Zestaw 6 β odpowiedzi Zadanie 1. a) ...
4 downloads
23 Views
368KB Size
Zestaw 6 β odpowiedzi Zadanie 1. a) π = β2 π(π₯) = 2π β2π₯ π(π₯ β [π, π]) = π β2π β π β2π b) π =
1 β2 1
π(π₯) = 2 (cos2 2ππ₯ + sin2 ππ₯) 1
π(π₯ β [β1,0]) = 2 2
c) π = βπ 2
π(π) = π π β2π π(π β [ππ , ππ ]) = π β2ππ (2ππ + 1) β π β2ππ (2ππ + 1) d) π =
1 βπ 1 π
π(π, π, π) = π β2π , gdzie π = βπ₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 π
1
π (π β [0, +β] β§ π β [0, ] β§ π β [0,2π]) = 2 2 e) π(π β [0, +β] β§ π β [0, π] β§ π β [0, π]) =
1 2
f) π(π = 7 β§ π¦ = β2 β§ π§ = 0) = 0 1 π
g) π = β
1
π(π) = π π β2π π(π β [π
1 , π
2 ]) = π β2π
π (2π
π2 + 2π
π + 1) β π β2π
π (2π
π2 + 2π
π + 1) h) π(π β [0, π
]) = 1 β π β2π
(2π
2 + 2π
+ 1) i)
π(π = π
) = 0
j)
π(π β [0, +β] β§ π = 0 β§ π β [0,2π]) = 0 24
k) π = β π π(π) =
24 β4π π cos 2 π π π
π
π (π = 1 β§ π = 2 β§ π = 6 ) = 0
Zadanie 2. 8
a) π = βπ 1
1) π β = 2 +β 8
2) β©π₯Μβͺ = β«ββ
π
π₯π β4βπ₯
2 +π¦ 2 +π§ 2
ππ₯ = 0 β z parzystoΕci funkcji (lub przejΕΔ na wspΓ³ΕrzΔdne
sferyczne) Podobnie: β©π¦Μβͺ = 0 oraz β©π§Μ βͺ = 0 +β
3) β©πΜ βͺ = β«0
π
2π 8 3 β4π π π π πππππππππ π
β«0 β«0
3
=4
1 2ππ5
b) π = β
1) π β = 2π 5
3) β©πΜ βͺ = 2 π
Zadanie 3. a) operator jest liniowy i hermitowski b) operator jest liniowy, ale nie jest hermitowski PodpowiedΕΊ: skorzystaj ze schematu caΕkowania przez czΔΕci c) operator jest liniowy i hermitowski
Zadanie 4. 2
a) π = βπ i) tylko πΜπ₯2 jest ostromierzalne π
1
1
ii) β©π₯Μβͺ = 2; β©πΜπ₯ βͺ = 0; β©π₯Μ 2 βͺ = π2 (3 β 2π2 ) ; β©πΜπ₯2 βͺ =
β2 π2 π2
b) π΄Μπ = ππ i π΅Μπ = ππ sprawdzamy, czy πΆΜ π = ππ, gdzie πΆΜ = π΄Μπ΅Μ πΆΜ π = π΄Μπ΅Μπ = π΄Μππ = ππ΄Μπ = πππ = πππ = ππ c.n.d. c) π΄Μπ = ππ π oraz π΄Μπ = ππ π sprawdzamy wynik dziaΕania operatora π΄Μ na funkcjΔ β = π + π: π΄Μβ = πβ β πΏ = π΄Μβ = π΄Μ(π + π) = π΄Μπ + π΄Μπ = ππ π + ππ π π = πβ β = πβ (π + π) = πβ π + πβ π StΔ
d: πβ = ππ = ππ
Zadanie 5. a) 0 b) πβ c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 g) 2πβπ₯ h) β2πβπ₯π¦ i)
π
4β2 π₯ ππ₯ + 2β2 komutator nie jest hermitowski (sprawdzamy tak samo, jak w przypadku
operatorΓ³w) Μπ§ j) πβπ Μπ₯ k) πβπ Μπ¦ l) πβπ m) 0 n) 0 o)
2π ππ₯
liniowy, ale nie hermitowski 2
2
β π π ππ π p) [πΜ, πΜ ] = β 2π (ππ₯ 2 + 2 ππ₯ ππ₯) nie sΔ
rΓ³wnoczeΕnie mierzalne
q) ([π΄Μ, π΅Μ] = 0 β[π΄Μ, πΆΜ ] = 0) βΉ [π΅Μ, πΆΜ ] = 0 KontrprzykΕad: π΄Μ = π₯Μ, π΅Μ = π¦Μ, πΆΜ = πΜπ¦
Zadanie 6. 2
2
2
Μ = β β βπ» β β βπ β ππ a) π» |π
βπ | 2π 2π π»
Μ= b) π»
π
β2 β 2π β2π=1 βπ»,π π» 2
β
2
Μ = β β βπ» β β c) π» 2π 2π π»
1
π»
π
β2 β2 β 2ππ π=1 π,π
β ππ 2 β2π=1 β2π=1
1 |π
π»,π βππ,π |
β2
π»π
βπ»π β 2π β2π=1 βπ,π β ππ 2 (β2π=1 π
+ ππ 2
1 |π
π» βππ,π |
1 |π
π»,1 βπ
π»,2 |
+ β2π=1
2 |π
π»π βππ,π |
+ ππ 2
1 |ππ,1 βππ,2 | 2
β |π
π» βπ
π»π |
β
)
|ππ,1 βππ,2 |
Μ=β d) π»
β2 β 2ππ» π»
β
1
β2π=1 β3π=2
β2 β 2ππ»π π»π
β
β2 β3 β 2ππ π=1 π,π
β ππ 2 (β3π=1
1 |π
π» βππ,π |
+ β3π=1
2 |π
π»π βππ,π |
2
β |π
π» βπ
π»π |
β
)
|ππ,π βππ,π |
2
2
β2
π» β2
π»π β2
Μ = β β βπ» β β e) π» 2π 2π
βπ»π β 2π β3π=1 βπ,π β ππ 2 (
1
|π
π» βππ,1 |
π
2
β 18 2 Μ=β f) π» βπ» β 2π βπΆπ β 2π β18 π=1 βπ,π β ππ (βπ=1 2π π»
πΆπ
π
+ β2π=1
1 |π
π» βππ,π |
2 |π
π»π βππ,π |
+ β18 π=1
β
1 |ππ,2 βππ,3 |
17 |π
πΆπ βππ,π |
)
17 β π» βπ
πΆπ |
β |π
1 18 β17 π=1 βπ=2 |π βπ |) π,π π,π 2
2
2
2 10 2 Μ = β β β2π=1 β β β βπ β β β10 g) π» π=1 βπ,π β ππ (βπ=1 βπ=1 π»,π 2π 2π 2π π»
1 |π
π»,1 βπ
π»,2 |
β β2π=1
π
8 |π
π»,π βπ
π |
π
β β9π=1 β10 π=2
1 |ππ,π βππ,π |
)
1 |π
π»,π βππ,π |
+ β10 π=1
8 |π
π βππ,π |
β
Μ=β h) π»
β2 β2 β 2ππ» π=1 π»,π
8 |π
π»,2 βπ
π |
β
β β9π=1 β10 π=2
β2 β 2ππ π 1
β2 β10 β 2ππ π=1 π,π
β ππ 2 (β10 π=1
1 |π
π»,2 βππ,π |
+ β10 π=1
8 |π
π βππ,π |
β
)
|ππ,π βππ,π |
PominiΔte czΕony: β ππ 2 β10 π=1 i)
β
1 |π
π»,1 βππ,π |
;
ππ 2 |π
π»,1 βπ
π»,2 |
;
8ππ 2 |π
π»,1 βπ
π |
Μ= π» β2
β2
β2
β 2π β6π=1 βπ»,π β 2π β6π=1 βπΆ,π β 2π β42 π=1 βπ,π β π»
ππ
2
πΆ
β6π=1 β6π=1
6 |π
πΆ,π βπ
π»,π |
2
j)
π
1 + π»,π βππ,π |
(β6π=1 β42 π=1 |π
42 β β41 π=1 βπ=2 2
6
β6π=1 β42 π=1 |π
πΆ,π βππ,π |
1
β β5π=1 β6π=2
360 β359 π=1 βπ=2
π
1
)
|ππ,π βππ,π |
β β5π=1 β6π=2
36 |π
πΆ,π βπ
πΆ,π |
)
|ππ,π βππ,π |
β 360 60 360 2 Μ = β β β60 π» π=1 βπΆ,π β 2π βπ=1 βπ,π β ππ (βπ=1 βπ=1 2π πΆ
1 |π
π»,π βπ
π»,π |
6 |π
πΆ,π βππ,π |
60 β β59 π=1 βπ=2
36 |π
πΆ,π βπ
πΆ,π |
β
β