Mojemu miastu lat młodzieńczych – Iławie, Rodzinie i Przyjaciołom
Projekt okładki i stron tytułowych Przemysław Spiechowski Zdjęcie na okładce Romas_Photo/Shutterstock Wydawca Dorota Siudowska-Mieszkowska Koordynator ds. redakcji Renata Ziółkowska Redaktor Joanna Perzyńska Koordynator produkcji Mariola Iwona Keppel Przygotowanie publikacji elektronicznej Ewa Modlińska Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN Magdalena Wojtas / 88em.eu Recenzent Prof. dr hab. Sławomir Sojak, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty. Szanujmy cudzą własność i prawo Więcej na www.legalnakultura.pl Polska Izba Książki Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA Warszawa 2015 eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2015 r. (wyd. I) Warszawa 2015 ISBN 978-83-01-18449-0 Wydawnictwo Naukowe PWN SA 02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2 tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288 infolinia 801 33 33 88 e-mail:
[email protected] www.pwn.pl
Spis treści
Wstęp Rozdział 1. Wybrane problemy metodyczne analizy kosztów i wyniku finansowego 1.1. Istota pojęcia kosztów w rachunkowości 1.2. Zarys rachunku kosztów pełnych i rachunku kosztów zmiennych 1.3. Uwagi wstępne dotyczące analizy zmienności kosztów 1.4. Pojęcie analizy wrażliwości i miary oceny wrażliwości 1.4.1. Analiza zmienności kosztów – uwagi wstępne 1.4.2. Związek między elastycznościami różnego rodzaju kosztów 1.4.3. Zjawisko „korzyści skali” 1.4.4. Współczynnik elastyczności kosztów a wskaźnik zmienności kosztów 1.5. Interpretacja wskaźnika elastyczności – propozycja autorska 1.5.1. Interpretacja geometryczna elastyczności przeciętnej 1.5.2. Interpretacja geometryczna elastyczności funkcji w punkcie 1.5.3. Interpretacja ekonomiczna wskaźnika elastyczności kosztów 1.6. Uogólnienie wskaźnika dynamiki oraz wskaźnika tempa zmian 1.6.1. Interpretacja geometryczna uogólnionego wskaźnika tempa zmian – propozycja autorska 1.6.2. Interpretacja ekonomiczna tempa zmiany badanej wielkości ekonomicznej 1.7. Odchylenie względne jako narzędzie wspomagające badania analityczne 1.7.1. Uwagi wstępne 1.7.2. Koncepcja skorygowanego względnego odchylenia kosztów 1.8. Próba ilościowego ujęcia zjawiska histerezy (remanencji) kosztów 1.9. Metody wyodrębniania kosztów stałych i kosztów zmiennych 1.9.1. Metoda księgowa 1.9.2. Metoda inżynieryjna 1.9.3. Metoda graficzna 1.9.4. Metoda odchyleń krańcowych 1.9.5. Metoda regresji liniowej Rozdział 2. Próg rentowności produkcji jednorodnej – wybrane zagadnienia 2.1. Koncepcja CVP
2.2. Charakterystyka analizy progu rentowności 2.3. Płaszczyzna badawcza progu rentowności produkcji jednoasortymentowej 2.4. Modyfikacja klasycznego ujęcia progu rentowności 2.5. Dynamiczna analiza progu rentowności produkcji jednoasortymentowej 2.5.1. Ogólne ujęcie problematyki 2.5.2. Zagadnienie tempa zmiany zysku operacyjnego 2.5.3. Analiza wrażliwości progu rentowności 2.5.4. Przykłady liczbowe analizy wrażliwości progu rentowności produkcji jednoasortymentowej 2.6. Wykorzystanie elastyczności różnicowej w analizie progu rentowności produkcji jednoasortymentowej 2.7. Analiza wrażliwości progu rentowności produkcji jednoasortymentowej w ujęciu procentowym 2.8. Wyznaczanie wielkości granicznych 2.9. Modyfikacja podstawowej formuły progu rentowności produkcji jednoasortymentowej 2.10. Metodyka obliczania progu rentowności ze względu na zysk rezydualny Rozdział 3. Klasyczna analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej 3.1. Przegląd wybranych definicji progu rentowności 3.2. Proste podejścia metodyczne do istoty progu rentowności 3.3. Koncepcja „produktu umownego” w ujęciu literaturowym 3.4. Struktura sprzedaży a próg rentowności 3.5. Egzemplifikacja podstawowego twierdzenia rachunku progu rentowności 3.6. Segmentowa analiza progu rentowności 3.7. Zastosowanie segmentowej analizy progu rentowności 3.8. Analiza wrażliwości progu rentowności produkcji wieloasortymentowej Rozdział 4. Wieloaspektowe ujęcie analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej 4.1. Teoretyczne podstawy pojęcia progu rentowności 4.2. Próg rentowności według rachunku wektorowego w przestrzeni 4.3. Próg rentowności w świetle teorii wymiarów 4.3.1. Kilka uwag wstępnych 4.3.2. Jednostki pomiaru formuł obliczeniowych progu rentowności 4.4. Dodatkowe uwagi związane z progiem rentowności 4.5. Próg rentowności w świetle pojęcia relacji równoważności 4.6. Egzemplifikacja przedstawionych metod wyodrębniania progu rentowności produkcji wieloasortymentowej
4.7. Charakterystyka koncepcji szacowania przedziałowego progu rentowności 4.7.1. Kilka uwag wstępnych 4.7.2. Metoda graficzna w oczach niektórych ekonomistów 4.7.3. Podstawy teoretyczne metody szacowania przedziałowego progu rentowności 4.7.4. Praktyczne wykorzystanie koncepcji szacowania przedziałowego 4.8. Koncepcja miernika siły dochodowej przedsiębiorstwa a próg rentowności 4.8.1. Kilka uwag wstępnych 4.8.2. Dynamiczne ujęcie siły dochodowej przedsiębiorstwa 4.8.3. Wzorcowy układ wskaźników dynamiki jako narzędzie wstępnej analizy siły dochodowej przedsiębiorstwa 4.8.4. Siła dochodowa przedsiębiorstwa w świetle analizy piramidalnej 4.8.5. Analiza prospektywna oparta na modelu siły dochodowej przedsiębiorstwa 4.9. Nowa koncepcja dynamicznej analizy progu rentowności 4.9.1. Analiza wpływu oceny poziomu progu rentowności na zmianę progu rentowności 4.9.2. Metodyka efektywnego wyboru progu rentowności w ujęciu wektorowym oraz wyznaczanie wielkości granicznych Rozdział 5. Analiza macierzowa progu rentowności produkcji wieloasortymentowej 5.1. Istota nowego podejścia do analizy progu rentowności 5.2. Ujęcie macierzowe globalnej (skumulowanej) marży pokrycia 5.2.1. Zdefiniowanie macierzy związanych z progiem rentowności 5.2.2. Dodatkowa dygresja matematyczna – iloczyn wewnętrzny Frobeniusa 5.2.3. Analiza poziomego (podażowego) zróżnicowania ilościowego progu rentowności 5.2.4. Analiza pionowego (popytowego) zróżnicowania ilościowego progu rentowności 5.2.5. Dwuwymiarowa statyczna analiza progu rentowności 5.2.6. Uogólnienie metody przeciętnej marży pokrycia 5.2.7. Prezentacja tablicowa podejścia macierzowego do analizy progu rentowności 5.3. Egzemplifikacja dwuwymiarowej statycznej analizy progu rentowności 5.4. Wielkości graniczne jako wyznaczniki progu rentowności 5.5. Próba uogólnienia koncepcji dynamicznej analizy progu rentowności 5.5.1. Dynamiczne podejście do analizy progu rentowności – istota 5.5.2. Analiza dynamiki zmian odchyleń od progu rentowności
5.5.3. Dynamiczna analiza progu rentowności w ujęciu macierzowym Zakończenie Bibliografia
Wstęp
Poznawczą rolę analizy dostrzegł już Rene Descartes, który w swym dziele pt. Rozprawa o metodzie właściwego kierowania rozumem i poszukiwania prawdy w naukach podał cztery „prawidła” (zasady) wymagające respektowania przy badaniach problemów, a są to [Kartezjusz, 1952, s. 57]: 1) reguła pewności – nie uznawać za prawdę niczego, czego nie pozna się w sposób oczywisty, 2) reguła analizy – dzielić poznawany przedmiot na części składowe, 3) reguła syntezy – zaczynać zawsze od rzeczy najprostszych i najłatwiejszych do poznania, a stopniowo przechodzić do wiadomości bardziej złożonych, zakładając, że jest związek między tymi, które pozornie nie są ze sobą powiązane, 4) reguła kontroli – wyliczać zawsze wszystko tak dokładnie bądź ujmować tak ogólnie, by być pewnym, że niczego się nie pominęło. Deterministyczne związki między zjawiskami ekonomicznymi mają specyficzny charakter. Każde zjawisko ekonomiczne jest powiązane z wieloma innymi zjawiskami, co nie może być w pełni uwzględnione przez badacza. Dlatego wszelkie funkcjonalne przedstawienie wzajemnych powiązań zjawisk ekonomicznych zawsze będzie stanowić pewne przybliżenie rzeczywistości, ujęte w postaci tzw. modelu. Pojęcie „model” zrobiło w ostatnich latach przysłowiową karierę. Spotkać je można w publikacjach z zakresu wielu nauk, różniących się zarówno przedmiotem badań, jak i zadaniami badawczymi. Nietrudno domyśleć się, że słowo to jest różnie definiowane przez przedstawicieli poszczególnych dyscyplin naukowych. Zbigniew Czerwiński [2002, s. 495 i n.] uważa, że modele są jak gdyby substytutami teorii, o ile wiedza w pewnej dziedzinie nie dojrzała jeszcze do tego, by zasłużyć sobie na to miano. Autor ten twierdzi, że model jest obrazem rzeczywistości mniej trwałym od teorii, a ponadto różne modele mogą istnieć obok siebie, bo nie są pełnymi i dokładnymi obrazami badanej rzeczywistości, zaś z dwóch różnych teorii przyrodniczych czy społecznych jedna wypiera drugą (tak jak teoria Kopernika wyparła teorię Ptolemeusza). Współczesne modele finansowe są z reguły modelami symulacyjnymi, czyli takimi, które odpowiadają na pytanie: „co by było, gdyby”, i za ich pomocą rozważa się skutki różnych decyzji podejmowanych w firmie oraz
zmian uwarunkowań zewnętrznych, w których musi działać firma. Symulacja oznacza wykonywanie pewnych zabiegów na modelu, umożliwiających określenie, jak w pewnych sytuacjach zachowałby się obiekt, którego obrazem jest dany model. Zakłada się przy tym, że model „dostatecznie dobrze” obrazuje zachowanie tegoż obiektu – bez tego założenia taka symulacja byłaby bowiem bezużyteczna. Zarządzanie przedsiębiorstwem to przede wszystkim podejmowanie różnorodnych decyzji, które mają charakter zarówno strategiczny, jak i operacyjny. Głównym celem tych decyzji jest zapewnienie rentowności prowadzonej działalności, co oznacza osiąganie przez przedsiębiorstwo zysku. W konsekwencji konieczna jest ciągła ocena relacji między przychodami, kosztami i zyskiem, zaś narzędziem, które umożliwia dokonanie takiej oceny, jest analiza progu rentowności. Podstawowym pojęciem występującym na gruncie analizy progu rentowności jest próg rentowności, zwany czasem punktem krytycznym. Podstawowych informacji, niezbędnych do przeprowadzenia analizy progu rentowności, dostarcza rachunek kosztów, przy czym szczególnie istotne są informacje dotyczące kosztów stałych oraz jednostkowych kosztów zmiennych. Analiza progu rentowności jest przeprowadzana przy założeniu ceteris paribus czynników niewziętych pod uwagę w tej analizie, co nie umniejsza jednak ani jej wartości poznawczej, ani decyzyjnej. Dodać należy, że analiza progu rentowności jest typowym przykładem analizy prospektywnej, a zatem stanowi narzędzie umożliwiające ocenę, czy założenia planistyczne pozwolą osiągnąć oczekiwany zysk. Studia literaturowe wskazują, że najwięcej miejsca poświęca się analizie progu rentowności produkcji jednoasortymentowej, gdyż stosowny model finansowy jest bardzo prosty i umożliwia analizę jego wrażliwości. Z produkcją wieloasortymentową wiąże się bardziej złożony model finansowy, co utrudnia jego analizę. W efekcie większość polskich ekonomistów zadowala się podaniem gotowych formuł obliczeniowych, nie starając się wnikać w ich istotę. Duży wkład w pogłębianie analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej mają m.in. Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak [2005, s. 163–179; 2009, s. 96–133] oraz Jarosław Mielcarek [2005, s. 85–111; 2006, s. 93 i n.]. Ogólnie biorąc, głównym celem pracy jest próba nowoczesnego ujęcia teorii analizy progu rentowności. Cel ten realizowany jest poprzez: nowatorskie ujęcie problematyki analizy zmienności kosztów, uogólnienie metody analizy zmian ilościowych miar ekonomicznych przyjmujących dowolne wartości, kompleksowe opracowanie podstaw teoretycznych metod analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej, zaproponowanie nowej koncepcji analizy progu rentowności, opartej na rachunku macierzowym, o istotnej wartości poznawczej i aplikacyjnej.
Rozważania teoretyczne są ilustrowane przykładami liczbowymi i choć wykorzystane w nich dane nie pochodzą z konkretnych przedsiębiorstw, to jednak prawidłowo charakteryzują zjawiska gospodarcze, które mogą w nich występować. Autor tej książki podziela pogląd Jarosława Mielcarka, który uważa, że przykłady liczbowe mogą być tak konstruowane, „aby można było je uznać za odpowiedniki eksperymentów w fizyce przeprowadzanych w kontrolowanych warunkach w tym sensie, że sterowanych daną teorią” [Mielcarek, 2005, s. 20]. Celowi pracy podporządkowana jest koncepcja przedmiotowa książki, która składa się – pomijając wstęp i zakończenie – z pięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszym została przedstawiona istota rachunku kosztów całkowitych i kosztów zmiennych oraz różnice między tymi kategoriami. Następnie przedstawiono matematyczne ujęcie zmienności kosztów, proponując dwojaką interpretację wskaźników elastyczności, oraz wyjaśniono różnicę między współczynnikiem elastyczności kosztów a wskaźnikiem zmienności kosztów. Ponadto wyjaśniono istotę uogólnienia wskaźnika dynamiki oraz wskaźnika tempa zmiany. W dalszej części rozdziału przybliżono koncepcję skorygowanego względnego odchylenia kosztów, a następnie przedstawiono próbę ilościowego ujęcia zjawiska histerezy kosztów. Główną część tego rozdziału zajmuje prezentacja metod wyodrębniania kosztów stałych oraz kosztów zmiennych, która została wsparta odpowiednimi przykładami liczbowymi. Drugi rozdział poświęcony został istocie koncepcji CVP (Cost-VolumeProfit) i wynikającej z niej analizie progu rentowności, przy czym ta partia książki przybliża przede wszystkim analizę wrażliwości zysku w warunkach produkcji jednoasortymentowej. Autor tej publikacji koryguje propozycję modyfikacji formuły obliczeniowej oraz wnosi pogłębione rozważania dotyczące dynamicznej analizy progu rentowności produkcji jednoasortymentowej. Treścią rozdziału trzeciego jest analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej w klasycznym ujęciu, oparta na odpowiednio dobranych przykładach z literatury przedmiotu. Wyjaśniony został w tym rozdziale dylemat, czy każda zmiana struktury zmienia poziom progu rentowności, a podstawowe twierdzenie rachunku progu rentowności wsparte zostało stosownymi przykładami liczbowymi. W tym rozdziale została także omówiona tzw. segmentowa analiza progu rentowności. W kolejnym, czwartym rozdziale pracy przedstawiono autorskie podejście do analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej. Jest to oryginalne matematyczne ujęcie istoty progu rentowności wraz z analizą formuł obliczeniowych, ukazane w świetle teorii wymiarów, zawierające również matematyczne wyjaśnienie idei „produktu umownego”. W dalszych partiach tego rozdziału przedstawiono teorię oraz praktyczne zastosowanie tzw. szacowania przedziałowego progu
rentowności. Na koniec przybliżono koncepcję miernika oceny siły dochodowej przedsiębiorstwa, którego istota tkwi w wykorzystaniu pojęcia progu rentowności. Ponadto w rozdziale tym zamieszczono interesującą metodykę wyznaczania progu rentowności w ujęciu wektorowym oraz znajdowania wielkości granicznych. Przedmiotem ostatniego, piątego rozdziału jest autorska koncepcja analizy progu rentowności przy zastosowaniu rachunku macierzowego. To podejście metodologiczne stanowi kolejny krok na drodze doskonalenia analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej, gdyż umożliwia uwzględnienie zróżnicowania cen sprzedaży z uwagi na istnienie tzw. cen negocjowanych. Końcowe fragmenty tego rozdziału stanowią próbę dalszego uogólnienia macierzowej analizy progu rentowności, opartego na pojęciu tzw. kostki danych, co zarazem stanowi wskazanie kierunku rozwoju dynamicznej analizy progu rentowności. Omawiana analiza progu rentowności ma charakter uniwersalny, dotyczy zatem nie tylko przedsiębiorstw wytwarzających określone produkty, lecz może być także wykorzystana w przypadku działalności polegającej na świadczeniu usług czy handlu towarami. Książka ma w dużej mierze charakter autorski. Powstała na podstawie bogatej literatury przedmiotu, przy czym autor wykorzystał także swoje artykuły naukowe zamieszczone w renomowanym czasopiśmie naukowym „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”. Jest adresowana do studentów kierunków ekonomicznych na różnych typach uczelni wyższych, słuchaczy studiów podyplomowych, uczestników szkoleń z dziedziny rachunkowości i finansów, analityków i menedżerów zajmujących się rachunkowością zarządczą i finansami. Na pewno zainteresują się proponowaną publikacją księgowi i biegli rewidenci oraz praktycy poszukujący nowoczesnych, a zarazem skutecznych instrumentów zarządzania przedsiębiorstwem. Podziękowania Pisząc tę książkę, zaciągnąłem dług wdzięczności wobec wielu autorów, których idee zostały tu przedstawione. Szczególne słowa uznania kieruję do tych, których wysiłek na niwie naukowej poszerzał wiedzę na temat progu rentowności, a zarazem stanowił dla mnie źródło inspiracji do napisania tej książki. Chciałbym też serdecznie podziękować prof. dr. hab. Sławomirowi Sojakowi z Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, za jego bardzo pozytywną opinię o książce i zarekomendowanie jej wydania. Pragnę również podziękować sponsorom, których wsparcie finansowe ułatwiło wydanie mojej książki, zwłaszcza zaś gorące podziękowania kieruję do Panów Rafała Damasiewicza z firmy RAFAKO SA oraz Krzysztofa Urbańskiego z firmy APATOR SA.
Wiele osób przyczyniło się do tego, by książka ta ujrzała światło dzienne. W szczególności chciałbym skierować najgorętsze podziękowanie Wydawcy – Pani Dorocie Siudowskiej-Mieszkowskiej – za jej zaangażowanie, zrozumienie i wielką cierpliwość okazaną na wstępnym etapie procesu wydawniczego. Dziękuję także Pani Redaktor Joannie Perzyńskiej za trud mozolnej pracy nad redakcją mojej książki. Autor niniejszej publikacji, kierując się imperatywem pokory naukowej, ma świadomość jej niedoskonałości, zarówno co do treści, jak i sposobów prezentacji zagadnień. W świetle tegoż stwierdzenia obarcza wyłącznie siebie odpowiedzialnością za przedstawione treści i strukturę książki, przy czym żywi cichą nadzieję, iż spotka się ze zrozumieniem i życzliwością Czytelników.
Rozdział 1 Wybrane problemy metodyczne analizy kosztów i wyniku finansowego
W obecnych czasach, kiedy skala i złożoność zjawisk gospodarczych są znaczne, nieodzowne staje się korzystanie z różnorakich narzędzi matematycznych, aby w badaniu „okiełznać” coraz bardziej skomplikowane procesy gospodarowania. W procesie decyzyjnym poniesione koszty należy konfrontować z uzyskiwanymi przychodami, ponieważ same koszty nie zawsze stanowią wystarczające kryterium podejmowania decyzji. W tym celu stosuje się specyficzne metody analizy tych wielkości, które posiłkują się różnymi narzędziami matematycznymi. W rozdziale tym zostaną przybliżone niektóre z tych metod, zwłaszcza elastyczność jako ważna miara wrażliwości modelu. Przybliżona zostanie także oryginalna metodyka analizy zmiany wyniku finansowego, uwzględniająca fakt, że wynik finansowy nie zawsze oznacza zysk, czasem bowiem bywa także stratą. Zważywszy zaś, że punktem wyjścia do znalezienia tzw. progu rentowności jest podział kosztów całkowitych na stałe i zmienne, przeto w tym rozdziale sporo miejsca poświęcono temu zagadnieniu. 1.1. Istota pojęcia kosztów w rachunkowości W potocznym rozumieniu przez koszty rozumie się wszystko to, co należy ponieść, żeby otrzymać coś innego. Z jednej strony to, co wydatkujemy, może dotyczyć czasu, pieniędzy, wysiłku ludzkiego, a nawet zdrowia, zaś z drugiej strony – tym, co otrzymujemy, może być produkt rzeczowy, pieniądze, usługa czy też sukces. Jak podkreśla Jan Duraj [2004, s. 228], na ogół chcemy, aby z jednostki kosztu („za coś”) otrzymać więcej „czegoś innego” (efekt), czyli oczekujemy korzystnego rezultatu między efektami a kosztami. Przedsiębiorstwo prowadzące działalność wykorzystuje zasoby w celu osiągnięcia określonych korzyści. Wśród zasobów wyróżnić można zasoby ludzkie, fizyczne, finansowe oraz informacyjne, zaś koszty powstają jako efekt celowego wykorzystania dostępnych w organizacji zasobów. Wprawdzie koszty są obiektywną kategorią ekonomiczną ściśle związaną z działalnością gospodarczą, to jednak precyzyjne ich
zdefiniowanie nie jest zadaniem łatwym. W rozumieniu Alicji A. Jarugi: „koszt oznacza wyrażone w pieniądzu zasoby (dobra i usługi) użyte (wydatkowane) w celu osiągnięcia bieżących lub przyszłych korzyści” [2010, s. 67]. W świetle ustawy o rachunkowości koszty to „uprawdopodobnione zmniejszenia w okresie sprawozdawczym korzyści ekonomicznych, o wiarygodnie określonej wartości, w formie zmniejszenia wartości aktywów albo zwiększenia wartości zobowiązań i rezerw, które doprowadzą do zmniejszenia kapitału własnego lub zwiększenia jego niedoboru w inny sposób niż wycofanie środków przez udziałowców lub właścicieli” [Ustawa z dnia 29.09.1994 r. o rachunkowości…, art. 3.1 pkt 31]. Zdaniem Wiktora Gabrusewicza koszty mogą być rozpatrywane w dwóch ujęciach, tj. [2001, s. 43–44]: 1) makroekonomicznym, 2) mikroekonomicznym. W ujęciu makroekonomicznym najszerszą kategorią są społeczne koszty produkcji. Wyrażają one sumę nakładów pracy żywej i uprzedmiotowionej, jaką poniosło społeczeństwo na wytworzenie dóbr i usług w danym czasie. Owe koszty można wyrazić za pomocą następującej formuły: K SP = c + v + m,
(1.1)
gdzie: KSP – społeczne koszty produkcji, c – wartość zużytych środków produkcji, v – wartość produktu wytworzonego przez pracę dla siebie, wyrażoną w wynagrodzeniach pracowników, m – wartość produktu wytworzonego przez pracę dla społeczeństwa (tzw. produkt dodatkowy). Ponadto kategorią makroekonomiczną są koszty produkcji, które wyraża formuła: Kp = c + v, a zatem koszty produkcji równają się wartości produktów pomniejszonej o wartość produktu dodatkowego. Koszty ponoszone przez przedsiębiorstwo przyjmują nazwę kosztów własnych i są kategorią mikroekonomiczną. Wyraża je następująca formuła: K wł = c + v + m 1,
(1.2)
gdzie: Kwł – koszty własne, m1 – koszty transferowe. Jak podaje Wiktor Gabrusewicz, do kosztów transferowych zaliczamy odsetki bankowe, ubezpieczenia społeczne, niektóre podatki oraz inne nakłady mające postać finansową.
1.2. Zarys rachunku kosztów pełnych i rachunku kosztów zmiennych Rachunek kosztów pełnych (RKP) oparty jest na kosztach już poniesionych (historycznych). Wspomniany wyżej W. Gabrusewicz twierdzi, że: „Model rachunku kosztów pełnych zakłada, iż na wysokość całkowitych kosztów przedsiębiorstwa wpływ ma tylko jedna zmienna – wielkość produkcji” [2001, s. 79]. Rachunek kosztów zmiennych (RKZ) zmierza do przypisania wyrobom tylko części poniesionych w przedsiębiorstwie kosztów, a mianowicie kosztów zmiennych. Jak podkreślają Dawid Habela i Robert Polaczek [2001, s. 50–51]: „Celem nadrzędnym rachunku kosztów pełnych jest wynik operacyjny, który powstaje jako różnica między przychodami a kosztami własnymi sprzedaży”, zaś „Celem nadrzędnym rachunku kosztów zmiennych jest marża na pokrycie, która powstaje jako różnica między przychodami a kosztami zmiennymi”. W tabeli 1.1 przedstawiono cechy charakterystyczne dla obu rodzajów kosztów. Tabela 1.1. Syntetyczna charakterystyka rachunku kosztów pełnych i rachunku kosztów zmiennych Rachunek kosztów pełnych
Rachunek kosztów zmiennych
1. Zestawia koszty pełne z przychodami, co może być przyczyną zdeformowanego kosztu jednostkowego wyrobu i zysku jednostkowego. 2. Zachowuje relacje między produkcją a sprzedażą w długim okresie; jest nieelastyczny w decyzjach krótkookresowych. 3. Jest skomplikowany i nastawiony na dokładną kontrolę procesów produkcji. 4. Jest przydatny w planowaniu długookresowym. 5. Pozwala na wybór decyzji w długim okresie. 6. Służy zewnętrznym sprawozdaniom finansowym. 7. Wynik finansowy jest funkcją wielkości produkcji, co może przejawiać się w spadku zysku przy wzroście sprzedaży.
1. Zestawia przychody z kosztami zmiennymi, co pozwala na korzystanie z marży na pokrycie kosztu jednostkowego i globalnego. 2. Jest elastyczny w decyzjach krótkookresowych. 3. Jest prosty i daje sygnały alarmowe o zachowaniu rynku. 4. Jest przydatny w planowaniu krótkookresowym. 5. Pozwala na podejmowanie optymalnych wyborów. 6. Służy sprawozdaniom wewnętrznym, kontrolnowynikowym. 7. Wynik finansowy jest funkcją wielkości produkcji, co oznacza, że wzrost sprzedaży przy stałej strukturze kosztów i stałej cenie zawsze powoduje wzrost zysku.
Źródło: na podstawie pracy: Gabrusewicz, 2001, s. 85. Szczegółowe porównanie zalet i wad rachunku kosztów pełnych z rachunkiem kosztów zmiennych przedstawiono w tabeli 1.2. Tabela 1.2. Zalety i wady rachunku kosztów pełnych i rachunku kosztów zmiennych System rachunku
Zalety
Wady
kosztów Rachunek kosztów pełnych (RKP)
1. W długim okresie wszystkie koszty powinny być zwrócone przez przychody, dlatego do prowadzenia długookresowej polityki cenowej konieczna jest znajomość kosztów pełnych. 2. Koszt pełny wymagany jest w sprawozdaniach finansowych. 3. W przedsiębiorstwach (przemysłach) stosujących formułę „koszt plus” do ustalenia ceny wyjściowej wymagany jest RKP. 4. RKP nie umniejsza znaczenia kosztów stałych. 5. Przy produkcji sezonowej, aktywując koszty stałe „zamrożone” w zapasach, łagodzi wpływ sezonowości na wynik finansowy.
1. Generowanie informacji związanych głównie z wyceną i wyróżnianiem zbiorów kosztów ze względu na ich podział, tj. koszty bezpośrednie, koszty pośrednie, pełny koszt jednostkowy i zysk, bez względu na stopień wykorzystania zdolności produkcyjnych. 2. Grupowanie kosztów w przekroju ich powstawania według kryteriów kalkulacyjnych, pomijając ośrodki odpowiedzialności z wyodrębnieniem stopnia ich zmienności i zakresu kontrolowania. 3. Orientacja na produkcję. 4. Ograniczona przydatność w podejmowaniu decyzji w krótkim okresie.
Rachunek kosztów zmiennych (RKZ)
1. Informacje generowane przez RKZ są użyteczniejsze i istotniejsze w procesie podejmowania decyzji. 2. Eliminuje wpływ zmiany zapasów na wynik finansowy; zysk zmienia się odpowiednio do zmian sprzedaży w krótkich okresach. 3. Ułatwia stosowanie progu rentowności. 4. Ułatwia ocenę osiąganych wyników przez linie produkcyjne i ośrodki odpowiedzialności, ponieważ nie jest zniekształcony przez umowne grupowanie i rozliczanie kosztów pośrednich. 5. Pozwala na różnicowanie cen sprzedaży dzięki możliwości mierzenia marży brutto. 6. RKZ może występować równolegle z systemem RKP.
1. Nie spełnia zasady współmierności przychodów i kosztów, wymaganej w rachunkowości finansowej i sprawozdaniach finansowych. 2. Możliwość występowania trudności w podziale kosztów na stałe i zmienne. 3. Mała przydatność w procesie podejmowania decyzji długookresowych. 4. Rosnący udział kosztów stałych.
Źródło: na podstawie pracy: Habela, Polaczek, 2001, s. 52. Tabela 1.3 przedstawia specyfikację różnic między obiema kategoriami rachunku kosztów. Tabela 1.3. Modele rachunku kosztów pełnych i kosztów zmiennych Kryterium porównań
Rachunek kosztów pełnych
Rachunek kosztów zmiennych
Cel prowadzenia
Sporządzanie obligatoryjnych sprawozdań finansowych
Potrzeby wewnętrzne przedsiębiorstwa
Zgodność z wymogami ustawy o rachunkowości
Jest zgodny
Nie jest zgodny
Nadrzędne kryterium klasyfikacji kosztów
Możliwość przypisania kosztów produktom
Reagowanie kosztów na wahania wielkości produkcji
Podstawowe kategorie kosztów
Koszty bezpośrednie Koszty pośrednie
Koszty zmienne Koszty stałe
Zakres kosztów produktów
Koszty wytworzenia: koszty bezpośrednie koszty pośrednie produkcji
Zmienne koszty wytworzenia: koszty bezpośrednie koszty zmienne produkcji
Zakres kosztów okresu
Koszty nieprodukcyjne: koszty sprzedaży koszty ogólnego zarządu
Koszty stałe: koszty stałe produkcji koszty sprzedaży koszty ogólnego zarządu
Wycena zapasu produktów
Koszt wytworzenia
Koszt wytworzenia zmienny
Adekwatność odzwierciedlenia wyniku finansowego
Wynik długookresowy
Wynik krótkookresowy
Przydatność przy podejmowaniu decyzji
Decyzje długookresowe
Decyzje krótkookresowe
Orientacja decydentów
Procesy produkcyjne
Rynek
Źródło: na podstawie pracy: Nowak, 2006, s. 114. Jak słusznie podkreśla Andrzej Piosik [2006, s. 140], podstawowa różnica między rachunkiem kosztów pełnych a rachunkiem kosztów zmiennych polega na tym, że inaczej określa się w nich zasadę współmierności, która stanowi jedną z fundamentalnych zasad rachunkowości. Można przyjąć, że tabele 1.1–1.3 syntetycznie, a zarazem wystarczająco dobrze przybliżają istotę rachunku kosztów całkowitych pełnych oraz kosztów zmiennych. 1.3. Uwagi wstępne dotyczące analizy zmienności kosztów Podstawą analizy progu rentowności jest rachunek kosztów zmiennych, niezbędne jest zatem wyodrębnienie ich z kosztów całkowitych. Podział ten nie wynika wprost z ustawy o rachunkowości i nie jest odzwierciedlony w ewidencji księgowej. Implikuje to potrzebę stosowania różnych metod podziału kosztów, co zostanie zaprezentowane w dalszych partiach tej publikacji. W literaturze przedmiotu poświęconej rachunkowości zarządczej tylko niektórzy autorzy zajmują się tym problemem. Analizę zachowania się kosztów w relacji do zmian wielkości produkcji przeprowadza się dla określonego przedziału zmienności produkcji. Zależnie od sposobu reagowania na zmiany wielkości produkcji wyróżnia się dwie kategorie kosztów, tj.: koszty stałe, koszty zmienne. Koszty stałe są to te składniki kosztów, których poziom jest niezależny od wielkości produkcji. Koszty stałe przeliczone na jednostkę produkcji są kosztami malejącymi.
Kosztami zmiennymi są takie składniki kosztów, których poziom zależy od wielkości produkcji, a zatem zmiany wielkości produkcji mają bezpośrednie odzwierciedlenie w ich poziomie. Kosztami zmiennymi są m.in. składniki kosztów podstawowej działalności operacyjnej, tj.: zużycie materiałów bezpośrednich, zużycie energii technologicznej, wynagrodzenia bezpośrednie, koszty zakupu materiałów produkcyjnych. Z punktu widzenia kierunku i stopnia natężenia zmian poziomu kosztów pod wpływem wahań wielkości produkcji wyróżnia się cztery kategorie kosztów zmiennych, czyli: zmienne proporcjonalnie, zmienne progresywnie, zmienne degresywnie, zmienne regresywnie. Koszty zmienne proporcjonalnie występują wtedy, gdy kolejne jednostkowe przyrosty wielkości produkcji powodują, przeciętnie rzecz biorąc, takie same przyrosty kosztów zmiennych. Oznacza to, że tempo zmiany kosztów jest tożsame z tempem zmiany produkcji. Koszty zmienne proporcjonalnie mogą być przedstawione jako iloczyn jednostkowego kosztu zmiennego i wielkości produkcji: KZ = kz × Q,
(1.3)
gdzie: KZ – koszty zmienne całkowite, kz – koszt zmienny jednostkowy, Q – wielkość produkcji. Jednostkowy koszt zmienny jest w tym przypadku wielkością stałą. Kształtowanie się całkowitych kosztów proporcjonalnie zmiennych przedstawia rysunek 1.1. Rysunek 1.1. Koszty zmienne proporcjonalnie
Źródło: opracowanie własne. Koszty zmienne progresywnie występują wtedy, gdy kolejne jednostkowe przyrosty wielkości produkcji powodują, przeciętnie rzecz biorąc, coraz większe przyrosty kosztów zmiennych. Oznacza to, że tempo zmiany kosztów jest większe od tempa zmiany produkcji. Jednostkowy koszt zmienny jest w tym przypadku kosztem rosnącym. Kształtowanie się całkowitych kosztów progresywnie zmiennych przedstawia rysunek 1.2. Koszty zmienne degresywnie występują wówczas, gdy kolejne jednostkowe przyrosty wielkości powodują, przeciętnie rzecz biorąc, coraz mniejsze przyrosty kosztów zmiennych. Oznacza to, że tempo zmiany kosztów jest mniejsze od tempa zmiany produkcji. Jednostkowy koszt zmienny jest w tym przypadku kosztem malejącym. Kształtowanie się całkowitych kosztów degresywnie zmiennych przedstawia rysunek 1.3. Koszty zmienne regresywnie występują wówczas, gdy wraz ze wzrostem wielkości produkcji następuje, przeciętnie rzecz biorąc, spadek kosztów zmiennych. Kształtowanie się całkowitych kosztów regresywnie zmiennych przedstawia rysunek 1.4. Rysunek 1.2. Koszty zmienne progresywnie
Źródło: opracowanie własne. Rysunek 1.3. Koszty zmienne degresywnie
Źródło: opracowanie własne. Rysunek 1.4. Koszty zmienne regresywnie
Źródło: opracowanie własne. Wydaje się, że szkicowanie wykresów funkcji jednostkowych kosztów zmiennych dla różnych rodzajów funkcji zmiennych nie ma racji bytu, gdyż te pierwsze zależą od rodzaju zależności wyjściowej funkcji, a to oznacza, że wykresy funkcji jednostkowych kosztów zmiennych mogą być wklęsłe lub wypukłe[1]. 1.4. Pojęcie analizy wrażliwości i miary oceny wrażliwości Pojęcie analiza wrażliwości (sensitivity analysis) nie jest rozumiane przez wszystkich ekonomistów jednakowo. Wiesław Dębski stwierdza np.: „Przeprowadzając analizę wrażliwości na zbudowanym uprzednio modelu finansowym, staramy się odpowiedzieć na pytanie, co stanie się z wybraną zmienną endogeniczną (kategorią ekonomiczną), jeżeli wartość innej zmiennej (na ogół egzogenicznej) zmieni się o dowolną wielkość, przykładowo o jednostkę” [2005, s. 137]. Według zachodnich ekonomistów analiza wrażliwości jest procesem, który polega na pomiarze wpływu, jaki zmiany poszczególnych pojedynczych zmiennych lub ich kombinacji wywierają na zysk. Powszechnie uważa się, że analiza wrażliwości jest przydatna, ponieważ [Deakin, Maher, 1987, s. 439]: pozwala uwypuklić podstawowe cechy problemu, mające wpływ na decyzję, umożliwia ocenę wpływu zmian czynników, których zachowania menedżer jest pewny, na funkcje celu, pozwala dojść do optymalnych rozwiązań w przypadku decyzji powtarzających się w nieznacznie zmodyfikowanych warunkach.
Studia literaturowe wskazują, że wielu autorów pojęcie „analiza wrażliwości” kojarzy z analizą projektów inwestycyjnych, zysku lub rentowności przedsiębiorstwa, co zarazem świadczy o ważkości tego narzędzia analitycznego. Przykładowo Colin Drury [1998, s. 283] uważa, że analiza wrażliwości ma za zadanie pokazać, jak będą zmieniać się wyniki, jeśli zmienią się plany pierwotne lub podstawowe założenia. W odniesieniu do koncepcji CVP (koszt – wolumen – zysk) analiza wrażliwości powinna dostarczyć odpowiedzi na pytanie, jaki będzie zysk, jeżeli np.: zmienia się pierwotnie planowany asortyment sprzedaży, koszty stałe wzrosną o 10% i koszty zmienne zmaleją o 5%? Zdaniem Sławomira Sojaka: „Analiza wrażliwości jest procesem polegającym na pomiarze wpływu zmian poszczególnych, pojedynczych zmiennych lub kombinacji wielu zmiennych na zysk. Może ona dotyczyć wielu aspektów, a mianowicie: określenia granicznego poziomu poszczególnych składników analizy, gwarantujących osiągnięcie progu rentowności, czyli rentowności na poziomie zerowym; określenia marginesu bezpieczeństwa działania; wrażliwości zysku na zmienność poszczególnych składników analizy” [2003, s. 296]. Specyficzny punkt widzenia na pojęcie „analiza wrażliwości” prezentuje Wiesław Pluta. Przyjmuje on, że badanie, w którym uzależnia się efektywność rozważanej decyzji od zmian tylko jednej wielkości, nazywa się analizą punktu progowego (break-even analysis), zaś rozszerzenie tego badania, przez uwzględnienie zmian większej liczby zmiennych, nazywa się analizą wrażliwości (sensitivity analysis). Zdaniem tego autora analiza wrażliwości jest zatem uogólnieniem analizy punktu progowego, podczas gdy analiza punktu progowego jest szczególnym przypadkiem analizy wrażliwości [1999, s. 169–171; 1997, s. 299–313]. Ciekawe spojrzenie na pojęcie analizy wrażliwości prezentuje również Włodzimierz Świetlik, według którego analiza wrażliwości pozwala ocenić, jak zmieniłby się wybór optymalnej decyzji, gdyby uległy zmianie podstawowe wielkości ekonomiczne lub warunki działania [2005, s. 61]. Bardzo szeroki wachlarz definicji analizy wrażliwości przedstawił w swojej pracy Jarosław Mielcarek, co może stanowić punkt wyjścia dla wielu autorów [2006, s. 91][2]. W tej pracy przyjmujemy, że pojęcie analizy wrażliwości oznaczać będzie analizę modelu finansowego, przy czym zakłada się zmianę jednego lub kilku czynników sprawczych, kształtujących badaną wielkość ekonomiczną. Oznacza to, że analiza wrażliwości odpowiadać będzie na pytanie: „co się stanie, jeżeli”, czyli punktem wyjścia będą modele finansowe typu: co by było, gdyby (What – if? Analysis). Należy też dodać, że podstawowym ograniczeniem tej metody jest fakt, iż bada się wpływ
poszczególnych zmiennych, zakładając przy tym, że pozostałe zmienne nie uległy zmianie (zasada ceteris paribus). Miary stosowane w analizie wrażliwości U podstaw miar wrażliwości leży model deterministyczny postaci: P = f (X1, X2, …, Xk),
(1.4)
gdzie: P – badana wielkość, Xi – i-ty czynnik determinujący badaną wielkość (dla i = 1, 2, …, k), f – pewna funkcja. Proponuje się wprowadzenie przedstawionych niżej miar wrażliwości. 1. „Charakterystyka pierwsza” modelu (współczynnik wrażliwości zmiennej objaśnianej względem odpowiedniej zmiennej objaśniającej) – bezwzględna miara wrażliwości. Jest to pochodna cząstkowa funkcji f względem jednej ze zmiennych objaśniających, tj.: (dla i = 1, 2, …, k), inaczej mówiąc, miara ta oznacza krańcową użyteczność i-tej zmiennej objaśniającej. 2. „Charakterystyka druga” modelu (elastyczność zmiennej objaśnianej względem i-tej zmiennej objaśniającej) – względna miara wrażliwości, czyli tzw. elastyczność cząstkowa (punktowa): (dla i = 1, 2, …, k). Jeżeli weźmiemy pod uwagę addytywny modeli liniowy postaci: P = a0 + a1 X1 + a2 X2 + … + ak Xk, to parametr modelu ai (dla i = 1, 2, …, k) jest bezwzględną miarą wrażliwości – wskazuje on, o ile zmieni się wielkość P, gdy i-ty czynnik sprawczy wzrośnie (zmaleje) o jednostkę, zaś pozostałe czynniki nie ulegną zmianie (klauzula ceteris paribus). Należy zdawać sobie sprawę, że elastyczność punktowa ma rację bytu tylko w przypadku bardzo małych zmian zmiennej niezależnej, co w praktyce występuje bardzo rzadko. Dlatego lepiej jest posługiwać się tzw. elastycznością łukową, która odzwierciedla przeciętną elastyczność w pewnym przedziale, przy czym zakłada się wówczas, że w całym przedziale efekt wpływu zmiennej niezależnej na zmienną zależną jest taki sam. Formuła na ten rodzaj elastyczności ma zatem postać: (1.5)
Elastyczność łukowa ma zastosowanie przy większych przyrostach zmiennej niezależnej, niektórzy autorzy przyjmują arbitralnie próg 5% dla tych przyrostów[3]. Ze względu na przyjmowane założenie: z którym mamy do czynienia przy elastyczności punktowej, klasyczny miernik elastyczności nie jest wygodny, gdy rozpatruje się duże przyrosty zmiennej objaśniającej. Zbigniew Pawłowski zaproponował tzw. elastyczność różnicową, która w przypadku funkcji wielomianowych poprawia jakość tego narzędzia badawczego. Jest ona opisana wzorem: (1.6)
gdzie:
– elastyczność punktowa rzędu r,
– pochodna rzędu r z funkcji Y względem i-tego czynnika. Przyjmuje się, że elastyczność różnicowa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy szereg nieskończony jest zbieżny. W praktyce wystarczy zwykle wziąć dwa lub trzy pierwsze wyrazy szeregu, by otrzymać dobre przybliżenie wartości ER(xi)[4]. Łatwo jest dowieść, że dla funkcji liniowej otrzymamy równość: elastyczność różnicowa = elastyczność punktowa. Ogólnie biorąc, między obu rodzajami elastyczności zachodzi relacja: (1.7)
Można ponadto wykazać, że propozycja Z. Pawłowskiego opiera się na rozwinięciu Taylora funkcji wielu zmiennych. 1.4.1. Analiza zmienności kosztów – uwagi wstępne Analiza matematyczna umożliwia zdefiniowanie wartościowych dla ekonomistów charakterystyk funkcji jednej zmiennej, co zostanie przedstawione w dalszej części tego rozdziału. Punktem wyjścia jest funkcja jednej zmiennej o postaci y = f(x), dla której określamy przedstawione mierniki: 1. Przyrost absolutny (zwany także bezwzględnym) funkcji f: (1.8)
2. Tempo przyrostu funkcji f (zwane przyrostem względnym): (1.9)
3. Prędkość wzrostu funkcji: (1.10)
która wyraża zmianę wartości funkcji wywołaną jednostkową zmianą argumentu funkcji. Na gruncie analizy matematycznej powyższa relacja zwana jest ilorazem różnicowym, zaś Alpha C. Ciang określa ten ułamek jako tzw. stopę zmian [1994, s. 140–141]. Zdaniem Stanisławy Kanas jest to wielkość przeciętna, która określa, w jakim stopniu funkcja f jest czuła na przyrost zmiennej x. Autorka ta dodaje, że ocena reakcji funkcji na podstawie wzoru (1.10) daje „pogląd jedynie na przeciętną prędkość zmiany wartości tej funkcji w przedziale , zmiany te nie muszą zachodzić równomiernie, jak wskazuje wartość średnia” [2011, s. 134–135]. 4. Stopa wzrostu funkcji: (1.11)
która wyraża względną zmianę wartości funkcji wywołaną jednostkową zmianą argumentu tej funkcji. Zdaniem S. Kanas formuła ta „określa szybkość wzrostu funkcji w zależności od argumentu” [2011, s. 141]. Powyższy wzór pozwala zatem odpowiedzieć na pytanie, jaki ułamek względnej zmiany przypada na jednostkową zmianę argumentu, co przypomina pojęcie gęstości (natężenia) liczebności lub częstości, które jest stosowane w statystyce opisowej [zob. Wasilewska, 2009, s. 69]. 5. Elastyczność funkcji: (1.12)
która wyraża względną zmianę wartości funkcji wywołaną jednostkową względną zmianą argumentu funkcji. Jest to miara siły wpływu danej zmiennej na poziom funkcji[5]. Zmienność kosztów najczęściej traktuje się jako reakcje kosztów całkowitych na zmiany produkcji. Miarą stopnia reagowania kosztów na zmiany wielkości produkcji jest współczynnik elastyczności, zwany też wskaźnikiem zmienności, który wyraża stosunek względnej zmiany
danego kosztu do względnej zmiany produkcji. W przypadku kosztów zmiennych możemy zastosować dwa podejścia metodyczne. 1. Według koncepcji znajdowania tzw. elastyczności łukowej (bezpośrednio z danych empirycznych, gdy nie jest znana postać analityczna funkcji): (1.13)
gdzie: eZ – wskaźnik elastyczności kosztów zmiennych, ∆KZ – przyrost kosztów zmiennych, KZ – rodzaj kosztu zmiennego, ∆q – przyrost produkcji, q – wielkość produkcji [Borkowski, 2003, s. 162–167]. 2. Według koncepcji znajdowania tzw. elastyczności punktowej (w przypadku znanej postaci analitycznej funkcji): (1.14)
gdzie: KZ′(q) – pierwsza pochodna funkcji kosztów zmiennych, KZ(q) – koszty zmienne jako funkcja wolumenu q. Wyróżnia się następujące rodzaje kosztów: 1) koszty zmienne proporcjonalnie (proporcjonalne) eZ = 1, 2) koszty zmienne progresywnie (progresywne) eZ > 1, 3) koszty zmienne degresywnie (degresywne) 0 < eZ < 1, 4) koszty zmienne regresywnie (regresywne) eZ < 0, 5) koszty stałe eZ = 0. Warto dodać w tym miejscu, że koszty zmienne degresywne zwane są na gruncie rachunkowości zarządczej także semizmiennymi lub „mieszanymi”. 1.4.2. Związek między elastycznościami różnego rodzaju kosztów Stosunkowo proste rozważania matematyczne prowadzą do wskazania powiązań między elastycznościami poszczególnych rodzajów kosztów, co zostanie przedstawione dalej. 1. Koszty całkowite: KC(q) = KZ(q) + KS – model kosztów całkowitych,
gdzie: KC(q) – koszty całkowite jako funkcja wolumenu q, KS – koszty stałe,
(1.15)
– współczynnik elastyczności kosztów całkowitych
względem produkcji. 2. Koszt przeciętny (koszty jednostkowe):
(1.16) – formuła kosztów przeciętnych
gdzie – pochodna funkcji (1.16), a zatem elastyczność kosztów jednostkowych ma postać:
Współczynnik elastyczności produkcji ma postać:
kosztów
EJ = (EC – 1)
jednostkowych
względem
(1.17)
3. Koszty zmienne: Współczynnik elastyczności kosztów zmiennych względem produkcji ma postać: (1.18)
4. Jednostkowe koszty zmienne (przeciętny koszt zmienny): (1.19) – formuła na jednostkowy koszt zmienny,
stąd:
gdzie – pochodna funkcji (1.19), a zatem elastyczność jednostkowych kosztów zmiennych wyraża się wzorem: (1.20)
czyli współczynnik elastyczności jednostkowych kosztów zmiennych względem produkcji ma postać: (1.21)
Zagadnienie 1 Związek między elastycznościami wyznaczamy, wychodząc z założenia, że jeśli: (1.22)
wówczas:
a stąd otrzymujemy:
czyli: (1.23)
Z tej zależności wynika zaś, że: 1) gdy 2) gdy 3) gdy Zagadnienie 2 Jeżeli przyjmiemy, że:
wówczas, zgodnie z elastycznością punktową, otrzymamy: (1.24)
a więc 0 < EC < 1 dla kz > 0 i q > 0. Taki sam wzór uzyskamy, stosując podejście według elastyczności łukowej, czyli:
a zatem: (1.25)
Na powyższy fakt już przed laty zwrócił uwagę Wiktor Malc, pisząc m.in.: „oznacza to, że współczynnik zmienności kosztów jest po prostu stosunkiem kosztów zmiennych do całości kosztów i kształtuje się różnie dla różnych rozmiarów produkcji. W konsekwencji, współczynnik zmienności kosztów wymaga zawsze uwzględnienia określonego wyjściowego poziomu kosztów i rozmiarów produkcji” [1979, s. 36]. Funkcja EC jest rosnąca i charakteryzuje zmiany mniej niż proporcjonalne. Jeśli przyjmiemy założenie, że: kz ≥ 0, to otrzymamy relację: (1.26)
przy czym, gdy: a) EC = 1 – występują tylko koszty zmienne, b) EC = 0 – występują tylko koszty stałe. W związku z tym, że EC = EJ +1, mamy wzór: (1.27)
Ostatecznie sprzężonych:
otrzymujemy
następujący
zestaw
współczynników
1) 2) 3) 4) Zagadnienie 3 Przyjmijmy, że koszty zmienne są aproksymowane za pomocą funkcji: (1.28)
(a > 0, q > 0),
gdzie: a – współczynnik skalujący, m, n – liczby naturalne. Współczynnik elastyczności kosztów zmiennych względem produkcji to:
Jeśli zatem: 1) 2)
– koszty zmienne progresywnie, – koszty zmienne degresywnie,
3) – koszty zmienne regresywnie. (1.29) Stąd koszty jednostkowe zmienne mają postać: (1.30)
Współczynnik wynosi:
elastyczności
jednostkowych
kosztów
zmiennych
a stąd otrzymamy relację: Zauważmy, że:
a wówczas otrzymujemy proporcjonalnie, czyli:
znane
równanie
na
koszty
zmienne
Przedstawiony wyżej zarys analizy elastyczności kosztów wskazuje na korzyści, jakie może przynieść właściwe korzystanie z pojęcia „elastyczność”. 1.4.3. Zjawisko „korzyści skali” W literaturze ekonomicznej pod pojęciem „ekonomia skali” (economy of scale) kryje się obniżenie jednostkowego kosztu w miarę zwiększenia skali działalności. Często korzyści skali są wynikiem rozłożenia kosztów stałych
(np. kosztów inwestycji kapitałowych) na zwiększony wolumen produkcji i sprzedaży [Johnson, Scholes, 1999, s. 166]. Wiesław Pluta [1999, s. 152–153] uważa, że zasada zmian mniej (bądź więcej) niż proporcjonalnych jest spełniona wtedy, kiedy zależność między dwiema zmiennymi jest liniowa i ma postać: y = ax + b, gdzie: a, b – parametry; b ≠ 0.
(1.31)
W sposób ogólny korzyści skali można przedstawić następująco: (1.32)
Zjawisko korzyści skali może mieć również przykładowo może mieć postać funkcji potęgowej[6], tj.: y = bxa,
inny
charakter,
(1.33)
gdzie: a, b – parametry. Poniżej przedstawimy ilustrację graficzną zmian więcej (bądź mniej) proporcjonalnych, ujętych formułą o postaci: y = ax+b
(1.34)
oraz jej równoważnej zależności: (1.35)
Sytuacja I: – zmiany mniej niż proporcjonalne. Rysunek 1.5 ilustruje zależność związaną z mniej niż proporcjonalną korzyścią (de facto stratą) wynikającą ze skali, przy czym rysunek 1.5a przedstawia zależność liniową zmiennej objaśnianej od zmiennej objaśniającej, a rysunek 1.5b – zależność hiperboliczną skali zmian od zmiennej objaśniającej. Przykładem takiej sytuacji może być zależność: – funkcja kosztów całkowitych. Rysunek 1.5. Ilustracja graficzna zmian mniej niż proporcjonalnych
Źródło: opracowanie własne. Sytuacja II: – zmiany więcej niż proporcjonalne. Kolejny rysunek (1.6) ilustruje sytuację, w której występuje zjawisko korzyści skali, przy czym rysunek 1.6a oraz rysunek 1.6b należy tak samo interpretować, jak rysunki 1.5a i 1.5b. Jako przykład takiej sytuacji można przyjąć klasyczny przypadek o postaci: – model zysku operacyjnego (EBIT).
(1.36)
Rysunek 1.6. Ilustracja graficzna zmian więcej niż proporcjonalnych
Źródło: opracowanie własne. Sytuacja III: – zmiany proporcjonalne.
Przypadek zmian wprost proporcjonalnych w postaci graficznej przedstawia rysunek 1.7, przy czym wykresy w częściach a i b należy interpretować tak samo, jak w przypadku poprzednich rysunków. Typowym przykładem takiej sytuacji jest model o postaci: (1.37)
– funkcja kosztów zmiennych.
Wiktor Malc [1979, s. 34] proponuje przedstawione niżej, matematyczne podejście do kosztów zmiennych: Niech y = f(x),
(1.38)
gdzie: y – koszty, x – rozmiar produkcji. Rysunek 1.7. Ilustracja graficzna zmian proporcjonalnych
Źródło: opracowanie własne. Mamy wtedy następujące rodzaje kosztów zmiennych: 1) proporcjonalne 2) progresywne
– funkcja rośnie równomiernie, (1.39) – funkcja rośnie coraz szybciej, (1.40)
3) degresywne – funkcja rośnie coraz wolniej, (1.41) gdzie y′ – pierwsza pochodna funkcji (1.38), y″ – druga pochodna funkcji (1.38). Propozycję W. Malca można rozszerzyć na koszty regresywne i wówczas otrzymamy następujące warunki: 1)
– proporcjonalnie malejące, (1.42)
2)
– funkcja maleje coraz wolniej, (1.43)
3) – funkcja maleje coraz szybciej. (1.44) Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję kosztów zmiennych o postaci: (1.45)
wówczas otrzymujemy:
gdzie: KZ′(q) – pierwsza pochodna funkcji (1.45), KZ″(q) – druga pochodna funkcji (1.45). W ten sposób uzyskujemy następujące zależności: 1)
– koszty zmienne progresywnie, (1.46)
2) – koszty zmienne degresywnie. (1.47) Zaprezentowane wyżej podejście matematyczne W. Malca do analizy zmienności kosztów dowodzi, że już przed laty polscy ekonomiści dostrzegali znaczenie narzędzi matematycznych na tym polu. 1.4.4. Współczynnik elastyczności kosztów a wskaźnik zmienności kosztów W literaturze przedmiotu często można zauważyć brak wyraźnego rozróżnienia pojęcia wskaźnika zmienności kosztów od współczynnika elastyczności (zmienności) kosztów, co nie wydaje się słuszne, zwłaszcza w świetle rozumienia tych pojęć na gruncie statystyki. Warto zatem przypomnieć, że wskaźnik jest to liczba, która wyraża wzajemny stosunek dwóch wielkości ekonomicznych, podczas gdy współczynnik jest parametrem w podanej formule obliczeniowej [Sasin, 1999, s. 47–54]. Znajomość struktury kosztów firmy z punktu widzenia poziomu mierników zmienności kosztów umożliwia ustalenie tzw. przeciętnego współczynnika zmienności kosztów, co ujmuje następujący wzór [Micherda, 1982, s. 86]: (1.48)
gdzie: ki – grupy kosztów według współczynników ich zmienności, ei – współczynnik zmienności i-tej grupy (i = 1, 2, …, n). Tak określony przeciętny wskaźnik może być wykorzystany do wyznaczenia hipotetycznego kosztu, który służy do obliczenia
skorygowanego odchylenia względnego kosztów. Stosując podejście statystyczno-ekonometryczne, proponuje się także korzystanie z tzw. wskaźnika zmienności kosztów, w literaturze przedmiotu zwanego częściej współczynnikiem zmienności kosztów o postaci [Szychta, 2001, s. 742]: (1.49)
gdzie przy założeniu liniowej funkcji regresji kosztów, przyjmującej postać: a – współczynnik kierunkowy prostej (jednostkowe koszty zmienne), – średnia wartość zmiennej objaśniającej (wielkości produkcji), – średnia wartość zmiennej objaśnianej (kosztów całkowitych danego rodzaju). Należy wyraźnie podkreślić, że współczynnik elastyczności kosztów (e) oraz wskaźnik zmienności kosztów (WZK) nie są tożsame, na co zwraca się uwagę w literaturze przedmiotu, stwierdzając, iż wskaźnik zmienności kosztów jest pewną modyfikacją współczynnika elastyczności kosztów [Piechota, 2002, s. 94]. Rozważmy teraz następującą propozycję wyjaśnienia związku między obu rodzajami mierników zmiany kosztów. Po obliczeniu współczynników elastyczności dla każdego składnika kosztów przyjmujemy, że: jeśli – to dany składnik zaliczony jest do kosztów stałych, jeśli – to dany składnik zaliczony jest do kosztów zmiennych, gdzie: – pewna graniczna wartość współczynnika elastyczności kosztów. Wprowadzona wartość graniczna pełni zatem funkcję swoistej „wagi” rozdzielającej koszty na dwie grupy, tj. koszty stałe oraz koszty zmienne. W przypadku analizy powiązań między kosztami a produkcją mamy do czynienia z dwiema liniami regresji, tj.: (1.50)
Teoria ekonometrii podpowiada, że obie proste regresji przechodzą przez punkt który w fizyce zwie się środkiem ciężkości układu punktów o jednakowych masach. Oznacza to, że mamy następującą relację: (1.51)
skąd wynika, iż podany wskaźnik WZK jest wielkością unormowaną, to znaczy spełnia następującą nierówność: (1.52)
przy czym: WZK = 0 – w przypadku kosztów stałych, WZK = 1 – w przypadku kosztów zmiennych proporcjonalnych. Dla pozostałych kosztów zmiennych wskaźnik zmienności kosztów (WZK) zawiera się w przedziale od „0” do „1”. Wskaźnik ten wyraża udział kosztów zmiennych w całości kosztów, a zatem jest względną miarą stopnia zmienności kosztów. Powyższe rozważania podsuwają także myśl, aby przyjąć, że: (1.53)
a to oznacza, że współczynnik informuje, o ile procent zmieni się przeciętny poziom kosztu, gdy nastąpi przeciętna zmiana produkcji o 1%. Stąd dalej otrzymujemy zależność: (1.54)
a jeśli przyjmiemy, że – to jednostkowe koszty zmienne (koszty krańcowe), wówczas otrzymujemy znany nam wskaźnik zmienności kosztów. W przypadku aktualizacji budżetów kosztów do przeliczania kosztu z budżetu wyjściowego proponuje się następującą formułę [Kes, 2002, s. 159]: (1.55)
gdzie: K1 – koszty po przeliczeniu, K0 – koszty z budżetu wyjściowego, ∆P% – procentowa zmiana wielkości produkcji w odniesieniu do wielkości z budżetu wyjściowego. Nietrudno zauważyć, że powyższy wzór wynika z równości: (1.56)
a to oznacza zarazem, że w tym przypadku także współczynnik
a to oznacza zarazem, że w tym przypadku także współczynnik elastyczności kosztów spełnia podwójną nierówność Reasumując, trzeba podkreślić, że za pomocą formuły (1.53) wymusza się, aby były to koszty zmienne degresywnie, przy czym znalezienie wskaźnika WZK wymaga oszacowania parametrów funkcji regresji, a do tego niezbędna jest odpowiednia liczba danych. Bartłomiej Nita [2007, s. 83] pisze m.in., że aby ocenić strukturę danego składnika kosztów pod względem reagowania na zmiany wielkości produkcji, wykorzystuje się współczynnik zmienności kosztów, który jest określony formułą: (1.57)
Współczynnik ten przyjmuje wartości należące do przedziału od zera do jedności, a jego wartość informuje bezpośrednio o udziale kosztów zmiennych w kosztach całkowitych. 1.5. Interpretacja wskaźnika elastyczności – propozycja autorska 1.5.1. Interpretacja geometryczna elastyczności przeciętnej Tak jak pojęciu pochodnej funkcji nadaje się stosowną interpretację geometryczną (a także fizyczną i ekonomiczną), podobnie można uczynić w przypadku pojęcia elastyczności[7]. Punktem wyjścia w tym przypadku będzie następująca definicja elastyczności: (1.58)
gdzie: x0 – wartość początkowa zmiennej x, y0 – wartość początkowa zmiennej y, ∆x – przyrost zmiennej x, ∆y – przyrost zmiennej y. Rysunek 1.8 jest geometryczną ilustracją relacji (1.58), przy założeniu, że obie zmienne są nieujemne oraz wzrastają. Z wykresu przedstawionego na rysunku 1.8 wynika, że [Piszczała, 1996, s. 58]: – miara prędkości zmiany wartości funkcji w przedziale oraz w świetle interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji, czyli
– miara prędkości zmiany wartości funkcji w punkcie x0. Otrzymujemy zatem: (1.59)
Z zależności tej wynikają zaprezentowane dalej interpretacje wskaźnika elastyczności. Rysunek 1.8. Interpretacja geometryczna elastyczności
Źródło: opracowanie własne. Przypadek I Jeżeli przyjmiemy, że: (1.60)
oznacza to, że sieczna przechodząca przez punkty A(x0, y0) i B(x1, y1) znajduje się nad wykresem funkcji y = f(x). Przypadek II Jeżeli zaś założymy, że:
(1.61)
oznacza to, że sieczna przechodząca przez punkty A(x0, y0) i B(x1, y1) pokrywa się z wykresem funkcji y = f(x). Przypadek III Zakładając, że: (1.62)
oznacza to, że sieczna przechodząca przez punkty A(x0, y0) i B(x1, y1) znajduje się pod wykresem funkcji y = f(x). Jeśli weźmiemy pod uwagę model będący funkcją liniową o postaci y = ax + b, to dla rosnącego ciągu liczbowego argumentów funkcji: x1< x2 < x3 < . . . < xn, otrzymamy rosnący mniej niż proporcjonalnie ciąg elastyczności dla tej funkcji, tj.: E1< E2 < E3 < . . . < En, przy czym: (1.63)
Opierając się na powyższym wzorze na elastyczność, możemy naszkicować wykres szeregu empirycznego, który będzie podstawą wyboru aproksymanty funkcji elastyczności (rys. 1.9). Rysunek 1.9. Szereg empiryczny elastyczności funkcji liniowej
Źródło: opracowanie własne. Zdaniem Jerzego Jakubczyca [2008, s. 286] błędne jest przyjmowanie, że elastyczność jest miernikiem stopnia nachylenia krzywej lub miernikiem stopnia krzywizny. 1.5.2. Interpretacja geometryczna elastyczności funkcji w punkcie Zgodnie z geometryczną interpretacją pochodnej funkcji w danym punkcie jej wartość jest współczynnikiem kierunkowym stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, y0). Jeżeli przyjmiemy, że x1 oznacza miejsce zerowe tej stycznej, a t = x0 – x1, wówczas możemy zapisać: (1.64)
gdzie: f′(x0) – pochodna funkcji f w punkcie x0, t – przyrost argumentu funkcji, skąd otrzymamy wzór na elastyczność punktową o postaci: (1.65)
Weźmy pod uwagę dwa przypadki, które przybliżą istotę powyższej relacji. Przypadek I Jeśli funkcja ma postać: (1.66)
wtedy dla x0 > 0 styczna w tym punkcie przecina oś X w punkcie x1 > 0. Mając zatem ciąg relacji:
otrzymujemy: (1.67)
Przypadek II Jeśli funkcja ma postać: (1.68)
wtedy dla x0 > 0 styczna w tym punkcie przecina oś X w punkcie x1 < 0. Mając zatem ciąg relacji:
otrzymujemy: (1.69)
Zauważmy, że w przypadku funkcji malejącej elastyczność może przyjmować wartości ujemne, co utrudnia interpretację wyniku. W związku z tym przyjmuje się, że miarą elastyczności funkcji w punkcie jest moduł (wartość bezwzględna) elastyczności. Wówczas mówi się, że funkcja f [Kanas, 2011, s. 140]: 1) jest elastyczna w punkcie x0, gdy 2) nieelastyczna w punkcie x0, gdy 3) ma jednostkową elastyczność w punkcie x0, gdy Opisana miara, zwana elastycznością, charakteryzuje się pewną stabilnością w czasie, co ma istotne znaczenie zwłaszcza przy tworzeniu prognoz [Jakubczyc, 2008, s. 285].
1.5.3. Interpretacja ekonomiczna wskaźnika elastyczności kosztów Jeśli za punkt wyjścia przyjmiemy funkcję kosztów całkowitych, wówczas możemy zapisać, że: (1.70)
gdzie: EK – wskaźnik elastyczności kosztów, K0 – poziom kosztów w okresie bazowym, Q0 – rozmiar produkcji w okresie bazowym, – przeciętne koszty w okresie bazowym, – tzw. przeciętny przyrost kosztów[8]. Powyższy iloraz jest miarą przeciętnej prędkości zmiany wartości funkcji kosztów w przedziale zaś pochodna funkcji kosztów w punkcie Q0 jest miarą prędkości zmiany wartości tej funkcji w punkcie Q0, zwaną także kosztem krańcowym funkcji w punkcie Q0 [Piszczała, 1996, s. 80]. Weźmy pod uwagę różnicę prędkości dla dwóch kolejnych punktów, która będzie podstawą do zdefiniowania miary określającej szybkość zmiany prędkości: (1.71)
Jest to miara określająca przyśpieszenie (opóźnienie) zmian wartości funkcji kosztów całkowitych na odcinku Stąd otrzymamy relacje: 1) przyśpieszenie zmian wartości funkcji kosztów całkowitych: (1.72)
2) opóźnienie zmian wartości funkcji kosztów całkowitych: (1.73)
Rozważmy trzy sytuacje dla kosztów całkowitych. 1. Koszty zmienne progresywnie: (1.74)
Oznacza to, że przeciętny przyrost kosztów całkowitych jest większy od przeciętnego kosztu całkowitego w okresie bazowym, czyli zachodzi zjawisko niekorzyści skali. Następuje zatem przyśpieszenie zmiany wartości funkcji kosztów całkowitych. 2. Koszty zmienne degresywnie: (1.75)
Oznacza to, że przyrost przeciętny kosztów całkowitych jest mniejszy od przeciętnego kosztu całkowitego w okresie bazowym, czyli zachodzi zjawisko korzyści skali. Mamy zatem opóźnienie zmiany wartości funkcji kosztów całkowitych. 3. Koszty zmienne proporcjonalnie: (1.76)
Oznacza to, że przyrost przeciętny kosztów całkowitych jest równy przeciętnemu kosztowi całkowitemu w okresie bazowym, co oznacza równomierną zmianę wartości funkcji kosztów całkowitych. Jeśli skorzystamy z koncepcji zmodyfikowanego odchylenia względnego kosztów[9], która wymaga założenia o stałości współczynników elastyczności kosztów, wówczas otrzymujemy następujące formuły:
– relacja równości współczynników elastyczności, a stąd (po niezbyt trudnych przekształceniach) otrzymujemy formuły: (1.77)
lub w ujęciu procentowym: (1.78)
gdzie współczynnik elastyczności kosztów:
dotyczy zmian w zakresie ustalonego przedziału, czyli: Q0, Q1, Q2 ∈
. Dla zależności liniowej y = ax + b otrzymamy bardzo prostą formułę obliczeniową prognozy zmiennej zależnej y, czyli: y1 = y0+ a×∆x, której uogólnienie przyjmie postać: (1.79)
gdzie:
dla i = 1, 2, ..., n – tempa zmian zmiennej niezależnej,
– współczynniki elastyczności dla kolejnych przedziałów zmiennej niezależnej[10]. Formułę obliczeniową (1.79) można również zapisać za pomocą tzw. wzoru rekurencyjnego o postaci: (1.80)
Na zakończenie tego podpunktu przedstawiamy dwa przykłady liczbowe ukazujące praktyczne zastosowanie prezentowanych formuł. Przykład 1.1 Przykład ten jest ilustracją ujęcia przedziałowego danych, które są przedstawione w postaci szeregu liczbowego. Znajdowanie elastyczności w tym przypadku oparte jest na formule elastyczności przeciętnej. Tabela 1.4. Podejście przedziałowe do obliczania współczynnika elastyczności Miesiące
Ujęcie przedziałowe Produkcja (w szt.)
Koszty zmienne (w zł)
Styczeń
45–50
2400–2700
Luty
50–55
2700–2980
Marzec
55–60
2980–3240
Kwiecień
60–65
3240–3450
Maj
65–70
3450–3640
Źródło: opracowanie własne na podstawie pracy: Nowak, 2001, s. 56. Zmiana procentowa produkcji w pierwszym przedziale wynosi:
Zgodnie ze wzorem (1.76) otrzymujemy poziom badanych kosztów zmiennych jako: (100% + 12,5%)× 2400 = 2700 zł.
Gdyby nastąpiła zmiana produkcji z poziomu 45 do 48 sztuk, wówczas procentowa zmiana kosztów zmiennych wyniosłaby:
Oznacza to, że koszty zmienne osiągną poziom: (100% + 7,5%)× 2400 = 2580 zł.
Jeśli chcemy znać poziom kosztów zmiennych przy produkcji na poziomie x = 57 sztuk, to wzór (1.79) prowadzi do następującego wyniku:
Przykład 1.2 Drugi przykład liczbowy ilustruje sposób znajdowania współczynnika elastyczności dla szeregu czasowego, gdy znana jest wyjściowa funkcja liniowa. Koszty całkowite związane z produkcją wyrobu X w firmie kształtują się zgodnie z funkcją: y = 6 zł/szt. × x + 1500 zł, gdzie: x – zdolność produkcyjna firmy w sztukach wyrobu X. Przeciętne miesięczne wykorzystanie zdolności produkcyjnej wynosi 250 szt. wyrobu X. W kolejnych czterech miesiącach wykorzystanie mocy produkcyjnych firmy i koszty całkowite przedstawiono w tabeli 1.5. Na podstawie danych z tego przykładu można ustalić współczynniki elastyczności kosztów całkowitych produkcji wyrobu X w miesiącach 1–4,
stosując wzór na elastyczność punktową. Ostatnia kolumna tabeli 1.4 przedstawia wyniki obliczeń. Tabela 1.5. Dane dotyczące produkcji wyrobu X i współczynniki elastyczności kosztów Miesiące Wykorzystanie zdolności produkcyjnych firmy (w szt.) (x)
Koszty produkcji wyrobu X (w zł)
Współczynnik elastyczności kosztów
Zmienne Stałe Całkowite (a× x) (b) (y) 1
150
900
1500 2400
2
200
1200
1500 2700
3
225
1350
1500 2850
4
250
1500
1500 3000
Źródło: opracowanie własne. Jeśli przyjmiemy, że x = 175 szt. wyrobu X, wtedy „działa” elastyczność z pierwszego miesiąca. Korzystając ze wzoru (1.76), otrzymamy:
a zatem: – tempo wzrostu kosztów całkowitych. Ostatecznie wzrost produkcji wyrobu X o 25 sztuk powyżej minimalnego poziomu wykorzystania zdolności produkcyjnych podniesie koszty całkowite produkcji tego wyrobu do wartości: 2400 × (1+ 0,0625) = 2550 zł. 1.6. Uogólnienie wskaźnika dynamiki oraz wskaźnika tempa zmian Jak słusznie zauważa Lech Bednarski, „wynik finansowy przedsiębiorstwa zależy przede wszystkim od wielkości osiągniętych przychodów ze sprzedaży oraz kosztów ich uzyskania” [1999, s. 126]. Ogólnie biorąc, można sformułować następującą relację: (1.81)
gdzie: Wf – wynik finansowy, P – przychody ze sprzedaży, K – koszty uzyskania przychodów. Zdaniem Andrzeja Piosika ustalenie wyniku (zysku, straty) wymaga ustalenia tzw. kosztów ekspirowanych, ponieważ – zgodnie z zasadą współmierności – „w celu określenia wyniku danego okresu, przychodom zrealizowanym w danym okresie przyporządkowujemy koszty ekspirowane tego okresu”. W związku z tym, że koszty te są przypisane do danego okresu, wpływają tym samym na wynik finansowy tegoż okresu [2006, s. 43]. Badanie wpływu dwóch podstawowych czynników na wynik finansowy to domena analizy przyczynowej, a także analizy porównawczej, na płaszczyźnie której znajdują się m.in. wzorcowe układy nierówności wskaźników [Żwirbla, 2007, s. 79 i n.]. Zdaniem niektórych ekonomistów w trakcie wstępnej analizy rachunku zysków i strat można posiłkować się następującą nierównością: dK < dP < dZ,
(1.82)
gdzie: dK – dynamika kosztów, dP – dynamika przychodów, dZ – dynamika zysku [Skowronek-Mielcarek, 2007, s. 142]. Zasada racjonalnego gospodarowania zakłada konieczność minimalizowania kosztów oraz kształtowania odpowiedniej relacji kosztów do przychodów i należy jej przestrzegać, jeśli: a) przychody ze sprzedaży są wyższe od kosztów, b) dynamika przychodów jest większa od dynamiki kosztów. Podkreślić należy, że cechą szczególną kosztów jest m.in. to, iż mają one charakter pierwotny względem przychodów, co oczywiście podkreśla ich rangę jako elementu decyzyjnego. Koszty i przychody są wielkościami współzależnymi, co również stanowi specyfikę kosztów, które – ogólnie rzecz biorąc – są wartościami utraconymi w celu osiągnięcia określonych korzyści. W świetle powyższych refleksji zasadne staje przybliżenie niektórych kwestii związanych nie tylko z analizą kosztów, lecz także z osiągnięciem zysku lub poniesieniem straty. W badaniach analitycznych spotykamy sytuacje, w których zmienna ekonomiczna może przechodzić: od wartości dodatniej do wartości dodatniej, od wartości ujemnej do wartości ujemnej, od wartości ujemnej do wartości dodatniej, od wartości dodatniej do wartości ujemnej. Jeśli zachodzą pierwsze dwa przypadki, wówczas stosuje się klasyczne podejście, tj. korzysta się z pojęcia dynamiki oraz tempa zmian, co wynika
z jednorodności analizowanej wielkości ekonomicznej w postaci strumienia „korzyści” lub strumienia „straty”. Mamy wtedy:
(1.83)
– indywidualny wskaźnik dynamiki zjawiska A,
– wskaźnik tempa zmian zjawiska A, (1.84) gdzie: ∆A = A1 – A0, przy czym: ∆A – wielkość odchylenia bezwzględnego (globalnego), A1 – poziom rozpatrywanego zjawiska w okresie badanym (bieżącym), A0 – poziom rozpatrywanego zjawiska w okresie bazowym (poprzednim). Oba wskaźniki wiąże następująca relacja: (1.85)
Ogólnie biorąc, tempo zmiany odpowiada na pytanie, o ile procent zmieniła się badana wielkość ekonomiczna w stosunku do stanu początkowego i to określenie stanowi podstawę uogólnienia wskaźnika tempa zmian. Kolejne dwa przypadki badanego zjawiska A można określić jako przejście od „straty” do „korzyści” lub odwrotnie. Przejście od „straty” do „korzyści” oznacza zanikanie strumienia „straty” i pojawienie się strumienia „korzyści”, zaś w drugim przypadku jest odwrotnie, tzn. zanika strumień „korzyści” i pojawia się strumień „straty”. Możliwe staje się sumowanie tych zmian, pod warunkiem że są one oceniane za pomocą tej samej miary i to staje się celem dalszych rozważań. W odniesieniu do ostatnich dwóch przypadków warto zaznaczyć, że już przed laty w publikacjach naukowych pojawiły się próby rozwiązania tego „węzła gordyjskiego” badań ilościowych [Wawrzyniak, Zwolanowska, 1998, s. 15–17][11]. Istotę tych propozycji można ująć następująco[12]: – uogólniony wskaźnik tempa zmian, (1.86) gdzie: Następnie zauważmy, że: 1) jeśli – to następuje zmiana pozytywna zjawiska A (poprawa, wzrost),
2) jeśli – to następuje zmiana negatywna A (pogorszenie, spadek). Rację bytu ma także uogólniona miara dynamiki o postaci:
zjawiska
(1.87) – uogólniony wskaźnik dynamiki zjawiska A.
Powyższy problem podjął także Dariusz Wędzki [2009, s. 85–86], który uogólnił przedstawioną propozycję w sposób następujący: (1.88)
oraz (1.89)
Oba wskaźniki (1.86) oraz (1.87) wiąże następująca relacja: (1.90)
1.6.1. Interpretacja geometryczna uogólnionego wskaźnika tempa zmian – propozycja autorska Uogólniony wskaźnik tempa zmian można określić, opierając się na pojęciu odległości („metryki”) punktów na osi liczbowej. Przyjmijmy następującą definicję: (1.91)
gdzie:
oznacza odległość między punktami A0 i A1 na osi liczbowej, przy czym: – odległość punktu A0 od zera na osi liczbowej, – odległość punktu A1 od zera na osi liczbowej. Uogólniony wskaźnik tempa zmian jest addytywny, otrzymamy:
a
zatem
1) dla sytuacji (1.92)
2) dla sytuacji (1.93)
Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak [2005, s. 22–24] przedstawiają różne warianty zmian ilościowych zjawiska X w formie graficznej (rys. 1.10) [13]. Rysunek 1.10. Warianty zmian ilościowych zjawiska A
Źródło: na podstawie pracy: Ćwiąkała-Małys, Nowak, 2005, s. 22. Koncepcja znajdowania tempa zmiany badanej wielkości ekonomicznej przy wykorzystaniu wartości bezwzględnej została dostrzeżona przed laty przez Marię Sierpińską i Tomasza Jachnę, jednakże bez podania autorów tej propozycji [Sierpińska, Jachna, 2004, s. 69–70]. Także Monika Marcinkowska pisze o dylemacie obliczania tempa zmian, gdy w okresie bazowym występuje wielkość ujemna, i przywołuje propozycję stosowania wartości bezwzględnej [2007, s. 258–259]. Poniżej zostanie przedstawiony przykład liczbowy podany przez M. Sierpińską i T. Jachnę wraz z ich interpretacją. Przykład 1.3 Przykładowe wyniki finansowe spółki X w kolejnych latach kształtowały się następująco: rok:
1998
1999
2000
2001
2002
2003
wynik finansowy:
+100
+80
–30
–10
–20
+40
Obliczmy tempo zmian wyniku finansowego przy zmiennej bazie porównania:
rok 1999: co oznacza spadek zysku o 25% w porównaniu z rokiem poprzednim; rok 2000: co oznacza spadek wyniku o 137,5% w relacji do roku poprzedniego; rok 2001: co oznacza wzrost wyniku finansowego o 66,6% w porównaniu z rokiem poprzednim; rok 2002: co oznacza wzrost straty o 100,0% w porównaniu z rokiem poprzednim; rok 2003: co oznacza wzrost wyniku o 300,0% w porównaniu z rokiem poprzednim. Interpretacja dotycząca wyniku finansowego za 2000 rok oraz za 2003 rok budzi wątpliwości, jeśli bowiem w jednym roku występuje zysk, a w drugim strata, to interpretacja nie może być taka sama, jak w przypadku gdy w obu latach pojawia się zysk lub strata. Dodać należy, że także inni autorzy posiłkują się podobną interpretacją otrzymanych wyników [Pałczyńska-Gościniak, 2001, s. 18]. 1.6.2. Interpretacja ekonomiczna tempa zmiany badanej wielkości ekonomicznej Przyjmijmy następujące określenia: 1) przedział „korzyści” 2) przedział „straty” 3) przedział „pozytywnego efektu zmiany” przedział „straty”, (0, A1) – przedział „korzyści”,
gdzie: (A0, 0) –
4) przedział „negatywnego efektu zmiany” przedział „straty”, (0, A0) – przedział „korzyści”,
gdzie: (A1, 0) –
5) odchylenie jest dodatnie, gdy: 6) odchylenie jest ujemne, gdy:
Interpretujemy kolejne przypadki tempa zmiany
gdzie:
przy czym – to odległość między stanem „końcowym” a stanem „początkowym” badanego zjawiska A. 1. Przedział „korzyści”: 1. a) dla ∆A > 0 – jaki procent wyjściowej „korzyści” w ujęciu bezwzględnym stanowi wzrost tej „korzyści” (tj. o ile procent wzrosła „korzyść”), 1. b) dla ∆A < 0 – jaki procent wyjściowej „korzyści” w ujęciu bezwzględnym stanowi spadek tej „korzyści” (tj. o ile procent zmalała „korzyść”). 2. Przedział „straty”: 1. a) dla ∆A > 0 – jaki procent wyjściowej „straty” w ujęciu bezwzględnym stanowi spadek tej „straty” (tj. o ile procent zmalała „strata”), 1. b) dla ∆A < 0 – jaki procent wyjściowej „straty” w ujęciu bezwzględnym stanowi wzrost tej „straty” (tj. o ile procent wzrosła „strata”). 3. Przedział „strata” + przedział „korzyść” – ze wzoru (1.92) mamy: (1.94)
Liczba „+100%” oznacza całkowite zniwelowanie „straty”, zaś stojący za nią ułamek określa osiągniętą „korzyść” wyrażoną w procentach „straty”, co łącznie wyraża pozytywny efekt zmiany. 1. Przedział „korzyść” + przedział „strata” – ze wzorów (1.93) mamy: (1.95)
Liczba „–100%” oznacza całkowite zniwelowanie „korzyści”, zaś stojący za nią ułamek określa poniesioną „stratę” wyrażoną w procentach „korzyści”, co łącznie wyraża negatywny efekt zmiany. Oznacza to, że różnokierunkowe strumienie „korzyści” i „niekorzyści” stają się addytywne, gdyż wyrażone są w tym samym mierniku. Tomasz Berent wykorzystawszy tradycyjną formułę obliczeniową na wskaźnik tempa zmiany zjawiska, pisze m.in.: „Przy analizie odległości względnych należy pamiętać o zawiłościach interpretacyjnych z tym
związanych. Na przykład kiedy odległość względna rentowności operacyjnych wynosi 100%, oznaczać to może zarówno podwojenie zysków, jak i podwojenie strat” [2013, s. 97]. Okazuje się, że aby stwierdzić, z jakim przypadkiem mamy do czynienia, wystarczy wziąć pod uwagę dwa wskaźniki – tradycyjny oraz uogólniony. Prowadzi to do zestawienia dwudzielnej tablicy 1.6. Tabela 1.6. Klasyfikacja zmian ilościowych badanego zjawiska Wskaźnik dynamiki zjawiska Tempo zmiany: T>0
T<0
d>1
Wzrost „korzyści” A1 > A0 > 0
Wzrost „straty” A1 < A0 < 0
0
Spadek „straty” A0 < A1 < 0
Spadek „korzyści” A0 > A1 > 0
d<0
Przejście od „straty” do „korzyści” A0 < 0 < A1
Przejście od „korzyści” do „straty” A1 < 0 < A0
Objaśnienia: ∆A = A1 – A0, gdzie A0 – wartość początkowa badanego zjawiska; A1 – wartość końcowa badanego zjawiska. Źródło: opracowanie własne. Przykład 1.4 Przykład ten przedstawia wykorzystanie klasycznego wskaźnika dynamiki oraz uogólnionego wskaźnika tempa zmiany do opisu wybranego elementu rachunku zysków i strat w firmie X za lata 2005–2011 (tab. 1.7). Tabela 1.7. Wielokierunkowa analiza wyniku finansowego z działalności operacyjnej Dane Wskaźnik tempa zmiany wyjściowe oraz wskaźnik dynamiki
Interpretacja
Rok 2005 Wf0 = 2550
Wzrost zysku operacyjnego o 40%:
Rok 2006 Wf1 = 3570 Rok 2006 Wf0 = 3570 Rok 2007 Wf1 = 2856 Rok 2007
radykalna zmiana pozytywna Spadek zysku operacyjnego o 20%:
umiarkowana zmiana negatywna
Wf0 = 2856 Rok 2008 Wf1 = – 1428 Rok 2008 Wf0 = – 1428 Rok 2009 Wf1 = – 2142 Rok 2009 Wf0 = – 2142 Rok 2010 Wf1 = – 1606,6 Rok 2010 Wf0 = – 1606,6 Rok 2011 Wf1 = 2249,1
Przejście od zysku operacyjnego do straty operacyjnej, co stanowi 150% utraconego „zysku”:
umiarkowana zmiana negatywna Wzrost straty operacyjnej o 50%:
radykalna zmiana negatywna
Spadek straty operacyjnej o 25%
umiarkowana zmiana pozytywna
Przejście od straty operacyjnej do zysku operacyjnego, co stanowi 240% zniwelowanej „straty”:
radykalna zmiana pozytywna
Źródło: opracowanie własne. Przy interpretacji osiągniętego wyniku finansowego z działalności operacyjnej w danym roku w stosunku do roku poprzedniego sięgnięto m.in. po koncepcję oceny, którą przedstawiono na rysunku 1.10. Dodać należy, że zaproponowana koncepcja metodyczna daje możliwość analizowania zmian progu rentowności w relacji do planowanej wielkości sprzedaży, co zostanie przybliżone w ostatnim rozdziale tej pracy. 1.7. Odchylenie względne jako narzędzie wspomagające badania analityczne 1.7.1. Uwagi wstępne W analizie ekonomicznej (w tym także w analizie kosztów) szerokie zastosowanie znajduje tzw. metoda porównań (zwana też metodą odchyleń), gdyż uważa się, że dokonywanie porównań zjawisk gospodarczych z odpowiednimi podstawami odniesienia zapewnia tej analizie obiektywny charakter. Porównywać można zjawiska gospodarcze jednorodne, tj. wyrażające tę samą treść ekonomiczną, oraz wielkości o różnej treści ekonomicznej, lecz wzajemnie ze sobą powiązane i od siebie zależne. W badaniach analitycznych często, oprócz odchylenia bezwzględnego zjawiska, oblicza się tzw. odchylenie względne. To ostatnie wylicza się w przypadku dwóch
różnorodnych zjawisk, które są ze sobą powiązane związkiem przyczynowo-skutkowym (np. płace i produkcja, koszty i produkcja). Jeżeli przyjmiemy, że A – zjawisko podstawowe, zaś B – zjawisko towarzyszące, to możemy zapisać:
przy czym: 1) odchylenie względne zjawiska A (w stosunku do zjawiska B): (1.96)
gdzie:
– wskaźnik dynamiki zjawiska podstawowego A,
– wskaźnik dynamiki zjawiska towarzyszącego B; 2) rzeczywista zmiana zjawiska A z tytułu zmiany tempa zjawiska towarzyszącego B: (1.97)
Z powyższej formuły wynika następująca zależność: odchylenie względne zjawiska A = odchylenie bezwzględne zjawiska A – rzeczywista zmiana zjawiska A z tytułu zmiany tempa zjawiska B. Tabela 1.8 przedstawia warianty, które są wynikiem przedstawionych rozważań dotyczących powiązania odchylenia bezwzględnego z odchyleniem względnym badanego zjawiska. Tabela 1.8. Warianty rozkładu odchylenia bezwzględnego zjawiska podstawowego Relacja między dynamiką zjawiska podstawowego a dynamiką zjawiska towarzyszącego
Tendencja zjawiska towarzyszącego Malejąca
Rosnąca
Źródło: na podstawie pracy: Żwirbla, 2002a, s. 130–131. Klasyczne podejście do odchylenia względnego kosztów wyraża wzór:
(1.98)
gdzie: K2 – koszty w okresie planowanym, – założenie proporcjonalności kosztów do produkcji, K1 – koszty w okresie bieżącym, (Pr)2, (Pr)1 – produkcja w okresie planowanym oraz w okresie bieżącym. Istota odchylenia względnego w klasycznym ujęciu sprowadza się do poddania badaniu przyczynowemu modelu typu: ekonomiczna równość tożsamościowa. W przypadku kosztów punktem wyjścia jest model o postaci: (1.99)
gdzie: K – koszty (czynnik wynikowy), P – produkcja (czynnik ilościowy), KP – wskaźnik poziomu kosztów (czynnik jakościowy), przy czym: (1.100)
Poddając zależność (1.99) działaniu metody kolejnych podstawień, otrzymujemy następujące odchylenia cząstkowe: oraz
(1.101)
Przekształcamy drugi wzór i otrzymujemy: (1.102)
Oznacza to, że odchylenie względne kosztów to, inaczej mówiąc, odchylenie cząstkowe wywołane zmianą czynnika jakościowego, jakim jest wskaźnik poziomu kosztów. 1.7.2. Koncepcja skorygowanego względnego odchylenia kosztów Już przed laty Elżbieta Burzym oraz Bronisław Micherda zwrócili uwagę na dyskusyjny charakter przyjmowanego założenia o proporcjonalności zmian badanej wielkości ekonomicznej w zależności od rozmiarów prowadzonej działalności, zwłaszcza w przypadku analizy kosztów pośrednich [Burzym, 1984, s. 138 i n.; Micherda, 1982, s. 84–92; 2001, s. 108– 109]. Okazuje się, że koncepcja zmodyfikowanego odchylenia względnego kosztów, którą zaproponował B. Micherda, wymaga założenia o stałości
współczynnika elastyczności kosztów. Dowodzi tego następująca zależność: (1.103)
z której (po niezbyt trudnych przekształceniach) otrzymujemy formułę: (1.104)
gdzie: (1.105) – współczynnik elastyczności kosztów.
Następnie załóżmy, że co sprawia, że odchylenie warunkowe przyjmuje następującą postać:
skorygowane (1.106)
Zauważmy, że jeśli: e = 1 (co oznacza, że koszty są zmienne proporcjonalnie), wówczas nowa formuła przekształca się w tradycyjną, tj.: (1.107)
Omówione modyfikacje mają na celu urealnienie rachunku odchylenia względnego przez bardziej prawidłowe określenie podstawy odniesienia dla badanych kosztów. Tą drogą możemy przykładowo oszacować wielkość kosztów ogólnozakładowych w roku przyszłym, znając koszty roku bieżącego i ubiegłego oraz wiedząc o ile procent wzrośnie produkcja, co przedstawia przykład 1.5. Przykład 1.5 W przedsiębiorstwie „Ilavia” produkcja oraz koszty ogólnego zarządu w trzech kolejnych latach kształtowały się tak, jak przedstawiono w tabeli 1.9. Tabela 1.9. Produkcja oraz koszty ogólnego zarządu przedsiębiorstwa „Ilavia” Wyszczególnienie
Rok ubiegły (0)
Rok bieżący (1)
Rok przyszły (2)
Wartość produkcji w cenach sprzedaży (w tys. zł)
120,4
150,5
180,6
Koszty ogólnego zarządu (w tys. zł)
23,0
25,3
K 2 = 27,3
Źródło: opracowanie własne. Opierając się na danych zawartych w tabeli 1.9, można oszacować wielkość kosztów ogólnego zarządu w roku przyszłym, zakładając, że ich zmienność pozostanie bez zmian, zaś produkcja wzrośnie o 20%. W tym celu wykonujemy następujące obliczenia: 1) znajdujemy współczynnik elastyczności kosztów:
2) obliczamy prognozę wielkości kosztów ogólnego zarządu w roku przyszłym:
a zatem K2 ≈ 27,3 tys. zł. W ten sam sposób można prognozować poszczególne składniki kosztów ogólnego zarządu, w tym koszty administracyjno-gospodarcze oraz koszty ogólnoprodukcyjne, znajdując współczynniki elastyczności dla każdej pozycji tychże kosztów [zob. Narkiewicz, 2002, s. 124–125]. 1.8. Próba ilościowego ujęcia zjawiska histerezy (remanencji) kosztów Pojęcie histereza (pochodzące od greckiego słowa hystėrėsis – pozostawanie w tyle) związane jest z właściwościami niektórych przemian fizycznych, polegających na tym, że ich przebieg jest różny w zależności od kierunków tych przemian [Słownik…, 1963, s. 275]. W ujęciu encyklopedycznym histereza to „zjawisko polegające na tym, że zmiany parametrów charakteryzujących stan układu (np. ciała) lub jego właściwości wywołane zmianami czynników zewnętrznych zależą od stanów poprzedzających dany stan (tzn. od historii układu)” [Nowa encyklopedia…, 1995, s. 761]. Specjaliści od elektryczności i magnetyzmu wyjaśniają zaś, że histereza ferromagnetyczna polega na niejednoznacznej zależności namagnesowania od natężenia zewnętrznego pola magnetycznego, co graficznie obrazuje tzw. pętla histerezy, natomiast pod określeniem remanencji ukrywa się tzw. pozostałość magnetyczna[14]. Okazuje się, że podobną anomalię można dostrzec w zachowaniu się kosztów przy spadku rozmiarów produkcji, na co już dość dawno zwróciła uwagę Alicja Jarugowa, stwierdzając, że przy znacznej redukcji rozmiarów produkcji poziom kosztów zmiennych maleje wolniej niż spadek rozmiarów produkcji [1986, s. 52; 2001, s. 100]. Uważa się, że istota zjawiska histerezy (zwanego też remanencją lub bezwładnością) wyraża się w tym,
iż spadek kosztów przy spadku rozmiarów produkcji bywa zwykle wolniejszy od wzrostu kosztów przy analogicznym wzroście produkcji. Edward Nowak, opisując w Leksykonie rachunkowości hasło „Histereza kosztów”, stwierdza m.in.: „Spadek kosztów wywołany zmniejszeniem wielkości produkcji jest wolniejszy od wzrostu kosztów przy analogicznym wzroście rozmiarów produkcji. Zjawisko histerezy kosztów może dotyczyć różnych elementów kosztów” [Nowak (red.), 1996, s. 61–62]. W kontekście wcześniej uczynionej uwagi, dotyczącej pojęcia histerezy oraz remanencji ferromagnetycznej, słuszniejsze wydaje się stosowanie określenia „histereza kosztów” lub „bezwładność kosztów” niż „remanencja kosztów”. Włodzimierz Świetlik szczegółowo analizuje zjawisko histerezy (remanencji) kosztów w przedsiębiorstwie, opierając się na graficznej prezentacji. Stwierdza on m.in., że przy histerezie utrzymywana dotychczas skala produkcji staje się niepotrzebna, co skłania firmę do obniżenia jej wielkości, przy czym nie ulega zmianie wielkość czynników produkcji oraz warunków technicznych, technologicznych, organizacyjnych i administracyjnych [1999, s. 139]. Juliusz Siedlecki podkreśla zaś bardzo istotny fakt, stwierdzając, że model rekurencyjny odzwierciedla zjawisko histerezy, które polega na reakcji jednych procesów ekonomicznych na inne z pewnym opóźnieniem, i że sprawdzenie, czy w zbiorze zmiennych (tj. szeregów czasowych) występuje zjawisko histerezy, powinno być tak samo ważne, jak analiza korelacyjna [2000, s. 60, 84]. Niektórzy ekonomiści mówią o zjawisku histerezy (remanencji) całkowitych kosztów stałych oraz całkowitych kosztów zmiennych, zaś istotę tego zjawiska przedstawiono na rysunku 1.11. Matematycznie zapis przedstawionego zachowania się kosztów przy zmianie wielkości działalności można ująć następująco: etap I: wzrost działalności: etap II: spadek działalności: ale K3 > K1. Dawid Habela i Robert Polaczek twierdzą [2001, s. 59], że zjawisko histerezy kosztów własnych dotyczy głównie kosztów pracy – zarówno kosztów bezpośrednich, jak i pośrednich – co wynika ze sztywności poziomu zatrudnienia, czyli niemożności szybkiego dostosowania liczby pracowników do spadku skali działalności. Zjawisko to dotyczy również majątku, zwłaszcza rzeczowego majątku trwałego, a także zapasów i należności. Rysunek 1.11. Zjawisko histerezy kosztów
Źródło: na podstawie pracy: Nowak, 1994, s. 67. Istota skorygowanego odchylenia względnego kosztów wyraża się w fakcie kształtowania obecnego poziomu kosztów przez stan poprzedni tychże kosztów, co wynika z założenia stałości współczynnika elastyczności kosztów w dwóch sąsiednich okresach. Podejście to nawiązuje zatem do istoty histerezy, którą wyraża podane wcześniej hasło encyklopedyczne. Przy zmniejszaniu się skali produkcji koszty charakteryzuje swoista „inercja”, tak jak skutkiem histerezy sprężystej jest niezupełna odwracalność dokonanego odkształcenia. Histerezę (remanencję) kosztów można więc wyjaśnić za pomocą skorygowanego odchylenia względnego kosztów. Przyjmijmy założenie, że wzrostowi produkcji z poziomu P1 do P2 odpowiada zmiana kosztów z K1 do K2, przy czym – zgodnie z formułą (1.104): (1.108)
gdzie:
– współczynnik elastyczności kosztów.
Następnie przyjmijmy, że produkcja spada z poziomu P2 do P1, natomiast zmienność kosztów zostaje zachowana, a wówczas otrzymamy: (1.109)
Zauważmy, że możemy zapisać następujące zależności:
oraz
gdzie: ∆P = P 2 – P 1,
a zatem otrzymujemy wyrażenie: (1.110)
Rozpatrzmy następnie różnicę:
a stąd (po niezbyt trudnych otrzymujemy ostatecznie:
czyli:
przekształceniach
algebraicznych) (1.111)
Kierując się zasadą analogii (w świetle rozumienia remanencji przez fizyków), proponuje się następujące określenie: – remanencja (pozostałość) kosztów,
(1.112)
przy założeniu, że P2 → P1, gdzie: P2 > P1. Oznacza to, że znak wyrażenia (DRK) zależy tylko od znaku iloczynu: e(1 – e). Mamy zatem następujące sytuacje: 1) gdy e = 0 – koszty stałe lub gdy e = 1 – koszty zmienne proporcjonalnie, wówczas: D′K = 0 oraz – zjawisko histerezy kosztów nie występuje, 2) gdy 0 < e < 1 – koszty zmienne degresywnie, wówczas: D′K > 0 oraz – zjawisko histerezy kosztów występuje, 3) gdy e > 1 – koszty zmienne progresywnie lub gdy e < 0 – koszty zmienne regresywnie, wówczas: D′K < 0 oraz
– zjawisko
histerezy kosztów występuje. Przykład 1.6 Firma „Tadeusz” specjalizuje się w produkcji drzwi antywłamaniowych. W dwóch kolejnych latach osiągnięto wzrost produkcji sprzedanej odpowiednio o 50% oraz 25% w stosunku do roku poprzedniego. Koszty pracy żywej były podporządkowane zasadzie stałości współczynnika elastyczności kosztów. Tabela 1.10. Produkcja oraz koszty pracy żywej w firmie „Tadeusz” Wyszczególnienie
Rok 1
Rok 2
Rok 3
Koszty (w mln zł)
50
80
104
Produkcja (w mln zł)
160
240
300
Rok 4
240
Źródło: opracowanie własne. W wyniku załamania się rynku produkcja sprzedana w roku czwartym spadła do poziomu z roku trzeciego, co wywołało zjawisko histerezy kosztów, gdyż nie było możliwe natychmiastowe zwolnienie zatrudnionych pracowników. W tej sytuacji możliwe jest określenie remanencji (pozostałości) kosztów zmiennych. Etap I 1. Obliczamy współczynnik elastyczności kosztów:
2. Znajdujemy zaplanowany poziom kosztów w roku trzecim:
Etap II 1. Biorąc pod uwagę, że produkcja spadła z poziomu P3 (rok trzeci) do poziomu P1 (rok pierwszy), i przyjmując, że współczynnik elastyczności kosztów nie uległ zmianie, („inercja” kosztów), otrzymamy:
czyli:
2. Znajdujemy remanencję (pozostałość) kosztów:
W literaturze przedmiotu spotkać można różne podziały przyczyn remanencji kosztów [Habela, Polaczek, 2001, s. 60–61]. Często przyczyny te dzieli się na: zewnętrzne – kierownictwo nie ma na nie wpływu, wewnętrzne – związane z wolą kierownictwa, wewnętrzne – wynikające z niepełnej wiedzy kierownictwa o stanie faktycznym, w jakim znajduje się przedsiębiorstwo. Ogólnie należy stwierdzić, że histereza (bezwładność) kosztów wynika często z trudności szybkiego dostosowania czynników produkcji do spadku produkcji [Sołtys, 2003, s. 31]. 1.9. Metody wyodrębniania kosztów stałych i kosztów zmiennych Ogólnie rzecz biorąc, w przedsiębiorstwach wykorzystuje się pięć podstawowych metod analizy i podziału koszów na stałe i zmienne, a mianowicie: księgowa, studiów technologicznych, graficzna, najwyższego i najniższego punktu oraz regresji. Można zauważyć, że im dana metoda jest bardziej złożona, tym rezultaty za jej pomocą otrzymane są lepsze (rys. 1.12). Rysunek 1.12. Metoda analizy kosztów z punktu widzenia ich złożoności i precyzji
Źródło: na podstawie pracy: Wnuk-Pel, 2009, s. 141. Poniżej syntetycznie, w ujęciu tabelarycznym, zostaną przedstawione kolejno poglądy polskich ekonomistów na temat metod wyodrębniania kosztów zmiennych oraz kosztów stałych. 1.9.1. Metoda księgowa Zaletą metody księgowej jest uwzględnianie przesłanek merytorycznych przy wyodrębnianiu kosztów stałych i zmiennych, zaś główną wadą jest subiektywny sposób podziału tych kosztów, co sprawia, że trudno ją uznać za metodę dokładną. W tabeli 1.11 przedstawiono poglądy niektórych ekonomistów na temat tej metody. Tabela 1.11. Metoda księgowa według różnych ekonomistów
Autor
Definicja
Wojciech A. Nowak [2001, s. 437]
„Metoda ta polega na analizie poszczególnych składników kosztów całkowitych danego okresu pod kątem ich wrażliwości na zmiany wolumenu produkcji. Analizę przeprowadzają rachunkowcy przy współudziale specjalistów od produkcji. W jej toku osobno grupuje się składniki wrażliwe na wolumen produkcji i składniki niewrażliwe na ten czynnik. Suma składników wrażliwych podzielona przez wolumen produkcji daje jednostkowy koszt zmienny, zaś suma składników niewrażliwych – koszt stały”
Waldemar Gos [2003, s. 183]
„Metoda księgowa polega na tym, że osoba lub grupa osób, korzystając z informacji systemu księgowości, w sposób subiektywny dzieli koszty na zmienne i stałe. Podstawową wadą metody księgowej może być jej niedokładność. Przykładowo, koszt zużycia materiałów można zakwalifikować do kosztów zmiennych. Bardziej szczegółowa analiza może jednak wykazać, że część kosztu zużycia materiałów należy do kosztów stałych, np. w zakresie materiałów używanych do utrzymania czystości”
Janina Wermut [1999, s. 19– 20]
„Analiza księgowa polega na przeglądzie sposobu reagowania poszczególnych elementów kosztów na zmiany wielkości produkcji i umownym zaliczeniu ich do stałych lub zmiennych. Koszty zmienne degresywne należy – poprzez dalszą analizę – rozłożyć na element stały i zmienny proporcjonalny, tak żeby w ostatecznym ujęciu określić łącznie poziom kosztów stałych i zmiennych, proporcjonalnych do wielkości produkcji. Przegląd taki koncentruje się na danych ewidencji księgowej, sposobach pomiaru, wyceny i rozliczania kosztów. Wykorzystuje się tutaj doświadczenie i rozsądny osąd personelu księgowego, jak też innych pracowników jednostki gospodarczej. Ze względu na niedużą pracochłonność jest to bardzo przydatny sposób analizy kosztów, chociaż posiada pewne wady. Po pierwsze daje nieprecyzyjne wyniki, a po drugie może być nieobiektywny, jako że decyzje oparte na przeprowadzonym szacunku kosztów mogą mieć konsekwencje dla tych właśnie pracowników, którzy dokonali oszacowania kosztów”
Małgorzata Paszula [2006, s. 571]
„Metoda księgowa (analizy księgowej) polega na subiektywnej kwalifikacji kosztów do stałych lub zmiennych przez pracownika działu księgowości na podstawie posiadanego przez tego pracownika doświadczenia i znajomości zachowania się kosztów w przeszłości pod wpływem zmian stopnia wykorzystania mocy produkcyjnych przedsiębiorstwa. Jest to metoda bardzo prosta. Jej podstawową wadą jest natomiast subiektywizm w kwalifikowaniu kosztów, co wiąże się z możliwością wystąpienia błędu szacunku. Dlatego też stosowanie jej jest możliwe praktycznie w przedsiębiorstwach małych, o prostym procesie produkcji”
Piotr „Metoda ta polega na dokonywaniu przydziału poszczególnych elementów kosztów Urbanek do kosztów stałych bądź zmiennych »z góry«, na podstawie ewidencji księgowej. [2000, s. 37] Obserwacja kształtowania się kosztów na przestrzeni wielu okresów sprawozdawczych umożliwia ustalenie sposobu reagowania poszczególnych elementów kosztów na zmiany rozmiarów produkcji. Metoda ta pozwala na wyodrębnienie różnych rodzajów kosztów z różną dokładnością”
Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji. 1.9.2. Metoda inżynieryjna Metodę inżynieryjną, zwaną też metodą studiów technologicznych, uważa się za bardziej precyzyjną i mniej subiektywną od metody księgowej. Tabela 1.12 zawiera poglądy niektórych ekonomistów dotyczące założeń i możliwości stosowania tej metody. Tabela 1.12. Metoda inżynieryjna według różnych ekonomistów
Autor
Definicja
Wojciech A. Nowak [2001, s. 438]
„Metoda ta polega na pomiarze bądź szacowaniu nakładów na konstytuowanie produktu oraz na podtrzymanie zdolności produkcyjnej, klasyfikowaniu tychże nakładów na zależne od zmian wolumenu produkcji i niezależne od tego rodzaju zmian, a następnie na ich wycenie. Suma wycenionych nakładów zależnych od zmian wolumenu produkcji daje koszty zmienne, zaś suma wycenionych nakładów niezależnych od zmian wolumenu produkcji daje koszty stałe. Dalsze postępowanie jest analogiczne jak w metodzie księgowej”
John J. Glynn; John Perrin; Michael P. Murphy [2003, s. 292–293]
„Wbrew nazwie, inżynierską metodę szacowania kosztów może stosować każdy księgowy lub menedżer dysponujący fachową wiedzą z zakresu procesów produkcji czy dystrybucji. Metoda ta jest szczególnie odpowiednia przy wprowadzaniu nowych produktów, procesów lub kanałów dystrybucji, kiedy to koszty historyczne odgrywają niewielką rolę, ale można ją też wykorzystywać do okresowych przeglądów dokładności i wiarygodności kalkulacji opartej na rachunku kosztów historycznych. (…) Metoda inżynierska jest szczególnie odpowiednia tam, gdzie rozważa się zmianę produktów, wielkości produkcji, metod dystrybucji itd.”
Janina Wermut [1999, s. 20– 21]
„Metoda analizy inżynieryjnej kosztów polega na pomiarze zużycia czynników produkcji na podstawie precyzyjnej analizy technicznej produktu oraz technologii i organizacji procesu produkcyjnego. Krok po kroku analizuje się czas operacji składających się na proces produkcyjny, a następnie dokonuje się jego wyceny, z uwzględnieniem kwalifikacji i wynagrodzenia pracowników. Jeśli chodzi o zużycie materiałów, to wynika ono najczęściej z dokumentacji projektowej lub z analizy konstrukcji i receptury produktu. Inne koszty ustala się w drodze analizy inżynieryjnej procesu produkcyjnego. Poczynione obserwacje pozwalają ustalić zależność zużycia wielkości produkcji. Omawiana droga dochodzenia do powyższych ustaleń daje jednocześnie możliwość zweryfikowania wielkości zużycia z punktu widzenia jego celowości. Tym samym stanowi element kontroli poziomu zużycia. Wadą jej jest duża czasochłonność i kosztochłonność. Analizę inżynieryjną kosztów przeprowadzają na ogół technicy, współpracując z księgowymi, w celu dokonania wyceny ilościowo ustalonego zużycia”
Małgorzata Paszula [2006, s. 571–572]
„Metoda inżynieryjna (studiów technologicznych) bazuje przy ustalaniu kosztów zmiennych i stałych na ustaleniu wielkości zużycia czynników produkcji w oparciu o bardzo dokładne analizy produktu oraz procesu technologicznego. Ustalenia technologów produkcji dają podstawę wyceny kosztów dla potrzeb rachunkowości. Metoda ta oceniana jest jako bardzo pracochłonna i zarazem kosztowna”
Piotr „Metoda ta polega na drobiazgowej analizie strumienia materiałów, robocizny itp. Urbanek koniecznego do zrealizowania określonej produkcji. Określony fizycznie strumień [2000, s. 37] wejścia jest następnie wyrażany w kategoriach pieniężnych. Podejście to wymaga dużego nakładu pracy i jest zazwyczaj kosztowne, jednak stosowane w odpowiednich warunkach (ścisły fizyczny związek między strumieniem wejścia i wyjścia) daje stosunkowo dokładne rezultaty”
Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji. 1.9.3. Metoda graficzna Metodę graficzną, podobnie jak metodę inżynieryjną, uważa się za bardziej precyzyjną i mniej subiektywną od wspomnianej już metody księgowej. W tabeli 1.13 zaprezentowano poglądy niektórych ekonomistów na temat wad i zalet jej stosowania. Tabela 1.13. Metoda graficzna według różnych ekonomistów
Autor
Definicja
Edward Nowak [2012, s. 80–81]
„Punktem wyjścia w metodzie analizy wykresów korelacyjnych są dane ewidencyjne dotyczące wielkości produkcji oraz rozpatrywanych składników kosztów zarejestrowane w kolejnych miesiącach ustalonego podziału czasowego (np. w roku obrotowym). Zakłada się przy tym, że kwoty poszczególnych pozycji kosztów z różnych miesięcy spełniają warunek porównywalności. Chodzi o to, aby wyeliminować wpływ różnych czynników, poza wielkością produkcji, na zmiany poziomu kosztów. Załóżmy w ogólnym przypadku, że koszty całkowite K obejmują m różnych składników, które oznaczymy przez K i, gdzie i = 1, 2, …, n. Dla każdego składnika kosztów K i należy sporządzić wykres korelacyjny, który przedstawia związek tego składnika z wielkością produkcji Q. Jeśli zostało wyodrębnionych m składników kosztów, to otrzyma się m różnych wykresów korelacyjnych, sporządzanych na prostokątnych układach współrzędnych. Kwalifikacja poszczególnych składników kosztów do kosztów stałych lub kosztów zmiennych odbywa się na podstawie analizy rozrzutu punktów empirycznych, odpowiadających wynikom obserwacji wielkości produkcji i pozycjom kosztów całkowitych. Na podstawie oceny wzrokowej rozrzutu punktów empirycznych na wykresie dokona się zazwyczaj trafnej kwalifikacji poszczególnych pozycji kosztów do kosztów stałych i zmiennych. Smuga punktów na wykresie sugeruje, jaki charakter ma rozpatrywany składnik kosztów. Metoda analizy wykresów korelacyjnych pozwala nie tylko zakwalifikować składniki koszów do tych stałych lub zmiennych. Na podstawie oceny układu punktów empirycznych na wykresach korelacyjnych można także sformułować wnioski co do charakteru zmienności różnych pozycji kosztów. Chodzi o wyróżnienie kosztów zmiennych proporcjonalnie, degresywnie, progresywnie i regresywnie”
Waldemar „Procedura postępowania w tej metodzie jest następująca: Gos [2003, na osi poziomej (X) układu współrzędnych wyznacza się wielkość produkcji, a na s. 184] osi pionowej (Y) – odpowiadające im koszty, na płaszczyźnie układu współrzędnych zaznacza się empiryczne punkty przecięcia wielkości produkcji z odpowiadającymi jej kosztami, wizualnie dopasowuje się linię łączącą wszystkie punkty przecięcia w taki sposób, aby odchylenia poszczególnych punktów od wyznaczonej linii były jak najmniejsze, przecięcie linii z osią Y wyznacza poziom kosztów stałych, natomiast jej nachylenie wyraża koszty zmienne” Tomasz Wnuk-Pel [2009, s. 144–145]
„Metoda graficzna polega na analizie zachowania się kosztów w zależności od poziomu nośnika tych kosztów na wykresie. Koszty całkowite zaznaczane są na osi pionowej, a wielkości nośnika kosztów na osi poziomej. Następnie, na podstawie wizualnego dopasowania, wykreślana jest linia najlepiej dopasowana do zaznaczonych na wykresie obserwacji. Podstawową zaletą graficznej metody analizy kosztów jest jej prostota. Metoda ta, jako wstęp do analizy statycznej ma również tę zaletę, że pozwala wizualnie zaobserwować, czy między zmienną niezależną a zmienną zależną istnieje korelacja – przypadkowe rozłożenie poszczególnych obserwacji na wykresie i trudność w wykreśleniu dobrze dopasowanej linii może sugerować, że między zmiennymi nie występuje zależność liniowa. Metoda graficznej analizy zachowania się kosztów ma jednak istotną wadę. Wykreślenie najlepiej dopasowanej do poczynionych obserwacji linii jest bardzo subiektywne i różne osoby dokonujące podziału kosztów na stałe i zmienne wyznaczą zwykle nieco inne linie. Analiza tych samych obserwacji może dostarczyć odmienne rezultaty, w zależności od:
skali w jakiej sporządzony jest wykres – zwykle niewielka skala wykresu powoduje niedoszacowanie rzeczywistych trendów, podczas gdy duża skala powoduje przeszacowanie rzeczywistych trendów; liczby obserwacji, na podstawie których sporządzany jest wykres – zwykle mniejsza liczba obserwacji powoduje przeszacowywanie rzeczywistych trendów, podczas gdy duża liczba obserwacji powoduje niedoszacowanie rzeczywistych trendów”
Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji. 1.9.4. Metoda odchyleń krańcowych[15] Metoda odchyleń krańcowych (metoda dwóch punktów, metoda najwyższego i najniższego punktu) zwana jest także metodą H-L (high-low). Postawą w tej metodzie są dane ewidencyjne dotyczące kosztów całkowitych i wielkości produkcji pochodzące z kolejnych miesięcy ustalonego okresu (najczęściej dane miesięczne z danego roku obrotowego). Idea wspomnianej metody sprowadza się do wyznaczenia jednostkowego kosztu zmiennego na podstawie odchyleń krańcowych wielkości produkcji oraz kosztów całkowitych. Owe odchylenia są ustalane na podstawie najwyższych i najniższych wielkości produkcji oraz odpowiadających im poziomów kosztów całkowitych. Jeśli weźmiemy pod uwagę najwyższą wielkość produkcji i odpowiadający jej poziom kosztów całkowitych, wówczas równanie kosztów całkowitych dla maksymalnej wielkości produkcji ma postać: (1.113)
Jeśli weźmiemy pod uwagę najniższą wielkość produkcji i odpowiadający jej poziom kosztów całkowitych, wówczas równanie kosztów całkowitych dla minimalnej wielkości produkcji przyjmie postać: (1.114)
gdzie: q max – najwyższa wielkość produkcji, Kmax – koszty całkowite odpowiadające najwyższej wielkości produkcji, q min – najniższa wielkość produkcji, Kmin – koszty całkowite odpowiadające najniższej wielkości produkcji, kz – jednostkowy koszt zmienny, KS – koszty stałe. Ostatecznie otrzymujemy następujący układ równań: (1.115)
Rozwiązanie układu równań daje nam oszacowanie jednostkowego kosztu zmiennego kz oraz kosztów stałych KS. Jednostkowy koszt zmienny wyraża poniższa formuła: (1.116)
Wielkości występujące w mianowniku i w liczniku tej formuły to odchylenia krańcowe wielkości produkcji i kosztów całkowitych. Możemy zatem zapisać: 1) odchylenie krańcowe wielkości produkcji – różnica między produkcją największą a produkcją najmniejszą w rozpatrywanym okresie, czyli: (1.117)
2) odchylenie krańcowe kosztów całkowitych – różnica między kosztami całkowitymi z miesiąca, w którym produkcja jest największa, a kosztami całkowitymi z miesiąca, w którym produkcja jest najmniejsza, czyli: (1.118)
Jednostkowy koszt zmienny kz jest zatem stosunkiem odchylenia krańcowego koszów całkowitych do odchylenia krańcowego wielkości produkcji, czyli: (1.119)
Tak wyznaczony jednostkowy koszt zmienny należy interpretować jako koszt krańcowy w ustalonym przedziale zmienności produkcji Całkowite koszty zmienne KZ dla danego poziomu produkcji q t są iloczynem jednostkowego kosztu zmiennego kz i wielkości produkcji q t , co wyraża wzór: (1.120)
gdzie: q t – wielkość produkcji w okresie t, KZt – koszty zmienne w okresie t. Możliwe są dwa podejścia do wyznaczenia kosztów stałych przy zastosowaniu metody odchyleń krańcowych. Pierwsze podejście sprowadza się do wyznaczenia kosztów stałych w poszczególnych okresach
traktowanych jako różnice kosztów całkowitych i kosztów zmiennych, czyli: (1.121)
gdzie: Kt – koszty całkowite w okresie t, KSt – koszty stałe w okresie t. Drugie podejście polega na wyznaczeniu przeciętnych kosztów stałych dla całego badanego okresu. Przeciętne koszty stałe można wyznaczyć, opierając się na równaniu najwyższych kosztów całkowitych, czyli: (1.122)
lub też na równaniu najniższych kosztów całkowitych, czyli: (1.123)
Wyniki otrzymane przy zastosowaniu obu tych wzorów będą identyczne. Poniższy przykład liczbowy przedstawia sposób wyodrębniania kosztów stałych i zmiennych na podstawie metody odchyleń krańcowych. Przykład 1.7[16] I. Metoda odchyleń krańcowych Jednostkowy koszt zmienny (kz) jest ustalany według wzoru (1.116), natomiast koszty stałe (KS) wyznaczamy według wzoru 1.122 lub 1.123. Tabela 1.14. Dane wyjściowe do przykładu 1.7 – metoda odchyleń krańcowych Okres
Produkcja (w godzinach)
Koszty (w złotych)
1
230
21 500
2
210
20 540
3
220
21 010
4
240
22 256 max
5
225
21 420
6
215
20 550
7
220
20 800
8
212
20 030
9
198
19 400 min
10
200
19 550
Źródło: na podstawie pracy: Wermut, 1999, s. 24. Koszt zmienny (na 1 godzinę):
Koszty stałe: KS = 22 256 zł – 68 zł/godz. × 240 godz. = 22 256 zł – 16 320 zł = 5936 zł. Koszty całkowite: K = 5936 zł + 68 zł/godz. × x godz. Jeśli plan produkcji okresu 11 wyniesie 185 godz., to odpowiadające temu koszty możemy wyliczyć jako: K11 = 5936 zł + 68 zł/godz. × 185 godz. = 18 516 zł. Koszty całkowite w okresie 11 wynoszą zatem 18 516 zł. II. Metoda średnich podokresów Dane porządkujemy od najniższych do najwyższych i dzielimy na dwie równe grupy. Następnie obliczamy średnie i dla tych dwóch grup. Wielkości ekstremalne zastępujemy średnimi. Obliczamy zatem:
Tabela 1.15. Dane wyjściowe do przykładu 1.7 – metoda średnich podokresów Okres
Produkcja (w godzinach)
Koszty (w złotych)
1
198
19 400
2
200
19 550
3
210
20 540
4
212
20 030
5
215
20 550
Razem
1035
100 070
6
220
20 800
7
220
21 010
8
225
21 420
9
230
21 500
10
240
22 256
Razem
1135
106 986
Źródło: dane umowne.
KS = 21 397 – (69,16×227) = 5697,88 zł lub KS = 20 014 – (69,16×207) = 5697,88 zł. Poszukiwana funkcja kosztów ma zatem postać: K = 5697,88 zł+69,16 zł/godz. × x godz. Na podstawie obliczonej zależności można przewidywać poziom kosztów dla ustalonego poziomu produkcji (w godzinach), co stanowi punkt wyjścia do dalszych analiz. 1.9.5. Metoda regresji liniowej Rodzaje współzależności między zjawiskami ekonomicznymi W badaniu współzależności zjawisk rozróżnia się dwie kategorie zależności, a mianowicie: zależność funkcyjną (zwaną też deterministyczną), zależność stochastyczną (zwaną także probabilistyczną). Ogólnie mówiąc, zależność funkcyjna polega na tym, że zmianie wartości jednej zmiennej odpowiada ściśle określona i to tylko jedna zmiana wartości drugiej zmiennej. Zależność stochastyczna między dwiema zmiennymi losowymi występuje zaś wtedy, gdy wraz ze zmianą jednej zmiennej ulega zmianie rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej. Szczególnym przypadkiem współzależności stochastycznej jest zależność korelacyjna, która występuje wtedy, gdy określonym wartościom jednej zmiennej są przyporządkowane pewne średnie z kilku wartości drugiej zmiennej. W tym przypadku nie jest możliwe określenie, jaka będzie wartość cechy Y przy danej wartości cechy X (gdzie: X – zmienna niezależna, Y – zmienna zależna), gdyż wartości cechy Y będą się wahały w pewnym przedziale wartości. Można jedynie ustalić, jak się zmieni – średnio rzecz biorąc – wartość zmiennej Y w zależności od wartości zmiennej X [Adams, Bloomfield, Booth, 1993, s. 207 i n.]. Należy wyraźnie tutaj podkreślić, że zależność stochastyczna między zjawiskami ekonomicznymi nie jest równoważna zależności przyczynowej między nimi. Mówiąc, że pewne zjawisko X jest przyczyną zjawiska Y, można mieć na myśli następujące związki [Ackoff, 1969, s. 32–34]: 1) X jest niezbędne i wystarczające dla Y,
2) X jest niezbędne, ale niewystarczające dla Y, 3) nie wiadomo, czy X jest bądź niezbędne, bądź wystarczające dla Y, lecz X i Y wykazują tendencję do łącznego występowania bądź niewystępowania. Pierwszy z powyższych związków odpowiada przyczynowości deterministycznej, drugi – przyczynowości probabilistycznej (niedeterministycznej), trzeci zaś odpowiada korelacji i może wcale nie zawierać w sobie żadnej przyczynowości. Dlatego też konieczna jest ostrożność przy formułowaniu ocen syntetycznych, pochodzących z opisu i wnioskowania korelacyjnego. Celem analizy korelacji jest stwierdzenie: a) czy między badanymi cechami występuje współzależność, b) jaki jest kształt zależności (liniowa, nieliniowa), c) jaka jest jej siła, d) jaki jest jej kierunek. Należy pamiętać, że badanie związków między cechami ma sens jedynie wtedy, gdy istnieje między nimi więź przyczynowo-skutkowa dająca się logicznie wytłumaczyć. W zależności od tego, czy analizujemy związek cech jakościowych czy też ilościowych, stosujemy różne miary korelacji. W przypadku cech ilościowych duże znaczenie ma kształt związku, gdyż on decyduje, która miara jest odpowiednia. Ustalenia kształtu tego związku można dokonać np. na podstawie diagramu korelacyjnego. Współczynnik korelacji liniowej r Pearsona służy do pomiaru korelacji cech ilościowych, przy założeniu, że związek badanych cech jest liniowy [Wasilewska, 2009, s. 285]. W sytuacji gdy mamy dane indywidualne (szereg korelacyjny), w celu wyznaczenia współczynnika korelacji r Pearsona korzystamy ze wzoru: (1.124)
gdzie:
przy czym, jeśli: rXY = 0 – brak związku liniowego, rXY = 1 – zależność korelacyjna przechodzi w zależność funkcyjną, rXY > 0 – korelacja dodatnia (wzrost wartości jednej cechy pociąga za sobą wzrost średnich wartości drugiej cechy),
rXY < 0 – korelacja ujemna (wzrost wartości jednej cechy pociąga za sobą spadek średnich wartości drugiej cechy). Analiza korelacji pozwala ustalić siłę związku między badanymi cechami, a w przypadku gdy obie cechy są mierzalne – także kierunek i kształt tego związku. Gdy badamy cechy mierzalne i analiza korelacji wskazuje na istnienie zależności między cechami, to interesuje nas ilościowy opis powiązań między tymi cechami. Sprowadza się to do znalezienia analitycznej postaci związku między badanymi cechami – zagadnieniem tym zajmuje się analiza regresji. Celem analizy regresji jest znalezienie określonej funkcji matematycznej, która w jak najlepszy sposób opisywałaby zależność między cechami (zmiennymi) – jest to tzw. funkcja regresji[17]. Zależność statystyczna występuje wtedy, gdy konkretnej wartości jednej zmiennej może odpowiadać wiele różnych wartości drugiej zmiennej. Na kształtowanie się zmiennej będącej efektem ma wpływ nie tylko zmienna przyjęta jako przyczyna, lecz oddziałują na nią także czynniki „zakłócające” – zwane składnikiem losowym. Równanie opisujące związek między cechami, które uwzględnia obecność składnika losowego, nazywane jest równaniem regresji. Metoda regresji liniowej – istota Gdy badamy związek tylko dwóch cech (X i Y) i jeśli zależność między nimi jest liniowa, to model regresji (funkcję regresji) zapisuje się następująco: (1.125)
gdzie: X – zmienna objaśniająca (niezależna), Y – zmienna objaśniana (zależna), a – wyraz wolny regresji, b – tzw. współczynnik regresji (regresji Y względem X), ξ – składnik losowy. Wyznaczanie parametrów liniowego modelu regresji Celem jest znalezienie analitycznej postaci funkcji liniowej, które w możliwie najlepszy sposób przedstawia zależność między badanymi cechami. Szukamy takiej prostej, która byłaby najlepiej dopasowana do punktów wyznaczonych empirycznie [Aczel, 2000, s. 464 i n.]. Równanie dla konkretnych danych (xi, yi) można zapisać następująco: (1.126)
gdzie: yi – rzeczywiste wartości cechy Y, xi – rzeczywiste wartości cechy X, a – wyraz wolny w równaniu regresji; b – współczynnik regresji liniowej
a – wyraz wolny w równaniu regresji; b – współczynnik regresji liniowej cechy Y względem cechy X, ui – tzw. reszta modelu (wartość składnika losowego dla i-tej obserwacji). Reszty modelu (składniki resztowe) to odchylenia wartości rzeczywistych yi od wartości teoretycznych regresji), czyli:
(wynikających z równania (1.127)
dla i = 1, 2, …, n (gdzie n – liczba obserwacji).
Parametry równania regresji wyznaczamy za pomocą tzw. klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK), której idea oparta jest na relacji: (1.128) – funkcja dwóch zmiennych.
Warunkiem koniecznym jest zerowanie się pochodnych cząstkowych funkcji W, co prowadzi do tzw. układu równań normalnych (sumacyjnych) o postaci: (1.129)
Rozwiązanie tego układu ma postać: (1.130)
Stosuje się także wzory o postaci: (1.131)
oraz (1.132)
gdzie: xi – rzeczywiste wartości cechy X, yi – rzeczywiste wartości cechy Y, – średnia arytmetyczna wartości cechy X, – średnia arytmetyczna wartości cechy Y. Jeśli zależność kosztów całkowitych od wielkości produkcji ma
Jeśli zależność kosztów całkowitych od wielkości produkcji ma charakter liniowy, wówczas:
(1.133)
Ocena dopasowania („dobroci”) modelu do danych empirycznych 1. Odchylenie standardowe reszt (standardowy błąd dopasowania, przeciętna reszta): (1.134)
informuje o tym, o ile przeciętnie różnią się rzeczywiste wartości zmiennej Y od wartości teoretycznych. 2. Współczynnik zmienności losowej: (1.135)
informuje, jaka część (procent) średniego poziomu cechy Y stanowi przeciętna reszta (o ile procent przeciętnie mylimy się, określając wartości cechy Y za pomocą wyznaczonego równania regresji). 3. Współczynnik zbieżności: (1.136)
określa, jaka część całkowitej zmienności cechy Y nie została wyjaśniona wpływem zmienności cechy X (czyli ma charakter losowy) [Siedlecka, 1999, s. 282–288]. 4. Współczynnik determinacji: (1.137)
informuje, jaka część zmienności cechy objaśnianej Y została wyjaśniona przez zbudowany model regresji. Przykład 1.8 Tabela 1.16 zawiera dane wyjściowe przykładu 1.8 oraz część obliczeniową do KMNK. Opiera się na założeniu o liniowej zależności kosztów całkowitych od wielkości produkcji. Tabela 1.16. Matryca robocza do klasycznej metody najmniejszych
Tabela 1.16. Matryca robocza do klasycznej metody najmniejszych kwadratów Miesiące 1
2
3
4
5
6
7
1
230
21 500
13
794,40
169
631 071,36
10 327,20
2
210
20 540
–7
– 165,60
49
27 423,36
1 159,20
3
220
21 010
3
304,40
9
92 659,36
913,20
4
240
22 256
23
1 550,40
529
2 403 740,10
35 659,20
5
225
21 420
8
714,40
64
510 367,36
5 715,20
6
215
20 550
–2
– 155,60
4
24 211,36
311,20
7
220
20 800
3
94,40
9
8 911,36
283,20
8
212
20 030
–5
– 675,60
25
456 435,36
3 378,00
9
198
19 400
– 19
– 1 305,60 361
1 704 591,30
24 806,40
10
200
19 550
– 17
– 1 155,60 289
1 335 411,30
19 645,20
Razem
2170 207 056 X
X
7 194 822,20
102 198,00
1 508
Źródło: opracowanie własne na podstawie pracy: Wermut, 1999, s. 27. Mamy zatem:
Funkcja kosztów całkowitych przyjmuje postać:
Obliczmy dodatkowo przykładu wynosi:
współczynnik
korelacji,
który
dla
danego
Otrzymany wynik świadczy o silnej korelacji między produkcją a kosztami. Jest to korelacja prawie doskonała (zależność ściśle liniowa). Kwadrat współczynnika korelacji jest równy współczynnikowi determinacji, czyli: (1.138)
W podanym przykładzie wynosi on 0,98, co oznacza, że 98% zmian
W podanym przykładzie wynosi on 0,98, co oznacza, że 98% zmian kosztów wynika ze zmiany wielkości produkcji, a tylko 2% ma charakter losowy (zmianę kosztów spowodowały inne przyczyny). Henryk Sobolewski stwierdza, że podział kosztów na dwie kategorie: koszty stałe i koszty zmienne, jest podziałem w znacznym stopniu uproszczonym, ponieważ „z ewidencji księgowej przy obowiązujących standardach bezpośrednio nie wynika, które koszty należy wprost zaliczyć do stałych, a które do zmiennych” [2010, s. 171][18]. Wydaje się, że ten pesymizm nie do końca jest zasadny w świetle mnogości różnych koncepcji podziału kosztów.
Rozdział 2 Próg rentowności produkcji jednorodnej – wybrane zagadnienia
W zarządzaniu przedsiębiorstwem niezbędna jest systematyczna ocena relacji między przychodami, kosztami i zyskiem. Analiza progu rentowności, zwana także analizą punktu krytycznego, jest narzędziem, które umożliwia dokonanie takiej oceny. Pod pojęciem progu rentowności rozumiemy najmniejszy rozmiar działalności przedsiębiorstwa, przy którym przychody ze sprzedaży zrównują się z kosztami całkowitymi. Analiza progu rentowności ma charakter analizy krótkookresowej, przy czym podstawą dla niej jest rachunek kosztów zmiennych. W rozdziale tym zostanie omówiona problematyka progu rentowności w warunkach produkcji jednorodnej (jednoasortymentowej), co pozwala na przybliżenie analizy wrażliwości progu rentowności, a ponadto stanowi wygodne narzędzie dydaktyczne. 2.1. Koncepcja CVP Koncepcja CVP (cost-value-profit, czyli: koszt – ilość – zysk) analizuje wzajemne oddziaływanie wymienionych trzech podstawowych czynników na wyniki finansowe, które osiąga przedsiębiorstwo [Tuczko, 2001, s. 90]. Zdaniem zachodnich ekonomistów analiza CVP jest, po prostu, metodą badania zależności między zmianami wielkości produkcji a zmianami kosztów i zysku [Glautier, Underdown, 1991, s. 523]. Jak zauważa Bartłomiej Nita, analiza CVP pozwala [2008, s. 160]: 1) ustalić rozmiary działalności, przy których przedsiębiorstwo uzyskuje wynik na poziomie równym zeru, 2) obliczyć wynik ze sprzedaży przewidywanej ilości wyrobów lub usług, 3) wyznaczyć wielkość sprzedaży, która zapewni przedsiębiorstwu pożądany zysk, 4) dokonać kalkulacji, o ile należy zwiększyć rozmiary działalności, aby pokryć dodatkowe koszty stałe, 5) określić cenę sprzedaży, przy której przedsiębiorstwo przy zadanych rozmiarach działalności osiągnie pożądany zysk, 6) przeprowadzić analizę wrażliwości w ramach modelu CVP.
Tabela 2.1. Założenia koncepcji CVP w ujęciu różnych autorów Edward Nowak
Colin Drury
Jarosław Mielcarek
1. Analiza progu rentowności dotyczy krótkiego okresu. 2. Analiza dotyczy przedziału zmienności produkcji, który odpowiada normalnym zdolnościom produkcyjnym. 3. Zakłada się, że czynniki nieuwzględnione w analizie nie ulegają zmianom. 4. Przyjmuje się, że wielkość sprzedaży jest równa wielkości produkcji. 5. Zakłada się, że przychód ze sprzedaży jest proporcjonalny do ilości sprzedaży, tzn. cena sprzedaży jest stała. 6. Zakłada się, że koszty całkowite zależą liniowo od wielkości produkcji, tzn. że koszty stałe mają charakter bezwzględnie stały, a koszty zmienne są kosztami proporcjonalnie zmiennymi.
1. Analiza CVP jest analizą krótkoterminową. 2. Można zdefiniować produkt działalności przedsiębiorstwa. 3. Analiza dotyczy jednego produktu lub wielu produktów o stałej strukturze, niezależnie od rozmiarów sprzedaży. 4. Analiza jest prowadzona w ustalonym przedziale istotności. 5. Zakłada się niezmienność czynników nieuwzględnionych w analizie. 6. Wielkość produkcji jest równa wielkości sprzedaży. 7. Całkowite koszty działalności operacyjnej można podzielić na stałe i zmienne. 8. Zarówno całkowite koszty, jak i całkowite przychody są funkcją liniową wielkości produkcji i sprzedaży. 9. Koszty zmienne mają charakter kosztów proporcjonalnie zmiennych, a koszty stałe są bezwzględnie stałe.
1. Celem działania przedsiębiorstwa jest maksymalizacja zysku. 2. Menedżer posiada doskonałą wiedzę na temat popytu, funkcji kosztów stałych, funkcji kosztów zmiennych i funkcji sprzedaży. 3. Menedżer działa w warunkach braku niepewności i ryzyka. 4. Zyski są kalkulowane na bazie kosztów zmiennych. 5. Analiza prowadzona jest dla krótkiego okresu. 6. Popyt jest mniejszy od zdolności produkcyjnych przedsiębiorstwa. 7. Ceny są stałe niezależnie od wielkości popytu. 8. Działa prawo stałych przychodów. 9. Podstawowy mechanizm przyczynowo-skutkowy można zapisać za pomocą sekwencji popyt – wolumen – koszt – zysk. 10. Pojedynczy produkt lub stała struktura produkcji i sprzedaży. 11. Zasoby, których zużycie tworzy koszty stałe, są określone i niepodzielne. 12. Zasoby, których zużycie tworzy koszty stałe, są doskonale elastyczne produkcyjnie. 13. Zasoby, których zużycie tworzy koszty zmienne, są doskonale podzielne 14. Istnieje natychmiastowa dostępność każdego z zasobów po stałej cenie.
Źródło: opracowanie własne na podstawie prac: Nowak, 2004, s. 69; Drury, 2000, s. 248, cyt. za: Nita, 2008, s. 157–158; Mielcarek, 2005a, s. 43. Ogólnie biorąc, relację: koszt – wolumen produktu – zysk wyraża model ekonomiczny o postaci: EBIT = PS(q) – KZ(q) – KS,
(2.1)
gdzie: EBIT – zysk operacyjny (earnings before interest and taxes – zysk przed spłatą odsetek i opodatkowaniem)[1], PS(q) – przychód ze sprzedaży jako funkcja liczby sprzedanych produktów, KZ(q) – koszty zmienne jako funkcja liczby sprzedanych produktów, KS – koszty stałe okresu[2]. W tabeli 2.1 przedstawiono trzy podejścia dotyczące założeń koncepcji CVP. Jarosław Mielcarek [2005a, s. 24 i n.] dokonał rekonstrukcji założeń koncepcji CVP z uwagi na, jego zdaniem, dyskusyjność założeń podawanych przez Colina Drury’ego, a także przez innych ekonomistów, co można prześledzić na podstawie publikacji wymienionego autora. 2.2. Charakterystyka analizy progu rentowności Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak stwierdzają, że próg rentowności należy określać „jako najmniejszy rozmiar działalności firmy, przy którym przychody uzyskiwane ze sprzedaży produktu (wyrobu lub usługi) w pełni pokrywają ponoszone koszty. Firma ani nie osiąga zysku, ani nie ponosi kosztów – rentowność sprzedaży wynosi zero” [2005, s. 136]. Według Jacka Kowalczyka „Wielkość produkcji, przy której ma miejsce zrównanie przychodów z kosztami, czyli zerowy wynik finansowy nazywany jest progiem rentowności (BEP – z ang. break even point, co można tłumaczyć jako „punkt przełamania równości”) [2006, s. 93]. Czasem próg rentowności bywa nazywany „punktem równowagi”, „punktem bez straty”, „punktem zerowym”, „progiem zysku” lub „punktem krytycznym”. Zdaniem Bożyny Pomykalskiej „zrównanie przychodu netto ze sprzedaży z kosztami całkowitymi (kosztami zmiennymi i stałymi operacyjnymi) funkcjonowania przedsiębiorstwa oznacza wyznaczenie księgowego progu rentowności” [2007, s. 105]. Jeden z zachodnich ekonomistów stwierdza po prostu, że próg rentowności można określić jako taki poziom sprzedaży (wyrażony w jednostkach naturalnych lub pieniężnych), który pozwala na pokrycie wszystkich kosztów [French, 1985, s. 36]. Zasadne jest stwierdzenie Roberta Machały, wedle którego analiza progu rentowności jest jakby jednocześnie wycinkiem analizy wrażliwości i szczególną wersją analizy typu „co będzie, jeśli…”. Ponadto autor ten proponuje, by przez analogię do tradycyjnego rozumienia progu rentowności przenieść to określenie „na każdą zmienną i w stosunku do każdej miary” [2001, s. 189–190]. Korzystanie z NPV jako miary opłacalności projektu oznacza, że w tym przypadku progiem rentowności będzie taka wartość zmiennej, przy której NPV projektu wynosi zero. Zauważyć także warto, że niektórzy ekonomiści mówią o analizie progu zysku, co wiąże się z omawianym progiem rentowności [Bień, 2000, s. 140–142]. Rysunek 2.1 jest graficzną ilustracją istoty progu rentowności według modelu księgowego, ujętego formułą [Siegel, Shim, Hartman, 1999, s. 820]:
progowa wartość sprzedaży = koszty zmienne + koszty stałe. Przyjmując, iż funkcje mogą być nieliniowe, można spotkać się z sytuacją, że będą istnieć dwa progi rentowności („dolny” oraz „górny”), co zilustrowano na rysunku 2.2. Rysunek 2.1. Koszty – wolumen w ujęciu księgowym
Źródło: na podstawie pracy: Drury, 1998, s. 271. Rysunek 2.2. Koszty – wolumen w ujęciu ekonomicznym
Źródło: na podstawie pracy: Drury, 1998, s. 269. Przypadek nieliniowej postaci progu rentowności nie będzie omawiany w tej pracy, ponieważ takie funkcje rzadko odpowiadają danym empirycznym. Jak podaje Zofia Krokosz-Krynke, zachodni ekonomiści formułują następujące założenia, które są zarazem ograniczeniami analizy progu rentowności [2007, s. 159–160]:
1) zmiana w poziomie przychodu i kosztów wynika tylko ze zmiany ilości jednostek produktu wytworzonych i sprzedanych; tak więc ilość jednostek na wyjściu jest jedynym nośnikiem przychodu i jedynym nośnikiem kosztu; 2) koszt całkowity jest podzielony na część stałą i zmienną; część stała jest niezależna od poziomu działania, część zmienna zależy od poziomu działania (ilości produktów wytworzonych i sprzedanych); 3) przychód i koszty zachowują się liniowo w odniesieniu do poziomu działania (dla określonego przedziału działania i przedziału czasu); 4) cena sprzedaży, jednostkowy koszt zmienny i koszty stałe (dla przedziału czasu) są znane i nie ulegają zmianie; 5) analiza bądź dotyczy pojedynczego produktu, bądź zakłada, że proporcje produktów przy wielu produktach pozostają niezmienne przy zmieniającym się poziomie sprzedaży ogółem; 6) wszystkie przychody i koszty mogą być dodane i porównywane bez uwzględniania wartości pieniądza w czasie. Z. Krokosz-Krynke podkreśla, że „Analiza progu rentowności dla wielu produktów gdzie szuka się wartościowego progu rentowności zakłada niezmieniające się proporcje produktów (założenie nr 5)”, a ponadto dodaje, że dalsze „uproszczenie przyjęte w założeniach analizy progu rentowności to to, że jest jeden nośnik kosztów. W rzeczywistości nośników kosztów może być wiele” [ibidem, s. 162]. Wiliam F. Samuelson i Stephen G. Marks zwracają m.in. uwagę, że „założenie o liniowości funkcji utargu i kosztów jest uproszczeniem – przybliżeniem, które daje dostatecznie dokładny wynik tylko przy małych zmianach wielkości produkcji i poziomu ceny” [1998, s. 82]. Zdaniem Sławomira Nahotko [1998, s. 206–207] analiza progu rentowności może być użyteczna do: (1) wyboru technologii, (2) ustalania planowanej wielkości produkcji, (3) planowania wyniku finansowego, (4) ustalania poziomu zatrudnienia, (5) kształtowania cen wyrobów, (6) wyboru takiej grupy wyrobów, która przynosi największy zysk, (7) podejmowania decyzji inwestycyjnych, (8) badania kosztów zmiennych, (9) ustalania współczynnika bezpieczeństwa, (10) ustalania progu gotówkowego, (11) obliczeń stopnia wykorzystania mocy produkcyjnej w punkcie określającym próg rentowności. Mieczysław Dobija [2001, s. 164] wyróżnia dwa podejścia do analizy CVP: deterministyczne i probabilistyczne. Autor ten dodaje, że w przypadku pierwszym do opisu zależności między dochodami, kosztami a zyskami wykorzystuje się funkcje liniowe bez dodatkowych komplikacji teoretycznych. W związku z tym przy stosowaniu deterministycznej wersji CVP obowiązuje założenie o liniowości zależności między badanymi wielkościami.
Rysunek 2.3 przedstawia w syntetycznej formie podstawowe założenia analizy CVP. Rysunek 2.3. Podstawowe założenia związane z analizą CVP
Źródło: na podstawie pracy: Kucharczyk, 2014, s. 292. W związku z tym, że często brakuje istotnych informacji dotyczących podziału kosztów na stałe i zmienne, ekonometrycy proponują własne podejście metodologiczne do problematyki znajdowania progu rentowności, który umownie jest nazywany „nieklasycznym progiem rentowności” [zob. Tarczyński, Gazińska, 2008, s. 97–112][3]. Praca ta poświęcona jest jednak klasycznej analizie progu rentowności, przeto podejście ekonometryczne zostanie pominięte. 2.3. Płaszczyzna badawcza progu rentowności produkcji jednoasortymentowej Punktem wyjścia statycznej analizy progu rentowności jest model finansowy dotyczący produkcji (sprzedaży) jednoasortymentowej. Jest to zagadnienie stosunkowo łatwe, przeto można je przedstawić syntetycznie, co ilustruje tabela 2.2. Znajdowanie progu rentowności przy tak prostym
modelu zysku operacyjnego zostało określone jako płaszczyzna I analizy progu rentowności. Podczas analizy przyjęto następujące założenia: produkcja jest jednoasortymentowa; model prosty zysku operacyjnego ma postać: równanie objaśniające próg rentowności ma postać: przy czym: q′ – wielkość produkcji i sprzedaży wyrobu, niezbędna do osiągnięcia progu rentowności. Tabela 2.2. Analiza progu rentowności – płaszczyzna I Ilościowy próg rentowności
Wartościowy próg rentowności
gdzie:
gdzie:
Objaśnienia: q – wielkość produkcji i sprzedaży wyrobu; c – cena jednostkowa wyrobu; kz – koszt jednostkowy zmienny; m – jednostkowa marża pokrycia; KS – koszty stałe okresu; r – stopa jednostkowej marży pokrycia. Źródło: opracowanie własne. Zamieszczone w tabeli 2.2 wzory określające próg rentowności dotyczą produkcji jednorodnej, która stosunkowo rzadko występuje w przedsiębiorstwach. Według wspomnianego już S. Nahotki tego typu produkcja występuje w elektrowniach, cukrowniach oraz browarach. Autor ten zauważa, że często „występują przedsiębiorstwa, które wytwarzają produkty tego samego typu, ale różniące się np. wielkością, kształtem, składem surowcowym. Produkcję takich wyrobów można traktować także jako produkcję jednorodną. Należy wówczas ustalić wyrób traktowany jako standard, na który przelicza się koszty i ceny innych, podobnych wyrobów” [1998, s. 209–210]. Na przykład w drukarni można przeliczać poszczególne produkty na arkusze drukarskie o jednakowej powierzchni, w browarze mogą to być litry, zaś w firmie meblarskiej – metry kwadratowe lub sześcienne drewna itp. 2.4. Modyfikacja klasycznego ujęcia progu rentowności Jan Duraj uważa, że przy badaniu progu rentowności „trzeba uzupełnić formułę ilościowego i wartościowego progu rentowności produkcji o współczynnik elastyczności tych kosztów, gdyż w ten sposób uzyskujemy pełniejszą przystawalność tego modelu do rzeczywistych warunków działania przedsiębiorstwa” [2006, 253]. Autor ten proponuje stosowanie następujących formuł: a) dla ilościowego progu rentowności produkcji:
(2.2)
b) dla wartościowego progu rentowności produkcji: (2.3)
gdzie: EC – współczynnik elastyczności zmiennych kosztów, pozostałe oznaczenia – jak w tabeli 2.2[4]. Okazuje się jednak, że formuły (2.2) i (2.3) mogą budzić pewne wątpliwości, co wykażą przedstawione niżej rozważania[5]. Zmodyfikowana koncepcja korekty progu rentowności Dla funkcji jednej zmiennej, tj. y = f(x), z tzw. rozwinięcia Taylora mamy formułę: (2.4)
Stąd otrzymujemy:
co prowadzi do znanej relacji o postaci: (2.5)
gdzie: – to elastyczność punktowa. Przypadek I – koszty zmienne progresywnie (e > 1) Przyjmijmy, że mamy równość, czyli: (2.6)
Względna zmiana zmiennej zależnej jest (w przybliżeniu) iloczynem elastyczności tej zmiennej oraz względnej zmiany zmiennej niezależnej (wzór daje dobre przybliżenia, gdy są to małe zmiany). Stąd otrzymujemy: (2.7)
W związku z tym, że mamy:
oraz
ostatecznie więc (2.8)
czyli
(zakładając, że
czyli: (2.9)
gdzie:
– to wskaźnik dynamiki sprzedaży.
Interpretacja geometryczna: styczna (związana z kosztów. Stąd otrzymujemy relację:
) leży pod krzywą
(2.10)
Przypadek II – koszty zmienne degresywnie (0 < e < 1) Podobne rozważania, zważywszy, że ∆ y < 0, prowadzą do formuły:
a stąd ostatecznie otrzymujemy:
czyli
(zakładając, że
a zatem: (2.11)
Interpretacja geometryczna: styczna (związana z kosztów, a zatem mamy:
) leży nad krzywą (2.12)
Jeśli chcemy ocenić skalę wprowadzonej „poprawki”, wówczas należy posłużyć się tempem zmiany progu rentowności, co przedstawia wzór:
(2.13)
Przykład 2.1 W celu zbadania skali błędu przyjmijmy, że: p = 335, kz = 175, ez = 1,2, zaś dq = 1,3. Opierając się na podanym wzorze, obliczamy, o ile procent zmieni się próg rentowności z tytułu wprowadzonej korekty. Mamy więc:
Jak widać, jest to zmiana, której nie należy lekceważyć przy wnikliwej analizie progu rentowności. 2.5. Dynamiczna analiza progu rentowności produkcji jednoasortymentowej[6] 2.5.1. Ogólne ujęcie problematyki Założenie o stałości parametrów kształtujących próg rentowności ma rację bytu jedynie w krótkim czasie, stąd pojawiła się koncepcja badania wrażliwości progu rentowności na zmiany podstawowych parametrów modelu. Próg rentowności produkcji jednoasortymentowej jest uzależniony od trzech parametrów, co możemy zapisać następująco: (2.14) – ujęcie ilościowe, (2.15) – ujęcie wartościowe,
gdzie: KS – koszty stałe okresu, p – cena jednostkowa sprzedaży, kz – jednostkowe koszty zmienne (przy czym: p > kz). Niech wszystkie trzy parametry równocześnie ulegną zmianie, wówczas otrzymamy nowy próg rentowności w postaci: (2.16) – ujęcie ilościowe
oraz (2.17)
– ujęcie wartościowe,
gdzie: – skorygowany próg rentowności, αi (i = 1, 2, 3) – stopy procentowe parametrów KS, p, kz, przy czym:
jw.
oraz αi > – 1 (co wynika z definicji stopy procentowej), pozostałe oznaczenia –
Ponadto musi być spełniony warunek gwarantujący istnienie progu rentowności, tj.:
Mamy zatem w postaci:
warunek
konieczny
istnienia
progu
rentowności
(2.18)
Stąd otrzymujemy wskaźniki dynamiki zmiany progu rentowności: (2.19)
oraz (2.20)
Ponadto mamy zależność: (2.21) Dość proste przekształcenia prowadzą do formuł na odchylenia względne progu rentowności. Znajdujemy zatem następujące wskaźniki: 1) wskaźnik relatywnej zmiany ilościowego progu rentowności: (2.22)
2) wskaźnik relatywnej zmiany wartościowego progu rentowności: (2.23)
Wzory (2.22–2.23) informują, o jaki ułamek (procent) wzrósł lub zmalał ilościowy (wartościowy) próg rentowności z tytułu zmiany parametrów KS, p i kz. Następnie mamy zależność określoną jako: (2.24)
lub (2.25)
Stąd otrzymujemy następującą relację między oboma rodzajami progów rentowności: (2.26)
Oznacza to, że wzrost (spadek) ceny sprawia, iż względna zmiana progu wartościowego jest większa (mniejsza) niż progu ilościowego. 2.5.2. Zagadnienie tempa zmiany zysku operacyjnego Zakładamy, że zysk operacyjny EBIT ulega zmianie z tytułu zmiany ceny jednostkowej (p), kosztów jednostkowych zmiennych (kz) oraz kosztów stałych (KS). Mamy zatem: (2.27)
gdzie:
oraz
Ostatecznie otrzymujemy: (2.28)
lub (2.29)
gdzie: – to mnożniki odpowiednio: ceny, kosztów stałych oraz kosztów jednostkowych zmiennych[7]. 2.5.3. Analiza wrażliwości progu rentowności Rozważmy scenariusze zmiany jednego z trzech parametrów progu rentowności. Scenariusz I Zakładamy, że zmianie ulega tylko cena jednostkowa, zaś pozostałe parametry pozostają na poziomie wyjściowym. Mamy wówczas sytuację, w której: α1 = α3 = 0 oraz α2 = α(α ≠ 0).
(2.30)
Wzory (2.22–2.23) możemy uprościć do postaci: (2.31)
a stąd otrzymujemy funkcję: (dla rentowności), (2.32)
co wynika z warunku istnienia progu
gdzie: – to stopa marży jednostkowej. W przypadku wartościowego progu rentowności mamy zależność: (2.33)
a stąd otrzymujemy inne ujęcie przyjmujące postać: (2.34)
Tempo zmiany zysku operacyjnego uzależnione jest od mnożnika ceny, co wyraża następujący wzór: (2.35)
Rysunki 2.4 i 2.5 przedstawiają poziom względnej zmiany ilościowego oraz wartościowego progu rentowności w zależności od stopy zmiany ceny jednostkowej.
Rysunek 2.4. Tempo zmiany ilościowego w zależności od stopy zmiany ceny produktu
progu
rentowności
Źródło: opracowanie własne. Rysunek 2.5. Tempo zmiany wartościowego progu rentowności w zależności od stopy zmiany ceny produktu
Źródło: opracowanie własne.
Scenariusz II Zakładamy, że zmianie ulega tylko jednostkowy koszt zmienny, zaś pozostałe parametry pozostają na poziomie wyjściowym. Mamy wówczas sytuację, w której: α1 = α2 = 0 oraz α3 = α(α ≠ 0).
(2.36)
Opierając się na wzorach (2.22–2.23), otrzymujemy: (2.37)
a stąd uzyskujemy funkcję: (2.38)
dla (co wynika z warunku istnienia progu rentowności). Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża formuła: (2.39)
Kolejny rysunek (rys. 2.6) ilustruje zależność tempa zmiany progu rentowności w zależności od stopy zmiany jednostkowych kosztów zmiennych. Rysunek 2.6. Tempo zmiany progu rentowności w zależności od stopy zmiany jednostkowych kosztów zmiennych produktu
Źródło: opracowanie własne. Scenariusz III Zakładamy, że zmianie ulega tylko całkowity koszt stały, zaś pozostałe parametry pozostają na poziomie wyjściowym. Mamy wówczas sytuację, w której: α2 = α3 = 0 oraz α1 = α(α ≠ 0).
(2.40)
Opierając się na wzorach (2.22–2.23), otrzymujemy: (2.41)
czyli mamy funkcję: (2.42)
Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża się wzorem: (2.43)
Podsumowując powyższe rozważania, należy powtórzyć uwagi Edwarda Nowaka [2005, s. 572], że przy niezmienionych dwóch parametrach: zmiana sprzedaży powoduje obniżenie (podwyższenie) progu rentowności, jeśli cena jednostkowa rośnie (spada), zmiana jednostkowego kosztu zmiennego powoduje podwyższenie (obniżenie) progu rentowności, jeśli koszt jednostkowy rośnie (maleje),
zmiana kosztów stałych powoduje podwyższenie (obniżenie) progu rentowności, jeśli koszty stałe rosną (maleją). Rozważmy ponadto kilka scenariuszy jednoczesnych zmian dwóch parametrów progu rentowności. Scenariusz IV (optymistyczny) Zakładamy, że: cena sprzedaży i koszty zmienne jednostkowe ulegają zmianie o ten sam procent, koszty stałe pozostają na poziomie wyjściowym. Mamy wówczas sytuację, w której: α1 = 0 oraz α2 = α3 = α(α ≠ 0).
(2.44)
Opierając się na wzorach (2.22–2.23), otrzymujemy: (2.45)
a stąd uzyskujemy funkcje: (2.46)
Tempo zmiany zysku operacyjnego operacyjnej, co ujęte jest wzorem:
kształtuje
stopień
dźwigni (2.47)
gdzie: DOL(q) – stopień dźwigni operacyjnej (mnożnik przychodowokosztowy). Rysunek 2.7 pokazuje, jak zmienia się tempo zmiany progu rentowności przy takiej samej stopie zmiany ceny i jednostkowych kosztów zmiennych. Oznacza to, że zasadne było domniemanie H. Sobolewskiego, iż „zmiany relacji między kosztami stałymi i zmiennymi nie mają istotnego wpływu na odchylenie progu rentowności, choć każdy z tych czynników z osobna ma wpływ znaczący” [2007, s. 193]. Rysunek 2.7. Tempo zmiany progu rentowności w przypadku jednakowej względnej zmiany ceny i jednostkowych kosztów zmiennych produktu
Źródło: opracowanie własne. Scenariusz V (pesymistyczny) Zakładamy, że: koszty stałe i jednostkowe koszty zmienne ulegają zmianie o ten sam procent, cena sprzedaży pozostaje na poziomie wyjściowym. Mamy wówczas sytuację, w której: α2 = 0 oraz α1 = α3 = α(α ≠ 0).
(2.48)
Opierając się na wzorach (2.22–2.23), otrzymujemy: (2.49)
Stąd uzyskujemy funkcję: (2.50)
co oznacza, że oba rodzaje progów rentowności ulegają takiej samej zmianie[8]. Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża się wzorem: (2.51)
Rysunek 2.8 ilustruje zależność względnej zmiany progu rentowności od stopy zmiany obu rodzajów kosztów. Rysunek 2.8. Tempo zmiany progu rentowności w zależności od równoczesnej względnej zmiany kosztów stałych i kosztów zmiennych produktu
Źródło: opracowanie własne. Wniosek. Przy ustalonym parametrze r funkcja T5(α) jest funkcją homograficzną rosnącą, a zatem gdy parametr α rośnie, wówczas próg rentowności wzrasta więcej niż proporcjonalnie, gdy zaś parametr ten maleje, to spadek progu ilościowego jest mniej niż proporcjonalny. Scenariusz VI Zakładamy, że wszystkie parametry ulegają takiej samej zmianie, czyli przyjmujemy, iż spełniona jest równość: α1 = α2 = α3 = α(α ≠ 0).
(2.52)
Wówczas otrzymamy: (2.53)
co daje nam proste zależności funkcyjne w postaci: (2.54)
Wniosek. Z taką sytuacją mamy do czynienia w warunkach inflacji, gdy występuje wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług w gospodarce, zaś
parametr α oznacza ogólny poziom inflacji (stopę inflacji). Pierwsza zależność jest oczywista, gdyż inflacja nie wpływa na produkcję w ujęciu ilościowym. Druga zależność informuje zaś, że wartościowy próg rentowności, uwzględniający inflację, jest wyższy o stopę inflacji od progu rentowności ustalonego w warunkach braku inflacji [Sojak, 2003, s. 274 i n.]. Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża formuła: (2.55)
Oznacza to, że w powyższym przypadku wartościowy próg rentowności zmienia się tak samo, jak zysk operacyjny. Scenariusz VII Zakładamy, że wzrost ceny danego produktu jest inny niż wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług w gospodarce. W takim przypadku stopę inflacji przyjmujemy dla kosztów stałych i jednostkowego kosztu zmiennego, zaś cenę sprzedaży produktu korygujemy o indywidualny indeks jej wzrostu [Nowak, 2003, s. 93]. Jeżeli przyjmiemy, że: α1 = α3 = α(α ≠ 0) – to stopa inflacji w gospodarce,
(2.56)
natomiast α2 = α(α ≠ 0) – to stopa wzrostu cen rozpatrywanego produktu, wówczas dla ilościowego progu rentowności otrzymujemy formułę: (2.57)
Stąd wynika, że: (2.58)
Następnie dla progu wartościowego otrzymujemy formułę o postaci: (2.59)
W obu przypadkach musi być spełniony warunek konieczny istnienia progu rentowności, tj.: (2.60)
Zauważmy, że znak (dodatni lub ujemny) formuły (2.60) zależy od
Zauważmy, że znak (dodatni lub ujemny) formuły (2.60) zależy od licznika, co prowadzi do czterech przypadków, które są przedstawione poniżej. 1) Zakładając, że β > 0, otrzymujemy dwa przypadki: T7(BEP W ) > 0, gdy r >d, oraz T7(BEP W ) < 0, gdy r
(2.61)
Zakładając, że β < 0, otrzymujemy trzeci i czwarty przypadek: T7(BEP W ) > 0, gdy r d.
(2.62)
gdzie: zaś Można wykazać, że jeśli r =d, wówczas występuje równość: T(BEPW) = 0. Korzystając z wyjściowej formuły, dla zysku operacyjnego możemy sformułować następujący wzór: (2.63)
czyli: (2.64)
Stąd ostatecznie otrzymujemy: (2.65)
lub
Oznacza to, że w tym przypadku zmiana zysku operacyjnego EBIT jest sumą zmian: 1)
– z tytułu stopy inflacji w gospodarce,
2) – z tytułu stopy wzrostu cen. Powyższą formułę przedstawmy następująco: (2.66)
Stąd otrzymujemy: 1)
gdy: (2.67)
2)
gdy: (2.68)
przy czym: – punkt odniesienia dla mnożnika ceny. Oznacza to, że przy danym mnożniku ceny i przy ustalonym przykładowo poziomie stopy inflacji w całej gospodarce można znaleźć taką wielkość stopy wzrostu cen, która gwarantuje wzrost zysku. Niektórzy ekonomiści twierdzą, że o zmianie progu rentowności decyduje tylko relacja między indywidualną stopą inflacji dla kosztów zmiennych i stałych (α) a indywidualną stopą inflacji dla przychodów (β), a stąd wyprowadzają przedstawione niżej wnioski[9]: 1. Jeśli β > α, to progi rentowności (ilościowy i wartościowy) w warunkach inflacji są mniejsze niż w tradycyjnych warunkach. Wtedy też koszty własne produkcji rosną wolniej od ceny sprzedaży produktu, co jest korzystne dla przedsiębiorstwa, następuje bowiem poprawa rentowności produkcji. 2. Jeśli β < α, to progi rentowności (ilościowy i wartościowy) w warunkach inflacji są wyższe niż w tradycyjnych warunkach. Koszty własne produkcji rosną szybciej od ceny sprzedaży danego produktu, z punktu widzenia przedsiębiorstwa jest to zatem sytuacja niekorzystna, gdyż maleje rentowność jego produkcji. Okazuje się, że jest to niepoprawne podejście metodyczne, co w dalszej części opracowania zostanie zilustrowane stosownym przykładem liczbowym. Z prawdą mija się także Bolesław Siwoń, który uważa, że wielkość progu rentowności nie zależy od podziału kosztów na stałe i zmienne [zob. Siwoń, 1992, s. 50][10]. 2.5.4. Przykłady liczbowe analizy wrażliwości progu rentowności produkcji jednoasortymentowej Przykład 2.2 Firma „Kowal” wytwarza jeden produkt codziennego użytku. W ciągu roku uzyskała następujące przychody i koszty: całkowite przychody – 4800 zł, całkowite koszty stałe – 5000 zł, całkowite koszty zmienne – 2300 zł, całkowita produkcja i sprzedaż – 1000 szt. Wykorzystując te dane, należy odpowiedzieć na dwa pytania: 1. Jaki jest ilościowy i wartościowy próg rentowności? 2. Jak zmieni się każdy z tych progów, jeśli cena jednostkowa wzrośnie o 10%, zaś zarówno koszty stałe, jak i zmienne wzrosną o 20%?
Odpowiedź 1 Aby wyznaczyć oba rodzaje progów rentowności, ustalamy, że: – cena jednostkowa, – jednostkowy koszt zmienny,
a stąd: m = p – kz = 4,8 – 2,3 = 2,5 zł/szt. – jednostkowa marża pokrycia, a zatem:
próg rentowności. Odpowiedź 2
– ilościowy próg rentowności, – wartościowy
natomiast
Oznacza to, że:
oraz
Próg ilościowy wzrósł zatem o ponad 19%, zaś próg wartościowy o prawie 31%. Przykład 2.3 W składnicy materiału budowlanego „Artur” w okresie bieżącym parametry wyznaczające próg rentowności przyjęły następujące wartości: 1) cena sprzedaży wyrobu – 200 zł za tonę, 2) jednostkowy koszt zmienny – 120 zł za tonę, 3) wielkość sprzedaży – 1200 ton, 4) koszty stałe – 24 000 zł. Przewiduje się, że wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług w gospodarce w następnym okresie wyniesie 10%. Wyznaczymy ilościowy
i wartościowy próg rentowności dla dwóch poziomów wzrostu cen sprzedaży rozpatrywanego wyrobu, a mianowicie: 5 i 15%, oraz obliczymy wielkość zysku operacyjnego. Etap I Progi rentowności w okresie bieżącym przyjmują wartości:
Etap II Przyjmujemy wzrost ceny sprzedaży wyrobu o 5%, przy stopie inflacji w gospodarce na poziomie 10%:
Jak widać, oba rodzaje progu rentowności są wyższe od tych z bieżącego okresu. Etap III Przyjmujemy wzrost ceny sprzedaży wyrobu o 15%, przy stopie inflacji w gospodarce na poziomie 10%:
W tym przypadku próg ilościowy jest niższy, zaś próg wartościowy – wyższy od progu rentowności w bieżącym okresie. Otrzymany wynik przeczy mniemaniu, iż zmiany obu progów rentowności zależą wyłącznie od relacji między α i β, zaś jest w zgodzie z przedstawioną relacją między parametrami r i δ, ponieważ:
Ten prosty przykład liczbowy pokazuje, jak trzeba być ostrożnym, gdy chce się wyprowadzać wnioski ogólne, mając do czynienia z konkretną sytuacją. Przykład 2.4 Firma Meblarska „Maja” produkuje łóżeczka dziecięce z drewna sosnowego. W ciągu okresu wytwarza i sprzedaje średnio 200 łóżeczek za średnią cenę 500 zł każde. Na wyprodukowanie ponosi następujące koszty: 1) koszty zmienne – 300 zł, 2) koszty stałe – 20 000 zł. Przewiduje się, że w następnym okresie inflacja będzie wpływać na wyniki ekonomiczne, stąd zalecenie, aby rozpatrzyć dwa warianty tzw. indywidualnych poziomów inflacji, czyli: wariant II: α = 0,1; β = 0,2, wariant II: α = 0,2; β = 0,1. Należy dokonać oceny zmian progów rentowności oraz zysku operacyjnego dla obu wariantów uwzględniania wpływu inflacji. W powyższym przykładzie wstępnie obliczamy:
oraz
Następnie znajdujemy pomocnicze wielkości δ oraz ψ dla obu wariantów stóp inflacji, a mianowicie:
oraz
W tabeli 2.3 zamieszczono wartości indywidualnych poziomów inflacji, relacje odpowiednich parametrów, które stanowią swoistą charakterystykę warunków początkowych sprzedaży, a także wyniki końcowe. Warunek konieczny istnienia progu rentowności jest spełniony, ponieważ:
1) w przypadku pierwszym mamy relację: 2) w przypadku drugim mamy relację: Tabela 2.3. Analiza progu rentowności i zysku operacyjnego EBIT w warunkach inflacji Stopy inflacji
Charakterystyka warunków początkowych
Tempo zmiany progu rentowności i zysku
Cena sprzedawanego produktu rośnie szybciej niż koszty jego wytworzenia
Cena sprzedawanego produktu rośnie wolniej niż koszty jego wytworzenia
Źródło: opracowanie własne. Z powyższego przykładu liczbowego wynika, że otrzymane tempa zmiany progów rentowności zachowują się zgodnie z tradycyjnym rozumowaniem. Rozważmy następnie przykład liczbowy o troszkę innych danych wyjściowych. Przykład 2.5 W wyniku działań oszczędnościowych podjętych przez właścicieli firmy „Maja” obniżono jednostkowe koszty zmienne do poziomu 200 zł/szt. Przyjmijmy ponadto dwa warianty tzw. indywidualnych poziomów inflacji na poziomie: wariant II: α = 0,2, β = 0,15, wariant II: α = 0,15, β = 0,2. W powyższym przykładzie wstępnie obliczamy:
oraz
Warunek konieczny istnienia progu rentowności jest spełniony, co łatwo pokazać. Następnie znajdujemy wielkości pomocnicze, tj. δ oraz ψ dla obu
Następnie znajdujemy wielkości pomocnicze, tj. δ oraz ψ dla obu wariantów zmian stóp inflacji, a więc:
oraz
W tabeli 2.4 zamieszczono wartości zmiennych egzogenicznych α i β, tzw. charakterystyki warunków początkowych, a także wyniki końcowe. Tabela 2.4. Analiza progu rentowności i zysku operacyjnego EBIT w warunkach inflacji Stopy inflacji
Charakterystyka warunków początkowych
Tempo zmiany progu rentowności i zysku
Cena sprzedawanego produktu rośnie wolniej niż koszty jego wytworzenia
Cena sprzedawanego produktu rośnie szybciej niż koszty jego wytworzenia
Źródło: opracowanie własne. Zauważmy, że w pierwszym przypadku, kiedy stopa wzrostu ceny jest niższa od stopy inflacji w gospodarce, mamy sytuację, w której: zaś Łącznie
otrzymujemy
zatem:
Z tabeli 2.4 odczytujemy, że jeśli: 1) β > a, wówczas ilościowy próg rentowności ulega zmniejszeniu, zaś wartościowy próg rentowności, a także zysk operacyjny EBIT wzrastają, 2) β < a, wówczas oba rodzaje progu rentowności, a także zysk operacyjny EBIT wzrastają. Powyższy przykład potwierdza rozważania ogólne, że ocena zmiany progu rentowności, a także zmiany zysku operacyjnego, oparta wyłącznie na relacji między parametrami α i β , jest błędnym podejściem metodologicznym.
Przypuśćmy, że ogólna stopa inflacji w gospodarce przyjmuje wartość α = 0,1, jeśli zaś stopa wzrostu ceny danego produktu wyniesie będziemy mieć:
wówczas
Jeśli α = α0, co oznacza, że w pewnym okresie inflacja w gospodarce jest stała, wówczas otrzymamy: (2.69)
Opierając się na tej zależności, można ex ante ocenić zachowanie się progu rentowności, przy ustalonym poziomie inflacji w gospodarce, gdy zmianie ulega cena produktu. 2.6. Wykorzystanie elastyczności różnicowej w analizie progu rentowności produkcji jednoasortymentowej Na początek weźmy pod uwagę zależność: (2.70)
Następnie znajdujemy pochodne cząstkowe: (2.71)
Korzystając z pierwszych przybliżeń, otrzymamy: (2.72)
(2.73)
(2.74)
a stąd możemy przyjąć, że (w przybliżeniu):
(2.75)
Następnie obliczamy przedstawione niżej wielkości. 1. Elastyczności punktowe stopnia pierwszego: (2.76)
(2.77)
(2.78)
2. Elastyczności punktowe stopnia drugiego: (2.79)
(2.80)
(2.81)
Korzystając z koncepcji Z. Pawłowskiego [1981, s. 36–38], znajdujemy tzw. elastyczności różnicowe. 1. Elastyczność progu rentowności względem ceny jednostkowej:
czyli:
Ostatecznie zaś (po niewielkich przekształceniach): (2.82)
2. Elastyczność progu rentowności względem jednostkowych kosztów zmiennych:
czyli:
Ostatecznie zaś (po niewielkich przekształceniach): (2.83)
3. Elastyczność progu rentowności względem kosztów stałych:
czyli: (2.84)
Z powyższych rozważań można wysnuć następujące wnioski: (2.85)
co oznacza niedoszacowanie klasycznej elastyczności punktowej:
(przeszacowanie)
przy
stosowaniu (2.86)
co oznacza przeszacowanie (niedoszacowanie) przy stosowaniu klasycznej elastyczności punktowej. Jeśli uwzględnimy elastyczność punktową stopnia trzeciego, to przykładowo dla ceny (p) otrzymamy formułę: (2.87)
Korzystamy w tym przypadku z tego, że:
stąd zaś: (2.88)
Podobnie byłoby dla jednostkowych kosztów zmiennych (kz), ponadto można zauważyć, że elastyczność różnicowa nie zależy od kosztów stałych. Przykład 2.6 Przyjmijmy, że: KS = 120 000 zł; p = 1000 zł/szt.; kz = 500 zł/szt. Ilościowy próg rentowności wynosi zatem:
Następnie przyjmijmy, że następuje zmiana ceny (wzrost) o 10%, i znajdźmy zmianę procentową wielkości BEP. Nowy próg rentowności możemy obliczyć, korzystając z kilku przedstawionych niżej sposobów. Sposób elementarny:
stąd zaś:
Według formuły (2.31):
Według elastyczności różnicowej:
i ostatecznie otrzymujemy:
Jak wynika z powyższego przykładu, koncepcja Z. Pawłowskiego poprawia jakość analizy progu rentowności w przypadku produkcji jednoasortymentowej. 2.7. Analiza wrażliwości progu rentowności produkcji jednoasortymentowej w ujęciu procentowym Podkreślić należy, że wielu autorów nie ogranicza się do korzystania z kategorii progu ilościowego oraz wartościowego w celu dalszej analizy. Przykładowo Sławomir Sojak proponuje, aby ilościowy próg rentowności wykorzystać do „ustalenia stopnia wykorzystania zdolności produkcyjnych w celu osiągnięcia progu rentowności” [Sojak, 2003, s. 228]. Do tego ma zaś służyć wzór: (2.89)
gdzie: xz – stopień wykorzystania zdolności produkcyjnych, xm – zdolność produkcyjna w sztukach [ibidem]. W warunkach rosnącej konkurencji większość przedsiębiorstw nie wykorzystuje w pełni swoich zdolności produkcyjnych, stąd istotna jest wiedza, przy jakim stopniu wykorzystania tejże zdolności pokryte zostaną koszty całkowite przedsiębiorstwa i kiedy pojawi się przedział zysku. W literaturze przedmiotu stosunkowo często można spotkać się z propozycją tzw. procentowego ujęcia progu rentowności przy produkcji jednoasortymentowej, przy czym autorzy różnie określają to ujęcie. Poniżej przedstawiono niektóre z tych określeń. 1. Maria Sierpińska i Tomasz Jachna [2004, s. 258]: próg rentowności w wyrażeniu procentowym jako stopień zaspokojenia przewidywanego popytu (lub stopień wykorzystania zdolności produkcyjnej): (2.90)
gdzie: Pm – maksymalna możliwa wielkość sprzedaży określona na podstawie prognozy popytu (lub zdolności produkcyjnej)[11]. Tak zdefiniowany wskaźnik odpowiada na pytanie, przy zaspokojeniu ilu procent prognozowanego popytu zostanie osiągnięty próg rentowności. 2. Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak [2005, s. 114]: procentowy próg rentowności. 3. Barbara Olzacka i Renata Pałczyńska-Gościniak [1998, s. 227]: próg rentowności wyrażony procentowo. 4. Dawid Habela i Robert Polaczek [2001, s. 80]: procentowy próg rentowności zdolności produkcyjnych (lub prognozowanego popytu). 5. Wojciech A. Nowak [2001, s. 404]: ułamkowy próg rentowności. 6. Henryk Sobolewski [2007, s. 191–192]: odchylenie progu rentowności (określające stopień wrażliwości progu rentowności). Z wymienionym progiem ściśle powiązany jest tzw. operacyjny współczynnik bezpieczeństwa, zwany też stopą marginesu bezpieczeństwa, który wyraża formuła: (2.91)
Im wyższy jest wymieniony wskaźnik w przedsiębiorstwie, tym większy spadek popytu może ono przetrwać, nie ponosząc strat. Uważa się, że: a)
– sytuacja bezpieczna, daleka od punktu krytycznego,
b)
– blisko punktu krytycznego, działalność nie przynosi zysków,
c) – do osiągnięcia progu zaspokojenie pełnego popytu,
rentowności jest konieczne
d) – nie osiągnięto jeszcze punktu krytycznego, działalność przynosi straty. W literaturze przedmiotu występuje jeszcze inne podejście metodologiczne, które wyraża następująca formuła: (2.92)
Formule tej przypisuje się przedstawione niżej interpretacje wybranych autorów. Według Jacka Kowalczyka oznacza to „maksymalny możliwy procent, o jaki mogą wzrosnąć przychody ze sprzedaży pokrywające koszty stałe, aby stanowiły źródło zysku” [2006, s. 97]. Roman Niemczyk stwierdza, że: „Bez popadania w obszar strat,
Roman Niemczyk stwierdza, że: „Bez popadania w obszar strat, jednostka jest w stanie obniżyć wartość sprzedaży o MBW% w stosunku do progu rentowności” [2006, s. 435–437]. W rozważaniach Henryka Sobolewskiego formuła o postaci [2007, s. 191]: (2.93)
przyjęła nazwę odchylenie progu rentowności i stanowi ważkie narzędzie analityczne. Odchylenie progu rentowności może być rozumiane dwojako, czyli jako[12]: 1) odległość od punktu „zerowego” (brak progu rentowności); w tym przypadku jest wielkość ekonomiczna z kategorii destymulatorów, tj. im mniejsza wartość, tym lepiej i odwrotnie; 2) odległość od wartości tego progu dla wyjściowych wartości czynników kształtujących próg rentowności; jeśli zatem przyjmiemy, że: (2.94)
to będziemy mieć następujące sytuacje: a) BEP(%) > BEP0(%) – zaszła zmiana negatywna, b) BEP(%) < BEP0(%) – zaszła zmiana pozytywna. Wprowadźmy teraz pojęcie odchylenia bezwzględnego rentowności w ujęciu procentowym o postaci:
progu
(2.95)
gdzie: BEP0(%) – wyjściowy (bazowy) poziom procentowego progu rentowności. Zasadne wydaje się wprowadzenie w tym miejscu kolejnego pojęcia, tj. zmiany stopy marginesu bezpieczeństwa w punktach procentowych (p.p.): (2.96)
Łatwo dostrzec, że zachodzi tu równość: (2.97)
Stąd ostatecznie otrzymujemy formułę na znajdowanie zmiany stopy marginesu bezpieczeństwa: (2.98)
Z powyższej formuły wynika, że stopa zmiany marginesu bezpieczeństwa zachowuje się asymetrycznie w relacji do zmiany parametrów progu rentowności, czyli dokładnie tak, jak to zachodzi w przypadku zmian tychże parametrów. Przykład 2.7 Przedsiębiorstwo Produkcyjno-Handlowe „Ursula” zajmuje się produkcją i sprzedażą kompletów zabawek dziecięcych wraz z dodatkami w cenie 335 zł za jeden komplet. Na produkcję składają się następujące koszty: koszty stałe (KS) = 320 000 zł, koszty zmienne (kz) = 175 zł/komplet. W ciągu danego okresu firma wytwarza i sprzedaje średnio 3125 kompletów zabawek dziecięcych. Należy zbadać wrażliwość przedsiębiorstwa na zmiany czynników kształtujących próg rentowności, zakładając wahania w przedziale [– 10%; +10%]. Rozważymy trzy sytuacje zmiany parametrów progu rentowności i na tej podstawie obliczymy tempo zmiany progu rentowności, a także ocenimy zmianę stopy marginesu bezpieczeństwa. Na podstawie powyższych danych otrzymujemy:
przy czym bazowy próg rentowności w ujęciu procentowym (punkt odniesienia) wynosi:
Zgodnie z wnioskami, które wynikały z rozważań teoretycznych, korzystne zmiany progu rentowności są mniejsze od zmian niekorzystnych przy tych samych zmianach względnych ceny oraz jednostkowych kosztów zmiennych. Podobny wniosek wypływa przy zmianie stopy marginesu bezpieczeństwa. Próg rentowności jest w tym przypadku najbardziej wrażliwy na zmiany ceny sprzedaży, zaś zakresy zmiany jednostkowych kosztów zmiennych oraz całkowitych kosztów stałych niewiele się od siebie różnią. Tabela 2.5. Wyniki analizy wrażliwości ilościowego progu rentowności
Zmiana
1. Ceny sprzedaży: a) zwyżka o 10% b) obniżka o 10%
Tempo zmiany ilościowego progu rentowności (w %)
Zmiana stopy marginesu bezpieczeństwa (w p.p.)
korzystne
zwiększenie
– 17,3
2. Jednostkowych kosztów zmiennych: a) zwyżka o 10% b) obniżka o 10%
– 9,9
3. Całkowitych kosztów stałych: a) zwyżka o 10% b) obniżka o 10%
– 10,0
niekorzystne
26,5
12,3
10,0
zmniejszenie
11,1
– 16,9
– 7,9
6,3
– 6,4
6,4
Źródło: opracowanie własne. W świetle zależności (2.105) stopa marginesu bezpieczeństwa zmienia się multiplikatywnie w relacji do odchylenia początkowego progu rentowności, który w analizowanym przykładzie wynosi 64%. Refleksja H. Sobolewskiego [2007, s. 188], że „największe odchylenie wielkości progu rentowności wystąpiło przy zmianie ceny sprzedaży”, da się wyjaśnić za pomocą pojęcia elastyczności stopnia pierwszego. Mamy bowiem następujące elastyczności cząstkowe progu rentowności względem [zob. Żwirbla, 2007, s. 249–261]: 1) ceny jednostkowej: (2.99)
2) jednostkowych kosztów zmiennych: (2.100)
3) kosztów stałych: (2.101)
Zauważmy następnie, że zachodzi następująca relacja: (2.102)
to zaś oznacza, że próg rentowności jest bardziej czuły na zmiany ceny niż na zmiany jednostkowych kosztów zmiennych. 2.8. Wyznaczanie wielkości granicznych
Wartościową formą badania wrażliwości progu rentowności jest obliczenie tzw. wielkości granicznych. Polega ono na poszukiwaniu maksymalnych lub minimalnych wielkości poszczególnych parametrów, które przy ustalonej wielkości sprzedaży, zapewniającej firmie zysk, umożliwią osiągnięcie progu rentowności. Wyznacza się zatem minimalną cenę sprzedaży, maksymalne jednostkowe koszty zmienne oraz maksymalne koszty stałe [Gąsiorkiewicz, 2002, s. 87–88]. Z wyjściowej formuły na próg rentowności przy produkcji jednoasortymentowej można wyprowadzić następujące wzory: 1) graniczny poziom ceny: (2.103)
2) graniczny poziom jednostkowych kosztów zmiennych: (2.104)
3) graniczny poziom kosztów stałych: (2.105)
gdzie: q s – ustalona wielkość sprzedaży. Obie te wielkości umożliwiają obliczenie tzw. cząstkowych marginesów bezpieczeństwa [Kowalczyk, 2006, s. 100]: 1) cenowy margines bezpieczeństwa: (2.106)
2) margines bezpieczeństwa dla jednostkowego kosztu zmiennego: (2.107)
Przykład 2.8 Firma rodzinna „U Anitki” produkuje i sprzedaje wieczne pióra. Cena sprzedaży wynosi 50 zł, jednostkowy koszt zmienny – 20 zł, zaś koszty stałe – 100 000 zł rocznie. Wiedząc, że w przyszłym roku firma planuje sprzedać 4000 szt. swojego wyrobu, wyznaczymy wielkości graniczne ze względu na cenę sprzedaży oraz jednostkowy koszt zmienny. Korzystając ze wzorów (2.103–2.104), obliczamy: 1) graniczną wielkość ceny:
co oznacza, że cena sprzedaży jednego pióra może maksymalnie spaść do 45 zł za sztukę, gdyż spadek poniżej 45 zł spowoduje przejście w obszar straty finansowej; 2) graniczną wielkość jednostkowych kosztów zmiennych:
co oznacza, że jednostkowy koszt zmienny może wzrosnąć maksymalnie o 5 zł, gdyż wzrost powyżej 5 zł spowoduje przejście w obszar straty finansowej; 3) cenowy margines bezpieczeństwa:
co oznacza, że przy danych kosztach stałych i jednostkowym koszcie zmiennym cena rzeczywista może ulec obniżeniu maksymalnie o 10% w stosunku do ceny wyjściowej, aby jeszcze nie znaleźć się w obszarze straty operacyjnej; 4) margines bezpieczeństwa dla jednostkowego kosztu zmiennego:
co oznacza, że przy danej cenie i kosztach stałych jednostkowy koszt zmienny może wzrosnąć maksymalnie o 25%, aby jeszcze nie znaleźć się w obszarze straty operacyjnej. 2.9. Modyfikacja podstawowej formuły progu rentowności produkcji jednoasortymentowej W literaturze przedmiotu przedstawia się różnorakie rozszerzenia podstawowej formuły progu rentowności, co przedstawiono w tabeli 2.6. Warto przypomnieć, że podstawowa formuła – czyli ilościowy (memoriałowy bądź księgowy) próg rentowności – ma postać:
gdzie: KS – koszty stałe okresu, p – cena sprzedaży, kz – jednostkowe koszty zmienne.
Tabela 2.6. Modyfikacje formuły progu rentowności według różnych autorów Nazwa formuły Gotówkowy próg rentowności (ilościowy próg płynności)
Formuła
Źródło G. Michalski [2004, s. 80]
gdzie: A – amortyzacja
Gotówkowy próg rentowności gdzie: KSN – koszty stałe niemonetarne Próg rentowności zysku
J. Ostaszewski, T. Cicirko [2005, s. 145] B. Micherda [2001, s. 117]
gdzie: Z – zysk Pieniężny próg rentowności
P. Szczypa [2007, s. 116] gdzie: KW – koszty, które w danym okresie nie są wydatkami
Punkt krytyczny gotówki (CBSL)
M. Sierpińska [2002, s. 245] gdzie: KS – koszty stałe, A – amortyzacja, T – stopa podatku dochodowego, DK – przyrost wydatków na powiększenie zasobów firmy, w – udział kosztów zmiennych w wartości sprzedaży
Finansowy punkt rentowności (próg rentowności dla kosztów operacyjnych i finansowych)
A. Rutkowski [2003, s. 152] gdzie: I – odsetki od kapitałów obcych
Próg rentowności dla wydajności zakładu
M.R. Tyran [2000, s. 248] gdzie: a – bieżąca wydajność zakładu w %; PS – przychód ze sprzedaży; KZ – koszty zmienne
Finansowy próg rentowności gdzie: OPP – planowane operacyjne przepływy pieniężne w danym okresie, A – amortyzacja, T – stopa podatku dochodowego Próg obojętności przepływów pieniężnych
P.J. Szczepankowski [1999, s. 43]
R. Rao [1987, s. 184]
gdzie: – wskaźnik korygujący stopę obojętności przepływów pieniężnych
Próg rentowności w rachunku kosztów działań (ABC)
Próg rentowności dla projektu (próg rentowności świadczonej usługi)
P. Kabalski [2014, s. 369] gdzie: q s – liczba serii produkcyjnych, k s – koszt jednej serii, q d – liczba dostaw produktów, k d – koszt jednej dostawy B. Niedbała [2006, s. 139] gdzie: P – przychód z projektu (usługi), KS – koszty stałe projektu (usługi), kz – koszty zmienne zaangażowanych zasobów
Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji. Zdaniem Stefana Wrzoska rozszerzanie interpretacji progu rentowności produkcji jednorodnej to przede wszystkim doliczanie do kosztów stałych różnicy między kosztami finansowymi a przychodami finansowymi i ewentualnie wydatków finansowych niebędących kosztami, zaś do jednostkowego kosztu zmiennego lub do udziału kosztów zmiennych w wartości sprzedaży doliczanie zwiększenia z tytułu podatku dochodowego. Zdaniem wspomnianego autora to ostatnie rozszerzenie „słabo przystaje do założenia o liniowości zależności” [Wrzosek, 2006, s. 77]. Modyfikacje podstawowej formuły progu rentowności produkcji jednoasortymentowej warto skonfrontować ze spojrzeniem zachodnich ekonomistów. Stephen A. Ross, Randolph W. Westerfield oraz Bradford D. Jordan sporo miejsca poświęcają w swojej monografii problematyce analizy progu rentowności [1999, s. 360–372]. Całość swoich rozważań na temat analizy progu rentowności podsumowują informacją o progach rentowności, co przedstawia tabela 2.7. Ogólnie rzecz biorąc, analiza progu rentowności jest oparta na rachunku kosztów zmiennych. W literaturze przedmiotu można spotkać się ze wspomnianą analizą także w warunkach kosztów pełnych. Z prezentowanych przez autorów rozważań wynika, że w rachunku kosztów zmiennych zysk jest funkcją tylko rzeczywistej sprzedaży, zaś w przypadku rachunku kosztów pełnych zysk jest funkcją dwóch zmiennych, tj. rzeczywistej sprzedaży oraz rzeczywistej produkcji. Powyższa propozycja metodologiczna nie spotkała się jednak z większym zainteresowaniem [Leszczyński, Wnuk-Pel, 2004, s. 139–145]. Tabela 2.7. Podsumowanie informacji o progach rentowności Rodzaj Charakterystyka progu rentowności Ogólna definicja
Pomijając wpływ opodatkowania, zależność między operacyjnymi przepływami pieniężnymi (OCF ) a wielkością produkcji lub poziomem sprzedaży (Q) wynosi:
gdzie: FC – całkowite koszty stałe; P – cena jednostkowa; v – jednostkowe koszty zmienne Księgowy Projekt osiąga księgowy próg rentowności wtedy, gdy jego dochód netto jest równy próg zeru. W takiej sytuacji operacyjne przepływy pieniężne są równe amortyzacji, rentowności toteż dla księgowego progu rentowności poziom sprzedaży jest równy:
gdzie: D – amortyzacja Projekt, który zawsze osiąga dokładnie księgowy próg rentowności, ma okres zwrotu równy okresowi swego funkcjonowania, ujemną NPV i IRR równą zeru. Gotówkowy Gotówkowy próg rentowności pojawia się wtedy, gdy operacyjne przepływy próg pieniężne są równe zeru. Wielkość sprzedaży dla gotówkowego progu rentowności rentowności wynosi:
Projekt, który zawsze osiąga dokładnie gotówkowy próg rentowności, ma ujemną NPV i jest ona dokładnie równa nakładowi początkowemu, a jego IRR wynosi 100%. Finansowy Finansowy próg rentowności pojawia się wtedy, gdy NPV projektu jest równa zeru. próg Wielkość sprzedaży dla finansowego progu rentowności wynosi: rentowności gdzie OCF* jest poziomem operacyjnych przepływów pieniężnych, dla których NPV jest równa zeru. Projekt, który osiąga finansowy próg rentowności, ma zdyskontowany okres zwrotu równy okresowi swojego funkcjonowania, zerową NPV i IRR równą wymaganej stopie zwrotu.
Źródło: opracowanie własne na podstawie pracy: Ross, Westerfield, Jordan, 1999, s. 372. Zauważyć także warto, że również zachodni ekonomiści, omawiając problematykę analizy progu rentowności (break-even analysis), najchętniej posługują się produkcją jednorodną, co umożliwia dydaktyczną dyskusję [Jozsi, 1983, s. 265–277]. 2.10. Metodyka obliczania progu rentowności ze względu na zysk rezydualny[13] Na gruncie rachunku progu rentowności istotną rolę odgrywa zysk operacyjny (EBIT). Bartłomiej Nita postuluje, by rozszerzyć analizę progu rentowności, posiłkując się tzw. zyskiem rezydualnym (residual income – RI). Według Karola M. Klimczaka: „Zysk rezydualny to miara, uwzględniająca zarówno wypracowany zysk księgowy, jak i koszt kapitału przedsiębiorstwa. Łączy ona więc dwa podejścia do pomiaru zysku: księgowe i finansowe” [2009, s. 598].
Grzegorz Michalski podaje zaś następującą formułę na obliczenie zysku rezydualnego: (2.108)
gdzie: Rt – zysk rezydualny, NOPATt – zysk operacyjny po opodatkowaniu, uzyskany w okresie od t – 1 do t, WACCt – średni ważony koszt kapitału w okresie t, Ct – 1 – kapitał zaangażowany w okresie t – 1 [2004, s. 137]. Analiza progu rentowności ze względu na zysk rezydualny oparta jest na przedstawionych niżej założeniach [Nita, 2008, s. 167]: 1. Analiza jest długookresowa (kreowanie wartości przedsiębiorstwa wymaga uzyskiwania dodatniego wyniku rezydualnego przez wiele lat). 2. Wielkość produkcji jest równa wielkości sprzedaży w kolejnych latach. 3. Całkowite koszty działalności można podzielić na koszty stałe i koszty zmienne. 4. Całkowite przychody, a także całkowite koszty są funkcjami liniowymi wielkości produkcji i sprzedaży. 5. W formule obliczeniowej uwzględnia się podatek dochodowy płacony przez przedsiębiorstwa. 6. Formuła obliczeniowa uwzględnia całkowity koszt kapitału własnego i obcego. 7. Przyjmuje się, że czynniki nieuwzględnione w modelu nie ulegają zmianie. 8. Analiza dotyczy pojedynczego produktu lub wielu produktów o stałej strukturze, niezależnej od wielkości sprzedaży. W dalszych rozważaniach istotną rolę odgrywa zysk operacyjny po opodatkowaniu, który w terminologii anglosaskiej określany jest jako NOPAT (net operating profit after tax). Jak zauważa B. Nita, jest to po prostu zysk operacyjny EBIT pomniejszony o podatek dochodowy płacony przez przedsiębiorstwo, co wyraża formuła: (2.109)
gdzie: NOPAT – zysk operacyjny po opodatkowaniu, EBIT – zysk operacyjny, T – stopa podatku dochodowego [ibidem, s. 168]. Autor ten proponuje również, aby próg rentowności z perspektywy kreowania wartości przedsiębiorstwa sprowadzał się do określenia takiej wielkości produkcji i sprzedaży, przy której zysk operacyjny po
opodatkowaniu (NOPAT) jest równy całkowitemu kosztowi kapitału, co oznacza równość [ibidem, s. 170]: (2.110)
gdzie: NOPATt – zysk operacyjny po opodatkowaniu w okresie t, WACCt – średni ważony koszt kapitału w okresie t, Ct – 1 – całkowity kapitał zainwestowany na koniec okresu t – 1 (na początek okresu t). Z powyższej równości B. Nita wyprowadza odpowiednie formuły na próg rentowności [ibidem, s. 171]. Próg tworzenia wartości dla właścicieli (ujęcie wartościowe): (2.111)
1. Ilościowy próg tworzenia wartości dla właścicieli: (2.112)
gdzie: KSt – koszty stałe w okresie t, Tt – stopa podatku dochodowego w okresie t, SMt – stopa marży pokrycia w przychodach ze sprzedaży w okresie t, mt – jednostkowa marża pokrycia w okresie t. Przedstawiona tu propozycja autorstwa B. Nity w bardzo interesujący sposób wzbogaca arsenał badawczy dotyczący analizy progu rentowności.
Rozdział 3 Klasyczna analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej
W poprzednim rozdziale była przedstawiona analiza progu rentowności przy produkcji jednoasortymentowej, tymczasem rzeczywistość gospodarczą cechuje zróżnicowanie tak w zakresie produkcji, jak usług. Wyznaczanie progu rentowności w warunkach produkcji wieloasortymentowej jest jednak zagadnieniem bardziej złożonym z matematycznego punktu widzenia. Literatura przedmiotu jest dość obszerna, co nie oznacza, że wyczerpuje ona problematykę. Z uwagi na formalizm matematyczny wielu autorów poprzestaje na przedstawieniu gotowych formuł obliczeniowych, unikając zgłębiania istoty tego pojęcia przy produkcji wieloasortymentowej[1]. Rozdział ten został poświęcony omówieniu tradycyjnego podejścia do analizy progu rentowności, z podkreśleniem specyfiki tej analizy, związanej z relacją między strukturą sprzedaży a poziomem progu rentowności. 3.1. Przegląd wybranych definicji progu rentowności O złożoności problematyki progu rentowności w przypadku produkcji wieloasortymentowej świadczy m.in. fakt, że autorzy stosują różne określenia dla tego typu pojęcia, co przedstawiono w tabeli 3.1. W literaturze przedmiotu spotykamy także różne określenia progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej jako zbioru punktów, na co wskazują definicje wybranych autorów, zawarte w tabeli 3.2. Z tabeli 3.2 wynika, że z faktu, iż próg rentowności produkcji jednoasortymentowej jest punktem, wyprowadza się wniosek, że przy produkcji wieloasortymentowej musi to być zbiór punktów. W rzeczywistości jest to punkt w przestrzeni wielowymiarowej, co zostanie przedstawione w następnym rozdziale tej książki. Tabela 3.1. Próg rentowności produkcji wieloasortymentowej (według różnych autorów) Lp. Określenie
Źródło
1.
A. Ćwiąkała-Małys, W. Nowak, 2005, s. 169–170
Zagregowany ilościowy próg rentowności
2.
Przeliczeniowy próg rentowności (dla wszystkich wyrobów razem)
W. Dębski, 2005, s. 207–209
3.
Umowny próg rentowności dla całej produkcji
W. Gos, 2003, s. 318–320
4.
Próg rentowności wyrażony w produkcie umownym
A. Rutkowski, 2003, s. 149
5.
Ilościowy próg rentowności wyrażony w jednostkach umownych dotyczących wszystkich produktów
E. Nowak, 2005b, s. 92
6.
Ilościowy próg rentowności dla „koszyka” produktów
S. Sojak, 2003, s. 249
7.
Punkt bez straty
C. Drury, 1998, s. 281–282
8.
Wektor wartościowego progu rentowności Wektor rzeczowego progu rentowności
J. Mielcarek, 2006, s. 90–93
9.
Całkowity próg wartościowy Umowny ilościowy próg rentowności
W. Gabrusewicz, 2006, s. 237–241
Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji. Tabela 3.2. Próg rentowności jako zbiór punktów (według różnych autorów) Lp. Definicja
Źródło
1.
Zbiór wielu punktów zrównania przychodów z kosztami całkowitymi lub marży brutto z kosztami stałymi
D. Sołtys, 2003, s. 277
2.
Próg rentowności jest w tym przypadku zbiorem „punktów” – każdy z nich J. Kowalczyk, to produkcja pojedynczego asortymentu 2006, s. 106
3.
O ile w przypadku produkcji jednorodnej próg rentowności był „punktem”, M. Sierpińska, o tyle przy produkcji wielu różnych wyrobów jest on „zbiorem punktów” T. Jachna, 2004, s. 261
4.
W przypadku produkcji wieloasortymentowej nie można określić progu rentowności w sposób „bezpośredni” dla danego asortymentu, lecz dla pewnego „koszyka” produktów
S. Sojak, 2015, s. 259
5.
W tym przypadku próg rentowności nie jest jednym punktem, lecz zbiorem punktów, których liczba jest równa liczbie rozpatrywanych wyrobów
W. Gabrusewicz, 2006a, s. 236
6.
O ile przy produkcji jednorodnej próg rentowności jest punktem, to przy produkcji wieloasortymentowej próg rentowności jest zbiorem punktów
E. Nowak, 2005, s. 249
7.
W przypadku produkcji wieloasortymentowej próg rentowności jest zbiorem punktów, zrównanie wartości sprzedaży i kosztów można bowiem osiągnąć przy wielu różnych kombinacjach struktury asortymentowej
B. Olzacka, R. PałczyńskaGościniak, 1998, s. 228
Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji. 3.2. Proste podejścia metodyczne do istoty progu rentowności W literaturze ekonomicznej spotkać można próby maksymalnego uproszczenia procedury znajdowania progu rentowności produkcji wieloasortymentowej, tak aby była ona „przyjazna” dla praktyków. Propozycja I [Pomykalska, 2007, s. 116] Bożyna Pomykalska uważa, że analiza progu rentowności oparta na wartości przychodów netto ze sprzedaży zamiast wielkości sprzedaży ma
większy walor użytkowy. Zdaniem tej autorki jest to istotne zwłaszcza wtedy, gdy oblicza się próg rentowności przy produkcji wieloasortymentowej, zaś liczba asortymentów wyrobów obejmuje kilkadziesiąt pozycji. Jej zdaniem należy założyć, że sprzedaż każdego produktu ma stały udział w sprzedaży ogółem przedsiębiorstwa. W analizie tej przyjmuje się zatem, że przychód netto ze sprzedaży na poziomie progu rentowności jest w stanie pokryć koszty stałe oraz koszty zmienne, co ujmuje wzór: SBEP = KS + KZ,
(3.1)
gdzie: SBEP – przychód netto ze sprzedaży na poziomie progu rentowności. Wzór ten można przekształcić następująco:
W analizie księgowego progu rentowności należy założyć, że udział kosztów zmiennych w przychodach netto ze sprzedaży jest ustalony na określonym poziomie, przeto zamiast wskaźnika (KZ/SBEP ) można użyć wskaźnika wyrażającego stosunek całkowitego kosztu zmiennego do każdego poziomu przychodów netto ze sprzedaży, co daje: (3.2)
a stąd: (3.3)
Wyprowadzony wzór na wartościowy próg rentowności w ujęciu sumarycznym ma walor praktyczny z racji swej prostoty, nie umożliwia jednak dekompozycji tego wyniku na poszczególne asortymenty. Propozycja II [Czekaj, Dresler, 1999, s. 229–231] Zdaniem obu autorów koszty stałe – jako niezależne od poziomu produkcji i sprzedaży – można ustalić bez znajomości wielkości sprzedaży. Ale koszty zmienne, które są zależne od wielkości sprzedaży, muszą być ustalone dla konkretnej wielkości sprzedaży, w tym przypadku dla poszukiwanej wielkości sprzedaży w punkcie równowagi (SP ). Wymienieni autorzy uważają, iż da się je ustalić pośrednio, posługując się relacją rzeczywistego ich poziomu do rzeczywistej wielkości sprzedaży w firmie lub w innych firmach.
W efekcie koszty zmienne przy wielkości sprzedaży w punkcie równowagi można zapisać jako iloczyn poszukiwanej wartości sprzedaży w tymże punkcie i relacji rzeczywistych kosztów zmiennych (ZKOr) do rzeczywistej sprzedaży (Sr). Formuła określająca wielkości sprzedaży w punkcie równowagi ma postać: (3.4)
gdzie: SKO – stałe koszty operacyjne, ZKO – zmienne koszty operacyjne, S – sprzedaż. Rozwiązując powyższą zależność ze względu na SP , otrzymujemy ostatecznie: (3.5)
Autorzy przedstawionej propozycji metodycznej ilustrują swoje wywody stosownym przykładem liczbowym, który poniżej zostanie przedstawiony. Przykład 3.1 Korzystając z rachunku zysków i strat, możemy uzyskać następujące dane: przychody ze sprzedaży netto (w tys. zł) – 63 600 stałe koszty operacyjne (SKO) wynoszą (w tys. zł): amortyzacja – 2000 koszty sprzedaży – 1700 koszty ogólne – 1120 razem SKO – 4820 zmienne koszty operacyjne (ZKO) wynoszą (w tys. zł): koszty materiałów bezpośrednich – 35 220 koszty robocizny bezpośredniej – 18 360 razem ZKO – 53 580 Podstawiając dane do formuły (3.5), otrzymujemy zatem:
Zdaniem wymienionych autorów tego rodzaju analiza jest bardzo przydatna zwłaszcza podczas planowania nowych rodzajów działalności,
gdyż umożliwia znalezienie niezbędnego poziomu sprzedaży, tak aby firma osiągnęła zyski z produkcji nowych wyrobów [Czekaj, Dresler, 1999, s. 231]. Propozycja III [Kowalski, 2004, s. 40] Biorąc pod uwagę trudności związane z wyodrębnianiem kosztów stałych z kosztów całkowitych, A. Kowalski proponuje następujące podejście: (3.6)
gdzie: A – suma iloczynów jednostkowych cen produktów i ilości sprzedaży produktów odpowiadająca przychodom netto ze sprzedaży produktów, B – suma iloczynów jednostkowych kosztów zmiennych i ilości sprzedanych produktów odpowiadająca kosztom własnym sprzedaży, C – koszty stałe odpowiadające kosztom ogólnym zarządu. Dane te można znaleźć w części kalkulacyjnej rachunku zysków i strat. Propozycja IV [Nowak, 2001, s. 88–89] Edward Nowak proponuje metodę, którą niektórzy autorzy nazywają metodą segmentową. Metoda ta wymaga wyboru odpowiedniego klucza podziału kosztów, co przypomina nieco podejście do rozwiązania problemu rozliczania kosztów pośrednich. Proponuje się bowiem rozliczanie oparte na tzw. współczynniku narzutu kosztów stałych, który jest stosunkiem kosztów stałych do kwoty globalnej marży pokrycia, osiągniętej na sprzedaży wszystkich produktów. Procedura przebiega według następujących kroków obliczeniowych: 1) znajdujemy współczynnik narzutu kosztów stałych według wzoru: (3.7)
gdzie: Mi = q i × mi – globalna marża pokrycia, osiągnięta na sprzedaży itego asortymentu, q i – wielkość sprzedaży i-tego asortymentu, mi – jednostkowa marża pokrycia zrealizowana na i-tym asortymencie; 2) narzut kosztów stałych na poszczególne produkty: (3.8)
3) ilościowe progi rentowności poszczególnych asortymentów: (3.9)
Podsumowując powyższe podejście metodyczne, warto zauważyć, że wymienione kroki obliczeniowe prowadzą do wzoru:
Oznacza to, że opisana propozycja metodyczna wychodzi naprzeciw praktykom i podpowiada stosowne kroki obliczeniowe, które prowadzą do znalezienia ilościowego progu rentowności dla każdego asortymentu z osobna. Propozycja V [Ćwiąkała-Małys, Nowak, 2009, s. 122] W celu wyznaczenia tzw. uogólnionego popytowego progu rentowności dla produkcji jednoasortymentowej autorki te proponują wyjście od następującego równania:
a stąd otrzymują wzór na popytowy próg rentowności o postaci: (3.10)
przy czym: S = q× p – przychody ze sprzedaży, KZ = q× kz – koszty zmienne, dq – stopa zmiany wolumenu sprzedaży danego produktu, dp – stopa zmiany jednostkowej ceny sprzedaży produktu, dKZ – stopa zmiany jednostkowego kosztu zmiennego, dKS – stopa zmiany kosztów stałych. Zdaniem przywoływanych autorek tak określony próg rentowności wyznacza stopę zmiany wolumenu sprzedaży produktu, przy której przychody ze sprzedaży pokrywają koszty całkowite, przy założeniu, że jednorazowo zmieniają się według stałej stopy: jednostkowa cena produktu, jednostkowy koszt zmienny i koszty stałe. Propozycja VI [Dobija, 2001, s. 167–168] Autor ten uważa, że punkt krytyczny produkcji wieloasortymentowej najłatwiej można określić, wprowadzając globalny rozmiar produkcji V oraz zależności Vi = Li × V, które przedstawiają udziały poszczególnych asortymentów (Li) w rozmiarze V. Wtedy to punkt krytyczny określa równanie:
gdzie: mi – marża jednostkowa, KS – koszty stałe; a stąd otrzymujemy punkt krytyczny produkcji wieloasortymentowej (V0): (3.11)
Zdaniem M. Dobii [2001, s. 167] w ewidencji znajduje się najczęściej łączna kwota kosztów stałych, a także wyszczególnione są poszczególne ceny i koszty zmienne. Ponadto znany jest ich udział w ogólnej wartości sprzedaży oraz znane są relacje między poszczególnymi asortymentami. Podawane w literaturze przedmiotu formuły obliczeniowe na zagregowany próg rentowności dla produkcji wieloasortymentowej przyjmują najczęściej dwie formy [Ćwiąkała-Małys, Nowak, 2005, s. 169– 170]: 1) ujęcie ilościowe: (3.12)
gdzie:
– średnioważona cena jednostkowa, – średnioważony jednostkowy koszt zmienny,
– ilościowy wskaźnik struktury; 2) ujęcie wartościowe: (3.13)
Irena Sobańska podkreśla zaś, że zachodni ekonomiści zwracają uwagę na to, iż graficzna ilustracja progu rentowności w przypadku produkcji dwuasortymentowej wymaga przestrzeni trójwymiarowej, zaś w przypadku większej liczby asortymentów mamy do czynienia z przestrzenią hiperwymiarową [2010, s. 206]. 3.3. Koncepcja „produktu umownego” w ujęciu literaturowym Jacek Kowalczyk [2006, s. 106] stwierdza, że przy danych cenach i kosztach próg rentowności to taka struktura asortymentowa rozumiana
jako wektor ilościowy sprzedaży, który spełnia równanie będące punktem wyjścia znajdowania progu rentowności. Ponadto uważa on, że taki próg rentowności w ujęciu ilościowym należy traktować jako tzw. koszyk dóbr i usług realizowanych przez daną firmę, czyli jako tzw. koszyk asortymentowy. Tabela 3.3 przedstawia poglądy niektórych ekonomistów na temat pojęcia produktu umownego (jednostki kompleksowej). Metoda przeciętnej marży pokrycia a „jednostka umowna” Według Edwarda Nowaka [2001, s. 91–92], stosując metodę przeciętnej marży pokrycia, należy najpierw ustalić udział przychodów ze sprzedaży poszczególnych produktów w globalnych przychodach ze sprzedaży. Udział przychodów ze sprzedaży produktu i-tego w globalnych przychodach ze sprzedaży, który oznaczamy jako ai, wyraża wzór: (3.14)
Znając udziały ai, wyznacza się wtedy ilościowy próg rentowności, stosując wzór: (3.15)
Jak podkreśla E. Nowak, suma występująca w mianowniku powyższego wzoru oznacza przeciętną jednostkową marżę pokrycia zrealizowaną na wszystkich produktach, zaś ilościowy próg rentowności (BEP) jest wyrażony w jednostkach umownych, dotyczących wszystkich produktów[2]. Aby ustalić ilościowe progi rentowności Tabela 3.3. Pojęcie jednostki kompleksowej oraz produktu umownego według różnych ekonomistów Autorzy
Definicja
Gertruda K. Świderska, Marcin Pielaszek [2010, s. 258]
„Próg rentowności dla produkcji wieloasortymentowej można ustalić także przyjmując założenie o stabilnym udziale poszczególnych asortymentów w całości sprzedaży. Takie założenie oznacza scharakteryzowanie całkowitej sprzedaży przedsiębiorstwa za pomocą odpowiedniej ilości jednostek, w których poszczególne produkty znajdują się w stosunku do siebie w stałej proporcji. Jednostka taka nosi nazwę jednostki kompleksowej”.
Andrzej Rutkowski [2003, s. 148]
„Aby wyznaczyć próg rentowności dla wielu produktów wprowadza się produkt umowny, który zawiera w sobie poszczególne podstawowe produkty w ściśle określonej proporcji (SM). Symbol SM oznacza relację ilości produktu „pierwszego” do „drugiego” w wyrobie umownym. Po obliczeniu progu rentowności dla produktu umownego rozlicza się go na produkty podstawowe”.
Magdalena „Uproszczona wersja metody segmentowej stosowana może być jedynie w sytuacji, Giedroyć gdy wszystkie koszty stałe wykazywane są na poziomie wspólnym dla wszystkich
[2006, s. 912–913]
asortymentów wytwarzanych produktów. Przychody ze sprzedaży przy takim założeniu są przychodami ze sprzedaży tzw. jednostki kompleksowej lub produktu umownego. Produkt umowny to miara zawierająca w sobie ilości analizowanych produktów w określonej proporcji, którą najczęściej są rozmiary produkcji poszczególnych produktów. Proporcja oznacza ilość jednego produktu do ilości kolejnego produktu w koszyku analizowanego asortymentu stanowiącego produkt umowny. Wartość progu rentowności kalkuluje się dla produktu umownego, a następnie rozlicza na właściwe produkty”.
Jacek Kowalczyk [2006, s. 108]
„Proporcje przeliczenia produkcji różnych asortymentów na wyrób umowny powinny być zgodne z proporcjami między poszczególnymi wskaźnikami ui. Wynik liczbowy ilościowego progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej można zatem interpretować jako liczbę jednostek umownych, która przy danej strukturze cen i kosztów nie przyniesie firmie straty”.
Źródło: opracowanie własne na podstawie wymienionych publikacji. dla poszczególnych produktów, należy zatem ilościowy próg rentowności w jednostkach umownych pomnożyć przez wskaźnik udziału przychodów ze sprzedaży tych produktów w przychodach ogółem, co wyraża wzór: (3.16)
Dalej przedstawiono przykłady wykorzystania pojęcia produktu umownego przez niektórych autorów. Przykład 3.2 [Świderska, Pielaszek, 2010, s. 258–259] Dotychczas firma SIGMA sprzedawała 2000 jednakowych produktów. Załóżmy, że przedsiębiorstwo obawia się rosnącej konkurencji i zamierza rozszerzyć asortyment o dodatkowe dwa rodzaje stolików. Produkcja dotychczasowych stolików plastikowych, oznaczonych symbolem S-1, zostanie ograniczona do 1200 szt., natomiast dodatkowo uruchomiona zostanie produkcja 600 drewnianych stolików S-2 oraz 200 stolików metalowych S-3. Przewiduje się, że cena oraz koszty zmienne poszczególnych typów stolików zostaną ustalone na poziomach przedstawionych w tabeli 3.4, natomiast koszty stałe wynoszą 60 tys. zł. Tabela 3.4. Dane wyjściowe do przykładu 3.2 (w zł) Wyszczególnienie
S-1
S-2
S-3
Cena sprzedaży Jednostkowy koszt zmienny Jednostkowa marża na pokrycie
100 50 50
120 55 65
200 95 105
Źródło: ibidem, s. 258. Aby ustalić próg rentowności dla produkcji wieloasortymentowej, zastosujemy metodę jednostkowej marży na pokrycie. Przy założeniu podanej struktury sprzedaży w skład jednej jednostki kompleksowej wejdzie: 6 produktów S-1, 3 produkty S-2, 1 produkt S-3
(1200 : 600 : 200). Marża na pokrycie jednostki kompleksowej wynosi 600 zł i została obliczona w sposób przedstawiony w tabeli 3.5. Tabela 3.5. Obliczenia pomocnicze do przykładu 3.2 Wyszczególnienie
6 sztuk S-1
3 sztuki S-2
1 sztuka S-3
Razem
Przychody ze sprzedaży Koszty zmienne Marża na pokrycie
6 × 100 = 600 6 × 50 = 300 300
3 × 120 = 360 3 × 55 = 165 195
1 × 200 = 200 1 × 95 = 95 105
1160 560 600
Źródło: ibidem, s. 259. Stosujemy wzór:
gdzie: BEP – próg rentowności w ujęciu ilościowym, KS – koszty stałe, JMNPJK – jednostkowa marża na pokrycie jednostki kompleksowej. Podstawiając dane liczbowe, otrzymamy zatem:
jednostek kompleksowych.
Aby osiągnąć próg rentowności, SIGMA musi sprzedać 100 jednostek kompleksowych, co w przeliczeniu na jednostki rzeczywiste oznacza: 600 stolików S-1 (6 × 100); 300 stolików S-2 (3 × 100); 100 stolików S-3 (1 × 100). Przykład 3.3 [Rutkowski, 2003, s. 147–150] Firma DELTA jest producentem dwóch produktów: A i B. Cena produktu A wynosi pA = 500 zł/szt., a cena produktu B wynosi pB = 1000 zł/szt. Jednostkowe koszty zmienne dla produktu A wyniosą kzA = 400 zł/szt., dla B zaś kzB = 600 zł/szt. Dział marketingu zakłada, że w najbliższym roku firma sprzeda 800 szt. produktu A i 400 szt. produktu B. Kalkulacja struktury produktu umownego Zakłada się, że przyjęte na początku udziały wyrobów A i B w produkcie umownym zostaną zachowane. Struktura produktu umownego (SM) zostaje wyznaczona na podstawie zaplanowanej wielkości produkcji A (800 szt.) i B (400 szt.): SM = 800 : 400 = 2 : 1. Oznacza to, że w każdym produkcie umownym znajdą się dwa produkty A i jeden produkt B. Na każde dwa sprzedane produkty A przypada jeden produkt B.
Obliczenia marży brutto w produkcie umownym przedstawiono w tabeli 3.6. Tabela 3.6. Dane wyjściowe do przykładu 3.3 Wyszczególnienie
Produkt A
Produkt B
Produkt umowny
Udział w sprzedaży Cena jednostkowa Koszty zmienne jednostkowe Marża brutto jednostkowa
2 500 400 100
1 1000 600 400
– 2000 1400 600
Źródło: na podstawie pracy: ibidem, s. 149. Oznacza to, że dla progowej wielkości produkcji i sprzedaży marża brutto powinna być wystarczająca do pokrycia kosztów stałych, które obejmują: koszty stałe wydziałowe dla produktu A, koszty stałe wydziałowe dla produktu B oraz koszty stałe ogólnozakładowe. Koszty stałe = 60 000 + 80 000 + 40 000 = 180 000 zł. Marża brutto produktu umownego składa się z marż brutto produktów A i B, a zatem: marża bruttoMIX = 200+400 = 600 zł. Próg rentowności oblicza się w sposób standardowy, według wyżej podanego wzoru:
Dla firmy DELTA próg rentowności wynosi zatem 300 produktów umownych, przy czym na jeden produkt umowny składają się dwa produkty A i jeden B, a mianowicie: 300×2 = 600 szt. produktu A, 300×1 = 300 szt. produktu B. Dla przedstawionej wielkości sprzedaży, równej 600 szt. produktu A i 300 szt. produktu B, spółka zrealizowała zerowy zysk. Przykład 3.4 [Piosik, 2006, s. 186] Przykład ten prezentuje sposób obliczania progu rentowności dla produktów, których wielkość sprzedaży jest skorelowana. Przedsiębiorstwo wytwarza dwa modele rowerów: model standardowy A i oraz model wzbogacony B. Średnio na trzy sprzedane modele standardowe sprzedaje się jeden model wzbogacony. Relacje te są stałe i kierownictwo nie spodziewa się ich zmiany. Dane do analizy K-W-Z (koszt – wielkość sprzedaży – zysk) są następujące: miesięczne koszty stałe (K) – 301 000 zł/miesiąc; ceny sprzedaży: model A – 700 zł/szt., model B – 1100 zł/szt.; jednostkowe koszty zmienne: model A – 380 zł/szt.,
model B – 660 zł/szt. Należy wyznaczyć próg rentowności. Marże jednostkowe pokrycia produktów wynoszą: m1 = 320 zł/szt., m2 = 440 zł/szt. Wielkość sprzedaży dwóch modeli rowerów można przekształcić na pakiety. Cena jednego pakietu obejmuje cenę trzech rowerów standardowych oraz jednego modelu wzbogaconego. Analogicznie należy postąpić z kosztem zmiennym oraz marżą pokrycia. Jednostkowa marża pokrycia jednostki pakietu wynosi: 3 × 320 zł/szt. + 1 × 440 zł/szt. = 1400 zł/pakiet. Próg rentowności określamy za pomocą równania: X = 301 000 : 1400 zł/pakiet = 215 pakietów. Ośrodek nie będzie realizował zysku ani strat przy sprzedaży miesięcznej, wynoszącej 645 rowerów standardowych oraz 215 rowerów wzbogaconych. Przykład 3.5 [Kowalczyk, 2006, s. 108–110] Firma planuje wytwarzanie trzech rodzajów silników, które różnią się m.in. ważną cechą, jaką jest ich moc. Silnik X ma moc 12 KM, silnik Y – moc 30 KM, zaś silnik Z – moc 50 KM. Tabela 3.7 zawiera charakterystykę ekonomiczną wyrobów. Tabela 3.7. Dane wyjściowe do przykładu 3.5 Wyrób
Cena jednostkowa w zł/szt.
Koszt jednostkowy zmienny w zł/szt.
X
3000
1850
Y
7000
4600
Z
11 500
7000
Koszty stałe = 800 000 zł
Źródło: na podstawie pracy: ibidem, s. 108. Jacek Kowalczyk określa jednostkowy wyrób umowny jako silnik o mocy równej sumie mocy trzech wyrobów X, Y i Z, czyli 92 KM. Na tej podstawie określa wskaźniki udziału:
Ilościowy próg rentowności wynosi wówczas:
= 237 jednostek wyrobu umownego,
przy czym mianownik formuły to średnioważona marża jednostkowa
przy czym mianownik formuły to średnioważona marża jednostkowa brutto: zł/jednostkę umowną. Dalej autor zauważa, że próg rentowności trzech rodzajów silników będzie każdą kombinacją liczb x, y, z (wielkości w sztukach każdego produktu), która spełnia następujące równanie:
Dalej autor proponuje obliczenie średnioważonej ceny według formuły:
co umożliwia określenie wartościowego progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej: BEPW = 8910 × 237 = 2 111 670 zł. W podsumowaniu J. Kowalczyk stwierdza, że każda kombinacja (koszyk asortymentowy) liczby produktów X, Y i Z, która przy danych cenach i kosztach przyniesie przychody na poziomie 2 111 670 zł, zapewnia zerowy wynik finansowy, czyli jest progiem rentowności. Autor ten nie szuka koszyka ilościowych progów rentowności – podaje tylko wielkości brzegowe. Poniżej przedstawiamy wypełnienie tej luki. Punktem wyjścia jest jedno równanie o trzech niewiadomych:
a stąd otrzymujemy;
Szukamy liczb całkowitych. Poniżej zaprezentowano kilka takich zestawów w ujęciu wektorowym: BEPi = <200 50 100>. 1. BEPi = <200 50 100>, czyli: sztuk łącznie. Mamy zatem równość: 200 × 1150 + 50 × 2400 + 100 × 4500 = 800 000, a ponadto:
zł.
czyli
2. BEPi = <140 75 102>, czyli: sztuk łącznie. Mamy zatem równość: 140 × 1150 + 75 × 2400 + 102 ×v 4500 = 800 000, a ponadto:
zł.
czyli
3. BEPi = <140 150 62>, czyli: sztuk łącznie. Mamy zatem równość: 140 × 1150 + 150 × 2400 + 62 × 4500 = 800 000, a ponadto:
zł.
czyli
Z matematycznego punktu widzenia każda z wyznaczonych „trójek”, które stanowią ilościowe progi rentowności w ujęciu wektorowym, leży w płaszczyźnie wyznaczającej próg rentowności dla danego przykładu. Nietrudno zauważyć, że istnieje nieskończenie wiele takich rozwiązań, co daje duże możliwości wyboru podczas prognozowania poziomu progu rentowności. 3.4. Struktura sprzedaży a próg rentowności Wartościowe, a zarazem inspirujące rozważania matematyczne na temat progu rentowności przedstawił w swojej publikacji Jarosław Mielcarek [2005a, s. 98 i n.], który podważa pogląd wielu ekonomistów zachodnich, według których każda zmiana struktury produkcji i sprzedaży wywołuje zmianę punktu progu rentowności, co jest przyjmowane jako jedno z założeń analizy CVP. Wspomniany J. Mielcarek stwierdza m.in., że wszystkie twierdzenia autorów zachodnich oraz polskich, dotyczące relacji między zmianami struktury produkcji a zmianami punktu progu rentowności, są błędne. Zdaniem tegoż autora wiąże się to z tym, że wymienieni autorzy nie dostrzegli, iż koncepcja CVP jest systemem o (n – 2) stopniach swobody, gdzie n jest liczbą asortymentów. Jeżeli liczba asortymentów jest równa 2, to mamy zero stopni swobody i w takim przypadku jakakolwiek zmiana struktury produkcji wywołuje zmianę punktu progu rentowności [ibidem, s. 110].
Stwierdzenia niektórych autorów – zarówno polskich, jak i zagranicznych – iż każda zmiana struktury sprawia, że ulega zmianie próg rentowności, zostały przedstawione w tabelach 3.8 i 3.9. Tabela 3.8. Próg rentowności a struktura asortymentowa – według polskich ekonomistów Autor
Poglądy
J. Próg rentowności w warunkach produkcji mieszanej można wyznaczyć tylko dla Wermut określonej jej struktury, ponieważ zmiana tej struktury zmienia miejsce progu. [1999, s. 69] T. Dudycz [2000, s. 69]
Wszelkie obliczenia dla produkcji wieloasortymentowej są słuszne tylko przy założeniu, że struktura asortymentowa tej produkcji nie ulega zmianie. Gdyby natomiast uległa zmianie, wówczas należy wykonać obliczenia przy nowej strukturze.
S. Sojak [2003, s. 257]
W przedsiębiorstwie produkującym więcej niż jeden produkt planowana struktura sprzedaży musi być zachowana w ciągu badanego okresu; niezrealizowanie tego założenia uniemożliwia obliczenie średnioważonej marży brutto, a więc i progu rentowności.
E. Nowak [2004, s. 72]
Powyższy próg rentowności jest wyznaczany dla danej struktury asortymentowej produkcji. Oznacza to, że zmiana tej struktury spowoduje zmianę progu rentowności.
W.A. Nowak [2001, s. 387]
Analiza obejmuje jeden produkt bądź zbiór produktów o strukturze niezależnej od rozmiarów sprzedaży.
Źródło: opracowanie własne. Tabela 3.9. Próg rentowności a struktura asortymentowa – według zachodnich ekonomistów Autor
Poglądy
C. Drury [2004, s. 281]
Powinno być oczywiste, że punkt progu rentowności (lub wolumeny sprzedaży, potrzebne do osiągnięcia zadanego zysku) nie jest liczbą unikatową: zmienia się w zależności od struktury sprzedaży.
R.H. Garrison, E.W. Noreen [2000, s. 256]
Jeżeli struktura sprzedaży się zmieni, to również punkt progu rentowności ulegnie zmianie.
R.H.Garrison, Jeżeli struktura produkcji się zmieni, to punkt progu rentowności też ulegnie E.W. Noreen, zmianie. P.C. Brewer [2004, s. 249] C.T. Horngren, G. Foster, S.M. Datar [2000, s. 60] J.K. Shim,
Analiza albo dotyczy pojedynczego produktu, albo przyjmuje się, że struktura sprzedaży dla produkcji wieloasortymentowej będzie stała, gdy poziom całkowitej liczby jednostek sprzedanych się zmienia.
J.G. Siegel [2000, s. 161]
W analizie progu rentowności i CVP niezbędne jest określenie z góry struktury sprzedaży, a następnie obliczenie jednostkowej marży wkładu. Należy również założyć, że struktura sprzedaży nie zmienia się w danym czasie.
Źródło: na podstawie pracy: Mielcarek, 2005a, s. 98–100. Weźmy pod uwagę zagregowany próg rentowności ilościowym. Niech wzór (3.12) przyjmie równoważną postać:
w
ujęciu
(3.17)
Jeśli przyjmiemy, że zarówno BEP = const., jak i KS = const., to musi zajść relacja: (3.18)
Z matematycznego punktu widzenia mamy układ dwóch równań liniowych o n niewiadomych, czyli: (3.19)
przy warunkach ograniczających, zakładających, że: 0 < s i < 1 oraz mi > 0, dla wszystkich i = 1, 2, …, n. Ostatni z warunków oznacza, że bierzemy pod uwagę wszystkie n produktów. Układ równań (3.19) z matematycznego punktu widzenia: 1) jest układem Cramera dla n = 1 niewiadomych (tj. wskaźników struktury) – taki układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, co oznacza, że każda zmiana struktury ilościowej prowadzi do zmiany poziomu progu rentowności; 2) nie jest układem Cramera dla n ≥ 3 niewiadomych – taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a zatem zmiana struktury nie musi prowadzić do zmiany poziomu progu rentowności. Rozważania te prowadzą do przedstawionych niżej uogólnień. Podstawowe twierdzenie rachunku progu rentowności Ustalonej wartości progu rentowności w ujęciu sumarycznym odpowiada: 1) dokładnie jeden wektor struktury, gdy występują n = 2 produkty; 2) nieskończenie wiele wektorów struktury, gdy występują nie mniej niż 3 produkty. Także wzór na zagregowany próg rentowności w ujęciu wartościowym
Także wzór na zagregowany próg rentowności w ujęciu wartościowym (3.13) można zapisać następująco: (3.20)
gdzie:
– struktura sprzedaży w ujęciu wartościowym, – stopa jednostkowej marży pokrycia i-tego
produktu. Analogiczne rozważania, jakie zostały przeprowadzone w stosunku do ujęcia ilościowego, można przeprowadzić także w przypadku wartościowego ujęcia zagregowanego progu rentowności. W świetle powyższego twierdzenia nie ma racji bytu pogląd Małgorzaty Kucharczyk, która twierdzi, że dokonanie analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej jest możliwe tylko wtedy, „gdy struktura sprzedaży jest dobrze rozpoznana i stała” [2014, s. 292]. Należy zdawać sobie sprawę, że analiza CVP ma pewne ograniczenia, co syntetycznie przedstawiono na rysunku 3.1. Rysunek 3.1. Podstawowe ograniczenia analizy CVP
Źródło: na podstawie pracy: Kucharczyk, 2014, s. 337.
Jest rzeczą oczywistą, że menedżerowie stosujący analizę CVP muszą rozumieć istotę ograniczeń, które są z nią związane, bo tylko wówczas będą mogli osiągnąć zamierzone korzyści. 3.5. Egzemplifikacja podstawowego twierdzenia rachunku progu rentowności Przykład 3.6 Sklepik spożywczy „Ewa” zajmuje się sprzedażą czterech rodzajów napojów orzeźwiających, na które uzyskuje następujące marże jednostkowe: 1) woda mineralna „Krystynka” – m1 = 5 zł, 2) woda mineralna „Selenka” – m2 = 4 zł, 3) woda mineralna „Ostromecka” – m3 = 2 zł, 4) woda mineralna „Kropla Beskidu” – m4 = 3 zł. W minionym miesiącu sprzedaż ilościową przedstawia wektor: = <50, 100, 150, 200>. Struktura ilościowa sprzedaży była zatem następująca: s 1 = 0,1; s 2 = 0,2; s 3 = 0,3 i s 4 = 0,4, zaś koszty stałe okresu wynosiły: KS = 620 zł. Zgodnie z tymi założeniami przeciętna marża pokrycia wynosi: zł/butelkę wody mineralnej. Zagregowany ilościowy próg rentowności obliczamy ze wzoru:
czyli: a zatem ilościowy próg rentowności sprzedaży wieloasortymentowej wynosi: butelek ogółem. Następnie znajdujemy koszyk asortymentowy ilościowego progu rentowności: BEP1 = 0,1× 200 = 20 – woda mineralna „Krystynka”, BEP2 = 0,2× 200 = 40 – woda mineralna „Selenka”, BEP3 = 0,3× 200 = 60 – woda mineralna „Ostromecka”, BEP4 = 0,4× 200 = 80 – woda mineralna „Kropla Beskidu”. Analiza ex ante Wariant I. Zakładając, że próg rentowności nie ulegnie zmianie, chcemy dokonać zmiany struktury asortymentowej wód mineralnych. Mamy tutaj (n – 2) = 4 – 2 = 2 stopnie swobody, a zatem dwie składowe wektora struktury są zmiennymi swobodnymi. Przyjmijmy, że pierwszy składnik wektora struktury wzrasta do
Najpierw znajdujemy dopuszczalny obszar zmian dla s 2. Mamy zatem układ:
Z warunku: wynika, że Przyjmijmy, że zmianie ulegną dwa pierwsze wskaźniki struktury i wyniosą:
Mamy zatem do rozwiązania następujący układ równań:
W ten sposób uzyskujemy nowy wektor struktury ilościowej:
i na tej podstawie znajdujemy koszyk asortymentowy ilościowego progu rentowności: – woda mineralna „Krystynka”, – woda mineralna „Selenka”, – woda mineralna „Ostromecka”, – woda mineralna „Kropla Beskidu”.
Przyjmując, że:
oraz
otrzymamy wektor:
Wariant II. Sprzedawca chce zwiększyć ilość lokalnej wody mineralnej „Krystynka”. Jeżeli przyjmiemy, że: s 1 = 0,2, s 2 = 0,2, wówczas analogiczne rachunki prowadzą do wektora ilościowego struktury sprzedaży o postaci:
co przekłada się na następujący koszyk ilościowego progu rentowności: – woda mineralna „Krystynka”, – woda mineralna „Selenka”, – woda mineralna „Ostromecka”, – woda mineralna „Kropla Beskidu”. Biorąc pod uwagę, że: a stąd otrzymamy: 1) dla
i
otrzymamy warunek:
mamy wektor:
2) dla i mamy wektor: Przykład 3.7 Firma „Kamila” zajmuje się produkcją i sprzedażą trzech rodzajów parasolek, a są to: a) parasolki ślubne, b) parasolki przeciwsłoneczne, c) parasolki przeciwdeszczowe. Poniżej przedstawiono syntetycznie analizę zmiany struktury wartościowej sprzedaży parasolek przy założeniu stałości wartościowego progu rentowności oraz w przypadku jego obniżenia.
Wariant pierwszy scenariusza zmiany operacyjnego progu rentowności Warunki początkowe: stopy marży jednostkowej: struktura sprzedaży (wartościowo) KS = 4200. Wariant początkowy progu rentowności
Zmiana struktury szukamy Obszar możliwej zmiany wskaźnika struktury
Przyjmijmy, że: t1 = 0,4. Wykonujemy następujące obliczenia:
Próg rentowności po zmianie struktury Nowa struktura przyjmie postać: Koszyk asortymentowy wartościowego progu rentowności:
Wariant drugi scenariusza zmiany operacyjnego progu rentowności Wychodząc z założenia, że mało realna jest sprzedaż tak dużej liczby parasolek przeciwdeszczowych, proponuje się zmniejszenie wskaźnika t3. Szukamy: t1 = ?, t2 = ?. Obszar możliwej zmiany wskaźnika struktury Dopuszczalny obszar zmian:
Przyjmijmy, że: t3 = 0,2. Wykonujemy następujące obliczenia:
Próg rentowności po zmianie struktury Nowa struktura przyjmie postać: Koszyk asortymentowy wartościowego progu rentowności:
Wariant trzeci scenariusza zmiany operacyjnego progu rentowności Zmiany w zakresie produkcji pozwalają na obniżenie progu rentowności o 25%. Nowy próg rentowności: Koszty stałe należy obniżyć o 25%, a stąd mamy:
Chcemy zmienić wskaźnik t3 = ? Obszar możliwej zmiany wskaźnika struktury Znajdujemy obszar możliwej zmiany dla wskaźnika t3:
Przyjmijmy, że: t3 = 0,85. Wykonujemy następujące obliczenia:
Próg rentowności po zmianie struktury Nowa struktura przyjmie postać: Koszyk asortymentowy wartościowego progu rentowności:
Według Anny Ćwiąkały-Małys oraz Wioletty Nowak wartościowy próg rentowności, wyrażony wzorem (3.13), zależy od wzajemnej relacji kosztów zmiennych i wartości sprzedaży, a zatem zależy od struktury asortymentowej. Zdaniem tych autorek wzór można stosować wtedy, gdy ustalony jest poziom kosztów zmiennych oraz znana jest wartość sprzedaży, co oznacza, że może być wykorzystywany do analizy ex post. Autorki te stwierdzają, że „W analizie ex ante jest mało przydatny, gdyż może przyjmować różne wartości w zależności od różnych kombinacji produkowanych asortymentów” [Ćwiąkała-Małys, Nowak, 2005, s. 166][3]. Przykład 3.7 dowodzi, że możliwa jest także analiza ex ante progu rentowności w ujęciu wartościowym, co podważa przedstawiony pogląd. Warto też dodać, że Wiktor Gabrusewicz dostrzega możliwość osiągania tego samego progu rentowności przy różnej strukturze, pisząc m.in.: „Natomiast w przypadku wartościowego progu rentowności przedsiębiorstwo może osiągać zrównanie przychodów i kosztów całkowitych przy nieskończenie dużej liczbie różnych kombinacji struktury asortymentowej” [2006a, s. 236]. 3.6. Segmentowa analiza progu rentowności
Edward Nowak, na potrzeby analizy progu rentowności w sytuacji produkcji wieloasortymentowej, wyróżnia trzy podejścia do kosztów stałych ze względu na sposób ich przyporządkowania segmentom działalności, a mianowicie [2012, s. 126]: 1) koszty stałe rozliczane między poszczególne asortymenty produktów, 2) koszty stałe w całości odnoszone do przedsiębiorstwa, 3) koszty stałe w części rozliczane między asortymenty, a w części odnoszone do całego przedsiębiorstwa. Dla każdego przypadku proponuje się odpowiednią metodę przeprowadzania analizy progu rentowności. Zdaniem wielu ekonomistów segmentowa analiza progu rentowności wymaga podziału kosztów stałych na dwie części, tj.: 1) koszty stałe poszczególnych produktów, 2) koszty stałe dotyczące całego przedsiębiorstwa. Według niektórych ekonomistów [zob. Sojak, 2003, s. 255] marża i-tego produktu powinna pokryć koszty stałe, które są związane z tym produktem, oraz tę część kosztów stałych wspólnych dla całego asortymentu, która odpowiada udziałowi jednostkowej marży i-tego produktu w sumie marż jednostkowych wszystkich produktów. Bronisław Micherda stwierdza zaś, że koszty stałe wspólne obciążają poszczególne asortymenty proporcjonalnie do „siły generowania marży brutto” [2007, s. 123]. Ilościowe progi rentowności dla poszczególnych produktów wyznacza się na podstawie wzoru: (3.21)
gdzie: KSi – koszty stałe produktów i-tego asortymentu, KSP – koszty stałe przedsiębiorstwa. Następnie proponuje się znajdowanie wartościowych progów rentowności dla każdego asortymentu oraz dla całej produkcji, stosując wzory [Gos, 2003, s. 316–318]: (3.22)
oraz (3.23)
Zauważmy, że ze wzoru (3.21) otrzymujemy: (3.24)
Jak widać z powyższego wzoru, część pierwsza nie budzi wątpliwości, gdyż jest powiązana z progiem rentowności dla pojedynczego asortymentu. Druga część została jednak oparta na kontrowersyjnej koncepcji metodologicznej, omówionej we wcześniejszych partiach artykułu. Jak wiadomo, przypisuje ona identyczne progi rentowności wszystkim produktom, co nie wydaje się aż tak zasadne. Z formuły (3.24) wynika, że każdy z indywidualnych progów rentowności jest powiększony o tę samą wartość z tytułu „sprawiedliwego” podziału kosztów stałych przedsiębiorstwa. Dodać także należy, że formuła (3.21) ma rację bytu tylko wtedy, gdy istnieje agregat czyli gdy możliwe jest dodawanie liczb mianowanych mj. W literaturze przedmiotu można się spotykać również z poglądem, że koszty stałe całego przedsiębiorstwa powinny być rozdzielone między poszczególne produkty proporcjonalnie do globalnej marży pokrycia tych produktów. Jak twierdzi Wojciech A. Nowak, z ekonomicznego punktu widzenia neutralną metodą segmentacji kosztów stałych wspólnych jest metoda oparta na globalnej marży pokrycia [2001, s. 446]. Jeśli przyjmiemy ten punkt widzenia, otrzymamy wówczas następującą formułę: (3.25)
Powyższe propozycje można uogólnić następująco: (3.26)
Jeśli weźmiemy klucz podziału o postaci: (3.27)
to otrzymujemy formułę (3.25). Natomiast klucz podziału o postaci: (3.28)
daje formułę (3.21). Wydaje się, że można uogólnić powyższe propozycje w następujący sposób: (3.29)
gdzie: oraz oblicza się według podanych koncepcji. W literaturze przedmiotu spotkać można propozycję, według której wspólne koszty stałe są dzielone proporcjonalnie do indywidualnych kosztów stałych, co wyraża następująca formuła [Urbanek, 2000, s. 117]: (3.30)
Zauważyć także trzeba, że niektórzy ekonomiści mówią o progu rentowności dla produktu niejednorodnego i używają określenia „linia produktu”, a jej przykładem jest asortyment [A.W. Nowak, 2001, s. 410–414]. 3.7. Zastosowanie segmentowej analizy progu rentowności Przykład 3.8 Ustalanie progu rentowności za pomocą metody segmentacji oparte na danych zawartych w tabeli 3.10. Obliczenia pomocnicze zawiera tabela 3.11. Tabela 3.10. Dane liczbowe do przykładu 3.8 Wyszczególnienie
Wyrób X
Wyrób Y
Wyrób Z
Jednostkowa cena sprzedaży
10
12
15
Jednostkowe koszty zmienne
5
8
7
Koszty stałe poszczególnych wyrobów (zł)
500
600
800
Prognoza marketingowa sprzedaży (szt.)
400
300
400
Koszty stałe przedsiębiorstwa (zł) = 20 672
Źródło: opracowanie własne. Tabela 3.11. Obliczenia pomocnicze do przykładu 3.8 Wyszczególnienie
Wyrób X
Wyrób Y
Wyrób Z
Jednostkowe marże pokrycia (m i)
5
4
8
Ilości wyrobów (q i)
400
300
400
Globalna marża pokrycia (Σ q i m i)
2000
1200
3200
Indywidualne koszty stałe (KSi)
500
600
800
100
150
100
Wskaźnik
KSp = 20 672
Źródło: opracowanie własne. Podejście I W tym podejściu zastosujemy formułę (3.24), mamy więc następujące ilościowe progi rentowności:
Razem: BEP = 3998 szt. (BEPW )1 = 13 160 zł; (BEPW )2 = 16 392 zł; (BEPW )3 = 19 740 zł; Razem: BEPW = 49 292 zł. Podejście II Tym razem zastosujemy formułę (3.25), otrzymujemy więc następujące ilościowe progi rentowności:
Razem: BEP = 3903 szt. (BEPW )1 = 13 920 zł; (BEPW )2 = 13 428 zł; (BEPW )3 = 20 800 zł; Razem: BEPW = 49 228 zł. Podejście III W tym podejściu stosujemy formułę (3.30), a zatem uzyskujemy następujące ilościowe progi rentowności:
Razem: BEP = 4158 szt. (BEPW )1 = 11 880 zł; (BEPW )2 = 21 384 zł; (BEPW )3 = 17 820 zł; Razem: BEPW = 51 084 zł. Niektórzy autorzy już od wielu lat starają się tak przedstawić problematykę analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej praktykom, aby im pokazać, że nie jest to aż tak trudne, a zarazem zachęcić do korzystania z tego typu analizy[4]. Zdaniem Ireny Sobańskiej [2010, s. 207] z racji złożoności wyznaczania progu rentowności w przedsiębiorstwie wytwarzającym więcej niż dwa asortymenty proponuje się segmentową analizę progu rentowności. Opisane metody tego typu analizy progu rentowności wychodzą zatem naprzeciw wspomnianemu postulatowi. 3.8. Analiza wrażliwości progu rentowności produkcji wieloasortymentowej Jeśli chcemy przeprowadzić analizę wrażliwości w przypadku produkcji wieloasortymentowej, to można także skorzystać z następujących wzorów: EBIT = PS – KZ – KS – zysk operacyjny EBIT,
(3.31)
oraz (3.32) – wartościowy próg rentowności,
gdzie: KS – koszty stałe okresu, KZ = Σ q i kzi – zagregowany koszt zmienny, PS = Σ q i pi – zagregowany przychód ze sprzedaży. Przyjmijmy następnie, że stopy zmiany są jednakowe dla składników agregatu kosztów zmiennych oraz przychodu ze sprzedaży. W tej sytuacji, analogiczne jak w przypadku produkcji jednorodnej, przekształcenia prowadzą do następujących formuł obliczeniowych: 1) tempo zmiany zysku operacyjnego EBIT: (3.33)
2) względna zmiana wartościowego progu rentowności: (3.34)
3) względna zmiana ilościowego progu rentowności: (3.35)
gdzie: α1 – stopa zmiany kosztów stałych, α2 – stopa zmiany składników agregatu przychodów ze sprzedaży, α3 – stopa zmiany składników agregatu kosztów zmiennych oraz:
stałych, kosztów zmiennych i przychodów ze sprzedaży. Przypadki szczególne: 1) jeśli α1 = α3 ≠ α2, to:
–
mnożniki
kosztów
(3.36)
2) jeśli α2 = α3 ≠ α1, to: (3.37)
oraz: T(BEPW) = α1; 3) jeśli α1 = α2 = α3 = α, to: (3.38)
Ogólnie rzecz biorąc, analiza wrażliwości progu rentowności jest podejściem dynamicznym do pojęcia progu rentowności i służy do oceny podatności różnego rodzaju projektów na zmiany poszczególnych czynników, które kształtują poziom progu rentowności.
Rozdział 4 Wieloaspektowe ujęcie analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej
Problematyka znajdowania progu rentowności w warunkach produkcji wieloasortymentowej od dawna stanowiła inspirację dla wielu ekonomistów, którzy coraz śmielej sięgali po narzędzia matematyczne. W efekcie w minionych latach zaczęły pojawiać się coraz bardziej interesujące, a zarazem coraz bardziej twórcze publikacje na ten temat, które stają się „zaczynem” do dalszych przemyśleń na tym polu. W kolejnym rozdziale książki przedstawiono zarys tych poszukiwań twórczych, które poszerzają wiedzę na temat analizy progu rentowności. 4.1. Teoretyczne podstawy pojęcia progu rentowności Podejście skalarne – według dwóch koncepcji[1] Punktem wyjścia jest ogólna formuła na zysk operacyjny EBIT o postaci: (4.1)
co można przedstawić w zapisie wektorowym następująco[2]: (4.2)
gdzie:
– wektor ilości (wolumenu) sprzedaży,
– wektor jednostkowych marż pokrycia, KS – koszty stałe operacyjne[3]. Operacyjny próg rentowności (Break Even Point – BEP) to rozwiązanie równania: (4.3)
W publikacjach ekonomicznych rozważa się dwa podejścia analityczne, które prowadzą do stosownych formuł obliczeniowych. Koncepcja I (od szczegółu do ogółu)
Podstawą tej koncepcji metodologicznej jest twierdzenie, zgodnie z którym: jeśli KS = KS1 + KS2 + ... + KSn, to rozwiązanie układu równań liniowych o postaci: (4.4)
jest także rozwiązaniem wektorowym równania (4.3). Definiujemy
gdzie:
oraz wprowadza się tzw.
klucz podziału kosztów stałych (KS), przyjmując, że: …, n), przy czym: 0 ≤ αi ≤ 1 oraz formułę o postaci:
(i = 1, 2,
co ostatecznie daje ogólną (4.5)
Zauważyć należy, że powyższa koncepcja bazuje na indywidualnych progach rentowności BEPi, a zatem opiera się na przedstawionym niżej twierdzeniu. Jeśli relacja:
oraz
EBIT = 0 ⇔ EBITi = 0, dla i = 1, 2, …, n.
dla każdego i, to spełniona jest (4.6)
Następnie zakłada się, że zachodzi następująca proporcja złożona: gdzie: ti > 0 (i = 1, 2, …, n ) – pewne wielkości ekonomiczne związane z zyskiem EBIT. Z własności tej relacji wynika następująca równość: (4.7)
Ale z założenia wiemy, że relację:
więc otrzymujemy stąd kolejną
(4.8) dla wszystkich i = 1, 2, …, n.
Najczęściej przyjmuje się, że: a)
co prowadzi do formuły o postaci[4]: (4.9)
b)
a wtedy otrzymujemy formułę: (4.10)
gdzie:
– wskaźnik struktury wartościowej sprzedaży,
(i = 1, 2, …, n) – stopa jednostkowej marży pokrycia i-tego produktu (powyższe wzory poddane odpowiedniej dekompozycji umożliwiają uzyskanie formuły progu rentowności w ujęciu wektorowym), c)
wtedy otrzymujemy formułę: (4.11)
Z formuły (4.10), po prostych przekształceniach, otrzymujemy wzór: (4.12)
gdzie:
– koszty zmienne,
– przychód ze sprzedaży; pozostałe oznaczenia – jw. Koncepcja II (od ogółu do szczegółu) Składa się ona z następujących kroków obliczeniowych: 1) przekształcenie zapisu wektorowego w równanie skalarne:
lub (4.13)
2) znalezienie rozwiązania skalarnego o postaci: (4.14)
lub (4.15)
przy czym:
– średnioważona jednostkowa marża pokrycia,
– średnioważona stopa jednostkowych marż pokrycia, – agregat ilościowy, – agregat wartościowy, – wartość i-tego asortymentu; 3) dokonanie dezagregacji skalarnych progów rentowności, co prowadzi do otrzymania tzw. koszyków asortymentowych ilościowego oraz wartościowego progu rentowności, tj: (4.16)
gdzie: asortymentu lub
– ilościowy próg rentowności i-tego
(4.17)
gdzie: – wartościowy próg rentowności itego asortymentu[5]. Podejście wektorowe – koncepcja autorska[6] W przypadku produkcji wieloasortymentowej szukanie ilościowego progu rentowności wiąże się z rozwiązaniem jednego równania o n niewiadomych, przyjmującego postać: (4.18)
gdzie: q i – wielkość produkcji i-tego asortymentu, umożliwiająca osiągnięcie progu rentowności; mi – jednostkowa marża pokrycia i-tego asortymentu; KS – koszty stałe okresu; przy czym:
gdzie: pi – cena jednostkowa i-tego asortymentu, kzi – koszt jednostkowy zmienny i-tego asortymentu (i = 1, 2, …, n). Zauważmy teraz, że mamy następującą relację: (4.19)
Stąd otrzymujemy o postaci:
równanie
odcinkowe
tzw.
hiperpłaszczyzny
(4.20)
przy czym: – to ilościowe progi brzegowe. Próg brzegowy oznacza ilościowy próg rentowności dla produkcji i-tego asortymentu (przy założeniu, że produkowany jest tylko i-ty asortyment). Tworzymy następnie tzw. ilościowe wektory brzegowe o postaci:
Wektory brzegowe są rozwiązaniem równania (4.18), a zarazem stanowią podstawę poniższego twierdzenia. Twierdzenie. Każda kombinacja liniowa wypukła wektorów brzegowych o postaci: (4.22)
gdzie: oraz jest rozwiązaniem równania (4.18). Jest to zarazem ogólna formuła ilościowego progu rentowności w ujęciu wektorowym. Następnie określamy formułę przeliczeniowego ilościowego progu rentowności. Najpierw obliczamy tzw. normę wektora (4.22): (4.23)
Przyjmujemy, że zachodzi następująca proporcja złożona:
gdzie: ci – pewna wielkość nieujemna, co prowadzi do zależności[7]: (4.24)
Stąd zaś otrzymujemy: (4.25)
gdzie: pokrycia;
– średnia harmoniczna ważona jednostkowych marż
– tzw. waga dla i-tego asortymentu, przy czym co najmniej jedna z nich jest
dodatnia, a zatem Ogólna formuła przeliczeniowego ilościowego progu rentowności ma więc postać: (4.26)
Następnie o postaci:
przyjmujemy,
że
następuje
przekształcenie
afiniczne
(4.27)
gdzie: – współczynnik zależności (pewna wielkość wpływająca na poziom mi). Powyższe przekształcenie zamienia średnią harmoniczną ważoną:
w średnią arytmetyczną ważoną o postaci: (4.28)
Oznacza to, że na przeciętną wielkość marży pokrycia ma wpływ struktura parametrów β oraz jednostkowe marże pokrycia. Wybrane przypadki A. Jeśli βi = q i, wówczas – globalna marża pokrycia osiągnięta ze sprzedaży i-tego asortymentu. Stąd zaś otrzymujemy: (4.29)
czyli: gdzie: B. Jeśli βi = 1, wówczas ci = mi, a wtedy otrzymujemy:
a stąd: (4.30) oraz
Przypadek ten występuje wtedy, gdy q i = const. dla każdego i = 1, 2, …, n. Zauważmy, że identyczne wzory otrzymamy, znajdując średnią harmoniczną ilościowych progów brzegowych (4.22). C. Jeśli
wówczas otrzymujemy: (4.31)
przy czym miernik βi informuje, ile razy przychód wi pokrywa jednostkową marżę pokrycia mi. D. Jeśli βi = wi, wówczas otrzymamy: (4.32)
czyli średnią arytmetyczną ważoną jednostkowych marż pokrycia. Stąd wynikają dwie równości: (4.33) oraz
otrzymaliśmy zatem formułę obliczeniową metody przeciętnej marży pokrycia[8]. E. Jeśli przyjmiemy, że
wtedy otrzymujemy: (4.34)
– średnia harmoniczna nieważona jednostkowych marż pokrycia.
Zauważmy, że do identycznego wyniku prowadzi średnia arytmetyczna nieważona ilościowych progów brzegowych (4.22). Ponadto mamy: (4.35)
Korzystając z zależności: a)
(4.36)
b) (4.37) otrzymujemy następujące wielkości: 1. Wartościowy próg rentowności w ujęciu wektorowym: (4.38)
przy czym: – stopa jednostkowej marży pokrycia i-tego asortymentu. 2. Ogólna formuła przeliczeniowego wartościowego progu rentowności, którą uzyskujemy, obliczając najpierw tzw. normę wektora: (4.39)
stąd zaś (analogicznie jak przy ilościowym ujęciu) otrzymujemy: (4.40)
gdzie: – to średnia harmoniczna ważona stóp jednostkowych marż pokrycia, przy czym: ci – pewna nieujemna wielkość. Zasadne jest, aby per analogia do powyższych rozważań, przyjąć zależność: ci = βi×ri, także w przypadku wartościowego progu rentowności, co prowadzi do formuły: (4.41)
Oznacza to, że na przeciętną wartość stopy marży pokrycia ma wpływ zarówno struktura parametrów β, jak i stopy jednostkowych marż pokrycia. Wybrane przypadki A. Jeśli przyjmiemy, że βi = wi, czyli ci = Mi, to:
(4.42)
a stąd otrzymujemy formułę:
B. Jeśli przyjmiemy, że βi = 1, czyli ci = ri, to otrzymamy:
a stąd: (4.43) oraz
n.
Przypadek ten występuje wtedy, gdy: wi = const. dla każdego i = 1, 2, …, Jeśli dla wszystkich asortymentów ri = r = const., wówczas: (4.44)
C. Jeśli przyjmiemy, że ci = 1, to otrzymamy:
a stąd wynikają formuły obliczeniowe na wartościowy próg rentowności o postaci: (4.45) oraz
Oznacza to, że jednakowe jest obciążenie kosztami stałymi poszczególnych asortymentów. Niektórzy zachodni ekonomiści uważają [Dominiak, Louderback, 1985, s. 27 i n.], że tylko w przypadku gdy produkty mają równą co do wartości stopę jednostkowej marży pokrycia, możliwe jest wyznaczenie wartościowego progu rentowności. Ich zdaniem menedżerowie dysponują wówczas wiedzą odnośnie do poziomu koniecznej sprzedaży przy
zastosowaniu różnej struktury sprzedaży wyrobów lub usług. W rzeczywistości wspomniane uwarunkowanie należy skojarzyć ze wzorem (4.44), z którego wynika, że struktura sprzedaży w ujęciu wartościowym nie ma w tym przypadku żadnego wpływu na poziom progu rentowności. Nawet gdy produkty mają identyczną jednostkową marżę pokrycia, to struktura ilościowa sprzedaży nie ma wpływu na poziom progu rentowności w ujęciu ilościowym, co nie jest jednak dostrzegane w literaturze przedmiotu. 4.2. Próg rentowności według rachunku wektorowego w przestrzeni nwymiarowej Znaczący wkład w doskonalenie rachunku progów rentowności ma Jarosław Mielcarek, który przedstawił wiele propozycji metodologicznych, dotyczących problemu znajdowania progu rentowności. Poniżej zostanie naszkicowana koncepcja tego autora, związana z formułami na próg rentowności produkcji wieloasortymentowej. [2005, s. 85–97; 2006, s. 93– 109]. J. Mielcarek sformułował następującą hipotezę: „Punkt progu rentowności dla n produktów znajduje się w miejscu przecięcia się prostej w przestrzeni n wymiarowej, na której leży wektor wartości produkcji, z powierzchnią hiperwielokąta, którego wierzchołki są wyznaczone przez przecięcie hiperpłaszczyzny z poszczególnymi osiami współrzędnych w punktach wyznaczonych przez indywidualne, wartościowe punkty progu rentowności” [2005a, s. 86]. Punktem wyjścia rozważań J. Mielcarka jest relacja: (4.46)
gdzie: wi – sprzedaż w ujęciu wartościowym tego wyrobu, który wraz z innymi pokrywa próg rentowności, – wartościowe progi brzegowe (i = 1, 2, ..., n)[9], – jednostkowa stopa marży tego wyrobu, który wraz z innymi pokrywa próg rentowności. Zdaniem autora „współrzędne punktu progu rentowności otrzymujemy jako rozwiązanie układu równań z n niewiadomymi, na który składa się równanie odcinkowe hiperpłaszczyzny i równanie prostej, na której leży wektor wartości produkcji” [2005, s. 88]. Mamy zatem do rozwiązania następujący układ równań:
(4.47)
gdzie: – wektor wartości produkcji. Zauważyć należy, że druga relacja podanego układu (4.47) jest po prostu równaniem kierunkowym prostej w przestrzeni (n + 1) wymiarowej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Rozwiązaniem układu równań (4.47) jest wektor wartościowego progu rentowności o postaci[10]: (4.48)
gdzie:
(i = 1, 2, …, n), przy czym
.
Zauważmy, że z układu równań (4.47) otrzymujemy relację: – stała proporcjonalności. Ponadto możemy zapisać następującą zależność: (4.49)
Podstawiamy otrzymane zależności do licznika i mianownika formuły (4.48), dzięki czemu (po stosownych przekształceniach algebraicznych) otrzymamy poniższe formuły:
oraz
Stąd otrzymujemy prostą formułę na wartościowy próg rentowności itego asortymentu, czyli:[11] (4.50)
Jeśli przyjmiemy, że wektor wartości produkcji przyjmie postać:
wtedy, zdaniem Mielcarka, otrzymujemy rozwiązanie szczególne w ujęciu wartościowym o postaci: (4.51)
Powyższe rozwiązanie spełnia równanie (4.46), a zatem jest jednym z progów rentowności. Jeśli zdefiniujemy tzw. wartościowe wektory brzegowe o postaci:
(4.52)
wtedy zauważamy, że tzw. szczególne rozwiązanie (4.51) to po prostu średnia arytmetyczna wartościowych wektorów brzegowych[12]. Warto też podkreślić, że owe „rozwiązanie szczególne” jest szczególnym przypadkiem rozwiązania ogólnego, co przedstawiają wzory (4.45). Rozważania Mielcarka prowadzą do skomplikowanych wzorów, zaś wyprowadzona równość (4.50) wskazuje, że wygodniejsze jest obliczanie wartościowych progów rentowności i-tego asortymentu na podstawie prawej strony relacji (4.50). Tenże autor określa rozwiązanie, które przedstawia wzór (4.48) jako „rozwiązanie ogólne – ujęcie wartościowe”, co nie wydaje się zasadne, ponieważ zapis (4.47) to układ n równań o n niewiadomych, co przy odpowiednim założeniu oznacza tzw. układ Cramera, który daje jedno rozwiązanie szczegółowe [Piszczała, 1996, s. 184– 185]. Ponadto równanie (4.46), jak słusznie zauważa Jacek Kowalczyk, „z matematycznego punktu widzenia jest to jedno równanie z n niewiadomymi” [2006, s. 106]. Teoria algebry liniowej podpowiada, że w takim przypadku należy spośród n niewiadomych wybrać jedną niewiadomą (zwaną zmienną bazową), zaś pozostałe niewiadome traktować jako tzw. zmienne swobodne (parametry), za które można podstawiać dowolne wartości rzeczywiste, co w efekcie daje rozwiązanie szczegółowe. Jednym z rozwiązań szczegółowych jest tzw. rozwiązanie bazowe, które otrzymujemy, podstawiając za zmienne swobodne wartości równe zeru. W omawianym przypadku otrzymujemy wektory wyrażone wzorem (4.52). Jako rozwiązanie ogólne należy zatem przyjąć wzór (4.38),
co podpowiada stosowne twierdzenie dotyczące rozwiązywania równań liniowych. Reasumując, wyprowadzone przez Mielcarka formuły obliczeniowe są rozwiązaniem szczególnym, w ujęciu wartościowym (lub rzeczowym) i są one bardzo pracochłonne. 4.3. Próg rentowności w świetle teorii wymiarów 4.3.1. Kilka uwag wstępnych[13] Na płaszczyźnie dyscyplin ilościowych istotne znaczenie ma fakt, iż wszelkiego rodzaju opisy opierają się na zmiennych mierzalnych, zwanych często „wielkościami”. Według Jerzego Jakubczyca „wielkość jest taką zmienną mierzalną, która składa się z liczby pomnożonej przez jednostkę pomiarową” [ibidem, s. 45–46]. Posługiwanie się jednostkami pomiarowymi jest jednak dość kłopotliwe. Aby temu zaradzić, proponuje się tzw. wymiary podstawowe, które stanowią podstawę systemu pomiarowego. Wspomniany powyżej autor twierdzi, że są to: 1) użyteczność, oznaczana symbolem [U ], 2) upływ czasu, oznaczany symbolem [T], 3) wielkości pieniężne, oznaczane symbolem [M ], 4) wielkości realne, oznaczane symbolem [R]. Następnie wyprowadza się wymiary wtórne oraz tzw. wielkości skalarne (polega to na pomnożeniu lub podzieleniu przez siebie wymiarów podstawowych). Godne uwagi jest zestawienie podstawowych mierników w ujęciu dyskretnym (z czasem nieciągłym) oraz w ujęciu ciągłym (z czasem ciągłym). W tabeli 4.1 przedstawiono owe mierniki, przy czym symbolem s oznaczono wielkość skalarną. Jak podkreśla J. Jakubczyc, w podanych formułach niekoniecznie musi występować zmienna czasowa, co zarazem świadczy o ogólności wymienionych mierników. Tabela 4.1. Cztery podstawowe mierniki w dwóch wersjach Miernik Wskaźnik przyrostu absolutnego Przyrost lub spadek Różniczka pieniężna Stopa procentowa (interest rate) Wersja z czasem nieciągłym Wersja z czasem ciągłym
Stopa zamiany (change rate) Wersja z czasem nieciągłym
Definicja
dK
Wymiar Jednostka pomiaru (przykładowa) [M] [M]
(EUR) (EUR)
[s] [s]
brak brak
[M×T–1]
(EUR/rok)
Wersja z czasem ciągłym
Stopa wzrostu (growth rate) Wersja z czasem nieciągłym Wersja z czasem ciągłym
[M×T–1]
(EUR/rok)
[T–1] [T–1]
(1/rok) (1/rok)
Źródło: opracowanie własne na podstawie: ibidem, s. 145. 4.3.2. Jednostki pomiaru formuł obliczeniowych progu rentowności Poniżej zamieszczone zostały rozważania związane z „jednostkami pomiaru” przy obliczaniu progu rentowności, przy czym dla uproszczenia zapisu pomija się zakres sumowania (przykładowo ). 1. Opierając się na średniej arytmetycznej ważonej ilością wyrobów, a mianowicie: (4.53)
przy czym: – tyle złotych marży pokrycia przypada na „pakiet”[14], – tyle sztuk produktów zawiera pakiet, – jednostka umowna (przeliczeniowa), (4.54) – średnioważona jednostkowa marża pokrycia,
Zatem: (4.55)
Próg ten informuje, ile sztuk przeliczeniowych (jednostek naturalnych
Próg ten informuje, ile sztuk przeliczeniowych (jednostek naturalnych wszystkich produktów) należy sprzedać, aby osiągnąć ilościowy próg rentowności. Ponadto mamy: (4.56) – wskaźnik struktury
oraz (4.57)
Tyle sztuk i-tego asortymentu umożliwia osiągnięcie ilościowego progu rentowności, przy czym: szt.i – liczba produktów i-tego asortymentu, – suma produktów wszystkich asortymentów. 2. Opierając się na średniej arytmetycznej ważonej wielkością sprzedaży, mamy: (4.58)
przy czym: Ponadto przypada na „pakiet”, a zatem:
– brak interpretacji, zaś [KS] = [zł]. – tyle złotych przychodu ze sprzedaży
(4.59)
(4.60)
Tyle jednostek umownych (przeliczeniowych) stanowi zagregowany ilościowy próg rentowności. W związku z tym, że:
a zatem: (4.61)
– wskaźnik struktury j.u.,
stąd otrzymujemy: (4.62)
Tyle sztuk i-tego asortymentu umożliwia osiągnięcie ilościowego progu rentowności. 3. Opierając się na średniej harmonicznej ważonej wielkością sprzedaży: (4.63)
przy czym: (4.64)
(4.65)
Próg ten informuje, ile sztuk przeliczeniowych (jednostek naturalnych wszystkich produktów) należy sprzedać, aby pokryć koszty całkowite. Zakładając, że:
przy czym: (4.66) – wskaźnik struktury
a zatem: (4.67)
Tyle sztuk i-tego asortymentu umożliwia osiągnięcie ilościowego progu rentowności. 4. Opierając się na ogólnej formule (4.28), mamy: (4.68)
gdzie: j.m. – jednostka miary wielkości opisanej przez β, a stąd mamy: (4.69)
Zważywszy, że: (4.70) – wskaźnik struktury j.u.,
otrzymujemy: (4.71)
Podejście metodologiczne oparte tylko na „pakiecie” („produkcie umownym”) Przypadek I Znajdujemy najpierw: (4.72)
Następnie obliczamy asortymentu:
ilościowe
progi
rentowności
dla
każdego (4.73)
Przypadek II Znajdujemy najpierw: (4.74)
Tyle sztuk należy sprzedać, aby uzyskać 1 złoty przychodu ze sprzedaży. Obliczamy ilościowe progi rentowności dla każdego asortymentu: (4.75)
Zważywszy na znaczenie poprawności wymiarowej w naukach ekonomicznych, przedstawione rozważania prowadzą do stwierdzenia, że próg rentowności jest „wielkością”, czyli składa się z liczby pomnożonej przez jednostkę wymiarową. 4.4. Dodatkowe uwagi związane z progiem rentowności Jak zauważa Andrzej Piosik [2000, s. 62–80], równania progu rentowności produkcji jedno- i wieloasortymentowej na ogół nie mają rozwiązania i należy skorzystać z funkcji występujących na gruncie matematyki dyskretnej. Autor proponuje sięgnięcie po funkcje całkowitoliczbowe, do których zalicza się: 1) funkcja „podłoga” (najbliższa z dołu liczba całkowita), 2) funkcja „sufit” (najbliższa z góry liczba całkowita), które dla wszystkich liczb rzeczywistych (x) są definiowane następująco[15]: = największa liczba całkowita mniejsza lub równa x, = najmniejsza liczba całkowita większa lub równa x. Zauważyć należy, iż funkcja „podłoga” to, inaczej mówiąc, funkcja entier, zwana też częścią całkowitą (lub cechą) liczby x. Jak zaznacza A. Piosik, przy zastosowaniu tej funkcji w celu określenia progu rentowności „jednostka gospodarcza może ponosić (generalnie niewielką) stratę ze sprzedaży, realizując wolumen sprzedaży na poziomie progu rentowności” [Piosik, 2000, s, 67]. Zdaniem Doroty Kuchty w przypadkach, w których sprzedawane wyroby będą niepodzielne, prawdziwym progiem rentowności produkcji jednoasortymentowej będzie najmniejsza liczba całkowita, nie mniejsza od progu obliczonego według wzoru. Według wspomnianej autorki „wyrób podzielny to na przykład taki, który sprzedaje się na wagę i można go pakować w paczki o dowolnej wadze” [2001, s. 89]. W przypadku analizy produkcji wieloasortymentowej D. Kuchta uważa, że progiem rentowności jest liczba BEP, określająca zagregowany ilościowy próg rentowności, lub najmniejsza liczba całkowita, nie mniejsza od otrzymanego wyniku. Jeśli chcemy znaleźć minimalne liczby poszczególnych wyrobów, które należy sprzedać, to w przypadku podzielności wyrobów lub podzielności liczby BEP przez wszystkie liczby
znajdujemy je według wzoru: (4.76)
Jeśli jednak wyroby są niepodzielne, wówczas otrzymane rozwiązanie należy zmodyfikować, stosując metodę prób i błędów.
Interesująca jest propozycja wykorzystania w analizie progu rentowności tzw. liczb przedziałowych i rozmytych. Wiąże się to z faktem, że analiza progu rentowności oparta jest wyłącznie na informacjach dotyczących przyszłości, zaś parametry, na których oparte są formuły obliczeniowe, nie są dokładnie znane [ibidem, s. 94 i n.]. Wspomniane podejście metodologiczne nie będzie jednak rozważane w tej publikacji. Godna uwagi jest refleksja Wiesława Dębskiego, że wielkość ujęta wzorem (4.76) oznacza minimalną ilość sprzedaży i-tego asortymentu w celu osiągnięcia przez przedsiębiorstwo progu rentowności przy zadanej strukturze. Autor ten zwraca uwagę na to, że pod określeniem „zadana struktura” można rozumieć strukturę docelową, którą przedsiębiorstwo zamierza osiągnąć, a to oznacza możliwość symulacji typu „co by było, gdyby” [2005, s. 208]. W literaturze przedmiotu spotkać się można również ze zbyt uproszczonym podejściem do istoty progu rentowności produkcji wieloasortymentowej [Leszczyński, Wnuk-Pel, 2004, s. 123–124]. Istota tego podejścia wiąże się z poniższym rozumowaniem. Zakładamy, że: (4.77)
czyli jednostkowa stopa marży brutto jest równa globalnej marży brutto, a stąd jakoby wynika formuła na próg rentowności produkcji wieloasortymentowej o postaci: (4.78)
W powyższym rozumowaniu zakłada się, że wszystkie wyroby mają identyczną jednostkową marżę pokrycia oraz cenę, co przecież jest przypadkiem szczególnym[16]. 4.5. Próg rentowności w świetle pojęcia relacji równoważności Poniżej przedstawione zostaną rozważania matematyczne, które wyjaśniają istotę tzw. produktu umownego oraz jego powiązanie z progiem rentowności. W zbiorze wektorów n-wymiarowych wprowadzamy następującą relację: dla wszystkich i = 1, 2, ..., n,
(4.79)
gdzie: – największy wspólny dzielnik wymienionych liczb, przy czym, jeśli k = 1, to
mówimy, że liczby te są względnie pierwsze. Tak zdefiniowana relacja jest, z matematycznego punktu widzenia, relacją równoważności (ekwiwalentności), co oznacza pełną zastępowalność elementów. Z relacją równoważności związana jest tzw. definiowanie przez abstrakcję [zob. Kolonko, 1980, s. 19 i n.][17]. Koncepcję opartą na produkcie umownym da się opisać w poniższy sposób. Podejście ilościowe Niech dana jest relacja równoważności o postaci: (4.80)
dla wszystkich i = 1, 2, ..., n,
gdzie:
przy czym: – wektor rzeczywistej sprzedaży w ujęciu ilościowym,
– „ilościowy produkt umowny” („pakiet ilościowy”). Tak określona relacja równoważności indukuje klasy równoważności relacji R (klasy abstrakcji relacji R), a zatem możemy zdefiniować ilościowy próg rentowności jako abstrakt relacji (4.80). Dwa wektory ilościowe określają ten sam próg rentowności wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą strukturę. Z równania progu rentowności, w świetle zależności (4.80), otrzymujemy: (4.81)
przy czym: – marża na pokrycie ilościowego produktu umownego (miano tej wielkości zł/„pakiet ilościowy”),
Jest to liczba „pakietów ilościowych” (ilościowych umownych), które pokryją próg rentowności[18].
produktów
W każdym „pakiecie” znajduje się wyrobów i-tego asortymentu (i = 1, 2, …, n). Próg ilościowy dla i-tego asortymentu wyraża formuła o postaci: (4.82)
Wobec zależności (4.78) możemy napisać, że: (4.83)
Zauważyć warto, że ułamek:
informuje, jaką część wektora całkowitej sprzedaży, tj. wektora ilościowej rentowności.
sprzedaży
a zarazem
„konsumuje”
próg
Wtedy to: (i = 1, 2, …, n) oznacza i-tą część każdej składowej wektora poświęconą osiągnięciu progu rentowności. Podejście wartościowe Określamy: (4.84)
dla wszystkich i = 1, 2, ..., n,
gdzie:
przy czym: –
wartościowym, –
wektor
rzeczywistej
„wartościowy
produkt
sprzedaży umowny”
w
ujęciu („pakiet
wartościowy”). Powyższy wektor charakteryzuje strukturę wewnętrzną tzw. wartościowego produktu umownego (liczby niemianowane). Z równania progu rentowności, w świetle zależności (4.84), otrzymujemy: (4.85)
przy czym:
(4.86) – stopa marży wartościowego produktu umownego,
(miano tej wielkości: zł/„pakiet wartościowy”), (4.87)
Jest to liczba „pakietów wartościowych” (wartościowych produktów umownych), które pokryją próg rentowności. W każdym „pakiecie” znajduje się wyrobów i-tego asortymentu (i = 1, 2, …, n), zatem w świetle zależności (4.84) otrzymujemy wzór na wartościowy próg rentowności i-tego asortymentu. Próg wartościowy dla i-tego asortymentu: (4.88)
Wobec zależności (4.84) możemy napisać, że: (4.89) (i = 1, 2, ..., n),
gdzie: (4.90)
Podsumowując, progi rentowności (ilościowy oraz wartościowy) są „niezmiennikami” zmian ilościowych sprzedaży, które wyraża zdefiniowana relacja R. Problematyka związana z analizą progu rentowności w przypadku produkcji wieloasortymentowej, przy założeniu braku zróżnicowania cen sprzedaży tego samego asortymentu, została w tej pracy ujęta pod nazwą „płaszczyzna II”. W tabeli 4.2 zestawiono podstawowe formuły obliczeniowe związane z analizą progu rentowności we wskazanym przypadku. Zostały one oparte na modelu złożonym zysku operacyjnego – typu pierwszego:
oraz równaniu objaśniającym próg rentowności:
gdzie: – wielkość produkcji i sprzedaży i-tego asortymentu niezbędna do osiągnięcia progu rentowności. Tabela 4.2. Analiza progu rentowności – płaszczyzna II Ilościowy próg rentowności
Wartościowy próg rentowności
Ujęcie wektorowe
Ujęcie wektorowe
gdzie:
gdzie:
Zagregowany próg rentowności
Zagregowany próg rentowności
gdzie:
gdzie:
przy czym:
przy czym:
Objaśnienia: q i – wielkość produkcji i sprzedaży i-tego asortymentu; ci – cena sprzedaży i-tego asortymentu; kzi – koszt jednostkowy zmienny i-tego asortymentu; mi – jednostkowa marża pokrycia i-tego asortymentu; KS – koszty stałe okresu; ri – stopa jednostkowej marży pokrycia i-tego asortymentu. Źródło: opracowanie własne. 4.6. Egzemplifikacja przedstawionych metod wyodrębniania progu rentowności produkcji wieloasortymentowej Przykład 4.1[19] Firma produkcyjno-handlowa „Ewelina” wytwarza i sprzedaje trzy rodzaje flamastrów. Dane do ustalenia progu rentowności przedstawiono w tabeli 4.3. Tabela 4.3. Dane liczbowe do przykładu 4.1 Asortyment
P1
P2
P3
Sprzedaż (w tys. szt.) Jednostkowa cena sprzedaży (zł/szt.)
1000 10
1000,0 12,5
1250 20
Zmienny koszt jednostkowy (zł/szt.) Jednostkowa marża brutto (zł/szt.) Przychody ze sprzedaży (w tys. zł) Procentowy udział asortymentów w sprzedaży ogółem (U)
7 3 10 000 20
7,5 5,0 15 000,0 30,0
13 7 25 000 50
Koszty stałe = 2 087 400 zł
Źródło: opracowanie własne. I. Metoda przeciętnej marży pokrycia 1. Ustalenie średniej marży za pomocą współczynników przeliczeniowych, wyrażających procentowe udziały poszczególnych asortymentów w sprzedaży ogółem:
Razem: 2. Ustalenie ilościowego progu rentowności:
Należy zaznaczyć, że liczba 372 750 oznacza ilościowy próg rentowności w jednostkach umownych, dotyczących wszystkich asortymentów. W celu ustalenia progu rentowności dla poszczególnych asortymentów produktów należy ustalony próg rentowności pomnożyć przez wskaźnik udziału w sprzedaży ogółem, co ukazują następujące obliczenia:
W celu ustalenia progu rentowności w ujęciu wartościowym można ustalone ilościowe punkty krytyczne pomnożyć przez ceny sprzedaży lub obliczyć średnią cenę ( ) w następujący sposób:
Razem: P = 15,75 zł/szt. 3. Ustalenie wartościowego progu rentowności:
II. Metoda agregacyjna 1. Znajdujemy strukturę ilościową wolumenu sprzedaży:
2. Znajdujemy średnioważoną marżę pokrycia:
3. Obliczamy rentowności:
zagregowany
(przeliczeniowy)
ilościowy
próg
– zagregowana ilość wyrobów.
4. Znajdujemy asortymentów:
ilościowe
Stąd progi wartościowe:
Razem: III. Metoda segmentacyjna Korzystamy ze wzoru:
Mamy więc:
progi
rentowności
dla
poszczególnych
a zatem:
Indywidualne progi ilościowe liczone są według wzoru:
otrzymujemy więc:
Indywidualne wartościowe progi rentowności to:
Razem: IV. Metoda „produktu umownego” (podejście ilościowe) Mamy naturalną relację wolumenu wyrobów w postaci:
a zatem jednostkowa marża pokrycia jednostki pakietu wynosi:
Stąd ilościowe progi rentowności to:
Razem: V. Metoda „produktu umownego” (podejście wartościowe I) Korzystając z przedstawionej niżej relacji:
otrzymujemy następujące wyniki: zł/pakiet ilościowy,
pakietów ilościowych.
Stąd ilościowe progi rentowności to:
Razem: VI. Metoda „produktu umownego” (podejście wartościowe II) Korzystając z relacji:
otrzymujemy następujące wyniki:
– stopa marży pakietu wartościowego,
pakietów wartościowych.
Stąd ilościowe progi rentowności to:
Razem: Uogólnienie W rozważanym przykładzie (trzy wyroby) mamy równanie: (4.91)
Stąd otrzymujemy równanie odcinkowe płaszczyzny o postaci:
przy czym: co oznacza, że mamy następujące ograniczenia: (4.92)
W analizowanym przykładzie otrzymujemy zatem:
Znajdujemy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(a1, 0, 0), B(0, a2, 0), B(0, 0, a3). Stąd otrzymujemy relację: (4.93)
co prowadzi w omawianym przypadku do zależności:
Jeśli przyjmiemy warunek niepodzielności wyrobów, tj. że: q 1, q 2, q 3 ∈ N, to poniższe „trójki” (zauważmy, iż warto jest brać za q 2 i q 3 liczby podzielne przez trzy): (74 550 111 825 186 375); (117 600 141 120 147 000); (139 160 125 244 149 100), spełniają zależność (4.93). Powyższy przykład jest dowodem na to, że istnieje możliwość symulacji typu „co by było, gdyby”, a to daje analitykom narzędzie do prognozowania. Przykład 4.2 Firma gastronomiczna „Grażynka” zajmuje się przygotowaniem i sprzedażą trzech zestawów obiadowych. W tabeli 4.4 znajdują się dane dotyczące planowanej sprzedaży w najbliższym miesiącu. Koszty stałe oszacowano na poziomie KS = 2087,4 zł. Tabela 4.4. Dane liczbowe do przykładu 4.2 Rodzaj zestawu
I – młodzieżowy
II – standardowy
III – powiększony
Suma
q i (zestaw)
1000
1200
1250
X
pi (zł/zestaw)
10
12,5
20
X
m i (zł/zestaw)
3
5
7
X X
q i pi
10 000
15 000
25 000
50 000 1
Źródło: opracowanie własne. Próg rentowności w ujęciu wartościowym znajdziemy, korzystając z formuły:
Otrzymamy więc:
a zatem wartościowy próg rentowności (w ujęciu sumarycznym) wynosi:
natomiast w przekroju poszczególnych rodzajów zestawów mamy:
Podjęto decyzję, że wszystkie zestawy obiadowe powinny cechować się tym, że cena zestawu jest 2,5-krotnie większa od jednostkowego kosztu zmiennego. Stąd otrzymujemy:
W efekcie prowadzi to do sytuacji, w której zestawy dają taką samą stopę marży, co oznacza, że mamy:
Przy takim założeniu możemy skorzystać ze wzoru o postaci:
a stąd otrzymujemy w wyniku:
Zauważyć należy, że przy takim założeniu poziom wartościowego progu rentowności nie zależy od struktury wartościowej sprzedaży, co pozwala na obranie różnych ścieżek zmierzających do osiągnięcia tego progu. 4.7. Charakterystyka koncepcji szacowania przedziałowego progu rentowności 4.7.1. Kilka uwag wstępnych
Na gruncie rachunkowości zarządczej proponuje się m.in. tzw. metodę graficzną wyznaczania progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej. Zakłada się w niej, że aby jak najszybciej osiągnąć próg rentowności, w pierwszej kolejności jednostka sprzedaje wyroby gotowe, generujące najwyższe marże na pokrycie, poczynając od wyrobu o największej marży. Niektórzy autorzy uważają, że graficzne wyznaczanie progu rentowności, oparte na krzywej skumulowanej marży brutto dla wszystkich asortymentów, jest dokładniejsze od metody przeciętnej marży pokrycia. Można się także spotkać z poglądem, iż wyższość metody graficznej tkwi w logicznym rozumowaniu, że – chcąc jak najszybciej osiągnąć próg rentowności – należy w pierwszej kolejności sprzedawać wyroby, które dają najwyższą marżę na pokrycie [Giedroyć, 2006, s. 912]. Interesujące, a zarazem inspirujące są rozważania Jarosława Mielcarka poświęcone powyższej koncepcji [2005a, s. 164–177; 2006, s. 100–109]. Niewątpliwą wadą metody graficznej jest konieczność posługiwania się rysunkiem, co przy kilkunastu wyrobach czyni ją mało przydatną. W przypadku dużych wartości metoda graficzna ograniczona jest obszarem, na którym sporządzany jest wykres. W takim przypadku odcinek jednostkowy osi liczbowej może mieć za dużą wartość, w stosunku do nanoszonej wartości przychodu ze sprzedaży oraz wykreowanej przez tę sprzedaż marży. Interwał między znakami osi, ze względu na zbyt dużą jednostkę, nie pozwoli na czytelne nanoszenie danych na siatkę diagramu dla produkcji złożonej z wielu asortymentów. 4.7.2. Metoda graficzna w oczach niektórych ekonomistów Zdaniem Wojciecha A. Nowaka „W metodzie graficznej zakłada się, że aby możliwie najszybciej osiągnąć próg rentowności produkty poszczególnych linii powinny być sprzedawane według kolejności uzależnionej od rozmiarów wnoszonej marży pokrycia, poczynając od linii o największej marży. W celu wyznaczenia wartościowego progu rentowności wykorzystywany jest tutaj wykres marża pokrycie – przychód ze sprzedaży albo wykres operacyjny wynik finansowy – przychód ze sprzedaży” [2001, s. 429]. Zbigniew Leszczyński i Tomasz Wnuk-Pel twierdzą zaś, że gdy „rentowność poszczególnych asortymentów mierzona stopą marży brutto jest różna, można wyznaczyć nie jeden, ale wiele progów rentowności. W szczególności zaś można obliczyć, przy jakiej wartości sprzedaży przedsiębiorstwo jest w stanie osiągnąć próg rentowności minimalny, a przy jakiej maksymalny” [2004, s. 136–137]. Wyznaczając minimalny próg rentowności, przyjmuje się podejście optymistyczne co do struktury sprzedaży, zaś znajdując maksymalny próg, przyjmuje się podejście pesymistyczne co do struktury sprzedaży. Jak podkreśla Irena Sobańska, graficzne wyznaczanie progu rentowności jest dokładniejsze od obliczeń matematycznych, ponieważ te
ostatnie oparte są na wielkościach przeciętnych dla całego przedsiębiorstwa [2010, s. 210]. Zdaniem Jacka Kowalczyka „ważkim problemem decyzyjnym jest określenie tzw. minimalnego i maksymalnego progu rentowności, czyli warunków brzegowych lokowania na rynku wyrobów w określonej kolejności, zapewniającej jak najszybsze przekroczenie granicy, od której sprzedaż zaczyna generować zysk” [2006, s. 116]. Ryszard Kotaś i Sławomir Sojak sugerują, że graficzny próg rentowności jest szczególnie przydatny w hotelarstwie i gastronomii, gdzie na ogół występuje kilka jednostek organizacyjnych rozliczanych niezależnie od siebie [1999, s. 74]. 4.7.3. Podstawy teoretyczne metody szacowania przedziałowego progu rentowności[20] Idea propozycji sprowadza się do budowania szeregu kumulacyjnego wartości sprzedaży (efekt „kuli śnieżnej”), który „ciągnie” za sobą szereg kumulacyjny marż pokrycia, zaś ten ostatni jest porównywany z poziomem kosztów stałych. Metoda graficzna polega na budowaniu łamanej skumulowanej (tzw. kumulanty) i jest graficzną ilustracją proponowanej koncepcji[21]. Najczęściej proponuje się podejście „od wyrobu najlepszego do najgorszego”, co prowadzi do tzw. minimalnego progu rentowności. Założenia powyższego podejścia zostaną przedstawione poniżej. 1. Stopy marży jednostkowej sprzedawanych kolejno wyrobów tworzą ciąg nierosnący o postaci: (4.94)
gdzie: oraz 0 < ri < 1 (i = 1, 2, ..., n), przy czym: ri – stopa marży jednostkowej i-tego asortymentu, mi – jednostkowa marża pokrycia i-tego asortymentu, pi – jednostkowa cena sprzedaży i-tego asortymentu. 2. Sprzedawane są wszystkie wyroby aż do (j – 1) pozycji (j ≥ 2). 3. Buduje się dwa szeregi kumulacyjne, tj. wartości sprzedaży oraz marży pokrycia zgodnie z relacją (4.94). Propozycja sprzedaży wyrobów według relacji (4.94) wiąże się z postulatem, aby jak najszybciej osiągnąć próg rentowności. Odwrócona relacja stóp marży jednostkowej („od wyrobu najgorszego do najlepszego”) prowadzi do tzw. maksymalnego progu rentowności, co razem stanowi istotę minimalnego i maksymalnego wieloasortymentowego progu rentowności. Zauważmy, że mamy:
(4.95)
gdzie:
– wartość sprzedaży i-tego asortymentu,
– współczynnik kąta nachylenia prostej do osi skumulowanej sprzedaży. Zauważyć należy, że im większy kąt nachylenia odcinka, tym więcej marży pokrycia q i mi przynosi przychód ze sprzedaży wielkości q i pi. Równość osiągana jest zatem najszybciej wtedy, gdy korzystamy z proponowanej relacji, czyli gdy sprzedajemy według zasady „od wyrobu najlepszego do najgorszego” (wariant optymistyczny). Podejście według zasady „od wyrobu najgorszego do najlepszego” jest wariantem pesymistycznym. Podkreślić przy tym należy, że omawiana metoda wymusza całkowitą sprzedaż kolejnych wyrobów, aż do przedostatniego włącznie. Poniżej zostaną przedstawione kroki obliczeniowe znajdowania minimalnego progu rentowności, zaś rysunek 4.1 jest ilustracją tejże koncepcji metodologicznej. Dodać należy, że stosuje się tutaj dodawanie wektorów swobodnych metodą trójkąta. Rysunek 4.1. Graficzna ilustracja znajdowania minimalnego progu rentowności
Źródło: opracowanie własne.
1. Punkt P0(0, 0) – początek układu współrzędnych, a zatem nie ma przychodów oraz nie ma marży. 2. Punkt
– sprzedaż wyrobu „1” przynosi
przychodu ze sprzedaży i kreuje stałych, ponieważ:
marży, która nie pokrywa kosztów
(punkt P1 znajduje się pod prostą y = KS).
3. Punkt
– sprzedaż wyrobów „1”
i „2” przynosi
przychodu, co zapewnia marżę w wysokości
a co nadal nie pokrywa kosztów stałych (punkt P2 również znajduje się pod prostą y = KS). 4. Sprzedajemy kolejne wyroby (linia nieciągła na wykresie), aż dojdziemy do szczególnych dwóch punktów, tj.: (4.96)
przy których mamy następujące sytuacje: oraz KS,
– czyli punkt – czyli punkt
znajduje się poniżej prostej y = KS znajduje się powyżej prostej y =
gdzie:
dla Istnieje zatem taki punkt co oznacza, że
w którym zachodzi równość: – wartościowy próg rentowności.
Szukany punkt usytuowany jest w miejscu przecięcia prostej y = KS z prostą przechodzącą przez punkty Pj i Pj+1. Korzystamy z równania prostej o postaci: (4.97)
gdzie: – dwa dane punkty Otrzymujemy zatem równanie: (4.98)
czyli:
Ostatecznie (po uproszczeniu) otrzymujemy równanie o postaci: (4.99)
gdzie: – stopa marży jednostkowej (j+1) produktu. Z faktu przecięcia z prostą y = KS otrzymujemy równość: (4.100)
Stąd uzyskujemy formułę na minimalny oraz maksymalny próg rentowności: (4.101)
przy założeniu, że spełniony jest układ nierówności: (4.102)
Należy zauważyć, że niektórzy autorzy proponują podejście „tablicowe” znajdowania minimalnego oraz maksymalnego progu rentowności[22]. W tabeli 4.5 zaprezentowano istotę omawianej koncepcji. Szczególnie ważne jest budowanie dwóch szeregów skumulowanej sprzedaży oraz skumulowanej marży na pokrycie kosztów stałych. Niech na przejściu od sprzedaży j-tego asortymentu do asortymentu (j+1) zmienia się znak różnicy odpowiada to
– w układzie współrzędnych
dwom punktom, z których pierwszy jest usytuowany pod poziomą prostą y = KS, zaś drugi nad tą prostą. Na tym poziomie znajdują się wielkości, które należy wstawić do formuły obliczeniowej metody graficznej. Tabela 4.5. Konstrukcja tablicy obliczeniowej procedury wyznaczania minimalnego oraz maksymalnego progu rentowności Lp. Stopy marży jednostkowej nierosnąco (niemalejąco)
Przychód ze sprzedaży itego asortymentu (qi pi)
Marża pokrycia itego asortymentu (qi mi)
Skumulowane przychody ze sprzedaży (Σ qi pi)
Skumulowane marże na pokrycie (Σ qi mi)
Znaki różnic (koszty stałe – skumulowane marże)
1
r1
q1 m1
q1 m1
q 1 p1
q1 m1
+
2
r2
q 2 p2
q2 m2
q 1 p1 + q 2 p2
q1 m1 + q2 m2
+
j
rj
q j pj
qj mj
j +1
rj+1
q j+1 pj+1
q j+1 m j+1
n
rn
q n pn
qn mn
–
Źródło: opracowanie własne. 4.7.4. Praktyczne wykorzystanie koncepcji szacowania przedziałowego Przykład 4.3 Firma produkcyjno-handlowa „Dominik” oferuje na rynku dziesięć różnych rodzajów wyposażenia mieszkań. W tabeli 4.6 przedstawiono informacje dotyczące sprzedawanych wyrobów. Dane, które zawiera tabela 4.6, należy wprowadzić do tabeli obliczeniowej 4.7, co jest punktem wyjścia znalezienia minimalnego progu rentowności. Chcąc znaleźć maksymalny próg rentowności, należy uporządkować dane według ciągu niemalejącego stóp marży jednostkowej (zob. tab. 4.8). Jak widać z tabeli 4.7, zmiana znaku następuje między trzecim a czwartym asortymentem, stąd zatem zostaną wzięte dane do obliczenia progu rentowności. Z tabeli 4.8 odczytujemy zaś, że zmiana znaku następuje między piątym a szóstym asortymentem, przeto stąd należy wziąć stosowne dane liczbowe w celu znalezienia maksymalnego progu rentowności.
Warto podkreślić, że omawiana koncepcja nie wymusza, aby sprzedane wyroby tworzyły ciąg liczbowy, w którym kolejność jest istotna. Przykładowo, z tabeli 4.8 widać, że cztery pierwsze asortymenty mogą być sprzedane w dowolnej kolejności, Tabela 4.6. Dane wyjściowe niezbędne przy obliczaniu wartościowego progu rentowności Wyrób Ilość wyrobów (w szt.)
Cena jednostkowa (w zł/szt.)
Koszt jednostkowy zmienny (w zł/szt.)
Marża Stopa marży jednostkowa jednostkowej (w zł/szt.)
Koszty stałe (w tys. zł)
1
800
200
80
120
0,600
550
2
1200
200
60
140
0,700
3
500
400
240
160
0,400
4
200
600
300
300
0,500
5
900
120
45
75
0,625
6
600
160
100
60
0,375
7
500
600
120
480
0,800
8
700
160
40
120
0,750
9
1000
250
100
150
0,600
10
800
500
240
260
0,520
Źródło: dane umowne. Tabela 4.7. Tablica obliczeniowa minimalnego progu rentowności Lp. Stopa marży Przychód ze jednostkowej sprzedaży inierosnąco tego asortymentu (w tys. zł)
Marża pokrycia itego asortymentu (w tys. zł)
Skumulowane przychody ze sprzedaży (w tys. zł)
Skumulowana marża na pokrycie (w tys. zł)
Znaki różnic (koszty stałe – skumulowana marża)
1
0,800
300
240,0
300
240,0
+
2
0,750
112
84,0
412
324,0
+
3
0,700
240
168,0
652
492,0
4
0,625
108
67,5
760
559,5
5
0,600
160
96,0
920
655,5
–
6
0,600
250
150,0
1170
805,5
–
7
0,520
400
208,0
1570
1013,5
–
8
0,500
120
60,0
1690
1073,5
–
9
0,400
200
80,0
1890
1153,5
–
10
0,375
96
36,0
1986
1189,5
–
Źródło: obliczenia własne.
Tabela 4.8. Tablica obliczeniowa maksymalnego progu rentowności Lp. Stopa marży Przychód ze jednostkowej sprzedaży iniemalejąco tego asortymentu (w tys. zł)
Marża pokrycia itego asortymentu (w tys. zł))
Skumulowane przychody ze sprzedaży (w tys. zł)
Skumulowana marża na pokrycie (w tys. zł)
Znaki różnic (koszty stałe – skumulowana marża)
1
0,375
96
36,0
96
36,0
+
2
0,400
200
80,0
296
116,0
+
3
0,500
120
60,0
416
176,0
+
4
0,520
400
208,0
816
384,0
+
5
0,600
250
150,0
1066
534,0
6
0,600
160
96,0
1226
630,0
7
0,625
108
67,5
1334
697,5
–
8
0,700
240
168,0
1574
865,5
–
9
0,750
112
84,0
1686
949,5
–
10
0,800
300
240,0
1986
1189,5
–
Źródło: obliczenia własne. byle one były w podzbiorze przed zmianą znaku różnicy między kosztami stałymi a skumulowaną marżą. Oba rodzaje progów rentowności znajdujemy, opierając się na formule (4.101). Mamy zatem: 1) minimalny próg wartościowy:
2) maksymalny próg wartościowy:
Dodatkowo obliczamy wartościowy próg rentowności, wykorzystując metodę klasyczną. Próg rentowności według metody przeciętnej marży pokrycia
Zauważmy, że zachodzą tu następujące relacje: 1)
2) Znajdowanie minimalnego i maksymalnego progu ilościowego Opieramy się na fakcie, iż wzrost skumulowanego wolumenu sprzedaży pociąga za sobą wzrost skumulowanej marży pokrycia, która jest niezbędna do zrównoważenia kosztów stałych. Tworzymy tablicę obliczeniową metody (tab. 4.13), ustawiając wyroby, tak aby ich marże jednostkowe tworzyły ciąg nierosnący, tj.: (4.103)
Powyższe podejście wynika stąd, że równość:
osiągana jest najszybciej wtedy, gdy spełniona jest relacja (4.103). Tabela 4.9. Konstrukcja tablicy obliczeniowej procedury znajdowania minimalnego oraz maksymalnego progu ilościowego Lp. Marże jednostkowe nierosnąco (niemalejąco)
Wolumen itego asortymentu (qi)
Marża pokrycia itego asortymentu (qi mi)
Skumulowane ilości wyrobów (Σ qi)
Skumulowane marże na pokrycie (Σ qi mi)
Znaki różnic (koszty stałe – skumulowane marże)
1
m1
q1
q1 m1
q1
q1 m1
+
2
m2
q2
q2 m2
q1 + q2
q1 m1 + q2 m2
+
j
mj
qj
qj mj
j +1
m j+1
q j+1
q j+1 m j+1
n
mn
qn
qn mn
–
Źródło: opracowanie własne. Postępując analogicznie jak w przypadku progu wartościowego, otrzymujemy ostatecznie formułę o postaci: (4.104)
W tabeli 4.9 przedstawiono sposób uporządkowania elementów procedury znajdowania progu ilościowego za pomocą omawianej metody. Próba konstrukcji kryterium oceny jakości metod znajdowania progu rentowności Niech oznacza tzw. rozpiętość przedziału progu rentowności w ujęciu wartościowym. Możemy zatem zapisać równość: (4.105)
gdzie: Powiemy, że znaleziony próg rentowności jest: 1) przeszacowany, gdy (4.106)
2) niedoszacowany, gdy (4.107)
W świetle powyższych rozważań warto zastanowić się nad kryterium oceny „dobroci” metod znajdowania progu rentowności. Wydaje się, że znaleziony próg rentowności (BEPW) jest dobrze dopasowany, jeśli spełnia następujący warunek: (4.108)
przy czym symbol „≈” oznacza, że lewa strona jest w przybliżeniu równa prawej stronie, z niewielkim błędem oszacowania. W przypadku przedstawionego przykładu liczbowego otrzymujemy:
Jak widać, średnia arytmetyczna minimalnego i maksymalnego progu rentowności jest bliska wartości, którą uzyskuje się za pomocą klasycznej formuły obliczeniowej.
Cechy charakterystyczne ujęcia analitycznego metody graficznej: a) nie wymaga podziału kosztów stałych (KS); b) wymaga znajomości stóp jednostkowych marż pokrycia; c) wymaga sprzedaży wszystkich wyrobów każdego asortymentu, aż do przedostatniego wchodzącego w skład „koszyka” sprzedanych wyrobów; d) wymaga sprzedaży według zasady „od wyrobu najlepszego do najgorszego” lub odwrotnie, tj. „od wyrobu najgorszego do najlepszego”; e) umożliwia konstrukcję przedziału o końcach „minimalny próg rentowności” oraz „maksymalny próg rentowności”; f) gdy się wyczerpuje zasób sprzedawanych wyrobów, wtedy maleje różnica między minimalnym a maksymalnym progiem rentowności; g) podejście „przedziałowe” odpowiada na pytanie „co będzie, jeśli…?”; h) krzywe łamane (kumulanty) dla minimalnego oraz maksymalnego progu rentowności tworzą wielobok wypukły, którego najdłuższa przekątna jest związana z metodą skumulowanej marży na pokrycie. Jak słusznie zauważają Zbigniew Leszczyński i Tomasz Wnuk-Pel, różnice między najniższym, najwyższym i przeciętnym progiem rentowności nie są zbyt duże, gdy różnica między najniższą a najwyższą stopą marży brutto dla wyrobów nie jest zbyt wielka. Kiedy jednak różnica w stopach marży brutto jest duża (przykładowo, na pewnych wyrobach przedsiębiorstwo ponosi stratę), wtedy różnica między najniższym, najwyższym i przeciętnym progiem rentowności może być nawet bardzo wysoka [2004, s. 137–138]. Na zakończenie warto jeszcze nadmienić, że Edward Nowak analizując wykres ilościowego progu rentowności dla trzech wyrobów, wiąże metodę graficzną z pojęciem tzw. umownego produktu łącznego, co jednak nie wydaje się całkiem oczywiste [1996, s. 100–101]. 4.8. Koncepcja miernika siły dochodowej przedsiębiorstwa a próg rentowności 4.8.1. Kilka uwag wstępnych[23] W literaturze niemieckiej zdolność przedsiębiorstwa do ciągłego osiągania zysków nazywa się siłą dochodową przedsiębiorstwa [Kerth, Wolf, 1986, s. 219]. Józef Szczepaniak ocenę siły dochodowej firmy przeprowadza na podstawie rachunku progu rentowności, przy czym proponuje wykorzystanie tzw. wskaźnika odległości od progu rentowności. Pisze on m.in.: „Przedsiębiorstwa znajdujące się w strefie zysku w większej odległości od progu rentowności mają lepszą szansę na osiąganie w przyszłości zysków niż przedsiębiorstwa znajdujące się w bezpośredniej bliskości progu rentowności” [1992, s. 95]. Powyższą myśl podchwycili m.in. Dorota i Stanisław Korenikowie, którzy twierdzą, że na podstawie rachunku progu rentowności uzyskuje się bardzo precyzyjną ocenę siły dochodowej przedsiębiorstwa [2004, s. 224].
Proponowany miernik przyjmuje postać: wskaźnik odległości w stosunku do progu rentowności = 1 – (koszty stałe/ marża brutto), co oznacza, że: (4.109)
gdzie: MB – marża brutto. Zauważmy, że jest to zarazem tzw. współczynnik bezpieczeństwa [Dudycz, 2011, s. 109]. Autor tego opracowania pragnie nawiązać do idei związanej z tzw. stopniem efektywności kosztów stałych (wskaźnik wydajności), określonym jako iloraz skumulowanej marży brutto przez koszty stałe danego okresu, który – zdaniem Ireny Sobańskiej – „wyraża siłę jednostki pieniężnej zaangażowanej w obecne zdolności produkcyjne w relacji do istniejącej sytuacji rynkowej dla wytwarzanego produktu” [2010, s. 195]. 4.8.2. Dynamiczne ujęcie siły dochodowej przedsiębiorstwa Ogólnie rzecz biorąc, proponowany w tym opracowaniu miernik można zdefiniować w sposób przedstawiony poniżej. Wskaźnik siły dochodowej przedsiębiorstwa w okresie t wyraża formuła: (4.110)
Wskaźnik ten informuje, ile razy marża brutto uzyskana w okresie t pokrywa koszty stałe tego okresu lub – inaczej mówiąc – ile razy wolumen sprzedaży pokrywa ilościowy próg rentowności. Jeśli weźmiemy pod uwagę wartościowy próg rentowności, to otrzymujemy: (4.111)
gdzie: PS – przychód ze sprzedaży. Otrzymaliśmy zatem identyczną relację jak we wcześniejszych rozważaniach. Aby móc przejść do rozważań dotyczących siły dochodowej przedsiębiorstwa, trzeba najpierw wprowadzić przedstawione niżej definicje. Definicja 1 Siła dochodowa przedsiębiorstwa wzrasta, jeśli:
1 < Et < Et+1 dla t = 1, 2, ..., n.
(4.112)
Definicja 2 Określa się następujące przedziały dla siły dochodowej przedsiębiorstwa: 1) <0, 1> – przedział braku siły dochodowej przedsiębiorstwa i pogłębiania się tego braku, 2) (1, ∞) – przedział istnienia i wzrostu siły dochodowej przedsiębiorstwa. 4.8.3. Wzorcowy układ wskaźników dynamiki jako narzędzie wstępnej analizy siły dochodowej przedsiębiorstwa Na początek przyjmijmy dwa postulaty, które wynikają z istoty dynamicznej analizy progu rentowności, zakładającej, że parametry formuły na zysk operacyjny EBIT ulegają zmianie. Postulaty te implikują bowiem relacje między wskaźnikami dynamiki odpowiednich wielkości ekonomicznych. Przypomnijmy, że model zysku przy produkcji jednoasortymentowej ma postać: w ujęciu ilościowym: (4.113)
w ujęciu wartościowym: (4.114)
Postulat I Wzrasta jednostkowa marża pokrycia (m1 > m0). Stąd otrzymamy relację dotyczącą dynamiki: (4.115)
Wzrasta stopa jednostkowej marży pokrycia (r1 > r0). Uzyskujemy zatem następującą relację: (4.116)
Postulat II Koszty stałe okresu zmieniają się mniej niż proporcjonalnie w relacji do wolumenu sprzedaży. Stąd otrzymujemy relację: (4.117)
Koszty stałe okresu zmieniają się mniej niż proporcjonalnie w relacji do wartości sprzedaży, a zatem:
(4.118)
Powyższe rozważania prowadzą do sformułowania wzorcowych układów wskaźników dynamiki dla mierników kwantytatywnych (ilościowych). Układy te mają następującą postać: (4.119) (4.120)
Model zysku przy produkcji wieloasortymentowej ma postać: (4.121)
W tym przypadku stawiamy dwa kolejne postulaty. Postulat III Wzrasta stopa globalnej marży pokrycia (R1 > R0). Stąd otrzymujemy relację: (4.122)
gdzie: – stopa skumulowanej marży pokrycia. Postulat IV Koszty stałe zmieniają się mniej niż proporcjonalnie w relacji do wartości sprzedaży: (4.123)
gdzie: – wartość sprzedaży. Ostatecznie otrzymujemy kolejny wzorcowy wskaźników o postaci:
układ
nierówności (4.124)
Warto zauważyć, że otrzymane wzorcowe układy wskaźników dynamiki nawiązują do koncepcji Lecha Bednarskiego, która występuje na gruncie analizy finansowej [zob. 1999, s. 49]. 4.8.4. Siła dochodowa przedsiębiorstwa w świetle analizy piramidalnej Punktem wyjścia dalszej analizy siły dochodowej przedsiębiorstwa będzie ekonomiczna równość tożsamościowa o postaci [Żwirbla, 2001, s.
29]: (4.125)
przy czym: (4.126)
gdzie: PS – przychód ze sprzedaży, KS – koszty stałe okresu, KZ – koszty zmienne, MB – marża brutto (marża na pokrycie). Przyjmujemy następujące założenia: (4.127) – wskaźnik siły dochodowej[24], (4.128) – wskaźnik marży pokrycia[25], (4.129) – produktywność kosztów stałych okresu.
Możemy przyjąć, że wskaźnik siły dochodowej przedsiębiorstwa wyraża formuła: (4.130)
Strukturę tworzenia wskaźnika siły dochodowej przedsiębiorstwa ilustruje rysunek 4.2. Rysunek 4.2. Schemat układu piramidalnego wskaźnika siły dochodowej przedsiębiorstwa
Źródło: opracowanie własne. Przyjmuje się, że: 1) koszty zmienne (KZ) składają się z trzech podstawowych elementów,
tj.: 1. a) KZ1 – zużycie materiałów i energii, 2. b) KZ2 – wynagrodzenia, 3. c) KZ3 – inne koszty zmienne; 2) koszty stałe okresu (KS) składają się z trzech podstawowych elementów, tj.: 1. a) KS1 – wydziałowe koszty stałe, 2. b) KS2 – koszty ogólnego zarządu, 3. c) KS3 – koszty sprzedaży. Przykład 4.4 W firmie „Olivia” w roku X osiągnięto przychód ze sprzedaży PS = 4 mln zł, koszty zmienne wyniosły KZ = 2,5 mln zł, przy czym: 1) KZ1 = 1,2 mln zł – zużycie materiałów i energii, 2) KZ2 = 0,8 mln zł – wynagrodzenia, 3) KZ3 = 0,5 mln zł – inne koszty zmienne. Na koszty stałe okresu, wynoszące: KS = 0,5 mln zł, złożyły się: 1) KS1 = 0,30 mln zł – wydziałowe koszty stałe, 2) KS2 = 0,15 mln zł – koszty ogólnego zarządu, 3) KS3 = 0,05 mln zł – koszty sprzedaży. W roku Y przychody ze sprzedaży wzrosły o 6,25%, koszty zmienne zmalały o 10%, zaś koszty stałe okresu nie uległy zmianie. Za pomocą
danych zawartych w tabelach 4.10 i 4.11 przeprowadzimy wstępną ocenę siły dochodowej przedsiębiorstwa w aspekcie podanych zmian. Tabela 4.10. Dane podstawowe dotyczące firmy „Olivia” w latach X–Y Efekty ekonomiczne (w mln zł)
Lata X
Y
Przychód ze sprzedaży (PS)
4,0
4,25
Koszty zmienne (KZ)
2,5
2,25
Koszty stałe okresu (KS)
0,5
0,50
Marża brutto (MB)
1,5
2,00
Zysk operacyjny (EBIT)
1,0
1,50
Źródło: opracowanie własne. Tabela 4.11. Wybrane mierniki ekonomiczne dotyczące firmy „Olivia” w latach X–Y Mierniki
Lata X
Y
Wartościowy próg rentowności (BEPW)
1,330
1,060
Wskaźnik marży pokrycia (R)
0,375
0,471
Produktywność kosztów stałych okresu (P)
8,000
8,500
Wskaźnik siły dochodowej (E)
3,000
4,000
Źródło: opracowanie własne. Analiza wstępna na podstawie wzorcowych układów wskazuje, że:
Oznacza to, że działalność firmy cechuje istnienie siły dochodowej. 4.8.5. Analiza prospektywna oparta na modelu siły dochodowej przedsiębiorstwa Analiza prospektywna siły dochodowej przedsiębiorstwa zostanie oparta na koncepcji tzw. modelu Du Ponta [Żwirbla, 2005, s. 154–186]. Strategia I. Przyjmujemy założenie, że tylko jeden z wybranych czynników wpłynie na zmianę wskaźnika siły dochodowej przedsiębiorstwa. Do czynników kształtujących wskaźnik siły dochodowej (E) zaliczamy: przychody ze sprzedaży (PS), koszty zmienne (KZ), koszty stałe okresu (KS). Z formuły (4.130) otrzymujemy tzw. wartości skorygowane dla trzech odrębnych przypadków wpływu jednego czynnika na poziom wskaźnika siły dochodowej przedsiębiorstwa:
(4.131) (4.132) (4.133)
Dodatkowo można rozważać zmiany poszczególnych składników kosztów zmiennych. Mamy ogólnie: (4.134)
gdzie: a, b, c – wielkości ekonomiczne spełniające zależności: (4.135)
przy czym: (4.136)
oraz (4.137)
Poniższej przedstawiono dwie strategie, tj. strategię prostą, w której zakłada się zmianę tylko jednego czynnika kształtującego wskaźnik siły dochodowej przedsiębiorstwa, oraz strategię złożoną, która jest oparta na idei sekwencyjnej zmiany trzech parametrów. Strategia II Warianty strategii prostej (jednokrokowej) Warunki początkowe: Marża brutto (w mln zł): Wskaźnik siły dochodowej: Wariant 1 Założenie: zwiększają się tylko przychody ze sprzedaży. Postawiony cel: wzrost wskaźnika siły dochodowej
Szukamy: Obliczenia:
Interpretacja: przychody ze sprzedaży muszą wzrosnąć o 20%. Wariant 2 Założenie: zmniejszają się tylko koszty zmienne. Postawiony cel: wzrost wskaźnika siły dochodowej Szukamy: Obliczenia:
Interpretacja: koszty zmienne muszą ulec zmniejszeniu o 100%. Wariant 3 Założenie: zmniejszeniu ulegają tylko koszty stałe. Postawiony cel: wzrost wskaźnika siły dochodowej Szukamy: Obliczenia:
Interpretacja: koszty stałe muszą ulec zmniejszeniu o 33,3%. Strategia III Zmianie ulegają kolejno czynniki, zgodnie z sekwencją:
Warunki początkowe: marża brutto (w mln zł): MB0 = 10 – 6 = 4 (PS0 = 10, KZ0 = 6), wskaźnik siły dochodowej: Zmiana 1 – wzrasta przychód ze sprzedaży Postawiony cel: Szukamy: Obliczenia:
Interpretacja: przychody ze sprzedaży muszą wzrosnąć o 10%. Zmiana 2 – zmniejszają się koszty zmienne Postawiony cel: Szukamy: Obliczenia:
Interpretacja: koszty zmienne muszą ulec zmniejszeniu o 10%. Zmiana 3 – zmniejszeniu ulegają koszty stałe Postawiony cel: Szukamy: Obliczenia:
Interpretacja: koszty stałe muszą ulec zmniejszeniu o 6,5%. 4.9. Nowa koncepcja dynamicznej analizy progu rentowności 4.9.1. Analiza wpływu oceny poziomu progu rentowności na zmianę progu rentowności Ogólnie rzecz biorąc, wskaźnik poziomu określa relację dwóch różnych wielkości, które łączy związek przyczynowo-skutkowy lub też funkcyjny [Urbańczyk, Jurek, 1998, s. 83]. Jako jeden z podstawowych wskaźników w ocenie sytuacji ekonomicznej przedsiębiorstwa jest traktowany tzw. wskaźnik poziomu kosztów, który jest najczęściej definiowany jako relacja kosztu własnego sprzedaży do przychodów ze sprzedaży [Gabrusewicz, 2005, s. 134]. Wydaje się zasadne ujednolicenie określenia ujęcia procentowego progu rentowności pod nazwą wskaźnik poziomu progu rentowności. Próg rentowności (ilościowy i wartościowy) oraz uzyskany poziom sprzedaży to wielkości współzależne. Inaczej mówiąc, próg rentowności zawiera w sobie wartości utracone w celu osiągnięcia określonych korzyści. Wskaźnik poziomu progu rentowności (4.138)
gdzie: (PBEP )t – wskaźnik poziomu ilościowego progu rentowności w okresie t, KSt – koszty stałe w okresie t, q t – wolumen sprzedaży w okresie t, (p – kz)t – marża jednostkowa w okresie t, BEPt – ilościowy próg rentowności w okresie t. Wskaźnik (PBEP )t oznacza udział ilościowego progu rentowności w wolumenie sprzedaży. Inaczej mówiąc, informuje, jaki ułamek (procent) wolumenu sprzedaży z okresu t jest „skonsumowany” przez ilościowy próg rentowności z tegoż okresu[26]. Zauważyć należy, że wskaźnik poziomu kosztów w ujęciu ilościowym (wartościowym) oraz stopa marginesu (marży) bezpieczeństwa stanowią wzajemnie uzupełniające się mierniki ekonomiczne[27]. Wskaźnik poziomu progu rentowności prowadzi do relacji: (4.139)
Poddając tę tożsamość badaniu przyczynowemu, otrzymujemy:
(4.140)
– odchylenie bezwzględne progu rentowności.
Odchylenia cząstkowe progu rentowności z tytułu zmiany: 1) wolumenu sprzedaży: (4.141)
2) poziomu progu rentowności: (4.142)
[28],
przy czym apostrof „1” („0”) – oznacza wartość wielkości w okresie bieżącym (bazowym). Jak widać, formuła (4.139) umożliwia dekompozycję zmiany progu rentowności na części wywołane zmianą czynnika ilościowego oraz czynnika jakościowego. Zasadne wydaje się także wprowadzenie pojęcia odchylenia względnego progu rentowności, które wyraża formuła [Żwirbla, 2011a, s. 159]: (4.143)
Jest to wielkość względnej obniżki (zwyżki) progu rentowności względem zmian kosztów stałych. Należy zauważyć, że: (4.144)
przy czym: (4.145)
1. Jeśli d(BEP) < d(KS), to mamy obniżkę progu rentowności z tytułu poprawy wskaźnika poziomu progu rentowności. 2. Jeśli d(BEP) > d(KS) – mamy do czynienia ze zwyżką progu rentowności z tytułu pogorszenia się wskaźnika poziomu progu rentowności. Niech punktem wyjścia będzie współzależność zachodząca między wolumenem sprzedaży (q) a progiem rentowności (BEP), co można zapisać następująco: BEP ≈ q (symbol „≈” oznacza proporcjonalność). Wyrazem ścisłego związku między obu strumieniami jest zależność deterministyczna o postaci: (4.146)
gdzie:
– współczynnik proporcjonalności.
W tym ujęciu wyróżniać można: 1) czynnik ilościowy (ekstensywny) – q, 2) czynnik jakościowy (intensywny) – PBEP . Wobec powyższego indeks dynamiki progu rentowności da się wyrazić jako iloczyn: (4.147)
Między czynnikiem ekstensywnym i intensywnym są możliwe trzy relacje, tj.: (4.148)
Wzrost (spadek) dynamiki progu rentowności zależy od obu czynników jednocześnie, zaś indeks dynamiki progu rentowności wyraża wpływ obu rodzajów czynników. Udział czynników ekstensywnego oraz intensywnego we wzroście i spadku dynamiki progu rentowności można przedstawić graficznie (zob. rys. 4.3). Poniższy rysunek przedstawia podział obszaru zmian indeksów d(q), d(PBEP ) na dwie części: 1) część pierwsza intensywnego,
–
strefa przewagi czynnika
2) część druga – strefa przewagi czynnika ekstensywnego. Zauważmy, że na prostej znajdują się punkty, które odpowiadają równemu wpływowi obu rodzajów czynników. Rysunek 4.3. Ilustracja graficzna stref wpływów czynników ekstensywnych i intensywnych
Źródło: opracowanie własne. Rysunek 4.4. Strefy wzrostu oraz obniżki progu rentowności
Źródło: opracowanie własne. Na rysunku 4.4 gałąź hiperboli dzieli I ćwiartkę układu współrzędnych na dwie części:
1) strefę wzrostu progu rentowności – d(BEP) > 1 – obszar powyżej gałęzi hiperboli, 2) strefę obniżki progu rentowności – d(BEP) < 1 – obszar poniżej gałęzi hiperboli. Połączenie obu wykresów (rys. 4.5) prowadzi do istotnych wniosków odnośnie do badanego progu rentowności oraz wpływu wywieranego nań przez obydwa czynniki: ekstensywny d(q) oraz intensywny d(PBEP ). Rysunek 4.5. Obszary bezwarunkowego i warunkowego wzrostu oraz obniżki progu rentowności
Źródło: opracowanie własne. Interpretacja ekonomiczna wyodrębnionych obszarów I. Strefa wzrostu progu rentowności, złożona z dwóch podstawowych części: A – bezwarunkowego i B – warunkowego wzrostu progu rentowności. A. Obszar bezwarunkowego wzrostu progu rentowności, w którym także wyróżnia się dwa obszary. 1. Obszar I, w którym:
a wtedy:
Obydwa czynniki negatywnie wpływają na próg rentowności, przy czym wpływ czynnika ekstensywnego jest większy niż czynnika intensywnego. 2. Obszar II, w którym:
a wtedy:
Także w tym obszarze oba czynniki wywołują wzrost progu rentowności, jednakże w tym przypadku wpływ czynnika intensywnego jest większy niż czynnika ekstensywnego. B. Obszar warunkowego wzrostu progu rentowności, również podzielony na dwie części. 3.
Obszar
III,
w
którym:
przy
czym:
a wtedy:
W tym obszarze negatywny wpływ czynnika intensywnego jest większy niż pozytywny wpływ czynnika ekstensywnego, co w efekcie powoduje wzrost progu rentowności. 4.
Obszar
IV,
w
którym:
przy
czym:
a wtedy:
W tym obszarze czynnik intensywny wykazuje tendencję spadkową, co znajduje wyraz w wywołanym przez niego ujemnym odchyleniu cząstkowym. Przyrost progu rentowności to efekt czynnika ekstensywnego, którego wpływ na zmianę progu był decydujący. II. Strefa obniżki progu rentowności, złożona z dwóch podstawowych obszarów: A – bezwarunkowej i B – warunkowej obniżki progu rentowności. A. Obszar bezwarunkowej obniżki progu rentowności również podzielony jest na dwie części. 1. Obszar VI, w którym:
a wtedy:
W obszarze tym oba czynniki ulegają obniżce, lecz wpływ czynnika ekstensywnego na obniżkę progu rentowności jest większy niż czynnika intensywnego. 2. Obszar VII, w którym:
a wtedy:
Również w tym obszarze oba czynniki pozytywnie oddziałują na
Również w tym obszarze oba czynniki pozytywnie oddziałują na obniżkę progu rentowności, lecz tym razem wpływ czynnika ekstensywnego był mniejszy niż intensywnego. B. Obszar warunkowej obniżki progu rentowności złożony z kolejnych dwóch części. 3.
Obszar
VIII,
w
którym:
przy
czym:
a wtedy:
W tym obszarze czynnik ekstensywny wywołuje przyrost progu rentowności, lecz pozytywny wpływ czynnika intensywnego jest tak znaczny, że w efekcie następuje obniżenie progu rentowności. 4.
Obszar
V,
w
którym:
przy
czym:
a wtedy:
W tym obszarze czynnik intensywny wykazuje negatywny wpływ, lecz czynnik ekstensywny wywiera pozytywny wpływ i to w większej skali, stąd w ostatecznym rozrachunku wywołuje to obniżkę progu rentowności. Omówione wyżej relacje między analizą porównawczą a analizą przyczynową zawiera tabela (4.12). Tabela 4.12. Współzależność analizy porównawczej i przyczynowej Analiza Analiza przyczynowa porównawcza
+
+
+
+
+
+
+
–
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
+
–
+
–
Źródło: opracowanie własne.
Interpretacja Obszar zmian progu rentowności
Tendencja zmiany progu rentowności
Bezwzględnego wzrostu progu rentowności
Negatywna
Warunkowego wzrostu progu rentowności
Negatywna
Negatywna
Negatywna Bezwzględnej obniżki progu rentowności
Pozytywna
Warunkowej obniżki progu rentowności
Pozytywna
Pozytywna
Pozytywna
4.9.2. Metodyka efektywnego wyboru progu rentowności w ujęciu wektorowym oraz wyznaczanie wielkości granicznych Dekompozycja progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej prowadzi do ujęcia wektorowego tegoż progu. Pojawia się zatem pytanie, który z progów rentowności w ujęciu wektorowym należałoby uznać za korzystniejszy. Proponuje się podejście metodologiczne wzorowane na tzw. koszyku towarów i funkcji użyteczności konsumenta, co rozważa się na gruncie ekonomii matematycznej [Panek, 2000, s. 24 i n.]. Przyjmujmy, że:
– ilościowy próg rentowności w ujęciu wektorowym (4.149) oraz
– wektor wolumenów (ilości) sprzedaży n różnych wyrobów. (4.150) Tworzymy wektorowy wskaźnik poziomu progu rentowności o postaci: (4.151)
gdzie:
– wskaźnik poziomu progu rentowności dla i-tego wyrobu (i = 1, 2, ..., n). (4.152) Zauważmy, że jeśli rozpatrujemy wartościowy próg rentowności w ujęciu wektorowym, wówczas zachodzi równość: (4.153)
a to oznacza, że wskaźnik (4.151) nie zależy od tego, czy próg rentowności określony jest ilościowo, czy też wartościowo. Wprowadzamy odpowiedni sposób porównywania progów rentowności. Niech będą dwa progi rentowności (koszyki) w ujęciu wektorowym, tj.:
oraz
(4.154)
Producent wyraża swoje preferencje, porównując między sobą oba koszyki progu rentowności. Jeśli koszyk BEPA uważa za lepszy od koszyka BEPB, to powiemy, że koszyk A jest silnie preferowany nad koszykiem B, co zapiszemy następująco: (4.155)
Jeśli natomiast producent uważa koszyki BEPA i BEPB za jednakowo dobre (obojętne), to powiemy, że koszyki BEPA i BEPB są indyferentne, co zapiszemy następująco: (4.156)
Wygodnie jest posługiwać się funkcją opisującą relację preferencji, zwaną funkcją korzystności, definiowaną w sposób przedstawiony poniżej. Funkcją korzystności producenta nazywamy określoną na przestrzeni progów rentowności
funkcję
spełniającą dla dowolnej
pary koszyków progu rentowności poniższe warunki. Przyjmujemy następującą postać funkcji korzystności producenta: (4.157)
Powiemy, że: 1) koszyk pierwszy progu rentowności (BEPA) jest lepszy od drugiego (BEPB), jeśli: (4.158)
2) koszyki progów są jednakowo dobre (obojętne), jeśli: (4.159)
Możliwe jest również znajdowanie odległości między „koszykami” progów rentowności. Można przykładowo posłużyć się następującym wzorem: (4.160)
Przykład 4.5 Dokonano dekompozycji progu rentowności jednostek produktu umownego, otrzymując następujące progi rentowności w ujęciu wektorowym:
Przyjmujemy, że sprzedaży poszczególnych wyrobów. Mamy stąd następujące wektory rentowności:
– wektor wolumenu wskaźników
poziomu
progu
W świetle zaproponowanego postulatu powiemy, że próg rentowności w ujęciu wektorowym BEPA jest korzystniejszy niż próg rentowności w ujęciu wektorowym BEPB. Odległość między obu „koszykami” progów rentowności wynosi:
Jedną z form badania wrażliwości progu rentowności jest znajdowanie tzw. wielkości granicznych, tj. minimalnej ceny oraz maksymalnego jednostkowego kosztu zmiennego. W przypadku produkcji jednorodnej było to proste zagadnienie matematyczne, natomiast dla produkcji złożonej wymaga analogicznych rozważań, jakie były podstawą wyprowadzenia formuł obliczeniowych progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej. Poniżej zostaną podane gotowe formuły dotyczące wspomnianych pojęć. Punktem wyjścia rozważań jest równość: (4.161)
Prowadząc analogiczne przekształcenia, jakie były zastosowane przy znajdowaniu progu rentowności przy produkcji wieloasortymentowej według koncepcji „od ogółu do szczegółu”, co prowadziło do wzorów (4.13– 4.17), otrzymamy stosowne wzory na minimalne ceny sprzedaży (maksymalne jednostkowe koszty zmienne), które pozwalają na osiągnięcie zerowego wyniku finansowego (tj. osiągnięcie progu rentowności) przy założeniu, że ustalony jest wektor ilościowy sprzedaży oraz wektor jednostkowych kosztów zmiennych (wektor jednostkowych cen sprzedaży). 1. Minimalne ceny każdego z asortymentów, które przy danych wyjściowo kosztach zapewniają zerowy wynik finansowy, określamy jako: (4.162)
dla i = 1, 2, ..., n.
Ułamek po prawej stronie wzoru (4.162) to współczynnik tworzenia wektora krytycznych cen jednostkowych projektu. Określa on, jaką krotność planowanych przychodów ze sprzedaży stanowią koszty całkowite projektu. 2. Maksymalne jednostkowe koszty zmienne każdego z asortymentów, które przy danych wyjściowo cenach na poszczególne asortymenty oraz kosztach stałych zapewniają osiągnięcie zerowego wyniku finansowego, możemy określić jako: (4.163) dla i = 1, 2, ..., n.
Ułamek po prawej stronie wzoru (4.163) to współczynnik tworzenia wektora krytycznych jednostkowych kosztów zmiennych. Określa on udział nadwyżki planowanych przychodów nad kosztami stałymi w kosztach zmiennych projektu. Tomasz Jachna uważa, że „analiza progu rentowności przedsięwzięcia inwestycyjnego powinna być uzupełniona analizą wrażliwości projektu na zmiany czynników determinujących poziom jego progu rentowności” [Jachna, 2007, s. 468–469]. Ponadto, zdaniem tegoż autora, analiza projektu może także zawierać ustalenie granicznego poziomu poszczególnych czynników, który – przy maksymalnej wielkości sprzedaży oraz stałym poziomie innych czynników – umożliwia jedynie osiągnięcie progu rentowności. Badanie to powinno dotyczyć przede wszystkim cen sprzedaży oraz jednostkowych kosztów zmiennych, czyli tych czynników, które są najbardziej podatne na zmiany. Jak podkreśla się w literaturze przedmiotu, graniczne wielkości obu zmiennych są użyteczne zwłaszcza przy wyznaczaniu marginesów bezpieczeństwa, związanych z realizacją projektu inwestycyjnego. Poniżej zostanie przedstawiona propozycja autorska dotycząca wyznaczania wspomnianych marginesów bezpieczeństwa w warunkach produkcji wieloasortymentowej [Ostrowska, 2002, s. 129]. Wstępnie określamy przedstawione niżej wektory. 1. Wektor postulowanych jednostkowych cen produktów: (4.164)
gdzie: pi – cena jednostkowa i-tego produktu (i = 1, 2, ..., n). 2. Wektor granicznych poziomów jednostkowych cen produktów: (4.165)
gdzie: – graniczny poziom jednostkowej ceny i-tego produktu (i = 1, 2, ..., n). 3. Wektor marginesów bezpieczeństwa przedsięwzięcia ze względu na ceny produktów: (4.166)
gdzie: (i = 1, 2, ..., n) – margines bezpieczeństwa itego produktu ze względu na cenę. Następnie określamy funkcję korzystności: (4.167)
Porównujemy dwa projekty określone za pomocą wektorów: (4.168)
Powiemy, że: projekt pierwszy
jest lepszy od projektu drugiego
jeśli:
projekty są jednakowo dobre (obojętne), jeśli: Analogicznie postępujemy w stosunku do jednostkowych kosztów zmiennych. Wstępnie określamy przedstawione niżej wektory. 4. Wektor postulowanych jednostkowych kosztów zmiennych: (4.169)
gdzie: kzi – jednostkowy koszt zmienny i-tego produktu (i = 1, 2, ..., n). 5. Wektor granicznych poziomów jednostkowych kosztów zmiennych: (4.170)
gdzie: – graniczny poziom jednostkowego kosztu zmiennego itego produktu (i = 1, 2, ..., n). 6. Wektor marginesów bezpieczeństwa przedsięwzięcia ze względu na jednostkowe koszty zmienne: (4.171)
gdzie: (i = 1, 2, ..., n) – margines bezpieczeństwa itego produktu ze względu na jednostkowy koszt zmienny. Następnie określamy funkcję korzystności: (4.172)
Porównujemy dwa projekty określone za pomocą wektorów: (4.173)
Powiemy, że: projekt pierwszy
jest lepszy od projektu drugiego
, jeśli:
projekty są jednakowo dobre (obojętne), jeśli: Ogólnie rzecz biorąc, wraz ze wzrostem wartości funkcji korzystności oraz zwiększa się „odporność” badanego przedsięwzięcia na zmiany warunków funkcjonowania przedsiębiorstwa. Ponadto należy podkreślić, że formuły ujęte wzorami (4.161–4.162) są niezmiennicze względem zmian ilościowych o postaci: oraz
gdzie k > 0 (i = 1, 2, ..., n).
(4.174)
To spostrzeżenie poszerza możliwości badania różnych wariantów propozycji projektów. Przykład 4.6 Firma „Dorotka” zajmuje się produkcją i sprzedażą trzech rodzajów toreb na zakupy. Możliwości techniczne firmy w okresie miesiąca to: 100 toreb typu A, 600 – typu B oraz 400 – typu C. W minionym miesiącu próg rentowności został osiągnięty przy wektorach cen sprzedaży (w zł/szt.) oraz jednostkowych kosztów zmiennych (w zł/szt.), które kształtowały się na poziomie: oraz kosztach stałych: KS = 15 000 zł. W badanym miesiącu koszty stałe wzrosły dwukrotnie. Pojawia się pytanie, jakie muszą być minimalne ceny na poszczególne torby na zakupy, aby osiągnąć próg rentowności przy założeniu, że wolumen produkcji i sprzedaży nie ulegnie zmianie. Obliczenia pomocnicze są następujące:
zł, zł. Przyjmując, że koszty stałe w badanym miesiącu wynoszą KS = 30 000, znajdujemy ceny minimalne na torby na zakupy, które umożliwią osiągnięcie progu rentowności przy założeniu, że jednostkowe koszty zmienne nie ulegną zmianie. Znajdujemy minimalne ceny poszczególnych rodzajów toreb: zł/szt. typu A, zł/szt. typu B, zł/szt. typu C. Przyjmując, że ceny jednostkowe nie ulegną zmianie oraz KS = 30 000, znajdujemy wartości jednostkowych kosztów zmiennych, przy których możliwe jest osiągnięcie progu rentowności. Opierając się na wzorze (4.163), znajdujemy: zł/szt. typu A, zł/szt. typu B, zł/szt. typu C. Jak widać, jednostkowe koszty zmienne muszą ulec zmniejszeniu o 60%, aby przy tych samych cenach sprzedaży toreb na zakupy oraz podwojonych kosztach stałych osiągnąć nowy próg rentowności. Dla kosztów stałych na poziomie KS = 30 000 przyjęto do analizy dwa projekty scharakteryzowane za pomocą poniższych wektorów cen na torby na zakupy:
Chcąc wybrać najbardziej korzystny wariant w marginesów bezpieczeństwa przedsięwzięcia, obliczamy:
świetle
oceny
1)
a zatem: 2)
a zatem: Oznacza to, że pierwszy projekt jest lepszy od drugiego z punktu widzenia „odporności” na zmiany cen toreb na zakupy. Podobnie przebiegałoby postępowanie, gdybyśmy wzięli pod uwagę jednostkowe koszty zmienne analizowanych produktów. Powiązanie progu rentowności z minimalnym poziomem cen jest bardzo istotne w podejmowaniu decyzji ekonomicznych, przeto zagadnienie to podejmowane jest w literaturze z zakresu rachunkowości zarządczej.
Rozdział 5 Analiza macierzowa progu rentowności produkcji wieloasortymentowej
Rozwój metodyki analizy progu rentowności jest różnokierunkowy. Interesujące są rozważania Jarosława Mielcarka [2005a, s. 98–111], który m.in. formułuje postulat, iż koncepcja CVP jest systemem o (n – 2) stopniach swobody, a także posiłkuje się rachunkiem wektorowym w analizie progu rentowności. Inne podejście metodologiczne proponują Anna ĆwiąkałaMałys i Wioletta Nowak, przy czym stosują zawiłe rozważania matematyczne, co wynika ze złożoności problematyki progu rentowności przy produkcji wieloasortymentowej [2009, s. 96–133]. W ostatnim rozdziale książki proponuje się zastosowanie rachunku macierzowego, którego podstawą są tablice liczb, zwane macierzami. To podejście umożliwia rozszerzenie analizy progu rentowności w świetle funkcjonowania w gospodarce wolnorynkowej tzw. cen negocjowanych. 5.1. Istota nowego podejścia do analizy progu rentowności[1] Klasyczna analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej opiera się na założeniu, że jednostkowa cena sprzedaży, jednostkowe koszty zmienne, a stąd także jednostkowa marża pokrycia są jednakowe dla ustalonego asortymentu wyrobów i niezależne od nabywców. Zdaniem Ireny Sobańskiej [2003, s. 199] w warunkach niepełnego wykorzystania mocy produkcyjnych w relacji: dostawca – odbiorca pojawia się kategoria tzw. ceny negocjowanej, która z reguły jest niższa od ceny rynkowej. To podejście ma zachęcać odbiorcę do zakupu w ramach sprzedaży wewnętrznej, a nie na rynku, zaś dostawcy umożliwia zwiększenie stopnia wykorzystania posiadanego potencjału, a zatem zwiększenie swego wyniku. Jak zauważa Edward Nowak, jest to cena uzgadniana podczas negocjacji między ośrodkiem sprzedającym i ośrodkiem kupującym, a zarazem powinna odzwierciedlać wszystkie uwarunkowania dokonywanej transakcji [2003, s. 202]. Warto ponadto dodać, że klasyczna formuła na próg rentowności produkcji wieloasortymentowej gdy cena sprzedaży tego samego asortymentu jest zróżnicowana, wymaga uśredniania parametrów kształtujących próg rentowności, co musiał uczynić m.in. Sławomir Sojak,
chcąc ustalić próg rentowności dla usług sprzedawanych różnym klientom po zróżnicowanych cenach [2012, s. 2–22]. Godny uwagi jest fakt, że już przed wieloma laty Henryk Fiszel zaproponował, aby przychód ze sprzedaży wyrobów, a także koszty zakupu czynników produkcji, przedstawiać za pomocą następującej formuły [1980, s. 150–157]: (5.1)
gdzie: i – numer asortymentu sprzedanego wyrobu lub rodzaju kupionego czynnika, j – numer odbiorcy wyrobu (dostawcy czynnika), q – ilość, c – cena jednostkowa. Oznacza to, że odbiorcy wyrobów płacą różne ceny za ten sam rodzaj wyrobów oraz różnie płacimy dostawcom za ten sam rodzaj czynnika produkcji[2]. Nawiązując do rozważań z poprzedniego rozdziału, proponuje się, aby podstawą znajdowania progu rentowności produkcji wieloasortymentowej była poniższa relacja równości, którą można nazwać równaniem progu rentowności: (5.2)
gdzie: KS – koszty stałe okresu, – ilość sprzedanego i-tego asortymentu (rodzaju) wyrobów j-temu nabywcy, niezbędna do osiągnięcia progu rentowności, mij – jednostkowa marża uzyskana na i-tym asortymencie kupionym przez j-tego nabywcę, przy czym:
natomiast: cij – jednostkowa cena sprzedaży i-tego asortymentu wynegocjowana przez j-tego nabywcę, kzij – jednostkowy koszt zmienny i-tego asortymentu związany z j-tym nabywcą. Lewa strona zależności (5.2) oznacza globalną marżę pokrycia osiągniętą na sprzedaży wszystkich asortymentów (produktów), która umożliwia osiągnięcie progu rentowności. 5.2. Ujęcie macierzowe globalnej (skumulowanej) marży pokrycia
5.2.1. Zdefiniowanie macierzy związanych z progiem rentowności Analizę progu rentowności wynikającego ze wzoru (5.2) należy oprzeć na macierzach umożliwiających odpowiedni zapis i analizę wyjściowej formuły. Obliczanie globalnej marży brutto na sprzedaży, ujętej wyrażeniem:
zostało oparte na przedstawionych niżej macierzach. Warto podkreślić, że wielkość ta nie jest tożsama z globalną marżą pokrycia, która związana jest z osiągnięciem progu rentowności. 1. Macierz produkcji i sprzedaży w ujęciu ilościowym: (5.3)
2. Macierz jednostkowych marż pokrycia: (5.4)
3. Macierz jednostkowych cen sprzedaży: (5.5)
4. Macierz jednostkowych kosztów zmiennych: (5.6)
Ponadto możemy zapisać następującą relację: (5.7)
Zauważyć należy również, że: 1) wszystkie macierze mają tyle samo wierszy i kolumn (są tego samego wymiaru), 2) każda z kolumn dotyczy poszczególnej grupy nabywców, 3) każdy z wierszy dotyczy poszczególnego asortymentu wyrobu. Znalezienie globalnej (skumulowanej) marży brutto na sprzedaży w ujęciu macierzowym wymaga skorzystania z tzw. iloczynu Hadamarda dwóch macierzy tego samego typu[3], czyli:
(5.8)
gdzie: 5.2.2. Dodatkowa dygresja matematyczna – iloczyn wewnętrzny Frobeniusa Znalezienie globalnej marży brutto na sprzedaży wymaga zsumowania wszystkich wyrazów następująco[4]:
macierzy
co
można
wykonać (5.9)
Z matematycznego punktu widzenia równość (5.9) można nazwać podwójnym iloczynem skalarnym, w którym wykorzystuje się tzw. wektor sumacyjny (jedynkowy). Globalną marżę brutto na sprzedaży można także obliczyć, korzystając z tzw. iloczynu wewnętrznego Frobeniusa, który jest sumą elementów iloczynu Hadamarda. W powyższym przypadku iloczyn wewnętrzny Frobeniusa zapiszemy następująco: (5.10)
przy czym, zgodnie z zasadami rachunku macierzowego: (5.11)
jest to tzw. ślad macierzy kwadratowej (od ang. trace – ślad), natomiast: (5.12)
jest to tzw. macierz transponowana macierzy Zauważyć też należy, że przedstawione macierze (5.3–5.7) tworzą zestaw dwuwymiarowych danych o parametrach kształtujących próg rentowności produkcji wieloasortymentowej. 5.2.3. Analiza poziomego (podażowego) zróżnicowania ilościowego progu rentowności Wprowadzamy następujące założenia: (5.13)
gdzie: Qi – łączna ilość sprzedanych wyrobów i-tego asortymentu, niezbędna do osiągnięcia progu rentowności, oraz: (5.14)
przy czym: ki – przeciętna (średnioważona poziomo) jednostkowa marża i-tego asortymentu. Równanie dla progu rentowności przyjmuje zatem postać: (5.15)
Następnie przyjmujemy, że: (5.16)
gdzie: Si – wskaźnik struktury sprzedaży w układzie asortymentowym, wyrażony wzorem:
Stąd otrzymujemy zagregowany (umowny) ilościowy próg rentowności:
czyli ostatecznie: (5.17)
Zauważmy, że jeśli między ilością sprzedanych produktów a ilością niezbędną do osiągnięcia progu rentowności zachodzi relacja liniowości, czyli:[5] (5.18)
wówczas otrzymujemy formułę: (5.19)
Oznacza to, że zagregowany (umowny) próg rentowności „niezmiennikiem” zmian ilościowych macierzy sprzedaży. Ponadto wiadomo również, że[6]:
jest
(5.20)
Ze wzoru (5.19) otrzymujemy jednokierunkowo zagregowane (pionowo) progi rentowności w układzie asortymentowym sprzedanych wyrobów: (5.21)
Zakłada się tutaj, że istnieje suma – tzn. sprzedawany i-ty asortyment wszystkim nabywcom ma to samo miano, co na ogół jest spełnione. Interpretacja. Wzór (5.21) informuje, ile sztuk i-tego asortymentu powinni kupić wszyscy nabywcy wyrobów, aby osiągnięty został próg rentowności. Jeśli jest tylko jeden nabywca (j = 1), to otrzymujemy znany nam wzór o postaci[7]: (5.22)
Jeśli zaś i = 1 oraz j = 1, to mamy wzór: (5.23)
Można dokonać pionowej dekompozycji progu rentowności, ujętego wzorem (5.21), następująco[8]: (5.24)
gdzie: αi – wskaźnik struktury i-tego wiersza, wyrażony wzorem: (5.25)
5.2.4. Analiza pionowego (popytowego) zróżnicowania ilościowego progu rentowności Wprowadzamy następujące założenia: (5.26)
gdzie: Qj – łączna ilość zakupionych wyrobów przez j-tego nabywcę, niezbędna do osiągnięcia progu rentowności, oraz:
gdzie: nj – przeciętna (średnioważona pionowo) jednostkowa marża uzyskana z tytułu sprzedaży j-temu nabywcy. Równanie dla progu rentowności przyjmuje zatem postać: (5.27)
Następnie przyjmujemy, że: (5.28)
gdzie: Sj – wskaźnik struktury sprzedaży w przekroju nabywców, wyrażony wzorem:
Z relacji (5.28) wynika, że: (5.29)
Ostatecznie otrzymujemy wyrażony wzorem (5.19).
umowny
ilościowy
próg
rentowności,
Z powyższej relacji można wyprowadzić jednokierunkowo zagregowane (poziomo) progi rentowności w przekroju nabywców wyrobów: (5.30)
Analogicznie jak przy analizie poziomej, w świetle wzoru (5.18), otrzymujemy formułę: (5.31)
Zakłada się tutaj, że istnieje suma – tzn. sprzedawane n produktów j-temu odbiorcy ma to samo miano (np. sztuki), co nie zawsze ma rację bytu. Interpretacja. Wzór (5.31) informuje, ile sztuk wyrobów wszystkich asortymentów przypisane jest j-temu nabywcy, tak aby osiągnąć próg rentowności. Jeśli jest tylko jeden nabywca (j = 1), to otrzymujemy znany nam wzór o postaci: (5.32)
Można dokonać poziomej dekompozycji wzoru (5.31), co daje formułę postaci: (5.33)
gdzie: βj – wskaźnik struktury j-tej kolumny, wyrażony wzorem: (5.34)
Przyjmujemy zatem, że: (5.35)
Przedstawione rozważania matematyczne stanowią fundament koncepcji autorskiej analizy progu rentowności, opartej na rachunku macierzowym.
5.2.5. Dwuwymiarowa statyczna analiza progu rentowności Macierz rozkładu zagregowanego ilościowego progu rentowności W świetle omówionej koncepcji przedstawiamy ilościowy rentowności w postaci następującej macierzy:
próg
(5.36)
gdzie:
Macierz rozkładu ilościowego progu rentowności w dwuwymiarowej przestrzeni progu rentowności można zapisać następująco: (5.37)
gdzie: BEPij – jest to ilościowy (cząstkowy) próg rentowności, związany z i-tym asortymentem oraz j-tym nabywcą wyrobu. Podkreślić należy, że w ujęciu macierzowym próg ilościowy zawsze istnieje. Wektor ilościowych progów rentowności w przekroju asortymentowym sprzedanych wyrobów możemy przedstawić następująco: (5.38)
Natomiast wektor ilościowych progów rentowności w przekroju nabywców wyrobów przedstawiamy następująco: (5.39)
Macierz rozkładu zagregowanego wartościowego progu rentowności Najpierw znajdujemy macierz przychodów ze sprzedaży, stosując tzw. iloczyn Hadamarda, czyli: (5.40)
gdzie: Macierz rozkładu wartościowego progu rentowności w dwuwymiarowej przestrzeni progu rentowności ma następującą postać:
(5.41)
Można zatem przyjąć, że tzw. wskaźnik narzutu kosztów stałych, czyli: (5.42)
to swego rodzaju „klucz podziału”[9]. Powyższy wskaźnik informuje, jaki ułamek (procent) marży brutto na sprzedaży stanowią koszty stałe związane z progiem rentowności. Suma wszystkich elementów macierzy (5.37) to umowny (zagregowany) wartościowy próg rentowności. Znajdujemy go za pomocą następującego działania na macierzach: (5.43)
Otrzymujemy w ten sposób umowny (zagregowany dwuwymiarowo) wartościowy próg rentowności, przyjmujący postać: (5.44)
1. Jeśli i = 1 oraz j = 1, to otrzymujemy wzór: (5.45)
2. Jeśli j = 1, to otrzymujemy wzór: (5.46)
Formuła (5.46) oznacza, że nabywców nie dzieli się z punktu widzenia zróżnicowanej marży jednostkowej, uzyskiwanej za ten sam asortyment wyrobu. Wektor wartościowych progów rentowności w przekroju asortymentowym sprzedanych wyrobów można przedstawić następująco: (5.47)
Natomiast wektor wartościowych progów rentowności w przekroju nabywców wyrobów można zapisać jako: (5.48)
Należy podkreślić, że macierze rozkładu ilościowego oraz wartościowego progu rentowności są niezmiennikami zmian ilościowych, ujętych wzorem (5.18), co oznacza, że w obliczeniach korzystamy z macierzy faktycznej ilościowej sprzedaży. 5.2.6. Uogólnienie metody przeciętnej marży pokrycia Zagregowany ilościowy próg rentowności można także określić za pomocą wzoru[10]: (5.49)
gdzie: (5.50)
Jest to globalna (średnioważona dwuwymiarowo) marża pokrycia, przy czym: (5.51)
oznacza znormalizowaną ilość i-tego asortymentu wyrobu zakupionego przez j-tego nabywcę. Zauważmy ponadto, że: (5.52)
Zagregowany wartościowy przedstawić następująco:
próg
rentowności
można
(5.53)
gdzie: (5.54)
także
to globalna (średnioważona dwuwymiarowo) stopa marży pokrycia, przy czym: (5.55)
oznacza znormalizowaną wartość i-tego zakupionego przez j-tego nabywcę, natomiast:
asortymentu
wyrobu (5.56)
jest cząstkową stopą jednostkowej marży pokrycia. W literaturze przedmiotu określa się jako udział łącznej marży pokrycia w przychodach ze sprzedaży wyrobów [Nowak, 2012, s. 130]. Powyższą wielkość można obliczyć także na podstawie wzoru: (5.57)
5.2.7. Prezentacja tablicowa podejścia macierzowego do analizy progu rentowności W tabeli 5.1 przedstawiono analizę progu rentowności. Podczas jej opracowywania przyjęto następujące założenia: 1) produkcja jest wieloasortymentowa, 2) występuje zróżnicowanie cenowe nabywców. Model złożony zysku operacyjnego – typu drugiego:
Równanie objaśniające próg rentowności:
gdzie q ij – ilość i-tego asortymentu (rodzaju) wyrobów sprzedana j-temu nabywcy, niezbędna do osiągnięcia progu rentowności. Tabela 5.1. Analiza progu rentowności – płaszczyzna III Ilościowy próg rentowności
Wartościowy próg rentowności
Ujęcie macierzowe
Ujęcie macierzowe
gdzie:
gdzie:
dla i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, …, p.
dla i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, …, p.
Zagregowany próg rentowności
Zagregowany próg rentowności
gdzie:
gdzie:
przy czym:
przy czym: – iloczyn po współrzędnych
Znajdujemy iloraz po współrzędnych o postaci:
Objaśnienia: q ij – ilość sprzedanego i-tego asortymentu (rodzaju) wyrobów j-temu nabywcy; cij – jednostkowa cena wyrobu i-tego asortymentu wynegocjowana przez j-tego nabywcę; kij – jednostkowy koszt zmienny wyrobu i-tego asortymentu kupiony przez j-tego nabywcę; mij – jednostkowa marża uzyskana na i-tym asortymencie kupionym przez jtego nabywcę; rij – stopa jednostkowej marży uzyskanej na i-tym asortymencie kupionym przez j-tego nabywcę; KS – koszty stałe okresu. Źródło: opracowanie własne. 5.3. Egzemplifikacja dwuwymiarowej statycznej analizy progu rentowności Poniżej przedstawiono dwa podejścia do dwuwymiarowej analizy progu rentowności. W pierwszym przykładzie korzysta się z działań na macierzach, w drugim zaś omija się uciążliwości związane z rachunkiem macierzowym, co czyni proponowaną koncepcję rachunku progu rentowności bardziej przystępną. Przykład 5.1 Zakład kapeluszniczo-czapkarski „Wiktor & Zofia” wytwarza na zamówienie trzech odbiorców pięć specjalnych asortymentów męskich nakryć głowy. Koszty stałe w danym miesiącu wyniosły KS = 5949 zł. W tabeli przedstawiono dane niezbędne do analizy progu rentowności.
W firmie znajduje zastosowanie inżynierska metoda szacowania kosztów, którą stosuje księgowy mający fachową wiedzę z zakresu produkcji. Tabela 5.2. Dane dotyczące wielkości sprzedaży, cen sprzedaży, jednostkowych kosztów zmiennych oraz jednostkowej marży pokrycia w przekroju podażowo-popytowym Rodzaj produktu
Odbiorcy Wolumen sprzedaży (w szt.)
Cena jednostkowa (w zł/szt.)
Jednostkowy koszt zmienny (w zł/szt.)
Jednostkowa marża pokrycia (w zł/szt.)
A
I
100
10
5
5
II
80
12
5
7
III
75
10
5
5
I
125
15
6
9
II
110
14
6
8
III
85
15
6
9
I
150
25
15
10
II
120
24
15
9
III
100
23
15
8
I
50
50
30
20
II
40
45
25
20
III
60
52
25
27
I
200
80
40
40
II
180
78
45
33
III
150
82
50
32
B
C
D
E
Źródło: opracowanie własne. Procedura znajdowania progu rentowności w ujęciu macierzowym 1. Przedstawiamy w ujęciu tablicowym (macierzowym) dane liczbowe:
2. Wykonujemy obliczenia pomocnicze według wzorów (5.8) oraz (5.40):
zł.
Interpretacja.
Jest
to
wysokość
marży
brutto
na
sprzedaży
omawianych wyrobów. Wyrażenie obliczymy, korzystając ze wzoru (5.10), przy czym znajdujemy tylko iloczyny, które mają znaleźć się na głównej przekątnej, co potrzebne jest do tzw. śladu macierzy. Oznacza to, że mnożymy wiersz pierwszy przez pierwszą kolumnę, wiersz drugi przez drugą kolumnę oraz wiersz trzeci przez trzecią kolumnę.
a stąd ślad macierzy wynosi: zł.
Interpretacja. 66 090 zł to przychód ze sprzedaży, który osiągnęła badana firma. Ponadto mamy:
Interpretacja. 1625 sztuk to łączna liczba sprzedanych nakryć głowy w badanym okresie. 3. Znajdujemy progi rentowności w ujęciu macierzowym. Klucz podziału znajdujemy za pomocą wzoru (5.42). Mamy zatem:
Macierz ilościowych progów rentowności Korzystamy ze wzoru: (5.58)
Powyższa macierz (tablica) przedstawia rozkład ilościowej sprzedaży nakryć głowy niezbędnej do osiągnięcia progu rentowności w układzie asortyment – nabywca. Wektory ilościowych progów rentowności w przekroju asortymentowym sprzedanych wyrobów oraz w przekroju nabywców wyrobów
a stąd obliczamy skumulowany ilościowy próg rentowności:
Interpretacja. Z punktu widzenia przekroju asortymentowego sprzedanych wyrobów widać duże zróżnicowanie ilościowe. Najmniejszy udział w realizacji ilościowego progu rentowności miał asortyment „D”, zaś największy – asortyment „E”. Patrząc z płaszczyzny nabywców, dostrzegamy niewielkie zróżnicowanie ilościowe. Macierz wartościowych progów rentowności Korzystamy ze wzoru: (5.59)
Powyższa macierz (tablica) przedstawia w ujęciu wartościowym rozkład sprzedaży nakryć głowy niezbędnej do osiągnięcia progu rentowności w układzie asortyment – nabywca. Wektory wartościowych progów rentowności w przekroju asortymentowym sprzedanych wyrobów oraz w przekroju nabywców wyrobów
Skumulowany wartościowy próg rentowności
zł.
lub
zł.
Jeśli skorzystamy z formuły (5.44), wówczas otrzymamy:
zł.
Interpretacja. Na zróżnicowanie sprzedanych wyrobów według asortymentów najmniejszy wkład w osiągnięcie wartościowego progu rentowności miał asortyment „A”, zaś największy – asortyment „E”. Także i przy tym podejściu zróżnicowanie sprzedanych wyrobów w przekroju nabywców było niezbyt wielkie. Przykład 5.2 Piekarnia „Lena” zajmuje się produkcją i sprzedażą wyrobów piekarskich. Zatrudniony w firmie doświadczony ekonomista dokonuje podziału kosztów na stałe i zmienne, stosując tzw. metodę księgową, przy czym koszty stałe wspólne są dzielone proporcjonalnie do kosztów stałych indywidualnych (tj. chleba oraz bułek). W firmie dokonuje się ewidencji ilości sprzedaży, cen sprzedaży oraz marży jednostkowej w podziale na poszczególnych klientów. Moc przerobowa tejże piekarni to nie mniej niż 30 tys. bochenków w ciągu miesiąca, które w analizie będą określane jako „sztuki”. Koszty stałe okresu, dotyczące produkcji chleba w analizowanym miesiącu, zostały przyjęte na poziomie KS = 12 466 zł. Piekarnia ma czterech stałych odbiorców na wypiekane chleby i są to: 1) sklep firmowy, 2) sklep osiedlowy, 3) Biedronka, 4) Supersam. W odpowiednich tabelach przedstawione zostały planowane wielkości na kolejny miesiąc, które w firmie są wykorzystywane m.in. w procesie budżetowania. Tabela 5.5 przedstawia jednostkowe marże pokrycia jako rezultat odjęcia od ceny sprzedaży tychże jednostkowych kosztów zmiennych. Tabele 5.3–5.5 przedstawiają informacje dotyczące planowanej przez piekarnię ilości sprzedaży chleba, ceny sprzedaży oraz jednostkowej marży,
którą przynosi każda sprzedana sztuka (bochenek) chleba w ujęciu dwuwymiarowym (asortyment – klient). Tabela 5.3. Ilościowa sprzedaż produktów w ujęciu dwuwymiarowym (w szt.) Asortyment produktu
Klienci
Suma
Biedronka
Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
1300
900
1200
1800
5000
Pszenny
1700
600
500
1200
4000
Razowy
1000
800
700
1000
3500
Zwykły
1500
1000
1400
2900
6800
Rodzinny
2000
1300
1000
3600
7900
Wieloziarnisty
500
200
400
1500
2600
Suma
8000
4800
5200
12 000
30 000
Źródło: opracowanie własne. Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na to, że jeśli różne rodzaje produktów mają różne miana (np. sztuki, kilogramy itp.), wówczas nie jest możliwe dodawanie elementów poszczególnych kolumn. Oznacza to, że w takiej sytuacji nie wprowadzamy do tablicy ostatniego wiersza. Tabela 5.4. Ceny sprzedaży produktów w ujęciu dwuwymiarowym (w zł/szt.) Asortyment produktu
Klienci Biedronka
Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
1,85
1,90
1,95
2,00
Pszenny
2,10
2,15
2,15
2,20
Razowy
2,50
2,55
2,50
2,60
Zwykły
1,50
1,60
1,65
1,80
Rodzinny
3,15
3,25
3,30
3,40
Wieloziarnisty
1,80
1,90
1,85
1,90
Źródło: opracowanie własne. Tabela 5.5. Jednostkowe marże dwuwymiarowym (w zł/szt.) Asortyment produktu
pokrycia produktów w ujęciu
Klienci Biedronka
Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
0,75
0,80
0,85
0,90
Pszenny
0,85
0,90
0,90
0,95
Razowy
1,00
1,05
1,00
1,10
Zwykły
0,80
0,90
0,95
1,10
Rodzinny
1,25
1,25
1,30
1,40
Wieloziarnisty
0,90
1,00
0,95
1,00
Źródło: opracowanie własne. Dotychczasowa analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej Analiza progu rentowności według dotychczasowego podejścia wymagała od analityka firmy uśrednienia cen sprzedaży oraz jednostkowych marż pokrycia. Korzystając z danych zawartych w tabelach 5.4 i 5.5, oblicza się uśrednione ceny i marże w przekroju asortymentowym (średnie arytmetyczne podanych wielkości). Dla wygody rachunkowej można utworzyć specjalną tabelę obliczeniową, która jest podstawą do kroków obliczeniowych progów rentowności. Tabela 5.6. Tablica obliczeniowa progów rentowności według tradycyjnego podejścia Asortyment produktu
Wolumen sprzedaży (q i)
Cena jednostkowa (ci)
Marża jednostkowa (m i)
Przychód globalny (q i ci)
Globalna marża (q i m i)
Żytni
5200
1,9250
0,8250
10 010,00
4290,00
Pszenny
4000
1,0875
0,9000
4350,00
3600,00
Razowy
3500
2,5375
1,0375
8881,25
3631,25
Zwykły
6800
1,6375
0,8250
11 135,00
5610,00
Rodzinny
7900
3,2750
1,3000
25 872,50
10 270,00
Wieloziarnisty 2600
1,8625
0,9625
4842,50
2502,50
Suma
X
X
65 091,25
29 903,75
30 000
Źródło: opracowanie własne. Dane zawarte w tabeli 5.3 umożliwiają znalezienie struktury ilościowej produkcji i sprzedaży zarówno w przekroju asortymentowym, jak i w przekroju klientów. Tabela 5.7. Struktura ilościowa sprzedaży w ujęciu dwuwymiarowym Asortyment produktu Klienci
Struktura (w %)
Biedronka Sklep osiedlowy Sklep firmowy Supersam Żytni
4,3
3,0
4,0
6,0
17,3
Pszenny
5,7
2,0
1,7
4,0
13,4
Razowy
3,3
2,7
2,3
3,3
11,6
Zwykły
5,0
3,3
4,7
9,7
22,7
Rodzinny
6,7
4,3
3,3
12,0
26,3
Wieloziarnisty
1,7
0,7
1,3
5,0
8,7
Struktura (w %)
26,7
16,0
17,3
40,0
100,0
Źródło: opracowanie własne. Tabela 5.8 przedstawia uzyskany przychód z tytułu sprzedaży poszczególnych gatunków chleba różnym klientom po zróżnicowanych cenach. Elementy poniższej tabeli (macierzy) są iloczynami po współrzędnych elementów tabeli 5.3 (macierzy ilościowej sprzedaży) przez elementy tabeli 5.4 (macierzy cen sprzedaży). Przykładowo mamy: 1300×1,85 = 2405; 900×1,9 = 1710. Tabela 5.8. Przychód ze sprzedaży w ujęciu dwuwymiarowym (w zł) Asortyment produktu
Klienci
Suma
Biedronka
Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
2405
1710
2340
3600
10 055
Pszenny
3570
1290
1075
2640
8575
Razowy
2500
2040
1750
2600
8890
Zwykły
2250
1600
2310
5220
11 380
Rodzinny
6 300
4225
3300
12 240
26 065
Wieloziarnisty
900
380
740
2850
4870
Suma
17 925
11 245
11 515
29 150
69 835
Źródło: opracowanie własne. Tabela 5.9. Struktura przychodów dwuwymiarowym
ze
sprzedaży
Asortyment produktu Klienci
w
ujęciu
Struktura (w %)
Biedronka Sklep osiedlowy Sklep firmowy Supersam Żytni
3,4
2,5
3,3
5,1
14,3
Pszenny
5,1
1,8
1,5
3,8
12,2
Razowy
3,6
2,9
2,5
3,6
12,6
Zwykły
3,2
2,3
3,3
7,4
16,2
Rodzinny
8,9
6,0
4,7
17,4
37,0
Wieloziarnisty
2,0
0,5
1,1
4,1
7,7
Struktura (w %)
26,2
16,0
16,4
41,4
100,0
Źródło: opracowanie własne. Poniżej przedstawione zostaną kolejne kroki obliczeniowe, które należy zastosować przy dotychczasowym podejściu do analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej.
Pierwszy krok. Znajdujemy zagregowany ilościowy próg rentowności (w sztukach):
Drugi krok. Znajdujemy ilościowe progi rentowności dla każdego asortymentu, mnożąc zagregowany ilościowy próg rentowności przez wskaźniki ilościowej struktury sprzedaży (tab. 5.7) w przekroju asortymentowym. Stąd otrzymujemy następujące wyniki (w szt.):
Trzeci krok. Znajdujemy zagregowany wartościowy próg rentowności (w zł):
Czwarty krok. Znajdujemy wartościowe progi rentowności dla każdego asortymentu – mnożąc zagregowany wartościowy próg rentowności przez wskaźniki wartościowej struktury sprzedaży (tab. 5.9) w przekroju asortymentowym. Stąd otrzymujemy następujące wyniki (w zł):
Tabela 5.10 przedstawia uzyskaną globalną marżę pokrycia z tytułu sprzedaży poszczególnych asortymentów chleba różnym klientom według zróżnicowanej jednostkowej marży brutto. Poszczególne elementy tej tabeli (macierzy) są iloczynami (po współrzędnych) elementów tabeli 5.3 przez elementy tabeli 5.5. Przykładowo mamy: 1300×0,75 = 975; 900×0,80 = 720 itd. Tabela 5.10. Globalna marża na sprzedaży w ujęciu dwuwymiarowym (w zł)
Asortyment produktu
Klienci
Suma
Biedronka
Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
975
720
1020
1620
4335
Pszenny
1445
540
450
1140
3575
Razowy
1000
840
700
1100
3640
Zwykły
1200
900
1330
3190
6620
Rodzinny
2500
1625
1300
5040
10 465
Wieloziarnisty
450
200
380
1500
2530
Suma
7570
4825
5180
13 590
31 165
Źródło: opracowanie własne. Możemy także znaleźć strukturę uzyskanej marży na sprzedaży w ujęciu dwuwymiarowym (tab. 5.11). Tabela 5.11. Struktura globalnej marży na sprzedaży w ujęciu dwuwymiarowym Asortyment produktu Klienci
Struktura (w %)
Biedronka Sklep osiedlowy Sklep firmowy Supersam Żytni
3,1
2,3
3,3
5,2
14,0
Pszenny
4,7
1,7
1,4
3,7
11,5
Razowy
3,2
2,7
2,3
3,6
11,8
Zwykły
3,9
2,9
4,3
10,3
21,4
Rodzinny
8,1
5,3
3,1
16,2
32,7
Wieloziarnisty
1,5
0,7
1,7
4,9
8,6
Struktura (w %)
24,5
15,6
16,1
43,9
100,0
Źródło: opracowanie własne. Ilościowy próg rentowności w ujęciu macierzowym Operacyjny ilościowy próg rentowności w ujęciu macierzowym otrzymamy po przemnożeniu każdego elementu tabeli 5.3 przez tzw. klucz podziału. Obliczamy zatem klucz podziału:
Z tabeli 5.12 wynika, że zagregowany ilościowy próg rentowności wynosi 12 tys. bochenków. Tabela 5.12. Ilościowy próg rentowności w ujęciu dwuwymiarowym (szt.)
Asortyment produktu
Klienci
Suma
Biedronka
Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
520
360
480
720
2080
Pszenny
680
240
200
480
1600
Razowy
400
320
280
400
1400
Zwykły
600
400
560
1160
2720
Rodzinny
800
520
400
1440
3160
Wieloziarnisty
200
80
160
600
1040
Suma
3200
1920
2080
4800
12 000
Źródło: opracowanie własne. Wartościowy próg rentowności w ujęciu macierzowym Wartościowy próg rentowności w ujęciu macierzowym otrzymamy po przemnożeniu każdego elementu tabeli 5.8 przez obliczony wyżej klucz podziału, czyli przez k = 0,4. Tabela 5.13 prezentuje wartościowy próg rentowności w ujęciu macierzowym. Zagregowany wartościowy próg rentowności wynosi 28 150 zł. Tabela 5.13. Wartościowy próg rentowności w ujęciu dwuwymiarowym (w zł) Asortyment produktu
Klienci
Suma
Biedronka
Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
962
684
936
1440
4022
Pszenny
1428
516
430
1056
3430
Razowy
1000
816
700
1040
3556
Zwykły
900
640
924
2088
4552
Rodzinny
2520
1690
1320
4896
10 426
Wieloziarnisty
576
152
296
1140
2164
Suma
7386
4496
4606
11 660
28 150
Źródło: opracowanie własne. Interpretacja. 1. W przekroju poziomym ostatnie kolumny tabel 5.12 i 5.13 informują o rozkładzie zagregowanego progu rentowności (ilościowego oraz wartościowego) według asortymentów. 2. W przekroju pionowym ostatnie wiersze tabel 5.12 i 5.13 informują o rozkładzie zagregowanego progu rentowności (ilościowego oraz
wartościowego) według nabywców. Tabela 5.14 przedstawia stopy marży pokrycia, które otrzymujemy, dzieląc przez siebie odpowiadające sobie elementy macierzy (5.10) i (5.8). Przykładowo więc mamy:
Z danych przedstawionych w powyższej tabeli wynika, że firma ma szczegółowe informacje co do opłacalności poszczególnych gatunków wypiekanego i sprzedawanego chleba, przy czym zauważa się pewne zróżnicowanie w przekroju asortymentowym i znikome różnice według klientów. Tabela 5.14. Stopy marży pokrycia w ujęciu dwuwymiarowym Asortyment produktu
Klienci
Stopa marży według asortymentów
Biedronka Sklep osiedlowy
Sklep firmowy
Supersam
Żytni
0,405
0,421
0,436
0,450
0,431
Pszenny
0,405
0,419
0,419
0,432
0,417
Razowy
0,400
0,412
0,400
0,423
0,409
Zwykły
0,533
0,563
0,576
0,611
0,582
Rodzinny
0,397
0,385
0,288
0,412
0,388
Wieloziarnisty
0,313
0,526
0,703
0,526
0,494
Stopa marży według klientów
0,410
0,429
0,432
0,466
X
Źródło: opracowanie własne. Poniżej dokonano zestawienia wyników analizy progu rentowności przy zastosowaniu dwóch podejść metodycznych, tj. tradycyjnego i macierzowego. Tabela 5.15. Zestawienie progów rentowności według podejścia macierzowego i tradycyjnego Asortyment produktu
Analiza progów rentowności Macierzowa
Tradycyjna
Macierzowa
Tradycyjna
BEP
BEP
BEPW
BEPW
Żytni
2080
2163
4022
3880
Pszenny
1600
1676
3430
3311
Razowy
1400
1451
3556
3419
Zwykły
2720
2839
4552
4396
Rodzinny
3160
3289
10 426
10 040
Wieloziarnisty
1640
1081
2164
2089
Suma
12 000
12 506
28 150
27 135
Źródło: opracowanie własne. Z tabeli 5.15 odczytujemy, że podejście tradycyjne powoduje: a) przeszacowanie progu ilościowego, b) niedoszacowanie progu wartościowego. W przypadku analizy progu rentowności utrata szczegółowości z tytułu uśredniania cen sprzedaży oraz jednostkowych marż pokrycia implikuje niedokładne progi rentowności, zaś wykorzystanie macierzy (tabel) eliminuje tę niedogodność. 5.4. Wielkości graniczne jako wyznaczniki progu rentowności Także podejście macierzowe do analizy progu rentowności umożliwia znajdowanie granicznych poziomów cen jednostkowych oraz jednostkowych kosztów zmiennych w ujęciu dwuwymiarowym. Punktem wyjścia odpowiednich formuł obliczeniowych jest tzw. równanie objaśniające próg rentowności, które zapisujemy następująco: (5.60)
gdzie: q ij, cij, kzij, KS – jak we wzorze (5.2). Przeprowadzenie analogicznych rozważań, które dały w efekcie formuły na próg rentowności, prowadzi do wzorów w ujęciu dwuwymiarowym na minimalne ceny jednostkowe oraz na maksymalne koszty zmienne. Z zależności (5.60) można wyprowadzić wzory, które pozwalają na osiągnięcie progu rentowności przy założeniu, że jest ustalona macierz ilościowej sprzedaży oraz macierz jednostkowych kosztów zmiennych lub macierz jednostkowych cen sprzedaży. W efekcie końcowym otrzymujemy następujące macierze: 1) macierz granicznych wartości cen jednostkowych, tj.: (5.61)
gdzie:
przy czym: A – współczynnik tworzenia elementów macierzy granicznych wartości cen jednostkowych – jest wyrażony wzorem:
2) macierz granicznych wartości jednostkowych kosztów zmiennych, tj.: (5.62)
gdzie:
przy czym: B – współczynnik tworzenia elementów macierzy granicznych wartości jednostkowych kosztów zmiennych – jest wyrażony wzorem:
Warto zauważyć, że jeśli: 1) j = 1 – to ze wzorów (5.61) oraz (5.62) wynikają wzory (4.161) i (4.162), 2) i = 1 oraz j = 1 – wówczas ze wzorów (5.61) oraz (5.62) wynikają wzory (2.103) i (2.104). Wzory (5.61–5.62) są podstawą tworzenia dwóch macierzy (tablic), które stanowią punkty odniesienia dla dowolnych projektów scharakteryzowanych za pomocą macierzy cen sprzedaży lub macierzy jednostkowych kosztów zmiennych, co prowadzi bezpośrednio do idei tzw. marginesów bezpieczeństwa. Okazuje sie zatem, że również w ujęciu macierzowym możliwe jest analizowanie marginesów bezpieczeństwa, które przyjmą poniższą postać: 1. Macierz marginesów bezpieczeństwa przedsięwzięcia ze względu na ceny produktów: (5.63)
gdzie: eij – margines bezpieczeństwa produktu ze względu na cenę, wyrażony wzorem:
2. Macierz marginesów bezpieczeństwa przedsięwzięcia ze względu na
2. Macierz marginesów bezpieczeństwa przedsięwzięcia ze względu na jednostkowe koszty zmienne: (5.64)
gdzie: fij – margines bezpieczeństwa produktu ze względu na jednostkowe koszty zmienne, wyrażony wzorem:
Przy podejściu macierzowym możliwe jest także zdefiniowanie tzw. funkcji użyteczności, tak jak to zostało uczynione przy ujęciu wektorowym. Owa funkcja pozwoli wybrać z dwóch wariantów propozycji cenowej (kosztowej) ten korzystniejszy. Możliwa jest również taka rozbudowa formuł obliczeniowych (5.61) i (5.62), która by uwzględniała np. zysk planowany. W tym celu należy w miejsce kosztu stałego wstawić sumę tegoż kosztu i zysku planowanego. Jest to istotne spostrzeżenie, ponieważ głównym zadaniem analizy progu rentowności jest nie tylko dostarczanie informacji do podejmowania decyzji o wielkości i strukturze sprzedaży, lecz także do przewidywania wyników działalności jednostki gospodarczej [Leszczyński, Wnuk-Pel, 2004, s. 133]. Przykład 5.3 Firma handlowa „Jurek & Marek” zajmuje się sprzedażą czterech rodzajów zestawów szkolnych, które są zróżnicowane pod względem akcesoriów, co determinuje ceny tych zestawów. Firma współpracuje z trzema hurtowniami, przy czym stosuje praktykę cen negocjowanych. Poniższe macierze (tablice liczb) przedstawiają ceny jednostkowe, jednostkowe koszty zmienne oraz jednostkowe marże pokrycia w układzie zestaw – odbiorca w danym okresie:
tys. zł,
a na tej podstawie możemy wyznaczyć macierz jednostkowych kosztów zmiennych:
Wiadomo, że w przyszłym roku firma zamierza sprzedać łącznie 152 tys. zestawów szkolnych, co w układzie zestaw – odbiorca przedstawia poniższa macierz (tablica):
1. Znajdujemy macierz granicznych wielkości cen, które gwarantują osiągnięcie progu rentowności. Obliczenia pomocnicze (wykonane zgodnie z regułą „iloczyn po współrzędnych”):
Sumując wszystkie elementy otrzymanych iloczynów, otrzymujemy:
tys. zł,
a stąd mamy:
tys. zł.
A:
Następnie, przyjmując, że KS = 2630 tys. zł, otrzymujemy współczynnik
co oznacza, że wszystkie ceny muszą zostać obniżone o 20%. Znajdujemy macierz granicznych cen jednostkowych:
a następnie macierz granicznych jednostkowych marż pokrycia:
Sprawdzamy, że:
tys. zł,
czyli osiągnięto próg rentowności. 2. Znajdujemy macierz granicznych wartości jednostkowych kosztów zmiennych, które gwarantują osiągnięcie progu rentowności. Jeśli przyjmiemy, że KS = 2644 tys. zł (dla wygody rachunkowej), to współczynnik B obliczamy jako:
co oznacza, że jednostkowe koszty zmienne muszą być podwyższone o 40%. Znajdujemy teraz macierz granicznych wartości jednostkowych kosztów zmiennych:
Wtedy otrzymamy:
a zatem:
tys. zł,
czyli osiągnięto próg rentowności. Wniosek pierwszy. Jeśli co najmniej jedna z cen sprzedaży w układzie tablicowym jest większa od ceny minimalnej, wówczas firma osiąga zysk. Wniosek drugi. Jeśli co najmniej jeden z jednostkowych kosztów zmiennych jest mniejszy od maksymalnego, wówczas firma osiąga zysk. Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak [2009, s. 96 i n.] proponują, by mówić o trzech rodzajach progów rentowności, tj. klasycznym (popytowym), cenowym oraz kosztowym, natomiast Jarosław Mielcarek [2006, s. 93 i n.] wyróżnia cztery rodzaje progów rentowności, czyli: popytu, kosztów stałych, kosztów zmiennych oraz cen. Wydaje się, że ma to swoje uzasadnienie, ponieważ klasyczny popytowy próg rentowności to szukanie minimalnego wolumenu produkcji i sprzedaży, który pokrywa koszty
całkowite, przy założeniu ustalonego poziomu kosztów stałych, cen sprzedaży oraz jednostkowych kosztów zmiennych. Zmiana roli cen sprzedaży czy jednostkowych kosztów zmiennych prowadzi do cenowego i kosztowego progu rentowności. Reasumując, w warunkach gospodarki rynkowej każda firma wystawiona jest nie tylko na niebezpieczeństwo zmiany popytu, lecz także na ryzyko zmiany ceny wyrobu oraz kosztu jego wytworzenia. Konieczność określenia ryzyka wystąpienia straty wiąże się z potrzebą przeprowadzenia analizy wrażliwości progu rentowności, która powinna się opierać na: 1) opracowaniu pesymistycznych i optymistycznych wariantów zmian cen jednostkowych oraz jednostkowych kosztów zmiennych, 2) obliczeniu progu rentowności dla opracowanych, pesymistycznych i optymistycznych wariantów. Tak przeprowadzona dwutorowa analiza progu rentowności pozwoli dokładniej określić, przy jakich zmianach czynników analizowana działalność jest nadal rentowna. 5.5. Próba uogólnienia koncepcji dynamicznej analizy progu rentowności 5.5.1. Dynamiczne podejście do analizy progu rentowności – istota Standardowe podejście do analizy progu rentowności ma charakter statyczny, zakłada bowiem niezmienność trzech podstawowych parametrów, które wyznaczają próg rentowności, tj. cen sprzedaży wyrobów, jednostkowych kosztów zmiennych oraz kosztów stałych. W długim okresie wszystkie te parametry ulegają jednak zmianom, co implikuje dynamiczne podejście do analizy progu rentowności [Nowak, 2003, s. 86–87]. Sławomir Sojak, rozważając sytuację produkcji jednoasortymentowej, proponuje, aby badany przedział czasowy podzielić na podokresy, dzięki czemu analizę będzie można przeprowadzić dwojako [2012, s. 310]: 1) oddzielnie dla każdego podokresu, wówczas próg rentowności dla całego okresu będzie sumą progów cząstkowych, 2) w sposób narastający, wówczas próg rentowności będzie liczony dla coraz dłuższego okresu. Biorąc pod uwagę pierwsze podejście, możemy sformułować poniższe formuły. Zysk operacyjny można wyrazić następującym wzorem: (5.65)
gdzie: t = 1, 2, ..., T – kolejny numer podokresu w badanym okresie: (5.66)
przy czym:
oraz mt = ct – kzt – marża jednostkowa w okresie t. Próg rentowności dla pojedynczego podokresu ustalamy następująco: (5.67)
Próg rentowności dla całego okresu będzie zaś sumą progów z poszczególnych podokresów: (5.68)
Przyjmując, że:
przy czym: (5.69)
otrzymamy ostatecznie: (5.70)
gdzie: (5.71)
to średnia harmoniczna ważona marż jednostkowych. Jeśli klucz podziału kosztów stałych przyjmie postać: (5.72)
to otrzymamy: (5.73)
gdzie:
to średnia arytmetyczna ważona marż jednostkowych, przy czym: (5.74)
Jeśli klucz podziału kosztów stałych ma postać: (5.75)
wówczas: (5.76)
Jeśli przyjmiemy, że: (5.77)
co oznacza, że każdemu podokresowi przydziela się taką samą wielkość kosztów stałych, wówczas otrzymujemy: (5.78)
gdzie: (5.79)
to średnia harmoniczna nieważona marż jednostkowych. Sławomir Sojak modyfikuje swoje wzory na próg rentowności,
Sławomir Sojak modyfikuje swoje wzory na próg rentowności, uwzględniając inflację, ale mankamentem tej koncepcji jest ograniczenie jej stosowania tylko do produkcji jednoasortymentowej [1996, s. 173 i n.]. 5.5.2. Analiza dynamiki zmian odchyleń od progu rentowności Jak słusznie zauważa Sławomir Sojak, analiza progu rentowności dla kilku okresów może także zostać oparta na odchyleniach od progu rentowności [ibidem, s. 310–311]. Wprowadźmy zatem następującą miarę: (5.80)
gdzie: R – odchylenie od progu rentowności w danym okresie, P – planowana sprzedaż produktów (lub usług) w danym okresie, BEP – próg rentowności danego okresu. Koszty stałe przypisane danemu okresowi są rozdzielone na odpowiednie podokresy, co implikuje progi rentowności dla tego okresu. Z każdym podokresem jest związana planowana sprzedaż produktów (lub usług), co w efekcie umożliwia śledzenie odchylenia progu rentowności od planowanej sprzedaży. Odjemna i odjemnik wprowadzonej miary mogą być wyrażone w jednostkach naturalnych lub wartościowo. Wartości dodatnie wskaźnika R („korzyść”) świadczą o przewadze planowanej sprzedaży nad progiem rentowności, zaś ujemne wartości („niekorzyść”) świadczą, że planowana sprzedaż jest poniżej progu rentowności. Przykład 5.4 W firmie „Osa”, produkującej ozdoby świąteczne, kontroluje się realizację założonego budżetu sprzedaży i zysku, analizując bieżące odchylenia od progu rentowności. Tabela 5.16 ilustruje tempo zmian tychże odchyleń w ciągu pewnego półrocza. 5.5.3. Dynamiczna analiza progu rentowności w ujęciu macierzowym Badania ilościowe posiłkują się pojęciem „statystyczna analiza wielowymiarowa”, co oznacza grupę metod statystycznych, za pomocą których „jednoczesnej analizie poddane są pomiary na przynajmniej dwóch zmiennych opisujących każdy obiekt badania” [Walesiak, 2002, s. 11–12]. Jeśli do przedstawionych w pierwszej części rozdziału dwóch wymiarów wprowadzi się dodatkowo „wymiar” czasu, to otrzymuje się tzw. kostkę danych. Dowolna liczba w kostce danych, przyjmująca np. postać q ijt , oznacza ilość i-tego (i = 1, 2, ..., n) asortymentu zakupionego przez j-tego nabywcę (j = 1, 2, ..., p) w okresie t (t = 1, 2, ..., T). Podobnie można powiedzieć o jednostkowej marży pokrycia. Trójwymiarowe ujęcie w postaci kostki danych pozwala stosować następujące schematy badawcze: 1) ujęcie całościowe, w którym wykorzystuje się całą kostkę danych –
1) ujęcie całościowe, w którym wykorzystuje się całą kostkę danych – analizowany jest zbiór n asortymentów w T okresach ze względu na p nabywców; 2) ujęcia cząstkowe – kostka ma trzy wymiary, możliwe jest zatem uzyskanie trzech przekrojów: przekrój asortyment – nabywca, w którym n asortymentów jest analizowanych ze względu na p nabywców w jednym okresie, przekrój asortyment – czas, w którym n asortymentów jest analizowanych w T okresach ze względu na ustalonego nabywcę, przekrój nabywca – czas, w którym ustalony asortyment jest analizowany w T okresach ze względu na p nabywców. Tabela 5.16. Tempo zmian odchylenia od progu rentowności Dane wyjściowe (w tys. zł)
Wskaźnik tempa zmian
Interpretacja
Początek okresu R0 = – 9,0
Zmniejszenie o 50% „niekorzyści”
Podokres I R1 = – 4,5
Oznacza to zbliżenie się do obszaru istnienia marginesu bezpieczeństwa działania
Podokres I R1 = – 4,5
Przejście od „niekorzyści” do „korzyści”, co stanowi 180% zniwelowanej „niekorzyści”
Podokres II R2 = 3,6
Oznacza to przejście do obszaru istnienia marginesu bezpieczeństwa działania
Podokres II R2 = 3,6
Zwiększenie o 100% „korzyści”
Podokres III R3 = 7,2
Oznacza to zwiększenie marginesu bezpieczeństwa działania
Podokres III R3 = 7,2
Zmniejszenie o 20% „korzyści”
Podokres IV R4 = 5,76
Oznacza to zmniejszenie marginesu bezpieczeństwa działania
Podokres IV R4 = 5,76
Przejście od „korzyści” do „niekorzyści”, co stanowi 150% utraconej „korzyści”
Podokres V R5 = – 1,44
Oznacza to opuszczenie obszaru istnienia marginesu bezpieczeństwa działania
Podokres V R5 = – 1,44
Zwiększenie o 20% „niekorzyści”
Koniec okresu R6 = – 1,728
Oznacza to oddalenie się od obszaru istnienia marginesu bezpieczeństwa działania
Źródło: opracowanie własne.
Zapis danych wyjściowych Mamy wyjściowo kostki danych zapisanych w sposób przedstawiony poniżej. 1. Kostka produkcji i sprzedaży w ujęciu ilościowym: (5.81)
2. Kostka jednostkowych marż pokrycia: (5.82)
3. Kostka jednostkowych cen sprzedaży: (5.83)
4. Kostka jednostkowych kosztów zmiennych: (5.84)
Ponadto między macierzami zachodzi następująca relacja: (5.85)
Każda kostka informacji składa się z warstw będących macierzami. Uogólnienie tzw. iloczynu Hadamarda: (5.86)
gdzie:
czyli jest to iloczyn po współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni. Dalsze uogólnienie progu rentowności wiąże się ze wspomnianą kostką danych.Punktem wyjścia wielowymiarowej analizy progu rentowności jest poniższa równość: (5.87)
gdzie: KS – koszty stałe danego okresu, – ilość sprzedanego i-tego asortymentu (rodzaju) wyrobów j-temu nabywcy w okresie t, niezbędna do osiągnięcia progu rentowności, – jednostkowa marża uzyskana na i-tym asortymencie kupionym przez j-tego nabywcę w okresie t, przy czym:
zaś: – jednostkowa cena sprzedaży i-tego asortymentu w okresie t, wynegocjowana przez j-tego nabywcę, – jednostkowy koszt zmienny i-tego asortymentu w okresie t, związany z j-tym nabywcą. Następnie dokonujemy dekompozycji wzoru względem czasu, co jest tożsame z przekrojami kostki równolegle do płaszczyzny popyt – podaż. Punktem wyjścia będzie relacja: (5.88)
Dla poszczególnych podokresów (t = 1, 2, ..., T) znajdujemy statyczne progi rentowności w ujęciu macierzowym, zaś łącznie otrzymujemy dynamiczną analizę progu rentowności: (5.89)
gdzie:
Otrzymujemy progi rentowności w ujęciu macierzowym, a stąd ostatecznie: (5.90)
Zakładając, że otrzymujemy szereg czasowy (trend) ilościowych progów rentowności. Zauważmy, że dla i = 1, j = 1 mamy przypadek produkcji jednoasortymentowej i tylko jednego nabywcę. Reasumując, tak zaawansowana analiza progu rentowności wymaga szczegółowych informacji, a także zaprzęgnięcia komputerów do przeprowadzania szybkich obliczeń. Można przyjąć, że „charakterystykami” progu rentowności są odpowiednie formuły obliczeniowe. Stąd da się wywieść podstawowe atrybuty progu rentowności, które przyjmą poniższą postać. Teza pierwsza (o bezwładności progu rentowności) Jeśli zachodzą zmiany ilościowe macierzy (wektora) sprzedaży, tj.: a)
dla wszystkich i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p, (5.91)
b) dla wszystkich, przy czym i = 1, 2, ..., n, α > 0, (5.92) to progi rentowności w ujęciu ilościowym oraz wartościowym nie ulegną zmianie. Jak widać, twierdzenie to opisuje niezmienność progu rentowności względem zmian ilościowych produkcji (sprzedaży). Stąd wypływa wniosek, że zmiana progu rentowności jest powiązana ze zmianą struktury macierzy (wektora) sprzedaży, a zatem próg rentowności należy utożsamiać ze strukturą macierzy (wektora) sprzedaży. Warunkiem koniecznym zmiany progu rentowności jest zmiana struktury sprzedaży, ale nie jest to warunek dostateczny. W świetle podstawowego twierdzenia rachunku progu rentowności dla ustalonego poziomu progu rentowności można wskazać wiele różnych struktur wektora sprzedaży, a to samo należy odnieść do macierzy sprzedaży. Jeśli weźmiemy pod uwagę zmiany ilościowe macierzy (wektora) jednostkowych marż pokrycia, to zmiany poziomu progu rentowności wyraża kolejna teza. Teza druga (o zależności odwrotnie proporcjonalnej) Jeśli zachodzą zmiany ilościowe macierzy (wektorów) jednostkowych marż pokrycia, tzn. dla wszystkich: a)
dla wszystkich i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p, (5.93)
b) dla wszystkich, przy czym i = 1, 2, ..., n, α > 0, (5.94) wówczas ulegają zmianie zarówno ilościowy próg rentowności, jak i wartościowy, według wzorów: (5.95)
oraz: (5.96)
Podkreślić należy, że tylko wykorzystanie odpowiednio przygotowanych programów komputerowych umożliwia zastosowanie przedstawionej koncepcji dynamicznej analizy progu rentowności z wykorzystaniem rachunku macierzowego. Podejście to daje możliwość przeprowadzenia wielowymiarowej analizy typu „co by było, gdyby”, co jest wygodnym narzędziem w procesie planowania. Teza trzecia (o istnieniu nieskończenie wielu struktur) Zagregowany próg rentowności, oparty na rachunku wektorowym (macierzowym), umożliwia znajdowanie różnych struktur sprzedaży dla ustalonego poziomu progu rentowności. Teza czwarta (o istocie progu rentowności) Jeżeli przyjmiemy, że zysk operacyjny EBIT jest funkcją trzech zmiennych objaśniających, czyli: (5.97)
przy czym: q, p i kz są skalarami (wektorami, macierzami), to możemy określić trzy rodzaje progów rentowności, które są rozwiązaniem odpowiednich układów: 1) klasyczny (popytowy) próg rentowności: (5.98)
Współczynnik tworzenia rentowności ma postać:
wektora
(macierzy)
popytowego
progu
(5.99)
gdzie: KS – koszty stałe, M – globalna marża pokrycia, natomiast: (5.100)
to klasyczny (popytowy) próg rentowności, związany z minimalnym wolumenem sprzedaży. 2) cenowy próg rentowności:
(5.101)
Współczynnik tworzenia rentowności ma postać:
wektora
(macierzy)
cenowego
progu
(5.102)
gdzie: KC – koszty całkowite, PS – przychód ze sprzedaży, natomiast: (5.103)
to cenowy próg rentowności związany z krańcowym (minimalnym) poziomem cen jednostkowych. 3) kosztowy próg rentowności: (5.104)
Współczynnik tworzenia rentowności ma postać:
wektora
(macierzy)
kosztowego
progu
(5.105)
gdzie: KS, PS – jak wyżej, KZ – koszty zmienne, natomiast: (5.106)
to kosztowy próg rentowności związany z krańcowym (maksymalnym) poziomem jednostkowych kosztów zmiennych. Powyższe formuły obejmują także przypadek produkcji jednoasortymentowej, kiedy to przyjmujemy:
Dodać należy, że jeżeli q = const., p = const., kz = const., to ustalone wielkości wolumenu, cen jednostkowych oraz jednostkowych kosztów zmiennych są traktowane jako skalary, wektory lub macierze, w zależności
od tego, czy ma się do czynienia z produkcją jedno- czy wieloasortymentową. Reasumując, ostatnią z tez można nazwać centralnym twierdzeniem rachunku progów rentowności. Ponadto zauważyć należy, że z matematycznego punktu widzenia istota znajdowania progu rentowności w ujęciu wektorowym (macierzowym) związana jest ściśle z pojęciem podobieństwa, przy czym tzw. współczynniki tworzenia stanowią skalę podobieństwa.
Zakończenie
Analiza progu rentowności jest historycznie związana z rachunkiem kosztów zmiennych, a jej początki sięgają czasów Rewolucji Przemysłowej[1]. Znaczenie progów rentowności doceniono w Anglii i w Stanach Zjednoczonych już w latach 1903–1904, lecz przez długi czas ich analiza nie cieszyła się wielkim uznaniem, uważano bowiem, że przyjmowane założenia wypaczają istotę zagadnienia [Piosik, 2006, s. 179]. Obecnie analiza progu rentowności, dzięki możliwości korzystania z programów komputerowych i rozwojowi teorii, staje się wartościowym narzędziem rachunkowości zarządczej. Trzeba jednak zdawać sobie sprawę, że analiza progu rentowności jest przydatna przede wszystkim w zarządzaniu krótkookresowym i jako taka – zdaniem Przemysława Kabalskiego – zajmuje tylko pewną część „skrzynki narzędziowej” współczesnego specjalisty w zakresie rachunkowości zarządczej [2014, s. 359]. Z drugiej jednak strony, zważywszy, że analiza CVP może być przeprowadzona w połączeniu z rachunkiem kosztów działań (ABC), a także w kontekście innych jej atrybutów, analiza progu rentowności jest bardzo przydatnym narzędziem zarządzania krótkookresowego. Klasyczna analiza progu rentowności jest powszechnie znana i szeroko stosowana. W praktyce gospodarczej należy jednak uwzględniać jej różne modyfikacje, trudno bowiem utrzymać jej upraszczające założenia. W literaturze przedmiotu podaje się różne kierunki rozszerzenia podstawowego modelu [Nita, 2008, s. 163–164]. Poniżej zostaną wymienione te kierunki rozszerzenia analizy, które nie zostały ujęte w tej pracy. 1. W tradycyjnej analizie progu rentowności zakłada się, że wszystkie parametry modelu są znane, można ją zatem przeprowadzić w warunkach pewności. Istnieje jednak możliwość uwzględnienia niepewności co do kształtowania się parametrów występujących w modelu, a zwłaszcza wielkości sprzedaży. W tym przypadku postuluje się modelowanie probabilistyczne [Nowak, 2010, s. 273–277]. 2. Analiza CVP może być również przeprowadzona w rachunku wielookresowym, a to oznacza oparcie jej na koncepcji IRR, a nie na księgowej stopie zwrotu. W tej sytuacji zamiast zysku księgowego bierze się pod uwagę wpływy gotówkowe oraz tempo pomnażania kapitału [Dobija, 2001, s. 180–183; Pluta, 1999, s. 29–34].
3. Celem analizy progu rentowności może być ocena efektywności portfela inwestycyjnego oraz struktury kosztów, które pozwolą inwestorom osiągnąć zyski [Zasępa, 2013, s. 347–355]. 4. W analizie progu rentowności możliwe jest również wykorzystanie liczb przedziałowych i rozmytych, co ułatwia uwzględnienie nieprecyzyjności w modelu będącym podstawą tej analizy [Kuchta, 2001, s. 86–102]. Na temat progu rentowności w innym środowisku niż rachunek kosztów zmiennych, czyli w warunkach rachunku kosztów działań, piszą m.in. Andrzej Piosik [2000, s. 62–80; 2004, s. 169–187], Sławomir Sojak [2012a, s. 2–22] oraz Jarosław Mielcarek [2005b, s. 183 i n.]. Jak pisze Irena Sobańska: „Próg rentowności projektu (przy założonych cenach i rozmiarach produktu w fazie wytwarzania) wyraża przedział czasu od momentu rozpoczęcia projektu do momentu jego wejścia w strefę zysku. Próg rentowności wyrażany w jednostkach czasu (np. w miesiącach) znany jest pod nazwą Break Even Time” [2010, s. 212]. Na gruncie rachunkowości rację bytu ma tzw. wielostopniowy i wieloblokowy rachunek kosztów. Zdaniem Sławomira Sojaka obiektami kosztowymi w tego typu rachunku kosztów mogą być m.in. rodzaje produktów, grupy asortymentów produktów, zakłady lub wydziały produkcyjne. Można zatem mówić o progach rentowności na poziomie: wytwarzanych produktów, asortymentu, linii asortymentowych itp. W ostatnich latach w Polsce można zauważyć trzy główne nurty badawcze związane z analizą progu rentowności w warunkach produkcji wieloasortymentowej. Są one przedstawione w publikacjach takich autorów, jak: 1) Anna Ćwiąkała-Małys i Wioletta Nowak, 2) Jarosław Mielcarek, 3) Adam Żwirbla. Autorzy ci swoje rozważania opierają na solidnym aparacie matematycznym, proponując często nowe koncepcje metodyczne. Przykładem tego jest choćby wykorzystanie rachunku macierzowego w analizie progu rentowności, dzięki czemu można uwzględniać zróżnicowanie cen tego samego asortymentu (rodzaju) wyrobu, związane z występowaniem tzw. cen negocjowanych. Jak słusznie podkreśla Hilmar J. Vollumuth, im więcej uwagi menedżerowie firmy zechcą poświęcić formułom break-even, tym lepsze będą efekty poszczególnych decyzji, ponieważ zastosowanie analizy progu rentowności do poszczególnych dziedzin działalności przedsiębiorstwa pozwala na wykrycie ich słabych oraz mocnych stron [Vollumuth, 2003, s. 67]. Trzeba również podkreślić, że analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej jest zagadnieniem dość trudnym, przeto niezbyt
chętnie podejmowanym przez rachunkowców. Przeprowadzona kwerenda kilkunastu publikacji obcojęzycznych wskazuje, że problematykę progu rentowności zachodni autorzy najczęściej sprowadzają do przypadku produkcji jednorodnej, zaś zagadnienie tegoż progu w warunkach produkcji złożonej jest traktowane powierzchownie, co przypomina podejście polskich ekonomistów. Dynamizm współczesnych przemian w gospodarce globalnej wymusza konieczność stosowania podejścia strategicznego, ponieważ jego brak poszerza na ogół obszary niepewności. W związku z tym niezbędne staje się wdrażanie na gruncie zarządzania przedsiębiorstwami tzw. systemów wczesnego ostrzegania, które dla firm byłyby niczym latarnia morska, oświetlająca wędrowcowi drogę w ciemnościach. Zdaniem Haliny Buk: „Zadaniem systemów wczesnego ostrzegania jest ujawnienie pogarszającej się sytuacji ekonomiczno-finansowej jednostki gospodarczej, wychwycenie elementów wskazujących na zagrożenie upadłością” [2006, s. 395]. W kontekście powyższych stwierdzeń autor tej publikacji uważa, że zarówno analiza progu rentowności, jak i analityczne ujęcie siły dochodowej przedsiębiorstwa mogą stanowić wartościowe sygnalizatory systemu wczesnego ostrzegania.
Bibliografia
Ackoff R.L. [1969], Decyzje optymalne w badaniach stosowanych, PWN, Warszawa. Aczel A.D. [2000], Statystyka w zarządzaniu, WN PWN, Warszawa. Adams A., Bloomfield D., Booth P. [1993], Investment Mathematics and Statistics, Kluwer Law International, London – The Hague – Boston. Bednarski L. [1999], Analiza finansowa w przedsiębiorstwie, PWE, Warszawa. Berent T. [2013], Ogólna teoria dźwigni finansowej, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej w Warszawie, Warszawa. Bień W. [2000], Zarządzanie finansami przedsiębiorstwa, Difin, Warszawa. Borkowski B. [2003], Funkcja produkcji, [w:] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczęsny, Ekonometria. Wybrane problemy, WN PWN, Warszawa. Buk H. [2006], Nowoczesne zarządzanie finansami. Planowanie i kontrola, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Burzym E. [1984], Analiza finansowa w przedsiębiorstwie przemysłowym, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków. Ciang A.C. [1994], Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa. Czajor P. [2010], Decyzje w warunkach ryzyka i niepewności, [w:] I. Sobańska (red.), Rachunkowość zarządcza. Podejście operacyjne i strategiczne, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Czekaj J., Dresler Z. [1999], Zarządzanie finansami przedsiębiorstw. Podstawy teorii, WN PWN, Warszawa. Czerwiński Z. [2002], Moje zmagania z ekonomią, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań. Ćwiąkała-Małys A., Nowak W. [2005], Zarys metodologiczny analizy finansowej, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław. Ćwiąkała-Małys A., Nowak W. [2009], Wybrane metody pomiaru efektywności podmiotu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław. Deakin E.B., Maher M.W. [1987], Cost Accounting, wyd. 2, Irwin, Hemewood, Illionois. Dębski W. [2005], Teoretyczne i praktyczne aspekty zarządzania finansami przedsiębiorstwa, WN PWN, Warszawa.
Dobija M. [2001], Rachunkowość zarządcza i controlling, WN PWN, Warszawa. Dominiak G.F., Louderback III J.G. [1985], Managerial Accounting, Kent Publishing Company, Boston Massachusetts. Drury C. [1998], Rachunek kosztów, WN PWN, Warszawa. Drury C. [2000], Management and Cost Accounting, wyd. 3, Thomson Learning, London. Drury C. [2004], Management and Cost Accounting, wyd. 6, Thomson Learning, London. Dudycz T. [2000], Analiza finansowa, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O. Langego we Wrocławiu, Wrocław. Dudycz T. [2011], Analiza finansowa jako narzędzie zarządzania finansami przedsiębiorstwa, Wydawnictwo Indygo Zahir Media, Wrocław. Duraj A.N. [2006], Ryzyko projektów gospodarczych, [w:] J. Duraj (red.), Metody oceny projektów gospodarczych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź. Duraj J. [2006], Podstawy ekonomiki przedsiębiorstwa, PWE, Warszawa. Eichler P. [2004], Jak przeprowadzać analizę progu rentowności przedsiębiorstwa dla produkcji wieloasortymentowej, „Controlling i Rachunkowość Zarządcza”, nr 12. Fiszel H. [1980], Teoria gospodarowania, PWN, Warszawa. French D. [1985], Dictionary of Accountants Terms, The Institute of Chartered Accountants in England and Wales, London. Gabrusewicz W. [2001], Wprowadzenie do rachunkowości zarządczej, [w:] W. Gabrusewicz, A. Kamela-Sowińska, H. Poetschke, Rachunkowość zarządcza, PWE, Warszawa. Gabrusewicz W. [2005], Podstawy analizy finansowej, PWE, Warszawa. Gabrusewicz W. [2006a], Analiza progu rentowności, [w:] K. Czubakowska, W. Gabrusewicz, E. Nowak, Podstawy rachunkowości zarządczej, PWE, Warszawa. Gabrusewicz W. [2006b], Koszty jako element procesu decyzyjnego, [w:] K. Czubakowska, W. Gabrusewicz, E. Nowak, Podstawy rachunkowości zarządczej, PWE, Warszawa. Garrison R.H., Noreen E.W. [2000, 2004], Managerial Accounting, wyd. 9, McGraw-Hill Irwin, Boston. Garrison R.H., Noreen E.W., Brewer P.C. [2004], Managerial Accounting, wyd. 11, McGraw-Hill Irwin, Boston. Gazińska M. [2001], Diagnostic Function of Valuable Break Even Point, „Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Folia Oeconomica Stetiensia”, nr 8. Gąsiorkiewicz L. [2002], Analiza ekonomiczno-finansowa przedsiębiorstw, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.
Giedroyć M. [2006], Metodyka analizy progu rentowności w systemie informacji planistycznej (SIP), [w:] A. Karmańska (red.), Rachunkowość zarządcza i rachunek kosztów w systemie informacyjnym przedsiębiorstwa, Difin, Warszawa. Glautier M., Underdown B. [1991], Accounting Theory and Practice, Pitman Publishing, London. Glynn J.J., Perrin J., Murphy M.P. [2003], Rachunkowość dla menedżerów, WN PWN, Warszawa. Goldberger A.S. [1975], Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa. Gos W. [2000], Analiza zależności: produkcja – koszty – zysk, [w:] T. Kiziukiewicz (red.), Rachunkowość zarządcza, wyd. 3 zmienione i rozszerzone, Ekspert, Wrocław. Gos W. [2003], Rachunek kosztów zmiennych, [w:] T. Kiziukiewicz (red.), Zarządcze aspekty rachunkowości, PWE, Warszawa. Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O. [2002], Matematyka konkretna, WN PWN, Warszawa. Habela D., Polaczek R. [2001], Podstawy rachunkowości zarządczej w przedsiębiorstwie, Wyższa Szkoła Komunikacji i Zarządzania, Poznań. Helfert E.A. [2004], Techniki analizy finansowej, PWE, Warszawa. Horngren C.T., Datar S.M., Foster G. [2000], Cost Accounting. A Managerial Emphasis, Prentice Hall, Upper Sadle Rover, New Jersey. Hozer J. [1993], Mikroekonomia. Analiza, diagnozy, prognozy, PWE, Warszawa. Jachna T. [2007], Ocena opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych, [w:] M. Sierpińska, T. Jachna, Metody podejmowania decyzji finansowych. Analiza przykładów i przypadków, WN PWN, Warszawa. Jakubczyc J. [2008], Metody oceny projektu gospodarczego. Podręcznik akademicki, WN PWN, Warszawa. Jaruga A.A. [2001], Koszty i efekty – zarys koncepcyjny, [w:] A.A. Jaruga, W.A. Nowak, A. Szychta, Rachunkowość zarządcza. Koncepcje i zastosowania, wyd. 2, Społeczna Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Zarządzania w Łodzi, Łódź. Jaruga A.A. [2010], Koncepcje kosztów i efektów, [w:] A. Jaruga, P. Kabalski, A. Szychta, Rachunkowość zarządcza, Wolters Kluwer, Warszawa. Jarugowa A. [1986], Rachunek kosztów w zarządzaniu przedsiębiorstwem, PWE, Warszawa. Jarugowa A., Malc W., Sawicki K. [1990], Rachunek kosztów, wyd. 3 zmienione i poprawione, PWE, Warszawa. Johnson G., Scholes K. [1999], Exploring Corporate Strategy, Prentice-Hall Europe, London. Jozsi C. [1983], Study guide. Accounting principles, McGraw-Hill Book Company, New York.
Kabalski P. [2014], Analiza relacji „koszty – wielkość sprzedaży – wynik”, [w:] A.A. Jaruga, P. Kabalski, A. Szychta, Rachunkowość zarządcza, wyd. 2 rozszerzone i zaktualizowane, Oficyna Wolters Kluwer Business, Warszawa. Kanas S. [2011], Podstawy ekonomii matematycznej, WN PWN, Warszawa. Kartezjusz R. [1952], Rozprawa o metodzie, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa. Kerth A., Wolf J. [1986], Bilanzanalyse und Bilanzpolitik, Cal Hanser Verlag Munchen, Wien. Kes Z. [2002], Kontrola budżetowa kosztów, [w:] E. Nowak (red.), Budżetowanie kosztów przedsiębiorstwa, ODDK, Gdańsk. Klimczak K.M. [2009], Decentralizacja i kontrola, [w:] D. Dobija, M. Kucharczyk (red.), Rachunkowość zarządcza. Teoria. Praktyka. Aspekty behawioralne, Wydawnictwa Akademickie i Profesjonalne, Warszawa. Kolonko J. [1980], Analiza dyskryminacyjna i jej zastosowanie w ekonomii, WN PWN, Warszawa. Kolupa M. [1976], Elementarny wykład algebry liniowej dla ekonomistów, PWN, Warszawa. Korenik D., Korenik S. [2004], Podstawy finansów, WN PWN, Warszawa. Korn G.A., Korn T.M. [1983], Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 1, PWN, Warszawa. Kotaś R., Sojak S. [1999], Rachunkowość zarządcza w hotelarstwie i gastronomii, WN PWN, Warszawa. Kowalczyk J. [2006], Wykorzystanie progu rentowności, [w:] J. Kowalczyk, A. Kusak, Decyzje finansowe firmy. Metody analizy, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Kowalski A. [2004], Analiza progu rentowności jako element zarządzania przedsiębiorstwem, „Biuletyn Księgowego”, nr 11. Krokosz-Krynke Z. [2007], Symulacja w rachunkowości zarządczej – przykład modelowania progu rentowności, „Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej”, Wrocław. Kucharczyk M. [2014], Analiza koszt – wolumen – zysk, [w:] D. Dobija, M. Kucharczyk, Rachunkowość zarządcza. Analiza i interpretacja, Oficyna Wolters Kluwer, Warszawa. Kuchta D. [2001], Miękka matematyka w zarządzaniu, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław. Kusak A. [2003], Ustalanie i stosowanie progu rentowności w przedsiębiorstwie, „Serwis Finansowo-Księgowy”, nr 51. Leszczyński Z., Wnuk-Pel T. [2004], Controlling w praktyce, ODDK, Gdańsk. Machała R. [2001], Praktyczne zarządzanie finansami firmy, WN PWN, Warszawa.
Malc W. [1979], Koszty jednostek samodzielnie bilansujących, [w:] A. Jarugowa, W. Malc, K. Sawicki, Rachunek kosztów, PWE, Warszawa. Mała encyklopedia ekonomiczna [1974], PWE, Warszawa. Mała encyklopedia statystyki [1976], PWE, Warszawa. Marcinkowska M. [2007], Ocena działalności instytucji finansowych, Difin, Warszawa. Michalski G. [2004], Leksykon zarządzania finansami, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Micherda B. [1982], Zmienność kosztów a zasady ich rachunku, „Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie”, nr 164, Kraków. Micherda B. [2001], Analityczna funkcja rachunkowości, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków. Micherda B. [2007], Rachunek kosztów i wyników, Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Mielcarek J. [2005a], Podstawy teoretyczne koncepcji CVP (koszt – wolumen – zysk), Wydawnictwo I-BiS s.c., Wrocław. Mielcarek J. [2005b], Teoretyczne podstawy rachunku kosztów i zasobów – koncepcji ABC i ABM, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań. Mielcarek J. [2006], Analiza wrażliwości w rachunkowości zarządczej, Wydawnictwo Target, Poznań. Moszner Z. [1974], O teorii relacji, WSiP, Warszawa. Nahotko S. [1998], Analiza i decyzje finansowe w przedsiębiorstwie, TNOiK, Bydgoszcz. Narkiewicz J. [2000], Analiza kosztów działalności przedsiębiorstwa, [w:] Cz. Skowronek (red.), Analiza ekonomiczno-finansowa. Zbiór przykładów i zadań, Wydawnictwo UMCS, Lublin. Narkiewicz J. [2002], Analiza kosztów działalności przedsiębiorstwa, [w:] W. Ciseł, J. Narkiewicz, Analiza ekonomiczno-finansowa przedsiębiorstwa, Wyższa Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu, Zamość. Niedbała B. [2006], Dostosowanie wybranych narzędzi controllingu do potrzeb zarządzania projektami, [w:] M. Sierpińska (red.), Controlling w zarządzaniu przedsiębiorstwem, Warszawa. Niemczyk R. [2006], Rachunkowość małych i średnich przedsiębiorstw, Oficyna Wydawnicza „UNIMEX”, Wrocław. Nita B. [2007a], Budżetowanie operacyjne, [w:] E. Nowak, B. Nita, Budżetowanie w przedsiębiorstwie, Wolters Kluwer, Kraków. Nita B. [2007b], Metody wyceny i kształtowania wartości przedsiębiorstwa, PWE, Warszawa. Nita B. [2008], Rachunkowość w zarządzaniu strategicznym przedsiębiorstwem, Oficyna Wolters Kluwer, Warszawa. Nowa encyklopedia powszechna, t. 2, PWN, Warszawa 1985.
Nowak E. [1992], Relacja koszty – produkcja – zysk w warunkach decyzyjnych, „Badania Operacyjne i Decyzje”, nr 2. Nowak E. [1993a], Analiza progu rentowności, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O. Langego we Wrocławiu, Wrocław. Nowak E. [1993b], Teoretyczne i praktyczne problemy modelowania relacji koszty – produkcja – zysk, „Badania Operacyjne i Decyzje”, nr 1. Nowak E. [1994], Decyzyjne rachunki kosztów, WN PWN, Warszawa. Nowak E. [1996], Teoria kosztów w zarządzaniu przedsiębiorstwem, WN PWN, Warszawa. Nowak E. [2001], Rachunkowość zarządcza, Wydawnictwo Profesjonalnej Szkoły Biznesu, Kraków. Nowak E. [2003], Zaawansowana rachunkowość zarządcza, PWE, Warszawa. Nowak E. [2004], Rachunek kosztów zmiennych, [w:] E. Nowak, R. Piechota, M. Wierzbiński, Rachunek kosztów w zarządzaniu przedsiębiorstwem, PWE, Warszawa. Nowak E. [2005a], Rachunek kosztów przedsiębiorstwa, Ekspert, Wydawnictwo i Doradztwo, Wrocław. Nowak E. [2005b], Rachunkowość zarządcza, [w:] T. Cebrowska (red.), Rachunkowość finansowa i podatkowa, WN PWN, Warszawa. Nowak E. [2006], Istota i rodzaje modeli kosztów, [w:] K. Czubakowska, W. Gabrusewicz, E. Nowak, Podstawy rachunkowości zarządczej, PWE, Warszawa. Nowak E. [2012], Rachunkowość zarządcza w przedsiębiorstwie, CeDeWu, Warszawa. Nowak E. (red.) [1996], Leksykon rachunkowości, WN PWN, Warszawa. Nowak W.A. [2001], Zysk a koszty i wolumen produktu, czyli analiza relacji Koszt – Wolumen – Zysk i jej wykorzystanie w procesach decyzyjnych, [w:] A. Jaruga, W. Nowak, A. Szychta, Rachunkowość zarządcza. Koncepcje i zastosowania, wyd. 2, Społeczna Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Zarządzania w Łodzi, Łódź. Olzacka B., Pałczyńska-Gościniak R. [1998], Leksykon zarządzania finansami, ODDK, Gdańsk. Ostaszewski J., Cicirko T. [2005], Finanse spółki akcyjnej, Difin, Warszawa. Ostoja-Ostaszewski A. [1996], Matematyka w ekonomii. Modele i metody, t. 1, WN PWN, Warszawa. Ostrowska E. [2002], Ryzyko projektów inwestycyjnych, PWE, Warszawa. Pałczyńska-Gościniak R. [2001], Dylematy analizy finansowej w ocenie zasadności kontynuacji działalności przedsiębiorstwa, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 3(59), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Panek E. [2000], Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań.
Parker R.H. [1969], Management Accounting: an Historical Perspective, Macmillan and Co Ltd., London. Paszula M. [2006], Rachunek rzeczywistych kosztów wytwarzania w Systemie Informacji Ewidencji Dokonań (SIED) przedsiębiorstwa w świetle potrzeb Systemu Sprawozdawczości Finansowej (SSF), [w:] A. Karmańska (red.), Rachunkowość zarządcza i rachunek kosztów w systemie informacyjnym przedsiębiorstwa, Difin, Warszawa. Pawłowski Z. [1963], Uogólniona miara elastyczności popytu, „Przegląd Statystyczny”, nr 2. Pawłowski Z. [1981], Elementy ekonometrii. Podręcznik, PWN, Warszawa. Piechota R. [2002], Budżetowanie kosztów pośrednich, [w:] E. Nowak (red.), Budżetowanie kosztów przedsiębiorstwa, ODDK, Gdańsk. Pielaszek M. [2010], Rachunek kosztów zmiennych i jego wykorzystanie przy podejmowaniu decyzji i ocenie efektywności, [w:] G.K. Świderska (red.), Controlling kosztów i rachunkowość zarządcza, Difin, Warszawa. Piosik A. [2000], Podstawowa i rozszerzona analiza C-V-P w warunkach rachunku kosztów działań (a propos budżetowania), „Zeszyty Teoretyczne Rady Naukowej”, t. 55, Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Piosik A. [2004], Próg rentowności projektu w warunkach rachunku kosztów działań, [w:] Rachunkowość a controlling, „Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, nr 1034, Wrocław. Piosik A. [2006], Zasady rachunkowości zarządczej, WN PWN, Warszawa. Piszczała J. [1996], Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań. Pluta W. [1997], Wykorzystanie analizy wrażliwości do planowania finansowego, „Rachunkowość”, nr 6. Pluta W. [1999], Planowanie finansowe w przedsiębiorstwie, PWE, Warszawa. Pomykalska B. [2007], Wykorzystanie dźwigni w planowaniu zysku i ocenie ryzyka, [w:] B. Pomykalska, P. Pomykalski, Analiza finansowa przedsiębiorstwa, WN PWN, Warszawa. Rao R. [1987], Financial Management. Concepts and Applications, Macmillan Publishing Co., New York. Rasiowa H. [1969], Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa. Ross S.A., Westerfield R.W., Jordan B.D. [1999], Finanse przedsiębiorstw, Dom Wydawniczy ABC, Warszawa. Rutkowski A. [2003], Zarządzanie finansami, PWE, Warszawa. Samuelson W.F., Marks S.G. [1998], Ekonomia menedżerska, PWE, Warszawa. Sasin W. [1999], Poradnik ekonomiczny szefa firmy, Framax, Skierniewice. Sawicki K. [2000], Analiza kosztów firmy, PWE, Warszawa.
Shim J.K., Siegel J.G. [2000], Modern Cost Management & Analysis, Barron’s Educational Series, Hauppauge. Siedlecka U. [1999], Metody analizy korelacji i regresji, [w:] S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O. Langego we Wrocławiu, Wrocław. Siedlecki J. [2000], Równowaga a wzrost gospodarczy, WN PWN, Warszawa – Wrocław. Siegel J.G., Shim J.K., Hartman S.W. [1999], Przewodnik po finansach, WN PWN, Warszawa. Sierpińska M. [2002], Zarządzanie środkami pieniężnymi w przedsiębiorstwie, [w:] M. Sierpińska, D. Wędzki, Zarządzanie płynnością finansową w przedsiębiorstwie, WN PWN, Warszawa. Sierpińska M., Jachna T. [2004], Ocena przedsiębiorstwa według standardów światowych, WN PWN, Warszawa. Siwoń B. [1992], Jak liczy menedżer?, PWN, Warszawa. Skowronek-Mielcarek A. [2007], Ocena przedsiębiorstwa przez pryzmat sprawozdawczości, [w:] A. Skowronek-Mielczarek, Z. Leszczyński, Controlling. analiza i monitoring w zarządzaniu przedsiębiorstwem, Difin, Warszawa. Skowronek-Mielczarek A., Leszczyński Z. [2008], Analiza działalności i rozwoju przedsiębiorstwa, PWE, Warszawa. Słownik wyrazów obcych [1963], Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa. Sobańska I. [2003], Systemy rachunku kosztów i wyników, [w:] I. Sobańska (red.), Rachunek kosztów i rachunkowość zarządcza, Wydawnictwo C.H Beck, Warszawa. Sobańska I. [2010], Analiza rentowności, [w:] I. Sobańska (red.), Rachunkowość zarządcza. Podejście operacyjne i strategiczne, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Sobczyk M. [1998], Statystyka. Podstawy teoretyczne, przykłady – zadania, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin. Sobolewski H. [2007], Analiza progu rentowności i wspomagania operacyjnego, [w:] M. Hamrol (red.), Analiza finansowa przedsiębiorstwa. Ujęcie sytuacyjne, wyd. 3 zmienione, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań. Sojak S. [1996], Rachunkowość w warunkach inflacji, TNOiK, Toruń. Sojak S. [1999], Rachunkowość zarządcza w warunkach inflacji, TNOiK, Toruń. Sojak S. [2003], Rachunkowość zarządcza, TNOiK, Toruń. Sojak S. [2012a], Analiza progu rentowności, „Rachunkowość”, z. 10. Sojak S. [2012b, 2015], Rachunkowość zarządcza i rachunek kosztów, t. 1, TNOiK, Toruń.
Sołtys D. [2003a], Krótkookresowe rachunki decyzyjne, [w:] D. Sołtys (red.), Rachunkowość zarządcza przedsiębiorstw. Rachunek kosztów, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O. Langego we Wrocławiu, Wrocław. Sołtys D. [2003b], Podstawy modelowe rachunku kosztów, [w:] D. Sołtys (red.), Rachunkowość zarządcza przedsiębiorstw. Rachunek kosztów, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O. Langego we Wrocławiu, Wrocław. Szczepaniak J. [1992], Ocena przedsiębiorstwa na podstawie sprawozdań finansowych, Biblioteka Biznesu Ekorno, Łódź. Szczepankowski P.J. [1999], Finanse przedsiębiorstwa. Teoria i praktyka, t. 1, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Przedsiębiorczości i Zarządzania im. Leona Koźmińskiego, Warszawa. Szczęsny W. [2003], Finanse firmy. Jak zarządzać kapitałem, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Szczypa P. [2007], Rachunkowość zarządcza. Klucz do sukcesu, CeDeWu, Warszawa. Szychta A. [2001], Budżetowanie i analiza odchyleń przy rachunku kosztów standardowych, [w:] A.A. Jaruga, W.A. Nowak, A. Szychta, Rachunkowość zarządcza. Koncepcje i zastosowania, wyd. 2, Społeczna Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Zarządzania w Łodzi, Łódź. Świderska G.K., Pielaszek M. [2010], Rachunek kosztów zmiennych i jego wykorzystanie przy podejmowaniu decyzji i ocenie efektywności, [w:] G.K. Świderska (red.), Controlling kosztów i rachunkowość zarządcza, Difin, Warszawa. Świetlik W. [1999], Analiza ekonomiczna przedsiębiorstwa, Wyższa Szkoła Ekonomiczna w Warszawie, Warszawa. Świetlik W. [2005], Analiza działalności gospodarczej przedsiębiorstwa, Wyższa Szkoła Ekonomiczna w Warszawie, Warszawa. Tuczko J. [2001], Zrozumieć finanse, Difin, Warszawa. Tyran M.R. [2000], Wskaźniki finansowe, Dom Wydawniczy ABC, Kraków. Urbanek P. [2000], Rachunek kosztów jako wyodrębniony system rachunkowości zarządczej, [w:] E. Walińska, P. Urbanek, Rachunkowość zarządcza. Wybrane zagadnienia, testy i zadania, Fundacja Rozwoju Rachunkowości w Polsce, Warszawa. Urbańczyk E., Jurek M. [1998], Wielokierunkowa analiza wyniku finansowego przedsiębiorstwa, Fundacja na Rzecz Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin. Ustawa o rachunkowości z dnia 29.09.1994 r. (po nowelizacji z 9.11.2000 r., Dz.U. z 2000 r. nr 113, poz. 1186 z późn. zm.). Ustawa o rachunkowości. Stan prawny na maj 2005 [2005], Polskie Wydawnictwo Prawnicze, Warszawa – Poznań.
Vollmuth H.J. [2003], Controlling. Instrumenty od A do Z, Wydawnictwo Placet, Warszawa. Walesiak M. [2002], Uogólniona miara odległości w statystycznej analizie wielowymiarowej, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O. Langego we Wrocławiu, Wrocław. Walkosz A. [1999], Elementy ekonometrycznej analizy rynku, [w:] A. Goryl, Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Osiewalski, A. Walkosz, Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, WN PWN, Warszawa. Wasilewska E. [2009], Statystyka opisowa od podstaw, Wydawnictwo Szkoły Głównej Gospodarstwa Wiejskiego, Warszawa. Wawrzyniak K., Zwolanowska M. [1998], Dynamika zmiennych ekonomicznych, przyjmujących wartości ujemne, „Wiadomości Statystyczne”, nr 4. Wermut J. [1999], Rachunkowość zarządcza. Rachunek kosztów i wyników w podejmowaniu decyzji, ODDK, Gdańsk. Wędzki D. [2009], Analiza wskaźnikowa sprawozdania finansowego, t. 2, Wolters Kluwer, Kraków. Wiśniewski J.W. [2009], Mikroekonometria, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń. Wnuk-Pel T. [2009], Koszty w perspektywie czasu, [w:] I. Sobańska (red.), Rachunek kosztów. Podejście operacyjne i strategiczne, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Wrzosek S. [2006], Zarządzanie finansami przedsiębiorstw, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O. Langego we Wrocławiu, Wrocław. Wyżnikiewicz B. [2001], Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wyższa Szkoła Ubezpieczeń i Bankowości, Warszawa. Zasępa P. [2013], Analiza progu rentowności Funduszu Venture Capital, „Periodyk Naukowy Akademii Polonijnej”, nr 1(7). Żwirbla A. [2001], Metody badawcze analizy ekonomicznej. Studium metodologiczne, Wydawnictwo WSHE, Włocławek. Żwirbla A. [2002a], Niektóre dyskusyjne problemy badań analitycznych (propozycje metodologiczne), „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, tom 7(63), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2002b], Problematyka czynnika struktury oraz inflacji w analizie finansowej (Przyczynek do teorii analizy inflacji), „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 11(67), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2004], Wskaźniki wyprzedzenia i pokrycia – próba syntezy i krytyki (Przyczynek do dyskusji nad problemem właściwej interpretacji mierników ekonomicznych), „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 19(75), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa.
Żwirbla A. [2005], Model Du Ponta jako narzędzie retro- i prospektywnej analizy ekonomicznej, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 29(85), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2006], Mnożniki jako narzędzie analizy wrażliwości zysku, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 31(87), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2007], Rozwój metod ilościowych analizy ekonomicznej, Wydawnictwo Adam Marszałek, Toruń. Żwirbla A. [2008], Metody analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 46(102), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A., Skruszewicz P. [2010], Szacowanie przedziałowe progu rentowności przy produkcji wieloasortymentowej, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 59(115), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2011a], Próg rentowności jako narzędzie wspomagające zarządzanie finansami małych i średnich przedsiębiorstw, [w:] W. Golnau, I. Seredocha, Gospodarka i społeczeństwo w europejskiej perspektywie, Elbląska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna, Elbląg. Żwirbla A. [2011b], Teoretyczne i praktyczne aspekty dynamicznej analizy progu rentowności, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 61(117), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2013], Próg rentowności a ocena siły dochodowej przedsiębiorstwa, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 74(130), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2014a], Analiza macierzowa progu rentowności produkcji wieloasortymentowej, „Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości”, t. 76(132), Stowarzyszenie Księgowych w Polsce, Warszawa. Żwirbla A. [2014b], Teoretyczne podstawy metod deterministycznych analizy ekonomicznej, Wydawnictwo Adam Marszałek, Toruń.
Przypisy
Rozdział 1. Wybrane problemy metodyczne analizy kosztów i wyniku finansowego [1] Ową niejednoznaczność dostrzegli m.in. D. Habela i R. Polaczek [2001, s. 57]. [2] Według tego autora: „Podstawowa analiza wrażliwości charakteryzuje się stosowaniem takich metod badawczych, jak próg rentowności, punkty krytyczne, marża bezpieczeństwa i stopa marży bezpieczeństwa”. [3] Więcej na ten temat w opracowaniach: B. Wyżnikiewicz [2001, s. 32]; Mała encyklopedia ekonomiczna [1974, s. 197–198]; Mała encyklopedia statystyki [1976, s. 124–125]. [4] Elastyczność różnicowa została wprowadzona przez Z. Pawłowskiego [zob. 1963; 1981, s. 36–38]. Pisze o tym również J. Hozer [1993, s. 67]. [5] Warto zauważyć, że identyczny jest zapis wskaźnika pokrycia (opłacenia), przy czym iloraz z licznika to tempo zmian nakładów, zaś iloraz z mianownika – tempo zmian efektów [zob. Żwirbla, 2004, s. 161–179]. [6] Więcej na temat zjawiska korzyści skali w pracy: Żwirbla, 2007, s. 264–269. [7] W ekonometrii używa się często określenia „współczynnik elastyczności” [zob. Borkowski, 2003, s. 162; Walkosz, 1999, s. 219–220]. [8] Iloraz ten jest tożsamy z formułą, która określa pojęcie tzw. kosztu krańcowego, zwanego też kosztem marginalnym. [9] Problematyka zmodyfikowanego odchylenia kosztów jest omówiona w dalszej części tego rozdziału. [10] Tempo zmiany czynnika odnosi się do wartości początkowej tego czynnika, zasadne jest zatem indeksowanie tempa nawiązujące do wartości początkowej, a nie do wartości po zmianie, co na ogół się czyni. [11] Pomysł wymienionych autorek został również podjęty przez R. Pałczyńską-Gościniak [2001, s. 14–15]. [12] Zapis mawianej propozycji metodycznej przy użyciu tzw. wartości bezwzględnej (modułu) liczby zaproponował A. Żwirbla [2002, s. 125–150]. [13] Autorki zainteresowały się propozycją metodyczną A. Żwirbli [2002a, s. 125–150]. [14] W fizyce mówi się m.in. o histerezie magnetycznej, dielektrycznej, sprężystej i optycznej. Więcej na ten temat można znaleźć w podręcznikach
fizyki. [15] Opracowano na podstawie publikacji E. Nowaka [2012, s. 83–84]. [16] Przykład liczbowy podany przez Janinę Wermut [1999, s. 24–26]. [17] Termin „regresja” (od. łac. regressus) został użyty po raz pierwszy przez F. Galtona, który badając wzrost mężczyzn, „cofał się wstecz”, sięgając do wzrostu ojców jako wyjaśnienia wzrostu synów. Pisze o tym m.in. M. Sobczyk [1998, s. 246]. [18] Zauważyć trzeba, że od 1 stycznia 2002 r. kategorie kosztów stałych i zmiennych pojawiły się także w rachunkowości finansowej, gdyż znowelizowana ustawa o rachunkowości każe uwzględniać owe kategorie przy ustalaniu kosztu wytworzenia produktu [zob. Ustawa o rachunkowości…, 2005, art. 27 ust. 3]. Rozdział 2. Próg rentowności produkcji jednorodnej – wybrane zagadnienia [1] Jak zauważa B. Nita [2008, s. 168] angloamerykańskiej kategorii EBIT odpowiada zysk ze sprzedaży, obliczany zgodnie z załącznikiem do ustawy o rachunkowości. [2] E. Nowak interesująco omawia powyższą relację w swoich publikacjach [zob. np. 1992, s. 71–84; 1993, s. 47–54]. [3] Zob. Tarczyński, Gazińska, 2008, s. 97–112. M. Gazińska [2001, s. 69– 78] przedstawiła istotę diagnostycznej funkcji wartościowego progu rentowności, a także wskazała, jak można wykorzystać tenże próg do diagnozowania sytuacji gospodarczej firmy. Także J.W. Wiśniewski [2009, s. 96–99] podejmuje problem znajdowania progu rentowności na bazie podejścia ekonometrycznego. [4] Powyższy problem podjęła także Agnieszka N. Duraj, podkreślając, że należy wziąć pod uwagę występowanie kosztów progresywnych i degresywnych, dla których współczynnik elastyczności przyjmuje odpowiednio wartości większe i mniejsze od zera [2006, s. 189–190]. [5] Problem ten został opisany w pracy: Żwirbla, 2007, s. 289–290. [6] Opracowano na podstawie pracy: Żwirbla, 2011b, s. 163–190. [7] Więcej na temat mnożników w pracy: Żwirbla, 2006, s. 164–190. [8] Powyższy przypadek wystąpi w warunkach substytucji czynników produkcji, co jest następstwem postępu technicznego. Oznacza to często wzrost kosztów stałych oraz zmniejszenie całkowitych kosztów zmiennych. Pisze o tym m.in. S. Nahotko [1998, s. 217–218]. [9] Problematyką wpływu inflacji na poziom progu rentowności zajmował się m.in. S. Sojak [1996; 1999]. [10] Na fakt mijania się z prawdą B. Siwonia zwrócił uwagę m.in. S. Nahotko [1998, s. 218]. [11] Z podobnym określeniem spotykamy się m.in. w pracach: Skowronek-Mielczarek, Leszczyński [2008, s. 200]; Szczęsny [2003, s. 235]; Gabrusewicz [2005, s. 228].
[12] Pojęcie odchylenie jest na ogół rozumiane jako odchylenie czegoś (lub od czegoś), przykładowo odchylenie kompasu, odchylenie od normy. [13] Opracowano na podstawie prac: Nita, 2007, s. 157–161; 2008, s. 167– 175. Rozdział 3. Klasyczna analiza progu rentowności produkcji wieloasortymentowej [1] W literaturze przedmiotu można spotkać się z określeniem „przy produkcji złożonej”. [2] E. Nowak posiłkuje się także pojęciem umownego produktu łącznego, przy czym określenie to wiąże z zupełnie innym rozumowaniem [zob.: 1993, s. 45–46; 2006, s. 100–101]. [3] Podobny pogląd mają także inni autorzy, przykładowo zob. Sierpińska, Jachna, 2004, s. 262. [4] Przykładowo można wskazać prace: Kusak, 2003, s. 2–16; Eichlera, 2004, s. 34–39. Rozdział 4. Wieloaspektowe ujęcie analizy progu rentowności produkcji wieloasortymentowej [1] Opracowano na podstawie pracy: Żwirbla, 2008, s. 165–203. [2] Symbolem „kółeczko” oznaczono tzw. iloczyn skalarny dwóch wektorów. [3] Stosowana w książce notacja „sigma” nie wymaga oznaczania iloczynu za pomocą „krzyżyka”. Czasem to ostatnie podejście będzie zastosowane, aby zapis był bardziej wyrazisty. [4] Skrót „j.m.” oznacza stosowną jednostkę miary (kilogramy, sztuki itp.), zaś skrót „j.p.” – jednostkę pieniężną (zł, euro itp.). [5] Pogłębione rozważania na temat obu podejść metodologicznych zawiera praca: Żwirbla, 2008, s. 165–203. [6] Opracowano na podstawie pracy: Żwirbla, 2013, s. 131–165. [7] Zob. szerzej: Żwirbla, 2008, s. 178–179. [8] Jest to nazwa metody stosowana m.in. przez E. Nowaka [2012, s. 131– 133]. Niektórzy autorzy posiłkują się określeniem „metoda stopy skumulowanej marży pokrycia” (np. W.A. Nowak [2001, s. 420]) oraz określeniem metoda „przeciętnego progu rentowności” (np. Z. Leszczyński, T. Wnuk-Pel [2004, s. 127]). [9] J. Mielcarek stosuje określenie „indywidualny, wartościowy punkt progu rentowności dla i-tego asortymentu” [zob. 2005a, s. 86]. [10] Notacja zastosowana we wzorze (4.48) jest uproszczonym zapisem rozważań J. Mielcarka, który na ogół stosuje notację „wielokropkową”. [11] Mankamentem podejścia Mielcarka są iloczyny, które prowadzą do wyników wymagających często specjalnego zapisu [zob. 2006, s. 98]. [12] Zauważyć należy, że otrzymane rozwiązanie (4.51) to z matematycznego punktu widzenia środek ciężkości układu punktów o jednakowych masach.
[13] Opracowano na podstawie pracy: Jakubczyc, 2008, s. 42–53. [14] A. Piosik używa określenia „jednostkowa marża pokrycia na jednostkę pakietu” [zob. 2006, s. 186], zaś A. Rutkowski posiłkuje się określeniem „jednostkowa marża brutto dla produktu umownego” [zob. 2003, s. 149]. [15] Notację powyższą, a także nazwy „podłoga” i „sufit” wprowadził Kenneth E. Iverson. Więcej na ten temat piszą m.in. R.L. Graham, D.E. Knuth., O. Patashnik [2002, s. 87 i n.]. [16] Niektórzy autorzy używają określeń „marża kontrybucyjna” oraz „stopa marży kontrybucyjnej” [zob. np. Kucharczyk, 2014, s. 295 i n.]. [17] Więcej na temat relacji równoważności pisze m.in. H. Rasiowa [1969, s. 85–92] oraz Z. Moszner [1974, s. 103–128]. [18] Niektórzy autorzy ułamek ten określają jako „próg ilościowy produktu umownego” lub „próg rentowności wyrażony w produkcie umownym”. [19] Jest to poszerzenie rozważań W. Gosa [zob. 2000, s. 149–153]. [20] Opracowano na podstawie pracy: Żwirbla, Skruszewicz [2010, s. 223– 247]. [21] Graficzna interpretacja przedstawianej koncepcji przypomina znajdowanie tzw. kwartyli na gruncie statystyki opisowej [zob. Wasilewska, 2009, s. 225 i n.]. [22] Zob. np. Kowalczyk, 2006, s. 116–117; Leszczyński, Wnuk-Pel, 2004, s. 136–138. [23] Opracowano na podstawie pracy: Żwirbla, 2013, s. 131–165. [24] W literaturze przedmiotu odwrotność tego wskaźnika przyjmuje nazwę „wskaźnika narzutu kosztów stałych” i ma zastosowanie przy analizie progu rentowności produkcji wieloasortymentowej. [25] Według E.A. Helferta jest to tzw. stopa nadwyżki operacyjnej [zob. 2003, s. 155]. D. Wędzki wprowadza pojęcie wskaźnika kosztów zmiennych (WKZ), przy czym (1 – WKZ) – wskaźnik marży pokrycia [zob. 2009, s. 263, 343]. [26] Niektórzy autorzy posiłkują się oryginalnym określeniem „współczynnik wykorzystania siły roboczej”, który jest relacją progu rentowności do sumy przychodów ze sprzedaży [zob. Vollmuth, 2003, s. 62]. [27] Wymienione miary przypominają współczynniki zbieżności oraz determinacji, które są stosowane na gruncie ekonometrii. [28] Poprawną interpretację wyników, które uzyskuje się za pomocą metody kolejnych podstawień, proponuje A. Żwirbla [zob. 2014, s. 31 i n.]. Rozdział 5. Analiza macierzowa progu rentowności produkcji wieloasortymentowej [1] Opracowano na podstawie pracy: Żwirbla, 2014, s. 181–207. [2] Wykorzystanie powyższej idei do badań przyczynowych przychodów ze sprzedaży umożliwiło wyodrębnienie wpływu tzw. inflacji cenowej na
zmianę tychże przychodów [zob. A. Żwirbla, 2002b, s. 144–148]. Podejście to wykorzystano także przy badaniu wpływu gatunkowości na przychody ze sprzedaży [zob. Żwirbla, 2007, s. 178–186]. [3] Iloczyn Hadamarda, oznaczany często symbolem „ ” (zwany też iloczynem Schura lub iloczynem po współrzędnych) jest podmacierzą iloczynu Kroneckera [zob. Kolupa, 1976, s. 33–35; Goldberger, 1975, s. 29– 33]. [4] Jest to standardowe mnożenie macierzy, zwane mnożeniem Cauchy’ego, przy czym symbol „ ” oznacza iloczyn dwóch macierzy [zob. np. Ciang, 1994, s. 87–89; Ostoja-Ostaszewski, 1996, s. 35]. [5] Oznacza to, że macierz produkcji i sprzedaży w ujęciu ilościowym ma taką samą strukturę, jak odpowiadająca jej macierz związana z osiągnięciem progu rentowności. [6] Z matematycznego punktu widzenia poniższa suma jest tzw. normą macierzową [zob. Korn, Korn, 1983, s. 402]. [7] W celu uproszczenia zapisu indeks pasywny (stały) będzie pomijany. [8] Indeks dolny i będzie związany z wierszami, zaś górny j – z kolumnami macierzy. [9] Posiłkując się zasadą analogii, relację (5.42) można określić jako dwuwymiarowy „pakiet” lub „uogólniony produkt umowny” [zob. Żwirbla, 2013, s. 131 i n.]. [10] Jest to uogólnienie koncepcji podawanej m.in. przez E. Nowaka [2012, s. 126–135]. W kontekście tejże koncepcji interesujące są rozważania A. Żwirbli [2013, s. 131 i n.]. Zakończenie [1] Bardzo interesujące refleksje dotyczące początków analizy progu rentowności przedstawiła Magdalena Giedroyć [2006, s. 962–964]. Cała historia początków analizy progu rentowności to rozdział 4 pracy: Parker [1969, s. 59–72].
