolowy i dipolowy Wiodącym wyrazem w rozwinięciu multipolowym (dla dużych /*) jest zwykle człon monopolowy: j q (3.97) i(r) = 4 jc€o r gdzie Q = f p(\r jest całkowitym ładunkiem danego układu. Jest to zgodne z naszymi oczekiwaniami. W przypadku ładunku punktowego umieszczonego w początku układu Vmon przedstawia ścisły potencjał w całej przestrzeni, a nie jedynie pierwsze przybliżenie dla dużych r; w takim przypadku wszystkie wyrazy odpowiadające wyższym multipolom się zerują. Jeśli całkowity ładunek układu jest równy zeru, to wiodącym wyrazem jest człon dipolowy (o ile oczywiście jest on różny od zera):
f
l/diP(r) = —*---- t r' cosO'p(r') dr'. F 4 t i 6 0 r2 J Ponieważ 0' jest kątem między r' i r (rys. 3.28), zatem r f cos 0r\t = *r • r / . Człon dipolowy można więc zapisać w bardziej zwartej postaci
Vdip(r ) =
’ / r> ( r') d r'.
Całka w tym wzorze nie zależy w ogóle od r; całka ta nazywa się momentem dipolo wym rozkładu ładunku: (3.98)
Człon dipolowy w potencjale możemy więc zapisać w prosty sposób: 1
1 p rA Vdip(r) =
4tt6o r2
(3.99)
Moment dipolowy określony jest przez geometrię rozkładu ładunku (wielkość, kształt, rozkład gęstości). Łatwo jest podać odpowiedniki równania (3.98) dla ładunków punktowych, liniowych i powierzchniowych (patrz paragraf 2.1.4): na przykład moment dipolowy układu ładunków punktowych wyraża się wzorem n p - J ^ r , '. (3.100) 1= 1 Dla dipola ..fizycznego” (dwa ładunki o równej wartości bezwzględnej i przeciwnych znakach ± q) mamy p = c/r’+ - qr'_ = q(r'+ - r'_) = qd, (3.101)
3. SPECJALNE METODY ELEKTRO STATYKI
176
przy czym d jest wektorem łączącym położenie ładunku ujemnego z położeniem ładunku dodatniego (rys. 3.29).
+
Rys. 3.30
Czy jest to zgodne z tym, co otrzymaliśmy dla dipola „fizycznego” w przykła dzie 3.10? Tak, jeśli bowiem do równania (3.99) wstawimy równanie (3.100), to otrzy mamy równanie (3.90). Należy jednak podkreślić, że wzór ten opisuje potencjał dipola fizycznego, w rozwinięciu dla potencjału dipola fizycznego bowiem występować będą również wyrazy odpowiadające wyższym multipolom. Oczywiście, jeśli będziemy się oddalać, to VdiP będzie coraz lepszym przybliżeniem, ponieważ wyższe wyrazy szybciej znikają ze wzrostem /*. Z tego samego powodu przy ustalonym r przybliżenie dipolowe staje się coraz bardziej dokładne, jeśli zmniejszamy d. Aby otrzymać „idealny” dipol, którego potencjał dany jest dokładnie wzorem (3.99), należałoby zmniejszyć d do zera. Niestety, spowodowałoby to wyzerowanie całego członu dipolowego, chyba że jednocze śnie pozwolimy q rosnąć do nieskończoności! Zatem fizyczny dipol staje się idealnym dipolem jedynie w niezbyt naturalnej granicy d —> 0, -t= 0) lub dodając cztery wkłady od pojedynczych ładunków zgodnie z równaniem (3.100). Jak już wcześniej wspomniałem, taki układ jest kwadrupolem, a w rozwinięciu multipolowym jego potencjału wiodący wkład pochodzi od członu kwadrupolowego.)
Zadanie 3.27. Cztery cząstki (jedna a ładunku q. jedna o ładunku 3q i dwie o ładunku —2z/) umieszczono w odległości a od początku układu, w sposób przedstawiony na rys. 3.31. Znaleźć
177
3.4. ROZWINIĘCIE MULTIPOLOWE
x/
f« Rys. 3.31
prosty przybliżony wzór na potencjał tego układu dla dużych odległości od początku układu współrzędnych. (Zapisać wynik we współrzędnych kulistych.) Zadanie 3.28. W przykładzie 3.9 wyprowadziliśmy ścisły wzór na potencjał powłoki kulistej o promieniu /?, na której znajduje się ładunek o gęstości powierzchniowej a = fccostf. (a) Obliczyć moment dipolowy tego rozkładu ładunku. (b) Znaleźć przybliżone wyrażenie na potencjał w dużej odległości od kuli i porównać wynik ze ścisłym wynikiem (3.87). Co można powiedzieć o wkładzie wyższych multipoli? Zadanie 3.29. Dla dipola z przykł. 3.10 znaleźć rozwinięcie \jlZ± do rzędu (rf/r)3 i posługując się tym wynikiem, wyznaczyć człony kwadrupolowy i oktupolowy w tym potencjale.
3.4.3. Problem początku układu współrzędnych w rozwinięciu multipolowym Wspomniałem wcześniej, że ładunek punktowy w początku układu stanowi „idealny" monopol. Jeśli jednak ładunek nie znajduje się w początku układu, to nie jest już ideal nym monopolem. Na przykład ładunek przedstawiony na rys. 3.32 ma moment dipolowy p = qę\y i w rozwinięciu jego potencjału wystąpi odpowiedni człon dipolowy. Poten cjał takiej konfiguracji różni się od potencjału monopola (1 /47tco)cf/r\ dokładny wzór to (1/4tt6o)<7/7£. Jak pamiętamy, rozwinięcie multipolowe jest szeregiem względem zmien nej 1/r , gdzie r oznacza odległość od początku układu współrzędnych; gdy rozwiniemy w szereg funkcję 1/IZ, otrzymamy wszystkie potęgi, a nie tylko pierwszą.
y
x
X
Rys. 332
Rys. 333
178
3. SPECJALNE METODY ELEKTRO STATYKI
Zmieniając zatem położenie początku układu współrzędnych (lub, co wychodzi na to samo, przesuwając ładunek), możemy radykalnie zmienić postać rozwinięcia multipolowego. Moment monopolowy Q nic ulegnie zmianie, ponieważ, całkowity ładunek jest oczywiście niezależny od wyboru układu współrzędnych. (Na rysunku 3.32 człon monopolowy nie zmienił się, gdy odsunęliśmy q od początku układu współrzędnych — rzecz jedynie w tym, że przestał być jedynym członem w rozwinięciu: pojawił się też człon dipolowy i wszystkie wyższe multipole.) Moment dipolowy zwykle ulega zmia nie przy przesunięciu początku układu współrzędnych, ale istnieje ważny wyjątek: jeśli całkowity ładunek jest równy z.eru, to moment dipolowy nie zależy od wyboru początku układu współrzędnych. Przypuśćmy bowiem, że przesuwamy początek układu współ rzędnych o wektor a (rys. 3.33). Nowy moment dipolowy wyraża się wzorem
W szczególności, jeśli Q = 0, to p = p. Jeśli zatem ktoś zapyta o moment dipolowy układu przedstawionego na rys. 3.34a, to można ze spokojem odpowiedzieć „ć/d,” ale gdyby ktoś zapytał o moment dipolowy układu na rys. 3.34b, to właściwą odpowiedzią powinno być: „Przy jakim wyborze początku układu współrzędnych?”
d ty
"
ty
b)
a) Rys. 3.34
Zadanie 3.30. Dwa ładunki punktowe 3ą i —q znajdują się w odległości u. Dla każdego z układów przedstawionych na rys. 3.35 znaleźć (i) moment monopolowy, (ii) moment dipo lowy, (iii) przybliżony potencjał (we współrzędnych kulistych) dla dużych r (uwzględnić człon monopolowy i człon dipolowy).
3.4.4. Natężenie pola elektrycznego dipola Do tej pory zajmowaliśmy się jedynie potencjałami. Chciałbym, abyśmy obliczyli teraz natężenie pola elektrycznego (idealnego) dipola. Jeśli wybierzemy układ współrzędnych w taki sposób, że wektor p będzie znajdować się w początku układu i będzie skierowany zgodnie z osią z (rys. 3.36), to potencjał w punkcie o współrzędnych /*, 0 wyrażać się
i A. KOZWINIĘUh MULIIPULUWt
179
a)
Rys. 3.36
będzie następującym wzorem (równanie (3.99)): r p v^ ' " > = W
p cos 0 = W '
(3.102)
Aby otrzymać pole, należy obliczyć gradient V :
Er =
dV
2p cos 0
dr 4ti€o^3 1 dV psinG Ee = — — = r d9 dTtcoA*3’ 1 dV Efh = = 0. r sin 0 dej) Mamy zatem (3.103)
Wzór ten w jawny sposób odwołuje się do konkretnego wyboru układu współrzędnych (kulistych) i konkretnej orientacji wektora p (wzdłuż osi z). Można go zapisać w postaci niezależnej od wyboru układu współrzędnych, podobnie jak w przypadku wzoru (3.99) na potencjał — jest to treścią zad. 3.33.
Rys. 3.37
Zwróćmy uwagę, że pole dipola maleje jak odwrotność trzeciej potęgi r; dla porów nania, pule monopolu (Q/4TUn)r7)r maleje uczy wiście jak odwrotność drugiej potęgi r. Pole kwadrupola zachowuje się jak 1/ r 4, oktupola jak 1 /r5 itd. (Jest to jedynie odzwier ciedleniem faktu, że potencjał monopola zachowuje się jak 1/r, potencjał dipola maleje jak 1 /r2, kwadrupola — jak 1 /r3 itd. Gradient powoduje pojawienie się dodatkowego czynnika 1/r.) Na rysunku 3.37a przedstawiono linie pola „idealnego” dipola (wzór (3.103)). Dla porównania na rys. 3.37b naszkicowano również linie pola dla dipola „fizycznego”. Zwróćmy uwagę na duże podobieństwo między tymi rysunkami, jeśli zasłonimy obszar w środku układu; jednak blisko środka układu przebieg linii pola jest zupełnie odmienny. Wzór (3.103) daje dobre przybliżenie dla pula dipola fizycznego jedynie, gdy r d. Jak już wcześniej wspomniałem, warunek ten można spełnić, przechodząc do dużych r lub zbliżając ładunki bardzo blisko do siebie.12
Zadanie 3.31. W początku układu znajduje się „idealny" dipol o m om encie dipolow ym /?, skierowanym zgodnie z osią Z(a) Jaka siła działa na ładunek punktow y q znajdujący się w punkcie o współrzędnych kartezjańskich (a , 0, 0)7 (b) Jaka siła działa na ładunek q znajdujący się w punkcie ( 0 ,0 , a) 7 (c) Jaką pracę należy w ykonać, aby przesunąć ładunek
181
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 3
Zadanie 3.32. Trzy ładunki punktowe rozmieszczono w odległości a od początku układu współ rzędnych w sposób przedstawiony na rys. 3.38. Znaleźć przybliżone wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w punktach położonych daleko od początku układu. Wyrazić wynik we współrzędnych kulistych. Uwzględnić dwa najniższe człony w rozwinięciu multipolowym.
Rys. 3.38 • Zadanie 3.33 Pokazać, że natężenie pola elektrycznego („idealnego”) dipola (wzór (3.203)) można zapisać w' postaci niezależnej od wyboru układu współrzędnych
Euip(r)
1 1 [3(p • r ) r - p]. 4 ti6or 3
(3.104)
Zadania dodatkowe do rozdziału 3 Zadanie 3.34. Cząstka punktowa o ładunku q i masie m spada swobodnie z odległości d na nieskończoną uziemioną przewodzącą płaszczyznę. Po jakim czasie cząstka spadnie na płasz czyznę, jeśli w chwili początkowej miała prędkość równą zeru? [O dpow iedź: { n d / q ) .] Zadanie 3.35. Dwie nieskończone, równoległe, uziemione, przewodzące płaszczyzny znajdują się w odległości a od siebie. Między płaszczyznami, w odległości x od jednej z nich, umiesz czono ładunek punktowy q. Znaleźć siłę działającą na q. Sprawdzić otrzymany wynik dla szczególnych przypadków a -+ oo i * = a/2. (Obliczenie indukowanego ładunku powierzch niowego nie jest takie łatwe. Patrz B. G. Dick, Am. J. Phys. 41, 1289 (1973), M. Zahn, Am. J. Phys. 44, 1132 (1976), J. Pleines i S. Mahajan, Am. J. Phys. 45, 868 (1977), oraz zad. 3.44 poniżej.) Zadanie 3.36. Dw'a długie prostoliniowe druty przebiegają po przeciwnych stronach wzdłuż długiego przewodzącego walca (rys. 3.39). Promień walca wynosi R, a druty znajdują się w odległości a od osi. Druty są naładowane jednorodnie ładunkami o gęstości liniowej ±X (tzn. o przeciwnych znakach). Znaleźć potencjał w punkcie r. Odpowiedź: V(s,
(s2 + a~ + 2 . / cos
3. SPEGALNE METODY ELEKTROSTATYKI
182
Zadanie 3.37. Przewodząca kula o promieniu a, na której utrzymywany jest potencjał V{), otoczona jest umieszczoną koncentrycznie cienką powłoką kulistą o promieniu /;, na której znajduje się ładunek powierzchniowy o gęstości o (6) = k cos 0, gdzie k jest pewną stałą, a 0 jest odpowiednim kątem we współrzędnych kulistych. (a) Znaleźć potencjał w każdym z obszarów: (i) r > b oraz (ii) a < r < b. (b) Znaleźć gęstość powierzchniową cr,(0) ładunku wyindukowanego na powierzchni prze wodnika. (c) Jaki jest całkowity ładunek tego układu? Sprawdzić, że otrzymany wynik jest zgodny z zachowaniem V dla dużych r. Odpowiedź- V(r 0) )-- j! aVu/r (b' _~ fl3)* a' )k C cos0/3r26„, uapowieaz. v { r ,v uVi/f ++ {fi Os0/3r2eo,
r> < bb
Zadanie 3.38. Ładunek + £) rozmieszczony jest równomiernie na osi z na odcinku od z = —a do z = +a. Pokazać, że potencjał pola elektrycznego w punkcie r (dla r > a) ma postać
Zadanie 3.39. Na powierzchni długiego walca o promieniu R znajduje się ładunek powierzch niowy, którego gęstość powierzchniowa na górnej połowic jest stała i wynosi a(), a na dolnej ma stałą wartość —<70 (rys. 3.40). Znaleźć potencjał elektryczny wewnątrz i na zewnątrz walca.
Zadanie 3.40. Na cienkim pręcie, ułożonym wzdłuż osi z i rozciągającym się od £ — —a do z = +a, umieszczono ładunek o podanej niżej gęstości liniowej. Dla każdego przypadku znaleźć wiodący człon rozwinięcia multipolowego dla potencjału: (a) A = A cos( ttz/2 ^ ) , (b) A = k sin(7i£/zr), (c) A = k cos(7tz/a). gdzie k jest pewną stałą. • Zadanie 3.41. Pokazać, że wewnątrz kuli o promieniu R uśrednione pole od wszystkich ładun ków znajdujących wewnątrz kuli opisywane jest wzorem Eśred
i p 4h c „ R 3 ’
(
3. 105)
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 3
183
gdzie p jest całkowitym momentem dipolowym. Ten prosty i piękny wzór można wyprowadzić kilkoma sposobami. Poniżej przedstawiony jest jeden z nich. (a) Pokazać, że uśrednione pole od pojedynczego ładunku q, znajdującego się w punk cie r wewnątrz kuli, jest takie samo. jak pole w r pochodzące od ładunku rozmieszczonego jednorodnie w kuli z gęstością p = i/ć'), i opisywane jest wzorem 1 47Ko ( | TTfi3)
/
^ 'k d r ', n2
gdzie IŁ jest wektorem łączącym punkt r z dr'. (b) Udowodnić powyższy wzór, posługując się prawem Gaussa (patrz zad. 2.12). Wyrazić wynik przez moment dipolowy ładunku ą. (c) Uogólnić wzór na dowolny rozkład ładunku, posługując się zasadą superpozycji. (d) Pokazać, że uśrednione po objętości kuli pole wytwarzane przez wszystkie ładunki na zewnątrz kuli jest takie samo jak pole wytwarzane przez te ładunki w środku kuli. Zadanie 3.42. Korzystając ze wzoru (3.103), obliczyć wartość średnią natężenia pola elek trycznego wytwarzanego przez dipol w kuli o promieniu R i środku w położeniu dipola. Obliczyć najpierw całki po zmiennych kątowych, fUwaga: Przed przystąpieniem do całkowania należy koniecznie wyrazić wektory r i 0 przez wektory x, y i z (patrz wzory na wewnętrz nej stronie okładki). Jeśli ktoś ma trudności ze zrozumieniem, dlaczego tak należy postąpić, powinien przeczytać jeszcze raz dyskusję w paragrafie 1.4.1.) Porównać otrzymany wynik z ogólnym wzorem (3.105). Różnica między wynikiem bezpośredniego rachunku i ogólnym wzorem związana jest z osobliwością pola dipola dla r = 0. Całka po zmiennych kątowych zeruje się, ale całka radialna jest nieskończona, tak więc nie wiadomo naprawdę, jaki powi nien być końcowy wynik. Aby rozwikłać ten dylemat, przyjmijmy, że równanie (3.103) stosuje się na zewnątrz niewielkiej kuli o promieniu * — wkład tego obszaru do Efaed jest w jed noznaczny sposób równy zeru, a cały wynik musi pochodzić od pola wewnątrz kuli o pro mieniu €. (b) Jakie musi być pole wewnątrz kuli o promieniu e, aby ogólny wzór (3.105) pozosta wał słuszny? [Wskazówka: Ponieważ * może być dowolnie małe, więc najwyraźniej mamy do czynienia z tworem, który jest nieskończony dla /* = 0 i którego całka po infinitezymalnej objętości jest skończona.) [Odpowiedź: —(p/3*0)53(r).] [Widać zatem, że prawdziwe pole dipola wyraża się wzorem E„ip(r) = —
-4 I3(p r)r —pl —~ p S \r).
471*0 r 3
(3.106)
3*o
Z pewnością zastanawiające jest, jak to się stało, że przy obliczaniu pola w paragrafie 3.4.4 zgu biliśmy człon z funkcją delta. Wynikło to stąd, że różniczkowanie prowadzące do wzoru (3.103) jest poprawne wszędzie z wyjątkiem punktu r = 0; powinniśmy byli pamiętać (z naszych roz ważań w paragrafie 1.5.1), że punkt r — 0 może nam przysporzyć kłopotów. Patrz C.P. Frahm, Am. J. Phys. 51, 826 (1983) lub nowszy artykuł R. Estrada i R. P. Kanwala Am. J. Phys. 63, 278 (1995). Dalsze szczegóły i zastosowania można znaleźć w artykule D. J. Grifiithsa, Am. J. Phys. 50, 698 (1982).) Zadanie 3.43 (a) Przypuśćmy, że rozkład ładunku p,(r) wytwarza potencjał V, (r), a jakiś inny rozkład ładunku />2(r ) daje potencjał V2(r). [Te dwie sytuacje mogą nic mieć ze sobą nic wspólnego pod każdym względem — na przykład układ I może być jednorodnie naładowaną kulą, a układ 2 może być płaskim kondensatorem. Należy też podkreślić, że gęstości p\ i pi nie występują
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
184
w przestrzeni jednocześnie; mamy tu na myśli dwa różne zagadnienia: jedno, w którym wystę puje tylko rozkład ply i drugie, w którym występuje tylko rozkład pz.) Udowodnić twierdzenie Greena o wzajemności: p2V\ dr. Pi Kj dr =
/
c a ła p rz e strz e ń
/
c a ła p rzestrz eń
{Wskazówka: Obliczyć / E, • E2dr dwoma sposobami, najpierw korzystając ze wzoru E, = -VV| i wykonując całkowanie przez części, aby przerzucić różniczkowanie na E2, a następnie wychodząc ze wzoru E? = —W 2 i przenosząc pochodną na E,.]
Rys. 3.41
(b) Przypuśćmy teraz, że mamy układ dwóch oddzielonych od siebie przewodników (rys. 3.41). Oznaczmy przez Vab wartość potencjału na przewodniku by gdy na przewodnik a wprowadzony zostanie ładunek Q (przy czym przewodnik b pozostaje nie naładowany). Oznaczmy też przez Vha wartość potencjału na przewodniku ay gdy ładunek Q wprowadzony zostanie na przewodnik b (przy czym przewodnik a pozostaje nie naładowany). Korzystając z twierdzenia Greena o wzajemności, pokazać, że Vab = Vba (jest to bardzo zaskakujący rezultat, ponieważ nie robiliśmy żadnych założeń o kształtach i położeniu przewodników). Zadanie 3.44. Rozwiązać dwa poniższe zadania, posługując się twierdzeniem Greena o wza jemności (zad. 3.43). (a) Obie okładki kondensatora płaskiego są uziemione, a między nimi, w odległości x od pierwszej okładki, umieszczony jest ładunek punktowy q. Odległość między okładkami wynosi d. Znaleźć ładunek indukowany na każdej okładce. [Odpowiedź: Q\ = q(x/d — 1); Q2 = -q x /d . 1 (b) Dwie koncentryczne przewodzące powłoki kuliste o promieniach a i b są uziemione, a między nimi znajduje się (w odległości r od środka) ładunek punktowy ą. Znaleźć ładunek indukowany na każdej z powłok. | Wskazówka: Jako pierwszego rozkładu ładunku w twierdzeniu Greena użyć rozkładu danego w zadaniu, a za drugi przyjąć rozkład bez ładunku q i z potencjałem VQ na jednym z przewodników.] Zadanie 3.45 (a) Pokazać, że człon kwadrupolowy w rozwinięciu multipolowym można zapisać w postaci Vkwad(r) = 4 ^ 0I"v i2j rn >1 r' G" ’ gdzie = I [3r:rj - (r')% ]p(r')dr'.
185
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 3
Wielkość 1 dla i = j y j
Su = 0 dla i
jest deltą Kroneckera, a Qtj jest momentem kwadrupolowym rozkładu ładunku. Zwróćmy uwagę na sekwencję:
1 Q, 4 tt*0
r '
Klip =
i E npt 4 tTC0
Ktwad —
47i^0
r3
Moment monopolowy (Q) jest skalarem, moment dipolowy (p) jest wektorem, moment kwadrupolowy (QtJ) jest tensorem drugiego rzędu itd. (b) Znaleźć wszystkie* współrzędne Qtj dla układu przedstawionego na rys. 3.30 (zało żyć, że kwadrat ma bok o długości a i leży w płaszczyźnie xy, a jego środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych). (c) Pokazać, że moment kwadrupolowy nie zależy od wyboru początku układu współrzęd nych, jeśli zerują się momenty monopolowy i dipolowy. (Pozostaje to słuszne dla dowolnego rzędu — najniższy niezerowy moment multipolowy nic zależy nigdy od wyboru początku układu współrzędnych.) (d) Jak można zdefiniować moment oktupolowy? Wyrazić człon oktupolowy w rozwinię ciu mullipolowym przez moment oktupolowy. W przykładzie 3.8 obliczyliśmy natężenie pola elektrycznego na zewnątrz prze wodzącej kuli (o promieniu R), umieszczonej w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycz nym E„. Rozwiązać ten problem metodą obrazów i sprawdzić, że otrzymany wynik zgadza się ze wzorem (3.76). [Wskazówka: Skorzystać z wyników przykł. 3.2, umieszczając jednak drugi ładunek, — oo przy stałym l\/4nt0)(2q/a2) = -£,,-1
Zadanie 3.46.
! Zadanie 3.47. Przypuśćmy, żc na nieskończonej rurze o przekroju prostokątnym, rozważanej w przykł. 3.4, potencjał na dolnej powierzchni (y = 0) i po bokach (x = ±b) jest równy zeru, a potencjał na górnej powierzchni (y = a) jest różną od zera stałą V0. Znaleźć potencjał wewnątrz rury. [Uwaga: Zadanie to różni się od zad. 3 . 14b jedynie o obrót, ciekawe jest jednak rozwiązanie tego problemu podobną metodą, co w przykł. 3.4, za pomocą funkcji sinus dla zmiennej y i funkcji hiperbolicznych dla zmiennej x. Jest to rzadki przykład zagadnienia, w którym należy uwzględnić przypadek k = 0. Należy najpierw znaleźć ogólne rozwiązanie równania (3.26) przy k = 0. Dalsze uwagi na temat tego problemu można znaleźć w artykule: S. Hassani, Am. J. Phys. 59, 470 (1991).] (y 2 (—1)" COSh(H7TA'/tf) . \ Odpowiedź : Vq( - + — ----------- —— r r r su\(nny/a) ). \a Ti “ n cosh(/?7iZ?/tf) / ! Zadanie 3.48
(a) Trzy ścianki długiej metalowej rury o przekroju kwadratowym (o boku o) są uziemione, a na czwartej (odizolowanej od pozostałych) utrzymywany jest stały potencjał Vq. Znaleźć całkowity ładunek na jednostkę długości na ściance leżącej naprzeciw ścianki z potencjałem VQ. [Wskazówka: Skorzystać z wyniku uzyskanego w zad. 3.14 lub 3.47.] (b) Długa metalowa rura o przekroju kołowym (o promieniu R) podzielona jest wzdłuż osi na cztery równe pasy. Trzy z nich są uziemione, a na czwartym utrzymywany jest stały
186
3. SPECJALNE METODY ELEKTROSTATYKI
potencjał V0. Znaleźć całkowity ładunek na jednostkę długości na pasie leżącym naprzeciw pasa z potencjałem V0[Odpowiedź w punktach (a) i (h) jest ta sama: a —— In 2.] Zadanie 3.49. Idealny dipol elektryczny znajduje się w początku układu i jest skierowany zgodnie z osią z, jak to przedstawiono na rys 3 36. Określić ruch punktowej cząstki naładowanej w polu tego dipola, jeśli w chwili początkowej spoczywała ona na płaszczyźnie xy. Pokazać, że cząstka będzie poruszać się ruchem periodycznym po półokręgu, przypominając wahadło zawieszone w środku układu współrzędnych. [Ten urzekający wynik otrzymał R.S. Jones, Am. J. Phys. 63,1042 (1995).!
l3Są to przypadki szczególne twierdzenia Thom psona-Lam parda; patrz J. D. Jackson, Am. J. Phys.
67, 107 (1999).
Rozdział 4
Pola elektryczne w materii
4.1. Polaryzacja elektryczna 4.1.1. Dielektryki Przedmiotem naszych rozważań w tym rozdziale będą pola elektryczne w materii. Ma teria występuje oczywiście w wielu postaciach — ciała stałego, cieczy, gazu, metalu, drewna, szkła — i nie wszystkie z nich w ten sam sposób reagują na pola elektrosta tyczne. Jednak większość ciał, z jakimi mamy do czynienia na co dzień, można zakwalifi kować (z dobrym przybliżeniem) do jednej z dwóch grup: przewodników lub izolatorów (inaczej dielektryków). O przewodnikach już mówiliśmy; są to ciała zawierające „nie ograniczony” zapas ładunków, które mogą swobodnie przemieszczać się w ośrodku. W praktyce oznacza to zwykle, że wiele elektronów (w typowym metalu jeden lub dwa na atom) nie jest związanych z jakimś konkretnym jądrem, ale może swobodnie poruszać się dokoła. Dla odmiany w dielektrykach wszystkie ładunki są związane z konkretnymi atomami i cząsteczkami — mają więc znacznie ograniczoną swobodę ruchu i mogą się tylko nieznacznie przemieszczać wewnątrz atomu czy cząsteczki. Takie mikrosko powe przesunięcia powodują znacznie mniej dramatyczne skutki niż głębokie zmiany rozkładu ładunku w przewodniku: ich skumulowany efekt daje w wyniku własności charakterystyczne dla materiałów dielektrycznych. Istnieją zasadniczo dwa mechanizmy, dzięki którym pola elektryczne mogą zmienić rozkład ładunku w atomie lub cząsteczce dielektryka: rozciąganie i obracanie. Mechanizmy te omówione są w dwóch następnych paragrafach.
4.1.2. Indukowany moment dipolowy Co się dzieje z obojętnym elektrycznie atomem, kiedy zostaje umieszczony w polu elek trycznym E? Pierwsze, co nam przychodzi na myśl, to: „Absolutnie nic — skoro atom jest obojętny elektrycznie, pole nie ma na niego wpływu.” Ale to nieprawda. Atom jako całość jest obojętny elektrycznie, ale składa się z dodatnio naładowanej części central nej (jądra) i otaczającej ją ujemnie naładowanej chmury elektronowej. Oba te rozkłady ładunku w atomie reagują na pole: jądro jest przesuwane w kierunku zgodnym z kie runkiem pola, a elektrony w przeciwną stronę. W zasadzie, jeśli pole jest wystarczająco
188
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
silne, może całkowicie rozerwać atom, doprowadzając do jego „jonizacji” (ośrodek staje się wtedy przewodnikiem). Jednak w przypadku słabszych pól szybko ustala się stan równowagi, gdyż wypadkowa siła oddziaływań między ładunkami w atomie przeciw działa oddalaniu się środka chmury elektronowej od jądra, dzięki czemu atom się nie rozpada. Dwie przeciwstawne siły — pole E odrywające elektrony od jądra i oddziaływa nie między różnymi rozkładami ładunków, powodujące wypadkowe przyciąganie między chmurą elektronów i jądrem — równoważą się, przy czym atom zostaje spolaryzowany, to znaczy ładunek dodatni zostaje nieznacznie przesunięty względem ładunku ujemnego. Atom uzyskuje maleńki moment dipolowy p, skierowany zgodnie z kierunkiem pola E. Indukowany moment dipolowy jest zwykle proporcjonalny do natężenia pola (o ile pole nic jest zbyt silne): p —orE. (4.1) Współczynnik proporcjonalności a nazywa się polaryzowalnością atomową. Jego war tość zależy od szczegółów budowy danego atomu. W tabeli 4.1 podano wyznaczone doświadczalnie polaryzowalności atomowe kilku pierwiastków.
Tablica 4.1. Polary/.owalność atomowa («/4tiću, w jednostkach 10 M) nvł). Źródło: Handbook o f Chemi stry and Physics, wyd. 78 (CRC Press, Inc., Boca Raton 1997) H
He
Li
Be
C
Ne
Na
Ar
K
Cs
0,667
0,205
24,3
5,60
1,76
0,396
24,1
1,64
43,4
59,6
Przykład 4.1 W ogromnym uproszczeniu atom można sobie wyobrażać jako punktowe jądro (+q) otoczone chmurą ładunku w kształcie jednorodnie naładowanej kuli o promieniu a i całkowitym ładunku —q. Obliczyć polaryzowalność atomową dla takiego modelu atomu.
E Rys. 4.1
Rys. 4.2
Rozwiązanie: W obecności zewnętrznego pola elektrycznego E jądro przesunie się nieco w prawą stronę, a chmura elektronowa w lewą, jak to przedstawiono na rys. 4.2. (Ponieważ
4.1. POLARYZACJA ELEKTRYCZNA
189
przesunięcia są w istocie niezwykle male, jak można się przekonać rozwiązując zad. 4.1, więc uzasadnione jest założenie, że chmura elektronów zachowuje kształt kulisty.) Przyjmijmy, że w nowym położeniu równowagi jądro znajduje się w odległości d od środka kuli. W tym położeniu działanie pola zewnętrznego, pchającego jądro w prawą stronę, dokładnie równoważy działanie pola od ładunków wewnątrz, atomu, pchającego jądro w lewą stronę. Mamy zatem E = Ec, gdzie Ec jest polem wytworzonym przez chmurę elektronów. Pole w odległości d od środka kuli z jednorodnym rozkładem ładunku dane jest wzorem (zad. 2.12) ,
= 4 t1 6 o
o
-
Wstanie równowagi mamy więc h = —-— ~ lub p = ad = (4tt €0a')E. 4 tx€o a7 Polaryzowałność atomowa wyraża się zatem wzorem a — 4 tt t 0a* = 3cyi;,
(4.2)
gdzie v jest objętością atomu. Choć nasz model atomu jest niezwykle uproszczony, to wynik (4.2) jest całkiem niezły — dla wielu prostych atomów zgadza się z dokładnością do czynnika <4.
O
;r.C|sl'
c
O i f f
■'a W
;
Rys. 4.3
Dla cząsteczek sytuacja jest bardziej skomplikowana, ponieważ często ich podatność na polaryzację zależy od kierunku pola. Na przykład dwutlenek węgla (rys. 4.3) ma polaryzowalność 4,5 • 10-4() C2 m/N, jeśli przyłożone pole skierowane jest zgodnie z osią cząsteczki, ale gdy pole jest prostopadłe do osi, wówczas polaryzowalność wynosi jedynie 2 • 10-4°. Jeśli pole skierowane jest pod pewnym kątem do osi, to należy je rozłożyć na składowe równoległą i prostopadłą do osi i każdą z nich pomnożyć przez odpowiednią polaryzowalność: P =
a j.E ±
+ o '||E ||.
W tym przypadku indukowany moment dipolowy może mieć inny kierunek niż pole E. A przecież CO? jest względnie prostą cząsteczką, ponieważ atomy ułożone są w niej w linii prostej; dla zupełnie asymetrycznej cząsteczki zamiast równania (4.1) będziemy mieć liniowy związek między E i p o ogólnej postaci:
19U
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
Px
=
CtxxEx + UxyEy
Py = &yx Ex “1“ &yy Ey
+
<*xZEz
4"
OCyZEz
(4.3)
Pz = <*zxEx + C*zyEy + a zZEz Zbiór dziewięciu stałych arł; to współrzędne tensora polaryzowalności cząsteczki. Ich wartości zależą od wyboru układu współrzędnych, choć zawsze możliwe jest wy branie osi zgodnych z „osiami głównymi”; wtedy wyrazy pozadiagonalnc (ctxy, otzx itd.) zerują się i pozostają tylko trzy różne od zera polaryzowalności: ar**, ayy i azz.
Zadanie 4.1. Alom wodoiu (którego promień Bohra wynosi ok. pól angstrcnia) znajduje się między dwoma metalowymi płytami, odległymi od siebie o I mm. podłączonymi do przeciw nych biegunów baterii o napięciu 500 V. Jaki jest w przybliżeniu stosunek odległości d między środkami rozkładów ładunku w atomie do promienia atomu? Oszacować napięcie, jakie na leżałoby zastosować, aby zjonizować atom. [Skorzystać z wartości a podanej w tabeli 4.1. Wniosek: Przesunięcia ładunku wywołane działaniem zewnętrznego pola są niezwykle małe. nawet w skali atomowej.] Zadanie 4.2. Zgodnie z przewidywaniami mechaniki kwantowej rozkład ładunku w chmurze elektronowej w atomie wodoru w stanie podstawowym ma następującą postać: p(r) =
TTcr gdzie a jest promieniem Bohra, a q jest ładunkiem elektronu. Obliczyć polaryzowalność ato mową takiego atomu. [Wskazówka: Obliczyć najpierw natężenie pola elektrycznego chmury elektronowej, Ec(r); następnie rozwinąć eksponens w szereg, zakładając r <£ u. Więcej szcze gółów można znaleźć w artykule W. A. Bowersa, Am. J. Phys. 54, 347 (1986).] Zadanie 4.3. Zgodnie z równaniem (4.1) indukowany moment dipolowy atomu jest proporcjo nalny do natężenia pola zewnętrznego. Jest to formuła przybliżona, a nie prawo podstawowe. Łatwo jest — przynajmniej w teorii — znaleźć wyjątki od tego prawa. Przypuśćmy na przykład, że gęstość ładunku w chmurze elektronowej jest proporcjonalna do odległości od środka atomu, aż do promienia R. Do jakiej potęgi E będzie wtedy proporcjonalne p l Znaleźć warunek, jaki musi spełniać p(r), aby równanie (4.1) było słuszne w przybliżeniu słabego pola. Zadanie 4.4. Znaleźć siłę, jaka działać będzie na ładunek punktowy cj umieszczony w dużej odległości r od elektrycznie obojętnego atomu o polaryzowalności a.
4.1.3. Zmiana orientacji momentów dipolowych cząsteczek polarnych Obojętny elektrycznie atom omawiany w paragrafie 4.1.2 nic miał własnego momentu dipolowego moment dipolowy p był indukowany przez przyłożone pole. Pewne czą steczki mają jednak własny, trwały moment dipolowy. Na przykład w cząsteczce wody elektrony mają tendencję do gromadzenia się wokół atomu tlenu (rys. 4.4); ponieważ czą steczka ma kształt litery V z kątem 105° w wierzchołku, więc w wierzchołku pojawia się
191
4.1. POLARYZACJA ELEKTRYCZNA
Rys. 4.5
Rys. 4.4
nadmiar ładunku ujemnego, a na przeciwległych końcach nadmiar ładunku dodalniego. (Cząsteczka wody ma wyjątkowo duży moment dipolowy: 6,1 • 10” 30 C-m; właśnie ten fakt jest odpowiedzialny za to, że woda jest dobrym rozpuszczalnikiem.) Co się stanie, gdy takie cząsteczki (nazywane cząsteczkami polarnymi) zostaną umieszczone w polu elektrycznym? Jeśli pole jest jednorodne, to siła działająca na koniec naładowany dodatnio, F+ = qE, dokładnie znosi się z siłą działającą na koniec naładowany ujemnie, F_ = —qE (rys. 4.5). Pozostanie jednak niezerowy moment siły: N = (r+ x F+) + (r_ x F_) = [(d/2) x 6/E)] + [(—d/2) x (-ć/E)] = c/d x E. Tak więc na dipol p = q d umieszczony w jednorodnym polu E działa moment siły N = p x E.
(4.4)
Zwróćmy uwagę, ze N jest tak skierowany, aby ustawić p zgodnie z polem E: jeśli cząsteczka polarna może obracać się swobodnie, to ustawi się tak, aby jej moment dipolowy był ustawiony wzdłuż przyłożonego pola. Jeśli pole nie jest jednorodne i F+ nie równoważy dokładnie F_, to oprócz momentu siły na dipol działać też będzie wypadkowa siła. Oczywiście pole E musi zmieniać się dość gwałtownie, aby na odległościach rzędu rozmiarów cząsteczki wystąpiły znaczne różnice pola, dlatego przy dyskusji właściwości dielektryków nic przykłada się wiel kiej wagi do tego efektu. Niemniej jednak wzór na siłę działającą na dipol w polu niejednorodnym zasługuje na uwagę: F = F+ + F_ = q(E+ - E_) = q(8E)y przy czym SE przedstawia różnicę między natężeniem pola w dodatnio naładowanym końcu i natężeniem pola w ujemnie naładowanym końcu. Zakładając, że rozmiary dipola są bardzo małe, możemy otrzymać przybliżone wyrażenie na małą zmianę wartości E v,
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
192
korzystając ze wzoru (1.35): SEX = ( VEX) d i podobne wyrażenia dla Ey i Ez. Można to zapisać w zwartej postaci SE = (d • V)E, a zatem1 (4.5)
F = (p V)E.
Dla „idealnego” dipola o infinitezymalnej długości równanie (4.4) daje moment siły względem środka dipola nawet w przypadku pola niejednorodnego; moment siły wzglę dem dowolnego punktu wyraża się wzorem N = (p x E) 4- (r x F).
Zadanie 4.5. Na rysunku 4.6 przedstawione są dwa idealne dipole o momentach dipolowych p, i p2ł umieszczone w odległości r od siebie. Jaki jest moment siły działający na p,, wywołany obecnością p2? Jaki jest moment siły działający na p?, wywołany obecnością p(? |W obu przypadkach chodzi o moment siły działający na dipol względem jego środka. Jeśli kogoś niepokoi, że otrzymane momenty sił nie mają równej wartości bezwzględnej i przeciwnego zwrotu, niech zajrzy do zad. 4.29. |
Rys. 4.6
Rys. 4.7
Zadanie 4.6. Idealny dipol p znajduje się w odległości z nad nieskończoną uziemioną prze wodzącą płaszczyzną (rys. 4.7). Moment dipolowy tworzy kąt 6 z normalną do płaszczyzny. Znaleźć moment siły działający na p. Jaką orientację przyjąłby ostatecznie dipol, gdyby mógł się swobodnie obracać? Zadanie 4.7. Pokazać, że energia idealnego dipola p w polu elektrycznym E wyraża się wzorem U = - p E.
(4.6)
‘W tym kontekście wygodniej byłoby zapisać równanie (4.5) w' postaci F = V(p • E). Bezpieczniej jest jednak pozostać przy wzorze (p V)E, ponieważ będziemy tę zależność stosować do materiałów, w których moment dipolowy (na jednostkę objętości) zależy od położenia, i ktoś mógłby uznać (błędnie), że wektor p również powdenicn podlegać różniczkowaniu.
4.1. POLARYZACJA ELEKTRYCZNA
193
Zadanie 4.8. P o k a z a ć , ż e e n e r g i a o d d z i a ł y w a n i a d w ó c h d i p o l i z n a j d u j ą c y c h s ię w o d l e g ł o ś c i r w y ra ż a s i ę w z o r e m
^
^
- ------ -lp , • p 3 - 3 (p , • r ) ( p 2 • r )]. 4ti€0 r 3 [Wskazówka: Skorzystać z wyników zad. 4.7 i wzoru (3.104).] U =
( 4 .7 )
Zadanie 4.9. Dipol p znajduje się w odległości r od ładunku punktowego q. Moment dipolowy p tworzy kąt 6 z wektorem r biegnącym od q do p. ( a ) J a k a s i ł a d z i a ł a n a d i p o l p? (b) Jaka siła działa na ładunek
4.1.4. Polaryzacja elektryczna W dwóch poprzednich paragrafach rozważaliśmy wpływ zewnętrznego pola elektrycz nego na pojedyncze atomy lub cząsteczki. Jesteśmy teraz przygotowani do udzielenia (jakościowej) odpowiedzi na wyjściowe pytanie: Co dzieje się z kawałkiem dielektryka, który zostaje umieszczony w polu elektrycznym? Jeśli materiał składa się z obojęt nych elektrycznie atomów (lub cząsteczek niepolarnych), to pole zewnętrzne wyindukuje w każdym z nich nieduży moment dipolowy, skierowany zgodnie z kierunkiem pola.2 Jeśli materiał składa się z cząsteczek polarnych, to na każdy trwały dipol zacznie działać pewien moment siły, skierowany tak, by ustawić moment dipolowy zgodnie z polem. (Procesowi temu przeciwstawiają się przypadkowe ruchy termiczne, tak więc uporząd kowanie nigdy nic jest całkowite, szczególnie w wyższych temperaturach, i znika niemal natychmiast po wyłączeniu pola.) Oba mechanizmy dają jednak ten sam efekt: pojawia się wiele małych dipoli, skie rowanych zgodnie z kierunkiem pola — materiał zostaje spolaryzowany. Wygodną wiel kością opisującą to zjawisko jest wektor P = moment dipolowy na jednostkę objętości, który nazywa się polaryzacją elektryczną. W dalszej części książki nie będziemy zasta nawiać się, w jaki sposób powstała polaryzacja. W istocie, dwa opisane wyżej mechani zmy są bardziej złożone, niż to wynika z przedstawionego opisu. Nawet w cząsteczkach polarnych pojawi się pewna polaryzacja związana ze względnym przesunięciem rozkładu ładunków (choć na ogół znacznie łatwiej jest obrócić cząsteczkę, niż ją rozciągnąć, zatem mechanizm związany z reorientacją momentów dipolowych jest dominujący). W pew nych materiałach możliwe jest nawet „zamrożenie” polaryzacji, tak by nie znikała po wyłączeniu pola. Zapomnijmy jednak na pewnien czas o źródłach polaryzacji i zajmijmy się polem, jakie kawałek spolaryzowanego materiału sam wytwarza. W podrozdziale 4.3 zbierzemy wszystko razem: wyjściowe pole, który spowodowało powstanie P, oraz nowe pole, wynikające z istnienia P. 2W cząsteczkach asymetrycznych indukowany moment dipolowy może nie być równoległy do pola, jeśli jednak cząsteczki rozmieszczone są przypadkowo, to wkłady prostopadle do pola dadzą po uśred nieniu zero. W monokrysztale orientacje cząsteczek z całą pewnością nie są przypadkowe, dlatego Jen przypadek należałoby rozwa/.yć osobno.
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
194
4.2. Pole ciała spolaryzowanego 4.2.1. Ładunki związane Przypuśćmy, żc mamy kawałek spolaryzowanego materiału, to znaczy ciało zawierające wielką liczbę mikroskopijnych dipoli, których momenty dipolowe są jednakowo zorien towane. Załóżmy, że dany jest moment dipolowy na jednostkę objętości P. Pytanie: Jakie jest pole wytwarzane przez to ciało (nie chodzi tu o pole, które mogło być przyczyną powstania polaryzacji, ale pole, którego źródłem jest polaryzacja)? No cóż, wiemy, jaką postać ma pole pojedynczego dipola, dlaczego by więc nie podzielić ciała na infinitezymalne dipole i obliczyć całkowite pole przez scałkowanie? Jak zwykle łatwiej jest posługiwać się potencjałem. Dla pojedynczego dipola p mamy (wzór (3.99)): i
V( r ) =
n
p
(4.8)
47160 K 2
przy czym TZ jest wektorem skierowanym od dipola do punktu, w którym chcemy znać wartość potencjału (rys. 4.8). W naszym problemie moment dipolowy w elemencie objętości d r' wynosi p = P d r', tak więc całkowity potencjał wyraża się wzorem V (r)
h ■P(r')
=— 47teo J/
Tl2
d r '.
(4.9)
Rys. 4.8
Nieznacznie przekształcając ten wzór, możemy zapisać go w o wiele bardziej uży tecznej postaci. Zauważmy, że *
przy czym (w przeciwieństwie do zad. 1.13) różniczkowanie wykonujemy względem współrzędnych źródła pola ( r ); możemy więc napisać
v
195
4.2. POLE CIAŁA SPOLARYZOWANEGO
Całkując przez części i korzystając z reguły 5 (na wewnętrznej strunie układki) na różniczkowanie iloczynu funkcji, otrzymujemy V=
47re0
lub też, korzystając z twierdzenia o dywergencji, V=
4 TTCo
Ti
- P - d a '------— [ ^ ( V ' P)dr'.
Tl
4ttco ./ Tl
(4.10)
Pierwszy człon ma postać potencjału od rozkładu ładunku powierzchniowego (4.11)
<7ZW= P fi
(gdzie fi jest jednostkowym wektorem normalnym), a drugi człon ma postać potencjału od rozkładu ładunku objętościowego Pzw = - V
(4.12)
P
Korzystając z tych definicji, możemy zapisać równanie (4.10) w postaci V(r) = - L 4 to
-J
^ ZW , / . | —— d a HTl 4 716 () J 5 v
Pzw , / dr . Tl
(4.13)
Na podstawie tego wzoru możemy powiedzieć, że potencjał (a zatem i pole) spolary zowanego ciała jest taki sam, jak potencjał wytwarzany przez ładunek objętościowy o gę stości pvw = —V P i ładunek powierzchniowy o gęstości powierzchniowej crzw = P fi. Zamiast całkować wkłady od wszystkich infinitczymalnych dipoli, jak w równaniu (4.9), wystarczy jedynie znaleźć ładunki związane, a następnie obliczyć wytwarzane przez nie pole takimi samymi metodami, jak dla dowolnego innego rozkładu ładunków obję tościowych i powierzchniowych (na przykład za pomocą prawa Gaussa).
Przykład 4.2 Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez jednorodnie spolaryzowaną kulę o promieniu R. Rozwiązanie: Wybierzmy oś z wzdłuż wektora polaryzacji (rys. 4.9). Gęstość objętościowego ładunku związanego pzwjest równa zeru, ponieważ polaryzacja P jest jednorodna, ale o/w = P fi = P cos#,
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
196
Rys. 4.9 gdzie 0 jest odpowiednim kątem we współrzędnych kulistych. Szukamy zatem pola wytwarza nego przez ładunek o gęstości powierzchniowej P cos 0 , rozmieszczony na powierzchni kuli. Ale pole dla takiego rozkładu ładunku już obliczyliśmy w przykł. 3.9: F -—r cos 6 dla r < R, 3*o V (r, 0) = P R3 dla r > R. ------- cos 0 3*o >*2 Ponieważ rcosO —z, więc pole wewnątrz kuli jest jednorodne, E= - W = -
— -P 3*o
dla r < R.(4.14
3^o
Ten ciekawy rezultat będzie bardzo użyteczny w naszych dalszych rozważaniach. Na zewnątrz kuli potencjał pokrywa się w zupełności z potencjałem idealnego dipola umieszczonego w środ ku kuli
V= — ~ 47 t £0
dla/->/?.
(4.15)
rktórego moment dipolowy równy jest — jak tego można się spodziewać — całkowitemu mo mentowi dipolowemu kuli
Linie pola dla jednorodnie spolaryzowanej kuli przedstawione są na rys. 4.10.
Zadanie 4.10. W kuli o promieniu R polaryzacja dana jest wzorem P(r) = kr, gdzie k jest pewną stałą, a r jest wektorem o początku w środku kuli. (a) Obliczyć gęstości ładunków związanych a,w i p,„. (b) Znaleźć pole wewnątrz i na zewnątrz kuli.
197
4.2. POLE CIAŁA SPOLARYZOWANEGO
Zadanie 4.11. Krótki walec o promieniu a i długości L ma „wmrożoiią” jednorodną polary zację P, równoległy do jego osi. Znaleźć gęstości ładunków związanych i naszkicować pole elektryczne dla (i) L » a, (ii) L <£ a i (iii) L & a. [Taki układ nazywa się elektretem sztabkowym; jest to elektryczny odpowiednik magnesu sztabkowego. W praktyce okazuje się, że jedynie nieliczne materiały są w stanie utrzymać trwałą polaryzację elektryczną — najszerzej znanym przykładem jest tu tytanian baru. Z tego właśnie powodu nie można kupić elektretu w sklepie z zabawkami.) Zadanie 4.12. Obliczyć potencjał wytwarzany przez jednorodnie spolaryzowaną kulę (przykł. 4.2), korzystając bezpośrednio ze wzoru (4.9).
4.2.2. Fizyczna interpretacja ładunków związanych W poprzednim paragrafie stwierdziliśmy, że pole elektryczne wytwarzane przez ciało spolaryzowane pokrywa się z polem, jakie dawałyby „ładunki związane” o rozkładach orzw i p/w. Doszliśmy do tego wniosku na drodze formalnych przekształceń całek występujących we wzorze (4.9), przez co interpretacja fizyczna ładunków związanych jest niejasna. W istocie można odnieść wrażenie, że niektórzy autorzy uważają ładunki zwią zane za twór fikcyjny — jako pewną notację upraszczającą obliczanie pól. Otóż trudno o coś bardziej odległego od prawdy: p7W i cr7W przedstawiają jak najbardziej rzeczywi ste rozkłady ładunku. W tym paragrafie chciałbym wyjaśnić, w jaki sposób polaryzacja prowadzi do pojawienia się takich ładunków. - +- +- + - + - + - ♦ -
+
Rys. 4.11
Zasadnicza koncepcja jest bardzo prosta: Przypuśćmy, że mamy długi ciąg dipoli, jak to przedstawiono na rys. 4.11. W tym ciągu koniec każdego dipola znosi ładunek na początku poprzedniego dipola, pozostają jednak dwa nieskompensowanc ładunki: do datni po prawej stronie i ujemny po lewej. Daje to taki sam efekt, jakbyśmy oderwali elektron na początku układu i przenieśli go aż na koniec, choć w istocie żaden elek tron nie został przesunięty, tylko wiele mikroskopijnych przesunięć dało w sumie efekt odpowiadający jednemu dużemu przesunięciu. Nieskompensowany ładunek na końcach nazywamy ładunkiem związanym, aby pamiętać, że nie można go usunąć; w dielek tryku każdy elektron jest związany z jakimś atomem lub cząsteczką. Jednak oprócz tego zastrzeżenia ładunki związane niczym nic różnią się od innych ładunków. Aby obliczyć wartość ładunku związanego pojawiającego się w wyniku danej pola ryzacji, rozważmy element dielektryka w formie walca, którego oś jest równoległa do P. Moment dipolowy małego wycinka walca przedstawionego na rys. 4.12 wynosi P(Ad), gdzie A jest powierzchnią przekroju walca, a d jest długością wycinka. Wyrażając ten moment dipolowy przez ładunek na końcach {q), otrzymujemy ąd. Ładunek związany pojawiający się na prawym końcu walca wynosi zatem ą = PA.
198
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
d
Rys. 4.12
Rys. 4.13
Jeśli końce zostały ścięte prostopadle, to powierzchniowa gęstość ładunku wynosi
Dla cięcia ukośnego (rys. 4.13) wartość ładunku pozostaje taka sama, ale A = ^końca cos$> zatem
Rys. 4.14
4.2.
POLL CIAŁA SPOLAKYZOWANhCiO
199
rozumowania, co w poprzednim przypadku), tak więc J Pzwdr
v
5
v
Ponieważ zależność ta jest słuszna dla dowolnej objętości, otrzymujemy Pzw = - V • P, co znów potwierdza wnioski otrzymane w bardziej formalny sposób w paragrafie 4.2.1.
Przykład 4.3 Pole jednorodnie spolaryzowanej kuli (przykł. 4.2) można otrzymać w inny sposób, który dobrze ilustruje koncepcję ładunków związanych. Mamy tak naprawdę do czynienia z dwiema kulami ładunku: kulą z ładunkiem dodatnim i kulą z ładunkiem ujemnym. Jeśli nie ma polaryzacji, to obie kule nakładają się na siebie i ładunki całkowicie się znoszą. Jeśli jednak materiał jest jednorodnie spolaryzowany, to wszystkie ładunki dodatnie przesuwają się nieznacznie w górę (wzdłuż osi z), a wszystkie ładunki ujemne przesuwają się nieznacznie w dół (rys. 4.15). Dwie kule już się nie pokrywają: u góry pojawia się „czapa" nieskompensowanego ładunku dodatniego, a na dole podobna „czapa" nieskompensowanego ładunku ujem nego. Ładunki te to właśnie związane ładunki powierzchniowe o gęstości powierzchniowej cr/w.
+
Rys. 4.15
W zadaniu 2.18 należało obliczyć pole w obszarze przekrywania się dwóch jednorodnie naładowanych kul; odpow iedź miała następującą postać: E = ____ !__ —
47tf0 ’ gdzie (j jest całkowitym ładunkiem dodatnio naładowanej kuli, d jest wektorem od środka ujemnie naładowanej kuli do środka dodatnio naładowanej kuli, a R jest promieniem kuli. Wynik ten możemy wyrazić przez polaryzację kuli, p = c/d = (|it/?3)P, jako
20U
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
Dla punktów leżących na zewnątrz pole jest takie, jakby cały ładunek każdej z kul był skupiony w środku odpowiedniej kuli. Pole będzie zatem polem dipolu, z potencjałem danym wzorem 1 p f V = ----- — . 4jX6o /'2 (Należy pamiętać, że d jest wielkością małą w porównaniu z płomieniem atomu; rys. 4.15 przedstawia całą sytuację z wielką przesadą.) Wynik oczywiście zgadza się z wynikiem uzy skanym w przykł. 4.2.
Zadanie 4.13. Bardzo długi walec o promieniu a spolaryzowany jest jednorodnie, przy czym wektor P jest prostopadły do osi walca. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz walca. Pokazać, że pole na zewnątrz walca opisane jest wzorem E(r) = ~ [ 2 ( P s ) s - P | . 2 *o*[Ostruinie: Walec jest spolaryzowany „jednorodnie”, a nic „radialnie”!] Zadanie 4.14. Jeśli spolaryzujemy obojętny elektrycznie dielektryk, to nastąpi pewne prze mieszczenie ładunku, ale całkow ity ładunek pozostanie równy zeru. Powinno to znaleźć swoje odbicie w wyrażeniach na gęstości alw i p/w. Korzystając z równań (4.11) i (4.12), udowodnić, że całkowity ładunek związany jest równy zeru.
4.2.3. Pole w dielektryku Do tej pory nie przykładaliśmy zbytniej wagi do rozróżniania między dipolami „ideal nymi” a dipolami „fizycznymi”. Rozwijając teorię ładunków związanych, założyliśmy, że mamy do czynienia z dipolami idealnymi — początkiem naszych rozważań było równanie (4.8), które jest wzorem na potencjał dipola idealnego. A jednak prawdziwy spolaryzowany dielektryk składa się z dipoli fizycznych, choć są one niezmiernie małe. W dodatku założyliśmy, że dyskretne dipole cząsteczek można opisać ciągłą funkcją P. Jak można uzasadnić takie podejście? Dla punktów leżących na zewnątrz, dielektryka argument jest prosty: znajdujemy się w dużej odległości od cząsteczek (7£ jest wielokrot nie większe od odległości między ujemnymi i dodatnimi ładunkami w cząsteczkach), tak więc człon dipolowy zdecydowanie dominuje nad innymi wkładami i „ziarnistość” źró dła pola ulega zatarciu. Trudno jednak uznać, abyśmy w punktach wewnątrz dielektryka znajdowali się daleko od wszystkich dipoli, w związku z czym podejście zastosowane w paragralie 4.2.1 może zostać całkiem zasadnie zakwestionowane. W istocie, jeśli się chwilę nad tym zastanowić, pole elektryczne w materii na po ziomie mikroskopowym musi być niesłychanie skomplikowane. Jeśli przypadkiem znaj dziemy się bardzo blisko elektronu, to pole jest nadzwyczaj silne, jednak w niedużej odległości od tego punktu może być słabe lub skierowane w zupełnie innym kierunku. Co więcej, chwilę później, kiedy atomy przesuną się, pole całkowicie się zmieni. Ob liczenie tego prawdziwego pola mikroskopowego byłoby zupełnie niemożliwe. Nawet
201
4.2. POLE CIAŁA SPOLARYZOWANEGO
jednak gdyby nam się to udało, to pole takie nie byłoby dla nas zbytnio przydatne. Po dobnie jak w przypadku wody, którą w zastosowaniach makroskopowych traktujemy jak ośrodek ciągły, ingorując jej strukturę molekularną, tak i w przypadku dielektryka mo żemy zignorować mikroskopowe fluktuacje pola elektrycznego wewnątrz materii i skon centrować się na polu makroskopowym. Pole to jest zdefiniowane jako średnie pole na obszarze wystarczająco dużym, aby znajdowało się w nim wiele tysięcy atomów (przez co uśrednione zostaną nieciekawe fluktuacje mikroskopowe), a jednak na tyle małym, abyśmy nie wyeliminowali żadnych istotnych wielkoskalowych zmian pola. (W praktyce oznacza to, że należy uśredniać po obszarach znacznie mniejszych od wymiarów rozwa żanego ciała.) Właśnie to makroskopowe pole mają ludzie na myśli, gdy mówią o polu elektryczny iii w materii.3
: • •:
'MW
Rys. 4.16
Pozostaje nam pokazanie, że w podejściu przedstawionym w paragrafie 4.2.1 rze czywiście otrzymujemy pole makroskopowe. Argument na poparcie tej tezy jest dość subtelny. Przypuśćmy, że chcemy obliczyć makroskopowe pole w jakimś punkcie r we wnątrz dielektryka (rys. 4.16). Wiemy, że należy w tym celu uśrednić prawdziwe (mi kroskopowe) pole po odpowiednim obszarze, narysujmy więc małą kulę wokół punktu r, o promieniu, powiedzmy, tysiąc razy większym od wielkości cząsteczki. Wtedy pole ma kroskopowe w punkcie r składa się z dwóch części: uśrednionego po kuli pola wszystkich ładunków na zewnątrz, kuli i uśrednionego pola wszystkich ładunków wewnątrz kuli: E = E7tfW“ł" ^wew• Udowodniliśmy jednak w zad. 3.4Id, że uśrednione po kuli pole pochodzące od ładunków na zewnątrz kuli jest równe polu, jakie ładunki te wytwarzają w środku kuli, a więc. Ezcw jest równe polu, jakie w punkcie r wytwarzają dipole leżące na zewnątrz kuli. Znajdują się one wystarczająco daleko, abyśmy mogli bezpiecznie korzystać ze wzoru (4.9): K ■P(r') 1 d r'. (4.17) Vzew n4tcć0
/
na zewnątrz kuli
3Jeśli pomysł wprowadzenia pól makroskopowych wydaje się komuś podejrzany, to chcę zwrócić uwagę, że mówiąc o gęstości materii, odwołujemy się do dokładnie takiej samej procedury uśrednienia.
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
202
Dipole wewnątrz kuli znajdują się zbyt blisko, aby potraktować je w podobny sposób. Na szczęście potrzebne jest nam tylko średnie pole, które dane jest wzorem (3.105) K•wew
i
p
47teo niezależnie od szczegółów rozkładu ładunku wewnątrz kuli. Jedyną istotną wielkością jest całkowity moment dipolowy p = (-tt/?3) P:
Założyliśmy jednak, że kula jest na tyle mała, aby wewnątrz niej P nie zmieniało się znacząco, a zatem człon nie uwzględniony w całce (4.17) odpowiada polu w środku jednorodnie spolaryzowanej kuli, czyli —(l/3eo)P (równanie (4.14)), to znaczy ma do kładnie taką wartość, ile wynosi wkład od Ewcw (równanie (4.18))! Zatem potencjał pola makroskopowego ma postać (4.19) gdzie całka obejmuje całą objętość dielektryka. Tym właśnie wzorem posłużyliśmy się w paragrafie 4.2.1; nie zdając sobie nawet z tego sprawy, użyliśmy prawidłowego wzoru na uśrednione pole makroskopowe w punktach wewnątrz dielektryka. Do pełnego przyswojenia sobie przedstawionego wyżej rozumowania konieczne może być powtórne przeczytanie kilku ostatnich paragrafów. Zauważmy, że całe ro zumowanie oparte jest na fakcie, iż pole uśrednione po dowolnej kuli (pochodzące od ładunków wewnątrz kuli) jest takie samo, jak pole w środku jednorodnie spolaryzo wanej kuli z tym samym całkowitym momentem dipolowym. Tak więc jeśli interesuje nas tylko makroskopowe (uśrednione) pole, to niezależnie od tego, jak bardzo skompli kowany jest prawdziwy mikroskopowy rozkład ładunku, możemy zastąpić go gładkim rozkładem idealnych dipoli. W dowodzie w istotny sposób korzystamy z faktu, że obszar, po którym uśredniamy, jest kulą, trudno sobie jednak wyobrazić, aby pole makroskopowe zależało od geometrii obszaru uśredniania, co jest zresztą odzwierciedlone w ostatecz nym rezultacie, czyli równaniu (4.19). Przypuszczalnie można przeprowadzić taki sam dowód w przypadku, gdy pole jest uśredniane po sześcianie lub elipsoidzie — obliczenia będą prawdopodobnie bardziej skomplikowane, ale wniosek pozostanie ten sam.
4.3. Pole indukcji elektrycznej 4.3.1. Prawo Gaussa w obecności dielektryków W podrozdziale 4.2 stwierdziliśmy, żc polaryzacja prowadzi do pojawienia się ładun ków związanych o gęstości pzw = —V • P wewnątrz dielektryka i
203
4.3. POLE INDUKCJI ELEKTRYCZNEJ
dłem są ładunki związane, i pole, którego źródłem są wszystkie pozostałe ładunki (które z braku innego dobrego określenia nazywać będziemy ładunkami swobodnymi). Ła dunkami swobodnymi mogą być na przykład elektrony w przewodniku lub jony umiesz czone w ośrodku dielektrycznym; mogą to być dowolne ładunki, które nie są wynikiem istnienia polaryzacji. Całkowitą gęstość ładunku w dielektryku możemy zatem zapisać w postaci P = Plw + A w. (4.20) wobec czego prawo Gaussa przybiera postać CqV E “ p = Pw 4” Psw
V • P -|- psw,
gdzie E jest teraz całkowitym natężeniem pola elektrycznego, a nie tylko natężeniem wytworzonym przez polaryzację. Wygodnie jest połączyć człony z dywergencją: V • (e0E -I- P) = psw. Wyrażenie w nawiasie, oznaczone literą D, [) - f0E + P,
(4.21)
nazywa się wektorem indukcji elektrycznej. Zapisując prawo Gaussa z użyciem wek tora D, otrzymujemy V D = psw
(4.22)
^ I) • da = Qsw wcw,
(4.23)
lub w postaci całkowej
przy czym Qsw wcw oznacza całkowity ładunek swobodny, znajdujący się wewnątrz ob szaru ograniczonego powierzchnią całkowania. Jest to bardzo dogodny sposób wyrażenia prawa Gaussa w obecności dielektryków, ponieważ odwołuje się on jedynie do ładunków swobodnych, a my mamy wpływ właśnie na ładunki swobodne. Ładunki związane są czymś wtórnym: kiedy rozmieścimy ładunki swobodne, wówczas na skutek działania mechanizmów opisanych w podrozdziale 4.1 pojawi się automatycznie jakaś polaryza cja, która z kolei spowoduje wystąpienie ładunków związanych. W typowym zagadnieniu znać będziemy zatem psw, ale nie będziemy znać (przynajmniej na początku) p/AV; równa nie (4.23) pozwala nam od razu rozpocząć obliczenia z tymi informacjami, które są dane w warunkach zadania. W szczególności, jeśli problem wykazuje odpowiednią symetrię, możemy natychmiast obliczyć D z prawa Gaussa za pomocą standardowych metod.
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
20 4
Przykład 4.4 Długi prosty drut, naładowany jednorodnie z gęstością liniową a , otoczony jest gumową izolacją. Promień warstwy izolacji wynosi a (rys. 4.17). Znaleźć indukcję elektryczną w tym układzie.
Rys. 4.17 Rozwiązanie: Rysując walcową powierzchnię Gaussa o promieniu s oraz długości L i korzy stając z równania (4.23). otrzymujemy D(2nsL) = AL. Zatem D = — §. (4.24) 2ns Zauważmy, że wzór ten jest słuszny zarówno w obszarze wypełnionym izolacją, jak i poza nim. Poza izolacją P = 0, tak więc E = —D — ------ s ćo
dla s > a.
2 tz€0s
Wewnątrz izolacji natężenie pola elektrycznego pozostaje nieznane, nic wiemy bowiem, jaka jest wartość P.
Ktoś mógłby odnieść wrażenie, że przy wyprowadzaniu równania (4.22) pominę liśmy powierzchniowe ładunki związane o gęstości powierzchniowej crzw i do pewnego stopnia jest to prawda. Nie możemy stosować prawa Gaussa dokładnie na powierzchni dielektryka, ponieważ w tym miejscu pzw ma osobliwość, podobnie jak dywergencja E. Ale dla każdego innego obszaru wywód jest bez zarzutu, a jeśli wyobrazimy sobie, że brzeg dielektryka jest w istocie obszarem o skończonej grubości, gdzie polaryzacja zbiega w sposób ciągły do zera (co jest prawdopodobnie bardziej realistycznym modelem niż skokowa zmiana polaryzacji), to okaże się, że w ogóle nie ma związanych ładunków powierzchniowych; w „warstwie przejściowej” p7W zmienia się szybko, ale w sposób ciągły, i prawo Gaussa można ze spokojem stosować w całej przestrzeni. W każdym razie postać całkowa (równanie (4.23)) jest wolna od tego „defektu”.
Zadanie 4.15. Powłoka kulista o znacznej grubości (promień wewnętrzny a i zewnętrzny b) wykonana jest z materiału dielektrycznego z „wmrożoną” polaryzacją
20 5
4.3. POLE INDUKCJI ELEKTRYCZNEJ
k _ r gdzie k jest stałą, a r jest odległością od środka powłoki (rys. 4.18). (W układzie tym nie występują ładunki swobodne.) Znaleźć dwiema różnymi metodami natężenie pola elektrycznego w trzech obszarach: (a) Znaleźć ładunek związany w tym układzie i obliczyć wytwarzane przez niego pole za pomocą prawa Gaussa (równanie (2.13)). (b) Posługując się równaniem (4.23) znaleźć D, a następnie obliczyć E z równania (4.21). [Zauważmy, że druga metoda znacznie szybciej prowadzi do wyniku i nie wymaga znajomości ładunków związanych.J
P(r) = - r,
okrągła płytka Rys. 4.18
Rys. 4.19
Zadanie 4.16. Przypuśćmy, że natężenie pola elektrycznego wewnątrz dużego kawałka dielek tryka ma wartość E0, tak że indukcja elektryczna przybiera wartość D0 = 60E0+ P (a) Przyjmijmy teraz, że w materiale zrobiono małą kulistą wnękę (rys. 4.19a). Znaleźć natężenie pola elektrycznego w środku wnęki, wyrażone przez E0 i P. Znaleźć też indukcję elektryczną w środku wnęki, wyrażoną przez D<>i P. (b) Wykonać te same obliczenia dla wnęki w' kształcie igły. ustawionej równolegle do P (rys. 4.19b). (c) Wykonać te same obliczenia dla wnęki w kształcie cienkiej okrągłej płytki, ustawionej prostopadle do P (rys. 4.19c). [Należy założyć, że wnęki są na tyle małe, iż P, E0 i D0 są praktycznie jednorodne. Wska zówka: Wycięcie wnęki w dielektryku daje takie same efekty, jak „nałożenie" na dielektryk hipotetycznego ciała o tym samym kształcie, lecz przeciwnej polaryzacji.]
4.3.2. Zwodnicze podobieństwo Równanie (4.22) wygląda zupełnie jak prawo Gaussa, w którym całkowitą gęstość ła dunku p zastąpiono gęstością ładunku swobodnego /)8W, a zamiast c()E napisano I). Z tego powodu można by pomyśleć, że D jest „czymś w' rodzaju” co E (z dokładnością do czynnika e()), tyle tylko, że jego źródłem jest psw, a nic p. Ktoś mógłby powiedzieć:
206
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
„Aby rozwiązywać zagadnienia z dielektrykami, wcale nie trzeba pamiętać o ładunkach związanych. Wystarczy obliczyć pole w taki sposób, jak zwykle, tyle że wynik należy nazwać IX a nie E.” Jest to bardzo pociągające rozumowanie, niestety wniosek jest fałszywy: w szczególności, dla D nie ma „prawa Coulomba”: D ( r ) ^ ^ / ^ A s w(r' ) d r'Podobieństwa między E i D są bardziej subtelne. Różnica wynika z faktu, że znajomość dywergencji nie wystarcza do wyznaczenia pola wektorowego; trzeba jeszcze znać rotację. Niekiedy zapomina się o tym, ponieważ rotacja E jest zawsze równa zeru. Ale w przypadku rotacji O tak nie jest: V x D = €0(V x E) + (V x P) = V x P.
(4.25)
Nie ma w ogólności powodów do przypuszczenia, że rotacja P się zeruje. Niekiedy tak rzeczywiście jest, jak to pokazują przykł. 4.4 i zad. 4.15, ale znacznie częściej jest to nieprawda. Jednym z przykładów może być elektret sztabkowy z zad. 4.1 1: nie występują tu żadne ładunki swobodne, gdyby więc ktoś naprawdę wierzył, że jedynym źródłem I) jest psw, to musiałby przyjąć, że D = 0 w całej przestrzeni, z czym wiąże się E = (—l / 6 o)P wewnątrz sztabki i E = 0 na zewnątrz sztabki, co oczywiście jest złym wynikiem. (Pozostawiam czytelnikom znalezienie miejsca, w którym V x P ^ O w tym zagadnieniu.) Skoro V x D / 0, dodatkowo I) nie można przedstawić jako gradientu skalara — pole D nie ma „potencjału”. Dobra rada: Jeśli ktoś otrzyma za zadanie obliczenie indukcji elektrycznej, powi nien zbadać najpierw, czy problem ma jakąś symetrię. Dla zagadnień o symetrii sferycz nej, osiowej lub symetrii względem płaszczyzny pole D można otrzymać bezpośrednio z równania (4.23), za pomocą typowych metod stosowanych przy korzystaniu z prawa Gaussa. (Oczywiście w takich przypadkach V x P jest automatycznie równe zeru, skoro jednak symetria wystarcza do otrzymania rozwiązania, nie musimy już zajmować się rotacją.) Jeśli takiej symterii nie ma, to konieczne będzie zastosowanie innej metody, nie wolno jednak zakładać, że pole D jest określone wyłącznie przez ładunek swobodny.
4.3.3. Warunki brzegowe (graniczne) Warunki brzegowe dla elektrostatyki podane w paragrafie 2.3.5 można wyrazić przez pole D. Równanie (4.23) określa wartość skoku składowej prostopadłej do granicy ośrod ków - Dpod = "sw (4-26) a równanie (4.25) określa wartość skoku składowej równoległej: D id -D !L =
pL
- Piled-
(4.27)
W obecności dielektryka warunki te są niekiedy bardziej użyteczne niż odpowiednie warunki brzegowe dla E (równania (2.31) i (2.23)): 1
207
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
EL
^ = 0 .
(4.29)
Zachęca się czytelników do zastosowania tych warunków na przykład w zad. 4.16 i 4.17.
Zadanie 4.17. Dla clcktrctu sztabkowcgo z zadania 4.11 wykonać rysunki rozkładu trzech wielkości: P, E i D. Przyjąć, że L jest w przybliżeniu równe 2a. [Wskazówka: Linie pola E kończą się na ładunkach; linie pola I) kończą się na ładunkach swobodnych.]
4.4. Dielektryki liniowe 4.4.1. Podatność elektryczna i przenikalność elektryczna W podrozdziałach 4.2 i 4.3 nie interesowało nas, jakie były przyczyny pojawienia się P; zajmowaliśmy się jedynie skutkami występowania polaryzacji. Jednak z jakościowej dyskusji w podrozdziale 4.1 wiemy, że polaryzacja dielektryka jest zwykle wynikiem działania pola elektrycznego, które zmienia orientację atomowych lub cząsteczkowych dipoli. Dla wielu materiałów polaryzacja jest w istocie proporcjonalna do natężenia pola, o ile E nie jest zbyt silne: P = e0 XcE. (4.30) Współczynnik proporcjonalności Xe nazywa się podatnością elektryczną ośrodka (czyn nik €q został wydzielony osobno, aby Xe było bezwymiarowe.) Wartość Xe zależy od mikroskopowej struktury danego materiału (a także od warunków zewnętrznych, na przy kład temperatury). Materiały, dla których słuszne jest równanie (4.30), będziemy nazy wać dielektrykami liniowymi.4 Zauważmy, że E w równaniu (4.30) jest natężeniem całkowitego pola elektrycznego; może ono pochodzić częściowo od ładunków swobodnych, a częściowo od samej pola ryzacji. Jeśli na przykład umieścimy kawałek dielektryka w zewnętrznym polu Eq, to nie będziemy mogli obliczyć P bezpośrednio z równania (4.30); pole zewnętrzne spola ryzuje ośrodek, a polaryzacja spowoduje powstanie dodatkowego pola, które dodaje się do całkowitego pola, a to z kolei modyfikuje polaryzację itd ... Przerwanie tego ciągu zależności nie zawsze jest łatwe, o czym przekonują nas podane dalej przykłady. Naj prostszym rozwiązaniem jest użycie pola indukcji elektrycznej D, które można otrzymać bezpośrednio z rozkładu ładunku swobodnego. W ośrodkach liniowych D ^ 6 ()E + P -
6 qE
-I- 6 ()XeE = 6()(1 + Xe)E,
(4.31)
4We współczesnej optyce coraz ważniejszą rolę odgrywają materiały nieliniowe. Dla takich ma teriałów wzór na P jako funkcję E zawiera dodatkowy człon — zwykle jest to człon trzeciego rzędu. W ogólnym przypadku równanie (4.30) można uważać za pierwszy nie znikający człon rozwinięcia Taylora dla P względem potęg E.
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
208
a więc D również jest proporcjonalne do E: D = f E,
(4.32)
* = *o (l + Xc)-
(4.33)
gdzie Nowa stała e nazywa się przenikalnością elektryczni} ośrodka. (W próżni, gdzie nie ma materii, którą można by spolaryzować, podatność elektryczna jest równa zeru, a przenikalność elektryczna jest 6 q. Z tego powodu 6 o nazywana jest przenikalnością elek tryczną próżni. Niezbyt lubię tę nazwę, ponieważ sugeruje ona, że próżnia jest jakimś szczególnym rodzajem dielektryka liniowego, w którym przenikalność elektryczna ma wartość 8,85 • 10~ 12 C 2 /(N*m2).) Jeśli usuniemy czynnik e0, to otrzymamy bezwymia rową wielkość €r = 1 + Xe = — .
(4.34)
^0
która nazywa się względną przenikalnością elektryczną5 ośrodka. Względne przenikalności elektryczne niektórych często spotykanych substancji zostały zebrane w tabeli 4.2. Oczywiście przenikalność elektryczna i względna przenikalność elektryczna nie zawie rają żadnej nowej informacji w porównaniu z podatnością elektryczną, również w rów naniu (4.32) nie ma niczego szczególnie nowego; cała fizyka dielektryków liniowych zawarta jest w równaniu (4.30).6
Tabela 4.2. Względne przenikał nuści elektryczne różnych substancji (jeśli nie podano inaczej, to wartości odnoszą się do ciśnienia I atm i temperatury 20°C). Źródło: Handbook of Chemistry and Physics, wyd. 78 (CRC Press, Inc., Boca Raton 1997) Substancja
Względna przenikalność elektryczna
Substancja
Względna przenikalność elektryczna
Próżnia Hel Neon Wodór Argon Powietrze (suche) Azot Para wodna (100°C)
1 1,000065 1,00013 1,00025 1,00052 1,00054 1,00055 1,00587
Benzen Diament Sól Krzem Metanol Woda Lód ( - 3 0 C) KTaNb03 (0°C)
2,28 5,7 5,9 11,8 33,0 80,1 99 34000
5W niektórych podręcznikach można jeszcze spotkać termin stała dielektryczna (przyp. red.). 6Jeśli już oddajemy się temu szaleństwu nowych oznaczeń i nie zawsze potrzebnej terminologii, to może warto wspomnieć, że równaniu wyrażające D przez E (w przypadku dielektryków liniowych — równanie (4.32)) nazywają się równaniami materiałowymi.
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
2 09
Przykład 4.5 Metalowa kula o promieniu a naładowana została ładunkiem Q (rys. 4.20). Kula otoczona jest powłoką z dielektryka liniowego o przenikalności elektrycznej 6 ; promień powłoki wynosi b. Znaleźć różnicę potencjałów między środkiem kuli a punktem w nieskończoności.
Rys. 4.20 Rozwiązanie: Aby obliczyć V. musimy znać E; aby znaleźć E, musimy wpierw wyznaczyć ładunki związane; moglibyśmy to zrobić, posługując się polaryzacją P, ale nie możemy obliczyć P. jeśli nic znamy E (równanie (4.30)). Wygląda to na błędne koło. Wiemy jednak, ze ładunek swobodny ma wartość Q. a układ ma symetrię sferyczną, możemy zatem spróbować obliczyć D, korzystając z równania (4.23):
Q D = -— -r 4-n:r2
dla wszystkich punktów r > a.
(Oczywiście wewnątrz metalowej kuli E = P = D = 0.) Kiedy znamy już D, bardzo łatwo możemy obliczyć E, korzystając z równania (4.32):
Q - r. ------
dla a < r < /?, 4irćr2 S -r u dla r > b. i. 4jce0r 2 Zatem różnica potencjałów między środkiem kuli a punktem w nieskończoności wynosi
E=
00
= — ( - 1- + ż — 4tt \ € (ib
h
oc
ea
a
L)
eb )
Okazało się, że nie musieliśmy obliczać polaryzacji ani gęstości ładunków związanych w jawnej postaci, choć w tym przypadku nie jest to trudne: P = e«XcE =
4tt er2**
w dielektryku, a zatem f t. = - V P = 0.
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
210
= P ń=
na powierzchni zewnętrznej,
Aneb1 -*oXc Q
na powierzchni wewnętrznej. Anea1 Zauważmy, że powierzchniowy ładunek związany dla r — a jest ujemny (wektor n jest skiero wany na zewnątrz w stosunku do dielektryka, czyli zgodnie z + r dla /- — b i —r dla r — a). Jest to zrozumiałe, ponieważ ładunek na metalowej kuli przyciąga ładunki o przeciwnym znaku we wszystkich cząsteczkach dielektryka. To właśnie ta warstwa ładunku ujemnego powoduje zmniejszenie wartości natężenia pola w dielektryku z (l/47te0)(Q /r2)r do (l/4n€)(Q /r2)r. Pod tym względem dielektryk zachowuje się raczej jak niedoskonały przewodnik: gdyby po włoka była wykonana z przewodnika, to wyindukowany ładunek powierzchniowy miałby war tość wystarczającą do całkowitego skompensowania pola ładunku Q w obszarze a < r < b\ w obecności dielektryka efekt jest podobny, choć kompensacja jest jedynie częściowa.
Wydawać się może, że w przypadku dielektryków liniowych analogia między E i D nie jest obciążona trudnościami, o których wspominaliśmy wcześniej. Skoro P i D są teraz proporcjonalne do E, to czyż nie wynika z tego, że ich rotacje powinny się zerować, tak jak rotacja E? Niestety tak nie jest, ponieważ całka krzywoliniowa z P po krzywej zamkniętej biegnącej po obu stronach granicy między ośrodkami niekoniecznie jest równa zeru, choć całka z E po tej samej krzywej musi się zerować. Wynika to stąd, że współczynnik 6 oXc jest różny po obu stronach powierzchni granicznej. Na przykład na granicy między spolaryzowanym dielektrykiem i próżnią (rys. 4.21) P jest równe zeru tylko po jednej stronie. Dla pętli pokazanej na rys. 4.21 § P dl / 0, a zatem zgodnie z twierdzeniem Stokesa rotacja P nie może być równa zeru we wszystkich punktach pętli (w istocie jest ona nieskończona na powierzchni granicznej). P =0 próżnia dielektryk ------------►----------P*o Rys. 4.21
Oczywiście, jeśli przestrzeń jest całkowicie wypełniona jednorodnym 7 dielektrykiem liniowym, to powyższe zastrzeżenie traci moc; w tym dość szczególnym przypadku V • D = psw
i
V x D = 0,
tak więc znając rozkład ładunków swobodnych, można obliczyć D, nie zważając na obecność dielektryka: D = €(}Epr<5żni’
7Ośrodek jednorodny to ośrodek, którego właściwości (w tym przypadku podatność elektryczna) nie zależą od położenia.
211
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
gdzie Epr(y/nj jest natężeniem pula elektrycznego, jakie dany rozkład ładunków swobod nych wytworzyłby w pustej przestrzeni. Zgodnie z równaniami (4.32) i (4.34) mamy zatem E=
D= Epróżni • (4.35) € *r Wniosek: Gdy cała przestrzeń wypełniona jest jednorodnym dielektrykiem liniowym, to natężenie pola elektrycznego jest w każdym punkcie redukowane o czynnik równy odwrotności względnej przenikalności elektrycznej (w istocie dielektryk nie musi wypeł niać całej przestrzeni: w punktach, w których wartość pola jest równa zeru, obecność die lektryka nie ma znaczenia, ponieważ lak czy inaczej nie wystąpi tam żadna polaryzacja.) Na przykład, jeśli ładunek swobodny ą zostanie umieszczony w dużym kawałku dielektryka, to jego pole będzie wyrażać się wzorem q* (4.36) :r 4ue r 2 (we wzorze występuje e, a nie fo) i siła, jaką będzie działać na sąsiednie ładunki, ulegnie proporcjonalnemu zmniejszeniu. Nie oznacza to jednak, że prawo Coulomba przestało obowiązywać; oznacza to tyle, że polaryzacja ośrodka częściowo „ekranuje” ładunek, otaczając go ładunkami związanymi przeciwnego znaku (rys. 4.22) . 8 1
E =
Rys. 4.22
Przykład 4.6 Kondensator płaski (rys. 4.23) w ypełniony jest m ateriałem izolacyjnym o w zględnej przenikal ności elektrycznej er. Jaki w pływ na pojem ność kondensatora m a obecność dielektryka? Rozw iązanie: Poniew aż pole ograniczone je st do przestrzeni m iędzy okładkam i kondensa tora, w ięc obecność dielektryka spowoduje zm niejszenie E — i różnicy potencjałów V — o 8W elektrodynamice kwantowej nawet próżnia może zostać spolaryzowana, co oznacza, że efektywny („zrenormalizowany”) ładunek elektronu zmierzony w laboratorium nie jest jego prawdziwym (..gołym”) ładunkiem; w istocie zależy on nawet nieznacznie od odległości!
2 12
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
^—
dielektryk
Rys. 4.23
czynnik l / e r. Zatem pojemność C = Q / V ulegnie zw iększeniu o czynnik równy względnej przenikalności elektrycznej, C = ^ r^ p r ó /n i-
( 4 .3 7 )
Jest to powszechnie stosowany sposób zwiększania pojemności kondensatorów.
W przypadku kryształów, których podatność na polaryzację zależy na ogół od kie runku9, równanie (4.30) należy zastąpić ogólnym liniowym związkiem P.X = e0(Xev,£ v 4- Xe,v Fy + Xcx;F z) Py = ^o(Xev, Fx H" Xev, Fy H" Xev;Fz)
( 4 .3 8 )
PZ = *0(Xe,v£ r + Xc:yE y + X e,.£ Z)
tak jak w przypadku cząsteczek asymetrycznych równanie (4.1) zostało zastąpione rów naniem (4.3). Dziewięć współczynników Xe„» Xełv . •. to współrzędne tensora podatno ści elektrycznej.
Zadanie 4.18. Przestrzeń między okładkami kondensatora płaskiego (rys. 4.24) wypełniona jest dwiema warstwami dielektryka liniowego. Każda warstwa ma grubość a (odległość mię dzy okładkami kondensatora wynosi 2a). Materiał w warstwie 1 ma względną przcnikalność elektryczną równą 2 , a materiał w warstwie 2 ma względną przcnikalność elektryczną równą 1,5. Gęstość ładunku swobodnego na górnej okładce równa jest
213
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
+a
warstwa I warstwa 2
Rys. 4.24
(b) Z naleźć natężenie pola elektrycznego E w każdej warstwie.
(c) Znaleźć polaryzację P w każdej warstwie. (d) Znaleźć różnicę potencjału między okładkami kondensatora. (e) Określić rozkład wszystkich ładunków związanych. (f) Znając rozkład wszystkich ładunków (swobodnych i związanych), wykonać niezależne obliczenie natężenia pola w każdej warstwie i porównać wynik z odpowiedzią uzyskaną w punk cie (b). Zadanie 4.19. Przypuśćmy, że dysponujemy jedynie taką ilością materiału dielektrycznego o względnej przenikalności elektrycznej er, aby wypełnić przestrzeń między okładkami kon densatora płaskiego do połowy (rys. 4.25). O jaki czynnik zwiększy się pojemność, gdy die lektryk rozmieścimy w sposób pokazany na rys. 4.25a? A jaka będzie zmiana dla konfiguracji pokazanej na rys. 4.25b? Znaleźć E, D i P w każdym z obszarów, jeśli dana jest różnica po tencjałów między okładkami V. Znaleźć też w obu przypadkach ładunki swobodne i związane na wszystkich powierzchniach.
Rys. 4.25
Zadanie 4.20. W kuli o promieniu R wykonanej z dielektryka liniowego o względnej przenikal ności elektrycznej eTwytworzony został jednorodny rozkład ładunków swobodnych />. Znaleźć różnicę potencjałów między środkiem kuli a punktem w nieskończoności.
4. HULA tLtKI KYCZNt W MAIbKII
214
Zadanie 4.21. Kabel koncentryczny składa się z drutu miedzianego o promieniu a, otoczonego miedzianą rurką o wewnętrznym promieniu c (rys. 4.26). Przestrzeń między drutem a rurką jest częściowo (od r = b do r = c) wypełniona dielektrykiem o względnej przenikalności elektrycznej er, jak to przedstawiono na rysunku. Znaleźć pojemność przypadającą na jednostkę długości kabla.
4.4.2. Zagadnienia brzegowe w obecności dielektryków liniowych W jednorodnym dielektryku liniowym gęstość ładunku związanego (pzw) jest propor cjonalna do gęstości ładunku swobodnego (pSw) ‘ 10 P,w = - V ■P = - V • ( e o - D ) - -
f t.-
(4-39)
W szczególności, jeśli wewnątrz dielektryka nic ma ładunków swobodnych, to p = 0, a zatem nieznikająca gęstość ładunku może wystąpić jedynie na powierzchni. W ta kim przypadku potencjał w dielektryku spełnia równanie Laplace’a i można skorzystać z całej maszynerii omawianej w rozdziale 3. Wygodnie jest jednak przeformułować wa runki brzegowe tak, aby występowały w nich tylko rozkłady ładunków swobodnych. Z równania (4.26) wynika, że e„ad £ nXad - fpodEŹod = <*iw
(4.40)
lub w języku potencjału a v nad dn
a\/p0d _ epod dn ~
(4.41)
przy czym na granicy między ośrodkami sam potencjał jest oczywiście ciągły (równanie (2.34)): Vnad = VW (4.42) 10Stwierdzenie to nic stosuje się do ładunków powierzchniowych (crzw), ponieważ z oczywistych powodów na brzegu dielektryka nie można uznać za niezależne od położenia.
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
215
Przykład 4.7 Kula wykonana z jednorodnego dielektryka liniowego została umieszczona w jednorodnym ze wnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E0 (rys. 4.27). Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz kuli.
Rozwiązanie: Zadanie to przypomina przykł. 3.8, w którym nie naładowana przewodząca kula umieszczona była w jednorodnym polu zewnętrznym. W tamtym przypadku indukowany ładu nek całkowicie kompensował pole E0 wewnątrz kuli; wr dielektryku kompensacja (wynikająca z obecności ładunków związanych) jest jedynie częściowa. Naszym zadaniem jest rozwiązanie równania Laplace’a dla 0), gdy r < tf, i V/cw(r, 0 ), gdy r > R, przy następujących warunkach brzegowych: (i) (ii) (iii)
= Vm , gdy r - R , d Vzew avwew 6 ------ - en . gdy r - R . dr dr V -> —E0r cos 0, gdy / ^ R v zew
(Drugi z tych warunków wynika z równania (4.41), ponieważ na powierzchni kuli nie ma ładunków swobodnych.) Wewnątrz kuli zgodnie z równaniem (3.65) mamy 30
V«.(r, 0) = J 2 A' r‘Pi(cos9);
(4.44)
/=0
natomiast na zewnątrz kuli, biorąc pod uwagę warunek (iii), mamy (4.45)
6) - - E 0r cos 6 + /=n r
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
216
Warunek brzegowy (i) wymaga, by
1=0
A, R'r, (cos 0) - - E 0RcosO + £ ~ /=o
P,(c°s0),
tak więc11 A>R‘ = - ^
d l a / ^ ‘By A\R — —E0R + — .
(4.46)
Z drugiej strony, z warunku (ii) otrzymujemy J *
_
6r y
JX ;
Pj (cos $) = —£ ocos0 —^
!=0
1=0
/ /
1
J \ £
— — — P^cosO),
RH*
tak więc , .
(/ +
1)
£ ,
€rłAiR ~l = ——-T-JI — —* 0 —
dla / ^
1,
2 *.
(4.47)
fl3
Wynika stąd A, = B,= 0
d la /^ 1 . (4.48)
Ostatecznie otrzymujemy i/ / n\ 3£o a 3E0 vVw(r, 0 ) = ------— r cos 9 = ------- - z, er + 2 er -H 2 a zatem pole wewnątrz kuli jest jednorodne: E - e, + 2 E”
(4.49)
co jest rezulatem dość zaskakującym.
Przykład 4.8 Przypuśćmy, że cala półprzestrzeń z < 0 na rys. 4.28 wypełniona jest jednorodnym dielektry kiem liniowym o podatności elektrycznej xe. Obliczyć siłę działającą na ładunek punktowy q znajdujący się w punkcie (0 , 0 , d). "Jak pamiętamy, P|(cost9) = cos0, a współczynniki dla każdego / muszą być równe, co można udowodnić, mnożąc obie strony przez Pr (cos0)sin#, całkując od 0 do n i korzystając z ortogonalności wielomianów Legendre’a (równanie (3.68)).
217
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
Rozwiązanie: Powierzchniowy ładunek związany na płaszczyźnie xy ma przeciwny znak niz q, a zatem ładunek punktowy będzie przyciągany przez dielektryk. (Zgodnie z równaniem (4.39) w układzie tym nie wystąpią objętościowe ładunki związane.) Obliczmy najpierw a/vv, korzy stając z równań (4.11) i (4.30): ff„ = P ń = P! = foXc£:, gdzie E. jest z-ową składową całkowitego pola tuż przy powierzchni dielektryka, dla z = 0. Pole to w części pochodzi od ładunku ą, a w części od ładunku związanego. Zgodnie z prawem Coulomba ten pierwszy wkład ma postać \ q n 1 ąd --------------cos 0 —---------------------------- , 4tt6() (r 2 -f d2) 4tt60 (r2 + d2)i/2 gdzie r = yjx2 4- y2 jest odległością od początku układu. Tymczasem z-owa składowa pola wytwarzanego przez ładunek związany równa jest —
/
Xo
\
qd
2^VXe + 2 ) (r2-+d*yr--
(4.50)
Jeśli nie brać pod uwagę czynnika x d ( x c + 2), to jest to dokładnie taki sam wynik jak dla ładunku indukowanego w podobnej sytuacji na nieskończonej przewodzącej płaszczyźnie (rów nanie (3.10) ) . 12 Całkowity ładunek związany wyraża się zatem wzorem
(4.51)
12W pewnych sytuacjach przewodnik może być traktowany jako graniczny przypadek dielektryka liniowego, /c — ►oc. Jest to często użyteczny sposób sprawdzania rozwiązania czytelnik może go zastosować na przykład w przykł. 4.5, 4.6 i 4.7.
218
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
Moglibyśmy oczywiście obliczyć natężenie pola wytwarzanego przez rozkład
4jrt'o \Jx2 + y2 + (z - d)2
Z drugiej strony, ładunek postaci
(<7
+
y/x2 + y2 -T- U + tfj2
(4.52)
+ qrw) w punkcie (0, 0, d) generuje w obszarze z < 0 potencjał 1
V = ----4Tte0
q + c//w V^-T2 + >’2 H" (z —
(4.53)
Dodając potencjały dane wzorami (4.52) i (4.53), otrzymujemy funkcję, która spełnia równanie Poissona z ładunkiem punktowym q znajdującym się w (0, 0, d)y zeruje się w nieskończoności, jest ciągła na powierzchni granicznej z = 0 i której pochodna normalna ma na tej powierzchni skok odpowiadający ładunkowi powierzchniowemu azw: J / \ q
—ćo
Wnioskujemy stąd, że jest to poszukiwany przez nas potencjał dla tego układu. Siła działająca na q wyraża się zatem wzorem 4rce0 (2d)2
4jre0 \ Xc + 2 / M 2
(4.54)
Nie próbowaliśmy tu podać żadnej przekonującej motywacji na rzecz równań (4.52) i (4.53) — tak jak we wszystkich zastosowaniach metody obrazów, zasadniczym argumentem na rzecz jakiegoś potencjału jest fakt, iż jest on rozwiązaniem danego problemu: spełnia równanie Po issona i odpowiednie warunki brzegowe. Oczywiście znajdowanie odpowiednich układów ła dunków obrazowych nie opiera się jedynie na zgadywaniu. Można tu podać przynajmniej dwie heurystyczne zasady: (I) Ladunki-obrazy nie mogą znajdować się w obszarze, w którym chcemy obliczyć potencjał. (Równanie (4.52) przedstawia potencjał dla z > 0, a ładunek obraz q7Wznaj duje się w punkcie z = —d, w przypadku potencjału dla z < 0 (równanie (4.53)) ładunek-obraz (q 4- qzw) znajduje się w punkcie z = 4-d.) (2) Suma wszystkich ładunków-obrazów musi mieć w każdym obszarze odpowiednią wartość. (Dlatego wiedzieliśmy, że należy użyć ładunku q/w do reprezentowania potencjału w obszarze z < 0 i ładunku (q + q,w) w obszarze z > 0 .)
Zadanie 4.22. Bardzo długi walec, wykonany z dielektryka liniowego, umieszczono w jed norodnym zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E0. Oś walca jest prostopadła do E„. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz walca. Promień walca wynosi a, a podatność elektryczna / e.
4 .4 .
D IE L E K T R Y K I
219
L IN IO W E
Zadanie 4.23. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wewnątrz kuli wykonanej z dielektryka liniowego, umieszczonej w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu Eu (przykł. 4.7). Zastosować metodę kolejnych przybliżeń: w pierwszym przybliżeniu przyjąć, że natężenie pola wewnątrz kuli jest po prostu E0 i posłużyć się równaniem (4.30) do oblicze nia polaryzacji P(, wywołanej tym polem. Polaryzacja ta wytworzy własne pole o natężeniu E, (przykł. 4.2), które z kolei zmodyfikuje polaryzację o wkład Ph co spowoduje zmianę natężenia pola elektrycznego o wkład E2 itd. Sumaryczne natężenie pola elektrycznego otrzymujemy, do dając wszystkie wkłady E0 -f E, -f E 2 H---- . Obliczyć sumę tego szeregu i porównać otrzymany wynik z równaniem (4.49). Zadanie 4,24. Nie naładowana przewodząca kula o promieniu a pokryta została gruhą kulistą warstwą izolacji (o względnej przenikalności elektrycznej równej er) sięgającą r = b. Taki układ został następnie umieszczony w jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E0. Znaleźć natężenie pola elektrycznego w warstwie izolacji. ! Zadanie 4.25. Przypuśćmy, że w przykł. 4.8 obszar nad płaszczyzną xy również jest wypełniony liniowym dielektrykiem, który jednak ma inną podatność elektryczną xc- Znaleźć potencjał w całej przestrzeni.
4.4.3. Energia w układach z dielektrykami Naładowanie kondensatora wymaga wykonania pracy (równanie (2.55)): W = \C V 2. Jeśli kondensator jest wypełniony dielektrykiem liniowym, to — jak stwierdziliśmy w przykł. 4.6 — jego pojemność jest większa od pojemności kondensatora w próżni o czynnik równy względnej przenikalności elektrycznej,
Praca konieczna do naładowania kondensatora wypełnionego dielektrykiem zwiększa się o taki sam czynnik. Powód jest dość oczywisty: musimy wprowadzić większy ładunek (swobodny), aby uzyskać tę samą różnicę potencjałów, ponieważ pole jest do pewnego stopnia kompensowane przez ładunki związane. W rozdziale 2 wyprowadziliśmy ogólny wzór na energię zmagazynowaną w dowol nym układzie elektrostatycznym (równanie (2.45)): W = y y E2 dr.
(4.55)
Przykład kondensatora wypełnionego dielektrykiem sugeruje, że dla układów zawiera jących dielektryki liniowe wzór ten powinien przybrać postać
220
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
Aby ten wzór udowodnić, załóżmy, że dielektryk spoczywa, a do układu wprowadzane są w małych porcjach ładunki swobodne. Jeśli psw zostanie zwiększone o ópsw, to zmieni się również polaryzacja, a wraz z nią rozkład ładunków związanych; my jednak jesteśmy zainteresowani jedynie pracą wykonaną nad wprowadzanym ładunkiem swobodnym
SW = J(Spsv/)V dr.
(4.56)
Ponieważ V D = psw, ópsw = V • (ÓD), gdzie ÓD jest przyrostem indukcji D, więc SW = J [V • (5D)]Vdr. Ponieważ V • [(ÓD)V] = [V • (ÓD)] V + ÓD • ( W ) , więc po scałkowaniu przez części dostajemy SW =
J
V • [(<5D) VI d r +
J
(SD) ■E d r.
Na mocy twierdzenia o dywergencji pierwszy człon możemy zapisać jako całkę po wierzchniową, która znika, jeśli całkujemy po całej przestrzeni. Dochodzimy zatem do wniosku, żc wykonana praca jest równa SW = j (SD) • E d r.
(4.57)
Jak dotąd nasze rozumowanie stosuje się do dowolnego ośrodka. Jeśli jednak ośrodek jest liniowym dielektrykiem, to D = eE, a więc dla przyrostów infinitezymalnych mamy ±S(D • E) = j<$(e£2) = e(<$E) • E = (<$D) • E. Zatem SW = s ( ^ J D E d r J . Wynika stąd, że całkowita praca wykonana przy zwiększaniu ładunku swobodnego w układzie od zera do końcowej konfiguracji wynosi zgodnie z oczekiwaniem13 W = i J D E dr.
(4.58)
Może wydać się zaskakujące, że równanie (4.55), które wyprowadziliśmy w roz dziale 2 przy dość ogólnych założeniach, nie jest słuszne w obecności dielektryków n Być może kogoś zastanawia, dlaczego nic posłużyliśmy się prostszym sposobem, opartym na metodzie z paragrafu 2.4.3. wychodząc od W = | f p ^ V d r. Wynika to z faktu, że wzór ten w ogólnym przypadku jest nieprawdziwy. Jeśli przyjrzymy się wyprowadzeniu równania (2.42), to zrozumiemy, że odnosi się ono jedynie do całkowitego ładunku. Tak się składa, że dla dielektryków liniowych wzór ten pozostaje słuszny osobno dla ładunków' swobodnych, ale nie jest to oczywiste a priori, a najłatwiej jest to pokazać, wychodząc ze wzoru (4.58).
221
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
i zostaje zastąpione równaniem (4.58). Rzecz w tym, że żadne z tych równań nie jest nieprawdziwe, jedynie dają one odpowiedź na nieco odmienne pytania. Różnice są dość subtelne, zacznijmy więc od samego początku: Co rozumiemy przez „energię układu”? Odpowiedź: Jest to praca konieczna do utworzenia danego układu. Bardzo dobrze, ale gdy w grę wchodzą dielektryki, możemy wyobrazić sobie dwa zupełnie odmienne spo soby tworzenia układu: (1) Wprowadzamy pęsetą małymi porcjami wszystkie ładunki (swobodne i związane) i przyklejamy je w odpowiednim miejscu. Jeśli tak właśnie ro zumiemy „tworzenie układu”, to energia układu dana będzie wzorem (4.55). Zauważmy jednak, że w ten sposób nie zostaje uwzględniona praca konieczna do rozciągnięcia i ob rócenia cząsteczek dielektryka (jeśli wyobrazimy sobie, że dodatnie i ujemne ładunki w dielektryku są powiązane mikroskopijnymi sprężynkami, to we wzorze tym nie bę dzie uwględniona energia sprężynek, \ k x 2, związana z polaryzacją każdej cząsteczki) . 14 (2) Mając w układzie niespolaryzowany dielektryk, wprowadzamy małymi porcjami ła dunki swobodne, pozwalając dielektrykowi na dostosowanie się do ich obecności. Jeśli to właśnie rozumiemy przez „tworzenie układu” (i tak zwykle jest, ponieważ na ogół przesuwamy właśnie ładunki swobodne), odpowiednim wzorem jest równanie (4.58). Wówczas energia „sprężynek” jest uwzględniona, choć w sposób pośredni, ponieważ siła, jaką musimy podziałać na swobodne ładunki, zależy od rozkładu ładunków zwią zanych; w trakcie przemieszczania ładunków swobodnych automatycznie naciągamy te „sprężynki”. Mówiąc inaczej, w metodzie (2) całkowita energia układu składa się z trzech części: energii elektrostatycznej ładunków swobodnych, energii elektrostatycznej ładun ków związanych i energii „sprężynek”: W całk =
W sw "ł" W zw 4 “ ^sprężynek*
Ostatnie dwa człony znoszą się wzajemnie (w procedurze (2) ładunki związane zawsze są w równowadze, a zatem sumaryczna praca wykonana nad nimi jest równa zeru); więc w metodzie (2 ) wyznaczamy w istocie dostajemy jednak VV2 ałk, podczas gdy w metodzie (I) wyznaczamy Wsw+W™, jednak pomijamy lVspr^ ynck. Niekiedy można spotkać się ze stwierdzeniem, że równanie (4.58) pozostaje słuszne nawet dla dielektryków nieliniowych, jednak jest to nieprawda: przekształcenia równa nia (4.57) wymagają założenia o liniowości. W istocie dla układów nieliniowych samo pojęcie „energii zgromadzonej w układzie" traci sens, ponieważ praca zależy nie tylko od ostatecznej konfiguracji, ale też od tego, w jaki sposób doszło do jej powstania. Na przykład, jeśli przyjmiemy, że na „sprężynki” w cząsteczkach może działać pewna siła tarcia, to człon ^sprężynek można uczynić dowolnie dużym, gromadząc ładunki w taki sposób, żc sprężynki muszą rozciągnąć się i kurczyć wiele razy, zanim zosta nie osiągnięty stan końcowy. Nonsensowne rezultaty otrzymujemy na przykład wtedy, gdy próbujemy zastosować wzór (4.58) do elektretów z wmrożoną polaryzacją (patrz zad. 4.27). 14„Sprężynka” może mieć charakter elektromagnetyczny, ale w dalszym ciągu nie jest uwzględniana we wzorze (4.55), jeśli za E przyjąć pole makroskopowe.
222
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
Zadanie 4.26. Na kulistym przewodniku o promieniu a zgromadzono ładunek Q (rys. 4.29). Przewodnik otoczony jest kulistą powloką z dielektryka liniowego o podatności elektrycznej Xe> sięgającego r = b. Znaleźć energię tego układu (wzór (4.58)).
Rys. 4.29 Zadanie 4.27. Obliczyć W dla kuli o promieniu R z wmrożoną jednorodną polaryzacją P (przykł. 4.2), posługując się zarówno równaniem (4.55), jak i wzorem (4.58). Wyjaśnić różnicę między otrzymanymi wynikami. Czy którykolwiek z tych wyników odpowiada „prawdziwej" energii układu?
4.4.4. Siły działające na dielektryki Stwierdziliśmy uprzednio, że przewodnik umieszczony w polu elektrycznym jest wcią gany przez pole (równanie (2.51)). Z dielektrykiem jest podobnie, podobne też są przy czyny tego zjawiska: ładunki związane gromadzą się w pobliżu ładunków swobodnych o przeciwnym znaku. Jednak obliczenie sił działających na dielektryk wcale nie jest trywialne. Rozważmy przykład płytki z liniowego dielektryka, wsuniętej częściowo mię dzy okładki kondensatora płaskiego (rys. 4.30). Zawsze przyjmowaliśmy, żc pole mię dzy okładkami kondesatora płaskiego jest jednorodne, a na zewnątrz kondensatora jego wartość jest równa zeru. Gdyby rozkład pola naprawdę miał dokładnie taką postać, to sumaryczna siła działająca na dielektryk byłaby równa zeru, ponieważ wektor natężenia pola elektrycznego byłby wszędzie prostopadły do płytki. W rzeczywistości jednak linie pola na brzegu kondensatora zakrzywiają się i wybiegają w przestrzeń, tworząc „ob wódkę” wokół krawędzi okładek. (W istocie pole nie może urywać się nagle na brzegu kondensatora, ponieważ wtedy całka krzywoliniowa z E po pętli pokazanej na rys. 4.31 nic będzie równa zeru.) To właśnie niejednorodne pole w lej obwódce wciąga dielektryk do kondensatora. Natężenie pola w obszarze wokół krawędzi okładek kondensatora jest zwykle trudne do obliczenia; na szczęście możemy całkowicie uniknąć wykonywania tego rachunku, stosując następującą pomysłową metodę. Niech W oznacza energię układu — zależy ona oczywiście od stopnia nakładania się płytki dielektryka i okładek kondensatora. Jeśli
223
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
V
Rys. 4.30
wyciągając płytkę dielektryka z kondensatora, przesunę ją u in fiuitezy mai ną odległość dr, to energia układu zmieni się o wykonaną pracę: ÓW = fja d r,
(4.59)
przy czym Fyd jest siłą, jaką muszę podziałać na płytkę, aby zrównoważyć siłę elek-
224
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
tryczną F działającą na dielektryk: jąca na płytkę jest równa
Wynika stąd, że siła elektryczna działa ^^ F=
(4.60)
dx '
Energia zgromadzona w kondensatorze równa jest w = l e v 2,
(4.61)
a pojemność kondensatora dana jest wzorem
c
=
—
(€ f* -
a
X e * ),
(4.62)
gdzie / jest długością okładek kondensatora (rys. 4.30). Załóżmy, że przy przesuwaniu dielektryka na okładkach utrzymywany jest stały całkowity ładunek Q (Q = CV). Wyrażając pracę przez ładunek, mamy W= - — , 2 C
(4.63)
tak więc dW dx
1 Q1 dC 2 C 2 dx
,d C - V 2— . 2 dr
(4.64)
Ale dC d.r ~
€0XeW d ’
a zatem F-
^
W V2
(4.65)
(Znak minus oznacza, że siła zwrócona jest przeciwnie do orientacji osi x\ dielektryk jest wciągany do kondensatora.) Zauważmy, że gdybyśmy próbowali obliczyć siłę za pomocą równania (4.61) (tzn. przy stałym V), a nie równania (4.63) (stałe Q), to otrzymalibyśmy wyrażenie
które ma przeciwny znak. Oczywiście jest możliwe utrzymywanie stałego potencjału na kondensatorze, na przykład przez podłączenie go do baterii. Jednak w takim przypadku przy przesuwaniu dielektryka bateria również wykonuje pracę\ zamiast więc równa nia (4.59), mamy wtedy dW = Fjadx + VdQ, (4.66) gdzie V dQ jest pracą wykonaną przez baterię. Wynika stąd, że F = - ™ + V ‘l R = _ i v adC dr dr 2 dr
v2dC = 1 2dC dr 2 d r’
(4.67)
225
4.4. DIELEKTRYKI LINIOWE
co pokrywa się dokładnie (włącznie ze znakiem) z równaniem (4.64). (Oczywiście siła działająca na dielektryk nie może zależeć od tego, czy planujemy utrzymywać stałe Q, czy V — siła zależy jedynie od rozkładu ładunków swobodnych i związanych. Jednak prościej jest obliczyć tę siłę przy założeniu, że Q jest stałe, ponieważ nie trzeba wtedy zastanawiać się na pracą wykonaną przez baterię; w końcu jednak w obu przypadkach otrzymujemy ten sam wynik.) Zauważmy, że mogliśmy określić siłę, nie wchodząc w szczegóły kształtu niejedno rodnego pola na brzegu kondensatora, które jest przecież odpowiedzialne za jej powsta nie! Oczywiście fakt, że V x E = 0 (i wynikająca z niego konieczność występowania niejednorodnego pola na brzegach kondesatora) wbudowany jest w całą strukturę clektrostatyki, całe rozumowanie opiera się więc na zręcznym wykorzystaniu wewnętrznej spójności całej teorii. Energia zgromadzona w niejednorodnym polu na brzegach kon densatora nic zmienia się przy przesuwaniu płytki dielektryka; zmianie ulega jedynie energia wewnątrz kondensatora, gdzie pole jest jednorodne.
Zadanie 4.28. Dwie długie współosiowe cylindryczne metalowe rury (rura wewnętrzna ma pro mień a, a zewnętrzna b) ustawione są pionowo w zbiorniku z dielektrycznym olejem (podatność elektryczna / L., gęstość p). Na wewnętrznej rurze utrzymywany jest potencjał V\ a zewnętrzna
Rys. 4.32
rura jest uziemiona (rys. 4.32). Na jaką wysokość (h) podniesie się poziom oleju w przestrzeni między rurami?
4. POLA ELEKTRYCZNE W MATERII
226
Zadania dodatkowe do rozdziału 4 Zadanie 4.29 (a) Dla układu opisanego w zad. 4.5 obliczyć: (a) siłę działającą na dipol p2, gdy źródłem pola jest dipol p,, (b) siłę działającą na dipol p,, gdy źródłem pola jest dipol p2. Czy wyniki są zgodne z trzecią zasadą dynamiki Newtona? (b) Obliczyć całkowity moment siły działający na dipol p>, przyjmując za punkt odniesienia środek dipola p,. Porównać ten wynik z momentem siły działającym na p, względem tego samego punktu. [Wskazówka: Połączyć wynik uzyskany w punkcie (a) z wynikami zad. 4.5.]
y
Rys. 4.33
Rys. 4.34
Zadanie 4.30. Dipol elektryczny o momencie dipolowym p, skierowanym zgodnie z osią >\ umieszczono pośrodku między dwiema dużymi przewodzącymi płytami, jak to przedstawiono na rys. 4.33. Każda płyta jest nachylona pod niewielkim kątem 0 do osi x. Na płytach utrzy mywane są potencjały ±V. Jak jest skierowana wypadkowa siła działająca na p? (Nie trzeba tu niczego obliczać, wystarczy wyjaśnić odpowiedź w sposób jakościowy.) Zadanie 4.31. W dielektryczny sześcian o boku a, którego środek leży w początku układu, „wmrożona” jest polaryzacja P = kry gdzie k jest pewną stałą. Znaleźć wszystkie ładunki związane i sprawdzić, że ich suma jest równa zeru. Zadanie 4.32. Ładunek punktowy q znajduje się w środku kuli o promieniu /?, wykonanej z liniowego dielektryka o podatności elektrycznej / c. Znaleźć natężenie pola elektrycznego, polaryzację i gęstości ładunków związanych />,w i
227
ZADANIA DODATKOWb DO ROZDZIAŁU 4
Zadanie 4.34. Punktowy dipol p znajduje się w środku kuli o prom ieniu K, wykonanej z die lektryka liniowego o w zględnej przcnikalności elektrycznej er. Znaleźć potencjał elektryczny wewnątrz i na zew nątrz kuli.
Odpowiedź :
pcosfl A 4rrfr1 \
0 3 (
(r < «);
pcosO / 47i^0r2 \
3 \ 4- 2 /
(r > tf)
Zadanie 4.35. Udowodnię następujące twierdzenie o jednoznaczności: Załóżmy, że w pewnej objętości V, zawierającej różnego rodzaju dielektryki liniowe, dany jest rozkład ładunku swo bodnego. Jeśli potencjał elektryczny jest zadany na powierzchni S obszaru V (w przypadku powierzchni w nieskończoności może to być warunek V = 0), to potencjał jest jednoznacznie określony w całej objętości V. [Wskazówka: Scałkować V •(V3D3) po obszarze V (por. dyskusja w paragrafie 3.1.6).]
[v0
0
U
0 b)
a) Rys. 4.35
Rys. 4.36
Zadanie 4.36. Przewodząca kula zanurzona jest w połowie w dielektryku liniowym o podatności elektrycznej xc>zajmującym obszar z < 0 (rys. 4.35). Potencjał na kuli ma wartość V0. Hipoteza: Potencjał w całej przestrzeni ma dokładnie taką samą wartość, jaką miałby, gdyby dielektryka nic było! Sprawdzić tę hipotezę w następujący sposob na) Zaproponować wzór na potencjał V(r) w tym układzie wyrażony przez V0, R i r. Posługując się tym wzorem, znaleźć natężenie pola elektryczngo, polaryzację, ładunki związane i ładunki swobodne na kuli. (b) Pokazać, że pełny rozkład ładunku rzeczywiście wytworzy potencjał V(r). (c) Zakończyć dowód, odwołując się do twierdzenia o jednoznaczości z zad. 4.35. (d) Czy w układach przedstawionych na rys. 4.36 słuszne będzie to samo wyrażenie na potencjał? Jeśli nie, wyjaśnić, dlaczego nie. Zadanie 4.37. Zgodnie z równaniem (4.5) siła działająca na pojedynczy dipol ma wartość (p • V)E, tak więc wypadkowa siła działająca na ciało dielektryczne ma wartość F — /(I* ’ V)E/CWdr,
(4.69)
gdzie EMWjest polem wytworzonym przez wszystko oprócz dielektryka. [Mogłoby się wyda wać, że nie miałoby znaczenia, gdybyśmy użyli całkowitego pola: ostatecznie dielektryk nie może działać siłą .sam no siebie. Ponieważ jednak natężenie pola w dielektryku jest nieciągłe na każdej powierzchni, na której znajdują się powierzchniowe ładunki związane, więc po chodna wprowadza niefizyczną funkcję delta, co wymaga dodawania kompensującego członu powierzchniowego. Lepiej więc posłużyć się funkcją Eww, która nie ma tego typu nieciągłości.! Posługując się równaniem (4.69), określić siłę działającą na niewielką kulkę o promieniu R, utworzoną z dielektryka liniowego o podatności elektrycznej / e, i znajdującą się w odległości s od cienkiego drutu naładowanego jednorodnie z gęstością liniową k.
228
4. POLA tLtKTRYCZNE W MATERII
Zadanie 4.38. W dielektryku linowym polaryzacja jest proporcjonalna do natężenia pola elek trycznego P = c0XeE. Jeśli materiał składa się z atomów lub cząsteczek nicpolarnych, to indukowany moment dipolowy na każdej z nich również jest proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego p = aE. Pytanie: Jaki jest związek między polaryzowalnością atomową a a po datnością elektryczną / c? Ponieważ polaryzacja P (moment dipolowy na jednostkę objętości) równa jest iloczynowi p (moment dipolowy na atom) i N (liczba atomów na jednostkę objętości), P = A/p = N aE, więc w piewszym odruchu chcielibyśmy napisać Na Xc = ---- •
(4.70)
W istocie, w przypadku małej gęstości jest to wynik zbliżony do prawdziwego. Jednak dokład niejsza analiza ujawnia subtelny problem. Wektor E w równaniu (4.30) reprezentuje całkowite pole makroskopowe w ośrodku, podczas gdy natężenie pola w równaniu (4.1) zawiera wkład od wszystkiego z wyjątkiem rozważanego atomu (polaryzowalność definiuje się dla izolowanego atomu poddanego działaniu określonego pola zewnętrznego). Nazwijmy to pole Eres/Ia. Wy obraźmy sobie, że przestrzeń przydzielona każdemu atomowi jest kulą o promieniu R. Należy pokazać, że
Na podstawie tego wyniku wnioskujemy, że _ /c ~
1
Na/e o - Na/ie0
lu b
(4.72) Równanie (4.72) znane jest jako wzór Clausiusa-Mossotticgo, a w zastosowaniach optycznych nazywa się je niekiedy równaniem Lorentza-Lorenza. Zadanie 4.39. Sprawdzić wzór Clausiusa-Mossottiego (równanie (4.72)) dla gazów wymienio nych w tab. 4.1. (Względne przenikalności elektryczne zebrane są w tab. 4.2.) (Gęstości w tym przypadku są tak małe, że równania (4.70) i (4.72) są nierozróżnialne. Dane doświadczalne potwierdzające poprawkę Clausiusa-Mossottiego podane są na przykład w' pierwszym wydaniu książki Purcella Electricity and Magnetism15. Zadanie 4.40. Równanie Clausiusa-Mossottiego (zad. 4.38) pozwala nam wyrazić podatność elektryczną substancji niepolarnej przez polaryzowalność atomową a. Z kolei równanie Lange vina pozwala nam wyrazić podatność elektryczną substancji polarnej przez trwały cząsteczkowy moment dipolowy p. Oto szczegóły: (a) Energia dipola w polu zewnętrznym o natężeniu E dana jest wzorem u = —p (równanie (4.6)); zmienia się ona w granicach od —pE do -fpE, w zależności od orientacji. Zgodnie z prawami mechaniki statystycznej, w przypadku substancji znajdującej się w rów nowadze termodynamicznej w temperaturze bezwzględnej T prawdopodobieństwo, że dana cząsteczka mieć będzie energię w, jest proporcjonalne do czynnika Boltzmanna exp(—u/kT). i<5E. M. Purcell, E le c tr ic ity a n d M a g n e tism (Berkeley Physics Course, t. 2), McGraw-Hill, New York
1963 [tłum. polskie: Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa 1971, s. 407].
229
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 4
Średnia energia dipoli wynosi zatem =
f ue~iM/kn du f e~Ut/kT) du
.
gdzie całkowanie przebiega od —pE do +pE. Posługując się tym wzorem, pokazać, że pola ryzacja substancji zawierającej N cząsteczek na jednostkę objętości wyraża się wzorem P = Np\cigh(pE/kT) - (kT/pE)\.
(4.73)
Jest to wzór Langcvina. Narysować wykres P/Np jako funkcji p E / k T . (b) Zauważmy, że dla silnych pól lub niskich temperatur niemal wszystkie cząsteczki mają zgodnie skierowane momenty dipolowe, a ośrodek jest nieliniowy. Zwykle jednak kT jest znacznie większe od pE. Pokazać, że przy takim założeniu ośrodek jest liniowy i obliczyć podatność elektryczną, wyrażając ją przez N, /;, T i k. Obliczyć podatność elektryczną wody w temperaturze 20°C i porównać wynik z wartością doświadczalną podaną w tabeli 4.2. (Mo ment dipolowy wody równy jest 6 ,1 •10 30 C-m.) Różnica okazuje się dość duża, ponieważ znów nie wprowadziliśmy rozróżnienia między E i Eres/ia. Lepszą zgodność otrzymujemy dla gazów rozrzedzonych, dla których różnica między E i Ercszla jest zaniedbywalna. Wykonać obliczenia na przykład dla pary wodnej w temperaturze 100 C i pod ciśnieniem 1 atm.
Rozdział 5
Magnetostatyka
5.1. Siła Lorentza 5.1.1. Pole magnetyczne Przypomnijmy podstawowy problem elektrostatyki: szukamy siły działającej na ładunek próbny Q, pochodzącej od zadanego zbioru ładunków q i, qi, ... (ładunków-żródeł) (rys. 5.1). Zgodnie z zasadą superpozycji wystarczy, jeśli będziemy potrafili obliczyć siłę pochodzącą od jednego ładunku źródła całkowita siła jest sumą wektorową sił pocho dzących od poszczególnych źródeł (rys. 5.1). Jak dotąd zajmowaliśmy się najprostszym przypadkiem — elektrostatyką, kiedy wszystkie źródła pozostają w spoczynku (jednak ładunek próbny nic musi spełniać tego warunku). Teraz nadszedł czas, by przedyskuto wać także siły pochodzące od poruszających się ładunków.
.Q •
#?3
ładunki-źródła
ładunek próbny Rys. 5.1
Żeby przybliżyć problem, wyobraźmy sobie następujące doświadczenie. Dwa prze wodniki zwisają z sufitu w odległości kilku centymetrów od siebie. Jeśli włączymy prąd w taki sposób, że płynie on przez jeden i powraca przez drugi, przewodniki odsuwają się od siebie, co świadczy o istnieniu siły odpychającej (rys. 5.2a). Jak to wyjaśnić? Można by sądzić, że bateria (czy jakiekolwiek inne źródło prądu) ładuje przewodniki i oddziaływanie między nimi jest po prostu odpychaniem elektrostatycznym. Jest to jed nak wyjaśnienie niepoprawne. Jeśli umieścimy w pobliżu tych przewodników ładunek próbny — nie będzie on doznawał z ich strony żadnych oddziaływań, lak więc prze wodniki są obojętne elektrycznie. (Prawdą jest, że poruszają się wzdłuż nich elektrony
23
LALUKtNIZA
,a tym przecież polega przepływ prądu elektrycznego — jednak w każdym duwolwybranym odcinku długości przewodnika znajduje się tyle samo poruszających się aronów co nieruchomych ładunków dodatnich). Co więcej, doświadczenie można eprowadzić w taki sposób, że prądy płyną w obu przewodnikach (rys. 5.2b) w tym nym kierunku, a wtedy przewodniki zamiast się odpychać — przyciągają się.
a) przewodniki, w których prąd płynie w przeciwnych kierunkach, odpychają się
b) przewodniki, w których prąd płynie w tym samym kierunku, przyciągają się
Rys. 5.2 Czymkolwiek by ona była, siła odpowiedzialna za przyciąganie się przewodników, w których płyną równolegle prądy, i za odpychanie, gdy prądy są antyrównoJegłc, nie je st siłą elektrostatyczną. Po raz pierwszy spotykamy się tu z siłą magnetyczną. Podczas gdy spoczywający ładunek wytwarza w otaczającej go przestrzeni pole elektrostatyczne scha rakteryzowane wektorem natężenia pola elektrycznego E, ładunek, który się porusza, wytwarza także pole magnetyczne scharakteryzowane wektorem indukcji magnetycznej B. Pole magnetyczne jest znacznie łatwiejsze do wykrycia niż pole elektryczne; w prak tyce potrzebny jest do tego zwykły kompas. Chwilowo nic jest istotne, jak on działa, wystarczy wiedzieć, że igła magnetyczna ustawia się wzdłuż lokalnego kierunku linii pola magnetycznego. Zwykle oznacza to kierunek ku północy, gdy chodzi o pole magnetyczne Ziemi, jednak w laboratorium, gdzie pole magnetyczne może być setki razy silniejsze, kompas pokazuje kierunek pola magnetycznego takiego, jakie tam istnieje.
232
5. MAGNETOSTATYKA
Jeśli niewielki kompas umieścimy w pobliżu przewodzącego prąd przewodnika, szybko zauważymy szczególną rzecz. Linie pola nie biegną od czy do przewodnika, ale okrążają go, tworząc okręgi. Gdy ujmiemy przewodnik w prawą dłoń w taki spo sób, by wyciągnięty kciuk wskazywał kierunek przepływu prądu, wtedy pozostałe palce okrążają przewodnik zgodnie z kierunkiem i zwrotem pola magnetycznego (rys. 5.3). Jak to się jednak dzieje, że takie pole powoduje przyciąganie się niemal równoległych przewodników z prądem? W miejscu, w którym znajduje się drugi z przewodników, pole magnetyczne wnika w płaszczyznę rysunku (rys. 5.4), prędkość poruszających się ładunków skierowana jest ku górze, natomiast siła działająca na przewodnik skierowana jest w lewo. Prawo łączące ze sobą tc kierunki jest całkiem odmienne od praw, które poznaliśmy w poprzednich rozdziałach! Wprowadzimy to prawo w następnym podroz dziale. Później, w podrozdziale 5.2 wrócimy do podstawowego pytania. Jak obliczyć pole magnetyczne wytworzone przez tc przewodniki?
/
/ V
przewodnik
1
przewodnik 2
Rys. 5.4
5.1.2. Siły magnetyczne Łatwo zauważyć, że kierunki i zwroty wektorów pokazanych na rys. 5.4 wiążą się ze sobą za pomocą iloczynu wektorowego. Siła działająca na ładunek Q poruszający się z prędkością v w polu o indukcji magnetycznej B jest dana wzorem 1 Fmag = Q (\ x B).
(5.1)
Nosi ona nazwę sity Lorentza. W obecności obu pól, elektrycznego i magnetycznego, siła wypadkowa działająca na ładunek Q jest równa F = Q(E + (v x B)). Ponieważ F i v są wektorami, B musi być pseudov/ektovem.
(5.2)
5.1. SIŁA LORENTZA
233
Równanie to jest taktem doświadczalnym, jego słuszności nie można udowodnić, na tomiast można je potwierdzić w eksperymencie, takim jak opisany w paragrafie 5.1.1. Naszym głównym zadaniem jest teraz znalezienie wektora indukcji B (a także natężę nia pola elektrycznego E dla bardziej skomplikowanego przypadku, gdy ładunki-żródła poruszają się). Zanim to jednak zrobimy, warto przyjrzeć się nieco bliżej samej sile Lo rentza. Jest to szczególny rodzaj siły i może być przyczyną bardzo dziwnych trajektorii cząstek naładowanych, poruszających się w polach elektrycznym i magnetycznym.
Przykład 5.1 Ruch cyklotronowy Podstawowym rodzajem ruchu cząstki naładowanej w polu magnetycznym jest ruch po okręgu, z siłą magnetyczną jako siłą dośrodkową. Na rysunku 5.5 jednorodne pole magnetyczne wnika wpłaszczyznę rysunku, ładunek porusza się w płaszczyźnie rysunku z prędkością u, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, po okręgu o promieniu /?, a siła magnetyczna (5.1) skierowana jest do środka okręgu będącego trajektorią cząstki i ma stałą wartość Q v B , dokładnie taką, jaka jest konieczna, by podtrzymać jednostajny ruch po okręgu : 2
Q v B = m ^ — lub p = QBK. (5.3) R gdzie m oznacza masę, a p = mv — pęd cząstki. Równanie (5.3) nazywane jest wzorem cyklotronowym, ponieważ opisuje ruch cząstki w cyklotronie — pierwszym zc współczesnych akceleratorów' cząstek naładowanych. Równanie to podaje prosty przepis na zmierzenie pędu naładowanej cząstki: należy wpuścić ją w pole magnetyczne, a następnie zmierzyć promień krzywizny jej toru. Jest to standardowy sposób mierzenia pędu naładowanych cząstek elemen tarnych.
Przyjęliśmy tu, żc cząstka porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do wektora indukcji B. Jeśli w chwili początkowej ma ona dodatkowo składową prędkości równoległą do B, to ruch w tym kierunku nie ulega zmianie wywołanej obecnością pola magnetycznego; cząstka porusza się wtedy po linii śrubowej (rys. 5.6). Promień krzywizny toru nadal jednak opisywany jest równaniem (5.3), z tą różnicą, że zamiast prędkości v występuje w nim jej składowa v± prostopadła do wektora indukcji B.
5. MAGNETOSTATYKA
234
Przykład 5.2 Ruch po cykloidzie Bardziej egzotyczne trajektorie pojawiają się wtedy, gdy dodatkowo włączymy jednorodne pole elektryczne prostopadłe do pola magnetycznego. Niech indukcja magnetyczna B będzie skie rowana w kierunku osi a*, a natężenie pola elektrycznego E w kierunku osi z kartezjańskiego układu współrzędnych, tak jak to pokazuje rys. 5.7. Naładowana cząstka początkowo spoczywa w początku układu współrzędnych. Jak będzie wyglądać jej trajektoria?
Rys. 5.7
Rozwiązanie: Spróbujmy najpierw zbadać ją jakościowo. Początkowo cząstka spoczywa, a więc pole magnetyczne nie wywiera na nią żadnego wpływu, natomiast pole elektryczne nadaje jej przyspieszenie w kierunku osi z. W miarę jak rośnie jej prędkość, zgodnie z równaniem (5.1) wzrasta wartość siły Lorentza działającej na cząstkę, zakrzywiającej jej trajektorię w prawo, a następnie w dół, ku osi y. Od tej chwili cząstka porusza się w kierunku przeciwnym do pola elektrycznego, które hamuje jej ruch, w konsekwencji maleje także wartość siły Lorentza; cząstka zatrzymuje się w położeniu a na osi y. Wtedy cały proces zaczyna się od nowa: cząstka ląduje w położeniu b itd. Teraz już możemy zająć się ilościowym opisem ruchu. Ponieważ w kierunku osi x nie działa żadna siła, położenie cząstki w chwili / można opisać wektorem (0. v(r), z(/)). Jej prędkość jest wtedy dana wektorem v = (0 , y , z) (kropki oznaczają pochodne po czasie). Tak więc X y z v x B= 0 y z B 0 0 a zatem na mocy drugiej zasady dynamiki Newtona
F = Q(E + v x B ) = Q(Ei + Bzy — By z) — ma = m(yy 4- zż). Zapisując powyższe równanie we współrzędnych kartezjańskich, mamy QBz = my,
QE - QBy — ml.
Wygodnie jest zdefiniować wielkość QB O) = -----. m
(5.4)
235
5.1. SILĄ LORENTZA
(Jest to częstość cyklotronowa, z jaką cząstka porusza się po linii śrubowej lub okręgu w nieobecności pola elektrycznego.) Równania ruchu przybierają postać
y —(oz,
(5.5)
Ich ogólne rozwiązań ie? ma postać E y(t) = C, cos (ot 4- C2 sintu/ 4- —t 4- C3 D z(t) = Ci cos cot —Ci sinatf 4- C4.
(5.6)
Stałe Ci, C2, C3 i C4 wyznaczamy korzystając z warunku początkowego; w chwili t = 0 cząstka spoczywa (>*(0 ) —ż(0 ) —0 ) w początku układu współrzędnych y(0 ) = z(0 ) = 0 ): E E (5.7) y(t) = (i)B — (/). Rozwiązanie zapisane w ten sposób nie daje zbyt dobrego wyobrażenia o charakterze ruchu, ale jeśli zdefiniujemy % ,5'8> i, korzystając z jedynki trygonometrycznej, wyeliminujemy sinusy i cosinusy, możemy przepisać je w postaci (y - Root)2 + (z - R)2 = R2. (5.9) Jest to równanie okręgu o promieniu R, którego środek (0, Real, R) porusza się wzdłuż osi y ze stałą prędkością £ u —coR — —. (5.10) B Cząstka porusza się więc tak, jak gdyby leżała na obwodzie okręgu toczącego się w kierunku osi y z prędkością v. Krzywa opisująca ten ruch nosi nazwę cykloidy. Zauważmy, że uśred niony ruch cząstki ma kierunek prostopadły do wektora natężenia pola elektrycznego E, a nie równoległy, jak można by w pierwszej chwili przypuszczać.
Jedna z własności siły Lorentza (równanie (5.1)) jest szczególnie osobliwa: Siły magnetyczne nie wykonują pracy. Jeśli ładunek Q przesunie się o dl — vdr, to wykonana praca równa jest cWmag = Fmag • dl = Q (\ x B ) - v d / = 0.
(5.1 1)
Jest tak dlatego, że v x B jest wektorem prostopadłym do v, a zatem (v x B) •v = 0. Siły magnetyczne mogą zmienić kierunek ruchu cząstki, nie mogą jednak zmienić wartości jej prędkości. Fakt, że siły magnetyczne nie wykonują pracy, jest podstawową, prostą 2Jcst to para sprzężonych równań różniczkowych, które można łatwo rozwiązać, różniczkując pierw sze i posługując się drugim w celu wyeliminowania z.
236
5. M A G N ETO STA TY K A
konsekwencją własności siły Lorentza. Istnieje jednak wiele sytuacji, w których fakt ten wydaje się tak jawnie fałszywy, że zaufanie do poprawności naszych wniosków może ulec zachwianiu. Kiedy magnetyczny żuraw podnosi kadłub złomowanego samochodu, coś oczywiście wykonuje pracę, i zaprzeczanie, że odpowiedzialne za to są siły magne tyczne wydaje się przewrotnością. Przewrotność to czy nie, kto musi — niech przeczy, to delikatna sprawa wyobrazić sobie, co zasługuje na nasze zaufanie w podobnych oko licznościach. Zanim zrobimy następny krok, przyjrzyjmy jeszcze się kilku przykładom.
Zadanie 5.1. Cząstka naładowana o ładunku q wpada w obszar jednorodnego pola magnetycz nego o indukcji B (wnikającego w płaszczyznę rysunku). Pole odchyla cząstkę na odległość d od początkowego kierunku ruchu, tak jak to pokazuje rys. 5.8. Czy ładunek jest ujemny, czy dodatni? Jaka jest wartość pędu cząstki? Należy wyrazić ją poprzez wielkości a, d, B oraz q.
obszar pola magnetycznego Rys. 5.8 Zadanie 5.2. Znaleźć i naszkicować trajektorię cząstki z zadania 5.2, przyjmując, że jej po czątkowa prędkość jest równa (a) v(0) = (E/B)y, (b) v(0) = (E/2B)y, (c) v(0 ) = (£ /fl)(y + ż). Zadanie 5.3. W roku 1897 J.J. Thomson „odkrył” elektron, mierząc stosunek ładunku do masy dla promieni katodowych (promienie katodowe to strumień elektronów o ładunku q i masie m) w następujący sposób: (a) Najpierw przepuszczał wiązkę promieni katodowych przez skrzyżowane jednorodne pola elektryczne i magnetyczne, E i B, prostopadłe zarówno do kierunku ruchu wiązki, jak i wzajemnie do siebie, tak dobierając wartość natężenia pola elektrycznego, żeby promienie katodowe nie odchylały się od pierwotnego kierunku ruchu. Jaka zatem musiała być wartość prędkości cząstek wyrażona przez wartości pól E i BI (b) Następnie wyłączył pole elektryczne i zmierzył promień R krzywizny toru wiązki, wy nikający z oddziaływania jedynie z polem magnetycznym. Jaka jest wartość stosunku ładunku do masy (q/m) wyrażona przez wielkości zmierzone w doświadczeniu, tzn. E, B i /??
5.1.3. Prądy Natężeniem prądu płynącego przez przewodnik nazywamy ładunek przepływający w jednostkowym czasie przez dany przekrój przewodnika. Z definicji, ładunki ujemne poruszające się w lewo dają taki sam wkład do natężenia prądu jak ładunki dodatnie,
23 7
5.1. SILĄ LORENTZA
poruszające się w prawo. Odzwierciedla to fizyczny fakt, że prawie wszystkie zjawiska związane z ruchem ładunków zależą od iloczynu wartości ładunku i jego prędkości. Jeśli zmienimy jednocześnie znak q i v, to nic się nie zmieni i zjawisko będzie przebiegać dokładnie tak samo. (Przykładem jest tu siła Lorentza; znanym wyjątkiem jest zjawisko Halla (zad. 5.39)). W praktyce na ogół to ujemne elektrony poruszają się w kierunku przeciwnym do kierunku przepływu prądu. Żeby uniknąć drobnych komplikacji, jakie to za sobą pociąga, często zakładamy, że poruszają się ładunki dodatnie, jak uważano przed stu laty, zanim Benjamin Franklin nie ustanowił swojej niefortunnej konwencji'. Natężenie prądu mierzone jest w kulombach na sekundę, czyli w amperach (A): 1A = lC /s.
(5.12)
Ładunek liniowy o gęstości X poruszający się z prędkością v (rys. 5.9) daje prąd 0 natężeniu / = Xvy (5 .1 3 ) ponieważ odcinek o długości vA t niosący ładunek XvAt przepływa przez punkt P w czasie A/. Ponieważ droga, po której płynie prąd, jest określona przez kształt prze wodnika, wiele osób nic zawraca sobie głowy wektorowym charakterem natężenia prądu I, jednak gdy chodzi o prądy powierzchniowe i objętościowe, nie możemy pozwolić so bie na taką niedbałość; aby zachować konsekwentną notację, dobrze jest od samego początku przyjąć tę konwencję. Zdefiniujemy wektor natężenia prądu*4 I = X\\
(5.14)
Obojętny elektrycznie przewodnik zawiera oczywiście tyle samo stacjonarnych ładun ków dodatnich, co ruchomych ładunków ujemnych. Pierwsze nie dają żadnego wkładu do prądu — gęstość ładunku X w równaniu (5.13) odnosi się wyłącznie do ładunków poruszających się. W nietypowej sytuacji, gdy oba rodzaje ładunków się poruszają, 1 = X + \ + + A._v_. 'Gdybyśmy nazwali elektron ładunkiem dodatnim, a proton — ujemnym, problem nigdy by nie powstał. W kontekście eksperymentów Pranklina z kocim futrem i szklanymi pałeczkami wybór znaku był całkowicie dowolny. 4Definicja ta odbiega od powszechnie przyjętych reguł, zgodnie z którymi wektorem jest gęstość prądu, a natężenie prądu, będące strumieniem wektora gęstości przez powierzchnię, jesr skalarem (przypis
tłum.).
5. MAGNETOSTATYKA
238
Siła magnetyczna działająca na odcinek przewodnika z prądem jest oczywiście równa Fmag =
J (y x B)d
B)d/.
(5.15)
Ponieważ natężenie prądu I i element długości dl mają ten sam kierunek i zwrot, równie dobrze możemy ją zapisać w postaci
F mag
—
/
/(dl x B).
(5.16)
Zwykle wartość natężenia prądu jest stała wzdłuż przewodnika i dlatego natężenie prądu można wyciągnąć przed znak całki: F mag
= / J(d\
X
B).
(5.17)
Przykład 5.3 Prostokątna, przewodząca ramka o masie m jest zawieszona pionowo; jej górny koniec znajduje się w obszarze jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B, które wnika w powierzchnię zacienionego obszaru na rys. 5.10. Jakie jest natężenie prądu płynącego przez przewodnik, przy założeniu, że siła magnetyczna jest skierowana do góry i równoważy skierowaną w dół siłę ciężkości?
Rys. 5.10 Rozwiązanie; Przede wszystkim prąd musi płynąć zgodnie z ruchem wskazówek zegara, żeby wektor (I x B) na odcinku poziomym był skierowany do góry. Wartość siły jest równa /*mug — I Ba, gdzie a jest szerokością ramki. (Siły magnetyczne działające na odcinki pionowe wzajemnie się równoważą.) Aby siła magnetyczna Fmag równoważyła ciężar ramki (mg), musi zachodzić / = “ Ba —
(5.18)
5.1. SIŁA LORENTZA
239
Wtedy właśnie ciężar wisi, unosząc się w powietrzu! Co będzie, jeśli zwiększymy natężenie prądu? Skierowana do góry siła magnetyczna staje się większa od siły ciążenia i ramka poru sza się w górę, unosząc ciężar. Ktoś lub coś wykonuje pracę i wygląda to tak, jakby to siła magnetyczna za to odpowiadała. Istotnie, kusi nas, by napisać Wmg = Ftmh = I B a h ,
(5.19)
gdzie h jest pionowym przesunięciem ramki. A przecież wiemy, że siły magnetyczne nigdy nie wykonują pracy. Więc jak to się dzieje? Kiedy ramka zaczyna się podnosić, ładunki w przewodniku już dłużej nie poruszają się po ziomo — ich prędkość opiócz składowej poziomej w związanej z przepływem prądu (/ —kw) zyskuje dodatkową składową pionową u, równą prędkości ramki (rys. 5.11). Siła magnetyczna, która jest zawsze skierowana prostopadle do prędkości, nie działa już dłużej pionowo, lecz odchyla się do tyłu. Jest ona prostopadła do wypadkowego przemieszczenia ładunku (które ma kierunek v); dlatego siła la nie wykonuje pracy nad ładunkiem ą. Ma ona składową pio nową (qwB)\ istotnie, wypadkowa siła działająca pionowo na cały ładunek ka znajdujący się w górnym odcinku ramki jest równa Fpjon = kawB = / Ba (5.20) (jak przedtem), ale teraz istnieje także składowa pozioma (ąuB), która hamuje przepływ prądu. Cokolwiek wprawia ładunki w ruch, musi teraz popychać je przeciw wstecznej składowej siły magnetycznej. ąuB
F
Rys. 5.11
Rys. 5.12
Pozioma składowa siły działającej na górny fragment ramki jest oczywiście równa FpoZ= kauB.
(5.21)
W czasie dr ładunek przemieszcza się w kierunku poziomym o u; dr, tak więc praca wykonana (przez baterię czy też prądnicę) jest równa ^ b a te rii
= kuB
I
uw dr = / Bałty
to znaczy dokładnie temu, co w równaniu (5.19) naiwnie przypisaliśmy sile magnetycznej. Czy praca została wykonana w tym procesie? Oczywiście! Co wykonało pracę? Bateria! Jaka jest zatem rola siły magnetycznej? Przekształca ona skierowaną poziomo siłę baterii w pionowy ruch ramki i ciężarka. Pomocne może być rozważenie analogii mechanicznej. Wyobraźmy sobie, że popychamy kufer po gładkiej pochylni, działając na niego siłą skierowaną poziomo (rys. 5.12). Siła reakcji
240
5. MAGNETOSTATYKA
podłoża (N) nie wykonuje pracy, ponieważ jest prostopadła do przesunięcia. Ale ma ona skła dową pionową (która w istocie podnosi kufer) i (skierowaną do tyłu) składową poziomą (którą, popychając kuter, musimy przezwyciężyć). Kto wykonuje pracę? My oczywiście — a przecież nasza siła (która jest skierowana poziomo) nie podnosi pudła (przynajmniej nie bezpośrednio). Siła reakcji podłoża odgrywa tę samą, bierną (chuć kluczową) rolę, jaką w przykładzie 5.3 spełniała siła magnetyczna; nie wykonując pracy, przekształca siłę czynnika aktywnego (nas albo baterii, w zależności od dyskutowanego przypadku) skierowaną poziomo w siłę skierowaną pionowo.
W przypadku ładunków płynących po powierzchni wprowadzamy pojęcie powierz chniowej gęstości prądu K, zdefiniowanej następująco. Rozważmy „pasek" o infinitezymalnej szerokości d/j_, równoległy do kierunku przepływu ładunku (rys. 5.13). Jeśli natężenie prądu płynącego przez pasek jest równe dl, to pow ierzchniowa gęstość prądu jest równa (5.22) Innymi słowy, K jest natężeniem prądu na jednostkę długości o kierunku prostopadłym do kierunku przepływu. W szczególności, jeśli powierzchniowa gęstość (ruchomego) ładunku jest równa a , a jego prędkość jest równa v, to K
=
(TV.
(5.23)
W ogólnym przypadku powierzchniowa gęstość prądu K jest różna w różnych punktach powierzchni w zależności od wartości a i/lub v. Siła magnetyczna działająca na prądy powierzchniowe jest równa (5.24) Sprzeciw: Tak jak natężenie pola elektrycznego E jest nieciągłe na naładowanych po wierzchniach, tak indukcja magnetyczna B jest nieciągła na powierzchniach, po których płyną prądy powierzchniowe. W równaniu (5.24) musimy uważać i posługiwać się uśred nioną indukcją pola, tak jak to robiliśmy w paragrafie 2.5.3.
\
Rys. 5.13
241
5.1. SILĄ LORENTZA
przepływ Rys. 5.14
Jeśli przepływ ładunku zachodzi w obszarze trójwymiarowym, definiujemy objęto ściową gęstość prądu, J. w następujący sposób. Rozważmy „tubę” o inłinitezymalnym przekroju poprzecznym da±, skierowaną równolegle do kierunku ruchu ładunków (rys. 5.14). Jeśli natężenie prądu płynącego w tej tubie jest równe dl, to objętościowa gęstość prądu jest równa
Innnymi słowy, J jest natężeniem prądu na jednostkę powierzchni prostopadłej do kie runku przepływu. Jeśli objętościowa gęstość (ruchomego) ładunku jest równa p, a pręd kość v, to (5.26) J = pySiła magnetyczna działająca na prąd objętościowy jest więc równa (5.27)
Przykład 5.4 (a) Prąd o natężeniu / płynie jednorodnie w przewodniku o przekroju kołowym o promieniu a (rys 5.15). Znaleźć objętościową gęstość prądu.
a
Rys. 5.15
Rys. 5.16
242
5. MAGNETOSTATYKA
Rozwiązanie: Pole powierzchni przekroju prostopadłego do kierunku przepływu jesl równe na2, a zatem
(b) Niech gęstość prądu będzie proporcjonalna do odległości od osi, J = ks (k jest stałą). Znaleźć całkowite natężenie prądu płynącego przez przewodnik. Rozwiązanie: Ponieważ J zmienia się z s, musimy scałkować równanie (5.25). Natężenie prądu płynącego przez obszar zacieniowany na rys. 5.16 jest równe J da±, a da± = s ds d
/
f 2nka* (ks)(sdsd
Zgodnie z równaniem (5.25) natężenie prądu płynącego przez powierzchnię S można zapisać jako I = J da. (5.28)
J jda^=f
3
3
(Iloczyn skalarny służy do wyłowienia odpowiedniej składowej da). W szczególności, całkowity ładunek wypływający w jednostce czasu z obszaru V jest równy
J • da = 5
J ( V ■J) dr. V
Ponieważ całkowity ładunek jest zachowany, cokolwiek wypływa przez powierzchnię, musi pomniejszać ładunek pozostały w środku:
/ ( V . J ) d r = - i / H r = - / ( ^ ) d2. V
V
V
(Znak minus odzwierciedla fakt, że wypływ ładunku zmniejsza ładunek pozostający w ob jętości V.) Równość ta jest prawdziwa dla dowolnej objętości, co oznacza, że
V J = -
Sp dt '
(5.29)
Jest to dokładne matematyczne sformułowanie lokalnej zasady zachowania ładunku. Jest ono nazywane równaniem ciągłości. Na przyszłe potrzeby zbierzmy naszą dotychczasową wiedzę w postaci „słownika” pozwalającego zapisać równania w formie odpowiedniej dla prądów punktowych, linio wych, powierzchniowych i objętościowych:
S.2. PRAWO BIOTA SAVARTA
24 3
(5.30) Z tej odpowicdniości, analogicznie do q ~ Ad/ ~ o da ~ p ó r dla różnych rozkładów ładunku, z podstawowego wyrażenia określającego siłę Lorentza (5.1) wynikają równania (5.15), (5.24) i (5.27).
Zadanie 5.4. Niech indukcja pola magnetycznego w pewnym obszarze dana będzie wyrażeniem B = kzx (gdzie k jest stałą). Znaleźć siłę działającą na prostokątną ramkę o boku a, przez którą płynie prąd o natężeniu I, położoną w płaszczyźnie yz tak, że jej środek pokrywa się z początkiem kartczjańskicgo układu współrzędnych. Prąd płynie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jeśli patrzymy wzdłuż osi x. Zadanie 5.5. Prąd płynie wzdłuż przewodnika mającego kształt walca o promieniu a. (a) Jaka jest powierzchniowa gęstość prądu K, jeśli prąd płynie jednorodnie w całej obję tości? (b) Jaka jest objętościowa gęstość prądu 7, jeśli jest ona odwrotnie proporcjonalna do odległości od osi? Zadanie 5.6 (a) Płyta gramofonowa jest jednorodnie naładowana powierzchniowo ładunkiem o gęstości cr. Jak gęstość prądu powierzchniowego K zależy odległości od środka r, jeśli płyta obraca się z prędkością kątową col (b) Jednorodnie naładowana całkowitym ładunkiem Q kula o promieniu R i środku poło żonym w początku układu współrzędnych obraca się ze stałą prędkością kątową oj wokół osi z. Znaleźć gęstość prądu J w punkcie kuli o współrzędnych (r, 0,
5.2. Prawo Biota-Savarta 5.2.1. Prądy stałe Stacjonarne ładunki wytwarzają pola elektryczne, które nie zmieniają się w czasie stąd bierze się nazwa elektrostatyka.5 Prądy stałe wytwarzają pola magnetyczne, które są stałe w czasie: teoria prądów stałych nazywana jest magnetostatyką. 5Dokładnie rzecz biorąc, nie jesi konieczne, by ładunki były stacjonarne, wystarczy, by stała była gęstość ładunku w każdym punkcie. Na przykład kula w zad. 5.6b wytwarza pole elektrostatyczne (l/47t£o)({?/''2)L mimo że obraca się, ponieważ p nie zależy od czasu.
244
5. MAGNETOSTATYKA
Ładunki stacjonarne
stałe pole elektryczne: elektrostatyka.
Stałe prądy =» stałe pole magnetyczne: magnetostatyka. Pod pojęciem prądu stałego rozumiemy ciągły, nieprzerwany przepływ ładunku, który nigdzie się nie gromadzi. (Niektórzy używają określenia „prądy stacjonarne”, jed nak wydaje się ono wewnętrznie sprzeczne). Oczywiście, w praktyce nie istnieją na prawdę stałe prądy, podobnie, jak nie ma naprawdę stacjonarnych ładunków. W tym sensie zarówno elektrostatyka, jak i magnetostatyka opisują sztuczny świat, istniejący jedynie na kartach podręczników. Jednakże są one odpowiednim przybliżeniem tak długo, jak długo zmiany są dostatecznie powolne; w rzeczywistości w większości przypadków magnetostatyka stosuje się bardzo dobrze do prądów stosowanych w gospodarstwie do mowym, które zmieniają się 50 razy w ciągu sekundy! Zauważmy, że poruszający się tu ładunek punktowy nie może być traktowany jako prąd stały. W jednej chwili jest, w następnej już go tu nic ma. To może się wydawać mało istotne, ale w rzeczywistości jest to poważny problem. Hlektrostatykę rozwinęliśmy, zaczynając od prostego przypadku spoczywającego ładunku; następnie, stosując zasadę superpozycji, uogólniliśmy wyniki na każdy rozkład gęstości ładunku. Takie podejście w magnetostatyce nie jest możliwe, przede wszystkim dlatego, że poruszający się ładu nek punktowy nie wytwarza statycznego pola magnetycznego. Jesteśmy więc zmuszeni od samego początku rozważać rozciągłe rozkłady prądu, dlatego argumentacja będzie trudniejsza. Kiedy prąd stały płynie przez przewodnik, jego natężenie / musi być stałe wzdłuż całego przewodnika; w przeciwnym wypadku ładunek musiałby się gdzieś zbierać i, w konsekwencji, nie byłby to prąd stały. Ten sam argument mówi, że w magnetostatyce dp/dt = 0, a zatem równanie ciągłości (5.29) przybiera postać V • J = 0.
(5.31)
5.2.2. Pole magnetyczne liniowego prądu stałego Pole magnetyczne liniowego prądu stałego jest określane przez prawo Biota-Savarta:
(5.32)
Całka liczona jest wzdłuż całej drogi prądu w kierunku jego przepływu; dl' jest elemen tem długości przewodnika, a jest jak zawsze wektorem skierowanym od źródła do punktu r (rys. 5.17). Stała nazywana jest przenikalnością magnetyczną próżni:6 Mo = 4ji • 1(T7 N /A 2.
(5.33)
6To nie jest stała empiryczna, ale ścisła wartość. Służy ona (poprzez równanie (5.37)) do zdefinio wania ampera, a amper z kolei definiuje kulomba.
24 5
5.2. PRAWO BIOTA-SAVARTA
Rys. 5.17
Jednostki są wybrane tak, by indukcja magnetyczna B mierzona była w niutonach na amper razy metr (tak jak wymaga tego wzór określający siłę Lorentza), czyli w teslach (T):7 1 T = 1 N/(A • m). (5.34) Jako punkt wyjścia prawo Biota-Savarta jest dla magnetostatyki tym, czym dla clcktrostatyki jest prawo Coulomba. Wspólną cechą obu praw jest zależność od I ) R 2.
Przykład 5.5 Znaleźć indukcję pola m agnetycznego w odległości s od długiego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd o natężeniu / (rys 5.18).
Rys. 5.19
Rozwiązanie: Na rysunku w ektor (dl' x R ) wychodzi z płaszczyzny rysunku i ma długość dl' sin a = d l' cos 9. Ponieważ V = s tg 0 , mamy dl' =
s cos2 9
d0 .
7Z pewnych powodów w tym jednym przypadku częściej niż jednostka układu SI używana jest jednostka układu cgs (gaus): I tesla = I04 gausów. Pole magnetyczne Ziemi ma indukcję około pół gausa. Naprawdę silne pola wytwarzane w laboratorium mają indukcję rzędu 10 000 gausów.
5. MAGNETOSTATYKA
246
oraz s = 7£cos 6, lak więc cos2 9 Ostatecznie otrzymujemy
&2 (5.35) Równanie (5.35) wyraża indukcję pola magnetycznego dowolnego odcinka prostolinio wego przewodnika, wyrażone przez początkową i końcową wartość kąta 9: 9\ i 02 (rys. 5.19). Oczywiście, prąd stały nie płynie przez skończony odcinek (skąd pojawiałyby się ładunki na jednym jego końcu i gdzie znikałyby na drugim?), jednak może on być fragmentem jakiegoś zamkniętego obwodu, i równanie (5.35) reprezentuje wtedy wkład tego fragmentu do całkowitej indukcji magnetycznej. W przypadku nieskończonego przewodnika 0, = —n/2 i 02 = n/2, tak więc otrzymujemy Ans Zwróćmy uwagę na fakt, że indukcja magnetyczna jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od przewodnika — dokładnie tak samo jak natężenie pola elektrycznego jednorodnie nałado wanej nici. W obszarze pod przewodnikiem wektor indukcji B wnika w płaszczyznę rysunku. a ogólnie, linie pola „okrążają1' przewodnik zgodnie z podaną wcześniej regułą prawej dłoni (rys. 5.3).
( 1)
( 2)
Rys. 5.20
Zastosujemy otrzymany wzór do obliczenia siły, jaką przyciągają się dwa długie, równo ległe przewodniki odlegle od siebie o d, przez które płyną prądy o natężeniach /, i U (rys. 5.20). Indukcja pola magnetycznego pochodzącego od pierwszego przewodnika w miejscu, gdzie znajduje się drugi, ma wartość And Siła Lorentza (w postaci właściwej dla prądów liniowych (równanie (5.17)) jest równa
247
b.2. PKAWO BIOIA-SAVARTA
Całkowita siła, co nie jesi zaskakujące, jest nieskończona, natomiast siła na jednostkę długości jest równa . _ Mo
l\h
f ~ 2n~d~
(5'37)
Jeśli prądy płyną w przeciwnych kierunkach (jeden w dół, a drugi w górę), siła jest odpychająca, co znów jest zgodne z jakościową obserwacją z paragrafu 5.1.1.
Przykład 5.6 Znaleźć pole magnetyczne na prostej przechodzącej przez środek kołowej pętli o promieniu R z prądem stałym o natężeniu /, prostopadłej do płaszczyzny pętli, w odległości z od tej płaszczyzny (rys. 5.21).
Rys. 5.21
Rozwiązanie: Indukcja magnetyczna dB pochodząca od odcinka o długości dl' skierowana jesl tak, jak pokazano na rysunku. Podczas całkowania po całej pętli dB zakreśla stożek. Składowe poziome znoszą się, natomiast składowe pionowe się dodają, w wyniku czego otrzymujemy dT cos #. BU) K2 (Zwróćmy uwagę na to, że dl' i 71 są w tym przypadku prostopadłe: czynnik cos# pochodzi z rzutowania wektora indukcji na kierunek pionowy.) Zarówno cos#, jak i 1¥ są stałe, więc f dl' jest po prostu obwodem okręgu 2tcR. Otrzymujemy zatem B(z)
Mo/ / cos # \ 4 71 \ 'R2 )
_ Mq/ R2 ~ 2 (/?2+z2)3/2*
(5.38)
Dla prądów powierzchniowych i objętościowych prawo Biota-Savarta przybiera postać _ Mo f K (r') x ii. Mo f J(r') x K. B(r) dci oraz B(r) d r', (5.39) 4 Tl 4 Tl n2 Tl2
J
J
5. MAGNETOSTATYKA
248
odpowiednio. Łatwo można ulec pokusie napisania podobnego wzoru dla poruszającego się ładunku punktowego, posługując się „słownikiem” (5.30), w postaci B(r) = Mo <7V x U (5.40) 4 tc IZ2 jednak jest to wyrażenie błędne* Jak już mówiliśmy wcześniej, poruszający się ładunek punktowy nie jest prądem stałym, a zatem prawo Biota-Savarta, które stosuje się jedynie do prądów stałych, nie opisuje poprawnie pola magnetycznego w tym przypadku. Zasada superpozycji stosuje się także do pól magnetycznych: jeśli mamy zbiór prą dów źródłowych, wypadkowa indukcja magnetyczna jest sumą wektorową indukcji po chodzących od poszczególnych prądów.
Zadanie 5.8 (a) Znaleźć indukcję pola magnetycznego w środku kwadratowego obwodu, przez który płynie prąd o natężeniu /. Niech R będzie odległością od środka do boku (rys. 5.22). (b) Znaleźć indukcję pola magnetycznego w środku wielokąta foremnego o n bokach, przez który płynie prąd o natężeniu /. Podobnie jak poprzednio niech R oznacza odległość środka wielokąta od jego boku. (c) Sprawdzić, że uzyskany wzór sprowadza się do wzoru określającego pole w środku okręgu o promieniu R w granicy n —►oo.
Zadanie 5.9. Znaleźć indukcję pola magnetycznego prądu stałego, w punkcie P dla każdej z konfiguracji pokazanych na rys. 5.23.
'f I
s a) Rys. 5.24
8Należy to stwierdzić jasno i wyraźnie jako zasadę, jednak równanie (5.40) jest w przybliżeniu słuszne dla ładunków nierelalywistycznycli (v <&. c), pod warunkiem, żc można zaniedbać opóźnienie (patrz pr/.ykł. 10.4).
b.i.
DYWfcRGENGA I ROTAGA B
249
Zadanie 5.10 (a) Znaleźć siłę działającą na kwadratowy obwód z prądem położony w pobliżu nieskoń czonego prostoliniowego przewodnika, tak jak to pokazuje rys. 5.24a. Zarówno przez obwód kwadratowy, jak i przez prostoliniowy przewodnik płynie prąd stały o natężeniu /. (b) Znaleźć siłę działającą na trójkątną pętlę z rys. 5.24b. Zadanie 5.11. Znaleźć indukcję pola magnetycznego w punkcie P na osi ciasno nawiniętego solenoidu o promieniu a, o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu / (rys. 5.25). Wyrazić wynik za pomocą kątów i 02 (jest to najprostszy sposób). Przyjąć, że każdy zwój jest okręgiem, i wykorzystać wyniki przykł. 5.6. Jaka jest indukcja pola na osi nieskończonego (w obu kierunkach) solenoidu?
Zadanie 5.12. Rozważmy dwie nieskończone linie proste, naładowane z gęstością liniową k każda, oddalone od siebie o d, poruszające się ze stałą prędkością v (rys. 5.26). Jak duża musia łaby być prędkość u, by przyciąganie magnetyczne zrównoważyło odpychanie elektrostatyczne? Znaleźć wartość liczbową. Czy jest to sensowna wartość?9
5.3. Dywergencja i rotacja B 5.3.1. Prądy prostoliniowe Rysunek 5.27 pokazuje linie pola magnetycznego prostoliniowego przewodnika (prąd wypływa z płaszczyzny rysunku). Na pierwszy rzut oka widać, że rotacja B nie znika (coś, czego nigdy nie spotykamy w elektrostntyce); obliczmy tę rotację. Zgodnie z równaniem (5.36), całka z indukcji magnetycznej B liczona wzdłuż okręgu o promieniu s , przez którego środek, prostopadle do płaszczyzny okręgu prze chodzi przewodnik, jest równa
ł
B
Mo/ d/ - O S L i (U = 2ti.v J 2 71s
Zwróćmy uwagę na to, że wynik nie zależy od s; jest tak dlatego, że B maleje w ta kim samym stosunku, w jakim rośnie długość obwodu okręgu. Kontur całkowania nie ^Czytelnik znający szczególną teorię względności może odczuwać pokusę doszukiwania się w tym zadaniu komplikacji, których w rzeczywistości w nim nic ma; k i v mierzone są w laboratoryjnym układzie odniesienia i jest to zwykła elektrostatyka (patrz przyp. 5).
5. MAGNETOSTATYKA
250
musi być okręgiem, każdy kontur otaczający przewodnik daje ten sam wynik. We współ rzędnych walcowych (sy 0 , z), gdy prąd będzie płynął wzdłuż osi z, indukcja pola jest równa (5.41) 2ns natomiast dl = dss 4- .vd0 <|>+ dzz, a zatem
j) -A1d0 = —
/
d(p = , o / .
o Powyższy wynik uzyskujemy przy założeniu, że kontur okrąża przewodnik dokładnie raz; gdyby okrążał go dwa razy, kąt 0 zmieniałby się od 0 do 4tt, a gdyby nie otaczał przewodnika, to kąt 0 zmieniałby się od 0 | do 0 2 i z powrotem, czyli j d0 = 0 (rys. 5.28).
Załóżmy teraz, że mamy wiązkę przewodników prostoliniowych. Każdy przewodnik otaczany przez nasz kontur daje wkład równy fi0I, natomiast przewodnik, którego kontur nie otacza, nie daje żadnego wkładu (rys. 5.29). Całka liniowa będzie więc równa
251
5.3. DYWERGENGA I ROTACJA B
gdzie /c oznacza całkow ite natężenie prądu w obszarze otoczonym konturem całkowania. Jeśli przepływ ładunku jest scharakteryzowany przez objętościową gęstość prądu J, to natężenie całkowitego prądu przepływającego przez kontur jest równe /c = J J • da.
(5.43)
przy czym całka liczona jest po powierzchni rozpiętej na konturze. Za pomocą twier dzenia Stokesa otrzymujemy z równania (5.42) J
(V
x
B)
d a = Mo
da
i stąd V x B = MoJ.
(5.44)
Minimalnym wysiłkiem uzyskaliśmy ogólny wzór określający rotację indukcji magne tycznej B. Jednak poważną wadą naszego dowodu jest ograniczenie się do kombinacji prostoliniowych przewodników. Większości obwodów z prądem nie możemy zbudować z nieskończonych, prostoliniowych przewodników, więc nie mamy podstaw, by przy jąć, że równanie (5.44) jest słuszne w ogólnym przypadku. Dlatego następną część tego rozdziału poświęcimy formalnemu wyprowadzeniu z prawa Biota-Savarta wzorów okre ślających dywergencję i rotację indukcji magnetycznej B. 5.3.2. D yw ergencja i ro tac ja B Prawo Biota-Savarta zastosowane do dowolnego przypadku prądów objętościowych ma postać J(r') x 7L IM) B(r) d r '. (5.45) 4n n2
/
Rys. 5.30 Wzór ten pozwala wyrazić indukcję pola magnetycznego w punkcie r = (.v, y, z) w po staci całki z gęstości prądu J U \ y \ z! ) (rys. 5.30). Najlepiej napisać wprost: B jest funkcją (*, y,z), .1 jest funkcją ( x \ v \ z').
5. MAGNETOSTATYKA
252
H = (x - x')x + ( V- y')y + (z - z')z, d r' = dv 'd y 'd z'. Całkujemy po współrzędnych primowanych; natomiast dywergencję i rotację będziemy liczyć względem współrzędnych nieprimowanych. Działając operatorem dywergencji na równanie (5.45), otrzymujemy:
vB=s/v(jxi ) dr' Posłużymy się wzorem
6
<**>
z wewnętrznej strony okładki dla mnożenia wektorów,
v (j x ^ ) = l
< v > < j ) -
j
(v* l ) -
(547)
Jednak V x J = 0, ponieważ J nie zależy od nieprimowanych zmiennych ( x, y, z), 71
a także V x — = 0 (patrz zad. 1.62), a więc (5.48)
V • B = 0. Dywergencja indukcji magnetycznej jest równa zeru. Działając operatorem rotacji na równanie (5.45), otrzymujemy Vx B= — f Vx 4tt
(5.49)
J
Ponownie wyrazimy całkę jako sumę dwóch wyrażeń, posługując się tym razem wzorem 8 z wewnętrznej strony okładki dla mnożenia wektorów: V
X
IJ
X
Tl n Tl —r ] = J I V • — I —(J V) TV TV
(5.50)
(Opuściliśmy wyrażenia zawierające pochodne J, ponieważ J nie zależy od jc, y i z.) Całka z drugiego wyrażenia znika, co zobaczymy w następnym paragrałie. Pierwszy wy raz zawiera dywergencję, którą starannie obliczyliśmy w rozdziale 1 (równanie ( 1 . 1 0 0 )): V•
4 ti5:'(7Ł).
(5.51)
Otrzymujemy więc Vx B= —
J
J(r')47t<$(3)(r
r ) dr' = /x0J(r),
co potwierdza, że równanie (5.44) jest poprawne nie tylko w przypadku prądów płyną cych w prostoliniowych przewodnikach, ale jest ogólnym równaniem magnetostatyki.
253
5.3. DYWERGENCJA I ROTACJA B
Żeby zakończyć to rozumowanie, musimy sprawdzić, że istotnie drugie wyrażenie w równaniu (5.50) po scałkowaniu znika. Ponieważ pochodna działa jedynie na 7Ł/7?,2, możemy zamienić V na —V' : 10 , j . V ) £ = ( j . V ') £ . n2 n2 W szczególności, A-owa składowa jest równa
(5.52)
J) (stosujemy wzór 5 mnożenia wektorów (patrz wewnętrzna strona okładki)). Ponieważ dla prądów stałych dywergencja J znika (równanie (5.31)), _— yV ' .
(I • V ) ^ ( J V ) 72> X
L r c 3 JJ
ten wkład do całki (5.49) może być zapisany jako f
r
(x - x
r) "] ^
f
i
/ N H dT=/
(x - xf)
‘
,
(5.53)
(Zamieniliśmy V na V', gdyż pozwala to całkować przez części.) Ale jaki jest obszar całkowania? Oczywiście jest to ta objętość, która występuje w prawie Biota-Savarta (5.45) — na tyle duża, by zawierała wszystkie prądy. Możemy całkować w jeszcze większym obszarze; nie zmieni to wartości całki, bo i tak J = 0 w tym dodanym obszarze. Istotną sprawą jest fakt, że na brzegu gęstość prądu jest równa zeru, wszystkie prądy płyną bezpiecznie w środku i w związku z tym całka powierzchniowa znika." 5.3.3. Z asto so w an ia p raw a A m p ere'a Równanie określające rotację indukcji pola magnetycznego B ma postać (5.54)
r V x B = /AoJ. _
Nosi ono nazwę prawa Ampere’a (w postaci różniczkowej). Można zapisać je także w postaci całkowej, posługując się jednym z podstawowych twierdzeń — twierdzeniem Stokesa: y ( V x B)
da =
dl = /Aq
da.
l0Wynika to stąd, żc 7v zależy jedynie od różnicy współrzędnych i że ( d / d x ) f { x — x ') = - ( d / d x ' ) f ( x - x ') .
"Jeśli nośnik J rozciąga się do nieskończoności (jak w przypadku nieskończonego przewodnika pro stoliniowego), całka powierzchniowa także na ogól znika, choć analiza tego przypadku wymaga większej uwagi.
5. MAGNETOSTATYKA
254
brzeg
W powyższym wyrażeniu f J • da jest całkowitym natężeniem prądu płynącego przez powierzchnię (rys. 5.31), które oznaczymy Ic (całkowity prąd otoczony konturem Ampere’a). A zatem (5.55)
Jest to całkowa postać prawa Ampere’a; uogólnia ona równanie (5.42) na przypadek dowolnych prądów stałych. Zwróćmy uwagę na to, że równanie (5.55) dziedziczy nie jednoznaczność w znaku twierdzenia Stokesa (paragraf 1.3.5): W którą stronę należy całkować po konturze? I jaki kierunek przepływu prądu przez powierzchnię jest kie runkiem „dodatnim”? Rozwiązanie — jak zawsze — dyktuje reguła prawej dłoni: jeśli palce prawej dłoni wskazują kierunek całkowania wzdłuż brzegu, to kciuk określa dotatni kierunek przepływu prądu. Tak jak prawo Biota-Savarta jest w magnetostatyce tym, czym w elektrostatyce jest prawo Coulomba, tak prawo Ampere’a odgrywa podobną rolę jak prawo Gaussa: Elektrostatyka: Magnetostatyka:
prawo Coulomba prawo Biota-Savarta
—* prawo Gaussa —> prawo Ampere’a.
W szczególności, w przypadku gdy istnieje odpowiednia symetria, całkowa postać prawa Ampere’a oferuje świetną i niezwykle skuteczną metodę znajdowania indukcji pola ma gnetycznego.
Przykład 5.7 Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości .vod długiego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd stały o natężeniu I (rys. 5.32). (Zadanie to rozwiązaliśmy w przykł. 5.5, posługując się prawem Biota-Savarta). Rozwiązanie: Wiemy, że linie pola magnetycznego okrążają przewodnik zgodnie z regułą pra wej dłoni. Z symetrii wynika, że wartość indukcji jest stała wzdłuż konturu Ampere’a o pro mieniu .v, przez którego środek przechodzi przewodnik (prostopadły do płaszczyzny konturu).
5.3. DYWtKfcbNUA I KOIAUA B
25i>
A zatem z prawa Ampere’a mamy
lub
ł
B dl
d/ — Bins = Mo/c = MoJ £=
/V 2 ir.ę
Jest to len sain wynik, który raz już otrzymaliśmy (równanie (5.36)), jednak tym razem uzy skaliśmy go dużo mniejszym wysiłkiem.
Przykład 5.8 Znaleźć indukcję pola magnetycznego prądu powierzchniowego o gęstości K = Kx, płynącego po płaszczyźnie xy. Rozwiązanie: Po pierwsze określimy, jaki jest kierunek indukcji magnetycznej B. Czy wektor indukcji może mieć Jt-ową składową? Nie: rzut oka na prawo Biota-Savarta (5.39) pokazuje, że wektor indukcji B jest prostopadły do wektora gęstości prądu K. Czy wektor indukcji może mieć Z-ową składową? Również nie. Można to sprawdzić, zauważając, że wkład do indukcji pocho dzący od paska o współrzędnej y znosi się z wkładem pochodzącym od paska o współrzędnej -y. Istnieje jednak znacznie lepszy argument. Załóżmy, że indukcja ma składową prostopadłą do płaszczyzny. Zmieniając kierunek przepływu prądu, zmienimy zwrot tej składowej (zmiana kierunku przepływu prądu w prawie Biota-Savarta zmienia zwrot wektora indukcji). Jednak z-owa składowa indukcji magnetycznej B nie może zależeć od kierunku przepływu prądu na płaszczyźnie xy. (Proszę się nad tym zastanowić!) A zatem indukcja magnetyczna B może mieć jedynie y-ową składową; łatwo sprawdzić za pomocą reguły prawej dłoni, że nad płaszczyzną jest ona skierowana w lewo, a pod płaszczyzną w prawo. Mając to w na uwadze, jako kontur Ampfcre’a wybierzemy prostokąt pokazany na rys. 5.33, równoległy do płaszczyzny yz z górnym i dolnym bokiem równoodległymi od płaszczyzny, po której płynie prąd. Posługując się prawem Ampere’a, otrzymujemy j> B • dl = 2BI = n»Ic = fi{)Kl (jeden z wkładów BI bierze się z górnej, a drugi z dolnej krawędzi), tak więc B — (p0/2)K lub ściślej
5. MAGNETOSTATYKA
256
Rys. 5.33
B
l+ W
2 )* S
d l.
, < 0 .
( 5 .5 6 )
| - ( fio/2)Ky dla z > 0. Zwróćmy uwagę na fakt, że indukcja pola jest niezależna od odległości od płaszczyzny, do kładnie tak samo jak natężenie pola elektrycznego w przypadku jednorodnego rozkładu po wierzchniowego ładunku (przykł. 2.4).
Przykład 5.9 Znaleźć pole magnetyczne bardzo długiego solcnoidu, w kształcie walca o promieniu /?, za wierającego n (ściśle nawiniętych) zwojów na jednostkę długości, przez który płynie prąd o na tężeniu I (rys. 5.34). [Powodem, dla którego uzwojenie powinno być nawinięte ściśle, jest to, że tylko wtedy możemy traktować każdy zwój jak okrąg. Jeśli niepokoi to czytelnika (w końcu, niezależnie od tego, jak ściśle są nawinięte zwoje, istnieje wypadkowy prąd płynący wzdłuż osi solenoidu), wyobraźmy sobie w zastępstwie powłokę z aluminiowej folii owiniętej wokół walca, przez którą płynie równoważny jednorodny prąd powierzchniowy K = n l (rys. 5.35). Można także wykonać podwójne uzwojenie, zaczynające się na jednym końcu, a następnie biegnące ku drugiemu i z powrotem, a zatem eliminujące prąd płynący wzdłuż cewki. Jednak w rze czywistości jest to zbędna przesada, ponieważ pole wewnątrz solenoidu jest (względnie) duże, natomiast pole pochodzące od prądu płynącego wzdłuż zwojnicy jest na ogół tylko malutkim dodatkiemj. Rozwiązanie: Po pierwsze określimy kierunek wektora indukcji magnetycznej B. Czy może on mieć składową radialną? Nie. Załóżmy, że Bs jest dodatnie; jeśli odwrócimy kierunek prze pływu prądu, Bs stanie się ujemne. Ale odwrócenie kierunku przepływu prądu jest fizycznie równoważne z obróceniem solenoidu o 180°, a to z pewnością nie może wpłynąć na składową radialną indukcji. A co ze składową w kierunku
5.3. DYWERGENCJA I ROTACJA B
2 57
Rys. 5.34
Rys. 5.35
Widzimy, że pole magnetyczne nieskończonego, ściśle nawiniętego solenoidu jest równole głe do osi. Z reguły prawej dłoni wynika, że wewnątrz solenoidu skierowane jest ono ku górze, a na zewnątrz solenoidu w dół. Co więcej, musi ono znikać, gdy odsuwamy się od solenoidu bardzo daleko. Mając to na uwadze, zastosujmy prawo Ampcrc’a do dwóch prostokątnych kon turów z rys. 5.37. Pierwszy z nich całkowicie leży na zewnątrz solenoidu. a jego boki odległe są od osi solenoidu o a \ b: j> B ■dl = | B(a) - B(b)]L = ^„/c - 0, a zatem B(a) = B{b).
Rys. 5.36
Rys. 5.37
Jak widać, indukcjo pola na zewnątrz solenoidu nie zależy od odległości od jego osi. Ale wiemy przecież, że dąży ona do zera dla dużych s. A zatem musi być równa zeru wszędzie1. Ten zaskakujący wynik można wyprowadzić także z prawa Biota-Savarta, ale jest to oczywiście dużo trudniejszy sposób (patrz zad. 5.44). W przypadku drugiego konturu, który w połowie jest wewnątrz, a w połowie na zewnątrz solenoidu, z prawa Ampere'a otrzymujemy
258
5. MAGNETOSTATYKA
gdzie B oznacza indukcję magnetyczną we wnętrzu solenoidu. (Prawa strona konturu nic daje żadnego wkładu, ponieważ na zewnątrz B = 0.) Konkluzja: o _ I A*on i z I0
wewnątrz solenoidu, na zewnątrz solenoidu.
(5
S7 )
Zwróćmy uwagę na fakt, że pole wewnątrz solenoidu jest jednorodne; w tym sensie solenoid jest dla magneiostaiyki tym samym, czym dla elektrostatyki jest kondensator płaski: prostym urządzeniem wytwarzającym silne, jednorodne pole.
Tak jak prawo Gaussa, tak też i prawo Ampere’a jest zawsze prawdziwe (dla prą dów stałych), ale nie zawsze użyteczne. Jedynie wtedy, gdy symetria pozwala wycią gnąć indukcję magnetyczną B przed znak całki f B dl, możemy znaleźć indukcję pola magnetycznego, posługując się prawem Ampere’a. Kiedy metoda ta jest skuteczna, jest najszybszą możliwą; jeśli nie — musimy wrócić do prawa Biota-Savarta. W przy padku następujących konfiguracji prądu indukcję pola można znaleźć za pomocą prawa Ampere’a: 1. Nieskończone, prostoliniowe przewodniki z prądem (przykł. 5.7). 2. Nieskończone płaszczyzny (przykł. 5.8). 3. Nieskończone solenoidy (przykł. 5.9). 4. Torusy (przykł. 5.10). Ostatni przykład jest zaskakującym i eleganckim zastosowaniem prawa Ampere’a. Tak jak w przykładach 5.8 i 5.9, najtrudniejszą częścią jest wyobrażenie sobie kierunku pola (co już zrobiliśmy, raz dla wszystkich czterech geometrii): prawo Ampere’a pozwala znaleźć rozwiązanie zapisane zaledwie w jednej linijce.
Przykład 5.10 Toroidalna cewka zbudowana jest z kołowego pierścienia (czy „obwarzanka”), na którym nawi nięto długi przewodnik (rys. 5.38). Uzwojenie jest jednorodne i dostatecznie ścisłe, by można było traktować pojedynczy zwój jako zamkniętą pętlę. Kształt przekroju cewki jest nieistotny. Na rysunku 5.38 jest on dla prostoty prostokątny, ale równie dobrze może być kołowy lub dowolnie asymetryczny, jak na rys. 5.39, byleby tylko był taki sam w każdej części cewki. Z symetrii wynika, że linie pola mają symetrię osiową we wszystkich punktach torusa, zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz cewki.
Rys. 5.38
259
5.3. DYWCRGCNCJA I ROTACJA B
Dowód: Z godnie z prawem B iota-Savarta indukcja pola m agnetycznego w punkcie r pocho dząca od elem entu obwodu w punkcie r ' jest równa
dB =
A*o l x 7 Ł
4 tt
IV
dr.
Możemy wybrać układ współrzędnych tak. by punkt r leżał w płaszczyźnie xz (rys. 5.39). tak by jego współrzędne kartezjańskie były równe (x , 0 . z), podczas gdy współrzędne źródła r' = (.$•' cos 0 \ s' sin 0 \ z). Tak więc
'R. = (x — sf c o s
Ponieważ prąd nie ma składowej w kierunku <}>, zatem I = Iss + I:z lub (we współrzędnych karlezjańskich) I = (7Vcos0 \ /, sin 0 \ lz). Odpowiednio x 1x71 =
/, COS 0' (A' — S ' C O S (p
)
y /, sin 0 ' (—.vrsin 0 ')
i /, (z - z').
= fsin 0 (/v(z - z') + j7*)]x + [ /.( a
- s'cos 0 ') - /, cos0 (z - z')Jy + [—/,* sin 0 ']ż .
Dla każdego fragmentu obwodu istnieje symetrycznie położony fragment r" z tymi samymi: s\ U, d/\ /, oraz /., tf/c z ujemnym 0 ' (rys 5.39). Ponieważ sin0' zmienia znak, więc składowe indukcji w kierunku x i w kierunku ż pochodzące od punktów r' i r" znoszą się wzajemnie.
5. MAGNETOSTATYKA
260
A zatem pole w punkcie r ma składow ą jedynie w kierunku y, czyli w ogólności w kierunku
Teraz, kiedy wiemy, że pole ma symetrię osiową, określenie wartości indukcji jest nie zwykle łatwe. Stosując prawo Ampere’a do okręgu o promieniu s współosiowego z torusem, otrzymujemy B2ns = /z0/Cł a zatem
MoN I (|) wewnątrz cewki. 2TCs ,0 na zewnątrz cewki, przy czym N jest całkowitą liczbą zwojów cewki. B(r) =
(5.58)
Zadanie 5.13. Prąd stały o natężeniu / płynie wzdłuż długiego przewodnika w kształcie walca o promieniu a (rys. 5.40). Znaleźć indukcję pola wewnątrz i na zewnątrz przewodnika, jeśli (a) Prąd płynie jednorodnie po zewnętrznej powierzchni walca. (b) Gęstość prądu J jest proporcjonalna do odległości od osi s.
Zadanie 5.14. Przez cienką próbkę rozciągłą od z = —a do z = a płynie jednorodny prąd objętościowy o gęstości J = J \ (rys. 5.41). Znaleźć indukcję magnetyczną jako funkcję z wewnątrz i na zewnątrz próbki. Zadanie 5.15. Przez dwa długie, współosiowe solenoidy płyną prądy o tym samym natężeniu /, ale przez każdy solenoid w innym kierunku, jak pokazano na rys. 5.42. Wewnętrzny sole noid o promieniu a ma rt! zwojów na jednostkę długości, a zewnętrzny o promieniu h — n2 zwojów na jednostkę długości. Znaleźć indukcję magnetyczną B w każdym z trzech obszarów: (i) wewnątrz wewnętrznego solenoidu, (ii) pomiędzy solenoidami, (iii) na zewnątrz obu.
Rys. 5.42
Rys. 5.43
5.3. DYWERGENCJA I ROTACJA B
261
Zadanie 5.16. Duży kondensator plaski o jednorodnym rozkładzie ładunku na okładkach: z gę stością o na górnej i —
Problem polega na tym, że istnieje nieskończenie wiele powierzchni rozpiętych na tym samym brzegu. Którą z nich powinniśmy się posłużyć?
5.3.4. Porównanie magnetostatyki i elektrostatyki Dywergencja i rotacja natężenia pola elektrostatycznego są równe V • E = —p (prawo Gaussa), £() V xE = 0 (bez nazwy). Są to równania Maxwella dla elektrostatyki. Wraz z warunkiem brzegowym E 0 daleko od wszystkich ładunków, równania Maxwella wyznaczają pole elektrostatyczne dla danej gęstości ładunków—źródeł p\ zawierają one tę samą informację, która jesz zawarta w prawic Coulomba i zasadzie superpozycji. Dywergencja i rotacja indukcji pola magnetosta tycza ego są równe JV B= 0 (bez nazwy), I V x B - /i0J (prawo Ampere'a). Są to równania Maxwella dla magnetostatyki. I znów uzupełnione warunkiem brzego wym B —►0 daleko od zlokalizowanych prądów, pozwalają one wyznaczyć indukcję pola magnetycznego; równania Maxwella są równoważne z prawem Biota-Savarta (uzu pełnionym zasadą superpozycji). Równania Maxwella i wzór określający silę działającą na ładunek elektryczny F =
262
b. M A G N t lO bT A IY K A
a) linie pola elektrycznego punktowego ładunku
b) linie pola magnetycznego długiego prostownika prostoliniowego Rys. 5.44
się na dodatnich, a kończą na ujemnych ładunkach; linie pola magnetycznego nigdzie się nie zaczynają ani nie kończą — to oznaczałoby niezerową dywergencję. Tworzą one zamknięte linie lub biegną do nieskończoności. Innymi słowy, nie istnieją punktowe źró d ła dla B, tak jak jest w przypadku natężenia pola elektrycznego E; nie istnieje magnetyczny odpowiednik ładunku elektrycznego. Jest to fizyczna treść stwierdzenia, że V • R = 0. Coulomb i inni wierzyli, że pole magnetyczne wytwarzane jest przez ładunki magnetyczne (magnetyczne monopole, jak je nazywamy obecnie), i w nie których starszych książkach wciąż można znaleźć odwołania do magnetycznej wersji prawa Coulomba określającego siły przyciągania i odpychania pomiędzy ładunkami ma gnetycznymi. To Ampere pierwszy zauważył, że wszystkie zjawiska magnetyczne można wywołać za pomocą poruszających się ładunków elektrycznych (prądów). Zgodnie z tym, co wiemy, Ampere miał rację; niezależnie od tego nadal istnieje otwarte pytanie ekspe rymentalne dotyczące istnienia monopoli magnetycznych w przyrodzie (muszą one być niezwykle rzadkie, w przeciwnym przypadku znaleziono by choć jeden1’) i w istocie, niektóre współczesne teorie cząstek elementarnych wymagają ich istnienia. Jednak dla naszych zastosowań B jest polem bezźródłowym i magnetyczne monopole nie istnieją. By wytworzyć pole magnetyczne, potrzebny jest poruszający się ładunek elektryczny oraz potrzebny jest inny ładunek elektryczny, by „poczuć” obecność pola magnetycznego. Na ogół siły elektryczne są wielokrotnie większe od sił magnetycznych. Nie wy nika to z wartości stałych e'o i Po- Zwykle dopiero gdy ładunki-źródła i ładunki próbne poruszają się z prędkościami porównywalnymi z prędkością światła, wartości sił ma gnetycznych zbliżają się do wartości sił elektrycznych. (Zadania 5.12 i 5.16 ilustrują tę regułę.) A zatem jak to jest, że w ogóle zauważamy zjawiska magnetyczne? Jest tak ' 'Doniesienie o znalezieniu monopolu magnetycznego (B. Cabrera Phys. Rev. Lett. 48, 1378 (1982)) nic zostało potwierdzone w innych eksperymentach i to nie z powodu niedostatecznej liczby prób. Pięk nie napisaną, krótką historię magnetyzmu zawiera rozdział 1 w książce D. C. Mattisa, The Theory of Magnetism, Harper and Row, New York 1965.
5.4. MAGNETYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY
263
dlatego, że pole magnetyczne jest wytwarzane (prawo Biota-Savarta) i wykrywane (siła Lorentza) za pomocą prądów elektrycznych; małe prędkości możemy skompensować ogromnymi wartościami ładunku przepływającego przez, przewodnik. Ten ładunek po winien jednocześnie wytworzyć tak ogromne siły elektryczne, że „zagłuszą" one siły magnetyczne. Jeśli jednak przewodnik będzie obojętny elektrycznie, to dzięki obecności takiej samej ilości spoczywającego ładunku o przeciwnym znaku, przewodnik pozostaje obojętny elektrycznie i pola elektryczne obu rodzajów ładunku znoszą się, a na placu boju pozostaje jedynie pole magnetyczne. Brzmi to bardzo wyszukanie, ale dokładnie tak właśnie jest w zwykłym obwodzie elektrycznym.
Zadanie 5.19 (a) Znaleźć gęstość p ruchomych ładunków w miedzi, przyjmując, że jeden swobodny elektron każdego atomu uczestniczy w przewodzeniu prądu. [Znaleźć wszystkie niezbędne stałe fizyczne. 1 (b) Obliczyć średnią prędkość elektronu w miedzianym przewodniku o średnicy I mm, przez który płynie prąd o natężeniu IA. [Uwaga: Jest to w istocie prędkość ślimaka. A zatem wjaki sposób możliwe jest prowadzenie rozmowy telefonicznej na dalekie odległości?] (c) Jaką siłą przyciągają się dwa takie przewodniki odległe od siebie o 1 cm? (d) Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób usunąć dodatnie jony, jak silne byłoby odpychanie elektryczne? Ile razy byłoby silniejsze niż siła magnetyczna? Zadanie 5.20. Czy prawo Ampere a jest zgodne z ogólną regułą (równanie (1.46)), mówiącą, że dywergencja rotacji znika? Pokazać, że prawo Ampere’a nie. może być słuszne w ogól nym przypadku, poza magnetostatyką. Czy pozostałe trzy równania Maxwclla mają podobny „defekt"? Zadanie 5.21. Przypuśćmy, że istnieją monopole magnetyczne. W jaki sposób należy zmody fikować równania Maxwella i wzór określający siłę Lorentza? Jeśli istnieje kilka możliwych do przyjęcia wersji, wymienić je wszystkie i zaproponować doświadczalny sposób ich zweryfiko wania.
5.4. Magnetyczny potencjał wektorowy 5.4.1. Potencjał wektorowy Tak jak równanie V x E = 0 pozwala w elcktrostatyce wprowadzić potencjał skalarny (V)’ E = -V V , tak równanie V • B = 0 pozwala w magnetostatyce wprowadzić potencjał wektorowy A: B = V x A.
(5.59)
Pierwsze równanie wynika z twierdzenia 1 (paragraf 1.6.2), drugie z twierdzenia 2 (dowód w zad. 5.30). Wyrażenie indukcji pola magnetycznego za pomocą potencjału
5. MAGNETOSTATYKA
264
wektorowego automatycznie gwarantuje, że V • B = 0 (ponieważ dywergencja rotacji zawsze znika); prawo Ampere’a przybiera postać V x B = V x (V x A) = V(V • A) - AA =
(5.60)
Potencjał elektrostatyczny nie był wielkością wyznaczoną jednoznacznie, do V można bez zmiany natężenia pola elektrycznego E dodać jakąkolwiek funkcję, któ rej gradient znika (czyli stałą). Podobnie, do potencjału magnetycznego można dodać dowolną funkcję, której rotacja znika (czyli taką, która jest gradientem skalara), i nie zmieni to indukcji pola magnetycznego B. Wykorzystamy tę swobodę do wyeliminowa nia dywergencji A: V • A = 0.
(5.61)
By wykazać, że zawsze jest to możliwe, załóżmy, że dywergencja naszego pierwotnego potencjału Aq nie znika. Jeśli dodamy do niego gradient A (A — Aq+VA), to dywergencja nowego potencjału jest równa: V • A = V • A0 4- AA. Równanie (5.61) jest spełnione, jeśli istnieje funkcja A będąca rozwiązaniem równania AA = - V • A0. Jest to jednak matematycznie tożsame z równaniem Poissona (2.24), *0 z V • A0 zamiast p/cą w roli „źródła”. Równanie Poissona umiemy rozwiązać — jest w nim zawarta cała treść elektrostatyki (znaleźć potencjał dla zadanego rozkładu ła dunku). W szczególności, jeśli p znika w nieskończoności, rozwiązanie dane jest rów naniem (2.29):
V
=~ Jf - d r ' , 4neo
tak więc przez analogię, jeśli V • Aq dąży do zera w nieskończoności, to A=
V -A 0 dr'. n
Jeśli V • Ao nie dąży do zera w nieskończoności, to musimy posłużyć się inną metodą znalezienia właściwej funkcji A, tak jak innym sposobem znajdujemy potencjał elek trostatyczny w przypadku, gdy ładunki są zlokalizowane w nieskończonym obszarze. Jednak podstawowy wniosek pozostaje ten sam: Zawsze można wybrać potencjał wekto rowy w taki sposób, by był bezźródłowy. Można to wyrazić inaczej: definicja B = V x A określa rotację A, natomiast nic nie mówi o jego dywergencji — możemy wybrać ją dowolnie, a zero jest zwykle najprostszym wyborem.
265
5.4. MAGNETYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY
Przy tym warunku na potencjał wektorowy A prawo Ampere’a (5.60) przybiera postać (5.62) Jest to nic innego jak równanie Poissona, a właściwie trzy równania Poissona, jedno dla każdej współrzędnej kartezjańskicj. 14 Zakładając, że J dąży do zera w nieskończoności, możemy zapisać rozwiązanie w postaci
A(r) = ?
[ -JflP dr'.
4 jt J
(5.63)
Dla prądów liniowych i powierzchniowych
(Jeśli prąd nie dąży do zera w nieskończoności, musimy znaleźć inny sposób wyznacze nia potencjału wektorowego A; kilka zagadnień tego rodzaju można znaleźć w zadaniach na końcu tego rozdziału i w przykł. 5.12.) Trzeba powiedzieć, że potencjał wektorowy A nic jest tak użyteczny jak poten cjał skalarny V . Z jednej strony, wciąż jest to wektor i choć łatwiej posługiwać się równaniami (5.63) i (5.64) niż prawem Biota-Savarta, to wciąż musimy zajmować się składowymi wektora. Przyjemnie byłoby posługiwać się potencjałem skalarnym B = -V f/t
(5.65)
jednak jest to sprzeczne z prawem Ampere'a, ponieważ rotacja gradientu zawsze znika. (Magnetostatyczny potencjał skalarny może być użyty tylko w obszarze jednospójnym, wolnym od prądów, ale jako narzędzie teoretyczne ma ograniczone znaczenie. Patrz zad. 5.28.) Co więcej, ponieważ siły magnetyczne nie wykonują pracy, potencjał skalarny A nie ma prostej interpretacji fizycznej jako energii potencjalnej jednostkowego ładunku. (W niektórych przypadkach może być interpretowany jako jednostkowego ładunku.15) Mimo wszystko, jak zobaczymy w rozdz. 10, potencjał wektorowy ma ważne znaczenie teoretyczne. ,4We współrzędnych kartezjańskich AA = A A xx + A A yy-\- A A zt , a zatem równanie (5.62) redukuje się do AĄ* = —/jlqJx, AA y = —fioJy oraz AAz = —/z0Jz- We współrzędnych krzywoliniowych wektory jednostkowe same w sobie są funkcjami położenia i muszą być różniczkowane, tak więc nie można napisać np. A Ar — /z07r- Najbezpieczniejszy sposób obliczenia laplasjanu wektora we współrzędnych krzywoliniowych polega na posłużeniu się tożsamością AA = V(V • A) - V x (V x A). Należy pamiętać także, że obliczając całki, takie jak (5.63) we współrzędnych krzywoliniowych, najpierw trzeba J zapisać we współrzędnych kartezjańskich. (Patrz paragraf 1.4.1.) ,5M. D. Semon i J. R. Taylor, Am. ./. Phys. 64, 1361 (1996).
5. MAGNETOSTATYKA
266
Przykład 5.11 Sfera o promieniu R. jednorodnie naładowana z gęstością powierzchniową a, obraca się ze stałą prędkością kątową w. Znaleźć potencjał wektorowy w punkcie r (rys. 5.45).
Rozwiązanie: Może się wydawać naturalne, by oś z pokrywała się z kierunkiem wektora prędkości kątowej, ale w rzeczywistości całkowanie staje się łatwiejsze, jeśli oś z pokrywa się z wektorem r, tak że wektor w jest nachylony do osi z pod kątem 0. Możemy również ustawić oś x w taki sposób, że u> leży w płaszczyźnie xz, jak pokazuje rys. 5.46. Zgodnie z równaniem (5.64) A(r) = — / 47t J
K(r') n
dr/',
gdzie K —(tv, 'R, — \ f R1 + r2 —2/?/ cos#' oraz da' = R7sin#'d#'d0'. Prędkość punktu r obracającej się bryły sztywnej jest dana wyrażeniem w v r \ co w tym przypadku oznacza x v = <*>x r' =
rosing
/ć sin#'cos 0 '
y 0 /?sin#'sin 0 '
ż (D
COS 0
R cos #' I
= Rco[—(cos iff sin #' sin 0' )x 4- (cos 0 sin #' cos 0' —sin 0 cos #')y -ł- (sin 0 sin #' sin 0')ż]. Zauważmy, że każdy (oprócz jednego) z wyrazów wchodzących w skład tego wyrażenia zawiera cos 0' lub sin0 '. Ponieważ
J
2tt
J
2n
sin 0 ' d0 ' =
o
cos 0 ' d0 ' = 0 ,
o
wyrazy te nie dają żadnego wkładu do potencjału wektorowego. Pozostaje jedynie A(r) = -
li{)R*a(os\n 0
cos#'sin#' d#' y. s/R2 + r 2 - 2Rr cos#
5.4. MAGNETYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY
267
Całkę obliczamy, podstawiając u = cos0\ +1
/
(R2 4- r1 — Rru) ,—-----r ~-----u du = - - ----- — ----- W R 2 + r2-2 R ru JWHT?- - 2Rru 3/?V2
-i
f(R2 + r 2 + Rr)\R - r\ - (R2 + r 2 - Rr)(R + r)l 3/^^r2 Jeśli punkt r leży wewnątrz stery, to R > r i powyższe wyrażenie redukuje się do (2r/3/?2); jeśli punkt r leży /ia zewnątrz sfery, to R < r i wyrażenie redukuje się do (2/?/3r2). Ponieważ a) x r = -ćur sin ^ry. otrzymujemy ostatecznie
A(r) =
Rct (<*> x r) 3 M o /? 1(7
~37
wewnątrz sfery, (5.66)
— (w x r)
/w zewnątrz sfery.
Po obliczeniu całki możemy powrócić do „naturalnych” współrzędnych z rys. 5.45, w któ rych w leży wzdłuż osi z, a punkt r ma współrzędne (/% 0 , 0 ): lio R c o c r
A( r 9e,
=
3
r sin ć7<(> (r < /?), (5.67)
i# ;~ l io 0 R 4co(j sin# M
—4> (r > /?). 3 r* Zaskakujące, że pole wewnątrz sfery jest jednorodne: B = V x A = lii(]Rcoo (cos Or —sin#0) = ^Mo
(5.68)
Przykład 5.12 Znaleźć potencjał wektorowy nieskończonego solenoidu o n zwojach na jednostkę długości i promieniu /?, przez który płynie prąd o natężeniu /. Rozwiązanie: Tym razem nie możemy posłużyć się równaniem (5.64), ponieważ prąd płynie w obszarze rozciągającym się do nieskończoności. Istnieje jednak sprytna metoda, która zdaje egzamin. Zauważmy, że j> A • dl = j (V x A) ■da =
J
B da =
(5.69)
gdzie 0 jest strumieniem magnetycznym przez powierzchnię rozpiętą na rozpatrywanym kon turze. Przypomina to prawo Ampere'a w postaci całkowej (5.55), (j B dl = mohIstotnie, jest lo to samo równanie, w którym indukcja magnetyczna B została zastąpiona poten cjałem wektorowym A oraz /i0/t przez 0 . Jeśli pozwala na to symetria, możemy wyznaczyć potencjał A za pomocą 0 dokładnie w taki sam sposób, jak wyznaczyliśmy indukcję B za po-
2G8
5.
M A G N ETO STA TY K A
mocą 7Cw paragrafie 5.3.3. Ten problem (z podłużnym polem magnetycznym o indukcji fi0nl wewnątrz solenoidu i zerowej indukcji na zewnątrz) jest analogiczny do prawa Ampere'a dla grubego przewodnika, przez który płynie jednorodny prąd. Potencjał wektorowy jest więc azymutalny (naśladuje pole magnetyczne przewodnika); wykorzystując kołowy kontur Ampere’a o promieniu s położony wewnątrz solenoidu, otrzymujemy:
(j) A • dl = A2ns = j B • da = p 0nl (
tt\ s 2 ) .
a zatem A = M° ; 7 5
(5.70)
Dla konturu Ampere’a położonego na zewnątrz solenoidu strumień jest równy I B • da = fi0n I(n R 2), ponieważ pole magnetyczne istnieje tylko we wnętrzu solenoidu. Stąd Honl R2 A = —-------dla s > R. (5.71) 2 s Czytelnik, który ma wątpliwości, może sprawdzić poprawność wyniku; czy V x A = B? Czy V • A = 0? Jeśli tak, problem jesl rozwiązany.
Zwykle kierunek potencjału wektorowego A odzwierciedla kierunek wektora gęsto ści prądu. W przykładach 5.11 i 5.12 był azymutalny. Istotnie, jeśli gęstość prądu we wszystkich punktach ma ten sam kierunek, z równania (5.63) wynika, że musi to być również kierunek potencjału A. Tak więc potencjał pochodzący od fragmentu prosto liniowego przewodnika (zad. 5.22) musi mieć kierunek płynącego w tym przewodniku prądu. Oczywiście, jeśli prąd płynie od i do nieskończoności, nie możemy użyć równa nia (5.63) (patrz zad. 5.25 i 5.26). Co więcej, zawsze można do potencjału wektorowego dodać dowolny stały wektor — analogicznie jak dla potencjału skalarnego; nie zmieni to dywergencji ani rotacji potencjału A (w równaniu (5.63) wybraliśmy tę stałą w taki sposób, że potencjał A dąży do zera w nieskończoności). W zasadzie możemy także po służyć się potencjałem, którego dywergencja nie znika, a wtedy na ten temat nie da się nic powiedzieć. Wbrew tym zastrzeżeniom istotnym faktem pozostaje to, że zazwyczaj kierunek potencjału wektorowego A odpowiada kierunkowi prądu.
Zadanie 5.22. Znaleźć magnetyczny potencjał wektorowy skończonego odcinka prostolinio wego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu /. [Umieścić przewodnik na osi z kartezjańskiego układu współrzędnych pomiędzy punktami o współrzędnych Z\ i Zr oraz wy korzystać równanie (5.64).] Sprawdzić, czy wynik jest zgodny z równaniem (5.35). Zadanie 5.23. Jaka jest gęstość prądu, jeśli potencjał wektorowy we współrzędnych walcowych ma postać A = kĄ> (k jest stałą)?
b.4. MAONt IYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY
269
Zadanie 5.24. Pokazać, że potencja] pola jednorodnego ma postać A = - - ( r x B). Sprawdzić, ż c VA = O i V x A = B. Czy wynik ten jest jednoznaczny, czy też istnieją inne funkcje o tej samej dywergencji i rotacji? Zadanie 5.25 (a) W dowolny sposób (samodzielnie) znaleźć potencjał wektorowy w odległości s od nie skończonego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd o natężeniu /. Sprawdzić, że V • A = 0 i V x B = 0. (b) Znaleźć potencjał wektorowy wewnątrz przewodnika o promieniu R przy założeniu, że rozkład prądu w jego objętości jest jednorodny. Zadanie 5.26. Znaleźć potencjał wektorowy nad i pod płaszczyzną z przykładu 5.8, po której płynie prąd powierzchniowy. Zadanie 5.27 (a) Sprawdzić, że równanie (5.63) jest zgodne z równaniem (5.61), działając operatorem dywergencji. (b) Sprawdzić, że równanie (5.63) jest zgodne z równaniem (5.61), działając operatorem rotacji. (c) Sprawdzić, że równanie (5.63) jest zgodne z równaniem (5.61), działając luplusjunem. Zadanie 5.28. Przypuśćmy, że chcemy zdefiniować magnetyczny potencjał skalarny U (rów nanie (5.65)), w otoczeniu przewodnika z prądem. Po pierwsze, musimy ograniczyć się do obszaru poza przewodnikem (w jego wnętrzu V x B / 0), ale to jeszcze nie wszystko. Po kazać, posługując się prawem Ampere’a, że jeśli kontur całkowania zaczyna się w punkcie a i okrąża przewodnik, powracając do punktu b (rys. 5.47), to potencjał skalarny nie może być funkcją jednowartościową (to znaczy U{ a) ^ U( b), nawet gdy a i b reprezentują ten sam punkt fizyczny). Jako przykład znaleźć potencjał skalarny nieskończonego przewodnika prosto liniowego. (Aby uniknąć potencjału wielowartościowego, musimy ograniczyć się do obszaru jednospójnego. który pozostaje po jednej stronie prostoliniowego przewodnika, nic pozwalając go okrążyć.) kontur Ampere'a
Zadanie 5.29. Posługując się wynikami przykł. 5.11, znaleźć indukcję pola wewnątrz jedno rodnie naładowanej kuli o całkowitym ładunku Q i o promienu /?, wdrującej ze stałą prędkością kątową o>. Zadanie 5.30 (a) Dokończyć dowód twierdzenia 2 z paragrafu 1.6.2, to znaczy pokazać, że każde bezźródłowe pole wektorowa F może zostać zapisane jako rotacja pewnego potencjału wektorowego . dAz ćMv ^
270
5. MAGNETOSTATYKA
znajdując Ay i Az. „Stałe całkowania” są funkcjami z i y, są one stałe jedynie jako funkcje zmiennej x. Następnie podstawić otrzymane wyrażenia do (i) i wykorzystać fakt, że V F = 0, by otrzymać
o
o
o
(b) Różniczkując wprost, sprawdzić, że otrzymany w punkcie (a) potencjał wektorowy A spełnia równanie V x A = F. Czy potencjał A jest bezźródłowy? [Powyższa konstrukcja jest bardzo asymetryczna i byłoby zaskakujące, gdyby otrzymany potencjał był bezźródłowy, chociaż wiemy, że istnieje takie pole wektorowe, które jest bczźródłowe i którego rotacja jest równa F.l (c) Jako przykład rozważyć F = yx + zy + xz. Obliczyć A i sprawdzić, że V x A = F. (Dalsza dyskusja, patrz zad. 5.51).
5.4.2. Podsumowanie; magnetostatyczne warunki brzegowe W rozdziale 2 narysowaliśmy trójkątny diagram podsumowujący związki pomiędzy trzema podstawowymi wielkościami elektrostatyki: gęstością ładunku p, natężeniem pola elektrycznego E i potencjałem V. Podobny diagram wiążący gęstość prądu J, indukcję pola magnetycznego B oraz potencjał można zbudować także dla magnetostatyki (rys. 5.48). W diagramie brakuje jednego związku, równania określającego A poprzez B. Jest ono zbędne, nigdy nic będziemy potrzebować takiego związku, jednak zainteresowanych tym czytelników odsyłamy do zadań 5.50 i 5.51.
Rys. 5.48
Tak jak natężenie pola elektrycznego jest nieciągłe na naładowanych powierzch niach, tak też indukcja magnetyczna jest nieciągła na powierzchniach, po których płyną
271
5.4. MAGNETYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY
prądy powierzchniowe. Tym razem jedynie składowa styczna ulega zmianie. Z równania (5.48) w postaci całkowej « (p R • da = 0, zastosowanego do cienkiego, płaskiego pudełka (rys. 5.49), otrzymujemy />J d! " n a d — "pod*
(5.72)
Całkowanie po konturze Ampere’a prostopadłym do prądu powierzchniowego (rys. 5.50) daje f B • dl = ( « L ~ = Mo/c = MoKI lub = p {)K .
(5-73)
Tak więc skok składowej indukcji magnetycznej R stycznej do powierzchni, ale prosto padłej do kierunku prądu powierzchniowego, jest równy p o K . Całkowanie po podobnym konturze Ampere’a równoległym do kierunku prądu pokazuje, że równoległa składowa indukcji jest ciągła. Wyniki te można zebrać w jednym wzorze
272
5. MAGNETOSTATYKA
B nad -
B pod =
II0 ( K
X II),
( 5 .7 4 )
w którym ń jest wektorem normalnym do powierzchni, skierowanym „ku górze”. Tak jak w przypadku potencjału skalarnego w elektrostatyce, także potencjał wek torowy jest ciągły na powierzchni: A nad =
A pod.
(5.75)
Warunek V A = 0 gwarantuje, 16 że składowa prostopadła jest ciągła, natomiast równanie V x A = B w postaci całkowej, ^ A • dl =
J
B • da =
0
,
oznacza, że składowa styczna jest ciągła (strumień przez kontur Ampere’a o znikają cej grubości jest równy zeru). Jednak pochodna potencjału wektorowego A dziedziczy nieciągłość po indukcji magnetycznej B: d A nad
dApod
3n
3n
-/i-oK.
( 5 .7 6 )
Zadanie 5.31 (a) Sprawdzić równanie (5.74) dla konfiguracji z przykładu 5.9. (b) Sprawdzić równanie (5.74) i (5.76) dla konfiguracji z przykładu 5.11. Zadanie 5.32. Udowodnić słuszność równania (5.76), posługując się równaniami (5.61), (5.74) i (5.76). [Sugestia: Umieścić na powierzchni kartezjański układ współrzędnych o osi z prosto padłej do powierzchni i o osi a* równoległej do kierunku prądu.]
5.4.3. Multipolowe rozwinięcie potencjału wektorowego Jeśli chcemy znaleźć przybliżone wyrażenie na potencjał wektorowy pochodzący od zlo kalizowanego rozkładu prądów, poprawne w dużej odległości od tych prądów, możemy posłużyć się rozwinięciem multipolowym. Przypomnijmy: idea rozwinięcia multipolowego polega na zapisaniu potencjału jako szeregu potęgowego względem 1/ r , gdzie r jest odległością od punktu, w którym szukamy potencjału (rys. 5.51). Jeśli r jest wys tarczająco duże, w szeregu będzie dominować najniższy nie znikający wyraz, natomiast wyższe wyrazy można zaniedbać. W paragrafie 3.4.1 (równanie (3.94)) znaleźliśmy 1
n
i
Pn(cos 0 ).
(5.77)
\/r 2 + (r ' ) 2 —2 /*r'cos#'
,6Zwróćmy uwagę, że w równaniach (5.75) i (5.76) zakłada się, że A jest polem bezźródłowym.
273
5.4. MAGNETYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY
Odpowiednio, potencjał wektorowy pętli z prądem możemy zapisać jako
A
7
f rV'> -(cos^',,dl'
(5.78)
lub bardziej wprost
B/ d,/+^ /,'cos^d|'
A(r) =
^
(rVQ C0Sv - l )
d i '+ . . . ] .
(5.79)
Tak jak w przypadku multipolowego rozwinięcia potencjału skalarnego V9 pierwszy wyraz zanikający jak 1jr nazywamy monopolem, drugi, zanikający jak l / r 2, dipolem, trzeci, zanikający jak l / r 3, kwadrupolem itd. Okazuje się, że wyrcu odpowiadający magnetycznemu monopolowi zawsze znika, ponieważ całka jest przemieszczeniem wzdłuż zamkniętego konturu
ł
(5.80)
d l' = 0.
Odzwierciedla to fakt, że (najwyraźniej) w przyrodzie nie istnieją monopole magnetyczne (jako założenie jest on zawarty w równaniu Maxwella V • B = 0, na którym oparta jest cała teoria potencjału wektorowego). W nieobecności monopoli magnetycznych dominującym wkładem jest wkład dipo lowy (poza rzadkimi przypadkami, gdy i on znika): Adip(r ) = £ — (j) r' cos 6)'dl' =
j ) ( r • r)dl'.
(5.81)
Tę całkę możemy przepisać w bardziej przejrzysty sposób, jeśli wykorzystamy równanie (1.108) z c =- r:
274
5. MAGNETOSTATYKA
Otrzymujemy ostatecznie Adip(r)
(1 q m x f
471
(5.83)
r?
gdzie m jest magnetycznym momentem dipolowym:
(5.84)
Tutaj a jest „wektorowym polem powierzchni pętli” (patrz zad. 1.61); jeśli pętla jest płaska, to a jest zwykłym polem powierzchni płaskiej ograniczonej przez pętlę; kierunek a jest określony w zwykły sposób za pomocą reguły prawej dłoni (palce wskazują kierunek przepływu prądu).
Przykład 5.13 Znaleźć magnetyczny moment dipolowy pętli w kształcie otwartej książki pokazanej na rys. 5.52. Wszystkie boki mają długość wy a prąd płynący przez pętlę ma natężenie /.
+
Rys. 5.53
Rozwiązanie: Pętlę tę możemy potraktować jako superpozycję dwóch płaskich pętli pokazanych na rys. 5.53. Wkłady pochodzące od dodatkowych boków (AB) wzajemnie się znoszą, ponieważ prąd w boku AB w każdej pętli płynie w innym kierunku. Tak więc wypadkowy moment magnetyczny jest równy m = /ury -}- I w 2z; jego wartość jest równa v/2/iu2; wektor m jest nachylony pod kątem 45 do linii z = y.
275
5.4. MAGNETYCZNY POTENCJAŁ WEKTOROWY
Z równania (5.84) w oczywisty sposób wynika, że magnetyczny moment dipolowy jest niezależny od wyboru początku układu współrzędnych. Czytelnik być może pamięta, że elektryczny moment dipolowy jest niezależny od wyboru początku układu współ rzędnych tylko wtedy, gdy całkowity ładunek jest równy zeru (paragraf 3.4.3). Ponieważ magnetyczny moment monopolowy zawsze znika, nie jest zaskakujące, że magnetyczny moment dipolowy nie zależy od wyboru początku układu współrzędnych. Choć moment dipolowy dominuje w rozwinięciu multipolowym (poza przypadkiem, gdy ni = 0 ), dlatego daje on dobre przybliżenie prawdziwej wartości potencjału, nie jest to jednak ścisła wartość potencjału; istnieją także wkłady kwadrupolowe, oktupolowe i wyższe. Można by zapytać, czy możliwe jest wytworzenie takiego rozkładu prądu, którego potencjał jest „czysto” dipolowy i dla którego równanie (5.83) jest ścisłe'! Od powiedz brzmi: i tak i nie. Podobnie jak w przypadku odpowiednika elektrycznego, można to zrobić, ale model jest nieco wymyślny. Musimy wziąć infinitezymalnie małą pętlę umieszczoną w początku układu współrzędnych, jednak by trzymać stały (niezerowy) moment dipolowy, musimy zwiększyć natężenie prądu do nieskończoności, tak by iloczyn la pozostał nie zmieniony. W praktyce potencjał dipolowy jest wy starczająco dobrym przybliżeniem, jeśli odległość r jest dużo większa od rozmiarów pętli.
Indukcję magnetyczną (czystego) dipola najłatwiej obliczyć, umieszczając m w po czątku układu współrzędnych i orientując go zgodnie z osią z (rys. 5.54). Zgodnie z równaniem (5.83) potencjał w punkcie o współrzędnych (r, 0 ,
Mo m sin 0 <ł> 4 tt A
(5.85)
i stąd _ Unm Bdin(r) — V x A = -— - ( 2 cos0r -1- sin 00). Aur5
(5.86)
Zdumiewające, że pole Bdip ma identyczną strukturę jak pole dipola elektrycznego (rów nanie (3.103))! (Jednak na małych odległościach pole fizycznego dipola magnetycznego
5. MAGNETOSTATYKA
2 /6
— małej pętli z prądem — jest całkiem inne niż pole dipola elektrycznego — dodatniego i ujeimiegu ładunku w niewielkiej odległości od siebie. Porównajmy rys. 5.55 z rys. 3.37.)•
R ys.
5.55
• Zadanie 5.33. Pokazać, że indukcję magnetyczną dipola można zapisać w postaci niezależnej od układu współrzędnych:
(5.87)
Zadanie 5.34. Kołowa pętla o promieniu R i środku w początku układu współrzędnych poło żona jest w płaszczyźnie xy. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (jeśli patrzeć od dodatniej strony osi z) płynie przez nią prąd o natężeniu /. (a) Jaki jest dipolowy moment magnetyczny pętli? (b) Jaka jest (przybliżona) indukcja pola magnetycznego daleko od początku układu współ rzędnych? (c) Pokazać, że dla punktów położonych na osi z, odpowiedź jest zgodna ze ścisłym rozwiązaniem (przykł. 5.6), gdy z » R. Zadanie 5.35. Płyta gramofonowa o promieniu R jednorodnie naładowana z powierzchniową gęstością ładunku a obraca się ze stałą prędkością kątową co. Znaleźć jej moment dipolowy. Z a d a n ie 5.36. Znaleźć magnetyczny moment dipolowy wirującej sfery z przykładu 5.11. Po kazać, że w punktach, gdzie r > R, potencjał wektorowy sfery jest potencjałem idealnego dipola.
Zadanie 5.37. Znaleźć ścisłą wartość indukcji magnetycznej w odległości z ponad środkiem kwadratowej ramki o boku w, przez którą płynie prąd o natężeniu /. Sprawdzić, że redukuje się ona do indukcji dipola o odpowiednim momencie dipolowym, gdy z w.
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 5
277
Zadania dodatkowe do rozdziału 5 Zadanie 5.38. Mogłoby się wydawać, że skoro przewodniki z płynącymi równolegle prądami przyciągają się, prąd płynący w jednym przewodniku powinien skupiać się w wąskim strumie niu skoncentrowanym wzdłuż osi. Tymczasem w praktyce prąd zazwyczaj rozkłada się w prze wodniku równomiernie. Jak to wyjaśnić? Pokazać, że jeśli ładunki dodatnie (o gęstości p+) spoczywają, a ujemne (o gęstości p_) poruszają się z prędkością v (i żadna z tych wielkości nie zależy od odległości od osi), to spełniony jest związek p_ = - p +y 2, gdzie y = 1j j 1 - (u/c*)2 i cL = 1/po^o- Jeśli przewodnik jako całość jest obojętny elektrycznie, gdzie znajduje się ła dunek kompensujący? 17 [Zauważyć, że dla typowych prędkości (patrz zad. 5.19) gęstości nie zmieniają się na skutek przepływu prądu (ponieważ y ~ 1). W plazmie jednak, gdzie ładunki dodatnie takie mogą się poruszać, to tak zwane zjawisko pinchu może być bardzo istotne. 1 Zadanie 5.39. Prąd o natężeniu / płynie na prawo przez prostokątną, przewodzącą sztabkę, w obecności jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B wychodzącej z płaszczyzny ry sunku (rys. 5.56). (a) W którą stronę pole magnetyczne odchyli ładunki, jeśli to ładunki dodatnie się poru szają? Odchylenie to powoduje gromadzenie się ładunków na dolnej i górnej powierzchni płytki, co wywołuje powstanie siły elektrycznej przeciwdziałającej sile magnetycznej. Gdy obie siły się równoważą, powstaje stan równowagi. (Zjawisko to nosi nazwę zjawiska Halla.) (b) Znaleźć równowagową różnicę potencjałów (napięcie Halla) pomiędzy górną i dolną powierzchnią, wyrażając ją przez indukcję magnetyczną B. v (prędkość ładunków) i odpowied nie rozmiary płytki. 18 (c) Jak zmieni się rozwiązanie zadania, jeśli ruchomymi ładunkami są ładunki ujemne? [Zjawisko Halla jest klasycznym sposobem określenia znaku ładunku poruszającego się w materiale.]
Zadanie 5.40. Płaska przewodząca pętla o dowolnym kształcie częściowo znajduje się w obsza rze jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B (na rys. 5.57 pole istnieje w zacicniowanym obszarze i jest skierowane prostopadle do płaszczyzny rysunku). Przez pętlę płynie prąd o na tężeniu /. Pokazać, że wypadkowa siła magnetyczna działająca na pętlę ma wartość F = IB w, gdzie w jest długością pokazanej na rysunku cięciwy. Uogólnić ten wynik na przypadek, gdy obszar zajmowany przez pole magnetyczne ma nieregularny kształt. Jaki jest kierunek i zwrot tej siły ? l7Dalszą dyskusję tego problemu można znaleźć w artykule D. C. Gabuzdy, Am. J. Phxs. 61, 360 (1993). ,8Znalezieiiie potencjału wewnątrz płytki jest ciekawym zagadnieniem brzegowym. Patrz M. J. Mo eller. J. Evans i G. Elliot. Am. J. Phys. 6 6 . 6 6 8 (1998).
278
5. MAGNETOSTATYKA
Zadanie 5.41. Pole magnetyczne o symetrii walcowej (indukcja B zależy jedynie od odległości od osi) ma kierunek prostopadły do płaszczyzny rysunku i zajmuje obszar zacieniowany na rys. 5.58. Pokazać, że jeśli całkowity strumień (/ B da) jest równy zeru, to cząstka naładowana startująca ze środka ucieknie z obszaru zajmowanego przez pole po drodze o kierunku radialnym (jeśli w ogóle ucieknie; jeżeli jej prędkość początkowa jest zbyt duża, cząstka będzie po prostu krążyć w środku). Poruszająca się po trajektorii odwrotnej cząstka startująca z zewnątrz uderzy w swój cel, choć dotrze tam po dziwnej trajektorii. | Wskazówka: Obliczyć całkowity moment pędu uzyskany przez cząstkę, posługując się wzorem określającym siłę Lorentza.] obszar pola magnetycznego
Zadanie 5.42. Znaleźć siłę magnetyczną, jaką przyciągają się północna i południowa półkula obracającej się naładowanej sfery (przykł. 5.11). [Odpowiedź: {n/4)p{)a 2ar R'\] Zadanie 5.43. Rozważyć ruch cząstki o masie m i ładunku qc w polu (hipotetycznego) stacjo narnego monopola magnetycznego qm umieszczonego w początku układu współrzędnych: Mo (fm 4:i r (a) Znaleźć przyspieszenie ładunku qę\ wynik wyrazić przez qc, qm, w, r (położenie cząstki) oraz v (jej prędkość). (b) Pokazać, że szybkość v = |v| jest stałą ruchu. (c) Pokazać, że wielkość wektorowa Mo
2 79
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 5
(iii) Obliczyć Q 0 i pokazać, że d(p dr
k r2
oraz znaleźć stalą k. (e) Zapisując v2 we współrzędnych kulistych, znaleźć równanie trajektorii w postaci
(wyznaczyć lunkcję /(r)). (f) Rozwiązać równanie trajektorii dla /(
/tg ( 4 ) ^
Zadanie 5.46. Pole magnetyczne na osi kołowego obwodu z prądem (równanie (5.38)) dalekie jest od jednorodności (zanika ono szybko wraz ze wzrostem z). Bardziej jednorodne pole można wytworzyć, posługując się dwiema takimi pętlami odległymi od siebie o d (rys. 5.60).
,CCB
Rys. 5.59
Rys. 5.60
(a) Znaleźć indukcję magnetyczną (fi) jako funkcję z i pokazać, że dB/dz znika w punkcie (z = 0) leżącym w środku między pętlami. Jeśli właściwie dobierzemy wartość dy także druga pochodna fi znika w tym punkcie. Układ ten znany jest jako cewka Helmholtza; jest to wygodny sposób wytworzenia względnie jednorodnego pola w laboratorium. (b) Wyznaczyć wartość d taką, że d2B/dz2 = 0 pośrodku między pętlami i wyznaczyć wartość indukcji magnetycznej w tym punkcie dla tej odległości. [Odpowiedź: 8/z0//5\/5/?.] ! Zadanie 5.47. Znaleźć indukcję pola magnetycznego w punkcie z > R na osi (a) obracającego się dysku, oraz (b) obracającej się kuli z zadania 5.6.
5. MAGNETOSTATYKA
280
Rys. 5.61
Rys. 5.62
Zadanie 5.48. Załóżmy, że szukamy indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez kołowy obwód (przykł. 5.6) w punkcie r, który nie znajduje się na osi symetrii (rys. 5.61). Możemy tak wybrać układ współrzędnych, by wektor r leżał w płaszczyźnie yz (współrzędne (0 , y, z)). Punkty leżące na obwodzie pętli mają współrzędne (Rcos\ R sin<£', 0), gdzie ' zmienia się od 0 do 2n. Wypisać całki, za pomocą których liczymy Bx> Bv i BZJ a następnie obliczyć wartość Bx. Magnetostatyka traktuje „prąd źródłowy” (to znaczy ten, który wytwarza pole) i prąd, na który działa siła, w sposób na tyle asymetryczny, że nie jest oczywiste, iż siły magnetyczne działające pomiędzy dwoma obwodami z prądem zgodne są z trzecią zasadą dynamiki Newtona. Posługując się prawem Biota-Savarta (5.32) oraz wzorem określającym siłę Lorentza (5.16), pokazać, że siła działająca na pętlę 2, pochodząca od pola magnetycznego pętli 1 (rys. 5.62), może być zapisana w postaci
Z ad a n ie 5.49.
F2 = —
dl,.
(5.88)
Z tego wzoru widać, że F 2 = - F ,, ponieważ zmienia zwrot, jeśli zamienimy miejscami indeksy I i 2. (Jeśli pojawia się „dodatkowy” wyraz, pomocne będzie spostrzeżenie, że dl2- R* = dn .)
Zadanie 5.50 (a) Jeden ze sposobów wypełnienia „brakującego połączenia” na rys. 5.48 polega na wy korzystaniu analogii pomiędzy równaniami definiującymi potencjał wektorowy A (V • A = 0, V x A = B) i równaniami Maxwella dla indukcji magnetycznej B (V B —0, V x B Oczywiste jest, że A zależy w taki sam sposób od B, jak B od /znJ (to jest zgodnie z prawem Biota-Savarta) Wykorzystać tę obserwację do znalezienia wzoru wyrażającego potencjał A za pomocą indukcji B. (b) Analogią elektryczną wyniku uzyskanego w (a) jest E (r) • h dr'. n2 nr)= - Ł S Sprawdzić to, wykorzystując właściwą analogię.
281
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 5
Zadanie 5.51. Inny sposób wypełnienia „brakującego związku’' na rys. 5.48 polega na znale zieniu magnetycznego odpowiednika równania (2.21). Oczywistym kandydatem jest r
A(r) = j (B x dl). O (a) Sprawdzić ten wzór w najprostszym możliwym przypadku — pola jednorodnego (po służyć się początkiem układu współrzędnych jako punktem odniesienia.) Czy wynik jest zgodny z zad. 5.24? Można poprawić ten wynik, uwzględniając czynnik ^ ale wada tego równania tkwi głębiej. w
I Rys. 5.63 (b) Pokazać, że /(B x dl) zalety od drogi całkowania, obliczając /(B x dl) wzdłuż prostokątnej pętli pokazanej na rys. 5.63. Z tego co wiem, najlepszym rozwiązaniem20 jest para równań i (i) V(r) = —r ■f E(A.r)
(ii) A(r) = —r x / żB(/.r) dż. o [Równanie (i) jest wyborem radialnej drogi całkowania dla całki (2.21); równanie (ii) stanowi bardziej „symetryczne” rozwiązanie zad. 5.30.] (c) Wykorzystać (ii) do znalezienia potencjału wektorowego pola jednorodnego. (d) Wykorzystać (ii) do znalezienia potencjału wektorowego nieskończonego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie prąd o natężeniu /. Czy (ii) spełnia automatycznie warunek Y• A = 0? [Odpowiedź: (p.0f /2ns)(zs —az).] Zadanie 5.52 (a) Skonstruować potencjał skalarny U(r) dla „czystego” dipola magnetycznego o momen cie m. (b) Skonstruować potencjał skalarny dla obracającej się sfery (przykł. 5.11). [Wskazówka: dla r > R jest to czyste pole dipola, co można zauważyć, porównując równania (5.67) i (5.85).| (c) Spróbować zrobić to samo dla wnętrza sztywnej obracającej się kuli. fWskazówka: Po rozwiązaniu zad. 5.29 znamy już indukcję magnetyczną; położyć ją równą —V(7 i rozwiązać równanie ze względu na U. Na czym polega kłopot?] Zadanie 5.53. Podobnie jak równanie V B = 0 pozwala wyrazić indukcję magnetyczną B jako rotację potencjału wektorowego (B = V x A), tak równanie V • A = 0 pozwala wyrazić A jako rotację „wyższego” potencjału: A = V x W. (Ta hierarchia może być rozciągnięta do nieskończoności.) 2nR.
1968.
L. Bishop i S. I. Goldberg. Tensor Analysis on Manifolds, podrozdz. 4.5. Macmillan. New York
282
5. MAGNET0STA7YKA
(a) Znaleźć ogólne wyrażenie na W (w postaci całki z B), które jest słuszne, gdy B —►0 w nieskończoności. (b) Wyznaczyć W w przypadku jednorodnego pola magnetycznego. [Wskazówka: patrz zad. 5.24.J (c) Znaleźć W wewnątrz i na zewnątrz nieskończonego solenoidu. [Wskazówka: patrz zad. 5.12.] Zadanie 5.54. Udowodnić następujące twierdzenie o jednoznaczności: Jeśli gęstość prądu J jest określona w obszarze V oraz potencjał wektorowy A luh indukcja magnetyczna B jest określony/a na powierzchni S ograniczającej obszar V, to pole magnetyczne jest jednoznacz nie określone w całej objętości V. [Wskazówka: Najpierw posłużyć się twierdzeniem Gaussa, a następnie pokazać, że
dla dowolnych pól wektorowych U i V.] Zadanie 5.55. Dipol magnetyczny o momencie m = —tn0z znajduje się w początku układu współrzędnych w jednorodnym polu zewnętrznym B = B0i. Pokazać, że istnieje powierzchnia sferyczna o środku w początku układu współrzędnych, przez którą nic przenikają linie pola magnetycznego. Znaleźć promień tej sfery i narysować linie pola wewnątrz i na zewnątrz. Zadanie 5.56. Cienki, jednorodny obwarzanek o ładunku Q i masie M obraca się wokół osi symetrii, jak pokazuje rys. 5.64. 7
Rys. 5.64
(a) Znaleźć stosunek jego momentu magnetycznego do momentu pędu. (Nosi on nazwę stosunku giromagnetycznego (lub stosunku magnetomechanicznego). (b) Jaka jest wartość stosunku giromagnetycznego dla jednorodnej obracającej się kuli? [Odpowiedź nic wymaga wykonania nowego rachunku; wystarczy podzielić kulę na infinitezymalnc pierścienie i wykorzystać wynik z punktu (a).| (c) Zgodnie z mechaniką kwantową wewnętrzny moment pędu (spin) elektronu jest równy przy czym fi jest stałą Plancka. Jaka jest wartość dipolowego momentu magnetycznego elektronu w A - m 2? [Ta półklasyczna wartość różni się od prawdziwej o czynnik w przy bliżeniu równy 2. Teoria Diraca relatywistycznego elektronu odtwarza czynnik 2. a teoria Fcynmana, Schwingera i Tomonagi pozwala obliczyć dalsze, drobne poprawki. Wyznaczenie dipolowego momentu magnetycznego elektronu jest najprecyzyjniejszym osiągnięciem elektro dynamiki kwantowej i wykazuje być może najbardziej oszałamiającą zgodność teorii z ekspe. rymentem w całej fizyce. Wielkość — , gdzie ^ jest ładunkiem elektronu, a m jego masą, nosi 2 m nazwę magnetonu Bohra.] • Zadanie 5.57 (a) Udowodnić, że uśrednione po objętości pole magnetyczne kuli o promieniu /?, wytwo rzone przez prądy stałe, we wnętrzu kuli jest równe (5.89)
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 5
2 83
gdzie m jest całkowitym momentem magnetycznym kuli. Porównać to z wynikiem elektrosta tycznym, (równanie (3.105)). [Wskazówka:
Rys. 5.65
Zapisać indukcję magnetyczną B jako V x A i wykorzystać wynik zad. (1.60b). Podstawić do równania (5.63) i najpierw obliczyć całkę powierzchniową, pokazując, żc
Można użyć równania (5.91 ).| (b) Pokazać, że uśredniona indukcja magnetyczna pochodząca od prądów stałych na zewnątrz. kuli jest taka sama jak indukcja w geometrycznym środku kuli. Zadanie 5.58. Jednorodnie naładowana sztywna kula o promieniu R i ładunku całkowitym Q obraca się wokół osi z z prędkością kątową co. (a) Jaki jest magnetyczny moment dipolowy kuli? (b) Znaleźć uśrednioną indukcję magnetyczną wewnątrz kuli (patrz zad. 5.57). (c) Znaleźć przybliżone wyrażenie określające potencjał wektorowy w punkcie (/*. 0). gdzie r » R. (d) Znaleźć ścisłe wyrażenie określające potencjał wektorowy w punkcie (r, 0) na zewnątrz kuli i sprawdzić, że jest ono zgodne z wynikiem z punktu (c). [Wskazówka: Wykorzystać przykł. 5.11.] (e) Znaleźć indukcję magnetyczną w punkcie (r, 0) wewnątrz kuli i sprawdzić, że wynik jest zgodny z wynikiem z punktu (b). Zadanie 5.59. Wykorzystując równanie (5.86), obliczyć uśrednioną po kuli o promieniu R indukcję magnetyczną dipolu umieszczonego w środku tej kuli. Najpierw obliczyć całkę po kątach. Porównać wynik z ogólnym twierdzeniem z zadania 5.57. Wyjaśnić przyczyny rozbież ności i wskazać, jak można poprawić równanie (5.87), by usunąć niejednoznaczność w r = 0. (W przypadku trudności wrócić do zad. 3.42.) Oczywiście prawdziwa indukcja magnetyczna dipola dana jest wyłażeniem (5.90) B ,„,,(!•) = - - | 3 ( m ■ f ) f - m ] + ^ m S ,3)( r ) . 4Ti r3 3 Porównać wynik z jego elektrostatycznym odpowiednikiem (równanie (3.106)). [Wyraz zawie rający deltę Diraca jest odpowiedzialny za strukturę nadsubtelną w widmach atomowych — patrz np. D. J. Griffiths. Am. J. Phys. 50. 698 (I982).|
5. MAGNETOSTATYKA
284
Zadanie 5.60. Wyprowadziliśmy rozwinięcie multipolowe dla potencjału wektorowego prądu liniowego, ponieważ jest to najczęściej spotykany przypadek i pod wieloma względami najła twiejszy do analizy. Dla prądu objętościowego o gęstości J: (a) Napisać rozwinięcie multipolowe, analogiczne do równania (5.78). (b) Napisać wzór określający potencjał monopola magnetycznego i pokazać, że potencjał ten znika. (c) Posługując się równaniami (1.107) i (5.84) pokazać, że moment dipolowy można za pisać w postaci (5.91)
s L
O)
Rys. 5.66 Zadanie 5.61. Cienka szklana pałeczka o promieniu R i długości L naładowana jest ze stałą gęstością powierzchniową ładunku a. Pałeczka obraca się wokół swej osi z prędkością ką tową co. Znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości s » R od środka pałeczki (rys. 5.66). [Wskazówka: Potraktować pałeczkę jako zbiór dipoli magnetycznych.] [Odpowiedź: „ uc o a L R ' / 4 [ S 2 + ( L / 2)2]3' 2.]
Rozdział 6
Pola magnetyczne w materii
6.1. Magnetyzacja 6.1.1. Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki Gdyby zapytać przeciętnego człowieka, czym jest „magnetyzm”, prawdopodobne wspo mni coś o magnesie w kształcie podkowy, igle kompasu i biegunie północnym, o niczym zaś, co miałoby jakikolwiek związek z poruszającymi się ładunkami lub przewodnikami z prądem. Wszystkie zjawiska magnetyczne są spowodowane ruchem ładunków elektrycznych; i rzeczywiście, gdybyśmy mogli zbadać substancję magnetyczną w skali atomowej, od krylibyśmy mikroskopowe prądy: elektrony krążące wokół jąder i wokół własnej osi. Z makroskopowego punktu widzenia te obwody prądu są tak małe, że możemy trakto wać je jak dipole magnetyczne; zwykle znoszą się one wzajemnie z powodu przypadko wego ułożenia atomów. Jednak w zewnętrznym polu magnetycznym dipole te ustawiają się wzdłuż linii pola, tak więc substancja staje się spolaryzowana magnetycznie, czyli namagnesowana. W przeciwieństwie do dielektryków, które prawie zawsze polaryzują się zgodnie z polem E, niektóre materiały zostają namagnesowane w tym samym kierunku i o tym samym zwrocie co wektor indukcji magnetycznej B (paramagnetyki), a niektóre w tym samym kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie (diamagnetyki). Nieliczne substancje zwane (od najczęściej spotykanego żelaza) ferromagnetykami zachowują namagnesowanie na wet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole; w tym przypadku namagnesowanie nie jest już wyznaczane przez chwilowe pole, ale przez całą magnetyczną „historię” substancji. Wykonane z żelaza magnesy trwałe są najbardziej znanymi przykładami magnetyzmu, choć z teoretycznego punktu widzenia należą do najbardziej skomplikowanych. Dlatego też ferromagnetyzmem zajmiemy się na końcu rozdziału, zaczynając go od jakościowych modeli para- i diamagnetyzmu.
6.1.2. Siły i momenty sił działających na dipole magnetyczne Na dipol magnetyczny umieszczony w polu magnetycznym działa moment siły, podobnie jak na dipol elektryczny umieszczony w polu elektrycznym. Obliczmy ten moment siły
286
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
/
Rys. 6.1 w przypadku prostokątnej pętli z prądem w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. (Ponieważ każdą pętlę, przez którą płynie prąd, można złożyć z infinitezymalnych prostokątów, ze wszystkimi wkładami pochodzącymi od „wewnętrznych” boków, znoszą cymi się wzajemnie, jak pokazuje rys. 6 . 1 , posługiwanie się tym kształtem nie powoduje utraty ogólności rozważań; czytelników, którzy chcieliby zacząć od przypadku ogólnego zachęcamy do rozwiązania zadania 6.2.) Prostokątna ramka położona jest w początku układu współrzędnych i nachylona pod kątem 0 do osi z w płaszczyźnie yz (rys. 6 .2 ). Niech indukcja magnetyczna B będzie skierowana zgodnie z osią z . Siły działające na oba boki nachylone do płaszczyzny xy wzajemnie się znoszą (dążą one nie do obróce nia, ale do rozciągnięcia ramki). Siły działające na boki „poziome” mają wprawdzie te same wartości i kierunki, ale przeciwne zwroty (tak więc wypadkowa siła działająca na pętlę znika). Moment tych sił powoduje jednak obrót ramki: N = aFsinOx. Wartość siły działającej na każdy z tych boków jest równa F = //?£,
ni
X
a)
b) Rys. 6.2
6.1. MAGNETYZACJA
287
lak więc
N — lab U sin Ox = m D sin0x lub
N = m x B,
( 6 . 1)
gdzie m = lab jest dipolowym momentem magnetycznym ramki z prądem. Równanie (6.1) jest ścisłym wyrażeniem określającym moment siły działającej na każdy zlokalizo wany rozkład prądu w obecności jednorodnego pola magnetycznego. W przypadku pola niejednorodnego jest to moment siły (względem środka) działającej na doskonały dipol o infinitezymalnych rozmiarach. Zwróćmy uwagę na to, że równanie (6.1) ma identyczną postać jak równanie (4.4) w przypadku elektrostatyki: N = p x E. W szczególności moment siły jest skierowany w taki sposób, że stara się ustawić oś dipolu zgodnie z zewnętrznym polem. Ten moment siły odpowiada za zjawisko paramagnetyzmu. Ponieważ każdy elektron jest magnetycz nym dipolem (możemy go sobie wyobrazić jako małą, obracającą się, naładowaną kulkę), moglibyśmy oczekiwać, że paramagnetyzm jest zjawiskiem uniwersalnym. Prawa me chaniki kwantowej (a dokładnie zasada Pauliego) mówią, że elektrony w atomie łączą się w pary o przeciwnych spinach, co powoduje, że działające na nie momenty sił wzajemnie się znoszą. W rezultacie paramagnetyzm zwykle występuje w atomach i cząsteczkach o nieparzystej liczbie elektronów, gdzie „dodatkowy”, niesparowany elektron doświad cza działania momentu siły. Jednak nawet wtedy momenty dipolowe nie układają się idealnie wzdłuż linii pola, ponieważ ruchy cieplne i zderzenia niszczą porządek. W polu jednorodnym siła wypadkowa działająca na pętlę z prądem znika F = / <^(dl x B) = / (J ) df) x B = 0; stała indukcja magnetyczna B znajduje się poza całką, a wypadkowe przemieszcze nie wzdłuż konturu pętli / dl znika. W polu niejednorodnym nie jest to już prawdą. Wyobraźmy sobie na przykład, że pierścień o promieniu R, przez który płynie prąd o natężeniu l y zawieszony jest nad krótkim solenoidem, w obszarze gdzie pole staje się niejednorodne (rys. 6.3). Indukcja pola magnetycznego B ma tam także składową ra dialną i w konsekwencji występuje także nieznikająca siła wypadkowa skierowana w dół (rys. 6.4). F = 2tcl RB cos 0. (6.2) Dla infinitezymalnej pętli o momencie dipolowym m umieszczonej w polu magnetycz nym o indukcji B jest ona równa F = V(m B)
(6.3)
(patrz zad. 6.4). Raz jeszcze formuła magnetyczna jest identyczna ze swoim elektrosta tycznym odpowiednikiem, jeśli zapiszemy go w postaci F = V(p • E).
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
288
Czytelnik, który zaczyna mieć odczucie deja vu, być może nabierze nieco więcej szacunku dla tych spośród dawnych fizyków, którzy wyobrażali sobie, że magnetyczne dipole, na wzór elektrycznych, składają się z dodatnich i ujemnych „ładunków” magne tycznych (nazywanych południowymi i północnymi biegunami), nieznacznie oddalonych od siebie (rys. 6.5a). Wypisywali oni „prawo Coulomba” dla przyciągania i odpychania tych biegunów, a następnie rozwinęli całą magnetostatykę przez ścisłą analogię do elektrostatyki. W przypadku wielu zastosowań wcale to nie jest zły model; daje on poprawne wyrażenie na pole dipola (przynajmniej daleko od jego środka), prawidłowe wyrażenie na moment siły (przynajmniej dla stacjonarnego dipola) i prawidłowe wyrażenie na silę działającą na dipol (przynajmniej w nieobecności prądów zewnętrznych). Jednak jest to zła fizyka, ponieważ nie istnieją takie obiekty, jak pojedyncze bieguny magnetyczne, północny czy południowy. Jeśli przełamiemy magnes sztabkowy na pół, nie zostaniemy z biegunem północnym w jednej dłoni i z biegunem południowym w drugiej. Magnetyzm nie jest zjawiskiem wywołanym przez magnetyczne monopole, ale przez poruszające się ładunki elektryczne; dipole magnetyczne są mikroskopowymi obwodami z prądem (rys. 6.5c). Jest rzeczą niezwykłą, że wzory zawierające moment magnetyczny m są tak N 1 ni
p
i m c
a) dipol magnetyczny (model Gilberta)
b) dipol elektryczny Rys. 6.5
c) dipol magnetyczny (model Ampere1a)
289
6.1. MAGNETYZACJA
podobne du wzorów zawierających elektryczny moment dipolowy p. Czasami jest Ła twiej rozumować w kategoriach „modelu Gilberta” dipola magnetycznego (rozsuniętych monopoli), a nie fizycznie poprawnego „modelu Ampere’a” (pętla z prądem). Istotnie, obrazek ten czasami daje szybkie i zręczne rozwiązanie zawikłanego przy innym po dejściu problemu (wystarczy wziąć wynik z elektrostatyki i dokonać zamiany p na m, l/eo na ju.() oraz B na E). Jeśli jednak wchodzą w grę własności dipola na małych od ległościach, oba modele dają uderzająco różne przewidywania. Radzimy posługiwać się modelem Gilberta do analizy jakościowej, gdy chcemy intuicyjnie zrozumieć problem, jednak nie możemy mu ufać, gdy chodzi o wyniki ilościowe.
Zadanie 6.1. Obliczyć moment siły działającej na kwadratowy obwód pokazany na rys. 6.6, pochodzący od pola kołowej pętli (zakładamy, że r jest dużo większe od a i h). Jakie jest położenie równowagowe kwadratowego obwodu, jeśli może on swobodnie się obracać?
Rys. 6.6
Rys. 6.7
Zadanie 6.2. Posługując się wyrażeniem na siłę Lorentza (równanie (5.16)) pokazać, że moment siły działający na jakikolw iek rozkład prądu stałego (niekoniecznie pętlę o kształcie kwadratu) w polu jednorodnym o indukcji B jest równy m x B. Zadanie 6.3. Znaleźć siłę. jaką przyciągają się dwa dipole magnetyczne o momentach nii i m2. zorientowane tak, jak na rys. 6.7, odległe od siebie o r, (a) posługując się równaniem (6.2); (b) posługując się równaniem (6.3). Zadanie 6.4. Wyprowadzić wzór (6.3). [Oto jeden ze sposobów: założyć, że dipol jest infinitezymalnym kwadratem o boku e (jeśli nie jest, podzielić go na kwadraty i zastosować to rozumowanie do każdego z nich). Wybrać układ współrzędnych tak, jak to pokazano na rys. 6.8, i obliczyć F = / / ( dl x B) dla każdego z boków. Rozwinąć B w szereg Taylora; na przykład
Rys. 6.8
290
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
dla prawego boku
B = B(0, s. z) = B(0,0,z) + £
dy <0.0.t)
Bardziej wyszukany sposób czytelnik znajdzie w zad. 6.22.] Zadanie 6.5. Prąd o gęstości J = J()ż płynie w płytce rozciągającej się w płaszczyźnie yz od x = —tł do x = a. Dipol o momencie magnetyczny i i i ni = m0x znajduje się w początku układu współrzędnych (a) Znaleźć siłę działającą na dipol, posługując się równaniem (6.3). (b) To samo dla dipola zorientowanego wzdłuż osi y: m = m{)y. (c) W elektrostatyce w yrażenia F = V(p E) i F = (p • V)E są rów now ażne (udowodnić to), jednak nie jest to praw dą w m agnetostatyce (w yjaśnić dlaczego). Jako przykład obliczyć (m • V )B dla przypadków (a) i (b).
6.1.3. Wpływ pola magnetycznego na orbity atomowe Elektrony nie tylko obdarzone są spinem, ale także krążą wokół jądra; przyjmijmy dla prostoty, że orbita elektronu jest okręgiem o promieniu R (rys. 6.9). Wprawdzie ten ruch orbitalny nie jest prądem stałym, jednak w praktyce okres ruchu T — 2 n R /v jest tak krótki, że można potraktować ten ruch jak przepływ prądu stałego: e ev
Rys. 6.9
Odpowiednio, orbitalny moment dipolowy (/ ji/?2) jest równy m = —^evRz.
(6.4)
(Znak minus pochodzi od ujemnego znaku ładunku elektronu.) Tak jak każdy dipol magnetyczny, tak i ten doznaje działania momentu siły (m x B), jeśli atom znajduje
6.1. MAGNETYZACJA
291
się w polu magnetycznym. Jest jednak dużo trudniej nachylić orbitę niż spin, tak więc wkład orbitalny do paramagnetyzmu jest mały. Istnieje istotniejszy wpływ pola magne tycznego na ruch orbitalny: elektron przyspiesza lub zwalnia w zależności od zwrotu wektora indukcji magnetycznej R. Podczas gdy w nieobecności pola magnetycznego przyspieszenie dośrodkowe ir /R jest skutkiem działania wyłącznie sił elektrycznych,1
4 tT 6 q
(6.5)
R?
w obecności pola magnetycznego istnieje dodatkowa siła —e (\ x B). Na potrzeby tej dyskusji przyjmijmy, że wektor indukcji magnetycznej B jest prostopadły do płaszczyzny orbity, jak to pokazuje rys. 6.10. Mamy więc v2 ------- ~z + evB = me — . 4 7 160 R 2 R
( 6. 6)
W tych warunkach nowa wartość prędkości i; jest większa niż v: mc 9 me _ evB = ~ ( v 2 - v2) = — (v + v)(v - u) A A lnh, zakładając, ze zmiana tfu = v — v jest mała, =
eRB
Z/7le
(6.7)
Jeśli włączymy pole B. elektrun przyspiesza.2 Zmiana prędkości ruchu orbitalnego oznacza zmianę momentu dipolowego (6.4): c2* 2
68
( . )
'Aby uniknąć kolizji oznaczeń z momentem magnetycznym, masę elektronu będziemy oznaczać symbolem me. 2Jak już wcześniej mówiliśmy (równanie (5.11)), pole magnetyczne nie wykonuje pracy, nic jest więc zdolne przyspieszyć cząstki. Jednak, jak zobaczymy w rozdziale 7, zmiana pola magnetycznego indukuje pole elektryczne, które w tym przypadku przyspiesza elektrony.
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
292
Zwróćmy uwagę na fakt, że uniami momentu magnetycznego iii ma przeciwny zwrot niż. sama indukcja B. (Elektron krążący w przeciwną stronę będzie miał moment dipolowy skierowany ku górze, ale taki ruch orbitalny będzie spowalniany przez pole, tak więc zmiana indukcji jest wciąż, przeciwnie skierowana do B. Zazwyczaj orbity atomowe są zorientowane losowo i orbitalne momenty dipolowe znoszą się. Jednak w polu magne tycznym każdy atom zyskuje niewielki „dodatkowy” moment magnetyczny i te przyrosty są antyrównoległe do pola. Ten właśnie mechanizm jest odpowiedzialny za diamagne tyzm. Jest to zjawisko uniwersalne, któremu podlegają wszystkie atomy. Jest on na ogół dużo słabszy niż paramagnetyzm i dlatego jest obserwowany głównie w atomach o pa rzystej liczbie elektronów, dla których paramagnetyzm zazwyczaj nie występuje. Wyprowadzając równanie (6.8) założyliśmy, że po włączeniu pola magnetycznego orbita nadal ma kształt okręgu o tym samym promieniu R. Na obecnym etapie nie da się tego uzasadnić. Jeśli po włączeniu pola atom spoczywa, to nasze założenie może być udowodnione — choć nie jest to już magneto statyka; na szczegóły przyjdzie czytelnikowi poczekać do rozdziału 7 (patrz zad. 7.49). Jeśli atom porusza się w polu, sytuacja ogromnie się komplikuje. Mniejsza jednak o to — próbujemy jedynie dać jakościowy opis diamagnetyzmu. Jeśli czytelnik woli, może przyjąć, że to prędkość pozostaje taka sama, natomiast zmienia się promień orbity — wzór (6.8) (o czynnik około 2), końcowy wniosek pozostaje jednak bez zmian. W istocie rzeczy model klasyczny jest zasadniczo poprawny (diamagnetyzm w rzeczywistości jest zjawiskiem kwantowym), tak więc nie ma zbyt dużych możliwości poprawienia tej argumentacji/ To co jest ważne, to fakt doświadczalny, mówiący, że w substancjach diamagnetycznych indukowane momenty magnetyczne mają zwrot przeciwny do pola magnetycznego.
6.1.4. Magnetyzacja W obecności pola magnetycznego materia staje się namagnesowana, to znaczy w skali mikroskopowej można stwierdzić obecność wielu mikroskopowych dipoli, wypadkowo uporządkowanych zgodnie z pewnym kierunkiem. Przedyskutowaliśmy dwa mechani zmy, które prowadzą do polaryzacji magnetycznej: I) paramagnetyzm (dipole związane ze spinami niesparowanych elektronów doznają działania momentu sił, które dążą do ustawienia dipoli równolegle do linii pola), i 2) diamagnetyzm (orbitalna prędkość elek tronów zmienia się w taki sposób, że następuje zmiana orbitalnego momentu dipolowego przeciwna do kierunku pola). Bez względu na mechanizm prowadzący do polaryzacji magnetycznej, jej stan opisujemy wielkością wektorową M = magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości.
(6.9)
M nosi nazwę magnetyzacji (namagnetyzowania, polaryzacji magnetycznej); w magnetostatyce odgrywa ona taką samą rolę jak polaryzacja elektryczna P w elektrosta\S. L. O 'Dell i R. K. Zia. Am. J. Phys. 54. 32 (1986); R. Pcicrls. Surprises in Theoretical Physics, §4.3, Princeton University Press, Princeton, N.Y. 1979 [tłum. polskie Niespodzianki w fizyce teoretycznej, PWN, Warszawa 1990, s. 104-109]; R. P. Feynmann, R. B. Leighton i M. Sands, The Feynmann Lectures on Physics, t. 2, c.7. 34—36, Adison-Wcsley, New York 1966; [tłum. polskie Feynmana wykłady z fizyki, PWN, Warszawa 1974, t. 2 cz. 2, rozdz. 34, s. 246-263].
6.2. POLE NAMAGNESOWANEGO CIAŁA
293
tyce. W bieżącym rozd/ialc nie będziemy się martwić o to, w jaki sposób pojawiła się magnetyzacja — może to być zjawisko paramagnetyzmu, diamagnetyzmu lub nawet ferromagnetyzmu; będziemy traktować magnetyzację M jako daną i obliczać indukcję magnetyczną pola pochodzącego od tej magnetyzacji. Dla czytelnika może być zaskakujące, że substancje różne od słynnego ferromagne tycznego trio (żelazo, nikiel i kobalt) w ogóle doznają działania pola magnetycznego. Magnes oczywiście nie przyciąga kawałków drewna czy aluminium. Jest tak dlatego, że diamagnetyzm i paramagnetyzm są niezwykle słabe. Potrzeba bardzo czułych ekspery mentów i bardzo silnych pól magnetycznych, by cokolwiek zauważyć. Jeśli zawiesimy paramagnetyczną próbkę ponad solenoidem, jak na rys. 6.3, wyindukowana magnetyza cja skierowana będzie ku górze, a zatem siła działająca na próbkę — w dół. Na odwrót, magnetyzacja diamagnetyka bądzie skierowana w dół, a siła w górę. W ogólnym przy padku, kiedy próbka znajduje się w polu niejednorodnym, paramagnetyk jest wciągany w obszar silnego pola, a diamagnetyk jest wypychany z silnego pola. Jednak wartości sił są żałośnie słabe; w typowym eksperymencie siła działająca na podobnej wielkości próbkę żelaza będzie 104 lub 105 razy większa. To dlatego mogliśmy policzyć pole we wnętrzu miedzianego przewodnika (rozdz. 5), nie martwiąc się o efekty wywołane przez magnetyzację.
Zadanie 6.6. W przypadku których z następujących materiałów możemy oczekiwać, że są paramaginetykami, a w przypadku których, że są diamagnetykami: glin, miedź, chlorek miedzi (CuCI2), węgiel, ołów, azot (N2) sól kuchenna (NaCI), sód. siarka, woda? (W rzeczywistości miedź jest lekko ć//V/magnctyczna; odwrotnie niż można by się spodziewać.)
6.2. Pole nam agnesowanego ciała 6.2.1. Prądy związane Rozważmy próbkę namagnesowanej substancji, o znanym magnetycznym momencie di polowym przypadającym na jednostkę objętości M. Jakie jest jej pole magnetyczne ? Potencjał wektorowy pojedynczego dipola m dany jest równaniem (5.83): Po m x (6.10) 4tt 7Z2 Każdy element objętości d r ' namagnesowanego ciała ma moment dipolowy M d r \ tak więc potencjał wektorowy (rys. 6.11) jest równy A(r)
Ar
fi o [ M (r')
X
n
= J
T V <6 M)
Tak jest w zasadzie. Jednak podobnie jak w przypadku elektrostatycznym (paragraf 4.2.1), całka może być zapisana w bardziej pouczający sposób. Jeśli wykorzystamy
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
294
Rys. 6.11 tozsamosc
v'-L = * n
7?.2 ’
możemy przepisać potencjał jako . , , Mo f A(r) - — / M(r') x An J
dr'.
V k ).
Całkując przez części i wykorzystując wzór 7 mnożenia wektorów (patrz wewnętrzna strona okładki), otrzymujemy
M(r')
A(r)“ S { / ^ v ' xM (r,)ldt' - / v '
n
dr' .
Drugą z całek możemy przekształcić w całkę powierzchniową (patrz zad. 1.60(b))
J)
A(r) = — / x M ( r ') ] d r '+ ^ - [ M ( r ') x da']. 4 tt J jZ 4 tt / IZ Pierwszy wkład ma postać potencjału prądu objętościowego, Jzw —
V
x M,
(6.12)
(6.13)
podczas gdy drugi ma postać potencjału prądu powierzchniowego.
K7W= M x ń,
(6.14)
gdzie ń jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni. Uwzględniając te definicje, otrzymujemy , Mo f i :w(r') , , Mo f Kzw( r ) , —-— dr H----
A(r)
J
29b
6.2. POLE NAMAGNESOWANEGO CIAŁA
płynącego wewnątrz ciała i od prądu powierzchniowego o gęstości powierzchniowej Kzw = M x ń. Zamiast całkować przyczynki pochodzące od wszystkich infinitezymalnych dipoli, jak w równaniu (6 . 1 1 ), najpierw określamy prądy związane, a następnie szukamy wytworzonych przez nie pól w taki sam sposób, w jaki obliczalibyśmy pole każdego innego objętościowego i powierzchniowego prądu. Zwróćmy uwagę na uderza jące podobieństwo do elektrostatyki: pole eletryczne spolaryzowanego elektrycznie ciała jest takie samo jak pole związanego ładunku objętościowego o gęstości p7W= —V P i związanego ładunku powierzchniowego o gęstości o7W = P ń.
Przykład 6.1 Znaleźć pole magnetyczne jednorodnie namagnesowanej kuli.
Rozwiązanie: Wybierając oś z skierowaną zgodnie z kierunkiem magnetyzacji M (rys. 6.12), mamy
J zw = V x M = 0,
Kzw= M x ń = M sin
Obracająca się sfera, naładowana ze stałą gęstością ładunku er, odpowiada gęstości powierzch niowej prądu K = o \ = crcoR sin 0<|>. Wynika stąd, że pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole obracającej się, jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu cjRm —» M. Wykorzystując wyniki przykładu 5.11, otrzymujemy B = l „ aM (6.16) wc wnętrzu sfery, podczas gdy pole na zewnątrz jest polem di pola magnetycznego o momencie dipolowym . ^ m = 7 7i KM. Zwróćmy uwragę na to, że wewnątrz kuli pole jest jednorodne, podobnie jak pole elektryczne we wnętrzu jednorodnie spolaryzowanej elektrycznie kuli (równanie (4.14)), choć oba wzory różnią się czynnikiem liczbowym (^ zamiast —\). Pola zewnętrzne także są podobne: w obu przypadkach jest to pole dipola.
6. POLA MAONt IYLZNfc W MAIbKII
296
Zadanie 6.7. Nieskończenie długi walec jest jednorodnie namagnesowany, jego moment ma gnetyczny M jest równoległy do osi walca. Znaleźć indukcję magnetyczną (pochodzącą od M) wewnątrz i na zewnątrz walca.
Kys. 6.13
Rys. 6.14
Zadanie 6.8. Magnetyzacja długiego walca o promieniu R dana jest wzorem M = ks2Ą. w którym k jest stałą, s jest odległością od osi walca, a 0 jednostkowym wektorem azymutalnym (rys. 6.13). Znaleźć pole magnetyczne wywołane magnetyzacją wewnątrz i na zewnątrz walca. Zadanie 6.9. Krótki walec o promieniu R i długości L ma „wmrożoną' jednorodną magnety zację M, równoległą do osi walca. Znaleźć gęstość prądu związanego i naszkicować indukcję magnetyczną walca. (Wykonać trzy rysunki: jeden dla L » a, drugi dla L <£ a i trzeci dla L & a.) Porównać magnes sztabkowy ze sztabkowym elektretem z zadania 4.11. Zadanie 6.10. Żelazny pręt o długości L i kwadratowym przekroju poprzecznym (o boku długości a) jest jednorodnie namagnesowany; wektor magnetyzacji M jest skierowany wzdłuż pręta. Pręt zgięto, tworząc zeń pierścień z wąską szczeliną o szerokości u>, jak pokazano na rys. 6.14. Znaleźć pole magnetyczne w szczelinie, przyjmując tu <£ a <£ L. [Wskazówka: Potraktować pierścień jako superpozycję pełnego torusa i kwadratowej plakietki z odwróconym kierunkiem przepływu prądu.)
297
G.2. POLE NAMAGNESOWANEGO CIAŁA
6.2.2. Fizyczna interpretacja prądów związanych Wpoprzedniej części stwierdziliśmy, że pole namagnesowanego ciała jest takie samo jak pole pochodzące od pewnego rozkładu „związanych” prądów, o gęstościach Jzvv i Kzw. Teraz chcemy zrozumieć, jakie jest znaczenie fizyczne tych prądów. Podamy argumenty heurystyczne, ścisły wynik już znamy. Rysunek 6.15 pokazuje cienką próbkę jednorodnie namagnesowanej substancji, z dipolami reprezentowanymi jako pętle z prądem. Zauwa żamy, że wszystkie „wewnętrzne” prądy znoszą się wzajemnie; ilekroć jeden płynie w prawo, ościenny prąd płynie w lewo. Jednak na brzegu nie istnieje żadna stowarzyszona pętla, która skasuje efekty prądu płynącego po brzegu. Cały układ jest więc równoważny z paskiem z prądem o natężeniu / opływającym brzeg (rys. 6.16).
Rys. 6.15
I Rys. 6.17
Jak wyraża się gęstość prądu poprzez magnetyzację ? Niech każda z cienkich pętli ma pole powierzchni a i grubość / (rys. 6.17). Jej moment dipolowy wyrażony przez M ma wartość m = Mat. Ten sam moment dipolowy wyrażony przez natężenie prądu / płynącego w pętli jest równy m — la. Stąd otrzymujemy / = M/, tak więc gęstość prądu powierzchniowego jest równa A'zw = 7/r = M. Posługując się skierowanym na zewnątrz jednostkowym wektorem normalnym ń (rys. 6.16), możemy określić kierunek i zwrot gęstości prądu Kzw w standardowy sposób za pomocą iloczynu wektorowego
Kzw = M x ń. (To wyrażenie oddaje także fakt, że nie ma prądu związanego na górnej i dolnej po wierzchni próbki; na tych powierzchniach magnetyzacja M jest równoległa do ń, tak więc ich iloczyn wektorowy znika.)
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
298
Dokładnie to samo otrzymaliśmy w paragrafie 6.2.1. Jest to szczególny rodzaj prądu w tym sensie, że żaden pojedynczy ładunek nie obiega wokół całego obwodu — prze ciwnie, każdy ładunek porusza się po cienkiej, małej pętli wewnątrzatomowej. Jednak wypadkowy efekt jest taki, jak gdyby makroskopowy prąd opływał całą namagnesowaną próbkę. Nazywamy go prądem „związanym”, by pamiętać, że każdy ładunek jest zwią zany z jakimś atomem, jednak jest to całkowicie prawdziwy prąd i wytwarza on pole magnetyczne w taki sam sposób jak każdy inny prąd.
dy b)
Jeśli magnetyzacja jest wejednorodna, prądy wewnętrzne nie znoszą się wzajem nie. Rysunek 6.18(a) pokazuje dwie niewielkie objętości namagnesowanej substancji, z większą strzałką po prawej, co oznacza silniejszą magnetyzację w tym punkcie. Na powierzchni, wzdłuż której się stykają, płynie prąd wypadkowy w kierunku x o wartości ()M, Ix = [M,(y 4- dv) dc = -r— dydz. Odpowiadająca temu wyrażeniu objętościowa gęstość prądu jest zatem równa dM, ( Jzw ).v — 9y W ten sam sposób wnioskujemy, że magnetyzacja niejednorodna w kierunku y daje wkład —dMy/dz do objętościowej gęstości prądu (rys. 6.18b), a zatem (Jzw)x
—
dMz <\y
9A#y i)z
Tak więc w ogólności Jzw = V
X
M.
co znów jest zgodne z wynikami paragrafu 6.2.1. Tak jak każdy inny prąd stały, także J z w powinien spełniać prawo zachowania (5.31): V x
Jzw =
0.
Czy spełnia? Tak, ponieważ dywergencja rotacji zawsze jest równa zeru.
6.3. NATĘŻENIE POLA MAGNETYCZNEGO H
299
6.2.3. Pole magnetyczne w materii Podobnie jak pole elektryczne, tak i mikroskopowe pole magnetyczne znacznie zmienia się zarówno w przestrzeni, jak i w czasie. Kiedy mówimy o polu magnetycznym w mate rii, mamy na myśli pole makroskopowe, to znaczy uśrednione po obszarze wystarczająco dużym, by zawierał bardzo wiele atomów. (W taki sam sposób „wygładzona" jest także magnetyzacja M.) To właśnie to makroskopowe pole otrzymujemy, jeśli do punktów leżących wewnątrz substancji namagnesowanej zastosujemy metody z paragrafu 6.2.1. Czytelnik może to udowodnić, rozwiązując następujące zadanie.
Zadanie 6.11. Rozważania w paragrafie 6.2.1 zaczęliśmy od analizy idealnego dipolu (równanie (6.10)), podczas gdy w rzeczywistości mamy do czynienia z fizycznymi dipolami. Pokazać metodą z paragrafu 4.2.3, że mimo wszystko otrzymujemy poprawne wyrażenie na indukcję magnetyczną makroskopowego pola.
6.3. Natężenie pola magnetycznego H 6.3.1. Prawo Ampere'a w materiałach magnetycznych Wparagrafie 6.2 stwierdziliśmy, że namagnesowanie substancji jest równoważne z polem magnetycznym pochodzącym od prądów związanych Jzw = V x M płynących w obję tości i K/w = M x ń płynących po powierzchni namagnesowanego ciała. Jesteśmy więc gotowi, by połączyć w całość pola pochodzące od prądów związanych oraz wszystkie inne, które będziemy nazywać polami pochodzącymi od prądów swobodnych. Prądy swobodne mogą płynąć przez obwody znajdujące się w substancji magnetycznej lub przez nią sarną, jeśli jest ona przewodnikiem elektrycznym. W każdym przypadku cał kowita gęstość prąciu może być zapisana jako (6.17) W równaniu (6.17) nic ma żadnej nowej fizyki, po prostu wygodnie jest zapisać gę stość prądu jako sumę takich składników', ponieważ mają one całkiem inne znaczenie: swobodny prąd bierze się stąd, że ktoś połączył obwód z baterią — jego istnienie wy maga transportu ładunku; prąd związany wynika z namagnesowania substancji — jest rezultatem zgodnego ustawienia wielu dipoli atomowych. Uwzględniając równania (6.13) i (6.17), możemy zapisać prawo Ampere’a w postaci — (V x B) = J = J«w+ J / w —J s w + (V x M) Mo lub po zebraniu w' jeden wyraz obu rotacji — w postaci Vx
300
6. PO LA
M A G N ETY C ZN E
W
M A T E R II
Wyrażenie w nawiasie nazywamy natężeniem pola magnetycznego i będziemy ozna czać symbolem H: H=
1 B - M. Mo
(6.18)
Prawo Ampere’a zapisane za pomocą natężenia pola magnetycznego ma więc postać *
Vx H= J
(6.19)
^ H d l = /sw_,
(6.20)
lub w postaci całkowej - postać
przy czym /sw oznacza całkowite natężenie prądu swobodnego płynącego przez kontur Ampere’a. Natężenie pola magnetycznego H gra w magnetostatyce rolę analogiczną do takiej, jaką w elektrostatycc odgrywa indukcja pola elektrycznego D: Tak jak I) pozwala za pisać prawo Gaussa jedynie w języku ładunków swobodnych, tak H pozwala zapisać prawo Ampere'a jedynie w języku prądów swobodnych, a prąd swobodny jest tą wiel kością, którą możemy bezpośrednio kontrolować. Prądy związane, podobnie jak ładunki związane wchodzą do gry; substancja magnetyzuje się i w efekcie pojawiają się prądy związane; nie możemy włączyć ich ani wyłączyć w niezależny sposób, tak jak w przy padku prądów swobodnych. Posługując się równaniem (6.20), nie musimy martwić się o prąd swobodny, który znamy, ponieważ go włączyliśmy. W szczególności, jeśli poza wala na to symetria, możemy wyznaczyć H bezpośrednio z równania (6.20) w zwykły dla prawa Ampere’a sposób. (Na przykład zad. 6.7 i 6.8 można rozwiązać w jednej linijce, stwierdzając, że H = 0.)
Przykład 6.2 Przez długi, miedziany pręt o promieniu R płynie równomiernie prąd o natężeniu I (rys 6.19). Znaleźć pole magnetyczne wewnątrz i na zewnątrz pręta. Rozwiązanie: Miedź jest lekko diamagnetyczna, tak więc dipole magnetyczne ustawiają się przeciwnie do pola. W konsekwencji istnieje prąd związany płynący przeciwnie niż / w obję tości i zgodnie z / wzdłuż powierzchni pręta (patrz rys. 6.20). Jak dnie są te prądy związane — tego nie potrafimy powiedzieć, ale żeby obliczyć pole magnetyczne H. wystarczy zdać sobie sprawę, że wszystkie prądy płyną wzdłuż pręta, tak że pola B i M, a zatem również i pole H są azymutalnc. Stosując równanie (6.20) do konturu w kształcie okręgu o promieniu s < R, 2
H(2 tis) - /ZW c= / —
ir R~
301
6.3. NATĘŻENIE POLA MAGNETYCZNEGO H
Rys. 6.19
Rys. 6.20
otrzymujemy H=
d24 <*<*). 2nR2 wewnątrz przewodnika. Tymczasem na zewnątrz przewodnika otrzymujemy
(6.21)
H = ~
30 2
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
Jak się okazuje, natężenie pola magnetycznego II jest bardziej użyteczną wielkością niż indukcja elektryczna D. W laboratorium często usłyszymy fizyków mówiących o polu H (częściej nawet niż o B), nigdy jednak nie usłyszymy, żeby ktokolwiek mówił o I) (natomiast zawsze o E). Powód tego jest następujący: Kiedy chcemy zbudować elektro magnes, pozwalamy płynąć pewnemu (swobodnemu) prądowi przez zwojnicę. Natężenie prądu jest wielkością, którą mierzymy, a to właśnie ono określa natężenie pola magne tycznego H (w każdym razie całkę liniową z H); natomiast indukcja magnetyczna B zależy od użytego do budowy elektromagnesu materiału, a nawet (w przypadku ferromagnetyka) od historii układu. Z drugiej strony, jeśli chcemy wytworzyć pole elektryczne, nie nakładamy znanego ładunku swobodnego na okładki płaskiego kondensatora, lecz łączymy jego okładki z biegunami baterii o znanym napięciu. Wielkością, którą mie rżymy, jest różnica potencjałów, a ona określa E (w każdym razie całkę liniową z E). Gdyby łatwo było mierzyć ładunki, a trudno różnicę potencjałów, to eksperymentatorzy mówiliby o D zamiast o E. Powszechność posługiwania się natężeniem pola magnetycz nego H (w przeciwieństwie do indukcji elektrycznej D) wynika z czysto praktycznych powodów, teoretycznie mają one jednakowy status.4
Zadanie 6.12. Nieskończenie długi walec o promieniu R ma „wmrożoną” magnetyzację skie rowaną równolegle do jego osi, M = ksi, gdzie k jest stałą, a s jest odległością od osi walca; prądy swobodne nigdzie nie płyną. Znaleźć indukcję pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz walca dwoma różnymi sposobami: (a) Tak, jak w paragrafie 6.2 zidentyfikować wszystkie prądy związane i znaleźć indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez te prądy. (b) Posłużyć się prawem Ampere’a (równanie (6.20)), by znaleźć natężenie pola magne tycznego H, a następnie, posługując się równaniem (6.18), znaleźć indukcję magnetyczną B. (Proszę zwrócić uwagę na to, że druga metoda jest szybsza i pozwala uniknąć jakichkolwiek bezpośrednich odniesień do prądów związanych.) Zadanie 6.13. Niech indukcja magnetyczna wewnątrz dużej próbki substancji magnetycznej będzie równa B0, a zatem H(, =
B0 —M. Po (a) W próbce zrobiono małe, sferyczne wydrążenie (rys. 6.21). Znaleźć indukcję pola w środku wydrążenia, wyrażając ją przez B0 i M. Znaleźć również natężenie pola H w środku wydrążenia, wyrażając je przez H0 i M. (b) Rozwiązać to samo zadanie w przypadku wydrążenia o kształcie igły równoległej do kierunku M. (c) Rozwiązać to samo zadanie w przypadku wydrążenia o kształcie krążka prostopadłego do kierunku M. 4Autor nazywa wektui B polem magnetycznym i nie używa żadnej specjalnej nazwy dla H, krytykując inną terminologię. Ponieważ w polskiej literaturze powszechnie przyjętą nazwą dla R jest indukcja magnetyczna, a dla H natężenie pola magnetycznego, tę część wywodów autora pomijamy (przypis tłum.).
303
G.3. NATĘŻENIE POLA MAGNETYCZNEGO H
a) kula
b) igła
c) krążek
Rys. 6.21
Przyjąć, że wydrążenie jest na tyle małe, że M, B() i H<> są stałe. Porównać zadanie 4.16. [Wskazówka: Potraktować wydrążenie jako miejsce, na które nałożono substancję o tym samym kształcie, ale przeciwnej magnetyzacji.)
6.3.2. Myląca analogia Równanie (6.19) wygląda dokładnie tak samo, jak oryginalne prawo Ampere’a (5.54), jedynie całkowite natężenie prądu zostało zastąpione całkowitym natężeniem prądu swo bodnego, a indukcja magnetyczna B przez /zoH. Jednak, podobnie jak w przypadku indukcji elektrycznej I), musimy zachować ostrożność i nie doszukiwać się zbyt wiele w tym podobieństwie. Nie znaczy to. że /zoH jest czymś w rodzaju B, tylko jego źró dłem jest J sw zamiast J. Sama rotacja nie definiuje jeszcze pola wektorowego, musimy również znać jego dywergencję. Podczas gdy V • B = 0, dywergencja H w ogólności nie znika. Rzeczywiście, z równania (6.18) wynika, że V H = -V
M
(6.23)
Tylko gdy znika dywergencja M, analogia pomiędzy B i /zoH jest ścisła. Powyższe stwierdzenie nie jest jedynie pedanterią; jako przykład rozważmy ma gnes sztabkowy krótki, żelazny walec o stałej magnetyzacji, równoległej do jego osi. (Patrz zad. 6.9 i 6.14.) Nie ma tu żadnych prądów swobodnych i naiwne posłużenie się równaniem (6.20) prowadzi do stwierdzenia, że natężenie pola magnetycznego H = 0 wszędzie, a więc indukcja B = /z()M wewnątrz magnesu oraz B = 0 na zewnątrz, co jest nonsensem. Jest oczywiście prawdą, że rotacja H znika wszędzie, ale dywergencja nie.
304
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
(Czy widać, gdzie V • M = 0?) Rada: Jeśli szukamy B czy H w problemie, w którym występują substancje magnetyczne, poszukajmy najpierw symetrii. Jeśli w problemie występuje symetria walcowa, osiowa, zwierciadlana lub toroidalna, to możemy znaleźć natężenie pola H wprost z równania (6.20) w zwykły dla prawa Ampere’a sposób. (Oczy wiście w takich przypadkach V • M automatycznie znika, ponieważ to prądy swobodne wyznaczają odpowiedź.) Jeśli nie ma symetrii, musimy szukać innego sposobu oblicze nia H lub B, a w szczególności nie wolno zakładać, że natężenie pola magnetycznego II jest równe zeru, ponieważ nie ma prądów swobodnych.
6.3.3. Warunki brzegowe (graniczne) Magnetostatyczne warunki brzegowe z paragrafu 5.4.2 można przepisać w języku natę żenią pola magnetycznego H i gęstości prądów swobodnych. Z równania (6.23) wynika, że = - ( < , - M1pod L )',
(6-24)
podczas gdy z równania (6.19) wynika
Hnad-H^d = KswXń.
(6.25)
W obecności ośrodka o własnościach magnetycznych czasami wygodniej jest posługiwać się warunkami brzegowymi dla indukcji magnetycznej B (równania (5.72) i (5.73)): BLi —
=0
(6-26)
oraz Bnad
U J * = Mo ( K
X ń ).
(6.27)
Można je w łatwy sposób sprawdzić w przykł. 6.2 lub zad. 6.14.
Zadanie 6.14. Narysować wektory M, B i H dla magnesu sztabkowego z zadania 6.9, przyj mując, że L jest równe około 2a. Porównać z zadaniem 4.17. Zadanie 6.15. Jeśli Jsw = 0 wszędzie, to rotacja natężenia pola magnetycznego H wszędzie znika (równanie (6.19)), a wtedy możemy H zapisać jako gradient potencjału skalarnego W:
H = -VW. Zgodnie z równaniem (6.23) AW = (V • M), czyli W spełnia równanie Poissona z V M w roli „źródła”. Pozwala to wykorzystać metody omówione w rozdziale 3. Jako przykład znajdźmy pole wewnątrz jednorodnie namagnesowanej kuli (przykł. 6.1) metodą rozdzielenia zmiennych. [Wskazówka: V • M znika wszędzie z wy jątkiem powierzchni (r = /?), tak więc W spełnia równanie Laplace’a w obszarach r < R i r > R; należy posłużyć się równaniem (3.65), a z równania (6.24) znaleźć odpowiednie warunki brzegowe dla W.]
JUb
6.4. OŚRODKI LINIOWE I NIELINIOWE
6.4. Ośrodki liniowe i nieliniowe 6.4.1. Podatność i przenikalność magnetyczna Wprzypadku substancji paramagnetycznych i diamagnetycznych magnetyzacja jest pod trzymywana przez pole; jeśli znika indukcja B, znika także magnetyzacja M. W rze czywistości, dla większości substancji magnetyzacja jest proporcjonalna do pola, pod warunkiem, że nie jest ono zbyt silne. Chcąc zachować spójność zapisu z przypadkiem elektrostatycznym (równanie (4.30)), powinniśmy wyrazić tę proporcjonalność następu jąco: M = — / mB (niepoprawnie!). l^o Zwyczaj nakazuje posługiwanie się natężeniem pola H zamiast indukcją B:
(6.28)
(6.29) Stała proporcjonalności Xm nosi nazwę podatności magnetycznej; jest to wielkość bez wymiarowa, której wartość zależy od rodzaju substancji; jest ona dodatnia dla paramagnetyków i ujemna dla diamagnetyków. Typowe wartości są rzędu I0“5 (patrz tab. 6.1).
Tabela 6.1. Podatności magnetyczne (przy ciśnieniu 1 atm i temperaturze 20 C, jeśli nie podano inaczej). Według: Handbook o f Chemistry and Physics, wyd. 76 (Boca Raton: CRC Press, Inc., 1986) Substancja
- 1 ,6 - 3 ,4 - 2 ,4 - 9 ,7 -
10 4 10-5 10~5 10‘ 6
O ON 1
O
Dia magnetyk: Bizmut Złoto Srebro Miedź Woda Dwutlenek węgla Wodór
Podatność
1,2 I0"8 - 2 .2 - I0 -9
Substancja
Podatność
Paramagnctyk: Tlen Sód Glin Wolfram Platyna Ciekły tlen ( —200'C) Gadolin
1,9- 10-* 8.5 • 10-6 2,1 • l()~5 7,8- I0 -5 2.8- IIT4 3,9- 10-’ 4,8- 10-'
Substancje spełniające równanie (6.29) nazywamy ośrodkami liniowymi. 7 równa nia (6.18) wynika B = mo(H + M) = mo( l + Xm)H (6.30) dla ośrodków liniowych. Tak więc indukcja pola B jest również proporcjonalna do na tężenia pola H \ B = /xH, (6.31) 5Fizyczme równanie (6.28) niosłoby tę samą informację co równanie (6.29), jedynie stała Xm byłaby inna. Równanie (6.29) jest jednak nieco wygodniejsze, dlatego żc eksperymentatorzy wolą posługiwać się natężeniem pola H zamiast indukcją pola B.
306
G. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
gdzie (6.32) /* = Mo(l I Xm). li nosi nazwę przenikalności magnetycznej substancji.6 W próżni, gdzie nie ma żadnej materii, która mogłaby się namagnesować, podatność Xm znika i przcnikalność magne tyczna jest równa Z tego właśnie powodu /zq nosi nazwę przenikalności magne tycznej próżni.
Przykład 6.3 Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu /) wypełniony jest substancją liniową o podatności xm- Znaleźć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.
Rys. 6.22
Rozwiązanie: Ponieważ indukcja magnetyczna B częściowo pochodzi od prądów związanych (których jeszcze nie znamy), nie możemy obliczyć jej wprost. Jednak jest to jeden z tych sy metrycznych przypadków, w których natężenie pola H można znaleźć na podstawie znajomości prądów swobodnych za pomocą prawa Ampere'a w postaci równania (6.20): H = fili
(rys.6.22). Zgodnie z równaniem (6.31) B = J*o(1 +Xm)«/ ż.
Jeśli ośrodek jest paramagnetyczny, indukcja pola ulega nieznacznemu wzmocnieniu, jeśli diamagnetyczny nieznacznemu osłabieniu. Wynika to stąd, że związany prąd powierzchniowy o gęstości K„, = M x ń = x,„(H x ń) = x,„h/4) płynie w pierwszym przypadku (Xm > 0) w tę samą stronę co prąd swobodny /, w drugim zaś przypadku (x.„ < 0) w przeciwną stronę.
6Jeśli wyłączymy czynnik /x0» to, co pozostanie, nosi nazwę względnej przenikalności magnetycz nej: /.iw/g = 1 4- Xm = m / mo- Równanie wiążące B z H (dla ośrodków liniowych równanie (6.31)) nosi nazwę równania materiałowego, podobnie jak równanie wiążące D z E.
307
6.4. OŚRODKI LINIOWE I NIELINIOWE
Można by pomyśleć, źe w przypadku ośrodków liniowych unikniemy wady analo gii pomiędzy B i H: skoro M i H są proporcjonalne do B, czy nic wynika z tego, żc ich dywergencja musi znikać, tak jak znika dywergencja B? Niestety, tak nie jest; na granicy ośrodków o różnych przenikalnościach dywergencja magnetyzacji M może być nieskończona. Na przykład na końcach walca wykonanego z liniowej substancji parama gnetycznej magnetyzacja znika po jednej stronie granicy, ale nie znika po drugiej. Dla powierzchni gaussowskiej pokazanej na rys. 6.23, f M - da ^ 0, a zatem na podstawie twierdzenia Gaussa V • M nie może znikać wszędzie wewnątrz tej powierzchni. powierzchnia Gaussa
M =0 próżnia
Rys. 6.23 Przy okazji, objętościowa gęstość prądu związanego w jednorodnym ośrodku linio wym jest proporcjonalna do gęstości prądu swobodnego: Jzw = V
X
M
= V
X
(XmH) = XmJsw-
(6.33)
W szczególności, jeśli prąd swobodny nie płynie w objętości próbki, prąd związany płynie jedynie na powierzchni.
Zadanie 6.16. Kahel konc entryczny zbudowany jest z dwóch bardzo długich, współosiowych powierzchni walcowych, rozdzielonych ośrodkiem liniowym o podatności Xm* Prąd o natężeniu / płynie przez wewnętrzną powierzchnię i powraca przez zewnętrzną; w obu przypadkach gę stość prądu jest stała na powierzchni (rys. 6.24). Znaleźć indukcję pola w obszarze pomiędzy powierzchniami walców. Jako sprawdzian obliczyć magnetyzację oraz gęstości prądów związa nych i potwierdzić, że dają one (naturalnie razem z prądami swobodnymi) poprawną wartość indukcji.
Rys. 6.24
303
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
Zadanie 6.17. Prąd u natężeniu / płynie przez, długi przewodnik o promieniu a. Jak zależy indukcja pola magnetycznego od odległości od osi s, jeśli przewodnik wykonany jest z ma teriału liniowego (na przykład miedzi lub aluminium) o podatności Xm* a rozkład prądu jest jednorodny? Znaleźć wszystkie prądy związane. Jaki jest wypadkowy prąd płynący wzdłuż przewodnika? Zadanie 6.18. Kula wykonana z liniowego materiału magnetycznego została umieszczona w jednorodnym polu zewnętrznym o indukcji B«. Znaleźć indukcję pola wewnątrz kuli. [Wska zówka: Patrz zad. 6.15 lub zad. 4.23.) Zadanie 6.19. Na podstawie naiwnego modelu dyskutowanego w paragrafie 6.1.3 oszacować podatność magnetyczną metali diamagnetycznych, takich jak miedź. Porównać wynik z warto ścią doświadczalną z tab. 6.1 i skomentować ewentualną rozbieżność.
6.4.2. Ferrom agnetyzm
W ośrodku liniowym uporządkowanie dipoli atomowych jest podtrzymywane przez ze wnętrzne pole magnetyczne. Ferromagnetyki, które zdecydowanie nie są ośrodkami li niowymi7, do podtrzymania uporządkowania dipoli nie potrzebują istnienia zewnętrznego pola magnetycznego; uporządkowanie jest w nie „winrożone". Podobnie jak w przypadku paramagnetyzmu, ferromagnetyzm pochodzi od dipoli związanych zc spinem niespurowanych elektronów. Nową własnością, która odróżnia ferromagnetyki od paramagnetyków, jest oddziaływanie pomiędzy sąsiednimi dipolami: w ferromagnetyku każdy dipol „lubi” być skierowany tak sarno jak jego sąsiedzi. Powód tego ma charakter kwantowy, dlatego nie będziemy starali się go tu wyjaśnić, wystarczy wiedzieć, że korelacja jest na tyle silna, by ustawić zgodnie niemal 100 procent niesparowanych spinów elektronowych. Gdybyśmy potrafili w jakiś sposób powiększyć kawałek żelaza i „zobaczyć” pojedyncze dipole jako drobne strzałki, wyglądałoby to mniej więcej tak, jak na rysunku 6.25 — wszystkie spiny zwrócone byłyby w tym samym kierunku.
W tym sensie mówienie o podatności czy przenikalności magnetycznej jest mylące. Pojęci używane w przypadku takich substancji, ale odnoszą się one do czynnika proporcjonalności pomięci niezkowq zmianą H i wynikającą z niej różniczkową zmianą M (lub B); co więcej, nie są one wielki stałymi, ale funkcjami H.
309
6.4. OŚRODKI LINIOWE I NIELINIOWE
D o m e n y fe rro m a g n e ty c z n e (fo to g ra fia u d o stę p n io n a d z ię k i u p rz e jm o ś c i R. W . D eB loisa)
Rys. 6.26
Jeśli to prawda, to dlaczego każdy klucz, gwóźdź czy igła nie jest silnym magnesem? Otóż uporządkowanie istnieje we względnie małych obszarach nazywanych domenami. Każda domena zawiera miliardy zgodnie ustawionych dipoli (obecna technika pozwala zobaczyć domeny za pomocą mikroskopu, przy użyciu odpowiednio precyzyjnych me tod, patrz rys. 6.26), jednak same domeny są zorientowane w sposób przypadkowy. Zwykły klucz zawiera ogromną liczbę domen i ich pola magnetyczne wzajemnie się znoszą, a zatem klucz jako całość nie jest namagnesowany. (W rzeczywistości orien tacja domen nie jest zupełnie przypadkowa; w danym krysztale mogą być wyróżnione kierunki orientacji dipoli związane z osiami krystalicznymi. Istnieje jednak tyle samo domen skierowanych w jedną, co i w drugą stronę, tak więc nadal w makroskopowej skali nie ma magnetyzacji. Ponadto same kryształy w makroskopowej próbce metalu są zorientowane w sposób przypadkowy.) A zatem jak można wytworzyć trwały magnes, taki jaki można kupić w sklepie z zabawkami? Jeśli umieścimy kawałek żelaza w silnym polu magnetycznym, moment siły N = m x B stara się poustawiać wszystkie dipole zgodnie z zewnętrznym po lem. Ponieważ dipole lubią być ustawione w ten sam sposób, większość z nich stawia opór działającemu na nie momentowi siły. Jednak na granicy między domenami istnieją współzawodniczący ze sobą sąsiedzi i momenty siły będą działać na rzecz domeny pra wie równoległej do pola; ta domena zwycięży nad mniej korzystnie zorientowanymi. Tak
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
310
więc wypadkowy efekt działania pola magnetycznego polega na przesuwaniu się brzegów domen. Domeny zorientowane zgodnie z zewnętrznym polem rosną, natomiast pozostałe kurczą się. Jeśli pole jest dostatecznie silne, jedna domena zajmuje całą objętość próbki; mówimy wtedy, że żelazo jest „nasycone”. Okazuje się, że ten proces (przesuwania się brzegów domen w odpowiedzi na ze wnętrzne pole magnetyczne) nic jest całkowicie odwracalny; jeśli wyłączymy pole, po wstanie kilka przypadkowo zorientowanych domen, ale w przewadze pozostaną domeny ustawione w pierwotnym kierunku. Próbka stanie się trwałym magnesem.
Rys. 6.27
Prosty sposób wykonania magnesu polega na nawinięciu cewki wokół przedmiotu, który chcemy namagnesować (rys. 6.27), i przepuszczeniu prądu (o natężeniu /) przez tę cewkę. Powoduje to powstanie zewnętrznego pola (na rysunku skierowanego w lewo). Je śli zwiększamy natężenie prądu, indukcja pola wzrasta, brzegi domen zaczynają się prze mieszczać i magnetyzacja rośnie. Jeśli osiągniemy punkt nasycenia, wtedy gdy wszystkie dipole są ustawione zgodnie z polem, dalsze zwiększanie natężenia prądu nie wpływa już na magnetyzację M (rys. 6.28, punkt b).
Przypuśćmy teraz, że zmniejszamy natężenie prądu. Zamiast powrotu po tej samej drodze do stanu M = 0, następuje tylko częściowy powrót do stanu przypadkowego zo-
6.4. OŚRODKI LINIOWE I NIELINIOWE
311
ricntowania domen. M maleje, ale nawet po wyłączeniu prądu pozostaje pewna magne tyzacja resztkowa (punkt c). Klucz jest teraz magnesem trwałym. Jeśli chcemy pozbawić go magnetyzacji resztkowej, musimy przepuścić przez cewkę prąd płynący w przeciw nym kierunku (prąd o ujemnym natężeniu /). Teraz pole zewnętrzne skierowane jest w prawo. Jeśli zwiększamy natężenie prądu (płynącego w przeciwnym kierunku), M maleje do zera (punkt cl). Jeśli będziemy zwiększać je nadal, osiągniemy w końcu nasy cenie, ale w przeciwnym kierunku — wszystkie dipole będą skierowane w prawo (punkt e). Wyłączenie prądu spowoduje, że klucz będzie miał trwałą magnetyzację skierowaną w prawo (punkt / ) . Żeby powrócić do stanu, w którym już byliśmy, możemy ponownie zmienić kierunek prądu: M osiąga wartość zerową (punkt g) i w końcu ponownie punkt nasycenia (b). Droga, którą przebyliśmy, nosi nazwę pętli histerezy. Zwróćmy uwagę na to, że magnetyzacja klucza zależy nie tylko od przyłożonego pola zewnętrznego (to znaczy od natężenia prądu /), ale także od poprzedniej „historii” magnetycznej Na przykład w trzech różnych momentach naszego doświadczenia natężenie prądu było równe zeru (punkty a, c i / ) , jednak w każdym z nich magnetyzacja była inna. Zwykle wykreśla się pętlę histerezy w zmiennych B i //, a nie w zmiennych M i / . (Jeśli naszą cewkę możemy potraktować jako długi solenoid o n zwojach na jednostkę długości, to H = ni, a zatem H i / są do siebie proporcjonalne. Z kolei B = fio(H + M), ale w praktyce M jest wielkie w porównaniu z //, a więc praktycznie biorąc B jest proporcjonalne do M.)
Aby mieć na osiach wielkości mierzone w tych samych jednostkach (w teslach), na osi poziomej odłożyliśmy /i q //, jednak skala na osi pionowej jest 104 razy większa niż na osi poziomej (rys. 6.29). Z grubsza rzecz biorąc, fioH jest indukcją pola magnetycznego, które powstałoby w cewce w nieobecności żelaza; natomiast B jest indukcją rzeczywiście istniejącego tam pola i w porównaniu z //qH jest ona ogromna. Niewielki prąd może Etymologicznie słowo histew za nie ma nic wspólnego ani z historią, ani też z histerią. Pochodzi ono od greckiego czasownika oznaczającego „opóźniać się”, „pozostawać w tyle”.
312
G. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
dać wielkie efekty, jeśli w pobliżu jest ferromagnetyk. Z tego powodu, jeśli chcemy zbudować silny elektromagnes, musimy nawinąć cewkę na żelazny rdzeń. Nie trzeba wcale silnego pola, by pousuwać granice domen, a jeśli się to już zrobi, wszystkie dipole magnetyczne żelaza są do usług. Jeszcze jedna końcowa uwaga na temat ferromagnetyzmu: jak pamiętamy, bierze się on stąd, żc wewnątrz domeny wszystkie dipole ustawione są równolegle do siebie. Chaotyczne ruchy cieplne współzawodniczą z porządkowaniem się dipoli, jednak jeśli temperatura jest nie nazbyt wysoka, nie są one w stanie zburzyć uporządkowania dipoli. Nie jest niczym dziwnym, że w bardzo wysokich temperaturach niszczą one uporządko wanie. To, cu jest zaskakujące, to fakt, że występuje to w ściśle określonej temperaturze (770°C dla żelaza). Poniżej tej temperatury (nazywanej tem peraturą Curie) żelazo jest ferromagnetykiem, powyżej — paramagnetykiem. Punkt Curie jest podobny do punktu wrzenia czy zamarzania w tym, że nie ma stopniowego przejścia od ferro- do para magnetycznego zachowania się, podobnie jak to się dzieje w przypadku wody i lodu. Takie gwałtowne zmiany własności materii zachodzące w ściśle określonej temperaturze w fizyce statystycznej noszą nazwę przemian fazowych.* 9
Zadanie 6.20. Wjaki sposób można by rozmagnesować magnes trwały (taki jak dyskutowany klucz, znajdujący się w stanie opisanym punktem c na pętli histerezy)? To znaczy w jaki sposób przywrócić stan pierwotny, w którym M = 0 przy / = 0? Zadanie 6.21 (a) Udowodnić, żc energia dipola magnetycznego w polu o indukcji B jest dana wzorem U = —m B.
(6.34)
[Przyjąć, że wartość momentu magnetycznego dipola jest ustalona, natomiast możemy zmieniać jego położenie i orientację przestrzenną. Energia potrzebna do podtrzymania prądu to całkiem inny problem, którym zajmiemy się w rozdziale 7.] Porównać z równaniem (4.6). (b) Udowodnić, że energia oddziaływania dwóch dipoli magnetycznych odległych o r równa U — — —[m, • m, —3(m, • r)(m, • r)]. 4 :i r 3
(6.35)
Porównać z równaniem (4.7). 9Jest to nieprecyzyjny opis. Analogia do zmian stanów skupienia polega na tym, że punkt Curie jest punktem krytycznym, kończącym linię przemiany fazowej pierwszego rodzaju (linię współistnienia dwóch faz o różnych magnetyzacjach). Analogiczny punkt krytyczny kończy linię przemiany pierwszego rodzaju (linię współistnienia) ciecz-gaz. W przypadku linii współistnienia ciecz-ciało stałe żaden punkt krytyczny nie istnieje. Porównywanie punktu Curie do punktu wrzenia lub zamarzania jest niepoprawne — w pierwszym przypadku mamy do czynienia z tak zwaną przemianą fazową drugiego rodzaju, w drugim przypadku z przemianą fazową pierwszego rodzaju. Nieprecyzyjne są także określenia: punkt wrzenia i punkt zamarzania. W rzeczywistości istnieje zarówno linia punktów wrzenia, jak i linia punktów' zama rzania (przyp. tłum.).
ZADANIA DOUAI KO W t DO ROZDZIAŁU 6
313
0
r
Rys. 6.30
(c) Wyrazić wynik z punktu (b) za pomocą kątów 0, i 02 z rys. 6.30 i wykorzystując ten wynik, znaleźć położenie równowagi pary dipoli znajdujących się w stałej odległości od siebie, ale mogących się swobodnie obracać. (d) Wyobraźmy sobie duży zbiór igieł magnetycznych umieszczonych na szpilkach w regu larnych odstępach wzdłuż linii prostej. Jakie przyjmą położenia (przy założeniu, że pole magne tyczne Ziemi można zaniedbać)? [Prostokątny układ igieł magnetycznych także spontanicznie uporządkuje się i czasem taki pokaz wykorzystywany jest jako ilustracja „ferromagnetycznego” zachowania się na dużych odległościach. Jest to jednak trochę oszustwo, ponieważ ten mecha nizm jest czysto klasyczny i dużo słabszy od kwantowych sił wymiany odpowiedzialnych za zjawisko ferromagnetyzmu. | Zadania dodatkowe do rozdziału 6 ! Zadanie 6.22. W zadaniu 6.4 liczyliśmy w loporny sposób siłę działającą na dipol. A oto badziej eleganckie podejście. Najpierw zapiszemy indukcję B(r) w postaci rozwinięcia w szereg Taylora wokół środka pętli: B(r) = B(r0) + [(r —r0) • V0JB(r0), gdzie r0 jest położeniem dipola, a V0 oznacza różniczkowanie względem r0. 'lo wyrażenie wstawimy do wzoru określającego siłę Lorentza (równanie (5.16)), otrzymując
Albo oznaczając kartczjańskic współrzędne cyframi od 1 do 3:
gdzieeijk jest symbolem Levi-Civity <+1, gdy ijk = 123,231 lub3 1 2 ;-1 ,gdy ijk = 132.213 lub 321; 0 w pozostałych przypadkach). W tej notacji iloczyn wektorowy można zapisać jako (A x B), = Yllk=\ *tjkAjBk. Posłużyć się równaniem (1.108) do obliczenia całki. Zauważyć, że
gdzie
jest deltą Kroneckera (zad. 3.45).
Zadanie 6.23. Zauważyć następującą analogię: V • D = 0, V x E = 0, €qE = D —P V • B = 0, V x II = 0, /z0H = B —/zfJM
!
(nie ma swobodnych ładunków); (nie ma swobodnych prądów).
Tak więc zamiana D B, E -» H, P ->■ /x0M, oraz e0 -» fx0 zamienia problem elektro statyczny w problem magnetyczny. Posłużyć się tą obserwacją i wiedzą elektrostatyczną do (ponownego) znalezienia:
314
6. POLA MAGNETYCZNE W MATERII
(a) indukcji magnetycznej wewnątrz jednorodnie namagnesowanej kuli (równanie (6.16)); (b) indukcji magnetycznej wewnątrz kuli wykonanej z materiału liniowego, umieszczonej w jednorodnym polu zewnętrznym (zad. 6.18); (c) indukcji pola pochodzącego od prądów' stałych płynących we wnętrzu kuli. uśrednionej po jej objętości (równanie (5.89)). Zadanie 6.24. Porównać równania (2.15), (4.9) i (6.11). Zauważyć, że jeśli p. P i M są jednorodne, we wszystkich trzech wzorach występuje ta sama całka:
lak więc, jeśli znamy pole elektryczne jednorodnie naładowanego ciała, możemy natychmiast napisać potencjał skalarny jednorodnie spolaryzowanego ciała i potencjał wektorowy jednorod nie namagnesowanego ciała o tym samym kształcie. Posłużyć się tą obserwacją do znalezienia V wewnątrz i na zewnątrz jednorodnie spolaryzowanej elektrycznie kuli (przykł. 4.2) oraz A wewnątrz i na zewnątrz jednorodnie namagnesowanej kuli (przykł. 6.1). Zadanie 6.25. Znana zabawka zbudowana jest z dwóch trwałych magnesów o kształcie ob warzanka (z magnetyzacją rówmoległą do osi), ślizgających się bez tarcia po pionowym pręcie (rys. 6.31). Potraktujmy magnesy jako dipole o masie md i momencie magnetycznym m. (a) Jeśli zetkniemy magnesy jednakowymi biegunami, górny magnes zacznie „unosić się” — siła magnetyczna będzie równoważyć siłę grawitacji. Na jakiej wysokości (z) będzie unosił się magnes? (b) Jaki będzie stosunek dwóch wysokości, jeśli dodamy trzeci magnes (o momencie ma gnetycznym równoległym do momentu pierwszego magnesu) ? (Znaleźć wartość liczbową z do kładnością do trzech miejsc po przecinku.) [Odpowiedź: (a) [^p{)m2/2izmdg]l/Ą\ (b) 0,8501].
Zadanie 6.26. Na granicy pomiędzy dwoma liniowymi materiałami magnetycznymi linie pula magnetycznego załamują się (patrz rys. 6.32). Pokazać, że tg 0Z/ tg 0\ — p 2/P\, jeśli na granicy nie ma swobodnych prądów. Porównać z równaniem (4.68). Zadanie 6.27. Dipol magnetyczny o momencie m znajduje się w środku kuli o promieniu R wykonanej z liniowego materiału magnetycznego o przenikalności p. Pokazać, że indukcja
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 6
315
magnetyczna wewnątrz kuli (0 < r < R) jest równa (2/Zo + p)R} Jaka jest indukcja pola na zewnątrz kuli? Zadanie 6.28. Czytelnik /.ostał poproszony o recenzję podania o grant. Projekt polega na zna lezieniu sposobu stwierdzenia, czy magnetyzacja żelaza pochodzi od dipoli „Amperc’a” (pętli z prądem), czy od dipoli „Gilberta” (pary monopoli magnetycznych). Eksperyment wymaga posłużenia się żelaznym walcem o promieniu R i długości L = 10A\ jednorodnie namagneso wanym równolegle do osi. Jeśli dipole są typu amperowskiego, magnetyzacja jest równoważna z powierzchniowym prądem związanym K/w = jeśli dipole są typu gilbertowskiego, ma gnetyzacja jest równoważna monopolom o powierzchniowej gęstości
Rozdział 7
Elektrodynamika
7.1. Siła elektromotoryczna 7.1.1. Prawo Ohma Ażeby mógł płynąć prąd elektryczny, na ładunki musi działać siła. Prędkość ruchu ładunków jako odpowiedź na działającą siłę zależy od rodzaju materiału, w którym płynie prąd. Dla większości substancji gęstość prądu J jest proporcjonalna do siły f działającej na jednostkowy ładunek:
J=
orf.
(7.1)
Współczynnik proporcjonalności a (nie należy go mylić z powierzchniową gęstością ła dunku) jest stałą empiryczną zależną od materiału, z którego wykonany jest przewodnik; nosi on nazwę przewodności elektrycznej właściwej substancji. Częściej posługujemy się jego odwrotnością, nazywaną oporem elektrycznym właściwym: p = \/o (nie należy mylić go z objętościową gęstością ładunku — niestety taka jest standardowa no tacja). Typowe wartości podane są w tabeli 7.1. Naw'et izolatory nieznacznie przewodzą, chociaż przewodność metali jest astronomicznie większa około 1022 razy. Istotnie, w większości przypadków metale można traktować jako doskonałe przewodniki o prze wodności nieskończonej, o = oo. W zasadzie siła powodująca ruch ładunków może mieć dowolną naturę — che miczną, grawitacyjną czy jakąkolwiek inną, choć w naszym przypadku jest to zwykle siła elektromagnetyczna. Równanie (7.1) przybiera wtedy postać J = a (E 4- v x B).
(7.2)
Zazwyczaj prędkość ładunków jest na tyle mała, że drugi wyraz w powyższym równaniu można pominąć: J =
(7.3)
(Kontrprzykładem jest plazma, w której magnetyczny wkład do f może być istotny.) Równanie (7.3) nosi nazwę prawa Ohma, choć jego fizyczna treść naprawdę zawarta jest w równaniu (7.1), którego (7.3) jest tylko szczególnym przypadkiem.
317
7.1. SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
Tabela 7.1. Opór właściwy w S2 • m (wszystkie wartości przy ciśnieniu 1 atm i temperaturze 20“C). Według: Handbook o f Chemistry and Physics, wyd. 78. (Boca Raton: CRC Press, Inc. 1997) Substancja
Substancja
Opór właściwy
Przewodniki: Srebro Miedz Złoto Glin Żelazo Rtęć Nichrom Mangan Grafit
Opór właściwy
Półprzewodniki: Słona woda (nasycona) German Diament Krzem
1,59- 10-* 1,68- 10 * 2.21 • 10 " 2.65 • 10”* 9.61 ■I0-* 9.58 • 10“7 1,00- 10 6 1.44- 10 6 1,4 • 10 5
4,4 • I0~2 4.6- 10 1 2,7 2.5- 10’
Izolatory: Woda (czysta) Drewno Szkło Szkło kwarcowe
2.5- 10s I0*-10" I0 '° -I0 IJ ~ 10IA
Czytelnik może poczuć się zakłopotany, ponieważ wcześniej stwierdziliśmy, że we wnątrz przewodnika natężenie pola elektrycznego E = 0 (paragraf 2.5.1). Jest to jednak prawdą dla ładunków stacjonarnych (J = 0). Co więcej, dla doskonałego przewodnika E = J/cr = 0, nawet wtedy, gdy płynie prąd. W praktyce metale są na tyle dobrymi przewodnikami, że pole elektryczne potrzebne do wywołania przepływu prądu jest zaniedbywalne. Tak więc rutynowo traktuje się druty będące połączeniami w obwodach elektrycznych jako ekwipntencjalne. W przeciwieństwie do nich oporniki zrobione są z materiałów źle przewodzących.
Przykład 7.1 Walcowy opornik o polu przekroju A i długości L wykonano z materiału o przewodności rr (patrz rys. 7.1); jak pokazano, przekrój nie musi być kołowy, zakładamy jednak, że ma ten sam kształt wzdłuż całego przewodnika). Jakie jest natężenie prądu płynącego przez opornik, jeśli różnica potencjałów na jego końcach jest stała i równa VI
L Rys. 7.1
318
7. ELEKTRODYNAMIKA
Rozwiązanie: Jak się okazuje, pole w oporniku jest jednorodne (pokażemy to za chwilę). Z równania (7.3) wynika, że gęstość prądu jest także jednorodna, a zatem oA I = JA = crEA = — V.
Przykład 7.2 Dwa długie walce o promieniach a i b rozdzielone są ośrodkiem o przewodności o (rys. 7.2). Jakie jest natężenie prądu płynącego pomiędzy nimi na odcinku o długości L, jeśli różnica potencjałów między walcami równa jest VI
Rozwiązanie: Natężenie pola pomiędzy walcami jest równe 2tI€qS gdzie a jest liniową gęstością ładunku dla wewnętrznego walca. A zatem natężenie prądu jest równe / = I J • da = er j E • da = —AL. (Całka liczona jest po dowolnej powierzchni otaczającej wewnętrzny walec.) Jednocześnie róż nicę potencjałów pomiędzy walcami możemy zapisać jako V — — / E • dl = —
Jb
2ire0
ln ( - ) ,
\aj
tak więc 2-xoL V. ln(b/a)
Jak pokazują powyższe przykłady, całkowite natężenie prądu płynącego od jednej elektrody do drugiej jest proporcjonalne do różnicy potencjałów pomiędzy elektrodami: (7.4)
7.1. SILĄ ELEKTROMOTORYCZNA
319
Jest tu uczy wiście najlepiej znana pustać prawa Ohma. Współczynnik proporcjonalności R nosi nazwę oporu elektrycznego; zależy on od geometrii układu oraz od przewodności ośrodka pomiędzy elektrodami. (W przykładzie 7.1, R — (LfcrA)\ w przykładzie 7.2 R = \n{b/a)/2ncrL.) Opór elektryczny mierzony jest w omach (£2); jeden om jest to wolt na amper. Proporcjonalność pomiędzy V i / jest prostą konsekwencją równania (7.3). Podwojenie V powoduje podwojenie wszystkich ładunków — to jednak podwaja natężenie pola elektrycznego E, a to podwaja gęstość prądu J, a w konsekwencji także natężenie prądu /. W przypadku prądu stałego i jednorodnego przewodnictwa. V E = —V J = 0 (7.5) o (równanie (5.31)), tak więc gęstość ładunku jest równa zeru, niezrównoważone ładunki znajdują się jedynie na powierzchni. (Wykazaliśmy tu już dawno w przypadku ładunków stacjonarnych, opierając się na znikaniu natężenia pola elektrycznego E; jak widać jest to prawdą także i wtedy, gdy pozwolimy ładunkom poruszać się.) Wynika stąd w szcze gólności, że równanie Laplace’a jest spełnione wewnątrz jednorodnej, omowej substancji przewodzącej prąd stały, tak więc przy znajdowaniu potencjału można posługiwać się wszystkimi sposobami i sztuczkami z rozdziału 3.
Przykład 7.3 Wprzykładzie 7.1 założyliśmy, że pole elektryczne jest jednorodne. Udowodnijmy, że tak jest w istocie. Rozwiązanie: Wewnątrz walca potencjał V spełnia równanie Laplace’a. Jakie są warunki brze gowe? Potencjał lewego końca jest stały — możemy przyjąć wartość zero. Potencjał po prawej stronie jest stały, oznaczmy go przez V0. Na powierzchni walca J ń = 0, w przeciwnym wy padku ładunek uciekałby do otoczenia (o którym zakładamy, że jest nieprzewodzące). Tak więc A dv E n = 0 i stąd — = 0. Jeśli potencjał lub jego pochodna normalna zadane są na wszystkich on powierzchniach, potencjał jest określony jednoznacznie w całej przestrzeni (zad. 3.4). Im two jednak zgadnąć, że jedynym potencjałem spełniającym równanie Laplace’a i powyższe warunki brzegowe jest
Rys. 7.3
7. ELEKTRODYNAMIKA
320
gdzie z jest m ierzone w zdłuż osi sym etrii. Twierdzenie o jednoznaczności gw arantuje, że jest to szukane rozwiązanie. N atężenie pola elektrycznego ma postać
E = —W = a więc pole elektryczne istotnie je st jednorodne. To kończy dowód.
Dla kontrastu, niezwykle trudny problem powstaje, jeśli usuniemy przewodzący materiał, pozostawiając jedynie metalowe płytki na końcach (rys. 7.3). W tym przypadku ładunki roz kładają się na przewodniku w taki sposób, że pole w środku jest jednorodne.1
Niewiele praw fizyki jest bardziej znanych od prawa Ohma; choć nie jest ono w za sadzie prawdziwym prawem, w tym sensie, w jakim prawami przyrody są prawo Gaussa czy prawo Ampere’a. Jest ono raczej „praktycznym przepisem, doskonale stosującym się do wielu substancji. Znajdując wyjątek od prawa Ohma, nie dostanie się Nagrody Nobla. Jest raczej nieco zaskakujące, że prawo Ohma w ogóle jest słuszne. Poza wszystkim, dane pole E działa na ładunek ą siłą ą E i zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona — przyspiesza go. Jeśli jednak prędkość ładunku rośnie , to dlaczego natężenie prądu nic rośnie w czasie, stając się coraz większe, tak długo, jak długo ładunek porusza się w polu elektrycznym? Prawo Ohma stwierdza coś wręcz przeciwnego, że stałe pole wywołuje stały p rą d , co sugeruje stałą prędkość. Byłażby tu sprzeczność z zasadami dynamiki Newtona? Nie, sprzeczności nie ma, zapomnieliśmy o zderzeniach, jakim ulegają poruszające się w przewodniku elektrony. Wygląda to trochę tak: wyobraźmy sobie, że jedziemy ulicą, a na każdym skrzyżowaniu stoi znak „stop”, więc chociaż pomiędzy nimi przyspieszamy, po każdym postoju musimy startować ponownie. W konsekwencji średnia prędkość jest stała, mimo że nieustannie przyspieszamy. Jeśli długość pojedynczego odcinka wynosi A, a przyspieszenie a , czas potrzebny na przebycie tego odcinka wynosi
a zatem średnia prędkość wynosi
Zaczekajmy! To również nie jest poprawne! Zgodnie z powyższym równaniem śred nia prędkość jest proporcjonalna do pierw iastka kwadratowego z przyspieszenia, a zatem natężenie prądu powinno być proporcjonalne do pierw iastka kwadratowego z natężenia pola elektrycznego! W naszym rozumowaniu musi pojawić się nowy element. W prak tyce ładunki poruszają się dość szybko dzięki energii termicznej. Jednak prędkości ru chów cieplnych mają przypadkowe kierunki i średni wektor prędkości równy jest zeru. Wypadkowa prędkość unoszenia, która nas interesuje, jest tylko maleńkim ułamkiem 1Obliczenie tej gęstości powierzchniowej nie jest łatwe Patrz na przykład .1. D. Jackson, Am. J. Phys. 64, 855 (1996). Również niełatwe jest znalezienie pola na zewnątrz przewodnika — patrz zad. 7.57.
7.1. SILĄ ELEKTROMOTORYCZNA
321
wartości prędkości termicznej (zad. 5.19). A zatem czas pomiędzy zderzeniami jest o wiele krótszy niż przypuszczaliśmy; w rzeczywistości X ^ te r m
a stąd aX 2 f ic r.il'
Jeśli w jednostce objętości jest n cząsteczek, a każda z nich ma / elektronów, każdy o ładunku q i masie w, gęstość prądu jest równa J =
nfq\śr
nf qX F
nfW
= 2 l-te rn i
>»
2m U tc rm
E.
(7.6)
Równanie to nie daje właściwego wyrażenia na przewodność2, ale wskazuje, od czego ono zależy, a także poprawnie przewiduje, że przewodność jest proporcjonalna do gę stości poruszających się ładunków i (zazwyczaj) maleje wraz ze wzrostem temperatury. W wyniku zderzeń praca wykonana przez siły elektryczne zamienia się w wydzie lające się na oporniku ciepło. Ponieważ praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem jest równa V, a ładunek przepływający w jednostce czasu równy jest /, uwolniona moc jest równa P - V I = i 2r .
(7.7)
Jest to prawo Joule’a. / jest mierzone w amperach, R w omach, a moc P mierzona jest w watach (dżulach na sekundę).
Zadanie 7.1. Przestrzeń pomiędzy dwiema współśrodkowymi sferami o promieniach odpowied nio a i b wypełniona jest słabo przewodzącą substancją o przewodności a (rys. 7.4a). (a) Jakie jest natężenie prądu płynącego pomiędzy powłokami, jeśli ich różnica potencjałów równa jest VI (b) Jaki jest opór tego układu? (c) Zwróćmy uwagę, że gdy b n, wewnętrzny promień jest nieistotny. Wykorzystać tę informację, by znaleźć natężenie prądu płynącego pomiędzy dwiema metalowymi sferami, każda o promieniu a, zanurzonymi daleko jedna od drugiej głęboko w morzu (rys. 7.4b), jeśli różnica potencjałów między nimi jest równa V. (Układ taki może być zastosowany do pomiaru przewodności wody morskiej.) Zadanie 7.2. Kondensator o pojemności C naładowano do napięcia V0; w chwili / = 0 za mknięto obwód opornikiem o oporze R i kondensator zaczął się rozładowywać (rys. 7.5a). (a) Wyznaczyć ładunek na okładkach kondensatora jako funkcję czasu, Q(t). Jakie jest natężenie prądu płynącego przez opornik, / (0? 2Tcii klasyczny model Diudego wykazuje pewne podobieństwo do współczesnej kwantowej teorii przewodnictwa. Patrz na przykład D. Park, Introduction to the Quantum Theory, wyd. 3, McGraw-Hill, New York 1992, rozdz. 15.
322
7. ELEKTRODYNAMIKA
Rys. 7.4
(h) Jaka jest energia początkowa zmagazynowana w kondensatorze (równanie (2.55))? Cał kując równanie (7.7), sprawdzić, że ciepło, jakie wydzieli się na oporniku, jest równe całkowitej energii utraconej przez kondensator. Wyobraźmy sobie teraz, że kondensator jest ładowany poprzez włączenie do obwodu baterii o stałym napięciu V0 i opornika, w chwili t = 0 (rys. 5.2b). (c) Tak jak poprzednio, znaleźć Q(ł) i I(t). (d) Znaleźć całkowitą pracę wykonaną przez baterię (f VQI d/). Znaleźć ciepło, jakie wy dzieli się na oporniku. Jaka jest końcowa energia zmagazynowana w kondensatorze? Jaka część pracy wykonanej przez baterię zostaje zmagazynowana w kondensatorze? [Zwróćmy uwagę na fakt, że odpowiedź nie zależy od /?!]
R
a) Rys. 7.5
Zadanie 7.3 (a) Dwa metalowe ciała otoczone są słabo przewodzącym ośrodkiem o przewodności a (rys .7.6). Pokazać, żc opór między nimi jest pow iązany z pojemnością tego układu zależnością
(b) Załóżmy, że połączyliśmy je z biegunami baterii, ładując do różnicy potencjałów V0. Jeśli odłączymy baterię, ładunki ciał będą stopniowo zanikać. Pokazać, że V{t) = V0e~'/r i wyznaczyć stałą czasową r przez e0 i er.
325
7.1. SIŁA fcLfcKIROMOlORYC/NA
(s Rys. 7.6
Zadanie 7.4. Załóżmy, że przewodność materiału pomiędzy walcami w przykł. 7.2 jest nie jednorodna, zadana wzorem
7.1.2. Siła elektromotoryczna Kiedy myślimy o typowym obwodzie elektrycznym (rys. 7.7) — baterii połączonej z ża rówką — rodzi się kłopotliwe pytanie: W praktyce natężenie prądu jest w danej chwili takie samo w każdym miejscu obwodu; dlaczego tak jest, jeśli siła wprawiająca w ruch elektrony działa we wnętrzu baterii? Można by oczekiwać, że silny prąd płynie we wnę trzu baterii, natomiast przez żarówkę żaden. Co wprawia w ruch resztę obwodu i jak to się dzieje, że natężenie prądu jest takie samo w każdej części obwodu? Co więcej, ładunki w typowym przewodniku poruszają się dosłownie w żółwim tempie (patrz zad. 5.19); dlaczego więc żarówka nie zapala się w pół godziny po zamknięciu obwodu? Skąd ładunki „wiedzą'1, że wszystkie mają ruszyć w tej samej chwili? Odpowiedź: Gdyby na tężenie prądu nie było jednakowe w całym obwodzie (na przykład w ułamku sekundy po zamknięciu obwodu), wtedy ładunek elektryczny musiałby gdzieś się gromadzić, i — co jest najistotniejsze — pole elektryczne zbierającego się ładunku miałoby taki kierunek, że wyrównywałoby ilość przepływającego ładunku. Załóżmy na przykład, że natężenie prądu wpływającego w zakręt na rys. 7.8 jest większe od natężenia prądu
Rys. 7.7
Rvs. 7.8
324
7. ELEKTRODYNAMIKA
wypływającego z zakrętu. Wtedy ładunek gromadzi się w „kolanku" i wytwarza pole skierowane na zewnątrz zakrętu. Pole to przeciwdziała dopływowi ładunku (spowalnia go) i zwiększa odpływ ładunku (przyspiesza go). W ten sposób osiągany jest stan sta cjonarny. Jest to piękny przykład sprzężenia zwrotnego utrzymującego stałą wartość natężenia prądu. Ten mechanizm działa tak szybko, że w praktyce spokojnie możemy przyjąć, iż natężenie prądu jest wszędzie w obwodzie jednakowa, nawet gdy układ oscy luje z częstościami radiowymi. W rezultacie istnieją dwie siły podtrzymujące prąd w obwodzie elektrycznym; siła źródła i jx fizycznie na ogół związana tylko z fragmentem obwodu (np. baterią) i siła elektrostatyczna , która wygładza przepływ ładunku i przenosi wpływ źródła do odległych części obwodu: f = f*. + E (7.8)
Może być wiele fizycznych przyczyn pojawienia się siły f$r: w baterii jest to siła che miczna, w krysztale piezoelektrycznym — ciśnienie mechaniczne przetwarzane na róż nicę potencjałów elektrycznych, w termoelemencie odpowiada za to gradient tempera tury, w komórce fotoelektrycznej — światło; w akceleratorze Van de Graaffa elektrony dosłownie ładowane są na pas transmisyjny i wraz z nim się przesuwają. Jakikolwiek by był ten mechanizm, jego wynik jest określony przez całkę liniową siły f wzdłuż całego obwodu. (7.9)
(Ponieważ f E • dl = 0 dla pól elektrostatycznych, nie ma znaczenia, czy posługujemy się f, czy f^.) Wielkość £ nazywana jest siłą elektromotoryczną lub SEM obwodu. Jest to niedobra nazwa, ponieważ nie jest to żadna siła — jest to całka siły działającej na jednostkowy ładunek. Nazwa ta jednak powszechnie się przyjęła i dlatego pozostaniemy przy niej. Dla idealnego źródła SEM (na przykład bateria bez oporu wewnętrznego1) siła wypadkowa działająca na ładunki jest równa zeru (równanie (7.1) z a = oo), tak więc E = —ffr. Różnica potencjałów pomiędzy biegunami baterii (a i h) jest równa b
j) ffr ■dl = £
(7.10)
a (całkowanie możemy rozciągnąć na cały obwód, ponieważ we wnętrzu baterii f*r = 0). Funkcją baterii jest więc wytworzenie i podtrzymanie różnicy potencjałów równej sile elektromotorycznej (na przykład sześciowoltowa bateria wytwarza potencjał dodatniego bieguna o 6 V większy od potencjału ujemnego bieguna). Pole elektryczne, które w ten 3Prawdziwe baterie maj;* pewien opór wewnętrzny, r, w związku z czym różnica potencjałów pomiędzy ich biegunami równa jest £ - I r . gdzie / jest natężeniem prądu płynącego w obwodzie. Dyskusję działania baterii znaleźć można w artykule: D. Roberts, Am. J. Phys. 51, 892 (1983).
325
7.1. SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
sposób powstaje, podtrzymuje przepływ prądu w pozostałej części obwodu (jednak we wnętrzu baterii siła fżr wywołuje przepływ prądu w odwrotnym kierunku, przeciwnym do natężenia pola elektrycznego E). Ponieważ siła elektromotoryczna jest liniową całką z f^r. można ją interpretować jako pracę wykonaną przez źródło nad jednostkowym ładunkiem — niektóre podręczniki właśnie w ten sposób definiują SEM. Chociaż, jak zobaczymy w następnym rozdziale, istnieje pewna subtelność związana z tą interpretacją. Interpretacja oparta na równaniu (7.9) wydaje się lepsza.
Zadanie 7.5. Bateria o sile elektromotorycznej £ i oporze wewnętrznym r jest połączona w obwód ze zmiennym oporem R. Jaką wartość oporu R musimy wybrać, jeśli chcemy, by moc wydzielająca się na oporze była maksymalna? (Oczywiście £ i r są ustalone.)
Rys. 7.9 Zadanie 7.6. Prostokątną pętlę z drutu umieszczono jednym końcem o długości h pomiędzy okładkami płaskiego kondensatora (rys. 7.9) równolegle do linii pola E. Drugi koniec znajduje się daleko na zewnątrz, w obszarze gdzie pole praktycznie znika. Jaka jest SEM tego obwodu? Jakie jest natężenie płynącego w obwodzie prądu, jeśli całkowity opór obwodu jest równy /?? Wyjaśnić, fOstrzeżenie: Pytanie jest podchwytliwe, należy zachować ostrożność; jeśli czytelnik wymyśli perpetuum mobile — musi być coś błędnego w rozumowaniu.]
7.1.3. SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym W poprzedniej części wymieniliśmy kilka możliwych źródeł SEM w obwodzie elektrycz nym; najbardziej znane z nich to baterie. Nie wspomnieliśmy jednak najpowszechniej szego: prądnicy. Prądnice działają dzięki SEM, która powstaje, kiedy przewodnik poru sza się w polu magnetycznym.4 Rysunek 7.10 przedstawia prymitywny model prądnicy. W zacienionym obszarze istnieje jednorodne pole magnetyczne o indukcji B prostopa dłej do płaszczyzny rysunku i wnikającej w nią, a opornikiem R może być cokolwiek (np. żarówka albo toster). My chcemy, żeby popłynął przez niego prąd. Jeśli cały obwód wprawimy w ruch w prawo z prędkością v, ładunki w odcinku ab doznają działania siły magnetycznej (Lorentza), której składowa pionowa ma wartość ąvB i wywołuje przepływ prądu w pętli, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. SEM jest równa (7.11) 4Autor na oznaczenie tej siły elektromotorycznej posługuje się nazwą motional odpowiednika w polskiej literaturze (przyp. tłum.).
e.mj\ która nie ma
7. ELEKTRODYNAMIKA
326
Rys. 7.10 przy czym h jest szerokością pętli. (Poziome odcinki hr i ad nie dają do SEM żadnego wkładu, ponieważ siła jest tam prostopadła do przewodnika.) Zwróćmy uwagę na fakt, że całka, którą musimy obliczyć, by znaleźć £ (równanie (7.9) lub (7.11)), jest obliczona w jednej chwili — „fotografujemy'' obwód i wykonujemy rachunki, lak więc element dl odcinka ah jest skierowany pionowo do góry, mimo że pętla porusza się w prawo. Nie ma tu miejsca na dyskusję — to jest po prostu definicja SEM — ważne, żeby to było jasne. V
Rys. 7.11 W szczególności, choć to siła magnetyczna odpowiada za powstanie SEM — oczy wiście nie wykonuje ona żadnej pracy — siły magnetyczne nigdy przecież nie wykonują pracy. Gdzie zatem jest źródło energii, która ogrzewa opornik? Odpowiedz: Osoba, która porusza obwodem! Kiedy płynie prąd, ładunki w odcinku ab mają pionową prędkość (nazwijmy ją u) oprócz prędkości poziomej v, którą dziedziczą po ruchu obw'odu. Od powiednio siła magnetyczna ma składową ąuB skierowaną w lewo. Przeciwdziałając jej, musimy ciągnąć pętlę w prawo (rys. 7.11) siłą przypadającą na jednostkę ładunku, równą f = uB. Siła ta działa na ładunek poprzez strukturę przewodnika. Ładunek porusza się z wypad kową prędkością w i przebywa odległość (/?/cos0). Praca wykonana nad jednostkowym
: 327
7.1. SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
b
c
b
c
h a a
(
d
a
a) droga całkowania przy obliczaniu £ (całkujemy przy t = const)
b) droga całkowania przy obliczaniu wykonanej pracy (podążamy za ładunkiem wokół obwodu) Rys. 7.12
ładunkiem jest więc równa sin 0 = vBh = £ (sin 0 bierze się z iloczynu skalarnego). Jak się okazuje, praca wykonana nad jednost kowym ładunkiem jest równa SEM, choć całki liczone są po całkiem innych drogach (rys. 7.12) i wykorzystują zupełnie inne siły. Aby obliczyć SEM, całkujemy wzdłuż zamkniętego konturu i w jednej chwili, aby obliczyć pracę, jaką wykonujemy porusza jąc obwodem, musimy podążać za ładunkiem wzdłuż obwodu; siła f nic daje żadnego wkładu do SEM, ponieważ jest prostopadła do przewodnika, podczas gdy fniagll nie daje żadnego wkładu do pracy, ponieważ jest prostopadła do kierunku ruchu ładunku.5 Istnieje szczególnie ładny sposób zapisu SEM powstającej w poruszającym się ob wodzie. Niech 0 będzie strumieniem magnetycznym przenikającym przez obwód:
(7.12) Dla pętli prostokątnej z rys. 7.10 0 = Bhx. Gdy pętla porusza się, strumień maleje:
At
At
(Znak minus bierze sią stąd, że dA/d( jest ujemne.) Prawa strona tego równania jest U) dokładnie SEM z równania (7.11); jest więc oczywiste, że SEM jest równa prędkości 5Dalsza dyskusja, patrz: E. P. Mosca. Am. J. Phys. 42. 295 (1974).
7. ELEKTRODYNAMIKA
328
zmian strumienia magnetycznego przenikającego przez obwód, wziętej z minusem:
(7.13)
Jest to reguła strumienia dla SEM w obwodzie poruszającym się w polu magne tycznym. Oprócz zachwycającej prostoty ma ona także tę zaletę, że można ją stoso wać również do weprostokąinych obwodów poruszających się w dowolnych kierunkach w niejednorodnym polu magnetycznym; w rzeczywistości obwody nawet nie muszą za chowywać ustalonego kształtu. powierzchnia $
Rys. 7.13 Dowód: Rysunek 7.13 pokazuje obwód w pewnej chwili t i w chwili nieco póź niejszej o dr. Obliczmy strumień w chwili t przez powierzchnię S i w chwili t -I- dr, posługując się powierzchnią złożoną z S i z „paska” łączącego nowe położenie obwodu ze starym. Zmiana strumienia jest równa d
+
df) - 0 ( 0
=
0 pasCk =
jB
da.
pasek
Skoncentrujmy teraz uwagę na punkcie P : w czasie dr przesunie się on do P'. Niech v będzie prędkością przewodniku, a u prędkością, z jaką ładunek porusza się wzdłuż prze wodnika; w = v + u jest prędkością wypadkową ładunku w punkcie P. Infinitezymalny element powierzchni paska jest równy da = (v x dl) dr (patrz zacieniowane pole na rys. 7.13). Tak więc
329
7.1. SIŁA hLLKTROMOTORYCZNA
Ponieważ w = v + u jest równoległa do dl, możemy także napisać d&
B (w x dl).
Potrójny iloczyn wektorów można zapisać jako: B ■(w x dl) = -( w x B) • dl, a zatem d / — = —®(w x B) • dl. Ale (w x B) jest siłą magnetyczną fmagn działającą na jednostkowy ładunek.
a całka z fmagn jest siłą elektromotoryczną d0 d/ To kończy dowód. Definicja SEM (równanie (7.9)) jest niejednoznaczna: w jakim kierunku należy obiegać obwód całkując? Istnieje także inna niejednoznaczność w definicji strumienia (równanie (7.12)) kompensująca tę pierwszą: jaki kierunek jest dodatnim kierunkiem dla da? Stosując regułę strumienia, zgodność znaków uzyskujemy za pomocą (jak zawsze) reguły prawej dłoni: jeśli palce prawej dłoni określają dodatni kierunek obiegu obwodu, to kciuk wskazuje kierunek dodatni da. Jeśli SEM okazuje się ujemna, znaczy to, że prąd płynie w kierunku przeciwnym do kierunku całkowania. Reguła strumienia jest efektownym sposobem obliczania SEM indukującej się w ob wodzie poruszającym się w polu magnetycznym. Nie zawiera ona żadnej nowej fizyki. Czasami można napotkać problemy, których nie można rozwiązać za pomocą reguły strumienia; w takim przypadku trzeba powrócić do siły Lorentza.
Przykład 7.4 Metalowy dysk o promieniu a obraca się z prędkością kątową co wokół pionowej osi w jedno rodnym polu magnetycznym o indukcji B skierowanym ku górze. Obwód elektryczny zamyka opornik połączony z jednej strony z osią, na której obraca się dysk, a z drugiej z ruchomym kontaktem ślizgającym się po brzegu dysku (rys. 7.14). Znaleźć natężenie prądu płynącego przez opornik. Rozwiązanie: Liniowa prędkość punktu znajdującego się w odległości s od osi obrotu wynosi v = cos, a zatem siła działająca na jednostkowy ładunek jest równa fmagn = v x B = cosBs. Siła
7. ELEKTRODYNAMIKA
330
Rys. 7.14
elektromotoryczna wynosi więc a
0 a zatem natężenie prądu jest równe / =
b) Rys. 7.15
Problem z regułą strumienia bierze się stąd, że zakłada ona, iż prąd płynie po ściśle określonej drodze, a w tym przykładzie prąd rozpływa się po całym dysku. Nie jest nawet jasne, co oznacza w tym kontekście pojęcie „strumienia przez obwód’'. Jeszcze trudniejszy jest przypadek prądów wirowych. Weźmy na przykład kawałek aluminium i poruszajmy nim w obszarze niejednorod-
331
7.1. 5ILA ELEKTROMOTORYCZNA
nego pola magnetycznego. Wewnątrz metalu będą indukowały się prądy i będziemy czuli coś w rodzaju „siły lepkości’', jak w przypadku, gdybyśmy poruszali nim w smole (jest to ta siła, którą nazwaliśmy f, dyskutując przypadek SEM indukującej się w przewodniku poruszającym się w polu magnetycznym). Zawsze bardzo trudno jest obliczyć natężenie prądów wirowych6. Łatwo jednak zademonstrować ich istnienie. W klasycznym eksperymencie aluminiowy dysk zawieszony jest na poziomej osi i buja się jak wahadło pomiędzy biegunami magnesu (rys. 7.15a). Gdy znajdzie się w obszarze pola magnetycznego, nagle zwalnia. By potwierdzić, że odpowiadają za to prądy wirowe, możemy powtórzyć to doświadczenie, posługując się dyskiem, wktórym wycięto wiele szczelin, co uniemożliwia przepływ prądów na dużą skalę (rys. 7.15b). Tym razem dysk buja się swobodnie, a pole magnetyczne nie wywiera wielkiego wpływu na jego ruch.
Zadanie 7.7. Metalowa poprzeczka o masie m ślizga się bez tarcia po dwóch równoległych, przewodzących szynach, odległych jedna od drugiej o / (rys. 7.16). Opornik o oporze R łączy szyny, a cały układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B, wchodzącym w płaszczyznę rysunku.
m Rys. 7.16 (a) Jakie jest natężenie prądu płynącego przez opornik, jeśli poprzeczka porusza się w prawo z prędkością u? W jakim kierunku płynie prąd? (b) Jaka siła magnetyczna działa na poprzeczkę? Jaki jest jej kierunek? (c) Jeśli poprzeczka startuje z prędkością początkową v() w chwili / = 0, jaka jest jej prędkość po upływie czasu /? (d) Początkowa energia kinetyczna poprzeczki oczywiście jest równa \mvl. Sprawdzić, że dokładnie taka sama jest wartość energii wyzwolonej w oporniku. Zadanie 7.8. Kwadratowa ramka o boku a leży na stole w odległości s od bardzo długiego, prostoliniowego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu /, jak pokazuje rys. 7.17. (a) Znaleźć strumień magnetyczny przez tę ramkę. (b) Jaka SEM wzbudzi się w ramce, jeśli odepchniemy ją prostopadle od przewodnika z prędkością u? Jaki będzie kierunek (zgodny, czy przeciwny do ruchu wskazówek zegara) przepływu prądu? 6Patrz na przykład W. M. Saslow, Am. J. Phys., 60, 693 (1992).
332
7.
E L E K IK O D Y N A M IK A
a a
--- T---s
__ i________ p. I Rys. 7.17
(c) w p raw o
Co będzie się działo, jeśli zam iast odpychać od przewodnika, popchniem y lam z prędkością u?
Zadanie 7.9. N ieskończona liczba różnych pow ierzchni m oże m ieć ten sam brzeg. Definiując strumień m agnetyczny przez zam knięty obwód
Zadanie 7.10. K wadratowa ram ka o boku a zaw ieszona na pionowej osi obraca się wokół niej z prędkością kątową co (rys. 7.18). Jednorodne pole m agnetyczne o indukcji B skierow ane jest w prawo. Znaleźć £ ( t ) dla tej prądnicy prądu zmiennego.
Rys. 7.18
Rys. 7.19
Zadanie 7.11. Kwadratowa ram ka w ycięta je st z cienkiej blachy aluminiowej. Jej górna część znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B; ram ka m oże spadać pod wpły wem siły ciążenia (rys. 7.19). (O bszar zacicniow any na rysunku oznacza pole magnetyczne wchodzące w płaszczyznę rysunku.) Znaleźć końcową prędkość pętli (w m/s), jeśli pole ma in dukcję o wartości 1 T (jest to przyzwoity laboratoryjny standard). Znaleźć prędkość pętli jako funkcję czasu. Po jak im czasie (podać w artość w s) pętla osiągnie 90% końcowej prędkości? Co będzie, jeśli wytniem y w ram ce cienką szczelinę, przerywającej obwód? [ U w a g a : W ynik nie zależy od rozm iarów ramki, znaleźć w a r t o ś c i l i c z b o w e w podanych jednostkach ]
333
7.2. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
7.2. Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1. Prawa Faradaya W roku 1831 Michał Faraday opublikował wyniki serii eksperymentów, z których trzy (z niewielkim pogwałceniem historii nauki) można opisać następująco: Eksperyment 1: Przemieszczamy pętlę z drutu w polu magnetycznym w prawo (rys. 7.20a). W pętli płynie prąd.
V
Rys. 7.20
Eksperyment 2: Przesuwamy magnes w lewo, pętla pozostaje nieruchoma (rys. 7.20b). 1 tym razem w pętli płynie prąd. Eksperyment 3: Pętla i magnes pozostają w spoczynku (rys. 7.20c), zmieniamy nato miast indukcję pola magnetycznego (Faraday posłużył się elektromagnesem, zmieniając natężenie prądu w cewce). Raz jeszcze w pętli płynie prąd. Pierwszy eksperyment jest przykładem SEM powstającej w przewodniku porusza jącym się w polu magnetycznym. Można go opisać regułą strumienia
Nie jest niczym zaskakującym podobny wynik drugiego eksperymentu. Istotny jest tu jedynie względny ruch pętli i magnesu. Musi tak być zgodnie ze szczególną teorią względności. Jednak Faraday nie wiedział nic o szczególnej teorii względności i ta prosta wzajemność jest w klasycznej elektrodynamice przypadkiem o istotnych konse kwencjach. Jeśli pętla porusza się, to za powstanie SEM odpowiada siła magnetyczna. Jeśli jednak pętla jest nieruchoma, siła odpowiedzialna za powstawanie SEM nie może być siłą magnetyczną, ponieważ nie działa ona na nieruchome ładunki. A zatem co jest źródłem SFM w drugim eksperymencie? Jakie pole działa na spoczywające ładunki? Oczywiście tę własność ma pole elektryczne, jednak nie wydaje się, by istniało tu jakieś pole elektryczne.
334
7. ELEKTRODYNAMIKA
Faraday w genialny sposób odgadł: Zmiana pola magnetycznego indukuje pole elektryczne. To właśnie owo „indukowane” pole elektryczne powoduje powstanie SEM w ekspe rymencie 2.7 Istotnie, jeśli (jak to eksperymentalnie stwierdził Faraday) SEM jest równa szybkości zmiany strumienia £ = ^ )E dl = —
(7. 14)
to natężenie pula elektrycznego E wiąże się ze zmianą indukcji magnetycznej B równa niem ( j >Eól = - J —
da.
(7.15)
Jest to całkowa postać prawa Faradaya. Posługując się twierdzeniem Stokesa, znaj dziemy jego postać różniczkową:
(7.16)
Zwróćmy uwagę na to, żc w przypadku pola statycznego (B = const) prawo Faradaya redukuje się do starego prawa j>E • dl = 0 (lub V x E = 0 w postaci różniczkowej), tak jak należy tego oczekiwać. W eksperymencie 3 pole magnetyczne zmienia się z zupełnie innych powodów, jednak zgodnie z prawem Faradaya znów' indukuje się pole elektryczne, dzięki czemu d0 powstaje SEM — Wszystkie trzy przypadki (jak i dowolną ich kombinację) można zawrzeć w uniwersalnej regule strumienia: Jeśli (z jakichkolwiek powodów) zmienia się strumień magnetyczny przenika jący przez obwód, w obwodzie indukuje się SEM
Wiele osób nazywa tę regułę „prawem Faradaya”. Może to z mojej strony odrobina przesady, ale uważam, że ta nazwa jest myląca. Istnieją dwa całkowicie odmienne mecha nizmy prowadzące do równania (7.17). Nazywanie ich obu „prawem Faradaya” to trochę tak, jakby bliźnięta nazwać tym samym imieniem tylko dlatego, że tak samo wyglądają. 7Czyteluik może twierdzić, żc w eksperymencie 2 pole magnetyczne tak naprawdę mc znienia się — po prostu się przemieszcza. Mówiąc o zmianie pola. mamy na uwadze fakt, że w ustalonym punkcie pole zmienia się podczas przesuwania magnesu.
7.2. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
33S
W pierwszym doświadczeniu Faradaya pracę wykonuje siła Lorentza; SLM ma ma gnetyczny charakter. Ale w dwóch pozostałych pracę wykonuje (indukowane w wyniku zmiany pola magnetecznego) pole elektryczne. Z tego punktu widzenia jest całkowicie zaskakujące, że wszystkie trzy procesy można opisać tym samym wzorem określającym SEM. W rzeczywistości to właśnie ta „koincydencja” przywiodła Einsteina do szczegól nej teorii względności. Szukał on głębszej interpretacji tego, co w klasycznej elektro dynamice było osobliwym przypadkiem. Dokładniej zajmiemy się tym w rozdziale 12. Do tej pory zarezerwujemy określenie „prawo Faradaya” dla przypadku pól elektrycz nych indukowanych w wyniku zmiany pola magnetycznego i nie będziemy traktować pierwszego eksperymentu jako przykładu prawa Faradaya.
Przykład 7.5 Długi, walcowy magnes o długości /. i promieniu a jest namagnesowany jednorodnie; wektor magnetyzacji M jest równoległy do osi walca. Walec przesuwa się ze stałą prędkością przez kołowy obwód o nieco większej średnicy (rys. 7.21). Narysować wykres SEM indukowanej w obwodzie jako funkcji czasu.
Rys. 7.21
Rozwiązanie: Pole magnetyczne magnesu jest takie samo jak w przypadku długiego solenoidu, przez który płynie prąd powierzchniowy o natężeniu Kzw — A/<|>. Tak więc indukcja magne tyczna w środku solenoidu jest równa B = g0M, z wyjątkiem końców, gdzie ulega rozproszeniu. Tak więc strumień magnetyczny jest równy zeru, gdy magnes znajduje się daleko od obwodu, i rośnie do maksimum równego ti0M n a \ gdy koniec magnesu przechodzi przez obwód, a na stępnie maleje do zera, gdy od obwodu oddala się drugi koniec magnesu (rys. 7.22a). Ponieważ SEM jest pochodną strumienia względem czasu, wziętą ze znakiem minus, jej wykres składa się z dwóch impulsów, jak to pokazuje rys.7.22b.
7. ELEKTRODYNAMIKA
336
Śledzenie znaków w prawic Faradaya może przyprawić o ból głowy. Na przykład w równaniu (7.5) chcielibyśmy wiedzieć, w którym kierunku w obwodzie płynie induko wany prąd. W zasadzie można posłużyć się regułą prawej dłoni. (Strumień przenikający w lewo na rys. 7.22a nazwiemy dodatnim, tak więc właściwym kierunkiem przepływu prądu będzie kierunek przeciwny ruchowi wskazówek zegara, jeśli na układ patrzymy od lewej strony; ponieważ pierwszy impuls na rys. 7.22b jest ujemny, pierwszy prąd płynie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, drugi zaś przeciwnie). Istnieje wygodna reguła, nazywana regułą Lenza, której jedynym zadaniem jest dopomóc w poprawnym określeniu kierunku prądu:8 Natura nie znosi zmiany strumienia. Indukowany prąd będzie płynął w takim kierunku, że dodatkowy strumień powstały w wyniku jego przepływu sprzeciwia się zmianie pierwotnego strumienia. Kiedy jeden koniec magnesu z przykł. 7.5 przechodzi przez obwód, strumień przenikający przez ten obwód rośnie; tak więc indukowany prąd musi wytwarzać pole skierowane na prawo, a zatem płynie zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. To, czego natura nie znosi, to nie jest sam strumień, ale jego zmiana (kiedy tylny koniec magnesu przesuwa się przez obwód, strumień zaczyna zanikać, dlatego prąd płynie tak, by podtrzymać ten zanikający strumień, a więc przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara). Induk cja Faradaya jest więc rodzajem zjawiska „inercyjnego”: przewodzący obwód „lubi”, by przenikający przezeń strumień był stały. Jeśli próbujemy strumień zmienić, obwód odpowiada prądem redukującym efekty naszych wysiłków. (Całkowicie to się nie udaje; strumień pochodzący od wyindukowanego prądu jest zwykle drobnym ułamkiem pier wotnego strumienia. Reguła Lenza mówi nam, jaki jest kierunek płynącego prądu.
Przykład 7.6 Doświadczenie z „podskakującym” pierścieniem. Jeśli na pionowy, żelazny rdzeń nawiniemy cewkę (żelazo wzmacnia pole magnetyczne), a następnie na górnym końcu umieścimy metalowy pierścień i włączymy cewkę do źródła prądu, pierścień wysoko podskoczy. Dlaczego? Rozwiązanie: Zanim włączymy przepływ prądu, strumień magnetyczny przenikający przez pier ścień jest równy zeru. Po włączeniu pojawia się strumień (na rysunku skierowany ku górze) i in dukująca się siła elektromotoryczna powoduje przepływ prądu, który (zgodnie z regułą Lenza) ma taki kierunek, że jego pole osłabia strumień, który właśnie się pojawił. To oznacza, że prąd w pierścieniu płynie w przeciwnym kierunku niż w cewce. A ponieważ przewodniki, przez które prądy płyną w przeciwnych kierunkach, odpychają się, pierścień zostaje wyrzucony do góry.9 ^Reguła Lenza stosuje się także do SEM indukującej się w przewodniku poruszającym się w polu magnetycznym, choć w tym przypadku łatwiej jest określić kierunek przepływu prądu za pomocą wzoru Lorentza. l>Bardziej szczegółową dyskusję podskakującego pierścienia (i związanego z nim unoszącego się pierścienia) znaleźć można w artykule: C. S. Schneider i J. P. Ertel, Am. ./. Phys. 66, 689 (1998).
337
7.2. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
a
r
p iC I S U C I!
Zadanie 7.12. Przez długi solenoid o promieniu a płynie prąd zmienny tak, że pole wewnątrz tej cewki zmienia się sinusoidalnie: B(/) = £0cos(a>/)z. Kołowy obwód o promieniu a /2 i oporze R umieszczono wewnątrz solenoidu w taki sposób, że ich osie symetrii pokrywają się. Znaleźć natężenie prądu indukowanego w obwodzie jako funkcję czasu. Zadanie 7.13. Obwód w kształcie kwadratu o bokach długości a leży w pierwszej ćwiartce płaszczyzny xy, z jednym narożnikiem w początku układu współrzędnych. Pole magnetyczne, które w tym obszarze jest niejednorodne i zależy od czasu, dane jest wzorem B(y, t) = ky*t2z (gdzie k = const). Znaleźć SEM indukowaną w obwodzie. Zadanie 7.14. Podczas wykładu przeprowadzono pokaz, w trakcie którego krótki magnes stały w kształcie walca spadał we wnętrzu aluminiowej, długiej na około dwa metry rury, o średnicy nieco większej od średnicy magnesu. Magnes potrzebował kilku sekund, by spaść na dno rury, podczas gdy nic namagnesowany identyczny kawałek żelaza spadał w ułamku sekundy. Wyjaśnić, dlaczego magnes spada dużo wolniej.
7.2.2. Indukowane pole elektryczne Odkrycie Faradaya mówi nam, że istnieją dwa rodzaje pól elektrycznych: pola bezpo średnio związane z istnieniem ładunków elektrycznych i pola elektryczne związane ze zmianami pól magnetycznych.10 Pierwsze możemy obliczyć (w przypadku statycznym) za pomocą prawa Coulomba, drugie — posługując się analogią pomiędzy prawem Faradaya
9B
V x E = -----dt
l0Można by wprowadzić całkiem nowe określenie oznaczające pole wytworzone na skutek zmiany indukcji pola magnetycznego B. Wtedy elektrodynamika posługiwałaby się trzema polami: polem E wytwarzanym przez ładunki elektryczne [V ■E = (-)p , V x E = 0]; polem B wytwarzanym przez płynące prądy [V •B = 0, VxB = /z0JI oraz polem G wytwarzanym przez zmianę pola magnetycznego [V•G = 0, V x G = ----- ]. Ponieważ jednak E i G działają silą w ten sam sposób |F = ą{E + G]), Ot prościej jest potraktować ich sumę jako jedno pojęcie i nazwać ją „natężeniem pola elektrycznego”.
338
7. ELEKTRODYNAMIKA
a prawem Ampere’a Vx
B = /z0J.
Oczywiście, znajomość jedynie rotacji pola jeszcze nie wystarczy, by znaleźć samo pole, konieczna jest również znajomość jego dywergencji. Ale tak długo, jak długo natężenie pola elektrostatycznego E jest polem czysto „faradayowskim”, to znaczy wywołanym jedynie zmianą indukcji magnetycznej R (przy p = 0), prawo Gaussa mówi, że V • E - 0, podczas gdy dla indukcji magnetycznej równanie V •B = 0
jest oczywiście spełnione zawsze. A zatem analogia jest całkowita: możemy więc stwier dzić, że pole elektryczne indukowane przez zmiany pola magnetycznego określone jest wielkością
dokładnie w taki sam sposób, jak indukcja pola magnetostatycz
nego przez MoJ- W szczególności, jeśli pozwala na to symetria, możemy wykorzystać wszystkie sztuczki związane z zastosowaniem prawa Ampere'a w postaci całkowej (j) H d\ =
/io /c ,
zapisując prawo Faradaya także w postaci całkowej f d
(7.18)
Szybkość zmian strumienia magnetycznego przez zamknięty kontur gra tę samą rolę, co poprzednio /xq/c.
Przykład 7.7 Jednorodne pole magnetyczne o indukcji B(/) skierowane pionowo do góry wypełnia zacieniowany, kołowy obszar na rys. 7.24. Jakie pole elektryczne się indukuje, jeśli indukcja magne tyczna R zmienia się w czasie? B(0
kontur Ampere’a o promieniu s
Rys. 7.24
339
7 .2 . I N D U K C J A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N A
Rozwiązanie: Natężenie pola elektrycznego E ma kierunek azymutalny, dokładnie tak, jak wprzypadku pola magnetycznego we wnętrzu długiego, prostoliniowego przewodnika w kształ cie walca, przez który płynie prąd o jednorodnej gęstości. Narysujmy kontur Ampere’a o pro mieniu s i zastosujmy prawo Faradaya: <\
f
E •dl = E(2ns) = -
Przykład 7.8 Ładunek o gęstości liniowej a przyklejony jest do obwodu koła o promieniu h położonego w płaszczyźnie poziomej (rys. 7.25), które może swobodnie się obracać (szprychy koła wy konane są z izolatora). W obszarze środkowym, ograniczonym promieniem a, indukcja pola magnetycznego B0 jest skierowana pionowo ku górze. Nagle pole magnetyczne zostaje wyłą czone. Co będzie działo się z kołem?
Rozwiązanie: Zmiana pola magnetycznego powoduje powstanie wirowego pola elektrycznego, krążącego wokół osi koła. Pole elektryczne działa na ładunki znajdujące się na jego obwodzie i koło zaczyna się obracać. Zgodnie z regułą Lenza koło obraca się w taki sposób, że jego pole magnetyczne stara się podtrzymać zanikający strumień. A zatem koło (oglądane od góry ) obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ilościowo, prawo Faradaya mówi, że
ł
E
(\
dl
,(\R
= — — = —Tiar — . d/
d/
Moment siły działającej na element obwodu dl jest równy r x F , czyli jego wartość jest równa bkEdl. Całkowity moment siły działający na koło wynosi
340
7. ELEKTRODYNAMIKA
N = bk (J) Edl = - b \n a 2— .
J
dt
moment pędu, jaki uzyskuje koło, jest równy
J
J
u
Ndt = —kna2b
dB = XiurbB0
Nic ma znaczenia, jak szybko w yłączam y pole m agnetyczne; końcowa prędkość kątowa
jest zawsze taka sama. (Czytelnik może się zastanawiać, skąd wziął się moment pędu. Z tym zaczekamy do następnego rozdziału.) Jeszcze ostatnie słowo na temat tego przykładu. To pole elektryczne powoduje obrót koła. Żeby mieć pewność, że tak jest istotnie, skonstruowaliśmy układ w ten sposób, że pole magne tyczne jest zawsze równe zeru tam, gdzie znajdują się ładunki elektryczne, czyli na obwodzie koła. Eksperymentator może twierdzić, że nie włączył żadnego pola elektrycznego, a jedynie wyłączył pole magnetyczne. Jednak kiedy to zrobił — pole elektryczne pojawiło się automa tycznie, i to właśnie ono spowodowało obrót koła.
Trzeba jednak czytelników ostrzec przed małym oszustwem rzucającym cień na wiele zastosowań prawa Faradaya. Indukcja elektromagnetyczna pojawia się jedynie wtedy, gdy zmienia się pole magnetyczne; my chcielibyśmy posłużyć się prawami magnetostatyki (takimi jak prawo Ampere'a, Biota-Savarta i innymi), by obliczyć te pola magnetyczne. Z technicznego punktu widzenia otrzymane w ten sposób wyniki są po prawne tylko w przybliżeniu. Jednak w praktyce błąd jest zaniedby walny, jeśli tylko pole nie znika zbyt szybko lub też interesujemy się obszarem położonym niezbyt daleko od źródła. Nawet przypadek przewodnika przeciętego nożyczkami (zad. 7.18) jest dosta tecznie statyczny, by można było posłużyć się prawem Ampere’a. Przypadek, w którym prawa magnetostatyki mogą być zastosowane w celu obliczenia indukcji magnetycznej, w prawie Faradaya nazywany jest ć/wasz-statycznym. Mówiąc ogólnie, jedynie wtedy, gdy istotne stają się falc elektromagnetyczne i promieniowanie, magnetostatyka się za łamuje.
Przykład 7.9 Przez nieskończenie długi przewodnik prostoliniowy płynie prąd o natężeniu I(t). Znaleźć indukowane pole elektryczne jako funkcję odległości od przewodnika.11 "Ten przykład jest akademicki, jednak nie dlatego, że posługujemy się pojęciem nieskończenie dłu giego przewodnika, ale z bardziej subtelnych powodów. Zakładamy, że natężenie prądu jest takie samo w danej chwili wzdłuż całego przewodnika. Założenie to jest bezpieczne w przypadku krótkich prze wodników. jakie się spotyka w typowych obwodach elektrycznych. Nie jest tak w przypadku długich przewodników (linii transmisyjnych), chyba że zastosujemy specjalne mechanizmy wzmacniające i syn chronizujące. Ale mniejsza o to, nieważne w jaki sposób wytworzymy taki prąd. Interesuje nas jedynie to. jakie pola powstaną, jeśli tak zrobimy. (Wariacje na temat tego problemu dyskutowane są w artykule: M. A. Heald, Am. J. Phys. 54. 1142 (1986) i cytowanych w nim odnośnikach.)
341
12. INDU KG A ELEKTROMAGNETYCZNA
Rozwiązanie: W przybliżeniu quasi-statycznym indukcja magnetyczna jest równa (jiqI / 2ns), a linie pole magnetycznego tworzą okręgi współśrodkowe z przewodnikiem. Tak jak indukcja magnetyczna B w solenoidzie. wektor natężenia pola elektrycznego E jest równoległy do osi symetrii. Prawo Faradaya zastosowane do prostokątnego konturu pokazanego na rys. 7.26 daje: j> E ■dl = E(s0)l - E(s)l = - — J B da Holdl f \
/j.0l
d/
= ----------- / —d.s = ----------- (In s —ln s, 2n dt J s' 2ti dr Tak więc Mo d/ ln s + K 2tt d/
E(s) =
(7.19)
gdzie K jest stałą (w tym sensie, że nie zależy od s, może jednak być funkcją t). Wartość K zależy od całej historii funkcji I(t) — kilka przykładów podano w rozdziale 10. / i i
j— kontur Ampere’a
i / Rys. 7.26 Rozwiązanie (7.19) ma szczególną cechę: natężenie pola elektrycznego E rośnie, gdy s dąży do nieskończoności. To nic może być prawdą ... Gdzie tkwi błąd? Odpowiedź: Przekro czyliśmy granice przybliżenia
Zadanie 7.15. Przez długi solenoid o promieniu a i n zwojach na jednostkę długości płynie prąd o natężeniu zmieniającym się w czasie / (f), skierowanym zgodnie z wektorem 4>. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w odległości .y od osi symetrii (wewnątrz i na zewnątrz solenoidu) w przybliżeniu ć/was7-statycznym.
7. ELEKTRODYNAMIKA
342
Zadanie 7.16. Prąd zmienny / = /0cos (co!) płynie wzdłuż prostoliniowego przewodnika i wraca z powrotem przez współśrodkowy z przewodnikiem walec o promieniu a. (a) Jaki jest kierunek wyindukowanego pola elektrycznego (radialny, azymutalny czy po dłużny)? (b) Przyjmując, że pole dąży do zera, gdy s —> oo, znaleźć natężenie pola elektrycznego E(s, /). [W rzeczywistości pole elektryczne w kablu koncentrycznym nie zachowuje się dokład nie w ten sposób, z powodów wspomnianych w przypisie 11. Na temat bardziej realistycznego opisu patrz paragraf 9.5.3 lub artykuł J. G. Cheverniaka, Am. J. Phys. 54, 946 (1986).]
(TTTyir
))))))))) R Rys. 7.27
Zadanie 7.17. Długi solenoid o promieniu a i n zwojach na jednostkę długości otoczony jest pętlą o oporze R, jak to pokazuje rys. 7.27. (a) Jakie jest natężenie prądu płynącego w pętli, jeśli natężenie prądu w cewce wzrasta ze stałą szybkością (d//dr = k). Czy prąd płynie przez opornik w lewo, czy w prawo? (b) Jeśli natężenie prądu w cewce jest stałe, ale cewka zostaje wyciągnięta z obwodu i włożona w przeciwną stronę, jaki całkowity ładunek przepłynie przez opornik? a
Zadanie 7.18. Kwadratowa ramka o boku a i oporze R leży w odległości s od nieskończonego, prostoliniowego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu / (rys. 7.28). Przewodnik zostaje przecięty, tak więc natężenie prądu spada do zera. W jakim kierunku w pętli popłynie indukowany prąd i jaki całkowity ładunek przepłynie przez ustalony punkt pętli w czasie, kiedy ten prąd będzie płynął? Jeśli czytelnikowi nie podoba się pomysł z nożyczkami, może wyłączyć prąd stopniowo:
343
7.2. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
(1 —ar/ )/ 0
dlaO 1/ ol
Zadanie 7.19. Toroidalna cewka ma prostokątny przekrój o promieniu wewnętrznym a i pro mieniu zewnętrznym a 4- w oraz wysokość h. Całkowita liczba ściśle nawiniętych zwojów jest równa N y a natężenie prądu płynącego przez cewkę rośnie w czasie ze stałą szybkością (d//d/ = k). Znaleźć natężenie pola elektrycznego w punkcie leżącym na osi symetrii cewki w odległości z od jej środka, jeśli w i h są dużo mniejsze od a. [Wskazówka: Posłużyć się analogią pomiędzy indukowanym polem elektrycznym i polem magnetycznym; wykorzystać przykł. 5.6.]
7.2.3. Indukcyjność Załóżmy, że mamy dwie nieruchome, przewodzące pętle (rys. 7.29). Jeśli przez pierwszą płynie stały prąd o natężeniu I \, wytwarza pole magnetyczne o indukcji Bj. Niektóre z linii pola przenikają przez drugą pętlę; niech #>2 oznacza strumień pola Bi przez pętlę 2. Znalezienie indukcji Bj może być trudne, jednak prawo Biota-Savarta pozwala zapisać ją w postaci
B
B
pętla 1
Rys. 7.29
Rys. 7.30
która wskazuje na istotną własność tego pola: jest ono proporcjonalne do natężenia prądu /[. Strumień przez drugą pętlę jest dany wyrażeniem:
344
/ . tLtKIKUUYNAMIKA
przy czym M2\ nosi nazwę współczynnika indukcyjności wzajemnej dwóch pętli. Ist nieje ciekawy wzór na współczynnik indukcyjności wzajemnej, który można otrzymać, wyrażając strumień prz.cz potencjał wektorowy i wykorzystując twierdzenie Stokcsa: 02
I
B| -da2
/(V
X
A,) da2 =
A, dl2.
Zgodnie z równaniem (5.63), dli K' a stąd
Ostateczne otrzymujemy A*2.
dl] • dl2 n
(7.22)
Jest to wzór Neumanna; wymaga on obliczenia podwójnej całki liniowej, jednej wzdłuż pierwszej pętli, drugiej wzdłuż drugiej pętli (rys. 7.30). Nie jest on zbyt użyteczny w praktycznych obliczeniach, wskazuje jednak na dwa ważne fakty dotyczące indukcyj ności wzajemnej: 1. M2\ jest wielkością czysto geometryczną, zależną od rozmiarów, kształtów i wza jemnego położenia obu pętli. 2. Całka w równaniu (7.22) nie zmieni się, jeśli pętle zamienimy rolami; wynika stąd więc, że Mi\ = Mi2* (7.23) Jest to zaskakujące stwierdzenie: Jakiekolwiek by były kształty i położenia cewek, stru mień indukcji magnetycznej przepływający przez drugą pętlę, wytworzony przez prąd o natężeniu I płynący w pierwszej pętli, jest taki sam jak strumień indukcji magnetycz nej przenikający przez pierwszą pętlę, wytworzony przez prąd o tym samym natężeniu płynący w drugiej pętli. Tak więc możemy opuścić indeksy i współczynnik indukcyjności wzajemnej oznaczyć po prostu jako M w obu przypadkach.
Przykład 7.10 Krótka cewka (o długości /, promieniu a i n} zwojach na jednostkę długości) położona jest współosiowo z bardzo długą cewką (o promieniu b i n2 zwojach na jednostkę długości), tak jak to pokazuje rys. 7.31. Przez krótką cewkę płynie prąd o natężeniu /. Jaki strumień magnetyczny przenika przez długą cewkę? Rozwiązanie: Ponieważ wewnętrzna cewka jest krótka, jej pole magnetyczne jest bardzo skom plikowane; co więcej, strumień przenikający przez każdy ze zwojów dużej cewki jest inny.
345
7.2. INDUKCJA ELEKTROMAONEIYCZNA
Rys. 7.31
Obliczanie całkowitego strumienia w ten sposób byłoby okropne. Wykorzystamy fakt równości wzajemnych indukcyjności, przez co problem stanie się bardzo prosty. Popatrzmy na sytuację odwrotną: niech prąd płynie przez zewnętrzni] cewkę; obliczymy strumień magnetyczny prze nikający przez cewkę wewnętrzną. Indukcja magnetyczna wc wnętrzu długiej cewki jest stała: B = fi0n2l (równanie (5.57)), tak więc strumień przenikający przez pojedynczą pętlę krótkiej cewki jest równy Bna = Hon2I n a \ Cewka składa się z n j zwojów, tak więc całkowity strumień przez wewnętrzną cewkę jest równy 0 = Ji07lćTrt,H2//. Jest to również szukany strumień magnetyczny przenikający przez długą cewkę, gdy prąd o na tężeniu / płynie przez krótką cewkę. Przy okazji znaleźliśmy współczynnik indukcyjności wzajemnej
M = n0na2nln2l.
Załóżmy teraz, żc zmieniamy natężenie prądu w pierwszej pętli. Strumień magne tyczny przez drugą pętlę także się zmienia i zgodnie z prawem Faradaya ten zmieniający się strumień indukuje w drugiej pętli SEM .d/i Ć02 -M (7.24) ~dT dr (Posługując się równaniem (7.21) opartym na prawie Biota-Savarta, milcząco zakła damy, żc natężenie prądu zmienia się dostatecznie powoli, byśmy mogli potraktować len problem quasi-statycznie.) Fakt godny odnotowania: ilekroć zmieniamy natężenie prądu w pierwszej pętli — w drugiej zaczyna płynąć indukowany prąd, mimo że między pę tlami nie ma połączenia elektrycznego! Po chwili namysłu dochodzimy do wniosku, że zmiana natężenia prądu nie tylko indukuje SEM w położonych w pobliżu obwodach, ale także indukuje SEM w tej samej pętli, w której płynie prąd (rys. 7.32). Także i tym razem indukcja magnetyczna (a więc także i strumień) jest proporcjonalna do natężenia prądu: £2 = -
0 = LI.
(7.25)
346
7. ELEKTRODYNAMIKA
Rys. 7.32
Stała proporcjonalności L nazywa się indukcyjnością własną obwodu. Tak jak M zależy ona od geometrii (wielkości i kształtu) obwodu. Jeśli zmienia się natężenie prądu, SEM indukująca się w obwodzie jest równa „ d/ £ = -L -. (7.26) at Indukcyjność mierzymy w henrach (H); jeden henr jest to wolt razy sekunda na amper.
Przykład 7.11 Znaleźć współczynnik samoindukcji toroidalnej cewki o przekroju prostokątnym (jej promień wewnętrzny jest równy a, zewnętrzny b> a wysokość h) i całkowitej liczbie zwojów równej N. Rozwiązanie: Indukcja magnetyczna wewnątrz toroidu jest równa (równanie (5.58)) o 271. Strumień przez jeden zwój (rys. 7.33) jest równy
Rys. 7.33
7.2. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
3 47
Całkowity strumień jest 7V-krotnie większy, tak więc współczynnik samoindukcji (równanie (7.25)) jest równy
Indukcyjność (podobnie jak pojemność) jest z definicji wielkością dodatnią. Re guła Lenza, narzucona przez znak minus w równaniu (7.26), mówi, że SEM ma taki kierunek, iż przeciwstawia się zmianie natężenia prądu. Z tego powodu jest nazywana przeciwstawną SEM. Ilekroć próbujemy zmienić natężenie prądu w obwodzie, musimy walczyć przeciw niej. A zatem indukcyjność w obwodzie elektrycznym gra rolę podobną do masy w układach mechanicznych. Im większa indukcyjność w obwodzie, tym trudniej zmienić natężenie prądu; im większa masa ciała, tym trudniej zmienić jego prędkość.
Przykład 7.12 Niech / będzie prądem płynącym w obwodzie, który nagle został przerwany. Natężenie prądu „natychmiast” spada do zera. To powoduje powstanie ogromnej przeciwstawnej SEM; niezależ niejak małe było natężenie prądu, jego pochodna, d//df, jest ogromnie duża. To właśnie z tego powodu, kiedy wyciągamy z kontaktu wtyczkę od żelazka czy tostera, pojawia się w nim iskra elektryczna — indukcja elektromagnetyczna desperacko próbuje podtrzymać przepływ prądu, nawet jeśli musi pokonać przerwę w obwodzie. Nic dramatycznego nie dzieje się jednak, gdy włączamy toster czy żelazko. W tym przy padku indukcja przeciwstawia się gwałtownemu wzrostowi natężenia prądu w obwodzie, zamiast tego następuje gładki, ciągły wzrost. Załóżmy, że bateria (o stałej SFM £0) zostaje włączona do obwodu o oporze R i indukcyjności L (rys. 7.34). Jakie będzie natężenie płynącego prądu?
R
Rys. 7.34
Rozwiązanie: Całkowita SEM w obwodzie jest sumą SEM baterii i SEM indukowanej. Z prawa Ohma otrzymujemy12 dl £ * - L — = IR. dt l2Zwrućmy uwagę na lo, /.e —Z (d //d r) /.najdujc się po lewej stronic równania; jest ona częścią wypadkowej SEM. która (wraz z £ q) określa spadek napięcia na oporniku (równanie (7.10)).
348
7. ELEKTRODYNAMIKA
Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, określające / jako funkcję czasu. Jego ogólne rozwiązanie ma postać ke~tR/L)', R gdzie k jest stałą, którą należy określić na podstawie warunków początkowych. W szczególności, jeśli obwód zostaje zamknięty w chwili t = U (tak więc /(()) = 0), stała k ma wartość - £ 0//?, a więc /(/) = — +
/(/) = — [ 1
(
7
.
2
8
)
A
Rys. 7.35
Rysunek 7.35 pokazuje wykres lej funkcji. Gdyby w obwodzie nie było indukcyjności, natężenie prądu natychmiast skoczyłoby od zera do wartości £0/R. W praktyce każdy obwód ma jakąś indukcyjność i natężenie prądu w obwodzie osiąga wartość £0/ R asymptotycznie. Wielkość t = L/R nazywana jest stałą czasową; mówi ona, w jakim czasie natężenie prądu osiąga znaczącą część (około dwóch trzecich) końcowej wartości.
Zadanie 7.20. Mała pętla kołowa (o promieniu a) wykonana z przewodnika leży w odległości z od dużej pętli o promieniu b (rys. 7.36). Płaszczyzny obu pętli są równoległe i prostopadłe do wspólnej osi symetrii. (a) Niech w dużej pętli płynie prąd o natężeniu /. Znaleźć strumień przez małą pętlę. (Mała pętla jest na tyle mała, że pole magnetyczne dużej pętli w obszarze zajmowanym przez małą możemy traktować jako stałe.)
Rys. 7.36
7.2. INDUKCJA ELEKTROMACj NEIYLZNA
349
(b) Niech prąd o natężeniu I płynie w małej pętli. Znaleźć strumień przez dużą pętlę. (Mała pętla jest tak m ała, żc możemy uw ażać ją za dipol magnetyczny.)
(c) Znaleźć współczynniki indukcyjmości wzajemnej i sprawdzić, że istotnie Ml2 = M21. Zadanie 7.21. Kwadratowy przewodzący obwód o boku a znajduje się pomiędzy dwoma dłu gimi przewodnikami odległymi od siebie o 3a, leżącymi w tej samej płaszczyźnie co kwadrat. (Wrzeczywistości długie przewodniki są bokami dużego, prostokątnego obwodu, którego krót kie boki są tak odległe, że ich wpływ można zaniedbać.) Prąd o natężeniu / płynie w małej pętli zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara; d// dt = k (stała). Znaleźć SEM wyindukowaną w dużym obwodzie. W jakim kierunku płynie wyindukowany prąd? Zadanie 7.22. Znaleźć indukcyjno.ść na jednostkę długości długiego solenoidu o promieniu R i n zwojach na jednostkę długości. Zadanie 7.23. Spróbujmy obliczyć indukcyjność „spinki do włosów”, pokazanej na rys. 7.37. (Zaniedbać wkłady pochodzące od końców; przeważająca część strumienia pochodzi od długich, prostoliniowych przewodników.) Natrafiamy tu na częstą trudność pojawiającą w obliczeniach współczynnika samoindukcji. Aby otrzymać konkretną odpowiedź, załóżmy, że przewodnik ma niewielki promień s i zaniedbajmy strumień przez sam przewodnik.
d
(
')
l Rys. 7.37
Rys. 7.38
Zadanie 7.24. Prąd zmienny o natężeniu /Ocos(o>/) (o amplitudzie 0, 5 A i częstości 60 Hz) płynie wzdłuż prostoliniowego przewodnika umieszczonego na osi toroidalnej cewki o prosto kątnym przekroju (promień wewnętrzny 1 cm, promień zewnętrzny 2 cm, wysokość 1 cm, 1000 zwojów). Cewka jest włączona w obwód z opornikiem 500-omowym. (a) Jaka SEM indukuje się w cewce w przybliżeniu ^«^/-statycznym? Znaleźć prąd Ir(t) płynący przez opornik. (b) Obliczyć przeciwstawną SEM w cewce, wywołaną przez prąd lr{t). Jaki jest stosunek amplitud przeciwstawnej SEM i „bezpośredniej’*SEM obliczonej w punkcie (a)? Zadanie 7.25. Jak pokazuje schematycznie rysunek 7.38, kondensator o pojemności C został naładowany do różnicy potencjałów V i połączony z iiidukcyjnuścią L. W chwili t = 0 klucz .Vzostaje zamknięty. Znaleźć zależność natężenia prądu płynącego w obwodzie od czasu. Jak zmieni się wynik, jeśli do obwodu włączymy szeregowo również opornik o oporze R?
7.2.4. Energia pola magnetycznego Wywołanie przepływu prądu w obwodzie elektrycznym wymaga wydatkowania pewnej ilości energii. Nie chodzi tu o energię, która wydziela się na opornikach w postaci ciepła
JbO
7. ELEKTRODYNAMIKA
— jest to nieodwracalna strata; może ona być duża lub mała, w zależności od tego, jak długi) pozwolimy prądowi płynąć. To, o czym teraz mówimy, dotyczy pracy, którą trzeba wykonać przeciwko przeciwstawnej SEM, by popłynął prąd. Jest to ustalona wartość i jest ona możliwa clo odzyskania; odzyskujemy ją, kiedy wyłączamy prąd. Podczas gdy prąd płynie, jest to ukryta energia obwodu; jak zaraz zobaczymy, możemy ją potraktować jako energię zmagazynowaną w polu magnetycznym. Praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem przeciw przeciwstawnej SEM pod czas jednego obiegu obwodu jest równa —£ (minus oznacza, że to my wykonujemy pracę przeciw SEM, nie jest to praca wykonana przez SEM). Ładunek przepływający przez przewodnik w jednostce czasu jest równy /, a zatem całkowita praca wykonana w' jednostce czasu jest równa dW ~dt
- E l = LI
d/ dt
Jeśli zaczynamy od zerowego natężenia prądu, które następnie rośnie aż do osiągnięcia maksymalnej wartości /, wykonana praca (którą liczymy, całkując ostatnie równanie względem czasu) jest równa (7.29)
W = { L I 2.
Nie zależy ona od tego, jak długo płynie prąd, a jedynie od geometrii układu (poprzez indukcję L) i końcowego natężenia prądu. Istnieje lepszy sposób zapisania W, który ma tę własność, że daje się łatwo uogólnić na przypadek prądów powierzchniowych i objętościowych. Przypomnijmy sobie, że stru mień magnetyczy 0 przenikający przez pętlę jest równy L I (równanie (7.25)). Z drugiej strony. (V x A) • da
0
s
s
ł
A • dl.
V
gdzie V jest obwodem pętli, a S jest dowolną powierzchnią rozpiętą na V. Tak więc L I = ^ A dl, a stąd W = { l < j)\- dl. Znak wektora możemy przenieść na natężenie prądu W
( A - I ) d /.
(7.30)
7.2. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
351
Ta postać pozwala łatwo uogólnić uzyskany wzór na przypadek prądów objętościowych: W
-*/
(A • J)dr.
(7.31)
Jeszcze lepiej będzie, jeśli W wyrazimy jedynie w języku pola magnetycznego: wyeliminujemy gęstość prądu J, posługując się prawem Ampcrc'a, V x B = pmJ: 1
h
• (V x B)dr. (7.32) 2mo Całkowanie przez części pozwala „przesunąć” różniczkowanie z indukcji magnetycznej B na potencjał wektorowy A; wzór (6) mnożenia wektorów mówi, że W=
V • (A x B) = B • (V x A) - A • (V x B), tak więc
A (V x B) = B B - V (A x B).
Wkonsekwencji 1 W = ---2^0 j
B1d c -
j V • (A x B) di
1
f B2d r -
(7.34)
Patrząc na ten wzór, powiemy, że energia jest „zmagazynowana w polu magnetycznym" w ilości (B2/ 2/zo) na jednostkę objętości. Jest to wygodna interpretacja, chociaż ktoś, kto popatrzy na wzór (7.31), wolałby może powiedzieć, że energia zmagazynowana jest w rozkładzie prądu w ilości -(A • J) na jednostkę objętości. Różnica polega jedynie na sposobie księgowania; wielkością istotną jest całkowita energia W i nie musimy martwić się o to, gdzie (jeśli gdziekolwiek) „znajduje się” energia.
7. ELEKTRODYNAMIKA
352
Czytelnikowi może się wydać dziwne, że na wytworzenie pola magnetycznego po trzebna jest energia — pole magnetyczne jako takie nic wykonuje pracy. Jest tak dlatego, że wytworzenie pola magnetycznego tam, gdzie go uprzednio nie było, wymaga zmiany indukcji pola magnetycznego, ta zaś zmiana zgodnie z prawem Faradaya indukuje pole elektryczne, które może wykonać pracę. Na początku i na końcu nie ma pola elek trycznego, ale w czasie, kiedy zmienia się indukcja magnetyczna, istnieje pole E i to przeciw niemu wykonana jest praca. (Czytelnik teraz rozumie, dlaczego obliczyliśmy energię zmagazynowaną w polu magnetycznym dopiero teraz, a nie w rozdz. 5.) W świetle powyższych faktów jest niezwykłe, jak podobne są wzory określające energię pola magnetycznego do ich elektrostatycznych odpowiedników: Wcl = ^ J ( V p ) ń T = ^ J E2 dr, Wmagn = - J (A • J) dr = — J R2 dr.
((2.43) i( ((7.31) i (7.34))
Przykład 7.13 Przez długi kabel koncentryczny płynie prąd o natężeniu I (prąd płynie w prawo po powierzchni wewnętrznego walca o promieniu a i wraca po powierzchni zewnętrznego walca o promieniu /?, jak pokazuje rys 7.39). Znaleźć energię pola magnetycznego zmagazynowaną na odcinku kabla o długości /.
Rys. 7.39 Rozwiązanie: Zgodnie z prawem Ampere’a indukcja pola magnetycznego w obszarze pomiędzy walcami jest równa B= — Ins W pozostałym obszarze jest ona równa zeru. A zatem gęstość energii jest równa
=
L 2 fi0
\2ti.v
)
^°/2 Sit2.?2
Energia zawarta w walcowej powłoce o długości /, promieniu s i grubości d.v jest równa \ 8tt2s2/
4tt V s /
7.2.
353
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
Całkując od a do /?, otrzym ujem y
Nawiasem mówiąc, powyższy wynik sugeruje bardzo prosty sposób obliczenia współczynnika samoindukcji kabla. Zgodnie z równamiem (7.29), energia może być zapisana jako \ L I 2. Po równując oba wyrażenia11, otrzymujemy
Powyższa metoda obliczania współczynnika samoindukcji jest szczególnie użyteczna, kiedy prąd płynie nie wzdłuż pojedynczej linii, ale rozpływa się po powierzchni lub w przestrzeni. W takim przypadku różne wkłady do całkowitego prądu mogą dawać różne wkłady do stru mienia i może być bardzo trudno znaleźć L bezpośrednio ze wzoru (7.25).
Zadanie 7.26. Znaleźć energię zmagazynowaną we fragmencie (o długości /) długiego solenoidu o promieniu R i n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natę żeniu /; (a) posługując się równaniem (7.29) (i indukcyjnością L obliczoną w zad. 7.22); (b) posługując się równaniem (7.30) (potencjał wektorowy A obliczyliśmy w przykł. 5.12); (c) posługując się równaniem (7.34); (d) posługując się równaniem (7.33) (jako objętość biorąc przestrzeń pomiędzy walcami o promieniach a < R i b > R).
Zadanie 7.27. Obliczyć energię zmagazynowaną w toroidalncj cewce z przykł. 7.11, posługując się równaniem (7.34). Za pomocą otrzymanego wyniku sprawdzić równanie (7.27).
Zadanie 7.28. Przez długi przewodnik o przekroju kołowym równomiernie płynie prąd. Prąd powraca po powierzchni przewodnika (istnieje na niej cienka warstwa izolująca, rozdzielająca oba prądy). Znaleźć współczynnik samoindukcji na jednostkę długości. Zadanie 7.29. Na rysunku 7.40 pokazany jest obwód, który zostanie zamknięty na długi okres w ten sposób, że w chwili t — 0 nagle przełącznik S odcina baterię. (a) Jakie jest natężenie prądu w dowolnej chwili / > 0? (b) Jaka jest całkowita energia, która wydzieli się na oporniku? (c) Pokazać, że jest ona równa energii początkowo zmagazynowanej w cewce.3
Rys. 7.40 l3Zwróćmy uwagę na podobieństwo ze wzorem (7.27) — prostokątna cewka toroidal na jest krótkim koncentrycznym kablem utworzonym przez wewnętrzny i zewnętrzny bok cewki.
354
7. ELEKTRODYNAMIKA
Rys. 7.41
Zadanie 7.30. D wie niewielkie pętle z drutu o polach pow ierzchni ai i a2 znajdują się w od ległości 7?, jedna od drugiej (rys. 7.41). (a) Znaleźć ich indukcyjność wzajem ną. [ W s k a z ó w k a : Potraktować je jako dipole magne tyczne i wykorzystać rów nanie (5.87)]. Czy uzyskany w zór je st zgodny z równaniem (7.23)7 (b) N iech w pętli 1 płynie prąd o natężeniu Chcem y w łączyć w pętli 2 prąd o natężeniu / 2. Jaką pracę trzeba w ykonać przeciw ko wy indukowanym SEM , by podtrzym ać w pętli 1 natężenie prądu /,? W św ietle pow yższego w yniku skom entować rów nanie (6.35).
7.3. Równania Maxwella 7.3.1. Elektrodynamika przed Maxwellem
(ii)
V B = 0
S h
(i)
<
W II
Jak dotąd, poznaliśmy następujące prawa określające dywergencję i rotację pól elek trycznego i magnetycznego: (prawu Gaussa), (bez nazwy).
(iii)
„ 9B V x E = ------
(prawo Faradaya),
(iv)
V x B = jU0J
(prawo A m pere'a).
dt
Równania te obrazują stan teorii elektromagnetyzm u ponad sto lat temu, kiedy Maxwell rozpoczynał swoją pracę. Nie były one zapisywane w tak zwartej postaci jak obecnie, ale ich fizyczna zawartość była podobna. Okazuje się, że powyższe wzory są bardzo niespójne. Wiąże się to z faktem, że dywergencja rotacji zawsze jest równa zeru. Po działajmy operatorem dywergencji na równanie (iii): V . , V x E ) = V . ( - = £ ) = - £ (V-B). Lewa strona tego równania znika tożsamościowo, ponieważ znika zawsze dywergencja rotacji. Prawa strona tego równania znika dzięki równaniu (iii). Jednak, jeśli to samo zrobimy z równaniem (iv), popadniemy w kłopoty: V • (V x B) = /i0(V • J);
(7.35)
355
7.3. RÓWNANIA MAXWELLA
lewa strona powyższego równania musi znikać, podczas gdy prawa w ogólnym przy padku nie znika. Dla prądów stałych dywergencja J znika, jeśli jednak wyjdziemy poza magnetostatykę, prawo Am pere’a przestaje być prawdziwe.
kontur Ampere’a
\J kondensator
bateria Rys. 7.42
Istnieje inny sposób, by zauważyć, że prawo Ampere’a załamuje się w przypadku, gdy prądy nie są stałe. Przypuśćmy, że jesteśmy w trakcie ładowania kondensatora. Prawo Ampóre’a zapisane w formie całkowej ma postać
(j) B • dl = / i 0/ c. Zastosujmy powyższe równanie do zamkniętego konturu pokazanego na rysunku. W jaki sposób określić /c? Jest to całkowite natężenie prądu przepływającego przez kontur, a do kładnie rzecz ujmując, przez powierzchnię rozpiętą na tym konturze. W tym przypadku najprostszą taką powierzchnią jest powierzchnia leżąca w płaszczyźnie pętli; przewod nik przebija tę powierzchnię, a zatem /c = / . Świetnie, ale co będzie, jeśli wybierzemy zamiast niej powierzchnę o kształcie balonu pokazaną na rys. 7.42? Żaden prąd nie przepływa przez tę powierzchnię, tak więc stwierdzamy, że /c = 0! W przypadku magnetostatycznym ten problem nigdy się nie pojawił, ponieważ problem powstaje tylko wtedy, gdy ładunek gdzieś się gromadzi (w tym przypadku na okładkach kondensatora). Jednak dla prądów zmiennych (tak jak w tym przypadku) „prąd przepływający przez kontur" jest źle zdefiniowanym pojęciem , ponieważ zależy on w istotny sposób od tego, jaką powierzchnią rozpiętą na tym konturze się posłużymy. (Jeśli to wydaje się czytel nikowi pedantyczne — „zwykle należy posługiwać się powierzchnią płaską” — niech weźmie pod uwagę, że kontur Am pere’a może być powykrzywiany i nie musi leżeć na płaszczyźnie.) Oczywiście, nie mamy podstaw, by oczekiwać, że prawo Ampere’a jest poprawne także poza magnetostatyką; w końcu wyprowadziliśmy go z prawa Biota Savarta. Jed nakże w czasach Maxwella nie istniały eksperymentalne podstawy, by wątpić w szerokie zastosowanie prawa Am pere’a. Ta wada była czysto teoretyczna i Maxwell usunął ją, posługując się czysto teoretycznymi argumentami.
356
7. ELEKTRODYNAMIKA
7.3.2. Jak Maxwell poprawił prawo Ampere'a Problem tkwi w prawej stronie równania (7.35), która powinna być, a nie jest, równa zeru. Za pomocą równania ciągłości (5.29) i prawa Gaussa psujący sytuację wyraz można przepisać jako:
V -J = -
3p dt
3
- r (*oV B) = -V ot
J
Jeśli powiążemy eo (3E /0f) z gęstością prądu by zlikwidować dodatkową dywergencję:
VX
B
=
/ZoJ +
w prawie Am pere’a, to już wystarczy,
Ho€q
3E
(7.36)
(Maxwell miał także inne powody, by oczekiwać obecności dodatkowego wyrazu w pra wie Am pere’a. Uratowanie równania ciągłości było dla niego szczęśliwym zyskiem, a nie podstawowym celem. Jednak dziś ten argument traktujemy jako daleko bardziej nie odparty niż te, którymi posługiwał się Maxwell, a które opierały się na zdyskredytowanej dziś ju ż teorii eteru.)14 Taka modyfikacja nie zmienia nic w przypadku magneto statycznym: jeśli E jest stałe, nadal V x B = pqJ. Rzeczywiście, wyraz dodany przez Maxwella do prawa Ampere’a jest trudny do wykrycia w zwykłych elektromagnetycznych doświadczeniach, w których, by być zauważonym, musi współzawodniczyć z gęstością prądu J. To dlatego Faraday i inni nigdy nie odkryli tego w laboratorium. Jednak, jak zobaczymy w rozdziale 9, odgrywa on podstawową rolę w propagacji fal elektromagnetycznych. Poza tym, że ratuje i uogólnia on prawo Am pćre’a, dodany przez Maxwella wyraz ma także walor estetyczny: Tak jak zmiana pola magnetycznego indukuje pole elektryczne (prawo Faradaya), tak też
Zmiana pola elektrycznego indukuje pole magnetyczne. Oczywiście wygoda teoretyczna i względy estetyczne nie są rozstrzygające — mogłyby przecież istnieć inne sposoby poprawienia prawa Am pere’a. Prawdziwe potwierdzenie teorii Maxwella nastąpiło w roku 1888, były nim eksperym enty Hertza z falami elek tromagnetycznymi. Maxwell nazwał swój dodatkowy wyraz gęstością prądu przesunięcia: 3E
Jps€o— ot
(7.37)
14Kontekst historyczny tego odkrycia czytelnik znajdzie w artykule: A. M. Bork, Am. J. Phys. 31, 854 (1963).
7.3.
357
RÓWNANIA MAXWELLA
Jest to myląca nazwa, ponieważ €o(3E /dr) nie ma nic wspólnego z prądem poza tym, że dodaje się do gęstości prądu J w prawic Am pere’a. Zobaczmy, w jaki sposób prąd przesunięcia rozwiązuje paradoks ładowanego kondensatora (rys. 7.42). Jeśli okładki kondensatora znajdują się blisko siebie (na rysunku jest inaczej, ale takie założenie bardzo upraszcza rachunki), natężenie pola elektrycznego między nimi ma wartość
r-
1
' Q
E = — (T = — — , *0
*0 ri
gdzie Q jest ładunkiem zgromadzonym na okładce, a A jej polem powierzchni. Tak więc pomiędzy okładkami kondensatora
3E _ dt
1 dQ _ 1 eoA d t t<)A
Równanie (7.36) zapisane w całkowej formie przybiera postać
J
^
• da
(7.38)
Jeśli wybierzemy płaską powierzchnię, to E = 0 i lc = / . Jeśli jednak wybierzemy powierzchnię o kształcie balonika, to /c = 0, jednak f (3 E /3 1) • da = / / e 0. Tak więc otrzymujemy ten sam wynik dla każdej z powierzchni, w pierwszym przypadku pochodzi on od autentycznego prądu, w drugim od prądu przesunięcia.
Zadanie 7.31. Przez gruby przewodnik o promieniu a płynie równomiernie prąd stały o natę żeniu /. Wąska przerwa w przewodniku o szerokości w <£ a tworzy kondensator płaski, tak jak to pokazuje rys. 7.43. Znaleźć pole magnetyczne w przerwie, w odległości s < a od osi.
Zadanie 7.32. Poprzedni model był sztucznym modelem ładowania kondensatora, skonstruowa nym tak, by uniknąć komplikacji związanych z rozkładem prądu na powierzchni okładek. W bar dziej realistycznym modelu rozważmy cienki przewodnik połączony elektrycznie ze środkami okładek (rys. 7.44a). Niech i tym razem natężenie prądu / będzie stałe, promień przewodnika
358
/ . t L t K I K O D Y N A M IK A
I
/
I
I
iv
a) Rys. 7.44 równy a, odległość między okładkami w <$C a. Załóżmy, że prąd płynie po okładkach w taki sposób, że ładunek rozłożony jest na nich równomiernie w każdej chwili, a w t — 0 jest równy zeru. (a) Znaleźć zależność natężenia pola elektrycznego pomiędzy okładkami od czasu. (b) Znaleźć prąd przesunięcia przez okrąg o promieniu s znajdujący się na płaszczyźnie położonej w środku pomiędzy okładkami. Używając tego okręgu jako „konturu Ampere’a” oraz rozpiętej na nim płaskiej powierzchni, znaleźć indukcję pola magnetycznego w odległości .v od osi symetrii. (c) Powtórzyć punkt (b), tym razem posługując się walcową powierzchnią z rys. 7.44b, rozciągającą się w lewo i kończącą się poza kondensatorem. Zauważyć, że prąd przesunięcia przez tę powierzchnię jest równy zeru i że istnieją dwa wkłady do 7C15.
Zadanie 7.33. Wróćmy do zad. 7.16, w którym poprawną odpowiedzią jest
(a) Znaleźć gęstość prądu przesunięcia J p. (b) vScałkować ją, znajdując całkowity prąd przesunięcia
(c) Porównać /p z / . (Jaki jest ich iloraz?) Jeśli zewnętrzny cylinder ma up. 2 rnm średnicy, jak duża musi być częstość, żeby lv stanowiło 1 procent /? [Zadanie to pomaga zrozumieć, dlaczego Faraday nigdy nie odkrył prądów przesunięcia i dlaczego zwykle można je zaniedbać, o ile częstość nie jest bardzo wysoka.]
15Zadanie to rodzi interesujące, #mv/-filozoficzne pytanie: czy mierząc indukcję magnetyczną B w laboratorium, wykrywamy efekty wynikające z istnienia prądu przesunięcia (jak zdaje się sugerować p u n k i ( b ) ) , c /.y j e d y n i e p o t w i e r d z a m y e f e k l y
pochodzące od
Patrz D. F. Bartlett, Am. ./. Phys., 58, 1168 (1990).
z w y k ły c h p rą d ó w
( ja k
to z a k ł a d a p u n k t (c ))?
7 .3 .
3 59
R Ó W N A N IA M A X W E L L A
7.3.3. Równania Maxwella W poprzedniej części ostatecznie sformułowaliśmy równania Maxwella:
(i) (ii)
V •E
=
— *0
V •B
=
0
„
(iii) (iv)
,,
V x E
=
V
=
X
B
(prawo Gaussa),
p
(bez nazwy),
3B ---------r)t
floJ
+
(prawo Faradaya),
aE ot
MOCO”T
(prawo A m pere'a z poprawką Maxwella).
Wraz z wyrażeniem określającym siłę Lorentza F = ?(E + v x B )
(7/10)
zawierają one całą klasyczną elektrodynam ikę16 (opis pewnych szczególnych własności substancji, o których mówimy w rozdz. 4 i 6). Nawet równanie ciągłości, V • J = —— ,
(7.41)
ót
które wyraża zasadę zachowania ładunku, można wyprowadzić z równań Maxwella, działając operacją dyweigencji na lównanie (iv). Zapisaliśmy równania Maxwella w tradycyjny sposób, który podkreśla, że wyrażają one dywergencję i rotację pól E i B. Ta postać podkreśla fakt, że pole elektryczne jest wytwarzane zarówno przez ładunki (/>), jak i przez zmiany pola magnetycznego 3B/3ty i podobnie, pole magnetyczne jest wytwarzane zarówno przez prądy ( J \ jak i przez zmiany pola elektrycznego 3 E /3 /. Jest to jednak nieco mylące, ponieważ 9E jd t i 3B/3f, jako takie , pochodzą od ładunków i prądów. Z logicznego punktu widzenia lepszy jest zapis ^ 1 ... ^ 3B ^ (i) V E = - p , (iii) V x E + — = 0. <>t
e°
(ii)
V ■B = 0,
(iv)
^
(
7 . 42)
V x B - / x 0e0—- = fi0J,
Ot
w którym pola (E i B) znajdują się po lewej stronie, źródła zaś (p i J ) po prawej. Powyższy zapis podkreśla, żc pola elektromagnetyczne są wyznaczane przez ładunki i prądy. Równania Maxwella mówią, jak ładunki wyznaczają pola; wzór określający siłę Lorentza mówi coś odwrotnego — jak pola wpływają na ruch ładunków. l6Podobnie jak każde równanie różniczkowe, równania Maxwella muszą być uzupełnione odpowied nimi warunkami brzegowymi. Ponieważ zazwyczaj wynikają one z kontekstu problemu (np. E i B dążą do zera daleko od zlokalizowanych rozkładów ładunku), łatwo czasem zapomnieć, że i one grają ważną rolę.
360
7. ELEKTRODYNAMIKA
Zadanie 7.34. Niech E ( r , / ) - - - -----% ( - r ) f; 4tc60 r2
B(r./)-0
(funkcja schodkowa 0 została zdefiniowana w zad. 1.45b). Pokazać, że pola te spełniają równania Maxwella i wyznaczyć gęstości p i J. Opisać fizyczną sytuację, w której pojawiają się takie pola.
7.3.4. Ładunek magnetyczny Równania Maxwella mają miłą symetrię; jest ona szczególnie uderzająca w pustej prze strzeni, gdzie nic ma ładunków i prądów: V • E = 0,
V x E = —— ,
V • B = 0,
V x
dt
B=
dE
jU0^o— •
Jeśli zastąpimy natężenie pola elektrycznego E indukcją magnetyczną B oraz B przez -//o ^o E , pierwsza para równali przechodzi w drugą i vice versa. Ta sym etria17 pomiędzy polami E i B jest nadwyrężona obecnością wyrazu zawierającego gęstość ładunku w pra wie Gaussa i wyrazu zawierającego gęstość prądu w prawie A m pere'a. Czytelnik może być zdziwiony faktem, że brak jest analogicznych wielkości w równaniach V • R = 0
9B
i V x E = ------- . Gdyby takie wielkości istniały, równania Maxwella przybierałyby postać
dt
(i)
V ♦E = —pe,
(iii)
V x E = -M o Jm
3/ 1
ćo
(ii)
3B
V • B = /z()pm,
v
(iv)
X B = P o Je + /Z()6()
(7.43)
dt
Wielkość p m oznacza gęstość „ładunku” magnetycznego, a pc gęstość ładunku elektrycz nego; J m oznaczałoby gęstość prądu magnetycznego, J e gęstość prądu elektrycznego. Oba rodzaje ładunków spełniałyby prawo zachowania: V J m= - ^
dt
i
V .J6= - ^ .
dt
(7.44)
Pierwsze otrzymujemy, działając operatorem dywergencji na równanie (iii), drugie — na równanie (iv). l7Nic dajmy wyprowadzić się z rówmowagi stałymi fxo i e'oi występują one w równaniach jedynie dlatego, że w układzie jednostek SI pola E i B mierzone są w różnych jednostkach. Gdybyśmy używali np. układu jednostek Gaussa, stałe te nie pojawiłyby się w ogóle.
7.3. RÓWNANIA MAXWELL*
361
Równania Maxwella aż się proszą o istnienie ładunku magnetycznego — tak by to ładnie wyglądało. Jednak jak dotąd, mimo usilnych poszukiwań, nie stwierdzono istnie nia żadnych ładunków magnetycznych.18 Zgodnie z naszą wiedzą pm wszędzie znika, podobnie Jm; B nic jest na równej stopie z E; istnieją statyczne źródła E (ładunki elek tryczne), ale nie istnieją statyczne źródła B. (Odzwierciedla się to w fakcie, że rozwinię cie w magnetyczne multipole nie zawiera wyrazu opisującego monopol, a magnetyczne dipole odpowiadają zamkniętym obwodom z prądem, nie zaś parom oddzielnych „bie gunów", północnych i południowych.) Najwyraźniej Bóg nie stworzył żadnego ładunku magnetycznego. (Nawiasem mówiąc w kwantowej teorii elektromagnetyzmu nieistnie nie monopolu magnetycznego jest czymś więcej niż tylko brakiem estetycznym: Dirac udowodnił, że istnienie ładunków magnetycznych tłumaczyłoby, dlaczego elektryczne ładunki są skwantowane. Patrz zad. 8.12.)
Zadanie 7.35. Zakładając, że „prawo Coulomba” dla ładunków magnetycznych (qm) ma postać Mo f/tmffrwł
47t
(7.45)
n 2
znaleźć siłę działającą na monopol qm poruszający się z prędkością v w polach elektrycznym i magnetycznym E i B. [Interesujący komentarz znajdzie czytelnik w artykule: W. Rindler, Am. J. Phys. 57, 993 (1989)1 Zadanie 7.36. Niech ładunek magnetyczny przechodzi przez pętlę o samoindukcji L wykonanej z przewodnika pozbawionego oporu. Jakie jest natężenie prądu indukującego się w obwodzie? [Jest to jedna z metod doświadczalnego poszukiwania monopoli; patrz 13. Cabrera, Phys. Rev. Lett.. 48, 1378 (1982).]
7.3.5. Równania Maxwella w materii Równania Maxwella zapisane w postaci (7.39) są kompletne i poprawne. Jednak kiedy mamy do czynienia z substancjami, które elektrycznie i magnetycznie polaryzują się, istnieje wygodniejszy sposób ich zapisu. W spolaryzowanej materii istnieją „związane” ładunki i płyną „związane” prądy, nad którymi nie mamy bezpośredniej kontroli. Wygod nie jest przeformułować równania Maxwella w taki sposób, by można było posługiwać się tylko tymi wielkościami, które kontrolujemy bezpośrednio: „swobodnymi” ładunkami i prądami. Wiemy już, że w przypadku elektrostatycznym wektor polaryzacji elektrycznej P wyznacza gęstość ładunku związanego
Pzw = - V
P
(7.46)
(równanie (4.12)). Podobnie polaryzacja magnetyczna (czyli magnetyzacja) M wyznacza prądy związane J/w = V x M (7.47) 18Wyczerpującą bibliografię można znaleźć w artykule: A. S. Goldhabcr i W. P. Trowcr, Am. J. Phys. 58.429 (1990).
362
7. ELEKTRODYNAMIKA
(równanie (6.13)). Jest tyłku jedna własność, którą należy rozpatrzeć w mcstatycznym przypadku; jakakolwiek z m i a n a polaryzacji elektrycznej powoduje przepływ (związa nego) ładunku (nazwijmy go Jp), który musi być uwzględniony w całkowitym prądzie. Rozważmy mały fragment spolaryzowanej substancji (rys. 7.45). Polaryzacja powoduje pojawienie się ładunku o gęstości powierzchniowej = P na jednym końcu i - n 7AV na drugim (równanie (4.11)). Jeśli teraz polaryzacja P odrobinę wzrośnie , razem z nią wzrosną gęstości ładunku na obu końcach, wywołując prąd o natężeniu d/
dcrzw
— 3
t
3P
= — d « i.
d t
Tak więc gęstość prądu jest równa
(7.48)
7.W
-Oy Rys. 7.45
Prąd polaryzacji nie ma nic wspólnego z prądem związanym o gęstości Jzw. Ten ostatni pochodzi od magnetyzacji substancji i bierze się ze spinu i ruchu orbitalnego elektronów; Jp przeciwnie, jest konsekwencją liniowego ruchu ładunków, kiedy zmienia się polaryzacja elektryczna. Jeśli wektor polaryzacji elektrycznej P skierowany jest na prawo i jego wartość rośnie, to każdy dodatni ładunek przem ieszcza się nieco w prawo, a każdy ujemny w lewo; na skutek tego powstaje prąd polaryzacji o gęstości Jp. Powin niśmy teraz sprawdzić, czy równanie (7.48) jest zgodne z równaniem ciągłości: V-Jp
= _ (V . P , = -
3Pzw
3/
Tak, równanie ciągłości jest spełnione, rzeczywiście prąd o gęstości Jp jest niezbędny do zachowania ładunku związanego. (Natomiast zmiana magnetyzacji nie wywołuje analo gicznego gromadzenia się ładunku lub prądu, gęstość prądu J7W= V x M zmienia się wraz z M i to wszystko.) Wobec powyższych faktów całkowita gęstość ładunku może być podzielona na dwie części: P = Psw + Pzw = Psw - V ■P,
(7.49)
a gęstość prądu na trzy części:
3P J = Jsw + Jzw + J p = Jsw + ^ x M +
37*
(7.50)
7.3. RÓWNANIA MAXWELLA
363
Prawo G a u ssa m o ż em y p rz e p isa ć te ra z w p o sla ei 1
V ■E - — (psw - V • P) lub V D = psw,
(7.51)
przy czym wektor indukcji elektrycznej D, tak jak w przypadku elektrostatycznym jest zdefiniowany jako D =
(7.52)
Jednocześnie prawo Ampere’a (wraz z wyrazem dodanym przez Maxwella) przybiera postać
„
dP \
ÓE
V x B — /i-o ( Jsw + V x M + — ■ 1 4- Mo^o ~
3/
lub
ÓD
V x H = J sw + — ,
(7.53)
H = — B-M . Mo
(7.54)
ót
gdzie, tak jak poprzednio.
Ponieważ w prawie Faradaya i równaniu V • B = 0 nie występują p ani J, nie ulegają one zmianie na skutek podziału ładunków i prądów na części swobodną i związaną. W języku swobodnych ładunków i prądów równania Maxwella przybierają postać
(i)
V D = psw,
(iii)
V xK = - ^ , nt
(ii)
V • B = 0,
(iv)
V x H = J sw +
ÓD
(7.55)
~ót'
Niektórzy uważają je za „prawdziwe" równania Maxwella, proszę jednak zrozumieć, że nie są one w żaden sposób bardziej „ogólne" niż równania (7.39); są one jedynie odzwierciedleniem wygodnego podziału ładunków i prądów na część swobodną i zwią zaną. Ich wadą jest notacja, ponieważ zawierają dwie pary pól: E i D oraz B i H. Muszą zostać uzupełnione przez odpowiednie równania materiałowe pozwalające wyznaczyć D i H za pomocą E i B. Zależą one od własności substancji; dla ośrodka liniowego M = x mH,
P = eoXcE
(7.56)
tak więc D = *E
i
H = -B .
(7.57)
364
7.
E L E K T R O D Y N A M IK A
gdzie e = 6U( 1+ X e) i M — Mo( 1+ X m )- Indukcja elektryczna nosi również nazwę “przesu nięcia” elektrycznego; to właśnie dlatego drugi wyraz w równaniu Am pcrc’a/Maxwella można nazwać prądem przesunięcia, uogólniając równanie (7.37): 3D
JP= — • F
dr
(7.58)
Zadanie 7.37. Względna przenikalność elektryczna wody morskiej przy częstości v = 4 • 108 Hz jest równa e = 81e0, przenikalność magnetyczna /z = /zn i opór właściwy p = 0,23 £2 • m. Jaki jest stosunek wielkości prądu przewodnictwa do prądu przesunięcia? [Wskazówka: Rozważyć kondensator płaski wypełniony wodą morską z napięciem Vocos(2:ivr) przyłożonym do okładek.
7.3.6. Warunki brzegowe (graniczne) W ogólnym przypadku pola E, B, D i H są nieciągłe na granicy dwóch ośrodków lub na powierzchni, na której istnieją ładunki powierzchniowe o gęstości o lub prądy powierzchniowe o gęstości K. Jawna postać tej nieciągłości może być wyprowadzona z równań Maxwella (7.55) zapisanych w postaci całkowej (i) (j)
D da = QSW c
5
i
po dowolnej zamkniętej powierzchni S ,
(ii)
(iii)
ł f
d
dr J
V
(iv)
v
t
E dl = ----- B da po dowolnej powierzchni ć>,
S
d f dr J
H • dl = /sw + — / D da
‘ c
której brzegiem jest zamknięta krzywa V.
s
Stosując równanie (i) do infinitezymalnie cienkiej powierzchni Gaussa obejmującej obie strony powierzchni ć>, otrzymujemy (patrz rys. 7.46): Di
a — D 2 a = crswa.
(Dodatni kierunek dla a wybieramy od 2 do 1. Pozostałe boki powierzchni Gaussa nie dają żadnego wkładu w granicy grubości dążącej do zera, podobnie jak objętościowa gę stość ładunku.) Tak więc prostopadła do powierzchni składowa D jest nieciągła i spełnia równanie D l - D l =
(7.59)
3G5
7.3. RÓWNANIA MAXWELLA
Kys. 7.46
Rozumując w ten sam sposób, otrzymujemy z równania (ii)
B \L - B £ = 0.
(7.60)
Z równania (iii) zastosowanego do infinitezymalnie cienkiego konturu Am pere'a obej mującego powierzchnię S (rys. 7.47) mamy d f E , 1 - E 2 I = - ^ / B da. 5
W granicy nieskończenie cienkiej pętli strumień znika. (Z tych samych powodów zanie dbaliśmy także wkłady od obu końców do § E • dl.) Tak więc
E 1,1 - E " = 0.
(7.61)
366
7. ELEKTRODYNAMIKA
Zatem składowa styczna pola E do powierzchni jest ciągła. W ten sam sposób z równania (iv) wnioskujemy, że H , l - H 2 l = / SWcł przy czym 7SWc jest całkowitym prądem swobodnym przepływającym przez kontur Amperc’a. Objętościowe prądy w granicy nieskończenie cienkiego konturu nie dadzą wkładu do prawej strony powyższego równania, ale prądy powierzchniowe mogą taki wkład da wać. Jeśli przez ń oznaczymy jednostkowy wektor prostopadły do powierzchni (skie rowany od 2 do 1), tak że ń x 1 jest wektorem prostopadłym do konturu Ampere'a, to ^swt = KSw■(ń x 1) = (Ksw x n) • I i stąd (7.62)
H 1,1— Ho = K sw x ń.
A zatem równoległa do powierzchni składowa natężenia pola magnetycznego H jest nie ciągła, a jej skok jest proporcjonalny do gęstości swobodnego prądu powierzchniowego. Równania (7.59)-(7.62) określają ogólne warunki brzegowe w elektrodynamice. W przypadku ośrodka liniowego można wyrazić je wyłącznie w języku pól E i B: (i) c i E t - c 2E £ = < r„ , ■
(ii) E 1,1 - E'J = 0, 1
(iii) B ł - B^r = 0,
,
1
,
(iv) — B ----------B = K w x ń . Ml
'■
(7.63)
M2
W szczególności, jeśli na granicy ośrodków nie ma swobodnych ładunków ani prądów, to (i)
6 \ E l - e 2E f - 0 ,
(ii)
Bj-
-
Bj-
= 0,
(iii)
E 1,1 - E'j = 0 ,
(*v)
— b 1; Ml
— bJ) M2 '
o.
(7.64)
Jak zobaczymy w rozdziale 9, powyższe równania są podstawą teorii odbicia i załamania.
Zadania dodatkowe do rozdziału 7 Zadanie 7.38. Dwie bardzo duże metalowe płyty znajdują się w odległości d od siebie; jedna z nich ma potencjał zerowy, a druga równy V0 (rys. 7.48). Metalową sferę o promieniu o (a <£ d) przecięto na pół i jedną z półsfer umieszczono na uziemionej płaszczyźnie, tak więc jej potencjał jest równy zeru. Jaki prąd płynie do półsfery, jeśli przestrzeli pomiędzy płytami wypełniona jest ośrodkiem słabo przewodzącym, o stałej przewodności właściwej
3G7
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 7
V=Vq
1 1
(i
1 1
a ✓ —\ V= 0 Rys. 7.48
W Id 1----- ---------------------- ( Rys. 7.49
-Vo. Przestrzeń otaczająca rury jest wypełniona słabo przewodzącym ośrodkiem o przewodno ści właściwej o. Znaleźć natężenie prądu na jednostkę długości, płynącego pomiędzy rurami. [Wskazówka: Rozwiązać zad. 3.11].
Zadanie 7.40. Często spotykane w podręcznikach zadanie polega na znalezieniu oporu elek trycznego ciała o kształcie stożka ściętego, o oporze właściwym p, długości L i promieniu a na jednym oraz b na drugim końcu (rys. 7.50). Oba końce są płaskie i mają stałe potencjały. Sugerowane rozwiązanie polega na pocięciu stożka na koliste plasterki o grubości dz, obliczeniu oporu jednego plasterka, a następnie scałkowaniu, by otrzymać opór całkowity.
(a) Obliczyć R w ten sposób. (b) Wyjaśnić, dlaczego jest to zła metoda [patrz J. D. Romano i R. H. Price, Am. J. Phys. 64,1150 (1996).] (c) Przypuśćmy, że końce są powierzchniami sferycznymi o wspólnym środku znajdującym się na czubku stożka. Obliczyć opór w tym przypadku. (Niech L będzie odległością pomiędzy środkami obwodów sferycznych czapek) [Odpowiedź', (p/2nab)(b—a)2/ (y/L2 + (b —a)2—L).\ ! Zadanie 7.41. Rzadki przypadek, w którym natężenie pola elektrostatycznego E w obwo dzie elektrycznym można obliczyć w następujący sposób [M. A. Hcald, Am. J. Phys. 52, 522 (1984)]: wyobraźmy sobie nieskończenie długą, walcową powłokę o stałym oporze właściwym i promieniu a. Krawędzie szczeliny w 0 = ± T t mają potencjały ±V„/2 i stały prąd płynie po powierzchni, jak pokazuje rys. 7.51. Zgodnie z prawem Ohma V0ó V (a . 0 ) = — 2 tt
(-71 < 0 < +71).
368
7. ELEKTRODYNAMIKA
(a) Metodą rozdzielenia zmiennych we współrzędnych walcowych znaleźć potencjał
V (.v,0) wewnątrz i na zewnątrz walca. [Odpowiedź'. (Vq/ tz) arctg[(ssin0)/(zr + scos0)] dla .v < a; (Vo/Tr)arctg[(flsin0)/(s +aco$(p)\ dla s > a.\ (b) Znaleźć powierzchniową gęstość ładunku walca. [Odpowiedź: (ćqV0/ tzci) tg(0/2).]
Zadanie 7.42. W doskonałym przewodniku przewodność jest nieskończona, a zatem natężenie pola elektrycznego E — 0 (równanie (7.3)) i żaden niezrównoważony ładunek nie znajduje się na powierzchni ( dokładnie tak samo, jak w przypadku medoskonałego przewodnika w elekirostatyce). (a) Pokazać, że indukcja pola magnetycznego jest stała
(d B jdt =
0) wewnątrz doskonałego
przewodnika.
(b) Pokazać, że strumień magnetyczny przez zamkniętą, doskonale przewodzącą pętlę jest stały. Nadprzewodnik jest to doskonały przewodnik o dodatkow ej własności polegającej na tym, że (stała) indukcja magnetyczna B wewnątrz nadprzewodnika jest równa zeru. (To „wypychanie’ strumienia znane jest jako zjawisko Meissnera.19) (c) Pokazać, że prąd w nadprzewodniku płynie jedynie po powierzchni. (d) Nadprzewodnictwo znika powyżej pewnej temperatury krytycznej (7kryt), której wartość zależy od materiału nadprzewodnika. Przypuśćmy, że mamy nadprzewodzącą kulę (o promieniu a) w temperaturze wyższej od temperatury krytycznej, w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B0z, i oziębiamy ją poniżej temperatury krytycznej. Znaleźć gęstość indukowanego prądu powierzchniowego K jako funkcję kąta biegunowego 0.
Zadanie 7.43. Znanym pokazem nadprzewodnictwa (zad. 7.42) jest lewitacja magnesu ponad próbką nadprzewodzącej substancji. Zjawisko to można przeanalizować, posługując się metodą obrazów.20 Potraktujmy magnes jako doskonały dipol magnetyczny o momencie m, umieszczony na wysokości z > 0, na który nałożono więzy uniemożliwiające mu orientację inną niż wzdłuż osi z. Nadprzewodnik niech zajmuje półprzestrzeń z < 0. Ze względu na zjawisko Meissnera indukcja magnetyczna B = 0 dla z < 0, a ponieważ pole magnetyczne jest bezźródłowe ,9Zjawisko Meissnera czasami nazywane jest „doskonałym diamagnetyzmem”, w tym sensie, że pole wewnątrz ośrodka jest nic tylko zredukowane, ale całkowicie zniesione. Jednak odpowiedzialne za to prądy powierzchniowe są prądami swobodnymi, a nie prądami związanymi, tak więc mechanizm jest całkiem inny. 20W. M. Saslow, Am. J. Phys. 59, 16 (1991).
369
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 7
i składowa indukcji magnetycznej prostopadła do powierzchni granicznej (z-owa składowa) jest ciągła, wynika stąd, że R. = 0 niż nad powierzchnią graniczną. Ten warunek brzegowy można spełnić, umieszczając identyczny dipol w położeniu —z zamiast nadprzewodnika; w obu sytuacjach w obszarze z > 0 pole magnetyczne jest takie samo. (a) Jak powinien być skierowany dipol obrazowy (w kierunku dodatnim czy w kierunku ujemnym osi z )? (b) Znaleźć siłę działającą na magnes, pochodzącą od prądów indukowanych w nadprze wodniku (jest ona równa sile, jaką na dipol działa dipol obrazowy). Porównajmy ją z Mg (gdzie M jest masą magnesu), by określić, na jakiej wysokości magnes będzie się „unosił". [Wskazówka : Rozwiązać zad. 6.3.] (c) Prąd indukowany na płaszczyźnie nadprzewodnika (na powierzchni xy) można wy znaczyć za pomocą warunku brzegowego, jaki musi spełniać styczna składowa B (równanie (5.74)): B = /z0(K x ż). Posługując się polem znalezionym metodą obrazów, pokazać, że 3 mrh 2tc ( r 2 + h2)5''2
K = --
gdzie r jest odległością od początku układu współrzędnych.
! Zadanie 7.44. Jeśli dipol magnetyczny lewitujący nad nieskończoną, nadprzewodzącą po wierzchnią może się obracać (zad. 7.43), to jaką orientację przyjmie i na jakiej wysokości będzie się unosił?
Zadanie 7.45. Doskonale przewodząca sfera o promieniu a obraca się wokół osi z z prędkością kątową co, w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = B0z. Obliczyć SEM, jaka powstaje pomiędzy „północnym biegunem" sfery a jej równikiem. [O d p o w ie d ź : ^ R 0coa2.] ! Zadanie 7.46. Rozwiązać zad. 7.11 (i posłużyć się wynikami zad. 5.40, jeśli to może pomóc): (a) Czy kwadratowa ramka spada szybciej, gdy jest zorientowana w sposób pokazany na rys. 7.19, czy gdy zostanie obrócona o 45° wokół osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku? Znaleźć stosunek obu końcowych prędkości. Jeśli pozwolimy jej spadać, którą z orientacji ramka wybierze? [Odpowiedź: {V'2 — 2 y //)2, gdzie / jest długością boku, a y jest wysokością środka kwadratu ponad krawędzią obszaru, w którym istnieje pole magnetyczne, w przypadku gdy ramka jest obrócona. | (b) Jak długo będzie spadał kołowy pierścień, zanim przetnie dolną krawędź obszaru pola magnetycznego, osiągnąwszy swoją prędkość końcową?
Zadanie 7.47 (a) Posłużyć się analogią pomiędzy prawem Faradaya i prawem Ampere’a, by wykazać, że indukowane pole elektryczne można zapisać w postaci:
E(r, t) ~
i a r B(r\ t ) x n 4ń d t j ~TL2
(7.65)
(b) Wykorzystując zad. 5.50a, pokazać, że E=
ót
.
(7.66)
gdzie A jest potencjałem wektorowym. Sprawdzić powyższy wynik, obliczając rotację i dywer gencję obu stron tego równania. (c) Sfera o promieniu R naładowana jest jednorodnie z gęstością powierzchniową o. Sfera wiruje wokół ustalonej osi z prędkością kątową co(t), która powoli zmienia się w czasie. Znaleźć pole elektryczne w środku i na zewnątrz sfery. [Wskazówka: Istnieją tu dwa wkłady do pola
370
7. ELEKTRODYNAMIKA
elektrycznego: pole Coulomba ładunku powierzchniowego i indukowane pole Faradaya wywo łane zmianą indukcji magnetycznej B. Patrz przykład 5 .11; wykorzystać równanie (7.66).]
Zadanie 7.48. Elektrony poruszające się ruchem cyklotronowym mogą hyc przyspieszane po przez zwiększenie indukcji magnetycznej; powstające pole elektryczne przyspiesza je stycznie do toru. Jest to zasada działania betatronu. Chcielibyśmy, hy w trakcie tego procesu promień orbity elektronów nie zmieniał się. Pokazać, że można to osiągnąć, projektując taki magnes, że średnie pole poza orbitą jest dwukrotnie większe niż na obwodzie orbity (rys. 7.52). Załóżmy, że elektrony startują ze stanu spoczynku w zerowym polu i urządzenie jest symetryczne względem środka orbity. (Zakładamy także, że prędkość elektronów pozostaje dużo mniejsza od prędko ści światła, tak że do opisu ich ruchu stosuje się mechanikę nierelatywistyczną.) [Wskazówka: Zróżniczkować równanie (5.3) względem czasu — posłużyć się równaniem F = ma =
B
A
Rys. 7.53
Zadanie 7.49. Elektron w atomie (ładunek q) krąży wokół jądra (ładunek Q) po orbicie o pro mieniu r; przyspieszenie dośrodkowe jest w tym przypadku wywołane kulombowskim przycią ganiem się ładunków o przeciwnych znakach. Powoli włączamy niewielkie pole magnetyczne dfi. prostopadłe do płaszczyzny orbity. Pokazać, że przyrost energii kinetycznej d T wywołany przez indukowane pole elektryczne jest dokładnie taki, by podtrzymać ruch po okręgu o tym samym promieniu r. (To dlatego mówiąc o diamagnetyzmie, założyliśmy, że promień orbity jest stały. Patrz podrozdz. 6.13 i cytowane w nim odnośniki.) Zadanie 7.50. Natężenie prądu w długim solenoidzie rośnie liniowo w czasie tak, że strumień magnetyczny jest proporcjonalny do f: d> = at. Dwa woltomierze podłączono do punktów obwodu A i B wraz z opornikami (/?, i R2), jak pokazuje rys. 7.53. Jaki jest odczyt każdego z woltomierzy? Założyć, że woltomierze są idealne, tzn. płynące przez nie prądy s można b
zaniedbać (mają ogromne opory wewnętrzne), i że woltomierze rejestrują f E • dl pomiędzy
a
zaciskami, przez miernik | Odpowiedź: V, — ccR\/(R\ + /?2); V2 = —tr R2/(R\ + R2). Zauważmy, że V\ ^ V2, mimo że oba woltomierze są połączone z tymi samymi punktami! Patrz R. H. Romer, Am. J. Phys. 50, 1089 (1982).]
Zadanie 7.51. Podczas dyskusji na temat SEM indukującej się w przewodniku poruszającym się w polu magnetycznym (paragraf 7.1.3) założyliśmy, że przewodząca pętla (rys. 7.10) ma opór R, prąd, jaki się indukuje, ma zatem natężenie / = vB h/R . Co by się działo, jeśli pętla wykonana by była z doskonale przewodzącego materiału, czyli R byłby równy zerul W tym przypadku prąd jest ograniczony jedynie przez wsteczną SEM. związaną ze współczynnikiem samoindukcji L pętli (który byłby zwykle możliwy do zaniedbania w porównaniu z IR). Pokazać, że w tej
371
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 7
sytuacji pętla (o masie m) w ykonuje drgania harm oniczne i znaleźć ich częstość.21 [Odpowiedź
co = Bhf >JmL.]
Zadanie 7.52 (a) Posłużyć się wzorem Neumanna (równanie (7.22)) do obliczenia indukcyjności wza jemnej układu pokazanego na rys. 7.36, przyjmując, że a jest bardzo małe (a <ŚC by b <£ z). Porównać wynik z rozwiązaniem zad. 7.20. (b) Pokazać, że w ogólnym przypadku (bez założenia, że a jest małe)
gdzie Z
ab 1 + a2 + b1*
Zadanie 7.53. Dwie cewki nawinięte są na rdzeniu o kształcie walca w taki sposób, że ten sam strumień m agnetyczny przenika przez wszystkie zw oje obu cewek. (W praktyce uzyskuje się to za pomocą żelaznego rdzenia, który skupia w sobie strumień.) „Pierwotna” cewka zawiera N\ zwojów, cewka wtórna N2 zwojów (rys. 7.54). Pokazać, że jeśli prąd płynący w uzwojeniu piewotnym zmienia się, to SEM indukowana w uzwojeniu wtórnym jest dana równaniem
£2 _ N2
(7.67)
~N\'
w którym £, jest (wsteczną) SEM w uzwojeniu pierwotnym. [Jest to prymitywny transfor mator — urządzenie służące do podwyższania lub obniżania SEM źródła prądu zmiennego. Wybierając odpowiednie liczby zwojów, możemy otrzymać właściwą wartość SEM w uzwojeniu wtórnym. Czytelnikowi, któremu wydaje się, że łamie to zasadę zachowania energii, polecamy rozwiązanie zad. 7.54.J
Rys. 7.54
Zadanie 7.54. Transformator (zad. 7.53) ma na wejściu napięcie zmienne o amplitudzie a na wyjściu daje napięcie o amplitudzie V2, która jest określona stosunkiem liczby zwojów w 21Zbiór podobnych problemów można znaleźć w artykułach: W. M. Saslow, Am. J. Phys. 55, 086 (1987); R. H. Romer, Eur. ./. Phys. 11, 103 (1990).
7. ELEKTRODYNAMIKA
372
uzwojeniach wtórnym i pierwotnym (V2/ V\ = N2/N 1). Jeśli N2 > jVj, lo napięcie wyjściowe jest większe od napięcia wejściowego Dlaczego nie jest to sprzeczne z zasadą zachowania energii? Odpowiedź: Moc jest iloczynem napięcia i natężenia prądu; oczywiście jeśli napięcie wzrasta, natężenie prądu musi zmaleć. Celem tego zadania jest dokładne zrozumienie, jak to się dzieje na pudslawie uproszczonego modelu. (a) W idealnym transformatorze ten sam strumień przenika przez wszystkie zwoje uzwojeń pierwotnego i wtórnego. Udowodnić, że w tym przypadku M 1 = L ,L 2» przy czym M jest indukcyjnością wzajemną uzwojeń, L, i L2 zaś ich indukcyjnościami własnymi. (b) Niech napięcie na uzwojeniu pierwotnym będzie równe Vwc = V\ cos(cot), a uzwojenie wtórne będzie połączone w obwód z opornikiem o oporze R. Pokazać, że prądy w uzwojeniach spełniają równania
dr
dr
(c) Posługując się wynikiem z punktu (a), rozwiązać równania na /| (/) i f2(t). (Przyjąć, że /i nie ma składowej stałej.) (d) Pokazać, że stosunek napięcia na wyjściu (Vwy = I2R) do napięcia na wejściu (Vw) jest równy stosunkowi liczby zwojów: Vwy/ Vwe = N2/ N,. (e) Obliczyć moc wejściową (Pwc = Vwc/,) i moc wyjściową (Pwy = V*yh ) i pokazać, że ich wartości średnie po całym cyklu są takie same. Z a d a n ie 7.55. Niech gęstość prądu J ( r ) będzie stała w czasie, ale p ( v %t) nie będzie stałe — warunki, które mogą panować na przykład podczas ładowania kondensatora. (a) Pokazać, że gęstość ładunku w ustalonym punkcie jest liniową funkcją czasu
p( r, r) = p( r, 0) + p(r, 0)r. przy czym p ( r , 0) oznacza pochodną p po czasie w chwili t = 0. To nie je s t przypadek elektro statyczny ani magnetostatyczny;22 chociaż — dość zaskakująco — zarówno prawo Coulomba (w postaci danej równaniem (2.8)), jak i prawo Biota-Savarta (równanie (5.39)) są spełnione, co można sprawdzić, pokazując, że spełniają one równania Maxwella. W szczególności: (b) Pokazać, że
spełnia prawo Ampere’a uzupełnione maxwellowskitn prądem przesunięcia. Z a d a n ie 7.56. Pole magnetyczne nieskończonego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie stały prąd o natężeniu /. można wyprowadzić z wyrazu zawierającego prąd przesunięcia
w prawie Ampere'a/Maxwella w następujący sposób: Wyobraźmy sobie ładunek o stałej gęstości liniowej a z wąską szczeliną o szerokości e poruszający się w kierunku osi z z prędkością v (tak że / = ^v). W chwili t — 0 szczelina dociera do początku układu współrzędnych. W następnym momencie (nie później niż t = e / v ) z powodu „brakującego” w szczelinie ładunku przez kontur Ampcre'a położony w płaszczyźnie jt y nie płynie rzeczyw isty prąd, a jedynie prąd przesunięcia. 27Niektórzy autorzy traktują go jako mag neto statyczny, ponieważ B nic zależy od czasu. Według nich prawo Biota-Savarta jest ogólnym prawem magnetostatyki. natomiast równania V J = 0 oraz V x B = /i„J stosują się przy dodatkowym założeniu, że p jest stałe. W takim ujęciu maxwellowski prąd przesunięcia może być w tym bardzo szczególnym przypadku wyprowadzony z prawa Biota-Savarta metodą z punktu (h). Patrz D. F. Bartlett, Am. J Phys. 58, 1168 (1990); D. J. Griffiths i M. A. Heald, Am. J. Ph\s. 59, 111 (1991).
3 73
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 7
(a) Posłużyć się prawem Coulomba do obliczenia z-owej składowej natężenia pola elek trycznego dla punktów położonych w płaszczyźnie xy w odległości s od początku układu współrzędnych, pochodzącej od fragmentu przewodnika o stałej gęstości ładunku —k rozciąga jącego się od Z\ = v t —e do Zi = v t . (b) Wyznaczyć strumień tego pola elektrycznego przez koło o promieniu a położone na płaszczyźnie xy. (c) Znaleźć prąd przesunięcia płynący przez powierzchnię tego koła. Pokazać, że /d jest równy / w granicy, gdy szerokość szczeliny (s) dąży do zera. | Nieco inne podejście do tego samego problemu znajdzie czytelnik w: W. K. Terry, Am. ./. Phys. 50, 742 (1982).]
Zadanie 7.57. Indukcja magnetyczna na zewnątrz długiego przewodnika prostoliniowego, przez który płynie stały prąd o natężeniu /, jest oczywiście równa
Pole elektryczne wewnątrz przewodnika jest jednorodne i ma natężenie: v = If) z, * L na2
gdzie p jest oporem właściwym, a a — promieniem przewodnika (patrz przykł. 7.1 i 7.3). Py tanie: Jakie jest natężenie pola poza przewodnikiem? Jest to słynny problem, po raz pierwszy przeanalizowany przez Sommerfelda, i znany w swej bardziej współczesnej postaci jako „za gadka Merzbachera”.23 Odpowiedź zależy od tego, jak zamkniemy obwód. Wyobraźmy sobie, że prąd powraca przez doskonale przewodzący, współosiowy, uziemiony walec o promieniu b (rys. 7.55). W obszarze a < s < b potencjał V ( s , z ) spełnia równanie Laplace a, z warunkami brzegowymi (i) V(a,z) = (ii) V( b , z ) = 0. TTa 1
Rys. 7.55
Niestety, to nic wystarczy do rozw iązania zadania — wciąż potrzebujem y warunków brze gowych na końcach przewodnika. W literaturze niejednoznaczność tę usuwa się przez proste z a ł o ż e n i e , że V ( s \ z ) jest proporcjonalny do z: V ( z , s ) = z f ( s ) . Przy tym założeniu: (a) W yznaczyć V(.v,z). (b) Znaleźć E(.v, z). (c) O bliczyć gęstość pow ierzchniow ą ładunku a ( z ) na przewodniku. [ O d p o w i e d ź : V = ( — I z p / n a 2) l \ n ( s / b ) / \ n ( a / b ) \ . Jest to o s o b l i w y wynik, ponieważ £ , i o ( z ) nie są niezależne od z, jak m ożna by oczekiw ać dla n i e s k o ń c z o n e g o przewodnika.] 23A. Sommerfeld, Elekt rodynan ika, Academic Press, New York 1952, s. 125); E. Merzbacher, Am. J. Phys. 48, 104 (1980); dalsze odnośniki w pracy M. A . Healda, Am. j. Phys. 52, 522 (1984).
7. ELEKTRODYNAMIKA
374
Zadanie 7.58. Pewna linia transmisyjna jest zbudowana z dwóch cienkich, metalowych „pa sków” o szerokości w, położonych w niewielkiej odległości h <$C w od siebie. Prąd płynie wzdłuż jednego z pasków i wraca wzdłuż drugiego. W każdym przypadku rozpływa się rów nomiernie po całej powierzchni paska. (a) Znaleźć pojemność układu na jednostkę długości, C. (b) Znaleźć indukcyjność układu na jednostkę długości, C. (c) Jaka jest liczbowa wartość iloczynu CCI [C i C zależą oczywiście od rodzaju linii transmisyjnej, ale ich iloczyn jest stałą uniwersalną (sprawdźmy to na przykładzie kabla z przykl. 7.13) pod warunkiem, że pomiędzy przewodnikami jest próżnia. W teorii linii transmisyjnych iloczyn ten związany jest z prędkością, z jaką impuls rozchodzi się wzdłuż linii: v = l/y/CĆ.] (d) Jeśli paski są oddzielone od siebie nieprzewodzącym ośrodkiem o przenikalności elek trycznej € i magnetycznej czemu jest równy iloczyn CCI Jaka jest wtedy prędkość rozcho dzenia się impulsu? [ Wskazówka: Patrz przykł. 4.6; jaki czynnik modyfikuje L, jeśli cewka zanurzona jest w ośrodku liniowym o przenikalności fil]
Zadanie 7.59. Udowodnić twierdzenie Alt'vena: W doskonale przewodzącym płynie (na przy kład w gazie swobodnych elektronów) strumień magnetyczny przez dowolny zamknięty kontur poruszający się wraz z płynem jest stały. (Linie pola magnetycznego są jak gdyby „zamrożone” w płynie.)
Rys. 7.56
(a) Posługując się prawem Ohma w postaci równania (7.2) i prawem Faradaya, udowodnić, że jeśli cr = oo i gęstość prądu J jest skończona, to dB
— = V dt
X
(v
X
B).
(b) Niech S będzie powierzchnią ograniczoną konturem V w chwili /, a S' powierzch nią ograniczoną konturem V w nowym położeniu w chwili t + dr (patrz rys. 7.56). Zmiana strumienia magnetycznego jest więc równa d0 =
j
B(/ + d/) • da —
S'
Pokazać, że
j
S'
n
dt) • da -f
B(r) • da.
s
J + B(/
j
B(r -f dr) • da = / B„ + dt) • da
(gdzie 7Z jest „paskiem” łączącym V i V) , a zatem
s
375
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 7
S
R
(dla infinitezymalnego dr). Posłużyć się metodą z paragrafu 7.1.3 i przepisać całkę jako
dr rf)(B x v) dl. v
korzystając z twierdzenia Stokesa pokazać, że
6
To wraz z wynikiem z punktu (a) kończy dowód.
Zadanie 7.60 (a) Pokazać, że równania Maxwella z ładunkiem magnetycznym (równanie (7.43)) są nie zmiennicze ze względu na p rz e k sz ta łc e n ia d u aln o ści E' — E cos a + cB sin ar, cB = cB cos ar — E sin ar,
cq'c = ccł t cos
(7.68)
gdzie c = 1 / ^ o / i o , natomiast ar jest dowolnym kątem obrotu w „przestrzeni E /B " . Gęstości ładunku i prądu przekształcają się tak samo jak qc i qm. [W szczególności oznacza to, źe znając pole wytworzone przez jakąś konfigurację ładunków elektrycznych, możemy natychmiast (wy bierając ar = 90 ) napisać pola wytworzone przez odpowiedni układ ładunków magnetycznych.] (b) Pokazać, że siła (zad. 7.35)
F =
(7.69)
Przerywnik
Wszystkie karty zostały już wyłożone na stół i w tym sensie zadanie zostało wykonane. W pierwszych siedmiu rozdziałach zbudowaliśmy kawałek po kawałku elektrodynamikę i teraz, z równaniami Maxwella w ich końcowej postaci, teoria jest już zupełna. Nic ma już nowych praw, których moglibyśmy się nauczyć, brak dalszych uogólnień do rozwa żenia i (z jednym m oże wyjątkiem) nie ma rażących niekonsekwencji do rozwiązania. Dla czytelnika poznającego elektrodynamikę na kursie semestralnym jest to właściwy moment, by się zatrzymać. Jednak, z drugiej strony, dopiero znaleźliśmy się na starcie. Nareszcie mamy pełną talię kart i znamy reguły gry — nadszedł czas działania. Jesteśmy w sytuacji, kiedy możemy docenić nadzwyczajną moc i bogactwo elektrodynamiki. W rocznym kursie powinno znaleźć się mnóstwo czasu, by przerobić pozostałe rozdziały, a nawet być może uzupełnić je innymi zagadnieniami: fizyką plazmy, obwodami prądu zmiennego, a nawet odrobiną ogólnej teorii względności. Jeśli jednak czasu starczy tylko na jedno zagad nienie, zalecam rozdział 9 poświęcony falom elektromagnetycznym (prawdopodobnie czytelnik będzie chciał także zapoznać się z rozdziałem 8). Jest to wprowadzenie do optyki i zarazem historycznie najważniejsze zastosowanie teorii Maxwella.
Rozdział 8
Zasady zachowania
8.1. Ładunek i energia 8.1.1. Równanie ciągłości W tym rozdziale zajmiemy się zasadami zachowania energii, pędu oraz momentu pędu w elektrodynamice. Jednak zaczniemy od zasady zachowania ładunku , ponieważ jest ona wzorem wszystkich zasad zachowania. Co takiego dokładnie mówi nam zasada zachowa nia ładunku? Czy to, że całkowity ładunek we W szechświecie jest stały? Oczywiście — to jest globalna zasada zachowania ładunku; jednak lokalna zasada zachowania ładunku jest stwierdzeniem znacznie silniejszym: jeśli całkowity ładunek zawarty w jakiejś obję tości zmienia się o pewną wartość, to dokładnie taka sama ilość ładunku musi przepłynąć przez powierzchnię ograniczającą tę objętość. Tygrys nie może po prostu zmaterializo wać się poza klatką; jeśli wychodzi na zewnątrz, musi znaleźć dziurę w ogrodzeniu. Ładunek zawarty w obszarze V możemy zapisać jako ( 8. 1)
v natomiast prąd płynący przez brzeg tego obszaru
Wykorzystując równanie (8.1) po lewej stronie, a po prawej twierdzenie Gaussa, otrzy mujemy (8.3) V
V
a ponieważ jest to prawdą dla dowolnego obszaru, musi zachodzić
(8.4)
378
8. ZASADY ZACHOWANIA
Jest to równanie ciągłości — dokładne matematyczne sformułowanie lokalnej zasady zachowania ładunku. Jak już mówiliśmy wcześniej, m ożna je wywnioskować z równań Maxwella — zasada zachowania ładunku nie jest niezależnym założeniem, ale konse kwencją praw elektrodynamiki. Celem tego rozdziału jest znalezienie odpowiednich równań wyrażających zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Nauczymy się, jak zapisać gęstość energii i gęstość pędu (odpowiednik p) jak również „gęstość prądu ’ energii i „gęstość prądu” pędu (odpowiednik J).
8.1.2. Twierdzenie Poyntinga W rozdziale 2 stwierdziliśmy, że praca konieczna do wytworzenia statycznego rozkładu ładunku (wykonana przeciwko siłom Coulomba) jest równa (równanie (2.45))
gdzie E jest natężeniem pola elektrycznego wytworzonego przez ten rozkład ładunku. Podobnie, praca potrzebna do wytworzenia prądów (wykonana przeciw wstecznej SEM) jest równa (równanie (7.34))
przy czym B jest indukcją pola magnetycznego wytworzonego przez, te prądy. To suge ruje, że całkowita energia zmagazynowana w polu elektromagnetycznym jest równa (8.5) Wyprowadzimy teraz równanie (8.5) w bardziej ogólny sposób jako prawo zachowania energii w elektrodynamice. Załóżmy, że mamy pewną konfigurację ładunków i prądów, która w chwili / wytwa rza pola E i B. W chwili późniejszej o dr położenia ładunków będą nieco inne. Pytanie: Jaka praca d W jest wykonana przez siły elektromagnetyczne działające na te ładunki w ciągu czasu dr? Zgodnie z prawem określającym siłę Lorentza praca wykonana nad ładunkiem q jest równa
F • dl = q(E + v x B) • vd/ = gE • vdr. Ponieważ q — p d r i p \ = J, prędkość, z jaką wykonywana jest praca nad wszystkimi ładunkami zawartymi w obszarze V wynosi ( 8.6)
v
379
8.1. ŁADUNEK I ENERGIA
Jest więc oczywiste, że E J jest pracą wykonaną w jednostce czasu w jednostkowej objętości, czyli mocą wyzwoloną w jednostkowej objętości. Możemy wyrazić tę w ielkość jedynie p o p rz e z p o la , w y k o rz y stu ją c p raw o A m p e re ’a-M ax wclla d o w y elim in o w an ia Gęstości prądu J: 1
dF
Mo
°t
E J = — E • (V x B) - e0E • — . Z reguły 6 mnożenia wektorowego na wewnętrznej stronie okładki V • (E x B) = B • (V x E) - E • (V x B). dB Wykorzystując prawo Faradaya (V x E = —— ), otrzymujemy E (V x B) = - B
OB
V • (E x B).
~dt
Jednocześnie B
OB
10
2
— = - — ( B2) 0/ 2 Or
oraz
OE 1 0
E
j
— = - — ( £ 2), Of 2 0/
(8.7)
(ak więc 1
E J = - - -
0
/ .
1
A
1
)
IM)
( 60E 2 + — B 2 - — V • ( E x B).
2 dt \
IM)
( 8. 8)
Podstawiając lo do równania ( 8 .6 ) i wykorzystując twierdzenie Gaussa w drugim wyrazie po prawej stronie równania, otrzymujemy dVV
dt
=-- f -(V eoE +—B2) M o/ M o/
2
dr - —
(E
B) da .
(8.9)
gdzie S jest powierzchnią ograniczającą obszar V. Otrzymaliśmy twierdzenie Poyntinga. Pierwsza całka po prawej stronie równania jest energią zmagazynowaną w po lach, Ucm (równanie (8.5)), druga w sposób oczywisty określa prędkość, z jaką energia pola wypływa z obszaru V przez jego brzeg S. Twierdzenie Poyntinga mówi więc, że praca wykonana nad ładunkami przez siły elektromagnetyczne jest równa ubytkowi energii zmagazynowanej w polach , pomniejszonemu o energię, która wypłynęła przez
powierzchnię ograniczającą rozważany obszar. Wektorem Poyntinga nazywamy energię przenoszoną przez pola w jednostce czasu na jednostkę powierzchni:
S = — (E x B).
( 8 . 10)
Mo
Wielkość S • d a jest strumieniem energii przez infinitezymalną powierzchnię da, tzn. energią przepływającą przez nią w jednostce czasu, a zatem S jest gęstością strumienia
380
8. ZASADY ZACHOWANIA
energii.1 Poznamy wiele zastosowań wektora Poyntinga w rozdziałach 9 i 11, ale teraz chcemy zapisać twierdzenia Poyntinga w bardziej zwartej formie: dW
( 8 . 11)
- ^ - ^ S d a .
~óT
«s
Oczywiście, praca W wykonana nad ładunkami zwiększa ich energię mechaniczną (kinetyczną, potencjalną czy jakąkolwiek). Jeśli oznaczymy przez u mech gęstość energii mechanicznej. d dW dt
d/
j * Mmech rl T,
(
8. 12)
v
to, wykorzystując wzór na gęstość energii pola wem,
(8.13)
dostaniemy d d/
J
^ (W mech H” W em ) Ó T —
da = -
V
f
Jv
(V • S)dr
i stąd
dt
(wmech "1“ wcm)
-V
s.
(8.14)
Jest to różniczkowa postać twierdzenia Poyntinga. Porównajmy ją z równaniem ciągłości wyrażającym zasadę zachowania ładunku (równanie (8.4)):
gęstość ładunku jest zastąpiona całkowitą gęstością energii (sumą gęstości energii me chanicznej i elektromagnetycznej), a gęstość strumienia prądu wektorem Poyntinga. len ostatni reprezentuje przepływ energii dokładnie w taki sam sposób, w jaki J opisuje przepływ ładunku .? ‘Wymagający czytelnik zauważy tu małą niekonsekwencję logiczną: z równania (8.9) wiemy, że / S- da jest całkowitą mocą przepływającą przez zamknięty powierzchnię, co jednak nie oznacza, że / S- da jest mocą przepływającą przez dowolną otwarty powńer/chnię (mógłby istnieć dodatkowy wyraz, który znika po scałkowaniu po dowolnej zamkniętej powierzchni). Jest to jednak zwykła i naturalna interpretacja; jak zwykle, precyzyjna lokalizacja energii nie jest w rzeczywistości określona w elektrodynamice (patrz paragraf 2.4.4). 2W ośrodku liniowym interesuje nas zwykle tylko praca wykonana nad swobodnymi ładunkami i prądami (patrz paragraf 4.4.3). W tym przypadku właściwy gęstością energii jest ^(E • D -j- B H), a wektorem Poyntinga jest E x H. Patrz J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, wyd. 3, John Wiley, New York 1999, podrozdz. 6.7 |tłum. polskie Elektrodynamika klasyczna, PWN, Warszawa 1982].
8.1. ŁADUNEK I ENERGIA
381
Przykład 8.1 Jeśli wzdłuż przewodnika płynie prąd, wykonywana jest praca, która przejawia się w postaci ciepła Joule’a (równanie (7.7)). Chociaż z pewnością istnieją prostsze sposoby, by to pokazać, energię wyzwoloną w jednostce czasu w przewodniku możemy wyznaczyć, posługując się wektorem Poyntinga. Przy założeniu, że pole jest jednorodne, możemy zapisać jego natężenie jako
E=
V L
przy czym V jest różnicą potencjałów pomiędzy końcami przewodnika, a L jego długością (rys. 8.1). Pole magnetyczne ma kierunek ty w układzie współrzędnych walcowych; na powierzchni (walca o promieniu a) indukcja magnetyczna ma wartość 2TTa E
Rys. 8.1
Zgodnie z tym wektor Poyntinga ma długość I V /Xq7 = VI lin L 2txa 2 naL i jest skierowany radialnie do środka. Energia przepływająca w jednostce czasu przez powierzch nię przewodnika jest więc równa
J
S da =
S(2xaL) = VI,
co już raz obliczyliśmy w prostszy sposób w paragrafie 7.1.1.
Zadanie 8.1. Znaleźć moc (energię na jednostkę czasu) przenoszoną wzdłuż kabli koncen trycznych z przykł. 7.13 i zad. 7.58, przyjmując, że różnica potencjałów na końcach obu prze wodników jest równa V i płyną przez nie w przeciwnych kierunkach prądy o natężeniu / każdy. Zadanie 8.2. Rozważyć proces ładowania kondensatora z zad. 7.31. (a) Znaleźć natężenie pola elektrycznego i indukcję magnetyczną w szczelinie jako funkcję odległości s od osi i czasu /. (Założyć, że w chwili t = 0 ładunek na okładkach jest równy zeru.)
382
8. ZASADY ZACHOWANIA
(b) Znaleźć gęstość energii ucm i wektor Poyntinga S w szczelinie. Zwrócić uwagę na kierunek S. Sprawdzić, że równanie (8.14) jest spełnione. (c) Znaleźć całkowitą energię w szczelinie jako funkcję czasu. Obliczyć całkowitą moc przepływającą przez szczelinę, całkując wektor Poyntinga po odpowiedniej powierzchni. Spraw dzić, że moc wejściowa jest równa prędkości wzrostu energii w szczelinie (równanie (8.9) — w tym przypadku W = 0, ponieważ w szczelinie nie ma ładunków). [Jeśli czytelnika nie pokoi niejednorodność pola na brzegu okładek, może przeprowadzić tę analizę w ohjętości o promieniu b < a wewnątrz szczeliny.]
8.2. Pęd 8.2.1. Trzecia zasada dynamiki Newtona w elektrodynamice Wyobraźmy sobie ładunek punktowy q poruszający się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v. Ponieważ ładunek się porusza, natężenie jego pola elektrycznego nie jest opisywane prawem Coulomba; mimo to E nadal ma kierunek radialny w stosunku do chwilowego położenia ładunku (rys. 8.2a), o czym przekonamy się w rozdziale 10. Ponadto, ponieważ poruszający się ładunek punktowy nie tworzy prądu stałego, jego pole magnetyczne nie jest określone przez prawo Biota-Savarta. Mimo to linie pola nadal symetrycznie okrążają oś w sposób zgodny z regułą prawej dłoni (rys. 8.2b); także i ten fakt zostanie udowodniony w rozdziale 10.
/ A
D
b) a) Rys. 8.2
Załóżmy teraz, że ładunek napotyka drugi, identyczny, ale poruszający się z tą samą prędkością wzdłuż osi y. Oczywiście, siła elektromagnetyczna, jaką ładunki oddziałują ze sobą, powoduje, że odchylają się one od ruchu prostoliniowego; załóżmy jednak, że istnieje jakiś mechanizm powodujący, że każdy z nich nadal porusza się prostoliniwo i ze stałą prędkością (rys. 8.3). Działająca między nimi siła elektryczna ma odpychający charakter, ale co z siłą magnetyczną? Indukcja pola magnetycznego pochodzącego od q\ w punkcie, w którym znajduje się ładunek q2, wnika w płaszczyznę rysunku, tak więc
8.2. P Ę D
B
V -, X
z Rys. 8.3
siła magnetyczna działająca na q2 jest skierowana w prawo , podczas gdy indukcja pola magnetycznego q2 w miejscu, gdzie znajduje się ą 1, wychodzi z płaszczyzny rysunku, a siła magnetyczna działająca na ą\ jest skierowana do góry. Siła elektromagnetyczna, jaką q2 działa na q \} ma taką samą wartość jak siła elektromagnetyczna , jaką q \ działa na q2, jednak nie mają one tego samego kierunku i przeciwnego zwrotu, co gwałci trzecią zasadę dynamiki Newtona. W elektro.vtafyr#? i w magneto statyce trzecia zasada jest spełniona, natomiast w elektro dynamice nie. No dobrze, jest to zajmująca osobliwość, lecz jednak, jak często posługujemy się trzecią zasadą dynamiki w praktyce? Odpowiedź: przez cały czas! Dowód zasady zacho wania pędu opiera się na równoważeniu się sił wewnętrznych, które wynika z trzeciej zasady. Kiedy igramy z trzecią zasadą, narażamy na szwank zasadę zachowania pędu, a nic ma bardziej niż ona świętego prawa przyrody. Zasada zachowania pędu ratowana jest w elektrodynam ice przez założenie, że samo pole ma pęd. Nie jest to zaskakujące, jeśli pamiętamy, że ju ż wcześniej przypisaliśmy polu energię. W przypadku dwóch ładunków punktowych z rys. 8.3, jakikolwiek pęd traciłyby ładunki, ten sam pęd zyskują pola. Dopiero wtedy, gdy do mechanicznego pędu ładunków dodamy pęd pola elektromagnetycznego, zasada zachowania pędu jest uratowana. W następnym paragrafie sprawdzimy to ilościowo.
8.2.2. Tensor napięć Maxwella Obliczmy całkowitą siłę działającą na ładunki znajdujące się w obszarze V (8.15) v
V
Oczywiste jest więc, że gęstość siły (siła przypadająca na jednostkę objętości) jest równa f = pE + J x B .
(8.16)
Tak jak poprzednio zapiszemy ją wyłącznie za pomocą pól, elim inując gęstości p i
J,
384
8. ZASADY ZACHOWANIA
korzystając z równali Max wella (i) i (iv): f = f 0( V . E ) E + I — V x B - c 0— ) x \M<> 9' / Z tożsamości 9 _ / 9E \ / — (E x B) = ^ — x B j +
9B \ x — J
i z prawa Faradaya — = -V x E
Ot
otrzymujemy 9E 9 —- x B = — (E x B) + E x (V x E).
Ot
Ot
Tak więc 1
()
fM)
dt
f = e0I(V • E ) E - E x (V x E ) ] -------[B x (V x B)] - c0 — ( E x B).
(8.17)
Żeby otrzymane wyrażenie uczynić bardziej symetrycznym, dodamy wyraz (V B)B (ponieważ V • B = 0, nic nie ulega zmianie). Tymczasem reguła 4 m nożenia wektorów (patrz wewnętrzna strona okładki) mówi, że V ( £ 2) = 2(E • V )E + 2E x (V x E), tak więc E x (V x E) = ± V ( E 2) — (E • V) E i podobnie dla B. Otrzymujemy zatem f = f0[(V • E )E + (E • V )E] + — [(V • B)B + (B • V)B]
Mo
(8.18)
Brzydko! W yrażenie to jednak m ożna uprościć, jeśli wprowadzimy tensor napięć Max-
wella TU = co (
Wskaźniki napięć ma jest równa przypadku
e
,E
j
-
]- S i j £ 2 )
+ —
( f i ,B j -
-S ijB ^J .
( 8 .1 9 )
i i j odnoszą się do współrzędnych kartezjanskich x, y i z, tak więc tensor dziewięć składowych (Txx, Tyy, Tzz, Txy i tak dalej). Delta Kroneckera <5,, 1 dla jednakowych wskaźników (8XX = 8yy = 8z: = 1) oraz 0 w przeciwnym (8xy = 8XZ = 8yz = 0). Tak więc
Txx =
1
.
_0.
1
(E l - E; - E 2) + — {B] - B] - B2), 1
TXV=€0{EXE y ) + — (Bx By)
Mo
8.2. PĘD
3 85
i tak dalej. Ponieważ tensor ma dwa wskaźniki, podczas gdy wektor tylko jeden, 7}; czasami zapisywany jest z podwójną strzałką: . Można zdefiniować iloczyn tensora T z wektorem a; (a • * ? ) ,= Y 1 a' TU(8.20)
i=x,y,z
Wynikiem jest wielkość obdarzona jednym wskaźnikiem, a więc wektor. W szczególno ści, y-a składowa dywergencji Y jest równa (V - f ) j = €o (V • E)Ej + (E • V )£ 1
( V - B ) V ( B - V ) B r - V ; B2j . Mo Za pomocą tensora napięć możemy zapisać siłę działającą na jednostkową objętość w znacznie prostszej postaci as ( 8 . 21) f„ = V ** T 3/ gdzie S jest wektorem Poyntinga (równanie (8.10)). Całkowita siła działająca na ładunki zawarte w obszarze V (równanie (8.15)) jest oczywiście równa ( 8.22) F= +
J
£ V da-€°Mo- Sdr.
5
V
(Skorzystaliśmy z twierdzenia Gaussa, zapisując pierwszy wyraz po prawej stronie w po staci całki powierzchniowej.) W przypadku statycznym (lub bardziej ogólnie, gdy / S dr nie zależy od czasu) drugi wyraz znika i siła elektromagnetyczna wyraża się wyłącznie poprzez tensor napięć na brzegu obszaru. Fizycznie 1 jest siłą na jednostkową po wierzchnię (lub działającą na powierzchnię. Precyzyjniej, Tł} jest składową siły w i-tym kierunku, działającą na jednostkowy element powierzchni zorientowany w kierunku j; elementy diagonalne (Txx, Tyy, Tzz) reprezentują ciśnienia, elementy „pozadiagonalnc” (Txy, Txz itd.) są napięciami ścinającymi.
napięciem)
Przykład 8.2 Znaleźć wypadkową siłę działającą na „północną” półkulę jednorodnie naładowanej sztywnej kuli o promieniu R i ładunku Q (to samo, co w zad. 2.43, tylko tym razem posłużymy się tensorem napięć Maxwella i równaniem (8.22).) Rozwiązanie: Brzeg składa się z dwóch fragmentów: czaszy o kształcie połowy sfery o pro mieniu R i koła leżącego w płaszczyźnie xy (rys. 8.4). Dla czaszy da = R2sintfdtf d<£r oraz E=
1 Qf 4tt6o R2*
8. ZASADY ZACHOWANIA
386
Rys. 8.4
We współrzędnych kartezjańskich f = sin 0 cos fix 4- sin 0 sin (f>y 4- cos 0ż. Tak więc T:x = f0£.-£, = e« ^ 4k^ 2) sin 0 cos# cos 0, Tzy = 60£, £.v = e0 ^ Y — — ( E2 — E 2 — E2) =
22
2(z
x
y)
j sin 0 cos 6 sin
(
___ —___
2 \4 n € QR2
(cos29 —sin^ 9).
(8.23)
Siła wypadkowa oczywiście ma wyłącznie z-ową składową, a zatem wystarczy obliczyć (*f • da), = Tzx dax 4- Tzyday -1- Tzz daz = —
sin^ cos^ ^0 # .
Siła działająca na „czaszę” jest więc równa .
71/2
*0 ł( ------Q \I \ 2 t i /f smtfcustfd# . 1 Q2 . FC7Ac7a = — = ----------2 \ 4 n €0r ) J 4tt60 8R2
(8.24)
Tymczasem dla równikowego koła mamy, da = —r dr d0ż oraz (ponieważ tym razem jesteśmy wewnątrz kuli) 1 0 1 0 E = ---- — r = -----— r(cos<£x 4- sin0y), 4ti€0 R2, 4tc€0 /?3 j
(8.25)
387
8.2. PĘD
Siła działająca na koło jest więc równa 'k o ł o —
1
Q2
4tx€o 16R2
(8.26)
Dodając do siebie równania (8.24) i (8.26), wnioskujemy, ze wypadkowa siła działająca na północną półkulę jest równa ^ , F= ~ . (8.27) 4:ie0 16R2 Wrównaniu (8.22) możemy posłużyć się dowolnym obszarem zawierającym w sobie dokładnie ten sam ładunek. Na przykład tu moglibyśmy użyć całego obszaru z > 0. W tym przypadku brzegiem jest cała płaszczyzna xy (plus półsfera r = oo, ale tam E = 0, tak więc nic daje ona żadnego wkładu). Zamiast „czaszy” mamy teraz zewnętrzną część płaszczyzny (r > R). Na
(równanie (8.23) z 6 = n/2 i R —> r), natomiast element powierzchni da dany jest równaniem (8.25), tak więc-4 1 ( ¥ da). — dr d(p r3 2 i wkład od płaszczyzny dla r > R jest równy £o 2
1 Q2 4Ttf0 SR7’
czyli jest taki sam jak dla czaszy (równanie (8.24)).
Mam nadzieję, żc czytelnik nie zagubił się w szczegółach przykł. 8.2. Na wszelki wypadek zatrzymajmy się, by zrelacjonować, co się stało. Obliczyliśmy siłę działającą na ciało stałe, jednak zamiast obliczenia całki objętościowej, czego można by się spo dziewać, dzięki równaniu (8.22) mogliśmy obliczyć całkę powierzchniową; w pewien sposób tensor napięć oddaje to, co dzieje się w środku.
Znaleźć siłę przyciągania magnetycznego pomiędzy północną i południową pół kulą obracającej się z prędkością kątową tu kuli o promieniu /?, jednorodnie naładowanej powier/rhniowo z gęstością a. [To samo, co w zad 5.42, tym razem jednak należy posłużyć się tensorem napięć Maxwella i równaniem (8.22).|
! Zadanie 8.3.
Zadanie 8.4
(a) Rozważyć dwa jednakowe ładunki punktowe ą odległe od siebie o 2a. Całkując tensor napięć Maxwella po płaszczyźnie równoodległej od tych ładunków, znaleźć siłę, jaką oddziałują ze sobą ładunki. (b) Powtórzyć ten rachunek dla ładunków o przeciwnych znakach.
8. ZASADY ZACHOWANIA
388
8.2.3. Zasada zachowania pędu Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona siła działająca na ciało jest równa prędkości zmian jego pędu: p
__ d P m cch
“ dt Tak więc równanie (8.22) możemy przepisać wr postaci
= - e 0/x0- f S d r + j f • da, V
(8.28)
5
przy czym pmcch jest całkowitym (mechanicznym) pędem cząsteczek znajdujących się w obszarze V. Wyrażenie to ma podobną strukturę do twierdzenia Foyntinga (równa nie (8.9)) i ma podobną interpretację: pierwsza całka reprezentuje pęd zmagazynowany w samym polu elektromagnetycznym Pem = Mo^o j S d r,
(8.29)
V
podczas gdy druga całka jest pędem przepływającym w jednostce czasu przez, powierzch nię. Równanie (8.28) jest ogólnym twierdzeniem o zachowaniu pędu w elektrodynamice: każda zmiana całkowitego pędu (mechanicznego i elektromagnetycznego) jest równa pę dowi unoszonemu przez pole. (Jeśli V jest całą przestrzenią, to żaden pęd nie wpływa, ani nie wypływa i suma pmcch + pem jest stała.) Tak jak w przypadku zasady zachowania ładunku i zasady zachowania energii, również zasada zachowania pędu może być sformułowana w postaci różniczkowej. Niech Pmcch będzie gęstością mechanicznego pędu, p em zaś gęstością pędu pola Pem — M0^()S.
(8.30)
Różniczkową postacią równania (8.28) jest (8.31)
W oczywisty sposób T jest gęstością strumienia pędu i gra tę samą rolę co J (gę stość prądu) w równaniu ciągłości lub S (gęstość strumienia energii) w twierdzeniu Poyntinga. 7}y jest i-tą składową pędu przepływającą przez płaszczyznę zorientowaną w y-ym kierunku na jednostkę powierzchni w jednostce czasu. Zwróćmy uwagę na to, że wektor Poyntinga pojawia się w dwóch różnych rolach: S jest sam w sobie energią, na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu, przenoszoną przez pole elektromagnetyczne, podczas gdy Mo^oS jest pędem na jednostkę objętości zmagazynowanym w tym polu. Podobnie Y odgrywa podwójną rolę: Y jest elektromagnetycznym napięciem (siła na jednostkę powierzchni) działającym na powierzchnię oraz - Y opisuje przepływ pędu (gęstość strumienia pędu) niesionego przez pole.
8.2. PĘD
3 89
Przykład 8.3 Długi kabel koncentryczny o długości / zbudowany jest z wewnętrznego przewodnika o pro mieniu a i z zewnętrznego przewodnika o promieniu b. Z jednej strony jest on podłączony do baterii, a z drugiej do opornika (rys. 8.5). Wewnętrzny pizewodnik jest jednorodnie nała dowany z gęstością liniową k i płynie przez niego w prawo prąd stały o natężeniu /. Prąd i ładunek zewnętrznego przewodnika mają przeciwne znaki. Znaleźć pęd elektromagnetyczny zmagazynowany w polu.
R
Rys. 8.5
Rozwiązanie: Pola są równe 2 ti j
271*0 S Wektor Poyntinga wynosi więc S=
XI
-z.
4t t 26{)s 2
W oczywisty sposób energia przepływa wzdłuż linii, od baterii do opornika. Moc przenoszona jest równa f >./ f 1 kl t f r = / S • da = —— / - 2 iw d s = - — In(b/a) = / V, J 471-6,, J S2 27t6„ a tak jak powinno być. Ale to nie tym interesujemy się w tej chwili. Pęd pola wynosi Pen. — Mo^'o J S a i —
2 z I —Hnsds = — — liH/;/a)z. 2k
Jest to zdumiewający wynik. Kabel nie porusza się, pola są statyczne, a nam każe się wierzyć, że ten układ ma pęd. Czytelnik, któremu coś podpowiada, że to jeszcze nie wszystko, ma dobrą intuicję. W rzeczywistości, jeśli środek masy zlokalizowanego układu spoczywa, jego całkowity pęd musi być równy zeru. W tym przypadku okazuje się, żc istnieje „ukryty” pęd mechaniczny, związany z przepływem piądu i len pęd dokładnie znosi się z pędem pola. Ale umiejsco wienie lego ukrytego pędu nie jest łatwe, w rzeczywistości jest to zjawisko relatywistyczne i pozostawimy jego analizę do rozdziału 12 (przykł. 12.12).
8. ZASADY ZACHOWANIA
390
Załóżm y teraz, że zw iększam y opór, a zatem natężenie preclu maleje. Z m iana indukcji magnetycznej indukuje pole elektryczne (rów nanie (7.19)): Mo d l
E = -------- In s 2:r dr Pole to w yw iera silę na //(, (1/
F = a/ ^ — ln « + _2tt d t
K
i - U \ ^ i o |_2tx d t
b
+ K \
J
//u/./ d / ln ( b / a ) i . 2ti dr
Całkowity pęd przekazany kablowi w czasie, gdy prąd maleje od / do 0, jest w ięc równy
Pmech
MoA/ / —
2ir
ln ( b / a ) i \
jest to dokładnie pęd zm agazynow any pierw otnie w polu. (Kabel jednak nie doznaje odrzutu, ponieważ przekazyw any je st mu pęd o takiej samej w artości, lecz przeciw nym kierunku, na skutek jednoczesnego zaniku pędu ukrytego.)
Zadanie 8.5. Rozważyć nieskończony kondensator płaski, którego dolna okładka (w z = — d / 2 ) jest naładow ana z gęstością pow ierzchniow ą - e r , a górna ( w z = d / 2 ) jest naładowana z gęstością pow ierzchniow ą a . (a) Znaleźć w szystkie dziew ięć składow ych tensora napięć w obszarze pom iędzy okład kami. Zapisać jc w postaci m acierzy 3 x 3: Txx
t x,
n,
Ty,
T„
r.v
Tx, Tn T-
(b) Posłużyć się równaniem (8.22) w celu znalezienia siły na jednostkę pow ierzchni dzia łającej na górną okładkę. Porównać z rów naniem (2.51). (c) Jaki pęd na jednostkę pow ierzchni i jednostkę czasu przepływ a przez płaszczyznę jcy (lub inną, rów noległą do niej, położoną pom iędzy okładkam i)? (d) Pęd ten je st pochłaniany przez okładki i okładki doznają odrzutu (jeśli nic działa inna, nieelektryczna siła utrzym ująca je w stałych położeniach). Znaleźć siłę odrzutu na jednostkę powierzchni na górnej okładce i porównać z w ynikiem z punktu (b). [ U w a g a : N ie jest to d o d a t k o w a siła, lecz raczej alternatyw ny sposób obliczenia t e j s a m e j siły — w punkcie (b) otrzymaliśmy ją z rów nania (8.22), a w punkcie (d) z zasady zachow ania pędu.]
Zadanie 8.6. Naładowany kondensator płaski (z jednorodnym polem elektrycznym o natężeniu E = E i wewnątrz) um ieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = B k , jak pokazano na rys. 8 .6 .' (a) Znaleźć pęd elektrom agnetyczny w przestrzeni pom iędzy okładkam i kondensatora. (b) O kładki połączono w zdłuż osi z przewodnikiem m ającym duży opór, a zatem konden sator powoli się rozładow uje. Na prąd płynący w przewodniku działa siła m agnetyczna; jaki jest całkowity pęd przekazany do układu podczas rozładow yw ania kondensatora? 'Patrz F.S. Johnson, B.L. Cragin i R.R. Hodges. A m . J. P h ys. 62. 33 (1994).
391
8.2. Ht;D
(c) Zamiast wyłączyć pole elektryczne jak w punkcie (b), powoli redukujemy pole magne tyczne. To powoduje wyindukowanie się pola elektrycznego zgodnie z prawem Faradaya, pole to wywiera siłę na okładki kondensatora. Pokazać, że całkowity pęd jest (znów) równy pędowi początkowo zmagazynowanemu w polach.
8.2.4. M om ent pędu Od tej chwili pole elektromagnetyczne (które początkowo wprowadziliśmy jako przekaź nik sil działających pomiędzy ładunkami) nabiera własnego życia. Ma energię (równanie (8.13)) «cm = -
2 V
Mo
/
(8-32)
[pęd Pom = MntnS = to(E x B),
(8.33)
a zatem także i moment pędu: Cm =
r X p cm =
(8.34)
Nawet doskonale statyczne pola mogą mieć pęd i moment pędu, o ile E x B nie znika, i dopiero po uwzględnieniu tych wkładów spełnione są klasyczne zasady zachowania.
Przykład 8.4 Rozważmy bardzo długi solenoid o promieniu R i n zwojach na jednostkę długości, przez który płynie prąd o natężeniu /. Dwie długie powierzchnie walcowe o długości / każda, są współo siowe z solenoidem. Jedna, znajdująca się wewnątrz sołenoidu, ma promień a i jest jednorodnie naładowana powierzchniowo ładunkiem -\-Q. Druga, znajdująca się na zewnątrz sołenoidu ma promień b i jest jednorodnie naładowana powierzchniowo ładunkiem —Q (patrz rys. 8.7; przyj mujemy, że / jest dużo większe od b). Jeśłi natężenie prądu w solenoidzie stopniowo maleje,
8. ZASADY ZACHOWANIA
392
walce stopniowo zaczynają się obracać, co stwierdziliśmy już w przykł. 7.8. Pytanie: Skąd pochodzi moment pędu?4 Rozwiązanie: Początkowo był on zmagazynowany w polu elektromagnetycznym. Zanim prąd zaczął maleć, natężenie pola elektrycznego w obszarze pomiędzy walcami było równe
Q —s i . (a < s < h). 2jxt0/ s natomiast indukcja magnetyczna pola wewnątrz solenoidu była równa E=
B = p 0r i l z
(a
< R ).
W obszarze a < s < R gęstość pędu (równanie (8.33)) wynosiła M o"/Ci P cm
Gęstość momentu pędu Zm = r
X
jPeui —
Mo" / ( ? .
2ti/ Z była (jak się okazuje) Atofo; aby znaleźć całkowity moment pędu, musimy ją po prostu pomnożyć przez objętość it(R2 - a2)l: Lem = - ^ 0nIQ (R2- a 2)z. (8.35) 4Jest to wariacja na temat ..paradoksu dysku Feynmana” (R.P Feynman. R R Leighton i M Sands, T h e F eyn m a n l e c tu r e s , t. 2 (Addison-Wesley, Reading, Mass. 1964, s. 17 [tłum. polskie F ey n m a n a wykłady z fiz y k i , t. II, PWN, Warszawa 1974, cz. 1 s. 298-299] podana przez EL. Boosa, Jr. {A m . J. Phys. 52, 756 (1984)). Podobny model zaproponował wcześniej R.H. Romer {Am. ./. P h ys. 34, 772 (1996)). Dalsze
odnośniki znaleźć można u T.-C. E. Ma, A m . ./. P hys. 54, 949 (1986).
39 3
8.2. PĘD
Kiedy prąd zostaje wyłączony, zmiana pola magnetycznego indukuje pole elektryczne, które możemy wyznaczyć za pomocą prawa Faradaya: 1 d I R 2* (s > Rh 2^ d/ s Y 1 dl 1 (s < R). 2 dt Moment siły działającej na zewnętrzny walec jest więc równy - U n n -------
N* = r x (-Q E )
= \ f i 0nQRz-J-z
2
dt
i nadaje mu moment pędu
1 f dl 1 ^ 1* = -fionQR~i I — dt = - - ł i 0nlQ R 2z. Analogicznie, moment siły działającej za wewnętrzny walec jest równy 1 ,d / A Na = --M o nQaz— z, a jego moment pędu wzrasta o L„ = \finnl Qa2z. Tak więc wszystko się zgadza, Lem —L„ + L„. Moment pędu utracony przez pola jest dokładnie równy momentowi pędu, jaki uzyskują walce, a całkowity moment pędu (suma momentów pędu materii i pól) jest zachowany. Zasada zachowania momentu pędu jest w pewnych aspektach jaśniejsza niż zasada za chowania pędu (równanie (8.3)), ponieważ nie ma „ukrytego’' momentu pędu koniecznego do skompensowania przez moment pędu pól, i walce rzeczywiście zaczynają obracać się po wyłą czeniu pola magnetycznego. Jeśli zlokalizowany układ nie porusza się, jego całkowity pęd musi być równy zeru,1 ale nie istnieje odpowiadające temu twierdzenie dla momentu pędu; w zad. 8.12 zobaczymy piękny przykład, w którym w ogóle nic się nie porusza nie płyną nawet prądy — a mimo to moment pędu jest niezerowy.
Zadanie 8.7. W przykładzie 8.4 zamiast wyłączać pole magnetyczne (zmniejszając natężenie prądu /) wyłączymy pole elektryczne, łącząc walce za pomocą słabo56 przewodzącego, radial nego przewodnika (musimy wyciąć w soleuoidzie szczelinę, tak by walce nadal mogły obracać się swobodnie.) Znaleźć całkowity moment pędu, jaki walce uzyskają na skutek rozładowa nia (teraz są one sztywno połączone, a więc obracają się razem), obliczając siłę magnetyczną działającą na prąd w przewodniku łączącym walce. Porównać z początkowym momentem pędu zmagazynowanym w polach (równanie (8.35)) (Zauważyć, że mechanizm przekazywania mo mentu pędu pól walcom jest inny w obu przypadkach: w przykł. 8.4 opisuje go prawo Faradaya, teraz odpowiada za niego siła Lorentza.) 5S. Coleman i J. H. van Vlcck, Rhys. Rev. 171, 13/0 (1968). (,W przykładzie 8.4 wyłączaliśmy prąd powoli, tak by proces był quasi-statyczny; teraz zmniejszamy natężenie pola elektrycznego powoli, tak by można było zaniedbać prąd przesunięcia.
394
8 . Z A S A D Y Z A C H O W A N IA
! Zadanie 8.8.7 Rozważyć żelazną kulę o promieniu R, która ma ładunek Q i jest namagneso wana, a jej magnetyzacja jest równa M = Mi. Kula początkowo spoczywa. (a) Obliczyć moment pędu zmagazynowany w polu elektromagnetycznym. (b) Załóżmy, że kula jest stopniowo (i jednorodnie) rozmagnesowywana (na przykład przez podgrzewanie powyżej temperatury Curie). Posłużyć się prawem indukcji Faradaya do znale zienia indukowanego pola elektrycznego, znaleźć moment siły działającej na kulę i obliczyć całkowity moment pędu uzyskany przez kulę w procesie rozmagnesowania. (c) Zamiast rozmagnesowywać kulę — rozładowujemy ją, uziemiając jej biegun północny. Załóżmy, że prąd płynie po powierzchni w ten sposób, że ładunek przez cały czas rozłożony jest jednorodnie. Posłużyć się siłą Lorentza do znalezienia momentu siły działającej na kulę i znaleźć całkowity moment pędu uzyskany przez kulę w procesie rozładowania. (Indukcja magnetyczna na powierzchni jest nieciągła...czy ma to znaczenie?) [Odpowiedź: IfioMQR2.] Zadania dodatkowo do rozdziału 8 Zadanie 8.9.x Przez bardzo długi solenoid u płom ieniu a , zaw ierający n zwojów na jednostkę długości płynie prąd o natężeniu /„. Przewodzący pierścień o prom ieniu h » a i oporze R jest współosiowy z solenoidem . Jeśli prąd w solenoidzie (stopniowo) m aleje, w pierścieniu indukuje się prąd o natężeniu /p.
(a) Wyrazić /,, poprzez d/s/ d/. (b) M oc 12R , która w ydziela się w pierścieniu, musi pochodzić z solenoidu. Potwierdzić to, znajdując w ektor Poyntinga na zewnątrz solenoidu (pole elektryczne w yw ołane jest przez zm ianę strum ienia w solenoidzie; pole magnetyczne pochodzi od prądu płynącego w pierście niu). Scalkować po całej pow ierzchni solenoidu i spraw dzić, ze otrzym ujem y w ten sposób popraw ną w artość całkow itej mocy.
Zadanie 8.10.° Kula o promieniu R jest jednorodnie spolaryzowana i jednorodnie namagne
sowana niekoniecznie w tym samym kierunku; P i M oznaczają odpowiednio wektor jej po laryzacji i wektor jej magnetyzacji. Znaleźć elektromagnetyczny moment pędu dla tego przy padku. [Odpowiedź: (4/9)n/.i()R \M x P).) Zadanie 8 .1 1.10 W yobraźmy sobie elektron jako jednorodnie naładow aną sferę o ładunku e i promieniu R w irującą w okół osi /. prędkością kątową (o. (a) Znaleźć całkow itą energię pola elektrom agnetycznego. (b) Znaleźć całkowity moment pędu pola elektromagnetycznego. (c) Zgodnie ze w zorem Einsteina ( E = mc2) energia pola pow inna dawać w kład do masy elektronu. Lorentz i inni spekulow ali, że cała m asa elektronu m oże pochodzić w łaśnie stąd: Ucm = m ec2. Przypuśćm y dodatkowo, że spinowy m om ent pędu elektronu w całości pochodzi z pola elektrom agnetycznego: L em — f i / 2. Na podstaw ie tych dwóch założeń znaleźć promień i prędkość kątow ą elektronu. Ile w ynosi ich iloczyn m R l C zy ten klasyczny model ma sens? ! Zadanie 8.12." Przypuśćmy, że mamy ładunek elektryczny qe i monopol magnetyczny
305
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 8
Natężenie pola elektrycznego ładunku jest oczywiście równe E= a indukcja magnetyczna monopola
4itc0 Tl2
B = — — K. A-* n 2 Znaleźć całkowity moment pędu zmagazynowany w polu elektromagnetycznym, jeśli odległość ładunku od monopola jest równa d. [Odpowiedź: (Mo/4ti)qcqm-V2 Zadanie 8.13. Paul Dc Young z Hope College zwrócił uwagę na to, że z powodu obrotów walców z przykładu 8.4 (z prędkościami kątowymi, które oznaczymy jako co(l i coh) istnieje szczątkowe pole magnetyczne, a zatem także i moment pędu nawet wtedy, gdy prąd w soleniodzie już nie płynie Jeśli walce są ciężkie, tę poprawkę można zaniedbać, jest jednak interesujące znalezienie rozwiązania zadania bez czynienia takiego założenia. (a) Wyrazić za pomocą co(, i coh końcowy moment pędu pola elektromagnetycznego. (b) Kiedy walce zaczynają się obracać, ich zmieniające się pole magnetyczne indukuje dodatkowe azymutalne pole elektryczne, które daje dodatkowy wkład do momentu siły. Znaleźć wynikający stąd dodatkowy moment pędu i porównać z wynikiem z punktu (a). | Odpowiedź: HoQ2
(b) W ten sam sposób powtórzyć argument z paragrafu 8.2.2, zaczynając od równania (8.15) z Pm 1 Jsw zamiast p i j . Pominąć wyprowadzenie tensora napięć Maxwella, ale pokazać, że gęstość pędu jest równa « —n x B 12Zauważmy, żc wynik nie zależy od odległości d (!) (ma on kierunek od qc do
Rozdział 9 Fale elektromagnetyczne
9.1. Fale w jednym wymiarze 9.1.1. Równanie falowe Co to jest „fala”? Niełatwo jest udzielić w pełni zadowalającej odpowiedzi — pojęcie to jest dość złożone i trudno je zdefiniować. Zaczniemy od określenia: fala jest zaburze niem ośrodka ciągłego, które rozchodzi się ze stałą prędkością i zachowuje swój ksz.talt. Natychmiast trzeba dodać uściślenia. W wypadku występowania tłumienia amplituda fali zmniejsza się w czasie ruchu. Jeśli ośrodek jest dyspersyjny, to składowe fali o róż nych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. Przy rozprzestrzenianiu się fali w dwóch lub trzech wymiarach jej amplituda maleje. I oczywiście falc stojące w ogóle się nie rozchodzą. Ale to są subtelności — zacznijmy od najprostszego przypadku: od fali o ustalonym kształcie i stałej prędkości (rys. 9.1).
Rys. 9.1
Jak można matematycznie przedstawić taki obiekt? Na rysunku przedstawiona jest fala w dwóch różnych momentach: w t = 0 i w chwili późniejszej f. W miarę upływu czasu każdy punkt wykresu fali po prostu przesuwa się w prawo o odcinek vt, gdzie u jest prędkością rozchodzenia się fali. Falę można wytworzyć przez potrząśnięcie sznurem na jednym końcu; f ( z , t) przedstawia wychylenie sznura w punkcie z w chwili t. Jaki jest kształt /( z , t) przy zadanym początkowym kształcie sznura g(z) = f (z, 0)? Wychylenie w punkcie z w chwili późniejszej t jest oczywiście równe wychyleniu w odległości vt
9.1. FALE W JEDNYM WYMIARZE
397
na lewo (czyli w z —vt) w chwili wcześniejszej / = 0: f ( z j ) = f (z - t’f,0) = g(z - vt).
(9.1)
To stwierdzenie wyraża matematycznie istotę ruchu falowego. Zgodnie z nim funkcja f ( z j ), która mogłaby zależeć niezależnie od z i r, w rzeczywistości zależy tylko od bardzo szczególnej kombinacji tych wielkości: z - v t . Funkcja /( z , 0 przedstawia wtedy falę o ustalonym kształcie, która rozchodzi się w kierunku dodatnim osi z z prędkością v. Jeśli na przykład A i b są stałymi (wyrażonymi w odpowiednich jednostkach), to każda z funkcji f d z , t) = Ac~Hz~vn\
f i ( z , t ) = Asin[fc(z - vf)],
f s(z,t ) = —----- - ż ■ b(z. - v t)2 + 1 przedstawia falę (oczywiście o różnych kształtach), funkcje zaś / 4(z. t ) = Ae b(bz2+vt)
i
/ 5(z, t) = A sin(bz) cos(bvt)*
nie przedstawiają fal.
Dlaczego w napiętym sznurze rozchodzi się fala? W istocie wynika to z drugiej zasady dynamiki Newtona. Wyobraźmy sobie bardzo długi sznur napięty siłą T. Jeśli sznur jest wychylony ze stanu równowagi, to wypadkowa siła poprzeczna, działająca na odcinek między z i z + Az (rys. 9.2), wynosi A F = 7 sin 6* — T sinO,
gdzie 9f jest kątem, jaki sznur tworzy z kierunkiem osi z w punkcie z + Az, a 9 — odpowiednim kątem w punkcie z. Jeśli odkształcenie sznura nie jest zbyt duże, to kąty te są małe (na rysunku są narysowane nieco przesadnie) i funkcje sinus możemy zastąpić funkcjami tangens d2f 3/ A F = T(tg0' tg9) = T ( ^ [ T , \ Aj. (Iz fl Z Z+&Z Jeśli masa jednostki długości sznura wynosi fi, to zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona d2 f AF = n(A z )-^;
398
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
i dlatego 32/ _ H d2f dz2 ~ t ar- ' Małe wychylenia sznura spełniają więc równanie a v = _ i_ a v 9z2 u2 9/2 ’
(9.2)
w którym v (wkrótce zobaczymy, że jest to prędkość rozchodzenia się fali) wynosi
Równanie (9.2) nazywa się klasycznym równaniem falowym, ponieważ jego roz wiązaniami są wszystkie funkcje postaci
f(zj) = g(z - t'/),
(9.4)
czyli wszystkie funkcje zależne od zmiennych z i t poprzez ich szczególną kombinację u — z — vt. Wykazaliśmy wcześniej, że takie funkcje przedstawiają falc rozchodzące się w kierunku osi z z prędkością v. Z równania (9.4) wynika, że 9/ 9z
dg 9w dg du 9z dw*
9/ 91
dg 9u du 9/
dg du
i następnie 32/ _ dg \ _ d^g 9z2 9z \ d / / / dw2 9z
32/ _ _ _a^ /■d g \ _ 9/2 dt \ d i / /
di/2'
] d2g 3« _ 2d2g d//2 9/ di/2’
czyli d2g ^ 92/ _ 1 a2/ dw2 9z2 t'2 9/2 ’ co kończy dowód. Zauważmy, że g(w) może być jakąkolwiek funkcją różniczkowalną. Jeśli takie zaburzenie rozchodzi się bez zmiany kształtu, to spełnia ono równanie falowe. Funkcje postaci g(z — vt) nie są jednak jedynymi rozwiązaniami tego równania. W równaniu falowym v występuje w kwadracie, co w prosty sposób, poprzez zmianę znaku prędkości, pozwala wygenerować inną klasę rozwiązań
/ ( z , t) = h(z 4- vt).
(9.5)
Rozwiązania takie przedstawiają oczywiście fale rozchodzące się w kierunku ujemnym osi z i ich istnienie jest fizycznie w pełni dozwolone. Bardziej nieoczekiwane jest twier dzenie, że najogólniejszym rozwiązaniem równania falowego jest suma fali rozchodzącej
399
9.1. FALE W JEDNYM WYMIARZE
się w prawo i fali rozchodzącej się w lewo
/(Z,
t) = g ( z -
vt)
+
h(z
+
(9.6)
(Zauważmy, że równanie falowe jest liniowe. Suma dowolnych dwóch rozwiązań jest także rozwiązaniem.) Każde rozwiązanie równania falowego można przedstawić w po staci (9.6). Równanie falowe, podobnie jak proste równanie oscylatora harmonicznego, poja wia się w fizyce bardzo często. Jeśli coś drga, to prawie na pewno drgania te opisuje równanie oscylatorowe (przynajmniej dla małych amplitud), a jeśli coś faluje (w mecha nice, akustyce, optyce czy oceanografii), to zawsze pojawia się równanie falowe (nieraz z jakimś dodatkiem).
Zadanie 9.1. Sprawdzić przez bezpośrednie różniczkowanie, że podane powyżej w tekście funkcje /j, / 2 i spełniają równanie falowe, a / 4 i / 5 nie. Zadanie 9.2. Wykazać, że fala stojąca f ( z . t ) = A sin(fcz) cos(kvt) spełnia równanie falowe, i przedstawić ją w postaci sumy (9.6) fali rozchodzącej się w lewo i fali rozchodzącej się w prawo.
9.1.2. Fale sinusoidalne (i) Terminologia Ze wszystkich możliwych kształtów fal najbardziej znana jest (z uzasadnionych powo dów) fala sinusoidalna /(z , /) = A cos[£(z - v t ) + fi]. (9.7) Na rysunku 9.3 taka fala jest przedstawiona w chwili t = 0. A jest amplitudą fali (jest to wielkość dodatnia, przedstawiająca maksymalne wychylenie ze stanu równowagi).
Argument funkcji cosinus nazywa się fazą, a 8 jest przesunięciem fazowym (można oczywiście bez zmiany /(z . t ) dodać do S dowolną całkowitą wielokrotność 2ir — zwykle używa się wartości <5 z przedziału 0 < 8 < 2tt). Zauważmy, że w z = v t - 8 / k faza jest równa zeru; będziemy mówili, że w punkcie tym jest „maksimum centralne
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
400
Jeśli 8 = 0, to maksimum centralne przesuwa się przez początek układu w chwili t = 0. W ogólności 8/k jest odległością, o jaką „opóźnione'’ jest maksimum centralne (a przez to i cała fala). Na koniec k jest liczbą falową, związaną z długością fali X równaniem 2 7t X= — . (9.8) k Przy zmianie z o 2 n / k następuje pełny cykl zmiany funkcji cosinus. Z upływem czasu cała fala przesuwa się w prawo z prędkością v. W dowolnym punkcie z sznur wykonuje pełny cykl drgań w górę i w dół w ciągu okresu (9.9) Częstość v (liczba pełnych cykli na jednostkę czasu) wynosi 1 kv v (9.10) V ~ T ~ 7Żk ~ X' Do naszych celów wygodniejszą wielkością jest częstość kątowa co. Nazwa pochodzi stąd, że w analogicznym wypadku ruchu jednostajnego po okręgu wielkość ta jest równa kątowi (w radianach) zakreślonemu w jednostce czasu co = 2nv = kv.
(9.11)
Fale sinusoidalne (9.7) wygodniej jest zapisywać przy użyciu co niż v /(Z ,
t) = A cos(kz - cot + 8).
(9.12)
Drgania sinusoidalne z liczbą falową k i częstością co, przesuwające się w lewo, można zapisać w postaci / (z, t) = A cos (kz + cot — 8). (9.13) Znak przesunięcia fazowego został wybrany zgodnie z poprzednią umową, że 8 /k będzie oznaczać odległość, o jaką fala jest „opóźniona” (ponieważ fala porusza się teraz w lewo, więc opóźnienie oznacza przesunięcie w prawo). Na rysunku 9.4 taka fala jest przedstawiona w chwili / = 0. Ponieważ cosinus jest funkcją parzystą, więc równanie (9.13) można zapisać także w postaci /( z , t) = A cos ( - k z - cot + 8).
(9.14)
401
9.1. FALE W JEDNYM WYMIARZE
Porównanie z (9.12) wykazuje, że wystarczy po prostu zmienić znak k, aby otrzymać falę o tej samej amplitudzie, przesunięciu fazowym, częstości i długości fali, ale rozchodzącą się w przeciwnym kierunku. (ii) Notacja zespolona Ze względu na wzór Eulera e*1" = cos 0 + i sin 6 ,
(9.15)
falę sinusoidalną (9.12) można zapisać w postaci f ( z , t) = Rc[/tei(*:-""+S)],
(9.16)
przy czym Re($) oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej £. Wygodnie jest więc wprowadzić zespoloną funkcję falową f ( z , t ) = Ae[(kz- (0t)
(9.17)
z zespoloną amplitudą A = Ac1'5, w której zawiera się także przesunięcie fazowe. Rzeczywista funkcja falowa jest częścią rzeczywistą wielkości /
/(z,f) = Re[/(z,01.
(9.18)
Jeśli znamy / , to bez trudu możemy znaleźć / . Zaletą notacji zespolonej jest to, że łatwiej jest używać funkcji wykładniczych niż funkcji sinus i cosinus.
Przykład 9.1 Załóżmy, że chcemy złożyć dwie fale sinusoidalne f\
= /. + h = Re(/,) + Re(/2) = Re(/, + f 2) = Re(/3)
z fi ~ fi 4 - f 2’ W tym celu dodajemy po prostu odpowiednie zespolone funkcje falowe i następnie bierzemy część rzeczywistą. Jeśli w szczególności fale mają tę samą częstość i liczbę falową, to / 3 = A {oi{kz~w,) + A1e (kz-b>,) = A}c'{kz-(0,\ gdzie A3 = A, + A2,
czyli
A3e'*3*= A \tySi + A2t lhl.
(9.19)
Składaniu fal odpowiada po prostu dodawanie zespolonych amplitud. Fala wypadkowa ma tę samą częstość i długość fali / 3(z, 0 = A3 cos(£z — ( o t -ł- S3)
i l (9.19) możemy łatwo wyznaczyć A3 i Ó3 (zad. 9.3). Wykonanie takich obliczeń bez uży cia notacji zespolonej wymaga wykorzystania tożsamości trygonometrycznych i przebrnięcia przez bardziej żmudną algebrę.
402
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
(iii) Liniowe kombinacje fal sinusoidalnych Chociaż fala sinusoidalna (9.17) jest bardzo szczególną postacią fali, to każdą falę można przedstawić w postaci kombinacji liniowej fal sinusoidalnych oo f(z,t)=
j
M k)e'ikz- wndk.
(9.20)
-OO W całce tej co jest funkcją (9.11) liczby falowej k y która przebiega również przez ujemne wartości, co pozwala włączyć fale rozchodzące się w obu kierunkach*1. Amplitudę A ( k ) można wyznaczyć z warunków początkowych / (z, 0) i /( z , 0) przy wykorzystaniu teorii transformat Fouriera (zob. zad. 9.32), ale takie szczegóły nie są tu dla nas istotne. Istotne jest to, że dowolną falę można przedstawić jako liniową kombi nację fal sinusoidalnych, i jeśli znamy zachowanie się fal sinusoidalnych, to w zasadzie znamy zachowanie się dowolnej fali. Dlatego nasze rozważania ograniczymy odtąd do fal sinusoidalnych.
Zadanie 9.3. Przy użyciu wzoru (9.19) wyrazić A* i <$3 przez Aiy A2, <$, i 6>. Zadanie 9.4. Wyprowadzić wzór (9.20) bezpośrednio z równania falowego metodą rozdzielenia zmiennych.
9.1.3. Warunki brzegowe: odbicie i przejście Dotąd zakładaliśmy, że sznur jest nieskończenie długi, a przynajmniej na tyle długi, że nie musimy się przejmować, co stanic się z falą, gdy dotrze do jego końca. W rzeczy wistości to, co się stanie, zależy w dużym stopniu od tego, jak sznur jest zamocowany na końcu, czyli od szczególnych warunków brzegowych, jakie muszą być spełnione przez falę. Przyjmijmy na przykład, że sznur jest po prostu związany z drugim sznurem. Siła napinająca T jest taka sama dla obu sznurów, ale masy jednostek długości sznurów fi zwykle nie są jednakowe i dlatego prędkości fali v\ i v2 są różne (pamiętamy, że v = yJT j [ x ) . Załóżmy dla wygody, że węzeł występuje w z = 0. Fala padająca (ang. incident) z lewej strony / i ( z , /) = Aiei<ł|*-*f) (z < 0) (9.21) wytwarza falę odbitą (ang. reflected) =
(z < 0)
(9.22)
'N ic o z n a c z a to , ż e A. i co s ą w te d y u je m n e . D łu g o ść lali i c z ę s to ść s ą za w sz e d o d a tn ie i jeśli ro z w ażam y u je m n e lic z b y falo w e, to w z o ry (9 .8 ) i (9.11) w in n y m ie ć w rz e c z y w is to śc i p o sta ć a = 2n/\l<\ i (o = |/c|v.
9.1. TALC W JEDNYM WYMIARZE
<103
poruszającą sic do tyłu w sznurze 1 (stąd znak minus przed ky) i dodatkowo falę prze chodzącą (ang. transmitted) / r(z ,0 -
(9.23)
(z >0),
która kontynuuje ruch w prawo w sznurze 2. Fala padająca f\(z< t) odpowiada drganiom sinusoidalnym, które w zasadzie rozcią gają się wstecz aż do z = —oc i odbywają się cały czas. Podobnie dzieje się z /r(z , t) i fr(zj) (z tym, że ta ostatnia rozciąga się oczywiście do z = +oo). Wszystkie części układu drgają z. tą samą częstością kątową co (częstością określoną w z = — oo przez osobę, która na początku potrząsnęła sznurem). Ze względu na różne prędkości w obu sznurach różne są także długości fali i liczby falowe ^ _ &2 _ IM A.2 k\ V2
(9.24)
Oczywiście, sytuacja ta jest dość wyidealizowana. Co więcej, gdy fale padająca i od bita mają nieskończone rozmiary i poruszają się w tej samej części sznura, wówczas obserwatorowi jest trudno je odróżnić. Może być wygodniej rozważać falę padającą o skończonych rozmiarach, np. w postaci impulsu przedstawionego na rys. 9.5. Zainte resowany czytelnik może sam przeprowadzić szczegółową analizę w tym wypadku (zad. 9.5). Kłopot z tym podejściem polega na tym, że żaden skończony impuls nie jest ściśle sinusoidalny. Fale na rys. 9.5 mogą wyglądać jak funkcje sinus, ale nie są nimi — są kawałkami funkcji sinus nałożonymi na całkowicie inną funkcję (równą zeru). Podobnie jak inne fale, można je przedstawić jako kombinacje liniowe (9.20) prawdziwych fal sinusoidalnych, ale trzeba uwzględnić cały zakres częstości i długości fali. Jeśli chcemy mieć pojedynczą częstość fali padającej (co będzie nam potrzebne w przypadku fali elektromagnetycznej), to musimy pozwolić naszym falom rozciągać się do nieskończo ności. W praktyce, jeśli użyjemy bardzo długiego impulsu z wieloma oscylacjami, to fala będzie bliska idealnej fali o pojedynczej częstości. /
/
b) impulsy odbity i przechodzący
a) impuls padający Rys. 9.5
Dla sinusoidalnej fali padającej wypadkowe wychylenie sznura wynosi więc (9.25)
404
0. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Przy węźle (z = 0) wychylenie z lewej strony (z — 0") musi być równe wychyleniu z prawej strony (z = 0+), gdyż inaczej sznury nic byłyby połączone. Matematycznie funkcja f ( z , t) winna być więc ciągła w z = 0: / ( 0 - , / ) = / ( 0 +,O.
(9.26)
Jeśli sam węzeł ma znikomo małą masę, to pochodna funkcji / musi także być ciągła: = 9f V (9.27) 3z o3z n W przeciwnym wypadku na węzeł działałaby siła wypadkowa, która wywołałaby nie skończone przyspieszenie (rys. 9.6). Te warunki brzegowe stosują się bezpośrednio do części rzeczywistej funkcji falowej f ( z , t ) . Ponieważ jednak część urojona funkcji / różni się od części rzeczywistej tylko zamianą funkcji cosinus na funkcję sinus (9.15). wynika stąd, że zespolona funkcja falowa f ( z , t) musi spełniać takie same warunki (9.28)
/ ( 0 ,/) = / ( 0 ' , a
a) nieciągłe nachylenie; na węzeł działa siła
b) ciągłe nachylenie; na węzeł nie działa siła
Rys. 9.6
Po zastosowaniu do (9.25) te warunki graniczne wyznaczają amplitudy fal rozcho dzących się ( A r i A j ) przez amplitudę fali wchodzącej ( A \ ) A] + A r = A j ,
k\(A\ —A r ) =
skąd wynikają wzory (9.29)
Po skorzystaniu ze wzoru (9.24) otrzymujemy (9.30)
Rzeczywiste amplitudy i przesunięcia fazowe są powiązane wzorami (9.31)
9.1. FALE W JEDNYM WYMIARZE
405
Jeśli drugi sznur jest lżejszy od pierwszego ( f i 2 < skąd > ią), to wszystkie trzy fale mają to samo przesunięcie fazowe (Sr = Sj = <$i) i amplitudy fal wychodzących wynoszą
Jeśli drugi sznur jest cięższy od pierwszego (V2 < t>i), to fala odbita jest przesunięta w fazie o 180° (Sr + 7t = <$| = <$i). Innymi słowy, ponieważ cos(-A:iz —cot + S\ - Tt) = —cos(-/ciz —cot + <5|), więc fala odbita jest odwrócona. Amplitudy w tym wypadku wynoszą
W szczególności, gdy drugi sznur jest nieskończenie masywny lub, równoważnie, gdy koniec pierwszego sznura jest po prostu zamocowany, wówczas Ar = A\
i
A j = 0.
Wtym wypadku nie ma oczywiście fali przechodzącej — fala ulega całkowitemu odbiciu.
! Zadanie 9.5. Załóżmy, że wzdłuż sznura 1 została przesłana fala padająca o szczególnym kształcie g,(z-V|f) i powstały fale odbita hR(z + v{t) i przechodząca g j ( z - v 2t). Wykorzystując warunki (9.26) i (9.27), znaleźć /iR i gT. Zadanie 9.6. (a) Sformułować odpowiedni warunek brzegowy w wypadku dwóch sznurów połączonych węzłem o masie m i napiętych siłą T. (b) Znaleźć amplitudy i przesunięcia fazowe fal odbitej i przechodzącej w wypadku węzła o masie /// i drugiego sznura bezmasowego. ! Zadanie 9.7. Załóżmy, że sznur 2 jest zanurzony w lepkim ośrodku (np. melasie), który po woduje pojawienie się siły oporu proporcjonalnej do jego (poprzecznej) prędkości Of ót
A /'op = - y —-Az.
(a) Wyprowadzić zmodyfikowane równanie falowe opisujące ruch sznura. (b) Rozwiązać to równanie, przyjmując, że sznur drga z częstością co, czyli poszukać rozwiązań postaci /(z , /) = e“iń" F(z) (c) Wykazać, że fale są tłumione (czyli ich amplituda maleje ze wzrostem z). Wyzna czyć, w zależności od y, T, i co, charakterystyczną głębokość wnikania, po której przebyciu początkowa amplituda maleje e razy. (d) Znaleźć amplitudę i fazę fali odbitej, jeśli fala o amplitudzie A\, przesunięciu fazowym h = 0 i częstości co pada z lewej strony (wzdłuż sznura 1).
406
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
9.1.4. Polaryzacja Fale, które rozchodzą się wzdłuż sznura po jego potrząśnięciu, nazywa się poprzecz nymi, gdyż wychylenie jest prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Jeśli sznur jest dostatecznie sprężysty, to przez jego szarpnięcie możliwe jest także wzbudzenie fal ściskania. Fale ściskania są trudne do obserwacji w sznurze, ale gdy spróbujemy wytwo rzyć je w sprężynie, to łatwo je zobaczyć (rys. 9.7). Takie fale nazywa się podłużnymi, gdyż wychylenia ze stanu równowagi są skierowane wzdłuż kierunku rozchodzenia się fal. Fale dźwiękowe, które są niczym innym jak falami ściskania w powietrzu, są po dłużne, a fale elektromagnetyczne, jak zobaczymy, są poprzeczne. u
Rys. 9.7 Istnieją oczywiście dwa wymiary prostopadłe do danej linii rozchodzenia się fali. Dlatego fale poprzeczne występują w dwóch niezależnych stanach polaryzacji: sznurem można potrząsnąć w kierunku góra-dół (polaryzacja „pionowa” (ang. vertical) — rys. 9-8a)
f V( Z J ) = A t,(kz- M,)x, (9.34
lub lewo-prawo (polaryzacja „pozioma” (ang. horizontal) — rys. 9.8b) fh(z, t) = Aei(‘* - " ' y,
(9.35)
b) polaryzacja pozioma
Rys. 9.8
40/
9.2. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W PROZN!
lub w innym kierunku w płaszczyźnie x y (rys. 9.8c) f (z.t) = Ae'(kz- (0,)ń
(9.36)
Wektor polaryzacji ń definiuje płaszczyznę drgań'. Z poprzeczności fal wynika, że wersor ń jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (9.37)
ń ż= 0
i można go scharakteryzować kątem polaryzacji 0 ń = cos 0 x -+■sin 0 y.
(9.38)
Falę przedstawioną na rys. 9.8c można rozważać jako złożenie (superpozycję) dwóch fal: jednej spolaryzowanej poziomo i drugiej pionowo f (z, O = (A cos0)e',i( k z —M t ) *x + (A sin 0)c
(9.39)
Zadanie 9.8. Wzór (9.36) opisuje najogólniejszą falę spolaryzowaną liniowo rozchodzącą się w sznurze. Polaryzacja liniowa, lub „płaska” (nazwana tak, bo wychylenie jest równoległe do ustalonego wektora n), powstaje ze złożenia fal spolaryzowanych poziomo i pionowo z tym samym przesunięciem fazowym (9.39). Jeśli dwie składowe mają równe amplitudy, ale są prze sunięte w fazie o 90 (np. 5V= 0, Sh —90 ), to powstaje fala spolaryzowana kołowo. W tym wypadku: (a) Wykazać, że w ustalonym punkcie z sznur porusza się po okręgu wokół osi z. Czy porusza się zgodnie, czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, gdy patrzymy w kierunku początku układu współrzędnych? Jak można otrzymać falę obracającą się w przeciwnym kie runku? (W optyce przy ruchu zgodnym z ruchem wskazówek zegara mówimy o polaryzacji kołowej prawoskrętnej, a przy przeciwnym — o polaryzacji kołowej lewoskrętnej). (b) Naszkicować sznur w chwili t = 0. (c) Jak należy potrząsnąć sznurem, aby wytworzyć falę spolaryzowaną kołowo?
9.2. Fale elektromagnetyczne w próżni 9.2.1. R ów nanie fa lo w e dla E i R W obszarach przestrzeni bez ładunków i prądów równania Maxwella przybierają postać (i)
V • E = 0,
(iii) (9.40)
(ii)
V B = 0,
(iv)
V x B = fx0Co— . ()/
"Zauważmy, że zawsze możemy zmienić znak ń, jeśli równocześnie przesuniemy fazę o 180°, gdyż
obie operacje zmieniają znak fali.
408
9. ł-ALb bLbKTROMAGNETYCZNE
Otrzymujemy układ sprzężonych równań różniczkowych pierwszego rzędu dla E i Można je rozprząc przez zastosowanie rotacji do (iii) i (iv): / V x (V x E )= V(V - E) - AE = V x (
a
^
B.
3B\ j
a2E
/
V x (V x B) = V(V • B) — AB — V x (
3E\
\
d „ 92B = Mufo —(V x E) - - K o O -p -.
Ponieważ V • E = 0 i V • B = 0, więc a2E AE = /X()€()—j ,
32B AB = M oeo-y.
(9.41)
Mamy teraz oddzielne równania dla E i B, ale są to równania drugiego rzędu jest to cena, jaką musimy zapłacić za ich rozprzężenie. W próżni każda składowa kartezjańska pól E i B spełnia wtedy trójwymiarowe równanie falowe J_ 9 V A/ = V2 d t2
’
które jest identyczne z (9.2), ale 32// 3 z 2 zostało zastąpione naturalnym uogólnieniem A /. Z równań Maxwella wynika więc, że w pustej przestrzeni mogą rozchodzić się fale elektromagnetyczne z prędkością v
, * ■■■■ = 3,00 IO8 m/s, y/fJ o*o
(9.42)
równą prędkości światła w próżni. Wniosek jest zdumiewający: być może światło jest falą elektromagnetyczną3. Dzisiaj wniosek ten nie dziwi oczywiście nikogo, ale wyobraźmy sobie, jaką był rewelacją w czasach Maxwella! Przypomnijmy sobie, jak €o i Mo pojawiły się w teorii po raz pierwszy: były to stałe odpowiednio w prawie Coulomba i prawie Biota-Savarta. Mierzy się je w doświadczeniach z naładowanymi kulkami bzow'ymi, bateriami i drutami z prądem, czyli w eksperymentach nie mających nic wspólnego ze światłem. A zgodnie z teorią Maxwella możemy z tych liczb obliczyć c. Warto zwrócić uwagę na kluczową rolę dodatkowego członu (/Lt()€o3E/3f), wprowadzonego przez Maxwella do prawa Ampere’a bez niego nie pojawiłoby się równanie falowe i nie byłoby elektromagnetycznej teorii światła. ’Maxwell wyrazi! to słowami: „Chyba nie można uniknąć wniosku, że światło polega na poprzecz nym falowaniu tego samego ośrodka, który wywołuje zjawiska elektryczne i magnetyczne" (zob. Ivan Tolstoy, James Clerk Maxwell, A Biography, Chicago Press, Chicago 1983).
409
9.2. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W PRÓŻNI
9.2.2. Fale monochromatyczne płaskie Ze względów przedyskutowanych w paragrafie 9.1.2 możemy ograniczyć się do fal sinu soidalnych o częstości co. Ponieważ różne częstości w obszarze widzialnym odpowiadają różnym barwom, więc fale takie nazywa się monochromatycznymi (tab. 9.1). Załóżmy dodatkowo, że fale poruszają się w kierunku osi z i nie zależą od x i y. Hale takie nazywa się falami płaskimi4, ponieważ pola są takie same na każdej płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali (rys. 9.9). Jesteśmy więc zainteresowani polami postaci E(z, /) = Eoei(**““'),
B(z, t) = B0ei(te- " ,)t
(9.43)
gdzie Eo i B0 są (zespolonymi) amplitudami (pola fizyczne są oczywiście częściami rzeczywistymi pól E i B). Równania falowe (9.41) dla E i B zostały wyprowadzone z równań Maxwella. Każde rozwiązanie równań Maxwella (w próżni) musi więc spełniać równanie falowe, ale twier dzenie odwrotne nie jest prawdziwe — równania Maxwella nakładają dodatkowe ogra niczenia na Eo i Bo. W szczególności, ponieważ V • E = 0 i V B = 0, więc5 (E0)z = (B0)z = 0 .
(9.44)
Dlatego fale elektromagnetyczne sq poprzeczne: pola elektryczne i magnetyczne są pro stopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Z prawa Faradaya V x E = —9B fdt wynika dodatkowo związek między amplitudami elektrycznymi i magnetycznymi —k(Eo)y = co(B{>)„
k(E0)x = a>(Bo)y(9.45)
4Zobacz dyskusję fal sferycznych na tym poziomie przedstawioną w książce: J.R. Reitz, F.J. Milford, R.W.Christy, Foundations o f Electromagnetic Theory, wyd. 3, Addison Wesley, Reading 1979, §17 5 lub zob. zad. 9.33. Oczywiście, w dostatecznie małym obszarze każda fala jest w istocie płaska, jeśli tylko długość fali jest znacznie mniejsza od promienia krzywizny czoła fali. 5Ponieważ część rzeczywista pola E różni się od części urojonej tylko zamianą funkcji sinus na cosinus, więc jeśli pierwsza z nich spełnia równania Maxwella, In spełnia je i druga, a stąd również pole E.
9. HALt tLfcKI KOMAONt IYCZN6
410
Tabela 9.1 Widmo fal elektromagnetycznych Częstość [Hz] 1022 1021 10m I019 1o 18 l<>17 l()16 1015 10'4 1013 1012 10" I010 I09 I08 I07 !0(l 105 104 103
Długość fali w próżni [m]
Typ
10-'13 10 12 10 11 , 0 -io
promieniowanie y
promieniowanie rentgenowskie
to -9 10 8
promieniowanie nadfioletowe promieniowanie widzialne promieniowanie podczerwone
n r7 l()-6 10“5 10 4 10-3
n r2 promieniowanie mikrofalowe falc radiowe ultrakrótkie (TV, FM) falc radiowe średnie (AM) fale radiowe długie (RF)
10-' 1 10 102 103 104 105 10'’
Częstość (Hz)
Harwa
Długość fali w próżni [m]
1 ,0 - I015 7 ,5 ■I014 6, 5- I014 5, 6- 1014 5, 1 • 10’4 4 , 9 - 1014 3, 9- I014 3 ,0 l()14
bliski nadfiolet najkrótsza widzialna niebieska niebieska zielona żółta pomarańczowa najdłuższa widzialna czerwona bliska podczerwień
3 ,0 4 ,0 4. 65, 4-
10 7 10"7 10-7 1 0 '7
’Jl sO
O 1 -o
Zakres widzialny
6, 1 • I0 -7 7. 6- I0 -7 1,0- io - 6
3.2. ł-ALt bLtKTKOMAGNtTYCZNfc W PRÓŻNI
411
lub w bardziej zwartej postaci k „ B() = —(z x E0). (9.46) co Pola E i B są więc wyraźnie zgodne w fazie i wzajemnie do siebie prostopadłe — ich (rzeczywiste) amplitudy są powiązane wzorem co c Czwarte z równań Maxwella V x B = /z0^o(9E/9/) nie daje nowego ograniczenia, gdyż odtwarza po prostu (9.45).
Przykład 9.2 Jeśli polo E je st skierowano w zdłuż osi r , to zgodnie z (9.46) B jest skierowane w zdłuż osi y\
E(r, t) = E0&'**-*%
B(z. t) = - E0ćlkz-°>,]y, C
lub po ograniczeniu się do części rzeczywistej
E(z, /) = E0cos(kz —cot + S) x,
B(z, t) = - E0coa(kz ~ cot +8) y. c
(9.48)
Jest to paradygmat dla fali płaskiej monochromatycznej (zob. rys. 9.10). Mówimy, że fala jako całość jest spolaryzowana w kierunku osi x (zgodnie z umową kierunek pola E określa polaryzację fali elektromagnetycznej).
W kierunku osi z nie ma nic szczególnego — łatwo można uogólnić te rozwa żania na lale płaskie monochromatyczne poruszające się w' dowolnym kierunku. Dla uproszczenia zapisu wprowadza się wektor falowy k w kierunku rozchodzenia się fali, o długości równej liczbie falowej k. Iloczyn skalarny k • r stanowi właściwe uogólnienie kz (rys. 9.11) i stąd
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
412
E(r, t) = £ „ c '(k■^- <0', ń, I _ . U B(r, /) = -£ o e ,(k'r_4W)(k x ń) = - k x E, c c
(9.49)
gdzie ń jest wektorem polaryzacji. Ponieważ E jest poprzeczne, więc ń k = 0.
(9.50)
(Poprzeczność pola B wynika automatycznie z równań (9.49)). Rzeczywiste E i B dla fali płaskiej monochromatycznej o wektorze falowym k i polaryzacji ń są określone wzorami E(r, r) = £ocos(k • r —cot -t- <5)ń, (9.51) B(r, t) = -£ o co s(k • r —cot + <$)(k x ń). c
(9.52)
Zadanie 9.9. Wypisać (rzeczywiste) E i B dla fali płaskiej monochromatycznej o amplitudzie E0, częstości co i zerowym przesunięciu fazowym, która: (a) porusza się w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana w kierunku osi z, (b) porusza się w kierunku od początku układu do punktu (1, 1, 1) i jest spolaryzowana równolegle do płaszczyzny xz. W obu przypadkach naszkicować falę i podać składowe kartezjańskie wektorów k i n .
9.2.3. Energia i pęd fal elektromagnetycznych Zgodnie z równaniem (8.13) gęstość energii (energia na jednostkę objętości) dla pola elektromagnetycznego wynosi 1
1
9.2. ł-ALt ELEKTROMAGNETYCZNE W PRÓŻNI
413
Dla fali monochromatycznej płaskiej n 2 = ^ E 2 = m>t0 E 2,
(9.54)
CL
czyli elektryczny i magnetyczny wkład do energii są równe u=
€qE 2
=
€o E
q
c o s 2(kz
- cot + <5).
(9.55)
Energia ta jest przenoszona przez falę. Gęstość strumienia energii (ilość energii przez jed nostkę powierzchni w jednostce czasu) przenoszonej przez pole elektromagnetyczne określona jest przez wekior Poyntinga (8.10) S = — (E x B). tio
(9.56)
Dla fal monochromatycznych płaskich rozchodzących się w kierunku osi z S = c€()El cos2(kz —cot -f S)z = cni.
(9.57)
Zauważmy, że Sjest, jak hyc powinno, iloczynem gęstości energii u i prędkości fal (c* ż). W czasie At fala przebywa drogę cAt i przez powierzchnię A (rys. 9.12) przenosi ze sobą energię u Ac At. Energia przenoszona przez falę w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni wynosi więc uc.
cAt Rys. 9.12
Pola elektromagnetyczne przenoszą nie tylko energię, ale także pęd. Zgodnie z (8.30) gęstość pędu dla pola wynosi P = -S . cz
(9.58)
1 ? ? , „ 1 A p = -to£() cos7(kz — cot + S)z = -u z . c c
(9.59)
Dla fal monochromatycznych płaskich
W przypadku światła długość fali jest tak mała (~ 5 10“7 m) i okres tak krótki (~ 10“ 15 s), że dowolny pomiar makroskopowy obejmuje wiele cykli. Dlatego zwykle nie jesteśmy zainteresowani fiuktuującym członem w postaci kwadratu funkcji cosinus
414
9. f-ALE ELEKTROMAGNETYCZNE
wc wzorach na gęstości energii i pędu — wystarcza nam wartość średnia. Średnia wartość kwadratu funkcji cosinus po pełnym okresie6 wynosi ^ i dlatego (u) =
F.2,
(9.60) (9.61)
= 1 (P) =
y
(9.62)
€° E oz -
Nawiasy { ) oznaczają wartość średnią (w czasie) po pełnym cyklu (lub równie do brze po wielu cyklach). Średnia moc na jednostkę powierzchni przenoszona przez falę elektromagnetyczną nazywa się natężeniem fali I = (S) - \c ( 0El.
(9.63)
Gdy światło pada na powierzchnię doskonale pochłaniającą, przekazuje powierzchni swój pęd. W czasie At przekaz pędu wynosi (rys. 9.12) Ap = (p)AcAt i dlatego ciśnienie promieniowania (średnia siła na jednostkę powierzchni) wynosi - A l = L f2= (9.64) A At 2 0 '° Na powierzchni doskonale odbijającej ciśnienie jest dwukrotnie większe, ponie waż pęd, zamiast ulec pochłonięciu, zmienia kierunek. Jakościowo pochodzenie tego ciśnienia można zrozumieć w następujący sposób: pole elektryczne (9.48) przesuwa ładunki w kierunku osi x , a następnie pole magnetyczne działa na nie siłą c/\ x B w kierunku osi z i ta siła, działająca na wszystkie ładunki na powierzchni, wywołuje ciśnienie. P
Zadanie 9.10. Natężenie światła słonecznego padającego na powierzchnię Ziemi wynosi około 1300 W/m2. Jakie ciśnienie wywiera światło na powierzchnię Ziemi, jeśli ta całkowicie je po chłania? Jak zmieni się wynik, gdy powierzchnia jest doskonale odbijająca? Jaką część ciśnienia atmosferycznego stanowi to ciśnienie? Zadanie 9.11. W przypadku notacji zespolonej istnieje prosty przepis na znajdowanie średniej (w czasie) iloczynu. Wykazać, że jeśli / ( r, /) = A cos(k •r -e n t + <$,,) i g(r, t) = #cos(k rcot -t- ó/,), to (f g ) = (l/2)Re(/#*), gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie zespolone. [Zwróćmy uwagę, że przepis stosuje się do fal o takich samych k i w, a niekoniecznie o takich samych amplitudach i przesunięciach fazowych). Przykładowo I ~ 1- 1 ~ (m) = -Re(eE • E* + — B • B") i (S) = -— Re(E x B"). 4
Mo
2 mo
6Do obliczeń w pamięci można wykorzystać pomysłową metodę: ponieważ sin2# -i-cos2# = I i średnia po pełnym cyklu dla sin2# jest równa dla średniej cos2#, więc (sin2#) = (cos2#) = 1/2. Bardziej formalnie r
^ j o
cos2(kz
2 n t/T j <$)d/ = 1/2.
415
9.3. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU MATERIALNYM
Zadanie 9.12. Znaleźć w szystkie elem enty tensora napięć M axw ella dla fali m onochrom atycz nej płaskiej rozchodzącej się w kierunku osi z i spolaryzow anej liniowo w kierunku osi x (9.48). Czy uzyskany w ynik jest sensow ny? (D la przypom nienia: tensor Y przedstawia gę stość strum ienia pędu). Jak w tym w ypadku gęstość strum ienia pędu zw iązana jest z gęstością energii?
9.3. Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym 9.3.1. Rozchodzenie się fal w ośrodkach liniowych W obszarach ośrodka materialnego, w których nie ma ładunków swobodnych i prądów swobodnych, równania Maxwella mają postać (i) (ii)
V • D = 0,
(iii)
V B = 0.
(iv)
„ 3B V x E = ------ , dt VxH=
3D
(9.65)
37'
W ośrodku liniowym D = «E,
H = —B (9.66) b i jednorodnym (czyli gdy e i (i nie zmieniają się od punktu do punktu) równania Max wella redukują się do postaci (i)
V • E = 0,
(iii)
„ ^ 3B V * F .= - - .
(9.67) V , „ 3E (ii) V ■B = 0, (iv) V x B = uc — , ^ dt która w zasadzie różni się od swego odpowiednika w próżni (9.40) tylko zastąpieniem7 go^o przez fxc. Widać wyraźnie, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w liniowym jednorodnym ośrodku materialnym z prędkością 1
- c
(9.68)
gdzie
I
V ^o/^o
(9.69)
;Ta obserwacja jest matematycznie dość trywialna, ale jej konsekwencje fizyczne są zadziwiające. Gdy fala przemieszcza się, wtedy pola pracowicie polaryzują i namagnesowują cząsteczki i powstałe (oscylujące) dipole wytwarzają swe własne pola elektryczne i magnetyczne. Pola te dodają się do pól oryginalnych w ten sposób, ż.e powstaje pojedyncza fala o tej samej częstości, ale o innej prędkości. To niezwykłe nakładanie się pól odpowiedzialne jest za zjawisko przezroczystości i jest nadzwyczaj nietrywialną konsekwencją liniowości ośrodka. Zobacz dalszą dyskusję w artykule: M.B. James, D.J. Griffiths, Am. J. Phys. 60, 309 (1992).
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
416
jest współczynnikiem załamania ośrodka materialnego. Dla większości materiałów wartość fi jest bliska wartości fio i dlatego n - y/Tr,
(9.70)
gdzie c, jest względną przenikalnością elektryczną (4.34). Ponieważ stała er jest prawie zawsze większa od 1, więc w ośrodku materialnym światło rozchodzi się wolniej niż w próżni — fakt ten jest nam dobrze znany z optyki. \io
Wszystkie nasze poprzednie wyniki pozostają słuszne po prostej zamianie Co -* e, fi i stąd c -> v (zob. zad. 8.15). Gęstość energii wynosi8 (M l)
a wektor Poyntinga odpowiednio S = —(E x B).
(9.72)
Dla fal monochromatycznych płaskich częstość i liczba falowa są powiązane równaniem o) = kv (9.11), amplituda pola B jest l/v razy amplituda pola E (9.47) i natężenie fali wynosi I = \ t vEq.
(9.73)
Interesujące jest następujące pytanie: co się dzieje, gdy fala przechodzi z jednego przezroczystego ośrodka do drugiego — powiedzmy z powietrza do wody lub ze szklą do plastyku? Podobnie jak w wypadku fal w sznurze spodziewamy się, że powstaje fala odbita i fala przechodząca. Szczegóły zależą od dokładnej postaci wyprowadzonych w rozdz. 7 elektrodynamicznych warunków granicznych (7.64) (i)
€i E i = a - ) E i ,
(iii)
Ej = E $ ,
(ii)
Bf- =
(iv)
— b ! = — b '.
,
Ul
(9.74)
U2
Równania te wiążą pola elektryczne i magnetyczne po lewej i po prawej stronie gra nicy między dwoma ośrodkami liniowymi. W następnych paragrafach użyjemy ich do wyprowadzenia praw rządzących odbiciem i załamaniem fal elektromagnetycznych.
8W paragrafie 4.4.3 omawialiśmy dokładne znaczenie „gęstości energii” w kontekście ośrodków
liniowych.
9.3. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU MATERIALNYM
417
9.3.2. Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym Załóżmy, że płaszczyzna xy tworzy granicę między dwoma ośrodkami liniowymi. Fala płaska o częstości to, poruszająca się w kierunku osi z i spolaryzowana w kierunku osi x, pada na powierzchnię graniczną z lewej strony (rys. 9.13) E,(z, t) = £o,ei(*|Z" ft") x, (9.75)
B|(z, r) = — E0te'ik'z- M,)y. !>l
W wyniku tego powstaje fala odbita E r (^» 0 = EoRe
\(—k\z—o)t) *
x,
Br(Z,/) = —— E quĆ V\
y,
(9.76)
która porusza się do tyłu w ośrodku (1), i fala przechodząca E t ( z , /) = E o ,.e '(k2Z~ <0,) x, B
t
(z , 0
=
— E 0 le
i(k2z —(ot) ■
(9.77)
v2
która kontynuuje ruch w prawo w ośrodku (2). Zwróćmy uwagę na znak minus w BR, wybrany zgodnie z (9.49), co powoduje, że wektor Poyntinga jest skierowany w kierunku rozchodzenia się fali.
W z = 0 zsumowane pola Ei + E r i Bi + Br z lewej muszą się łączyć z polami Ei i Bi z prawej strony, zgodnie z warunkami granicznymi (9.74). W tym wypadku nie ma składowych prostopadłych do płaszczyzny i warunki (i) i (ii) są spełnione automatycznie. Warunek (iii) wymaga natomiast, aby Eo, + E qk = £(>,.,
(9.78)
418
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
a zgodnie z warunkiem (iv) — (-£ < ), Ml \ U |
-E o ,) ~ V\
(-£ o r)
—
)
fx 2 \
v
2
)
(9.79)
,
czyli £o, - K
(9.80)
— P&Oj,
gdzie P=
fi\V \
fi\n 2
fx2v2
[i2n\
(9.81)
Z równań (9.78) i (9.80) można łatwo wyznaczyć amplitudy lal wychodzących, wyrażając je przez amplitudę fali wchodzącej E\oR
= ( tt| )
£o' = ( r b ) £o''
(9.82)
Wyniki te są uderzająco podobne do wyników dla fal w sznurze. Rzeczywiście, jeśli wartości przenikalności f i są bliskie wartości w próżni (jak pamiętamy, tak j e s t dla większości ośrodków), to £ = v \ / v 2 i otrzymujemy wzory
£o„ = (
\ V 2 + V] )
£o,,
£o, = (
\ T ,2 + t ,l /
£o, .
(9.83)
które są i d e n t y c z n e ze wzorami (9.30). W tym wypadku, jak poprzednio, fala odbita jest w fazie (w tym samym kierunku), jeśli v 2 > ią, i p r z e c i w n a w fazie (odwrócona), jeśli i '2 < uj. Amplitudy rzeczywiste są powiązane wzorami zgodna
v2 - UJ E q., V2 + Ui
£ ok =
\ V 2 + V[ /
(9.84)
lub po wyrażeniu przez współczynniki załamania — wzorami
£0r=(-—~"W
n i - n2
*0r =
n
i 4-
n2
\n i + n 2)
(9.85)
Jaka część padającej energii jest odbita, a jaka przechodzi do drugiego ośrodka? Zgodnie z równaniem (9.73) natężenie fali (średnia moc na jednostkę powierzchni) wy nosi / = \e v E l. Jeśli (znów) f i \ = f i 2 wynosi
= fio
, to stosunek natężenia fali odbitej do natężenia fali padającej
/ n i - n2V \« l + «2/ h a stosunek natężenia fali przechodzącej do natężenia fali padającej jest równy R = — =
T =
Y _
6 2 U2 *\V\
(9.86)
£o, /
2
m -
4n\n2 («i +H2) 2
(9.87)
9.3. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU MATERIALNYM
419
Wielkość R nazywa się współczynnikiem odbicia, a wielkość T współczynnikiem przejścia. Określają one ułamek padającej energii, która odpowiednio zostaje odbita lub przechodzi. Zauważmy, że oczywiście R+ T = 1
(9.88)
zgodnie z zasadą zachowania energii. Gdy na przykład światło przechodzi z powietrza («i = 1) do szkła (^ 2 = 1,5), wówczas R = 0,04 i T = 0,96. Nie jesteśmy zaskoczeni, że większość światła przechodzi.
Zadanie 9.13. Obliczyć dokładne współczynniki odbicia i przejścia bez zakładania p \ = tiy = Po. Sprawdzić, że R + T = 1. Zadanie 9.14. Przy wypisywaniu równań (9.76) i (9.77) założyliśmy milcząco, że fale odbita i przechodząca mają tę samą polaryzację (wzdłuż osi x) jak fala padająca. Udowodnić, że tak musi być. [Wskazówka: Przyjąć, że wektory polaryzacji lal odbitej i przechodzącej są postaci ńT = cos Oj x 4- sin Oj y,
ńR= cos 0R x + sin 0R y,
i wykazać z warunków granicznych, że Oj = 0K = 0.1
9.3.3. Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym W poprzednim paragrafie analizowaliśmy odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym, czyli gdy fala pada na powierzchnię wzdłuż normalnej do niej. Przejdziemy teraz do ogólniejszego wypadku padania ukośnego, gdy fala pada na powierzchnię graniczną pod dowolnym kątem 9\ względem normalnej (rys. 9.14). Oczywiście, padanie prostopadłe jest tylko szczególnym przypadkiem padania ukośnego, odpowiadającym 0\ = 0, ale omówiliśmy je oddzielnie dla rozgrzewki, gdyż algebra stanie się teraz nieco bardziej uciążliwa.
Rys. 9.14
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
420
Przyjmijmy więc, że fala monochromatyczna plaska E,(r, t) - E0|ei(k''r- ,u,),
B,(r, t) = - ( k , x E,) v\
(9.89)
BR(r, t) = - < k R x ER)
(9.90)
1 BT(r, /) = - ( k T x ET). fi
(9.91)
pada z lewej strony i powstaje fala odbita ER(r, t) = E(,Kei(kR'r- “" \ oraz fala przechodząca ET(r. t) ~ E() ei(kT'r_ft"),
Wszystkie trzy fale mają tę samą częstość co, która jest określona raz na zawsze przez źró dło (lampę błyskową lub cokolwiek, co wytwarza wiązkę padającą). Trzy liczby falowe są powiązane równaniem (9.11) v2 ni k \ V \ — k r V\ — k ^ v 2 = co , czyli k\ = k R = — k j = — k j . (9.92) i’i n2 Sumę pól E| 4- E r i Rj 4- Rr w ośrodku (1) trzeba teraz połączyć z polami ET i BT w ośrodku (2) przy użyciu warunków granicznych (9.74). Wszystkie te warunki mają ogólną strukturę ( ) e i ( k ,.r - * ) +
( )e i(k rr-« 0 =
( ) e H kr r-o>,)
d )a
^ =
y
(9 .93)
Za chwilę wrócimy do zawartości nawiasów, ale obecnie zauważmy, że zależność od Jt, y i / zawarta jest w wykładnikach. Ponieważ warunki graniczne muszą być spełnione we wszystkich punktach płaszczyzny i dla wszystkich czasów, więc te wykładniki muszą być sobie równe. W przeciwnym wypadku mała zmiana, np. x, naruszyłaby równość (zob. zad. 9.15). Oczywiście, czynniki zależne od czasu są już równe (w rzeczywi stości można by to uważać za niezależne potwierdzenie faktu, że częstości fal odbitej i przechodzącej muszą pokrywać się z częstością fali padającej). Równość czynników przestrzennych prowadzi do wzoru kj • r — Icr • r = kx • r
dla
z= 0
(9.94)
lub bardziej jawnie •*(£i).v + >’(*i).v = x ( k R ) x + y ( k R ) y = X ( k j ) x +
y{kT)y
(9.95)
dla wszystkich x i y. Równania (9.95) mogą zachodzić t y l k o wtedy, jeśli poszczególne składowe są od dzielnie równe, gdyż. np. dla x = 0 otrzymujemy (k\)y = (fcR)v = (&t)v,
(9.96)
(fc i).t =
(9.97)
a dla y = 0 ( £ r ).< =
( ^ t ).v
421
9.3. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU MATERIALNYM
Możemy bez utraty ogólności tak wybrać osie układu współrzędnych, żeby k| leżało w płaszczyźnie xz (czyli (k\)Y —0) i zgodnie z (9.96) w płaszczyźnie tej będą także kR i kj. Wniosek: Pierwsze prawo: Wektory falowe fali padającej, odbitej i przechodzącej leżą w tej samej płaszczyźnie (zwanej płaszczyzną padania) wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną do płaszczyzny (tu oś z). Z równania (9.97) wynika dodatkowo, że k\ sin tfi = kR sin 0R = ky sin O?,
(9.98)
gdzie 0\ jest kątem padania. Or — kątem odbicia i Oy — kątem przejścia, znanym bardziej pod nazwą kąt załamania, wszystkie mierzone względem normalnej (rys. 9.14). Po uwzględnieniu (9.92) otrzymujemy Drugie prawo: Kąt padania jest równy kątowi odbicia (9.99)
(h = 0R. Jest to prawo odbicia. Dla kąta załamania otrzymujemy: Trzecie prawo: sin(>r sintfi
(9.100)
n2
Jest to prawo załamania lub prawo Snella. Są to trzy podstawowe prawa optyki geometrycznej. Warto zauważyć, jak w małym stopniu była dla nich istotna elektrodynamika: specyficzne warunki graniczne są jeszcze przed nami, gdyż. wykorzystaliśmy dotąd tylko ich ogólną postać (9.93). Można się więc spodziewać, że dowolne inne fale (np. fale wodne, fale dźwiękowe) przy padaniu na granicę dwóch ośrodków będą spełniały te same „optyczne” prawa. Po skróceniu funkcji wykładniczych ze względu na (9.94) możemy warunki gra niczne (9.74) zapisać w postaci: (O
(ii) (iii) (iv)
* i(E 0l 4- Eolt)z = *2(E o,)-,
(Bo, + Bo«)z = (Bor)z, (E0| + K0|().V,y — ( E ( ) , ) . r . y , Mi
(Bo, +B ou).r,v =
M2
(9- '0l)
(Bor )■*,>•»
przy czym w każdym przypadku B() = (l/u )k x E0. (Ostatnie dwa wiersze przedstawiają pary równań: jedno dla składowej .v, drugie dla składowej y).
9. FALb tLbKI KUMAGNbTYCZNE
422
Załóżmy, że polaryzacja fali padającej jest równoległa do płaszczyzny padania (płaszczyzny xz na rys. 9.15). Wtedy (zob. zad. 9.14) fale odbita i przechodząca są także spolaryzowane w tej płaszczyźnie. (Przypadek polaryzacji prostopadłej do płasz czyzny padania zostawimy jako zadanie (zob. zad. 9.16)). Wtedy z (i) mamy f i(—R0i sinO| -I- E0r sin Or) = *2(—
sin 9j).
(9.102)
Wzór (ii) nic wnosi nic (0 = 0), gdyż pola magnetyczne nie mają składowych z. Z (iii) wynika ( £ 0l cosOi + £ ()k cos 0r ) = Eavcos Ot,
(9.103)
1 (E o, — E oK) = Fot. /i i Uj ti2v2
(9.104)
a z (iv) otrzymujemy
Ze względu na prawa odbicia i załamania, równania (9.102) i (9.104) redukują się do E* - E0r = p E ^
(9.105)
a M\ V \ H \n 2 P = ------= --------, p 2v2 p 2n\
(9.106)
gdzie (jak poprzednio)
a równanie (9.103) przybiera postać E o, + E or = otE(h ,
(9.107)
gdzie (X =
cos Ot cos Oj
(9.108)
423
9.3. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU MATERIALNYM
Rozwiązując równania (9.105) i (9.107) dla amplitud odbitej i przechodzącej, otrzy mujemy p
—(a
J7n
£
— ,f 2 U { « + ( * ) 0r
(9.109)
Wzory te są znane jako równania Fresnela dla polaryzacji w płaszczyźnie padania. (Są także dwa inne równania Fresnela, określające amplitudy fal odbitej i przechodzącej, gdy polaryzacja jest prostopadła do płaszczyzny padania — zob. zad. 9.16). Zauważmy, że fala przechodząca jest zawsze zgodna w fazie z falą padającą, a fala odbita jest albo zgodna w fazie, gdy a > albo przesunięta w fazie o 180°, gdy a < fi? Amplitudy fal przechodzącej i odbitej zależą od kąta padania, gdyż, a jest funkcją kąta 9\ yj 1 - sin2 Oj _ yj\ - [(n \/n 2)s\n0\\2 (9.110) cos 0\ cos G\ W przypadku padania prostopadłego {6\ = 0) mamy a = 1 i odtwarzamy wzór (9.82). Przy padaniu stycznym (0\ — 90°) mamy a rozbieżne i fala ulega całkowitemu odbiciu (fakt ten odczuwają przykro wszyscy, którzy prowadzą samochód nocą po mokrej dro dze). Interesujące jest istnienie kąta pośredniego Oh (zwanego kątem Brewstera), przy którym fala odbita jest całkowicie stłumiona910. Zgodnie ze wzorem (9.109) występuje to. gdy a = fi, czyli ^ sin Oh =
(«l/«2)2
(9.111)
W typowym przypadku fi\ = fj.2 i wtedy fi = n^jn\, sin29B = $ 2/( l + fi2), a stąd tg% = — . (9.112) ni Na rysunku 9.16 mamy wykres zależności amplitud fal przechodzącej i odbitej od kąta 0i dla światła padającego na szkło (nj = 1,5) z powietrza (/z i = 1). (Ujemna liczba na wykresie wskazuje, że fala jest przesunięta w fazie o 180c względem fali padającej i sama amplituda jest równa wartości bezwzględnej tej liczby). Moc fali padająca na jednostkę pola powierzchni granicznej wynosi S • ż. Stąd natężenie fali padającej wynosi /| = ifiU i^ c o s tfi, (9.113) 9Istnieje nieusuwalna niejednoznaczność w określeniu fazy fali odbitej, gdyż (jak mówiliśmy już w przypisie 2) zmiana znaku wektora polaryzacji jest równoważna z przesunięciem fazowym o 180°. Umowa przyjęta na rys. 9.15, z natężeniem ER skierowanym „do góry", jest zgodna z wieloma, choć nic ze wszystkimi, standardowymi podręcznikami z optyki. l0Ponieważ fale spolaryzowane p r o s to p a d le do płaszczyzny padania nie wykazują takiego wygasze nia składowej odbitej, więc dowolna wiązka padająca pod kątem Brewstcra prowadzi do wiązki odbitej ca łko w icie spolaryzowanej lównolegle do płaszczyzny granicznej. Dlatego właśnie okulary polaryzacyjne z pionową osią przejścia pomagają zredukować odblask z powierzchni poziomej.
9. HALL ELEKTROMAGNETYCZNE
424
Rys. 9.16
podczas gdy natężenia fal odbitej i przechodzącej wynoszą /r =
5 6 ilm£or
cos 0 r ,
/t = {c2v2E lv c
o
s
(9.114)
(Pojawiają się tu funkcje cosinus, gdyż mówimy o średniej mocy na jednostkę pola po wierzchni granicznej, a powierzchnia ta jest ustawiona pod kątem do czoła fali). Współ czynniki odbicia i przejścia fal spolaryzowanych równolegle do płaszczyzny padania wynoszą (9.115) T =
h 7i
(9.116)
Współczynniki te (dla granicy powietrzc-szkło) są przedstawione jako funkcje kąta pa dania na rys. 9.17. R jest ułamkiem energii padającej, która zostaje odbita, i naturalnie maleje do zera dla kąta Brewstera. T jest ułamkiem energii, która przechodzi, i dąży do
Rys. 9.17
9.4. ABSORPCJA I DYSPERSJA
425
1 dla 0R. Zauważmy, że R + T = 1, czego wymaga zasada zachowania energii: energia osiągająca w jednostce czasu dany wycinek powierzchni jest równa energii opuszczającej w jednostce czasu ten wycinek.
Zadanie 9.15. Załóżmy, że Ae'“* + Bt'hx = C tlcx dla pewnych niezerowych stałych A, B, C, a, b, c i dla wszystkich x. Udowodnić, że a — b — c \ A + B — C. ! Zadanie 9.16. Przeanalizować wypadek polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania (czyli pól elektrycznych w kierunku osi y na rys. 9.15). Nałożyć warunki graniczne (9.101) i otrzymać równania Fresnela dla E0u i £<>,.. Naszkicować zależności (E0tt/E 0l) i (Eih/E {)l) od Q\ dla fi = n2/ti\ = 1,5. (Zwrócić uwagę, że dla tej wartości fi fala odbita jest zawsze przesunięta w fazie o 180°). Wykazać, że nie ma kąta Brewstera przy dowolnych u, i n2, czyli że amplituda E0k nigdy nie jest równa zeru (chyba że oczywiście ti\ — n2 i p\ — p 2i czyli oba ośrodki są optycznie nieodróżnialne). Sprawdzić, że otrzymane równania Fresnela przybierają poprawną postać dla padania prostopadłego. Obliczyć współczynniki odbicia i przejścia oraz sprawdzić, że sumują się do 1. Zadanie 9.17. Współczynnik załamania diamentu wynosi 2,42. Zrobić wykres analogiczny do rys. 9.16 dla granicy powietrze-diament. (Założyć = fi2 = p 0). Obliczyć w szczególności amplitudy: (a) przy padaniu prostopadłym, (b) przy kącie Brewstera i (c) przy kącie „przecięcia”, gdy amplitudy fal odbitej i przechodzącej są równe.
9.4. Absorpcja i dyspersja 9.4.1. Fale elektromagnetyczne w przewodnikach W paragralic 9.3.1 przyjęliśmy, że gęstość ładunku swobodnego psw i gęstość prądu swobodnego J sw są równe zeru i wszystkie następne wywody były oparte na tym za łożeniu. Ograniczenie to jest w pełni uzasadnione, gdy omawiamy rozchodzenie się fal w próżni lub w ośrodkach dielektrycznych, jak np. w szkle lub (destylowanej) wodzie. W wypadku przewodników nie kontrolujemy niezależnie przepływu ładunku i w ogólności Jsw nie jest z pewnością równe zeru. Rzeczywiście, zgodnie z prawem Ohma, gęstość (swobodnego) prądu w przewodniku jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego Jsw —
E .
(9.117)
Przy tym założeniu równania Maxwella w ośrodkach liniowych przybierają postać (i) (ii)
V • E = - p sw, 6
(9.118)
V B = 0,
Z równania ciągłości dla ładunku swobodnego (9.119)
426
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
łącznic z prawem Ohma i prawem Gaussa (i), otrzymujemy dla jednorodnego ośrodka liniowego równanie 9psw CT —— = —a(V • E) ---- pswi Ot
(
z czego wynika (9.120)
P™(0 = e (o/°'psw(0).
Dowolna początkowa gęstość ładunku swobodnego psw(0) zanika więc z czasem charak terystycznym r = e /o . Jest to odbiciem znanego faktu, że jeśli wprowadzimy pewien ładunek swobodny do przewodnika, to rozpłynie się on na brzegi. Czas charakterystyczny r stanowi miarę „dobroci” przewodnika: dla „doskonałego” przewodnika a — oo i r = 0; dla „dobrego” przewodnika czas r jest znacznie krótszy od innych czasów charaktery stycznych w rozważanym zagadnieniu (dla układów drgających r <śC 1/co): dla „słabego” przewodnika czas r jest znacznie dłuższy od charakterystycznych czasów w rozważanym zagadnieniu (r \/o)) 11. Nie jesteśmy obecnie zainteresowani tym przejściowym za chowaniem i czekamy na zniknięcie całego zgromadzonego ładunku swobodnego. Od tego momentu psw = 0 i mamy (i)
V • E = 0,
3B
(iii)
V x E = —— , dt 3E (ii) V • B = 0, (iv) V x B = /Z6----- h ixo E dt Powyższe równania różnią się od równań dla ośrodków nieprzewodzĄcych (9.67) tylko ostatnim członem w (iv). Działając, jak poprzednio, rotacją na (iii) i (iv), otrzymujemy zmodyfikowane rów nania falowe dla E i B „ 32E 9E 92B 9B M =, A B = ,9.122) Dopuszczalne są rozwiązania tych równań w postaci fal płaskich E(z, 0 = Eoei(fc- " ° ,
B(z, t) = B0ei(*z-
(9.123)
ale tym razem „liczba falowa” k jest zespolona i k2 — ti€co2 + \ficro),
(9.124)
co wynika z podstawienia (9.123) do (9.122). Obliczając pierwiastek, otrzymujemy k = k + itc,
(9.125)
11N. Ashby (A m . J. Phys. 43, 553 (1975)) pokazał, że dla dobrych przewodników czas r jest absur dalnie krótki (dla miedzi I0~l9s, podczas gdy czas między zderzeniami wynosi r/x| = 10 l4s). Problem polega na tym, że prawo Ohma nie jest poprawne w skali czasowej mniejszej niż r,j, i czas potrzebny na rozmycie się ładunku swobodnego w dobrym przewodniku jest rzędu r/d, a nie r. H. C. Ohanian (Am. J. Phys. 51, 1020 (1983)) wykazał dodatkowo, że czas na osiągnięcie równowagi dla pól i prądów jest nawet dłuższy. Problemy te nie są jednak istotne dla naszych rozważań, bo gęstość ładunku swobodnego w przewodniku w k o ń c u zanika, a znajomość czasu tego zanikania nie jest potrzebna.
y.4. ABbOKPUA I UYbHERSJA
427
gdzie (9.126) Część urojona wielkości k prowadzi do tłumienia fali (malenia amplitudy zc wzro stem z) F.(z, t) = E o e ^ e 1^ * , B(z, t) = B0e- *Iei(**- ®f). (9.127) Odległość, na jakiej amplituda fali maleje e-krotnie (prawic 3 razy), nazywa się głębo kością wnikania d= K
(9.128)
i jest miarą wnikania fali do przewodnika. Część rzeczywista wielkości k określa tymcza sem w zwykły sposób długość fali, prędkość rozchodzenia się i współczynnik załamania 2 jz
co
ck
(9.129)
Tłumione fale płaskie (9.127) spełniają zmodyfikowane równanie falowe (9.122) dla dowolnych wartości Eo i Bo. Ale równania Maxwella (9.121) nakładają dodatkowe ograniczenia, które pozwalają określić względne amplitudy, fazy i polaryzacje E i B. Podobnie jak poprzednio, wzory (i) i (ii) usuwają składowe z — pola są poprzeczne. Możemy lak zorientować nasze osie, aby natężenie E było spolaryzowane wzdłuż osi x E(z, /) = £ 0e ' Kei(h- “' )x.
(9.130)
Wtedy z równania (iii) otrzymujemy B(z, t) = - £ 0e~*IeMłl“" ,)y.
(9.131)
CO
(Z równania (iv) wynika to samo). Ponownie E i B są do siebie prostopadłe. Wielkość k , podobnie jak dowolną liczbę zespoloną, można wyrazić przez jej moduł i fazę k = /ćei0, (9.132) gdzie (9.133)
K — \k\ = y/k2 4- k2
(9.134)
cp = aretg
Zgodnie z (9.130) i (9.131) amplitudy zespolone E q = EociSt i B q = Bqc'Sb są związane zależnością Ke'* Bac"*" = ------ £ 0el4Ł. (9.135) CO
428
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Widać wyraźnie, żc pola E i B nie są ze sobą w fazie, albowiem h-h= (t>
(9.136)
i pole magnetyczne opóźnia się względem pola elektrycznego. Amplitudy (rzeczywiste) wielkości E i B są powiązane wzorami
Rzeczywiste E i B mają ostatecznie postać E(z, t) = EqC kz cos (kz —cot 4- Se)
x,
B(z, t) = Bę\t~KZcos (kz - cot 4- Se + 0) y.
(9.138)
Pola te są przedstawione na rys. 9.18.
Rys. 9.18
Zadanie 9.18
(a) Załóżmy, że wprowadziliśmy pewne ładunki swobodne do kawałka szkła. Po jakim czasie ładunki dopłyną do powierzchni? (b) Srebro jest doskonałym przewodnikiem, ale jest drogie. Załóżmy, że projektujemy eksperyment mikrofalowy działający przy częstości 1010 Hz. Jak grube winniśmy zrobić osłony ze srebra? (c) Znaleźć długość fali i prędkość jej rozchodzenia się w miedzi fal radiowych o częstości 1 MHz. Porównać z odpowiednimi wartościami w powietrzu (lub próżni). Zadanie 9.19 (a) Wykazać, że głębokość wnikania do słabego przewodnika {o <&coc) wynosi (2/a)yfcjji (niezależnie od częstości). Znaleźć głębokość wnikania (w metrach) dla (destylowanej) wody. (b) Wykazać, że głębokość wnikania dla dobrego przewodnika (er co*) wynosi X/(2ji), gdzie a jest długością fali w przewodniku. Znaleźć głębokość wnikania (w nanometrach) dla typowego metalu (o ^ 107 (ft-m)"1) w obszarze widzialnym (co = 1015 s '), przyjmując e & e0 i p *3 p0. Dlaczego metale są nieprzezroczyste? (c) Wykazać, że w dobrym przewodniku pole B opóźnia się w stosunku do pola E o 45: i obliczyć stosunek ich amplitud. Do obliczeń liczbowych użyć „typowego metalu” z (b).
9.4. ABSORPCJA I DYSPERSJA
429
Zadanie 9.20 (a) Obliczyć (uśrednioną po czasie) gęstość energii płaskiej fali elektromagnetycznej w oś rodku przewodzącym (9.138). Wykazać, że zawsze dominuje wkład od pola magnetycznego. |Odpowiedź: (k1/ (2^(o2))Elt~lKZ.) (b) Wykazać, ze natężenie tali wynosi (k/(2/z&;))E2e 2*\
9.4.2. Odbicie na powierzchni przewodzącej Warunki graniczne, których używaliśmy do analizy odbicia i załamania na granicy mię dzy dwoma dielektrykami, przestają być poprawne w obecności swobodnych ładunków i prądów. Zachodzą wtedy bardziej ogólne związki (7.63): (i) (ii)
- e2E£ =
(iii)
B,1 - B,x = 0,
(iv)
- E" = 0 , ,| 1 i. — B ------ B. - K sw x ń , Ml M2
Ej
1
(9 .1 3 9 )
przy czym a sw (nic mylić z przewodnością właściwą) jest gęstością swobodnego ła dunku powierzchniowego, Kswjest gęstością swobodnego prądu powierzchniowego i ń (nie mylić z wektorem polaryzacji fali) jest jednostkowym wektorem prostopadłym do powierzchni, skierowanym z ośrodka (2) do ośrodka (1). Dla przewodników spełnia jących prawo Ohma (Jsw =
B,(z, t) = - £ 0lei(^ " (O()y.
v\
(9.140)
Fala padająca powoduje powstanie fali odbitej Er(z. t) = £ 0kei(- ^ - < ^ x ,
Br (z, t) =
(9.141)
V\
poruszającej się do tyłu w lewo w ośrodku (1), i fali przechodzącej E r (z, t) -
B r(z, /) _
y,
(9.142)
CO
która jest tłumiona przy rozchodzeniu się w przewodniku. Dla z = 0 wypadkowa fala w ośrodku (1) musi łączyć się z falą w ośrodku (2), spełniając warunki graniczne (9.139). Ponieważ £ i = 0 z obu stron, więc z warunku granicznego (i) wynika a sw = 0. Ponieważ B1 = 0, więc warunek (ii) jest spełniony automatycznie. Z warunku (iii) mamy £o, + £ 0r = E qt ,
(9.143)
430
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
a z warunku (iv) (z Ksw = 0) wynika fl\V \
(£o, —e 0r)
(9.144)
— £or = 0
1X2(0
lub (9.145)
£o, - £ or = gdzie
(9.146)
3 - ILlU) Rozwiązanie tego układu równań ma postać ' \ - f
£o„ = i
+P,
Eor
) f o ,.
Eoj =
(9.147)
1+0
Wyniki są formalnie identyczne z wynikami, które stosują się do granicy między nieprzewodzącymi ośrodkami (9.82), ale podobieństwo jest złudne, gdyż fi jest obecnie liczbą zespoloną. Dla doskonałego przewodnika (o = oo) z (9.126) mamy ki = cc i /J jest nieskoń czona, skąd E0r = - E 0l> Eor = 0. (9.148) W tym przypadku fala zostaje całkowicie odbita z przesunięciem fazowym 180'. (Do skonałe przewodniki dlatego właśnie tworzą dobre zwierciadła. W praktyce nakłada się cienką warstwę srebra na tylną powierzchnię szklanej szyby — szkło nie ma nic wspól nego z odbiciem i jest tylko po to, by można było nałożyć srebro i zabezpieczyć je przed zmatowieniem. Ponieważ głębokość wnikania dla srebra przy częstościach optycznych jest rzędu 100 A, więc warstwa nie musi być bardzo gruba).
Zadanie 9.21. Obliczyć współczynnik odbicia światła o częstościach optycznych (a) = 4 • 1015 s ') na granicy powictrze-srebro (/x, = fx2 = cr = 6 • 107 (Q • m)"1).
9.4.3. Zależność przenikalności elektrycznej od częstości W poprzednich paragrafach widzieliśmy, że rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w materii określone jest przez trzy właściwości ośrodka materialnego: przenikalności elektryczną e i magnetyczną /z oraz przewodność właściwą
431
9.4. ABSORPCJA I DYSPERSJA
długość fali (w powietrzu) A[A] Rys. 9.19
Gdy tylko prędkość fali rozchodzącej się w ośrodku zależy od jej częstości, wówczas taki ośrodek nazywa się dyspersyjnym12. Ponieważ fale o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami w oś rodku dyspersyjnym, więc rozchodząca się fala, zawierająca częstości z pewnego prze działu, będzie zmieniać swój kształt. Fala z ostrym maksimum zwykle się rozmywa i jeśli każda ze składowych sinusoidalnych rozchodzi się ze zwykłą prędkością falową (lub fazowy) v= k to paczka falowa jako całość przesuwa się z prędkością grupową13 dco
(9.149)
(9.150)
[Możemy to pokazać przez rzucenie kamienia do stawu i obserwację powstałych fal. Podczas gdy zaburzenie jako całość rozchodzi się koliście z prędkością t»g, tworzące je falowania rozchodzą się dwa razy szybciej (w tym przypadku v = 2ug). Powstają one z tyłu paczki, rosną przy przesuwaniu się do środka i znów maleją, i zanikają na czole fali (rys. 9.20)]. Nie będziemy się tutaj tym zajmowali — ograniczymy się do fal monochromatycznych, dla których problem ten się nie ujawnia. Warto jednak podkreślić, że energia przenoszona przez paczkę falową w ośrodku dyspersyjnym przemieszcza się zwykle z prędkością grupową, a nie z prędkością fazową. Nie martwmy się więc zbytnio, jeśli w pewnych okolicznościach prędkość fazowa u okazuje się większa niż c.14 12Nawiasem mówiąc, przewodniki są też dyspersyjne — zob. (9.126), (9.129). l3Zobacz A. P. French, Vibrations and Waves, W.W. Norton & Co., New York 1971, s. 230 lub F. S. Crawford Jr, Waves, McGraw-Hill, New York 1968, §6.2 [dum. polskie: Fale, PWN, Warszawa 1972, § 6. 2] . 14Nawet prędkość grupowa może w szczególnych wypadkach przekroczyć c — zob. P. C. Peters, Am. J. Phys. 56, 129 (1988). Nawiasem mówiąc, jeśli dwie różne „prędkości światła” nas nie zadowalają, to warto zajrzeć do artykułu J. S. Blocha, Am. J. Phys. 45, 538 (1977), gdzie zidentyfikowano nie mniej niż osiem różnych prędkości!
432
9. FALE ELEKTROMAGNEIYC.ZNE
Celem tego paragrafu jest uzasadnienie zależności przcnikalności e od częstości w ośrodkach nieprzewodzących przy użyciu uproszczonego modelu służącego do opisu zachowania się elektronów w dielektrykach. Jak w wypadku wszystkich klasycznych modeli zjawisk w skali atomowej jest to co najwyżej przybliżone wyjaśnienie, lecz daje zadowalające jakościowo wyniki i dostarcza sensownego mechanizmu dyspersji w ośrodkach przezroczystych.
W ośrodku nieprzewodzącyrn elektrony są związane z poszczególnymi cząstecz kami. Rzeczywiste siły wiążące mogą być dość złożone, ale tu przyjmiemy, że każdy elektron znajduje się na końcu wyimaginowanej sprężyny o współczynniku sprężystości *spr (rys. 9.21) (9.151) wiąz = —ksprx = —mcolx. gdzie x jest wychyleniem z położenia równowagi, m jest masą elektronu i coq = vA'spr/m jest naturalną częstością drgań własnych. [Nasze wątpliwości w związku z tym modelem może zmniejszyć powrót do przykł. 4.1, w którym uzyskaliśmy wzór na siłę dokładnie tej postaci. W rzeczywistości praktycznie każdą siłę wiążącą dla dostatecznie małych wychyleń z położenia równowagi można w ten sposób przybliżyć, co można uzasadnić przez rozwinięcie energii potencjalnej w szereg Taylora wokół położenia równowagi U(x) = U (0) + x U\ Q) + |jc2(/"(0) + ...
Pierwszy człon jest stały i nie ma znaczenia dynamicznego (można zawsze tak wycechować energię potencjalną, aby V (0) = 0). Drugi człon automatycznie znika, gdyż dU/dx — —F i z definicji równowagi siła w położeniu równowagi jest równa zeru. Trzeci człon odpowiada dokładnie energii potencjalnej sprężyny o współczynniku sprężystości &spr = d2U /dx2\o (druga pochodna jest dodatnia w punkcie równowagi trwałej). Do póki wychylenia z położenia równowagi są małe, dopóty wyższe człony szeregu można
433
9.4. ABSORPCJA I DYSPERSJA
zaniedbać. Geometrycznie wszystko to oznacza tylko tyle, że dowolną funkcję można przybliżyć w pobliżu minimum przez odpowiednią parabolę]. Zwykle na elektron działa także pewna siła tłumiąca Fthm =
at
(9.152)
|Jest to najprostsza możliwa postać tej siły — tłumienie musi być skierowane przeciwnie do prędkości i najłatwiej to spełnić, przyjmując proporcjonalność do niej. Przyczyna tłu mienia nie jest tu dla nas istotna— między innymi drgający ładunek promieniuje, a pro mieniowanie zabiera energię. Takie „tłumienie promieniste” obliczymy w rozdziale 11]. W obecności fali elektromagnetycznej o częstości co spolaryzowanej w kierunku osi x (rys. 9.21) na elektron działa siła wymuszająca Fwym = q E = qE 0cos(cot),
(9.153)
gdzie ą jest ładunkiem elektronu i Eqjest amplitudą fali w punkcie z, w którym znajduje się elektron. (Ponieważ jesteśmy zainteresowani jednym punktem, wybraliśmy chwilę początkową tak, aby E osiągało maksimum w / = 0). Wprowadzając to wszystko do drugiej zasady dynamiki Newtona, otrzymujemy m
d2x _ d/2
= Fcafk = * wiąż “1“ F[|um "i" ‘ wymi
czyli dw djr (9.154) m — - + m y — + ma)0x = qE 0cos{cot). at1 at Nasz model opisuje więc elektron jako tłumiony oscylator harmoniczny z siłą wymu szającą o częstości co. (Zakładamy, że znacznie cięższe jądra atomowe pozostają w spoczynku). Równanie (9.154) jest łatwiej analizować, jeśli potraktujemy je jako część rzeczy wistą równania zespolonego d2-* .
..,2 * _ « F „-i* Y T T + <*>ox ~ — E0c dt m W stanic ustalonym układ drga z częstością wymuszającą 7 7
d /2
+
x(t) = io e -4*".
(9.155)
(9.156)
Wstawiając to do równania (9.155), otrzymujemy xo =
ąjm
■E0. iyco
Moment dipolowy elektryczny jest częścią rzeczywistą wyrażenia O/ q -/m ■E0c -1(Ot p ( 0 = qx(t) = coL — i yco cOn
(9.157)
(9.158)
434
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Człon urojony w mianowniku oznacza, że p jest przesunięte w fazie względem E — opóźnia się o kąt arctg [yco/(co^ — co2)], który jest bardzo mały, jeśli co <&cno, i rośnie do 7t dla co coq. W ogólności różnie położone elektrony w danej cząsteczce charakteryzują się róż nymi częstościami własnymi i współczynnikami tłumienia. Niech w każdej cząsteczce będzie fj elektronów o częstości coj i współczynniku tłumienia yj. Jeśli w jednostce objętości jest N cząsteczek, to polaryzacja F jest równa części rzeczywistej wielkości15
m
y "
.
f
co j — c o L
.
u
iy j(o J
(9.159)
Podatność elektryczna była zdefiniowana jako współczynnik proporcjonalności między P i E (ściślej P = 6oXeE). Obecnie P nie jest proporcjonalne do E (nie jest to, ściśle mówiąc, ośrodek liniowy) ze względu na przesunięcie fazowe. Zespolona polaryzacja P jest jednak proporcjonalna do zespolonego E i sugeruje to wprowadzenie zespolonej podatności elektrycznej xc opisanej wzorem P = e0XeE.
(9.160)
We wszystkich rozważaniach przyjmowaliśmy, że fizyczna polaryzacja jest częścią rze czywistą wielkości P, podobnie jak fizyczne natężenie pola elektrycznego jest częścią rzeczywistą wielkości E. W szczególności proporcjonalność między D i E prowadzi nas do zdefiniowania zespolonej przenikalności elektrycznej e = €o(l + Xe) i zespolona względna przenikalność elektryczna (w tym modelu) jest równa €r — 1 -ł-
N r me o “
_____ h _____ coj — co2 — iyjco
(9.161)
Zwykle człon urojony jest zanicdbywalny, ale gdy co jest bardzo bliska częstości rezo nansowych (Oj, wtedy, jak zobaczymy, odgrywa ważną rolę. W ośrodku dyspersyjnym równanie falowe dla danej częstości przybiera postać ~ AE = i ma rozwiązania w postaci fal płaskich
32E
(9.162)
E(z, t) = Eoe1^ - " '0
(9.163)
k = yjepo co.
(9.164)
z zespoloną liczbą falową Wyrażając k przez części rzeczywistą i urojoną k — k -\- itc.
(9.165)
15Wzór ten stosuje się w wypadku rozrzedzonego gazu. Dla gęstszych ośrodków teoria musi zo stać nieco zmodyfikowana, zgodnie z równaniem Clausiusa-Mossotticgo (zad. 4.38). Przy okazji, nie należy mylić ..polaryzacji” ośrodka P z „polaryzacją” fali — to samo słowo ma dwa zupełnie niezależne znaczenia.
435
9.4. ABSORPCJA I DYSPERSJA
otrzymujemy równanie (9.163) w postaci
E (z, t) = E0e-KZe'ikz-(on.
(9.166)
Okazuje się, że fala jest tłumiona (nie jest to zaskoczeniem, gdyż absorpcja energii prowadzi do tłumienia). Ponieważ natężenie fali jest proporcjonalne do F2 (i stąd do e “KZ), więc wielkość a = 2k (9.167)
współczynnikiem absorpcji. Prędkość
nazywa się i współczynnik załamania jest równy
fazowa wynosi tymczasem co/k
ck n = —. (9.168) co Użyliśmy rozmyślnie podobnej notacji jak w paragrafie 9.4.1, ale obecnie k i ze nie mają nic wspólnego z przewodnością i właściwie są określone przez parametry naszego tłumionego oscylatora harmonicznego. Dla gazów drugi człon w (9.161) jest mały i pierwiastek kwadratowy z (9.164) możemy przybliżyć przez pierwszy wyraz w rozwinięciu dwumianowym >/l 4- * = 1 + j f , wtedy _____ fj______ co2 —co2- —iyjco
(9.169)
+ ,ur Y ' fj ( (0j - ° }2') 2mto “ (co2 — co2)2 + y 2co2
(9.170)
2meo czyli ~
co
i
~ nCł 2(°2 y. fjYj meoc J (co2 — co2)2 +
(9.171) y f (l)2
Na rysunku 9.22 przedstawiono wykres współczynników załamania i absorpcji w otoczeniu jednej z częstości rezonansowych. Współczynnik załamania zwykle rośnie ze wzrostem częstości, zgodnie z naszymi obserwacjami z optyki (rys. 9.19). Jednak w bezpośrednim otoczeniu częstości rezonansowej współczynnik załamania gwałtow nie maleje. Ze względu na nietypowość tego zachowania mówimy wtedy o Zauważmy, że obszar dyspersji anomalnej (co\ < co < a>i na rysunku) pokrywa się z obszarem maksymalnej absorpcji i w rzeczywistości ośrodek może być praktycznie nieprzezroczysty w tym obszarze częstości. Przyczyną jest pobudzanie elek tronów z ich „ulubionymi” częstościami — amplituda ich drgań jest wtedy względnie duża i odpowiednio duża ilość energii jest tracona w wyniku tłumienia. Na rysunku 9.22 współczynnik załamania n maleje poniżej 1 powyżej częstości rezonansowej, co sugeruje, że prędkość fazowa przekracza c. Jak wspominaliśmy wcze śniej, nie jest to powodem do alarmu, gdyż energia nie porusza się z prędkością fazową, lecz z prędkością grupową (zob. zad. 9.25). Dodatkowo wykres przedstawiony na ry sunku nie uwzględnia wkładów od innych członów sumy, które dodają względnie stałe
anomalnej.
dyspersji
<136
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
„tło” i w niektórych wypadkach zwiększają wartość współczynnika załamania do n > 1 z obu stron częstości rezonansowej. Gdy znajdujemy się z dala od rezonansów, wówczas tłumienie można zaniedbać i wzór na współczynnik załamania upraszcza się:
n = 1+
y -' 2mc0
fj (oj — co7
(9.172)
Dla większości substancji naturalne częstości coj są rozłożone dość chaotycznie w całym widmie. Ale dla ośrodków przezroczystych najbliższe ważne rezonanse leżą zwykle w nadfiolecie i dlatego co < c o W takiej sytuacji
i równanie (9.172) przybiera postać
Po wprowadzeniu długości fali w próżni (X. = 2ttc / co) zamiast wzoru na częstość otrzy mujemy wzór Cauchy’ego n= \+A
(9.174)
437
9.5. FALE PROWADZONE
gdzie stałą A nazywa się stałą załamania, a B — stałą dyspersji. Wzór Cauchy'ego stosuje się dość dobrze do większości gazów w obszarze optycznym. Rozważania przedstawione w tym paragrafie nic wyczerpują oczywiście całej te matyki dyspersji w ośrodkach nieprzewodzących. Pokazują one jednak, jak tłumiony ruch harmoniczny elektronów pozwala wyjaśnić zależność współczynnika załamania od częstości i uzasadnić, dlaczego n jest zwykle wolno rosnącą funkcją częstości co ze sporadycznymi obszarami „anomalnymi”, w których gwałtownie maleje.
Zadanie 9.22 (a) Płytka woda jest ośrodkiem niedyspersyjnym — fale poruszają się z prędkością propor cjonalną do pierwiastka kwadratowego z głębokości. W głębokiej wodzie fale nie „wyczuwają” jednak dna i zachowują się tak, jakby głębokość była proporcjonalna do k. (W rzeczywistości rozróżnienie między „płytką” i „głęboką” wodą zależy od długości fali: jeśli głębokość jest mniejsza od , to woda jest „płytka”; jeśli jest istotnie większa od A., to woda jest „głęboka”). Wykazać, że prędkość fazowa dla głębokiej wody jest dwa razy większa od prędkości grupowej. (b) W mechanice kwantowej cząstka swobodna o masie m, poruszająca się wzdłuż osi .r, opisana jest przez funkcję falową a
t) = Aei(px~E,)/\ gdzie /? jest pędem i E — p2/(2m) — energią kinetyczną. Obliczyć prędkość grupową i pręd kość fazową cząstki. Która z nich odpowiada klasycznej prędkości cząstki? Zauważmy, że prędkość fazowa stanowi połowę prędkości grupowej. Zadanie 9.23. Jaka jest częstość własna dla modelu atomu z przykł. 4.1? Wykonać obliczenia liczbowe. Gdzie w widmie elektromagnetycznym leżałyby takie fale przy założeniu, że promień atomu wynosi 0,5 A? Znaleźć stałe załamania i dyspersji. Porównać je ze zmierzonymi dla wodoru w 0 C przy ciśnieniu atmosferycznym: A = 1, 36 • 10 \ B = 7, 7 • 10 15 m2. Zadanie 9.24. Znaleźć szerokość obszaru dyspersji anomalnej w przypadku pojedynczego re zonansu przy częstości co0, przy założeniu y <£ co0. Wykazać, ze współczynnik załamania osiąga wartości maksymalną i minimalną w punktach, gdzie współczynnik absorpcji jest równy połowie swej maksymalnej wartości. Zadanie 9.25. Zaniedbując tłumienie (/, = 0), obliczyć prędkość grupową (vg = daj/dA) fal opisanych przez (9.166) i (9.169). Wykazać, że ug < c, jeśli nawet v > c.
9.5. Fale prowadzone 9.5.1. Falowody Dotąd zajmowaliśmy się falami płaskimi o nieskończonych rozmiarach, a obecnie roz ważymy fale elektromagnetyczne ograniczone do wnętrza pustej rury, czyli falowodu (rys. 9.23). Założymy, że falowód jest doskonałym przewodnikiem, tak że E = 0 i B = 0
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
438
wewnątrz samego przewodnika i dlatego warunki brzegowe przy wewnętrznej ściance rury mają postać16 „_ . 0) r \ (9.175) (ii) B1 = 0 . ) Na powierzchni falowodu indukują się takie swobodne ładunki i prądy, by te warunki były spełnione. Interesują nas fale monochromatyczne, które rozchodzą się wzdłuż rury, i wobec lego E i B mają ogólną postać
(i)
E(x,
= Eo(-t, y ) t ' i k z ~ u>,), J
(ii)
B (x,y,z,t) =
z, t)
B0(jt,y)ei(*z- W,).
(9.176)
[
(W interesujących nas wypadkach liczba falowa k jest rzeczywista i dlatego pomijamy wężyk). Pola E i B muszą oczywiście spełniać równania Maxwella we wnętrzu falowodu (i)
V • E = 0,
3B x E ——— ,
( i ii )
V
(IV)
1 3E V X B — -r — .
dt
(ii)
V • B = 0,
(9.177)
C2 tit
Zadanie polega więc na znalezieniu takich funkcji E0 i Bo, aby pola (9.176) spełniały równania różniczkowe (9.177) uzupełnione warunkami brzegowymi (9.175).
Jak wkrótce się przekonamy, o g r a n i c z o n e fale n i e są (w ogólności) poprzeczne i speł nienie warunków brzegowych wymaga włączenia składowych podłużnych (F. i fl,)17 Eg — Ex x + Ey y + Ez ż,
B0 = Bx x + By y 4- B: ż,
(9.178)
l6Zobacz równanie (9.139) i zad. 7.42. W doskonałym przewodniku E = 0 i dlatego (z prawa Faradaya) dB/()r = 0. Jeśli założymy, że pole magnetyczne było na początku równe zeru, to pozostanie równe zeru. l7Dla uproszczenia notacji pominiemy wskaźnik 0 i wężyk przy poszczególnych składowych.
9.5. FALE PROWADZONE
439
gdzie każda ze składowych jest funkcją współrzędnych x i y. Po podstawieniu do równań Maxwella (iii) i (iv) otrzymamy (zad. 9.26a) \co 0 Dy dB 9E V 0EX = io)Bz, (iv) — (i) = dx dy ax dy c~ 0E7 ia> (9.179) (ii) —----- i&£v = ia/?,, (v) —----- \kBx = dy dy 0 0 /iia> (ni) i££.v - —- = icoBy. (vi) ikBx - —— - — j £ v. d.v
dx
c1
Z równań (ii), (iii), (v) i (vi) można wyznaczyć Ex, E y >Bx i By: (i) (ii) (iii) (,11) (iv)
i f ,ÓEZ 3BZ\ (co/c)2 / 3 £ i _ 0B: \ i Ey — (oj/ c)2 - k2 V "9 7 " 3* j ’ i / , 95,
(9.180)
Wystarczy więc wyznaczyć składowe podłużne Ez i bo jeśli je znamy, to przez róż niczkowanie możemy szybko wyznaczyć pozostałe. Po podstawieniu (9.180) do pozo stałych równań Maxwella (zad. 9.26b) otrzymujemy niesprzężone równania dla Ez \ Bz: 0) (ii)
r 32 32 2 ,1 l i ? + i ? + * " '* -* ■ ]* ■ -* II2 0.
(9.181)
\ Ł 2 + Ji2+{o}/c)2~ k2\ Bt~
Jeśli Ez = 0, to mówimy o falach poprzecznych elektrycznych (TE) (ang. trans verse electric); jeśli B, — 0, to o falach poprzecznych magnetycznych (TM) (ang. transverse magnetic); jeśli zarówno Ez. = 0 i Bz = 0, to o falach poprzecznych elek tromagnetycznych (TEM) (ang. transverse electromagnetic)18. Okazuje się, że falc TEM nie mogą występować w pustym falowodzie. Dowód: Jeśli E: = 0, to z prawa Gaussa (9.177i) mamy ^
óx
+ ^ = 0 .
dy
a jeśli Bz = 0, to z prawa Faradaya (9.177iii) wynika równanie d Ey d EX = 0.
dx
dy
18W wypadku fal TEM (włączając nieograniczone fale płaskie z podrozdz. 9.2) k = co/r i równania (9.180) stają się nieokreślone — trzeba wrócić do (9.179).
440
9. FALE ELEKTKOMAGNt I YCZNE
Wektor Eo z (9.178) ma więc zerową dywergencję i zerową rotację. Można go zatem zapisać jako gradient potencjału skalarnego, który spełnia równanie Laplace*a. Ale warunek graniczny (9.175) na E wymaga, aby powierzchnia przewodnika była ekwipotencjalna. Ponieważ równanie Laplace’a nie dopuszcza żadnego lokalnego maksimum lub minimum (paragraf 3.1.4), więc potencjał musi być wszędzie stały, a stąd pole elektryczne musi być równe zeru — nie pojawia się żadna fala. To kończy dowód. Zauważmy, że ten argument stosuje się tylko do całkowicie pustej rury — jeśli wzdłuż rury poprowadzimy środkiem oddzielny przewodnik, to potencjał jego powierzchni nic musi być taki sam jak zewnętrznej ścianki i możliwy jest nietrywialny potencjał. Przykład takiego rozwiązania przedstawimy w paragrafie 9.5.3.
Zadanie 9.26 (a) Wyprowadzić wzory (9.179), a następnie otrzymać stąd wzory (9.180). (b) Wstawić (9.180) do równań Maxwella (i) i (ii) oraz otrzymać (9.181). Sprawdzić, że te same wyniki otrzymujemy przy użyciu równań (i) i (iv) z (9.179).
9.5.2. Fale TE w falowodzie prostokątnym Załóżmy, że mamy falowód o przekroju prostokątnym (rys. 9.24) o wysokości a i szero kości b oraz że interesujemy się rozchodzeniem fal TE. Zadanie polega na rozwiązaniu równania (9.18ii) i uwzględnieniu warunków brzegowych (9.175H). Zrobimy to metodą rozdzielenia zmiennych. Jeśli
Bz(x,y) = X(x)Y(y), to Y — + X - + [(co/c)2 - k 2] X Y = 0 . dxz dy l x
v Rys. 9.24
9.b. f-ALfc PROWADZONE
441
Dzielimy przez X Y i zauważamy, że człony zależne od x i y muszą być stałe (0 gdzie
1 d2X v X ^dx22 = ~ kx>
(“ )
I d2Y v . 2 - -k i, Y dv2
- k ] - k\ + (w /c)2 - k2 = 0.
(9.182) (9.183)
Ogólnym rozwiązaniem równania (9.182i) jest X(x) = A sin (kxx ) + B cos (kxx). Ale warunki graniczne wymagają, żeby składowa Bx, czyli pochodna dX/ dx ze względu na (9.180iii), znikała w x = 0 i x = a. Stąd A = 0 i kx = m n / a
(m = 0 ,1 ,2 ,...) -
(9.184)
(n = 0 ,1 ,2 ,...)
(9.185)
Tak samo z analizy Y otrzymujemy ky = rm /b i ostatecznie B: = Bo cos (mux/a) cos (rnty/b).
(9.186)
Otrzymane rozwiązanie nazywa się modem TEmn. (Zgodnie z umową pierwszy wskaźnik dotyczy większego przekroju falowodu, czyli zakładamy a > b. Przynajmniej jeden ze wskaźników musi być niezerowy — zob. zad. 9.27). Liczbę falową k otrzymu jemy przez podstawienie (9.184) i (9.185) do (9.183) k = /( w /c ) 2 - 7t2l(m/fl)2 + (n/b)2l
(9.187)
co < cny/(m/a)2 + ( n/b )2 = 6>mrtł
(9 .1 8 8 )
Jeśli
to liczba falowa jest urojona i zamiast rozchodzącej się fali mamy zgodnie z (9.176) pola tłumione wykładniczo. Z tego powodu comn nazywa się częstością obcięcia dla rozważanego modu. Najniższa częstość obcięcia dla danego falowodu występuje dla modu T E jo: (9.189) ći>io — en ja. Częstości mniejsze od niej w ogóle się nie rozchodzą. Liczbę falową można zapisać prościej przy użyciu częstości obcięcia (9.190)
k Prędkość fazowa wynosi
o>
c
k
/ 1 - (w„,„/w)2
(9.191)
i jesi większa od c. Energia (zob. zad. 9.29) jest jednak przenoszona przez lalę z prędkością grupową (9.150) =
ii
/i
dic/dA)
=
^'\J\
< c.
(9.192)
442
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Istnieje także inny sposób przedstawienia rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w rurze prostokątnej i pozwala on wyjaśnić wiele z tych wyników. Rozważmy zwykłą falę płaską rozchodzącą się pod kątem 0 do osi z i odbijającą sie doskonale od każdej powierzchni przewodzącej (rys. 9.25). W kierunkach x i y (wielokrotnie odbite) fale interferują ze sobą i tworzą fale stojące o długościach Xx = 2a /m i ky = 2b/n (stąd liczby falowe k x = 2 it/k x = itm /a i ky = t t n/b) odpowiednio. W kierunku z pozostaje tymczasem fala rozchodząca się z liczbą falową kz = k. Wektor falowy pierwotnej fali płaskiej wynosi więc nm „ Tin A k' = — x + — y + k z, a b a częstość jest równa co = c\k'\ = cy/k2 + n 2[(m/a)2 + (n/b)2] = y/ick)2 + (comn)2. Tylko pewne kąty prowadzą do jednej z dozwolonych fal stojących cos 0 = — = J~\ (cOnw/^) ■ |k'| V Fala płaska rozchodzi się z prędkością c, ale ponieważ porusza się pod kątem 0 do osi z, więc wypadkowa prędkość wzdłuż falowodu wynosi Vg = C COS 6 = C y j 1 -
(C0m n/C 0 )2.
Z drugiej strony, prędkość fazowa jest prędkością czoła fali (powiedzmy A na rys. 9.25) wzdłuż rury. Podobnie jak przecięcie czoła fali z plażą, porusza się ono szybciej niż same fale i c _ c COS0
f
~
, v2
yj'\ - (0)mn/(0)
Rys. 9.25
Zadanie 9.27. Wykazać, że mod TEqo nie może występować w falowodzie prostokątnym. [Wska zówka: W tym wypadku co/c = ky równania (9.180) są nieokreślone i trzeba wrócić do (9.179). Wykazać, że B. jest stałe i — stosując do przekroju prawo Faradaya w postaci całkowej — otrzymujemy Bc = 0, czyli jest to mod TEM],
44 3
9.5. FALE PROWADZONE
Zadanie 9.28. Rozważmy falowód prostokątny o rozmiarach 2,28 cm x 1,01 cm. Jakie mody TE będą rozchodzić się w tym falowodzie, jeśli częstość wymuszająca wynosi 1,70 1010 Hz? Z jakiego zakresu powinniśmy wziąć częstości, jeśli chcemy wzbudzić tylko jeden mod TE? Ile wynoszą odpowiadające im długości fali (w nieograniczonej przestrzeni)? Zadanie 9.29. Wykazać, że energia w modzie TE„fn rozchodzi się z. prędkością grupową. [Wska zówka: Znaleźć uśredniony po czasie wektor Poyntinga (S) i uśrednioną gęstość energii {u) (można wykorzystać zad. 9.11). Scałkować te wielkości po przekroju poprzecznym falowodu, aby otrzymać energie przypadające na jednostkę czasu i na jednostkę długości, a następnie obliczyć ich stosunek]. Zadanie 9.30. Stworzyć teorię fal TM dla falowodu prostokątnego. W szczególności znaleźć podłużne pole elektryczne, częstości obcięcia oraz prędkości fazową i grupową. Obliczyć stosu nek najniższej częstości obcięcia TM do najniższej częstości obcięcia TE w danym falowodzie. [Uwaga: Jaki jest najniższy mod TM?J
9.5.3. Koncentryczna linia transmisyjna W paragrafie 9.5.1 wykazaliśmy, że w pustym falowodzie nie mogą rozchodzić się fale TEM. Ale w koncentrycznej linii transmisyjnej, składającej się z długiego prostego drutu o promieniu a otoczonego walcową powłoką przewodzącą o promieniu b (rys. 9.26),
mogą rozchodzić się mody z Ez = 0 i B: = 0. W tym wypadku z równań Maxwella (w postaci (9.179)) otrzymujemy k = (o/c (9.193) (czyli fale poruszają się z prędkością c i są niedyspersyjne), cBy = Ex
i
cBx = - E y
(9.194)
(czyli E and B są wzajemnie prostopadłe) i (łącznie z V ■E = 0, V • B = 0) 3Er 3Ey = o, ()x 1 dy i)Bx 3 By + — ■- = 0, dx 3y —
3EX 3Ey — ----- = 0, dx 3y 3 By 3 By = 0. dx 3y
(9.195)
444
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Są tu dokładnie równania elektrostatyki i magnetostatyki dla pustej przestrzeni w dwóch wymiarach. Rozwiązanie o symetrii walcowej możemy bezpośrednio wziąć z zadań z nieskończoną naładowaną nicią i nieskończonymdrutemz prądem i otrzymujemy odpowiednio ^ ^ Eo(s,0 ) = - ś , Bo (s,4>) = -ct> (9.196) S
CS
z pewną stałą A. Po podstawieniu do (9.176) i wzięciu części rzeczywistej otrzymujemy E(.s\ 0, z, t) B(a\ 0. z, t)
A cos (kz —(ot) A -------------------- s, s A cos (kz. —cot) --------------------
(9.197)
Zadanie 9.31. (a) Sprawdzić bezpośrednio, że pola opisane (9.197) spełniają równania Maxwella (9.177) i warunki graniczne (9.175). (b) Znaleźć liniową gęstość ładunku k(z, t) i natężenie prądu /(z, t) dla wewnętrznego przewodnika.
Zadania dodatkowe do rozdziału 9 Zadanie 9.32. „Twierdzenie o odwracaniu” dla translbrmat Fouriera stwierdza, że OO 00 4>(z) =
J
(k)e'k!dk <=> $>(*) = T I
—oe
dz.
(9.198)
-o o
Przy użyciu tego twierdzenia wyrazić A(k) z (9.20) przez /(z , 0) i /(z, 0). [Odpowiedź: (1/2tt) / [/(z, 0) + (i/(o)f(z, 0)]c“'*; dz.] -OO Zadanie 9.33. Załóżmy, że _ . . sinO r . i * co E(r, 0,0, t) = A cos (kr cot) (\/kr)sin(kr cot)
44S
ZADANIA DUDA I KOWfc DO ROZDZIAŁU 9
Zadanie 9.34. Światło o częstości co przechodzi z ośrodka I przez warstwę (o grubości d) ośrodka 2 do ośrodka 3 (np. z wody przez szkło do powietrza, jak na rys. 9.27). Wykazać, że współczynnik przejścia przy padaniu normalnym jest dany wzorem =
— !—
r
(», + « i)2 +
(>r, - n\)(n] - n\)
? ( tiitod \
n\
l—
(9.199)
j.
[Wskazówka: 7 lewej strony mamy falę padającą i falę odbitą; z prawej jest fala przechodząca; w warstwie istnieje fala poruszająca się w prawo i fala poruszająca się w lewo. Wyrazić każdą z tych fal przy użyciu jej amplitudy zespolonej i powiązać amplitudy przez nałożenie odpo wiednich warunków brzegowych na dwóch powierzchniach granicznych. Wszystkie trzy ośrodki są liniowe i jednorodne; przyjąć /z, — p 2 — M 3 = Mo-J
A'( 0
0
0 •
V> p 0 woda
szkło
d powietrze z
Rys. 9.27
Zadanie 9.35. Antena mikrofalowa, promieniująca przy 10 GHz, ma zostać zabezpieczona od otoczenia osłoną plastykową o względnej przenikalności elektrycznej 2,5. Jaka jest minimalna grubość osłony, pozwalająca na doskonałą transmisję (przy założeniu padania normalnego)? [Wskazówka: Wykorzystać (9.199)). Zadanie 9.36. Światło z akwarium (rys 9 27) przechodzi z wody (n — }) przez szklaną ściankę (/i = -) do powietrza (n = 1). Zakładając, że jest ono falą płaską monochromatyczną i pada na ściankę prostopadle, znaleźć minimum i maksimum współczynnika przejścia (9.199). My widzimy rybę wyraźnie, a jak dobrze może ona nas widzieć? !Zadanie 9.37. Zgodnie z prawem Snella wektor falowy k światła przy jego przechodzeniu z ośrodka gęstszego optycznie do rzadszego («, > n2) odchyla się bardziej od normalnej (rys. 9.28). Gdy w szczególności światło pada pod kątem granicznym 0gT = aresin Oh/ri]),
(9.200)
wówczas Oj — 90 i promień przechodzący tylko muska powierzchnię. Jeśli kąt padania 0\ jest większy od to nie ma promienia załamanego i jest tylko promień odbity (jest to zjawisko
9. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
446
Rys. 9.28
całkowitego wewnętrznego odbicia, na którym opierają się światłowody i optyka światłowo dowa). Hola nie są jednak równe zeru w ośrodku 2 — powstaje fala zanikająca, która jest silnie tłumiona i nic przenosi energii do ośrodka 2.19 Falę zanikającą można szybko znaleźć, wypisując po prostu wyniki paragrafu 9.3.3 rila kj = con2/c i kx = kj( sin 0Vx + cos 0Vż); jedyna zmiana polega na tym, że wartość sin Oj = — sin 0X n2 jest obecnie większa od 1, a wartość cos Oy = y 1
sin2Oy = iysin20y
1
jest urojona. (Oczywiście wielkości Oj nie można dalej interpretować jako kąta\) (a) Wykazać, że Er(r, t) = E()le gdzie co i T 7 om k = —J ( n xsinfy)2 —n\ i k = ---- sin#,. cv c
(9.201) (9.202)
Jest to fala rozchodząca się w kierunku x (równoległym do powierzchni!) i tłumiona w kie runku z(b) Zauważyć, że wielkość a (9.108) jest teraz urojona i wykorzystać (9.109) do obli czenia współczynnika odbicia w przypadku polaryzacji równoległej do płaszczyzny padania. [Zauważyć, że otrzymujemy odbicie w 100%, czyli odbicie jest lepsze niż na przewodzącej powierzchni (zob. np. zad. 9.21).] (c) Wykonać te same obliczenia dla polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania (wy korzystać wyniki z zad. 9.16). iyPola zanikające można wykryć przez umieszczenie drugiej powierzchni w bliskiej odległości na prawo od pierwszej; analogicznie do kwantowego tunelowania fala przekracza tę cienką warstwę i pojawia się po prawej stronie. Zobacz F. Albiol, S. Navas, i M.V. Andres, Am. J. Phys. 61, 165 (1993).
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 9
447
(d) W przypadku polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania wykazać, że (rzeczywi ste) pola fali zanikającej mają postać E(r, t) — E0c“*z cos(kx —tut) y, (9.203) co
(e) Sprawdzić, że pola z (d) spełniają równania Maxwella (9.67). (f) Dla pól z (d) skonstruować wektor Poyntinga i wykazać, że średnio energia w ogóle nic przepływa w kierunku z. ! Zadanie 9.38. Rozważyć prostopadłościenną wnękę rezonansową, czyli doskonale przewo dzące puste pudełko utworzone przez zaniknięcie dwóch końców prostokątnego falowodu w z = 0 i z = d. Wykazać, że częstości rezonansowe dla modów TE i TM dane są wzorem
(o,mn = city/ (l/d)2+ (m/a)2+ (n/b)2, z całkowitymi /, m i n. Znaleźć odpowiadające im pola E i B.
(9.204)
Rozdział 10
Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie
10.1. Wprowadzenie potencjałów 10.1.1. P otencjały skalarny i w ek to ro w y W tym rozdziale zbadamy wytwarzanie pól elektromagnetycznych przez, dowolne źródła (p i J), czyli poszukamy ogólnego rozwiązania równań Maxwella (i) (ii)
V • E = — p, V • B = 0,
(iii) (iv)
Vx E=
on dt SE
(
10 . 1)
V X B = fxOJ + /x0ć0—- •
Jeśli znamy p (r, /) i J(r, /), to jakie są pola E(r, t ) i B(r, 0 ? W przypadku statycznym odpowiedź dają prawo Coulomba i prawo Biota Savarta. Szukamy więc uogólnień tych praw na rozkłady zależne od czasu. Nie jest to proste zadanie i opłaca się zacząć od przedstawienia pól E i B przez potencjały. W elektrostatyce równanie V x E = 0 pozwoliło nam zapisać E w postaci gradientu potencjału skalarnego: E = —W . W elektrodynamice nie jest to dalej moż liwe, gdyż rotacja pola E nie jest równa zeru. Dywergencja pola B pozostaje jednak równa zeru i nadal, jak w magnetostatyce, możemy napisać B = V x A.
(
10.2)
Wstawiając to równanie do prawa Faradaya (iii), otrzymujemy
S
V x E = -----(V x A),
ar
czyli
Teraz występuje tu wielkość, której rotacja, w przeciwieństwie do samego pola E, znika,
449
10.1. WPROWADZENIE POTENCJAŁÓW
i można ją zapisać w postaci gradientu skalara E + — = -V I/. ót Przy użyciu V i A mamy więc
(10.3)
Wzór ten redukuje się do poprzedniego, gdy potencjał A jest stały. Przedstawienie pól przy użyciu potencjałów (10.2) i (10.3) powoduje, że dwa jed norodne równania Maxwella (ii) i (iii) są spełnione automatycznie. Jaką postać przyjmą prawo Gaussa (i) i prawo Ampfcre'a-Maxwella (iv)? Wstawiając (10.3) do (i), otrzymu jemy równanie AV + - ( V - A ) = - - p , (10.4) dt *0 zastępujące równanie Poissona (do którego redukuje się w przypadku statycznym). Wsta wiając (10.2) i (10.3) do (iv), dostajemy V x (V x A) = \xoJ
/u0c0V
av'
a2A dt2 ’
dt
co po użyciu tożsamości wektorowej V x (V x A) = V(V • A) — AA i przestawieniu wyrazów daje
I AA -
- V f V • A + M()6»— )
=
- l i oJ.
00.5)
Równania (10.4) i (10.5) zawierają pełną informację zawartą w równaniach Maxwella.
Przykład 10.1 Znaleźć rozkład ładunku i prądu, który prowadzi do potencjałów V=0. gdzie
A= 1 \0
” I*D2*
dla |.v| c c t, dla \x\ > ct,
k je st pew ną stałą, a c — l/^ o M o -
Rozwiązanie: Wyznaczymy najpierw natężenie pola elektrycznego i indukcję pola magne tycznego przy użyciu wzorów (10.2) i (10.3) OA
nok
10. POTENCJAŁY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
450
(plus dla * > 0, minus dla x < 0). Wyrażenia te są poprawne dla | | < ct\ gdy |a| > ct, wówczas E = B = 0 (rys. 10.1). Obliczając odpowiednie pochodne, otrzymujemy a
a
V • E = 0;
V X B = - A*o*
V • B = 0; 3E _ ii0kc ~3t " ~
aB a0k ^ J i = ± — y-
Widzimy natychmiast, że układ równań Maxwella jest spełniony z p i J równymi zeru. Zauwa żamy jednak, że indukcja B jest nieciągła w x = 0, co sygnalizuje obecność prądu powierzch niowego K w płaszczyźnie yz i warunek graniczny (iv) z (7.63) daje kt y = K x x i stąd K = k ti. Mamy więc tutaj jednorodny prąd powierzchniowy, który w t = 0 zaczął płynąć w kierunku osi z po płaszczyźnie x = 0 i narasta proporcjonalnie do t. Widzimy, że pole rozchodzi się (w obu kierunkach) z prędkością światła i nie dociera jeszcze do punktów \x\ > ct, gdzie pozostaje równe zeru.
Zadanie 10.1. Wykazać, że równania różniczkowe (10.4) i (10.5) dla V i A można zapisać w hardziej symetrycznej postaci □w V I dL = -----1p y dt £0 (10.6) □A - VL = —/x0J, gdzie d2 □ = A - jtioćo—
dr
oraz L = V • A 4-
3V
dt
Zadanie 10.2. Rozważyć prostopadłościenne pudełko o długości /, szerokości w i wysokości h, umieszczone w odległości d nad płaszczyzną yz (rys. 10.2). Dla rozkładu pola z rys. 10.1: (a) znaleźć energię pola w pudełku w chwilach /, = d/c i t2 = (d ł h)/c. (b) znaleźć wektor Poyntinga i określić energię na jednostkę czasu wpływającą do pudełka w przedziale czasu /, < t < t2.
10.1. WPROWADZENIE POTENCJAŁÓW
451
(c) scałkować wyrażenie z (b) w przedziale od f, do t2 i sprawdzić, że przyrost energii wyznaczony w (a) równa się energii wpływającej.
10.1.2. Przekształcenia cechowania Równania (10.4) i (10.5) nie są przyjemne i na tym etapie można by uważać, że sformu łowanie potencjalne należy w całości odrzucić. Z drugiej jednak strony, zredukowaliśmy szukanie sześciu wielkości E i B (mających po trzy składowe każda) do czterech: V (jedna składowa) i A (dodatkowe trzy). Równania (10.2) i (10.3) nie określają jedno znacznie potencjałów i możemy nałożyć dodatkowe warunki na V i A? nie zmieniając wcale E i B. Zbadajmy dokładnie, na co pozwala ta swoboda w wyborze cechowania. Załóżmy, że mamy dwa układy potencjałów, (V”, A) i ( V f, A'), które odpowiadają tym samym polom E i B. Jak mogą się one różnić? Napiszmy A' = A + a
i
V' = V + p.
Ponieważ oba potencjały A dają laką samą indukcję B, zatem ich rotacje muszą być równe i stąd V x a = 0. Możemy więc zapisać cy w postaci gradientu pewnej funkcji skalarnej ot =
VA.
Oba układy potencjałów dają także to samo E, zatem dot v /. + ¥ = o. czyli
v („+ D = o .
10. POTENCJAŁY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
452
Człon w nawiasach nie zależy więc od położenia (może jednak zależeć od czasu) i ozna czając go przez k(t), mamy uA P = ~ — + k{t). ot Można więc równie dobrze włączyć k(t) do X, definiując nowe a przez dodanie fu k(t') dt' to starego. Zmiana ta powoduje dodanie tylko k(t) do 3X/3f i nie wpływa na gradient wielkości X. Wynika stąd, że A' = A 4- VX,
Wniosek: Przy dowolnej funkcji skalarnej X możemy więc bezkarnie dodać VX do A, jeśli równocześnie odejmiemy 3X/31 od V. Zmiana ta nic wpłynie na wielkości fizyczne E i B. Takie zmiany potencjałów V i A nazywa się przekształceniami cecho wania. Można je wykorzystać do dobrania dywergencji potencjału A tak, aby uprościć „nieprzyjemne” równania (10.4) i (10.5). W magnetostatyce najwygodniej było wybrać V • A = 0 (zob. równanie (5.61)), lecz w elektrodynamice sytuacja nie jest tak jedno znaczna i najwygodniejszy wybór zależy nieco od rozważanego problemu. W literaturze znanych jest wiele cechowań ograniczymy się do rozważenia dwóch najbardziej po pularnych.
Zadanie 10.3. Znaleźć pola E i B oraz rozkłady ładunku i prądu odpowiadające potencjałom V(r, 0 = 0,
A(r, /) =
~ r. 4tt£0 r2 Zadanie 10.4. Załóżmy, że V = 0 i A = A0sin(kx —cot) y, gdzie A0,co i k są stałe. Znaleźć E i B oraz sprawdzić, jaki warunek należy nałożyć na co i k, aby były spełnione równania Maxwella w próżni. Zadanie 10.5. Użyć funkcji cechowania X = —(1/4 tt€0)(qt/r) do przekształcenia potencjałów w zad. 10.3 i skomentować wynik.
10.1.3. Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza1 Cechowanie Coulomba. Podobnie jak w magnetostatyce wybieramy V • A = 0.
(10.8)
Wtedy równanie (10.4) przybierze postać A V = - — p.
(10.9)
'Nie jest w pełni jasne, czy należy je przypisać H.A. Lorentzowi, czy L.V. Lorenzowi (zob. J. Van Bladel, IE E E A n te n n a s a n d P ro p a g a tio n M a g a zin e 33(2), 69 (1991)). Wszystkie standardowe podręczniki wybierają pierwszą możliwość i dla uniknięcia możliwego zamieszania postąpimy tak samo.
453
10.1. WPROWADZENIE POTENCJAŁÓW
Jest lu równanie Poissona i potrafimy je już rozwiązać. Przyjmując V = 0 w nieskoń czoności, mamy ( 10. 10 )
W przeciwieństwie do elektrostatyki samo V nie określa jednak pola E, gdyż zgodnie z (10.3) musimy znać również A. Potencjał skalarny w cechowaniu Coulomba jest nieco dziwny, gdyż jest określony przez rozkład ładunku w chwili obserwacji. Jeśli przesuniemy elektron w naszym labora torium, to potencjał V na Księżycu natychmiast odczuje tę zmianę. Brzmi to szczególnie osobliwie w świetle szczególnej teorii względności, zgodnie z którą nie jest możliwe przemieszczanie się sygnału z prędkością większą niż prędkość światła. Rzecz polega na tym, że sam potencjał V nie jest wielkością mierzalną fizycznie — można mierzyć na Księżycu natężenie E, a ono zależy także od A. W potencjał wektorowy w cechowaniu Coulomba jest jakoś wbudowana informacja, że podczas gdy V natychmiast reaguje na zmiany gęstości />, to kombinacja —W —(3A/3/) nie ma tej cechy. Natężenie E zmieni się dopiero po upływie czasu wystarczająco długiego, aby „wieści” mogły dotrzeć.2 Zaletą cechowania Coulomba jest szczególna łatwość obliczenia potencjału skalar nego, a wadąi (oprócz sprzecznych z przyczynowością właściwości potencjału V) jest to, że potencjał A jest szczególnie trudno obliczyć. Równanie różniczkowe na A (10.5) w cechowaniu Coulomba ma postać (
10 . 11 )
(
10. 12)
Cechowanie Lorentza. W cechowaniu Lorentza przyjmujemy
Celem takiego wyboru jest wyeliminowanie środkowego członu w równaniu (10.5), co przy oznaczeniach z zad. 10.1 sprowadza się do warunku L = 0, i wtedy (10.13) Równocześnie równanie różniczkowe (10.4) dla V przybiera postać AV -
3f2
= ------P60
2Zob. O.L. Brill i B. Goodman. A m . ./. P h ys. 35, 832 (1967).
(10.14)
10. POTENCJAŁY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
454
Zaletą cechowania Lorentza jest jednakowe potraktowanie obu potencjałów V i A, bo ten sam operator różniczkowy
(10.15)
(zwany dalambercjanem) występuje w obu równaniach
(i) (ii)
i □ V = -----P* *0 □A = —Mo.I.
(10.16)
To demokratyczne potraktowanie potencjałów V i A jest szczególnie miłe w kontekście szczególnej teorii względności, w której dalambercjan jest naturalnym uogólnieniem laplasjanu, i równania (10.16) można uważać za czterowymiarowe wersje równania Poissona. (W tym samym duchu równanie falowe z prędkością rozchodzenia się c, □ / = 0, można uważać za cztcrowymiarową wersję równania Laplace*a). W cechowaniu Lorentza V i A spełniają niejednorodne równanie falowe z członem „źródłowym” (zamiast zera) z prawej strony. Odtąd będziemy używali wyłącznic cechowania Lorentza i cała elek trodynamika redukuje się wtedy do zagadnienia rozwiązaniu niejednorodnego równania falowego dla zadanych źródeł. Będzie to celem następnego podrozdziału.
Zadanie 10.6. Które z potencjałów w przykł. 10.1, zad. 10.3 i zad. 10.4 odpowiadają ce chowaniu Coulomba? Które odpowiadają cechowaniu Lorentza? (Warto zauważyć, że te dwa cechowania nie wykluczają się nawzajem). Zadanie 10.7. W rozdziale 5 wykazaliśmy, że zawsze można wybrać potencjał wektorowy tak. aby jego dywergencja była równa zeru (cechowanie Coulomba). Wykazać, że zawsze można wybrać V • A = (3V/dt), jak wymaga tego cechowanie Lorentza, jeśli umiemy rozwią zywać równania postaci (10.16). Czy można zawsze wybrać V = 0? A co z A = 0?
10.2. Rozkłady ciągłe 10.2.1. Potencjały opóźnione W wypadku statycznym równania (10.16) redukują się do (czterech kopii) równania Poissona 1 AV = -----p, AA = - f i 0J ćo
455
10.2. ROZKŁADY CIĄGLE
ze znanymi rozwiązaniami V(r)
-4ttco L Jf
p ( r ')
n
dr',
A(r)
Mo f J(r') dr', 4tt
J
(10.17)
gdzie V. oznacza, jak zawsze, odległość od punktu źródła r' do punktu obserwacji pola r (rys. 10.3). Ponieważ „wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła,
Rys. 10.3
więc w przypadku niestatycznym nie jest istotny stan źródła w chwili obecnej, lecz w chwili wcześniejszej tr (zwanej czasem opóźnionym (ang. retarded)), gdy „wieść” została wysłana. Ponieważ ta wieść musi przebyć odległość 71, więc opóźnienie wynosi K/c: 71 tr = t ----- .
(10.18)
Naturalnym uogólnieniem (10.17) dla źródeł niestatycznych jest więc
(10.19)
We wzorze tym p (r', tx) jest gęstością ładunku w punkcie r' w czasie opóźnionym tx. Ponieważ funkcje podcałkowe są obliczane dla czasu opóźnionego, więc powyższe wzory nazywa się potencjałami opóźnionymi. (Mówimy o czasie opóźnionym, ale oczywiście najbardziej oddalone części rozkładu ładunku mają wcześniejsze czasy opóźnione niż mniej oddalone. Jest tak jak z nocnym niebem, gdy widzimy światło, które opuściło poszczególne gwiazdy w czasach opóźnionych odpowiadających ich odległościom od Ziemi). Zauważmy, że potencjały opóźnione redukują się do właściwej postaci (10.17) w przypadku statycznym, gdy p i J są niezależne od czasu.
10. POTENCJAŁY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
456
Wszystko to brzmi sensownie i nadzwyczaj prosto. Ale czy jesteśmy przekonani, że wzory te s<\poprawne? Nie wyprowadziliśmy tych wzorów na V i A, a jedynie przy uży ciu heurystycznego argumentu („wieści elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła”) spowodowaliśmy* że wydają się nam możliwe do przyjęcia. Aby jc udowod nić, musimy pokazać, że spełniają niejednorodne równanie falowe (10.16) i warunek Lorentza (10.12). Nie jest to zbytnia drobiazgowość, gdyż zastosowanie tego samego argumentu do pól E i B prowadzi do całkowicie błędnych wyników: P ( r \ t r)
E (r,r)^
r
2
itd r \
B(r,/)#
4 TiJ
f J ( r \ t r) x R r 2
a takich oczekiwalibyśmy* jeśliby ta sama „logika” stosowała się do prawa Coulomba i prawa Biota-Savarta. Zatrzymajmy się więc i sprawdźmy, że opóźniony potencjał ska larny spełnia równanie (10.16); obliczenia dla potencjału wektorowego wyglądają w za sadzie tak samo.' Sprawdzenie, że opóźnione potencjały spełniają warunek Lorentza, zostawiamy jako zad. 10.8. Przy obliczaniu laplasjanu potencjału V(r, t) należy zauważyć, że funkcja podcał kowa w (10.19) zależy od r w dwóch miejscach: bezpośrednio w mianowniku (7Z = |r —r'|) i pośrednio przez tr = t — R /c w liczniku. Stąd
vv=i / [ iv'>)4 +'>v(^ )]di'’
(
10. 20)
(
10. 21)
gdzie V p = pVfr = — p V R c
(kropka oznacza różniczkowanie względem czasu).4 Następnie V7£ = i t i V(l/7Z) —R / R 2 (zad. 1.13) i stąd W = 4 tc€0
/
p
h n
Ti. p
W1
dr'.
(10 23)
Obliczając dywergencję, mamy r
AV = — 47te0 4rc
-
■(Vp) + pV • | -
nj
n -•(V„) + p V .( !
dr'.
Uwzględniając, że zgodnie z (10.21) V/) = — p V R = — p i t c c oraz (zad. 1.62) 'Przedstawiamy dowód bezpośredni, choć uciążliwy. Zręczny pośredni argument jest przedstawiony w książce: M.A. Heałd i J.B. Marion. C la ssic a l E le c tr o m a g n e tic R a d ia tio n , wyd. 3. Saunders, Orlando 1995. §8.1. 4Zauważmy, że d/dtT= S/dt, ponieważ tT= t - R/c i R nie zależy od t.
10.2. ROZKŁADY CIĄGLE
457
V •
n2 i zgodnie z (1.100) ^ = 4:r(53(7?.)< otrzymujemy ostatecznie
AV = —
f 'L L
c2 n
4 ji/)i53(7?.) d r' =
i
n2v
—€oi p (r,n ,
c2 dt2
co potwierdza, że potencjał opóźniony (10.19) spełnia niejednorodne równanie falowe (10.16). To kończy dowód. Nawiasem mówiąc, dowód ten stosuje się równic dobrze do potencjałów przed wczesnych (ang. advanced) Va(r, t)
P ( r \td) d r', n
Aa(r,
t)
Po f j(r\* .) d r', 4n
J
n
(10.23)
w których gęstości ładunku i prądu oblicza się w przedwczesnym czasie t* = t \
n c
(10.24)
Zmieni się kilka znaków, ale wynik końcowy nic ulegnie zmianie. Chociaż potencjały przedwczesne są całkowicie zgodne z równaniami Maxwella, to naruszają one najświęt szą zasadę w całej fizyce — zasadę przyczynowości. Potencjały przedwczesne w obec nej chwili zależą od rozkładu ładunków i prądów w chwilach późniejszych, czyli innymi słowy skutek poprzedza przyczynę. Chociaż potencjały przedwczesne mają pewne zna czenie teoretyczne, to nie mają bezpośredniego sensu fizycznego.5
Przykład 10.2 W nieskończonym prostym drucie płynie prąd o natężeniu
/(/) =
dla / < 0, dla / > 0,
co oznacza, że w chw ili t = 0 został nagle w łączony stały prąd o natężeniu / 0. Znaleźć E i B powstałego pola elektrom agnetycznego. 5Ponieważ dalambercjan zawiera t 2 (a nic r ), więc sama teoria jest niezmiennicza względem od wrócenia czasu i nic odróżnia „przeszłości” od „przyszłości”. Asymetria czasowa pojawia się wtedy, gdy wybieramy potencjały opóźnione zamiast przedwczesnych, kierując się (rozsądnym!) przekonaniem, że oddziaływania elektromagnetyczne rozchodzą się w czasie w przód, a nic w tył.
458
1 0 . P O T E N C JA Ł Y I P O L A Ź R Ó D E Ł Z M IE N N Y C H W
C Z A S IE
Rys. 10.4 Rozwiązanie; Z założenia drut jest obojętny elektrycznie i dlatego potencjał skalarny jest równy zeru. Gdy wybierzemy oś z wzdłuż drutu (rys. 10.4), wówczas opóźniony potencjał wektorowy w punkcie P wynosi no
ACM) = — z 4tt Dla ł < s/c „wieść” nie osiągnęła jeszcze P i potencjał wektorowy jest równy zeru. Dla t > s/c wkład pochodzi tylko od odcinka \z\ < y/(ct)2 - s2
(10.25)
(poza tym odcinkiem czas /, jest ujemny i 7(/r) = 0), a więc
(ci)2-s2 dz
') 2 / Mq/q z ln (Vs2 + z2 + z) 2tt
(<7)2-Jf2 -
jn ^ rt +
Natężenie pola elektrycznego wynosi
d\ /Xq/()(-’ E(.ę, t) = —— = ________ z, Ot 27ly/(ct)2 —s2 a indukcja pola magnetycznego jest dana przez „A 0AZ 1 Mo/o ct z B(*. 0 = V X A = — ~ <(>= ~------7= ^ 7 ---- 7 <ł> Os 2xv sj(ct)2 - s2
Zauważmy, że w granicy /
oo otrzymujemy pole statyczne E —0, B = (/tn/n/2Tt.v) 4>.
Zadanie 10.8. Sprawdzić, że potencjały opóźnione spełniają warunek Lorentza. [Wskazówka: Wykazać najpierw, że ż(V .j) + I(V '.J )-V '.
459
10.2. ROZKŁADY CIĄGŁE
gdzie V oznacza pochodne względem r, a V' oznacza pochodne względem r . Następnie, zauważając, iż J(r', t — 'fZ/c) zależy od r' bezpośrednio i przez IZ, a od r tylko przez TZ, wykazać, że ^ ^ V J = - - i (Vft), V#. J = - p - - . i . (VIZ), c c Wykorzystać ten wynik przy obliczaniu dywergencji potencjału A (10.19).) Zadanie 10.9 (a) Załóżmy, że w drucie z przykł. 10.2 płynie prąd o natężeniu rosnącym liniowo 1(0 = kt dla t > 0. Znaleźć E i B powstałego pola elektromagnetycznego. (b) Wykonać te same obliczenia dla błyskawicznego impulsu prądu /(O = <$(/).
Zadanie 10.10. W kawałku drutu, zwiniętym w pętlę jak na rys. 10.5, płynie prąd o natężeniu rosnącym liniowo z czasem 1(0 = kt.
Obliczyć opóźniony potencjał wektorowy A w początku układu współrzędnych. Znaleźć natę żenie pola elektrycznego w początku układu. Dlaczego ten obojętny elektrycznie drut wytwarza pole elektryczne? (Dlaczego nie możemy określić indukcji pola magnetycznego z otrzymanego wyrażenia na A?)
10.2.2. Równania Jefimienki Znając potencjały opóźnione V (r, t) = ---- / — —— d r , A(r,f) = —- / ——— d r , (10.26) 47te0 J Tl J Tl można w zasadzie w prosty sposób wyznaczyć pola E i B 3A E = —W -------, B = V x A. (10.27) dt Rachunki nie są całkiem trywialne, gdyż, jak już zauważyliśmy wcześniej, funkcje pod całkowe zależą od r zarówno bezpośrednio przez IZ. = |r — r'| w mianowniku, jak i pośrednio przez czas opóźniony fr = / —7Z/c w argumencie licznika.
460
10.
PO T E N C JA Ł Y
I POLA
Ź R Ó D E Ł Z M IE N N Y C H
W
C ZA SIE
Obliczyliśmy już w (10.22) gradient potencjału V, a obliczenie pochodnej potencjału A względem czasu jest proste — = — d r'. dt 4tt J IZ
(10.28)
Zbierając razem te wyrażenia (i wykorzystując równość c2 = l//zo^o)» otrzymujemy
E(r, O =
4 ttc0
/[^
i i + p (r' ' tr) i i
J ( r ' ' tr) dr'. c -n
cK
(10.29)
Jest to uogólnienie prawa Coulomba na źródła zależne od czasu, redukujące się do niego w przypadku statycznym (gdy drugi i trzeci człon wypadają, a pierwszy przestaje być zależny od tr). W przypadku B rotacja potencjału A zawiera dwa człony VxA Ponieważ
-£/[
(V xJ)-Jx V
(1J-, ()Jy (V x J)* = — 1 — — ay óz
dJz
• dtr
dy
zdy
I •
3JZ
c z dy ’
zatem 1 / - BU
•
Ir;
_ ą
Ale V7£ = 7Z (zad. 1.13), więc V x J = - J x IZ. c
(10.30)
Równocześnie V(l/7Z) = —TZ/IZ2 (znów zad. 1.13) i stąd
B (r, t) = Mo f
4:r J
J ( r \ tr)
IZ2
+
j(r r, tr) clZ
x IZ d r 7.
(10.31)
Jest to uogólnienie prawa Biota-Savarta na źródła zależne od czasu, redukujące się do niego w przypadku statycznym. Równania (10.29) i (10.31) są (przyczynowymi) rozwiązaniami równań Maxwella. Z jakiegoś powodu zostały opublikowane dopiero całkiem niedawno. Wydaje się, że
461
lU .i. ŁADUNKI PUNKTOWb
najwcześniej wypisał je w jawny sposób Oleg Jefimienko w 1966 r.f’ Równania Jefimienki są w praklyce mało przydatne, gdyż zwykle jest łatwiej obliczyć potencjały opóźnione i następnie jc zróżniczkować, niż obliczać bezpośrednio pola E i R. Stanowią one jednak satysfakcjonujące domknięcie teorii. Pomagają także wyjaśnić obserwację z poprzedniego paragrafu, że aby otrzymać potencjały opóźnione, wystarczy we wzorach z elektrostatyki i magnetostatyki zastąpić / przez /r, ale w przypadku pól E i B oprócz zastąpienia czasu czasem opóźnionym trzeba dodać całkiem nowe człony (zawierające pochodne gęstości p i J). Zgodnie z zad. 10.12 równania te dostarczają zaskakująco silnego argumentu za przybliżeniem quasi-statycznym.
Zadanie 10.11. Załóżmy, że gęstość J(r) jest stała w czasie, a stąd (zad. 7.55) p(r,t) = p(r, 0) + />(r, 0)/. Wykazać, że
czyli że wtedy obowiązuje prawo Coulomba z gęstością ładunku obliczoną bez opóźnienia w czasie. Zadanie 10.12. Załóżmy, że gęstość prądu zmienia się wystarczająco wolno, aby można było (w dobrym przybliżeniu) zaniedbać wszystkie wyższe pochodne w rozwinięciu Taylora j ( o = J w + a - 0 J ( o + ... (dla uproszczenia zapisu pominąłem zależność od r, którą się nie zajmujemy). Wykazać, że szczęśliwe skracanie się członów w (10.31) prowadzi do wyrażenia
czyli że obowiązuje prawo Biota-Savarta z gęstością .1 obliczoną bez opóźnienia w czasie. Oznacza to, że w rzeczywistości przybliżenie quasi-statyczne jest znacznie lepsze, niż mogli byśmy oczekiwać: dwa błędy (zaniedbanie opóźnienia i pominięcie drugiego członu w (10.31)) skracają się nawzajem w pierwszym rzędzie.
10.3. Ładunki punktowe 10.3.1. Potencjały Lienarda-Wiecherta Obliczymy obecnie (opóźnione) potencjały V(r, /) i A(r, /) w przypadku punktowego ładunku q poruszającego się po określonej trajektorii w (0 = położenie ładunku q w chwili /.
(10.32)
6O.D. Jefimenko, Electricity and Magnetism, Appleton-Cenlury-Crofts, New York 1996, §15.7. Bar dzo podobne wyrażenia są w książce: W.K.H. Panofsky i M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison Wesley, Reuding 1962, §14.3. Zobacz pouczający komentarz i odnośniki w artykule: K.T. McDo nald, Am. J. Phys. 65, 1074 (1997).
10. POTENCJAŁY I POLA ŹKÓDfcŁ ZMIENNYCH W CZASIE
462
Czas opóźniony jest określony w sposób uwikłany przez równanie |r - w(/r)| = c(t - tr),
(10.33)
z którego lewej strony jest odległość, jaką musi przebyć „wieść'’, a z prawej (t —lr) jest czasem potrzebnym na taką podróż (rys. 10.6). Wielkość w(/r) nazwiemy opóźnionym położeniem ładunku, 7Z jest wektorem od opóźnionego położenia do punktu obserwacji pola r TZ = r - w(/r). (10.34)
Warto zauważyć, że tylko co najwyżej jeden punkt trajektorii „komunikuje się” z r w wybranym dowolnie czasie i. Jeśli byłyby dwa takie punkty z czasami opóźnionymi T Z \= c { t-t\)
i
Tli = c(t - i2).
to ze względu na 7l\ —K 2 = c{t2 —/1 ) średnia prędkość cząstki w kierunku r musiałaby być równa c i to bez uwzględnienia prędkości ładunku w innych kierunkach. Ponieważ żadna cząstka naładowana nie może poruszać się z prędkością światła, więc tylko jeden punkt opóźniony daje wkład do potencjałów w dowolnej chwiliJ Naiwne odczytanie wzoru 1
v ,r ,, = W
f p ( r \ t r)
^ ^ dr
,
(10.35)
może zasugerować, że potencjał opóźniony ładunku punktowego jest dany po prostu wzorem 1 ą 4716q 7?-
Z tego samego powodu obserwator w r widzi cząstkę w danej chwili tylko w jednym miejscu. Inaczej jest z dźwiękiem, bo można jednocześnie usłyszeć obiekt z dwóch miejsc. Wyobraźmy sobie niedźwiedzia, który na nas ryczy i biegnie do nas z prędkością dźwięku i znów' ryczy. Oba ryki słyszymy w tej samej chwili, choć pochodzą one z dwóch różnych miejsc i jest tylko jeden niedźwiedź.
463
10.3. ŁADUNKI PUNKTOWE
(identycznym jak w wypadku statycznym, z tym tylko, że IZ jest odległością od opóźnio nego położenia ładunku). Jest to błędny wniosek z bardzo subtelnego powodu. Prawdą jest, źe dla ładunku punktowego mianownik IZ można wyłączyć poza całkę,8 ale to, co pozostaje,
J
p (r \ /r) d r',
(10.36)
nie jest równe ładunkowi cząstki. Aby obliczyć całkowity ładunek dla danego rozkładu, musimy scałkować gęstość p po całym rozkładzie w tej samej chwili, a u nas opóźnienie tT= t —7Z/c wymaga obliczania p w różnych czasach dla różnych części rozkładu. Jeśli źródło się porusza, to otrzymujemy zniekształcony obraz całkowitego ładunku. Można by sądzić, że ten problem zniknie dla ładunków punktowych, ale tak nic jest. W elek trodynamice Maxwella, sformułowanej przy użyciu gęstości ładunku i prądu, musimy uważać ładunek punktowy za granicę ładunku rozciągłego, gdy jego wymiar dąży do zera. A dla cząstki rozciągłej, niezależnie jak małej, warunek opóźnienia w (10.36) daje czynnik (1 —7Z • v/c)“ l, gdzie v jest prędkością ładunku w czasie opóźnionym
J
[ p (r \ tr) d r' = -----. \ — 7 Z ■\ / c
(10.37)
V Rys. 10.7
Dowód: Jest to czysto geometryczny efekt i chyba warto przedstawić tę sprawę w mniej abstrakcyjnym kontekście. Z dość oczywistych powodów nie zauwa żamy, że pociąg nadjeżdżający w naszym kierunku wydaje się nieco dłuższy, niż jest rzeczywiście, ponieważ światło dochodzące z ostatniego wagonu wyszło wcześniej niż światło odbierane równocześnie z lokomotywy i w tej wcześniej szej chwili pociąg był dalej (rys. 10.7). W czasie potrzebnym na przebycie przez światło z ostatniego wagonu dodatkowej odległości U pociąg sam prze bywa odległość L' — L: V
L '-L
C
V
— = -------- .
.. czyli
f, L L — -------
1 — V/ C
"Pojawia się jednak pośrednio zmiana w jego funkcyjnej zależności: przed całkowaniem IZ = | r - r ' | jest funkcją zmiennych r i r \ a po całkowaniu (które ustala r' = w(?r)) IZ = |r —\v(/r)| jest (podobnie jak tf ) funkcją zmiennych r i t.
10. POTENGALY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
464
L
Dlatego nadjeżdżający pociąg okazuje się dłuższy o czynnik (1 - v/c)~ [. Z dru giej strony, pociąg odjeżdżający od nas wydaje się krótszy9 o czynnik (1 + v/c)~ [. W ogólnym przypadku, gdy prędkość pociągu tworzy kąt 0 z linią na szej obserwacji,*10 dodatkowa odległość przebywana przez światło z ostatniego wagonu wynosi L 'cos0 (rys. 10.8). W czasie L'cosO /c pociąg przebywa wtedy odległość (L' —L) L' cos 0 U ~L — = ----------- , c v
czyli
. L
—
L \ — vco s6 /c
-------------- —— .
Zauważmy, że efekt ten nie zmienia wymiarów prostopadłych do ruchu (wyso kości i szerokości pociągu). Mimo że światło z dalszego miejsca dociera do nas później (niż z bliższego), to pozostają one ciągle w tej samej od siebie odle głości, ponieważ nie ma ruchu w tym kierunku. Widoczna objętość z' pociągu jest więc powiązana z rzeczywistą objętością r wzorem / * T ” 1- fc -y /c
(10.38)
gdzie IZ jest jednostkowym wektorem skierowanym od pociągu do obserwatora. Gdyby związek między poruszającymi się pociągami i potencjałami opóźnio nymi nie był nadal widoczny, to dodajmy jeszcze dwa zdania. Jeśli obliczamy całkę typu (10.37), w której funkcja podcałkowa jest obliczana w czasie opóź nionym, to efektywna objętość zmienia się o czynnik z (10.38), podobnie jak zmieniała się widoczna objętość pociągu i to z tego samego powodu. Ponieważ czynnik korygujący nie zależy od rozmiarów cząstki, więc jest równie istotny dla cząstki punktowej, jak i dla ładunku rozciągłego. To kończy dowód. ^Zauważmy, że nic ma to nic wspólnego ze szczególną teorią względności czy skróceniem Lo rentza, gdyż L jest długością p o r u s z a ją c e g o s ię pociągu i jego długość w s p o c z y n k u nie jest tu istotna. Argumentacja p r z y p o m in a nieco analizę zjawiska Dopplera. l0Zakładamy, że pociąg jest dostatecznie daleko lub (co ważniejsze) jest dostatecznie krótki, aby promienie /. ostatniego wagonu i lokomotywy można było traktować jako równoległe.
465
1 0 .3 . Ł A D U N K I P U N K T O W E
Wynika stąd, że 1
V( r, 0
qc
47t€o (TJc
• v) ’
(10.39)
gdzie v jest prędkością ładunku w czasie opóźnionym i R jest wektorem od położenia opóźnionego do punktu obserwacji pola r. Równocześnie, ponieważ gęstość prądu dla ciała sztywnego wynosi pv (5.26), mamy także W
M o
f p(r’,tr)\(tr)
A( r , ) = s i
— k—
M o
V
f
dr
czyli A(r, t)
Mo gw Au (R e —R *v)
— V(r,r).
(10.40)
Równania (10.39) i (10.40) są znane jako potencjały Lienarda-W iccherta dla poru szającego się ładunku."
Przykład 10.3 Znaleźć potencjały dla pola ładunku punktowego poruszającego się ze stałą prędkością. Rozwiązanie: Przyjmijmy dla uproszczenia, że cząstka przechodzi przez początek układu w chwili / = 0, czyli w(r) = vr. Najpierw obliczymy czas opóźniony przy wykorzystaniu (10.33) |r - vrr| = c(t - tr) lub po podniesieniu do kwadratu r2 - 2r • vfr + v2t 2 = c2(t2 - 2ttr + t2). Rozwiązując równanie kwadratowe ze względu na /r, otrzymujemy ( c ?t
tr =
—r • v) ±
y/(c>-t
—r • \ ) ? H- (c2 —v 7) ( r 2 —c 7t 7) c 2
(10.41)
V2
Dla ustalenia znaku rozważmy granicę u = 0
tr=t±~.c "istnieje wiele metod otrzymania potencjałów Lienarda-Wiechcrta. My wykorzystaliśmy g e o m e pochodzenie czynnika (1 —7?. • v /c )” 1. Pouczający komentarz jest w książce: W.K.H. Panofsky i M. Phillips, C la ssic a l E le c tr ic ity a n d M a g n e tis m , wyd. 2, Addison-Wesley, Reading 1962, s. 342, a bar dziej ścisłe wyprowadzenie zawierają książki: J.R. Reitz, F.J. Milford i R.W. Christy, F o u n d a tio n s o f E le ctro m a g n etic T h e o r y , wyd. 3, Addison-Wesley, Reading 1979, §21.1 oraz M.A. Heald i J.B. Marion, C la ssic a l E le c tr o m a g n e tic R a d ia tio n , wyd. 3, Saunders, Orlando 1995, §8.3. tryczn e
10. POłbNUAŁY I POLA ŹRÓDbt ZMIbNNYCH W CZASIb
466
W tym przypadku ładunek jest w spoczynku w początku układu i czas opóźniony winien wynosić (/ r/c), co oczywiście prowadzi nas do znaku minus. Następnie z (10.33) i (10.34) mamy _ r —v/r 7l = c(t O i 71 = , c(t - tr) co oznacza * T v (r —\tT)~\ v r u2 71(1 K . y/c) = c(t - rr) l -------- -— — = c(t - tr) ---------------tT l C c(t ~ tr) J C C = -[(c2t - r • v) - (c2 - v2)tr1 = - J ( c 2t —r • v)2 -f (c2 — v2)(r2 —c?t2). c (W ostatnim kroku wykorzystaliśmy (10.41) ze znakiem minus). Dlatego z (10.39) mamy V(r, 0 -
1 ąc 4it60 y/(c2t - r • v)2 + (c2 - v2)(r2 - c2t2)
(10.42)
i z (10.40) odpowiednio A(r,/) = Mo____________________________ 4ti y/(c2t — r • v)2 + (c2 —v2)(r2 - c2t2)
(10.43)
Zadanie 10.13. Cząstka o ładunku q porusza się po okręgu o promieniu a ze stałą prędkością kątową co. (Załóżmy, że okrąg leży w płaszczyźnie xy i jego środek znajduje się w początku układu, a w chwili / = 0 ładunek jest w (a. 0) na dodatniej osi x.) Znaleźć potencjały LićnardaWiecherta dla punktów na osi z. • Zadanie 10.14. Wykazać, żc potencjał skalarny ładunku punktowego poruszającego się ze stałą prędkością (10.42) można zapisać w równoważnej postaci
V(r ,0
4™-> R. / 1 -
(10.44)
gdzie K = r —vf jest wektorem z obecnego (!) położenia cząstki do punktu obserwacji pola r, a 0 jest kątem między R i v (rys. 10.9).Oczywiście dla nierelatywistycznych prędkości (v2 c2)
Rys. 10.9
467
10.3. ŁADUNKI PUNKTOWE
otrzymujemy V(r, /)
1
<7
47i£0 R Zadanie 10.15. Wykazaliśmy, że co najwyżej jeden punkt na trajektorii cząstki komunikuje się z r w dowolnej danej chwili. W pewnych przypadkach może nie być takiego punktu (ob serwator w r nie widzi cząstki — w barwnym języku ogólnej teorii względności jest „poza horyzontem'). Kozwazmy na przykład cząstkę w ruchu hiperbolicznym wzdłuż osi x w(/) = y/b1 -f (ct)2\
(-oo < / < oo).
(10.45)
(W szczególnej teorii względności jest to trajektoria cząstki pod działaniem stałej siły F = m c 2/ b . ) Naszkicować wykres zależności położenia w od t . W czterech lub pięciu reprezen tatywnych punktach na krzywej narysować trajektorię sygnału świetlnego emitowanego przez cząstkę w tym punkcie — zarówno w dodatnim, jak i ujemnym kierunku osi x. Jaki obszar na wykresie odpowiada punktom i czasom (x, /), z których nie można widzieć cząstki? Kiedy ktoś w punkcie x po raz pierwszy zobaczy cząstkę? (Do tego momentu potencjał w x jest oczywiście równy zeru.) Czy można raz zauważoną cząstkę stracić z oczu? ! Zadanie 10.16. Wyznaczyć potencjały Lienarda-Wiecherta dla ładunku w ruchu hiperbolicz nym (10.45). Wybrać punkt r na osi x z prawej strony ładunku.
10.3.2. Pola E i B p o ru sz a ją c e g o się ł a d u n k u p u n k to w e g o Możemy teraz obliczyć natężenie pola elektrycznego E i indukcję pola magnetycznego B ładunku punktowego w dowolnym ruchu przy wykorzystaniu potencjałów LienardaWiecherta12: Cf C A(r, t) = — V(r, 0 , (10.46) V ( r , /) = c,z 47t£o (R c - IZ • v) ’ i równania na E i B mają postać B = V x A.
E= Różniczkowanie jest jednak trudne, ponieważ 7Ł — r — w(fr)
i
v = \V(fr)
(10.47)
są obliczane w czasie opóźnionym, a czas tr — zdefiniowany w sposób uwikłany przez równanie (10.48) | r - w(fr)| = c(t - tr) — jest sam funkcją zmiennych r i f.13 Skupmy się więc, bo następne dwie strony są uciążliwe . . . . ale wynik jest wart wysiłku. 12Wiclkości E i B można otrzymać bezpośrednio z równań Jcfimienki, ale nie jest to łatwe. Zobacz np. M.A. Heald i J.B. Marion, C la ssic a l e le c tr o m a g n e tic R a d ia tio n , wyd. 3, Saunders, Orlando 1995, §8.4. 13Przedstawione tu obliczenie jest oparte na najbardziej bezpośredniej metodzie „na siłę”. Bardziej wyszukane i efektywniejsze podejście można znaleźć w książce: J.D. Jackson, C la ssic a l E le c tr o d y n a m ic s , wyd. 3, John Wiley, New York 1999, §14.1 [tłum. polskie: E le k tr o d y n a m ik a k la s y c zn a wyd. 2, PWN. Warszawa 1987, §14.11.
10. POTENGAŁY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
468
Zacznijmy od gradientu potencjału V W =
qc -1 V (IZc 4^6q (IZc —TZ v)2
TZ v).
(10.49)
Ponieważ IZ = c(t —/r), więc VTZ = - c V tr.
(10.50)
Drugi człon zgodnie z regułą 4 dla iloczynu (na wewnętrznej stronie okładki) wynosi V(TZ • v) = (TZ • V)v + (v • V)7£ + K x ( V x v ) + v x ( V x
7Ł).
(10.51)
Obliczymy te człony kolejno. Dla pierwszego mamy ('IZ • V)v = \TZX- — h V ojc
— ł- 72* — ) V (/r ) ay dz J
=u ^
sA + k ^ A + d/r 3r d/r 3y = a(7?. • Vrr),
k
. ^ 3J l d/r 3z (10.52)
gdzie a = v jest przyspieszeniem cząstki w czasie opóźnionym. Następnie (v • V)72. = (v • V)r - (v ■V)w, / 3 3 3\ „ (v ■V)r = v, — + v , — 4- v . — (jc x + y y + z z) V 3* 3y 3z / = u, x + y + uz z = v
(10.53)
(10.54)
oraz (v • V)w = v(v • V/r) (analogicznie do (10.52)). Przechodząc do trzeciego członu równania (10.51), mamy V x v= (— V i)y
ii -t- ( — - — ) y + ( — - — j ź dz } \ 3 V z j _ / d v z d tr d v y d t tA A / d v x d t r di;- 3 t r ' \ A / d v y d t r dvx dtr \ d/r dy d/r dz ) X \ drr dz dtr d x ) \ d/rdx d t r 9>\ = —a x V/r. (10.55)
Na koniec V x 7 l = V x r —V x w ,
(10.56)
ale V x r = 0 i analogicznie do (10.55) V x w = —v x Vfr.
(10.57)
Wstawiamy to wszystko z powrotem do równania (10.51) i wykorzystujemy regułę „BAC-CAB” do uproszczenia podwójnych iloczynów wektorowych V(7Z \ ) = a(7Z • V/r) 4- v —v(v • Vfr) —TZ x (a x Vfr) + v x (v x S7tr) = v + (TZ ■a - ir)V/r.
(10.58)
469
10.3. ŁADUNKI PUNKTOWE
Łącząc równania (10.50) i (10.58), mamy ąc (10.59) [v + (c? —v7 + • a)V/r] 4^6o (IZc - TZ ■v)2 Aby zakończyć obliczenia, musimy znaleźć V/r. Wielkość tę można wyznaczyć przez obliczenie gradientu równania definiującego (10.48), co już zrobiliśmy w (10.50), i rozwinięcie wielkości V7£ i .V(7Z U ) —cV/r = v n = n = ijn n W
= — [(7e V )7i + 7 Z x ( V x 7Ł)|.
(10.60)
Ale przez analogię do (10.53) {IZ ■V)7Z = 7 Z - \{7Z ■VtT) i korzystając z równań (10.56) i (10.57) V x 7Z = (v x V/r), mamy -<;V,r = — \TZ - \(TZ • V/r) + TZ x (v x V/r)] = ~ [ H - (IZ v)V/r| i stąd V/r =
-TZ K c-U -v
(10.61)
Włączając ten wynik do (10.59), otrzymujemy ostatecznie W =
t ' K<'
" i - «'2 - “2 + K ■a ) 7 t l '
(10.62)
Podobne obliczenie (zob. zad. 10.17) daje r)A dt
1 ąc (He —TZ • v) (—v + IZa/c) 4:jt^o (H c —TZ • v)3 U 0 . 4- — (r2 - ?>2 + 7?, • a)v c
(10.63)
Łącząc te wyniki i wprowadzając wektor u == c H —v.
(10.64)
otrzymujemy /JZ E(r, t) = — - — — -^[(c2 - ł-2)u + K x (u x a)]. 4?t c {) (TZ.
u)'*
(10.65)
10. POTENCJAŁY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
470
Tymczasem = — V x (V v ) = \ .2[ V ( V x v) - v x ( W ) ] . c c* 1 Obliczyliśmy już V x v (10.55) i W (10.62). Wstawiając to razem, mamy V x A
1 1 TZ x [(c2 - v2) \ + (TZ • a)v + (IZ • u)a|. VxA= — c 4 ti60 (u 7Z)3 Wielkość w nawiasach jest uderzająco podobna do wielkości w równaniu (10.65), którą przy użyciu reguły „BAC-CAB” można zapisać w postaci [(c2 — u2)u -f (7Z a)u (7Z u)a]; główna różnica polega na tym, że w pierwszych dwóch członach mamy v zamiast u. W rzeczywistości, ponieważ całość jest pomnożona wektorowe przez 7?., możemy bezkarnie zamienić v na —u, bo dodatkowy człon proporcjonalny do TZ znika po obliczeniu iloczynu wektorowego. Ostatecznie
(
10.66)
Widzimy, że indukcja pola magnetycznego ładunku punktowego jest zawsze prostopadła do natężenia poła elektrycznego i do wektora położenia względem punktu opóźnionego. Pierwszy człon w E (zawierający (c2 — tr)u ) maleje jak odwrotność kwadratu odległości od cząstki. Gdy prędkość i przyspieszenie są równe zeru, wówczas przeżywa jedynie ten człon i odpowiada on znanemu wynikowi z elektrostatyki 1
E= 4
ttć o
q IZ.
Tł2
Z tego powodu pierwszy człon w E jest nieraz nazywany uogólnionym polem kulombowskim. (Ponieważ nie zależy on od przyspieszenia, więc nazywa się go też polem prędkościowym.) Drugi człon (zawierający IZ x (u x a)) maleje jak odwrotność pierw szej potęgi odległości 7Z i dlatego dominuje przy dużych odległościach. Jak zobaczymy w rozdziale 11, ten człon odpowiada za promieniowanie elektromagnetyczne i dlatego jest nazywany polem promieniowania lub ze względu na proporcjonalność do a — polem przyspieszeniowym. Ta sama terminologia stosuje się do pola magnetycznego. W rozdziale 2 znalazł się komentarz, że jeśli umielibyśmy wypisać wzór na silę, jaką jeden ładunek oddziałuje na drugi, to w zasadzie znalibyśmy elektrodynamikę. Wzór ten, łącznic z zasadą superpozycji, pozwalałby określić silę oddziaływania dowol nego rozkładu ładunku na ładunek próbny Q. I właśnie ... równania (10.65) i (10.66) określają nam pola, a wzór na siłę Lorentza określa poszukiwaną siłę F= j {[(c2 - i-2)u + n x (u x a)] 4jieo (7^ • u)3 H— x |^7Z x [((c2 - v2)u + IZ x (u x a)
(10.67)
471
10.3. ŁADUNKI PUNKTOWE
przy czym V jest prędkością ładunku Qy a wszystkie wielkości R , u, v i a są obliczone w czasie opóźnionym. Cała elektrodynamika klasyczna jest zawarta w tym równaniu ... Widać, dlaczego rozsądniej było zacząć od prawa Coulomba.
Przykład 10.4 Obliczyć E i B dla pola ładunku punktowego poruszającego się ze stalą prędkością. Rozwiązanie: Wstawiając a = 0 do (10.65), mamy ^ q (c2 - v2)R E = --------------------u. 4tt60 ( R • u)3 Ponieważ w = vr, więc R u = c R —7Z\ = c(r —v/r) - c(t —/r)v = c’(r —v/). W przykładzie 10.3 znaleźliśmy, że Re - R
v = R • u = J ( c 2t - r • v)2 4- (c2 - v 2) (r 2 —c2t2).
W zadaniu 10 14 pokazaliśm y, że ten pierw iastek m ożna zapisać w postaci
Rcyj 1 —v2sin20/c2, gdzie R = r - \t jest wektorem skierowanym z obecnego położenia cząstki do punktu obserwacji pola r, a 0 jest kątem między R i v (rys. 10.9). Stąd q
1 —tr/c 2
4 7 ie 0
(1 — v2sin20/c*2)3/2
R (
10. 68 )
Zauważmy, że natężenie E jest skierowane wzdłuż linii z obecnego położenia cząstki. Jest to nadzwyczajna koincydencja, ponieważ „wieść” przyszła z opóźnionego położenia. Ze względu na sin50 w mianowniku pole szybko poruszającego się ładunku jest spłaszczone jak naleśnik w kierunku prostopadłym do ruchu (rys. 10.10). W kierunkach do przodu i do tyłu natężenie E jest mniejsze o czynnik (1 —v2/ c ) w stosunku do natężenia pola ładunku w spoczynku, a w kierunku prostopadłym jest większe o czynnik l/^/l —v2/c2. Jeśli chodzi o B, to mamy r - v/r i_(r - vr) ' + (/___ - /r)v R i _v 'jj ____ ' R R R e i dlatego (10.69)
Linie pola B okrążają ładunek jak na rys. 10.11.
10. POTENCJAŁY I POLA ŹRÓDEŁ ZMIENNYCH W CZASIE
472
Rys. 10.11
Rys. 10.10
Wzory na E i B dla pola ładunku punktowego poruszającego się ze stałą prędkością (10.68) i (10.69) wyprowadził po raz pierwszy Oliver Heaviside w roku 1888.14 Gdy ir c2, wzory redukują się do postaci E (r,/) =
— R, 47160 R2
B(r, 0 = ~ ( v x R ) . 471 R2
(10.70)
Pierwszy wzói jest w istocie prawem Coulomba, a diugi — „prawem Biula-Savarta dla ładunku punktowego” (5.40), przed którym ostrzegaliśmy w rozdz. 5.
Zadanie 10.17. Wyprowadzić równanie (10.63). Pokazać najpierw, że ótT IZc (10.71) dt IZ • u Zadanie 10.18. Załóżmy, że ładunek punktowy q porusza się wzdłuż, osi x. Pokazać, że pola E i B w punktach na osi na prawo od ładunku dane są wzorami E:
Q 1 4tt60IZ1 (
-)* •
Jakie są te pola na osi na lewo od ładunku? Zadanie 10.19 (a) Przy użyciu równania (10.68) obliczyć natężenie pola elektrycznego w odległości d od nieskończonego prostego drutu, w którym ładunek rozłożony jest jednorodnie z gęstością liniową k i porusza się ze stałą prędkością v równoległą do drutu. (b) Przy użyciu równania (10.69) znaleźć indukcję pola magnetycznego tego drutu. Zadanie 10.20. Dla ładunku z zad. 10.13 znaleźć pola E i B w środku okręgu. Z otrzymanego wzoru na B określić pole B w środku pętli kołowej ze stałym prądem o natężeniu / i porównać odpowiedź z wynikiem znalezionym w przykł. 5.6.
14Przegląd historyczny i odnośniki w' artykule: O.J. Jefimenko, A m . ./. P hys. 62, 79 (1994).
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 10
473
Zadania dodatkowe do rozdziału 10 Zadanie 10.21. Załóżmy, że wzdłuż plastykowego pierścienia o promieniu a rozmieszczamy ła dunek z gęstością liniową X0| sin(0/2)|. Następnie wprawiamy pierścień w ruch obrotowy wokół osi z prędkością kątową ok Znaleźć dokładne wartości potencjałów skalarnego i wektorowego w środku pierścienia, fOdpowiedź: A = {/i0A0coa/3n) {sin[o>(f—a/c)]x —cos[<*>(* —a/c)] y J.] Zadanie 10.22. Rysunek 2.35 podsumowuje prawa elecirostaiyki przy użyciu „diagramu trój kątnego” wiążącego iróclło (p), natężenie pola elektrycznego (E) i potencjał (V). Rysunek 5.48 czyni to samo dla magnetostatyki między źródłem J, indukcją poła magnetycznego B i potencjałem A. Skonstruować analogiczny diagram dla elektrodynamiki ze źródłami p i J (ograniczonymi przez równanie ciągłości), polami E i B oraz potencjałami V i A (ograniczo nymi przez warunek cechowania Lorentza). Nie włączać wzorów wyrażających V i A przez E i B. Zadanie 10.23. Sprawdzić, że potencjały ładunku punktowego poruszającego się ze stałą pręd kością (10.42) i (10.43) spełniają warunek cechowania Lorentza (10.12). Zadanie 10.24. Jedna cząstka o ładunku ą\ znajduje się w spoczynku w początku układu, a druga o ładunku q2 zbliża się do niej wzdłuż osi x ruchem hiperbolicznym *(/) = J h 2 4- (ct)2 i osiąga najmniejszą odległość b w chwili t —0, a następnie oddala się do nieskończoności. (a) Jaką siłą F2 ładunek
l5Zob. J.J.G. Scanio, A m . J. P h ys. 43, 258 (1975).
Rozdział 11
Promieniowanie
11.1. Promieniowanie dipolowe 11.1.1. Czym jest promieniowanie? W rozdziale 9 dyskutowaliśmy rozchodzenie się płaskich fal elektromagnetycznych w różnych ośrodkach, ale nie powiedzieliśmy, jak fale powstają. Źródło fal, podobnie jak wszystkich pól elektromagnetycznych, jest pewnym rozkładem ładunku elektrycznego. Ale ładunek w spoczynku i stałe prądy nie wytwarzają fal elektromagnetycznych. Jak zobaczymy, źródłami fal są ładunki w ruchu przyspieszonym i prądy zmienne. Celem tego rozdziału jest pokazanie, jak takie rozkłady wytwarzają fale elektromagnetyczne, czyli jak promieniują.
Rys. 11.1
Fale elektromagnetyczne, już wytworzone, rozchodzą się w próżni „do nieskończo ności", przenosząc ze sobą energię; oznaką promieniowania (ang. radiation) jest ten nieodwracalny odpływ energii ze źródła. W tym rozdziale przyjmiemy, że źródło jest zlokalizowane1 w pobliżu początku układu. Wyobraźmy sobie ogromną sferę o promie niu r (rys. 11.1). Całkowita moc przechodząca przez tę powierzchnię jest całką z wektora Poyntinga 1Dla źródeł mezlokalizowanych, np. nieskończonych płaszczyzn, di utów czy solcnoidów, całe pojęcie ..promieniowania’' musi zostać przedefiniowane — zob. zad. 11.24.
47 S
11.1. PROMIENIOWANIE DIPOLOWE
P(r) = j> S d a = — ^ ( E x B ) d a .
(11.1)
Moc wypromieniowana jest granicą tej wielkości przy r dążącym do nieskończoności Prad = r— lim P(r) *oo
(11.2)
i jest to energia (na jednostkę czasu) odpływająca do nieskończoności i nigdy nie po wracająca. Ponieważ pole powierzchni sfery wynosi 4 n r2, więc wystąpienie promieniowania wymaga, aby wektor Poyntinga malał (przy dużych r) nie szybciej niż 1/ r2 (np. gdyby malał jak 1 /r3, to moc P(r) malałaby jak 1/r i PrM\ wynosiłoby zero). Zgodnie z pra wem Coulomba natężenie pól elektro statycznych maleje jak 1/ r 2 (lub nawet szybciej, jeśli całkowity ładunek jest równy zeru), a zgodnie z prawem Biota-Savarta indukcja pól magnetostatycznych maleje jak 1/ r2 (lub szybciej), co oznacza, że dla rozkładów statycznych mamy S ~ 1/r4 i dlatego źródła statyczne nic promieniują. Ale równa nia Jefimienki (10.29) i (10.31) wskazują, żc pola zależne od cz.asu zawierają człony (proporcjonalne do p i J), które maleją jak 1/ r — te właśnie człony odpowiadają za promieniowanie elektromagnetyczne. Badanie promieniowania polega więc na wydzielaniu części pól E i B, które przy dużych odległościach od źródła maleją jak 1/r, budowaniu z nich członu 1/r2 w S, całkowaniu po powierzchni dużej sfery2 i obliczaniu granicy przy r oc. Najpierw wykonamy tę procedurę dla drgających dipoli elektrycznego i magnetycznego, a następ nie w podrozdz. 11.2 rozważymy bardziej złożony przypadek promieniowania ładunku punktowego w ruchu przyspieszonym.
11.1.2. Promieniowanie elektryczne dipolowe Wyobraźmy sobie dwie małe metalowe sfery odległe o d i połączone cienkim dru tem (rys. 11.2). W chwili / ładunek na górnej sferze wynosi git), a na dolnej —git). Przyjmijmy, że ładunek przepływa przez drut z jednej sfery do drugiej i z powrotem z częstością co git) = Oz,
(11.4)
gdzie Po = god jest maksymalną wartością momentu dipolowego. 2Oczywiście, nic musi to być sfera, ale taki wybór znacznie ułatwia obliczenia. 'Może przyjść nam na myśl, że bardziej naturalny model składałby się np. z równych i przeciwnych ładunków na końcach sprężyny, czyli mielibyśmy stałe ą i drgające
11. PROMIENIOWANIE
476
Potencjał opóźniony (10.19) wynosi _
1
r' J ~
I (f —7£+/c )|
4n(0
1
c/o cos[w(f - 7Z-/c)]
H+
K-
(11.5)
gdzie z twierdzenia cosinusów Tli, = \/r 2
rd cos 0 + (d/2)2.
( 11.6)
Aby ten fizyczny dipol stał się dipolem doskonałym, trzeba uczynić odległość nieskoń czenie małą, czyli wykonać przybliżenie 1: d <£ r. (11.7) Oczywiście, gdyby odległość d była równa zerw, to nie mielibyśmy wcale potencjału. Chcemy więc dokonać rozwinięcia do pierwszego rzędu względem d. Stąd
Tl± = r ( l =F — cosfl^ ,
(
11 . 8 )
a następnie 1 n~±
. 1 /, , d
\
(11.9)
= - I 1 ± — COS0 )
rV
2/
)
i w końcu ( 7 2 .± \"1 I" / r\ cud cos co[ t ------- 1 = cos col t ------) ± — cos0
L \
— cos
c /J
/
r\l
/W
V
c) \
\2c
I / ---- | cos ( ^
cos 0
L V c/
2c*
"I
J
. r / r \ 1 /om/ A t -----------sin — - cos 0 1 . L V \2c 7
\
| =F sin coi
W granicy doskonałego dipola mamy następnie
(Ponieważ fale o częstości Wtedy cos
rLV ( )J w
/—
r
przybliżenie 2 : * / < £ —. (11.10) ĆL> mają długość fali a = 2nc/co, oznacza to warunek d <śC a .)
= cos
/ LV
rV
T
cod — 2c
' sin
( l Ul )
477
11.1. PROMIENIOWANIE DIPOLOWE
Wstawiając równania (11.9) i (11.11) do (11.5), otrzymujemy potencjał drgającego doskonałego dipola elektrycznego co . po cos 6 1 ( r \] ( r (11.12) V(r,0,/) = 4nĆQr ----c sin colt - - ) 4- -r cos colt - - ) 1. L V c/J L V c/J ( W granicy statycznej (co —> 0) drugi człon odtwarza stary wzór na potencjał stacjonar nego dipola (3.99) Po cos 6 4neor2
r
r
M
Nie jest to jednak człon, którego teraz szukamy, bo interesują nas pola w dużych odle głościach od źródła, w strefie promieniowania4, czyli wykonujemy przybliżenie 3: (lub przy użyciu długości fali r
r > — (11.13) co X.) W tym obszarze potencjał redukuje się do
y (r, e . O = _
^
( ^
) s i nL ( , _ 0 ] .
(11.14)
Tymczasem potencjał wektorowy określony jest przez prąd płynący w drucie 1(0 = — z = —qocosin(cot)i.
(11.15)
Zgodnie z rys. 11.3 mamy więc d/2
—qooos\x\[co(t - H/ c ) ] i n
------------------------------- ( « ■ '> -%
f
(11.16)
-d/2
4Zauważmy, że przybliżenia 2 i 3 zawierają w sobie przybliżenie 1 — łącznic mamy d <&X <śCr.
11. PROMIENIOWANIE
478
Ponieważ samo całkowanie wprowadzi czynnik d> to w pierwszym rzędzie możemy zastąpić funkcję podcałkową jej wartością w środku dipola
A (r,0, /) = -
MoPqo> 4tt r
(11.17)
(Zauważmy, że podczas gdy wykorzystaliśmy bezpośrednio przybliżenia I i 2, pozosta wiając tylko człony pierwszego rzędu względem d y w równaniu (11.17) nie wykorzystuje się przybliżenia 3.) Z potencjałów możemy już w prosty sposób obliczyć E i B. 3V A 13V —— r H-------dr r 30
“ ^ (t2) 3
(Pominęliśmy człony pierwszy i ostatni, zgodnie z przybliżeniem 3.) Podobnie 3A M o /W r / r\ i — = -------------cos \c o \ t -----) I (cos 9 r 3t Aur L V c) J
* sin 0 0)
i dlatego
(11 18)
Równocześnie Vx A= -
3 3 A, — (rA(f) 3r 30
HqPqQ) 7 sin^ cos Anr
♦
\m
- " ) ] + ^
sin [ " ( ' “ ; ) ] )
Drugi człon jest znów wyeliminowany przez przybliżenie 3. więc
B=VxA=
M o /W / sin# Anc
(11-19)
4/y
11.1. PROMIENIOWANIE DIPOLOWE
Wzory (11.18) i (1 1.19) przedstawiają fale monochromatyczne o częstości co roz chodzące się w kierunku radialnym z prędkością światła. E i B są w fazie, są wzajemnie prostopadłe i poprzeczne — stosunek ich amplitud wynosi E q/B q = c. Dokładnie tego wszystkiego oczekiwaliśmy dla fal elektromagnetycznych w próżni. (Są to faktycznie fale sferyczne, a nic płaskie, i ich amplitudy maleją jak \ / r ze wzrostem odległości. Ale dla dużych r są one w przybliżeniu falami płaskimi w małych obszarach — podobnie jak powierzchnia Ziemi jest lokalnie w dobrym przybliżeniu płaska).
Rys. 11.4
Energia wypromieniowana przez drgający dipol elektryczny jest określona przez wektor Poyntinga S _ l ( E x B , . ^ Ho c
^
4n
{-hH -d
( 11. 20)
Natężenie promieniowania otrzymujemy po uśrednieniu (w czasie) po pełnym cyklu (S> =
( HoPoa>Ą\ sin20 V 32n2c ) r2 F X
(
11. 21 )
Zauważmy, że nie ma promieniowania wzdłuż osi dipola (gdzie sin 0 — 0); wykres natężenia5 przybiera postać obwarzanka z maksimum w płaszczyźnie równikowej (rys. 11.4). Całkowitą moc promieniowania obliczamy przez scałkowanie (S) po sferze o pro mieniu r sin2# , . ^ t HopW — -—r 2 sin 0 dO d(p P0Pt)M4 ( 11.22) • da = ( P ) 12716* 32tt 2c
/
!
Wynik nie zależy od promienia sfery, co odpowiada zasadzie zachowania energii (w przybliżeniu 3 uwzględniamy możliwość r —> oo). 5Współrzędna „radialna” na rys. 11.4 przedstawia wielkość {S) (przy ustalonym r ) jako funkcję
kątów 0 i 4>.
11. PROMIENIOWANIE
480
Przykład 11.1 Silna potęgowa zależność mocy od częstości jest odpowiadzialna za niebicskość nieba. Światło słoneczne, przechodząc przez atmosferę, pobudza atomy i drgają one jak małe dipole. Pada jące promieniowanie słoneczne pokrywa szeroki zakres częstości (światło białe), ale energia absorbowana i wypromieniowana potem przez dipole atmosferyczne jest większa dla większych częstości ze względu na a)4 w równaniu (11.22). Moc wypromieniowana jest więc większa dla barwy niebieskiej niż dla czerwonej. Właśnie to wypromieniowane światło widzimy, patrząc na niebo, jeśli oczywiście nie patrzymy bezpośrednio na Słońce. Ponieważ fale elektromagnetyczne są poprzeczne, więc dipole drgają w płaszczyźnie pro stopadłej do promieni słonecznych. Na łuku niebieskim prostopadłym do tych promieni, gdzie barwa niebieska jest najsilniej zaznaczona, dipole drgające wzdłuż linii obserwacji nic wysyłają promieniowania do obserwatora (ze względu na sin?# w (11.21)); światło docierające pod tym kątem jest dlatego spolaryzowane prostopadle do promieni słonecznych (rys. 11.5).
Rys. 11.5
Barwa czerwona zachodzącego Słońca jest drugą stroną lego samego medalu: światło słoneczne, dochodząc z kierunku stycznego do powierzchni Ziemi, musi przejść przez znacznie grubszą warstwę atmosfery niż padając z góry (rys. 11.6). Dlatego znacznie więcej światła niebieskiego zostanie usunięte przez rozpraszanie i pozostałe światło jest czerwone.
Zadanie 11.1. Sprawdzić, że potencjały opóźnione drgającego dipola (11.12) i (11.17) spełniają warunek cechowania Lorentza. Nie korzystać z przybliżenia 3. Zadanie 11.2. Wzór (11.14) można wyrazić w postaci „niezależnej od układu współrzędnych1', pisząc po cos 0 = p() • r . Zrobić to także ze wzorami (11.17), (11.18), (11.19) i (11.21).
11.1. PROMIENIOWANIE DIPOLOWE
481
Zadanie 11.3. Znaleźć opór promieniowania drutu łączącego dwa końce dipola. (Jest to opór. który dałby taką samą średnią stratę mocy w wyniku zamiany na ciepło, jaką drgający dipol w rzeczywistości przekazuje w postaci promieniowania.) Wykazać, że R = 790(ć//a)2 ft, gdzie Xjest długością fali promieniowania. Czy dla drutów w zwykłym radiu (powiedzmy cl — 5 cm) powinniśmy się zastanawiać nad wkładem promienistym do całkowitego oporu? ! Zadanie 11.4. Obracający się dipol elektryczny możemy sobie wyobrazić jako złożenie dwóch drgających dipoli, jednego wzdłuż osi x i drugiego, przesuniętego w fazie o 90 , wzdłuż osi y (rys. 11.7) p = p0[cos(ft;/)x + sin(a>/)yl.
Wykorzystując zasadę superpozycji i wzory (11.18) i (11.19) (lepiej w postaci zasugerowanej w zad. 11.2), znaleźć pola E i B dla obracającego się dipola. Znaleźć także wektor Poyntinga i natężenie promieniowania. Naszkicować wykres zależności natężenia od kąta biegunowego 0 i obliczyć całkowitą moc promieniowania. Czy wynik wydaje się sensowny? (Zauważmy, że moc jest funkcją kwadratową pól E i B i nie spełnia zasady superpozycji. Ale w tym wypadku wydaje się spełniać. Jak to można zrozumieć?)
482
11. PROMIENIOWANIE
11.1.3. Promieniowanie magnetyczne dipolowe Załóżmy teraz, że mamy pętlę o promieniu b z drutu (rys. 11.8), wzdłuż którego płynie prąd zmienny o natężeniu l(t) = /Ocos(o?/). (11.23) Jest to model drgającego dipola magnetycznego m (0 = Tib2I ( t ) i = mocos(ću/)ż.
(11.24)
Mo = Ti/?2/o
(11.25)
gdzie jest maksymalną wartością dipolowego momentu magnetycznego.
Pętla jest nienaładowana i stąd potencjał skalarny jest równy zeru. Opóźniony po tencjał wektorowy wynosi f /o cos[co{t - 7£/c)] A(r, t) (11.26) 4tt 7
J
Z
Dla punktu r bezpośrednio nad osią x (rys. 11.8) potencjał A musi być skierowany w kierunku osi y , ponieważ składowe x od symetrycznie rozłożonych punktów po obu stronach osi x się skracają. Stąd 2* fiohb ~ f co$[co(t — H/c)] A(r, t) = COS 4>' Ó' (11.27) 4 ti 7 n (cos
7£ = yjr1 + b 2 —2r/? cos i/r,
483
11.1. PKOMlfcNIOWANIt UIHULOWt
gdzie 0 jest kątem między wektorami r i b r = r sin 0 x + r cos 0 ż,
b = b cos 0 ' \ + b sin 0 ' y.
Stąd rb cos 0 = r • b = r/? sin 0 cos 0 ' i dlatego 7?. = \Zr2 -H/;2 —2rb sin 0 cos 0 '.
(11.28)
Dla „doskonałego” dipola chcemy, aby pętla była nieskończenie mała, czyli wyko nujemy przybliżenie 1: b r. (11.29) W pierwszym rzędzie w /? mamy wtedy 1Z = r M ---- sin 0 cos 0 '^ , czyli — ^ - (1 + - s i n 0 cos0 ') TZ r \ r )
(11.30)
i w końcu f
/
7 2 -\1
[
cos ću 11 -------1 = cos cu = cos £a>J cos
f—
/
r \
0
sin cos 0 '^ —sin | a> ^
a>fr
.
JH---- sin cos 0
J sin f —
sin 0 cos 0 '^ .
Jak poprzednio, zakładamy także, że rozmiary dipola są małe w porównaniu z dłu gością fali promieniowania, czyli przyjmujemy przybliżenie 2:
(11.31)
b <śC —. OD
Wtedy ^ t ——^
= cos |^a>
- — sin 0 cos 0 ' sin |^a>
.
(11.32)
Wstawiając równania (11.30) i (11.32) do (11.27) i pomijając człon drugiego rzędu, otrzymujemy 271
A(r, /) =
+ b sin 0 cos
I M ) h ) b _A / ’ |
47tr
y y { c °s[,„ (r - - ) ]
0
cos \°J ( * “ “ ) ] “ “ s*n
Pierwszy człon po scałkowaniu daje zero 2ti
J
cos0/ d0/ = 0.
(* ~ ~
cos (/>'d(pf.
484
11. PROMIENIOWANIE
Drugi człon zawiera całkę z kwadratu funkcji cosinus 2n
/
cos2 (f)' d(f)' = TT.
Uwzględniając to i zauważając, żc w ogólności potencjał A jest skierowany w kierunku
A(r. e , , ) = =
( ^ ) j i CM[lo(, - : ) ] - = * [ . ( , - : ) ] ) ♦ .
ui-33)
W granicy statycznej (co = 0) odtwarzamy znany nam wzór na potencjał dipola magnetycznego (5.85) 4,
m
/'o ^ o sin fl*
A(r, 0) = --------^—
r >
(11.34)
co
Wtedy pierwszy człon we wzorze na A jest zaniedbywalny i stąd a/
u
,3
4*r
/ s i n (9\ sin [«
J
]*■
(11.35)
Z A otrzymujemy pola E i B przy dużych r 9A E= — dt
B = V xA =
(ipmpar ( sin 6^ 4 tcc
/Aompco ( ^ ) cos [ „ ( , - : ) ] * . 4tt c 2
(11.36)
(11.37,
(Przy obliczaniu B użyliśmy przybliżenia 3). Pola E i B są w fazie, są wzajemnie pro stopadłe i poprzeczne do kierunku rozchodzenia się fali (r), a stosunek ich amplitud wynosi Ep/Bp = c, czyli wszystko jest zgodne z oczekiwaniami dla fal elektromagne tycznych. Pola są w istocie bardzo podobne w swej strukturze do pól drgającego dipola elektryc7_nego (1 1.18) i (11.19), tylko tym razem indukcja R jest skierowana w kierunku 0, a E w kierunku
485
11.1. PROMIhNIOWANIt DIPULOWt
Gęstość strumienia energii dla promieniowania dipola magnetycznego wynosi 1
uo
S = — (E x B) = — Mo c a natężenie jest równe
/£M
mQ(o (^ )o « [® (,-i)]} % . 4 TCC ( H o m \a > 4 \
s in z 0
W ~ V 3 2 jiV )
r
,11.38,
(11.39)
i całkowita moc promieniowania wynosi _ M()Wq^4 (11.40) 12tt 4. Jest jednak jedna ważna różnica między promieniowaniem dipolowym elektrycznym i magnetycznym — dla rozkładów o porównywalnych roz miarach moc promieniowania dipola elektrycznego jest wyraźnie większa. Porównując (11.22) i (11.40), mamy magn
PcIcktr
(11.41) \P
qc
J
gdzie (jak pamiętamy) mo = 7tfc2/o i po = qod. Amplituda prądu dla dipola elek trycznego wynosiła /<> = z/oco (11.15). Przyjmując d — nb, do celów porównawczych. otrzymujemy (11.42) Ale założyliśmy, że cob/c jest wielkością bardzo małą (przybliżenie 2), a tu występuje ona w kwadracie. Zwykle więc oczekujemy, że dominuje promieniowanie dipolowe elek tryczne. TVlko wtedy, gdy szczególna konfiguracja układu wyklucza wkład elektryczny (jak w rozważanym właśnie wypadku), ujawni się promieniowanie dipolowe magne tyczne.
Zadanie 11.5. Obliczyć pola E i B drgającego dipola magnetycznego bez użycia przybliżenia 3. [Co one nam przypominają? Porównać z zad. 9.33.] Znaleźć wektor Poyntinga i wykazać, że na tężenie promieniowania jest dokładnie takie samo, jak otrzymaliśmy przy użyciu przybliżenia 3. Zadanie 11.6. Znaleźć opór promieniowania (zad. 11.3) drgającego dipola magnetycznego z rys. 11.8. Wyrazić przez a i b i porównać z oporem promieniowania dipola elektrycznego. [Odpowiedź: 3 • 105 (b /\)ĄQ.\
odpowiedź
Zadanie 11.7. Wykorzystać przekształcenie „dualności” z zad. 7.60 oraz wzory na pole drgają cego dipola elektrycznego (11.18) i (11.19), aby określić pola wytwarzane przez drgający dipol magnetyczny „Gilberta” (składający się z równych, ale o przeciwnych znakach ładunków ma gnetycznych zamiast z pętli z prądem elektrycznym). Porównać z równaniami (11.36) i (11.37) i skomentować wynik.
11. PROMIENIOWANIE
486
11.1.4. Promieniowanie z dowolnego źródta W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się promieniowaniem wytwarzanym przez dwa szczególne układy: drgające dipole elektryczne i drgające dipole magnetyczne. Obecnie spróbujemy zastosować takie same procedury do całkiem dowolnego rozkładu
Rys. 11.9
ładunków i prądów, zakładając jedynie, że jest on zlokalizowany w pewnej objętości wokół początku układu (rys. 11.9). Opóźniony potencjał skalarny wynosi 1
f p (r \t - K /c ) , -/ ~ dr ,
V ( r , 0 = ------ / J
4 tt€ o
gdzie
(11.43)
Tc
_____________ n = y/'r2 + r'1 - 2r • r'.
(11.44)
Założymy jak poprzednio, że punkt obserwacji pola r znajduje się daleko w porównaniu z rozmiarami źródła, czyli przyjmiemy przybliżenie 1:
r< £r.
(11.45)
(Obecnie r jest zmienną całkowania; przybliżenie 1 oznacza, że maksymalna wartość zmiennej r \ zmieniającej się w obszarze źródła, jest znacznie mniejsza niż r.) Przy tym założeniu / r •r \ R s ' ( ' -
,0
1
r
(1 1 .4 6 )
i stąd
k oraz
1
M
/
,+
r N )
(1 1 -4 7 )
11.1. PROMIENIOWANIE DIPOLOWE
487
Rozwijając p w szereg laylora względem / wokół opóźnionego czasu w początku układu (11.48) c otrzymujemy p ( r '- ' "
) = P(r '» fo) + i>{r \ /o)
7
+ . ..
(11.49)
gdzie kropka oznacza różniczkowanie względem czasu. Następne człony szeregu miałyby postać 1„ / r - r ' \ 2 1 ... / r r ' \ 3 Można je pominąć, jeśli przyjmiemy c , ip /p it \p / p \'12’ \ p / p \ ' » ' ' (11‘50) Dla drgającego układu każdy z tych stosunków wynosi c/co i odkrywamy stare przy bliżenie 2. W ogólnym wypadku jest trudniej zinterpretować (11.50), ale dla naszej procedury przybliżenia 1 i 2 sprowadzają się do zatrzymania tylko członów pierwszego rzędu względem r \ Wstawiając (11.47) i (11.49) do wzoru na V (11.43) i znów pomijając człon drugiego rzędu, otrzymujemy przybliżenie 2:
V (r,0 =
—
-^ 7
c
r
J P ( r \ t0) d r' +
• j r'p (r', /0) d r' + - • ^ j r'p (r', f0) d r 'j .
Pierwsza całka jest po prostu całkowitym ładunkiem Q w chwili to. Ponieważ ła dunek jest zachowany, więc wielkość Q jest w rzeczywistości niezależna od czasu. Pozostałe dwie całki przedstawiają moment dipolowy elektryczny w chwili /o. Stąd .
1 fQ r-pU o) ?-p (/o )l (11.51) * f F, — + - F - . 4:t6o L r rl rc W wypadku statycznym pierwsze dwa człony są wkładami monopolowym i dipolowym do multipolowego rozwinięcia potencjału V, a trzeci człon oczywiście nie występuje. Równocześnie potencjał wektorowy wynosi V (r, t) £
/zo
A(r,>=^ /
[
J(r\ t -
7Z/c)
(11.52) d r'. n Jak zobaczymy za chwilę, z dokładnością do pierwszego rzędu względem r' wystarczy zastąpić IZ przez r w funkcji podcałkowej A (r,/) = - ^ - f J ( r ',r 0) d r '. 4n r J
(11.53)
Zgodnie z zad. 5.7 całka z J jest pochodną czasową dipolowego momentu elektrycznego i stąd Po PUo) (11.54) A(r, /) = 4n r
488
1 1 . P K O M ItN IO W A N Ib
Widzimy teraz, dlaczego nic trzeba było wychodzić z przybliżeniem na R poza zerowy rząd (R = r): p jest ju i wielkością pierwszego rzędu w r i dalsze wyrazy byłyby poprawkami drugiego rzędu. Następnie musimy obliczyć pola E i B. Ponownie jesteśmy zainteresowani strefą promieniowania (czyli polami w dużych odległościach od źródła), więc zatrzymujemy tylko człony malejące jak \ / r , przyjmując przybliżenie 3:
pominięcie członów 1/ r 2 w E i B.
(11.55)
Na przykład pole Coulomba
f __LA r '
4Tte0
’
pochodzące z pierwszego członu równania (11.51), nie daje wkładu do promieniowa nia elektromagnetycznego. Rzeczywiście, promieniowanie pochodzi całkowicie z tych członów, w których różniczkujemy argument /0. Ze wzoru ( I 1.48) wynika, że
Vf0 = — Vr = —-? c
c
i stąd = V
1 r p ( / 0)' ~ r • p(/»)' 1 If - i>(/0) I i r. Vr0 = - -------------------4n^c2 r 47t€0 rc _4k^o rc
Podobnie
v
X
A=
4jrr
x
p(/0)] = ~ l ( V / 0) 4rtr
X
p(/0)l
A*o 47t r c
[r x p(/0)]
oraz »A ^ Mo P(/q) dt 4n r Stąd
E(r, /) = ~ [ ( r ■p)f - p | = — [r x ( f x p)], 4 7 tr
(11.56)
4n r
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ J gdzie wielkość p jest obliczona w chwili /0 = t — r /c , i
(11.57) Jeśli w szczególności użyjemy współrzędnych kulistych, wybierając oś z w kierunku p(r0). to 4 rc
V r )
(11.58)
11.1. PROMIENIOWANA DIPOLOWt
489
Wektor Poyntinga wynosi
S = — (E x B) = - i ^ [ £ ( , 0)]2 Mo
16tt2c
^sin2# r
(11.59)
i całkowita moc promieniowania jest równa ••■2
/
Sda =
(11.60) Ó71C*
Zauważmy, że wektory E i B są wzajemnie prostopadłe, poprzeczne do kierunku roz chodzenia się (?) i stosunek E /B = c, jak zwykle dla pól promieniowania. Przykład 11.2 (a) W wypadku drgającego dipola elektrycznego p(t) = A)cos(atf), p(t) = -a>2pocos(ćt>/), i odtwarzamy wyniki paragrafu 11.12. (b) Dla pojedynczego ładunku punktowego q moment dipolowy wynosi P(t) = f/d(t), gdzie d jest położeniem ładunku q względem początku układu Stąd P(0 gdzie a jest przyspieszeniem ładunku. W tym wypadku moc wypromieniowywana (11.60) wynosi P= (,1.61) OTIC*
Jest to znany wzór Larmora — wyprowadzimy go ponownie w inny sposób w następnym paragrafie. Zauważmy, że moc promieniowania ładunku punktowego jest proporcjonalna do kwadratu jego przyspieszenia.
W paragrafie tym przedstawiliśmy rozwinięcie multipolowc potencjałów opóźnio nych z uwzględnieniem wyrazów najniższego rzędu względem r \ które mogą wytwo rzyć promieniowanie elektromagnetyczne (pola malejące jak 1/r). Otrzymaliśmy w ten sposób człon dipolowy elektryczny. Ponieważ ładunek jest zachowany, więc monopol elektryczny nic promieniuje. Gdyby ładunek nie był zachowany, to pierwszy człon rów nania (11.51) miałby postać i/ _ 1 Q \ło) k mono —
.
r
i otrzymalibyśmy pole monopolowe proporcjonalne do 1/r „ _ I J^mono — .
4nfoC
Q(to) A t*. r
490
11. PROMIENIOWANIE
Można by się spodziewać, że naładowana sfera o drgającym promieniu mogłaby pro mieniować, lecz tak nie jest, bo pole na zewnątrz, zgodnie z prawem Gaussa, jest równe (Q/4ycfor2)ry niezależnie od fluktuujących rozmiarów. (Przy okazji warto dodać, żc analog akustyczny monopola promieniuje — świadczy o tym rechot żab.) Jeśliby dipolowy moment elektryczny znikał (lub znikałaby jego druga pochodna względem czasu), to nie pojawiałoby się promieniowanie dipolowe elektryczne i trzeba by rozważyć następny człon, czyli człon drugiego rzędu względem r '. Okazuje się, że ten człon można podzielić na dwie części, jedna z nich związana jest z dipolowym momentem magnetycznym źródła, a druga z kwadrupolowym momentem elektrycznym. (Pierwsza jest uogólnieniem promieniowania dipolowego magnetycznego rozważanego w paragrafie 11.1.3). Jeśli wkłady od dipola magnetycznego i kwadrupola elektrycz nego znikają, to trzeba rozważyć człon rzędu ( r ') \ co prowadzi do promieniowania kwadrupolowcgo magnetycznego i oktupolowego elektrycznego ... itd.
Zadanie 11.8. Zastosować równania (11.59) i (11.60) do obracającego się dipola z zadania 11.4. Wyjaśnić pojawiające się różnice w stosunku do poprzedniej odpowiedzi. Zadanie 11.9. Dielektryczny kołowy pierścień (o promieniu h i środku w początku układu) leży w płaszczyźnie xy. Pierścień jest naładowany z gęstością liniową a = A0 sin 0, gdzie a0 jest stałą i
-p$ cos cot Rys. 11.10
Zadanie 11.11. Jako model promieniowania kwadrupola elektrycznego rozważmy dwa prze ciwnie zorientowane drgające dipole elektryczne odlegle o t/, jak na rys. 11.10. Wykorzystać wyniki paragrafu 11.1.2 na potencjały każdego z tych dipoli, ale uwzględniając to, że nie znajdują się w początku układu. Zachowując tylko człony pierwszego rzędu względem d: (a) znaleźć potencjały skalarny i wektorowy, (b) znaleźć natężenie pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego, (c) znaleźć wektor Poyntinga i moc promieniowania. Naszkicować zależność natężenia promieniowania od kąta 0.
491
11.2. ŁADUNKI PUNKTOWE
! Zadanie 11.12. Prąd o natężeniu /(/) płynie wzdłuż kołowego pierścienia przedstawionego na rys. 11.8. Wyprowadzić ogólny wzór na moc promieniowania (analogiczny do (11.60)), wyrażając wynik przez moment dipolowy magnetyczny (m(/)) obwodu z prądem. [Odpowiedź: P = /x0w2/67ic3.]
11.2. Ładunki punktowe 11.2.1. Moc promieniowania ładunku punktowego W rozdziale 10 wyprowadziliśmy wzory (10.65) i (10.66) na pola E i B ładunku punk towego ą w dowolnym ruchu E(r, t) = —^— — ■- [(c2 - ?r)u 4- TZ x (u x a)], 4 tic0 (7Ł • u)-5
(11.62)
gdzie u = cTL - v, i B(r, /) = ~7Z x E(r, /). (11.63) c* Pierwszy człon równania (11.62) nazywa się polem prędkościowym, a drugi człon (z podwójnym iloczynem wektorowym) — polem przyspieszeniowym. Wektor Poyntinga wynosi 1 1 * 1 ~. S = — (E x B) = ---- [E x (7t x E)] = ----- [E2 7 1 - {K • E)E1. (11.64) Mo Moc Moc Jednak nie cała gęstość strumienia energii odpowiada promieniowaniu — część gęstości dotyczy energii pola przenoszonej przez samą poruszającą cząstkę. Energia promienio wania wiąże się z tą jej częścią, która w istocie oddziela się od ładunku i oddala się do nieskończoności. (Podobnie jak muchy wylęgające się na śmieciarce: niektóre z nich krążą wokół niej w czasie jej kursów, a niektóre odlatują i nigdy nie powracają). Aby obliczyć całkowitą moc wypromieniowaną przez cząstkę w chwili /r, narysujemy ogromną sferę o promieniu IZ (rys. 11.11), u środku w miejscu, gdzie znajduje się
Rys. 11.11
492
11. PROMIENIOWANIE
cząstka (w chwili /r), odczekamy odpowiedni czas, n t
-
t r
=
— ,
C
(11.65)
aż promieniowanie dotrze do sfery, i w tym momencie scatkujemy wektor Poyntinga po powierzchni6. Użyliśmy oznaczenia fr, gdyż rzeczywiście jest to czas opóźniony dla wszystkich punktów na sferze w chwili t. Powierzchnia sfery jest proporcjonalna do Tl2 i dlatego każdy człon w S, który ma leje jak \/7Z2, da skończony wkład, a człony malejące jak 1/TŁ3 lub 1/7Z4 dadzą wkład zerowy w granicy 7Z —►oo. Z tego powodu tylko pola przyspieszeniowe odpowiadają prawdziwemu promieniowaniu (i stąd ich inna nazwa — polu promieniowania): n
(11.66) Erad = T~ //p ~ o l ^ X (U X a)|. 4tt6o (TŁ • u y Pola prędkościowe przenoszą oczywiście energię i gdy ładunek się porusza, wówczas ta energia jest przezeń wleczona — nie jest to jednak promieniowanie. (Odpowiada ono muchom, które pozostają przy śmieciarce). Ponieważ Eriltj jest prostopadłe do T£, więc drugi człon w (11.64) znika i stąd Srad = — EL i TI.
(11.67)
Jeśli ładunek jest chwilowo w spoczynku (w chwili /r), to u = cTŁ Erad =
4it^o c2Tl
[Te. x (Te. x
a)] = A n n [(Te.-a) Te.-a].
(11.68)
-\ 2 i f W 2“2 / s i n 2 6 > \ ^ ) ] U ~ 16 n*c ( TV ) U '
(11.69)
Wtedy 1
/
m
\
2 r 2
Srad “ moc U tCRJ [
(
Rys. 11.12
6Zwróćmy tu uwagę na subtelną zmianę strategii: w podrozdz. 11.1 rozważaliśmy sferę o środku w ustalonym punkcie (w początku układu), a obecnie o środku w (poruszającym się) punkcie, w którym znajduje się ładunek. Znaczenie tej zmiany stanie się jaśniejsze za chwilę.
493
11.2. ŁADUNKI PUNKTOWE
gdzie 6 jest kątem między i t i a. W kierunku przyspieszenia i przeciwnym do niego nie jest emitowana żadna moc — emisja następuje w obwarzanku wokół kierunku chwi lowego przyspieszenia (rys. 11.12). Całkowita moc promieniowania wynosi oczywiście Srad-da=
U o q 2ci2
f s in ? 0 ^ 7 .
J - ^ - 7 l 2sin0d0d0,
czyli 2 2
Moq (r ÓTtC’
(11.70)
Otrzymaliśmy znów wzór Larmora, wyprowadzony wcześniej w inny sposób (równanie (11.61)). v
Rys. 11.13
Chociaż wzory (11.69) i (11.70) wyprowadziliśmy przy założeniu v = 0, to w rze czywistości z dobrym przybliżeniem wzory te pozostają słuszne dla v c. Dokładne obliczenia dla v ^ 0 są trudniejsze7, zarówno dlatego, że wyrażenie na Erati jest bar dziej złożone, jak i z bardziej subtelnego powodu, że szybkość Srad przepływu energii przez sferę nie jest taka sama jak szybkość wypływu energii z cząstki. Załóżmy, żc ktoś strzela serią pocisków z okna poruszającego się samochodu (rys. 11.13). Ze względu na ruch samochodu liczba pocisków Nt uderzających w stacjonarną tarczę na jednostkę czasu nie jest taka sama jak liczba pocisków /V^ opuszczających karabin na jednostkę czasu. Rzeczywiście, łatwo sprawdzić, żc — (1 —v/c)N u jeśli samochód porusza się w kierunku tarczy, i Wk =
dla dowolnych kierunków (tu v jest prędkością samochodu, c jest prędkością pocisków względem ziemi i i t jest jednostkowym wektorem w kierunku od samochodu do tar czy). W naszym wypadku, jeśli d W/At określa gęstość strumienia energii przez sferę o promieniu IZ, to szybkość, z jaką opuszcza ona ładunek, wynosi dW d/T
~~
dW/dt dtr/'ót
/ 7Ł ■u \ dW \
Tle
)
~dr”'
( 11 7 1 )
7W kontekście szczególnej teorii względności warunek v = 0 oznacza po prostu wygodny wybór układu odniesienia bez istotnej utraty ogólności. Jeśli potrafimy określić, jak transformuje się P, to możemy wydedukować ogólny wynik (Lienarda) ze wzoru (Larmora) dla v = 0 (zob. zad. 12.69).
494
11. PKUMIbNIOWANIt
(Użyliśmy (10.71) do określenia dtr/dt.) Ale IZ u
n -x c
7Zc
co pokrywa się dokładnie ze stosunkiem N^ do /Vt, czyli jest to czysty czynnik geome tryczny (taki sam jak w zjawisku Dopplera). Moc emitowana przez cząstkę w element powierzchni JZ1 sin 0 Ó0 dc/> = IZ2 dft sfery wynosi więc d P / re -iA I , , _ q 2 I'fe- x (u x a)|2 dQ \ Tle ) five rad I6K2e0 ("R ■u )‘i gdzie d£2 = sin 0 d0 d jest kątem bryłowym, w który emitowana jest ta moc promie niowania. Scałkowanie po 0 i
m V ÓTCC
(11.73)
gdzie y - 1/^/1 —v7/c 2. Jest to uogólnienie Lienarda wzoru Lamiom (do którego redukuje się ono, gdy v c). Czynnik y 6 oznaeza, że moc promieniowania wzrasta nieograniczcnie, gdy prędkość cząstki dąży do prędkości św iatła.
Przykład 11.3 Załóżmy, że v i a są w danej chwili /, współliniowe, jak np. w ruchu prostoliniowym. Znaleźć rozkład kątowy promieniowania (11.72) i całkowitą moc promieniowania. Rozwiązanie: W tym wypadku (u x a) = c(7Z x a) i stąd d P _ q2c2 \ h x (7Z x a)|2 d^ 16^260 ( c - n - y ) 5 Ale 7Ł. x CR. x a) = CR. a) R. - a.
czyli
\R. x (IZ, x a)|2 = a1 - (IZ • a)2.
Jeśli wybierzemy w szczególności oś z wzdłuż v, to d P _ t i o g 2a 2
sin 2 0
^ j |^
dft ” \6n2c (1 —0cos0)5’ gdzie fi = vjc. Wzór ten jest oczywiście zgodny z (11.69) w wypadku v = 0. Ale dla bardzo dużych v (fi ^ \) obwarzanek promieniowania (rys. M l2) ulega rozciągnięciu do przodu o czynnik (1 —fi cos 0) 5, jak na rys. 11.14. Chociaż nic ma nadal promieniowania
495
11.2. ŁADUNKI PUNKTOWE
dokładnie w kierunku do przodu, to największa część promieniowania jest skoncentrowana w coraz węższym stożku wokół kierunku do przodu (zob. zad. 11.15). Całkowitą moc promieniowania obliczamy przez scalkowanie (11.74) po wszystkich kątach
/
fiQq2a2 f sin2# dP sin # d# d0. — d£2 = dft \(m2c J (1 —fi cos#)5
Całka po <£ wynosi 2ti, a całka po 0 upraszcza się po podstawieniu x = cos# Voq2a2 f (1 ~ x 2)
8irc J (1-jflA)5
Całkowanie przez części daje -(i —p 1) 1 i ostatecznie P=
f i [)q 2a 2y t
6tt c
(11.75)
Wynik ten jest zgodny ze wzorem Lienarda (11.73) dla przypadku współliniowych v i a. Za uważmy, że rozkład kątowy promieniowania jest taki sam, niezależnie czy cząstka jest w ruchu przyspieszonym, czy opóźnionym, bo zależy on tylko od kwadratu przyspieszenia a i promie niowanie jest skoncentrowane w kierunku do przodu (ze względu na prędkość) w obu przy padkach. Gdy elektron o dużej prędkości uderza w tarczę metalową, powstaje promieniowanie hamowania (niem. bremsstrahlung). Przykład ten przedstawia w zasadzie klasyczną teorię promieniowania hamowania.
Zadanie 11.13. (a) Załóżmy, że elektron zostaje wyhamowany ze stałym opóźnieniem a od początkowej prędkości t»0 do prędkości równej zeru. Jaka część jego początkowej energii kinetycznej zostanie stracona na promieniowanie? (Reszta jest absorbowana przez mechanizm, który zapewnia stałe opóźnienie). Przyjąć v0 <$Cc, aby móc użyć wzoru Larmora. (b) Aby mieć wyczucie liczbowe, rozważyć przypadek, gdy prędkość początkowa jest ter miczna (około 105 m/s) i odległość przebywana przez elektron wynosi 30 A. Jaki możemy wyciągnąć wniosek o stratach energii na promieniowanie dla elektronów w zwykłym przewod niku?
11. PROMIENIOWANIE
496
Zadanie 11.14. W modelu Bohra atomu wodoru elektron w stanie podstawowym porusza się
po okręgu o promieniu 5 • 10“Mm i jest utrzymywany na orbicie przez przyciąganie kulombowskie protonu. Zgodnie z elektrodynamiką klasyczną taki elektron powinien promieniować i poruszając się po spirali, spaść na jądro. Wykazać, że w przeważającej części ruchu mamy v « c (możemy więc użyć wzoru Larmora), i obliczyć czas życia atomu Bohra. (Przyjąć, że każdy obrót następuje po orbicie prawie kołowej). Zudanic 11.15. Znaleźć kąt 0nM K, dla którego następuje maksymalna emisja promieniowania
w przykładzie 11.3 (zob. rys. 11.14). Wykazać, że dla prędkości ultrarclatywistycznych (u bli skie c) kąt 0max = yj(\ - fi)/2. Jakie jest natężenie promieniowania w' kierunku tego maksimum (w wypadku ultrarelatywistycznym) w porównaniu z tą samą wielkością dla cząstki chwilowo spoczywającej? Wynik wyrazić przez y. Zadanie 11.16. W przykładzie 11.3 założyliśmy, że prędkość i przyspieszenie są (przynaj mniej chwilowo) współliniowe. Przeprowadzić tę samą analizę w przypadku, gdy są one do siebie prostopadłe. Wybrać osie układu współrzędnych tak, żeby prędkość v była skierowana wzdłuż osi Zj a przyspieszenie a wzdłuż osi x (rys. 11.15), czyli żeby v = uz, a = a i i 'fe = sin0cos0x + sin0 sin0y + cos0ż. Sprawdzić, że P jest zgodne ze wzorem Lićnarda. \Odpowiedt. dP d£2
p 0q1a2 [(1 —fi cosO)2 — (1 —fi2) sin20 cos2
(1 —/łcosfl)5
p 0q2a2yA 6ti c
Dla prędkości relatywistycznych (fi ^ I) promieniowanie ma znów ostre maksimum w kie runku do przodu (rys. 11.16). Najważniejsze zastosowanie tych wzorów dotyczy ruchu kołowego i w tym wypadku promieniowanie nazywa się promieniowaniem synchrotronowym. Promie niowanie relatywistycznego elektronu w czasie jego ruchu przypomina snop światła przedniego reflektora lokomotywy].
11.2.2. Reakcja promieniowania Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej przyspieszający ładunek promieniuje. To promieniowanie unosi energię, co musi zachodzić na koszt energii kinetycznej cząstki. Dlatego pod wpływem danej siły cząstka naładowana przyspiesza mniej niż cząstka obojętna o takiej samej masie. Promieniowanie prowadzi więc wyraźnie do siły (Frad) działającej na ładunek, która jest podobna do siły odrzutu, jaką pocisk oddziałuje na
497
11.2. ŁADUNKI PUNKTOWE
karabin. W tym paragrafie wyprowadzimy siłę reakcji promieniowania z zasady zacho wania energii, a w następnym pokażemy odpowiedzialny za nią rzeczywisty mechanizm i ponownie wyprowadzimy siłę reakcji, opierając się na prostym modelu. Dla cząstki nierelatywistycznej (v <£ c) całkowita moc promieniowania jest dana przez wzór Larmora (1 1.70) mor< i2 (11.76) P6ti c Zachowanie energii sugeruje, że jest to zarazem szybkość strat energii cząstki pod wpły wem siły reakcji promieniowania Frad Frad
_
2 2
/*()
(11.77)
6nc
Słowo „sugeruje11 dodajemy rozmyślnie, bo równanie to jest w rzeczywistości błędne. Obliczmy bowiem moc promieniowania przez scałkowanie wektora Poyntinga po sferze o „nieskończonym11promieniu. W obliczeniu tym pola prędkościowe nie odgrywają roli, gdyż maleją zbyt szybko wraz z odległością IZ. Ale pola prędkościowe przenoszą ener gię, choć nie przenoszą jej do nieskończoności. Gdy cząstka przyspiesza lub spowalnia, następuje wymiana energii między nią i pulami prędkościowymi równocześnie z nie odwracalnym wypromieniowywaniem energii przez pola przyspieszeniowe. Równanie (l 1.77) uwzględnia tylko tę drugą część, ale jeśli chcemy znać siłę odrzutu wywieraną przez pola na ładunek, to musimy rozważyć całkowitą moc traconą w dowolnej chwili, a nie tylko tę część, która ostatecznie ucieka w postaci promieniowania. (Określenie „reakcja promieniowania” jest więc błędną nazwą, bo w rzeczywistości powinniśmy ją nazywać reakcją pola. Faktycznie, zobaczymy wkrótce, że Frad jest określone przez po chodną względem czasu przyspieszenia i może być niczerowe nawet wtedy, gdy chwilowo samo przyspieszenie jest równe zeru i cząstka nie promieniuje). Energia tracona przez cząstkę w dowolnym danym przedziale czasu musi równać się sumie energii unoszonej przez promieniowanie oraz jakiejkolwiek dodatkowej energii przekazywanej polom prędkościowym.8 Jeśli jednak zgodzimy się rozpatrywać tylko przedziały, po których układ powraca do swego stanu początkowego, to energia pól prędkośćiowych jest taka sama na obu końcach i wypadkowa strata jest tylko w postaci promieniowania. Równanie (11.77), choć niepoprawne w każdej chwili, jest poprawne w średniej 12 2 tj Frad v d ' = — — (11.78) t\ h
I
f
XW rzeczywistości, jeśli całkowite pole jest sumą pól prędkościuwych i pizyspieszeniowych E = E„ 4- E„, to energia jest proporcjonalna do E2 = E] 4- 2E,. • E„ 4- E2 i zawiera trzy człony: energię zmagazynowaną w samych polach prędkościowych (E\), energię wypromieniowaną (E“) i człon mieszany Eu • Ea. Dla uproszczenia kombinację (£* 4- 2E„ •EJ będziemy określali jako „energię zmagazynowaną w polach prędkościowych”. Człony te maleją odpowiednio jak 1/7?.4 i 1 / 7 i żaden z nich nie daje wkładu do promieniowania.
498
11 PROMIENIOWANIE
pod warunkiem, żc stan układu w t\ i tijest identyczny- W przypadku ruchu okresowego musimy więc całkować po całkowitej liczbie pełnych cykli.9 Prawą stronę równania (11.78) można teraz scałkować przez części
h 11
2 i'
-/(:)© * -(• 9 [-/
d^v • vd/. d7-
Człon brzegowy wypada, bo prędkości i przyspieszenia są identyczne w t\ i t2, i równanie (11.78) można równoważnie zapisać w postaci m 2 *j —— a ]
•\a t =
0716’
n 0.
(11.79)
Równanie (11.79) będzie z pewnością spełnione, jeśli
(11.80)
Jest to wzór A braham a-Lorentza na siłę reakcji promieniowania. Równanie (1 1.79) nie dowodzi oczywiście słuszności równania (11.80). Nic mówi ono nic o składowej siły Fra
skąd wynika, że a(t) = a0c'/z,
(11.81)
gdzie 6jt mc ‘'Dla ruchu wykresow ego warunek, że energia w polach prędkośćiowych jest taka sama w t\ i t2, jest trudniejszy do spełnienia. Nie wystarcza nawet równość chwilowych prędkości i przyspieszeń, gdyż pola w większych odległościach zależą od u i a we wcześniejszych chwilach. W zasadzie więc i? i a oraz wszystkie wyższe pochodne muszą być identyczne w /, i t2. W praktyce, ponieważ pola prędkościowe maleją szybko ze wzrostem IZ , wystarcza, że v i a są takie same w krótkim przedziale przed /| i t2.
499
11.2. ŁADUNKI PUNKI OWE
(W przypadku elektronu r = 6 • 10 24 s.) Przyspieszenie samorzutnie wzrasta wykład niczo z czasem! Tego absurdalnego wniosku można uniknąć, jeśli przyjmiemy a<) — 0, ale ukazuje się, że systematyczne wykluczenie takich ro zb ieżn y ch ro z w ią z a ń ma nawet bardziej nieprzyjemną konsekwencję: gdy cząstkę podda się działaniu siły zewnętrznej, wówczas cząstka zacznie ją odczuwać, zanim siła zadziała! (Zob. zad. 11.19.) To nie zgodne z przyczynowością przed przyspieszenie działa tylko przez krótki czas r, ale mimo to jest (przynajmniej dla mnie) odpychające na gruncie filozoficznym, że teoria w ogóle je wprowadza10.
Przykład 11.4 Obliczyć tłumienie promieniste cząstki naładowanej przymocowanej do sprężyny o częstości własnej o>q przy sile wymuszającej o częstości co. Rozwiązanie: Równanie ruchu ma postać mx = F,pr 4- Frivd4- Fwym= -mco20x 4- m ix 4- Fwvm. Dla układu drgającego z częstością co *(r) = jc0cos(cot 4- ó) i stąd x — —co2k. Dlatego mx 4- myx 4 m<Ąx = Fwym
(11.83)
i współczynnik tłumienia y jest dany przez y = cozr.
(11.84)
[Gdy w' rozdz. 9 we wzorze (9.152) napisaliśmy Ft\um = —ym u, przyjęliśmy dla uproszczenia, że tłumienie jest proporcjonalne do prędkości. Obecnie wiemy, że przynajmniej tłumienie pro mieniste jest proporcjonalne do v. Ale to nic ma żadnego znaczenia: dla drgań sinusoidalnych dowolna parzysta pochodna prędkości v jest proporcjonalna do ?;].
Zadanie 11.17 (a) Cząstka o ładunku ą porusza się po okręgu o promieniu R ze stałą prędkością v. Dla podtrzymania ruchu musi oczywiście istnieć siła dośrodkowa mv2/R. Jaką dodatkową siłą (Ff) można by zrównoważyć siłę reakcji promieniowania? [Najprościej jest wyrazić odpowiedz l0Te trudności pozostają w relatywistycznej wersji równania Abrahama-Lorentza, którą można w'yprowadzić, startując ze wzoru Lienarda zamiast Larmora (zob. zad. 12.70). Być może oznacza to, że w klasycznej elektrodynamice nie może istnieć ładunek punktowy lub może jest to zwiastun mechaniki kwantowej. Przegląd literatury zawarty jest w rozdziale Philipa Pearl eła w książce pod red. D. Teplitza, Electromagnetism: Paths to Research, Plenum, New York 1982 i w artykule: F. Kohrlich. Am. J. Phys. 65, 1051 (1997). (Zob. też: F. Rohrlich, Classical Charge Particles, Addison-Wesley, Reading 1965 (tłum. polskie: Klasyczna teoria cząstek naładowanych, PWN, Warszawa 1981) — przyp. tłum.)
500
11. PROMIENIOWANIE
przez chwilową prędkość v.J Jakiej mocy {Pe) dostarcza ta dodatkowa siła? Porównać P( z mocą promieniowania (wykorzystać wzór Larmora). (b) Powtórzyć część (a) dla cząstki w prostym ruchu harmonicznym z amplitudą A i czę stością kątową co (w(f) = A cos(oot) ż). Wyjaśnić różnicę. (c) Rozważyć przypadek cząstki spadającej swobodnie (ze stałym przyspieszeniem g). Jaka jest siła reakcji promieniowania? Jaka moc zostaje wypromieniowana? Skomentować tc wyniki. Zadanie 11.18 (a) Zakładając (co jest mało prawdopodobne), że y jest całkowicie związana z tłumieniem promienistym (11.84), pokazać, że dla dyspersji optycznej tłumienie jest „małe” (y <£ co()). Za łożyć, że odpowiednie częstości rezonansowe leżą w zakresie (lub obok) częstości optycznych. (b) Używając wyników otrzymanych w zad. 9.24, ocenić szerokość obszaru anomalnej dyspersji dla modelu z zad. 9.23. Zadanie 11.19. Z uwzględnieniem siły reakcji promieniowania (1 1.80) druga zasada Newtona dla cząstki naładowanej przybiera postać . F a = ra I m gdzie F jest zewnętrzną siłą działającą na cząstkę. (a) W przeciwieństwie do przypadku cząstki nienaładowanej (a — F/ni) przyspieszenie (podobnie jak położenie i prędkość) musi teraz być ciągłą funkcją czasu, nawet jeśli siła zmienia się gwałtownie. (Fizycznie oznacza to, że reakcja promieniowania tłumi wszystkie gwałtowne zmiany przyspieszenia a.) Udowodnić, że a jest funkcją ciągłą dla dowolnego czasu / (scałkować powyższe równanie ruchu od (/ —e) do (t + e) i przejść do granicy e —> 0. (b) Na cząstkę od chwili t = 0 do czasu T działa stała siła F. Znaleźć najogólniejsze rozwiązanie a(t) równania ruchu w każdym z trzech okresów: (i) t < 0; (ii) 0 < / < T\ (iii) t > T. (c) Nałożyć warunek ciągłości (a) w t = 0 i t = T . Pokazać, że albo można wyeliminować rozbieżne rozwiązanie w przedziale (iii), nlhn można uniknąć przedprzyspieszenia w przedziale (i), ale nie można osiągnąć obu tych celów. (d) Jeśli wybierzemy wyeliminowanie rozwiązania rozbieżnego, to jak zmienia się przy spieszenie z czasem w każdym z przedziałów? Jak zmienia się prędkość? (Prędkość musi być oczywiście ciągła w / = 0 i / = 7.) Założyć, że cząstka była początkowo w spoczynku: u(-oo) = 0. (e) Wykreślić zależność a(t) i u(/) zarówno dla cząstki nienaładowanejyjak i naładowanej (dla rozwiązania nierozbieżnego), poddanych działaniu tej siły.
11.2.3. Fizyczne podstawy reakcji promieniowania W poprzednim paragrafie wyprowadziliśmy wzór Abrahama-Lorentza na reakcję pro mieniowania przy wykorzystaniu zasady zachowania energii. Nie podjęliśmy próby od krycia rzeczywistego mechanizmu odpowiedzialnego za tę siłę poza zwróceniem uwagi, że musi to być zjawisko odrzutu wywieranego przez własne pola cząstki na nią samą. Niestety, pola ładunku punktowego dążą do nieskończoności w punkcie, w którym znaj duje się cząstka, i dlatego trudno jest dostrzec, jak można by obliczyć ich oddziaływa nie11. Spróbujmy uniknąć tego problemu przez rozważenie rozciągłego rozkładu ładunku, 11Można to zrobić przez odpowiednie uśrednienie pola, ale nie jest to łatwe. Zobacz T. H. Boyer, Am. J. Phys. 40, 1843 (1972) i podane tam odnośniki.
501
11.2. ŁADUNKI PUNKTOWE
dla którego pole jest wszędzie skończone, i na końcu przejdźmy do granicy z wymiarami ładunku do zera. W ogólności siła elektromagnetyczna oddziaływania jednej części (A) na drugą (B) we jest równa i przeciwna do siły oddziaływania B na A (rys. 11.17). Je śli rozkład podzielić na infinitezymalne klocki i dodać niezbilansowania dla wszystkich takich par, to wynik jest wypadkową siłą oddziaływania ładunku na siebie. To właśnie siła samooddziaływania, wynikająca z naruszenia trzeciej zasady Newtona w obszarze cząstki, odpowiada za reakcję promieniowania.
położenie opóźnione x(tr)
obecne położenie .v(/)
Lorentz w swej książce obliczył elektromagnetyczną siłę samooddziaływania przy użyciu sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku, co wydaje się rozsądne, ale czyni matematykę dość uciążliwą12. Ponieważ chcemy tylko naświetlić występujący tu mecha nizm, więc użyjemy mniej realistycznego modelu „hantli”, w którym całkowity ładunek q jest podzielony na dwie połówki oddalone od siebie o stałą odległość d (rys. 1 1 . 1 8 ) . Jest to najprostsze możliwe rozmieszczenie ładunku, które pozwala ujawnić działanie istotnego mechanizmu (niezbilansowania się wewnętrznych sił elektromagnetycznych). Mimo że nie jest to prawdopodobny model cząstki elementarnej, to w granicy punktu (id —> 0) dowolny model musi prowadzić do wzoru Abrahama-Lorentza, bo wynika on tylko z zasady zachowania energii. Załóżmy, że ładunki poruszają się w kierunku osi x i są (chwilowo) w spoczynku w czasie opóźnionym. Pole elektryczne w (1) pochodzące od (2) wynosi (równanie (10.65)) E] = , 47160
, [(c2 + H ■a)u • U)3
(Tl ■u)a],
(11.85)
gdzie u — c ii.
i
= l \ + d y.
(11.86)
skąd K
u = cK ,
T l a = la,
i
Tl = yjl2 + d 2.
(11.87)
l2Zobacz J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, wyd. 3, John Wiley, New York 1999, §16.3 [tłum. polskie: Elektrodynamika klasyczna, wyd. 2, PWN, Warszawa 1987, § 17.31.
502
11. PROMIENIOWANIE
W rzeczy wistości jesteśmy zainteresowani tylko składowąx pola E |, ponieważ skła dowe y skrócą się po dodaniu sił z obu końców (z lego samego powodu nie musimy się martwić siłami magnetycznymi). Następnie cl (
i stąd
(Ic 2 -
ą
a d 2)
11. 88)
(11.89)
8 7160 C2 ( / 2 + zf2 ) 3 / 2 *
Zc względu na symetrię Ejx = E \x wypadkowa siła działająca na ładunki wynosi Fsam = | ( E , + E 2)
ą 1 (Ic2 - ad2) _ 87ie0c2 (l2 + d 2)y2 *
(11.90)
Dotąd wszystkie obliczenia były dokładne. Dokonamy leraz rozwinięcia względem potęg d i przy przechodzeniu z rozmiarami cząstki do zera wszystkie dodatnie potęgi znikną. Używając twierdzenia Taylora x(t) =
X ( t r)
+ X ( t r) ( t -
t T)
+
-JĆ (/r)(f -
O 2+
Jj* (/r)(f
- try + ■■■ ,
mamy I
= x(t)
- x(lr) = {a T 2 + ^(iT} + ...,
(11.91)
gdzie dla skrótu oznaczyliśmy T = t —tT. Ale T jest określone przez warunek opóźnienia (11.92)
(cT)2 = l2 + d2. więc aT2
d = s/(cT)2 - l 2 = cT
= c T ------T* + ( )T4 + 8c
Równanie to wyraża d przez T i musimy je „rozwiązać", wyznaczając T jako funkcję odległości d . Istnieje systematyczna procedura znajdowania rozwiązania, zwana odwra caniem szeregun, ale kilka pierwszych członów możemy otrzymać bez tego ogólnego formalizmu. Zaniedbujemy wszystkie wyższe potęgi wielkości 7\ c i używamy tego jako przybliżenia do członu sześciennego d - c T - tc dl 8c c3 itd. W ten sposób otrzymujemy
^ d a2d 3 T = - + —c* 8c5
T = ~ d + — d* + ( y/4 + ... c 8 l3Zobacz np. CRC Standard Mathematical Tables, CRC Press, Cleveland.
(11.93)
503
11.2. ŁADUNKI PUNKI OW t
Powracając cio (1 i.91), konstruujemy szereg potęgowy dla / względem potęg d / " 2 ^ 2 + ^6<
(11.94)
3 + ( )J4 + -
Po podstawieniu tego szeregu do (11.90) otrzymujemy „2 r a a , v, + -— z + ( )d + . . . ^ sam — 4c*2d 12c3
x.
(11.95)
TU a i ó są obliczone w chwili o p ó ź n i o n e j (/r), ale łatwo jest wyrazić wynik przez wielkości w o b e c n e j chwili t a(tT) = a(t) + d(t)(t - / r H - - - - = a(t) - a(t)T H------ = a(t) - d(t)~ 4- • i stąd
.2
r
, « (0 , , w , (11.96) 4 k 60 ~ 4 ^ + 3 ? + l W + - " Pierwszy człon z prawej strony jest proporcjonalny do przyspieszenia ładunku. Po przeniesieniu go na drugą stronę równania drugiej zasady Newtona dodaje się on po prostu do masy cząstki naładowanej. W wyniku tego całkowita masa bezwładna cząstki naładowanej wynosi . 2 (11-97) m = 2m o + 4tt^o 4d c 2 Fsam =
gdzie mo jest masą każdego końca. W kontekście szczególnej teorii względności nie jest zaskoczeniem, żc elektryczne odpychanie się ładunków powinno zwiększyć masę cząstki naładowanej. Energia potencjalna tej konfiguracji (w przypadku statycznym) wynosi 1 (q/2)2 (11.98) 4ttćo d i zgodnie ze wzorem Einsteina E = mc2 energia ta daje wkład do bezwładności obiektu.14 Drugi człon równania (11.96) opisuje reakcję promieniowania F oddz = (M.99) rad li n e Tylko on (poza poprawką do masy15) pozostaje w granicy „punktowej cząstki” d —►0. Niestety różni się on od wzoru Abrahama-Lorenlza o czynnik 2. Ale jest to tylko siła l4Fakt, żc liczby zgadzają się dokładnie, jest szczęśliwym zbiegiem okoliczności dla tej konfiguracji. Jeśli zrobilibyśmy te same obliczenia dla cząstki naładowanej w ruchu podłużnym, to otrzymalibyśmy poprawkę do masy dwukrotnie za dużą (pojawiłoby się 2 zamiast 4 w (11.97)), a dla sfery byłaby różnica o czynnik 3/4. Ten znany paradoks był tematem wieloletniej dyskusji. Zobacz D. J. Griffiths i R. E. Owen, Am. J . P h y s . 51, 1120 (1983). l5Oczy wiście granica d —►0 jest kłopotliwa dla członu masowego. W pewnym sensie nic jest ona istotna, ponieważ obserwował na jest tylko całkowita masa m. Być może m0 ma skądś kompen sującą (ujemną!) nieskończoność i dlatego m wychodzi skończona. Ten kłopotliwy problem pozostaje w elektrodynamice kwantowej, gd/.ic następuje podobne „zmiatanie pod dywan” w procesie znanym jako renormalizacja masy.
11. PROMIENIOWANIE
504
samooddziaływania związana z oddziaływaniem między I i 2 — stąd wskaźnik górny „oddz”. Pozostaje jeszcze sita oddziaływania każdego z końców na siebie. Po włączeniu tej siły (zob. zad. 11.20) otrzymujemy ostateczny wynik ^rad =
( 11. 100)
6
tc c
odtwarzający dokładnie wzór Abrahama-Lorentza. Wniosek: Reakcja promieniowania wynika z samooddziaływania ładunku na siebie lub, bardziej dokładnie, jest siłą wypad kową oddziaływania pól wytwarzanych przez różne części rozkładu ładunku na siebie.
Zadanie 11.20. Wyprowadzić równanie (11.100) z (11.99) w następujący sposób: (a) Użyć wzoru Abrahama-Lorentza do określenia reakcji promieniowania na każdy koniec cząstki naładowanej i dodać to do członu oddziaływania (11.99). (b) Metoda (a) ma tę wadę, że wykorzystuje wzór Abrahama-Lorentza, czyli dokładnie to, co próbujemy wyprowadzić. Aby tego uniknąć, rozmyjmy ładunek na pasek o długości L, zorientowany prostopadle do ruchu (gęstość ładunku wynosi wtedy X. = q/L), i obliczmy wypadkową siłę oddziaływania dla wszystkich par segmentów przy użyciu (l 1.99) (zamieniając q / 2 —* kdy\ na jednym końcu i q / 2 —►A dy2 na drugim). Upewnić się, że nie liczymy tej samej pary dwukrotnie. Zadania dodatkowe do rozdziału 11 Zadanie 11.21. Cząstka o masie m i ładunku q jest umocowana do sprężyny o współczyn niku sprężystości k, zwisającej z sufitu (rys. 11.19). Położenie równowagi cząstki znajduje się w odległości h nad podłogą. W chwili t = 0 cząstka zostaje przesunięta na odległość d poniżej punktu równowagi i zwolniona.
Rys. 11.19 (a) Przy zwykłych założeniach y « ż « /i) obliczyć natężenie promieniowania docierającego do podłogi jako funkcję odległości R od punktu znajdującego się bezpośrednio pod q. [Uwaga: Natężenie jest tu uśrednioną mocą na jednostkę powierzchni podłogi. 1 W jakiej odległości R promieniowanie jest najbardziej intensywne? Zaniedbać tłumienie promieniste oscylatora, fOdpowiedź: Paq2d2co4R2h/(32n2c(R2 + h 2)5/2).\
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 11
505
(b) W celu sprawdzenia otrzymanego wzoru założyć, że podłoga ma nieskończone roz miary, i obliczyć średnią energię padającą na całą podłogę na jednostkę czasu. Czy jest to zgodne z naszymi oczekiwaniami? (c) Ponieważ cząstka traci energię w postaci promieniowania, więc amplituda drgań będzie stopniowo maleć. Po jakim czasie r amplituda zmaleje do <śC h. [Uwaga: Jesteśmy zainteresowani tylko wartością promieniowania, a nie jego kierunkiem (przy pomiarach detektor będzie skierowany bezpośrednio do anteny)]. (b) W jakiej odległości od podstawy wieży inżynier powinien dokonać pomiaru? Jaki jest wzór na natężenie w tym miejscu? (c) Rzeczywista moc stacji KRUD wynosi 35 kW, częstość 90 MHz, promień anteny 6 cm i wysokość wieży 200 m. Zgodnie z normami miejskimi górna granica natężenia promienio wania radiowego wynosi 200 p,W/cm2. Czy KRUD spełnia te normy? Zadanie 11.23. Jak wiadomo, południowy biegun magnetyczny Ziemi nic pokrywa się z geo graficznym biegunem północnym i jest przesunięty o około 11°. Względem ustalonej osi obrotu wektor dipolowego momentu magnetycznego Ziemi zmienia się więc w czasie i Ziemia emituje promieniowanie dipolowe magnetyczne. (a) Znaleźć wzór na całkowitą moc promieniowania przy użyciu następujących parame trów: (kąt między biegunami północnym geograficznym i południowym magnetycznym). M (wartość dipolowego momentu magnetycznego Ziemi) i co (prędkość kątowa obrotu Ziemi) [Wskazówka: Skorzystać z zad. 11.4 lub 11.12]. (b) Wykorzystując informację, że indukcja pola magnetycznego Ziemi wynosi około 0,5 Gs na równiku, oszacować dipolowy moment magnetyczny M Ziemi. (c) Znaleźć moc promieniowania. [Odpowiedź: 4 • 10“5W ] (d) Pulsary są uważane za obracające się gwdazdy neutronowe o typowym promieniu 10 km, okresie obrotu 10”3s i powierzchniowej indukcji pola magnetycznego 108T. Jakiego rzędu mocy promieniowania można się spodziewać z takiej gwiazdy? [Zobacz J.P. Ostriker i J.E. Cuinn, Astrophys. J. 157, 1395 (1969).] [Odpowiedź: 2 1036W.] Zadanie 11.24. Załóżmy, że w (elektrycznie obojętnej) płaszczyźnie yz płynie zależny od czasu, ale jednorodny, prąd powierzchniowy o gęstości K(t)i. (a) Znaleźć pola E i B w odległości x nad płaszczyzną, jeśli (i) stały prąd jest włączony w / = 0
(ii) rosnący liniowo prąd jest włączony w / = 0 0, t <0, K(l) = | Of/, / > 0.
11. PROMIENIOWANIE
506
(b) Pokazać, że opóźniony potencjał wektorowy można zapisać w postaci
J
00
\ ( x , t) = — - ż
K (t - - —u') (Iw
o i określić stąd E i B. (c) Pokazać, że całkowita moc promieniowania na jednostkę pola powierzchni wynosi
Wyjaśnić, czym dla niezlokalizowanego źródła jest „promieniowanie”. [Zob. dyskusję i podobne zadania w: B.R. Holstein, Am. J. Phys. 63, 217 (1995), T.A. Abbott i D. J. Griffiths, Am. J. Phys. 53, 1203 (1985).l Zadanie 11.25. Gdy naładowana cząstka zbliża się do (lub oddala od) powierzchni przewo dzącej, wówczas emitowane jest promieniowanie związane ze zmieniającym się dipolowym momentem elektrycznym ładunku i jego obrazu. Znaleźć całkowitą moc promieniowania jako funkcję wysokości z cząstki nad płaszczyzną; cząstka ma masę m i ładunek q. [Odpowiedź: (fi0cq2/Any/6m2zĄ.] Zadanie 11.26. Użyć przekształcenia dualności (zad. 7.60) do skonstruowania pól E i B monopola magnetycznego qm w dowolnym ruchu i znaleźć „wzór Larmora” dla mocy promienio wania. [Zobacz A. Heras, Am. J. Phys. 63, 242 (1995) dla podobnych zastosowań. | Zadanie 11.27. Zakładając, że wykluczone jest rozbieżne rozwiązanie zad. 11.19, obliczyć: (a) pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną, (b) końcową energię kinetyczną (przy założeniu, że początkowa energia kinetyczna była równa zeru), (c) całkowitą wypromieniowaną energię. Sprawdzić, że w tym procesie energia jest zachowana16. Zadanie 11.28 (a) Powtórzyć zadanie 11.19, ale przyjmując tym razem, że siła zewnętrzna jest funkcją delta Diraca: F(t) = kfi(t) (z pewną stałą k).n [Zauważmy, że przyspieszenie jest teraz nieciągłe w t = 0 (chociaż prędkość musi nadal być ciągła). Stosując metodę z zad. 11.19(a), pokazać, że Aa = —k/mr. W tym zadaniu wystarczy rozważyć tylko dwa przedziały: (i) t < 0 i (ii) t > 0.] (b) Podobnie jak w zad. 11.27 sprawdzić, że w tym procesie energia jest zachowana. ! Zadanie 11.29. Cząstka naładowana, poruszająca się od kątną barierę energii potencjalnej tt(y\
oo wzdłuż osi x , napotyka prosto
__ I Uo. jeśli 0 < * < L, I0 dla pozostałych x.
Pokazać, że ze względu na reakcję promieniowania cząstka może ulec zjawisku tunelowemu, czyli jeśli nawet energia kinetyczna cząstki padającej jest mniejsza niż l/0, to cząstka może przejść przez barierę. (Zobacz F. Denef i in., Phys. Rev. E 56, 3624 (1997).) [Wskazówka: Należy rozwiązać równanie F a = za H— , m l6Zadania 11.27 i 11.28 zasugerował G.L. Pollack. ,7Ten przykład pierwszy przeanalizował P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A167. 148 (1938)
507
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 11
Z siłą
F(x) = U0[-8(x) + 8 ( x
- L )|.
Wykorzystać zad. 11.19 i 11.28, ale zauważyć, że tym razem siła jest zadaną funkcją położenia a\ a nic czasu t. Trzeba rozważyć trzy przedziały: (i) x < 0, (ii) 0 < x < /-, (iii) x > L. Znaleźć ogólne rozwiązanie (dla a ( t ) , v ( t ) i j c ( / ) ) w każdym przedziale, wykluczyć rozwiązanie rozbieżne w przedziale (iii) i nałożyć odpowiednie warunki brzegowe w x = 0 i x = L. Pokazać, że prędkość końcowa (Ukońc) związana jest z czasem T potrzebnym na przejście bariery równaniem L = UkońcT ----- (Te"r/r + T - r ) , tnvkońc a prędkość początkowa (w x = —oo) wynosi
^pocz —^końc
"H.’konc
1+
Uo " llt ń c
(e 'v‘ -1 )
Aby uprościć te wyniki (interesuje nas tylko szczególny przykład), załóżmy, że końcowa energia kinetyczna jest równa połowie wysokości bariery. Pokazać, że w tym przypadku _ ____^końc____ yp<’C7 ~ i - ( L / v końct)'
Jeśli w szczególności wybierzemy L = UkońcT/4, to upocz = (4/3)vkońc, początkowa energia kinetyczna wynosi (8/9)U0 i cząstka przechodzi przez barierę, chociaż nic ma wystarczającej energii, by przejść nad nią!] ! Zadanie 11.30 (a) Znaleźć siłę reakcji promieniowania dla cząstki poruszającej się z dowolną prędkością po linii prostej przez rekonstrukcję argumentu z paragrafu 11.2.3 bez zakładania u(/r) = 0. [Odpowiedź: (p,0q2y 4/6nc)(a + 3y 2a1v/c2).\ (b) Pokazać, że ten wynik jest zgodny (w sensie równania ( 11.78)) z mocą promieniowania takiej cząstki (11.75). Zadanie 11.31 (a) Czy cząstka w ruchu hiperbolicznym (10.45) promieniuje? (Użyć dokładnego wzoru (11.75) do obliczenia mocy promieniowania). (b) Czy cząstka w ruchu hiperbolicznym doznaje reakcji promieniowania? (Użyć dokład nego wzoru (zad. 11.30) do określenia siły reakcji). [Komentarz: Te znane pytania niosą ważne wnioski dla zasady równoważności. Zobacz T. Ful ton i F. Rohrlich, Ann. Phys. 9, 499 (I960); J. Cohn, Am. ./. Phys. 46, 225 (1978); rozdział 8 książki R. Peierlsa, Surprises in Theoretical Physics, Princeton University Press, Princeton 1979 (tłum. polskie: Niespodzianki w fizyce teoretycznej. PWN. Warszawa 1990) i artykuł P. Pearle’a w książce pod red. D. Tcplitza: Electromagnetism: Paths to Research, Plenum Press, New York 19821.
Rozdział 12
Elektrodynamika i teoria względności
12.1. Szczególna teoria względności 12.1.1. Postulaty Einsteina Mechanika newtonowska spełnia zasadę względności: w dowolnym inercjalnym ukła dzie odniesienia prawa mechaniki są takie same. Przez „inercjalny” rozumie się układ w spoczynku lub poruszający się ze stałą prędkością.1 Wyobraźmy sobie na przykład, że załadowaliśmy stół bilardowy na wagon kolejowy i pociąg porusza się ze stałą pręd kością po gładkim prostym torze. Gra będzie przebiegać dokładnie tak samo, jak gdyby pociąg stał na stacji. Nie trzeba „korygować” uderzeń ze względu na ruch pociągu. Rze czywiście, jeśliby opuścić wszystkie zasłony, to nie byłoby sposobu dowiedzenia się, czy pociąg się porusza, czy nie. Zauważmy natomiast, iż dowiadujemy się natychmiast, że pociąg przyspiesza, zwalnia, zakręca lub podskakuje, bo kule bilardowe zaczynają poru szać się po torach dziwnie zakrzywionych, a my sami się chwiejemy. Prawa mechaniki nie są więc takie same w przyspieszających układach odniesienia. Zasada względności w zastosowaniu do mechaniki newtonowskiej nie jest niczym nowym, bo została jasno sformułowana przez Galileusza. Powstaje pytanie: Czy sto suje się także do praw elektrodynamiki? Na pierwszy rzut oka odpowiedź wydaje się negatywna. Przecież ładunek w ruchu wytwarza pole magnetyczne, a ładunek w spo czynku nie. Ładunek przewożony przez pociąg wytwarzałby pole magnetyczne, ale ktoś w pociągu, stosując prawa elektrodynamiki, nie przewidywałby pola magnetycznego. Rzeczywiście, wiele równań elektrodynamiki, zaczynając od wzoru określającego silę Lorentza, odnosi się do „prędkości” ładunku. Wydaje się więc pewne, że teoria elektro magnetyzmu zakłada istnienie jednoznacznie określonego nieruchomego układu odnie sienia, względem którego należy mierzyć wszystkie prędkości. 'Prowadzi to do kłopotliwego pytania: Jeśli prawa fizyki są słuszne równie dobrze w jednostajnie poruszającym się układzie, to nic mamy możliwości zidentyfikowania układu „spoczynkowego ’, to znaczy sprawdzenia, czy pewien inny układ porusza się ze stałą prędkością. Aby uniknąć tej pułapki, definiujemy formalnie układ inercjalny jako układ, w którym jest słuszna pierwsza zasada dynamiki Newtona. Jeśli chcemy wiedzieć, czy jesteśmy w układzie inercjalnym, to możemy rozrzucić wkoło kamienie — gdy poruszają się po liniach prostych ze stałą prędkością, wówczas jesteśmy w układzie inercjalnym i dowolny układ poruszający się względem nas ze stałą prędkością jest także układem inercjalnym (zob. zad. 12.1).
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
509
pętla z drutu
Ale istnieje także nadzwyczajny zbieg okoliczności, który powstrzymuje nas od ostatecznego wniosku. Załóżmy, że na wagonie kolejowym montujemy pętlę z drutu i pociąg przejeżdża między biegunami ogromnego magnesu (rys. 12.1). Gdy pętla prze suwa się przez pole magnetyczne, wówczas w obwodzie ruchomym powstaje siła elek tromotoryczna zgodnie z regułą strumienia magnetycznego (7.13) dla poruszającego się przewodnika
Jak pamiętamy, ta siła elektromotoryczna wynika z działania siły magnetycznej na ła dunki w pętli przewodzącej, przesuwające się razem z pociągiem. Z drugiej strony, jeśli ktoś w pociągu zastosowałby naiwnie prawa elektrodynamiki w swoim układzie, to jakie byłyby przewidywania? Nie ma żadnej siły magnetycznej, bo pętla jest w spoczynku. Ale mijamy magnes i pole magnetyczne w wagonie towarowym zmienia się, a zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne zgodnie z prawem Faradaya. Powstała siła elektryczna wytwarza w pętli siłę elektromotoryczną zgodnie z (7.14)
Ponieważ prawo Faradaya i prawo strumienia magnetycznego przewidują dokładnie taką samą siłę elektromotoryczną, więc ludzie w wagonie otrzymują właściwą odpowiedź, chociaż ich fizyczna interpretacja procesu jest całkowicie błędna. Ale czy jest błędna ? Einstein nie mógł uwierzyć, że jest to tylko czysty przypadek, i potraktował to raczej jako wskazówkę, że zjawiska elektromagnetyczne, podobnie jak mechaniczne, spełniają zasadę względności. Według niego analiza obserwatora w po ciągu jest równie poprawna jak obserwatora na ziemi. Jeśli ich interpretacje się różnią (jeden nazywa proces elektrycznym, drugi magnetycznym), to trzeba się z tym pogo dzić, bo ich rzeczywiste przewidywania są zgodne. Oto co Einstein napisał na pierwszej stronie swego artykułu z 1905 r., wprowadzając szczególną teorię względności: Wiadomo, że elektrodynamika Maxwella, w obecnym jej rozumieniu, w za stosowaniu do ciał w ruchu prowadzi do pewnych asymetrii, które nic wydają się wynikać z samej istoty zjawisk. Weźmy na przykład wzajemne oddziaływa nie elektrodynamiczne magnesu i przewodnika. Obserwowane zjawisko zależy
510
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
tu jedynie od względnego ruchu przewodnika i magnesu, podczas gdy w zwy czajowym ujęciu rozróżnia się wyraźnie dwa przypadki, gdy porusza się jedno lub drugie z tych ciał. W przypadku gdy magnes się porusza, a przewodnik pozostaje w spoczynku, wówczas w sąsiedztwie magnesu powstaje pole elek tryczne .. . wywołujące prąd w miejscach, gdzie znajduje się przewodnik. Ale jeśli magnes jest w spoczynku, a przewodnik w ruchu, to w sąsiedztwie ma gnesu nie powstaje pole elektryczne. W przewodniku jednakże powstaje siła elektromotoryczna,... która wywołuje — zakładając jednakowy ruch względny w obu omawianych przypadkach — powstanie prądu elektrycznego na tej samej drodze i o tym samym natężeniu co prąd wytwarzany przez siły elektryczne w pierwszym przypadku. Tego rodzaju przykłady, wraz z nieudanymi próbami odkrycia ruchu Ziemi względem „ośrodka przenoszącego światło”, sugerują, że zjawiska elektrody namiczne, podobnie jak mechaniczne, nie mają właściwości odpowiadających pojęciu absolutnego spoczynku.2 Ale pójdźmy dalej z naszą historią. Dla poprzedników Einsteina równość dwóch sił elektromotorycznych była szczęśliwym przypadkiem, gdyż nie mieli oni wątpliwości, że jeden obserwator ma rację, a drugi jest w błędzie. Traktowali oni pola elektryczne i magnetyczne jako naprężenia w niewidzialnym galaretowatym ośrodku, zwanym ete rem, który wypełniał całą przestrzeń. Prędkość ładunku była mierzona względem eteru i tylko wtedy prawa elektrodynamiki mogły być prawdziwe. Obserwator w pociągu jest w błędzie, bo jego układ porusza się względem eteru. Zastanówmy się jednak chwilę! Skąd wiemy, że obserwator na ziemi nie porusza się również względem eteru? Przecież Ziemia obraca się wokół swej osi i w ciągu roku obiega Słońce, a Układ Słoneczny krąży wokół jądra Galaktyki i sama Galaktyka może poruszać się z dużą prędkością przez Wszechświat. Powinniśmy więc poruszać się z prędkością dobrze ponad 50 km/s względem eteru. Podobnie jak motocyklista na otwartej drodze, powinniśmy odczuwać „wiatr eteru” o dużej prędkości, chyba że jakimś szczęśliwym trafem znajdziemy się akurat w zasięgu przeciwnego wiatru o dokładnie określonej prędkości lub że Ziemia ma pewnego rodzaju „osłonę wiatrową” i porywa ze sobą swoją lokalną warstwę eteru. Nagle bardzo ważne okazuje się doświadczalne znalezienie układu związanego z eterem, bo w przeciwnym wypadku wszystkie nasze obliczenia nie będą poprawne. Powstaje więc problem określenia naszego ruchu względem eteru, czyli, inaczej mó wiąc, zmierzenie prędkości i kierunku „wiatru eteru”. Jak można to zrobić? Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że praktycznie wystarczy jakikolwiek eksperyment elektro2Angielski przekład pierwszego artykułu Einsteina o teorii względności „O elektrodynamice ciał w ruchu” przedrukowany przez H. A. Lorentza i in. w: The Principle o f Relativity, Dover, New York 1923 — polski przekład początkowych stron tego artykułu, dokonany przez H. Chęcińską, jest w polskim tłumaczeniu książki: C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman, Mechanika, PWN, Warszawa 1969, s. 415-417.
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Sil
magnetyczny, gdyż jeśli równania Maxwella są słuszne tylko w układzie związanym z eterem, to dowolna rozbieżność między wynikiem doświadczalnym i przewidywa niem teoretycznym jest związana z wiatrem eteru. Niestety, dziewiętnastowieczni fizycy przekonali się wkrótce, że przewidywany błąd typowego eksperymentu jest nadzwyczaj mały, gdyż podobnie jak w powyższym przykładzie „koincydencje” zawsze wydają się konspirować, aby ukryć fakt, że stosujemy „niewłaściwy” układ odniesienia. Potrzebny jest więc nadzwyczaj subtelny eksperyment do takiego pomiaru. Jednym z wyników elektrodynamiki klasycznej jest przewidywanie, że fale elektro magnetyczne poruszają się w próżni z prędkością 1 R . = 3,00- 108m /s s/CoMo (prawdopodobnie) względem eteru. Można by więc w zasadzie odkryć wiatr eteru po prostu przez pomiar prędkości światła w różnych kierunkach. Podobnie jak dla moto rówki na rzece prędkość wypadkowa „z prądem” powinna być maksymalna, bo światło jest porywane przez eter, a w przeciwnym kierunku, gdy pokonuje prąd, prędkość winna być minimalna (rys. 12.2). Chociaż idea tego eksperymentu jest nadzwyczaj prosta, to jego wykonanie proste nie jest, ponieważ światło rozchodzi się niezwykle szybko. Gdyby nic ten „techniczny szczegół”, można by to zrobić przy użyciu lampy błyskowej i stopera. Dokładnie przemyślany i piękny eksperyment został zaproponowany przez Michclsona i Morleya przy wykorzystaniu interferometru optycznego o fantastycznej dokładności. Nie będziemy tu wchodzić w szczegóły, gdyż nie chcemy odrywać się od dwóch istotnych punktów: (1) Michelson i Morley chcieli tylko porównać prędkość światła w różnych kierunkach, a (2) odkryli, że prędkość światła jest dokładnie taka sama we wszystkich kierunkach.
Obecnie, gdy już w liceum uczniowie uczą się drwić z naiwności koncepcji eteru, potrzeba sporej wyobraźni, aby zrozumieć, jak wielkie zakłopotanie wywołał ten wynik w tamtych czasach. Wszystkie inne fale (fale na wodzie, fale dźwiękowe, fale w sznu rach) rozchodzą się z określoną prędkością względem przenoszącego je ośrodka (mate riału, w którym falują) i jeśli ten ośrodek porusza się względem obserwatora, to prędkość wypadkowa jest zawsze większa w kierunku „z prądem” niż „pod prąd”. Przez następne 20 lat wymyślono wiele nieprawdopodobnych schematów w celu wyjaśnienia, dlaczego
512
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
w przypadku światła jest inaczej. Michelson i Morley interpretowali sami swój ekspe ryment jako potwierdzenie hipotezy „porywania eteru”, zgodnie z którą Ziemia porywa eter ze sobą. Taka interpretacja okazała się jednak niezgodna z innymi obserwacjami, a zwłaszcza z aberracją światła gwiazd3. Zaproponowano wiele różnych teorii „emi syjnych”, zgodnie z którymi prędkość fal elektromagnetycznych zależy od ruchu źródła. Byłoby tak w teorii korpuskularnej przedstawiającej światło jako strumień cząstek. Takie teorie wymagały niemożliwych do przyjęcia modyfikacji równań Maxwella i ostatecz nie zostały zdyskredytowane przez eksperymenty z pozaziemskimi źródłami światła. W międzyczasie Fitzgerald i Lorentz zasugerowali, że fizycznie wiatr eteru powoduje ści śnięcie całej materii (łącznie z samym aparatem Michelsona-Morleya) i kompensuje, a zarazem ukrywa, zależność prędkości od kierunku. Okazało się, że jest w tym ziarno prawdy, choć ich idea uzasadniająca skrócenie była całkowicie błędna. W każdym razie dopiero Einstein potraktował dosłownie wynik Michelsona-Mor leya i zasugerował, że prędkość światła jest stałą uniwersalną, taką samą w każdym kie runku. Nie ma wiatru eteru, bo eter nie istnieje. Dowolny układ inercjalny jest właściwym układem odniesienia do stosowania równań Maxwella, a prędkość ładunku powinna być mierzona nie względem (nieistniejącego) układu absolutnego spoczynku, a po prostu względem wybranego układu odniesienia. Zainspirowany następnie zarówno przez wewnętrzne przesłanki teoretyczne (prawa elektrodynamiki są takie, że dają poprawną odpowiedź nawet po ich zastosowaniu w „nie właściwym” układzie), jak i zewnętrzne dowody empiryczne (doświadczenie Michel sona-Morleya4), Einstein zaproponował swoje dwa słynne postulaty: 1. Zasada względności. Prawa fizyki są takie same we wszystkich iner cjalnych układach odniesienia. 2. Uniwersalna prędkość światła. Prędkość światła w próżni jest taka sama dla wszystkich inercjalnych obserwatorów, bez względu na ruch źródła. Szczególna teoria względności wynika z tych dwóch postulatów. Pierwszy wynosi obser wację Galileusza dotyczącą mechaniki newtonowskiej do statusu ogólnego prawa, stosu jącego się do całej fizyki. Stwierdza on, że nie ma układu absolutnego spoczynku. Drugi postulat można uważać za odpowiedź Einsteina na doświadczenie Michelsona-Morleya. Oznacza on, że nie istnieje eter. (Niektórzy autorzy uważają drugi postulat Einsteina za zbędny, bo jest on tylko szczególnym przypadkiem pierwszego. Według nich samo istnienie eteru naruszałoby zasadę względności w tym sensie, że definiowałoby wyróż niony stacjonarny układ odniesienia. Sądzę, że jest to nonsens. Istnienie powietrza jako ośrodka dla dźwięku nie unieważnia teorii względności. Eter nie jest bardziej absolut3Dyskusję eksperymentu Michelsona-Morleya i związanych z nim problemów można znaleźć w książce R. Rcsnicka, Introduction to Special Relativity, John Wiley, New York 1968, rozdz. 1. 4W rzeczywistości Einstein, jak się /.daje, miał wtedy dość mętne pojęcie o doświadczeniu Michelsona-Morleya. Dla niego decydujący był tylko argument teoretyczny.
513
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
nym układem spoczynku niż woda w akwarium złotej rybki, które jest dla złotej rybki układem szczególnym, ale w żadnym stopniu „absolutnym”)5. W przeciwieństwie do zasady względności, której korzenie sięgają kilku wieków wstecz, uniwersalna prędkość światła była czymś całkowicie nowym i niezrozumiałym. Jeśli idziemy z prędkością 5 km/h wzdłuż korytarza pociągu poruszającego się z prędko ścią 60 km/h, to nasza prędkość względem ziemi jest „oczywiście” 65 km/h — prędkość obiektu A (moja) względem układu C (ziemi) jest równa sumie prędkości obiektu A względem układu B (pociągu) i prędkości układu B względem układu C V a c = v a b 4- v b c •
(12.1)
Jeśli jednak A jest sygnałem świetlnym (pochodzącym od lampy błyskowej w pociągu, latarni na ziemi lub z gwiazdy na niebie), to Einstein zmusza nas do uwierzenia, że jego prędkość wynosi c względem pociągu i c względem ziemi vac
= vab = c.
(12.2)
Równanie (12.1), które obecnie nazywamy prawem Galileusza składania prędkości (nikt przed Einsteinem w ogóle nie zawracał sobie głowy nadaniem mu nazwy), jest wyraźnie niezgodne z drugim postulatem. Okaże się, że w szczególnej teorii względności jest ono zastąpione prawem Einsteina składania prędkości
vac
=
vab
+
vbc
(12.3)
1 + ( V a b V b c / c 2)
Dla „zwykłych” prędkości ( v Ab <£ c , v b c <ŚC c ) mianownik jest tak bliski 1, że różnica między prawem Galileusza i prawem Einsteina jest zaniedbywalna. Z drugiej strony, prawo Einsteina ma oczekiwaną właściwość, że jeśli vab = c, to automatycznie vac = c c + vBc Cm 1 + ( cvBC/c 2) Ale jak prawo Galileusza, które wydaje się opierać tylko na zdrowym rozsądku, może być błędne? A jeśli jest błędne, to co to oznacza dla całej fizyki klasycznej? Odpowiedzią jest to, że szczególna teoria względności zmusza nas do zmiany naszych pojęć przestrzeni i czasu, a stąd także takich pochodnych wielkości, jak prędkość, pęd i energia. Chociaż historycznie teoria ta powstała z rozważań Einsteina dotyczących elektrodynamiki, to nie ogranicza się ona do jakiejś szczególnej klasy zjawisk i raczej jest opisem „areny” czasoprzestrzennej, na której występują wszystkie zjawiska fizyczne. I mimo odwoływania się do prędkości światła w drugim postulacie, teoria względno ści nie dotyczy wcale światła. Wielkość c okazuje się podstawową prędkością i tak się vac
— - r — / -------------------- ~
5Przedstawiam to w ten sposób, aby usunąć nieporozumienie, czym jest absolutny układ spoczyn kowy. W 1977 r. okazało się możliwe zmierzenie prędkości Ziemi względem promieniowania reliktowego o temperaturze 3 K, będącego pozostałością po Wielkim Wybuchu. Czy oznacza to, że znaleźliśmy ab solutny układ spoczynkowy i obaliliśmy teorię względności? Oczywiście, że nic.
514
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
zdarza, że światło rozchodzi się z tą prędkością, ale równie dobrze można sobie wy obrazić wszechświat, w którym nie ma ładunków elektrycznych, a stąd i pól czy fal elektromagnetycznych, a teoria względności nadal obowiązuje. Ponieważ teoria względ ności określa strukturę przestrzeni i czasu, więc ma znaczenie nie tylko dla wszystkich obecnie znanych zjawisk, lecz także dla tych jeszcze nie odkrytych. Teoria względności stanowi, jak powiedziałby Kant, „prolegomena do jakiejkolwiek przyszłej fizyki.”
Zadanie 12.1. Skorzystać z prawa Galileusza składania prędkości. Niech S będzie inercjalnym układem odniesienia. (a) Załóżmy, że Ś porusza się ze stałą prędkością względem S. Wykazać, że Ś jest także inercjalnym układem odniesienia. [Wskazówka: Użyć definicji z przypisu l.| (b) Udowodnić twierdzenie odwrotne, że jeśli S jest układem inercjalnym, to porusza się ze stałą prędkością względem «S. Zadanie 12.2. Jako ilustrację zasady względności w mechanice newtonowskiej rozważmy na stępujące ogólne zderzenie: w układzie inercjalnym S cząstka A (o masie mA, prędkości uA) uderza w cząstkę B (o musie mRt prędkości uB). W wyniku zderzenia pewna masa przenosi się z A do B i pozostajemy z cząstkami C (o masie mc, prędkości uc) i D (o masie mD%prędkości uD). Załóżmy, że w S zachowuje się pęd (p = mu). (a) Udowodnić, że pęd zachowuje się także w układzie inercjalnym ć>, który porusza się z prędkością v względem <5. [Zastosować prawo Galileusza składania prędkości, gdyż jest to zadanie z mechaniki newtonowskiej. Co musimy założyć o masie?) (b) Pokazać, że jeśli zderzenie jest sprężyste w S , to jest sprężyste również w S. Zadanie 12.3 (a) Jaki wprowadzimy błąd (w procentach), jeśli użyjemy prawa Galileusza zamiast prawa Einsteina, gdy vAn = 5 km/h i vBc = 60 km/h? (b) Załóżmy, że możemy biec z prędkością równą połowic prędkości światła wzdłuż ko rytarza pociągu poruszającego się z prędkością równą 3/4 prędkości światła. Jaka będzie nasza prędkość względem ziemi? (c) Udowodnić, stosując (12.3), że jeśli vAR < c i v RC < c, to v AC < c. Zinterpretować ten wynik.
Rys. 12.3
Zadanie 12.4. Do przestępców, uciekających samochodem z prędkością równą
strzela po licjant z samochodu pościgowego, który porusza się z prędkością zaledwie -c (rys. 12.3). Prędkość wylotowa kuli (względem pistoletu) wynosi Jc. Czy kula osiągnie cel (a) według Galileusza, (b) według Einsteina?
SIS
12.1. SZCZEGÓLNA TEOKIA WZGLĘDNOŚCI
12.1.2. Geometria teorii względności
Co)
ii
______
i
ik
A
(b)
Co) Rys. 12.4
(a)
i!i ii i
o-
W tym paragrafie przedstawimy kilka doświadczeń myślowych (z niem. Gedankenexperimente), których celem jest wprowadzenie trzech najbardziej szokujących konsekwencji geometrycznych postulatów Einsteina, a mianowicie wydłużenia czasu, skrócenia Lo rentza i względności równoczesności. W paragrafie 12.1.3 te same wyniki wyprowa dzimy bardziej systematycznie przy użyciu przekształceń Lorentza.
(b)
'S ')
(o )
'O )
(o)
Rys. 12.5
(i) Względność równoczesności. Wyobraźmy sobie wagon kolejowy, poruszający się ze stałą prędkością po gładkim, prostym torze (rys. 12.4). W samym środku wagonu zawieszono żarówkę. Po jej włączeniu światło rozchodzi się we wszystkich kierunkach z prędkością c. Ponieważ żarówka jest w równych odległościach od obu końców wagonu, więc obserwator w pociągu stwierdzi, że światło pada na przednią i tylną ścianę w tej samej chwili. Oba te zdarzenia: (a) światło dociera do przedniej ściany i (b) światło dociera do tylnej ściany, występują równocześnie. Ale gdy światło rozchodzi się od żarówki, wówczas sam pociąg przesuwa się do przodu i wiązka rozchodząca się do tyłu ma do przebycia krótszą drogę niż rozchodząca się do przodu (rys. 12.5). Dlatego dla obserwatora na ziemi zdarzenie (b) nastąpi przed zdarzeniem (a). Tymczasem obserwator przejeżdżający obok pociągiem ekspresowym uzna, że (a) poprzedza (b). Wniosek: Dwa zdarzenia równoczesne w jednym układzie inercjalnym nie są na ogół równoczesne w innym. Naturalnie, pociąg musi się poruszać bardzo szybko, aby ta niezgodność była wykry walna. W tym leży przyczyna, że zwykle jej nie dostrzegamy. Oczywiście, zawsze jest możliwe, że naiwny obserwator może popełnić błąd w oce nie równoczesności. Słysząc grzmot po zobaczeniu błyskawicy, dziecko mogłoby wnio skować, że źródło światła nie było równoczesne ze źródłem dźwięku. Jest to jednak banalny błąd, nie mający nic wspólnego z poruszającymi się obserwatorami lub teorią względności, gdyż wystarczy oczywiście wziąć poprawkę na czas potrzebny na dotar cie sygnału (dźwięku, światła, gołębia pocztowego itp.). Gdy mówimy o obserwatorze, mamy na myśli kogoś, kto potrafi zrobić taką poprawkę, a obserwacją jest to, co ob serwator rejestruje po jej zrobieniu. Dlatego to, co widzimy, nie jest tym samym, co obserwujemy. Obserwacji nie można dokonać kamerą, bo obserwacja jest rekonstrukcją dokonaną po zebraniu wszystkich danych. W rzeczywistości mądry obserwator unika
516
12.
E L E K T R O D Y N A M IK A
I T E O R IA W Z G L Ę D N O Ś C I
lego problemu przez ustawienie w strategicznych miejscach pomocników, z których każdy ma zegarek zsynchronizowany z głównym zegarem i bezpośrednio na miejscu może dokonać pomiarów czasu. Omawiamy ten punkt szczegółowo, aby podkreślić, że względność równoczesności jest autentyczną niezgodnością między pomiarami dokona nymi przez kompetentnych obserwatorów w ruchu względnym, a nie prostym błędem wynikającym z nieuwzględnienia czasu rozchodzenia się sygnałów świetlnych.
Zadanie 12.5. Z synchronizow ane zegary um ieszczono w regularnych odstępach równych 106 km wzdłuż linii prostej. Gdy na zegarze naprzeciw nas jest godzina 12 w południe, jaki czas (a) widzimy na 90. zegarze wzdłuż tej linii?
d o Z ie m i
Rys. 12.6 Zadanie 12.6. Mniej więcej co 2 lata The New York Times publikuje artykuł, w którym jakiś astronom donosi, że znalazł obiekt poruszający się szybciej niż światło. Wiele z tych doniesień wynika z błędu nieodróżniania tego, co się widzi. od tego, co się obserwuje, czyli z nieuwzględ niania czasu na rozchodzenie się światła. Oto przykład: Gwiazda porusza się z prędkością v pod kątem 0 do linii obserwacji (rys. 12.6). Jaka jest jej pozorna prędkość na niebie? (Założyć, że gdy sygnał świetlny z b dociera do Ziemi w czasie At po sygnale z ay a w tym czasie gwiazda przesunęła się na odległość As na sferze niebieskiej, przez „prędkość pozorną" rozu miemy A.v/Ar). Jaki kąt 0 daje maksymalną prędkość pozorną? Pokazać, że prędkość pozorna może być dużo większa niż c\ nawet jeśli sama prędkość v jest mniejsza od c.
(ii) Wydłużenie czasu. Rozważmy teraz promień świetlny, który od żarówki dociera do podłogi wagonu bezpośrednio pod nią. Pytanie: Jakiego czasu potrzebuje światło na przebycie tej drogi? Z punktu widzenia obserwatora w pociągu odpowiedź jest prosta:
517
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
jeśli wysokość wagonu wynosi //, to czas jest równy
. h At = —. c
(12.4)
(Kreską oznaczamy pomiary zrobione w pociągu). Z drugiej strony, przy obserwacji z ziemi ten sam promień musi przebyć dłuższą drogę, bo sam pociąg się porusza. Z rysunku 12.7 widać, że ta odległość wynosi y/h2 + (uAr)2, a więc yjh2 + (u Ar)2 At = ----------------- . c
Rys. 12.7
Po rozwiązaniu otrzymujemy 1
—v2/c 2 i dlatego Ar = yj 1 —v 2/ c 2 At.
(12.5)
Oczywiście czas, jaki upłynął między tymi samymi dwoma zdarzeniami — (a) światło opuszcza żarówkę i (b) światło dociera do samego środka podłogi — jest różny dla obu obserwatorów. Rzeczywiście, czas zarejestrowany przez zegar w pociągu Ar jest krótszy o czynnik I y /\
-
V2/ c 2
( 12. 6)
Wniosek: Poruszające się zegary chodzą wolniej. Zjawisko to nazywamy wydłużeniem czasu. Nie ma ono nic wspólnego z mechanizmem zegara. Jest to stwierdzenie dotyczące natury czasu, które stosuje się do wszystkich dobrze chodzących zegarów.
518
12.
tL h K IK U D Y N A M IK A
I lh O K IA
W ZG LĘDNO ŚCI
Ze wszystkich przewidywań Einsteina żadne nie uzyskało tak spektakularnego i przekonującego potwierdzenia jak wydłużenie czasu. Większość cząstek elementar nych jest nietrwałych i rozpadają się one po charakterystycznym czasie życia6 zależnym od rodzaju cząstek. Czas życia neutronu wynosi 15 min, mionu 2- 10"6 s, pionu neutral nego 8 • 10"17 s. Ale są to czasy życia cząstek w spoczynku. Gdy cząstki poruszają się z prędkościami bliskimi c, wówczas żyją dużo dłużej, bo ich wewnętrzne zegary (co kolwiek to jest, co mówi im, kiedy mija ich czas) chodzą wolniej, zgodnie ze wzorem Einsteina na wydłużenie czasu.
Przykład 12.1 Jak długo żyje mion, który porusza się w laboratorium z prędkością równą ^ prędkości światła? Rozwiązanie: W tym przypadku _
1
K “ v'l - < w
_ 5 ~ 4’
czyli mion żyje dłużej (niż będąc w spoczynku) o czynnik 5 - (2- 10"6)s = 2, 5- l
Może się wydawać, że wydłużenie czasu jest niezgodne z zasadą względności. Je śli obserwator na ziemi twierdzi, że zegar w pociągu chodzi wolniej, to obserwator w pociągu ma równe prawo powiedzieć, żc zegar na ziemi chodzi wolniej, bo prze cież z punktu widzenia pociągu to ziemia się porusza. Kto ma rację? Odpowiedź: Obaj obserwatorzy mają rację! Przy bliższej analizie ta „sprzeczność”, która wydaje się tak oczywista, znika. Oto wyjaśnienie. Aby sprawdzić, jak chodzi zegar w pociągu, obser wator na ziemi używa swoich dwóch zegarów (rys. 12.8): jeden do porównania czasów, gdy zegar z pociągu mija punkt A, drugi do porównania czasów, gdy zegar z pociągu mija punkt B. Oczywiście, musi on dokładnie zsynchronizować swoje zegary przed eks perymentem. Odkrywa on, że podczas gdy na zegarze w pociągu upłynął czas np. 3 minuty, różnica między wskazaniami jego dwóch zegarów wynosi 5 minut. Stąd jego wniosek, że zegar w pociągu chodzi wolniej. Tymczasem obserwator w pociągu sprawdza szybkość chodzenia zegara na ziemi w ten sam sposób. Używa dwóch dokładnie zsynchronizowanych zegarów w pociągu i porównuje czasy z pojedynczym zegarem na ziemi, gdy mija po kolei każdy z nich (rys. 12.9). Okazuje się, że gdy na zegarze na ziemi mijają 3 minuty, różnica wskazań 6W rzeczywistości pojedyncza cząstka może żyć dłużej lub krócej niż wynosi jej czas życia. Rozpad cząstki jest procesem przypadkowym i faktycznie powinniśmy mówić o średnim czasie życia dla danego rodzaju cząstek. Aby uniknąć nieistotnej komplikacji, będziemy jednak sobie wyobrażać, żc każda cząstka rozpada się dokładnie po średnim czasie życia.
519
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
zegar w pociągu Zegar B w pociągu
Zegar A w pociągu
zegar na ziemi Rys. 12.9
zegarów w pociągu wynosi 5 minut i stąd wniosek, że zegar na ziemi chodzi wolniej. Czy jest tu sprzeczność? Nie, bo obaj obserwatorzy mierzyli różne rzeczy. Obserwator na ziemi porównywał jeden zegar w pociągu z dwoma zegarami na ziemi, a obserwator w pociągu porównywał jeden zegar na ziemi z dwoma zegarami w pociągu. Każdy z ob serwatorów stosował sensowną i poprawną metodę, porównując pojedynczy poruszający się zegar z dwoma zegarami nieruchomymi. Ktoś mógłby powiedzieć, że nieruchome zegary były za każdym razem zsynchronizowane, więc nie powinno mieć znaczenia, że używano dwóch różnych zegarów. Ale w tym właśnie jest problem: Zegary poprawnie zsynchronizowane w jednym układzie nie będą zsynchronizowane, gdy są obserwowane z innego układu. Nie mogą być zsynchronizowane, bo ich synchronizacja oznacza, że oba wskazują np. godzinę 12 w południe równocześnie, a wiemy już, że co jest równo czesne dla jednego obserwatora, nie jest równoczesne dla drugiego. Tak więc, chociaż każdy obserwator całkiem poprawnie przeprowadził pomiar ze swego punktu widzenia, to drugi obserwator, obserwujący ten proces, uważa, że ten inny zrobił bardzo elemen tarny błąd, bo użył niezsynchronizowanych zegarów. To dlatego, mimo że jego zegary „w rzeczywistości” chodzą wolniej, dochodzi do wniosku, że zegary drugiego obserwatora chodzą wolniej (i na odwrót). Ponieważ poruszające się zegary nie są zsynchronizowane, więc przy badaniu wy dłużenia czasu istotne jest skupienie uwagi na pojedynczym poruszającym się zegarze. Wszystkie poruszające się zegary chodzą wolniej o ten sam czynnik, ale nie można za cząć pomiaru czasu na jednym zegarze i przejść potem do drugiego, gdyż nie są one zsynchronizowane. Możemy jednak użyć dowolnej liczby zegarów nieruchomych (nie ruchomych względem nas), gdyż są one poprawnie zsynchronizowane (poruszający się względem nas obserwatorzy będą innego zdania, ale to jest ich problem).
Przykład 12.2 Paradoks bliźniąt. W dniu swych 21. urodzin astronautka wystartowała w pojeździe rakie towym z prędkością -c . Po 5 latach, jakie minęły na jej zegarku, zawróciła i z tą samą prędkością powróciła do swego brata bliźniaka, który pozostał w domu. Pytanie: Ile lat miało każde z bliźniąt w momencie ich ponownego spotkania?
520
12.
ELE K T R O D Y N A M IK A
I T E O R IA
W ZG LĘD N O ŚCI
Rozwiązanie: Podróżująca bliźniaczka postarzała się o 10 lat (5 lat oddalała się, 5 lat powracała) i powróciła do domu dokładnie w dniu swych 31. urodzin. Ale z punktu widzenia Ziemi poruszający się zegar chodził wolniej o czynnik V~
1 _ 13 - 0 2 /1 3 ) 2 " 5 '
Czas, jaki upłynął na zegarach ziemskich, wyniósł j • 10 = 26 i jej brat będzie obchodził swoje 47. urodziny, czyli będzie teraz o 16 lat starszy od swojej siostry bliźniaczki! Ale nie oszukujmy się. To nie jest eliksir młodości dla podróżującej bliźniaczki, gdyż choć może ona umrzeć później niż jej brat, to nie będzie wcale żyła dłużej, bo ona żyła po prostu wolniej. Podczas lotu wszystkie jej biologiczne procesy — metabolizm, puls, myślenie i mowa — podlegały temu samemu wydłużeniu czasu co jej zegarek. Do paradoksu bliźniąt dochodzi, gdy chcemy przedstawić tę historię z punktu widzenia podróżującej bliźniaczki. Widzi ona Ziemię oddalającą się z prędkością - c , zawracającą po 5 latach i powracającą. Z jej punktu widzenia to ona jest w spoczynku, podczas gdy jej brat jest w ruchu, i dlatego on winien hyc młodszy po spotkaniu. Napisano bardzo dużo o paradoksie bliźniąt, ale prawda jest taka, że nic ma tu w rzeczywistości żadnego paradoksu, bo druga analiza jest po prostu błędna. Bliźnięta nie są w równoważnej sytuacji. Podróżująca bliźniaczka doznaje przyspieszenia, gdy zawraca do domu, a jej brat nie. Mówiąc inaczej, podróżująca bliźniaczka nic była w układzie inercjalnym lub dokładniej była w jednym układzie inercjalnym przy oddalaniu się i w całkiem innym przy powrocie. W zadaniu 12.16 przeanalizujemy ten problem poprawnie z jej punktu widzenia, ale jeśli idzie o rozwiązanie „paradoksu”, to wystarczy tylko zauważyć, że podróżująca bliźniaczka nie może uważać się za obserwatora nieruchomego, gdyż nie można ulegać przyspieszaniu i pozostać w spoczynku.
Zadanie 12.7. W eksperymencie laboratoryjnym mion przebywa drogę 800 m przed rozpadem. Student odszukuje w tablicach czas życia mionu (2 10~6 s) i dochodzi do wniosku, że prędkość mionu wynosiła x800 i ni m m = 4 108m/s. 2^T0-t s czyli przekraczała prędkość światła. Zidentyfikować błąd studenta i znaleźć rzeczywistą pręd kość tego mionu. Zadanie 12.8. Rakieta opuszcza Ziemię z prędkością -t\ Po upływie 1 godziny na zegarze w rakiecie zostaje wysyłany na Ziemię sygnał świetlny. (a) Kiedy został wysłany sygnał z punktu widzenia zegarów na Ziemi? (b) Po jakim czasie od startu rakiety sygnał dotarł na Ziemię zgodnie z zegarami na Ziemi? (c) Po jakim czasie od startu rakiety sygnał dotarł na Ziemię według obserwatora w' ra kiecie']
(iii) Skrócenie Lorentza. W trzecim doświadczeniu myślowym musimy wyobrazić sobie, żc umieściliśmy lampę na jednym końcu wagonu i zwierciadło na drugim, tak że sygnał świetlny można przesyłać tam i z powrotem (rys. 12.10). Pytanie: Ile czasu
521
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
potrzebuje sygnał na przejście tam i z powrotem? Dla obserwatora w pociągu odpowiedź jest prosta (12.7)
c
gdzie Aa jest długością wagonu (górna kreska oznacza, jak poprzednio, pomiary do konane w pociągu). Dla obserwatora na ziemi proces jest bardziej skomplikowany ze względu na ruch pociągu. Jeśli A/| jest czasem potrzebnym na dotarcie sygnału do przedniej ściany, a Ah jest czasem powrotu, to (zob. rys. 12.11): A a + vAh
Aa — i;A/2 A/2 = -------------c
A/i = --------------
c
czyli Ar,
Aa
c —v
i
A/2
Aa C +
V
Ostatecznie więc czas na przejście tam i z powrotem wynosi Ar = A/| + A /2 =
0 Aa
1
( 12. 8)
c ( I —v2/c 2) i;A/j
t*Ar2
Równocześnie te same przedziały czasu są powiązane wzorem na wydłużenie czasu (12.5) ____ A7 = 7 i - v2/c 2 Al. Stosując ten wzór do (12.7) i (12.8), dochodzimy do wniosku, że
(12.9)
Długość wagonu nic jest taka sama wtedy, gdy mierzy ją obserwator na ziemi i gdy mierzy ją obserwator w pociągu — z punktu widzenia obserwatora na ziemi długość jest nieco mniejsza. Wniosek: Poruszające się obiekty ulegają skróceniu.
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
522
Nazywamy to skróceniem Lorentza. Zauważmy, że ten sam czynnik 1 r =
występuje we wzorze zarówno na wydłużenie czasu, jak i na skrócenie Lorentza. Wzory są więc łatwe do zapamiętania: Poruszające się zegary chodzą wolniej, poruszające się pręty ulegają skróceniu, a współczynnikiem jest zawsze y. Oczywiście, obserwator w pociągu nie dostrzega, że jego pociąg ulega skróceniu — jego miarka metrowa ulega skróceniu o ten sam czynnik i stąd wszystkie jego pomiary dają takie same wyniki jak wtedy, gdy pociąg stał na stacji. W rzeczywistości z jego punktu widzenia to obiekty na ziemi ulegają skróceniu. Pojawia się więc znów paradoks: Jeśli według A pręty należące do B ulegają skróceniu, a według B to pręty należące do A są krótsze, to kto ma rację? Odpowiedź: Rację mają obaj obserwatorzy! Ale aby uzgodnić obserwacje, musimy zbadać szczegółowo proces pomiaru długości. Załóżmy, że chcemy znaleźć długość tablicy. Jeśli jest ona w spoczynku (względem nas), to po prostu przykładamy miarkę do tablicy, zapamiętujemy odczyty na obu koń cach i odejmujemy je, aby otrzymać długość tablicy (rys. 12.12). (Jeśli się zmądrzymy, to przyłożymy lewy koniec miarki do lewego końca tablicy i wtedy wystarczy odczytać jedną liczbę).
tablica
miarka Rys. 12.12
Ale co się stanie, gdy tablica będzie się poruszać? Oczywiście, tym razem trzeba dokonać odczytów na obu końcach w tej samej chwili. Jeśli tego tak nic zrobimy, to tablica przesunie się w czasie pomiaru i otrzymamy błędną odpowiedź. I na tym właśnie polega problem: względność równoczesności powoduje, że dwaj obserwatorzy nie są zgodni, co oznacza „w tej samej chwili”. Gdy obserwator na ziemi mierzy długość wagonu, odczytuje położenie obu końców w tej samej chwili w swoim układzie. Ale osoba w pociągu, która obserwuje jego pomiar, stwierdza, że dokonuje on najpierw odczytu przy przedniej ścianie i z pewnym opóźnieniem przy tylnej ścianie. Oczywiście, otrzymał on mniejszą długość, mimo że używał krótszej miarki, co normalnie dałoby wynik za duży. Obaj obserwatorzy mierzą długości poprawnie (z punktu widzenia ich układów inercjalnych) i według każdego z nich miarka rywala jest skrócona. Nie ma w' tym niezgodności, bo obaj mierzą różne rzeczy i każdy z nich uważa za niewłaściwą metodę drugiego.
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Przykład 12.3 Paradoks stodoły i drabiny. W przeciwieństwie do wydłużenia czasu nie ma żadnego bez pośredniego potwierdzenia doświadczalnego skrócenia Lorentza, gdyż po prostu trudno jest o obiekt o mierzalnych rozmiarach poruszający się w pobliżu z prędkością bliską prędko ści światła. Następująca przypowieść stanowi ilustrację tego, jak dziwny byłby świat, gdyby można było osiągnąć prędkość bliską prędkości światła.
a)
b)
\ c) Rys. 12.13
Żył sobie kiedyś farmer, który miał drabinę zbyt długą, by przechowywać ją w swej stodole (rys. 12.13a). Pewnego dnia przeczytał przypadkiem coś o teorii względności i nasunęło mu się rozwiązanie problemu. Polecił on córce, by biegła z drabiną tak szybko, jak może. i wtedy poruszająca się drabina, ulegając skróceniu Lorentza, mogłaby się łatwo zmieścić w stodole. Gdy tyiko drabina minęłaby wrota, farmer zatrzasnąłby je za nią i drabina zostałaby uwię ziona wewnątrz (rys. 12.13b). Jednak córka, przeczytawszy nieco więcej o teorii względności, stwierdziła, że w jej układzie odniesienia to stodoła, a nie drabina, ulegnie skróceniu i nie dopasowanie będzie nawet gorsze, niż było, gdy oba obiekty były w spoczynku (rys. 12.13c). Pytanie: Kto ma rację? Czy drabina zmieści się w stodole, czy nie? Rozwiązanie: Oboje mają rację! Gdy mówimy „drabina jest w stodole", rozumiemy, że wszyst kie jej części są w'ewmątrz w tej sanuj chwili, ale wskutek względności równoczcsności warunek ten zależy od obserwatora. W rzeczywistości istotne są tu dwa zdarzenia: a. Tylny koniec drabiny mija wrota. /;. Przedni koniec drabiny uderza w' przeciwną ścianę stodoły. Według farmera a występuje przed /?, więc jest czas, gdy cała drabina znajduje się w stodole; według córki b poprzedza a, więc lak nie jest. Sprzeczność? W żadnym razie — są to tylko różne punkty widzenia.
524
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
„Ale przecież” — słychać natychmiast protest — „w końcu albo drabina jest w stodole, albo nie. Nie ma co o tym dyskutować”. A jednak jest, bo wprowadzamy tu nowy element do naszej historii: co się stanie, gdy będziemy chcieli drabinę zatrzymać? Przypuśćmy, żc farmer chwyta mocno za tylny szczebel drabiny jedną ręką i zatrzaskuje wrota drugą. Jeśli drabina nie ulega zniszczeniu, to musi wydłużyć się do długości spoczynkowej. Oczywiście, przedni koniec porusza się nadal, mimo że tylny został zatrzymany! Rozciągając się jak akordeon, przedni koniec drabiny uderza w przeciwną ścianę stodoły. W rzeczywistości więc samo pojęcie ciała „sztywnego” traci sens w teorii względności, gdyż przy zmianie prędkości różne jego części na ogół nie przyspieszają równocześnie i wskutek tego materiał jest rozciągany lub ściskany, aby osiągnąć długość właściwą dla swej nowej prędkości. Ale powróćmy do naszego pytania: czy po zatrzymaniu drabina jest w końcu w stodole, czy nie? Odpowiedź, jesl nieokreślona Gdy przedni koniec drabiny uderza w ścianę naprzeciwko, wówczas albo farmer pozostaje ze złamaną drabiną w stodole, albo drabina pozostaje cała, lecz wybija dziurę w ścianie. W każdym wypadku farmer nie będzie zadowolony z finału.
I jeszcze jedna uwaga na temat skrócenia Lorentza. Poruszające się ciało ulega skróceniu tylko wzdłuż kierunku ruchu: Rozmiary prostopadłe do prędkości nie ulegają skróceniu. Rzeczywiście, przy wyprowadzaniu wzoru na wydłużenie czasu przyjęliśmy, żc wy sokość pociągu jest taka sama dla obu obserwatorów. Spróbujemy to teraz uzasadnić, używając pięknego doświadczenia myślowego zaproponowanego przez Taylora i Wheelera7. Wyobraźmy sobie, że zbudowaliśmy ścianę obok torów kolejowych i na wysokości 1 m nad poziomem szyn, mierzonej na ziemi, namalowaliśmy poziomą niebieską linię. Gdy przejeżdża pociąg, pasażer wychyla się z okna i trzymając mokry pędzel na wy sokości I m nad szynami, mierzonej w pociągu, pozostawia poziomą czerwoną linię na ścianie. Pytanie: Czy czerwona linia pasażera leży nad, czy pod linią niebieską? Jeśli regułą byłoby to, że w prostopadłych kierunkach następuje skrócenie, to osoba na ziemi przewidywałaby, że linia czerwona jest niżej, a osoba w pociągu, że niebieska (bo oczywiście dla niej to ziemia się porusza). Zgodnie z zasadą względności obaj obserwa torzy są równoprawni, ale nie mogą obaj mieć racji. Żadne subtelności równoczesności czy synchronizacji nie mogą usunąć tej sprzeczności — wyżej jest albo linia niebieska, albo czerwona — chyba że linie dokładnie się pokrywają, co jest nieuniknionym wnio skiem. Nie może być prawa skrócenia (czy wydłużenia) rozmiarów poprzecznych, bo prowadziłoby to nieuchronnie do niezgodnych przewidywań.
Zadanie 12.9. Samochód marki Lincoln Continental jest dwa razy dłuższy od samochodu VW „garbus”, gdy znajdują się one w spoczynku. Gdy lincoln wyprzedzał garbusa, przejeżdżając obok stanowiska kontroli prędkości, (stojący) policjant zaobserwował, że oba mają tę samą 7E. F. Taylor i J. A. Wheeler, Spacetime Physics, W. H. Freeman, San Francisco 1%6 (tłum. polskie: Fizyka czasoprzestrzeni, PWN, Warszawka 1975). Nieco inna wersja tego samego argumentu jest zawarta w książce: J. H. Smith, Introduction to Special Relativity, Stipes, Champaign 1965).
$25
12.1. SZCZtGÓLNA TfcORIA WZGLĘDNOŚCI
długość. Garbus jechał z prędkością równą połowie prędkości światła. Jak szybko jechał lincoln? (Wyrazić odpowiedź jako ułamek prędkości c.) Zadanie 12.10. Maszt żaglówki jest pochylony pod kątem 0 do pokładu. Obserwator stojący na przystani widzi żaglówkę mijającą go z prędkością v (rys. 12.14). Jaki kąt według tego obserwatora jest między masztem i pokładem?
Rys. 12.15
! Zadanie 12.11. Płyta gramofonowa o promieniu R obraca się z prędkością kątową co (rys. 12.15). Obwód prawdopodobnie ulega skróceniu Lorentza, ale promień (będąc prostopadły do prędko ści) nie. Jaki jest stosunek obwodu do średnicy w zależności od co i R? Zgodnie z prawdami zwykłej geometrii winien on być równy tt. Co tu się dzieje? IJest to paradoks Ehrenfesta — zob. dyskusję i odnośniki zawarte w książce: H. Arzclics, Relativistic Kinematics, rozdz. IX, Pergamon Press, Elmsford 1966 i w artykule: T.A. Weber, Am. ./. Phys. 65, 486 (1997)].
12.1.3. Szczególne przekształcenia Lorentza Każdy proces fizyczny składa się z jednego lub wielu zdarzeń. „Zdarzenie” jest czymś, co zdarza się w określonym miejscu (x9y ,z ) w określonym czasie (/). Przykładem zdarzenia może być np. wybuch petardy, a nie jest wycieczka po Europie. Załóżmy, że znamy współrzędne (x, v, z, i ) jakiegoś zdarzenia E w jednym układzie inercjalnym S i chcemy obliczyć współrzędne (x9y 9z , /) tego samego zdarzenia w jakimś innym układzie inercjalnym S. Potrzebujemy „słownika” do przetłumaczenia z języka S na język Ś. Możemy tak wybrać kierunki osi, żeby układ S ślizgał się z prędkością v wzdłuż osi x (rys. 12.16). Jeśli „uruchomimy zegar” (t = 0) w chwili, gdy początki O i O pokrywają się, to w chwili t początek O będzie w odległości vt od O i stąd x = d + vt9
(12.10)
gdzie z/ jest odległością od O do A w chwili / (A jest punktem na osi x odpowiadającym współrzędnej x zdarzenia E). Przed Einsteinem każdy powiedziałby natychmiast, że d=x
(12 . 11 )
12. tLtKTRODYNAMIKA I ItOKIA WZGLĘDNOŚCI
526
Kys. 12.16
i w ten sposób skonstruowałby „słownik” (i)
a = a — vt,
00
y = y, (iii) z = Z, (iv) l = t.
( 12. 12)
Wzory te noszą obecnie nazwę szczególnych przekształceń Galileusza, chociaż chyba nie zasługują w pełni na to określenie, bo wzór (iv) pojawił się całkiem bez omówie nia: wszyscy milcząco zakładają, że czas płynie tak samo dla wszystkich obserwatorów. W kontekście szczególnej teorii względności musimy jednak oczekiwać, że wzór (iv) winien być zastąpiony prawem, które uwzględni wydłużenie czasu, względność równoczesności i brak synchronizacji poruszających się zegarów. Podobnie wzór (i) winien zostać zmodyfikowany, żeby uwzględnić skrócenie Lorentza. Wzory (ii) i (iii) pozostają przynajmniej nie zmienione, gdyż, jak widzieliśmy, długości prostopadłe do ruchu nie ulegają zmianie. Ale gdzie załamuje się powyższe wyprowadzenie wzoru (i)? Odpowiedź: W rów naniu (12.1I), gdyż d jest odległością od Ó do A mierzoną w ć>, podczas gdy x jest odległością od Ó do A mierzoną w Ś . Ponieważ Ó i A są w spoczynku względem S , więc x jest długością „poruszającego się pręta”, która ulega skróceniu w S: d = -x . Y Po podstawieniu do (12.10) otrzymujemy relatywistyczną wersję wzoru (i) x = y(x —vt).
(12.13)
(12.14)
Moglibyśmy oczywiście przeprowadzić to samo rozumowanie z punktu widzenia układu S. Diagram (rys. 12.17) wygląda podobnie, ale w tym wypadku przedstawia sytuację w chwili 7, podczas gdy rys. 12.16 przedstawiał sytuację w chwili t . (Zauważmy, że t i 7 przedstawiają tę samą fizyczną chwilę w E %ale nie gdzie indziej, ze względu
527
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
vt O O d Rys. 12.17
na względność równoczesności). Jeśli założymy, że zegar w S jest uruchomiony także wówczas, gdy początki się pokrywają, to w chwili 7 punkt O będzie w odległości vt od O i dlatego x — ci — v i, (12.15) gdzie d jest odległością od O do A w chwili 7, a A jest punktem na osi a , odpowia dającym współrzędnej v zdarzenia E. Przed Einsteinem fizyk powiedziałby, że x = d i, używając (iv), otrzymałby (i). Jednak, jak poprzednio, teoria względności powoduje, że obserwuje się subtelną różnicę, bo x jest odległością od O do A w ć>, podczas gdy d jest odległością od O do A w ś . Ponieważ O i A są w spoczynku względem ć>, więc a* jest długością „poruszającego się pręta” i 1 d = —a, Y
(12.16)
a = y(x A- vi).
(12.17)
a stąd To ostatnie równanie nie jest żadnym zaskoczeniem, gdyż z symetrii sytuacji wynika, że wzór wyrażający a przez a i 7 winien być identyczny ze wzorem wyrażającym x przez x i / (12.14) poza zmianą znaku prędkości u. (Jeśli S przesuwa się w prawo z prędkością v względem S , to S przesuwa się w lewo z prędkością i; względem S.) Wzór ten jest jednak użyteczny, gdyż jeśli podstawimy do niego x z (12.14) i wyznaczymy /, to dokończymy tworzenie „słownika” relatywistycznego (i) * = y(x - vt). (ii) y = y » ł (iii) Z. (iv)
(12.18)
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
528
Są to słynne szczególne przekształcenia Lorentza, którymi Einstein zastąpił szcze gólne przekształcenia Galileusza. Zawierają one pełną informację geometryczną w szcze gólnej teorii względności, czego dowodzą następne przykłady. Słownik odwrotny, prze prowadzający z S 7. powrotem do S , można otrzymać algebraicznie przez przekształcenie równań (i) i (iv) lub dużo prościej przez zmianę znaku prędkości v (ir)
x = y (x + vt),
(ii') y = >\ (12.19)
(iii') z = z, (iv') t = y ( l +
.
Przykład 12.4 Równoczesność, synchronizacja i wydłużenie czasu. Załóżmy, że zdarzenie A zachodzi w xA = 0, tA = 0, a zdarzenie B w xB = /?, tB = 0. Oba zdarzenia są równoczesne w S (oba zachodzą w / = 0), ale nie są równoczesne w *S, gdyż przekształcenia Lorentza dają xA = U, tA = 0 i xB = yb, ~tB = —y(v/c2)b. Zgodnie z zegarami w S zdarzenie B zachodzi więc przed A. Nic jest to oczywiście nic nowego, bo jest to po prostu względność równoczesności. Ale teraz zostało to wyprowadzone / przekształceń Lorentza. Załóżmy teraz, że obserwator w S decyduje się zbadać wszystkie zegary w Ś w chwili / = 0. Odkrywa on, że wskazują one różny czas zależnie od ich położenia, gdyż z (iv) mamy t
-
v c2
- Y - x .
Zegary na lewo od początku (ujemne x) spieszą się, a te na prawo spóźniają się o czas ro snący proporcjonalnie do ich odległości (rys. 12.18). Tylko główny zegar w początku układu wskazuje t = 0. Zatem brak synchronizacji poruszających się zegarów także wynika bezpo średnio z przekształceń Lorentza. Z punktu widzenia układu S to zegary w S nie są oczywiście zsynchronizowane, co można sprawdzić, podstawiając 7 = 0 do równania (iv').
zegary w S
zegary w 8
Rys. 12.18
529
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Na zakończenie załóżmy, że obserwator w *5 skupia swą uwagę na pojedynczym zegarze w układzie <5 (powiedzmy na zegarze w x = a) i obserwuje go po pewnym czasie A/. Jaki czas upłynie na poruszającym się zegarze? Ponieważ współrzędna x jest ustalona, więc z (iv') wynika A/ = yA/, czyli A7 = - A t. y
Jest to stary wzór na wydłużenie czasu, ale teraz wyprowadzony z przekształceń Lorentza. Pod kreślmy, że współrzędna x zegara jest ustalona, gdyż obserwujemy jeden poruszający się zegar. Jeśli ustalilibyśmy a, to obserwowalibyśmy różne mijające nas zegary z Ś i nie moglibyśmy nic powiedzieć o spowolnieniu któregokolwiek z nich.
Przykład 12.5 Skrócenie Lorentza. Wyobraźmy siobie pręt poruszający się w prawo z prędkością v. Jego długość spoczynkowa (czyli długość mierzona w 5) wynosi A a = x? —jfh gdzie wskaźniki oznaczają odpowiednio prawy (p) i lewy (1) koniec pręta. Jeśli obserwator w <5chciałby zmierzyć długość pręta, to powinien odjąć położenia obu końców wyznaczone w tej samej chwili swego czasu t : A a = xv —a ,. Zgodnie z (i) mamy więc
Y
A a = —A a.
Jest to stary wzór na skrócenie Lorentza. Podkreślmy, źc bierzemy ustalone /, ponieważ mówimy o pomiarze wykonywanym przez obserwatora z S. a on odczytuje położenia obu końców w' tej samej chwili swego czasu (obserwator z *5 nie musi być tak drobiazgowy, gdyż pręt jest w spoczynku w jego układzie).
Przykład 12.6 Prawo Einsteina składania prędkości. Załóżmy, że cząstka przesuwa się na odległość dA (w S) w czasie dr. Jej prędkość u wynosi więc
Tymczasem w S cząstka przesunęła się na odległość dA = y( dA —ud/), jak widzimy z (i), w czasie określonym przez (iv) dr = y (dl Prędkość w S wynosi zatem d.v di
y(d.v —ud/) y (d/ - v/c2dx)
(dr/At — u) 1 —?;/c2dA/d/
u —v 1 —uv/c2
(12.20)
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
530
Jest to prawo Einsteina składania prędkości. Aby odtworzyć bardziej przejrzystą notację z (12.3), oznaczmy przez A cząstkę, przez B układ S i przez C układ Ś — wtedy u = v,\bi u = vAC i v = v( B = —vRCi tak że (12.20) przybierze postać Vac
Vąh +
Vbc
1 + ( V a b V b c / c 2) '
identyczną jak poprzednio.
/udanie 12.12. Wyrazić wielkości x , y\ z, t przez x , y, ź, wdzić. że otrzymuje się (12.19).
korzystając z równań (12.18), i spra
Zadanie 12.13. Jasnowidzka Sophie Zabar krzyknęła z bólu dokładnie w chwili, gdy jej brat bliźniak, znajdujący się w odległości 500 km, uderzył się w kciuk młotkiem. Sceptyczny nauko wiec obserwował oba zdarzenia (wypadek brata, krzyk Sophii) z samolotu lecącego z prędkością \\c na prawo (zob. rys. 12.19). Które zdarzenie nastąpiło wcześniej według naukowca? O ile sekund wcześniej?
brat i
_T 5 0 0
Sophie >
k m
Rys. 12.19
Zadanie 12.14 (a) W przykładzie 12.6 zobaczyliśmy, jak przekształcają się prędkości w kierunku osi x, gdy przechodzimy z układu S do układu S. Wyprowadzić analogiczne wzory dla prędkości w kierunku osi y i z. (b) Na łodzi zamontowano reflektor w taki sposób, że wiązka jego światła tworzy kąt 6 z pokładem (rys. 12.20). Jaki kąt 0 według obserwatora na przysłani tworzy wiązka z pokładem, jeśli łódź porusza się z prędkością u? Wynik porównać z wynikiem zad. 12.10 i wyjaśnić różnicę. Zadanie 12.15. Rozwiązywaliśmy zad. 12.4 /. punktu widzenia obserwatora na ziemi. Teraz spróbujmy je rozwiązać z punktu widzenia samochodu policyjnego, przestępców i kuli, czyli wypełnić wolne miejsca w następującej tabeli:
531
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Prędkość —> względem 4Ziemi Policjantów'' Przestępców Kuli
Ziemi
Policjantów'
Przestępców
0
1°
lc
Kuli
Czy uciekną?
ic
! Zadanie 12.16. Ponowne omówienie paradoksu bliźniąt. W swoje 21. urodziny bliźniaczka dostaje się na ruchomy chodnik, który przenosi ją do gwiazdy X z prędkością |r , a jej brat bliźniak pozostaje w domu. Gdy bliźniaczka dociera do gwiazdy X, błyskawicznie przeskakuje na chodnik poruszający się w przeciwnym kierunku i powraca na Ziemię znów z prędkością jc. Bliźniaczka dociera do Ziemi na swe 39. urodziny (wyznaczone zgodnie z jej zegarkiem). (a) Ile lat ma jej brat bliźniak (który pozostał w domu)? (b) W jakiej odległości jest gwiazda X? (Podać odpowiedź w latach świetlnych). Nazwijmy chodnik poruszający się w kierunku gwiazdy układem 5, a w kierunku Ziemi układem S (układ związany z Ziemią jest układem S). We wszystkich trzech układach usta wiono ich główne zegary i wybrano początki układów tak, że x = x = x = 0.t = l = l = 0 w chwili odjazdu. (c) Jakie są współrzędne (.v, t) przeskoku (z oddalającego się chodnika na powrotny) w układzie
12.1.4. Struktura czasoprzestrzeni (i) Czterowektory. Przekształcenia Lorentza przybierają prostszą postać, gdy wyrazi sie je przez wielkości
v 0 = -. (12.21) c Użycie x° (zamiast 0 i /ł (zamiast u) oznacza zmianę jednostki czasu z sekundy na metr: 1 metr wielkości x° odpowiada czasowi potrzebnemu światłu na przebycie odległości 1 m (w próżni). Gdy równocześnie ponumerujemy współrzędne x , y, z, x ° ^ c t,
* '= * ,
x 2 = y,
x 3 = z,
(12.22)
12. ELEKTRODYNAMIKA I IEORIA WZGLĘDNOŚCI
532
wówczas szczególne przekształcenia Lorentza przybierają postać
Jć° = y ( x ° - P x ' ) , x ' = y ( x' - f i x 0),
(12.23)
lub w postaci macierzowej
/A ( y i' | _ -yP 0 \ x 3/ '^ 0
-
yP
y
0 0
0 0 1 0
(12.24)
Jeśli wskaźniki greckie będą przybierać wartości od 0 do 3, to wzory te można zwinąć do pojedynczego równania (12.25) v= 0
gdzie A jest macierzą szczególnego przekształcenia Lorentza z (12.24) (wskaźnik numeruje wiersze, a wskaźnik v numeruje kolumny). Jedną z zalet takiego zapisu jest możliwość stosowania go w wypadku bardziej ogólnego przekształcenia, w którym względny ruch nie odbywa się wzdłuż wspólnego kierunku osi x i x : macierz A będzie bardziej złożona, ale struktura równania (12.25) się nic zmieni. Jeśli wzory te przypominają nam obroty badane w paragrafie 1.1.5, to nie jest to przypadek. Wtedy interesowaliśmy się zmianą składowych przy przejściu do obróco nego układu współrzędnych, a tu interesujemy się zmianą składowych przy przejściu do poruszającego się układu. W rozdziale 1 zdefiniowaliśmy (trój)wektor jako układ trzech składowych, które przy obrotach przekształcają się w len sam sposób jak ( a\ y\ z). Przez proste rozszerzenie zdefiniujemy teraz czterowcktor jako dowolny układ czterech skła dowych, które przekształcają się w ten sam sposób jak (jc°, a 1, a 2, jc3) przy przekształ ceniach Lorentza 3 a>‘ = J 2 A [‘a'’. (12.26) fi
v= 0
W przypadku szczególnego przekształcenia Lorentza wzdłuż osi x: a° = y(a° ~ pa '), a' = y ( a ' - Pa0),
(12.27)
Odpowiednikiem iloczynu skalarnego (A B = A_xBx+ AyBx,+ A7B7) dla czterowcktorów nie jest teraz suma iloczynów odpowiednich składowych, gdyż iloczyn składowych zerowych bierzemy ze znakiem minus:
- a°b° + a lb 1+ a2b2 + a 3b \
(12.28)
533
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Jest to iloczyn skalarny czterowektorów* i możemy łatwo sprawdzić (zad. 12.17), że ma on tę samą wartość we wszystkich układach inercjalnych: -Fi°h° + a 'h *l + a2h2 + a }h} = ~ a ° h ° + a lh' + a 2h2 + aih3,
(12.29)
gdyż podobnie jak zwykły iloczyn skalarny jest niezmienniczy (inwariantny) względem obrotów, tak ta kombinacja jest niezmiennicza względem przekształceń Lorentza (czyli jest cztcroskalarem). Aby móc śledzić pojawianie się znaku minus, wygodnie jest wprowadzić wektor kowariantny (współzmienniczy) afi. który różni się od wektora kontrawariantnego (przeciwzmienniczego) afi tylko znakiem zerowej składowej: afl = (av,ai9a29a-s) = (~a°ya l ya2ya 3).
(12.30)
Musimy być nadzwyczaj skrupulatni w umieszczaniu wskaźników w naszych wzorach: górne wskaźniki oznaczają wektory kontrawariantne, a dolne wskaźniki są dla wekto rów kowariantnyeh. Podniesienie lub opuszczenie wskaźnika czasowego oznacza zmianę znaku (c/q = —c/°), a podniesienie lub opuszczenie wskaźnika przestrzennego nie zmie nia niczego (
(12.31) M=0 lub w bardziej zwarty sposób afibu.
(12.32)
Wprowadzamy w ten sposób sumowanie domyślne, ilekroć wskaźnik grecki powtarza się w iloczynie: raz jako wskaźnik kowariantny i raz jako kontrawariantny. Regułę tę nazywa się umową sumacyjną Einsteina od nazwiska jej pomysłodawcy* który uważał ją za jeden ze swych najważniejszych pomysłów. Oczywiście, moglibyśmy również włączyć znak minus do wektora kowariantnego b: a ^
= -a °b ° + a ' b l + a 2b2 + a * b \
(12.33)
Zadanie 12.17. Sprawdzić równanie (12.29) przy użyciu (12.27). [Tak dowodzimy niczmicnniczości iloczynu skalarnego czterowektorów względem szczególnych przekształceń Lorentza wzdłuż osi x. Ale iloczyn skalarny jest także niezmienniczy względem obrotów, gdyż pierwszy człon nie ulega żadnym zmianom, a pozostałe trzy stanowią trójwymiarowy iloczyn skalarny a b. Przez odpowiedni obrót można skierować oś x w dowolnym kierunku i dlatego iloczyn skalarny czterowektorów jest rzeczywiście niezmienniczy względem dowolnych przekształceń Lorentza]. HW literaturze równie często iloczyn skalarny czterowektorów i związek składowych kowariantnych i kontrawariantnych czterowektorów definiuje się z przeciwnym znakiem: a[]b{) - a'bx —erb1 - a sb5 i a(l = (a°, —o1, —a2, —ay) (p r z y p . tłum.).
534
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Zadanie 12.18 (a) Wypisać macierz, kióra opisuje szczególne przekształcenie Galileusza (12.12). (b) Wypisać macierz opisującą szczególne przekształcenie Lorentza wzdłuż osi y. (c) Znaleźć macierz opisującą złożenie szczególnego przekształcenia Lorentza z prędkością v wzdłuż osi x i szczególnego przekształcenia Lorentza z prędkością v wzdłuż osi y. Czy istotna jest kolejność wykonywania tych przekształceń? Zadanie 12.19. Podobieństwo obrotów' i szczególnych przekształceń Lorentza jest nawet jeszcze bardziej uderzające, jeśli wprowadzimy pospieszność (ang. rapidity) 0 = artgh (u/c).
(12.34)
(a) Wyrazić macierz przekształcenia Lorentza A (równanie (12.24)) przez 6 i porównać ją z macierzą obrotu (1.29). Pod pewnymi względami pospieszność jest bardziej naturalnym sposobem opisu ruchu niż prędkość. [Zobacz E. F. Taylor i J. A. Wheeler, Spacetime Physics, W. H. Freeman, San Francisco 1966) (tłum. polskie: Fizyka czasoprzestrzeni, PWN, Warszawa 1975)]. Po pierwsze, zmienia się ona od —oc do -ł-oo, a nie od —c do +c*. Ale co istotniejsze, pospicszności się po prostu dodają, a prędkości nie. (b) Wyrazić prawo Einsteina składania prędkości przy użyciu pospicszności.
(ii) Przedział niezmienniczy. Załóżmy, że zdarzenie A występuje w (jejj, x \ , x \ yjc^), a zdarzenie B w (j^ , Jt^). Różnica Ajc" = Xą - x*
(12.35)
jest czte rowek torem przemieszczenia. Iloczyn skalarny Ax** przez siebie jest wiel kością o szczególnym znaczeniu — nazywa się ją kwadratem przedziału (interwału) między dwoma zdarzeniami / a (Ax)ll(A x) fl = —(A*0)*12 K (A.v‘)2 + (Aa:2)2 + (A*3)2 = - c 2t 2 + d 2,
(12.36)
gdzie t jest różnicą czasu między dwoma zdarzeniami, a d — ich odległością prze strzenną. Gdy przejdziemy do układu poruszającego się, wówczas czas między A i B ulegnie zmianie (i ^ t), podobnie jak i odległość przestrzenna (cl ^ cl), ale kwadrat przedziału / pozostanie bez zmian. Kwadrat przedziału zależy od dwóch wybranych zdarzeń i może być dodatni, ujemny lub zerowy: 1. Jeśli / < 0, to przedział nazywamy czasowym, bo jest to znak, jaki otrzymamy, gdy oba zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu (d = 0) i są rozdzielone tylko w czasie. 2. Jeśli I > 0, to przedział nazywamy przestrzennym, bo jest to znak, jaki otrzymamy, gdy oba zdarzenia zachodzą w tej samej chwili (/ = 0) i są rozdzielone tylko przestrzennie. 3. Jeśli / —0, to przedział nazywamy świetlnym, bo pojawia się, gdy dwa zdarzenia można połączyć sygnałem poruszającym się z prędkością światła.
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
535
Jeśli przedział między dwoma zderzeniami jest czasowy, to istnieje układ inercjalny (osiągalny przez szczególne przekształcenie Lorentza), w którym występują one w tym samym punkcie. Możemy wskoczyć do pociągu jadącego od (A) do (B) z prędkością w= d j t y opuszczającego zdarzenie A w chwili jego zajścia i będziemy na czas przy zdarzeniu B w chwili jego zajścia — w układzie związanym z pociągiem A i B zachodzą w tym samym punkcie. Nie można oczywiście tego zrobić dla przedziału przestrzen nego, ponieważ prędkość v musiałaby być większa od c, a żaden obserwator nie może przekroczyć prędkości światła (wielkość y byłaby urojona i przekształcenia Lorentza nie miałyby sensu). Z drugiej strony, jeśli przedział jest przestrzenny, to istnieje układ inercjalny, w którym oba zdarzenia następują w lej samej chwili (zob. zad. 12.21).
Zadanie 12.20 (a) Zdarzenie A następuje w punkcie (xA = 5, yA = 3, zA = 0) w chwili iA danej przez ctA = 15, a zdarzenie B następuje w (10, 8, 0) i ctB = 5, w obu wypadkach w układzie S. (i) Jaki jest przedział niezmienniczy między A i Zł? (ii) Czy istnieje układ inercjalny, w którym zdarzenia te następują równocześnie? Jeśli tak, to znaleźć jego prędkość (długość i kierunek) względem S. (iii) Czy istnieje układ inercjalny, w którym oba zdarzenia zachodzą w tym samym punkcie? Jeśli tak, to znaleźć jego prędkość względem S. (b) Powtórzyć część (a) dla A = (2,0,0), ct = 1 i B = (5,0, 0), ct = 3. Zadanie 12.21. Współrzędne zdarzenia A wynoszą ( ^ ,0 ,0 ) ,^ , a współrzędne zdarzenia B odpowiednio (xB>0,0), tH. Zakładając, że przedział między nimi jest przestrzenny, znaleźć prędkość układu, w którym są one równoczesne.(i)
(iii) Diagramy (wykresy) czasoprzestrzenne. Jeśli chcemy przedstawić graficznie ruch cząstki, to normalną praktyką jest wykres zależności położenia od czasu (tzn. x jest na osi pionowej i t na poziomej). Na takim wykresie prędkość można odczytać jako nachylenie krzywej. Z niewiadomego powodu w teorii względności konwencja jest odwrotna — wszyscy wykreślają położenie na osi poziomej i czas (lub lepiej x {) = ct) na pionowej. Prędkość jest dana przez odwrotność nachylenia. Cząstka w spoczynku jest reprezentowana przez prostą pionową, foton poruszający się z prędkością światła jest opisany przez prostą pod kątem 45°, a rakieta poruszająca się z pewną pośrednią prędkością przesuwa się po prostej o nachyleniu c/v = 1//J (rys. 12.21). Wykresy takie nazywamy diagramami (wykresami) Minkowskiego. Trajektorię cząstki na diagramie Minkowskiego nazywa się linią świata. Załóżmy, żc wyruszamy z początku układu w czasie t = 0. Ponieważ żaden obiekt materialny nie może poruszać się szybciej niż światło, więc nasza linia świata nie może nigdy mieć nachylenia mniejszego niż 1. Stąd nasz ruch ograniczony jest do obszaru klina ograniczonego przez dwie proste pod kątem 45° (rys. 12.22). Nazywamy ten obszar naszą „przyszłością” w tym sensie, że jest to miejsce wszystkich dostępnych dla nas punktów. Oczywiście, w miarę upływu czasu przesuwamy się po wybranej linii świata
12. ELEKTRODYNAMIKA I IhOKIA WZGLĘDNOŚCI
536
nasza przyszłość w /
ct
K
rakieta
foton /
V"
/ / / •/ r / , X /
/
/ ^
i
i 1
x
1 1 cząstka w spoczynku 1 Rys. 12.21
i nasze możliwości stopniowo zawężają się — nasza „przyszłość” w dowolnej chwili jest w przednim klinie rozpiętym z punktu, w którym się znajdujemy. Tymczasem tylny klin reprezentuje naszą „przeszłość” w tym sensie, że jest miejscem wszystkich punktów, z których mogliśmy przyjść. W pozostałym obszarze (poza przednim i tylnym klinem) jest uogólniona „teraźniejszość”. Nie możemy tam się dostać i nie możemy stamtąd przyjść. Nie można w żaden sposób mieć wpływu na zdarzenia w teraźniejszości (wieści musiałyby poruszać się szybciej niż światło) i jest to ogromny obszar czasoprzestrzeni absolutnie dla nas niedostępny. Pomijaliśmy dotąd kierunki y i z . Jeśli włączymy oś y w kierunku prostopadłym do kartki, to „kliny” staną się stożkami, a z niemożliwą do narysowania osią z — hiperstożkami. Ponieważ ich granice są trajektoriami promieni świetlnych, więc nazywamy je przednim stożkiem świetlnym i tylnym stożkiem świetlnym. Innymi słowy, nasza przyszłość leży w naszym przednim stożku świetlnym, a nasza przeszłość — w naszym tylnym stożku świetlnym. Zauważmy, że nachylenie linii łączącej dwa zdarzenia na diagramie czasoprzestrzen nym mówi nam od razu, czy przedział niezmienniczy między nimi jest czasowy (nachy lenie większe od 1), przestrzenny (nachylenie mniejsze od 1), czy świetlny (nachylenie 1). Wszystkie punkty w przeszłości i przyszłości są czasowe względem naszego obec nego położenia, a punkty w teraźniejszości są przestrzenne i punkty na stożku świetlnym są świetlne. Hermann Minkowski, który pierwszy dostrzegł pełne znaczenie geometryczne szcze gólnej teorii względności, zaczął swój klasyczny artykuł słowami: „Odtąd przestrzeń jako taka i czas jako taki są skazane na zniknięcie jak zwykłe cienie i tylko jedność, którą tworzą, zachowa niezależny byt”. Jest to piękna myśl, ale musimy być ostrożni, aby nie wyczytać w niej zbyt dużo. Nie jest bowiem w pełni tak, że czas jest „tylko
537
12.1. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
inną współrzędną na równi z x , y i z99 (z tym, że z niezrozumiałych powodów mie rzymy go przy użyciu zegarów, a nic linijek). Czas jest zupełnie w iny od pozostałych współrzędnych i oznaką tej różnicy jest znak minus w definicji kwadratu przedziału nie zmienniczego. Ten znak minus wprowadza w czasoprzestrzeni geometrię hiperboliczną, która jest znacznie bogatsza niż kołowa geometria przestrzeni trójwymiarowej.
Przy obrotach wokół osi z punkt P w płaszczyźnie xy opisuje okrąg, który jest miejscem geometrycznym wszystkich punktów o ustalonej odległości r = yjx2 4- y2 od początku układu (rys. 12.23). Tymczasem przy szczególnych przekształceniach Lorentza zachowuje się kwadrat przedziału / = (x2—c2t2) i miejscem geometrycznym wszystkich punktów o danej wartości I jest hiperbola lub, jeśli włączymy oś y, hiperboloida obro towa. Gdy przedział jest czasowy, jest to „hiperboloida dwupowłokowa” (rys. I2.24a), a gdy przedział jest przestrzenny — „hiperboloida jednopowłokowa” (rys. 12.24b). Gdy dokonujemy szczególnego przekształcenia Lorentza (czyli przechodzimy do poruszają cego się układu inercjalnego), wówczas współrzędne (x yt) danego zdarzenia zmieniają się na (*. 7), ale te nowe współrzędne będą leżały na tej samej hiperboli co (x , t). Przez
Rys. 12.24
538
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
odpowiednie złożenie szczególnych przekształceń Lorentza i obrotów punkt można prze suwać dowolnie po powierzchni danej hiperboloidy, ale żadne złożenie przekształceń nie przeprowadzi go na przykład z górnej powłoki hiperboloidy czasowej na dolną powłokę, czy na hiperboloidę przestrzenną. Gdy dyskutowaliśmy równoczesność, zwróciliśmy uwagę, że kolejność w czasie dwóch zdarzeń, przynajmniej w pewnych wypadkach, można odwrócić po prostu przez przejście do poruszającego się układu. Ale teraz widzimy, że nie zawsze jest to możliwe: jeśli przedział niezmienniczy między dwoma zdarzeniami jest czasowy, to ich uporząd kowanie jest absolutne, a jeśli przedział jest przestrzenny, to ich uporządkowanie zależy od wyboru układu inercjalnego, z którego je obserwujemy. Na diagramie czasoprze strzennym zdarzenie na górnej powłoce hiperboloidy czasowej zachodzi jednoznacznie po (0, 0), a zdarzenie na dolnej powłoce zachodzi z pewnością przed, lecz zdarzenie na hiperboloidzic przestrzennej zachodzi dla dodatnich t lub ujemnych t. zależnie od wy branego układu odniesienia. Nie jest to jakaś błaha ciekawostka, gdyż ratuje ona pojęcie przyczynowości, na którym oparta jest cała fizyka. Gdyby zawsze można było odwrócić kolejność dwóch zdarzeń, to nie moglibyśmy nigdy powiedzieć „A spowodowało B”, ponieważ inny obserwator ripostowałby, że B poprzedza A. Ten kłopot nie pojawia się, jeśli dwa zdarzenia są oddzielone przedziałem czasowym. Zdarzenia powiązane przyczy nowo są więc oddzielone przedziałem czasowym, gdyż w przeciwnym wypadku jedno nie mogłoby wpływać na drugie. Wniosek: Przedział niezmienniczy między przyczy nowo powiązanymi zdarzeniami jest zawsze czasowy i ich czasowe uporządkowanie jest takie samo dla wszystkich obserwatorów inercjalnych.
Zadanie 12.22 (a) Narysować diagram czasoprzestrzenny reprezentujący wymianę piłki (lub rozmowę) między dwoma osobami w spoczynku w odległości 3 m. Jak mogą się one ze sobą komuniko wać, jeśli są rozdzielone przestrzennie? (b) Oto stary limeryk, który brzmi następująco9: Była raz Ania, dziewczynka mała, szybciej od światła biegać umiała. Znikała przed wschodem Einsteina sposobem i poprzedniego dnia powracała.
Co można o tym powiedzieć? Jeśliby nawet Ania mogła poruszać się szybciej niż światło, to czy mogła powrócić, zanim wybiegła? Czy mogłaby przybyć do jakiegoś pośredniego miejsca, zanim wybiegła? Naszkicować diagram czasoprzestrzenny przedstawiający taką podróż. 9W oryginale: There once was a girl named Ms. Bright, Who could travel much faster than light. She departed one day, The Einsleiiiian way. And returned on the previous night.
539
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
Zadanie 12.23. Układ inercjalny <5 porusza się wzdłuż osi x z prędkością -c względem układu S. (Oś x ślizga się wzdłuż osi a* i początki układów pokrywają się w t = 7 = 0, jak zwykle). (a) Na papierze milimetrowym narysować kartezjański układ współrzędnych z osiami ct i x. Dokładnie wykreślić i wyraźnie oznaczyć proste reprezentujące x = —3, —2, —1,0, 1,2 ! i 3. Narysować także proste odpowiadające ct = —3, —2, —1,0, 1,2 i 3. (b) W układzie S obserwujemy cząstkę swobodną poruszającą się z punktu x = —2 w chwili ct = —2 do punktu x = 2 w cl —-4-3. Zaznaczyć to przemieszczenie na wykresie. Z nachylenia tej linii określić prędkość cząstki w S. (c) Użyć prawa składania prędkości do algebraicznego wyznaczenia prędkości w S i spraw dzić, że wynik jest zgodny z rozwiązaniem graficznym z (b).
12.2. Mechanika relatywistyczna 12.2.1. Czas własny i prędkość własna Gdy poruszamy się wzdłuż swej linii świata, nasz zegarek chodzi wolniej i gdy na zegarze na ścianie mija czas dr, czas na naszym zegarku zmienia się tylko o dr dr = yf\ - u2/c 2dt.
(12.37)
(Będziemy używali oznaczenia u dla prędkości rozważanego obiektu (np. nas) i zarezer wujemy v dla względnej prędkości dwóch układów inercjalnych). Czas r rejestrowany przez nasz zegarek (lub ogólniej czas związany z poruszającym się obiektem) nazywa się (ang. proper time). (Angielskie określenie sugeruje, że błędnie przetłumaczono francuskie słowo propre, oznaczające „własny”). W pewnych wypad kach r może być bardziej właściwą i użyteczną wielkością niż t . Czas własny jest np. niezmienniczy, a „zwykły” czas zależy od wybranego układu odniesienia. Wyobraźmy sobie, że lecimy do Los Angeles i pilot ogłasza, że samolot leci z pręd kością \c na południe. Co dokładnie należy rozumieć przez „prędkość”? Oczywiście, prędkość oznacza tu stosunek przemieszczenia do czasu
czasemwłasnym
u = (12.38) dt i ponieważ jest to prędkość względem ziemi, więc obie wielkości dl i dr są mierzone przez obserwatora na ziemi. Jest to wielkość istotna dla nas, jeśli chcemy zdążyć na spotkanie w Los Angeles, ale jeśli zastanawiamy się, czy będziemy głodni po przyjeździe, to możemy być bardziej zainteresowani odległością przebywaną na jednostkę czasu własnego HI (12.39) il = dr Tę hybrydową wielkość — stosunek odległości mierzonej na ziemi do czasu mierzonego w samolocie — nazywa się prędkością własną w przeciwieństwie do zwykłej prędkości u. Ze względu na (12.37) obie prędkości są ze sobą powiązane 1
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
540
Oczywiście, dla prędkości znacznie mniejszych ud c różnica między zwykłą prędkością i prędkością własną jest zaniedbywał na. Z teoretycznego punktu widzenia prędkość własna ma jednak ogromną przewagę nad zwykłą prędkością, gdyż przy zmianie układu inercjalnego przekształca się bardzo prosto. Rzeczywiście, 11 jest przestrzenną częścią czterowektora r)** -
dx*1 dr
(12.41)
którego zerowa składowa wynosi dt_ _ ~d7
c
Cdr ~ y/\ - u2/c 2'
(12.42)
Jest tak, gdyż dx^ w liczniku jest czterowektorem przemieszczenia, a czas własny dz w mianowniku jest niezmienniczy. Jeśli więc przechodzimy z układu S do układu Ś poruszającego się z prędkością v wzdłuż wspólnego kierunku osi a* i a , to v° = yOj0 - / V ) , ńl -2
=
_
y(n' 2
-/3 i? °),
(12.43)
i ogólniej (12.44) Czterowektor }fl nazywa się czterowektorem prędkości własnej lub po prostu czteroprędkością. Natomiast prawo przekształceń dla zwykłych prędkości jest nadzwyczaj złożone, jak to pokazaliśmy w przykł. 12.6 i zad. 12.14 dA _ ux —v dl (\ — vux/c 2)' dy _ uy (12.45) dl y( 1 —vux/ c 2) dż _ uz dr y(\ - vux/ c 2)' Przyczyna pojawiającej się tu złożoności jest prosta: musimy przekształcać zarówno licznik dl, jak i mianownik dr, podczas gdy dla prędkości własnej mianownik dr jest niezmienniczy i stosunek może być tak samo przekształcony jak sam licznik.
Zadanie 12.24 (a) Wzór (12.40) wyraża prędkość własną przez zwykłą prędkość. Odwrócić ten wzór i wyrazić u przez ą. (b) Jaki jest związek między prędkością własną i pospiesznością (12.34)? Założyć, że prędkość jest skierowana wzdłuż osi x i znaleźć j] w zależności od 0.
541
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
Zadanie 12.25. Samochód porusza się wzdłuż prostej nachylonej pod kątem 45' w płaszczyźnie xy układu S (rys. 12.25) ze (zwykłą) prędkością (2/\/S)c. (a) Znaleźć składowe ux i uy (zwykłej) prędkości. (b) Znaleźć składowe i r)y prędkości własnej. (c) Znaleźć zerową składową czieroprędkości tf. Układ S porusza się wzdłuż osi x ze (zwykłą) prędkością +J2/5 c względem S. Przy użyciu odpowiednich praw przekształceń: (d) znaleźć składowe ux i uy (zwykłej) prędkości w S , (e) znaleźć składowe rjx i fjy prędkości własnej w S , (f) ustalić poprawność wyników przez sprawdzenie, że u T) = / y / \ - U l /C*
• Zadanie 12.26. Obliczyć niezmienniczy iloczyn skalarny Zadanie 12.27. Rozważyć cząstkę w ruchu hiperbolicznym
czteroprędkości przez siebie.
x(t) = y/b2 + (c/)2, y = z = 0. (a) Znaleźć czas własny r w zależności od /, zakładając, że zegary są ustawione tak, że r = 0, gdy t = 0. [Wskazówka: Scałkować (12.37)]. (b) Znaleźć x i (zwykłą) prędkość u w zależności od r. (c) Znaleźć czteroprędkość rf w zależności od t.
12.2.2. Relatywistyczna energia i pęd W mechanice newtonowskiej (czyli nierelatywistycznej) pęd jest równy iloczynowi masy i prędkości. Chcemy rozszerzyć tę definicję na obszar relatywistyczny, ale natychmiast powstaje problem: czy powinniśmy użyć zwykłej prędkości, czy prędkości własnej? W fizyce nierelatywistycznej T) i u są identyczne i dlatego nie ma a priori powodu, by fa woryzować którąś z nich. W kontekście teorii względności istotne staje się jednak użycie prędkości własnej, gdyż zasada zachowania pędu byłaby niezgodna z zasadą względno ści, gdybyśmy zdefiniowali pęd jaku ni u (zob. zad. 12.28). Dlatego pęd relatywistyczny definiuje się wzorem mu
p — m n = —= = = = = .
y i - «2/c 2
(12.46)
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
542
Pęd relatywistyczny jest częścią przestrzenną czteroweklora p 11 = mr)11
(12.47)
i nasuwa się pytanie, czym jest składowa czasowa mc p{) = m rf — y/1 —w2/e*2 Einstein nazwał wielkość
(12.48)
m
Wrel — \J
(12.49)
I — u 2/ c 2
masą relatywistyczną (tak że p° = miC\c oraz p — mrciu i sama wielkość m została wtedy nazwana masą spoczynkową), ale obecnie porzucono tę terminologię na rzecz energii relatywistycznej mc
E =
9 (12.50)
(a więc p° = E /c )l{). Ponieważ p° jest (z dokładnością do czynnika 1fc) energią rela tywistyczną, więc p(i nazywa się czterowektorem energii-pędu (lub krócej czteropędem). Zauważmy, że energia relatywistyczna jest niezerowa, nawet jeśli ciało spoczywa, i wtedy tę energię nazywa się energią spoczynkową Espocz = nic2.
(12.51)
Pozostałą część energii, związaną z ruchem, nazywa się energią kinetyczną 7 r=
? - ') .
W obszarze nierelatywistycznym (u c) możemy rozwinąć pierwiastek kwadratowy względem potęg parametru w2/c 2, otrzymując 1 E km =
7
3m u4
-z m ir + - —
y
+
• • • ,
(1 2 .5 3 )
2 8 cL a więc człon wiodący odtwarza wzór nierelatywistyczny. Wszystko dotąd jest tylko notacją. Fizyka tkwi w fakcie doświadczalnym, i t E i p, zdefiniowane wzorami (12.46) i (12.50), są zachowywane. W każdym układzie odosobnionym" całkowita energia relatywistyczna i całkowity pęd relatywistyczny są zachowane. ,0Ponieważ E i m rc\ różnią się tylko o stały czynnik (c2), więc nic ma żadnego zysku z używania obu określeń i wielkość m„\ podzieliła los banknotu dwudolarowcgo. "Jeśli na układ działają zewnętrzne siły, to (podobnie jak w wypadku nierelatywistycznym) energia i pęd układu na ogół nie zostają zachowane.
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
„Masa relatywistyczna” (jeśli zdecydowalibyśmy się na używanie tego określenia) takie zostaje zachowana, ale jest to równoważne zachowaniu energii. Masa spoczynkowa nie zostaje zachowana — jest to przykry fakt znany wszystkim od 1945 r. („zamiana masy w energię” jest w rzeczywistości przemianą energii spoczynkowej w energię ki netyczną). Zwróćmy uwagę na różnicę między wielkością niezmienniczą (mającą taką samą wartość we wszystkich układach inercjalnych) i wielkością zachowywaną (mającą taką samą wartość przed i po pewnym procesie). Masa jest niezmiennicza, ale nie jest za chowywana; energia jest zachowywana, ale nie jest niezmiennicza; ładunek elektryczny (jak zobaczymy) jest zarówno zachowywany, jak i niezmienniczy; prędkość nie jest ani zachowywana, ani niezmiennicza. Iloczyn skalarny czteropędu pfX przez siebie wynosi p^Pn = - ( p 0)2 + (p p) = - m 2c2.
(12.54)
co można szybko sprawdzić, wykorzystując wynik zad. 12.26. Przy użyciu energii rela tywistycznej wzór ten możemy zapisać w postaci (12.55) Jest to nadzwyczaj użyteczny wynik, gdyż pozwala obliczyć £ (jeśli znamy //) lub p (przy znajomości £) bez obliczania prędkości.
Zadanie 12.28 (a) Powtórzyć zad. 12.2, używając (niepoprawnej) definicji p = /nu, ale z (poprawnym) prawem Einsteina składania prędkości. Zauważyć, że jeśli pęd (tak zdefiniowany) jest zachowany w
12.2.3. Kinematyka relatywistyczna W tym paragrafie przeanalizujemy pewne zastosowania zasad zachowania do rozpadów i zderzeń cząstek.
544
12. tLtKl KUDYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Przykład 12.7 Dwie grudki gliny, każda o masie (spoczynkowej) m, zderzają się czołowo przy prędkości (rys. 12.26) i zlepiają się. Pytanie: jaka jest masa (A/) powstałej grudki?
m (przed)
CD M (po)
Rvs. 12.26
Rozwiązanie: W tym wypadku zachowanie pędu jest bardzo proste: wynosi on zero przed i po zderzeniu. Energia każdej grudki przed zderzeniem wynosi mc2 5 . ■■■■ — —mc, s/\ - (3/5)2 4 a energia powstałej grudki po zderzeniu wynosi Mc2 (ponieważ grudka jest w spoczynku). Z zasady zachowania energii wynika więc, że -mc2 + -mc*2 = Mc2 i stąd M = \m. Zauważmy, że masa ta jest większa niż suma mas początkowych! Masa nie zostaje zachowana w tym zderzeniu; energia kinetyczna przekształciła się w energię spoczynkową i dlatego masa wzrosła. W nierelatywistycznej analizie takiego zderzenia mówimy, że energia kinetyczna prze kształca się w energię wewnętrzną — powstała grudka jest cieplejsza niż dwa zderzające się kawałki. Jest to oczywiście prawda także w obrazie relatywistycznym. Ale czym jest energia wewnętrzna? Jest to całkowita suma energii kinetycznych ruchu chaotycznego i energii po tencjalnych wszystkich atomów i cząsteczek substancji. Teoria względności mówi nam, żc tc mikroskopowe energie są uwzględnione w masie ciała: gorący ziemniak jest cięższy niż zimny ziemniak i ściśnięta sprężyna jest cięższa niż sprężyna nienapięta. Prawda, żc nie jest to duża różnica — energia wewnętrzna (U) daje wkład Uje 1 do masy, a c2 jest bardzo dużą wielko ścią z punktu widzenia powszednich standardów. Nie mamy nigdy do czynienia z grudkami gliny poruszającymi się dostatecznie szybko, aby wykryć niezachowanie masy w ich zderzeniu. Ale w świecie cząstek elementarnych ten elekt może być wyraźnie widoczny. Gdy na przy kład obojętny pion (o masie 2,4 • 10~28 kg) rozpada się na elektron i pozyton (każdy o masie 9,11- 10"31 kg), wówczas energia spoczynkowa przekształca się prawie całkowicie w energię kinetyczną pozostaje mniej niż \% masy początkowej.
W mechanice nierelatywistycznej nie ma cząstek bezmasowych, bo ich energia kine tyczna (Am//2) i pęd (mu) byłyby równe zeru, nie można by działać na nie siłą (F = ma) i stąd (ze względu na trzecią zasadę dynamiki Newtona) cząstka bezmasowa nie mogłaby
545
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
na nic oddziaływać, czyli byłaby niczym z punktu widzenia fizyki. Można by sądzić, że tak samo będzie w teorii względności, gdyż przecież p i E są nadal proporcjonalne do m. Jednak bliższe przyjrzenie się równaniom (12.46) i (12.50) ujawnia lukę godną ustawodawcy: jeśli u = c, to zero w liczniku jest równoważone przez zero w mia nowniku, co prowadzi do nieokreślonych wartości p i E (typu zero przez zero). Może więc wystąpić sytuacja, że cząstka bezmasowa przenosi energię i pęd Jeśli stale porusza się z prędkością światła w próżni. Chociaż równania (12.46) i (12.50) nie wystarczają do określenia wielkości E i p, to równanie (12.55) wskazuje, że te dwie wielkości są powiązane wzorem E = pc. (12.56) Można by uważać ten argument za żart, gdyby nie fakt, że w przyrodzie istnieje przynajmniej jedna cząstka bezmasowa — foton12. Fotony poruszają się z prędkością światła i spełniają równanie (12.56)13. Zmuszają nas one do poważnego potraktowania tej „luki”. (Przy okazji można się zastanawiać, co odróżnia foton z dużą energią od fotonu z bardzo małą energią — przecież mają one tę samą masę (zero) i tę samą prędkość (c). Teoria względności nie daje odpowiedzi na to pytanie, ale niespodziewanie udziela jej mechanika kwantowa: zgodnie ze wzorem Plancka E = hv, w którym h jest stałą Plancka i v jest częstością. Niebieski foton ma większą energię niż czerwony \)
Przykład 12.8 Spoczywający pion rozpada się na mion i neutrino (rys. 12.27). Wyrazić energię powstałego mionu przez masy mn i myi (przyjąć mv = 0).
(przed)
(po)
Rys. 12.27 Rozwiązanie: W tym w ypadku ri
przed
Epo =
s2
fUftC ,
+ Ex„
Pprzed Ppo =
P ,t + Pv
12Jeszcze całkiem niedawno powszechnie zakładano, żc także neutrina są cząstkami bezmasowymi, ale doświadczenia z 1998 r. wskazują, że w rzeczywistości mogą one mieć (bardzo małą) masę. 13Foton jest kwantem pola elektromagnetycznego i nie jest przypadkiem, że taki sam związek między energią i pędem zachodzi dla fal elektromagnetycznych (zob. (9-60) i (9.62)).
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
546
Zasada zachowania pędu wymaga, żeby pv = —ptl. Z zasady zachowania energii wynika, żc E,i + Ev = mnc2. Następnie z (12.56) mamy Ev = |pv|c* i z (12.55) wyznaczamy |pł41= y / E f -
/c, a więc
J2 e m+ / Ei - ml c* = m*c2 z czego wynika, że Ev =
(ml + m*)c2 2n u
W zderzeniu nierelatywistycznym pęd i masa są zawsze zachowane, a energia kine tyczna na ogół nie. Jeśli energia kinetyczna jest zachowana, jak w idealnym zderzeniu dwóch kul bilardowych, to proces nazywamy sprężystym. Zderzenie „niesprężyste” pro wadzi do wytworzenia się ciepła kosztem energii kinetycznej; zderzenie „wybuchowe’ wytwarza energię kinetyczną kosztem energii chemicznej (lub innej). W przypadku rela tywistycznym pęd i całkowita energia zachowują się zawsze, a masa i energia kinetyczna na ogół nie. Znów proces nazywamy sprężystym, jeśli energia kinetyczna jest zacho wana. W procesie sprężystym energia spoczynkowa (będąca różnicą energii całkowitej i kinetycznej) jest takie zachowana i dlatego jest zachowana również masa. W praktyce oznacza to, że w procesie uczestniczą te same cząstki wejściowe i wyjściowe. Przy kłady (12.7) i (12.8) odpowiadały procesom nie sprężystym, a następny przykład będzie dotyczył procesu sprężystego.
Przykład 12.9 Rozpraszanie Comptona. Foton o energii E0 „odbija się” od spoczywającego elektronu. Zna leźć energię E rozproszonego fotonu w zależności od kąta rozpraszania 0 (zob. rys. 12.28).
/w w w w ^ # foton
elektron (przed)
(po) Rys. 12.28
Rozwiązanie: Zasada zachowania pędu w kierunku „pionowym" daje pc sin (p = pv sin0, a po nieważ pf = E /c, więc E . sin
547
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
Zasada zachowania pędu w kierunku „poziomym” daje *0 — = pi cos 6 4 pccos0 = —cos0 H- peJ \ — ^ ~ s i n 0 ^ , c czyli p]c2 = (E0 - E cos O)1 4 E1sin2O = El —2£0£ cos 0 4 £ 2. Na koniec z zasady zachowania energii wynika, że £o 4 mc2 = £ 4 Ec = £ 4 y/m2c* 4 pić2 = E 4 yjm2cA4 El - 2E0EcosO 4 E2. Wyznaczając stąd £, mamy 1 £ = — (1 —cos 6) /nic2 4 (1 /£o) Wynik będzie wyglądać przyjemniej, gdy wyrazimy go przez długość fali fotonu
(12.57)
, hc E = hv — — A i wtedy A = A0 H----- (1 —cos 0). mc Wielkość (h/m c) nazywa się komptonowską długością fali elektronu.
(12.58)
Zadanie 12.31. Znaleźć prędkość mionu w przykł. 12.8. Zadanie 12.32. Cząstka o masie m. której energia całkowita jest równa podwojonej energii spoczynkowej, zderza się z identyczną cząstką znajdującą się w spoczynku. Jeśli cząstki się połączą, to jaka będzie masa powstałej cząstki? Jaka będzie jej prędkość? Zadanie 12.33. Pion obojętny o masie (spoczynkowej) m i (relatywistycznym) pędzie p = -mc rozpada się na dwa fotony. Jeden z fotonów zostaje wysłany w kierunku ruchu początkowego pionu, a drugi w kierunku przeciwnym. Znaleźć (relatywistyczną) energię każdego z fotonów. Zadanie 12.34. W przeszłości większość eksperymentów w fizyce cząstek zawierała nieru chome tarcze: jedną cząstkę (zwykle proton lub elektron) przyspieszano do wysokiej energii E i zderzano z cząstką tarczy w spoczynku (rys. 12.29a). Dużo większe względne energie można otrzymać (przy użyciu tego samego akceleratora), zderzając dwie cząstki przyspieszone do energii £ (rys. 12.29b). Nierelatywistycznie energia £ jednej cząstki względem drugiej wynosi po prostu 4£ (dlaczego?), czyli zysk (tylko o czynnik 4) nie jest duży. Ale relatywistycznie zysk może być ogromny. Pokazać, że jeśli obie cząstki mają taką samą masę w, to 0£2 £ = -------mc2. (12.59) mc2 Załóżmy, że używamy protonów (nic2 = 1 GeV) z £ = 30 GeV. Jaką energię £ otrzy mamy? Jakiej wielokrotności energii £ to odpowiada? (1 GeV=10‘> eV). [Ze względu na to
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
548
o —
E
►
o
o —
E
tarcza
-
*—
Eo
b)
a) Rys. 12.29
relatywistyczne wzmocnienie w większości współczesnych eksperymentów z lizyki cząstek ele mentarnych używa się zderzających się wiązek zamiast nieruchomych tarcz]. Zadanie 12.35. W eksperymencie anihilacji pary elektron (masa m) z pędem pc zderza się z pozytonem (o tej samej masie, ale o przeciwnym ładunku) znajdującym się w spoczynku. Cząstki anihilują i powstają dwa fotony (dlaczego nie powstaje wtedy tylko jeden foton?). Jeśli jeden z fotonów wylatuje pod kątem 60 względem kierunku padającego elektronu, to jaka jest jego energia?
12.2.4. Dynamika relatywistyczna Pierwsza zasada dynamiki Newtona jest wbudowana w zasadę względności. Jego druga zasada w postaci ( 12.60)
zachowuje swoją ważność w mechanice relatywistycznej, jeśli użyjemy pędu relatywi stycznego.
Przykład 12.10 Ruch pod wpływem stałej siły. Na cząstkę o masie m działa stała siła F. Znaleźć jej położenie (x) jako funkcję czasu, jeśli cząstka w chwili początkowej spoczywała w początku układu. Rozwiązanie: — = F => p = Ft + A. dr ale ponieważ p —0 w r —0, więc stała A musi być równa zeru i stąd mu
P=
r~..........: = Ft. y / \ - U 2/C2
Wyznaczając z tego równania prędkość w, otrzymujemy u=
(*7 m)t J 1 + (Ft/mc)2
(
12. 61)
549
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
Licznik jest oczywiście odpowiedzią nierelatywistyczną i jest ona w przybliżeniu poprawna, jeśli (F/m)t <£ c. Ale relatywistyczny mianownik zapewnia to, że u nigdy nic przekroczy c, bo rzeczywiście, gdy t —> cxj, wówczas u c. Aby zakończyć rachunki, musimy ponownie scałkować równanie (12.61) x(t) -
£m /J
y/J + (Ft'jmc)1
dr
v
mc mc ( 12. 62 ) 1 + {Fi/mc)2 1 + (Ftf/ mc)2 ~F ~Y Zamiast nierelatywistycznej paraboli, *(r) = (F/2m)tz, tor jest hiperbolą (rys. 12.30) i z tego powodu ruch pod wpływem stałej siły nazywa się często ruchem hiperbolicznym. Ruchem takim porusza się np. naładowana cząstka w stałym jednorodnym polu elektrycznym.
i
Praca jest, jak zwykle, całką krzywoliniową z siły W=
/ Fdi
(1 2 .6 3 )
Twierdzenie o pracy i energii („całkowita praca siły działającej na cząstkę jest równa przyrostowi jej energii kinetycznej”) jest słuszne relatywistycznie W = i ponieważ dp dr
/
/
dE . 2 d, = / ' J ! • u dr dr dr J d/
mu d dr ,y/\ —U2jc2 , mu du (1 —w2/c 2)3/2 dr
U d (
mc2
\ _dE
dr y
—u1je1/
dr
(12.64)
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
550
więc
w
-J
dE dt — Fkońc ~dt
(12.65)
b'\pocz*
(Ponieważ energia spoczynkowa jest stała, więc nie jest istotne, czy weźmiemy tu zmianę energii całkowitej, czy energii kinetycznej). W przeciwieństwie do dwóch pierwszych zasad trzecia zasada dynamiki Newtona nie przenosi się w ogólności do obszaru relatywistycznego. Rzeczywiście, jeśli dwa roz ważane ciała są oddalone w przestrzeni, to trzecia zasada jest niezgodna ze względnością równoczesności. Jeśli założymy, że siła oddziaływania ciała A na B w pewnej chwili t wynosi F(/), a siła oddziaływania ciała B na A w tej samej chwili jest równa —F(/), to w tym układzie odniesienia trzecia zasada się stosuje. Ale poruszający się obserwa tor stwierdzi, że ta równość długości i przeciwność kierunku sił występuje w różnych czasach w jego układzie i dlatego trzecia zasada jest naruszona. Tylko w przypadku oddziaływań kontaktowych, gdy dwie siły działają w tym samym punkcie fizycznym (i w trywialnym przypadku, gdy siły są stałe), można zachować trzecią zasadę. Ponieważ siła F jest równa pochodnej pędu względem zwykłego czasu, więc zacho wuje ona nieprzyjemną właściwość (zwykłej) prędkości przy przechodzeniu z jednego układu inercjalnego do innego, gdyż trzeba przekształcać licznik i mianownik. Stąd14 g. __ d f>y y dl
dpy
dpy/dt _ Fy ^dv\ y( 1 —fiux/c) c d/ )
c
(
12. 66)
i podobnie dla składowej w kierunku osi z y ( l — Pux/c) Przekształcenie składowej w kierunku osi x jest jeszcze bardziej złożone dpx dp° p _ - _ dPr_ _ y dpx - yf) dp° _ ~d7~ ~ ^~d7 _ * <• V dt ) x ~ dt ~ yP . , Pdx 1 - fiu Jc ' y d i ------ dx 1 ---------h x/ c c dt Wielkość dE /dt obliczyliśmy w (12.64) i po wstawieniu tego wyniku otrzymujemy Fx
P(u F ) / c 1 - fiux/c
Tylko w jednym szczególnym przypadku równania te są sensownie proste: jeśli cząstka jest (w danej chwili) w spoczynku względem układu S , czyli gdy u = 0. to Fl= ^Pamiętajmy: y i (5 odnoszą się do ruchu układu prędkością c z ą stk i względem <5.
(
S względem
S
12. 68)
i wielkości te są sta łe; u jest
* 551
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
Składowa siły F równoległa do kierunku ruchu układu S nie ulega więc zmianie, a skła dowe prostopadłe są dzielone przez y. Nasuwa się mysi, że można by uniknąć złożonej postaci przekształcenia siły F przez wprowadzenie siły „własnej” (analogicznej do prędkości własnej), która byłaby pochodną pędu względem czasu własnego K li =
d pfL dr
(12.69)
Powyższa wielkość, zwana siłą Minkowskiego (lub po prostu czterosiłą), jest oczywiście czterowektorem, ponieważ p** jest czterowektorem, a czas własny jest niezmienniczy. Przestrzenne składowe siły Minkowskiego K ,x są związane ze „zwykłą” siłą wzorem / d/ \ dP = i F W d, J \ - U2/C2 ’
(12.70)
podczas gdy zerowa składowa = V = Id E (12.71) dr c dr ’ jest z dokładnością do 1fc (własną) mocą dostarczaną cząstce, czyli (własną) szybkością wzrostu jej energii. Dynamikę relatywistyczną można sformułować przy użyciu zwykłej siły lub przy użyciu siły Minkowskiego. Siła Minkowskiego jest w ogólności bardziej naturalna, ale ponieważ w końcu jesteśmy zainteresowani trajektorią cząstki jako funkcji zwykłego czasu, więc używanie zwykłej siły jest często bardziej użyteczne. Gdy chcemy uogólnić jakieś nierelatywistyczne prawo dotyczące siły, jak na przykład wzór na siłę Lorentza, na obszar relatywistyczny, wówczas powstaje pytanie: czy wzór nierelatywistyczny dotyczy zwykłej siły, czy siły Minkowskiego? Innymi słowy, czy powinniśmy napisać F = q(E + u x B), czy raczej K = q(E 4- u x B)? Ponieważ czas własny i zwykły czas są identyczne w fizyce nicrelatywistycznej, więc nie można odpowiedzieć na to pytanie na tym etapie. Wzór na siłę Lorentza okazuje się dotyczyć zwykłej siły — wyjaśnimy później, dlaczego tak jest, i pokażemy, jak skonstniować elektromagnetyczną siłę Minkowskiego.
Przykład 12.11 Typowa trajektoria naładowanej cząstki w stałym polu magnetycznym odpowiada ruchowi cy klotronowemu (rys. 12.31). Siła magnetyczna skierowana do środka okręgu F = QuR
12. tLfcKTRO DYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
552
zapewnia przyspieszenie dośrodkowe konieczne do podtrzymania ruchu po okręgu. Musimy jednak uważać, bo w szczególnej teorii względności siła dośrodkowa nie jest równa mu2/R , jak w mechanice nierclatywistycznej. Z rysunku 12.32 widać, że d p = pćO. więc dp
dft
u
(Oczywiście, w wypadku nierelatywistycznym p = mu, więc F = nur/R). Sujd u QuB = p - . *R czyli P = QBR.
(12.72)
W tej postaci relatywistyczny wzór cyklotronowy jest identyczny z nierelatywistycznym (5.3) — jedyną różnicą jest to, że p jest teraz pędem relatywistycznym.
Przykład 12.12 Ukryty pęd. Jako model dipola magnetycznego m rozważymy prostokątną pętlę z drutu z prą dem stałym. Możemy sobie wyobrazić, że prąd jest strumieniem dodatnich ładunków porusza jących się swobodnie w drucie. Gdy zastosujemy teraz stałe pole elektryczne o natężeniu E (rys. 12.33), wówczas ładunki będą przyspieszane w' lewym segmencie, a spowolniane w pra wym.15 Znaleźć całkowity pęd wszystkich ładunków w pętli. Rozwiązanie: Pędy z lewego i prawego segmentu się znoszą, więc wystarczy rozważyć tylko segmenty górny i dolny. Niech N+ ładunków w' górnym segmencie porusza się z prędkością u+ w prawo i AL ładunków' w' dolnym segmencie porusza się z (mniejszą) prędkością u w lewo. Natężenie prądu (/ = a u ) jest takie samo we wszystkich czterech segmentach (gdyż inaczej ładunek gdzieś by się gromadził) i w szczególności QN+ —r—
QN_ - —:—
czyli N±u±
II Q'
15Nie jest to bardzo realistyczny model dla drutu z prądem, ale inne modele prowadzą do tego
samego wyniku. Zobacz V. Hnizdo, Am. J. Phys. 65, 92 (1997).
553
12.2. MECHANIKA RELATYWISTYCZNA
«+---------- ►
o > o o '1 o o t' o o loooooooooooj /
o r
o
-*-w_ l Rys. 12.33
gdzie Q jest ładunkiem każdej cząstki i / jest szerokością prostokąta. Niereiatywistycznie pęd pojedynczej cząstki wynosi p = Mu (gdzie M jest jej masą) i całkowity pęd (w prawo) wynosi .11 M - = 0. /?merci = MN+u+ — MN-U- = M
Q
Q
co jest oczywiście zgodne z oczekiwaniem (przecież pętla jako całość się nie porusza). Ale relatywistycznie p = yM u i otrzymujemy p = y.
— y_MN u _
mu
(K+ - Y-), ~Q co nie jest równe zeru, gdyż cząstki w górnym segmencie poruszają się szybciej. Rzeczywiście, przyrost energii (yM c2) przy ruchu cząstki do góry z prawej strony jest równy pracy, QEwy wykonanej przez siłę elektryczną, gdzie w jest wysokością prostokąta, czyli QFw i stąd
II Ew Ale IIw jest magnetycznym momentem dipolowym pętli i wektorowo moment m jest skiero wany za rysunek, a p na prawo, czyli p - -^(m x E). Stąd dipol magnetyczny w polu elektrycznym ma pęd, chociaż się nie porusza! Ten ukryty pęd jest ściśle relatywistyczny i czysto mechaniczny; pęd ten skraca się dokładnie z pędem elektromagnetycznym zawartym w polach (zob. przykł. 8.3; zauważmy, że oba wyniki można zapisać w postaci p = IIV/cz).
Zadanie 12.36. W mechanice nierelatywistycznej drugą zasadę mechaniki Newtona można zapisać w bardziej znanej postaci F —ma. Równanie relatywistyczne F = dp/d/ nie może być tak prosto przedstawione. Pokazać, że wtedy
S54
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
F=
a+ y i - u*/c2 _
u(u a) f-2 -
(12.73)
W2
gdzie a = du/d; jest zwykłym przyspieszeniem. Zadanie 12.37. Pokazać, że promień świetlny nie zdoła nas wyprzedzić, jeśli mieliśmy dosta tecznej przewagę na starcie i nasze nogi generują stałą siłę. Zadanie 12.38. Zdefiniować w naturalny sposób przyspieszenie własne „ _ ćrj/l _ d V 01
(12.74)
= d 7 “ 'dr7 *
(a) Wyrazić a° oraz ot przez u i (zwykłe) przyspieszenie a. (b) Wyrazić przez u i a. (c) Pokazać, że = 0. (d) Wypisać postać Minkowskiego drugiej zasady dynamiki Newtona (12.70) przy użyciu afl. Obliczyć niezmienniczy iloczyn Zadanie 12.39. Pokazać, że KttK“ =
1 - (u2/c2)cos20 1 - u2/c2
2
gdzie 0 jest kątem między u i F. Zadanie 12.40. Pokazać, że (zwykłe) przyspieszenie cząstki o masie m i ładunku q, poruszającej się z prędkością u w polach elektromagnetycznych E i B, jest dane wzorem a = —y/ 1 —u2/c2 E 4- u x B — ^u(u • E) . m L cl | Wskazówka: Wykorzystać wzór (12.73).]
12.3. Elektrodynamika relatywistyczna 12.3.1. Magnetyzm jako zjawisko relatywistyczne W przeciwieństwie do mechaniki newtonowskiej elektrodynamika klasyczna jest już zgodna ze szczególną teorią względności. Równania Maxwella i wzór na siłę Lorentza mamy prawo stosować w dowolnym układzie inercjalnym. Oczywiście to, co jeden ob serwator interpretuje jako proces elektryczny, drugi może uważać za magnetyczny, ale przewidywany przez nich rzeczywisty ruch cząstki będzie identyczny. Fakt, że tego nie dostrzegali Lorentz i inni, którzy badali to zagadnienie pod koniec XIX w., wią zał się ze stosowaniem przez nich mechaniki nicrelatywistycznej, a nie z elektrodyna miką. Po poprawieniu mechaniki newtonowskiej możemy teraz rozwinąć pełne i samozgodne sformułowanie elektrodynamiki relatywistycznej. Warto jednak podkreślić, że nie będziemy w najmniejszym stopniu zmieniać praw elektrodynamiki, a przedstawimy je tylko w notacji, która wyraźnie odsłoni i naświetli ich relatywistyczny charakter.
555
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
Zanim się do tego weźmiemy, zatrzymamy się na chwilę, aby przy wykorzystaniu prze kształceń Lorentza wyprowadzić na nowo wyniki, które otrzymaliśmy wcześniej w bar dziej złożony sposób. Głównym celem tego paragrafu jest jednak głębsze zrozumienie struktury elektrodynamiki: prawa, które przedtem wydawały się dowolne i niepowią zane, staną się spójne i nieuniknione, gdy spojrzymy na nie z punktu widzenia teorii względności. Zaczniemy od pokazania, dlaczego musi istnieć coś takiego jak magnetyzm, jeśli mamy elektrostatykę i teorię względności, i w szczególności, jak można obliczyć siłę magnetyczną między drutem z prądem i poruszającym się ładunkiem bez odwoływania się do praw magnetyzmu.16 Załóżmy, że mamy ciąg ładunków dodatnich poruszających się w prawo z prędkością u. Przyjmijmy, że ładunki tc są dostatecznie blisko siebie, aby można jc uważać za ciągły rozkład ładunku z gęstością liniową Na ten dodatni ciąg ładunków nałożony jest ciąg ujemny o gęstości —A., poruszający się w lewo z taką samą prędkością v. Mamy więc wypadkowy prąd elektryczny, płynący w prawo, o natężeniu
/ =
(12.75)
2Xv.
Jednocześnie w odległości s od drutu znajduje się ładunek punktowy q poruszający się w prawo z prędkością u < v (rys. 12.34a). Ponieważ dwa liniowe ładunki nawzajem się równoważą, więc w tym układzie (5) na ładunek q nie działa żadna siła elektryczna. ~ V gfc 1_. „ .. .
~
+
•
+
(-A)
(+A)
+
+
+
s u i-------- --
<1
a)
(AJ v .
+
+
(A*)
+
+
r+
s •
\
b) Rys. 12.34
,6Ten i kilka innych argumentów w tym pragrafie pochodzi z książki li. M. Purcella, Electricity and Magnetism, wyd. 2, McGraw-Hill, New York 1985 (tłum. polskie: Elektryczność i magnetyzm, wyd 1, PWN. Warszawa 1971).
55G
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Zbadajmy jednak tę samą sytuację z punktu widzenia układu ó\ który porusza się w prawo z prędkością u (rys. 12.34b). W tym układzie odniesienia ładunek q jest w spo czynku. Zgodnie z prawem Einsteina składania prędkości dodatnie i ujemne ładunki liniowe poruszają się teraz z prędkościami v
v± 1
=f=
u
(12.76)
vu / c2 ’
Ponieważ prędkość u_ jest większa niż v+, zatem skrócenie Lorentza odległości mię dzy ładunkami ujemnymi jest większe niż między dodatnimi. Dlatego w tym układzie w drucie pojawia się wypadkowy ładunek ujemny! Mamy więc
= ±(yi)A .o ,
(12.77)
gdzie (12.78) i A-ojest gęstością liniową ładunku dodatniego w jego własnym układzie spoczynkowym. Ta gęstość różni się oczywiście od a , bo w S ładunki już się poruszają z prędkością u, a więc A = k A0, (12.79) gdzie 1
(12.80)
v/l - v 2/c 2 Po pewnych przekształceniach algebraicznych można y± zapisać w prostszej postaci c2 y+
jl -
T w)2(l T vu/c2) - 2 c2 =F uv
1
y/(c2 — v2)(c2 — U2)Y \ j 1
4
uv
y/(c2 =F UV)2 - C 2(V
uv/c2
f
U)2
(12.81)
u2je 2
Ostatecznie więc wypadkowa gęstość liniowa ładunku w S wynosi ż-całk = k | +
= ^o(y-ł- ~ K-) —
—2Xuv , — • c2v l - m2/ c2
(12.82)
Wwose/:: W wyniku niejednakowego skrócenia Lorentza dla dodatnich i ujemnych ła dunków liniowych drut przewodzący prąd, który jest obojętny elektrycznie w jednym układzie inercjalnym, będzie naładowny w innym. Ładunek liniowy o gęstości Acaik wytwarza teraz pole elektryczne o natężeniu _ ż-całk 2treos ’
557
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
czyli w układzie S na ładunek ą działa siła elektryczna F — ąE — —
av T tW -S
qu / | -
(12.83)
U2/ C 2 '
Ale jeśli na q działa siła w układzie S , to musi też działać w układzie S i możemy ją nawet obliczyć wykorzystując znane nam przekształcenia dla sił. Ponieważ q jest w spoczynku względem 5, a siła F jest prostopadła do w, więc siła w 5 jest dana wzorem (12.68) F = V 1 - u2/c 2 F = ---- — 7ieot~ s
U 2. 84)
ładunek jest przyciągany do drutu siłą, która jest czysto elektryczna w układzie S (gdzie drut jest naładowany, a q jest w spoczynku), a wyraźnie mVelektryczna w układzie S (gdzie drut jest obojętny). Z elektrostatyki i teorii względności, wziętych razem, wynika więc istnienie innej siły. Tą „inną siłą” jest oczywiście siła magnetyczna. Rzeczywiście, możemy bowiem sprowadzić (12.84) do bardziej znanej postaci, wykorzystując wzór c2 = UoMo)-1 i zamieniając 2kv na natężenie prądu (12.75)
Człon w nawiasach jest indukcją magnetyczną dla długiego prostego drutu z prądem, a siła jest dokładnie taka, jaką otrzymujemy przy użyciu wzoru na siłę Lorentza w ukła dzie S.
12.3.2. Przekształcenia pól E i B Nauczyliśmy się na szczególnych przykładach, że pole elektryczne jednego obserwatora może być polem magnetycznym innego. Byłoby przyjemnie znać ogólne prawa prze kształceń dla pól E i B: jeśli znamy tc pola w układzie ć>, to jakie są w układzie S I Na początek można by sądzić, że E jest częścią przestrzenną jednego czterowektora, a B częścią przestrzenną drugiego. Jednak taka intuicja jest błędna — sytuacja jest bardziej złożona. Zacznijmy od jawnego wskazania na założenie, które milcząco wykorzystali śmy w paragrafie 12.3.1: ładunek elektryczny jest niezmienniczy. Podobnie jak masa, ale inaczej niż energia, ładunek elektryczny cząstki jest ustaloną wielkością, niezależną od tego, z jaką prędkością się ona porusza. Załóżmy także, że prawa przekształceń są takie same niezależnie od tego, w jaki sposób pola zostały wytworzone: natężenia pól elek trycznych wytworzonych przez zmienne pola magnetyczne przekształcają się tak samo jak natężenia pól wytworzonych przez spoczywające ładunki. Jeśliby tak nie było, to musielibyśmy odrzucić cały formalizm połowy, gdyż istotą teorii pola jest to. że natę żenia pól w danym punkcie zawierają zupełną informację elektromagnetyczną dla tego punktu i nie trzeba dodawać dodatkowej informacji o źródłach tych pól.
12. ELEKTRODYNAMIKA I ItURIA WZGLĘDNOŚCI
558
♦ t'
- U
C) Rys. 12.35
Pamiętając o tym, rozważmy najprostsze możliwe pole elektryczne: stałe jednorodne pole w obszarze między okładkami kondensatora płaskiego (o dużych równoległych okładkach) (rys. 12.35a). Załóżmy, że kondensator jest w spoczynku w układzie So i gęstość powierzchniowa ładunku na okładkach wynosi w nim ± a 0. Wtedy E0 = — y. €o
(12.86)
Zbadajmy teraz ten sam kondensator z punktu widzenia układu ć>, poruszającego się w prawo z prędkością i>o (rys. 12.35b). W tym układzie okładki poruszają się w lewo, ale natężenie pola elektrycznego ma nadal postać E = -y , c<>
(12.87)
choć inna jest wartość gęstości ładunku powierzchniowego o . [Czyżby to jednak była jedyna różnica? Wzór E = cr/eo dla płaskiego kondensatora wynika z prawa Gaussa i chociaż prawo Gaussa jest w pełni poprawne dla poruszających się ładunków, to jego szczególne zastosowanie zależy także od symetrii. Czy jesteśmy pewni, że natężenie tego pola jest nadal prostopadłe do okładek? A może pole poruszającej się okładki pochyla się, powiedzmy, w kierunku ruchu, jak na rys. 12.35c? I .ecz, jeśliby nawet tak było (choć nie jest), to natężenie pola między okładkami, będącego superpozycją pól
559
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWIS 1YCZNA
od ładunków -j-rr i —a , byłoby mimo to prostopadłe do okładek. Natężenie pola od —er byłoby skierowane zgodnie z rys. 12.35c (zmiana znaku ładunków odwraca kierunek natężenia pola) i w sumie wektorowej zniosłyby się składowe równoległe do okładek]. Całkowity ładunek na każdej okładce jest niezmienniczy, szerokość (w) nie zmienia się, ale długość (/) ulega skróceniu Lorentza o czynnik - = J l - Vi\/c\ Ko v więc gęstość powierzchniowa ładunku wzrasta o czynnik yo a = Ko^o
(12.88)
(12-89)
i wobec tego
E1 =
koE01 .
02.90)
Rys. 12.36
Wskaźnik _L ma wskazywać, że to prawo dotyczy składowych natężenia E, które są prostopadłe do kierunku ruchu układu S. Aby otrzymać odpowiednie prawo dla składo wych równoległych, rozważmy kondensator z okładkami równoległymi do płaszczyzny yz (rys. 12.36). Tym razem odległość między okładkami (d ) ulega skróceniu Lorentza, a / i w (i wobec tego także er) są takie same w obu układach. Ponieważ natężenie pola nie zależy od d %więc = £<,"• (12.91)
Przykład 12.13 Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego w ruchu jednostajnyni. Ładunek punk towy ą spoczywa w początku układu Sn. Pytanie: Jakie jest natężenie pola elektrycznego tego ładunku w układzie S, który porusza się w prawo z prędkością v0 względem S0?
12. ELbKIKODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
560
Rozwiązanie: W układzie S{) natężenie pola wynosi F — - a-----1 ?f 4neu r„2 r°’ czyli 4^f0 Uo + >0 + ś>)m ' _ _J_______'00 = 4ne„ (xl + y02 + zl)1'2’ I
4jre„ (*jj +
+ Zo)3/2 ’
Z praw przekształceń (12.90) i (12.91) mamy 1
Wielkości te są nadal wyrażone przez współrzędne ( jc0 , y0. Zo) punktu pola (P) w układzie S0, a lepiej byłoby wyrazić jc przez współrzędne punktu Z5 w układzie S. Z przekształceń Lorentza (lub ściślej z odwrotnych przekształceń) mamy *o = Yo(* +
>o =
y
= Ry,
Zo =
z
= /?*,
gdzie R jest wektorem od q do P (rys. 12.37). Stąd E_
Yo< j R ________ 4 nfo (y02/?2cos2 0 -t- /?2sin20)3/2
_
1
< /( l- u 2/c2)
R
“ 4 tt60 fl - ( vq/ c2) sin20]3/'2 /?2’
Rys. 12.37
(12.92)
561
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
Takie jest natężenie pola elektrycznego ładunku w ruchu jednostajnym i taki sam wynik otrzy maliśmy w rozdziale 10 przy użyciu potencjałów opóźnionych (10.68). Obecne wyprowadzenie jest znacznie bardziej efektywne i rzuca pewne światło na godny uwagi fakt. że natężenie pola elektrycznego jest zawsze skierowane od obecnego (a nie opóźnionego) położenia ładunku: Ex zyskuje czynnik y0 / przekształcenia Lorentza współrzędnych, a Ey i E. dostają swoje z przekształcenia natężenia poła. Jednoczesne pojawienie się tych czynników y0 powoduje, że E pozostaje równoległe do R.
Równania (12.90) i (12.91) nie są najogólniejszymi prawami przekształceń, gdyż wyszliśmy z układu
(12.93)
jest w nim pole magnetyczne odpowiadające prądom powierzchniowym (rys. 12.35b) o gęstości K-t = =pruoX. (12.94) Zgodnie z regułą prawej ręki indukcja magnetyczna tego pola jest skierowana w ujemnym kierunku osi z, a jej długość wyznaczona jest przez prawo Ampcrc’a Bz = -MotfL’o-
(12.95)
W trzecim układzie S poruszającym się w prawo z prędkością v względem S (rys. 12.38) pola te miałyby postać £ v = —*
Bz = - p o d v f
(12.96)
gdzie v jest prędkością układu S względem «So V + t'o
_ _
1 + W o/C 2 '
1
Y ~
-
0 2 ^ .2 ’
(T = y a 0.
.v* >'0 4
v (u względem S)
*0 Rys. 12.38
(12.97) (12.98)
562
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Pozostaje nam tylko wyrazić E i B (12.96) przez E i B ((12.93) i (12.95)). Ze względu na równania (12.89) i (12.98) mamy
*0
\Yo/
(12.99)
\YoJ
Po małych przekształceniach algebraicznych znajdujemy Y_ _ y 1 YO
vu /c2 _ 1 + W p/c2 _
yj 1 —v2/c 2
y f1 —v2/c 7
/ ^
Dl,0x c2 / ’
(12.100)
gdzie jak zawsze Y=
( 12 . 101 )
yj I —V2/C2
Stąd /
I’l'ox O
Ey = y ( \ + —
V
) -
= y
(
v+
<’2 > «0
(
V
\
V
C^O/U-O
/
( £ „ - - 5 ----- B . ) ,
natomiast -
/,
vv0\
U<)
\
Bz = - y ^ + — ) M()0r [j + vVq/c2 J = Y(B z
MOCOvEy).
Ponieważ /xo^o = 1/c2, więc Ey = y (E y - vBz), (
= y
- ^E y) .
12. 102)
Rys. 12.39
Znamy już przekształcenie dla Ey i B:. Aby znaleźć odpowiednie przekształcenie dla E: i By, ustawimy okładki tego samego kondensatora równolegle do płaszczyzny
563
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
xy zamiast do płaszczyzny xz (rys. 12.39). Pola w układzie S wynoszą więc a
B y = lloOVo.
^0
(Znak dla Bv wynika z reguły prawej ręki). Dalsze rozumowanie jest identyczne: wszę dzie, gdzie przedtem mieliśmy Eyy teraz jest Ez, a wszędzie, gdzie było Bz, jest —Bv
Ez = y(Ez + vBy)% (12.103) By =
V (B y +
•
Jeśli idzie o składowe w kierunku osi x, to widzieliśmy już. (przy zorientowaniu okładek kondensatora równolegle do płaszczyzny yz), że Ex = Ex.
(12.104)
Ponieważ w tym wypadku nic ma odpowiedniego pola magnetycznego, więc nie możemy wyprowadzić prawa przekształceń dla Bx. Musimy użyć innej konfiguracji. Wyobraźmy sobie długi solenoid o osi wzdłuż osi x (rys. 12.40), spoczywający względem S. Indukcja magnetyczna pola wewnątrz cewki wynosi Bx = fi0n l ,
(12.105)
gdzie n jest liczbą zwojów na jednostkę długości, a / jest natężeniem prądu. W układzie
S długość ulega skróceniu, czyli n wzrasta ń = yn.
(12.106)
Z drugiej strony, występuje wydłużenie czasu i zegar w 5 , poruszający się razem z solenoidem, chodzi wolniej, czyli natężenie prądu (ładunku przepływającego w jednostce czasu) w S wynosi 1 / = -I. (12.107) y
Te dwa czynniki y dokładnie się skracają i wnioskujemy stąd, że
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
564
Podobnie jak dla E, składowa indukcji magnetycznej B równoległa do ruchu nie ulega zmianie. Zbierzmy razem pełny układ praw przekształceń: Ex = Ex, _ B x = Bx,
Ey = y(Ey - vBz), Ez = y ( E z + vBy), _ / V \ / v \ D y - Y [By + - ^ E , ) . B
(12.108)
Dwa przypadki warte są szczególnej uwagi: 1. Jeśli B = 0 w 5 , to B = y \ ( E z y — Ey z) = - ( E z y - Ey z ), c2 cl czyli ponieważ v = v x, więc B = -i(v x E ).
(12.109)
2. Jeśli E = 0 w (S, to E = - y v ( B z y - By z) = - v ( B z y - By z), czyli E = v x B.
(
12. 110)
Innymi słowy, jeśli E lub B są równe zeru (w danym punkcie) w jakimś układzie, to w dowolnym innym układzie pola (w tym punkcie) są bardzo prosto powiązane przez (12.109) lub (12.110).
Przykład 12.14 Pole magnetyczne ładunku punktowego w ruchu jednostajnym. Znaleźć indukcję magne tyczną dla ładunku punktowego q poruszającego się ze stałą prędkością v. Rozwiązanie: W układzie spoczynkowym cząstki (ć>0) indukcja magnetyczna jest równa zeru (wszędzie), czyli w układzie S poruszającym się w praw'0 z prędkością v mamy B= --(vxE ). c2 Natężenie pola elektrycznego obliczyliśmy w przykł. 12.13. Indukcja magnetyczna wynosi więc B _ Mo
(
12 . 111 )
565
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
przy czym wektor jednostkowy 4>jest skierowany w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, gdy patrzymy na zbliżający się ładunek. Nawiasem mówiąc, w granicy nierclatywistycznej (t>2 <śCc2) wzór (12.1 11) redukuje się do postaci Ho v x R B = — a -----— ,
4 ji R2 którą to otrzymuje się przez naiwne zastosowanie prawa Biota-Savarta do ładunku punktowego (5.40).
Zadanie 12.41. Dlaczego natężenie pola elektrycznego z rys. 12.35b nie może mieć składowej w kierunku osi z? Indukcja magnetyczna jednak ma. Zadanie 12.42. Kondensator płaski znajduje się w spoczynku w układzie So i jego okładki, naładowane z gęstością powierzchniową ±ćt0, nachylone są pod kątem 45 do osi jcn (rys. 12.41). Układ S porusza się w prawo z prędkością v względem
Rys. 12.41
Zadanie 12.43 (a) Sprawdzić, żc prawo Gaussa / E • da = (1/*=o)Owcw jest spełnione przez pole ładunku punktowego w ruchu jednostajnym (obliczyć całkę po sferze o promieniu R o środku w ła dunku). (b) Znaleźć wektor Poyntinga dla ładunku punktowego w ruchu jednostajnym. (Przyjąć, że ładunek porusza się w kierunku osi r. z prędkością v i obliczyć S w chwili, gdy q przechodzi przez początek układu). Zadanie 12.44 (a) Ładunek qA znajduje się w spoczynku w początku układu S y a ładunek qtt porusza się z prędkością u po trajektorii równoległej do osi a przy y = d. Jaka siła elektromagnetyczna działa na ładunek qHy gdy przecina on oś y? (b) Zbadajmy teraz len sam problem z punktu widzenia układu <Ś, który porusza się w prawo 7 prędkością v. Jaka siła działa na qb, gdy ładunek qA przecina oś y? [Zrobić to
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
566
dwiema metodami: (i) używając odpowiedzi z (a) i przekształcając siłę, (ii) obliczając pola w S i wykorzystując wzór na siłę Lorentza]. Zadanie 12.45. Dwa ładunki ±q poruszają się po równoległych trajektoriach w odległości d od siebie z jednakowymi prędkościami v w przeciwnych kierunkach. Interesuje nas siła działająca na -\-q pochodząca od —q w chwili, gdy ładunki się mijają (rys. 12.42). Wypełnić następującą tabelę, sprawdzając zgodność wyników zawsze, gdy to możliwe.
Układ A (rys. 12.42)
Układ B (+q w spoczynku)
Układ C {—q w spoczynku)
Ew od - q\ B w +q od -q: F na -\-q od —q.
Zadanie 12.46 (a) Pokazać, że iloczyn (E • B) jest relatywistycznie niezmienniczy. (b) Pokazać, że różnica (E2 —c2B2) jest relatywistycznie niezmiennicza. (c) Załóżmy, że w pewnym układzie inercjalnym B = 0 i E ^ 0 (w pewnym punkcie P). Czy jest możliwe znalezienie innego układu, w którym natężenie pola elektrycznego w P byłoby równe zeru? Zadanie 12.47. Elektromagnetyczna fala płaska o częstości co rozchodzi się w kierunku osi x w próżni. Fala jest spolaryzowana w kierunku osi y i amplituda natężenia pola elektrycznego wynosi E0. (a) Wypisać E (x .y ,z ,t) i B (x.y,z, t). IJakiekolwiek wielkości pomocnicze, które się pojawiają, winny być wyrażone przez co, E0 i stałe przyrody.] (b) Ta sama fala jest obserwowana z układu inercjalnego S poruszającego się w kierunku osi x z prędkością v względem początkowego układu S. Znaleźć E(Jt,y, z, 7) i B(,r, y,ź, f) w Ś i wyrazić jc przez współrzędne w S. [Należy znów zdefiniować wszystkie wielkości pomocnicze.]
567
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
(c) Jaka jest częstość co fali w <Ś? Zinterpretować ten wynik. Jaka jest długość a rozważanej fali w 5? Znając a>i a , wyznaczyć prędkość fali w S. Czy wynik jest zgodny z oczekiwaniami? (d) Jaki jest stosunek natężenia fali w S do natężenia w ć>? W młodym wieku Einstein zastanawiał się, jak wyglądałaby fala elektromagnetyczna, gdybyśmy mogli biec obok niej 7. prędkością światła. Co możemy powiedzieć o amplitudzie, częstości i natężeniu fali, gdy v dąży do r?
12.3.3. Tensor pola elektromagnetycznego Zgodnie z (12.108) wielkości E i B na pewno nie przekształcają się jak przestrzenne składowe dwóch czterowektorów, a dodatkowo ich składowe mieszają się ze sobą, gdy przechodzimy z jednego układu inercjalnego do drugiego. Czym jest obiekt, który ma sześć składowych i przekształca się zgodnie z (12.108). Odpowiedź: Jest to antysymetryczny tensor drugiego rzędu. Jak pamiętamy, czterowektor przekształca się zgodnie z prawem cl11 = A 'X
(12.112)
(zakładamy sumowanie po powtarzającym się wskaźniku p), gdzie A jest macierzą prze kształcenia Lorentza. Jeśli S porusza się w kierunku osi x z prędkością u, to A ma postać ( A=
V ~ yP o
V o
-
yP
o 0\
Y 0 0
0 0 1 0 I’ 0 1/
(12.113)
a A(; jest elementem w wierszu p i kolumnie v. Tensor (drugiego rzędu) jest obiektem z dwoma wskaźnikami, który przekształca się z dwoma czynnikami A (po jednym dla każdego wskaźnika): 1^ = A j A (12.114) Tensor (w 4 wymiarach) ma 4 x 4 = 16 składowych, które możemy przedstawić w postaci macierzy 4 x 4 ,00 ,0! ,02 ,03 ,10 t" ,12 ,13 , 2(. t 21 ,22 r23 ,30 ,32 ,33 Nie wszystkie z 16 elementów muszą być jednak różne. Na przykład tensor symetryczny ma właściwość t tiv _ tvfi (tensor symetryczny). (12.115) W tym wypadku jest 10 różnych składowych, bo 6 spośród 16 powtarza się (r01 = r\o ,02 __ ,20 ,03 _ ,3o ,12 _ ,21 ,13 _ ,31 ,23 _ ,32) pociobnie tensor antysymclryczny spełnia warunek tuv = —t vu
(tensor antysymetryczny).
(12.116)
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGtfI
5
si cztery eter postać
ikl obiekt m a dokładnie 6 różnych elem entów — spośród 16 elem en tów 6 'tarza (te sam e co poprzednio, ale tym razem ze znakiem m inus), a r0(), l " , i tw ) są równe zeru. Stąd ogólny tensor antysym ctryczny ma
t22
0
,0 2
1°'
,03
- I 01
0
r 12
- t 02
- < 12
0
,23
- r 3
0
-r m
Zobaczmy teraz, jak działa prawo przekształceń ( 12 .114) dla sześciu tensora anlysymetrycznego. Rozpoczynając od F01, mamy
różnych składów;
701 = A {l A y ° ,
ale zgodnie z (12.113) mamy a9 = 0, chyba żc lub 1. W sumie są więc cztery człony
k
= 0 lub 1, a Aj
=
0, chyba
że nr =
701 = A jA jf°° + A °,A\t0] + A ? A ^ ,0 + A ? A ( / n . 011 _= - /.10 L drugiej strony, f00 = f11 = 0 , podczas gdy /U l(\ więc
= i 01.
7°' = ( a o a i - a X ) ' 01 = < r2 -
W podobny sposób można wyznaczyć przekształcenia pozostałych składowych i zupełny układ przekształceń ma postać 03
T°ł = t0ł,
T02 = y ( t 02 - f i t 12),
t 03 = y ( l UJ
t * = t 2\
731 =y(r 3' +fir03).
712 =
+
y(tn -
f it
(12.117)
f i t °2) 0’ . /
Są to dokładnie prawa wyprowadzone na gruncie fizycznym dla natężeń pól elektroma gnetycznych 02.108) i możemy skonstruować tensor pola elektromagnetycznego F,tv przez proste porównanie17:
Można to zapisać w postaci macierzy 0 - e ,/c
E
jc/ c
0
- E y /C
- E z/ c
By
E y/C
E z/ c
B.
- B y
0
b a
(12.1 IS)
0
Teoria względności kończy i udoskonala zadanie, rozpoczęte przez Oersteda, łączenia pól elektrycznego i magnetycznego w jedną całość F f/V. Gdy prowadzimy to rozumowanie z należytą uwagą, zauważamy, że jest też inny sposób połączenia E i B w tensor antysymctryczny: zamiast porównywać pierwszy wiersz z układu (12.108) z pierwszym wierszem układu (12.117), a drugi wiersz z drugim, n Niektórzy autorzy wybierają konwencję F 01 = E x. F 12 = cB z ild., a niektórzy używają prze ciwnych znaków. Dlatego od tego miejsca większość równań może wyglądać nieco inaczej w różnych tekstach.
569
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
możemy powiązać pierwszy wiersz z ( 12.108) z drugim wierszem z (12.117) i na odwrót. Taki wybór prowadzi do tensora dualnego GfiV 0 -B x ~By —B-
By 0 Ez/c -E y/C
By -E Jc 0 Exjc
B, Ey/C - E x/c 0
Tensor Gftv można otrzymać bezpośrednio z F*v przez podstawienie E j c — > B, B —► —E/c. Zauważmy, że ta operacja nie zmienia równania (12.108) i to właśnie dlatego oba tensory prowadzą do identycznych praw przekształceń dla E i B.
Zadanie 12.48. Wyprowadzić pozostałe pięć związków z układu (12.117). Zadanie 12.49. Udowodnić, że symetria (lub antysymetria) tensora jest zachowywana przez przekształcenie Lorentza (tzn. jeśli V'" jest symetryczny, to t ,tv jest także symetryczny, i podob nie w przypadku tensora antysymetrycznego). Zadanie 12.50. Przypomnijmy, że cztcrowektor kowariantny otrzymuje się z kontrawariantnego przez zmianę znaku zerowej składowej. Podobnie jest dla tensorów: gdy „obniżamy wskaźnik”, aby uczynić go kowariantnym, wówczas zmieniamy znak elementu, dla którego ten wskaźnik jest równy zeru. Wyrazić niezmienniki tensorowe Fm 1 1f/n» przez E i B. Porównać z zad. 12.46.
g w,,vGnv
i1 F 1 ^G wfiv
Zadanie 12.51. Prosty drut, skierowany wzdłuż osi z i naładowany z gęstością liniową ż, porusza się w kierunku osi +z z prędkością u. Znaleźć tensor pola elektromagnetycznego i tensor dualny do niego w punkcie (jc, 0, 0).
12.3.4. Elektrodynamika w notacji tensorowej Obecnie, gdy wiemy, jak zapisać pola E i B w notacji relatywistycznej, przychodzi czas, by sformułować prawa elektrodynamiki (równania Maxwclla i wzór na siłę Lorentza) w tym języku. Na początku musimy określić prawa przekształceń dla źródeł pola p i J. Wyobraźmy sobie poruszającą się chmurę ładunku. Skoncentrujemy się na inłinitezymalnej objętości V , która zawiera ładunek Q poruszający się z prędkością u (rys. 12.43). Gęstość ładunku wynosi Q a gęstość prądu1* jest równa
J=
p«.
l8Zakładamy, że cały ładunek w V ma ten sam znak i porusza się z tą samą prędkością. Jeśli tak nie jest, to każdy ze składników trzeba rozważyć oddzielnie i wtedy J = p + u _ + p _ u _ , ale istota rozumowania jest taka sama.
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
570
Rys. 12.43
Chcemy wyrazić te wielkości przez własną gęstość ładunku p0, czyli gęstość w układzie spoczynkowym ładunku
gdzie Vq jest objętością spoczynkową wybranego obszaru. Ponieważ dla jednego wy miaru (tego wzdłuż kierunku ruchu) mamy skrócenie Lorentza, więc V
= yi
u2/c 2 v 0
(12.120)
J=
( 12. 121)
i stąd P = Po
y i - u 2/c 2’
Po
v/l - « 2/c 2‘
Porównując to z (12.40) i (12.42), rozpoznajemy tu składowe prędkości własnej po mnożone przez niezmiennik p0. Widać wyraźnie, że gęstość ładunku i gęstość prądu zachowują się jak czterowektor ^ = Pon*, (12.122) którego składowymi są = (cp ,JX,J y ,J Z).
(12.123)
Ten czterowektor będziemy nazywali czterowektorem gęstości prądu. Równanie ciągłości (5.29)
wyrażające lokalne zachowanie ładunku, przybierze przyjemną zwartą postać, gdy zapi sze się je przy użyciu J u, gdyż V -J =
3 Jx 3 Jy dx + 3>’ 3y —
-
h—
3 J. 3z -
op _ i 3./° _ a./° dt c 3/ 3.r° -Stąd, przenosząc 3/)/3f na lewą stronę, mamy
=
y
dJ[ 3 v' ’ (12.124)
571
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
dJ* ~3x*
(12.125)
z założonym sumowaniem po /z. Nawiasem mówiąc, 3J*1/3x*1 jest czlerudywtrgtticją wielkości J 11 i równanie ciągłości stwierdza, że czterowcktor gęstości prądu ma czterodywergencję równą zeru. Równania Maxwella można natomiast zapisać w postaci
05
’
m
(12.126)
II
ar;'*1’ a
z założonym sumowaniem po v. Każde z tych równań stanowi cztery równania — po jednym dla każdej wartości /z. Jeśli fi = 0, to pierwsze równanie oznacza 3F0v
3F00 3F0] + “T T + 3 V° fix' i ( d E x dEy = - “7 ^ + — c V ox ay = = Hocp,
dF02 SF03 ~ + 3x2 3x3 a e 7\ i ^ + — = - ( v *E) oz ) c “
czyli 1 V • E = — p. €() Jest to oczywiście prawo Gaussa. Jeśli /z = 1, to mamy 3 F ]v _ a F 10
aa”
aa:0
3Fn
3 F 12
3 F 13
aa'
aa2
aa3
= - i ^ + ^ 3 c 2 a/ ay
= a ! E
az V c2 3
+ V X B)
t
/A
fi§J == fio^x* Łącząc to z odpowiednimi wynikami dla /z = 2 i /z = 3, otrzymujemy 3E V x B = /zoJ 4- Mo^o— , o/ czyli prawo Ampere’a z poprawką Maxwella. Jednocześnie drugie równanie w układzie (12.126) dla /z = 0 przybiera postać
trzeciego z równań Maxwella 3G0v 3xv
3 0 oo
a.v°
+
3G 01
a*1
3 0 02
+
aa2
= 8 S .+ ! Ł + ^
aa a dla fi = I otrzymujemy
ay
az
+
aG03
aA3
= v B= 0
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
572
9G \v dxv
3G 10 3G 11 3 G 12 3G 13 + 4- ” T- + 3a 2 3a 3 3jc° 3a 1 13 Bx \d E 7 1 3E y 1 /3 B „ \ = ------- ^ --------- - 4 - ----- - = — — + V x E =0. c dt c 9y c dz c \ dt )x
Łącząc to z odpowiednimi wynikami dla /z = 2 i /z = 3, mamy więc 9B V x E = —- , 3/ czyli prawo Faradaya. W relatywistycznej notacji cztery dość złożone równania redukują się do dwóch cudownie prostych. Przy użyciu F ^v i czteroprędkości rj11 siła Minkowskiego działająca na ładunek q jest dana wzorem K * = ąr]vF ^v.
(12.127)
Jeśli bowiem /z — 1, to mamy
K' =qt]vFlv — q(—q°Fw + rj' Fu + q2F'2 + q3Fv')
=q
-c
/
+ ____
:(Z?,) + (~Dy) v T —u2/c2 \ c ) v/l - u2/c 2 \J 1—u2/c2 <■./ [E + (u x B)],
J I — u 2/ r 2
i podobny wzór otrzymujemy dla /z = 2 i /z = 3. Stąd <1 [E + (u x B)] K= y 1 —w2/c
(12.128)
i dlatego, odwołując się do (12.70), mamy F = r/[E + (u x B)l, czyli wzór na siłę Lorentza. Równanie (12.127) przedstawia więc wzór na siłę Lorentza w notacji relatywistycznej. Interpretację zerowej składowej przesuwamy do zad. 12.54.
Zadanie 12.52. Otrzymać równanie ciągłości (12.125) bezpośrednio z równań Maxwella (12.126). Zadanie 12.53. Pokazać, że drugie równanie w (12.126) można wyrazić przy użyciu tensora pola elektromagnetycznego F^v w postaci d/y, ^ 3Fvk ^ 3Fkfi (12.129) dxK dx* dxv Zadanie 12.54. Wypisać i zinterpretować składową z /z = 0 we wzorze na siłę Minkowskiego (12.127).
573
12.3. ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
12.3.5. Potencjały relatywistyczne Wiemy z rozdziału 10, że natężenie pola elektrycznego i indukcję magnetyczną można wyrazić przez potencjał skalarny V i potencjał wektorowy A aą E = —W -------, B = V x A. (12.130) 3/ Jak można się domyśleć, V i A tworzą razem czterowektor A‘Ł = ( V /c .A XnAy, A z).
(12.131)
Przy użyciu tego czteropotencjału tensor pola elektromagnetycznego można zapisać w postaci czterorotacji czteropotencjału
F,u> =
3A V
3 A*1 3xv
(12.132)
(Trzeba zauważyć, że różniczkowanie jest ze względu na wektory kowariantne i x Vy i pamiętać, że zmienia to znak zerowej składowej x0 = —a*°. Zob. zad. 12.55.) Aby sprawdzić, że równanie (12.132) jest równoważne z równaniem (12.130), ob liczmy w jawny sposób kilka członów. Dla /z = 0, v = 1 mamy 0,
_
_ 3a'u
3x \
dAx _ 1 d v 3(ct) c 3x
Równanie to i jego odpowiedniki z v = 2 i v = 3 stanowią pierwsze równanie w (12.130). Dla f i = 1, v = 2 otrzymujemy 12
3 A2 3x\
3A 1 3x2
3A y 3jc
3Ax = (V x A), = BZi 3y
co razem z odpowiednimi wynikami dla F 13 i F 23 stanowi drugie równanie w (12.130). Sformułowanie potencjalne spełnia automatycznie jednorodne równanie Maxwella (3Gflv/ 3 x v = 0). Równanie niejednorodne (3Fflv/ 3 x v = przybiera zaś postać
3 / 3 A “\ 3x^ \3 jc|ł /
3 / 3AM 3xv \ 3xv
J = / W M.
(12.133)
Równanie w tej postaci jest nieprzydatne. Jednak, jak pamiętamy, potencjały nie są jednoznacznie określone przez E i B. Rzeczywiście, z równania (12.132) widać, że do Ai* można dodać gradient dowolnej funkcji skalarnej X 3X
12. ELEKTRODYNAMIKA I FtORIA WZGLĘDNOŚCI
574
bez zmiany tensora Fiiv. Jest to dokładnie niezmienniczość względem cechowania z rozdziału 11 i możemy ją wykorzystać do uproszczenia równania (12.133). W szcze gólności, warunek cechowania Lorentza (10.12) __ . I ^ V • A = - —— c2
w relatywistycznej notacji przybiera postać 3A V
dt
= 0.
(12.135)
W cechowaniu Lorentza równanie (12.133) redukuje się dlatego do ; 12.136)
UA* = - / W " , gdzie □ jest dalamhercjancm
3 3 i a2 (12.137) dxv 3xv c’2 dt2 Równanie (12.136) łączy nasze poprzednie wyniki w pojedyncze równanie czterowektorowe, które stanowi najbardziej eleganckie (i najprostsze) sformułowanie równań Maxwella19. □=
Zadanie 12.55. Operator czterogradientu 3 /‘óx,\ jak widzieliśmy, zachowuje się jak kowariantny czterowcktor i jest często zapisywany krócej w postaci dfl. Na przykład równanie ciągłości 3ltJ fŁ = 0 ma postać niezmienniczego iloczynu skalarnego dwóch czterowektorów. Odpowiednim kontrawariantnym czterogradientem jest d,Ł = 3xu. Udowodnić, że d**(p jest (kontrawariantnym) czterowektorem, jeśli (p jest polem czteroskalarnym (wyprowadzić prawo przekształceń tej wielkości i skorzystać z reguły łańcuchowej przy różniczkowaniu). Zadanie 12.56. Pokazać, że przedstawienie potencjalne (12.132) spełnia automatycznie równa nie 3GtŁV/Bxv — 0. [Sugestia: Wykorzystać zad. 12.53.]
Zadania dodatkowe do rozdziału 12 Zadanie 12.57. Układ inercjalny S porusza się ze stałą prędkością v —ftc(cos
—y fi cos (p ( y cus2 (p + sin?
— y p sin (p ( y — 1) sin (p cos (p ( y sin
1 -i /
l9Nawiasem mówiąc, cechowanie. Coulomba jest złym cechowaniem /. punktu widzenia teorii względ ności, gdyż definiujący je warunek V • A = 0 jest naruszany przez, przekształcenie Lorentza. Aby przy wrócić ten warunek, trzeba za każdym razem, gdy przechodzimy do nowego układu inercjalnego, oprócz samego przekształcenia Lorentza, dokonać dodatkowo odpowiedniego przekształcenia cechowania. W tym sensie Afl w cechowaniu Coulomba nic jest prawdziwym czterowektorem.
575
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 12
Zadanie 12.58. Obliczyć progowy (minimalny) pęd pionu, aby mógł zajść proces 71 + p —► K + S. Proton p jest początkowo w spoczynku. Użyć następujących wartości energii spoczyn kowych (w MeV): m^c2 = 150, mKc2 = 500, mpc2 = 900, niLc2 = 1200. [Wskazówka: Aby sformułować warunek progowy, przeanalizować zderzenie w układzie środka masy (zad. 12.30). Odpowiedź: 1133 MeV/c.|
Zadanie 12.59. Cząstka o masie m zderza się sprężyście z identyczną cząstką w spoczynku. Nierelatywistycznie trajektorie cząstek po rozproszeniu tworzą zawsze kąt 90 . Obliczyć ten kąt r e l a t y w i s t y c z n i e , wyrażając go przez kąt rozpraszania
Zadanie 12.62. Idealny dipol magnetyczny o momencie dipolowym m znajduje się w początku układu inercjalnego <5, który porusza się z prędkością v w kierunku osi x względem układu inercjalnego S. W układzie S potencjał wektorowy wynosi (5.83) -
Mo m x ?
A-4„
f!
•
a potencjał skalarny V jest równy zeru. (a) Znaleźć potencjał skalarny V w układzie S. [Odpowiedź: (l/47re0)(R *(v x m)/c2R2)(1 - v 2/ c 2) / ( \ - ( v 2/ c 2) s in ^ )3/2.] (b) Pokazać, że w granicy nierelatywistycznej potencjał skalarny w S jest potencjałem idealnego dipola e l e k t r y c z n e g o o momencie dipolowym v x ni znajdującym się w O. ! Zadanie 12.63. Dipol magnetyczny o stałym momencie dipolowym m — mi. znajduje się nad nieskończoną płaszczyzną z jednorodnym prądem powierzchniowym o gęstości K = K x (rys. 12.44). 20F.H.J. Cornish, Am. J. Fhys. 54, 166 (1986).
576
12. ELEKTRODYNAMIKA I TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Rys. 12.44
(a) Znaleźć moment siły działający na dipol, wykorzystując równanie (6.1). (b) Załóżmy, że prąd powierzchniowy to jednorodnie rozłożony ładunek powierzchniowy 0 gęstości <7, poruszający się z prędkością v = ux, czyli K =
ZADANIA DODATKOWE DO ROZDZIAŁU 12
577
pola magnetycznego o indukcji B = B0x. Wyznaczyć ruch cząstki (przejść do układu, w któ rym E = 0, znaleźć ruch w tym układzie i potem przekształcić go z powrotem do układu wyjściowego). Założyć, że E0 < cB{). Wynik porównać z przykł. 5.2. Zadanie 12.68
(a) Zbudować tensor D ,IV (analogiczny do F,,v) z pól D i H. Użyć go do zapisania równań Maxwella w materii z czterowektorem gęstości prądu ładunków swobodnych /£. [Odpowiedź. D01 = cDx, Dn = Hz itd.; 3D"V/Bx" = J£]. (b) Zbudować tensor dualny H ,,v (analogiczny do G,tv). [Odpowiedź: H 0' = Hx, H '2 = —cD. itd.) (c) Minkowski zaproponował relatywistyczne równania materiałowe dla ośrodków linio wych w postaci Dtlvrjv = c2€FlfVr)v i gdzie e jest przenikalnością elektryczną własną22, p — przenikalnością magnetyczną własną, a rf czteroprędkością ośrodka. Pokazać, żc wzory Minkowskicgo odtwarzają wzory (4.32) i (6.31), gdy ośrodek jest w spoczynku. (d) Wypisać wzory łączące D i H z E i B dla ośrodka poruszającego się ze (zwykłą) prędkością u. Zadanie 12.69. Użyć wzoru Larmora (11.70) i szczególnej teorii względności do wyprowadze nia wzoru Lienarda (11.73). Zadanie 12.70. Naturalnym relatywistycznym uogólnieniem wzoru Abrahama-Lorentza ( 11.80) wydaje się wzór Kn
tW
n,d 6nc dr Jest to z pewnością czterowektor, który redukuje się do wzoru Abrahama-Lorentza w granicy nierelatywistycznej v <$: c. (a) Pokazać, że nic jest to jednak możliwa siła Minkowskicgo. | Wskazówka: Zob. zad. 12.38d.] (b) Znaleźć dodatkowy człon, którego dodanie do prawej strony usuwa obiekcje z (a) bez wpływu na czterowektorowy charakter wzoru i jego granicę nierelatywistyczną23. Zadanie 12.71. Uogólnić równania elektrodynamiki relatywistycznej (12.126) i (12.127) przez uwzględnienie ładunku magnetycznego fzob. paragraf 7.3.4]. 22Jak zawsze, „własna1* oznacza „w układzie spoczynkowym ośrodka”. 23Zob. interesujący komentarz o relatywistycznej reakcji promieniowania w artykule: F. Rohrlich, Am. J. Phys. 65, 1051 (1997).
Dodatek A
Analiza wektorowa we współrzędnych krzywoliniowych
A.1. Wstęp Dodatek ten zawiera szkic dowodów trzech podstawowych twierdzeń analizy wektorowej. Celem jest przedstawienie istoty dowodów bez śledzenia wszystkich cpsilonów i delt. Bar dziej eleganckie, nowoczesne i jednolite, choć niekoniecznie wiele dłuższe ujęcie można znaleźć w książce M. Spivaka, Calculus on Manifolds (Benjamin, New York 1965). Dla ogólności będziemy używać dowolnych (ortogonalnych) współrzędnych krzywo liniowych (w, v, w) i wyprowadzimy wzory na gradient, dywergencję, rotację i laplasjan w dowolnym takim układzie. Można potem wybrać współrzędne kartezjańskie, kuliste, walcowe lub dowolny inny układ, jakiego chcielibyśmy używać. Jeśli ogólność okaże się zbyt męcząca przy pierwszym czytaniu, to dalej należy czytać po prostu (x , y , z ), ilekroć widzimy (w, v , w ), i dokonywać towarzyszących temu uproszczeń.
A.2. Notacja Punkt w przestrzeni identyfikujemy, podając jego trzy współrzędne u,v i w (w układzie kartezjańskim (jc, >\ z), w układzie kulistym (r, 0, 0 ), w układzie walcowym (,s, , z ) ) . Będziemy zakładać, że układ jest ortogonalny, czyli że trzy wektory jednostkowe (wersory) u, v, i w, skierowane w kierunku wzrostu odpowiednich współrzędnych, są wza jemnie prostopadłe. Zauważmy, że te wektory jednostkowe są funkcjami położenia, po nieważ ich kierunki (poza przypadkiem układu kartezjańskiego) zmieniają się przy prze chodzeniu od punktu do punktu. Dowolny wektor można przedstawić jako kombinację liniową wektorów jednostkowych u, v i w. W szczególności wektor infinitezymalnego przemieszczenia od («, v, w) do (u 4- dw, v + di\ w 4 diu) można zapisać w postaci dl —f du u + g dv v 4 h dw w,
(A.l)
gdzie / , g i h są funkcjami położenia charakterystycznymi dla rozważanego układu współrzędnych (dla współrzędnych kartezjariskich / = g = fi = 1 ; dla współrzędnych kulistych f — 1 , g = r, h = r sin# i dla współrzędnych walcowych / = h = 1 , g = s). Jak wkrótce zobaczymy, te trzy funkcje mówią nam wszystko, co musimy wiedzieć o układzie współrzędnych.
579
A.3. GRADIENT
A.3. Gradient Gdy przesuniemy się z punktu (w, i>, w) do punktu (u +dw, pole skalarne t(u, u, w;) zmieni się o wielkość
4
-dt>, w 4-din), wówczas
d/ = ~ dw + — du + 7— dtu ou 3i> aiv
(A.2)
i jest to podstawowe twierdzenie o pochodnych cząstkowych1. Zmianę tę można zapisać w postaci iloczynu skalarnego ó t = V/ • dl = (V/)M/ d u 4 - (V t ) v g dw 4- (V/)M ?h dw, (A.3) jeśli zdefiniujemy 1 3/ 1 31 (Vr)M , (v 0« = 7 7 ' (Vf)v g 9v* // 3u; / A" Gradient pola t dany jest więc przez (A.4) Jeśli więc teraz wybierzemy z tab. A.l odpowiednie wyrażenia na /, g i h, to możemy łatwo wypisać wzory na Vr we współrzędnych kartezjańskich, kulistych i walcowych, jakie są podane na wewnętrznej stronie przedniej okładki książki. Tabela A.l Układ współrzędnych kartezjańskich kulistych walcowych
u x r S
v y 0 (j)
w z (j) z
f 1 1 1
8 1 r s
h 1 rs in 0 1
h
a Rys. A.l
Z równania (A.3) wynika, że c a łk o w ita zmiana pola t przy przejściu z punktu a do punktu b (rys. A.l) wynosi 'M. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, wyd. 2, John Wiley, New York 1983, rozdz. 4, §3.
580
A . A N A L IZ A
WEKrOKUWA W E WSPÓŁRZĘDNYCH KRZYWOLINIOWYCH Ł>
t (b) - /(a) =
Hf
(Vr) dl,
(A.5)
co stanowi podstawowe twierdzenie dla gradientów (w tym wypadku nie ma w rze czywistości dużo do dowodzenia). Zauważmy, że całka jest niezależna od wyboru drogi między a i b.
A.4. Dywergencja Załóżmy, że mamy pole wektorowe A(w, u, w) = Au u + Av v + Aww i chcemy obliczyć całkę A •da po powierzchni ograniczającej infinitezymalny obszar, jaki powstaje przy starcie z punktu (w, v, w) i zwiększeniu kolejno każdej ze współrzęd nych o infinitezymalną wielkość (rys. A.2). Ponieważ współrzędne są ortogonalne, więc obszar ten (przynajmniej w granicy infinitezymalnej) jest prostopadłościanem, którego boki mają długości dlu = / dw, d/,; = g du i dlw = h dw, a jego objętość wynosi zatem dr = dlu d/,: dlw = (fgh) du du du«. (A.6 ) (Boki nie są po prostu równe dw, du, dw, bo przecież v może być kątem, a wtedy du nie ma nawet wymiaru długości. Poprawne wyrażenia wynikają z (A.l). Dla przedniej ściany da = —(gh)dvdwu i stąd A •da = —(ghAu)dvdw. Dla tylnej ściany otrzymujemy to samo (poza znakiem), alt tym razem wielkość ghAu należy obliczyć w (w4 -dw), a nie w u. Ponieważ dla dowolnej (różniczkowalncj) funkcji F(u) w granicy infinitezymalnej dF F(u + dw) —F(u) = — dw, dw więc wkład od przedniej i tylnej ściany wynosi łącznic 1 d dwdu dw = (ghA„) dr. fgh du Z tego samego powodu prawa i lewa ściana dają łącznie
1 a (fhAv) dr,
fgh dv a górna i dolna odpowiednio
J __ 9_ (fgAw) dr. fgh a w
A.4. DYWERGENCJA
581
Rys. A .2
Po zsumowaniu tych wkładów otrzymujemy £ A • da = r , TrighAu) 4- —~(fhAv) + — (fgAw)1 dr. fgh
Ldt/
dv
ów
J
(A .7)
C zynnik przed d r definiuje d y w e rg e n c ję pola A we w spółrzędnych krzyw oliniow ych,
(A .8)
równanie (A.7) przybiera postać ^ A • da = (V • A) dr.
(A .9)
582
A. ANALIZA WEKTOROWA WE WSPÓŁRZĘDNYCH KRZYWOLINIOWYCH
Korzystając z tabeli A.l, możemy teraz wypisać wzory na dywergencję we współrzęd nych kartezjańskich, kulistych i walcowych, które są podane na wewnętrznej stronie przedniej okładki książki. W obecnej postaci wzór (A.9) nie dowodzi twierdzenia o dywergencji, gdyż odnosi się tylko do injinitezymaInych obszarów i to o dość szczególnym kształcie. Oczywiście, skończony obszar można podzielić na infinitezymalne części i do każdej z nich można zastosować wzór (A.9). Kłopot polega na tym, że po dodaniu wkładów od wszystkich części nie otrzymujemy z lewej strony całki tylko po zewnętrznej powierzchni, ale także po tych małych powierzchniach wewnętrznych. Jednak na szczęście te wkłady skracają się parami, gdyż każda powierzchnia wewnętrzna występuje jako graniczna powierzchnia dwóch sąsiednich obszarów infinitezymalnych, a ponieważ wektor da jest skierowany zawsze na zewnątrz, więc A • da ma przeciwny znak dla wkładów od każdej pary
(rys. A.3). Tylko powierzchnie nie mające pary, czyli tworzące zewnętrzną powierzchnię, przeżywają przy dodawaniu. Dla obszarów skończonych mamy więc / A d a = / (V • A) dr
(A.10)
i musimy całkować tylko po powierzchni zewnętrznej2. To kończy dowód twierdzenia Gaussa (twierdzenia dla dywergencji).
2Co jednak dzieje się z obszarami, do których nie można doskonale dopasować prostopadłościa nów, niezależnie od ich małości, takich jak płaszczyzny biegnące pod kątem do linii współrzędnych? Można łatwo samemu poradzić sobie z tym problemem, a w wypadku trudności warto zajrzeć do książki: H. M. Schey, Div, Grad, Curl and All That, W.Wr. Norton, New York 1973, zaczynając od zad. 11-15.
583
A.5. ROTACJA
A.5. Rotacja Aby otrzymać rotację we współrzędnych krzywoliniowych, obliczymy całkę krzywoli niową
stokątem (przynajmniej w granicy infinitezymalnej) o długości dlu = / dw, szerokości d/L,= g dv i zorientowanym elemencie powierzchni da = (fg)dudvvr. (A. 11) Jeśli przyjmiemy, że układ współrzędnych jest prawoskrętny, to wektor jednostkowy w jest skierowany do góry prostopadle do powierzchni na rys. A.4. Wybierając ten kierunek da, jesteśmy zobowiązani przez regułę śruby prawoskrętnej do obliczania całki krzywoliniowej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jak na rysunku. Wzdłuż dolnego boku dl = /dw u i stąd A dl = (/AJdw. Wzdłuż górnego boku znak ulega zmianie na przeciwny i f A u należy obliczyć w (u + du), a nie w u. Po zsumowaniu wkładów od tych dwóch boków mamy [ - ( / A tf) |tf+dw +
(/A w)|vj dw =
£ ~ ( / A M) j dw dv.
Podobnie wkład od prawego i lewego boku wynosi " 3
1
— 0 >'A») dwóv
A. ANALIZA WEKTOROWA WE WSPÓŁRZĘDNYCH KRZYWOLINIOWYCH
584
i stąd całkowita suma wynosi
(j) A • dl = ^ ( g A „ ) 1
— ( / 4 „)j dudu
r 3
3
i
(A.12)
~ ^ ( / A») Iw' daf s- 1 Czynnik przy da z prawej strony definiuje składową rotacji w kierunku w. Konstruując w ten sam sposób składowe w kierunku u i v, mamy ■o
^
V x A = — — (hAw) - — (gAv) 3w gh 3u 3 3 -0?A „) - — ( f A „ ) + — 3v f g |_3«
1 T3 3 — {/ Au) - — (hAw) 3u f h |_3u> w
(A.13) i uogólnienie równania (A.l 1) przybiera postać ^ A • dl = (V x A) • da.
(A. 14)
Korzystając z tabeli A.l, możemy teraz wypisać wzory na rotację we współrzędnych kartezjaiiskich, kulistych i walcowych.
Rys. A.5
Samo jednak równanie (A. 14) nie stanowi jeszcze dowodu twierdzenia Stokesa, gdyż w tej postaci odnosi się tylko do bardzo szczególnych powierzchni infinitezymalnych. Możemy znów podzielić dowolną skończoną powierzchnię na infinitezymalne części i zastosować (A. 14) do każdej z nich (rys. A.5). Jeśli zsumujemy te wkłady, to otrzy mamy (z lewej strony) nie tylko całkę krzywoliniową po zewnętrznym brzegu, ale także mnóstwo całek krzywoliniowych po wewnętrznych pętlach. Na szczęście, jak poprzed nio, wewnętrzne wkłady skracają się parami, bo każda linia wewnętrzna stanowi brzeg dwóch sąsiednich pętli, zorientowanych w przeciwnych kierunkach. Stąd wzór (A. 14) można rozszerzyć na skończone powierzchnie, / A d , = / (V X A) da.
(A. 15)
A.6. LAPLASJAN
585
i całkę krzywoliniową należy obliczać tylko po zewnętrznym brzegu. 3 To kończy dowód twierdzenia Stokesa (twierdzenia dla rotacji).
A.6. Laplasjan Ponieważ laplasjan pola skalarnego jest z definicji dywergencją jego gradientu, więc z (A.4) i (A.8 ) możemy odczytać ogólny wzór 1
/*A 9 / \
f g h \_du V f
/
A ( f h 9A 3u V 8
)
_9_ ( f g t o Y 9 w V h 3u; )
Ponownie, korzystając z tabeli A.l, możemy wypisać laplasjan we współrzędnych kartezjańskich. kulistych i walcowych oraz potwierdzić wzory na wewnętrznej stronie przed niej okładki. 3Co zrobić jednak z powierzchniami, których nie można dokładnie zapełnić małymi prostokątami, niezależnie od ich małości (np. trójkątów) lub powierzchniami, które nie odpowiadają ustalonej wartości jednej współrzędnej? Jeśli kłopoty tego rodzaju sprawią nam trudność, to możemy zajrzeć do książki: H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That, W. W. Norton, New York 1973, zad. III-2.
Dodatek B
Twierdzenie Helmholtza
Załóżmy, że dywergencja pola wektorowego F(r) jest równa określonemu polu skalar nemu />(r) VF=D, (B.l) a rotacja pola F(r) jest równa określonemu polu wektorowemu C(r) V x F = C.
(B.2)
Warunkiem poprawności równania (B.2) jest hezźróriłowość pola C V • C = 0,
(B.3)
gdyż dywergencja rotacji dowolnego pola wektorowego jest zawsze równa zeru. Pytanie: czy na podstawie tych informacji możemy wyznaczyć pole wektorowe F? Wykażemy przez jawną konstrukcję, że odpowiedź jest pozytywna, jeśli P(r) i C(r) maleją dosta tecznie szybko do zera w nieskończoności. Udowodnimy, że F = -V f/ + V x W, (R 4) gdzie U(r) = — / dit J ' T * ' -
(B.5)
W(r) = — (B.6 ) 4rc j i całki są po całej przestrzeni oraz, jak zawsze, 11 = |r —r'|. Jeśli bowiem pole F jest dane przez (B.4), to jego dywergencja (przy wykorzystaniu (1.102)) jest równa V ■F = - A U ^ - A - J
oa
j dr'
J
D( r') S3(r - r') dr' = D(r).
(Przypominamy, że dywergencja rotacji dowolnego pola wektorowego jest równa zeru i dlatego człon z W wypada. Zauważmy, że różniczkowanie jest względem wektora r, który występuje tylko w Tl). Dywergencja pola F jest więc poprawna i przejdźmy do obliczenia jego rotacji V x F = V x ( V x W) = -AW + V(V • W).
(B.7)
58?
B. TWIERDZENIE HELMHOLTZA
(Ponieważ rotacja gradientu dowolnego pola skalarnego jest równa zeru, więc człon z U wypada). Stąd 1
—AW = -----4 tt
/ c i ( ś ) dr'= / C(r')<$3(r -
r ) dr' = C(r),
czyli wspaniale, bo wystarczy teraz wykazać, że drugi człon z prawej strony (B.7) znika. Wykorzystując całkowanie przez części (1.59) i zauważając, że pochodne wielkości 7Z względem współrzędnych primowanych różnią się znakiem od pochodnych względem współrzędnych nieprimowanych, otrzymujemy
4 „V .W -/c.v(± )d,'--/c.V '(i)
= / 4 V' Cd' - M C da'
dr'
IB-8)
Ale dywergencja pola C jest równa zeru z założenia (B.3), a całka powierzchniowa (obliczana w nieskończoności) będzie znikać, jeśli pole C dąży do zera dostatecznie szybko. Oczywiście, dowód zakładał milcząco, że całki w (B.5) i (B.6 ) są zbieżne, gdyż w przeciwnym wypadku funkcje U i W wcale by nie istniały. W granicy dużych r \ gdy 71 « r', całki mają postać
J — =J OO
00
f'2 df'
r'X(r')dr’.
(B.9)
(Tu X oznacza D albo C, zależnie od potrzeby). Oczywiście funkcja X(rf) musi dążyć do zera przy dużych r\ ale to nie wystarcza: jeśli X ~ l/r', to funkcja podcałkowa jest stała i całka jest rozbieżna, a nawet jeśli X ~ l/r'2, to całka jest funkcją logarytmiczną, która też jest rozbieżna przy r' -> oo. Wyraźnie więc dywergencja i rotacja pola F muszą dążyć do zera szybciej niż l /r 2, aby dowód byt poprawny. (Przypadkiem warunek ten zapewnia znikanie całki powierzchniowej w (B.8 )). Jeśli przyjmiemy, że te warunki na D(r) i C(r) są spełnione, to pozostaje pytanie, czy rozwiązanie z (B.4) jest jedyne. Odpowiedź jest oczywiście negatywna, gdyż mo żemy dodać do F dowolne pole wektorowe, którego dywergencja i rotacja równocześnie znikają, a suma będzie nadal miała dywergencję równą D i rotację równą C. Okazuje się jednak, że nie istnieje pole wektorowe o zerowej wszędzie dywergencji i rotacji, które dążyłoby do zera w nieskończoności (zob. paragraf 3.1.5). Jeśli więc włączymy warunek, aby pole F(r) dążyło do zera przy r oo, to rozwiązanie (B.4) jest jedyne. 1 ‘Zwykle oczekujemy, że natężenia pól elektrycznego i magnetycznego dążą do zera w dużych od ległościach od ładunków i prądów, które je wytwarzają, tak że to żądanie nie jest nierozsądne. Nieraz jednak rozważa się dość sztuczne problemy, w których rozkłady ładunku lub prądu rozciągają się do nie skończoności, np. w' przypadku nieskończenie długich drutów lub nieskończonych płaszczyzn. W takich przypadkach trzeba znaleźć inne argumenty, aby zapewnić istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań Maxwella.
B.
J>88
TWIERDZENIE HELMHOLTZA
Gdy więc wszystkie karty mamy na stole, możemy ściślej sformułować twierdzenie Helmholtza:
Jeśli dywergencja pola wektorowego F(r) jest równa D(r), a jego rotacja równa C(r) oraz D(r) i C(r) dążą do zera szybciej niż \/r2 przy r oc i jeśli F(r) dąży do zera przy r -» oo, to F jest dana jednoznacznie równaniem (B.4). Z twierdzenia Helmholtza wynika interesujący wniosek: Dowolne (różniczkowałne) pole wektorowe F(r), które dąży do zera szybciej niż 1 / r przy r —»■oo, można przedstawić jako sumę gradientu pola skalarnego i rotacji pola wektorowego2: /-I
f V' - F( r ' )
A
(\
fV'xFIr')
A
d,i
,B-10
)
Na przykład w elektrostatyce V • E = p/e0 i V x E = 0, więc E(r) - -V ( —!— / —
dr') = - W ,
(B.l 1)
\4 ^ e 0
gdzie V jest potencjałem skalarnym, podczas gdy w magnetostatyce V-B = 0 i Vx R = /x0 J, więc
B(r,= v x ( s / ^ d' ' ) " v>
(B.12)
gdzie A jest potencjałem wektorowym. 2Okazuje się, że dowolne różniczkowalne pole wektorowe (niezależnie od zachowania w nieskoń czoności) można zapisać w postaci sumy gradientu pewnego pola skalarnego i rotacji pewnego pola wektorowego, ale ten ogólniejszy wynik nie wynika bezpośrednio z twierdzenia Helmholtza i równanie (B.10) nie daje jawnej konstrukcji, gdyż wtedy całki te są w ogólności rozbieżne.
Dodatek C
Jednostki
W używanych przez nas jednostkach układu międzynarodowego (SI) (franc. Sysieme International) prawo Coulomba ma postać 1 q m -'R. (CA) (SI). 4rceo IZ1 Wielkości mechaniczne w SI mierzone są w metrach (m), kilogramach (kg), sekun dach (s), a ładunek elektryczny w kulombach (C) (tab. C. 1). W układzie Gaussa stała 1 /(Anto) jest efektywnie włączona do jednostki ładunku i stąd
F=
F
(układ Gaussa).
n 2
(C.2)
Mechaniczne wielkości są wtedy mierzone w centymetrach (cm), gramach (g), sekun dach (s), a ładunek elektryczny w jednostkach elektrostatycznych ładunku (j.ES.ład.). Warto zwrócić uwagę, że j.ES.ład. jest równa cm • (dyna)1/2. Przekształcenie równań elektrostatyki z jednostek SI do jednostek układu Gaussa nie jest trudne, bo wystarcza podstawienie j 4tt Na przykład energia pola elektrycznego (2.45) U = j f E2At
(SI)
przybiera postać U = ± ( E2dr (układ Gaussa). 8 it j (Wzory dotyczące pól w dielektrykach nie są łatwe do przekształcenia ze względu na różne definicje indukcji elektrycznej, podatności elektrycznej itd. — zob. tab. C.2). Prawo Biota-Savarta ao f dl x 7n (SI), (C.3) 471 J 'fi2 w układzie Gaussa przybiera postać dl x 7L - h
!
n 2
(układ Gaussa),
(C.4)
C. JEDNOSTKI
590
Tabela C .l. Współczynniki przeliczeniowe [Uwaga: Z wyjątkiem wykładników liczba „3” jest zaokrą gleniem liczby a = 2, 99792458 (wartości liczbowej prędkości światła w próżni), „9” oznacza or i „12” jest równa 4orJ Wielkość
SI
Współczynnik
Układ Gaussa
Długość Masa Czas Siła Energia Moc Ładunek elektryczny Natężenie prądu elektrycznego Potencjał elektryczny Natężenie pola elektrycznego Indukcja elektryczna Opór elektryczny Pojemność elektryczna Indukcja magnetyczna Strumień magnetyczny Natężenie pola magnetycznego Indukcyjność
metr (m) kilogram (kg) sekunda (s) niuton (N) dżul (J) wat (W) kulomb (C) amper (A) wolt (V) wolt/tnclr (V/m) kulomb/mctr2 (C/m2) om (£2) farad (F) tesla (T) weber (Wb) amper/metr (A/m) henr (H)
I02 I03 1 I05 107 I07 3 ■I01' 3 • lO1' 1/300 (1/3) • 10 1 12jt I05 (1/9)■ 1 0 " 9- 10" 1()4 10* 4Ti • 10-’ (1/9)■ 1 0 "
centymetr (cm) gram (g) sekunda (s) dyna erg erg/s j.ES.ład. j.ES.ład./s j.ES.nap. j.FS.nap./cm j.ES.ład./cm2 s/cm cni gaus makswel ersted s2/cm
gdzie c jest prędkością światła w próżni i natężenie prądu jest mierzone w j.ES.ład./s. Z układu Gaussa tylko jednostka indukcji magnetycznej (gaus) jest wielkością używaną powszechnie, gdyż ludzie mówią o woltach, ampcrach, henrach itd. (wszystko to jed nostki SI), ale z jakiegoś powodu nadal mierzą indukcję magnetyczną w gausach (układ Gaussa); poprawną jednostką SI jest tesla (104 gausów). Jedną z głównych zalet układu Gaussa jest to, że natężenie pola elektrycznego i indukcja magnetyczna mają ten sam wymiar (w zasadzie można by mierzyć natężenie pola elektrycznego także w gausach, choć nikt nie używa tej jednostki w tym kontekście). Dlatego wzór na siłę Lorentza F = q(E + v x B)
(SI)
(C.5)
(wskazujący, że E/B ma wymiar prędkości) przybiera teraz postać F = ( / |e - |- - x b |
(układ Gaussa).
(C.6 )
W efekcie indukcja magnetyczna jest „przeskalowana” o czynnik c, co silniej ujaw nia podobieństwo struktur elektryczności i magnetyzmu. Na przykład całkowita energia pola elektromagnetycznego wynosi J ( E 2 + B2) dr
(układ Gaussa)
(C.7)
$91
C. JEDNOSTKI
Tahela C.2. Podstawowe równania w SI i układzie Gaussa UkłacI Gaussa
SI Równania Maxwella
W próżni:
V •E = —p
V • E = 4np
OB V x E = -----dt
1 OB V x E = -------c dl
V •B = 0
V •B = 0
V
W materii:
x
OE B = /xoJ 4- Mo^o ~tt~ ot
4 7i 1 OE V x B = — J H----- — C c dl
V I) = Aw
V •D = 4^A w
^ OB V x E = -----dt
1 OB V x K = --------c dt
V B = 0
V B= 0
OD V x H = JU 4- —
4n 1 OD V x H = — J sw H----- — C
dt
C dt
Pola pomocnicze I) i H D = r 0E 4- P Definicje:
H = - B Mo
Ośrodki liniowe:
D = E + 4 ttP M
'P = « 0 X eE ,
I) =
P = X,E,
M = x«r»H,
H = —B M
M = XmH.
F = q{E 4- v x B)
W zór na siłę Lorentza
H = B - 4 ttM D = fE H = —B M
F = c, (E 4- ~c * R)
Energia i moc Energia:
U = '- f ( e , £ ! + - i ! ) d r 2J Mo
Wektor Poyntinga:
= — (E x B) Mo 1 2 q 2a2
Wzór Larmora:
4ti6o 2 c3 L _
S = — (K 471 P =
X
2 q2a 2 3 c3
B)
C JEDNOSTKI
592
po wyeliminowaniu €q i fi o, które naruszają symetrię wzoru w SI c0E2 \ — B2) dr (SI) (C.8 ) Mo Tabela C.2 przedstawia niektóre podstawowe wzory elektrodynamiki w obu ukła dach. Pozostałe równania i jednostki układu Heaviside’a-Lorentza przedstawione są w dodatku książki J. D. Jacksona, Classical Electrodynamics, wyd. 3, John Wiley, New York 1999 (tłum. polskie: Elektrodynamika klasyczna, wyd. 2, PWN, Warszawa 1987), gdzie można znaleźć pełniejsze ich zestawienie1.
/(■
'Interesujące wprowadzenie do jednostek elektrycznych SI zawiera artykuł N.M. Zimmermana, Am. J. Phys. 66, 324 (1998).
Skorowidz
Abrahama-Lorcntza wzór 498, 500, 503. 504, 577 absorpcja fal 425-430 —, współczynnik 435 Alfvena twierdzenie 374 amper 237, 244 Ampćrc. A. M. 15 Amp&re’a dipol 288, 289, 315 — kontur 254, 269 — prawo 253, 254, 261, 354-359, 571 , symetria 258 ------- , w ośrodku materialnym 299. 303 ------- , zastosowania 254-261 anihilacja pary elektron-pozyton 548 BAC-CAB reguła 26 betatron 370 bezmasowa cząstka 544-547 Biota-Savarta prawo 243-249, 372, 565 Bohra atom, czas życia 496 ------- , polaryzowałność 190 — magneton 283 Brcwstera kąt 423, 424 całka krzywoliniowa 43, 44 — objętościowa 46, 47 — powierzchniowa (strumień) 43 46 całkowanie przez części 57, 58 Cauchy’ego wzór 436, 437 cechowanie Couloinba 452, 453, 574 — Lorentza 453. 454, 458, 459, 574 — , przekształcenie 451, 452, 573, 574 cewka toroidalna 258-260, 353 Childa-I angmuira prawo 132 chromodynamika kwantowa 14, 16 ciągłości równanie 17, 242-244, 359. 360, 377, 378, 380, 388, 570-572 ciśnienie elektromagnetyczne 385 — elektrostatyczne 127 — promieniowania 414 Clausiusa-Mossottiego równanie 228 Comptona rozpraszanie 546, 547
cosinusów wzór 21 Coulomba cechowanie 452, 453, 574 — prawo 17, 18, 80, 81, 83, 84, 132 ------- dla ładunków magnetycznych 361 Curie temperatura (punkt) 312 cyklotronowy wzór 233 czas, odwrócenie 457 — opóźniony 455 — przedwczesny 457 —, synchronizacja 516, 518, 519. 528, 529 —, wydłużenie 516-520, 528, 529 — życia 5 18, 520 czasowa stała 322, 348, 426, 498 czasoprzestrzenny diagram (wykres) 535-539 — przedział (interwał) 534, 535 czasoprzestrzeń, struktura 531-539 cząsteczka polarna 190. 191 czerwoność zachodzącego Słońca 480, 481 czterow'cktor 531 -533 — energii-pędu (czteropęd) 542 — gęstości prądu 569-570 — gradientu (czterogradient) 574 — położenia-czasu 531, 532 — potencjału (cztcropotcncjał) 573, 574 — prędkości (cztcroprędkość) 539, 540 przemieszczenia 534 — przyspieszenia (cztcroprzyspieszenie) 554 — siły Minkowskiego (czterosily) 551, 554, 572, 575 dalambercjan 450, 454, 574 delta funkcja Diraca 65-73, 184, 284 — Kroncckera 185, 384 diamagnetyzm 285, 290-292, 305, 368, 370 dielektryk (izolator) 187 — liniowcy 207-225 dioda próżniowa 132 dipol elektryczny 87, 88, 171-181 doskonały i fizyczny 177, 181 ------- , energia w polu elektrycznym 192 ------- , — oddziaływania dwóch dipoli 193
594
------- , indukowany 187-190 -----, moment siły działający na dipol 191, 192 ------- , pole drgającego dipolu 477, 478 ------- , — obracającego się dipola 481 ------- , — statyczne 87, 88, 172, 175, 178-183 -------, promieniowanie 475-481 -------, ruch samopodtrzymujący się 575 -------, siła działająca na dipol 191, 192 -------trwały 190, 191 — magnetyczny 273-277, 284 , doskonały i fizyczny 275, 276 ------- , energia oddziaływania dwóch dipoli 312 ------- , — w polu magnetycznym 312 -------, model Ampere’a 288, 289, 315 -------, — Gilberta 288, 289, 315, 485 ------- , moment siły działający na dipol 285-287. 289 -------, pole statyczne 274-276, 284 -------, — drgającego dipola 484 -------poruszający się 575 -------, promieniowanie 4 8 2 ^ 8 5 , 491 — Thomsona 394, 395 Dirac, P. A. M. 361, 394 Diraca funkcja delta 65-73, 184, 284 Dirichleta twierdzenie 155 domena ferromagnetyczna 309-312 Drudc, P. K. I. 321 dyspersja 430-437 — anomalna 435—437 dyspersji stała 436, 437 dystiybucja (funkcja uogólniona) 67-69 dywergencja 35-37. 580-582 — czterowymiarowa (czterodywergencja) 571 — indukcji elektrycznej D 203, 362, 363 magnetycznej B 249-252, 363 — natężenia pola elektrycznego E 86, 90-92 magnetycznego H 303 —, podstawowe twierdzenie (twierdzenie Gaussa) 51-54, 582 — potencjału A 264 — we współrzędnych kartczjańskich 35 ------------ krzywoliniowych 581 ----------- kulistych 62 ----------- walcowych 64 Earnshawa twierdzenie 139, 140 Ehrcnfesta paradoks 525 Einstein, A. 335, 509-512 Einsteina postulaty 508-514 — prawo składania prędkości 513, 514, 529, 530 — umowa sumacyjna 533 ekranowanie ładunku 211 ekwipotencjalna powierzchnia 102, 121 clcktrct 197, 206 elektrodynamika klasyczna 13-16. 2 1 1
SKOROWIDZ ------- kwantowa 13-16, 211, 503, 544-547 elektromagnetyczne pole dowolnego rozkładu ła dunku 454-461.486-491 ------- drgającego dipola elektrycznego 475-481 -----------------magnetycznego 482^185 ------- ładowanego kondensatora 357, 358 ------- obracającego się dipola elektrycznego 481 --------poruszającego się kondensatora płaskiego 558 563, 565 --------------- solenoidu 563 -------punktowego ładunku w dowolnym ruchu 248, 461-473 --------prędkościowc (uogólnione kulombowskie) 470, 491 -------przyspieszeń iowe (promieniowania) 470,491 -----------------w ruchu jednostajnym 465, 466, 471, 472, 559-561, 564, 565 ------- , tensor pola 567-569, 573 elektron, moment dipolowy magnetyczny 282, 283 —, odkrycie 236 —, spin 282, 394 , stała czasowa dla reakcji promieniowania 499 elektrostatyczne pole ciała spolaryzowanego 194202, 314 ------- ciągłego rozkładu ładunku 82-86, 107, 108 -------dipola elektrycznego 175, 178-181. 183 -------elektretu sztabkowego 197, 206 ------- kondensatora 127 ------- kuli 86, 92, 93, 97, 105, 110, 131, 166, 167, 169-171 ----------- dielektrycznej w polu zewnętrznym 215, 216 ----------- przewodzącej w ośrodku dielektrycznym 219 w polu zewnętrznym 166-168 ----------- spolaryzowanej 195-197, 199, 200 -------kulistej powłoki, 86, 97, 104, 105, 108, 109, 168-170 ------- nakładających się kul 98. 199, 200 ------- nici nieskończonej 85, 97, 105, 108 ----------- skończonej 83-85 ------- pierścienia 85, 109 ------- płaskiego kondensatora 96-97 ------- płaszczyzny nieskończonej 95, 96 -------powierzchniowego rozkładu ładunku 83, 108 ------- punktowego ładunku w pobliżu płaskiej gra nicy dielektryków 216-218 w pobliżu płaszczyzny przewodzącej 147, 148 ------- tarczy (krążka) 85, 109, 110, 171 ------- układu ładunków punktowych 81, 82, 107, 109, 110 ------- walca dielektrycznego w polu zewnętrznym 218 ----------- nieskończonego 94, 95, 105
SKOROWIDZ
----------- skończonego 110 ----------- spolaryzowanego 197, 200 elektrostatyka 80, 243-244, 254, 261-263 elektryczne pole 79-229, 3 16-353 energia ciągłego rozkładu ładunku 116-118 — dielektryka liniowego 219-222 — dipola elektrycznego 192 magnetycznego 312 — fal elektromagnetycznych 412-415 — kondensatora 130, 219 — kuli naładowanej 118 — kulistej powłoki 117 ładunku punktowego w pobliżu płaszczyzny przewodzącej 148, 149 ------- w polu statycznym, 114 — pola elektromagnetycznego 378-380, 412, 413 elektrycznego 116-119 ------- magnetycznego 349-354 — relatywistyczna kinetyczna i spoczynkowa 542 — układu ładunków' punktowych 114-116 — , zasada zachowania 378 382, 419, 542 cncrgii-pędu czterowcktor (czteropęd) 542 energii zachowanie 378-382, 419, 542 eter 356, 510-513 — , porywanie 5 10-512 — , wiatr 510-512 F.ulera wzór 401 fala 396-407 — , amplituda 399 — , — zespolona 401 — , częstość 400 — , — kątowa 400 — , długość 4(X) — , faza 399 —, tunkcja talowa zespolona 401 — kulista 444 —, liczba falowa 400 — monochromatyczna 409 4 12 —, natężenie 414 — , okres 400 — padająca, odbita i przechodząca 402, 403, 417, 420, 429 — płaska 409-412 — podłużna 406 — poprzeczna 406, 407, 409, 427 —, prędkość falowa (fazowa) 398, 408, 131, 442 —, — grupowa 431 — , przesunięcie fazowe 399, 427, 428 — sinusoidalna 399-402 — stojąca 399, 442 — tłumiona 396, 405 —, wektor falowy 411 fale elektromagnetyczne 396-447
595
------- , dyspersja 430-437 -------prowadzone 437-^444 ----------- TF. 439-443 ----------- TEM 439, 443, 444 ----------- TM 439, 443 ------- w dielektrykach liniowych 415-425 ------- w próżni 407-415 ------- w' przewodnikach 425-430 ------- zanikające 446 — na wodzie 437 — w sznurze 396-407 falowe równanie 396-399. 407, 408 ------- dla indukcji magnetycznej B 407. 408 ----------- natężenia pola elektrycznego E 407, 408 ----------- potencjałów V i A 454 -------jednorodne 398, 408 -------jednowymiarowe 398 -------niejednorodne 454 , ogólne rozwiązanie 398, 399 ------- trójwymiarowe 408 falowód 437-444 —, częstość obcięcia 441^443 farad 128, 129 Faraday, M. 15, 333 Faradaya klatka 125 — prawo 333-343, 354. 369. 409^411. 571. 572 fazowa przemiana 312 ferromagnetyzm 285, 308-313 Feynmana paradoks dysku (tarczy) 391-393 foton 536, 545-547 Fouriera przekształcenie (transformacja) 402, 444 szereg 156 — trik 156, 157, 166 Fresnela równania 423-425 funkcja harmoniczna 136 — schodkowa 0, 70 Galileusz 508 Galileusza prawo składania prędkości 513 — szczególne przekształcenie (transformacja) 525, 526, 534 — zasada względności 508 gaus 245, 590 Gaussa powierzchnia (pudełko) 92-95 prawo 88 91, 261, 354, 571 ------- , symetria 92-98 -------w ośrodku materialnym 202-205 ------- , zastosowanie 92-98 — twierdzenie 52-54, 582 — układ jednostek 17, 18, 360, 589-592 gęstość energii pola elektromagnetycznego 379, 380,412.413 ----------- elektrostatycznego 117-120 --------------- w ośrodku liniowym 380 ----------- magnetostatycznego 350-352
596
-------fali elektromagnetycznej 412-415 — linii pula 87 — ładunku elektrycznego liniowa 83 ----------- objętościowa 72, 83 ----------- powierzchniowa 83, 125 — momentu pędu pola elektromagnetycznego 391 — pędu 388 — prądu elektrycznego 240-243 ----------- , czterowektor 569, 570 ----------- objętościowa 241, 242 ----------- powierzchniowa 240 — strumienia 271 -------energii pola elektromagnetycznego 379, 380 -------pędu pola elektromagnetycznego (tensor na pięć Maxwella) 388 Gilberta dipol 288, 289, 315, 485 giromagnctyczny (magnetomechaniczny) stosunek 282 głębokość wnikania 427 gradient 32-35, 579, 580 — czterowy mi arowy (cztcrogradient) 574 dywergencji 41, 42 — we współrzędnych kartezjańskich 32, 33 ----------- krzywoliniowych 579 ----------- kulistych 62 ----------- walcowych 64 —, podstawowe twierdzenie 4 9 -5 1, 579, 580 Greena tożsamość 77, 147 — twierdzenie 51, 77 -------o wzajemności 183, 184 Halla zjawisko 277 hantli model 501-504 Heaviside’a-Lorentza układ jednostek 17, 18, 592 Helmholtza cewka 279 — twierdzenie, 73, 74, 586-588 henr 346 Hertz, H. 15, 356 hiperboliczna geometria 537, 538 hiperboliczny ruch 467, 473, 507, 541, 548, 549, 575 histereza 310-312 horyzont 467 iloczyn skalarny 20, 21, 23, 24, 532, 533 — wektora przez skalar 20, 23 — wektorowy 21, 22, 24 wielokrotny (mieszany, podwójny wektorowy, . . . ) 25, 26 indukcja elektromagnetyczna 333-354 — elektryczna D 202-211,302, 303, 362-364, 577 — magnetyczna B 230-233 ------- , dywergencja 249-252, 363 -------makroskopowa i mikroskopowa 299 -------, nieciągłość 270-272, 304
SKOROWIDZ ------- , rotacja 249-253 ------- uśredniona po wnętrzu kuli 283 ------- wf nadprzewodniku 368 ------- ziemska 245 indukcyjność 343-349 — własna (współczynnik samoindukcji) 345-349 — wzajemna 343-345, 354 indukowane pole elektryczne 333-343 indukowany ładunek 120-125, 147, 148, 152, 153 — moment dipolowy elektryczny 187-190 — prąd elektryczny 336 inercjalny układ odniesienia 508 inwersja 30 izolator (dielektryk) 120, 187 izotropowy ośrodek 212 jednorodny ośrodek 210 jednostka elektrostatyczna ładunku (j. ES. ład.) 589, 590 jednoznaczność rozwiązań 140-146, 227, 282 Jefimienki równania 459-461 Joule’a prawo 321 kabel koncentryczny 98, 373, 443, 444 kąt azymutalny (długość azymutalna) 59, 64 — biegunowy (odległość biegunowa) 58, 59 — krytyczny 445 — odbicia 4 2 1 — padania 4 2 1 — załamania 421 kombinacja liniowa 156, 402 komptonowska długość fali 547 kondensator 127-130, 211, 212 — , energia 130, 2 19 — kulisty 129 —, ładowanie 130, 322, 355-358 — płaski 96,97, 128-130,211,212,260, 261,558565 — , rozładowanie 321. 322 — walcowy 130 Kroneckera delta, 185, 384 kulomb 81, 589, 590 kwadrupol elektryczny 173, 174, 177, 178, 185, 490 magnetyczny 273 — , promieniowanie 490 kwark 17 Langevina równanie 228, 229 Laplace’a równanie 105, 106, 134-142 — w dwóch wymiarach 136-138 — w jednym wymiarze 135, 136 — w trzech wymiarach 138-141 laplasjan 4 1, 42 — potencjału A 265
SKOROWIDZ
— potencjału V 106, 110, 135, 136 — skal ara 41, 42 — wektora 42, 265 — we współrzędnych kartezjańskich 41, 136 ------------ krzywoliniowych 265, 585 kulistych 63 ----------- walcowych 65 Larmora wzór 489, 493 Legendre'a wielomiany 163 165, 175 ------- , funkcja tworząca 174 ------- , wzór Rodrigucsa 163, 169 Lenza reguła 336 Levi-Civity symbol 313 lewitacja 368, 369 Lienarda-Wiccherta potencjały 461-466 Lienarda wzór 493, 494, 577 linia świata 535, 536
— transmisyjna 373, 443, 444 liniowy element w układzie kartezjańskim 27 ------- we współrzędnych krzywoliniowych 578 --------------- kulistych 61 --------------- walcowych 64, 65 Lorentz, H. A. 15, 501, 512 Lorentza cechowanie 453, 454, 458, 459, 574 — siła 230-243, 261, 551, 572, 576 — skrócenie 512, 520-525. 529 — szczególne przekształcenie (transformacja) 525532, 574 Lorentza-Lorenza równanie 228 ładunek elektryczny 16, 17, 79, 80 ------- całkowity (zoh. monopol elektryczny) ------- elementarny 17 ------- indukowany 120-125 ------- liniowy 83 ------- , niezmicnniczość 511. 557 ------- objętościowy 83 ------- powierzchniowy 83, 126-128, 133, 319 ------- próbny 79, 80. 230 ------- przestrzenny 132 ------- , skwantowanie 17, 361, 394 ------- stacjonarny 80, 243 ------- swobodny 187, 202, 203, 214, 425, 426 ------- , zasada zachowania 17, 242, 359-360, 377, 378, 570, 571 ------- związany 194-200, 214, 361 — magnetyczny (zob. monopol magnetyczny) obraz 149 ------- źródło 27, 28, 79, 80, 230 macierz obrotu 29, 30 — szczególnego przekształcenia Lorentza 532 magnes 265, 303, 304, 309-311 magnetomechaniczny (geomagnetyczny) stosunek 282
597
magnetostatyczne pole cewki toroidalnej 258-260 ------- ciała namagnesowanego 293-295, 299, 314 ------- dipola magnetycznego 274-276, 284 ------- dowolnego rozkładu prądów 265 ------- kuli naładowanej obracającej się 269, 283, 284 ------------ namagnesowanej 295 ------------z magnetyka liniowego w zewnętrznym polu 308 ------- magnesu sztabkowego 296, 304 ------- pętli kołowej 247 ------- płaszczyzny nieskończonej 255, 256, 269 ------- przewodnika liniowego nieskończonego 246, 249, 250, 254, 255, 269 ---------------- skończonego 245, 246, 268 ------- sfery naładowanej obracającej się 266, 267 --------solenoidu nieskończonego 249, 256-258, 261, 267, 268, 279, 306 ----------- skończonego 249 ------- walca namagnesowanego 296 ------- we wnęce 302, 303 magnetostatyka 243, 244, 254, 261, 270, 372 magnetyczne pole 230-315, 554-557 magnetyczny monopol (ładunek), 262, 263, 273, 278, 279, 288, 289, 360, 361, 375, 394, 577 magnetyzacja (namagnesowanie, polaryzacja ma gnetyczna) 285-293, 361-363 masa elektromagnetyczna 503 — relatywistyczna 542 —, renormalizacja 503 — spoczynkowa 542 materiałowe równania 208, 305, 306, 363, 577 Maxwell, J. C. 15, 354-356, 408 Maxwclla równania 261, 354-375, 571, 572, 573, 574 ------- . postać tensorowa 571 ------- w ośrodku materialnym 361-363 ------- w próżni 360 -------w układzie Gaussa 591 ------- z monopolami magnetycznymi 360, 577 — tensor napięć 383-387 mechanika klasyczna newtonowska 13 — kwantowa 13 — relatywistyczna 539-554 Meissnera zjawisko 368 Michelsona-Morlcya doświadczenie 511,512 międzynarodowy układ jednostek (SI) 17, 18, 360, 589 592 Minkowski, H, 536, 537 Minkowskiego diagram (wykres) czasoprzestrzen ny 535 — równania materiałowe 577 — siła 551, 554, 572, 575 moc promieniowania dowolnego źródła 489. 490 ------- drgającego dipola elektrycznego 479, 485
598
---------------- magnetycznego 485 -------punktowego ładunku 491—496 — tracona w oporniku 321, 381 — w fali elektromagnetycznej 414 moment dipolowy elektryczny 175-178 ------- magnetyczny 273, 274, 284 ------------ elektronu 282, 283 — kwadrupolowy elektryczny 174, 184, 185 magnetyczny 273 — pędu pola elektromagnetycznego 391-395 , zasada zachowania 391-395 — siły działającej na dipol elektryczny 191 ---------------------magnetyczny 285-287, 289 monopol elektryczny 172-178, 489, 490 — magnetyczny 262, 263, 273, 278, 279, 288, 289, 360, 361, 375, 394, 577 multi połowę rozwinięcie potencjału elektrostatycz nego 171-178 ------------ magnetostatycznego 272-277 -------pól promieniowania 486-491 myślowe doświadczenia 5 15 nahla 34, 35 nadprzewodnik 368 nadsubtclna struktura 283 napięcia, tensor Maxwella 383-387 napięcie 385 — ścinające 385 nasycenie magnetyzacji 310 natężenie pola elektrycznego E 81 ----------- , dywergencja 86 ----------- makroskopowe i mikroskopowe 200-202 ----------- , nieciągłość 111, 112 ----------- uśrednione po wnętrzu kuli 183 ----------- , rotacja 86 ----------- w przewodniku 120-122, 316-318 -------magnetycznego H 299-304, 362-365, 577 — prądu elektrycznego 236 Neumanna wzór 344 Newtona zasady mechaniki, druga 503, 548 ----------- , pierwsza 508 ----------- . trzecia 382, 383. 473. 501. 550 niebieskość nieba 480 niejednorodność pola 222-225 niezmienniczość relatywistyczna 533, 543, 566, 569 -------ładunku 543, 557 -------masy 543 — względem odwrócenia czasu 457 -------przekształceń cechowania 451,452, 573, 574 niezmienniczy iloczyn skalarny czterowektorów 533 — przedział (interwał) 534, 535 obrazów metoda 146-152
SKOROWIDZ ------- , dipol i przewodząca płaszczyzna 192 ------- , ładunek punktowy i plaska granica dielek tryków 218 ------- , -------- i przewodząca kula 150, 151 ------- , -------- i przewodząca płaszczyzna 146-149, 506 ------- , równoległe walce 152 obrót 28-30 obserwator 515, 516 obwód LC 349 — RC 321,322 — RL 353 odbicie całkowite wewnętrzne 445-447 — fal w sznurze 402-405 — , kąt 421 — na powierzchni granic/ej dielektryków 417-425 — od przewodzącej powierzchni 429, 430 — , prawo 421 — , współczynnik 418, 419, 424, 425 oddziaływania podstawowa 14, 15 odniesienia punkt dla dipola elektrycznego 178, 179 -----------------magnetycznego 275 ------------ potencjału 101-105 odwracanie szeregu 502 — transformat Fouriera 444 Oersted, C. 15, 568 Ohma prawo 316-323 oktupol 172-174, 177, 185, 490 om 319 operator 35 opornik 317 opór elektryczny 318,319 ------- wewnętrzny 324 ------- właściwy 316, 317 optyka 15 ortogonalność funkcji 157, 158, 159, 166 osiowa (azymutalna) symetria 163 ośrodek jednorodny 210 — liniowy 207-225, 305-308, 415, 416 — nieliniowy 210 padanie normalne (prostopadłe) 417-419 — ukośne 419^ł25 paradoks bliźniąt 519, 520, 499 — dysku (tarczy) Feynmana 391-393 — Ehrenfcsta 525 — masy elektromagnetycznej 503 — Merzbachera 373 — skrócenia Lorentza 522 — stodoły i drabiny 523, 524 — wydłużenia czasu 518, 519 paramagnetyzm 285-287, 293, 305 pęd mechaniczny relatywistyczny 541-543 — pola elektromagnetycznego, 382-391, 412-415
SKOROWIDZ
— progowy 575 — ukryty, 389, 393, 552, 553 — , zasada zachowania 388-391, 473, 542 pierścień podskakujący 336, 337 pinch, zjawisko 277 Plancka wzór 545 plazma 277, 374
płaszczyzna padania 421 — polaryzacji 419 podatność elektryczna 207, 228 ------- , tensor 212 ------- zespolona 434 — magnetyczna 305, 306, 308 Poissona równanie 105, 106, 134, 265, 304 ------- dla potencjału A 265 ----------------- V 106, 110, 135 pojemność kondensatora 128-130 polaryzacja (fali) 406, 407 — elektryczna 187-193, 361-363 ------- , prąd polaryzacyjny 362 ------- próżni 211 ------- , indukowana 187, 188 — , kąt 407 — kołowa 407 — liniowa 407 — magnetyczna (zob. magnetyzacja) — , wektor 407 polaryzowalność atomowa 188, 190, 200 — , tensor 189. 190 pole bezwirowe 74, 100-102 — bezźródłowe 74, 75, 264, 269, 270 — , linie pola 86-89 — , punkt pola 27, 28, 82 położeń ia-czasu cztcrowektor 531, 532 położenia wektor (wektor wodzący) 27 położenie opóźnione 462-465 pospieszność 534 potencjalna energia 102, 114 ------- układu ładunków 114-116 potencjał skalarny (elektryczny) 100-106, 588 -------danego pola elektrycznego 101, 281 -------magnetyczny 265, 269, 281, 282, 304 — wektorowy (magnetyczny) 75, 263-277, 282, 448-467, 588 ------- danego pola magnetycznego 280, 281 ------- jednorodnego pola magnetycznego 269 potencjały elektromagnetyczne 448-454 ------- , czteropotencjał 573, 574 ------- Lienarda-Wiechcrta 461-467 ------- opóźnione 454-459 ------- przedwczesne 457 Poyntinga twierdzenie 378-382 — wektor 379, 380, 413-416, półprzewodnik 317 praca i energia 549, 550
— — — — —
i potencjał 114 i SEM 327, 350 ładowania kondensatora 130 polaryzacji dielektryka 219-222 przy przesuwaniu dielektryka 222-225 ładunku 114 ----------- pętli 325-328 — relatywistyczna 549 — siły magnetycznej 735. 739, 740 — tworzenia układu ładunków 115, 116 prawej ręki reguła 22 prąd elektryczny 236, 243 — indukowany 336 — liniowy 237, 238 — objętościowy 241, 242 — polaryzacji 361, 362 — powierzchniowy 240 — przesunięcia 356-358, 364, 372 — przez powierzchnię konturu 251. 254, 300, 355 — stały 243, 244 — swobodny 299, 300, 307 — związany 293-298, 306, 307, 361 prądnica 325-332 prądy wirowe 330-331 prędkość 539 —, czterowektor (czteroprędkość) 539-541 — fal w sznurze 398 — fazowa (falowa) 431, 442 — graniczna (końcowa) 332, 369 — grupowa 4 3 1, 442 — nadświetlna 431, 442, 516 — , prawa składania 513. 514, 529, 530 — światła w ośrodku liniowym 415, 416 w próżni (uniwersalna) 408, 511-513 — unoszenia w przewodniku 263, 370, 371 — własna 539, 540 — zwykła 539, 540 promieniowanie elektromagnetyczne 16, 474-507 ------- , ciśnienie 414 ------- dipola elektrycznego 475-481 -----------------obracającego się 481 ------------ magnetycznego 482—485, 505 ------- dowolnego źródła 486-491 ------- kwadrupola elektrycznego 490 ------- ładunku punktowego 491-496 -----------------w ruchu hiperbolicznym 507 ------- , opór promieniowania 481, 485 ------- , pole promieniowania 470, 497 — prądu powierzchniowego 505, 506 , reakcja promieniowania 496-504. 507 , strefa promieniowania 477, 484, 488 ------- , tłumienie promieniste 499 — hamowania 495 — synchrotronowe 496 przedprzyspieszcnic 499, 500, 506
600
przedział (interwał) czasoprzestrzenny 534, 535 czasowy 534, 535, 536-538 — przestrzenny 534, 535, 536-538 — świetlny 534, 535, 536-538 przejścia współczynnik 418, 4 19, 424, 425 przejście fal w sznurze 402-405 przekształcenie (transformacja) cechowania 451, 452 -------czasu i długości 516-529 — dualności 375, 485 — przesunięcia (translacji) 31 — relatywistyczne kątów 525, 530 ------- gęstości ładunku i prądu 570 ------- pędu i energii 542 potencjałów elektromagnetycznych, 573, 574 ------- pól elektromagnetycznych E i B 557-569 -------prędkości 540 -------sił 550, 551 — szczególne Galileusza 526. 534 Lorentza 525-531, 531, 532, 574 — tensorów przy obrotach 30 — wektorów przy obrotach 28-30 przcnikalność elektryczna 207, 208, 577 próżni, 80, 208 ------- względna (stała dielektryczna) 208 ------- zespolona 434 — magnetyczna 244, 245, 305-308, 577 próżni 244, 245, 306 ------- względna 306 przesunięcie, cztcrowektor 534 — infinitezymalne w układzie kartezjańskim 27 -------we współrzędnych krzywoliniowych 578 --------------- kulistych 61 --------------- walcowych 64, 65 — (przemieszczenie), wektor 19, 27, 28
— (translacja) 31 przeszłość 536 przewodnik 120-128, 187, 316, 317 — „dobry” i „słaby” 426 — doskonały (idealny) 120, 316, 368, 369, 374, 426, 437, 438 — , gęstość powierzchniowa ładunku 125, 126, 148, 149, 152, 153,319 przewodność elektryczna właściwa 316, 317 przezroczystość 415 przyczynowość 453, 457, 499, 538 przyspieszenie 468 — własne 554 — zwykłe 553, 554 przyszłość 535, 536 pseudoskalar 31 pseudowektor 31, 232 pulsar 505 punkt pola 27, 28, 82 — stacjonarny 33
SKOROWIDZ — źródła 27, 28, 82 quasi-sloiyczny. 340-342. 461 relaksacji metoda 137 relatywistyczna dynamika 548-554 — elektrodynamika 554-577 — energia 541-543 — kinematyka 543 548 — masa 542 — mechanika 539-554 relatywistyczne potencjały 573, 574 — równania materiałowe 577 relatywistyczny pęd 541-543 lenuiiiializacja ładunku 2 1 1 — masy 503 Rodriguesa wzór 163, 169 rotacja 35, 37, 38. 583-585 — czterowymiarowa (czterorotacja) 573 — indukcji elektrycznej I) 206 magnetycznej B 249-253, 359 — natężenia pola elektrycznego E 86, 98-100, 334, 363 ------------ magnetycznego H 300, 363 — , podstawowe twierdzenie (twierdzenie Stokesa) 54-57, 583-585 — potencjału wektorowego A, 263, 448 — we współrzędnych kartezjańskich 38 ----------- krzywoliniowych 584 ----------- kulistych 63 ------------ walcowych 65 rozbieżność pola 35. 36 rozbieżny ruch 498, 499, 500, 506, 507, 575 równanie liniowe 156, 399 równoczesność 515, 516, 528 równoważności zasada 507 ruch cykloidalny 234, 235, 576, 577 — cyklotronowy 233, 551, 552 — hiperboliczny 467, 473, 507, 541, 548, 549, 575 — po linii śrubowej 233 separacja (rozdzielanie) zmiennych 152-171 — w układzie współrzędnych kartezjańskich 153162 --------------- kulistych 163-171 --------------- walcowych 170, 171 SI, międzynarodowy układ jednostek 17, 18, 360, 589-592 siła clckromagnetyczna między ładunkami punkto wymi 470, 471 — elektromotoryczna (SEM) 316-332. 347 dla poruszającego się przewodnika 325-332, 509-511 ------- przeciwstawna 347, 350 — elektryczna 79-81
5KUKUWIDZ
------- działająca na przewodnik 126-128 na dielektryk 222-225, 227 ------------ na dipol elektryczny 191, 192 ------------ na ładunek powierzchniowy 125, 127 -------------------- punktowy w pobliżu płaszczyzny przewodzącej 148 -------------------- punktowy w pobliżu płaskiej gra nicy dielektryków 216-218 --------------------punktowy w polu 81, 232 ------- między punktowymi ładunkami 79-81, 470, 471 — Lorentza 232, 238, 551 — magnetyczna działająca na dipol magnetyczny 287-289, 313 na ładunek punktowy 232 ----------- na namagnesowany materiał 293 ----------- na prąd 238, 240. 241 ------- między monopolami 361 ----------- pętlami z prądem 280 ----------- płaszczyznami równoległymi 260, 261 -------------- prądami równoległymi, 230-232, 246, 247. 249, 555-557 — Minkowskiego 551, 554, 572, 575 — reakcji promieniowania 496-504 — samooddziaływania 500-504 — w mechanice relatywistycznej 548 — zachowawcza 44, 50, 114 zwykła 548, 551 skalar 19 skalarny iloczyn 20, 21, 23, 24, 532, 533 — potencjał elektryczny 75, 448^467 ------- magnetyczny 265, 269, 281, 282, 304 skwantowanie ładunku 17, 361, 394 Słońca wiek 133 Snelln prawo 421 solenoid 249, 256-258 solcnoidalne pole 75, 76, 269, 270 Stokesa twierdzenie 54-57, 583-585 stożek świetlny 536 strumienia reguła 328-331, 334, 335, 509, 510 strumień 43 — elektryczny 8 8 -9 1 — magnetyczny 327, 331, 332 sumacyjna umowa 533 superpozycji zasada 79, 80, 103, 104, 119 superstruna 15 symetria dla prawa Ampćre'a 258 ------------ Gaussa, 93, 94 — dualna 375, 485 — osiowa (azymutalna) 163 — pól E, B, D i H 313, 314 — równań Maxwella 360,361 synchronizacja czasu 516, 518, 519, 528, 529 środek masy (pędu) 543
601
światło, prędkość uniwersalna 512 —, — w próżni 408, 511, 512 —, — w ośrodku liniowym 415, 416 lensoi 30, 567 — antysymetryczny 567, 568. 569 — drugiego rzędu 30, 567 — dualny 568, 569, 577 — kontrawariantny 569 — kowariantny 569 — napięć Maxwella, 383-387 — podatności elektrycznej 212 — pola elektromagnetycznego 568, 569 — polaryzowalności 189, 190 — symetryczny 567, 569 teoria pola 13-16, 74-76, 557 teraźniejszość 536 tesla 245, 590 Thompsona-Lamparda twierdzenie 186 Thomsona dipol 395 tłumienie promieniste 499 transformator 371 trójkątny diagram dla elektrodynamiki 473 ----------- elektrostatyki 110, III ----------- magnetostatyki 270, 280, 281 tunelowanie 446, 506, 507 układ jednostek 17, 18, 589-592 -------Gaussa 17, 18, 360, 589-592 -------Heaviside’a-Lorentza 17, 18. 592 -------międzynarodowy (SI) 17, 18, 360, 589-592 — współrzędnych lcwoskrętny 24 ortogonalny 578 -------prawoskrętny 24 unifikacja oddziaływań 15, 16 uziemienie 144 warunki brzegowe (graniczne) dla dielektryków 206, 207, 210, 214, 226, 363-366 ------------ dla fal elektromagnetycznych 416-418, 429, 430 ----------- dla lal w' sznurze 402-405 ----------- dla magnetyków 303, 304, 314 -----------w elektrodynamice 74, 75, 364-366, 587, 588 ----------- w elektrostatycc 110-1 13, 140-146 ----------- w magnetostatyce 270-272 wektor 19, 30 — czterowymiarowy (czterowektor) 531-534 —, długość 19, 23, 24 — falowy 411 — , iloczyn przez skalar 20, 23 —, — skalarny 20, 21, 23, 24, 532, 533 — , — wektorowy 21, 22, 24
602
—, iloczyny wielokrotne (mieszany, podwójny wek torowy, . . . ) 25-27 —, kierunek i zwrot 19, 28-30 — kontrawariantny (przcciwzmienniczy) 533 — kowariantny (współzmienniczy) 533 — normalny (prostopadły) 45, 112, 272, 365 — polaryzacji 407 — położenia 27 —. pseudowektor 31, 232 —, różnica 20 — różnicy położeń 11, 27, 28, 34, 81, 82, 253 —, współrzędna 23, 60 wektory jednostkowe (wersory) 11, 21-23, 28, 59, 60, 63-65 — normalne 112 —, suma 20, 23 — układu kartezjańskiego 23 współrzędnych krzywoliniowych 60, 578 ----------- kulistych 59, 60, 63 ----------- walcowych 64, 65 widmo elektromagnetyczne 410 -------, zakres widzialny 410 wirowe prądy 331, 337 wirowość pola 37, 38, 54 własna prędkość 539-541 własne przyspieszenie 554 własny czas 539-541 wnęka rezonansowa 447 — w przewodniku 123, 143 — w dielektryku 205 w magnetyku 302, 303 wolt 104 woltomierz 371 współczynnik absorpcji 435 odbicia 418, 419, 424, 425 — przejścia 418, 419, 424, 425 — załamania 416, 421, 430, 435-437 ------- , stała dyspersji 436, 437 ------- , — załamania 436, 437
SKOROWIDZ współrzędne kartezjańskie 23, 154-163, 578, 579 ------- , element objętości 46 ------- , — powierzchni 46 — krzywoliniowe 58-65, 578-585 , element objętości 580 — kuliste (sferyczne) 58-63, 578, 579 , element objętości 61 ------- , — powierzchni 61 walcowe (cylindryczne) 64, 65, 578, 579 ------- , element objętości 64 — wektora 23, 60 względności szczególna teoria 13, 508-577 — zasada 508-514 względność równoczesności 515, 516, 528 zachowania zasada globalna 17. 377 ------- lokalna (z.ob. ciągłości równanie) zanikająca fala 446 załamania kąt 421 — prawo (Snella prawo) 421 — stała 436, 437 — współczynnik 416, 421, 430, 435-437 załamanie fal 417—125 zdarzenie 525 zderzające się wiązki 547, 548 zderzenie nicrclatywistyczne 514, 546 — niesprężyste 546 — relatywistyczne 546-548 — sprężyste 546 zespolona notacja 401, 402, 409, 414, 415, 433, 434 — amplituda 401, 402 podatność elektryczna 434 — przcnikalność elektryczna 434 — liczba falowa 434, 435 zupełność układu funkcji 158 źródło 36, 52
POCHODNE WEKTOROWE
Współrzędne kartezjańskie:
dl = ćx x + dy y + dz z:
dr = d* dy dz
ar A ar A a r . Vr = — x H----y+ — z 3x 3y 3z 3vt 3vv 0vDywergencja : V •v = — + — + — a* ay 3z Gradient :
Rotacja :
( 3v. 3vv\ A /3vx V xv = ( a F ~ a ? ) x + ('aF
Laplasjan :
A'
3vz\ 3x )M
S
a2/ a2/ a2r - 5* + a 7 + w
Współrzędne kuliste: dl = dr ? + r ĆO0 + r sin 0 d(f)
1 +
Laplasjan :
At =
r
13 r2 3r
1
3 u,V
,
0
1 a
sinfl 3(f>
,3/ \
i
ar.
T8
3l/f (ru*) -
a / . „ ar \
30~
i sin' 0
dl = d s s I s d
W sp ó łrz ę d n e w alcow e:
1
i
3t
4>
32t 3(pz
d r = s d.s d
* ar.
V/ = — s H------
V
Rotacja : Laplasjan :
Vxv =
s ds
s 3d>
3Z
3vs " 1dv,< ■ dvóm V s + a i'v 3v, "1- 1 " a _s 3
TOŻSAMOŚCI WEKTOROWE
Iloczyny podwójne
(1) A ■(B x C) = B • (C x A) = C • (A x B) (2) A x (B x C) = B(A •C) - C(A • B)
Pochodne iloczynów (3) V(/s) = f(Vg) + tf(V/) (4) V(A ■B) = A x (V x B) + B x (V x A) + (A • V)B + (B • V)A (5) V (/A) = /(V ■A) + A • (V/)
(6 ) V • (A x B) = B • (V x A) - A • (V x B) (7) V x (/A) = /(V x A) - A x (V/) (8 ) V x (A x B) = (B ■V)A - (A • V)B + A(V ■B) - B(V •A) Drugie pochodne
(9) V • (V/) = V2/ = Af (10) V • (V x A) = 0 (11) V x (V/) = 0 (12) V x (V x A) = V(V A) - AA
TWIERDZENIA CAŁKOWE b
Twierdzenie dla gradientów:
/ ( V / ) dl = / (b) - /(a) a
Twierdzenie Gaussa (tw. dla dywergencji):
/(V • A) dr = § A • da
'Twierdzenie Stokesa (tw. dla rotacji):
/(V x A) • da = f A • dl
