Fizyka z elementami biofizyki_wyklad_04

Elektromagnetyzm i fale elektromagnetyczne Definicje i pojęcia podstawowe Elektrostatyka Ten dział fizyki zajmuje się badaniem własności i wzajemnego oddziaływania nieruchomych ładunków elektrycznych w rozpatrywanym układzie odniesienia. Ładunki elektryczne – pojęcie pierwotne. Ładunki elektryczne to źródła pola elektrycznego. Ładunki elektryczne mogą być dodatnie lub ujemne. Ładunki jednoimienne odpychają się, zaś różnoimienne przyciągają. Obowiązuje prawo zachowania ładunku elektrycznego, podobnie jak i inne prawa zachowania w fizyce. Całkowity ładunek dowolnego ciała jest wielokrotnością pewnego ładunku elementarnego. Najmniejszą cząstkę posiadającą ładunek elementarny ujemny nazwano elektronem, zaś dodatni protonem.

Prawo Coulomba Coulomb podał następujące prawo oddziaływania dwóch ładunków punktowych lub małych naładowanych kulek: (2.01) gdzie – współczynnik proporcjonalności. Prawo Coulomba w postaci wektorowej:

oznacza siłę działającą na

od

(2.02)

. Podobnie siła

działająca na

od

: (2.03)

gdzie

. W układzie SI:

1

(2.04) 4 w próżni zaś w ośrodku o przenikalności dielektrycznej ε ogólnie 1 . (2.05) 4 ε pokazuje ile razy siła wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych elektrycznych jest mniejsza niż w próżni.

Natężenie pola elektrycznego Zajmiemy się teraz wybranymi własnościami pól elektrostatycznych (wytwarzanych przez nieruchome ładunki). Natężeniem pola elektrycznego w danym punkcie nazywa się wektor , którego wartość równa się wartości siły z jaką pole to oddziałuje na jednostkowy ładunek dodatni umieszczony w tym punkcie (ładunek próbny), a kierunek odpowiada kierunkowi działania siły: (2.06) Jednostka natężenia pola N/C. Korzystając z prawa Coulomba

i powyższej definicji dla = punktowego ładunku elektrycznego :

1

(2.07) 4 można łatwo określić natężenie pola pochodzące od 1 4

W postaci skalarnej:

1 4



(2.08)

(2.09)

Z postaci wektorowej wynika, że wektor natężenia pola ładunku punktowego jest zawsze skierowany wzdłuż od ładunku, gdy 0, a do ładunku, gdy 0.

Zasada superpozycji pól elektrycznych Rozważmy pole wytwarzane przez układ nieruchomych ładunków punktowych. Ponieważ wypadkowa siła działająca na ładunek próbny jest zawsze sumą wektorową sił składowych od poszczególnych ładunków to: (2.10) Ponadto (2.11) (2.12) Stąd

(2.13)

Natężenie pola elektrycznego układu ładunków punktowych jest sumą wektorową natężeń pól wytworzonych przez każdy z nich – zasada superpozycji. Stosując wzór na natężenie pola dla dowolnego i-tego ładunku punktowego na wypadkowe natężenie zatem dostajemy: 1 (2.14) 4 1 4



(2.15)

Ładunki mogą być rozłożone w przestrzeni w sposób ciągły lub dyskretny. W przypadku rozkładu ciągłego operujemy często pojęciem gęstości ładunku: ∆ lim ∆→ ∆ (gęstość liniowa) lim

∆ ∆

(2.17)

lim

∆ ∆

(2.18)

∆ →

(gęstość powierzchniowa)

∆ →

(gęstość objętościowa)

(2.16)

Ważny przykład – pole dipola elektrycznego Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch różnoimiennych i równych co do wartości ładunków elektrycznych, których środki ciężkości są oddalone od siebie na pewną odległość d. Pole dipola elektrycznego zwykle analizujemy dla odległości przekraczających wyraźnie rozmiary liniowe tego dipola. Model dipola elektrycznego jest niezwykle ważny ze względu na opis własności elektrycznych cząsteczek oraz opis ich oddziaływania z promieniowaniem elektromagnetycznym. Poniższy rysunek ilustruje pojęcie dipola elektrycznego oraz tzw. momentu dipolowego.

Graficznie charakter pola elektrycznego odwzorowują linie sił pola. Linie sił pola to takie krzywe, do których styczne w każdym ich punkcie mają kierunek wektora natężenia pola (rysunek obok). Przykładowy rozkład linii sił pola dla

ładunku punktowego dodatniego

Wszystkie rysunki: [Jaworski t.2]

ładunku punktowego ujemnego

dipola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Formalne podobieństwo wyrażeń na siłę oddziaływania elektrostatycznego dwóch ładunków (2.20) oraz przyciągania dwóch mas w oddziaływaniu grawitacyjnym (2.21) sugeruje, że podobnie jak w tym ostatnim przypadku także i siły elektrostatyczne powinny być zachowawcze. Obliczmy w związku z tym pracę siły działającej na ładunek elektryczny przy przemieszczeniu go na małym odcinku : (2.22) cos , cos , Przy przemieszczeniu ładunku od a do b praca tej siły: cos

,

(2.23)

Gdy pole wytwarza ładunek punktowy +q jak na rysunku obok to: cos

,

,

(2.24)

4 1

4 ,

4

1

(2.25)

– odległości ładunku q odpowiednio od a oraz b.

Praca ta jest dodatnia, gdy ładunki jednoimienne oddalają się od siebie a ujemna, gdy zbliżają się do siebie (praca sił zewnętrznych). Odwrotnie jest w przypadku ładunków różnoimiennych: praca ta jest dodatnia, gdy ładunki zbliżają się a ujemna, gdy oddalają się od siebie (praca sił zewnętrznych). Z ostatniego wyrażenia wynika, że praca ta nie zależy od kształtu toru, po którym porusza się ładunek, a tylko od początkowego i końcowego położenia ładunku q’ od przenikalności dielektrycznej oraz wartości ładunków q i q’. Na ładunek q’ poruszający się w polu wytworzonym przez układ ładunków punktowych działa siła: ⋯ (2.26) Praca siły wypadkowej: 1 1 ⋯ (2.27) 4 , – odległości ładunku q od punktów a i b. Praca ta oczywiście zależy tylko od początkowego i końcowego punktu toru, a nie od jego kształtu. Przy przemieszczaniu ładunku po krzywej zamkniętej L w polu elektrostatycznym: cos

,

,

(2.28)

Ponieważ punkt początkowy i końcowy w tym przypadku pokrywają się, to zgodnie ze wzorem na pracę: cos

,

Pole elektrostatyczne jest więc polem potencjalnym.

0

(2.29)

Ponieważ praca jaką wykonuje siła w polu elektrostatycznym przemieszczając ładunek ’ zależy tylko od położenia końcowego i początkowego ładunku w tym polu, to jest ona równa ubytkowi energii potencjalnej tego ładunku (2.30) zatem cos ,

,

∆

(2.31)

wartości energii potencjalnej ładunku q’ w punktach a i b pola.

Załóżmy, że ładunek punktowy q’ porusza się w polu ładunku q. Zmiana energii potencjalnej przy elementarnym przemieszczeniu: (2.32)

4 Przy skończonym przemieszczeniu ∆

4

4

4

(2.33)

Gdy pole wytwarza układ ładunków punktowych zmiana energii potencjalnej q’: ∆ ,

∆

4

– odległości ładunków q i q’ przed i po przesunięciu q’.

4

(2.34)

Ostatnie związki podają wyrażenia na zmiany energii potencjalnej. Wartość samej energii potencjalnej ładunku q’ można wyznaczyć po ustaleniu umownym punktu pola w którym energia potencjalna ładunku jest 0. Całkowanie (2.32) daje: 4 C – stała. Wygodnie jest przyjąć, że energia potencjalna ładunku q’ odległości od . Daje to natychmiastowo C = 0 i 4

(2.35) 0 w nieskończonej (2.36)

Dla ładunków jednoimiennych rośnie przy ich zbliżaniu oraz maleje dla zbliżania ładunków różnoimiennych. Rysunek przedstawia graficzną zależność energii potencjalnej oddziaływania dwóch ładunków punktowych od ich wzajemnej odległości.

Oczywiście energia potencjalna ładunku

w polu wielu ładunków punktowych: 4

Warto zwrócić uwagę, że iloraz pola elektrostatycznego:

(2.37)

/ ’ nie zależy od ’, zatem może być jednoznaczną charakterystyką

4

(2.38)

nazywa się potencjałem pola elektrycznego. Zatem potencjał pola kreowanego przez ładunek punktowy: (2.39) 4 Pracę wykonaną przez siły pola elektrostatycznego przy przemieszczaniu ładunku q’ od a do b można określić jako różnice energii potencjalnych w tych punktach: (2.40) , - potencjał pola odpowiednio w a i b. = 0 czyli i = 0. Zatem praca wykonana na Jeśli b znajduje się w nieskończoności to przeniesienie ’ z do nieskończoności wynosi: (2.41) A stąd: (2.42) Potencjał jest więc równy pracy wykonanej przez siły pola elektrostatycznego przy przeniesieniu jednostkowego dodatniego ładunku z danego punktu pola do nieskończoności.

Z powodów praktycznych często przyjmuje się, że Ziemia ma potencjał 0. Należy pamiętać, że istotna jest tylko różnica potencjałów między dowolnymi punktami pola. Jednostką potencjału (różnicy potencjałów) jest J/C. Relacja między potencjałem pola a natężeniem pola Praca wykonywana przy nieskończenie małym przesunięciu q’ w polu: Z uwagi na

cos , , a stąd:

mamy cos

(2.43)

,

(2.44)

lub (2.45)

∙ Wielkość

cos

,

jest elementem

długości linii siły, stąd: (2.46)

⁄ gdzie – szybkość zmiany potencjału w kierunku linii siły, równą zmianie potencjału odpowiadającej jednostce długości linii siły. Okazuje się, że zmiana potencjału na jednostkę długości jest największa w kierunku linii siły. Wynika to łatwo po rozpatrzeniu sytuacji jak na rysunku obok. Mamy: cos – rzut

,

na kierunek przemieszczenia

(2.47) . Stąd: (2.48)

Ponieważ cos

,

1 to

, a także

.

oraz

⁄

osiągają maksimum

dla cos , 1 czyli dla kierunku zgodnego z . Zatem potencjał w okolicy danego punktu pola najszybciej zmienia się w kierunku linii siły. Znak „–” wskazuje, że ma zwrot najszybszego spadku potencjału. Podsumowując opisaną relację można przedstawić jako: (2.49) Miejsca geometryczne dla których w polu mamy jednakowy potencjał tworzą powierzchnię ekwipotencjalną. Potencjał jest stały jedynie gdy ładunek przemieszcza się w kierunku ⁄ 0. Oczywiście wtedy 0i 0 co daje prostopadłym do linii sił pola: cos , . Powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadle ułożone wszędzie do linii sił. Praca wykonywana zatem przy przemieszczaniu ładunku po powierzchni ekwipotencjalnej jest 0. Rysunek poniższy pokazuje relacje między liniami sił pola a przekrojami powierzchni ekwipotencjalnych.

[Jaworski t.2]

Pojemność elektryczna Pojemność przewodnika odosobnionego Rozpatrzmy przewodnik oddalony od innych ciał naładowanych i innych przewodników (odosobniony). Rozkład ładunku na powierzchni przewodnika zależy tylko od jego kształtu. Zwiększenie ładunku na powierzchni zwiększa po prostu jego gęstość powierzchniową, ale nie zmienia samego rozkładu. Zatem: (2.50) – oznacza pewną funkcję współrzędnych danego punktu powierzchni przewodnika. Podzielmy powierzchnię przewodnika na bardzo małe elementy zawierające ładunek . Potencjał pola tego ładunku w odległości od niego wynosi jak wiemy:

Całkowanie po całej powierzchni

4 daje potencjał w dowolnym miejscu pola: 4

(2.51)

(2.52)

lub dalej 4

(2.53)

Warto zwrócić uwagę, że gdy analizujemy samą powierzchnię przewodnika, to wartość całki zależy tylko od kształtu i wielkości przewodnika. Ponieważ dla wszystkich punktów powierzchni potencjał jest stały to i wartości całek w dowolnych punktach powierzchni są jednakowe.

Iloraz: dla danego przewodnika nazywa się jego pojemnością. Zatem: 1 4 ∮

(2.54)

(2.55)

Przykład: pojemność odosobnionej przewodzącej kuli. Wiemy, że potencjał takiej kuli wynosi:

4 zatem: 4 Jednostką pojemności jest farad (F): 1F = 1C/1V.

(2.56) (2.57)

1 F to bardzo duża pojemność. Takiej pojemności odpowiadałaby kula przewodząca w próżni o 9 000 000 km. promieniu: R Jaką pojemność powinna mieć zatem Ziemia? (obliczyć)

Łączenie kondensatorów Jeśli chcemy uzyskać duże pojemności, to łączymy kondensatory równolegle (rysunek obok). ,

Niech poszczególne pojemności wynoszą

,…,

.

Ponieważ między okładkami każdego jest ta sama różnica potencjałów, to ładunki zgromadzone wynoszą odpowiednio: ∆ ∆

[Jaworski t.2]

(2.58)

… ∆ Całkowity ładunek :

…



∆

(2.59)

Z drugiej strony mamy też: ∆

(2.60)

Stąd przy równoległym połączeniu: (2.61) Całkowita pojemność jest sumą pojemności poszczególnych kondensatorów.

Przy połączeniu szeregowym kondensatorów całkowita różnica potencjałów dzieli się na poszczególne kondensatory, przy czym potencjały połączonych sąsiednich okładek są jednakowe, zaś ładunek całkowity zespołu kondensatorów wynosi tyle co ładunek każdego z kondensatorów.

[Jaworski t.2]

Niech – pojemność całkowita, a różnica potencjałów. Ponieważ:

– i-tego kondensatora oraz ∆ ∆

∑

∆

całkowita (2.62)

to 1

∆

(2.63)

Stąd: 1

1

(2.64)

Zatem przy łączeniu szeregowym, odwrotność pojemności całkowitej jest sumą odwrotności pojemności poszczególnych kondensatorów.

Energia pola elektrycznego Przy ładowaniu przewodnika wykonujemy pracę na pokonanie sił kulombowskich odpychania jednoimiennych ładunków elektrycznych. Powiększa się w ten sposób energia elektryczna naładowanego przewodnika (analog energii potencjalnej w mechanice). Rozpatrzmy przewodnik charakteryzowany przez wielkości: , , . Praca wykonana przy przenoszeniu małego ładunku z nieskończoności na przewodnik przy pokonaniu sił pola wynosi: (2.65) Aby naładować ciało do potencjału

(od 0) wykonać trzeba zatem pracę: 2

(2.66)

Jest to zarazem energia własna naładowanego ciała: 2 2 2 Jest to oczywiście też energia naładowanego kondensatora.

(2.67)