full max all

1. Skutki działania sił zewnętrznych na ciało. Pojęcie sił wewnętrznych. NapręŜenia. Składowe napręŜenia. Równania całkowe równowagi. Siły jakie przykładamy do ciała z zewnątrz-zwane siłami zewnętrznymi moŜemy podzielić na siły objętościowe (masowe) i siły powierzchniowe (obciąŜenia). Siły objętościowe (masowe) są to siły wywołane przyspieszeniami i są związane z masą lub objętością ciała. Siły powierzchniowe (obciąŜenia) są przyłoŜone do powierzchni danego ciała; przyczyną tych sił jest zwykle oddziaływanie dwu ciał na siebie na zasadzie akcji i reakcji w miejscu ich bezpośredniego kontaktu. Skutek działania siły zewnętrznej na ciało będzie polegał na zmianie ruchu ciała bądź jego odkształcenie przejawiające się zmianą objętości oraz kształtu a więc geometrii oraz zmianą sił wewnętrznych wzajemnego oddziaływania międzycząsteczkowego. Pojęcie siły wewnętrznej: Siłą wewnętrzna nazywamy siłę występującą wewnątrz ciała wywołaną siłą zewnętrzną działającą na to ciało. NapręŜenie: Oddziaływanie lokalne (sprowadzone do punktu) w dowolnym punkcie ciała np. A.(x,y,z) nazywamy napręŜeniem. Pod pojęciem napręŜenia rozumiemy granicę iloczynu przyrostu sił wewnętrznych do przyrostu przekroju przy załoŜeniu Ŝe przyrost przekroju zmierza do 0

Jednostką napręŜenia jest [Pa]

Przez stan napręŜenia – lub stan napręŜeń - określonym punkcie ciała rozumiemy ogół napręŜeń otrzymanych dla wszystkich moŜliwych przekrojów przechodzących przez ten punkt. RozróŜniamy trzy charakterystyczne rodzaje stanu napręŜenia w punkcie: jednoosiowy, płaski i przestrzenny. Jednoosiowy (czyli jednowymiarowy) stan napręŜenia cechuje to, Ŝe dla kaŜdego przekroju przeprowadzonego przez dany punkt napręŜenie

ma stały kierunek.

Płaski (dwuwymiarowy) stan napręŜenia cechuje to, Ŝe napręŜenia odpowiadające róŜnym przekrojom przeprowadzonym przez dany punkt-leŜą w jednej płaszczyźnie, którą nazywamy płaszczyzną stanu napręŜenia. Przestrzenny (trójwymiarowy) stan napręŜenia cechuje to, Ŝe dla kaŜdego z przekrojów przeprowadzonych przez dany punkt napręŜenia posiada inny kierunek w przestrzeni. Składowe stanu napręŜenia. W ogólnym przypadku napręŜenie moŜe posiadać dowolny kierunek względem określonej płaszczyzny przekroju. Rzutujemy wówczas napręŜenie na kierunki osi układu współrzędnych –x, y, z-którego początek znajduje się w punkcie B, otrzymamy trzy typowe składowe zwane składowymi stanu napręŜenia. Składowe te oznaczamy : składową normalną symbolem σ a styczną symbolem τ, zaopatrując je odpowiednimi wskaźnikami. Wskaźnik

przy σ informuje, Ŝe jest to składowa normalna napręŜenia, przynaleŜna przekrojowi, którego normalna zewnętrzna posiada kierunek tej osi. Pierwszy wskaźnik przy τ mówi to samo o kaŜdej z dwóch składowych stycznych napręŜenia, wskaźnik drugi określa kierunek kaŜdej z tych osi.

Równania całkowe równowagi.

2. Rozciąganie i ściskanie. NapręŜenia. Odkształcenia podłuŜne i poprzeczne. Prawo Hooka dla jednoosiowego stanu napręŜenia. Wykres rozciągania i ściskania. NapręŜenia dopuszczalne. Wymiarowanie przekrojów. Rozciąganie: Przypadek rozciągania ma miejsce, kiedy siły wewnętrzne w przekroju poprzecznym pręta zredukowane do środka cięŜkości przekroju sprowadzają się do siły wypadkowej N, działającej wzdłuŜ osi pręta, zgodnie z wektorem normalnym n do przekroju.

Ściskanie: Przy ściskaniu, siła wypadkowa ma zwrot przeciwny do wektora normalnego. Siłe wewnętrzną N obliczyć moŜna jako sumę elementarnych sił wewnętrznych: dN=σndA na powierzchni A. N = ∫ σ n dA A

NapręŜenia: Przy załoŜeniu jednorodności rozkładu napręŜeń (σ0=const.), stałość przekroju A na długości pręta oraz jednorodność materiału pręta, napręŜenia moŜna obliczyć jako: σn=N/A. Jednak ten warunek zachodzi jedynie w przekroju oddalonym od punktu przyłoŜenia siły o więcej niŜ maksymalny wymiar liniowy przekroju (rys. 3.2).

W przypadku obciąŜenia pręta pryzmatycznego róŜnymi układami obciąŜeń statycznie równowaŜnych, w pobliŜu powierzchni przyłoŜenia obciąŜenia rozkłady napręŜeń na przekroju pręta są niejednorodne, natomiast w odległości większej od największego wymiaru przekroju poprzecznego , wpływ sposobu przyłoŜenia sił zewnętrznych staje się znikomy i moŜna go zaniedbać. Odkształcenie – miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym.

Odkształcenia podłuŜne (względne jednostkowe): związane są ze zmianą długości pręta; l dx '− dx du moŜna je określić wzorami: ε x = = ; ∆l = ∫ ε x dx = ε x ⋅ l , gdzie ∆l to całkowite dx dx 0 wydłuŜenie pręta oraz εx=const. ∆l = l’- l; Odkształcenia poprzeczne: związane są ze zmianą szerokości pręta; moŜna je d /2 dy '− dy dv określić wzorami: ε y = =− ; ∆d = − ∫ ε y dy = −ε y ⋅ d , ∆d = d’- d; dy dy −d / 2

P ⋅l „Ut tensio sie vis” -takie odkształcenie jaka siła. E⋅A Dla większości ciał stałych w pewnym zakresie napręŜeń istnieje liniowa zaleŜność pomiędzy napręŜeniami i odkształceniami tzn. odkształcenie jest wprost proporcjonalne do odkształcenia, które je wywołało. Dla jednorodnych napręŜeń normalnych σn wywołanych siłą P, prawdziwy jest wykres:

Prawo Hooke'a:

∆l =

R=P

R=P

A

σ N

∑Piz=0
∫σz dA - N=0 σz ∫dA=N => σz= N/A ∑Piz=P-N=0 P=N

P P z

Wyprowadzenie prawa Hooke’a: 1 ∆l εz = σz εz = E l

σz =

P A

∆l 1 P = ⋅ l E A

∆l =

P ⋅l . E⋅A

E - moduł spręŜystości poprzecznej (moduł younga); Est=2,1*105 MPa; EAl=0,15*105 MPa EA - iloczyn modułu younga i pola przekroju nazywamy sztywnością na rozciąganie i ściskanie;

Wykres rozciągania dla stali miękkiej (niskowęglowej, 0,3%C):

Wykres rozciągania innych metali:

Rozciąganie

Ściskanie

Warunki wytrzymałości kształtowania konstrukcji (wymiarowanie przekrojów): Aby obliczyć wytrzymałość elementów konstrukcji, tzn. tak zaprojektować wymiary tego elementu aby spełnić warunki: -ekonomii; -lekkości -sztywności; -związany jest z charakterem pracy oraz geometrią konkretnej konstrukcji, sprawdzać naleŜy w przypadku zadanych dopuszczalnych przemieszczeń ∆ldop. Warunek ten dla pręta pryzmatycznego ściskanego lub rozciąganego zapisać moŜna: Pl ∆l = ≤ ∆ldop EA

-warunek bezpieczeństwa: wyraŜa postulat: aby napręŜenia przekroju projektowanego elementu były co najwyŜej równe napręŜeniom dopuszczalnym. NapręŜenia dopuszczalne jest to stosunek napręŜenia krytycznego do załoŜonego współczynnika bezpieczeństwa. σ≤k k=K/n K=Re -pojawienie się odkształceń plastycznych. Pod pojęciem współczynnika bezpieczeństwa przyjmujemy liczbę niemianowaną „n” wskazującą ile razy napręŜenie dop. jest mniejsze od napręŜenia krytycznego. wg A. Bluma: n=1,5-1,7; n=2,3; n=8-10;

σ=

R R P ≤ kr = e (lub kr= m dla materiałów elasto-kruchych) . A ne nm

R P ≤ kr = m A nm R P σ = ≤ kc = c A nc

σ=

3 Zasada de ST. Venanta, zjawisko spiętrzania napręŜeń, napręŜenia wstępne zagadnia statycznie nie wyznaczalne przy rozciaganiu i sciskaniu Hipoteza de ST. Venanta (1837): Miara wytęŜenia jest największe odkształcenie jednostkowe Ε Zgodnie z tą hipoteza wartość największego odkształcenia jednostkowego dla danego złoŜonego stanu napręŜenia nie moŜe przekroczyc wartości dopuszczalnego odkształcenia jednostkowego. Określonego na podstawie próby jednoosiowego rozciagania.

E1 > E 2 > E 3 1 Emax = E1 = [σ 1 − V (σ 2 + σ 3 )] E

Zaś wartość dopuszczalnego odkształcenia jednostkowego dla jednoosiowego rozciagania będzie równe:

Emax = E1 =

1 k [σ 1 − V (σ 2 + σ 3 )] ≤ E E

Hip de ST. Venanta daje wyniki pokrywające się z doświdczeniem dla mat spręŜysto – kruchych. Natomiast do zastosowania dla mat spręŜysto – kruchych daje duŜe niezgodności poniewaŜ mówi Ŝe próbka rozciagana w 2 lub 3 kierunkach była by bardziej wytrzymała niŜ próbka rozciagana w jednym kierunku. Z przypadkami statycznie nie wyznaczalnymi mamy do czynienia wówczas gdy w danym układnie liczba niewiadomych sił (zwykle reakcji wiezów) jest większa od liczby równań równowagi. Stopień statycznej niewyznaczalności jest to liczba okreslajaca nadwyŜke liczby niewiadomych ponad liczbe pozostałych dysponowanych równań statyki. Dodatkowe równania zapiszemy reprezentując spręŜyste odkształcenia układu w formie tzw. Równań zgodności przemieszczeń.

Nz=r-1  dla układów liniowych Nz=r-2  dla układu płaskiego Nz=r-3  dla układu płaskiego dowolnego

Wtedy korzystamy z równań zgodności odkształceń Zasada superpozycji skutku – skutek działania układu sił na ciała rzeczywiste w określonym punkcie i na określonym kierunku równa się sumie algebraicznej skutków działania kaŜdej z sił układu rozpatrywane osobno w określonym punkcie i na określonym kierunku. NAPREZENIA WSTEPNE – napręŜenia wywołane bez udziału właściwych obciąŜeń nazywamy napręŜeniami wstępnymi. JeŜeli są one spowodowane zestawieniem części wykonanych z pewnymi niedokładnościami wymiarowymi nazywamy je zestawieniowymi lub montaŜowymi. W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych nieznaczne nawet odchyłki wymiarowe mogą spowodować znaczne napręŜenia wstępne, często trudne do przewidzenia. Ten stan moŜe pogorszyć wytrzymałość konstrukcji . Stan te moŜna jednak wywołać celowo, aby pod obciąŜeniem wystąpił najodpowiedniejszy rozkład sił wewnętrznych i w rezultacie wzrosła efektywnie wytrzymałość konstrukcji.

4 Geometryczne charakterystyki przekroju. Momenty statyczne. Momenty bezwładności. Transformacja przez obrót i przesunięcie. Geometryczne charakterystyki przekroju: Momenty statyczne S [cm3 m3 ] pole A figury płaskiej względem osi x, y określić moŜna z zaleŜności: S x = ∫ ydA A

S y = ∫ xdA A

Momenty statyczne mogą przyjmować wartości dodatnie, ujemne lub równe zero. Momenty statyczne obliczone względem osi symetrii lub względem prostych przechodzących przez środek symetrii są równe zero.

Środek cięŜkości (Xc, Yc)jest punktem przyłoŜenia wypadkowej cięŜarów (geometrii) wszystkich cząstek ciała bez względu na orientacje ciała przestrzeni. Obliczamy go z wzoru: xdA S y ∫A xc = = A A ydA S x ∫A yc = = A A S x = yc * A śeby nie zamazywać rysunku nie wpisałem wszystkich odległości. Robi się to analogicznie jak na rysunku.

S y = xc * A n

S x = ∑ yci * Ai i =1 n

S y = ∑ xci * Ai i =1

Osie centralne – osie przechodzące przez środek figury płaskiej. Przy szukaniu środka cięŜkości figury płaskiej korzystamy z twierdzeń: -JeŜeli figura ma oś symetrii, to ta oś przechodzi przez środek cięŜkości figury. -JeŜeli figura posiada środek symetrii, to jest on równocześnie środkiem cięŜkości tej figury.

Moment bezwładności[cm4, m4] I pole figury płaskiej A względem osi x, y prostopadłego układu współrzędnych. Moment bezwładności figury płaskiej (II rzędu)moŜe być tylko dodatni. I x = ∫ y 2 dA A

I y = ∫ x 2 dA A

I 0 = ∫ ρ 2 dA = ∫ ( x 2 + y 2 )dA = I x + I y A

A

ρ =x +y 2

2

2

Moment dewiacji – ośrodkowy moment bezwładności względem prostokątnego układu osi xy Dxy = ∫ xydA A

Promień bezwładności- i -pole A figury płaskiej względem osi lub bieguna nazywamy odległość, w której umieszczona całkowita powierzchnia A daje moment bezwładności względem tej prostej lub tego bieguna równy momentowi samej figury. I ix = x A

iy =

Iy A

I0 A = ix 2 + i y 2

i0 = i0 2

Twierdzenie Steinera: Moment bezwładności pola A figury płaskiej względem prostej równa się momentowi bezwładności tej figury względem prostej do niej równoległej i przechodzącej przez środek cięŜkości pola, plus iloczyn pola A figury i kwadratu odległości obu prostych. Wzory Steinera określają zaleŜność między momentem bezwładności przy transformacji układu przez równoległe przesunięcie osi ze środka cięŜkości przekroju,

I x = I xc + a 2 A

Iw = Ic + r2 A

I y = I yc + b 2 A

Dxy = Dxc yc + abA

Transformacja układu przez obrót I u = I x cos2 α + I y sin 2 α − Dxy sin 2α I v = I x sin 2 α + I y cos 2 α + Dxy sin 2α 1 Duv = Dxy cos 2α + ( I x − I y )sin 2α 2 Główne osie bezwładności- są to osie względem, których oblicza się główne momenty bezwładności. Momenty bezwładności obliczone względem

układu tych osi przyjmują wartość ekstremalną i nazywamy je głównymi momentami bezwładności.

I max,min = I1,2 =

Ix + I y

± (

Ix − I y

)2 + Dxy 2

2 2 Główne osie bezwładności przechodzące przez środek cięŜkości figury nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, a momenty względem ni obliczone głównymi centralnymi momentami bezwładności. Momenty figur płaskich:

-prostokąt bh 3 Ix = 12 hb3 Iy = 12

-trójkąt równoramienny bh 3 Ix = 36 hb3 Iy = 48

-koło Ix = Iy =

πd4 64

5. Stan napręŜenia. Jedno, dwu i trójosiowy stan napręŜenia. NapręŜenie główne. Transformacja z kierunków głównych. Transformacja na kierunki główne. Koło Mohra. Stanem napręŜenia - ogół napręŜę występujących w danym punkcie. Stan napręŜeń moŜe być: -jednorodny (rozkład napręŜeń jest funkcją liniową) -niejednorodny (rozkład napręŜeń nie jest funkcją liniową)

Pod pojęciem jednoosiowego stanu napręŜenia rozumiemy taki stan, w którym niezaleŜnie od wykonanego myślowego przekroju, napręŜenie posiada stały kierunek -zwany kierunkiem głównym. Przekrój, w którym napręŜenie styczne przyjmuje wartość zero, a napręŜenie normalne przyjmuje wartość ekstremalną, nosi nazwę przekroju głównego, zaś napręŜenie normalne nazywamy głównym.

σn =

σ1 σ1 2

+

σ nv = −

2

σ1 2

σ1 σ1

⋅ cos 2α ;

σv =

⋅ sin 2α ;

σ vn =

2

σ1 2

−

2

⋅ cos 2α

⋅ sin 2α

Prawo Cauchy: | τ nv |=| τ vn |

Dwuosiowy (płaski) stan napręŜenia -stan napręŜenia w którym, nie zaleŜnie od wykonanego przekroju napręŜenia zawsze leŜą w jednej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną stanu napręŜenia.

Trójosiowy (przestrzenny) stan napręŜenia: Jest to taki przypadek stanu napręŜeń w którym w kaŜdym przekroju myślowym napręŜenie posiada inny kierunek.

Tensor napręŜeń: σ x τ xy τ zx  T = σij = τ yx σ y τ yz  τ zx τ zy σ z   

Transformacja z kierunków głównych na dowolne:

σx =

σ1 + σ 2

σ1 − σ 2

⋅ cos 2α 2 2 σ + σ 2 σ1 − σ 2 σy = 1 − ⋅ cos 2α 2 2 σ −σ σ xy = − 1 2 ⋅ sin 2α 2 σ1 − σ 2 σ yx = ⋅ sin 2α 2 +

Transformacja z kierunków dowolnych na kierunki główne:

σ x +σ y

1 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy2 2 2 σ +σ y 1 σ2 = x − (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy2 2 2 2τ xy tg 2α = σ x −σ y

σ1 =

+

Koło Mohra - graficzna reprezentacja stanu napręŜenia w danym punkcie!

Wyprowadzenie:

Kolo Mohra dla przestrzennego stanu napręŜenia:

Uogólnione prawo Hooka dla kierunków głównych: 1 ε 1 = [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] E 1 ε 2 = [σ 2 −ν (σ 1 + σ 3 )] E 1 ε 3 = [σ 3 −ν (σ 1 + σ 2 )] E Przykłady szczególnych stanów napręŜeń (koła Mohra): - Jednoosiowe rozciąganie i ściskanie: 1 1 σ x = σ (1 + cos 2α ) ; σ y = σ (1 − cos 2α ) ; 2 2 Rozciąganie (σ1 > 0; σ2=0)

1 2

τ xy = − σ sin 2α Ściskanie (σ1 = 0; σ2<0)

τ σ

σ1

τ σ

σ2

- Ścinanie: σ x = σ cos 2α ;

σ y = −σ cos 2α ;

τ xy = −σ sin 2α

(σ1 = -σ2)

τ σ

σ2

σ1

6. Teoria stanu odkształcenia. Prawo Hooke’a dla ciał izotropowych. Odkształcenia główne. Dylatacja. Teoria stanu odkształcenia Twierdzenie W pewnych granicach własności danego materiału kąt odkształcenia postaciowego jest wprost proporcjonalny do napręŜenia stycznego, które je wywarło. Stanem odkształcenia w punkcie nazywamy ogół odkształceń ( liniowych ε x , ε y , ε z i kątowych γ xy , γ xz , γ yz ) we wszystkich dowolnie zorientowanych elementach przekroju zawierających ten punkt. Elementarny prostopadłościan pod wpływem obciąŜenia ulega deformacji liniowej ε x , ε y , ε z oraz deformacji kątowej ( postaciowej ) γ xy , γ yz , γ zx . Stan odkształcenia moŜna zapisać w postaci macierzowej, która jest reprezentacją tensora stanu odkształcenia: 1 1   γ xy γ xz  εx 2 2    1 1   ε ij = γ yx ε y γ yz 2 2  1   γ zx 1 γ zy εz  2  2  Dla płaskiego stanu odkształcenia: 1   γ xy 0   εx 2   1  ε ij = γ yx ε y 0  2   0 0 0     Tensor odkształcenia jest analogiczny do tensora napręŜeń i analizuje się go ????????? Prawo Hooke’a dla ciał izotropowych

Określa związki między stanem napręŜenia i stanu odkształcenia materiału jednorodnego i izotropowego w najogólniejszym stanie napręŜenia, czyli przestrzenny stan napręŜenia. 1 ε 1 = [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] E 1 ε 2 = [σ 2 −ν (σ 1 + σ 3 )] E 1 ε 3 = [σ 3 −ν (σ 1 + σ 2 )] E Płaski stan odkształcenia σ 3 = 0 1 ε1 = (σ 1 −νσ 2 ) E 1 ε 2 = (σ 2 −νσ 1 ) E

ε3 = −

ν

(σ 1 + σ 2 ) E ZaleŜność między modułem Young’a E ,modułem Kirchoffa G i współczynnikiem Poissona

ν

E 2(1 + ν ) Znając wartości odkształceń głównych ε 1 , ε 2 moŜna obliczyć napręŜenia: E σ1 = (ε1 + νε 2 ) 1 −ν 2 E σ2 = (ε 2 + νε1 ) 1 −ν 2 Dla kierunków dowolnych dowierzają zaleŜności τ 1 ε x = [σ x −ν (σ y + σ z )] γ xy = xy E G τ 1 ε y = [σ y −ν (σ z + σ x )] γ yz = yz E G τ zx 1 ε z = [σ z −ν (σ x + σ y )] γ zx = E G G=

KURWA BRAKUJE ODKSZT GL I DYLATACJI , KURWA HUJ WIE CO TO JEST W NECIE PISZE ZE ZWIAZANE Z PREDK KOSM, ALBO OTWOR W BUDOWN.

Ścinanie techniczne – przypadek wytrzymałościowy określany jako tzw. Ścinanie czyste, jest to stan napręŜenia, który scharakteryzować moŜna wyłącznie poprzez napręŜenia styczne. P warunek na ścinanie: τ = ≤ kt A P – siła ścinająca A – przekrój ścinany kt – napręŜenie dopuszczalne na ścinanie. W przypadku połączeń nitowych zakłada się równomierny rozkład sił ścinających na wszystkie nity przy uwzględnieniu liczby płaszczyzn cięcia nita. n – ilość nitów 4⋅ P τ= ≤ kt i – liczba powierzchni ścinania

n ⋅ i ⋅π ⋅ d 2

NapręŜenia na docisk powierzchniowy obliczyć moŜna z warunku: P ≤ pdop pd = Ad – sumaryczna obliczeniowa powierzchnia na docisk Ad pdop – napręŜenia dopuszczalne na docisk Dla połączenia nitowego warunek na docisk: n – obliczeniowa liczba nitów P pdop = (2-2,5)kc pd = ≤ pdop

n ⋅ d ⋅ g min

Ad =d gmin - rzut powierzchni docisku na płaszczyznę średnicową nita dla blachy o minimalnej grubości w połączeniu.

PoniewaŜ wykonywanie otworów na nity osłabia elementy łączone, konieczne jest sprawdzenie warunku bezpieczeństwa na rozciąganie.

σr =

P ≤ kr Anetto

Anetto = g1 (b-d) Widzimy Ŝe zastosowanie więcej niŜ 4 nity mija się z celem gdyŜ kolejne nity nie przenoszą obciąŜeń, tylko osłabiają przekrój.

n≥

4⋅ P π ⋅ d 2 ⋅ kt ⋅ i

Dla połączeń spawanych ze spoinami pachwinowymi zakłada się, Ŝe zniszczenie następuje w wyniku ścięcia w płaszczyźnie najsłabszego przekroju a . ls spoiny. P ≤ kts L⋅a L – obliczeniowa długość spoiny a – obliczeniowa grubość spoiny kts – napręŜenia dopuszczalne na ścinanie Dla spoiny czołowej jako grubość obliczeniową a spoiny przyjmuje się wysokość trójkąta wpisanego w przekrój spoiny. Maksymalna wartość a moŜna obliczyć jako: 2 a= ⋅ g min ≅ 0, 7 ⋅ g min , gdzie gmin jest grubością cienkiego z łączonych elementów. 2

Warunek bezpieczeństwa: τ =

Spoiny pachwinowe: a=g

8 Skrecanie pretów o przekroju kołowym. NapręŜenia i odkształcenia przy skrecaniu Skręcanie – jest to taki przypadek wytrzymałości materiałów w którym na wynik redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy w tym przekroju moment skręcający. Moment skręcający jest to algebraiczna suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta. Moment ten będziemy uwaŜać za dodatni, jeŜeli jego wektor posiada zwrot zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej do przekroju, w przypadku przeciwnym moment skręcający uwaŜać będziemy za ujemny.

W przekroju poprzecznym prostopadłym do osi pręta podpartego i obciąŜonego występują tylko napręŜenia styczne do promienia.

τp =

M0 p l0

Tp – napręŜenia styczne w punktach odległych o „r” od środa przekroju Ms – moment skręcający w danym przekroju Io – biegunowy moment bezwładności pola przekroju względem środka koła Największe napręŜenia styczne w danym przekroju występują we włóknach skrajnych p=pmac

τ max = W0 =

Ms Ms pmax = I0 W0

I0 pmax

W0 – wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu. Diagram skręcający – jest to graficzna ilustracja przekroju momentu skręcającego w funkcji długości pręta. Hipoteza płaskich przekrojów - stanowi ze przekrój przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu. NapręŜenia σ 1 = τ , σ 2 = −τ

Ms ≤ kr , W0 = 0, 2d 3 W0 Ms * l 180 rad π Sztywność : ϕ = ≤ ϕdop , ϕ o = ϕ rad ,ϕ = ϕ π G * I0 180 Warunek bezpieczeństwa na skręcanie

∑ Miz = −M

τ max ≤

+ M0 − MB = 0 Równania statyki nie wystarczają, trzeba równania zgodności odkształceń (stosujemy zasade superpozycji) ϕ0 + ϕ B = 0 - podstawiamy i redukujemy Mo * Yz −M B * l ϕ0 = ;ϕ B = G * Io G * IB M Mo = MB → MA − MB = 0 2 2 l 0≤ z< 2 A

∑ Miz = −M M s1 = M A =

A

+ M s1 = 0

M0 2

l ≤Z
M0 M − M0 = − 0 2 2

9 Siły wewnętrzne w pretach zginanych. Def momentu zginającego o siły poprzecznej. Wykresy sił poprzecznych i momentów zginających. Wzory Schwedlera – śurawskiego Zginanie Tw Schwedlera – śurawskiego Obliczanie bedek Zginanie jest to przypadek wytrzymałości materiałów w którym na wynik redukcji wszystkich sił zawietrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju wzgladem srodka cieŜkości tego przekroju otrzymamy moment gnacy. Moment gnocy – algebraiczna suma momentu wszystkich sił zewnętrznych działających po jednaj stronie myślowego przekroju w płaszczyźnie przechodzącej przez oś pręta Belka – pręt prosty w którym za pośrednictwem odpowiednio pomyślanych (dobranych) więzów odebrano odpowiednia ilsc stopnie swobody Płaszczyzna główna zginania – płaszczyzna przechodzaca przez oś belki i przez jedną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju Strefa martwa (obojetna) – znajduje się miedzy strefa rozciagana a sciskaną Zginanie proste – jest to takie przypadek zginania w którym na wynik redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy moment gnacy i siłe poprzeczna; zaś płaszczyzną obciazonia zewnętrznego belki będzie się pokrywałą z jedną z płaszczyzn głównych ścinania belki.

Siła poprzeczna – algebraiczna suma wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju prostopadłych do osi belki. Tw. Schwedlera – śurawskiego Jest to związek miedzy momentem gnącym, siła poprzeczna i natęŜeniem obciąŜenia ciągłego dT ( z ) = −q ( z ) - pochodna siły poprzecznej po zmiennej długości belki równa się dz natęŜeniu obciąŜenia ciągłego ze znakiem ujemnym. dM ( z ) = T ( z) - pochodna momentu gnącego po zmiennej długości belki równa się sile dz poprzecznej w myślowym przekroju belki

Algorytm rozwiązywania belek prostych statycznie wyznaczalnych metoda myślowych przekrojów : 1. Przyjąć schemat obliczeniowy belki 2. wyznaczyc reakcje podporowe belki 3. sprawdzic poprawność wyznaczonych reakcji podporowych belki 4. ustalić równania przebiegu siły poprzecznej w przedziałach określoności belki 5. naryskować wykres siły poprzecznej w funkcji długości belki 6. ustalić równanie przebiegu momentu gnącego w przedziałach określoności belki 7. wykonać wykres przebiegu momentu gnącego w Dunki długości belki i zaznaczyć wartości ekstremalne w przedziałach określoności belki

DEFINICJA WYTRZYMALOSCI MATERIAŁÓW Wytrzymałość materiałów jest to nauka zajmujaca się badaniem materiału konstrukcji rzeczywistych określająca ich zdolność przenoszenia obciąŜeń zewnętrznych przez ta konstrukcje przy jej odporności (tej konstrukcji) na odkształcenie i zniszczenie.

10.Zginanie czyste w zgięciu prostym. Odkształcenia i napręŜenia. Wymiarowanie zginanych belek. Zginanie czyste w zginaniu prostym jest to taki przypadek zginania, w którym płaszczyzna obciąŜenia pokrywa się z płaszczyzna główna belki, a na wynik redukcji wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju belki otrzymamy moment gnący zaś siła poprzeczna będzie równa zero.

NapręŜenia NapręŜenia w przekroju poprzecznym belki wyznaczamy ze wzoru: M σ= g y Iz Gdzie: Mg – moment zginający w danym przekroju, Iz – moment bezwładności pola przekroju względem osi obojętnej z, y – odległość rozpatrywanego punktu przekroju do osi obojętnej z,

ZaleŜność ta została wyprowadzona po uwzględnieniu następujących załoŜeń: - przekrój płaski pozostaje po odkształceniu belki – płaski - istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania pary sił momentu gnącego - wystąpią wyłącznie napręŜenia normalne w przekrojach poprzecznych belki, w przekrojach podłuŜnych nie wystąpią Ŝadne napręŜenia. Dla przekrojów poprzecznych, symetrycznych względem osi obojętnej największe napręŜenia rozciągające we włóknach skrajnych belki równe są największym napręŜeniom ściskającym i wynoszą:

Wymiarowanie zginanych belek Dla tego przypadku, wymiarowania przekrojów belki dokonujemy z warunku wytrzymałościowego: M σ max = max ≤ k g Wg Gdzie: Mmax – największy moment zginający występujący w belce, Kg – napręŜenie dopuszczalne na zginanie.

Wzór moŜna stosować, gdy na danego materiału belki moŜemy przyjąć kg=kc=kr . W innych przypadkach naleŜy oddzielnie sprawdzić maksymalne napręŜenia rozciągające i ściskające. 11. Zginanie ukośne. Jednoczesne zginanie i rozciąganie ( ściskanie ). Oś obojętna. Rdzeń przekroju. Zginanie ukośne jest to taki przypadek zginania, w którym płaszczyzna obciąŜenia przechodzi przez oś belki, lecz nie pokrywa się z Ŝadną z głównych płaszczyzn zginania belki. Podczas określania napręŜeń i odkształceń zginanie ukośne zastępujemy dwoma zginaniami prostymi.

M x = M g sin α M y = M g cos α

σ=

Mg Ix

y+

Mg Iy

x=

M g sin α Ix

y+

M g cos α Iy

x

Oś obojętna - krawędź przecięcia się płaszczyzny obojętnej z płaszczyzną przekroju nosi nazwę osi obojętnej. Równanie płaszczyzny obojętnej:

σ0 =

M g sin α Ix

y0 +

M g cos α Iy

sin α cos α y0 = − x0 Ix Iy I x tgα = − x 0 I y y0 I tgα = − x ctgϕ Iy

x0 = 0

tgϕ = −

Ix ctgα Iy

Ściskanie mimośrodowe W przypadku redukcji otrzymamy siłę ściskającą N=P oraz dwa momenty zginające: M x = Px y p M y = Py x p Z czego widać, Ŝe napręŜenie w dowolnym punkcie przekroju będzie zaleŜało od współrzędnych x i y.

σA = −

My Px p P Mx P Py p − yA − xA = − − yA − xA = 0 A Ix IY A Ix Iy

ix =

Ix A

I x = ix2 A

−

iy =

,

Iy A

I y = i y2 A

,

Px p P Py p − 2 yA − 2 xA = 0 A ix A ix A 1+

yp i

2 x

yA +

σ 0 = 0 = 1+

yp ix2

xp i y2

xA = 0

y0 +

xp i y2

x0 = 0

Równanie osi obojętnej pozwala nam na wyznaczenie tzw. rdzenia przekroju. Rdzeń przekroju Jest to obszar wokół środka cięŜkości przekroju, wewnątrz którego moŜna umieścić punkt przyłoŜenia siły, bez wywołania napręŜeń o róŜnych znakach w całym przekroju

yp ix2

xp i y2

y0 = −1

x0 = −1

12.Linia ugięcia belki. Ugięcie i kąt ugięcia.

Pod pojęciem ugięcia rozumiemy przemieszczenie się środka cięŜkości przekroju poprzecznego belki pod wpływem obciąŜenia zewnętrznego na kierunku prostopadłym do nieodkształconej części belki. Linia ugięcia, miejsce geometryczne przekrojów poprzecznych belki na kierunku prostopadłym do nieodkształconej części belki. Maksymalne ugięcie oznaczamy f i nazywamy strzałką ugięcia. Kąt obrotu przekroju poprzecznego belki jest to kąt o jaki obróci się przekrój poprzeczny belki pod wpływem obciąŜenia zewnętrznego w stosunku do połoŜenia tego przekroju przed obciąŜeniem. Metoda analityczna 1 M (z) = EJ ρ

d2y dz 2 y' ' 1 + = ρ − 1 + ( y' ) 2

y' ' =

[

]

3

dy = tgϕ ≈ ϕ dz M ( z) y' ' =− EJ 1 EJy ' ' = − M ( z ) − - równanie róŜniczkowe ugięcia belki y' =

Metoda grafoanalityczna Metoda obciąŜeń wtórnych obliczenia przemieszczeń belki. W praktyce przy obliczaniu konstrukcji najczęściej wystarczy wyznaczyć ugięcie lub kąt obrotu przekroju w ściśle określonych miejscach belki bez wyprowadzania równań ogólnych. W tych przypadkach stosujemy metodę obciąŜeń wtórnych opartą na podobieństwie równań róŜniczkowych zachodzących pomiędzy ugięciem, momentem gnącym natęŜeniem obciąŜenia ciągłego.

EJy ' ' = − M ( z ) d2y EJ 2 = − M ( z ) dz 2 d M ( z) = −ω ( z ) dz 2

Wyobraźmy sobie inną belkę o takiej samej rozpiętości na które działa pewne obciąŜenie pionowe ciągłe o natęŜeniu ω (z ) i o zwrocie ku dołowi i to obciąŜenie będzie równe polu wykresu M(z). JeŜeli przyjmiemy Ŝe ω (z ) =M(z) czyli Ŝe na belkę wtórną działa obciąŜenie ciągłe zmieniające się według tej samej zaleŜności analitycznej co M(z) belki d 2 y d 2 M ( z) rzeczywistej to EJ 2 = dz dz 2 JeŜeli będziemy całkowali to równanie i przyjmując Ŝe CL=CP i DL=DP to =====

dy d M ( z ) _____ = EJϕ = = T ( z) otrzymujemy EJ dz dz ______

M ( z) Całkując po raz drugi otrzymamy y = EJ Wnioski: 1)JeŜeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej będzie równe 0 to moment fikcyjny lub wtórny będzie zero. 2)JeŜeli kąt obrotu ϕ belki rzeczywistej będzie równy zero to w tym przekroju belki siła fikcyjna teŜ musi być równa zero. 3)JeŜeli w którym kolwiek przekroju belki rzeczywiste ugięcie jest ≠ 0 i kąt obrotu ≠ 0 to moment ≠ 0 i siła fikcyjna T ≠ 0

13.Zjawisko utraty stateczności. Wyboczenie. Wyznaczanie sił i napręŜeń krytycznych przy wyboczeniu. Kryteria normowe. WYBOCZENIE jest to utrata stateczności ściskanego pręta objawiająca się zakrzywieniem prostoliniowej osi pręta pod wpływem nacisku osiowej siły ściskającej pręt.

Model wyboczeniowy:

bh3 12 hb3 Iy = = I min 12 Wybór największego momentu bezwładności Ix =

Wyboczenie spręŜyste: DEF. BLUMA: to znaczy takie, gdy po odciąŜeniu pręta wraca on do pierwotnego kształtu. Wyboczenie spręŜyste – wprowadzone przez EULERA: jest to utrata stateczności ściskanego pręta w zakresie działania prawa Hook’a. NapręŜenie krytyczne dla wyboczenia spręŜystego określone jest wzorem Eulera: π 2E lw δ kr = 2 gdzie λ = - smukłość pręta λ li lw – długość wyboczeniowa i – promień bezwładności Wyboczenie (spręŜyste) zachodzi w zakresie Eulerowskim, kiedy smukłość pręta jest większa od smukłości granicznej λ gr < λ Smukłość graniczną oblicza się wg zaleŜności: λ gr =

π 2E

RH RH- granica proporcjonalności

Wyboczenie niespręŜyste: przypadek kiedy smukłość pręta jest mniejsza od λ gr DEF BLUMA: to znaczy takie, gdy po odciąŜeniu pręta utrzymuje się jego wyboczony kształt λ < λ gr Wyboczenie niespręŜyste: jest to utrata stateczności pręta w zakresie przekraczającym zakres Hook’a, gdy napęŜenia ściskające przekroczą granicę proporcjonalności. W tym zakresie pojawiają się odkształcenia (niespręŜyste), a ich związki z napręŜeniami tracą charakter liniowy. Dla tego zakresu napręŜenia krytyczne wyznacza się na podstawie wzorów empirycznych:

* Wzór Tetmajera – Jasińskiego:

δ kr = a − bλ + cλ

2

Gdzie: a,b,c – stałe wyznaczane doświadczalnie, charakteryzujące właściwości materiału. Stałą c stosowano w przypadku Ŝeliwa jako materiału o charakterystyce nieliniowospręŜystej. Materiał

Wzór Tetmajera – Jasińskiego współczynniki

Stal niskowęglowa Stal (o zawartości 0, 28 ÷ 037 %C) Stal niklowa (do 5% Ni) Drewno miękkie (świerk)

λgr 105 100 86 100

a 310 464 470 29,3

b 1,14 3,62 2,30 0,194

Po przekroczeniu zakresu Eulerowskiego następuje aproksymacja liniowa.

Wzór Johnsona-Ostenfelda: 2

δ kr = A − Bλ

A,B – współczynniki materiałowe Materiał

Stal niskowęglowa Stal (o zawartości 0, 28 ÷ 037 %C) Stal niklowa (do 5% Ni) Drewno miękkie (świerk)

Wzór Johnsona-Ostenfelda współczynniki

λgr 116 84 94 90

a 310 464 470 29,3

b 0,0116 0,0260 0,0266 0,002

W przypadku znajomości wartości napręŜeń przyjmujemy, Ŝe krzywa wykresu przechodzi prez punkt o współrzędnych: λ=0, δ kr = Re , λ = λ gr Stąd otrzymujemy współczynniki: R −R A=Re; B = e 2 H λ gr

KRZYWA Johnsona – Ostenfelda wg wzoru:

Re− RH 2 δ kr = Re− 2 λ λ gr

Dla δ kr = δ H

Krzywa Johnsona – Ostenfelda wg wzoru:

Re2 2 σ kr = Re(1 − 2 λ ) 4π E

Po przekroczeniu zakresu Eulerowskiego następuje aproksymacja kwadratowa

>>> WYPROWADZENIE wzoru EULERA: <<< Pkr =

π E I min 2

( I zr ) 2

/:A

Pkr – siła krytyczna

lzr – długość zredukowana Pkr π E I min π Ei min A π 2E π 2E = σ kr = → = = = σ kr 2 lzr 2 λ A (l zr )2 A (lzr ) 2 A ( ) i min l λ – smukłość pręta zr i min 2

2

2

WZÓR Eulera:

π 2E σ kr = 2 λ Jeśli σ kr = RH → RH =

π 2E π 2E E 2 λ ⇒ gr = → λ gr = π 2 RH RH λ gr

MoŜliwości zamocowania końców pręta i ich długość zredukowana

Norma PN-90/B-03200 stateczność prętów i płyt. Stateczność- określeniem tym nazywa się równowagę zachodzącą w przypadku dowolnie małych początkowych wychyleń z połoŜenia równowagi, w wyniku którego ruch ciała jest taki Ŝe wychylenia jakiegokolwiek z nich nie są większe od początkowych. Niespełnienie tego warunku prowadzi nas do pojęcia równowagi niestatecznej. Model równowagi:

Norma PN-90/B-03200 jest normą budowlaną której przedmiotem jest obliczanie i projektowanie konstrukcji stalowych. Podaje ona podstawowe wartości napręŜeń dopuszczalnych zwanych napręŜeniami dopuszczalnymi R. Norma dzieli przekroje wedlug 4 klas: Przekrój klas I - wartości sił wewnętrznych moŜna wyznaczyć z uwzględnieniem plastycznego wyrównania momentów, nośność przekroju przy jego uplastycznieniu. W stanie pełnego uplastycznienia przy zginaniu przekroje klasy I wykazują zdolność do obrotu, niezbędną do plastycznej redystrybucji momentów zginających. Przekrój klasy II- wartość sił wewnętrznej naleŜy wyznaczyć w stanie spręŜystym, a nośność przekroju moŜna określić przy jego uplastycznieniu. Przekroje klasy 2 mogą osiągnąć nośność uogólnionego przegubu plastycznego, lecz w skutek miejscowej niestateczności plastycznej wykazują ograniczoną zdolność do obrotu, uniemoŜliwiając redystrybucję momentów zginających Przekrój klasy III- wartości sił wewnętrznych oraz nośność przekroju naleŜy wyznaczyć w stanie spręŜystym. Ich nośność jest uwarunkowana początkiem uplastycznienia strefy ściskowej

σ c max ≤ f d

Przekrój klasy IV- wartości sił wewnętrznych naleŜy wyznaczyć w stanie spręŜystym, a nośność przekroju naleŜy określić z uwzględnieniem utraty stateczności ścianek lub jego nośność nadkrytyczną. Przekroje klasy 4 tracą nośność przy największych napręŜeniach ściskających( lub średnic ścinających) mniejszych od granicy plastyczności. Z Wolnego Podstawy znormalizowanych obliczeń wytrzymałościowych w konstrukcjach prętowych stalowych podaje norma PN-80/B-03200. W normie tej podano dla stosowanych w kraju gatunków stali podstawowe wartości napręŜeń dopuszczalnych zwanych napręŜeniami obliczeniowymi R (w jednoosiowym stanie napręŜenia, rozciąganie, ściskanie, zginanie), R, (ścinanie), Rd (docisk). Pierwszą operacją w obliczeniach wytrzymałościowych na wyboczenie jest określenie długości wyboczeniowęj lw , przy czym norma rozszerza π 2 E I min zalecenie Pkr = , podając pewne szacunkowe moŜliwości uwzględnienia ( I zr ) 2 spręŜystości umocnień obu końców pręta. Obliczoną smukłość pręta X naleŜy przyrównać do smukłości Xp (porównawczej) zaleŜnej od napręŜeń obliczeniowych R (dla danego gatunku 1675 stali). MoŜna ją. obliczyć z zaleŜności λ p = gdzie R - wytrzymałość obliczeniowa, R [MPa] lub wyznaczyć z umieszczonej w normie tablicy. Dla danej wartości Xi Xp obliczonej z dokładnością 0,01 wyznacza się z tabeli 8.2 wartość współczynnika wyboczeniowego mw. Pręty proste o stałym przekroju, o smukłości X> 0,2 X p naleŜy sprawdzić na wyboczenie według wzoru P ⋅ mw ≤ R A gdzie: P –sila, A - całkowite pole przekroju pręta. Pręty osłabione otworami do połączeń śrubowych naleŜy dodatkowo sprawdzić wg wzoru P ≤ R gdzie Ant Ant - pole przekroju pręta w miejscu osłabionym otworem (tzw. netto).

14.WytęŜenie. hipotezy wytęŜeniowe. Zastosowanie hipotez w przypadku jednoczesnego zginania i skręcania. Obliczenia. Obliczenia wałów. Przez wytęŜenie materiału w punktach elementu konstrukcyjnego rozumiemy stan fizyczny materiału wywołany obciąŜeniem określającym stopień naraŜenia go na pojawienie się stanu niebezpiecznego. Przez stan niebezpieczny dla materiału rozumiemy utratę jego spójności lub pojawienie się w nim odkształceń trwałych. WytęŜenie zaleŜy więc z jednej strony od własności materiału, a z drugiej strony od składowych stanu napręŜeń w danym punkcie elementu konstrukcji. W ujęciu matematycznym wytęŜenie określa się jako funkcję składowych stanów napręŜenia W=f(σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz ). Postać tej funkcji zaleŜy od odpowiednio postawionej hipotezy wytęŜeniowej tzw. Hipotezy wytęŜenia. Aby określić warunki pojawiania się stanu niebezpiecznego materiału w danym punkcie elementu poddanego złoŜonemu stanowi napręŜenia naleŜy porównać wartości funkcji wytęŜenia dla tego stanu z wartości tej samej funkcji dla stanu wytęŜenia przyjmującego w próbce poddanej próbie statycznego rozciągania.

φ(σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz )=φ1 (σ1, σ2, σ3) = f(σo ) jeŜeli wartość napręŜenia w elemencie będzie równa wartości napręŜenia niebezpiecznego Re to kryterium pojawienia się stanu niebezpiecznego: φ(σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz )=Re W praktyce nie moŜna dopuścić do powstania stanu niebezpiecznego dlatego wprowadza się do obliczeń współczynnik bezpieczeństwa n przez który dzielimy granice plastyczności Re i otrzymujemy napręŜenia dopuszczalne: k=Re/n Porównując napręŜenia zastępcze z wartością napręŜenia dopuszczalnego k=Re/n otrzymano warunek wytrzymałościowy:

σzr =(σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz )= φ1 (σ1, σ2, σ3)≤k I.

Hipoteza największego napręŜenia normalnego; postawili ją Galileusz (1638), Leibniz (1684). Miarą wytęŜenia jest największe napręŜenie normalne.

Jak widać dla przestrzennego stanu napręŜenia określanego składowymi głównymi σ1, σ2, σ3 , wytęŜenie zaleŜy tylko od największego napręŜenia σ1. Natomiast nie zaleŜy od dwóch pozostałych. Warunek ten pozostaje w sprzeczności z wynikami doświadczenia dotyczącego złoŜonego stanu napręŜeń.

II.

Hipoteza de ST. Venanta

III.

Hipoteza największych napręŜeń stycznych. Coulomb (1776); potwierdzili Guest (1900) i Tregca (1872). U podstawy tej hipotezy leŜą dwa doświadczenia: Próbka betonowa w kształcie walca poddana równomiernemu ściskaniu. Na ściankach czołowych niszczy się w sposób charakterystyczny, a mianowicie w momencie zniszczenia tworzą się dwa stoŜki których tworzące nachylają się do płaszczyzny pod określonym kątem 450. W których występują maksymalne napręŜenia styczne. JeŜeli stalowy płaskownik poddamy rozciąganiu powyŜej granicy plastyczności pojawią się matowe prąŜki zwane liniami Ludersa, nachylone pod kątem 450, co świadczy Ŝe tam pojawią się maksymalne napręŜenia styczne czyli największe wytęŜenie materiału w przekrojach maksymalnych napręŜeń stycznych. Hipoteza ta przyjmuje za miary wytęŜenia maksymalne napręŜenia styczne.  σ1 − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 − σ1  ; ;  2 2 2   σ σ −σ k σ 1 ≠ 0 τ max = 1 = 1 3 ≤ 2 2 2 W ujęciu składowych dowolnych: σ +σ y 1 2 k σ 1,3 = x ± σ x + σ y ) + 4τ xy 2 = σ 0 ≤ ( 2 2 2 Tą hipotezę moŜna stosować dla materiałów których Rer=Rec (rozciąganie = ściskanie).

τ max (C − T − G ) = max 

Hipoteza M.T. Huber (1904). IV. Miarą wytęŜenia jest jednostkowa, właściwa energia odkształcenia postaciowego. Całkowita energia potencjalna odkształcenia:

φ = φv + φ p

v – objętości; p – postaci

1 − 2V 1 − 2V 2 σ x 2 + σ y2 + σ z2 ) [σ 1 + σ 2 + σ 3 ] = ( σ ⋅E σ ⋅E 1+V  2 2 2 φp = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )  =  σ ⋅E 2 2 1+V  2 = − + − + (σ x − σ z ) + σ (σ xy 2 + σ xz 2 + σ yz 2 )  σ σ σ σ ( ) ( ) x y y z   σ ⋅E 

φv =

Oryginalna wersja: ZwaŜywszy Ŝe odkształcenie objętościowe przy ściskaniu nie wpływa na niebezpieczeństwa pęknięcia, moŜna z wielkim prawdopodobieństwem uwaŜać energię potencjalną za miarę wytęŜenia. Wniosek ten wysunął się Huberowi przy rozwaŜaniu wytęŜenia materiału w przypadku trójosiowego równomiernego ściskania. Współcześnie hipoteza Hubera: Miarą wytęŜenia materiału jest ilość nagromadzonych w nim energii odkształcenia postaciowego niezaleŜnie od tego czy wartość energii powstała w przypadku jednoosiowego czy przestrzennego stanu napręŜeń.

V. Hipoteza prof. Burzyńskiego (1928). WytęŜenie materiału jest wyraŜone jako funkcja 3 niezmienników stanu napręŜeń. W = F ( s, t , u ) 1 (σ x + σ y + σ z ) 3 2 t= σ x 2 + σ y 2 + σ z 2 − σ yσ z − σ zσ x − σ xσ y + 3 (τ xy 2 + τ xz 2 + τ yz 2 ) 3 s=

(

u=

(σ σ σ x

y

z

)

+ 2τ xy + τ xz + τ yz − σ xτ yz 2 − σ yτ xz 2 − σ zτ xy 2 )

WytęŜenie to: W = F ( s, t ) u – ma bardzo małe znaczenie dla wytęŜenia materiałów.

15. Zginanie ze ścinaniem. Obliczanie belek o przekrojach złoŜonych. Jest to taki przypadek wytrzymałości złoŜonej gdzie po zredukowaniu sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowo przekroju względem środka cięŜkości otrzymamy moment zginający i siłę tnącą. T ( z ) ⋅ S xod τ yz = τ sc = I x ⋅ b( z )

σ z = σ g2 + 3τ sc2 σg =

Mg Wg

=

Mg Iz

y

Sodc = A

A - powierzchnia ścinania od środka cięŜkości od punktu Sodc – moment styczny części przekroju belki ograniczonej rzędną y i konturem przekroju względem osi obojętnej z. b b Sodc = ⋅ h ⋅ 2 4 3 bh Iy = 12

NapręŜenia zastępcze moŜna liczyć według dwóch hipotez: H-M-H σ z = σ 2 + 3τ 2 ≤ k z T-G σ z = σ 2 + 4τ 2 ≤ k z

Zginanie na oś y:

σg = y

M gy Wg y

=

M gy Iy

z - napręŜenie w punkcie przekroju

M g y = F2 ⋅ I Zginanie na oś z:

σg = z

M gz Wg z

=

M gz

M g z = F2 ⋅

Iz

y

h 2

Zginanie mimośrodowe Jest to taki przypadek zginania, w którym na wynik redukcji sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju względem środka cięŜkości otrzymamy siłę ściskającą ( rozciągającą) i 2 momenty gnące M x = P ⋅ yp M y = P ⋅ xp

16 Zginanie i skręcanie wałów o przekroju kołowym. Pojęcie momentu zastępczego zredukowanego. Wyprowadź wzory na moment zastępczy w przypadku hipotezy największych napręŜeń statycznych i energii właściwej odkształcenia postaciowego. Aby wyznaczyć napręŜenia w dowolnym punkcie przekroju wału, naleŜy określić wartości momentu zginającego Mg i skręcającego Ms. Dla wału okrągłego o średnicy d największe wartości napręŜeń składowych oblicza się ze wzorów: -normalne

σ max =

Mg

Wg -styczne M τ max = s W0 Wg =

πd3

32 πd3 W0 = 16 odległości od osi Rozkład napręŜeń jest proporcjonalny do proporcjonalny do odległości od obojętnej dla napręŜeń normalnych σ i środka cięŜkości przekroju dla napręŜenia stycznego τ . Wartość napręŜenia zredukowanego przy uwzględnieniu zmienności obciąŜeń:

σ z = σ 2 + ( mτ )2 m- współczynnik redukujący napręŜenia styczne do normalnych

3 2 Dla obustronnego zginania i obustronnego skręcania lub jednostronnego zginania i jednostronnego skręcania m = 3

•

Dla obustronnego zginania i jednostronnego skręcania m =

•

• Dla jednostronnego zginania i obustronne skręcanie m = 2 3 • UwaŜając, Ŝe dla materiałów spręŜysto-plastycznych (stal) najstosowniejsza jest hipoteza energii odkształcenia postaciowego:

σ red = σ max 2 + 3τ max 2 = (

Mg Wg

)2 + 3(

Dla przekrojów kołowych: W0 = 2Wg

Zatem:

σ red

3 ( M g )2 + ( M s )2 4 = Wg

Moment zastępczy (zredukowany): 3 M red = M g 2 + M s 2 4

Ms 2 ) ≤ σ dop W0

17. Metoda energetyczna wyznaczania przemieszczeń w układach prętowych. Przemieszczenie uogólnione. Siła uogólniona. Energia spręŜysta w typowych układach wytrzymałościowych. Twierdzenie Castigliano, Maxwella Mohra, Wereszczagina. Uogólnione tw. Castigliano: Pochodna energii uzupełniającej względem wartości uogólnionej siły P, równa jest odpowiadającej tej sile przemieszczeniu uogólnionemu u. Twierdzenie to wyraŜa równanie:

∂Vi ∂Pi Twierdzenie Castigliano znalazło swoje zastosowanie w układach liniowo spręŜystych. Pochodna cząstkowa energii spręŜystej całego układu liniowo spręŜystego względem jednej z niezaleŜnie działających sil obciąŜających jest równa odpowiadającemu tej sile przemieszczeniu. ∂V ui = i ∂Pi W układach linowo spręŜystych energia U układu, równa pracy sił wewnętrznych, na 1 odpowiadających im przemieszczeniach określa się wzorem : U = ∑ Pi δ i 2 a po podstawieniu do wzoru U i = ∑ Pi δ i − V o otrzymuje się Ui=U ui =

1 1P 2 l Pl P∆L = ∆l = 2 EA EA Wykres linowo spręŜystej siły P i przemieszczenia δi Czyli nasza praca L =

U δii = ∫ Uδ = ∫ Uδ = ∫

T dz 2k t EA

M s2 dz 2ksEJ s M g2 2 EJ s

U RC = ∫

U RC = ∫

Uc=100%=Ug = ∫

dz

N2 2 EJ s

M g2 2 EI

dz

dz

W2 2( sztywnosc)

dz

A więc przemieszczenie δi (lub Pi ) =

∂U g ∂Pi

=

∂ ∂Pi

Mg 2 ( z ) 2 Mg ( z ) ∂Mg ( z 0 ∫l 2 EI dz = ∫l 2EI * ∂Pi dz

Rys. do Castigliano

Metoda obliczeniowa z tw. Castigliano . JeŜeli w zagadnieniu poszukiwane przemieszczenie odpowiada sile rzeczywiści działającej, to zastosowanie tw. Castigliano nie nastręcz Ŝadnych trudności. JeŜeli natomiast poszukuje się przemieszczenia , dla którego kierunku brak rzeczywistej siły, naleŜy po prostu załoŜyć w schemacie obciąŜeń siłę odpowiadającą poszukiwanemu przemieszczeniu, aby po zróŜniczkowaniu podstawić jej rzeczywistą wartość równą zero. Metoda Maxwella-Mohra

Układ sił obciąŜenia zewnętrznego powoduje pojawienie się na włóknach belki elementarnych sił wewnętrznych: - siły podłuŜnej Ni - siły poprzecznej Ti

-momenty gnące Mgi Metoda Maxwella-Mohra wyraŜana jest zaleŜnością l h 1 δ i = ∑ ∫ MgMg1 dl i =1 EI 0 Mg-moment pochodnej od siły rzeczywistej Mg1-moment pochodzący od siły jednostkowej Podobnie z siłami podłuŜnymi i poprzecznymi. Ogólne wyraŜenie na przemieszczenie w metodzie Maxwella-Mohra. N i N i' Ti Ti ' Mg i Mg i' f =∑ d si + ∑ β i d si + ∑ β i d si Ei Ai Gi Ai Ei I i li li li Metoda Maxwella-Mohra polega na obciąŜeniu belki siłą jednostkową w pkt. c rzędnego przemieszczenia i na jego kierunku, które spowoduje pionowe przemieszczenie tego pkt. równe odpowiednio w pkt. 1,2,3 przemieszczeni ∆1, ∆2, ∆3. Następnie rozpatrzymy belkę z obciąŜeniem zewnętrznym. Wówczas całkowite przemieszczenie będzie równe δ c + ∆c1 ; δ i = ∆1 Zakładając stopniowe obciąŜenie jednostkowe przyłoŜone jako pierwsze związek między 1 1 pracą a energią wewnętrzną w postaci (1,0)δc = ∑ ndl 2 2 n= osiowa siła rozciągająca dl= całkowite wydłuŜenie Przyjmując stopniowe obciąŜenie belki siłami P1, P2,P3 praca sił zewnętrznych wynosi 1 1 1 V ' = P1 ∆1 + P2 ∆ 2 + P3 ∆ 3 + (1,0)∆c 2 2 2 Człon (1,0)δc- praca przygotowana przez układ P1, P2,P3 w pkt C 1 U ' = ∑ Fdl + ∑ udl 2 Z zasady równowaŜności energii i pracy mamy: 1 1 1 1 1 1 (1,0)δc + P1 ∆ 1 + P2 ∆ 2 + P3 ∆ 3 + (1,0)∆c ∑ udl + ∑ ∆c + ∑ udl (1,0)∆c = ∑ udl 2 2 2 2 2 2 Dla przygotowanej belki mamy:

(1,0)∆c = ∑ udl ⇒ ∑ (

2 l A mMg dAdz l Mm y 2 dA ⇒ mJ Mg dA)( )dA = ∫ ∫ = dz ∫0 EI ∫0 0 0 J E EJ 2

l

Mm dz l Mm EI 0 ∆c =∫ dz 0 EI 1,0

∫

V' =

1 1 1 P1 ∆1 + P2 ∆ 2 + P3 ∆ 2 2 2

A

1 ∑ Fdl 2 U =V U=

1 1 1 P1 ∆ 1 + P2 ∆ 2 + P3 ∆ = y 2 2 2

Schemat i wzór obliczeniowy na przemieszczenie metodą Castigliano: f =

1 ∂Mg ( x) dx (b) EI ∫ ∂P

∂Mg ( x) -róŜniczka cząstkowa z momentu podług siły P ∂P 1) Siła działa w kierunku szukanego przemieszczenia wtedy działa wzór(b) i w pkt szukanego przemieszczenia 2) JeŜeli siła nie działa w kierunku szukanego przemieszczenia i w jego pkt na belce (ramie) naleŜy przyłoŜyć siłę o wartości rzeczywistej 0. Po wykonaniu obliczeń podstawić wartość zerowej siły Metoda Maxwella- Mohra f =

1 Mg ( x) Mg ' ( x)dx (c) EI ∫

Mg(x)-moment od siły jednostkowej W metodzie Maxwella-Mohra zamiast poszukiwania róŜniczki momentu podług siły, dany element obciąŜa się siłą jednostkową (dla kąta momentem) i oblicza się przemieszczenie ze wzoru(c). Siłę naleŜy przyłoŜyć w pkt poszukiwanego przemieszczenia

Sposób Wereszczagina- graficzny sposób wyznaczania przemieszczenia

19. Pełzanie i relaksacja napręŜeń. Reologia- nauka zajmująca się badaniem odkształceń zmieniających swoją wartość w czasie. Podstawowymi procesami reologicznymi są pełzanie i relaksacja. Pełzanie- jest to zjawisko powolnego odkształcenia się ciala pod wpływem długotrwałych obciąŜeń. Zjawisko to występuje w elementach konstrukcji poddanych obciąŜeniom o ustalonych wartościach. Elementy te ulegają odkształceniom niespręŜystym. Zjawisko pełzania w przypadku stali najlepiej widoczne jest w podwyŜszonych temp. Stopy lekkie czy tworzywa sztuczne ulegają juŜ w temp. pokojowej. Według Bluma: pełzanie jest to ciągły wzrost z czasem odkształceń materiału poddanego działaniu stałych co do wartości napręŜeń przy podwyŜszonej temp. Działanie temp. będzie powodować odkształcenie wzrastające w miarę wpływu czasu. Elementy podlegające pełzaniu: rury ciśnieniowe pracujące w podwyŜszonych temp., łopaty turbin. Relaksacja napręŜeń- jest to charakterystyczne zjawisko towarzyszące pełzaniu, polega na zmniejszeniu się napręŜeń w elementach poddanych długotrwałemu obciąŜeniu o stałej wartości. Występuje w śrubach kołnierzowych pracujących w wyŜszych temp. Naciągnięte śruby ulegają z biegiem czasu zwiększającym się odkształceniom niespręŜystym co prowadzi do zmniejszenia się wartości napręŜenia, w konsekwencji do zmniejszenia szczelności połączenia, przez co naleŜy okresowo dokręcać śruby. Granica pełzania- iloraz stałego obciąŜenia i przekroju początkowego próbki, które to obciąŜenie po upływie określonego czasu działania w danej temp. spowoduje trwałe wydłuŜenie próbki o określoną wartość. Wytrzymałością na pełzanie nazywa się iloraz stałego obciąŜenia i przekroju początkowego próbki, które to obciąŜenie po upływie określonego czasu działania w danej temp spowoduje rozerwanie próbki. Najczęściej stosując się w badaniach nad relaksacją

T = const V p − prędkosc V p = tgα =

∆ε ∆t

pelzania

Krzywa pełzania Przy obciąŜeniu próbki do podgrzanej temp. T odkształcenie wzrasta dość szybko(ε spręŜysty) do punktu A. Zakłada się Ŝe w punkcie A kończy się obciąŜenie próbki. Odkształcenie próbki z biegiem czasu wzrasta-materiał pełza. Odcinek B-C- pełzanie ustalone- prędkość pełzania jest stała, pełzanie odbywa się w 3 stadiach: A-B- zaleŜy do materiału, temperatury i obciąŜenia B-C- prędkość jest mała w stosunku do A-B C-D- następuje lokalne przewęŜenie przekroju poprzecznego wywołane wzrostem napręŜeń co powoduje wzrost prędkości pełzania. W punkcie D następuje zerwanie próbki- złom rozdzielczy.

Stopniowe zmniejszenie napręŜeń w obciąŜonym elemencie, którego całkowite odkształcenie pozostaje stałe, to zmniejszenie zachodzi na skutek stopniowego zmniejszenia się odkształceń spręŜystych i wzrastanie o tą wartość odkształcenia plastycznego. Relaksacja- pełzanie przy stałym ε=const. ε spr − odksztalcenia ε = ε spr + ε pl ε pl − odksztalcenia d ε spr d ε pl dε =0= + dt dt dt

ε spr =

gdzie :

σ spr

E dε σ pl σ pl = n ⋅ pl → ε pl = ⋅t dt n

ε=

σ spr

+

σ pl

⋅t / ⋅ f '(

) E n d ε 1 d ε spr σ pl = ⋅ + =0 dt E dt n

spręŜyste plastyczne

σ

A-B- w tym zakresie następuje zmniejszenie…. w elemencie przy towarzyszącym zmniejszeniu prędkości relaksacji. Ten okres zaleŜy od materiału, temperatury, itp. B-C- prędkość jest mniejsza niŜ w A-B 20. Prętowe ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił. Obliczanie statycznie niewyznaczalnych ustrojów prętowych. Do układów prętowych zaliczamy układy belkowe i ramowe. Ramą nazywamy strukturę węzłową połączoną węzłami sztywnymi. WyróŜniamy układy statycznie niewyznaczalne wewnętrznie lub zewnętrznie. N z = n − 3 - niewyznaczalność zewnętrzna n- ilość niewiadomych reakcji N w = 3 ⋅ t − 3( p + w − 1) - niewyznaczalność wewnętrzna t- ilość wycięć węzłów sztywnych p- ilość prętów w- ilość węzłów sztywnych

Nz = 5 − 3 = 2 N w = 3 ⋅ 4 − 3(3 + 2 − 1) = 0

Metoda sił: Równanie kanoniczne metody sił:

N z = n − 2 - bo nie ma reakcji poziomej n- ilość reakcji Nz = 4 − 2 = 2 2 podpory zastępuje myślowo reakcjami o wartości =1 i z zasady superpozycji. Skutek działania sił na ciało rzeczywiste w określonym punkcie na określonym kierunku jest równy sumie algebraicznej skutków działania kaŜdej z sił układów rozpatrywanego z osobna na określonym punkcie w określonym kierunku.

Twierdzenie Menabrea jest to szczególny przypadek tw. Castigliano i jest ono stosowane do wyznaczenia reakcji hiperstatycznych udziałów- w zaleŜności od tego ile mamy nadmiaru reakcji tyle potrzeba równań. Ogólny tok postępowania przy rozwiązywaniu układów statycznie niewyznaczalnych przy zastosowaniu zasady minimum enegii.