G Analiza matematyczna

Analiza matematyczna
Wykład I cz 1 18.02.15r.
Prof.zw.dr hab. Jerzy Mika
Analiza matematyczna
Część I – „Podstawy teoretyczne analizy matematycznej”
Część II – Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej i szeregi liczbowe oraz funkcyjne i ich zastosowania w naukach ekonomicznych”
Część III „Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych i ich zastosowania w naukach ekonomicznych”
Część IV – „Równania różniczkowe i ich zastosowania w naukach ekonomicznych
Przedmiot kończy się zaliczeniem i egzaminem . Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń
Ocena z egzaminu jest w dużej mierze zależna od ćwiczeń. Wszystkich studentów obowiązuje egzamin pisemny i ustny z zakresu treści zrealizowanych na wykładach i ćwiczeniach.
Zalecana literatura Mika J. – Elementy matematyki dla studentów ekonomii i zarządzania (teoria) AE niebieski Mika J + zespół Elementy matematyki dla studentów ekonomii i zarządzania. Zadania” AE zielony Mika J + zespół -//- zbiór zadań AE czerwony Mika J + zespół -//- zastosowania AE
Oczekiwane efekty kształcenia Student zna istotę , genezę i główne idee teoretyczne rachunku różniczkowego i rachunku oraz ich uniwersalnre znaczenia teoretyczne i zastosowania aplikacyjne. Student zna i rozumie elementy teorii rachunku różniczkowego i rachunku całkowitego oraz obaszary podstawowych ich zastosowań do analizaowania i rozwiązywania wybranych problemów z zakresu nauk ekonomicznych Studnet potrafi efektywnie rozwiązywać i analizować standardowe, elementarne problemy i zadania z zakresu rachunku różniczkowego i rachunku całkowego oraz samodzielnie formułować i analizować problemy o charakterze ekonomicznym i zarządczym z ich wykorzystaniem . Student zna ograniczenia własnej wiedzy w przyjętym obszarze matematyki i rozumie potrzebą dalszego kształcenia w tym zakresie . Student potrafi formułować jasen odpowiedzi . Głównie do ustnego egzaminu.
Nie będzie 11 marca i nie będzie 1 kwietnia wykładów.
20.02 17:10-18:40 s. 333A
27.02 17:10-18:40 s. 333A
Wykład I część 2 – 18.02.15r.
Analiza matematyczna
Analiza matematyczna -jeden z podstawowych działu matematyki, powstały na przełomie XVII i XVIIIw. (I.Newton, W . LEibnitz, L.Euler, D.J.Bernoulli)
Analiza matematyczna – wspołna nazwa wielu dyscyplin matematycznych opratych na pojęciach funkcji i granicy.
W skład analizy matematycznej wchodzi : Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej i wielu zmiennych Teoria szeregów Teoria równań różniczkowych i zwyczajnych i cząstkowych rzędu pierwszego Teoria równań różniczkowych czątkowych rzędu drugiego i wyższych rzędów Teoria równań całkowych Teoria funkcji analitycznych Rachunek wariacyjny
Uogólnieniem analizy matematycznej jest analiza funkcjonalna
Analiza funkcjonalna – dział matematyki powstały na początku XXw. (S. Banach)
Analiza funkcjonalna – badanie funkcji i przestrzeni funkcji metodami analizy matematycznej , algebry i topologii.Czechą charakterystyczną analizy funkjonalnej jest tendencja do geometryzacji
Wykład I część III Elementy teorii mnogości
Teoria mnogości – to dział matematyki , którego przedmiotem jest badanie ogólnych właściwości zbiorów.Pojęciami pierwotnymi teorii mnogości są Zbiór Prznależnośc elementu do zbioru
Aksjomatyka teorii mnogości (pewniki) (Ernst Zermelo) Aksjomat istnienia – Istnieje co najmniej jeden zbiór Aksjomat równości zbiorów - jeżeli zbiory A i B mają te same elementy to zbiory te są równe . Aksjomat sumy- Dla każdych zbiorów Ai B istnieje zbiór zawierający wszystkie elementy zbiorów A i B oraz nie zawierający innych elementów. Aksjomat podzbiorów (wyróżniania) - Dla każdego zbioru A i dowolnej formuły p(x) istnieje zbiór {xeA ; p(x) } Aksjomat zbioru potęgowego – dla każdego zbioru A istnieje zbiór P(A) ( lub inaczej 2A) o elementach będących wszystkimi podzbiorami zbioru A. Aksjomat wyboru – Dla dowolnego rozkładu zbioru A na niepuste i wzajemnie rozlączne podzbiory A , istnieje zbiór mający z każdym z tych podzbiorów dokładnie jeden element wspólny.
Szczególne zbory liczb Zbiór liczb naturalnych Pojęciami pierwotnymi w tym zakresie są: Liczba naturalna 1 własnośc następowania (bycia następnikiem ) Aksjomaty arytmetyki zbioru liczb naturalnych 1 jest liczbą naturalną 1 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej Dla każdej liczby naturalnej istnieje dokładnie jeden następnik . Dwie liczby naturalne mające ten sam następnik są równe. Jeżeli A jest podzbiorem zbori liczb naturlnym takim , że 1e A oraz dla każdej liczby naturalnej keA jesj następnik k+1eA to każda liczba naturalna należy do A. Jest to tzw. [Zasada indukcji matematycznej zupełnej] Zbiór liczb rzeczywistych Przyjmujemy następujące oznaczenia N= {1,2,3…} – zbiór liczb naturalnych, C= {…,-1,0,1….} - zbiór liczb całkowitych W= {m/n m,n e C n/=0 – zbiór liczb wymiernych Niewymierne to liczby które nie są postaci m/n np. pi , pierwiastek (2) oznaczmy Q R – liczby rzeczywiste
Liczby algebraiczne(są pierwiastaki równania) i nie algebraiczne(przestępne , które nie są pierwiastkami żadnego równania)
Ocenia się że więcej liczb jest niealgebraicznych to wie tylko natura.
Teoria mocy dział teorii mnogości dotyczący ilości zbiorów
Ilośc elementów zbioru skończonego nazywamy liczebnością zbioru.
Ilość elementów zboru nieskończonego nazywamy mocą zbioru.
Ilośc elementu zbioru A oznaczamyliczbami kardynalnymi nazewnictwo stworzył człowiek który stworzył teorie moce George Cantor card (A)
Uwagi Liczby kardynalne zbiorów skończonych są liczbami naturalnymi. Istnienie liczb kardynalnych jest aksjomatem teorii mocy. Zbiorom nieskończonym odpowiadają właściwe liczby kardynalne.
Dwa zbiory nazywamy równolicznymi , jeżeli każdemu elementowi jednego z tych zbiorów odpowiada dokładnie jeden element drugiego zbioru.
Zbiory skończone o tej samej ilości elementów są równolicznymi .
Zbiory nieskońcozne , których elementy moża ustawić w ciąg nazywamy zbiorami przeliczalnymi lub zbiorami mocy przeliczalnej. Zbiór liczb naturalnych N jest przeliczalny.to takie elementy k™óre można postawić w ciągu Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy symbolem : card (N) = N0 (hebrajski)
Równoliczne ze zbiorem N (liczb naturalnych) są np. zbiór W (liczb wymiernych ) oraz zbiór P (liczb parzystych ). Moc innych zbiorów przeliczalnych oznaczamy symbolem : N
Zbiór liczb rzeczywistych R nie jest przeliczalny.
Zbiór liczb rzeczywistych R jest mocy continuum, co oznaczamy symbolem card(R)= r (gotycki)
Podstawowe właśności mocy zbiorów i liczb kardynalnych
Twierdzenie Cantora
Moc zbioru jest mniejsza od mocy jego zbioru potęgowego czyli : card(A) < card [card[P(A)] = 2 card (A)
Uwaga Z powyższego twierdzenia wynika: Istnienie nieskończenie wielu różnych liczb kardynalnych. Nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów.
Hipoteza continuum Nie isnteje zbiór o mocy pośredniej między mocą zbioru liczb naturalnych i mocą zbioru liczb rzeczywistych , czyli nie istnieje liczba kardynalna większa od N(hebrajskie) i jednocześnie mniejsza od r.
Twierdzenie Gedla – wykazał że w każdej niesprzecznej teorii istnieją takie formuły takie zdania , których nie można i nigdy nie będzie można ani potwierdzić ani zanegować .
Wykład II 20.02.15r. Ciągi Definicja
Ciągiem nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych N o waertościach w pewnym zbiorze Y musimy znać informację ze szkoły średniej o funkcjach
Uwagi Dziedziną ciągą jest zbiór LN Gdy Y jest zbiorem liczbowym to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym
Gdy Y jest zbiorem funkcji to ciąg nazywamy ciągiem funkcyjnym
Gdy Y jest zbiorem macierzy to ciąg nazywamy ciągiem macierzowym itp. Definicja
Wartości funkcji będącej ciągiem nazywamy wyrazami ciągu nie ma miejsca w naukach ścisłych na własne nazwy czyli :
F(n)=an n-ty wyraz ciągu
Oraz
Ciąg o wyrazach a1,a2,a3,….,an oznaczamy symbolem {an}
Definicja
Ciąg nazywamy skończonym , jeżeli jego dziedziną jest skończony podzbiór zbioru liczb naturalnych . domyślnie słowo ciąg oznacza nieskończoność dlatego trzeba dodać słowo skończony
My zajmujemy się ciągami nieskończonymi bo jest z nimi większy problem.
Definicja Podciągiem ciągu {an} nazywamy ciąg {bn} którego dziedzina zawiera się w dziedzinie ciągu {an} podciąg jest to pewien fragment ciągu
Działania arytmetyczne na ciągach Jeżeli symbolem # oznaczymy działanie arytmetyczne to
{an}#{bn} = {an#bn} (dla dzielenia przyjmujemy bn≠ 0
Ciągi liczbowe Definicja
Ciąg {an} nazywamy ograniczonym jeżeli
W innym przypadku nazywamy go nieograniczonym Uwagi W przeciwnym przypadku ciąg nazywamy nieograniczonym Analogicznie definiuje się ciągi ograniczone od góry lub od dołu
Na podstawie definicji sformułować precyzyjne definicje ciągu ograniczonego od góry i ciągu ograniczonego od dołu
Ciągi monotoniczne Definicja
Ciąg {an}{ nazywamy rosnącym , jeżel
Język matematyczny jest bardziej ścisły i zrozumiały dla wszystkich .
Ciąg {an}{ nazywamy malejącym jeżeli :
Na podstawi definicji podać definicję rosnącego oraz malejącego
Def.
Ciąg rosnący lub malejący nazywamy monotonicznym
Ciąg nierosnący lub nie malejący nazywamy słabo monotonicznym
Szczególne rodzaje Ciągów Ciągi arytmetyczne określone są następująco a1=a gdzie r=const
Dla ciągów arytmetycznych prawdziwe są następujące wzory
An=a+(n-1)r
A1+a2+…+an=( (a1+an)n)/2
Niuans :suma może nie istnieć . Dokładnie będzie powiedziane kiedy będziemy omawiać szeregi Ciągi geometryczne określone są następująco: G1=b
b.
gdzie q=const
dla ciągów geometrycznych prawdziwe są następujące wzory
gn= b*q^(n-1)
q1+q2+…+qn =
q1+q2+…+qn=b*n dla : q=1
q1+q2+….+qn+…. = b/(1-q) gdy : |q|0 i oznaczamy symbolem f(x) czyli
(zeszyt z ręką ) (1)
Interpretacja geometryczna pierwszej pochodnej
Rysunek + (2)
f(x) – współczynnik kierunkowy stycznej S do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie x0.
Definicja funkcji różniczkowej w punkcie
Funkcję y=f(x) nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 e Df jeżeli ma ona pierwszą pochodną w tym punkcie .
W przypadku przeciwnym funkcję nazywamy nierózniczkowalną.
Wykład 25.03.15r.
Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania przebiegu zmienności funkcji
Ekstrema Globalne
Niech funkcja y=f(x) , jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i różniczkowalna w przedziale otwartym (a,b) oraz ma ekstrema lokalne w punktach x1- , x2- , … xk- - oznacza kreskę nad x
Definicja 1
Największą wartością funkcji w przedziale [a,b] nazywamy liczbę :
Max {f(x1-),…,f(xk-), f(a), f(b)}
Definicja 2
Najmniejszą wartością funkcji w przedziale [a,b] nazywamy liczbę najmniejszą liczbę będącą najmniejszą wartością spośród wartości funkcji w ekstremach lokalnych oraz na końcach przedziału określonej funkcji .
Min {f(x1-),…,f(xk-), f(a), f(b)}
Definicja 3
Najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale [a,b[]
Nazywamy ekstremami globalnymi funkcji f(x) w tym przedziale [a,b].
Wniosek Istnieją dwa rodzaje ekstremów globalnych mianowicie minima globalne i maksima globalne.
Uniwersalna metoda ekstremów globalnych
Aby wyznaczyć (przy przyjętych założeniach ) ekstrema globalne funkcji y=f(x) w przedziale [a,b] należy : Wyznaczyć wszystkie ekstrema lokalne w przedziale (a,b), Wyznaczyć wartości funkcji na końcach przedziału [a,b] Dokonać odpowiednich porównań (zgodnie z powyższymi definicjami )
Wypukłość funkcji
Definicja 1
Funkcję y = f(x) nazywamy wypukłą w przedziale [a,b], gdy jej wykres leży pod dowolną jej cięciwą lub nad dowolną styczną w tym przedziale .
Przykład (wypłukośc funkcji s – styczna c-cięciwa)
Definicja 2
Funkcję y = f(x) nazywamy wklęsłą w przedziale [a,b], gdy jej wykres leży nad dowolną jej cięciwą lub pod dowolną styczną w tym przedziale .
Uwaga
Funkcje wypukłe nazywa się również wypukłymi w dół.
Funkcje wklęsłe nazywa się również wypukłymi w górę.
Twierdzenie o wypukłości i wklęsłości funkcji
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to , by dwukrotnie różniczkowalna funkcja y=f(x) była wypukła lub wklęsła w rpzedziale a,b jest by pierwsza pochodna tej funkcji była montoniczna oraz : Jeżeli f” (x) >0 w przedziale z,b to funkcja y=f(x) jest wypukła w przedziale a,b Jeżeli f”(x)