egzamin zestaw I

Matematyka I rok

Geometria z algebrą liniową Kazimierz Jezuita

2013/2014

Egzamin - wersja podstawowa i rozszerzona, część I Typowy zestaw zadań 1. Okrąg opisany na trójkącie w . W trójkącie ABC dane są współrzędne: dwóch wierzchołków punktu przecięcia wysokości trójkąta .

,

oraz

a) Obliczyć pole trójkąta ABH. b) Wyznaczyć równanie normalne i parametryczne prostej przechodzącej przez punkty H i C. c) Wyznaczyć współrzędne punktu ( leżącego na okręgu opisanym na trójkącie ABC) takiego, że odcinek stanowi średnicę okręgu. A) B) C) D) E)

Wyznaczyć współrzędne wierzchołka . Obliczyć długość średnicy okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wyznaczyć współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC. Podać twierdzenia sinusów i cosinusów ( Wykazać, że współrzędne wierzchołka można znaleźć rozwiązując równanie

uogólnioną metodą macierzy odwrotnej. Pojawiające się po prawej stronie równania iloczyny skalarne można obliczyć korzystając z danych. F) Podać rozwiązanie konstrukcyjne problemów c) , A) i C) Przez punkty A i B poprowadzić proste równoległe do … ( punkt ), potem dwie proste prostopadłe do … ( punkt ), a następnie … . 2. Względne położenie punktów i prostych w Podane są współrzędne czterech punktów:

. .

a) Ustalić czy punkty B i D leżą po tej samej stronie prostej przechodzącej przez punkty A i C. Pole zorientowane trójkątów … . b) Ustalić czy odcinki AC i BD mają punkt wspólny. Równania parametryczne prostych … . c) Wyznaczyć współrzędne punktu dzielącego odcinek AB w stosunku 3:4 . A) Wyznaczyć współrzędne barycentryczne punktu D w bazie punktowej ,a następnie ustalić położenie punktu D względem trójkąta ABC . Jeśli punkt D leży poza trójkątem ABC to określić jego położenie względem boków trójkąta i ich przedłużeń.

W każdym zadaniu polecenia oznaczone małymi literami dotyczą wersji podstawowej (oceny natomiast polecenia oznaczone dużymi literami dotyczą wersji rozszerzonej (oceny 5).

3.5),

Matematyka I rok

Geometria z algebrą liniową Kazimierz Jezuita

2013/2014

3. Względne położenie punktów, prostych i płaszczyzn w . Rozkład wektora na składowe: równoległą i prostopadłą do danej płaszczyzny. Objętość czworościanu. Płaszczyzna S zawiera dwa punkty punkt A, o wektorze kierunkowym i . a) b) c) d)

i oraz prostą przechodzącą przez . Prosta L przechodzi przez punkty

Ustalić współrzędne dodatkowego punktu P leżącego w płaszczyźnie S. Obliczyć objętość czworościanu ABPD. Określić czy prosta L jest równoległa do płaszczyzny S czy ją przecina. Wyznaczyć równanie normalne płaszczyzny prostopadłej do prostej L i przechodzącej przez punkt A.

A) Wyznaczyć wektory kierunkowe

oraz wektor normalny

płaszczyzny S. B) Obliczyć odległość punktu D od płaszczyzny S jako długość rzutu wektora

kierunek wektora C) Znaleźć punkt

na

. , położony najbliżej punktu D, w oparciu o relacje: ,

D) Wyznaczyć wektor

, w oparciu o relację

Składową równoległą

. można znaleźć rozwiązując równanie

uogólnioną metodą macierzy odwrotnej. 4. Rozkład wektora na składowe: równoległą i prostopadłą do danej prostej w Powierzchnia trójkąta w . Dana jest prosta L przechodząca przez punkty i oraz punkt

. .

a) Obliczyć pole trójkąta OAB w oparciu o długość iloczynu wektorowego wektorów … . b) Obliczyć pole trójkąta OAB w oparciu o pierwiastek z wyznacznika macierzy Grama wektorów… . c) Wyznaczyć wektor kierunkowy oraz wektory normalne prostej L . A) Znaleźć punkt

, położony najbliżej punktu O, w oparciu o relacje: ,

Obliczyć odległość prostej L od punktu O. B) Wyznaczyć wektor

bezpośrednio, w oparciu o tożsamość

opisującą rozkład dowolnego wektora na składowe: prostopadłą i równoległą do wektora . W każdym zadaniu polecenia oznaczone małymi literami dotyczą wersji podstawowej (oceny natomiast polecenia oznaczone dużymi literami dotyczą wersji rozszerzonej (oceny 5).

3.5),