Spis treści
S l owows tę pne
13 1. 1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.
Czymjescekonomecria Pojęcie modelu ekonometrycznego oraz terminologia zwi<1zana z modelowaniem Rolaczynnikalosowego Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Etapy budowania modelu Trochę historii
20 22
Eko11ometriadziśiju1ro
24
2. 1\fodelc j edn or ównaniowe liniowe
13
16
26
2.1. Definicja mode lu regresji liniowej 2.2. Wybór zmiennych objaśniaj'!cych do model u ekonometrycznego 2.2. l. Metoda pojemności infomrncyj nej Hdlwiga . 2.2.2. Mc1odaanalizygrnfów
29 33
2.3. Estymacja modelu 2.3. l. Klasyczny model regresji liniowej - założenia . 2.3.2. Klasyczna metoda najmniejszych kwadra1ów .
36 36 37
2.4. Weryfikacja modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. l. Ocena dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych 2.4.2. Testowanie parametrów strukturalnych modelu
52 53
26
2.4.3.Badanicw!ożeńosk/adnikachlosowych
2.5. Merytoryczna interpretacja paramc1rów strukturalnych os7.acowanych modeli 2.6. Uogólniony model regresji liniowej (UMRL) 2.6. l.Definicja - założenia
2.6.2. Es1ymacja Zadania 3. Moddl'ni l.'. linioWl'
uogólniona MNK
77 78 79 79
..................... .
3.1. Charak1crys1yka wybranych modeli nieliniowych 3.2. Estymacja MNK modeli 1r.insfom10wal11ych do postaci liniowej 3.2. l. Modele liniowe względem parametrów 3.2.2. Modele nie liniowe względem zmiennych i parnmetrów
113 121 122 129
Spis 3.3.
treści
MOOelcściślenieliniowe
169 169
170 177 186 186 19Q
194 195 199 202
220 224 237 245 250 253
26-0 270
6
Element y ekono111 etryc1.11ej a n a li1.y ry nku
29(1
6 . I. Wybrane mOOele rozkładu dochodów 6 .2. Ekonometryczna anali1.a popytu konsumpcyjnego 6.2.1. Makroekonomiczne funkcje popytu 6.2.2. Mikroc.konomiczncfunkcjepopytu 6.3. Analiza struktur wydatków i ich zróżnicowania Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29(1 314 316 326 346 352
375 375 375 379
383 383 388
392 392
Spis
treści
7.3.2.
l dentyfikuwalność
modelu
wspó! za!eżncgo
7.3.3. PośredniaMNK
7.3.4. Dwustopniowa (JXX!wójna) MNK 7.4. Wykorlyscanie modeli wielorównaniowych 7.4.l.Prognozowanic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Pos1aćkońcowai analizamnoinikowa Zadania
Odpowiedzi do
zadań
396 399
400 405 405 408 413 418
478
Przypadek rządzi ponad naszych dzialań, my kierujemy resztą.
polową
Niceo/o Machiavelli
Słowo wstępne
Idca wielkiego my ś liciela epoki włoskiego re nesansu Niccolo Machiavellego przy1oczona jako motto ma na celu określenie w sposób możliwie najbardziej zwięzły punktu widzenia autorów na procesy zachodzące w życiu gospodarczym i zaakcentowanie moż liwo ści występowania zdarze ń losowych również w tej dziedzinie. Ma ponadto u zmysło wić rolę przypadku wszystki m studiującym, a tym samym s kłonić do stosowania stochastycznego pod ej ścia we wszystkich interpretacjach analiz i prognoz ekonometrycznych realizowanych w sferze zjaw isk społeczno-gospodarczych Podn;cznik. który trafia do rąk Czytelnika, ma już swoją wcale niekrótką h i stori ę. Jej początki sięgają lat osiemdziesiątych ubieg łego stulecia. W 1981 r. w krakowskiej Akademii Ekonomicznej ujrzał św iatło dzienne skrypt uczelniany zatytułowany Zbiór zadmi z ekonome/rii opisowej. Skrypt miał dwa wydania: w 198 1 i 1986 r. Zbiór ten jest prapozycją dzisiejszego podręcznika. Jego redaktorem naukowym był nieżyjący już uznawany przez cały nasz zes pół za Nauczyciela i Profesora - Jan Czyżyński. Na bazie Zbiorn zadmi .. . w 1996 r. powstała kolejna pozycja, rozszerzona i ulepszona, a mianowicie wydany pr1.:ez Wydawnictwo Naukowe PWN podręcznik Wprowadzenie do ekonome/rii w przykładach i zadaniach pod redakcją Karola Kukuły. Mija już dwana śc ie lat od pojawienia się pierwszego wydani a Wprowadzenia .. . W tym czasie ukazało s i ę drugie poprawione i rozszerzone wydanie; ukazywały s i ę też liczne dodruki, co świad czy o dużym zainteresowaniu i zapotrzebowaniu na ten rodzaj pomocy dydaktycznej Obecnie zes pół autorski doszedł do przekonania, iż nads zedł czas na moderni zację ks i ążki. Nowy podręcznik bazując na układzie obu wydail Wprowadzenia do ekonometrii w przykładach i zadaniach (1996 i 1999), wzbogaca je o dodatkowy element w postaci niezbędnej dawki teorii poprzedzającej zadania. Dane empiryczne, będące osnową niektórych przykładów i zadań, zaktualizowano, wiele z nich wymieniono na inne, a także dołączono nowe. Cał ość tak skomponowano, aby podręcznik s tał s i ę w pełni wys t arczającą pomocą naukową dla studenta, nie zmuszając go do s i ęgania po inne pozycje. Oczywiśc i e, pragnący poszerzyć zakres swej wiedzy powinni we rtować podręczniki i monografie różnych autorów. Dokonane zmiany i uzupełnienia w pełn i uzasadniają nowy tytuł podręcznika Wt>rowadzenie do ekonomelrii K siążka przeznaczona jest dla osób s mdiujących ekonomi ę oraz zar1.:ądzani e zarówno w trybie stacjonarnym, jak i zaocznym, a także dla wykonawców określonych zadań
Słowo wstępne
b<1dawczych wymagaji1cych znajomości metod ekonometrycznych. Zamieszczone przykłady, s tanowiące miniatury rzeczywistych problemów badawczych, i ich rozwiązania sprzyjają samodzielnemu studiowaniu przedmiotu również w warunkach domowych. Zaproponowane zmiany, w naszym prt.:ekonaniu , pod n oszą walory dydaktyczne podręcz nika, czy ni ąc go bardziej autonomicznym; jego zawartość obejmuje tre śc i programowe zarówno wykładów jak i ćw i cze 1't Nastani e gospodarki rynkowej w Polsce i jej rozwój sprawia, i ż metody ekonometryczne oraz związane z nimi prognozowanie i sy mulacje gospodarcze c i eszą s ię coraz większym uznaniem i zapotrzebowani em społ eczn ym. Z n ajd ują liczne zastosowania w skali z<1równo mikro-, jak i rnakrogospodarki . Wszystko to stanowi istotną przes łankę doskonal enia już i st n iejących i powstawania nowych pomocy dydaktycznych, mającyc h za zadanie ułatwia ni e percepcji niezbędnej wiedzy z zakresu ekonometrii. Przedstawione argumenty są,j<1k s i ę wydaje. wystarczającym uzasadnieniem podjęcia decyzji napisania tej książki. Struktura każd ego z rozdziałów (oprócz pierwszego) jest niezmienna. Na rozdział s kł ada się: omówienie teoretyczne zagadnienia, prezentacja p rzy kład ów, a n astęp ni e zestaw zadań. Przykłady oraz zadania koresponduj ą z treścią merytorycznego wykładu na temat okreś l o n y w tytule rozdziału. Przykład y i zadania są numerowane w sposób ciąg ł y, tzn. każdy przykład i każde zadanie ma swój numer, który s i ę nic powtarza. Rozd zi ał pier wszy wprowadza Czytelnika w „św iat ekonometrii" . Omawia się zatem sam termin „ekonometria··, jego gen ezę oraz przedstawia próby jego zdefiniowania Opisuje się związki ł ączące e konom e tri ę z innymi dyscyplinami naukowymi. Szczególne miejsce poświęca s i ę modelom ekonometrycznym jako podstawowym narzędzi om dyscypliny. Omawia się problem l osowości w ekonomii i ekonometrii. Przedstawia etapy budowy modeli ekonometrycznych, a następnie prezentuje ich klasyfikacje w oparc iu o różne kryteria. Odrębna jego część przypada na zarys historii owej młodej dyscypliny, jaką jest ekonometria oraz próbę okre ś lenia roli.jaką ma do odegrania obecnie. Rozdział nie zaw iern ani p rt.:y kład ów, ani zadań . R ozd zi ał d rugi zawiera omówienie podstawowej klasy modeli, jaką sąjed norówna niowe modele liniowe. Szczególną u wagę zwrócono na problem wyboru zmiennych objaśniających. Głównym tematem rozdz iału są zagadnienia zw iązan e z estymacją modelu, tj . z szacowaniem parametrów strukturalnych oraz parametrów struktury stochastycznej modelu . Mocny akcent po łożon o n:1 problematykę weryfikacji, czy li wszechslronnego sprawdzenia jakości oszacowanego model u. Kolej ny punkt rozdzi ału stanowi uogólniony model regresji liniowej, jego definicja i za łożenia. Pokazano w nim zastosowanie uogólnionej metody najmniejszych kwadraiów W rozdziulc t rzecim przedstawiono zagadnienia związan e z jednorównaniowymi modelami nielini owymi. Dokonano charakterystyki wybranych modeli nieliniowych łączn ie z omówieniem sposobów wyboru postaci analitycznej. Kolejno przedstawiono esty macj ę mode li niel iniowych (sprowadzalnych do postaci liniowej) przy zastosowaniu metody najmniejszych kwadratów (M NK). Wiele miejsca poświęcono nieliniowej MNK - algoryt m Gaussa- Newtona. Opi sane podej śc ie z zastosowaniem algorytmu Gaussa- Newtona zilustrowano przykładami, szacując funkcje TOmqui sta oraz funk cje sigmoidalne
Słowo wst~pne
Rozdział czwarty traktuje o technikach budowy prognoz bazujących na jednorównaniowych mode lach ekonometrycznych. Zaprezentowano predy k cję z wykorąstan i em modeli przyczynowo-opisowych oraz tendencji rozwojowej. Przedstawiono rów ni eż techniki budowy prognoz w przypadku występowania wahań sezonowyc h. Osobno potraktowano prognozy, w których jako predyktor występ uj ą trendy jednoimiennych okresów. Ostatnim tematem są wybrane metody ad<1ptacyjne jako n arzędz i a predykcj i Piąty rozdzial jest poświęcon y ekonometrycznym metodom pomocnym w analizie procesu produkcyjnego. Omówiono funkcje produkcji Cobba- Douglasa, CES oraz translog - Leontieffa. Osobno omówiono a n ali zę neutralnego postępu techni czno-organizacyj nego w zdynamizowanej przez Jana Tinbergena funkcji produkcj i Cobba- Douglasa. Nastę pni e przedstawiono modele op i s ujące kształtowanie s i ę wydaj n ośc i pracy oraz kosztów. Elementy ekonometrycznej analizy rynku są tematem rozdziału szóstego. Analizę otwiera omówienie niektórych rozk ł adów dochodów ludn ośc i jako podstawowego czynnika kreującego popyt. Dalej opi sano zastosowanie mikro- i makroekonomicznych funk cji popytu. R ozdzi a ł zamyka opis metod badania struktur ekonomicznych wraz z odpowiednią ilus t racją w postaci przykładów Rozdział siódmy obej muje problematykę modelowania wielorównaniowego. Zagadnieni a związane z kons lruk cją modeli wielorównaniowych nie należą do łatwych i od strony dydaktycznej są znacznie słab i ej prezentowane w literaturze przedmiotu Stąd rozdział ten otwierają przykłady ekonomiczne, w których punktem wyjśc ia są rozw<1żania w mikroskali, po czym następ uje p rzejście do problematyki modelowania gospodarki jako ca ło ści (makroskala). Kolejno omów iono postacie i kłasy modeli wielorównaniowych. Wprowadzenie do estymacji przedstawia warunki s t osowaln ości MNK, pośredniej MNK oraz dwustopniowej (podwój nej) MNK wraz z przyk ładami. Rozd ział zamyka krótkie omówienie zastosowań modeli wielorównaniowych w budowie prognoz oraz wykorzystania analizy mn ożnikowej Nas tępn i e zamieszczono odpowiedzi do zad ań, w postaci zwięź l e opracowanych wyników, bez prezentacji toku rozwiązania, który to zawierają przykłady. K siążkę uzupełnia przykładowy egzamin w formie testu wraz z rozwiązaniem. Całość kończy wykaz wybranych pozycji z Uteratury prLedmiotu oraz indeks W ostatnim zdani u chcę w imieniu zespołu autorów wyraz i ć w d zięczność recenzentom: Prof. dr hab. Walentemu Ostasiewiczowi oraz Prof. dr hab. Józefowi Zajqcowi za cenne spostrzeżenia i uwagi, które podnosząc j akość podręcz nika, s tan owią zarazem j a k ąś cząst kę myśli w nim zawarlych.
Karo! K11k11fa
Kraków.
g rudz i eń
2008 r.
Pamięci
Naszego Nauczycie/a Profesora Jana Czyżyńskiego
1 Ekonometria jako dyscyplina naukowa i jej miejsce w gospodarce rynkowej
1.1. Czym jest ekonometria Ekonometrię można traktować
jako narural ne „dziecko" uniwersalnej dyscypliny naukowej, jakq jest statystyka. Statystyka powst ała znacznie wcześniej ni ż ekonometria , wypracowa ł a t eż szereg oryginalnych metod badawczych i dosiarcza j ej n arzędz i uprzedni o wypróbowanych w różnyc h dziedzinach, w których występuje l osowość zd arze ń i ograniczona pewność wnioskowania Termin ekonometria pows t ał ze z łożenia dwóch s ł ów pochodzących z języ ka greckiego: „oekonomia'', czyli gospodarka, oraz „me/reo", czyli mi e rzyć . Razem wzię t e pozwal ają i n te rpretować ekonom etrię jako naukę podej mującą zadanie pomiaru zależnośc i zachodzących w gospodarce. Zatem nie chodzi tu o mierzenie bezpośrednio, np. wielkości produkcj i, s przedaży czy innych kategorii ekonomicznych, lecz o uchwycenie relacji, jakie zac hodzą mi ędzy zjawiskami ekonomicznymi oraz o ich wykorzystanie w analizie i przewidywaniu, a nieki edy w symulacji. Jak wynika z przeprowadzonych rozważań , ni e łatwo jest udzi e li ć jednoznacznej odpowiedzi na postawione na wstępie pytan ie. Niektórzy ekonometrycy, do których zalicza s ię S. Bartosiewicz, u ważają, że ekonometria jest częścią statystyki, „zaj muj ącą s i ę badani em zw i ąz ków, relacji pomiędzy zjawiskami natury ekonomicznej" ([9], s. 12) . To nic innego zatem, jak statystyka w ekonomii N i ewątpliwie jest wiele racji w tym stwierdzeniu, zw ł aszcza gdy chodzi o początki ekonometrii. Ale prawdą jest równ i eż, i ż klasycy ekonometrii wypracowali wiele nowych metod ujmuj ących specy fikę zjawisk ekonomicznych, zw iąza n ych z ich modelowaniem Wszystkie te osiągn i ęcia uprawn iaj ą egzystowanie ekonometrii jako odn;bnej dziedziny wś ród dyscyplin z zakresu nauk ekonomicznych. Zresztą w bardzo podobny sposób powstała i os i ągnęł a kolej ne etapy rozwoju dyscyplina o nazwie biometria. R ów ni eż ona czerpała i nadal czerpie ze źródła, którym jesl statystyka Podsumowaniem rozważań nad pojmowan iem s ł owa ekonometria niech będzie przytoczeni e dwóch bardzo podobnych okreś l eń omawianego term inu , autorstwa prekursorów ekonometrii w Polsce - profesorów Oskara Lange oraz Zbigniewa Pawłowski ego Według Oskara Lange ([9 1], s. 11). „ekonometria to nauka zajmująca s i ę ustalaniem za pomocą metod statystycznych konkretnych, ilościowyc h prawi dłowości zachodzących w Ż)' ciu gospodarczym". Bardzo podobnie, lecz z podkreś l e n iem w i ę k szej
1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa i jej miejsce w gospodarce rynkowej a utonomi cz n ości
dyscypl iny, defi niuje to pojęci e Zbigni ew Pawłows k i. Wed łu g niego ([ 110), s. 15) ,,ekonometria jest nauką o metodach badania ilościowych prawidlowości wystę pujących w zjawiskach ekonomicznych za pomocą odpowiednio wyspecjalizowanego aparatu matematyczno-statystycznego" Z przywołanych okre śle ń tem1inu eko110111e1ria wynika, że dyscyplina ta jesl śc iśle zw iąza na z tcol"iąckonomii oraz z matematyką i jej gałęzią zwaną statystyką matematyczną. Pog l ąd ten podzie la R. Fri sch, jeden z klasyków ekonometrii , który stwierdza: „Doświadczenie pokazuje. że każda z tych trzech dziedzin. tj. statystyka, teoria ekonomii i matematyka, jest potrLebna, ale sama w sobie nic stanowi wystarczającego warunku do peł n ego zrozumieni a związków i l ościowych we współczesnym życ iu ekonomicznym. Dopi ero połączeni e tych trzech dziedzin daje potężne n arzędz i e i ono konstyt uuje ekonometrię" ([4lJ). Widoczne są również pewne związki ekonometrii z ekonomią matemarycvią oraz z badaniami operacyjnymi, nazywanymi także fJrogramowaniem marematycv1ym. Równi eż a11aliza wielowymiaroll'a częs to znajduje wspólne śc i eżki z modelowaniem ekonometrycznym. Ekonometria pozwala mod e l ować złożone procesy gospodarcze, dostarczając tym samym narzędzi do budowy prognoz oraz do dokonywania symulacji . Tym samym pojawiają s i ę kolej ne relacje łączące ekonomet rię z pmg11oz.owa11ie111 i sym ulacją Stosunkowo od dość dawna e ko n o m etr i ę z aczęto pojmować w dwojaki sposób: se11s11 stricto oraz sensu forgo. Ekonometria pojmowana w pierwszy sposób Io teoria budowy modeli ekonometrycznych wraz z ich wykorzystaniem w praktyce. Ekonometria sensu largo oprócz modelowan ia obej muje takie dziedziny jak: badanfrl opemcyjne, analizę wielowymiarową, prognoz.owanie i symulacje, a t akże ekonomię 111atemarycv1ą. Wszystkie te dziedziny ł ączy jedność wykorzystywanych metod o charakterze matematyczno-statystycznym. J edn akże w nikając g łę bi ej w specy fikę wymienionych przedmiotów, nal eży podkreślić , iż ka żdy z nich ma od ręb ni e zakreś lon y obszar badawczy oraz posługuje s i ę specjalnie dobranymi, sobie właściwymi metodami, a zatem są dyscyplinami autonomiczny mi . Bi o rąc to wszystko pod u wagę , wypada zgodz i ć s i ę z pog l ąd e m S. Bar1osiewicz ([9J, s. 12), i ż „ekon omet rię n ależy traktować sensu s1ric10".
1.2.
Pojęcie modelu ekonometrycznego oraz terminologia związana z modelowaniem
Podstawowym narzcdziem ekonometrii jest model ekonometryczny. Ekonometria badazjawiskami ekonomiczny mi, musi dysponowa ć okreś l onymi n arzędzi ami. W rozpatrywaniu wspomnianych relacji na rzęd z i ami przydatnymi w praktyce są modele ekonometryczne. Poj ęcie modelu wys tęp uje niemal w k ażdej dyscyplinie naukowej. Dl atego w rozważaniac h o modelowaniu ekonometrycznym przytoczymy ogólną defi ni cję modelu, sformuł owan ą przez I.D.J . Brossa f l4]. Według tegoż autora. model to uproszczone odwzorowanie rzeczyw istości . Łatwo za uważyć, i ż okreś l e ni e to ma charakter na tyle ogólny, iż jesl w ł aściwe dla modeli wyst ępujących w róż n yc h dziedzinach nauki. Warto zwrócić u wagę na trzy ostatnie s łow a: uproszczone odwzorowanie rzeczyw i st ości. W tym k on te kście s łowo
jąc il ośc i owe za l eżnośc i zachod zące mi ędzy
1.2.
Pojęcie
modelu ekonometrycznego oraz terminolagia
związana
z modelowaniem
„uproszczone" oznacza uwzg lęd nienie w modelu jedynie tyc h elementów rzeczywistości, które są naj waż ni ejsze, i pominiecie elementów mniej istotnych. Definicja modelu Brossa znajduje odbic ie w definicji modelu ekonome1rycznego sformułowanej przez Zbigniewa P:1włowskiego, przedwcześnie zmarłego polski ego ekonometryka, autora wielu podręczni ków i monografii z zakresu statystyki oraz ekonometrii „Model ekonometf"}·czny jest to konstrukcja formalna , która za pomocą pewne-
go równania lub
układu równań
przedstawia zasadnicze
powiązani a występujące
pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi" (Z. Pawłow ski [i IO]. s. 35) Z definicji tej wynika, iż model ekonometryczny n a l eży postrzegać jako równanie (lub układ rów naf1) przedstawiające ważne relacje wys tę puj ące w gospodarce. W dalszej czę ści tego rozdz i ału będzie mowa tylko o modelach jednorównaniowych,jako że modelom wielorównaniowym poświęcono odrębny rozdział Relacje między zjawiskami ekonomicznymi zwykle są bardzo złożon e, a niekiedy wzajemnie sp rzężo n e. Na opisywane przez model zjawisko zwykle wplywa d u ża liczba czynników. Z tym, iż oddziaływanie niektórych czynników jest silne i trwałe (tych zwykle występuje ni ewiele), innych zaś zdecydowanie s łab sze i ni etrwałe. Do tego dochodzi wpływ tzw. czynników losowych, występujących sporadycznie i nieregularnie. W modelu uwzg l ęd ni amy tylko czynniki g ł ów ne , istotnie wpływające na opisywane zjawisko . Natomiast pomijamy czynniki s łabo odd ziałujące oraz czynniki czysto losowe. Pozostaje to w pełnej zgodności zarówno z ogólną defi ni cją model u Brossa, jak i z okreś l e n iem modelu ekonometrycznego sformułowanym przez Pawłow skiego. Ogólnie model ekonometryczny jednorównaniowy moż na za pi sać w następujący sposób·
(I.I)
gdzie: Y - zmie nna obja ś niana (endogeni czna) reprezentuje zjawisko mode lowane; • XK X 1• zmienne objaśniające; s - zmienna losowa zwana zakłócen i e m losowym; f - postać analityczna modelu ; K - liczba zmiennych objaśniających (j = I,
,K)
Uwzględnienie s kładnika losowego w równaniu nadaje modelowi ekonometrycznemu c harakter zw i ązku stochastycznego. Ta sama relacja bez uw zg lęd nienia składnika losowego ma charakter zw i ązk u dete rmini stycznego, który przyjmuje postać
(1.2) W równaniu ( l.2) symbolem Y oznaczono
zmienną za l eż ną,
a X 1... , X K zmienne
ni eza l eż n e.
W modelu ekonometrycznym ( I.I ) zamiast zmiennych ni eza leżnych występują zmienne objaśniające, które opis ują ksz tałtowani e s ię zmiennej endogenicznej (obj aśnian ej). Na l eży jednak pamiętać, i ż obecność zmi ennej losowej e w modelu ekonometrycznym o postaci ( I.I ) powoduje, że wnioskowanie na podstawie oszacowanych jego parametrów ma tylko przyb l iżony charakter.
1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa i jej miejsce w gospodarce rynkowej
1.3. Rola czynnika losowego O tym, że w gospodarce zdarzają się różne niespodziew:me pn.:ypadki losowe, wywierają ce ni ejednokrotnie po 1 ęż n y wpł yw najej rozwój, obecnie nikogo nie trzeba przekonywać. Jako pierwszy z brzegu przykład rozważmy zdarzenie losowe polegaji1ce na wystąpie niu zjawiska suszy w danym roku. Co to oznacza z ekonomicznego punktu widzenia? Otóż rolnicy ponieśli koszty zw i ązane z zasiewem. sadzeniem. nawoże ni e m. opryskami oraz innymi zabiegami agrotechnicznymi, spodz i ewaj ąc s i ę określonej wielkości plonu. Tymczasem wys t ęp ująca w cał ym kraju susza jako efekt kaprysu aury, a w i ęc zdarzenia losowego, zmniejsza spodziewany plon np. o 40%. Przypadek ten ma liczne reperkusje. Obni ża w istotnym stopniu produkt krajowy brutto (PKB) oraz doc h odowość indywidualnych gospodarstw. Powoduje ró w nie ż spadek produkcji zw ierzęcej w roku przyszłym. W niektórych gospodarstwach w zestawieniu nakł ady-p rzyc hody występuje ujemne saldo. Sytuacja taka zmusza do zaciągania kredytów, ogranicza lub wręcz uni e m oż liwia inwestowanie, wp/ywajqc tym samym h amuj ąco na poziom dalszego rozwoju gospodarstw. Kolejnym przykładem niech będzi e zdarzenie losowe ze św i ata poli tyki. Trwają niepokoje na Bliskim Wschodzie. Wyobraźmy sobie, że którejś ze stron konfliktu udaje się: dokonać zamachu na ważną oso bi st ość z obozu prLec iwnika. Zamach ten wywołu je zaostrzenie stosunków i w konsekwencji prowadzi do wybuchu wojny lokalnej . Powszechnie wiadomo, i ż terytoria bliskowschodnie st anowią najważni ejsze źród ło ropy naftowej na świec i e . Wywołany konflikt ogranicza lub uni e m oż liwia wydobycie tego surowca w tym regionie. Poważne zmniejszenie podaży strategicznego surowca, jakim jest ropa naftowa, musi skutk ować z n aczną zwyżką jego cen. Ma to ogromny wpływ na gospodarki krajów nieposiadających własnyc h zasobów ropy, prowadzi do wzrostu cen prawie wszystkich towarów, a w konsekwencji do wystąpienia kryzysu gospodarczego. Powróć m y jednak do źródeł przytoczonej historii. O t óż powodzenie lub niepowodzenie z:1machu za l eży, jak łatw o za uważyć, od bardzo wielu czy nników, które trudno przewidzieć i które mogą, ale nie muszą, wystąpić. Ma zatem charakter losowy. Tym samym spirala następstw tego przypadku wykazuje rów n i eż cechy losowośc i . M oż na przytoczyć jeszcze wiele innych przypadków losowych. które wywierają znaczący wpływ na gospodarkę zarówno w skali makro, jak i mikro Znaczne, skokowe zmi:my różnych w i e l k ośc i ekonomicznyc h z n ajdują przełożenie na wyniki modelowania ekonometrycznego. Sprawiając tym samym, i ż wnioskowanie w przyszłość, zw iązan e z przewidywaniem tych wielkości, jest w dużej mierze utrudnione. Nie oznacza to jednak, że nal eży za n iec hać modelowania s tanowi ącego pods tawę budowy prognoz w dziedzinie gospodarki. Prognozowanie bowiem jest n iezbędnym elementem programowania wszystkich dziedzin życ i a gospodarczego. Nie należy trac i ć z pola widzenia faktu, i ż prognozy ekonometryczne mają charakter warunkowy, tzn. spe łniają s i ę, ale pny założe niu , że warunki i czynniki oddz iałujqce na prognozowane zjawi sko w przeszłości będą w tym samym stopniu w pływać na to zjawisko w przysz łośc i. Czynnik losowy powoduje, i ż w praktyce nie ma gwarancji zaistnienia tak stabi lnego układu. Zatem opinie (wnioski) o przewidywanych rozmiarach zjawisk na podstawie modeli ekonometrycznych mają charakler przyb l i żony, nazywany częs to przedz iałe m wielkośc i
1.4. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych I dąc
dalej, przewidywane wielkości mmlizowanego zjawiska określa stop i e ń prawdopoich reali zacji. Przytoczone przykłady ukazują działanie czynnika losowego w gospodarce uzasadni ając niejako wys tę powani e zmiennej losowej e w ogól nym zapi siejednorównaniowego modelu ekonometrycznego o wzorze ( I.I ). Zmienna e generuje rów n ież oddziaływa nia nieuwzględnionych explicite w modelu zmiennych o bjaś niających . Fakt ten wynika z istoty modelu, który będąc kon st rukcją uproszczo ną , nic może absorbować wszystkich zmiennych w jakikolwiek sposób wpływających na z mie nn ą objaśnianą Y poza tymi, k1órc uznano za przyczyny głó w ne, kreujące opisywane zjawisko. Z mi en n ą l osową e tworzą ponadto błędy związane z pomiarem zmiennych: Y oraz X 1. . X K. Kolejn ą częśc i ą s kładową zmiennej losowej e m ogą być błędy wy nikaj ące z ni ew łaściwie dobranej postaci analitycznej modelu (j) oraz błęd y popełnione przy wyborze zmien nych d ob i e ń s t wa
objaśniających Pn~ystępując
tem
do wni oskowania na podstawie modelu ekonometrycznego, nale ży zazmienna objaś n iana Y, podobnie jak s kładnik losowy e, jest zmienną Dotyczy to wnioskowania o charakterze zarówno analitycznym, jak i predyk-
pamiętać, że
l osową.
tywnym
1.4. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Konkretny model ekonometryczny może być zapisywany w różnej postaci. Zaliczenie modelu do określo n ej klasy wywiera wpływ zarówno na wybór metody estymacji , jak i na sposób jego wykorzystania Klasyfikacji modeli dokonuje s i ę w oparciu o kilka róż n yc h kryteriów. Pi erwsze kryterium: liczba równań hvorzących model ekonometryczny jest zw i ąza n e z jego defi n icją według Pawłowski ego ([I IO], s. 35). Ot óż ze względu na li czbę równań rozrózmamy: • modele jednorównaniowe, • modele wielorównaniowe. Modele jednorównaniowe op i s uj ą zwykle pewien wąski fragment rzeczywistości gospodarczej. W pr1:edsiębiorstwie może to być model produkcj i, zwany funkcjq produkcj i, model popytu na produkowany wyrób, model kształtowania s i ę kosztów, wydajno śc i lub pracoc hłonnośc i Natomiast modele wielorównaniowe s łu żą do opisu d ziałania bardziej skomplikowanych organizmów gospodarczych; jako przykład można podać model funkcjonowani a p r.t:eds i ębiorstwa lub ca łej gospodarki narodowej. Modelom wielorównaniowym poświ ęcamy odręb n y rozdz iał , w którym omówimy ich dalszy podział. Drugi m kryterium różn i c ującym modele jest udzial czynnika losowego. Ze względu na to kryterium modele ekonometryczne dzieli my na • deterministyczne, • stochastyczne. Modele deterministyczne okreś lają w sposób śc i s ł y współ zależność mi ędzy zjawiskami nie dopuszczając żad n yc h od d zia ływań losowyc h. Wnioskowanie na podstawie
1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa i jej miejsce w gospodarce rynkowej
takich modeli jest dokładne, ale w ś wiec ie zjawisk spo łeczn o-e konomi cznych wy s tępu je niezwykle rzadko. Modele te częśc i ej opisują zjawiska z zakresu fi zyki czy chemii. Modele stochastyczne dom i nują w sferze zjawisk społ eczno-gospod arczych . Ogólny z:1pis modelu determin istycznego przedstawia fommła ( 1.2), a modelu stochastycznego formuła ( l .l )
Kolejnym kryterium podziału modeli ekonometrycznych jest czynnik czasu. Przy tego kryterium rozróżnian y: • mode le statyczne, • modele dynamiczne. Modele statyczne to takie modele ekonometryczne, które okreś l ają współza le żno ść mi ędzy różnymi zjawiskami zac hodzący mi j ed n ocześ ni e. Oznacza to, że zjaw iska te przebiegają w tym samym okresie czasu. Stąd nie występuje potrzeba używania subskryptu I (zmienna czasowa), datującego wykorzystywane w modelu zmienne. Zatem obserwacji poddane są obiekty, które zwykle oznacza sic (numeruje) subskryptem i lub j . Modele dynamiczne zaś są modelami ekonometrycznymi opisującymi przebieg zjawisk w czasie, stąd obserwacje dotyczą okreś l o n yc h przedz iałów czasowych (okresów), które są oznaczone subskryptem 1. Upraszczając zagadnienie, można stw ierdz i ć. że w modelach dynamicznych zmienna czasowa 1 występuje albo jako zmienna objaś niająca (modele tendencji rozwojowej). albo jako subskrypt przy wszystkich zmiennych objaś niającyc h (X 11 , X21 . . X Kt) oraz przy zmiennej objaśnianej ( Y,) Czwartym elementem różnicującym mode le ekonometryczne jest ich postać analityczna. Ze względu na po s tać modele dzielą s ię na • modele liniowe, • modele nieliniowe Ogólni e lini ową pos tać modelu ekonometrycznego zapisujemy uw zg l ędni eniu
Y = aoX o + a1X1
+ a 2X2 +
+ aKXK + e,
(1.3)
gdzie: ao. a 1 • a2.. . aK - parametry strukturalne modelu , które są nieznane i dopiero po oszacowaniu poznajemy ich wart ości liczbowe ; pozostałe symbole jak w zapi sie ogólnym modelu ekonometrycznego ( 1. 1) W badaniach empirycznych stosunkowo częs to posługujemy s i ę liniową postacią modeli ekonometrycznych. Nieli niowych postaci modeli ekonometrycznych jest nies końc ze ni e wiele. Chcąc zaprezentować pr zy kład modelu nielin iowego, pos łu żon o sic potęgową postacią
Y = aoX ~ 1
X~2
•
•
X~i: · e€' .
( 1.4)
gdzie: e - s tała (liczba Eulera); pozostałe sy mbole jak w zapisach ( I. I) oraz ( 1.3) Wybór posiac i modelu odgrywa ważną rol ę pn.:y ustaleniu metody estymacji (szacowania) parametrów struk1uralnych modeli ekonometrycznych. Wś ród modeli nielini owych wyróżniamy takie, które po dokonaniu odpowiedni ej transformacji , a niekiedy podstawień , mo ż na sprowadz i ć do postaci liniowej oraz takie, których linearyzować nie mozna. Ostatni podział modeli ekonometrycznych, jaki chcemy pn~edstawi ć, opiera s i ę na kryterium walorów poznawczych . Z punktu widzenia ogól nopoznawczych właściwośc i modeli, dzielimy je na
1.4.
Kla.syfika~ja
modeli ekonometrycznych
• modele przyczynowo-opisowe, • modele tendencji rozwojowej, • modele symptomatyczne Modele prLyczynowo-opisowe s tanowią grupę odgrywającą zasadnicz:1 rolę wśród wszystkich modeli ekonometrycznych. W modelach tych rolę przyczyn pełnią zmienne objaśniające, które op i sują zmien n ą objaśniam1 Y. Biorąc pod uwagę aspekt poznawczy badań ekonometrycznych, modele przyczynowo-opisowe są niewątpliwi e najlepszym narzędziem służącym określaniu w sposób kwantytatywny związków występujących w sferze zjawisk s połeczno - gospodarczych. Ro l ę przyczyn pełnią tu wszystkie dobrane do modelu zmienne objaśniające, a zmienna endogeniczna (obja ś niana) odgrywa rolę skutku. Wśród modeli tej kJasy spotykamy zarówno modele statyczne, jak i dynamiczne Drugą co do ważności gmpę modeli podzielonych według kryterium walorów poznawczych sta now i ą modele tendencji rozwojowej . Modele te opisują i l ościowe zmiany zmiennej objaśnianej (Y1 ) zachodzące w czasie. Stąd jedyną zmienną objaśniającą jest w tym przypadku zmienna czasowa t. Zmienna ta przybiera kolejne wartośc i liczb calkowitych zwiększające s ię o jeden w miarę następowania kolejnych okresów czasu (lat, kwartałów lub mie s ięcy). Zatem w modelach tych nie występują żadne więzi prączynowo-skutkowe, właściwe modelom pn~yczynowo - opisowym. W opisie wahań zmiennej objaśnianej za pomocą modelu tendencji rozwojowej można wyróżnić trzy elementy: • trend - /(r), • wahania regularne (cykliczne) - g(t), • wahania losowe - e 1 • Model tendencji rozwojowej można zapisać n astępująco Y
~
F[J(t). g(t). ,, ]
(1.5)
Modele typu (1.5) n a l eżą do klasy modeli dynamicznych. Reasumujqc uwagi na temat modeli tendencji rozwojowej, można pokusić s i ę o stwierdzenie, że modele te stanowią kwantytatywny opis „historii" danego zjawiska Pomijając kla sę mode li tendencji rozwojowej, we wszystkich pozosta łych pri;ypadkach - przy budowie modelu - zawsze staramy s ię o to, by między zmienną objaśnianą a zmiennymi obja§niajqcymi zac hodził związek przyczynowy. Są jedm1k sytuacje, kiedy nie można speł ni ć tego postulatu. Na przykład może się zdarzyć, iż brak jest odpowiednich danych o wytypowanych zmiennych objaśniających do modelu przyczynowo-opisowego. Wówczas można wykorąstać przypadek, w którym interesujqca nas zmienna endogeniczna jest silnie skorelowana z inną lub innymi zmiennymi bez zaistnienia związku przyczynowego. Zatem model, w którym zmienne objaśniające nie pozostają w związku przyczynowym ze zmienną objaśnianą, są jedynie silnie z nią skorelowane. jest modelem symptomatycznym. Modele sym ptomutycznc spełniajq marginalną rol ę wśród modeli ekonometrycznych ze względu na rzadkość ich stosowania. Stanowią rezerwę na przypadek braku możliwości budowania modeli przyczynowo-opisowych; mogą być wykorzystywane do celów predykcji
1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa i jej miejsce w gospodarce rynkowej
1.5. Etapy budowania modelu Proces konstruowania modelu ekonometrycznego jest nie ł atwym zadaniem, na jego wykonanie sk ł ada s ię szereg czyn n ości realizowanych ciapowo. Czynnośc i te wymagają rzetelnego podej śc ia , bowiem rzutują na jakość otrzymanego modelu ekonometrycznego, a tym samym wpł ywaj ą na kierunek i precyzj ę wnioskowania . Czynnośc i związane z budowaniem modeli ekonometrycznych, ułożone sekwencyj nie, to n astępujące etapy: I) ustalenie cel u i zakresu badań , 2) gromadzeni e danych, 3) specy fik acja modelu, 4) estymacja (szacowanie). 5) weryfi kacja (sprawdzanie), 6) praktyczne wykorzystanie modelu Pierwszy etap budowania mode lu to ustalenie celu i zakresu badań . Celem jest zwykle modelowane zjawisko, uto żsamiane ze z mi e nną objaś nianą Y. W modelach wielorównani owych chodzi o wyspecyfikowanie zmiennych endogenicznych, stanowi ących lewą s tronę rów n ań . Okreś l e ni e zakresu badmi sprowadza się do wyznaczeni a granic czasowych obserwacji (modele dynamiczne) lub wskazanie jednego okresu (momentu), którego do l yczyć będą badania (modele stat yczne). Pojąc i e zakresu badmi obejmuje rów ni eż ustalenia obiektów przestrzennych, w których dokonuje s i ę obserwacj i. Obiektami tymi mogą b yć: państwa, województwa, powiaty, gminy, prLed s iębiorstwa, firm y itp. Zakres badań w określo n y sposób rzutuje w ko ń cowej fazie badań na in terpre t ację modelu ekonometrycznego Drugi etap obejmuje zbieranie i gromadzenie danych statystycznych s tanow ią cych e mpiryczną bazę badania. Dane te stanowią podstawę szacowani a nieznanych parametrów modelu. Stąd wymaga s i ę, aby zebrane informacje byly rzetelne, kompletne (nie zawierał y braków, czyli „dziur") i m oż li w i e liczne. Li czebn ość obserwacji wp ł ywa bowiem dodatnio na precyzję szacowania parametrów model u. Dane statystyczne mogą poc hod zić z następujących źróde ł : • publikacji Głównego Urzęd u Statystycznego (GUS). • publikacji Wojewódzkich Urzę d ów S1:1tystycznych (WUS), • dokumentacj i przedsiębiorstw, firm i innych instymcji, • ankiet, • wywiadów. • od prywatnych agencj i trud ni ącyc h s ię zbieraniem informacj i na specjale zlecenie Trzec i etap-spccylikacja modelu - wy1m1ga koncentracji uwagi na dwóch bardzo ważnych zagadnieniach: ustalenie optymalnej lisry zmiennych objaśniających oraz wybór najlepszej postaci analitycznej modelu . R ozważ m y najpi erw problem wyboru zmiennych objaś niającyc h. I stni ej ą dwa podej śc ia do problematyki wyboru tych zmiennych: • przez wykorzystanie teorii ekonom ii, • pr1.:ez wykor1.:ystanie statystycznych metod wyboru. Biorąc pod uwagę podejście pierwsze, nale ży zauważyć, i ż w wielu przypadkach teoria ekonomii podsuwa gotową li s tę zmiennych objaś ni ającyc h . Za przy kład niech po-
1.5. Etajlybudowania modelu służy
badanie popytu na określone dobro. W takim przypadku teoria ekonomii podpowiada, i ż powinno się uw zględni ć co najmniej dwie zmienne, którymi są: - cena danego dobra. - poziom dochodów grupy ludn ośc i s tanowiącej grono potencjalnych nabywców. Może s i ę jednak zdarzyć, i ż w pewnego rodzaj u badaniach teoria ekonomii nie daje konkrelnych wskazań co do zmiennych, wówczas pozostaje wykorzystanie drugiego podejścia - zastosowani e odpowiednich metod statystycznego ich wyboru Po wyspecyfikowaniu listy zmiennych objaś ni ającyc h kolej na ustalenie postaci analitycznej modelu . Z tym zadaniem m ożna uporać s i ę stosunkowo łatwo, pod warunkiem. że model , którego postać należy u stali ć, jest modelem zaw ierający m jedną zmienną obja śn iaj ącą:
Y = f(X.e).
(1.6)
Wówczas kształt smugi punktów empirycznych (wykresu korelacyj nego) nasuwa wybór odpowiedniej postaci funkcyjnej modelu. Znacznie trudniej dokonać wyboru w ła ściwej postaci, gdy mamy do czynienia z modelem o wielu zm iennych objaśniającyc h (zob. pos tać ( I. I)) . W takim przypadku wybór „ metodą wzrokową" jest niemożl iwy. Pozostaje metoda prób i błędów ze z góry zadanym kryterium, np. kryterium dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych. Obecnie przy wykorzystaniu odpowiednich programów komputerowych zadanie 10 jest w pe łni wykonalne Estymacja, czyli szacowanie modelu stanowi czwarty etap jego budowy. Szacowani e modelu obejmuje dwie fazy działań: szacowanie parametrów strukturalnych modelu oraz szacowanie parametrów jego stochastycznej struktury. Znanych jest wiele metod estymacji parametrów strukturalnych. Ekonometryk zanim dokona wyboru jednej z nich , musi rozpoznać strukt urę modelu. Szacowania parametrów równania o pi s ujące go okreś lone zjawisko z dziedziny ekonomii dokonuje się na bazie zebranych danych statystycznych pri:ez porównanie modelowanego zjawiska z określonym wycinkiem realiów ekonomicznych. Oszacowanie parametrów struktury stochastycznej traktuje s i ę jako przesłankę podejmowania dzi<1łafi sprawdzającyc h jakość oszacowanego modelu , a w i ęc przejścia do kolejnego etapu jego budowania Kolej nym, piątym etapem jest weryfikacja modelu. Sprowadza s ię ona do zastosowania merytorycznego kryterium sprawdzani:1 parametrów strukturalnych oraz do kontroli dokładności oszacowania. Kryterium mery1oryczne polega na stwierdzeniu, czy parametry strukturalne przyj muj ą rozsądne wartośc i i czy znaki przy ocenach są zgodne ze wskazaniami teorii ekonomii . Kontrola dokładności oszacowania obejmuje analizę kilku parametrów struktury stochastycznej. co pozwala ustalić. czy błędy estymacji nie pri:ekraczają ustalonego poziomu, a także czy oceny parametrów strukturalnych są statystycznie is1otne. Dos l17..eżon e nieprawidłowości wymuszają powrót do etapu czwartego, tj. rccslymacji modelu, np. ze zm ienionym s kłade m zmiennych objaśniających lub z inną postacią ana l ityczną modelu Etap szósty to praktyczne wykorzystanie modelu. Wykorzystanie modelu może i ść w n astępuj ących kierunkach: • analiza relacji zachodzącyc h w przeszłości i formułowanie płynących stąd wniosków,
1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa i jej miejsce w gospodarce rynkowej
• przewidywanie, czyli prognozowanie wielkośc i opisanego przez model zjawiska (szerzej zagadnieni e to opi sano w rozdziale 4), • symulacja różnych sytuacj i zarówno w przedsiębiorstwie, jak i na rynku. Na p rą kład znajomość modelu produkcji. zwanego funkcją produkcji, upow ażnia do sfonn ułowania pytania: jakie uzupełnieni e nakład ów pracy uprzedmiotowionej (maszyny, urządzenia , linie produkcyjne) będzie konieczne w związku z przewidywanym zwolnieniem 20% stanu liczebnego zał og i ? Albo z dziedzi ny rynkowej: jak zm i enić cenc wyrobu. aby os i ągn ąć zamierzony poziom jego s przedaży? W tym przypadku konieczne jest dysponowanie modelem popytu na dany wyrób wzg l ęde m jego ceny.
1.6. Trochę historii Ekonometria jest dyscypliną stosunkowo młodą. Jako wyodrębniona dziedzina nauk ekonomicznych istnieje oko ło 90 lat. Nie mniej jej prekursorów nal eży szukać w znacznie wcześniejszych okresach. Prekursorem ekonometrii był żyjący w XV I! w. William Pelty ( 1623- 1687) zw i ązany z aryt met yką polityczmi (por. [1301). Do grona inicjujących zastosowania metod matematyczno-statystycznych na gruncie ekonomii zal i czyć nal eży żyjącyc h na przełomie XLX i XX w. Vilfredo Pareto (1848- 1923) oraz Francisa Edgewortha (1845-1926). Ślady poczynań naukowych, które można kwalifikować jako ekonomet ri ę w nowoczesnym wydaniu, prowadzą do Stanów Zjednoczonych Ameryki, gdzie zaraz po zakończeniu pierwszej wojny św iatowej na Uni wersytecie Harvarda zaję t o s i ę badaniami cykli koniunkturalnych. Chodziło o to, by c hoć w przybliżeniu móc przewi d ywać okresy hossy oraz bessy. Pierwsze modele konstruowane w tym celu n os iły naz wę barometrów harwardzkich. Poczynania te nal eży w i ązać z nazwiskiem W.H. Pearsonsa . Niektóre śro dowiska n:1ukowe uważały go za „ojca ekonometrii". Nie przew idziano j ednakże wielkiego kryzysu gospodarczego, jaki dotkną! Amerykę, a wkrótce ogarnął cały św iat, który rozpoczi1ł s i ę krachem na g iełdz i e nowojorskiej w 1929 r. Przypadek ten możn a zapisać po stronie negatywów nowo powstającej dyscypliny. Jej pr.wdstawicicle nic zdo łal i przewidzieć tego zjawiska ani przeciwdziałać mu W latach dwudziestych równi eż w Europie zaczęt o podejmować próby nowatorskiego, w pełni kwantytatywnego sposobu analizy zjawisk s po łeczno-e kon om i cz n yc h Przeds!awicielmni lego sposobu m yś l e nia na Starym Kontynencie byli Norweg R<1gnar Fri sch oraz Holender Jan Tinbcrgen. Wł aś n ie Ragnarowi Frischowi należy przy pi sać pierw szeństwo w zdefiniowaniu termi nu „ekonometria" oraz w posługiwaniu s ię nim. Miało to miejsce w l 926 r. Co prawda. polskie źród ła wskazują na wcześniejsze pojawianie s i ę tego terminu. 01óż w 1910 r. we Lwowie uk aza ła s i ę praca wykładowcy Wy ;t.;;zej Szkoły Handlowej w Krakowie Pawła Ciompy pod znamiennym tytułem 'Zarys ekonometryi i reorya hudwl1e1yi L2 lj. Terminu tego u ży to jed nak w zupełnie innym kontekście Na przełomie 1930 i 1931 r. w Stanach Zjednoczonych powo łan o Międzynarodowe Towarzystwo Ekonometryczne. Wła ś ni e J. Tinbergcn wraz z R. Frischem oraz I. Fi shere m byli inicjatorami utworzenia tego towarzystwa, które post awiło sobie za cel rozwija nie teorii ekonomii w powiązaniu ze s t atystyką i matema t yką. Towanystwo to roz-
1.6.Trochęhistorii
poczęło
wydawanie profesjom1 lnego czasopisma pod nazwą "Econometrica". Periodyk ten ukazuje s i ę do dzisiaj i jest miejscem publ ikacji najwickszych osiągnięć i dyskusji w zakresie ekonometrii. Mniej więcej w tym samym okresie, bo w 1932 r., zaczyna d ziałać Komi sja A. Cowlesa, maj:1ca za zadanie rozwijanie nowych metod badawczych w gospodarce, ze szczególnym uwzg l ę dni e ni e m obszaru ekonometrii Wracając do Frischa i Tinbergena, warto podkre ś li ć fakt, i ż za swoje pionierskie prace w dziedzinie ekonometrii jako pierwsi eko nomiści zostali uhonorowani Na g rod ą Nobla w 1969 r Wiciu spośród nobli stów z dziedziny nauk ekonomicznych było ekonometrykami. statystykami i korzystało z metod statystycrno- matematycznych. I tak w kolej nych latach nagrodę tę otrzy mał o czterech znakomitych amerykańskich ekonomistów parają cych się statystyką, ekonometrią i badaniami operacyjnymi; są to profesorowie P. A. Samuelson ( 1970), S. Kuznets (197 1), K. J. Arrow (1972) oraz W. Leont ieff(l973) W 1975 r. Nagrodę Nobla otrzymał inny holenderski ekonometryk - T. C. Koopmans, kont y nuuj ący tradycje modelowania ekonometrycznego zapoczątkowa n e przez Tinbergena. Zasadni cze nurty działa ln ośc i Koopmansa na niwie ekonometrii m ożna sprowad zić do dwóch zagadnieri, którym poświęci! wiele miejsca w swoich publikacjach. Są to zagadnienia identyfikacji oraz estymacji modeli ekonometrycznych. Kolej nym amerykariskim laureatem Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii jest L. R. Kicin ( 1980), będący jednocześnie ekonometrykiem. Przez wiele lat pracował w s ły nnej Komisj i Cowlesa, która w owych czasach stan ow iła kuźni ę nowatorskich metod ekonometrycznych. B y ł autorem kilku wersji makromodeli gospodarki Stanów Zjednoczonych, w tym równi eż jednej powstałej w 1955 r. we współpracy z A.G. Goldbergerem, zwanej modelem Kl ei na-Goldbergera. Statystykiem i ekonometryki em jest R. Stone z Wielkiej Brytanii , który zost ał laureatem Nagrody Nobla w 1984 r. Stone pracując na uni wersytecie w Cambridge, podejm ował prace nad budową modelu wzrostu gospodarki brytyjskiej, które przy nio sły mu dużą popu l arność. Na uwa gę zas łu guj ą rów n ież jego modele w sferze popytu. Podobni e ekonometrykiem i statystykiem jest R. M. Solow, profesor Massachusetts Institute of Technology (MIT). W 1964 r. sprawował funkcję prezesa Międzynarodowego Towarzystwa Ekonometrycznego. W 1987 r. Szwedzka Królewska Akademia Nauk przyznał a mu Nagrodę Nobla w dziedzinie nauk ekonomicznych. W 1956 r. opracował i przeds tawił model, będ:1ey zagregowan:1 funkcją produkcji; b y ła to jedna z jego fundamentalnych prac, która przyniosła mu s ławę i Nagrodę Nobla. Nieco uwagi wypada poświęcić również dokonaniom polskich ekonometryków. Na początku wymienić należy profesora Oskara Lange ( 1904- 1965) . Jeszcze przed dru gą wojną św i atową opublikował on pracę pt. Swryslyczne bat/anie koniunkwry gospodarczej, Kraków 193 l. Pracę tę - jako zastosowanie metod statystycznych w ekonomii - obecnie z całą pew n ośc ią m ożna kwa lifikować jako dzieło ekonometryczne. Profesor był ponadto autorem pierwszego polski ego podręcznika do przedmiotu ekonometria. Podręcznik ten nos ił tytuł W.\·tęp do ekonometrii i ukaza ł się w 1965 r. Byl tłumaczony na wiele języków, w ty m rów n ież na j ęzyk japoriski Liczne prace ekonometryczne, które ukaza ł y s i ę na polskim rynku, są dz i e łe m Zbigniewa Pa włows kiego (1930-- 198 1). B ył autorem ki lku podręczników z zakresu siaty-
1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa i jej miejsce w gospodarce rynkowej
styki, ekonometrii i prognozowania. Warto podkre ś li ć, że całe pokolenia, w tym rów ni eż roczniki autorów tego podręcznika, uczy ł y się z jego książek Ciekawą propozycję metodologiczną, poru szaj ącą problem wyboru zmi ennych objaś niającyc h do modelu ekonometrycznego, zg łos ił w 1969 r. na łamach „Pri:eg l ądu Statystycznego" profesor Akademii Ekonomicznej we Wroc ławiu - Zdzisław Hcllwig. Profesor Hellwigjest twórcą wielu ciekawych rozwi<1zań i pomysłów w dziedzinie statystyki i ekonometrii, będąc j edn ocześ ni e jednym z naj częściej cytowanych autorów w Polsce w zakresie wymienionych dyscyplin W lalach sześćdz i esiątych XX w. we wszystkich ośrodkac h naukowych w Polsce kształcących ekonomistów pow stał y instytuty, katedry lub zakłady prowadzące dydaktykę z przedmiotów ekonometria oraz prognozowanie. Z oś rodkami tymi zwią zanyc h jest wielu naukowców, z których wymienię tylko niektórych: Andr.tej Barczak (Katowice). Stanisława Bartosiewicz (W roc ław), Zbigniew Czerw i ński ( Poznań ), Michał Kol upa i Wi esław Sadowski (Warszawa), Wład ys ław Welfc (Łódź) oraz Kazimi erz Zaj ąc i Aleksander Zeliaś (Kraków). Jest też c ała plejada młod szyc h adeptów tej dyscypliny Pow racając do charakterystycznych momentów w dziejach ekonometrii , warto zauważyć, że po s t ę p w dziedzinie nauk infonnarycznych, jaki do k onał się w czasie drugiej wojny św iatowej i po jej zakończeniu. znalazl pozytywne odbicie w rozwoju ekonometrii . Wicie metod oraz większych modeli (modeli wielorównani owych) wymaga zarówno dużej dokładności, jak i olbrzymiej liczby obliczeń, częs to wykonywanych sekwencyjnie. Czego nie można było wy konać na arytmometrach i innych przestarzałych urządzeniac h , s tało s ię wykonalne dzięki zastosowaniu elektronicznej techniki obliczeniowej. Stąd bariera obli cze ń numerycznych, nawet j eśl i ni e za nikła zupełnie, to zostal:1 przesunięta na ryle do przodu, że obecnie nic stanowi wąskiego gard ła ograniczającego rozwój ekonometrii
1.7. Ekonometria dziś i jutro Obecnie w Polsce, podobnie jak w całej Europie, dość powszechnie uznawane są zasady charakterystyczne dla gospodarki rynkowej. W tych warunkach rola ekonometrii w ży ci u gospodarczym kraju wyd:1je s i ę ni e do przecenienia . Wiadomo, że cała gospodark;i oraz każde jej ogniwo (przeds iębi o rstwo, finna) musi prog ramować {p lanować) swoją działalność. W czy nnośc i tej ni ezbęd n y jesl proces przewidywania (predykcji) różnych kategorii ekonomicznych. Wśród ekonomistów panuje zgoda co do tego, że ekonometria modelując procesy gospodarcze, dostarcza najlepszych narzędzi sporządzania prognoz. Ponadto ekonometria ma niebagatelm1 rolę do s pe łni e nia w ro zw i ązywa niu wielu problemów rynkowych. Na rynku trwa odwieczna gra cen, dochodów konsumentów oraz popytu i podaży. Bez modelowania tych kategorii nie sposób skutecznie określać rozmiar popytu, a co za tym idzie programować wielkość i asortyment produkcji dóbr i u s łu g. Stale z mieniająca s ię sytuacja na rynku, determinowana międ zy innymi postę pem technicznym, wymaga coraz bardziej precyzyjnych nar.tęd zi pomiaru zachodzących tam relacji. Ekonometria jest właśnie dostarczycielką tych precyzyjnych i wyrafinowanych metod
1.7. Ekonometria
dziś
i jutro
Podstawowe narzędz ie ekonometrii, jakim jest model ekonometryczny, m oże być wykortystywanc w celach sym ulacji różnych hipotetycznych scenariuszy rynkowych Wiadomo, że rzeczywisty eksperyment w ekonomii jest ni emożliwy . Natomiast eksperymeni. w którym zamiast rzeczywistego organizmu gospodarczego wykonystany zostaje jego model ekonometryczny, ma wszelkie podstawy realizacji. Wnioski z tak przeprowadzonego eksperymentu mo gą pos łużyć jako przes łanki podej mowania trafnych decyzji rynkowych Warto zauważyć, że ,jutro ekonometrii " może być w znacznej mierze zw iązane z bayesizmcm. Prt.y czym ekonometria baycsowska nie jest dz i ał e m pr.tcdmiotowym ekonometrii, jak makroekonometria czy ekonometria finansowa, lecz stanowi odręb n y sposób jej uprawiania. I stotą podejścia bayesowskiego jest uznanie za zmienne losowe tych wszystkich w i e lko śc i występujących w modelu , których wariości nie są znane przed wg l ądem w dane (obserwacje, parametry, zmienne ukryte) oraz wykorzystywanie zasad rachunku praw dopodobi eństwa we wnioskowani u. Analiza bayesowska pozwala budować dla wielkośc i nieobserwowanych ich rozkłady warunkowe wzg l ęde m dostęp nych obserwacji (rozkłady a posteriori oraz predyktywne), a do obliczania charakterystyk tych rozkładów (momentów, kwantyli ) wykorzystuje zwykle metody Monte Carlo. Bayes izm rozwija się niezwykle dynamicznie, zw łaszcza w ostatnim trzydziestolec iu W literaturze św i a 1 owej oprócz licznych ariykulów pojaw ił y s i ę podręczniki z zakresu ekonometrii bayesowskiej (zob. G. Koop (80], T. Lancaster 190J oraz J. Geweke [45]) Na podkreś l e ni e zasłu guj e fakt, że w dorobku polskiego piśmiennictwa poświęconego bayesizmowi znalazła s i ę pozycja podręcznikowa (103] autorstwa Jacka Osiewalskiego z Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Pozycja ta uka zała s i ę w 2001 r., uprzedzajqc świat owe wydan ia [80], [90] i [45]. Reasu mujqc rozważania nad pozyt yw ną rolą ekonometrii we ws półczesn yc h i przyszł yc h badaniach ekonom icznych, nic m oż na tracić z pola widzenia faktu związa n ego z przybliżonym charakterem wnioskowania. mający m źródło w stochastycznej strukturze jej modeli . Cechę tę m ożn a za pi sać na konto ogran i cze ń m ożliwości omawi :mej dyscypli ny.
Modele jednorównaniowe liniowe
2.1. Definicja modelu regresji liniowej Jak wiadomo, badanie ekono metryczne zawsze wiąże s ię z wykorzystanie m modelu ekono metrycznego, czyli pewnej reprezentacj i badanego zjawiska, systemu czy procesu. Podsiawowym modelem op i sującym za l eżn ości między zjawiskami (zmiennymi ) jest jcdnorównaniowy model liniowy (2 .1 )
Równanie (2. 1) przedstawia
zm i e nną objaśn ianą (e ndogeniczn ą)
Y jako
sumę
dwóch
s kładników
I ) pewnej kombi nacj i liniowej zmiennych objaśniających X X K, którym prLypisuje się zasadniczy w pł yw na kszt ałtowanie s i ę zmie nnej Y; 2) zmiennej losowej f: (nazywanej zakł óce ni em losowym). która uw zg l ęd ni a łącz ny wpływ pozostałych ( nieuwzg l ędnionych w model u), drugorzęd nyc h , przypadkowych czynników na kszt ałt owan i e s i ę zmiennej Y; za kłóce ni e losowe e wchłania także wsiebie ewentualne losowe (niesystematyczne) błędy pomiaru zmiennych oraz odchyle nia przyjętej anali tycznej postaci mode lu od rzeczywistej za l eż ności międ zy zmiennymi; w odróżnieniu od zmiennej objaśnian ej i zmiennych obj aś niaj ących zakł ócen i e losowe nie jest bezpoś rednio obserwowalne Współczy n n i ki a 1 (j = O, ... , K ) kombi nacji liniowej etoXo + · · · + aKX K nazywamy parametrami strukturalnymi modelu lub parametrami (współc zy nn ikami) regresj i. Charakteryzuj ą one st rukturę powiązań zmiennej endogenicznej ze zmie nnymi objaśniającymi (czy li il ościowy wpływ zmiennych obj aś niających, pr.i:y których stoją, na zmienną e ndoge niczn ą). Zazwyczaj jedna ze zmiennych obj aś n iającyc h - naj czę ściej pierwsza (i tak przyjmujemy) lub ostatn ia - jest defi niowana jako tożsamościowo równa jedności , tzn. X0 I . Wówczas eto nazywamy wyrazem wolnym modelu (lub stałą regresji). Parametry et0, . , aK są nieznane; podstawowym proble mem jest wyznaczenie ocen (czy li oszacowanie, estymacja) tych parametrów na podstawie zaobserwowanych wartości zm iennych Y. X 1 ••••• X K. Dysponując 11-elementowymi c iągami obserwacji na wszystkich 1ych zmie nnych, a więc c i ąg i e m wektorów ( y 1 , x 11 , • • . x 1K) (t = I ..... 11 ), ka żdą reali zację y 1 zmiennej 1
=
,
•• ,
2.2. Wybór zmiennych
obiaśniających
do modelu ekonometryczne110
objaś ni anej
Y mo że m y, zgodnie z założonym modele m, przed stawi ć jako sumę: kombinacji liniowej ao+a 1xr 1+ · +aKXrK odpowi ednich realizacji zmiennych obj aśn iającyc h oraz ni eobserwowalnej reali zacji Er s kładnika losowego s Zatem dla wszystkich obserwacji otrzymujemy układ:
Y1 = .r2 =
Układ
ao ao
+ +
a1X11
a1.r2 1
+ +
a 2X12
a2x22
+ ··+ + +
ten w sy mbolice macierzowo-wcktorowcj
a Kx 1K aKX1K
+ E1 + e2
m ożna zap i sać
jako:
y = Xar: +E.
(2.2)
gdzie: y
~
[','; ] .
Yn wektor obserwacji na zmiennej objaśnianej
X~
[ : 1
~;:
x~K "'"]
X11 1
X,:K
macierz obserwacji na zmmiennych objaśn iających
a = [ a ao1 ]
E = [ e_ e,2 ]
~"
Or:;K
sk;:~~:~~w
wektor parametrów strukturalnych
losowych
Z:1pis (2. 1) dla zmiennych (ekonomicznych) możemy n azwać postacią strukturalną jednorównaniowego liniowego modelu ekonometrycznego, natomiast zapis (2.2) (dla realizacj i zmiennych) nazywamy post ac i ą s trukturaln o- s ta t ystyczną 1 • W kolejnych podrozd ział ac h omówione zos t an ą etapy budowania modelu jednorównaniowego: wybór optymalnej kombinacji zmiennych objaśniających , esty macja i weryfikacja. Jedyni e wybór postac i analitycznej modelu omówiono w rozdziale 3, którego przedmiotem są modele nieliniowe.
2.2. Wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego Po ustaleniu zmiennej endogenicznej, czyli zm iennej , która będz i e opi sana prLez model (co jest proste , ponieważ budowa modelu wynika z konkretnej potrzeby), należy u st ali ć zmienne. które m og ł yby wyjaś ni ć jej zmi enność Wyboru zmiennych objaśn iających dokonuje s i ę zwykle w dwóch etapach 'Gdy w mod ol" wym woloy
J~• """"'"' '"""'"''"'· ""· Y, ~[";~" ~.~'X" + j x21
w macierzy X osta tn ia kolumn:i a
wyrnzwolnybędzienakorku
będzie z:iwiernć
jedynki. c:r.n. X = x„1
1·22
I ; I
l+o.X
+<,.
. :i w wektorze
2. Modelejednorównaniowe liniowe
Na etapie pierwszym na l eży zaproponować moż liwi e obszerną li st ę „potencjalnych zmiennych objaś niającyc h"' (zwanych tak że „kandydatkami" na zmienne objaś niające) w oparciu o merytoryczną wiedzę o badanych zjawiskach. Teoria ekonomii opisuje w sposób przyczynowy wiele zjaw isk (procesów gospodarczych), dostarczaj:1c tym samym go t ową li stę potencjalnych zmiennych objaśni ając yc h . Li stę tę nal eży wstępnie zwery fikowa ć, el imi nuji1c z niej zmienne •które maj ą charakter jakościowy - ni emierzalny (c hoc ia ż s ą takie cechy jako śc i o we, które m ożna w model u uwzględni ć, co ilustrują przykłady ) , • dla których brak jest danych lub kompletnych danych (np . brakuje danych obserwacji dla niektórych badanych jednostek lub niektórych okresów, czyli jednostek czasu), • które charakteryzują s i ę małą z mi en n ości ą, a więc w niewielkim stopniu różnicują badane jednostki (ich wartość diagnostyczna jest niewielka)2 Załóżmy, że w rezultacie takiej weryfika cji zos tało L pore11cjal11ycl1 v 11ie1111ych objaśniających . W drugim etapie dokonuje s i ę redukcji tego zbioru - wybiera s i ę najl epszą (o ptym a l ną) kombin ację s tosując np. metody statystyczne. Idea statys1ycznych metod doboru zmiennych opiera s ię na założeniu, że zmienne objaśn i ające uwzg lędnion e w modelu powinny być • stosunkowo silni e skorelowane ze z mi e nn ą endoge ni cz n ą. • nieskorelowane lub s łabo skore lowane z pozos tały m i zmiennymi obja ś niaj ący mi u wzg l ęd n io n y mi w modelu 3 Stąd te ż punktem wyjścia metod statystycznych jest obliczenie (w oparciu o zebrane dane) w s półczynników korelacji (liniowej) mi ę d zy: • zmienną endogeni cz n ą i potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi (oznacza s i ę je zwykle r 01 dla j = 1. . L, gdzie L jest li czbą potencjalnych zmiennych obja ś niających), • parami potencjalnych zmiennych obj aś niającyc h (riJ dla i, j = 1... . L ), przy czym w przypadku korelacji liniowej wchodzi : r ;; = I (współczynnik korelacji zmiennej z nią samą = I) oraz rij = r 1; (symetria). Obliczone ws półczy nniki korelacji zestawia s ię zwykle w postaci wektora Rn (wektor współczy nnik ów korelacji zmiennej endogenicznej z potencjalnym i zmiennymi objaśniającym i ) i macierzy R (macierz współczynników korelacji pomiędzy parami potencjalnych zmiennych objaś ni aj ącyc h ; macierz R jest symetryczna):
'"] r21.
(2.3)
I
2 Mi arą zmie nności zmiennej X jes1 współczynnik zmienności obli czany jako stosunek odchylenfo s1andardowego zm ien nej do jej war1ości średniej. zazwyczaj wy rażony w prcen1ach (d la zmiennej X V.r = S.r/X · 100) JZm ierme silnie skorelowane ze sobą wnosz;i do modelu zb li żone informacje. a ponadto silna korelacja zm iennyc h. zwa na wspólliniowością. prowadzi do sze regu niekortys1nych efek1ów modelowania ekono rne1rycznego. na co zwróc imy uw;1gę w odpowiednim miejscu
2.2. Wybór zmiennych
obiaśniających
do modelu ekonometryczne110
Spośród
wielu metod doboru zmiennych objaś n iających proponowanych w literatur.le omówi my (najbardziej popu larne) • m e todę Hellwiga4 • zwaną metodąpojemno§ci 110..fników i1ifor111acji ( noś nikami infonnacji są potencjalne zmienne objaśniaj:1ce), • metodę analizy grafów.
2.2.1. Metoda
pojemno ś ci
informacyjnej Hellwiga
Ze w st ępni e wytypowanych L zmiennych tworty s i ę kombinacje jedno-. dwu- , . L-elementowe; liczba wszystkich możliw yc h kombinacj i jest równa 2L - I Dla ka żd ej zmiennej w ka żdej kombinacji oblicza się indywi d ual ną pojem n ość n oś nik a informacji (htj )· (2.4)
gdzie: h ti - indywidualna pojemność )-tej zmiennej w k-tej kombinacji, roi - współ czynnik kore lacj i )-tej potencjalnej zmiennej objaśniającej ze zmienną e ndoge n i czną; h =\i: X,· E Kd - zbiór indeksów (numerów) zmiennych wchodzących w s kład k-tcj kombinacj i. tj. kombinacji Kt: L lriil - suma wart ośc i bezwzględnych współczynniiE I,
ków korelacji )-tej zmiennej z pozostałym i , które wy stęp ują z nią w danej kombinacji Dla każdej kombinacji zmiennych oblicza s i ę na stępni e int eg ra l ną (łącz n ą) pojemność nośników informacji Ht jako sum ę pojemno śc i indywidualnych zmiennych występujących w danej kombinacji (2.5)
Jako zmienne objaś n iające model u wybiera s i ę tę ich kombi n ację. dla której pointegralna H p rąjmuj c wartość naj większą (przy czym htj ; Ht E [0; lJ, tzn pojemnośc i indyw idualne, jak i integralne przyjmują warto śc i z przedziału
j e mność
zarówno [Oo\])
Przy kł a d 1. W pewnej spółce cukrowej budowany jest model kosztów całkowityc h produkcji ( Y w mln zł). Jako potencjalne zmi enne obja ś niające przyję t o: X wielkość produkcji cukru w cukrowni (w mln ton); X 2 - zawartość cukru w burakach cukrowych (w%). Zebrano dane dla ośmiu wy losowanych cukrowni i przedstawiono je w tablicy 2.1 5. 1
-
4 Prof. zw. dr hab. Zdzisław Hell wig z Akademii Ekonomicznej we Wroc!awiu (obecnie Uniwersyte1 Ekonomiczny) 5w podręczniku do oznaczenia kolej nych obserwacji przyję to. indeks r (xr.y1: r = l . .u ): nie którzy autorzy rozróżniaj<\ obserwacje w postaci danych prlekrojOW)'C h. przy pi sując im indeks i (x1. _1·;: i = I. . 11 ) ornz rezerwując indeks I dla obserwacji w pos t;ici sze regu czasowego
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Tablica 2.1
17.8
87
3 5 6
19.4
22.8 27.7
"
78
12 12 15 16
28.3 30.7 34.3 35.0
83 81
73 80
7..ród ło; daneumowne
W oparciu o pow yższe dane obliczono współczynniki korelacji między zmiennymi i otr.tymano (wyniki podano z dokładno śc ią do O.Ol): r 01 = 0.99. r 02 = - 0.6 1, r 12 = = -0.58 (= r2d. czyli 6 :
R ~[ r
Ro ~['•r 02°' ] ~[ - 0.99]. 0.61
Należy wybrać optymalną kombinację
tów
całkowity c h
cukrowni stosuj<1c
Rozwiąza nie.
m e1odę
Z zaproponowanych
I
wstępnie
I -0.58]
'" ] ~[ -0.58
I 21 zmiennych Hellwi ga
objaśniających
l
do modelu kosz-
dwóch potencjalnych zmiennych obja-
ś niających (L = 2) m oż na utwon:yć 2L - 1 = 2 2 - 1 = 3 kombinacje:
K1 ={Xi}. K2~ {X2 J.
K3 = {X1.X2). Dla każdej kombinacji zmiennych należy ob l ic zyć indywidualne i integralne pojemnośc i no śników informacji. I lak: - dla kombinacji pierwszej (Ki) pojemność indywidualna (2.4) będ z ie równa 7
rJ1
0,99 2
'111 = I = ----i-= o.9801.
a
pojemność
integralna
H1 ='111 =0.980 1: 6
Wspó łczynniki korelacji m ożna obliczyć ze znanego ze stnt ys tyki wzoru. np. wspókzynnik korelacji
między zmiennymi
Y i Xi: ro1 =
Jtr2· ;1:~(1~~~ 1 ~ 1 12
~·
Mo7.na
leż skor.-:ystać z funkcji
s1andardowej Excela (funkcja s1a1ystyczna: wspó lczyrrnik korelacji(;)). wskazując w polach okienka dialogowego kolumny z wart ościami odpowiednich zmiennych 7 1111 oznacza indyw idualn<\ pojenrnuś.ć pierwszej zm iennej (j = 1) w pierwszej kombinacji (k = l) W tej kombinacji wys1ępuje tylko zmienna X1. a w ięc jest ona skorelowana tylko z sobą (r1 I = 1). stąd 1 w mi~nown iku. Tak będzie dla wszys1kich kombinacj i jednoelemen1owych
2.2. Wybór zmiennych
obiaśniających
do modelu ekonometrycznego
- dla kombinacji drugiej ( K2 )
'122 =
ł = (-0~ 61 )2
= 0, 3721
H1 ='122 =0,372 1 Kombinacja trzecia s kłada pojemności indywidualne 8: h 31
~
=
=
I + l•·n l
się
z dwóch zmiennych, a
więc nal eży obliczyć
~
dwie
6 = 0.6203. hr = ~ = (- 0. ! ) = 0.2355, I + 1- 0.581 I + I'" I I + 1-0.58 1 HJ = h31 + h32 = 0,6203 + 0.2355 = 0.8558 2
Najw i ększą wartość pojem n ość integralna przyj ę ła dla kombinacji pierwszej wi ęc do wyjaśn ienia zmienno śc i kosztów ca łkowityc h produkcji cukru w cukrowniach wystarczy u względ ni ć z mi e nną X w i e lkość produkcj i.
( Hmu = H 1 = 0.980 1), a
1
-
Przykład
2. Pewien producent kosmetyków, rozprowadzający swoje wyroby za pośred ni ctwem konsultantów, pos tanow ił zbudować model wyjaśniający indywid u alną wydajność konsultantów Y, wyrażoną roczną wartośc i ą s przedaży (w tys. zł ). Jako potencjalne zmienne objaś ni ające przyj ę t o: X staż pracy konsultanta w firmie (lata), X2 - zmienna (zero-jedynkowa) 9 • którą nazwiemy „dod<1tkowe źródło dochodów"' 1
-
X 2 = I. gdy konsu ltant ma jeszcze inne źródło doc hodów, X 1 =O, gdy kon sultant nic ma innego ź ród ła dochodów,
X3 - płeć ( t akże zm ienna zero-jedynkowa). tu przyjęto X 3 = I dla mężczyzn, X3 =O dla kobiet Zebrano stosowne in formacje dla 1O wylosowanych konsultantów (tablica 2.2). W oparc iu o zawarte w tablicy 2.2 dane obliczono współczynniki korelacj i między zmiennymi i otrt:ymano (w zaokrąg l en iu do 0,01 ):
ro1 = 0.95, ro2 = - 0,69. r03 = - 0,47. r 12 = - 0.45. r n = - 0.37. r13 = 0.4 1. k1óre poni żej zapisano w postaci wektora
0.95] Ro= - 0.69 . [ - 0.47
Ro i macierzy I
R=
[
- 0.45 - 0. 37
R 10 ·
- 0.45 I 0.41
- 0.37] 0. 41 I
8113 1 to indywid ualna pojemność pierwszej zmie nnej (j = I) w trzeciej kombinacji (k = 3), a /1 32 indywidualn;i pojemność drugiej zmiennej (j = 2) w tr.o:eciej kombinacji (k = 3) 9 Ccchy jakościowe dwuwariamowc (dychotomiczne) mo:i;na uwzględnić w modelu za pomocq m1iennych przyjmujących dwie wartości: 1 lub O (zero-jedynkowych); jeśli cecha ma więcej niż 2 warianty (np pozio m wykształcenia) . w modelu uwzgl i;:dnia się więcej takich zmiennych. 10 Zauwa żrny. że ze względu na symetri ę macicrl R często podawana jest w postaci R =
1 - 0.45 =
[
- U.37] 0.41 I
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Konsuhant
)'1
29 30 35
4
45 49 45 10
52
7..r6dło:dancumowne
Należy wybrać opty m a ln ą kombinację
zmiennych
obj aśniających, stosując metodę
Hellwiga Rozwiqza„ie. Z tr1.:ech potencjalnych zmiennych I = 7 nas tęp ującyc h kombinacji :
o bj aśniających
(L = 3)
można
utworzyć 23 -
K i= {Xi} . K i= IX2}.
K3 = K4 =
IX3}. IX 1. X 2}.
K5= {X1.X3},
K 6= {X2.X3).
K1 = {X 1. X 2. X 3),
dla których należy ob li czyć indywidualne i integralne pojem ności noś n ików info rmacj i. Oto wyniki obliczeń: - Kombi nacja 111 0.95 2 1 h11 = l = ~ = 0.9025. H 1 =11 11 = 0 .9025.
rJ
- Kombi nacja 2
11 ~~
=
++
- Kombinacja 3 h 33 =
~ I
r2
f
= {-0.69)2 = 0.4761. 1
47) 2
(-0 = ;-
= 0,2209,
H2 = '122 = 0.476 1
H3 = h33 = 0.2209.
11 Jak zauważono w przykł:tdzie I. w kombinacjach jednoelementowych zmienne nie są skorelowane z żadną inną zmienną. stąd w mianowniku pojemności indywidualnych występuje 1
2.2. Wybór zmiennych
obiaśniających
do modelu ekonometryczne110
Kolej ne trzy kombinacje to kombinacje dwuelementowe - dla więc obliczyć dwie poj e m nośc i indywidualne. - Kombinacja 4 h41 =
___!1__ 1 +l r 12I
=
każd ej
z nich n a l eży
0 952 · = 0.6224 . I + 0.45
r2 ( -0 69) 2 = 0,3283. /14? = ~ = _ ._ • I + lr2il I + 0.45
~=
h 53
- Kombinacja 5 =
h 51
___!1__ 1 + lr nl
=
I + 0. 37
0.6588 .
=
~
1 + lr3 1 Hs= hs1 + h53 = 0.8200
7 2 I + 0. 37
= (- 0.4 ) = 0, 16 12.
1
- Kombinacja 6 11 6?
=
•
47 2 rJ2 = (- 0 .69) 2 = 0.3377 . " 63 = ~ = (- 0. ) = 0. 1567 . 1 + lrnl I + 0.41 1 +l r32I 1 + 0.41 H6 = h62 + h63 = 0.4944
- Kombinacja 7 zawiera trzy potencj al ne zmienne, s t ąd trzech poj e m no ś c i indywidualnych
poj e m ność
integrnlna będ z i e
s u mą
rJi
h11 =
I + lr12 l + lr nl
lr~~ + lr23I 2
hn = 1 +
r03
h73 =
l + lr3il+lr32I
0.95' 1 + 0.45 + 0 .37 (- 0.69)' I +0,45 + 0.4 1 (-0. 47) ' I + 0.37+ 0 .4 1
0.4959. 0,2560. 0. 124 1.
H1 = h11 + hn + h13 = 0.8760 Poj e mność
integralna
dla kombinacji 4 ( Hmv.. = 174 = zmienne X1 i X 2, czyli Y = f (X 1. X2)
przyj ę ł a n aj w i ę k szą wa rt ość
= 0. 9507), zatem w model u nal eży
u wzg l ęd ni ć
2.2.2. Metoda analizy grafów Idea metody grafu 12. podobnie j ak metody Heli wiga. oparta jest na za ł oże n i u . że zmienne w modelu powinny b yć stosunkowo si lnie skorelowane ze oraz s ł abo skorelowane mi ę d zy sobą Punktem wyj śc i a metody grafu jest weryfikacja statystycznej istotności ws pół· czynników korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi (zawartych w macierzy R). Dla każdego ze współc z y nnik ó w ru n a l eży z weryfi k ować hipotezę: objaś ni aj ące u w zg l ęd ni o n e zm i e nn ą obj aś ni an ą
Ho : r ij = O dla i ::f:. j wobec 17
1
:
r ij ::f:. O
12Metoda 1a w pierwo1nej p
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Sprawdzianem w t eśc ie jest statystyka
/=n· Tij~
(2 .6)
którą
porównuje s i ę z wartością krytyczną ta odczytaną z tablic rozkładu t Studenta dla poziomu istot ności a oraz 11 - 2 stopni swobody (11 jest lic zbą obserwacji. na podstawie których obliczono współczynniki korelacji). Stwierdzenie. że Ir I .:'.: ta nie daje podstaw do odrwccnia hipotezy zerowej, a więc świad czy, że w spółczynnik korelacji między zmiennymi jest statystycznie nieistotny. W praktyce naj częściej korzysta się z warto śc i krytycznej współczynnika korelacji r•, otrzymanej z przeksziałcenia wzoru (2.6) przyjętego
(2 .7)
Wszystk.ie w spółczynnik.i korelacji s peł n iające warunek lriJ I ::: r• uznaje się za statystycznie nieistotne i w macierzy R zastępuje zerami. W ten sposób otrzymuje s i ę macierz R' (której elementami są zera i statystycznie istotne współczyn n iki korelacji) Macierz R' stanowi podstawę budowy grafu powiązań między zmiennymi. WicrLchołkami grafu są potencjalne zmienne objaś n iające , a łączącymi je krawędziami statystycznie istotne współc z y nn iki korelacji. W rezultacie można otnymać graf spój ny 13 lub graf sk ładający s i ę z podgrafów spójnych i tzw. wierzchołków izolowanych, czyli wierzchołków (zmiennych). które nie połączyły s i ę z innymi. Zasadq jest, że do modelu wybiera się tyle zmiennych , w ile grup połączyły s i ę potencjalne zmienne objaś niające . Będą to wszystkie wierzchołki izolowane oraz jedna zmienna z każdego pod grafu spójnego, ta która ma najwyż szy nąd wierzchołka 14 (czyl i jest powiązana istomic skorelowana - z najwi ększą li czbą potencjalnych zmiennych objaśniających , a więc będzie reprezentować je wszystkie). Jeżeli w i ęcej ni ż jeden wierzchołek ma ten sam, najwyższy rząd, to wybiera się tę zmienną. która jest najsilniej skorelowana ze zmienną endogeniczną (objaś ni aną) i dopiero wówczas korzystamy z informacji zawartych w wcktor1:c Ro. Przykład 3. Na podstawie 22 obserwacji (11 = 22) na zmiennej endogeni cznej Y i 6 , X6 ) obliczono w spółczynniki korelapotencjalnych zmiennych objaśniających ( X 1• cji między zmiennymi i otrzymano
13 Grof spójny to taki, w którym wszystkie wierzchołki są ze sobą bezpośrednio lub pośrednio połączone. 14
i
Rząd (s to pi eń) wierzchołka -
wychodzących
z niego
krawędzi
r (Xj) -
określ ony jes1 prlez li czbę wchodzących do niego
2.2. Wybór zmiennych
objaśniających
do modelu ekonometrycznego
I - 0.78] 0.85 - 0.61 R = 0.44 [ 0.55 [ - 0.50 Stosuj:1c metodę grafu, należy
- 0.45 l
- 0.39 0,40
R,, ~
I
0.32 - 0.52 - 0.41 I
0.20 - 0.33 - 0.31 0.28 I
- 0.42 ] 0.27 0. 54 - 0.35 0.42 I
wybrać op ty maln ą kombinacj ę
zmiennych
objaś ni a
j ącyc h . Rozwiązanie.
Aby zweryfikować statystyczn ą istotność współczyn nik ów korelacji mi ędzy potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi. nale ży obliczyć waność krytyczną współczynn i ka korelacji według wzoru (2.7). Wan ość krytyczna statystyki t odczytana z tablic rozkładu t Studenta dla poziomu istotności a = O.OS oraz 11 - 2 = 22 - 2 = 20 stopni swobody wynosi 2,086 (co moż n a zap i sać t0 .o5 :w = 2.086). Zatem:
2.086 ~ o 42 22 - 2+2. 0862 ' 2
r* =
A w i ęc wspó łczy nniki korelacji spe łniając e warunek lr;j I _:-: : 0,42 uznajemy za statystycznie nieistotni e różniące s ię od zera i w macierzy R zastę puj e m y zerami. W rezultacie otrzymujemy macierz R'·
x,
•~ [
x, -0.45
x, o
o
x, o - 0.52
o I
x, x, o x, o o o 0,54 X3 o x, o x,
"r I
która stanowi
ułatwić budowę
X,
budowy grafu, powiqzail między zmiennymi (rysunek 2.1 ). Aby grafu, wiersze i kolumny macierz R' opisano zmiennymi. które repre-
podstawę
zentuj
Rysunek 2.1. Graf powiąz;iii
między
zmi ennymi
Potencjalne zmienne objaś ni ające połączyły s i ę w trą grupy (otr~yma n y graf skł ada s i ę z dwóch podgrafów spój nych i wierzchołka izolowanego X 5 . Zatem do model u nal eży wy brać trzy zmienne:
2. Modelejednorównaniowe liniowe
• z pierwszego podgrafu spój nego (Xi. X2. X.i) wybieramy X2 - wierzcho łek o najwyższym stopniu (zmienna X 2 wniesie do mode lu także informacje o X 1 i X.i), • z drngiego podgrafu (X 3, X 6) wybieramy X 3 (obydwa w i erzc hołki mają taki sam rząd = I, ale X3 jest silni ej skorelowana ze zmi e nną endogeniczm1 ro3 = - 0.61, r06 = - 0.5), • trzecią zmienną objaśniającą będzie X 5 , czy li zm ienna. która nie jest istotnie skorelowana z żadną inną zm i e nną, a więc żad na inna zmienna nic wniesie do mode lu informacji o niej Reas umując Y = f(X2, X3, Xs). czy li w modelu nal eży uwzg l ę dni ć zmienne X i. X3 orazX5
2.3. Estymacja modelu 2.3.1 . Klasyczny model regresji li niowej-założen i a Przypomnijmy, (2. 1)) jest
że postać
strukturalna jednorównaniowcgo modelu liniowego (wzór
na st ępująca
Y, =
ao
+a1 X11 +
a1X12 +
··+
aK X1K
+e, .
a postać strukturalno-statystyczna, uw zg lęd niająca wszystkie obserwacje na zmiennych (model w zapisie macierzowa-wektorowym - wzór (2.2)) y = Xct + e i to ona stanowi punkt wyjścia estymacji parametrów modelu . Pos tać st rukturalno-statystyczna nie wystarcza jednak do przeprowadzenia estymacji w rozumieniu statystyki matematycznej . Potrzebne są jeszcze założenia probabilistyczne, opi s ujące (hipotetyczny) mechanizm generowania poszczególnych zmiennych (obserwacj i) Model liniowy w zapisie macierzowa-wektorowym wraz ze sformułowanymi werbalni e założeniami moż na zap i sać nast ępująco ([46] , s. 215- 216): I. = "~k t~I + ( każda obserwacja y, jest liniową funkcją obserwacj i x,1 oraz
„:
1 składnik a losowego
„;
1
e1 • czy li model, którego parametry szacujemy, jest modelem linio-
wym) 2. X jest macierzą ni e losową, zatem zmienne objaśniaji1ce są zmiennymi nielosowymi (ustalonymi w powtarzanych próbach: dla każdego 1 = l, . 11 na poziomie X11„
.X1K)
3. rz(X) = K + 1 < n (tzn. macicr.t X ma pclny rząd kolumnowy); wektory wartości poszczególnych zmiennych objaśniających (kolumny macierzy X) s ą liniowo niezależne (nie występuje współliniowość zmiennych objaśniających); liczba zmiennych objaśnia jących (ze s tałą I) jest mniejsza od liczby obserwacji 4. E (E) = ~ s kładnik losowy ma wartość oczek i waną równą zem (czyli zakłócenia
1 1
-
różnokierunkowe kompensują s i ę)
2.3. Estymacja modelu
5. Macierz wariancji i kowariancj i skład nik ów losowych jest równa V(E) = E(EET)=cr 21„. gdzie0:-:;cr 2 <+oo, co oznacza, ze: • E e~ = cr 2
wariancja s kładnika losowego jest sta ła dla wszystkich obserwacji t); własność ta nazywana jest j ednorodn ością, s tałośc ią lub homoskedawariancji), • Ee1Bs = O dla wszystkich s f=. f - składnik i losowe poszczególnych obserwacj i nieskorelowane (nic występuj e autokorelacja s kładników losowych). Zestaw założe 1l 1-5 nazywamy klasycznym modelem regresji liniowej (KMRL).
(dla
każdego
stycznośc ią są
J eś li doł ączy my za ło że ni e:
6) e ...... N„ (s kładnik losowy e ma 11-wymiarowy roz kład normalny), 10 otrzymamy zestaw za łożeń 1- 6, nazywany klasycznym modelem normalnej regresji li niowej (KMNRL) 15 . W odniesieniu do jednorównaniowego modelu liniowego naj częśc iej s to sowaną (aczkolwiek ni c j edyną) metodą estymacj i jest klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) Geneza tej metody si ęga poc ząt ków XIX w. i w iąże się z pracami jednego z najwi ęk szych matematyków wszechczasów - CF. Gaussa (por. z. Pa w łows ki Ll JOJ, s. 90) Według J.E. Freunda (f40l, s. 327), pom ysł zastosowania kryteri um najmniejszych kwadratów przy pi sać nal eży francu skiemu matematykowi A.M. Legcndre'owi. M oż n a niewątpliwie przyjąć, iż obaj uczeni ni eza l eż ni e od siebie wnieśli znaczący wkład w rozwój tej metody. Dzisiaj o tej hi storycznie najstarszej, a przy tym intuicyjni e prostej metodzie można przeczytać w każdy m podręczniku ekonomet rii.
2.3.2. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów Estymacja mode lu - w oparciu o zebrane dane statystyczne (próbę - obserwacje zmiennych) - polega na wyznaczeniu ocen parametrów strukturalnych. parame trów rozkładu składnika losowego i innych miar dopasowania model u do obserwacji (parametrów struktury stochastycznej) Dla obserwacji zmiennej objaśn ianej Y (y1 ; r = L .. 11) i K zmie nnych objaś nia . 11) nal eży u sta li ć model opi s uj ący obserj ącyc h X 1 • • • , X K (x 11 • • • x 1K; t = I. 2. wacje, dopasowując do nich hiperpła szczyznę o kre ś l on ą wzorem (2. 1). Hipe rpła szczy zn ą dopasowaną metodą najmniejszych kwadratów jest taka hiperp łas zczy zna. dla której s uma kwad ratów odchy l e ń obserwacj i od hiperpłaszczyzny jest najmniejsza. Dopasowaną do obserwacji hiperpła szczyznę wyznaczaj ą wart ości teoretyczne S•r - w i e lkośc i , w których nieznane parametry (ao. . ad zastąpiono ich ocenami
(ao.
. aK)
a odchy lenia
(2.8) wartości
teoretycznych od empirycznych (obserwacji) to reszty (e1) e, = Yr - )•,
(2.9)
15 KM NRL można w sposób bardziej zw;irty zapisać z;is1ępuj <\C Zilłoże ni a 4--6 jednym: f: - N(O. o 21„ ). tzn. sk!adnik losowy ma rozkład nom1alny o średniej U i macierzy wariuncji i kowariancji 0 21„
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Zatem fu n kcję kryterium MNK można zapisać skalarnie 16 :
"
S(a 0 ,
•
ad=
"
"o~-~i·?,A. ~ e~ = „ 0~_i_?,,,. ~ (y 1 -
2 j,) =
Po obliczeniu pochodnych cząstkowych funkcji S(a0 , . llK) względem szukanych ocen parametrów, prLyrównaniu tych pochodnych do zera (warunek konieczny ist11 ie ni:1 ekstremum) i pewnych przekształc e niac h, otrzymamy (znany ze statystyki ) układ równań normalnyc h
L .v1
=1100
(2 .11)
któ rego
rozw i ązaniem
rozwiązać
sq szukane oceny parametrów (a
go
można
np.
pos łu
g uj ąc się me todą wyznaczników) 17
W zapisie macierzowym - dla modelu (2.2) - y = Xa + E wektor wa rt ości teoretycznych m oż na za pi sać jako Y = Xa, a wektor reszt jako c = y - ji, gdzie:
y• =
[ ~] .Y2:
.
a=
~
[%] a,1.
,
e=
e,' [~] .
,
~
OK
przy czym a jest szukanym wektorem ocen parametrów strukturalnych. Kryterium MN K - minimalizacja sumy kwadratów reszt ma postać 1 8 : (2 .1 2)
l6"0~~~-~K oznacza minimalizacj\: ze względu na 110 .
z
17 układu tego należy wybnić liczb\: wierszy i kolumn stosown ie do liczby zmie nnych objaśniaj;icych (parametróws1111 k1uralnych ) modelu
IH Możn;i bowiem s prawdzi ć. że cTc =[ei
e2
e„ ] ·
[' ] e1
e„
=ei+ei+
2.3. Estymacja modelu
i po dalszych przek ształce niach 19 S(a) = yTy- 2aTXTy + aTxTxa Pochodną funkcji kryterium S(a) względem szukanego wektora a 20 przyrównujemy do
Pr zekształcając
dal ej, otrzymujemy układ równatl normalnych (w zapisie mac i er~owym): 2xTxa = 2x Ty {::} x Txa = x Ty.
którego rozw i ązaniem 21 jest szukany wektor ocen parametrów strukturalnych· a = (X Tx ) - I XTy.
(2.13)
J 2 S(a)
~ = 2XTX jest macierzą okreś loną dodatnio, zatem spełniony jest też warunek
dostateczny istnienia minimum funkcji S(a), a także istnieje (XTX) - 1. Twierdzenie Gaussa-Markowa22
W klasycznym modelu regresj i liniowej najlepszym, nieobciążonym estymatorem liniowym wektora a jest wektor otrzymany metodą najmniejszych kwadratów: a = (XTx )- I XTy o macierq wariancji i kowariancji V(a) = rr 2(X TX ) Warto w tym miejscu jeszcze raz podkre ś li ć własności estymatora MNK: • estymator a jest estymatorem liniowym (tzn. jest kombinacją liniową wektora y obserwacji na zmiennej zależnej , tj. a = CTy), • estymator a jest estymatorem nieobc i ążonym (tzn. E(a) = a), • estymator a jest estymatorem najefektywniejszym (tzn. ma najmniej szą wariancję) w klasie ni eobc iążonyc h estymatorów 1iniowych23 . 19 Trnnspozycja iloczynu macierzy (A lł )T = nT · AT. stąd (Xa)T = aTXT; z:mważmy także. że yTXa = aTXTy (są to skalary) WyTy jes1 st.i tą. zatem jej pochodna jest równa O. aTx Ty jest fom1ą liniową o ogólnej postaci x Ta. której pochodna
a~:a
= a.
stąd
aa: : Ty = XTy. Natomi as1 aTxTXa jest
formą kwadrn1owąoogólnej poslaci
T2~:~::::~::~~~;, :::~:ż:n~:~1~ :~::~:::1 ~0:~.Tz~:~~:·a~~:~ s~~::· określona 1
x :::: dOOa1nio (detXTX > 0).jcst wil'.C nieosobliwa (ismieje macierz do niej OOwroma). Zatem obie strony mnoży my pm~z (XTX) - 1 22 Por.146].s.218 2.l w m yśl twierdzenia Gaussa-Markowa estymator MNK jest najlepszy (naj efektywniejszy) w~ród wszystkich estymatorów liniowyc h ni eobciążonych. O 1akirn es1yma1orze mówi się . że ma własność BLUE (Best Liu erir Unbim·ed Estim11/or)
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
W KMNRL estymator MNK mak-wymi arowy
rozkł ad
normalny. tj
Ni eo bc i ążo ny m estymatore m wariancj i s kładnika losowego cr 2 jest wariancja resz-
s;.Wzór mac ier.wwy: s; = li~ k cTC = Il~ k (y -
towa
= li~ k (yTy -
)')T(y - )') =
11
~ k (y ~ Xa)T (y -
Xa) = (2. 14)
aTXTy),
gdzie: /1 - liczba obserwacj i; k - li czba szacowanych parame trów slrukluralnych 24; k - liczba s1opn i swobody; Y = Xa - wektor wan ośd teoretycznych; e = y - Y - wektor reszt Wzór skalarny: 11 -
(2. 15) Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej
s,
=!Si
(2. 16)
nazywamy odchyleniem standardowym resztowym. Informuje ono o ile ś red ni o warloilci teoretyczne zmie nnej endogenicznej (wy nikaj ące z modelu - j,) róż ni ą s i ę i11 plu.1· lub in minus od jej wart ośc i e mpirycznych (zaobserwowanych) )'1 Ni eo bc i ąż o n y m estymatorem m aderą wariancji i kowari ancji cs1ymatora MNK, tj . macierzy V(a) = cr 2(XTX) - 1 jest macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych (2 .1 7) Pierwiastek kwadratowy z ) -tego eleme ntu di agonalnego m aderą 0 2(a ), k1óry zwykle oznaczamy sy mbolem D (a 1), nazywany jest błędem średnim szacunku oceny a j. Informuje on o ile ś rednio wyznaczona MN K ocena a j może różni ć s i ę in plus lub i11 mi111 1.\" od rzeczywistej wan ośc i parametru cx . Jest on zate m indykatorem jako śc i (pre1 cyzji ) oszacowania danego ws półczy n n i ka regresji . J eże li eleme nty macierzy {XTX)- 1 oznaczymy jako d;1, tzn. (XTX)- 1 = LdiJ J, to: 2 V~cx 1 ) = a ~JJJ - wariancja ~-t eg_~ ~arametru regresj i, D -(a 1) = S; d jj - ocena wan anCJ1 J -tego parame tru regresji , D (a 1 ) = dJJ = Se/d)j - ocem1 błędu śred ni ego szacunku )-tego parametru regresJL
J s; ·
24 w podręczniku prz.yję10. że /,; to li czba parn me1ró w strukturalnych modelu. a K 10 liczba zmi ennyc h prty czy m w modelu liniowym z wyraze m wolnym k = K + I
objaśniającyc h .
2.3. Estymacja modelu
Aby oce ni ć d okł ad n ość dopasowania mode lu do obserwacji. oblicza s i ę t akże sze współc zy nniki. Współczynnik zmienn ości resztowej25: V,=
który informuje, jaką część (jaki procent) now i ą odchy lenia losowe
5;:)' · IDO.
poniż
(2.18)
wartośc i śred ni ej
zmiennej endogenicznej sta-
Współczynnik zbieżności
te~
2
1p2 =~= ~11-k)Se . ,~(y,-5')' przy czym mianownik
1
(2 .19)
,~(y,-5')'
można także obliczyć korzystając
ze wzoru uproszczonegff
I: (y, -YJ' =I: .1:- ~(I: ,,)'
(2 .20)
r.p 2 przyj muje wartości z p rzedz i ału fO: 11 i informuje, jaka część całkow it ej zaobserwo-
wanej zmien n ości zmiennej endogenicznej jest wynikiem kowyc h, ni e uw zg l ę d nionych w modelu (czyli jaka część ni cznej nie została wyjaśn i o na prt.:ez model). Współczynnik determinacji :
dział ania
czynników przypadzmiennej endoge-
zmien n ości
(2.2 1) informuje. jaka część ca łkowit ej zaobserwowanej z mi e nn ośc i zmiennej endogenicznej jest wyj aś ni o na przez model (jest wynikiem działa n ia czynn ików u wzg l ędnion ych w modelu, a w i ęc zmi ennych objaśniających) . Należy d odać. iż oceny parametrów strukturalnych otrt.:ymane w postaci wektora a to tzw. oceny punktowe. Dla każdego parametru można także zb udować przedzi ał ufn ośc i przedzi a ł liczbowy zaw i e rający z określonym bli skim l prawdopodob i e ńs twem (najczę ściej 0,90, 0,95 lub 0,99) prawdziwą wartoś ć parametru. Przedział ufności dla parametru a j buduje s i ę zgodnie z formu łą 26 P{a j - la
D (aj)
D (aj}) = l - a.
(2 .22)
R ozpi ę tość przedziału za l eży
od założonego prawdopodobieństwa 1 - a, a więc za łożonego poziomu istotności a (bowiem la odczytuje s i ę z tablic rozk ładu I Studenta dl a przyjętego a oraz dla n - k stopni swobody), a tak że od wie lkośc i błędu śred ni ego szacunku parametru 25 Wprawdzie odchylenie standardowe - nazywane także średnim błędem szacunku mode lu - infomrn je o ile średnio wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej różnią się od wartości zaobserwowanych. to jednak aby ocenić czy te odchylenia są duże. wano porównać je ze śred nią wartością zmie nnej endogenicznej _i•. 26 A więc do oceny punktowej dodaje się i odejmuje iloczyn błędu śred niego swc un ku parametru i sla tystyki la
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe Przykła d
I ustalono, że w modelu kosztów ca łkowityc h cukrowni jedyną zm i enną objaśniającą powinna być wiel k ość produkcj i. Nal eży oszacować parametry modelu opisującego zależność kosztów całkowitych od wielkości produkcj i 4. W
przy kładzie
Rozwiąza nie. Wykres korelacyjny zależności mi ędzy zmiennymi (jego sporządze nie jest moż liw e, bo w modelu występuje tylko jedna zmienna objaś ni ająca) przedstawiony na rysunku 2.2 wskazuje, że do opisu tej za l eżno śc i można wykorzystać model liniowy27 ·
(2 .23)
Obserwacje
zawierają
~
kolumny 2 i 3 tablicy 2.3
24
0 '--0------,-0-„-,, -„-„ produkcja(tys.ton) Rysu nek 2.2.
Zależność
kosztów całkowityc h produkcji cukru od wielkoki produkcji
Ta blica2.3 1-c_"_kro_w_"'_"
-1---+---+-e~ __ .\il -~-~
1---+-"-+-x_;+-5
I:
17.8
3
19.4 22.8
5 6
27.7
li
121
6
8
JO
li
316.84
- 9.2
84.64
0.8 100
376.36
- 7.6
57.76
1.3456
519.84
- 4.2
17.64
53.4
17.62
0. 18
0.0324
25
97.0
20.30
- 0.90
36
136.8
21.64
1.16
9
304.7
28.34
- 0.64
0.4096
767.29
0.7
28.3
339.6
29.68
- 1.38
1.90<4
800.89
1.3
l.69
30,7
368.4
29.68
1.02
1.0404
942.49
3.7
13.69
0.49
53.29
34.3
514.5
33.70
0.60
0.3600
I 176.49
7.3
35.0
560.0
35.04
- 0.04
0.0016
1225.00
8.0
64.00
2374,4
2 16,00
0,00
5,9040
6 125,20
0,0
293,20
2 16,0
80
Żródlo: oprncow~nicwłasnc
27 Model liniowy jest często wykort.ystywany jako model kosztów ca łkowit ych. o czym będzie mowa wrozdziale5
2.3. Estymacja modelu
ParameLry s1ru k1Uralne modelu oszacujemy
według
wzoru (2. 13)
gdzie:
17.8 19.4 I
x., ]
l
x„
X = ~ ·~2= [
I l
li 12
I
12
["'] Y2
y=
.
l [:; 7:; J
X!
I
I
X!
X3
27.7 28. 3 30.7 34.3 35.0
l ["tx,
zatem
XTy = [I
=
y„
15 16
.:„
22.8
tx, t x,]
=
2
X„
t:J
,
f:I
:] [;;] =[~~'" ] "
.
L;x,y,
y„
1- 1
Mając wyprowadzone goto we wzory na macicrL XTX i wektor x Ty. ni ezbędne oblicze-
nia
można wy konać
w tabel i (kolumny 1-4 tablicy 2.3)
Mamy zate m
T [ "n . ,~X, ] [8 " . = 80
X X=
,?;·'/
2
,~ ·' 1
80] 960 .
T
[
Xy=
,~
y, ] [ 216 " . = 2374.4
1~·~1Y1
l
Macie rz XTX i wektor x r y m oż na równie ż wyzn aczyć mnożąc odpowiednie macierze obserwacji:
x r x = [ 31 51 61
Ili
12
12
15
I 16
l
I
li
12 12 I
15
I
16
8 80 ] [ 80 960 .
2. Modelejednorównaniowe liniowe
XTy- [I I I - 3 5 6
Obliczoną macierz
li
2 16
= [ 2374.4
l
.
XTX i obliczony wektor XTy wstawiamy do wzoru (2. 13)· T
a ~ (X X) Należy
17.8 19.4 22.8 27.7 28.3 30.7 34.3 35.0
-I
T
[
X y~
8 80
80 ] - I [ 2 16 960 2374.4
l
jeszcze obliczyć macierz odwrotn ą do XTX. Przypomnij my, że (XTX)- 1 =
--\det(X X )
AT; gdzie A jest mac iem1 algebraicznych dopetniefi, której elementy
= (- l )i+Jld;jl, a ld;;I jest podwyznacznikiem macierzy XTX po wykreślen iu i-tego wiersza i }-tej kolumny. Wyznacznik macierzy XTX:
a ;j
dct(XTX) ~ 960 · 8 - 80 · 80 ~ 7680 - 6400 ~ l 280. aw i ęc 28
cxTxi-' ~ _I_ . [ 960 1280
"o ]
a = [a
1
=
[
0.75 - 0.0625
- 80
- 80] 8
- 0.0625 0,00625
~[
o. 75 - 0.0625
l[ l 2 l6 2374 . 4
- 0.0625 ] 0.00625 .
=
0.75 ·216 - 0,0625 ·2374,4 ] [ 162 - 148.4 = [ - 0.0625-216+0,00625·2374, 4 = -1 3,5+ 14.84
l
=
[13,6 1.34
l
Oszacowany model (wartości teoretyczne) ma więc postać (w modelu - wzór (2.23) nieznane parametry a 0 i a zas tępujemy uzyskanymi wyżej ich ocenam i) 1
}', = 13.6 + l .34x1 Wstawiając
do oszacowanego modelu kolejne obserwacje zmiennej obj aśn iaj ącej (.r1 ). obliczamy wartośc i teoretyczne dla poszczególnych obserwacji (zestawione także w kolumnie 6 tablicy 2.3)· 5'1 = 13.6 + 1.34 3 = 17.62.
5'2=
13.6 + )'3 = 13,6 + )'4 = 13,6 + S-s = 13.6 +
1. 34 5 = 20.30. 1. 34 6 = 2 1.64. l. 34. 11 = 28.34. 1.34 · 12 = 29.68.
2.3. Estymacja modelu
)'6 = 13.6 + 1.34 12 = 29.68 . 5'7= 13.6 + 1.34 15=33.70, .Ys = 13.6 + 1. 34 16 = 35.04 Jak lai wo s prawd zić w tablicy 2.3, suma wartośc i teoretycznych jest równa sumi e wartości zaobserwowanych .Y, = y, = 216), co potwierdza poprawno ść ob l iczeń.jeżeli bowiem w modelu występ uj e wyraz wolny a 0 , to suma wartości teoretycznych jest równa sumie wartośc i zaobserwowanych L Yr = L y" a suma reszt L er = O Reszty er = y, - jl1 obl iczono w kolumnie 7 tablicy 2.3 Po oszacowaniu parametrów strukturalnych na l eży obl i czyć paramelry struktury stochastycznej. Tym razem wari a ncję re sztową obliczymy z obu podanych wzorów Ze wzoru macierzowego (2. 14) mamy 29 :
CL
L
2
• = ~(y I Ty - a TXTy) = S~
= =
~ · 16 125.2 5
·~04
I s=2
l
6125.2 - 1 13.6
1. 34 l ·
[ ll 216.4 2374
=
(2937,6 + 3 1 8 1.696)1=~'16 1 25,2 - 6 11 9.296\ =
= 0 ,984,
Y2
pri;yczymyTy = [ y 1
J'l };3
y„ ] . [
l
=
1~ y
2 1
= 6125 .2 (kolumna 9
Yn
tablicy 2.3)
Oczywiśc i e taki sam wynik otrzy mamy ze wzoru skalarnego (2. 15)
CL e; obliczono
w kolumnie 8 tablicy 2.3) ~
s;
I
=
~
8e; "
~
I = 8 - 2 ·5.904 = 0.984
Odchylenie standardowe (2 .15) S,
=[Si= )0:9s4 = ± 0.992.
teoretyczne kosztów całk ow ityc h (obliczone na podstawie model u) róż ni ą s i ę od warto śc i zaobserwowanych ś red n io o ±0.992 mln z ł (St wyrażone jest w takich jednostkach , jak zmi enna endogeniczna Y ) Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych: Zatem
wa rt ości
O'( )= S'·(XTX)-1 = 0 9S4 ·[ 0.75 a ' · - 0.0625
- 0.0625 0.00625
l
= [
0.7380 - 0,06 15
29 Wzór len jest o tyle wygodny. że nie wymaga obliczenia wartości 1eore1ycznych (_\;1)
- 0 . 06 15 , ]. 0 006 1"
2. Modelejednorównaniowe liniowe
a błędy śre dnie szacunku parametrów (pierwiastki z elementów diagonalnych macierzy 0 2(a)) są równe: D (a 0 ) = / 0.07380 = 0.859. W spółc zy nn i k z mi e nn ości
V,=
L;y,
przy czym .}•= -
Ęc · 100 =
2 16
= -
D(a,) = / 0.00615 = 0.078.
resztowej:
y
0 992 100 = 3.674%. · 27
= 27. Odchylenia losowe
8 poz iomu zmiennej" endogenicznej (kosztów
s tanow i ą więc
3,67% ś redni ego
całkowitych).
W spółczy nnik zbieżności
5, 904 =0.0201. 293.20
prt:y czym L (y 1 - ji) 2 obliczono w kolumnie 11 tabli cy 2.3; w ty m miejscu sprawdzi my, że wzór uproszczony (2.20) daj e taki sam wyn ik:
I.:
2
~(2__>,) = 6125.2- ~ 2
-
= 6 125 .2 -
46 56
~
= 6 125.2 -
5832
(2 16)
2
=
= 293.2.
= 0.0201 oznacza, że~ 2% całkowitej zaobserwowanej zmi enno śc i zmiennej endogenicznej (całkowitych kosztów produkcji) nie zostało wyjaśnione przez model (jest wynikiem działania czynników przypadkowych, nieuwzg lęd n io nyc h w modelu) W spółc z ynnik detenninacji:
R2
=I-
~2
=I-
0.0201
= 0.9799 "' 98%.
co oznacza, że R: 98% całkow i t ej z mi e nn ości zmiennej endogeni cznej (kosztu całko witego produkcji) jest wyjaśnione przez model (przez uwzg l ędnioną w nim zmienną objaś n i ającą , kt órą jest wielkość produkcji). Oszacowany model z parametrami struktury stochastycznej (pod parametrami w nawiasach podano - zgodnie z konwencją - błędy śred ni e ich szacunku) 30 ma pos tać: S'1 =
13,6 + 1. 34x, . (0,859) (0.078)
Punkty empiryczne i rysunku 2.3
S„ = 0.992.
dopasow aną
V„ = 3.674%.
do nich MNK funk cj ę regresji przedstawiono na
30Jd li chodzi o miary dopasowania. zazwyczaj podaje się współczynnik zbi eżno~i rp2 lub współczynnik de1enninacji R 2. bowiem uzupełniają s ię one do I. a więc znając jeden z ni ch. łatwo obliczyć drngi
2.3. Estymacja modelu y, 36
8
10
12
\4
16
IS
"
Rysu nek 2.3. Dopasowanie liniowego modelu kosztów
Aby z realizować całą proced urę konstruowania modelu, należy jeszcze wyznaczyć przedziały ufności dla parametrów modelu kosztów - koszrn sta łego (ao) oraz jednostkowego kosztu zmiennego {ai). Skorzystamy ze wzoru (2.22). I tak 95 %-owy przedz iał ufno śc i dla a 0 wyznacza formuła (wartość statystyki I odczytana z tablic rozkładu 1 Studenta dla a = 0.05 oraz 11 - k = 8 - 2 = 6 stopni swobody. czyl i to.os: 6 = 2.447):
P{ 13.6 - 2.447 · 0.859
mieszczą się
w prze-
1
1
P{ 1.34 - 2.447 · 0.078 < Zatem z prawdopodobi eństwem 0,95 1,53)32_
et 1
< 1.34
waność
:
+ 2.447 ·
parametru
0.0781 = I - O.OS.
et 1 nal eży
do
pr.wdz iału
( 1, 15;
Przy kład
5. W pr.tykladzie 2 ustalono. że w modelu wyjaśniającym indywidualną konsultantów zajmujących się dystrybucją kosmetyków pewnej firmy jako ich s taż (X oraz zmienną zero -jedynkową (X 2) okreś l ającą , czy konsultant ma dodatkowe źródło dochodów (X 2 = I), czy też dystrybucja kosmetyków jesl jego jedynym źródłem dochodów (X2 = 0). Zebrane dane statys1yczne przedstawiono w kolumnach 1-4 tablicy 2.4 Na l eży oszacować p:1rametry modelu liniowego o pi sującego badaną zależność. wydajność
zmienne
objaśniające należy uw zg l ędni ć
1
)
31 2.447·0.859 "=' 2.IOotlcjmujemy idotlajcmydoocenypunktowej 13.6. Przedzia! (11.5: l5.7)jest naj krótszym prledziałem liczbowym. w którym z prawdopodobieńs1wem 0.95 mieści się; prawdziwa wartość parametn.iao(kosztus1a/cgo). 32Gdyby interesował nas 90%-owy przedział ufności. w fum1ule (2.22) należałoby uwzględnić ro.!0:6 = = 1.943. a gdyby inceresował nas prLedzia! 99%-owy. 10 to.0!:6 = 3.707. W pierwszym przypadku przedzi~! ufności byłby węższy. a w dn.igim szerszy
2. Modelejednorównaniowe liniowe
Tablica2.4 Konsultant f---
[t1
Xt2
i'l
--
I
29
29
9
10
-
"
29
27.8
60
30
30.4
900
16
140
35
35.6
1225
39
16
156
40.4
1521
39
25
195
38.2
1521
30
35
39
841
43.0 45.6 48.2
343
49 45
64
360
45
46.0
10
52
64
416
o
50.8
2704
l.:
406
300
2184
178
406,0
17012
50
20
2025
Żródło:opracowaniewłasne Rozwiąza„ie. Zakładając, że zależność
ma charakter liniowy, oszacujemy parametry
modelu
(2.24)
Wektor ocen parametrów strukturalnych obli czymy
według
a= (XTx )- I XTy_
prt:y czym w tym przypadku
Zatem
wzoru (2.13):
2.3. Estymacja modelu
y, l [t y, ·~ [
I
Y1.
::;]
r= I
=
)3
y„
<,,y,
l .
,;..i:12Y1
Podobnie jak w poprzedn im przykładzie elementy macierzy xTx i wektora xTy można ob li czyć w tabeli (korz ystając z wyprowadzonych wyżej wzorów) lub mnożąc odpowiednie rnaciert.:e i wektory obserwacj i, przy czym w tym prt.:ypadku
X=
Niezbęd ne
obliczenia zawarte
są
I I I
4 4 5
I
7 8 8
y=
w kolumnach 2- 9 tablicy 2.4.
IO 50 XTX = 50 300 [ 20 5
a=
[
I
o
29 30 35 39 39 43 45 49 45 52
5] 20 . 5
IO 50 50 300 20 5
XTy =
5] - ' 20 5
[
406] 2 184 . 178
[ 406] 2 184 . 178
Aby obliczyć macierz odwrotną do macierzy XTX. n ależy obliczyć jej wyznacznik (metodą Sarrusa) 33:
10
50
51
15
20
5
1xTx1 = so 300 20 =
1000.
33 Należy dopisać dwie kolu11111y (lub dwa wiersze) i od sumy iloczynów elementów z głównej przekątnej sum\: iloczynów elementów z przeciwnej przekątnej
odjąć
10 50 IXTXI= 50 300 1 5 20
5110 50 10-300· 5 5·300· 5 20 50 300 =+50· 20· 5 +IO· 20·20 5 5 20 + 5 · 50-20 +50· 50· 5 ~ - ~ = 1000
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
a n as t ęp n ie podz i elić przez ten wyznaczni k macierz algebraicznych d opeł n ień 34 (X TX ) - 1 = -
I
IOOO
[ l lOO -1 50 - 500
- 150 25 50
- 500] [ 1,100 50 = - 0 , 150 500 - 0,500
Wektor ocen parametrów struktural nych będzie
1.1 00 - 0, 150 [ - 0.500
a=
~
[
- 0 . 150 0,025 0 .050
więc
- 0.500] 0.050 0.500
równy
- 0.500 ] [ 406 ] 0.050 · 2184 = 0.500 178
446,6-327.6 - 89 ] - 60.9+ 54.6+ 8.9 -203 + 109.2 + 89
i oszacowany model pr.tyjmuje
- 0,150 0.025 0.050
~
[30 ] 2,6 - 4.8
postać:
5'1 = 30 + 2.6X11 - 4.8.\""1'..!·
Po oszacowani u parametrów strukturalnych na l eży obliczyć parametry struktury stochastycznej - parametry rozkł adu składnika losowego e1 i inne miary dopasowania modelu do obserwacji . Wariancję resztową obliczymy ze wzoru macierzowego (nie wymaga to obliczania wszystkich warto śc i teoretycznych) 35 •
s;=-
1 1 - {yTy - aT. x Ty )= 11 - k 10 -3
/ 11012- [ 30
2.6
- 4.8]
[z~~!] )~ 178
~ ~ \ 1 7012-( 1 2180+5678.4-854,4)}~~ ( 1 70 1 2-17004)~ 1 .143, przy czym yT y = L y~ = 170 12 obliczono w kolumn ie 11 tablicy 2.4 Odchylenie standardowe resztowe:
Zatem wartości teoretyczne zmiennej endogeni cznej ( w i e l kości sprzedaży uzyskiwanej przez konsultantów) różni ą s ię od warto śc i zaobserwowanych ś re dni o o ± l ,069 tys. zł 34 Na prz)' ldad
205 1 =300-5~?0.?0 . - - = llOO .
a11 =(-1)1 +1 1300 20 1112 = (-1) 1+2
1 ~ ~1=-(250 · 5- 5 · 20 = O)= 5
2
150 = t121 {symetria)
.ł5Choc i aż wan o ob li czyć przynajmniej jedną czy dwie z nich. aby upewnić s i ę . że są zbliżone do wan ości
zaobserwowanych. a więc że nie
popełniliśmy błędu
w obliczeninch. np
Y1=30+2.6· 1 - 4.8· I =27.8. a YI =29. )'10=30+2.6·8-4.8·0=50. 8. a Y10=52
2.3. Estymacja modelu
Macierz wariancji i kowariimcji ocen parametrów
1.100 - 0.150 - 0.500] - o.1so 0.025 0.050 = -0.500 0.050 0.500 l.2573 - 0.1715 - 0,5715] = - 0.1715 0.0286 0.0572 [ -0.5715 0.0572 0.5715 W maderą pogrubiono wariancje ocen parametrów - pierwiastki z nich to biedy nie szacu nku parametrów, a w i ęc 36
D\a) =
s;(xTx)- 1=
1.143.
[
D(ao) =
Ji:2s73 =
I. 12.
D(a,) =
JQ.im6 =
0.17.
D(a 2 ) =
Jo.5715 =
O. 76
Współczynnik zmien ności
resztowej (.)• =
śred
406
JO = 40.6):
V, =~ y-' 100 = 1.069 40.6 . 100 = 2.63%. czyli odchylenia losowe stanow ią 2,63% wartości średniej zmiennej endogen icznej (ś red niej wydaj n ości konsultantów) Współczynnik zbieżnośc i ponieważ w tym prt:ypadku nie obliczano reszt, wygodniej będz i e skon~ystać z wzoru, w którym w liczniku wystcpujc wariancja resztowa. a mianownik można obliczyć ze wzoru uproszczonego (2 .20) (mamy już ['. y~)
L (Y1 -
-
1
y)-
2
= 17012 -
(11 -k) .
s;
L:
około
1,5 1%
406 w = 17012 -
( 10 -3) 1.143 528.4
z miennośc i
zmiennej endogenicznej zos tało wyjaśnione przez model Współczy nnik determinacji·
16483,6 = 528.4.
0.0151"" 1.51 %. ( wydajnośc i
konsultantów) nic
R 2 = I - •'= I - 0.0151 = 0.9849 "" 98.49%. a więc blisko 98,5 % zmie nności zmiennej endogenicznej (wydajnośc i konsultantów) zostało wyjaśn ion e przez model (uwzg l ę dni ono w nim zmienne objaśniające staż pracy i zmienną okreś l ającą czy konsultant ma dodatkowe źródło dochodów) 36
Pral.: tycznieniezawszel.:oniecwejest obliczaniccn!cjmacicrzy D 2 (a),wystnrczyobl iczyćbłędyśrcd
nic szacu11l.:upnra111e1rów
D {ao)=~
=1.12.
0(111) = J l.143. 0.025 = 0.17.
D (a2)=~
=0.76
2. Modelejednorównaniowe liniowe
Oszacowany model z parametrami strukt ury stochastycznej ma
.Y1 =
30.0 ( 1.1 2)
+
2,6x11 (0. 17)
-
S~ = ±l.069.
4.8x 12. (0.76)
post ać
V~= 2.63 %.
R 2 = 0.9849
2.4. Weryfikacja modelu Po oszacowaniu parametrów należy zbad ać, czy zbudowany model dostatecznie dobrze opisuje badane zjawisko. W szczegól n ośc i n ależy stw i erdzić. czy zachodzi dostatecznie duża zbieżn ość między otrzymanym modelem a wiedz4 ekon o mi czną (merytoryczną) o oryginale oraz czy model z dostateczną dokład nością aproksymuje rzeczywis t ość ( wartośc i teoretyczne są zadowal ająco bl iskie wart ośc i om empirycznym). W przeciwnym przypadku n a l eży model popraw i ć. Przyczyny powod ujące z ł ą jakość modelu ekonometrycznego m ogą być wynikiem zan i edba ń (błędów) pope ł nianych na każdym etapie badania ekonometrycznego. Nigdy nie ma pewności, czy zostały dobrane odpowiednie zmienne objaśniające . Wąt pliwo śc i może budz i ć także dobór postaci analitycznej modelu. W samym procesie estymacj i mogła t eż być zastosowana n iew ł a śc i wa metoda szacowania parametrów. Wszystko 10 powoduje potrzebę przeprowadzenia weryfikacji zbudowanego modelu przed jego wykor~ystan i em.
W i
św i etl e
tego, co powiedziano
wyżej, n a l eży rozróżn ić weryfikację mery t oryczną
weryfi k ację formalną (s tatystyczną)
Weryfikacja merytoryczna !O ocena. czy uzyskane wyniki (oceny parametrów) są zgodne z dotychczasową w i edzą eko no m iczną. doświadczeni e m oraz zdrowym rozsąd kiem - chodzi tu w szczegó l nośc i o rz ąd w i elko śc i oraz znaki (±) ocen parametrów strukturalnych (zwykle przeprowadza się ją już po oszacowaniu parametrów strukturalnych - wektora a) Weryfikacja statystyczna model u obejmuje zwykle trzy sfery • ocenę stopnia zgod n ości modelu z danymi empirycznymi (miary dobroci dopasowania mode lu do rzeczywistości), • ocenę jakośc i ocen parametrów strukturalnych (badanie statystycznej i s t otnośc i ocen parametrów strukturalnych), • spe ł nie n ie założetl o s kładnikac h losowych
2.4.1. Ocena dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych ma na celu sprawdzenie, czy model w wy s ta rczająco wysokim stopniu wyj a ś ni:1 ksztaltowanie się zmiennej endogenicznej. S ł użą do tego różnego rodzaju miary zgodności modelu z danymi empirycznymi, takie jak odchylenie standardowe resztowe Se, a przede wszystki m miary względ n e ws półczynnik zmienności resztowej Vr. ws półczy nni k z bieżn ości (i ndetcrminacj i) rp 2 Jub współczynnik determinacj i R 2
2.4. Weryfi!!acjamodelu
Dopasowanie modelu do obserwacji jest tym lepsze, im wartości ws półczy n nika rcsztowcj są n i ższe , wartości współczynnika zbieżności bliższe zeru, a wartości współczynnika determinacji bl iższe I. Nal eży dodać. i ż w tym przypadku ocena jest subiektywna - badacz budujqcy model zakłada pewną doklad n ość . np. że model powinien wyjaśniać zmienność zmiennej endogenicznej co najmniej w 90% (a więc współ czynnik determi nacj i R2 powi nien być nie mniejszy n iż 0,90, a współczyn n i k zbieżnośc i 2 nic w i ększy niż O, JO), natomiast odchylenia losowe powinny stanowić nic więcej niż 10% wartości śred n iej zmiennej endogenicznej (czyli wartość współczynnika zmienności resztowej Ve ni c powinna być większa n i ż 10%)3 7. W tym miejscu n a leży dodać, iż w przypadku małej liczby obserwacji, w oparciu o które oszacowano model, można podejrzewać , że niskie wartości współczynnika zb i eż n ości 2 (a tym samym wysokie wartości współczynnika determi nacji R 2) wynikają z małej liczby stopni swobody modelu (różn i cy między l iczbą obserwacji (11) i liczbą parametrów strukturalnych modelu (k)) W sytuacji gdy liczba stopni swobody modelu jest niewielka, co może zawyżać na wartości współczy n nika determinacji i nies ł usznie sugerować bardzo dobre dopasowanie modelu do obserwacji, warto obliczyć R 2 zrewidowany, wed łu g wzoru zmienności
rp
rp
R2 =l - rp2 ·::=~ ·
(2.25)
2.4.2. Testowanie parametrów strukturalnych modelu is tot ności ocen parametrów strukruralnych i/lub regresji. W praktyce można t akże testoparametrów strukturalnych; ważn i ejsze omówiono w tym
Weryfikacja modelu obejm uje badanie
weryfikację isto tności u kładu współczynników wać
inne hipotezy rozdziale
do t yczące
Weryfikacjaslatystycznejistolno ściocenparametrówslruklurafnych
Weryfikacja statystycznej istotn ości ocen a 0 . a aK parametrów strnkturalnych liniowego modelu ekonometrycznego ma na celu sprawdzenie czy parametry strukturalne a 0 . a 1, , aK zos t ały oszacowane z dostateczną precyzją (możemy mieć do nich zaufani e, błędy śred ni e ich szacunku nie są zbyt d uże) oraz czy zmienne objaśniające, przy których stoją te parametry, istotnie oddziałują (wpływają) na zmienną endoge ni czną (ob1 •
•
jaśnianą)
Dl a każdego parametru a 1 (j = O, l. 2. , K) weryfikuje H0: a 1 =O wobec hipotezy alternatywnej H 1: rx; ::/:-O
się hipotezę zerową
37wydajc się. że nrniejsz'I dokładność (np. R2 > 0.80. Vr < 20%) można dopu ści ć w wyj'llkowych sytuacjach. gdy np. trudno jest znale żć dtme. a bardzo zal eży nam na opisie zależności 2a pomocą modelu Nato miast zawsze badacz może iałożyć dukladność wię ksz'I ni ż tu pnyjęta. np. R 2 > 0.95. Vr < 5%.
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Sprawdzianem w tym teście jest statystyka 311 t(a j)=
{/~z,;,j.
(2.26)
gdzie: " i - ocena }-tego parametrn , aj - prawdziwa, założo n a w H o wartość parametru aj= O; D(ai) - b ł;:id śred ni szacunku } -tego parametru Statystyka t(a j) przy prawdziwośc i Ho (oraz dodatkowym zał ożen i u o n orm al nośc i roz kład u skł adników losowych) ma rozkł ad t Studenta o 11 - k stopniach swobody 39 . Zatem po obliczeniu dla k ażdego z parametrów waności empirycznej statystyki Srudenta - t(a1) z tablic rozk ładu 1 Studenta dla p rzyj ę t ego poziomu istotności a (w badaniach ekonomicznych zwykle a= 0.05) oraz dla 11 - k stopni swobody, odczytujemy wartość krytyczną
1„ .
J eśl i lt(a1)1.::: r„, nie ma podstaw do odrzucen ia Ho, co zwykle jest równoznaczne z jej p rzyjęciem , a więc stwierdzeniem, że ocena a j statystycznie nieistotnie róż n i s ię od zera (jest nieistotna). a wobec tego zmienna objaśniająca X i nie wywiera istotnego wpł yw u na zm i e nn ą objaśnianą Y40 . Natomiast jeś l i lt (a 1)1> 1„, to hi potezę Ho n a l eży odrzucić na rzecz hi potezy H 1 przyjm ujemy wówczas. że ocena aj statystycznie istotnie różni się od zera (jest istotna), a wobec tego zmienna objaś n iająca X i oddz i ałuje w sposób istot ny na z m ienną objaś n ia ną
Y.
Na l eży dodać, że postać hipotezy ahernatywnej ( H a i =/=- 0) sugeruje, że mamy do czynienia z testem dwustronnym Zauważmy (por. L36] , s. 139), że rozkład Studenta można tak że wykorzystać do weryfikacji hipotez jednostronnych, np. gdy z logicznej analizy wynika, że kt óryś z parametrów powi nien być ujemny lub nie powi nien być dodatni 41 N a l eży d odać , że stwierdzenie statystycznej niei stot ności ws półczyn n i k a regresj i (a w i ęc nieistotnego wpł ywu na zmi enną e nd ogen i czną zmiennej objaśniaji1cej, przy której ten parametr stoi) może sugerować k orektę modelu - usu n ięcie tej zmiennej z modelu (ewentualnie wprowadzenia na jej miejsce jaki ejś innej zmiennej) i po n ow n ą jego es1
:
38 Zauw~;_my. że zgodnie z hipo1ezą Ho : a i = O. a więc praktycznie s taty s tykę 1 o blicza si ę z wzoru l(llj)=~
J9 w przy padku dużej próby do testowania i s totnośc i można użyć rozkt;idu normalnego 4 0Zauważmy. że brak podstaw do odr1.ucenia hipotezy zerowej oznacza. iż nic po1rafimy s twierdzi ć. czy prawdziwą wanością paramc1ru aj rlcczywi śc i c jest O. a róż nica między tlj i O jest wynikiem losowyc h sk mków wnioskowania o populacji ge neralnej na podS!awie niedo kladnej informacji zawartej w pró bie. czy leż prawdziwa waność parametru jest inna niż O. ale dokładna~ danych i metody es tymacji jest na tyle ni ska. że ni c daje podstaw do odrl uceni;i tej hipotezy 41 Autorzy pracy (36) zwracają uwagę. że tego typu modyfikacje należy s tosować ostrożnie ze względu na fakt. że międ zy zmiennymi obja.5niający mi mogą występować interakcje powodujące. i:e zmienna mi mo znaku parametru niezgod nego ze znakiem odpowiedniego współczynnika korelacji istotnie wpływa na zmienną objaśnianą. odgrywając rolę .. korekt ora·· innej zmiennej objaśniającej . Zjawisko taki<: może zaistni eć szczególnie w razie występowania współliniowości. Wart o także za uważyć . że naj częściej tablice rozkładu r Studenta są skonstruowane d!;i testu dwustronnego: w prtypadku te stów jednostronnych opar1ych na rozkladz ic Student;i. wartość krytyczną odczytuje się dla poziom u istotno~ci 2a (np .jeżeli hipotezę weryfikujemy na poziomie i stotn ości 0.05. to lu odczyt ujemy dla u = 0.10)
2.4. Weryfi!!acjamodelu tymację. j edną
Sytuacja taka nie pow inna się zdarzyć, jeżeli zmienne objaśn i ające dobierano z metod statystycznych (np. w naszym przykładzie metodą Hcl lwiga)
Hipotezydotycząceukładuwspólczynnikówregresji
Oprócz badania s1atystycznej istotności pojedynczych parametrów można także testować h ipotezę o istotnym wp ł ywie na zmienną en d ogen i czną wszystkich uwzg l ędn i onych w modelu zmiennych objaśniających lub wybranej ich grupy. Najczęściej testowaniu podlega hipoteza o istotnym wpływie na zmie n ną objaśnianą wszystkich zmiennych objaśn i ającyc h , czyli o i s totnośc i układ u współczyn n i k ów regresji (bez wyrazu wolnego). Hipoteza zerowa ma postać łlo:a1
=a2= ··=aK= O,
wobec hipotezy alternatywnej ł/ 1 , że co najmniej jedna z równośc i nie jest prawdziwa - przynajmniej jeden ze współczynników regresji jest statystycznie istotny (a więc przynajmniej jedna zmienna objaś ni ająca istotnie wpływa na z m ienną e n dogen i czną), co moż na zapi sać:
ł/1:
lad+ la2I + · +la Kl# O.
Sprawdzianem hipotezy zerowej jest w tym przypadku statystyka F (por. [36J, s. 136):
F ~
11
-k
R2
k=J J=R2·
(2.27)
k1óra przy założen i u prawd z i w ośc i hipotezy zerowej ma rozkład F Fi shera- Snedecora z 11 1 = k - I oraz 11 2 = n - k stopniami swobody, gdzie 11 jest liczbą obserwacji, a k liczbą parametrów strukturalnych modelu (z wyrazem wol nym) Obliczoną warto ść statystyki F na l eży więc porównać z warto śc ią krytyczną F0 , odczytan ą z tablic rozkładu Fishera-Snedecora dla przyję t ego poziomu istotnośc i a oraz 11 1 i 11 2 stopni swobody. Obszar odr.wcenia obejmuje duże wartośc i F , zatem j eże li F > F0 , to hipotezę zerową należy odrz ucić, w przeciwnym razie stwierdzamy, że hipoteza zerowa jest prawdziwa, a więc żadn a z uwzg l ęd ni onych w modelu zmien nych nie oddziałuj e istotnie na zmienną endoge n iczną42 W praktyce rzadko jesteśmy zainteresowani sprawdzeniem hipotezy doty czącej wszystkich parametrów strukturalnych (wszystkich współrzęd n ych wektora ex). Znacznie częściej weryfikuje s i ę hipotezę dotyczącą pod u kładu ws półczy nni ków regresji Zal eżność y = Xct + e moż na podz i elić na ([46J. s. 230-231 ): y = X 1ct1
+ X2ct2 + e.
gdzie macierz X 1 zawiera obserwacje k 1 zmiennych objaśn i ającyc h , których wp ł yw na zmienną objaśnian ą nie pod lega testowaniu, a macierz X 2 zawiera obserwacje k2 4 2 Pnyjęcie w 1ym wypadku prawostronnego obszaru krytycznego możn~ uzas.adnić faktem. iż wysokie wartości F świadCZ<\ . i ż stosunek zmienn ośc i zmie nnej endoge ni cznej wyjaśnionej prLez model ( R2) do niewyjaśnionej ( I - R 2) jes1 duży. zatem wysokie wartości F powin ny pnemawiać na korzyśt hipotezy alternatywnej Hi
2. Modelejednorównaniowe liniowe
zmi ennych objaś ni ających . których wpł yw na zmi enną objaś ni aną podlega testowani u (k 1 + k2 = k); a: 1 i ct2 to wektory parametrów odpowiadających wy róż n io n ym grupom zmiennych Załóżmy, że testowaniu podlega druga grupa (podzia ł zmiennych na te dwie grupy powinien być uzasadniony merytorycznie) Zatem weryfikujemy h i pot ezę, że wpływ zmiennych objaś n iaj ącyc h drugiej grupy jest statystycznie nieistotny (parametry wektora ct 2 statystycznie ni eistotnie różnią sic od zera). Moż n a w i ęc zred u kować model, el i mi n uj ąc z ni ego zmienne drugiej grupy Ho:ct2 = 0. wobec hipotezy alternatywnej H wa na zm i e nn ą endoge n iczną
1
,
że
przynajmniej jedna z tych zmiennych istotnie w pł y· H1: ct2 -:f:. O
Tak jak poprzedni o, sprawdzian testu opiera się na różnicy w dopasowani u modelu ze wszystkimi zmiennymi (model I) i bez drugiej podgrupy (model 0). Sprawdzianem jest statystyka: (SSEo - SSE,)/k2 F (2 .28) gdzie SSE 1 jest sumą kwadratów reszt modelu l. a SSEo jest sumą kwadratów reszt modelu O (zredukowanego) Statystyka ma rozkła d F Sncdccora dla 11 1 = k2 i 11 2 = 11 - k stopni swobody. Jeś li F > F„ (11 1. 11 2), to Ho należy odrzu c i ć (różn i ca w dopasowaniu obu modeli jest zbyt duża), zatem jeś l i F :::: F„ (11 1.11 2). to nie ma podstaw do odrzuceni a Ho zmienne drugiej gru py nieistotnie wpł ywaj ą na zmie nn ą objaś n ianą. zatem uzasadniona byłaby redukcja modelu - pom in ięc i e zmiennych należących do drugiej grupy. Testowanieinnychhipotezdotyczącychpojedynczych
paramelrówstrukluralnych
ocena parametru statysrycznie nieistotnie różni się od zera, można weryfikować hi pot ezę. że wybrany parametr przyj muje pew n ą ko n kretną wartość a j , czyli h ipotezę w postaci: Zamiast hipotezy,
że
wobec H 1: aj # a j
(lub a j> a j . lub a j< a j )
Statystyka testu ma w tym przypadku
postać:
(2.29) i podobnie jak w przypadku badania statystycznej i sto tnośc i ocen parametrów. jeże li ll(l1 1) 1:::: 1„ . nic ma pods1aw do odrzucenia Ho. natomiast wart ości lt(a j ) I > t„ sugerują odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść H 1 (1„ jest wartośc i ą krytyczną odczytan ą z ta· blic rozkładu t Studenta dl a przyjęt ego poziomu istotności a oraz n - k stopni swobody)
2.4. WeryfiKacjamodelu
Wnioskowanie o liniowej funkcji wektora parametrów a Załóżmy, że
interesuje nas parametr y,
a, co mozna
zap i sać
będący li niową kombinacją
elementów wektora
gdzie c jest wektorem współczy nn ików kombinacji liniowej cT = [ c0 .
cK ], czyli·
K
L ca
y = cTa =
(2.30)
1 1.
j =O
W klasycznym modelu regresji liniowej najefektywniejszym nieobciążonym estymatorem li niowym fu nkcji y = cTa jest estymator uzyskany MNK:
9=
(2.3 1)
cT(XTx ) - XTy . 1
którego wariancja jest równa D2(j/)
Zatem bh1d
ś redni
możn a ob l iczyć
1
c}
szacunku,
(2 .32)
ze wzoru
= jcT · S3(XfX)- 1 • c = S~JcT · (XTX) - 1
D (j/) Mając błąd średni według
= cTD\a) c = s; 1cT(XTx ) -
szacunku
c
(2.33)
można zbudować prze d ział ufności
dla parametru y
wzoru
P\9 -
t„ D( j/) ~ y S jl
+ t„
D( j/)) = 1 - a
(2.34)
Możn a także weryfikować
hi potezy dotyczące omówionej kombinacj i liniowej wektora parametrów (np., że jest ona równa pewnej liczbi e c0, gdzie co jest wyrazem wolnym tej kombinacji). Hi poteza zerowa ma w tym przypadku postać H o:y
= co.
a hipoteza alternatywna Przy
prawdziwo śc i H o statystyka·
9-co
(2.35)
t ~ O (y)
ma
rozkład
k stopniach swobody Obliczoną warto ść statystyki I n ależy zatem porów n ać z warto śc ią krytyczną I„ . Ho odrwcasię,jcżeli I / I > I„, natomiast nic ma podstaw do jej odr~ucenia,jcżcli I t I ~ I„. Przykład
y,
=
Studenta o
11 -
6. Model oszacowany w przykładzie 5
30.0 ( 1. 2 1)
+
2.6x1 1 (0, 17)
-
4,8x12, (0,76)
(X TX ) - ' ~
[
mia ł postać
Se= ± 1.069,
1. 100 - 0. 150 - 0.500
- 0, 150 0,025 0.050
V~= 2.63%.
- 0,500] 0,050 0.500
R 2 = 0.9849.
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe Zauważm y, że zgodność
modelu z danymi empirycznymi jest dobra (wystarcz ająca ) zm ienno ść zmiennej endogenicznej jest wyjaśniona przez model (uw zględ ni one w nim zmienne objaśniające) w bl isko 98.5% (R 2 > O. 90), odchylenia losowe stanow i ą tylko 2,63% ś red n i ej wartośc i zmiennej endogenicznej (Ve < 10%). Na l eży zweryfi kować nas tęp ujące hipotezy dot yczące parametrów oszacowanego modelu (a) że przynajmniej jedna ze zmiennych objaśniających uw zg l ędnion ych w modelu wywiera istotny wpływ na z mi e nną endogeniczną (przynajmniej jeden ze współczynni ków regresji jest istotny) , (b) że każd y ze współczynników regresji jest statystycznie istotny, (c) o wp ływ i e stażu pracy konsultantów (X 1) na wartość uzyskiwanej przez nich sprzedaży (Y), a mianowicie. że z każd y m rokiem pracy „wydajność konsultantów" wzrasta śre dnio o 3 tys. zł (czy li współczynnik przy zmiennej X jest równy 3), (d ) że si ła wpływu obu zmi ennych obja ś niającyc h na z mi e nną e ndogeni cz ną jest taka sama, z tym że staż pracy (X 1) wpływa dodatnio, a dodatkowe źródło dochodu (X 2) ujemnie, zatem suma współczynników regresji jesl równa O 1
Rozwiąza nie. (a) Należy zweryfikować hipotezę, czynników regresji jest statystycznie istotny, czyli :
Statystyka testowa F (2.27) przyj muje
że
przynajmniej jeden ze
współ
pos t ać:
IO - 3 0. 985 F = - - · - - - = 229.8. 3 - 1 1 - 0.985 =0,05 oraz11 1 = k - I = 3 - 1 =2i 11 2 =n - k =I O- 3 = 7 stopni swobody krytyczna odczytana z tablic rozkładu F Fishera-Snedecora F" = 4, 74 . PonieF = 229 .8 > Fa = 4.74. hipotezę zerową należy odrzuc i ć na korzyść hipotezy alternatywnej, a więc przynajmniej jeden ze współczynników regresji jest statystycznie istotny (b) Dla każdego z parametrów nal eży zweryfi kować hipot ezę Ho: Cl'j = O wobec hipotezy H 1 : Cl' j ::/=-O(} = O, I . 2) . Dla każdego parametru nal eży więc obliczyć wartość statystyki t (2.26), czyli: Dla
Cl'
wartość waż
Wartość
1(ao) =
30 0 · = 26.8. 1.12
I (a1) =
O~,[~
r(a2) =
~.~: =
= 15.3.
- 6. 3.
krytyczna statystyki t, odczytana z tabli c rozkładu t Studenta dla poziomu i stotnośc i a = 0.05 i 11 - k = 10 - 3 = 7 stopni swobody, la = 2,365 (co można zapisać to.o5:7 = 2,365)
2.4. Weryfikacja modelu
Dl a wszystki ch trzec h ocen parametrów spe ł n i ona jest ni erów n ość lt(aj)I > fa, czyli we wszystkich trtech przypadkach h i po t ezę zerową n a l eży odrwcić na ko rzyść hipotezy alternatywnej, zatem wszystkie parametry strukturalne modelu są statystycznie istotne J eś l i zmienne objaś n iaj ące modelu wybierano za pom ocą metod sliltystycznych (tu metodą Hell wiga), to n al eżał o tego ocze ki wać, g d yż metody te w zasadzie zapew ni ają dobór takich zmiennych o bjaś ni ającyc h, które istotn ie wpł ywaj ą na zm ie nn ą endogeni czną.
Wery fik acj ę statystycznej ist otn ośc i parametrów strukturalnych m oż na t akże potrak t ować jako dobór zmiennych objaś ni aj ących a posteriori, lzn. zamiast stosować statystyczne metody doboru zmiennych, m oż na oszacować parametry strukturalne model u z wszystkim i potencj al nymi zmi ennymi obj aś n iaj ący mi , a n as tęp ni e przez wery fi kacj ę statystycznej i stotn ośc i stojącyc h przy nich parametrów wye l iminować zmienne, przy których parametry są statystycznie nieistotne (i ponownie oszacować parametry modelu) W prtyk ł ad zi e 2 model oszacowany ze wszys1kimi potencjalnymi zmie nnymi obj aś n iaj ący mi p rzyjął postać:
S•1 = 30,5 16
+ 2.563x11
(1,256) 24,30
- 4,579x12 - 0,737x13 (0,175) (0.797) (0.725) 14,66 - 5, 74 - 1. 02
To.05:6
= 2.447
Z porównania wartości statystyki t dla poszczególnych ocen parametrów (podano je pod ocenami parametrów i bł ę d a mi średn imi szacunku) z wartośc i ą kry t yc zn ą la (odczyta n ą dla IO - 4 = 6 stopni swobody) stwierdzamy. że ocena p:1rametru a3 (s t ojącego przy zmiennej X3) jest statystycznie ni eistotna (bł ąd jest niewiele mniejszy od oceny parametru), zatem t ę z mie n ną n al eżał oby u sunąć z modelu (popraw iony mode l mi a łb y postać taką, jak otrzymano w przy kł ad z i e 5)43 . (c) Nal eży zwe ryfi kować: Ho: a 1 = 3 wobec H 1 : a 1 #= 3. Statystyka t (2.29):
Wobec n ierów nośc i 1- 2.3531
Ho: y = O wobec H 1 : y #=O. Zauważmy jeszcze. że uwzgli;:dnienie doda1kowej zmiennej w modelu nieco zmieniło oceny parametrów przy pozostałych zmiennych oraz że scopień wyjaśnienia zmienności zmiennej endogenicznej (R 2 ) jes1 cym wyższy, im więcej jest zmiennych objaśniających w modelu, choć niekoniecznie ich wpływ na zmienną endogenicznąjescstatystycznie isto\lly. 44 Zauważmy. że różnica weryfikow:mej warcośd pararnelru cq (3) mieśc i się w granicach 95% przedziału ufnośc i dla lego p:mm1e1rn (2.22) z prawdopodobieństwem 0.95cq E (2, 198: 3.002) 43
2. Modelejednorównaniowe liniowe
gdzie y = a
+ a2
1
lub. korzystając z zapisu wektorowego, y = CTOf. Biorąc pod uwa-
gę. że w modelu obok a,
; a2
wy"ępuje wyrnz wolny a
0•
"YI; a = [::
współczynników kombinacji liniowej ma postać~ 5
c=
[:J
l
wektm
-
Co= [O]
Aby obliczyć wartość statystyki testowej (2.35), należy wcześniej obliczyć szacunku oceny f = a + a 2 = 2.6 - 4.8 = -2.2 (według (2 .33)). Mamy·
średn i
błąd
1
D(y)
=
[O
1.257 1 - 0.1715 0.0286 0.0572
1J. - 0.1715
I
[
- 0.5715
[ - 0.7430 0.0856
I= -
0.6287] ·
=
;o:7i4:l =
=
0. 8452 .
2 · 2 - 0 = -2 603 0.8452 .
Po nieważ wpływu
[:J
- 0.5715] [OJ 0.0572 · I 0.5715 I
1-2.603 1 > to.os:? = 2.365. hipo tezę obu zmiennych nie jest jednakowa.
zerową należy odrzucić.
a
więc si ł a
Przy kła d 7. Dane do przy kładu zawiera tablica 2.5. w której: y, - mi es ięczna warto ść (w mln zł ) sklepów nal eżącyc h do pewnej sieci handlowej; x 11 - mi esięcz n e wydatki na reklamę (w tys. zł ) sklepu ; x,2 - lokalizacja sklepu (x, 2 = l, gdy skJep jest zlokalizowany w pobliżu dużego centrum handlowego lub hipermarket u, x12 = O. gdy w pobli ż u sklepu nie ma centrum handlowego); r - zmienna czasowa (1 = I, 2. . . I 0) dla kolejnych m i es i ęcy. Na podstawie danych oszacowano parametry modelu liniowego i otrtytnano : sprzedaży
y, =
5.60 ( 1.18)
+ 2.00x11 (0.58)
-
2.00x, 2 (0.70)
+
l.001 , (0.48)
s; =
1.0661.
R2 = 0.989
Nal eży zwery fi kować hipot ezę, że wpływ czasu na w i elkość sprzedaży sklepu jest statystycznie nieistotny. Zmienną czasową można wyeliminować ze zbioru zmiennych i zre dukować model do zmiennych X 1, X2 46 , j eże li wiadomo, że po wy-
obj11 ś n i ających
4 5Jakłatwosprawdzić:y= cTcr=l0
J
l] · [:~J=O+u1 + u2
6z.mważmy. że gdyby z;istosować test Studenta dl.i" pojedynczych parametrów regresj i. to oce na pararne1ru s1ojącego przy zmiennej czasowejjest sta tys1yczn ie nieis10111a na poziornie i s10111ości O.OS ( lt(113) I = = 2.1 < to.03:6 = 2.447) . ;1le jest stmy stycznie istotim na poziomie istotn ości O.IO (10.10:6 = 1.943) 4
2.4.
Weryfi~acjamode lu
5 8
o o
19
4
24 23 30
5 5 8
JO
Źródło: dan~urnowne
eliminowaniu zmiennej czasowej oszacowany model przyjmie trów zao krągl ono do trzec h miejsc dziesiętnych):
Y,=
7.777 +3,17lx,1 -2.4 12x,2. (0.691) (0, 171) (0.823)
postać
(oceny parame-
R 2 = 0,980
s ;= l.5 866.
Rozwiqza11ie. Zmienne objaś n iające dzielimy na dwa podzbiory - pierwszy będzie I, X1 i X2, drugi - zmienną czasową I. Odpowiednio wektor a 1 bę d z i e oceny parametrów ao. a 1 i a1, a wektor a 2 oce n ę parametru a 3 • Zatem weryfikujemy hipotezę: H 0 : a 2 = O wobec H a 2 :f:. O. Sprawdzianem Ho jest statystyka F (2.28), przy czym: • suma kwadratów reszt dla modelu podstawowego SSE 1 = ( IO - 4) l ,0667 = ~ 6.400. • suma kwadratów reszt dla modelu zredukowanego SSEo = (IO - 3) l,5866 = = l 1.106, a k1 = I (badamy zasadność usunięcia z modelu 1ylko jednej zmiennej o bjaśniającej). Zatem ( 11 .106 - 6.4)/ 1 F 4.412. 6.4/ (10 - 4) Dla a= 0.05, 11 1 = I i 11 2 = IO - 4 = 6 F0.05 ( 1.4) = 4,987. Wobec nierówności F = 4.41 2 < F" = 4.987 nie ma podstaw do odrzucenia Ho, a więc redukcja model u do dwóch zmiennych objaśniających jest uzasadniona obej mował zaw i erał
1 :
2.4.3. Badanie założeń o składn i kach losowych Przypomnijmy, i ż KMNK oparta jest m.i n. na założeniach, że (4) wartość oczekiwana s k ładnika losowego jest równa zeru, tzn. E(e) =O, (5) macierz wariancji i kowariancji składnik ów losowych jest równa V(e ) = E(eTe) = a 21„, czyli wariancja s kładnika losowego = 2 (jest stała i równa
a?
a
2. Modelejednorównaniowe liniowe
a 2 dla wszystkich obserwacji), a kowariancje składn i ków losowych sq równe zeru, czy li nie występuje autokorelacja składnik ów losowych Założenie (4) m ożna łatwo s prawdzi ć po oszacowaniu parametrów strukturalnych modelu i obliczeniu reszt er. które traktowane są jako p rt.:ybli żon e realizacje składnika losowego. Jak pami ętam y, suma reszt jest równa zeru, a w i ęc śre dnia reszta jest rów na ze ru . Natomiast weryfikacja s pełnienia założeń (5) wymaga zastosowania odpowiednich testów statystycznych. Częs t o sprawdza s i ę także takie własnośc i składnika losowego. jak normalno ść i losowość . Testowanie tych własności jest przedmiotem niniej szego podrozd z iału .
Badanie s tało ści wariancji Stałość
wariancji nazywana jest tak że j ed norodn ością lub h o mos k e da stycz n ośc i ą walosowych). W praktyce występują bowiem sytuacje, gdy wariancja losowego nic jest s tała (mówimy wówczas o ni ejedn o rodn ośc i lub heterosked astyczno śc i sk ładnika losowego) Jako przykład praktycznej sytuacji , w której wariancja s kład n ika losowego nie jest sta ła. Z. Pawłows ki (LI !OJ, s. 100- 101 ) podaje model kosztów całkowityc h , w którym zmienną objaśniaj:1cą jest wielkość produkcji . Można ocze kiwać, że odchylenia (wahania) rzeczywi stego poziomu kosztów od poziomu teoretycznego (wyznaczonego z modelu) będą mniej sze przy małej skali produkcji i przeciętnie większe przy dużej skali produkcji. Drugim przy kłade m niejednorod n ości wariancji podanym przez Z. Paw łow skiego ll 10] jes1 wyznaczanie z szeregów czasowych fu nkcji popytu na pewne dobro trwałe. Można oczek i wać, że wraz z zwiększaniem s i ę asortymentu dóbr trwał yc h na rynku i wy nikaj ącym s tąd z w i ę k szani e m s i ę m ożliwości dokonywania wyboru pr.t:ez konsumentów, losowe odchylenia popytu od wyznaczonej funkcj i popytu będą wzrastać w czasie (wariancja skł adnika losowego będz i e funkcją zmien nej czasowej r). Do badania s tałośc i wariancji s kładników losowych można wykorzystać test Goldfe lda i Quandta. Jego zastosowanie polega na zweryfikowaniu hipotezy o równ ośc i wariacji dwóch skrajnych grup obserwacji. Jednakże musi s i ę dać wprowadz i ć naturalne uporządkowanie próby: w przypadku danych w postaci szeregów czasowych - według jednostek czasu, w przypadku danych przekrojowych - według rosn ących wartości jednej ze zmiennych objaśniających. Rozpatruje się takie dwa podzbiory obserwacji (podpróby) o li cze b n ośc iac h , odpowiednio, 11 1 i 11 1 , co do których istni eje przypuszczenie, że wariancja jest najmniejsza i najwi ększa . Dopuszczalne jest po mini ęcie ki lku środkowych obserwacji Do zweryfi kowania hipotezy o równ ośc i wariancj i s kładnik ów losowych w obu podpróbach Ho: a}= ał wobec hipotezy alternatywnej 47 H 1 : a 12 < ał s łuż y statystyka riancji
(s kładników
s kładn i k a
(2 .36) 47J>rty tuk s fonnułowunej hipotezie uhernatywnej jako pierwszą podpróbę przyjmuje się tę. w której wananCJilJeS1mmeJSZil
2.4.
Weryfi~acjamodelu
gdzie S~ oraz Si s ą wariancjami resztowymi regresji, odpowiednio, w pierwszej i drugiej podpróbic. Zatem, aby obliczyć wartość statystyki F, po wyodrębnieniu dwóch grup obserwacji dla każdej z nich nale ży odrębnie oszacować parametry strukturalne i obliczyć warian cj ę resztow:1. Statystyka F, przy założeniu normalnośc i s kładników losowych i prawdziwośc i H 0, ma rozkład F Fishera- Snedecora, a więc z tablic tego rozkładu dla przyjętego poziomu i s totno śc i a oraz dla 11 2 - k oraz 11 1 - k stopni swobody odczytujemy warto ść krytyczną Fa J eśli F :: Fa, to nie ma podstaw do odrzucenia Ho o j ednorodności wariacji . Jeś li F > F„, to Ho należy odrzucić na rzecz H 1 wariancja s kładnika losowego w drugiej podpróbie jest statystycznie istotnie wi ę k sz a od wariancji w pierwszym podzbiorze Na l eży podkre ś lić, że podział na podzbiory jest arbitralny. W zasadzie, aby badanie j ednorod n ośc i wariancji było rzetelne i pełn e, powinni ś my rozpatrzyć wszelkie możli we podziały próby na podpróby z co najmniej jednym stopniem swobody i przez porównanie wariancji każdej z każdą (test Fishera- Snedecora) lub m1 bloc zwe ryfikować hipot ezę o równości wariancj i (rest Bartlena). Zauważmy, że takie badanie. zwłaszcza w licznej próbie. będzie bardzo uciążliwe i pracochłonne
Badanie autokorelacji
składników
losowych
Autokorelacja oznacza skorelowanie s kładników losowych poszczególnych obserwacji Z autokorelacj:i najczę śc iej mamy do czynienia wtedy, gdy model był szacowany w oparciu o obserwacje w postaci szeregów czasowych. Pawłow s ki ([ 11 O] , s. I06-107) wymienia następujące przyczyny występowania autokorelacji w modelu I. Najczęśc i ej fakt powolnego wygasania efektów działan i a pewnych czynników przypadkowych, powodujących zaburzenia w normalnym przebiegu prawidłowo ś ci ekonomicznyc h. J eże li efekty działania czynników ubocznych trw ają dłużej niż okres prt:yj ęty za j ed n ostkę, to występuje zale żność międ zy kolejnymi zmiennymi E: 1 • 2. Błędne okreś l enie opóźnień czasowych zmiennych wy s tępującyc h w modelu ni euwzg l ęd ni enie i st ni ejących opóźnień albo przyjęci e fał szywego ich systemu 3. Przyjęcie niewłaśc iwej postaci analitycznej równa1'i modelu . Miarą autokorelacji jest ws pó łc zy nnik autokorelacji r.t:ędu <, który rnier1.:y zależność między zmiennymi losowymi s1 o wskaźnikach t różniącyc h s ię od siebie (odległych od siebie) o < jednostek4 ll Wspó łczy nnik autokorelacji z próby (/jr) obl icza s i ę jako współczynnik korelacji między resztami odległy mi o< jednostek (czyli między e1 i e, _, : przy czym ei i! _, są, odpowiednio, ś red ni ą reszt i reszt opóźnionych) 49 :
P.
L (e, - e> . (e, _, - e_,) JL 2 - L (e,_r - e_r l 2 •
< = 1. 2. .
(2.37)
48 Tak wiec wspólczyn11ik autokorelacji rzcd u I mierzy za l eżność 111ir;dzy bezpośrednio po sobie nastcpuzmiennymi ( t 1 i ti - l ). ws półczynnik rzr;du 2 - miedzy zmie1111ymi od leg!ymi o dwie jednostki (t r i e1_ 2)itd
jącymi 49
J eżeli w modelu występuje wyrnz wolny. to e =U
2. MO!lelejednorównaniowe liniowe J eś li
mamy dane w postaci szeregów czasowych i dodatkowo założymy, losowe tworzą proces autorcgresyjny rzęd u pierwszego, tzn.:
że s kładniki
(2 .38)
autokorelacji rzędu pierwszego, to można pokazać, że współczynnik autokorelacji rzęd u
gdzie p 1 jest
współczyn niki em
tce,-e,_i) 2
d
' ='~--
(2.39)
/~ei
Statystyka d przyj muje wartości z przedziału [O : 4]:jeże li hipoteza zerowa jest prawdziwa (autokorelacja nie wy s tępuje), ti = 2, wartości d < 2 ś wiadczą o autokorelacji dodamiej, natomiast wartości ti > 2 ś wiad czą o autokorelacji ujemnej (pozostaje tylko do rozstrzygnięcia kwestia, czy autokorelacja ta jest statystycznie istotna). Zatem w zal eż ności od otrzymanej warto śc i d m ożna dop recyzować hipot ezę alternatywną Weryfikujemy zatem hipotezę zerową o braku autokorelacji rzę du pierwszego s kład ników losowych Ho:P 1 = 0 wobec hipotezy konkure ncyjnej : H 1 : p 1 > O. gdy tl < 2
(wyst ępuj e
dodatnia autokorelacja rzędu pierwszego)
H 1: p 1 < O. gdy tl > 2
(występuje
ujemna autokorelacja
lub
W przypadku autokorelacji ujemnej do porównania z
rzędu
pierwszego).
wa rto śc iami
krytycznymi na-
le ży obliczyć d ' = 4 - d 51 Obli czo ną wartość
statystyki d (lub d ' w przypadku autokorelacji ujemnej) porównuje się z wartościami krytycznymi dl i du odczytanymi z iablic Durbina- Watsona dla prt:yjętego poziomu istotności a oraz 11 i K stopni swobody (11 liczba obserwacji , K - liczba zmie nnych objaśniających w model u, bez zmiennej t ożsam ośc i owo równej \). J eśli tl > du (tl' > dU), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji dodatniej (ujemnej) rzędu pi erwszego (a zatem i wyższych rzędów) na poziomic i s totnośc i a, przyj mujemy w i ęc. że nie występuje dodatnia (ujemna) autokorelacja rzędu pierwszego J eś li d < dl (d' l = 0.6 2 = 0.36 czy p 3 = 0.6 3 = 0.216 i1d 51 ronicważ stablicowa ne w:n1ości krytyczne mies~..czą si ę w przedzi~le 10: 2 )
2.4. Weryfi!!acjamodelu J eżeli
JL :::: d :::: tiu (th :::: d':::: du), wpadamy w obszar nierozst rzygalno śc i testu o wystcpowaniu lub braku autokorelacji r.i:ęd u pierwszego; nal eży wówczas stosować testy alternatyw ne Warto d odać , że mając ob l iczo n ą s tatystykę d, możn a obli c zyć zgodne oszacowanie ws półc zy nnika autokorelacj i rzę du picrwszego 52 ·
-
nic
możemy p r.tcsądzić
Pi =
I-
~-
(2 .40)
Badanienormalnościrozkladuskladnikówlosowych Za ł oże ni e n ormaln ośc i s k ł adników losowych nic wys t ę puj e w klasycznym modelu re~ gresj i liniowej (jest jednym z założeń klasycznego modelu normalnej regresj i liniowej), natomiast powinno by ć spe ł nione w przypadku stosowani a testów opartych na statyst y~ ce F . Do badania n o rm alno śc i odc h y l e ń losowych można wykorzys t ać m.i n. test Hellwiga lub test Shapiro-Wilka. Zastosowanie obydwu wymaga uprzedniego uporząd kowania reszt niemalejqco Weryfi kuje s ię zatem hipo tezę zcrową-
H0: e ,,_N
(s kład ni ki
losowe majq
rozkład
normalny)
wobec hipotezy konkurencyjnej H 1 : --. (e ,,_N) (roz kład składnik ów losowych nie jest roz kładem normalnym)53 . W
t eście
Shapiro-Wilka sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka W:
C~ a„_1+ 1Ce„-1+1 1
w
~(e1-e) 2
1
-e,)f
(2.4 1)
gdzie: a„_1+ 1 są najlepszymi ni eo bc i ążo n y mi ws półczy n nikam i obliczonymi i stablicowanymi przez S.S. Shapiro i M.B. Wilka, a [11 /2J (emier ) jes1 częśc ią c ał kow itą 11 /2 (jeśli w modelu występuje wyraz wolny, to e = 0) 54 Obli czoną wa rt ość statystyki W nal eży porówn a ć z wartością krytyc z ną IVa odczytanq z tablic kwantyli rozkład u \V (podanych przez Shapiro i Wi lka) dla poziomu istotn ośc i et. J eśl i W ~ W„, nic ma podstaw do odrzucenia H0, że rozkład odc h yleń losowych jest normalny, natomiast j eś l i IV < Wa, hipotezę zerową n a l eży odrzucić mi korzyść hipotezy alternatywnej (co oznacza. że ro zkł ad od chy l e ń losowych nic jest ro zkładem normalnym)
52zamiast ob liczać go ze wzoru {2.37) przy r = l. prą czym mi ędzy wynikami uzyskanymi na poclstawie tych dw u wzorów mogą wystąpić pewne rozbieżności 53 Nie ma pny tym ko11ieczności spccyfikowanin por.imetrów tego rozk ladu S4Tablice współczynników i w:irtości krytycznych do testu Shapiro-Wilko można znaleić np. w pracy E. Nowaka I 1001 . T~kże wartości krytyczne do testu Hellwiga
2. Modelejednorównaniowe liniowe
W teśc ie Hellwiga55 przeprowadza się sta ndaryzację reszt według wzoru , er - C I = 1,2 .. e, =
-s;-·
gdzie:
e-
wedłu g
średnia
arytmetyczna reszt: Sr -
(2.42)
odchylenie standardowe reszt, obliczane
wzoru
s, ~
I
"
-11 I)e,-'l'
(2.43)
1=1
Przy czym
za uważmy
jeszcze raz,
że
w modelu liniowym, w którym jest wyraz wolny,
i!=O.aw i ęc
Po uporzqdkowaniu reszt (niemalej<1co), z tabl ic dystrybuanty rozkładu normalnego , F (e~), a nas tępni e wyznacza s i ę odczytuje się wartości dystrybuanty F (e;), F(e2:). tzw. cele 11• czyli przedział y liczbowe o rozpiętości l/ 11, pow s t ałe z podzielenia odc inka [O: I] nan równych części, a więc [O; ~)U[~: ~)U·· -U[~ : I]. Wart ośc i dystrybuanty F (e;) prz y porządkow uj e s i ę odpowi ednim celom i okreś l a l i czbę cel pustych ( K ). tj . takich, do których nie trafiła żadna wartość F(e; ). Z tablic testu zgodn ośc i Hel lwiga dla liczby obserwacji n oraz przyjętego poziomu i stotnośc i a odczytuje się wa rtości krytyczne K i K 2. Jeżel i K < K lub K > K i. to hipot ezę zerową nal eży odrz uci ć (czyli odchylenia losowe nie mają roz kładu normalnego), natomiast jeśli K 1 < K < K 2. nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, a więc odchylenia losowe m ają rozkład normalny. 1
1
Badanie lo sowo ś ci reszt Testowanie l osowośc i reszt ma zw i ązek przede wszystkim z wyborem postaci analitycznej modelu, bowiem jeśli pos ta ć anal it ycz ną modelu dobrano właściwie, to reszty mają charakter losowy Do weryfi kacji hipotezy· H0: reszty e1
maj ą rozkład
losowy wobec H 1: rozkład reszt nie ma charakteru losowego
możn a zastosować
np. test serii Dla danego c i ąg u reszt e 1 • e 2, .... e„ resztom dodatnim (e1 > O) przypor.tąd kow uj e s ię symbol a, resztom ujemnym (e, < O) - symbol b, reszty równe zeru (e 1 = O) pomija s i ę56 55 w istocie jest on 1es1em zgodności rozkładu zmiennej losowej z dowolnym rozkladem hipocecycznym Oparty jesc na znanej ze srncystyki własności zmiennej losowej . że jeżeli zmie nna losowa X m:i rozkład F. 10 ztnicnnn losowa F(X) m:i rozldadjednosrnjny. (por. [361. s. 154). 56w pracy [36]. s. 160 zalcc;i się pnede wszystkim zwiększen i e dokładnu~ci ub liczeri.. lak aby mol:na byłuust;ilićznakreszt
2.4. Weryfi!!acjamodelu Nas tę pnie n a l eży usta l ić liczbę
serii S (podcii1gów jednakowych symboli a lub b z reszt dodatnich lub ujemnych). W przypadku testu jednostronnego (który, jak s i ę wydaje, można sto sować w przypadku niewielkiej liczby obserwacj i) e mpiryczną li cz bę serii S porównuje s i ę z wartością kryt ycz ną S", odczy t aną z tablic liczby seri i dla przyjętego poziomu i s totnośc i a oraz 11 1 (liczba reszt dodatnich, a więc elementów a) i 112 (liczba reszt ujemnych, a więc elementów b) stopni swobody. J eśl i S > S", nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości reszt, natomiast j eże li S ::; Srx, hipot ezę o l osowośc i reszt należy odrzucić, co oznacza. że postać analityczna modelu jest źle dobrana (np. prz yjęto model liniowy, podczas gdy za l eżność ma charakter nieliniowy) W przypadku gdy korzystamy z test u dwustronnego, z tablic li czby seri i odczytuje s i ę dwie wartości krytyczne S1 i S2 dla przyjętego poziomu i stot n ości a (tj . dla a/2 i 1 - a/2) oraz 11 1 i 11 2 stopni swobody. Pod st awą do odrzucenia hipotezy zerowej jest S ::; S (zbyt mała liczba serii) lub S :;:: S2 (zbyt du ża liczba serii). Zatem reszty m ają rozkład losowy (Ho jest prawdziwa), jeże li S1 < S < S2. podciągów z łożo n yc h
1
Przykład 8. Nale ży doko nać weryfikacji własności reszt modelu oszacowanego w pr zy kładz i e 5, zamieszczonych w kolumni e 5 tablicy 2.6
Tablica 2.6
27.8
L:
1.2
1.44
30.4
- 0.4
1.2
-1.6
2.56
0.16
35
35.6
-0.6
-0.4
-0,2
0.04
0.36
39
-0,8
40.4
- 1.4
-0.6
0.64
1.96
39
38.2
0.8
- 1.4
2.2
4,84
0.64
43
43.0
o.o
0.8
- U,8
0.64
o.oo
45
45,6
- 0.6
O.O
- 0,6
0,36
0.36
49
48.2
0.8
- 0.6
1.4
1.96
0.64
45
46.0
- I.O
0.8
- 1.8
3.24
I.OO
50.8
1.2
-I.O
2.2
4.84
1.44
406,0
o.o
19,12
8,00
4-06
Źr6
Rozwiqza11ie. P rąpo mnijm y, że testy dotyczące własności s kładnikó w losowych zakładaj ą uporządkowanie reszt albo według jednostek czasu - jeżeli korzystamy z danych w postac i szeregów czasowych, albo wed ług wartości wybranej zmiennej objaś ni a-
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe jącej.
W tym przypadku reszty są u porządkowa n e wed łu g ros n ących wartośc i zmiennej objaśn i ającej X (kolumna 2 tablicy 2.6). Resz1y przedstawiono także na wykresie (rysunek 2.4). Zauważmy, że oscy lują one wokó ł zera, nie wykazujqc tende ncji do wzrost u lub sp:1dku; pominie my zatem badanie stałośc i wariancji 1
0.5 O.O +--------~------'°
--0.5
Rys une k 2.4. Reszty modelu oszacowanego w przykładzie 5
Badanie autokorelacji57 - test Du rbina-Watsona. Obliczenia pomocnicze do obliczen ia s1:11ystyki d (2.39) zawarte są w tablicy 2.658 .
L'° d=
1: 2
(e, - e, _ 1) 2 10
i~e! Po n ieważ
d = 2,390 > 2, to wynik
świadczy
19. 12
8
2.390
o autokorelacji ujemnej; weryfikujemy
Ho: P1 = O wobec Hi : P1 < O
iz
wartościam i krytycznymi porównywać br;dzicmy d' = 4 - d = 4 - 2,390 = I ,610. W tablicy 2.7 podano fragment tablic Durbi na- Watsona zawierający wartości krytyczne dl i du dla mał yc h prób59 przy poziomie i s t otnośc i a = 0.05 (K - li czba zmiennych objaśn i ających bez zmiennej t ożsamościowo równej I, n - liczba obserwacj i)
57 w zasadzie tak7.c można by go pomin:ić. ponieważ autokorelacja występuje przede wszystkim w mode· lach szacowanych na podstawie danych w postaci szeregów czasowych. a ten model oszacowano w oparciu o dane przekrojowe 5 8Zauważmy. że e1_1 to reszty opóźnione o l. czyli dla poprzedniej obserwacji. zatem elementy kolumny 6 tablicy 2.6 to przesunięte o I elementy kolu11111y 5. a ponieważ dla e1 nie ma reszty dla poprzedniej obserwacji. w liczniku statystyki d sumowanie przebiega od I = 2, podczas gdy w mianowniku uwzględnia się sumę kwadratów wszystkich reszt 59 Petniejsze rnb!ice (od n = 15) możn:1 znuleić np. w pracy pod red. M. Krtysztoffaka [ 33]
2.4. Weryfi!!acjamodelu
Tablica 2.7
dl
du
d1,
du
0.467
1.897
1.332
0559
0.610 0.700 0.730
JO
1.320
0.629
1.699
1.320
0,697
1,64 1
0,758
1.324
0.971
1.33 1
0.812
1.604 1.579
l.010
1.340
0.861
1.562
l.045
1.350
0,905
l.077
1.361
0,946
0.927
13
1.777
0.824 0.879
1.543
Źródło: N.E. S:win. K.J . Whilc. The D11rbirt- \\h1so" Test for Serial Corre!Miun ..-i1/o E.rtreme Sample Si:-.es o/Muny Rtgrr>ssors. ""Economctricn'" 1977.
1.45,nrll.s.1992- 1995
Odczytane z tablic Durbina- Watsona dla a = 0 .05, 11 = IO i K = 2 (dwie zmienne objaś n iające) wartości krytyczne wynoszą: d1, = 0.697, du = 1.641 (tablica 2.7). Ponieważ dl = 0.697 < 1,6 10 < du= l.64 1, test Durbina- Watsona nie rozstrzyga, czy autokorelacja jest istotna. Bada nie norma lności roz kładu reszt - test Shapiro-Wilka. Weryfi kujemy hipotezę: wobec hipotezy konkurencyjnej
przeczącej
tej
normaln ości
H1:--.(E""'-"N).
Obliczenia pomocnicze do obliczenia statystyki IV Shapi ro-Wilka (2.41) zawarte są w kolumnach 2-5 tablicy 2.8. Współczynn i ki a w- i+i odczytano z tablic Shapiro-Wilka podanych np. w pracy [100] (dla n = 10)60 . Zatem
[ła11-1+1{e10-1+1 -e,)f
W=
i=I
w /~(el
2.70322 2
0.9134
-{?)2
Warto ść krytyczna statystyki W odczytana z tablic Shapiro-Wi lka dla poziomu istotności a= 0.05 oraz 11 = IO ( W„) wynosi 0,842. Wobec nie równośc i W = 0.9134 > IV„ ni e ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że reszty mają rozkład losowy.
60 A rM.nice mir:dzy reszlami "IO-r+l - e1 (kolumna 4) ti!bli cy 2.8 obliczono przykładowo dli! I = l ew - e1 = 1.2 - (- 1.4) = 2.6. dla I= 2: e9 - e2 = 1.2 - (- I.O)= 2.2. itd
2. Modelejednorównaniowe liniowe
Ta hlica2.8
t
e1 uporzą-
lllO-r+I
e10-i+1-e1
dkowane
- 1.4
10
a10 - r+1x x (e10 - i+I - e,)
F (e;)
Cele f ,
0.5739
2.6
1.49214
- 1.5652 0.0588 (0.0- 0. 1)
- 1.0
0.3291
2.2
- 0.6
0.2141
1.4
0.72402 0.29974
- 1. 11 80 0.1318 (0.J - 0,2) -0.6708 0.2512 (0.2-0.3)
- 0.6
0.1224
1.4
0. 17136
-0.6708 0.2512 (0.3-0.4)
- 0.4
0.0399
0.4
0.01596
- 0.4472 0.3274 (0.4 - 0.5)
o.o
0.0000 0.5000 (0.5 - 0.6)
0.8
0.8944 0.8145 (0.6-0.7)
0.8
0.8944 0.8145 (0.7-0.8)
1.2
J.34 16 0.9 101 (0.8 - 0.9)
1.2
i.:
J.34 16 0.9 101 (0.9 - 1.0) 2,70322
Żródło:opracowaniewłasne
Do zbadania normal n ości rozkładu reszt zastosujemy jeszcze test zgodności Hellwiga. Obliczenia pomocnicze zawarte są w kolumnach 6-9 tablicy 2.8. W kolumnie 6 podano uporządkowa n e reszty standaryzowane według wzoru (2.42), tj. I =
\.2 .
przy czym e = O, a wobec tego ze wzoru (2.43) mamy
W kolumnie 7 tablicy 2.8 podano odpowiadające standaryzowanym resztom odczytane z tablic waności dystrybuanty rozkładu normalnego F (e;), a w kolumnie 8 cele 11 pows tałe z podzielenia odcinka [O: 11 na IO równych częśc i (a wi ęc prze działy liczbowe o rozpiętości O. I, przy czym przypomnijmy - od dołu prze d ziały są zamkni ęt e, a od góry otwarte). W ostatniej kolumnie (9) tablicy 2.8 podane s ą liczby wartośc i dystrybuamy F (e;) przyponądkowanych poszczególnym celom. Jak widać, liczba cel pustych K = 3. Wartości krytyczne odczytane z tablic testu zgodnośc i Hellwiga dla a = 0,05 oraz 11 = IO wynoszą: K 1 = li K2 = 5. Ponieważ I < K = 3 < 5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkład reszt jest rozkładem normalnym 61 61 Wniosek jest 1aki s:m1. jak przy zastosowan iu te stu Słmpiro-Wilka
2.4. Weryfi!!acjamodelu
Badanie losowości reszt - resr serii. Aby zwery fikować hipotezę, że reszty er sq losowe wobec hipotezy alternatywnej, że reszly nic mają charakteru losowego, poniżej przytoczono reszty e1 (por. kolumna 5 tablicy 2.6)
1. 2; -0.4: - 0.6: - 1.4: 0. 8: O.O: -0.6: 0.8: -1 .0: 1.2. resztom dodatnim symbol a oraz resztom ujemnym symbol b zero pominięto) i otrzymano ciąg: li bbb li bab a Zatem w c iągu reszt obserwujemy 5 = 7 serii Odczytane z tablic rozkładu serii dl a 11 1 = 4 (liczba reszt dodatnich) i 11 2 = 5 (liczba reszt ujemnych) oraz prt:yjętego poziomu istotnośc i a. tj. 0.05/2 = 0.025 i 1- 0.05/2 = = 0.975, wartości krytyczne wy n oszą: 5 = 2, 5 2 = 8. Poni eważ 2 < 5 = 7 < 8, ni e ma podstaw do odrzucenia H0, a więc reszty mają rozkład losowy. Oznacza to, że postać analityczną modelu dobrano w ł aśc i wie (model liniowy dobrze opisuje badaną a
n astępnie prąpisan o
( resztę równą
1
zależność)
Przykład
9. Na podstawie danych o wielkości produkcj i (X w mln sztuk) i kosztach produkcji ( Y w mln z ł ) za lata 1994-2008 w pewnym dynamicznie rozwi(kolumny 1- 3 tablicy 2.9) oszacowano model opisujący kosztów ca łkowityc h produkcji od wielkości produkcji
ca łk owi t ych
jaj ący m s i ę przeds i ębi orstw i e za l eżność
Tablica 2.9
12 IS
53,76
- 0.76
57.45
- 0.45
58
16
58.68
- 0.68
64
20
63.60
0.40
64
20
63.60
1994
53
1995
57
1996 1997 1998
O.Q2
73.44
- 1.44
78.36
-3.36
82,05
2002
2003
92
2004
92
40
0.40
70.98
2.95
88,20
3.80
94.35
- 2.35
2005
99
46
95.58
2006
IOS
50
100.50
4.50
""
55
106.65
- 2.65
112.80
- 3.80
1200,00
o.oo
2007 2008
109
l.:
1200
60
Żródło:daneumowne
3.42
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Otrzymano: )'1
= 39.00
+
(1.73) 22.5
S,
l. 23x,. (0.047) 26.2
~
R 2 = 0.981 l.
±2.732.
Jak widać oceny parametrów strukturalnych są statystycznie istotne (pod błędami średn imi szacunku parametrów podano wartości statystyki 1; to.05;13 = 2.160), a wysoka wartość współczynnika determinacji świadczy o dobrym dopasowaniu modelu do obserwacji. W tablicy 2.9 podano dodatkowo wartości teoretyczne (kolumna 4) i reszty (kolumna 5) Należy sprnwdzić, czy spe łni one są założenia dotyczące skład n ików losowych. Roz.wiąum ie.
Badanie srałolci wariwuji Analizując reszty zestaw ione w kolumnie 5 tablicy 2.9, można podejn.:ewać , że mamy do czynienia z niejednorodnością wariancji (reszty dla pierwszych 6 obserwacj i co do wartości bezwzględnej nie przekraczają I, e1 jest nieco w i ększa od I, natomiast moduły kolejnych reszt są kilkakrotnie większe. Tak więc zachodzi podejrtenic, że wraz ze wzrostem wielkości produkcji losowe odchylenia od funkcji regresji rosną. Spostrzeże nie to potwierdz:1 wykres reszt (rysunek 2.5).
Rysunek 2.5. Res zty modelu kosztów ca łkow itych
Zgodnie z omów i oną wcześniej Ho:
procedurą,
w cel u zweryfikowania hipotezy
af = aff wobec H1: af < aff
z:1stosujemy test Goldfelda i Quandta. Obserwacje podzielono na 2 podpróby· Podpróba 1 obejmuje obserwacje 1- 7 (ewentualnie ob se rwację 7 można pominąć , ale nie zmieni to ostatecznego wniosku wynikającego z zastosowania testu) Podpróba 2 obejmuje obserwacje 8-15 Dla każdej z nich oszacowano parametry modelu liniowego i obliczono wariancję. Obliczenia pomocnicze zaw ierają tablice 2.10 (dla pierwszej podpróby) i 2. 11 (dla drugiej podpróby)
2.4.
Weryfi~acjamode lu
1} 1994
53
1995
57
1996
58
2000
12 15 16
72
e'f 636
53,45
- 0,45
0,2065
225
855
57.12
-0.12
0.0152
256
928
58.35
-0.35
0.1200
144
63.24
0.76
0.5800
20
1280
63.24
0.76
0.5800
26
1846
70.58
0.42
0.1794
2016
73.02
- 1.02
1.0454
439.00
o.o
2,7265
28
784
i: Żródło:opracowanic ""ł~sne
el
xl 79.99
92
2003
40
1600
92
3680 4140
24.8953
83.38
l.62
2.6102
89.04
2.96
8.7467
94.70
-2.70
2005
99
46
2116
4554
95.83
3.17
10.0345
2006
105
SO
2500
5 250
4.64
2007
104
SS
3025
5 720
100.36 106,02
- 2.02
21.5411 4,0678
2008
109
60
3600
6540
111.68
- 2.68
7, 1557
i:
761
363
17 11 5
35 259
76 1.00
o.o
86,3448
2004
2025
- 4.99
7.2935
Źródło:opracowanicwłru,;ne
Dl a pierwszej podpróby o liczebności 11 1 = 7 mamy (oceny parametrów strukt uralnych zaokrąglo no do dwóc h miejsc d zies i ętnych):
· ~[13; 2~~;r [s:!;J~ 1 ~26 [~~~;
-13;]
[s:!;J~[ 3 ~;ą
czyli
Y =38.78+ 1
Dl a drugiej podpróby o
a=
l,22x1 •
liczeb ności 11 2
sf = ~ ~~ 2 7
= o.5453.
= 8 mamy
1 [17 115 -363] [ 761] = [•3,78] [ 8 363]-I[ 761l =llii· 363
17115
· 35259
-363
8 · 35259
1.1 3 ·
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
czy li
5'1=43 .78 + 1, 13.r, .
s; ~ ~·~~ ~ 14. 3908. 8
8
Zatem statystyka testu (2.36) F ~ 14. 3908 ~ 26 39 0.5453 . Wartość krytyczna statystyki F odczytana z tablic Fi shera- Snedecora dla a = 0,05 i 11 2 = 8 - 2 = 6 (w liczniku) oraz 11 1 - 2 = 7 - 2 = 5 (w mianowniku) stopni swobody wynosi Fr:t = 4,95. Wobec ni erów nośc i
F = 26,39 > Fr:t = 4,95 hipot ezę zerową o rów ności wariancji w obu podpróbach nal eży odrzuc i ć, zatem mamy do czynienia z niejednorodnośc ią wariancji (he teros kedastyc z no śc ią) Badanie auwkorelacji res;) Weryfi kujemy hipotezę g ł oszącą, że ws półczyn nik autokorelacj i rlędu pierwszego statystycznie nieistotnie różni się od zera wobec hipotezy alternatywnej, że występuje istotna autokorelacja dodatnia lub ujemna (hipotezę a lternatywn ą ostatecznie sfo rmułu jemy po obliczeniu statys1yki d (2.39)). Obliczenia pomocnicze zawarte są w tablicy 2. 12. Tablica2.12
1994
- 0.76
1995
- 0.45
- 0.76
0.3 1
0.0961
1996
- 0.68
- 0.45
- 0.23
0.0529
0.46240
1997
0.40 0.40
- 0.68
1.08
l.1664
0.40
o.oo
0.0000
0.16000 0. 16000
1998 1999
2002
0.57760 0.20250
-0. 38
0.1444
- 1.44
0.02
-1.46
2.1316
2.07360
- 3.36
- 1.44
-1.92
3.6864
11 .28960
2.95
-3.36
6.31
39.816 1
8.70250
0.02
0.40
2003
3.80
2004
- 2.35
3.80
- 6. 15
37.8225
5.52250
2005
3.42
- 2.35
5.77
33.2929
11.69640 20.25000
2006
0.7225
3.42
1.08
l.1664
2007
- 2.65
4.50
- 7. 15
51.1225
7.02250
2008
-3.80
-2,65
- 1,15
l.3225
14.44000
172,5432
97,00000
i.:
4.50
2.95
0.00040
o.oo Żródło:opr:icowaniewła•ne
2.4. Weryfikacja modelu
Zatem
t
(e, -er- d 2 d= '~ ~'~--
l~e~
d = I. 779 < 2 kujemy:
świadczy
172.5432
97.0000
1.779
o autokorelacji dodatniej. wobec tego oslatecznic weryfi-
Ho : P1 =O wobec H1 : Pi> O
krytyczne odczytane z tablic Durbina- Watsona (t:1bli ca 2.7) dla Q' = 0.05. Ued n azmie n naobjaśniająca) tolh = l.077orazdu = 1.36 1 d = 1,779 >du= 1.361 , nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mów i ącej o braku autokorelacji (o nieistotności współczy n nika autokorelacji rzędu 1)62 Badanie 11ormal11ofri roz.klad11 reszt Do zweryfi kowania hipotezy, że rozk ład odchy łetl losowych modelu jest normalny wobec hipotezy, że rozkład odchy l eń jest rozkładem innym niż normalny, skorzystamy z testu Shapi ro-Wi lka. Obliczenia pomocnicze do obliczenia statystyki W zawiera tablica 2. 13. Kolumna 2 zawiera reszty, kolumna 3 zawiera reszty u porządkowane niemalejąco, kolumna 4 - współczynniki Shapiro-Wi lka (odczytane z tablic dla n = 15). Zatem63 Wartośc i
11
= 15 oraz K = I Ponieważ
[ła11-1+1(e10-1+1-e,)J2 W=
' "' !
is l~(e, -ii)2
9.53275 2
97
0.9368
Dl a Q' = 0.05 oraz 11 = 15, W„ = 0.881 Ponieważ W = 0.9368 > W„, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że reszty mają rozkł ad normalny Do takiego samego wniosku prowadzi zastosowanie testu Hellw iga. Czytelnik zechce sprawdzić, że po przypisaniu wartości dystrybuanty rozkład u normalnego dla uporządkowanych reszt standaryzowanych celom o rozp iętośc i 1115, otrzymamy K = 6 cel pustych. Poni eważ K 1 = 2 < 6 < K2 = 7, na poziomie is totnośc i 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. że reszty maj ą rozkład nonnalny 62zgotlnie ze wzorem (2-40) zgodnym oszacowaniem współczynnika autokorelacji rzędu l jest P1 = = I - ~ = J - ~ = O. I 11. a więc wartość współczynnika autokorelacji jesc raczej niska 6 ·'0czywiście e =O. a więc e) 2 =
L(e, -
L el
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Tahlica 2.1 3
-
-
f- - -
4 I
- 0.76
- 3.80
0.5150
- 0.45
- 3.36
0.3306
3
- 0.68
- 2.65 - 2.35
0.2495 0,1878
0.40 0.40 0.02
- l.44
0.1353
- 0.76
0.0880
- 1.44
- 0.68
0.0433
-3.36
-0.45
0.0000
2.95
O.D2
10
3.80
0.40
li
- 2.35
0.40
12
3.42
2.95
13 14
4.50 -2.65
3.42 3,80
15
- 3.80
4.50
I:
o.oo
8.30 7,16 6.07 5.30 1.84 1.16 0,70
4.27450 2.36710 1.51447 0.99534 0.24895 0.10208 0.03031
9,53275
7J6
Badanie losowości reszt reszt (kol umna 2 tablicy 2. 12 lub 2.13) jest n astc puj ący:
C i ąg
-0.76: - 0.45: - 0.68: 0.40: 0.40: 0. 02: - 1. 44: -3.36: 2.95: 3,80: -2.35: 3.42: 4,50: -2.65: -3.80 Po przypisani u reszto m dodatnim symbolu a i resztom ujemnym symbolu b otrzymuJCmy: bbb twa bb aa b aa bb. zatem w c i ągu reszt obserwuje s i ę S = 7 serii (podc i ągó w reszt o ty m samym znaku . Odczytane z tablic rozkład u serii dla 11 1 = 7 (li czba reszt dodatnich) i 11 2 = 8 (li czba reszt ujemnych) stopni swobody oraza/2 = 0. 025 i 1-a/2 = 0.975 wartośc i krytyczne wy n oszą: S 1 = 4, S2 = 12. Poni eważ 4 < S = 7 < 12, nic ma podstaw do odrzucenia hi potezy o l osowośc i reszt, a zatem pos t ać analityczna modelu zost ał a przyję t a wł aśc i w i e (model lini owy dobrze odzwierciedla badan ą za l eż.n ość)b4 6'1w przypadku zastosowania testu jednostronnego wartoU krytyczna statystyki S odczytana z tablic rozkładu serii dla a= O.OS ornz 111 = 7 i 112 = 8 stopni swobody wynos i S11 = 4. a więc S = 7 > 50 • i wniosek jest taki sum jak w pr.'.ypadku testu dwustronnego
2.5. Merytoryczna interpretacja parametrów strukturalnych oszacowanych modeli
2.5. Merytoryczna interpretacja parametrów strukturalnych oszacowanych modeli Za uważmy na początek, że w badan iach społ eczn o-ekonomicz nyc h badacz budujący model bardzo rzadko może korzystać z danych eksperymentalnych (będącyc h efektem zaplanowanych i celowo pr.teprowadzonych doświadczeń, dających w razie potr.tcby możliwość wydatnego zwiększe ni a liczby przeprowadzanych eksperymentów, a więc liczby obserwacj i). Ekonomista musi zadowo l ić s i ę znacznie skromniejszą bazą danych, a wyniki otr.cymane w drodze modelowania powinny być poddane weryfikacj i od strony zarówno merytorycznej, jak i statystycznej. Dopiero pomyślne przejście wszechstronnej weryfi kacji upoważni a do wni oskowani a w oparciu o oszacowany model. Próby ekonomicznej interpretacji efektów modelowania to jeden z kierunków wykorzystania oszacowanego modelu. Pozostał e (wyznaczanie prognoz, symulacja i podejmowani e optymalnych decyzji) omówione zostaną w następnych rozdz i ał ach Wnioskowanie w oparciu o model polega rn.in. na interpretacji jego parame trów strukturalnych. I tak w funkcji liniowej jednej zmiennej (rysunek 2.6)
(2.44)
Y =ao + a 1X
ocena parametru a 0 interpretowana jest jako śre dni poziom zmiennej endogenicznej Y przy zerowym poziom ie zmiennej objaśniającej X . J eśli ocena tego parametn1 jest ujemna, co często jest uzasadnione, interpre ta cję s ię pomija. Natomiast wzrost wartośc i zmiennej objaśn i ającej X o I (jednostkę) powoduje zm i a nę (wzrost lub spadek) wartości zmiennej objaśnianej przeci ętnie o a (jednostek). 1
1-1.ysunek 2.6. Funkcja liniowa (przy ao > OJ
założeniu. że
W funkcji liniowej wiciu zm i cnnyc h 6 ~ Y=ao+a1X1 + a2X2+
+aK X K
(2.45)
parametru a 0 interpretuje s ię jako p rzeciętny poziom zmiennej endogenicznej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające p rzyjmą wartość zero (tzn. gdy X1 = X2 = ocenę
65w prt.ypadku funkcji wielu zrnienn)•ch ograniczymy się do incerpretacji parame1rów, ponieważ. aby je graficznie. po1nebnajes1 prt.estrz.eń ( K + l)-wymiarow:i
prt.edstawić
2. Modelejednorównaniowe liniowe
=
X K = 0). Ocena tego parametru m oże być ujemna (co często jest uzasadnione) i wtedy trudno mówić o jego sensownej interpretacji ekonomi cznej (interpretacje pomija sic). Z kolei wzrost wartości }-tej zmiennej objaśniającej (X j ) o l (jednos1kę) powoduje zmia nę wartości zmiennej objaśnianej Y śre dnio o et i jednostek cereris paribus (tzn. przy niezmienionych - ustalonych - pozostałych zmiennych) 66 . Przykład ~O.
5 oszacowano model regresji, op i s ujący za l eżność inkonsultantów z:1jmujących s i ę dystrybucj:1 kosmetyków (wyw tys. z ł - Y1 ) od ich stażu pracy w firmie (w latach - X11) i faktu, czy dystrybucja kosmetyków jest jedynym źródłem ich dochodów (X 12 = 0), czy też mają jeszcze inne źródło dochodów (X 12 = 1) dywidualnej
W
przykładzie
wydajnośc i
rażonej roczną wartością sprzedaży
Rozwiąza 11ie.
+
Otrzymano
2.6x1 4.8xr2 . Sr = ±l.069. Vr = 2.63 %. R1 = 0,9849 (0.17) (0.76) Model ten poddano weryfikacji i uznano, że dobrze opisuje badami zależność (zgodność z danymi empirycznymi jest duża, parametry strukturalne są statystycznie istotne, reszty modelu mają pożądane własności) M ożna zatem dokonać interpretacji otri;ymanych wyników. Ocena stałej regresji a 0 = 30 tys. z ł to przeciętna roczna wartość sprzedaży uzyskiwana przez pracownika rozpoczynającego pracę w firmie (w pieiwszym roku pracy. bez stażu X = 0) i niemającego dodatkowego źródła dochodów (X2 = 0) Wzrost stażu pracy o I rok powoduje wzrost wydajności średnio o 2,6 tys. zł (z każ dym rokiem pracy wydajność konsultanta rośnie przecicwie o 2,6 tys. zł ), przy s tał ym X 2. Przy s tałym X 1 (stażu) wydajność pracownika, który ma jeszcze inne źródło dochodów jest przec i ętnie o 4,8 tys. zł rocznie niższa od wydajności pracownika, który nie ma innego źród ła dochodów 30,0
.Y1 =
1
-
(1.21)
1
2.6. Uogólniony model regresji liniowej (UMRL) J eś l i
są spełnione założenia klasyczne o homoskedastycznych i nieskorelowanych sk ładnikac h losowych, kiedy zastosowanie w tych warunkach mimo wszystko KMNK do estymacji parametrów strukturalnych doprowadzi nas do liniowych i nieobc i ążo nych, ale niekoniecznie najefektywniejszych estymatorów parametrów (nie funkcjonuje w tych warunkach twierdzenie Gaussa- Markowa orzekające, iż w KMRL estymatory parametrów slrukturalnych uzyskane za pomocą KMNK są najefektywniejsze w klasie nieobciążonych estymatorów liniowych) i model nie przechodzi rutynowej weryfikacji. to warto rozważyć ogó l niejszą klasę modeli. dopu szcz
nie
fi6w funkcji wielu zmiennych interpretując parametr przy jednej z nich. zawsze zakładamy stałość wszystkichpozos1a/ych
2.6. Uogólniony model regresji liniowej (UMRL)
2.6.1. Definicja -
założenia
J eś li
zatem rozważymy model liniowy w postaci strukturalno-statystycznej z nielosową mac i erzą obserwacj i X o elementach ustalonych w powtartalnych próbach, o pełnym rzędzie kolumnowym z liczbą obserwacji w i ększą od liczby szacowanych parametrów i dopuszczający heteroskedastyczne (o różnej wariancji), a tak że skorelowane s kład n ik.i losowe, czyli zestaw zał ożeń" (I) y ~ X p + ' . nxl
11 x K kx l
11 x l
(2) X - macierz nielosowa o elementach ustalonych (w powtarzalnych próbach), (3)rz(X ) =k < 11, (4 ) E (E) ~ . ~ ,' (5) V (e) = E(e eT) = a 2R gdzie Q x jest dowol n ą macierzą syme tryczną, dodat11
11
nio określoną, a O _::: a 2 < +oo, to model liniowy (I) z za łoże niami (2}-(5) nazyw:1ć będz i e m y uogólni ony m modelem regresji lini owej (UMRL). Łat wo za uważyć, iż jeśli macierz jest proporcjonalna do macierzy kowariancj i sk ładników losowych. tj . macierz Q = IN, to będz iemy mi eć do czyn ienia z KMRL. Zatem KMRLjcst szczególnym przypadkiem UMRL
2.6.2. Estymacja - uogólniona MNK W prtypadku KMRL stosow ną (odpowied ni ą do sytuacj i) metodą estymacj i parametrów strukturalnych jest uogólniona metoda najmniejszych kwadratów (UMN K). nakazuj ąca przyj;:ić za wektor nieznanyc h parametrów strukturalnych fł taki wektor hg, który minimalizuje ważoną s umę kwadratów reszt. Wagami są elementy macierzy odwromej do macierzy proporcjonalnej do macierzy kowariancji s kładn i ków losowych. Wobec tego, j eś l i:
min S( fł ) = min (y - Xfł )T n - 1 (y - Xfł) = S(bn) .
'
(2 .46)
'
tj. funk cja kryterium S(fł) os i ąga minimum w punkcie bn , to bn nazywać będz i e my estymatorem uzyskanym za pomocą UMNK; można pokazać, że wektor ocen parametrów stmkturalnych bg dany jest wzorem bn = (XTQ- 1X) - I XTQ- 1y
(2.47)
Jest to estymator ni eobc iążo n y, tj. E (bg) = fł z mac ierzą kowariancji V(b n) = = a 2(XTn- 1 x) - 1 , której nieobciążonym estymatorem jest macierz: D 2 (bg) = s; cxTn - 1x )- 1.
(2 .48)
gdzie s; =
=
n~keTn-!e= N~K(y - )')TQ-l(y - f)= /1
~k(y - Xbn)Tn - 1 (y - Xbn)
jest nieobciqżonym estymatorem a 2
(2.49)
2. Modelejednorównaniowe liniowe J eś li
nie zachwyca nas konieczność odwracani k), to za uwa żm y, iż na mocy znanego w algebrze liniowej twierdzenia o faktoryzacji (por. A.S. Goldberger [46], s. 59) dla dodatnio określ onej macieri;y S1: istnieje nieosobliwa macierz P, taka że PSJ: pT = 111 oraz pTp = n:- 1. Zatem mnożąc l ewą stron ę UMR L przez ową macierz P, o trzymujemy model li niowy (2.50)
w któ rym
wartość
oczekiwana nowego
E(v) a jego macierz kowariancji jest
~
s kładnika
E(P•)
losowego v jest wektorem zerowym
~PE(<)~ PO~
O.
(2 .51 )
mac i erzą s kal arną
V(v) = E(vvT) = E(PeeTPT) = p~ pT =a 2 ~ = a 2 111 •
a 2 S1:
(2.52)
111 jego parametry
m ogą być
b = (STs ) - ISTz = (XTpTp x) - l x TpTpy = (XTn:- i x )- l x Tn: - ly = b g
(2.53)
A wobec tego nowy model liniowy (2 .50) jest KMRL, szacowane za po mocą KMNK, czyli
w i ęc
i tutaj dochodzimy do c ie kawych s po strzeże ń l. UMNK jest rów noważna KMNK na zmiennych transformowanych z = Py oraz S = PX, o ile macierz transformacji P jest mac iert:ą nieosobliwą, spe łniającą warunek pTp = n:- 1. Jeśli więc potrafimy taką macierl P wskazać. to znacząco zmniejszymy wysiłek obliczeniowy i upro śc im y estymację . 2. Wektor ocen parametrów strukturalnych ba musi mi eć takie same w łas nośc i optymalne ( wynikające z twierdzenia Gau ssa- Markowa). jak wektor b - wektor ocen MN K. UMNK jest wobec tego e leganckim rozwi:1zaniem estymacji parametrów strukturalnych UMRL pod warunkiem, że znamy macierz kowariancji sk ładników losowych z dokładnością do współczynnika proporcjonalno śc i a 2 . Problem jednak w tym, że my tej mac ierzy zwykle ni c znamy i gdybyśmy nawet chcieli jakoś ją odtworzyć (oszacować) . to w ogólnym przypadku liczy ona ( uwzg lędniając jej sy metri ę) n+ (11 2 - 11)/2 = = 11(11 + 1)/2 różnych eleme ntów, a to jest liczba w i ę ksza od 11, więc na podstawie próby 11 -elementowej nie zrekonstruujemy mac ierzy S1: w przypadku ogólnym , bo zabraknie nam informacji zawartej w próbie statystycznej. Będzi e to możliwe tylko wtedy. gdy założy m y jakąś pros t szą s truktu rę tej maciert:y. Po ni żej rozpatrujemy dwa takie szczególne przypadki • heteroskedastyczne (o różn ej wariancji) skJadniki losowe bez autokorelacji, • ho moskedastyczne (o stał ej wariancji) s kładniki losowe tworzące proces autoregresyjny rzędu pierwszego. Jest jeszcze jeden problem: estymatory uzyskane za pomocą UMNK mają optymalne własnośc i przewidziane przez teori ę, o ile znamy macierz kowariancji s kład n ików losowych (dokładni ej macie rz proporcjonalną do macierzy kowariancji - mac ierl S1:). J eś li jednak ową macierz zastąpimy jej oszacowaniem, to te pożądane własności optymalne nie są już tak oczywiste.
2.6. Uogólniony model regresji liniowej (UMRL)
Heleroskedastyczne
składniki
losowe bez autokorelacji -
ważona
MNK
Załóżmy
teraz, że składniki losowe mają zróżnicowane wariancje (są heteroskedastyczne), ale są nieskorelowane- ni e ma autokorelacji składnik ów losowych. Wtedy macierz kowariancj i owych sk ł ad n i ków losowych jest postaci·
V(e ) = E (EET) =
~
["t
~ ] =a' [ ~' w,
a,:
.~. ]. (2.54)
O
w„
~------
!!
(2 .55)
a w1edy, jak /a1wo
sprawdz i ć:
:i
P=[~ ~
~
Wobec tego obserwacje na nowych zmiennych Z1 i S1j obliczamy Zt =
I
jW;y, .
(2 .56)
według
wzorów·
r = L
(2.57) r = I..
, 11.
j = I.
.k
i stosujemy KMNK do modelu z nowymi zmie nnymi , które pow st ał y przez pom n ożenie oryginalnych obserwacji na zmie nnych przez wagi I/ ,JW;. stąd ten sposób estymacj i bywa w literaturze okreś lany termi ne m: regresja ważo n a czy t eż ważona MNK Przykład 11. Za pom ocą ważonej MNK, na podstawie poni ższyc h danych, oszacować parametry model u li niowego: y1 =/Jo+ f3 1 x 1 + c,, przyjmując że wariancje składników losowych są proporcjonalne do kwadratów reszt uzyskanych w estymacji za pom ocą KMN K
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Tablica2.14
18 Źfódło : daneumownc
Rozwiązan ie. Najpierw oszacujmy parametry modelu za o oryginalne obserwacje:
X=[i 1
pomocą
KMNK w oparciu
~]· Y= [,~]-
IO
18
b=(XTxi-•xTy=[364 23264]-'[40459] =[-1.1.1173 -1.17] 0.03 ·[40459]-[-2.01] - 2.09 . Wobec tego Tablica 2. 15
S·,
I " ~ y,
4.26
- ;„
e?
- 1.26
l.5876
-0.35
0. 1225
6.35
1.65
2.7225
9
10.53
- 1.53
2.3409
15
12.62
2.38
5.6644
18
18.89
- 0.89
0,7921
i:
13.2300 Żród ło:opracowan iewłasne
Zatem wariancja resztowa wynosi: ~
1
N
~
1
S;= ~f; e;= 6=2
13.23 =3.3075.
2.6. Uogólniony model regresji liniowej (UMRL)
a to powoduje, i ż
błędy ś red nie
szacunku
są nas tęp uji1ce:
D(b) = [ D (bo) ] = [ J3.3075 . 1.13] = [ 1.9333 ] D(b, ) J3.3075 · 0.13 0.3150 Skoro mamy przyjąć , że w:iriancje składnik ów losowych tów reszt, to w takim razie wagi są równe
.;w;
I
I
Je!
le,
1
są
proporcjonalne do kwadra-
•
a wobec tego: I
i=JT6j
l- 1. 261
I
I
1- 0. 35 1 I
1-0. 351 4 I
jf6sj
jf6sj
I
I
iT53i I
iT53i I
12 .38 1
12.381 I 1-0.89 1 IO
I
1- 0. 89 1
-
[0. 79371 2.857 0.606 1 0.6536 0.4202 LI 236
2.3810 ] 11.4286 2.4242 3,9216 . 2.9412 I I. 2360
1-1.261 I
i=OTsi I jf6sj I
11.53 1 I
i2.38i
15
2.3810] 17.1429 4.8485 = 5.8824 . [ 6.3025 20. 2247
I 18 1-0. 89 1
zatem nowe oceny parametrów, losowych. są równe:
uwzg lędniaj i1ce niejednorodność
b = cs Ts )- is T. = [ 11.0261 z 52.4357 = [
0.6155 - 0.1104
wariancji
s kła dników
52.4357] - ' [ 83 .0250] 292.4357 482. 1922 = -0. 1104] [ 83.0250 ] [ -2. 1322 ] 0,0232 482.1922 = 2.0209 .
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
co
poc i ąga
za sobq. i ż: Tablh:a 2. 16
2.38!0 17.1429 4.8485 5.8824 6.3025 20.2247
3.1190 17.0044 3.6068 6.5316 5.0480 20.3112
er =v, - _i,,
,)
-0.7385 0.1385 l.2417 - 0.6492 1.2545 - 0,0865
0.5454 0.0192 1.5418 0.4215 1.5738 0,0075
4,1092
l.: Źródło:opr~cowanicwłasne
nowa wanancp resztowa wynosi
s; = ~k f, e~ = ~ ·4. 1092 = 1.0273. •= I 6- 2 li -
a wobec tego nowe
b łędy śre dni e
D(b ) ~ [ D(bo) D(b
1
)
szacunku
l[
są n a s t ępujące
l
~ ,/1.0273 · 0,6155 ~ [0,79520 ] J l .0273 · 0.0232
0.15440
Jak w i dać , przy zb l iżonych wartośc i ac h starych i nowych oce n parametrów slrukturalnych, nowe b łędy śred ni c szacunku parametrów są n i ższe od starych, wzrosła zatem efektyw ność estymatorów parametrów
Homoskedastyczne składniki losowe tworzące proces auloregresyjny
rzędu
pierwszego
J eś l i za łożymy. że skł ad n iki losowe mają jednakowe wari ancje (są homoskedastyczne). ale skorelowane w specyficzny sposób, tzn. twor1.:ą proces autorcgresyjny rLt;du pierwszego, tj.: (2.58) E1 = P1E1 - I + u,.
gdzie IP 1 I < I (p 1 jest wtedy wspó łczyn n ikiem autokorelacj i rzęd u pierwszego), a E1 jest b i ał y m szumem (skł ad n ik i e m losowym o zerowej wartośc i oczeki wanej i skalarnej macierzy kowariancj i) M ożna pokazać. że jeże l i składni k i losowe tworzą proces au1oregresyjny rzędu pierwszego, to współczynnik autokorelacji dowolnego rzęd u r jest równy cov(e1 • e, _,) Pr = - a-2 =
, P1 ·
(2.59)
czyli jest odpow i ednią potęgą współczy n n i ka autokorelacj i rzęd u pierwszego - brak autokorelacji rzę du pierwszego oznacza brak autokorelacji w ogóle; wystąpienie istotnej autokorelacji rzęd u pierwszego pociąga za sobą istnienie autokorelacji rzę d ów wyż szych. Wtedy macierz kowariancj i skł ad n i k ów losowych
2.6. Uogólniony model regresji liniowej (UMRL)
a'
cov(e„. ei) P1I
p, I
P2 Pi
;,:~I
P"-2
p„_3
=a2 [
~a' [ ;, p~ - 1
'°*' e,,)] cov(s2, t
cov(s1, s2)
[ COV(e2. a' ei)
V(e) = E (eeT) =
11 )
=
a'
cov(s11 , t2)
p„_,] =
Pn-2 I
p;-•]
Pi
pf
I
Pi
p~-2
p~ - 2
p;• - 3
I
'
(2.60)
!! zatem
n-• i
[
=
1
[
- pi I
- pf
można pokazać, że
- p, I +pf
-~
[R -;1
P- - '-
-R
- p,
o o
g
-p,
o
łatwo zauważyć,
model Py =
- p,
o I -p,
o o
- p,
o p•
Jak
I +pf
PX~
- p,
~~.]
;l
+ Pe jest równoważny modelowi P*y = KMNK na nowych zmiennych
(2.6 1)
(2.62)
P* X~
+
+ P*e, zate m UMNK będzie równoważna Z 1 = M ) '1. Z.1
= Y1
-
P1)'1 - 1.
r
= 2.
.~1j=Mx1j· J=t. . . k.
(2.63)
S1j = X 1j - P1X1 - l.j• t = 2. i= I.. . k. Wystarczy tylko znać współczyn nik autokorelacji rzędu pierwszego p 1 Ponieważ zwykle owego ws półczy nni ka autokorelacji nie znamy, w prak tyce postępowanie jest dwustopniowe. Najpierw w oparciu o oryginalne dane szacujemy model za pomocą KMN K i w oparc iu o uzyskane reszty szacujemy ws półczyn n ik Pi, np. w oparem o wzór (2.40):
P1
=
t -
~-
2. Modelejednorównaniowe liniowe
gdzie d jest zna n ą statyst yką Durbina- Watsona (paragraf 2.4.3). N astęp n ie dokonujemy powtórnej estymacji za pomocą KMN K na bazie nowych obserwacj i obliczonych w oparc iu o wzory (2.63) przez wykorzystanie w nich oszacowań (2.40) lub inaczej uzyskan ą ocenę wspólczynnika autokore l:1cji rzędu pierwszego. Ponieważ transformacja dla pierwszej obserwacji (dla t = I) różni s i ę od transformacj i dla dalszych obserwacj i, to zdarza s i ę, że w praktyce pomija s i ę owq pierwszq obserwację i prowadzi s i ę estymację w oparciu o próbę n - 1-e l emc n tową jednolicie p n:eksztalconą. Takie podej śc i e jest w literaturze nazywane metodą Coc hrane'a-Orcutta Zauważmy też, że jeś l i będziemy m i eć do czyn ienia ze skraj nie silną dodat ni ą autokorelacją rzędu pierwszego (p 1 bliskie I), to metoda Cochrane'a-Orcutta bę d zie równoważ n a estymacji klasycznej na pierwszych różni cach. tj. z, = ó.y, = y, .1"1j = Ó. Xrj = X rj - Xr - 1. j dla I = 2, . li , j = ] , . , k.
y,_,,
Przykła d 12. Na podstawie danych tablicy 2.17 oszacować parametry modelu li niowego y 1 = /Jo+ f31x 1 + 8i. u względni ajqc m ożli wość, i ż s kład n i ki losowe są generowane przez proces autorcgresyjny r.tędu pierwszego.
Tablk a 2.17
2.8 5.2 6.8 7.2 8.9
I I.O
13.1 14,9 19.l 21.0
IO
Żródło:dancumownc
Rozwiąza n ie.
metry za
pomocą
Najpierw potraktujmy nasz model jako KM RL i oszacujmy jego paraKMNK
x ~
I I I I I I
o I
2 3 4
y~
5
2.8 5.2 6,8 7.2 8.9 li.O 13. 1
14.9 19 . 1
21.0 b
~ ~
(XTX)-I XTy [2.9700] 2.0075 .
~
[ 10 40
40] - I [ 11 0.0] 240 600.6
~
[
0.3000 - 0.0500
-0,0500] [ 11 0.0] 0.0125 600.6
~
2.6. Uogólniony model regresji liniowej (UMRL)
Wobec tego
S·1 2.9700
5.2
4.9775
„;
=y1 -)·,
<'r
2.8
- 0.1700
(e, -e1-1)2
0.0289
0.2225
0.0495
0. 1541
6.8
-0. 1850
0.0342
0. 1661
7.2
0.2150
0.0462
0. 1600
- 0.0925
0.()086
0.0946
8.9925
8.9
Il.O
11.0000
13.1
13.0075
0.0925
0.0086
0.0086
14.9
15.0150
- 0.1150
0.0132
0.0431
0.0000
0.0000
0.0086
19.1
19.0300
omoo
0.()()49
0.0210
21.0
21.0375
- 0.0375
0.0014
0.0116
0,1955
0.6687
i:: żnxlło:opmrnwaniewla,;ne
Zatem wariancja resztowa wynosi S?
I ;=~
a wobec tego
błęd y średnie
t
?
,„ 1 e;
=
szacunku są
I
IO - 2
· 0. 1955 = 0.0489,
n as tę pujące:
D(b) ~ [D (bo) ] ~ [J0 .0244 0. 3000 ] [0.0856] D (b,) J 0.0244 0.0 125 ~ 0.0175 . a statystyka Durbina-Watsona (2.39) wynosi· N
L(e, -e,_i)2
0.6687 0.1955
d= '~-'~--
t~ei
3.4153
i jeśli postawi my hi potezę zerową Ho: P1 =O wobec hi potezy alternatywnej H1: Pi < O, a odczytane z tabli c testu D-W na poziomie i s t otnośc i a = 0.05 warto ści krytyczne wy noszą (por. W.H. Greene [60], tablica 7): th = 0,604 oraz du = 1.007, to skoro d' = 4 - d = 0.5847 < dL = 0,604, to hipo te zę zerową Ho o braku autokorelacji rzędu pierwszego należ y odrzu c i ć na rzecz hipotezy alternatywnej H orzekającej istnienie istotnej ujemnej autokorelacj i rzędu pierwszego; zgodne oszacowanie owego współczynnika au1okorelacji s kładnik ów losowych wynosi· 1
P1
= I-
~
= l-
3
.4~
53
= - 0 .7077
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe J eś l i
lak, to
S=
I·J IIIIIIIII-
l - (-0.7077)2 (-0.7077) · I ( -0. 7077) I (-0.7077) · I (- 0, 7077) (-0, 7077) (-0.7077) · (-0.7077) (-0.7077) · I ( - 0. 7077) I
o. J I22345689-
l - (- 0.7077) 2 (-0,7077) o 0.7077 I ( - 0, 7077) (- 0. 7077) 2 (-0. 7077) 3 (-0, 7077) (-0. 7077) (-0. 7077) (-0. 7077)
0.7065 l .7077 1.7077 1.7077 1,7077 1.7077 l .7077 1.7077 l .7077 1.7077
2.8. J l - (-0.7077) 2 5,2 - (-0. 7077) 2.8 6.8 - (-0.7077). 5.2 7.2 - (-0.7077) 6.8 8,9 - (- 0.7077) 7.2 I I.O - (-0.7077) 8. 9 13.1 - (- 0. 7077) l l.0 14.9 - (-0.7077) 13.1 19, I - (-0.7077) 14,9 2 1.0 -(-0.7077 ) 19.1 a wtedy nowe. są równe:
l.97 82 7, 18 16 10.4800 12. 01 24 13.9954 17.2985 20.8847 24.1709 29.6447 34.5 171
uwzgl ę d niające autokorelację s kładników
b = (STS) - IST = [ 26.7449 z 105.7727 = [
0.1263 - 0.0225
losowych , oceny parametrów
105.7727]-' [ 292. 0230] = 594.221 1 1507.5100 - 0.0225] [ 292.0230 ] = [2.9635 ] 0.0057 1507.5 100 2.0223 .
a w konsekwencj i Tablka2.19
e, =y, - )'1 1.9782 7.1816 10.4800 12.0124 13.9954 17.2985 20.8847 24.1709 29.6447 34,5171
0.0000 1,0000 2.7077 3,4 154 4.4154 6.1231 7.8308 9.5385 12,2462 14.6616
2.0937 7.0831 10.5366 11.9677 13.9900 17,4435 20.8970 24.3505 29.8263 34,7109
0.11 55 0.0985 - 0.0566 0.0447 0.()()54 - 0.1450 - 0.0123 - 0.1796 - 0.1816 -0.1 938
i: Źródło: opr~cov•aniewlasne
.; 0.0133
o.cxm 0.0032 0.0020 0.0000 0.0210 0,0002 0.0323 0.0330 0,0376 0,1523
zatem nowa wariancja resztowa wynosi
s'"=~ I f-.. 2 ~e, = a wobec tego nowe
błędy śred nie
I
10 - 2
szacunku
0.1523
~ 0.0190.
są nas t ępujące·
D(b) ~ [D(bo)] ~ [ J0.0190·0.1263] ~ [0.0490] D(b, ) J0.0190 · 0.0057 0.0104 Jak widać, prą z bliżonych wartościach st:1rych i nowych ocen parametrów strukturalnych nowe błędy śre dnie szacunku parametrów są niż sze od starych, wzrosła zatem, podobnie jak w poprzednim przy kładzie , efektywność estymatorów parametrów - został y one oszacowane z większą precyzją
Zadania 1. Budowany jest model , który ma wyjaśnić k sz tałtowanie s ię wydatków na turystykę i rekreację w pewnej grupie rodzin (Y w z ł na osobę rocznic). Jako potencjalne zmienne objaśniające rozważane są: X 1 - prt.:ec iętny roczny dochód na osobę w rodzinie (z ł), X2 - liczba osób w rodzinie, X 3 - charakter zatrudnienia głowy rodziny X 3 = l. gdy
g łowa
rodziny pracuje na rachunek
X 3 = O. gdy
głowa
rodziny jest pracownikiem najemnym
W oparciu o zebrane dane obliczono zm1cnnym1 i otrt.:ymano:
Ro=
0.84] 0.47 . [- 0.75
współczy nn iki
I -0.55 R=
[
l
własny.
korell1cji liniowej
między
0.62] - 0,42 I
Stosując metodę
Hellwiga, należy wybrać optymalną kombinację zmiennych objaśnia jących do modelu wydatków na turysty kę i rekreacj ę. 2. W biurze podróży „Gama" , które otwarło oddziały w 9 miastach, obserwuje s i ę znaczne zróżn i cowa n ie obrotów między poszczegól nymi oddziałami. Postanowiono więc zb udować model wyjaśniający wielkość obrotów oddzia łu ( Y w tys. zł rocznie). Jako potencjalne zmienne objaśniające wytypowano X 1 - p rzecię t ne miesięczne wynagrodzenie mi esz kańców m i ej scowośc i , w której oddział ma sie dzibę. X2 - liczba ośrodków wczasowych. z którymi oddział ma kontakty. X3 - siedziba oddz iału
X 3 = I, gdy
siedz ibą oddziału
X 3 =O , gdy
siedzibą oddziału są pozostałe
jest miasto wojewódzkie. miasta
2. Modelejednorównaniowe liniowe
W oparciu o zebrane informacje obliczono współczynniki korelacji mi ędzy zmiennymi, otrzym ując: ro 1 = 0,72, ro2 = 0.80, ro3 = 0.85, r 12 = 0,60, rn = 0,50, r 23 = 0.40 Stosując metodę Hellwiga wybrać zmienne objaśniające do modelu wyjaśniającego zróżni cowanie obrotów oddziałów biura podróży 3. Budowany jest model ekonometryczny popytu na pewne dobro (Y w tys. sztuk). Jako potencjalne zmienne objaśniające brane są pod uwagę X 1 - pn.:ec i ętny miesięczny dochód na osobę (zł), X 2 - cena danego dobra (z ł) , X 3 - cena dobra substytucyjnego (z ł). Zebrano dane statystyczne dotyczące tych zmiennych (tablica 2.20).
TablicaZ.20
18
490
6.5
17
600
IO
25
690
9
25
990
31
6
7.5 8
1100 Żró
Wybrać
zmienne
objaśniające
do modelu popytu na badane dobro
stosując metodę
Hel\wiga. 4. Jiiko potencjalne zmienne objaśniające modelu zmiennej Y wstępnie zaproponowano tr.cy: Xi. X 2 i X 3. Obliczono współczynniki korelacji zmiennej endogenicznej (Y) z potencjalnymi zmiennymi objaśniaj:1cymi oraz między parami potencjalnych zmiennych obja ś niając ych , a następnie indywidualne i integralne pojemności dla siedmiu kombinacji zmiennych. ale część obliczeń zaginęła. Pozo stał y następujące wyniki:
H 1 = h11 = 0,64. H 2 = h22 =0,16. H 3 = h n = 0.64. h41 = 0.40, h53 = 0.40, '162=O,128. (Zakładamy, że kombinację 4 twom1 zmienne X i X 2 ; kombinację 5 zmienne X 1 i X 3 , akombinację6 - zmienne X 2 i X3 ) (a) Uzupełnić brakujące wyniki obliczei'i - obliczyć pojem ności integralne dla kombinacji 4-7 i wybrać kombinację o najwi ęk s zej pojem ności. (b) Dokonać wyboru optymalnej kombinacji zmiennych przy zastosowaniu metody grafu (przyjąć,-•= 0.28) 1
5. Wiadomo, że przy lrzech potencja lnych zmiennych objaśniaji1cych: X X 1 , X 3 w liniowym jcdnorównaniowym modelu ekonometrycznym integralne pojemności informacyjne dla trzech pierwszych kombinacji są rów ne 1 ,
H 1
=
'111
= 0.7744.
H2 = hn = 0,1936. HJ =
a wspólczynniki korelacji r1 2
między
/i 33 = 0,3025. potencjalnymi zmiennymi
= - 0.60.
Wykorzystując metodę
r1 3
= - 0.35.
r 23
objaśniającymi wynoszą
=0.44
Hcllwiga, określić optymalny podzbiór zmiennych
objaś nia
jąc yc h .
6. Wiadomo, że przy trzech potencjalnych zmiennych objaśniających: X X 2 , X 3 w liniowym jednorównaniowym modelu ekonometrycznym integralne pojemności informacyjne są równe 1 ,
H 1
+ h42 + h53 Hr.= f162 + h6J
= h 11 = 0.4900.
H3 = h 33 = 0.3600. Wykorzystując metodę
Hellwiga,
h41
= O. 7740.
H5 = h51
= 0.5313.
H4 =
H2 = hn = 0.6400.
określić
= 0.6494. optymalny podzbiór zmiennych
objaśn i a
j ących.
7. Na podstawie 18 obserwacji na zmiennej objaśnianej Y i 4 potencjalnych zmiennych objaśniających (X 1. . X 4) obliczono współczynnik i korelacji między zmienny-
nu' otrqmmw'
[ 0' 8 ]
I
Ro~ ~~7'
R
~
0.8 Wybrać optymalną kombinację
go
- 0,40 I
0,55 - 0,45 l
[ zmiennych
objaśniających
0.40] - 0.40 0.45
I do modelu ekonometryczne-
S IO SUJąC
(a) metod ę Hcllwiga, (b) metodę grafu (przy 11 = 18 obserwacji i a= 0.05; la= 2. 10 1. r" = 0.46). 8. Jako potencjalne zmienne objaśniające dla zmiennej Y zaproponowano wstępnie trzy: W, X. Z. W oparciu o obserwacje na tych zmie nnych obliczono współc z ynn i k i korelacji między nimi i otrzymano r y.w
=0.7,
= - 0.8.
rJ' .~
= 0.6.
rw.z = 0,60.
rx.~
= - 0.5
r y„<
r w ..•
= - 0.4.
Wy brać o ptymalną kombinację zmiennych objaśniających dla zmiennej Y: (a) stosuji1c me t odę Hellwiga, (b) s tos ując metodę grafu, prLy r • = 0.50. 9. Na podstawie 30 obserwacji na zmien nej objaśnianej Y i 7 potencjalnych zmiennych objaśniających (X 1. . X 7) obliczono współczynniki kore lacji między zmiennymi 1 otrzymano
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Ro =
0.85 0.60 - 0.70 - 0.44 0.54 0.40 0.47
- 0.17 - 0.44
- 0.50 - 0.27 0.30
0.38 0.20 - 0.38 - 0.36
I
R=
0.16 0.51 - 0.32 - 0.28 0.30
"']
0,43 - 0.45 - 0.31 0,31 0.18
I
I
(a) Stosując metodę grafu go.
0.30
I
Weryfikację i s totności
wybrać
zmienne objaśniające do modelu ekonometrycznewspółczyn n ików korelacji przeprowadzi ć na poziomie istot-
ności a=
0.05 (b) Dla kombinacji optymalnej
obl iczyć integralną pojemność nośn ików
informacj i.
IO. Na podstawie 15 obserwacji na zmiennej objaśnianej Y oraz 4 potencjalnych zm iennych objaś n iających (X 1 •••• X4 ) obliczono współczynniki korelacji mi ędzy zmiennymi (zestawione w wektorze Ro i macierzy R)·
Ro - [ -g~~] -
0.60
R -[ I -
'
-~.45 _g~~ _g!~] I
~M
0.49
.
I
Wybrać optymalną kombinację zmiennych objaśniających do modelu zmiennej grafu, j eże li r• = 0.5 l (d la 11 - 2 = 13 i a = 0.05; fa = 2, 160). (b) Czy optymalna kombinacja będzie taka sama, jeżeli weryfikację współczynni ków korelacji przeprowadzimy na poziomie i stotności a = O. IO Cta = 1.771; r• = = 0.44) (c) Obliczyć integralną pojemność nośników informacj i dla kombinacji optymalnej w obydwu przypadkach.
(a)
Y
stosując metodę
li. Dane
są:
I
- 0.45] 0.30 0,49 Ro= 0.70 . [ 0.58 0,60
R=
- 0.44 1
0.12 - 0.35 I
0.50 - 0.30 0,30 l
[
0.35 - 0.20 0. 38 0.26 I
0.22 - 0.42 0.19 - 0.41 0.27
l .
I
(a) Który z grafów przedstawionych na rysunku 2.7 zbudowano na podstawie podanej macierzy R.j eże li r• = 0,38? (b) K1óre zmienne należy wybrać do modelu ekonometrycznego jako zmienne objaśn iające?
(c) Obliczyć int egra l ną pojemność noś ników informacji H ga) dla optymalnej kombinacji zmiennych
(s t osując metodę
Hc\lwi -
~M~ , cx,
cb-------8
~ 0-------G
0
Rys unek 2.7. Graf powiązań
0
między
x,
x,
X;
X;
potencjalnymi zmiennymi objaśniającym i
12. Na podstawie analizy grafu (rysunek 2.8), odzwiercied l ającego zal eż nośc i mi ę~ dzy zmiennymi kandyd ującym i do roli zmiennych objaś ni ających , d okonać wyboru
optymalnej kombinacji , <
lroil
<
wiedząc
ponadto,
że:
lro2I < lrMI < lrm l < lr06I < lrosl <
lr01I
Rysunek 2.8. Graf powiązań
między
potencjalnymi zmiennymi objaśniającym i
13. W pewnej firmie wprowadzającej na rynek nowy wyrób postanowiono zb ud ować model wyjaśniaj ący zależność wiel k ości s przedaży (Y w tys. sztuk) od testowanej ceny tego wyrobu (X 1 w zł ) oraz wydatków na promocję i rek.Jamę wyrobu (X 2 w tys. zł) W oparciu o podane w tablicy 2.2 1 dane obliczono współczyn niki korelacji między zmiennymi i otr.cymano· Ro= [ (a) metodę
(b)
-0. 98]
0.86 .
Wybrać optyma ln ą kombin ację
R~ [
I - 0.90
zmiennych
-0,90] I
obj aśn i ających
do modelu,
stosując
Hellwiga Osza cować
parametry modelu liniowego z wybranym i zmiennym i
objaś ni a
jącymi
~
(c) Zweryfikować s tatys tycz ną istotność otrzymanych ocen parametrów Cto_o5:4 = 2,776). (d) Zinterpretować otrzymane wyniki
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Tablica2.21
15
20
16
20
19
30
Żródło:daneumowne
14. Wła śc i c i el małej firmy produkcyjnej pos tanowił zbudować model wyjaśniają cy ksz tałtowani e s i ę indywidualnej wydajności pracy nowo przyjętych pracowników ( Y w setkach szruk na mie s iąc) . Jako potencjalne zmi enne objaś niające przyjęto: X 1 - s taż pracy (miesiqce), X 2 - liczba osób na utrzymaniu, X 3 - dodatkowe źródło doc hodu X 3 = I, gdy pracownik ma dodatkowe źród ł o dochodu (np. d z i ałk ę zapewniającą żywność),
X 3 = O, gdy pracownik nie ma dodatkowego Zebrano niezbędn e dane zestawione w tablicy 2.22
źródła
dochodu .
Tablica2.22
8,7 9.4 11.5 14.3
15.6 16.7 2 1.6
Obliczono
współczynniki
Ro=
korelacji
0.99] [
0,61
- 0.49
IO
między
zmiennymi i otrzymano
I 0.67 .
R=
[
I
- 0.44] - 0,36
.
I
(a) S t osuj ąc metodę Hellwiga wybrać op t ymalną kombinację zmiennych cych do modelu indywidualnej wydaj n ości pracy.
objaśniają
(b)
Oszacować
parametry modelu liniowego z wybranymi zmiennymi
objaśnia
jąc ym i
(c)
Zweryfikować s tatys tyczną i sto tn ość
otrzymanych ocen parametrów (1o.os: 4 =
= 2, 776, lo.OS;S = 2,447). (d) Zinterpretować otrzymane wyniki 15. W pewnej firmie zrzeszającej 6 zakładów produkcyj nych postanowiono zbadać zależność zespoł owej wydaj n ośc i pracy ( Y prlccictna wa rt ość produkcji w tys. zł na I zatrndnionego) od czynników, które mogą wpływać na t ę wydajność Wy róż nion o 3 potencjalne zmienne objaś n iające X 1 - liczba zatrudnionych w za kładzi e (dzies iątki osób), X 2 - techniczne uzbrojenie pracy (wa rtość m ajątku trwałego prtypadająca na l zatrudn ionego w tys. z ł) , X 3 - nakład y na m od e rn izację maszyn i urządzeń poniesione w roku poprzednim (w tys. zł). Zebrano niezbędne dane (tablica 2.23), w oparciu o które obliczono współczy nnik i korelacji li niowej mi ędzy zmiennymi i otrzymano ro 1
= - 0,95,
r 02
r1 2
= - 0,77,
/"13
= 0.92. = - 0.90.
r 03
= 0,89.
r 23
= 0.77.
Tablica 2.23 Zakł:id
"'
_l't
10
10
20
14
7
30
16
30
19
30
21
30
ŻTód ło:dancumowne
(a) Metodą Hellwiga wybrać op ty maln ą kombinacj ę zmiennych objaśniających do modelu wyjaśniającego zespołową wydaj n ość pracy. (b) Oszacować parametry modelu liniowego z wybranymi zmiennymi objaś niającymi
(c) Oce ni ć dopasowanie modelu do obserwacji empirycznych (weryfi kacja) (d) Przeprowad zi ć analizę otrzymanych wyników 16. W pewnej firmie postanow iono zbudować model wyjaś ni ający za l eżność
mi ę
dzy: indyw i dualną wydajnością
pracy nowo
miesiąc), staże m
pracy (X 1 w mi es i ącac h) , pracownika (X2)
wykształceniem
przyjętyc h
pracowników ( Y w sztukach na
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
X1 = I. gdy pracownik skmkzy ł szkoł ę zawodową. X2 =O. gdy pracown ik nie ma wykształc e n ia zawodowego W oparciu o podane w tablicy 2.24 dane Tablica2.24 Pracownik
Jr
17
21 22
(a)
Oszacować
parametry strukturalne i
10
struk rnrę stoch astyczną
Yr = ao + a1X11 +a2X12
modelu li niowego·
+ E:1
Dokonać weryfikacji modelu (istotność ocen parametrów strukturalnych, reszt) 17. Na podstawie zawartych w tabli cy 2.25 danych
(b)
w ł a
s n ości
)"1
12
21
26
27
34
żrói.Jło:daneumowne
(a) Oszacować parametry strukturalne model u Y1 = ao + a 1 X 1 +Er i zinterpretować otrzymane wyniki. (b) Oszacować parametry struktury stochastycznej (S~, V, . rp 2, D(a j)) i zinterpretować otrzymane wyniki (c) Zbadać statystyczn ą istot n ość otrzymanych ocen parametrów ( to.05: 1 = 12.706, to.ou = 4.303 , to.o5:3 = 3. 182, to.o5:-t = 2.776). 18. Na podstawie zawartych w tablicy 2.26 danych Tablica2.26 Całkowite
koszty produkcji y1 (tys.
Wie!kośćprodukcjixr
(tys.sztuk)
Żródło: d~ne umowne
zł)
15.0
16.0
18.0
18.0
19.S
20.0
O,S
l.S
2.0
2.S
2.S
3.S
(a) Oszacować paramelry strukturalne i struktury stochastycznej modelu cał kowi tych kosztów produkcji: Y1 = a X 1 + a 2 + e1 • (b) Zbudować przedział ufności dla jednostkowego kosztu zmiennego (a 1
1 );
ro.o5: 4 = 2. 776. (c) Na poziomie is t otności a = 0.05 zmienny jest równy 1.6 19. Na podstawie danych
5 25535] ·
xx ~ 35 T
[
zweryfikować hipotezę ,
T Xy ~
[
7..e jednostkowy koszt
63]
428'
(a) Os zacować parametry strukturalne modelu Y1 = a 0 + a 1 X 1 + e 1 • (b) Oszacować parametry struktury stochastycznej (Se. V~ . R 2 • D(a1 )) (c) Zbadać s taty s tyc zną istotność otrzymanych ocen parametrów Uo.os: i = 12.706, to.os:2 = 4.303, 10.05:3= 3.182, to.osA = 2.776) (d) Wyznaczyć przedziały ufności dla parametrów (I - a = O. 95). 20. Na podstawie zawartych w rnblicy 2.27 danych
Il
i
15
wiedząc , że
(XTX)- 1 =
6
[
- 0.5
0.05
-2
0.15 0.75
]
(a) Oszacować parametry strukturalne modelu Y1 = a 0 + a 1X 11 + a 1 X,2 + e 1 (b) Os zacować parametry struktury stochastycznej (Se. Vr , R 2. D(aj )) (c) Zin terpretować otrzymane w (a) i (b) wyniki (d) Zbadać s tatystyczną istotnoś ć otrLymanych ocen parametrów (to.o5: 1 = 12. 706, r0 .o5: 2 = 4.303, 10•05 : 3 = 3.182, r0.o5:4 = 2.776) (e) Wyznaczyć pri:edzialy ufności dla wspólczynników regresji. 21. Na podstawie danych
x„x =
[4~ 3~g 1;~]. 22
130
XTy=
84
[7~~]. 250
(a) Oszacować parametry strukturalne modelu liniowego Y1 = ao+ a1X 11+a2Xr 2 +
+e,. (b) Wyznaczyć przedziały ufnośc i dla wspólczynników regresji (na poziomie ufności
0,95 ; to.05,3 = 3, l 82, to.oH = 2. 776)
2. Modelejednorównaniowe liniowe (c) Zweryfikować sta ty stycz ną istotność otrzymanych ocen parametrów (d) Obliczyć i zi nterpretować wartość współczynnika determinacji R2 22. Na podstawie danych:
XTX
=
[4~
2:g
5
30
3~],
(XTX)-' [I -g~2
XTy:::::
- 0.4 ]
=
5
0.72 .
- 0,02
[~~~]-
yTy= 3767
I 16
(a) O szacować parametry strukturalne modelu Y1 = fio + /31 X11 + f32Xr2 + s,. (b) Zbadać s tatystycz ną istotność otrzymanych ocen parametrów (ro.os:J = 3.1 82, to.05:4 = 2, 776) (c) Obliczyć i zin terpretować wartość współczynnika determinacji R2 23. Na podstawie danych:
7 x Tx = [ 50
1i~
510
460
J.
L y~ = 7463.
x Ty = [ 2195 ] .
cx Tx )- 1 =
12 2 · ].
b= [-
1810
36.24 [
-3,58
0.03] o.36
-0.0 1 .
O.Ol
dotyczących
liniowego modelu regresji Y, = f3o + /31Xr1 + f32X 12 + s, (a) Uzupełnić brakujące dane (wypełnić puste miejsca). (b) Zbad ać statys 1yczną is1otność ocen parametrów (to.os: = 12. 706: Io.os: z = = 4.303: lo.os:J = 3.182; to.os:4 = 2.776; Io.os:s = 2.571) (c) Obliczyć i z int erpretować współczynnik zm i en ności rcsztowcj V~ . (d) Obliczyć i zinterpretować współczynnik determi nacji R1 24. Na podstawie danych 1
7 50 50 480 [ 20 160
x Tx =
20]
160
.
1x Tx 1= 400.
XTy= (a)
Oszacować
cx Tx )- = 1
60
[1i~l
[
8
0.5
-4
- 0.3
]
o.os
2. 15
.
yTy =4843
parametry strukturalne modelu Y, = a 0 + a 1X.i + a 2 X 12 + s,.
(b) Obliczyć i zi nterpretować wartość współczynnika determinacji R 2 (c) Zbadać statystyczną i stotność otrzymanych ocen parametrów (to,o5:4 = 2.776,
fo.10:4= 2,132) (d) Zbudować 95 %-owe pr.tedziały ufności dla parametrów stru kturalnych. (e) Zweryfikować następujące hipotezy dotyczące parametrów strnkturalnych: • a = - 2,2. • 2a1 + a 1 =O, • ao+a1 + a 2 = 31. 1
25. W pewnej firmie postanowiono zbudować model wyjaśniający zm ienność wielwprowadzanego na rynek wyrobu (Y w tys. sztuk). Jako potencjalne zmienne objaśniające przyjęto X testowaną ce n ę tego wyrobu (w zł) zmieni:mą w kolejnych mies iącach sprzekości sprzedaży
1
-
daży,
X2 - fakt czy w danym miesiącu firma przezm1czała pewną stah1 k wotę na promocję i reklamę tego towaru X 2 = I, gdy firma ponosiła wydatki na promocję i reklamę, X2 =O, gdy w danym miesiącu wydatków takich nie ponoszono, X3 - śred ni ą ce nę podobnego wyrobu produkowanego przez konkurencję (w zł) Zebrane dane zamieszczono w tablicy 2.28. Tablic:a2.28
x,3
3
6 7
28.5
20
29.0
18
29.5
17
28.5
15
21
27.5 32.5
15 14
20 20
34.5
Il
20
Żcódło:dancumownc
W oparci u o zebrane dane obliczono współczy nniki korelacji liniowej międ zy zmiennymi, które przedstawiono w postaci wektora Ro (ws półczyn niki korelacji zmiennej objaśn i an ej z potencjalnymi zmiennym i objaśniającymi) i macierzy R (współ czyn niki korelacji między parami potencjalnych zmiennych objaśniających)·
-[-0.72] 0.54 . 0.38
Ro -
-[' 0.17 -0.37] I -0.82 I
R-
Stosując metodę Hellwiga. wybrać optyma ln ą kombinację zm iennych objaś n ia do modelu popytu (sprzedaży) (b) Oszacować parametry (strukturalne i struktury stochastycznej) modelu liniowego z wybranymi zmiennymi objaśn i ającymi. (c) Oce n ić zgodność modelu z danymi empirycznymi. (d) Zweryfikować s t atystyczną istotność ocen parametrów strukruralnych (ro.os: 3 = = 3. 182, t0.o5:4 = 2.776. 10.05 :5 = 2.571) i wyznaczyć dla ni ch 95 %-owy przedział
(a)
j ących
ufności.
(e) wyniki
Jeśli
dopasowanie modelu do obserwacj i jest dobre,
zinterpretować
otrzymane
2. Modelejednorównaniowe liniowe
(f) Zweryfikować
hipote zę, że
ponoszenie wyd<1tków na promocję i reklamę wyrobu zwicksza miesicczną s przedaż prLeciętnie o 4 tys. sztuk 26. W pewnym przedsiębiorstwie wielozakładowym budowany jest model zespo ło wej wydajności pracy ( Y - waność produkcji przypadająca na jednego zatrudnionego w tys. z ł ). Jako zmienne objaśniające przyjęto: X 1 - liczba zatmdnionych w zakładzie (dzies iątki osób), X 1 - techniczne uzbrojenie pracy (waność majątku trwałego w tys. zł na jednego zatrudnionego) Maj ąc dane dla wylosowanych 7 zakładów zawarte w tablicy 2.29
Tablica2.29
Zaktud
y, I x,1 42
38
31 29 27
25
7..r6dło:da11eumow ne
(a) Oszacować parametry strukturalne modelu liniowego
Y1
=
a0 +a 1 Xri +a2 X12 +
+s,. dopasowanie modelu do obserwacj i w oparciu o wartość współczynn ika zmienności resztowej V~ i współczynnika determinacji R 2 (c) Zweryfikować hipote zę, że przynajmniej jedna zmienna objaśniająca istotnie wpływa na zm i enną endogenicz ną (test F) (d) Zweryfikować st atystyczną istotność ocen parametrów strnkturalnych (ro.05:3 = = 3. 182, to.05;.i = 2. 776, to .055 = 2.447). (e) Zweryfikować (na poziomie istotności a = O.OS) hipotezę. że wzrost liczby zatrudnionych o I Oosób Uednostkę) powoduje spadek wydajności zes połowej o 1,4 tys. z ł 27. W pewnej firmi e postanowiono zbadać zal eż ność między indywidualną wydaj nośc i ą pracy nowo przyjętych pracowników ( Y -w sztukach na mi esiąc) a s ta żem pracy (X w miesi:1cach), wykształceniem pracownika (X 2) X1 =I, gdy pracownik sko ń czy ł szkołę zawodową, X 2 = O, gdy pracownik nic skończy ł szkoły zawodowej (nic ma pr1.ygotowania zawodowego) (b)
Ocenić
1
Tablica 2.30 Zakład
y1
15 16 18 21 22
IO
Żródło:daneumowne
W oparciu o podane w tablicy 2.30 dane i wi edz:1c,
6 XTX = 30 [ 5 (a)
30 200 20
5] 20 . 5
(XTX)- ' ~
że:
6 - 0.5 [ -4
- 0.5 0.05 0. 3
- 4 ] 03 3.
p:1rametry strukturalne modelu lini owego Y, = a 0 +a 1 X11 +a2Xr2 +
O sz acować
+e, (b) Zweryfikować s tat ystyczną i s t ot ność otrzy manych ocen parametrów (c) Oce ni ć dopasowanie modelu do obserwacji w oparciu o waność współczy nnika determinacji (d) Zinterpretować otrzymane wyniki (parametry strukturalne). 28. Pewien producent kosmeryków, roz prowadzający kosmetyki za pośrednictwem konsultantów. zbudował model wyjaśniaj
X 2 = I. gdy kon sultant
ukończy ł
X 2 = O. gdy konsultant nie
szko l e ń
cyklu
u czes tni czy ł
organizowanych pr.rez
flm1 ę,
w szkoleniach,
X3 - posiadania dodatkowego źród ła dochodów X 3 = I. gdy pracownik ma dodatkowe
źródło
X 3 = O. gdy pracownik nie ma dodatkowego Wykorzys tując
18. 14 (1.33)
,\"; = 0,9 17. Na le ży poddać
dochodów.
zestawione w tablicy 2.3 l dane, otrzymano )", =
rekty.
dochodów,
źródła
+
L 39x11 (0.11)
+ 3.89x, 2 (0.96)
R 2 ~ 0.9886.
model weryfikacji i -
~
nas tępujące
wyniki
l.90x, 3 • ( 1.05) Vr = 3, 19%.
o ile zachodzi potrzeba -
dokonać
jego ko-
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Tahlica2.31 Konsuhant
y1 21
27 25
36
IO
39
15
Żródło: daneumowne
29.
Mając na stę pujące
XTX =
dane:
8 50060 40060] .
[60
XTy =
60
400
560
160] 1340 . [1024
yTy=3624 1. Oszacować paramelry strukturalne modelu Y1 = ao+a 1X 11 +a2 X 12+e1 że macierz algebraicznych dopełnień macierzy XTX jest nastę pująca
[ 2.
Oc en i ć
120000 - 9600 -6 000
- 9600 880 400
wiedząc,
- 6000] 400 400
dopasowanie modelu obserwacj i obliczając wart ość
współczynnika z bi eż
n ości rp 2
3. Na poziomie i s totno śc i a = 0.05 zweryfikować nas tęp uj ące hipotezy parametrów modelu (a) że każdy z parametrów strukturalnych jest statystycznie istotny, (b) że jednostkowy wzrost X powoduje wzrost Y śre dni o o 2,5, (c) że suma wszystkich parametrów modelu jest równa 1O 30. W oparciu o poni ższe informacje:
dotyczące
1
X~ ~ ~. ~ [~1] I
. y 8 3 25 IO 3 29 l 15 4 32 I. O szacować parametry strukturalne model u liniowego Y1 = fJ 0 +f3 1 X11 +fhX 12+e 1• 2. Oce ni ć dopasowanie modelu do obserwacji w oparciu o wartość współczynnika determinacji R2 •
szacunku parametrów i zweryfikować następujące hipotezy parametrów: (a) przynajmniej jedna zmienna objaśniająca istotnie wpływa na z mi enną endogemczn:1, (b) wpływ każdej zmiennej objaśniającej na zmien n ą e ndogeniczną jest statystycznie istotny, (c) jednostkowy wzrost X 2 powoduje spadek Y ś rednio o 2,5 jednostki. (d) jednostkowy wzrost obu zmiennych objaś niających powoduje wzrost Y o około 5 jednostek. 4. S pra wdzić, czy reszty modelu (a) mają charakter losowy, (b) nie wykazują autokorelacji. (c) mają rozkład normalny (współczyn niki a do testu Shapiro-Wilka dla a = 0,05 i l i = 7: 0,6233, 0,3031, 0,401, 0,0000). 31. W pewnej firmie postanowiono zbadać zal eżność odsetka braków wytwarzanych pri:ez nowo prąjętych pracowników (Y w % li czby wytworzonych wyrobów) od: X 1 - stażu pracy pracownika (w miesiącach), 3.
Podać błędy śred ni e
dotyczące
X 2- płci
X 2 = 1 dla mężczyzn, X 2 =O dla kobiet Tablica2.32 Pracownik
Yt
X11
22
20 18 18 16
13
L
119
20
Żffidło: daneumowne
W oparciu o podane w tablicy 2.32 dane i
80 XTX = 10 [ 20
IO 5 5
wiedząc, że
20] 5 . 7
I Oszacować parametry strukturalne modelu liniowego Yr = a 1 X, 1 + a 1X 11 + c, i błędy średnie ich szacu nku. Zinterpretować otrzymane oceny parametrów strukturalnych.
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
2. Zwery fikować (na poziomie i stot nośc i 0.05) na s tępujące hipotezy dotyczące parametrów strukturalnych (a) żadna za zmiennych objaśniających nie wywiera istotnego wpływu na zmienną e nd oge ni czną (odsetek braków), (b) wpł yw s tażu pracy ( X 1 ) jest statystycznie niei stotny, (c) odsetek brnków wytwarzanych przez m ężczyzn jest przeci ętnie o dwa punkty procentowe większy ni ż prtez kobiety. 32. Na podstawie danych tablicy 2.33 Tublica2.33
'"
X11
I
.r,2
I
IO
I
IO
2
li
2
li
3
IO
3
4 5 6 7 8
l.:
13
18
4
8
23
6
5
25
7
7
30
8
4
30
9
5
160
4-0
60
Żródło:daneumowne
(a) Oszacować parametry strukturalne model u liniowego Y1 = ao + a1Xr1 +a2 X 1 2+ ponadto, że:
+ t 1 oraz błędy ś redni e ich szacunku, w i edząc (XTX)- 1 ~
[
16. 875 - 1.250 -1.400
- 1.250 0.100 0.100
- 1.400] 0.100 . 0.120
(b) Zweryfikować s tat yst ycz ną i st otn ość parametrów strukturalnych (c) Zweryfikować hipotezę, że suma współczynników regresji (a 1 + a 2) jest równa zern (d ) Czy reszty modelu maj ą rozkład normalny i nic wykazują a utokorelacji ? 33. W pewnej szkole wyższej postanowiono zbadać za leżność wyników w nauce studentó w (liczba punktów uzyskanych ze sprawdzianu w skali od I do IO - Y) od X 1 - liczby nieo becno ści na zajęc iac h , X 2 - liczby zadań rozwiązan yc h w ramach przygotowania do sprawdzianu Wylosowano 8 studentów - wyniki przedstawiono w tablicy 2.34
Tablica2.34
4.5
9.5
9.5 5.5
L
60,o
10
40
60
Żródło:dane umowne
(a)
+e
1,
parametry s1rukturalne modelu liniowego Yr = a 0 +a 1X11 +a2 X, 2 + dane zawarte w tablicy i wiedząc. że:
Oszacować
mając
xTx =
8
[
40 60
40
260 350
60]
350 500
(X TX ) - 1 =
.
1.875 [
- 0.40
0.25 0.10 - 0. IO
] 0.12
(b) Ocenić dopasowan ie modelu do obserwacj i (w oparciu o Ve i R2 ). (c) Zwe ryfi kować statystycz ną i stot ność otrzymanych ocen parametrów strukt uralnych (to.05:5 = 2,571, łu, 10: 5 = 2.015). (d) Zinterpretować parametry oszacowanego modelu. (e) Zbudować 95%-owy przedziały ufności dla współczynników regresji (a 1 i a 2 ) (f) Na poziomie istotności 0,05 zwe ryfikować następujące hipotezy: • że każda nieobecność obniża liczbę punktów ze sprawdzianu średnio o 2, • że każde rozwiązane zadanie zwiększa li czbę pu nktów pr.a:ciętnie o 2. 34. W oparci u o podane w tablicy 2.35 informacje Tablica 2.35 _l'r
36
40
45
46
53
55
62
63
5
IO
12
15
16
18
20
24
Ż ród ło:daneumown~
(a) Oszacować parametry strukturalne modelu liniowego Y, = a 0 + a 1X, + e1 (b) Ocenić dopasowanie modelu do obserwacji w oparciu o wartość współczynnika determinacji R2 (c) Zweryfi kować statystyczn ą istotność otrzymanych ocen parametrów.
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
(d)
losowego: l osowo ść reszt, brak autokorelacji , norreszt nasuwa podejrzenie, że wariancja skł ad nika losowego
Zbadać włas nośc i s kładnika
maln ość rozkładu. Czy c iąg jest niejednorodna? 35. W pewnej firmi e postanowiono zbadać zależność indywidualnej cy nowo przyję tyc h pracowników ( Y w tys. szwk mies i ęczn i e) od X stażu pracy w mi es i ącach , X 2 - wykształcenia X 2 = I, gdy pracow nik s kmk zy ł szkołę zawodową, X 2 =O, gdy nic ma wykształcenia zawodowego 1
wyd:1jności
pra-
-
Pmcownik
y,
17
23 26
28 30
10
Żródło:daneumowne
W oparciu o zestawione w tablicy 2.36 dane oszacowano parametry strukturalne modelu liniowego Y 1 = ao + a1 X11 + ct2Xr2 + E1 i otrzymano:
[
" ~ I~~], 3, 0
4
(XTX ) - I =
[
- 0,3 -3
- 0,3
0,03 0,2
-3 0, 2
] ,
2,5
I. Ob li czyć i zi nterpretować odchy lenie standardowe resztowe Se. 2. Obli czyć wart ośc i ws półczynnika zmienności resztowej Ve ornz współczynnika dc1em1inacji R 2 i w oparciu o nie ocenić dopasowanie modelu do obserwacji empirycznych. 3. Zweryfikować statys1 yczną i stot ność otrzymanych ocen parametrów struk!Uralnych (na poziomie i s totności 0.05 lu = 2. 776, na poziomie i stotnośc i O, IO lu = 2, 131) 4. Z int erpretowa ć parametry strukturalne oszacowanego modelu . 5. Zwe ryfi ko wać hipotezy· (a) że wydaj n ość pracownika zaczy nającego pracę (staż X = O) bez wykształ cenia zawodowego (X 2 = 0) wynosi ś rednio 10 tys. sz tu k/miesiąc, (b) że wydajność pracownika, który s kończy ł szko łę z awodową jest (przy takim samym stażu X 1) o 4,5 tys. sztuk mi es i ęcz ni e wyższa od wydajności pracownika, który nic 1
s kmk zy ł szkoł y,
(c)
że wpływ wy k sz t ałcenia
na wydajność pracy jest dwukrotnie si lniejszy
ni ż s tażu .
36. W oparciu o podany w tablicy 2.37 szereg czasowy, przedstawiający produkcję pewnego przedsiębiorstwa ceramiki budowlanej (Y w mln umownych jednostek ccgł o wych) w latach 1999- 2008 oszacowano l iniową fu n kcję trendu 67 : Y1 = a 0 + a 1t + e1 , gdzie I = I. 2, .... I O i otnymano:
a= [;:;
l
s; =
1.825,
D(ao) = 0.923.
D(ai) = 0.149.
rp 2 = 0.028.
Tablica2.37
S·1 1999
4.7
2000
7.2
0.8
2001
9.5
0.3
9.7
-0.2
2002
12.2
-0.2
2003
14.7
0.3
17.2
-1.2
-1.7
2005
2006
24
2007
23
2008
29
i::
159.5
10
22.2
1.8
24.7
- 1.7
27.2
1.8
159,5
0,0
Żródło:dancumo"·nc
(a) Zweryfikować stat ystyczną istotność ocen parametrów strukturalnych (b) Zbadać własności reszt: lo sowość, brak autokorelacji, homoskcdastyczność , normal ność rozkładu
37. W pewnej małej fi rmie oszacowano (w oparciu o podane w tablicy 2.38 dane) parametry strukturalne modelu liniowego Y1 = a 0 +a 1X, 1+a 2 X,2 +e1 • który ma wyjaśnić kształtowanie s i ę odsetka braków wytwan.:anych pn.:ez nowo przyjętych pracowników (Y w % wytworzonej produkcji). Jako zmienne objaśniające przyjęto· X 1 - staż pracy (miesiące). X2 - liczba dni prtcpracowanych w miesiącu w warunkach szkodli wych dla zdrowia (hała s) Otrzymano:
a~ [~i~]. 1.8
(XTXJ- 1 ~
[
1.65 - 0.25 - 0.8
- 0.25 0.05 O. I
- 0,8 ] O. I . 0.55
67 Funkcje trendu są przedmiotem rozdziału 4. Najogólniej zmierm;\ objaśniającą jest w nich tzw. zmienna 1. k16rn najczęgc iej prt.yjmuje wanuki kolejnych lic zb naturnlnych. odpuwiad:ti•icych kolejnym okresom czasu
c~suwa
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
Tablica2.38 Pracownik
)'/
18 16
10
7
Żr&lło:dancumo"·nc
~
(a) Zweryfikować statystyczną istotność otrzymanych ocen parametrów (10 2.776) (b) Ocenić dopasowanie modelu do obserwacji. 38. W oparciu o zawarte w tablicy 2.39 dane: Tablka2.39
)'1
13
16
18
20
21
7
10
25
27
Żródło:daneumownc
(a) Oszacować parametry strukturalne linowej fu nkcji regresji Y1 = ao + a 1 X 1 + E 1. (b) Zweryfikować statystyczną i stotność ocen parametrów strukturalnych (c) Ocenić dopasowanie modelu do obserwacji w oparciu o wartość współczynnika determinacji R2 • (d) Zweryfi kować hipotezy d o1yczące składnika losowego: l osowość, nonnalność rozkładu, brak autokorelacji. Ile wynosi współczynnik autokorelacji reszt? Czy zasadne jest badanie homoskedastyczności? 39. W oparciu o podane w tablicy 2.40 dane o wielkośc i produkcji pewnego prLcdsicbiorstwa (x, w tys . sztuk) i o jednostkowym koszcie produkcji (y1 w tys . zł) oszacowano parametry liniowej funkcji regresji y1 = ao + a 1x, + s, i otrzymano
a~
[
JO.O l· -0.6
(X' X)- '
~
[
I.OOO -O.OSO
- O.OSO] 0.003
(a) Zweryfikować sta tyst ycz ną istotność ocen parametrów strukturalnych. (b) Podać 95%-owy przedział ufności dla współczynnika regresji (c) Zweryfikować hipotezy dot yczące sk ładnika losowego, a mianowicie że • nie występuje autokorelacja, • reszty mają rozk ład losowy. • rozkład reszt jest rozkładem normalnym (współczy nniki do testu Shapiro-- Wi lka dla n = 6 wynoszą: 0,6931; 0,2806; 0,0875).
Tab lic:t2.40
27 24
12
22
16 20
28
Żródło: dane umowne
40. W oparciu o zawarte w tabli cy 2.4 I dane o wydatkach na od zież i obu wie ( Y w dzi es iątkac h zł na osob ę mi es ięczni e) i dochodach (X w setkach zł na osobę mi esi ęcz ni e) w pewnej grupie rodzin oszacowano parametry modelu liniowego i otrzymano:
91
- 0.026 ] (,xT,xi- • ~ [ - 0.438 0.026 0.002
= 9. 60 + 0, 8Xr .
(rodzi na)
- 1.80 13
- 1.40 1 10
2.40 0.80
20 23
- 1.20 J,20
18 20
16
0.60
I.OO 0.40 - 2.00 0,00 Źtódło: danc umownc
(a) Zweryfi kować stat ys t yczn ą i s t o tn ość otrzymanych ocen parametrów. (b) Zbudow ać 95 %-owy przed zi ał ufn ośc i dla ws pó łc zy nnika regresji. Zwery fikować hi po l ezę , że wzrost przec i ętnego mi es i ęcz n ego dochodu o j edn ostkę ( 100 z ł) powoduje
2. Modelejednorównaniowe liniowe
wzrost wydatków na odz i eż i obuwie o 12 zł ( 1,2 dziesi<1tki z ł ), czyli hipo tezę Ho: a1 = J. 2wobec H 1 :a 1 f. 1. 2. (c) Zweryfikować hipotezy do tyczące składnika losowego (reszty modelu podano w ostatniej kolumnie tablicy 2.41 ), a mianowicie że: • nie występuje autokorelacja. • reszty mają rozkład losowy, • rozkład reszl jest rozkładem nom1a\nym (współczynniki do testu Shapiro- Wi lka dla 11 = 10 wy n oszą : 0.5739; 0,3 29 1; 0,2 141; 0,1224; 0.0399) 41. W oparciu o podane w tablicy 2.42 dane oszacowano parametry strukturalne modelu liniowego i otrzymano
4.0
l
a= [ 1.26 · W tablicy podano
(X TX ) - '
~
także wartości
0.5000
[
-0. 0250
- 0,0250 ] 0.0015
.
s; = 6.16.
teoretyczne i reszty modelu
Tablica2.42
14
11.56
- 0.56
14.08
- 0.08 0.92 - 0.38
15
14.08
13
20
15
22
20.38 22.90 22.90
29 10
- 0.90 -0.90
24.16
1.84
26.68
2.32
30
27.94
2.06
24
30
34.24
- 4.24
26
33
- 3.76
0,00
12
32
48
36.76 44.32
l.:
200
300
J00,00
3.68
Żródło: dancumowne
(a) Zweryfikować sta t ys t ycz ną istotność ocen parametrów struktural nych. (b) Ocenić dopasowanie modelu do obserwacji w oparciu o wartość współczynnika zbie ż n ośc i
2
({! .
Sprawdzi ć, czy są s pełni one założen ia KMNK dotyczące s kładnika losowego wariancji i brak autokorelacji. (d) Zweryfikować h ipotezę, że rozkład reszt jest rozkładem normalnym (ws półczy n niki do testu Shapiro-Wilka dla 11 = 12 sq równe: 0,5475: 0,3325; 0,2347; 0,1586; 0,0922; 0,0303) 42. Za pomocq ważonej MNK, na podstawie poniższych danych, oszacować parametry modelu li niowego : y1 = f3o +f3 1 x, 1 + {3 2x,2 +e1, przyjm ując że wariancje składników losowych są proporcjonalne do kwadratów reszt uzyskanych w estymacji za pomoq KM NK
(c)
stałość
5.7
2 3
14.0 12.5
6
19.5
5
29.2
10
23.6
7
8
7
28.9
8
9
13
29.3
Żródło:daneumowne
43. Za pomocą ważonej MNK, na podstawie poniższych danych, oszacować parametry modelu liniowego : y, = {30 + {3 1 x, 1 + {3 2 x, 2 +s 1• przyjm ując że wariancje s kładni ków losowych są proporcjonalne do kwadratów reszt uzyskanych w estymacji za po m ocą KMN K. Tablica2.44 I
X11
Xr2
)'t
8.2 17.1 19.4
27.7 43.6 43.2 7
IO
48,9
Żródło:dancumownc
2. Mcxlelejednorównaniowe liniowe
44.
Wykorzystując pon i ższe
dane Tablica2.45
o
10.5
3
17.0
7
10
38,4
7
34.4
9
13
48.0
16.6 27.6 25,l
6 7
8
żródło:
parametry modelu liniowego: Yr = f3o + f31x11 + fht 12 + e1 , losowe tworzą proces autoregresyjny rzędu pierwszego dane:
oszacować s kładn i ki
45.
przyjmując i ż
Wykorzystując poni ższe
Tablica2.46
9,2
3
I
18.0
o
10.6 14.6 7.6
22.4 17.9 Żródto:daneumowne
parametry modelu liniowego: y, = f3o + {J 1x11 + /]ix 11 + ei. losowe twom1 proces autorcgresyjny rzcdu pierwszego.
oszacować
skł adn iki
przyjmując że
3 Modele nieliniowe
3.1. Charakterystyka wybranych modeli nieliniowych W rozdziale omówiono budow ę mode lu ekonometrycznego na przykład z i e jednorównaniowego modelu liniowego s t a n ow iącego podstawę rozważań eko no metrii. Przystępując do budowy modelu zakładano, że zależn ość mi ędzy zmiennymi ma charakte r liniowy (za ło że ni e to w mian; możliwośc i sprawdzano za pomocą wykresu) i pominięto etap doboru postaci analitycznej modelu W praktyce jednak nie zawsze za l eżnośc i mi ędzy zmiennymi (zjawiskami) m aj ą charakler lin iowy, bardzo często są to zal eż ności nieli niowe. Dlatego - po dokonaniu wyboru zmiennych objaśn i ających mode lu - należy ustali ć postać zależności między zmiennymi, czy li ustalić , jaka funkcja matematyczna będz i e najlepiej od zw ierciedlać tę za l eżność (w jaki sposób zmienna Y za l eży od zmie nnych
X1 .... , XK). Na ogół nie jest to zadan ie łatw e. Proble m doboru postaci funk cyj nej modelu jest stosunkowo prosty tylko w przypadku model u z j ed ną zmienną objaśniająq . Zadanie wyboru komplikuje s i ę w sposób istotny, gdy w modelu wyst ę puje więcej n i ż jedna znuenna PrLyk ł ady dotyczące doboru postaci modelu i jego estymacj i poprzedzono omów i e~ niem najczęściej, naszym zdaniem, stosowanych w badaniach ekonomicznych funkcji, przebiegu ich zm i e nn ości i interpretacji parametrów. Funkcja wykładn i cza. Funkcja 1a jest często stosowana jako model tendencj i rozwojowej (w którym jedy n ą zmienną objaś ni ającąjes t z mienna czasowa r - por. rozdział 4) lub też jako czynnik wykładni czy w innej fu nkcji , np. potęgowej . Może o na przyjmować różn e postaci, np (3.1) a1 > O. Y = ao ·a{ . Ocena parametru a 0 interpretowana jest (podobnie jak w przypadku funk cj i liniowej) jako poziom zmie nnej endogenicznej Y , gdy X = O. Natomias1 a I jest charakterystyczną dla tej funkcji (st ał:1) stop11 zmian zmiennej objaśn ian ej ; wzrost X (1) o I (je d nostkę) powoduje zm i anę zmiennej objaśn i an ej o (a I)· 100%. Jak widać na rys unku 3. 1 - większe od I wart ości parametru a 1 św i adczą, że wraz ze wzroste m zmennej objaś ni ającej X zmienna objaś n iana Y roś ni e , natomiast wartości a mniejsze 1
1
-
-
1
od I (ale zawsze dodatnie) św iadczą, że wzrostowi zmiennej spadek wartości zmiennej obj aśn iancj 1 .
Rysunek3. l. Wykres funkcji wykładniczej Y =
W praktyce stosowane 3.2 i 3.3) o postaciach 2
są tak że
Y = e<>o+a,x y =ao. e"1x
funk cje
wykładnicze
objaśniaji1cej
O'Q •
af
(pr1:edstaw ione na rysunkach
lub alternatywnie Y = exp(ao
Rys un ek 3.2. Funkcja wykładnicza Y = „oo+a1X
towarzyszy
+ 01 X),
(3 .2) (3.3)
Rysun ek 3.3. Funkcja wykładnicza Y =
ao. e"tX
1Na przykład a 1 = l . 13 infonnuje. że wraz ze wzros1em X o I. Y zmienia się średnio o { 1.1 3 - l ) 100 = 13%, n:i1omias1a1 = 0.87 świadczy. że wzros10wi X o I towarzyszy zmian:i Yo (0.87 - 1)· IOO = =
- 1 3%(awięcspadck)
2w e wwrach tych zam iast podstawy logarytmów naturnlnych e rytmówdziesiętnych
:>:::
2.7183 można u żyć podslawy log~
3.1. Charakterystyka wybranych modeli nieliniowych
W przypadku funkcj i danej wzorem (3 .2), gdy X = O, )' = eao, natomiast sta ła stopa zmain Y jest równa (e" 100%. Zau ważmy, że w tym przypadku wzrostowi X towarzyszy wzrost Y ,jeże li a 1 > O, natomiast Y wykazuje t ende ncj ę spad kową.jeżeli a < O W funkcji wy rażo nej wzore m (3.3) poziom Y, gdy X = O jest równy ea 0 , a stopa zmian jest równa (ea 1) · 100% 3 Funkcja potęgowa. Funkcja ta jest j edn ą z najczęśc i ej stosowanych, gdyż nadaje s i ę do opisu różnego rodzaj u zależnośc i nieliniowych (a także liniowej). Obrazuje to rysunek 3.4. Funkcja potęgowa jednej zmiennej ma post ać: 1
-
\ )
1
1
-
y =ao·X"1. Oce nę
parametm a 0 interpretuje
(3.4)
si ę
jako poziom zmiennej endogenicznej Y, gdy zmienna obj aśni:1jąca X p rąjmuj e wa rt ość l (por. rysunek 3.4- wykres funkcj i potęgo wej przec hodzi przez punkt o współrzędnych ( I : a 0)). Natomiast przebieg funkcji za l eży od parame tru a 1, który jest (stał ą) e la s t ycz n ośeią 4 zmi ennej e ndogenicznej Y wzg l ęde m zmie nnej objaśniającej X i oznacza w przybliże ni u proce ntową z mianę Y s powodowan ą z m ianą X o I %.
R y.~unek
3.4. Wykres funkcji
potęgowej
W zastosowaniach bardzo częs to korzysta s i ę iakże z fu nkcji nych o postaci
po tęgowej
wielu zmien(3.5)
3 zauważmy (n;i co jeszcze zwróci my uwagę w następnym punkcie. prly omawianiu estymacji tych funkcj i). że niezależnie od prLyję1ej postaci funkcji wykładniczej stopa zmi;in i wyraz wolny zawsze są takie same. Warto 1akże dodać. że w edytorze wykresów w Excelu funkcja w postaci (3.3).j;iko wyk ladnicza funkcja trendu. jest dopasowywana do szeregu czasowego 4 Stała e lastyczność (podobnie: jak st;i/;i stopa zmian w przypadku funkcj i wykł;idniczej) jest char.iktcrystyczną cechą funkcji potęgowej: dla wszystkich in nych funkcji elastyczność zależy od wartoki zmiennej objafoiającej. a pon;idto tneba ją ob l iczyć. podczas gdy w przypadku funkcj i potęgowej jest jej wykł;idni kiern
W tym przypadku a 0 jest poziomem zmiennej endogenicznej Y, gdy wszystkie zmienne o bj aś niające przyjmą wartość 1 (X = X 2 = = X K = I) , natomiast . K ) są st ał ym i elastycz no śc iami Y względe m poszczególparametry
Y =a0 +a 1 log X.
X > O.
(3 .6)
gdzie a 0 , podobnie jak w przypadku funkcji potęgowej, jest poziomem Y, gdy X = l. Funkcję tę stosuje się, jeżeli jednostkowym przyrostom zmiennej objaśniającej towarzyszą coraz mniejsze przyrosty zmiennej objaśnianej (por. rysunek 3 . 5)~
Rysunek3.5.Wykrcsfunkcjilogarytmic7.ncj
Wielomiany. W zastosowani ach praktycznych - obok wielomianu stopnia l (funkcja liniowa) najczęściej stosowane są· Wielomia n stopnia 2 (parabola) (3 .7)
którego parametry nie mają interpretacji ekonomicznej, a której przebieg z m ie nno śc i jest dobr1.:e znany z elementarnego kursu matematyki. Funkcja ta znajduje zastosowanie m.in. jako model tendencji rozwojowej, a tak że w ekonometrycznej anali zie kosztów Wielomia n stopnia 3 (3 .8) Mo że
on przyjmować różne kształty, w zależności od wartośc i parametrów; jedną z częściej stosowanych w praktyce postaci (np. do opisu zależności kosztów ca ł kowi tych od wielkości produkcji; wówczas na parametry nałożon e są następujące warunki ao. a1. a3 >O; a2 < O; ai < 3 · a1 · a3) przedstawiono na rysunku 3.6. 5 Funkcję t ę można zastosować np. do opisu zależności indywidualnej wydajności pracy pracowników
od
stażu
pracy - zwykle wraz ze wzrostem
stażu wydajnośt
pracy
rośnie,
ale cornz wolniej
3.1. Charakterystyka wybranych modeli nieliniowych
Rysunek 3.6. Wykres wielomianu stopnia 3 przy podanych warunkach dla parametrów
Funkcja hiperboliczna (3.9)
Jej
możliwe
przebiegi przedstawiono na rysunku 3.7 (w za leżn ośc i od parametn1 a
1 )
-~ Rysunek3.7. Wykres funkc:jihipcrbolic:zn ej
wydaje. funkcja 1a stosowana jes1 częśc iej , gdy a 1 > O, np. jako funkcja wyrażająca za leżność jednostkowego kosztu produkcji od wielkośc i produkcji lub do opi su zależ ności międ zy popytem na jaki eś dobro a jego ce n ą. I nterpre tację ma tylko wyraz wolny - asymptota pozioma. Wraz ze wzrostem X, Y zb li ża s i ę do tej asymptoty (ro ś nie , gdy a 1 jest ujemne. maleje , gdy cr 1 jest dodatni e) W ekonometrycznej analizie popytu konsumpcyjnego wykorzystuje s i ę m.in. funkcje TOrnquista - szwedzkiego ekonomisty. który na podstawie badań dotyCZ<1Cyeh zależności między dochodami konsumentów (X) i popytem (Y) na różne dobra zaproponowat kilka fu nkcji. Szerzej funk cje te omówiono w podrozdziałach 3.3 (estymacja) i 6.2; w tym miejscu ograniczono s i ę do przedstawienia ich postaci analitycznych i pr.tebiegów z mienności (pomijając ekonomic zn ą interpretację parametrów) I f1mkcja Tiirnq11ista Jak
się
aX Y= - - .
X +#
a>O.
f3 > o.
(3 .10)
Rysunck3.8. I fonkcja TUmqu isla
Jej przebieg przeds1awia rysunek 3.8. Y = a jest asymplO l ą poziomą tej funkcji, tzw poziome m nasycenia, natomi asl X = -{J jest asymptotą pionową wykresu funkcji li funkcja TOrnq11ista : y ~
a(X-y)
--x+P'
a > O.
> o.
y
(3 .11 )
gdzie parametry a i {J mają interpretację analog i cz n ą jak w I funk cji, natomiast y jest poziomem X, przy k16rym pojawia się objaśniane zjawi sko (Y) (por. rysunek 3.9 z rysunkiem 3.8).
Rysunek 3.9. [[funkcja Ttlmquista
Ili funkcja TOrnq11ista
Y =aX(X - y) _
x +µ
a > O,
/3 > 0.
y
> o.
(3 . 12)
W tym przypadku parametru a nic intcrprclUjemy. {J jest asym p lO t ą pi onową funkcji, y - podobnie jak w li funkcji - poziomem X, przy którym pojawia się objaśniane zjawisko Y (por. rysunek 3.10)
3.1. Charakterystyka wybranych modeli nieliniowych
Rysunck 3.IO. lll fu nkcja Tfimqu isla
Rów n i e ż
w analizie popytu stosowana jest funk cja
wy kładnic za
z
odwrotnoś ci ą
o postaci Y =e"'+fl· i.
a> O.
I
f3 < Olubaltemarywnie Y =exp(a + fJ · x), (3 .1 3)
k1órej przebi eg z m ienn ośc i (prty przyję tyc h założe niach dotycząc ych parametrów) przedslawiono na rysunku 3.11. Funkcja ma asy m ptot ę poz i o mą (poziom nasycenia) Y = e"', natomi ast X = -~ jesl współrzędną punktu przegięcia : prty X = -~ . y = e"'- 2.
Rysunek 3.11 . Funkcja wykład n icza z odwromoiic ią
Funkcja wykł adn i cza z od wrotn ośc i ą n a l eży do fu nkcj i „5-ksztaltnych" (sigmoidalnych) Do tej grupy nal eży także : runkcja logistyczna o postaci (3 .14) i przebiegu zmienn o śc i przedstawionym na rysunku (3 . 12)6· a (3. 14) y = I + f3 . e- yx . a. {3. y > O. 6
A 1 akżekrzyweGompercza
Funkcja ta stosowana jest m.in. jako funkcja trendu (ze zmi enną obja ś niając ą r). Jej w łas n ośc i szczegółowo omówiono w pracy L26] . I nte rpre tacj ę ma tylko parametr a - jest to asy mptota pozioma (poziom nasycenia); najogólniej trend logistyczny opisuje dobn.:e zjawiska. w rozwoju których w y raź ni e m oż na w yodrębni ć t rą etapy: I - bardzo szybki wzrost li - wzrost coraz wolniej szy, Ili - stabilizacja na poziomie bli skim poziomowi nasycenia a
ln{Jlr
Rysu nek3.12.Funkcjalogistyczna
Na zak o ńcze ni e jeszcze raz pod kreś lmy, że omówiono jedyni e funkcje n aj częściej stosowane w badaniach ekonomicznych; w konkretnych przypadkach stosowane mogą być równi eż inne funkcje. Co wi ęc ej. wrnz z rozwojem techniki komputerowej i m oż l iwości obli czeni owych (j eś li chodzi o es t y m acj ę ich parametrów) liczba tych funkcji ro ś ni e . Może s i ę także o kazać , że do opisu zal eż n ośc i mi ęd zy zmiennymi lub tendencji rozwojowej j a ki egoś zjawi ska nal eży u żyć kilku funk cji o różnyc h postaciach, dz i e ląc szereg empiryczny na segmenty. Pos t ać an alit yczną modelu (czy li funk cj ę m a te m at yczn ą najlepiej o pi s uj ącą ba daną zal eżność) m oż na dobrać kilkoma sposobam i· I. W przypadku modelu z j edn ą zmi enn ą objaś niającą najł atwiej jest zastosować anali zę g rafi cz ną rozrLutu punktów empirycznych na ukł a d zie współrLęd nyc h (taki wykres może być łatwo wykonany w Excelu, wystarczy zaznaczyć obszar z danymi i uruch o m ić kreator wykresów, wy bi eraj ąc jako typ wy kresu wykres punktowy). J eże li w modelu wys t ę puj e kilka zmi ennych o bja ś niających , moż na ana lizować graficzni e za l eż n ość mi ęd zy zmienn ą o bj aś nianą (e ndog eni czną) a k ażdą zmienmi obja ś ni ającą 2. Bardzo częs to k orąsta s i ę z apri orycznej wiedzy o typi e zw i ązku , który może podpow iadać bąd ź teoria ekonomii7 , bąd ź te ż do g ł ębna z najomość praw idłowośc i k sz tałtuj ącyc h badane z w iąz ki . Wykorzystanie tej z n aj o m ośc i (wiedzy), oczy wi ście, nie zwalnia badacza z obowiązku sprawdzenia, czy w ty m przypadku wiedza ta znajduje potwierdzenie. 7Teoria 1a mówi. jakie funkcje s1osowane są do opisu różnych problemów empirycznych. np. funkcji pnxhikcji. funkcji popytu. funkcji kosztów; problem ten szer1..ej omawiany jesc w kolejnych rozdziałach
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
3. Metodą prób i błędów, polegającą na tym, że do zebranych danych empirycznych dopasowuje s i ę. kil ka funkcji o ró ż n yc h postaciach analitycznych, a n astęp ni e wybiera najl epszą w oparciu o wnioski z weryfikacji wszystkich modeli 4. W przypadku modeli tendencji rozwojowej (lrendu) do wyborn postaci analitycznej mo żna wykorzystać analizę przyrostów - analizuje si ę przyrosty zmiennej objaś n i anej przypa dające na jednostkę przyrostu zmiennej objaśniającej 8 . Mianowic ie, jeże li jednostkowym przyrostom zmiennej o bjaś nian ej odpow iadają statystyczni e stałe (nic wykazujące tendencj i do wzrostu lub spadku) • pierwsze przyrosty absolutne bqy1 = Yr - y, _ to w ła ściwa jest funkcja liniowa. • drugie przyrosty absolutne .6.2)'1 = .6.1)'r - .6.iYr-1 (czyli przyrosty pierwszych przyrostów), to odpowiedni jest wielomian stopni a 2, trzecie przyrosty absolutne - wie1
,
Yi+I _ Yr .Ó.)'i . Yi+I . lomian stopnia 3 itd. , • przyrosty względne - - = lub stopy zmian , 10 w łaśc i wa jest y, y, Yr funk cja wykładnicza. Przypomnijmy, że jednym z za łożeń MN K jest liniowa za le ż ność mi ędzy z mienną e ndoge ni czn ą i zmiennymi objaś n iaj<1 cy mi. Stąd ze względu na wybór metody estymacj i modelu wśród modeli nielin iowych wyróżnia się I. Modele l nmsformowalne do postaci liniowej (linearyzowalne). czyli takie. które za po m ocą pewnych prze k ształceń dają s i ę przedstawić w postaci lini owej; po transformacji do postac i liniowej ich parametry można szacować za pomocą MNK; te można dalej pod zieli ć na: a) nieliniowe względem zmiennych, liniowe względem parametrów; b) nieliniowe względem zmiennych i parametrów. 2. Modele nieliniowe w ści słym sensie (śc i ś l e nieliniowe), dla których nie istnieje przeksz tałceni e liniowe ; do estymacji parametrów tych mode li n a le ży stosować techniki estymacji ni eliniowej Es t y macj ę model i linearyzowal nych omówiono w podrozdziale 3.2, estymacja modeli nielini owych w śc i s ł y m sensie jest przedmiotem podrozdziału 3.3.
3.2. Estymacja MNK modeli transformowalnych do postaci liniowej Przystępując do estymacj i modelu nieliniowego, nal eży rozpoznać rzeczywistą naturę zakłóceń losowych: czy jest ona addytywna, czy multiplikatywna i stosownie do tego rozpoznania ustalić sposób nałożenia na funkcję matematyczną za kłóceń losowych (e1 ) Mianowicie zakłóce nia losowe mogą być nał ożo n e: • jeś li amplituda wahań losowych jest s t ała - addytywnie: +s 1 , • j eś li odchylenia losowe są proporcjonalne do poziomu zmiennej objaśnianej (Y) - muhiplikatywnie (przez po mnożen i e), przy czym są dwie mo ż li wośc i: x e1 lub xer' (x IO' •).
Sw funkcji 1rendu zmienna objaśniająca (I) wzrasta zawsze o jednos1kr:. na1omiast w modelu regresji zmianyzmiennych obja ś niającychmogąbyć różne
Z1.zwyczaj stosuje s ię tę dru gą możliwość, bowiem po sprowadze niu do postaci li niowej za kłóceni e losowe ni c ulega tran sformacji (na co jeszcze zwrócimy uwagę w stosownym miej scu)
3.2.1. Modele liniowe względem parametrów Mode l Y = f( X. a ) jest liniowy wzg l ęde m parametrów 9, j eże li z mi e nną endogeni cz ną m ożna prze d s tawić jako liniową funkcję jednoznacznych przek sz tałce1l zmiennych objaś niającyc h X, prt.:y czym współczynniki tych prze k sz tałceń są znane, czyli model można zapisać w postaci : K
Y = Lai Xi =ao+a1X1 + .
. +aK XK.
(3. 15)
j =O
gdz ie: (3. 16) Zatem zmienne pomocnicze X) są pewnymi funkcjami ( przekształceniami) oryginalnych zmiennych objaśniających X1, a mode l (3. 15) nazywany jest pomocniczym modelem liniowym P:1rametry struktural ne modelu pomocniczego (3.15) szacuje się za pomocą MNK (3. 17) prt.:y czy m Xjest maciert:ą obserwacji pomocniczych zmiennych objaśniających, a y wektorem obserwacji na zmiennej endogenicznej Dla modelu po mocniczego szacuje s ię na s tępnie parametry struktury stochastycznej, model pomocniczy poddaje s i ę. weryfikacji i j eże li weryfikacja wypadnie pom yś lni e , to przyjmuje s ię , że również oryginalny model jest dobrze dopasowany do obserwaCJI. Spośród omówionych wcześniej modeli nieliniowych do mode li liniowych wzg l ę. dem parame trów nal eżą m.in.: model hiperboli czny, wielomiany i mode l logarytmiczny. W tych modelach zakł óce ni e losowe nakłada s i ę zazwyczaj addytywnic (d odając).
Przykła d 13. W pewnym przeds iębiors twie produkcyj nym badana jest zależność mi ę dzy jednostkowym kosztem produkcji i wie l kośc ią produkcji. Zebrane informacje przedstaw iono w kolumnach I i 2 tablicy 3.1 Należy·
(a) (b) fikacji
Ustalić pos tać a nalit yczną Os zacować
modelu. parametry modelu kosztów jednostkowych oraz
dokonać
jego wery-
9 Dctinicje modeli zaczerpnięto z pracy {341: na tej pracy opierano się także omawiając estymację tych modeli
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
Tabli ca3.1
O.O<
58
0.05 O.IO
25.0
625.00
1450.0
59.9
- l,9
3.6 1
28.7
823.69
20.0
400.00
1060.0
50.9
2.1
4.41
23.7
561.69
5.7
32.49
IO.O
100.00
350.0
32.9
2.1
4.41
O.IO
32
IO.O
100.00
320.0
32.9
-0.9
0.81
2.7
7.29
0.20
23
5.0
25.00
115.0
23.9
-0.9
0.81
-6.3
39.69
0.25
21
4.0
16.00
84.0
22.1
- l.1
0.40
20
2.5
6.25
50.0
19.4
0.6
0.36
- 9.3
86.49
0.50
19
2.0
4,00
38,0
18,5
0.5
0.25
- 10.3
106.09
1.21
- 8.3
68.89
I.OO
17
I.O
I.OO
17.0
16,7
0.3
0.09
- 12.3
151.29
2.00
15
0.5
0.25
7.5
15,8
-0.8
0.64
-14.3
204.49
4,64
293
80.0
1277,50
349 1,5
293,0
0,0
16,60
0,0
2082,10
7..ródło:opracowaniewła.
Rozwiązanie. Aby wybrać postać ana l itycz n ą modelu , sporządzono wykres (naniesiono obserwacje na układ wspólrtędnyc h ), który przedstawia rysunek 3.13.
60 •
~ ~
50
i::
i Rysuuek 3. 13. Zależność kosztu jednostkowego od wielkości pro· dukcji
20
'
1
••••
10
0,5
1,5
produkcja(tys.sztuk)
Rozrzut punktów empirycznych wskazuje,
że
do opisu badanej
zależności można
wykort:ystać hiperbo l ę (3.9) 10 , po uwzględnieniu zakłócenia losowego
Yr =ao+ai
I
X, +t,.
IO Podobn y przebieg ma funkcja pot ęgowa o ujemnym współczynniku a 1: z prowadzon)•ch od 1;11 bad:ui empir)'Cznych wiadomo. że w analizie kosztów stosowana jest m.in. hiperbol;!
Aby
os zacować
jej
para~etry,
wprowadzamy
zmienną pomocniczą
X, =
Jego parametry stmkturalne oszacujemy
według
_
I
x2 :
I'·
·'.'
l
i„
I =
]
'·
wzom (3. 17). przy czym:
·~'. '
-
y ~
X2
[
[ ~;] :
y„
I
I
(X,#
I
I
X =
XI 1
=fa O) ; pomocniczy model linmwy ma postać 11 :
x„
XTX i wektora XT y odpowied nie macierze lub korzystaji1c z gotowych wyprowaobliczenia wykonując w tabeli. Zatem:
Tak j ak w przypadku modelu liniowego. elementy macierą można obliczyć mnożąc
dzonych wzorów
(poniżej),
I
II ] .
~ x„
l] [;:; ]~ [ ~y,J x„
y„
Lx,
Obliczenia pomocnicze zawarte są w kolumnach 3-5 tablicy 3. 1. Zatem wektor ocen parametrów strukturalnych jest równy 12
a =[~~ 1 2~~.5r [3;;~_5]=63 75·[ 1~~~-S -~~] [3;;~.s]=[ 1 ~:~] 1
1
Oszacowany model
pn.:yjął pos tać:
5'r
= 14.9 + 1,8_!_ X1
l I Zal c 7.ność nieliniowa w u k ładzie współrzędnych (X: Y) będzie za l c;\;n ością l i n iową w ukladzic ( :k-: Y) 12Jd li obliczenia wykonujemy z pomocą zwykłego kal kulatora. dobrLejest podzielić prLez wyznacznik macierzy x Tx (czy XTX) na końcu. co zapewni większą dok!adność obliczeń. Mała dokładność obli czeń może bardzo znieksziałci ć wyniki. I Jak np. w przypadku szacowanego modelu zaokrąg l enie elementów
l
· · po pnecmku . [ 13 :21 . a zaokrąglenie do 2 miejsc po pn ecinku macieny (X- T x- i - l do 3 m1eJSC dałoby a = 3 17
dałoby wręcz absurd~lne wyniki a = [ ~;:~ 3 ]
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
Do obliczenia parametrów struktury stochastycznej przydat ne tycznc13, poniżej obliczono przykładowo kilka:
5'1
będą wartości
teore-
= 14.9+ 1.8 25 =59,5,
f z = 14,9 + 1.8 20 = 50,9.
5'10
= 14.9 + 1.8 0,5 = 15, 8.
Wszystkie wartości teoretyczne zestawiono w kolumnie 6 tablicy 3. 1. a w kolejnych kolumnach tej tablicy obliczono reszty (e 1 = y1 - ) •1 ), ich kwadraty oraz odchyleni a od średniej i ich kwadraty. Zatem:
s; = ~ v~ 2
rp =
0 2() = 7 075 a
-·
16. 6 = 2.075.
1. 44 _ · 100 = 4.92 %. 29 3
=
2~~~~l = 0 .008, [ ·
0.20039 - 0.01255
S, =
jDill =
S• =
IO = 29 .3.
1.44.
293
2
R =I - 0. 008 = 0,992.
- 0,0125 5 ] = [ 0,41581 0.00157 - 0.02604
- 0.02604] 0.00326 ·
D(a 0) = )0.4 158 1 = 0.645. D (a,) = )0.00326 = 0.057 Wartości
parame1rów struktury stochastycznej świ adczą, że dopasowanie model u do obserwacji jest bardzo dobre (tylko oko ł o 0,8% zmi e nnośc i zmiennej endogenicznej - kosztu jednostkowego - nie jest wyjaśn ione przez model (rp 2 ); parametry strukturalne
są
statystyczn ie istotne (t(a 0 ) =
= 2.306);
~.:-:5
= 23.1, l(ai) =
1
0 _ ~~ 7
= 3 1.58,
w ciąg u reszt występuje 5 seri i, zatem S 1 = 2 < S = 5 < 52 = 8, co św i a dczy, że przyjęta pos tać imalityczna modelu jest właściwa (wartośc i krytyczne odczytano z tablic rozkładu serii dla a / 2 = 0.025 i I - a/2 = 0. 975 oraz 11 1 = 5 i 11 2 = 5 stopi swobody). Z oszacowanego modelu wynika, że wraz ze wzrostem wielkośc i produkcji koszt jednostkowy maleje - coraz wolniej - do asymptoty poziomej Y = l4 .9(a0 ) to.05 ;8
Przy kł a d
14. W kolumnach 1- 3 tablicy 3.2 podano dane o liczbie zatrudnionych w zaprodukcyjnych nal eżących do pewnej firm y (X w dz i esiątka c h osób) i odpowiazatrudnieni u w i e l k ośc i produkcji (Y w tys. sztuk). Nal eży: (a) Wybrać pos t ać analityczną modelu najlepiej opisującego za l eżność wielkości produkcji od rozmiarów zatrudnienia w fim1i c. (b) O szacować parametry przyjętego modelu i ocen i ć czy właściwie opisuje badaną
kładach
dającej
za l eżność.
13 Chyba. że wariancję resztow;\ oblicwmy ze wzoru macierwwego
Tablica3.2 Zakład
„,
xl
16,0
0.25
0.125
.i.} ·}'1 -
-
t'~
5'1
(}'1 - J)2
13
o.o o.oo
- 14,0
196.00
9
JO
8.0
4.00
16.0
Jl
I.O
I.OO
24.50
24.0
0.5 0.25
- 5,5
30,25
1.5
2.25
3.375
5.0625
45.0
67.50
30.0
o.o o.oo
o.o
o.oo
32.0
2.0
4.00
8.000
16.0000
64.0
128.00
34.0 - 2.0 4.00
2.0
4.00
37.0
2.5
6.25 15.625
39.0625
92.5
23 1.25
36.0
49,00
3.0
9.00 27.00J
81.0000
11 2.5
337.50
36.0
1.5
56.25
33.0
3.5 12.25 42.875 150.0625
11 5.5
404.25
I.O I.OO 1.5 2.25 34.0 - I.O I.OO
7.0
37.5
3.0
9.00
0,0 8,50
0,0
344,50
i.OOO
J.0000
24.5
-Y 12
8
0.0625
Y1
-1-
1
30.0
24.5
l:
0.5
x1
xl
210,0 14.0 35,00 98,000 292,2500 462,0 1197,00 210,0
Żródło:opracowaniewlasne
Rozwiąza nie.
Poni eważ rów ni eż w tym przypadku w modelu występuje jedna zmienna obja ś n iającą. do wyboru jego postaci analitycznej moż n a przyn:1jmniej wstęp nie wykorzystać analizę grafi cz ną rozrzuru punktów empirycznych. Przedstawia go rysunek 3. 14. Jak w i dać, w m i arę wzrostu liczby zatrudnionych produkcja rośnie (zgodnie z istniejącą teorią eko nomi czną), jednak od pewnego poziomu zatrudni enia wzrost produkcji zos tał zahamowany, a nawet obserwuje s i ę nieznaczny jej spadek (co może być negatywnym skutkiem prt.:erostów zat rudnienia - pracownicy zaczy nają sobi e wzajemnie prze szkad zać)
•
•
•
1
1.5
2
2,5
liczbazatrudnionycli(dzicsiątkiosób)
Rysunek 3. 14. Zależność
między liczbą
zatrudnionych a wielkością produkcji w zakfodzic
Wykres k sz tałte m prt:ypomina parabolę (wielomian stopnia 2), oszacujemy model (3.7) (po uwzględnieniu za kłóce nia losowego)
>'1 = ao +a1X1 +a2x; + e1.
więc
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
X11
Model sprowadzamy do postaci liniowej wprowadzając dwie zmienne pomocnicze: = X 1 oraz X,2 = x;: model pomocni czy ma po stać:
Do oszacowania jego parametrów strukturalnych zastosujemy wzóru (3 . I 7), przy czym
a wobec tego
Obliczenia pomoc nicze zawar1e sq w kolumnach 4-8 w tablicy 3.2. Zatem·
a ~ [ 1~ 35
14 35 98
35 98 292 ,25
r[
54
"
;~~] ~ [-~"
-21
21
21 -21
12
16
4
21
21
21
1197
67
21 16
[
~~~] ~ [ -2~4 ]
11 97
(det(X.TX.) = 257,25 i wszystkie elementy macierzy algebraicznych dopełni eń można podzielić przez 12,25, co da nam podanq wyżej macierz; w każdy m razie jak zaznaczono wcześniej - jeżeli w obliczeniach nie korzystamy z komputera, to w cel u zapewnienia większej dokładności obliczefi warto zachować ułamki zwyk łe i na końcu pod z i elić przez wyznacznik 14 ).
" Prq
''°[k""jl';;~l''""'"'ów m"ómy oowm""J do i(Ti( do dwoch m;ej
byfo1y 11 =
2 1.756 . a po ~~
zaokrąg l en iu
do 1nech miejse po przecinku a =
24.36 . ale wówczas ~R
dopasowanie do obserw;1cji jest zwy kle dużo gorsze (np. w 1ym os talnim przypadku R2 = 0.4134)
Oszacowany model
przyjął więc postać
Y = 6 + 22x 1
1 -
4x;.
Wstawiając do oszacowanego modelu kolejne obserwacje x 1 • obliczono tyczne (kolumna 9 tablicy 3.2), np.
5'1 =6+22 0.5 5'2 = 6 + 22 · I
wartości
teore-
- 4 0.25 = 16. - 4 I = 24 .
;, = 6+22 3.5-4 12,25 = 34 Aby ocenić praktycz n ą przydatność oszacowanego modelu (dokładn ość dopasowania do obserwacji), nal eży obl i czyć parametry struktury stoc hastycznej (obliczenia pomocni cze zaw i eraj ą kolumny 10-13 tablicy 3.2):
s; =
?
~
3
·8, 5 = 2.125.
przy czym Y =
210
7 1p
7
2
0 (a )=2. 125
=
Se=
j2.'i'2s =
V~= 1.;~s
·
100 = 4.86%,
= 30,
~ 344,5
[-~ -~ 12
l
R2 =I - 0.0247 = 0.9753.
=00247 ' .
21
12 16 - 21
16
4
21 - 21 Błędy ś redni e
I .458,
=
[
5.1607 - 5.4643 1. 2143
-5 .4643 6.7798 - 1.6190
1.2143] - 1.6 190 0.4048
21
szacunku parametrów
są
D (ao) =
zatem równe:
J5.'i"6o7 = 2.27.
D(
W ca ł ości oszacowany model )>1 =
6. O + 22, 0x1 (2,27) (2.60)
-
;o:4o48 =
0.64
można wi ęc zapisać:
4.0x~ .
Se= 1.458.
R1 = 0.9753
(0.64)
Parametry strukturalne modelu są statystycznie istotne (co prawda. ocena a 0 na nieco poziomic i sto tności a= 0.06), bo r(a 0 ) = 2,64 < fo.os: 4 = 2, 776,
wyższym
22.0 . = 8. 45 > fo. 05 :4 = 2.776. 2 60
r(ai)
=
1(a2)
4 Ol = 1-6.291>/o.05:4=2.776. = -o.~ 1
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
Mode l wyjaś ni a zmienność zmiennej endogenicznej (wie l kości produkcji zakładów) w 97,53%, odchylenia losowe s tan ow ią 4,86% ś red ni ej wielkości produkcji zakładów. reszty modelu mają charakter losowy (w c i ąg u reszt wys tęp uj ą 4 serie; S 1 = 2 < S = = 4 < S2 = 5), a więc wielomian stopnia 2 dobn.:e opi suje badaną zależno ść. W podobny sposób, jak hiperbo lę i wielomian stopnia drugiego linearyzuje s i ę wielomiany wyższyc h stopni czy np. fu n kcję logarytmiczn:1 Na przykład wielomian stopnia 3: Y 1 = a0 +a 1 X 1 +a2 x; +a3x :+s1 zlinearyzowany ma postać: Y, = au+a1X11 +a2 X12+a3 X13+e,, gdzie Xri = X, , X,2 = x ;. = X~. a funkcja logarytmiczna Y1 = a 0 + a 11og X 1 + e1 po linearyzacj i przyjmuje postać : Y, = a 0 +a 1X1 +s1 , gdzie X1 = log X,
x,J
3.2.2. Modele nieliniowe wzg l ędem zmiennych i parametrów Model Y = f (X . a ) jest nieliniowy względem zmiennych i parametrów 15 , je..~li za pom ocą jednoznacznych przek ształ ceń obu jego stron mo żn a go zap i sać w postaci lini owej . Pomocniczy model liniowy pr.cyjmuje w tym przypadku po stać· K
Y,
=
L tJjX1j + e, =
fJo + fJ1X11 + · · +
fJKX1K + e,.
j=D
gdzie: Y1 = G ( Y1 ) - pomocnicza zmienna objaśniana (pewna funkcja oryginalnej zmiennej objaśnianej); X,i = g( X 1j ) - pomocnicze zmienne objaśni ające (pewne funkcje oryginalnych zmiennych objaś niającyc h) ; {Ji = h(a j ) - parametry modelu pomocni czego (zazwyczaj tak7..e pewne funkcje parametrów modelu orygi nalnego) 16 • Po li nearyzacji model u nieliniowego - zapi sani u go w postaci modelu pomocniczego - wyznacza sic za pomocą MNK jego parametry strukturalne korzys tając ze wzoru: (3 .1 8) gdzie X - macierz obserwacji pomocniczych zmiennych objaśni ających ; Y- wektor obserwacji pomocniczej zmiennej objaśnianej. Dla modelu pomocniczego oblicza się nastcpni e parametry struktury stochastycznej i model pomocniczy poddaje s i ę weryfikacji. J eżeli dopasowanie modelu pomocniczego do obserwacji można u znać za dobre (zgodni e z zasadami omówionymi w rozdziale 2), wnioskuje s ię , że również model oryginalny jest dobrze dopasowany. Można zatem zapisać model w postaci oryginalnej Najczęściej spotykane w praktyce modele nieliniowe względem parametrów i zmiennych to model wykładniczy, potcgowy oraz ich kombinacja (potcgowo- wykładn iczy). W tych modelach zakłócenie losowe nakłada się na funkcję multipl ikatywnie 17 • l 5w e wspomnianej pracy [34] n:17.ywan c są lincary mwanymi pr1.cz logarytmowa nie 16 fakkolwiek dln oznaczenia przekszrnkeri zmiennej objaśnianej. zmiennyc h objaśniających i parametrów u żyto różnych funkcji (G . g, li ) , bardzo czcs10 jest to rn sa ma funkcja, np. logary tm (dziesicmy lub naturalny) 17 x ee' {równoważny zapis x exp(e,)) lub x Hf' . W z:lleżności od przyjętej podsrnwy logarytmów. logarytmujemy model korzys1ając z logarytmów nnturalnych lub dziesiętnych
P rzykład 15. W tab licy 3.3 (kolumna 2) podano dane o mineralnej w latach 2002- 2008 ( y 1 w mln litrów)
wielkości s przedaży
wody
Ta hlica3.3 )·1= ln y,
IO
2002
4.055
1.4
l.25
0,15
2003
4.055
1.4
l.50
- O.IO
0.0100
- 0.6
0.36
l.75
- 0.15
0.0225
-0.4
0. 16
4.953 8. 166
2. 1
2006
9.025
2.2
2007
12. 183
2.5
2008
16.445
2.8
l:
58.882
14,0
- 0.6
0.36
2.00
O.IO
O.OJOO
O.I
O.O l
2.25
- 0.05
0.0025
0.2
0.04
2.50
o.oo
0.0000
0.5
0.25
49
2.75
0.05
0.0025
0.8
0.64
140
14,00
0,00
0,0700
0,0
1.82
25
28
0.0225
Żródło: opracowanicwłasnc
Nal eży oszacować parametry modelu opisującego t end encję. rozwojową sprzedaży wody w latach 2002- 2008 (model trendu) Rozwiąza „ie. W modelu trendu zmie nn:1 objaśniaj:1cąjest zmienna czasowa r, która najczęściej przyjmuje wartości kolejnych liczb naturalnych odpowiadających kolejnym okresom czasu. Aby wybrać pos t ać anal it yczną funkcj i, naniesiono obserwacje na układ współrzędnych (rysunek 3.15). Jak widać, sprze daż , zw ł aszcza w ostatnich latach, wzras tała coraz szybciej coraz szybszy wzrost jest charakterystyczny m.i n. dla funkcji
w y kład n i czej 18 .
Przyjmujemy
więc funkcj ę
np. (3 .1) z multiplikatywnym
zakłóceniem
losowym
którą linearyzuje s i ę obustronnie 1 ogarytmując 19 . Ponieważ zakłócenie losowe nałożono korzystając s tając
z podstawy logarytmów naturalnych (e z logarytmów naturalnych. Zatem ln Y1 = lnao + lna
1'
~
2. 7 183), logaryt mujemy korzy-
+ s, · ln e
i dalej 20 ln Y1 = lnao + t · łna 1
+ s,.
18 Także dla funkcji potęgowej o wykładniku (11 1 > I) lub paraboli 19 Korzysta sil! z reguły mówiącej, że logarytm iloczynu jest sumą logarytmów poszczególnych czynni ków 10 Jn111 1 =1 · ln111(l n .~ 11 =11 log .l ). ln e =I
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
Rys unek 3. 15.
Sprtedaż
wody minern lnej w latach 2002-2008 (w mln litrów)
a w i ęc model pomocniczy ma postać 21 :
Y, =fJo+f31 f<,
+e1.
gdzie: Yr =In Y1, f< 1= r. f3o = lnao. {3 1 = lna 1 • Zatem we wzor.ce (3. 18) macierz obserwacji na zmiennych objaśniających (X) i wektor obserwacj i na zmiennej objaś ni a n ej ()') będą mieć pos t ać
X=
I 1,] ['. 12
I
111
_ y~
ln Jn'·yy2, ] [ ln y„
stąd:
21 Zauważmy. że w modelu wykładniczym zmicnnaobjaśniająca nic ulega tran~ fomrncji (X1 = 1). Warto w tym miejscu zwrócić uwagę. że gdyby zakłócenie losowe nałożyć na funkcję mnożąc przez &1 • tzn przyjąć model Y1 = ao · a1 r · &1 , to po zlogarytmowaniu modd w postaci liniowej miałby postać ln Y1 = = lnao + 1 · ln a1 + ln &J . a więc transfomrncji uległoby także zaklócenie losowe. a tego ekonometrycy s tarają się unikać. Dodajmy jeszcze. że gdyby w tym modelu (i innych omawianych w tym podrozdziale) nałożyć zakłOCen i e losowe addytywnie, tzn. przyjąć model Y1 = ao · a1 1 • E: 1 , niemożliwe byłoby logarytmowanie (skort.ystanie z formu!y na logarytm iloczynu) i model n ależa łby do grupy ścgle nieli niowyc h do estymacji jego parametrów stosuje si ę metody es tym;icj i nieliniowej omówione w podrozdziale 3.3
Dane pomocnicze do
7 b = [ 28
ob li czeń
28] - ' [ 14] 140 63 =
zawarte są w kolumm1ch 3-5 tablicy 3.3
I
1% ·
[ 140 - 28
Oszacowany model w postaci liniowej
-28] [ 14] [I 7 63 = 0.25
l
~ lnao. b 1 = lna 1
b0
można w i ęc zapisać
ln)rr = l.00+0.25t. Wartośc i
teoretyczne oblicza s ię
podstawiając
za r kolejno: I. 2.
1-;;-,= 1.00+0.25 1nJ2
l
. 7. czyli np.:
= l.25.
= l.00+0.25 2 = 1.50.
1;;-7 =
l.00+0.25 7 = 2.75
1;;;
e,
(por. kolumna 6 tablicy 3.3), a reszty = In Yr (kolumna 7). Pozostałe dane potrzebne do obli czenia parametrów struktury stochastycznej - d la modelu w postaci liniowej, zaw i erają kol umny 8- 10 tablicy 3.3). Zatem w tym pn~ypadku 22 :
sJ= ~k Le~= ~k Lon y, - 1~) 2 = 7 ~ 2 ·0.07 =0.0l4. 11
11
s, ~ J0,614 ~ 0. 11 8. Vi: = r.p2
~ · 100 = ~ 2
\n y
=L
D(bo)
(Iny, - i;;y, )2 L(lny, - ln y)2
100 = 6.9%.
pr1.:y czym fTIY = L lny1 = 11
~= 7
2.
o.01 =o 0385 l 82
~ D(ln ao) ~ ~ ~ }O:Oi ~O. I.
D(bi) = D(l n ai) =
Jo.0\4 · ~
= jQ.OO{j5 = 0.0224.
Oszacowany model z parametrami struktury stochastycznej
1-;vr = I. OO . (0. IJ
+
można w i ęc za pi sać:
s, ~ 0.0118.
0.251
r.p 1 = 0.0385.
(0.0224)
22 C hyba, że skorzys1amy ze wzoru 111acicrzowcgo na wariancje. w tym praypadku miałby on pos1ać
S]
=n~ k \yTj - bTXT5·J
i wtedy wan ości teoretyczne nic są konieczne.
~
2
Współczynnik zbieżności można
L ;;
=~J<~~v,
)2
by także obliczyć ze wzoru
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
Parametry strukturalne modelu s ą statystycznie istotne (t(b 0 ) = IO, T(b 1) = l I, 16; = 2,447), tylko 3,85% zmiennośc i logarytmów zmiennej endogenicznej (wielko śc i s p rzedaży wody mineralnej) nie jest wyjaśn i o ne przez mode l. odchylenia losowe stanowi:1 6,9% ś red ni ej logarytmów Y. W c i ąg u reszt (kol umna 7 tablicy 3.3) obserwujemy 5 serii (S 1 = 2 < S = 5 < S2 = 6), a więc reszty mają charakter losowy, nie wykazujq t akże autokoreh1cj i23 {d = 2.2 14; tl' = [ . 786 > du = 1. 356), zatem po stać analityczna modelu jest w ł aściwa. Można zatem oszacowany model zapisać w postaci oryginalnej . Jego parametry obliczymy następująco Po ni eważ bo= ln a , to a = eho-+ a = e 1 = 2,7183, to.05:5
0
0
0
b 1 = ln a 1• to a 1 =i' 1 -+ a 1 = e0·25 = 1.2840, a oszacowany model pr.tyjmuje
postać:
S'r = 2.1183 · 1.284'. Na podstawie oszacowanego modelu można wn i oskować , że w 2001 r. (/ = O) sprzeda ż wody mineralnej wy n o s i ł a około 2.7183 mln li trów i w latach 2002- 2008 co roku zmieniała s ię ( wzrastała) śre d nio o ( 1,284 - I) 100 = 28 .4% . Innymi s łow y, ś re d n i a stopa wzrostu sprzedaży w analizowanym okresie wynos ił a 28.4%. Warto jeszcze zwrócić u wagę, że gdyby przyjąć funkcj ę wyk ładni czą w postaci (3.2), tzn. y 1 = e"\l'+ait+c, , to model pomocniczy m iałby po stać: ln y1 = tl'o + tl'1l + e 1 lub 5°'r = /30 +/3 1.'i:1 +er ;gdzie .)•1 = ln y,, X,= 1, !Jo= ao, /3 1 = a 1 . Wektor obserwacji na zmiennej obj aś nianej (j) i macierz obserwacji na zmiennych objaśni ających (X ) był yby identyczne, jak w pr.typadku przyjętej postaci modelu (3. 1), w rezultacie weklOr ocen parametrów strukturalnych modelu pomocniczego b będzie identyczny, jak otrzymany w pr zy kładz i e Oszacowany model przyjąłby postać: }'1 = e 1+0 · 251 , a wnioski wynikające z interpretacji parametrów by ł y b y identyczne. Dla 1 =O poziom Y wynosi około e 1 = 2.7 183, natomi asl ś rednia stopa zmian Y wynosi (e 0·25 - I)· 100 = (1,284 - I) · 100 = 28.4%. W przypadku postaci (3 .3) funkcji wykład ni czej , tzn. y1 = a 0 · e" 11 · ee', model pomocniczy bę d z ie miał po s t ać: .V,= fJo + {J 1i 1 + € 1 , gdzie .Y1 = ln y, , Xr = I , f3o = lnao, /3 1 = a 1. Wektor Yi macierz Xbędą identyczne.jak w przypadku obu poprzednich postaci, identyczny będzie także wektor ocen parametrów model u pomocniczego b. Oszacowany model przyjąłb y postać }'1 = 2, 7 183 · e0 ·25' , a wni oski p ł y n ące z interpretacji jego parametrów by ł yby takie same. A więc ni eza leżni e od przyjęt ej postaci funkcj i wnioski wy nik ające z interpretacji jej parametrów s ą identyczne. Przy kład
danych
16. W kolumnach 1-3 tablicy 3.4 przestawiono fragment zagregowanych z badań bud żet ów rodzinnych . Dane to ś red nie roczne dochody
pochodzącyc h
( X w dz i esiąt k ac h lys. zł na osobę) w wy róż nion yc h grupach dochodowych oraz odpowiadające zł
tym dochodom na osobę).
przec i ętne
roczne wydatki na
żywno ść
(Y w dzi es iątkach tys
2.l Model oszacowano w oparciu o dane w postaci szeregu czasowego. warto więc Jakże zbadać autokorehlcję
Tablica3.4 Grupa doc ho-
3.004
1.822
0.6
I.I
l.21
0.66
0.5700
0.03
0.0009
0, 11 390625
3.669
2.014
0.7
1.3
l.69
0.91
0.7100
-O.Ol
0.0001
0.05640625
4.055
2.226
0.8
1.4
l.96
J,12
0.7800
O.Q2
0.0004
0.01890625
4.953
2.460
0.9
1.6
2.56
1.44
0.9200
- 0.02
0.0004
0.00140625
5.474
2.718
I.O
1.7
2.89
1,70
0.9900
O.QI
0,0001
0,00390625
6.050
2.718
I.O
1.8
3.24
1.80
1.0600
-0.06
0.0036
0,00390625
6.686
3.004
I.I
1.9
3.61
2.09
1.1300
- 0.03
0.0009
0.02640625
9.025
4.055
1.4
2.2
4.84
3.08
1.3400
0.06 0.0036
0.21390625
7,5
13,0
22,00
12,80
7,5
0,00
0,43875000
l::
0,0100
Źródło: opracowanie własne
N a l eży oszacować żywność
parametry modelu
przedstawiającego zależność
wydatków na
od dochodów
Rozwiqza11ie. Wybór postaci analitycznej modelu rycznych na układ wspó ł rzędnyc h (w modelu - rysunek 3.16
naniesienie punktów empi tylko jedna zmienna objaśn ia
ułatwi
wys tę puj e
jąca)
S.O
6.0
7.0
8.0
9.0
IO.O
dochód(d7.iesiątkitys.dnaosobrj
R)'Sum.'. k 3.16. Zależrmść wydatków na
żywność
od dochodów
Co prawda z rozr.tutu punktów empirycznych można wn i os k ować, że funkcja liniowa mogłaby opisać zal eżność wydatków na żyw n ość od dochodów w próbie, jednak z analizy danych widać, że wzrostowi dochodów 1owarzyszy coraz wolniejszy wzrost
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej
wydatków na żywność (prawo Engla), zatem właśc i wa będz i e fu nkcja pot ęgowa (3.4) Tak jak w przypadku funkcji wy k ładn i czej, zak łócenie losowe nałożon o multi pli katyw· nie24 co
umożliw i a tra nsformację
modelu do postac i li niowej przez logarytmowanie: In Y, = lnao +a1 In
X,+ s,,
czy li model pomocniczy ostatecznie przyj muje pos tać: .Y1
=fJo+fJ1.f1 +e, .
gdzie: y, = ln y,,f3o = lna0 ,{J 1 =a 1,.f:, = hu :,. Parametry modelu pomocniczego oszacujemy MN K, "Y'" w tym przypodkuo -
[ :
X =
i.,,.-,] lnx~
.
y- =
ln :x„
I
a wu;c:
,
stosując
[::,~;] .
wzór (3 .18), przy
.
ln y„
1xJ [: :::;] [L;~x, f1~~;J
ln
=
I
ln ,t„
xJ ·[:: ~; ] = [E: : ~: lnJ
1
ln
ln y„ Dane pomocnicze do ob l iczeń zawarte sq w ko lumnach 4-7 tablicy 3.4 (logaryt my zaokrąglono do trzech miejsc d zies iętnych).
b =[ 8 13
13]-' [ 7.5]= ~
22
12.8
7
[ 22
- 13
Oszacowany model w postaci liniowej
-13] [ 7.5]=[-0.2]bo= ln1_1
0,
8
12.8
0.7
b 1 =a 1
można więc zapisać
ln)•r = - 0.2 +0.7 lnx1 Do obliczenia parametrów struktury stochastycznej modelu pomocniczego przyda!· ne będą wartości teoretyczne (kolumna 8 tablicy 3.4). np ln f1 = - 0.2+0.7 I.I =0.57, h1 )•2 = - 0 .2 + 0 .7 l. 3 = 0.71 . ln )·8 = - 0.2 + 0.7 2.2 = l,34 24 Ty!ko wówcz;is mocleljes1
transfom1owany do post~ci liniowej (por. uwagi do funkcji wykh1dniczej)
Obliczenia pomocnicze do parametrów struktury stochastycznej zawarte lumnach 9-1 I tablicy 3.4)
si=~ L V~
=
cp 2 =
~ ln y
e;= ~k L 11
100 =
L (l n y, L (In y, -
(ln y,
- t;r,) 2 =
8
w ko-
~ 2 . 0.01=0.017.
JQ:OT7 100 = 4.35%, gdzie fil).= L In y, 0,9375
lt;yr) 2 ln y)2
są
·
11
=
'08... = 0,9375,
O.Ol 0 0228 · 0.43875 = ·
D(bo)
~ D(loao) ~ ~ ~ J0,00524 ~ 0,072,
D(h, )
~ D(a,) ~ jo,011 · ~ ~ J0, 00190 ~ 0,044
Dopasowanie modelu do obserwacji n ależy ocen i ć pozytywnie. Model wyjaśni:1 zmienność logarytmów średnich wydatków na żywność w 97,72% (R 2 = I - cp 2 = = 1 - 0.0228 = 0,9772), odchylenia losowe stanowiq tylko 4,35% śre dni ej logarytmów wydatków na żywność. Parametry strukturalne są sta1ystycznie istotne (t (In a 0 ) = =
~~;~
= - 2,76, I (a1) =
O~~
= 16.04; to.05:6 = 2.447). Reszty modelu pomocni-
czego charakteryzują sic pożądanymi w łasnościami - mają charakter losowy (w ciągu reszt obserwujemy 7 serii : 5 1 = 2 < S = 7 < 52 = 8) i ni e wykazują autokorelacj i (d = 1.90 > du = 1.332), zatem postać analityczna modelu jest właśc i wa - model potęgowy dobrze odzwierciedla badaną zależność. Aby zapisać model w postac i orygi nalnej. należy obl i czyć jego parametry Ponieważ bo= lnao. loao =ebo -,i. ao = e- 0 ·2 = 0.819.zkolei25 b1=a 1 =0.7. Model oryginal ny przyjmuje więc postać: )'1 = 0.819. x~· 7 Z oszacowanego modelu wynika, że w badanej grupie rodzin przy przec iętnym rocznym dochodzie X= I LID tys. z!J, wydatki na żyw ność wynosi ły przeciętnie 0.819-10 = = 8.1 9 tys. z ł , natomi ast wzrost przeciętnego rocznego doc hodu o I% powodował wzrost wydatków na żywność o 0,7%; inaczej, elastyczn ość wydatków na żyw n ość względem dochodu wynosi 0,7
17. W kolumnach 1-5 tablicy 3.5 podano informacje o wart ości majątku (X 1 w mln z ł ), nakładac h pracy (X 2 w przeliczeniu na pełne etaty) oraz wielprodukcji ( Y1 w mln szl uk) w pewnym przedsiębiors twie w latach 1999-2008. Oszacować parametry modelu o postaci Y1 = a 0 X~1 1 X~łeY'e(', op i suj ącego za l eż n ość w i elkości produkcji od n akład ów maj ątku trwa łego, pracy oraz zmiennej czasowej 1, która u względ ni a wpływ postępu techniczno-organizacyjnego na wie lkość produkcji 26 . Przykład
trwałego kośc i
15 w modelu pomocniczym parametr O'i nie uległ transformacji 26Jest 10 tzw. dynamiczna funkcja produkcji Cobba- Douglasa. omawiana w rozdziale 5. poświęconym analizie procesu produkcyjnego
3.2. Estymacja MNK modelitransformowalnychdopostaciliniowej Tablica 3.5 !n y1
-1999
49.400
4
5
16.445
33 .115
I
2000
65.365
24.533
36.598
2001
86.488
33. 115
40.447
2002
95.580
36.598
44,701
2003
109.950
49.402 73.700
60.340
81.451
60.340
90.017
el
lny,
- fiiY
(ln y1 -
IO
3.94306 - 0.04306 0.00185 - 0.93000 4.19500 - 0.01500 0.00023 - 0.65000
3
0.86490 0.42250
4.40252
0.05748 0.00330 - 0.37000
0.13690
4.52120
0.03880 0.00151
- 0,27000
0.07290
4.68976 6
fiiY) 2 -
8
44.701
144.025 164.030
-
0.01024 0,00010 - 0,13000
0.01690
5.01962 -0,04962 0.00246
0.14000
0.01960
5.09934
0,00066 0,00000
0,27000
0.07290
5.37386
2006
219.200
0.01614 0.00026
0.56000
0.31360
2007
214.870 109.947
73.700
9
5.38112 -0.01112 0.00012
0.54000
0.29160
2008
290.030 164.022
90.017
10
5.67202 - 0.00202 0,00000
0.840CK.l
0.70560
0,00000
2,91740
i::
99.484
1438,938 679,230 583,443 55 48,29750
0,00000 0,00984
ZróJło:oprncowanicw/asnc
Rozw iąza nie. Zauważmy, że wa- wykł a d n i czy;
ze wzg l ęd u na pos t ać an ali tyczn ą jest to model li ncaryzujcmy go prt.:cz logarytmowanie:
potęgo
In Y1 = ln a o + a1 lnXr1 +a2 lnX12 + yt + er, a model pomocniczy ma postać:
Y =/Jo +
f31Xr1 + f32X12 + {33X13 + E1 .
gdzie: Y = ln Y,, X11 = lnX11, X12 = lnX,2, Xn = 1, f3o = lnao, /31 = ln a1. /32 = ln a 2. {33 = y. Aby oszacować parametry strnkturalne modelu pomocniczego, należy s korzys t ać ze wzoru b = (X:TX:)- 1X:Ty, prt.:y czym w przypadku tego modelu 27 : I 2,8000 3, 5000 3, 2000 3, 6000 3, 5000 3, 7000 I 3, 6000 3. 8000 3, 9000 3, 8000 4.3000 4, 1000 lnx91 19 4.4000 4, 1000 ]!lXIQt 8 4.5000 4,6000 I 4,7000 4,3000 9 I 5.1000 4.5000 IO
,l
,,
''°
27Log;trytmy zaokrąglono do 4 miejsc dziesiętnych. a elc rncnty rnacieny odwrotnej do 6 miejsc dziepny 1ych zaoknig len iach oceny parnmetrów są bardzo zbliżone do ocen uzyskanych prty pełnej
się tnych:
dok!~dnoki obliczeń
1
ln lnyy2
Y=
:
l =
[ In \'9 111 )' 10
3, 9000 4, 1800 4.4600 4,5600 4,7000 4.9700 5.1000 5.3900 5,3700 5,6700
Zatem (det(XTX) = 9.97)·
JO
40
55
40
:~ :~:~ :~~:; ;~~:~
] -'
[ 1~~~74 ]
= 195.075 55 239 .5 229.8 385 28 1.05 19 1. 158 175 - 34.889669 - 28.83 1494 11.6048 14] [ 48 3 ] - 34,889669 [ l. 24373 1 1. 354062 - 2,818455 . 196:874 = = [ - 29.83 1494 1.356062 7.522568 - 1.2 13641 195,075 - 2,8 18455 0.822467 28 1,05 I 1.6048 14 - 1.2 13641
b=
[
I 3004 ]
0:4442
b 0 = lna 0
6 = a 1
= [ 0.3896
0.0353
1
b2 =
a2
b3 =
c
Dane pomocnicze do obli czeni a parametrów stru ktury stochastycznej lumny 6- 10 tablicy 3.5.
S! = J O~ 4
0~~~
V,=
5
0.00984 = 0.00 166 . · 100 = 0.8395%.
S, = 0
zaw i eraj ą
ko-
j 0.00 166 = 0.0405. 98
~' = ;~1 7 :
= 0.0034.
D(bo) = j 0.00 166 · 19 1. 158 175 = 0.5600. D (b
1
)
= J 0.00 166· I1.24373 1 = O,1 358.
D (b„ ) = J 0.00 166 · 7.522568 = O. I I I I.
D (b3) = j 0,00 166 · 0.822467 = 0,0367,
ln .)>1 = l. 3004 + 0, 4442 ln x, 1 + 0. 3896 1n x, 2 + 0 .03531. (0,5600) (0, 1358) (0, I I I I) (0 ,0367) 2.322 3. 270 3. 507 0.96 1 Wart ości współczyn n i k a z mi e nn ośc i resztowej V„ i w spółczy nn ika z bi eżno śc i o bardzo dobrym dopasowani u modelu do obserwacji, natomiast nic wszystkie parametry strukturalne s ą statystycznie istotne. Na poziomie i s totności 0 .05 - 10 .05 :6 = = 2.447 stalystycznie nieistotne s ą oceny bo i b3. W tym ostat nim przypad ku b łąd ś re d ni ś wiadc z ą
szacunku jest nieco w iększy od oceny, a w i ęc zmi enna I nieistotnie w pł ywa na zmienną e ndoge ni czną Y (w analizowanym okresie zmiany zmiennej endogenicznej, jakie zachodziły w czasie. były statystycznie nieis1otne18 ) Na zakoficzenie zapiszemy oszacowany model w postaci orygin:1lnej (el. 3004 ~ 3.67 1)• 5,1 = 3 _671 . .r~;#ł2 . .r~i3896 . e0.03531. Modelu tego jednak nie m oż na wykorzystać do wnioskowania, ponieważ nie wszystki e parametry strukturalne są statystycznie istotne, zatem najpierw nal eża ł o by model po praw i ć, e l imi nując z niego zmien n ą czasową 1. Czytelni k zechce s praw d zić, że poprawiony model ma postać: 5,, = 2.227, .\'~]5656 . .r~/417 Wyeliminowanie zmiennej z modelu nieznacznie pogorszyło dopasowanie - współ czynnik z bi eżn ośc i wzrósł do 0,0039 (dopasowani e poprawi a się wraz ze wzrostem liczby zmiennych objaśni ającyc h modelu), z mi e nił y s i ę także nieco oceny pozos tał yc h parametrów strukturalnych (w tym przypadku oceny wszystkich są statystycznie istotne na poziomic istotności 0,05). Można zatem pow i ed zieć, że wzrost majątku trwałego (X o l % powoduje wzrost produkcji o 0,5656% pny stał y m zatrudnieniu, natom iast wzrost zatrudni enia (X 2) o l % powoduje wzrost w i elkości produkcji o 0,44 17% przy s tałyc h nakł adac h majątku trwa1 )
ł ego.
3.3. Modele ściśle nieliniowe W teorii i w praktyce ekonometrycznej występuj e szereg modeli nieliniowych i niesprowadzalnych do liniowych za pomocą transfom1acji zmiennych. Wymienić tu można c hoćby funkcje TOrnquista czy te ż takie krzywe S-kształtne, jak logistyczna czy Gompertza Warto podkreś l ić. że mamy ru ma myśli modele nieliniowe ze wzg l ęd u na parametry, a nie ze względu ma zmie nne. bo dopiero ten rodzaj nielin i owośc i rodzi trudn ośc i estymacyjne, które- jak pokażemy dalej - często mogą być z powodzeniem przezwyciężone i to, wbrew powszechnemu przekonaniu, bez w i ę kszego wysiłku numerycznego, zwłaszcza dzisiaj, w dobie powszechnie dostępnych , dobrLe o programowanych i wydajnych ko mputerów. I doprawdy trudno zrozumieć, dlaczego wielu badaczy nadal ogranicza swoje kreatywne m yś l enie do klasy modeli liniowych lub li nearyzowal nych, pomij ając możliwość dokładniejszego opi su rzeczywi s t ości za pomocą „kłopotli wszych", ale częst o bardziej adekwatnych do rzeczywis t ości modeli nieliniowych 28w przypadku analizowanej funkcji produkcji powiemy, że w przedsiębiorstwi<: nie obserwuje sii;: istotnych zmian produkcji pod wpływem postępu techniczno-organilacyjnego. bowiem wspólaynnik przy zmie nnej czasowej interpretowany jest jako mi ernik tegu postępu (por. rozdział 5). Jeśli chodzi u ocenę parametru bo. to gdyby zmniejszyć dokładność wnioskowania do O. IO - to. 10: 6 = I. 943, a więc na poziomie is1otnościO.lO.toocenętęmożnabyuznaćzas1a1ys1ycznieisto1ną
Maji1c św i adomość, że przedstawiamy tylko podstawowe idee estymacji nieliniowej (por. N.R. Draper, H. Smith L301), chcemy bardziej dociekliwym czytelnikom polecić pracę O.A. Ratkowsky'ego (119]. która jest ob sze rną mono grafią regresji modeli nieliniowych. napisami przystępnym języki e m (chociaż z niezbędn:1 dozq koniecznej formalizacji). W szczegó l no śc i w książce tej • pornszono zagadnienia przejawiimia się nieliniowośc i, jej pomiaru, a ta kże wynikaj ących z niej konsekwencji , • opisano techniki numeryczne estymacji nieli niowej. • omówiono własności stochastyczne estymatorów uzyskanych za pomocą nieliniowej MNK, zwracając uwagę na fakt, iż w skotkzonych, a zwłaszcza małych próbach nie mają one zwykle optymalnych własności asymptotycznych, w szczegó l n ości s ą obcią• rozważono wpływ parametryzacji modelu na własnośc i estymatorów, a zwłasz cza na ich ewentualne obciążenie i wynikające stąd konsekwencje podczas weryfikacj i modelu, • zamieszczono wiele przykładów empiryczno-numerycznych, wyczerpująco wspierających wywody i wnioski teoretyczne Ponadto zachęcamy do lektury prac: D.M. Bates. D.G Watts flO]. M.J. Box fl2]. G.P.Y. Clarke [22] , R.D. Cook, J.A . Witmcr [23], 8 . Efron 13 1], P. Hougaard [69] oraz R.I. Jennrich [75]. Są one artykułam i źródłowymi kluczowych zagadnień poruszanych w wyżej wymienionej monografii i s tanow i ą waż n ą lit e raturę uzupełniającq i pog łębia jącą.
Jako dalsze u z upełnienie proponujemy k s iążki: W. Mi lo [96] (mocno sformal izowane, ale pol s kojęzyczne sprawozdanie ze stanu wiedzy w zakresie estymacji nieliniowej) oraz T. Stanisz fl25] (monografia będąca anal izą formalnych włas ności, w większośc i , modeli nieliniowych), a tak że prace, które są przy kładem praktycznego wykortystania technik estymacji nieliniowej: A. Goryl {48], [49] i [50] oraz A. Goryl i A . Walkosz [51]. [53].
3.3.1. Nieliniowa MNK- algorytm Gaussa-Newtona Załóżmy, że
chcemy
oszacować
y,
~
parametry
J (x„
~)
nas tępującego
+ Ę„
I =
I.
modelu nieliniowego: (3 .19)
gdzie: y1 - obserwacje na zmiennej objaś n ianej: x1 = [x, 1] - wektor obserwacji na K zmiennych objaś n iających , ~ = [,B j ] - wektor k parametrów strukturalnych; ~1 realizacje sk ładników losowych , przy czym o s kładnikach losowych ~1 zakładamy, że są nieskorelowane, mają ś rednią zero oraz j ednakową , dodat ni ą i s koń czo ną wariancję. Zauważmy, że w modelu nieliniowym nie ma zwi<1zku między liczbą zmiennych objaśn i ającyc h K a liczbą parametrów k; zwykle w takim modelu parametrów jest więcej ni ż zmiennych. tj . K < k. Zastosowanie MNK wprost do mode lu (3.19), czyli wyznaczenie estymatora b wektora parametrów ~. takiego że;
min S(p) = min li
li
t
[y 1
-
f(x 1 •
~)]2 =
S(b),
(3.20)
t= I
prowadzi (jako konsekwencja spełni enia warunku koni ecznego islnie nia ekstremum zerowania s i ę pochodnych) do nieliniowego układu równań normalnych, który zwykle musi być rozwiązywany za pomocą numerycznych procedur iteracyjnych Alternatywą jest metoda Gaussa- Newto na. pol egająca na zast;:ipicniu w /-tej iteracji model u (3 .1 9) liniową aproksymantą przez rozwinięcie w szereg Taylora z dokładno śc ią do s kładnik ów liniowych (tj. pierwszych pochodnych), wokół /-tego przybli żen ia parametrów p (I).
Yr = f( x,. ptll)
+
t ( a/(x,..p)) J= l
a f11
= y,(11
({Ji -
tJY1) + v,Ol =
11=11t11
' +L
z;?óJ1l+ v,Cll .
r =I.
(3 .21)
Jo=l
gdzie v,m = ;/'l + ;, - nowe składniki losowe, przy czym ~/I) są błędami wyraża jqcymi odchy leni e pow stał e wskutek zastosowania :1proksy macji (pom ini ęc i e dalszych wyrazów rozw ini ęc ia Taylora), które w miarę zbiegania s i ę procedury iteracyjnej będą dążyć do zera, o ile przez właśc i wy dobór parametrów początkowych p (O) zainicjujemy z bi eż n y proces iteracyjny Model (3 .2 l) jest już lini owy względem parametrów = fJJ - tJj'> , a zatem mogą być one szacowane za pomocą MN K:
8]'1
(3 .22) gdzie:
{I)
(/J
[ Jf(X, .
p)l
Z = [z,i ] = - .- macierz 11 x k pie rwszych pochodnych cząslkoił fJJ 11=11(1) wych względem parame trów, obliczonych d la ustalonych w /-tej iteracj i przybliże1'i pa> oraz danych obserwacji na zmiennych objaśniających, e(ll = [e~ 1 )] = [y, - y1(/J ] = [y, - f(x 1 • p
µy>
rzeczywistych {31 . W następnej ite racji zamiast parametrów:
f3)1)
bierzemy więc poprawio ne oceny (3.23)
i ponownie rozwijamy funk cj ę (3. 19) w szereg Taylo ra według wzoru (3.2 1), ale teraz wokół l i ponownie stosujemy MNK . Postępowa ni e kontynuujemy tak długo, aż wartości bezwzględne wszystkich poprawek będą równe zeru z zada ną do kładn ośc i ą e (np. E: = 1 o-6). J eże l i zachod zi to od
f3)'+
1
pewnej iteracji L , to za oceny MNK przyjmujemy oszacowania z tej w łaś ni e iteracji 29 , tzn.:
jeżeli
dla wszystkich I
~
L i wszystkich j = L ... k
ldJ/J I <
e. to b = plLl. (3.24 )
Metoda Gaussa- Newtona sprowadza s i ę zatem do c ią gu zast osowa ń MNK , w którym ro l ę macierzy X (obserwacji na zmiennyc h objaś niającyc h ) pełni macierz z Ul (pie rwszych pochodnych cząs tkowych wzg l ęde m parametrów, obliczonych dla ustalonych przybli żetl p
Estymarnry nieliniowej MNK mają, przy założe niu normalno ści sk ładników losowych, takie same optymal ne włas no śc i asy mptotyczne, jak estymatory MNW. W małych i sko ń czo n ych próbach m ogą być jednak obciążone. Box w [I 2] podał wzór pozwa l ający sz acować to obciążenie: E(b gdzie: z,(b) -
~) ~ B(b)"' --1,02 (b) 2S;;
t
j z,(b). " [D 2 (b). H,(bll}.
(3 .27)
1,,, 1
t -ty wiersz mac ierty z iLJ; tr - ś l ad (od ang. /race), czyli suma e lemen2 /(x,. r-ty „plaster" ma-
tów d iagonalnych mac ieri;y; H,(b) = [H1ij] =
[aJ{J;a/3jP>J
!ł = h
-
cierzy o wymi arach 11 x k x k drugic h pochodnych cząstkowych wzg l ędem parametrów. obliczonych d la ustalonego wektora ocen b oraz danych obserwacj i na zmie nnych objaś ni ających Dzi eląc
szacunki obciąże rl B(b) przez oceny parametrów b, otrzymujemy obciążenia
wzg l ędn e:
(3. 28) któ re
utri;ym uj ąc s i ę
żonych
w granicac h 1% ś wiadcz:1 (por. D .A. Ratkowsky [119]) o zbli do właściwych mode lowi lini owemu włas n ośc iach esrymacyjnych i wczesnym
29 wpra\.:tyceczęściej J.:ortystasięzinnejregu!ystopu.amianowiciezzerowaniasię (zzadan;1do k/adności<1) niezupełnie
modu!ów poprnwc\.: względnych. co często znacznie ogrnnicza liczbę niezbędnych iternCJi. ale jest zgodne z duchem metody. Są też badacze. którzy przerywają proces obliczeniowy. kiedy
s1abi li zujesięwariancjaresztowa
się optymalnych własności asymptotycznych estymatorów parametrów, co do zastosowania zwyczajowej procedury weryfikacyjnej W tym miejscu wyjaśnijmy też. że jeże li pozostaniemy przy kryterium średniokwa dratowym, to żadna inna metoda nie da rezultatów lepszych ni ż nieliniowa MN K. I nieważne czy to będz i e metoda Gaussa-Newtona, czy algorytm Marquardta, rezultat korlcowy będzie taki sam, różna może być najwyżej liczba niezbędnych iteracji Na zako ń cze ni e tych ogólnych rozważań dodajmy, że metoda Gaussa- Newtona wymaga ,,dobrych" waności początkowyc h łł (OJ , gd yż w przypadku gdy Jł < 0 l nie jest dostatecznie bliskie rzeczywistym wartośc i o m parametrów Jł , algorytm może ni c być zb i eżn y. Dlatego te ż metodę Gaussa-Newtona na l eży zwykle kojarzyć z jakąś metodą uproszczoną , dającą dobre początkow e przybliżenia parametrów, gdyż intui cyj ne ich odgadywanie zwykle zawodzi. Takimi uproszczonymi metodami są np. metody 111 punktów czy te ż
ujawnianiu upoważnia
11/ SU m
Metoda m punktów polega na arbitral nym wyborLC m (jeżeli 111 parametrów mamy punktów empirycznych i założe niu , że współrzęd ne tych punktów spe łniają równanie rozpatrywanej krzywej. W ten sposób uzysk uje się układ (zwykJe ni eliniowy) m równań z 111 niewiadomymi (parametrami ), którego rozwiązanie - nie zawsze łatwe do uzyskania - stanowi szukane prz ybliżeni e parametrów. Trzeba jednak zaznaczyć, że metoda ta może być zawodna (w tym sensie. że bę d zie dawać przyb li że nie parametrów niegwara ntuj ące zbieżności algorytmu Gaussa-Newtona), szczególnie wtedy, gdy wybrane punkl y są znacznie oddalone od hipotetycznej krzywej teoretycznej . Dlatego dobrze jest nani eść na wykresie (jeś li da s i ę to u czy nić) punkty empiryczne i naszk i cować pri;y bli żo n y przebieg hipotetycznej krzywej , w mi arę dobrze („na oko") dopasowanej do danych obserwacji. Nast ępn i e n ależy wybrać 111 tych punktów empirycznych, które są położo ne najbliżej narysowanej krzywej. Jako przy kład , w tabli cy 3.6 przedstawiono wzory na p rą bli żeni c parametrów funkcji Tórnqui sta uzyskane w opisany wyżej sposób Metoda m sum polega na podziale pierwotnego szeregu 11 obserwacji na 111, najczęśc i ej równych, podszcregów o licznościach 30 h = l11 / mj (w razie potrzeby n a l eży odrz uc i ć p = (11 - m fi) E {O. l. . , m - l) początkowyc h obserwacji) i obliczeniu dl a każdego podszcregu sumy obserwacji na zmiennej objaśnianej (lub jej transfonnacji). aby następ ni e na podstaw ie związków mi ę dzy sumami empirycznymi a „sumami teoretycznymi" (tzn . powsta ły mi przez zsumow:mie wzorów) wyznaczyć szukane przybli żenia parametrów Metoda 111 sum daje z reguły lepsze prąb li że nia parametrów ni ż metoda 111 punktów, ale z kolei nie jest tak uni wersalna, m ożna ją bowiem zwykle s to sować tylko w przypadkach, gdy zmienna objaśn i ająca jest równodystansowa (tzn. gdy x1+ 1 = x 1 + .d, a więc np. w trendach) lub analityczna postać rozpatrywanej krzywej jest taka, że mo żemy korzystać z wzorów na sumę częśc i ową ciągu arytmetycznego lub geometrycznego. Na przykład w tabli cy 3.7 podano wzory uzyskane metodą trzech sum dla uogólnionych trendów wykładniczych 31 wyznaczyć) dokładnie
30[x]omaczae111ier x,czy liczęśćca!kowitqz x
31 Prt.y wyprowudzuniu fonnu! kort.ystano ze wzorów rw h -tą sumę częściową ci;igu geometrycznego
Przybli że nia wartośc i początkowych
r; - y
Yi =ax; - )'
Yi =a __!_!__ Xj
parametrów funkcji TOm4uista uzyskane metod'\ m punktów
+ {J
y; = a x;x;
X; + {J
i = l.
i = l.
+P
i = l.
Punkt y: (x 1. y1 ). (x 11 . y 11 )
Punkt y: (xl . Y1l · (xll. Yu ). (x lll' Y111 )
Prly bli żcn i a paramctrów
Prtybliże n ia param e trów
a
a (OJ = (.111 - x1).1'1.l'u
(xm zm - xuzuH: u - : 1) -
(_r11 : 11
-x, z1H: m - zu)
(.1·111 -.1·11 H: n - : 1> -
tn -"r - .t1-"rr
p
p (O) = :.i_ (a (O) - Y1l =
(.i·111 - x 11 H .ru : n - .r1: 1l - (.i·u - x 1H.r 111 : 111 - .r11 : 11 l (.1 111 - x u l(:.: 11 - z1l - Ci-11 - x 1Hz 111 - z u )
-'.~
= ~ (a(OJ _ Yn l
)'(Ol =.r1 -
~ (XI
~(xn
+p
+p
Żródio: opracowunicwłasn e
Ta blica3.7 Przybli żenia
ze
parametrów uogólnionyc h trendów
s tał ą
)'1 = a+fJY / =
1
uzys kane
_I'/ =
I =].
Pods tawieni e: ;:1 = y1 Oblicza my
S1 =
J
S2 =
Podstawienie:
"f '
:1 .
p+h+ I
p+ I
sum
+{Je- Y I
I = I.
Pods!awi eni e: : 1 = ln y,
~· :1 .
rnctodą 111
logistyczny
Yt = a fJY'
l,
gdzie: Ir = [
wy kładni czych
Gorn pcrt z;i
t
S3 =
,n Z1
= I/ _1'1
:r.
p+211+l
3-J - li czba obserwacji w k
p = n- 3
oraz:A = ( S2-S3 ) l/ h 5 1 - S2 . Przy bliże nia
parametrów
a (O) = C {J (O) = )'(O)
B
=A
żr6d ło : opracowan icwłas nc
B =~ ~ AH 1 (S1 - 2S2
Pnybli7.eniaparJ.:metrów a (Ol
=ee
{J{O) = eH )' {O)
= A
+ S3) 2 .
C =~
S1 S3 - Si Ir (S1 - 2S2 + S.il3
Przybli żeniaparJ:m etrów
alOJ
= 1/ C B/ C
{J (O) =
)'{O) = - In A
Dodajmy, że wartośc i poczqtkowe parametrów, tj. ~ (Ol, może m y nieki edy l eż u zyskać MNK nawet tam. gdzie fo rmalnie ni c powinna być stosowana (np. losowe zmienne objaś n i ające, niejasna specyfikacja składników losowych). Na tym etapie ni e interesuj:1 nas bowiem forma lne własnośc i estymatorów parametrów, chodzi jedynie o zainicjowanie zbi eżnego procesu iteracyjnego wy kortyst ując
3.3.2. Wybrane
przykłady
Przedstawione wyżej podejście zi lustrujemy prtykładami estymacj i popularnych wekonometrii krzywych: T6rnquista I i trendu logistycznego funkcje TOrnquista
Rodzina mikroekonomicznych funkcji popytu - krtywe TOrnqui sta (por. rozdział 6) jest dobrym p rzy kładem modeli prawdziwie (istot nie) nieliniowych. Wbrew sugestiom zawartym w wielu podręcznikach nic istnieje sposób sprowadzenia tych modeli do postaci lini owej (spotykane w literaturze propozycje linearyzacji „na s iłę" są dyskusyjne 32 , a ponadto, w św i et l e poniższych ilustracji , niepotrzebne). Ki e d yś, gdy komputery nic były tak powszechne i łatwo dostępne, ,.protezy" zamiast prawdziwej estymacj i może miał y praktyczny sens. Dzisiaj, jak s i ę wydaje. takie podejśc i e nie jest usprawiedliwione. Przykł a d 18. Na podstawie danych zawartych w tablicy 3.8. dotyczących mie s ięcz nych dochodów na osobę (x;) oraz mi esięcznych wydatków na warzywa na osobę (y;) w wybranej grupie pracowniczych gospodarstw domowych oszacować parametry funkcji TOrnqui sta I rodzaju (popytu na dobra elementarne)
Tablica3.8 Grupy dochodowe
( m iesięn;ne
800-1000
sumy dochodów na
osobę
1400-1800
1800--2200
1mmeJ
w tys. z!)
2200-2700 I powyżej 2700
I
9
500.7
708.1
901.3
1195.3
I 586.7
1972.2
2410.6
13544.5
21.1
24.3
30.9
35.5
40.4
46.6
52.1
64.5
ź.ród!o:tlancumownc
32 Kontrowersja wynika st;1d. że naj pierw prtek.-;z1a/ca się nieliniową funkcję do postaci liniowej. a dopiero póżniej nakłada się addytywnie skladniki losowe. Prleksz.talceni:i wsteczne ujawniają całą ułomnoU i niepoprawnośćtakichoperncji
Rozwiąza nie.
Przedstawiony na rysunku 3. 17 rozrzut punktów empirycznych pokawydatków na warzywa od miesięcznych dochodów na osobę z dużym prawdopodobieństwem może być opisana za pomocą funkcji TOrnquista I rodzaj u
zuje,
i ż zal eżność
Rysunek 3.17. Rm:rmt punktów cmpiryo;nych wlc7;ności wydmków na warzywa od dów na oso~ (w tys. zł) J eś li
mies ięcznych
docho-
przyjmiemy model: y(x;. a,
/3) = }'; = x;a~; fJ + ~;.
to poc hodne cząstkowe funkcji (3.29)
względem
_ x ;_
ay
a;
są
równe:
- ax;
ay
ap
X; +{3
(3.29)
f3
p:1rametrów a, (X; +f3)2"
Zatem w !-lej iteracji przy ustalonych przybliżeni ach parametrów a(I> i [J fl) (por. (3.23))
(/) (3y) J;
Z11
X;
=
a;a(IJ
=
X/
+ {3 (1) .
{3;{3(1 )
a wobec 1ego macierz z (ll oraz wektor ef1l są postaci
z"'= ['.':'µ o< . (x~:';;,~l' ]. x„
x„
Tak
więc
pującego.
(x„
względem
każdej
"
- a U> x?
2
iteracji sprowadza
wektora poprawek
f=.~' (x~:';;;,) 3 ] [")"c1gi ]= "
(atll)2x;2
~ (l-i + f3Ul)J ~ (X;+ pVl)4
(3.30)
a fll x„
Yn - x„
[( Z (/))Tz Ol ]d (I) = (Z (l))Te(I), tj. :
[ f=.~, (.<;:~«J)
=[J' - '.~:~"'. ]
+ fJ UJ)2
nasze zadani e w
liniowego
e'"
- a (llx„
+ [J
d (I)
=
si ę
[
+ /3(1) do
rozwiązan i a nastę-
~r: J. układu równań
~ [f=.:, (Y•.- ,;:';.„, ). ,:•µ<". ] [d~' ]~ "
~
(
a(llx,
y, -
x„
)
+ p(O
d~1 1
- a (ll x , (x;
+ {Wl)2
-[t. (x, :~!")' t. (x~:';;::)3 [t. ] _,
-
- a Ul r ~
"
{ ; (x;
b "
+ p(;l)3
(a(l)) 2 r ~
(x;
+ ,8;1;)4
b "
3 31
(>• - ,;:';•"') x; :•P"' (] . (
Yi -
X;
+ 13«n
)
- a \11 r
a (I) x · )
(x;
+ fJ·U:)2
Jak wiemy ( por. (3.23)), dla l ~ O jest: a V+JJ = a(ll + d~I . 13(1+tJ = /J(l)+ dfl , natomiast początkowe (startowe) wa rto śc i parametrów a COl , p(OJ należy u sta l ić z góry. Wartości te wyznaczymy na podstawie wzorów zawartyc h w tablicy 3.6, mając nadzieję (bo pewnośc i mieć nie może my). że zai nicjują z bi eżny proces iteracyjny. Przyjm uj ąc: x1 = x1 = 708, I, Yr = Y2 = 24.2 oraz xu = X7 = 2410,6, )'11 = )'7 = = 52. I, otrzymujemy (por. wzory w tablicy 3.6): a (O)=
{J (O)
= ~
99 , 394024 ~ 99 _
(2410,6 - 708.1 ) ·24.2 -52.l 2410.6 · 24,2 - 708. I · 52, I 7
1
2~~~
(99.394024 - 24.2) =
2
~~~;
6
(99.394024 - 52.1) =
2188.233692 "' 2188 .
Wobec tego pod stawiając a<0 l = 99 i fj(O) = 2 188 oraz zaobserwowane wartości x ; i y; (dla i = I. . . 8) do (3 .30), otrzymujemy 33
O, 18622
z (O)
=
0.24450 0.29175 0.35 329
0.42035 0,47406 0.52420 0.61 83 2
- 0.00686 -0.00836 - 0.00935 - 0,0 1034
-
A zate m na mocy wzoru (3.22) wektor poprawek·
0.0 1101 0.0 11 28 0.01129 0.01068
e (Ol
=
2,66384 0.09438 2.01685 0.52388 - 1.21478
- 0, 3323 1 0.20390
3,28666
rozwiąza ni e m ukł adu równ ań
nomrnlnych (3.3 1) jest
33z konieczności podajemy wyni ki pośred n ie i końcowe z ogranicron ą dok/adnośdą (choc iaż wszystkie obliczenia prowadzone były z precyzją. na jaką pozwalało narzędzie - w naszy m wypadku był to kalkulator progr.i mowalny Tl-85). ale n ależy pami ętać. iż musi lo być zwykle dokłmln ośt znacznie w ię ksza niż prlyję ta liczba t (która najczęśc iej JeS l równa 10-5 lub 10- 6 ). Dos laleczną precyzję ob li cze ń zapewniaj;\ na ogół tzw. kalkulatory naukowe. Korzystiijąc z komput erów. musimy ją wymusić. deklarując odpowiedni typ zmiennych - zmienne podwójnej precyzji
df' ] [ 1.36293 [ df) - 0.03220
- 0.03220]-' [ 0.00081
2.76356]
582.55142] [
= [ 582.55 142
Ponieważ
zarówno
it1!0 )1.jak i
~
- 0,06358
14.49726
24656,88620
2.76356 ] - 0.06358
ld~0 >I są większe ode=
10- 5 ,
[ 3.02401 42. 17123
=
następn•i iterację
l
rozpo-
czynamy od:
[p:::]
=
[ µ:~~ ] +[~i~; ] =
21;:] + [ 4;:~;~~j]
[
= [
2i~~:~;~~~]
Z kolei olrzymujemy:
d!I} ] - [ l. 33593 [ d~I ) - 0,032 15
- Q.032 ]5] - ' [ 0.02656] 0,0008 1 - 0.00054
15. 10330
= [ 596.43825 i
pos tę powani e
kontynuujemy
aż spełnione
~
596.43825] [ 0.02656 ] 24781.93050
ldgJI
ll
[0.08021]
- 0.00054
=
zostani e założo n e kryterium
wek, tj. ld!1 < E i < E. co w naszym przypadku Przebieg procesu iteracyjnego obrazuje tablica 3.9
wystąpi w
2.50660
mał ośc i
popra-
iteracji szós1ej.
Tabl ica3.9 Nriterncji I
O'(I )
s,
p(I)
2188
3.02401
102.02401
2230.1 7123
102.10422
2232.67783
102.10834
2232.84875
102.10862
99
42.17123
1.99486
0,08021
2.SłXKiO
l.74149
0.00412
0.17092
l.74146
0.00028
0.01157
l.74146
2232.86032
0.00002
0.00078
l.74146
102.10864
2232,86 111
0.00000
0.00005
1.74146
102.10864
2232,86 116
0.00000
0.00000
1.74146
:Żródło:opracmvan iewła•ne
Ostatecznie w i ęc (po L = 6 iteracjach, przy e = 10- 5 ) otrzymujemy wyniki przedstaw ione w tablicy 3.1O Obc iążenia wzg lędne %8 (.) obliczono z wzoru (3.28) na podstawie wzoru (3.27). Przy czym, jak łatwo s prawdzi ć, i -ty plaster macicrą drugich pochodnych cząs tkowyc h jest rów ny
o H;=
[ (X; ;\~(LJ)2
O
X; (l) )2 ] (x; +fJ
2ax,
(x; + P'" )'
=
(x1
x;
[(x;+ 2232.861
16) 2
+ 22~~-861 16)2]
2 · 102.10864x; (x; + 2232.86 11 6)3
·
Tab lica 3.IO
Oszacowanie
102, 10864
2232.86116
D (.)
(6.77660)
(274.48409)
% 8 (.)
15.06782
8,1 3476
0,4507%
0,8977 %
s.
1.74146
•'
0.01218
Źródło: oprocowaniewłasne
Poni eważ obciążenia wzg l ędne są małe, można uznać, że własności modelu są zbliżone do własności modelu liniowego (wcześn iej uj<1wniły się asymptotyczne własności optymalne) i zastosować. przy dodatkowym zało że niu o normalności sk ładnik ów losowych. zwyczajową procedurę weryfikacyjną właściwą modelowi liniowemu. z której wynika, że nasz model możemy u znać za dobry - parametry są istotne, a miara dobroci dopasowania cp 2 ni ska Ostateczni e możemy napi sać:
• Yi
=X;
102.10864.r; + 2232.86116.
Powyższy model uzyskaliśmy przy założeniu addytywnych skfadników losowych. Gdyby jednak. nie wnikając teraz w mery t oryczną zasadno ść. przyjąć alternatywny model z multiplikatywnymi skład nikami losowymi
(3.32) to nic nie stoi na przeszkodzie, aby w tej nowej sytuacj i zastosować opisaną metodę. Wystarczy tylko model (3.32) sprowadzić do postaci z addytywnymi s kładnikami losowymi przez zlogarytmowanie stronami q(x;. a, {J) = q; = ln y; = ln x;a:; fJ
+ ~;= Ina + ln (x; +
{J) +
~1
(3.33)
w sytuacj i logarytmicznej zależności między funkcjami J i q: q = = ln(f), gdy mamy pochodne jednej funk cji, może m y mieć pochodne drugiej funk cj i: Zauważmy, że
af
a' J
iJX j
CJx; iJXj
. xK) i znanesą - oraz -- .
to
W sytuacji odwrolnej q (x 1. . . . xK)= ln f(x 1, ... .rK)
.1 z nan esą -;-aq ora z -a2q . axi
10
ax;Jxi
!!__=!!..!!__oraz ~= f ( !!!__!..!!__ + _!_ ~) ax;
ox;
ax,ax;
3 35
f ox;ox;
a..., ox;
( . l
Niemniej jednak odnotujmy, że układ ró wnań normalnych w me tod zie Gaussa- Newtona dla modelu (3.32) w /-tej iteracji ma po s tać:
[ -
1
"
- f= .: , a tll (x; + fitl>) ]
(a (IJ ) 2
"
I
~ a Ul (x; + fJ (ll)
"
[d~' ] ~ dm
I
~ (x; + f3Cl))2
P
- [ ;;k -
t IoJ'•<:,~:l'l)
t
--1- ln y; (x;
i= I
X; +
a potrzebne do obliczenia obc i ąże ń drugie pochodne
a2q Ja 2
13m
ap.
] (3 .36) ,
a Ol x ;
cząs tkow e są
równe:
~ =O
a2q
- 1 ~·
+ pVI )
(x;
+ fJ )2 .
aaa{3
(3 .37)
J eże li wi ęc przyjmiemy te same, co poprzednio, wartośc i początkowe a {OJ oraz /J (OJ , 10
otrzymamy·
df:: i [ dfl
~
[
0.00082 - 0,00002
- 0.00002 ] - ' [ 0.00243 ] 0.00000 - 0. 00008
253 19.301 63
~ [ 87 1656.651 32
~
87 1656.65 132 ] [ 0,00243 ] [ - 6,60426 ] 3153398 1.40040 - 0.00008 ~ -346.68451
oraz Se = 0.06669. a zate m:
[p::;J= [ µ::; ] + [ ;~i:; ] = [ 2 1 ~~ ] +[ -3~~:~~;~]
= [
1 s!~:~~;~~ J ·
Przebieg procesu i1e racyj nego oraz wyniki ko ń cowe podano w tablicach 3. 11 i 3.1 2. Analizuji1c obie tablice, na l eży mi eć na w zg l ę d z i e , że odchyle nie standardowe resztowe S~ oraz współczy nnik zbi eż n o śc i do tyc z ą zmi ennej q , a w i ęc logarytmów natural nych wydatków na warzywa. Nie mniej jednak model ów (z multiplikaty wnymi składni kami losowymi), który te raz może m y za pi sać jako:
92. 71482x;
j·;
Xi + \ 862.03 176. n ale ży, uzn ać
podobnie jak oszacowany przy za dobry.
założe niu
addytywnych
składników
losowych,
Tablica3. ll Nr iteracj i I
a Cll
s,
{3(1)
99
2188
92.39574
-6.60426
-346.68451
0.06669 0.05098 0.05083 0,05083
1841.3 1549
0.29785
19.926 12
92.69359
186 1.241 6 1 1862,00629
0.02050 0,00071
0.76468
92.7 1409 92.71480 92,71482
1862.03095
0,00002
0.02466 0,00079
1862.03 174
0.00000
0,00003
0,05083
92.71482
1862.03 176
0.00000
0.00000
0,05083
0,05083
Żródło:opr.icowaniewłasne
T11b lka3. 12
862,03 176
92.7 1482
J
D (.)
(6.96945)
(236,30508)
13.30303
7,87978
% 8 (.)
0.5277%
0.9 174%
s,
0.05083
•'
0.01530
Źródło:oprucowanicwłasnc
Sprawa jest wi ęc wysoce kłopo tliwa, bowiem bez dodatkowych zało że ń o mechani zmie generującym obserwacje (zapewne niełatwych do sprawdzenia) nie mamy powodu, aby kt ó ryś z tych modeli prefe rować. Jedno jest pewne - wyboru ni e powinniś my doko n ywać mechanicznie, ki e ruj ąc s i ę np .jakośc i ą dopasowania. Decydo wać musi umotywowana wiedza merytoryczna. W tym miejscu ni e będziemy roz s trzygać tych kwestii. chc i e li ś my tylko pok azać. że za pomocą metody Gaussa- Newtona mo ż liwa jest estymacja przy dwóch alternatywnych za ł oże nia c h o natu rze s kładników losowych, przy czym j eś l i podj ę li ś m y ju ż trud obliczenia pochodnych w jednym przypadku, 10 bez trudu na mocy wzorów (3.34) albo (3.35) - otrzymujemy pochodne w drugim przypadku Krzywe sigmoidalne - lrend logistyczny
W klasie nieli niowych modeli tendencji rozwojowej szczególnym zainteresowaniem cieszy ł y sic knywe S-k ształtne , a w ś ród nich trend logistyczny jako wyraz prlejawiania sic logistycznego prawa wzrostu 34 . Wła s n ośc i takich krzywych, obszary i warunki zastoso3 4 Ki edyś to prawo było bardzo modne. wręcz uznane za powszechnie obowi <1zujące prawo rozwoju cZ<łsern, poddane krytyce (naszy m ~..dan i em. nic Z
Z
się, że jeśli
wań , a t a kże sposoby wyznaczani a parametrów można zn a l eźć w pracach: Z. Czerwi1lski [26], A. Goryl [48] , [50], A. Gory l, A. Walkosz [57] , O. Lange [91] oraz T. Stanisz [125]. Niestety, najbardziej znane w literaturze metody wyznaczania parametrów trendu logistycznego, jak metoda Hotellinga (por. Z. Czerwi ński [26]) czy metoda Tintnera (por. T. Stanisz [l25J) w pewnych symacjach zawodzą (por. A. Goryl, A. Walkosz [52]). S tąd utrzymany w jednoli tej i uni wersalnej konwencji esty macji nieliniowej poniższy przykład
Pnyklad 19. Na podstawie zawartych w iablicy 3. 13 danych, dotyczących popytu na motocykle y, (w tys. szt.), oszacować parametry trendu logistycznego Tablica3.13 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
21
46
92
218
156
260
10
li
12
283
293
297
299
14
15
300
300
Żródto:d:incumm•·oc
Rozwiqumie. Istotnie, przedstawiony na rysunku 3.18 rozrzut punktów empirycznych wskazuje, że kształtowa n ie się w czasie popyru na motocykle wed łu g zależ n ości logistycznej jest wysoce prawdopodobne
L ..
·~! I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
li
13
14
15
,,
Rysunek 3.18. Roznut punktów empirycznych popytu n:i motocykle
Przy
zał ożeniu
addytywnych
y(I)
składników
losowych ~ 1 trend logistyczny dany jest
= y, = 1 + "{Je_Y, + S1 •
I=
L.
gdzie: y, - 1-ta obserwacja na zmiennej endogenicznej; / - dodatnie parametry
(3.38) zmienna czasowa; ex . {J . y
Poni eważ
pochodne cząs tkowe funkcji (3.38)
il)'
aa
względem
a. fJ i y
są
równe
I + {Je - Y1
ay
- ae - Y1
a/i
( I + {J e-Yt)2
il)' ay
af3 re-r'
(3 .39)
( I + fJe - rt)2'
zatem w /-tej iteracji, przy ustalonych przy bli że niach parametrów (3 .22)), elementy macierq Z 111 są równe:
a V>,
{J (I) .
y Ul
(por
a wobec tego układ rów n ań normalnych w /-tej iteracji (czyl i w /-tym kroku) L(Z ('J )Tz (llJd(/) = (Z (IJ )Te(ll ma postać· "
I
"
- a (ll e- y111,
~ ( l + {J(/Je-r111, )2
~ (I + 11
{J(IJ e-y(llrp
a Ul fJ ('l i e - r1n,
~ ( l + /3(1)e-r11Jr)3
[ d~'' ] d (/) d~)
-
-
(3.40)
natomiast a(O>, p
52 =
I
I
I
a
I
I
= 1.430469.
I
I
92 + 156 + 218 + 260 + 283 I
S3
I
4 + "9 + 2J + 4(;
I
I
I
I
= 0.029247.
I
= 293 + 297 + 29°9 + 300 + 300 = 0.016791,
s tąd:
A =
(~:~~~:; =~:~~:~:~)
115
= 0.388840,
I - 0, 388840 · ( I. 430469 - 0.029247) 3 0,388840. (1,430469 - 2. 0.029247
c
2.242053.
+ 0.0 16791) 2
~ 1.~·;:::~·~:~ .~~:~4~ :~~~~:~:] 1
0.003336
1 ostatecznie·
0.00~ 336
= 299. 770808 ,
a(O)
=
{J(O)
=
ylO)
= - Jn0. 388840 = 0.944586
~:~~~~~ =
u z y s ka l i śmy
Dziek.i metodzie trtech sum
672. 102075.
wiec:
~
299 . 770808 y, = I + 672. 102075 e-0. 944 586' oraz, jak
łatwo sprawdz ić :
S,
~
2.203467
1p
2
= O. 000253
Wobec tego obliczamy wektor poprawek (przyjęli ś my tym razem
d)"] [ [ d~O) d~O)
=
E
= I0- 6)
7.549591 - 0.235958 1260.156290]-' [ -7 .266599] - 0.235958 0.035100 - ]62,599388 0.292422 = 1260, 156290 - 162,599388 776139,723406 - 2459,425360
35z naszych doświadczeń wynika (por. A. Gory l. A. Walkosz [5 l ]). że tak otnymane przybliżeni;i zwykle z powodzeniem ini cjuj•1 zb i eżny proces iteracyjny i niejednokrotni e są lepsze (w tym sensie. że duJ'I mniejSZ'\ sumę kwadrn1ów reszt) niż oszacow:mia uzyskane~ pomocą bardziej skomp likowanych procedur.jak np. metoda Hotellin ga czy metuda Tin1nern
~
[
0.210766 -5 .704591 - 0,00 1537
- 5,70459 1 - 0.001537] [ - 7.266599] 11 19.595848 0.243815 0.292422 0.2438 15 0,000055 - 2459,425360
[ ~
0.58 11 80] -230.796875 - 0,052464
Pon i eważ wart ości bezwzg l ęd ne poprawek prtcwyżs zają E = 10- 6 , a w i ęc nie zachodzi reg uła stopu (kryteri um zakończenia procesu iteracyjnego), zatem obliczamy popraw ione przybliżenia parametrów:
] [•'"] [""'++d:°' + /J(l)
=
y
/j(O)
d~O)
y(Ol
tf~Ol
i kontynuujemy obliczenia
+
[299.770808
=
0.58 1180]
672 , 102075 - 230,796875 0.944586 - 0.052464
dotąd. aż wartości bezwzglę dne
tecznie małe. Rezu ltaty kolejnych iteracji oraz wyniki 3. 14 i 3. 15.
Nr iteracji I
p(ll
Cl'(/)
y(I)
299.770808 672. 102075 0.944586
[ 300 . 35 1988]
=
44 1.3052(){) 0. 892122
poprawek
s taną s i ę
końcowe zestawiliśmy
tl~I)
dv)
d(/)
'
0.581180 - 230,796875
dostaw tablicach
Su
-0.052464 2.203467
300.351988 441.305200 0,892122
0.073703
35,987614
300.425694 477.292814 0.892727
-0.011596
5.403 167
0.001202 0.305946
300.414095 482.695980 0.893929 -0.000149
0.059023
0.000008 0.277357
0.006605
2.888047
300.413946 482.755004 U.893937
- 0.000003
0,000346
0.000000 0.277345
300.413943 482.755350 U.893937
0.000000
0.000000
0.000000 0.277345
7.I6dło: opracowanie wbsnc
Oszacowanie
300.413943
482.755350
0,893937
D {.)
(0.130549)
(6.183083)
(0,001908)
78.076800
468.573953
0.0 109%
0.0004%
230 1.150929 % 8(.)
Wobec tego
0.0000%
s,
0.277345
•'
0.000004
może m y nap i sać
300.4 13943 y, = I + 482. 755350 e-0.8939371 Se= 0.277345,
.
rp 2 = 0.000004
Na zakorkzenie wróćmy jeszcze do tablicy 3.14 i za u ważmy, że wariancja resztowa z iteracj i na iteracje pr1.ejściowo wzrosnąć (ważne, aby poprawki nic rosły. bo to świadczy o rozbieżności procesu iteracyjnego). ale z czasem si ę stabilizuje i to wcześniej, nim wszystkie poprawki okażą s i ę co do m odułu mniejsze od E: (por. też tablice 3.9 i 3. l I) może początkowo
Zadania 46. W tabli cy 3.16 podano dane o dochodach (X w setkach zł na osobę) i wydatkach na utrzymani e i urządzen i e mieszkania (Y w setkach z ł na osobę) w pewnej grupie rodzin oraz logarytmy tych w i elkości zao krąglone do trzech miejsc dz i es iętnych . TablicaJ. 16 ln x1 1.492
I.OOO
0.4
1.649
I.OOO
0.5
2.014
l.221
lny1
0.7
0.2
2.226
l.221
0.8
0.2
3.004
1.649
I.I
0.5
4.482
1.822
1.5
0.6
Żródło: daneumowne
Oszacować parametry modelu potęgowego Y; = a 0 . X~ 1 e e; , opisującego za leżno ść wydatków na mieszkanie od dochodów rodzi ny. 47. W oparciu o podane w tablicy 3.17 dane, gdzie X - przeciętny mies i ęcz n y dochód na osobę (setki zł). Y - wydatki na żywność (setki z ł ) 36 oszacować parametry funkcji po t ęgowej Y1 = a 0 X~ 1 10'1 opisującej zależność wydatków na żyw ność od dochodów rodziny. •
TablicaJ. 17 logy,
logx,
5.012
1.259
O.I
0.7 0.9
7.944
2.512
0.4
10.UOO
2.512
0.4
12.590
3.163
0.5
I.I
19.953
3.982
0.6
l.3
Żffidło:daneumownc
36 Log;iry1my dz.iesięlne obserwacji z.~okrąglono do cz1erech miejsc dziesiętnych
48. W tablicy 3. 18 podano informacje o cenie pewnego wyrobu (X w z ł ) i jego ( Y w tys. sztuk). Na l eży oszacować parame try modelu potęgowego Y1 =
sprzeda ży
= a 0 x~ 1
•
ee'.
op i s ując ego zależność sp rzedaży
tego wyrobu od jego ceny.
ln yr
ln.1 1
60.341
4.1
o.o
1.221
44.702
3.8
0.2
l .822
33.116
3.5
0.6 0.8
I.OOO
2.226
22.198
3.1
2.718
20.086
3.0
I.O
4.056
18. 176
2.9
1.4
Żródło:daneumowne
49. W tab li cy 3. 19 podano dane o dochodach ( X w tys. zł n:1 osobę) i wydatkach na kulturę ( Y w setkach z ł na osobę) w rodzinach kadry kierowniczej pewnej firm y oraz logarytmy tych wiel kośc i zaokrąglone do 3 miej sc d zies i ęt nyc h
TablicaJ.19 ln y1
lnx1
I.OOO
2.718
o.o
I.O
l. 221
3.320
0.2
1.2
l.822
4.482
0.6
2.226
6.686
0.8
1.9
2.718
9.974
I.O
2.3
1.5
4.055
13,464
1.4
2.6
4.0
10,5
Żródło:daneumowne
O szacow ać
parametry modelu potęgowego Y, = a 0 • x~ 1 • ee, , o pi sującego zależność wydatków na kulturę od dochodów w badanych rodzinach. 50. W tablicy 3.20 podano dane o przec i ętn yc h mi es i ęczn ych dochodach ( X w zł) i przec i ę tnym mie sięcz n ym spożyc iu mięsa i jego przetworów ( Y w kg na osobę) w pewnej grnpie rodzin O szacować parametry modeli pot ęgowyc h Y, = a 0 ·x~ 1 · 1 0" 1 oraz Y, = a 0 ·x~ 1 ·ee' (linearyzując przy wykorzystaniu logarytmów dziesiętnych i naturalnych), s prawdzi ć czy postać oszacowanego modelu jest ta ka sama w obydwu przypadkach
Tablica3.20
350
2.50
400
2.60
450
2.90 3.32 3.60 3.94
Źfódło:daneumownc
wprowadzający na rynek nowy wyrób postanow ił zbadać zatego wyrobu ( Y w tys. sztuk) od testowanej jego ceny Zebrane dane przedsiawiono w tablicy 3.2 l
51. Pewien producent
leżność wie l kości s prt.:edaży
( X w setkach
zł ).
X1
2.00
[ .00
[ .00
0.50
0.40
10
12
22
28
0.25
7..ródło:dancumowne
Nal eży oszacować parametry m~el u hipcr~li czncg? Y1 = ao + a 1_Ę + c, oraz liniowego Y, = a 0 + a 1X, + s,, o pi s ujących zalezność wie lkości sprzedazy wyrobu od jego ceny. Który z modeli lepiej opisuje bada n ą zależ n ość?
52. W pewnym przedsiębio rstwie w ciągu 8 mie s ięcy poddano szczegółowej analizie kształtowan i e s i ę kosztów jed nostkowych produkowanych wyrobów (Y w tys. z ł ) w zależności od w i elkości produkcji tych wyrobów uruchomionej w danym miesiącu (X w tys . sztuk). W tablicy 3.22 prt.:edstawiono dane dla jednego z wyrobów Tablica3.22
x,
0.08
0.10
0.20
0.20
0.25
0.50
I.OO
2.00
Żródło: dancumownc
W oparciu o rozrzut punktów empirycznych na l eży dobrać postać analitycz n ą modelu o p isującego zależność s przedaży wyrobu od jego ceny i oszacować parametry przyjętego modelu 53. Pewien deweloper budujący osied le wi llowe postanowi ł zbadać zależność mię dzy powierzch ni ą domu i kosztem 1 m 2 powicr1:ch ni domu (w stanic surowym). W tablicy 3.23 podano potrzebne informacje (X - powierzchnia domu w tys. m2 , Y - przecię tn y koszt budowy I m2 w tys. zł).
Tablica3.23 1·r
O.I
0.125
Yr
6.5
5.2
0.2
0.25
0.5
3.8
2.5
l
Żr6Jło:daneumowne
(a) Oszacować parametry strukturalne funkcji hiperbolicznej Y1 = ao + a 1Ę + e1 , opi s ującej za l eż ność kosztu budowy I m2 od powierzchni domu (b) Ocenić dopasowanie modelu do obserwacji w oparciu o waności ws półczy nnika z bi eżn ośc i q; 2 i współczyn n ika zmienności resztowej Ve. (c) Zwery fi kować statys t yczną istotno ść otrzymanych ocen parametrów. (d) Czy prawdziwe jest twierdzenie, że graniczny koszt jednostkowy wynosi 1,5 tys. zł ? 54. W pewnym przedsiębiorstwie zbadano zale ż ność mi ędzy jednostkowym kosztem produkcj i pewnego wyrobu ( Y w zł za sz tukę) a wielkością produkcji (X w tys sztuk). Dane przedstawiono w tablicy 3.24.
X1
0.2
)'1
22
0.25
0.4
0.5
I
2
Źródło: dane umowne
O szacować parametry strukturalne funkcji hiperbolicznej Y, = ao s uj ącej zależność
jednostkowego kosztu produkcji od
w i e l kości
+ 0'1 -t, + e1 , opi-
produkcji
55. W oparciu o podane w tablicy 3.25 dane Tablica3.25 .f/
0.1
)'1
30
0.125
0.2
0.25
0.5
46
56
63
70
Źródło: dane umowne
(a) Oszacować parametry strukturalne funkcji hiperboli cznej Y, = a 0 + a 1 -f- + e1 ' (b) Obliczyć i zinterpretować wartość współczynnika determinacji R 2 (c) Zweryfi kować stat ystyczn ą i sto rno ść otrzymanych ocen parametrów. (d) Zweryfikować hipotezę, że wraz ze wzrostem X, Y wzrasta do poziomu 75 (e) Sprawdz i ć czy reszty modelu m ają charakter losowy (5 1 = 2, 5 2 = 6) i nie wykazują autokorelacji. 56. Tablica 3.26 zawiera informacje o dochodach (X w tys. i przetwory (Y w zł) pewnej grupy rodzin
zł)
i wydatkach na
mi ęso
TablicaJ.26 X1
0.40
0.50
0.80
1.00
2.00
4.00
_1'1
12.18
20.09
44,70
90.02
181.27
200.34
Żródło:daneumowne
(a)
Oszacować
parametry strukturalnej funkcj i
w y kładni czej
z
odwrotnośc i :1
Yt = ea+fl·},+lr
(b)
Zweryfikować s tat ystycz n ą i s totno ść
ocen parametrów strukturalnych Cto.05:4 =
= 2. 776)
(c) Oce n i ć dopasowanie modelu do obserwacji w oparciu o wartość współczynn i ka de1em1i nacji i współczynn i ka zmiennośc i resztowej 57. Produkcja pewnej firm y w latach 2003- 2008 (w mln sztuk - y1 ) przed staw i ała sic n as tępująco: 15, 1O, 11 , 16, 23. Nal eży oszacować parametry parabolicznej funkcji trendu produkcji Y1 = a 0 + a 1t + a 2 t 2 + E1. Przyjąć (a) 1 = I. 2, 3. 4. 5; (b) 1 = = - 2. - I.O. I. 2. 58. W tablicy 3.27 podano szereg czasowy p rzeds t aw i ający sprzedaż soków owocowych w latach 2002- 2008 ( Y w mln litrów) i zao krąg l one do trzech miej sc d zi es i ętnych logaryt my nat uralne tych wie l kośc i TablicaJ.27 lny,
Rok
2002 2003 2004 2005 2006 2007
2008
3,320 6,050 6,050 9,029 9,970 12.180 18.170
1.2 1.8 1.8 2,2 2,3 2.5 2.9
Żródło: daneumowr>e
Oszacować
parametry
wyk ładni czej
funk cj i trendu : (a) Y1 = a 0 . a~ . eE' , (b) Y, = e«o+ a ii +e, ( rów n oważny zapis tej funk cj i Y1 = ex p(ao + a 1t + E, )). 59. W tablicy 3.28 przedstawiono szereg czasowy sprtedaży wody mineralnej w Jatach 2003- 2008 (Y w mln litrów) Tablica3.28
Rok
2003
2004
2005
2006
2007
2008
5,lO
5.70
5,83
9.38
12.33
14, 10
Żr6dło:daneumowne
Oszacować
parametry
wykład ni czej
funkcji trendu w postaci (b) Y1 = ao ·a;· JOE',
tzn. linearyzując za pomocą logarytmów dziesiętnych i naturalnych S pra w d zić, czy w obu przypadkach postać oszacowanej funkcji trendu i wynikające z niej wnioski są takie same. 60. Producent pewnego wyrobu chce zbadać . czy zal eż n ość mi ędzy wie l kością produkowanych przez niego wyrobów a syste matycznie obniża n ą ich ceną za pom ocą funkcji potęgowej . W tablicy 3.29 podano infonnacje o ceni e (X w setkach zł) i w i e l kości sprzedaży (Y w tys. sztuk) jednego z wyrobów oraz zaokrąg lone do trzech miejsc dziesiętnych logarytmy tych w i e lkośc i sprze da ży
moż na opi s<1ć
Tab lka3.29 li1.t1
lny,
ll.023
2.460
2.400
0.900
l.100
7.389
3.004
2.000
6.050
4.482
1.800
l.500
4.953
4.482
3.320
5.474
1.600 l.200
l.700
2.718
8.166
I.OOO
2.100
l.500
Żród hdanc umownc
Na l eży oszacować parametry modelu potęgowego Y, = a 0 • x~ 1 e1:1 i oceni ć czy dobrt:e opisuje badaną zależn ość. Czy można powiedzieć , że elastyczno ść cenowa sprzedaży jest równa - 0, 9?
61.
Maj ąc
dane·
(XTX)_ 1 =
(a)
Oszacować
I 21
- 0.30
0.20
- 0:30 [ 0.20 - 0 .20
I. OO - 0,30 - 0.20
- 0.30 0.36 -0. IO
za pomocą KMNK
(b) Zweryfikować statys tycz n ą S„ = O. I oraz fa= 2.365
funkcję
istotno ś ć
- 0.20]
L' · ln y,~
- 0.20 - O. I O 0. 25
L
15,
lnx 11 • ln y1 = 8. L: lnx,2_·ln y 1 = 10.
L
In y,::i.
produkcj i o postaci
otrzymanych ocen parnmetrów,
wiedząc że
62. W tablicy 3.30 zawarte są informacje o obrotac h ( Y w tys. zł) uzyskiwanych prt:ez przedsiębiors t wo handlowe w lmach 1995- 2007. Metodą Gaussa- Newtona osza cować parametry uogólnionego trendu wykładniczego z addytywnymi s kł ad n ikami losowymi: y, =a + {Jy 1 + ~ 1 , t = I. , 13
Tablica3.30 1998
IO 43
48
55
63
75
11 2
90
140
179
231
30 1
12
13
396
524
Źródło:d aneomQW ne
63. Na podstawie zawartych w tablicy 3.31 danych kwartalnych, dotyczących sprze· daży motocykli i skulerów w Polsce( Y w tys. sziuk) w latach 1957- 1962 (I = \, . 24) oszacować me1odą Gaussa- Newtona parametry trendu Gompenza zarówno z addytyw· 1 nymi, jak i z nmhiplikatywnymi zakłóceniami losowymi, tj : y1 = rxffY +Si oraz )'1 = = af3Y e~',t = 1. .24. 1
Tablica3.31 Kwartał
l kw.
llkw
lllkw
IVkw
~
1m
1m
~
l kw.
llk w
~1m
lllkw
1m
IVkw
-
l kw.
llk w
~1m
lllkw
IVkw
1m
~
IO
Kwartał
13.6
20.4
19.4
21.9
27.0
27.7
25,2
35,3
36.2
39.5
34,0
33.6
l kw.
llk w
lllkw
JV kw
l kw.
llk w
lllkw
JV kw
l kw.
[[k w
lllkw
JVkw
1960 1960
1962
1960
1960
1961
1961
1961
1961
1962
1962
1962
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
34.9
40.6
40.1
39.8
37.5
37.8
38.9
39.0
40.2
43.5
44.5
43.0
Żródło: A. Barczak, B)'IU "idaóryrl• dóbr 1ru·11l<'~O 1i ~1·1ko"·1mi11 .. .le.szyty Naukowe Akademii Ekonomicmejw Kmowirach" 1964.nr21
64. Wykorzy stując metodę Gaussa- Newtona oszacować parametry trendu logistycz· nego z addylywnymi składn ikami losowymi , ale w dwóch różnych parametryzacjach (a) Yr = I
+ "{3e- Y' + S1
(b) y, =
1
+af3y '
+ S1
danymi tablicy 3.32, gdzie y, oznacza li czbę ludn ości Stanów Zjedna· czonych (w mln osób), określaną w odstę pach dzies i ęc iol et ni ch od 1790 do 191 Or. Pos łu żyć s ię
Rok 1790 1800 18 10 1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880 IO
_\'/
1890
1900
1910
12
13
3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23, 192 31.443 38.558 50.156 62.948 75.995 9 1.972
7..r6dło: H. Schulz. The SumdimJ Error of 11 forecaxl from a Cun·e. Journal of 1he Arn~rican Stalistical Associ ation"l930.vol.25
Zbadać,
nia
która parametryzacja jest w tym przypadku korzystniej sza z punktu widzeocen parametrów i z as tanowi ć s i ę, czy tych s pos t rLeżeń nic da sic uogól-
obc iąże nia
ni ć.
65. Na podstawie danych tablicy 3.33 try funkcji T6mquista f·
o s zacować metodą
Gaussa- Newtona parame-
x,a:;/3 +~;.
Yr =
gdzie: )'; - przec i ę tne roczne wydatki (w z ł ) na os obę na tłu s zc ze jadalne w gospodarstwach domowych pracowniczych w 1971 r.; x; - przec i ętn e roczne wydatki ogó łe m (w zł) na osobę w gospodarstwach domowych pracowniczych w 197 1 r. Tablica3.33 Gru py do- do 7201 - 960 1- 1200 1- 15001 - 18001 - 2 1001 - 24 00 1- 2700 1- 30001 chodowe 7200 - 9600 -1 2000 -1 5000 -1 8000 - 21 OOO - 24000 - 27000 - 30000 iwicccj IO
593
66!
732
791
850
971
6784
934
18038
1030
1074
11 33
23 187
25640
3 1695
Źl"ódło: Roc znikSta1y s1yczny 1972
66. Tabli ca 3.34 zawiera dane dotyczqce prze ci ę tny ch rocznych wydatków og ółe m x; (w zł na osobę) oraz pn:cc i ę tnyc h rocznych wydatków na war1.ywa i prt.ctwory y„ (w zł na osobę) w gospodarstwach domowych pracowniczych w l 974 r. Tahlica3.34
~I
10302
13068
15586
19409
24112
28920
387 16
331
4 18
487
587
680
789
899
Źródło: RocznikS1a1ys1yciny 1975
O sz acować
metodq Gaussa- Newtona parametry funk cji T6rnqui sta Il
y; =
(<: =~ + ~;
67. W tabli cy 3.35 przedstawiono dane dotyczqcc przec i ę 1nyc h dochodów x; (w z ł na o s obę ) oraz przeci ętn yc h rocznych wydatków na alkohol y; (w zł na os obę ) w gospodarstwach domowych pracowni czych w 1970 r
Tahlica3.35
Xj
7 177
9549
11 954
14862
17659
2 1430
31449
56
11 6
184
254
36 1
444
738
7..ródło:Roe1.nikS1mystyczny 1971
Os zacować
za
pom oc ą
metody Gaussa- Newtona parametry funk cj i TOrnqui sta Ili : y; =
rxx;:::: ~~ +~;.
68. W 1ablicy 3.36 zawarte są infonnacje o wartości brutto produkcyjnego majątku K 1 (w mln zł ) oraz o ś redni ej liczbie zatrudnionych w ciąg u roku l 1 (w osobach), a tak że o wart ości produkcji czystej Q1 (w tys. zł )
trwałego
Tab lica3.36 K, 1
3
Q,
L,
13.5
864.0
17.4
453
18.7
431
I 092.8
23.3
423
11 94. 1
I 081.2
424
1 225.6
6
24.2
471
1 284.6
7
28.6
486
8
31.2
I 502.7
9
34.1
1 597.4
10
33.2
1 634.8
24.4
I 409.7
11
35. 1
601
1 783.0
12 13
38.S
600
I 786.9
41.4
634
14
41 .1
690
1 972.8
15
42.2
70 7
2022.S
I 900.4
Żródło:
M et odą
Gaussa-Newtona o sz acować parametry funkcji produkcji typu Cobba- Douglasa z addytywnymi składnikami losowymi: Q1 = y K; l~ + ; 1 •
69. Na podstawie danych zawartych w tablicy 3.37 - Newtona parametry funkcji wykł adni czej: y1 = et.{J.r, +Sr
oszacować metodą
Gaussa-
1\iblicaJ.37
.l/
2
Yt
:n
51
Żródło:dancumownc
70. W tablicy 3.38 zamieszczono dane dotycz:we zużycia energii elektrycznej w MWh na robotnika grupy p rzemys łowej i rozwojowej w przemyśle pań s twowy m w latach 1970- 1975. Tablica3.38 Rok
1970
197 1
1972
1973
1974
1975
5.5
6.0
8.0
9.0
10.3
li.I
źródło: RocznikSMystycznyPrzcmysłu 1976
Nal eży wyznaczyć m etod ą Gaussa-Newtona parametry trendów· (a) wykładn iczego y, = et./J' + S,, t = I. . . 6, (b) po tęgowego y, arP + S1 • 1 I. . 6. a na s t ępn i e wybrać model lepiej opis ujący badane zjawisko i dokonać interpretacji otrzymanych wyników
=
=
7 1. W tablicy 3.39 zawarto następujące dane d o tyczące 22 gał ęz i przemy sł u uspow 1962 r.: K; - śre dni a wartość środk ów trwałych (w mld zł) przypadająca zakł ad; L; - ś redni a liczba roboczogodzin (w tys.) prąpadająca na jeden zakład; Q ; - średn ia wartość produkcji globalnej (w mld zł) przypadająca na jeden zakład Oszacować metodą Gaussa-Newtona parametry funkcji produkcji Cobba-Douglasa o stalych przychodach wzg l ę dem skali produkcji Uednorodnej stopnia pierwszego)· Q; = y + S;. Pro szę zauważyć, że addytywne składniki uni e możliwiają przejśc i e do funkcji wydajności pracy 31 • a je dn ocześnie nic potrzeba s t osować MN K przy warunkach pobocznych (warunkowej MNK) łeczni onego
na jeden
KrL:-a
37 w przypadk u mul1iplika1ywnych skladników losowych model można podzielić stronami przez L. otrzymamy wówcz.is funkcję wydajności pracy jako potęgową funkcję technicznego uzbrojenia pracy.
Tahlica3.39
3
K;
L;
Q,
K,
L,
Q;
12.609
181.01
21.826
12
15,487
132.15
14,483
23.395
165.69
26.186
13
6.877
79.42
9.796
19.057
318.82
31.127
14
6.498
122.00
11.085
4
16.578
202.61
22.723
15
4.396
54.97
6.312
5
22.847
218.74
29.267
16
15.421
125.20
15.171
5.310
72.06
6.802
17
5.583
79.51
9.350
9.273
104.22
12.759
18
9.465
98.87
11.413
8
12.144
128.46
16.029
19
11.435
88.56
11.718
9
38.988
331.31
33.797
20
6.434
80.11
8.431
123.76
I l.100
21
16.829
150.94
13.831
4,401
45.53
4.891
22
10.288
106.38
11.609
10
9.180
7..r6
72. Tablica 3.40 przedstawia wzrosl liczby pracowników firmy MICROSOFf świa t) w latach 1975-1994
(cały
Tablica3.40 Liczba pracowników
Liczba pracowników
1975
1985
li
1976
1986
12
1977
1987
13
1988
I 001
2258
1978
13
14
3587
1979
28
1989
15
4759
1980
40
1990
16
5975
1983
Żr6dlo:
Oszacować
za
pomocą
.. PCKurier"" 1994.nr25
metody Gau ssa-Newtona parametry trendu
z odwrotnością Y1 = exp
0> Pro szę za uważyć, że wartości początkowe a C pomocą zwykłej
wykładniczego
(a -{J ~) +;,.
oraz p
73. Wykorzys tując dane zawarte w tabli cy 3.4 1, os zacować parametr a modelu y1 = x~ + t: 1 i asymptotyczny błąd ś redni jego szacunku. Jako kryterium zatrzymania procedury iteracyj nej przyjąć : wartość bezwzg l ędną poprawki m n i ej szą od l % oceny parametru Tablica3.41
1.3499
1.22 14
1.6487
1.3499
2.2255
1.6487
2.4596
2.0138
4.0552
2.7 183
4.4817
3.3201
Zródło:daneumowne
74. (a)
~
O s zacować st os ując
algorytm Gaussa-Newtona parametr a model u y, =
_x,_ + t:, i błąd średni jego szacunku w oparciu o zawarte w tablicy 3.42 dane x, + a Tablica3.42
_l't
0,52
0.57
0.6
0.72
0.78
0.8
Żród ło : daneu mowne
Warto ść począ t kową parametru a 0 zao krąg l i ć do O, I Jako kryteri um zatrzymania proced ury przyjąć 1 I < I% a 1 ( warto ść bezwzg l ęd n a poprawki mniejsza od I% aktualnej oceny parametru). (b) Powt órzyć procedurę dla modelu z mulli pli katywnym za k łóc en i e m losowym:
ld
y, =
x,: a ·eE'
1 · e8 ' 75. (a) Oszacować paramelry mode lu nieliniowego y, = - -ao + a1X1 zawarte w tablicy 3.43. Tablica3.43
Y1
OA
0.2
0. 125
Żród ło:daneumowne
O. l
O.OS
mając dane
Proce durę i teracyj n ą przerwać. jeś li dla wszyslkich parametrów spełniony będz i e warunek < 1%a1. (b) Powtórzyć procedurę dla tego modelu z addytywnym zakłóce n ie m losowy m y1 =
ld'I
~
I
- - - +,,
ao + a1X1 W obu przypadkach punkty startowe moż n a e1), biorąc od wrotności obu stron 76. Mając dane zawarte w tablicy 3.44
wyznaczyć
np. MN K (po
pomi n ięc i u
Tablica J.44
_l't
0.20
0.25
0.40
O.SO
l ,00
2.00
0.0800
0.1000
0.1250
0.2000
0.2500
0.3333
Źródło: dane umowne
stosując błę d y
algorytm Gaussa-Newtona, ś rednie szacunku mode lu (a) y, = ___!!.!__!_ · eE' .
oszacować
(b)y, =
x,+{3
parametry (a i {3) oraz ich
przyb li żone
X1a~,{3 + c1 .
Jako punkty startowe przyjąć: a 0 = 0.5000, {3° = l ,0000 Jako kryterium zatrzy mania procedury p rzyji1ć < O.O l (obliczenia z do kładno ścią do czterech miejsc dzies i ętnych) 77. Mając dane zawarte w tablicy 3.45
ldjl
Ta blicaJ.45 1.2
I. I
x,
I Żródło:daneumowne
podać oszacowani e parametru {3 w drugiej iteracji (1: {3{2)) uzyskane za pomocą metody
Gaussa-Newtona dla modelu y1 = xf + c. Przyjąć 78. Mając dane zawarte w tablicy 3.46
b (Ol
=O
Tablica3.46
I :: I o:' I
0~1 I
0,1
I O.I I
Żródlo:dancumowne
podać oszacowanie parametru f3 w drugiej iteracji (1: p l2!) uzyskane za pomocą metody Gaussa-Newtona dla modelu y, = 13-•·, + e. Przyjąć b(OJ = I
Predykcja na podstawie modeli jednorównaniowych
4.1. Uwagi wstępne Oszacowane modele ekonometryczne przedstawiaj:1 ilo ściowe za l eż ności zachodz:1ce miedzy zmiennymi w przeszł ości. Z drugiej jednak strony, stanowią podstawc procesu wnioskowania o przyszłej realizacji zmiennych objaśnianych przez model, nazywanego predykcją ekonometryczną. Konkretny wynik procesu predykcji to prognoza, która jest wyznaczana dla wybranego okresu prognozowania Rozważając problemy predykcji na podstawie modelu ekonometrycznego, trzeba przyjąć założen ia determinujące kszta łt owan i e s ię zmiennych endogenicznych w przy+ szłości. Aby można było dokonywać predykcj i, trzeba dysponować • oszacowanym (zweryfikowanym) modelem ekonometrycznym, opisujqcym badane zjawisko ekonomiczne (oszacowane parame1ry struktury stochastycznej - znany rozkład odchy l e ń losowych modelu, tj . wartość oczekiwana. wariancja itp.) ; • wartościami zmiennych objaś niaj ących w okresie prognozowania (wie lkości zało żo ne w planach, będące rezultatem ekstrapolacji trendów tych zmiennych czy też kreowane w scenariuszach rozwoju badanego pr.i:cd s i ęwz i ęc i a gospodarczego). Ponadto wymaga się: • stabilnośc i modelu, tzn. s t ab iln ości postaci anal itycznej oraz parametrów (w okresie prognozowanym model zachowuje ważność, aktualnajesl postać analityczna modelu oraz oceny jego parametrów strukturalnych, rozkład s kł adnika losowego rów n ież jest stabilny w czasie); • dopuszczalno śc i ekstrapolacji poza obszar zmienności zmiennych objaśni ających wyslę puj ący w próbie, na podstawie której oszacowano model. Prognoza ekonometryczna może być dana za pomocą jednej liczby, stanowiącej możliwi e naj l e p szą ocenę przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej - jest to prognoza punktowa , lub też wynikiem predykcji może być przedz iał liczbowy, który z określo nym (bl iskim jedn ości) prawdopodobie1'tstwem będzie zaw i erać p rzyszłq real izację zmiennej prognozowanej. Mamy wtedy do czynie nia z prognozą p rzedz iałową. Należy jednak dodać, że przedział prognozy powinien być możliwie wąski, ponieważ tylko wtedy jego wartość informacyj na jest stosunkowo duża
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
Prognozy wyznaczone w oparciu o model ekonometryczny, pomimo spe łni e nia wszystkich wymaganych warunków, mogą róż ni ć się od rzeczywiście zaobserwowanych wartości zmiennej endogenicznej (prognozowanej). Wynika to przede wszystkim z istnienia w modelu ekonometrycznym składn i ka losowego, reprezentującego efekty wszystkich czynników niewystępujących w modelu w postaci jawnej. W związku z powyższym warto znać rząd w i e l kości spodziewanego błędu przy wyznaczaniu prognozy, stąd też w predykcji ekonometrycznej wysuwa s i ę dwa postulaty : • wynikiem każdego procesu predykcji powinna być nie tylko prognoza, lecz także wartość odpowiedniego miernika rLędu dokładności predykcji, • predykcja powinna być efektywna, tzn. miernik rzędu dokładności predykcji powinien kształtować s i ę na korzystnym poziomie. W praktyce korzysta s i ę z błędu prognozy (miernik ex post), który określa różni cę między rzeczyw i ście zaobserwowaną wartością zmiennej endogenicznej a wartośc i ą obliczonej dla ni ej prognozy. Natomiast efektywność predykcji określa się wyznac zając wariancję predykcji oraz błąd śre dni predykcji (miary ex ante). Btąd śre dni predykcji informuje, o ile średn io rzeczywiście zaobserwowane wartości zmiennej endogeni cznej w okresie prognozowanym będą się odchylać od wartości prognozy Na koniec uwaga ogólna: predykcja powinna być procesem permanentnie prowadzonym. Krokowo budowane prognozy ze sta ł y m korygowaniem są najlepszą rękojmią precyzji wnioskowania
4.2. Klasyczna predykcja na podstawie modeli przyczynowo-opisowych Predykcja na podstawie modeli opisowych (przyczynowo-skutkowych) nabiera szczególnego znaczenia wtedy, gdy występuje z mi en n ość analizowanego procesu gospodarczego i nie można wyodrębnić trwałej tendencji rozwojowej. Predykcja na podstawie tych modeli jest szczególnie istotna w okresach prze łomowyc h . w trakcie gwa łt ownych i niespodziewanych zmian kształtowania s i ę procesów ekonomicznych, a więc np. w okresie zmian koniunktury gospodarczej czy też w szczegó lno śc i przy transformacji systemu gospodarczego, jaka c i ągle jeszcze dokonuje s i ę w Pol sce. Wyznaczenie prognozy zmiennej endogenicznej w oparci u o model przyczynowo-skutkowy umoż liwia także poznanie k sz tałtowania s i ę mechanizmu rozwojowego tej zmiennej, zależnej od wielu czynników występujących zarówno w przeszłości , jak i w okresie prognozowanym Prognozę zmiennej endogenicznej w okresie prognozowanym buduje s i ę opierając s i ę na oszacowanym modelu ekonometryczny m tej zmiennej, zwykle zgodnie z zasad:1 predykcji nieobciążonej, przy założen iu , że zmienne obj a śn iające modelu przyjmą z góry określone wartości. Warto zauważyć, że w praktyce dysponujemy ocenami parametrów strukturalnych, a nie prawdziwymi ich wartościami. W związku z powyższym pojawiają s i ę błędy w procesie predykcji. Dodatkowym źródłem błędów są wahania składn i ka losowego oraz błędy śre dni c szacu nku parametrów strukturalnych. Progno zę p u nktową Y można wyznaczyć na podstawie mode lu (wstawiając zało żone wartości zmiennych objaśniajqcych) lub według wzoru:
4.2. Klasyczna predykcja na podstawie modeli przyczynowo.opisowych
yf
= x! ·a.
(4.1)
gdzie: a - wekior ocen paramet rów strukturalnych modelu, x. - wektor założonych wartości zmiennych objaśniaj ącyc h w okresie prognozowanym, który oznaczać będz i e my T , tj
xro: ] [. X71
x. =
(4.2)
rT K
Jak
j uż
wspomn iano.
podając progn ozę, n a l eży t akże podać
miern iki
rzęd u
jej do-
k ł ad ności
M ierniki d o kładn ości wyznaczanych prognoz dzieli s i ę zwykle na mierniki ex anre i ex posl. Mierniki ex anie obliczane są w momencie wyznaczania prognozy; pozwalają ocen i ć jej dokładno ść z góry (zanim będzie znana rzeczywista realizacja zm iennej prognozowanej). Należą 1uWaria11 cja predy kcji ex anie (4.3)
gdzie: x. - wektor wartości zmiennych objaś n iających w okresie prognozowanym zdefi ni owany wzorem (4.2); D2 (a ) - macierz wariancj i i kowariancj i ocen parametrów strukturalnych (2 .1 7); S'} - wariancja resz1owa Uwzględ niając, że D 2 (a) = s;(XTX ) - 1 , otrzymujemy = x!S;1(XTX ) - 1x. + i ostatecznie alternatywny do (4.3 ) wzór. wedł ug którego można obliczyć wa riancję predykcji (po wy łącze n iu przed nawias wariancj i resztowej) przyjmuje postać·
v,;
v} = Wari ancj ę
predykcji
v,; =
s; 1x;cx Tx )- 1x.
można t akże ob l iczyć
K
s;
+ l}
(4.4)
ze wzoru skalarnego
K- 1
L xJT D2 (aj)
+2L
j=I
LxjTXsTCOV(a j. a.,)
+
s;.
(4.5)
j = I s>j
gdzie: X jT · X sT - założone wart ości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym; D 2 (a j) - wariancja estymatora ai, cov(aj.as) - kowariancja estymatorów parametrów a i. a ., . Średni błqd predykcji: (4.6) Okre śla on o
ile, śred ni o, w dłu gim ciągu predykcji rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej będą s ię odchylać co do bezwzględnej warto śc i od prognoz Względny błqd predykcji
v,,
Vwzgl.
=
IYf]
100
(4 .7)
pozwala oce ni ć, jaki procelll obliczonej prognozy stanowi błąd średni . Zwykle prognozy uważa się za bardzo dobre, gdy V" "lgl. S: 3%, za dobre, jeże l i 3% < V""lg!. ~ 5%, a jeśli Vwzgl. > I 0%, 10 prognoza jest niedopuszczalna
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych Prog nozę prze działową,
przy
założeniu , że skł ad n iki
losowe maj<1
rozkład
normal-
ny, wyznacza sic zgodnie z nastcpuj ącą formu ł ą 1 VI, < YT < yf +ta
P{yj. - ta
v,,\ = I - a,
(4 .8)
gdzie: l - a jest p rawdopodobieństwe m tego, że zmie nna prognozowana YT przyj mie wartość z tego przedzi a ł u (poziomem ufn ości); fa odczytuje się z tablic rozkł adu 1 Studenta dla przyję 1ego poziomu i s t otności a i n - k stopni swobody (11 jest liczbą obserwacj i, k - l iczbą szacowanych parametrów) Mierniki ex post okreś l ają odchylenia rleczywistych realizacji zmiennej prognozowanej od wyznaczonych prognoz. Obliczane są po upływie okresu, na który prognoza by ła obliczona (T). Na l eżą tu m. in . Błąd prognozy obli czany jako róż n ica między rleczywist ą wartością zmiennej endogenicznej w okresie prognozowanym T (YT) a wyznaczo n ą dla niej progn ozą (yi)· (4 .9)
Średni błąd prognozy ex post
s„ =
/ _!__ L
Vli!
(4.10)
T
gdzie m jest liczbą okresów, dla których dysponujemy rt:eczywistymi realizacjami zmiennej prognozowanej. M i crą on o il e, śre d n i o, realizacje zmiennej prognozowanej odchylają się od obliczonych prognoz Wzg lędny błąd predykcji ex post
\l,p = w~półczy1111ik rozbieżn ości
l;.;I.
(4 .1 1)
Th eila
_!__
ł y~
(4 . 12)
Ili T = l
./(i informuje, jaki jest cał kowity względ ny bł ąd predykcj i w okresie empirycznej weryfikacji prognoz, bez wzg l ędu na to, co było przyczyną takiego stanu rzeczy. I stotną zal etą współczyn n ika Thei la jest możli wość rozłoże ni a go na sumę trzech sk ł adników·
(4 . 13)
które
pozwalają bliżej określić
charakter błędów aproksymacji:
1W dużych próbach la można zastąpić wielkością Ila odczytaną z tahlic dystrybuamy rw;k!adu nonnalncgo dla przyję1cgo poziomu istotności a (110.05 = 1.96. stąd często w praktyce 95%-owy pncdział uFności jest przyjmowany juko .1·f ± 2Vµ)
4.2. Klasyczna predykcja na podstawie modeli przyczynowo.opisowych
I~
=
(ji~ - jif}2,
(4. 14)
;~Y}
Ii=
(s~
tJ =
- Ly} r 2sr.~f(I -
-sn2 .
(4.15)
111
rr>,
(4.16)
- L:T Yi
Ili
gdzie: S'r. Yf - średnie arytmetyczne, odpowiedni o, rzeczywistych realizacji zmiennej prognozowanej i jej prognoz: s 7 • sf - odchylenie standardowe, odpowiednio, od wartości fr i S•f w okresie, dla którego dysponujemy rzeczywistymi realizacjami zmiennej prognozowanej; wspó łczy nnik korelacji liniowej między wartośc iami y.,. i yf w tym okresie. Po podzieleniu tych trzech mierników przez / 2 otrzymujemy:
r.,. -
~-
1,2
I I = fi•
,2
/~,--- -, ',.
~-
1,'
(4 .1 7)
I 3 = fi
Mierniki ą, iJ, i] mi er~ą, jaką część cał kowitego względnego błędu predykcji stanowi błąd wynikający odpowiednio (por. [148], s. 48-49): • z obciążenia predykcji (niedostatecznej zgod n ośc i przeciętnych warto śc i Yr i Yf w okresie empirycznej weryfikacji prognoz), • z niedostatecznej e la stycz ności predykcji (niedostateczna zgod ność poziomu zróż ni cowania warto śc i y.,. i Yf w okresie empirycznej weryfikacji prognoz), • z niedostatecznej predykcj i punktów zwrotnych (niedostateczna zgodność kierunku zmian wano śc i Yr i yf w okresie empirycznej weryfikacji prognoz). Przykład 20. W pewnym przedsiębio rstwie wielkość produkcji, zatrudnienia i majątku w latach 2001 -2007 kształtowały się jak w tablicy 4. 1, gdzie: Y, - wielkość produkcji (w tys. sztuk): X 11 - liczba zatrudnionych (w setkach osób); X, 2 - wartość majątku t rwałego (w mln zł) (a) Os zacować parametry strukturalne modelu:
trwałego
I = 1, Wyznaczyć prognozę wielkośc i
.7
produkcji na 2008 r., wiedząc, na podstawie planu śred nioterminowego, że liczba zatrudnionych (X 71 ) wyniesie 8 · 100 osób, a wartość majątku trwałego (X n) 25 mln zL zatem wektor założonych wartości zmiennych objaś niającyc h ma postać: (b)
dla2008
ex. ~
[j]
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
oceny d okł ad n ośc i wyznaczonyc h prognoz, ob li czając wari a n cję i bł<1d średn i predykcji (miary ex al/fe) oraz b ł ąd prognozy ex fJOS/, w i edząc że zrealizowana w i elkość prod ukcj i w 2008 r. wy n ios ł a 150.0 tys . sznik (d) Wyz n aczyć prognozy p rzedzia ł owe wielkości produkcj i w badanym pm:dsię biorstwie dla lat 2008, 2009, 20 10 (tj. dl a T = 8. 9 i 10), wiedząc że: (c)
Do ko n ać
dla2008 c. x.
~ [ ~]. db2009 u , ~ [ ~] . 25
dla2010c. x.
26
~ [ ~] 27
Tahlica4.1
2001
80.6
3.8
11.0
92.8
4.3
16.5 17.0
2003
95.9
4.9
2004
95.0
4.7
16,0
2005
103.4
5.1
2006
104.5 113,8
5.6
18.5 20,0
6.6
21.0
2007
Źródło: dane umowne
Rozwiąza 11ie. (a) Korzystając z klasycznej me1ody najmniejszych kwadratów oszacowano parametry struktural ne modelu. Wyniki ob l iczeń są nas t ępuj ące
xTx =
[
7.00 35.oo 120,00
(XTX)- 1 =
35.00 179.96 6 16,20
[
120.00 ] 6 16,20 . 2 121.50
5.2408 15 - 0,7763 - 0.07096
XTy =
- 0,7763 1.133619 - 0.28535
[
686.00] 3 485.35 . 11 960.80
- 0.07096 ] - 0.28535 . 0.087368
Wektor ocen parametrów a = (X TX )- 1X Ty , a w i ęc a ~
[
5.2408 15 - 0.7763 - 0,07096
- 0.7763 1.133619 - 0.28535
- 0.07096 ] - 0.28535 0.087368
[
686.00] 3485.35 11960,80
~
[40.783 ] 5.44654 l.7491
Oszacowany model przyjmuje postać
Y= 1
40.783 (3. 895)
+
5,447x11 (1.8 11 )
+
l ,749x12. (0.503)
R2 ~ 0.9826.
s; = 2.8945.
4.2. Klasycma predykcja na podstawie modeli przyczynowo.opisowych
5.240815 2
0 (a)
=
[
-0.07096 ]
- 0.7763
~ 2.8945 · [ =~~~~~ 6
-~ ~~;~;9 -~·~g;~S ~ 15. 1695390 175 - 2.24700035 - 0.20539372
-2.24700035 3.28 12601955 - 0.825945575
-0.20539372 ] - 0.825945575 . 0.252886676
(b) Na podstawie oszacowanego modelu wyznaczymy progno zę wielkości produkcji na 2008 r., przyjmując że zmienne X i X 2 będą się kształtować na poziomie, odpowiedni o. 8 oraz 25. Stąd: 1
Y[008 = 40,783 + 5.447 · 8 + 1,749 · 25 = 128.0824 Można
zatem przyj:1ć , że wielkość produkcji w 2008 r. będz i e wynosić 128 tys. sztuk. przy z góry przyję t ych założe niach o wielkości zatrudnienia oraz o wariości majątku
trwałego przedsiębio rstwa
Warto podkreślić. że w praktyce gospodarczej częs t o konieczne są badania symulacyjno-predyktywne. które polegają na budowaniu prognoz dla różnych poziomów zmiennych objaśniających w prt.:ys złych latach. Prakt yka gospodarcza odwołuje s i ę również do prognoz wariantowych budowanie prognoz w warunkach najbardziej niekorzystnych, śred ni ch i najbardziej sprzyjających (prognoza pesymistyczna. przeciętna. optym istyczna). (c) Aby ocenić dokładność predykcji, obliczamy wariancję predykcji, ty m razem ze wzoru skalarnego (4.5):
v,; =
2 15.1695390175 + 82 • 3. 2812601955 + 25 2 • o,252886676+ + 2[1 · 8 · (-2,24700035) +I· 25 · (-0,20539372)+ +8·25' (-0.825945575)] +2.8945 ~ = 383.224 - 376.599 + 2,8945 = 9.5185
1
i macierzowego, np. (4.4):
I]
15, 1695390 175-2.24700035 - 0.20539372 ] [ 3. 2812601955 - 0.825945575 · 8 +2 .8945 ~ - 0,825945575 0,252886676 25
v,; ~ l Is 2H [ - 2.24700035
- 0.20539372
~
l - 7,9413067825
3, 354441839
- 0,49079 142]
[J]
+ 2.8945
= 6.624 + 2.8945 = 9,5185 . Oczywiście Błąd ś redni
wynik otrtymany z obydwu wzorów jest identyczny predykcji (4.6)
v,
~
)9:5i8s ~ 3, 085,
~
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
tzn .. p rzec i ę tni e, rzeczywiste warto śc i zmiennej Y będą s i ę odchyh1ć od wyznaczonej prognozy ( 128 ,0824 tys. sztuk) o ±3. 085 tys. sztuk . Względ n y błąd predykcji (4.7) 3.085 Vw,.g1. = 128.0824. IOO = 2 .4I %. ni eprLe kraczający Błąd wielkość
3% św iadc zy, że prognoza jest bardzo dokładna . prognozy ex post obliczony według (4.8) - j eże li wiadomo, że r.teczywista produkcji w 2008 r. wynosiła 150 tys. sztuk (Jr= 150) wynosi
Q = 150.0- 128.0824 = 21.9176 tys. sztuk. niedoszacowana ; dość duża rozbieżność mi ędzy rzeczywiście zazmiennej endogenicznej a jej prog nozą jest skutkiem przede wszystkim zastosowania ni edoskonalej metody prognozowania, jak rów ni eż niezbyt dobrego dopasowania modelu do danych empirycznych; wskazuje to na potrzebę uzupeł nienia rozważań wyznaczeniem prognozy pri:edziałowej. (d) Prog n ozę przedziałową, przy za łożen iu , że składni ki losowe mają rozkład normalny, ustala s i ę zgodnie z formułą (4.8) Wartości prognoz punktowych (yf) na Ir.ty kolejne lata obliczono przyjmując, że wektory założonych wartości zmiennych objaśniających maj ą pos tać:
a
w i ęc
prognoza
była
obserwowaną wartością
~ ~],
~ ~].
~ ~]
dla2008 c. x. [ dio2009c..x. [ dla 20 10c.. x. [ 25 26 27 Obliczone prognozy oraz odpowiadające im wartości błęd ów predykcji V„ przedstawia tablica 4.2. Tablk114.2
yf
v,
llwzgl
128.083
3.085
2.41%
x.=ll
8 25 )T 8 26 )T
129.831
2.964
2.28%
x.=[I
9 27 ]T
137.027
3.905
2.85%
Rok
2008
x.=[I
2009
2010
Żródło: opr.1<·owanie własne
ot=
Wartość odczytana z tablic rozk ładu t Studenta dla za ło żo n ego poziomu i s t o tn ośc i 0,05 oraz 11 - k = 7 - 3 = 4 stopni swobody t„ = 2, 776 Prognozy przedziałowe wielkości produkcji wyrobu wynoszą, odpowiednio
Pl\28.083 - 2.776 · 3,085 < J2oos < 128.083
+ 2.776 3.085)
czyli
P{ll9.520
Pl 121.604 < P\1 26. 188 <
J'2()0')
)'2010
< 138.059] = 0.95. < 147.866} = 0,95
= 0,95.
4.3. Modele tendencji rozwojowej jako
narzędzie
predykcji
A zatem z prawdopodobiefistwem I - a = 0.95 można s twi erdzić, że wiel kość produkcji rozpatrywanego wyrobu będzie się kształtować w granicach wyznaczonych przedziałów. tzn. w 2008 r. ll 19.520; 136.644), w 2009 r. [121.604; 138,059] i w 2010 r [126.188; 147.866].
4.3. Modele tendencji rozwojowej jako
narzędzie
predykcji
Mode lem tendencji rozwojowej nazywamy ekonometryczny model jednorównaniowy, którego postać analityczna jest stała w czasie, a jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna czasowa 1 lub jej funkcja. Zmienna czasowa t nie występuje w związku przyczynowo-skutkowym ze zmienną endogeniczną i jest traktowana jako syntetyczny wskaźnik zmieniających się warunków determinujących rozwój analizowanego zjawiska Predykcja na podstawie klasycznego modelu tendencji rozwojowej wymaga •ustalenia (doboru) postaci analitycznej funkcji trendu f(r) na podstawie zebranych danych statystycznyc h, • esty macj i parametrów modelu Wykorzystanie oszacowanego mode lu w procesie wnioskowania w przyszłość jest stosunkowo mało skomplikowane, ponieważ nie wymaga s i ę znajomości z góry wartości zmiennych objaśniających (znane są wartości zmiennej czasowej 1 w kolejnych okresach prognozowania T). Prognozę dla okresu T ustala się mn ożąc wektor wartości zmiennej czasowej t lub jej transfom1aty dla okresu prognozowanego T prnez wektor ocen parametrów strukturalnych modelu . Natomiast oceny dokładności i efektywności predykcji dokonuje s i ę analogicznie jak w przypadku mode lu ekonometrycznego (podrozdz i ał 4.2) Modele tendencji rozwojowej są prqdatne przede wszystkim do budowy prognoz operatywnych, a więc krótkoterminowych i średniotenninowye h . Można sądzić. że zmienna prognozowana i określające ją czynniki c harakteryzują się wtedy znacznym stopniem stabi lno śc i i regu l arności, co czyni wyznaczoną prognozę bardziej wiarygodną. Natomiast stosowanie rozważanych modeli tendencji rozwojowych do wnioskowania długookresowego może okazać się ryzykowne ze względu na możliwość pojaw ienia s i ę zmian jakościowych w rozwoju badanego zjawiska Przykład 21 . Wydobycie węgla kamiennego tach 1997- 2007 przedstawiono w tablicy 4.3
w
jednej z kopalli Górnego Śląska w la-
Tablica4.3
Wydobycie węgla kan11cnncgow1ys.10n Żródło:daneumowne
1997
1998
1999 2000 2001
2002
2003
130
137
140
145
161
160.5
154
2004 2005 2006 2007 172
178
185
192
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
(a) Wyodrę bni ć tenden cję rozwoj ową wielkośc i wydobyc ia węg la kamiennego dla lat 1997- 2007, pr zyjmuj ąc lini ow ą funk cj ę trendu (rozrzut punktów empirycznych na rysunku 4. l potw ierdza trend liniowy) (b) Oce ni ć dopasowanie lini owej funkcji trendu do rzec zy wi śc i e zaobserwowanych w art ości w oparciu o anali zę parametrów struktury stochastycznej (c) Wyz naczyć prog nozę wydobycia węg la kamiennego rozw ażanej kopalni dla lat 2008 ; 2009. Rozwiązanie. (a) Za pomoc ą MNK wyznaczamy oceny parametrów strukturalnych et i {3 liniowej funk cj i trendu: (4 .1 8) Y, =a + {3 · r + e, M oż n a w tym celu trendu ma pos tać
w yk ortys tać ukł ad równ ań
normalnych. który dla liniowej funkcji
ua+b L;1 ~ L; y1 •
"L: 1 + b L: 1' ~ L: 1 „,.
(4 .19)
Oblicze nia pomocnicze zawiera tablica 4.4 (kolumny 2- 5) ; po podstawieniu stosownych w i e lkośc i do pow yższego układu otrzymujemy· I la 66a
którego
rozwią zani e m
Tablica4.4
1997
2110 1
1
,, 130
161
I 754,5 I I 203. 5
l
.
jest a = 122.6 ; b = 6. 15,
Yr
·I
130
36
-5
1.25
l.56
- 29.50
870.25
134.90
2. IO
4.4 1 - 22.50
506.25
141.05
-1 .05
I.IO
- 19.50
380.25
-3
147.20
128.75
- 2.20
4.84
-14.50
2!0.25
-2
153.35
0.65
0.42
-5.50
30.25
- 1
966
159.50
1.50
2.25
1.50
2.25
o
5
2002
+ 66b = + 506b =
25
160.5
49
11 23.5
165.65
- 5.15
26.52
I.OO
I.OO
8
172
64
1376
17 1.80
0.20
0.04
12.50
156.25
2005
9
178
81
1602
177.95
0.05
o.oo
2006
10
185
100
1850
184.IO
0.90
0.81
25.50
650.25
2007
11
190.25
1.75
3.06
32.50
1056.25
25
L
66
1754.50
o.oo
45,01
o.oo
4 205,50
11 0
2003
2004
I 754,5
506 11203,5
Żródło: opracowaniewłasne
18.50
342.25
4.3. Modele tendencji rozwojowej jako Można t akże skorzys t ać
narzędzie
predykcji
z wzoru (2 .1 3) a = ( X TX )-I X Ty,
gdzie:
y=
130 137 140 145 154 161 160.5 172
1 1 a s t ąd
a ~ ["&] ~
10 11
178 185 192
[
11 66]_, [ 1754.5] [ 122.6 ] 11 203.5 ~ 6, 15 55 506
Oszacowana fu nkcja trendu jest nas tępująca:.)•,= 122,6 + 6. l5t Rozrzut punktów empirycznych i dopasowaną li n ię trendu przedstawiono na rysunku 4.1
Rysun ek 4.1 . Wydobycie
węgla
kamiennego w latach 1997- 2007 (punkty empiryczne i dopasowa na linia trendu)
(b) Aby oce n ić dopasowani e funkcj i trendu do rzeczy wiście zaobserwowanych wartośc i wydobycia węg l a kamiennego, poniżej obliczono oceny parametrów strukt ury stochastycznej. Dane pomocnicze do ich obliczenia zawiera tablica 4.4 (kolumny 6- 10) Wariancja s kł adnika resztowego :
t
(y, - f,J'
s; =r =l11 -k
45 0?5 = l l·--2 =5 ,0028.
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
O dchylenie standardowe
skład ni ka
resztowego
j5.(){)28 =
S„ =
2.237 tys. ton,
czyli wartości wynikające z funkcji trendu (teoretyczne) odchy l ają sic od wartośc i empirycznych zmiennej endoge ni cznej (wydobycia węg l a) przeciętnie o ±2.237 tys. to n Współczy n n i k zb i eżnośc i
t
(y, - y,)' 45 025 rp2 ='-- -' -- ~ · - =00107
,E
zatem wielkość wydobycia węgla kamiennego w latach 1997- 2007 w bli sko 99% wynika z działania składni ka systematycznego, nawmiast tylko oko ł o I% to wpływ sk ł adn i ka prt:ypadkowego. Macierz wariancj i i kowariancj i ocen parametrów strukturalnych:
o'c·) ~ s'cxTx)-' ~ 5 0028 . [ - 0.045545 0.4 18182 ,,
(gdzie a = [: } i
<'
'
- 0.054542] 0.00909 1
błędy średnie szacunku parametrów: D(a)
~
J5.0028 · 0.4 18182
~
1.45.
D(b) ~ /5.0028 · 0.00909 1 ~ 0.2 1. Ostatecznie oszacowany model tre ndu
można zapisać·
5'1 = 122.6 (1.45)
+
6. 151 (0.21)
Parametry strukturalne są statystycznie istotne (r(a) ~ 84, t(b) ~ 29,3). Można uznać , że funkcja li niowa dobrze opisuje badaną zależność i może stanow i ć podstawę procesu predykcj i. Ocena parametru O' - a = 122,6 informuje o wie l kości wydobyc ia węgla kamiennego w 1996 r. (r = 0). Natomiast ocena parametru {J, czyli b = 6. 15 informuje, że w i elkość wydo bycia węgla kamiennego w latach 1997- 2007 wzrastała średnio rocznie o 6. 15 tys . ton. (c) Na podstawie oszacowanego modelu liniowego wyznaczono prognozy wydobyc ia węgla na laia 2008 i 2009. W 2008 r. zmienna objaś n iająca T = 12, w 2009 r. T = 13.
y[008 = 122.6+6.15 · 12 = 196.4. y{009= 122.6+6.15· 13=202,55 zatem spodziewać, że wydobycie węgla kamiennego w 2008 r. wyni esie 196,4 tys. ton, a w 2009 r. 202,55 tys. ton Do oceny dokładnośc i predykcj i ex ame można wykorzystać wari an cję predykcj i ((4.4) lub (4.5)), błąd śred n i predykcji i błąd wzg lędny predykcji ((4.6) i (4.7)) Nal eży się
W przypadku funkcj i trendu błąd śred ni predykcji m ożna dzie taki sam, jak w przypadku wzoru (4.6)) stos ując wzór
t ak że obliczyć
(wynik
bę
4.3. Modele tendencji rozwojowej jako
narzędzie
predykcji
1
L (r - iV obliczono w kolumnach v„12 =
= 2.237
-
= 2,237
- 11 0
j"i"Al82 = -
- 11 0
Ji.53636
l 2
(4.20)
+ -;; + 1:
I
+ Ti+
l = 2.237
)36 JiO +Ti+ I= I
2,664 tys. ton,
(13 - 6)'
V„ 13 = 2.237
_ i)
11 i 12 tablicy 4.4
(12 - 6)'
2.237
(T - 1) 2
~ (r
VP = Se
I
+ Ti+
l = 2.237
)49 JiO +Ti+ I= I
= 2.773 tys. ton
Prognozy są bardzo dokładne , ponieważ błąd względny (4.7) dla 2008 r. wynosi l,36%, a dla 2009 r. - l ,37% wyznaczonej prognozy. Można jeszcze wyznaczyć prognozy przedziałowe (wedłu g wzorn (4.8)). Przyjmuj ąc poziom ufnośc i 0,95 dla a= 0.05 i 11 - k = l I - 2 = 9 stopni swobody ta = 2,262:
2008' P{l96.4 - 2,262 · 2,664
22. Dane o kształtowaniu się wartośc i produkcji (Y w mld w latach 1999- 2008 przedstawiono w tablicy 4.5
zł)
w pewnym
przedsiębiorstwie
T11blica4.5
Produkcja w mld
zł
Produkcja w mld
()'1)
1999 2000
2001
zł
()'1)
3.5
2004 2005
4.1
2006
4.5
Il.O
16.l 15.5
s.o
21.0
7.6
26.4
Żródł o:danc u111ownc
(a) Oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej wykład niczej funkcji trendu. (b) Wyznaczyć prognozę kształtowania s i ę wartości produkcji w latach 2009, 2010 i 201 1, zakładając, że tendencja przedstawiona za pomocą funkcj i wykładniczej utrzyma s i ę w następnych latach. Ocenić dokładność predykcji
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych Rozwiąza nie.
(a) Analiza graficzna (rysunek 4.2), a także analiza przyrostów wartości produkcji przedsicbiorstwa potwierd zają, że odpowiednia bcdzie funkcja wykładni cza, np. o postaci: Y1 =ao·a; JOE' , gdzie t jest z mi enną czasową, przyjmującą wartości kolejnych liczb naturalnych (t = = 1.2 . . . 11 = IO). Parametry tej funkcji możn a oszacować KMNK po uprzednim sprowadzeniu jej do postaci li niowej pn.:ez logarytmowanie. Otrzymamy wówczas (por. podrozd z iał 3.2): log Y1 = loga 0
+t
loga 1 + E: 1 lub alternatywnie ji, = {30 + {3 11 + E:1
Wektor ocen parametrów tej funkcji
[~~ ] = [ :~~::~]
b=
obliczamy z wzoru:
gdzie:
,,
I
log y1 logy2 logy3 logy4
I;
I I I I I
X=
,, ,, /4
,,
Y= 8 9 JO
,,'• ''°
log ys
log ."6 logy7 log.rs logy9 log.v10
0.60206 0.54407 0.61278 0.69897 0,8808 1 1.04139 1.20683 \, 19033 1.32222 1.42160
Obliczenia pomocnicze zamieszczono w tabli cy 4.6.
x'-= [ L:(logy,)·t L:Jogy, ] =[ 61.0633 9.52107] y · det x Tx = 825.
-
\ogy
h= Możn a
Jog a0 ] [ loga 1 zatem
[
=
= -9.5210-107 = 0.95 2107.
0,4666667 - 0.0666667
- 0,0666667 ] 0.0 1212 12
l
[ 9.52 107] [0,37228 61 .0633 = 0. 105422 ·
zapisać, że
log.91 = 0. 37228 + 0.105422t.
4.3. Modele tendencji rozwojowej jako
12
logy1
narzędzie
predykcji
logy1 logy1 - logy1
logyr·I
I
4,00 0,60206
I 0,60206 0.47770
0.124
3.50 0.54407
1,08814 0.58312
3
4.10 0.61278
1,83835 0.68855
logy1 -logy1 (logy1 -logy1)2
e'f 0.0155
- 0.35005
0,123
-0.039
0.0015
-0,40804
0.166
-0.016
0.0051
-0.33932
0.115
4
5,00 0,69897
16
2.79588 0.79397
-0,095
0.0090
- 0.25314
5
1.60 0.88081
25
4.40407 0.89939
-0.019
O.OOJ3
-0.07129
0.005
11.00 1.04139
36
6.24836 1.00481
0.037
0.0013
0.08929
0.008
16.10 1.20683
49
15.50 1.19033
0.064
8.44778 1.11023
0.097
0.0Cl93
0.25472
0.065
64 9.52265 1.21566
- 0.025
0.0006
0.23822
0.057
9 21.00 1.32222 81 11.89997 1.32108
0.001
0.0000
0.37011
0.137
IO 26.40 1.42160 100 14,21604 1.42650
- 0.005
0.0000
0.46950
0,220
o.oo
0,0434
0,00
0,96-0
8
55 114,20 9,52107 385 6 1,06330 Źródło:opracowaoie własne
Parametry st ruktury stochastycznej obliczamy dla modelu w postaci liniowej. Zatem
s; =
11
~k
L (log Y1- IV,) 2 =
~. 0.0434 =
0.005425,
S, = J0.005425 = 0.073655. Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów s1rukturalnych:
O'( J=0005425 [
a
i
·
błędy średnie
0.4666667 -0.0666667
- 0.0666667] = [ 0.0025316 -0.0 121212 -0.00036 16
- 0.00036 16] 0.000065
szacunku parametrów
D(logao) = J0.00253 16 = 0.0503 15.
O(log a
1 )
l{J2
= J0 .000065 = 0.0080622. = LOogy,-1<;gy,)2
L
0.0434
o:960
= 0,0452 " 4, 5%.
2
R = l - cp = 0.9548. R=
Jc):9s4s =O . 977139.
Ve =
\:;y
100 =
~:~~~~~~ = 7.736%.
W celu zweryfikowania statystycznej i s t otności otrzymanych estymatorów parametrów strukturalnych obliczono wartość statystyk.i r
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
I (log ao) =
0~~57:32185 = o. 105422
7.40.
r(logai) = 0.0080622 = 13 · 03 · Ostatecznie całość wyników estymacj i
1V = 1
można zap i sać nastę pująco
0,37228 +O, I05422r. S, = 0.073655. (0.00806) (0.0503 I 5) 1(loga0 ) = 7.40. t(loga 1) = 13.08.
cp 2 = 0.045.
V„ = 7. 7%.
Łatwo zauważyć, że
model został dobrze dopasowany do danych empirycznych (parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynniki cp 2 i Ve przyjmują wartości stosunkowo niskie). Stwierdzenie to pozwala powrócić do postaci pierwotnej funkcji trendu, tzn. do funkcji wykładniczej pn~cz ,.odlogarytmowanie" (odwrotność logarytmu) jej parametrów strukturalnych: bo= 0.37228 = logao--+- ao = J0°· 37228 = 2,356568, b 1 =O. 105422 = loga 1 --+- a 1 = J0°· 105422 = 1.27474 1, czyli: S•r = 2.356. 1.275'.
Graficznie rozrzut punktów empirycznych oraz zentuje rysunek 4.2.
dopasowaną
do nich
funkcję
trendu pre-
'·: ~ 15
•
IO j
•
•
o ~~~~~~~~~~~~~~~
1 Rysunek 4.2.
2 Wartość
3
4
produkcji
5
6
pncdsiębiorstwa
7
8
9
IO
w latach 1999-2008
Można zatem stwie rd zić, że średni poziom produkcji w badanym pnedsiębiorstw i e w roku 1998 (1 = 0) wynosił 2,356 mld zł , a w rozpatrywanym okresie średniorocz na stopa wzrostu wynosiła 1,275, czy li co roku wartość produkcji wzrastała śred nio o 27.5%. (b) Przystąpimy teraz do wyznaczenia prognozy wartości produkcji badanego przeds i ębiorstwa w latach 2009, 2010 i 2011. W prt.ypadku nieliniowych, ale dających się sprowadzić do postaci liniowej, modeli trendu prognozę oblicza s i ę w oparciu o model zlinearyzowany, a więc:
4.3. Modeletendeocji rozwojowej jako
narzędzie
log y{009 = 0.37228 + 0.105422
predykcji
l I = 1.531922 -->
logy{010 = 0.37228+O. 105422 12
y{009
= 101.531922 = = 34, 0347 mld
=
l. 637344-->
y{o 10 =
=
l. 742766-->
yfo 11 = 101.742766 =
101. 637344
= 43,3854 mld logy{011
= 0 .37228 +O, 105422
13
zł.
=
= 55,5032 mld
zł ,
zł
R ów ni eż
dla modelu z linearyzowanego o blicza s ię błędy ś redni e predykcji ex allfe (np. według (4.1 9)), przy czym do oszacowani a ex ame błędu prognozy wyznaczonej z modelu ni eli niowego, transformowanego do postaci lini owej kor~ysta s i ę z zal eż nośc i (por. r1481. s. 80).
v,, = gdzie:
vp-
kształceniu
(4.21)
średni błąd predykcji obl iczony
y w
Y=
f(y,));
~(yf)
dy
na podstawie mode lu li niowego (po prze~
wartość
-
pochodnej funk cj i
model do postaci li niowej oblicz~na dla wartośc i prognozy yf. Zauważmy, że w przypadku modelu wykł ad ni czego (a tak że
transformującej
potęgowego)
Y =In y
1,
dln v, P I ~(Yr)=Yf. a wobec tego·
V„=-f=V„-yr
(4.22)
Yi Obliczone przy zastosowaniu wzoru (4. 19) Jog yf) i (4 .2 1) (d la y.f) wynoszą odpowiednio: 2009 :
V„ = 0.0892. v„.lgl.
2010:
vp = Vwzgl.
2011 :
V„
=
3.036 _ 34 0347
0,0976, 4.2344 = 43,3854
= 0.0983,
Vwzgl.
=
5.4560 .
55 5032
(błędy ś rednie
predykcj i ex ante dla
V = 0.0892 · 34.0347 = 3.036 mld zł, 1,
100 = 8,92%,
v„ =
0.0976. 43,3854 = 4.2344 mld zł ,
100 = 9, 76%,
v„ =
0.0983. 55.5032 = 5,4560 mld z ł ,
100 = 9.83%.
Jak w i ęc w id ać, mimo bardzo dobrego dopasowania modelu do obserwacji, wyznaczone prognozy są na granicy dopuszcza l nośc i (bł ędy względne są bliskie 10%)
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
4.4. Wybrane modele adaptacyjne w procesie predykcji
z.e
względu na walory poznawcze, modele adaptacyjne są zbliżon e do klasycznych modeli tendencji rozwojowej, opisują bowiem ksz t ałtowanie s i ę zmiennej endogenicznej (a więc także zmiennej prognozowanej) w czasie, bez wnikania w mechanizm przyczynowo-skutkowy jej rozwoj u. Istnieje jednak zasadnicza różnica przemawiająca na korzyść modeli adaptacyjnych. które mogą być stosowane w przypadku, gdy rozważana zmienna charakteryzuje s i ę dużą n ieregu l arnością i za ł amani ami trendu. Ponadto warto wskazać na stosunkowo dużą precyzję prognoz wyznaczanych na podstawie modeli adaptacyjnych z.e wzg l ędu na różnorodność modeli adaptacyjnych przedstawiamy jedynie najbardziej popu larne i praktycznie n ajczęściej wykorzystywane, a więc model wyrównywania wykład n iczego oraz metodę wag harmonicznych w powiązani u z metodą trendu pełza jącego, którą t akże zali cza s i ę do klasy modeli adaptacyjnych. Prezentacji wybranych modeli adaptacyjnych dokonano przy za łożeniu, że zm ienna prognozowana nie wykazuje wah ań periodycznych, a jedynie odzwierciedla trend i wahania losowe
4.4.1. Metoda wyrównywania wykładniczego Duża elastyc zność modeli adaptacyjnych i ich zdol ność dostosowawcza w przypadku dezaktualizacji model u, po l egaj ącej na zmianie zbioru zmiennych objaśniających czy też jego analitycznej postaci sprawia. że st ają się one w łaściwym n arzędziem prognozowania krótkookresowego, zwłaszcza wtedy, gdy preferujemy w procesie predykcji model tendencj i rozwojowej . Model wyrównywania wykład n iczego stanowi jeden z klasycznych modeli adaptacyjnych, opracowany pierwotnie przez R.G. Browna. Poniżej zaprezentowano algorytm postępowani a przy aproksymacji i budowie prognoz ekonometrycznych Przykład 23. Na podstawie danych dotyczących wielkośc i produkcji cementu w mln ton w Polsce w latach 1989- 2007 (tablica 4.7) dokonać prognozy produkcji cementu w Polsce dla lat 2009 i 2010, stosując metodę wyrównywania wykładniczego
Tablka4.7 Rok
1989
1990
6.6
7.3
Produkcja cementu w mln ton
1999 Produkcja cementu w mln ton Źródło: dane umowne
12.2
13.1
1991
1992
1993
1994
1995
9.6
JO.O
7.5
7.7
8.7
2001
2002
2003
13.9
15.5
16.7
1996
1997
1998 1
11.6
11.6
JJ.8 1
2006
18.5
19.7
21.3
21,6
4.4. Wybrane modele adaptacyjne w procesie
Pfedyk~ji
Rozw iązan ie.
W modelu wyrównywani a wykładniczego ocenę trendu 111, w roku I moż n a prt.edstawić jako ś rednią ważoną wartośc i trendu z okresu popn:cdniego 111 1_ 1 oraz najnowszej obserwacj i y,. Wartośc i ocen trendu wyznacza się za pomocą następu jącej relacji: (4 .23) m, = ay, +(I - a)m1-1I =2. przy czym m 1 = y 1. a zatem począ1kowa ocena trendu to wartość najwcześniejszej chronologicznie obserwacj i y1 • Parametr a E [O: I] i jest określany jako stała wygła dzania . W zależności od przyjętej waności parametru wyg ł adzania większe znaczenie mają obserwacje najnowsze lub trend okresu poprzedniego. Wartośc i parametru bliskie I oznaczają, że większą wagę mają obserwacje najnowsze, natomiast wartości bliskie O oznaczają. że większą wagę mają obserwacje okresu poprzedniego. Wartość parametru a ustalana jest zwykJe metodą prób i błę d ów. Za n aj l epszą uznaje się tę wartość, dla której otrzymuje się największą zgodność obserwacji empirycznych szeregu z wartościami teoretycznym i modelu Po wygładzeniu szereg u (obliczeniu ocen trendu 111 1 dla wszystkich obserwacji) moż na wyznaczyć prognozy dla okresu T wybiegającego w przyszło ść na h jednostek za pomocą nastę puj:1cego równania· (4.24) gdzie: 111 1 -ostatnie wygładzenie szeregu (ocena trendu); 111 1 -111 1_ 1 -ostatni przyrost trendu. Dobór stałej wyg ł adzania do szeregu czasowego produkcj i cementu w Polsce (w mln ton) w latach 1989- 2007 pn:edstawiono w tablicy 4.8. Kolumna 2 zawiera dane empiryczne. natomiast kolumny 3-1 l wartości wygład zo ne według formuły (4.22) dla a= O, L 0,2, .. 0,9 Na przykład dla a = O, 1 1111 =)'1
1112=0.l 1113
1114
=6,6, .r2+(1- 0.l)1111 =0.1 7.3+0.9 6.6 =6.67.
=O. I = 0. I
y3
)'4
+( I - O, I) O. I)
+ (1 -
111 2
111 3
=O, I 7.5 + 0.9 6.67 = 6.75. = O. I 7. 7 +O, 9 6. 75 = 6.84.
itd Podstawę
doboru
stał ej wygładzan i a stanowiła
leń wartości wygładzonych od wartości kolejnych
~
11
(v1
-
wartości
mi) 2
a zestawiono
najmniejsza suma kwadratów odchym,) 2. Sumy te dla
zaobserwowanych,; (y1
poni żej
O.I
0.2
0.3
0.4
05
0.6
0,7
0,8
0.9
356.220
136.823
57.872
28.316
13.615
6.487
3.2176
0.9755
0,2006
Nietrudno zau ważyć, że w tym przypadku szereg ny z empi rycznym dla s t ałej wyg ładzania a = O. 9.
wyg ład zony
jest najbardziej zgod-
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
Tablica4.8 Rok
y1
1989
6,60
1990
a=O. I a=0.2 a=0.3 a=0.4 a=0.5 a=0.6 a=0.7 a=0.8 a=0.9
6.60
6.60
6,60
6.60
6.60
6,60
6,6()
6.60
6.60
7.30
6.67
6.74
6.81
6.88
6.95
7.02
7,[19
7.16
7.23
7.50
6.75
6.89
7.02
7.13
7.23
7.31
7.38
7.43
7.47
7.70
6.84
7.05
7.22
7.36
7.47
7.54
7.60
7.65
7.68
8.70
7.03
7.38
7.66
7.90
8.09
8.24
8.37
8.49
8.60
8.24
8.58
9.60
7.29
7.82
1995
IO.OO
7.56
8.26
8.77
9.15
9.43
9.62
9.27
9.88
9.95
1996
11.10
7.91
8.83
9.47
9.93
10.27
8.85
10.51
9.06
10.70
9.23
10.86
9.38
10.99
9.50
1997
11.60
8.28
9.38
I0.11
10.60
10.94
11.16
11.33
11.45
11.54
1998
11.80
8.63
9.86
I0.62
11.08
11.37
11.54
11.66
11.73
11.77
1999
12.20
8.99
10.33
11.09
11.53
11.79
11 .94
12.04
12.11
12,16
2000
13.10
9.40
10.88
11.69
12.16
12.45
12.64
12.78
12.90
13.90
9.85
11.48
12.53
12.87
13.18
13.40
13.56
13.70
13.81
15.50
10.42
12.28
13.42
13.92
14.34
14.66
14.92
15.14
15.33
13.16
13.00
2003
16.70
11.05
15.03
15.52
15.88
16.17
16.39
16.56
2004
18.50
11.79
14.23
15.63
16.42
17.01
17.45
17.80
18.08
18.31
2005
19.70
12.58
15.32
16.85
17.73
18.36
18.80
19.13
19.38
19.56
2006 21.30
13.45
16.52
18.19
19.16
19.83
20.30
20.65
20.92
21.13
2007 21.60
14.27
17.54
19.21
20.14
20.72
21.08
21.46
21.46
21.55
Żr&lło:obliczeniawłasnc
Gdy obserwuje się systematyczne i regularne zmiany Y w czasie, św iadczące o wyraźnym wzrośc i e wartości funkcji trendu (a taki systematyczny wzrost produkcji cementu obserwujemy w naszym szeregu), parametr a powinien być bliski l, co oznacza, że większą wagę przywiązujemy do najnowszych obserwacji Zatem do wyznaczenia prognozy produkcji cementu na lata 2010 i 201 I przyję.to trend wygładzony przy a= 0.9. Wartość prognozy wynosi (4.24) dla 20 10 r.: dla 20 11 r.:
yf yf
= 21.55 + 3 · (21.55 = 21.55 + 4 · (2 1.55 -
21. 13) 2 1, 13)
= 22.81, = 23.23.
Jak wynika z przedstawionego pnyk/adu, metoda wyrównywan ia wykładniczego jest stos unkowo prosta. mało pracochłonna i daje dobre wyniki Przy wyznaczaniu prognozy metodą wyrównywania wykładniczego nie ma m oż li wości oceny dokładno ści predykcji ex ante. Natomiast m ożna obliczyć mierniki ex post dla tzw. „prognoz wygasłych", czyli wyznaczonych dla okresów, dla których dysponujemy danymi. Jako prognozy traktujemy wielkości wygładzone 111 1 (zamiast yf), a jako
4.4. Wybrane modele adaptacyjne w procesie
Pfed)'k~ji
rzeczywi ste realizacje zmiennej prognozowanej (yT) - obserwacje y1 • ków ex posr istotne znaczeni e ma w s pó łczy nnik Thei\a (4. 12). Obliczenia pomocnicze zawiera tablica 4.9.
Wś ród
mierni-
Tab lica4.9
Yi =mr
Y? 6.60
7
43.56
()'1 - 11!1) 2 mr _ ,;;
6.60
o.oo
0.0000
- 6. 18
(mr - 1;;) 2 Yt - .V
(Y1 - .i"'1)z
38. 1924
- 6.26
39. 1876
7.30
53,29
7,23
0.07
0J)()49
- 5.55
30,8025
- 5.56
30.9 136
7.50
56,25
7.47
0.03
0.0009
- 5.3 1
28. 196 1
- 5.36
28.7296
7.70
59.29
7,68
O.D2
0.0004
- 5.10
26.0 100
- 5. 16
26.6256
8.70
75.69
8.6<)
O.IO
O.GIOO
- 4. 18
17.4724
- 4. 16
17.3056
9.60
92.1 6
9,50
O.IO
O.D IOD
- 3.28
I0,7584
- 3.26
I0,6276
IO.OO
100.00
9,95
0.05
0.0025
- 2.83
8,0089
- 2.86
8. 1796
3.204 1
-1.76
3.0976
- 1.26
1.5876
8
Il. IO
123.2 1
10.99
O. li
0.0 12 1
-1.79
9
11 .60
134.56
11.54
0.06
0.0036
- 1.24
10
11.80
139.24
11.77
O.Q3
0.0009
- I.O l
1.020 1
- 1.06
1. 1236
li
12.20
148.84
12. 16
0.04
OJXH6
- 0.62
0.3844
- 0.66
0.4356
12
13. 10
17 1.6 1
13,00
O.IO
0,0100
0.22
0.0484
0,24
0.0576
13
13.90
193.2 1
13.8 1
0.09
0,008 1
14
15.50
240,25
15.33
0.17
0.0289
2,55
6.5025
2.64
'·"'
6.9696
15
16.70
278.89
16.56
0.14
0,0196
3,78
14.2884
3,84
14.7456
1,03
1.0609
1,08 16
18,3 1
0.19
0,036 1
5.53
30,5809
5,64
31.8096
17
19.70
388.09
19.56
0.14
0,0196
6.78
45,9684
6,84
46.7856
18
21.30
453.69
21. 13
0.17
0,0289
8.35
69,7225
8.44
71.2336
21.60
466.56
21.55
o.os
0.0025
8.77
76.9 129
8.74
244,40 3560,64
242,74
18.50
16
19
l:
342.25
410,6718
0~006
76.3876 416,8844
Zródło: opracowanicwłasne
Ws półczy nnik rozbi eż n ośc i ?
1·
~ (YT
= -L:- -,T
a więc
- yf)2
średni błąd
Thci\a :
~ (y,
- m 1)2
= -L:- ,-
YT
I 111 ,
0. 2023
= - - = 0. 0000563. 3560.64
prognozy· I
= Jo. 0000563 = 0.0075 .
Jak zaznaczono wcze ś niej , w spółcz y nnik Theila można rozbi ć na s umę trzech s kład ników, które poz w alaj ą bli żej okreś li ć charakter bł ędó w aproksymacji (wzory (4.14)-
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych ni ezbędne
(4. 16)). Charakterystyki blicy 4.9): )'T = y, = 12.8632.
do ich obliczenia
s·: = ,,, =
12.77s8 .
wynoszą
(na podstawie danych ta-
s, ~ 4.6842.
s,,,
~
4.6491.
r = 0.99996 1. (ji, - 1/1) 2 12. 8632 - 12. 7758 /1 = - - - = O. 00004073 , 1 1 ; , ~Ili ~ 19. 3560. 64 2
,
li
(S s- - S,;, ) 2 -1 -;;; ~Ili~
=-
=
(4.6842 - 4.6491) 2 I 19. 3560.64
2s, . s,,,(1 - d
0.00000655.
2 · 4 .6842 4. 649 1 ·(I - O. 999961) 2
k.
~Lm~
Ili/
o. 00000906
3560.64
Dz i e ląc powyższe lrzy miernik.i przez 12 (4. 17) (do którego powinny się sumować) ,
olrzymuJemy· 3
/f = 0~.=~:
=O, 723,
Ff = o~=:~s =o. 116,
ij= ~=6~ = 0. 1 61 Zatem 72,3% całkow it ego błędu jest wynikiem o bciąże ni a predykcji, 11 ,6% wynika z niedostatecznej elas tycznośc i predykcji , a pozos t ałe 16, l % jest rezul1atem braku zgodności międz y prognozami i rzeczyw istymi realizacjami Y Analizując wyniki otrzymane przy zastosowaniu współczynnika Thci la, stwierdzamy. że prognoza wyznaczona metodą wyrównywania wykładniczego daje dobre wyniki.
4.4.2. Metoda wag harmonicznych Metoda wag harmonicznych, podobnie jak model wyrównywania wykładniczego, charakteryzuje s i ę tym, że nie wymaga uwzg l ędnien i a podstawowych, bardzo rygorystycznych zał ożeń klasycznych modeli przyczy nowo-opisowych, tzn. stabiln ości struktury rozważanych zjawisk ekonomicznych (stabilnośc i parametrów modelu czy też jego postaci analitycznej), natomiast bier.w pod uwagę istotny problem w procesie predykcji, jakim jest zjawisko starzenia s i ę informacji. Ponadto unieza l eżnia w pewnym sens ie opis przebi egu zjawiska w przeszłośc i od napływ u nowych danych empirycznych W metodzie wag hannonicznych moż na wyróżnić dwa niezależne etapy: • wyrównywanie szeregu czasowego za pomocą trendu pełzającego (aproksymanty segmentowej), • ekstrapolacja trendu metodą wag harmonicznych
Pnyklad 24. Wydobyc ie węgla brunatnego w kilku kopal niach w Polsce w latach 1993- 2006 w mln ton przedstawia tabli ca 4. 10
4.4. Wybrane modele adaptacyjne w procesie
Pfedyk~ji
Tablica4.10
Wydobycie węgla brunatnego w mln ton
22.6
24.5
23,9
26.9
30.9
32.9
34.5
Rok
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Wydobycie węgla brunmncgowmlnton
38.l
39.2
39.8
39.9
39.3
40.8
41.0
Żffidło:daneumowne
(a) Wygładzić metodą trendu pe łzającego podany szereg czasowy. przyjmując okres I = 3 (b) Dokonać prognozy wydobycia węgla brunatnego w tych kopalniach dla lat 2007. 2008 i 2009, stosuj ąc metodę wag ham1onicznych Rozw iązanie. (a) Wygładzenie szeregu czasowego za pomocą aproksymanty segmentowej rozpoczynamy od oszacowania parametrów strukturalnych lini owych funkcji trendu dla przyję t ego okresu wygładzania I = 3. Dla kolejnych 3-elementowych szeregów czasowych wyznaczymy li niowe funkcje trend u y, = a+ {Jr + c1 • kori;ystając z klasycznej MNK. Do oszacowani
obliczeni a pomocnicze zamieszczono w tabl icy 4.11. Tablica4. ll Y1·t
22.6
3 6
22.6
24.5
49.0
23.9
71.7
71.0
143.3
14
Żródło : obliczeniawłasne
R ozwiązaniem powyższego układu równań są
oceny parametrów a = 22.36 i b =
= 0,65. Funkcja trend u przyjmie pos t ać:
S·, =
22,36
+ o.6sr
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
Analogiczne pos tępowani e zastosowano dl a kolej nych 3-elementowych szeregów czasowych, tzn. dla t = 2. 3, 4; t = 3, 4. 5; t = 4, 5, 6 .... aż do t = 12. 13. 14 Otrzy mano na s t ę pujące równania z oszacowanymi parametrami strukturalnymi ) •1
= 22.36 + 0. 651
dla 1 = I. 2. 3.
S- 2 =2 1.50 + 1.201 dl ar=2.3.4,
5'J =
13.23 + 3,501 dl a I = 3. 4 . 5.
)>4 = 15.45 + 2, 951 S-s = 2 1,93 + 1. 801 f6 = 16.26 + 2.701 ):7 = 18,50 + 2.351 S-8 =3 1.86+ 0,SOr )"9=36,13 + 0,35t 5'10 = 42 .4 1 + 0.251 )'ii= 34.60 + 0 .45t Sr12 = 29,3 1 + 0 .851
dl a r = 4 . 5, 6, dl a r = 5, 6. 7, dl a I = 6. 7. 8. dl a t = 7. 8. 9, dl a1=8 . 9 .I O. dl a t = 9. JO. 11. dla 1 = 10. l l. 12. dl a r = 11 , 12, 13, dla r = 12. 13. 14.
(b) Wyznaczenie wart ośc i wyg ład zonyc h , polegaj ące na wstawieniu kolejnych wart ośc i 1 do odpowiedni ch funk cji trendu. Wyniki przedstawiono w tabli cy 4. 12. Natomiast ostateczne wyg ład ze n ie szeregu czasowego y 1 otrzymamy ob l iczając śre d n i e arytmetyczne z wart ośc i wygład zan yc h dla danego I (tabl ica 4.1 2) . Szereg czasowy wyg ł adzo ny m etodą trendu pe ł zaj ącego wraz z szeregiem empirycznym zestawiono rów n i eż w tablicy 4 .12. Po rów nuj ąc wart ośc i szeregu empirycznego i szeregu wyg ład zo ne go moż na st wi e rdz i ć, że otrzymane wyg ł adzeni e prawie idealni e przy bli ża szereg wyj ściowy. Tablica4.l2 Yt
S·,
'
38.2
37.80
10
39.8
39.80
39.9
39.73 39.64
' I
3
22.6
23.01
24.5
23.78
23.9
24.38
26.9
26.92
li
39.33
30,9
30.62
32.8
32.78
12 13
39.3
6
4-0.8
40.40
7
34.5
34.88
14
41.0
4 1.21
żrói.lło:oblic1~niawłasnc
Predykcja metodą wag harmonicznych. Naj częśc i ej st osow an ą m e t od ą ekstrapolacj i aproksymanty segmentowej jest metoda wag harmonicznych, zgodnie z któ rą prognoza dl a okresu T okreś l a n a jest wzorem
yf =
w(T - 11)
+ }•11 .
(4.25)
4.4. Wybrane modele adaptacyjne w procesie
Pfed)'k~ji
gdzie y„ jest wartośc i ą wygładzoną metodą trendu pe ł zaji1cego 2 w roku 11-tym (ostatni m, dl a którego dysponujemy obserwacjami). Współczy nn ik harmoniczny w obliczymy według wzoru 1
w-/1 - I
L "-I: y„ -y, - I (Y"- --.Y1+ -y„ -- Y2+ ,,, 1 1
11 -
f
-
n- I
Dl a danego szeregu czasowego tablica 4.13
11
11 -
= 14.
l
_)>„
; -y
I)
·-+~ 1 „_
2
/1 -
(4.26)
= 41.21 Obliczenia pomocnicze zawiera
Tablica 4. I J
I
3
s·,
y„ -Y1
23,0 1
y„
-r,
18.20
l.400
23.78
17.43
l.452
24.38
16,83
l.530
4
26.92
14.29
l.429
5
30.62
I0.59
l.1 76
6
32.78
8.43
l.05 3
34.88
6.33
0.904
37.80
3.41
0.568
9
39.33
1.88
0.376
10
39.80
1.41
0.352
li
39,73
1.48
0.493
12 13
39,64
1.57
0.785
40.40
0.81
0.810
14
41.21 Żródło:opracowanicwłasnc
A zatem w~
1
13
(1.400+ 1.452 +.
+ 0.785 + 0.810)
~
12.328 - 13-
~
Obecnie m ożemy przystąpić do wyznaczenia prognozy wydobycia go w wybranych kopalniach w Polsce (4.25). W 2007 r. (T = 15): y{007 = 0.948 · ( 15 - 14)
+ 41.2 1 =
42. 158.
Podobnie wyznaczono prognozy na lata 2008 i 2009: y{008 = 0.948 · (16 - 14) + 41.2 1 =43.106.
y{009 = 2
0.948 · (17 - 14) + 41,21 = 44,054
Może to być wielkość uzyskana z wygł~dzenia także innymi me1odarni
0.948
węgla
brnnatne-
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
A więc m ożna s ię spodz i ewać. że wydobycie węgla brunatnego w badanych kopalniach w Polsce w 2007 r. będzie wynosić około 42, 158 mln ton. a w latach 2008, 2009. odpowiednio, 43. I 06 mln ton i 44,054 mln ton
4.5. Predykcja na podstawie modeli trendów z wahaniami periodycznymi W praktyce predykcj i ekonometrycznej istotne znacze nie przypisuje się modelom tendencj i rozwojowej uw zględniającym wahania periodyczne (okresowe, regularne, cykliczne) przede wszystkim dlaiego, że rozwój niektórych zjawisk ekonomicznych w czasie charakteryzuje się wahaniami periodycznymi, w tym sezonowymi. Model ekonometryczny tendencji rozwojowej opisuje wówczas nie tylko trend zmiennej endogenicznej, ale również różne jej wahania typu periodycznego. A zatem oprócz ogólnej tendencji rozwojowej zjawiska, można wyróżnić szereg cykli periodycznych, przy czym długość poszczególnych cykli może być różna. W zależności od rodzaju danych empirycznych, którymi dysponujemy, analizą możemy objąć tylko niektóre tego typu wahania. Ogólnie biorąc, dysponując kwartalnymi czy rocznymi danymi statystycznymi, nie badamy wahafi o cyklu krótszym ni ż kwartał czy też rok (miesiąc , dekada, tydzień). Natomiast w prLypadku. gdy nic jest znana długość cyklu wahań lub gdy długość cyklu wahań zmienia się w czasie, metody badań wahań periodycznych znacznie się komplikujq, co wykracza jednak poza ramy niniejszego podręcznika
Model tendencji rozwojowej można dyczne oraz wahania przypadkowe:
zapisać uwzględniając
Y, = F[f(t). !J!(t). s, ].
trend, wahania perio(4.27)
gdzie: Yr - zmienna endogeniczna (obja śniana ); /(I) - funkcja zmiennej czasowej t (trend); "1(!) - okresowa funkcja zmiennej 1; s 1 - skład nik losowy Model uwzględniający oddziaływanie s kładnika periodycznego na kształtowanie sic zmiennej endogenicznej, w tym kontekście prognozowanej, może być addytywny (wahania okresowe i przypadkowe nakładaj:1 się na trend przez dodawanie) lub muhiplikatywny (wahania okresowe i przypadkowe nakładają s i ę na trend przez mnożenie) Przed przystąpieniem do prezentacji algorytmu postępowania przy budowie prognozy zmiennej endogenicznej metodą wskaźn ików sezonowośc i czy też metodą trendów jednoimiennych okresów, należy podać głów n e założenia niezbędne dla poprawności prowadzonego procesu predykcji (por. [581): • stabilność s1ruktury modelu (trend i wahania sezonowe) zostanie zachowana w okresie T objętym prognozą, • w analizowanym procesie gospodarczym zac hod zą wyłącznie zmiany regularne. nie ma zaś zmian wyraźnie skokowych o w i e l kości zdecydowanie przekraczającej rząd wielkości wahań losowych, • oszacowane podslawowe charakterystyki badanego procesu gospodarczego (trend, wahania sezonowe) nie ulegną islotnej zmian ie w okresie prognozowanym T.
4.5. Predykcja na podstawie modeli trendów z wahaniami periodycznymi Uwzg lędniając powyższe za łożen i a, możn a sko n s tru ować pro g nozę określonego
wiska ekonomicznego. które charakteryzuje wymi oraz wahani ami przypadkowymi
4.5.1. Predykcja
się
zjawyrainym trendem. wahaniami sezono-
metodą wskaźników sezonowości
Metoda wskainików sezo nowości, najogólniej bi o rąc, polega na wyznaczeni u wskaź ników periodyczności dla poszczególnych faz cyklu. Pod s t awą procedury wyznaczania wskaźników sezonowośc i jest wyg ładzony szereg czasowy. Wygładzen i e szeregu czasowego moż na u zy s kać stos uj ąc metody mechani czne znane ze statystyki (metoda średn i ej ruchomej lub scentrowanej śred niej ruchomej) lub metody analityczne, np. metoda najmniej szych kwadratów. Przykład 25. Na podstawie kwartal nego zu życ i a energii elektrycznej w KWh w pewnym przedsiębio rstwi e w latach 2004-2008 (tablica 4.14) wy znac zyć prognozy zużycia energii elektrycznej w KWh w kolejnych kwartałach 2009 r.
2004
2006
40.2
87.5
2008
165.6
201.3 139.3
25.5
44.6
75.0
110.0
30.0
51.0
77.0
100.7
155.8
67.7
99.1
179.9
195.5
Źród to :daneumnwne
Roz w iąza11 ie. Szereg czasowy wygładzono trendem liniowym z wykorzystaniem metody najmniejszych kwadratów i otrzymano:
S•r = 20.491 6
+ s.1 121r.
Obliczenia pomocnicze do wyznaczeni a funkcji trendu oraz wartości troretyczne zawiera tablica4.15. Przyjm ując model multi pli katywny, trend eli minujemy wy znaczaj ąc rel ację wartośc i rzeczywistych i teoretycznych (wygład zo n yc h ) zmiennej endogenicznej Y· e,
=
y, y,
(4 .28)
-;;-
A zatem otrzymane wartości e, (kolumna 9 tablicy 4. 15) nowe oraz przypadkowe.
zaw ierają
tylko wahania sezo-
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
Ta blica4.I S
" 2004
2005
2006
2008
------Yl
S-1
1
8
<'1=)"1/5"1
)°i=f'1·W(I)
28.66
10 1.402442
38.7907
40.2
40.2
1616.04
51.0
650.25
36.84 0.692239
27.2893
30.0
90.0
900.00
45.01
0.666523
32.4158
67,7
270.8
4583.29
53.18
1.272977
63.0589
437,5
83.0305
87.5
25
7656.25
61.36
1.426124
44.6
36
267.6
1989.16
69.53
0.64 147
SI.O
49
357.0
2601,00
77,70 0.656366
99.1
"' 81
51.5072 55.9596
792.8
9820,81
85,87
1.154027
10 1.8208
1173.6
17004.16
94.05
1.386556
127.2704
0.733721
75.0
IO
750.0
5625.00
102,22
77.0
li
847,0
5929.00
110.39 0.697518
150.0
12
1800,0
22500.00
118.56
1.265139
140.5827
165.6
13
169
2152.8
27423,36
126.74
1.306645
171.5102
llO.O
14
196
1540.0
12100,00
134.9 1 0.8 15362
100.7
15
225
179.9
16
201.3
100
75.7250 79.5034
99.9429
1510.5
10140,49
143,08 0.703791
103.CJ."72
2878.4
32364.01
151.25
1,189383
179.3445
40521.69
159.43
1.262642
215.7499
17
289
3422.1
139.3
IR
324
2507.4
19404.49
167.60 0.83 1144
124.1607
155.8
19
2960.2
24273.64
175.77
0.886370
126.5911
1.062814
2 18.1064
195.5
Rm!:cm
6
25.5
130.4
2007
)"1·/
2 126, 1 210
2870
3910.0
38220.25
183.95
27758,9
285322,89
2 126,10
Żr6Jło:opr:1<:owaniewła.rne
Z kolei wyznacza s ię surowe w skaźniki w naszy m przypadku kwartałów [ 148]: I
N- I
sezo nowości
dla jednoimiennych okresów.
I
-~j=Nf;ej +i·m=N(ej+e1+ 111 +e1 +2111 +·· +ej+11 -m). j=l.2 . . . Ili.
(4 .29)
gdzie: 11 =N ·m - liczba obserwacji; N - liczba jednoimiennych okresów (naj częściej liczba badanych lat): 111 - liczba faz wahań w cyklu (liczba sezonów). np. d la kwartałów Ili =4. A zatem wartości s1 wyznacza s ię jako ś rednią ary tme tyczną wartości szeregu uwol nionego od trendu dla poszczególnych faz cyklu, np. kwartałów.
4.5. Predykcja na podstawie modeli trendów z wahaniami periodycznymi
W prezentowanym p rzy kł adz i e analizujemy szereg czasowy z wahaniami kwartalnymi w kolejnych pi ęciu latach, stąd m = 4, N = 5, n = 20. Na podstawie szeregu czasowego z wyelimi nowanym trendem (tablica 4.15) wyznaczono ws kaźniki sezonowości dla poszczególnych kwartałów (tablica 4. 16). Tablica4.16
K w:uiał
2004
2006
2005
2007
1.40244206 1.42612402 1.38655640 1,30664529 J.26264215 6.78441
1.356882
259.9897
li
0.69223892 0.64146985 0.73372132 0.81536157 0.83 114409 3,71393
0.742787
148.3786
lll
0.66652301 0.65636621 0.69751840 0.70379 134 0.88637045
3,61056
0.722114
150.1 349
IV
1.27297738 1.l5402666 1.26513886 1.l8938306 1.06281356 5.94434
l.188868
256.8683
Żródło:opraco.,,.ariie.,,.łasne
Warto za uwa żyć, że jeśli suma surowych wskaźników sezo n owości znacznie odbiega od liczby faz cyklu m. tu 4 (śred nia istotnie różni s i ę od I). to surowe wskaźni ki nal eży skorygować zgodnie z n astępującym wzorem: (4.30)
przy czym (4 .3 1)
Natomiast jeśli suma surowych wskaźników jest równa lub bl iska jest potrzebna korekta surowych wskaźników sezo nowości). W naszym
przykładzie
f
Sj
= 4.0 10651, a
111,
średnia wartość
to
Wj
= si (nie
S = 1.00266273,
j= I
zatem oczyszczone
wskaźn iki sezonowości
wi dla kolejnych
kwartał ów p rzeds t awiają
s i ę nas tęp ująco Wt
= sifS = J, 35327857,
= s2P = 0.7408 1456 . WJ= s3/S = 0.720 \9619. W4 = S4j.~ = [ , 1857 1068 w2
Mając do dyspozycji oszacowan;\ funk cj ę trendu o postaci f 1 = 20.49 16 + 8. 17271 oraz wskaźnik i sezon owości, moż n a wyznaczyć teoretyczne wartości u wzg l ęd n iające wahania sezonowe: .Y1 =.Yr ·w(I)
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
(por. kolumna 8 tablicy 4.1 6), przy czym w(r) oznacza oczyszczony wskaźnik sezonowości dla o kreś l onego kwartału. Przedstawiona procedura stanowi podstawę wyznaczenia prognoz na kolejne kwart a ły 2009 r. (ostatni:1 kolumna tablicy 4. 16).
S-21 = (20.49 16 + 8. 1727
21) 1.35327857
= 259. 9897.
= (20.49 16+8. 1727
22) 0.74081456
fn = (20.49 16 +8. 1727 S-24 = (20.49 16 + 8.1 727
23) 0.72019619
= 148.3786. = 150. 1349.
24) 1.18571068
= 256.8683.
5'22
W przypadku model u addytywnego algorytm post ępowania można przedstawić w n as tępujących etapach Krok I: wygład zenie szeregu czasowego pr.ty zastosowani u metody mechanicznej lub analitycznej Krok Il : wye liminowanie trendu z szeregu czasowego. Szereg czasowy wygładzo ny trendem liniowym przy wykorzystaniu MNK uwalni amy od trendu. Eliminowanie tre ndu dla modelu addytywnego prowadzimy wyz naczając bezwzg l ędn e wahani a sezonowe jako róż ni ce między wartośc iam i rzeczywistymi szeregu czasowego i wartośc iami teoretycznymi (wygładzon ymi) zmie nnej endogenicznej y (4.32) Otrzymane wartośc i e1 zawierają tylko wahania sezonowe oraz przypadkowe. Krok Ili : wyznaczeni e tzw. surowych wskaźn i ków sezonowości dla jednoimiennych okresów (kwartalów, miesięcy itp.) 1
Sj
N- l
=N~ e j+i·m =
I N(e j + e j +m + e j+2m +
+ ej+~ -.,,).
j = l. 2
(4.33) gdzie: 11 =N ·m - liczba obserwacj i; N - liczba jednoimiennych okresów ( n ajczęściej liczba badanych lai); m - liczba faz waha1'i w cyklu (liczba sezonów), np. dla kwartałów 111
= 4.
A zatem wartości .1·j wyznacza się jako ś red ni ą ary tm e tyczn ą wartości szeregu uwolnionego od trendu dla poszczególnych faz cykl u. np. kwartałów Krok IV: korygowanie sk ł ad nika sezonowego, jeś li suma surowych wskaźników nic spełnia warunku (4.34)
f>1=0.
(4.34)
j: J
W przypadku modelu addytywnego surowe bezwzględne wahani a sezonowe korygujemy odejmując od każdego z nich ich śre dni ą arytmetyczną: W j =S j - 5.
(4.35)
4.5. Predykcja na podstawie modeli trendów z wahaniami periodycznymi
gdzie: (4.36) OtrlYmujemy tzw. czyste bezwzg l ę dn e wahania sezonowe Wj· Krok V: wyznaczenie prognozy na podstawie tzw. oczyszczonych
wskaźników
se-
zo n owości
4.5.2. Predykcja na podstawie modeli trendów jednoimiennych okresów Warto zauważyć, że jest wiele sposobów, które pozwa l ają na konstruowanie modeli tendencji rozwojowej opisujących badane zjawisko ekonomiczne w czasie, w przypadku występowania wahań regularnych. W niniejszym paragrafie zaprezentowano me t odę prognozowania krótkookresowego, opartą na ekstrapolacji trendu z addytywnym skład nikie m sezonowym. Metoda trendów jednoimiennych okresów spełnia wymogi forma lno-statystyczne, jest prosta i może być z powodzeniem stosowana w praktyce operatywnego prognozowania. Szersze omówien ie metod prognozowan ia z uwzgl ędnieniem wahań periodycznych znajdzie czytelnik w pracach S. Banasiewicz [8J i A. Zeliasia [145J i [146] Przykład
26. Na podstawie danych empirycznych przedstawionych w tablicy 4. 14 kwartalnego zużycia energii elektrycznej przez przedsiębiorstwo dokonać oceny dokładności predykcji. Rozwiąza11ie. Metoda trendów jednoimiennych polega na oszacowaniu parametrów trendów oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu. Każdy szereg czasowy odnoszący się do określonej fazy cyklu opisujemy modelem liniowym 3 o poslaci: wyznaczyć prognozę
w 2009 r. oraz
j =I. .
. I. i= I.
(4 .37)
gdzie: Yi i - wartość zmiennej endogenicznej dla i-tej (i= 1 . 111) fazy cyklu w roku j-tym (j = 1, . I); l j ; - zmienna czasowa taka. że t;j = j + i(j - I), a 0;. a 1; parametry stru kturalne i-tego modelu: EJi - składn ik losowy. Parametry modelu - w naszym prLypadku modelu sk ład ającego się z m równań (111 = 4) - szacuje się MNK Yi l =a01 + a11 ·fj 1 + ej 1 Y12 =ao2 +a1 2
t12 + e12
gdziej =I . . . 4;i = 1. . . 5 Rysunek 4.3 prezentuje pierwotny szereg czasowy, a rysunek 4.4 regu czasowego wyznaczone dla jednoimiennych okresów
segmenty sze-
Jw pnypadku dysponowania d!ugirn szeregiem czasowym o du~..ej liczbie cykli. warto pos zukiwać wyg ładzeń
krlywoliniowych dl;i jednoimiennych okresów
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych )'
250 ~2
200
/\ V
/
150
;/\ 50
~
o
...- I
I/
I
\
I
I/ \
'oo
>---<
' I ' I 213 1•IsI6 l 1 I si ol 10l "I " l ul "I l5 l '6l 11l '" I "l20
r,
40,225.5
30
67.787.544.6
Rysun ek 4.3. Kwart;i lne
zu życie
SI
99.l
130.~
75
77
lS0165 .6JlOJ00.7179.9201.3l39.31SS.819S.S
energi i elektrycznej (w KWh) przez prtedsię biorstwo - szereg empiryczny
y 250
-e-
200
''°
100 50
o r,
I'"' y
Yi
+
l'~
*
J'l
-& Y4
L--' ~iO-->-
~---
,.._......-
-
v~
----
~/
- 1='
""'""
-
~I--:
:::"' ......
' I ' [ 2[ 3[
l"'l„,1 1rl'l„1 r·1 11r "t,1 J'1' 75
30
77
67.7
99. 1
ISO
I'
3931
179.
Rys un ek 4.4. Kwartalne zużyci e energii elektrycznej (w KWh ) prlez przeds i ębiorstwo wyznaczo ne me todą tre ndów jednoimienn yc h okresów
,,I
"'~
195,S
st:g menly
Wyniki przeprowadzonej estymacji parametrów strukturalnyc h modeli dla kolejnych 4 fa z cyklu s ą na s tępujące ·
J, 1 =
4.9 1 (5.1556)
+
40.03r,1 ( l.5545)
Yj2 =
- 9.02 (5 . 1994)
+
29 .3Dtj2. ( 1.5677)
4.5. Predykcja na podstawie modeli trendów z wahaniami periodycznymi
5'j3
=
-7 .49 ( 12.1697)
+
30, l3fjJ . (l.6693)
37,52
+
33.64114. (3.3848)
5'J4 =
(11.2259)
Oceny parnmetrów struktury stochastycznej dla poszczególnych przedstawiono w tablicy 4 . l 7
rów n ań
trendów
Tablica4.17 Numer równania
V, 4.9157
3.93%
0JX)45
U.9955
U.9977
4,9574
6.28%
0,0085
0,9915
0,9957
11.6033
14.00%
0Jl426
0.9574
0,9785
10.7035
7.73%
0.0295
0.9705
0.9852
Żr6dło:opr.icowaniewł'1.'
Z liczb zawartych w tablicy wynika, że oszacowane funkcje trendu dają wystarczaempirycznych y11 (j = I. . f; i = I. . 4), na co wskazują stosunkowo ni ski e wartości odchylenia standardowego (Se) skład nika resztowego eii· współczynników zmienno śc i resztowej (Ve) i współczynników zbi eż nośc i (cp 2). Oceny śred ni ch błędów szacunku parametrów strukturalnych kształtują s i ę na ogól na poziomie zdecydowani e niższy m od poziomu ocen oszacowanych parnmetrów. Natomiast stosunkowo wysokie warto śc i współczy nni k ów korelacji ( R) pozwal ają sąd zić, że oszacowane równania dla poszczegól nych faz cykli dają wystarczającą pods t awę do dokonywania krótkookresowych prognoz z u życ i a energii elektrycznej w kolej nych kwartałach odzwiercied l ających wahania periodyczne. M ożna zatem p rzystąpić do wyznaczenia prognozy krótkokresowej, przyjm uj ąc, że horyzont prognozowania T = 1 + f = 6. Tablica 4.18 prezentuje prognozowane warto-
j ąco do brą aproksy m acj ę wartości
Bh1dśrednipredykcji
(Vp)
245.09
7.1 235
2.91%
166.78
7.1 840
4.31%
173.29
16.8148
9,70%
239.36
15,5109
6.48%
Źr6dło : oprn<:owaniewła,;ne
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
(yn dla kolej nych kwart ałów 2009 r. oraz oceny dokładno ści prowadzonego procesu predykcji , tzn. błędów ś rednic h predykcji (Vp) oraz błędów względnych predykcji (?) zużycia e nergii elektrycznej (w KWh) w przedsiębiorstwie. śc i zmie nnej endogenicznej
Wartości bł ędów ś red ni c h zadowa l ającą dokładność
predykcji oraz bl ę dów dokonanej prognozy.
względnych
predykcji
wskazują
na
Zadania 79.
M aj ąc
dane
5.5
(XTX ) - 1 =
[
- l
-~.2 -~. s].
-3
0.5
X Ty =
2
[
1102 ] 3837 . 696
~ y,' ~ 204426 (a)
O szacować
parametry strukturalne modelu Yr = ao
+ a1X11 +a2X2, + e, .
oraz zwery fikować ich sta t ys t ycz ną i stotn ość (b) Wyzna czyć prognozę dla T = 8 oraz nych wanośc i zmie nnych obja śniając ych :
80. Na podstawie
poniższych
t = 1. . . 6
błąd śre dni
predykcji , jeśli wektor
informacji
j 1 = 93 + 15.2x1r - 8X11 • (X TX ) - l =
S„ = 6.
2.89
- 0.80
- 0,80 [ - 0.50
1.21
- 0.25
- 0. 25
0.36
- 0.50]
zmiennej endogenicznej y, jeżeli wiadomo, wartość błęd u śred ni ego predykcji.
wyznaczyć prognozę
Podać proce nt ową
za łożo
że
x 1T
= 5, x 2T = 4.
81. Dany jest model
Yr =
2.3 + 8.ł
D'( ) ~O 84 [ 0.70 a · · - 1.08
x,
- 1.08 ] l.46 ·
zmiennej e ndogenicznej y, wnioskowania w przyszłość.
Wyzn aczyć prog nozę dokładność
I
· -.
wiedząc, że x T
= 6 oraz
podać
82.
Wyznaczyć prognozę
tość błędu ś redniego
zmiennej endogenicznej Y oraz mając
predykcji, ) '1
= 9,2 - 1,3x1 ,
(XTX)-1 = [ 83. Na podstawie
poniższych
1.8
- 0,4
r r = 4,5.
O.I
informacji -
J
[~ ~ ~l
L l =21.75,
.JX21·
XTy~
zmiennej endogenicznej oraz predykcji 84. Dany jest model
)>, = 53,8 + 5.4x1r
[
['H
r1r= JO,
wyznaczyć prognozę
0 2 (a)=4
war-
Se = 0.60.
- 0.4].
f1 = 2 + X1r
XTh
obliczyć procentową
dane:
r2r=S obliczyć wartość błędu średniego
+ 6x21.
3, 24 -0. 40
o.
10]
- 0.40 1.21 - 0,70 O. IO - 0. 70 O. 64 oszacowany na podstawie danych za lata 1993- 2006. Wyznaczyć prognozy zmiennej endogeni cznej na lata 2007 i 2008, jeżeli trendy zmiennych objaś niającyc h w latach 1993- 2006 opisują funkcje·
.i 11 =2 + 0.4r .
•i 21
=3.5 + 0.3t.
Podać procentową wartość błędów średnich
predykcji 85. Niech Y oznacza popyt na zie mniaki (średnia miesięczna w kg) w zależności od dochodu klienta X (ś red nia miesięczna w roku w setkach zł) oraz ceny ziemniaków X 2 (w zł) . Empiryczne wartości tych zmiennych zawierają macierz X i wektor r 1
I 88 0.8] I.O
I
10
1,2
I
[1
IO
I.O
12
I, 1
4.0] [8.0
I
12
0.9
9.0
I X =
Oszacować
y
~
5.5 6.5
7.0
.
parametry strukturalne modelu postaci· Y; = a o +a1Xu +a2X2;
+ E;
popytu na ziemni aki , jeżeli x 1r = 14;x2 r = 1.5. Ocenić dokonanej predykcji 86. W pewnej firmie oszacowano model o pi sujący kształtowanie się indywidualnej wydajności pracy pracown ików Y (w sztukach miesięcznie) w zależ n ości od: X 1 Wyznaczyć prognozę wielkości dokładność
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych staż
pracy w latach, X2 - zmienna zero-jedynkowa „posiadanie dodalkowego źród ła dochodów·· (X 2 = I, gdy pracownik ma dodatkowe źród ł o dochodów, X 2 = O, gdy pracownik nie ma dodatkowego źród ła dochodów) i otrzymano
-2 ] 0. 1 1.6 (a) Zwe ryfikować s t a t ys t ycz n ą is t otn ość otrzymanych ocen parametrów. (b) Dok onać anali zy otrzymanych wyników oraz wyznaczyć p rog nozę wyd ajn ośc i przy zał oże n i u , że zmienne obj aś n iające p rzyj m ą wartośc i : x 1r = 12. X2T = 5. Podać procen t ową wartość b ł ędu średn i ego predykcji. 87. W pewnej fi rmie prowadzącej 6 sklepów postanowiono zbadać za l eż ność wielkośc i sprzedaży Y (w mln zł mi esięcz n ie) od wpływaj ących na ni ą czynników: X liczba zatrudn ionych w d zies i ąt kach osób, X 2 - liczba reklam sklepu emitowanych codziennie w telewizji. Niez będ n e dane przedstaw iono w tablicy 4 .1 9 a =
22 .5 ]
[
3. 25
.
D2 (a) = 10.5 ·
- Il. O
3.5
[
-0.25 0.025
1
-
,,
Sklep (i)
24
2
9
I
46
3
70 64
s
87
Źtódło:dancumowne
(a) O szacowa ć parametry strukturalne modelu liniowego y = ao+a1xli+a2x2;+E;. (b) Wyz n aczyć dwa warianty prognozy wie lkośc i s p r.wdaży (przy róż n yc h wartozmiennych o bj aś ni aj ącyc h). Wariant I: x 1r = 6, x2r = 4 oraz wariant 2: x 1r = 5. X2T = 5. 88. Jednostkowe koszty produkcji pewnego wyrobu (y;) w zł w za l eż ności od wielkośc i produkcji (x;) w tys. szt uk ksz t a ltują s i ę jak w tablicy 4.20.
ściac h
Koszt jednostkowy (y;) w zl Wielkość
prod ukcji (x;) w tys.
zł
490
430
330
290
220
50
80
I00
125
200
200 250
250
400
500
500
Źtódło:dancumowne
Oszacować parametry funk cji lini owej i hi perbolicznej opis ujących bada n ą za l eż n ość. Na podstawie fu nkcj i lepiej dopasowanej wyz n aczyć prog n ozę kosztu jednostkowego przy w i e lk ośc i produkcj i xr = 750.
89. Dysponujemy danymi zawartymi w tabli cy 4.2 1, gdzie y, jest dukcj i telewizorów plazmowych (w tys. sztuk) w latach 1999- 2006.
w i elkośc i ą
pro-
Tablica 4.21 ln y1
J.49
0.4
2000
1.65
0.5
2001
2.01
0.7
2.46
0.9
2.46
0.9
1999
2003
2006
2.72
I.O
3.67
1.3
4.48
1.5
Żródło:daneumowne
(a)
Oszacować
parametry li niowej i Y1 = ao
wykład ni czej
+ a1 I + e1,
funkcj i trendu. tzn
Yr = ao ·a~ · e~'
(b) Wy b rać fu nkcję lepiej op i s ującą badaną tend encję rozwoj ową. (c) Na podstawie tej funkcj i wyznaczyć prog nozę produkcji telewizorów na laia 2007 i 2008 90. Zbudować prog n ozę zatrudnienia w rolnictwie w województwie mał opol ski m w latach 2007 i 2008, mając do dyspozycji n as tę p ujący model oszacowany na podstawie danych za lata I 999-2006 ln j, =
1.660 - 0,081 (0.047) (0.009)
~' ~ 0.076.
to znaczy
y, D'( 3 )
= 5.259. 0,923''
~O 0037 . [ 0.607 1 - 0.1071 ·
- 0. 107 1
0,0238
l
91. Oszacowano model produkcj i global nej prze mysłu województwa krakowskiego na podstawie danych za lata 200 1-2006 o postaci:
y, = gdzie: x 11
-
- 1200.0+0.5x 11 + 3,5x2, - 201 .
zatrudni enie w tys. osób; x21 -
wydajność
pracy jednej osoby w mln zł
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
Tabli ca4.22
.t 1T
200
300
400
.t27
400
500
600
Źródło: dane umowne
Tablica 4.23
64
22
73
19
1999
76
18
2000
81
16
li
13
1998
2001
IO
90
14
2002
98
13
14
2003
105 110
li
15
2004
li
Żródto : dancumowne
Zbudować prognozę produkcji globalnej przemysłu na 3 lata w przód, wiedząc że wartości zmiennych objaś niających w okresie objętym prognozą ustalone na podstawie oszacowanych modeli trendu przyjmują wartości zawarte w tablicy 4.22
92. Wartości zmiennej endogeni cznej Y oraz dwóch zmiennych objaś niającyc h X X 2 w okresie 10 kolejnych lat przedstawiono w tablicy 4.23 (a) Oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej modelu liniowego opisującego zależność między zmiennym i: 1
1
(b)
Oszacować
,
= l. . „ IO
liniowe funkcje trendów zmiennej endogenicznej i zmiennych objaś niających w latach 1997-2006. (c) Wyznaczyć prognozy zmiennej endogenicznej Y na lata 2007. 2008, przyjmując wartości zmiennych objaśniających wynikające z ekstrapolacj i ich trendów i ocenić dok ładność wyznaczonej predykcji. (d) Porównać otrzymane prognozy z prognozami wynikającymi z ekstrapolacji trendu zmiennej endogenicznej
93. Mając
n astępujące
dane
7=21,
y:=I0.8,
7 =22 .
y:= ll.7.
T = 23, T = 24. 7 = 25.
vp = 1.2. vp = 1.3.
y: 12.5. y: 14.7. y: = 15,3, =
v,, =
1,5,
=
v„ =
2.3.
v,, = 2.4,
zbudować
95%-owe prt:edzialy ufności d la prognoz zmiennej endogenicznej wiedząc. że lla=o0,95 = 1,96. 94. W wcklOrze y i macierą X zes1awiono dane dotyc zące 5 pracowników bezpośrednio produkcyjnych
I 53 32]
X~
I I
[ II
2 4 I 5 O 6
.
gdzie: y; - ilość braków wytwarzanych przez pracownika (w szt. rocznie); x 1; - s taż pracy (w latach); x2; - liczba dni przepracowanych przez pracownika w warunkach szkodliwych dla zdrowia Wiadomo. że 124.3 - 17.5 -2 1,4] (XTX)- 1 = 2,5 3.0 [ 3.7 (a)
Oszacować
parametry strukturalne funk cji liniowej
opisującej badaną za leż no ść.
(b)
Zweryfikować s t atystyczną istot ność
otrzymanyc h ocen parametrów
Cta
=
= 2.920). (c) Zinterpretować otrzymane wyniki. (d) Wyznaczy ć prognozę Y , gdy Xi; = 5 i .r2 ; = 5, średniego predykcji (e) Zbudować 90%-owy przedzial ufnośc i 95. Mamy n astępujące dane:
cxTx)- 1= I>~ 1os. (a)
Oszacować
[ -~.25 -~:i;5 o
- 0,25
z::.,·„y; ~ 368.
podać procentową wartość bł ędu
_ g.25 1.25
J.
z::x,;y; ~ 10
parametry strukturalne modelu liniowego:
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
opisujqcego zale ż n ość mi ęd zy indyw i dual n ą wy dajno śc i q pracown ika (y; w sztukach na dzi e ń) a jego s taże m pracy w mi es i ącac h (.r 1;) oraz płc i ą (x2;), przy czym X2i = l dla m ę żczyz n i x 2; = O dla kobiet. (b) Ob l ic zyć bł ęd y ś red n i e szacunku parametrów i z we ry fiko wać ich statystyczn:1 i s t o tność (t„ = 2. 156) (c) Z budować prog n ozę punktowq oraz 95%-owy przed zi ał ufn oś ci prognozy, przy założe niu , że X 1r = 6, X2 r = 1 (t„ = 3, 182) 96. Mając dane pr.wdstawione w tablicy 4 .24, gdzie y1 - produkcja samochodów osobowyc h ogólnego przeznaczenia (w tys. sztuk), wygład zi ć podany szereg czasowy m etodą trendu peł zaj ącego, a nas tę pn i e metodą wag harmonicznych. Obli czyć prognozy produkcji samochodów na lata 2007 i 2008 Tablica 4.24 Rok
38.3 47.4
2001
2002
64.2
2003
85.1
2004 2005
89.9 11 3.0
2006
133.0
97. Dany jest szereg charak lCryz uj ący produkcje energii elektrycznej w województwie małopol s kim w ml n KWh w latach 1998-2006 (y1 ) oraz ten szereg wygła d zo n y m etod ą trendu pe ł zaj ącego()•, ) (tablica 4.25)
1998
55,5
55,2
1999
liO. l
60.5
64.5
64.3
69.9
70.0
2003
84.3
76.7 84.6
2004
91.6
92. 1
2002
76.S
2005
98.8
98.0
2006
107.5
106.6
Źródło:dan~umowne
Wyzm1czyć
prognozy produkcji energii elektrycznej na hita 2007 i 2008 metodq wag
harmonicznych. 98. Wie l kość produkcji autobusów w latach 2000-2006 wynos ił a, odpowiednio (w tys. szt. ): 3, 4, 6, 7, 8, IO, 12. Do konać prognozy w i e l kości produkcji autobusów na 2008 r. wykorzystując metodę wag harmonicznych. po uprzednim wygładze n i u szeregu czasowego me lodą trendu pe ł zaj ącego przy okresie wyg ł adzan i a I = 3 i I = 5. Która prognoza wydaje się bardziej uzasadniona ekonomi cznie? Dlaczego? 99. Zastosować m e t odę wag harmonicznych do ustale nia prognozy produkcji samochodów osobowych w latac h 2007 i 2008, na podstawie danych z lat 1998-2006. Dane liczbowe (w tys. szt.) podano w tablicy 4.26
1998 Produkcja samochodów osobowychw1ys.szt
65.2
2000
86.1
91.l
115.0
143.0
174.0
2004
2005
2006
229.0
294.0
340.0
żródło:daneurnownc
Dokon ać prognozy na podstawie (a) wyg ł adzonego szeregu uzyskanego me lodą trendu pełzaj ącego I = S. (b) wygład zo nego szeregu fun kcją li n iową, (c) niewygladzonego szeregu Porównać otrzymane wyniki. Czy przydatna jest metoda uproszczona (bez dzania szeregu)?
wygła
100. Dany jest szereg statystyczny przedstawiony w tablicy 4 .27
T:1łl li c a4. 2 7
10
Yt
120
250
280
12
13
330
Żródło:dancu111ownc
Wyz n aczyć progn ozę zmiennej endogenicznej Y dla roku 16. 17 i 18. Przy budowaniu prognozy wy k orzys tać me1odę wyrównywania wy kł adniczego. Przyjąć wartość parametm a = O. 8
101. Prod ukcja samochodów osobowych przedsięb i orstwa motoryzacyj nego w latac h 1988-2006 prze d stawiała s i ę jak w tablicy 4 .28
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
Tablica4.28
19971 Produkcja samochodów
osobowych w tys. szt Rok
13.1
14.4
16.1
18.3
20.6
26.4
29.2
27.4
40.4
1998
1999 2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
65.2
86.1
115.0
143.0
174.0 229.0
294.0
340.0
50.2 1
Produkcja samochodów
osobowychwtys.szt
91.1
Żródlo:dancumownc
(a) Zas t osować model wyrównywania wyk ład n i czego do ustalenia prognozy produkcji samochodów osobowych w latach 2007-2009. Ana li zę przeprowadzić przy sta łej wygładzani a wynoszącej kolejno: O, I; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0.6; 0,7; 0,8; 0,9 (b) Ocenić dokładność predykcji. 102. Popyt na sok owocowy w pewnym województwie w latach 1997-2006 przedstaw ia tablica 4.29 (dane kwartalnie). Tablica4.29 Y21
r,,
obserwacja
obserwacja
obserwacja
0,78
2.28
2.60
0.77
2.24
2.56
"'
'"
okres I obserwacja
0.84 0.83
1.30
10
3.78
4.32
12
13
2.27
14
6.22
IS
6.76
16
3.56
17
2.02
18
5.92
19
6.76 5.76
20
2.20 l.87
7.68 9.84
28
21
1.73
5.04
23
25
2.30 2.95
6.72 8,61
27
9.14
3.13 37
4.25
38
12.39
39
1.40
2.50
10.44
3.20 3,38
14.16
4.50
Żród to:dancumowne Dokonać prognozy popytu na sok owocowy na lata 2007- 2009 s tosując metowyrównywania wykładniczego. Oce ni ć dokładność predykcji za pomocą wskaźnika Theila. Wskazówka. Oceny trendu przedstawić następująco:
dę
mk(r) = ak)'kt +( I - admdl - 4).
Ykl Io kolejne obserwacje, gdzie k oznacza numer
I= 5,
kwartału. Przyjąć a=
0.8
103. Mając dane zawarte w tablicy 4.30, gdzie y; - wydajność pracownika w sztukach na dzień , xu - staż pracy w latach , x2; - pleć (x2; = 1 dla mężczyzn , x21 =O dla kobiet).
18 19
(a)
Oszacować
parametry strukturalne funkcj i liniowej )'; = a o + a1x1;
+ a2x2; + e1
opisującej badaną zależno ść, wiedząc że:
(XTX) - ' ~
[
I.O - 0,25
o
- 0,25 0. 125 -0.25
O ] - 0.25 1.25
(b) Zweryfikować staty s tyczną i s to t ność otrzymanych ocen parametrów (c) Zin te rpretować otrzymane wyniki. (d) Wyznaczyć prognozy punktowe i przed ziałowe (dla a= 0.05 i 3 stopni swobody ; fa = 3. 182) wydajnośc i mężczyzny i kobiety o 6- letnim stażu pracy; podać wartośc i bł ędów ś rednich predykcji 104. Mamy do dyspozycji dane statystyczne przed stawione w iablicy 4.3 l, gdzie y1 - miesięczne obroty i-tego sklepu (w mln zł); x 1; - liczba zatrndnionych w i-tym sklepi e (w d zies i ąt k ach osób); x 2; - mie s ięczne wydatki na promocje i rekl amę (w dzies i ątkac h tys. zł) Skkp (i)
IO
45 70 (,()
90
5
Żr6dło:
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
(a)
Oszacować
parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej mode-
Ju·
tości
Y; = a o + a1X1 ; + a 2X2; (b) Wyznaczy ć wynosi
prognozę punktową
i
+ e;
przedziałową , jeżeli
wektor
założonych
war-
la = 3. 182
105. Import owoców cytrusowych przez jednego z importerów w Polsce w latach 2000--2006 (w tys. ton) przedstawiał s i ę nas tępująco: 12, 13, 14, 15, 18, 20, 20 (a) Oszacować parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej liniowej funkcji trendu o postaci: }'1 = a + f3 · t +E:1 opi suj<\Cej badaną tendencję rozwojowq importu (b) Zakładając , że dotychczasowa tendencja rozwojowa utrzyma s ię, wyznaczyć prognozy punktowe importu na lata 2007, 2008, 2009. (c) Dokonać oceny dokładności predykcji (d) Wyznaczyć 9S %-owe przedziały ufności dla prognoz importu owoców cytmsowych na lata 2007-2009 (dla a= O.OS i 5 stopni swobody, la = 2.57 1) 106. W latach 1998-2006 produkcja komputerów w pewnym przedsiębiorstwie w kolejnych latach (w tys. sztuk) wy n osiła odpowiednio: 7. 8, 10, 13, 14, IS. 16, 20, 23 . Na podstawie powyż sz ych danych oszacowano parametry wykładniczej funkcji trendu i otrzymano ln y1 = (a) li niowej
1.86 (0.75 )
Oszacować
+
R2 = 0.97.
0.141. (0. 13)
v~
= 2.85%.
d = 1.16.
parametry s1rukturalne i parametry struktury stochastycznej funkcji }'1
= a+ f3
·I
+ e1
(b) Porównać dopasowanie obu funkcji do szeregu empirycznego ( i stotno ść ocen parametrów struktural nych, dokładno ść dopasowania, autokorelacja; ta = 2, 156. dL = = i,08 , du = L3S). (c) Wiedzqc, że el.86 = 6.40, e 0· 14 = 1.15, nas zkicować przebieg zmienności funkcji wykładniczej i zinterpretować jej parametry. (d) Na podstawie funkcji liniowej wyznaczyć prognozę produkcji komputerów na lata 2007 i 2008. 107. Zużycie wody z wodociągów w gospodars1wach domowych (y 1 w m3 ) w latach 1999- 2006 przedstawia tablica 4.32 (a) Oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry liniowej funkcji trendu dotyczącej zużyc i a wody w latach 1999- 2006 (b) Ocenić s t opień dopasowania li niowej funk cji trendu do danych empirycznych . (c) Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe zużycia wody w gospodarstwach domowych do 2009 r. przyjmując a = O.OS
Tablica4.32
1940
1923
1861
1922
1857
1750
1648
1565
Żródło:daneumowne
108. Dwa szeregi czasowe przedstawiają wielkości plonów pszenicy i w latach 1996-2006; dane przedstawia tablica 4.33
żyta
w q/ha
Tablica4.33 Pszenica
Żyto
Rok plonywq/ha
1996
29.6
1997
30.7
23.8
1998
33.6
1999
35.2 34.3
25.5 26,9
2000 2001 2002
2006
37.0
22.4
24,7 25.6
37.2
25.8 23.7
38.5
27.3 25.8
Żród to:daneumowne
(a) Oszacować parametry stmkturalne liniowej funkcji trendu dla obydwu szeregów czasowych. (b) W którym przypadku liniowa funkcja trendu stanowi l epszą aprok sy mantę wyjściowego zbioru danych empirycznych (c) Wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe dla zmiennej endogenicznej Y na lata 2007, 2008, 2009 dla plonów obydwu badanych zbóż. przyjmując poziom ufności a= 0,05 109. Liczba spryw:11yzowanych jednoosobowych spó łe k skarbu państwa (Yr) na koniec kolejnych kwariałów lat 1995-1997 przedstawiała si ę jak w tablicy 4.34 (a) Aproksymować trend liczby sprywatyzowanych spó łek za pomocą funkcji liniowej i wykładni czej (b) Na podstawie obu funkcji wyznaczyć prognozy liczby sprywatyzowanych spółek na koniec kolej nych kwarialów lat 1998 i 1999. (c) Porównać wyznaczone prognozy z rzeczywistymi wartościami zmiennej prognozowanej (odczytanymi np. z „Biu letynu Statystycznego"')
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
Tablica4.34
Kwarlał
IV
137
140
146
159
IV
165
168
178
183
190
199
209
225
Żródto:.,Biulc(ynS1a1ys1yczny„1996-1998
110. Liczba samochodów osobowych zarejestrowanych w Polsce w latach 1985- 1996 (y, w tys. szt. ) k sz t ałlowała s i ę jak w tablicy 4.35. Tablic11 4.35 Rok y1
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
3671.4 3964 4231.7 4519.1 4846,4 5260.6 6112.2 6504.7 6770.6 7153.1 7517.3 8054.5 Źródło: RoczoikS1atys1yczoy 19'J-li 1996
Oszacować parametry strn kturalne i parametry strn ktury stochastycznej wyy, = r:to·a; - e~' oraz li niowej fun kcj i trendu y, = ao+a t +c,. (b) Na podstawie oszacowanych modeli te ndencji rozwojowej wyzn aczyć prognozy punktowe i przedział owe zmi ennej Y do roku 2000 r. (c) Czy zastosowanie li niowej fu nkcj i trendu byłoby bardziej uzasadnione przy wyznaczani u prognozy? Podać wart ośc i zmiennej Y dla przyjęt ego w punkcie (b) horyzontu prognozowania; w obu przypadkach p rzyjąć a = 0.05, w i ed ząc że odchyleni a losowe mają rozkł ad normalny (d) Porównać wyznaczone prog nozy z rzeczywistymi realizacjami zmiennej prognozowanej, odczytanymi z „Roczni ka Statystycznego"
(a)
kładni czej fu nkcj i trendu:
1
111. W prze d s i ęb i ors t wie rolno-przetwórczym w 1998 r. podj ę t o produ kcj ę nowego rypu sok u owocowego. Koszty jednostkowe prod ukcji 1000 litów soku (w z ł ) w latach 1998-2006 przedstaw ia tablica 4 .36
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Koszty jednostkowe 3000 2250 2400 2360 2260 2240 2230 2190 2160 Żródlo:daneumowne
(a)
O szacować
przyj mując
parametry strukturalne oraz parametry struktury stochastycznej, do aproksymacji h iperboli cz n ą fu n k cję trendu
(b) Do konać prognozy punktowej i przed z iałowej (na poziomie istotności a = 0.05) k ształtowania s i ę kosztów jednostkowych odnoszących się do produkcj i nowego soku; przyj ąć trzyletni horyzont prognozowania oraz rozk ł ad normalny odchy le ń losowych (c) Jaka byłaby interpretacja ekonomiczna w i elkośc i ekstrapolowanych w 2007 r (d) Dokon ać prognozy na przyjęty w punkcie (b) okres prognozowania, wykorzystuj ąc lini ową funk cję trendu; porównaj otrzymane prognozy i zinterpretuj je. 112. Kierownik wydz i ału ma opracować plan za mów ień na żarówki na najbliż sze 12 mi es i ęcy. Pe łne oświetlenie wydz i ał u wymaga \OOO żarówek, prt.:y czym zakupów dokonuje s i ę raz w roku. Na podstawie obserwacji kierownik potrafi oce ni ć, jaki procent żarówe k ulega uszkodzeniu w zależ n ośc i od d tu gośc i pracy. W tabli cy 4.37 podano procent żarówek, które ni c uległ y uszkodzeniu pomimo św i ece n ia przez I mi esi ęcy.
=
Tablica4.37 10 % ;~~:zck;izonych
75.0
58.3
55.8
54. l
53.1
52.0
Żr6dło: daneumownc
Na il e sztuk żarówek powinno o pi ewać zamówienie oraz ile sztuk trzeba będz i e w k ażd ym z 12 mi es i ęcy. 113. Wielko ść produkcji pewnego detalu w badanym przeds i ębiorst w i e prze m ys łu samochodowego w latach 1997- 2006 przedstawia tablica 4.38. wy mi e nić
Tablica4.38 Rok
1997
1998
1999
2000
200 1
2002
2003
200<
2005
2006
Produkcja w tys.szt
62.2
70.0
80.0
94.4
100.2
98.8
96.6
94.4
96.6
lOO,O
Żiód/o:dancurnowne
(a) Wyz naczyć pro gnozę pu nktową wielkośc i produkcji rozpatrywanego detalu w kolej nych dwóc h latach, wykorzystując potęgową funkcję trendu y1 = arPec'. (b) Czy zastosowanie li niowej funkcji trendu by łoby poprawne w proces ie predykcji ? 114. W przeds i ębiorstw i e prze m ys łow y m podjęto produkcję potrzebnego detalu W latach 1997- 2006 jego produkcja prlcds t awia ła s i ę na st ępująco (w tys. sztuk) : 300. 240, 150, 80, 72, 55, 85, 145, 200, 240. Wyodrębni ć t e ndencję rozwojową badanego zjawi ska, przyjm uj ąc że będz i e ona przebiegać wed ług funk cji parabolicznej . Czy eks-
4. Predykcja na podstawie modeli jednorownaniowych
trapolacja badanego zjawiska jest w tym przypadku uzasadniona? Czy ten ty p trendu zawsze pozwala na ekonomiczną interpretacje wyników ekstrapolacji? 115. K ształtowanie się kosztów materiałowych ponoszonych przy produkcji miksera (w tys. zł/szt. ) w ciągu ostatnich 12 miesięcy odzwierciedla trend hiperboliczny )'1
= 850
+
(84)
1725
s; ~ 295_
- .
~'~o.os.
V~=
12.4%.
( 179) 2
D ( a)
~ [ -~~~ ~~~~ ]
(a) Przeprowadzić interpretację parametrów strukturalnych i parametrów struktury stochastycznej rozpatrywanego modelu (b) Wyznaczyć prognozy punktowe oraz błędy średnie predykcji na kolejne miesiące. tzn. T = 13, 14 , 15. (c) Wyznaczyć przedziały prognoz dla wybranych miesięcy, przyjmując wiarygodność prognoz I - a= 0 ,90 11 6. Odsetek nieuregulowanych w c iągu roku należności wobec pewnego prleds iębiorstwa (w % ogótu należnośc i) w latach 1997- 2006 przedstawi ał s ię nastę pująco 21, 18, 17. 15, 13 , 12, IO, IO. 9 , 8. Na postawie tych danych oszacowano parametry wykładniczej funkcji trendu i otrzymano
1r;r, =
l.36 - 0.046t . (O.O l)
2
R = 0.99. Oszacowano
także
i otrzymano: a = [
v~
(0.001)
= 1.45 %.
d = 2,25.
parametry strukturalne liniowej funkcji trendu Yr = a
+ {31 + e,
~::~]
(a) O szacować parametry struktury stochastycznej funkcji liniowej. (b) Porównać dopasowanie obu funkcji do szeregu empirycznego ( i s t ot ność ocen parnmetrów strukturalnych. dokładno ść dopasowania, autokorelacja; 10 = 2. 156, tit = ~ 1,08, du ~ l,35). (c) Wiedząc, że 10 1•36 = 22.73, 10- 0.0-ł 6 = 0.90. naszkicować przebieg zmienności i zin terpretować parametry funkcji wykładniczej oraz funkcji liniowej (d) Którą z tych funkcji należałoby wykorzystać do wyznaczenia prognozy?
117. Wielkość produkcji eksportowej pewnego przedsiębiorstwa (y,) w latach 1998- 2006 kształtowała się następująco: I O, IO, l 1, 13. 13, 14, 15 , 15. 16 tys. sztuk (a) Oszacować parametry liniowej funkcji trendu opisującej badaną tendencję rozwojową.
(b)
Wyznaczyć prognozę punktową
podać interpretację ekonomiczną
i przedziałową dla kolejnych trzech lat oraz otrzymanych rezultatów predykcji.
11 8. Produkcje energii elektrycznej w kilku wybranych województwach w Polsce w latach 2000--2006 w KWh z uwzględnieniem mies ięcznych wahań prezentuje tablica 4.39
Tabli c114.39 Micsi11c
2()()()
2001
2002
2003
2004
Styczeń
12078
13962
13354
1337 1
12935
10948
11275
IOW:J
2006
13313
14 655
Luty K w iecień
10870
Jl 307
9253
Maj
10090
Czerwiec
9539
9173
8965
8929
9429
9344
9275
Lipi ec
9443
8979
9005
9606
9025
8963
8721 9144
9288
Sierpień
9504
9351 9440
9675 9840
Wrzesień
10448
9282
9742
9829
9847
10442
10975
Październik
12109
11239
12034
11467
12270
11890
12429
Listopad
13558 Żródło : dmicumownc
(a) Wyznaczyć prognozę energii elektrycznej w badanych województwach w Polsce w 2007 r. w u kład zie miesięcznym, s t osując metodę wskaźników sezonowośc i oraz metodę trendów jednoimiennych okresów (b) Dokonać oceny dokład nośc i predykcji
5 Analiza procesu produkcyjnego
5.1. Uwagi wstępne Ekonometryczna anali za procesu produkcyjnego obejmuje • analizę produkcj i i po s tę pu techniczno-organi zacyj nego, • analizę kosztów produkcji , • analizę wydajnośc i pracy. Zagadnienia te są przedmiotem niniej szego rozdziału
5.2. Funkcja produkcji 5.2.1. Modele produkcji Funkcja produkcji jest jednym z podstawowych narzędzi ekonometrycznej analizy procesu produkcyjnego, bo jej znajomość pozwalam.in. określić, jakiego poziomu produkcji można oczekiwać w określo nym przyszłym okresie, w jakiej mierze należy z mieniać nakłady czynników produkcji. aby uzys kać określony wyższy niż dotychczas poziom produkcji. a często także jakie są efekty produkcyjne realizowanego w przedsiębior stwie postępu techniczno-organizacyjnego. Jej znajomość pozwala także ustalać optymalne nakłady czynników produkcyjnych minimalizujące koszty całkowite produkcji przy zadanym poziomie produkcji lub 1eż mak sym alizujące produkcję przy zadanym koszcie. Funkcja produkcji jest narzę d ziem ekonometrycznej analizy procesu produkcyjnego na różnych szczeblach gospodarowania. Wykorzystywana może być w analizach makroekonomicznych przy modelowaniu wzrostu dochodu narodowego lub produktu global nego, jednakże szczególnie ważną rolę odgrywa przy rozpatrywaniu procesu produkcyj nego w skali gałęzi, branży lub przedsiębiorstwa (zakł adu. wydziału). Kwestie dotyczące funkcji produkcji można znaleźć m.in. w pracach: J. Chmiela r 17l, J. Jaworskiego r74l oraz Z. Pawłows k iego r109l Ekonometryczna funkcja produkcji to model prączynowo-opisowy. przedslaw iaj ący za l eżności między nakładami lub zasobami czynników produkcji a wielka-
5.2.Funkcjaprodukcji śc ią
produkcj i (w i e lkośc ią produktu uzyskiwanego przy zastosowaniu tych nakładów) modele funkcji produkcji. zakłada sic zwykle, że mają one prze d stawiać zal eż n ośc i mi ędzy produkcją a nakładam i i zasobami występujące w warunkach jakościowo jednorod nej techniki i technologii w normalnych, prt.:ec i ęt n yc h warunkach produkcyjnych (a więc nie w specjal nie sp rzyjaj ącyc h warunkach laboratoryj nych lub pokazowych, ani t eż wtedy, gdy wskutek niegospodarności lub szczególnych nietypowych warunków rozmiary produktu są wyjątkowo małe w stosunku do zaangażowa n yc h Budując
środków)
Defini owani e zmiennych zależy od szczebla gospodarowania, cech techniczno-technologicznych procesu produkcyjnego i dostępności danyc h statystycznych Rozmiary produkcji z reg uł y mierLY s i ę ilością lub wartością produktu otrzymanego w jednostce czasu, a w i ęc traktuje s i ę jako strumienie . Natomiast rozmiary zaangażowa nych czynników produkcji , odpowiednio do charakteru tych czynników, są ujmowane jako strumienic ( nakł ad y pracy) lub jako zasoby (np. wie lkość zainstalowanego trwałego majątku produkcyj nego) Zatem crekt produkcyjny może być wyrażo n y jako: • ilo śc iow e (fizyczne) rozmiary produkcji (wyłącz n ie w przypadku produkcji jednorodnej) • rozmiary produkcji w jednostkach pr1:cliczeniowych lub umownych (np. produkcję materiałów budowlanych przelicza s i ę na jednostki ceg łowe, produkcję rolniczą zw i erzęcą i roślinną - na jednostki z bożowe itd.), • produkcja czysta w cenach porównywalnych, • prod ukcja dodana w cenach porównywalnych , • produkcja globalna w cenach porównywalnych, ale jedynie wtedy. gdy brak odpowiednich innych danych (produkcja globalna nie jest dobrym miernikiem efektu produkcyjnego, ponieważ zawiera wart ość przeniesioną). Zmienne o bj aśn i ające w funkcji produkcji to • nakł ady pracy liczone jako - liczba przepracowanych roboczogodzin, - liczba przepracowanych roboczodni, - śred ni e zatrudni enie (jest to jednak miernik nie nakładów, lecz zasobów pracy), • nakład y kapi t ału - najczęściej majątku trwałego (czyli zużycie majątku w procesie produkcji) - są najtrudniejsze do ob iektywnego pomiaru i dlatego w funkcji produkcji naj częśc i ej przyj muje się zasób majątku trwałego (zakładając, że z u życ i e jest proporcjonalne do zasobów, tzn. zakładaj ąc zwykle pe łn e wykorzystanie majątku trwał ego) mierzony zwykle warto ścią produkcyj nych środ k ów trwałych, • zuzyc 1e energu, • zużycie surowców. • mne Teoretycznie w funk cji produkcji powinno s i ę uwzględniać różne kategorie pracy i kapitału (majątku trwałego). Naj częściej stos uje s i ę jednak tzw. dwuczynnikowe funk cje produkcj i, w których uwzg lędnia s i ę jedynie zagregowane nakłady majątku trwałego i pracy.
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Ogólni e funkcj ę produkcji
moż n a zapisać
(5 .1 )
gdzie: Q -
wielkość
produkcji (produkcja); X
1 ,
••
XK -
czynniki produkcji ; € -
zakłócenie losowe. Postacie anali1yczne funk cji produkcji uzyskuje się i bada w ramach ekonomii teoretycznej. Zakłada s i ę zwykle do sko nal ą podzielność zarówno czynników produkcji. jak i gotowego produktu - dzi ęki temu ma sens mówienie o bardzo małyc h przyrostach rozważanych w i e lkości i zakłada n i e c i ągłości oraz różni czk owa lności funkcj i produkcji.
5.2.2. Analiza
własności
funkcji produkcji
może s łu żyć do prowadzenia rozu mowań anaw istotny sposób wiedzę o ilościowej stronie zgod nie z którymi przebiega proces wytwarzania. Model ów stanowi znaczny krok w stosunku do klasycznej ekonomicznej analizy procesu wytwarzani a Do naj ważn i ej szyc h kierunków analizy procesu wytwar.mnia za pomocą funk cji produkcji należy za lic zyć badania a) krańcowych produkcyjności czynników produkcji, b) e las t ycz ności produkcji wzg l ę dem nakład ów czynników produkcji, c) efektów skali produkcji. d) izokwant, e) kra ńcowych stóp substy tucji czy nników produkcji, f) elastycz n ości substytucji czy nników produkcji , g) efe któw neutralnego pos tępu techniczno-organizacyjnego Trzy pierwsze mierniki c harakt e ryzują relacje mi ędzy czynnikami produkcj i a prod ukcj ą. (a) K ra ńcowe p rod u kcyjn ości czynników produkcji. Badanie krańcowych produkcyjności czynników polega na badaniu pierwszych i drugich pochodnych cząst ko wych produkcji względem czynników
Model ekonometrycznej funkcji produkcji
lityczno-wyjaśniających, wzbogacających
prawidłowości,
1
(5.2) Produkcyj ność
kra1'tcowa }-tego czy nnika ( P kX j ) okreś la z mian ę produkcji na skutek zmiany nakładu j-tego czynnika o bardzo ma l ą j ed n os tk ę. Na ogół zakłada s i ę, że: Vj·
aQ
ax j> O oraz
a' Q
ax ]< O,
atakże
aQ
x~i~~ax
1
--,i..O.
(5.3)
co oznacza, że produkt krań cowy jest dodatni i maleje wraz ze wzrostem nakładów czynnika x1, czyli produkcja rośnie wraz ze wzrostem nakładów czynników produkcji, ale rośnie coraz wolniej i nieskończe n i e duże przyrosty tych nakład ów czynników produk1aQ / ilX j oznucw pochodną
Q względem
Xj -
ulrernatywny z~pi s Q '( X j )
5.2.
Funkcj~
produkcji
praw ie żadnych przyrostów produkcji (znane w ekonomii prawo przychodów). (b) Elastyczn ość produkcji wz g l ędem nakladów czynników produkcji. Elastyczn ość produkcji w zg lędem nakladu )-tego czynni ka prod ukcji (X j ) o kreśla wzór
cji nie
powodują już
malejących
EQ/ X· = 1
~ ~ axJ Q
=
lub
lim
ć.Q ć.XJ xJ
,.,,x 1- oo Q a lnQ
EQ/ xj =
atnx/
(5.4)
(5.5)
zmian produkcj i wywołan ych określo n y m i, niewiel kimi wzg l ę d ny mi zmianami )-tego czynnika produkcj i, przy za łożeni u że pozosta łe czynniki produkcji nic ulegną zm ianie. lnfomrnje zatem , o ile procent w z rośn i e wielkość (rozm iar) produkcj i. jeśli n ak łady }-tego czynnika produkcji wzros n ą o l %, przy ustalonych (niezmienionych) nakładach pozostał yc h czynników. (c) Efekty skali produkcji. Badanie efektów skali produkcji n ajczęściej polega na badan iu stopn ia je d norodno śc i fu nkcji produkcj i. Mówimy, że fu nkcja jest jednorodna stopnia v,jeżeli 2 · Eo; x, jest zatem
m i arą względ n ych
VA > O
f(AX1 . . . AXK)=A vf(X1 .. .. XK)
(5.6)
W matematyce nie n ak łada si ę żad n ych ograniczeń na v, jednakże w przypadku funkcji produkcji przyjmuje s i ę, że parametr v > O. Moż n a po kazać, że parametr (efektów, korzy śc i) skali v jest sumą c\astycz ności 3 K
v= L
E 01xi
(5.7)
j= I
i pozwala okreś li ć, o ile procent wzrośnie produkcja, jeże l i nak ł ady wszystkich czynników wzrosną o ten sam procent; przy czym, jeżel i v = l => produkcja roś n ie w tym samym tempie co wszystkie czynniki; jest to przypadek st ały ch przychodów wzg l ędem s kuli produkcji (s ta łych efektów skali produkcj i. stałej wydajności czynn ików produkcji); v > I => produkcja rośnie w szybszym te mpie ni ż nakłady czynników produkcji; mówimy wtedy o ros n ący ch p rąc hoda c h w zględem skali produkcji (ro s n ącyc h efektach skali produkcji. ro snącej wydaj ności czynników produ kcji); 11 < l => produkcja rośnie wolniej niż nakłady czynników produkcji; przypadek te n określ a s ię mianem m a l ej ących przychodów względem skali produkcji (ma l ejących efektów skali produkcj i, ma l ejącej wydajnośc i czynników produkcji )4 2To 7. nac7.y "I.miana (iwiększen ie lub imniejsicnie) nakładów wsiystkich ciynników >.. ra7.y spowod uje (pnyros t lub spadek) wielkości produkcji>.. u razy. np. >..= 1.05 3 11 określany bywa 1akżc jako RTS (n.>lum ta swle) 4 Zal efoość między wi elkością produkcji a skal'\ działalności produkcyj nej obrazuje knywa Kni ghta W początkowym okresie po uruchomieniu proces produkcji charakteryzuje się rosnącymi efektami. pM:niej imianę
efektyskali sąsrn ł e.awos1a 1ni ejfazi e -mal ej <1ce
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Kolejne trzy mierniki charakteryzują substyt ucję czynników produkcji. Większość funkcji produkcji zawiera za łożeni e możliwości wzajemnej substytucji czynników produkcji, czyli założenie. że tę sa mą i l ość produktu można otrzymać, st os ując czynniki produkcji w róż n yc h il ośc iow yc h stosunkach (ubytek jednego z czynników produkcji można zrekompe n sować zw i ę k sze niem innego czynnika, aby utrzymać oczekiwane rozmiary produkcj i). (d) Izokwanty, Zjawisko substytucj i czynników produkcji znajduj e fommlny wyraz w równaniu izokwanty (krzywej jednakowego produktu), będącej mi ejscem geometrycznym punktów. re preze ntujących wszystkie kombinacje nakład ów czynników produkcj i, dających w efekcie tę sa mą oczekiwaną wielkość produkcji Q0 . Równa ni e izokwanty wyprowadza s i ę wyrażając jeden z czynników produkcj i jako funkcję (gj) ustalonego poziomu produkcji Q0 i pozostałych czynn ików. zate m równanie izokwanty można zapisać X j = g 1(Qo. X1.
, X; - 1. X 1+1·
, XK : e1).
(5.8)
wzort:e wyslępujc s kładnik losowy e1 , gdyż relacje, w jakich nastę puje substytucja, maj ą zwykle c harakter stochastyczny. w praktyce jednak składnik losowy w równaniach izokwant pomijamy. (e) Krańcowe (techniczne) stopy substytucji czynników produkcji. Znajomo ść równania izokwanty pozwala ob li czyć RJi - krańcową stopę substytucji czynnika X; przez czynnik X i (np. pracy przez kapi t ał), czyli ilościową miarę określającą, jaką ilośc ią czynnika X J nal eży zast<1pić wycofaną małą jednostkę jednorodnego i substytucyjnego względem niego czynnika X;, ażeby oczekiwana wie lkość produkcji ni c uległa zmianie Krańcowa stopa substytucji jest stosunkiem zamiennym między krańcowy m i wielkościami dwóch czynników produkcji axj oraz ax„ i ma prostą interpretację geometryczną jako tangens kąta nachylenia stycznej do krzywej jednakowego produktu (izokwanty) w poszczególnych jej punktach. Nachylenie tej krzywej jest jednak ujemne, s t ąd t eż , aby un i knąć definiowania tej wielkości jako ujemnej, do wzoru wprowadza sic umownie znak minus. czyli 5 : W
powyższym
(5.9a) Zate m krańcowa stopa substytucji czynnika X ; przez czynnik X1 jest równa uje mnej pochodnej cząstkow ej z izokwanty X 1 względem X;. Częściej jednak oblicza się ją jako stosunek produkcyj no śc i krańcowej czynnika X; do produkcyjności krańcowej czynnika X i (iloraz pochodnych):
aQ
R
_
oX; _ Q'(X;) Q'(X J).
,, - _ilR -
(5.9b)
(f) Elaslycz n ość subslylucj i czynników prod ukcj i, Wzajemna substytucja w rzeczywistych procesach może zachodzić łatwiej lub trudniej. Miarą łatwo śc i substytucji 5w prncy prt.yjęco oznaczenie
R jl -
krańcowa s1opa subs1ywcj i czynnikiem j -1ym czynnika i-cego
5.2.Funkcjaprodukcji
czynników produkcj i jest wspó łc zy nnik elas t yczn ośc i substytucji a, zdefi niowany jako stosunek w zg l ę.d ncj zmiany w proporcjach dwóch czynników prod ukcji do wzg l ędnej zmiany w kratkowej stopie substytucji, zatem:
(5.IOa)
Można także powiedzieć. że elastyczn ość
substytucji jest odwrotnośc ią elastycznostopy substylUcji wzglę d em proporcji dwóch czynników produkcji (przy obliczamy jako pochod n ą logarytmu krańcowej stopy substytucji logarytmu slosunku dwóch czynników):
śc i krańcowej
czym
elastyczność
wzg l ędem
~=E a
x · =~ «1
d
In(!.X;.!.).
(5.IOb)
czyli odwrot ność elastycznośc i substytucji ( I / u) jest po prostu elastyczn ością krańcowej stopy substytucj i Rj; względe m X j/ X; E l astycz no ść substytucji czynników produkcji pozwala określić, jak zmien i ają s ię proporcje czynników produkcji, gdy zmienia s i ę krańcowa stopa substytucji . a E [O: oo) u = O świadczy o zu pe łnym braku możliwośc i zastępowania s ię czynn ików produkcji X j i X;, a więc o absolutnej ich komplementarności. Im ł atwiej s za substytucja czynników produkcj i, tym w i ększe wartośc i przyj muje u. Gdy a ~ oo, izokwanta p rzekształ ca s i ę w pro stą przec inającą osie zmiennych objaśniającyc h Jeżeli funkcja prod ukcj i został a oszacowana w oparciu o dane dynamiczne (szereg czasowy), to moż n a w niej u względ ni ć (g) Efekt y neutralnego post ę pu techniczno-organizacyjnego. Efekt neutral nego post ępu techniczno-organizacyjnego wyraża s i ę w tym, że przy tej samej strukturze i w i e l kości zaangażowanych czynników produkcji otrzymuje się większą prod u kcję wskutek wprowadzenia innowacji techniczno-organizacyjnych. Ogólnie biorąc. anali za ekonometryczna postępu technicznego polega na zbudowaniu (a na stępn ie estymacji) odpowiednio zmodyfikowanej (zdynamizowanej) funkcji produkcji , u podstaw klórej leży fa kt, że poslęp 1echniczny zawsze zachodzi w czasie. Modyfikacja polega na wprowadzeniu do funkcji produkcj i czynnika wykładnicze go ert, gdzie 1 jest zmienmi czasową (najczę śc iej I = I, 2.. . 11 dla kolej nych okresów), natomiast dodatkowy parametr T jest miernikiem efektów postępu techniczno-organizacyjnego; jeże li z okresu na okres nie zmie n iają s i ę nakłady czynników produkcji (gdy t roś nie o I), produkcja zmienia s ię o (e' - I) 100 ::::: T 1006. T dodatnie św i adczy o pos 1 ępie technicznym, natomias1 T < O świadczy, że w procesie produkcji wy s tę puje regres techniczny (prą stałyc h n akładach produ kcja spada) 6r jest bardzo małą liczb<\ rzędu setnych. a na we I t ysięcznych. zatem (co wynika z rozwinięcia wyr:iżenia e' w szereg Taylora wokół r =O. czyli szereg McL:wrina). er ::::: I + r
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
5.2.3. Funkcja produkcji typu Cobba- Oouglasa W teorii i praktyce najlepiej rozpoznaną i ciągle jeszcze chyba najczę śc iej stosowa ną funkcją jest funkcja produkcji Cobba-Douglasa (funk cja pot ęgowa) o ogólnej postaci wyróżnionych K czynników produkcji K
dla
Q,=.Bo nx~ -ee' .
(5. 11 )
j= I
gdzie: Q, - wielkość produkcji (w I-tym przedsiębiorstwie lub w I-tym momencie); X rj - nakład j-tego czynnika produkcji (wt-tym przeds i ębi ors twi e lub w r-tym momencie). Bardzo często w badaniac h ogranicza s i ę do dwuczynnikowej funk cj i produkcj i ( uwzg lęd n iającej najważn i ejsze czynniki produkcji , czyli nakład y pracy uprzedmiotowionej i pracy żywej), którą m oż n a zapi sać: (5 .1 2)
gdzie: Q1 - wielkość produkcj i (w /-tym prze d s i ębiors twi e lub w /-tym momencie); K 1 - kapitał ( mająt ek trwał y); Lr - praca ; e, - zakł óceni e losowe. Parametr .Bo nazywany bywa parametrem efekt yw no śc i - określa poziom produkcji przy jednostkowych nakładac h czynników (gdy K = L = 1)7, natomiast p:1rametry {3 {3 2, jak łatwo s prawd z i ć, są e la st ycznościa mi produkcji, odpowiednio, wzg l ędem kapitału 1 pracy. 1 •
Pnyklad 27. W tablicy 5.1 zamieszczono dane o wartości brutto produkcyjnego maK (w mln zł) oraz o ś redni ej liczbie zatrudnionych w c i ąg u roku l (w osobach). a także o wartośc i produkcji czystej Q (w tys. zł). (a) Oszacować parame try strukturalne oraz parametry struktury stochastycznej funk cji produkcji Cobba- Douglasa. a także dokonać weryfikacji tego modelu. (b) Obliczyć e lastycz n ości produkcji względem czynników produkcj i (kap itału K i pracy L) oraz zinterpretować otrzymane wyniki (c) Okre ś l ić efekty skali produkcji . Czy można powiedzieć, że technologia produkcj i charakteryzuje s i ę s tał ymi efektami (przychodami) skali produkcji? (d) Czy is tnieją podstawy do twierdzenia, że e l as tycznośc i produkcji względem maj ątku trwałego i pracy są takie same? (e) Okreś li ć, o ile procent wzroś ni e produkcja, j eże li wartość produkcyjnego majątku trwałego ( K) wzrośnie o 3%, a li czba zatrudni onych (L) zmni ejszy s i ę o 2%. (f) Okre ś li ć, jak du ża musi być wartość brulto produkcyjnego majątku trwałego (K ). aby os iągnąć wartość produkcji czystej Q0 = 2.05 mln zł . utr.t:y mując jednocześnie ś redni orocz n e zatrudnie nie na poziomic ostatniej obserwacji K 15 . (g) Okreś li ć, o ile na l eży zwiększyć zatrudnienie z okresu 1 = 15 na okres 1 = 16, jeżeli wiadomo, że wartość brutto produkcyjnego majątku trwał ego w r = 16 zmniejszy s i ę o 5 mln zł w porównaniu z r = 15. a j ed n ocześ n i e chcemy utrzy mać produkcję na poziomi e okresu t = 15. jątku trwałego
7Por6wn:inie waności 1ego p;irnme1ru w przeds iębiors1wach tej samej branży pozwala na ocenę. w któ rym z nich efek1ywność jednoslkOW)'Ch nakładów jes1 najwięks za
5.2.Funkcjaprodukcji
optymalne nakłady K * i L* tak, aby osii1gnąć produkcję czystą Q0 = wiadomo, że jednostkowe koszty zastosowania czynników produkcji wynoszą, odpowiednio, 24000 zł (wK) oraz 2000 zł (wł.) i łączą s ię w koszt cał kow ity produkcji liniowo. (i) Podać optymalne nakład y K ** i L ** tak, aby uzyskać maksymalną waność produkcji czystej Q,jeżeli liniowa fu nkcja kosztów całkowityc h C zastosowania czynników produkcji ma postać: C1 = 24000 Kr + 2000 Lr . a dopuszczalne nakłady na czyn niki produkcji wynoszą Co = 2400 tys. zł (h)
Obliczyć
= 1.5 mln
z ł , jeżeli
Tablica5.I
I
K,
L,
Q,
135
359
864.0
17.4
453
1081.2
3
18.7
431
1 092.8
4
23.3
423
1194.1
5
24.4
6
24.2
7
28.6
486
J
31.2
511
1502.7
1 225.6 I 284.6 409.7
34.l
535
1597.4
10
33.2
574
1634.8
li
35. l
601
1783,0
12 13
385
600
1 786,9
41.4
634
1 900.4
14
41.l
690
1 972.8
15
42.2
2022.5
Żcódło:dm1curnow11C
Rozw iązanie. (a) Estymacja. Dwuczynnikowa funkcja produkcji Cobba- Douglasa dana wzorem (5.12) jest modelem nieliniowym i aby oszacować jego parametry za pomocą MNK 8, należy go sprowadzić do postaci lini owej pr.tez obustronne zlogaryt-
In Q, = ln f3o + f31 ln Kr + fh lnl 1 + e1 np: In Q, = y 1, In K 1 = x,,, In L 1 = model (5. 13) przedstawić w postaci
Oznaczając moż na
.r,2, In /30
= ao.
(5.13)
/3 1 = cr i, /32
=
a 2.
(5. 14) 8prt.y addytywnych składni kac h losowych koniecz.ne byłoby zastosowanie nieliniowej MNK. realizowanej np. za pomocą metody Gaussa-Newtona
5.Analtzaprocesuprodu kcyjnego
lub macierzowa
(5. 15)
y = Xa + e. gdzie:
:u Estymatorem wektora
ot
jest oczyw i ście we ktor a
gdzie
1~Xr1
; 1
ln Kr
t
ln K r ln L 1
r~ (I n L
In l1
]
'~(In K,)' :~ In K, In L , .
,ti J.}1
1~Xr1Xr2
; 1
2 1)
W naszy m przypadku9 ·
xTx = XTy =
[
[
15.0000 50.1 333 50.1333 169 .2516 93.720 1 3 14, 1357
93.720 1] 314, 1357 . 586. 11 89
109. 1634] 366.0729 682.7436
(XTX)- 1 =
IXTXI ~ 1.9093.
[
272.5384 29.71 18 -59.5030
29.7 11 8 4.3655 -7.0907
-59,5030 ] - 7.0907 . 13.3165
9 Wyniki podane są z dokładnośdą do cz1erech miejsc po prtecinku. ale całość obliczeń prowadzorrn byla.oczywiŚ<:ic.zdużowiększąprecyzją
5.2.Funkcjaprodukcji
stqd otrzymujemy
a=
[
"a1' ] = [2.5926] 0.452 1 a2 0.5080
Wariancja resztowa s;=
n~k(yTy - aTXTy) = O.l~~ ~
3 9
= 0.000 1132,
odchylenie standardowe resztowe
jS; ~ J0.000 1132 ~ 0.0106,
S, ~ współczynn i k zmien n ości
resztowej
V, ~ s__,
0.0106 100 ~ 7.27756
)'
100~o.15%.
współczynnik zbież ności
yTy-aTXTy (y -Y)T(y - i') b ł ędy średn i e szacunku parametrów (D(a1); j = O. I. 2) pierwiastki kwadratowe z elementów diagonal nych mac ierzy kowariancji estymatorów parametrów
~
D(a) wartości
[
D(a0 ) D(a,)
]
~
D(a 2 )
[0.1757] 0,0222 0.0388
statystyki testu 1 Studenta t(aJ) =
D~:iJ)
do weryfikacj i statystycznej i stot n ości ocen parametrów strukturalnych, czyli do weryfikacji H0 : a j = O wobec H 1: aj =f=. Osą równe· ł (a ) Można
zatem ostatecznie
=
1(ao) ]
[
t(ai) 1(a 2)
=
[ 14,7572] 20.33 15 13.08 19
.
zapisać:
y,
2.5926 (0, 1757)
t(a1)
14.7572
+
0.4521x,, (0.0222)
+ 0.5080.r,2.
20.3315
13,0819
(0,0388)
dane oraz zakładając, że s kładniki losowe maj ą roz kład normalny, weryfikacji modelu. Ponieważ na poziomie is t otności a = 0.05 i dla 11 - k = 15 - 3 = 12 stopni swobody odczytana z tabli c rozkład u / Student a wartość krytyczna statystyki I, czyl i '" wynosi 2, 179, a wszystkie t (a J) na wartość be zwzg l ędną są w i ększe od 1", może m y stw i erdzić z 95 %-owq pewnośc i q, że wszystkie oceny parametrów statystycznie istotnie różn i ą s i ę od zera, czyli „są istotne". Mając powyższe
możemy dokonać
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Ponadto wartości teoretyczne )'1 = In Q, odchylajq się od wartości empirycznych y 1 = In Q 1 in plus lub in minus, średnio o 0,0106 logarytmów (naturalnych) tys. zł. Wahania losowe stanow i ą tylko 0,15 % ś redniego poziomu logarytmu produkcji i tylko O, 15 % logarytmu produkcji nie jest wyja ś nione pri:ez zmienność logarytmów czynników produkcji Można zatem stwierdzić, że oszacowany model dostatecznie wiernie odzwiercied la badaną zależno ść i mo że stanowić podstawę do anali zy i wnioskowania o badanym procesie produkcji Pamiętając, że bo = e''O = e 2·5926 = 13.3640, możemy zapi s ać model w postaci (5. 12)o
(b) Elas t yc zność produkcji względem czynników produkcji. Zgodnie z definicją (5.4), elastyczność produkcji względem dem wartości bmtto produkcyjnego majątku trwalego) wynosi:
E
kapitał u
(u nas:
wzglę
, = ~ !!.._ = 13.3649. O 4521 K 0.4521 - 1 Lo.5oso . K aK Q , 13.364QK 0.452 1L0.5080
Q/ K
= 0.4521. a elastyczność produkcji nych) E Q/ L
aQ L = al .Q = ~
względem
pracy (u nas:
wzg l ędem średniej
133649 K0.4521.Q5080Lo.5oso- 1
'
'
liczby zatrudnio-
L 13.364QK 0.452 1L0.5080
0.5080
Zauważmy, że do takich samych wyników prowadzi zastosowanie wzoru (5.5). Oszacowany model w postaci logarytmicznej: ln Q, = ln(l3.3640) + 0.4521 In K, + + 0.5080 In Lr, zatem
n1nQ
i)(ln(l3,3640)
a1n Q a\n L Ponieważ E QJK
+ 0,4521 ln K + 0,5080\n L, ) 1
a ln K
a ln K Cl( l n(ł3,3640)
+ 0.4521 In K , + 0.5080ln L,) O ln L
0.5080.
zatrudnienia na w i el ko ść produkcji jest nieco więk szy niż trwałego majątku produkcyjnego - zwiększenie wart o ści brutto produkcyjnego majątku trwałego (K) o 1% spowoduje, średnio, wzros1 produkcji czystej o około 0.45%, j eżeli średnia liczba zatrudnionych (ogólnie: pozos tałe czynniki produkcji) nie ulegnie zmianie. Natomiast wzrost średniej liczby zatrudnionych ( L) o I % pociqgać będzie, średnio, wzrost produkcji czystej o około 0.5 1%, przy założeniu s tałości wartości brutto produkcyjnego majątku trwałego Należy jednak podkreślić, że otrzymane wyniki należy interpretować ostrożnie , gdyż definicja e las1yczności zakłada nieskoilczenie mały przyrost zmie nnej (objaś niaj<1cej) , = 0,4521, a EQ/ L = 0.5080,
wpływ
0.4521.
5.2.Funkcjaprodukcji
a w praktyce interesują nas przyrosty rzęd u 1%, 2%, 5%, a w i ęc wzg l ęd ni e d uże 10 . Nal eży zatem s podziewać się, że otrąmane wyniki będą przybl i żone i to tym bardziej, im wzg l ęd ny przyrost argument u będz i e większy. Dodatkowo w definicji elastyczności zakł ada s i ę zm i anę jednej zmiennej pn.:y s t ałości pozost:1 ł yc h , a takie autonomiczne zmiany czynników produkcj i rzadko są możliwe, zw ł aszcza w szerszym zakresie Dl a modelu potęgowego, a taki m jest fu nkcja produkcj i Cobba- Douglasa, m oże m y jednak dokładnie obliczać przyrosty zarówno bezwzg l ędne. jak i wzg l ęd n e prą dowolnych, a nawet jednoczesnych wzg lędnych zmianach argumentów. J eś l i bowiem względ ne zmiany kapitał u i pracy wynoszą. odpowiedni o, D. K / K i Dol/ l, to wzg l ęd n a zmiana Q wyniesie:
6Q = (I+ -6K )'' · (1+6L)" Q K L
-
l.
(5.16)
Wobec tego np. jednoprocentowy wzrost śred ni ego zatrudnienia (l) będz i e wywoł ywał , d okładnie licząc 11 , następujący względ ny (procentowy) przyrost produkcji czystej Q: D.Q Q 100 =(I .Olo.soso - I)· 100 =O .5068% . Jak ł atwo zau ważyć, 0.5068% :f:. 0.5080% . Różnice w procentach są tu niewielkie. ale w wymiarze bezwzg l ędnym mogą być c:iłki e m spore, na l eży w i ęc o tym pamiętać. (c) Efekty (korzyści) skali produkcj i Parametrem skali produkcji jest suma elastycznośc i v = {3 1 + fh. Suma {3 1 + fh jest j ed n ocześn i e stopniem jednorodności funkcji produkcji Cobba-Douglasa, pon i eważ: Q(AK. 1-L) ~ ~o(l-K)' ' (l-L)'' ~ 1-''"' Q(K. L).
gdzie Ajest dowo ln ą dodatnią liczbą rteczyw i stą Ponieważ 1 + 2 = b 1 + b2 = 0.452 1 + O. 5080 = O. 960 I < I. więc rozpatrywany proces produkcyjny charakteryzuje się malejącym i prt.:ychodami wzg l ęde m skali produkcji, tzn. przyrost czynników produkcji daje mniej n iż proporcjonalny przyrost produkcj i. Zau ważmy jednak, że oszacowania e l astycznośc i obarczone są błędami , zatem równ i eż parametr skali obarczony jest b ł ędem Parametr skal i w przypadku fu nkcji C- D jest komb i nacją l i n i ową parametrów funkcji; można więc zapisać 1 2 :
# #
fi=#1+#2 =0.4521 + 0.5080=cT~=[0 B łąd
dla parametrn skali D(V) =
m ożna obliczyć
1
I
I]
[ ~:~~1]=0.9601
0 .5080 ze wzoru (2.33), przytoczonego
poni żej:
jcT. s; (XTx)- 1. c = s"J cT. (XTX)-1 . c.
IO Istnieje jeszcze jeden powód do ostrożności: nic znamy prawdziwej elastyczności. a jedynie jej oszacowanie. z namry rzeczy obarczone błędem 11 Mowa o dokładnym wyliczaniu względnej zmiany wanośd funkcji z niedokładnymi. bo osz.acowanyn11. paramc1ra1111 11 Por. podrozdział 2.4.2 do1ycz;1cy wnioskowania o kombinacji liniowej wektora parametrów
5.Analtzaprocesuprodu kcyjnego
2
O(v)=0.0 106
[O
I
2
[ ;~:~;~: ~~~;~ -~~~~~~]-[~, ]=
I]
- 59.5030 =0.0 106·
[ -29.7912
- 2.7252
- 7.0907
13.3 165
6.2258 ] · [:J =0.0 106·JUO
=0.0106 l,871 =0 .0198. Weryfikujemy zatem hipotezę: H0: {3 1 + {3 2 = I, wobec H 1: {3 1 + {32 ::f:. I, a sprawdzianem Ho jest statystyka (2.35):
_
V- l
0,960 1 - I
r(v) = D(V) =
OJ5'i98 =
-2, 015.
Wobec nierów n ości lt(D) I = 2.0 15 < 10.05 : 12 = 2.179 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że technologia prod ukcj i charakteryzuje się stałymi efektami skali produkcji. Za u ważmy na koniec, że gdybyś m y dla parametru skali zbudowali 95 %-owy przedzia ł ufnośc i , to zawierałby on wartość I:
P !0.9601 - 2, 179 · 0 .0198 .::S (d) Czy takie same?
V
.::S 0.960]
+ 2.1 79 · 0.0 198}
moż n a twierdzi ć, że e l astycznośc i
Na leży zweryfikować hipo t ezę
produkcji
H 0 : {3 1 = {3 2 (co
~V E E [0.9170; 1.0032].
= 0.95
wzg l ędem
obu czynników
moż n a zapisać ta k że
/3 1 -
są
{3 2 =O)
wobec H 1: {3 1 f-/h (lu brównoważnicf3 1 -/32 f-0). Korzystamy także z testu dla kombi nacj i li niowej parametrów regresji
y=µ, - µ,=cT~ =[O
I
- l ]·[~l
D(f) = s eJcT(XTxr 1c = = 0.0106-
[O
=0.0 106·
[89.2 148
=
I
-l i
[
272.5384 29.7118 - 59.5030
11 .4562
29.11 18 4.3655 - 7.0907
-20.4070]·[ _ :J=
;o:ili06. Jl l ,8634 =
0,0598, y = 0.452 1 - 0,5080 = - 0,0559. •
-59.5030] [ _ o: - 7.0907 13.3165
- 0,0559 - o
l(y) = ~ = - 0.935
J--
5.2.Funkcjaprodukcji
Wobec ni erówności l1(f)I = 0,096 < to.05:12 = 2.179 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że e l astyc z ności produkcj i w zg l ędem obu czynników są takie same. (e) Zmiana produkcji spowodowana zmianami czynników produkcji. Aby odpowiefJ. K d zicć na pytanie, o ile procent zmieni s i ę Q , j eś li K zmieni s i ę o K · 100 % ijednocześ ni e
L zmieni
się
o
lf!.L · 100 %, może m y s korzys tać z wygodnego, lecz przybliżonego
wzoru 13 f!.Q Q
(óK
óK KEQJK+L EQ/L )
JO() ;::::;
100 =
( óK
óK ) Kf31+L{h · 100. (5.17)
na podstawie którego uzyskujemy f!.QQ
100 "' 0.4521. 3%
+ 0.5080. (-2%) ~ 0.3403%.
M ożemy
za1em odpowi e d z i eć, że wzrost warto śc i brutto produkcyjnego majątku trwałego o 3%, przy jednoczesnym spadku ś red niej liczby zatrndnionych o 2%, poc i ą gnie za sobą wzrost wartośc i czystej o około 0,34%. Ki edy jednak policzymy dokładnie (por. uwagi do punktu (b), a zw ła szcza wzór (5. 16)), to otrzymamy óQ
100 =[(I
Q
+ 0,03) 0·4521 ( 1 -
(I) Izokwant y (substytucja). Aby
0.02)o. 5oso - I]
100 = 0,3105 %.
u stalić nakład jednego
z czynników produkcji, niezbędny do wytworzenia za łożonego poziomu produkcji Q 0, gdy dany jest n akład drugiego czynnika. należy pn.:ej ść do równania izokwanty : Qo 13.3640Lf· 5080
K I -- (----""----) 13,3640
"°"' L 'i/f!ll' I
Qo L - o.5080 13,3640 I •
.
I analogicznie · 13 3640 K 0.4521 L o.soso = Q •
a w i ęc jak
I
łatwo sprawdzi ć
I
0
=>
L = (----""----) !l3(j8IJ L I
J
3,3640
izokwanty dla funkcji C- D dane K _
,_
,;,, (Q/Jo ) , ~
L - lhl /11
.
są
~
t
•
ogólnymi wzorami ·
(5 .1 8)
13 przyczyny. dla kt órych wzór (5. 17) należy uznać za przybliżony. zostały wylożonc w odpowiedzi do punktu (b): po pierwsze. nie JeSl spełni one defin icyj ne założenie o nieskończe ni e małym przyrokie argumentu. po drugie. obydwa czy nniki zm i eniają s i ę i to zarówno w różnym tempie.j;1k i w różnych ki erunkach Ponad to. aby wzór (5. 17) w ogóle był prawdziwy. fu nkcja musi być jednorodna stopni;i pierwszego (pojęcie to wyjaśniono w odpowiedzi to punktu (c))
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(5 .19) Mając
równania izokwant,
które dają
można us tali ć
us talo n ą wie lkość
Jeże li więc
l
1
takie kombinacje czynn ików produkcji K i L.
produkcji Q0 .
= L 15 = 707 zatrudnionych, Qo = 2.05 mln
) . K = ( 2050 13 3640
o:= · 707o.:IDJ -··- =
zł
(tj . 2050 tys.
z ł ),
to:
42.963mlnzł
brutto produkcyj nego majątku trwał ego powinna osiągnąć w przybliże niu poziom 42,963 mln z ł , aby uzy s kać wartość produkcji czystej 2,05 mln zł, przy założe niu , że śred ni orocz n e zatrudnienie nie ulegnie zmianie. (g) Krańcowa stopa substytucji. Maj ąc równani e izokwanty (5. l 8), może m y pn.:ej ść do krańcowej stopy substytucj i, np. kapiiału przez pracę ((5.9a) lub (5 .9.b)) 14 : A zatem
wartość
aQ l"b
R , ~
"
aK il_g_
~ Q '( K ) Q'( L).
BL z której wynika,
jaką il ością
pracy
n a l eży zas t ąpi ć wycofaną j e dnostk ę kapitału ,
aby
utrzy ma ć produkcję na niezmienionym poziomie. Stosując wzór (5.9b) 15 ·
13.3640 · 0.452 1 K ?.4Słl - l 13.3640 · K ~.4 521
1
·
L ?· 50i!O
0.5080. L?.soso
1
1
0,452 1 K,0.5080. c; 1
0.4521 0.5080
l
1
K,.
zate m. jak łatwo sprawdzić, dla funkcji (5 .12) kra1'tcowa stopa substytucj i kapitału jest dana ogólnym worem:
pracą
(5 .20) stopa substytucji pracy k apitałem R K L jest jej odwrotno śc ią . Czytelnik zechce s prawd zić, że obliczając krańcową s topę substytucji jako pochodną izokwanty ( L względe m K ze znakiem uje mnym) d la zało żon ego poziomu produkcji Qo otrzymamy formułę: a
krań cowa
(5.21) Mając krańcową st opę
substytucji, moż na obliczyć konieczne zwięk szenie nakładów pracy, kompensuj<1ce spadek nakładów kapitału i pozwalaj<1ce ut rzy mać produkcj ę na ustalonym poziomie Q0 : (5.22) dl = R LK · (-dK ). 14
Zwróćmy jeszcze raz uwagc na pnyj\'te w pracy oznaczenie RL K ""substytucja kapi tału pracą
l5z.auważmy. że aby zastosować wzór (5.9a). musi być podany poziom produkcji (co w 1ym przypadkujesc spełnion e: Qo = 2050 tys. z.I)
mać
Qo. który należy utrzy
5.2.Funkcjaprodukcji
W naszym przypadku, przy nakładach z okresu 1 = 15 (K = 42.2, L stopa substytucji kapitału pracą obliczona ze wzoru (5.20) wynosi 0.4521 707 RKL 0,5080 42,2 14.91 ~ 15.
=
= 707) krańcowa
=
Do podobnego wyniku prow:1dzi zastosowanie wzoru (5.2 1) RK L
=
~::~~~
(
1:.~:o) l /0.5080 . 42. r0.9601 /0.45080 =
14,55;:::;: 15
A zatem, aby zrekompensować spadek wart ości brutto produkcyjnego majątku trwałego o 1 mln zł, przy jednoczesnym utrzymaniu produkcji czystej na niezmienionym poziomie (2050 tys. zł), na l eży zwiększyć średn ioroczne zatrudnienie o około 15 pracowników, natomiast jeżeli wartość produkcyjnego majątku trwałego zmniejszy s i ę o 5 mln zł, to l5·5 ~75osób .
dl= czyli zatrudnienie
należy zwiększyć
o
około
75 osób
Pned przystą pieniem do ostatnich dwu punktów warto wspomnieć o możliwośc i wykorzystania funkcji produkcji C-D do podejmowania optymalnych decyzji Jeżeli znane są jednostkowe koszty (ceny) zaa ngażowania czynników produkcji (według których są wynagradzane czy nniki produkcji) - oznaczmy je WK i WL a więc łączne koszty zaa ngażowa nia czynników wy noszą C =w KK + wl l , moż na postawić dwa problemy (odpowiadające zasadom racjonalnego gospodarowania) I. Znaleźć takie nakłady K• i L •.które minimalizują koszty (C) wytworzenia zał o żo nej w i e l kości produkcji Q0 • czyli
T.irccK. L) = il!_il1(wKK
+ w1.L) = ccK·. C).
(5 .23)
przy waru nku
(5.24) 2. Z n a l eźć takie naklady K „ i L „, które maksy ma l izują niczonych do Co nakładach na czy nniki produkcji, czyli
produkcję
t~~ Q(K. l) = n~~t(f3oK/l 1 LfJ 1 ) = Q(K„. L prą
0
(Q) przy ogra-
).
(5.25)
warunku
(5.26) Aby
rozwiązać
problem mi nimalizacji kosztów (5.23)-(5.24) z warunku (5.24), np. K (5. 18) i wstawić do funkcji kosztów 16 C(K. L). W rezultacie otrzymujemy równoważne zagadnienie minimalizacji, już bezwarunkowej i z jedną zmien n ą: wyznaczyć L • takie, że: moż n a wyznaczyć izokwa n t ę,
i!;
m ~n C(L) = ll"}!n [ WK ( Q ) '"' L -fli/fli 1
+ WLL
l
= C(L •)
(5.27)
16Jak wynika "le wwru. chodzi o długookresową funkcję kos"lt6w, gdzie wszystkie koszty uważamy za zmienne(brnkkoszt6ws1atych)
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego Ponieważ
pochodna z C(l) jest równa
dC =
fi fJ1
-wK-2
dl
z:1tem. jak ła two sp rawd zić , l * (dC /dl )L=L ' =O wynosi
(Q )'"' ~
l (- /l·J./fli l-1
+ WL .
(5 .28)
fJo
spe łniające
warunek konieczny istnie nia ekstremum:
l * = ( ~) l/(fJ1 +fJi) ( ~ ) -/l1 /(/l1 +/hl = ( ~) l/(/l1 +fJi) ( WK·fi' ) fi1/(/l1+fizl . fJo
WK/h
fJo
W1fJ1 (5 .29)
a pomewaz
(L*)-ffll/fi1 J-2 > 0. ( dld2~- ) L=l ' = fJ1 fJ1+fJ2wK !!2fJ1 (~)!//l1 fJo
(5 .30)
zatem rzeczyw i śc ie (na mocy warunku koniecznego i dostatecznego) w L * funkcja kosztów całkowit yc h osii1ga minimum. Z prostych rachunków wynika też , że K• =
w fi ) - /h/ (fJ1 +/l1) (Q ) l/lfl1+/l2J(w- ' fi- ) fld lfl1 +/liJ Q) l/l/l1+lhJ ( __.!__3_ = ~ (~ fJo wLfJ1 fJo wKfJ2 1
(5 .3 1)
Można zauważyć, że
optymalne (w tym sensie, że zapew niają minimalne koszty przy danym poziomie produkcji ) nakłady kapitału K * do optymal nych nakład ów pracy L • maj ą sic tak, jak iloraz elas t yczności do ilorazu kosztów jednostkowych (cen, według których są wynagradzane czynniki produkcj i) K•
u
~
f2
WK/J2
/J2 . WL
~
(5.32)
Dla przypadku drngiego, gdy kryterium optymalizacj i jest maksymalizacja produkcji przy ustalonych nakładac h (5.25)--{5.26), z warunku (5.26) m oż na wyznaczyć np.
K = Co - wL L :
(5 .33 )
WK wstawiając je do maksymali zowanej funkcji produkcji, otrzymuje my prostsze, zadanie: wyz naczyć l **, taki e że:
max Q (L) = max fJo ( L
a
pon i eważ
d_g dl
Co - wLL) '' , -- L '
L
WK
równ oważne ,
= Q(L ** ).
ale
(5.34)
pochodna z Q(L) jest równa:
~ fio (Co- w, L)'' L"' Wk
·I (Co - w, L)-'fi, (-~) + fi,L-' l· WK
WK
(5.35)
Q>O
jak
ła two s prawd zić ,
spe łni o n y
warunek konieczny i dostateczny istni enia maksi mum (5.25) jest
przez· (5.36)
5.2. Funkcjaprodukcji
a wobec tego
(5.37) Za u waż m y
ponadto, że struktura optymalnych n ak ł adów (stosunek K ** i L ** )jest taka sama, j ak w przypadku I (minimali zacji kosztów) - spełni a warunek (5.32) Po tym 1eoretycznym wprowadzeniu można przej ść do kolejnych punktów zadania (h) Postawione zadanie sprowadza
przy warunku:
się
do wyznaczenia takich K • i L \
że :
13.3640K 0·4521L 0·5080 = l 500
Równanie izokwanty K K = I
0Q (13,3640
)"°"" ·L um-= -·- (1500 - ) '·'"' ·L - 1. 123645 = 3425606·L - 1. 12365 13.3640
Zatem n a l eży
I
zn a l eźć
I
L•
'
mi n im al i zuj ące fu nkcję
~ n C = 24000 34256, 06L - 1· 12365
+ 2000L
=;.
=;. n~~n C = 822 145 440l -
c!.E_ = - 1, 12645 822
dL
\ 45440L - 2· 12365
l.1
2365
+ 2000L ,
+ 2000 =O=;.
=;. - 923803724 .66L - 2· 12365 = - 2000.
L - 2.12365 =
_
923~~~ 4 - 66 =;. L2.12365
923 803 724.66 2000
46 190 1. 86.
zatem:
c
=
46 1 901. 86 ~ = 464.906 : : : : 465.
K • = 34 256.06 · 464,906 - 1. 12365 = 34.479 : : : : 34.5.
Jak ła t wo s p raw d z i ć , do podobnych rezultatów prowadzi zastosowani e wzorów (5.36) ' (5.37) K * = ( ~ ) 1/0.9601 ( 2000 0.4521 ) 0.5080/0.9601 34 79 34 5 13.3640 24000 0 .5080 = .4 : : : : · · L* = (
2000 ) 1/0.9601
13.3640
( 24000
0. 5080) 0.452 1/0.9601
2000 . 0 .4521
"' 464. 91 "' 465.
Wtedy minimalny koszt jest równy: Cm;n = 1758 tys. opty malna struktura nakł adów spe łni a re l acj ę (5 .32):
~: ~ . : : ~:~~~~
2 . :
= 0.0742.
zł . S prawd ź my
I<"_= L'
jeszcze,
34 79 .4 = 0.0742 464.9 1
że
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(i) Obecnie mamy zrealizować drugą za s adę : uzys kać maksymalny efekt (produkcję) przy danych nakładach (koszcie Co = 2400000 zł) . Mamy zatem wyznaczyć takie K „ i L „, aby osiągnąć ir~f Q(K. L) = rr~~ 13,364Ko.4rn L o.5oso .
przy warunku
24 OOOK + 2000L = 2 400 OOO Z funkcji kosztów mamy np 2400000 - 24000K L = 2000
1200 - 12K:
po wstawieniu do fu nkcji produkcji
m;x Q(K) = m;x 13.364K0,4si i ~
= 13.364·0.4521Ko.4s2 1-1
~
= 13.364 K0 .4 521
+ 13.364K0.4S 21 ·
( 1200 - 12K)0 .5°80 .
Lo.soso+ ( 1200 - 12K)o.soso- i (- 12) = 0 11 •
(1200 - 12K) 0 ·5080 .
Q>O
· {0.4521 K- 1 + 0.5080 (1200 - 12K)- 1 ·( - 12))=0. zatem do zera pr.tyrównamy
wyrażeni e
w nawiasie klamrowym:
0.4521K - 1 + 0.5080 · (1200 - 12K)- 1 (- 12)= 0 => 6.096K
~
0.~
21
= I~:~;;~.
0.4521 · ( 1200 - 12K) => (6.096 + 5,4252) K K„ =
5
~
542.52.
2
1 1~~;1 2 = 47.089 mln zł.
L „ = 1200 - 12 · 47.089 = 634,934 ;":;: ; 635 osób. Oczywi ście
takie same wyniki daje zastosowanie wzorów (5.36). (5.37):
~::!~: ;~~~ ;":;: ; 47.089 mln zł. 2
K ** =
L
co daje
O ma.~=
Zauważmy,
0
2
=
~:~~~~ ~o:oo =
634.934 ;":;: ; 635 osób.
2023.25 tys. zł że i w tym przypadku optymalna struktura K •• 47.089 ~ - - ~ 0.0742. L„ 634 .934
n akładów spełnia
(5 .32)
17 z.auważmy. że nale ży obli czyć pochodną iloczy nu dwóc h funkcji zmi ennej K {/ · g)' = f. g' + = l 3. 364K0.452 I. g = (1 200 - 12K )0.5080, a obydw;i s kładniki pochodnej zawi eraj ą
+ f · g1• gdzie f
Q = 13.364K0.452 I . ( 1200 - 12 K)0.50RO > O. k! óre moż na wyłąc zyć prted wspóln y nawias i do ze ra co. co zostało po w y ł ącze niu Q
pnyrówn ywać
5.2.Funkcjaprodukcji
5.2.4. Funkcja produkcji typu CES Funkcję produkcji CES, czyli funkcję o stałej e l astyczności substytucji (co11sra11t elasticity of substit11tio11), zwan ą tak że niekiedy funk cją produkcji SMAC - od pierwszych liter nazw isk jej autorów (Solow, Minhas. Arrow, Chenery) - - m ożna uważa ć za pewne uogólnienie funkcji produkcji Cobba- Douglasa, a raczej jest tak, że funk cja C- D jest szczególnym, bo granicznym przypadkiem funkcji CES. Mimo waloru większej ogóln ośc i funkcja CES nie doczekała s i ę tak licznych zast osowań, ze wzg l ę du na trudnośc i w oszacowaniu jej parametrów. Nawet teraz, kiedy poży 1 ki z nieliniowej MNK coraz częśc i ej są dostrzegane i nie brak stosownych urząd zeń liczących, zawsze pozostaje niemał y problem wyznacze ni a ocen stanowych ini cj uj ących zbi eżn y proces iteracyjny. Model funkcji produkcji CES dany jest ogólnym wzorem:
(5 .38) K
gdzie: y. v > O ; ;~ Ój = l ; p e (- 1, 0) U (0. +oo). Dla dwóch czynników
można j ą zapisać·
Q1 = y[81 K,-P + 82L;-Pr vJp ee' .
(5 .39)
gdzie: Q - produkcja; K - kapitał, L - praca, t: - zakłócenie losowe, y . v. Ój , p parametry, przy czym y > O bywa nazywany parametrem efekt yw n ośc i (odpowiednik f3o w funk cj i C- D); v > O jest parametrem skali produkcji; Ój e (0. I) to parametry dystrybucji (o kreś lają ud z iał czynników w tworzeniu produktu), L i 8i = I; pe (- 1. 0) U (0. + oo) jest parametrem e l astyczności substytucj i W praktyce stosowana jest także funkcja CES o postaci 18 Q,=(a1 K P+a1U)"IPeC' , (5 .40) z parametrami a 1 , a 1 , p, v, przy czym a 1 , a 2 • v > O oraz p e (-oo. O) U (0. I), przy czym int erpretację mają tylko v (parametr skali produkcji) i p (parametr e la s t ycz n ośc i substytucj i) Przykład 28. W tablicy 5.2 zawarto dane o waności brutto środ k ów trwałych K (w mln z ł) , przeciętnym w roku zatrudnieniu L (w tys. osób) oraz produkcji globalnej Q (w mln z ł ) w pewnej gał ęz i przemysłu (a) Oszacować parametry fu nkcji CES. (b) Obliczyć dla okresu 1 = 12 produkcyjność krańcową kapi1ału i pracy (c) Pod ać elastyc zności produkcj i względem kapitału i pracy przy nakładac h z okresu / = 12. O ile procent wzrośnie produkcja globalna z okresu 1 = 12 na okres 1 = 13, je ś l i przecięt n e zatrndnienie wzrośnie o 2%, a wartość brutto środk ów trwałyc h nie ulegnie zn11anic. (d) Obli czyć o ile procent wzrośnie produkcja globalna, jeśli obydwa czynniki produkcji wzrosn ą j ednocześni e o 5%.
K
18 A dla K czynnikó w Q = (j'fl a; XfJ)"IP 1
·ee'
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(e) Okre ś li ć, ile powinno wy nos i ć przec iętne zalrndnie nie w okresie r = 12, aby - pr,i:y niezmie nionej wartośc i bruno środków trwa ł yc h - osiągnąć produkcje równą 90 mln zł , zamiast 87 mln zł (f) Podać, o ile należy zw i ększyć zatrudnienie z okresu r = 6 na pewi en inny okres, je7..eli wiadomo, że wart ość brutto środków trwałych zmniejszy sic o 2 ml n zł (w porówmmiu z t = 6), a chcemy utrzy ma ć produkcję na niezmienionym poziomie. (g) Oce ni ć łatwość substytucj i czynników produkcji (h) Podać opty malną ko mbinację K • i L •, pozwalającą osiągnąć produk cję Q0 = = 90 ml n zł . minimalizującą j ednocześ ni e koszt ca łkow it y, jeśli zna ne są jednostkowe koszty stosowania czynników produkcj i, wynoszące 0,8 dla K i 0,4 dla L i jeśli ponadto wiadomo, iż funkcja kosztów całkowit yc h jest liniowa
I 2
15 17
41 41
35 37
26
51 52 57 61 62 67 69 70
49 53 58 67 69 77 81 87
30
7 8 9 IO li 12
34 42 44 52 56 64
żródło:daneumownc
Rozwiąza nie.
(a) Estymacja. Model te n jest nieliniowy tak wzg l ędem zmiennych, jak i względem parametrów i nie istni eje transformacja, która przekształc:1 model (5.39) lub (5.40) w równoważny model li niowy, którego parametry moż na by szacować bez trudn ości za pomocą MNK, jak to ma miejsce np. w przypadku funk cj i produkcj i C-D (z multiplikatywnym zakł óce niem losowym). Istnieje jednak możliwość estymacji jego parametrów za pomocą omówionego w podrozdziale 3.3 algorytmu Gaussa- Newtona Przyj ęto model (5.40), ale z addytywnymi zak ł óce niami losowymi; i jako warto ści początkowe parametrów (punkty startowe procedury G-N) przyj ę t o
ex?= 0.5.
a~= 0.5.
p 0 = 0.5.
11°
=
1
W kolejnych iteracjach poprawki na parametry obli czano według formuły (3.2 1) 19 :
d
5.2.Funkcjaprodukcji
Przy czym kolu mny macierzy Z 1 zaw ierajq pochodne zmiennej za l eżnej Q wzglę dem a 1, a 2 , p oraz v (obliczone dla /-tych przybliżeń parametrów i 11 obserwacji zmiennych), dane formułami (5.41)
(5.42) (5.43) (5.44)
gdzie: A =a1 K P+ a 2L P, Q =(a 1 KP+a 2 U)~= A ~. Cl'1.a2. V> o. p E (-oo.O) u (0, 1).
a elementy wektora e1 to różn i ce między obserwacjami Q i jej p rzybliżeniami w /-tej iteracji. Otrzymano: Parametr
"'
Oceny parametrów Asymptotyczne
błędy śred n ie
szacunku
0.96 12
0,6346
0,6282
0.9048
0,2350
0,0315
0.1148
0.0450
Asymptotyczne błędy średnie szacunku parametrów św i adczą. że parametry są statystycznie istotne, a wariancja resztowa = 0.0797 wskazuje. że model dość dobrze odzwierciedla badany proces produkcyj ny i może wobec tego s ł u żyć do celów anali tycznych, decyzyjnych lub predyktywnych. Zatem oszacowany model przyjmuje postać
s;
Q, =
(0.9612 K 0 ·b282
+ 0.6346LO.b282
)=.
(b) K rańcowe p rod u kcyjno ści czynn ików produkcji obli cza cji produkcj i wzg l ędem wyróżni onego czynnika (5.2). Zatem
s i ę jako
pochodne funk-
PkK = JQi =
oK,
= 0,904
8
0,6282
(0.9612K,°·b282
+ 0.6346L ?·b282
= 0,9048 0.9612 · (0,9612K,°· 6282
= 0.8697. Ql ~
K,°·b282- I
+
)=-
10.9612 · (0.6282) K,°·b282 - 1=
0.6346L?· 6282 )~ - 1
·K,°·6282-1 =
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Wobec tego
podstawiając
PkK
1
?
=
za Qi. Kr. L 1 odpowiednie
~=
wielkośc i
z tablicy 5.2, mmny
0.86971 · s?'- ~ . 64°· 6282 - 1 = 0.7263
O K12 czynników produkcji z okresu t = 12, zwięks zenie nakładu mao I mln zł (z 64 do 65) prą niezmie nionym zatrudnieniu da przyrost produkcji globalnej gałęzi o 0,7263 mln zł. Jak łatwo s prawdzić , krańcową produkcyjno ść kapitału dla modelu (5.40) wyraża wzór· PkK = OQ, = a vQ: -~ Kf'- 1 . (5.45)
Zatem przy
nakładach
jątku trwałego
aK,
a
krańcową produkcyjność
pracy -
1
wzór
OQ , 1- ~ pPkl =JL;= a1 vQ 1 L1
l •
(5.46)
1 = 0.5742 · 53 - ~ · 70°· 6282 - 1 = 0.4638. 1 A więc z więk sze n i e liczby zatrudnionych o l tys. osób (z 70 do 71 ) pr~y s tałych nakładach majątku trwałego pozwoliłoby na zwiększen i e produkcji globalnej gałęzi o 0,4638 mln zł Otrzymane wielkośc i można w przybliżeniu (bo v ::/=- 1, ale jes1 bliskie jedności) traktowa ć jako ceny, wedł ug których w okresie t = 12 s4 wynagradzane czynniki produkcji (c) Elastyczności produkcji wzg l ędem czynników. Zmiana produkcji na skutek 2%-owcgo wzrostu zatrudnienia. Zauważmy na począt ek , że inaczej niż to jest w przypadku potęgowego modelu funkcji produkcji C- D, elastyczności czynników produkcji dl;i funkcji CES nie s ą sta le, lecz zal eżą od konkretnych wartości K, L i Q w danym momencie (lub danym przedsiębior stwie) r. Stosując wzór (5.4), mamy Pkl1 2 =
~ Z1:
EQ/K = OQ r 15.!._ =
aK,
Q,
~ -(0,96 l 2K 0·6282 + 0,6346L 0 · 6282 ) ~ - I ·0,9612·0,6282K 0·6282 - 1-K (0,9612K 0·6282 + 0.6346 L 0 · 628 2 ) ~ O, 9048 · O, 9612 K 0·6282 0,96l2K 0·6282 + 0.6346 L0- 6282 ' EQ/L = DQ, al ,
!:.!._ =
Q, ~ -(0,9612K0.6282+0.6346L o.6282 ) ~ - 1 ·0,6346·0,6282L o.6282- 1·L
(0.9612K o.62s2 + 0.6346L0.6282) ~ 0,9048 · 0.6346 L 0·6282 0.961 2 Ko.62s2 + 0.6346L0.6282
5.2.Funkcjaprodukcji Pod st aw i ając
K = 64, L = 70 (m1kłady z r = 12): 0,9048. 0,961264°· 6282 + 0.6346700.6282
E Q/K = 0.96 12640.6282
0. 5327 .
o 9048 . o 6346 ' 7(fJ.6282 EQ/L = 0. 96 ; 2640,628;
+ 0.6346700,6282
0.3721.
R:
czyli przy nakładac h z ostatniego roku wzrost majątku trwałego o 1 % powoduje wzrost produkcji o 0,5327%, a wzrosl liczby zatrudnionych o I % powoduje wzrost produkcji o około 0,372% Czytelnik m oże s prawd zić, że dla funkcji CES danej wzorem (5.40) elastycznośc i produkcji względem kapitału i pracy wyrażają ogólne wzory · EQ/K
=B Q,
aK, aQ,
E Q/L
=Jl;
K,
a 1 • v ·K P
Q, L,
a 1 K P+ a 2 L P a2 \!· L P
Q,
a1KP +a1 L P
(5 .47) (5.48)
Aby obliczyć wzg l ę dną zmianę produkcji spowodowa n ą wzg l ęd n ą zmianq zatrudni enia - 2%-owym wzrostem liczby zatrudnionych - m ożna skorzystać z wzoru (5 .1 7) (w tym przypadku przy stałym kapi tale)
t>Q
t>L
Q · IOO ~EQ/L [
100.
Wobec tego t::i.QQ
100 = 0,372. 2% = 0. 744%.
czy li wzrost zatrudnienia w okresie r = 12 o 2% pociągni e za sobą pr.i:yrost produkcj i w przy bli że niu o 0,744%. (d) Nawiqzujqc do poprzedniego punktu, za uważ my, że zgodnie ze wzorem (5.7) elastyc znośc i sumują s i ę do parametru skali20 : E o1x Poni eważ
+ E QIL
= 0.5327
fu nkcja produkcji CES jest
Q (A K. AL)= [a1(AK1)P
+ a2(f..L
1
+ 0.3721
= 0,9048 = \!
funkcją jednorodną
)P ]"IP = (f..P)"/P [a1 K {'
zate m jednoczesny wzrost czynników produkcji A razy ce nt ową zmianę produkcj i:
t>Q Q
100 ~
('Q"Q - ) I
100
~
stopnia v. bo
+ a2L; ] v/p =
poc i ąga
"
(!. - I)
za so bą
100
f..vQ(K . l).
(5.49) pro-
nas t ępującą
(5 .50)
20zmiana jednego lub obu nakładów spowoduje zmianę obu e l astycznoś.:i. ale ich suma lawsze będzie równa u (parametr skalijes1 jednym z parametrów funkcji). Czytelnik zechce sprawdz i ć . że np. przy nakladnch z okresu 1 = 6 K = 30, L = 52: EQ / K = 0.4681. EQ/ L = 0.4367:0.468 1+0.4367=0.9048 =u
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego J eś l i w i ęc
Ki L
mają wzros n ąć
/:;QQ
o 5%, to A = 1.05 i wtedy:
100 = ( I. 050.'Xl-
100 = 4. 5 1%.
zatem 5%-owy przyrost czynników produkcji pociąga za sobą przyrost produkcji tylko o 4.5 1% < 5%. Jest to wynikiem tego, i ż parametr skali produkcj i 11 = 0,9048jest mniejszy od jedności , a więc badany proces produkcyjny charakteryzuje się ma l ejącymi przychodami wzg l ędem skali produkcji (c) Substytucja czynników produkcji - izokwanta. Aby u s tali ć poziom zatrudnienia (L) ni ezbędny do wytworzenia założoneg o poziomu produkcji Q0 , przy danej wart o ści majątku trwałego (K). należy wyprowadz i ć równanie izokwanty2 1 • W tym celu zapiszmy oszacowany model: Qo = (0.9612K 0·6282 + 0.6346L 0 · 6282 )~ w równoważnej postaci
QF Przek s ztałcając
= 0.9612 K 0.6282
+ 0.6346L0.6282
dalej:
Q~ - 0.96 12K 0·6282 =0.6346L 0·6282 ::::}
::::}
0.6~46(Q~
-0.9612K O.ó282) = L0,6282 ,
otrtymuJemy :
L=[--
1 -
0,6346
Po podstawieniu Qo = 90 mln
zł
(ó &lóll- 0961 2 K 0·6282 )] ,,\.,,
o
'
oraz K 1 = 64 mln
z ł.
L = [ -I- ( 90 "''"' ~ - O 96 12 · 64°· 6282 0.6346 •
otrzymamy :
)]°""
= 75 967 :::::: 76.
.
Zatem, aby os iągnąć wart ość produkcji globalnej równą 90 mln zł, przy warto ś ci brutto ś rodków trwałych równej 64 mln zł , należy zatrudni ć 76 tys. pracowników. Zatem niedobór pracowników wynosi 76 tys. - 70 tys. = 6 tys. i o tyle pracowników nal eży zwiększyć zatrndnieni e w badanej gałęzi przemys ł u Jak ł atwo sprawd z i ć , izokwanty dla funkcji CES w postaci (5 .40) dane są następuj ą cymi ogólnymi wzorami: (5.51) (5.52) 2I Podobnie jak w punkcie (0 przykładu 27
5.2.Funkcjaprodukcji
(f) Substytucjll czynników - kraficowa stopa substytucji. Do rozwiązani
~ R LK
~t iiL
=
=
~. (0.9612K 0.62S2 +0.6346L0.62S2)~-1. 0.9612. 0. 9048 K0.62S2-I ~:~~ . (0.9612K0.62S2 + 0.6346LD.62S2)~ - 1 0.6346. 0.9048L0.6282- I = 0,%! 2
(K_)0.6282-1 =
0.6346 Przy
nakładach
L
(-KL) 1-o.62s2
0. 961 2 0.6346
z okresu 1 = 12
R KL
=
~:~~~~ (~y-o.
6282
= L 566
Spadek wartośc i majątku trwałego o I mln zł należy zrekompensować zwiększeniem zatrudnienia o l ,566 tys. osób, aby utrzym ać produkcję na niezmienionym poziomie. J eże li wartość majątku trwałego zmniejszy s ię o 2 mln z ł · dl = 1,566 · 2 = 3. 132 tys. osób M ożna s prawd zi ć, że tału
przez
pracę wyraża
w przypadku modelu (5.40) s i ę wzorem
krań cowa
stopa substytucji kapi-
(5 .5 3) a R KL jest jej odwrotnością (g) Łatwość substytucji , czyli zastępowan ia s i ę czynników produkcji najlepiej charakteryzuje parametr zwany e lastycznośc ią substymcj i a e (0. +oo), wyrażający s i ę wzorami (5. 10a) lub (5. !Ob) W s tawiaj ąc do (5 . lOa) R LK daną wzorem (5 .53) oraz pochodną z R LK wzg l ędem L/ K. otrzymujemy e las tyczność substyh1cji dla funkcj i CES rów ną
"' (~) '-' a=
"'
K L
/(
-(-)~,--
~ !:_
a2
K
(1 -p)
1 -p
(5 .54)
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Do tego samego rezullatu prowadzi zastosowanie wzoru (5. \Ob):
rr=
OlnRLK
[a 1" (~) ]
, _, [·Q in ("'~ (L)'-')]_ K =
a1"(~)
=[a((1" ~) +
Po n ieważ
u nasp = 0.6282,
l -p
w i ęc :
I rr = 1 - 0,6282 = 2. 6897 .
co oznacza, że istnieje wzg l ędni e duża łat wość zast ępowa n ia s ię czynników produkcji. a w k ażdy m razie łat w i ej sza ni ż w przypadku funk cj i Cobba- Douglasa, dla której rr = l . a ponadto sytuacja jest daleka od ko m p l e m e n tarn ośc i , która ma mi ej sce prą rr = O. (h) Z warunków zadania wynika, że koszt całkow i ty C wy rażo n y jest wzorem: C = O.BK + 0.4l. Ponadto w s t awiaj ąc do równania izokwanty (5 .46) odpowiednie nego model u oraz p a mi ętaj ąc, że Q0 = 90 mln zL otrzymujemy
~
L = [-' 0.6346 a
(90 =
- O .
w s taw i aj ąc izo k wa nt ę
96 1 2K 0· 6282 )] ~ =
(35 83644 .
w i e lkości
z oszacowa-
1.5 1466 KD.6282 )~ -
do funkcj i kosztów (C) , otrzymujemy:
C = O,S K
+ 0,4 · (35.83644 -
l .5 l 466 K 0 · 6282 ) ~ -
Nasze zadani e sprowadza s i ę do znalezienia minimum fu nkcji kosztów (C) . W tym celu obliczamy poc h od n ą C w zg l ę dem K i przyrównujemy do zera. Jak ł at wo s p raw d z ić :
~
= 0.8
+
0.~~~ 2 · (35.83644 - l ,5 1 466Ko.<,282 )~ -l
·
(- 1.5 1466) · 0. 6282 K - 0·37 18 =
= 0.8 - 0,60586 · (35.83644 - l .5 1 466 K 0 · 6 282)~
~=
0 <:> (36,83644 -
l .5 1 466K 0· 6282 ) ~
=
K- o.J 7 ts .
0. ~~~ 86 K 0 · 37 1 8
<::> 36.83644 - l. 5 1466 K 0·6282 = ( l .32044K 0 · 37 1 8 ) ~ <:> 36.83644= (1.59944 + l. 5 1646) K0·6282
<=> Ko.62s2 = 36 ,83644 = 11. 5078 3.1 14 1
<:> K" = 11. 5078 ~ = 48 ,859
:=::::::
49 mln zł.
5.2.Funkcjaprodukcji
:~~
= - 0.60586
~:!~~~
.
(35.83644 - l ,5 1466K o.6282 )-o.4081s
(- 1. 5 1466) · 0.6282(K- 0·37 18 ) 2 + - 0.60586 (35.83644 - I .5 1466K0.6282)0.591S5 . ( - 0.3718) K (- 0.37 !8- l) = = 0.34119. 2 1.4059-0.40Sl5 . 48,895-o.74 36+ + 0.22526 ' 2 1.4059°·591 85 . 43_395 - J.37 IS.
(d'C ) (dC) ~
dK
=5, 428
> o.
K= K '
(d'C)
Poni eważ = O oraz ~ > O, zatem funkcja kosztów osiądK K=K · dK - K = K' ga minimum , s t ąd też K • ;:;:::: 48.895 mln zł jest optyma lną wartośc i ą brutto środków trwałych. Optymalne rozmiary zatrudnienia znajdujemy wstawiając K • = 48,895 do równania izokwanty L: L* = 103. 187 ;:;:::: 103 tys.osób Pow tarzając c ałe rozumowanie na ogólnych wzorach, ł atwo wykazać, że optymalne rozmiary czynników produkcji , minimalizujące koszty, prą zadanej wielkości produkcji są dane na stępującym i formułam i :
(5 .55)
(5.56) Korzystanie z powyższych, gotowych wzorów (5.55) i (5.56) ma t ę zal etę, że unikamy bardzo li cznych zaokrąg l eń numerycznych w kolejnych etapach przedstawionego wyżej pos tę powania
5.2.5. Funkcja translog Funkcja Cobba- Doug lasa może być uogólniona przez wprowadzenie dodatkowych cz ło nów. będących pewnymi funk cjami tych samych zm iennych (majątku i zatrudnie ni a) (por. ( 137], s. 57) . Ma to na celu przede wszystkim zw i ę k sze ni e g i ę tkośc i relacj i opisywanej przez model. Do takich funkcji należy m.in . funk cja transcedentalna logarytmiczna (translog)· In Q = f>o + /31 In K + fh ln L + f33 ln 2 Kr + f3 4 ln 2 Lr + {J5 ln K In L + t: (5 .57) 1
1
1
1
1
1
lub22
(5 .58) 22Ahernatywnic Qi= ef3o ·Kf1 +/J3 lnK, · L '/1 +/J~ lnL , +tls lnK, ·ee' lub Qi= ef3o· Kf 1+/Ji lnK, +/J3 lnK L ri +/J~
In L, +/J{i ln K, . ee'
1
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Funkcja ta redukuje się do funkcj i C- D, gdy parametry /h, {34 , {3 5 sq równe zeru. Poprzez fakt, że u względ ni ono kwadraty logarytmów zmiennych oraz ich i nterakcję. fu nkcja odznacza się dużą giętkościq, uwzg l ę d n i ając zmienność el astyczności wzg l ędem czynników, jak i elastycz n ości substytucji Na l eży jednak zauważyć, że estymacja parametrów tej funkcji, zwł aszcza na podstaw ie szeregów czasowych, napotyka znaczne trudnośc i zwiqzane z wystę powaniem ws pół l i n iowości zmiennych objaśniajqcych , a także z ich transfo rmacją. Przykład 29. Na podstawie danych pochodzqcych z 13 przedsiębiors tw pewnej branży oszacowano fu n kcję produkcji lranslog, wyrażaj<1e<1 za l eż n ość wielkośc i produkcji (Q) od nakładów kapi tału (K ) i pracy (L)
~~-~+~~~+~ ~ ~+~~~ + ~~~ + ~~~~~ Otrzymano:
b -
0.60 0.50. 0,55 - O.Ol
0. 18 0.20
- 0.05
0.04
0.32
0.02
- O.O l
0.5
(X TX )-1 =
·
[ -0.02 - 0.03
0.2 0.02 0,05 - 0.02 0.00 1 - 0.04
[
0.002
s; = 0.02.
O.I • -- 0,03 0.02
0.02 . -O.Ol O.Ol
Zatem oszacowany model można zapisać: In Q1 = 0 .50 + 0.60 ln K,
+ 0.55 ln L
1 -
0.01 ln 2 K 1
-
0 .02 ln 2 L 1
-
0 .03 ln K 1 In L,
(a) Podać i zi nt erpret ować elastycznośc i produkcji względem n akładów kapitału i pracy oraz efekty skali produkcji (logarytmy zaokrąglić do 3 miejsc dziesię tn ych), jeże li
• n akł a d y obu czynników są jednostkowe (K = I mln , L = 1 etat). • śred n ie nakłady kapitału K = 20.086 mln z ł , nakła d y pracy L = 54,6 etatu (b) Podać 95 %-owy przedzi ały ufności dla elastycznośc i w obu wypadkach (c) Określić efekty skali produkcji. Zbu d ować 95 %-owy przedział ufności dla parametru skali przy przec i ętnych nakł adac h w branży (d) Podać i zinterpretować krańcową stopę substytucji pracy prtez kapitał przy podanych wyżej nakł adach. (e) Czy uzasadniona by ł aby redukcja fu nkcji translog do funkcji Cobba- Douglasa. je7..eli wiadomo, że reszty dla funkcji C- D były następujące· 10
11
12
13
e, - 0,16 O,\ I 0,12 - 0.2 1 - 0,12 0, 15 0,08 - 0, 14 0, 11 0,07 0,09 - 0,24 0,14 Rozwiąza nie.
na
obl i czyć
(a) Tak jak w przypadku funkcji Cobba- Douglasa, elastycznośc i m oż ze wzorów (5.4) lub (5.5). Wygodniej jesl zastosować wzór (5.5); zgodnie
5.2.Funkcjaprodukcji
z nim dla oszacowanej funkcji, EQ / K
= :
E Q/ L
=
e l astyczności
:~;
~ :~ z
sq równe:
= 0.6 - 0,02 ln K 1
-
0.03 In l ,.
= 0,55 - 0.04 ln l , - 0.03 ln K 1
Zatem nietrudno sprawdzi ć, że dla funkcji translog w parametryzacji (5.57) lub (5.58) e la styczności sq dane ogólnymi wzorami EQ / K
= /31
+2 · /J3 lnK, +f35 1nL 1 •
EQ / L
= fh
+ 2 · /3.i In L, + f35 In K
Dla oszacowanej funkcji. przy jednostkowych Eo; K!I:
I) ~
Eo;dl :
I )~
nakładach
1•
(5 .59) (5.60)
K i L:
0.6 - 0.02 ln ( IJ - 0.03 ln(I) ~ 0.6. 0.55 - 0.04 ln ( I) - 0.031„( 1) ~ 0.55.
a w i ęc przy jednostkowych nakładów obu czynników wzrost majqlku trwałego o I% powoduje wzrost produkcji o 0,6%, a wzrost zatrudnienia o I% powoduje wzrost produkcj i o0,55 %. Natomiast przy śred ni c h w bran ży nakł adac h ( K = 20,086 mln zł , L = 54.6 etat u)
Eo 1d20. 086; 54.6) = 0.6 - 0.02 ln (20.086) - 0.03 ln (54 .6) = ~ 0.6 - 0.06 - 0. 12 ~ 0.42. E 01L(20, 086; 54.6) = 0.55 - 0,04 ln (54,6) - 0.03 ln (20,086) = ~ 0.55 - 0.16 - 0.09 ~ 0.30. a więc w wyniku wzrostu majqtku trwałego o I% produkcja wzrasta o 0,42%, a w wyniku wzrostu o I% zatrudnienia produkcja wzrasta o 0.30%. (b) Przy jednostkowych nakładach czynników produkcji e lastycz nośc i sq parametrami funkcji produkcji ( E Q/ K = /31, EQ / L = fh), a w i ęc wystarczy wyznaczyć prze d zia ł ufności dla parametru (2.22) Wcześniej należy obliczyć błędy ś red nie szacunku parametrów: D(b1) ~ )0.02 · 0.32 ~ 0.08.
D (b,) ~ /0.02 · 0. 5 ~ 0.10. 1005 ; ~ 2.365. P\0.6 - 2. 365 · 0.08
P\0.6 - 2. 365 · O. IO
p, e [0. 3135: O. 7865]
Przy ś rednic h w branży nakładac h czynników, elastycznośc i są kombinacjami liniowymi parametrów funkcji produkcji. Przy przyj ęt ej parametryzacji funkcji translog można za pi s ać , że:
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego Bł ąd ś red n i
szacunku lak zdefiniowanego parametru
n al eży o b l i czyć
ze wzoru (2.33):
D (E o1xl =
[:]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
= 0, 14 14· LO
l
o 2·3 o 1
[
:;~ 0.02 :;~ -::~ -:~ :~, =:~, ] 0.5 0.05 - 0.02 0.02
- 0.05 0.04 0.2 - 0, l
- O.Ol 0.05 0,001 - 0.04 0.02 0.02 - 0.02 - 0.04 0.002 - O.Ol - 0.03 0.02 0,02 - O.Ol O.Ol = 0. 14 14
o
.
6 O 4
=
,;T.TT6 = 0. 149
D (EQ ; d = ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3]·[J:i~ ~:~~ -~:~~-~:~ J:~~ =~:~~] . [~]
= 0. 14 11 .
0.04 -O.O l 0.05 0.001 -0.04 0.02 0.2 O.OZ - 0.02 - 0.04 0.002 - 0.0 1 - 0.J - 0.03 0.02 0.02 - O.O l O.O l = 0. 141 4 . Jo.038 =
=
O 8 3 0.028
Zatem EQ / K E (0.42
± 2,365 · 0. 149),
(c) Parametr skali jest czynników:
EQ/ L E (0. 30
s um ą el as t yczności .
± 2,365 · 0.028).
Zatem przy jednostkowych
n a kł adac h
ll=E 01K( t : l ) + EQ/i( l: 1)=0.6+ 0,55= l.1 5,
a wiec technologia produ kcji charakteryzuje s i ę rosnący m i efektami skali produkcji Natomiast przy nakładach przec i ę t nyc h w b ran ży li= EQ / K(20,08 6 ; 54. 6) + EQ;L{20.086: 54 .6) = 0.42 + 0.30 = 0. 72.
czyli p rą innych n iż jednostkowe cowanej fu nkcji są równe:
nakład ach
czynników efekty skali produkcji dla osza-
li= E QI K + EQ / L = 0 .6 + 0.55 - 0,02 ln K - 0.04 ln L - 0.03(l n K + In L) A ogólnie dla fu nkcji translog w parametryzacji (5.57) lub (5.58) parametr skali produkcj i dany jest formułą 2 3 230 ile w funkcjach C- D i CES efekty skali produkcji S•l stale - w 1ym sensie. że gdy funkcja jest oszacowana. parametr sk;il i jes1 zawsle taki sam - to funkcja tr.mslog modeluje zm ienne efekty skali (knywa Knighta). czyli zależą one od aktualnych nakładów. za1em 1u można mówić jedynie o lokalnym współczynniku efek1u skali (w konkretnym punkcie funkcji produkcji)
5.2.Funkcjaprodukcji
v na
= EQ / K + EQ/ L = /31 + /32 + 2/31 In K + 2{34 ln L + {35(1n K + ln L)
(5.6 1)
(d) Krańcową st opę substytucji można obliczyć jako iloraz pochodnych (5.9b), z zależnośc i (5.4)·
moż
także skorzystać
EQ/ K
=
aQ
aK. Q
g_
aQ
K
aK =
-,i.
EQ / K. K
i analogicznie
Zatem·
~
EQ/ K
~
EQ/ K
al
EQ IL .
L
Q/L
l
(5.62)
RLK= iJQ = - - Q =~ !(· Przy jednostkowych
nakładach majątku
i pracy:
RLK=~~ 5 6
f=l,091,
czyli przy jednostkowych nakładach czynników, aby utrzymać produkcję na niezmienionym poziomie, wycofanąjednostkę maj ątku trwałego należy zastąpić l ,091 jednostkami pracy. Natomiast przy przeciętnych w branży nakładach RLK = 0,6 - 0.02 ln K 1 - 0.03 In L !:.!._ = O 42 ~ = 3 806 0.55-0.04lnL 1 - 0.03lnK 1 K1 030 20086 Zatem, aby produkcja nie uległa zmianie, wycofując I mln kapitału, nal eży zwiększyć zatrudnienie o 3,806 ciatu. (e) Należy skorzys tać z testu opartego na statystyce F - weryfikacja i stotnośc i ukła du ws półczyn nik ów regresji. Parametry oszacowanego modelu dzielimy na dwie grupy:
parametry
występujące w funkcji~' = [ ~] C- D i pozostałe ~2 = [~:
Weryfikujemy Ho:
l
~2 = [~:J =O"' wobec H,: ~' = [~: J f' Oh ,·
Sprawdzianem Ho jest statystyka F dana wzorem (2.28):
(SSE, - SSE,)/ k2 SSE 1/(11 - k) przy czym suma kwadratów reszt dla mode lu zredukowanego (C-D), jak
łatwo
spraw-
dzić, jest równa0,2614, a dla modelu translog: s; = 0.02 = 13L -e;6 ::::} Le;= SSE 1 =
=7·0.02=0.14
F = (0.2614 - O. 14) /3
0.14/ (13 - 6)
0.0405
o:o2 =
2.025.
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Dla a = 0,05, 111 = 3 i 112 = 13 - 6 = 7, f"a = 4.35. Wobec nierów no śc i F = 2.025 < Fa = 4,35 ni c ma podstaw do odrzucenia Ho - wpływ drugiej grupy zmiennych jest statystycznie nieistotny, można więc zre dukować model do fu nkcji C- D
5.2.6. Badanie efektów postępu techniczno-organizacyjnego Jak wspomniano w podrozdziale 5.2 .2 e konomelryczne badanie efektów neutralnego postę pu technicznego i organ izacyjnego polega na ogół na oszacowaniu parametrów odpowiednio zmodyfik owanych (zdynamizowanych) funkcji produkcji. Klasyczna ju ż dynamizacja fu nkcji produkcji typu Cobba- Douglasa pochodzi od Tinbergena i polega na multiplikatywny m nałożeniu na model w i e lkośc i eri, co daje 24 : (5 .63)
gdzie: Q - produkcja; K - kapi t ał; L - praca: / - zmienna czasowa: e - zakłó cenie losowe; f3o, {3 1• f3i. r - parametry, przy czym parametr T jcsl właśnie miernikiem neutralnego pos tępu techniczno-organizacyj nego. Przy niezmienionych nakładach czynników prod ukcj i ( K i L) gdy t ro ś n i e o 1 (z okresu na okres - co roku, gdy funk cję oszacowano w oparciu o dane roczne. co kwartal. gdy funkcję oszacowano w oparciu o dane kwartalne itd.), produkcja zmienia s i ę o (er - I)· 100. Zauważmy, że err jest czynnikiem wykładni czy m (w tym wypadku w funkcji potęgowej), zatem e 1 jest st opą zmian produkcji (Q) z okresu na okres przy s t ałych Ki L: Qr+ l
/30 Kf L~!er (l+ l J
Q,
f3oK f1 L ~~ eu
1
e'
(5.64)
Jeś li T > O, to i s t n i eją dodatnie efekty neutralnego pos t ę pu techniczno-organizacyjnego, tak że produkcja wzrasta dzięki nim ś redni o o (er - 1) I 00 w skali rocznej (kwartalnej itp.). Dla T = O nie wys t ępuje neutralny postęp techni czno-organizacyj ny, i jednakowe z okresu na okres nakłady dają t ę samą produkcję, Wreszcie w przypadku r < O występuje regres techniczno-organi zacyj ny. wyrażający się tym, że przy s tałych nakładach produkcja maleje ś red ni o o (er - I) · 100 pny wzroście / o I
Przykład 30. W tablicy 5.3 z najdują się dane, dotyczące wie l kości produkcji Q1 (w tys. ton), wartości trwał ego majątku produkcyjnego K 1 (w mln z ł) oraz ś redni ego rocznego zatrudnienia L, (w e tatach) w pewnym przedsiębiorstwie przemysłu che micznego z ostatnich 15 lat (t =I, 2, .... 15) (a) O szacować parametry dynamicznej funkcji produkcji Cobba- Douglasa (5 .63). (b) Okre ś l ić występujące w tym pnedsiębio rs twi e efe kty postę pu techniczno-organ1zacyJnego (c) lle będz i e wynosić produkcj a w następ ny m roku (I = 16), przy niezmienionych n ak ładach kapitału i pracy, a ile po dwu Jatach (r = 17) prty tym samym za łożeniu ?
5.2.Funkcjaprodukcji
(d) llika
by łab y
trwałego wzros ła
produkcja w
nas tęp nym
z 23 do 24. 15 mln
zł ,
a
roku (1 = 16). gdyby
ś rednioroczn e
wartość majątku
zatrudnieni e
z mni ej szy ło s i ę
z 85 do 76.5 etatu? TablicaS.3
1
32
125
86
2
31
114
83
3
29
129
85
4
27
114
5 6
28
120
82
30
135
92
8
28
120
84
9
27
100
77
10
78
79
7
25
Ili
li
24
90
70
12 13
24
85
70
24
86
71
14
23
84
68
15
23
"
69
żr&iło:dancumownc
Rozw iązanie. Funkcję
(a) Estymacja parametrów funkcji
(5.63) sprowadzamy do postaci liniowej. obustronnie In Q1 = ln ,Bo + {1 1 In K,
logaryt mując:
+ {3 2 ln l, + r r + e,.
Po podstawieniu: ln Q1 = y,. In K, =xri . lnl1 =x,2. r =x,3. ln fJo = cxo. f31 = a1. f32 =a2. r = 0'3 mamy model· którego parametry -
T
_
X X-
w oparciu o dane z tablicy 5.3 a = (X Tx ) - 1XTy.
szacujemy za
15.00000 49.34952 70.04604 49,34952 )62,5347 1 230.69198 70.04604 230.69198 327,5 1373 [ 125.00000 404.14888 573.43550
pomocą
125.00000 ] 404, \4888 573.43550 . 1375.00000
MN K:
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
65.43575 ] XT = 215.42618 y 305,80079 . [ 539.63955 IXTX I = 0,2198274.
511.82010 (X TX ) - '
- 21.30432
~ [ -~~::;~~ -~~::~~~~ - :~~~~;~ -3. 17873
a
YTY = 295,234,
- 117.25904
0.71282
0.13845
- 3,17873]
~::;~:;
.
0.02245
stąd )'1
D(a;) t(a j)
= 0.42032 +0.52278x, 1 + 0.460917x12+0.00837x13, (0, 18933) (0,06083) (0,03004) (0.001 25) 2,220 8,738 15,342 6,677
s; = 0.0001.
Ve = 0.19%.
cp 1 = 0.0062
Na podstawie powy ższych wyników możemy stw i e rd z i ć, że oszacowany model dobrze opisuje badany proces produkcyjny - wszystkie parametry stmkturalne są statystycznie istotne (to.05:ll = 2,201). Pamiętając, że fJo = e"o = e0.4 2o32 = l.5224, możemy zapisać model w postaci wyjśc i owej (5.64}
(b) Efekty po stę pu technicznego Parametr • = 0,00837 jest dodatni, więc analizowany przez nas proces produkcyjny charakteryzuje s i ę dodatnimi efektami nemralnego postępu technicznego i organizacyjnego, tak że produkcja wzrasta dzięki nim średnio o (eo.oom - I)· 100 = = ( 1,008408 - I)= 0.84% w skali rocznej. Warto nadmi enić, że w praktyce często korzystamy z prz ybl iżenia 25 (er - I ) 100 :::::: < 100, co w naszym przypadku dałoby 0,837%. (c) Wpływ postępu technicznego na wielkość produkcji w kolejnych latach. W roku t = 15 produkcja Q = 69 tys. ton. Prt.y niezmienionych nakładach w roku t = 16 wymeste Q16 = Q 15 • e0 ·00837 = 69 · 1.008408 = 69.580 tys.ton. a po dwu latach (w 1 = 17): Q11
=
Q16 · e0 ·00837
= 69 · 1.01688=70, 165 tys .ton
(d) Zmiana produkcji spowodowana zmianami czynników produkcji i technicznym.
postępem
25 Prlybliżenie to wynika stąd. że rozwinięcie er w szereg Maclaurina daje szereg potęgowy. w którym wszystkie potęgi r 1 dln I ~ 2 są pomijalnie małe. bo r w praktyce jest b~rdzo małe. D!mego też: er :=:: I + r
5.3.Funkcjewydajnościpracy
Zmianę produkcji s powodowaną zmianami n akładów czynników moż na obliczyć ze wzoru (5. 16), dodatkowo uwzg l c dniając wpł yw postępu techni czno-organi zacyj nego:
8K K
D,.l L
24.15 - 23
- ~ --- ~oos
23
.
.
~
76.5 - 85 ---
~ - O.IO
85
Zatem D,.Q = (1,050.52278. 0 ,900.460'Jl7). eo.oom - I = 0 ,9772. l.008408 - I =
Q ~
0.9854 - I
~
- 0.0 146 "' - 1. 46%.
Dodajmy na koniec, że czynnik er 1 można także uw zg l ędni ć w innych omawianych funkcjach produkcji , a interpretacja jest zawsze taka sama
5.3. Funkcje W analizie
wydajności
wydajności
pracy
pracy
wyróżnia s i ę
modele indyw idualnej i
zes połowej
wydaj-
n ośc i . Wydajność
indywidualna dotyczy pojedynczych pracowników, mierzona jest zwykle na stanowisku pracy i wyraża na w jednostkach fizycznych lub w procentach wykonania nom1y. Zmiennymi objaś niającymi w tych mode lach są indywidualne cechy pracowników, takie jak: s ta ż pracy, wiek, płeć, wykształcenie, liczba osób na utrzymaniu, posiadanie innego źród ła dochodów itp. Model taki ilustruje przykład 3 1, prtykłady takich modeli można także znale źć w rozdziale 2 Wydaj ność zespołowa jest przeciętn ą wyd:1jnością w skali pewnego zespo łu pracowników - prze d siębiors twa , wydziału itp., czyli przecictną produkcją przypadają cą na zatrudnionego. Zmiennymi objaś n iający mi n ajczęściej są : liczba zatrudni onych, techniczne uzbrojenie pracy, nakłady na modernizację maszyn i urząd ze ń. J eśli chodzi o postać analityczną, jest to model liniowy lub potęgowy - w praktyce naj częśc iej model potęgowy uzyskany z funkcji produkcji Cobba- Douglasa w wyniku obustronnego podzielenia przez li czbę zatrudnionych (przykład 32). Przykł a d 31. W tablicy 5.4 zawarto dane o indywidualnej wydajności pracy IV , mierzonej w procentach wy konania normy oraz o wieku pracowników T, wyrażony m w latach (a) Sporządzić wykres kore lacyjny i okreś l ić postać analityczną modelu zależnośc i indywidualnej wydajności pracy od wieku pracownika (b) Dokonać estymacji parametrów ustalonego w punkcie (a) modelu, dokonując j ed n ocześ nie jego weryfikacji (c) Okreś li ć optymalny, z punktu widzenia indywidualnej wy dajności pracy. wiek pracownika oraz podać odpowiadającą mu maksy malną wydajność pracy.
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
I
T;
IV;
T,
W;
18
91
Jl
30
125
2
19
92
124
20
95
12 13
31
3
33
120
5
22
6
23
11 2
7
24
125
17
38
110
8
25
128
18
108
9
26
126
19
39 40
106
IO
28
125
20
41
I05
Źródło: dane umowne
Roz.wiqumie. (a) Nanieśmy w ( T;. W;) - rysunek 5.1
Rysuuek 5. 1.
prostokątnym
Zależność wydajności
układ z i e
współrzędnych
punkty
od wicku pracowników
Rozrzut punktów na rysunku 5. l sugeruje, i ż za l eżność indywidualnej pracy od wieku pracowników można o pi s ać modelem
wydajności
(5.65) albo modelem (5.66) Po g łębszy m zastanowieniu dochodzimy jednak do wniosku, i ż dostrzegalna na rysunku 5.1 wyraźna asymetria w rozrzucie punktów jest sprzeczna z charaktere m parabo-
5.3.Funkcjewydajnościpracy
li, wobec czego skłon n i będziemy zrezyg n ować z modelu (5.65) na rzecz (5 .66). Nasz punkt widzenia jest zgodny z dotychczasowymi d ośw i adczen i ami w tej dziedzinie. (b) Po n ieważ model (5 .66) jest nieliniowy, na l eży go z li nearyzować przez obustronne zlogarytmowani e: (5.67) In W1 =/Jo +fJ1T, +fJ2 T/+ e,. Podstawiając: In W1 = y 1 , T1 = x 1 i, ~ 2 =
Xr 2·
otrzymujemy znany model lini owy: (5.68)
Teraz
do (5.68) MNK, otrzymujemy:
stosując
XTX =
[
20 584 18 146
584 18 146 594416
18 146] 594416 . 203 12810
YTY = 445,660051. (XTX) - 1 =
18, 799493 - l.325567 [ 0.02 1996
IXTX I
XTy =
[
94.3863 10] 2579.9415 19 85 784,69924 1
= 81036232.279700.
- 1. 325567 0.094797 - 0.001590
0.021996] - 0,001590 , 0.000627
a stąd
f
1
D(b1 ) t(b1)
= 2,855047 +0. 130827x11 - 0.002 156x12
(0, 196829) 14.505
S, = 0.045398.
(0,013977) 9,360
V,= 0.009619,
(0,000236) 9, 152 'P 2 =O, 158324
Model charakteryzuje s i ę zad owalającą zgodności ą, bo wartości teoretyczne różn i ą s i ę średn i o o ±0.045398 od logarytmów wartośc i empirycznych wydajności pracy. Wahania przypadkowe s t a nowią niecaly procent śred n iego poziomu logarytmu wydajności pracy. Model wyj aśnia 84% zmi ennośc i logarytmu zmiennej IV . Ponadto wszystkie otrąmanc oceny parametrów „są islOtnc" na poziomic istot n ośc i a = 0.05, gdyż obliczone statystyki I (h1) są w i ększe od wartośc i krytycznej la= 2. 110, odczytanej z tablic rozk ł adu 1 Studenta dl a poziomu i stotnośc i a = 0.05 i 20 - 3 = 17 stopni swobody. Uważamy zatem, że przyjęty model może być przedmiotem analizy badanego zjawiska Zapiszmy zatem nasz model w wyjściowej postac i (5 .66)
1\1
1
= e2.2855047+0.1.J-Os21r, -o. 0021s6T,2
(c) Optymalny wiek pracowni ka w naszym pr.i:ypadku to taki wiek. w którym pracownik os i ąga maksy m alną wy d aj ność i ndyw i dualn ą - uzyskuje maksymalny procent normy. Wobec tego interesuje nas maksimum funkcj i (W). Obli czmy pochodną W po T:
~
= e2.855047+0.l3082?T-0.002156T
1
(0, 130827 _ 0,004312T) =
= IV · (0.130827 - 0.0043 12 T)
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
i przyrównaj my j q do zera 26
~=
0 <=> 0. 130827-0. 004312T =O=> T* = 30lat
T* jcsl wickiem pracowni ka, w którym os i ąga on n aj w i ę k szą wydaj n ość, bo pochodna d W /dT w T * znika oraz - jak ła two s pra wd z ić - przy przej śc i u przez T* zmienia znak z dodatniego na ujemny; spe łni o n e są zatem warun ki: konieczny i dostateczny istnienia maksimum. M aksyma l ną wydaj n ość pracy otrzymujemy wstawiając T* = 30 do
oszacowanej fu nkcji
wydaj n ośc i : IVma.1
= 126,4%.
Optymalny m wiekiem pracowni ka jest 30 lat. Pracownik w tym wieku os i ąga n ajw i ększą wy d aj ność, rów n ą o koło 126,4% wykonani:1normy. Przy kła d 32. Dla pewnego Cobba- Douglasa i otrzymano
pri:ed s i ę bi o rs t wa
oszacowano
funkcj ę
produkcj i typu
gdzie: Q1 - produ kcja global na (w mln z ł); K, - wa rtość brutto m ająt k u trwa łego (w mld zł); L 1 - ś redn ia w roku liczba zatrudn ionych (w osobach) (a) O kreś l ić o ile procent zmni ejszy s i ę zespoł owa wy d ajność pracy, j eże l i zatrudnieni e wzrośn ie o 5%, a wartość bruno majątku trwa ł ego nic zmieni sic. (b) Ob li czyć, j ak przy stał ej wart ośc i brutto maj ątku trwał ego wzroś ni e zes po łowa wy d ajność pracy. jeśli zatrudni enie zmniejszy s i ę o po ł owę. (c) Pod ać, o ile procent n a l eży z mni ejszyć zatrudnienie, aby zwiększyć wyd aj ność z 30 mln zl/zatrudn ionego do 3 1.5 mln zł/zatrud ni o n ego , ni e dokon ując je dn ocześni e żadnyc h inwestycj i (d) O kreś l ić, j ak musi się z m ie ni ć zatrudnienie, aby wydaj n ość zespo ł owa wzrosła o 15%, przy jednoczesnym wzroście wartośc i brutto m ająt k u trwa ł ego o 5%. (a) Jak wspomniano we ws tęp i e do tego podrozd ział u, m :1j ąc oszacoprodukcj i Cobba-Douglasa, możn a p rzejść do funkcji zespo łowej wydajpracy przez obustronne podzieleni e funkcji produkcji przez n akłady pracy L 1
Rozwiąza„ ie.
wa n ą fun kcj ę n ośc i
~v,
=
~ L,
5 1. 77 K,°.45 L?·50 Lr
5 1,77 K,°.4S L;o. so _
gdzie \V1 jest wyd ajn ośc i ą zespoł ową wy rażo ną w mln z ł na zatrudnionego 27 Jest to t ak że fu nkcja pot ęgowa, a w i ęc wykfad niki pot ęgowe pn.:y zmiennych s:1 s t a ł y m i elast yczn ośc i am i wydajn ośc i wzg l ęd em zmiennych objaś n iającyc h ; ujemny wy26 Do 7.era pnyrównujcmy wyrażenie w nawiasie. bo \\I 7.awsze jest ,doda111ie
17 Zauważmy.
że funkcję tę można także ;wpisać w postaci:
i wtedy zmiennymi
1V1 = SJ.!.. = L1
objaśniającymi są: 1echniczne uzbrojenie prncy (
t,-)
0.4
51.77 ( ~ ) L1
5
L?.4 5+o. 50- I
i liczba z:ttrndnionych (L1)
5.3.Funkcjewydajnościpracy
k/adnik przy zmiennej reprezent ującej zatrudnienie św i adczy o tym, że wzrost liczby zatrudnionych musi prowadzić, przy stał ośc i wartośc i bruno majątku trwałego, do spadku wydaj ności. Skoro znamy elas t ycznośc i , możemy łatwo obliczyć przy b liżony względny pri;yrost wydajności, mając dany wzg l ędny przyrost zatrudnieni a i sta łą wartość mająt k u produkcyjnego (5 .1 7), a mianowicie C>\V w. 100 = (-0.50). 5% = -2 .5%. J eżeli więc zatrudni enie wzrośnie o 5%, to przy stał ej wart ośc i bruuo majątku trwałego wydaj ność zespołowa spadnie o około 2,5%, a dokła d nie, przy zastosowaniu wzoru (5 . 16) (porównaj uzasadnienie w przykład zie 27 do punktu (b)), o
ó.~~V (b)
S tosując
100=[(1.05)- 0 ·50 - Jl 100= - 2.4 1%.
wzór (5. 17).
w
MV
można ob l iczyć, że wydajność wzrośnie
w przybliżeni u o:
100= (-0.50)-(-50%)=25%
(o okoł o 25%, czyl i oko ł o 1,25 raza). Jednak korzystanie z e l astyczności funkcj i przy tak d użej wzg l ę d nej zmianie argumentu jak 50%, narusza założen i a definicji e l astycznośc i ; bardziej miarodajny wynik otr.tymamy stosując wzór (5. 16):
~;
= 1°.45 . 0_5- 0 ·50 - 1=1.4 142 -
J
=0.4 142=41.42%.
czyli wydajn ość zespołowa wzrośn i e o 41% (1,41 raza)28 (c) Wzrost wydajności zes połowej z 30 mln zł/zatrudn i onego do 3 I .5 mln ni onego jest wzrostem o ( Wr+I
a „starą"
;~5
3
wy d aj nością
W1+ 1 = l .05W,
W1
- l) · 100 = 5%. Zatem zachodzą
(wzrost
zł/zatrud -
między „nową" wydajnością
relacje: wydajnośc i
o obliczone
wyżej
5%)
W1+ 1=A - 0 · 50 W, (wzrost wydajnośc i wskutek „wzrostu" zatrndnienia nieznane A razy),
stqd A- o. 5o = 1. 05
==}
A = ( 1. 05) - 2 =O. 9070,
2800 takiego samego wniosku można dojść stosując następujące rozumowanie: skoro mamy pewną
wydajność 11'1 = 51.77K~.4SL;- 0 ·sn. to nowa wydajność IVr + I spowodowana spadkiem zatrudnienia połowę wynosi: IV1+1 = 5J.77K~.+~5 l;:1 50 • przy czym K1+ 1 = K1 oraz L1+1 = O.SLr. więc
o
11'1+1 = 51.77K?· 45 (0.5Li)o.so = (0.5) 0-50 w, = 1.4111'1
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(0.9070 - I)· 100 = -9 .3%. Obliczyli ś my więc, że zatrudnie nie na l eży zmniejszyć o 9.3% 29 .
(d) raza
J eśli wydajność zespołowa wzroś ni e
w i ększa
o 15 %, to „nowa"
wydaj n ość będzie
1, 15
od „starej" W1+1= 1.l5W1 •
Podobnie wzrost wart ości brutto majątku trwałego o 5%, czyli 1,05 raza, oraz wzrost liczby zatrudnionych A razy. gdzie A nieznane, dają: W1+1 = ( 1. 05)0.45;..- o.50 \V, Porównując powyż sze
równania stronami, otrzymujemy: ( i .05)0A5;.. - 050= 1,15,
a
stąd
(0.9477 - I) 100 = - 5.23%. wzros1 wartości bruno majątku trwałego o 5% nie wystarcza. aby spowodować wzrost wydaj ności pracy o 15 %. Konieczne jesl dodatkowo zmniejszenie liczby zatrudnionych o 5,23%. Odrębny nurt badatl zw i ązanych z wydajnośc i ą dotyczy pracochton nośc i produkcji ( pracoc hłon n ość jest odwrotnośc i ą wydajnośc i ), a dokład ni ej zal eżnośc i mi ędzy długo ścią serii produkcyjnej a pracoch ł onnością jednost kową. Na podstaw ie licznych badań e mpirycznych stwierdzono. że z mi enność pracochł onn ośc i P; możn a opisać autoregresyj nym lini owym modelem: Okazuje
się więc, że
Pk =a P; +e;, gdzie indeksy i oraz k wyrażają numer sztuki w serii i geometrycznego o ilorazie 2, czyli k = 2i, s tąd m:1my
są
kolejnymi wyrazami
c i ągu
(5.69)
P1; =a Pi +e;.
Parametr a E (0: I) nosi n azwę współczyn nik a Hirscha; badacz ten poświęci ł mu dużo uwagi. Parametr ten ma c i ekawą i n terpretację, a mianowicie: dwukrotne wydłuże nie serii powoduje spadek pracochłonnośc i o ( l - a) · 100%. Parametr a jest nieznany, a le jego estymator łatwo można z n a l eźć za pomocą MNK 29Taki sam wynik otrzymamy stosując wzór (5.16): 0.05
=> ( 1 +
6L)-0 .5 L =
=
( + ["')-"·' -
10.-t5 I
l
~
( l,05) !:J.L ~ !:J.L .4 = 1.US => 1 + L = 1.us - - =0.907U=> Lo.9010 - 1 = - 9.3%. 10 5
5.3.Funkcjewydajnościpracy
Przykład 33. W oparciu o dime zawarte w tablicy 5.5 (a) Oszacować i z interpretować współc zy nnik Hirscha. (b) Określić, ile będzie wynosić pracochłonność przy numerze wyrobu 480 (c) Podać przybliżoną w i e l kość wydajno śc i pracy prą 480 sztuce.
Tab lic:tS.5 Numer wyrobu
Pracochłonność
(i)
wgodz./szt ( P;)
15
3.3 2.8 2.3
1.9 1.6
240 Źródło: dane umowne
Rozwiqza11ie. (a) Estymator MNK
ws p ółczy nnika
Hirscha dany jest wzorem:
L:P;P,; o=
(5.70)
'LP;°.
gdzie wskaźnik i prlebiega te wszystkie wartości. dla których znane są pracochłonn ośc i P; i P21W naszym przypadku numery wyrobów w serii: 15. 30, 60, 120, 240 tworzą c iąg geometryczny o ilorazie 2, a odpowiadające im pracoch łonności: 3,3, 2,8, 2,3. 1,9, l .6. Powstaje jednak pytanie, czy rzeczywiście mi ędzy pracochłonnościami P1 oraz P2 .zachodzi liniowa relacja (5 .69), tzn. czy punkty ( P;. P2;) układają s ię w przybliżeniu na prostej. Łatwo to sprawdzić na rysunku 5.2 Pz; 2.9
2.7
2.3 2.1
2,2
2,4
2.8
3.0
3,2
3,4 P,
Rysunek 5.2.
Zależność pracoc hłonnośc i
OO
długości
se rii
5.Analtzaprocesuprodukcyjn1!90 Ponieważ
rysunek 5.2 potwierdza nam skorzystać ze wzoru (5.70):
liniowo ść związku mi ędzy
3.3 283~3~!~2;;:~::, ~·~.;, 1.9 J.6
P; oraz Pu, przychodzi
0.84.
Hirscha wynosi 0,84, zatem dwukrotne wydłużenie seri i daje spadek pracochłonności jednostkowej o ( I - 0,84) · 100 = 16%. (b) Po nieważ w naszym przypadku wzór (5.69) przybiera postać: Współczynnik
P„ = 0.84P;, wobec tego P4so = 0.84
P24D
= 0,84 · 1,6 = 1,34 godz./szt.
Zatem pracoc hłonność przy wyrobie numer 480 wynosić będzie 1,34 godz./szt (c) Poni eważ wydajn ość pracy jest odwrotnością pracochłonności , przybliżona wydajność przy sztuce 480 wynosi l / l .34 =O. 75 szt./ godz
5.4. Ekonometryczne modele kosztów Ekonometryczne modele kosztów p rzeds t awiają zależność kosztów (produkcji) od kształtujących je czynników. Najogóln iej model taki można przedstawić w postaci K
C, = /(Q,)
+ L_ P;X;+<„
(5.71)
j =l
Najważniejszym czynnikiem determinującym poziom kosztów jest wielkość produkcji ( Q); na koszty wpływają także czynniki o charakterze technicznym, technologicznym, organizacyjnym (X 1 ••••• X K) - w dużej mierze zal eżne od technologii produkcji (charakteru procesu technologicznego - branży, ga łęzi). Czynniki te należałoby uwzględni<1ć przede wszystkim w modelach dotyczących d ługich okresów (modelach dynamicznych). bowiem można przyjąć, że w krótkich okresach czynniki te są stałe. W dalszej części rozdziału zajmować się będziemy przede wszystkim zależnością kosztów od wielkości produkcji. czyli rozpatrywać będzie m y modele z jedną zmienn:1 objaśniającą. Przedmiotem analizy mogą być modele: • kosztów całkowil)'C h C(Q).
•kosztów jednostkowych
(przeciętnych) c(Q), prą czym c(Q) =
C6Q).
W analizach kosztów wykorzystuje s i ę także pojęcie kosztu krańcowego, definiowanego jako pochodna kosztów całkowitych względem wielkości produkcji
ac
Ck= -
aQ
i interpretowanego jako oczekiwany wzrost kosztów ca łkowit yc h spowodowany zwięk szeniem produkcji o małą jednos tkę. Koszty całkow i te są s umą kosztów stałych, niezależnych od wielkości produkcji (klóre muszą być poniesione w celu jej uruchomienia). reprezentowanych przez wyraz
5.4. Ekonometryczne modele kosztów
wolny fu nkcji kosztów całkow i tyc h (eto) oraz kosztów zmie nnych, rosnącyc h wraz ze wzrostem wie l ko śc i produkcji. Funkcja kosztów całkowi tyc h zawsze jes1 funkcją ro snącą (przy czym tempo wzrostu może być różne). Natomiast koszt jednostkowy wraz ze wzrostem produkcj i maleje w coraz wolniejszym tempie do pewnej asymptoty poziomej (mówi s i ę wówczas o koszcie jednostkowym w k ształcie litery L) lub też maleje do pewnego poziomu produkcj i, a po osiągn i ęciu minimum zaczyna w zrastać. Mówi się wówczas, że funkcja kosztów jednostkowych ma kszt ałt litery U ( m ożn a wówczas określić optymalny poziom produkcji, poziom przy którym koszt jednostkowy jest n ajniższy). Pon i żej przedstawiono funkcje najczęściej stosowane w praktyce do mode lowania kosztów: Funkcja liniowa (5.72) C ( Q) =a0 +a1Q, gdzie: a 0 - koszty stałe, a Q - koszty zmienne - zw i ększe n ie produkcji o I (jedn ostkę) powoduje wzrost kosztów całkow i tych o a jednostek. Przyj ęc ie jako modelu kosztów fu nkcji liniowej jest równoznaczne z przyjęciem założenia, że koszty cał kow i te ros n ą proporcjonal nie do wie l kośc i produkcj i; jednost kowy m przyrostom produkcji zawsze odpowiada taki sam przyrost kosztów cał kowitych (a jest w tym wypadku stałym koszte m kra1kowym pochodną kosztów całkow i tyc h wzg l ęde m w i elkości produkcj i). Funkcja kosztów jednostkowych w tym przypadku jest hiperbol ą ( L -kształt n a ) 1
1
1
c( Q) ~
C(Q)
Q
ao+a1Q
~ -Q-
--> c( Q) ~
eto
Q + "'
(5.73)
Wzrostow i w i e l kośc i produkcji towarzyszy spadek kosztu jednostkowego - coraz wolniejszy - do asymptoty poziomej a 1 (a 1 jest minimalnym kosztem jednostkowym). Wielomian stopnia drugiegoC (Q)~•o+•,Q+a,Q ' . (5 .74) gdzie, tak jak w funkcji liniowej, a 0 jest kosztem stały m , natomiast koszty zmienne 2 a 1 Q + a 2 Q rosną szybciej n i ż produkcja (a 2 > 0). Funkcja kosztów jednostkowych nal eży do U- k sz ia łt nych (jest s umą hiperboli i fu nkcji liniowej) - do pewnego, opty malnego poziomu produkcj i ( Q *) koszt jednostkowy maleje, a po jego przekroczeniu zaczyna wzrastać: c(Q) = C(Q) - ao Q
+ a1 Q +a2Q2 -Jo Q
c(Q) =
~ +a1 Q
+ a?Q .
(5.75)
Wielomian stopnia trzeciego: 2 3 C (Q) =au +a1 Q +a2 Q +a3Q , prą
czym na parametry modelu przedstawiaj;\cego zależno ść kosztów wielkości produkcji nałożone s ą nas tępujące warunki 30 :
(5.76) ca łkow i tych
od
(5.77) JO lnne możl iwe pn~ebiegi wie lom ianu stopnia lrleciego można zn aleźć np. w pracy [34]. s. 69-70. Prle bieg zależy od z1rnku wspólczynnik;i prly 1nec iej potr:dze oraz od znaku wyróżnika t:. = 3·cr1 ·er.i - (cr2) 2
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
W ó~czas
funkcja kosztów
~ałkow it ~ch
ma
ksz~~łt
produkCJJ, czyli punktu przegięcia funkq1 Qo = -
~
litery S Uak
do
pew~ego
c(Q)= C(Q) =ao +a 1Q+a2Q2 +a3Q3 Q Q
poziomu
łatwo sprawdzi ć jest
sce zerowe drugiej pochodnej), ca łkowi te koszty zmie nne rosną wolniej pote m rosną coraz szybciej R ów ni eż w tym przypadku funkcja kosztu jednostkowego:
ni ż
to miej -
prod ukcja.
--+ c(Q)=~ + a 1 + chQ+a3 Q1
Q (5.78) ma k ształt litery U (suma hiperboli i paraboli) - istnieje optymalny poziom produkcji , do którego zw i ęk szanie produkcj i daje spadek kosztu jednostkowego i po osiąg n ięciu którego koszt jednostkowy zaczyna wzrastać Omówione modele maj<1zastosowanie w pnypadku produkcji jednorodnej. W przypadku produkcji niejednorodnej stosuje s i ę zwykle modele wielorównaniowe proste. Każde równanie takiego model u opisuje koszty (ca ł kowite lub jednostkowe) jednego wyrobu. Do tego dochodzi równanie tożsamośc i owe (por. [36), s. 244--245). (5.79) gdzie C; jest koszte m ca łk ow i t y m i-tego wyrobu. Jednym z celów ekonometrycznej analizy kosztów jest wyznaczanie tzw. progów re nt ow n ośc i . Sprowadza s i ę to do badania relacji między przychodami i koszta mi przeds i ęb iors tw a, a więc jego zyskami w za l eżnośc i od w i e lkośc i produkcj i. Zazwyczaj pr.1:yj muje s ię. że funkcja przychodu ze sprzedaży ( P ) jest funkcją liniową przechodzącą przez początek układu współrzędnych (p jest ce n ą produkowanych wyrobów): p = p· Q
(5.80)
funkcji kosztów całkowitych C(Q) i funkcji przychodu ( P ) wyz naczają przedział wielkości produkcji . w którym jcsl ona rentowna (przychody pr.1:cwyższają koszty). Punkty te nazywane są progami re ntow n ośc i . Wyznacza s i ę je rozwią zuj c. Punkty
przeci ęc ia
Wypada dodać, że wyznaczając progi rentowności zakładamy, stanie sprzedana (przychód ze s przed a ży zostanie zrea lizowany)
że ca ła
produkcja zo-
Przykła d 34. W tabli cy 5.6 zawarto dane dotycz
5.4. Ekonometryczne modele kosztów
(c) Ob l i czyć opt y ma l n ą z punktu widzenia kosztów jednostkowych w i e l kość wydobycia i pod ać odpowiad aj ący jej minimalny koszt jednostkowy, a tak że zysk jednostkowy i zysk całkow it y (d) Jaki b y łb y optymalny poziom wydobycia, gdyby jako kryterium optymalizacji przyjąć mak sy m a li zację zysku ca ł kowi tego (przy cenie 4 10 zł za to n ę) (e) Zarząd kopalni rozważa m oż li wość zw i ę ks ze ni a wydobyc ia w n ast ępny m roku do 9 tys. ton m i e s i ęc zni e . Czy taka w i e l ko ś ć produkcj i będ z i e rentowna (progi rentowno śc i )?
Tahl k a 5.6
c,
Q,
c,
1340
6.5
22 12
4.5
1639 1671
7.5 7.5
2 537
4.5
5.5
1924
Q,
2573 2 380
5.5 6.5 Żródło :dancumownc
Roz w iąza11 ie.
(a)
Na l eży oszacować
parametry modelu ·
C, =ao+ a1Qr + a 2Q?+c, , który po podstaw ieniu: Q, = X11 oraz Q ~ = X, 2 jest rów noważn y z modelem
C, = a o + a1X 11 +azX,z + e1. a ten jest dobrze nam znanym modelem li niowym, którego parametry oszacujemy za po m ocą MN K ze wzoru gdzie c -
xTx =
st ąd
wektor kolumnowy 12 70 [ 428
ostatecznie:
70 428 2 710
warto ś ci
zmi ennej
obj aś n ian ej ,
czyli kosztów;
428 ] 21 10 . 17522.5
24520] x-rc= [ 148480 . 1x ' x 1 = 10 158. 934490 CT C = 48730852 , 19.5245 1 - 7.25487 0.64 146 ] (XTX)- 1 = - 7.25487 2. 78460 - 0.25202 . [ 0 ,64 146 - 0, 25202 0,02323
c, 1(aj )
= 980.0
(63 ,39) 15,5
Se= J 205.778 = 14 .345 .
+ 60. 0Q, + 20.0 Q~, (23,94) 2,5
(2. 19) 9, 1
Ve = 0 .79%,
1p
2
= 0.00 12
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
Oceny parametrów struktury stochastycznej wskazują, że przyjęty model dość dobrze opisuje za l eżność kosztu całkowitego od w i e lkośc i wydobyc ia. Ocena parametru a 0 , czy li a 0 = 980, to koszty s tałe wydobyc ia, a wyrażenie 60Q 1 + 20Q; to koszty zmienne. (b) Koszt całkow ity wydobycia 5 tys. ton węgla obliczymy wstawiając Q = 5 do oszacowanego modelu kosztów cał kowityc h
Ć(5) = 980 + 60 · 5 + 20 · 25 = 1780 tys. zł . Naiomiast koszt jednostkowy c (iloraz kosztu całkowitego C i wynosi: 1780 c= Q= S = 356 tys. złllys. ton = 356
c
Zysk
całkow ity
wielkości
wydobycia Q)
zł/tona
jest zdefiniowany wzorem
z=,,. Q - c. z c
a zysk jednostkowy wzorem·
z= Q
= p -
Q=
(5.8 1)
p -
(5.82)
c.
gdzie p jest cenąjed nostkową Wobec tego mamy:
2(5)
~
410 · 5- 1780 ~ 2050 - 1780 z(5)
(c) Dla oszacowanej funkcji kosztów ma
~
270 tys.
zł
= 410 - 356 = 54 zl/ tonę 31 • całkowityc h
funkcja kosztów jednostkowych
postać:
Optymalne z punkn1 widzenia kosztu jednostkowego wydobycie to takie, przy którym funkcja kosztu jednostkowego osiąga minimum, Znajdziemy je sprawdzajqc warunek konieczny (pierwsza pochodna równa zeru) i dostateczny (druga pochodna dodatnia) de 980 dQ ~ -Q' +20. de „ „ dQ =O# - 980+20Q- =O# 20(Q - -
Q = - 7 nie wchodzi w rachubę -
wielkość
49) =O# Q• = 7 tys. ton
wydobycia musi
być
dodatnia
Ponieważ
~1
d'c I ~ = - 2 · (-980)Q - 3 > O. - o dQ Q• Q' dQ Q• Q' zatem dla Q* = 7 tys. ton koszt jednostkowy jest minimalny. Ten minimalny koszt jednostkowy jest równy: Cmin = 2(7) =
~ + 60 + 20
7 = 340 tys.
31 Albo ~(5) = 270/5 = 54 tys. zł za cys. con (54zł za 1onę)
zł za 1ys. ton.
5.4. Ekonometryczne modele kosztów
Zysk jednostkowy przy cenie 410 zł wynosi z = 410 - 340 = 70 tys. zł/tys. ton (70 zł za tonę), a zysk całkowity Z = 70 7 = 490 1ys. zł. Funkcj ę kosztu jednostkowego przedstawiono na rysunku 5.3
R~·sunck 5.3. Funkcja kosztu jednostkowego wydobycia węgla C= ~ + 60 + 20Qr Q,
(d) funkcji
Jeżeli
kryterium optymalizacji
będzie
maksymalizacja zysku
Z~ p · Q - C ~ 410Q - (980 + 60Q + 20Q
2
ca łkowitego,
czyli
).
z~ -20Q 2 + 350Q - 980.
aby je
znaleźć, należy sprawdzić
dZ
dQ
~
dZ dQ
~o
warunek konieczny i dostateczny·
-40Q + 350.
„
- 40Q + 350
~Q
0
=
~=
~o
„
-40Q
~
-350
~o
8.75 tys. ton.
Ponieważ
-dZ
I
2
dQ Q~Qu
d ZI oraz----, =-40 < 0. dQ- Q~Q„
=0
zatem dla Q- = 8.75 tys. ton funkcja zysku sie w tym przypadku
osiąga
maksimum. Zysk
całkowity
Z(8.75) = -20 · 76,5625 + 350 · 8.75 - 980 = 551.25 tys. a zysk jednostkowy z(7, 5) =
5
z~~;: )
=
5
~_1;~
5
= 63 tys.
zł/tys. ton
zł.
wynie-
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
A więc w tym przypad ku zysk jednostkowy jest n iższy ni ż w przypadku , gdy kryterium optymalizacji b y ła min imalizacja kosztu jednostkowego, ale zysk całko w it y w i ększy.
(e) Progi rentowności to miejsca zerowe funkcji zysku. Aby je równani e
z nal eźć , należy
roz-
w iązać
z~ - 20Q
"~ 3502
2
+ 350Q - 980 ~o.
4. (- 20) . (- 980) ~ 44 100 -350 + 210 Q, ~ 2. (- 20) ~ 3.5. -
<> .//;. ~ 210.
20 Q
Rysunek 5.4. Funkcja przychodu ( P = 410Q ) i kosztów całkowitych (Ćr = 980 wydobyci3wi;:gJ3
+ 60Q1 + 20Q ~)
Zatem rentowne będz i e wydobycie mieszczące się w prtcdzialc (3,5; 14) tys. ton, wówczas zysk jest dodatni, a za kładana wielkość wydobycia Q = 9 tys. ton należy do tego przedz iału. Funkcję pri;ychodu i funkcj ę zysku w zależności od wielkośc i produkcji przedstawiono na rysunku 5.4. Punkty ich przec i ęcia wyznaczają progi rentowności. Zau waż m y t ak że, że wykres funkcji kosztów ca łkowi t yc h wychodzi z punktu 980 (koszty s tałe)
Przykład 35. Na podstawie danych o w i elkości produkcji {w tys . sztuk) i ca łkowi tych kosztach produkcji (w tys. z ł ) w kolej nych miesiącach ubi eg łego roku w pewnym przed s i ęb iorstwi e oszacowano funkcję kosztów całkowityc h produkowanych garniturów 1 otnymano· Ć,(Q) ~ 240 + 60Q,.
kosztu jednostkowego. Ocenić czy w przedsiębiors twie są kosztu jednostkowego. przy poziomie produkcji z ostatniego mieIO tys. sztuk . (b) Aktualnie cena produkowanych wyrobów wynosi l 10 zł. Czy produkcja IO tys. sztuk jest rentowna? Wyznaczyć próg re nt ow ności {a)
Wy prowadzi ć funkcję
m ożliwo śc i obniżki
s i ąca wynoszącym
5.4. Ekonometryczne modele kosztów
(c) Z anal izy popytu wiadomo, że w n ajb li ższyc h m ies i ącac h nie przekroczy on 5 tys. sztuk. Na jakim poziomic us t a l ić cenę wyrobu, aby przy takim popycie osiągnąć zysk ze s p rzedaży na poziomie 80 tys. zł Roz wiązanie.
(a) Funkcja kosztu jednostkowego ma
c( Q!
~
c,cm
~
240 + 6oQ,
~
postać:
i(QJ
~ ~ + 60.
Q Q Q zatem w miarę wzrastania w i e l kości prod ukcj i koszt jednostkowy maleje (najpierw widocznie, a następ n ie coraz mniej), ale nie będzie n iższy n i ż 60 zł (rysunek 5.5)
4500 L 2100 JOO
Rys unek 5.5. Funkcja kosztu jednostkowego c= ?:tJ! +60
S. Bartosiewicz [8] podaje jednostkowego
nastę p ującą fomrn ł ę
obliczania rezerwy
ob ni żki
kosztu
gdzie: c - aktualny koszt jednostkowy, a1 - mini malny koszt jednoslkowy (parametr funkcji kosztów) Przy produkcji Q = IO tys. szt. koszt cał kow ity wynosi C(IO) = 240 + 60 · IO =
= 840 tys.
zł ;
840
koszt jednostkowy c( IO) =IQ = 84 zł/szt .
w=(~-l ) · I OO =( l ,40-1)
Moż n a
go jeszcze obniżyć o:
100 = 40%.
a w i ęc j eżeli będzie zbyt na produkowane towary, warto zwiększyć prod u kcję , bo koszt jednostkowy można ob n iżyć o około 40%. (b) Przy cenie 11 0 zł przychód ze s p rzedaży wynosił P = 110 · IO= I \OO tys. zł, a zysk całkowity: Z = P - C = 11 00 -840 = 240 tys. zł. w i ęc produkcja jest rentowna. Próg re ntow ności wyznaczy my rozwiązując nierów n ość P > C. czyli:
1l OQ > 240 + 60Q
--7'
SOQ > 240--7> Q > 4,8 tys. sztuk.
Zatem przy produkcj i Q = 4.8 tys. sztuk zysk ze sprze d aży jest równy zeru, a produkcja wyższa od tego poziomu zapewni a firmie zysk. Fu nkcje przychodu i kosztów
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
o +--~~~~~~~~~
O
IO Q
Rysu nek 5.6. Funkcja kosztów całkowitych C = 240 + 60Q i funkcja przychodu P =
J
IOQ
całkowitych
przedstawiono na rysunku 5.6 - ich przecięcie wyznacza próg rentowności; zauważmy, że im większa produkcja. tym zysk jest większy. (c) Analizę powyższych relacji można także wykorzystać do ustalenia ceny gwarantującej rentowność (lub poziom zysku), jeże l i firma zna popyt na swoje wyroby. W tym przypadku należy znaleźć ce n ę (p), przy której firma os iągn i e zysk w wysokości 80 tys. zł, co wyraża równanie 620 p ·5 - (240 + 60·5) = 80 --+ Sp= 80 + 540 --+ p = S = 124zl.
A więc. aby produkując 5 tys. sztuk wyrobu (na które będzie popyt) finna 80 tys. zł zysku ze sprzedaży, należy podnieść cenę do 124 zł
osiągnęł a
Pnyklad 36. Funkcja kosztów całkowitych (C w tys. zł) w produkcji ( Q w tys. sztuk) dla pewnego wyrobu ma postać:
wielkości
C(Q) = O.o3Q
3
-
Q
2
zależ n ości
od
+ 20Q + 80
optymalny poziom produkcji Q. przy którym koszt jednostkowy wyrobu osiąga minimum. Podać wysokość kosztu całkow itego i kosztu jednostkowego oraz zysku jednostkowego i zysku cał kowit ego przy optymalnym poziomie produkcji. (b) Jaki byłby optymalny poziom produkcji, gdyby kryterium optymalizacj i była maksymalizacja zysk u całkowi1 ego ze sprzedaży produkowanych wyrobów, jeże l i aktualna cena wyrobu wynosi 26,25 zł/szt (c) Aktualnie firma produkuje 35 tys. szt. tego wyrobu. Czy taka produkcja gwarantuje rentowność? (a)
Znaleźć
Rozwiązanie. Funkcja kosztów całkowitych w tym przypadku jest wielomianem stopnia trzeciego; łatwo sprawdz i ć. że jej parametry spełniają warunki , przy których wykres funkcji ma ksziałt litery S: a 2 = - I < O oraz cri = I < 3 cr 1 cr3 = = 3 20 0.03 = 1.8. Funkcja kosztów catkowitych zmienia tempo wzrostu dla
•2
Qo = - ~ =
I
3
. 0.0 = 11. 111 tys. szt. (punkt przegięcia) 3
5.4. Ekonometryczne modelekosztl'iw
(a) Nal eży znaleić minimum dla funkcji kosztu jednostkowego, zatem z podanej funkcji kosztów ca łkowityc h n ależy wyprowadzić funk cję kosztów jednostkowych: C(Q) 0.03Q 3 - Q'+20Q+80 , 80 c(Q)=Q= Q -+c.:( Q)=0,03Q- - Q+20+Q -+ min.
Minimum znajdziemy
sprawd zając
cji kosztu jednostkowego równa zeru: pochodna dodatnia:
ac aQ
a2 c
aQ2 >
warunek konieczny (pierwsza pochodna funk-
oc
aQ
= O) i dostateczny (dla minimum - druga
0):
= 0.06Q - I -
80 QZ =
J
2
O <> 0.06Q - Q - 80 =O
Jak łatw o sprawdzi ć, jednym z pi erwiastków tego wielomianu jest Q = 2032 . Dzieląc na st ępn i e powyższy wielomian 33 przez Q - 20, otrzymujemy wielomian stopnia drugiego: 0.06Q 2 + 0,2Q + 4, który ni e ma pierwiastków rzeczyw i styc h (~ < 0), a wiec jedynym pierw iastkiem wielomianu jest Q• = 20 tys. szt Minimalny koszt jednostkowy (przy takim poziomie produkcji) wyniesie c( Q) = 0,03 · 20 2
-
20 + 20 + ~ = l 6 tys.
zł za tys. szt. (czy li
16
zł za szt.).
a koszt ca łkowity· C(Q) = 0.03 · 203 - 20 2
+ 20 · 20 + 80 =
320 tys. zł
(20 tys.
SZI .
16 zł/szt .).
Zatem zysk jednostkowy ( róż ni ca mi ędzy ceną i kosztem jednostkowym) jest równy: z(20) = 26,25 - 16 = 10.25 z ł/sz t. , a zysk calkowity: Z(20) = 10.25 · 20 rys. szuk = = 205 tys. z ł (b) Prty cenie 26,25 zł/szt. przychód ze s przedaży wyniesie 26.25Q, a zysk (przy założeniu, że cała produkcja zostanie sprzedana)
Z(Q) = 26.25Q-(0.03Q 3 -Q'+20Q +80) = - 0.03Q 3 + Q2 +6.25 Q -80 ~ max . Sprawdzamy warunki konieczny oraz dostateczny i mamy:
~Z'(Q) =
- 0.09Q 2 +2 Q + 6.25 = O.
!!. = 22 - 4. (-0.09) . 6.25 = 4 + 2.25 = 6.25 <> ,//;. = 2.5. -2-2.5 - 2+2.5 Q, = 2. (-0.09) = 25 · Q, = 2. (-0.09) = - 2 · 778 ·
Q = -2 .77 8 nie wchodzi w rachubę
(wielkość
produkcji musi
być
dodatni a).
31 Pierwiastków wielomianu trzeciego s1opnia szukamy wśród podzielników wyrazu wolnego (80): mogą to być: l. 2. 4, 8. JO. 20, 40, 80:jedynym spc! niającyrn to równanie jest Q 20 (0.06-20 3 - 20 2 - 80 0) 3.l Korzys1amy z twierdzenia: jeżeli x• jest pierwias1kiern wielomi;mu. 10 wie lomian jest podzielny prtez
=
X
- x•
=
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego Po ni eważ
az
BQ
a'z l
~
I
Q= 25
=O
JQ-
=-0. l8Q+2=-4,5+2=-2.5<0.
Q= 25
zatem w punkcie Q = 25 funkcja zysku osi<1ga maksimum Zysk ca łkow i t y przy tym poziomic produkcji będzie równy: 2(25) = - 0.03 · 25 3 + 25 2 + 6,25 · 25 - 80 = 232 .5 tys. z ł, a zysk jednostkowy
z~~S)
z(25) =
= 9,3 tys,
zł/tys, sztuk (9,3 zł zo sztukę),
a więc zysk jednost kowy jest nieco ni ższy niż w sytuacji, gdy fimm minimalizuje koszt jednostkowy, ale zysk ca łk owi ty jest większy. (c) Przy produkcj i Q = 35 tys. sztuk zysk ca łkowity wyniesie 2(35) = -0. 03 · 35 3 + 35 2 + 6.25 · 35 - 80 = 77,5 tys. z ł > O. a
produkcja jest rentowna W przypadku powyższej funkcji zysku trudno jest znal eźć analitycznie progi rent ow ności (miejsca zerowe funkcji zysk u). Wyznaczono je numerycznie w przybliżeniu (i przedstawiono graficz ni e na rysunku 5,7): Qi ~ 6.844 i Qz::::: 37, 015 . Jak widać produkcja 35 tys . sztuk zbli ża s i ę do górnego progu rentowności więc
CP!~ ~/~ C::~ ..,...„"" 800
30
,-
600
200
'6
o
O
IO
20
20
I--- clP
„' -
400
30
40
IO 50
Q
R)·sunek 5.7. Funkcja pnychodu P = 26.25Q i funkcja kosztów całkowitych C = 0.03Q 3 - Q2 +
o
O
10
20
30
40
50
Q
Rys unek 5.8. Funkcja kosz1u jednostkowego 2 f' =0.03Q - Q + 20 + ~
+ZOQ + 80
Zadania 34 11 9. Pobrano prób k ę losową firm z branży elektronicznej. Zarejestrowane dane o produkcji czystej - Q (w tys . zł), wartości neuo produkcyjnego majątku trwałego K (w tys. zł) oraz o li czbie zatrudnionych - L (w osobach) w ostatnim roku zestaw iono w tablicy 5.7. 34we wszys1kich zatl:iniach. gdzie podane są osz:icowane modele. ale nie podano ocen parametrów stntk1Ury stochas1ycznej, należy z;1kladać, że modele są pozytywnie zweryfikowane
Tablic115.7
Numer finny
10
K,
L,
Q,
ISO
20
4550
Numer firmy
140
20
5900
12
120
70
23700
13
2200
50
81000
K,
L,
Q,
8345
85
221000
8100
80
205000
1773
160
95200
6160
160 600
13200
456000
1350
85
65900
1220
100
65260
3900
60
129100
19
33100
120
498000
6900
60
156200
20
40600
420
580000
212000
18
Żródło:daneumowne
(a) Oszacować parametry strukturalne oraz parametry struktury stochastycznej funkcji produkcji Cobba-Douglasa i dokonać weryfikacji modelu . (b) Podać e las tyczności produkcj i wzg l ęde m poszczególnych czynników oraz okreś li ć efekty skali produkcji (c) Jaka liczba zatrudnionych będzie potrzebna w finnie d ysponuj ącej majątkiem trwałym o warto śc i 5200 tys . z ł do wytworzeni a produkcji czystej netto o wartości 146475 tys. zł? 120. Na podstawie danych statystycznych dla lat 1998- 2007 oszacowano funkcję wiel kości produkcji pewnego artykułu ( Q) w zależnośc i od n akładów pracy uprzedmiotowionej (K) oraz żywej (l) i otrzymano
Y=
5,99 15 ( 1.5000)
+ 0.5000X1 + 0.4300X2. (0.0500)
R 2 ~ 0.98,
(0.0400)
gdzie: Y, = In Q,, Xri = ln Kr. Xr2 = In Lr. zatem {2 1 = 400K~· 50 L?· (a) Dok onać weryfikacji modelu. (b) Jakie wnioski moż na wyciąg n ąć na podstawie oszacowanego modelu? (e) Jak zmie ni s i ę produkcja, jeśli n a kłady obu czynników wzrosną o 4%? (d) Jak zmieni się produkcja, jeśli nakład y majątku trwałego wzrosną o 6%, a liczba zatrudnionych zmniejszy s i ę o 4%? (e) Wyprowadzić i wykreślić izokwanty tej funk cj i dla Q0 = 20000 121. Pewne przedsiębiors t wo p rodukujące m.in. owoce kandyzowane i owoce kandyzowane w czekoladzie w 2008 r. osiągne ł o produkcję , odpowiednio, na poziomie 170 mln zł i 600 mln z ł. Na jaką wartość produkcji może li czyć przedsiębiorstwo w 2009 r. , j eże li oszacowana fu nkcja produkcji owoców kandyzowanych ma pos tać: 43
.Y1 = IOOx?.4x~.4x~· 5 •
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
a funkcja produkcji owoców kandyzowanych w czekoladzie: S-1
= 1700.r~· 5 .r~.25 x~.4
przewiduje w 2009 r. zwiększenie nakładów .r 1 o 5% i x2 o 3% w pr.typadku owoców kandyzowanych oraz x 1 o 3%, x 2 o 4% i x 3 o 6% w pr.cypadku owoców kandyzowanych w czekoladzie. 122. Na podstawie danych statystycznych dotyczących produkcji stali Q (w mld zł), w i elkości zatrudnienia w hutnictwie L (w tys. osób) oraz wartości majątku trwałego K (w mld zł) oszacowano funkcję produkcji C- D i otrzymano następujący wynik : Prze d siębiors two
Q= Lo·" · Ko.8. stosunek wielkości zatrudnienia do wartości majątku trwałego. aby osiągmić produkcję stali wartośc i 100 mld zl przy mi nimalnym koszcie, jeśli wiadomo, że koszt jednostkowy zatrudni enia wynosi IO tys. zł. a majątku trwałego 5 tys. zł ? (b) lle powinno wynosić zatrudnienie, aby osiągnąć maksymalną wielkość produkcji i jednocześnie nie przekroczyć kosztu całkow itego 50 mld zł, jeżeli wartość majątku trwałego wynosi 6,7 mld zł (pozostałe założen i a pozostają bez zmian)? 123. Dana jest fu nkcja produkcji Y = l. 4xf· 1 x~· 5 x~.4eO.<}.łi . Obliczyć i zinterpretować kra1kową s t opę substytucji czynnika trzeciego przez pierwszy (R;ri.x 3 ) i trzeciego przez drugi (Rxp 3 ) . gdy X1 = 2, X2 = 7, X3 = 6 124. W specjalistycznym gospodarstwie hodowli tuczników prt.:eprowadzono badania dotyczące wpływu dwu podstawowych pasz (X 1 i X2 ) na wielkość produkcji tuczników Y. Okazało się, że zależność ta ma postać: S• = l 50.rf· 5x~.4. Jak w związku z tym powinny kształtować sie stosunki między ilością paszy I i li, aby: (a) Os i <1gn ąć maksymalm1 produkcję tuczników, mając do dyspozycji 504 tys. zł i wiedząc, że pasza I kosztuje 8 z ł/k g, a pasza I.I 4 tys. zł/kg. (b) Osiągnąć produkcję 4800 tys. tuczników przy minimalnym koszcie pasz (ceny takie jak popn.:ednio). (c) Podać optymalne rozmiary pasz Xi. X 2 dla przypadku (a) (d) Podać optymalne rozmiary pasz X X1 dla przypadku (b) 125. Czy można opisać funkcją produkcji CES proces produkcyjny przemysłu metali n i eżelaznych w latach 1996-2007, jeżeli dane o wartośc i brutto środków trwałych (a) Jaki powinien
być
1 ,
Tablic-a5.8 K,
L,
Q,
40.503 1997
17.20 1
41.257
2002 20.618
2003
K,
L,
Q,
34.343
57.135
35.859
41.649
61.197
40.749
1998
18.251
46.089
23.026
2004
44.095
61.625
47.548
1999
24.091
47,759
24.307
2005
52.385
67,038
56.137
2000
26.355
50.804
27,433
2006
56.493
69,257
62,735
2001
30.456
52.450
30.987
2007
63.872
70.400
67.245
Żródło:daneumowne
-K {stan 31.XJI w mld zł), o przeciętnym w roku zatrudnieniu - L (w tys . osób) oraz o produkcji globalnej - Q (w mld z ł) prze d stawiają s i ę jak w tablicy 5.8. 126. W tablicy 5.9 dane są obserwacje wartości netto środków trwałyc h K (w mln zł ), pr.-:eciętnego w roku zatrudnienia L (w osobach) oraz wielkości produkcji Q (w mln ton) w pewnym przedsiębiorstwie prze my s łu chemicznego w ostatnich 15 Jatach
155
2 15
380 460
K1
L,
Q1
9
341
32 1
780
IO
320
344
810
11
340
36 1
870
170
272
3
190
259
6
240
590
14
4JO
280
670
15
420
300
307
430
730
Żródło:daneumowne
(a) Oszacow ać parametry dynamicznej funkcji produkcji C- D (b) Zbadać czy w przed s iębi orstw i e występuje neutralny postęp techniczno-organizacyjny. Jeśli tak, to jakiej w i e lko śc i produkcji m oż na si ę spod z i ewać w roku 1 = 16, a jakiej w roku 1 = 17, jeże l i na te lata nie planuje s i ę zmian w stanie majątku trwałego i zatrudnieniu 127. W pewnej firmi e dysponującej majątkiem trwałym o wartości 30 mln z ł i zatrudniajqcej 100 osób za l eżn ość mi ę dz y wielkością produkcji Q (tys. ton), n akładami majątku trwałego K (mln z ł) oraz liczbą zatrudnionych L (osoby) opisuje funk cja:
(a)
Poda ć
i
zi nt erpretowa ć
• krańcowe produkcyj n ośc i
czynników produkcji prt.y aktualnych nakładach, produkcji względem poszczególnych czynników, • efekty skali produkcji, • efekty postęp u techniczno-organizacyjnego (b) Jak zmieni s i ę produkcja, j eże li sprzedano m aszy nę o wartośc i 0,9 mln zł , aplanuje s ię utrzymanie zatrudnienia na niezmienionym poziomie? (c) Jak zmienić zatmdnienie. aby przy spadku wartości majątku trwalego o 3% utrzymać produkcję na niezmienionym poziomie? (d) Jaka zmiana zatmdnienia b y łaby potrzebna, aby przy spadku wartości majątku trwałego o 3% produkcja wzros ła o 1,8%? • elastyczność
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(e) Oblic zyć i zinterpretować krańcową st opę substytucj i mająlku trwa łego przez zatrudnie nie przy aktualnych nakładac h czynn ików produkcj i. Jaką ilośc i ą zatrudnionych należałoby zastąpić m ajątek trwały o wartości 0.9 mln z ł , aby utrz y mać produkcj ę na niezmie nionym poziomie? (f) Dane są jednostkowe koszty zastosowania czynników produkcj i: WK = = 0.08 mln zł, WL = 0.04 mln zł. Podać optymalne rozmiary K i L. gwara ntuj ące maksymalizację produkcji prą nakładac h Co = 4.8 mln zł. Czy aktualna struktura nakładów jest zbliżona do optymalnej? 128. Dana jest funk cja produkcji:
Q,
= 2.5 · (0.7 K1- 2 + O.JL ;- 2)- !.
(a) Obli czyć i zint erp retować krań cową s t opę substytucji dla K, = 7 i L 1 = 3). (b) Obli czyć dla tej funkcj i e lastycz ność substytucj i (c) Obliczyć i z i nterpret ować e la stycz ność produkcji wzg l ędem n akładu czynnika K 1 , gdy K 1 = 7. Lr = 3. 129. Dana jest funkcja produkcji dla pewnego przedsiębiorstwa:
Q, =
l .6K?·3 L~· 8 •
gdzie: Q1 - produkcja (w tys. sztuk) ; K1 - n a kład y maj:1tku trwałego (w tys. zł); L1 nakłady pracy (w osobach) (a) Jak zmieni s ię produkcja, jeżeli m1kład y majątku trwałego wzros ną z 200 do 224 tys. z ł. a zatrudnieni e zmniejszy się o 5%? (b) Jak z mi e nić zatrudnienie, aby w i e l kość produkcji wzrosła o 4%. j eżel i nakład y maj ątku trwa łego wzros n ą o 10%? (c) Wy prowadzić i na szkicować równania izokwant dla Q0 = 40 tys . sztuk (d) Dane są jednostkowe koszty zaangażowa nia czynników produkcji: WK = = 0.346 tys. z ł na I tys. z ł kapitału , WL = 0,336 iys . zł na I zatrudnionego. Podać oprymalne rozmiary czynników produkcji gwara ntujące m aksy m alną produkcję przy ograniczeniu wydatków na czynniki produkcj i do 120 tys. zł. (e) Jak zmieni się zespołowa wydajność pracy, jeże li w wyniku wycofania z eksploatacji przestarzałych maszyn wartość m ająt ku trwałego zmniej szy s i ę z 200 do 128 tys. z ł (f) Czy, a jeżeli tak to jakie. nakłady inwestycyjne są niezbędne, aby zespołowa wydajność pracy wzrosła o 5%, jeżeli planuje się redukcje zatrudnienia o 5%, a aktualna wartość majątku trwałego wynosi 200 tys zł 130. W pewnej fabryce farb na podstaw ie danych z ostatnich 20 lat oszacowano zdy nami zowaną funkcję produkcji C-D· b1 = 28K~·56L?.47e0,
(c) Podać proce ntową zmianę produkcji, jeżeli z okresu 1 na okres 1 + I nakłady czynników produkcji nic ul eg n ą zmiani e. (d) Jakiej zmiany produkcji można oczekiwać w okresie 1+ I ,jeżeli wartość majątku trwałego wzrośnie o 5%, a n akłady pracy z mni ejszą się o 8%. 131. W pewnej spó łdzielni rybackiej oszacowano d wuczynn i kową zd y namizowaną funkcję produkcj i CES i otrzymano
ij_t
= ( 15.28 K,-l.42
+ 7.36L ;l.42 ) - ~
. e0.0051.
gdzie: Q, - po łowy ryb (w tys. ton); Kr - wartość spm;tu pływającego (kutrów) (w mln zł); L 1 - zatrudnienie (w osobach): 1 - 1995. . 2008. Wiadomo, że w 2008 r. polowy wy ni os ł y 550 tys. ton. Planuje s i ę , że w najbli ższyc h dwu latach nic bę d z i e nowych zakupów, ani t eż modernizacj i kutrów. W związ ku z tym nie planuje się t ak że zmian w zatrndnieniu. Badania naukowe wykazały, że przez najbli ższe 5 lat nic nal eży s i ę t eż s podzi ewać poważniejszych zmian ekologicznych na ł o wiskach. W świet le powyższyc h danych, jak powinny s i ę kształtować połowy w 20 IO r. ? 132. Dana jest funkcja produkcj i Edelberga
Q, = y(' K f l : - /IE 1 • gdzie: Q1 - wielkość produkcji w okresie 1; K 1 - w i e lkość kapitału w okresie 1; Lr wielkość pracy w okresie 1; 1 - zmienna czasowa; ex. {J . y - parametry (a) Podać wzór na roczne tempo prt:yrostu produkcj i z tytulu neutralnego postęp u techn icznego (b) Na czym pol ega róż ni ca mi ędzy powyższą dynamizacją a dynamizacją Tinbergena? 133. Dla n as t ępującyc h funkcji produkcji
podać
(i
(I)
Ó.r = 0.8(0 .6 Kro.6
(Z)
Q,
+ 0.4 L?·6)l.5e- o.0011.
= l.?K,°·6L?·seo.<:1021
z int erp re t ować)·
• efekty skali produkcji, • krai'i cową s topę substytucji pracy przez m ająt ek trwały, • el astyczność substytucji , • efekty neutralnego pos tęp u techniczno-organizacyjnego, gdy K1 = 14,621 mln zł , a L1 = 32 etaty. 134. Na podstawie danych o w i el kości prod ukcj i Q (w mln umownychjednostekceg ł owyc h). nakładach majątku t rwa łego K (w mln zł) i zatrudnienia L (w osobach) w 32 zakład ach przemys łu materiał ów budowlanych oszacowano funkcję prod ukcji i otrzy-
(a)
Obli czyć
= 36 mln
zł
krańcowe prod ukcyj n ości
i zatrudnieniu L 1 = 80 osób
obu czy nników przy
nakładach
K1 =
5.Analtzaprocesuprodukcyjn1!90
(b) Podać i zinterp retować e l astyczności produkcji względem obu czynników; okreś li ć efekty skali produkcji przy powyższyc h nakładac h (c) Jak zmieni s i ę produkcja. j eże li wartość majątku trwałego w wyniku sprzedaży jednej z maszyn zmni ejszy s i ę o 1,8 mln z ł , a liczba zatrudnionych wzrośnie o 2 osoby? (d) Jak zatem z mieni ć zatrudnienie, aby pomimo sprze daży maszyny utrz y mać produkcję na niezmienionym poziomie? (e) Obli czyć krańcową stopc substytucj i majątku trwał ego przez zatrudnienie. Jaką ilością zatrudnionyc h n a l eżałoby zastąpić s przed aną maszy nę o wartośc i 1.8 mln zł, aby utrzy mać produkcję na niezmienionym poziomie? (f) Wyprowadzić równanie izokwanty L dla poziomu produkcj i Q0 = 45 mln jednostek ceg ł owyc h . Jaka liczba zatrudnionych jest niezbędna do wytworzenia produkcj i w wysokości 45 mln jednostek ceglowych przy nakładach majątku trwałego wynoszą cyc h 34,2 mln zł? (g) Dane są jednostkowe koszty zastosowania czy nników produkcji: WK = = O, 12 mln zł, wi, = 0.03 mln zł. Podać optymalne rozmiary K i L , maksymalizuj ące produkcję przy ł ącznyc h kosztach czynników produkcji Co= 10.8 mln zł . Jaki jest maksymalny poziom produkcji przy tych nakładac h. Czy aktualna struktura nakładów jest zgodna z o pty m a l ną ? 135. Na podstawie danych dla lat 1990--2007 o zasobach majątku trwałego K (mln zł) i liczbie zatrudnionych L (osoby) oszacowano zdynamizowaną funkcję produkcji Q (w i e lk ość produkcji w tys. ton) i otrzymano:
Aktualnie firma dysponuje majątki em trwałym o wartości 80 mln zł i zatrudnia 200 osób. (a) Podać i zinterpretować elastycznośc i produkcji względem czynników produkcj i. efekt y skali produkcji . Czy wzrost nakładów obydwu czynników o 7% spowoduje wzrost produkcji o: 7%, 7,7%. 14%? (b) Czy w przyszłym roku m oż liw y jest wzrost produkcji przy niezmienionych nakładach kapitału i pracy. Jeże l i tak, to jaki? (c) Jak zmieni s i ę produkcja w wyniku zakupu maszyny o wartości 4 mln zł ? (d) Z infonnacji działu marketingu wyni ka, że w n ajbli ższy m czasie nie jest m ożliwe zw i ę k sze ni e s przedaży produkowanego wyrobu. Jak wobec tego z mi en i ć zatrudnieni e, aby pomimo zakupu maszyny utrz y mać produkcj ę na niezmienionym poziomie? (e) Obliczyć i z interpre tować krańcową stopc substytucji majątku trwał ego przez zatrudnienie. Ile jednostek zatrudnienia należałoby wycofać, aby zrekompensować wzrost produkcji spowodowany z wi ększe ni e m majątku trw:1łego o 4 mln z ł (utrzy mać produkcj ę na niezmienionym poziomie) (f) Dane są jednostkowe koszty zastosowania czynników produkcji: WK = = 0,06 mln zł. WL = 0,02 mln zł. Podać optymalne rozmiary K i L. gwaramuj ące m ak sy mali zację produkcji przy nakładac h C0 = 8.8 mln zł. Czy aktualne nakład y czynników produkcji wymagają korekty? 136. Na podstawie danych kwartalnych o w i e l kośc i produkcji Q (tys . ton), nakła dach maj ąt ku trwałego K (mln z ł ) oraz liczbie zatrudnionych L (osoby) w pewnej fim1i e o kreś li ć
oszacowano
funkcję
produkcji In
Q= 1
0,6 ln K 1 + 0.4 In Lr + 0,75 + 0,002r .
Aktualnie firma dysponuje majątki em trwałym o wartości 84 mln zl i zatrudnia 200 osób Przy tych nakładach produkcja wynosi 252,6 tys. ton (a) Nazwać model i zi nt e rpretow ać oceny jego parametrów. (b) Określić efekty skali. Czy wzrost nakładów obydwu czynników o 4% spowoduje wzrost produkcji o: 4%, 4,4%, 8%? (c) Jak zmieni s i ę produkcja, j eże li 12 osób (z 200) odejdzie na emery turę lub re nt ę? (d) Jak wobec tego zmienić nakłady majątku trwałego. aby pomimo zwolnieli pracowników produkcja (jeszcze w bi eżący m kwartale) wzrosła o 1,8%? (e) Jak spadek zatrudnienia o 6% i zmiana m ajątku trwałego obliczona w punkcie (d) wpłyną na zespoł ową wydajność pracy? (t) Gdyby w c i ąg u najbli ższyc h dwu kwartałów nie zmieniały s i ę nakłady majątku trwałego i pracy. ile będzie wynosić produkcja po tych dwu kw:1rtałach (w kwartale I +2)? (g) Dane są jednostkowe koszty zastosowania czynników produkcji: WK = = O, 12 mln zł , WL = 0,04 mln zł. Podać optymalne rozmiary K i L, gwara ntują ce mak sy malizację produkcj i przy nakładach Co = 26.4 mln zł. Czy aktualne nakład y czynników są bli skie optymalnym? (h) Obliczyć i zinterpretować krań cowe stopy substytucji czynników produkcji przy optymalnych nakładac h 137. Funkcja produkcji dla pewnego wyrobu ma pos tać:
gdzie: Q1 - produkcja (tys. sztuk) ; K1 - nakłady majątku trwałego (mln zl); L1 liczba zatrudnionych (osoby) (a) Nazwać model i zinterpretować oceny jego parametrów. (b) Określić efekt skali produkcji i wyjaśnić, co to znaczy. Jak zmieni sic produkcja, j eże li nakład y obu czynników wzrosną o 6%. (c) Jak zmieni się produkcja, jeżeli w wyniku zakoń czo n ej inwestycji nakłady majątku trwałe go zw i ę k szą się o 2,7 mln zł (aktualnie 90 mln zł), a przewiduje s i ę red uk cję liczby zatrndnionych ze 160 do 152 osób? (d) Czy zmiany n akładów czynni ków w pł yn ą kon~ys tni e na zespołow ą wydaj n ość pracy? (e) Wyprowadz i ć i na szki cować równanie izokwanty K dla Qo = 144 tys. szt. (f) Dane są jednostkowe koszty zastosowania czynników produkcji: WK = = 0. 24 mln zł , WL = 0.06 mln zł. Podać optymalne rozmiary Ki L , przy jakich koszty wytworzenia produkcji Q0 = 144 będą moż liwi e najni ższe. Ile wy ni osą koszty wytworzenia 144 mln szt. prt:y optymalnych nakładach ? (g) Jakie będą optymalne nakłady czynników, j eżeli kryteri um optymali zacj i bę dzie maksymalizacja produkcji przy łączn yc h nakładach na czynniki produkcji Co = = 12 mln z ł. Jaka produkcja jest m oż li wa przy tych nakładac h ?
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(h) Obliczyć i z interpretować krań cową stopę substytucj i majqtku trwałego przez zatrudni enie przy aktualnych i optymalnych nakładach czyn ników. 138. W pewnej firmie zależność między wielkością produkcji Q (w mln ton) a nakła dami maj:1tku trwałego K (w mln z ł) i nakfadami pracy L (w osobach) opisuje funkcja
Q1 = (1.8K~· 8 + l,IL?· 8)/ti . i zi nt e rpretować krańcowe produkcyjności czynników produkcji oraz krańcową stopę substytucji zatrudnienia przez majątek trwały, gdy w procesie produkcji zaangażowane są 42,3 mln zł majątku trwałego i 32 osoby (produkcja przy tych naklad<1ch wynosi 392,455 mln ton) (b) Podać i zinterpretować elas tyczn ości produkcji względem majątku trwałego i zatrudnienia oraz określić efekty skali produkcji przy tych nakładach. Zinte rpretować otrzym:me wyniki. (c) Ile wynosi e las tyczność substytucji ? (d) Jakie będą efekty skali, RKL. oraz elastyczność substytucji, gdy liczba zatrudnionych wzrośnie do 40 osób. 139. W pewnej firmie oszacowano funkcję opisującą za leżność wielkości produkcji Q (w mln ton) od nakład ów kapit ału K (w mln zł ) i nakładów pracy L (w osobach) 1 otrzymano: Q, = (2K~· 6+ l.óL?·6)1.5eo.011 (a)
Obliczyć
(a) Obliczyć i z int erp retować elastyczności produkcji wzg l ę d em nakł adów kapitału i pracy, gdy w procesie produkcji zaangażowane są 1024 jednostki kapitału i 243 jednostki pracy (przy tych nakładach produkcja wynosi 2240 jednostek), określić efekty skali przy tych nakładach (b) Podać produkcyjności krań cowe kapitału i pracy pn.:y tych nakładach (c) Obliczyć i zinterpretować kratkową stopę substytucji kapitału przez pracę przy podanych nakładach. Jaką ilością zatrudnionych trzeba zastąp ić wycofane 124 jednostki kapitału, aby utrzymać produkcję na ni ezmien ionym poziomie? (d) Podać elastyczność substytucji (e) Które z obliczonych mierników ulegną zmiani e. jeżeli nakłady kapita łu zmni ejszą się do 900 jednostek (przy L = 243)? (f) Określić efekty postępu techniczno-organizacyjnego 140. Na podstawie danych pochodzących z 24 przedsiębiorstw przemysł u chemicznego oszacowano na stępując y model zależnośc i między zasobami majątku trwałego (K) i nakładami pracy (L) a wie l kością produkcji (Q):
{li= Nazwać
(1.5K~· 5
+ 0.7L7·5)2.2
model. Zakładając, że dla badanych pnedsiębiorstw średn ia wartość majątku trwałego wynosi 49 mln zł, a śred nia liczba zatrudn ionych - 225 osób, podać i zinterpretować oceny (a) elastycznośc i produkcji wzg l ędem każdego z czynników produkcji, (b) współczynnika efektu skali , (c) elastycznośc i substytucji (I)
(2) Obliczyć krmkowe produkty m ajątku trwałego i pracy oraz krańcową stopę substytucji majątku trwał ego pracą przy podanych n akładach (3) Przewiduje s i ę, że w wyniku planowanej moderni zacji maj ątku trwałego śre dnia wartość maj;:itku trwalego wzrośn i e do 64 mln zł. Wiadomo też , że w najbliż szy m czasie większa produkcja branży nic będzie miała zbytu. Jak zatem zm i e ni ć zatrudnienie, aby pomimo wzrostu wartośc i m ająt ku trwa łego utrzymać prod uk cję na niezmieni onym poziomic? (4) Jak zm i enią si ę elastyczno śc i produkcji, współczynnik efektu skali oraz kra ńco wa stopa substytucji R LK przy zmienionych nakładach ? 141. Na podstawie danych pochodzących z 30 przeds i ębiorst w tej samej branży oszacowano n astępuj ący model za l eżn ości między nakładami kapitału {K) i pracy {L) a w i e lkością produkcji (Q)·
Q, = 2.4. {0,64K,-o.5 Nazwać
model.
Podać
+ 0.36L ;-o.5)-2.1.
i z int erpretować oceny: (a) współczy nn i ków elast yczności produkcji wzg l ędem każdego z nakładów oraz współczynnika efektu skali, (b) krańcowych stóp substytucji, (c) e l astyczności substytucj i, przy przec i ętnych w bran ży n akłada ch wynoszącyc h 81 jednostek kapitału i 144 jednostek pracy (2) Obliczyć, ile dodatkowych jednostek pracy n a l eży zaan gażować, by utrzy m ać produkcję na dotychczasowym poziomie przy wycofan iu 5 jednostek kapitału. Jakie wówczas będą współczynniki efektu skali i elas tyczn ości substytucji ? 142, Dane są dwie funkc.je produkci'. typu CES· (I) Q, = 0.25 · (0.6K,- o 5 + 0.4L ;- 5 )-2 (Il ) Q, = (l .2K,-o.s + O,SOL;-0 ·5 ) - 2 . Spraw d zi ć, że obie funkcje opisują ten sam proces produkcji obli czając: (a) współczy nni ki elastycznośc i produkcji względem obu nakł adów, (b) współczyn nik efektu skali, (c) kratkowe stopy substytucji, (d) e l astyczn ość substytucji , (c) krańcowe produkcyjności czynników produkcji przy nakładach K = 36 jednostek i L = IOO jednostek 143. Dane są oszacowane na podstawie danych rocznych z ostatnich 12 lat funkcje produkcji dla dwóch przeds i ębiors tw tej samej branży: (I) Q, = 3.655 . K,°·62 L?.45 eo.0011' (li ) Q, = ( l .25 K ,°· 5 + 0.752L?5 )2·os . eo.0021. gdzie: Q1 - produkcja (w mln \on); K1 - zasoby majątku trwałego (w mln zł); L1 nakład y pracy (liczba zatrudn ionych w osobach) (I) Nazwać obydwa modele (2) Zak ładaj ąc, że aktualne nakł ady (w końcu osta1nicgo roku) wynoszą: K = = 100 mln zł, L = 225 osób, dla obu funkcji obliczyć i z interpretować: (a) e l astycznośc i produkcji wzg l ędem każdego z czynników produkcji , (I)
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(b) efekty skali produkcj i, (c) krańcowe produk cyjnośc i czynników produkcji , (d) krańcową stopę subs1yrncji majątku trwałego przez pracę (3) Dla której z podanych funkcji substytucja czynników produkcji jest łatwi ej sza (elast ycz no ść substytucji)? (4) Okre ś l i ć efekty post ępu techniczno-organizacyjnego w każdy m z przeds i ę biorstw. Zakł adając. że w przysz ł ym roku n akład y czynników produkcji ni c ulegną zmianie, w którym z prze d s i ęb ior s tw produkcja będzie większa (jak łatwo s prawd z i ć. przy aktualnych nakładach produkcja w obu prlcdsiębiorstwach wynosi 726. 7 mln ton)? 144. Dla pewnej firmy oszacowano funk cję op i suj ącą za l eżn ość mi ę d zy wielkośc i ą produkcji Q (w mln ton) a nakł adami kapitału K (w mln z ł ) i nakł adami pracy L (etaty) 1 otrzymano
Q, =(I. 2 K ~· 5
+ 0.9L?· 5 )1. 9 .
Aktualnie firma dysponuje majątki em trwałym o wartości 16 mln zł i zatrudnia 64 osoby. (a) Obli czyć (z dokładno śc ią do 0,00 l ) przy aktualnych nakładac h i zinterpretować • e l astycznośc i produkcji względem maj ąt ku trwał ego i zatrudnienia, • efekty skali produkcji. • krańcową sto pę substytucji pracy przez mająt ek trwały. • elastyczn ość substytucj i. (b) Jak zmieni s ię produkcja, jeżeli liczba zatrudnionych wzroś ni e z 64 do 80 (o 25%). przy K = 16 (c) Jaka zmiana majątku trwałego b y łaby potrzebna, aby utrzymać produkcję na niezmienionym poziomie przy wzrośc i e liczby zatrudnionych o l 6 osób? (d) Wy prowadzić równan ie izokwanty L dla Qo = 130, 766. Jaka liczba zatrudnionych byłaby potrzebna, aby przy majątku trwałym o wartości 16 mln zł wyprodukować 130,766 mln ton ? (e) Jakie będ ą : efekty skali , e lastyczność substytucj i oraz RKL, gdy liczba zatrndnionych wzrośnie do 8 1 osób? 145. Na podstawie danych pochodzących z 20 przedsiębiorstw tej samej branży oszacowano na s tępujący mode l zależności mi ędzy nakładami kapitału (K) i pracy (l) a w i elkośc i ą produkcji (Q):
Q, =
K~.8- 0.01
In K, - 0,021n L , L ?.6- 0.0l In K, - 0,01 In L e2+0. ()().ł1
(a) Nazwać model i zlogarytmować go (b) Podać i z interpre tować e l :1s tycznośc i produkcji oraz efekty skali (logarytmy zaokrąglić do 4 miejsc dziesiętnych), jeżeli· • nakłady obu czynników są jednostkowe ( K = L = \), • nakład y obu czyn ników są równe 54,6, • nakład y kapitału K = 7.389. n a kład y pracy L = 54.6 (c) Okreś li ć efekty postęp u techni czno-organizacyj nego 146. Na podstawie danych poc hodz ącyc h z 34 przed s iębiors tw pewnej bran ży oszacowano funk cję produkcji. wy ra żającą za l eżn ość wielkości produkcj i (Q) od n akładów
kapita ł u ( K )
i pracy (L)
Q, =
K ? ·7- 0.02 1n K, - 0.0 1 In L, L ?· S- 0. 02 1n K, . e1.2 + 0.0081
(a) N azwać motlcl i z l ogary t mować go. (b) Podać i z interpretować elastyczności produkcji wzg lęde m nakład ów kapi t ału i pracy oraz efekty skali produkcj i (logarytmy zaokrąg li ć do 4 miej sc d zies i ętn yc h ), j eżeli • nakłady
obu czy nników
są
równe e ( K = L = 2.7 183 (podstawa logarytmów
naturalnych)),
K = 20. 086 mln z ł , nakłady pracy L = 148 .42 etatu. (c) Okreś li ć efekty postcpu techniczno-organizacyjnego. 147. W oparciu o dane dla 15 przedsiębiors tw branży chemicznej dotyczące wielkości produkcji Q (w tys. ton), majątku trwałego K (w mln zł) i li czby zatrudnionych L (osoby) oszacowano funkcję produkcj i i otrzymano: • nakłady kapit a łu
ln
Q,
= O, 100 + 0.64 1n K1 +0.45 In L 1 •
s; = o.04.
( x Tx ) - 1 =
[
0,36 - 0. 25 - 0,44
- 0. 25 0. 25 - 0, 16
- 0,44]
- o. 16
.
0,16
(a) Podać e l astyczności produkcji względem majątku trwałego i pracy. Okreś li ć efekty skali produkcji (b) Zweryfikować (na poziomie i s totn ości a = 0.05) hipotezę, że technologia charakteryzuje s i ę s t ałymi efektami skali produkcji. (c) Zbudować 95 %-owy przedział ufnośc i dla parametru skali (d) Podać i zint e rp re tować ocenę krań cowej stopy substytucji kapitału pracą w przeds i ęb ior s t wie, w którym K = 32 mln zł, L = 80 osób. Jak na l eż ałoby z mi e ni ć zatrudnienie, j eże li w wyniku inwestycj i wartość majaku trwałego wzrosła do 34,5 mln z ł ? 148. Na podstawie danych z ostatnich 12 lat o w i e lkośc i produkcji ( Q), n akładach majątku trwałe go ( K) i pracy ( L ) w pewnym przed siębiors tw i e oszacowano funkcj ę produkcji i otrzymano: In Q, = 0. 20 + 0.55 ln K 1 + 0.49 In L, + 0.012r.
0,49 2
D (a)
~O.Ol
-g:~~ [ 0,05
(a)
- 0. IO
0.08
~:~~ ~:~~ - 0.04
0, 10
0.05 ]
-g~
0,001
95%-owe pr.tedzialy ufn ośc i dla e l astyczności produkcji względem mająt i pracy oraz dla parametru efektu skali produkcj i (b) Na poziomie i stot ności a = 0,05 zwery fikować hipot ezę , że e lastyczn ość produkcji wzg l ędem maj ątku trwałego jest wię ksza ni ż względem pracy. (c) Zweryfikować (na poziomie i stotno śc i a = 0.05) hipotezę. że technologia produkcji charakteryzuje s i ę s tał y mi efcklami skali. (d) Na poziome i stotnośc i a = 0.05 zwery fikować hipotezę, że w wyniku postę pu technicznego co roku produkcja wzrasta ś rednio o 2%. ku
Podać
trwałego
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(e) Podać i zinterpretować kratkową stopę substytucji pracy przez majątek trwały przy K = 20 mln zł. L = 72 osoby. Majątkiem trwałym o jakiej wartości należałoby zastąpić redukcję zatrudnienia o 4 osoby? 149. Na podstawie d:mych z lat 1992-2007 oszacowano funkcję produkcji dla pewnego przedsiębiorstwa produkującego przetwory mleczne i otrzymano·
Q, = l .45K,o.48 L?.42E?·20eO.(l().11. gdzie: Q - produkcja przetworów mlecznych (w mln ton); K - majątek trwały (w mln zł): L - liczba zatrudnionych (etaty), E - zużycie energii (w MWh) W ostatnim (2007) rok u przedsiębiorstwo dysponowało majątkiem trwałym o warto ści 41,8 mln zł , zatrudn i ało (w przeliczeniu na pełne etaty) 141 ,333 osób, zu żywało 604,67 MWh energii. Przy tych n akładach roczna produkcja wy nosiła około 250,6 mln ton . (a) Obliczyć przy nakładach z 2007 r. (z dokładnośc ią do 0,001) i zinterpretować • krańcowe produkcyjności czynników produkcji, • elastyczności i efekty skali produkcji. • krańcowe stopy substytucji (b) Jak należałoby zmienić zużycie e nergii, jeżeli wartość majątku trwałego zmniejszy ła s ię o 2,09 mln zł, przy niezmienionym zatrudnieniu, aby utrzymać produkcję na niezmienionym poziomic? (c) Jakiej produkcji należałoby się spodziewać w 2008 r. przy niezmienionych nakładach czynników produkcji? (d) Jaka będzie produkcja w przyszłym roku, jeżeli wartość majątku trwałego zmniejszy się o 2,09 mln zł, zatrudnienie pozostanie na niezmienionym poziomie, a w zw iązku ze wzrostem cen energii jej zużycie spadnie o 60,467 MWh? 150. Oszacowano funkcję produkcji CES
Q = y[ó K -P
+ (l
- ó)L -p r u/ p
i otr.tymano
Q = 2.110.21 K - 1. 21
+ 0.79L - ui ] - 0 ·6611 .
(a) Podać parametr efektu skali (b) Jak zmieni się produkcja, jeżeli kapitał i praca wzrosną o 1,4%? (c) Jeśli dla pewnych K i L elastyc zność produkcji wzg l ędem kapitału jest równa 0,3, to jaka będzie elastyczność produkcji względem pracy dla tych samych wartości Ki L? (d) Dla jakiej wartości technicznego uzbrojenia pracy stopa substytucji K przez L będzie równa 0.81? (c) Proszę podać współczynnik claslyczności substytucji czynników produkcji. 151. Dla 20 przedsiębiorstw przemysłu cukierniczego oszacowano funkcję produkcji CES i otrzymano: Q1 = (0,5 K?·3 + 0.4L?·3+0,2E?·3)3.6, gdzie: K1
-
nakłady kapitału;
L1 -
nakłady
pracy; E1 -
nakłady
energii.
produkcji względem poszczególnych czynni ków przy przedla badanych przedsiębiorstw nakładach czynników: K = 20 mln zł. L = 30 osób, E = 50 MWh (b) Podać p:1rametr efektu skali. Jak zmieni się produkcja, j eże li kapilał, praca i zużycie energii wzrosną o 2%? (c) Podać i zinterpretować krańcowe produkcyj nośc i majątku trwałego, pracy i energii przy podanych wyżej, przccictnych nakładach (d) Podać i zinterpretować krańcową stopę substyt ucj i energii majątki em trwałym 1 cnergu pracą (e) Podać współczynnik elastyczności substytucji majątku trwałego i energii 152. Dla 13 przedsiębio rstw przemys łu chemicznego oszacowano funkcję produkcj i CES i otr.tymano (a)
Podać elastyczności
ciętnych
gdzie: Kr - nakłady kapitału; L 1 - nakłady pracy; Er - nakłady energii Dla przedsiębiorstwa, w którym nakład y czynników produkcji wynoszą K = zł , L = 256 osób, E = 625 MWh. (a) Podać i zinterpretować elastyczności produkcji względem poszczególnych czynników. (b) Podać parametr efektu skali. Jak zmieni się produkcja, jeżeli kapitał, praca i zużycie energii wzrosną o 2%? (c) Podać i zint erpretować krań cowe produkcyjności majątku trwałego, pracy i ener-
= 81 mln
gu (d) Podać i zinte rpretować kraficową stopę substytucji energii mająlkiem trwałym i energii pracą 153. Na podstawie danych dla 13 przedsiębiorstw branży chemicznej , stos ując MNK oszacowano funkcje translog:
~~ -~+~~~ + ~~~ + ~~~ + ~~~ + ~~~~~ i otrzymano :
0.09 - O. IO - 0.06 0.08 - 0.10 0.25 0,02 - 0,01
0.68 0.20] a =
0.42 - 0,03
·
[ -O.Ol - 0.02 a reszty modelu
- 0.06
(X TX )-1 =
0,02
0.08 - O.Ol - 0.05 [
O.Ol
0.02
,
0,017 - 0.03 - 0.02
O.Ol -0 .04 -0.03
- 0.04 - 0.03
O.Ol - 0.04. O.Ol - 0,03
0.16 - 0.05 - 0,04
0.02 - 0.02
0.002
0.07
0.07
O.Ol
są następujące:
12 e1 - O.OS 0.06 O.Jl -0.02 - 0,08 0.04 O.Ol -0.12 0.06 0,06 0.05 - 0,12 0.03
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
(a) Podać i zinterpretować elastyczności produkcji względem n akładów kapit ału i pracy oraz efekty skali produkcji, jeżeli nakłady obu czynników są równe e (K = = l = 2, 7183 (podstawa logarytmów naturalnych)). (b) Zbudować przedział y ufności dl:1 elastycz n ości oraz parametru skali produkcji przy tych nakładac h (1 0 .05: 7 = 2.365) (c) Czy na poziomie istoln ości 0,05 moż na stw ierdzi ć, że przy tych nakładach technologia charakteryzuje s i ę stałymi efektami skali produkcji? (d) Czy uzasadniona jest redukcja modelu do model u C- D. jeżeli wiadomo, że dla modelu C- D wariancja resztowa = 0.03, Fo.ost 3:7) = 4.35. 154. Oszacowano funkcję indywidualnej wy dajności pracy W (w tys. sztuk rocznie) względem stażu pracy 1 (w latach) i otrzymano
s;
W= /e-0.~1" +21 +3.5 . Określić optymalną wielkość stażu
pracy. Podać odpowiadającą jej wydajność 155. W dwu przedsiębiorstwach tej samej branży zbadano indywidualną wydajność pracy pracowników w kolejnych godzi nach pracy (ośmiogodzinnego dnia pracy) i otrzymano dla przedsiębiors1 wa A ~V = 60 + 91 - ~t 3 , dla przedsiębi orstwa B iV, = 500 + 31 + 4t 2 - 13 , 1 = I. 2. . . , 8. Określić dla każdego z zakładów najkorzystniejszą z punktu widzenia wydajności pracy porę dnia, jeże l i wiadomo, i ż praca rozpoczyna s i ę o godzinie siódmej. 156. Dana jest funkcja produkcji typu C- D
Q,
= 10 K,s1s l:1s .
gdzie: Q1 - produkcja; K, - zasoby majqtku trwałego ; L 1 - nakłady pracy. (a) Zapisać funkcję zespołow ej wydajności pracy (b) Jak zmieni się zespołowa wydajność pracy, jeżeli n akłady pracy wzrosną o 10%, a zasoby majątku trwałego pozostaną na niezmienionym poziomie? (c) Jaka zmiana majątku trwałego byłaby potrzebna, aby przy wzroście nakładów pracy o 10% utrzymać zespoł ową wydaj ność pracy na niezmienionym poziomic? 157. Dana jest funkcja produkcji C- D:
Q,
= 2 ,SK,2/J L11/3eo.oos1.
gdzie: Q - produkcja (tys. szt.); K - praca uprzedmiotowiona (m ln zł); L - praca żywa (liczba zatrudnionych) O ile procent wzrośnie zespołowa wydajność pracy z okresu 1 = l na okres 1 = = 2, jeże l i nic przewiduje się zmian w nakładach pracy uprzedmiotowionej, wynoszącej w okresie t = 1 64 mln z ł , natomiast li czba zatrudnionych zmni ejszy s i ę o 16 osób (przy czym w okresie 1 = I liczyła 64 osoby)? 158. Na podstawie danych zawartych w tablicy 5.10 (a) Oszacować i zinterpretować współczynnik Hirscha. (b) Określić ile będzie wynos i ć pracochłonność przy numerze wyrobu 320 (c) Podać przybliżoną wielkość wydajnośc i pracy przy numerze wyrobu 640.
Tablic:tS.10 Numer wyrobu
Pracoch łonność
(i)
wgodz./szt (P,·)
IO
40
160 Źródło: dane umowne
159. Na podstawie danych zawartych w tablicy 5.11
Numer wyrobu
Pracochłonność
(i)
wgodz./szt (P;)
6.0 5.0 4.8
25
4.5
30
4.0
50
3.5
60
3.0
90
2.5
120
2.0
1.8 Źródło: dane umowne
(a) Obli czyć i z interpretować współczynnik Hirscha (b) Określić ile bcdzic wynosić pracochłonność przy 480 sztuce. (c) Dokonać reestymacji współczynnika Hi rscha.jeżeli wiadomo, że wydajność pracy prt.:y 240 sztuce wyrobu wynosi 2/3 szt./godz. 160. Oszacowano współc zy nnik postępu organizacyj nego Hi rscha, którego wartość wynosi 0,75 . Dana jest pracoc hł o nno ść przy dłu gośc i serii 300 sztuk ; wynosi ona 4/3 godz./szt (a) Poda ć pracochłonność przy dłu gośc i serii 75 sztuk, a na s tępni e dla długośc i serii 1200 sztuk . (b) Czy w świetle powyższyc h danych możliwe jest os i ąg ni ęc i e wydajności 1,9 szt./godz. przy dłu gośc i serii 2000 sztuk?
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
16 1. Mamy dane zawarte w tablicy 5. [2, Q (w tys. szl.) oraz
dotyczące wielkości mie s i ęcznej
wielkości mi es i ęcznego
kosztu
3.7
63.0
3. 1
3.8
63.l
2.8
całkow it ego
K (w mln
produkcji
z ł) .
62.5 62.3
4. 1
63.2
4.5
63.8
4.3
63.6
4.7
64.6
3.5
62.9
4.8
65.0
3.3
62.9
5.0
66. 1
Żródlo:dancumowne
tu
(a) Oszacować parametry funk cj i kosztu c ałkow i t ego, przyjmując i ż zależn ość koszod w ielkości produkcji ma charakter wielom ianu stopnia trzec iego (b) Dokonać weryfikacji modelu oraz z i nterpretować otri:ymane wyniki 162. Dana jest funkcja kosztów całkowi t yc h (C) w zal eż n ośc i od w i e lkośc i produk-
c ałkowitego
cji (Q)o
c ~ 0.3Q 3 -
3Q 2 + 12.6Q + 300.
(a) Wyz naczyć funkcj ę kosztu jednostkowego i kosztu krań cowego oraz spor.tądzi ć ich wykresy (b) Przy jakiej wielkości produkcji koszt jednostkowy i koszt krań cowy osiągają minimum? 163. Oszacowano zależność kosztów ca łkow i t yc h C (w mln z ł ) od rozmiarów produkcj i Q (w 1ys. szt.) i otrzymano Ć
= J.OQ 2eO.SQz - 2Q- 251nQ
Okreś li ć
rozmiary produkcji minimalizując e koszt jednostkowy. 164. W pewnym kombinacie zal eż ność między kosztem całkowi ty m produkcji C (w mln zł) a jej wielkością Q (w tys. szt.) wyraża mode l o postaci
ć~ Q·cxpGQ'-80 Q + ~ + 1006). 2
Znaleźć optymalną odpowi adający
- ze względu na koszt jednostkowy jej minimalny koszt jednostkowy.
wielkość
165. Producem popularnych soków owocowych „Tarczyn"
tów ca łkowityc h produkcji soków C (w tys . zł) w za l eż ności od (w tys. butelek o pojemnośc i 1/3 litra), która pr.tyjęła postać:
C(Q) ~ 3Q 2 +900Q (a) os i ąga
Znaleźć
+
produkcji,
podać
oszacował funkcję wielkości
koszprodukcji Q
19200
optymalny poziom produkcji Q, przy którym koszt jednostkowy soku m1111mum
(b) Podać wyso kość kosztu jednostkowego, zysku jednostkowego i zysk u ca łko witego przy optymal nym poziomic produkcji, jeże l i wiadomo, że cena soków wynosi 1500 z ł za 1000 butelek (e) Jaki byłby optymalny poziom produkcji , gdyby kryterium optymalizacji b y ł a maksy malizacja zysku całkow itego ze sprze d aży (przy za łoże niu , że cała produkcja zostanie sprzedana). Podać zysk jednoslkowy i zysk całkow it y w tym przypadku (d) ZnaJcźć progi re ntownośc i 166. W pewnej firmie produkującej opakowania (tekturowe pudełka) oszacowano funkcję kosztów cał kowi t yc h produkcj i opakowań C (w tys. zł) w za l eż n ości od wielkośc i produkcji Q (w tys. szt)
C(Q) ~ 0.8Q 2 + 2 16Q + 9680 (a) Znaleźć optymalny poziom produkcji Q, prty którym koszt jednostkowy opakowań jest najniższy. Podać wysokość kosztu jednostkowego. zysku jednostkowego i zysku całkowitego prą optymalnym poziomie produkcji.jeżeli cen ę sprzedawanych opakowa ń ustalono na 436 zł za 1000 szt (b) Jaki byłby optymalny poziom produkcji, gdyby kryterium optymali zacji była maksymalizacja zysku cał kowitego ze s przed aży (przy za łożen iu , że ca ła produkcja zostan ie sprzedana). Podać zysk jednostkowy i zysk cał kow ity w tym przypadku. (c) Aktualni e firma produkuje miesiccznie 200 tys. opa k owań. Czy taka produkcja gwarantuje firmie rentowność (progi rentowności). J eże li firma nie podejmie działań zmierzających do obni że nia kosztów, w celu poprawy wyników firmy, korzystniej było by zw i ększyć czy zmn i ejszyć prod ukcję (wiadomo, że firma nie ma trudności ze zbytem wyrobów). 167. W dziale finan sowym producenta pi wa w puszkach oszacowano funk cję kosztów ca łkow it yc h produkcji produkowanych gatunków piwa C (w tys. zł) w zależności od w i e l kości produkcji Q (w tys. puszek). Dla gatunku A funk cja ta ma postać
C(Q) ~ l.4Q' + 1600Q +20 160 (a) Znaleźć optymalny poziom produkcji Q. przy którym zysk ca łk ow it y ze s p rzedaży tego gatunku piwa będ z i e najwickszy, j eżeli wiadomo, że cena piwa wynosi 2160 z ł za 1000 sztuk (2, 16 zł za pu szkę). Pod ać zysk jednostkowy i zysk całkow it y. (b) Aktualnie firma produkuje 100 tys. puszek tego gatunku. Czy taki poziom produkcji gwarantuje przedsiębiorstwu rentowno ść produkcji (progi rentowności) ? (c) Jaki byłby optymalny poziom produkcji, gdyby kryterium opty malizacji była minimali zacja kosztu jednostkowego. Ile w tym przypadku wynosi koszt jednostkowy. zysk jednostkowy i zysk c ałkow ity? 168. W zakładach przem ys łu cukierniczego oszacowano funkcj ę kosztów całk owi tych produkcj i wyrobów C (w tys. zł) w za l eżności od w i elkości produkcji Q (w tys sztuk). Dla wafli „elitess" funkcja przyjęła postać
C(Q) ~ l.2Q 2 + 660Q + 27000. (a) Znal eźć optymalny poziom produkcji Q, przy którym zysk ca łkowity ze sprzedaży wafli będzie najwi ę k szy, jeże l i wiadomo, że cena wynosi 1260 zł za 1000 sztuk
5.Analtzaprocesuprodukcyjnego
( 1,26 zt za sztukę). Podlić zysk jednostkowy i zysk człkowity przy optymalnym poziomic produkcji. (b) Aktualnie firma produkuje 150 tys. sztuk tych wafelków. Czy taki poziom produkcji gwarantuje re ntow n ość produkcji (progi rentowności)? (c) Ze względu na nagromadzenie sporego zapasu wafelków firma postanow iła obni żyć cenę do 111 O zł za I OOO sztuk i p rzejściowo ograniczyć produkcję (ale z niej nie rezygnować. bo prowadzone są rozmowy z odbiorcą zagrani cznym). Czy prty nowej cenie produkcja na poziomie 60 tys. szt. będz i e rentowna? (d) Jaki byłby optymalny poziom produkcji, gdyby kryterium optymali zacj i by ła minimalizacja kosztu jednostkowego. Ile w tym przypadku wynosi koszt jednostkowy i koszt ca łkow i ty? 169. W pewnych zak ł adach farmaceutycznych postanowiono d okonać analizy opła ca lno śc i produkcji wytwarzanych leków. Oszacowano w i ęc funkcje kosztów ca łkowi tych produkcj i dla poszczególnych asonymcntów C (w tys. z ł ) w za l eż n ości od wielkośc i produkcji Q (w tys. opakowań zawierających 6 tabletek). Dla jednego ze środków przeciwbólowych funk cja kosztów przyj ę ła postać: C(Q) = l.6Q 2 + 1620Q + 23040. (a) Zna l eźć optymalny poziom produkcji Q, przy którym koszt jednostkowy produkcji będzie najni ższy . Ile wynosi koszt jednostkowy oraz zysk jednostkowy i zysk cał kowi t y przy cenie zbytu 2100 z ł za 1000 opakowail (b) Aktualnie firma produkuje 220 tys. opakowa1l tego leku. Czy taka produkcja (przy cenie 2 1OO z ł) gwarantuje rentowność (progi re ntown ośc i )? Jaka ewentualna zmiana wielkości produkcji (zw i ększen ie czy zmniejszenie) pozwoliłaby na poprawę rentownośc i produkcji (przy zał ożeniu , że fim1a nie ma problemów ze zbytem wyrobów)? (c) Czy obniżenie kosztów stał yc h produkcji z 23 040 do 20 000 (tys. zł) istotnie poprawiłoby rentowno ść produkcji? Jakie w ty m przypadku będą progi rentowności, przy jakim poziomic produkcj i zysk całkow it y ze sprtcdaży wyrobu b yłby maksymalny. lic ten zysk wynosi? 170. W pewnej fi rmi e oszacowano funkcje ca łkow i t ych kosztów produkcji prod ukowanych wyrobów C (w tys . zł ) w zależ no ści od wie lkości produkcji Q (w tys. sztuk) Dla wyrobu A funkcja ta ma pos tać C(Q) = 0,2Q 2
+ 2000Q + 10800.
(a) Zna l eźć optymalny poziom produkcji Q, prty którym koszt jednostkowy wyrobu A os i ąga minimum. Podać wysokość kosztu jednostkowego, zysku jed nostkowego i zysku ca łkow i t ego prą optymal nym poziomie produkcji , jeżeli wiadomo, że cena wyrobu wynosi 3,50 za sztukc (3500 z ł za 1000 szt. ) (b) Przy jakiej w i e lkości produkcji wyrobu A firma os iągni e maksymalny zysk ca ł kowity. Ile wyniesie wówczas zysk ca łkow it y, a ile zysk jednos1kowy? 171. W pewnym za kładzie energetycznym zbadano za l eż ność kosztów całkow i tych C (w tys. zł ) od wielkości produkcji energi i elektrycznej Q (w MWh) . Okazało sic, że zależność ta ma charakter liniowy, przy czym koszt stały wynosi 1274, a koszt zmienny 252Q
(a) Zap i sać funkcj ę kosztu całkowitego, zinterpretować olrzymane wyniki (b) Wy z naczyć funkcję kosztu jednostkowego i sportądz i ćjcj wykres (c) Aktualna cena energii wynosi 350 zł za I MWh. Jaka jest minimalna wielkość produkcji energii zapew niająca zakładowi jej rentow n ość (próg rentownośc i )? (d) Rozważ a s i ę podw yżkę ceny energii o 4%. Czy spowoduje to zmianę progu rentownośc i ? Jaki maksymalny zysk można o s iągnąć przy lej cenie 172. Dla pewnego wyrobu oszacowano funkcj ę kosztów jednostkowych i otrzymai( Q)
~ 20 + 29700h .
gdzie: c(Q) - jednostkowe koszty produkcji (w z ł ); Q - wielkość produkcji (w szt.). (a) Czy produkcja na aktualnym poziomie 4400 szmkjest rentowna? Ile wynosi zysk jednostkowy i zysk c ałkow it y przy cenie wynoszącej 29 z ł za sztukę? (b) Ze wzg l ędu na trudności ze zbytem wyrobu rozw aża na jest obniżka ceny. Do jakiego poziomu można obni żyć cenę, aby produkcja na poziomie 4400 sztuk nie przyno si ła strat ? 173. Funkcja kosztów całkowitych dla pewnego wyrobu ma po s tać:
C(Q)
~
108000+ ISSQ.
gdzie: C( Q ) - całkowi t e koszty produkcji (w zł ); Q - wielkość produkcji (w szt. ) (a) Zapisać funkcj ę kosztów jednostkowych i zinterpretować parametry obu funk cji. (b) Czy przy cenie wynoszącej 17 1 z ł za sztukę produkcja na aktualnym poziomie 7000 sztuk jest rentowna? Znaleźć próg rentownośc i (c) Ze wzg l ędu na trudn ośc i ze zbytem wyrobu rozważa na jest zmiana ceny. Jak nal eża łoby zmienić cenę, aby produkcja na poziomie 6000 szt. nie przynosi ła strat? (d) All ern atywą zmiany ceny jest ob ni ż k a kosztów stałyc h. Do jakiego poziomu nale żałoby je obniżyć, aby przy cenie 17 1 z ł za sztuk ę produkcja na poziomie 6000 szt. nie p rąnos ił:1 strat?
6 Elementy ekonometrycznej analizy rynku
6.1. Wybrane modele
rozkładu
dochodów
Problcma1yka dochodów ludności budziła i budzi żywe zainteresowanie. Dochody determinują bowiem stopę życiową społeczeństwa, a także stanowią podstawowy czynnik kreujący popyt konsumpcyjny. Do opisu rozkładu plac i dochodów próbowano zastosować szereg różnych krzywych, w praktyce jednak najczęściej stosowane były trq: krzywa Pareto. krzywa normalna i krzywa logarytmiczna-normalna. Z badań prowadzonych przez ekonomistów dawniej wynika, że krzywa Pareto może s łu żyć jedynie do przedstawienia rozkładu dochodów poc ząwszy od pewnej określonej kwoty na osobę 1 Zastosowanie krzywej normalnej (jak wykazały badania prowadzone m.in . przez po lskich ekonomistów i siatystyków: J. Wi ś n iewskiego. E. Vielrosego, O. Langego) daje dobrq zgodność z rozkładem empirycznym w jednorodnych grupach zawodowych (np. robotnicy wykwali fikowani lub niewykwalifikowani). Dalsze badania, także polskich ekonomistów E. Vielrosego o raz Z. Pawłowskie go, wykaza ł y dość dobr11 zgodność rozkładów dochodów z rozkładem logarytmiczno-normalnym Z najnowszych badań f2l wynika, że lepsze dopasowanie do rozkładów empirycznych um oż li wiają roz kłady trójparametrycznc (np. trójparametryczny rozkład logarytmiczno-normalny czy rozkład Daguma) W analizach empirycznych rozkładów dochodów lub plac różnyc h gru p prac ują cych, oszacowania parametrów krzywej rozkładu uzupełniane są zwykle innymi miarami charakteryzującymi len rozkład , jak decyle, kwartyle, miary rozproszenia, asymetrii (nierównomierności rozkładu) lub koncentracji. Charakterystyki te można wyrazić za pomocą parametrów rozkładu dochodów (µ, i r:r - średniej i odchy lenia standardowego) .
1Pareto badał ruzklady dochodów uzyskiwane zwykle ze staty sty k podatkowych. które nie uwzględ niały dochodów poni:l:ej ustalonej wysokości. stąd uzyskiwał wysoką zgodność rozkladów teoretycznych zrozklad:imiempirycznymi
6.1. Wybrane modelerozkladudochodów
Podstawowym źród łe m infonnacji o rozkładach dochodów w pol ski ej praktyce statystycznej są informacje o rozkładzie pracowni ków zatrudni onych w gospodarce wedłu g wysokości wynagrodze1l w wybranym mie s iącu , publikowane przez GUS w rocznikach statystycznych (w miarę systematycznie od 1955 r.). Badania takie prowadzone są co rok lub co dwa lata. Do 1997 r. przeprowadzano je we wrzeniu, a od 1998 r przeprowadza się je w pa źdz ierniku. Zmieniaj'! s i ę także przekroje, w jakich publikowane są dane; obecnie według wybranych d ziałów i sekcji gospodarki oraz według płci 2 • W rocznikach statystycznych publikowane są także, w oparciu o dane Zakła du Ubczpieczefi Społec znych , informacje o rozkł adzie pobierających emerytury i renty według wysokości św iadcze nia w wybranym mies iącu (np. w marcu 2004 r. , w kwietniu 2005 r.). Krzywa Pareto ma przede wszystkim znaczenie historyczne - jako pierw sza próba opisu prawa dochodów. Pod koniec XlX wieku włoski ekonomista Vilfredo Pareto s fomlUłował s ł y nn e „prawo rozkładu dochodów" 3, wed ług którego prawi dł owośc i zac hodzące po międ zy wysokośc ią dochodów a li czbą osób mającyc h dochody nie ni ższe od tej wyso k ośc i m ożn a o pi sać za pomoc'! hiperboli (zwanej później krzyw'! Pareto), która ma postać P (x)
= y = (x
-otx o)P
= ot (x -
(6.1 )
x0) - P.
gdzie: P (x) = y - liczba (lub frakcja) osób o dochodach równych lub większych od x; x - poziom dochodów; x 0 - najniższy dochód; ot , f3 - parametry rozkładu , przy czym wartość parametru f3 u waża na jest za pewien miernik nierównomiernośc i rozkładu dochodów. Pon i eważ na ogót brak jest informacji o najni ższych dochodach (.r 0 ), w praktyce zazwyczaj stosuje s i ę uproszczoną pos tać krzywej Pareto· (6.2)
Jest to funkcja
pot ęgowa,
a
więc
jej parametry
możn a oszacować zwy kłą
MNK
Przykład 37. Tablica 6.1 zawiera szereg rozdzielczy pracowników zatrudnionych w handlu i naprawach wed ł u g wyso kości wynagrodzeń w październiku 2004 r. 4 (a) Dopasować do podanego rozkładu empirycznego krqw<1 Pareto. (b) Za po moc ą testu serii zweryfikować hipot ezę, że roz kład empiryczny jest zgodny z rozkładem Pareto
2Do 1992 r. zatrud11i o11ych w gospodarce uspo!ccznioncj, do 1997 r. uwzględniano 1akżc podzia! na pracowników fizycznych i um ys lowyc h 3 B yło ono mocno krytykowane przez następców. dało jednak początek dalszym metodologicznym i em pirycznym pracom w tym zakresie 4 są to najnowsze dane dostępne w momencie składania podręcznika w wydawnictwie (koniec 2007 r. ). opublikow ane w Roczniku Statystycznym 2006. Prledziały wynagrodzeri ustalono jako % wynagrodzenia brutto w gospodarce narodowej w pa:ldziemiku 2004 r.. np. 947.41 zł to 40% tego wynagrodzenia
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Wynagrodzenia (zl)
947.41 - 1 184.26 1184.26--1421.12 1421.1 2- 1657.97 1657.97-1894.82 1894.82-2131.67 2 131.67-2368.53 2 368.53-2 842.23 2842.23- 3315.94 3 315.94-3 789.64 3 789.64-4 263.35 4263.35-4 737.05 4737.05- 5684.46 5 684.46-6631.87 6631.87iwięcej
(m alejąco) zarabiających
odsetki zatrudnionych
19.40 14.20 13.20 11.50 8.20
66.40 53.20 41.70 33.50 26.90 22.30 15.80 11.70 9.30 7.50 6.20 4.40 3.30
6.60 4,60
6.50 4.IO 2,4{)
l.80 l.30 l.80 l.10 3.30 100,00
Żródto:RocznikStutystyczny2006. s. 268.-269
Roz.wiqumie. (a) Empiryczny trudno P:1reto.
zauważyć. iż
rozkład wynagrodzeń
przedstawia rysunek 6.1 Nieprzypomina krzywą
kszta łte m
rozrzut punktów empirycznych
)'1 120
....
Rysunek 6.1. Sk1111111low;me
8000
x,
K rzywą
malejąco
odsetki zatrudnionych w handlu i na-
prawach według wysokości wynagro dzenia w p~ździerniku 2004 r.
(6 .2) sprowadzamy do postaci liniowej przez logarytmowanie, czyli· logy = loga - fJ logx
i za pomocą metody najmniejszych kwadratów {MN K) szacujemy jej parametry. Obli czenia pomocnicze zawiera tablica 6.2
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Kolumna l tej tablicy zawiera przedz i a ły wynagrodze1l, kolumna 2 natomiast skumulowane ( malejąco) odsetki pracującyc h (tzn. pobierających dochody ni c ni ższe od górnej granicy przedz iału ) . Otrzymujemy:
15 a = [ 119,08287
119.08287 ] - ' [ 44.76778] [ 16.48028 ] 951.09626 345.6090 1 = - 1.69996
czyli In )• = 16,48028 - 1.69996 1n x, (0.32295) (0,0405) 51,03 - 41.91 do
s;= 0.0094 .
R1 = 0,993.
Parametry stmktury stochastycznej św iadc zą o dobrym dopasowaniu krzywej Pareto empirycznego (oceny parametrów strukturalnych s:1 statystycznie istotne,
rozkładu
współczynnik determinacji R 1 jest bardzo wysoki).
(b) W kolumnie 8 tablicy 6.2 podano wartośc i reszt dla oszacowanego model u w postaci liniowej. Nietrudno zauważyć, i ż w ciąg u reszt występuje co prawda 5 serii , a dla a= 0. 05 oraz 11 1 = 8 i 11 2 = 7 5 1 = 3, 52 = 12. a w i ęc 3 < 5 < 12, ale obserwujemy stosunkowo długą serię (7-e l ement ową) reszt o ty m samym znaku - dodatnich), co wskazuje, że rozkład Pareto nic najlepi ej opisuje rozkładu pracowników handlu i napraw w paźd z i erniku 2004 r. 5 Po ni eważ jednak, jak za uważon o wcześniej, badania empiryczne wy kazał y, i ż krzywa Pareto dobrze aproksymuje rozkład y dochodów powyżej ich ustalonej wysokośc i , ponownie oszacowano jej parametry, pom ij ając pierwszy pr.tedział wynagrodzerl (tzn. wzięto pod uwagę tylko wynagrodzenia większe od 11 84,26 zł, a w i ęc 50% przeciętne go wynagrodzenia w tym roku). (W tablicy 6.2 oznaczono to jako wersja U). Otrzymano:
14 · ~ [ 11 2.22914
112.22914 ]-' [ 40.37828] [ 17.34539 ] 904,12262 3 15.65459 ~ - 1. 80396 .
czyli In )'= 17,34539 - 1. 80396 \n.r , (0, I 0205 ) (0,02390) 90,32 -75.48
5'1
= 0.00254.
R 2 ~ 0.998
W tym przypadku w c i ąg u reszt obserwujemy 8 serii: ża dna nic jest dłu ższa ni ż 3-elementowa; dopasowanie jest lepsze. Po odlogarytmowaniu kn.:ywa przyjmuje pos tać (a= e 17 ·34539 = 34119795,96):
5' = 34 l19795x - L80396 R oz kład
empiryczny oraz oszacowane krąwe (dla wersji I i II) patrz rysunek 6.2 i 6.3 Można dodać. i ż wartość parametn1f3 (- 1.8096) św iadc zy o przec i ętny m zróżnico waniu wynagrodzeń pracowników handlu w 2004 r. (z anali z empirycznych wynika, że przy równomiernym rozłożeniu dochodów f1 jest bliskie - l, a przy skraj nie nierównomiernym jest bliskie -3). 5Ponotdlo pierwszu warto~ć teoretyczna po odlogarycmowaniu ()• = 125, 11 znacznie różni się od zaob serwowanej - IUO)
'"' "L "·"l()L 6.1. Wybrane modelerozkladudochodów
100
•
80
•
60
60
40
40
w
20
o
o
o
-
-
- .r,
-
Rys unek 6.2. Empiryczny i tooretyct:ny rozkład wynagrodzeń pracowników handlu (wersja I) Rozkład
normalny . Funkcja
o
-
-
-
- x,
Rysun ek 6.3. Empiryczny i teoretyczny rozkład wynagrodzeń pracowników handlu (wersja li)
gęstości rozkładu
normalnego dana jest wzorem
!
'l
(6.3) - µ) . I= "P ---,(x I av2rr 2agdzie:µ. a to parametry rozkład u (odpowiednio, ś red n ia i odchylenie standardowe) J eżeli d:me poc hod zą z d u żej próby. moż n a pri;yj;:ić, że śre d n i a (i) i odchylenie standardowe (S) z próby są estymaiorami parametrówµ.. i a rozk ł adu nonnalnego. W przypadku szeregu rozdzielczego obliczamy je ze wzorów: f(x) ~
(6.4) (6.5)
x;-
środek przedz i ał u dochodów; 11; - li czebność i-tego pr.tedzia ł u; f; - jego osób mających okreś l ony dochód; J. = 11i / L 11,, L f; = I) Aby spraw d zić zgod ność rozkładu e mpirycznego z przyjęty m rozk ładem teoretycznym, można skorzystać z jednego z testów zgod ności (x 2 Jub A Koł mogorowa) L61J. W teśc i e zgod ności x 2 do weryfi kacji hipotezy, że badana populacja ma określony rozkł ad hipotetyczny, tzn.: Ho: F(x) = Fo(x).
gdzie:
częstość względna(%
gdzie: F(x) jest dys t rybuantą empiryczną, a F0(x) dys trybuantą zalożonego, hipotetycznego rozkład u (np. normalnego czy logarytmiczno-normalnego). s łuży statystyka: x2 =
t
;„1
(11 „ - np;)2 .
(6.6)
Ilf';
gdzie: 11; - li czeb n ość i-tej klasy szeregu rozdzielczego, przy czym li czeb n ość k.Jasy powinna być nie mniejsza niż 8 (jeś l i l iczebności niektórych przedziałów są mniejsze, J. Greń 6 zaleca połączenie sąs i ednic h klas); p; - odczytane z tablic gęstośc i założo ne6.J eże li w roz\Jadzie empirycznym z próby występuje w pewnej klasie liczebn o~ mniejsza od 8 z sąsiedni ą (oczywiście zmniejszy się wtedy liczba stopni swobody)' J. Greń: 1611.
należy ją połączyć
s. 116
6. Elementyekonometrycznej analizyrynkll
go ro zkładu hipotetycznego prawdopodobień stwo, że zmienna losowa o tym rozkładzie przyjmuje w artość z prze d z iału (klasy) o numerze i (i = I, , r ); n = L 11 ,· - liczebn ość badanej próby. A zatem np; to liczebności teoretyczne, które powinny w ystąpi ć w i-tej klasie, gdyby populacja miała zało żon y w hipotezie Ho roz kład Przy założe niu prawd z iwośc i hipotezy Ho statystyka dana wzorem (6.6) ma rozkład asymptotyczny x 2 or ~ k ~ 1 stopniach swobody (r to liczba klas, naj<1kie podzielony jest szereg, k - li czba szacowanych parametrów ro z kładu ) . W p rąpadku ni e ró wno śc i
x 2 : :-_ x;; hipotezę Ho nal eży odrzu c i ć. W
t eśc i e),, K o łm ogo row a
do weryfikacji hipotezy Ho : F (x) = Fo(x) .
gdzie F (x ) jest
d y s try buant ą
dys try buant ą, s łu ży
empi ryczn:1, a F0 (x) statystyka:
konkre tną , hipotet ycz ną , c i ąg l :1
A= D,fii,
(6. 7)
gdzie D jest mak symalną bezwzg l ędną warto śc ią ryczną a d ystrybuantą hipotet yc zną, to znaczy D Dystry buantę e mpi rycz ną
~
róż nic y mi ęd zy d ys trybuantą
' "P IFo(x) - F (x) I
(6. 8)
F (x) obliczamy jako skumulowane
(/;), natomiast d ys trybuant ę hipo te t ycz ną zazwyczaj odczytuj e z którym zgodn ość jest weryfikowana
empi -
częs t ośc i wzg l ędne
si ę
z tablic
rozkładu,
Pnyklad 38. W tablicy 6. 3 podano informacje o mi es i ęc zn ych zarobkach 200 pracowników zatrudnionych na stanowiskach robotniczych w firmi e .,Kopiko"
Wynag rodzeni e m1 es 1 ęczn e (wzł)
pracowników (n;)
1200- 1400 1400- 1600 1800-2000 2000--2200 2200--2400 2400--2600 2600-2800
21 42 52 37 17 6
2800-3000
l.: Żródło:
200
6.1. Wybrane modelerozkladudochodów Rozkład
wynagrodze1'i przedstawiono także na rysunku 6.4; na podstawie wykresu jest to rozkład normalny. (a) Znaleźć parametry rozkładu dochodów, zakładając że jest to rozkład normalny (b) Za pomocą testu zgod ności s prawd z i ć, że rozkład normalny dobrze aproksymuje rozkład e mpiryczny (c) Oblic zyć mod<1 lną, kwarty le i miary zróżnicowania rozkładu wynagrodze1't Rozwiqza11ie. (a) Obli czenia pomocnicze zawiera tablica 6.4 7 można przyp u szczać, że
.r; -.r
(x; -.1') 2 /;
1000--1200
1100
1200
0.015
0.015
16.50 - 930.00
1200--1400
1300
1400
0.035
o.oso
45,50 - 730,00
1865L50
1400--1600
1500
1600
0Jl65
0.115
97.50 - 530.00
18258.50
1600-1800
1700
1800
0.110
0.225
187.00 - 330.00
I I 979.00
0.210
0.435
399.00 -1 30.00
0.250
0.685
525.00
13
1225.00 13851.00
470.00
18776.50
81.00
670.00
13467.00
29.00
870.00
2300
2400
38
2400--2600
2500
2600
17
0.085
0.960
212.50
2600--2800
2700
2800
6
O.Q30
0.990
2800--30Cl0
2900
3000
O.QlO
I.OOO
0.875
200
3549.00
70.00 270.00
2200--2400
L
12973.50
2030,00
7 569.00
120 300,00
Żródło: opracowaniewlasne
A zate m (6 .4) i (6.5)
.r =
2030.
s~
Jt20300 ~ 346.843
Aby s porządzi ć wykres funkcji gęs tości rozkładu no rmalnego, standaryzacji górnych granic przedzi ał ów według wzoru:
r; =
x;';.r
należy
np.
dokonać
(6.9)
7 Bardw często zarówno dolny. jak i górny pnedział dochodów powstaje otwarty. PrLed przys1<1pieniem do obl i czeń należy prtedziały zamknąć. wykorzystując np. informacje o minimalnym i maksymalnym dochodzie (jeżeli są dostępne) lub przyjmując granice umownie. np. ustalając taką samą rozpiętość prtedzia!ów. jak sąsiadujących z nimi
Tablica6.2
Wy""g""'"";"[: ( órna Skumu lowane g
odsetki 1
p~:~: i:~u)
·<'
zarabiających
ln x;'
ln y;
ln 2
.r;'
ln.r;' lny;
S·;
1-;J;
(l n y;- 1~;) 2
f; 1ttY1 (Jl wersja) (Jl wersja) (Jl wersja)
"
.\'i
IO
13
947.41
100.0
6.85373 4.605 17 46.97364 31.56260 4.829 19 - 0.22402 125.110
2.62651
11 84.26
80.6
7.07688 4.38950 50.082 17 31.06394 4.44986 - 0.06036 85.615
1.97397
4,60517
0.02620
1421.12
66.4
7.25920 4.19570 52,69594 30.45739 4.13992
0.05578 62.798
1.46695
4. 19570
- 0.05437
70. 110
1657.97
53.2
7.4 1335
0.096 19
48.32 1
0.97919
3.97406
0.00207
53,090
1894.82
4 1.7
7.5 4688 3.73050 56.95538 28.1 5364 3.65087
0.07963 38.508
0.55649
3.73050
- 0.00060
41.725
2 13 1.67
33.5
7.66466 3.5 11 55 58.74705 26.9 148 1 3.45064
0.06090 31.52 1
3.51155
-0.00708
2368.53
26.9
7.77002 3.292 13 60.37325 25.57990 3.27 153
26.352
O.łJIJ462
3.29213
-0.03643
27.898
2842.23
22.3
7.95234 3.10459 63.23978 24.68874 2.96 159
0.14299
19.329
0.0 1442
3.10459
0.10493
20.079
33 15,94
15.8
8. 10649
2.7600 1 65.7 1526 22.3740 [
0.06047
14.873
0,03843
15.204
3789.64
11.7
8,24003 2,45959 67.89803 20,26708 2,47254 - 0.01295
11 ,853
0,27555
2.45959
- 0.02110
11.949
4263,35
9,3
8,3578 1 2,2300 1 69.85298
18,63804 2,27232 - 0.04230
9,702
0.56928
2.23001
- 0,03820
9.662
4737.05
7.5
8.463 17
2.0 1490 7 1.62524
17.05247
2.0932 1 -0.07830
8.11 1
0,94015
2.01490
-0.06324
7.990 5.750
3.97406 54.95772 29.46 108 3.87787
2.69954
0.27776
0.05040
2,76001
97.4 14
33.738
5684.46
6.2
8.64549
1.82455 74.74452
15.7741 3
1.78327
0.04 128
5,949
1.34553
1.82455
0.07530
663 1,87
4.4
8.79964
1.48 160 77.43370
13,03759
1,52 122 - 0.0396 1
4,578
2.25875
l.48160
0.01044
4.354
7579.28
3.3
8.933 17
1.19392 79.80 159
I0,66552
1,29422 - 0.10030
3.648
3.20623
l.19392
- 0.03636
3,422
40„l7828
0.06453
119,08287 44.76778 951 ,09626 345,69091 44.76778
H.azcm li wersja Źródło: opracowanie własne
112,22914 40,37828 904,12262 314.12831
0,00000
16.63581 14.0093{)
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
i dla tak obliczonych wartośc i t1 z tablic dyslrybuanty rozkła du normalnego odczytać odpowiadające im wa rtośc i dystrybuanty8, a nast ępn ie obl iczyć p rawdopodobieństwa p; (odpow i adające kolejnym przedz i ało m) jako różnice m iędzy kolej nymi wartośc i ami dystrybuanty9. (b) Tak obliczone prawdopodobie1lstwa będą także potrzebne do zweryfikowania hipotezy o zgod n ośc i rozkładu empirycznego z rozk ła de m normalnym (por. kolumny 3- 5 tabli cy 6.5). R oz kład empiryczny i teoretycz n ą funk cję gęs tośc i przedstawiono na rysunku 6.4
o +-~~~~~~~~~
o
Rysunek 6 .4. Ro7.k lad
wynagrodzeń
pracowników firmy ..Kopiko„
Tablica 6.5 zawiera tylko 8 przedz i ałów, pon i eważ zgodnie z zaleceniem J. Grenia (por. przypis 6) dwie począ tkowe i dwie koń cowe klasy o l iczebnościac h mniejszych ni ż 8 poł ączon o. Kolumny 6-8 tablicy zaw ierajq obliczenia niezbędne do wyznaczenia starystyki x 2. W kolumnie 6 obliczono liczebności hipotetyczne, od powiadające poszczególnym p rzedz i ało m wynagrodzeń (przy za łożeniu. że jest to rozkład normalny n = L 11,· = 200), zgodnie ze wzorem (6.6) x 2 = 5.26133, a wartość krytyczna xJ odczytana z tablic roz kładu x2 dla Ci = = 0,05 oraz 8 - 2 - l = 5 stopni swobody jest równa 11 ,070, zatem wobec ni erów n ośc i x2 = 5.607 < xJ = l l,070 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, iż rozk ład wyn agrodze ń pracowników zatrudnionych na stanowiskach robotniczych w „Kopiko" jest rozkł adem normalnym Czytelnik może sprawd z i ć, że gd ybyś m y zastosowali drugi z omówionych testów >.. Kołm ogorowa to maksymalna róż ni ca (co do m odułu ) mi ęd zy dystrybuantą e mpiryczną (kolumna 6 tablicy 6.5) i dystry bu ant ą hipotetyczn ą dla rozkładu normalnego (kolumna 4 tablicy 6.5 (wzór (6.8)) D = 0.03334, zatem (wzór (6.7)) A = = J200 0.03334 = 0.4715. Wartość krytyczna odczytana z tablic granicznego rozkładu Kołm ogo rowa A„ = 1.358. Wobec ni erów n ości A= 0.47 15 < A„ = 1. 358, nie ma pods1aw do odrwcenia hipotezy, że rozkład empiryczny jest rozkładem normalnym. 8 Mo żna skorzystać z tablic lub z funkcji standardowej Excela (sta ty styczna) o nazwie „ Rozkład nor11ml ny()"". o 4 argumentach: waność zrniennej standaryzowanej (f). Śrl.--dnia =O, odchylenie srnn dardowe (1) i .. prawda"" (co oznac7.ll. :i:c funkcja do1yczy dystrybuanty nazywanej w Excelu rozk!adcm skumulowanym) 9 Dlapierw szegoprzedzia łup; = F (t;)
6.1. Wybrane modelerozk!adudochodów
Górna granica prLedziału
.<" - i
n;
l;=T
F (t;)
Cr")
1400
IO
- 1.77623
0.03785
5,90490
0.78004
1600
13
- 1.2 1235
0.11269
0.07484
14.968
3.87302
0.25875
- 0.64847
0.25834
0.14565
29.130
50.83690
1.74517
2000 50
0.03785
7.570
-0.08458
0.46630
0. 20796
41.592
0.16646
0.00400
0.47930
0.68414
0. 2 1784
43.568
41.37062
0.94956
0.16743
2400
38
1.04319
0.85157
33.486
20.37620
0.60850
2600
17
1.60707
0.94598
0.09441
18.882
3.54192
0. 18758
3000
8
2.73484
1.00000
0,05402
10.804
7,86242
0.72773
1,00000
200,000
I:
200
5,26133
Żród to :oprarowaniewtasne
Zauważmy na koniec. że badana grupa jest grnpą w miarę jednorodną (pracownicy na stanowiskach robotniczych jednej flm1 y). (c) Jak wspomniano na wstępie tego rozdziału , analizy empiryczne zazwyczaj nie og rani czają się do oszacowania parametrów rozkładu dochodów lub płac , lecz uzupełniane są takimi parametrami opisowymi rozkładów empirycznych, jak modalna, kwartyle. decyle, miary rozproszenia. asymetrii ( ni e równomierności rozkładu) lub konce ntracji Modalna ( naj częśc iej występujący, typmvy poziom wynagrodzeń) jest równa:
Mo=xk+
ft-fk - 1
u. - J,_,) +u. - !•+il
=2000+
·h =
0.25-0.2 1 (0.25 - 0,21) + (0,25 - 0.19)
·200=2080zł
Kwantyle (rzęd u r; r = 0.25, 0,50 i 0.75) oblicza s i ę wedlug ogólnego wzoru 10 : q, = .rt+ [Fr -
~ f;]}!_. i =I
gdzie dział
fk
jest d o lną g rani cą przedziału klasowego zaw ierającego kwantyl rzęd u T (przeznajdziemy analizując częs tośc i skumulowane F„ odpowiadające poszczególnym xk
IO Jak pamiętamy ze staiys1yki . kwantyl rtędu r dzieli całą zbiorowo~ć (uport.ąd kowaną) na dwie takie pierwsza z nich ma dochody nie większe.~ druga nie mniejsze od
części. że
6. Elementyekonometrycznejanalizyryn kll
,_, kwant ylom) (tu
T
= O. 73, 0,27, 0,93 i 0,07);
;~ f;
to częst ość skumulowana do kl asy
popn:edzaj:1cej p rze d ział zawie rający dany kw:mtyl; fk jest raj ącego dany kwantyl, a h - dł ugośc i ą tego p rzedz i a łu . I
200
kwarty l: q 0 _25 = 1800 + (0.25 - 0. 225)
LI kwa11 yl (mediana):
ąo.so
= M e= 2000
0,
21
zawie-
= 1823.8 l zł.
+ (0.50 -
Ili kwartyl: ą 0 , 75 = 2200 + (0.75 - 0.685) ·
częs t ośc i ą przedz i a ł u
200
Q.19
200 0. 435) · = 2052.00 0,25
zł.
= 2268,42 z ł
Zatem poł owa pracowników zarabi a po ni żej 2052 zł (a po łowa powyżej tej kwory): zarobki 1/4 pracowników nie przek raczaj ą 1823,8 1 zł , a zarobki 114 są wyż sze n iż 2268,42 z ł Dl a rozkł adu normalnego, jak wiadomo,.\' = Me = M o; w naszym przyk ł adz i e w i e lkośc i te nieznacznie s i ę od siebie różni ą, co potwierdza du żą zgodn ość rozk ładu e mpirycznego z roz kł ade m normalnym Zróż n icowanie wy nagrodzeń pozwala o k reśli ć np. współc zy nn ik z mi e nn ośc i ·
Ni eprtckraczająca
s
-
20%
wartość współczynn i ka z mi e nn ośc i
.r
100 ~
346.843 -2030
V~
100 ~
17.08% .
wskazuje na niewielkie w fi rmie „Kopiko" logarytmiczno-normalny. W prak1 yce n aj częśc i ej rozkłady dochodów są asymetryczne (prawostronnie- p rzeważają ot rzym ujący dochody naj n iż.sze) 11 , zatem znacznie lepiej aproksy muje je rozkład logarytmiczno- nonnalny, którego fu nkcja gęs to ści dana jest wzorem 12 : zróżn i cowani e wy n agrodze ń R ozkład
f(x)=
I~ex p av2Tr
l
'l
-~(lnx-J.l)I
la
.
(6.10)
tzn zmienna X ma rozkład logarytm iczno-normal ny, jeś l i logarytmy tej zmiennej (zmie nna Y = In X) m aj ą rozkł ad normalny. W literaturze przedmiotu możn a zn al eźć kilka metod szacowani a parametrów rozkładu logarytmiczno-normalnego . Poni żej omówiono dwie z ni ch. najczęśc i ej sto-
11 Po raz pierwszy rozkładu logarytmiczno-normalncgo użył do badania rozkładu dochodów francuski s1mys1yk i ekonomista R. Gibrat w 1931 r 12 W empirycznych badaninch rozkładów płac i dochodów rozważa się także trzyparame1rowy lub czte roparametrowy rozkład logury1miczno-nommlny (por. [21. s. 17). Funkcja gęs1ości rozk!adu 1rnyparame 1rowcgomapostać
/(.~)= gdzie
~cxp! - ~[ln(x - xo) - µ) 2 1 . 2a-
q,/lJr
xo jest najniższym dochodem. trlecim param~trem funkcji rozkładu. k1óry trzeba oszaco1•:ać
6.1. Wybrane modelerozkladudochodów
I. Stosując zmodyfikowaną met odę największej rametrówµ i a można uzys k ać ze wzorów 13 : µ>
wiarygodności
(MNW), oceny pa-
S·= ~ f; ln x;.
(6.1 1)
a„. s„~ j L, J;(lnx;-w ~ j L, J; ln .
2•
(6 . 12)
gdzie wszystkie symbol e m ają takie samo znaczenie, jak w przypadku rozkładu normalnego (są to zatem ś re dnia i odchyleni e standardowe dla logarytmów narnralnych oryg inalnej zmiennej ) li . Stos ując metodę kwantyli , oceny parametrówµ i a obli cza sic według wzorów: µy ·
Y=
a, : s..- =
i(lnqo.73 + lnqo.21) . 1
v . (lnqo_93- lnqo.01). 2 0 93
(6 .1 3) (6. 14)
gdzie: ąr (r = O. 73; 0,27; 0,07; 0,93) jest kwantylem rzędu T rozkładu empirycrnego, a v0.93 jest kwantylem rzę du 0,93 zmiennej losowej normalnej N{O: \),czyli v0 .93 = = 1.476 (por. tablice dystrybuanty standaryzowanego roz kładu normalnego) Zgodno ść rozkładu empirycrnego z rozkładem logarytmiczno-normalnym można sprawdz i ć za pomocą omówionych testów zgod ności Przy kł a d
zy
39. Dyrekcja firmy „Praxi " zleciła d zia łow i kadr przeprowadzenie analizatrudnionych pracowników. W tabli cy 6.6 przedstawiono informacje
wy nagrodzeń
Tablica6.6 Wynagrodzenie 1rne s1ęcznc
Liczba pracowników
(wzł)
(11;)
1000--1200 1200-1400 1400-1600
27 66
54 33 2000--2200 2200-2400 2400-2600 2600-2800 2800-3000
l.:
18 15 12 9 300
Żródto:opmcowani c wtasne
13
są 10 p:1rametry zm iennej Y = lnX (por. uwagi pod wzorami (6.4) i (6.5))
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
o zatrudnionych według wysokości przeciętnego miesięcz nego wym1grodzenia w pierwszym pó łroczu bi eżącego roku. uport.ądkowa n c w szereg rozdzielczy. (a) Sporządzić wykres empirycznego rozkładu płac. (b) Oszacować parametry rozkł adu logarytmiczno-nonnalnego i za pomoq_ testu A Kołmogorowa na poziomie i stotności a = O.OS zwe ryfikować h ipotezę, że rozkład płac badanej grupy pracowników m ożna aproksymować rozkładem logarytmiczno-normalnym (c) Obliczyć wartości typowych mierników charakteryzujących rozkład wynagrodzc11. pracowników. Rozwiązanie. (a) Empiryczny rozk ł ad pracowników ,Proxi"" nagrodzetl. przedstawia rysunek 6.5
Rysu nek 6.5.
Rozkład wynagrodzeń
według wysokości
wy-
pracowników „Proxi'"
Z rysunku widać, iż rozkład ten jest rozkładem prawostronnie asymetrycznym, tzn. prncownicy o ni skich dochodach (b) Parametry rozkł adu Jogarytmiczno-normalncgo oszacowano za pomocą obu omówionych metod, a w dalszych obliczeni ach wykorzystano wyniki uzyskane za pom ocą metody kwanty li 14 • Tablica 6.7 zawiera infomrncje ni ezbęd ne do oszacowani a parametrów rozkładu oraz obliczenia pomocnicze A zatem uzyskane za pomocą zmodyfi kowanej MNW oceny parametrów (6.1 1) i (6. 12) wynoszą: przeważają
µ ,. :
·" = 7. 74453.
a,
S, = J0.036141=0.190108
o
141. Kurdus. Z. Strui11ska [81) zalecają stosowanie różnych metod estymac1i i badanie wielkości powstałych różnic. Wydaje się. i ż metoda kwantyli jest szczególnie zalecana w sytu;icjach. gdy skrajne prLedziały klasowe są niedomknięte (co zazwyczaj ma miejsce). W pracy [951 omówiono również inne metody szaco wania p:m1rne1rów rozkł3du logary1miczno-non11alnego
6.1. Wybrane modelerozk!adudochodów
Tablica6.7
fi
I,
3
2000
sku~ulo-
Yi = !n·<
f; In
.l;
In
x; - Y
5
1800
27 0.09
f,· (In
x; - J) IO
7.43838
0.66945 -0.30618
0.008437 0.005321
2000
42 0.14
0.23
754961
1.05695 -0.19496
2100
2200
66 0.22
0.45
7.64969
1.68293 - UJ.19487
0.001980
2200
2300
2400
54 0.18
0.63
7.74066
1.39332 - 0.00390
0.000003
2400
2500
2600
33 0.11
0.74
7.82400
0.86065
0.07948
0.000695
2600
2700
2800
24
o.os
0.82
7.90l01
0.63208
0.15644
0.001958
2800
2900
0.88
7.97245
0.47830
0.22790
0.003116
3100
3000 3200
18 0.06
3000
15 0.05
0.93
8.03916 0.40196
0.29459
0.004339
3400
12 0.04
0.97
8.10168 0.32407
0.35711
0.005l01
3600
9 O.DJ
8.16052 0.24482
0.005191
300 1.00
7,74453
0,036141
3400
L Żród to: opra,·ownnicwłasnc
Wartości kwantyli potrzebnych do oszacowania parametrów no-normalnego są równe:
rozkładu
logarytmicz-
200
l/0.73
= 2400 + (0.73 - 0,63) D.11=258 1. 82.
q0 _27 = 2000
Stąd
+ (0.27 -
200
0.23) 0.
(/U .93
= 3200 + (0.93 - 0,93)
l/0.07
= 1600 + (0.07 - 0)
22
= 2036.36.
~.: =
~.: =
3200.
1755.56
(6.13); (6. 14)
Jak różnych
µ, „ ·
Y= ~
a„
s_,, = 2 . 1,476 (ln 3200 - ln 1755.56) = 0.20337
widać,
metod
pewne
(I n 258 1,82 + In 2036,36) = 7, 73758, I
różnice między
wyslępują.
ocenami parametrów uzyskanych za pomocą dwu ale w tym wypadku są one niewielki e.
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll Tahlica 6.8 Gómagr:inica
f;
pnedzmłu
f; sku rnulowane
0.09
- 1.190127
F;
(F; - f;skumulowane)
1800
0.09
0. 1169983
0.0269983
2000
0.14
0.23
- 0.672069
0.2507698
0.0207698
2200
0.22
0.45
- 0.203428
0.4194001
0.0305999
2400
0.18
0.63
0.224407
0.5887796
0,0412204
O. li
0.74
0.6 17977
0.7317049
0,0082951
0,08
0.82
0,982367
0,8370404
0.0170404
0.06
0.88
1.321605
0.9068501
0.0268501
3200
0.05
0.93
1.638941
0.9493873
0.0193873
3400
0.04
0.97
J.937033
0.9736294
0.0036294
3600
O.DJ
2.2 1808 1
0.9867254
i.:
1,00
3000
0.0132746 Max:0.041220-ł
Żródło: opracowaniewłasnc
Aby u pewn i ć się, że rozkład empiryczny można aproksymować rozk ład em logarytmiczno-normalnym, skorzystamy z testu A Koł mogorowa . Dane ni ezbę dne do obliczenia starystyki A zawiera tablica 6.8 . W tym przypadku waności zmiennej standaryzowanej (dla górnych granic prLedziałów x") 1; (kolumna 4) obliczono ze wzoru fi =
a
lnx~,,-
)•.
(6.15)
dystrybuanty (kolum na 5) odczytano z tablic rozkładu nom1alnego. Azatem (6.7) Ą = J300 · 0.04 12204 = 0.713958.
wartości
A = O. 7 13958 < Aa = 1.358, nie ma podstaw do odrzucenia hi potezy, że pracowników „Proxi" jest rozkładem logarytmiczno-normalnym i odchylenie standardowe logarytmów pierwotnej zmiennej (µ, „ i a .,.), za ich pornoq można wyrazić inne podstawowe charakterystyki rozkładu 15 logarytmiczno-normalnego , mi ędzy innymi Ponieważ
rozkład wynagrodzeń
(c)
Mając wartość ś rednią
o.sa;),
wartość ś rednia
_\' = exp(µ. „ +
odchylenie standardowe
S., = Jex p(2µ, }.
modalna (dominanta)
+ o} )Lexp(a} -
(6.16) l )J, (6. 17)
(6.18)
5Są to ch:m:ik1erys1yki pierwo1nej zmiennej X: por. Z. Pawłow ski . Ws/fp do s/11(mtyki 11wtem11/yc:.11ej, PWN. Warsz:iw~ 1965. 1wierdzenie 2. 18. dotyczące p:irnmetrów funkcji zmiennych losOW)'Ch 1
6.1. Wybrane modelerozk!adudochodów
mediana
M e= exp(µ )' ).
(6 .19)
współczynn ik zmiennośc i
V= jexp(a_'!) - 1.
(6.20)
współczynnik skoś ności
A= V3 + 3V.
(6.21)
frakcja obserwacji o wartości nie w ięk szej ni ż ś rednia
F = N(a_ ,./2 : 0.1).
(6.22)
współczynnik koncentracj i Lore nza
L = 2N(a,./Ji.; O. I) - l.
(6.23)
przy czym N(a_„/2 : O. I) jest wartością dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla 1 = a „/2. Spośród wymienionych charakterystyk wyjaśnienia wymaga współczynnik koncentracji Lorenza. Jest on j edną z n ajczęśc iej wykonystywanych w praktyce miar służącyc h do okreś l e nia ni erów n om i e rno śc i rozlożenia ogólnej sumy dochodów mi ę d zy poszczególne jednostki badanej zbiorowości . Jego wartoś ci zmieniają s i ę od O (gdy wszystkie osoby mają ten sam dochód, czyli roz kład dochodów jest równomierny) do I (gdy ca ł y dochód nal eży do jednej osoby, czyli dochód jest „skoncentrowany" u jednej osoby) W firmi e ,,Proxi" charakterystyki (6. 16)-(6.23) przyjmują n ast ępuj
+ 0.5. 0.20337 2 ) =
2340.84 zł.
S., = Je. p(2 · 7.73758 + 0. 20337 2 )[exp(0.20337 2 )
-
I] = 481.04 zł.
Mo = exp(7.73758 - 0,20337 2 ) = 2200,02 zł.
Me = exp(7.73758) = 2292,93 V= /cxp(0.20337 2) - I
zł ,
= 0.2055 = 20.55%.
A = 0.2055 3 + 3. 0,2055 = 0.6252. F = 0.5405 = 54, 05%.
L = 0.1 143 Można
zatem s twi erdzić, iż w badanym przedsiębiorstw i e pracownicy zarab iaj ą przec i ęt ni e 2340,84 zł, jednak najbardziej typowe (naj częśc iej występujące) wynagrodzenie jest znacznie ni ższe - wynosi tylko 2200,02 zł, a polowa pracowników zarabia poniżej 2292,93 zł. Wynagrodzenia poszczególnyc h pracowników różnią s i ę od śred ni ej przec i ętnie o 48 1,04 zł , co stanowi 20.55% ś redni ego wynagrodzenia. Św i adczy 10 o niezby1 dużym zróżnicowaniu płac w badanym pr.tedsiębiorst wie . Około 54% ogółu pracowników zarabi a pon i żej śred niej. L = 0.1143 św iadczy o dość rów nomiernym rozło żeniu dochodów między pracowników firmy. Równ ie ż kwantyle rozkładu logarytmiczno-normalnego można wyrazić za pomocą dwu parametrów oraz za pomocą kwantyli standaryzowanego rozkładu normalnego N(O: I). Mianowi cie, kwantyl rzęd u r rozkładu logarytmiczno-normalnego można obliczyć ze wzoru (6.24)
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
gdzie l!r jest kwantylem rzędu r rozkładu normalnego o średniej równej zeru i wariancji równej jednośc i Poniżej na podstawie podanego wzoru obliczono decyle rozkładu płac pracowników „Proxi" (mierniki te s:1 często podawane w Roczniku Statystycznym jako ważne charnkterys1yki rozkładu dochodów). Zestawiono je w tablicy 6.9, przy czym druga kolumna tej tablicy zaw iera odpowiednie decyle rozkładu N(O: 1) - Vr
Decy l n~ędu
Waność
dla
N(O: I)
Waność dla roikladu logary1micino-nom1alnego
(7.73758: 0.20337)
O.I
-l.28 155
0.2
-0.84162
1932.2 1
0.3
-0.52440
2060,98
0.4
-0.25335
2177.78
0.5
0.00000
2292,93
0.6
0.25335
2414.17
0.7
0.52440
0.8
0.84162
2720,99
0.9
1.28155
2975,66
1766.84
2550.99
7..ródło:oprntowaniewłasnc
Przykładowo decyl rzędu O, I informuje, iż 10% pracowników przedsiębiorstwa zarabia nie w i ęcej niż 1766,84 zł , :1 90% nie mniej od tej kwoty. Z kolei 90% pracowników zarabia nie więcej niż 2975,66 zł , a tylko I0% otrzymuje co najmniej tę kwotę (decyl 0,9). Decy l rzędu 0,5 to mediana
Pnyklad 40. Tablica 6. 1O zawiera fragment wyników badań rozkładów wynagrodzeń pracowników zatrudnionych w pełnym wymiarze w październiku 2004 r. w dziale ochrona zdrowia i pomoc społeczna 16 . Przeprowadz i ć analizę porównawczą rozkładów wynagrodzeń mężczyzn i kobiet (a) Spor1:ądzić rysunek (b) Stosując metodę kwantyli, oszacować parametry rozkładu logarytmiczno-normalnego opisującego rozkłady empiryczne. (c) Obliczyć ważniejsze charakterystyki rozkładów wynagrodzeń pracowników włącznie z decylami 16
Są to dane z k011ca 2007 r„ zawarte w Roczniku St;uystycznym 2005 i 2006
6.1. Wybrane modelerozkladudochodów
Tablic11 6. IO Zatrudnieni(w%)
Wynagrodzenie (w zł)
ogólem
Do947.41
4.1
mężczyini 3.7
kobie1y 4.2
947.41 - 1184.26
12.5
I I.O
12.8
1184.26- 1421.12
20.3
16.8
2 1.1
1421.12-1657.97
20.4
16,7
2 1.2
1657,97-1894.82
13,8
12.0
14.1
1894.82- 2131.67
8.2
7.2
8.4
2131.67- 2368.53
5.1
4.6
5.2
2368.53- 2842.23
5.4
6.5
5.2
2842.23- 3315.94
3.2
4.6
2.9
3315.94-3789.64
2.0
3.4
1.7
3789.64-4263.35
1.4
2.9
I.I
4263.35-4737.05
0.9
2.2
0.7
4737.05- 5684.46
1.2
3.4
0.7
5684.46--6631.37
0,6
1.7
0.4
0.9
3.3
0.3
100,0
100,0
100,0
6631.87 i
i::
wi~ccj
Roz wiązanie. (a) Rozkłady empiryczne wiono na rysunku 6.6.
wy n agrodze ń mężczyzn
i kobiet przedsta-
n,25
1-- -m'"""';I -kobiety
___J"_„_ Rysuuek 6.6.
Pełnozatrudnieni
w dziale ochrona r.drowia i pomoc społeczna wpaźdr.icniku2004r.
według
wynagrodzenia bruuo
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Z rysunku widać, że: • oba ro z kł ady ks ztałt em prtypominają krzywą J ogarytm i czno- nommlną (są prawostronnie asy metryczne, a więc przeważają wynagrodzenia niskie), • dl:1wynagrodzeń n ajni ższyc h (mniej w i ęcej do poziomu 2000 zl brutto m i esięcz nie) krzywa rozk ładu kobiet przebiega znacznie powyżej krzywej rozkładu mężczyzn (znacznie większy odsetek kobiet niż mę żczyz n otrzy m ywa ł wynagrodzenia najniż sze), natomiast w przypadku wynagrodzeń wyższyc h od około 2000 z ł krzywa rozkładu dla m ężczyz n przebiega znacznie powyżej krzywej rozkładu dla kobiet. (b) Odpowiednie kwantyle i obli czone na ich podstawie parametry rozkładu wynoszą: - dla mężczyzn ąo. 73 = 2441.4.
ąo, 27 = 1357. 67 .
q 0 ,93 = 5127.16.
ąo,07
= 1018.47.
s,. ~ 0.54751.
J' ~ 7.50693, - dla kobiet: ąo.1.i
= 1888 . I O.
ą 0 . 27
= 1296 .52 .
(c) Ważniejsze charakterystyki obu cy 6.11 .
ą 0 . 93
= 2972 .91.
ą 0 . 07
= 999 .22 .
s, ~ 0.36925.
y ~ 7,35538,
rozkładów
zestawiono porównawczo w tabli -
Mężczyini
Kobic1y
Decyle
Śrcdnicwynagrodzcnic(7.ł)
2115.00
1675.04
O.I
Mężczyźni
902.58
974.61
Kobiety
Modalna (zl)
1349.05
1365.07
0.2
1148.41
1146.57
Mcdiana(zl)
1820.61
1564.59
0,3
1366.23
1289.09
Odchylcniestandardowe (zl)
1250.44
640.39
0.4
Współczyn nik zmi e nności (%)
% zarabiającyc hponi żej średniej Współczyn nik
Lorenza
Żród to:opracowaniewłasne
1584.81
38.23
0.5
1820.6 1
1.2028
0,6
2{)1)1.50
60.79
57.33
0.7
2426. 11
1898.97
0.3014
0,2060
0.8
2886.28
2135.02
0.9
3672.37
2511.72
59.12
Współczyn nik skośności
1718.07
A zatem w paźd zierniku 2004 r. mężc zyźn i w dzial e ochrony zdrowia i pomocy społec znej zarabiali przecięt n ie 21 15 zł. podczas gdy przec i ę tne wynagrodzenie kobiet było znaczni e ni ższe - wynosiło 1675.04 zł. Nieznaczni e n i ższe jest wynagrodzenie domi nujące (modalna) kobiet, znacznie w i ększe różnice obserwujemy pomiędzy wynagrodzeniem środkow y m (mediana), a także wartośc i decyli począwszy od trzeciego. Wynagrodzenia niższe od przeciętnego (w swojej grupie) w październiku 2004 r. o t rzy m ywał o 60% mężczyz n i 57% kobiet. Rozkład wynagrodzeń mężczyzn charakteryzuje się nieco więk szy m zróżni cowani e m (ws półczy nnik zm i e nn ośc i 59% wobec 38% dla kobiet). Badanie sta biln ości dochodów. Odrę bn y m kierunkiem analizy dochodów jest badanie stopnia st ab iln ośc i dochodów poszczególnych rodzin w ko lej nych latach (okresach)
6.1. Wybrane modelerozkladudochodów Niezbędne są informacje statystyczne o poziomie dochodów pewnej zbiorowośc i rodzin w dwóch lub więcej kolejnych okresach. Anali za dotyczy zwykle dochodów liczonych na osobę w rodzinie (na g łow ę) . Na skutek zmiany liczby czło nków rodziny, zarobków poszczególnych cz ł on ków rodziny lub ich aktywności zawodowej dochody na g ł owę mogą się zmi en i a ć, powoduj ąc przesunięcie s i ę rodziny do ni ższej lub wyższej grupy dochodowej. Część rodzin mo że utrzy m ać dochody na tym samym poziomie Załóżmy. że badana zbiorowość sk łada się z N gospodarstw domowych, które podzielono na 11 grup dochodowych w dwu kolejnych latach. Niech N ij oznacza liczbę gospodarstw domowych, które w okresie t znaj dował y s ię w i -tej grupie dochodowej. a w okresie 1+ I przesunęły s i ę do }-tej grnpy dochodowej, N ; (r) jest li czbą gospodarstw w i-tej grupie dochodowej w okres ie r, natomiast N1(t + I) jest li czbą gospodarstw w }-tej grupie dochodowej w okresie t + l. Dla kolejnych lat objętych badaniem zachod zą zatem rów n ośc i :
t. t. N ;(t)
Wie l kości Pi j
~
+
N ; (t
I )~ N
(6 .25)
zdefiniowane wzorem (6.26)
są prawdopodobieństwami przejścia
gospodarstw domowych z i-tej grupy dochodowej w okresie 1 do }-tej grupy dochodowej w okresie r + I. O czyw i śc i e O ::: Pii ::: l; L /lij = I. Prawdopodobień stwa {Jjj z formalnego punktu widzenia t worzą jed norodny łań cuc h Markowa. Zwykle zestawia s i ę je w postac i macierzy P 1 , zwanej maci erzą prawdopodobieńs t w przejścia
Maciert: ta stanowi pod stawę do obliczenia pewnych mierników stopnia stabilnodochodów; jej znaj o m ość um oż liwi a t ak że (zakładając, że prawdopodobieńs1wa są w czasie) obliczenie rozkładu gospodarstw domowych według grup dochodowych w danym roku, przy założeniu, że znany jest rozkład dl a roku poprzedniego. Najprostszy, ogólny miernik stabilności (ci) oblicza s i ę jako stosunek sumy wszystkich prawdopodob ie1lstw pozostania w grnpie dochodowej do ogólnej liczby wyróżnio nych klas (czyli jest to po prostu prLeciętna w ielkość prawdopodobieńs t wa pozostania w tej samej grupie dochodowej): ści
stałe
i~p;; C1= -
„ -
(6.27)
.
Wskaźnik C1
przyjmuje wartości z przedz i ału [O ; Il, przy czym im C1 jest bli ższe 1, tym wyższy jest s t opień stabil izacji dochodów, im c jest bliższe O. tym większa jest dynam ika dochodów badanych rodzin Drugi z mierników (c 2) pozwala z mi erzyć kierunek zmian dochodów. Zdefini owany jest jako· 1
i: LP.;
i = l } >i
C2
=
~
"
LLP.;+ LLP.;
i = I j> i
i= I )
(6 .28)
6. Elementy ekonometrycznej analizy rynku
przedstawia szanse przej śc ia do wyższej grupy dochodowej (j > i ) w stosunku do prawdopodobieństw przejścia do wyższej (j > i) lub ni ższej (j
er
c"',
f:
L
P;;
i =lli - j l=
f:
(6.29)
I: "'i
i = l li - j l= • - 1
We wzor1.c tym druga z sum w liczniku i mianowniku rozciąga s i ę na wszystkie prawdla których różnica li - Jl jest odpowiednio dokładnie równas lub s - l. Transformacji rozk ładu z okresu t na rozkład z okresu t + l dokonuje s i ę według
dopodobieńs1wa przejśc i a Pi j ·
(6.30)
Pnyklad 4~ . Grupa 1227 gospodarstw domowych prowadziła nieprzerwanie zapisy dochodów w latach 2006 i 2007 r. Gospodarstwa te podzielono na 8 n as tę puj ącyc h grup dochodowych (we dłu g wysokości przecię t nego miesięcznego dochodu na g łowę w 2006 r.) grupa I gmpa 2 grupa 3 grupa 4 grupa 5 grupa 6 gm pa 7 grupa 8
do 300 z ł , 300--350 zł, 350--400 zł , 400--450 zł , 450--500 zł , 500--600 zł , 600--700 zł, 700 i w i ęcej
z ł.
Dochody tych gospodarstw z 2007 r. sprowadzono do porównywal n ości. uwzg l ęd niając wskaźnik inflacj i w badanym okresie. Liczby gospodarstw pracowniczych, które w 2006 r. nal eżały do i-tej, a w 2007 r. do )-lej grupy dochodowej zestawi ono w tablicy 6.1 2 (a) O szacować elementy macierzy prawdopodobi eństw przejścia P1 • (b) W oparciu o os z acowa n ą macierz: • obliczyć prawdopodobietlstwo pozostania w tej samej grupie dochodowej (c 1), • ocenić ki erune k zmian dochodów (c2),
6.1. Wybrane modelerozkladudochodów • ocenić szy bkość,
z jaką mal eją prawdopodobieństwa P ij w miarę wzrostu odległo poszczególnymi grupami . (c) Zakładając, że prawdopodobieństwa /lij są stałe w czasie, oszacować oczekiwany rozkład gospodarstw domowych według poziomu dochodów w 2008 r. śc i między
Tablica6. 12
Grnpy dochodowe w2006r.
Grupy dochodowe w 2007 r N;(I)
32 69
34
34
8
27 12
N;(t+l)
98
247
272
12
72
24
12
36
72
120 120
1227
Żródło:d~ne umowne
Roz w iązan ie.
Liczby podane w tablicy 6.12 to wielkości N1j . Z tablicy moż na odczynp. , i ż s pośród 100 gospodarstw należących w 2006 r. do grupy drugiej w 2007 r. 69 utr.tymalo dochody na gł owę na 1ym samym poziomie (pozostało w tej samej grupie doc hodowej), w 12 gospodarstwach dochody obn i żyły s ię , prt:es uwając je do grupy pierwszej , w pozostalych gospodarstwach dochody wzrosly. przy czy m 9 gospodarstw przesunęło s ię do grupy trzeciej, 7 gospodarstw - do grupy czwartej oraz 3 gospodarstwa do grupy piąt ej . Ostatnia kolumna tablicy 6.12 zawie ra rozkład gospodarstw wed ług grup dochodów w 2006 r. , natomiast ostatni wiersz to liczby gospodarstw w poszczególnych grupach dochodowych w 2007 r. (a) W oparciu o informacje zawarte w tablicy 6.12, wykorzystuj ąc wzór (6.26), oszacowano mac ierz prawdopodobietl.stw przejścia, prze d stawioną w tablicy 6.13 . Na g ł ównej przek ątnej tej macierzy znajdują s i ę frakcj e gospodarstw domowych, których dochody pozostały takie same w obydwu latach (z wyjątkiem ele mentów p 11 i ,,88 ) 17 . Nad g łówną przek4tną z n ajduj ą si ę prawdopodobieństwa przejścia do wyższyc h grup dochodów, naiomiast pod przekątną - prawdopodobieństwa przej śc ia do ni ższych grup dochodów. Nietrudno zauważyć , i ż prawdopodobie tl.stwa pozostania w tej samej grupi e dochodów są wyżs ze ni ż prawdopodobieństwa przej śc ia , które z kolei maleją w m i arę wzrostu odległości mi ędzy grupami tać
17 Elemenc Pl do1yczy gospodarstw. których dochód w 2007 r. spad ł lub pozosta! bez zmian: elernen1 1 dotyczy gospodars1w. których dochód pozos 1ał bez zmian lub wzrósł
f'SS
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Tahlica6.1 3 Grupy dochodowe
Grupy dochodowe w 2007 r.
f------------------< 0.8000
0.1250
0.0750
0.1200
0.6900
OJ.1900
0.0700
0.0600
0.6200
0.2000
0.0500
0.1400
0.5600
0.1400
0,09QO
0.0200
0.0625
0.1250
0.5000
0.1875
0.1250
0.0640
N;(t)
0.0300 0.0800
0.0400
0,1200
0.4800
0.2160
0.1200
0,1000
0.1000
0.6000
0.2000
0.1000
0,3000
0,6(](]()
Zródło:obliczcniawłasnc
(b) MacicrL prawdopodobieństw przej śc ia stanowi stopnia stabi l nośc i dochodów Miernik stabi l nośc i (6.27) pri;yjmuje wartość: Ci
0.80 + 0.69 + 0.62 +
0.56: 0.5 +
podstawę
obliczenia wskaźników
0.48 + 0,60 + 0.60
_ _ 0 606
Przecięt n e prawdopodobieństwo
pozostan ia w tej samej klasie dochodów c 1 św i a dczy, że w badanej grupie gospodarstw domowych stabi l ność dochodów zbyt wysoka; dochody chara k teryzowa ł y s ię z n aczną dynamiką. Miernik c 2 (6.28) pozwoli okreś li ć kierunek zmian dochodów:
= 0.606
nie
była
0.125 + 0,075 + 0.09 + +0.2 16 + 0. 12 + 0.2 (0.125 + 0.075 + + 0.12 + 0.2) + (0. 12 + 0.06 + +O. I + 0.3) 1.8085 0,5741 1.8085 + 1.3415 c 2 = 0.5741 > 0.5 wskazuje. iż p rzec i ę tni e przeważają szanse p rzejścia do wyższej gru py dochodowej. jakkolwiek przewaga ta ni e jest zbyt wyraźna Prawdopodobieństwa prLckroczeni a z roku na rok więcej n iż jednej grupy dochodoweJ wynoszą ci
(0,075 + 0.07 + + 0. 125+0. 12) +(0.05 +0.0625 + ··+O.I +O.I) (0.125 + 0.75+ + 0. 12+0.2) + (0.12 + 0.06 + + 0, 1 + 0.3) 0.8615 = - - =0.4057 . 2.1235
cl2l _
'
-
01
c,
= (0.075+0.07+
=~=0.1045 0.8615
0.03 + 0.04 + 0,02 ·+0, 125+0, 12)+(0,05+0.0625+ „+O.I +O.I )
6.1. Wybrane modelerozkladudochodów
cj2l = 0.4057 można interpretować w ten sposób. że prawdopodobieńs twa przekroczenia jednej grupy (tzn. prawdo podobieństwa liczone dla li - Jl = 2) są przec i ętn i e o około 59,43% ( l - 0.4057) niższe ni ż prawdopodobieństwa przejścia do sąs iedni ej grupy(l;-JI= I). Z kolei cf1 = 0. 1045, tzn. pr.tekroczcni e 3 grup (li - Jl= 3) było średnio o 90,5% ni ższe ni ż prawdopodobiet'tstwo przekroczenia 2 grup (c) Przy założe niu , że prawd opodob i eństwa pr zejśc i a są stałe w czasie, oczekiwany rozkład gospodarstw domowych w 2008 r. według wysokości dochodu na czł onka rodziny moż na ob li czyć według wzoru (6.30), tj. mn ożqc macierz p rawdopodobieństw przejścia przez rozkład gospodarstw wed łu g wysokośc i dochodu w 2007 r. , czyli wektor N1(r + 1). Rezu ltaty zamieszczono w tablicy 6.14
Tablica6.14
Grupy dochodowe
Nj(t+l )
Grupy doc hodowe w 2008 r C - - - - - - - - - - - - - - - - - -- j
35.20
5.50
3.30
11.76
67.62
8.82
9.84
101.68
32.80
13.12
6.56
12.35
34.58
138.32
34.58
22.23
13,75
27,50
I IO.OO
4 1.25
10.75
20. 16
80.64
36,29
17.50
17.50
105.00
35.00
Il.IO
33.30
66.60
179.28
207.03
121.76
46,96
95,31
162.13
6.86
2 16.23
2.94
198.30
4.94 27,50 20.16
N;(t)
98 164 247 220 168 175
1227
7..r6dło:oprncowaniewłasne
Tak więc s po śród 1227 badanych gospodarstw domowych w 2008 r. 44 gospodarstwa bc dą nal eżał y do najni ższej grupy dochodów, 98 gospodarstw do drugiej grupy, 164 gostodarstw do grupy trzeciej itd Na za koń cze n ie wypada wspomnieć o innych kieru nkach analizy kształtowania s i ę dochodów. Jednym z nich jest budowa ekonometrycznych modeli opisowych kształto wania s i ę płac. Badania takie przeprowadza s i ę zwyk.le na próbie reprezentacyjnej wylosowanej s po śród pracowników jed nego p rzeds i ębiorstwa. branży lub gałęzi przemysłu; m ogą też mi eć charakter międzygałęz i owy. W modelach tych z mi e nn ą end oge ni czną jest poziom płac pracowników, natomiast jako zmienne obj aśniaj ące występują np. takie czynniki jak wiek, staż pracy, poziom wykształcenia, wydajność pracy (por. np. [ 11 9 1. [1 36])
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego Popyt konsumpcyjny jest defi niowany jako ilość danego produktu lub us łu g i , jaką konsume nci są skłon ni nab yć w pewnym okresie czasu w określonych warunkach (np. ceny, moda - [35], s. 125). Zn ajomość popytu konsumpcyjnego jest bardzo ważna m.in . dla firm produkcyjnych, gdyż powinna s tan owić pods t awę podej mowania decyzji produkcyjnych (krótko- i dłu goo kresowyc h). U żyteczny m narzędz i e m w tym zakresie m oże być anali za popytu oparta na modelowani u ekonometrycznym - ekonometrycznej funkcji popytu Funkcja popytu wyraża za l eżność poziomu popytu od zespołu czynników ekonomicznych i pozaekonomicznych de termi nującyc h decyzje konsumentów co do zakupu dóbr lub u s ług. Naj ogólniej funkcję popyt u możn a zapisać n astę pująco (6.3 1) gdzie: Y - wielkość popytu na dany produkt lub daną u słu gę; X 1• X 2 •• , XK zmienne (czynniki) wpływające na popyt; E: - zakł ócen i e losowe. Wi e lkość popytu (w warunkach gospodarki rynkowej, gdy nie występ uje zjawisko niedostatecznej podaży dóbr) mierzona i wyrażona jest wielkością sprzedaży (w jed nostkach fizycznych) badanego dobra lub usług i . J eś li chodzi o czyn niki k ształtujące popyt, w literaturze można znaleźć różne ich klasyfikacje. W pracy (35] (s . 125) wymieniono dwie zasadnicze grupy ta ki ch czynników: a) zm ienne kontrolowane pr.tez firmę (np. cena danego produktu, nakłady na jego rek.Jamę i promocję, jakość produkh1 , kana ły dystrybucji, okres gwarancj i. właściwości produktu), b) zmie nne niedające się kontrolować • charakteryzujące dobra pozos t ające w zw ią zk u z danym dobrem 18 (ceny produktów substytucyj nych i komple mentarnych, wydatki na promocję i reklamę tych dóbr. jakość tych produktów, kanały ich dystry bucji , okres gwarancj i, właściwości tych produktów), • c h arak teryzujące dochody konsumentów, ich gusty i preferencje, oczekiwania co do przyszłej ceny, dostępność i s ub stytucyj ność danego produktu, • inne, np. polityka rządu (do tycząca cel, podatków, kursów walutowych), moda. warunki pogodowe itd W pracy [36] (s. 228) wymie niono cztery grupy zmiennych objaś ni ającyc h w modelach popytu a) cena danego dobra, b) ceny dóbr pokrewnych (substytucyj nych lub komplementarnych), c) dochody ludn ośc i (wyrażo n e np. wysokością przec i ętnego miesięcznego wynagrodzenia lub przeciętnego miesięcznego dochodu na rodzinę lub na osobę w rodzinie), d) pozos tał e czynniki popy101wórcze, np . wi e lkość rodziny, stopa inn acji , stopa oprocentowania oszczędności, srnpa oprocentowania kredytów. pora roku (sezonowość). 18Jegli dobra sub~tytucyjne lub komplementarne produkuje 1a sama fim1;1. to zmienne te z:t!icza s ię do kontrolowanychpnezfim1ę
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego
warunki klimatyczne, wydatki na promocję i reklamę, ja kość wyrobów, działalność konkurencji Oczywiście nie zawsze występuj ą wszystkie zmienne. zazwyczaj w modelu uwzg l ędnia się tylko dwa, trzy czynniki; ich dobór w du żej mien.:e za l eży od dostęp ności danych Jeśli chodzi o postać analityczną funkcji popytu, na ogól przyjmuje się funkcję liniową lub potęgową. Częściej jednak przyjmuje się modele potęgowe, ponieważ nie zakł a dają one braku interakcji między zmiennymi objaś ni ający m i (tak jak to jest w modelach lini owych, co podkreś lono w pracy [35]). Funkcja liniowa za kł ada s t ałe przyrosty popytu, odpow i adające jednostkowym przyrostom zmiennych objaśniającyc h , natomiast funkcja potęgowa oparta jest na założeniu, że przyrosty popytu odpowiadajqce jednostkowym przyrostom zmiennych objaśniających maleją (lub rosną) wraz ze wzrostem pozimnu zmiennych objaśniających (stały m prt:yrostom względnym zmiennych objaś ni a jących od pow iadają sta łe zmiany względne zmiennej objaśnianej - popytu). Oszacowany model popytu może służyć do wyznaczania prognoz popytu (przy założonych wartośc i ach zmiennych objaśn i ającyc h ) lub przewidywania zmian popytu wywołanych zmianami czynników k sz t ałtujących go. W tego typu analizach popytu istotne znaczenie ma zn ajo mość względ nyc h reakcj i popytu na zmiany poszczególnych zmiennych. reakcje te okreś l ają współczynn i ki e l astycznośc i . Stąd t eż w oparciu o oszacowaną funkcję popytu oblicza s i ę elastycz ności popytu względem poszczególnych zmiennych Dl a funkcj i (6.3 1) współczyn nik e l astycznośc i popytu względem }-ego czynnika (E r / xi ; j = I. 2. , K) oblicza s i ę ze wzoru 19 : (6.32) gdzie af(Xi. · · · XK) jest
ax,
pierwszą pochodną
funkcji popytu
względem
j-ego czyn-
nika 10 . Współczy nnik elastyczności określa względną (wy ra żoną
w %) zm ianę popytu (o 1%) zmianą j-ego czynnika, przy zazmie nne obj aś ni ające nie zmie ni ają s i ę. Z reguły elastyczność dochodowa popytu jest dodatnia, elastyczność cenowa - uje mna 21 , natomiast e l astyczność spowodowaną względną
(wzrost lub spadek)
łożeniu , że pozos t ałe
19 Jest to tzw. elastyczność punktowa. obliczana w konkretnym punkcie funkcji popytu. czyli prty konkretnych wielkościach zmiennych objaśniających. Natomiast jeśli anali1yczna postać funkcji popytu nie jest znana. można obliczyć tzw. elastyczność łukową. jako stosunek względnej zmiany zmiennej
1..a!cżncj -
popytu
(~)do względ11cj
zmiany j-tcgo czynnika
ksztahująccgo
popyt
(~).czyli
E1·1xi ""~:W X
:~~l::;,~l:~~1c::~:~~::~j:w~ ~~::~:tyzcnz:~::;::::s:a:~:~~.:k~~:t~~:d:sY~·iJ:~a (pon1imo 1
wzrostu cen wzras1a popyt na artykuły stanowiące podstawę egzystencji ludnuś.ci ubogiej) i par.iduks Veblen:i (przy wzroś.cie cen artykułów luksusowych wzras1aj;1 ich z:ikupy jako re1.11l1m snobis1ycznej chęci wyróżnienia się)
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll wzg l ęde m
ceny dobra pokrewnego (zwana e la s tyczn ośc i ą mi esza n ą lub krzyżową) bywa dodatnia lub ujemna, w zal eż n ośc i od tego, czy jest to dobro substytucyjne, czy komplementarne. Przyjmuje się ponadto, że jeże l i IEI > I, popyt jest doskonale elastyczny (dotyczy zwykle artykułów luksusowych, g łówn i e dóbr trwa łego uży t ku), jeżeli IE I = 1, popyt reaguje proporcjonalnie (dotyczy dóbr względnie luksusowych), jeże l i O < I E l < l. popyt jest mało elastyczny (dotyczy artykułów pierwszej potrzeby) oraz gdy IEI = O, popyt jest sztywny (dotyczy dóbr najbardziej podstawowych). Jeś li znane są w i e lkość i kierunek zmian czynników k ształt uj ących popyt (zmiennych objaśniających), za pomocą e las t yczn ości można określić wpływ tych zmian na popyt. Funkcje popytu m oż na klasyfikować stosownie do różnych kryteriów merytorycznych i fonnalnych. Zasadnicze znaczenie ma podz iał na mikro- i makroekonomiczne funkcje popytu
6.2.1. Makroekonomiczne funkcje popytu Makroekonomiczne funk cje popytu pozwalają mierzyć za l eżn ość popytu większych zb iorowośc i konsumentów ( mi es zkańców województwa, reg ionu lub kraju) od takich czynników jak: poziom dochodów tej grupy konsumentów, ceny (badanego dobra i dóbr pokrewnych), popyt t yc h że konsumentów na inne dobra i inne, wymienione wyzej Podstawowym źród łem informacji w tym przypadku jest sprawozdawczość w zakresie hand lu wewnętr.i: n ego (oparta na sprawozdaniach s porządzan yc h przez poszczególne jednostki handlowe dla GUS). Najczęściej funk cje makroekonomiczne wyznaczane są mi podstawie szeregów czasowych ( mają w i ęc charakter dynamiczny), jednakże coraz częśc i ej szacowane są także na podstawie danych prtestrzennych (wykorzystuje s i ę róż nice w poziomie zamożności poszczególnych regionów, województw oraz inne różnice po mi ę dz y nimi). Jako postać anal it yczną funkcji makroekonomicznej najczęściej przyjmuje s i ę fun kcję potęgową, która, jak wiadomo, nadaje s i ę do opisu różnych zależno śc i , zarówno li niowych jak i krzywoli niowych P rzy kła d 42. Producent wędli n drobiowych zaopatrujący w swoje wyroby de likatesy w 11 miejscowościach postanowił zbu d ować model wyjaśniaj ący za l eżność popytu na kabanosy (wyrażo ny przeciętną mi esięc zną w i el kością sprzedaży w kg) Y od: X 1 - przeciętnego mi es i ęczn ego wynagrodzenia mi eszkańców tych miast (w zł na osobę) i X2 - ceny kabanosów w zł (zróż ni cowanej, ze wzg l ęd u na różne koszty dostawy do sklepów i różne m a rże stosowane przez sklepy). Informacje, które są ni ezbę dne do oszacowania model u, zostały zestawione w tablicy 6.15 (a) Oszacować parametry modelu potęgowego opis uj ącego badan ą za l eżn ość. ocenić dopasowanie modelu do obserwacji empirycznych (b) Podać e la styczn ośc i popytu względem zmiennych objaśniających.
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego
Tab licn6.15 Spnedaż
Przcciętncmiesi~cznc
wkg (y,)
wynagrodzenie w z! na osobę
Mi ejscowość
1213 1330 1249 I 098 1278 I OOO 1260 1150
IO
Przeciętna
cena wzlz.akg
(.1·r1)
(x12)
1970 2110 2350 279" 1910 2470 1820 1870 2100 1940
22.2 23.5 25.0 23.3 26.5 23.5 25.4 26.1 21.5 25.0 25.5
Źródło: dane umowne
RozK•iąztmie.
(a) Model
potęgowy
z dwiema zmiennymi
objaśniającymi
ma
po stać:
(6.33) Jest to model nieliniowy względem zmiennych i parametrów, ale dający s i ę sprowadzi ć do postaci liniowej. Aby oszacować jego parametry MN K, należy dokonać transformacji do postac i lini owej przez logarytmowanie (por. paragraf 3.2.2), czyli ln Y = !11 0!0 +0! 1 ln X 1 +0!2 lnX2 +e lub
(6.34a)
równowa ż ni e
(6 .34b) Oceny parametrów modelu w postac i lini owej
(/30 • /3 1 . /3 2 )
można o bli czyć
ze wzoru:
b = cXTXrl X:Ty. gdzie: I I
-
X=
[:
lnx11 h1 x21
: I
lnx„1
lnx„] lnxn
In.~.:
= I
7.705 7.756 7.654 7.762 7.934 7.555 7.812 7.507 7.534 7.650 7.570
3. 100 3. 157 3,2 19 3.148 3.277 3.157 3.235 3.262 3.068 3.2 19 3.239
[lny • 1
y-
]
ln y„
-
7. 1468 7.0388 l.1009 7.1929 7. 1304 7.0012 7.1531 6.9078 7.1389 7.0475 6.9698
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Obliczenia pomocnicze moż n a wykonać w tabli cy lub mnożąc odpowiednie macierze i wektory, w tym przypadku wybrano to drugie rozwiązani e 22 • b=
[
11 84,26872 35. 08086
84.26872 645,73987 268.77499
przy czym b=
35. 08086 ] -' 268.77499 [ [ 1.92445
[!:]
~:] = [h;,~' J .
= [
b2
[ 77.82767] [ 5,349] 596.301 44 = 0.600 . 248. 18117 - 0.900
- 0.900
t12
Podstawiajqc otnymane oceny parametrów do modelu (6.34a) lub (6.34b), otrzymamy: In S•r = 5,349 + 0,60lnx11
0,90lnx,2.
-
Aby ocenić dopasowanie modelu do obserwacji, obliczono także wybrane parametry struktury stochastycznej:
s;
L
s, =
fSi = J0,001 197 = 0.0346.
(lny1 - f;J,) li -k
V,=~ ln y
2
. 0.00957503 = o. 001197 11 - 3
346 100 = 0.0 7.07524
100 = 0.49%.
LOn y1 - 1;;,) 2
L 0 2 (b) =
. o.00957503 = _ 0 1205 (ln y1 - In y,) 2 0.07948074 430.0118 -36.2338 (XTi() - 1 = 0 ,001 197 · -36.2338 6.3373 [ - 47 .7683 - 3.86 15
s; ·
- 47.7683] -3. 8615 . 24.2542
D (bo) = J0.001197 430.0118 = 0.71 7.
D (b
1)
= J0.001197 6.3373 = 0.087 .
D(b2) = J 0.001197 24.2542 = O, 170.
Ostatecznie oszacowany model można lnyr = 5,349 (0,7 17) t(b j ) 7,46
w i ęc zapisać:
+ 0.600 1n .r1 1 (0,087) 6,89
-
0,900 \n .\·12, (O, 170) -5 ,29
Jak widać, oceny parametrów s1rukturalnych są statystycznie istotne (r0 .o5 ; 8 =2.306), a dopasowanie modelu do obserwacji ni ezłe (co prawda oko ło 12% zmienności popytu nie zostało wyjaśnion e przez zmi enne uwzg l ędn i o n e w modelu, ale w tym prLypadku 22 w tym i nas tępnyc h przykł;ufach wyniki obliczeń pośrednich podane są z określoną dok/adnok i ą (zado 5-6 miejsc po przecinku). na1omiast wyniki końcowe podano w oparciu o obliczenia wykonane
okrąglone
zpe! nądokladnością
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego możn a t a ką dokładn ość uzna ć
za wystarczającą), reszty m aj ą charakter losowy, co św iad doborze postaci analitycznej modelu (w c i ąg u reszt jest 7 serii) Można więc zapisać oszacowany model w postaci pierwotnej (e 5 · 349 = 210.33)
czy o
prawidłowym
(b) Jak wspominano, funkcja popytu wykorzystywana jest m.in. do oblicze nia elapopytu względem kszt ałtujących go czyn ników. Na podstaw ie wzoru (6.32) popytu na kabanosy względem x (dochodowa) będzie równa
s tycznośc i
e la styczność
a e la s t ycz n ość
1
wzg l ęde m
~ ~
Eyt.r 2 =
a.,·2
y
x 2 (cenowa)
= 2 10. 33 ·
x~.w
(-0.90) x;-0 -90 -
i
21 o.33
-0.90.
x,0.60
czy li raz jeszcze sprawd ziliśmy, że w p rąpadku funkcji potcgowej elastycznośc i są stałe (nie zależą od wartości zmiennych objaśniającyc h. w tym przypadku przec i ętn ego wynagrodze nia czy ceny) i równe wykładnik om potcgowym p rą odpowiednich zmiennych. A zatem dochodowa elastyczność popytu na kabanosy jest równa 0,60, czyli wzrost przec i ętnego mi es i ęcz n ego wynagrodzenia o I% powoduje wzrost sp rzedaży kabanosów o 0,6% (przy sta łej cenie). Natomiast elastyczn ość cenowa wynosi - 0.90, tzn. przy stały m przec iętny m mie s ię czn y m wynagrodzeniu wzrost ceny kabanosów o I% powoduje spadek sprzedaży o 0,90%. Oce n ę parametru a 0 , którą jest a 0 = 210.33 m ożna interpre t ować jako oczekiwaną w i e l kość sprzedaży kabanosów (y w kg), gdy x = 1 (zł na osobę) i x2 = I (zł za kg). 1
Przykład 43. Firma zajmująca s i ę dystrybucją ryb świeżyc h i mrożon yc h na terenie wszystkich województw zleciła fim1ie konsultingowej zbadanie współza l eż no ści mi ę d zy popytem na ryby Y (wy rażon y m w i el kością s przedaży w !Qnach) a czynnikami kształtu j ący mi go, tj X przec i ę tn ym mi esięcz n ym wynagrodzeni em mieszkańców województwa (z ł ), X2 - przeciętną ce ną ryb (z ł za 1 kg). X3 - przec iętną cen ą mi ęsa (zł za I kg). lnfonnacje ni ezbę dne do anali zy badanej zależnośc i zestawiono w iablicy 6.16 (a) Oszacować parametry funkcji potęgowej opisującej zal eżność s pr zedaży ryb od wyróżnionych zmiennych, oceni ć jakość dopasowania modelu do obserwacji empirycznych oraz zinterpretować otrzymane wyniki (b) Jak na poziom sprlcdaży ryb w badanych województwach wpłynie wzrost przecię tnego mie sięcznego wynagrodzenia o 3% oraz spadek śred niej ce ny mi ęsa o 6%, przy za łoże niu, że przecięt na cena ryb nie ulegnie zmianie? 1
-
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
(c) Jaka zmiana przeciętnej ceny ryb (wynoszącej 10,77 zł za kg 23 ) b y łaby potrzebna, aby przy wzroście dochodów konsumentów o 3% i spadku przeciętnej ceny mięsa o 6% sprzedaż ryb wrosła o 4%? (d) Jaka zmiana ceny byłaby potrzebna, aby przy powyższych zmi :mach dochodów konsumentów i ceny mięsa przychód ze sprzedaży ryb wz rós ł o 4%? Tablka6. 16 Sp!7.cdażryb
Lp
Pn:ccicrncmiesię-cznc
wynagrodzenie
w tonach
wzłnaosobc
(.1•1)
(.r1 1)
Pn:ecictna cena ryb wzl zakg (xt2)
Przecicmacena m1csa w z/ za kg (x,3) 12.0 11.0
14.0 14,0
1820 1920
12.7
19,0
2880
12.8
20.0
2740
11.4
Il.O
12.0
11.5
13.5
12.0
11.5
23.0 3000
20.0 26.0
12.0
12.4
12.5
18.0
2120
12.0
15.2
18.0
1920
11.6
22.0
2000
31.0
2900
IO.O 11.l 10,0
23.0 24.0
1860 2720
22.0
1670
16
20.0 36,0
3280
L
Jso,o
10
12 13
8.0 10.0 8.8 10,9 8.5
15.5 13,2 12.7 11 ,3 11.6 14.0 12.9
Żródlo:duncumownc
Rozwiąza nie.
(a) Funkcja opisujijca Y = aoX~ 1
badaną zal eżność będzie mieć
x;i
X~J
et ,
obecnie
postać
(6.35)
a po transformacji do postaci liniowej In Y = ln a 0 +a 1 lnX 1 +a2 lnX 2 + a 3 lnX 3 + e lub
(6.36a)
równoważn i e
(6.36b) D Jest to śred nia arytme1yczna ważona cen w poszczególnych województwach: wagami są wielkoŚ<:i spn:edaży
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjne110
Oceny parametrów struktura lnych modelu w postali li niowej ob liczy my ze wzoru
gdzie
'{
ln 1820 In 1920 ln 2010 ln3280
In 12.7 ln l 1.5 In 10,9 ln8.5
'"
""]
In l l,O ln :4 .0
=
In 12.9
7,5066 7,560 1 7.9655 7,9157 7.9374 8.0064
2,54 16 2.4423 2.5494
2.4849 2,3979
2.4336
2,3979 2.4423
8.1775 7.6592
2.5 177
2,5257
2.4849
7.560 1 7.6009 7,9725 7,5383 7,9084
2.3026
2.7213 2.45 10
7.4206
7.6059 8,0956 .6391
2,4849 2.6027
2,4069 2.3026 2.1794
2.4849
2.4849
2.7408 2.5802 2,5416
2.3026 2. 1748
2.4248
2.3888 2. 1401
2.6391 2.5572
2.45 10
2.639 1 2.9444
In 14] In 14
y~
~
' [ ln20 ln 36
16 b=
2,9957 3, 1355 2.9957 3,2581 2,8904 2.8904
3,0910 3.4340 3, 1355 3, 1781 3.0910 2,9957 3.5836 40.326] _, [ 48,897]
124.42 1
38, 155
124.421
968.4 11
296,853
3 13.540
380.778
[ 38. 155
296.853
91.348
96. 158
11 6,311
3 13.540
96 . 158
\01.802
123.321
40 .326
=
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
-
-[ --~:;~]-[::]-[h;,'.''] 1.150 b2 --+ ao-e _,..„ -o - · 088 ·
-
t1 2
0.671
S;
b3
l/3
~ ~ ~ 0.07743,
R
0.07743 v„ = . 3 0561 lnfr = - 2.428 (0,859) -2. 82
2
+ 0.840111.r11 -
'(b1)
~ I - ~·~~~~~ ~ 0.9216,
100 = 2.53 %.
(0,086) 9.76
l.151 lnxr2 (0, 134) - 8.60
+
0,671 lnxrJ (0, 191)
3.52
Oceny parametrów strukturalnych są statyslycznie istotne Cto.05: 2 = 2. 179), a wardeterminacji św iadc zy. iż oszacowany model w 92.16% wyjaśnia zmienność sprzedaży ryb, a w i ęc można powróc i ć do modelu w postaci potęgowej (e- 2.4 28 = 0.088): Yr = 0.088 . .r~Js.io. x;; l.15!. x~/71 1
tość współczynnika
Jak sprawdzono w popr.tednim przykładzie. w przypadku funkcji potęgowej elai równe wykładnikom potęgowym przy poszczególnych zmiennych A zatem elastyczność sprzedaży ryb względem przeciętnego miesięcz nego wynagrodzenia (.r 1) jest równa 0,840 (ai) - wzrost przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia o 1% powoduje wzrost s przeda ży ryb ś rednio o 0,84%, przy założeniu że pozostałe zmienne są s tałe , e/astyczno.fr' ce11owc1 (wzg lędem ceny ryb - x 2) wynosi - l, 15 l (a 2 ) - wzrost ceny ryb o I% powoduje spadek sprzedaży ryb pr1.:eciętnie o 1, 151 % (przy stałych x 1 i x3), a eltistyczno.l'ć popytu 11·zg/ę,Jem ceny mięsa (.r3) wynosi 0,671 (a.i) - wzrost ceny mię sa o [ % powoduje wzrost s przedaży ryb przeciętnie o 0,67 1%, przy stałych x 1 i x2 (w tym przypadku elastyczność mieszana jest dodatnia, bo mięso jest dobrem substytucyjnym w stosunku do ryb: e l astyczność wzg l ędem cen dóbr komplementarnych jest zazwyczaj ujemna). (b) Elastyczność można wykorzystać do przybliżonych prognoz popytu w przypadkach, gdy znane są względne zmiany czynników kształtujących popyt W przypadku funkcji potęgowej zmiany te mo ż na ob l iczyć z wzoru: stycznośc i są stałe objaśniających.
"" ( "·")"' ( ""')"' ( ""')•;
-=
Y
I +-
l +-
X1
I +-
X2
(6.37a)
- I
X3
Ewentualnie można wykorzystać wzór przybliżony, oparty na e lastyczno śc iach 24 :
~ y
gdzie
~ y
jest
100 =
L j
E y/:
!!J.X j
100.
(6.37b)
.\ j
względną zmianą zmiennej endogenicznej
(popytu), a
D.~l·j Aj
-
względ-
24 Por. wzory (5. 16) i (5. 17) oraz uwagi do nich w rozdziale 5: przyjęta funkcja popytu ma bowiem tuką sa m•! pos iać mmlicyc znąjak funkcja produkcj i C-D
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego ną zmianą
j-ej zmiennej objaśniającej. We wzorze (6.37 b) zmiany wzg l ędne m ogą być w %, czemu dano wyraz. Wzór (6.37b) daje dobre przybliżen i e, gdy zmiany zmiennych objaśniających są nieskończenie małe, a funkcja popytu jest funkcją jednorodm1 stopnia pierwszego (e l astyczności sumujq s i ę do l, co jednak w przypadku funkcji popytu rzadko jest speł nion e) Pod st aw i ając za łożon e zmiany zmiennych objaśniającyc h wyrażone
~X3 = - 0.06
ó x 1 =0.03, X1
X3
do wzoru (6.37a), otrzymujemy:
~=( I + 0,03)0.84 (I + 0)-1.1 51. ( I - 0.06)o.67 1 - I = y
= 1.0252 · I · 0,9594 - I = 0.9835 - l = - 0,0165 ::::: - l.65%, czyli gdy przec ię t ne mi es ięczne wynagrodzenie wzrośnie o 3%, a cena mi ęsa spadnie o 6%, to sprzedaż ryb spadni e o o koło 1,65%. Porównajmy ten wynik z wynikiem, jaki uz yskalibyś my stos ując wzór przyb li żon y (6.37b)'
~=
0,840·3% - l.151 ·0%+ 0.671 ·(- 6%) = 2.52 - 4.026 = - 1.506%::::: - 1.5%,
y
a więc róż n ica mi ędzy wynikami uzyskanymi z tych dwu wzorów jest niewielka (0, 15%)25 (c) Na l eży odpow i e d zieć na pytanie: jaka zmiana ceny bylaby potnebna (czyli obliczyć
~x~
____:. ),aby przy
wzroście
dochodów konsumentów o 3% i spadku ceny
x1
~
6~
~
~
( - = 0.03, -
0 =
.
= - 0.06) sprzedaz ryb wzros/ao4% (-
Podstaw i ając
y
mi ęsa
o 6%
0.04)
te dane do wzoru (6.37a), otrzymujemy· 151 2 0,04 =( I + 0.03)o.S4 ( 1 + . ( 1 - 0 ,06)0 ·67 1 - 1.
~:
)-1.
czy li
6 ) - ' '" · 0.9593. 1.04 = 1.0251 · ( 1 + ~ X2 Zatem
(
óx~ ) - 1. 1 5 1
1 + ____:.
I+
~x 2 =
X2
1,04
1.025 1 · 0. 9593
1.0576 -=fn = 0.9525--?
x2
Czyli
śred n ią ce n ę
~x 2
l. 04 0. 9834
1.0576.
= 0.9525 - l = - 0.0475 = 4. 75%.
x2
ryb
należałob y ob niżyć
o 4.75%.
25prt.y większych zmianach zmiennych obj:iśniających różnice między wynikami otrzymanymi z 1ych dwuwzorówbęd;1więk s ze
6. Elementyekonometrycmejanalizy rynku
Porównajmy ten wynik z wyniki em uzyskanym z wzoru
p rzybliżonego :
2
4%= 0.84-3 %- 1.151
D.x + 0.671 ·(-6%) ,
Xz
4% - 2.52% +4.026% = -L 151 D.x 2 x2 Zamieniając
stronami, otrzymujemy: 1
- L 15 1 Ó. X = 5.506%
Ó. X
-,Io
x2
1
=
x2
5 506 = - 4. 7837 ;::::: - 4, 78%. · - 1. 151
Zatem również w tym przypadku różnice między wynikami uzyskanymi z tych dwu wzorów s ą stosunkowo niewielkie. (d) Przychód ze sprzedaży jest iloczynem wie l ko ś ci sprzedaży (y) i ceny badanego dobra (tu x 2 ), funkcję przychodu ( P ) można więc zapisać
Osta t ecz ni ew i ęc 26
p1 = Zatem
0 _088 . x~; M. x,;1.1s1+1 . x~j671
wiedząc. że
Ponieważ
s p rzedaży
du ze
ó.x i = 0,03, ó..r
jest to
~I 1 akże
6P
(p
)
3
=> p1 = 0 _088 . x~; M. x,;0.151
= - 0,06, ó.P = 0,04, n ależy p
X3
funkcja
potęgowa ,
obli czyć
ó.x 2 . X2
do obliczenia
można także wykorzys t ać
. x~j671
wzg l ędnej
zmiany przycho-
wzór (6.37a) lub (6.37b),
oczywi śc i e
uwz g lędniając elas t yczności Pods t awiając
z funkcji przychodu do wzoru (6.37a), mamy:
0.04 = ( I + 0.03)o.iwo · ( I
+ 6x:2 ) - "· "'
( I - 0.06) 0·67 1 - I.
czyli 6 )-"·"' · 0.9593 l.04 = 1.0251 · ( I + ~
,,
Zatem I+ Ó.X2 )-o. 1s1 (
x2
-
\.04 1,025 l · 0,9593
2
2
1.04 0.9834
1. 0576.
I + Ó.X = l.0576 -=itm = 0.690 1 Ó.X = 0,690 1 - [ = - 0.3099 X2
~ -3 1%.
X1
26w prtypadku po1 ęgowej funkcji popytu e la s t yczność cenowa przychod u jes1 o I większa od elastyc z n ości ce now ejpopy tu (sprtedaży)
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego
Aby przychód ze sprzedaży ryb wzróst o 4% (przy wzroście dochodów konsumentów o 3% i spadku ceny micsa o 6%), ccnc ryb nal eża łob y obniżyć o 31 % 27 Przykład 44. W dziale marketingu fi rmy „Alfa" oszacowano dukowane wyroby. Dla wyrobu A otrzymano:
.Y = I. I . x~. 9 .
funkcję
popytu na pro-
x;o.s . xjo.6 ,
gdzie: x 1 - dochody konsumentów; .r2 - cena wyrobu A; x 3 - cena dobra komplementarnego. Na l eży s i ę spodz i ewać, że w najbliższym czasie dochody konsumentów wzros ną o 2%, cena wyrobu A zostanie obniżona ze 120 zł do 115,20 zł, a cena dobra komplementarnego wzrośnie z 9,00 z ł do 9,54 zł (a) Jak zmiany te wpłyną na s przedaż wyrobów firmy „Alfa" (popyt na nic), a jak na przychód z ich sprzedaży? (b) Na jakim poziomie należałoby ustalić cenę wyrobu A (aktual nie 120 zł), aby przy podanych zmianach dochodów konsumentów i ceny dobra komplementarnego utrzymać dotychczasowe tempo wzrostu przychodu z jego sprze d aży. wynoszące 3%? (c) Gdyby w najbliższym czasie nic uległy zmianie ani dochody ludno śc i, ani cena dobra komplementarnego. jak należałoby zmienić cenę towarn. aby przyc hód ze sprzeda ży wzrósł o 3%?
Rozwiązanie.
Należy obliczyć ~ wiedząc. że: 6..xi = 0,02, 6..x 2 = - 4 .8 = Y Xi X2 ]20 0 54 = - 0.04, 6...r = = 0,06. Po podstawieniu do wzorn (6.37a), otrzymujemy: X3 9 (a)
3
~ y
= 1.02°· 9 · 0.96- 0 ·8 · 1.06- 0·6
-
I = 1.018 1.0332 · 0.9656 - I =
~ 1. 0 156 - 1 ~ 0.0156 "' 1.56 %.
Aby obliczyć, jak zmiany te przychodu:
wp ły n ą
na przychód ze
sprze daży. należy wy prowadzić
funkcję
czyli
27 z wzoru przybliżonego (6.37b). zu kładującego nies kończen i e m:1łe przyrosty zm iennyc h. otn:ymamy·
4% ::0.840-3% - 0.151 · ~+0.67 1 x2
-( -6%)
~ :: ~~~~I u wi ęc wynik znacznie
różn i s i ę
___,.
-0.151·~::4% - 2.52% + 4.026%""' 5.506%. x2
:: - 0.3646
~ - 36.5%,
od 01n:ymanego z wzoru dok!adnego
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
ó. P = 1,02°· 9 . 0.96°· 2 . L06- 0 ·6 p ~
-
I= 1.01 8 0. 99 19 · 0.9656 - l = 0.975 - I=
- 0.025 "' -2 ,5 %.
Zatem przy oczekiwanych zmianach sprzedaż wyrobu A wzrośnie o o ko ło 1,56%, ale prtychód zm niejszy s i ę o około 2,5% (spadek ceny wyrobów firm y spowoduje wzrost sprzedaży, ale elastyczność cenowa przychodu jest dodatnia (0,2), a więc spadek ceny spowoduje spadek przychodu). (b) Najpierw
należy obliczyć , jak zmienić cenę, czyli
ó.x
2
,
wiedząc że
i-
ó. P = 0.06. aby = 0.03. Po podstawieniu do wzoru (6.37a) mamy: p
X3
0.03 = 1,02°· 9 .
( + 4 )U ~ n
I
0.' (
ó.xi = 0,02 X1
X2
Ó.X 3
l.06- 0·6 - I -
~
I + a.xi ) - = ~2
1.03 = 1.01 8.
( 4)U I +~ n
= 1.0478 -1- 1 + ó.xi = l.047Sifz =
0,983
l.0478 5
· 0. 9656 .
= 1.263
X2
Zatem ó.x 2 = 1.263 - I = 0,263 :::::: 26 .3%. x2
a
więc ce n ę na l eżałoby podwyższyć
(c) W tym przypadku ó.xi
= O i Ó.XJ = O.
Xi
X3
o 26,3%.
nal eży ob l iczyć
Ó.X? ó. P ----=. , aby = 0.03, przy X2 p
założen iu że
Podstawiaji1c te dane do wzoru (6.37a), otrzymujemy 2
2
4 ) '' ·(1 +0)- 0·6 - l -1- J.03= ( I +~ 4 . ) '· 0.03=(1+ 0)0 ·9 • ( I+~ ~ n -,)o
1+
Ó..\'
2
= I ,03 aj = l, 1593-)-
X2
a
więc ce nę na l eżałoby podw yższyć
Ó.X
2
= 1, 1593 - I = 0. 1593 :::::: 15,93% ,
X2
o blisko 16%.
6.2.2. Mikroekonomiczne funkcje popytu Mikroekonomiczne funkcje popytu wy rażają prawidłowości k sz tałtowania s ię popytu pojedynczych konsumentów lub pojedynczych rodzin, w za l eżn ośc i od poziomu dochodu, s kładu demograficznego oraz profilu zawodowego i społeczn ego rodziny. Mają one charakter statyczny; źródłem mat e riału statystycznego są tu przede wszystkim wyniki badania bud żetów rodzinnych Gł ówny U rząd Statystyczny od 1957 r. prowadzi systematycznie badania bud żetów gospodarstw domowych. Badania prowadzone są metodą rcprczcntacyjm1, k16ra daje m oż li wość uogóln ie nia, z okreś l onym błędem, uzyskanych wyników na wszystkie gospodarstwa domowe w kraju. Do 1982 r. badania budżetów prowadzone były me t odą
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego ciąg t.1,
która polegała mi badaniu tych samych gospodarstw przez rok i dłużej. W latach 1982-1 992 badania były prowadzone me todą rotacji kwartalnej, a od 1993 r. stosuje się metodę rotacji mie s i ęc znej, tzn. w każdym mi esiąc u podejmują badania inne gospodarstwa . Każde z nich przez mi es iąc prowadzi zapi sy przychodów i rozchodów w specjalnych k siążeczkac h budżetowych. Wyniki tych badań są nas tę pni e grupowane, m.in. według grup spo łeczno-e konomi cz n yc h . Te grupy w długiej hi storii badań ul ega ł y pewnym zmianom 28 . Od 2005 r. gospodarstwa ujmowane są według nas tęp uj ącyc h grup: gospodarstwa pracowników. w tym pracowników na stanowiskach robotniczych, pracowników na stanowiskach nierobotniczych, gospodarstwa rolników, gospodarstwa pracujących na rachunek własny, gospodarstwa emerytów i rencistów, w tym emerytów, rencistów Wyniki badań publikowane są corocznie przez GUS w serii ,J nfonnacje i opracowania" pt. „ Budże ty gospodarstw domowych w roku . .. " Niestety, od 1993 r. ni e są już publikowane dane według grup dochodów, dlatego aby wykorzystać wyniki badania budżetów do estymacj i mikroekonomicznych funk cj i popytu, trzeba s i ęg nąć do danych źródłowych GUS Najczęściej funk cje mikroekonomi czne mają postać krzywych Engla (krzywych potrzeb). wyrażających za leż no ść mi ędzy popytem na badane dobro lub u s łu gę (g rupę dóbr) a dochodami konsumentów. Do aproksymacji krzywych Engla naj częśc i ej stosowane są następujące funkcje matematyczne: a) funkcja liniowa (6 .38) b) funkcja
potęgowa
y =aoX"1,
(6.39)
c) funkcja wykładni cza z odwrotnością 29
p < o.
(6 .40)
28 Z;1kres badań stopniowo rozszemmo. Początkowo obejmowały one prncowników przemysłu, od l 973 r. badaniami budżetów rodzinnych objęto 4 społeczno-ekonomiczne grupy ludności: gospodarstwa pracownicze. prncowniczo-chłopskie. chłopskie oraz emerytów i rencistów (w latach osiemdziesiątych w grupie gospodarstw pracowniczych wyodrębniono dwie bardziej jednorodne: gospodarstwa pracowników nastanowiskach robotniczych i pracowników na stanowiskach nierobotniczych). Od 1993 r. wyróżniono6 podstawowych grup (z zachowaniem dotychczasowego podziału gospodarstw pracowniczych). Dwie nowe grupy wprowadzone w tym roku to: gospodarstwa pracujących 11a rachunek własny oraz gospodarstwa utrlymujących sic z niezarobkowych (innych niż emerymra i renta) źródeł utrzymania 29 Zapis równoważny tej funkcji 10 Y = exp
(a + f3 ~)
6. Elementy ekonometrycznej analizy rynku
d) funk cje Tórnquista: - dla dóbr pierwszej potrzeby
Y~ -
aX
x +µ·
y = a(X
-y) _
x+µ -
a:.{J
> o.
(6.4 1)
dla dóbr wyższego rzę d u (6.42)
a:. {J. y > O.
dla dóbr luksusowych
y ~
aX(X - y)
----x+7J.
a: . {J. y
>o.
(6 .43)
gdzie: X - dochody (lub wydatki) gospodars1wa domowego, Y - popyt na badane dobro lub grupę dóbr czy u s łu g Popyt, wyrażon y naj częściej wie lk ośc ią wydatków na badane dobra lub u s łu gi. może być równi eż wyrażony wielkością spożycia dóbr lub ich grup (np. warzywa i przetwory. m i ęso i prt.:etwory) w jednostkach naturalnych (kg, I, szt.). W odróżni e n iu od krzywych Engla funkcje wyrażające za l eżn ość spożyc i a od dochodów konsumentów nazywane są krzywymi popytu. Zarówno popyt, jak i dochody prze liczane są na 1 oso bę w rodzinie Przebiegi zm i en ności i inte rpretacj ę parametrów funkcji lini owej omówiono w rozdziale 2, a funkcji potęgowej w rozdziale 3 . Przypomnijmy tylko. że funkcja li niowa (6.38) zakł ada, że popyt roś ni e proporcjonalnie do wzrostu dochodów - wzrostowi dochodu o I towarzyszy wzrost popytu przecię tni e o a: 1 (ocena parametru a:0 jest zazwyczaj uje mna, bo ozm1cza oczekiwany pozio m popytu przy zerowym poziomie dochodów). W przypadku funk cj i potcgowej (6.39) oce n ę parametru a:o można int erp re tować jako średn i poziom popytu przy jednostkowym dochodzie, natomiast a jest e las tycznośc i ą popylu wzg l ę d em dochodu - wzrost dochod u o I% powoduje wzrost popytu przecięt me o 0:1 Na u wagę zas łu guje fu nkcja wykład n i cza z odwro tno śc ią (6.40), ponieważ nie jest tak powszechnie stosowana jak pozostałe, natomiast to w łaśn i e m.in. jej ksziałt odpowiada kształtowi krzywej popytu na dobra podstawowe 30 . Funkcja ta jest stale rosnąca - najpi erw w tempie coraz bardziej przyspieszonym (wypu kł a ku dołowi) w prt.:edziale (0: - {J/2), nas tęp n ie o słabn ący m te mpie wzrostu (wypukła ku górze) w przedziale (-{J/2: +oo). Na l eży zatem do S-kszta/tnych , z punkte m przegięcia (w któ ry m zmienia s i ę tempo wzrostu zmiennej za l eżn ej) o współrzędnych (-fJ/2: e0 - 2) oraz asymptotą poziomą y = e0 31 . 1
30zgodnie ze staty"zną teorią zachowań konsumenta. potwierdzoną przez liczne badania empiryczne. funkcja popytu na podstawowe .irtykuly żywnościowe powinna być funkcją rosnącą - szybciej prq bardzo niewielkich dochodach. gdzie elastyczność dochodowa jest począ1kowo wysoka (nawet większa od l). a później spada. W miarę zwiększania się poziomu dochodów popyt rośnie coraz wolniej i zb li ża się do pewnego poziomu nasycenia. Elastyczność dochodowa jes1 tu mniejsza od 1 i nada! maleje. 31 Omówiona ni żej funk"ja Tóm4uista I jest funkcją stale rosnącą w tempie coraz wolniejszym (wypukłą ku górze). a więc nie ujmuje etapu pocz<1tkowego. gdy przy najniższych dochoda"h tempo wzrostu popytu jes1 coraz szybsze. Natomias1 funkcja potęgowa ujmuje tylko jeden etap: albopoczą1kowy. gdy elastyczność jes1 większ;1 od I. albo (częśc iej) drugi. gdy elastyczność jest mniejsza od I
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego Jeśli funkcjll (6.40) przedst<1wia zależność popytu na pewne dobro od dochodu konsumentów, to interpretacja jej parametrów jest nas t ęp ująca: do poziomu dochodu x = - {J/2 popyt rośnie szybciej niż dochody, powyżej tego poziomu popyt rośnie wolni ej do poziomu nasycenia ea (asymptoty poziomej). Warto iak że poś więci ć nieco uwagi funkcjom Tómqui sta, których wykresy przedstawiono w rozdziale 3 (rysunki 3.8- 3. IO) i interpretacji ich parametrów w przypadku, gdy opisują zależność popytu od dochodu. We wszystkich trzech funkcjach parametr fJ nie ma interpretacji ekonomicznej ( - /3 jest asymptotą pi o n ową funkcji; prą x = -{J mianownik przyjmuje wartość zero). W funkcji Tómquista I (6.41 ) dla dóbr podstawowych (pierwszej potrzeby) i li (6 .42) dl a dóbr wyższego rzęd u parametr a (asymptota pozioma) nazywany jest poziomem nasycenia. W miarę wzrostu dochodów popyt na badane dobro rośnie coraz wolniej, aż do poziomu nasycenia a. R óż ni ca między funkcją I i l i polega na tym. że o ile wykres funk cji I wychodzi z poc zątku ukł ad u współrlęd n yc h (popyl na dobra podstawowe pojawia s i ę przy zerowym poziomie dochodów), to popyt na dobra wyższego rzędu pojawia się, gdy dochody konsumentów osiągną poziom x = y. J eś l i chodzi o funkcję Ul (6.43) dla dóbr luksusowych, to interpreiację ekonomiczną ma tylko parametr y - jest to poziom dochod u, przy którym pojawia s i ę popyt na dane dobro (tak jak w przypadku funkcji II) Natomiast w miarę wzrostu dochodów popyt na dobra luksusowe roś n i e coraz szybciej i bez ograni czeń Przykład 45. W tablicy 6. 17 zestawiono informacje o przec i ętny m mie s i ęc zny m spożyci u owoców i ich przetworów oraz o przeciętnych mi esięcz n yc h dochodach w gospodarstwach pracowników na s1anowi skach nierobotniczych w ubiegłym roku.
Tablica6.17 Grnpy
dochodowe
w,,
Spożycie owoców I i ich pnetworów w kg na osobę
PrLeciętne miesięczne
dochody
wzłnnosobę
(y;)
(.r;)
Do300
4.7
240
300-380
9.0
320
38()-4(j()
ll.1
420
460-520
13.S
500
680-760
21.0
700
23.8
820
17.4 19.5 760i
więcej
Żród to:dancumnwne
(a) Za zależność
klasycznej MNK wyznaczyć funk cje: liniową i potęgową, opisujące spożycia owoców od dochodów rodziny. Która z funkcji lepiej opisuje b<1daną
za l eżność?
po m ocą
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
(b) Na podstawie funkcj i lepiej o p isuj ącej b adan ą za l eżn ość wyznaczyć d oc h odową e l as tyczność s pożyc i a owoców w naj ni ższej i n aj wyższej grupie dochodowej Rozwiąza 11ie. (a) Wyznaczymy najpierw parametry funkcji liniowej Y =a 0+a X+e. Oszacowania parametrów strukturalnych dokonano za po m ocą rachunku mac ierzowego; obliczenia pomocni cze zawiera tablica 6.18. 1
l.:
4.7
240
9.0
320
5.5427
-0.8427
„;
()'1 - 5')2
70.7101
106.09
8.1974
0.8026
0.6442
36.00
11.l
11.5157
- 0.4157
0. 1728
15.21
13.5
14.1704
-0.6704
0.4495
2,25
17.4
560
16.1614
1,2386
1.5341
5,76
19.5
640
18,8161
0,6839
0.4677
20,25
21.0
700
20,8071
0,1929
0.0372
36.00
23.8
820
24,7891
- 0,9891
0,9784
77,44
120,0
4200
120,0000
0,0000
4,9940
299,00
Żródło: opracow~nie własne
a = (XTX)-1 XTy , gdz ie· I
x ~
I
240 320 420 500 560 640 700 820
y ~
4,7 9.0 li.I 13,5 17.4 19.5 2 1. 0 23.8
aw 1 ęc
120] [ -2.4213] 4 200 ] -' [ 2 472 OOO 7 l 860 = 0,0332 ·
8
a = [ 4 200
s; = ~ ~~ 4 9
0
= o.8323 .
~ 2 ~ ~ ~ 0.0 167. D (a 0 ) = J0.8323 · 1.1 75303 = 0.98 15,
s = J0,8ill = R 2 ~ I - 0.0 167 D (ai)
o.9123.
~ 0,9833.
= J0,8323 · 0.0000037 = 0.0018.
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego
A zatem oszacowany model (wraz z błędami postać:
(0,98 15) 2,467 Funkcj ę po t ęgową
ry tmując ją32
(6.39) Y = a 0 · X"
1
śre dnimi
+ 0.0332r
5'1 = - 2.42 13
szacunku parametrów) przyjął
1•
(0,0018) 18,794 •
6
e sprowadzamy do postaci liniowej loga-
In Y = ln a 0 +a 1 In X +e.
Parametry modelu w postaci liniowej oszacujemy r1:owego) ze wzoru (3. 18)3 3 (por. podrozd ział 3.2.2):
b [l:~o ] =
=
(korz ys tając
z rachunku macie-
cXTX)-1XTy,
gdzie:
x ~
1 ln240 1 ln 320 ln420 ln500 ln560 ln640 1 ln700 1 ln 820
a więc
b= [
~~
11
0
5.4806 5,7683 6.0403 6.2146 1 6.3279 6.4615 6,55 11 1 6. 7093
l [ =
8 49.5536
i' ~
ln4.7 1119,0 Inii. I In 13,5 In 17.4 In 19.5 ln21.0 ln23.8
1.5476 2. 1972 2.4069 2.6027 2.8565 2.9704 3.0445 3. 1697
49.5536 ] - ' [ 20. 7955 ] [ - 5.3599] 308. 14 1734 130.3493 = l .2850 ·
Dane pomocnicze do obliczenia parametrów struktury stochastycznej zawiera tablica 6. 19
s; ~ 0~ 0~~ ~ o.0094. 2
~
= 0.0278.
D (bo) ~ ) 0.0094 · 32. 18737 ~ 0.5501.
s, ~ jD.0094 ~ 0.0970. R1 = 1 - 0.0278 = 0,9722. D (b1 ) ~ ) 0.0094 0.83565 ~ 0.0886
Zatem ostatecznie model zlinearyzowany prąjął 111 5'1 = - 5,3599 (0,5501) - 9.7
+
postać:
l.2850lnx1 , (0,0886) 14.5
32Lub oltcrnatywnie Y = fJfJ + f31 X+ t: . 3.l Logarycm y poda no z dokbdnością do czterech miejsc dziesiętnych. ale w obliczeniach zachowano pe! n ądokladnośćob li czeń
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
a w postaci pierwotnej {e- 5·359'J = 0.0047) S•r = 0,0047 x/·285.
T11 blica6. l 'J
E
lny,
ln .r1
lny,
l.5476
5.4806
1.6825
(lny, - lny) 2
e'f -0.1350
1.1064
0.0182
2.1 972
5.7683
2.0522
0. 1450
0.02!0
0.1618
2.4069
6.0403
2.4016
0.0053
0.0000
0.0371
2.6027
6.2146
2.6257
- 0.0230
0.0005
0,0000
2.8565
6.3279
2.7713
0.0852
0.0073
0.0661
2.9704
6.4615
2.9429
0.0275
0.0008
0.1376
3,0445
6.5511
3.0580
- 0.0135
0.0002
0.1981
3.1697
6.7093
3.2613
-0.0916
0,0084
0.3252
20,7955
49,5536
20,7955
0,0000
0,0564
2,0323
Żródło:oprncowaniewbsne
Jeś li chodzi o dopasowanie funk cji do obserwacji, obie o kazały się bardzo dobrze dopasowane. Parametry struk1uralne obu funkcji są statystycznie istotne {dla et = 0,05 i 6 stopni swobody ta = 2.447), reszty obu mają charakter losowy (S = 5 przy wartości ach krytycznych 5 1 = 4 i S2 = 7), jedynie wartość współczynnika determinacji R 2 świadczy o nieco lepszym dopasowaniu (o okolo I, 1 %) funkcji liniowej Dopasowanie funkcji do danych empirycznych prlcdstawiono na rysunkach 6.7 i 6.8.
~.= . ! .=::~ •u JO
ł
5
o
o
200
400
600
800
dochody(2ł)
Rysunck6.7. Dopasowanie funkcji liniowej
."I• „!:: I
/.
IS
'ł
I:
o
o
•
• 100
300
500
700
900
dochody(zł)
Rysun ek 6.8. Dopasownnie funkcji
po1ęgowej
Ponieważ w tym przypadku okazało s i ę. że obie fu nkcje dobrze aproksymują owoców od dochodów w badanych gospodarstwach domowych, pozinterpretowano oceny parametrów obu (wnioski jakie z nich wynikają), a także porównano e l astycznośc i obliczone w oparciu o każdą z nich
(b)
za l eżność spożyc ia niżej
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego Przyjęcie liniowej postaci funk cj i popytu lub s pożyc ia jest jednoznaczne z przyj ę ciem założenia, że s pożycie (popy!) rośnie proporcjonalnie do wzrostu dochodów (i nic ma poziomu nasycenia)J.I. Bi o rąc pod uwagę funk cj ę liniow:1, moż na pow i e d zieć, iż w badanej grupie rodzi n spożycie owoców rosło proporcjonalnie do wzrostu dochodów; wzrost dochodu o 100 zł powodował wzrost s pożycia owoców przec iętnie o 0.0332· 100 = 3.32 kg. Ujemna wartość wyrazu wolnego ś wiadczy, że spożyc i e owoców pojawia s i ę dopiero przy pewnym poziomie dochodów Dochodowa e las t yczn ość spożycia owoców jest równa:
E y/x
= y' . J, = 0.03J 2 -2.42 13
+ 0.0332.r
0.0332x -2, 4213 + 0,0332x
i za l eży od poziomu dochodu. Obliczymy przykładowo e la styczn ość dla najn i ższej i najgrupy dochodów. Przy przecięmym miesięcznym dochodzie wy noszącym zł oraz 820 zł na osobę
wyższej
240
E y/x =l4D -
E y/x = 820
0.0332. 240 -2 .4213 + 0,0332 240 - l.4 369 · 0,0332' 820 -2 .4213 + 0.0332 820
1.0977.
A zatem spożyc i e owoców w gospodarstwach najuboż szyc h znacznie silniej reagowa ło na zmiany dochodów. Wzrost przecięlnego mi esięcznego dochodu wynoszącego 240 z ł na o sobę o I 0% powodował wzrost s po życ ia owoców o 14,369%. Natomiast w gospodarstwach z amożn yc h wzrost przeciętnego dochodu wy noszącego 820 zł na osobę o 10% pociąga ł za sobą wzrost s pożyc ia owoców tylko o I0,977%. W przypadku funkcji potęgowej e las t ycz ność s pożyc ia owoców względem dochodów wynosi: X i. 285xl.285- !+l E y/.< = y' . = 0,0047 . l. 285.xl.285-1 0,0047. xl. 285 xl.285 1,285
Y
i nie z ależy od poziom u dochodu. Zatem niezal eż n ie od poziomu dochodu wzrost dochodu o 1% powoduje wzrost spożyc ia owoców przeciętnie o 1,285% (sta ła elastyczn ość funkcji pot ęgowej ). Można t akże dodać, że przy poziomic dochodu I zł s pożyc i e owoców w gospodarstwach domowych wynosi średnio 0,0047 kg Przykład 46. W tablicy 6.20 zestawiono informacje o przec iętnyc h mie s ięczn yc h dochodach i przec i ęt n yc h mi es i ęczn yc h wydatkach na warzywa i ich przetwory w gospodarstwach pracowniczych
34w przypadku dóbr podstawowych jest to niezgod ne z prnwem Engla. Jak sio;: jednak okazuje na podstawie wyników badania budżetów rodzinnych w Polsce. zwłaszcza od początku lat osiemdziesi<1t yc h. funkcje spożycia czy wydatków w wielu wy pad kach dobne aproksymowała funkcja liniowa. M ożna powiedzieć, że w obse rwowanych przedziałach zm i en n oŚ<:i zmiennych za l eżno~ć ma charakter liniowy, czyli da leko jest do poziomu nasycen ia. Ponadto owoce raczej nie są dobrami pierwszej polrteby
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll Tablica 6.20 Grupy dochcxlów wzl na osobę
Prlccięme
Pneciętncmiesięczne
rniesięczncdochcxly
wydatkinawarLywaiich
w
zł
na
osobę
prLctworywzłnaosobę
(x)
(y)
250.0
60.35
300-380
333.3
81.46
380--460
416.7
99.49
460--520
500.U
109.95
520--600
555.5
115.59
600-óSO
625.0
121.56
68G-760
714,5
134,29
833.0
141,18
760i
więcej
Żtód!o:daneumownc
(a) Oszacować parametry funkcji • wykładniczej z odwrotnością (6.40), • po t ęgowej (6.39), • Tórnquista I rodzaju (6.41) (b) Na podstawie funkcji najlepiej op i s ującej badaną zależność ob li czyć dochodow:1 e l astyczność wydatków na warzywa i ich przetwory w gospodarstwach pracowniczych Rozwiąza nie. Aby oszacować parametry fu nkcji z multiplikatywnym zakłóce ni em losowym 35 ·
Y =exp(a+fJ należy ją s prowadzić
do postaci liniowej
wykładniczej
z
odwrot11 olcią
(6.40)
I
X +s).
logarytm ując
obustronnie
I
In Y =a+ fJ ·X+ e. Z danych tabli cy 6.20 mamy 36 : w większości pnypadków szacuj<\C funkcję popytu. będziemy 7..:.k!adać. iż zakłócenie losowe nakfoda na funkcję w sposób mul1iplikatywny. bowiem w pnypadku popytu konsumpcyjnego można oczek i wać. pny większych dochcxlach losowe cxlchylcnia cxl funkcji popytu są również większe (por. np. 153]. [24!)
35 się iż
Funkcja ze
składnikiem trn!o7.onym w sposób addytywny ma pos1ać Y =
cxp
(O' +{J • ~) +E, ale w tej
pos1aci mcxlel należy do ściśle nieliniowych i jego parametry tneba szacować za pomocą nieliniowej MN K Na temat estymacji modeli z addytywnym i multiplikatywnym składnikiem losowym na pnykładzic funkcji Tórnquistapiszc111ywpnragrafic3.3.2 36wartośd zmiennych pomocniczych podano z dokł:idnokią do 5 miejsc dziesięln)'Ch. ale w obliczeniach z;1chowanope !nądokladność
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego
250 I
333.3 0 .0040 0.0030 0.0024
416.7 I
o.cxno
5ci()
x ~
I
I
555.5 I I
625
0.0018 0 .0016 0.00 14 0.00 12
y~
ln60.35 ln8 1.46 1n99.49 ln l09.95 ln 115.50 In 12 1.56 ln 134.29 In 14 1.1 8
4.100 16 4.400 11 4,60006 4. 70003 4. 75005 4.8004 1 4.90000 4.95004
I
7 14.5 I
im Zatem
b=
[
~]
=
(XTX)-l XTy
8
~ [ 0.01740035
=
0.01740035] ' [37.200085 0,00004396 . 0.0790736
l[ ~
5.305] - 300.884
Warto śc i
teoretyczne i pozostałe dane do obliczenia parnme1rów struktury stochastycznej zawiera tablica 6.21 .
Tahlica6.2 1 !nyr
ef
!ny,
4.1 0016
4.IOIOI
- OJXI084 -0.00169
(lny,
- inJ) 2
0.0000007
0 .3024399
_i-, 60.401
4.40011
4.40180
0.0000028
0 .0624971
4.60006
4.58248
0.01758
0.0003090
0 .0025049
97.756
4.70003
4.70277
- 0.00275
0.0000076
0 .0024919
110.253
4.75005
81.598
4.76290
- 0.01285
0.0001651
0.0099886
117.085
4.80041
4.82313
- 0.02272
0.0005162
0 .0225906
124.353
4.90000
4.8834 3
0.01657
0.0002746
0.0624477
132.083
4.95004
4.94334
0.00670
0.0000449
0.0899576
140.237
37,20086
37,20086
0,00000
0,00 13209
0,5549 184
863,766
Żród/o:obliczcniawłasnc
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
s; = 8 ~ 2 . 0.00 13209 = 0.0002202.
S, = 0,0 148 .
~' = ~ = 0.0024 "' 0.24%, D(a)
=
J o.0002202. 0.89864
= 0.014.
D(b) = ) 0.0002202 · 163532.6019 = 6.00. Model pomocniczy przyj muje
postać
1;;;, = 5.305 - 300.884. (0,014) 378,9
(6,00) - 50.1
x,
Dopasowanie modelu do obserwacji jest bardzo dobre (q; 2 = 0.0024), parametry strukturalne s ą statystycznie istotne (ro.oH = 2,447) , a reszty maj <1 rozkład losowy (5 1 = 2 < S = 4 < S2 = 7) . Można zate m zapisać oszacowany model w postaci pierwotnej 37 ·
y, = exp (5.305 - 300.884 · ~ ); jego dopasowanie do obserwacji przedstawiono na rysunku 6.9
d<:><;hody(zł )
Rysunek 6.9.
Zależność
wydatk ów na wa rz.ywa od doc hodów z od w rotnośc ią
Funk cja potęgowa (6.39) po
do pasowani e funkcji
u wzg lędnie n iu zakłóce n ia
y = cro· X"1 · ef . a po zlogarytmowaniu (model pomocniczy): ln Y = ln ero+ cr 1 ln X + e. 37 Lub ullernm ywnie:
_1'
= e 5·}0S- JOOO.SS4·f,-
wykładnic zej
losowego ma postaci
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego
Z kolei·
ln 250
l n 3~3,3
l
I
5.52146 5,80904 6.03237 6,2 1461 6.3 1987 1 6,43775 6.57158 6,72503
=
ln 714,5 ln833
In 60.350 ln 8 1.460
:
r~
l
~
[ ln 134.290 In 141. 180
4.100 16 4,400 11 4.60006 4.70003 4.75005 4.80041 4,90000 4,95003
Zatem b= [
:~] = [ l:~o ] = (XTX)- 1XTy = [0. 3635 ] 49.631715 ] -I [ 37,20085] 309 ,039477 . 23 1. 5708 1 = 0,69 10
8 = [ 49.6317 15
i oszacowany model w postaci liniowej
m ożna zapi sać:
1;; = 0.3635 +0.69 101n.rr. 1
Obliczone w oparciu o model pomocniczy wartości teoretyczne i pozostałe dane do obliczenia parametrów struktury stochastycznej zawiera tablica 6.22.
niezbędne
Tuhlica6.22
l::
ln y1
ln y1
e1 =1ny1 -lny
•I
(lny1 - ln ji) 2
4.10016
4,17853
- 0,07837
O.CXl614
0.30244
4.40011
4.37724
0,02288
O.CXXJ52
0,(16250
4.(i0006
4.53154
0.06852
O.OM69
0.00250
92.902
4.70003
4.65746
0.(14257
0.00181
0.00249
105.368
4.75005
4.73019
0.0 1986
0.00039
0.00999
65,270 79.618
113.317
4.80MI
4.81164
0.00013
0.02259
122.933
4.90000
4,9041 I
0.00002
0.06245
134.843
4,950M
5,01014
-0.06010
0,00361
0.08996
149.925
37,20085
37,20085
0,00000
0,01732
0,55492
864,176
Żród to:obhczcniawłasne
s; ~ 8 ~ 2 . 0,0 1132 ~ 0.00288 .
s, ~ 0.0537,
l-;y, = 0.3635 + 0.6910lnx1 (0,3147) (0,0506) 1,1 55 13.646
2
(/)
= 0.01732 = 0.03 12.
0,55492
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll Wartość współczy nn ika z b ieżnośc i św i adczy
o niezłym dopasowaniu modelu do obserwacji. jednak ocena wyrazu wolnego (ln a 0 ) jest statystyczni e nieistotna (b ł ąd jest niewiele mniej szy od oceny). Ważn e jest jednak, że współczy nnik przy zmiennej obja ś ni ającej jest statystycznie istotny, co potwierdz:1 istotny wpływ dochodu na wydatki na żywność. Ponadto pewne zas t rzeżen i a budzi c iąg reszt. Obserwujemy w nim 3 serie; S = 3 mieśc i s i ę w przedziale (S 1 = 2; S2 = 7), m ożn a mieć tylko zastrzeżen i a, że jedna z serii jest stosunkowo d łu ga (liczy 4 elementy), co (przy n = 8) może św i adczyć , że funkcja potęgowa o postaci )', = i ,438x?· 691 (e 0 · 3635 = 1.438) nie najlepiej opisuje badaną zal eż ność. Dopasowanie to pr~edstaw i a rysunek 6.10
./·
~ '"
~120 ~100 ~ 80
~ .g
~
60 40
20 o+-~~~~~~~~~
o
400
600
dochody(zł)
Rys unek 6.10.
Zależność
wydatków na wanywa od dochodów -
dopasowanie funkcji
po1ęgowej
Na podstawie danych z tablicy 6.20 oszacowano także parametry funkcji T6m quislll I rodzaju (6.41 ). n akładając w sposób muhiplikatywny zakłóce ni e losowe. tj.
y1 = ~ e~' . W wyniku zastosowania algorytmu Gaussa-Newtona (przy począt x, +fi kowych wart ośc i ach parametrów a 0 = 99. fJo = 2188 wyznaczonych zwy kłą MNK) otrzymano· • 323.774x1 y, = x, + 101 3.663. Asymptotyczne błędy średnie szacunku parametrów są równe D(a) = 37 .272. D(b) = 173.810, wartośc i teoretyczne i inne dane pomocnicze do obliczenia miar dopasowania zawiera tabl lica 6.23 38 .
s; ~ Jak
0
·~~~ ~ 0.00149. 14
S,
~
0.03854,
~2 ~ 0~~::9124 ~ 0.01606.
widać, rów ni eż
dopasowanie do danych empirycznych tej funkcji jest dobre; tylko około l ,6% zmienno śc i wydatków na warzywa nie zosta ło wyjaśnione przez model , parametry strukturalne są siatystycznie istotne (t(a) = 8,69. t(b) = 5.83), a w cią gu reszt obserwuje się S = 5 seri i: można jedynie mieć zastrzeżeni a - podobnie jak .l8Jak pamięlamy z rozdziału zlognrytmow;1Ć
3. ponieważ skł:tdnik losowy nnłożono muhip!ikatywnie. funkcję nnleżalo
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego Ta blicn6.23
ln y1
e, =
,;
(ln y, - iiiJ)2
- 0,059576
0,003549
0.30244
64,055
4.383481
0.0 16631
0.000277
0.06250
80.116
4.546729
0.053328
0.002844
0.00250
94.323
4.672366
i::
ln y, - ln )'1
4, 159737
0.027659
0.000765
4.74 1617
0.008433
0.000Cl71
0.00999
114.619
4.8 16161
-0.0 15754
0.000248
0.02259
0.00249
123.490
106.951
4.896814
0.003187
0.000CllO
0.06245
133.863
4.983944
- 0.033908
0.00 1150
0.08996
146.049
37.200849
0.000000
0.008914
0,55492
863.467
Żródlo:oblincniowłasnc
w przypadku funk cj i potęgowej - że jedna z nich jest stosunkowo d ł u g a (4 elemenl y). Dopasowanie do danych empirycznych funk cji Tórnqui sta I przedstawiono na rysunku 6. 11
d(l(:hody(zł)
Rys unek 6. 11.
Za l eżność
wyd:i1ków na warLywa od dochodów - dopasowanie funkcj i TOmquista I
R ea su muj ąc, do opisu za l eż nośc i wydatków na warzywa i przetwory od dochodów gospodarstw domowych w wys t ę pujący m w próbie przedziale z mi e n n ośc i dochodów w zasadzie mo ż na wy ko rzys t ać dowol ną s poś ród wymienionych w yżej fu nkcji. Zatem po ni żej porównamy wnioski o badanej zal eżn ośc i w y n ikające z k ażdej z nich i obli czymy ela st y cz nośc i . Z funkcji wykładniczej z odwrotnością y 1 = e 5 ·305 - 300 "884·f,- (równoważny zapis tej I funk cji to y1 = exp(5.305 - 300.884 · - ) wynika, że do poziomu dochodu nieco ponad
150 zł
p
(Z =
Xr
300. 884 = 150.44) wydatki na warzywa 2
-
ro s n ą
szybciej
ni ż
dochody, a od
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
tego poziomu rosną coraz wo lniej -
do asymptoty poziomej ea = e 5·305 = 201.25 zł
m1 es1ęczmc
Dochodową elas tycznść czyć wykorzystując formułę
E Y
1„
_
wydatków na warzywa w oparciu o (6.32):
tę funkcję można
obli-
v'. ~ _ e5.3o5 - 3oo.s84· f,- [-(- 300.884)] _ _ x, _ _ _ 300.884.
- ·
y1
x,2
-
e5.30S- 300.884·f,- -
x
1
•
jej wartość zależy od poziomu dochodu. I tak np. w najniższej grupie dochodowej. a więc przy prtcc iętnym mie s ięczny m dochodzie 250 z ł na osobę, e las t yczność dochodowa wynosi E y/x= 250 =
33
84
~;~
= 1. 324, a w
najwyższej
(ostatniej) grupie (przy
śred
nim dochodz ie 833 zł na osobę) - wynosi E y/.• = 833 = J~j~84 = 0.397. Zatem (w badanej grupie gospodarstw domowych) wzrost przeciętnego mies ięcz nego dochodu (x = 250 zł) o 1% powoduje wzrost wydatków na warzywa o 1,324%, natomiast przy dochodzie 833 zl reakcja jest znacznie s łab sza, bo wzrost dochodu o I% powoduje wzrost wydatków na warzywa tylko o 0,397%. W przypadku funkcji potęgowej f 1 = I . 438x?.69 1 elastyczność wynosi:
Ey/.• = y'.
~
= 1.438.
)'
0.691x?·6'ł1 - 1 ~ = 0.69lx?·.:~/1- 1. x, 1,438.\1
- 0.691
.\1
i nie zależy od poziomu dochodu. Jak już wielokrotnie podkreślano, wykładnik funkcji potęgowej interpretowany jest jako s tała (tzn. n iezależna od wartośc i x) elastyczno ść (w zasadzie nie ma więc potrzeby jej obliczania). Ocenę parametru a 0 , czy li a0 = i ,438 m ożn a interpretować jako poziom wydatków na warzywa (y) przy przeciętnym mies ięcznym dochodzie x = l (z ł ) 323 774 W przypadku funkcji Tórnquista [ )'1 = xr ocena parametru a jest in· x1 + 1013.663 terpretowana jako poziom nasycenia, czyli poziom , do którego wydatki na dane dobro rosną, lecz którego nigdy nic prtckroczą (a jest asymptotą poziomą funkcji). Zatem w badanych gospodarstwach w miarę wzrosm dochodów wydatki na warzywa wzrastają do poziomu 323,774 z ł na osobę mies ięczni e. Parametr -{J (-10 13,663) jest asymptotą pion ową funkcji. ale nie ma interpreiacji ekonomicznej. Dochodowa elastyczność wydatków na warzywa obliczona w oparciu o tę funkcję jest równa
Ey/.• =y · X1 y,
323.774 · (x1 + 1013.663) - 323.774x1 (.r1 + 10 13.663)2
323.774 · (x 1 + 1013.663 - x 1) (x 1 + 1013.663) 2
X1
(X 1
+
.r1 323.774.rr X1 + [013.663 1013.663 ) 1013,663
323.774.r1
•
l
X1
+ 1013.663
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego
i t akże zależy od poziomu dochodu. Przykładowo w najniższej i najw yższej grupie dochodowej elastyczności obliczone w oparciu o tę funkcję wynoszą 1013.663 + 101 3,663 1013.663 = 833 + 1013,663
E y/." "' 250 = 250
°· 802·
E y/x ;833
0.549
Tak więc w badanych gospodarstwach wzrost p rzecię tnego mies i ęcznego dochodu x = 250 zł o I% powoduje wzrost wydatków na warzywa o 0,802 %, a wzrost dochodu x = 833 zl o 1% powoduje wzrost wydatków na warzywa ty lko o 0,549%. Obliczone w oparci u o funkcję wykładnic z ą z odwrotnosc i ą oraz funkcję Tórnquisla I e la s t ycznośc i wydatków na warzywa dla wszystkich grup dochodowych zestawiono w tablicy 6.24. Tablica6.24
Grupy dochodów w zł na osobę
Elastyczność wydatków na warzywa Przeciętny miesięczny względem doc hodu obliczona w oparciu o funkcję dochód w zl n;i osobę I-
(x)
Do300
i·=
e5.305-300.8S4·ł;-
)'i=
1 3
_,,3.;:~7 ~~~
250.U
1.324
0.802
300--380
333.3
0.993
0.753
380---460
416.7
0.794
0.709
460-520
500.0
0.662
520-600
555.5
0.596
0.646
625.0
0.529
0.619
714.5
0.463
0.587
833.0
0.397
0.549
760 i
więcej
0.670
Źródło: opracowanie własne
Jak widać, wraz ze wzrostem dochodów e lastyczności maleją, czyli warzywa stają dobrem coraz bardziej podstawowym Gdyby ś m y dysponowali danymi o liczbie gospodarstw w poszczególnych grupach dochodów (strukturze gospodarstw według grup dochodów), można byłoby obliczyć przec i ętne ela s tycznośc i dla każdej funkcji. się
Przykład 47. W tablicy 6.25 podano informacje o przeciętnych mi es ięcznych dochodach (x), oraz przeciętnych mies i ęcznych wydatkach na żyw ność (yi), na rekreację i kulturę (y1 ) oraz na hotele i restauracje (y 3 ) (x, y w zł na osobę miesięczni e) w gospodarstwach domowych o strukturze według grup dochodów Na podstawie analizy rozrzutu punktów empirycznych (por. rysunki 6.12, 6.13 i 6.14) z a l eż ność między dochodami a: wydatkami na ży wność (y i) opi sano za pomocą funkcji Tórnquista I, wydatkami na rekreację i kulturę {)'2) opisano funkcją Tórnquista li , wydatkami na hote le i restauracje (y3) opisano funkcją Tórnqui sta LU .
6. Elementyekonometrycznej analizyrynkll Ta hlica6.25
1~:~~~:~~;~
Grupy
doc hód
doc hodowe
~~:~~~:~:
Pmci~.tnc
Pmcię.mc
~~~~~:~f
wyda1k1 wyd_m~ t na wy~atkt na . w ogólnej liczbie na żyw ność rekreację 1 kulturę hotele 1 restauracje gospoda rstw (%) w
zł/osobę
Do400
360
34-0
15
0.4
3.S
400- 540
480
405
60
7.0
6.4
540- 680
600
470
9.8
20.0
820- 960
40.0
10.5
55.0
2 1.0
70.0
24.0
11 00-1240
I 180
680
198
88.0
15 .2
1240-- 1380
1300
71 0
2 10
11 5.0
7 .7
1380 i wicccj
1 620
770
225
170.0
645
1.9 100,0
i.:
,,10L Żródlo: daneumowne
800
600
•
•••••
400
' "'Le •••
••
100
•
50
200
o o
200 150
•••
300
600
900
1200
1500
, ,ooL_ Rys une k 6.12. Wydatki na
żywność
a dochody
0
•
o
. 500
1000
1500
R)·sunck6.13. Wyd;uki n arekreację a doc hody
2000
i kullurę
150
100
•
50
o
••
o
• 500
1000
1500
2000
R)·sun ck6.14.Wydatki nuhotcleires tuurncje;i doc hody
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego Przyj mując założenie o multiplikatywnym s kładniku losowym i st osując metody estymacji nieliniowej (omówione w rozdziale 3). otr.i:ymano wyniki zestawione w tablicy 6.26 (zaokrąglone do dwóch miejsc dzi esięt nyc h)
Wyszczególnienie
B!ąd średni
szacunku
Statystyka1
Wydatki na żywność
narekreacjęikul!urę
Wydatki na hotele i restauracje
(y 1)
Wydatki (Y2 )
(YJ )
1239.27
970.17
346.83
334.58
330.08
0.267
1624.78
42.30
60.58
27.20
101.09
2.95
0.054
520.38
0.85
29.30
16.01
12.75
3.31
li l.74
4.94
3.12
415.21
0.995
351.77
0.999
0.997
ź.ródło : opr:i•·owaniawłasne
Na l eży zi nt erpre 1 ować
ków na
otrzymane wyniki i obliczyć dochodową e la styczność wydati kulturę oraz hotele i restauracje
żywność, rekreację
Rozwiqza11ie. Oszacowane funkcje
można zapisać
w postaci:
Ą 1239,27x J'i=x+970. 17"
346.83(x - 330.08) 0.267.r(x - 351,77) X+ 334,5 8 r + 1624. 78 Zatem w badanej grupie rodzin wydatki na żywność ()'1) w miarę wzrostu dochodów wzras tał y coraz woln iej do poziomu nasycenia - średn io 1239,27 zł na osobę (ocena parametru a). Wyda1ki na rekreację i kulturę y2 pojawiały się w rodzinach. w których przeciętny miesięczny dochód pn.:ekroczy ł 330,08 zł (ocena parametru y) i w miarę wzrostu dochodów wzrastały (coraz wolniej) do poziomu nasycenia 346,83 zł na osobę (ocena parametru a), natomiast wydatki na hote le i restauracje }'3 pojawiały się w rodzinach o prLeciętnym miesięcznym dochodzie nic mniejszym niż 35 1.77 zł na osobę (ocena parametru y) i w miarę wzrostu dochodów rosły coraz szybciej E l astyczność wydatków na żyw no ść (6.32) jest równa 1239,27(.x + 970, 17) - 1239.27.r l {.r + 970.17) 2 . 1239,27.r = x + 970,17 1239,27(x+970.17 - x) x(x+970. l7) 970.17 (X + 970. 17)2 1239. 27.r X + 970, J 7 i zależy od poziomu dochodów. I tak np. w n ajniższej grupie dochodowej. prLy przecięt nym miesięcznym dochodzie x = 360 zł/osobę· 970. (7 Eyif.•=MIJ = 360 + 970. 17 =O. 729 ·
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
czy li wzrost dochodu równego 360 zł na osobę o I% w badanych rodzinach powoduje wzrost wydatków na żyw n ość prLecię.tn i e o 0,729%. Natomiast w najwyższej grupie dochodowej (o przec i ęt ny m mies i ęcznym doc hodzie 1620 zł na osobę)
970.17 E yJ/s = 1620
0.375 .
= 1620+970.17
a wię.c reakcja wydatków na ży w n ość na zmian ę. dochodu jest znacznie s łabs za - zmiana dochodu o l % powoduje wzrost wydatków na żywn ość tylko o 0,375% Jak ł atwo sprawdzić, elastyczność funkcj i Tórnquista I (6.4 1), dana ogólnym wzo-
E_,>i' ~ _ fi _ _
(6.44)
x+.8
jest X
w i ęc malejącą
fu nkcj:1 doc hodu i pnyjmuje
wartości
mniejsze od I (jest równa l dl:1
= 0) Elas t yczność
wydatków na rekreację i ku lturę jest równa
EnJ.• = l ·f.; 346.83 (x
+ 334.58) - 346.83 (x + 334.58)'
(x - 330.08) I 346.83 (x-330.08) .r+334,58
346,83 (.r + 334,58 - X+ 330,08) (x + 334,58) 2 (334 .58 + 330.08) Przykład owo
i; (x + 334,58) 346.83 · (x - 330,08)
664.66x (.r + 334,58) · (x - 330.08) ·
·X
(x + 334.58) · (x - 330.08)
(1620
•
w rodzi nach o doc hodach naj n iższych (360 zł/osobę) oraz wydatków na ku lt urę przyjmuje wartości
najwyższych
zł/osobę) elastycz ność
E n/s =1620
664.66. 360 11 .5 14. (360 + 334,58) . (360 - 330.08) 664,66. 1620 0,427, (1620 + 334.58). (1620- 330.08)
a więc wzrost dochodu o I% w rodzinach o n aj ni ższych dochodach powoduje wzrost wydatków na k u lt u rę. o 11,5 14%, a w rodzinach o naj wyższych dochodach ty lko o 0,427 %. Czytelnik zechce sprawdzić, że elastyczność funkcji Tórnquista Il (6.42), dana ogólną formu ł ą
E
_
1 ·'' ' -
jest
malejącą fu n kcją
dochodu. ale
(fi+y)·x (x
+ #)(x
(6.45)
-y)"
m oże przyjmować
w zasadzie
d owol n ą (dodatnią)
wartość 39 .
39Jes1 nieokrdlona - nie nu leży jej obliczać dla dochodu niższego niż ocena parametru y
6.2. Ekonometryczna analiza popytu konsumpcyjnego E l a st yczność
EYJ1 x = Y
1 •
wydatków na hotele i restauracje
wzglę d e m
dochodów ogół e m wynosi
~
Y3 [0,267 (x-351.77) + 0,267x I]· (x+ l624,78) - 0.267x · (x-35 1. 77) ·I (x + 1624. 78)'
0,267x (x - 351,77) X+ 1624.78 0.267-L(2x-351,77) (x+ \624 ,78)-x (x-351,77)] x- (x+ 1624,78) (x+l624.78)2 ·0.267x-(.r - 351 .77) r 2 +2- l624.78x - 351.77 - 1624.78 (x + 1624.78) (x - 351.77) Tak jak poprzedni o, obliczymy elastyczności wydatków na hotele i restauracje dla najn i ższej i najwyższej grupy dochodowej . I tak: En/x=3ffi
E n/:.:= 1620
3602
~:o· ~6~:~:~7·8~~~~~~
;;I: ~~)24.
78
44,56 1.
16202 +2· 1624.78· 1620 - 351.77· 1624.78 ( 1620 + 1624. 78) . ( 1620 - 351.77)
I. 778
W tym wypadku elastyczność zmniejsza się z 44.56% w rodzinach o n ajniższych dochodach (lj. dla x = 360) do 1,778% w rodzinach najbardziej zamożnych (x = 1620), ale ciąg l e jest bardzo wysoka
Ta blica6.27 Średni dochód w grupie dochodowej
Elastyczność
w,I
na
wydatków
żywność
Ela~tyczność
wydatków
narekreacjc ikulturę
Elas ty,z ność
wydatków na hotele i restauracje
0.729
11.514
44.561
0.669
2.6 12
4.515 3. 147
0.6 18
2.476
0.55 1 910
0.5 16
0.838
1050
0.480
0.700
2. 111
1180
0.45 1
0.609
2.()()4
1300
0.427
0.545
1.926
Średnia ważona
0,5 19
1,3 18
3.887
elast yczność Żró
2.27 1
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll Elastyczność
funkcj i Tómqu ista ll1 (6.43)
m ożna zapisać
x 2 + 2 · {3 E n/.•· =
ogólnym wzorem
y · f3 (x + /J)(x - y) . ·X -
(6.46)
Wraz ze wzroste m dochodu (x) e l astyczność maleje. ale jej wartość nigdy nie spada poni żej 1. Po ni eważ w tablicy 6.25 podana jest struktura badanych gospodarstw domowych według grup dochodów, możn a było ob li czyć średni e e l astycznośc i dla wyróżnionych kategorii wydatków (jako ś redni e ważone e lastyczności w grupach dochodów podanych w tablicy 6.27 i udziałów grup dochodowych w ogólnej liczbie gospodarstw) . Wyn oszą one: dla wydatków na żyw ność 0,5 I 9, dla wydatków na rekreację i kulturę 1.3 18, a dla wydatków na hotele i restauracje 3,887
6.3. Analiza struktur wydatków i ich zróżnicowania Przynal eż n ość
do okreś lon ej grupy s połecz n o-ekono mi cznej jest jednym z istotnych czynników różnicujących wzory konsumpcji, określone zarówno ogólnym poziomem. jak i strukt urą wydatków gospodarstw domowych R ów ni eż w ramach poszczególnych grup spo łeczno-zawodowych zauważa się róż nice w sposobac h wydatkowania dochodów spowodowane poziomem za możnośc i gospodarstwa domowego czy też pewnymi cechami społecz n o-demog rafi czny mi rodziny Istotny wpływ na kszta łtowanie s ię struktur konsumpcj i wywiera także poziom rozwoju s poł eczn o-gospoda rczego kraju i, co się z tym wiąże, struktura dochodów i cen oraz dostępność dóbr na rynku. Te właśn i e czynniki powod ują pewne przemiany struktur konsu mpcji gospodarstw domowych zac hodzące w czasie Syntetyczną ocenę stopnia zróżn i cowani a struktur konsumpcj i między grupami gospodarstw domowych umoż l iwiają miary zróż nicowani a struktur. Jedna z proponowanych w literatur.te miar zróżni cowa n ia struktur dana jest wzorem: (6.47) gdzie: {J,·p· {J;" oznaczają, odpowiednio, udz i ał i-tej składowej struktury w 11-tym i q -tym typie gospodarstw domowych (k jest liczbą wyróżnionych s kładnik ów struktu ry. czyli grup wydatków). Oczywiście s kład owe {J;p, {3;" spe łniaj ą relacje: O~/J;p ~ I .
(6.48)
Miara vpą przyjmuje wartości z przedziału LO: IJ. Gdy porównywane struktury są identyczne, tJ 1," = O. Zwiększającym s i ę różnicom strukturalnym towarzyszy wzrost wartości v„ą aż do jednośc i . W celu oceny zmian strukturalnych, jakie zac h odził y w czas ie, w okresie [O: n], powyższa miara przyj muje pos t ać:
6.3. Analizastrukturwydatkl'iwi
ichzrl'iżnicawania
(6 .49)
W tym pn.:ypadku {3; 1 , /J; (i - r J to udział y i-tej grupy wydatków, odpowiednio, w okresach t i (1 - r), a więc w okresach oddalonych od siebie or jednostek czasu W badaniach dynamiki struktur odrębny problem stanowi pomiar s t abilnośc i kierunku zmian strukturalnych. Problem sprowadza się do odpowiedzi na pytanie, czy obserwowana struktura przejawia tendencję do zachowania s tałego kursu zmian, czy też zachodzące w kolejnych okres:1ch zmiany są efektem przypadkowych wahań ud z iał ów poszczegól nych sk ład owyc h , które w dłuższych okresach czasu nie prowadzą do konsekwentnych zmian w stosunku do struktury okresu początkowego. W tym celu m ożna wykorzystać miarę monotoniczności (por. K. Kukuła L86J, L87])·
v„.o
I}„= - . - - .
(6 .50)
~Vr.1- l
1
Konstrukcja tej miary opiera s ię na założe niu , i ż w przypadku, gdy wszystkie s kła dowe struktury ewo luując. utn.:ymują s t ały kierunek zmian w okresie [O: 11], zachodzi 11 11
.o =
1~ v
1 .1 -
i,
czy li
wartość miary zróżnicowania między okresem początkowym (0)
i końcowym (11) jest su mą wartości analogicznych miar obliczanych z okresu na okres (tj . VJ.O• IJ:! . l· VJ.2· .... V11 .11 _ i) Warto śc i miary 1111 są unormowane w przedziale [O: I]. Gdy 11„ =O, struktura w 11-tym okresie jest identyczna jak struktura w okresie wyjśc iowym (0). Gdy IJ,, = = l. wiadomo że ud z iał y poszczególnych s kład owyc h tworzą ciągi monornniczne, czy li stmktura ewoluuje, utrzy mując stał y kierunek zmian Przykł ad 48. W tablicy 6.28 zestawiono przec i ętne mi es i ęczne wydatki (w zł na osobę) w sześc iu wyróżnionych grupach gospodarstw domowych w 2005 r.• a w iablicy 6.29 (s. 349) obliczone w oparciu o te dane strukn1ry wydatków. Ocenić s lopi e ń podobieńs t wa struktur wydatków między poszczególnymi typami gospodarstw domowych, wykorzystując miarę Vrą· Rozw iązan ie. Obliczenia pomocnicze do wyznaczenia wskaźników zróżnicowania analizowanych struktur zawiera tab li ca 6.30 (s. 350). Dla ułatwi enia zapisu poszczególnym rypom gospodarstw w tablicach 6.28 i 6.29 nadano numery (p. q = I. 2. 3, 4, 5, 6) i u żyto ich w tablicy 6.30 W rezultacie otrzymujemy (6.47)
0,2678 V12= - =0, \ 339. 2 0.2610 V15 = - 2 - = O, 1305.
0. 1625
\113=~=0, 0 8 17,
0. 2313
V16=~=O ,115 7 .
0.2447 \114= - = 0.1 224, 2
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
0. 3013 2 - =0.1506.
Vz.1 = -
V25
0.3774 = - =0, 1887 . 2
V36
=
0.4300 \12b=2 - = 0.2150. V34
V45
V56
=
0.2775
~
=0,1 388,
0.3765 = - = 0.1882, 2 0.1069 = - = 0,0534 2
V35
= 0 · 3~0J = 0. 1652.
V46
= -
0 2 36 · : = 0.1418.
0.4227 - = 0.2113. 2
Wydatki gospodarstw domowych w 2005 r. (w z! na osobę)
Lp.
Wyszczególnienie
pracowników nastanow1skach robotniczych
pracujących
prnrnwo;ków""-1
stanowis~achnic-
robom iczych
(I)
rolników na rachunek emerytów rencistów (3) wlasny (5) (6)
(2)
(4)
I Żywność i napoje
bezalkoholowe 2 Napoje alkoholowe i wyroby tytoniowe 3 4
Odzież
i obuwie
Użytkowanie
206.26
192.78
204.86
223.92
188.45
17.99
21.61
14.07
23.57
19.28
16.25
28.16
58.14
26.64
19.48
88.49
144.81
183.17
141.67 25,86
26.55
mieszka-
niainośnikicnergii
5
162.06
98.96
164.78
Wyposażcniemieszka-
24.62
45.10
37.26
6 Zdrowie
16.22
37. 17
19.52
29.71
69.86
7 Transport
43.10
115.54
53.34
97.86
46.78
27.26
ląc7.11ość
26.97
52.46
24.48
56.41
39.48
30.47
82.32
8
9 Rekreacja i kultura
52.85
29.23
46.75
29.90
83.72
22.76
45.69
28.13
IO Edukacja
6.06
21.4 1
5.10
15.57
2.88
2.70
li Restauracje i hotele
8.96
22.55
3.68
23.51
7.91
7.56
25.58
12
l nnecow;iryiusługi
(w cym higiena osobis1a)
23.38
54.21
2 1.74
45.03
39.09
13
Pozostałe
21.16
48.60
30.56
42.91
70.30
44.45
X
Wydatki
505,93
940,32
533,9 1
869.80
8 12,26
604.6 1
wydatki
ogółem
Źródło:Roci:nikS1a1ys1yczny2006.s.296-300
6.3. Analizastrukturwydatkl'iwi
ichzrl'iżnicowania
Struktury wydatków gospocfars tw domowych w 2005 r. (w%)
Wyszczególnienie
Lp
~~~~:n:~~s~ pracown~ków na
.!pracujących
. kach robotni- ~tanowis_k ach rolników na rachunek emerytów rencistów własny (5) (6) h mcrobotn1czych (3)
c~~;
(2)
(4)
I Żywność i napoje
bezalkoholowe 2 Napojca lkoholowc i wyroby tytoniowe 3
4
Odzież
0,219
0.36 1
0.236
0.216
0.312
0.023
0.026
0.027
0,024
0.027
0.052
0.063
0.053
0.067
0.033
0.032
0. 196
0.175
0. 166
0.166
0.226
0.234
Użytkowan ie
i 5
i obuwie
0.320 0,036
nośniki
mieszkania energii
Wyposażenie
mieszkania
6 Zdrowie
7 Tr;mspo11
0.049
0.056
0.055
0.052
0.046
0.043
0.032
0.040
0.037
0.034
0.086
0.077
0.085
0.123
0. 100
0.113
0.058
0.045
0.053
0.056
0.046
0.065
0.049
o.oso
0.059
0,089
0.043
0.095
0.056
0,047
10 Edukacja
0.012
0.023
0.0 10
0.018
0.004
0,004
li Restauracje i hotele
0,018
0.024
0.007
0.027
O.QlO
0.013
12 Inne towary i usługi (w tym higiena osobista)
0.046
0.058
0.04 1
0.052
0.048
0.042
0.042
0.052
0.057
0.049
0.087
0.074
1,000
I.OOO
1,000
1,000
1,000
1,000
8
Łączność
9 Rekreacja i kultura
13
Pozostałe
X
Wydatkiogókm
wydatki
żródłu:obliczcniawłasne
Obliczone wskaźniki można zapisać w postaci symelrycznej macierzy zróżnicowa nia struktur, w tym wypadku macicrLy o wymiarach 6 x 6, prLcdstawioncj poni żej. W dodatkowej. siódmej kolu mnie tej macierzy podano sumy wskaźników stmktury dla poszczegól nych kategorii gospodarstw domowych, co ułatwi wyodrębnienie typów najbardziej różniąc yc h s ię od pozos t ał yc h. Macierz zróżnicowania struktur mi ędzy grupami gospodarstw domowych w 2005 r. jest nas t ępująca·
L: J
6
0.0000
0. 1339
0.0817
0.1224
0.1 305
0. 11 57
0,5842
0.1 339
O,OOOU
0.1506
0.0419
0.1887
0.2 149
0,7300
0.0817
0. 1506
0,0000
0.1388
0.1652
0. 1418
0,678 1
0.1224
0.04 19
0.1388
0.0000
0.1882
0,2113
0,7026
0.1305
0. 1652
0.1652
0.1882
0.0000
0.0534
0,7025
0.1157
0.2 149
0.1418
0.2113
0.0534
0.0000
0,737 1
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Tablica6.30 Waności bezwzg lędne różnic między wskaźnikami
st rukmry l,'l;p
- tl1ą l
Lp ~,-, -,_, l-,_,, _-,~ , _-,-,-_-,-,-_-,-,-_-,-,-_-,-,_4 _3__-51_ 3_ -, -, _- ,- ,- _- ,- ,- --j 6 I 0.101 0.041 0.085 0.045 0.009 0.142 0.016 0.056 0.092 0.126 0,085 0.049 0.040 0.076 0.036 2 0.013 0.009 0.008 0,012 0.009 0.003 0.004 0.001 0.004 0.001 0.003 0.001 0,003 o.ooo 0.003 3 0.010 O.OOO 0.014 O.D20 O.Q20 O.QIO 0.004 O.Q30 0.031 0.014 0.020 0.021 0,034 0.035 0.001 4 O.D20 O.Q30 0.029 O.Q30 0.039 0,009 0.009 0.050 0.059 0.001 0,060 OJJ69 0,059 0.068 0,009 5 0.008 0.006 0.003 0,003 0.006 0,001 0.004 0.010 0.01 3 0.003 0,009 0.012 0,006 0.009 0,003 6 0.007 0,005 0.002 0.054 0.045 0.003 0.005 0.046 0.038 0.002 0.049 0.04 1 0.052 0.043 0.009 7 0.038 0,0 15 0.027 0.028 O.o40 0.023 O.QlO 0.065 0.078 0.013 0.042 0.055 0.055 0.067 0.013 8 0.002 0.007 0,0 12 0,005 0.003 O.QIO 0.009 0.007 0.005 0.019 0,003 0,005 0,016 0.014 0.002 9 0,030 0.0 16 0,036 0,003 0.013 0.046 0.006 0,033 0.043 0,052 0,014 0,004 0,038 0.048 O.QIO 10 0.0 1l 0.002 0.006 0,008 0.008 0.013 0.005 0.019 0.0 18 0.008 0.006 0,005 0.014 0.013 0.001 Il 0.006 O.O il 0.009 0,008 OJJ05 0.017 0.003 0.014 O.Oil 0.020 0.003 0.006 0,017 0,015 0.003 12 0.01 1 0.005 0.006 0,002 OJJ04 0.017 0.006 0.010 0.015 O.Ol I 0.007 OJJ02 0,004 0,009 0.006 13 O.QlO 0.015 0.008 0.045 0,032 0.006 0.002 0.035 0.022 0.008 0.029 0.016 0.037 0.024 0.013
L
0,268 0,163 o,24s 0.261 o,231 o.Jo1 0,084 0.377 o,430 0,218 0,330 o,284 0.376 o,423 0.101 Żródło:obliczeniaw/asne
Nietrudno zauważyć, że najbardziej róż ni s i ę od pozos tał yc h struktura wydatków w gospodarstwach rencistów (6) oraz w gospodarstwach pracowników na stanowiskach nierobotniczych (2), natomiast najmniej - struktura wydatków w gospodarstwach pracow ników na stanowiskach robotniczych ( I). Bardziej szczegółowa analiza wskaźni ków zróżn i cowania rozważanych struktur (macierL) pozwala za uwa żyć, że najbardziej podobne były struktury w gospodarstwach: pracowników na stanowiskach nierobotni czych (2) oraz pracuj<1cych na rachunek własny (4) ll:2 4 = 0.0419, emerytów (5) oraz rencistów (6) v56 = 0.0534, pracowników na stanowiskach robotniczych ( I) oraz rolników (3) 11 13 = 0.08 17. natomiast najbardziej różniły s ię od siebie strnkn1ry wydatków rencistów (6) oraz pracowników na stanowiskach nierobotniczych (2) t1:2 6 = 0.2149 i rencistów (6) oraz pracując yc h na rachunek własny (4) 1146 = 0. 21 13. Szczegółowa analiza struktur wydatków (tablica 6.30) pozwala zao b se rwować, iż gospodarstwa rencistów (a także emerytów) stosunkowo dużą część dochodów przeznaczają na żyw ność (c hoć n
6.3. Analizastrukturwydatkl'iwi
ichzrl'iżnicawania
Tablic116.JI
Lp
Wyszczególnienie
I
Żywność i napoje
1997
1998
1999
2000
200 1 2002
2003
2004
2005
bc1_alkoholowe
0.446 0,455 0.429 0.417 0.4 19 0.391
Napoje alkoholowe i wyroby 1yto11iowe
0.036 0.034 0.034 0,032 0.032 0.03 1 0.033 0.029 0.026
3
Odzież
0.069 0.069 0.066 0,055 0.055 0.056 0.052 0.055 0.053
4
Użytkowaniemieszkania
i obuwie
0.403 0.379 0.361
i11oś11ikie11ergii
0.125 0. 11 9 0. 130 0. 123 0. 132 0.144 0.147 0.141 0.055 0.051
0.166
S
Wyposażen ie
6
Zdrowie
0.QJO 0.037 0.037 0.036 0.037 0.035 U.040 0.038 0.037
mieszkania
0.051
0.057 0.044 0.050 U.048 O.OSO 0.055
7
Transport
0.094 0.083 0.101
0.106 0.116 0.109 0.086 0.115 0.100
8
Łączność
0.010 0.014 0.021
0.028 0.037 0.038 0.(l41
9
Rekreacja i kuhura
0.037 0.040 0,041
0.045 0.(143 0.04 1 0.044 0.045 0.043
10
Edukacja
0.008 0.008 0,010 O.Ol I O.O l I O.Ol I O.Ol I O.OlO O.QlO
ll
Restauracje i ho1cle
0.003 0.002 0.004 0.004 0.003 0.007 0.005 0.006 0.007
12
l nnetowaryiusługi {w lym
13
0.041
0.046
higiena osobista)
0.040 0.045 0.038 0.046 0.04 1 0.042 0.044 0.046 0.041
Po:ws1:1 łc
0.047 0.043 0.038 0,039 0.030 U.047 0.045 0.045 0.057
Wyda1ki
wydatk i
ogółem
1,000
1,000 1,000
1,000 1,000
1,000
1,000
1,000 1,000
Żródto:obliczcniawłasnc11apodsrnwieRocznikówSca1ystycznych 1998-2006
Rozw iązanie. Obliczymy wartośc i mi ernika Vr.r - r (6.49), przyjmując t = 1997. 2005; r = I (czyli zróż ni cowani e struktur między kolejnymi latami) oraz zróż n icowani e między skrajnymi latami analizowanego okresu v20051 1997 . Tablica 6.32 zawiera obliczenia pomocnicze, ostai ni jej wiersz zawiera wartośc i odpowiednich miar z róż ni cowa ni a. Jak nietrudno zauważyć zmiany, jakie zaszł y w strukturze wydatków gospodarstw rolników w latach 1997-2005 są niewielkie. Ws kaźnik zróżn i cowania mi ę d zy latami 1997 i 2005 wynosi tylko 0. 1111 (ostatni wiersz tablicy 6.32). Jeszcze mniejsze zmiany zachodz ił y z roku na rok; wskaźniki zróżn i cowania struktur mi ędzy kolejnym latami są rzęd u 0,03-0,04. Aby ocenić czy te zachodzące z roku na rok ni ewielkie zmiany miał y stały kierunek, obliczamy miernik monot o niczności I/ we dłu g wzoru (6.50) . Dla ca łego analizowanego okresu przyjmuje on wartość:
0.1111 0.1111 0.3835 0.0280 + 0.0420 +. + 0.0375 + 0.047 1 0. 2897 tej miary znacznie poniżej I św iadczy. że zmiany zac hod zące w strukturach wydatków gospodarstw rolników nie wykazywały określonej stałej tendencji. Analizuj ąc szczegółowo s t rukturę wydatków w kolejnych latach (tabli ca 6.3 1) zauważamy, że sys t e m atyczną tendencj ę spadkową wykazywały wydatki na żywność (ich udział spadł z oko ło 45% w latach 1997, 1998 do około 36% w 2005 r.), o około I punki procentowy '
Warto ść
1
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll Tahlica6.32 Wartości bezwzgl ędne różnic m iędzy wskaźnikami
struktury 1.8,·p - .B;q I
Lp
1998 il997
1999 il998
0.009
l.:
2002 i2001
2003 i2002
2004 i2003
2005 i 2004
2005 il997 0.085 0,010
0.026
0.012
0.002
0.029
0.01 3
0.024
0.018
0.002
O.OOO
0.002 0.011
O.OOO
0.001 0.001
0.001
0.004
0.003 0.011
0.004
0.003
0.002 0.002
0.007
0.008 0.014
0.012
0.006
0.025
0.041
o.ooo
0.007
o.ooo o.ooo
0.00 1
O.Ol I
0.018
0.006
0.004
12 13
2001 i2000
o.ooo 0.006
IO
2000 i 1999
0.006
o.ooo
0.016
0.006
0.003 0.002
0.003
0.004
0.001 0,010
0.002
0.006
0.002
0.002
0.007
0.007
0.023
0.029
0.0 15
0.006
0.001
0.003
0.004
0.007
0.007
0.009
o.ooo
0.005
0.036
0.003
0.001
0.005
0.002
0.002
0.003
0.001
0.002
0.006
o.ooo
0.002
0.002
o.ooo
o.ooo
0.001
0.001
o.ooo
0.002
0,001
0.002 0,007
o.ooo 0,008
0.001 0,005
0,004
0.005
0,001
0.001 0,002
0.001 0,001
0.001 0,005
0.004
0,005
0,001
0,009
0,017
0.001
o.ooo
0,012
0.004 0.001 0,010
0,056
0,082
0,066
0,060
0,083
0,063
0,075
0,094
0,222
0,0280
0,0-łlO
0,0330
0,0298
O,O-ł16
0,03 17
0,0375
0,0471
0,1111
7..ród ło:oblicr.l' oiawbsne
zm ni ejszy ł s i ę udział
wydatków na napoje alkoholowe i wyroby tytoniowe i o o koł o 1.5 punktu procentowego - udział wydatków na odzież i obuwie. Natomi ast systematycznie wzrasiał ud z iał wydatków związa nyc h z utrzymaniem mieszkania z około 12% do 16,6%, a także wydatków na łąc zn ość (z I % do 4,6%), udział pozostałych wydatków w analizowanym okresie pod legał pewnym wahaniom
Zadania 174. W tablicy 6.33 zestawiono rozkład pobierających re nty inwalidzkie wed łu g wysokości św i ad cze1l mi esięcznyc h w kw ietniu 2005 r. Sprawdzić za pomocą testu serii na poziomic i stot n ośc i a = 0.05 czy rozkład rent inwalidzkich w kwietniu 2005 r. można aproksymować rozkładem Pareto 175. Z podsystemu informatycznego ,,MAGISTER'', gro madzącego informacje o pracownikach z wyższy m wykształceniem, uzyskano m.in. następujące infommcje (tablica 6.34) o zarobkach specjalistów w zakresie nauk śc i s ł ych oraz specjali stów w zakresie nauk humanistycznych i spo łecz n yc h w styczniu 2007 r
Wysd:ośt
Pobicrn)iłcy
świadczenia
renty inwalidzkie w%
w'/ Do500
0.3
500-6/JO
4.6
600- 700
3.7
700-- 800
8. 1
800--1000
20.4
1000-1200
20. 1
1200-- 1400
14.5
9.3 5.6 1800--2000
3.6
2000-2200
2.6
2200--2400
2.2
1.9
2400--2600 2600--2800
1.3
2800--3000
0.9
3000-3200
0.5 0.4
3200i
więcej
i.:
100,0
7..r6dło:RocznikSrntystyczny2006.s.281
Tablica6.34 Odsetkizarnbiających
fTI~!~11::r::;::znc f----~-----i wzł
Do 1600 1600-1800
spccjnli śc ina llk śc isłych
specja liśc i nauk humanistycznych
20.8
24.5
22.7
25.9
20.1
IS.I
2000-2200
25.3
19.4
2200--2400
7.8
7.0
2400--2600
2.7
2.8
2600--2800
0.3
1.3
2800--3000
0.2
O.I
0.6 0 .4
100,0
100.0
3000i
więcej
7..r&lło:daneumowne
6. Elementy ekonometrycznej analizy rynku
Na poziomie i s totnośc i a = 0.05, za po mocą testu serii zwe ry fikowa ć hipo tezę. że rozkłady specjali stów nauk śc i s ł ych i humani stycznych m ożna aproksymować rozkła dem Pareto. Porów nać obydwa rozkłady 176. Tablica 6.35 zawiera szereg rozdzielczy mi esięcz n yc h wynagrodzei'i pracowników zatrudni onych na stanowiskach nierobotniczych w fi rmie „Kopiko" według wysokośc i przeciętnej mie sięcznej p łacy w ostatnim pó łroczu T11blic116.35 Wyn:igrodzenia m1esu:czne W
Liczba pracowników (11;)
1000--1200 1200--1400 1400--1600 1600-1800
23 26
2200--2400 2400--2600 2600--2800
12
2800--3000
L
2so
Żródlo: daneumowne
(a) Na poziomie i s totno śc i a = O.OS za pomocą testu zgod n ości x 2 zweryfikować plac tych pracowników jest rozkładem normalnym (b) Obliczyć kwartyle, modalną oraz mierniki zróżnicowania dochodów (c) Przeprowad z i ć a nal i zę po równawczą rozkładu plac pracowników zatrudni onych na stanowiskach nierobotniczych z analogicznym rozkładem plac pracowników zatrudnionych na stanowiskach robotniczych w tej firmi e (przykład 37) 177. W tablicy 6.36 zestawiono wyniki badania IO690 gospodarstw pracowniczych. W badanej grupie wyodrębniono gospodarstwa pracowników zatrudnionych na stanowiskach robotniczych oraz na stanowiskach nierobotniczych, a następ n ie pogrupowano gospodarstwa według wysok ośc i przec i ę tnego mi es i ęcznego dochodu na osobę w 2007 r. Dla obydwu grup (a) za pomocą testu A Kołm ogorowa na poziomie i sto tno ści a = 0.05 zwery fikować hipote zę, że rozkłady empi ryczne m ożn a aproksy mować rozkłade m normalnym. (b) oszacować dodatkowe parametry rozkładów dochodów: kwartyle. modalną, I i IX decyl oraz współczynnik zmienności, (c) porównać obydwa roz kłady. hipot ezę, że rozkład
Tablica6.36 Liczbagospoclarstw Grupy llochodowe w zł na osobę miesięcznie
prncowników na sianowiskach robotniczych
52 229 652 989
300- 400 400- 500
500- 600 600- 700
prncowników nu srnno wiskach nicroborniczych 340
690 1203 1460
1042
1272
820
760
1000--1200 1200- 1400
Żródło:dancumownc
178. W tabli cy 6.37 zestawiono uzyskane z podsystemu „MAGISTER" (gromad zą cego dane o pracownikach z wyższy m wykształcenie m) informacje o zarobkach inży ni erów architektów w styczn iu 2007 r. Tałllica6.37 Płucu m1e s 1ęczna
"''
Zairudnicni w%
800- 900
5.9 8.4
900- 1000
10.9
1000-1 200
28.5
1200- 1400
26.9 13.6
DoSUO
4.2 1800-2000 2000iwięcej
i::
0.2 100,0
Żródło:dan cumownc
badaniem o bjęto 2000 in żynierów architektów. za pomocą testu A Kołmogorowa na poziomie i s t otności a = 0. 05 zweryfikować h i pot ezę. empiryczny można aproksy mować rozk ł adem normal nym. (b) Obl iczyć dodatkowe parametry analizowanego rozkład u wynagrodzetl i krótko
(a)
Wiedząc , że
zgodnośc i
że roz kł ad
go
sc h arak t eryzować
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
179. W biidaniach
budżetów
reg rozdzielczy przeciętnych rytów i rencistów w 2007 r
rodzinnych otrzymano następujący (tablica 6.38) szemiesięcznych dochodów na osobę w gospodarstwach eme-
Tablka6.38
wzłnaosobęmiesięcznie
Grupy dochodowe
Liczba gospodarstw domowych
Do300 300--350 350--400 400-450 45G-500
101 279 623 1359 936
800i
więcej
pomocą testu zgodno śc i A Kołmogorowa na poziomie i s t otności ot = 0,05 dochodów jest rozkładem normalnym (b) Za pomocą tego samego testu zweryfikować hipo1ezę. że rozk ład dochodów emerytów i rencistów jest rozkładem logarylmiczno-normalnym (parametry rozkładu Jogarytmiczno-normalnego oszacować metodą momentów, domykając skrajne prledzia-
(a) Za
zweryfikować hipotezę, że rozkład
ły)4o
(c) J eżeli
Jogarytmiczno-nommlny dobrze aproksymuje rozkład empiryczny dodatkowe charakterystyki tego rozkładu i zi nt e rpre t ować je. badań budżetów rodzinnych szereg rozdzielczy gospodarstw pracowników zatrudnionych na stanowiskach robotniczych w 2007 r. według wysokości dochodów na g ł owę (a) Za pomocą testu A K ołm ogorowa na poziomic istotnośc i ot= 0.05 zweryfikować hipotezę, że rozkład dochodów w gospodarstwach robotniczych jest rozkładem normalnym. (b) Sprawdzić za pomocą testu A Kołmogorowa, że rozkład empiryczny można opisać rozkładem logarytmiczno-normalnym (parametry rozkł:idu logarytm iczno-normal nego oszacować zmodyfikowaną MNW) (c) Obliczyć ważniejsze charakterystyki rozkładu dochodów, wykorzystując oszacowania parametrów rozkł adu logarytmiczna-normalnego (d) Porównać rozkład dochodów w gospodarstwach robotniczych z analogicznym rozkła dem w gospodarstwach emerytów i rencistów z zadania 179
-
rozkład
oszacować
180. Tabli ca 6.39 zawiera uzyskany w wyniku
4 0Jcżeli skrajne prledziały klasowe szeregu rozdzielczego są niedomknięte i brak jest dodatkowy.:h in· fomiacji (np. o minimalnej lub maksymalnej płacy). to zwy kle domykając ce pnedziały prLyjmuje się rnką ich rozpiętość.jak przedziałów sąsied nich
Tablica6.39 Grupy dochodowe w z! na osobę miesięcznic
gospodarstw
Do300 300-350 350-400
397
450-500
453
500-
253 148 J07
715
SOOi
więcej
i.:
2512
Żródło:daneomowne
181. W tablicy 6.40 przedstawiono rozkład pobierającyc h emerytury w kwiet niu 2005 r.
kości św iad czeń miesięcznych
Tablica6.40 Wysokość świadczenia
w z/
Do500 500- 600 600- 700 700- 800
Pobierający
emerytury w %
0.3 4.6
800-1000
3.7 8.1 20.4
1000-1200
20.1
1200-1400
14.5
1400-1600
9.3 5.6 3.6 2.6 2.2 1.9 1.3 0.9 0.5 0.4
1600-1800 1800-2000 2000-2200 2200-2400 2400-2600 2600-2800 2800-3000 3000-3200 3200i więcej
i.:
100,0
Żf'6dło:RocznikS1atys1yczny2006,s.28!
wedłu g
wyso-
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
(a) Sporządzić wykres przeds t awiający empiryczny rozkład św i adczeń (b) Metodą kwartyli oszacować parametry kn:ywcj logarytmiczno-normalncj aproksy mują cej szereg empiryczny. (c) Wykori;ys tując oszacowania parametrów krzywej logarytmiczno-normalnej, obliczyć ważniejsze charakterystyki rozkładu emerytur w kwietniu 2005 r
182. W tabl icy 6.4 l zestawiono zatrudnionych w dziale „Wytwarzanie i zaopatrywanie w e n erg i ę e l ektryczną , gaz i wodę" według wynagrodzeń w paźd zie rniku 2004 r
Zatrudnieni w%
Wynagrodzenia w,/
ogółem
0.4
mężezyini
0.4
kobiety 0.7
947.41 - 1 184.26
I.I
I.O
1.7
I 184.26-1421.12 1421.12-1657,97
2.7 5,2
2.5
3.4
5.0
6.2
1657,97-1894.82
9.0
9.1
8,9
1894.82- 2131.67
11.7
li.I
13.9
2131.67- 2368.53
12.4
12.0
14.3
2 368.53- 2 842.23
21.3
20.5
23.4
2842.23- 3315.94
14.5
15.1
ll.9
3 315.94- 3 789.64
8.1
8.7
3 789.64-4 263.35
4.7
5.1
3.2
4263.35- 3737.05
2.9
3.1
2.1
4737.05- 5684.46
2.9
3.1
2.2
5684.46--6631.37
1.2
1.3
0.9
6631,87i
1,9
2.0
1.3
100,0
100,0
100.0
l::
więcej
5.9
7..r6dło:RoczoikStmy.
Zak ładając, że rozkłady te można aprok sy m ować rozkładem logarytmiczno-nonnalnym (co łatwo sprawdzi ć s porządzając wykres), nal eży oszacować parametry tej krzywej dla mężczyzn i kobiet. a na s t ę pni e na ich podstawie obliczyć charakterystyki rozkładów empirycznych. Czy w analizowanym dziale obserwuje się znaczne różn i ce m i ęd zy rozkładem wynagrodzeń m ężczyzn i kobiet?
183. W pewnym prLedsiębiorstwic prowadzona jest analiza wy nagrodze ń mężczyzn i kobiet. Zebrane informacje (wy różnion o 11 przedział ów wysokości wy nagrodzeń) z ostatniego roku przedstawiono w tablicy 6.42
Tablica6.42 Wynagrodzenie
Li czbazarab i ającyc h
m iesięcz n e
(wzl)
mężczytni
kobie ty
1600i mniej 12
15
1800--2000
39
35
2000--2200 2200--2400
1600--1800
63 54
55 40
2400--2600
39
30
2600--2800
27
20
3200-3400
12
3400 i wi ęcej
9
10
i:: Ź ród ło :dru1cumown c
Za pomoc ą metody kwantyli nal eży oszacow ać parametry krzywych logarytmiczno-normalnych a p roksy muj ącyc h szeregi empiryczne. W oparciu o oszacowania parametrówµ i a wyz n aczyć ważni ejsze charakterystyki anali zowanych rozkładów oraz ocen i ć różni ce po mi ęd zy rozkł adami wy n ag rod ze ń mężczyzn i kobiet 184. Z u czes tni czącyc h w badani ach bud żetó w rodzinnych gospodarstw prac uj ącyc h na rachunek włas n y wylosowano grupę l iczącą 350 gospodarstw, które p row ad z ił y zapisy w sposób c i i1gł y w latach 2006 i 2007 . Bi orąc pod uwagę dochód realny na g łowę, dokonano pod ziału tych gospodarstw na 8 grup dochodowych:
grupa I grupa 2 grupa 3 grupa 4 gmpa 5 grupa 6 grupa 7 grupa 8
do 400 zł 400- 600 zł 600- 800 zł 800- 1OOO zł 1000-1200 zł 1200- 1400 zł 1400- 1600 zł powyżej 1600 zł
W tablicy 6.43 zestawiono rozkład y badanych gospodarstw we dłu g grup dochodowych (w zł na czł on ka rodziny m ies i ęcz ni e) w 2006 i 2007 r. (ostania kolumna i ostatni wiersz) oraz zmiany, j akie za szł y w tym okresie (przes un ięc i e gospodarstw do innych grup dochodu)
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Tahlica6.43
Grupy dochodów w 2007 r. Grupy dochodów f - - - - - - - - - - - - - f -
22
12
Nj(2007)
62
80
69
27
26
90
28
16
40
172
60
24
26
100
54
16
63
42
133
N;(2006)
12
169
245
120
12
160
156
320 200 140
46
22
80
123
72
1150
7..r6dło:dancumowne
Oszacować
macierz prawdopodobie1lstw przejścia. a nas t ęp ni e na jej podstawie oce-
ni ć:
(a) stabilność dochodów badanej grupy gospodarstw, (b) kierunek zmian ich dochodów, (c) szy bkość, z jaką maleją prawdopodobieństwa p rtej śc ia wraz ze wzrostem odległośc i mi ędzy klasami. Zakładając, że prawdopodobieństwa przejścia pozost an ą niezmienione, wyznaczyć oczekiwany rozkład gospodarstw pracującyc h na rachunek w łas ny według grup dochodów w 2008 r
185. W tablicy 6.44 zestawiono wyniki badania grupy 800 gospodarstw emerytów w latach 2006 i 2007. Gospodarstwa uj ę to w 7 na s tępującyc h grupach dochodowych poziomu dochodu w z ł w przeliczeni u na członka rodziny):
(wed łu g
gmpa grupa grupa grupa grupa gmpa grupa
I
2
3 4 5 6 7
do 400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 powyżej 900
zł zł zł zł
zł zł zł
Ostatni wiersz i ostatnia kolumna tab licy 6.44 zawierają rozkład y gospodarstw według poziomu dochodu na g ł owę, odpowiedn io, w 2006 i 2007 r. , natomiast wielkości wewnątrz tablicy to liczby gospodarstw, które w 2006 r. na l eżały do i -tej gmpy (i = I. , 7) , a w 2007 r. przeszły do }-tej grupy(} = \, , 7)
Tablica6.44 Grupy dochodowe w 2007 r.
Grupy dochodowe w2006r.
N1(2007)
N;(2006)
50
20
5
60 12
55
92
IO 35 15
129
80 100 11 0
24 71
14
70
30
158
176
150
IO 42 46
118
200 14
140 80
36
50
72
800
7-Iódło,daneumownc
Nal eży oszacować macierz p rawdopodobieńslw p rzejścia, a n ast ępnie oce ni ć: (a) s 1 opi eń stabiln ośc i dochodów gospodarstw emerytów i rencistów w okresie 2006/2007, (b) kieru nek zmian ich dochodów, (c) tempo spadku prawdopodobieństw przejścia w mia rę wzrostu od l eg łośc i mi ę d zy klasami Jak będzie się p rzeds t awiał rozkład gospodarstw emerytów według grup dochodów w 2008 r. pn.:y z:1 łoże niu , że prawd opodobieństwa przejśc i a są stale w czasie? 186. Wylosowana gmpa 4450 gospodarstw pracowniczych prowadzi ła nieprzerwani e w latach 2005-2007 zapisy doc hodów (i wydatków). Na podstawie uzyskanych wyników oszacowano macierze prawdopodobieńs 1w przejścia ? 200512006 (tabli ca 6.45) i ? 2006/ 2007 (tablica 6.46)
Tablica6.45 Grupy dochodowe w 2006 r Grupy dochodowe C - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - < L:Pij w2005r. 0.761
0.182
0.057
0.092
0.712
0.134
0.062
0.032
0.151
0.628
O.Ili
0.078
0.012
0.045
0.091
0.593
0.205
0.056
0.123
0.563
0.190
0J)44
0.024
0.099
0.134
0.526
0.156
0.085
0,043
0.091
0.599
0.267
0,045
0.088
0.168
0.699
Źródło' dane umown~
0.054
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Tablicn6.46 Grupy dochcxlowe
Grupy dochodowe w 2007 r.
f - - - - - - - - - - - - - - - - - j LP1j 0.721 0.073 0.021
0.205 0.634 0.133 0.034
0.074 0.186 0.562
o.oso 0.045
0.107 0.163 0.504 0.111 0.049
0.078 0,226 0.465 0.113 0.043
0.043 0.098 0.215 0.426 O.D7l 0,043
0,058 0,099
0.257 0.587 0.299
0.065 0.155 0.299 0.658
źródło: daneu muwne
Należy ob l iczyć wartośc i mierników c c2, c3 i porówn uj ąc je dla kolej nych okresów okreś li ć, jakie zmiany w zakresie poziomu dochodu na głowę zaszły w badanej grupie gospodarstw 187. Producent wyrobów czekoladowych z l ecił firmie konsulti ngowej zbadanie wpływ u na s p rzedaż wyrobów w 11 województwach s tanowiących rynki zbytu producenta (Y w tonach rocznic): ś red ni ch cen detalicznych galanterii czekoladowej ustalanych przez g ł ów n ych odbiorców (za l eżn ych m.in. od wyso kośc i stosowanej przez nich 1 ,
Tablica6.47
Wojewóclztwo
Sprzedaż I 1~~:~~~~~~
wtonach
Średnia
wynagrodzenie wzl/osobę
Podkarpackie:
22.5
Łódzkie
25.4
1310
Lubelskie
43.0
1480
19
Świctokrzyskic
32.0
1600
27 25
28
35.0
1680
Do lnoś ląskie
29.0
1856
34
Opolskie
39.0
28
Zachodniopomorskie
Wielkopolski e:
55.0
Śląskie
46.0
2550
Małopol skie
61.0
2880
23
Mazowieckie
43,0
2900
33
Żródłu :daneumuwne
marży
oraz od struktury sprzedaży) w tych województwach - X oraz przeciętnego wynagrodzenia w tych województwach - X2. W oparciu o informacje działu marketingu (o wielkości i strukturze sprze daży oraz cenach stosowanych przez odbiorców) i materiały Wojewódzkiego Urzędu Statystycznego (o dochodach ludn ośc i ) zbudowano tablicę 6.47. (a) Oszacować p<1rametry funkcji potęgowej opisującej badaną zależność (b) W cel u upłynnienia zgromadzonych zapasów rozważana jest możliwość obniżki ceny wyrobów czekoladowych. Jak nal eża łoby z mi e ni ć przeciętną cenę, aby sprzed aż wzrosła o 4%,jeżcli nic przewiduje s ię zmiany dochodów ludności? (c) Jak zmieniłaby s i ę s przedaż, gdyby równocześnie z obliczoną w punkcie (b) z mianą ceny przeciętne miesięczne wynagrodzenie wzrosło o 3%? 188. W tablicy 6.48 podano wielkości określające: y - sprzedaż mięsa wieprzowego (bez kości) w tonach; x 1 - przeciętne miesięczne wynagrodzenie w zł na osobę; x 2 - przeciętną cenę mię sa wieprzowego w zł/kg; X3 - przeciętną cenę filetów drobiowych w z ł/kg w gminach powiatu wadowickiego, w których firma „Atuz" ma punkty 1
miesięcznego
sprze daży
Gmina
251
i.:
339
2690
262
2440
17
22
362
2880
13
23
254
2910
16
17
258
2540
14
18
245
2900 3 250
17 14
17
310
2675
Źródło, dane umowne
(a) Na podstawie powyższych danych nal eży zb udować i oszacować model potęgo wy opisujący kształtowanie s i ę sprzedaży mięsa wieprzowego w za l eżności od dochodów ludno śc i oraz cen tegoż mięsa i cen drobiu. (b) Jak zmieni się sprzedaż mięsa, jeżeli pr.teciętna miesięczna płaca i cena mięsa wzrosną o 5%, a cena drobiu obniży s ię o 4%? (c) Czy przy tej samej pr.tcciętncj płac y i niezmienionej cenie drobiu wzrost przeciętnej ceny mięsa wieprzowego (wy noszącej 14,38 zł) o 10% doprowadzi do wzrostu obrotów firmy (przychodów ze s przedaży)?
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
189. W pewnym województwie s p rzedaż odbiorni ków telewizyjnych {Y) w sztukach, globalne realne dochody lud ności w prt.eliczcniu na jednego m i eszka ń ca (X w zł oraz przecięt n e ceny odbiorników telewizyjnych (X 2) w mln zł w poszczególnych kwarta lach 2005, 2006 i 2007 r. kształtowa ł y się jak w tablicy 6.49 1
)
Ta blka6.49 Rok
Kwanał
101 2
420
li
1052
450
1140
Ili
I 065
480
1200
I 007
450
12 10
2005
2006
1033
Il i
2007
1310
1083
570
1 332
1055
570
1 356
1034
600
[ 440
1128
690
1440
720
1464
1155
Ili
510
1140
11 84
780
1500
840
1524
Żródlo:daneumownc
{a) Oszacować parametry funkcji potęgowej op i sującej za l eż ność sprzedaży telewizorów od dochodów l udn ośc i i cen {b) Ja ką politykę cenową n ależy prowadzi ć w kolej nych kwarta ł ach 2008 r., aby os i ągnąć s p rzedaż na poziomie 1292 sztuk w I kwartale i, odpowiedn io, 1320, 1353 i 1428 sztuk w kolejnych kwart a ł ach tego roku, jeżeli przewiduje s i ę, że realne dochody l ud ności w I kwartale nie u l eg n ą zmianie, a w kolejnych kwartał ach będą wyższe. odpowiedni o. o 2,5%, 4,4% i 4,4% w porównaniu z IV kwartałem 2007 r 190. Na podstawie danych za lata 1993-2007 oszacowano funkcje popytu i otrzyrp 2 = 0.086.
gdzie: y1 - popyt na magnetofony w tys. szt.; x 11 - globalne dochody l u d ności; x21 cena magnetofonów; x 31 - cena kaset magnetofonowych {a) Zinterpretować otr.tymane wyniki (b) Jak zmieni s i ę popyt na magnetofony. j eżeli dochody ludnośc i wzros n ą o 5%, cena magnetofonów pozostanie bez zmian, natomiast cena kaset będzie ob n iżona o 10%? {c) W 2007 r. popyt na magnetofony wynosił 50 tys. sztuk. Jak wielka powinna być produkcja magnetofonów w 2008 r„ aby ni e powstały ich zapasy. jeżeli przewiduje się,
że dochody konsumentów wzrosną o 5%, cena kaset pozostanie bez zmian. a wzrost kosztów produkcji wymusi wzrost cen magnetofonów o 10%? (d) Jak zmi e ni ć cenę magnetofonów. aby ich sprzedaż wzrosła o 9%, jeże l i przewiduje s i ę , że dochody ludn ośc i wzrosną o 5%?
191. Pewna firma handlowa sprzedaje dwa towary: A i B, w ilościach i po cenach podanych w tablicy 6.50. Badania marketingowe wykazały, że dla obu towarów popyt (wy ra żo n y w i elkośc ią sp rze da ży) wyraża s i ę zależnośc ią:
S,=f3o ·Df 1 · Cf2 ·e~' . gdzie: S1 - popyt (w tys. szt. ); D, - przeciętny dochód na osobę (w z ł ); Cr towaru (w z ł); oszacowania parametrów również zamieszczono w tablicy 6.50.
cena
Tablica6.50 Sprzedaż
Cena
bo
b,
b2
200
100
0,9
- l.S
100
SO
0.5528 0.1086
0.7
- 0.8
ŻnSdło :daneumowne
R ozważa na
obniżka lub podwyżka cen sprzedawanych towarów o 2% w cel u ze sp rzed aży. odpowiednie postę powan i e w odniesieniu do każdego z towarów u zasadn i ć odpowiednimi obliczeniami .
jest
zw i ększen ia prąchodów Zaproponować Odpowiedź
192. Pewna firma prod ukuj e i spr.wdaje dwa towary : A i B, w il ości:ic h i po cen:ich podanych w tablicy 6.50. Badania marketingowe wy k aza ł y, że dla obu towarów popyt wyraża s i ę zależnośc i ą
gdzie: Y - popyt (w tys. szt. ): X prt:ec i ętny dochód na osobę (w z ł) : X 2 cena towaru (w z ł); X 3 - cena dobra substytucyjnego (w z ł). Oszacowania parametrów zamieszczono w tablicy 6.51. 1
-
Ta bl ka6.5 1 Towar
Ilość
300
Cena
IO
Źródło: dane umowne
ao
111
O.I
0.8
0.2
0.8
0.7 - 0.8
0.6
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
Wiadomo, że w n ajbli ższy m czasie dochody konsumentów wzros n ą o 4%, a cena dobra substytucyjnego zostanie o bni żona o 9%. Jak ą polity k ę cen ową nal eży p rowad z i ć w odniesieniu do każdego towaru. aby (a) utnymać popyt na akt ualnym poziomie. (b) popyt wzróst o 5,5%. 193. Dane są makroekonomiczne funkcje popytu na obuwie sportowe: popularne (y 1) oraz markowe (y2):
gdzie: x 1 - globalne dochody ludnośc i (w tys. zł ), x2 - cena obuwia tekstylnego (w zł), x 3 cena obuwia popularnego {w zł), x 4 - cena obuwia markowego (w zł ). (a) Jak zmieni s i ę popyt na obuwie mark owe,jeżeli dochody ludn ośc i wzros n ą o 6%, cena obuwia tekstylnego pozostani e bez zmian, natomiast cena obuwia markowego zostanie ob n iżona z 300 do 255 z ł za parę. (b) Przy przecięt n ej cenie 60 zł (300 zł ) za parę sprzedaje s ię 150 000 par obu wia sportowego popu larnego i 80 OOO markowego. Czy z punktu widzenia maksymalizacj i przychodu ze sprzedaży korLystniejsza będzie podwyżka , czy obni żka ceny każd ego rodzaj u obuwia o 9%, jeżeli wiadomo, że dochody ludności wzro s ną o 5%, a cena obuw ia tekstylnego spad nie o 4%? ( Ka żdy towar należy rozważyć oddzielnie).
194. W dziale marketing u „Tymbarka" oszacowano funk cję popytu na prod ukowane soki. Sprzedaż (popyt) soku jab łkowego wyraża funkcja· R 2 = 0.966. soku jabłkowego (tys. litrowych kartonów mi esięcznie ), x 11 przeciętne mi esięczn e dochody konsumentów w z ł, x12 cena soku jabłkowego w z ł , x, 3 - cena pepsi-coli w zł (a) Jak zmieni s i ę sprzedaż soku jabłkowego , jeże li prLec i ęt n y mi es i ęczny dochód wzroś ni e o 4%, cena soku zostanie podwyższona z 3,40 zł do 3,57 zł . natomiast cena pepsi-coli spadnie o 4%? {b) Jak zm iany te wpły n ą na prąchód ze sprLCdaży? (c) Jak wobec tego z mi e ni ć ce n ę soku , aby przy wzrośc ie dochodów ludności o 4% i obniżce ceny pepsi -coli o 4% prLychody ze s p n:cdaży soku wzros ł y o 3%? (d) Jaka zmiana ceny soku byłaby potrzebna, aby zwiększyć przychody z jego sprzedaży o 3%, gdyby w najbli ższym czasie nie ul ega ł y zmianie ani dochody ludnośc i , ani cena pepsi-coli ? gdzie: y, -
sprt:edaż
195. Pewna firma produkuje m.in. towar A i sprzedaje przecię t nie mi es i ęcz ni e 3000 szl. po cenie 50 zł. Na podstawie pneprowadzonych ba dań empi rycznych oszacowano funkcję popytu i otrzymano·
R 2 = 0.944.
gdzie: )'1 - s p rzedaż dobra A, Xr 1 - cena dobra komplementarnego.
dochody konsumentów,
x,2 -
cena dobra A,
X13
Wiadomo, że w najbliższym czasie dochody konsumentów wzrosną o 2%, a cena dobra komplementarnego wzroś n ie z 8,50 zł do 9, 18 zł. (a) Jak zmienić cenę towam A, aby przy podanyc h zmianach utrzymać popyt na ten towar (sprzedaż) na obecnym poziomie? (b) Jak zmiany te wpłyną na przychód ze sprzedaży towaru? (c) Czy aby zwiększyć przychód ze sprzedaży, warto ob ni żyć czy rnczej podwyższyć cenc dobra A, np. o 5% , jeśli w n ajbliższym czasie nic ul eg ną zmianie ani dochody ludności, ani cena dobra komplementarnego? 196. Dz i ał marketi ngu przcds icbiorstwa Hortex oszacował funkcję popytu na produkowane soki. Popyt (sprzedaż) na sok wielowarzywny wyraża funkcja po tęgowa o po-
gdzie: y - sprzedaż soku pomidorowego (tys. I), x 1 - przecię tne miesięczne dochody konsumentów (z ł), x2 - cena soku wielowarzywnego (zł), x3 - ś rednia cena soków owocowych (zł) Sok sprzedawany jest w cenie 4.80 zł za litrowy karton; przeciętna miesięczna sprzeda ż wynosi 120 tys. kartonów. (a) Jak zmieni się sprzedaż soku, jeże l i przec i ętny miesięczny dochód wzrośnie o 5%, cena soku pomidorowego wzrośnie do 5,04 z ł. a cena soków owocowych zostanie obniżona z 4,50 zł do 4.32 zł? (b) Jak zmiany te wpłyną na przychód ze sprzedaży soku? (c) Na jakim poziomie ustalić cenę soku wielowarzywnego, aby przychód ze sprzedaży wzrósł o 4%, jeżeli przewiduje się wzrost dochodów konsumentów o 5% i obniże nie ceny soków owocowych o 4%? (d) Jaka zmiana ceny soku pomidorowego byłaby potrLebna, aby przychód wzrósł o 4%, gdyby nie z m ieniały się dochody konsumentów oraz nie zmieniała się cena soków owocowych 197. Badania marketingowe wykazały, że popyt na pewne dobro (w jednostkach fizycznych) jest potęgową funkcją dochodów i ceny tego dobra. Na podstawie przeprowadzonych badań empirycznych (oszacowano funkcję popytu) okazało się, że e l astyczność dochodowa wynosi 0,8 , a e l astyczność cenowa - 0.6. Wiadomo też, że w n ajbliższym czasie dochody konsumentów wzrosną średn i o o 2%. (a) Jaką politykę cenową należy zastosować, aby utrąmać dotychczasową ś red n io 4%-ową dynamikę przyros\U przychodów ze s przedaży? (b) Jaka zmiana ceny by łaby potrzebna, aby s przedaż (w jednostkach fi zycznych) wzrosłao4%?
198. Badania marketingowe wykazały, że można p rzyjąć, iż funkcja s p rzedaży (funkcja popyru w jednostkach fizycznych) soku z selera Y w kartonach dwulitrowych jest modelem potęgowy m dochodów konsumentów (X w zł), funkcja ceny soku z buraka (X 2 w zł) oraz funkcja ceny soku z selera (X 3 w zł). Po zgromadzen iu potrLebnych danych statystycznych oszacowano parametry strukturalne rozważanej funkcj i popytu i okazało się, że: 1
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
0,8
0,6
- 1,5
(a) Jak wcześniej kształtowały s i ę dochody konsumentów, wynoszące aktualnie 720 z ł. skoro przy nas lę puj ących zmianach pozos tał ych zmiennych: cena soku buraczanego wzrost o 4%, cena soku selerowego wzrost o 8%, uzyskano wzrost s przedaży soku zselera o2,7%? (b) Jakich prtychodów ze sprzedaży soku z selera możemy s i ę spodzi ew ać. skoro przewiduje się, iż nowe dochody konsumentów wyniosą 748,8 z ł. cena soku buraczanego spadnie o 6%, a cena soku z selera wzrośnie o 5%? Aktualne przychody ze sprtedaży soku z selera wynoszą 2700 zł 199. Pewna firma produkuje i sprzedaje m.in. towar A. Oszacowano funkcję popytu 1 01rzymano:
gdzie: y - sprze daż dobra A, x 1 - dochody konsumentów. x 2 - cena dobra A, x 3 cena dobra komplementarnego Przy cenie 50 zł za sztukę przeciętnie mie sięczn i e sprzedaje s ię 2000 sztuk tego wyrobu. (a) Jak zmieni s i ę sprzedaż towaru A, jeżeli dochody konsumentów nie ul egną zmianie. cena dobra A wzrośnie z 50 zł do 53.5 zł. a cena dobra komplementarnego zostanie ob ni żona z 13 zł do 12,22 zł . (b) Jak zmiany te wpłyną na przychód ze sprzedaży towaru ? Podać i zinterpretować e lastycznośc i przychodu wzg l ęde m poszczególnych czynników (c) Jaka zmiana dochodów konsumentów b y łaby potrzebna, żeby prty wzroście ceny dobra A o 7% i spadku ceny dobra komplementarnego o 6% przychody ze sprzedaży wzrosły o 8%? 200. Pewna firma produkuje i sprzedaje m.in. towar B. Przy cenie 7 zł przeciętna mi esięczna sp rze da ż jest równa 4 tys. sztuk . Na podstaw ie przeprowadzonych badań empirycznych oszacowano funkcję popytu i otrzymano·
Y=
2x?·7x; ux.~ 0.4 .
gdzie: y - s przedaż dobra B (tys. sztuk), x 1 - dochody konsumentów (z ł ), x 2 - cena dobra B (z ł), x 3 - cena dobra komplementarnego (z ł ) (a) Jak zmieni s ię sprzedaż dobra B, jeżeli dochody konsumentów wzrosną o 3%, cena dobra B wzrośnie z 7 zł do 7 ,28 z ł. a cena dobra komplementarnego zostanie obni żo na z 6 z ł do 5,76 z ł ? (b) Jak zmiany le wpłyną na przychód ze sprzedaży towaru B? (c) Na jakim poziomie u stali ć ce nę towaru B, aby przy wzroście dochodów o 3% i spadku ceny dobra komplementarnego o 4% utrzy mać dotychczasowe tempo wzrostu przychodu ze sprzedaży tego towaru , wy n oszące 5.8 %? (d) Jaka powinna b yć cena towaru B, aby przy podanych zmianach sprze daż wzrosła o5,8%?
201. W dziale producenta popularnych napojów oszacowano funkcje opisujące zaprodukowanych wyrobów y (w tys. butelek) od ich ceny x (w zł). Funkcje te dla coca-coli (y 1) i sprite 'a (y 2) przyjęły postać l eżność s przedaży
)'1
= 3.2 + 1 84~ .
)'2
=
182,38[1.2
Aktualnie sprzedaje s i ę mi es ięcznie 40 tys. butelek coca-coli w cenie 5 zł za dwulitrową butelkę i 30 tys. butelek sprite' a w cenie 4,5 z ł za butelkę. (a) Obliczyć cenową elastyczność s przedaży każdego z tych napojów przy aktualnych cenach. (b) Czy z punktu widzenia maksymalizacji przychodu ze sprzedaży korzystniejsza będzie podwyżka czy obniżka ceny każdego z napojów o 8%? Odpowiedź uza sadn i ć prą1aczając odpowiednie obliczenia. 202. W fim1ie wprowadzającej na rynek nowy wyrób postanowiono zbadać zależ no ści wielkości s przedaży wyrobu od jego ceny. Na początku ustalono cenę promocyjną (na poziomie kosztów). a nas t ępnie co mies iąc zwiększano ją o 2 zł (zwiększając marżę firmy). Dane o cenie i wie lkości sprt.:cdaży zestawiono w tablicy 6.52.
Cena {xr
wzł)
Spr.lcdaż(y1 w tys.szt )
23
21.8
56
58
60
20.4
20.2
19.9
19.7
64
66
19
18.8
18.6
18.6
żrodto:duncumownc
Na podstawie tych danych oszacowano dwie funkcje opisujące od ceny (potęgową i hiperboliczną) i otrt.:ymano:
zależność
popytu
(s prt.:edaży)
1J;y; =
5.7596 - 0.6736lnx;. (0,3028) (0,0737)
R 2 =0 .9 13,
czyli 317 .23x;- 0.6736
s,,
+ 836,098_!._.
= 6.170 ( 1,483)
R 2 = 0.916.
(89,255/'
sp rze da ż (tys. sztuk), x; - cena (zł) Obliczyć i zinterpretować cenową elastyczność popytu przy cenie 52 zl i 70 zl 203. Zależność spożyc ia mięsa y1 (w kg na osobę mi es i ęczn i e) od dochodów rodziny x, (w zł na osobę miesięcznie) w czterech gmpach s połeczno-e konomi cznyc h opisano za pomocą funkcji Tórnqui sta I rodzaju i otrzymano
gdzie: y; -
gospodarstwa pracownicze:
5'
1
=
~ . + 782. 5
. l,
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
gospodarstwa rolników:
h
=
I l, Zx, , Xr
gospodarstwa
+ 962
pracujących na rachunek własny: .h =
gospodarstwa emerytów i rencistów:
7 4
. ' Zx, , ,t,
+520
.h = ~ X1
+ 8 16
Wszystkie parametry strukturalne oszacowanych modeli są statystycznie istotne, a współczynnik determinacji R 2 we wszystkich prtypadkach przekracza 90%. Przeprowa d z i ć analizę porównawczą k sz tałtowa nia s i ę zal eżnośc i spożycia mięsa od dochodów mi ędzy grupami spo łecz no-zawodowy mi ludności. Porów nać e l astycz n ośc i dochodowe s pożycia mięsa w rodzinach o prteciętnym mi es i ęcz nym dochodzie x = 500 i x = 700 zł na osobę dla poszczególnych typów gospodarstw 204. Na podstawie wyników badania budżetów pewnej grupy rodzin oszacowano funkcje opisujące zal eżność wydatków na nabiał _\'1, warzywa )'2, owoce YJ oraz alkohol y4 (w zł na osobę mi esięcz ni e) od przeciętnego mi es i ęcz n ego dochodu rodziny x (w z ł na osobę) i otrzymano
Y1= x~~~· Przeciętne miesięczne
Y1=- 12+ 0.43x,
y 3 = 0, 3x
0 80 · .
dochody w poszczególnych grupach
520(x - 340)
y~ =
(x
+ 1400)
zamo żnośc i kształtowały s i ę
jak w tablicy 6.53
Grupy dochodowe
w zł
do 400 400-500 500-600 600- 700 700-800 800- 1000- l 200
IOOO
1
w1ęceJ
Pnecięmymiesięczny doch&lwz!naosobę
(a) Zinterpretować parametry oszacowanych funkcji (b) Obli czyć i z inte rpretować d oc hodową e l astyczność s pożyc i a poszczególnych grup arty kułów w rodzinach o najniższym i najw yższy m przeciętny m mi es i ęcz ny m dochodzie. (c) Jak z mi en ią s i ę wydatki na poszczególne grupy artykułów spożywczyc h w najni ższej i najw yższej grupie dochodowej, jeże li p rzec i ę tny mi es ięczny dochód na osobę w tych grupach zamożnośc i wzroś ni e o 10%? 205. W oparciu o badania budżetów domowych gospodarstw pracowników na stanowiskach robotniczych oszacowano funkcje opisujące zal eż ność spożyc i a warzyw y owoców y1 , ryb y3 oraz mi ęsa i przetworów y4 (w kg na osobę mie s i ęcznie) od przecięt nego mie s ię cz n ego dochodu rodzi ny x (w zł na osobę mie sięczn i e) i otrzymano: 1
,
)'1
(a)
=
xl:~ .
)'2
=0.08x 0 ·7 .
y3
Porównać dochodową elastycz ność spożycia
spożywczych
w gospodarstwach o
i x = 800 z ł m1 osobę. (b) Przy jakim dochodzie (x) równa 0,8?
y4
= - 4+0. IOx.
=e 2 .4-~60 ~
poszczególnych grup a rt yk ułów dochodzie x = 500
przec i ętn y m mi es i ęczny m
e l astycz ność spożycia wyróżnionych
grup dóbr będzie
206. Dane są funk cje opisujące za l eżn ość przeciętnego mi esięcznego spożyc ia mi ę sa y 1 oraz przec i ętnego miesięcznego spożycia ryb n od przec i ęt n yc h mi esięcz n yc h dochodów x (y w kg, x w z ł na osobę) w gospodarstwach pracowników na stanowiskach nierobotniczych oraz w gospodarstwach rolników (I) dla gospodarstw pracowników na stanowiskach nierobmniczych·
6.5x )'I=
X+ 750'
(U) dla gospodarstw rolników 9.2x Yi = x+500 ' (a) Porównać kształtowanie s i ę analizowanych darstw (interpretacja parametrów) Obliczyć
zal eż n ości
w obydwu typach gospo-
zinterpretować dochodową e l ast yczność
obydwu grup wydatków w rodzinach o przec i ęt n y m mie s i ęczn y m dochodzie x = 600 z ł na osobę (c) Jak z mi en i ą się wydat ki na wy różnio n e dobra, jeżeli przec i ęt n y mi esięczn y dochód na osobę wzrośnie z 600 zl do 672 zł ? (b)
i
207. Zal eżn ość mies i ęczn yc h wydatków (w z ł ) na ł ączność y 1 oraz na ed uk ację Y2 (w przeliczeniu na I osobę) od przeciętnego mi esięcz n ego dochodu (w zł) na osobę (x ) w gospodarstwach p racujących na rachunek w łas n y opi suj:1 fu nkcje:
y,
240· (x - 3 10) x + 930
120 .(x - 450)
X+ 800
(a) Obliczyć dochodową e l astyczność wydatków na łączność i ed ukację w rodzinach o przeciętnym mi esięc zny m dochodzie x = 620 zł (b) PrLy jakim dochodzie x (w z ł) elastyczność dochodowa wydatków na łączność oraz ed ukację będzie równa I 208. W oparciu o dane tablicy 6.54, gdzie y - wydatki na nabial w zł na osobę dochody w setkach zł na osobę mi esięcz n ie, oszacować parametry mi es ię czn ie, x funkcji: lini owej, potęgowej i Tórnquista rodzaju I. Zi nt erpretować parametry funkcji dostatecznie dobrze opis uj ącyc h badaną zal eżn ość i w oparci u o nie obli czyć dochodową e la s t yczność wydatków na n abiał w poszczegól nych grupach rodzin
6. Elementyekonometrycznej analizyrynkll
Tablica 6.54
I.OO 1.58 3.98 6.31
15.85 3 1.62 39.8 1 63. IO
IO.OO
79.43
25.1 2
100.00
log .r;
!ogy;
o.oo
1.2
0.20
1.5 1.6 1.8 1.9 2.0
0.60 0.80 I.OO 1.40
Żródło:dane u mowne
209. Dla pewnej grupy rodzin oszacowano funkcj ę opi s ującą zal eżn ość wydatków na turyst y k ę za gran i czną y1 (w zł na osobę mi es i ęczni c) od prlecię tncgo mi es i ęcznego dochodu rodziny x , (w zł na osobę). Przyj ę to fu n kcj ę Tórnqu ista U i otrzymano: 200 · (x1 - 480) Yt = x 1 + 800 (a) Z int erpret ować parametry funkcji. (b) Ob l i cz yć ela s t yc zność d ochodową wydatków na turys t y kę zagrani cz ną w rodzi nach o przec i ę tn y m m i es i ęcz nym dochodzie 600 z ł n:1 oso bę. (c) Przy jakim mi es i ęc zn y m dochodzie e l as tyczn ość wydatków na turys t y kę zagraniczm1 będ z i e równa 2? 210. W tablicy 6.55 podano informacje o strukturze wydatków na transport w rodzi nach prac ujących na rachunek w ł a s n y w latach 1999- 2005 .
2000
Wydatki na
2002
Ś rodki transport u (zaku p)
0.5205
0.3428
0.3 150
0.3593
0.3087
0.3966
0.3 193
Eksp loa tacjaprywamyc h ~rodków transportu
0.39 1 I
0.543 1
0.5755
0.4990
0.5758
0.5055
0.5784
Us ł ug i
0.0884
0. 11 4 1
0. 1094
0. 14 17
0. 11 55
0.0980
0. 1023
1,0000
1,0000
1,0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
transportowe
Raze m transport
Żródto:RocznikiSta1y stycznc2000-2006
(a) Okreś l i ć, jaki e zmiany za c hodził y w anal izowanej strukturze z roku na rok oraz podobiefistwo struktur z lat 1999 i 2005. Czy zmi any, jakie doko ny wały s i ę w analizowanej strukturze m i ał y charakter monotoniczny? (b) D oko nać analizy podo b i eń stwa struktur wydatków na transport w latach 1999 i 2001 . Czy zmiany, jakie za c hod ził y w tym krótkim okresie, miał y charakter monotoniczny? 2 11. W tabli cy 6.56 przedstawiono strukturę wydatków na transport w sześc iu grupach s połec z no-ekonomi czn ych (w %). Obli czyć wart ośc i miary z róż ni cowania struklur mi ę d zy w y różn i o n y mi grupami
Pracow nicy Pracownicy Prncujący' I na stanowiskac h n ~ stanow_iskach Rolnicy na rachunek Emeryci Renciki robotniczych merobotn1czych (3) własny (5) (6) (I) (2) (4)
Wydatki na
Środki transponu (zakup)
Eksploatacja prywatnyc h środków transportu Usługi
transportowe
Razem trampon
0. 1668
0.2877
0.2429
0,3193
0.1 823
0. 11 85
0.54 11 0.2921
0.5252 0. 187 1
0.6 129 0.1 44 1
0.5784 0.1023
0,5628 0.2548
0.4729 0.4087
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
Źró.lło:daneu111ownc
2 12. W tablicy 6.57 podano s truk turę wydatków gospodarstw ne k włas ny w latach 1997-2006 (w %)
Lp
Wydatki na
I
Żywność i napoje
p rac ujących
na rachu-
bezalkoholowe
0.293 0.272 0.254 0.252 0.259 0,246 0.23 1 0,234 0.236 0.226
Napoje alkoholowe i wyroby tytoniowe
0.028 0.027 0.029 0.028 0.028 0,065 0,028 0,026 0.027 0.024
3
Odzież
0.082 0.079 0.075 0.069 0.064 0,028 0.064 0.060 0.067 0.071
4
Użytkowan i emieszkania
i obuwie
inośnikienergii
5
Wyposażenie
9
0.Q30 0.032 0,033 0.032 0.Q3 1 0.032 0,032 0.035 0,034 0.035
Trans pon
0. 125 0.1 11 0. 135 0. 142 0. 122 0. 114 0.122 0.135 0.113 0.108
Łączność
0.029 0.033 0,038 0.045 0.052 0.055 0.055 0.052 0.065 0.059
Rekreacja i ku lt ura
0.080 0.087 0.086 0.083 0,08 1 0,079 0,083 0.089 0,095 0.097 0.0 15 0.0 19 0.022 0.022 0.022 0,022 0,022 0.021 0.018 0.018
IO Edukacja
11
0.133 0.1 57 0.1 54 0. 150 0. 158 0. 174 0.178 0.173 0.166 0.169
mieszkania 0.056 0.056 0,059 0.059 0.048 0.054 0,053 0.048 0,052 0.053
6 Zdrowie
Restauracje i hotele
0.016 O.Q20 0.0 19 0.02 1 0.022 0,025 0.024 0.026 0.027 0.027
12 lnnetowaryiuslug i (w tym higiena osobista) 0.064 0.063 0.056 0.053 0.055 0.056 0.048 0,052 0.052 0.055 13
Pozostałe
wydmki
0.049 0.044 0.042 0.045 0.058 0.05 1 0.059 0,048 0.049 0.057
L
1,000 1,000 I.OOO 1,000 1,000 1,000 1,000 !,OOO 1,000 1,000
Żródło:RocznikiS(atys1yczne l99łł-2007
(a) Jak du że zmiany z ac hod z iły w tych stmkturac h z roku na rok? (b) Jak bardzo różni s i ę struktura wydatków w 2006 r. w porównan iu z 1997 r.? (c) Czy zmiany, jakie za c hodzi ły w strukturach wydatków w latach 1997- 2006 miał y charakter monotoniczny, tj . czy struktury te ewo lu ował y w o kreś l onym kierunku?
6. Elementyekonometrycznejanalizyrynkll
213. W tablicy 6.58 zestaw iono slruktury wydatków na żywność gospodarstw domowych w 2005 r. według grup społeczno-zawodowych (w%). Tablica6.58
Wydatki na
Pracownicy Pracownicy . Pracujący 'I na srnnowiskach na stanow.1skach Rolmcy na rachunek Emeryci Renciści robotniczych merobotmczych (3) wlasny (5) (6) (I)
(2)
0. 1678
0.1498
0.1519
0.1475
(4)
0.1511
Mię so
0.2965
0.2629
0.3346
0.2744
0.2875
0.2881
Ryby
0.0254
0.0299
0.0228
0.0314
0.0321
0.0271
Mleko.seryijaja
0. 1428
0.1535
0.1472
0.1479
0.1440
0.1469
Pieczywo i produkty zbożowe
0.1634
Oleje i pozostałe t!uszczc
0.0511
0.0473
0.0522
0.0484
0.0590
0.0591
Owoce
0.0459
0.0629
0.0438
0.0614
0.0580
0.0491
Warzywa
0.1057
0.1005
0.1009
0,1015
0,1088
0,1125
Cukier. dżem. miód. czekolada i wyroby cukiernicze
0.0633
0.0670
0.0664
0.0631
0.0626
0.0598
0.0337
0.0339
0.0296
0.0336
O.D318
0.0325
Napoje bezalkoholowe
0.0678
0.0923
0.0506
O.Q908
0.0651
0.(>615
i:
1,0000
1.0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
Pozostakartykuly żywnościowe
Żród ło: dancumownc
Ocenić zróż n icowan i e struktur wydatków na żywność między mi gospodarstw domowych (macierL zróżnicowania struktur)
wy różn io nymi
grupa-
7 Liniowe modele wielorównaniowe
7.1.
Przykłady
ekonomiczne
Model G-równaniowy jes1 konstrukcją formalną , która pozwala opi sać k ształt owani e s i ę i współzależność wartości G zmiennych endogenicznych charakteryzuj
,
7.1.1. Teoria konsumenta- systemy wydatków Mikroekonomiczna teoria konsumenta wyjaś nia sposób wydatkowania budże tu na zakup dóbr i u słu g za pomoq znanego model u be hawioralnego, w którym • preferencje konsume nta odzwierciedlane są przez tzw. funk cje u ży tecz n ości, • optymalny plan konsumpcji to taki , który maksymalizuje uż yteczno ść prq s peł ni eniu ograniczenia bud że towego (por. np. Varian [ 1321) . J eś li wyróżnimy G dóbr (grup dóbr) o dodatnich ce nach p = [p 1 . p 0 )T, a zbiór m oż liwyc h planów kon sumpcj i q = [ą 1 ••• ądT oznaczymy jako Q, to optymalny plan IZ punktu widzenia współczesnej analizy ekonomicznyc h szeregów cza.o;owych to tradycyjne ujęcie ma istotne ograni czenia. gdyż zak!ada kowariancyjną stacjonamo~ć (lub trentlo-staCJonamość) procesów stochastycznych reprezentujących badane wielkości ekonomiczne. Wyższy kurs modelow:mia wielorównaniowego powinien obejmować procesy VAR i analizę koin1egrncji (por. np. W. H. Greene !60])
konsumpcj i q * = fq~
q~ l T przy dochodzie m >O musi spe łniać warunki
11(<1*) =max11(q), "Q PTQ* =Ili,
gdzie 11 (q) jest użytecznością planu konsumpcji q. Rozw iązani e m powyższego zagadnieni a optymali zacyj nego (przy siln ie wypuk.łych preferencjach) jest układ G funkcji popytu ąj (m; Pl· .... Pe). j = l. ... G, prze d stawiających optymalną konsumpcję
nym
bud żec ie
m. Popytowi qj (m: {J
ni ężny:
1
,
G dóbr prty danych cenach p 1, ... pe i daPe) odpowiada (optymalny) wydatek pie•
wj(m : p1.
· l'c)
Ekonomista-empiryk. który konfrontuje ten abstrakcyjny model z danymi statystycznymi dot yczący mi budżetów (lub dochodów), cen i wydatków, do puszcza moż l iwość błę d ów pomiaru wydatków i (lub) niedoskonałą a l o kację budże tu (doc hodu), co prowadzi do następującego modelu G-równaniowego )'11 =w ~ (1111:P1I·
·P1c ) +ś"11·
YtG =w(; (111,: P11 ... , Pre)+ Ś°rG
gdzie 1 oznacza numer obserwacji (konsu menta, gdy wykorzystujemy dane przekrojowe i okresu, gdy korzystamy z szeregów czasowych), y1 = [y11 • • y 1c] jest 1-tym zaobserwowanym wektorem wydatków na wszystkie G dóbr, a Ś°lj są s kładnikami losowymi repreze ntuj ący m i błędy alokacj i i pom iam wydatków. Pnyklad 50. Liniowy system wydatków (LES - Linear Expenditure System). Załóżm y, że preferencje konsumentów charakteryzuje tzw. funkcja u żyteczn ości Stone'a- Geary'ego G u(q)
=IT <ą, - u, )
5 1.
)=l
zakupe m }-tego dobra, 81 > O (j =
gdzie: q1 > /.lJ
~
O, µ 1 jest
= I ..... G) oraz
L
81 = l. Powyższ:i funkcja u ży t ecznośc i prowadzi do następuj ą
J== I
nie z będ n y m
cego G-równaniowego modelu wydatków: G
Yr 1 =µ1p11+81( 111 r - L
/.l1P1J) +.;11
j=l
(7 .1 ) G
)'rG
= /l,GfJrG
+ óc(m, -
L )=l
/.l j /Jr j )
+ Ś°rG
7.1.
Przykłady
ekonomiczne
gdzie pierwszy s kładn i k po znaku rów nośc i , /LJ l'ij,jest n i ezbęd nym wydatkiem na j-te dobro (j = 1.... , G ), róż ni ca w nawiasie jest tzw. fundu szem swobodnej decyzji, czy li tą częśc i ą budżetu (dochodu), która pozostaje po dokonaniu wszystkich niezbęd n yc h wydatków, a ó1 może być interpretowane jako udz i ał wydatków na }-te dobro w fu nduszu swobodnej decyzji: por. L38j W prezentowanym modelu ceny dóbr i budżet (dochód) są zmiennymi egzogenicznymi, a wydatki na poszczególne dobra są zmiennymi e ndogenicznymi . Oznacza to, że wydatki pojedynczego konsumenta (gospodarstwa domowego) są u za l eżnione od jego budżetu (dochodu) oraz od cen dóbr, natomiast wydatki te nic mają wpływu na poziom budżetu (dochodu) i cen. W modelu LES wydatki są zależne liniowo od zmiennych egzogenicznych, s tąd jego nazwa. µ. 1 , ó1 (j = 1. , G ) są nieznanymi parametrami strukrnralnymi modelu Zauważmy, że liniowy syste m wydatków można przed staw i ć w zapis ie macierzowym jako: gdzie:
Y1 = lYrl X1
=
r/J1I
Y12
Yr a J.
/Jr2
PtG
1111 1.
8aµ,
Óc/L 2
]
(óc - 1)µ.c
- 8c Przy estymacji modelu LES n ależ y pamiętać, że e macierL r , owymiarach (G + I) x G , ma (G + l)G eleme ntów, które są funkcjami zaledwie 2G - l swobod nych parametrów strukturalnych µ. 1, • , µ. 0 , ó1 , • , ó0 _ 1 (óa = I - ó1 · - óc- 1): • aby ograniczenie budżetowe y, + · · ·+ y1 c = m 1 b y ło spe łni o n e, s kładniki losowe poszczególnych równań mu szą s umować s i ę do zera: ~11 + · + ~ 1 a = O, a więc mu szą być lini owo za l eżne . 1
7.1.2. Teoria firmy- równania popytu na czynniki produkcji Jednym z podstawowych modeli mikroekonomicznej teorii producentajesl model przeds i ęb i or s t wa o produkcji jednorodnej. które minimalizuje koszt wytworzenia pewnej z góry ustalonej (zadanej mu) w i e l ko śc i produkcji. Niech q oznacza tę zadaną w i elkość produkcj i; z = [z za ]T - wektor nakł adów G czynników produkcji , z E Z ; w = = [w 1 w0 ]T - wektor cen tych czynników. Zagadnienie minimalizacji kosztu produkcj i równej q (przy ustalonych cenach czynników produkcj i) polega na doborze takiego wektora nakład ów z• = rzi zG że: 1
•••
r.
wTz• = t~ipwT z.
/(z*)= q .
gdzie f (z) jest funkcją produkcji , c h arakteryzującą t ec h nologię firmy. Przypomnij my, że funkcja produkcji okreś l a mak sy malną wie lk ość produkcji , jak ą mo żna uzyskać z danego wektora na kład ów. Przy pewnych za ł ożeniach o funkcji J rozw i ąza ni e m powyższego zagadnienia optymali zacyjnego jest układ G funkcji tzw. warunkowego po/Jyf111w czynniki produkcji, z•(w wa: q), określającyc h optymalne (tj. minimali z ujące koszt cał kowi ty) nakłady tych czynników. Ten popyt na czynn iki produkcji jest warn nkowy wzg l ęde m danej w i e l kości produkcji W tym przypadku ekonomista-empiryk ( usiłując y s kon fro ntować model mikroekonomiczny z danymi statystycznymi) zakłada, że obserwowane n akł a d y czynników mogą różni ć s i ę od nakładów optymalnych na skutek błęd ów pomiaru i (lub) ni eefektywnośc i alokacyjnej pr zeds iębio rstwa 1
•
•
,
Pnyklad 51. Warunkowy popyt na czynni ki produkcji przy dwuczynnikowcj funkcj i produkcji Cobba- Douglasa. Załóżmy. że G = 2 czynniki produkcji (kapitał i praca) i że technologia fim1y m oże by ć op isana za pom ocą pot ęgowej funkcji produkcji:
aoz7 1z;1 •
/(z)= f(z1. z2) =
gdzie a 0 . a a 2 są dodatnimi parametrami. Rozw i ązanie zagadnie nia minimalizacji kosztu wytworzenia produkcj i q (przy danych cenach w i w2 obu czynników) ma teraz pos t ać: 1 •
1
_,(a' )-""' (w' )""' „
.
Z2(W1 . W2.ą)=ao
~
~
q '
gdzieµ= l /(a 1 + a 2 ) jest odwrotnośc i ą współczynn ik a efektu skali ; por. Varian [1 32]. Po obustronnym zlogarytmowani u powyższych równa1l i u względ ni eniu s kładników losowych uzyskuje my:
y,,
(w„w" ) w" ) (w,,
= - µa2 ln -
Y12=1w 1 ln
+ µ lnq, + Yo1 +
+µlnq, + Yo2
-
~11-
(7 .2a)
+~12,
(7.2b)
czyli w zapisie macierzowym gdzie y1 = [y11 y,2]. y 1i. y12 są logarytmami wobseni•owlm)"Ch nakładów czynników produkcji w r-tym przed s i ęb i ors twie danej branży (lub w r-tym okresie),
x1 =
w„ [In -w,,
Zauważm y, że
zaledw ie G
ln q1
l
I .
r=
[
µa -µa,] 2
-µ
- µ.
-roi
-ro2
.
wszystkie (G + l) G = 6 ele mentów macierzy r to nieliniowe funkcje 3 nieznanych parametrów strukturalnych ao, a a2.
+1=
1 ,
7.1.
Przykłady
ekonomiczne
7.1.3. Modele rynku w stanie równowagi Modele rynku w stanie równowagi s kładają s i ę z równania popytu na dane dobro, z równania podaży tego dobra oraz z warunku równowagi, odzwierciedlaj:1cego mechanizm tworzenia s i ę ceny rynkowej dobra. Zmiennymi endogenicznymi w tych mode lac h są więc: popyt, podaż i cena. Po nieważ równowaga rynkowa polega na wzajemnym dopasowaniu s i ę w i e l kośc i zg ła sza n ego pr.tez nabywców popytu i oferowanej przez sprzedając ych podaży, na rynku obserwujemy tylko dwie zmienne endogeniczne: wielkość sprze da ży dobra (rów ną popytowi i podaży w stanie równowagi) oraz jego cenę. Przykład
(D,) oraz wych:
52. Statyczny mode l rynku. Załóżmy, że popyt na dane dobro w okresie 1 tego dobra w okresie t (S1 ), można opisać za pomocą fu nkcji potęgo
podaż
0 1 = P,a 1 M~ 2 ex p(ao
S1 =
+ S,o).
(7.3o)
P/ z:2exp(So + S1s).
(7 .Jb)
1
gdzie: P, - ce na ry nkowa w okresie 1; M 1 - dochody nabywców w okresie t; Z 1 zmienna charaktery zująca możliwośc i produkcyjne w okresie 1; Sio i .;15 - s kładniki losowe, które mode luj ą moż liwe odchyle nia popytu i podaży od ich poziomu teoretycznego, determinowanego przez zm ienne objaśniające Zauważmy, że parametry a 1• a 1 i 81• 82 mają bezpoś red n ią inte rpre t ację: a 1 jest e last ycznośc ią cen ową popytu , a2 e l as t yczn ośc i ą d oc h odową popytu, 8 elastycznośc ią ce nową podaży, 82 - elastycznośc i ą podaży względem możliwośc i produkcyjnych Ueś li zw i ększą s i ę one o I %, to podaż wzrośnie o 82%, ceteris paribus) Rynek rozważanego dobra jest w stanie stałej rów nowagi, gdy cena P1 ksz tałtuje s ię swobodnie, tak że: D1 = S1 , (7 .3c) 1
-
tj . popyt równa się poda ży. Pr.tedstawiany model rynku s kłada s i ę więc z Ir.tech równ ań. z których dwa - (7 .3a) i (7 . 3 b ) - są równaniami stochastycznymi, natomiast (7.3c)jest tożsamością, któ ra pozwala uprościć model przez wyelimi nowanie jednej ze zmie nnyc h endogenicznych. Je ś l i zaobserwowaną wie l kość s przedaży (czyli wspól ną wie l kość podaży i popytu w stanie równowagi) oznaczymy Q1 • to mode l (7 .3a)-(7.3c) redu kuje s i ę do modelu dwurównaniowego:
Q, = P1" 1 M~ 2 exp(au +Sio) . Q, = P/ 1 exp(8o + .;,5). 1
(7.4a)
z:
(7.4b)
w którym zmiennymi endogeni cznymi są wielkości sprtcdaży (Q 1 ) i cena dobra ( P,) Zazwyczaj mode l wielorównaniowy doprowadzamy do takiej postaci, w któ rej każ da zmie nna endogeniczna jest objaś n iana przez jedno (i tylko jedno) równanie. W modelu (7 .4a)- (7.4b) może m y od wróc i ć albo funkcję popytu (7 .4a), albo funkcję podaży (7.4b). Wykorzystamy odwróconą fu n k cj ę popytu , co prowadzi do mode lu:
P, = Q~ 1 M/' 2 exp(J1o+S,1). Q, = P1~ 1 Z~ 1 exp(8o + ;,2). gdzie: µ1 = l /a1. µ 2 = - a2/rx1. µo= - ao/ai, S11 = - S10/a1. Sr2 =
(7 .5a) (7.5b)
S"1s·
Obustronnie postac i liniowej·
l ogarytmując
oba równania, model
powyższy łatwo
sprowadzamy do
Y11 = µ1)'r2 + µ2X11 +µo +/;11.
(7.6a)
)'12 = 81Y11 + 82X12 + 80 + /;12 ·
(7.6b)
gdzie: )'11 =In Pr, Yr2 =In Q1. xn = In M1. X12 = In Z,. W zapi sie macierzowym mamy: gdzie: Y1 =
Yr2J.
[)'11
B-[ I -
-µ1
X,= [X11
-J, l I
.
Xr 2
r~
~ I= [/;11
[j ,
[
-µ ,
o] -a,
- µo
- 80
o
<,,].
Ponieważ
przedstawiony model opisuje współzależność (współksztahowanie s i ę. sprĘżen i e zwrotne) sprledaży i ceny. nie może dziwić, że zmienna objaśn iana jednego równania jest zarazem zmie nną objaśniającą w drugim równaniu i tym samym macierz B nie jest jednostkowa Zauważmy jeszcze. że macierze Bi f mają w sumie IO elementów, ale tylko6 z nich to niezn:me, niepowiązane między sob:1 p:1rametry stnikturalne. Przykład 52 o pi sywał sytuację. w której reakcja podaży na z mian ę ceny w danym okresie jest na tyle szybka, że dokonuje s ię w tym samym okresie - podaż za l eży (tak jak popyt) od bi eżącej ceny i model ma c harakter statyczny. Następny przykład przedstawia prosty model dynamiczny opisujący sytuacje. w których podaż w okresie t zależy od ceny z okresu 1 - I
Przykład 53. Pajęczy nowy model rynku. Załóżmy, że opisujemy rynek w stanie trwalej równowagi (obow i ązuje więc (7.3c)), charakteryzowany prlez funkcję popytu (7.3a) i na stę pującą funkcję podaży S1 = P/~ 1 2 exp(80 + l;tl)
Zf
Mechanizm dostosowawczy wielkości sprzedanej, Qr = S1 = D1 • i bieżącej ceny, P1 • jest obecnie inny (prostszy) ni ż w przykładzie 52. ponieważ - przy ustalonych moż liwośc i ach produkcyjnych podaż w okresie r jest zdeterminowana ce ną poprzednią, P1_i, i nie reaguje na cenę bieżącą Uest sztywna). Dostosowanie polega więc na przyjęciu ceny P1 wynikającej z odwróconej funkcji popytu (7.5a) przy ustalonym D1 = = S1 = Q1 • a model rynku ma pos t ać 2 P1 = exp(µo+l; 1i). {7.7a)
Q:"M:'
(7.7b)
W powyższym modelu, modelu dynamicznym, występuje opóźniona zmien na endogeniczna Pr-1 ·N ie jest to oczywiście zmienna egzogeniczna (zew nętrzna ), gdyż jej wart ość kształtuje s i ę wewnątrz modelowanego systemu (na rynku), a nie poza nim. Z drugiej
7.1.
Przykłady
ekonomiczne
jednak strony, w okresie l wartość Pr- I jest już znana (ustalona) i wpływa na bieżące zmie nne endogeni czne tak, jak czynnik zewnętrz n y. Dlatego w mode lach dynami cznyc h zmienne dzieli s ię na dwie grupy: bi eżące (ni eo późnione ) zmienne endogeniczne (zwane t eż zmie nnymi łączni e wspó l za l eżny m i) oraz zmienne z góry ustalone, obejmujące zarówno zmienne egzogeniczne , jak i opóźnio n e zmie nne endogeniczne. Pod ział ten stosuje s i ę we wszystkich modelach , rów n ież statycznych, c hoć w tyc h ostat nich pokrywa s i ę on z podziałem na zmienne e ndogeniczne i egzogeniczne. W podręcznikach ekonometrii zwykle przestrzega s ię konwencj i polegającej na stosowaniu symbolu y dla zmiennej łącz ni e w s półzal eż n ej i symbolu x dla zmiennej z góry ustalonej. S t osując tę konwen cję, m oże m y zapisać: Yr l = J.L1)'12 + J1.2Xr 1 + /.l. o +;11 . }'r2
= Ó1XrJ + Ó2X12
+ Óo + ~12·
czyli gdzie
yd= [In Pr
Y1 = lYr 1
X12
B- [ I -
-µ1
XrJ
ln Q1],
ll = flnMr
Ol I '
lnZ,
ł n P1-!
Il.
r=[T -:,]. - 110
=ó~
Macierze 8 i f mają w sumie 12 elementów, z czego ty lko połowa to nieznane parametry strukturalne, a reszta to zera i jedynki. Podkreślm y, że macierz B jest trójkątna , co odzwierciedla j ednokierunk owość powiązań mi ę d zy bie żący mi zmiennymi e ndogenicznymi (Q, wpływa na Pr, ale nie odwrotni e).
7.1.4. Modele gospodarki Proste keynesowskie mode le gospodarki składają s i ę z: • funkcji konsumpcji, okre ś l ającej za l eżn ość mi ędzy konsumpcją w skali makro a dochodem w gospodarce, • funkcj i inwestycji. op i s ującej ks ztałtowanie s i ę inwestycji w zależnośc i od dochodu i stopy procentowej , • tożsamo ści bi lansowej, która stwierdza ide ntyczność dochodu i globalnego popytu, będącego su mą konsumpcji , inwestycji i wydatków rządowych. Przykład
54. Prosty model makroekonomiczny (Greene [601)
C,=a1 D1+a2Ci- 1+ ao+;11 Ir= ó1 R, + ó2(D, - D1_i) + óo D 1 = C, + 11 + G 1
( ~ons u mp~ja) +~11
(mwestycJe) (popyt globalny)
I
(7.8)
opisuje współkształtowani e s ię trzech zmie nnych endogenicznych: konsumpcji (C1 ) , inwestycji (11 ) i dochodu (D ,) w za l eżn ości od dwóch zmi ennych egzogenicznych: stopy procentowej (R 1) i wydaików rządowyc h (G 1 ) oraz od dwóch opóźnionych zmiennych e ndogenicznyc h: Ci - i i D, _ 1 • Za u ważmy, że parametr a 1 jest krótkookresową s kł onno śc ią do konsumpcji, a parametr ó2 jest krótkookre sową sk ło nnośc ią do inwestycj i Mamy wiec model 3-równaniowy o trzech zmie nnych łącz ni c ws pó ł zal eżny c h , tworzących wektor
i pi ęc iu zmiennych z góry ustalonych, twor.t:ącyc h wektor·
Do zbioru zmiennych z góry ustalonych w ł ączy li ś my z mi e nną sztu cz n ą, t ożsamośc i o wo równą l. która odpowiada wyrazom wol nym w równaniu konsumpcji i inwestycj i. Przedstawiony model gospodarki moż n a zap i sać jako
y, B + x, r = gdzie
! , = [g„
B
=[
b
-o,
- ]
-8,
- I I
]
.
,,,
~, .
O].
[-·~ -~] - 8,
r=
o o
82
-ao
-80
Po ni eważ
tylko dwa równania modelu są równani ami stochastycznymi (zawieraj:1 s kładniki losowe), przyjmujemy 7..e sk ładnik losowy trzeciego równania jest t ożsam o śc iowa równy O. Ponadto bilansowy c harakter tego równania powoduje, że nie zawiera ono żadn ych nieznanych parametrów. Macierze B i r mają w sumie 24 ele menty, ale tylko 6 nieznanych , ni epowiązanych mi ędzy sobą parametrów stru kturalnych Przykład 54 przedstawi:1 ni ezmie rnie uproszczony model gospodarki . W praktyce, dla potrzeb planowania i anali z poli tyki ekonomicznej, buduje s i ę modele bardziej rozbudowane i skomplikowane Zaprezentowane w tym podrozdziale przykład y ekonomiczne wykorzystujemy w nastę pn y m podrozdziale do zilustrowanie kolejnych poj ęć i metod e konometrycznej analizy tradycyjnych modeli wiclorównaniowych. Il ekroć czyteln ik napotka trudn ości w studiowaniu formalizm u ekonometrycznego (czy w ręcz zwątpi w jego ce l owość). powinien wrócić do tych pr zyk ł adów, by u z m ys łowi ć sobie ekonomiczne motywy stosowania go i pogłębić jego rozumienie.
7.2. Pnslilcieiklasymodeli
7.2. Postacie i klasy modeli 7.2.1. Postać strukturalna i zredukowana Pi e rwot n ą pos i ać
modelu ekonometrycznego, odzwiercied l aj ącą przewidywane przez ekonomii lub postulowane prt:ez badacza bezpośred ni e zależ n ośc i między zmiennym i, nazywamy pos tacią struktura lną. Ogól ny zapis postaci strukturalnej to znany nam już z przykładów zapis macierzowy: teori ę
y, B +x, r = ~ ,.
(7.~
gdzie y, jest wek1orem wierszowym G zmiennych ł ączn i e współ zależ nych (lj . zmiennych endogenicznych n i eopóźn i o n ych). x1 jest wektorem wierszowym K zm iennych z góry ustalonych (tj. zmiennych egzogen icznych i opóźn i onych zmiennych endogenicznych), ~ 1 jest wektorem wierszowym G skład n i ków losowych poszczególnych równa ń modelu, B jest macierzą kwadratową stopnia G, zawierającą współczynniki stojące przy zmiennych łącz n ie wspó l zal eżnych, r jest macierzą K x G współczynników s t ojących przy zmiennych z góry ustalonych; nieznane elementy maciert:y B i r nazywamy zwykle parametrami strukturalnymi modelu. Przyjęty tu (za wieloma pod ręcznikam i ekonometri i) zapis sprawia, że kolumny macierzy B i r odpowiadajq równaniom modelu (}-ta kolumna zawiera współczy n niki z)-tego równania), natomiast wiersze macierzy B i r odpowiadają zmiennym (tzn. i-ty wiersz macierzy B zawiera współczynniki stojące w kolej nych równaniach przy tej samej zmiennej y,;, a h-ty wiersz macierzy r zawiera współczy nn ik i stojące w kolejnych równaniach przy tej samej zm iennej .r11 Zapis (7.9) przedstawia model wielorównaniowy (w postaci strukturalnej) tak, jak odnosi s i ę on do pojedynczej obserwacji wektorowej [y 1 x 1 J na wszystkich zmiennych łąc zn ie współzależnych i z góry ustalonych. J eś l i model odnosimy do T obserwacj i wektorowych [y, x,], gdzie r = 1. . . T, to zapisujemy go 1 ).
(7. 10)
przy czym Y jest mac i erzą T x G obserwacji na zmiennych ł ącznie współzależnych, X jest macierzą T x K obserwacji na zmiennych z góry ustalonych. ~jest macierzą T x G składn ików losowych. Zauważmy. że w powyższym zapisie kolumna mac ierzy Y lub X odpowiada pojedynczej zmiennej (grupuje T obserwacji na tej zmiennej), a wiersz zawiera obserwacje o tym samym numerze, ale dotyczące różnych zmiennych. Kolumna mac ierzy ~ jest wektorem T skł adników losowyc h tego samego równani a, odpowiadajqcych różnym obserwacjom (np. różnym okresom), natomiast wiersz mac ierzy ~ zawiera składn iki losowe pochodzące z róż nyc h równań. ale posiadające ten sam numer obserwacj i (tzw. równoczesne s kł adniki losowe). Model wielorównani owy w postaci struktural nej nazywamy zupeł n ym (kompletnym), gdy mac ierz B jest nieosobliwa Przykład 55. PrLedstawić zapis macierzowy to model zupeł ny:
poniższego
modelu i s p rawdzić , czy jest
)'11
=
ct21Yr1
+ Y11Xr1 + }".!1X12 + ;,1 . + YJ2Y1 - 1.2 + ;12
Yr2 = ct22Yr 1 + Y22Xr2
Aby przejść do przyjętego wyżej zapisu macierzowego, pozostawiamy po prawej stronie równań jedynie sk ladniki losowe, a zmienne i parametry grupujemy w odpowiednie wektory i macierze:
równanie czyli
y,
x,
+
gdzie x 13 = y1_ 1.2. Macierz B jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik, równy I - ct21ct12, nie jest zerem. Dla wszystkich ct1. ct2 E R+, z wyjątkiem hiperboli o równaniu ct2 1a 12 = I. mamy więc do czynienia z modelem zupełnym Je ś li model jest zupełn y, to istnieje tzw. µostać zredukowana modelu , którą możemy zdefiniować jako rozw i ązanie postac i strukturalnej. traktowanej jako macier.wwe równani e liniowe w zg lędem zmiennych łączni c współzależnych. Aby uzyskać postać zredukowaną, traktujemy postać strukturalną (7.9) jako układ G równai'1 liniowych z G niewiadomymi (wektor y1 ) i obie strony równości (7.9) mnożymy pr1.ez macierz s - 1 (prawostronnie). Mamy w i ęc Y1BB- 1 + x,rB - 1 = ~ 8 - 1 .
1
czyli (7 .11 )
gdzie n = - rn- 1. v1 = ~ 1 0 - 1 . Uwzględniając T obsenvacji dokonanych na wektorze [y1 x 1 ], postać zredukowaną modelu (7. 10) zapi sujemy jako:
v
~
xn + v ,
gdzie V= ~n - 1 jest macierzą, której r-tym wierszem jest v,. Maci ert. n o wymiarach K x G jest mac i ertą współczynników postaci zredukowanej, v, wektorem l x G równoczesnych składników losowych tej postaci. Postać zredukowana prt.:edstawia zmienne łącznie wspó l zal cżn e jako funkcje zmiennych z góry ustalonych i składników losowych; j-ta kolumna macierzy n zawiera w spółczynnik i j-tego równania postaci zredukowanej, które odpowiada j-tej zmiennej ł<1cznie współzależ n ej
i= I. „.G Przykład
56. Postacie zredukowane modeli rynku w sianie równowagi . (a) W przypadku modelu (7.6aH7 .6b) z przy kładu 52 8 _,
~
[
I -µ.1
- 8, ] - ' I
~
_I [ I l - 81/J.1 f-L1
8, I
l
.
7.2. Pnslilcieiklasymodeli
Otrzymujemy
w i ęc postać zre d ukowaną
In P, = JT11 ln M, + JT21 ln Z, + rro1 +
Vrl•
ln Q1 = JT12 łn M 1 + JT22 In Zr+ JT02 +
v,2.
gdzie 6 parametrów postaci zred ukowanej to nieli niowe (wymierne) funkcje 6 parametrów strukturalnych J.l2 JT11= - - . 1 -ó1 1,1,1
rrzi
=
J.l2Ó1 JT12= - - . I -ó11,1, 1
82µ1 I - 8 1µ1.
JT 22
1,1,o+óoJL1
Ó2 I - ó1J.L1. óo+J.toó1
JT01=~· Zauważmy, że zalożc n i e zu pełnośc i
=
JT02=~·
modelu oznacza tutaj.
że
wyk luczamy
81µ1 = l.
(b) W przypadku mode lu dynamicznego B- '
~
[
I
- µ1
( p ajęczynowego)
z przy kład u 53:
o]-' ~ [ o]. I
I
µ1
I
n ~ -rn-•~ [~' ~] [ o]~ [ ,~;, 0
J.lo
v, Postać
~ i,n-• ~ ri„
zredukowana jest
Ó1 óo
!,,[
1
J.l1
I
Ó1µ1 J.Lo+óoµ1
[~, n~ ri„ + "'"'
~].
81 80
s,,1
więc następująca:
ln P1 = rr 11 ln M 1 +rr2 1 ln Z, +rr31 In P, _ 1 + JT01 + Vr1· In Q1 = rr 12 ln M 1 + rr 22 ln Z,+ JT32 In P, _1 + JT02 + v,2.
sy tuację
przy czym JT11=J.Ł 2 .
JT21 = 8211,1, JT 3 1=81J.Ł1.
JT01 =µ o+ Oo1-t1. U11 =;,1 + J.Ł1;1 2 ·
JT1 2 =0. JT22= 02, JT32=81. JT02 =0o.
Urz = ;,2
Za u waż m y. że 8 współczynników JT;j postaci zredukowanej to funkcje 6 parametrów strukturalnych. Występują więc dwa warunki poboczne. wiqżące współczyn n iki postaci zredukowanej; jeden jest oczywisty: n 12 =O. a drugi ni eco bardziej skomplikowany i trudniej dostrzegalny: JT32JT21 = JT31;r22 . Drugie równanie postaci zredukowanej jest t ożsame z drugim równaniem postaci strukturalnej. Ze wzg l ędu na trójkqtną postać macierzy B, paj ęczy nowy model rynku jest modelem z upeł n y m dla dowolnych wanośc i parnmetrów. Przykłady 52 i 53 prt:edstawiały postacie strukturalne, ob ra zujące współzależność w i elkośc i sprzedaży i ceny rynkowej. Natomiast w prtykładzie 56 wyprowadz ili śmy postacie zredukowane, przedstawiające wynik mechani zmu dostosowawczego, tj. sprzedaż i cenę zapew niające równowagę w okresie r jako funkcje zmie nnych z góry ustalonych. Za uważmy. że równania postaci zredukowanej um oż li wiają sporządzanie prognoz wamnkowych: przy danych wartościach parametrów i zm iennych egzogenicznych d la okresu T + l , przyjęcie zerowych wartośc i dla prty s zł ych składni ków losowych prowadzi do nieobciążonej prognozy zmiennych łącznie współzależ n ych w o kresie T + I, tj . w okresie następującym po ostatnim okresie, z którego mamy dane. Owe „dane wart o ści parametrów" , o których wspomniano wyżej, będą zwykle ich ocena mi , a zate m przed przystąpieniem do prognozowania musi my z n ać podstawowe metody estymacji modeli wielorównaniowych. Metody te omówimy w podrozdziale 7.3
Pnyklad 57.
Postać
gdzie
ip
zredukowana modelu gospodarki z
przykł adu
[ I O-I]-' [J -8,
55.
Poni eważ:
'] sO l - I = ip a1 - l - -a1 I - a1 - 82 l a1 82 I = l / [l - (a1 + 82)1 jest odwrotn ośc i ą wyznacznika macierzy B, w i ęc 1=
n~
~~ [~o' ~ 8
- rn -'
!] [~, 1
- 82 O
ao
~ ~ [ (I ~~::)a2 - 8~ a1
ao (I - 82) + 8oa1 C1
Oo
82
a1
1
~'a, ~ :]
82
I
O
S,(::ia,) - 82(1 - ai) ao82 + 80 (1 - ai) !1
V1 = ~, B - = rp[(l - ó2);,1 + a1 Sr2 1
8,
~: ] J~~~) - 82 ao + óo D1
ó2;11 + (I - ai);,2
( D1_1 ) I S11 + Sd.
7.2. Pnslilcieiklasymodeli
model jest zupełny, gdy a1 +81 -# I, czy li gdy królkookresowe do konsumpcji i inwestycji nic sum ują s i ę do j ed n ośc i. Ostatecznie otrzy mu-
Zauważmy, że rozważa n y skło nnośc i
jemy postać
zred ukowaną
Ci= Jr11 R, + rr21G, + Jr31C1-1 + Jr41 D,_1 +rro1 + v,1. I, = rr12 Rr + rr22 G, + rr32C, _1 + rr42Dr - 1 + rro2 + v,2. D, = rr13 R, + rr23 G, + rr33C1-1 + Jr43 D,_1 + rr03 + v,3.
gdzie 15 elementów Jrij macierzy n to funk cje zaledwie 6 parametrów strukturalnych. Postać strukrnralna (7.8) narzuca więc aż 9 warunków pobocznych, wiążących współ czynniki postaci zredukowanej. Część tych warunków pobocznyc h wynika wprost z toż sam ośc i bi lansowej D, = C, + 11 +G 1 • w m yś l której współczy nniki trleciego równania postaci zredukowanej (opi s ującego D,) mu szą być su mami odpowiednich współczynni ków dwóch pierwszych równań (plus 1 w przypadku G,) rr13 = rr11 + rr12 Jr23 = JT21 + JTn +I
(współc zy nniki
7r33 = 7r31 + Jr32 Jr.n = JT41 + Jr.n
(ws półczy n niki prą
rro3 = rro1 Pozostałe
(wspó łczynniki
+ rro2
4 warunki poboczne nic
równoważnych
(współczynniki
przy R,), przy G, ),
c,_i),
przy D,_ 1),
(wyrazy wolne). są już
tak oczywiste i
można
je
wyraz i ć
na wiele
sposobów, np
ale wszystkie 9 równośc i łatw o sprawdzi ć wykorzystując wyprowadzoną wcześniej postać macierzy n. O ile pos t ać strukturalna (7.8) przedstawia współzależności mi ędzy podstawowymi zmiennymi makroekonomicznymi (ko n sumpcją, inwestycjami i dochodem) tak, jak je w duży m uproszczeniu postrzega ekonomista, o tyle po s tać zredukowana prt:edstawia wartośc i tych trLech zmiennych endogenicznych warunkujące ró w n owagę makroekonomiczną (w okresie 1) jako funkcje zmiennych z góry ustalonych i zakłóce1l losowych. W szczegó lno śc i po stać zredukowana um ożliwia odpowiedz na pytanie, jak zmiana wartośc i zmien nych egzogenicznych w okresie t wpłynęłaby na zmienne endogeniczne w ty m samym okresie. I tak jednostkowy wzrost wydatków rządowyc h spowodowa ł by wzrost konsumpcji o cp · a 1, inwestycj i o cp · 81 , a dochodu o cp, gdzie cp jest s ł ynn y m keynesowskim mno żnikiem Powyżej zdefiniowaliśmy postać zredukowaną mode lu jako rozwiązanie postaci strukturalnej wzg l ę dem zmiennych łącz ni e współzależnych. Współczynniki tak rozumianej postaci zredukowanej s pełniają zazwyczaj rozmaite warnnk.i poboczne (podlegaj ą restrykcjom) , które wynikają z zale ż ności K G współczy nników lr;j od niewiciu (zwykle znacznie mniej ni ż K G ) nieznanych parametrów postaci strukturalnej (por przykład 57). Taką („prawdziwą") postać z red ukowa ną, na której współczy nniki lr;j na-
łożono warunki poboczne wynikające z postaci strukturalnej , w nowszej literaturze nazywa sic pos tac i ą zre d ukowaną z restrykcjami (RRF - Reslricted Retl11ced Form). W wielu sytuacjach nie uwzg l ęd nia s i ę warunków pobocznych, jakie powinna spe ł ni<1 ć maciert.: n i trnktuje s i ę ją jako nmcierz K x G niezn:mych, ni e pow i ązanych mi ędzy sobą parametrów, a samą postać zred ukowaną traktuje sic jako G-równaniowy model regresj i (w iązkę modeli regresji) z K identycznymi zm iennymi objaśn i aj ącymi w każdym równaniu . Jest to tzw. postać zredukowana bez restrykcji (U RF - Unrestricted Reduced Form), pomocna w omawianych dalej zagadnieniach identyfikacj i i estymacj i W szczegól nych prt.:ypadkach, np . w przypadku statycznego modelu rynku z przykładów 52 i 56, powyższe rozróżnienie nie jest potrzebne, gdyż macierz n ma dokładnie tyle elementów, ile jest nieznanych parametrów postaci strukturalnej . Wówczas żadne warunki poboczne nie występują - RRF i UR F pokrywają s i ę
7.2.2. Macierz równoczesnych kowariancji Obecnie wprowadzi my standardowe za łoże ni a o wektorze składników losowych postac i strukturnlnej ( ~ 1 ). Zwyk.le za kłada s i ę, że ~' jest G-wymiarowym wektorem losowym (czyli wektorem G zmiennych losowych) o zerowych wartościach oczekiwanych·
OJ i st ałej
( ni eza l eż nej
od 1) macierzy kowariancj i
E (<,2,)
V (! ,)~ [
=
E<;„,„)
E(fo<,,J
E (<,~)
E(S,cS, i)
E(S,cfo)
[
"." ".." a21
a 22
rrc1
ac2
a,c ] ~~~ = I: acc
E«· " '.'c)] E«„<,c) E«,'c)
~
(7. 12)
i-ty element prze kątni owy macierzy I:, czyli a;;, jest wari a n cją składnika losowego i-tego równania postaci strukturalnej . Element pozaprzekątniow y CT;j = CTji (i -::/=- j) jest k owa rian cją składników losowych rów nań i -tego oraz } -tego. Poni eważ macierz V ( ~ 1 ) = I: odnosi s ię do składnik ów losowych o tym samym numerze (wskaźn iku obserwacji) t - a więc z tego samego okresu (jeś l i pos ł ug uj e m y s i ę szeregami czasowy mi), nazywa s i ę ją macierzą równoczesnych kowariancji Macierz I: jest z<1wsze - jako macierL kowariancji - symetryczna i ni eujemnie o kreś l o na. Ponadto może b yć: • d iagonalna. gdy s kładniki losowe róż nyc h ró wnań, ;li i ;,i (i # }), nie są mi ędzy sobą skorelowane, •ni eosobliwa (dodatnio okreś l o n a), gdy wszystkie równania model u są stochastyczne (brak tożsamości), a ich sk ł adn i k.i losowe nie są pow i ązane zal eżnością l i ni ową
7.2. Pllslilcieiklasymodeli Przykład 58. Spróbujmy określić, które modele z przykładów 50-54 muszą mieć osobliwe macierze równoczesnych kowariancji, a które mogą mieć diagonalne macierze 1: (a) W przypadku liniowego systemu wydatków z przykładu 50 ograniczenie budże towe dla konsumenta o numerze I jest równoważ n e warunkowi ; 11 + · · · +~re = O. Oznacza to, że macierz kowariancji składników losowych wydatków na poszczególne dobra jest macierzą osobliwą (det 1: =O). Na pewno nie jest to macierz diagonalna, poni eważ składniki losowe róż nyc h równań są skorelowane losowe odchylenia w górę wydatku na jedno dobro musi być skompensowane spadkiem wydatków na jakieś inne dobra. (b) W przypadku równań warunkowego popytu na G = 2 czynniki produkcji (przykład 51). oba równania modelu są stochastyczne i nie wystę pują zale żnośc i funk cyjne między ich skład nikami losowymi. Można więc przyjąć. że macierz równoczesnych kowariancj i (tj. kowariancji składników losowych popytu na kapita ł i pracę dla tego samego numeru obserwacji) jest nieosobliwa. co prty nieujemnej okreś lono ści macierzy I: oznacza, że:
W rozważanym przy kładzie należy spodziewać się ujemnego skorelowania S11 i ~ 12 (czyli a 12 < 0), gdyż nadmiernemu (w stosunku do optymalnego) zaangażowaniu jednego czynnika produkcji towarzyszy zwykle mniejszy od optymalnego nakład drugiego czynnika. Nie ma w każdym razie podstaw. by a priori zakładać, i ż I: jest macierzą diagonal ną.
(c) W przypadku modeli dwurównaniowych. obrazujących współzależność ceny dobra i wielkości sprzedaży na rynku w stanie trwałej równowagi (p rzy kład y 52 i 53). jest składnikiem losowym odwróconej funkcji popytu, a ~ 12 jest skład nikiem losowym funkcji podaży. Po n ieważ ta pierwsza funk cja odnosi s i ę do zachowań nabywców, a druga do zachowań sprzedających, zwykle można przyjąć iż ~11 i S12 są srnchastycznie niezależne. Macierz równoczesnych kowariancji będzie w i ęc miała postać ~ 11
a11
> O.
an> O.
będzie
zatem maci erzą nieosobliwą (det I: = a 11 a 12 > O) i diago nalną. Jak zobaczymy wkrótce, założen i e o zerowej kowariancji równoczesnej (a 12 =O) ma kluczowe znaczeni e dla wyboru metody estymacji w modelu z przykładu 53, natomiast jest mniej istotne w modelu z przykładu 52 (d) W przypadku prostego 3-równaniowcgo modelu gospodarki z przykładu 54. trzecie równanie jest tożsamością, więc macierz równoczesnych kowariancji ma same zera w trtecim wierszu i trzeciej kolumnie (S13 jest stałą równą zeru; wariancja s t a łej wynosi zero, jej kowariancje z ~ 11 i ; 12 te ż są zerami):
~ ~ [:~; :g: ~l Macierz równoczesnych kowariancji jest osobliwa.
de1~~0 Byłaby
diagonalna, gdyby a 12 =O,
nie ma jednak ani ekonomicznego uzasadnienia, ani esty macyjnej potrzeby narzucania tego warunku.
waż
Dotychczas rozważali ś my wy ł ącz n i e s kład niki losowe postaci struktural nej . Poniewektor 1 x G skł adnik ów losowych postaci zredukowanej jest zdefini owany rów-
n ośc i ą v, = ~ 1 s - 1 , w i ęc jego wartość oczekiwana jest wektorem zerowym I x G :
E (v,) = E ( ~ , B - 1 ) = E ( ~ ,) s - 1 = o ' s - 1 = O.
a macierz kowariancji ma V ( v1)
Macierz
po s tać:
= E (v·rr v,) =
( 8 - t)T E (~ ;1° ~ 1 ) 8 - 1
= (B- i)T 1:8- 1 (= Q).
jest nieosobli wa wtedy i tylko wtedy, gdy macierz 1: jest nieosobliwa Ca łą u wagę s kupili ś m y w tym punkcie na w łas n ośc i ac h wektora skład n ikó w losowych odpo wiadaj ącyc h obserwacjom o tym samym numerze t . Prtyj muj e s i ę zwykle, że wektory s kład n ik ów losowych ~ 1 i ~ " (r -:f:. s) są stochastycznie n i ezal eż n e (co prowadzi do braku autokorelacji). Za łoże ni e to o bow i ązywać będzi e w dal szych naszych Q
ro zważaniac h
7.2.3. Modele proste, rekurencyjne i współzależne Waż n ą czy nn ości ą, w arunkującą zastosowanie odpowiedniej procedury estymacyj nej. jest ustalenie do j akiej klasy nal e ży rozwa żany model wiclorówmmiowy. Klasy fikacja modeli przeprowadzana jest na podstawie postaci macierzy B, zaw i eraj ącej w s pó ł czynniki przy zmiennych łączn i e współzal eżn yc h , oraz postaci mac ierzy równoczesnych kowari ancji 1:. Zwykle model G-równaniowy fo rmułuj e s i ę w ten sposób. że j-ia zmienna ł ączni e ws pó ł za l eż na jest z mi en n ą objaś ni a n ą }-tego równania. Elementy prze k ąt n iowe macierzy B są wówczas jedynkami. Ta k ą „reg ułę nonnalizacji" będ z i e m y zakł ad ać we wszystkich dalszych ro zważa ni ac h Model nazywamy prostym, j eś li nic w ystę puj ą bezpośredn ie pow i ąza n i a mi ędzy ni eopóźn io n y mi zmiennymi endogenicznymi. tj . gdy żadna b ieżąca zmienna endogeniczna nie jest zmi e nn ą obj aś ni aj:1cą któregokol wiek równania. Oznacza to, że macieri; B jest macierzą j ednos tkową stopnia G. Pos tać strukturalna modelu prostego jest w i ęc t ożsa ma z jego pos tac i ą zredu kowa n ą . Przykła d y 50 i 5 1 prze d st a wiaj ą modele prosie. Model nazywamy reku rencyj nym, j eże li macierz równoczesnych kowariancji 1: jest diagonalna oraz macierz B jest trój k ątna lub daje s i ę s prowad z i ć do macierzy t rójkąt nej poprzez z mi an ę numeracj i (ko l ej n ośc i ) zmiennych endogenicznych i równafi modelu . Model, który nie jest ani modelem prostym, ani rekurencyj nym, nazywamy ws pół za l eż ny m
W niektórych podręcz n i kac h ekonometrii błędn ie pomija się warunek diagonaln ośc i macierzy 1:, który jest decyd ujący dla zgod nośc i estymatora MNK w model u rekurencyjnym. Ogólnie b i o rąc, model wie\orównaniowy c h arakt eryzuj ący s i ę jednokierunkowymi be zpo ś re d nimi pow i ązan i ami m ięd zy bi eżący m i zmiennymi endogenicznymi (co prowadzi do t rójk ą t n ej macierzy 8 ), nazywa s i ę systemem trójk ą t n y m (1 ria11gula r sys-
7.2. Pnslilcieiklasymodeli
rem) . System trójkąt n y jest albo mode lem rekurencyj nym (jeś l i macierz równoczesnych
kowariancj i l: jest diagonaln a), albo modelem współzależnym (jeś l i składniki losowe różnych równa11. są skorelowane) R ozs trzygni ęcia czy model z ni ediagonalną m acie rzą B jest systemem trójkątn y m , czy nic , można szybko d oko n ać pos łu gując s i ę grafem ski erowanym , który odzwierciedl a bez poś red nie zw ią zki mi ę d zy zmiennymi łącznie współzależn y mi. Wierzchotki grafu odpowiadają tym właśnie zmiennym, natomiast krawęd zie grafu oznaczają bezpośredni w pł yw jednej zmiennej na drugą. J eś li tak skonstmowany graf skierowany nie zawiera pętli (cyklu). to powi ąza ni a mi ędzy zmiennymi są wy ł ączni c jednokierunkowe i model jest systemem trójkątn y m . Istnienie ch oć by jednej pętli wyklucza trój kątną post ać macierzy 8 (a zatem i re kurencyjn ość modelu); musi to być model współza l eżn y. Przykład
model R
59. Za
może być
po m ocą grafu rekurencyj ny
Y11
za l eż ności
(rysunek 7. I) stwierdzimy, czy
poniższy
+ Y11X11 + }'21X12 +;11. + Y22X12 + g,2. + f323Y12 + YnX11 + ;,3, .814Y11 + f334y,3 + Y24X12 + ;14
= fh1Y12
)'12
=
Y13
=
Y1-1 =
Y12Xr 1
f313Y11
Pi erwsze równanie: )'12 w pł ywa na y11 , trzec ie równanie: y, 1 i y12 w pł ywają na y,3, czwarte równanie: y, 1 i y, 3 wpływają na y 14 .
Ry~ unek
7.1. Graf zależności mi~dzy zmiennymi me współzależnymi modelu
!ącz
Startujqc z dowolnego w i e rzc h o łka grafu i poruszając s i ę po krawędzi ac h zgodnie z ich skierowaniem, nigdy nie wrócimy do tego samego w ie rzc ho łka ; w przedstawionym grafi e brak zamkni ętego cyklu. Graf bezpośredn i c h powiązań między bieżący mi zmiennymi endogeni cznymi wskazuje, że mają one charakter jednokierunkowy. a zatem model R twori:y system trójkątn y. Za uważm y, że jego macierz B nie jest trójkątna
O
O -µ„ I -µ23 O I
o
o
I
B_ - [
-µ„
o
-µ„] O
-{334 l
.
ale przez z mian ę kolejnośc i równa1l pierwszego i drugiego oraz zmiennych y11 i y,2 otrzymujemy równoważny model R* z t rójkątną
za mi anę
numerów
macierzą
B*:
Y;1 = Yt1X11
+ Y2•1X12 + s,·1·
Yt2 = fł~2Y11
+ Yi*2X11 + Y2*2x12 + S,;.
YtJ = /ł~3J',•1
+ fłi.1Y1"2 + YJ3Xr1 + S"1J·
Y14 = p;4Yt2
+ fł34y,3 + Y2-1Xr2 + S°14·
B' -
[~O -~j, =~i: -~; ] O I -/h.t ' O
O
O
I
gdzie Y11 = Y12 · Yt1 = YL2·
Y12 = Y11 · s,·1 = S-12· Y2*1 =)/22 . Yt1 = Y11.
s.; ~
,„.
Y2*2 = J'21.
/łi3=/ł23. /łi3=/łn. fłi4=fł14. losowe różn ych równań nie są między model jest rekurencyjny
fłi2=fł21.
J eś li można prtyjąć, że s kładn i ki
lowane. to
rozważany
sobą
skore-
Pnyklad 60. Okreś l m y, do jakiej klasy nal eży 3-równaniowy model gospodarki z przykładu 54. Poni eważ dochód D, wpływa zarówno na kon sumpcję C,,jak i na inwestycje / 1 , a równocześnie jest funkcją tych dwóch zmiennych, mamy sprLęże ni a zwrotne. które widoczne są na grafie jako pętle
lr\---~ --- f0 Rysunt>k7.2. ?rafzalcżnośc:i m_iędzyzmicnnymi
'\J
'\.:J
\_J
/ąc:zme współzalcżnynu modelu
Macierz 8 nie może zos tać sprowadzona do postaci trójkątnej. Mode l jest l eżny niezależnie od zał ożeń co do równoczesnych kowariancji
współza
7.3. Wprowadzenie do estymacji 7.3.1.
Stosowalno ś ć zwykłej
MNK
Jak ju ż wspo mn ie li ś m y. ustale nie klasy modelu wiclorównaniowego jest kluczowe dla zastosowania odpowiedniej procedury estymacyj nej . Jak wiadomo, podstawową metodą estymacji jcdnorównaniowyeh modeli liniowych jest zwykł a metoda najmniejszych kwadratów (MN K) Przy założeniu· l) nielo sowośc i zmiennych obj aś niającyc h , 2) braku liniowych za l eżnośc i mi ęd zy nimi , 3) zerowej wartości oczekiwanej, 4) stałośc i wariancji i braku autokorelacji s kładnika losowego
7.3. Wprowadzenie do estymacji
(tzw. założe nia klasyczne), estymator MNK jest najefektywniejszy w kJasie estymatorów liniowych i nieobciążonych oraz zgodny (por. A.S. Goldberger [46]). Dowodzi s i ę również, że w przypadku losowych zmiennych objaśniających estymator MN K zachowuje wh1sność zgodności. jeżeli te zmienne ni e S
In Q1 = 81 ln P1-1
+ 82 łnZ, + 80 +S12
występ ują:
zmienna egzogeniczna In Z, i opóźniona zmienna endogeniczna In P,_ 1. J eś li losowe wykazują brak autokorelacji, tj. (S1 1S12) nie jest skorelowane z (S.1 Sd, t f. s, to - nawet przy równoczesnym skorelowani u S11 i S12 - funkcyjna zależność ln P1_1 od Sr-1.1 nie powoduje skorelowania In Pr-I z Si.2· Estymator MNK wektora [8 1 82 Oo]T parametrów równania podaży jest zgodny. składniki
Zauważmy, że w modelu prostym B = 10 i jedynymi zmiennymi objaśniającymi są zmienne z góry ustalone. A zatem każde równanie modelu prostego może być szacowane zwykłą MNK. W modelu prostym estymator MNK dowolnego równania jest estymatorem zgodnym . Nie znaczy to jednak, że jest estymatorem efektywnym
Przykład 62. Estymacja równań warunkowego popytu n:1 czynniki produkcji. Model dwurównaniowy z przykładu 5 I, opisujący zapotrzebowanie na czynniki produkcji zgła szane przez firmę minimalizującą koszt uzyskania ustalonej wie l kości produkcji, jest modelem prostym statycznym, a w i ęc takim, w którym jedynymi zmiennymi objaś nia j ącymi są zmienne egzogeniczne. Zapiszmy ten model w postaci:
_\'11 = Y11X11 + Y21X11 +Yo! + ;Il· Y1 1 = Y1 2X11 + Y21X1 1 + Yo1 +;11 ·
gdzie Yti jest logarytmem zaobserwowanych nakład ów )-tego czynnika (w tej samej firmie w okresie 1, jeśli korzystamy z szeregów czasowych, lub w firmie t w danej branży, korzystamy z danych przekrojowych), x 11 jest logarytmem stosunku cen obu czynników produkcji, natomi ast X 12 jest logarytmem wielkości produkcji q 1 W prtypadku obu równań modelu estymator zwykłej MNK jest zgodnym estymatorem nieznanych parametrów Yii · Szacując osobno pierwsze równanie zwykłą MNK i osobno drugie równanie (też MNK) nie wykorLystujemy informacji, jakich dostarcza nam mikroekonomiczna teoria firmy. Jak pokazaliśmy w przykładzie 5 l, trzy parametry pierwszego równania to funkcje trzech parametrów funkcji produkcji (a a 2 , a 0 ) . Jednocześnie trzy parametry drugiego równania to funkcje tych samych ai. a 2 , a 0! Mamy w ię c 6 - 3 = 3 równości wiążące współczy nniki pierwszego równania (y,i) i drugiego równania (y;i):
jeśli
1
-r11+Y12=l.
Y"ll
=
}'22.
Yo1 - Yo2
= In
,
(a') = (-y„) -
In -
a1
Y1 2
Zwykła
MNK tych związków nic uwzględnia. co obniża efektywność estymacji i przy małej próbie - może prowadzić do braku sensownej interpretacji ekonomicznej uzyskanych ocen. Pamięt:1jmy również , że poza ograniczeniami równościowymi mamy również waru nki poboczne w postaci nierówności, które wynikają z dodatnich znaków parametrów funkcji produkcji (ao. a1, a 1). Ograniczenia nierównościowe, jakie powinniśmy nałożyć na yij : YI I < O, }'1 2 > o. Y21 > O, Y21
>o
mają pros t ą interpretację ekonomiczną
- popyt na pierwszy czynnik produkcji maleje wraz ze wzrostem jego względnej ceny w stosunku do czynnika drugiego (y11 < 0), - popyt na drugi czynnik rośnie wraz ze wzrostem względnej ceny pierwszego czynnika (y12 > 0) , - popyt na oba czynniki rośnie wraz ze wzrostem żądan ej produkcji (Y.? 1 > O, Y22 > 0). Oceny zwykłej MN K nie muszą mieć pożądanych znaków, zwłaszcza przy niewielkiej liczbie obserwacji. (Pamiętajmy, że zgod n ość estymatora MNK gwarantuje zmniejszanie się błędów estymacji wraz ze wzrostem li czby obserwacji, teoretycznie przy wzroście liczby obserwacji do nieskmkzoności. co niezbyt cieszy ekonomi stów-empiryków). Jak pokazuje powyższy przykład , efekt ywna estymacja wielorównaniowych modeli prostych może wy magać procedur łącznej estymacji ca łego modelu, często z u wzg l ęd nieniem skomplikowanych warunków pobocznych. Metody estymacji łącznej i u względ nianie informacji a priori o parametrach wykraczają poza zakres niniejszego podręczni ka (zob. np. W. H. Greene f60l) Przykł adem modelu prostego, w którym zaslOsowanic zwykłej MNK jest w pełni zasadne, jest postać zredukowana bez restrykcji (URF) modelu łącznie współza l eżne go. W przypadku URF celowo pomijamy jakiekolwiek związk i między współ czynnika-
7.3. Wprowadzenie do estymacji
mi rrij, więc stosowanie estymatora MNK do ich szacowania jest podej śc iem naturalnym Poza równaniami , w których jedynymi zmi ennymi objaśniającymi są zmienne z góry ustalone (np. równania modelu prostego), estymator MNK zachowuje zgodność w przypadku modelu rekurencyjnego. Intuicyjnie wyjaśnia to poni ższy prt.:ykład Przykład 63. Estymacja MNK odwróconej funk cji popytu w paj ęczyn owy m model u rynku. Je ś li w modelu z przy kładu 53 s kładniki losowe S11 i S12 nie są skorelowane, to model ten jest rekurencyjny (macierz B jest trójkątn a. a macierz l: jest diagonalna). Jak wyjaśniliśmy w przy kładzi e 61, drugie równan ie modelu (równanie podaży) można szacować zwy kłą MNK, gdyż jego zmiennymi obja ś ni ającymi są wyłącznie zmienne z góry ustalone, nieskorel owane ze sk ładniki em losowym tego równania W pierwszym równaniu, czyli odwróconej funkcj i popytu
ln P, = Jl.1 In Q, +/.L2 lnM, +µ.o+S11jest bi eżąca zmi enna endogeniczna In Q,, za l eż na funkcyjnie od S12 . Gdyby S11 i S12 był y skorelowane (nied iagonal na macierz l:), to rów nież S11 i In Q1 był y by skorelowane, co prowadz iłoby do braku zgodno śc i estymatora MNK. Podobnie. gdyby składnik losowy g, 1 c harakteryzowa ł s i ę autokorelacją, to In Q1 by łby skorelowany z Sr i poprzez zależność In Q1 od In P1 _1 (a więc od Si- u). Skoro jednak korell1cja między S11 i fo jest zerowa (model rekurencyjny) oraz brak jest autokorelacji, to nic istnieje możliwość stochastycznego pow i ązania (korelacji) między In Q, i Sr i. a zatem estymator MNK parametrów µ. 1. µ2. ~to zachowuje zgod no ść. Zauważmy, że wyłącznie jednokierunkowy charakter zależności ceny rynkowej w okresie rod w i e lk ości s p rzed aży (okreś lon ej przez podaż w okresie t) sprawia, że wielkość sprzedaży może być traktowana w odwróconej funkcj i popytu model u pajęczynowego jak zmienna egzogeniczna zm i c nną objaśn iającą
Pod sumowując, możemy powiedzieć. że estymator MNK pojedynczych równań modelu wielorównaniowego jest zgodny (c h oć nie zawsze efektywny) w prt.:ypadku modeli prostych i rekurencyjnych, a w przypadku modeli współzależnych jedynie dla tzw równań oderwanych, w których zmiennymi objaśniający mi są wyłącznie zmienne z góry ustalone. Ni ezgodność estymatora MNK w przypadku pozostałych równań modeli współzależnych wyjaśnia intuicyjnie poniższy przykład Przykład 64. Brak zgodności estymatora MNK w statycznym modelu rynku. W modelu (7 .6a)-(7 .6b) z przykładu 52 wys t ę puj e s przężen i e zwrotne mi ędzy bieżącą sprzedażą i ce n ą dobra. Powoduje ono skorelowanie zmiennej objaśn i ającej .}'12 = In Q, ze s kład nikiem losowym S11 w pierwszym równaniu oraz zmiennej obj aśniającej y, 1 = ln P1 ze składnikiem losowym S12 w drugim równaniu. M ożna to formal nie uzasadnić wykorzystując postać zredukowan:1 wyprowadzom1 w przykład z i e 56(a). Mamy:
1 cov(S11 . lnQ ,) = E(S11 · lnQ, ) = E(S11 vd = - · E(S,1S1 2 + 81S121) = I - 81µ.1
Jeśli a 12 = O, to powyższe kowariancje są niezerowe zawsze, gdy elastyczność cenowa popytu I/ µ, 1 jest skończona (µ,1 f- 0) i elastyczno ść cenowa podaży 8 1 jest różna od zera. Również w przypadku a 12 f- O kowariancje te są niezerowe (z wyjątk i em bardzo szczególnych sytuacji, gdy 81 = - a12/a 11 , µ, 1 = - a 12fa 22). Ze wzg l ędu na stałe, nie zanikające ze wzrostem liczby obserwacji, skorelowanie zmiennych objaś niających ze składn i kami losowymi, estymatory MNK parametrów równania (7.6a) i równania (7.6b) nic są zgodne.
Jak ilustruje powyższy pn:ykład, zgodna estymacja równań modelu współ zależne go wymaga zastosowania innych procedur niż zwykła MNK. Powstaje więc zasadnicze pytanie, czy takie proced ury w ogóle istnieją, czy można d okonywać estymacji równań modelu współzależnego?
7.3.2. ldentyfikowalność modelu
współzależnego
Zanim przejdziemy do prezentacji najprostszych metod zgodnej estymacji równań modelu współ zależnego, prtybliżymy czytel nikowi zagadnienie bardziej podstawowe, a mianowicie id e nt yfikowa lność. Jest to jedno z fundame ntalnych pojęć teorii statystyki i oznacza (w wielkim uproszczeniu) m oż li wość estymacji para metrów bez u wzgl ęd nia nia infor macji spoza próby. J eśli dane równanie (model) nie jest identyfikowalne, to dane statystyczne nie mogą dos t arczyć odpowiedniej informacji o parametrach i wszelkie wnioskowanie o nich musi być oparte (przynajmniej częśc i owo) na subiektywnej informacji a priori, czego zwykle unika się w badaniach empirycznych. Zagadnienie identyfikowalności w przypadku modelu współzależnego jest szczegółowo omówione w wie lu podręcznikach ekonometrii (por. Goldberger [46]. Greene f60], Theil [1291) Tutaj, w celu maksymalnego uproszczenia formal nej strony rozważań, przedstawimy identyfikowa ln ość w kontekście związków między postacią stmktura l ną i pos t ac i ą zredukowaną modelu współza l eż n ego. Nie będziemy przy tym rozważać warunków nakład anych na maciert równoczesnych kowariancji (l:), ograniczymy się do mac ierzy współczynników przy zmiennych łącznie współzależ nyc h (B ) i z góry ustalonych (f) w postac i strukturalnej. Ponadto zakładamy, że nie wys tępują żadne zw i:1zki funkcyjne między parametrami różnyc h równań modelu współzależnego. Istnienie takich związ ków powodowałoby, że nie moglibyśmy badać identyfikowalnośc i pojedynczego równania w oderwaniu od innych równań postaci strukturalnej , musielibyśmy rozważać idcntyfikowal ność wszystkich rów n ań en bloc W poprzednim paragrafie s twierdzi l iśmy, że - jeśli nie uwzględ ni amy warunków pobocznych wynikającyc h z postaci strukturalnej - współczynniki :n;; postaci zredukowanej Y = Xn + V mogą być szacowane zwykłą MNK , gdyż jedynymi zmiennymi objaśn i ającymi równań postaci zredukowanej są zmienne z góry ustalone. Macierz n jest estymowalna, jeśli tylko kolumny macierzy X nie są liniowo zależne. Powstaje pytanie czy znając elementy mac ierzy n (lub mając ich oceny), jesteś m y w stanic „odtworąć'" parametry i-tego równania postaci strnkturalnej? Z definicji postaci zredukowanej mamy związek fi = - fB -
1 •
7.3. Wprowadzenie do estymacji
czyli
n (K
X
- r.
B G) (G
X
G)
(K
X
G)
Ponieważ współczyn n iki i-tego równania strukturalnego tworzą i -te kolumny macierzy Bi r, które oznaczymy ~ (i) i yli>, więc dla i-tego równania postac i strukturalnej otrzymuje my zw i ązek: n ~ ui = -y(i l , (7 .1 3)
(K
X
G) (G
X
I)
(K
X
I)
który (prly danej macierzy n ) jest układe m K równarl lini owych o tylu ni ewiadomych, ile jest nieznanych, niepowiązan yc h mi ędzy sobą parametrów i-tego równania strukturalnego. J eże li u kład ten ma nie s k ończen i e wie le rozwiązań (dla prawie wszystkic h wartości współczy n ników 7r;j ). to i -te równanie postaci strukturalnej jest nieidentyfi kowalne. W przeciwnym przy padku (dokładni e jedno rozwiązanie lub brak rozw i ązania) jest ono ide ntyfikowalne Przykład 65. ld e nt y fikowaln ość I równania w statycznym modelu rynku. Przedstawimy teraz zw iązki międ zy parametrnmi odwróconej funkcji popytu a ws półc zy nnikami postaci zredukowanej modelu (7.6a)-(7.6b) z p rzy kładu 52 . Jak pamiętamy, jest to model współzależny, którego równań nie m ożna szacować zwy kłą MN K ze względu na brak zgodn ości tego estymatora (por. przykład 64). Sprawdźmy, czy estymacja pierwszego równania tego modelu jest w ogóle możliwa . Ponieważ w model u ma my dwie zmienne ł ączn i c współza le żne (In P1 • ln Q1 ) i trzy zmienne z góry ustalo ne (In M 1 • ln Z,. I ), macierz n ma wymiar 3 x 2. Bi orąc pod uwagę tylko pierwsze kolumny mac ierzy B i r, uzyskujemy za l eż n ość:
czyli u kład trzech
równości
7r11 - 7r1 21L1 = IL2·
7r21 - 7r22 1L1 =o.
7rOI - 7ro21L1 = J.lo.
Prly dowol nych ustalonych wartościach rru jest to układ trzech równań li niowych o trzech niewiadomych (µi, µ 2 • µ 0). J eś li 7rn ::f:. O. to układ ten ma dokład ni e jedno rozw1ązan1e:
7r1 27!"21 µ2=rr11 - - - . 7r22
7ro27r21 µ0=7ro1 - - - . 7r22
ws półczyn n i ków postaci zredukowanej modelu jesteś m y w stanie od rworzyćjed11ovwcv1ie parametry pierwszego równania postaci s1rukturalnej. Równani e to jest jednoznacznie ide11tyfikowa/11e. Łatwo sprawdz i ć, że drugie równanie strukturalne również jest jednoznacznie idcnlyfikowalnc.
A zatem, na podstawie
Przykład 66. lde nty fikowalność równania inwestycji w prostym model u gospodarki. Obecnie przyj rzymy s i ę za l eż n ośc i mi ę d zy współczynnikam i postaci zredukowanej
a parametrami drugiego rówmmia postaci strukturalnej modelu kład ów 54 i 57. Mamy:
np (l)
w s pó ł za l eż n e go
z przy-
= [ : :: Jr4 1
n°' czyli
uk ład pi ęc iu rów n o śc i
rr1 2- rr1382=81. 1f22 - 1f2382 = 0 . 1f32 - 1f3382 = 0 . 7r4z- 7r4382
= - 82 .
rr02 - rr0182 =Oo. Dla dowolnych ustalonych wartości Jrij jes1 to układ pi ęc iu równań lini owych o trzech niewiadomych. Zauważm y. że mamy aż trt:y rów nośc i o kreś laj ące 02 :
zakład ając, że ;r 23 =F O, ;r33 =F O i ;r43 =F I. J eś li ws pó łc zy nni k i Jr; j nie bę dą spe łniać warunków. które omówimy poni żej , 10 nasz układ pi ęc iu rów nań o trLech niewiadomych sprzecznym (bez rozw i ąz ani a) . Funkcja inwestycj i z przy kł adu 55 jest w i ęc równanie m identyfik owalnym, ale niejednoznacznie. Ahe rnatywne sposoby wyznaczania ó2 s taj ą s i ę ró wn oważ n e (i s przeczn ość w uk ł adz i e zos1aje u s uni ęta), j eś l i weź mi e m y pod u wagę warunki poboczne, j akie na w s półc zy n niki postaci zredukowanej n a kłada post ać strukturalna (por. przykład 57). Z warunków tych wynika bowie m, że Jr23 Jl' 32 = JT22 JT33 oraz ll'32 (Jl'43 - I ) = ll'4z ll'33 . Dopiero u wzg l ęd n i e ni e tych rów nośc i pozwala od t wort:yć parametry postaci strukturalnej na podstawie ws półc zy n ników postaci zredukowanej bę d z i e układe m
Przykład 67. Zbadamy teraz i den ty fikowa l n ość pie rwszego równania w 4-równaniowym syste mie trójk ątn y m z przy kł adu 59. Zał óż m y, że model R nic jest rekure ncyjny macie rz I: może być d owoln ą n i edia go na l ną mac i erzą kowariancji, mamy więc do czynieni a z modele m w spół zależ ny m o czterech zmie nnych k1cznic w s pół z al eżnyc h i dwóch zmiennych z góry ustalonych. Post ać zredukowana musi s i ę zate m skład ać z czte rech równań o dwu zmie nnych o bj aś niaj ącyc h w k ażdy m macierz n ma wymiary 2 x 4 W s półc zy nn i ki pierwszego równania postaci strukturalnej modelu R s pe łn iaj ą z a l eż ność:
7.3. Wprowadzenie do estymacji
Przy ustalonych
1fij za l eżność
ta prowadzi do
układu
dwóch równań liniowych
o trzech niewiadomych (fh 1 , y11 , y2i). który jest układe m nieoznaczonym (ma nieskończe ni e wiele rozwiązań). Znając współczynniki postaci zredukowanej, nie jes te ś m y w stanie odtworzyć parametrów pierwszego równania postaci strukturalnej. Równ:mie to jest nieidentyfikowalne (a tym samym model jako całość jest nieidenty fikowalny) Przedstawione wyżej podejście prowadzi do na s tępującego prostego warunku koni ecznego ident yfi kowa ln ośc i (dla przypadku, gdy parametry różn yc h równań strukturalnych nie są między so bą powiązane oraz niczego ni e zakładam y o równoczesnych kowariancjach). J eże li dane równanie postaci strukturalnej jest identyfikowalne Uednoznacznie lub niejednoznacznie), to liczba jego ni eznanych parametrów jest nic większa ni ż liczba wszystkich zmiennych z góry ustalonych modelu. Pon i eważ układ n ~
7.3.3. Po ś rednia MNK W przypadku jednoznacznie identyfikowalnych równań modelu współ za l eżnego oczywisty jest schemat estymacji. nazywany pośredni ą metodą najmniej szych kwadratów Zwykłą MNK szacujemy wszystkie równania postaci zredukowanej Y = X n + V i uzyskujemy macierz G x K ocen fi = (X 'X )- 1 X'Y elementów macierzy n . Oceny parametrów i-tego równania postaci strukturalnej (o k1órym wiemy, że jest jednoznacznie identyfi kowalne) wyznaczamy z analogicznego do (7.13) zw ią zku
np'" = - y'"-
(1. 14J
gdzie „daszek" nad ~ (il oraz yrn oznacza, że interesują nas oceny nieznanych elementów tych wektorów. Ze względu na jednoznaczną identyfikowa\ność i-tego równania strukturalnego, powyższa zależność jest układem równa1l. liniowych o dokładnie jednym rozwi:1zaniu. które definiuje oceny pośredniej MNK Przykład
68.
Pośrednia
MNK dla pierwszego równania statycznego modelu rynku. odpowiednimi danymi, oszacowano z:1 pomocą zwykłej MNK statycznego mode lu rynku (7.6a)-(7.6b), omawianego w przyklad<1ch 52, 56(a), 64, 65. Uzyskano: Załóżmy, że dysponując pos t ać zredukowaną
In P1 = 0.3 125 ln M, - 0.6250 ln Z, + 0.3125 + U11 . ln Q 1 =O, 1875 ln M 1 + 0.6250 In Z, + 1.6875 + U12. czyli
fr„ fr„] [ 0.3125 ń-22 = - 0.6250 [..11T21 To1 0,3125
0.1875] 0.6250 . l.6875 Oceny pośredniej M N K parametrów pierwszego równania strukturalnego, czyli odwróconej funkcji popytu (7.6a), zdefiniowane są zależnością
fi
=
Jl-02
fl~ 0 ) =
lOJeSt
[ -~:~~;~ 0,3 125
co jest szczegól nym przypadkiem w iązując powyższy układ rówmń,
- Y(1>.
l[
~:~~~~] [ 1. ~ 1~2 ]. 1,6875
- J.Li
fi.1
układu
trzech równań li niowych z przykładu 65. Rozotrzymujemy: fi. o= fro1 - fro;fr21 = 2. rr22
czyli
następujące
oszacowanie odwróconej funkcji popytu ln P1 = - 1,0ln Q, + 0.51nM1 +2.0+11 11 .
Estymację p<1rametrów drugiego równania strnkturalnego (funkcji wiamy jako proste ćwi czenie.
podaży)
pozosta-
7.3.4. Dwustopniowa (podwójna) MNK Obecnie pr.tedstawimy najczęściej stosowaną ogólną metodę zgodnej estymacji parametrów pojedynczych (identyfikowalnych) rów nań modelu współza l eżnego. Jak pamięta my, w pn~yjętym przez nas zapisie postaci strukturalnej , YB + Xf = ~.i-te kolumny macierzy B, r i ~ odpowiadają i-temu równaniu. Możemy więc to równanie zapisać jako:
7.3. Wprowadzenie do estymacji
gdzie symbol a
2) zastąpieniu w równaniu (7.15) zmiennych tworzących macierz Y ich wartościam i teoretycznymi z oszacowanej postaci zredukowanej, tj. odpowiednimi G; kolumnami macierzy Y. 3) oszacowaniu zwykłą MNK zmodyfikowanego równania strukturalnego )' (i)
= Y;~ •(i)
+ X ; y • (i) + E (i) .
czyli (7.16)
gdzie
z, =[Y,
X,]
~ (i) =
[ ~•l'I
y •(i )
l
MNK jest tu stosowana dwukrotnie: raz do postaci zredukowanej i drugi raz do zmodyfikowanego równania strukturalnego, co wyjaśnia określenia „dwustopniowa MNK " i „podwój na MNK". Najważ niej sze jest, że ta procedura estymacyjna zapewnia zgodność. Jeś l i chodzi o zgodność estymatora MNK. to różnica między równaniami (7.15) i (7 . 16) jest zasadnicza
Szacując
równanie (7 .1 6)
zwykłą
MNK otrzymujemy wektor ocen
&
(7 .1 7)
oraz możemy obliczyć warian cję re sztową i ( przybliżone) metrów strukturalnych na podstawie wzorów: &;;
= [T - (G ,
fi 2 (&u>) =
błęd y ś rednie
szacunku para-
+ K ;)r 1u(• >Tu
(7. 18)
O-;;(Zj Z;) - 1 •
(7 .1 9)
gdzie: uhl = yCi) - [Y; X;l&lil = yCil - Y 1 ~•(i) - X;f •lil jest wektorem reszt podwójnej MNK, natomiast fi 2 (&til ) jest oszacowaniem asy mptotycznej macierzy wariancjikowariancji estymatora tej metody. Przykład
69.
Dyspo nując
macierzami obserwacji:
X~
2O 2O 3]I v = [ym y<2>.P l] =
t
[
- 3 I - I
o -1
- I O O -2 - I - I
[x 1"
• '" ]
~
[
~]
g
- I
o
- I
o
·
I
oszacujemy pierwsze równanie modelu· )'11 = /321)'12 + Y11 X1 1 +~11. )'1 2 =/312)'11 + {332)'13 + ~1 2 · Y1 3 = Yn Xr2
+ ~1 3
(badanie zupeł ności tego modelu oraz idenlyfikowalności jego równań pozostawiamy czy1elnikowi jako prosie ćwiczenie). Zgodnie z przedstawionym schematem po s tępo wania. otrzymujemy najpierw oceny MNK parametrów Jr;j postaci zredukowanej bez ograni czeń
(URF):
n ~cxTx)-'x„v ~ [2O o] -' [ - s2 2 i tworzy my macierz
wartości
v -_1y
- r 11
3 3] ~ ~ [ s 3 3]
- I
I
teoretycznych zmiennych
2
- 2
- I
I
łąc zni e w spółz ależ nych·
5o o3 o3] - (2)
y
- (J)
y
1 -_ xfl -_ 2~
o
[
o
o
-5
-3
-3
2 - 2
I -I
- l l
Szacowane równanie postaci strukturalnej (pierwsze) modyfikuj emy w ten sposób, po prawej stronie zmienną Yr 2 zastępujemy jej wartościami teoretycznymi. obliczonymi powyżej. Marny więc:
że występującą
y(lJ =
Z l lJ g lll+ e l lJ.
7.3. Wprowadzenie do estymacji
gdzie:
X 1 J~ll''" x'" J~[ f ~ •.
W wyniku zastosowania zwy kł ej my oceny parametrów strnkturalnych
&1"
-1. 5 -] 0.5 o - 0.5 o MNK do równania zmodyfikowanego otrąmuje~
~ czTz,r'zTy'" ~ [; ff[~
5
]
~ [ _ ; -m ~
5
]
~ [ _~ 5 ] ~
~ [ ~:: ] a na s tępni e oceny parametrów struktury stochastycznej:
•' ~;" , ,mh •"'~
[:il .[!l ·[!'.] ~ [::
(j 11 = _ _l_ _ ll (\)T U (l) =
6 - ( 1 + I)
~ . (ZTz
0 2c&(I))
O"IJ
'"'I -'I
)-1 = I 875 •
.
[
~ · 7.5
= \. 875.
4
2 - 3] ~ [ 3.750 - 5.625]
- 3
5
- 5.625
9,375
.
Pierwiastki kwadratowe z elementów diagonalnych tej ostatniej macierzy, tj J3,730 = 1.94 i ./9.375 = 3.06. to przyb li żo ne oszacowania błęd ów śre dni ch szacunku parametrów {3 21 i y 11 . Ostatecznie wynik zastosowania podwójnej MNK do esty macj i pierwszego równani a postaci strukturalnej m oż na zapi sać: Yri =
2.00_\'12
(1 .94)
-
0.50x11 (3.06)
+
1111.
( 1. 37)
pod resztą u, 1 podano ocenę ~ odchylenia standardowego składnika losowego ~, 1 Zilustrowana powyższy m przy kładem procedura dwukrotnego stosowania MNK jest równoważna procedurze jednostopniowej danej wzorem:
.,„ --
8
1 [P"'' ]- [YTX (xT xr' X1Y, Yj x , ] " ' [YTX(x xr' xTy"' XjY; x;x, Xj y(i) y •(t)
-
l
.
zwy kłej
(7 .20)
gdzie macierz. któ rą odwracamy, jest równa Z j Z ; z wzorn (7 . 17) Przykład 70. Ponownie przeprowadzimy estymację pierwszego równania model u z przykładu 69, stosując tym razem jednostopniowy wzór estymatora podwójnej MNK
Mamy więc i = I, macierz Y 1 , grupującą obserwacje na zmiennych ł ącznie współ zal eżnych wystę pujących w pierwszym równaniu jako objaśniające (sprowadzającą sic do kolumny y(2l macierzy Y), macierz X 1• gmpującą obserwacje na zmiennych z góry ustalonych występuj:1cych w pierwszym równaniu (s prowadzającą się do kolumny x
[2 0] O
2
~
YTX=y(2)TX =L3 YTX 1 =
y <2)Tx{ll
212 •
XTy(l) =[ _;J.
- IJ.
= 3.
xyy(l) =
1 '"~ [~::J ~ Otrzymujemy, oczywiśc i e.
[;
dokładnie
= 5.
CYTX/ =i . =i. os + 2) s.s.
v Tx cx Tx )-! XTY1 = YiX (XTx )-
vTxcxTx)- 1x Ty(n
x ( l )Ty (l)
xTx1= x 0 >T~.m = 2.
vTx(xTx)- 1 = i c3 - 11.
(9 + I )= 5,
1
=
~r WJ~[ -~~]
takie same wyniki , jak w przykładzie 69.
Dwustopniowa (podwójna) MNK jest m etodą dość ogóln ą, redukującą sic w szczególnych przypadkach do poznanych już metod estymacji. I tak, jeśli dane równanie strukt uralne jest jednoznacznie identyfikowalne, to oceny podwójnej MNK są iden tyczne z ocenami pośred niej MNK (sprawdzenie tego dla pierwszego i drugiego równania mode lu z przykładu 69 pozostawiamy jako ćwicze ni e). W prt:ypadku równania oderwanego, w którym jedynymi zmie nnymi obj aśniaj ącym i są zmienne z góry ustalone, podwójna MNK redukuje s i ę do zwykłej MNK, gdyż nie ma potrzeby modyfikacji takiego równani a, aby zac hować zgod n ość MN K. Zauważmy, że jeśli w i-tym równaniu nie wystę pują: macierz Y; i wektor ~ •(i ) , to - po wykreśleniu odpowiadających im bloków wzór macierzowy (7 .20) sprowadza się do wzoru MNK
y•U> = (XjX1)- 1Xj y(i> _ Omawiając pod wójną MNK zak ładali śmy, że wektory ~ •liJ i y •Ul sk ładaj ą si~ z ni epow i ąza nyc h m i ędzy sobą parametrów strukturalnych, a więc nie ma w i-tym równaniu warunków pobocznych takich, jak w równaniu inwestycj i w przykładzie 55, gdzie - ih jest współczy nnikiem przy D 1, a - 82 jest współczynni ki e m przy D1_ 1. Aby u wzg l ęd ni ć ten warunek przy estymacji podwójną MNK, wystarczy w procedurze dwustopniowej zastąpić D 1 - D1_ 1 zmienną b1 - D 1_ 1, gdzie b, jest wanością teoretyczną wyliczoną po oszacowaniu postaci zredukowanej (URF) zwykłą MNK. Podobne podejście m oż na zas tosować prą innych lini owych warunkach pobocznych wiążących parametry tego samego równania strukturalnego. Zagadnienie to wykracza jednak poza e lementarny zakres tego podręcznika
7.4. Wykorzystanie modeli wielorównaniowych
7.4. Wykorzystanie modeli wielorównaniowych W podrozdziale tym przedstawimy prognozowanie na podstawie modeli wielorównaniowych, zarówno statycznych, jak i dynamicznych oraz - dla modeli dynamicznych ana l izę mnoż nikową
W przypadku modeli współ za l eżn yc h zastosowania te wykorzystują po stać zreduko(i wyprowadzoną z niej postać k01kową), ważna jest zatem nie tylko zgodna, ale i w mi arę efektywna estymacja współczynników rru tej postaci. Zwykła MNK daje zgodne, ale niekoniecznie efektywne estymatory kolumn macierzy n . Poprawę efektywn ośc i uzyskujemy przez uwzględnienie warun ków pobocznych , jakie na ws półc zynn iki postaci zredukowanej narzuca postać strukturalna. Warunki te s peł ni o n e są automatycznie, j eś l i zastosujemy wzór (7.2 1) wa n ą
r
gdzie i B oznaczają macierze r i B, w których nieznane elementy zastąpiono ich zgodnymi estymatorami (uzyskanymi np. przez zastosowanie dwustopniowej MNK) Z punktu widzenia zast osowań , zgodna estymacja postaci strukturalnej jest zwykle jedyni e etapem pośrednim, prowadzącym do zgodnych i efektywnych estymatorów współ czynników 7r;j postaci zredukowanej . W dalszych rozważaniach bę d zie m y zakładać, że do estymacj i macierzy n wykorzystano wzór (7.21). Pokrywa s i ę on z estymatorem zwykłej MNK. fi = (XTX) - XTY. jeś l i wszystkie równania modelu współ zależnego są jednoznaczni e identyfikowalne. Jest to przypadek, gdy s t os ując do postaci zredukowanej jedynie zwy kłą MNK nie tracimy na efektyw n ośc i 1
7.4.1. Prognozowanie Na podstawie modelu wielorównaniowego może my dokonywać warunkowych prognoz zmiennych endogenicznych przy ustalonych (wyliczonych przez ek strapola cję trendów lub zadawanych wariantowa) wartości ach zmiennych egzogenicznych w okresach przyszłyc h .
W przypadku modelu współzależ nego predykcja na podstawie postaci strukturalnej ni e jest możli wa, ze wzg l ęd u na sprzęże nia zwrotne mi ędzy bieżącymi zmiennymi endogenicznymi. Należy więc odwołać się do postaci zredukowanej Przy kł a d 71 . Prognozowanie na podstawie statycznego modelu współzależnego. Dokonamy predykcji wie l kości sprzedaży oraz ceny dobra A na podstawie statycznego modelu rynku (7.6a)-(7 .6b) z przy kładu 52. Zakłada m y, że przysz łe dochody konsumentów, M r + i · wyniosą e4 = 54. 6 jednostek pieniężnych, natomiast przysz łe zdo lno ści produkcyjne, Zr +I, wynios:1 e 7· 2 = 1339.43 jed nostek . Oszacowanie MNK postac i zredukowanej modelu prLedstawiono w prąkładzie 68. Po ni eważ jest to model o równaniach jednoznacznie identyfi kowalnych (przy kład 65), nie ma potrzeby ponownej estymacji postaci zredukowanej według wzoru (7.21). Ka żd ą ze zmiennych endogeni cznych pro-
gnozujemy oddzielnie za
pomocą odpow i adającego jej
równania postaci zredukowanej:
111P;_;1 = 0.3125 ln Mr+i - 0.6250ln Zr +i + 0.3 125 = = 0.3125. 4 - 0.6250. 7.2 + 0.3125 = - 2.9375.
1~ 1 =O. l875lnMr+ 1 + 0.6250lnZr +l + 1.6875 = ~ 0.1875. 4 + 0.6250. 7.2 + 1.6875 ~ 6.9375. Ponieważ postać zredukowana jest modelem liniowym (dla logarytmów zmiennych) szacowanym za pomocą MN K, to prognozy punklowe logarytmów ceny dobra A i wielkości jego sprzedaży oraz błędy ś red ni e predykcji (ex ante) otrzymujemy lak samo, jak w przypadku prognozowania na podstawie klasycznych modeli jednorównaniowych, przedstawionym w rozdziale 4 Bezpośrednio dla ceny i wielkości sprzedaży uzyskujemy prognozy punktowe:
Pr+ 1 =
e - 2.9375
= 0.053.
'2r+ 1 =
e 6.9J75
= 1030.2
W powyższym przykładzi e nic korzystaliśmy z faktu, że prognozujemy na okres T + 1, tj. okres pierwszy poza próbą. Ponieważ model nie zawiera opóźnionych zmiennych endogenicznych (jest statyczny), dokładnie tak samo przebiegałaby predykcja na okres T + 2, T + 3 i1d. - należałoby jedynie podać wartości zmiennych egzogenicznych w tych okresach. Inaczej jest w modelach zawieraji1cych opóźn ione zmienne endogeni czne.
Pnyklad 72. Prognozowanie na podstawie modelu dynamicznego. Dysponuj:1c odpowiednimi szeregami czasowymi dotyczącymi sprzedaży dobra Bi jego ceny oraz dochodów konsumen tów i zdol n ości produkcyjnych , oszacowano p ajęczynowy model rynku z przykładu 53 . Otrzymano In P, = - LO In Q1 In
+ l.O ln M, + 0.95 + if, 1,
Q, = l.0 ln Zr + 0,5 ln P1_ 1 - 0.05
+ 1i 12.
jako oszacowanie postaci strukturalnej. Naszym zadaniem jest dokonanie prognozy (\ogaryunów) wielkości sprzedaży i ceny dobra B w okresach T + I, T + 2 i T + 3 przy z:1 ł ożeni u , że dochody konsumentów będą wzrastały i wyniosą: Mr +1 = 403,43 = e 6 ·0 . Mr +2 = 445.86 = e 6 · 1. M + = 492. 75 = e 6 ·2 • 7
natomiast
zdo l ności
produkcyjne
będą stał e
Zr+1 = Zr+2 = Zr+J = 1339.43 =
e 7•2
Ostatnia obserwacja ceny rynkowej, Pr , to 0.8187 = e-0 ·2 Najpierw uzyskamy oceny parametrów postaci zredukowanej
ii ~ -ffi- 1 ~ P,~;_1 [~o O I
0.95 P,
3
na poziomic:
oI. O 0.5 - 0.05 Q,
]
I [I. O
wed łu g
wzoru (7.21)
7.4. Wykorzystanie modeli wielorównaniowych
~[r !~J[ -1 1. 0 n~[=~J !~J· 0,95
- 0,95
I. o
- 0.05
czyli
In P1 = 1.0ln M1
-
l.Oln Z 1
-
O,S ln Pr- i+ I.O + 51 1.
In Q1 = l ,O ln Zr+ O.Sin P1_1 - O.OS+ 5,2 Prognozowanie na okres T +I (pierwszy poza próbaj przebiega tak samo, jak w modelu statycznym, gdyż wśród obserwacji mamy waność ceny z okresu T:
ti1P;; 1 = l.OlnMT+ 1 - 1.0lnZr+i - 0,SlnPr + 1,0= ~ 6,0 -7,2- 0.5 · (-0,2) + 1,0 ~- O.I. 1ilQ;: 1 = I .O In Zr+ 1 + O,S ln Pr - O.OS= ~ 7,2 + 0,5. (-0,2) - 0.05 ~ 7,05. Natomiast prognozowanie na okresy dalsze niż T + 1 ma charakler łań cu chowy (rekursywny), gdyż obli czanie prognozy na okres T +k + I wymaga przyjęcia - w miejsce opóźnienia zmiennej endogenicznej - prognozy punktowej lej zmiennej na okres T +k:
iilP;;2= l.OlnMr+2- l. Oln Zr+2- 0.SlnP.„+1 +1,0= ~ 6. 1 - 7.2 - 0.5 · (-0. 1)+ I.O~ -0.05. 1ilQ;:2 = l.OlnZr+2 +O.S In Pr+i - O.OS = ~ 1.2 +o.5. c-o. lJ - o.o5~1.1 Ji1P;;3 = l.OlnMr +3 - 1.0ln Zr+3 - O.Sin Pr +1 + I.O= = 6.2 - 7.2 - O,S · (-0,0S) + I.O= 0,02S. 1ilQ;:3 = l.OlnZr+3 +0,S In Pr+2 - 0,0S = ~ 7.2 + 0.5. (-0.05 ) - 0.05 ~ 7, 125. Łańcuchowy charakter prognoz w modelach dynamicznych powoduje, że błędy śre dni e predykcji (ex ante) na okresy T + 2 i następne nie mogą być obliczane z klasycznych wzorów z rozdziału 4 Ostateczni e, ze wzg l ęd u na silny wzrost dochodów konsumentów przy stałych zdolno ściac h produkcyjnych, prognozujemy znaczny wzrost ceny dobra B Pr+ = e- 0· = 0,90. Pr+2 = e- 0 ·05 = 0,9S12. Pr+3 = e0·025 = 1,0253
1
1
jego sprzedaży: <2r+ 1 = e7 ·05 = l 1S2.86. C!r+2 = e7· 1 = 1211 .97.
przy
rosnącej
Q.,.+ 3 =
e1· 125 = 1242.6S
Dotychczas omawiali ś my predykcję na podstawie postaci zredukowanej , co jest jedynym sposobem prognozowania w modelach wielorównaniowych z macierzą B niedado postaci trójkątnej. Nie ma potrzeby odrębn ego omawiania modeli
j qcą się s prowad zić
prostych (Il = IG), gdyż w ich przypadku pos tać strukturalna i po s tać zredukowana sic. Natomiast w przypadku modeli rekurencyjnych (i ogólnie, modeli z trój kątn ą mac i erzą B) predykcja na podstawie postaci strukturalnej jest możli w a i prowadzi do tyc h samych wyników co prognozowanie wy k or1.:ystuj ące postać zredukowam1 pokrywaj ą
Przykład 73. Prognozowanie na podstawie modelu rekurencyjnego. Obecnie wyznaczymy te same prognozy, co w przy kład z i e 72, ale tym razem wykorzystamy bezpoś redni o pos tać s truktura ln ą . Jest to m oż liwe, po ni eważ bezpoś redn ie pow iązan i a bieżącyc h zmiennych endogeni cznych są wy łącz ni e jednokierunkowe (macierz B jest trój kątn a) i do prognozy zmiennej wcześ ni ej szej w łań c uc hu pow i ązań (u nas: logarytmu wi e lkośc i sprzed aży dobra B) nie są potrzebne równoczesne wart ośc i zmiennych nas t ę pującyc h po niej w tym ł ań c uchu (u nas: logarytmu ceny rynkowej dobra B). Otr1.:ymu-
1nQ.;:1 = l.Oln Zr+ 1 + 0.5 ln Pr - O.OS= 7.2 + O,S · (- 0.2) - 0.05 = 7. 05. a
n as tę pm e
ltiP";;1 = - l. 0 lnQ';:;: 1 + i. O ln Mr + 1 + 0. 95 = - 7. 05 + 6.0 + 0.95 = - 0. IO Podobni e uzyskujemy
lnQ';:;:2 = 1.0ln Zr+2+ O.s1n?";;
1
-
0.05 = 7.2 + O. S · (-0. 10) - O.OS= 7. 1.
1 ~2 = -l.OlnQ";: 2 + l.OlnMr +2 + 0.95 = -7 .1 + 6 .1 +0.9S = - 0.05 . itd
7.4.2. Postai:
końcowa
i analiza
mnożnikowa
E ko nom iśc i są częst o
zainteresowani nie tyle poziomem zmiennych endogenicznych w p rzyszł ości (ich prognozami), ile k.ierunkiem i s ił ą ich przyszł yc h reakcji na obec ne zmiany zmiennych egzoge nicznych. Odpowiedzi na tak postawione zagadnienie udziel aj ą ws półczy nniki tzw. postaci krnicowej modelu wielorównaniowego . Post ać ko ń co wa prt.:edstawia bi eżące zmi enne endogeniczne j ako funk cje zmiennych egzogenicznych (bi eżącyc h i opóźni onyc h ) oraz składnikó w losowych . Uzyskuje s i ę j ą z postaci zredukowanej prt.:ez eliminowanie o późn i on yc h zmiennych endogenicznych. J eżeli w danym modelu nie wys t ę puj ą o pó źni e nia zmiennych endogeni cznych (jedynymi zmiennymi z góry ustalonymi są zmienne egzogeniczne), to jego pos t ać ko1icowa jest tożsa ma z pos tacią zredukow aną Za kładam y obecnie, że zmienne endogeniczne są o późn io n e o (naj wyżej ) jeden okres oraz nie w ystę puj ą o p óźnion e zmi enne egzogeniczne. Oba te zał oże ni a m oż na u c h y li ć za cen ę w i ę kszego skomplikowania ko ńcowyc h wzorów. Postać z reduk owa ną (7. 11 ) zapisujemy obecnie w sposób wy raź ni e roz różni aj ący wyrazy wo lne. ws półczy n niki pr.ty opóźn i o nyc h zmiennych endogenicznych i współc zy nniki przy zmiennych egzogenicznych (7.22)
7.4. Wykorzystanie modeli wielorównaniowych
gdzie y, i v, są - jak poprzednio - wektorami I x G bieżącyc h zmiennych endogenicznych i składnik ów losowych; y1_ 1 jest wektorem I x G opóźnień wszystkich zmiennych endogenicznych; 0 jest macierzą G x G współczy nników postaci zredukowanej stoj ącyc h pn.:y tych opóźnieniach; z, jest wektorem l x L bi eżących zmiennych egzogeni cznych; 0 2 jest maci erzą współczynników postaci zredukowanej s tojącyc h przy tych zmiennych; do jest wektorem l x G wyrazów wolnych rów n ań postaci zredukowanej W powyższym zapi sie, tak jak w (7. 11 ), kolumny macierzy ws półczy nników 0 i 0 2 odpowiadają rów naniom postaci zredukowanej, natomiast ich wiersze odpowiadają poszczególnym zmiennym. W szczegól n ości, jeś l i opóź ni e nia pewnych zmiennych endogenicznych nie występują w modelu , to odpowiadające im wiersze macierzy D 1 sk ładają s i ę z samych zer. Zauważmy, że pos iać zredukowana pozwala bezpośrednio odczy t ać jedynie wpływ zmiennych egzogenicznych w tym samym okresie; element (/ . j) macierzy 0 2 informuje, o ile wzrosłaby wartość j -tej zmi ennej endogenicznej w okresie t. gdyby wartość /-tej zmiennej egzogenicznej wzrosła w tym samym okresie o jednos tkę. Elementy macierzy Di nazywa s i ę mnożn ikami bezpośrednimi Eliminując z postaci zredukowanej opóźnienia o I okres, tj. y,_ 1 , uzyskujemy informację o wpływie zmiennych egzogenicznych z okresu r - I. W tym celu opóźniamy (7.22): Y1-1 = do + Y1-2 D1 + z1-1 D2 + v,_1 1
1
i dokonujemy podstawienia prawej strony w miejsce y,_ 1 w (7.22):
y, = do + Cd.o + Y1- 20 1 + Z1- 1D2 + v1- d 0 1 + z,02 + v, = = do(l c + D1) + Y1 -2 D~ + z1-1 D2D1 + z1D2 + v,_1 D1 + v,,
gdzie Di = 0 1 D 1 • Elementy macierzy 0 2 D1 (s tojącej przy z, _ 1) nazywane są mnoż ni kami po śre dnimi (lub opóźnionymi) rzędu 1; element (/, j) tej macierLy informuje, o ile wzrosłaby wartość j-tej zmiennej endogenicznej w okresie t, tj. Yii· gdyby wartość /-tej zmiennej egzogenicznej była większa o jednostkę w okresie poprzednim (t - I) i tylko wtedy. Natomiast elementy macierzy D2D 1 + 0 będącej s umą macierzy stojącyc h przy z1_ 1 i z,, nazywa s i ę mnożn i kami skumulowanymi (lub podtrzymanymi) rzędu I; element (I, j) tej macierzy informuje o wzroście Yij na sk utek jednostkowego wzrostu I-tej zmiennej egzogenicznej zarówno w okresie poprzednim (1 - !).jak i bieżącym (r) Dokonując s -krotnego o późni e nia i podstawienia, otrą muj cmy: 1
Y1 = do
,
~D~ + Y1-1-$!Yi+l + ~z 1 _rD2D~ + ~v1 -rD~.
(7 .23)
gdzie D? =le oraz o~+t = D~D 1 dla r 2: O. Element (I . j) macierzy M, = D 2 0~ . zwanej (dla r :: I) macierzą mn ożników pośredni ch (opóźnio n yc h ) rzęd u r , przedstawia zmianę Yii na skutek jednostkowego wzrostu /-tej zmiennej egzogenicznej r okresów wcześniej (i ty lko wtedy). Element(/. j) macierzy:
informuje z kolei o ile w i ększe by łoby )'r). gdyby /-ta zmienna egzogeniczna by ła w i ęk sza o jednostkę we wszystkich s okresach wcześ ni ej szych (f - .I, • t - l) i w okresie bieżąc y m (1) . Macierz Cs zwana jest (dla .s ~ I) macierzą mnoż n ików skumulowanych rzę d u s. J eś li ciąg kolejnych potęg macierzy Di, tj. ciąg D~ (s =O, l. 2 . . ) jest zb i eżn y do macierzy zerowej C x C, to modelowany system nazywamy stabi lnym. Istnieje wówczas pos tać końcowa, otrzymywana prtcz przejśc i e w (7.23) do granicy pn~y .1· --+ oo i dana oo
oo
Y1 = do{lG - D i) - I + f;Z 1- r M r
Warunek
stabi l nośc i , }~.nc!, D~
= O, powoduje.
że c i ąg
+ ~ Vr-r D~ macierzy
(7.24)
mno żnik ów pośredni ch
M, = D 2 D~ (r = I. 2. . ) zmierza do maciert:y zerowej o wymi arach L x G. Stabiln ość oznacza w praktyce, że wpł yw z akł óce ń losowych i zmian wartośc i zmiennych egzogenicznych z odległej prze szłośc i na bie żące wartości zmiennych endogenicznych mo żna pominąć lub równoważni e że wp ł yw bi eżącyc h zakłóce ń losowych lub egzogenicznych na przyszłe wartości zmiennych endogenicznych będz i e wygasał do zera wraz z wydłużaniem s ię horyzontu czasowego Pos łać końcowa (7.24) prtedstawia wartośc i zmiennych endogenicznych w okresie 1 jako funkcje wszystkich b i eżących i wcześ ni ejszych wart ości zmiennych egzogenicznych i składnik ów losowych. Parametry postaci koń cowej to mn ożniki bezpośrednie (r = O, M0 = D2 ) i poś rednie wszystkich rzędów. Dodając je, obliczamy mnożniki skumulowane kolej nych rzędów. Granica c i ąg u maciert.:y mnożnik ów skumulowanych Cs przy s d ążącym do ni esk of1czon ośc i to tzw. macierz mnożników całk ow it yc h , dana wzo-
Jej element (I . j) informuje o ile większe by ł ob y )'rJ• gdyby w okresie I i we wszystkich okresach wcześniejszych /-ta zm ienna egzogeniczna by ł a większa o j ednost k ę. Przykład
74. A n ali~a mn ożnikowa w p ajęczynowym modelu rynku.
U zys kaną
w przy-
kładzie 72 macierz fi dla pajęczynowego model u rynku dobra B uzupełnimy zerami (od powiadającym i In Q, _1) i podzieli my na bloki zgodni e z zapisem (7 .22):
fin P, In Q, l =( i .O - 0.05] +(In P,_ 1 In Q,_ 1 ] + LlnM, lnZ1 J[
Mamy
fi
I
= [ - 0.5
0
0.5]
0
-g. 5
_ ::~ ~.o ]+L5, 1
więc
do= [I
[
- 0.05)
~· 5 ] +
51 2J
7.4. Wykorzystanie modeli wielorównaniowych
jako oszacowanie macierzy d 0 , D 1, D2 Ponieważ model jest liniowy względem logarytmów zm iennych, więc wszystkie mnożn iki są elastycznościami (okreś lają zmiany procentowe) (a) Mnożniki bezpośrednie: M 0 = Ó2 Wzrost dochodów konsumentów o l % w d:mym okresie powoduj e wzrost ceny o l % i nie ma wptywu na wie lkość sprzedaży w tym samym okresie, natomiast wzrost zdolno śc i produkcyjnych o 1% powoduje spadek bi eżącej ceny o l % i wzrost bi eżącej sprzeda ży o 1%. (b) Mnożniki pośrednie i skumulowane rzędu l
MI = DD = [I OJ[ - o0.5 0.5]= [-0.5 2 I - 1 I o 0,5
O,~l lnM,_1 - 0,)
In P,
In Zr- l
lnQ 1
Jednoprocemowy wzrost dochodów w okresie r - I (i tyl ko wtedy) spowodowałby spadek ceny o 0,5% i wzrost s przed aży o 0,5% w okresie r, natomiast wzrost zdolności produkcyjnych o 1% w okresie 1 - l spow odowałby wzrost ceny o 0,5 % i spadek sp rze daży o 0.5 % w okresie 1
. M 1= C1= Mo+ M1 = D2+
[ - 0.0.5 0.5] _ 5 05
Wzrost dochodów o I% w obu okresach, 1 - 1 i 1, powoduje w drugim okresie (t) wzrost zarówno ceny, jak i sp rze daży o 0,5 %, natomiast wzrost zdo ln ośc i produkcyjnych w obu okresach o 1% powoduje w drugim okresie spadek ceny o 0,5 % i wzrost s p rzedaży o0,5%. (c) Mnożniki po śre dni e i skumulowane rzędu 2:
M2 = MD = [- 0.5 1 1 0.5
0.5 ] [ - 0.5 0.5] = [ 0.25 - 0.25 ] lnM,_,
- 0.5
O
O
- 0,25
1nP1
0. 25
In Z r- 2
In Q1
Wzrost dochodów o l % powoduje po dwóch okresach wzrost ceny o 0,25% i spadek sp rze da ży o 0,25%, natomiast wzrost zdo lno śc i produkcyjnych o 1% przynosi po dwóch okresach efekty dokładnie przeciwne·
C2 = Mo + M1 +Mi= C 1 + Mz =
0.75 0.25] [ - 0.75 0.75
Gdyby dochody byly większe o I% w trzech kolej nych okresach, to w trzecim okresie cena b y łaby w i ększa o 0,75%, a sprze daż o 0,25%. Gdyby zdolności produkcyjne były większe o l % w trzech kolejnych okresach, to w trzecim okresie cena by łab y mniej sza o 0,75%, a sprzedaż by łaby większa o 0,75 %.
(d)
Mnożniki całkowite (s tabilność
sprawdzimy w przykładzie 75):
00
Coo= ~Mr= D2(I - D 1) •
~[ _ ,
I
•
_ ,
=
[
I
- ]
OlI [ 1.5 o
-0.5]-' I
-
2 I] 1][0 1 ,5]3~ [-~J }~ ·
O
I
0.5
2
Dłu go t rwałe
(podtrzymane we wszystkich okresach) zwięk szeni e dochodów o I % w odległych przyszłych okresach wzrost ceny o 2/3% i wzrost sprzeo 1/3%. Utrzymane we wszystkich okresach zwiększeni e zdoln ośc i produkcyjnych o I% spowodowałoby w odl eg ł ych okresach prz yszłych spadek ceny o 2/3% i wzrost s przedi1 ży o 2/3%. Łatwo zauwa żyć, że w prLypadku rynku dobra B mnożniki pośre dni e wygasają w sposób oscylujący (z mieniają znaki z okresu na o kres), a mnożniki skumulowane s tabilizują się. Macierze mn oż ników pr1.:edstawiaj:1 efekty izolowanych zmian pojedynczych zmiennych egzogenicznych. Mo gą być jednak wykorzystane do obliczania efektów równoczesnych zmian więcej niż jednej zmiennej egzogenicznej. Dla ilustracji zauważm y, że opóźnione efekty wzrostu dochodów i zd oln ośc i produkcyjnych o I % w rozważanym modelu dokład n i e s i ę znoszą (kompensują). Dlatego efekty skumulowane i całkowi t e jednakowej równoczesnej zmiany obu zmien nych egzogenicznych równe są efektom bezpoś rednim i wynoszą: 0% (zmiana ceny), I% (zmiana sprzedaży) spowodowałoby
daży
Warunek s tabiln ości. czyli zbi eż n ość c i ąg u macierzy O-: do macierzy zerowej, jest rów n oważ ny warunkowi. by wszystkie wartości własne mac ierzy D b y ł y co do modułu mniejsze od jedności. Poni eważ mac ierz D 1 zwykle jest niesymetryczna, mo że mi eć zespolone wartośc i w łas n e; s tabiln ość wymaga, by moduły tych liczb zespolonych o raz wartości bezwzg l ędne rzeczywistych wartości własnych b y ły mniej sze od I W rozważanym tutaj modelu rynku nic musimy u c i ekać się do liczb zespolonych 1
Pnyklad 75. Badanie cierą
s t abilności w model u rynku dobra 8. Mając oszacowanie maD obliczamy pierwiastki równania charakterystycznego: 1
,
det (Ó W przypadku macierzy
1
-
Al e)= O.
6 1 z przykładu 74
• - Ale)= 1-05 det(D1 o" -A
05 o"- A = (0,5 I
+ A)A
ma dwie rzeczywiste wartości własne: A1 = O i il. 2 = - 0.5; obie spe łniają warunek Iii.I < I. System jest stabilny, co oznacza, że mnożniki pośrednie wygasają do zera. a mnożniki skumulowa ne st ab ilizuj ą s i ę i zdążają do wyliczonych w kmku przykładu 74 mn ożnik ów całk ow it yc h .
Analizę rnnożnikową ręczn iki
dla niedużych mode li gospodarki przedstawiają niektóre podekonometrii (por. A.S. Goldberger (46], H. The il (1 29], W. H. Greene (60]) .
Zadania Zapisać liniowy system wydatków w przypadku G = 2 grupy dóbr (żywn ość i pozos t ałe). Okre ś l ić zmienne egzogeniczne i endogeniczne oraz zi nt erpretować parametry. Prt:cds t awić warunki poboczne w iążące ele menty Yij maci c rą r , zaw i e raj ącej współczy nniki przy zmiennych egzogenicznych modelu. Co można powiedzieć o zgodnośc i i efe ktywn ości estymatora MNK pojedynczych równań tego modelu ?
214.
215. Pri:eds tawi ć zapis macierzowy, zbadać (z restrykcjami, czyli RRF) modelu ·
z upełno ść
i znal eźć
pos tać zred ukowaną
Y11 =Y11X11+Y31X1J+S°11 .
Y12
= f312Y1 1 + Y22 Xr2
Okreś li ć ide n tyfikowa l n ość rów nań
oraz
klasę
+ S°12·
modelu . Om ów i ć
es t y mację.
216. W poniż sz y m modelu zmienne po lewej stronie znaku rów nośc i są zmiennymi endogeni cznymi. Okre ś lić k l asę modelu. Wykorzys rując warunek konieczny, s prawd z i ć czy jego równania mogą być identyfikowalne. Jaką metodą można szacować parametry strukturalne? Y,=cx+{JZ 1 +yr +~11.
W1 = ó +
,,r, +
Z,= A+ µ W,+ fo, X, = p + >/!Z, + S14· 217. D:my jest model wielorównaniowy o postac i·
Y, = r:x1 D,_, + cx2S1-1 + 0'3 + S, 1. D, = a4 Y1- 2 + a5X, + a6Z1 + cx7 + .;,2 . S, = cxgt + a 9X, + aw D1- 2+r:x 11 + .;,3. Zak ł adając, że zmie nne obj aśn ian e rów n ań to zmienne e ndogeniczne, podać zbiór zmiennych łącznie współza l eż nyc h oraz zbiór zmiennych z góry ustalonyc h. Określić kl asę modelu i podać właściwą metodę estymacj i każdego z równafi .
218. Przedstaw i ć zapis macierzowy i okreś li ć i es t ymację
klasę
modelu.
Om ów i ć
identyfikowal-
n ość
D, = r:x1 P, + a1 Y1 + cx3 D1- 1+ a4Z, + S11 , S, = ó1 P,_, P, =
+ ó2 K, + ó3 K1- 1 + ó4 Z, + .;,2, D,)+1P?. P1- 1+
219. Wyko rzys tać zapis macierzowy, nań modelu:
Y,
okreś li ć kla sę
i
+
+S1J·
zbadać i dentyfikowa l n ość
/h1 W, + Y11X1 + Yo1 +S11 . W,= fh2Z1 + Y22 P, + Yo2 + .;,2, Z,= /3u Y1 + y13 X , + y33 R1 + Yo3 + S,J =
rów-
220. Do którego równanill J'11
poniższego
mode lu można
zastosować poś red ni ą
MNK
+ Y11Xr1 + Y21 -'"12 - Y21Y13 + .;,1 . f332y,3 + Y22-'" r2 + Y02 + .;r2· f3uYr 1 + Y23-'"r2 + Ym + .;,3
= fh1Y11
Y11 = Y13 =
221. Dany jest dwurównaniowy mode l ws półzależny )'11
+ Y11Xr1 + Y21X12 + }'31X,3 +.;Tl, + Y12 -'"r1 + Y22 -'"12 + Y32-'"13 + .;,2.
= fh1)'r2
Y11 =
f312Yr1
(a) Sprawdzić, że żadne równanie nie jes1 identyfikowalne (b) Który z poniższych warunków prowadzi do identyfikowalnośc i obu delu: (1) Y21 = }'32 = O. (2) Y12 = Y22 = O. (3) f321 = O
równań
mo-
(c) Z jakim modelem mamy do czynienie, jeśli do warunku (3) dołączy my a 12 = O. gdzie a 12 = cov(.;11 . .;12)? 222. Mając poniższe dane (tablica 7. 1). znaleźć oceny parametrów modelu Yr1 =
f311Y11
+ YnX11
+ .;, 1.
Yr2 =f312)'r1 +}'221 +.;r2· Yr3
= f3nYrl + {323)'12
I
Xr l
4
o
+ .;,3.
"
5 6
o
15
13
W miarę możliwo śc i zastosować poś red n ią MNK. 223. Sprawd z i ć idc ntyfikowal ność i dokonać estymacji (na podstawie danych z tablicy 7.2) parametrów pierwszego równania modelu: Y11 =f321Y12+Y21 X12+.;,1 Yr2 = fi12)'11 +
f3nY1J
)'1.> = }'33X13+.;t3
+ Y12Xr1 + Sr2·
Tablica7.2 I
Y1I
-6 -2
o
- 1
-2
o
-2
-2
224. Sprawdzić id cntyflkowaln ość rów n ań modelu z pr~ykładu 69. Ile restrykcj i na postaci zredukowanej narzuca postać strukturalna? Jakie to restrykcje? drugie i trzecie równanie model u 225. Sprawdzić , że w modelu
współczy nniki O szacować
)'11 =/Ji1Y12+Y11Xr1 +J121X1 2+~r l· )'12
= /312)'11
+ YJ2·'"3 + y.nXr4 + ~12
występują dwa ograniczenia wiążące współczynniki postaci zredukowanej. sób es1ymacji macierzy n uw zg l ędniający te warunki poboczne 226. Na podstawie pon i ższej macierzy:
2
y Ty [ X'Y
y TX X' X
J-[ ~~ -
5
l~~ ~ i~~ ;
7
3
8
;
~
l
Opisać
spo-
.
15
zaw i erającej oszacować
sumy kwadratów i il oczynów T = 25 obserwacji na wszys1kich zmiennych, równani a model u: )'11 = fh1Y12 + Y11Xr1 + ~rl · )'12
=
/312)'11
+ Y22 Xr 2 + Y32Xr3 + ~12 ·
obli czyć oceny współczynników postaci zredukowanej bez restrykcji (U RF) i z ograni czeni ami (RRF). W obu przypadkac h obli czyć prog no zę punktow:1 zmiennych endogenicznych na okres T + I, zak ładając, że zmienne z góry ustalone przyjmą wart ości XT+l.I = XT+l.2 = XT + l.J =I. Porów n ać wyniki 227. Oszacowano na stę puj ącą zależn ość mi ędzy wskaźnikami inflacji ( P1 ), wzrostu płac (W,) i wy daj n ości pracy (Z 1 , zmienna egzogeniczna):
In P r= 0,5 In W,+ 1iri. In Wr = 1.0 ln P1_1 + I.O In Z, +li 12 Określi ć bi eżący, opóźni o n y
i skumul owany wpł yw zmian wydajności pracy na i n fl ację i wzrost p łac (z badać sta bilno ść systemu oraz obliczyć mno ż niki bezpośrednie, pośred ni e i skumulowane rzędu 1 i 2, całkow i t e).
228. Anali zę mnożnikową, przed s tawioną dla dynamicznych modeli wielorównaniowych, moż na w prosty sposób przeprowad zić w modelu jednorównaniowym z opóźnie niami zmiennej endogenicznej . Na podstawie oszacowanego modelu :
y,=2 +iY1-1+~x, + i:, o kreś li ć wpływ zw i ększenia
zmiennej egzogeni cznej x, o j ed nos tkę na poziom zmiennej endogenicznej y, w okresie 1 i n astępnych 229. Mając model rekurencyjny oszacowany na podstawie danych z dwudziestu kolejnych lat (1 = I, ... T; T = 20): Y11 = - 0.4x11
+ O.Sr+ 10.5 + t111 .
Yr2 = 0,5)'13 + l .2y, _ 1.1 + 5.36 + 1i 12.
y,„ =
0.6)'11 + 0. 2x,2 + 4.34 + 1i,3.
w yzn ac zyć progn ozę punktową
zmiennych endogenicznych na okres T niu , że xr+1.1 = 5, xr+2.1 = 7, .rr+2.2 = 8 230. Dany jest model dwurównaniowy:
+ 2 przy za łoże
=fh1Y12+Y11X11 +S11 ·
Y11
)'12 = /312)'1 I + Y22.r12 + S12·
gdzie y11 i y, 2 są zmiennymi endogenicznymi, a x, 1 i x 12 są zmiennymi egzogenicznymi Przed s tawi ć zapis macierzowy modelu, okreś li ć jego kla sę. zbadać identyfi kowalno ść jego równań i d okonać ich estymacji na podstawie danych z tablicy 7.3. Obli czyć prognozy punktowe zmiennych endogenicznych dla dwóch skrajnych sytuacj i; w pierwszej x. 1 =- I, .r.2 = 1, w drugiej x. 1 = l ,x.2 = - 1 Tahlica7.3 I
Yt l
4
~3
I
231. Dany jest model )'11 = /321)'12 )'12 = /332)'13
Y1J
= /31,1)'11
+ YnX11 + S11 . + Y22X12 + Sr2· + YBX12 + So
gdzie y 11 , y12 , y, 3
są
M ając
zmiennymi endogenicznymi , a x11 , x, 2
są
zmiennymi egzogeniczo bl iczyć w jak najprostszy sposób oceny parametrów postaci strukturalnej: dokonać prognozy punktowej zmie nnych e ndogenicznych y. 1. y.2. y.3 pri;y za ł ożeniu , że x. 1 = IO i x„2 = 5:
nymi.
dane oceny MNK
ws półczynników
Ii ~ [ 232.
Wyznaczyć
oceny
2. o 0.5 - I. O I.O
0.2 - 0.4
współc zy nników
Zr= fh1wr
w, = f112Z1
postaci zredukowanej,
l·
postac i zredukowanej modelu :
+ Y11Z1-1 +S-11. + Y21r1 + ~12.
gdzie r, jest zmienną egzogeniczną. Obliczyć prognozę (tj. na drngi okres poza prób
pun ktową
zmiennej w1 dla 1 = 9
Tablica 7.4
o
5
I.O
I
8
2
7
I.O
3
6
2.5
3
3.0
5 7
3.5
4
0.5
I
2.0
4
233. Zapi s ać oszacowaną pos t ać zredukowaną modelu z zadania 232 w sposób dogodny do obliczania mnożników. Okre ślić s tabilność modelowanego syste mu. Wyznaczyć kilka kolejnych mnożników poś red n ich oraz skumulowanych i opisać ich zmie nno ść w czasie
Odpowiedzi do zadań
Pojem n ość integralna przyjęła wartość najw i ększą dla kombinacji piąt ej (Hmax = więc Y = /( X 1 , X3 ), czy li w modelu wydatków na sport , turyi wypoczynek badanej grupy rodzin należy uw zg lęd n i ć przec i ęt ny roczny dochód w rodzinie oraz z mi e nną c harakt e ryzującą charakter zatrudnienia g łow y rodziny.
J.
= H5 = 0,7828), a s tykę
2. Hma:-. = f/6 = 0.9732, Y = f(X2. X 3) , czy li w modelu nal eży u wzg l ędn ić liczwczasowych, z którymi oddział współpracuje i zmienną charakteryzującą s i ed z ibę biura. bę ośrodków
I
3. R = 1
[
- 0.881 I
0.753 ] - 0,770 . I
Ro ~
[
0.915] - 0.899 0.838
H mn = H1 = 0.90 11 , a więc w modelu należy uwzg l ędni ć wszystkie trzy zmienne objaś n iające
4. (a) f/4 = 0,50, Hs = 0,80, H6 = 0,64, H1 = 0.723 , (lr 12I = lr nl = 0,6, lr 23 1=0.25). A więc optymalna jest kombinacja piąta, zawie rająca zmienne X 1 i X 3 (b) Wed ług metody grafu. w modelu nal eży u wzg l ędni ć tylko X 1
•
5. H4 = 0,6050, Hs = 0.7977, H6 = 0.3445, H1 = 0.6610. Hmax = Hs, a w modelu na l eży uw zg l ędnić zmie nne X 1 i X 3.
6. lroil = O. 7, lro2I = 0,8, lrOJI = 0.6, lr1 2I = 0.5 , H1 = 0,7 163; H rnu = H4 , a więc Y = f( X 1. X 2)
lr13I
= 0 ,6,
lr23I
więc
= 0,54;
7. (a) Przy 4 po1encjalnych zmiennych objaśniających mamy 2 4 - I = 15 kombi nacj i. Pojemno ść inlegralnajesl n ajwiększa dla trzyelemenlowej kombinacji zmiennych Xi.X2. X4 . (b) Metoda grafu prowadzi do lakiego samego wyboru (X 2 i X 4 Io w i erzchołk i izolowane, zmienne X 1 i X 3 połączy ł y s i ę ze sobą, silni ej skorelowana ze z mi e nną objaśnianą jest zmienna X 1 )
8. (a) Hmax = 0. 807 1 dla kombinacji zmie nnych {W, XI 1Wspókzynniki korelacji można obliczyć w Excelu. konystaj•1c z funkcji standardowej (kategoria s1a1ystyczne) wsp.korelacji(;), wskazując jako argumen1y (w nawiasie) oddzielone średnikiem kolumny z w:u1ościami dwóch zmiennych. dla których obliczmny współczynnik korelacji
Odpowiedzidozadal'I
(b) Optymalna jest ta sama kombinacja (zmienne W i Z tworzą graf spójny bieramy W, si lni ej s kore l owaną z Y , oraz w i erzchoł ek izolowany X)
wy-
9. (a) Dla a = 0.05 i 30 - 2 = 28 stopni swobody la = 2.042, zatem r* = 0.36, Y = f(X„ x,, X,) (b) łl = 0,8546,
IO. (a) Graf s kł ada s i ę z 4 wierzchotków izolowanych; w modelu należy u wzg l ędnić wszystkie 4 zmienne objaśniaj ące (b) Zm ienne tworzą graf spójny; rząd każdego w i e rzchoł ka jest równy 3, wybieramy X2 - najsilniej skorelowaną z Y (c) Dla kombinacji {X X2. X3. X4) H = 0.8300; dla kombinacji (X 2} H =0. 7569 1 •
Il. (a) Właśc i wy jest graf B. (b) Z grafu spójnego wybieramy X4 (w i e rzc hołek o i X 5 (wie rzchoł ki izolowane). czyli Y = f(X 3, X4, X s) (c) łl = 0,662 1.
najwyższym
stopn iu) oraz X3
l 2. Y = /(X1 . Xs . X1) 13. Optymalna jest kombinacja zawierająca zmi enną X Przyjmujemy więc X,= = X, i szacujemy parametry modelu Y1 = ao+a 1 X,+c 1 • Yr = 36.0 - 2.4.r,. s; = 0.8, 1
1
(1.67)
V~= 4.47%, R 2 = 0.960
(0.24)
14. H max = 0.9801 = H i. a więc optymalna jest kombinacja pierwsza, zaw i erająca tylko z m ienną X staż pracy. Należy zatem oszacować parametry modelu Y1 = =ao +a 1 X 1 +c1 , gdzie X= X 1 • )' = 8.40 + J ,3x, s; = 0.27. Ve = 3, 72%, R 1 = 0.9885. 1
-
1
(0,33) 25.56 15. Hm„ =
(0,06) 21,15
łl,
= 0,988 1, Y = J(X„ X2 ),
5,„ = 17.5 - l .Ox11 +3. 0x;2 . ( 1,73)
(0, 16)
(0,61)
OJ
,,;
v~= 4.04 %,
R2 = 0.989.
= 0.333, D(ao) = 1, 4 1, tp 2 =0.0357 . D(a 1)=0, 13. V,, = 3.045. D(a2) = I .OO. ocena parametru a 2 jest statystycznie nieistotna; symetria reszt: t(a 2) = 0.456 < 1„ = = 2.447; losowość reszt: S 1 = 3 < S = 4 < S2 = 6
16. a=
[
13, 0.9
s;=o.5.
.
l. 8
17. )'1 = 9.60 (1,84)
+
l.60xi. Se= 1.83, V,=7, 6 1%,tp2 = 0.0376, (0,18)
t (ao) = 5.23 >la= 3. 182.
18. (a) )'1 = l .8x1 + 14.0.
t(ai) = 8.76 > I„ =3. 182
s;
= 0.5, Ve = 3.98%. tp 2 = 0.106 (0,3 1) (0,7 1) (b)a1E(0,940 : 2,660) (c) 1 = 0.645 < ta , a więc nie ma podstaw do odrzuceni a hipotezy.
że
a = 1.6 1
Odpowie!lzi do
zadań
19. )'1 = 2 1.70 - l, 3x1 • S" = 0.32 . Ve = 2.51%, R 2 = 0.999 1. (0, 10) (0,7 1)
f(ao) = 30.4 >fa= 3, 182. ao E {19.428: 23.972). 20. )'1 =
=I - 131 >fa= 3, 182, cr1 E (- 1.6 18; - 0.982) s; =0,6, Ve =8.15%, tp 2 = 0,03 l3. t(ai)
8.0 - 0.5x11 + 2.4x12. ( 1,90) (0, 17) (0,67)
t(ao) = 4.22 > 1„ = 3. 182.
1(ai) =I - 2.91< 1„ = 3. 182. r{a 2 ) = 3.6 > t„ = 3. 182 cr1 E (- 1.041; 0,04 \ ), a 2 E (0,268: 4.53 1) 2 = 0.6, R = 0.9852 21. "'' = - 18,3 + 2,5X11 + 3,9x,2. (4,6 1) (0, 17) (0,96) P:1rametry strukturalne są statystycznie istotne na poziomie i stotności a= 0.05 .
s;
cr1 E (\.949 : 3,051). 22. )'1 = 28 .0 - I. Lr1 1 + i. 8x12, (0,97) (0, 14) (0.82) /(bi)= 7.86 >
I„ .
a1
E (0.845: 6.955)
s; = 0,933, R
T(b2) = 2. 195
2
< la=
23. {a) Macierz XTX jest symetryczna (a tym samym (pierwszy element wektora XTy), b =
[-I;:;].
= 0.977 , t(bo) = 28 .9 > la.
2.776
t akże
{XTX)- 1),
Ly
1
= 2 15
2. 6
s;
(b) = 28, D(bo) = 31.855, D(b, ) = 3.175, D(b2) = 0.529, t(bo) = - 0.383 , T(bi) = 0,756, T(b 2) = 4,914, tylko lt (b2)1 > 10.05 :4 = 2.776, a więc rylko ocena ,8 2 jest statystyczme istotna. (c) V,= 17.23 %. (d) R 2 = 0.8697 24. (a) a = [
=: ;]
(b) R 2 = 0.9865.
(c) Wszystkie parametry są statystycznie istotne na poziomie istotności 0.05 D(a0 ) = 2, IO, D(a i) = 0.17, D(a 2 ) = 1.09. (d) Z prawdopodobieństwem 0,95 cr 1 e [20.177: 31,823J, cr 2 e [- 2,16: - l. 24J, C1'3Efi,181: 7,219 ) (c) Ho: a = - 2.2 na poziomic i stot n ości 0,05 należy odrzucić, bo 1
- 1,7 - (- 2.2)
2.94 > la= 2.776 0.17 0.8 - o Nie ma podstaw do odrzucenia H0: 2cr 1 + cr2 =O, bo 1 = 0. = l .006 < t„ = 7953 = 2.776,
Odpowiedzidozadal'I
Nie ma podstaw do odrzucenia Ho: ero+
cr 1
+
cr2
28.5 - 3 11 = 31, bo ltl = Ti'958 = 1
= 1- 2.091 < 1„ = 2,776
25. (a) ?ptymalna kombinacja to X 1 i X2, f;!ma~ = 0.693 30.0 - 0,72x11 + 3, 52<12, S; 0.345 , Ve 1.96%, R 2 0,9642; ( 1,3 1) (0,08) (0.50) dopasowanie modelu do obserwacji m ożn a ocenić jako dobre. (d) Wszystkie parametry strukturalne s ą statystycznie istotne na poziomie i stotn ości 0,05: 1(a0) = 29,5 , 1(a 1) = -8. 7, 1(a 2) = 7. 1 (f) H0: cr 2 4 wobec H 1: a 2 -:f=. 4; 1 1-5. 78 1 > 1„ 2. 776. a więc na poziomie i s totności 0,05 H 0 n a l eży odrzuc i ć (b) (c) y1
=
=
=
=
=
=
=
26. (a) S·1 = 20.0 - l. 2x11 + l. 4x12, (b) = 0.20, V~ = 1. 485%, R 2 = 0.998 ś wiadc zą o bardzo dobrym dopasowaniu modelu do obserwacji, nawet jeżeli do oceny (ze wzg l ęd u na małą liczbę obserwacji) uw zg l ę dni s i ę R2 zrewidowany, równy 0,997. (c) F = 606. l ( uw zg l ę dniając R2 zrewidowany), F„ = 6.94 (dla a = 0.05 oraz 11 1 = 2 (k - I) i 11 2 = 4 (n - k)), a więc hipot ezę, że układ współczynników regresji jest statystycznie istotny nal eży od rzuci ć (d) D (a0 ) = 4.02, D (a 1) = 0. 31, D (a 2) = 0.40, 1 (a0 ) = 7,23, 1(ai) = -3 .94, t (a2) = 3.5, dla wszystkich parametrów zachodzi w i ęc: lt (aj ) I > t„ = 2.776. czy li wszystkie są statystycznie istotne, (e) N :1 l eży zwe ryfikować Ho: cr 1 = - 1.4 wobec H 1: cr 1 '# - 1.4
s;
111=
- 1.2 - (- 1.4)1 0,3 1
1
= 0.657
<
1„
= 2,776,
a więc nie ma podstaw do odrzucenia Ho
I
=
+
+ 2. 6x12 •
s;
= 0.6, R2 = 0.9769 , ( 1,34) 1,94 to.05:3 = 3. 182, a w i ęc ocena parametru cr 2 jest statystycznie nieistotna ukończe~ ni e s zkoły zawodowej nieistotnie wpływa na wydajność pracowników firmy. Na l eżałoby oszacować parametry modelu tylko ze z mi e nn ą X 27 . .Y1
11 ( 1,9)
5,8
1. lx11 (0, 17)
6,5
1
28. Dopasowani e modelu do obserwacji jest bardzo dobre (model wyjaś nia zmienno ść zmiennej endogenicznej w blisko 99%, a odchylenia losowe stanow i ą tylko 3. l 9% średniej wartośc i zmi ennej endogenicznej. jednak ocena parametru a 3 jest statystycznie ni eistotna, można więc wn ios kować, że zmienna X 3 nieistotnie wp ł ywa na Y i nal eży ją z modelu u su nąć. Należy ponownie osza cować parametry modelu ze zmiennymi X i X 2 • Model przyjął postać: 1
}•1 =
17,0 ( 1,48)
+
l.6Xr 1 + 3,2Xr2· (0, 12) ( 1,1 2)
s; =
I ,45,
R 2 = 0.976,
Vr = 4, 01 %.
Odpowie!lzi do
29. (I) (2)
5'r
=
8.00 (3,23)
+
D 1 (u) =
2.20.r1 1 (0,28)
[
-
10.4000 - 0.8320 -0.5200
s; =
0.60.rr2. (0, 19)
-0.8320 0.0763 0.0347
2.08.
zadań
0.0245 ,
- 0.5200 ] 0,0347 0.0347
(3) (a) to= 2.48, t 1 = 7.97, t2 = -3.22, lo.055 = 2.571 , a więc na poziomic istot0,05 ocena parametru a 0 jest statystycznie nieistotna (byłaby istotna na poziomie O, JO - to.io: 5 = 2.0 15) (b) H 0 : a 1 = 2,5. H 1: a 1 f:. 2.5, 1 = 1.07 < '"'zatem nie ma podstaw do odrzucenia Ho. nośc i
i s totnośc i
(c) Ho:y= 10, H, :y
1'
IO,gdz;c:y=a,+a2+a3= cTa=[I
9 6 10 D()i) = J cTD2(a)c = 2.81, t = · = O. 142 < 2.8 podstaw do odrzucenia Ho. 2
30.(IJh= [
~.3].
(d) Ho: Y = fi1
+fh
l]·[::J·
I
= 2.571, zatem nie ma
1"
s;= o.4 -2.9 (2) R2 = 0.985. (3) D(ho) = I. 79. D (b,) = 0.14, D (b2) = 0.93 (a) F = 224 > F„ = 19,2, a w i ęc przynajmniej jedna zmienna istotnie wpływa na Y (b)t(b 1) = 9 . 19 > 1„ = 2.776; lt(b 2 )1=3, 13 > t„ = 2.776,awięcobydwa współczynniki regresji są statystycznie istotne. (c) Ho: fh = - 2.5, H1: fh f:. - 2.5, ltl = 0.43 > t", czyli nie ma podstaw do odrzucenia H 0 • = -2, H1: Y = fi1 +/32
f:.
-2, I=
6
-l , ~ (-
08
2 ) = 0,5 <
2, 776, zatem nie ma podstaw do odrzucenia H0 • (a) S = 2 < S = 5 < S2 = 7 - reszty mają charakter losowy. d = 2.465, d1. = 0.467 < d' = I. 5375 < du = I. 897; test D-W nie rozstrzyautokorelacja jest istotna. 1.2295 2 (c) W = - .-- = O. 945 > IV" = 0.803; rozkład reszt jest rozkładem normal16 nym
< t„ = (4) (b) ga. czy
1
31. ( I) Zoo ważmy, że wy
}' 1
= - I .4.rr1
(0,21)
+
2. lxr2 (0.83)
+
19,5, (1,13)
s; = 0,425,
94 , 119 R2 = 0,9782.
Odpowiedzidozadal'I Można
zatem powiedzi eć, że wzrost stażu pracy pracownika (X 1 ) o I mie s i ąc powoduje spadek odsetka braków średnio o 1,4 punktu procentowego, pn~y s tał ym X 2. Natomiast przy stały m s ta ż u odsetek braków wytwarzanych przez mężczyzn ę ( X 2 = I ) jest przecię tni e o 2, 1 punktu procentowego większy ni ż pn.:ez kobi et ę (X 2 = 0). Można dodać, że w przypadku pracownika zaczyn aj ącego pracę (X 1 = 0), którym jest kobieta ( X 2 = 0) braki stanowi
7- 2- I 0,9782 F = - - 2 - . I - 0.9782 = 88,765 dla
11 2
= 2i
odrzuc i ć, z mi en ną
a Y
= 4, F„ = 6 .94. Wobec
11 1
więc
(b) Na l eży na, tzn. Ho: a 1
ni erów ności
przynajmniej jedna ze zmiennych
zweryfikować hipote zę, że
=O
wobec H 1 : a 1
odrzuc i ć
na rLecz H1 stycznie istotny.
i-
wpływ st aż u
(c) H0 : a 2 = 2, H 1: a 1 'f. 2,
1
=
podstaw do odrLuccni a Ho.
F > F„ hipote zę zerową na l eży istotnie wpływa na
o bj aś niaj i1cyc h
ocena parametru a jest statystycznie ni eistot1
O, t =
1 ~1=6.67 0.2 1
2.1 - 2 1 = 0.118 <
~
1
(c) (d)
1
=
·~.~ 1 ~'
Rozkład
=
2,776. Ho
należy
1„
= 2.776, czyli nie ma
s;
15,5 + 2. IX11 - 0.8Xr2· = 0,68. (3.39) (0,26) (0.29) (b) to= 4.57, 11 = 8.05, 12 = 1-2,8 1. I„ = 2.571, a strukturalne są statystycznie istotne. 32. (a) .Y1 =
2
> t„
pracy na odsetek wytwarzanych braków jest staty-
8
= 11.14 > 1„ = 2.571 , czyli Ho
reszt jest
test D- W nie raz.strąga, E (0,559: 1.777))
więc
wszystkie parametry
należy odrzucić
rozkładem
normalnym ( \V = 0.930 > W„ = 0.8 18), ale czy autokore lacja jest istotna (d = 2.747; d' = 1. 253 E
l ,5 - l. 5x11 + l. 8x12 (0, 14) (0.16) 2.46 - 10.71 l 1,25 Ocena a 0 jest statystyczn ie nieistotna na poziomie i s t otno śc i 0,05, ale jest istotna na poziomic istotności O, I O. (b) V~= 5.96%, R 2 = 0,964 (e) Z prawdopodobi e ń stwem 0,95: a E [-1 .864: - 1.1 36], a 2 E [1.402: 2 .1 98] (f) Dla a 1 H0: a 1 = -2 należy odrzucić. bo t(ai) = 3.57 1 > r„ = 2,571 Dla a 2 nie ma podstaw do odrzucenia H0 : a 1 = 2, bo 1(a2 ) = 1.25 < 1„ = 2,571. 33. (a)(c)
Yr
=
(0,61)
1
34. (a)(b)(c)
y, =
26.0 (2,74) 9,5
+
l.6xi. R 2 (0,17) 9.3
= 0.936
Odpowie!lzi do
zadań
Obydwa paramelry strukturalne są statystycznie istotne, 93,6% z miennośc i zmiennej endogenicznej jest wyjaśnione przez model. (d) W c i ągu reszt obserwuje s i ę S = 4 serie: S 1 = 2 < S = 4 < !·h = 7, a więc reszty maj ą charakter losowy. d = 2.452 św iadczy o autokorelacji ujemnej; należy obliczyć d' = 4 - 2,452 = l .548 > du = 1.332, czyli w spółczyn nik autokorelacj i jest statystycznie nieislolny; W= 0.995 > Wa = 0. 8 18, czyli rozkład reszt jest normalny. W przypadku zastosowani a testu Hcllwi ga okazuje s i ę, że w każd ej ce li (o rozpiętości I /8 = O. 125) znalaz ła s i ę I obserwacja. W c i ąg u reszt nie obserwuje się tendencji ani do wzrostu, ani do spadku, a w i ęc nic ma potrzeby weryfikacji hipotezy o j e dn orodno ści wananCJI
s,
35. (I) = 0 .707 (2) V,= 3.02%. R2 = 0.9855 . (3) to = 9,9, t 1 = 13,06, t 2 = 2.68, a więc na poziomie i stotn ości 0,05 ocena parametru a 2 jest statystycznie nieistotna. ale na poziomie is totno śc i O, I O wszystkie parametry strukturalne są statystyczni e islotnc (4) Wraz ze wzrostem s t ażu pracy o I mie s i ąc wy dajno ść nowo przyjętych pracowników wzrasta ś red ni o o 1.6 tys. sztu k/miesiąc przy stał y m X 2, natomiast przy stały m X (stażu) wydajność pracownika, który ma wykształcenie zawodowe jest przecięt nie o 3 tys . sztuk/mie s i ąc większa od wydajności pracownika, który sz koł y zawodowej ni c s kończył. O cen ę parametru a 0 mo żn a interpretować jako wydajn ość pracown ika w pierwszym mi es iącu pracy (X 1 = 0), bez wykształcenia zawodowego (X 2 = O) (5)(a) Ho: ao = IO, H ao #=- 10, r = 2.828 >fa, a więc Ho n a l eży odrz u c i ć (b) Ho: a 2 = 4.5, H1: a 2 #=- 4.5, l = 1. 34 < la , czyli nie ma podstaw do odrzucenia H0 • 1
1 :
- 0.2 1, 1-0.21 1 < ta, zatem nie ma podstaw do odrzucenia Ho. 36. (a) to= 2.38, t 1 = 16,8 1, a Uo.os;s = 2.306).
w i ęc
parametry strukturalne
są
statystycznie istotne
(b) Losowość: S = 7 dla a /2 = 0.025 i I - a/2 = 0,975 oraz 11 1 = 5 i 11 2 = 5 stopni swobody, war1ości krytyczne wynoszą: S 1 = 3, S2 = 9, a więc rozkład reszt jest losowy. Autokorelacja: d = 2.79 1, d ' = 4 - 2.791 = 1,209 dla a= 0.05. k = 1 i n = 10 wartości krytyczne wynoszą: dL = 0.879. du= 1.320, a więcd ' znalazło s ię w obszarze ni erozstrt.:yga ln ośc i testu. H omoskedas ryczn ość: anali z ując reszty, m oż na zauważyć, że dla pierwszych 5 obserwacj i są one znacznie mniejsze n iż dh1 5 ostalnich, nal eży więc oszacować paramelry fu nkcji trendu oddzielni e dla każdej z tych grup obserwacji. Olrzymano: dla 1 =
= I.
[ -;:~J.Si=3 . 3 .F =
ni swobody). a więc
.5.
a=[ ;:~], Sl =
0. 2, dla 1
=
6. . .
IO, a=
16.5 > Fa =9.28(dlaa =0. 05oraz111 =3 i11 2=3stop-
hipot ezę
o
rów n ośc i
wariancj i w obu podpróbach
n al eży odrzucić.
Odpowiedzidozadal'I Normalność rozkładu: rozkład
reszt jest
W = 0.922 > IVa normal nym.
= 0.842 (dla a = 0.05
i 11
=
IO), a więc
rozkładem
37. (a) Parametry strukturalne r(a 2 ) = 2.9.
są
statystycznie istotne: t(a 0 ) = 14.3, i(ai) = -6,4,
(b) Dopasowanie do obserwacji empirycznych dobre (V~ = 6.55%, R 2 = 0,966); reszty mają charakter losowy 14.0 + l.4x 1• s; = 0.8. R 2 = 0.973. (0,57) (0, 11 ) I 24,6 12,7 parametry strukturalne są statystycznie istotne. (d) S = 5 - rozkład reszt jest losowy; IV = 0.941 > W„ = 0.803, czyli rozkład reszt jest rozkładem normalnym; d = 2.5-d' = 1.5 >du = l.356, czyli autokorelacja reszt nic występuje CP = -0.25); w ciągu reszt nic obserwuje s i ę tendencji do wzrostu lub spadku 38. (a)(b)(c) )', =
39. (a) D(a0 ) = 1.58, D(a 1) = 0.09, 10 = 19.0, r1 = -6 .9 (r0 .o5 :4 = 2.776), a więc obydwa parametry są statystycznie istotne. (b)a, E (- 0,84; - 0,36)
(c) Ciąg reszt jest następujący: - 0,6; 1.2; 1,6; - l; -2; 0,8; d = l.9 >du= 1.4. a więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że współczynnik autokore lacj i rzędu I jest statystycznie nieistotny; S = 4 (liczba serii), S 1 = 2 < S = 4 < S2 = 6, a wiec rozkład reszt jest losowy; W = 0,9333 > W„ = O. 788. czyli nic ma podstaw do odrzucenia hipotezy. że rozkład reszt jest normalny 40. (a) D(a0 ) = 1.05. r0 = 9.2, D (a 1) = 0.07 , 1 1 = 11.3. a w i ęc oba parametry są statystycznie istowe (t0 ,05 . 8 = 2.306). (b) a E (0.637: 0,963), 1 = 2.828 > 1„, a więc hipotezę zerową należy odrzucić. (c) d = 0.814 W„ = 0.842, a więc rozkład reszt jest rozkładem normalnym 1
41. (a) D(a0) = l.76, D (ai) = O.IO, 10 = 2.3, 11 = 13.1 , a więc parametry struktural ne są statystycznie istotne. (b)
Otrzymano: dlaobserwacji l-6 d laobserwacji7-12
S'1=4 .782+1,159x,. )'1 =6 .093 + 1.18l x 1 •
s;=0,379. 5?=14.237.
Odpowie!lzi do
zadań
F = 37.5 17 >Fa= 6.39(dlaa = 0.05ornz111 = 6-2 = 4 i 111 = 6- 2 = 4 stopni swobody), a wiec hipo tezę o rów ności wariancji w obu podpróbach n ależy odrz u c i ć. Je ś li chodzi o autokore lację, to d = l .866 > du = 1.33 1, a więc autokorelacja nie występuje.
(d)
Normalno ść rozkładu
= 0.05 i
11
rozkładem
= 12), a
więc
reszt
7.632622
W=~
= 0.946 > Wa= 0.859 (dla a=
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy,
że rozkład
reszt jest
normalnym
42. Po zastosowaniu otrLYmUJCmy:
zwy kłej
MNK
Po zastosowaniu otrzymujemy:
ważonej
MNK
b1
5.3912
3.8628
-0.7596
b1
5.9927
3.3905
D (hj)
2.6429
1.1064
D(b j)
2.0726
0.7971
0.4880
2.0399
3.49 13
0.7590 -1 ,0008
2.8914
4.2533
-l.1440
•' •'si
12.()()16
s,
3.4643
v,
0.1703
0.9845 0.0155
43. Po zastosowani u otrLymcmy:
zwykłej
5,2900
MNK
•' •'si
0,9965
s, v,
1.0578
-0,5583
0.0035 l.1190 0.0954
Po zastosowaniu otrzym ujemy:
wazoneJ
MNK
/Jj
3.8400
- 3,3000
"1
3.6072
D(bj)
0,7882
0.2275
1.0912
D (bj)
0.5009
0.1404
0.6734
4.8717
23,2485
-3,0241
7.2020
37.5860
-3.9840
1
11 - k
•' •'s;
Il
- k
1.0355
s,
•' •'s;
1.0176
S,
l,0566
V,
0.0342
V,
0.0205
0,9995 0.0005
0.9998 0,0002 1.1163
5.2780
- 2.6827
Odpowiedzidozadal'I
44. Po zastosowaniu
zwykł ej
MNK
otrzymujemy:
Po zastosowaniu wazoneJ MNK otrLymuJcmy:
•,
9.0022
0.9918
2.3024
•;
8,8176
l.1400
2.2019
D (bj)
l.0523
0.4405
0,3022
D(b j)
0,7708
0,5145
0.3879
8.5547
2.2513
7.6186
11.4394
2.2158
5,6772
8 Il
/J
1
11 -
R'
0,9986
R'
0.9994
0.0014
•'s;
0.0006
1.9027
,,,
l.3794
S,
1.2406
0.0507
V,
0.0351
zwykł ej
MNK
otrzymujemy:
1
ważonej
Po zastosowaniu
MNK
otrzymujemy
•,
9,9394
l.0944
l.5750
•;
D(bj)
4.2370
0.9326
2.7865
D (bj)
2.3459
l.1736
0.5652
Il
/J
1.5391
= l - d/2 =I - 2.78 14/ 2 = - 0.2907.
45. Po zastosowaniu
oraz
k
•'si s,
oraz
8
- k
- k
11 -
8.3310
1.0456
3,7108
1.2974
0,2656
0.9770
6.4213
3.9367
3,7983
k
R'
0,9230
R'
0,9948
•'si
0.0770
0.0052
31.0591
•'s;
S,
5.5731
S,
2.2809
V,
0.3889
V,
0.1015
5.2027
= l - d/2 =I - 3.4535/2 = - 0.7268.
1-;;-; =
-0,25 + 0.60 1nx;. s~ = 0 .06 12. cp 1 = 0.0476. vt' = 24. 5%. (0.06 1) (0,06 7) y, = O. 779xO.fiO (0. 779 = e-0·25 ); wzrost dochodu o 1% powod uje wzrost wydatków na mieszkanie Przeciętnie o 0,6%. 46.
47. 1-c;gy, = - 0.4 (0. 14) 8
+ 0.8 1og.r,. (0. 14)
S•r = 0.398x?· (0.398 = 10- 0 ·4 ).
S, = 0.004,
cp 2 = 0 .0632,
V„ = 15.8 1%,
Odpowie!lzi do
48. l;y-, = )'1
= 54.6x 1- 0 ·9
4 - 0,9 ln x 1• (0,1) (0, 12) 4 (e ~ 54.6)
Se= 0.02,
49. 1-;;1 =
y,
0.95 + 1. 2 1nx1 • (0.066) (0,08 I) = 2.589x,1. 2 (e 0 ·95 :=::::: 2.589)
ą.i 2 = 0.069,
S~ = 0.0933, ą.i 1 = 0.01365,
50.1~ = - l.390 + 0.700logx1, S;= 0.015, (0, 158) 700
.Y1 = 0,04Ix?·
zadań
Ve = 4. 16%,
V~ = 5.33%,
tp 2 =0.027, 10-1.390 = 0.041,
(0.059)
,
In y 1 = -3, 199 + O. 700 hu,. Se = 0.034, tp 2 = 0.027, e- 3 • 199 = 0.041. (0,364) (0,059) y, = 0.04Jx?·700 (w obli czeniach logarytmy zaokrągl ono do czterech miejsc dziesięt nych)
y,
s;
2.40 + 9.6t. = 2, rp 2 = 0.0 193, Ve = 7. 07 %, S = 4, d = 2.4 , (I ,07) (0,49) j, = 33.72 - 15,98.r,, = 62.93. q;i 2 = 0.324, Vr = 39.67%. S = 3, d = 1,252 (5,75) (5,54) Parametry strukt uralne obu modeli są statystycznie istotne na poziomic is t otności 0, 10; o lepszym dopasowaniu modelu hiperbolicznego świadczą wartośc i tp1 i Ve. jak również włas n ości reszt - w modelu li niowym są tylko trzy serie (w hi perbolicznym 4). w modelu hiperbolicznym autokorelacja nie występuje (d' = 4 - 2.4 = 1.6 > du = = l.400), mitomiast w modelu li niowym test O- W nie rozstrzyga czy autokorelacja jest istotna (dL = 0.6 10 < d = 1,252
=
s;
52. Rozrzut punktów empirycznych wskazuje na funkcję h iperbo l iczną (często wykorzystywa n ą w analizie kosztów, ewentualnie fun k cję potęgową o ujemnym wykładni ku, ale ta okazuje się gorzej dopasowana i niespotykana w analizie kosztów) .Y1 = 26 .50 + 3.20 _!_ ,
(O.l~J
(0,99)
53. (a)
y,
s;=3. 067,ą.i 2 = 0.0t39,
= l.60 + 0.48_!_,
Vr =4 . 12%. S=5.tl= l. 717
s; = 0.039
(0, 15) (0.0:2~) (b) ~ 2 ~O.O l I 16, V, ~ 4.94%. (c) Parametry stru kturalne są statystycznie istotne 6 (d) Il I = 11. - l.S I = 6.63 > ta = 2. 776, a więc 0 . 15 54.
y,
= 3.00 + 3.60_!_, (0,90)
55. (a)
y, ~
1.4,
(0.36)'
hipotezę należy odrzucić.
rp 2 = 0,028,
(0,3Ó;;)
72,50 - 4.501_, (2,13)
s; =
s; ~ 7. 75
Ve = 9.86%.
Odpowiedzidozadal'I
(b) R 2 ~ 0.975. (c) Parametry strukturalne są statystycznie istotne Cro.05:4 = 2, 776) 72.5 - 751 (d) ltl = ~ = I, l 76 < ta = 2. 776, a więc nie ma podstaw do odri;uce1 nia H0. (e) S = 5, a wi ęc rozkład reszt jest losowy, d = 2.0242 ; d ' = 1.9758 > du= 1.400 56. (a)(b)
w
postaci sprowadzonej do liniowej
in ;, =
5.70 -
l.32~ .
(0, 13)
(0,2i)'
s; =
2
~ 0,0303. ~ ~ 0.0162, V,~ 4.29%. (c) Ponieważ dopasowanie modelu do obserwacji jest dobre, można go zapisać w postaci pierwotnej )'1 = e 5 ·70- u 2 i;
s;
57. (a) )'1 = 22.4 - 9.8r + 2.0t 2 , = 0.8, R 1 = 0.985 ( 1,92) (1,46) (0.24) y, ~ I I.O + 2.21 + 2.01 2, ~ 0.8, R 2 ~ 0.985 (0,62) (0,28) (0,24)
s;
(b)
58. Oszacowany model w postaci liniowej jest taki sam dla wersji (a) i (b) 1-;r, = + 0.25t, Se= 0.134, qi 2 = 0.049, V = 6,397%. Natomiast w postaci (0,11 ) (0,025) pierwotnej (a) )' = 3.00 · 1,284' , (b) )•1 = exp(l, IO + 0.25 t ) . W obu przypadkach co roku sprzedaż rosła średnio o 28,4% f(e 0 · 25 - I) 1001. a w 1998 r. (t =O) wynosiła około 3,0 mln litrów (el.l = 3.0042).
= 1.10
59. (a) 1-;g; = 0.5650 + 0.09771, Se = 0.0553. qi 2 = 0.0683. 10°- 5650 = (0,0515) (0,0 132) = 3.672, IOo.wn = 1.252, )•, = 3.672 1,252' (przy zao krągl eniu logarytmów do 4 miejsc dziesiętnych). Zatem stopa zmian s przedaży wody mineralnej wynos iła (1.252 - I) 100 = 25 ,2%, czy li co roku sprze daż ro s ła średnio o 25,2% (w stosunku do roku poprzedniego) 2.8 - 0.8ln x 1 • S~ = 0.1225, !f! 2 = 0,0657, Ve = 8.35 %, _)>, = (0, 18) (0,11) 2 = (e ·8 ~ 16, 44) . Bion1c pod uwagę wartości współczynnika dctcm1inacji i ws półczynnika zmienności resztowej , dopasowanie modelu do obserwacji można uznać za dobre; parametry struktural ne sq statystycznie istotne Elastyczno ść sprzedaży względem ceny to a = - 0,8. Nie ma podstaw do odrzuce60. 1-;;, =
16,44.r,- 0 ·8
1
n;o
Ho• a
1
~- \ ,bot ~ -O.~-~ t l) ~
1.818 < ' •
~ 2.776
61. 1-;;1 = 2,65 + 0,50\nx, 1 + 0.70lnx12 + 0.151 , (O, I I ) (O, I 0) (0,06) (0,05) 24, 1 5 11 ,7 3 a więc parametry strukturalne s ą statystycznie istotne ; model oryginalnej: )•,= 15. l54x~j 50 x~/ 0 eo. i s 1
można zapisać
w postaci
Odpowie!lzi do
62.
Parametr Wartościpoczą1kowc
I IO I 2przye= 10- 5
Lin:baitcracji ( L )
1.35
29.77927110.05165 1 1.34935
Os1_acowanic D {.)
(0.22330)
(0.06350)
(0.00065)
133.36132
158.30490
2090.44265
% 8 (.)
-0.0009%
0.0018%
0.0000%
0.30588 0.00000
63. Addytywne
składniki
losowe
Wartości początkowe
40
o.3
% 8 (.)
(0.04266)
31.31361
- 0.9277%
- 0.13 J 5%
2.62305 0.08629
losowe
I
Wartości początkowe
% 8 (.)
o.3
I
o.s
5pnye= 10-5
Liczbai1cracji {l) D (.)
(0.02651)
6.71297
0.4321 %
s,
Oszacowanie
o.s
30.54300
•' składnik i
I
42.07397 1 0.28637 1 0.82997
(1.37753)
D (.)
Mul tiplikatywne
I
4pnye= 10-5
Liczbai1cracji {l) Oszacowanie
41.86580 (1.52425)
I
0.27974 (0,02495)
I
0.82635 (0.02297)
27.46645
11.20990
35.98096
0.4279%
- 0.4729%
- 0.0791%
0.08283 0.06739
zadań
Odpowiedzidozadal'I
64. Parametryzacja (a)
Waności początkowe
Osz.acowa11ic D (.)
I
196
t
67
o.3
4 przye = lD- 5
Li cz.ba i1eracji (L)
196,24529 1 67,17221 I 0.31353 (10.43884) (2.03988) (0.00626) 18.79952 0.3570%
% 8 (.)
32.92948
50.08165
0.3126%
0.0165%
s,
0.50867
•'
0,00026
Parametryzacja (b)
Parametr Waności początkowe
I
196
D( .J
I
67 5 prq e = 10- 5
Liczba iteracji ( l)
Oszacowanie
0.1
196.24529 (I0.43884)
I 67.17221 I (2.03988)
0.73086 (0.00458)
18.79952
32,92948
159.73597
0.3570%
0.3126%
- 0.0032%
% 8 (.)
S,
0.50867
•'
0,00026
65. Wanościpoczą1kowe
Uczb:iiteracji(L) Oszacowanie D (.)
% 8 (.)
I 11928 5 przye = l0- 5
1 574
I 537,56371 1 11 667.00637 (60.99694) (I 153.89395)
25.20724
10. 11 099
0.1685%
0.4577%
27.5 11 40 0.02044
Odpowie!lzi do
66. I Wano.~cipoc1_ą1kowc
I
28542 .1 6pnye= 10- 5
1694
Liczba iteracji (l) Oszacowanie
1687.10774 1 28077.8083612853.47980 (139.13329) (6420.96797) (807.77730)
D(.)
% 8 (.)
67.
2773
12.125S4
4.37283
3.5325 1
l .0333%
2.9867%
- J .6057%
s,
10.51769
•'
0.00177
Parametr Waności początkowe
o.0286
%8 (.)
s 196
I
6przye= 10- 5
0.028931 D (.)
611
I
Liczba iteracji ( L )
192,90332 14977,72838
(0.00141)
l (2 204,02308)
20,51821
0,54 124
6,03385
0.6802%
33.0694% 10,80954
- 2.5421%
s,
•'
(824.96710)
0.00 144
68. Wanościpoczątkowc
Liczba iteracji ( l) Oszacowanie D (.)
47.1921
I
0.4521
I o.sasa
2przye= 10- 4
47.80131 0.4503 1 0.5076 7.2810 6.5652
0,0306
0.0477
14.7157
10.6415
185.2850 0.0023
zadań
Odpowiedzidozadal'I
69. WartoM:i
początkowe
Liczba iteracji (L) Oszacowanie D(.)
%8 (.)
IO I 1.5 2przy e = l0- 5 10.00512 1 J.49991 (0.03712) (0.00053) 269.56841
2 846.12633
0.00048%
0.(X002%
D.38436 0.00000
70. Trend
wykładniczy
Wartości początkowe
Liczbai1eracji ( l) Oszacowanie D(.J % 8 ( .)
I
4.76
Ll6
3 przy e = 10- 5 4.92823 1 1.15196 (0.32209) (0.01646) 15.30085 0.1195%
69.96490 O.Q20 1%
0.47665 0.03557
Trend
potęgowy
Parametr Wartości początkowe
Liczba i1 er.icji (l ) Oszacowanie D (.)
% 8 (.)
I 0.42 5.09 4prq e= 10- 5 4.88529 1 0.45225 (0.34 111 ) (0.04847) 14.32196
9.33121
0.0872%
0. 1697%
S,
0.47815
•'
0.03580
Odpowie!lzi do
zadań
71. Wartośc i początkowe
a.2325 l 9
I 0.300609
3prz.y e = 10- 5
Li czba iteracji (L)
0.201058 1 0.247020
Oszacowanie 0 (.)
(0.050421)
(0.105068)
3,987585
2.351049
2.418567
0.080431
72 . Wartości
pocz;:itkowc
I 9.5654 9przye= 10-5
1.s1s1
Liczba iteracji (l) Oszacowanie
13. 17929 1 69.86759 (0,16660) (3.03267)
0(.)
% B (.)
79.10830
23.03830
0.0213%
0.0818%
s,
475.93498
•'
0.00850
73. Ze względu na addytywne zakłócenie losowe nal eży zas tosować algorytm Gaussa- Newtona. Natomiast pomijając Ei, początkową wart ość parametru a modelu Iny, = a ln x 1 m oż na oszacować zwy kłą MNK ; po zao krągleniu logarytmów natural nych zmiennych do czterech miejsc dzi es i ętn yc h otrzymujemy00
= L 1n x 1 · łn y 1 = 4.44 =
Ll n2 x1
6
0 74
'
Iteracja O: d 0 = 0, 017. Je ś l i jako kryteri um zatrzymania procedury przyj miemy np. ld11 < 0.001 , to nie jest ono s pełni one; podobnie nie jest spe łnione kryterium stopu
przyjęte jako: et 1
= a0
+ d°
1
= 2.3% > 1%. Zatem przyjmujemy
= O, 74 + O.Ol 7 = O. 757. d 1 = - O.OOO l s pe łnia j u ż kryterium stopu
(obydwa). Zatem: 74. Aby
~~7 :
ld 1 1 < 1%1a 1 11• bowie m
y,
=
944
x?· 751 , s; = O. ~ 1
= 0.02972, D(it) = 0,023.
wyznaczyć wartość początkową et
(dla obydwu przypadków), po pomini ęc iu zakłóce nia losowego model można zl incary zować, np. mnożąc obustronnie przez miimownik (.r1 +a), a na stę p n i e dzieląc przezx,. W rezu ltacie otrzymamy model y, - I = (y1 /.r 1 ), którego parametr moż na oszacować zwy kłą MNK eto=
Odpowiedzido zadal'I
gdzie:
-~
x,
X=
-~
y, -
-
X2
I]
y, - I :
y ~
[
a o = 0.3687 = I. 993:::::: 2 0. 185
.
y„ - I
x„
l
(a) Procedura iteracyjna. W f-tej iteracji:
- (x,
z' =
~'a')' : x,
[
-(x6+ a t)2
W iteracji O otrzymujemy
do = 0,00 11 = 0 . 01 6 1 0.06842 a w i ęc
spe ł n i one jest
ld0 1 0, 01 6 1
kryterium zatrzy mania procedury (stopu). Zatem & = 2,
s' ~ 0 ·~ 3 1 0 ~ 0.00062. (b) Model n a l e ży
z'=
_
~= 2 - =0 . 0080'.:!= 0. 8%< 1 %,
z l oga ry t mować :
[ -~i :
D(a )
ln y1 = ln x1
~
0.095
ln(xr + a )+
-
ln y,
X1
e' =
.
: [
-X 6;a 1
ln y6
l
e,. W /-tej iteracj i:
_,„_ x,+a1 -
.
6
In - "x6 + a1
W iteracji Ootrzym ujemy do= 0.00066 = 0. 00359 0. 18375 . a w ięc
spe ł n i one jest
s; ~
0
·~
0
id 1
0,00359
~ = -2- = 0. 0018 = 0,18%< 1 % .
kryteri um zatrzy mania procedury (stopu). Zatem & = 2, 737
~ 0.00 1474.
D(a )
~
0.089.
~
y, =
X1
x, + 2
75. Aby wyzn aczyć punkt startowy dla procedury iteracyjnej , model (po po mini ę ci u zakł óceni a losowego) linearyzuje my, np. bi orąc pod u wa gę od wrotn o śc i obu stron: l /y, = a 0 + a 1x 1, parametry tego modelu m ożn a oszacować zwy kł ą MNK ze wzoru
ao =
c:XTXr 1. X:Ty,
Odpowie!lzi do
zadań
gdzie
I
X= '. [
I
y, I
x, ]
7.
y=
J2
x„ y„
Zatem
l
l
(a) Poni eważ zakł óce n ie losowe n ał oż o n e jest na funkcj ę multi plikatywnie. logarytmujemy obustronnie: ln y1 = In l - ln (a0 + a 1x,) + E,. W /-tej iteracj i
- a&+Ia\ x1 - a&+aix1 x,
z1=
:
[
1 1 ln y , - ln,.-a0 +a I 1x 1
er =
,
I x„ - a&+ a(x„ - a&+ a\x„
!1eracja O (przy
zaokrąg l eni u
[ ln y 11
I
-
In - 1- -1a0
+ a1x„
elementów macierty Z i wektora e do czterech miej sc
dzi es i ęt n yc h ):
d' =
["d2,2·]=[0.2 1980
0.475 18
1- 0. 1221~ 9%. 0.475 18] - ' 11-0. 01383 11= [ - 0.1 22] 1.9 1734
- 0,00562
0.027
1.35 10 .0271~ 2%.
1.25 Zatem dla obu parametrów nie jest
' [•ó a/ ]
a
=
=
spe łni on e
krylerium zatrzymania procedury. Przyj -
[1,35 - 0. 122] l. 25+0,027
=
[1. 228] l. 277
·
W iteracji I: d' =
Poprawki nie
przekraczają j uż
[ ~i: l = [g:;;J.
I% ocen parametrów. Przyjmujemy zatem
ao = a~ = 1. 228 .
0' 1
= a: = 1. 277 .
D (ao) = 0. 102.
D (a
1 )
s; = 0 .00 106 1.
= 0.035 .
Odpowiedzidozadal'I
(b) W tym przypadku wf-tej iteracj i
-Ca& +aix d 2 I
z1=
-
:
- (ex&+ cxi.r„) 2 Iteracja O (przy
-
zaokrąg l eni u
dzi es i ętnych):
do=
Zatem procedurę
}'1 -
e' =
.r„ (ex&+ cxi.r11 )2
I
[
l
, [
)„
---
·~: + l•ix1 I
ex&+ cx~x„
l
elementów macierzy Z i wektora c do czterech miejsc
1- 0. 14 11 ' ] = [ - 0, 141 ] -1. " tfao 35 ' 10.5%. [ d21 0.036 10.0361 :::::: 2.9%. 1.25
n a l eży ko nty n uować przyjmując:
a' =
[:1] = [ : ~;~~~~~] = [: ;~]
W kolejnej iteracji
d ' = [";· ] = [0.0054 < 1% d~ I 0.00 16 < I% Zatem: eto= 1.209.
CX1
76 - (a) d O =
= 1.286,
s; = 0 .000017,
[0.023] = 4.6% 0,071
OO
=7. 1% {J 0 '
J
d =
Zatem przyjmujemy oceny z iteracji O:
1.209 ] 1. 286
D(cxo) = 0.0475 .
D(cxi) = 0.0326
[0.0005] = 0.09% a 11 0.0016
= 0,15%
{J
ex = 0,523. f3 = 1,071.
"
s; =
0.0 132,
D(a ) = 0.002, D(PJ = 0.007 . (b) d0= [-0,007 ] = 1.4% - 0.052 = 5.2%
CX O
{J 0 '
dl = [0.00 J] = 0. l2% cx 0.003 = 0.33 % {J
Zatem przyjmujemy oceny z iteracj i O:
D(a)
1
1
ex = 0.493, fJ = O. 948,
= 0.009. D(p) = 0.034
•
s; =
0.0004,
77. 13ml =O, óf3(ol =O, 1061; {J(ll = O. 1061 , ó{J(ll = - 0,0074; {3(21 =0.0987.
= 1, Ó(OJ = - 0,2733;
= 0.7267 , Ó(I) = - 0, 1609, fJ(2) = 0.5657.
78.
/J(OJ
79.
yf = 220,9,
80.
yf = 137.0. vp = 25.385 ,..; 100 = 18.53%.
s1.
y: = 3.65, v„ =
/J(I)
VP = 2. 765, ..; · I OO= 1,25%.
h YT
1.011,
~. 100 = Yr
29.5%.
Odpowie!lzi do
82. )':
= 3.35, v,, = 0.664, ~ y,
100
=
zadań
19,82%.
y: = 5.5, V" = 3. 78, ~y, · 100 = 68 .72%. 84. y: = 145.0, V 10.628, ~ 100 7.33% dla 2007 r. YT 83.
1,
=
=
yf= l 48,96.V„= ll , 1 4,~
100 =7.48% dl a2008r.
"'
85 . .)'>; = 2.42 + 0.76xli - 3,06xzi, yf = 8,53, V1, = 0.36,
~
100 =4,19%.
Yr
86. (a) D (ao) = 6.06, D (ai) = 0,51, D (a2) = 4,09. Paramclry strukturalne istotne na poziomie i stotn ości a =O. IO (t„ = 2.35). (b) yf = 50.5, v" = 4. 70 (9.30%).
J; = -7 .5 + 14.3x 1; + 5.9x 2;, R2 = 0.995 (2,73) (0,86) (0,86) (b) Wariant l: y; = 101.9 mln zł, v„ = 3.67; wariant 2 = 3.86.
są
87. (a)
v„
88. Hi perbola: S'i = 125.5 - 20000_!_,
yf
= 93.5 mln z ł ,
;p 2 = 0.0415;
(13, 1) (1471.~\ funkcja liniowa : S•, = 413,812 - 0 .604x 11 , ;p 2 = 0.2551 ( 14,78 1) (0,050) Funkcja hiperboliczna jest znacznie lepiej dopasowana (mniejsze ;p 2 • a ponadto w ciągu reszt występuje 7 serii, wobec 3 w przypadku funkcji liniowej). Prognoza w oparci u o fu n kcję hi pcrboliczn ąyf = 152. 17. v„ = 28.06 (18.44%). 0.842 + 0.395r. 'P 2 =0.093, V~= 15.65%. (0,063) (0,319) trend wykładniczy: 1-;;r = 0.225 + 0.15t, 'P 2 = 0.035, V~ = 8.47%. (0,060) (0,012) (b) Trend wykł adniczy jest lepiej dopasowany, o czym św i adczy także c i ąg reszt; po odlogary1mowaniu S•, = l,25 l ,16r (c) 2007 r ln y:= 1.575. v„ = 0.097. yf = exp( ł. 575) = 4.830: 2008r.: ln yf= l.725 , V„=0.104. yf=exp( l. 725)=5.6 13. 89. (a) Trendli niowy: )>1 =
y;
90. 2007 r. ln yf = 0.94. VP = 0.077. = 2560 (2560 osób): 2008 r. lnyf = 0.86. VP = 0 .083 . yf = 2363 (2363 osoby) 91. Yfcm = 160.0, yf008 = 640.0, yf009 = 920.0
Odpowiedzido zadal'I
= 106,226 - 2,856x1 1 + 2. OO lx2 1•
Yr
y:
93. T = 21: )'TE T = 22: )'T E T ~ 23: YT E T = 24: )'TE T ~ 25: YT E
(8.448: 13, 152) , (9, 152: 14.248), (9.560: 15.440). ( \0, 192: 19,208), ( 10.596: 20,004)
s;
94. (a) Y1 = 48,8 - 5.0xjj + 5,6x21. = o.6. (8,6) ( 1,2) (1,5) (b) Wszystki e parametry strukturalne s:1statystycznie istotne. (d) Yi = 5 1.8, vr = 4,98% (e) yj E (37 ,26: 66 .34) 95. (a), (b)
y,
= 16.0 ( 1,0)
(c)
+
1.5.r 1; (0,35)
-
y: = 20,5, Vr = 1. 32, P {16 .29
4.5x 2;.
96. yfr.()7= 16l,77.yf00 H= 175 .95. 97. yr007 = 113 .74, r{'008 = 120. 88 98. Dla/= 3yf008 = \5,506,d l:1/ = 5 Y{oos = 14. 662 99. (a) (b) (c)
yf007 = 358 tys. szt., yf007 = 323 tys. szt., yf007 = 359 tys . szt. ,
100. y~ = 54 1.72,
yf008 = 377 tys. szt. , yf008 = 338 lys. szt. , yf008 = 378 tys. szt
y('., = 567.80, y('8 = 593,88.
10 1. Dla a= O. I, yf007 = 199 tys. szt. ; yf008 = 222 tys. szt 102. / 2 = 0 .576380,
y[009
= 246 tys. szt
q = 0. 000008, tł= 0.009000, lf = 0.046830
6
103. (a)
a ~ [ : i~ ]
-3.75 (b) Wszystki e parametry strukturalne są slatystycznic istotne. (d) Dla kobiety (x1r = 6, X2T = O))': =23.5, vr = 0.94, )'r E (20.52: 26.48); dla mężczyzn y (x 1r =6, X2T = I) yf = 19. 75, Vr= D.66, YT E ( 17.65 : 2 1.85)
Odpowie!lzi do
104. (a) )', = 13.25 (0,96) (b)
yf = 109.5,
+
7.25xi 1 (0,96)
6.25x1 1 • (3,03)
-
1p
2
zadań
= 0,0063 , Sr = 3.03;
VP = 1,45. Jr E (95.54; 123.46)
IO.O + 1.51 , 1p2 = 0.045, S, = 0.6; (0,65) (0.15) (b) yf wynosi odpowiednio : 22. 23,5, 25 ton ; (c) vpwynosi odpowiednio 1,01 , l , 11, 1.2 1: (d) 2007 r.: YT E ( 19. 39: 24.6 1), 2008 r. YT E (20. 66: 26.34). YT E (2 1.9: 28. 1) 105. (a) )', =
y,
2009 r.:
s;=
4.5 + 1.91 , 1.0571. V,=7.43%. 1p2 =3 .30%. (0,75) (0, 13) (b) Obie funkcje są dobrze dopasowane, w obu parametry strukturalne są statystycznie istotne, w przypadku funk cji wykładnic zej ni e m oż n a s twierdzić czy występuje :1utokore lacja; (c))', =6.40· 1.15 1 106. (a)
=
(d) (d) 2007 r. : 2008 r.:
107. (a)(b)
.v,
yf = 23.5 tys. szt., y{ = 25.4 tys . szt. ,
VP = 1.27 tys. szt. ; VP = 1.34 tys. szt
~ 2043,85 - 52,361, ~'~ O, 1588,
(46,90)
S,
~ 60.19:
(9,29)
(c)
2007
yf,
v,
1572.6
76.30
( 1385,9: 1759.3)
1520.3
81.76
( 1320.2: 1720,3)
1467,9
87.86
( 1252.9:1682.9)
Przedział
14 15,6
108. (a) Dla pszeni cy:
y,
prognozy (la =2.447)
( 1184.4:1646,8)
= 30.1691 (0,9471)
+ 0.85821 ,
Se= 2. 1449.
'P 2 = O.1924 .
(0, 1396)
Vr = 4.15%;
dla żyta )•, = 23,8018 (0,8370)
+ 0, 2391 1,
S, = 1,6753.
({! 2
= 0. 7057. V,= 5, 13%.
(0, 1234)
(c) Dla plonów pszenicy prognozy punktowe: yf007 = 40.47, yf008 = 41.33 , yf009 = = 42.18;
V2007 = 1.744 1,
~f: =4.49%
V~oo7 Y1001
=4.3 1%; V2008 = 1,8 153,
V~oos Y200~
= 4.39%; V2009 = 1, 8942.
Odpowiedzidozadal'I
Prognozy p rzedziałowe: P{36.52 < y2007 < 44.41) = 0.95 , ?{37 .22 < y2008 < < 45,43/ = 0.95. ?{37 .90 < )'2009 < 46.471 = 0.95 Dl a plonów żyta. Prognozy pu nktowe: y{o07 = 26.67, y{008 = 26, 91 , y{009 = 27, 15; 7 V2007 = 1.54 14,
V~oo
= 5.78%; V2008 = 1.6043,
~r: = 6. 17%.
V~oos
= 5,96%; V2009 = 1.6740.
Y10os
Y2001
Prognozy przedziałowe: P{23. 18 < }2007 < 30.16) = 0.95 , ?{23.28 < ~ 0.95, P{23,36 < y,009 < 30.94) ~ 0,95
< 30,54/
y, = 125.39 + 7.621, '{J 2 = 0.00 17. (2,34) (0,32) trend wy kład n iczy: ln y, = 4.869 + 0.0437r. '{J 2 = 0.0097, (0,0 10) (0,00 14) czyli)', = 130. 19 1,045' 109. (a) Trend liniowy :
(b) Trcndliniowy
Trcndwykładniczy
13
224.44
229.7
14
232.06
239,9
15
239.68
250.7
16
247.30
26 1.8
254.91
273.5
262.53
285.7
270.15
298.5
277.77
31 1.8
ii1'Y1 =
8.136 + 0.07391 , rp 2 =0.012, (0,019) (0,0026) czyli y, = 3424,3 · 1.0787' S·, = 3041,51 + 411.641, rp 2 = 0.001 18 ( 14,20) (104,54) 110. (a)
(b) Rok
Trend
wykładniczy
Trend liniowy
1997 1998
8947.5
8392.%
9633.6
8804.40
1999
10 372.4
916.03
11167.7
9627.67
lll. (o)y,~2087. 1 7+920,99
(10,96)
(26,50)
-
s,~2 1 ,37.
~'~0.099
)'2008 <
Odpowie!lzi do
(b) 2007 2008 2009 (d) y, ~
zadań
r. yf = 2179 .27 . Vp = 22.23, YT E (2 124 .33: 2234,22). 1„ = 2.265 . r. yf = 2 170,90, V 1, = 23.29. )'TE (2115.81: 2225, 99). r. yf. = 2 163,92. v p = 23.34 . YT E (2 108.71: 2219.13) 2785.00 - 81.671 , S, ~ 148.72. ~ 2 ~ 0.00304. V,~ 0.0005.
(2,76) (15,5 3) 2007 r. : yf = 1968,33. v„ = 183.83. 2008 r.: = 1886.67, v„ = 194.55. 2009 r.: yf = 1805.00, Vp = 206.50. Prognozy wyznaczone na podstawie trendu liniowego dem i merytorycznie nie są wskazane.
.v:
+
112. ;., = 49.7079
(0, 1324) 113. (a) )'1
,;y; =
= 63.92001°· 2136 ;
4, 1576 (0,0500)
y{007
(b) )', = 69.2000
+
(5,7738)
y{008
25 .2870. (0,2927)
~.
s; =
są
obarczone du żo
o.0494.
większym błę
rp 2 = 0.0005.
I
+ 0.2 136 ln1 ,
s; = 0.044,
rp 2 = 0.1 368,
(0.030 1)
= 106.68, y{008 = 108.68 3.65821. = 71.437 1, rp 2 = 0.34 1 I: Y{rm = (0,9305)
s;
109.44.
= 11 3. 10.
s; =
114. 5'r = 420,1000 - 122.71761 + 10.68941 2 • 4, 1576 + 0,2 136l n 1, = 0.044, rp =O,1368.
1--;;; =
2
s;
357. 8848,
ip
2
= 0.0385.
115. (b) y{; = 982,692, Vp = 78.66 (8,2%). y~ = 973.214, V„ = 79.10 (8.1 %), Yis = 965 , VP = 79.50 (8.2%). (c) )'13 E (840. 17: 1125.221, )'14 E (829. 88 : I I 16.55J, )'15 E [820.95 ; 1109.05], t o.10.12 = 1.8 12 116. (a) S 2 = 0 .80. R1 = 0. 96, V~ = 6.73%, d = 0.98 < di. . występuje autokorelacja reszt. (b) Parametry stmkturalne obu funkcji są statystycznie istotne. jednak funk cja wykładni cza dokład ni ej odzwierciedla bada ną t e nde n cj ę rozwoj ową, ponadto w fun kcji li niowej występ uj e autokorelacja reszt (d = 0.98 < di); do prognozy należy zatem wy bra ć funkcj ę wy kł adniczą
(c) )', = 22. 73 · 0.901
s;
9.0 + 0.801 , = 0.048, R 2 = 0 .96, (0,35) (0,06) (b) 2007 r. yf = 17 tys. SZ I. , V„ = 0,59 (3,48%). 2008 r. y.f: = 17.8 tys . szt. , v„ = 0,63 (3 .5 1%), 2009 r. yf = 18.6 tys. szt. , V1, = 0,66 (3,57%) 117. (a) )', =
Ve = 3. 68%.
Odpowiedzidozadal'I
118. Prognozy na kolejne
miesiące
2007 r. i ocena
dokładnośc i
predykcji
Błądw 7.ględny
Prognoza w KWh
Mie siąc
Błąd średni
predykcji (Vp)
(yf)
14699.86 14114.50 13973.93 11306.71 10039.00 9239.29 9578.Q7
V VI VII
I 117.5048 1340,9895 454,9050
(Vµ/Jf) (w%)
7.62 9.50 3.26 3.43 7.61 4,23 5,27 4.93 7.44 5.24 5.13 3.72
388.2958 764.2768 390.4651 504.9516 483.3843 813.5568 652.7803 684.0059
9804.50 10939.14 12455.00 13322.79 14723.36
predykcji
119. (a) In Q1 = 4.7557 + 0.5808 In K, + 0.4809 In L,, V~= 2. 68%. 1p 2 = 0.508 (0,4234) (0,0578) (0, 1274) model jest dobrze dopasowany do obserwacji, parametry strukturalne s:1 statystycznie istotne, można go więc zapisać w postaci Q1 = I 16.25K?· 5808 L?.4S09 (b) E Q/ K = 0.5808, EQIJ. = 0.4809, V= 1,0617
l46475) !f.TilJll -0~008 _ (c) Dla Q0 = 139500 izokwanta L = ( K -rf:fijif ; gdy K = 5200, 11 6 25 L "'9 1 120. (c) Produkcja
wzrośnie
o 3,72% (v = 0.93 · 4%)
(d) t..Q = l .06°50 , 0.96°.43 = 1.16%.
Q (e) K =
121. yu 009
122. (a)
'
2
L'
f0
~
~
175,44 mln L"
K"
~
zł,
5
y2 _2009
~
629.40 mln
0.25.
(b) U= 1.675 tys. 2 123. Rx i1 x 3 = )' Rx 2 1x 3
14
= ]5 X
1
124. (a)(b) X1 ~ii· X 2 <>X,~ (c) (d)
'
2
( ~:) - L - 0· 86 , L = ( ~:°) ~ K ~
5
ii
xr· = 35 tys. kg, x2· = 56 tys . kg.
xr = 38.165 tys. kg, Xi= 61.065 tys. kg.
zł
Odpowie!lzi do
zadań
125. Do estymacj i parametrów funkcj i CES (w parametryzacji 5.39 z addytywnym zakł óceni em losowym) zastosowano algorytm G- N. prLy wartościach początkowyc h parametrów: a 1 = 0,5 , a 2 = 0,5, p = 0,3, v = I. Otrzymano
.,
Paramc1r Ckenyparnrnclrów Asymptotyczne
0.3408
błędy średn i e
szacunku
0.12 12
0.0 11 5
U.2125
U.0749
s;
= 0,2540, asymptotyczny błąd ś redni szacunku dla parametru p jest stosunkowo wysoki, ocena parametru jest statystycznie nieistotna, a więc nie powi nno si ę wnioskować w oparciu o ten algorytm
126. (a) In Q, = 0 .4569 +0.5542 In K, + 0.4986 In L 1 + 0.01 30r . (0,5362) (0.0484) (0,0705) (0,0056) V, = 0.17%, rp 2 = 0,001. Wartości rp 2 i V~ świad czą o bardzo dobry m dopasowaniu modelu do obserwacji, wszystkie parametry strukturalne są statystyczni e istotne, także ten przy zmie nnej czasowej, można zatem powiedz i eć, że w prze d s i ęb iors tw i e widoczne są efekty neutralnego postępu techniczno-organizacyjnego. Model moż n a więc zapisać 5542 w postaci: Q1 = 1.58 K?· L?.4986 e0 ·0131 (b) W wyniku postępu techniczno-organizacyjnego produkcja co roku zmienia s i ę średn i o o (e 0 · 013 - I)· 100 ~ 1. 31%. Zate m w roku I = 16:
Q16 = Q 15 · e 0 ·0 JJ = 11 20 l.0131 = 11 34.672 mln ton, a w roku /= 17:
Q17 = Q16 · e 0·013 = Q15 e 0·026 = 1149.456 mln to n 127. (a) PkK = 0.6027, P k l = 0.0775; E Q/K = 0,7, Eo; L = 0.3, v = l. W wyniku postępu technicznego produkcja z okresu mi okres rośnie ś redni o o 0,2 %. (b) /',: (c) (d)
/',L
L
~
- 0.03. /',QQ
= 6.67
~
~ 0.97°· 7 - I ~
- 2.091 %.
7%.
o/: =
13,9%.
= 7.778; zmniejszeni e wartośc i majątku trwałego o 0.9 m ln z ł n a l eży zrezatrndnienia o 7 osób (f) K * = 42 mln z ł , L * = 36 osób, a więc aktualna struktura nakład ów (K/L = = 30/ 100) znacznie odbiega od optymal nej ( K / L = 42/36 = 7/6).
(c)
R LK
kompe n sować zwiększe ni e m
128. (a)
R KL
= 49/ 9 = 5,44.
(b)a ~ 1/3
(c) Eo /K = 0.3.
Odpowiedzidozadal'I
129. (o)
"Q Q
100
~
-0. 7%.
~:: ~ 2~~ ;-~. :o/: 3
(d) K 0 = 94.587 tys.
"w (e) w
2s l d L 0 = 246 osób.
zł,
100 ~ - 12.53 %
(f) !1 K = 27.42 tys.
zł
130. (a) E o;K = 0,56. E Q/ l = 0.47. (b)' ~ 1.03 l1Q ooo~ (c) Q = (e- · • - I) 100 = (0.998002 - I) :::::: - 0,2% (regres techniczny). (d) !1Q
Q
=
1,05°· 56 . 0.92°· 47 . e- 0·002
-
I
= (0 .98623 -
= Q2oo8 · e0·005 = 552. 75 tys. ton. Q20 o =
131.
Q 2009
132.
(o) ~
1
100
~ [ (I
+ff -
1]
I). 100 :::::: - 1. 377%. Q 1009
e0·005 = 555.53 lys.
100.
133. Dla funkcji CES(!): v = 0,9, RK L = 0.4873, a= 2,5. (e-o.oo i - I) . 100 :::::: "'-0.1 %. Dla funkcji C- D (2): v = [, l, RKL = 0. 3808, a = I, (e 0·002 - I) 100 :::::: 0.2%. 134. (a) Przy podanych nakładach Q = 3 l.16232; PkK = 0,433 mln jednostek ceg/owych na 1 mln K; Pkl = 0.156 mlnjednednostek ceg łowych na jedno s tkę L. (b) Eo; K = 0,5; E o; i = 0.4; v = 0.9 < I - malejące efekty skali produkcji (zarówno elastyczn ości, jak i efekty skali produkcji nie zależą od nakładów) "Q (c) Q ~ - 0.015 (-0.01565) (d)
"L L
= 0.0625 · 80 = 5 etatów (ze wzoru = 2. 7778 etatów/I mln K , zatem
dokładnego
0.0662 80 = 5.3 etat u).
o wartości 1,8 mln zl zatrudnienia o 2. 7778 · 1.8 = 5 osób (etatów); za uważmy. wynik otrzymano w poprzednim punkcie (f) L = 502·5 K - 25 , czyli L = 213. 74 etatu (g) K • = 50, L • = 160, Q111a.• = 48 ,459 mln jednostek cegłowych. Aktualna K* 36 9 . . . 5 struktura nakład ów L; = OO = 20 znaczme odbiega od optymalnej J6. (e)
RL K
s przedaną maszynę
nal eży zas tąpi ć zwięk sze ni e m że zbliżony
1
•
135. (a) E Q/K = 0.6. E 0 11. = 0.5. v = l. l (rosnące efekty skali); jednoczesny wzrost Ki L o 7% spowoduje wzrost Q o 7,7%. (b) Tak. W wyniku postępu technicznego produkcja co roku wzrasta średnio o około 0,3 %.
Odpowie!lzi do
(c) t.Q Q
dokł adni e
(d)
=
(1
+ ~)o.
6
80
(l
+ 0) 0·5 -
l
zadań
= 0.03 (produkcja wzrośnie o około 3%,
o 2,971 %).
f'> L
l
= - 0,06 (dokładni e - 0.0569), czyli zatrudnienie
na l eży z mniej szyć
o oko-
l Io 6% (1 1J etatu) (c)
R LK
0.6 L = Q.5 · K = 3 (wzrost K o 1 mln zl nal eży
zrekompensowa ć redukcją
L
o 3 etaty; 4 mln K = -1 2 etatów).
(0 K' = 80, L' = 200 (K'/L• = 1/5) 136. (a) Jest to dynamiczna funkcja produkcji Cobba-Douglasa (zauważmy. że m oż na ją za pi s ać w postaci: Q= K 0·6 . L 0.4 . e0 · 7s+o.ooii (lub Q= 2. 11 7 K 0 ·6 . L 0.4 . e 0·0021 ), gdzie 0,6 i 0,4 to elastyczności produkcj i, odpowiednio, względem Ki L , e0 · 75 = 2. 117 jest stałą, a e0·0021 - miernikiem efektów postępu techniczno-organizacyjnego) (b) 11 = I (stałe) Q wzrośnie o 4% ó.Q (c) Q = - 0.024 (-0.02445) (d) ": (e)
= 0.07 (0.0736)
w = K 0.6 L - 0.6e0.7S + 0.021 : ~;
(f) Q1+2 ::.-:: 26 1. 86 (o
= 0.078
(0.083).
oko ło
4,08% wzro ś ni e w wyniku postępu technicznego) L • = 264 osoby ( K . / L • = 1/ 2); aktualna struktura nakładów
(g) K * = 132 mln zł, to 80/200 = 2/5 (h) R LK = 3 osoby nale ży wprowadzi ć do produkcji , aby wartości majątku trwałego o I mln zł; Rn = 1/3
z rekompe n sować
spadek
137. (a) Funkcja C- D: parametr efektywności 1. 8 (tys. sztuk to poziom produkcji pr~y jednostkowych nakładach czynników produkcji); e las tyczno ści wzglę d em obu czynników wynoszą 0,5. (b) v = I - s tałe efekty skali. wzrost K i L o 6% spowoduje wzrost Q tak że o 6%. ó.Q (c) Q =- O.Ol (- 0.0108)
(d)
/';\V w= 0.04
(0.04 125).
(c) K = 6400L _,.
(f) K 0 = 40, L 0 = 160. minC = 10.56 mln zt
(g) K * = 25, L* = 100, max Q = 90 tys. sztuk . (h) Przy nakładach optymalnych (w obu przypadkach) aktualnych RLK = I. 779; RKL = 0.5625.
n akładach
R LK
= 4,
R KL
= 1/ 4, przy
Odpowiedzidozadal'I
138. (a) PkK = 7.478 mln ton, Pkl = 4.832 mln ton, RKL = 0,646 (b) EQ/ K = 0.806, EQ/ L = 0,394 , l i = 0.806 + 0. 394 = 1.2 (= 0.8 1.5) rosnąca wydajność czynników produkcji. (c)a =5. (d) v ia bez zmian (v jest jednym z parametrów funkcji , a za l eży rylkood parametru p), RKL = 0.61 8
139. (o) Eo; K = 0.673. Eo; L = 0.227." = 0.673 + 0.227 = 0.9 (= 0.6 · 1,5) (b) PkK = 1.472. Pkl = 2. 093 (c) R LK = 0,703; w miejsce 124 jed nostek K należy wprowadzić do produkcji około 87,2jednostek L. (d) a = 2.5. (e) E Q/ K = 0,66. E Q/ L = 0.24, v = 0,9 bez zmian (bo jest jednym z parametrów funk cji), a= 2,5 - bez zmian , R LK = 0,740. (f) W wyniku postępu techniczno-organizacyjnego z okresu na okres produkcja zmienia s ię o (e 0 · 01 - I). 100 ~ 1%. 140. ( l)(a) Jest to funkcja produkcji CES (o sta łej elas tyczn ości substytucji). E Q/ K = = 0.55, EQ/ L = 0.55 (b) V= 0.55 + 0.55 = 1.1 = 0.5 2.2. (c)a = 2 (2) Pk K = 9.1. Pkl = 1.98 (d) R LK = 4,592. (3) Aby utrzy mać Q na niezmienionym poziomie. zw i ększenie Ko 15 mln zł (z 49 do 64) na l eży z reko mpensować re dukcją zatrudnienia o 4.592 · 15 ~ 69 etatów (68,88), tj. do 156 osób (4) Przy K = 64 i l = 156 osób; EQ / K = 0.636, E Q/ L = 0,464, v = I. I (bez zmian), R LK = 3,346. 141. (!)(a) Funkcja produkcji CES : EQ / K = 0.60, EQ / L = 0,45, v = 0.60 + 0.45 = = 1.05 (= 0.5. 2, 1) (b) RLK = 4.2 14, RK L = 0,237 (c)a =2. (2) Aby u1rz y mać Q na niezmienionym poziomie, zmniej szenie K o 5 jednostek (z 8 1 do 76) nal eży zrekompe n sow ać zw ięk szeni e m zatrudnienia o 4, 214 · 5 ~ 2 l jednostek (z 144 do 165 ). Wartości współczynników efektu skali i e l astycznośc i substytucj i ni e z al eżą od nakładów. 142. Dla obu funkcji: (a) E Q/ K = 0. 7 14, E Q/ L = 0.286 (b) ,=0.7 14 + 0.286= I (= 0,5 ·2) (c) R LK = 6, 944(4), R KL = 0, 144 (d)a= l / l.5=2/3= 0.667 143. ( I)(!) to dynamiczna funkcja C- D; (Il) to zdynamizowana funkcja CES (2) Dla funkcj i C- D: (a) EQ / K = 0.62 , EQ/ L = 0.45, (b) v = 0.62 + 0.45 = 1.07 (nie zależnie od nakładów) , (c) PkK = 4.51, Pkl = l.45 , (d) RL K = 3.10.
Odpowie!lzi do
zadań
Dla fun kcji CES: (a) EQ/ K = 0. 547, EQ / L = 0.493 (przy podanych m1kł adac h ) (b) v = 0,547 + 0.493 = l, 04 (= 0.5 · 2.08) (dla dowolnych n akł adów) (c) Pk K ~ 3,98, Pkl ~ L59 (d) RLK = 2.50. (3) Dl a fu nkcj i C-D: a- = l (zawsze), dla podanej fu nkcj i CES a = 2, a więc substytucja jest ł a tw i ej sza, c h oć w obu przypadkach raczej trudna (4) Efekty posteru techn icznego są bardziej widoczne w fu nkcji U; w jego wyn iku produkcja rośnie co roku śred n io o 0,2%; w fu nkcj i I - tylko o O, I%. Zate m na począt ku kolejnego roku w przcdsicbiorstwie I produkcja wyniesie okoł o 727,43, a w prleds i ę b iorstwie U - o koło 728, 15. 144. (a) EQ/ K
(b)
6Q Q
=
= 0.38, EQ / L = 0,57, v = 0 .95, RKL = 0.375, a- = 0.5.
l. 25°·57
-
,, ' 6Q
1 = 1.1 356 - l = 13.56% lub w przybh zemu
Q
=
= 0.57. 0.25::::; 14. 25%.
(c)
t::,.K
ó.K
t::,.K
o= o.38. K + o.57 . 0,25 ---+ - 0.38 K = 0 . 1425 ---+ K ;:::: - 0,375; /:::,. K ó. L z ł lub K = - RKL · L = - 0.375 16 = - 6 ml n z ł.
- 0.375 16 = - 6 mln
13 - oiKo.s I ? ) "" (d) L = ( 0,9 dla K = 16 mln zł. L ~ 83 e1aty (e) v, a- bez zmi an, R KL = 0.335. 145. (a) Funkcja translogarytmiczna (b) Gdy K = L = I, EQ / K = 0.80, EQ / L = 0.60, 11 = 1.4. Gdy K L 54.6 (In 54,6 = 4), EQ/ K 0.64, E Q/ L = 0.46, v I. l . Gdy K = 7.389, L = 54.6 (ln 7.389 = 2, ln 56.6 = 4), EQ / K = 0. 60. EQ / l = 0 .40, V= I. O (c) Przy st ałych nakła dach w wyniku pos tęp u technicznego co roku produkcja roś n ie o około 0,4%.
= =
=
=
146. (a) Funkcja translogarytm iczna (b) Gdy K = L = e, EQ / K = 0.64, EQ / L = 0.46, v = I.I . Gdy K = 20.086 (ln20.086 = 3), L = 148.42 (I n 148 .42 = 5), EQ ; K = 0.44, EQ / l = 0 .38, V= 0,82 (c) Przy st ałych n akł adach w wyniku pos tępu technicznego co roku produkcja rośni e o oko ło 0.8%. 147. (a) EQ/ K = 0.64, EQ / L = 0 .45, v = 1. 09 (b) Ho:a1 + a2 =I, H1: a 1 +a2 f=. I,~= a1 +a1 = cT&, cT =[O 1 Il. 1 D( i.) = 0.06. t = l.~O~ = l ,5 < t 0 .o5: 12 = 2.179. a więc nie ma podstaw do
odrzucenia Ho o st ałyc h efektach skali . (C) V= J. 09 ± 2, 179 · 0,06---+ V E l0.959 : J. 22 JJ 0,64 80 (d) R LK = 0 . · 3'2 = 3, 556. Zw i ę ksze n ie K o 2,5 mln zł 45 zmni ejszeniem L o 8,889 ::::; 9 etatów.
należy zre k ompensować
Odpowiedzidozadal'I
148. (a) EQ / K = 0'1 E (0.55 ±2.306. 0.092), E Q/L = a1 E (0.49±2. 306. 0.069). ii E (0.55 + 0.49 ± 2.306 · 0.059), V= cT ·et, cT = [ 0 I 1 0 ]. D(U) = 0,059 (b) Ho: a1 = a2--+ Ho : a1 - a2 =O. H1: a1 > a2; i= &1 - &2 = 0.55 - 0.49 = =
0.06, &
=
cT&,
[O
CT =
I
O], D (i ) = 0,039, I=
- I
o~~~ o
= 1.549 <
< lo. 10;8 = 1,86. a wiec nie ma podstaw do odnucenia Ho. że e l a styc z n ości wzg l ędem obu czynników są takie same. Uwaga: H wskazuje najedno-(prawo)stronny obszar krytyczny, dlatego z tablic dla test u dwustronnego fa odczytano dla 2a = O. IO (c) Ho: a1 + a2 = I, H1: a1 + a 2 > I: 5. = &1 + &2 = 0.55 + 0.49 = 1.04. 1
i. = er a.
CT =
[O I l OJ. D(i.) = 0,059, t
a wiec nic ma podstaw do odrzucenia hipotezy, korzyścia mi skali produkcji
]~~~ [
=
że
= 0,676 < fo.ms
=
1.86.
technologia charakteryzuje sic s t ałymi
(d) Ho: y =0.02, H1: y ,l:0.02, D()i) =JO.Ol . 0.001 =0.0032, I=
0
1
·~ .~~~·
2
=
= -2,5291-2.5291 > ro.05;9 = 2.306, a więc Ho należy odrzucić na korzyść H1
0.49 (e) RKL = 0. 55
20
?2
= 0.2475 , t::,.K = 0.2475. 4 = 0.9899::::: I mln zł
149. (a) PkK = 2,877, Pkl = 0.745, PkE = 0.083; EQ I K = 0.48, EQ/ L = 0.42 (EL / Q = 0.20), RLK = 3.862 (RKL = 0.259), REK= 34.66 (RKE = 0.029), Rn= ~ 8.976 (Rce ~ 0. 111). (b)/:::,.E=REK
/:::,.K =34.7 18 ·2.09 ~72.56 MWh
(c) Q1+ 1 = Q1 • eo.ooi = 250.6 · 1.004008 ~ 25 l ,60 ml n ton . (d) D.Q = 0,95°· 48 .1 °.4 2 · ·0.90°· 2 .e0 ·oo.1 _ l
Q
~
- 4.08%. Q = 250.6·(1 - 0.0408) =
= 240,37 mln ton.
150. (a) V= Q,8 (b) Jeże l i K i l wzrosną o 1.4%, Q wzrośnie o 0,8 · l.4% = 1. 12%. (c) EQ / L = 0,5 (0.8 - 0.3) . (d) R 1.K = 0.81 dla
K
l
= 0.604
151. (a) E QI K = 0,444, E o ; L = 0.402, Eo;E = 0.234
(b) v = 1.080. J eżeli K, Li Ewzros n ąo2%, Q wzrośnieo2,16%. (c) PkK ~ 1.1386, PkL ~ 0.68583, PkE ~ 0.23982. (d) RKE = 0,2106, RL E = 0,3497 (e)a=l.4286 152. (a) EQJK = 0.403. EQ/ L = 0.429. EQ/ E = 0.268 (b) v = I. I. Jeże li K , Li E wzrosną o 4%, Q wzrośnie o 4,4%. (c) PkK = 2.469, Pkl = 0.833 , PkE = 0,2 13 (d) RLK = 2.963 ( Rn = 0.337). REK = I 1.592 (RKE = 0.086) , Rn = 3,91 l ( RLE ~ 0.256) 153. (a) EQ / K = 0.60, EQJL = 0.38,
11
= 0,98.
Odpowie!lzi do
(b)
zadań
E [0.60± 2.365 0. 0 322 1 ~[0 , 524.0. 67 6]. CT~ ro o 2 o I]. EQ/ L E J0.38 ± 2.365 · 0,0486] ~ [0.265: 0,495] . cT ~ [ O I O 2 I J. LJ = E Q/ K + E Q/l E (0, 98 ± 2.365 · 0, 0478 1 = (0.867: 1.093]. EQ/ K
cT
= (0
I
I
2
2
2 ].
0.98 - I = = 0 ,364 < to. 10,7 = 1.895, a w i ęc nie _ 0 055 ma podstaw do odrzuceni a H0, że technologia charakteryzuj e s i ę s t ał y mi efektami skali produkcji (d) Dla fu nkcji C- D SSEo = 0.03 ·( 13 -3) = 0,3. dla fu nkcj i translog SSE = 0.07 . (0. 3 - 0.07)/3 ::~ez~;ci: . = 7. 67 > Fo., a więc Ho: a 3 = lY4 = a 5 = O należy 0 . 0717 (c) Ho: v = \, H1: v > I,
1
1
154. 1• = I + 1•
Ji. ~ 2.4 1 lata,
W(2.4 1) = 542. 168 iys. sztuk
155. W obu p rt.:ed s ięb iors t wach pracowni cy o s i :igają opt y m a ln ą = 3, a więc po 3 godzinach pracy, tzn. o godz. IO.
156. (a) W1 =
.tl ,
fi W
(b)
W "' - 5% lub W
(c)
L
157.
~
iV
1
=
12.8% lub
.tl ,
pracy dl:1
= IO K ; 18L;-0 .
fi W
fil
wyd aj n ość
fil
L
~
- 4.65%
= 13.1 5%
= 2.8 K,213 L"; 213 e0 ·oos 1 ,
óWW = (I - 0.25)- 213 e 0 ·008
-
I
= l. 22 11 - 1 =22 .11 %.
158. (a) a = O, 7383 . (b) P320 = 1,4766 godz./szt (c) W 640 = 0. 9173 szt./godz 159. (a) a = O, 76.
(b)
P 400
= I, 1552 godz./szt
(c) a = O. 7593
160. (a) P75 = 2,37, P 1200 = 0,75. (b) Nie. 161. (a) C ~ 17,2579 + 37.5446Q - 10.3666Q' + 0.9620 Q 3 , (6,2266) (4.9465) ( 1,2890) (0, 1102) I 2,72 7,59 - 8,04 8,73 ~ 0.0092, R' ~ 0 ,9941 (b) Parametry speł n i aj ą warun ki n ałożo n e na fu nk cję kosztów całkow i tyc h : a 2 = = - 10,3666 < O i (- 10.3666) 2 < 3 · c.r a 3 = 3 37,5446 · 0.9620, a więc jest to funkcja S-kszta ti na; stałe koszty produkcj i wynoszą 17 .2579 mln zł. Do wielkośc i produkcji Q = 3. 592 tys. sztuk (w s pó łrzę dn a punktu prteg i ęcia - mi ejsce zerowe drugiej pochodnej) koszty całkow ite rosną wolniej ni ż w i e l kość produ kcji , od tego poziomu koszty całkow i te ro s ną szybciej n i ż produkcja
s;
a;=
1
•
Odpowiedzidozadal'I
' 162. (a) Funkcja kosztu jednostkowego: c = 0.3Q- - 3Q
300 + 12.6 + Q;
kosztu krańcowego Ck= 0.9Q 1 - 6Q + 12.6. (b) Dl a kosztu jednostkowego: Q• = 10 tys. szt uk, Cmin = C(IO) = 42.6 kosztu krańcowego: Q• = 7 tys. sztuk, Ckmin = 14.7 tys. zł.
funkcja zł;.
dla
163. Q* = 6 tys. sztuk 164. Q• = 100, c( IOO):::,,; 403.43
zł/sztu kę
(tys.
zł/ 1000
sztu k)
165. (a) Q* = 80 tys. butelek. (b) c(80) = 1380 z ł/1000 butelek, z(80)= 120 zł/ 1 000 butelek, Z(80) =9600 tys. zł (c) Q0 = 100 tys. butelek. z( 100) = 108 zł/1000 butelek, Z( IOO) = 10800 tys. zł (d) Q1 = 40tys. sztuk, Q2 = 160tys. sztuk; prod ukcja Q e (40; 160)jest rentowna 166. (a) Q* = I JO tys. szt.. c(l 10) = 392 zł/ 1 000 szt„ z( l 10) = 44 zl/1000 szt. Z(l 10) = 4 840 tys. zł (b) Q... = 137.5 tys. SZI„ z(\37. 5) = 39.6 zl/1000 SZ I. , Z( l 37. 5) = 5445 tys z ł. (c) Progi rentowności to: Q1 = 55 tys. szt. , Q2 = 220 tys. sztuk. zatem aktualna produkcja jest rentowna. ale zbl i ża s i ę do górnego progu rentownośc i , wskazane jest więc raczej jej obn i że ni e. 167. (a) Q0 = 200 tys. puszek. z(200) = 179.2 tys.
zł/1000
puszek, Z(200) = 35 840
zł
(b) Q 1 = 40 tys. puszek, Q2 = 360 tys. puszek. Aktualna produkcja m i eści się w tym przedziale, a więc jest rentowna, ale zwiększając ją do 200 tys. puszek można znacznie zwiększyć zysk (c) Q* = 120 tys. szt uk , c(120) = 1936 zł/ 1 000 puszek, z( l 20) = 224 zl/ 1000 puszek, Z( l20) = 26880 tys. zł 168. (a) Q... = 250 tys. sztuk, z(250) = 192 z ł/ 1 000 sztuk, 2(250) = 48000 tys. zł. (b) Q 1 = 50 tys. sztuk, Q 2 = 450 tys. sztuk; produkcja na poziomie 150 tys. sztuk w przedziale wyznaczonym przez dolny i górny próg ren t owności. (c) Produkcja z przedzial u (75; 300) tys. szt. będzie rentowna, zatem n a l eżałoby produkować przynajmniej 75 tys. szt. wafelków. aby nie ponosić strat (d) Q~ = 150 tys. szt., c(\50) = 1020 zł, C(l50) = 153000 tys. zł. m i eśc i s i ę
169. (a) Q* = 120 tys. opakowań, c( l 20) = 2004 zł/1000 puszek. ::( 120) = 96 puszek, 2( 120) = I l 520 tys. zł (b) Q1 = 60 tys. opakowa11. Q2 = 240 tys. opakowań, a więc produkcja 220 tys. opakowarl jest rentowna, ale zwiększenie zysku można uzys kać zm n iejszając ją: Z (220) = 5120 tys. zł (c) Q1 = 50 tys. opakowml. Q2 = 260 tys. opakowafi; 2(220) = 8 160 tys. zł, a maksymalny zysk daje produkcja Q• = 150 tys. opakowa ń , 2( 150) = 16000 tys. zł zł/ 1 000
170. (a) Q* = 30 tys. sztuk, c(30) = 2540/ 1000 sztuk, z(30) = 960 zł/1000 sztu k. Z (30) = 28 800 tys. zł (b) Q.,. = 50 tys. sztuk, 2(50) = 39200 tys. z ł. z(30) = 784 zł/ 1 000 sztuk.
Odpowie!lzi do
171. (o) C(Q) ~ 1274 + 252Q 1274 (b) c(Q) = Q + 252; wraz ze wzrostem
wiel kośc i
zadań
produkcji koszt jednostkowy
maleje do poziomu 252 zł za MWh (c) Q ~ 13 MWh (d) Przy cenie 364 zł za I MWh minimalna wielkość produkcji gwarantuj ąca jej rentow ność (próg rentowno śc i ) wynosi 11 ,375 MWh, im w i ększa produkcja, tym w i ę kszy zysk 172. (a) c(4400) = 26.75 zl/szt., z(4400) = 2.25 zł/szt., 2(4400) = 9900 zł, a więc produkcja jest remowna. Próg re ntowności to 3300 sztuk (b) Przy cenie 26.75 zl zysk ca łkowity z produkcj i 4400 sztuk będzie równy zero 108000 173. (a) c = - Q-
+ 155c.
(b) Próg rentown ośc i przy cenie 171 zł 10 Q = 6750 szt. , a w i ęc produkcja na poziomie 7000 sztuk jest rentowna (c) p = 173 zł (d) Koszty stał e (ao funkcji kosztów cał kowit ych) nal eża ł oby obn i żyć do 96 OOO z ł. 174. a = [
~~:~~~ J. Ve =
8. 15%, R 2 = 0.9834, liczba serii S = 5; dla a/2 =
= 0.025 i l - a/2 = 0.975 oraz 11 1 = 9, 11 2 = 7 wartości krytyczne wynoszą: S 1 = 4; 5 2 = 13, a w i ęc w zasadzie nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że reszty mają cha-
rakter losowy,
c h oc ia ż
obserwuje
s i ę j edną dłu gą (8 -clem cn tow ą) serię
reszt dodatnich
175. Dla specjali stów nauk humanistycznych funkcja Pareto ma postać: fQgy = = ll.780-3,734logx, R2 =0.999.S=3> S 1 =2. czyli)• =6.030 · I0 11 x- 3·734 (0,70 1) (0,239) Dla specjali stów nauk ścisłych fu nkcja Pareto przyjęła postać: logy = 15.1 80 - 4.972 logx . R2 = 0 .993 . S = 3 > 5 1 = 2. czyli )r = 1.1 5 1 l0 15x - 4 •972 • ( 1,191 ) (0,406) 176. (a).\' = 2068,80. s = 427.65. x2 = 8.42 < xJ = 14,067 (d la Ct = 0,05 i IO - 2 - I = 7 stopni swobody), a więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy. że anali zowany rozkład jest rozkładem normalnym (b) Mo= 2 177.78, Q0 .25 = 1773.08, Q0 .50 =2106.12, Q0 .15 = 2368.08 (c) Wynagrodzenia pracowników na stanowiskach ni erobotniczych są ni eznacznie wyższe ( różnica mi ędzy ś redni mi wynagrodzeniami wynosi 38 ,8 zł). wyższe są także (o bli sko 98 zł ) dominanta, mediana i trzeci kwa rtyl; tylko pierwszy kwartyl jest wyższy dla pracowników na stanowiskach nierobotniczych Wynagrodzenia pracowników na stanowiskach nierobotniczych c harakte ryzuj ą się tak że większym zróżni cowa ni em. o czym św iadczą odchyleni e standardowe i współ czynniki zmien ności (Vi = 20.65% dla pracowników na stanowiskach nierobot niczych wobec 17% dla pracowników na sta nowiskach robotniczyc h) 177. Gospodarstwa pracowników na stanowiskac h robotniczych: .\' = 4 11,9, S = = 75. 7, A= 0,587
Odpowiedzidozadal'I kład
dochodów jest rozkładem normalnym . Mo = 422. 7, Q o.25 = 357 .6, Qo.5 = M e = Q0.75 = 467 .3, 0 0. 10 = 3 11.7, 0 0 .90 = 5 14.0, V = 18,4%. Gospodarstwa pracowników na stanowiskach nierobotniczych: .f = 385. 1, S = = 88.6, A = I, 103 < Aa = I ,358. a więc równ i eż nie ma podstaw do odrzuceni a hipotezy, i ż rozkład dochodów jest rozkładem normalnym. Mo = 4 17. I, Q0 .25 = 271,4, Q0 •5 =M e = 382.4, Q0 .75 = 442.3 , Do.w = 27 l.4, D0 .90 = 499 .9, V= 23.0%. Warto śc i wszystkich parametrów ś w i adc z ą , iż przeci ę tn e mi es i ęc z n e dochody w gospodarstwach pracowników na stanowi skach nierobotniczych są ni ż sze i c h arakteryzują s i ę nieco wi ę k szym zróżn i cowani em . = 4 11.7,
178 . .f = l 188.6 zł, S = 256 .3 zł, D = 0.02 11 075, A = 0.9440 < Aa = 1,358, a więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, iż roz kł ad dochodów jest roz kładem normalnym. Mo = 1406.4. Q o.25 = 998.2 z ł. Qo.5 = M e = 1174.0 z ł, Q o.75 = = 1358.4 zł. D0. 10 = 848.8 zł, D 0. 90 = 1538.2 zł. V = 21,6% 179. Dla
a
roz kładu
więc hipotezę
o
normalnego: .f = 140,6, S = 53,8. A = 5. 1094 > Aa = 1.358, empirycznego z rozkładem normalnym należy
zgodno ści rozk ładu
odrzuc i ć
Dla rozkładu logarytmiczno-normalnego: Y = 4.8776, Sv= 0.36 13 (m etodą kwantyli), A = l. 25087 < Aa = 1.358, czyli rozkład empirycz~y jest zgodny z rozkładem logarytmiczno-nonnalnym. .f = 140. l zł, Sx = 52.3 , Mo = 1094.52, M e= 115. 3, V = 37,3% , l = 0.2016, Do. 10 = 82.7 , Do.20 = 96.9, . . , Do.Mo= 178.0, Do.90 = 208.6 180. Dla rozkł adu nomialncgo: .f = 135,5 z ł, S = 60.25 tys. zł , A= 4,3950 > Aa = hipotezę o zgod n ości rozkładu empirycznego z rozkładem normalnym
= 1,358. a zatem n al eży odn:ucić .
Dl a rozkładu logarytmiczno-normalnego: y = 4,8093, Sy = 0.4185 ( m etodą kwantyli), A = I. 1322 < Aa = I .358, co ś w i adczy, że rozkład empiryczny można aproksymować rozkładem logarytmiczno-normalnym . .f = 133.9, S_, = 58,6, Mo = 102.9, Me= 122.6. V = 43.8%, l = 0.2327. D o. 10 = 7 1.7, D o.20 = 86.2, .. , D o.80 = 174.4, D o.w = 209.7. =
181. C/0.73 = 1427 .957 , C/0.27 = 900.980, C/0.93 = 2218. 182, C/0.07 = 656. 757 , y = 7.03344, S,. = 0.4 123 . .f = 1234.89, S~ = 53 1.58, Mo = 956.94, M e= 11 34.27, pobierających emerytury ni:/'_<;ze od średniej = 0.58 , l = 0.2294. D 0. 10 = 668,71. Do.w = 801,71. . . D0. 80 = 1604.79, D 0.90 = 1923,95.
V = 43.05 %. Odsetek =
182. Dla mężc zyzn: ąo . 73 = 3199,86, C/0.27 = 2086.863 , C/0.93 = 4706.082, ąo.01 = = 1567,964, y = 7,857 1, Sy = 0.3723 . .f = 2769.58, SA= 1067 ,95, Ma = 2249.63,
M e= 2584.12, V = 38.54%, procent otrzymujących wynagrodzenie niższe od
średniej
= 0,5738, l = 0.2077, D0 . 10 = 1603.59, D0 .90 = 4164.21 Dla kobiet : (/0.73 = 2862, 134, Cfo.21 = 1998.752, Cf0.93 = 4189.329. Cfo.01 = = 1466.957 , y = 7.7798 , = 0.3557 ..r = 2547,79, = 935.04. M o = 2 107 .89.
s,.
s. .
Me = 239 1.80, V = 36.70%, procent otrzy muj ących wynagrodzenie 0.5705, l = 0.1985, D o. JO= 1516.63, D o.
=
niż s ze
od ś redniej
Odpowie!lzi do
Wynagrodzenia mężczyzn są więc przeciętnie tak że nieco większym zróżnicowaniem
y=
wyższe niż
kobiet.
zadań
charakteryzują s ię
183. Dla mężczyzn: fJo.73 = 2622.22, fJo.21 = 2 190.48. fJ0.93 = 3200, ąo,07 = 1800, 7.78 18, Sy = 0.1949 . .i'= 2441,60. S_r = 480.64, Mo= 2307.31, M e= 2396.65.
V = 19.68%, procent otrzymujących wynagrodzenie niższe od ś redni ej = 0.5388, L = ~ 0.1096 Dili kobiet: ą 0 , 73 = 2575, ą 0 , 27 = 2 154.55, ąom = 3250, ąom = 1700, Y = = 7.7645, Sy = 0.2195 ..i'= 24 12,85, S.< = 536.12, Mo = 2244.69, Me = 2355.41, V= 22,22%, procent otrzymujqcych wynagrodzenie niższe od średniej= 0,5437. L = = O, 1244 Wynagrodzenia mężczyzn są więc przeciętnie wyższe niż kobiet, natomiast wynagrodzenia kobiet c harakteryzują się nieco większym zróżnicowani e m 184. Macierz
prawdopodobi eńs tw przejścia
0.6250 0.2750 0.1000 0.5750
o. 1625 P;
0.0500
~
c 1 = 0,5681.
0. 1000 0.2250 0.1000 0.5625 0.1750 0. 1250 0.5375 0.0200 0.1300 0.0500
c2 = 0,662 1,
jest
następująca:
0.0750 0.1875 0.5000 0.1000 0.0500
0.0250 0.0750 0.0250 0.2700 0.0800 0.4500 0.3000 0.1000 0.1000 0.5750 0.2750 0.0600 0.2200 0.7200 cfl = 0.2873, cj3> = 0.0658
W 2008 r. li czeb ność kolejnych grup dochodowych 165,61, 207,06, 175,36, 160,72, 154,69, 101,27 185. Macierz
prawdopodobieństw przejścia
0.625 0 05 · P1 =
0.25
52,05, 133,24,
następująca:
0.125
~:~~ ~·~~~ 0.045
[
c 1 = 0,581,
jest
będzie wynosić:
c2 =O, 759.
0.200 0.160
0.060
0.550
0, 355
0,050
0.100 0.500 0.100 0.060
0.300 0.575 0.220 3 cj ) =
cfl = 0.234.
0.100. 0.275
0.720 O. 110
Przy założen iu, że prawdopodobień s twa przejścia są stał e w czasie, w 2008 r. liczebposzczególnych grup dochodów będzie następująca: 38,975, 79,27, 110,69, 136,20.
ność
180,85. 152, 13, 101,89. 186. Dla okresu 2005/2006: c 1 = 0.6351, c2 = 0.5649, cf 1 = 0.3547, ~
cj3>
0.1090 Dili okresu 2006/2007: c 1 = 0.5696, c2 = 0.6762, cfl = 0.3480, cj3 l = 0.1963
=
Odpowiedzidozadal'I
0.482 +0. 850 ln Xr 1 - I.OOO ln X12, R2 = 0.0084, s~ = 0.0 14 1. (0,137) (0,0 14) (0,026) czyli )•, = L62x~] x 1-; 1 · 00 . (b) E y/ xi = -1 . zatem, aby zwiększyć sprzedaż o 4%, cenę należałoby obn i żyć o4%. (c) ~ =(I + 0.03)0 · 85 ( 1 - 0.04) - 1 = 0,0682 ~ 6. 8%. 187. (a) 1-;;,
=
85
)'
188. (a)
1;;, = y,
= 0,9798, czyli
1.43 +0.56 ln x 11 - 0.80 1nx12 + 0.65 lnx,3, Si= 0.0356. R 2 = (0,52) (0,045) (0,093) (0,115 ) = 4. I 8x~j x 1-; · x~-j 56
0 80
65
(b) 6.xi =0.05. 6.x 2 =0.05, 6.x 3 =-0.04. X1
= - 0.03752
X2
X3
~= l,05°· 56 - l. 05 - 0 · 8 ·0,96°.65- 1 = )'
- 3.75%. 56 0 6 (c) Funkcja przychodu ze sprzedaży P = y · x 2 = 4, 18.r~; .r~/ .r~3 \ ~
= 0.20, zatem wzrost ceny
mię s a
powoduje wzrost przychodu ze
s przedaży
EP /X!
o
ll P
p
= =
= 1.10°· 2 - I= 0.0192 ~ 2%. 3,91 05 +0.6100 log.r 11 - 0.8191 logx 2,, S;; = 0.0032. R 2 = 0,949. (0, 1432) (0,0034) (0,0734) czyli )',= 8 l37,2xf; 61 x; 0 · 82 W kolejnych kwartałac h 2008 r. ceny powinny wy n os i ć: 1523, 1544, 1556, 1553 zł. tzn. powinny być w I kwartale o 0,07% n i ższe, a w nastcpnych wyższe o 1,31, 2,10 i 1,90% w stosunku do cen z IV kwartału 2007 r 189.
logy =
190. (b) Popyt wzroś n ie o 7,32%. (c) Produkcja powinna być n i ższa o 3, 185 tys. sztuk, tj. (d) Ce nę magnetofonów należy ob ni żyć o oko ło 4,2%. 191. Do rozw i:1zania problemu
Towar A: I sposób -
mo żn a podej ść
obniżenie ceny
wynosić
46,8 15 tys. sztuk.
na dwa sposoby.
o 2% spowoduje wzrost popytu o
~
=
= (I - 0.02)- 1. 5 - 1 = l.030768 - 1 = 0.030768 do 206,1536 tys. szt. i wzrost przychodu firmy z 20 000 tys. zł do około 20 203,05 tys. zł (206, 1536 · 98), natomiast llS podwyżka ceny o 2% spowoduje spadek s przeda ży do o koło 194, 1466 tys. sztuk ( S = = ( I+ 0.02) - u - I = 0.970733 - I = -0,029027; 0,970733
200 = 194. 1466) i spadek obrotu do oko ło 19 802 ,95 rys. zł (194. 1466 · 102) n s~sób- Funkcję popytu .(sprzedaży) : S, = t. 738 . o&·99 . c,-0u5 prze~.szt~tcamy w funkCJę przychodu ze sprzedazy: P, = 51 · C, = 1.738 · D, · · c1- · ; obmzeme ceny
o 2% spowoduje wyniesie
w i ęc:
zmianę przychodu o
n;
= 0.9s- 0 ·5
1.010153 · (200 · 100) = 20203. 05 tys.
zł
I = 0,010153 -
przychód
Odpowie!lzi do
zadań
Towar B: zastosowanie dowolnego z podejść prowadzi do wniosku, że obniże ni e ceny o 2% spowoduj e spadek przychodu z 5000 tys. zł do około 4979,838 tys. zł. natomiast podw yż ka ceny o 2% spowoduje wzrost przychodu firm y do około 5019,842 tys . zł. 192. (a) .6.xi = 0.04,
= - 0.09,
.Ó.XJ
X1 X3 nal eży : ce nę towaru
nym poziomie. o około 3, 1%.
(b) .6.xi = 0,04,
ob ni żyć
= - 0,09,
.Ó.XJ
X1 X3 nal eży obniżyć o około
towaru A
~
utrzymać
= O. Aby
popyt na aktual-
)'
A
~
o około 2,85%, a cenę towaru B
= 0.055. Aby popyt
wzrósł
obniżyć
o 5,5%,
cenę
)'
7, l %, a ce n ę towaru B obniżyć o
około
9,4%.
45 = = - 0.15 . .6.y2 = 0.266 R:: 26 .6%. 300 )'2 (b) Można wykorzystać jedno z podejść omówionych w rozwiązaniu zadania 19 l . Mniej pracoc hłonne jest to drugie, oparte na funkcji przychodu 193. (a) .6.xi = 0.06, .6.x2 =O, X1
X2
.Ó.XJ XJ
~;~ 1
8
~:: 4
~;: 2
~2
Obuwie markowe: = 0.05, = - 0.04, = - 0.09, = l,05°·7 ·0,96°5 ·0, 91-0 · 2 - I = 0.033 1 ( P1 = )'1 ·x4 ). Kortystna będzie obni ż ka ceny obuwia markowego (przychód ze s przedaż y wzroś ni e wówczas z 24 000 tys. zł do około 24 795 tys. zł (o bni żka ceny lego obuwia spowoduje nieznaczny spadek przychodu) Obuwie popularne: .6.xi = 0.05, .6.x2 = - 0.04, .Ó.XJ = 0.09, .6.Pi = 1,05°· 6 X1
X2
P1
X3
· 0.96°.4 . \.09°·2- I = 0.0364 ( P 1 = y 1 ·x 3 ). Korąs tnabęd zic podwyżka ceny. Prt:ychód ze sprzedaży wzrośnie z 9000 do około 9275,8 tys. zł (obni ż ka ceny s powodowałaby nieznaczny spadek przychodu) 194. (a) .6.xi = 0.04, .6.x2 = X1
Xz
2 5 = 8x?· 6 x~· x~· • .6.:
(b)
P
(c)
~~I
= 0,04.
(d)
~l:~I
= 0,
~;: 3
~.:J
3 57 3 · - .40 = 0,05, 3,40
= - 0,04.
.Ó.XJ X3
~=
- 0.0306
V
= 0. 01 8.
= - 0.04 . .6.: = 0.03 --+
= 0 . .Ó.: = 0.03.
~;:l
~:· 2
= 0. 092.
= 0. \035
2 195 _ (a) .6..r1 = 0 _02 _ .6.x3 = 9. 18- 8,50 = O.OS . ~ = 0 --+ .6.x X1 X3 8,5 )' X2 ~ - 2%.
= - 0.019
(b) P =
2x~· 7 x2°· 3x3°· 5 ,
.6.: = - 0.0184
R::
-2%.
(c) EP;x2 = - 0.3. a więc wzrost ceny powoduje spadek przychodu, zatem aby zw i ę k szyć przychód , cen ę nal eży ob ni żyć.
196. (a)
.Ó.X1
= 0.05 ,
X1
~ )'
= 0.043 1 R:: -4.3%.
.Ó.X2 X2
= 5.04 - 4.80 = 0.05 , 4.80
.Ó.X3 .\'3
= 4.32 - 4.50 = - O.Q4,
4.5
Odpowiedzidozadal'I
1::;.
(b)
(c) 0.04
a w i ęc ce n ę (d) ó.x
2
= 1.05°· 8
.
=
·( I + t::. x 1 ) - 0·2 · 0.96°·6
1.05°· 8
1.05- 0 ·2 . o .96°·6
1 = o.004792 :::::: 0.5 %.
-
= - 0.1161
:::::: -11, 6%,
I = - 0.178 1 :::::: - 17.8%, w tym przypadku
cenę należy
I ---+ t::.x 1
-
x1 nal eży obn i żyć
1.04- 5
=
-
x1
do okoł o 4,26
zł
za karton.
x2
obn i żyć
=
do 3,95
zł
za karton .
197. Funkcja popytu: Y = ao-r?·8 x; 0 ·6 , a fu nkcja przychodu ze spr.tcdaży: P = P = a 0 x?· 8x~· 4 (gdzie x 1 jest dochodem konsumentów. a .r 2 ceną dobra)
Y · .r 2 ---+
-
I ---+ t::. x 2 =
= 0,04: 0,04 = 1,02°· 8 ( I + ó.xl )-0. 6 -
I ---+ ó.x 2 =
(a) ó..r i = 0,02, ó.P = 0,04: 0,04 = 1,02°· 8 ( I + t::.x 2 )0.4 X1 p X1 = 0.0602 : : : : 6%. czy li cenę należałoby zw i ększyć o 6%
~
(b) t::.xi = 0 ,02.
Y
X1
~
X2
X1
X1
- 0.0382 "' -4% 198. Funkcja popytu (sprzedaży) :
Y = b 0 X~· x~· x31. 5 0.08, ~ = 0,027, należy obliczyć
(a) t::.X 2 = 0.04, ó.X 3 = X2 X3 6X ) '·" = ( 1+T, wzrosły
(b)
8
6
Y
ó.Xi : 0.027 =
X1
6X = 0.1597 :::::: 16%. zatemdochody l,04°· 6 -l.08- 1· 5 - l ---+T,
o oko ło 16%. a więc
wcześ ni ej wy nos ił y ( I
t::.P
. . .
p· Jezeh
Na l eży obliczyć
.
wiadomo,
że
720 + O, ) :::::: 620.83 zł 1597 t::.X1 748 , 8 - 720 = - -- 720
Xi
=
0.04.
!:::.X 2 = - O Ol
ó.X 3 =O 04· t::. P = I 04°· 8 · O 94°· 6 · I 05 - 0. 5 - I = - O 02969 :::::: X2 . ' X3 . ' P . . . . :::::: -3% . Zatem przychody wyniosq : ( I - 0.02969) · 2700 = 26 19.63 zł 78 199. (a) ó..ri =O. óx 1 =~=0.07. ÓXJ = - 0. = - 0.06, ~ = - 0.0235 X1 X2 50 .\" 3 13 y
(b) ";
~ 0.0308
(c)
= 0.06
ÓX! X1
200 . (a)
ÓXt
= O.Q3,
ÓX2
X2
X1
~=
= 7.28 - 7 = O.Q4, 7
ÓX3 X3
= 5. 76 - 6 = - 0.04, 6
- 0.0 139:::::::: - \,4%.
)'
(b) P = 2xf·7 x;1
(c)
~;~
(d)
Ó XJ
X1
03 ·
= 0.03,
= 0.03,
xJ 0 A ,
~r:
3
ÓXJ X3
6
:
= 0,0256.
= 0 .058,
~~: 2
= - 0.0625 :::::: - 6.25 %.
= - 0.04, ~ = 0.058,
ÓXl
= - 0.0 148 :::::: - \ .5%.
6 = - 0.04, :
y
Xz
Odpowie!lzi do
zadań
201. (a) E„11.r=S = -0.92, E_'/2/.r = - 1.2 niezależnie od ceny. (b) Coca-cola: obniże ni e ceny o 8% da zw i ększenie przychodu z 200 000 zł do 200 102,4 zł. Sprite: cenę należałoby zwiększyć; wzrost ceny o 8% da przyrost przychodów ze sprt.:edaży ze 135 OOO zł do 136 123.2 zł. 202. W przypadku funkcji potęgowej elastycz ność jest stała i wynosi -0.6736; wzrost o 1% ceny powoduje sp<1dek sprzedaży o 0,6736%. W przypadku funkcji hiperbolicznej el astyczność prty cenie 52 zł jest równa: - 0. 723, a przy cenie 70 zł - 0.659 203. Z przedstawionych fun kcji wyn ika, że s pożycie m i ęsa było n ajwiększe w gospod<1rstwach rolników, 1rnjniższe - w gospodarstwach pracujących na mchu nek w ła s n y (św iadczy o tym poziom nasycenia - ocena parametru a) Ogólny wzór na
elastyczność funkcji TOrnquista I: E,.1.r =_fi_ x + /3
E Ji/:r=soo = 0 .6 1.
E y /:r=7oo = 0.44,
EJ1 /x=soo = 0.66.
E_.1 1-,=100 = 0.58,
E n/.• =500 = 0.51.
E n/x=700 = 0.43.
E n/.< =500 = 0.62.
En/x=100 = 0,54
1
Spożycie mi ęsa
najsilniej reagowa ło na zmiany poziomu dochodów w gospodarstwach roln ików, n aj s łabi ej w gospodarstwach pracuj ących na rachunek w ł asny. We wszystkich typach gospodarstw wraz ze wzrostem dochodów elastyczno ść spada 204. (b) E yif-•=3Su = 0.631,
E nl-•=380 = 1.079,
E.,·~/x =380 = 9.286.
E n/.r=380 = 0.80.
Ey~/x = mo = 0.862 w przypadku wydatków n:1 nabiał (y 1) wzrost przeci ętnego miedochodu w n ajniższej grupie dochodowej (x = 380 zł) o I 0% spowoduje wzrost tych wydatków o 0.631 10% = 6.3 1%, a w n ajwyższej grupie doc hodowej (x = 1320 z ł ) - wzrost tylko o 0.330 · 10% = 3,30%.
E y /:r=l320 = 0.330. 1
(c)
E yi/:r: 1320 = I .022.
E yJ/.•= 1320 = 0.80,
Przykładowo
sięcznego
205. (a) E_,.11.r = x
800
+ 800 .
E_.'!.I-• = O. 7 dla
E yifx=5oo = 0.615.
każdego
E„11 x=soo = 0.50.
x,
O. lOx En/.• = _
4 560
+ O. IOx ·
En;.• =~·
E n/x =500 = 1,087,
E_,·~/x =soo= l,12,
(b) E„11 , = 0.8 dla x = 200 z ł. En/.r = 0.7 zawsze> I. En 1 = 0,Sdlax = 700
En/x=8f.'IJ = 1.052.
E.>.~ /.• =81.XJ= 0.7 (stała,
a
więc
0,8
ni e moż l iwe),
E)'J/.r
J
206. (a) W miarę wzrostu dochodów s pożycie m ięsa rośnie do poziomu nasycenia w gospodarstwach pracowników 6,5 kg, w gospodarstwach rolników 9,2 kg. W przy. padku spożycia ryb poziom nasycenia wynosi: w gospodarstw<1ch pracowniczych el. 1 :::::: :::::: 3 kg, w gospodarstwach rol ników e 10 ·59 :::::: 1.8 kg. Zmiana tempa wzrostu funkcj i
Odpowiedzidozadal'I (przeg i ęc i e)
w gospodarstwac h pracowniczych n astęp uj e przy przec i ętnym m ie s i ęczn y m 630 . 390 T = 325 zł , a w gospodarstwach rolników x = T = 195 zł
dochodzie x =
(b) Gospodarstwa pracowników na stanowiskach robotniczych
750 . E_,·if-• = x + 750
Eyifx:o600 = 0.556.
630 En.lx= --:;:- ·
E_,1 /x:o600 = l.05
390 Ey-i/x = --:;:- ·
E_,1 Jn=600 = 0.65 .
Gospodarstwa rolników:
500 . Ey1/x = x + 500
Ey1/n=600 = 0.455.
(c) J eżeli p rzec i ęt ny miesięczny dochód wzroś ni e z 600 zł do 672 zł (o 12%), to w gospodarstwach pracowników spożyci e micsa w zro ś nie o 0.556 · 12% = 6.672%. a spożycie ryb o 1.05 12%= 12.6%; w gospodarstwach rolników spoży c i e mięsa w zroś ni e o 0.455 · 12% = 5.46%, a spożyc i e ryb o 0.65 · 12% = 7 .8%.
(930 + 31 O)x 20 7, (a) E y1/x = (x + 930)(x - 3to)'
E y1/x =6W
(800 + 450)x = 1,6, E nfx = (x + 800)(x - 450)'
E~'Zfx =620 = 3.2 1
(b) Dla y 1 przy x = 930 zł , a dla y2 przy x = 1200 208. Funkcja liniowa: fu nkcja potęgowa:
y, =
zł.
29 ,555 + 3. l 77x" R 2 = 0.82; (8.527) (0,743)
1V1 =
1,30 + 0.55 logx, , R 2 = 0.93, czy li j'; = 19.95x?·55 ; (0,06) (0,075) 127 28 fu nkcja TOmq uista I: y; = ' x; , R 2 = 0,99, D(o:) = 11 , 18, D (~) = 1.42 X;+ 6.633 Ta ostatnia funkcja naj lepiej opisuje badaną zależność , jakkolwiek dopasowanie funkcji potęgowej t akże jest dobre 209. (b)
E _,· /x=WJ
(c) Dla x = 800
= 4.57 11.
zł
210. (a) Ws kaźniki zróżn i cowania między kolejnymi latami (począwszy od 2000/1999 do 2005/2004 wynos iły, odpowiednio: 0, 1777, 0,0325 , 0,0766, 0,0768, 0,0879, 0,0773 , a więc zmiany zach odzące z roku na rok były niewielkie. W s kaźn i k zróżn i cowania dla skrajnych lat anali zowanego okresu wynosi 0,20 12. W s kaźnik mono-
toniczności 11 = ~:~~~~
= 0. 3806.
(b) Anal iza struktur w hitach 1999- 200 1 wskazuje na ich wy raźną monotoniczność (systematyczny spadek udz i a łu wydatków zw i ąz anych z zakupem ś rodków transportu i wzrost u d ziału wydatków związa nyc h z eksploatacją ś rodków transportu) \!200 111999
= 0.1077,
0.1077 I/ = 0.1777 + 0.0325
°· 5127 ·
Odpowie!lzi do
211. M<1cierz
zróżn i cowa n ia
struktur ma
zadań
pos iać
)<
i.: 0. 1209
3
6
U,1480
0.1898
0.0373
0. 11 65
0,6125
0. 1209
o
U,0877
0.0848
0.1053
0.22 15
0,6203
0.1480
0.0877
o
0.0764
0.1107
0.2645
0,6873
0.1898
0.0848
0,0764
o
0.1525
0.3064
0,8100
0.0373
0. 1053
0.1107
0.1525
o
0.1538
0,5597
0. 11 65
0.22 15
0.2645
0,3064
0.1538
o
1,0628
Najbardziej od stwach rencistów.
pozos tał yc h różnią
sic struktury wydatków na transport w gospodar-
212. (a) (b) Zmiany zac h odzące z roku na rok był y niewielkie. co obra z ują wskaźniki zamieszczone w tabli cy, nieco bardziej róż ni ą s i ę struktury z 1997 i 2006 r. (ostatnia kolumna tabel i)
(C) I/=
O. l 11 2
_ = 0,3 146 0 3535
2 13. Macierz
zróż ni cowa nia
X
'
I
I
o
0.0606
struktur jest następująca· 3
4
5
6
i.:
0.()468
0,0497
0,0310
0.0239
0,2120
0.0151
0.0481
'3
0.0606
o
0.079 1
0.0626
0,2654
0.0468
0.0791
o
0,0717
0.0549
0.0535
0,3058
4
0.0497
0.015 1
0.0717
o
0.0353
0.0513
0,2229
5
0.0310
0.0481
0.0549
0,0353
o
0.0203
0,1896
6
0.0239
0.0626
0.0535
0.0513
0.0203
o
0,2115
Najbardziej od pozos tałyc h różniły s ię struktury wydatków gospodarstw rolników (3) oraz pracowników na stanowiskach nierobotniczych (2) 214.
Postać
modelu (por. (7. 1)): Y11 = f.L1Pr1 + ó(m, - 1-L1P11 - 1-L2P12) +Ęr 1Y12 = f.L 2P11 +( I - ó)(111 1 - J.l1 P11 - J.l2P12)
+ Ę, 2 .
- zmienne endogeniczne: y11 - wydatki na żywność, y, 2 - wydatki na pozos tałe dobra i uslugi; - zmienne egzogeniczne: {J 11 - ws kaźn ik ce n żyw n ości, p 12 - wskaźn ik ce n pozosta łyc h dóbr i u s łu g, 111 1 dochody konsumentów;
Odpowiedzidozadal'I
parametry : /lt > O- ni ezbęd ne zakupy żyw nośc i ( uj ęte i l ośc i owo), µ, 2 > 0 zak upy pozostałych dóbr i u s łu g, O E (0, I) - ud z i ał wydatków na żyw n ość w fundu szu swobodnej decyzji Z:1pis macierzowy: -
ni czbędnc
Y1 + x1r = ~ 1· Y1
= (Y11
Y12),
r=
Yll Y21
[
X1 = (P11
""]
Yn YJ2
YJ1
P12
(1 - Ó)i' I ]
oµ 2
=
~' = [;11 ;,2] ·
m,] ·
[ (ó - 1)1'1
- OIL2
.
0- 1
- O
warunki poboczne: Y1 1 +r1 2 = 0 , Y2 1 + r22 =0, YJ I + YJ 2 = - l Estymator MNK parametrów Y11, Y21, YJ 1 pierwszego równania i estymator MNK parametrów y 12, y 22 , y32 drugiego równania są estymatorami zgodnymi i n ieobciążonym i (model prosty bez opóźnień zmiennych endogenicznych), ale nie s:i efektywne. gdyż nie uwzg l ę dniaj ą warunków pobocznych wynikających z teorii mikroekonomicznej.
215.
[Y11
12 I -p Y12] [ o 1
l
+ [X11
X12 X1J]
[-o y11
- Orn ]
- y31
= [;,! ;121.
o
System trójkątny - zupełny dla wszystkich waności parametrów (detB = I) ; - współczynnik i postaci zredukowanej:
[ :~:
;~~ ] = n = - rB~l=[Y~I Y1;~12 ]·
Jr31
YJ1
Jr32
warunki poboczne w RRF: (a)
Jr2 1 =O,
(b) ;r 11 Jr 32
YJ1/J1 2
= Jr31Jr 12 ;
-identyfikowal ność:
pierwszego równania
11
[
Jrn
1TJ2
drugiego równania
rr11
[
rr12] [ p12
7T21
7T 22
7T 31
1T32
]-[Y"]
12 rr ] [ 1
rr Jr21 7T 31
- [
0
-
O
<=> l rr11:Y11 rr21 - O
}'3 1
l[ =
O]
Y22 o
<=>
.
1T31 = YJ 1
I
rr11P12 Y22
~ n12
= 7T22 - 7T2 1/J1 2 :
Jr3 1/J1 2 =Jr32
oba równania strukturalne sq niejednoznacznie identyfikowalne, bo odpowiednie ukła dy rów nań lini owych (wzg l ędem parametrów strukturalnych) s ą sprzeczne dla prawie wszystkich wa rtośc i Jr;1 ; warunek poboczny (a) eliminuje s przecz n ość pierwszego ukła du, warunek (b) eliminuje spr.tecz no ść drugiego układu ; ze wzg l ęd u na trójkątną macierz 8, model jest rekurencyj ny Qeże l i składniki losowe ; 11 . ;, 2 nie są skore lowane) albo współ za l eżny (jeśli ; 11 i ;, 2 są skorelowane); w obu pr.typadkach pierwsze równani e strukturalne moż n a szacować zwy kłą MNK; jeśli model jest współza l eżny, drugie równanie wymaga podwójnej MNK, jeśli jest rekurencyjny, wystarczy zwykła MNK.
Odpowie!lzi do
zadań
216. Mode l jest współzależny. bo graf powiązań zmiennych endogenicznych (Yr. \V1 , Z,. X,) zawiera pętlę wiążącą zmienne Z,, Y, i W1 (macierz B nie jest trójkątna) . Model ma 3 zmienne z góry ustalone: P,.1 oraz sztuczną równą I, a liczba parametrów ż:1dnego równani a nie przekracza ogólnej li czby tych zmiennych (K = 3). Równania mogą być idemyfikowalne. Estymacja dwu stopniową (podwójną) MNK 217. Zmienne łącznie współza l eż n e: {Yr. D,. Sri· zmienne z góry ustalone· {X 1 . Z1 • r. l .D,_ 1 , D, _1 . S1_ 2, Y,_2 f. Model prosty. Parametry k ażdego równania mogą by ć szacowane zwykłą MNK 218.
[D, S, P,] [
~
- o,
Model współza leżny ( P r---+ D1 • D,-;. P1 ) o równaniach niejednoznacznie identyfikowalnych (u kłady nj!U! = - y(il s kładają s i ę zawsze z 7 rów nań o 4 niewiadomych), estymacja: pierwsze równanie - podwójną MNK , drugie równanie - zwykłą MNK (równanie oderwane), trzecie równanie- podwójną MNK. ale nie we dł ug wzoru (7.20); S1 - D1 należy zastąpić Ś, - b, (gdzie Ś1 i b 1 są wartościami teoretycznymi z postaci zredukowanej) i do tak zmodyfikowanego równania zastosować zwykł ą MNK. 219.
I [Y, W, Z,]
[
O
-/hi
1
o
-/h2
Model ws półzal eżny (Wr -;. Yr. Y1 -;. Z 1 • Z 1 -;. IV1). Równanie pierwsze i drugie niejednoznacznie idemyfikowalne. równanie trzecie jednoznacznie identyfikowalne 220. Ponieważ wszystkie 1rzy równania są jednoznacznie identyfikowalne, do każ dego moż n a zas t osować pośredni:1 MNK. Uwaga: w modelu są trzy zmienne z góry ustalone x 11 , x, 2 , I, a pierwsze równanie, tak jak drugie i trzecie, ma trzy n iepowiązane parametry strukturalne. 221. (a) Warunek konieczny pozwala stw i erdzić brak iden l yfikowalnośc i . (b)( l ) Oba równania są jednoznacznie identyfikowalne; (2) obie restrykcje dotyczą drugiego równania - staje s ię ono niejednoznacznie identyfikowalne; (3) pierwsze równanie jednoznacznie identyfikowalne. drugie równanie jest nieidentyfikowalne . (c) /hi = O i a 12 =O oznaczają (łącz ni e) model rekurencyj ny, którego oba równania są idenlyfikowa\ne (por. koniec paragrafu 7.3.2) i mogą być szacowane zwykłą MNK.
Odpowiedzidozadal'I
222. Wszystkie równania
są jednoznacznie
identyfikowalne
fi _ (X'X)- ' X' Y -
[0.50 - 2.45
-
1.06 1.08
l
3.7 1 L99 '
-~" ] - [ '" O Ol ( ~"'.'.2.27. -~23
o 9n o
-
911 = - 1.9 1. 9 22 = - 4, 11. ~23 = 3.94. estymacja dwu-
~: ~ : =~~92.
#
223. Pierwsze równanie jest niejednoznaczn ie identyfikowalne MNK
stopniową (podw ój n ą)
(XTX)- 1 =
8 4 6]_, [64 6I 6I YTX 1 = L- 10].
V'fX =[ - 4 - 10 1].
XTX 1 = [6]' v Tx (x Tx r
YTX
1 x Tv 1 = r 1s1.
[~
I
v Tx (xTxr
(0.42)
(0,75)
- 2 1
o] .
x Tyoi = r131 .
( błędy ś red ni e
szacunku).
224. Pierwsze i drugie rów nanie jest jednoznacznie identyfikowalne: trzec ie równani e jest ni ejednoznacznie identyfi kowalne, bo ukł ad npOl = - yOl {::} rru = 0 I\ rrn = = y23 jest sprzeczny dla prawic wszystkich wartości JT 13 . Maci erz n ma sześć elementów, które są fu nkcjami pięciu parametrów postaci strukturalnej ; jedna restry kcja (rr 3 = 0) nar.wcana przez postać st rukturalną eliminuje sprzecz n ość w układz i e np(J) = -y(3 l. Estymacja drugiego równania - oceny podwójnej MNK i pośredniej MNK pokrywają się. podwójna MNK pozwala obliczyć b ł ęd y ś redni e szacunku: 1
6
I
)'12 = LJY11 + LJYr3 + 11 12
(0.23)
(0.39)
Esty macja trzec iego równania - oceny uzyskane krywają się (równani e oderwane)·
podw ójną
MNK i
zwykłą
MN K po-
( 1,245)
225. Wyprowa d zając
n
=
- rn- 1 , zauważamy że
Po oszacowaniu obu rów nań stru kturalnych podwójną MN K, stosujemy wzór
= - f'B -1
fi
Odpowie!lzi do
zadań
226. Oba równania sq identyfikowalne. Stosujemy podwójną MNK. Estymacja pierwszego równania postaci strukturalnej wed łu g wzoru (7.20)
Y1 =ym,
(xTx)
'~U
X1 = x(ll_ 2
IO 8
x Tx 1 = 5.
T
I ~ =~
v ;x = [3 6 71 .
[
1
YiX(XTx )- =
~ . 1744::::: 4.6383.
v Tx (x Tx )- 1x Tv 1 =
x 1in=4.
x Tv 1 = 3.
86 - 6 -1 4
-6 66 - 34
-1 4] -34 . 46
~
[124 140 761.
XTy
v Tx (x Tx )- 1x Ty(ll =
[ ~~: ] :::::[ 4.6;83 ;rl [ 3-~68 ] =14.11915
[ _;
[ff
12 6 ; ::::: 3.4468. 3 6
4.~is3 ] [3-4:68]:::::
"' [0 .3688 ] 0.5787 .
= T
~ 2(/ll'_/ll
- 2/h1Y(2l'y(IJ - 2f11X(1l'y(I) + bi1/2l'/2l+ + 2b21 Y11 Y(l)Tx<1> + Y11 X(l)'Tx(1)) =
=
~. (20 -2- 0. 3688·6-2· 0.5787 -4+0. 3688 2 · I 0+ 2·0.3688·0.5787 -3+0.57872·5) ;::::
'' ([ii" ])
D
f 11
0,6635 [ 5 = 14,19 15 -3
- 3 4.6383
"' 0.6635.
l[
0.2338 - 0.1403
=
- 0. 1403] 0.2168 '
}'rl = 0,3688}'12+ 0.5787x,1 + "11 (0,4835) (0,4657) (0.8145) Estymacja drugiego równania strukturalnego gicznie; uzyskujemy:
według
wzom (7 .20) przebiega analo-
Y12 = 0.4844y,1 + 0. 3672.r,2 +0.1 094.rtJ + 11 12 (0,3794) (0,2267) (0,2170) (0,5401 ) Estymacja postaci zredukowanej bez restrykcji (URF) zwykJq MNK:
fi = (XTx )-l x Ty ;::::
prognoza: h + 1 = Xr+t · S'r+J =
Xr+ 1 ·
[
0.6809 0.0106 0. 191 5
0.3298] 0.3723 : 0,2021
fi = [0.883; 0.904].
Odpowiedzidozadal'I
Estymacja postaci zredukowanej z restry kcjami (RRF)
•
fJ
=
- f'B - 1 = [0.5787 o
O ] [ I O 4844 ] - ' o.3672 - , 0 3688 0. 1094 - · I
O
[0,7046 0 ,34 13] 0.1049 0.4471 : 0.049 1 0.1332
=
prognoza: §r+I = xr + 1~ = L0.8S9: 0.921 J Różni ce między elementami wektorów Yr + 1 i §r+i są rzędu 3% w przypadku Yi+t i 2% w przypadku y, 2 ; prognoza fr +i w pełni wykorzystuje informacje zawarte w postaci strukturalnej , natomiast prognoza Yr +i nie 227. Na podstawie oszacowanej postaci strukturalnej uzyskujemy następujące oszacowanie postaci zredukowanej
ln P, = O. S ln P,_ 1 + O.S In Z, + 511 .
5, 1 =
In W1 = L Oln P1_1 + l,OlnZ,
ii,2 = 11, z.
+ 5,2.
11 11
+ O.S11 12 ,
Mamy
do =
02 =
[O
O].
Ói = [O.S
o
I.OJ (In P ,_i) (In w,_
o
1
)
[0.5 1.0](ln Z,). (In P,)(ln W1 )
Mnożni ki bezpośredni e (Mo = Ó2 ): wzrost Z, o 1% powoduje wzrost P, o 0,S% i W,o 1%. Mnożniki pośredni e i sk umu lowane: (In P,) (ln IV,) M 1 = Ó2Ó1 =[0.2S
O,S ](lnZ,_,) ,
C1 = Mo +M 1 = [0.7S
M 1 = M1 Ó 1 = [0. 12S
0.2S](lnZ,_2) .
C2 = Ci + M 1 = [0.87S I. 7S].
1.Sl .
Stabilno ść·
det(D , - Al)= -Ą(0,5 - A),
A1 = O.
A2 = O.S .
Mnożniki ca łkow i te:
Coo = D2(I - D,)-' =[ I
2].
Interpretacja: system jest stabilny, bo ll•i I < 1 i 11· 2 1< 1; efekt zw i ę k sze ni a wydajno ści o I% w okresie 1 (i tylko wiedy) to wzrost inflacji i wskaźn ika płac o, odpowiednio. 0.2S% i 0.5% w okresie n astępnym. o 0, 12S% i 0,2S% po dwóc h okresach itd.; efekt ten wygasa do zera wraz z upł ywem czasu. Efekt s t ałego zw i ększania wydajnośc i o I% we wszystkich okresach (począwszy od okresu t) to wzrost obu ws kaźników (i nflacji i płac) , odpowiednio, o 0,7S % i l,S%
Odpowie!lzi do
w okresie
przyszłych odl eg ł ych
o 0,875% i 1,75% za dwa okresy i o 1% i 2% we wszystkich okresach (teorelycznie w ni esk ończon ym horyzoncie czasowym).
b 1 = ~·
228. J0 = 2.
b2 =
j (mnożnik bezpośredni)
Mnożniki pośrednie: Mr= b2 b~ = ~ (~) r·
r = l. 2, 3.
Mnożniki skumulowane: Cs =~ Mr=~ [ l - (~) •+I ]. Stabi ln ość: zbieżny
jest
zadań
nas tę pn y m ,
•
IDil
=
I
2
<
1. wiec
c iąg
geometryczny
do zera, a odpowiadający mu szereg geometryczny
zbi eżn y
do C00 =
s =I. 2. 3 . .
mnożników pośrednich mnoż ników
jest
skumulowanych
4
'3 ( mn ożnik ca ł kowity).
229. Z pierwszego równania: fr+ 1. 1 = 25,3, fr+2.1 = 25.3. Z lrzeeiego równania: fr+n = 46.28. Z drugiego równania: fr+ 2.2 = 2 1. 12.
230.
[y„ y„ ][ -~„ -~„ ] + [x„
x,,]
[-i"
-~„ ] = [<„ <"1
Model ws pół zależny o równaniach jednoznacznie identyfikowal nych Estymacja: oceny uzyskane za pom ocą 2MNK pokrywają s i ę z ocenami uzyskanymi poś red ni ą MNK. 2M N K daje błędy śre dni e szacunku :
)'11 =2. 0y,2- 0.5x11 + 111i. ( 1,94) (3.06)
)'12= 0.6y,1 + O.lx12+ 11 r2· (0,21) (0.56)
Prognozy punktowe obli czamy z postaci zredukowanej , przy czym rzys t ać wzór gdzie
t. = -rn-
1
m oże m y
•
Otrzymujemy
ń =[-~5 ~,H -~ -~6r =[ -~g -~:n WpierwszymwariancieY.=l.Y. 1 WdrugimwariancieY.=l.Y. 1 231. Próbujemy
liB =- i°<•[
zastosować pośre dni ą
0. 2 -0.4
t„
<=>
2.0 -I.O
= 0 .4. ~32 =4.0. Pu= 2.5.
I
.Yd= [- 1
.Yd= [l
-I ]
MNK :
fi -t„ 1
0. 5 ][ I.O - o"
f11 =-0.6. y,, = -5. 0. h_3 =2 .0
Il. fi = [-3,5 li ={3,5
-2 .0].
2.0]
-tu] [· O I
=
Y11
O
wyko-
Odpowiedzidozadal'I Poni eważ
fi
=
fi
są
równania postaci stru kturalnej
jednoznacznie ident yfikowalne,
i do prognozowania wykorzystujemy macierz
więc
fi
LY.1 Y.2 J.3J = lx.1xd fi = [O 15 101 232. Zwykłą MNK uzyskujemy
i1
następujące 1
W,= - 0.0165z,_ Poni eważ wyjściowy
model
oszacowanie postaci zredukowanej
= l. 167z,_ - 0.255r1 •
współza l eż n y
1
+ 0.529r,
jest jednoznaczni e idcnt)'._fikowalny,
prognozowania można wykor1.ystać powyższe oszacowania MN K (fi =
is = 6. 129. 233. [1,
w,J ~ [z, _, w,_,] [ 1. ~67
więc
do
fi ). Mamy:
W9 =5. 189. - o.g
165
] +[1·, I 1-0.255
o.529].
o, Wartości własne macierzy Ó to O i 1. 167; druga z nich wskazuje, że układ nie jest stabi lny. Wpł yw zmi an r 1 na przyszł e wa rtości zmiennych endogenicznych nie wygasa w miarę upływu czasu, g d yż mn oż niki pośrednie (r.tęd u r) dla z. 1 i w, są równe, odpowiednio, -0.225 (l .167Y oraz (-0.255) (-0.0165 ) (I. l67y - 1 , są więc ciągami geometrycznymi, monotonicznymi i rozbieżnymi; odpowiadające im mnożniki skumulowane tworzą szeregi o sumach cząstkowych 1
- 0.255 rozbi eżn e,
t,
(1. 167)'
odpowiednio, do -oo i + oo.
0.525
+ (- 0.255)(0.0165)
t,
(J. 167)' -'
Test
Rozwiązanie testu polega na zakreśleniu odpowiednich pól kwadratów ~. Należy wziąć pod uwagę, i ż w niektó rych pytaniach trzeba zazn aczyć tylko jeden kwadrat, a w innych d wa lub nawet wszystkie. 1. Który z modeli stosuje nych (a) model stochastyczny (b) model determini styczny
s i ę naj częśc iej
w opisie zjawi sk
społecz no-ekon o mi cz
O O
2. Ekonometria sensu stricto zaj muje s i ę: (a) pomiarem różnyc h w ielkośc i ekonomicznych (b) ustalaniem il ościowych pra w idł owośc i występujących w procesach gospodarczych
D O D D
(d) model stochastyczny
4.
u s tali ć
(a) tak (b) n;e
Mając
I
rzeczywiste (y;) oraz teoretyczne ()'; )
czy model
został
I
wartości
y,
12
14
18
22
22
f;
12,4
15,0
16,4
2 1,0
24,2
oszacowany
bezbłędnie:
D D
5. Dana jest oszacowana funkcja produkcji o postaci
Y, =
1,
D
,~ ~I
3. Pr.i:eds tawiony na ry sunku model to:
(a) model prtyczynowo-opisowy (b) model statyczny (c) model tende ncji rozwojowej
D
1sx?; 5 • x~;7 . e0 .
zmiennej
objaśnianej
Czy na skutek d zia łania pos tę pu techni czno-organizacyj nego (a) wzrosl produkcj i o około 2% D (b) wzrost produkcji o około 20% D (c) wzrost produkcji o około 2'X-o D (d) spade k produkcj i o około 2% D
nastąpi
6. Czy e konome tria sensu slricto obejmuje badania operacyjne: (aJtak
(b)nie
D D
7. Graf przedstawia
korelację między
Czy nale ży wybrać: (a) wszystkie zmie nne (b) tylko jedną zmienną
8. Czy prawdziwa jest metrycznego:
(b)n;e
objaśniającymi
D
D nierówność dot yc ząca
zmiennej
objaśnianej
modelu ekono-
t (y; t (y; -}')'. - M'
(a) tak
zmiennymi
>
D D
9. Czy każdy oszacowany trend, którego nie zna my, (a) modeli stochastycznych D (b) modeli liniowych D (c) modeli dynamicznych D (d) modeli nieliniowyc h D
mo żna za li czyć
do:
IO. W pewnej firmi e produkującej nowy mode l pralki oszacowano współczy nnik Hi rscha a =O. 98. Przy podwojeniu dtu gośc i serii pracoc hł onność spadnie (a) o około 20% D (b) o około 10% D (c) o około 2% D (d) o około 12% D 11. Który z modeli A, 8, C, D jest najle pszy ze (a) model A rp 2 = 0.2 D (b) model 8 rp 2 = 0,02 D (c) model C l{J 2 = 0,22 D (d) model D •' ~ 0.7 8
D
wzg l ędu
na
s t opień
dopasowania
12. Czy model stochastyczny, liniowy (a) związki dodatnie D (b) związki ujemne D
może opi sywać:
13. Współczyn n i k zbieżnośc i
14. Czy mamy
n obli stę
wród polskich ekonomistów-ekonometryków
D D
(a) tak (b)nie
15. Co oznacza (a) obliczanie (b) szacowanie (c) wyznaczanie
s łowo
estymacja
D D
D
16. Czy zmienna namowym:
objaśn i ająca może być zmien n ą objaśnia n ą
D O
(a) tak (b)nie
17. Obejrzyj
poniż szy
rysunek i
(a) nieliniowy
D
(b) (c) dynamiczny liniowy (d) logistyczny (e) deterministyczny (f)statyczny (g) stochastyczny
D O O
y) ~
I
L (y; - M' ~ - I
(c)
Niżej
w
L
możliwie peł ny
'•
sposób, jaki to model
~• • •'
D O
18. Które z niżej zapisanych
(b) , ; (y, -
określ
w modelu wie\orów-
D
(al,~(y,-5',)~o
19.
D O
równań
jest
fałszywe:
D
D D D
zapisany graf przedstawia korelacje grafu):
jaś ni ającymi (w i erzchołki
wys t ępujące między
zmiennymi ob-
Należy wyb rać:
(a) jedną zmienn ą (b) dwie zmienne (c)trzyzmienne (d) wszystkie zmienne
D D D
D
20. W pewnej firmie produkującej lodówki. w początkowej fazie wytwarzania oszacowano w spółczynn i k Hirscha. Otrzymano a = 0,95. Odnotowano równie ż pracochłon n ość przy 40-tej z kolei sztuce lodówki P40 = 100 h. Pracoc h ło n ność przy kolej nej 80-tej sztuce wynosi w przyb l iżeniu (a) llO h D (b)Sh D
D D
2 1. Model o postaci: Y11 =a
+ f3t + yX1 + vY1- 1.1+E1 1·
Y12 = 8 + l/Yr1
+ E12
(gdzie: a, {J. y. v, ó są parametrami strukturalnymi , a e 11 i e11 równań ) należy do klasy· (a) modeli prostych D (b) modeli rekurencyjnych D (c) modeli współzależnych D
składnikami
losowymi
22. Wskaż najlepsze przyb l iże n ie wyrażenia eo.ocn .
1.100
D D
D D D
23. Czy każdą zmienną objaśniającą (a)tak D (b)nie D
można nazwać zmienną egzogeniczną·
24. Wskaż właściwą l iczbę okreś l ającą w i el kość produkcji Y na podstawie oszacowanego modelu : Y = l. I X~.5 x~· 5 , gdy X = 400, a X 1 = 250000 1
(a) IOOOO
(bJ20000
D D D
D
25. Czy predykcji1 Io (a) prognoza (b) produkcja pr.tcmysłowa (c) proces przewidywania (d) analiza relrospektywna
O O O O
26. Dany jest model o postaci Y (a) zmienną losową O (b) zmienną nielosową O
=a+ {31 + e1 • Czy zmienna
Y jest·
27. Współczyn n i k korelacji liniowej między zmiennymi X. Y r„_1· = - 0.88 . Który z modeli odzwiercied l aj ącyc h związe k między zmiennymi X, Y jest prawdziwy: (a) S• = l 1.2 - 2,Sx O (b).i~ 11.2 + 2.sx D 28. Czy zapis modelu deterministycznego ekonometrycznego zawiera sowy (a) tak D (b) n;e D 29.
Należy ocenić istotność
paramelru a, którego ocena a = 12,5.
s kładnik
Błąd śred ni
lo-
oceny
a wynosi: D(a) = 10. Czy ocena
(a) jest statystyczni e istotna (b) nie jest statystycznie istotna
30. Wiadomo,
że:
O O
lr1 I < lr2I
.r4 op1su1ąs 10-
pień skorelowania poszczególnych zmiennych objaśniających ze z m ienną objaśnian ą. Ponadto dany jest graf obrazujący za l eżno śc i między zmie nnymi objaś ni ającymi:
cp--
cb--G Należy wybrać
do modelu
(a)X, (b) wszystkie cztery zmienne (c) X, (d) ani jednej zmiennej
D O D O
31. Dwóch studentów, Jacek i Robert, MNK. Jacek otrzymał
;~ (y, - 5'1) 2 =
pope łnił błąd. Prawidłowy
(a) Jacek (b) Robert
O D
oszacował o
360, a Roben
„;
wynik oszacowani a uzyskał:
ten sam model. Obaj stosowali
(y 1 - 5'1)
2
= 380. Jeden z nich
32. Dane
są
funkcje produkcji
Q1 =I. 8K~· 6 L~A. Q = (l,2K,°·6 +0. 7L?· 6 )u 1
Substytucja czynników produkcji jest (a) w funkcji C- D (b) w funkcji CES (c) w obu funkcj<1ch jest takli sama
łatw i ejsza·
D D
D
33. W procesie produkcji opisanym przez funkcję efekty skali produkcji: (a) stałe D (b) równe I.I D
D
(c)rosnące
D
(d) malejące
34. Funkcji produkcji skali produkcji równe
Q1 =O. 6K,°· 5 L?·3E,°·3 występują
Q,
= (0 .6K,°·4
+ O.SL?A + O.JE,°.4) 2·5 odpowiadają efek1y
D D D D
35. Funkcja s przedaży pewnego dobra (popytu) Y w zal eżnośc i od dochodów konsumentów (X 1) i ceny tego dobra (X 2) ma postać: _\'1 =O. 8x?J 8x;;1" 4 . Wzrost ceny o 3% spowoduje: D (a) spadek sprzedaży o około 4,2% (b) spadek przychodu ze sprzedaży o około 4,2% D (c) spadek przychodu ze sprzedaży o około 1,2% D (d) wzrost przychodu ze sprzedaży o około 1,2% D 36. Popyt
(wyrażony wielkości
na
mie szan kę wedlowską
(Y) w zależ-
~~~e~ad (~o;;h~i~:ek~~11~~~:~~'.iw=(~'. ~~~r;,2~~{ x~:~~s~~~~~~~12~ś~r~=n~':~ ;:!~~~:~~ ze
sprzedaży
jest równa:
D D
D D
37. Z<1leżność wydatków na mięso w zależnośc i od dochodów w rodzinach rolników opisuje funkcja: )', = e 6 - 480 Przy przeciętnym miesięcznym dochodzie 600 zł na osobę e la stycz n ość wydatków na mięso w rodzinach rolników wynosi
*.
o o O o
(") I (b)-0,8 (c) 0,8
(d) 1,25
38. Estymacja. których z Gaussa- Newtona ·
(b) y 1 =x~·ec'
·tJ: +e,
(c)y, = f3o (d) y, = (fJo
+ f31x1)
po n iższych
modeli wymaga zastosowania algorytmu
D O O O
(a)y, =xf +e1
e"''
39. Dany jest uproszczony model opisujący kształtowanie s i ę globalnej konsumpcji (C,) i dochodu (Y1 ) przy egzogenicznie danych wydaikach rządowych (G 1 ) i inwestycjac h (/1 )
C, = 0,6Y, + 0,2Cr-l Y, = C, + /1 + G,
i macierz
współczynników
+ 0,7 + i 11.
jego postaci zredukowanej
fi
=
[U U]er I. 75
Zap i sać
macierz m n ożni ków bezpośrednich i genicznych na ko nsu mpcję i dochód 40. Dla mode lu z punktu 39 nych rzędu I
znaleźć
okreś li ć bieżący wpływ
mac ierz
1.75 I zmiennych egzo-
mnożników poś red n ich
i skumulowa-
41. Na podstawie danych o wielkośc i sprzedaży soków „Tymbark" w latach l 9982007 trzy grupy studentów oszacowa ły nieza l eż ni e parametry wykładniczej funk cji trendu. Poszczególne grupy otrzyma ł y· (a)j·, = 13.464- 1.0833 1 • (b) (c)
5.
1
y,
= e2.6+0.oso1. = I00.12n+o.034751)
Wniosek, że ś redni a stopa wzroslu 8,33% wynika z funkcji·
(")
(b) (c)
(d) wszystkich
sprzedaży
soków w analizowany m okresie
wynosi ła
o o O O
42. Te ndencj ę rozwojową wie lkości sprzedaży pewnego wyrobu y 1 (w tys. szrnk) w latach 2002- 2007 przedstawion ą poniżej
2002
2003
2004
2005
2006
2007
33
13 1
27
26
125
20
opisuje funkcja trendu (a) J, = 34.4 + 2.4r (bJY, = 15 - 2.41 (cl ;, = 34,4 - 2.41 (dl.\·,= 15 +2 .41
D D D
D
43. Pn.:y jakim dochodzie popyt n:1 pewne dobro elementarne (przyjąć funkcje TOmquista) będzie równy 40, a przy jakim będzie równy 86, skoro wiadomo, że górna granic
45. Na podstawie danych z punktu 44, zakładaj ąc, że skł adniki losowe tworzą proces autokorelacj i rzędu pierwszego, tj. 11 1 = p 111 1_ 1 + e1 (I = l. 2 .... 11 ) obliczyć w s półczynn i k autokorelacji rzędu 2 (p2 ) 46. Oszacowano funkcję wydatków na pewne dobro wy7..szego rzędu y (fun k cję TOrnquista li) w za l eżnośc i od dochodów (x). Funkcja jest nieciągła dla x = 800, popyt na to dobro pojawia s ię w rodzinach o dochodzie x = 400, a górna granica wydatków na to dobro wynosi 680 zł. Czy funkcja ta ma postać
sex:(: ~8~00)
D
(b)j, = 68°.(: ~~OO)
D
(a) ;, =
(cl ,,
óso; ~ ;~ooJ
0
(dl ;, = 400, c: ; ~soJ
D D
47. Przy jakim dochodzie elastyczno ść dochodowa wydatków na badane dobro dzie równa 1,5, a przy jakim 2.7?
bę
48. Oszacowano model liniowy i otrzymano
Y, =
1.50 (L25)
+
6.25X1 1 - 0. 75X21
(2, 35)
(4, 25)
W nawiasach podano błędy ś rednie szacunku ocen parametrów. S tatys tykę ta odczytano z tablic rozkładu I Sn1denta (la= 2.1 45). Czy statystycznie istotne są (a) wszystkie parametry D (b) tylko jeden parametr D (c) dwa parametry D (d) żaden z parametrów D
49. Trend
sprzed<1ży
Y1 pewnego
artyku ł u
(w tys.
zł)
po oszacowani u przyjmuje
postać:
Y= 1
O ile wzrośnie spodz iewana cow:mo trend (a)o3 tys.zl D (b) o 7,5 tys. zł D
(c)o6 tys.zł
D
(d) o9 tys. zt
D
120+2.Sr
wie l kość sprt.:edaży
za 3 lata od momentu, w którym osza.
50. Symbole y 1 • )' . ) •1 są oznaczeniami zmiennej objaśnianej stosowanymi w tym samym modelu ekonometrycznym. Który z wypisanych n iżej związków jest prawdziwy:
(al6,E (y, - i',)~ O (b) (c)
D
,E (y, -w " ,E(y, -)',)'
D
,E (y, - y) ~ ,E (y, ,E (y, - )')~o
D
(d) 6
y)
D
Klucz do testu I (a) 2 (b) 3 (c). (d) 4 (b) 5 (c) 6 (b)
7 (a) 8 (b) 9 (a), (c) IO (c) 11 (b) 12 (a), (b) 13 (b) 14 (b) 15 (c) \6 (a) 17 (a), (d). (g) 18 (b). (c). (d) 19 (b)
20(c) 21 (b) 22 (c) 23 (b) 24 (d ) 25 (c) 26 (a)
27 (a) 28 (b) 29 (b)
30(c) 3 1 (a)
32 (b) 33 (b). (c)
34 (c)
35 (a). (c) 36(d)
37 (c) 38 (a). (c). (d) 39
o~= [ LS .
l.5
40 M = [0.75
2.5
2.5
l
0.75] C = [ 2.25
3.25 ]
I 0.75 0.75 I 2,25 3.25 41 (d) 42 (c) 4 3 y = 40 przy x = 5 130. y = 86 ni e mo ż l iwe 44 tJ' = 1.488 > tiu - autokorelacja nie wys 1ępuj e 45 P2 = 0,2562 = 0.0655 46 (b) 47 Eytx = 1,5 przy x = 800, Ev/x = 2.7 prą X= 588.35 48 (b) 49 (b)
50 (a), (b), (d)
1
Literatura
Allen R.G. D .. Ekonomiama1mwtycz1w. PWN. Warszawa 1961 rozkładów plac i dochodów w Polsce w przekroju 1ery1orial11ym. Cz. Domański (red.), Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego. Łódi 2005 [31 A11uli::i1 rynku. Syslemy i medumivny, S. Mynarski (red.), Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Kraków 1993 141 Auu/iw rynku ze •1's1w11wga11iem kompulerowym, A. S1yś (red.). Wydawnictwo Akademii Ekono micznej. Wrodaw 1991 [5] Barczak A., Ekonometryczne metody badania kosztów produkcji. PWN. Warszawa 1971 [6] Barczak A.S .. Biolik L Podsrawyekonometrii. A kademia Ekonomiczna im. Karola Adamieckiego. Katowicc2003 171 Barczak A .. Ciepielewska B .. Jakubczyk T., Pawłowski Z .. Próba budow\' prostych eko11ometryczuych rów11mi wzrostu 1w przykf{l(Jzie gospodurki Polski. „Ekonornisrn" 1964 181 Bartosiewicz S .. Kum1m1ermrn analiza ekV1wmetryc::m1. Wydawnictwo Akadernii Ekonomicznej. Wrocław 1993 [91 Bartosiewicz S„ Okruc/1y :'.ycia. Wydawn ictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Lanego. Wrocław 2006 [ 10 1 Bates D.M .. Watts D.G .. Relati1•e rnn'lilllre mn1.mres of um1/i11niriry. ''Journal of Royal Statistical Socicty" 1980.scriaB, nr42 [ 11 1 Borkowski B.. Dudek H.. Szczcsny W., Ekonometria: wybmne zaguduienfo, Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 2003 1121 Box M.J„ Bim· i11 uo11/iun1re~·timalio11. "Journal of Royal Scatistica! Sociecy'' 1971 seria B. nr 33 [ 13] Box G.E.P„ Jenkins G.M„ Ami/iw szeregów cwsowyd1. Prognozol\'auie i sterowanie. PWN. Warszawa 1983 [141 Bross I.DJ „ Jak podejmmmć decyzje. PW N. Warszawa 1965 [ 15 ] Brown R.G „ Smomhing. Forecasting m1d Prediaion of Discrere Time Series. New York 1963 [ 16] Charemza W.W., Deadrnan D.F.. Noll'a .-konometria. PWE. Warszawa 1997 [ 171 Chmiel J., Anu/iw procesów produkąjnydi w pomot:ąfunkcji typu Cobba-Douglusu. PWN. Warszawa 1983 1181 Chow G.C.. Ekonometria. Wydawnictwo Naukowe PW N. Warszawa 1995 [ 191 Cieślak M„ Prognozol\'anie gospodarcze. Mewdy i zastosowania. Wydawnictwo Naukowe PWN. WaP.;Zawa2002 [20] Cięciwa Z„ Niektóre czy1111iki wyznaczające współczynniki wzro.m1 gospodarczego Pol.1ki Lutfowej w latach 1952- 1972 - mo(/el .-konometryc zny. AG H. Kraków 1976 [2 11 Ciompa P.. 7.ilr)'J eko11ome1ryi i 1,-oryt1 huc/w/1ery i, Wydawnictwo Szkoły Handlowej we Lwowie. Lwów 1910 [221 Clarke G.P.Y.. Momenb' on the /e,isl sq11ures estimators in 11011/inear regressio" model. Journal of Roya!S1atistical Socie1y" 1989.seria B.nr42 [l] [2]
A11(1/iw
(23)
Cook R.D .. Witmer J.A .. A 1w1e on parnmerer effects cun'a/11re. "Journal of American Stalistical Association"' 198S.nr80
!24)
Czerwiński
(2S) !26) (27) !28) !29] (30] (311 (32) [33] [34) [3S) [36) (37] (38) (39] (40) (41] (42) (43) (44) {4S) (46) (47) [48] (491 (SO) [SI) {S2) {S3) (S4) (SS]
Z .. Pr;.yczynek do dysk11sji 1wtl problemem .. dobrego'" motie/u ekmw111e1ryc:Jll'go•
.. Prlegląd Statystyczny"" l976.nr4 Z .. Motemmycvie modelmwmie pnx·oów t'konomicznych. PWN. Warszawa 1982 Czerwiński Z .. Motemmyk(l llll 11slllgacht'ko11omii. wyd. 7. PWN. Warszawa 1984 Czerwiński Z .. Guzik B .. Prognozowanie ekonometryczne, PWE. Warswwa 1980 Czerwiński Z .• Maciejewski W.. Smoluk A., Zadora K.. Eko110111f'lrit1 - no1/zil!j1·. osiągnirda. nil! doJ'la/ki. PWN. Warszawa 1987 Dom:iński Cz.., Tn1ys1Mys1ya.11e. PW N. Warszawa 1990 Draper N.R .. Smith H .. Anuli~a regreJji s/OJ"OHWW, PWN. Warszawa 1973 Efron B.. Defi11ing 1he rnrml11re of J"/11/iJ·/irnl problem (wilh upp!irntiouJ· to sernml order efjicil!ncy), ''Ann:ils St;łlistics'" l97S. nr3 Ekonometria. M. Gruszczyński. M. Podgórska (red.). SGH. Warszaw;i 2004 Ekonometria. M. Krzysztofiak (red.). wyd. 2. PWE. W;irszawa 1984 Ekmw111e1rit1 i lxidtmio operac)jne. Zng11tbiie11i(I podmm·m1'<'. B. Guzik (red.). wyd. 2. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej. Poznań 2003 Ekonome1rit1: metody i tmtlliCA problemów ekmum1icv1yd1, K. Jajuga (red.). Wydawnictwo Akademii Ekonomicmej im. Oskara Langego. Wrocław 1999 Ekonome1rit1: me1ody, pr•.:ykltidy, zt1dtmia, J. Dziechciarz (red.). Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego. Wrocław 2003 Ekmmmetrycz,ui 111111/iw k.~Zlllf/Vll'lluill się p/af w Po/sa w okre.1·ie trrm.iforma(ji. S.M. Kot {red.). Wydawnictwo Naukowe PWN. Warrniwa-Kraków 1999 Eko11ome1ryc;;.11emodele rynku. tom I. 2. 3. W. Welfe (red.). PWE. Warsz;1wa 1977-1982 fatyn111(j11 modeli ekrmometryc:.11yd1, S. Bartosiewicz (red.), PWE. Warszawa 1990 Freund J.E .. Pods1awy 1wwoc:esnej sratystyki. PWE. Warszawa 1968 Frisch R.. Etlilorit1/. "Economelrica·· 1933, vo l. l Frohn J .. U11/ers11clumge11 :11r CES-Prod11clio11s Fwrktioueu. Physica Verlag. Wurzburg 1970 Gajda J.B„ \Vielorównaniowe modele ekmionu'tl)"CZ/ll'. PWN. Warszawa 1988 Gajda J.B„ Ekonometria 11mkryczna, Absolwent. Lódź 2002 Geweke J .. Comemporary Bayesian Econometrics wid Stmistics, J.Wiley, Hoboken. N.J .. 200S Goldbergcr A.S„ Teoria l'konometrii. PWE. Wars1_awa l97S Goryl A„ Pr,_yc::.)'nek tło wyvu1C::;111it1 ptimmetrów funkcji produkcji CES • .Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie" 1982. nr 18S. Goryl A„ Problem)' n1ymm}i uie/iuion'ej 1111 przyk/111J:ie krzyn'ej logislyc:nej (rozprawa doktorska). Akademia Ekonomiczna. Kraków 1987 Goryl A.. O rrembe logfat}T::J!)W i logislyc::.i1ym pmwie w~roJ·111 • •Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie" l 988. nr 277 Goryl A .. O kr:.ywej Gompertw . .Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie"' 1992. nr3SS Goryl A.. Walkosz A .. Por6w11a11il! wybranyc/1111e1ml H)'::JWca111ia pt1mml!1r6w 1re11d11 logistyc::.11l!go. „Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie"" 1984. nr 196 Goryl A .. Walkosz A .. O ll')'Zlwc:w1i11 parmm•1ró11· krzywyd1 T(irnq11isw . .. Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie" 1987. nr 246 Goryl A„ Walkosz A., Uwugi o wy/Joru, wyvu1cw11iu parametrów i eltwycv10.(l'ifw1h}i popyw • .Zcsr.yty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie"' 1987. nr 246 Goryl A„ Walkosz A„ Zr6init·m•·tl/11g 1nJ6w gospmlarJ'tw clomv111ych . . WiadomościStatystyczne'"1987.nr7 Goryl A„ Walkosz A.. A1111/i:a 1mr6w11m<'t'W wyda1ków i J'J)Oi_rd11 wybmuyd1 ar1rkulów ;'.ywmJ· ściowyd1 w gnqmd1 spolec:.iw-~awodowych w 1985 r.. „Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krnkowie" 1988. nr 277 Czerwiński
[56] [571 [581 [59] [60] 1611 [62]
[63] 1641 [65] [66] [671 1681 [691 [701 [711
Goryl A .. Walkusz A.. Zr6::nicoll'm1ie stn1kwr wydatków gospodtirstw domowych w fatac/1 19731986. .-Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie„ 1989. nr 307. Goryl A .. Walkosz A .. O pewuej mmlyfikllcji kr:.ywej logisryc::.nej . . Zeszyty N;rnkowe Akademii Ekonotnicwej w Krakowie'" 1991. nr 343 Grabiński T.. Wydymus S .. Zdiaś A .. Modele ekonometryczne w proce.1ie prognozmrn11ia. Akademia Eko11omiczna. Kraków 1981 . Grabiński T.. Wydymus S .. Zcliaś A.. Mnody tfoborn zmiennych w mmlellld1 ekouoml'tryc;;nydr. PWN.Warszawa 1982 Greene W.H .. Econometric Anofy si.1. Macmillan. New York 1993 Greń J .• Modele i ::adania J"/atystyki mme111atyc:11ej. PWN. Warszawa 1975 Gruszczyńsk i M .. Kulupa M .. Leniewska E .. Napiórkowski G.. Miary :,godności. metody tloborn ::.mie1111ych. problemy wJ1Jól/iniowośó. PWN. Warszawa 1979 Guzik B.• Ekonometria. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej. Poznań. 2005 Hellwig Z .• AproksymaljastochaJ·tycam. PWE. Warszawa 1965 Hcllwig Z .• Sd1emlll biulon-y prognozy swry.uycznej W<'lotlą wag lwrmonil·viych .,Przegląd Statystyczny"" 1967. nr 3-4 Hcllwig Z .. Problemy op1ymlll11ego wyboru predyktmt . .. Przegląd Statystyczny"" 1969. nr 3 Hellwig Z .. Komro1rersyj11e 1nvblemy eko11ometrii . .. Przegląd Statystyczny„ 1993. nr 3-4 Ho/ubicka I .. Maciejewski W.. Zajchowski W., Amifiw wybmuych n11mżl!ik6w ekrmo111f'/T}"t'::J>1'go modelu gospodarki Polski. KP-218 . .. Przegląd Statystyczny"" 1977. nr 2 Hougaard P„ Porametriwtion ofnon-/i11etifmutltds. ""Journal of Royal Statistical Society„ 1985, seriaB Hozcr J .• Mikruekm11m11:1ria: ana/i:_\'. cliagmJzy. pmgno:y. PWE. Warszawa 1993 Ho1.er J .• Zawadzki J.• Zmie1111ll czasowll i jej rolli wbadmrillc/1 ekm10111e10·ca1ycl1. PWN. Warszawa
1990 [72] [731 1741 [751 [76] 1771 [78] [791 [80] [811 [82] [831 [841 [85] [86] [871
1881
lnuilllgator M.D .. Ecouometric Mmfels. Tec/111iq11es wid Applic111irms. Nonh-Holland. Amsterdam 1978 Jakubczyc J .• letfnorów11a11iowe modele ekonome/T}'t7Jlt". PWE. Warszawa 1982 Jaworski J .. Cybemelycv1e u~pektyfimklji pnxfokcji (rozprawa doktorska). WSE. Kraków 1973 Jen mich R.I. . Asymptmic propertit•s of nmrfil!ear feasl sq11ores estimmors. „Annals Mathematics & Statistics"" 1969.nr40 Johnston J .. Econometric Metluxls. McGrow-Hill. New York 1972 Judgc G.G. and all. The Theur)'mul Pral"lia vfEnmvmelrics. Wiley. New York 1985 Kicin L R .. W>·klmfyz eko11ome1rii, PWE. Warszawa 1982 Kol upa M .. Mewdy es1ymalji modeli eko11ometrycv1yc/1. PWE. Warszawa 1974 Koop G .. 8(1ye.~itm Ecmrome1ric.~. J.Wiky. Hobokcn. N.J . 2003 Kordos J .• Stroińska Z.. Swrysryc::.ne mewdy analizy roz.klatfu ph1c i dtx:hodów lud11ości. GUS. Warszawa1971 Kryński H .. Z:1swsowania 11w1emt11yki w 11aukac/1 ekouomic::Jiych. UG. Gdailsk 1984 Kudrycka L. Problemy i met0tly modelon·rmill eko11ome/T}'CVJl'go, PWN. Warszawa 1934 K ukuła K .. O pew11ych miemikaclr zmian srrnkfllr)'. Sprmro:dt111it1 :posiedze1i Komisji Noukowyc/1 O/PAN w Kmkowic, Kraków 1973 Kuku!a K .. Ekonometl)'C::JUI cmofizo zespo/01rej wydujuości pracy w pr..etlsirbiorsnt"ie pr..t•myslll spiry111sowego•.. PrzeglądStatystyczny„1975, nr 1 Kukuła K .. Propozycjll w zakresie pe11·11ych millrdynwniki smtkllll)'. .. Pnegląd Statystyczny"" 1975. nr3 Kukuła K .. Pr.,estrzem11' lmdmrie różnic w .rtrukturze ;jtlh'i.1k spolecvio-ekonomicviych. w: Me1mly m1/ys/Jca1e 11· bada11iad1 ~po/ecv10- eko11omic:.11ydr. K. Zając (red.). Ossolineum. Wrocław Warszawa- Kraków-Gdańsk 1975 K uku!~ K .. Pr~ł'i:ląd wybmnyclr miar ::.godności l'lruk111r. .. Przegl:td Statyst)'CZrl)'„ 1986. nr4
(89]
(90) [91) (92) {93) (94) (95) (96] [97) {98] [99]
! 100) ! 101) 1102]
! 1031
! 104) {105] ! 106) ! 107) ! 108) [109) ! 110) ! 111] ! 112] !113] (114] !115]
! J 16) !117)
! 118) ! 119) ! 120) ! 1211
Kukuła K.. Swrysryc::1w wwli:a s1ruk111ra/11a i jej wstosowanie w sfer..e usług prod11h')j11yc/1 dla mlnicnm . .. Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie"". seria specjalna: .. Monografie'" 1989. nr 89 Lancas1er T.• A11 l mmduc1ion /O Modem Bayesiau Econometrics. BlackwelL Ma!dcn 2004 Lange O•. \V.uęp do ekonometrii. PWE. Warswwa I976 Maddala G.S. Ekmwmc1rir1, Wydawnictwo Naukowe PWN. Warswwa 2006 Marszałkowicz T.. Mnody s1tup1yc·v1c w brul(lliiach eko110111h·zno-ml11ic::J'c/1. PWN. Warszawa 1975 Me/ody eku11ume/l)'CZne. Pr..:yklody i wdonia. S. Bartosiewicz (red.). PWE, Warszawa 1975 Meiodv mr11emo1ya.11e btufoniri i mwlizy rozkładu dodwdów ludno.fr i ... Studia i Prace Stmystycwc· nr 16. GUS. Warszawa 1%8 Milo W.. Nieliniowe modele eko1wmelryc::11e. PWN. Warszawa 1990 Myn.irski S.. Anali:l1 rynku. PWN. Warsz.iwa 1980 Niek/asycme merody prog110::.o\\"a11ia. M. Cieślak (red.). PWN. Warszawa 1983 Niewczas R.. Stawicki J .. Analiza rozkładów wy11agrotl:e1i w lawch 1978-85. Zmiany pa:iomu pr.,el°i1'myc/1 wynagrod:e1i . •. Wiadomości S1a1ys1yczne·· 1987. nr 3 Nowak E.. Zt10·s m1•1ml eko110111nrii. Zbiór zodwi. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 2006 Osicwalski J .. /Jaye.wrn·.~ka e.1·1y11wcjll i predyklj11 il/li jednorówmmiowych modeli eko11ome10·cz11yd1, •. Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie"'. seria specjalna .. Monografie„ 1991. nr 100 Osicwalski J .. Ccnlł'ft'd 11111/ m.ma1111•ri:d l'lirillure i11j/111frm fi1 c 1vrJ' fvr the OLS e.~timmvr for 11 lin tar fimt"lio1111mlfvr the OLS preiliclion error . .. Ac1a Uni1·crsitatis Lodzcnzis - Folia Occonomica" 1992.nr123 Osiewalski J .• Ekmwmetriu bayeJ·owJ·ka w ;:;1J·tosowtmit1d1. Wydawnictwo Ak.idemii Ekonomicznej. Kraków. 200 I Osińska M. Eko11ometriafi11a11sowa. PWE. Warszawa 2006 Pawłowski Z.. Eko11ome10·cme merody bada11ia popytu konsumpcyjnego. PWN. Warszawa l 96 l Pawłowski Z.. Modele eko11omt'll)"C::J1t' równmi opisowych. PWN. Warszawa 197 J Pawłowski Z.. Niepanmu'll)"CZJJ)' 1es1 na m110lwrelc1lj{-. .. Przegląd Statystyczny"" 1973. nr I Pawłowski Z.. Prognozy ekmwmell)TV!t'. PWN. Warszawa 1973 Pawłowski Z.. Ekmwmnrycvw a11aliZ11procesuprod11kc.1j11ego, PWN. Warszawa 1976 Pawłowski Z.. Ekimome1rir1. wyd. 5. PWN. Wars1_awa 1980 Pawłowski Z.. Elememy ekouome1rii, PWN, Warszawa 1981. Pawłowski Z.. Zasady wedyklji ekonometY)"t·zmj. PWN, Warszawa l 982. Piwowarczyk A.. Rozkflld)' w1·11agrodze1i w lata<"h 1983-1985 . .. Wiadomości Statystyczne' 1986. nr IO Piwowarczyk A.. Ruj;/cidy wy1wgrod:e1i• .. Wiadomości Statys1yczne" 1988. nr I. Piwowarczyk A .. A1w/i;:J1 roj;lflliu wy1111grodze1i :11 wr:esie1i 1987. .. Wiadomości Stntystyczne" 1988.nrlO Progno:owm1ie gos1}{)darcze, mnody. modele. :i:1s1usuwa11ia , pr..yklady. E. Nowak (red). Placet. Warszawa 1998 RJdzillkiewicz M .. Eko11m11e10·cvw ana/iz11 kszw/W\\"ania sir plac pneci1'lll)'c/1 w pr:;emyślt• • .. WiadomościStalystycznc"" 1989.nr.5 RJwicz E„ Piwowarczyk A., Rozkłady wy11agmdze1i wlatac/1 1982- 1984 . .. Wiadomości Stmystyczne„ 1985. nr 3 Ratkowsl-..")' D.A .. Nmrlinetir Regression Modeling. A Unijied Pmctiml Approm·h. Marcel Dckker. New York-Bascl 1983 Rudnicki L.. Ztwos01wmie analizy d)'J'//mJ·ów w ix11/rmi11dr zróYiirowaniti s1mk111r krm .m mptji . .. WiadomościStatystycznc " "J985.nr2 Rudnicki L.. Zró;'.nicul\'1111iu w:vrców kous111111xji ludności roluic~ej dw11zm1·odowej • .Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie". seria spccjalna,.Monografie"' 1985. nr66
[ 122] [ 123 J I 1241 [1251 [ 1261 [127] [ 128] [ 1291 [ 130] [1311 11321 11331 11341 r 1351
[ 136] [ 137] [ 138] [ 139] [ 140] I 1411 I 1421 [ 143] [ 144] [145] [ 146] [ 147] 114!1]
Sadowski W. Eko11omerria . Wyższa Szkoła Handlu i Pr.twa im. R. Łaz;irskiego . Wars z;iwa 2001 Sal!er W.E.G .. Wydajność c1 postrp rec/micviy. PWE .W;u-szaw a 197 1 Schulz H.. The sta111/11 rd error of a furecast fro m a rnne. ··Jourrwl of lhe American Statistical Associmion"" 1930.\'ol. 25 Stanisz T.. Flmhjeji:1bu'j :.mii:1111rj wbt11ltmiad1 i:ku11umicZJ1.)Th. PWN. Warszawa 1986 S1mys1yq i eku11umi:tr_1·ty 1•ulscy, A. Zcliaś {red.). PWE-PAN. Komi1c1 Statystyki i Ekonome trii, Wa rszawa2003 Szcja J .. Ekonometl)"t'V1)" model ko.1·z111 jed110.11ko wego w kopti/11ind1 gr'imolląskich zjed11oc:e1i przemys/11 wrglowego, „ Pr1.cgląd Sta1ystyczny'" 1971.nr 2 Theil H., Eco110111ic Furecnsts wid Policy. Nonh-lfolland. Amsterdam 1958 Theil H., Znsc1dy ekm10111t•1rii. PW N. Warsz;iwa 1979 TintnerG., Tlr1• Deftuitiotr of eco1Jomnrics, ""Economctrica" 1953, vol. 2 1 Van den Broec k.. Koop G.. Osiew;ilski J .. Stec! M.F.J .. Swc/wsticfromier models: A Bnyesinn pl'rspecril•e, ··Journal of Econometrics·· 1994. vol. 61 Varian H.R„ Microecu11omic Anulpó·. W.W. Norton. New York 1992 Varian H.R„ flll ermediwe Microecunumics. W.W. Norton. New York 1992 Waszkiewicz L.. \Veryft/wcja procedur prognuJ·tyc~nych. PWN, Warszawa 1974 Wąsik B„ Ekonome/l)"CZJI// (ll!(l/i::.afimkcji p rod11hji i z.i11irm /ee/wiki W)'/11'/lrZlillfrl "'polskim pr:.e· myśle uspv/u·z.i1io11)'"' w hi/och 1961-1967 (rozprawa doktorska). Akademia Ekouomiczna, Kraków 1970 Wclfe A„ Modelt' p/(lc pr:ecirmyeh w .fferze produkcji marerinlnej. •• Wiadom ośc i Sta1 ys1ycznc"" 1992. nrl2 Welfe A.. Ekmw111etria: metody i ich ::.asto.mll"(mie. PWE. Warszawa 2003 Welfe W.. Ekmwmetl)'CZJ!C modele gos110darki llllrotlomj. PWE. Warszawa 1992 Wclfe W., Wclfe A.. Ekllnllmetrin s/OSOH'llllll . PWE. Warsl
Indeks
Algorytm Gaussii-Ncwwua 141- 143. 150. ISL 238 Ana!izabaycsowskn25
-
mnożnikowa
408-4 l 2
- popytu konsumpcyjnego 314-346 -rynku 290-352 - struktury wydaików 346-352 Autokorc lacja 63 Badanicautokorelacjiresic 74, 75 - - składnika losowego 63-65 - efektów post~pu tec hni czno-organizacyj nego 250-
2'3 losowości reszt 66, 67 -normalności rozk ladureszt 75. 76 - - - skladnika losowego 65. 66 - siabil nośc i dochodów 309 - srnlośc i wariancj i 62. 63. 72-74
-
- l.ll lotcń o skl adnikach losowych 6 1-76
Bialy szum84 Bląd prognozy 170. 172 - średni predykcji 170 - - szacunku40 C zy nn ik losowy 16.17
Dccyle306 Dorninanta304 Dopasowanie moddu do danyc h empirycznych 52.
53 Efcktprodukcyjny219 Ekonometria 13.14 -St'/1.!111/llfgO 14 --stricto 14 Estymacja modeli 36-52 - - wiclorównaniowyc h 392-404 Es1yma1orcfektywny393
- metody najmniejszych kwadm16w (MNK) 393395. 401 ---- wfaściwy39
-zgodny 393-396 Fundusz swobodnej dcc)7Ji 377 Funkcjahipcrbolio:na 117 - inwestycji 381 - konsumpcji381 -liniowa 116 --jednejzmiennej77 --kosztów 261 - - wie lu zmiennych 77. 78 - logaryuniczna 11 6 - logistyczna 11 9, 120 - obserwacji o wartości nic większej nit. ~rednin 305 - potęgowa 115.116 - produkcji 218-253. 378 - - CES 237- 245 - - Cobba-Douglesa 224-236 -- SMAC 237 - -. wlasnoki 220--223 - TBmquista 11 7- 11 9 -- 111 7.1 18.145-151 --1111 8 --lll 118.119 -translog245- 250 -użytennośc i 375
--Stonc'a--Gary'cgo376 - wykładnio.a 11 3- 115 - - z odwrot nością 11 9 Funkcje popytu makroekonomiczne 316-326 - - mikroekonomiczne 326-346 - wydajności pracy 253- 260 G raf.krawędi39 1
.„ - -- klasycwa (KM NK)37- 52 - --nieliniowa 140- 145 - - - podwójna zob.Metoda najmniejszych kwadrntów dwusmpniowa - -- pośrednia 399. 400 H ipcrpłaszczyzna37 - -- uogó lniona (UMNK) 79. 80 Hipotciy dotyczące pojedynczych parJ111ctrów -pojemności informacyjnej Hellwiga 29--33 strukmral nych56 - wag ham10nicn1ych 190- 194 - - układu współczynników regresji 55, 56 - wskainikówsczonowości 195 - wyrównywania wykładniczego 186-190 ldcntyfiko..,,'lllność,warunck k(Hli«zny399 Miemikidokladnościprogn01;t_rt1111e 17 1 Ind ywidualna pojemność nośnika infonnacji 29 --- expon 172.173 Integralna pojemność nośników i11fom1acji 29 Modalna (Mo) 299. 304 lzokw,una222 Model dynamiczny 18. 19 -ekonometryczny 14. 15 Klasyczna metoda najmniejszych kwadrn16w - - .dctenniniscyczny 17. 18 (KMNK ) zob. Metoda najmniejszych kwadra- - - . ciapy budowa11i:1 20-22 1ów klasyczna - -jednorów nani owy 15 Kla.~yczny model regresji liniowej 36. 37 --stochastyczny 17 Klasyfikacja modeli, kry1cria 17- 19 - - wiclorównaniowy 17 Kmm krańcowy 260 - G- równaniowy 376 Krańcowa smpa substytucji czynników produkc;:ji - - wydatków 376 222 - jednorównaniowy liniowy 26-89 KrtywaEng la 327 - komplctny383 - Jogarytmiczno-nonnalna 290. 300-308 - liniowy 18 - nom1aln:1 290-295 - nieliniowy 18 - Parc10 290-295 - . postać strukturaln a 27. 383. 386 -popyrn328 - . - strukwralno-sc;uystyczna27 Kwantylc 299. 300 - - zredukow:111a383--387 -.--bczrcstrykcji 388 Liniowe modele wielorównaniowc 375-412 -.--zrcs1rykcjami 388 Liniowy system wydatków (LES - Lintar Expemli- - prosty390 f/lre System) 316 - pnyczynowo-opisowy 19. 170-177 Logisty1:zne pr.1.wo wzrostu 151 - rcgrcsjiliniowej26.27 - re kurencyjny 390-392 l.ączna pojemność nośników in formacji 29 - rynku wstanie równowagi 379-38 1 - - - - - dynamiczny 379. 380 M aciendiagonal na389 - - - - - statyczny 380. 38 I - mnotników calkowicych 410 - statyczny 18. 19 - nieosobliwa 384 - symp1oma1yczny 19 - prawdopodobieństw przejścia 309 -1cndc11cji rozwojowej 19 - równoczesnych kowari:incji 388-390 - trendu z walrnniami periodycznymi 194-202 - wariancji i kowariancji ocen parametrów s1ruktu- wielorównaniowy. postać końcowa 408--410 rnl11ych 40 - - . wykonystanie 405-408 Mediana (Me) 300. 305 - wspólzależny 390-392 Metoda anal izy grafów 33- 36 --. idcntyfikowalność 396-399 - Cochrane'a--On::ulla86 - zupclny383 - grafu zob. Metoda anali zy grafów Modele adaptacyjne 186- 194 - m punktów 143 - gospodarki 381, 382 - msum 143 - kosztów 260-270 - najmniejszych kwadra1ow (MN K) 392- 396 - - calkowitych 260 - - - dwu~lopniowa 400--404
- powiąt.ari mi~zy zmiennymi 34 ---- spójny34 -skierowany391 -,wicr1.chold:39 1
'"""'
485
- - jednostkowych 260
- liniowe względcrn paramctrow 122- 129 - nieliniowe 113- 156 --ki~le 139- 156 - - względem zmiennych i paran11:1rów 129-139 -produkcji218-220 - rozk ladu dochodów 290-J 13
- tendencji rozwojowej 177- 185 - transfonnowalnedo postaci liniowej 12 1- 139 - trendów jednoimiennych okresów 199-202 - wydajnościpracyindywidualllej253 ---ze.~połowcj
- rees1ymacja2 l -specyfi kacja 20. 2 1 -weryfikacja 2 1
- Kołmogorowa >..296
- serii 66-68. 71
Occnypunkto we4 l
-Shapiro--Wilka1V65.69.75 - zgodności x2 295, 296 Tcs1owanic parametrów st111k1uralnych modelu 5361
Odchylenie standardowe 40, 295. 304
model rynku 380
Parabola 116
ParadoksGiffcna3l5 - VeblenaJlS Parametry regresji zob. Par.11ne1ry struktur.line -strukturalne26.383 Pod graf spójny 34 Postać analityczna modelu IS ---.sposób dobierania 120. 12 1 Prawo malejących prlychodów 221 - ro1.kladu dochodów 291 Predykcja 169-202 - ekonomeuyczna 169 --, warunki 169 Prognoza 169 - przed;dalowa 169. 172 - punktowa 169-171.406.407 Progno;o;owanie na pods1awie modeli wielorównaniowych 405-408 Próg rentownok i 262. 263. 266. 270 Prlcdzialufnok i41 Relacja mi iydzy czy nnikami produkcji a
produkcją
220
e,
Reszty 37 Równani e jednoznacznie identyfikowalne 397 RRF - Res1rie1ed Rt•d11ced F<1n11 388 RTS - Retum to Klllr. 221 Rząd (stopień) wicr1.cholk a 34 Składniki losowe równoczesne 383 Stalaregresji26
Średni błąd predykcji 171 -- prognozy upml 172 Średnia295.3Q.l T eoria firmy 377-378 - konsumenta375-377 Test Durbina- Watsona 64. 68. 69 - G-Oldfelda iQuandta62. 72-74 -Hellwiga70. 75
253
Modelu es1ymacja (uacowanic) 21
Pajęczynowy
-wygladzanial87 Stalystyka F55,56 Subs1y1ucjaczynnikówprodukcji222.223 Syme1ria28 Sysicm trójk;imy (trim1g11larsys1e111) 390. 39 1
Toi.samośćbilansowa 38 1
Trendlogistyu..ny 151 - 156 -pe lz;ijący 190. 193 Twierd zenie Gaussa- Markowa 39 Układ sprzeczny398
Uogólniona
metoda najmniejszyc h kwadnuów (UMNK) zob. Metoda najmniejszyc h kwadratów uogólniona Uogóln iony model regresji liniowej 78-89 URF - U11res1rk1etf Retfllet>d Fon11 388. 394 W ahaniaperiodyc:i:nc 194 - pr1.ypadkowe 194 Wariancjapredykcjil'xmllt' 171 - resztowaS'!40 Wariancjiheteroskedastyc:Gno~62 - homoskedastyczno~ć37.62 - jednorodność37.62
-
niejednorodność
62
-stałość37,62 Wartościteorctyczoc37
Warunki poboczne 398, 405 Ważona metoda najmniejszych kwadratów (ważo na NMK) 8 1-84 Wektor składników losowych pm;laci strukturalnej 388 Weryfikacja modelu 52-76 - - merytorycma52 - - srntystyczna52
- statystycznej istotności ocen parametrów strukturalnych53- 55
Wyrazwolnymodclu26
Wiązkamode!iregresji388
Względnybłądpredykcji171
Wielomianstopniadrugiego(2)116.26 1 --picrwszego{l) 116 --1mciego(3) 116. 117, 261 Wicr1.cho/ckgrafuizolowany34 Wnioskowanie o liniowej funkcjiwckmraparamctr6wa57 Wspólczynnikau1okorelacjin1=du r 63.64 - determinacji R24l.52.53 -- zrewidowany53
--- expost 172
- elastycznościsubstytucjirJ223
- ham1onicznyw 193 - Hirscha258- 260 - koncentracji Lorenza L 305 - rozbieżności Theila 172. 173. 189. 190 -skośności A 305 - zbieżności (indetcrminacji)rp 2 4J.52.53 - zmienności V 305 - - resztowej v~ 4 l. 52. 53 Współliniowośćzmicnnych28
Wygładzonyszcregczasowy
195
Zakłócenie losowe zob. Zmienna losowa Zmienna endogeniczna 15 381 - - łącznic współzależna 381 - - opóźniona 381 - lm;owa 15. 17.26 - niezależna 15 - objaśniając.115. 219 -- bicżąca(nicopófoiona)
- objaśniana26
- oderwana 395 - z góry us1alona381 - zależna 15 -zcro-jcdynkowa31 Zmicnneobjaśniajqcepo1c11cjal11c26.
- - . wybór 27- 36 Zwiqzckdctcrministyczny 15 - stochastyczny 15
28