Hoffmann T - Elementy mechaniki technicznej

Tadeusz Jan Hoffmann

Elementy mechaniki technicznej dla studiujących zarządzanie i inżynierię produkcji, zarządzanie i marketing

Poznań 2002 • Wydawnictwo Politechniki Poznańskiei

2.1. PlawaNal,_ 11J; 91 5

Ił

i

.„-...

i „ ....„„.„........„ .........„.„„„„........-23 I a•aMniaewgiimeclwaicznej„.„...„„•. 25 2.4. Moment...,_.,....,__, ukWu mmriatnego„.....„ ........ „ ....„„7:1 2.S. Pfd uklMu m I ' k 90 „.„-...„„.........„...„„.„„„„„... „..„„......„......„29 2.~. Moment Pfdla uklllda .._illląo, lmsOI' momentu bezwWno6ci ....... 30 rf. Energia kinetycma uw.du materialnego, twierdmtie Ktiniga .......•....••. 33 2.8. Redukcja układu sił clzialaMcych na bryłę szt)'Wnll ····•·····••···•·•••••·••••••••• 3S 2.9. Dynamiczne równania ruchu bryły sztywnej ........................................•• 38 2.10. Zasady zachowania "'8u, momentu pędu i energii mechanicmcj dla bryły sztywnej.....•.•..........................................................................•. 40

2.2. Praca, lllOC, . . . . . . '

2.3.

5

Potencjal8epo1Mił.S

.--.-...-·-·-····-··-··-·-··„·····-·-·····-·-

1 Slatyb „„•••„„„-. 4Z 3. J. Warunki i równania równowagi układów sił działających na bryłę sztywną .................................................................................................... 42 3.2. Siły czynne i siły bicme-reakcje ........................................................... 44 '3.3. Oddziaływania wewnętrzne ..................................................................... 46 3.4. Równowaga układów brył sztywnych ..................................................... 47 3.5. Układy statycznie wyznaczalne i statycmie niewyznac7Jllne ................. 49 l>odlłek Elementy rachu• wektorów i tensorów „„.„.„„„„„.„.„ „.„.....„„„.... „. S1 ............„ ....„„..........................„.„„...„ .... „„„.„„.„„„„...„„„„„.„„... „... „.......„.58

PRzEDP.towA

Skl)'pł P<>"'slał z myśl · . czyh zanądruni„ i /11z 1" o Slud1uJąC)ch S)ntczę lll~za lllnk1 bardzo P<>pula }li <'rt( procJ„lccj1, "zględnic :anąd. kursu mechaniki I rne na U<'zeln1ach lechnocznych. Odb inżyniersku~ Auto~'::•c,zncJ dla sludiująqch budo"ę m techniczne .Ra ra . się przedsta" "' I) lko na.i"ażnicj do m) prLcz odbiorców • anoa cfcll)" ncgo kompromisu w doborze skryptu (116\\n)m celem b)lo przcdsta"ienie podsta" m. . . . . pomoc11 motl1\\1c naJpros1sz)ch ma1ema1\cznvch ma w zakresie rachunku rótniczko . I CJ• "_•el.u znucnn\ch oraz z rachunkiem "•klorZ I ra. I akie \\arunk1 spcln1aH Jut sludenci P••rns-.o "*1a klOl)ch Jes1 przeznach skl)plu b)lo przez CZ)tcln1la dalszydi s1ud16w lneraiurow)ch. l.11crJlura przednuo1u 1es1 bardzo bopim,J-...:111111 opraco\\nn na eleme111arn) m akademickim poZJom1e

P<>s.zuk~...

ksoążl.1 .zakreślone

krąg

środków elementarną oncmacJę zetknął się na1częscoeJ możliwe podJęc1e

J ckli czytelnik po przcczytamu ski) piu zrozumie. !c

są dwa Rlliy w~

bl)ł) SZ.ł)'\\nei ruch ogólny bl)I)' Jako superpozycja nica-,.. ...... _ stępo\\ ego 1 chwilowego obroto\\eg<.> oraz redukcia układu Iii tf 'Js;Ao ce

bl)lę

głó\\ncgo,

do \\cl\1ora glówncgo 1 momenlu a oba filary._ a' ' m1miczn> m1 rown.1n1an11 ruchu lącz.1cvm1 prz,,czyny 1 sku1ki a le ma "Pl)w na postać rownań rO\\nowag1, 10 autor osiągnął cel,jllii IGlile pisząc tę ks1ąt.kę Mo.te b}~ ona także msp1nCJą do samod11oln,di . . . . rzając}ch horywn1 mechaml\1 .,;zy mnCJ d)'KypJ.n) ( Z)1clnilloni . . . . . . .1111 mcdosy1 w czasie lek1ury mmeJ>ze1 ks1-1żk1 można polecić •„lllilłlll ł:fecham!cę B.mJgólnr l unca 1 Suma"sl.10f0 1>e.ltoróii 1 tensorow k..im~J.:1c\\1cui Ro.>wnc'<:zcśme mn1ei 1elnikom zaleląllu

8

9

t.l. Postulat sztywności br~·ly i określenie jej polożenia ra

Część (lub całos~) ciała fi~)czncgo ograniaoną po~vic~~chnią 1anikn.iętą S, któ. wyznacza obs1,u '' objęto~CI \', ~ędz1cm) naZ)"ac b1}/ą. R~zwazac będziem

bl')łę" kar1Cljańskim układzie \\społr1ędn)ch {x, }, . co przeds.taw1ono na rys. W do\\olnic ")l>ran)l11 punkcie br)ł)' "prowadzuny drugi ukl.ad współrzęd. • } z obvd"ó.;h układó" popro\\adz1my wektor) połozen1a do dru . h{ ~x, . ~ do\\ołme ")branego punktu.

1.{

Aby uzyskać mo1liwość analitycmego obliczcnoa sumy \\Cktor6w (1.8), musimy określić rdację między wektorami JCdno~tkowymi 1. obyd\\óch baz. Zakładamy, tl: długość jednostkowa ie, I= ;c;\ ~I 01nac1.a to samo w obydwu układach współrzęd­ nych 1 dochodzimy do wniosku, i.c ba1.y {e,} 1 {e~} mogą się różnić t) lko W72jcmną orientacją. W takim wypadku relacja międl)' wektorami rómych baz musi w) razić się wektorową funkcją liniową (patrz w Dodatku)

e; =fleJ


Jak wiemy z Dodatku, Jest to

związek

tensorowy (112)

e~ =a, 1eJ,

gdzie zbiór wielkości

a,,

tworzy tensor drugiego rzędu

a,, =coslx;,x;), Wśród dziewięciu kątów

i,j= I, 2,3.

lx'..x,)

(1.13)

tylko trzy są nicz.alezne. W mechanice brył)

sztywnej istnieje wiele sposobów wyboru tych trzech niczalcznych kąt~w. Wiele dyscyplin szczegółowych dopracowało się tet własnych metod pozycJonowan1a bryi, np. astronomia pozycyjna, nawigacja lotnic7,1, nawigacja morska itd. ~ajbar­ dziej rozpowszechniany wybór tych trzech nie1ałc1nych kątów pochodzi od Eulc· ra. Przedstawimy go na rys. 1.3.

x, X,

Rys. I 2. Określenie połozenia bryły

Na podstawie aksjomatu o do
x =x0 + x'.

(1.8)

Wprowadzamy wektor x· łączący dwa dowolnie wybrane punkty bryły i zakłada· my, że dalej będziemy rozwazać tylko takie procesy fizyczne, w których będzie spełniony

warunek

x, (J.9)

lx1 =const.

~arunck te~ będziemy nazywać pos1ula1em sztywności bryty. Nie mot.na Jednak pominąć faktu, że wektory x i x 0 są dane w układzie wspól

rzędnych {x, }, natomiast wektor x' w układ/.ie{x~}. Obydwa układy wspólrz~d­ nych mają własne odmienne bazy wektorów jednostkowych

{e,} 1 {c~ }:

X1

(J.10)

R)S I 1 1-:~t) Fukru

10

li

:\a p.x!st:m•~ "zoró11 (I Sl. (I 10) 1(l.12) moicm) napisać

,

,c

, (: +,'c;-' e +\a.c.

(I 14)

"o „tan<'''' ,a.n3ht,i.:zn:t_ ~„,tat 'lim~ (1.8) \\\fa;oną " podsta\\O\\)m u~tad1ic 11 ,pó(l7cdnych . . lagJdmcma on.:nt..i~J• przc,tncnnl'j b~ I) stt)" ncJ. bardzo _istotnego " \\ iclu dz1cdz111a,h, me l>>dz1cm) tu dalej (Ol\\IJac. ze "zględu na P"YJęlc ram) skr)plu

Jntcrprctac)'I li1yc1ną tego warunku Je t stałość kicrunk w układ w pólrz.ęd nych 01na.:zonych pnmem. lnaClcJ mó" 1ą" r"'h po llJ'!"'Y t taki ruch bryły stly.,.,ncJ," którym oncntacJa b')ly me ulega zmianie \\ ruchu ro•tępo\\ym zbiór lmi1 d11ałama \\ck• ra x' w k le n h hv. lai.;h cz.a 50\\)Ch stano\\11bi6r prOSl)Ch ró\\ >olcglych V.arunek ruchu post~po„c ma "Pl)" na W) nik obhc1enia prędkości ' - x = xo

'o.

W ruchu postępowym prędkoś"1 d\\OCh dowolnie wybr , pu kt !:<)ly y,'SI;.> zywanych przez \\ektory x 1 " • są w danej ch\\th sobie r wnc Oznacza te

zp„;sku ru.:hu br,l) "'~"neJ będziem) opisy\\aĆ " . ramach prl)jętych ju, rcgul, CZ) h zi1
ruchu postępow)m b')I) sztywnej \\art śc1 prędkos..1 „~ro.och bl)ły są" danej eh\\ iii sobie rć\\ne Przrp1eszenie

(1. 16) ponie\\a/" uklad11c tym przyjmiemy stałość kierunków osi i co /a tym idtie _ 111ezm1ennosc " czasie \\ektoró" bazy Zakładamy przec1cz nieruchomość tego układu \\spólrzędn) eh Jako układu odniesienia. Z kolei'' ukladlle oznaczonym pnmcm przyjmiemy

( 1.17) Ze wtglę~u na przyjęty wcześniej postulat szty\\ności bryi) współrzędne X: me mogą zm1e111ać się " Cl.asie. Zmiana " czasie pnmowych wcktorO\\ bazy oznacza zmianę" czasie k1crunk6\\ OSI układu \\Spólrzędnych oznaczomc'l pnmcm. ina· czeJ mO\\ląc 01nJc1a obroty tego ukladu. • Prędkość bry ly s1tywnc1 obhczy'l1y ,3ko pochodną czaso\\ą \\Ck tora '· na p0
(I JSJ

gd11c wykOrt)slano l•n10\1ość pochodnej . Następnie wpnmad11111) nJ01cn1c ogrn 111 c 1a1ą,cc

I

=I, 2, 1

( I 19)

„

tej

dv

co oznacza. że w ruchu postępow) m "artok1 pl'Z)sp1eszcnia wszystkich punktó„ bryły sztywnej są sobie ró11 ne. Przykładem ruchu postępowego bl')ly ,zt)'\lncJ może J:o)Ć ruch wagoml.a !;ar.uch zwanej diabelskim młynem. gdzie stalą prom1c1110\\ą onenUcJę "agomka " prze· strzcni zapewnia siła grawitacyjna.

1.4. Ruch obrotowy bryły szt) \I nej dookoła \!alej o'i Ab\ opisać najproslsl) ruch bi) ly S:zl\'\\Tiej. po1cgajl!,C) na zrn1an1c .irtentxJ•" pr1cs1rzcn1, pr0Jmiemy ze \\cktor '•-O. czyli że układ) współrzędn1-ch oma· czonyc'i ' nieoznaczonych pnmcm m•Jll współn\ poci.ątek. oraz te ich oste X poKl')\\aJą się Q; obrotu brył) przcchodll przez CSIC X JCj stałOSC US

x:

'")raza się" \\arunku

ej

I 21

„o.

\\ plaSIC7) i.nic {'· ) } uklad oznacZOO) pnmcm 1cst obr0<:00) o \.ąt cp Q{t \

tzn

(,;, x ) (,'. , ) = qi(t) Zgodnie Z I) mt ulotcmam1

' '

Na moc) postulatu s7t)\\llOsci br~ł)

nas1e ro,\1a1ania, tzw ll'ltr1111ek ruchu po.1towweKo

„

a-dt~,·=,o=Xo=ao,

(I 15)

Zastanó\\m) się, 1ak mogą realizować załezność od czasu czynniki po"yzszej sum) (I I5). \\ układzie nieoznaczonym primem

\;

dx dl

"t)11l rn~'lu

(! 24)

* :li

, 1 wicku pra- Newtona najczęściej Sil formulo.,.

-..--·wildamo.

illllllll•'IL ~ ClllC kinematyczny opis ruchu z jego ~

Ile tymi przyczynami Sil siły działaj~ na~

~ Mliforowe modeluj\ oddziaływanie ciał materiał..,_

Ila , ' $ - lub bliskozasięgowe) oraz oddziaływanie p61 • (11111 dlJekomiegowe). Pra- te mają charakter apri~ 1 ~iem motna je tet nazywać zasadami. PolQlla.

„1111...•...,_..prawo. _ dolo

nie rozwijając dyskusji terminologicznej (S].

-J*ll lłO ciało nie działa tadna siła lub działa układ l'Ó1llllOo IO p«01taje w spoczynku lub porusza się ruchem o atalrJ

.iWJ„....JdMJ•*"° •iAllllllla-

ciało działa siła. to ciało porusza się ruchem /1"17 'fllf"WI proporcjonalnym do tej siły, a odwrotnie

• ..,dllla. -}*li dolo A dnala ciało B z pewną silą, to ciało B ~·"*"iąt:4 indlvt t.j - j prostej, równą co do

"°

'padek" polu 'H) drih.o'd '~ o'rodh.u pr\·dl..ośd

\t:l\\

i:,j ;tn m op1; •. propon.:jon·il • . "'
Pr2)1m1c'.'l}, że oś współrzędn)c!i Jest sk1erowan3 zgodnie ' prZ)Sp1cszcnic 111 Z1cmsk1m, s1la oporu zaś przec "me

r = -sx.

-sv

(2.6)

\\ arunk1 początkowe pll)Jmiem) " posb.:IJcJnorodncj:

~ (1 a

V

C "')

\lotna 1A1uw;1'yć, że dla czasu I -> • obllCZIOM ~ (2. 4 ·wanosci g/a. W rzttzyw1stych "'al'llllbch ....,_, ruchu Jednostajnego Jest skoncz.on) (wcale nic n"""""c- ~ . . . . . . . 0gramc1.cma zastosowanego \\ZOru (2 6) z uwap na siAc drogi pnebytcJ od czasu 002ymamy po W)'Dl8CalllU C8lki

n',- - .....

°"°"' .......r-....

t-0, x(Ol x(0)-0 Dyn.inucLnC równanie ruchu

mv=mg-sv

Otnymamy

(2.7)

Podzielimy obyd" 1c strony równarua przez m, wprowadziwszy oznaczenie

w wyniku czego:

a -s/m.

x-!t+JLe .... +C 2 2

Otrzymamy

a

dv v - g - av, lub to SJmo zapisane maczeJ - = g - av. dt

(2.8)

W pow)zszym r6"1!aniu mozna dokonać rozdzielenia zmiennych i obustronnie

Następnie

0 o-!o+JLe" +c„ 2

a

całkować

z=g-av.

(2.IO)

Z w łasnośc1 logarytmów lnzC1 =-at

(2 I I)

Na podsta\\IC defiruCJI logarytmu naturalnego =e

„

(2 12)

stalą C 1 wyznaczymy Jak Lwykle l warunku poc141kowego

(g-c.tO,C, gC1 =I,

e ao,

C1

I g

a

(2.9)

ze skutkiem

ze

a

c, --Ą-.

f g ~„fdt av lnz+lnC1 =-al,

a

W)'Znaczymy stalą całkowania

er

I ( .., )l x-..
a„

„

„„."'.tJ

Ruch punktu materialnego pod ...,.._ 111111114 harmoniczn' Rozwata,;,) punkt materialny o • ... 2 2 1t nalnej do "YCh) lema z poł<>Unia 16waca„ J ·~ 'amcJ prostej:

!

f

(2.13)

a

Rozw iąznnc zagadmcmc 1cst w)'k~ do ... w spółczynmka lepkości cieczy

s

1-x

l{ówna111c (2 2'7) przcptu.emy 1. wykon.,_ r a l\,

Ol\

x

co prLcp1szcm), pam ętaJąc o dcfo11cJ1 prędkosci

x +w'x

r~ •

(ltrzymana postać rozw~ta JCll zw..-1. ~--·· montuncgo, gdzie r nazywa się ....,,...... e ,,........ ....... fonq W teorii układów drpj~ch•JClllC&..,_,..• M>Jdcl matcmatycwy chankteryzu~ UC ~ nidlll >0ezątkow) m1 r:'>" nania (2.22) JCll uz.ywmy _,,_,_ . . . . . . . . l'c\\lia 1ic1ba ugadnień tcchnicmych dljc lit all'' 0 c ') m pud..onam) się poniuj

k

O.

nan u uneo&+reo&a.eo1•

..._iijli

1

t-0, Zgodmc z tconą ró\\nan rótmczko\\\ch "')ClaJn)ch drugiego r1ędu rÓ\\ llaiii'c .

(2 21 )

m~ roz\\tązama

~

postaci:

"'Asmc.>t + Bcoswt •

(2.231

•G

Ruch Cló\\tki naladowaaejw 1...,._,~„~===~ Będ11em) analizować elektron o masie m SCiiiillfll się z prędkością początkową vo(voi. v.,. 0) ........, w .._. W 1 pole rndukc11 magnetycznej 8 (0, 8, O) PrriJIUJICIY ...illits•...„ill!ł•~

t-....... .....

1-0.

f1~•;) stale call(o\\ -1a A, B należy wyznacz) ć z warunków pociątkowych ró" nań

x 1(0)=0,

x,(O)=O, x (O)•O.

x 1(0)= v.,. ii. 2 (0)= v111 ,

AsmO+BcosO=B

(2.24)

Ab) \\')znacZ)~ stałą A, obliczymy pochodną "zględcm czasu / równania (2.23): x 1

Awcoswt - Bwsm wt

0 ) namicznc rl-\\11ania ruchu~· n111ą1Pi•llllr­

mv ·

Pełne ro:rn1.i_zan1e będzie postaci X

(2.27)

mv, ev 1B.

(O

PoW)ŻSZC ro:rn1ąz.an e bywa c..:ęsto przcdsta\Hanc w je.zczc inne, forl"'C. \\.pro wadzimy nowe w1el!.ośc1 r,a

r SIO (l,

(I)

~ <0Xo

Iga,

Xo

(l

rcosa.

~v,B,

mv 1 O,

=~sm Cllt + X4 COsCllt

VV,

r

t;~· . +'

Rol\'

1ą111me

X>

l'ozostałc

Xo ' (2.28)

równania (2J2)a

z --·

maną post3ć ruchujeclnoll9,inllD(O ...... V1121

r6\\ nania (2J2)

~ .....

zwy~zaJn)lh

arcrg v, (J)Xo

(0)-0

:J« '"'

r-.-x•=1~ ~

(2.25)

(2.26)

&

Siła I.orcnva dzialająca na cl451kę ~w „1•••1111!11•111

podstawtm}' właściwy wuunck początkowy v "'AwcosO - BwsmO- Aco.

„

•

el

„

22 R..iz"1ątcmy go przez pod""tszeme rzPdu r6\\nan1.'·• <)bi"iczmy 1>0chodna ' ' d cm czasu z r6"n.mia 14) 1 ~

cz

V

{J)V 1

„.,01• "

"•

(2 1~ 1

Po podslJ\\ICmu rÓ\\nam~ l2 14h olrz)mamy·

o.

(2 '6)

R6\\namc (2 16} JCSI z formalnego punktu "1dzenia typu oscylator harmonictn 1 co lat\\O sprawdzu~. musi mieć roz,"ązan1c: Y'

(2.37) spclniaJącc: \•arunk1 początko\\c rÓ\\nania

(2.30) i prowadzące na mocy równa

(2 34) do postaci·

n1a

V, =V 01COCOS mt.

(2.38)

które da się clemcntam1c scałkować v, =v 01 wJ coswtdt=v 01 sin rot.

(2.39)

2.2. Praca, moc, energia kinel)CZRB

:"astępnie przez kolejne całkowania otrzymamy współrzędne:

v 01 coswtdt =

v~1 smwt +c1,

Xi= v3dt=v01 Jsm(J){dt =

v~1 coswt +c 2

X1 =

Jv dt -

J

J

(2.40)

Rozwa1.amy ruch punktu matcnalnc:go w kanQJańslmn uki.dzie ąlt .... nych pod wpływem zadanej sil) \\ ch\\1h czasowej t polotlenie pllllklDJllll.,.... ne przez wektor rrue1sca ~. w ch\\1h t + dt zaś pnez wek1or m!CJK9 a+& tuację powyższą przedstawiono na I) s 2 I

x,

Z warunków początko...ych równania (2.30) obliczymy stale całkowania.

O=c, 0--~+c2

(2.41)

(I)

Ostatecznie otrzyma my·

x 1 -~sm(J)I,

w

(2A2l

x, =!uc1-coso11J. (I)

X1 Ry> 2 I 7.m111n1 wd
f

\ 1 li praca Jest d

<2-441

I unl..cję p•

ana~

2m

T

naIY" amy •ntrg1<1 l111el}'
(2431

Os1a1ccm1c więc otrzymamy

dl ef dl

!246)

dt

\\ t.:
pr.i.:aJCSI do O

L•

I :\dl.

·3 i. 0 call.a po czasie bi'-i·niaJ ' <

L

111=4 i_ 2m

dT

\\ zór (2 ~ \) op1su1c r6'łno"atn , procy - lotlaJWJ -Jii illl•811!1J. tn1crpreuc1a firyczna jest następuJ'ICł' lf' łard)iM _.., ~ zasadą /\'eM tona) doprowadzoną prac(

moc)

energią

°""'f""Jn.y .J* .....

kmef\enq

(2.47)

l kursu c~n~J fiZ)I.• "1cm). że jednostką prac) jest I d1ul ( 1 J). jedn~ moo I "Jl (I \\ -l J I I ''· .la~mJJIII) srę pncz ch"ilę nad pracą elementarną W)ra10nąwzorem ( 2 .44~ l'on~"az sil3 r ")°''oluJc ruch. z~odme ~I~ zasadą Nc,~tona, u\\zględnimy to" l)m wzorze las;Jda :\e\\tona da1e się nap1sac" postaci rozntczkoweJ:

(2.4&)

dp~fJt

J>omnC'~m) skalarnic obustronnie tę różniczkę. korzystając

l

prlClnienności IJllO.

ttrua skalarnego·

_!_ p dp- r •dr, III

-'!. ~" m

(2.49)

2.3. Potencjalne pole sll. z.u.da~ /'o/em siłowym będziemy naz:ywK, IFdBie

„ w...,. ..... „...„.„ ._„

,...ie....,_

r = r(x1, X2, x,). ( f (a i

•dl" dl wyn1b.14C) z defimc;1 prędkości pozv.ala napisać ró\\namc (2 49) " nowej poa:i: I

m

r

d.t - dL

l.c'l>a strona równanta (2 ~O) w przybliżeniu mcrclaty\\1sty~.i:nym oraz dl1 sułeJ masie daje się napisać

~p dp 1~:)

taką.

eillt

z wi:•'lll'llllJ„111•••

"icn obSI.ar przestrzenny, w któcym ~lity z..,.i „111...111!11 "ych mogą być: pole grawitacY.Jne, poleelellll,Dla uproszczenia zal6tmy, k n>zwaDne pola . . . . zalczne od czasu. Aby przekonał soę, czy go działają siły, nalcfy umidcit w c:illD ....... . "o"ać skutki (tzn„ czy_..,.,..). . . . . . gra" itac)'.jncgo, ładunek e~ nego, dipol magnd)'Cmy - ~pola 911... domie pomijamy siły ,;.trowl) W ogólności pole siłowe nm

Iloczyn

- p dp

-.a ••...lllllllllililrl~"~

te

av

f,--~· l

gdzie operator nabla. jlk

v„

....._a

te av O•H-l 1

I

ft

„....

. .,„

~-

. . . . ~ ob~iow' z funkcji ~

--=-~ li• /,.V• ollJllC*i> p•,,{ll)

dV=dx 1dx2dxl.

V

= _,,., . . . „ .....,,..., •

flłldl _.,.id ~ _._, wtedy mówimy, i.e bryła SZl)'wna .ielt

......

_,,., ...... ...-fia1Dcgo zdefiniujemy jako wielko~ punk1ów określimy jako sumę iloczynów 11111 i

··t„„

,..... _,,.,, 111y1y szaywnej zdefiniujemy jako całkę objętościową

··fp•cfV.

„ ............. V

W!bmje bietllCY element dV, względem którego "-•. . . . - - - wykorzysWDY ideę dwóch układów ws ilfil~•~ pozwala.i~przedstawić każdy wektor

••„..„....-..: i=l,2, ... n.

r„

„

p.s

1.~.1

'2 Ea

IO Upt 11l3'1<'llO")

..

\ .

(281

L m- x. •

\\ po"ytsLych \\LOrac~ \vyiątk""' •»Użr: ko zg~, c / urno"'•\ sumacy;ną. Osiowe "'"~'"'" he7\\ ladnośc1 będą postaci

1

powtarU}\

~ 1rnkr

IC

i.:

k

k \ .

L,,, 111

E

·I,

J~ u, ~m.

l

1

~X

•'),

2 93

Mot 1 zau\\aż)•. te sumy k"adrat " wspolrzędn)•h '" «"' ~" olreślclliKh os1ow)~h momcnt6\\ bcZ\\ladnośc1 5' miarą l..wadra odlcg od dmie.i (cle„- otu ('Tl łut masv m J

+,,kim.

I, ~·dm.

(X ,,

Cl91

2.7. I neri:ia klneł)C7na układu malerialn~o. hlienlnllWK6Dlp

J(x' t\; }Im

„

I ner··~ kmc'.)CZlll\ układu matc1talnc <' m "m) rozpoczynaj-' od~ lizo" - .1 ICJ "''"'I.os.. dla bi)!\ sztrnnci ponisza~J się Ndleftl~ .._..

"'e I ,I

g1ę kmct) z .\bryi) sztV\\OCJ zddinou cm) \\tJJttm

r " be •\\bdnośc , motna m~ntu bel\\ ładocdc

r~Jk

k "ym 1

:f

vv Jm

t-f\I\ m"\\ J \\ " V

1ru (' 80! \'

+[

~ f' r

1Jm

w.--„ .....dZlllWlll

siły inentu siły

rtkteNlll

W...-11111•1111

Jcteh w punkcie . . . . IJIO/Mntem sUy ....... iloczyn wcklon>Wy, m=sxr, I I ,,. „•• s.• +-o>,o>, 2

(2.98)

r.i.cta 11 przypodkl ......,_

&a,_., „..,.,......... ..,.-.I _.,.y sWoSC _ . WlbDr ..,_y

i(My ) O. ....., „ ... ,..-.ilk rudl

pędu, momentu pędu i energii mechanl

•

w

m

„o .o

„o „o

„o

„o

=0

„o

:O

=0

=0

•O

C1aei

układu sił będzie ról\ Il) zeru, to na mocy równania pędu brył) SZI)\\ nef

Mv, =const.

(2.122)

llWicrdZić. te ruch środka masy jest formalnie opisany takim punktu materialnego. Równanie (2.122) stanowi sformu: .-19...,showln„ pędu dla bryły szt)\\neJ. Jeżeli natomiast moment głów...... • llfdzic równy zero. to na podsta\\ie ró\\nania (2. 121) otrzymam

...,._,...bryły

I • Q. I •=const

y

(2.123)

dL=w · dx, +m, ·da,

•Mlllll••lll•llill-

gdzie moment główny m, wykonuje incę • . . . (wokól chwilowej osi). Równowa2nc>łt prlC)' t -ai ILflillfl•hllll•••~~ postać:

dL=dT,

W·dx c

+• .•• .!.NY 2 c

+.!..1 ... 2

Iii)'........., ........„.„

W potencjalnym polu sił (np. w polu winny być odniesione do środka masy Zmtll I ' obejmuje w1edy sumę energii p tu ;1>i ......... tycznej zgodnie z twienbeniem ltillilE

U(c)+.!..M•! +.!..• I • • - . 2

2

Dla układu punktów rnaterialnydl ....., . . . . . bezwładności (2.92) i (2 93)

4<

Rcakt nazyw•na n..c;·~i
r: z: P'

pod'' ic~.tl'nit.·, !'iła nad~u

R.:>zrómia ste ~"• rod1a1c pod"' • 7.cnia b!"l'ł szt~n ,h .,.,. "atkieJ lub me"~kteJ Gdy masa bt'Yly JCSI '".:en~" ,, ta 2 r stosuJCnl) przybhżemc_ met nte>1a.żk1e1. <; la naciągu. k· 14 "" sktcro\\ana wzdłuż met o zwr-.>cte przc,.„n•m do v••·-· ~ L • • . 'I "' dk ' ,~u r,,. ::kmi..a !".' nitcJ s1 )'naciągu. •_v prL) pa _~mu \\atk •• Jest ISl!Y. Ul Jlugos.: r • "" • \\ sile tl3Cl'\J!U. '\aJWlększa Stla '13C ~u \\ n - y,~ I -'C \ -' b h. · · .,._, ' ~-' prr l.&'-ZC;.. (przenosi c1ęzar rv,, 1 cię~ mc1J, najmn1eisza przy zaczepie bryły ~ KO c1~>.ar bryi)')

· li b" •rn" - rcakcj"c 3.2. Sił) ~nne i< ) ' ' •

, ,,tona "prl.lwadza do mcchanik1 podział sol na czynne i bic d3 •C f rze.:1a • ól ną_ rolo; C'dgrywa,.i r·,. JJkte mają b)C rcal.c_1c, Szczcg _ Z3S3d ,• t-"~te 511 nc. ol.reSIJJ~C 'A JU "dI)' so - b ą oraz I s_1croko ' ' ro-' • ·"cJo\\Jntu •polączcn brył stty\\n)c h mię r są niczb~dnc do obJas111cn1a ro\\no\\ag1 spoci)nko zamoco\\anych bryi szt)\' nych P()nie" aż " rnc.:ha111cc pr1yc1) ny ogran 1cic;;ce ruch llU)"I się " cgt'lności w1ę:am1, w statyce mo" 1 się o 111odl!lowun111 więzów "laścl\•)'Dlt silami reakcJt. W prakl)Cc t,1k1cgo m~clo\\anta JC5l istotne, b) reakCJe 1 siły czynne dol) cl} I) teJ sameJ bi) ly szty\\neJ, dla ktoreJ układamy równani~ rólmo>1agi \1us1 h)c utrl}many iasny charakter _P~ CZ) nowo-skutko\\y st! „pro„adzan)ch do rc>1nan rO\\nO\\ag1 Omó\\.:ny ki.ka istotnych rC'dZ3JÓ" w1ę­ ZÓ\\, wpro"adl.1;ąc odpo\\tadaJące 1m sił)· rcakCJI

K„rakl d1'ócb cial, sila tarria i rc-.ikcja normalna Rcakc;a dwóch ~l)klJą')ch się cial ma d" 1e prostopadle do <1c'l1c składowe, IZ\I reakc_,ę normalną 1 s11' tarcta. Dla ,jckladnego określenia I) ;h ki~ru-ków ważne JCll

poJęCte po•ner..chni ml.ii, względc.., której okrclfa się kierunek

(\ / r- ~, \

U

,.,., I

~

C'r::.llny ('Cat'.' now.-alneJ> • sty.my (sił) tareia). PrzeC t.m·onC' to na rys. 1.1.

[)I

[ 'iq 1 I ~ ~!

\0' \f) b)

k.,

I 51łv r.ak, m• deluJąt< ·~· d\\ÓC) ciał: J z uw1głcdnicn11:m siły 1arcia 1 ~in. µ wspókzvnn1k tarcia charlklC')'ZUJ.,C)' JlOWICl'l hnie, b) "cz ,re ) (p w1cnchma kont>ktu

Rys. J

9

gladka), calb\\ 1ta rc•k
('ucguby: nalcO\\) i kuli\I} Pr1cguby stanowią_ model połączenia prętó" liclcl.. Przcii:" "'~. "' • •;:;:iląc1cnicm na mt lub srubę d\\6c!l bryi sZl)wnych z ot"oram 1, przez k• re Z<-s:al pr1cpro\\adzony element ląc1.ąc) 01)1) w 1ak1m pctą,zcniu mogą w-..Ł '"Ł ruch obrotowy dookoła 0~1 przechodzącej przez polącze,te prnstopadłcJ d p-u cl)lll)' ruchu brył. Reakcja przegubu \\11lco>1cgo prm:hodzt prrcz oś cb: :.i 1Im "plaSICl)i~·c ruchu brył. Jej dlugośc kierunek 1zv. 01 ")macza się z "ar~nl.. "' konkn~tncgo zagadnienia. Ze względu na charak•. rcakci1 przcp.u!:- 1en b"wa -z. zywany przegubem plll!ikim (na l')S J 2 dalSZ)•h JCSt zaznaczon) mały,.,~ g1cmJ. l'neg11b kulisty, albo maczeJ bciążeń momentowych I) ko sił) rozi:tąpJącc 1 ~iskaj~ \\ uk przypadku rcakCJe przegubó" mr. ą i me działania wzdłuż lączon)c" pręlo\\ Podpoi") : siała i pru-su\\na Ten rodzaJ w1ęZO\\ łącl} belki (pOC 1 ~żne bi)!-.. S!lprne .bc1ąti:ne I"' $t do n3JW1ększq<:> W)'" Jru) l OIOCZCntCm za posrednt<.l\\CITI prttg Jbli rtask Ce siale lub z możll\\ośc1ą ruchu. <,posob) „ode: Y.an1a podp<:r s tarni rc:il, r c, stawiono n:i rys "l. 2 Ll\\icrdzcnic Koniec bclk podparty"' ten sposób, te me 1cst mo.' .we przcm1cuc ·c c ł sumęc1c 1obrót) naz)'\\a się uru1erd:tmtm Stł) rcak•j' ut>1.crdze111a sl..IJ&J.\ dwóch sklado\\) eh sil reakc; 1 JCdnCJ pary sil reprczcn::\\anC! l'f' •· IZ\\ ~ 111w1crdzen;.1. Oddz1ał\'\\3ll,J Ul\\ icrdzcn•a przcd.<13\\ :(In<." na')• ' 1 :\1odclO\\ .1111c podpór; ul\\ 1crd1c~;J wstałc l.lgr.lmc;, nc C' pbsl.•c ~ " " <

[)

\"

• (b x<) E

,1

b~,

\l>.211

\\)raicn!lll> JO), (0 31) poZ\\alaią napisać 'lllZ:: r!O 29)"' i:

c p::

b = a c,T,c,. 1

"pro" adnwszy oznaczenie D

T -=e,T„c„ mozcm) napisać.

b -a T. (022)

c ,c '

ó li -li „ó,,.

r. ,c • „ 2ó E 1C

Omo"

:n)

Obiekl geometryczny T nazywamy ten.' rem drugiego r: ' skladowym1 tego tensora. Tc'"lsor T można przcdstaw1c"' posac1 nw.1CfZ), za. wierającej zbiór jego skladow\ eh w przestrzeni kartc7,1ańsk1c

(0.23)

•

(0.24)

=3'-=6

(0.25)

funlcj~ limO""I wektora kLcli pomiędzy wektorami a 1 b zachodzi

l

T,., T„ TJ T„ T22 T23 T„ T32 T13

T

I )

Przedstawmy teraz (D-34) w po'tac1 analitycznej

b e. =a,e, e 1T eJ :.:a,S"T' e -a T, C'

C:-""'P

1

b

(0.26)

f(a).

„uny. te b Jesl „cktoro"ą funkc;ą a. f " .p „cl~ to„ jCSt l'mo" jeżeli Spełnia \\arunki:

b; =a T, 1,

idd)'}.,.l!CŚCI f{a +c)= f(a)+ f(c).

10.27)

jtdnorodnclc1 f(ma) mf(a) gdz•e m- stała.

(0.28)

/.al.Jm) te b ;est ID 1~)-(D 28

hn1ową funkcją \\Cktorową

wektora a Wtedy na podsta111e

„ danym układzie kartezjańskim z wektorami ba1y mo1cm)

~

b

f(a e) a f(e ).

11

Wynika stąd:

(!)29)

np. b -a,T1 +a.T2 , +a T \\ prz) pad ku 1 OCZ) nu tensorowego me J~ obojętne CZ\ mn ttmc p:za we następuje lc\\OStronnie, Cl) pr:mostronmc PostarUn) się teraz otrz\mac ~'li prawostronny Rozważni) "1ęc ponownie tę samą, funkcję hmow\ wektora a

b -f(a)=f(a,c,)= f(c,).i„ gd11c ~pccJalmc składN\i\ n. napisano po prawej strome otrzymanych wzoró\\,

a e pe:: :waż fiest funkcJą h~ ow~ na mocy warunku (D.27)jest slus111c, 1c

C(c )=T t .

(!>'Ol

gdnc '") ~tk01> nastcpu;e sumowanie wzgl~
przq1is1c111\ wzór (D.3X)" nO\\CJ postaci 'kalarncgn •

k..>ro,staą,c

z przcm1c:no

~

a

y•

r

rc

t

r·

r·e

r· r 4

b 1·.

~'11.łC

r·

r

04~

T

eh,

r 04(-

T'

T

V

r

1>4~

I r .(T+r"J+/1' r'}

o

u

D1

Lk'ad pr

r

t

2''r.rJ•'l'J' ,

mv te 'zęK symclr) I {r •

2

r },

c

"°'

„ 04 V xa

r

u~du

q,;x1 (D

~

te 7 "ł;:

"''tlorcm

rol•

m1

•• "'

Gradient funkq1 '' ektonm t•j

( \' ah =(gr.1Ja),.

JC't

(D.59) (),al

funl\cją lamo\\ I\ ,,el.;wra i ma postać

tensora drugiego rl'c,:du.

W1clkośc1

takie

'' ptępują '' 111ech.1nke t'Srtidl\Ó\\ ciągłych. Do '' iclokrotnegt) stoso" ania operatora wektorowego nabla. '"7godnc są wzory (D.22}-(D 25). ~ie będLiem) rOZ\\ijać i zgłębiać tego z~g?dnrenia; w razie potrzeb) obłi.:zenia '') l\onam) " obrębie konkretnych zagadnien.

LITERATURA [ 11 Banach S , Mechanika, wyd. 3, t. I i 2, Warszawa, Czytelnik ł 949. [2] J....araśl\ie\\icz E„ Zarys teorii wektorów i tensorów, wyd. 2, Warszawa, PWN ł97ł

[3] LeykoJ. Mechamkaogółna, wyd. 3, Warszawa, PWN 1970. [4] Łunc A, Szamawski A„ Zarys mechanik.i ogólnej, Warszawa, PWN 1969. [5' SJ...ałm1ersk.1 B„ Mechanika, Warszawa, PWN 1994.

~ '·'.'!'';.

l · ·· ' \

U

. I