analiza-wariancji

1
Analiza wariancji
Przykład
Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
2
Literatura:
1. Łomnicki, A.; Wprowadzenie do statystyki dla
przyrodników; Wydawnictwo Naukowe PWN; Warszawa
2003.
2. Gmurman, W. J.; Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna; WNT; Warszawa 1975.
Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
3Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Wprowadzenie do analizy wariancji
1. Wariancja wewnątrz grup i między grupami
2. Rozkład F
3. Sumy kwadratów odchyleń
4. Dwa modele
5. Założenia analizy wariancji
6. Klasyfikacja prosta
7. Przykład
4Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Odchylenie od średniej: XXx ii 
Suma kwadratów odchyleń:   
22
XXx ii
Wariancja:
1
2
2



N
x
s i
Odchylenie standardowe:
1
2



N
x
s i
5Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Czterema termoparami mierzono jednocześnie temperaturę tego
samego miejsca na płaskiej powierzchni. Wyniki pomiarów
zebrane są w poniższej tabeli.
T1 213,6 214,6 220,7 218,2 215,1 217,9 219,3 219,3 217,34
T2 216,3 218,2 217,1 217,8 216,9 216,8 217,9 218,0 217,38
T3 218,3 219,1 220,4 219,3 216,0 216,9 217,3 219,9 218,40
T4 219,3 218,6 217,8 220,9 219,4 219,7 220,1 220,1 219,49
Testuje się hipotezę zerową:
H0: nie ma różnic w obliczonych wartościach średnich z
pomiarów temperatury.
i – ty pomiar w j – tej grupie oznacza się przez Xij .
Piąty pomiar w trzeciej grupie X5,3 = 216,0
Mamy a = 4 grupy, w każdej grupie mamy N = 8 pomiarów.
Łącznie wykonano N = 32 pomiary.
6
98,0






 


a
j
a
j
N
i
ijN
i
ij
N
X
XOSK
j
j
2
2
Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Ogólna (całkowita) suma kwadratów odchyleń:
5,15229592

a
j
N
i
ij
j
X
(wyraz poprawkowy)
5,1522861
2










N
X
a
j
N
i
ij
j
7Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Międzygrupowa suma kwadratów odchyleń:
24,9

















N
X
N
X
MSK
a
j
N
i
ija
j
j
N
i
ij
jj
22
4,1522886
2










a
j j
N
i
ij
N
X
j
5,1522861
2










N
X
a
j
N
i
ij
j
(wyraz poprawkowy)
8Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Ogólna Suma Kwadratów =
= Międzygrupowa Suma Kwadratów +
+ Wewnątrzgrupowa Suma Kwadratów
OSK = MSK + WSK
Wewnątrzgrupowa Suma Kwadratów Odchyleń (błąd):
WSK = OSK – MSK = 73,1
9Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Stopnie swobody (df):
- Ogólnej Sumy Kwadratów Odchyleń:
31 1321Ndf
- Międzygrupowej Sumy Kwadratów Odchyleń:
3 141adf
- Wewnątrzgrupowej Sumy Kwadratów Odchyleń:
          28  181818181
a
i
j
Ndf
Uwaga: 31 = 3 + 28 (!!!)
10Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Do ustalenia czy różnice we wskazaniach termopar są statystycznie
istotne oblicza się statystykę:
F = wariancja międzygrupowa/ wariancja wewnątrzgrupowa
18,361,2/30,8 F
Źródła zmienności
SK
(Suma
Kwadratów)
df (stopnie
swobody)
Oszacowanie
wariancji F
Ogólna (całkowita) 98,0 31
Między termoparami 24,9 3 8,30 3,18
Błąd 73,1 28 2,61
Wartość krytyczna dla poziomu istotności α = 0,05 95,228,3,05,0 F
A z obliczeń widać, że: 95,218,3 28,3,05,0  FF
11Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
12Analiza wariancji. Przykład - R. Lech
Wobec nierówności:
odrzuca się hipotezę zerową:
95,218,3 28,3,05,0  FF
H0: nie ma różnic w obliczonych wartościach średnich z
pomiarów temperatury.
Odrzucenie hipotezy zerowej jest równoznaczne z
zaakceptowaniem prawdopodobieństwa popełnienia błędu I
rodzaju P < 0,05.
Błąd I rodzaju: polega na odrzuceniu prawdziwej hipotezy
zerowej.