kolo 2 rozwiazania grupa A

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Sterowanie Procesami Ciągłymi

Rozwiązania zadań – Kolokwium 2 grupa A

Opracowanie: Mieczysław A. Brdyś, prof. dr hab. inż. Wojciech Kurek, mgr inż.

Gdańsk, styczeń 2010

Sterowanie Procesami Ciągłymi 2 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A

Zadanie 1. a) Transmitancja regulatora PD ma postad

GPD  s   Kc 1  Td s  W celu wyznaczenia warunków stabilności układu sterowania potrzebujemy równanie charakterystyczne układu zamkniętego, w tym celu wyznaczamy transmitancje układu zamkniętego:

Gz  s  

Go  s  1  K vGo  s 

Gdzie Go  s  jest transmitancja układu otwartego:

Go  s   GPD  s  K p

Km Km  K c 1  Td s  K p s T f s  1 s T f s  1

Stad

Km s T f s  1 K c 1  Td s  K p K m Gz  s    Km s T f s  1  K v K c 1  Td s  K p K m 1  K v K c 1  Td s  K p s T f s  1 K c 1  Td s  K p



K c 1  Td s  K p K m

T f s 2  1  K v K c K p K mTd  s  K v K c K p K m

Stąd równanie charakterystyczne ma postad

M  s   T f s 2  1  Kv Kc K p K mTd  s  Kv Kc K p K m Z kryterium Hurwitza otrzymujemy następujące warunki konieczne na stabilnośd układu

1  K K K v

c

p

K mTd   0

Kv Kc K p Km  0 Stad

Kc  0 Td  

1 Kv Kc K p Km

Do warunków wystarczających należy zbudowad macierz Hurwitza:

Sterowanie Procesami Ciągłymi 3 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A

1  K v K c K p K mTd  0 

Tf  K v K c K p K m 

Widad zatem że warunki wystarczające pokrywaja się z koniecznymi dla tego przypadku. Zatem układ jest zawsze stabilny dla dodatnich wartości parametrów regulatora PD. b) W celu wyznaczenia parametrów układu gwarantujących uchyb w stanie ustalonym mniejszy zad niż 0.01A, dla wymuszenia   t   At należy skorzystad z twierdzenia granicznego.

lim e  t   lim sE  s   eust t 

s 0

Musimy zastem wyznaczyd sygnał uchybu E  s  :

E  s   R  s   Kv   s  Gdzie   s   E  s  Go  s  Otrzymujemy zatem:

E  s   R  s   K vGo  s  E  s  E s 

R s 1  K vGo  s 

Podstawiając otrzymaną wartośd sygnału E  s  do twierdzenia granicznego

lim s s 0

R s  0, 01A 1  K vGo  s 

Potrzebujemy jeszcze tylko sygnału R  s 

R  s   L  AK f t  Stad:

AK f s2

Sterowanie Procesami Ciągłymi 4 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A

lim s s 0

AK R s 1  lim s 2 f s  0 1  K v Go  s  s 1 K K 1 T s K v c d  p

Km s T f s  1



 0  s  T f s  1   AK f    lim  s 0 s   s T f s  1  K v K c 1  Td s  K p K m   0   0 AK f



Kv Kc K p Km

 0, 01A

Stad

Kc 

Kf 0, 01K v K p K m

Td  0 c) W celu sprawdzenia uchybu układu przy stałym wymuszeniu należy korzystając z twierdzenia granicznego podstawid stałe wymuszeni r  t   K f A czyli R  s  

lim s s 0

AK f R s 1  lim s 1  K v Go  s  s 0 s 1  K K 1  T s K v c d  p

Kf A s

Km s T f s  1



0

 lim AK s 0

s T f s  1 f

  s T f s  1  K v K c 1  Td s  K p K m   0   0

0

Przy wymuszeniu stałowartościowym, układ będzie posiadał zerowy uchyb w stanie ustalonym. d) Wyprowadzenie dyskretnej postaci integratora metodą biliniową jak i backward rectangular znajduje się na stronach 13-20 wykładu 12 z SPC. Dyskretyzacja regulatora PD metodą biliniową ma następująca postac:

GPD  z  

U  z  2T z  1   K c 1  Td s  s  2 z 1  K c 1  d  E  z T z 1   T z 1

W celu otrzymania cyfrowej implementacji zdyskretyzowanego regulatora należy:

Sterowanie Procesami Ciągłymi 5 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A

2T z  1   U  z   E  z   Kc  d  T z 1  2 K cTd z  1 U  z   Kc E  z   E z T z 1 2 K cTd U  z  z  1  K c E  z  z  1   z  1 E  z  T 2 K cTd U  z  1  z 1   K c E  z  1  z 1   1  z 1  E  z   T  2T   2T  U  z   U  z  z 1  K c 1  d  E  z   K c  1  d  E  z  z 1 T  T    Przechodząc do dziedziny czasu otrzymujemy cyfrowa implementacje regulatora PD zdyskretyzowanego metodą biliniową.

 2T U  kT   U   k  1 T   K c 1  d T 

  2Td  E  kT   K c 1  T  

  E   k  1 T  

e) Schemat komputerowego systemu sterowania w takim przypadku jest następujący: Sampler



Regulator dyskretny

Interpolator

zad

Kf

PD

Kp

ZOH

Kv

Km

s T f s  1

 t 

Sterowanie Procesami Ciągłymi 6 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A

Zadanie 2 a) Zmienne całkowe dla danego obietku maja postac: t

xI 1  t    c    c zad    d t0

dxI 1  c  t   c zad  t  dt  x1  t   2 x2  t   c zad  t  b) Obiekt rozszerzony:

dx1   x1  t   u  t   0, 2 z  t   dt  dx2   3x1  t   2 x2  t   równania stanu dt  dxI 1   x1  t   2 x2  t   c zad  t   dt 

c  t   x1  t   2 x2  t 

równanie wyjścia sterowanego

W postaci macierzowej obiekt ma postad:

1 0 0  1  0 0, 2  dxroz       zad  3 2 0  xroz  t   0  u  t    0  c  t    0  z  t  dt 1 2 0  0   1  0  Broz

Aroz

xroz

 x1    x2   xI 1 

z t  c zad  t 



1 s

 xI 1  t 

Rysunek 1. Schemat blokowy rozszerzonego obiektu

u t 

c t  OBIEKT

Sterowanie Procesami Ciągłymi 7 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A c) Sterowanie IC można zastosowad tylko do obiektów które są sterowalne, a liczba zmiennych całkowych nie jest większą od liczby sterowao obiektem, lub też obiekt rozszerzony jest sterowalny. Zdecydowanie łatwiej sprawdzid sterowalnośd obiektu nierozszerzonego i porównad ilośd zmiennych całkowych ze sterowaniami. Sterowalnośd obiektu:

1 1  0 3

   B AB   

Wyznacze macierzy sterowalności:

dim   

1 1  3  0 ponadto dim r  1  dim u 0 3

Czyli do badanego obiektu można zastosowad sterowanie IC.

Obiekt rozszerzony zamknięty jest następującym prawem sterowania

u  t    F1 x1  t   F2 x2  t   FI 1 xI 1  t  Dynamika zamkniętego obiektu zamkniętego przez sterowanie przedstawione powyżej

dx1  x1  t   F1 x1  t   F2 x2  t   FI 1 xI 1  t   0, 2 z  t  dt dx2  3 x1  t   2 x2  t  dt dxI 1  x1  t   2 x2  t   c zad  t  dt c  t   x1  t   2 x2  t  W postaci macierzowej ma ona postac:

1  F1  F2 dxroz   3 2 dt  1 2

 FI 1  0 0, 2     0  xroz  t    0  c zad  t    0  z  t   1  0  0 

2 Aroz

c  t   1 2 0 xroz  t 

Schemat układu sterowani IC jest następujący:

Sterowanie Procesami Ciągłymi 8 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A c zad  t 

-

1 s

 xI 1  t 

u t 

FI 1

Obiekt

- -

x2  t 

c t 

x1  t 

F1

F2

d) W celu wyznaczenia warunków stabilności układu z IC skorzystamy z równania charakterystycznego układu zamknietego:

s  1  F1 M  s   det  Is   Aroz  Broz F    3 1

F2 FI 1 s2 0  2 s

 s  s  2  s  1  F1   6 FI 1  FI 1  s  2   3F2 s 

 s  s 2  s  F1s  2s  2  2 F1   6 FI 1  FI 1s  2 FI 1  3F2 s   s 3  s 2 1  F1   s  2 F1  3F2  FI 1  2   8FI 1 Z warunków na stabilnośd (kryterium Hurwitza otrzymujemy)

1  F1   0  2 F1  3F2  FI 1  2   0

F1  1 co można uprościd do postaci:

8FI 1  0 Dodatkowo warunek wysączający ma postad:

1  F1  2F1  3F2  FI1  2  8FI1 Stad otrzymujemy:

F1  1 FI 1  0 1  2  2 F1  FI 1  3  1  8 F1 F2    2 F1  FI 1  2  3  1  F1  F2 

2 F1  3F2  FI 1  2 FI 1  0

Sterowanie Procesami Ciągłymi 9 Rozwiązania zadań – kolokwium 2, grupa A e) Korzystając w otrzymanych w Puncie d) warunków możemy wyznaczyd przykładowe wartości wzmocnieo sprzeżenia od stanu np. F1  1; F2  2; FI 1  1

Zachowanie układu sterowania IC i realizowanie wartości zadanej przy stałych zakłóceniach jest omówione w pierwszej części wykładu z Integral Control na stronach 10-12 f)

W przypadku kiedy wartośd zadana jest przedziałami stała, jednak częstotliwośd jej zmian jest zbyt szybka dla zaprojektowanego układu IC można przyspieszyd działanie układu poprzez przyspieszenie biegunów układu zamkniętego (zmniejszenie ich części rzeczywistej). Jest to mozliwe ze wzgledu na sprawdzona uprzdnio sterowalnosc systemu rozszerzonego. Należy jednak pamiętad, że zbyt duże przesunięcie biegunów spowoduje znaczne zwiększenie wzmocnieo sprzężenia od stanu i co za tym idzie znaczące zwiększenie przenoszenia zakłócenia. Możne temu zapobiec uzupełniając układ o obserwator zakłócenia i odpowiednio modyfikując prawo sterowania, aby kompensowało wpływ zakłócenia.

Zadanie 3 a)

Wyznaczenie transmitancji układu:

y  k  1  y  k   3 y  k  1  u  k   2u  k  1 y  z  z  y  z   3 y  z  z 1  u  z   2u  z  z 1 y  z   z  1  3z 1   u  z  1  2 z 1 

G  z 

Y  z 1  2 z 1 z2   2 1 U  z  z  1  3z z  z 3

b) W celu sprawdzenia stabilności układu wyznaczamy bieguny korzystając z równania charakterystycznego układu

M  z   z2  z  3  0   1  4*3  13 z1 

1  13 1  13  1,3; z2   2,3 2 2

Układ dyskretny jest stabilny jeżeli moduł biegunów układu jest mniejszy od 1, zatem badany układ jest niestabilny, ponieważ

z1  1,3  1; z2  2,3  1