Lang H. - Head First. Fizyka. Edycja polska

Spis treści

Spis treści (skrócony) Wstęp

33

1.

Myśl jak fizyk: Na początku…

45

2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś ZNACZENIE: Jednostki i pomiary

61

3.

Notacja naukowa oraz pole powierzchni i objętość: Wszystkie liczby duże i małe

4.

Równania i wykresy: Nauka języka

139

5.

Zabawa w kierunki: Wektory

193

6.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie: O co chodzi?

247

7.

Równania ruchu (część I): Czas na równania

281

8.

Równania ruchu (część II): Wyżej, w górę i… znów na dół

327

9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie: Przejście w drugi wymiar

379

10.

Zasada zachowania pędu: Co zrobił pan Newton?

435

11.

Ciężar i siła normalna: Siły na start

481

12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły: Poukładajmy to jakoś

515

13.

Moment siły i praca: Chwila uniesienia

559

14.

Zasada zachowania energii: Ułatw sobie życie

603

15.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych: Inny kierunek

647

16.

Ruch po okręgu (część I): Od Į do Ȧ

675

17.

Ruch po okręgu (część II): Nie zgub tropu

707

18.

Grawitacja i orbity: Uciec od tego wszystkiego

759

19.

Drgania (część I): W kółko i na okrągło

805

20.

Drgania (część II): Sprężyny i huśtawki

841

21.

Myśl jak fizyk: To już ostatni rozdział

883

Dodatek A To, co się nie zmieściło: Sześć bardzo ważnych kwestii (których nie poruszyliśmy wcześniej, a o których powiemy teraz)

907

Dodatek B Tablice wzorów: Skarbnica wiedzy

917

99

Spis treści (z prawdziwego zdarzenia) Wstęp Twój mózg a fizyka. Wyobraź sobie — starasz się nauczyć fizyki, a Twój mózg próbuje wyświadczyć Ci przysługę, upewniając się, żeby nic z tego, co czytasz, nie zostało Ci w głowie. Mózg myśli: „Lepiej stąd wyjdźmy i zajmijmy się naprawdę ważnymi sprawami. Trzeba zastanowić się, których dzikich zwierząt należy unikać w dżungli, a poza tym wcale nie wiemy, czy jazda na desce snowboardowej nago jest takim złym pomysłem”. Dlatego warto opracować plan przechytrzenia Twojego mózgu — niech uważa, że Twoje życie zależy od poznania fizyki! Dla kogo jest ta książka?

34

Wiemy, co sobie myślisz

35

Metapoznanie, czyli myślenie o myśleniu

37

Oto co możesz zrobić, żeby zmusić swój rozum do posłuszeństwa

39

Czytaj to!

40

Zespół recenzentów technicznych

42

Podziękowania

43

9

Spis treści

Myśl jak fizyk

1

Na początku… Fizyka to nauka opisująca otaczający Cię świat i sposób działania jego poszczególnych elementów. Każdego dnia stykasz się z fizyką! Niemniej na samą myśl o uczeniu się fizyki możesz czuć się, jak gdybyś wpadał w dół bez dna — dół, z którego nie ma ucieczki. Nie przejmuj się tym, albowiem z niniejszego rozdziału dowiesz się, co powinieneś zrobić, by myśleć jak fizyk. Nauczysz się, w jaki sposób należy zagłębiać się w problemy fizyczne oraz jak korzystać z intuicji, by dostrzegać w tych problemach prawidłowości i „punkty szczególne”, których znajomość ułatwia rozwiązywanie zadań. Umiejętność stawania się częścią problemu fizycznego pozwoli Ci zbliżyć się o jeden krok do uzyskania odpowiedzi na nurtujące Cię pytanie.

Fizyka w świecie, który Cię otacza

46

Możesz wczuć się w problem, stając się jego częścią

48

Korzystaj z intuicji podczas szukania „punktów szczególnych” problemu

50

Środek Ziemi to punkt szczególny

52

Zadaj sobie pytanie: „Co by się stało, gdybym leciał tunelem łączącym dwie strony Ziemi i dotarł do jej środka?”

53

Co już wiesz i o czym jeszcze powinieneś pomyśleć

55

Zbieramy i łączymy wnioski

57

Rozwiązywanie wszystkich problemów fizycznych zaczynaj od ustalenia, co działo się w chwilach początkowych zdarzenia, które chcesz opisać. Następnie STAWAJ SIĘ częścią problemu!

Stałeś na krawędzi przepaści i właśnie zrobiłeś wielki krok naprzód.

10

Spis treści

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś ZNACZENIE

2

Jednostki i pomiary Jak długi jest kawałek sznurka? Podstawą fizyki są pomiary określające rozmiary obiektów. W tym rozdziale nauczysz się korzystać z jednostek i zaokrąglać wyniki tak, by uniknąć pomyłek. Dowiesz się też, dlaczego błędy są tak ważne w fizyce. Gdy zakończysz lekturę, będziesz już wiedzieć, czy dany zapis jest znaczący, i na pewno wyrobisz sobie własne zdanie na temat, czy rozmiar jest faktycznie wszystkim.

5 100 3

1 28

Długość

To najlepszy odtwarzacz muzyki, a Ty jesteś częścią zespołu!

62

Zacznij zatem mierzyć obudowę odtwarzacza ajPod

63

Fabryka odsyła gotowy model odtwarzacza ajPod, ale okazuje się, że jest on za duży!

64

Na projekcie nie ma żadnych JEDNOSTEK

66

W tej książce pojawiają się jednostki układu SI (te same, które znasz ze szkoły)

69

Przeliczając jednostki, używaj współczynników zamiany

73

Współczynnik zamiany można też zapisać w postaci ułamka

74

Teraz możesz zaktualizować projekt

77

Co zrobić z liczbami zbyt długimi, by można z nich skorzystać

80

Ile cyfr wartości pomiaru wydaje się mieć znaczenie?

81

Zazwyczaj odpowiedzi zaokrągla się do trzech cyfr znaczących

83

Przecież OD RAZU dokonałeś zaokrąglenia pierwszych zmierzonych wartości!

86

Każdy pomiar jest obarczony błędem (zwanym czasem niepewnością)

87

Musisz zaznaczyć propagację błędu na wszystkie wartości umieszczone w projekcie

88

STÓJ! Zanim klikniesz przycisk wysyłania, sprawdź, czy odpowiedź jest dobrze sKROJona?!

91

Wyniki zapisuj zawsze z odpowiednią liczbą cyfr znaczących

95

„Jesteś zerem czy bohaterem?”

96

Czas

Masa

11

Spis treści

Notacja naukowa oraz pole powierzchni i objętość

3

Kierownictwo domu akademickiego Head First, Wydział ds. Czystości Dalsze przebywanie w tym pokoju może zagrażać Waszemu zdrowiu. Zaistniały stan rzeczy należy niezwłocznie zmienić. Wykryliśmy w Waszym pokoju bakterię, która będzie dzieliła się na dwie co dwadzieścia minut (na razie jest to tylko jedna bakteria). Gdy liczba drobnoustrojów dojdzie do 6 × 10-5 m3, uznamy, że Wasz pokój nie nadaje się do zamieszkania przez ludzi. Będziecie musieli przenieść się gdzie indziej na czas dezynfekcji, którą zamierzamy przeprowadzić. Z poważaniem Pan Woźny z Wydziału ds. Czystości

12

Wszystkie liczby duże i małe W prawdziwym świecie nieraz zetkniesz się z różnymi typami liczb, nie tylko z tymi, które wyglądają przyjemnie. Z tego rozdziału dowiesz się, jak radzić sobie z niewygodnymi liczbami za pomocą notacji naukowej oraz dlaczego zaokrąglanie dużych liczb nie musi oznaczać zapisywania dziesiątków zer na końcu każdej z nich. Nowo nabyte umiejętności będziesz miał okazję wypróbować, starając się okiełznać jednostki pola i objętości. Dzięki notacji naukowej unikniesz wielu trudności (i zaoszczędzisz nieco czasu) podczas pracy z liczbami.

Bałagan w akademiku — pokój studentów

100

Kiedy zaistniała sytuacja stanie się naprawdę groźna?

101

Potęgowanie to sposób na wielokrotne mnożenie przez tę samą liczbę

105

Na wyświetlaczu Twojego kalkulatora duże liczby przedstawiane są za pomocą notacji naukowej

107

W notacji naukowej korzysta się z potęg liczby 10 do zapisywania długich liczb

108

Notacja naukowa przydaje się również do zapisywania bardzo małych liczb

112

Jeszcze nieraz zetkniesz się z polem powierzchni i objętością

116

Szukaj niezbędnych informacji w książkach (albo w tabelach)

117

Przedrostki ułatwiają radzenie sobie z nieprzyjemnie wyglądającymi liczbami

118

Notacja naukowa przydaje się podczas prowadzenia obliczeń na dużych i małych liczbach

120

Chłopcy wszystko policzyli

125

Rząd wielkości odpowiedzi, z której wynika, że po 16 godzinach z 1 bakterii powstał szczep drobnoustrojów zajmujący objętość prawie 300 000 000 metrów sześciennych, na pewno nie jest właściwy!

127

Bądź szczególnie ostrożny, przeliczając jednostki powierzchni i objętości

128

Czyli bakterie nie opanują całego pokoju, nawet jeśli chłopcy postanowią się przespać!

130

Poradnia pytań — przeliczanie jednostek powierzchni i objętości

131

Spis treści

Równania i wykresy

4

Nauka języka Porozumiewanie się to podstawa. Jesteś na doskonałej drodze, by myśleć jak fizyk, ale musisz jeszcze nauczyć się przekazywać swoje myśli. W tym rozdziale przedstawię Ci dwa uniwersalne narzędzia pozwalające komunikować się z innymi ludźmi — wykresy i równania — obrazy, które przemówią z siłą tysiąca słów, opisując wykonane doświadczenia i problemy fizyki, z którymi przyjdzie Ci się zmierzyć. Zobaczyć znaczy uwierzyć.

Szybciej

Droga [m]

Wykresy zależności drogi od czasu dla różnych doręczycieli pizzy

Szybciej

Musisz wymyślić, jak podać klientom dokładny czas dostawy

141

Jeśli zapiszesz równanie opisujące czas dostawy, będziesz mieć jasny obraz sytuacji

142

Dzięki zmiennym równanie jest zapisem ogólnym

143

Musisz obliczyć czas jazdy Adama

145

Planując wykonanie doświadczenia, zawsze zastanów się, co może pójść nie tak!

149

Przeprowadź eksperyment, w którym wyznaczysz szybkość jazdy Adama

152

Zapisz wyniki… w tabeli

153

Określ szybkość jazdy Adama, posługując się tabelą odległości i czasów

155

Błędy statystyczne sprawiają, że wyniki pomiarów są rozrzucone

157

Wykres jest najlepszą metodą wyciągania średniej ze WSZYSTKICH zebranych wyników

158

Narysuj wykres przedstawiający czas przejazdu Adama na DOWOLNYM dystansie

161

Linia wykresu pozwala uzyskać najlepsze przybliżenie czasu pokonania DOWOLNEJ drogi 162 Szybciej

Czas [s]

Szybkość jazdy daje się odczytać z nachylenia prostej do osi wykresu

164

Szybkość jazdy Adama to nachylenie wykresu zależności drogi od czasu 166 Oblicz na podstawie wykresu średnią szybkość Adama

167

Informatycy będą potrzebowali wzoru, z którego obliczą czas jazdy Adama

169

Przekształć równanie do postaci „czasu = coś”

170

Skorzystaj z przekształconej formy równania, by określić czas dojazdu do domu klienta

173

Czyli pozostaje przeliczyć jednostki na właściwe i gotowe… prawda?

175

Uwzględnij w odpowiedzi czas przygotowania pizzy

177

Na wykresie bez problemów zobaczysz różnicę, którą wprowadziły światła

181

Światła drogowe zmieniają średnią szybkość jazdy

183

Poradnia pytań — czy zrobiłeś to, o co Cię prosili?

190

13

Spis treści

Zabawa w kierunki

5

Wektory Czas, szybkość i odległość to bardzo przydatne parametry, ale jeśli chcesz coś osiągnąć w życiu, potrzebujesz KIERUNKU. Posiadłeś już kilka supermocy fizyka: nauczyłeś się, czym są wykresy i równania, umiesz również na oko ocenić rząd wielkości odpowiedzi, których szukaniem zajmujesz się, rozwiązując zadania z fizyki, ale wielkość to nie wszystko. Z niniejszego rozdziału dowiesz się, czym są wektory. Dzięki tej wiedzy w Twoich odpowiedziach zaczną pojawiać się informacje o kierunkach. Ponadto nauczysz się szukać skutecznych skrótów na drodze do rozwiązań problemów, które wydają się być skomplikowane.

Wskazówka 1. Do tyłu, do przodu, do przodu i w tył — chcesz zostać czysty czy w butach mieć pył? Pomyśl i ruszaj przed siebie i w dal, co w nocy odległe, jest bliskie za dnia. Idź: 1) 60 metrów na północ, 2) 150 metrów na południe, 3) 120 metrów na północ, 4) 60 metrów na południe, 5) 20 metrów na południe, 6) 40 metrów na północ. Stojąc obok drzewa, zacznij swą wyprawę, po nową wskazówkę zaglądaj pod trawę.

Poszukiwacze skarbów

194

Przemieszczenie to nie to samo, co droga

199

Droga to skalar; przemieszczenie to wektor

201

Wektory oznacza się strzałkami

201

Znalazłeś kolejną wskazówkę…

204

Wektory można dodawać w dowolnej kolejności

206

Poradnia pytań — oddzielanie ziaren od plew

210

Kąty to sposób na mierzenie obrotów

212

Jeśli nie radzisz sobie z czymś dużym, podziel to na mniejsze części

214

Prędkość jest „wektorową odmianą” szybkości

218

Zapisuj jednostki, korzystając z odpowiednich skrótów

219

Powinieneś był wziąć pod uwagę również prędkość, z jaką płynie woda w potoku!

220

Jeśli uda Ci się określić prędkość, z jaką płynie woda w potoku, będziesz w stanie obliczyć odpowiednią prędkość dla motorówki

221

Przyspieszenie ruchu łodzi wymaga czasu

224

Jak radzić sobie z przyspieszeniem?

225

Wektor, kąt, prędkość i przyspieszenie = ZWYCIĘSTWO!!!

231

Jestem gotowa. Co robimy najpierw?

Kąt zaznacza się łukiem.

14

Miary kątów mierzy się kątomierzem.

Wyobraź sobie, że obracasz tę linię wokół punktu, w którym styka się ona z drugą linią, tak, by obydwie linie się pokryły.

Spis treści

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

6

O co chodzi? Ciężko śledzi się naraz więcej niż jedną rzecz. Wyobraź sobie spadający przedmiot. W tym samym czasie powinieneś śledzić jego przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. W jaki sposób odnotować wszystkie trzy czynniki i nie pominąć niczego istotnego? Z tego rozdziału dowiesz się, jak rozwinąć supermoce doświadczenia, wykresu i nachylenia, aby przygotować się na spięcie tego wszystkiego równaniem czy dwoma.

Oto kolejny dzień na pustyni…

248

Jak wykorzystać to, co już wiesz?

251

Spadając, klatka przyspiesza

254

Zapisz równania wektorowo

255

Chcesz obliczyć prędkość chwilową, a nie średnią

257

Wiesz już, jak obliczać nachylenie prostej do osi wykresu…

262

Nachylenie punktu krzywej jest identyczne z nachyleniem stycznej w tym punkcie

262

Nachylenie wykresu zależności prędkości ciała od czasu pozwala wyznaczyć przyspieszenie tego ciała

270

Określ jednostkę przyspieszenia

271

Zwycięstwo! Obliczyłeś prędkość klatki po dwóch sekundach lotu i już wiadomo, że przetrwa ona upadek!

275

Pora obliczyć przemieszczenie!

278

Emu — biegus pędziwiatrus

54 km/h

15

Spis treści

Równania ruchu (część I)

7

Czas na równania Już czas, żebyś osiągnął wyższy stopień wtajemniczenia. Do tej pory, uczestnicząc w przygotowanym przeze mnie kursie fizyki, zajmowałeś się projektowaniem i przeprowadzaniem eksperymentów, rysowaniem rozmaitych wykresów, a także wymyślaniem równań na podstawie kształtu niektórych spośród tych wykresów. Poznałeś wiele przydatnych umiejętności, ale polegając tylko na nich, nie zajdziesz zbyt daleko, ponieważ na świecie, oprócz wykresów łatwych do zinterpretowania, istnieją również wykresy przedstawiające linie, które nie są liniami prostymi. W tym rozdziale zajmiemy się poszerzeniem Twojej wiedzy matematycznej, abyś robiąc odpowiednie podstawienia, mógł dojść do jednego z ważnych równań fizyki. Dokładniej mówiąc, poznasz i zrozumiesz równanie ruchu nierozerwalnie związane z wykresem zależności przemieszczenia od czasu, opisującym ruch swobodnie spadającego obiektu. Ponadto osobiście sprawdzisz, że warto swoje odpowiedzi poddawać testowi W.J.W.P.

Jak wysoki powinien być dźwig?

282

Zarówno wykresy, jak i równania służą do opisywania prawdziwego świata

284

Ważne są punkty początkowe i końcowe

285

Dysponujesz równaniem na prędkość spadającej klatki, ale co z tym przemieszczeniem?

288

Poszukaj średniej prędkości na wykresie zależności prędkości od czasu

293

Sprawdzaj równania, z których korzystasz, wstawiając do nich różne liczby

295

Obliczamy przemieszczenie klatki!

297

Teraz już wiesz, jak wysoki powinien być dźwig!

298

Teraz Dingo chciałby dowiedzieć się czegoś więcej

299

Pomocne okaże się podstawienie

300

Pozbywaj się niechcianych zmiennych z równań, wykonując odpowiednie podstawienia

303

Kontynuujemy podstawienia…

305

Udało się! Wyprowadziłeś użyteczne równanie, dzięki któremu można policzyć przemieszczenie klatki!

308

Sprawdź równanie, sprawdzając Jednostki

309

Sprawdź równanie, wstawiając do niego skrajne wartości zmiennych

312

Twoje równanie zdało egzamin!

317

No i Dingo zrzucił klatkę…

318

Poradnia pytań — podstawienia

319

Poradnia pytań — „sprawdzanie jednostek” albo „analiza wymiarowa” 320

16

Spis treści

Równania ruchu (część II)

8    

Wyżej, w górę i… znów na dół Wszystko, co wzleci, musi kiedyś opaść. Wiesz już, jak radzić sobie z przedmiotami, które swobodnie spadają na ziemię. Świetnie, ale co z pozostałą częścią problemu? Co z ciałami wystrzelonymi w powietrze? W tym rozdziale poznasz trzecie z kluczowych równań ruchu. Mając do dyspozycji taki arsenał, poradzisz sobie z (prawie) wszystkim! Dowiesz się też, jak rozwiązywać problemy nierozwiązywalne za pomocą odrobiny symetrii.

ACME 2

1

       

Dziś ACME ma do zaoferowania nową, zdumiewającą wyrzutnię klatek

328

Przyspieszenie pojawiające się w wyniku działania siły grawitacji jest stałe

330

Prędkość i przyspieszenie mają przeciwne zwroty, więc mają też przeciwne znaki

332

Na podstawie jednego wykresu możesz określić kształty innych

337

Czy wyniki obliczeń układają się w taki sam kształt, jaki mają Twoje szkice?

342

Na szczęście ACME ma w swojej ofercie poduszkowiec z napędem odrzutowym!

349

Podstaw odpowiednie wyrażenie za zmienną t, żeby otrzymać nowe równanie

352

Wymnóż zawartość nawiasów

355



Pomnóż zawartości dwóch nawiasów przez siebie

356

 !"

Możesz wreszcie zająć się drugim nawiasem znajdującym się po prawej stronie równania

357

Jak miewa się Twoje równanie?

359

Pogrupuj wyrazy podobne, żeby uprościć zapis równania

359

Dzięki nowemu równaniu możesz obliczyć drogę hamowania

361

Do opisu ruchu ze stałym przyspieszeniem przydadzą Ci się TRZY kluczowe równania

362

 

    

     #

ACME

'  # #

 $%#&    ()*   , +,-.#& '

/ 0    '

Musisz obliczyć prędkość, z jaką należy wystrzelić Dingo na szczyt urwiska!

365

Musisz znaleźć inną metodę rozwiązania problemu Dingo

370

To początek pięknej przyjaźni

374

Poradnia pytań — „narysuj wykres” kontra „wskaż wykres”

375

Poradnia pytań — symetria i punkty szczególne

376

17

Spis treści

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

9

Koniec drabiny znajduje się daleko od szczytu muru twierdzy.

Drabina

15,0 m

Przejście w drugi wymiar Potrafisz już rozwiązywać jednowymiarowe problemy fizyczne. Co powiesz na to, żebyśmy zajęli się czymś bardziej życiowym? W prawdziwym życiu obiekty nie poruszają się tylko w górę i w dół, ale również na boki! Jednak nie ma powodu do niepokoju, albowiem już niedługo zyskasz nowe, trygonometryczne supermoce, dzięki którym wszędzie będziesz dostrzegał trójkąty prostokątne, a to umożliwi Ci sprowadzanie zadań wyglądających na skomplikowane do prostych problemów fizycznych, które potrafisz rozwiązać.

Mur

15,0 m Fosa z wodą

Początek drabiny oparty został o brzeg fosy.

Kamelot, mamy problem!

380

Jak szeroka powinna być fosa?

383

Wygląda trochę jak trójkąt, prawda?

384

Tworzenie rysunków z zachowaniem proporcji rysowanych obiektów może okazać się pomocne

386

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa możemy szybko obliczać długości boków w trójkątach

387

Szkic + kształt + równanie = problem rozwiązany!

389

Kamelot… mamy KOLEJNY problem!

392

Porównaj swój kąt z kątem w trójkącie

395

Możesz pogrupować trójkąty podobne ze względu na stosunki długości ich boków

398

Sinus, cosinus i tangens zawierają relacje między długościami boków i miarami poszczególnych kątów w trójkątach prostokątnych

399

Sinus bez tajemnic

402

Niektóre kalkulatory mają wbudowane tablice sin(), cos() i tg()

404

Wracamy do twierdzy — los zamkniętych w niej ludzi spoczywa w Twoich rękach!

407

Ojej, jeszcze grawitacja…

411

Wektory przyspieszenia i prędkości kuli armatniej mają różne kierunki

413

Grawitacja wszystkim obiektom nadaje skierowane w dół przyspieszenie o wartości 9,8 m/s2

414

Pozioma składowa wektora prędkości obiektu, który leci swobodnie, nie zmienia się

415

Pozioma składowa wektora prędkości obiektu poruszającego się swobodnie w powietrzu jest stała

416

Tą samą metodą da się rozwiązać dwa zupełnie różne problemy fizyczne

419

Poradnia pytań — obiekty swobodnie przemieszczające się w powietrzu 420

15,0 m



Drabina 5,0

m

Mur

c

25,0 m

2

15,0 m

b

15,0 m

Fosa

18

Jaka jest minimalna wymagana szerokość fosy?

Zacznij od szkicu.

?m

Znajdź na obrazku znajome kształty (trójkątów, prostokątów itp.).

a Skorzystaj z równania opisującego rozpoznany na rysunku kształt.

Spis treści

Zasada zachowania pędu

10

Co zrobił pan Newton? Nikt nie lubi żyć w niewiedzy. Jak dotąd nauczyłeś się radzić sobie z problemami, w których ciała były już w ruchu. Ale co wprawia je w ruch? Wiesz, że ciało zacznie się poruszać, jeśli coś je popchnie — ale jak będzie się poruszać? W tym rozdziale nauczysz się, dzięki zasadom dynamiki Newtona, pokonywać bezwładność. Dowiesz się także, czym jest pęd i dlaczego podlega zasadzie zachowania oraz jak wykorzystywać ją do rozwiązywania zadań.

Statek piracki ma drobny problem ze statkiem widmo…

436

Od czego zależy zasięg lotu?

439

Oddanie strzału pod kątem 45° pozwala osiągnąć maksymalny zasięg

440

Nie da się zrobić wszystkiego, co teoretycznie jest możliwe, czasami trzeba myśleć praktycznie

441

Bitwo-Pol ma w ofercie nowe, kamienne kule armatnie, które mają umożliwiać oddawanie strzałów na większą odległość

444

Masywne obiekty ciężej wprawia się w ruch

446

Masywne obiekty ciężej się zatrzymuje

446

I zasada dynamiki Newtona

447

Masa ma znaczenie

448

Kula z kamienia ma mniejszą masę, więc jej prędkość będzie większa. Ale o ile większa?

451

Oto czym dysponuje pracownia

454

Jaka zależność łączy siłę, masę i prędkość?

455

Zmieniaj każdorazowo tylko jedną zmienną

458

Iloczyn masa × prędkość, czyli pęd, jest zachowany

462

Duża siła działająca na ciała skutkuje większą zmianą pędu

464

Zapisz zasadę zachowania pędu w postaci równania

465

Zasada zachowania pędu jest innym sposobem wyrażenia III zasady dynamiki Newtona

466

Obliczyliśmy prędkość kuli kamiennej, ale nadal nie znamy zasięgu!

473

Oblicz nowy zasięg z proporcji

474

Poradnia pytań — pytanie o proporcję (często w postaci testu wielokrotnego wyboru)

478

Tor lotu kuli armatniej

Okręt piracki

Okręt widmo

Kąt oddania strzału Morze

Zasięg kuli to jej przemieszczenie w kierunku poziomym.

Zasięg

19

Spis treści

Ciężar i siła normalna

11 Kombinatorzy wagi ciężkiej

Zgub zbędne kilogramy NATYCHMIAST!!! (za jedyne 1499 zł)

Siły na start Czasami musisz wspomóc się siłą argumentów. W tym rozdziale wykorzystasz swoją wiedzę na temat zasady zachowania pędu i wyprowadzisz dzięki niej II zasadę dynamiki Newtona, Fwyp = ma. Mając do dyspozycji to równanie, III zasadę dynamiki Newtona (akcjareakcja) i wiedzę o sporządzaniu diagramu rozkładu sił, dasz sobie radę z (prawie) wszystkim. Dowiesz się też, czym różni się masa od ciężaru, i nauczysz się pomagać sobie w dyskusjach siłą normalną argumentów.

Kombinatorzy wagi ciężkiej znów działają!

482

Czy ciężar faktycznie może zmaleć w jednej chwili?

483

Waga działa dzięki odpowiedniemu rozciąganiu i ściskaniu sprężyny

484

Masa jest miarą ilości materii

486

Ciężar jest siłą

486

W zależności łączącej siłę z masą pojawia się pęd

488

Jeżeli masa ciała jest stała, Fwyp = ma

490

Waga mierzy siłę oparcia

493

Możesz podważyć sposób działania urządzenia!

495

Urządzenie zmniejsza siłę oparcia

496

Para sił pomoże Ci sprawdzić poprawność rozwiązania

498

Zdemaskowałeś Kombinatorów wagi ciężkiej!

500

Podłoże może działać na Ciebie wyłącznie siłą prostopadłą (normalną) do swojej powierzchni 502 Ciało zjeżdżające z równi nie doznaje przyspieszenia prostopadle do jej powierzchni

505

Składowe prostopadła i równoległa pomogą Ci poradzić sobie z równią 507 Kombinatorzy wagi ciężkiej Przed

Po!

Zgub zbędne kilogramy NATYCHMIAST!!! (za jedyne 1499 zł)

20

Poradnia pytań — diagram rozkładu sił

510

Poradnia pytań — ciało na równi

511

Spis treści

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

12

Poukładajmy to jakoś Zapamiętanie całego mnóstwa wzorów nie zda Ci się na nic, jeśli nie będziesz umiał ich zastosować. Znasz już równania ruchu, potrafisz rozkładać wektory na składowe, narysować diagram rozkładu sił, wiesz też, czym są zasady dynamiki Newtona. Z tego rozdziału dowiesz się, jak stosować wszystkie te narzędzia do rozwiązywania bardziej złożonych problemów fizycznych. Nieraz zdarzy Ci się odkryć, że problem, z którym się mierzysz, przypomina Ci coś, co już kiedyś robiłeś. Postaramy się też dodać nieco realizmu do rozwiązywanych zadań przez wprowadzenie siły tarcia i pokażemy Ci, dlaczego popęd siły bywa czasami pomocny.

Pora na… SimFutbol!

516

Pęd podczas zderzenia jest zachowany

520

Zderzenie może zachodzić przecież pod kątem

521

Trójkąt bez kąta prostego jest niewygodny

523

Zrób trójkąty prostokątne z wektorów składowych

524

Programista wprowadza do kodu zasadę zachowania pędu w 2D…

527

W życiu stale towarzyszy nam siła tarcia

528

Tarcie zależy od rodzajów stykających się powierzchni

532

Uważaj, wyznaczając wartość siły normalnej

533

Jesteś gotów do wprowadzenia tarcia w grze!

535

Wprowadzenie tarcia sprawia, że zawodnicy nie ślizgają się w nieskończoność!

536

Ślizganie się po boisku działa świetnie, ale ciągnięcie opony nadal sprawia kłopoty

537

Wyznaczenie składowych sił pomogło!

541

Obnażamy tarcie

542

Poradnia pytań — pytania o tarcie

543

Na czym polega kopnięcie piłki?

544

Ft to popęd siły

546

Gra działa doskonale, ale pojawiły się zmiany w specyfikacji!

550

Żeby zwiększyć realizm rozgrywki, zawodnicy powinni czasami się poślizgnąć

553

Tylko tarcie może sprawić, że zdołasz zmienić kierunek ruchu w poziomie na płaskim podłożu

554

Gra jest świetna, a wyprawa do parku X-Force zapowiada się rewelacyjnie!

555

Zasady dynamiki Newtona dają Ci prawdziwą moc

556

21

Spis treści

Moment siły i praca

13

Chwila uniesienia Fizyka pozwala dokonywać nadludzkich czynów. W tym rozdziale dowiesz się, jak wykorzystać moment obrotowy, by za pomocą dźwigni dać pokaz niezwykłej siły. Ale jak wiadomo, na świecie nie ma nic za darmo — energia musi być zachowana, więc praca, jaką musisz wykonać, by nadać ciału energię potencjalną grawitacji, będzie zawsze taka sama.

Pół królestwa dla tego, kto zdoła unieść miecz uwięziony w kamieniu… 560

22

Czy fizyka może okazać się przydatna podczas podnoszenia ciężkich przedmiotów?

561

Zamień dźwignią małą siłę na dużą

563

Przeprowadź doświadczenie, które odpowie na pytanie, gdzie umieścić punkt podparcia

565

Zerowy wypadkowy moment siły jest warunkiem równoważenia dźwigni

569

Podnieś miecz z kamieniem za pomocą dźwigni!

574

Poradnia pytań — dwa równania, dwie niewiadome

577

Unosisz ramię dźwigni z mieczem uwięzionym w kamieniu… ale zbyt nisko!

579

Nic za darmo

581

Przesuwając ciało wbrew działającej na nie sile, wykonujesz pracę

582

Praca potrzebna do wykonania zadania = siła × przesunięcie

582

Który sposób wymaga wykonania mniejszej ilości pracy?

583

Jednostką pracy jest dżul

585

Energia określa zdolność ciała do wykonania pracy

586

Podnoszenie kamieni to zmienianie postaci energii

586

Zasada zachowania energii pozwala rozwiązywać zadania, w których pojawia się różnica wysokości

589

Czy zasada zachowania energii uratuje sytuację?

591

Poza pokonaniem grawitacji musisz też pokonać siłę tarcia

593

Praca wykonana w celu pokonania siły tarcia zwiększa energię wewnętrzną ciała

595

Ogrzewanie zwiększa energię wewnętrzną

596

Nie można osiągnąć 100% sprawności

597

Spis treści

Zasada zachowania energii

14

Ułatw sobie życie Po co się męczyć, skoro można ułatwić sobie życie? Na razie rozwiązywałeś wszystkie problemy, posługując się równaniami ruchu, siłami i składowymi wektorów. To doskonałe narzędzia, ale czasami wiążą Cię na długi czas w skomplikowanych obliczeniach matematycznych. Z tego rozdziału dowiesz się, jak zauważać, kiedy możesz uprościć rozwiązanie skomplikowanego problemu, posługując się zasadą zachowania energii.

Jedyny w swoim rodzaju tor bobslejowy

604

Pierwszą część zadania rozwiążesz, rozkładając siły na składowe… ale w drugiej części tor nie ma już stałego nachylenia

607

Poruszające się ciało ma energię kinetyczną

609

Energia kinetyczna zależy od prędkości ciała

611

Oblicz prędkość sanek, znając zasadę zachowania energii i zmianę wysokości na torze

613

Rozwiązałeś drugą część zadania, posługując się zasadą zachowania energii

615

W trzeciej części zadania musi pojawić się siła, która zatrzyma sanki

615

Hamulec pracuje

617

Wykonywanie pracy przeciw sile tarcia zwiększa energię wewnętrzną

618

Zasada zachowania energii pomaga łatwiej rozwiązywać złożone problemy

623

Pomiędzy pędem a energią kinetyczną istnieje praktyczna różnica

625

Poradnia pytań — „wykaż, że…”

628

Poradnia pytań — przekazywanie energii

629

Zasada zachowania pędu nadaje się do rozwiązywania problemu zderzeń niesprężystych

631

Do obliczenia niewiadomych w zderzeniu sprężystym będziesz potrzebować drugiego równania

631

Zasada zachowania energii to drugie z potrzebnych Ci równań

633

Rozkładanie na czynniki oznacza wstawienie nawiasów

635

Teraz wiesz już, jak radzić sobie ze zderzeniami sprężystymi

636

Prędkość względna w zderzeniu sprężystym zmienia kierunek

637

Strzał zaprzeczający grawitacji, który wymaga nieco doszlifowania…

638

Początkowe zderzenie jest niesprężyste, więc energia mechaniczna układu nie jest zachowana

640

Zderzenie niesprężyste opisz zasadą zachowania pędu

641

Poradnia pytań — wahadło balistyczne

643

23

Spis treści

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania

15

problemów fizycznych

Inny kierunek Czasami musisz sobie radzić z sytuacjami pełnymi napięć. Do tej pory korzystałeś z wiedzy na temat sił, rysowałeś diagramy rozkładu sił, a także zapoznałeś się z zasadą zachowania energii. W tym rozdziale zajmiemy się linami, bloczkami i naprężeniami, zwanymi czasem również napięciami. Przy okazji nauczysz się dostrzegać znajome znaki rozpoznawcze podczas rozwiązywania nieznanych sobie problemów fizycznych.

Oto co POWINNO się wydarzyć…

Deskorolka jest ciągnięta przez linę wzdłuż molo.

To ptak! To samolot! Nie… to… facet na deskorolce?!

648

Zawsze szukaj czegoś, co znasz

649

Wartość przyspieszenia balastu jest taka sama jak wartość przyspieszenia Michała

652

Skorzystaj z wiedzy o naprężeniu, aby rozwiązać zadanie

655

Patrz na cały szkic oraz na różne jego fragmenty

661

Ale w przededniu zawodów…

663

Korzystanie z zasady zachowania energii jest prostsze niż opisywanie problemów fizycznych za pomocą wektorów sił

665

I oto jedzie deskorolkarz…

670

Po dotarciu deskorolki do krawędzi molo Michał porusza się z prędkością v.

v Jeśli prędkość początkowa Michała będzie odpowiednia, chłopak poleci wzdłuż tej trajektorii i trafi prosto w cel.

Zawody odbywają się w trakcie przypływu, gdy szczyt molo znajduje się na wysokości 11,0 m nad powierzchnią wody.

Środek tarczy, w którą mają celować zawodnicy, znajduje się w odległości 15,0 m od miejsca, gdzie powierzchnia wody styka się z molo.

11,0 m Balast uderza o powierzchnię wody.

15,0 m

24

Spis treści

Ruch po okręgu (część I)

16

Od α do ω Więc mówisz, że sprawy mogą obrócić się przeciw nam? W tym rozdziale poznasz zagadnienia dotyczące ruchu obrotowego, przejdziesz intensywny kurs anatomii okręgu, dowiesz się, co łączy promień i obwód z Piastem Kołodziejem (choć powinnam raczej powiedzieć o Πaście Kołodzieju). Gdy dowiesz się już, czym są częstotliwość i okres, będziesz musiał nauczyć się przechodzenia od wartości liniowych do wartości kątowych. Ale nie martw się — wystarczy, że zrozumiesz, czym jest radian, by nie mieć z tym problemów.

Słuchaj mały, doroczne derby chomików w Kentucky to wielki interes, a my musimy trzymać się rozkładu!

Droga [km]

15,0

10,0

2,0

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

Ustawienia silnika

Zrób rozgrzewkę przed rozpoczęciem dorocznych derby chomików w Kentucky

676

Możesz zrewolucjonizować treningi chomików

677

Nowe spojrzenie na problem bywa pomocne

679

Liczba  łączy promień okręgu z jego obwodem

681

Przeliczanie odległości liniowej na obroty

683

Zamień szybkość liniową na herce

685

Uruchamiasz maszynę… ale koło obraca się zbyt wolno!

687

Spróbuj uzyskać kilka wartości, które połączą ze sobą mierzone wielkości

689

Jednostki na silniku to radiany na sekundę

690

Przelicz częstotliwość na częstość kołową

695

Tor treningowy dla chomików jest gotowy!

696

Pogawędki przy kominku

697

Możesz zwiększyć szybkość (liniową), zwiększając promień koła

701

Poradnia pytań — wielkości kątowe

704

()

3,0

4,0

5,5

Właściciel stajni chomików, miliarder

0 5 10 15 20 25

25

Spis treści

Ruch po okręgu (część II)

17

Nie zgub tropu Czy poczułeś kiedyś, że Twój rozmówca wypadł z toru? A to właśnie ma miejsce, gdy próbujesz zmusić ciało do poruszania się po okręgu, ale nie zapewniasz odpowiedniej siły dośrodkowej. Z tego rozdziału dowiesz się, czym dokładnie jest siła dośrodkowa i dlaczego dzięki niej nie zboczysz z utartych szlaków, a przy okazji rozwiążesz kilka dość poważnych problemów dręczących astronautów stacji kosmicznej Head First. Nie ma co zwlekać. Odwróć kartkę i zaczynamy!

mają dość Astronauci zenia os ciągłego un . Chcą się w pustce grunt pod znów poczuć przestrzeni nogami — w kosmicznej!

Siła normalna

θ Ciężar, Q = mg

26

Houston… mamy problem

708

Wszystkie ciała spadające swobodnie zdają się unosić w przestrzeni

710

Czego w porównaniu z warunkami panującymi na Ziemi brakuje astronaucie na stacji kosmicznej?

711

Czy można symulować działanie siły kontaktowej odczuwalnej na Ziemi?

713

Przyspieszenie stacji sprawi, że poczujesz działanie siły kontaktowej

715

Ruch po okręgu nie byłby możliwy bez działania siły dośrodkowej

718

Siła dośrodkowa jest zwrócona do środka okręgu

721

Jeżeli stacja zacznie się obracać, astronauta poczuje działanie siły kontaktowej

722

Co wpływa na wartość siły dośrodkowej?

723

Znajdź równanie przyspieszenia dośrodkowego

725

Spraw, by na astronautów zadziałała siła dośrodkowa

727

Podłoga to powierzchnia boczna cylindra

730

Przeprowadźmy test stacji…

733

Poradnia pytań — siła dośrodkowa

736

Sanki muszą wejść w zakręt

738

Wyprofilowanie toru pozwala uzyskać poziomą składową siły normalnej

741

W czasie zjeżdżania po równi w dół nie występuje żadne przyspieszenie prostopadłe do powierzchni równi

742

Ciało biorące zakręt nie przyspiesza w pionie

743

Jak postępować z ciałem na równi pochyłej

744

„Siła oparcia” (czyli siła normalna albo naprężenie) pojawiająca się w ruchu po okręgu w płaszczyźnie pionowej ulega zmianie

748

Każda siła działająca na ciało w kierunku środka okręgu może zmienić wartość siły dośrodkowej

751

Poradnia pytań — profilowany zakręt

755

Poradnia pytań — okrąg w płaszczyźnie pionowej

756

Spis treści

Grawitacja i orbity

18

Uciec od tego wszystkiego Nawiązałeś już bardzo bliską znajomość z grawitacją, ale co stanie się z wzajemnym przyciąganiem, gdy Twoje stopy oderwą się od ziemi? W tym rozdziale zapoznasz się z nową twarzą grawitacji — zależnością odwrotności kwadratu — i ujarzmisz potencjał grawitacyjny, dzięki czemu odbędziesz podróż ku nieskończoności… i jeszcze dalej. Powracając do domu, dowiesz się nieco o orbitach i podniesiesz swoje zdolności (tele)komunikacyjne.

Natężenie pola grawitacyjnego

Organizacja przyjęć, wielkie wydarzenie i mnóstwo sera

760

Jaka powinna być długość patyczka koktajlowego?

761

Ser tworzy kulę

763

Powierzchnia kuli serowej jest taka sama jak powierzchnia wszystkich kostek sera

764

Niech stanie się ser…

767

Zapraszamy na przyjęcie!

769

Na koniec świata i jeszcze dalej!

770

Siła grawitacyjna Ziemi słabnie, gdy oddalasz się od planety

773

Grawitacja jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości

779

Teraz możesz obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego statku w dowolnym punkcie przestrzeni

785

Energia potencjalna jest równa polu pod wykresem zależności siły od odległości

787

Jeżeli w nieskończoności Ep = 0 J, otrzymane równanie będzie prawdziwe dla dowolnej gwiazdy czy planety

789

Obnażamy energię potencjalną

790

Oblicz prędkość ucieczki z zasady zachowania energii

791

Musimy mieć łączność z astronautą

795

Siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej

798

Satelity komunikacyjne są już na swoich miejscach, więc Pluton (i cały wszechświat) stoją przed nami otworem

801

Poradnia pytań — siła grawitacji = sile dośrodkowej

802

Natężenie pola grawitacyjnego Ziemi maleje gwałtownie wraz ze zwiększaniem się odległości od powierzchni planety.

Odległość Natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości.

27

Spis treści

Drgania (część I)

19

28

W kółko i na okrągło Sprawy widziane pod innym kątem potrafią zupełnie zmienić swój wydźwięk. Do tej pory śledziłeś ruch po okręgu wyłącznie z góry, nie zastanawiając się, jak to wygląda z boku. W tym rozdziale połączysz swoją wiedzę na temat ruchu po okręgu ze znajomością trygonometrii, by poznać definicje funkcji sinus i cosinus. Gdy nie będą już one stanowiły dla Ciebie tajemnic, bez trudu poradzisz sobie z każdym ciałem poruszającym się po okręgu — niezależnie od tego, jak na nie spojrzysz.

Witajcie w wesołym miasteczku!

806

Odwzoruj kaczkę na ekranie

807

Ekran jest DWUWYMIAROWY

813

Wiemy już, jak rusza się kaczka… ale nie wiemy, gdzie dokładnie jest!

817

Zawsze gdy masz do czynienia ze składowymi wektora, staraj się odnaleźć jakiś trójkąt prostokątny

818

Pokażmy Jance jej wyświetlacz

826

Drugi strzelec widzi składową x przemieszczenia kaczki

827

Potrzebujemy też szerszej definicji cosinusa

828

Funkcje sinus i cosinus są ze sobą związane

829

Obnażamy sinus

831

Igrzyska czas zacząć!

832

Jaką prędkość kaczki obserwuje każdy ze strzelających?

833

Kształt wykresu prędkość – czas zależy od nachylenia wykresu przemieszczenie – czas

834

Stoisko ukończone!

838

Spis treści

Drgania (część II)

20

Sprężyny i huśtawki Co zrobić, gdy coś powtarza się w kółko i na okrągło? Ten rozdział, poświęcony drganiom, ma pomóc Ci dostrzec całość obrazu. Zbierzesz całą zgromadzoną dotąd wiedzę — o wykresach, równaniach, siłach, zasadzie zachowania energii i ruchu okresowym — żeby okiełznać sprężyny i wahadła poruszające się prostym ruchem harmonicznym. Mamy nadzieję, że wkrótce przeżyjesz jedyne w swoim rodzaju doświadczenie towarzyszące myśli „i kto tu rządzi?”… bez zbytniego powtarzania się.

1

2

3

4

Pora skończyć puste gadki

842

Kołyska dla roślin ma działać dla doniczek o trzech różnych masach

842

Sprężyna jest źródłem regularnych drgań

843

Wartość siły określają wychylenie z położenia równowagi i parametr sprężystości sprężyny

845

Ruch masy na sprężynie wygląda tak samo jak ruch po okręgu widziany z boku

849

Masa zaczepiona na sprężynie porusza się prostym ruchem harmonicznym

850

Prosty ruch harmoniczny to drgania sinusoidalne

853

Wyznacz wartości stałe, porównując równanie szczegółowe z równaniem ogólnym

854

Poradnia pytań — to równanie wygląda jak tamto

857

Ale Anka zapomniała o jednym drobiazgu…

859

Rośliny kołyszą się miarowo i tylko dzięki Tobie. Rządzisz!

865

Zmieniła się częstotliwość kołysania…

866

Częstotliwość drgań poziomej sprężyny zależy od przyczepionej do niej masy

868

Czy użycie pionowo mocowanej sprężyny będzie rozwiązaniem?

868

Wahadło porusza się prostym ruchem harmonicznym

874

Od czego zależy częstotliwość drgań wahadła?

875

Projekt wahadła okazał się rozwiązaniem idealnym!

877

Poradnia pytań — sprężyna pionowa

879

Poradnia pytań — zależności między wielkościami

880

5

29

Spis treści

Myśl jak fizyk

21

To już ostatni rozdział Czas ostro wziąć się do pracy. Zapoznając się z treścią tej książki, uczyłeś się utożsamiać wiedzę fizyczną ze zjawiskami, które obserwujesz na co dzień wokół siebie, a także wykształcałeś w sobie umiejętność rozwiązywania rozmaitych problemów fizycznych. W tym rozdziale będziesz miał okazję użyć swego nowego zestawu narzędzi fizyka do rozwiązania problemu, który omówiłam w rozdziale 1., czyli problemu tunelu bez końca wiodącego przez środek Ziemi. Musisz zadać sobie ważne pytanie: „Jak mogę wszystko to, co wiem, wykorzystać, żeby dowiedzieć się tego, czego jeszcze nie wiem?”.

Możesz zrzutować tę składową promienia na oś tunelu.

RZ

30

Masz za sobą naprawdę długą drogę!

884

Możesz dokończyć rozwiązywanie zadania z Ziemią

885

Podróż w obie strony przypomina prosty ruch harmoniczny

886

Ale jak długo trwa podróż w obie strony?

887

Możesz przyjąć założenie, że Ziemia to kula otoczona sferą

889

Wiesz, jak poradzić sobie z kulą, ale co zrobić ze sferą?

890

Wartość siły wypadkowej, z jaką działa na Ciebie otaczająca Cię sfera, wynosi zero

894

Wartość siły jest proporcjonalna do wartości przemieszczenia, a więc mamy PRH

897

Poradnia pytań — równanie, którego nigdy wcześniej nie widziałeś

899

Już znasz swoją szybkość średnią, ale… jaka jest Twoja największa szybkość?

901

Obserwowany z boku ruch po okręgu wygląda jak prosty ruch harmoniczny

902

Jesteś w stanie zrobić (prawie) wszystko!

905

Spis treści

To co się nie zmieściło

A Lepsza znajomość fizyki

Sześć bardzo ważnych kwestii (których nie poruszyliśmy wcześniej) W żadnej książce nie znajdziesz odpowiedzi na wszystkie pytania. Na stronach tej książki udało nam się omówić naprawdę wiele zagadnień z dziedziny fizyki. Czytając ją, zdobyłeś niemałą wiedzę i wykształciłeś w sobie umiejętności, które przydadzą Ci się w przyszłości, niezależnie od tego, czy będziesz przygotowywał się do egzaminów, czy po prostu zechcesz dowiedzieć się, jak działa świat wokół Ciebie. Tworząc niniejszy podręcznik, niejednokrotnie musieliśmy dokonywać trudnych wyborów, jakie zagadnienia omówić, a jakie pozostawić niewyjaśnione. W tym dodatku poruszymy kilka tematów, o których dotąd nie wspomnieliśmy nawet słowem, a które niewątpliwie są bardzo istotne i użyteczne.

Koniec Ucz się

Ćwicz

Ucz się

Ćwicz

Ucz się

Ćwicz

Ucz się

Ćwicz

Ucz się Start

1. Równanie prostej na wykresie: y = ax + b

908

2. Wartość przemieszczenia jest polem powierzchni figury geometrycznej utworzonej przez krzywą na wykresie zależności prędkości od czasu

910

3. Moment siły przyłożony do mostu

912

4. Moc

914

5. Rób zadania

914

6. Przygotowanie do egzaminu

915

Tablice wzorów

B

Skarbnica wiedzy Bardzo trudno jest zapamiętać coś, co widziało się tylko raz. W fizyce zdarzenia opisuje się równaniami. Za każdym razem, gdy korzystasz z jakiegoś równania, rozwiązując problem fizyczny, oswajasz się z nim, mimo że nie starasz się go za wszelką cenę zapamiętać.

z jedną płaszczyzną), ż określone równanie samo zapadnie Ci w pamięć, możesz chcieć móc sprawdzić z jakiZanim ch dwujednak wymiarowy została zbudowana. jego kształt w odpowiednich tablicach. Po to właśnie tworzy się w książkach

Trygonometria Twierdzenie Pitagoras a

Literą r zawsze oznacza się promień.

c

c2 = a2 + b2

Sinus

sin() =

Cosinus

cos() =

Tangens

tg() =

a c

a θ b

dodatki z tablicami wzorów — są one łatwo dostępnymi zbiorami informacji, z których możesz korzystać, gdy tylko zajdzie taka potrzeba.

b c

Skorowidz

921

a b

31

Spis treści

32

Jak uywa tej ksiki ?

Wstęp

Nie wierzę, że umieścili to w książce do fizyki!

Czy ta książka jest

dla Ciebie?

Ta książka jest dla każdego kto ma pieniądze by za nią zapłacić. Będzie wspa niałym prezentem dla kogoś specjalnego.

amy się odpowiedzieć W tym rozdziale postar ego ZDECYDOWALI SIĘ acz „Dl na palące pytanie do fizyki?”. umieścić to w książce

33

Jak używać tej książki?

Dla kogo jest ta książka? Jeśli odpowiesz twierdząco na wszystkie te pytania: 1

Czy masz dostęp do długopisu i kalkulatora pracującego w notacji naukowej?

2

Czy chcesz nauczyć się fizyki i zrozumieć ją, rozwiązując kolejne zadania zamiast czytać o nich w książkach niezależnie od tego, czy akurat przygotowujesz się do sprawdzianu, czy nie?

3

Czy wolisz rozmawiać z przyjaciółmi o interesujących sprawach zamiast słuchać suchych, nudnych pogadanek nauczycieli?

Nie martw się, jeśli nie masz kalkulatora — to wydatek rzędu kilkunastu złotych.

to ta książka jest dla Ciebie.

Kto powinien raczej trzymać się z dala od tej książki? Jeśli odpowiesz twierdząco na któreś z tych pytań: 1

Czy nie znasz podstaw algebry? (Nie chodzi o zaawansowaną wiedzę, ale powinieneś sprawnie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Omówienie wszystkich innych niezbędnych działów fizyki i matematyki znajdziesz w tej książce).

2

Czy jesteś fizycznym ninja, który szuka po prostu kolejnej encyklopedii przedmiotu?

3

Czy boisz się spróbować czegoś innego? Czy prędzej poddałbyś się kanałowemu leczeniu zęba niż założył prążki do kraty? Czy uważasz, że podręcznik, w którym znajdziesz plan wyścigów chomików czystej krwi, nie może być traktowany poważnie?

to ta książka zdecydowanie nie jest dla Ciebie.

(Uwaga od działu marketingu: Ta książka jest dla każdego, kogo na nią stać).

34

Wstęp

Wstęp

Wiemy, co sobie myślisz „Jakim cudem to ma być poważnym podręcznikiem do fizyki?” „O co chodzi z tymi wszystkimi rysunkami?” „Czy w ten sposób w ogóle czegoś się nauczę?”

Twój mózg uważa, że TO jest ważne.

Wiemy, o czym myśli Twój mózg Twój mózg poszukuje nowych doznań. Ciągle poszukuje, sprawdza otoczenie i czeka na coś niezwykłego. W ten sposób działa i dlatego pozostajesz przy życiu. Co zatem robi Twój mózg ze wszystkimi rutynowymi, normalnymi i codziennymi sprawami, z którymi masz do czynienia? Stara się ze wszystkich sił, by nie pozwolić im przeszkadzać w prawdziwej pracy mózgu — dostrzeganiu naprawdę istotnych spraw. Mózg nie marnuje energii na zapamiętywanie nudnych rzeczy. Te nigdy nie zdołają przedrzeć się przez filtr „to oczywiste, że ta sprawa nie jest ważna”. Skąd Twój mózg wie, co jest ważne? Załóżmy, że wybierasz się na spacer i nagle pojawia się przed Tobą tygrys. Co wtedy dzieje się w Twojej głowie i w Twoim ciele? Neurony płoną. Wybuchają emocje. Przelewa się przez Ciebie fala związków chemicznych. I właśnie stąd mózg wie…

Świetnie. Jeszcze tylko 880 nijakich, nieciekawych i nudnych stron.

To musi być ważne! Nie zapomnij! Ale wyobraź sobie, że siedzisz w domu lub bibliotece. To bezpieczne miejsca, wolne od napadów tygrysów. Uczysz się, może nawet przygotowujesz do sprawdzianu albo starasz się opanować jakieś skomplikowane techniczne a, zagadnienie, które według Twojego szefa nie powinno zająć Ci więcej niż Twój mózg uważ go nie warto te że tydzień, góra dziesięć dni. zapamiętywać. Jest tylko jeden problem. Twój mózg stara się wyświadczyć Ci przysługę. Stara się upewnić, że te najwyraźniej nieistotne treści nie zaśmiecą Ci pamięci, w której można przecież przechowywać naprawdę poważne informacje. Na przykład o tygrysach. Albo o zagrożeniu pożarem. Czy o tym, że nie powinieneś był umieszczać w serwisie Facebook tych zdjęć. Niestety nie istnieje żaden prosty sposób, by powiedzieć mózgowi „Słuchaj no, stary, wielkie dzięki, ale nieważne, jak nudna jest ta książka, nieważne, że na mojej emocjonalnej skali Richtera strzałka nawet nie drgnęła, te informacje naprawdę przydadzą mi się w przyszłości”.

jesteś tutaj 

35

Jak używać tej książki?

t iążek z serii Head Firs ks k ni el yt cz że y, Uważam ć. ma się czegoś nauczy

a potem sisz wszystko zrozumieć, mu erw jpi Na ? się nie ze uc a na wpychaniu Na czym zatem polega ią uczenie się nie poleg ośc wn pe z A . isz mn po za urobiologii upewnić się, że tego nie y nauk poznawczych, ne zin ied dz z nia da ba ze ws ęcej, niż tylko faktów do głowy. Najno że uczenie się to coś wi ją, zu ka ws nie raź wy je Twój mózg. i psychologii kształcenia my wiemy, na co reagu A ie. on str na o eg on czytanie tekstu umieszcz ek z serii Head First nia za pomocą książ za uc na d sa za lka Ki iej niż słowa, przez ją w pamięć znacznie lep Narysuj to. Obrazy zapada ia nad przypominaniem dan (ba znacznie wzrasta się a eni ucz ść no daj wy co ocentową poprawę). wiedzy wskazują na 89-pr sobie i przekazywaniem lub w ich pobliżu zą, unkach, których dotyc Umieszczaj słowa na rys na następną. sić eno prz le strony czy nawet do na je iać taw ws t ias zam przedstawioną treścią rozwiąże związane z tak Przekonasz się, że uczeń ej niż normalnie. problemy dwa razy szybci lem pisania. Najnowsze m, bardzo osobistym sty ski iar dz wę ga chę tro %, jeśli autor książki Posługuj się w na testach wzrosła o 40 nió ucz ść zno tec sku że , bie i utrzymując lekko badania dowodzą ika, pisząc w pierwszej oso teln czy do io dn śre po bez zwracał się ywnymi konstrukcjami giwać się oficjalnymi, szt słu po t ias zam l sty ki iars gawędz aj potocznego języka. zamiast wykładać. Używ aj iad ow Op i. nym ycz list sty bardziej Twoją uwagę — ważnie. Co przyciągnęłoby cia czy wykład? Nie traktuj siebie zbyt po ącym uczestnikiem przyję suj ere int z wa mo roz a pobudzając Innymi słowy, jeżeli chcesz bszego zastanowienia. neurony. Czytelnik Zmuś czytelnika do głę , musisz rozruszać nieco nia ała dzi ć do wę gło oją zmusić sw zainteresować nim i poczu si wciągnąć się w temat, ch mu wy ę, no acj nia tyw era mo ć zbi i mie si mu wniosków a problemów, wyciągania iczeń, ćw do ać usz zm a, ani inspirację do rozwiązywani zw wy musisz stawiać przed nim obydwie wiadomości. Dlatego też które zaangażują do pracy a, ęci zaj ć śla my wy i a ani pyt e tliw wy dch po zadawać kszość zmysłów. półkule jego mózgu i wię awdę chcę się tego znamy to uczucie — „Napr cy zys Ws a. nik tel czy ę ag mózg reaguje przede Zdobądź i utrzymaj uw ia pierwszej strony”. Twój tan czy e kci ełnie tra w już m przykuwające wzrok i zup nauczyć, ale usypia ane, interesujące, dziwne, si być tyk mu spo nie nie ale czy wc rze h na nyc wszystkim adnień technicz zag ych dn tru ch, wy no się ty. nieoczekiwane. Uczenie szybciej przyswoi nowe fak było ciekawe, Twój mózg nudne. Jeżeli sprawisz, by rzeczy zapamiętywania różnych y już, że Twoja zdolność em Wi a. ch uci any yw ucz kon ich z wy e rus kci Po w tra emocji, jakie pojawiają się zależy w dużej mierze od . Zapamiętujesz coś, gdy eży zal ie óln zeg szc Ci m czy na to, jego psie. sz ięta czynności. Pam serce historii o chłopcu i na myśli rozdzierających tu uczuciu my o i ma …?” nie I do . esz „co , zuj to poc ciekawość, radość ie, zen koc zas u typ ach czysz się czegoś, Mówimy raczej o emocj żesz jakąś łamigłówkę, nau wią roz gdy , się ia jaw po sobie, że Bob z działu „wymiatam!”, które dne, czy gdy uświadomisz tru dzo bar t jes b osó ych tego nie rozumie. co w oczach inn cej od Ciebie”, na pewno wię ice hn tec o ie „w ry inżynierii, któ

36

Wstęp

Wstęp

Metapoznanie, czyli myślenie o myśleniu Jeżeli naprawdę chcesz się uczyć, a do tego uczyć się szybciej i bardziej dogłębnie, zacznij zwracać uwagę na to, jak zwracasz uwagę na przyswajane fakty. Pomyśl o tym, jak myślisz. Poznaj swoje metody poznawania. Większość z nas nigdy nie uczestniczyła w kursach metapoznania i nie miała styczności z teorią uczenia się. Oczekuje się od nas, że będziemy się uczyć, ale nikt nie naucza nas, jak to robić.

Zastanawiam się, jak przekonać mózg do zapamiętania tych rzeczy…

Zakładamy jednak, że skoro czytasz tę książkę, chcesz naprawdę nauczyć się metod postępowania z fizyką. Przypuszczamy też, że nie chcesz poświęcić na to całego życia. Jeśli chcesz używać tego, co przeczytasz w tej książce, musisz to najpierw zapamiętać. To z kolei wymaga zrozumienia czytanego teksu. Żeby w pełni wykorzystać potencjał tego podręcznika, czy jakiejkolwiek innej książki lub kursu, musisz stać się odpowiedzialnym za swój mózg. Za jego przyswajanie tej treści. Cała sztuka polega na tym, żeby mózg zaczął postrzegać materiał, który właśnie opanowujesz jako Bardzo Ważny, wręcz decydujący o Twoim życiu. Tak istotny dla Twojego życia, jak głodny tygrys na drodze. W przeciwnym razie będziesz toczyć z mózgiem ciągłą walkę, gdyż on postara się ze wszystkich sił, by nowy materiał nie pozostał w Twojej głowie.

Co zatem zrobić, żeby mózg zaczął traktować fizykę z równą powagą, co głodnego tygrysa? Istnieją dwie drogi — powolna i żmudna oraz szybsza, przynosząca lepsze skutki. Metoda powolna polega na właściwym odbiorze. Wiesz oczywiście, że możesz nauczyć się i zapamiętać nawet najnudniejsze tematy, jeśli będziesz mozolnie wbijać je do głowy. Przy odpowiednio częstym powtarzaniu jakiegoś faktu Twój mózg stwierdzi „Nie wydaje mi się, by to było ważne, ale skoro ciągle gapi się na ten sam fragment tekstu, zapewne jest on istotny”. Metoda szybsza polega na zrobieniu czegokolwiek, co pobudzi aktywność mózgu, a najlepiej różne jej rodzaje. Podane na poprzedniej stronie wskazówki postępowania częściowo rozwiązują ten problem, a dowiedziono, że wszystkie wspomagają pracę mózgu. Przykładowo badania wykazały, że umieszczanie słów na rysunkach, które mają opisywać (a nie w postaci podpisów ilustracji czy oddzielnych akapitów znajdujących się w innych częściach strony), zmusza mózg do szukania związku pomiędzy czytanymi słowami i oglądanym rysunkiem. W ten sposób pobudza się do działania większą liczbę neuronów. Więcej aktywnych neuronów = większej szansie przekazania do mózgu sygnału, że dany temat wymaga uwagi i być może również zapamiętania. Nieformalny, gawędziarski styl tworzenia tekstu pomaga ludziom przyswajać wiedzę, ponieważ, jak się okazuje, większą uwagę przykładamy do informacji przekazywanych w rozmowie. Rozmowa zmusza nas do nadążania za myślą drugiej osoby i reagowania na nią. Niesamowite jest to, że Twój mózg nie przejmuje się faktem, że „rozmowa” przebiega między Tobą a książką! Z kolei formalny, suchy styl pisania jest postrzegany przez mózg w ten sam sposób, w jaki odbiera on wykład prowadzony na sali pełnej nieaktywnych słuchaczy. Mózg nie musi uważać. Ale rysunki i swobodny sposób wypowiedzi to dopiero początek…

jesteś tutaj 

37

Jak używać tej książki?

Oto co zrobiliśmy Wprowadziliśmy do książki rysunki, ponieważ mózg przyswaja lepiej obrazy niż słowa. W przypadku mózgu obraz jest wart tysiąca słów. A skoro najlepiej sprawdza się połączenie obrazów i słów, umieściliśmy te ostanie na rysunkach. Badania dowodzą, że tekst umieszczony wewnątrz obiektów, których dotyczy, zapada w pamięć znacznie lepiej niż podpis ukryty w innych partiach tekstu. Posłużyliśmy się techniką redundancji, czyli ujmowaliśmy opis tego samego problemu na różne sposoby, starając się korzystać za każdym razem z innych środków przekazu i odwoływać się do wielu zmysłów. Mamy nadzieję, że w ten sposób informacja zostanie zapisana w kilku obszarach mózgu. Staraliśmy się umieszczać niektóre pojęcia i obrazy w nieoczekiwanych miejscach, ponieważ mózg najlepiej reaguje na nowości. Chcieliśmy też, by przekazywane idee i stosowane ilustracje niosły ze sobą przynajmniej trochę treści o charakterze emocjonalnym, gdyż pamiętamy, że mózg najlepiej reaguje na procesy biochemiczne towarzyszące emocjom. Coś, co sprawia, że odczuwasz emocje, ma większe szanse zapaść Ci w pamięć, nawet jeżeli emocjami tymi będą jedynie wesołość, zaskoczenie czy zainteresowanie. Staraliśmy się nadać tekstowi osobisty charakter, przypominający nieco rozmowę, ponieważ Twój mózg reaguje żywiej, gdy ma wrażenie, że uczestniczysz w rozmowie, niż gdy wydaje mu się, że biernie słuchasz wygłaszanego wykładu. To wszystko dzieje się, gdy czytasz. Umieściliśmy w książce przeszło 80 różnych rodzajów zajęć, gdyż mózg lepiej uczy się i zapamiętuje więcej, kiedy wykonujesz pewne czynności, a nie tylko o nich czytasz. Dołożyliśmy też starań, by zajęcia te stanowiły pewne wyzwanie, ale dawały się wykonać, ponieważ ludzie najbardziej cenią sobie ten rodzaj aktywności. Zastosowaliśmy różne style nauczania, ponieważ nie wiemy, czy wolisz poznawać zagadnienia krok po kroku, czy też najpierw chciałbyś poznać całość problemu, a może najbardziej lubisz zaczynać pracę od poznania przykładu. Niezależnie jednak od ulubionego sposobu uczenia się każdy zyskuje więcej, mogąc zapoznać się z problemem na więcej niż jeden sposób. Umieściliśmy w książce zawartość, na którą zareagują obydwie półkule Twojego mózgu, ponieważ im większe fragmenty mózgu będą uczestniczyć w procesie uczenia się, tym większe masz szanse, by czegoś się nauczyć, coś zapamiętać i dłużej zachować skupienie. Gdy jedna półkula mózgu pracuje, druga w tym czasie odpoczywa, dzięki czemu Ty zachowasz świeżość umysłu przez dłuższy czas. Książka ta zawiera także różne historie i ćwiczenia przedstawiające więcej niż jeden punkt widzenia. Twój mózg uczy się szybciej, jeśli w trakcie procesu przyswajania wiedzy musi wydawać oceny i sądy. Stworzyliśmy specjalne wyzwania zawierające ćwiczenia i pytania, na które nie można udzielić prostych odpowiedzi, ponieważ wiemy, że Twój mózg uczy się lepiej i zapamiętuje szybciej, gdy musi nad czymś pracować. Przecież nie zyskasz zgrabnej sylwetki, jedynie patrząc na ludzi ćwiczących na siłowni. Jednocześnie upewniliśmy się, że jeśli ciężko nad czymś pracujesz, nie robisz tego na darmo. Zadbaliśmy, żebyś nie poświęcał ani jednego dendrytu na analizowanie niejasnego przykładu, przepełnionego żargonem tekstu czy zbyt skąpego opisu. Pisaliśmy o ludziach. W historiach, przykładach, na obrazkach itd. pojawiają się ludzie, ponieważ, cóż, Ty jesteś człowiekiem, przez co Twój mózg przywiązuje większą wagę do ludzi niż do rzeczy.

38

Wstęp

En. potencjalna

En. kinetyczna

En. potencjalna

Narzędzia fizyka

CELNE SPOSTRZEŻENIA

Wstęp

Oto co możesz zrobić, żeby zmusić swój rozum do posłuszeństwa My zrobiliśmy wszystko, co w naszej mocy, reszta należy do Ciebie. Potraktuj te wskazówki jako punkt wyjścia i wsłuchaj się w rytm pracy własnego mózgu. Postaraj się zorientować, które z metod pracy przynoszą w Twoim przypadku skutek, a które są zupełnie bezzasadne. Sprawdzaj nowe pomysły. Wytnij te uwagi i przyklej je na lodówce.

1

Zwolnij. Im więcej zrozumiesz, tym mniej będziesz musiał zapamiętać.

6

Nie ograniczaj się do samego czytania. Zatrzymaj się na chwilę i zastanów nieco. Gdy natkniesz się w książce na pytanie, nie unikaj udzielania odpowiedzi. Wyobraź sobie, że ktoś rzeczywiście zadaje Ci pytanie. Im bardziej wysilisz w czasie lektury swój mózg, tym większe masz szanse na nauczenie się czegoś i zapamiętanie nowych wiadomości.

2

Rozwiązuj zadania i rób własne notatki.

7

Czytaj zawartość podrozdziałów „Nie istnieją głupie pytania”.

8

Niech lektura tej książki będzie Twoim ostatnim zajęciem przed pójściem spać, a przynajmniej ostatnim wymagającym skupienia. Część procesu uczenia się (szczególnie ta dotycząca przenoszenia danych do pamięci długotrwałej) odbywa się po odłożeniu książki na bok. Jeśli w czasie przetwarzania nowych informacji dostarczysz do głowy nowe dane, część uzyskanych poprzednio zostanie stracona.

5

Pij wodę, mnóstwo wody. Twój mózg pracuje najlepiej zanurzony w przyjemnej kąpieli. Odwodnienie (mające często miejsce, zanim poczujesz pragnienie) obniża jego zdolności poznawcze.

Rozbudź w sobie uczucia. Twój mózg musi wiedzieć, co jest ważne. Wczuj się w czytane historie. Wymyślaj własne podpisy do zdjęć. Jęk żalu wywołany kiepskim żartem jest mimo wszystko lepszy niż brak jakiejkolwiek reakcji.

Wszystkich. To nie tylko uwagi czynione na marginesie myśli przewodniej rozdziału — ich treść stanowi istotną część tematu! Nie omijaj jej.

4

Wsłuchaj się w swój mózg. Uważaj, by nie przeładować mózgu informacjami. Jeśli stwierdzisz, że jedynie przemykasz po powierzchni zagadnienia albo w ogóle nie pamiętasz tego, co właśnie przeczytałeś, powinieneś zrobić sobie przerwę. Po przekroczeniu pewnego punktu granicznego nie zwiększysz już tempa przyswajania wiedzy, nawet jeżeli będziesz się strasznie wysilać, co więcej, możesz niechcący zakłócić przebieg całego procesu.

Zamieściliśmy w podręczniku różne problemy, ale nie rozwiązywaliśmy ich za Ciebie, gdyż takie wyręczanie Cię byłoby równoznaczne z, na przykład, wykonaniem za Ciebie ćwiczeń fizycznych. Postaraj się nie tylko przyglądać się ćwiczeniom. Skorzystaj z ołówka. Istnieją niezliczone dowody na to, że ćwiczenia fizyczne wykonywane w czasie nauki przyspieszają tempo przyswajania materiału.

3

Mów na głos. Mówienie wymaga aktywności innych partii mózgu niż czytanie. Jeśli starasz się zrozumieć coś, czy zwiększyć szansę przypomnienia sobie tego później, powiedz to na głos, a jeszcze lepiej postaraj się wyjaśnić ten problem innej osobie. W ten sposób szybciej opanujesz wybrany materiał, a może nawet odkryjesz idee, których istnienia nie podejrzewałeś w czasie czytania podręcznika.

9

Zajmuj się fizyką! Najlepszą metodą uczenia się fizyki jest… zajmowanie się fizyką i to właśnie będziesz robić podczas lektury tej książki. Dzięki nam nabierzesz praktyki w obcowaniu z fizyką. Każdy rozdział zawiera ćwiczenia, na które rozbiliśmy omawiane w książce problemy. Nie unikaj ich rozwiązywania — to bardzo ważny element procesu uczenia się. Umieściliśmy tu także rozwiązania zadań. Nie wahaj się zaglądać do nich, gdy utkniesz w martwym punkcie. Rzuć okiem na kilka pierwszych linijek, wróć do swoich zapisków i postaraj się kontynuować poznany właśnie tok rozumowania, ale zanim zajrzysz do proponowanego rozwiązania, spróbuj samodzielnie zmierzyć się z zadaniem, a już na pewno nie czytaj dalej, jeśli nie masz pewności, czy zrozumiałeś całe rozwiązanie problemu.

jesteś tutaj 

39

Jak używać tej książki?

Czytaj to! To podręcznik, a nie poradnik encyklopedyczny. Celowo usunęliśmy wszystkie informacje, które mogłyby zakłócić proces przyswajania wiedzy na poruszany właśnie temat. Czytając naszą książkę po raz pierwszy, musisz zacząć od początku, ponieważ w dalszych rozdziałach będziemy odwoływać się do wiedzy zdobytej w trakcie lektury rozdziałów wcześniejszych.

Zaczniemy od przeprowadzania doświadczeń, pomiarów, konstruowania wykresów i zapisywania równań. Potem przejdziemy do tematów związanych z siłami, zachowaniem energii i bardziej złożonych zagadnień, jak na przykład grawitacja czy ruch harmoniczny prosty. Żeby zajmować się bardziej złożonymi problemami, musisz dysponować solidnym fundamentem wiedzy, dlatego też rozpoczniemy pracę od poznania podstawowych narzędzi pracy fizyka — doświadczeń, pomiarów, wykresów i równań — oraz, co zdecydowanie jest najważniejsze, od przyzwyczajenia Cię do myślenia jak fizyk. Nie obawiaj się jednak, że czeka Cię nudny wstęp teoretyczny. Od samego początku będziesz zdobywać nową wiedzę, rozwiązując własnoręcznie ciekawe problemy. Opanowując podstawy, umożliwiasz swojemu mózgowi swobodne przyswojenie bardziej złożonych zagadnień, na przykład zasad dynamiki Newtona czy zasady zachowania energii. Gdy skończysz czytać tę książkę, będziesz już wiedział, co jest niezbędne, by wysyłać ludzi w kosmos. Będziemy uczyć Cię nowych rzeczy wtedy, gdy będą Ci one niezbędne, ponieważ tak przyswajana wiedza ma największą wartość. Tyczy się to również matematyki!

Czego nauczysz się z tej książki? Pisząc tę książkę, myśleliśmy przede wszystkim o konkretnym zadaniu, jakim jest przekazywanie Ci pewnej wiedzy. Chcieliśmy, żebyś poznał praktyczną stronę przeprowadzania doświadczeń i dowiedział się, jak wygląda analiza zebranych w ten sposób danych. Dowiesz się, jak rozbijać złożone problemy na pomniejsze zadania, które umiesz już rozwiązywać. Takie uczenie się fizyki przynosi dużo lepsze efekty niż przysłowiowe „kucie na blachę”, ponieważ daje Ci szansę zmierzenia się z każdym problemem, nawet jeśli wcześniej nie rozwiązywałeś identycznego zadania.

Pomożemy Ci znaleźć odwołania w sieci. Czytelnicy zgłaszali nam, że czasami potrzebują pomocy w trakcie lektury naszych książek, więc postanowiliśmy udostępnić odpowiednie narzędzia w internecie. Pod podanym poniżej adresem znajdziesz odnośniki do forum i innych źródeł wiedzy o naszej serii wydawniczej: http://www.headfirstlabs.com/books/hfphy/

40

Wstęp

Wstęp

Ćwiczenia, które tu znajdziesz, NIE są nieobowiązkowe. Wszystkie ćwiczenia i zadania, które tu znajdziesz, nie są żadnymi dodatkami — stanowią nieodłączną część prezentowanego przez nas materiału. Niektóre z nich mają pomóc Ci w zapamiętaniu pewnych pojęć, inne pozwolą zrozumieć wybrane zagadnienia, a jeszcze inne służą wykorzystaniu dopiero zdobytej wiedzy. Nie omijaj ćwiczeń. Słowne łamigłówki to jedyne ćwiczenia, których nie musisz wykonywać, ale nawet one są przydatne — pozwolą Ci odnaleźć inny kontekst poznanych właśnie określeń.

Redundancja jest zamierzona i niezwykle istotna. Książki z serii Head First wyróżnia to, że naprawdę zależy nam na przekazaniu Ci w nich pewnej wiedzy. Chcemy, żebyś przeczytał taką książkę i zapamiętał to, czego się z niej nauczyłeś. Autorzy poradników encyklopedycznych nie kładą zazwyczaj nacisku na zapamiętywanie i przypominanie sobie faktów, ale my chcieliśmy napisać książkę poświęconą uczeniu się, więc nieraz znajdziesz w niej powtórzenie pewnych wiadomości.

Nie podawaliśmy odpowiedzi do ćwiczeń z rodzaju „Wysil szare komórki”. Na niektóre z zadanych tam pytań nie da się udzielić poprawnej odpowiedzi, ale to Ty musisz zdecydować, czy rozwiązanie istnieje i czy Twoja odpowiedź jest właściwa. To część procesu uczenia. Niektóre z tych zadań zawierają wskazówki mające naprowadzić Cię na właściwy trop.

jesteś tutaj 

41

Zespół recenzentów

Zespół recenzentów technicznych John Allister

Scott Donaldson Georgia Gale Grant

Diane Jaquith Nieumieszczeni na zdjęciach (ale równie zachwycający): Philip Kromer Janet Painter Don Wilke

Marion Lang

Catriona Lang

Michael Lew

Bill Mietelski

Alice Pitt-Pitts

Recenzenci techniczni: John Allister ukończył studia na uniwersytetach Cambridge i Oxford. Legitymuje się między innymi dyplomem magistra fizyki doświadczalnej i teoretycznej. Przez pięć lat uczył fizyki, a teraz przygotowuje się do przyjęcia święceń w Kościele anglikańskim. Scott Donaldson jest redaktorem, majsterkowiczem i miłośnikiem matematyki i nauki. Szczególnymi względami darzy mechanikę i biologię. Georgia Gale Grant zajmuje się dorywczym pisaniem tekstów naukowych, jest propagatorem nauki i prezenterką. Wygłaszała odczyty na wydziale chemicznym uniwersytetu Oxford, a później zajęła się obroną pracy magisterskiej na wydziale komunikacji społecznej w londyńskim Imperial College. Diane Jaquith ukończyła studia z fizyki na Wesleyan University. Uczyła fizyki, chemii i nauk przyrodniczych w szkole średniej Durham High School w Durham w stanie Connecticut. Później wykładała fizykę w Notre Dame College i Pinkerton Academy w Derry, w stanie New Hapshire.

42

Wstęp

Catriona Lang uczyła się w klasie śpiewu konserwatorium w Birningham. Dziś utrzymuje się z dawania lekcji śpiewu. Marion Lang ukończyła filologię klasyczną na uniwersytecie St Andrews, a w chwili obecnej pracuje jako przedszkolanka. Prowadzi też zajęcia szkockiego dziecięcego chóru NYCoS Mini Music Makers. Sama jest członkinią Stirling Gaelic Choir. Bill Mietelski to programista uwielbiający książki z serii Head First i autorstwa Kathy Sierra. Ma zamiar zastosować wiedzę zdobytą dzięki Head First. Fizyka. Edycja polska by poprawić swoje uderzenie w golfie. Michael Lew przygotowuje uczniów średniej szkoły Loyola High School w Los Angeles do zdawania egzaminów z fizyki i informatyki na poziomie AP*. Pracuje jako nauczyciel od 1991 roku. Chwile wolne od pracy spędza z żoną Britt i trojką dzieci — Mike’iem, Jade i Danem. Alice Pitt-Pitts z radością przyjęła na siebie rolę królika doświadczalnego i podjęła się recenzowania książki Head First. Fizyka. Edycja polska. Lubi czytać, jeździć na rowerze i jeść lody, a teraz już wie, że wszystkimi tymi czynnościami rządzi zasada zachowania energii! * AP to zastrzeżony znak towarowy organizacji College Board

Wstęp

Podziękowania Redaktorzy: Dziękuję Catherine Nolan oraz Brettowi McLaughlinowi, którzy podjęli się redagowania tej książki w różnych stadiach jej przygotowania i bez słowa sprzeciwu dawali odpór różnicy czasu między Stanami Zjednoczonymi a Wielką Brytanią. Dziękuję również Mike’owi Loukidesowi, który zapoczątkował prace nad Head First. Fizyka. Edycja polska.

Catherine Nolan

Lou Barr

Zespół wydawnictwa O’Reilly:

Brett McLaughlin

Dziękuję Lou Barr, która sprawiła, że moje fantazje na temat, „czy nie byłoby miło gdyby…”, wymagające czegoś więcej niż tylko narysowania linii prostej, nabrały realnego kształtu. Nie poradziłabym sobie również bez pomocy Brittany Smith, która dokonała niemożliwego w ostatnich chwilach pracy nad książką. Nie chcę pominąć także Laurie Petrycki, Caitrin McCullough, Sandersa Kleinfelda, Julie Hawks, Karen Shaner czy Keitha McNamara.

Recenzenci: Dziękuję wszystkim osobom wymienionym na poprzedniej stronie. Jestem szczególnie wdzięczna Donaldowi Wilke, za jego wnikliwe komentarze dotyczące problemów fizycznych, oraz Johnowi Allisterowi za przedstawienie punktu widzenia nauczyciela fizyki, który wywarł wpływ na kształt całej książki. Niejedną poprawkę zawdzięczam komentarzom laików w dziedzinie fizyki, moich królików doświadczalnych — Marion Lang, Catriony Lang i Alice Pitt-Pitts. Dziewczyny wykonały doskonałą robotę, wskazując mi te miejsca, w których mogłabym przedstawiać problemy nieco jaśniej. To jak komputerowe obliczenia rozproszone, ale w wydaniu książki do fizyki.

eniem Poza wyraż czności ię swojej wdz ten chciałam w wdzić sposób sprawszyscy teorię, czy wymienieni w książce ę si zdecydują ojego na zakup sw. egzemplarza

Projekt fizyka.rozproszona: Nie zapominajmy o bohaterskich recenzentach i recenzentkach, którzy przedarli się przez maszynopis całego tekstu w jeden dzień… Alice Pitt-Pitts, Andrew Lynn, Brian Widdas, Catriona Lang, Emma Simmons, Gareth Poulton, Graham Wood, Hazel Rostron-Wood, Jason Williams, John Vinall, Marion Lang, Peter Scandrett, Robin Lang, Roger Thetford, Stephen Swain, Tim Bannister, Tim Dickinson i Will Burt.

jesteś tutaj 

43

44

Wstęp

1. Myl jak zyk

Na początku… I twierdzisz, że bycie częścią problemu jest tak naprawdę dobre?

Fizyka to nauka opisująca otaczający Cię świat i sposób działania jego poszczególnych elementów. Każdego dnia stykasz się z fizyką! Niemniej na samą myśl o uczeniu się fizyki możesz czuć się, jak gdybyś wpadał w dół bez dna — dół, z którego nie ma ucieczki. Nie przejmuj się tym, albowiem z niniejszego rozdziału dowiesz się, co powinieneś zrobić, by myśleć jak fizyk. Nauczysz się, w jaki sposób należy zagłębiać się w problemy fizyczne oraz jak korzystać z intuicji, by dostrzegać w tych problemach prawidłowości i „punkty szczególne”, których znajomość ułatwia rozwiązywanie zadań. Umiejętność stawania się częścią problemu fizycznego pozwoli Ci zbliżyć się o jeden krok do uzyskania odpowiedzi na nurtujące Cię pytanie.

to jest nowy rozdział

45

Witamy w świecie fizyki!

Fizyka w świecie, który Cię otacza Fizyka zajmuje się otaczającym nas światem i tym, jak naprawdę działają jego poszczególne elementy. W jaki sposób strzelić z armaty do celu, którego nie widać? Dlaczego satelita orbituje wokół Ziemi i nie spada? Czy uda Ci się wygrać nagrodę na strzelnicy podczas wizyty w wesołym miasteczku? Czy pies dingo dogoni emu… Wszystkie te problemy można by uznać za niezwykle interesujące… Są interesujące — do chwili, kiedy trzeba sięgnąć do typowego podręcznika fizyki, którego przeglądanie zazwyczaj sprawia, że czujemy się, jakbyśmy wpadali do dziury bez dna…

je jednostki

odwrotność kwadratu odległości

zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne

częstotliwość

siła dośrodkowa częstość kątowa składowa

moment obrotowy

stałe przyspieszenie

przemieszczenie tarcie

trygonometria prędkość kątowa symetria

energia kinetyczna spadek swobodny

nachylenie

energia wewnętrzna powierzchnia

Rozdział 1.

siła wahadło

ruch harmoniczny prosty Pitagoras P

bloczek

czas naprężenie

energia

podstawienie

równania ruchu radiany

siła normalna

Bądź częścią problemu. wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji

droga

notacja naukowa

okres

zderzenie sprężyste z

energia potencjalna sprężystości

równanie

doświadczenie

Nic z tego nie rozumiem!

pole grawitacyjne

popęd siły

przyspieszenie

wykres

ciężar sprężyna

zachowanie pędu

46

obwód

spadanie

(tego słowa nie powinno używać się w odniesieniu do Head First. Fizyka. Edycja polska!)

Ale jest nadzieja, poniewa…

i wpadasz właśnie tutaj!

podręcznik fizyki… Otwierasz normalny

energia mechaniczna prędkość promień praca

objętość

amplituda moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Myśl jak fizyk

Wiesz więcej, niż Ci się wydaje! Szczerze!

Mam nadzieję, bo przeczucie, że utknąłem tu po uszy, wcale mi się nie podoba!

Wyobraź sobie, że uczestniczysz w zdarzeniu, które starasz się opisać. Co działoby się z Tobą, gdybyś rzeczywiście był częścią oddziałującego układu?

Możesz wczuć się w problem, stając się jego częścią. Są to miejsca, w których zachodzą interesujące i (lub) istotne zdarzenia.

Możesz korzystać z intuicji podczas określania punktów szczególnych problemu. W jakich okolicznościach widziałeś coś takiego lub doświadczyłeś czegoś podobnego?

Możesz opierać się na swoim doświadczeniu życiowym, starając się odpowiedzieć na pytanie, jak działa świat. Nauka fizyki nie polega na zapamiętywaniu informacji, lecz na wyrabianiu w sobie umiejętności prawidłowego myślenia.

Czytając niniejszą książkę, nauczysz się myśleć jak fizyk. jesteś tutaj 

47

Czy możesz to poczuć?

Możesz wczuć się w problem, stając się jego częścią Najlepszym wstępem do rozmyślań nad dowolnym problemem fizycznym jest wyobrażenie sobie, że oto właśnie znalazłeś się w samym środku wydarzeń, które składają się na ów problem. Postaraj się wejść w rolę cegły, samochodu lub kierowcy rajdowego — w zależności od problemu, nad którym się głowisz — a następnie zadaj sobie pytanie, co powinieneś czuć jako obiekt uczestniczący w określonym zdarzeniu. W jakim kierunku się poruszam? Przyspieszam czy zwalniam? Czy coś mnie pcha lub ciągnie? (i tak dalej).

Rozwiązywanie wszystkich problemów fizycznych zaczynaj od ustalenia, co działo się w chwilach początkowych zdarzenia, które chcesz opisać. Następnie STAWAJ SIĘ częścią problemu!

Bądź częścią problemu fizycznego!

W takim razie, czy istnieje możliwość wydostania się z dziury bez dna? Załóżmy, że naprawdę wpadłeś w bezdenną dziurę, która jest korytarzem biegnącym przez środek Ziemi i łączącym jej przeciwległe końce. Co się z Tobą dzieje w takiej sytuacji (załóżmy również, że nasza planeta nie jest w środku ani gorąca, ani roztopiona)?

Stałeś na krawędzi przepaści i właśnie zrobiłeś wielki krok naprzód.

Nie wiesz, jak zacząć szukać odpowiedzi na powyższe pytanie? Nie szkodzi. Przestań na chwilę myśleć o problemie jako całości i cofnij się do początkowych chwil sytuacji, o której tu mowa. Stań się częścią problemu! Zadaj sobie pytanie: „Jak bym się czuł zaraz po wpadnięciu do tunelu, który wiedzie na drugą stronę Ziemi?”.

BĄDŹ częścią problemu Wyobraź sobie siebie wpadającego do dziury bez dna. Jak byś się czuł w opisanej tu sytuacji? W jakim kierunku byś się poruszał? Przyspieszałbyś czy zwalniał? Wreszcie, DLACZEGO czułbyś się tak, a nie inaczej?

KIERUNEK:

SZYBKOŚĆ:

DLACZEGO:

Zadaj sobie pytanie: „Co BYM CZUŁ, gdybym uczestniczył w zdarzeniu opisanym określonym scenariuszem?” 48

Rozdział 1.

Myśl jak fizyk

BĄDŹ częścią problemu. Rozwiązanie Wyobraź sobie siebie wpadającego do dziury bez dna. Jak byś się czuł w opisanej tu sytuacji? W jakim kierunku poruszałbyś się? Przyspieszałbyś czy zwalniał? Wreszcie, DLACZEGO czułbyś się tak, a nie inaczej? Zazwyczaj nie znamy rozwiązania problemu dopiero zaczynamy , którym się zajmować. Oto począ poszukiwań prawidło tek wej odpowiedzi.

P

: Jak dotąd nie zrobiłem niczego, co wykraczałoby poza wypisanie znanych i oczywistych faktów! Nie znalazłem odpowiedzi na pytanie, co dzieje się we wnętrzu Ziemi!

O

: Zajmowanie się fizyką wymaga umiejętności wyobrażania sobie siebie biorącego udział w rozmaitych zdarzeniach. Jeśli chcesz postępować jak fizyk, musisz nauczyć się zaczynać pracę umysłową od początku. Innymi słowy musisz wiedzieć, co dzieje się w początkowej fazie opisywanych przez Ciebie sytuacji.

P

: Dlaczego? Przecież dzięki temu nie udało mi się uzyskać ostatecznej odpowiedzi na postawione pytanie!

O

: Zaczynając od udzielenia oczywistych odpowiedzi na proste pytania, dajesz swojemu umysłowi czas na uspokojenie się i oswojenie z poruszanym zagadnieniem. To ważny krok na drodze do uzyskania rozwiązań wszystkich złożonych problemów. Ponadto dobry początek stanowi świetną bazę do prowadzenia dalszych rozważań opartych na intuicji i doświadczeniu, dzięki którym możesz odszukać „punkty szczególne” (miejsca ciekawe i ważne z punktu widzenia osoby obserwującej zdarzenie fizyczne) oraz dostrzec podobieństwo rozwiązywanego problemu do problemów, z którymi zetknąłeś się w przeszłości.

KIERUNEK: Lecę

SZYBKOŚĆ:

tunelem w dół.

Im dłużej spadam, tym szybciej się przemieszczam.

DLACZEGO:

Grawitacja wciąga mnie do wnętrza Ziemi.

jnie

Spoko

b jsca wpisae lu

li w puste mie je ch. , si oi m tw od ar o m Nie ce si niec i n ró i dz ie w wpisaby odpo j. wyże jak widoczne po powiedzi takich, od ić , el ch zi ny ud o da ał Należ e do po winny być podobn po zi ed wi po od Twoje tyczne. e muszą być iden ale niekonieczni

P

: A co się stanie, jeśli mimo wykonania prawidłowego opisu początkowej fazy zdarzenia obrazującego dany problem popełnię błąd lub zgubię się na dalszym etapie swoich rozważań? Przecież nieuzyskanie ostatecznego rozwiązania zadania jest porażką, szczególnie jeżeli zdaje się egzamin, prawda?

O: Mimo że matematyczna część rozwiązania zadania z fizyki

jest bardzo ważna, egzaminatorów zazwyczaj bardziej niż samo rozwiązanie interesuje to, czy rozumiesz fizykę, czy nie. Jeżeli pokażesz egzaminatorom, że zacząłeś prawidłowo rozwiązywać zadanie i że znasz podstawowe prawa fizyki, najprawdopodobniej uzyskasz część punktów przyznawanych za podanie pełnego rozwiązania zadania. Podczas egzaminów z fizyki nierzadko będziesz miał szansę uzyskać po kilka punktów nawet za niedokończone lub błędnie rozwiązane zadania.

P

: Tak czy inaczej, nadal nie mam pojęcia, co wydarzy się w sytuacji, którą zaczęliśmy tu opisywać!

O

: Dostrzegłeś, że istotną rolę w przypadku omawianego zdarzenia gra grawitacja. Ponadto wiesz, że wpadłszy do tunelu, będziesz poruszał się coraz szybciej. To świetna podstawa do prowadzenia dalszych rozważań.

jesteś tutaj 

49

Coś specjalnego

Korzystaj z intuicji podczas szukania „punktów szczególnych” problemu Wpadasz do tunelu i zaczynasz przemieszczać się coraz szybciej i szybciej.

Właśnie zacząłeś szukać rozwiązania problemu dziury bez dna, stając się częścią owego problemu. Zacząłeś od początku, to znaczy, wyobraziłeś sobie siebie przekraczającego krawędź przepaści, a następnie starałeś się odpowiedzieć na pytanie: „Co poczułbym, wpadając do dziury bez dna?”. Doskonale zdajesz sobie sprawę z faktu, że wykonawszy krok w stronę przepaści, musiałeś w nią wpaść i zacząć spadać z coraz większą szybkością. No dobrze, ale co wydarzy się w następnej kolejności? W tym momencie kluczowe okazuje się korzystanie z intuicji. Intuicja może wskazać Ci „punkty szczególne”, czyli interesujące i ważne miejsca sceny, na której rozgrywają się wydarzenia ujęte w opisie problemu. Na przykład krawędź przepaści jest punktem szczególnym, ponieważ stanowi granicę dwóch obszarów: obszaru, w którym grunt jest oparciem dla Twych stóp, oraz obszaru, gdzie nie będziesz miał na czym stanąć. Innym przykładem punktu szczególnego może być środek huśtawki. Środek huśtawki jest szczególny w tym sensie, że stanowi jedyny fragment huśtawki, na którym możesz stanąć bez obawy, że podczas jej ruchu uniesiesz się lub opadniesz. KRAWĘDŹ jest punktem szczególnym, oddzielającym miejsce, na którym da się stać, od miejsca bez oparcia dla stóp.

Doszedłeś już do tego, co dzieje się w punkcie szczególnym będącym KRAWĘDZIĄ przepaści-tunelu.

ŚRODEK jest punktem szczególnym, wprowadzającym rozróżnienie miejsca na huśtawce, w którym możesz pozostawać w równowadze, i miejsc, w których Twoje położenie może ulegać zmianom.

Dostrzeżenie punktów specjalnych i zadanie sobie pytania „Co bym czuł, gdybym znalazł się właśnie w tym miejscu?” ułatwi Ci zrozumienie całego procesu, który starasz się opisać. Jak dotąd, w przypadku przykładowego zadania, którym się tu zajmujemy, udało Ci się zauważyć jeden z punktów szczególnych — krawędź tunelu. Oczywiście wiesz już, co by się wydarzyło, gdybyś przekroczył krawędź. Nadszedł czas, abyś zastanowił się nad innymi punktami szczególnymi sceny wydarzeń związanych z omawianym problemem fizycznym.

W fizyce „punktami szczególnymi”, czyli miejscami, w których zachodzą rozmaite zdarzenia, zwykle są różne KRAWĘDZIE i ŚRODKI. 50

Rozdział 1.

Gdy już znajdziesz odpowiedź na pytanie, co przeżyłbyś w każdym z punktów szczególnych, będziesz mógł wywnioskować z niej, co działoby się z Tobą w przestrzeniach pomiędzy punktami szczególnymi.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Krawędź przepaści-tunelu jest punktem szczególnym. Czy na obrazku stworzonym na potrzeby przykładowego zadania dostrzegasz jeszcze jakieś punkty szczególne?

Właśnie doszliśmy do wniosku, że wpadłeś do tunelu z punktu specjalnego — krawędzi. Teraz powinniśmy poszukać innych punktów specjalnych na naszym obrazku przedstawiającym Ziemię. Kasia: Mam przeczucie, że środek Ziemi jest punktem szczególnym — po prostu musi nim być!

się w jej środku. Ze wszystkich stron otoczy cię taka sama ilość materii, z której zbudowana jest Ziemia!

Franek: Tak. Mimo założenia, że środek Ziemi wcale nie jest gorący (może dlatego, że zajmujemy się Ziemią, którą pokrywają słowa znane z podręczników fizyki?), jej centralny punkt nadal wydaje się być bardzo ważny!

Kasia: Wtedy będę przyciągana we wszystkich kierunkach naraz! Auć! To brzmi okropnie, zupełnie jakbym miała zostać rozerwana na kawałki!

Kasia: Ale co się stanie, jeśli dolecę do środka Ziemi? Franek: Nie jestem pewien. Wydaje mi się, że albo się zatrzymasz, albo będziesz spadała dalej. Niestety, taka odpowiedź nie wygląda na specjalnie przydatną.

Zawsze, kiedy uda Ci się znaleźć punkt szczególny, zadaj sobie pytania: „Co CZUŁBYM, gdybym znalazł się w tym punkcie?” oraz „JAK to jest być w tym punkcie?”. Z jakim innym doświadczeniem mógłbyś porównać przebywanie w tym punkcie?

Myśl jak fizyk

Kasia: Może więc spróbujemy oprzeć się na wnioskach, które do tej pory zebraliśmy? Powiedzieliśmy wcześniej, że jeśli stojąc na powierzchni Ziemi, przekroczę krawędź przepaści, wpadnę w nią i zacznę lecieć w dół za sprawą grawitacji, prawda? Franek: Tak, masz rację. Przypuszczam, że Ziemia przyciąga cię, ponieważ jest taka duża. Można chyba powiedzieć, że grawitacja to coś, co sprawia, że materia, z której zbudowana jest Ziemia, przyciąga się z materią, z której zbudowane jest twoje ciało?

Franek: No nie wiem… Grawitacja nie jest w stanie rozbić twojego ciała na atomy, gdy stoisz na powierzchni Ziemi. Wydaje mi się, że znalezienie się w samym środku naszej planety przypominałoby w pewnym stopniu stanie dokładnie pośrodku huśtawki. Kasia: Masz na myśli coś w stylu punktu równowagi? Chcesz powiedzieć, że stojąc na którymś z końców huśtawki lub znajdując się na jednym z dwóch końców tunelu, poruszałabym się, natomiast stojąc pośrodku huśtawki albo przebywając w samym środku Ziemi pozostawałabym w równowadze? Franek: Owszem. Stojąc na huśtawce, odpychasz się od niej obydwiema nogami. Każdą nogą odpychasz się z taką samą siłą, więc utrzymujesz stan równowagi. Znajdując się w środku Ziemi, po każdej ze stron masz dokładnie połowę planety, co również daje stan równowagi.

Kasia: No tak. I jeśli stoję na powierzchni Ziemi tuż przy krawędzi tunelu, cała planeta znajduje się pode mną. Nic dziwnego w takim razie, że grawitacja ciągnie mnie w dół.

Kasia: Aha. W takim razie po dotarciu do centrum Ziemi powinnam się zatrzymać, ponieważ w środku Ziemi osiągnę stan równowagi, tak? Rozwiązaliśmy zadanie — nigdy nie wydostanę się z dziury bez dna!

Franek: Tak! To brzmi sensownie. Co w takim razie działoby się we wnętrzu Ziemi? Jeśli dolecisz do wnętrza planety, nie będzie się ona znajdowała w całości pod twoimi stopami, lecz to ty znajdziesz

Franek: Hm… ale czy nie powiedzieliśmy wcześniej, że w chwili, gdy dotrzesz do punktu centralnego Ziemi, będziesz poruszała się bardzo szybko?

jesteś tutaj 

51

Podróż do wnętrza Ziemi

Środek Ziemi to punkt szczególny Kasia i Franek doszli do wniosku, że środek Ziemi to punkt szczególny, w którym może dziać się coś ciekawego i istotnego. Niewykluczone, że środek planety zwrócił również Twoją uwagę ze względu na symetrię, która się z nim wiąże: jeśli znajdziesz się w samym centrum Ziemi, ze wszystkich stron będzie otaczało Cię dokładnie tyle samo materii tworzącej planetę. Stań się częścią problemu! Wyobraź sobie, że znajdujesz się w samym środku Ziemi. Co czułbyś w omawianej sytuacji? Do jakiej innej znanej Ci sytuacji mógłbyś przyrównać tę opisaną przeze mnie? Jesteś przyciągany w dół.

Znajdując się w pierwszym punkcie szczególnym, czyli na krawędzi tunelu, jesteś przyciągany w dół — tak działa grawitacja. Grawitacja to przyciąganie między materią, z której zbudowane jest Twoje ciało, i materią tworzącą planetę.

Pod Twoimi stopami znajduje się naprawdę imponująca ilość materii.

(Pod pojęciem materii, z której zbudowane jest Twoje ciało, rozumiem ogół tworzących je atomów).

Jesteś przyciągany z taką samą siłą we wszystkich kierunkach naraz.

Jeśli znalazłbyś się w drugim punkcie szczególnym, czyli w środku Ziemi, każdy atom Twojego ciała byłby przyciągany z taką samą siłą we wszystkich kierunkach jednocześnie. W żadną ze stron nie byłbyś przyciągany mocniej niż w inną. Bycie przyciąganym we wszystkich kierunkach naraz nie wydaje się być niczym przyjemnym, na szczęście jednak Twoje ciało zbudowane zostało z dość mocnego materiału — na tyle mocnego, by ziemska grawitacja nie mogła go rozerwać. W związku z tym siły, które działałyby na Ciebie wewnątrz Ziemi, po prostu znosiłyby się i równoważyły wzajemnie.

52

Rozdział 1.

Białe strzałki wskazują kierunek, w którym działa grawitacja i w którym jesteś przyciągany.

Tym razem materia otacza Cię ze wszystkich stron.

Gdybyś znalazł się w środku Ziemi, byłbyś przyciągany we wszystkich kierunkach naraz, przez co siły grawitacyjne działające na Twoje ciało równoważyłyby się.

Myśl jak fizyk

Zadaj sobie pytanie: „Co by się stało, gdybym leciał tunelem łączącym dwie strony Ziemi i dotarł do jej środka?”

Jesteś przyciągany w dół.

Spadając, coraz bardziej przyspieszasz.

Kasia i Franek, zastanawiając się nad tym, jak czułoby się to z nich, które wpadłoby do środka Ziemi, byli bardzo bliscy popełnienia poważnego błędu. W pierwszej chwili wydawało im się, że dotarłszy do punktu centralnego planety, człowiek przestałby się poruszać, ponieważ siły działające na jego ciało równoważyłyby się. Gotowi byli założyć, że osoba, która doleciałaby do samego środka Ziemi, poczułaby się w nim mniej więcej tak, jak czułaby się, stojąc pośrodku huśtawki. Czy takie założenie jest prawdziwe? Jeśli wpadłbyś w dziurę bez dna prowadzącą w głąb Ziemi, do wnętrza naszej planety doleciałbyś ze znaczną szybkością. Pamiętajmy, że spadając, wciąż byś przyspieszał. Rodzi się więc pytanie, cóż miałoby zatrzymać Twój ruch, skoro w środku Ziemi wszystkie siły się równoważą? Jak to jest poruszać się bardzo szybko, jednocześnie nie będąc popychanym ani ciągniętym w żadnym kierunku?

Zastanawiając się nad rozwiązaniem problemu fizycznego, próbując stać się jego częścią, staraj się myśleć o tym, co dzieje się z Tobą w chwili, gdy DOCIERASZ do punktu szczególnego. Nie wybiegaj myślami w przód.

BĄDŹ częścią problemu

Czarnymi strzałkami oznaczono kierunek Twojego lotu i wartość osiąganej przez Ciebie SZYBKOŚCI.

ny Jesteś przyciąga z jednakową siłą we wszystkich kierunkach.

W chwili znalezienia się w punkcie centralnym Ziemi poruszasz się naprawdę szybko.

Wyobraź sobie, że jesteś kierowcą samochodu wyścigowego lub uprawiasz łyżwiarstwo szybkie i poruszasz się bardzo szybko. JAKIE to uczucie, przemieszczać się ze znaczną szybkością, nie będąc przez nikogo ani przez nic ciągniętym ani pchanym, nie mogąc odpychać się od niczego ani niczego ciągnąć? Nie możesz zahamować, nie możesz również chwycić niczego, co spowolniłoby Cię. Czy przedstawiona przeze mnie wizja nasuwa Ci jakiekolwiek pomysły odnośnie do tego, co działoby się z Tobą, gdybyś ze znaczną szybkością osiągnął punkt centralny wewnątrz naszej planety — punkt, w którym równoważą się oddziaływania grawitacyjne?

jesteś tutaj 

53

Stań się rozwiązaniem

BĄDŹ częścią problemu. Rozwiązanie Wyobraź sobie, że jesteś kierowcą samochodu wyścigowego lub uprawiasz łyżwiarstwo szybkie i poruszasz się bardzo szybko. JAKIE to uczucie, przemieszczać się ze znaczną szybkością, nie będąc przez nikogo ani przez nic ciągniętym ani pchanym, nie mogąc odpychać się od niczego ani niczego ciągnąć? Nie możesz zahamować, nie możesz również chwycić niczego, co spowolniłoby Cię. Czy przedstawiona przeze mnie wizja nasuwa Ci jakiekolwiek pomysły odnośnie do tego, co działoby się z Tobą, gdybyś ze znaczną szybkością osiągnął punkt centralny wewnątrz naszej planety — punkt, w którym równoważą się oddziaływania grawitacyjne?

Jeśli nie będę w stanie zahamować ani przytrzymać się niczego, nie uda mi się zredukować szybkości. Przez cały czas będę poruszał się bardzo szybko. Wydaje mi się, że właśnie w takiej sytuacji znalazłbym się po doleceniu do środka Ziemi. W punkcie centralnym planety przyciąganie w żadnym z kierunków nie działa „bardziej”, dlatego nic nie zmieniłoby mojej szybkości; poruszałbym się tak samo, jak poruszałem się w chwili osiągania punktu centralnego Ziemi.

Czy to, co właśnie zostało powiedziane, nie brzmi odrobinę śmiesznie? Przecież szybkość osoby lecącej środkową częścią tunelu musiałaby zmaleć ze względu na opór powietrza albo przez to, że osoba ta obijałaby się o ściany szybu, czy coś w tym stylu… Przecież nie powinniśmy zapominać o ruchu obrotowym Ziemi!

Twój OPIS sytuacji może różnić się od mojego. Naprawdę ważną jego częścią jest stwierdzenie, że Twoja SZYBKOŚĆ NIE ULEGŁABY ZMIANIE, gdyby nic Cię nie ciągnęło ani nie pchało w żadną ze stron.

To prawda — przyjęliśmy pewne założenia w celu uproszczenia problemu. Na stronie 48. pojawiło się następujące założenie dotyczące rozwiązywanego przez nas zadania: Ziemia nie jest ani płynna, ani gorąca w środku. Założenie to jest przydatne, ponieważ fakt, że osoba, która wpadłaby do środka Ziemi, zwyczajnie by się usmażyła, nijak nie ułatwia nam szukania rozwiązań problemu fizycznego. Ponadto zakładamy, że opór powietrza nie zmniejszałby szybkości lotu osoby, która wpadłaby do tunelu, oraz że nasz tunel łączyłby biegun północny Ziemi z jej biegunem południowym — dzięki temu człowiek poruszający się w tunelu nie uderzałby o jego Niekiedy nie daje się rozwiązać problemu ściany.

fizycznego od razu w jego najbardziej W fizyce bardzo często korzysta się z założeń i przybliżeń zmieniających bardzo skomplikowanej złożone problemy w nieco mniej skomplikowane. Podejście takie jest jak najbardziej wersji.

prawidłowe, jeśli po rozwiązaniu zadania zastanowisz się, czym uzyskana odpowiedź różni się od takiej, którą uzyskałbyś, gdybyś odrzucił przyjęte założenia. Pamiętaj jednak, że nad takimi kwestiami warto zastanawiać się dopiero po uporaniu się z prostszą wersją problemu.

W fizyce czasami przyjmuje się założenia i przybliżenia, które upraszczają złożone problemy. Zrozumienie prostszej wersji problemu fizycznego pomoże Ci zmierzyć się z wersją bardziej skomplikowaną.

54

Rozdział 1.

Myśl jak fizyk Jesteś przyciągany w dół.

Co już wiesz i o czym jeszcze powinieneś pomyśleć

Spadając, coraz bardziej przyspieszasz.

Nauczyłeś się już wprowadzać swoją osobę do opisów problemów fizycznych, potrafisz więc stać się częścią dowolnego problemu i wiesz, że powinieneś zadawać sobie pytania takie jak „Co bym czuł, gdybym znalazł się w określonej sytuacji?” oraz „Do jakiej innej znanej sobie sytuacji mógłbym porównać tę, którą powinienem przemyśleć?”. Dzięki temu łatwiej Ci będzie zaczynać rozwiązywanie zadań i dostrzegać istotne warunki zdarzeń fizycznych. Na przykład: rozwiązując zadanie z tego rozdziału, uzmysłowiłeś sobie, że ważnym elementem rozważanego przez nas układu jest grawitacja oraz że — wpadłszy w dziurę bez dna — spadałbyś coraz szybciej w kierunku środka Ziemi. Ponadto, posłużywszy się intuicją, wyznaczyłeś „punkty szczególne” układu. Doszedłeś do wniosku, że środek Ziemi jest miejscem, w którym materia tworząca Twoje ciało przyciąga się z materią będącą budulcem naszej planety tak samo we wszystkich kierunkach.

ny Jesteś przyciąga ą sił wą ko na jed z we wszystkich kierunkach.

cała Cała bądź prawieca się materia składają e się uj na Ziemię znajd pod Tobą.

Ostatecznie wymyśliłeś stwierdzenie lub chociaż zgodziłeś się ze stwierdzeniem, że gdybyś wpadł do tunelu wiodącego przez środek Ziemi, w pobliżu punktu centralnego naszej planety poruszałbyś się ze stałą szybkością, ponieważ nic by Cię nie hamowało! Lub, mówiąc inaczej, leciałbyś naprawdę szybko, ale wcale byś nie przyspieszał. Co by się jednak działo, gdybyś minął środek Ziemi? Co czułbyś po przeleceniu przez obszar centrum planety? Do jakiej innej sytuacji mógłbyś porównać opisaną tu sytuację? Dobrze wiesz, że bardzo wiele zależy od grawitacji oraz od wzajemnego położenia Ziemi i Twojego ciała. Co w takim razie wydarzyłoby się, gdybyś wpadłszy do dziury bez dna, minął środek Ziemi?

Lecisz ze stałą szybkością. j Materia, z które emia, Zi t jes a an ow zbud zędzie znajduje się ws wokół Ciebie.

Zaostrz ołówek Co według Ciebie wydarzyłoby się, gdybyś spadając tunelem łączącym dwa końce Ziemi, minął jej środek? Czy poruszałbyś się ze stałą szybkością? Przyspieszyłbyś? A może zacząłbyś lecieć coraz wolniej? Jak daleko byś zaleciał? A może zdarzyłoby się coś jeszcze innego?

Rób opisy rysunku, które pomogą Ci wytłumaczyć przedstawiane przez Ciebie idee.

Narysuj odpowiedni obrazek, a następnie wypisz wszystkie pomysły, które przyjdą Ci do głowy.

Podpowiedź: wyobrażając sobie siebie w różnych kawałkach tunelu-przepaści, zwróć uwagę na to, w jakim położeniu względem Ciebie znajduje się większość materii tworzącej planetę.

jesteś tutaj 

55

Ziemia pod Tobą

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Więcej materii znajduje się nade mną niż pode mną.

Środek Ziemi.

Co według Ciebie wydarzyłoby się, gdybyś spadając tunelem łączącym dwa końce Ziemi, minął jej środek? Czy poruszałbyś się ze stałą szybkością? Przyspieszyłbyś? A może zacząłbyś lecieć coraz wolniej? Jak daleko byś zaleciał? A może zdarzyłoby się coś jeszcze innego? Narysuj odpowiedni obrazek, a następnie wypisz wszystkie pomysły, które przyjdą Ci do głowy. Wydaje mi się, że jeśli minę środek Ziemi, nade mną będzie się znajdowało więcej ziemskiej materii niż pode mną. Materia ta działałaby trochę tak, jak hamulec — oddalałbym się od środka planety, ale grawitacja przyciągałaby mnie z powrotem do niego. Im bardziej oddalałbym się od centralnego punktu Ziemi, tym więcej ziemskiej materii znajdowałoby się nade mną i w efekcie działałaby na mnie coraz większa siła hamująca. Myślę, że poruszałbym się coraz wolniej, aż do chwili znalezienia się przy drugim wyjściu z tunelu biegnącego przez środek Ziemi i łączącego jej bieguny.

Nie istnieją

głupie pytania grawitacji spadające obiekty zawsze przyspieszają. Twierdzisz, że grawitacja może również działać niczym hamulec?

O: Wszystkie obiekty przyciągają się nawzajem

za sprawą grawitacji. Niezależnie od tego, czy poruszasz się w kierunku Ziemi, czy też oddalasz się od niej, zawsze będziesz przyciągany do środka planety.

P: Ale przecież powyższa odpowiedź

nie zawiera żadnych informacji na temat przyspieszania i hamowania spadających obiektów!

do tego, którym zajmujemy się w tym rozdziale, zawsze powinieneś zastanowić się nad szybkością i kierunkiem, w jakim porusza się obiekt. Podrzucona do góry piłka będzie oddalała się od środka Ziemi, w związku z czym jej szybkość będzie malała. Szybkość spadającej piłki będzie rosła, ponieważ spadająca piłka porusza się w kierunku centralnego punktu naszej planety.

56

Rozdział 1.

Coraz bardziej zwalniam.

To jeszcze jeden, EKSTREMALNY „punkt szczególny”!

Nigdy nie powstrzymuj się od zadawania pytań!

P: Wydawało mi się, że za sprawą

O: Rozwiązując problemy fizyczne zbliżone

Zwalniam.

Wydaje się, że przyciąganie zawsze działa w kierunku środka Ziemi, prawda?

Jeśli tylko nie znajdujesz się w środku Ziemi, zawsze będziesz przyciągany w jego kierunku. To prawda. Jeśli stoisz na powierzchni Ziemi, dużo więcej tworzącej ją materii znajduje się pod Tobą niż nad Tobą, dlatego jesteś przyciągany w kierunku jej wnętrza. Przyciąganie to powoduje, że spadając w dół, przyspieszasz. Znajdując się w samym środku Ziemi, poruszałbyś się ze stałą szybkością, ponieważ w tym miejscu siły grawitacyjne działające we wszystkich kierunkach naraz znoszą się. Jeżeli zaś, lecąc tunelem łączącym dwa końce Ziemi, minąłbyś jej środek, zacząłbyś zwalniać, gdyż nad Tobą znalazłoby się dużo więcej ziemskiej materii niż pod Tobą. Grawitacja przyciągałaby Cię z powrotem do środka planety, a tym samym działałaby jak hamulec.

Myśl jak fizyk

Zbieramy i łączymy wnioski Na stronie 48. tej książki zaproponowałam Ci, abyś przemyślał następujący problem fizyczny: czy gdybyś wpadł do dziury bez dna, byłbyś w stanie się z niej wydostać? Od razu zaznaczam, że wyjście z tunelu po drugiej stronie Ziemi nie liczy się, ponieważ byłbyś za bardzo oddalony od miejsca, w którym spadłeś w przepaść!

W takim razie czy istnieje możliwość wydostania się z dziury bez dn a? Co by się stało, gdy byś naprawdę wpa dł do dziury bez na stronie 48.? Czy dna opisanej wypadłbyś z tunelu po jego drugiej stro gdzieś na wieki? nie? Może utknąłby A może zdarzyłoby ś się coś jeszcze inne go? Niełatwo jest zna leźć odpowiedź, więc przerwijmy na razie nasz tok rozumowania i pow róćmy do jego poc zątku. Bądź sob czuł zar ą Z t ó

Czy dałbyś radę wrócić do domu, czy może byłbyś skazany na tkwienie przez resztę wieczności na drugim końcu dziury bez dna?

Zaostrz ołówek Czy wpadłszy do tunelu łączącego dwa bieguny Ziemi, byłbyś w stanie kiedykolwiek powrócić do domu, to znaczy znaleźć się w miejscu, z którego wpadłeś do dziury? Poniższe obrazki obrazują wnioski, do których do tej pory doszedłeś, zastanawiając się, co działoby się w każdym z trzech punktów szczególnych sceny. Korzystając z nich, skonstruuj odpowiedź na pytanie, czy byłbyś w stanie kiedykolwiek wrócić do miejsca, w którym wpadłeś w pułapkę dziury bez dna. Dom — miejsce początku podróży.

1

2

3

Podpowiedź: Odwróć książkę do góry nogami. Czy seria odwróconych obrazków nie PRZYPOMINA Ci czegoś?

jesteś tutaj 

57

Tam… i z powrotem

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy wpadłszy do tunelu łączącego dwa bieguny Ziemi, byłbyś w stanie kiedykolwiek powrócić do domu, to znaczy znaleźć się w miejscu, z którego wpadłeś do dziury? Poniższe obrazki obrazują wnioski, do których do tej pory doszedłeś, zastanawiając się, co działoby się w każdym z trzech punktów szczególnych sceny. Korzystając z nich, skonstruuj odpowiedź na pytanie, czy byłbyś w stanie kiedykolwiek wrócić do miejsca, w którym wpadłeś w pułapkę dziury bez dna. Dom — miejsce początku podróży.

1

Powrót z południa na północ.

2

3

Podróż z północy na południe.

Znajdując się na drugim końcu tunelu, mogę wskoczyć do niego ponownie i po raz drugi pokonać tę samą drogę, tym razem jednak poruszając się w przeciwnym kierunku. Druga podróż prawie niczym nie różniłaby się od pierwszej — najpierw bym przyspieszał, później poruszałbym się ze stałą szybkością, a następnie — minąwszy środek Ziemi — zacząłbym zwalniać; leciałbym coraz wolniej aż do chwili wyjścia z północnego końca tunelu-przepaści.

Byłbyś w stanie nie tylko uciec z bezdennej otchłani, ale również, wyszedłszy z niej, znaleźć się na szczycie świata!

58

Rozdział 1.

Bądź ostrożny! Pamiętaj o tym, że trzeba wyjść z Ziemskiego Pociągu Pospiesznego po dotarciu na koniec tunelu. Jeśli o tym zapomnisz, znów zaczniesz spadać do wnętrza Ziemi i będziesz latał między biegunami w tę i z powrotem!

(Oczywiście pod wa że nie zapomnisz runkiem, na powierzchni Zi stanąć z powrotem w przeemi, by nie wpaść paść).

Myśl jak fizyk

punkty szczególne

Niniejsza książka nie jest kursem fizyki, lecz podręcznikiem myślenia jak fizyk.

Bądź częścią problemu.

Wyobraź sobie, że uczestniczysz w sytuacji przedstawionej w opisie problemu fizycznego. Co byś czuł, będąc częścią scenariusza?

Możesz próbować zrozumieć problem fizyczny, stając się jego częścią. Punkty szczególne to miejsca, w których dzieje się coś szczególnie ciekawego lub istotnego w kontekście poszukiwania rozwiązań problemu.

Możesz odnajdywać punkty szczególne problemów, posługując się intuicją. W jakich okolicznościach znajdowałeś się w sytuacji podobnej do opisanej w treści zadania? Gdzie i kiedy miałeś okazję obserwować zdarzenie zbliżone do ujętego w scenariuszu problemu?

Możesz korzystać z doświadczenia życiowego, porównując rozmaite sytuacje i zdarzenia do innych znanych sobie sytuacji i zdarzeń. jesteś tutaj 

59

Niezbędnik fizyka

Bądź c

zęścią

prob

lemu Postaw ienie s i ę w sy uczest nika zd t arzenia uacji t r e ś c ią zada Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 1. książki. ki. o pisane nia go zorient owanie często umoż Twój niezbędnik fizyka wzbogacił się o kilka li s wi owo zd ię, jak ar przebie a nam ów koncepcji ułatwiających rozwiązywanie problemów Poszuk zenie. gałoby uj i zadań z fizyki. fizyczn ąc rozwiązań yc p na swo h, możesz op roblemów ierać s im doś wiadcz ię jest na eniu uk się, ja ą, dzięki któ . Fizyka k dział r ają św ej dowiaduje poszcz i sytuacji iat i je m my j e e n g a ó n ln z j e elem go acja? wiesz u t Do jakie y s e a n n a t y is nie , jest op Cię św mało na tem a Ty przecież PODOBNA a i a t otac t ć, a a . w Wyobra iązy jako uc ź sobie zającego możesz rozw jakich z ki e zy s fi t z n ika zda s scenar Zadania tym, do rzeń op iebie iuszem jąc się nad sytuacje i ą s s anych E p N z o B a zastanawia d O d D an ania, a sytuacji PO następ ym w treści . ń p a d y znanych Ci t za nie zad anie „C w treściach aj o bym się w szy rzut opisywane c rw zuł, gd sobie ie p a n t a ia k n a i e d e y w za j bym zn o n sytuac ełnie Niektóre alazł ji?”. ać się zup w z a s d y ła w o ą zd g li tylko oka mo ś je cz le , e wan obieństwo i skompliko gię lub pod lo a n a h lne ic mów, jeżeli znaleźć Punkty szczegó ch Ci proble y n a re ó zn kt ch i, y do inn zadaniam iejsca sceny, jarzyć je z sobie szczególne to m ty tu nk o p Pu o zdołasz sko kł niejsze z wają się najważ związać, be na której rozgry potrafisz ro an darzenia opis e dzisz. i najciekawsze wy z nimi pora treścią zadania. unktach działoby się w „p Jeśli wiesz, co ączyć oł „p ładu, możesz szczególnych” uk ziłoby od ch za ioskować, co kropki” — wywn dzy ię m po cych się ! iejscach znajdują m m w e c w roko ólnymi. punktami szczeg Bądź wz , ie n a zać zad c rozwią ełni korzystać Próbują p ” aj się w . „Myśl głośno Tak naprawd nie wah u t k le e t ę wiesz więc o in ząc r o w t ze sweg i ej, niż Ci się wydaje jak za i, s m iu a r a w n ło e c s tak s ie n Rysowa treścią Przede wszys rysunki. ków isanych p tkim nie bój o ń e z r ie rysun n a się fizyki w i wyda y nie wpadaj is p o z h a c w or panikę, gdy jszy ie n t j a si d zdarza zadania je ę y o ni z ą zajmować. Tw z najpr Tak naprawdę Ci rzędzi w a n zd h to jedno ob c yt y dzięki emu doświa ężniejsz yka. dczeniu życi wiesz więce i najpot arzędziowej fiz owemu j, n niż Ci się w ydaje, że wiesz. P skrzynce onadto po p rzeczytaniu niniejszej ks iążki będzie sz wiedział i rozumiał je szcze więce j.

ROZDZIA 1.

Niezbędnik fizyka

60

Rozdział 1.

       

Jednostki i pomiary

Ciekawe, jak daleko mam do drzwi…?

To będzie 10 metrów? A może 20 minut?

Jak długi jest kawałek sznurka? Podstawą fizyki są pomiary określające rozmiary obiektów. W tym rozdziale nauczysz się korzystać z jednostek i zaokrąglać wyniki tak, by uniknąć pomyłek. Dowiesz się też, dlaczego błędy są tak ważne w fizyce. Gdy zakończysz lekturę, będziesz już wiedzieć, czy dany zapis jest znaczący, i na pewno wyrobisz sobie własne zdanie na temat tego, czy rozmiar jest faktycznie wszystkim.

to jest nowy rozdział

61

ajPod rządzi

To najlepszy odtwarzacz muzyki, a Ty jesteś częścią zespołu! Przedstawiamy Ci ajPoda — przenośny odtwarzacz muzyki, który zrewolucjonizuje rynek tego typu sprzętu! Zespół projektantów, którego jesteś członkiem, zakończył właśnie prace nad prototypem obudowy odtwarzacza. Teraz musisz już tylko wykonać plany i przesłać je do fabryki, która produkuje futerały.

Notatka obudowę odtwarzacza Od: Zespół projektujący ajPod i i, mamy nadzieję, ostatn Wysyłamy Ci najnowszy . od twarzacza ajP już projekt obudowy od sunek techniczny Czy możesz wykonać ry ej do fabryki produkując projektu i przekazać go m na ij eśl od cę, ńczysz pra odtwarzacze? Gdy sko arzacza ajPod. tw od z swój egzemplar

Dostarcz nam plany, a my wykonamy prototyp na CITO!

o z tym zadaniem, Jeżeli uporasz się szybk ących jedno z urządzeń należ otrzymasz oczywiście anej, specjalnej serii! do limitowanej, numerow

Fabryka

62

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Zacznij zatem mierzyć obudowę odtwarzacza ajPod Im szybciej fabryka otrzyma plany, tym lepiej dla wszystkich.

Zaostrz ołówek Oto rysunek obudowy odtwarzacza ajPod z zaznaczonymi różnymi rozmiarami, które będziesz musiał podać. Wytnij widoczną z boku linijkę (albo skorzystaj z własnej, o ile wygląda podobnie) i zapisz w kratkach wyniki pomiarów. (Zespół projektancki uzupełnił już niektóre wielkości).

5 100 3

1 28

jesteś tutaj 

63

Rozmiar ma znaczenie

Fabryka odsyła gotowy model odtwarzacza ajPod… Po czasie trwającym krócej niż mgnienie oka fabryka przysyła Ci gotowy prototyp odtwarzacza ajPod. Pojawił się jednak mały problem.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oto rysunek obudowy odtwarzacza ajPod z zaznaczonymi różnymi rozmiarami, które będziesz musiał podać. Wytnij widoczną z boku linijkę (albo skorzystaj z własnej, o ile wygląda podobnie) i zapisz w kratkach wyniki pomiarów. (Zespół projektancki uzupełnił już niektóre wielkości). 42

Eee… ale on miał mi się zmieścić w kieszeni.

8

38

5 100

10 3

1 28

8

60

64

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

… ale okazuje się, że jest on za duży! Obudowa odtwarzacza ajPod jest ogromna. Przytłaczająca. To odtwarzacz rakietowy, a nie kieszonkowy. Ale w fabryce twierdzą, że dokładnie zastosowali się do Twoich poleceń.

To nie nasza wina. Zastosowaliśmy się do planów wyjątkowo DOKŁADNIE!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Coś poszło zdecydowanie nie tak. Ale co?! Spójrz raz jeszcze na swój projekt i zastanów się, czy można go odczytać inaczej.

jesteś tutaj 

65

Jednostki bywają przydatne

Na projekcie nie ma żadnych JEDNOSTEK Twoja linijka jest wyskalowana w milimetrach (mm), ale nie zaznaczyłeś tego w żaden sposób na projekcie. W fabryce przywykli posługiwać się calami, więc założyli, że mają wyprodukować dla Ciebie ogromny odtwarzacz przeznaczony do celów promocyjnych. Cale to jednostki większe od milimetrów około 25 razy, czyli przysłany Ci ajPod jest ZNACZNIE większy, niż oczekiwałeś! Rozwiązując problemy fizyczne, musisz pamiętać o podawaniu jednostek przy każdej wartości, jaką zapisujesz. Jednostki nadają liczbom znaczenie i tylko dzięki nim będziesz wiedział, czy podana wartość to milimetry, cale, czy jeszcze coś innego.

Liczby na projekcie nie mają JEDNOSTEK.

42

Ten zapis miał oznaczać 100 mm, ale został zinterpretowany jako 100 cali, a to więcej niż wzrost człowieka!

8

Projektanci zapoczątkowali błędną tendencję, ponieważ nie podali jednostek, w jakich dokonali pierwszych pomiarów.

38

5 100

10 3

1 28

8

60

Twoja linijka jest wyskalowana w mm, ale nie zaznaczyłeś tego w żadnym miejscu projektu.

Liczba pozbawiona jednostek nie mówi Ci niczego. 66

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Magnesiki z jednostkami                    ! !         "  #     $%    

Długość

Czas

Masa

W tych kolumnach narysuj magnesiki.







  









 

 





 





jesteś tutaj 

67

Rozwiązanie magnesików z jednostkami

Magnesiki z jednostkami. Rozwiązanie &'  % %     (

Długość

Czas





 

 









 

 

Masa













Spokojnie Nie przejmuj się, jeżeli nie wszystkie nazwy jednostek są Ci znane. W książce będziesz stykać się z jednostkami należącymi do układu używanego dziś na całym świecie, więc nie musisz opanowywać wszystkich nieznanych sobie nazw jednostek! Kilka następnych stron poświęcamy właśnie opisowi międzynarodowego systemu jednostek. A poza tym możesz zawsze sprawdzić definicję nieznanej Ci jednostki.

68

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

W tej książce pojawiają się jednostki układu SI (te same, które znasz ze szkoły) Fizycy na całym świecie posługują się jednostkami systemu nazwanego SI (co jest skrótem od francuskiej nazwy Systme Internationale). System ten jest wyjątkowo wygodny, gdyż każda jednostka pochodna jest tysięczną wielokrotnością poprzedniej. To znacznie prostsze niż stosowanie znanego z książek czy filmów anglosaskiego systemu miar i wag. Porównajmy. Jeżeli chciałbyś przeliczyć jednostki długości w systemie anglosaskim, musiałbyś pamiętać, że stopa to 12 cali, jard to 3 stopy, a mila to 1760 jardów. W systemie SI masz 1000 milimetrów w metrze, 1000 metrów w kilometrze i tak dalej. To samo ma miejsce w przypadku przeliczania jednostek masy. W systemie anglosaskim jeden funt to 16 uncji, a tona to 2000 funtów. Natomiast 1000 miligramów z systemu SI daje jeden gram, a 1000 gramów to jeden kilogram (tyle mniej więcej ważą trzy puszki napoju gazowanego). Jedynie jednostki czasu w układzie SI nie podlegają tej regule. Mnożenie i dzielenie przez 1000 jest bardzo intuicyjne, więc obliczenia przeprowadzane na jednostkach układu SI przebiegają szybciej i prościej niż analogiczne operacje prowadzone w obrębie jednostek innych układów. Jeżeli masz przeliczyć metry na kilometry, musisz podzielić liczbę metrów przez 1000 (proste), a nie, jak w przypadku przeliczania jardów na mile, przez 1760 (co nie jest ani proste, ani nie da się łatwo przeliczyć w pamięci). Mnożenie i dzielenie przez 10 w pamięci jest proste i intuicyjne.

cal × 12 stopa ×3

Przeliczanie jednostek w układach innych niż SI jest trudne do wykonania.

jard × 1760 mila Mnożniki są inne na każdym etapie przeliczania.

Zapisywanie długości w jednostkach systemu SI jest znacznie prostsze.

Przeliczanie jednostek masy też jest prostsze.

Ale jednostki czasu są od lat wszędzie takie same, więc wprowadzanie nowych byłoby głupotą!

milimetr × 1000 metr × 1000 kilometr

W każdej jednostce układu SI mieści się 1000 jednostek niższego rzędu, dzięki czemu obliczenia w tym układzie są znacznie prostsze! jesteś tutaj 

69

Pytaj do woli Nie istnieją

głupie pytania

P: Powiedz mi, proszę, raz jeszcze, dlaczego muszę zapisywać wszystkie wartości w jednostkach układu SI? Przecież istnieją inne układy, z których mógłbym korzystać .

P: A które jeszcze jednostki zaliczamy do układu SI? O: Zabawne, że o to pytasz…

O

: Jednostki układu SI są używane przez naukowców całego świata od 1960 roku. To ogólnoświatowy standard, więc korzystając z niego, masz pewność, że posługujesz się tymi samymi określeniami i definicjami, co wszyscy inni ludzie dokonujący pomiarów.

Najczęściej używane jednostki układu SI

Długość

Jednostką długości w układzie SI jest metr. Inne często spotykane jednostki długości to milimetr (jedna tysięczna metra), centymetr (jedna setna metra) i kilometr (tysiąc metrów).

Jednostką czasu w układzie SI jest sekunda.

Czas

Masa

Przeliczanie jednostek czasu wymaga jedynie zdrowego rozsądku. Minuta składa się z 60 sekund, godzina z 60 minut, 24 godziny to doba, a 365 dni to rok.

Jednostką masy w układzie SI jest kilogram. Inne, wywodzące się z niej jednostki, to gram (tysięczna część kilograma) i miligram (tysięczna część grama).

Ludzie na całym świecie zrozumieją Twoje obliczenia, jeżeli będziesz stosować jednostki układu SI.

70

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Ale pisanie słowa „milimetrów” przy każdym wyniku to prawdziwa udręka. Czy nie ma na to jakichś skrótów?

: Co w takim razie zrobić z kilometrami i kilogramami? Przecież te nazwy rozpoczynają się CZTEREMA takimi samymi literami!

O: Ależ oczywiście, że są! Zasadniczo

O: „Kilo” to przedrostek pojawiający się

używa się tylko pierwszej litery nazwy jednostki — m to metry, s to sekundy i tak dalej.

P

: No dobrze, ale co zrobić z nazwami jednostek zaczynających się tą samą literą, na przykład z metrami i minutami?

O: Pierwszeństwo mają główne jednostki

układu SI. Główną jednostką długości jest metr, więc to tę jednostkę skracamy literą „m”. Główną jednostką czasu jest sekunda, zapisywana w skrócie literą s. Minutę definiuje się jako 60 sekund, więc jej skrót nie jest tak istotny. Zazwyczaj stosuje się zapis „min”.

przed nazwą jednostki. Słowo „kilogram” oznacza dosłownie 1000 gramów. „Kilometr” to odległość tysiąckrotnie większa niż metr. W skrócie pojawia się litera oznaczająca przedrostek oraz litera oznaczająca jednostkę, więc kilogramy zapisuje się jako „kg”, a kilometry jako „km”.

Gdy wszyscy stosują system SI, łatwiej interpretuje się wyniki.

Słuchaj, musisz mi pomóc — chcę wykonać to zlecenie na obudowę odtwarzacza. Czy możesz podać wartości rozmiarów w calach?

P

: Czyli przedrostek „kilo” oznacza 1000, tak? A czym w takim razie jest przedrostek „mili”? Gdy mówiono o milenium, wydawało mi się, że to również 1000, ale przecież milimetr i kilometr to dwa różne pojęcia.

O

: Doskonałe spostrzeżenie! Przedrostek „kilo” pochodzi od greckiego słowa oznaczającego „tysiąc”, natomiast przedrostek „mili” pochodzi od łacińskiego wyrażenia o tym samym znaczeniu. W układzie SI przyjęto, że przedrostek „kilo” będzie oznaczał jednostki tysiąckrotnie większe od jednostki głównej — czyli kilogram to 1000 gramów — natomiast przedrostek „mili” przed jednostką główną oznacza wielkość tysiąckrotnie mniejszą od wielkości podstawowej, zatem milimetr to jedna tysięczna metra.

P

: Zastanawia mnie jeszcze jedno. Skoro jednostką długości w układzie SI jest metr, który nie ma przedrostka, dlaczego jednostką masy jest kilogram, a nie gram? To po prostu dziwaczne!

O

: Masa większości widywanych na co dzień obiektów — samochodów, ludzi itd. — daje się ładnie opisać w kilogramach, ale mierzona w gramach sięga tysięcy, a nawet milionów. Od 1960 roku wszyscy wyrażają masę w kilogramach. Dzięki temu jest po prostu łatwiej.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak możesz zamienić zmierzone już wartości na cale bez ponownego dokonywania pomiarów?

jesteś tutaj 

71

Zamiana jednostek

Czyli musimy zrobić nowy projekt, podając rozmiary obudowy w calach, a nie w mm.

Krzysiek: No tak. Przypuszczam, że możemy raz jeszcze zmierzyć całe urządzenie, używając do tego linijki wyskalowanej w calach, i narysować nowy projekt. Franek: Będziemy musieli strasznie się przy tym napracować. Poprzednie pomiary zajęły nam całe wieki. Nie chce mi się myśleć, że mamy je zrobić jeszcze raz, tym razem w calach. Krzysiek: Czy naprawdę nie ma innego wyjścia niż ponowne mierzenie obudowy? Może da się coś zrobić z tymi pomiarami, które już mamy? Kuba: Szkoda, że nie chcą od nas planów w centymetrach. Wtedy wystarczyłoby pomnożyć każdą z wartości przez 0,1, żeby zamienić milimetry na centymetry. Franek: O czym ty mówisz? Kuba: Wiemy przecież, że jeden centymetr to 10 milimetrów, czyli można zapisać, że 1 mm = 0,1 cm. A to znaczy, że jeśli pomnożymy liczbę milimetrów przez 0,1, otrzymamy wartość w centymetrach.

Jeżeli wiesz, ile cali mieści się w jednym milimetrze, możesz dokonać ZAMIANY jednostek z milimetrów na cale.

Franek: Czyli jeżeli zmierzona długość to 23 mm, a chcemy zapisać ją w centymetrach, musimy pomnożyć liczbę milimetrów przez liczbę centymetrów odpowiadającą jednemu milimetrowi, co znaczy, że 23 mm × 0,1 = 2,3 cm. Ale jak się to ma do naszego projektu? Nam potrzebne są przecież cale, a nie centymetry. Krzysiek: A może dowiedzielibyśmy się, ile cali mieści się w jednym milimetrze? Czy nie moglibyśmy wykonać wtedy takich samych obliczeń, jak w przypadku przeliczania milimetrów na centymetry? Kuba: Noo… tak, myślę, że to dobry pomysł. Franek: Czyli musimy pomnożyć wartości długości zmierzonych w milimetrach przez liczbę cali odpowiadających jednemu milimetrowi. To samo zrobiliśmy, żeby zamienić milimetry na centymetry, tyle że tym razem będzie to dokładnie to działanie, na którym nam zależy! Krzysiek: Świetnie! To oznacza, że możemy wykreślić nowe plany, używając tylko kalkulatora. Nie musimy nic więcej mierzyć. Kuba: Bierzmy się do roboty!

72

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Przeliczając jednostki, używaj współczynników zamiany W tej chwili dysponujesz planami budowy ajPoda zapisanymi w milimetrach, a chciałbyś przeliczyć rozmiary urządzenia na cale. Operacja ta zmieni wartości wpisane w projekcie, ponieważ zamienisz jednostki na inne, ale nie zmodyfikuje faktycznych rozmiarów urządzenia. Niezależnie od tego, czy podasz wartości w calach, czy w milimetrach, ajPod nadal będzie wygodnie mieścił się w kieszeni! Wynik pomiaru ma sens tylko wtedy, gdy wartości towarzyszy jednostka. Współczynnik zamiany jednostek to liczba, przez którą należy pomnożyć wartość pomiaru, żeby przeliczyć ją z jednych jednostek na inne. Jeśli chcesz przeliczyć wynik pomiarów z milimetrów na centymetry, musisz pomnożyć go przez 0,1, ponieważ 1 mm = 0,1 cm. Na początku lub na końcu większości podręczników do fizyki znajdziesz tabele zawierające wartości współczynników zamiany jednostek, pozwalające przeliczać jednostki układu SI na jednostki innych układów, z których czasami korzysta się zwyczajowo w fizyce. Możesz też skorzystać z pomocy usługi Kalkulator Google, a jeżeli nie masz dostępu do komputera, zajrzyj na koniec tej książki. Umieściliśmy tam niektóre istotne współczynniki zamiany jednostek.

Wygooglaj to! Jeśli pracujesz w domu czy w szkole, najszybszy dostęp do wartości współczynników zamiany da Ci usługa Kalkulator Google. Wystarczy, że wpiszesz w polu wyszukiwania wyrażenie  PP w calach czy  NJ Z IXQWDFK, aby uruchomić usługę, która natychmiast wyświetli wyniki.

Wpisz poszukiwaną frazę w polu wyszukiwania na głównej stronie wyszukiwarki Google, www.google.pl.

Uważaj, żeby odruchowo nie otoczyć całego wyrażenia znakami cudzysłowu, gdyż w takim razie Google wyszuka strony WWW zawierające daną frazę, zamiast dokonać przeliczenia jednostek.

Zaostrz ołówek Pora obliczyć współczynnik zamiany jednostek z milimetrów na cale, żeby dokończyć kreślenie planów odtwarzacza ajPod! Wpisz w wyszukiwarce Google wyrażenie 1 mm w calach (albo sprawdź wartość współczynnika w książce). Podaj poniżej liczbę cali mieszczących się w jednym milimetrze.

Pamiętaj, żeby nadać odpowiedzi SENS i podać jej KONTEKST, zapisując przy niej odpowiednie JEDNOSTKI.

jesteś tutaj 

73

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Pora obliczyć współczynnik zamiany jednostek z milimetrów na cale, żeby dokończyć kreślenie planów odtwarzacza ajPod! Wpisz w wyszukiwarce Google wyrażenie 1 mm w calach (albo sprawdź wartość współczynnika w książce). Podaj poniżej liczbę cali mieszczących się w jednym milimetrze.

1 milimetr to 0,0393700787 cala. Tak należy opisywać odpowiedź z zadania na klasówce — musisz uwzględnić w niej JEDNOSTKI i KONTEKST wypowiedzi. Dopiero wtedy będzie miała ZNACZENIE.

Nigdy, przenigdy nie podawaj samych wartości…

Wiesz już, czym to grozi!

Współczynnik zamiany można też zapisać w postaci ułamka Teraz, gdy już wiesz, że 1 milimetr to 0,0393700787 cala, musisz przeliczyć na cale wszystkie wartości zapisane w projekcie w milimetrach. Cała sztuka polega na zapisaniu współczynnika zamiany w postaci ułamka, którego licznik i mianownik będą wynosić tyle samo: Obydwa zapisy są równoważne.

0,0393700787 cala 1 milimetr

Wartość ułamka to 1, ponieważ jego licznik i mianownik są sobie równe.

Możesz już pomnożyć wyniki pomiarów przez współczynnik zamiany zapisany w postaci ułamka. Ponieważ jego licznik jest równy mianownikowi (są to te same długości), pomnożenie jakiejkolwiek wartości przez ułamek zamiany jest tożsame z pomnożeniem jej przez 1, co oznacza, że rozmiar pomiaru nie ulegnie zmianie. Wykonanie tego mnożenia zmieni jednostki, w jakich udzieliłeś odpowiedzi, a przecież właśnie o to Ci chodzi!

Pomnożenie wyniku pomiaru przez współczynnik zamiany jednostek nie zmienia rozmiaru wyniku, ale ZMIENIA jego JEDNOSTKI. 74

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Sądzę, że ułamek zamiany jednostek można zapisywać dowolnie — nieważne, czy w liczniku znajdą się cale, czy milimetry, dlatego muszę zastanowić się, jak chcę go zapisać.

Jednostki zapisane w ułamku można skracać tak samo, jak skraca się liczby. Licznik i mianownik ułamka opisują tę samą długość.

Ułamek zamiany jednostek możesz zapisać w dowolny sposób. 1 milimetr 0,0393700787 cala

=

0,0393700787 cala 1 milimetr

=1

Chcemy przeliczyć szerokość odtwarzacza (60 mm) na cale, więc należy użyć takiej postaci ułamka zamiany jednostek, która sprawi, że wartość pomiaru będzie zapisana w calach, bo milimetry zostaną skrócone. Jednostka milimetr znajduje się w liczniku ć. i w mianowniku zapisu, więc można ją skróci

60 milimetrów w calach = 60 millimetrów ×

Jedyną jednostką, która pozostanie w zapisie, są cale — i o to właśnie chodziło.

0,0393700787 cala 1 millimetr

Zastanów się nad ROZMIAREM odpowiedzi. Spodziewasz się liczby mniejszej od 60, więc ta wydaje się być poprawna.

= 2,362204722 cala

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Nie rozumiem, dlaczego ułamek zamiany jednostek miałby być równy 1. Jak to możliwe, skoro w liczniku i w mianowniku pojawiają się zupełnie inne liczby?

: A to, w jakiej kolejności mam zapisywać ułamek, będę wiedzieć dzięki jednostkom, które chcę ostatecznie otrzymać?

O: Poza innymi liczbami w liczniku

: Tak. Dążysz do tego, żeby stare jednostki skróciły się w wyniku dzielenia, pozostawiając w zapisie tylko nową jednostkę. Zapisz ułamek tak, żeby móc wykonać odpowiednie działania.

i mianowniku ułamka pojawiają się też inne jednostki. Wyrażenia znajdujące się w liczniku i mianowniku ułamka odpowiadają tej samej długości, więc cały ułamek jest równy 1. Liczby różnią się od siebie, ponieważ długość została wyrażona w innych jednostkach.

O

Możesz też zadać sobie pytanie „Czy spodziewam się odpowiedzi większej, czy mniejszej od wartości początkowej?”. Ta metoda też sprawdza się doskonale.

P

: Tym razem chciałem przeliczyć milimetry na cale, ale czy jeśli chciałbym wykonać operację ODWROTNĄ, musiałbym odwrócić ułamek zamiany?

O

: Dokładnie! Oczywiście zawsze sprawdź, czy się nie pomyliłeś. Zastanów się, czy stare jednostki na pewno się skrócą, i sprawdź, czy zgadza się mniej więcej rząd wielkości odpowiedzi.

jesteś tutaj 

75

Jednostki się przydają

Hmm… czy to nie oczywiste, że skoro 1 mm = 0,0393700787 cala, to 60 mm będzie wartością odpowiednio sześćdziesiąt razy większą? Czy nie wystarczy po prostu pomnożyć współczynnika zamiany jednostek przez 60? Po co zawracać sobie głowę jakimiś ułamkami i jednostkami?

Rachunek jednostek pomaga uniknąć błędów podczas rozwiązywania trudniejszych problemów. Tym razem przeliczałeś tylko jeden rodzaj jednostek, ale już niedługo będziesz musiał przeliczyć lata na sekundy, a to oznacza przeliczenie sekundy na minuty, potem na godziny, na dni i wreszcie na lata. Jeden problem będzie wymagać używania pięciu rożnych rodzajów jednostek! Dlatego warto ćwiczyć metody rozwiązywania bardziej skomplikowanych problemów na prostszych zadaniach. Przypomina to nieco ciągłe ćwiczenie jednego uderzenia w tenisie — tylko w ten sposób można wypracować odpowiednią technikę. Później, gdy przychodzi Ci zmierzyć się z trudnym przeciwnikiem, uderzenie przychodzi Ci z niebywałą łatwością i wcale nie musisz angażować mózgu w analizę zdarzeń na korcie. Pamiętaj też, że nauczyciel doceni Twój tok rozumowania, nawet jeśli ostatecznie udzielona odpowiedź będzie błędna. Nauczyciele fizyki mają w zwyczaju nagradzać uczniów za zrozumienie fizyki, a to oznacza, że musisz pokazać im, w jaki sposób doszedłeś do odpowiedzi.

76

Rozdział 2.

Czyli możemy liczyć na Twoją pomoc w przeliczaniu jednostek z projektu na cale?

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Teraz możesz zaktualizować projekt Dzięki Kalkulatorowi Google wiesz już, że 1 mm = 0,0393700787 cala. Pora teraz zaktualizować projekt i przeliczyć milimetry na cale, żeby fabryka mogła wyprodukować prototyp.

Zaostrz ołówek Poniżej masz plan odtwarzacza z podanymi wartościami poszczególnych rozmiarów zapisanymi w milimetrach. Zamień je na cale i zdobądź jeden z egzemplarzy z limitowanej serii! Pamiętaj, żeby pokazać poszczególne etapy swojej pracy (umieść obliczenia po prawej stronie projektu). Pamiętaj, żeby zapisać w projekcie JEDNOSTKI!

Tu masz trochę wolnego miejsca na obliczenia. 42 mm

38 mm

100 mm

1 mm

60 mm

jesteś tutaj 

77

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Poniżej masz plan odtwarzacza z podanymi wartościami poszczególnych rozmiarów zapisanymi w milimetrach. Zamień je na cale i zdobądź jeden z egzemplarzy z limitowanej serii! Pamiętaj, żeby pokazać poszczególne etapy swojej pracy (umieść obliczenia po prawej stronie projektu).

1,6535433054 cala

42 mm

1 mm

42 mm w calach 0,0393700787 cala = 42 mm x 1 mm = 1,6535433054 cala

3,93700787 cala

38 mm w calach 0,0393700787 cala = 38 mm x 1 mm 100 mm = 1,4960629906 cala

0,0393700787 cala

38 mm

1,4960629906 cala

Podkreśl dwukrotnie odpowiedź końcową, żeby była dobrze widoczna.

Upewnij poszczeg się, że zapisze sz pracy, ż ólne etapy e miał wątpby nikt nie fragment liwości, który rozwiązu zadania właśnie jesz.

100 mm w calach 0,0393700787 cala = 100 mm x 1 mm = 3,93700787 cala

60 mm w calach 0,0393700787 cala = 60 mm x 1 mm = 2.362204722 cala

2,362204722 cala

60 mm

1 mm w calach — wiemy już, że 1 mm = 0,0393700787 cala

Jeżeli w czasie rozwiązywania zadania musisz zmienić jednostki, poszukaj odpowiedniego współczynnika zamiany jednostek i pokaż poszczególne etapy obliczeń! 78

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Zamianajednostek już za Tobą! Zamieniłeś jednostki wszystkich pomiarów z milimetrów na cale i po sprawdzeniu, czy po każdej wartości pojawia się jednostka, wysłałeś plany do fabryki, więc możesz spokojnie oddać się marzeniom o ajPodzie z limitowanej kolekcji…

Pamiętaj, żeby zapisać jednostkę po KAŻDEJ wartości, która jest odpowiedzią końcową.

Jakiej linijki używałeś?! Nie ma takiej możliwości, żebyśmy odmierzyli odcinek o długości 2,362204722 cala!

AleNADAL coś jest nie tak… Kilka godzin po wysłaniu maila z projektem zadzwonił jeden z pracowników fabryki. Okazuje się, że fabryka nie jest w stanie wyprodukować obudowy ajPoda z dokładnością do 0,0000000001 cala!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Co może być przyczyną tego problemu? Jak go rozwiązać?

jesteś tutaj 

79

Liczba cyfr znaczących jest znacząca

Co zrobić z liczbami zbyt długimi, by można z nich skorzystać Problem polega na tym, że Twoje pomiary składają się ze zbyt wielu cyfr. Z projektu wynika, że ajPod ma 2,362204722 cala szerokości, co sugeruje, że zmierzyłeś ją z dokładnością do 0,000000001 cala. Ale jeżeli nie masz linijki, którą mógłbyś mierzyć pojedyncze atomy, nie mógłbyś tego zrobić! Musisz zdecydować, które z cyfr odpowiedzi są znaczące. Najbardziej znaczącą cyfrą jest ta, która mówi Ci, jak duża jest cała liczba — zazwyczaj jest to pierwsza niezerowa cyfra liczby. Kolejna cyfra ma już mniejsze znaczenie i tak dalej.

W jednostce mieści się 10 części dziesiętnych.

W jednej części dziesiątej mieści się 10 części setnych jedności.

Miejsce jedności Najbardziej znacząca cyfra to ta, która określa RZĄD WIELKOŚCI liczby. W podanym przykładzie najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra jedności.

W liczbie 0,0022 najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra części tysięcznych.

80

Rozdział 2.



Części dziesiętne

Części setne

Narysowane poniżej klocki odpowiadają liczbie 1,1111 (tj. jedna jednostka, jedna część dziesiętna, jedna część setna, jedna część tysięczna, jedna część dziesięciotysięczna).

W jednej części setnej mieści się 10 części tysięcznych jedności.

Części tysięczne

W jednej części tysięcznej mieści się 10 części dziesięciotysięcznych jedności.

Części dziesięciotysięczne

Przecinek

W tym wielkim kwadracie mieści się 10 000 naprawdę małych kwadratów. W porównaniu z rozmiarem dużego kwadratu rozmiar małego kwadratu nie ma znaczenia.

Cyfrą najbardziej znaczącą jest ta, która określa RZĄD WIELKOŚCI liczby, co oznacza, że jest nią pierwsza cyfra niezerowa.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Ile cyfr wartości pomiaru wydaje się mieć znaczenie? Ponieważ zapisane w projekcie wartości składają się ze zbyt wielu cyfr, należy je zaokrąglić, ucinając mniej znaczące cyfry. Jeśli będziesz zaokrąglać liczbę 2,362204722 cala do jednej cyfry znaczącej, otrzymasz wartość 2 cale (gdyż pierwotny wynik jest bliższy liczbie 2 niż liczbie 3). Jeśli będziesz zaokrąglać ją do dwóch cyfr znaczących, otrzymasz wartość 2,4 cala (ponieważ wartość pierwotna jest bliższa liczbie 2,4 niż 2,3).

Na razie nie przejmuj się zbytnio problemem zaokrąglania — zajmiemy się nim na następnych stronach.

Ale do ilu cyfr znaczących należy zaokrąglić wyniki pomiarów?

Zaostrz ołówek Narysuj w kratkach kwadraty i kolumny, które będą odpowiadać liczbie 2,362204722 cali (to zmierzona szerokość ajPoda), tak samo, jak zrobiliśmy to na poprzedniej stronie. Obok rysunków napisz cyfrę, której mają odpowiadać poszczególne kratki. (Raczej nie wszystkie cyfry z wyznaczonej szerokości zmieszczą się w udostępnionym polu).

Narysowaliśmy za Ciebie kwadrat jednostek. Musisz teraz dorysować drugi, żeby zobrazować cyfrę 2 z wyniku pomiarów.

Ile cyfr pomiaru wydaje się mieć znaczenie? Mówiąc inaczej, które z cyfr będą jeszcze wpływać na rozmiar wyniku? Podaj odpowiedź poniżej.

Kolumny dziesiątek możesz umieścić jedną obok drugiej.

Miejsce jedności

, Przecinek

Części dziesiętne

Części setne

Części tysięczne Części dziesięciotysięczne

jesteś tutaj 

81

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Narysuj w kratkach kwadraty i kolumny, które będą odpowiadać liczbie 2,362204722 cali (to zmierzona szerokość ajPoda), tak samo, jak zrobiliśmy to na poprzedniej stronie. Obok rysunków napisz cyfrę, której mają odpowiadać poszczególne kratki. (Raczej nie wszystkie cyfry z wyznaczonej szerokości zmieszczą się w udostępnionym polu). Ile cyfr pomiaru wydaje się mieć znaczenie? Mówiąc inaczej, które z cyfr będą jeszcze wpływać na wielkość wyniku? Podaj odpowiedź poniżej. Tylko trzy pierwsze cyfry dają rzeczywisty wkład do odpowiedzi. Części tysięczne i dziesięciotysięczne ułamka można pominąć. Uważam, że powinienem zaokrąglić wynik do trzech cyfr znaczących.

Te cyfry mają ZNACZĄCY wpływ na WIELKOŚĆ wyniku.

2

, 3 6 2 2 Te cyfry można pominąć, ponieważ nie mają większego wpływu na WIELKOŚĆ odpowiedzi.

Miejsce jedności

,

Części dziesiętne

Części setne

Części tysięczne Części dziesięciotysięczne

Najbardziej znaczące są TRZY pierwsze cyfry liczby. Pozostałe nie wnoszą wiele do WIELKOŚCI wyniku. 82

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Zazwyczaj odpowiedzi zaokrągla się do trzech cyfr znaczących Jeżeli nie dysponujesz żadnymi dodatkowymi informacjami na temat wyniku, powinieneś zaokrąglać odpowiedzi końcowe do trzech cyfr znaczących. Pozostałe cyfry nie zmieniają znacząco rozmiaru wyniku.

Cyfra 5 jest granicą określającą, czy należy zaokrąglać w górę, czy w dół.

Zaokrąglając wyniki, musisz przestrzegać pewnych reguł Przed zaokrągleniem wyniku sprawdź, jaka cyfra znajduje się po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej. Jeśli jest to cyfra 4 lub mniejsza, dokonaj zaokrąglenia w dół, jeśli cyfrą tą jest 6 lub cyfra większa, dokonaj zaokrąglenia w górę. Zgodnie z tą zasadą szerokość odtwarzacza ajPod — 2,3622… cala — należałoby zaokrąglić w dół do wartości 2,36 cala, ponieważ wynik jest bliższy liczbie 2,36 cala niż 2,37 cala. Natomiast wynik 4,5874… cala trzeba zaokrąglić w górę do wartości 4,59 cala, gdyż jest on bliższy wartości 4,59 niż 4,58. Jeśli cyfrą stojącą po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej jest 5, musisz sprawdzić, czy za nią pojawia się kolejna cyfra. Jeśli tak, dokonaj zaokrąglenia w górę. Jeśli 5 jest ostatnią cyfrą, dokonaj zaokrąglenia w górę lub w dół do najbliższej cyfry parzystej. Oznacza to, że liczbę 2,365 należy zaokrąglić w dół do wartości 2,36, natomiast liczba 2,375 zostanie zaokrąglona w gorę do wartości 2,38.

Jeśli cyfrą sąsiadującą z prawej strony z ostatnią z cyfr znaczących jest 4 lub mniej niż 4, dokonaj zaokrąglenia w dół.

Jeśli cyfrą sąsiadującą z prawej strony z ostatnią z cyfr znaczących jest 6 lub więcej niż 6, dokonaj zaokrąglenia w górę.

Jeśli następne cyfry przenoszą Cię ponad granicę odcięcia, dokonaj zaokrąglenia w górę.

Po zaokrągleniu wyniku zaznacz w odpowiedzi, że wartość została ograniczona do samych cyfr znaczących. W przypadkach, gdy dokładność wyniku nie jest określana wyznaczonym błędem pomiaru, stosuje się zapis x 2,36. Symbol | oznacza „w przybliżeniu”

Sposób zaokrąglania liczby zależy od cyfry stojącej po prawej stronie ostatniej cyfry znaczącej.

Jeśli cyfrą sąsiadującą z prawej strony z ostatnią z cyfr znaczących jest 5, a po niej pojawiają się inne cyfry, dokonaj zaokrąglenia w górę.

Jeśli cyfrą sąsiadującą z prawej strony z ostatnią z cyfr znaczących jest 5 i nie pojawiają się po niej inne cyfry, dokonaj zaokrąglenia w górę lub w dół do najbliższej cyfry parzystej.

jesteś tutaj 

83

Różnica między cyframi a miejscami po przecinku Ja mam w zwyczaju zaokrąglać liczby zawsze do określonej liczby miejsc po przecinku. Czemu mam w ogóle zawracać sobie głowę jakimiś cyframi znaczącymi? Dlaczego nie powiemy sobie „Będziemy zaokrąglać wszystkie wyniki do dwóch miejsc po przecinku?”. Czy to nie to samo?

Miejsca po przecinku to nie to samo, co cyfry znaczące. Obydwa określenia pozwalają zdefiniować ilość cyfr w ułamku dziesiętnym, ale ich znaczenie jest zupełnie inne. Po przedstawieniu liczby 2,3622… w postaci kwadratów i kolumn widać, że pierwsze trzy cyfry w większym stopniu wpływają na rozmiar wyniku niż pozostałe cyfry. Zatem, zgodnie z regułami zaokrąglania, zapiszesz tę liczbę w postaci 2,36, czyli faktycznie zaokrąglisz ją do dwóch miejsc po przecinku… ale to prawda tylko dla tego przypadku! Załóżmy teraz, że wynikiem pomiaru jest wartość 236,22. Liczbę tę można narysować dokładnie tak samo, jak robiliśmy to poprzednio. Znów okazuje się, że trzy pierwsze cyfry mają znacznie większe znaczenie niż pozostałe, więc zaokrąglisz wynik do wartości 236. Na razie wszystko przebiega utartym torem. Ale spójrz, tym razem zaokrągliłeś liczbę wyłącznie do miejsc jedności, zupełnie pomijając miejsca po przecinku. Ponieważ o kształcie odpowiedzi decydują trzy pierwsze cyfry, te najbardziej znaczące, postaraj się raczej patrzeć na wyniki przez pryzmat cyfr znaczących, a nie miejsc po przecinku. Trzy pierwsze cyfry liczby mogą wypadać przed przecinkiem, za nim lub obejmować przecinek, dlatego lepiej rozważać dokładność wyniku w kategoriach cyfr znaczących, a nie miejsc po przecinku.

Najbardziej znaczącymi cyframi KAŻDEJ liczby są jej trzy pierwsze cyfry (niezależnie od tego, czy jej wartość jest bardzo duża, czy bardzo mała).

2

Jednostki

, 3

Części dziesiętne

6 2 2

Części setne

Części dziesięciotysięczne

Części tysięczne

84

Rozdział 2.

2

3

6, 2 2

Części setne Setki

Dziesiątki

Jedności

Części dziesiętne

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Czymam zaokrąglić rozmiary ajPoda do trzech cyfr znaczących? Jesteś na najlepszej drodze do otrzymania nagrody w postaci odtwarzacza z limitowanej serii! Zmierzyłeś już linijką rozmiary obudowy i narysowałeś projekt, na podstawie którego fabryka może wyprodukować odtwarzacze. Po małej wpadce, w wyniku której otrzymałeś odtwarzacz dwudziestopięciokrotnie większy, niż należało (bo na projekcie zabrakło jednostek), odrobiłeś wszystkie zaległości, poznając współczynniki zamiany jednostek, dzięki czemu mogłeś przeliczyć milimetry na cale. W ten sposób uniknąłeś potrzeby ponownego dokonywania pomiarów. Potem fabryka zwróciła Ci uwagę, że obliczone rozmiary urządzenia są zapisane za pomocą zbyt wielu cyfr — okazuje się, że nie wolno wierzyć we wszystko, co podaje kalkulator! Ale zrozumiałeś już, że niektóre cyfry zapisu są ważniejsze niż inne, ponieważ to one decydują przede wszystkim o wielkości wyniku. Wiesz już też, że zazwyczaj zaokrąglenia dokonuje się do trzech cyfr znaczących. A zatem możemy ruszać dalej?

Wydaje mi się, że zaokrąglanie do trzech cyfr znaczących to ogólna zasada panująca w fizyce. Ale co mam zrobić, gdy wiem coś więcej na temat wykonania konkretnego pomiaru? Czy to zmienia obowiązującą zasadę?

Zazwyczaj odpowiedzi zaokrągla się do trzech cyfr znaczących Jeżeli nie dysponujesz żadnymi dodatkowymi informacjami na temat wyniku, powinieneś zaokrąglać odpowiedzi końcowe do trzech cyfr znaczących. Pozostałe cyfry nie zmieniają znacząco rozmiaru wyniku.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W jaki sposób metoda wykonania pomiarów może wpływać na liczbę cyfr znaczących wyniku?

jesteś tutaj 

85

Krótko o zaokrąglaniu

Przecież OD RAZU dokonałeś zaokrąglenia pierwszych zmierzonych wartości! Podczas mierzenia rozmiarów odtwarzacza ajPod na pewno nieraz stwierdziłeś, że niektóre z długości nie są dokładnymi wielokrotnościami milimetra. Mierzona krawędź nie schodziła się dokładnie z linią narysowaną na skali linijki. W takich przypadkach dokonałeś zapewne intuicyjnego zaokrąglenia do najbliższej wartości na skali. Jeśli pomiar wypadał pomiędzy wartością 6,5 mm a 7 mm, zapewne zaokrąglałeś go w górę do wartości 7 mm, jeżeli zaś przypadał gdzieś pomiędzy 7 mm a 7,5 mm, przypuszczalnie zaokrąglałeś go w dół do 7 mm.  y Pomiar przypadając i pomiędzy wartościamkrągla 6,5 mm a 7 mm zao . się w górę do 7 mm



Powiększyliśmy rys un żebyś mógł przyjrzeć ek, dokładniej opisywa się nemu problemowi.

Pomiar przypa da pomiędzy warto jący 7 mm a 7,5 mmściami się w dół do 7 zaokrągla mm.

jący Pomiar przypada iami śc pomiędzy warto 7,5 mm a 8 mm górę zaokrągla się w do 8 mm.

Wyniki wolno Ci podawać tylko z dokładnością do PEŁNYCH warto ści najmniejszej podziałk i skali.



 

Najmniejsza podziałka skali to 1 mm.

 



Pamiętaj, żeby zawsze zaokrąglać pomiary do najbliższej podziałki na skali przyrządu mierniczego. 86

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Każdy pomiar jest obarczony błędem (zwanym czasem niepewnością)

Wartość pomiaru zapisana jako „7 mm” może w rzeczywistości leżeć gdziekolwiek w przedziale od 6,5 milimetra do 7,5 milimetra. Wyni k z błędem zapisuje się w postaci 7,0 mm wraz ± 0,5 mm.

Wykonując jakiś pomiar za pomocą urządzenia opatrzonego skalą, zawsze przeprowadzasz intuicyjnie operację zaokrąglenia wyniku do najbliższej podziałki na skali. Wynika stąd jednoznacznie, że wynik zapisany jako „7 mm” może w rzeczywistości odpowiadać dowolnej wartości z przedziału od nieco ponad 6,5 mm do tuż poniżej 7,5 mm.



Oznacza to, że osoba odczytująca wyniki pomiarów (Ty lub ktokolwiek inny) musi w jakiś sposób dowiedzieć się, jaką niepewnością czy też jakim błędem obarczone są wszystkie wyniki. Czy długość mierzono linijką z podziałką 1 milimetra, czy za pomocą mikromierza z podziałką co 0,001 milimetra?



Jeśli wyniki pomiarów zaznaczasz na rysunku, zawsze możesz posłużyć się słupkiem błędu, żeby zaznaczyć obszar, w którym może znajdować się prawdziwa wartość pomiaru.



Gdy zapisujesz wyniki w postaci liczb, możesz za ich pomocą zapisać również margines błędu. Wartość pomiaru rzędu 7 milimetrów mogła być w rzeczywistości większa nawet o 0,5 milimetra (i zaokrąglona w dół) lub nawet o 0,5 milimetra mniejsza (i zaokrąglona w górę). Wynik wraz z błędem zapisuje się w postaci 7,0 mm ± 0,5 mm.



Ponieważ zaokrąglasz wynik pomiaru do najbliższej wartości naniesionej na skalę przyrządu, błąd związany z odczytem wynosi zawsze ± pół najmniejszej podziałki skali. Ten znak odczytuje się jako „plus-minus”.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy to, że moje pomiary są obarczone błędem, oznacza, że zrobiłem coś źle?



SŁUPEK BŁĘDU pokazuje zakres, w którym może mieścić się rzeczywista wartość pomiaru. W tym przypadku jest to 0,5 milimetra w każdą stronę od wyznaczonej wartości.

  



P: Dobrze, ale kilka stron wcześniej ustaliliśmy,

O

że będziemy zaokrąglać wyniki obliczeń do trzech cyfr znaczących, a teraz zapisujemy wyniki pomiarów w postaci 7,0 mm ± 0,5 mm. Ani wynik pomiaru, ani błąd nie mają trzech cyfr znaczących!

P: Czyli jeśli użyję dokładniejszego przyrządu, uda mi się

: Przytoczona przez Ciebie (ogólna) reguła dotyczy obliczeń, a nie wartości otrzymywanych z pomiarów.

: Nie! W tym kontekście „błąd” należy rozumieć jako „niepewność” — obszar, w którym mógł znajdować się rzeczywisty wynik pomiaru.

całkowicie wyeliminować błąd, prawda?

O: Raczej nie. Możesz zmniejszyć niepewność pomiarową, jeśli

zamiast linijki użyjesz śruby mikrometrycznej. Wtedy błąd odczytu będzie wynosić ± 0,0005 milimetrów, a nie ± 0,5 milimetra. Jednak na poziomie atomowym żadna powierzchnia nie jest idealnie gładka, więc nawet mierząc coś z dokładnością do wymiarów atomu, nie zdołasz pozbyć się błędów zupełnie.

P: Czy zatem próba zredukowania błędów pomiarowych jest potrzebna, czy to tylko zbędny perfekcjonizm?

O

: Im mniejszy jest błąd, tym bardziej możesz ufać wynikom pomiarów.

O

P: Ale skoro wiem, jak przebiegał pomiar, to na pewno muszę skorzystać z tej wiedzy podczas zaokrąglania wartości podawanych w projekcie, prawda?

O

: Owszem. Zaokrąglanie do trzech cyfr znaczących to ogólna zasada, którą stosujesz wtedy, gdy nie wiesz nic na temat sposobu wykonania pomiaru. Jeżeli jednak dysponujesz dokładniejszymi wiadomościami na temat niepewności pomiarowej, możesz uwzględnić propagację (przenoszenie się) błędów w całym procesie przeliczania jednostek.

P: To zdaje się mieć sens, ale jak mam się za to ZABRAĆ? O: Zabawne, że o to pytasz, bo właśnie mieliśmy poruszyć ten

temat.

jesteś tutaj 

87

Zaokrąglanie błędów

Musisz zaznaczyć propagację błędu na wszystkie wartości umieszczone w projekcie Mierząc rozmiary ajPoda linijką, dokonywałeś zaokrąglenia odczytywanych wielkości do najbliższej podziałki na skali. W ten sposób w projekcie pojawiły się błędy związane z każdym wykonanym pomiarem.

ROZMIAR mierzonego obiektu nie zależy od stosowanych jednostek, więc po ich zamianie pozostanie ten sam.

Chcąc uwzględnić w projekcie calowy odpowiednik wartości błędów określonych w milimetrach, musisz dokonać zamiany jednostek błędów z milimetrów na cale. Po wykonaniu tej operacji będziesz mógł podać odpowiedzi końcowe w calach i uwzględnić błąd w tych samych jednostkach, więc pracownicy fabryki będą wiedzieli, jaką dokładność muszą zachować podczas produkcji.

Ale kłopot polegał przecież na tym, że przeliczone wartości pomiarów składały się ze zbyt dużej liczby cyfr. Jeżeli przeliczę teraz błędy z milimetrów na cale, stanę przed tym samym, nierozwiązanym problemem — błędy podane w nowych jednostkach są zapisane za pomocą zbyt wielu cyfr! Skąd ludzie mają wiedzieć, które z cyfr wartości niepewności pomiarowej są znaczące?!

WYSOKOŚĆ słupka błędu również nie zmienia się podczas zamiany jednostek.

Dokonaj zaokrąglenia przeliczonych wartości błędów do JEDNEJ cyfry znaczącej. Po dokonaniu zamiany jednostek w błędzie dokonaj zaokrąglenia jego wartości do jednej cyfry znaczącej — to ogólnie przyjęty zwyczaj. Później przeprowadź operację zaokrąglenia wartości pomiaru do ostatniej cyfry pozostającej pod wpływem błędu (stwierdzenie to jest równoznaczne z powiedzeniem „dokonaj zaokrąglenia wyniku do tej samej liczby miejsc po przecinku, co w zapisie błędu”).

To tylko wartość przykładowa — po przeliczeniu jednostek dla błędów otrzymasz zupełnie inną liczbę cali.

88

Rozdział 2.

Jeżeli zatem po przeliczeniu jednostek uzyskasz błąd o wartości ± 0,061842375 cala, powinieneś zaokrąglić go do jednej cyfry znaczącej, czyli do postaci ± 0,06 cala. Oznacza to, że pomiar o wartości 27 mm przeliczony na cale do postaci 1,0106299213 cala powinien zostać zapisany jako (1,01 ± 0,06) cala, gdyż ostatnią cyfrą wyniku zmienianą przez błąd jest ta, która stoi na miejscu części setnych.

Ogólnie przyjętym zwyczajem jest zapisywanie wartości błędów z dokładnością do JEDNEJ cyfry znaczącej i zaokrąglanie wyników pomiarów do ostatniej cyfry pozostającej pod wpływem błędu.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Świetnie!Pora znów zmierzyć się z projektem! Teraz, gdy wiesz już, jak przeliczyć wartości błędów na nowe jednostki i ile cyfr znaczących uwzględnić w ostatecznym zapisie, możesz powrócić do pracy nad projektem!

Zaostrz ołówek Skorzystaj z informacji zawartych na poprzedniej stronie, by określić, ile cyfr znaczących uwzględnić w podawanych wynikach. Zapisz w pustych polach rozmiary obudowy ajPoda już po zaokrągleniu! Pamiętaj, że mierzyłeś je z dokładnością do najmniejszej podziałki na skali linijki milimetrowej, a Kalkulator Google obliczył wartość błędu 1 mm = 0,0393700787 cala. Pamiętaj też, by obok ostatecznego wyniku podać również wartość błędu. Masz tu trochę wolnego miejsca, żeby dokonać przeliczeń błędów. Upewnij się, że dokładnie opiszesz wszystkie kroki swoich obliczeń.

3,93700787 cala

=

0,0393700787 cala

1,4960629906 cala

1,6535433054 cala

Pamiętałeś o jednostkach?

2.362204722 cala

jesteś tutaj 

89

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Skorzystaj z informacji zawartych na poprzedniej stronie, by określić, ile cyfr znaczących uwzględnić w podawanych wynikach. Zapisz w pustych polach rozmiary obudowy ajPoda już po zaokrągleniu! Pamiętaj, że mierzyłeś je z dokładnością do najmniejszej podziałki na skali linijki milimetrowej, a Kalkulator Google obliczył wartość błędu 1 mm = 0,0393700787 cala. Pamiętaj też, by obok ostatecznego wyniku podać również wartość błędu. Masz tu trochę wolnego miejsca, żeby dokonać przeliczeń błędów. Upewnij się, że dokładnie opiszesz wszystkie kroki swoich obliczeń.

(1,50 ± 0,02) cala

(1,65 ± 0,02) cala

(0,04 ± 0,02) cala

(3,94 ± 0,02) cala

Najmniejsza podziałka na skali linijki, którą mierzyłem ajPoda, to 1 mm, a to oznacza, że błąd pomiaru wynosi ± 0,5 mm.

Pamiętałeś o jednostkach

Zamiana jednostek błędów — 0,5 mm w calach

= 0,5 mm ×

0,0393700787 cala 1 mm

= 0,01968503935 cala Zaokrąglam błąd do jednej cyfry znaczącej: Wartość błędu to ± 0,02 cala Zaokrąglam wyniki mierzenia ajPoda do tej samej liczby miejsc po przecinku (czyli w tym przypadku do dwóch miejsc po przecinku).

(2,36 ± 0,02) cala Hej… czy możesz już przesłać nam te plany? Zaczynamy się obawiać, że możemy nie zdążyć na czas…

90

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

STÓJ! Zanim klikniesz przycisk wysyłania, sprawdź, czy odpowiedź jest dobrze sKROJona?! Wszystko, co działo się do tej pory, przekonało Cię zapewne, że zawsze warto sprawdzić jeszcze raz całe rozwiązanie, zanim wyślesz je dalej. A zatem — czy Twoja odpowiedź jest dobrze sKROJona? K to kontekst — Spójrz raz jeszcze na cały problem. Czy to, co chciałeś zrobić, było faktycznie tym, co rzeczywiście zrobiłeś, żeby uzyskać odpowiedź? R to rozmiar — Jakiego rzędu wielkości odpowiedzi oczekiwałeś? O to obliczenia — Sprawdź je raz jeszcze i poszukaj głupich błędów popełnianych przez nieuwagę! J to jednostki — Czy wszystkie odpowiedzi są zapisane w odpowiednich (takich, o które Cię proszono) jednostkach?

Zanim oddasz odpowiedzi, zawsze sprawdź, czy są poprawne.

Zaostrz ołówek Wpisz odpowiedzi na zadane pytania, żeby sprawdzić, czy projekt odtwarzacza ajPod jest dobrze sKROJony!

K R O J

KONTEKST — Czy to, co chciałeś zrobić, było faktycznie tym, co rzeczywiście zrobiłeś, żeby uzyskać odpowiedź?

Chodzi o to, żeby na klasówkach nie tracić punktów za głupie błędy, których można było uniknąć.

ROZMIAR — Czy odpowiedzi są tego rzędu wielkości, jakiego się spodziewałeś?

OBLICZENIA — Czy z punktu widzenia zasad matematyki wszystko jest w porządku?

JEDNOSTKI — Czy wszystkie wartości są opisane jednostkami i czy są to te jednostki, o które Cię proszono?

jesteś tutaj 

91

Skrojone rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

K R O J

Wpisz odpowiedzi na zadane pytania, żeby sprawdzić, czy projekt odtwarzacza ajPod jest dobrze sKROJony!

KONTEKST — Czy to, co chciałeś zrobić, było faktycznie tym, co rzeczywiście zrobiłeś, żeby uzyskać odpowiedź?

To WYJĄTKOWO wygodny sposób sprawdzania, czy odpowiedź jest wiarygodna.

Chcę przeliczyć odpowiedzi z milimetrów na cale i zapisać je z dokładnością do odpowiedniej liczby cyfr znaczących (określonej na podstawie wartości błędów związanych z wykonanymi pomiarami).

ROZMIAR — Czy odpowiedzi są tego rzędu wielkości, jakiego się spodziewałeś? Ponieważ cale są większe niż milimetry, odpowiedzi podane w calach powinny być mniejsze niż wartości pomiarów uzyskane w milimetrach. Na oko sądząc, są one właściwe dla rozmiarów przenośnego odtwarzacza muzyki.

OBLICZENIA — Czy z punktu widzenia zasad matematyki wszystko jest w porządku? Wydaje mi się, że tak. Współczynnik zamiany jednostek jest zapisany prawidłowo (właściwe jednostki skracają się), a rząd wielkości odpowiedzi był już sprawdzany i też wydaje się być poprawny.

JEDNOSTKI — Czy wszystkie wartości są opisane jednostkami i czy są to te jednostki, o które Cię proszono? Fabryka prosiła o podanie wyników w calach, więc przeliczyłem odpowiedzi na cale. Zapisałem też wynik z dokładnością do odpowiedniej liczby cyfr znaczących.

Zanim zajmiesz się nowym problemem, zawsze zadaj sobie pytanie „Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona?”.

92

Rozdział 2.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Rozgryzłeś to! Projekt nareszcie jest wykonany poprawnie i pracownicy fabryki są zadowoleni! Zanim się obejrzałeś, już leżysz na brzegu basenu i cieszysz się egzemplarzem odtwarzacza ajPod pochodzącym z limitowanej serii. Ale co stało się z ogromnym ajPodem, który dostarczyła poczta? Został wystawiony na cieszącej się ogromnym zainteresowaniem aukcji internetowej jako jeszcze bardziej limitowany egzemplarz i sprzedano go za oszałamiającą kwotę.

Wypas!

jesteś tutaj 

93

Czy to już Twoje ostatnie słowo?

To zero daje Ci dodatkowe informacje. Liczba cyfr znaczących odpowiedzi daje pewne informacje na temat rozmiaru błędu. Ostatnia zapisana cyfra wyniku jest cyfrą niepewną. Przeanalizujmy przytoczony przez Ciebie przykład — zapisany błąd wynosi ± 0,02 cala, co oznacza, że zmierzona długość może różnić się od podanej wartości o dwie setne cala w każdą ze stron. Zapisanie wartości pomiaru w postaci 1,50 cala sugeruje, że wartości zapisywane na miejscu części setnych nie są pewne, natomiast podanie wyniku w postaci 1,5 sugerowałoby, że niepewne są cyfry zapisywane na miejscu części dziesiętnych.

(1,50 ± 0,02) cala

Nie tak szybko! Chyba coś zauważyłam. Wysokość wyświetlacza opisałam wartością 1,5 cala, a nie 1,50 cala. Przecież to zero i tak nie niesie ze sobą żadnej dodatkowej informacji na temat pomiaru, więc po co marnować na nie atrament? Dlaczego umieściliście to w projekcie?

A co mamy zrobić, jeśli nie wiemy nic na temat błędów pomiarów wartości, których używamy w obliczeniach?

Odpowiedzi powinny być zapisane z tą samą dokładnością (z tą samą liczbą cyfr znaczących), co wartości podane w pytaniu.

94

Rozdział 2.

Jeżeli nie znasz wartości błędów, zachowaj liczbę cyfr znaczących podaną w problemie. Trzy pierwsze cyfry każdej liczby są na tyle znaczące, że powinieneś zachować je w odpowiedzi. Oznacza to, że większość liczb, z którymi będziesz się spotykać w zadaniach z fizyki, będzie zaokrąglona do trzech cyfr znaczących. Zatem podając odpowiedź, powinieneś zaokrąglić ją również do trzech cyfr znaczących, żeby zachować dokładność danych, którymi dysponujesz.

1.6

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

Wyniki zapisuj zawsze z odpowiednią liczbą cyfr znaczących Zapisując wynik w postaci 1,5 cala, dajesz czytającemu do zrozumienia, że zaokrągliłeś daną wartość do najbliższej podziałki na skali o skoku 0,1 cala (w najlepszym przypadku), co oznacza, że błąd pomiaru wynosi ± 0,05 cala. Jeżeli natomiast zapiszesz wynik w postaci 1,50 cala, stwierdzasz, że zaokrągliłeś pomiar do najmniejszej podziałki linijki wyskalowanej z dokładnością do 0,01 cala (w najlepszym przypadku), co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że błąd pomiaru wynosi ± 0,005 cala. Zatem podając wynik w postaci 1,5 cala zamiast 1,50 cala, sugerujesz, że Twój pomiar był DZIESIĘCIOKROTNIE gorszy, niż miało to miejsce w rzeczywistości. Odczyt to 1,5 cala. 

Odczyt to 1,50 cala.

Błąd wynosi ± 0,05 cala.





 



 













 

 

Błąd wynosi ± 0,005 cala.

Jeśli przy zapisie opuścisz zero na miejscu dziesiętnym pozostającym pod wpływem wartości błędu, zasugerujesz czytającemu, ze Twój pomiar jest DZIESIĘCIOKROTNIE groszy, niż był w rzeczywistości.

Powiększyliśmy ten obrazek, żebyś mógł dokładniej przyjrzeć się wszystkiemu.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: W niektórych książkach do fizyki można znaleźć wartości zawierające wiele cyfr znaczących, na przykład prędkość światła zapisywaną jako 29979245,8 m/s. To sugerowałoby, że błąd pomiaru tej wielkości wynosi ± 0,05 m/s. Czy to znaczy, że mam zaokrąglić moją odpowiedź do DZIEWIĘCIU cyfr znaczących, żeby zaznaczyć przenoszenie się błędu na moje obliczenia?

O

: W przypadku obliczeń uwzględniających takie wartości nie dokonuj zaokrąglenia przed zakończeniem obliczeń. Wynik ostateczny zaokrąglisz do trzech cyfr znaczących. Tak właśnie postępuje się najczęściej.

P

: Zupełnie nie wiem, co mam myśleć o zerach. Na początku wydawało mi się, że po prostu niepotrzebnie zajmują miejsce, a teraz mówicie, że są to cyfry znaczące. Przecież zera w wartości 0,005 nie są znaczące, prawda? Skąd mam wiedzieć, które zero jest ważne, a które nie?

O

: Zaraz porozmawiamy sobie z zerem i postaramy się wyjaśnić sobie to wszystko…

jesteś tutaj 

95

Wywiad z zerem

Obnażamy zero W tym tygodniu poruszymy temat „Jesteś zerem czy bohaterem?”

Head First: Pora na spotkanie z naszym gościem wieczoru — osobistością znaną z życia codziennego. Ostatnio pojawiło się istotne pytanie — jesteś bohaterem, czy to po prostu wiele hałasu o nic? Zatem, drogie Zero, jaka jest Twoja opinia w sprawie własnej istotności?

Zero: Wartości pomiarów podaje się z taką liczbą cyfr znaczących, jaka widnieje na skali przyrządu pomiarowego. Oznacza to, że jeśli mierzysz coś linijką z milimetrową podziałką i otrzymasz wynik 5 milimetrów, to zapisujesz go w postaci 5 mm…

Zero: No cóż, mówiąc krótko, moje znaczenie zależy od tego, gdzie dokładnie się znajdę.

Head First: … ale przecież tam nie ma żadnych zer…

Head First: Co masz na myśli? Przecież — popraw mnie, jeśli się mylę — będziesz tak samo ważne czy też pozbawione znaczenia dla każdego matematyka na świecie. Jak Twoje położenie wpływa na odpowiedź?

Zero: Och, nie chodzi o położenie geograficzne. Wszystko zależy od tego, w którym miejscu liczby mnie postawisz! Head First: A zatem twierdzisz, że Twoje znaczenie zmienia się w zależności od położenia w liczbie. Ale przecież zero to zero, niezależnie od tego, czy określa zero jedności, zero części dziesiętnych, zero setnych…? Zero: Oczywiście, takie było moje pierwotne zastosowanie. Wymyślono mnie po to, żebyś nie gubił informacji o rzędzie wielkości liczby.

Head First: Czyli po prostu przechowujesz miejsce dla innych cyfr?

Zero: Ależ nie! Czasami faktycznie trzymam miejsce dla innych, ale czasami jestem naprawdę znaczące! Head First: Musisz mnie nieco oświecić… Zero: No cóż, jeśli postawisz mnie po lewej stronie przecinka, cyfry stojące za mną stworzą liczbę mniejszą od 1. Przykładem może być liczba 0,00123, w której wszystkie zera są jedynie wypełniaczami, dzięki którym pozostałe cyfry trafiają na odpowiednie miejsca. Head First: A kiedy nie jesteś tylko wypełniaczem? Zero: Jeśli nie stoję na początku liczby, jestem cyfrą znaczącą. Jest to szczególnie ważne, gdy wchodzę w skład wartości będącej wynikiem pomiarów. Head First: Dlaczego pomiary są takie ważne?

96

Rozdział 2.

Zero: … a jeśli dysponujesz linijką wyskalowaną w dziesiątych częściach milimetra, zapiszesz wynik jako 5,0 mm. Head First: Ale po co pisać na końcu zero, skoro to ta sama liczba. Długość nadal wynosi 5 mm! Zero: Musisz je zapisać, ponieważ zmierzyłeś długość z dokładnością do dziesiątej części milimetra. Musisz zostawić miejsce, na którym zapiszesz, ile części dziesiętnych zmierzyłeś. Liczba części dziesiętnych jest wielce znacząca! Head First: Ale tam nie było żadnych części dziesiętnych! Liczby 5 mm i 5,0 mm są przecież sobie równe. Zero: Tylko że ich znaczenie jest zupełnie inne. Każdy pomiar ma znaczenie! Jeśli wartość pomiaru jest zapisywana w postaci ułamka dziesiętnego, ostatnia cyfra informuje Cię o rozmiarze błędu. Oznacza to, że ostatnia cyfra jest zawsze znacząca, nawet jeśli jest zerem!

Head First: A co, jeśli nie ma przecinka, na przykład w liczbie 1000?! Zero: Wtedy odpowiedź jest niejednoznaczna — nie wiesz, w którym miejscu dokonano zaokrąglenia. Może zmierzono wartość 501 i zaokrąglono ją do liczby 1000 (do jednej cyfry znaczącej), a może zmierzono 1000,1, po czym zaokrąglono wynik do najbliższego miejsca jedności (cztery cyfry znaczące). Dlatego dając odpowiedź, powinieneś zawsze podawać albo błąd, Pomiary mają albo określać liczbę cyfr ZNACZENIE! Zera są znaczących. Head First: Dziękuję Ci, drogie Zero, za wizytę i udzielenie nam cennych wyjaśnień.

cyframi znaczącymi, gdy pozwalają określić niepewność pomiarową.

Nadajmy temu wszystkiemu jakieś znaczenie

jednostki

punkty szczególne

Zaczynam zapełniać świat fizyki pojęciami, które pomogą mi rozwiązywać zadania.

Bądź częścią problemu.

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona?

Jednostki

Są standardem wszystkich pomiarów. Odległości mierzymy w metrach, a czas w sekundach.

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona?

Sprawdź, czy Kontekst, Rozmiar, Obliczenia i Jednostki odpowiedzi są poprawne.

jesteś tutaj 

97

Niezbędnik fizyka

Jednostki

Niezbędnik fizyka   

Masz już za sobą rozdział 2., więc możesz dodać do swojego przybornika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające sprawdzać poprawność odpowiedzi.

Każdej liczbie musi towarzy szyć jednostka, kt óra nada tej wartości znaczenie. Możesz dodaw ać tylko te lic zby, którym towar zyszą identycz ne jednostki.

Zamiana jednostek Błędy Z każdym wykonanym przez Ciebie pomiarem związany jes t błąd, który opisuje niepewność po miarową. Nie martw się jednak, bo mimo nazwy błędy nie oznaczają, że zrobiłeś coś źle!

Cyfry znaczące Każdą wartość obliczo ną na kalkulatorze musisz zaokrąglić. Dokonuj zaokrągleń do takiej samej liczby cyfr znaczących , jaką znajdziesz w najmniej dokładnej wartości, z którą masz do czynienia. (Zazwyczaj będą to trz y cyfry znaczące).

k edź z jednych jednoste Aby przeliczyć odpowi ez ożyć jej wartość prz na inne, musisz pomn nik zamiany jednostek. odpowiedni współczyn mek, którego Współczynnik ten to uła sobie równe, mimo licznik i mianownik są ych jednostkach. że wyrażone są w inn k tak, żeby jednostki, Musisz ustawić ułame nie skróciły się których potrzebujesz, w wyniku dzielenia. odpowiedź, której się Zastanów się też, czy większa, czy mniejsza spodziewasz, ma być . od pierwotnego pomiaru

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? Mała pomoc, dzięki której sprawd zisz, czy wynik końcowy ma sens. KONTEKST — Czy to, co chciałeś zrobić, było faktycznie tym, co rzeczyw iście zrobiłeś, żeby uzyskać odpowiedź ? ROZMIAR — Czy odpowiedzi są tego rzędu wielkości, jakiego się spodziewał eś? OBLICZENIA — Czy z punktu widzenia zasad matematyki wsz ystko jest w porządku? JEDNOSTKI — Czy wszystkie war tości są opisane jednostkami i czy są to te jednostki, o które Cię proszono?

98

Rozdział 2.

    ! "  # $

Wszystkie liczby duże i małe Poczekaj chwilę… jak duża? Jak wiele zer? Dajże spokój, zrób wreszcie jakiś przecinek!

W prawdziwym świecie nieraz zetkniesz się z różnymi typami liczb, nie tylko z tymi, które wyglądają przyjemnie. Z tego rozdziału dowiesz się, jak radzić sobie z niewygodnymi liczbami za pomocą notacji naukowej oraz dlaczego zaokrąglanie dużych liczb nie musi oznaczać zapisywania dziesiątków zer na końcu każdej z nich. Nowo nabyte umiejętności będziesz miał okazję wypróbować, starając się okiełznać jednostki pola i objętości. Dzięki notacji naukowej unikniesz wielu trudności (i zaoszczędzisz nieco czasu) podczas pracy z liczbami.

to jest nowy rozdział

99

Paskudny pokój

Bałagan w akademiku — pokój studentów W zasadzie nie chodzi o zwykły bałagan, tylko o naprawdę brudny pokój — mieszkający w nim Mateusz i Karol prawdopodobnie nie mają zielonego pojęcia, czym różni się jeden koniec odkurzacza od drugiego, a idea sprzątania jest im całkowicie obca. Nadszedł jednak dzień, gdy Pan Woźny stracił cierpliwość…

Kierownictwo domu akademickiego Head First, Wydział ds. Czystości Dalsze przebywanie w tym pokoju może zagrażać Waszemu zdrowiu. Zaistniały stan rzeczy należy niezwłocznie zmienić. Wykryliśmy w Waszym pokoju bakterię, która będzie dzieliła się na dwie co dwadzieścia minut (na razie jest to tylko jedna bakteria). Gdy liczba drobnoustrojów dojdzie do 6 × 10-5 m3, uznamy, że Wasz pokój nie nadaje się do zamieszkania przez ludzi. Będziecie musieli przenieść się gdzie indziej na czas dezynfekcji, którą zamierzamy przeprowadzić. Z poważaniem Pan Woźny z Wydziału ds. Czystości

100

Rozdział 3.

Notacja naukowa

Kierownictwo domu akademickieg o Head First, Wydział ds. Czystości Dalsze przebywanie w tym pokoju może zagrażać Waszemu zdrowiu. Zaistniały stan rzeczy należy niezwłocznie zmienić. Wykryliśmy w Waszym pokoju bakterię, która będzie dzieliła się na dwie co dwadzieścia minut (na razie jest to tylko jedna bakteria). Gdy liczba drobnoustrojów dojdzie do 6 × 10-5 m3, uznamy, że Wasz pokój nie nadaje się do zamieszkania prze z ludzi. Będziecie musieli przenieść się gdzie indziej na czas dezynfekcji, którą zam ierzamy przeprowadzić. Z poważaniem Pan Woźny z Wydziału ds. Czystości

Kiedy zaistniała sytuacja stanie się naprawdę groźna? Musimy wziąć się za sprzątanie jeszcze dziś czy możemy z tym poczekać do jutra? No właśnie, jak groźne są te małe żyjątka?

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Co 20 minut każda z bakterii znajdujących się w pokoju podzieli się na dwie. Inaczej mówiąc, co 20 minut liczba drobnoustrojów podwoi się. Jak sądzisz, ile bakterii Mateusz i Karol zastaną w swoim pokoju następnego dnia (czyli po 12 godzinach)? W jaki sposób powinieneś szukać odpowiedzi?

jesteś tutaj 

101

Ile bakterii? Czy to prawda, że te żyjątka mogą wyrzucić nas z pokoju? Karol: Niezależnie od tego, czy mogą, czy nie, muszę przyznać, że na samą myśl o nich robi mi się niedobrze. Może powinniśmy od razu wziąć się za sprzątanie? Mateusz: Jestem taaaki zmęczony. Czy nie lepiej będzie poczekać ze sprzątaniem do jutra? Karol: Ale jutro może być już za późno! Mateusz: Przecież da się to policzyć, prawda? Każda bakteria dzieli się na dwie co 20 minut, a teraz mamy 22:00. Jeżeli wstaniemy jutro o 10:00, damy małym paskudom 12 godzin na rozmnażanie się. Chyba po 12 godzinach nie będzie ich jeszcze zbyt dużo? Karol: No dobra, narysujmy to. Zaczynamy od jednej bakterii. Po 20 minutach będziemy mieli 2 bakterie… … a po 40 minutach 4… 1 godzina = 8 bakterii. To nie tak dużo, zważywszy, że zamierzamy dać im tylko 12 godzin na dzielenie się… 1 godzina 20 minut = 16 bakterii. Po 1 godzinie i 40 minutach… Karol: Nie mam pewności… Rysunek przestaje być czytelny! Mateusz: Masz rację, rysowanie tego zajmie nam całe wieki. Musi być jakiś matematyczny sposób na określenie liczby małych paskudztw po 12 godzinach. Karol: No taaa… Pewnie. Mateusz: Hmm… Nie jestem w stanie wymyślić odpowiedniego równania na „dzielenie się bakterii co 20 minut”, ale przecież możemy narysować tabelkę, w której zapiszemy wszystko, co trzeba. Będziemy podwajać i zapisywać liczbę drobnoustrojów, dopóki nie dojdziemy do czasu równego 12 godzinom. W ten sposób dowiemy się, jak dużo bakterii zastaniemy rano w swoim pokoju. Karol: To się może udać! Tylko jest jeden problem — to dziwne sformułowanie na kartce, którą zastaliśmy na drzwiach: „Gdy liczba drobnoustrojów dojdzie do 6 × 10-5 m3 (…)”. Nie mam pojęcia, o co w nim chodzi, jestem pewien, że nikt tam nie podał granicznej liczby bakterii.

       !" ! "# $

102

Rozdział 3.

Notacja naukowa

Zaostrz ołówek Mateusz i Karol narysowali taką tabelkę jak ta, którą widać poniżej, a następnie zaczęli podwajać liczbę drobnoustrojów. Twoim zadaniem jest wypełnienie pól tabelki i określenie, ile bakterii znajdzie się w pokoju chłopców po 12 godzinach. Zaczynasz od 1 bakterii. Po 20 minutach bakteria jednokrotnie dzieli się na 2, a więc są już 2 bakterie.

Do takich wniosków doszli chłopcy, próbując rozrysować problem.

Numer kolejny podziału bakterii

Czas

Liczba bakterii

1

20 min

2

2

40 min

4

3

1h

8

4

1 h 20 min

16

5

1 h 40 min

Numer kolejny podziału bakterii

W ciągu 12 godzin nastąpi niemało podwojeń, dlatego właśnie udostępniliśmy Ci tak dużą tabelkę.

Czas

Liczba bakterii

jesteś tutaj  103

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Mateusz i Karol narysowali taką tabelkę jak ta, którą widać poniżej, a następnie zaczęli podwajać liczbę drobnoustrojów. Twoim zadaniem jest wypełnienie pól tabelki i określenie, ile bakterii znajdzie się w pokoju chłopców po 12 godzinach.

Zaczynasz od 1 bakterii. Po 20 minutach bakteria jednokrotnie dzieli się na 2, a więc są już 2 bakterie.

Do takich wniosków doszli chłopcy, próbując rozrysować problem.

104

Numer kolejny podziału bakterii

Czas

Liczba bakterii

Numer kolejny podziału bakterii

Czas

Liczba bakterii

1

20 min

2

19

6 h 20 min

524288

2

40 min

4

20

6 h 40 min

1048576

3

1h

8

21

7h

2097152

4

1 h 20 min



22

5

1 h 40 min

32

23

6

2h

64

24

7

2 h 20 min

128

25

8 h 20 min

33554432

8

2 h 40 min

256

26

8 h 40 min

67108864

9

3h

512

27

9h

134217728

10

3 h 20 min

1024

28

9 h 20 min

268435456

11

3 h 40 min

2048

29

9 h 40 min

536870912

12

4h

4096

30

10 h

1073741824

13

4 h 20 min

8192

31

10 h 20 min 2147483648

14

4 h 40 min

16384

32

10 h 40 min 4294967296

15

5h

32768

33

16

5 h 20 min

65536

34

11 h 20 min 17179869184

17

5 h 40 min

131072

35

11 h 40 min 34359738368

18

6h

262144

36

Rozdział 3.

W ciągu 12 godzin nastąpi niemało podwojeń, dlatego właśnie udostępniliśmy Ci tak dużą tabelkę.

Przecież to trwa zbyt długo! 7 h 20 min 4194304 Czy kalkulatory nie mają przycisku, dzięki 7 h któremu 40 min mogłabym 8388608wykonać niezbędne obliczenia bez całej tej zabawy tabelki? 8 hw wypełnianie 16777216

11 h

12 h

8589934592

68719476736

Notacja naukowa

Potęgowanie to sposób na wielokrotne mnożenie przez tę samą liczbę

To wyrażenie jest równoznaczne z wyrażeniem 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Wykonując działanie kilkakrotnego mnożenia przez tę samą liczbę, możesz posługiwać się notacją potęgową. Na przykład 2 × 2 × 2 × 2 × 2 zapisuje się jako 25, ponieważ 2 występuje w tym mnożeniu 5 razy. Wyrażenie 25 odczytuje się jako „dwa do potęgi piątej” albo czasem po prostu „dwa do piątej”. W tym przypadku piątka jest tzw. wykładnikiem potęgi.

Liczba, przez którą mnożysz wielokrotnie, czyli PODSTAWA POTĘGI.

Liczba, która informuje, ile razy mnożysz coś przez liczbę o większym rozmiarze. Inaczej mówiąc WYKŁADNIK POTĘGI.

Przycisk funkcji potęgowania dostępny w kalkulatorach to klucz do prawdziwej potęgi Korzystając z przycisku potęgowania, możesz mnożyć wielokrotnie przez tę samą liczbę, nie przepisując jej przy każdym mnożeniu. Aby uniknąć zbędnego przepisywania, zazwyczaj wystarczy podać liczbę, która występuje w mnożeniu kilkakrotnie, a następnie wcisnąć przycisk potęgowania i wpisać, ile razy liczba ta pojawia się w działaniu.

Podstawa potęgi — liczba, przez którą wielokrotnie coś mnożysz.

Wykładnik potęgi.

Musisz być jednak ostrożny, ponieważ różne kalkulatory mogą mieć różnie oznaczone przyciski podnoszenia liczby do potęgi! Zanim zaczniesz korzystać z funkcji potęgowania, upewnij się, że wiesz, jak wygląda oraz jak działa przycisk potęgowania w Twoim kalkulatorze. Jeśli w Twoim kalkulatorze nie ma funkcji potęgowania, powinieneś zaopatrzyć się w kalkulator naukowy. Okaże się on przydatny, gdy W tym miejscu zaczniesz szukać rozwiązań bardziej złożonych i skomplikowanych powinieneś napisać problemów fizycznych. odpowiedzi i ich krótkie

Zaostrz ołówek

(a) Liczba drobnoustrojów zwiększa się dwukrotnie co 20 minut. Ile razy liczbę bakterii trzeba pomnożyć przez 2, żeby dowiedzieć się, jak liczną ich populację zastaniemy w pokoju po 12 godzinach? (b) Ile bakterii znajdzie się w pokoju po 12 godzinach?

uzasadnienie.

Korzystając z zapisu potęgowego, zmniejszamy ryzyko popełnienia błędu podczas wielokrotnego mnożenia przez tę samą liczbę. jesteś tutaj  105

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Poświęć nieco czasu na przedstawienie sposobu, w jaki szukałeś odpowiedzi na zadane pytania; uzasadnij wybór metody, z której postanowiłeś skorzystać. Dzięki temu łatwiej Ci będzie zachować właściwy tok myślenia…

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie (a) Liczba drobnoustrojów zwiększa się dwukrotnie co 20 minut. Ile razy liczbę bakterii trzeba pomnożyć przez 2, żeby dowiedzieć się, jak liczną ich populację zastaniemy w pokoju po 12 godzinach? (b) Ile bakterii znajdzie się w pokoju po 12 godzinach?

(a) W każdej godzinie zawierają się trzy dwudziestominutowe okresy. W 12 godzinach mamy 3 × 12 = 36 dwudziestominutowych okresów, a więc w ciągu 12 godzin bakterie podwoją swą liczbę 36 razy. (b) Liczba bakterii po 12 godzinach = początkowa liczba bakterii 36-krotnie pomnożona przez 2.

Liczba bakterii = 1 × 236 =

Co?! Przecież w tym nie ma żadnego sensu!

Tu wpisz liczbę, która ukazała się na wyświetlaczu TWOJEGO kalkulatora po przeprowadzeniu obliczeń.

Skąd wzięło się to wielkie „E” w środku liczby mającej być odpowiedzią na pytanie?!

Ważne jest, żebyś rozumiał odpowiedzi pojawiające się na wyświetlaczu Twego kalkulatora. 106

Rozdział 3.

Nie poprzestawaj na bezmyślnym przepisywaniu tego, co widać na wyświetlaczu.

Notacja naukowa

Na wyświetlaczu Twojego kalkulatora duże liczby przedstawiane są za pomocą notacji naukowej Postać liczb zapisywanych za pomocą Czasami wynik jest zbyt długi, żeby mógł w całości zmieścić się na wyświetlaczu kalkulatora. W takich sytuacjach kalkulatory przedstawiają wyniki zapisane z wykorzystaniem notacji naukowej. Notacja naukowa to nic innego, jak bardziej efektywny i skrócony sposób zapisywania bardzo długich liczb. Wynik działania 236 składa się z 11 cyfr i w oryginalnej postaci nie mieści się na wyświetlaczu kalkulatora, więc zaokrągla się go do kilku cyfr znaczących.

notacji naukowej w matematyce nierzadko określa się mianem postaci standardowej. Notacja naukowa i postać standardowa liczby to synonimy.

Wyniki podawane z wykorzystaniem notacji naukowej składają się z dwóch części.

Pierwszą częścią liczby przedstawionej na ekraniku kalkulatora jest fragment odpowiedzi zaczynający się od „6.87”.

Po jednej godzinie w pokoju było 8 bakterii. Przecież 8 to więcej niż 6,87! Jak to możliwe, że wynik działania 236 okazał się taki mały?!

Druga część liczby widocznej na wyświetlaczu kalkulatora informuje nas o rzędzie wielkości pierwszej części. Liczby zapisywane za pomocą notacji naukowej składają się z dwóch części. Pierwsza część to liczba składająca się z jednej cyfry znaczącej stojącej przed przecinkiem ułamka dziesiętnego i pozostałych cyfr stojących za przecinkiem.

Ten fragment wyniku jest informacją o tym, ile razy pierwsza część powinna zostać pomnożona przez 10.

Druga część informuje Cię o tym, ile razy pierwszą część należy pomnożyć przez 10, aby liczba zapisana z wykorzystaniem notacji naukowej była odpowiedniego rzędu.

Pierwszy z kalkulatorów wyświetlił wynik w postaci 6,871947674 × 1010. Wynik ten składa się z dziesięciu cyfr znaczących i jest równoważny wyrażeniu 6,871947674 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 dającemu liczbę 68719476740.

Na wyświetlaczu drugiego z kalkulatorów widzimy wynik zapisany w następującej postaci: 6,871947E10. Wynik ten należy odczytywać jako liczbę 68719470000. Liczba ta składa się z siedmiu cyfr znaczących, a litera „E” oddziela drugą część wyniku od pierwszej, co jest wynikiem ograniczonych możliwości wyświetlacza.

jesteś tutaj  107

Nauka ukryta w notacji naukowej

Pamiętaj więc, że nie musisz zapisywać długich liczb (na przykład takich, które składają się z 28 cyfr) w ich najdłuższej postaci!

W notacji naukowej korzysta się z potęg liczby 10 do zapisywania długich liczb Twój kalkulator wyświetlił wynik w postaci 236 = 6,871947674 × 1010. Już wiesz, że wystarczy dziesięciokrotnie pomnożyć pierwszą część wyniku przez 10, żeby otrzymać liczbę w postaci, do której jesteś najbardziej przyzwyczajony. Przy każdym mnożeniu przez 10 pierwsza część liczby 6,871947674 × 1010 przesuwa się o jedno miejsce w lewo w stosunku do przecinka ułamkowego. Inaczej mówiąc, każda z cyfr znaczących liczby, którą mnożymy przez 10, zaczyna odpowiadać za wartości wyższego rzędu. Trudno byłoby jednak narysować to, o czym napisałam powyżej. Na szczęście efekt kilkakrotnego mnożenia liczby przez 10 można równie dobrze osiągnąć, przesuwając przecinek w prawo o odpowiednią liczbę miejsc. W wyniku przeprowadzenia tej procedury dla wyrażenia 6,871947674 × 1010 otrzymujemy liczbę 68719476740.

Jeśli chcesz dowiedzieć się, na jakich miejscach po przecinku powinny znajdować się cyfry liczby zapisanej z wykorzystaniem notacji naukowej, możesz po prostu odpowiednio przesunąć przecinek.

Za każdym razem, gdy mnożysz liczbę przez 10, przecinek przesuwa się w prawo, sprawiając, że staje się ona coraz większa.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6,871947674 68719476740 Wyniki, które podajesz w odpowiedziach do zadań, powinieneś zaokrąglać do trzech cyfr znaczących, o czym miałeś okazję dowiedzieć się z rozdziału 2.

108

Rozdział 3.

Tu zawarta jest informacja, ile razy przecinek trzeba przesunąć w prawo.

× 10

10

Teraz przecinek ułamka dziesiętnego znajduje się tutaj.

Po wykonaniu tego przesunięcia musisz dostawić zero, które zajmie miejsce cyfry przed przecinkiem.

Takie liczby zaokrągla się naprawdę trudno, ponieważ na ich końcach występuje bardzo wiele zer. Zawsze się mylę, próbując zliczyć te wszystkie zera, i w końcu nie wiem, czy powinnam napisać 6870000000, czy może 68700000000.

Notacja naukowa Czy korzystanie z notacji naukowej naprawdę pomoże nam radzić sobie z cyframi, które składają się na całą liczbę?

Notacja naukowa ułatwia zaokrąglanie wyników liczbowych. Podczas zaokrąglania dużej liczby do trzech cyfr znaczących zazwyczaj nie mamy kłopotu z wyborem cyfr znaczących; problemy pojawiają się podczas dopisywania odpowiedniej liczby zer. Notacja naukowa ułatwia zaokrąglanie dużych liczb, ponieważ dziesiątki, przez które należy pomnożyć cyfry znaczące, wypisywane są na końcu całej liczby. Liczbę 6,871947674 × 1010 można zaokrąglić do postaci 6,87 × 1010, nie przesuwając przecinka w żadną ze stron.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

68719476740 Możesz zacząć od tej liczby, ponieważ jest ona wynikiem podanym przez Twój kalkulator.

Mówiąc ściślej, to cyfry się przesuwają, a nie przecinek, ale przesuwanie się cyfr trudniej jest narysować.

Jeśli chcesz zamienić długą liczbę na liczbę zapisaną w notacji naukowej, powinieneś policzyć, ile razy należy przesunąć przecinek, aby po jego lewej stronie została tylko jedna cyfra. Następnie powinieneś zapisać ułamek otrzymany po przesunięciu przecinka i pomnożyć ów ułamek przez liczbę dziesiątek odpowiadającą liczbie wykonanych przesunięć.

10

6,871947674 × 10 3 cyfry znaczące.

Cyfry mniej ważne, których należy się pozbyć.

6,87 × 1010 Nie musisz zapisywać zer w celu zaznaczenia miejsc po przecinku, w których wcześniej znajdowały się cyfry. Lub, jeśli będzie to potrzebne, do dowolnej innej liczby cyfr znaczących.

Dzięki znajomości notacji naukowej będziesz mógł zaokrąglać duże liczby do 3 cyfr znaczących bez ryzyka popełnienia pomyłki. jesteś tutaj  109

Pytaj śmiało… przecież wiem, że chcesz Nie istnieją

głupie pytania

P

: Wydawało mi się, że to, co określasz mianem liczby zapisanej w „postaci naukowej”, nazywa się liczbą zapisaną w „postaci standardowej”. Jak jest naprawdę?

O: Obydwa określenia są poprawne

i oznaczają to samo. Naukowcy zwykli mówić o „notacji naukowej” (lub „postaci naukowej”), a matematycy o „postaci standardowej” liczby.

P

: Po co mam się męczyć z notacją naukową, skoro zawsze bardzo starannie i ostrożnie wpisuję długie liczby do kalkulatora?

O

: Ekran Twojego kalkulatora może być zbyt mały, żeby pomieścić bardzo duże i bardzo małe liczby, które niejednokrotnie otrzymasz w wyniku prowadzonych obliczeń. Dlatego właśnie powinieneś zapoznać się z notacją naukową — bez tego korzystanie z kalkulatora nie będzie miało większego sensu.

P

: Ale ja posiadam bardzo nowoczesny, świetny, genialny kalkulator z wielkim ekranem, na którym mieści się mnóstwo cyfr. Czy w takim razie, zakładając, że wszystkie obliczenia prowadzę niezwykle ostrożnie i starannie, notacja naukowa przyda mi się kiedykolwiek do czegokolwiek?

O

: Może się zdarzyć, że natkniesz się na liczbę w postaci naukowej podczas czytania zadania egzaminacyjnego lub starając się poznać parametry jakiegoś przedmiotu lub zjawiska.

110

Rozdział 3.

P: O jakich parametrach mowa? O: Na przykład: Ziemia waży 5,97 × 10

P

24

kilograma. To bardzo długa liczba, z całym mnóstwem zer do wypisania, jeśli chciałbyś zapisać ją w całości.

P

: No dobrze, zgadzam się, że to żaden powód do radości musieć wypisać ponad 20 zer na końcu jakiejś liczby, ale dlaczego miałbym korzystać z notacji naukowej podczas podawania wyników własnych obliczeń?

O: Zaokrąglając odpowiedzi liczbowe

do trzech cyfr znaczących (na przykład na egzaminie), dużo łatwiej pracuje się z liczbami zapisanymi w notacji naukowej. Dzięki notacji naukowej można uniknąć pokrywania kartki mnóstwem niezbyt istotnych zer. Ponadto, w przypadku dłuższych liczb, wystarczy wziąć wynik widniejący na ekraniku kalkulatora (na przykład 6,871947674 × 1010) i zapisać go w prawie niezmienionej formie (w tym przypadku jako 6,87 × 1010) bez potrzeby modyfikowania notacji.

: Chcesz powiedzieć, że notacja naukowa przydaje się nie tylko wtedy, gdy ekran kalkulatora okazuje się być zbyt mały, tak?

O

: Owszem. Korzystając z notacji naukowej, możesz zapisywać bardzo długie liczby w krótszej formie. Stąd wniosek, że nie chodzi tylko o problem związany z długością wyświetlaczy kalkulatorów, lecz o to, żeby upraszczać sobie życie, kiedy tylko się da.

P

: W takim razie co było pierwsze — małe ekrany kalkulatorów czy notacja naukowa?

O

: Pierwsza była notacja naukowa, znana od kilkuset lat!

P

: Mam jeszcze jedno pytanie. Czy liczby zapisywane w postaci naukowej zawsze mają tylko jedną cyfrę po lewej stronie przecinka? Czy nie można by na przykład liczby 6,87 × 1010 zapisać jako 687 × 108?

O

: Zazwyczaj duże liczby zapisuje się tak, żeby przed przecinkiem znajdowała się jedna cyfra. Twój umysł bardzo szybko przyzwyczai się do korzystania z notacji naukowej i zaczniesz określać rzędy wielkości liczb, patrząc na ich część zawierającą potęgi dziesiątki, dlatego trzymanie się konwencji niewątpliwie jest najlepszym rozwiązaniem.

Notacja naukowa pozwala łatwiej radzić sobie z bardzo długimi liczbami, które nawet po zaokrągleniu składałyby się z bardzo wielu cyfr.

Notacja naukowa

Wiem już, że dziwacznie wyglądająca liczba widniejąca na kartce informacyjnej to liczba zapisana w postaci naukowej. Problem w tym, że liczbą tą jest 6 × 10-5 — jak można mnożyć cokolwiek przez ujemną liczbę dziesiątek?!

dwadzieś e do 6 × 10-5 nia przez ludz którą zamierz To z pewnością wygląda na notację naukową, ale co oznacza ten zapis?

jesteś tutaj 

111

Ujemny wykładnik

Notacja naukowa przydaje się również do zapisywania bardzo małych liczb Na kartce pozostawionej przez Pana Woźnego z Wydziały ds. Czystości widnieje liczba 6 × 10-5. Wiadomo, że została zapisana z użyciem notacji naukowej, ale potęga dziesiątki jest ujemna. Zgodnie z przyjętą w świecie konwencją ujemną potęgą oznacza się nie mnożenie, lecz dzielenie przez jakąś liczbę podniesioną do potęgi (na przykład w przypadku korzystania z notacji naukowej dzielenie przez odpowiednią liczbę dziesiątek).

Za każdym razem, gdy dowolną liczbę dzielisz przez 10, składające się na nią cyfry przesuwają się względem przecinka ułamkowego o jedno miejsce w prawo. Innymi słowy, jeśli podzielisz liczbę przez 10, zmaleje rząd wielkości każdej z tworzących ją cyfr (każda cyfra służy do oznaczania liczby dziesięć razy mniejszej). Opisaną sytuację trudno byłoby narysować, ale efekt podobny do przesuwania cyfr względem przecinka można uzyskać, odpowiednio przesuwając przecinek w lewo o odpowiednią liczbę miejsc. Na przykład 6 × 10-5 to 0,00006.

Za każdym razem, gdy dzielisz liczbę przez 10, przeciek przesuwa się, a liczba maleje. 3 5 4 2

W tej chwili przecinek znajduje się tutaj.

1

Ten parametr jest dla Ciebie informacją, o ile miejsc należy przesunąć przecinek.

-5

Przed przecinkiem ułamkowym musi znaleźć się zero.

6 × 10 0,00006 Musisz zapisać zera, które pokazują, ile razy przesunąłeś przecinek. 6 to: Zarówno 6 × 10—5 jak i 105

6 5 10

Liczbę, na przykładzie której omawiamy notację naukową, 6 można zapisać również w postaci ułamka: 5 10 Teraz wyraźnie widać, że chodzi o dzielenie przez odpowiednią liczbę dziesiątek, ponieważ znalazły się one w mianowniku ułamka.

Znak „minus” to informacja, że masz do czynienia z dzieleniem przez 10.

6 10 x 10 x 10 x 10 x 10 Dzielisz przez 10 pięć razy.

Jeśli dziesiątki zapiszemy w mianowniku ułamka, oczywistym stanie się fakt, że mamy na myśli dzielenie przez nie. Dlatego, korzystając z takiego oto zapisu, nie stawiamy znaku minus przed wykładnikiem potęgi.

Podczas korzystania z notacji naukowej ważne jest, aby zapisywać liczby w postaci, w której po lewej stronie przecinka ułamkowego będzie stała dokładnie jedna cyfra; człon z jedną cyfrą przed przecinkiem należy pomnożyć lub podzielić przez odpowiednią liczbę dziesiątek. 112

Rozdział 3.

Notacja naukowa To przecież jest głupie. Po co pisać 10-5, skoro można posłużyć się ułamkiem, w przypadku którego od razu wiadomo, o co chodzi? Po co stawiać znak „minus”?

Znak „minus” to część schematu Konwencja polegająca na stawianiu znaku odejmowania („minusa”) w wykładniku potęgi w celu zaznaczenia dzielenia przez określoną liczbę dziesiątek wynika ze schematu, który za chwilę poznasz.

Zwróć uwagę na schemat wynikający z ogólnie przyjętej konwencji korzystania ze znaku „minus” (6 × 10-5) do oznaczania dzielenia przez pewną liczbę dziesiątek.

Ćwiczenie Liczba

Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10.

W notacji naukowej

Liczba dziesiątek, przez które mnożysz lub dzielisz

104

4 (mnożenie)

10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01

10-2

Tu widać znak „minus”, zupełnie jak w notce od Pana Woźnego.

2 (dzielenie)

0,001 0,0001

Napisz, jaki schemat zauważyłeś.

Czy w uzupełnionej przez siebie tabelce dostrzegasz coś, co wygląda nieco dziwnie?

jesteś tutaj 

113

Rozwiązanie zadania

Zwróć uwagę na schemat wynikający z ogólnie przyjętej konwencji korzystania ze znaku „minus” (6 × 10-5) do oznaczania dzielenia przez pewną liczbę dziesiątek.

Ćwiczenie: Rozwiązanie W notacji naukowej

Liczba dziesiątek, przez które mnożysz lub dzielisz

10 000

104

4 (mnożenie)

1000

103

3 (mnożenie)

100

102

2 (mnożenie)

10

101

1 (mnożenie)

1

100

0

0,1

10-1

1 (dzielenie)

0,01

10-2

2 (dzielenie)

0,001

10-3

3 (dzielenie)

0,0001

10-4

4 (dzielenie)

Liczba

Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10. Podziel przez 10.

W takim razie zapis 10-4 to alternatywna, prostsza 1 forma zapisu 104 , tak?

DZIWNE: Każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1. To konwencja przyjęta przez matematyków, której sens można zrozumieć, patrząc na tabelkę.

SCHEMAT polega na tym, że każde kolejne dzielenie liczby przez 10 pomniejsza o 1 wykładnik potęgi, której podstawą w notacji naukowej jest właśnie 10.

Zgadza się. Ponadto zapis ten ułatwia określanie rzędu wielkości liczb. Jeżeli liczba zapisana w postaci naukowej jest większa od 1, jej lewy człon mnożony jest przez odpowiedni zestaw dziesiątek, jeśli zaś mamy do czynienia z liczbą mniejszą od 1, powinniśmy pamiętać, że w postaci naukowej tej liczby występuje jedno- bądź kilkakrotne dzielenie przez 10. Płynie stąd wniosek, że wystarczy spojrzeć na znak wykładnika potęgi stanowiącej część postaci naukowej liczby, żeby zorientować się, czy patrzymy na liczbę mniejszą, czy większą od 1. Wartość wykładnika informuje nas o tym, jak duża lub jak mała jest ta liczba (wartość wykładnika określa liczbę dziesiątek, przez które mnożony bądź dzielony jest lewy człon liczby zapisanej w postaci naukowej).

114

Rozdział 3.

Patrząc na wartość i znak wykładnika potęgi występującej w postaci naukowej dowolnej liczby, możesz określić rząd wielkości tej liczby.

Teraz że liczba zapisana że

na szczęście już wiemy, widniejąca na notce została w postaci naukowej, wiemy, 6 × 10-5 to tyle samo, co 0,00006.

Notacja naukowa

Karol: Ale 6 × 10-5 czego? Nie może przecież chodzić o liczbę bakterii, ponieważ w wykładniku potęgi widzimy znak „minus”, który informuje nas, że mamy do czynienia z liczbą mniejszą od 1, a przecież nasze obliczenia prowadziliśmy, wiedząc, że w pokoju znalazła się jedna bakteria i że bakterii będzie coraz więcej. Mateusz: Poczekaj! Za liczbą znajduje się jeszcze symbol „m3”. Mógłby oznaczać metry, gdyby nie ta mała trójka nad „m”. Czyżby chodziło na przykład o mp3? Karol: Nie mam pojęcia, gdzie miałoby się tu znaleźć miejsce dla muzyki. Może to też jest jakiś naukowy zapis? Czy to możliwe, że „m3” to to samo, co m × m × m? Mateusz: Po co w ogóle ktokolwiek miałby chcieć mnożyć jednostki? Karol: No tak, to dobre pytanie. Ale mnożenie m × m × m kojarzy mi się z mnożeniem długości przez szerokość oraz wysokość, z którym zetknąłem się kilka lat temu. Chodziło o mnożenie długości trzech odcinków. Mateusz: Tak! W ten sposób oblicza się objętość! Chodzi o metry sześcienne! Karol: Analogicznie do pola powierzchni mierzonego w metrach kwadratowych („m2”), tak? Mateusz: Tak. W notce od Pana Woźnego znajduje się informacja, że jeśli bakterie zajmą większą objętość niż podana, będziemy mieli poważne kłopoty. Tylko w jaki sposób mamy policzyć objętość, jaką zajmą bakterie po kilku godzinach? Wiemy, ile ich będzie po 12 godzinach, lecz nie wiemy, jak dużą przestrzeń opanują. Karol: Zastanawiam się, czy bylibyśmy w stanie znaleźć gdzieś informację, jak duża jest jedna bakteria. Moglibyśmy wielkość jednej bakterii pomnożyć przez całkowitą liczbę drobnoustrojów i w ten sposób otrzymalibyśmy objętość, jaką zajmą wszystkie bakterie. Mateusz: Świetny pomysł!

Możesz zapisywać jednostki w postaci naukowej, na przykład jednostkę powierzchni jako „m2”, Metry natomiast jednostkę objętości jako „m3”.

kwadratowe.

Metry sześcienne.

m3 to to samo, co m × m × m, czyli OBJĘTOŚĆ, którą liczy się następująco: długość × szerokość × wysokość.

jesteś tutaj 

115

Trzy wymiary objętości

Jeszcze nieraz zetkniesz się z polem powierzchni i objętością Chłopcy doszli do wniosku, że wystarczy znaleźć informację na temat objętości jednej bakterii, żeby móc obliczyć całkowitą objętość, jaką zajmą wszystkie bakterie, które znajdą się w pokoju akademika po upływie 12 godzin; postanowili objętość jednego drobnoustroju pomnożyć przez całkowitą liczbę bakterii. Mianem pola powierzchni określa się ilość powierzchni, jaką coś zajmuje w dwóch wymiarach. Przyjętą w układzie SI jednostką powierzchni jest m2 (mówi się „metr do kwadratu” lub po prostu „metr kwadratowy”).

Powierzchnia jest dwuwymiarowa.

2

1

Objętość to ilość miejsca, jaką coś zajmuje w przestrzeni trójwymiarowej. Przyjętą w układzie SI jednostką objętości jest m3 (mówi się „metr sześcienny”).

Objętość jest trójwymiarowa.

2

1

3

Dotąd wydawało mi się, że powierzchnię mierzy się w arach i hektarach, a objętość w litrach. Po co zamiast tych jednostek używać metrów kwadratowych i sześciennych?

Jednostki powierzchni i objętości bazujące na jednostkach długości ułatwiają wyobrażanie sobie, jak duże są różne obiekty. Istnieje bardzo wiele jednostek, za pomocą których można podawać informacje o powierzchni i objętości, ale w trakcie nauki fizyki najrozsądniej będzie korzystać z jednostek tworzonych w oparciu o jednostkę długości. Po pierwsze, dzięki tym jednostkom łatwiej wyobrazić sobie, jak duże bądź rozległe coś jest. Jeśli wiesz, co to jest metr, na pewno zdołasz wyobrazić sobie metr kwadratowy oraz metr sześcienny. Na przykład wiedząc, że boisko do piłki nożnej liczy sobie 105 m długości i 68 m szerokości, umiesz wyobrazić sobie powierzchnię równą 105 × 68 = 7140 m2. Ponadto, zajmując się fizyką, niejednokrotnie będziesz musiał liczyć pole powierzchni lub objętość rozmaitych obiektów, korzystając z informacji o ich rozmiarach. Licząc pole powierzchni albo objętość danego obiektu w oparciu o jego wymiary (długości mierzone w dwóch lub trzech różnych kierunkach), łatwiej korzysta się z jednostek stworzonych bezpośrednio z jednostek długości, niż stosuje skomplikowane przeliczniki.

116

Rozdział 3.

Notacja naukowa

Szukaj niezbędnych informacji w książkach (albo w tabelach) Zdając egzaminy, rzadko kiedy będziesz zdany tylko i wyłącznie na wiedzę, którą masz w głowie. W trakcie rozwiązywania zarówno testów zamkniętych, jak i otwartych zapewne będziesz mógł korzystać z rozmaitych tabel informacyjnych.

Zdając egzaminy, najprawdopodobnie będziesz mógł korzystać z różnych j tabel informacyjnych. Przykładową tabelę znajdziesz w dodatku A. Przygotowują c się do konkretnego egzaminu, powinieneś zapoznać się (na przykład Dzięki możliwości korzystania z tabel nie musisz uczyć się na pamięć za pośrednictwem internetu) z tabe lami, informacji, które są niezbędne podczas rozwiązywania zadań, ale jednocześnie których będziesz mógł używać w jego trakcie.

nie wpływają na Twoje rozumienie fizyki (na przykład masa elektronu).

W tablicach wartości rozmaitych wielkości fizycznych trudno byłoby znaleźć jakiekolwiek dane dotyczące drobnoustrojów, jednak Mateusz i Karol znaleźli inne źródło potrzebnej im wiedzy. W Wielkiej księdze bakterii wyczytali, że bakteria znaleziona przez Pana Woźnego w ich pokoju ma 1 μm długości, 1 μm szerokości i 1 μm wysokości. Rodzi się pytanie, czym, u diabła, jest μm?

Gruba

a bakterii Księg

Ta książka jest rewelacyjna! Tylko… czym jest „μm”? Czy takie coś z małym ogonkiem jak „μ” to zwykły błąd drukarski?

Dzięki tabelom wartości wielkości fizycznych i innym materiałom pomocniczym nie musisz pamiętać liczb i informacji, które łatwo sprawdzić; możesz skupić się na próbach zrozumienia fizyki, a nie zapamiętywaniu dużej ilości danych liczbowych. jesteś tutaj 

117

Przedrostki ułatwiają życie Oto przedrostki z układu SI, z którymi będziesz się dość często stykał. Istnieje więcej przedrostków, ale nie musisz ich znać, ponieważ najprawdopodobniej nigdy nie będziesz z nich korzystał.

Przedrostki ułatwiają radzenie sobie z nieprzyjemnie wyglądającymi liczbami Z rozdziału 2. dowiedziałeś się, że przed literami oznaczającymi jednostki można stawiać przedrostki, dzięki którym widać, z jak dużymi lub małymi obiektami ma się do czynienia. Kilometr to 1000 metrów (103 metrów), a milimetr to 0,001 metra (10-3 metra) itd.

Potęga liczby 10

Przedrostek w układzie SI

Symbol

1012

tera

T

109

giga

G

106

mega

M

103

kilo

k

10-2

centy

c

10-3

mili

m

10-6

mikro

μ

10-9

nano

n

10-12

piko

p

W układzie jednostek SI znajdziesz kilka dodatkowych przedrostków. Przedrostek „μ”, który pojawił się w książce o bakteriach, jest grecką literą „mi”. Odczytuje się go jako „mikro”. Jeden mikrometr to jedna milionowa metra (10-6 metra). Takich liczb nie widuje się co dzień. Twój umysł dużo lepiej radzi sobie z liczbami zbliżonymi do 1, dlatego lepiej jest powiedzieć, że bakteria ma długość 1 μm, a nie 0,000001 m lub 10-6 m. Przy każdej zmianie rzędu wielkości o 1000 pojawia się nowy przedrostek (przedrostki zastępują na przykład mnożenie przez 103, 106, 109 itd.). Wyjątkiem jest przedrostek „centy”, który zastępuje mnożenie przez 10-2 i z którym najczęściej stykamy się, mówiąc o długości czegoś w centymetrach.

Mały ogonek będący częścią tej litery jest bardzo ważny, ponieważ nie mamy tu do czynienia z „u”, tylko z grecką literą „mi”.

Nowy prefiks zazwyczaj pojawia się co 103.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Po co przejmować się notacją naukową, skoro wszystkie dziesiątki występujące w naukowym zapisie liczby można zastąpić przedrostkami? Przecież zamiast 1 × 10-6 m wystarczy powiedzieć lub napisać μm.

O

: W dalszej części książki zapoznasz się z równaniami, które działają tylko wtedy, gdy odległość poda się w metrach, masę w kilogramach itd. Korzystając z tych równań i tak będziesz musiał pozamieniać jednostki, a co za tym idzie — również skorzystać z notacji naukowej liczb.

Ponadto notacja naukowa ułatwia prowadzenie obliczeń, o czym niebawem się przekonasz.

118

Rozdział 3.

P

: W takim razie po co zaśmiecać sobie głowę przedrostkami?

O

: Głównie dla wygody. W codziennym życiu łatwiej myśli się i mówi o 1 milimetrze albo o 10 kilometrach niż o 1 × 10-3 metra lub 1 × 104 metra.

P

: No dobrze, ale dlaczego tak jest wygodniej?

O

: Ludzie wykazują lepsze wyczucie do liczb wyglądających jak liczby wykorzystywane do opisywania ilości obiektów, które da się bez problemu policzyć.

P: To dlatego mówi się

o nanotechnologii, prawda? Łatwej nam myśleć o liczbach podobnych do tych, z którymi stykamy się na co dzień, niż na przykład o „technologii tysiącmilionowej”?

O

: Tak. Fizycy wolą mówić, że coś ma długość 100 nm niż 0,0000001 m albo 1 × 10-7 m. Gdy przywykniesz do rozmiaru nanometra, Twój umysł z łatwością przyswoi tę jednostkę jako wzorzec długości, do którego przyrównuje się rozmaite inne długości.

Notacja naukowa W takim razie wiemy, że „μm” to nie „um” z błędem drukarskim. Chodzi po prostu o mikrometr.

Karol: Tak, jedna milionowa metra. To bardzo mało! Nie potrafię sobie nawet wyobrazić takiej długości. Mateusz: Jeśli bakterie są aż tak małe, może uda nam się odłożyć sprzątanie w pokoju na jeszcze późniejszy termin! Jutro jest mecz… Policzmy, ile bakterii znajdzie się w pokoju po szesnastu godzinach — może okaże się, że będziemy mogli posprzątać dopiero po meczu? Karol: 16 godzin to 16 × 3 = 48 dwudziestominutowych okresów, więc bakterie podwoją swoją liczbę 48 razy. Mój kalkulator mówi, że 248 = 2,81 × 1014 (wynik zaokrągliłem do 3 cyfr znaczących). Po 16 godzinach w pokoju będziemy mieli 2,81 × 1014 bakterii. Mateusz: Po 12 godzinach byłoby 6,87 × 1010 bakterii. Teraz tak naprawdę chcemy dowiedzieć się, jaką objętość zajęłyby bakterie, i porównać wynik z objętością podaną w notce od Pana Woźnego. Karol: To dość proste. Jedna bakteria zajmuje objętość 1 μm3, prawda? Z tego wynika, że 6,87 × 1010 bakterii zajmie 6,87 × 1010 μm3, a 2,81 × 1014 bakterii będzie miało objętość 2,81 × 1014 μm3. Mateusz: Uff, nie tak szybko. Objętość z notki podana jest w m3, a nie w μm3, musimy więc przeliczyć nasze wyniki tak, żeby można je było zapisać w m3 i porównać z liczbą podaną przez Pana Woźnego. Innymi słowy, musimy przeliczyć jednostki. Karol: Cenna uwaga! Wygląda na to, że będziemy musieli wykonać kilka obliczeń na liczbach zapisanych w postaci naukowej, pamiętając, że 1 m to 1 × 10-6 μm. Szczerze mówiąc, nie mam pojęcia, jak się do tego zabrać. Mateusz: Ja również nie mam żadnego pomysłu.

Liczba wszystkich bakterii × objętość zajmowana przez jedną bakterię musi być liczbą mniejszą niż podana w notce od Pana Woźnego.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W jaki sposób korzystanie z notacji naukowej może ułatwić Ci mnożenie dużych liczb przez małe liczby (albo na odwrót)?

jesteś tutaj 

119

Obliczenia z wykorzystaniem notacji naukowej W balonie znajduje się aż 6 × 1022 atomów helu.

Notacja naukowa przydaje się podczas prowadzenia obliczeń na dużych i małych liczbach

Masa jednego atomu helu wynosi 6,65 × 10-27 kg.

Zapisywanie małych i dużych liczb w postaci naukowej naprawdę ułatwia prowadzenie rozmaitych obliczeń. Załóżmy, że ktoś poprosił Cię o obliczenie masy atomów znajdujących się wewnątrz balonika. Wiesz, że w balonie znajduje się 6 × 1022 atomów oraz że masa jednego atomu wynosi 6,65 × 10-27 kg. Jeśli nie zdecydujesz się na korzystanie z notacji naukowej, dasz swojemu kalkulatorowi porządny wycisk. Masa wszystkich atomów zamkniętych w balonie to liczba atomów wypełniających balon przemnożona przez masę jednego atomu. Masa wszystkich atomów = 60000000000000000000000 × 0,00000000000000000000000000665 kg.

To równanie wygląda okropnie!

Obliczenia powinniśmy przeprowadzić, korzystając z notacji naukowej, prawda?

Potęgi dziesiątki ułatwiają prowadzenie skomplikowanych obliczeń. Mnożąc dwie liczby zapisane w postaci naukowej, możesz zwyczajnie dodać wykładniki potęg dziesiątek. 1 to nic innego, jak 103 10-3

Dodajemy wykładniki: 5 + 3 = 8

5

3

8

10 × 10 = 10

W tym przykładzie dziesiątkę podniesioną do piątej potęgi mnożymy przez dziesiątkę podniesioną do potęgi trzeciej. W sumie podnosimy dziesiątkę do ósmej potęgi (w skrócie piszemy 108). Dodajemy wykładniki: 5 + (-3) = 2.

5

-3

2

10 × 10 = 10 5 + (-3) to to samo, co 5 - 3.

120

Rozdział 3.

Tutaj widzimy dzielenie dziesiątki podniesionej do potęgi piątej przez dziesiątkę podniesioną do potęgi trzeciej. Tak naprawdę więc podnosimy dziesiątkę do potęgi drugiej (czyli piszemy 102).

105 8 -3 = 10 10 Jeśli w obliczeniach pojawia się znak dzielenia, warto pozbyć się go, zamieniając dzielenie na mnożenie. Powyższy przykład można przepisać do postaci 105 × 103 = 108. 1 103

to nic innego, jak 10-3

105 2 3 = 10 10 Powyższy przykład możemy zapisać w postaci 105 × 10-3 = 102.

Notacja naukowa

Basenowa układanka „Potęgi dziesiątki” 1 to nic innego, jak 1024. 10-24

Masz okazję poćwiczyć prowadzenie obliczeń, w których występują potęgi liczby 10. Twoim zadaniem jest powstawianie liczb z basenu we właściwe puste kratki. Żadnej z liczb nie możesz użyć więcej niż raz; nie wszystkie liczby z basenu muszą zostać wykorzystane.

10-12 = 10-24 Zapisz ten przykład w postaci mnożenia, zanim zaczniesz szukać odpowiedzi.

104 × 10—16 =

Liczba nosów, jaką posiada znaczna większość przedstawicieli naszego gatunku:

10 5

12

10 = 24 10

1 1024

× 10 -1

Jedynka podzielona przez milion =

3

× 10 4

Dwiema największymi licz bami w basenie są: ,

=

to nic innego, jak 10-24.

10 000 to tyle samo, co

. W kilometrze jest

zł

iej Milionerem nazywamy kogoś, kto ma przynajmn na koncie bankowym.

0,0000

1 to tyle

0 = 0-6 × 1 7

14

10 -3 10

×1

10-12 10-5

.

10-16

1012

1023

1019

104 18

10

samo, c

o

metrów.

.

100 10-36 10

-4

10-3

10-6

106 103

jesteś tutaj 

121

Basenowa układanka — rozwiązanie

Basenowa układanka „Potęgi dziesiątki” — ROZWIĄZANIE 1 to nic innego, jak 1024. 10-24

Masz okazję poćwiczyć prowadzenie obliczeń, w których występują potęgi liczby 10. Twoim zadaniem jest powstawianie liczb z basenu we właściwe puste kratki. Żadnej z liczb nie możesz użyć więcej niż raz; nie wszystkie liczby z basenu muszą zostać wykorzystane.

10-12 = 1012 10-24 Przykład ten można zapisać jako 10-12 × 1024.

104 × 10—16 =

Liczba nosów, jaką posiada znaczna większość przedstawicieli naszego gatunku:

10 5

-36

-12 10 = 10 24 10

× 10 -1

-6 Jedynka podzielona przez milion = 10

100

3

× 10 4

=

Przykład ten można zapisać jako 10-12 × 10-24.

10-12

Dwiema największymi licz bami w basenie są: 1023 , 1019 .

10 -4

10 000 to tyle samo, co 104 . iej Milionerem nazywamy kogoś, kto ma przynajmn na koncie bankowym. 0 = 0-6 × 1 7

14

10 -3 10

0,0000

1 to tyle

18

10

×1

ożna en m t d 7. kła Przy ać jako -6 × 10 0 s 1 i 3 p × za 4 10 1 × 10

Potęgi liczby 10 mnoży się, dodając wykładniki. 122

W kilometrze jest 103 metrów.

106 zł

Rozdział 3.

samo, c

o 10 -5 .

10-16

Te dwie liczby nie były potrzebne.

10-3

Notacja naukowa Ale przecież liczby zapisane w postaci naukowej składają się nie tylko z dziesiątki podniesionej do potęgi!

Jeśli tylko potrafisz radzić sobie z dziesiątkami podniesionymi do potęgi, możesz zacząć prowadzić obliczenia na liczbach zapisanych w postaci naukowej. Każda liczba zapisana w postaci naukowej składa się z dwóch części. Pierwszą część stanowi liczba z jedną cyfrą przed przecinkiem ułamka dziesiętnego, a drugą liczba 10 podniesiona do jakiejś potęgi. Możesz przepisać przykład tak, żeby wszystkie dziesiątki podniesione do potęgi stały obok siebie.

Ćwiczenie

Mnożąc dwie liczby zapisane w postaci naukowej, najłatwiej jest osobno wykonać działanie na częściach z przecinkiem ułamkowym i osobno na dziesiątkach, po czym otrzymane wyniki znów połączyć w liczbę w postaci naukowej. Jeśli więc przyjdzie Ci podać wynik działania 2 × 103 × 4 × 102, możesz zmienić kolejność mnożenia poszczególnych wyrazów iloczynu: 2 × 4 × 103 × 102 = 8 × 105. I to jest poprawna odpowiedź.

Zanim powrócimy do zastanawiania się nad liczbą bakterii w pokoju w akademiku, poświęć kilka chwil na rozwiązanie krok po kroku zadania z balonem.

W balonie znajduje się aż 6 × 10 22 atomów helu.

Masa jednego atomu helu wynosi 6,65 × 10-27 kg.

a. W balonie znajduje się 6 × 1022 atomów helu. Masa jednego atomu helu wynosi 6,65 × 10-27 kg. Zapisz działanie (odpowiednie mnożenie), które wykonałbyś, aby dowiedzieć się, jaką masę mają łącznie wszystkie atomy zamknięte w baloniku. b. Mnożenia możesz wykonywać w dowolnej kolejności. Zmień kolejność wyrazów w iloczynie, tak żeby potęgi liczby 10 znalazły się koło siebie. c. Wykonaj mnożenie tych części obu liczb, które zawierają przecinek ułamkowy. Następnie wykonaj mnożenie dziesiątek. W wyniku przeprowadzenia opisanej procedury powinieneś otrzymać liczbę złożoną z dwóch części połączonych znakiem mnożenia: części, w skład której wchodzi jeden przecinek ułamkowy, oraz części z jedną dziesiątką podniesioną do potęgi. d. Przepisz liczbę otrzymaną w punkcie c. tego zadania tak, żeby jej część z przecinkiem ułamkowym miała przed przecinkiem dokładnie jedną cyfrę. W tym celu będziesz musiał ustalić odpowiedni wykładnik potęgi liczby 10.

jesteś tutaj  123

Ćwiczenie — rozwiązanie

Zanim powrócimy do zastanawiania się nad liczbą bakterii w pokoju w akademiku, poświęć kilka chwil na rozwiązanie krok po kroku zadania z balonem.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

W balonie znajduje się aż 6 × 1022 atomów helu.

a. W balonie znajduje się 6 × 1022 atomów helu. Masa jednego atomu helu wynosi 6,65 × 10-27 kg. Zapisz działanie (odpowiednie mnożenie), które wykonałbyś, aby dowiedzieć się, jaką masę mają łącznie wszystkie atomy zamknięte w baloniku.

Masa jednego atomu helu wynosi 6,65 × 10-27 kg.

Masa wszystkich atomów = 6 × 1022 × 6,65 × 10-27 kg b. Mnożenia możesz wykonywać w dowolnej kolejności. Zmień kolejność wyrazów w iloczynie, tak żeby potęgi liczby 10 znalazły się koło siebie.

Masa wszystkich atomów = 6 × 6,65 × 1022 × 10-27 kg c. Wykonaj mnożenie tych części obu liczb, które zawierają przecinek ułamkowy. Następnie wykonaj mnożenie dziesiątek. W wyniku przeprowadzenia opisanej procedury powinieneś otrzymać liczbę złożoną z dwóch części połączonych znakiem mnożenia: części, w skład której wchodzi jeden przecinek ułamkowy, oraz części z jedną dziesiątką podniesioną do potęgi.

Masa wszystkich atomów = 39,9 × 10-5 kg d. Przepisz liczbę otrzymaną w punkcie c. tego zadania tak, żeby jej część z przecinkiem ułamkowym miała przed przecinkiem dokładnie jedną cyfrę. W tym celu będziesz musiał ustalić odpowiedni wykładnik potęgi liczby 10. -4

Masa wszystkich atomów = 3,99 × 10 kg

Wykonajmy ostatni krok jeszcze raz, dobrze? Skąd mam wiedzieć, co zrobić z wykładnikiem potęgi liczby 10 po zapisaniu pierwszej części wyniku z jedną cyfrą stojącą po lewej stronie przecinka ułamkowego?

Rząd wielkości Twojej odpowiedzi musi pozostać taki sam. Otrzymawszy wynik w postaci 39,9 × 10-5, powinieneś przepisać go tak, aby był zgodny z konwencją przyjętą dla notacji naukowej. Innymi słowy, musisz zapisać go w postaci dwóch części połączonych znakiem mnożenia: części z przecinkiem ułamkowym stojącym za dokładnie jedną cyfrą oraz części będącej dziesiątką podniesioną do potęgi. Aby czynnik 39,9 móc zapisać jako 3,99, musisz podzielić go przez 10. Pamiętaj jednak, że rząd wielkości całej liczby, której częścią jest ten czynnik, nie może ulec zmianie, dlatego drugą część liczby należy pomnożyć przez 10. 39,9 × 10-1 × 10-5 × 101 = 3,99 × 10-4 Aby otrzymać jedną cyfrę przed przecinkiem, musisz pierwszą część liczby podzielić przez 10 (czyli pomnożyć przez 10-1).

124

Rozdział 3.

Rząd wielkości całej liczby nie może ulec zmianie, więc drugą jej część musisz pomnożyć przez 10.

Notacja naukowa

Nie istnieją

głupie pytania

P: Mój kalkulator ma opcję

wprowadzania liczb w postaci naukowej. Czemu nie miałbym po prostu skorzystać z tej opcji?

O: W trakcie niektórych egzaminów

Chłopcy wszystko policzyli

No cóż, przynajmniej taką mają nadzieję…

Mateusz i Karol policzyli, posługując się liczbami zapisanymi w postaci naukowej, objętość zajmowaną przez bakterie. Czy na pewno zrobili to prawidłowo?

Zaostrz ołówek

nie będziesz mógł używać swojego kalkulatora! Ponadto, wykonując obliczenia opisaną przeze mnie metodą, zyskujesz możliwość wcześniejszego określania rzędu wielkości wyników, nad których otrzymaniem pracujesz. Powinieneś również zadawać sobie pytanie, czy uzyskana przez Ciebie odpowiedź jest dobrze sKROJona. Starając się na nie odpowiedzieć, zwiększasz swoją szansę na wykrycie głupich błędów, które mogły wkraść się do przeprowadzonych przez Ciebie rachunków.

P

: Ale czy ja kiedykolwiek w trakcie egzaminu ujrzę liczby w postaci naukowej lub takie, które warto zapisywać w tej postaci?

O: W fizyce pełno jest bardzo dużych i bardzo

małych liczb, takich jak choćby wielkość elektronu czy masa Ziemi.

Jeśli zdarzy Ci się prowadzić obliczenia na liczbach zapisanych w postaci naukowej, powinieneś najpierw wydzielić części tych liczb będące dziesiątkami podniesionymi do potęgi i pododawać wykładniki, a dopiero później zająć się kształtem całego wyniku.

Mateusz i Karol policzyli objętość (w metrach sześciennych), jaką zajmą bakterie po 12 i 16 godzinach. Sprawdź, czy przeprowadzili obliczenia poprawnie, i zadecyduj, czy udzielona przez nich odpowiedź jest dobrze sKROJona (Kontekst, Rozmiar, Obliczenia, Jednostki). Przyjrzyj się rzędowi wielkości wyniku otrzymanego przez chłopców. Jeśli uznasz, że wydaje się być mało wiarygodny, sprawdź, czy nie popełnili błędu podczas przeliczania jednostek lub w trakcie prowadzenia obliczeń.

W 1 m mieści się 106 μm. Tym przelicznikiem posłużymy się, obliczając objętość w m3. Po 12 godzinach: Objętość zajmowana przez bakterie = 6,78 × 1010 μm3 = 6,87 × 1010 μm3 ×

1 m3 106 μm3

= 6,87 × 1010 × 10-6 m3 = 6,87 × 104 m3

Po 16 godzinach: Objętość zajmowana przez bakterie = 2,81 × 1014 μm3 = 2,81 × 1014 μm3 ×

1 m3 106 μm3

= 2,81 × 1014 × 10-6 m3 = 2,81 × 108 m3 jesteś tutaj  125

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Mateusz i Karol policzyli objętość (w metrach sześciennych), jaką zajmą bakterie po 12 i 16 godzinach. Sprawdź, czy przeprowadzili obliczenia poprawnie, i zadecyduj, czy udzielona przez nich odpowiedź jest dobrze sKROJona (Kontekst, Rozmiar, Obliczenia, Jednostki). Przyjrzyj się rzędowi wielkości wyniku otrzymanego przez chłopców. Jeśli uznasz, że wydaje się być mało wiarygodny, sprawdź, czy nie popełnili błędu podczas przeliczania jednostek lub w trakcie prowadzenia obliczeń.

W 1 m mieści się 106 μm. Tym przelicznikiem posłużymy się, obliczając objętość w m3. Po 12 godzinach: Objętość zajmowana przez bakterie = 6,87 × 1010 μm3 RZĄD WIELKOŚCI tych wyników jest całkowicie nieprawidłowy! Objętość 2,81 × 108 m3 jest objętością, w której zmieściłoby się 2000 wielkich stadionów piłkarskich!

= 6,87 × 1010 μm3 ×

1 m3 106 μm3

= 6,87 × 1010 × 10-6 m3 = 6,87 × 104 m3

Po 16 godzinach: Objętość zajmowana przez bakterie = 2,81 × 1014 μm3 = 2,81 × 1014 μm3 ×

1 m3 106 μm3

= 2,81 × 1014 × 10-6 m3 = 2,81 × 108 m3

126

Rozdział 3.

Tu widać błąd! W 1 m mieści się 106 μm — ta reguła jest prawdziwa, ale zawiera wskazówki dotyczące przeliczania jednostek DŁUGOŚCI, a nie OBJĘTOŚCI. Nie można traktować jej jak przelicznika dla jednostek objętości. Objętość to długość × długość × długość. Jednostką objętości jest metr sześcienny (m3), nie zaś metr (m). Przeliczanie mikrometrów sześciennych (μm3) na metry sześcienne (m3) nie jest tym samym, co przeliczanie mikrometrów (μm) na metry (m).

Notacja naukowa

Rząd wielkości odpowiedzi, z której wynika, że po 16 godzinach z 1 bakterii powstał szczep drobnoustrojów zajmujący objętość prawie 300 000 000 metrów sześciennych, na pewno nie jest właściwy! Rząd wielkości wyników otrzymanych przez Mateusza i Karola z całą pewnością nie jest prawidłowy. Jeśli zwróciłeś uwagę na ten fakt — gratuluję! Odpowiedź, że bakterie po zaledwie 16 godzinach zajmą objętość prawie trzystu milionów metrów sześciennych, nie ma sensu. Błąd z łatwością dostrzegą wszyscy ci, którzy potrafią wyobrazić sobie jeden metr sześcienny.

Czy potrafisz wyobrazić sobie trzysta milionów metrów sześciennych bakterii? Na samą myśl o takim ogromnym morzu bakterii… fuj.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W 1 m mieści się 106 μm — to stwierdzenie jest poprawne.

Chłopcy nie popełnili błędu obliczeniowego, dlatego wiadomo, że pomylili się w trakcie przeliczania jednostek — przyjęli nieprawidłowy przelicznik z mikrometrów sześciennych (czyli jednostek, z którymi zetknęli się, przeglądając książkę o drobnoustrojach) na metry sześcienne (w notce od Pana Woźnego objętość zapisana została właśnie w metrach sześciennych). Oczywiście mieli rację, twierdząc, że w jednym metrze mieści się 106 mikrometrów. Pytanie brzmi: jaki błąd popełnili, pracując nad zamianą jednostek?

Skąd w takim razie wziął się kłopot z przeliczaniem mikrometrów sześciennych (μm3) na metry sześcienne (m3)?

jesteś tutaj  127

Bądź ostrożny podczas przeliczania jednostek

Bądź szczególnie ostrożny, przeliczając jednostki powierzchni i objętości Mimo że w 1 m mieści się 1 × 106 μm, 1 m3 bynajmniej nie jest równowartością 1 × 106 μm3. Trudno to zauważyć, ponieważ liczby, na których trzeba pracować, są takie duże — oto przyczyna pomyłki chłopców. Mateusz i Karol doszli do nonsensownego wniosku, że po 16 godzinach z jednej bakterii powstanie szczep drobnoustrojów, który zajmie objętość prawie trzystu milionów metrów sześciennych. Mikrometr jest bardzo małą jednostką, łatwiej więc będzie rozważyć, co stało się w trakcie przeliczania jednostek przez chłopców, opierając się na przykładzie milimetrów i centymetrów, milimetrów i centymetrów kwadratowych oraz milimetrów i centymetrów sześciennych. Długość to tylko jeden wymiar. W 1 centymetrze mieści się 10 milimetrów.

1 mm

W 1 cm mieści się 10 mm. 1 cm

Na obrazkach przedstawiono jednostki, które są większe niż ich rzeczywiste odpowiedniki!

Powierzchnia ma dwa wymiary: długość × szerokość. Wobec powyższego w 1 centymetrze kwadratowym mieści się 10 × 10 = 100 milimetrów kwadratowych. Korzystając z notacji naukowej, można napisać, że 1 cm2 to 101 × 101 = 102 mm2.

W 1 cm2 mieści się 100 mm2.

1 mm2 1 mm 1 mm

Powierzchnia oraz objętość NIE są tym samym, co długość.

1 cm

Objętość jest trójwymiarowa: długość × szerokość × wysokość. W związku z tym w 1 centymetrze sześciennym mieści się 10 × 10 × 10 = 1000 milimetrów sześciennych.

1 cm

128

Rozdział 3.

W notacji naukowej 1 cm3 to 101 × 101 × 101 = 103 mm3.

Notacja naukowa W 1 cm3 mieści się 1000 mm3. Objętość ma trzy wymiary.

1 mm3

1 mm 1 mm

1 cm3

1 mm

1 cm

1 cm

1 cm

Przed przystąpieniem do przeliczania jednostek powierzchni lub objętości zawsze zastanów się, z iloma wymiarami masz do czynienia!

Zaostrz ołówek Po 12 godzinach bakterie zajmą 6,78 × 1010 μm3, a po 16 godzinach 2,81 × 1014 μm3. Obydwie objętości zapisz w metrach sześciennych, a następnie porównaj z objętością podaną w notce od Pana Woźnego (6 × 10-5 m3). Pamiętaj, że 1 m to 106 μm.

jesteś tutaj  129

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Po 12 godzinach bakterie zajmą 6,78 × 1010 μm3, a po 16 godzinach 2,81 × 1014 μm3. Obydwie objętości zapisz w metrach sześciennych, a następnie porównaj z objętością podaną w notce od Pana Woźnego (6 × 10-5 m3). Pamiętaj, że 1 m to 106 μm.

W 1 m mieści się 106 μm. Objętość ma trzy wymiary. Z tego wynika, że 1 m3 to 106 × 106 × 106 μm3.

1 m3 6

10 μm 106 μm 106 μm

Po 16 godzinach:

Po 12 godzinach:

Objętość zajmowana

Objętość zajmowana przez bakterie = 6,87 × 10

10

= 6,87 × 10

10

μm

przez bakterie = 2,81 × 1014 μm3

3

3

μm ×

1 m3

= 2,81 × 1014 μm3 ×

1018 μm3

= 2,81 × 1014 × 10-18 m3

= 6,87 × 10-8 m3

= 2,81 × 10-4 m3

Otrzymana wartość jest mniejsza

Otrzymana wartość jest większa

niż 6 × 10-5 m3.

niż 6 × 10-5 m3.

Właśnie obliczyłeś, że jeśli chłopcy nastawią swój budzik tak, żeby zadzwonił po 12 godzinach, liczba bakterii nie osiągnie wartości krytycznej, po której przekroczeniu niezbędna będzie wyprowadzka z pokoju. Jeśli jednak chłopcy postanowią zabrać się za sprzątanie dopiero po meczu, czyli po 16 godzinach, Pan Woźny na pewno zarządzi eksmisję. Niestety, okazuje się, że…

Rozdział 3.

1018 μm3

= 6,87 × 1010 × 10-18 m3

Czyli bakterie nie opanują całego Chyba za chwilę zacznie pokoju, nawet jeśli chłopcy się przegląd wiadomości piłkarskich, prawda?! Wygląda postanowią się przespać! na to, że powinniśmy się

130

1 m3

od razu spakować.

Poradnia pytań — przeliczanie jednostek powierzchni i objętości W trakcie rozwiązywania rozmaitych zadań często będziesz musiał przeliczać jednostki powierzchni i objętości. Zawsze, gdy zdarzy Ci się przeliczać jednostki powierzchni i objętości, pomyśl o bakteriach zajmujących objętość 2000 stadionów piłkarskich — z całą pewnością nie chciałbyś powielić rażącego błędu popełnionego przez Mateusza i Karola. Przeliczając jednostki powierzchni i objętości, nie wpadaj w panikę; myśl o tym, czym tak naprawdę są powierzchnia i objętość. To są DŁUGOŚCI wyrażone w mm.

mi ma 800 mm 4. Skrzynia ze skarba erokości długości, 400 mm sz i 500 mm wysokości.

Zwróć uwagę na to, że proszony jesteś o podanie objętości wyrażonej w m3.

i wyrażona a) Jaka jest objętość skrzyn ch? w metrach sześcienny cm rach 20 cm na 10 cm na 5 b) Ile sztabek złota o wymia to, zło ić top że możesz roz zmieści się w skrzyni? Załóż, ładnie. aby wypełniło skrzynię dok

Oto jeszcze jeden sposób mierzenia długości (w centymetrach), które składają się na objętość.

Prawdopodobnie najlepiej byłoby wszystkie obliczenia robić w m3, ponieważ zostałeś poproszony o podawanie odpowiedzi z użyciem tej właśnie jednostki.

Odpowiadając na pytania o objętość rozmaitych obiektów, nierzadko będziesz musiał zastanawiać się nad najlepszym ułożeniem mniejszych obiektów wewnątrz większego, ponieważ od wzajemnego ułożenia obiektów zależy, ile małych przedmiotów wejdzie do opakowania o określonym kształcie. Podkreślony fragment polecenia jest informacją, że tym razem nie musisz szukać sposobu na układanie sztabek złota w skrzyni.

Często najprościej jest najpierw wyrazić długości w metrach, a dopiero później obliczać objętość w metrach sześciennych. (Oczywiście możesz również policzyć objętość w centymetrach sześciennych i przeliczyć jednostki tak, żeby ostateczny wynik otrzymać wyrażony w metrach sześciennych).

Przeliczając jednostki, wykonuj małe, odręczne rysunki, które pomogą Ci kontrolować potęgi liczby 10 występującej w przelicznikach jednostek. 1 m2 1 m2

1000 mm

= 1000 mm x 1000 mm = 103 mm x 103 mm = 106 mm2

1000 mm

131

Zwykła liczba kontra liczba zapisana w postaci naukowej

Pogawędki przy kominku

Rozmowa wieczoru: W dyskusji biorą udział dwie liczby: zwykła liczba oraz liczba zapisana w postaci naukowej. Która z liczb okaże się przestarzała za 200 lat?

Zwykła liczba

Liczba w postaci naukowej

Dzień dobry, Pani Tajemnicza! To miło móc nareszcie cię poznać!

Ukrywasz się całymi latami, gdy ja pomagam ludziom w codziennym liczeniu, w nauce algebry, w robieniu zakupów itd., a potem nagle pojawiasz się nie wiadomo skąd i oczekujesz, że od razu znajdziesz się w centrum uwagi. Takie zachowanie jest zwyczajnie niegrzeczne!

Ach, tak? Wymień jedną czynność, którą łatwiej jest wykonać, korzystając z twojej pomocy, a nie z mojej!

Mylisz się. Lepiej powiedzieć, że Bill Gates ma „50 miliardów dolarów”, ponieważ w ten sposób łatwiej zobrazować ogrom fortuny Billa Gatesa, niż za pomocą tych śmiesznych małych liczb stojących przy dziesiątce. Ludzie nie są przyzwyczajeni do takiego zapisu! Przez całe życie podają rozmaite wartości, korzystając z mojej pomocy. Twój przykład wcale nie jest przekonujący. Chwileczkę, niech rzucę okiem na tablice informacyjne. Masa protonu to 0,00000000000000000000000000167 kilograma.

Bez przesady z tą „tajemniczą”! Wiem, że większość ludzi dowiaduje się o moim istnieniu po szesnastym roku życia, ale na pewno warto czekać na spotkanie ze mną.

Nawet po moim pojawieniu się możesz robić wszystko to, co robiłaś wcześniej — wcale nie chcę zajmować twojego miejsca. Prawda jest jednak taka, że w niektórych dziedzinach sprawdzam się lepiej niż ty. Dobrze. Co powiesz na zgrabne zapisanie wartości majątku Billa Gatesa? Oto wspomniana wartość: 5 × 1010 dolarów.

Cóż, mój sposób polega na wymienieniu piątki i dziesięciu zer stojących za nią — co w tym takiego trudnego?

No dobrze, Droga Pani „Oni są do mnie przyzwyczajeni”, w jaki sposób przedstawiłabyś masę protonu?

Czy ludzie kiedykolwiek widzieli równie głupio wyglądającą liczbę? Do czegoś takiego na pewno nie są przyzwyczajeni! Masę elektronu lepiej jest zapisać moim sposobem: 1,67 × 10-27 kilograma.

132

Rozdział 3.

Notacja naukowa Zwykła liczba

Liczba w postaci naukowej

Ale przecież ludzie mogą policzyć moje zera i w ten sposób dowiedzieć się, jaki jest rząd wielkości całej liczby. Oczywiście że tak, ale komu by się chciało z tym męczyć? No dobrze, zgadzam się. Wychodzi na to, że jesteś mistrzynią przedstawiania bardzo dużych i bardzo małych wartości. Czy w związku z tym… planujesz całkowicie zdominować życie ludzi?

A widzisz, mówiłam ci, że mnie lubią bardziej!

Tak, jasne… Każda firma produkująca kalkulatory wymyśla inną metodę wpisywania cię do kalkulatora. Najwięcej kłopotów pojawia się, gdy trzeba wpisać liczbę 10 do ujemnej potęgoprzeszkadzajki.

Czy ja się nie przesłyszałam? Twierdzisz, że mnożenie można wykonywać za pomocą dodawania? To stwierdzenie brzmi podejrzanie dla takiej purystki jak ja.

Twierdzisz więc, że z pierwszą częścią ciebie ludzie radzą sobie dobrze, ponieważ są przyzwyczajeni do mnie, a z drugą idzie im nieźle, gdyż używanie jej wymaga tylko prostego dodawania (które również znają dzięki mnie)?

Nie, nie całkowicie. Ludzie, jeśli tylko mogą, wolą korzystać z twojej pomocy. Wymyślili nawet mnóstwo różnych jednostek, takich jak nanometry, kilogramy itp., tylko po to, żeby uniknąć mówienia „ileś tam razy dziesięć do jakiejś tam potęgi” przez cały czas. Chciałam powiedzieć, że lubią liczby, których wygodnie im się używa. Jeśli jednak muszą coś policzyć, dostrzegają mnie.

Ale przecież ludzie nie muszą tego robić w trakcie mnożenia czy dzielenia liczb takich jak ja. Mogą wpisywać do kalkulatorów tylko pierwsze części liczb zapisanych w postaci naukowej, na przykład 1,67, a mnożenie lub dzielenie dziesiątek podniesionych do potęgi wykonywać osobno na kartce papieru. Przecież mnożenie i dzielenie tych dziesiątek to nic innego, jak tylko proste dodawanie wykładników.

Nie przesłyszałaś się. Mnożąc kilka dziesiątek podniesionych do różnych potęg, wystarczy pododawać wykładniki tych potęg. Weźmy na przykład takie działanie: 102 × 103 = 105. 102 da się zapisać jako 10 × 10, natomiast 103 to 10 × 10 × 10. Po pomnożeniu tych czynników otrzymujemy 10 × 10 × 10 × 10 × 10, czyli pięciokrotne mnożenie przez 10, które zapisuje się tak: 105.

Chyba można tak powiedzieć. Wygląda na to, że potrzebujemy siebie nawzajem bardziej, niż nam się na początku tej rozmowy wydawało.

jesteś tutaj  133

Zagadka na pięć minut

Olbrzym, który wpadł na śniadanie Dawno, dawno temu do królewskiego pałacu przyszedł uciekinier z królestwa olbrzymów. Był bardzo głodny. Mówiąc, że był głodny, nie mam na myśli głodu, który odczuwasz czasami pomiędzy jednym posiłkiem a drugim. Olbrzym był dwa razy wyższy od normalnego człowieka i wprost umierał z głodu.

Zagadka na pięć minut

Król odetchnął z ulgą, gdy okazało się, że olbrzym woli zjeść kiełbasę, jajka i bekon, niż jego samego. Niemniej z ust wielkoluda usłyszał przestrogę: „Jeśli posiłek będzie niesmaczny, zjedzeni zostaną służący i ich król niebaczny”. Uśmiech, który pojawił się wcześniej na twarzy władcy, przemienił się w grymas, jaki z pewnością pojawiłby się i na Twojej twarzy, gdybyś stanął oko w oko z głodnym olbrzymem grożącym Ci, że zrobi z Ciebie smaczny stek. Król zwołał swoich doradców i zapytał ich o radę (bo doradcy istnieją w zasadzie po to, żeby dawać ludziom rady). Doradcy rzekli: „Wasza wysokość, ponieważ olbrzym jest dokładnie dwa razy wyższy od normalnego człowieka, a jego ciało odzwierciedla proporcje ludzkiego ciała, powinniśmy podać mu podwójne śniadanie… i dodatkowo dorzucić kilka tostów, tak na wszelki wypadek”.

Czy król powinien posłuchać swych doradców i, pamiętając o tym, że olbrzym jest dwa razy wyższy od przeciętnego człowieka, nakarmić go podwójną porcją jedzenia?

134

Rozdział 3.

Notacja naukowa jednostki

punkty szczególne

Teraz potrafię myśleć wielowymiarowo!

Bądź częścią problemu.

notacja naukowa

objętość

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Notacja naukowa

metoda zapisywania długich liczb opierająca się na używaniu odpowiednich potęg liczby 10.

Powierzchnia

Przestrzeń dwuwymiarowa.

Objętość

Wycinek przestrzeni trójwymiarowej. jesteś tutaj  135

Notacja potęgowa

Niezbędnik fizyka

   

Niezbędnik fizyka Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 3. niniejszej książki. Twój niezbędnik fizyka wzbogacił się o dodatkowe słownictwo oraz umiejętność sprawdzania poprawności odpowiedzi udzielanych na pytania będące częścią zadań i problemów fizycznych.

Mnożenie dziesiątki podniesionej do potęgi przez dziesiątkę podniesioną do potęgi Mnożenie potęg liczby 10 wykonuje się poprzez dodawanie wykładników tych potęg. 3 -2 5 Na przykład 10 × 10 = 10 , ponieważ 5 + (-2) = 3.

Notacja naukowa Notacja naukowa to sposób na zapisywanie bardzo długich liczb w postaci iloczynu dwóch odpowiednio skonstruowanych części, również będących liczbami. Pierwszą część stanowi ułamek dziesiętny z przecinkiem stojącym dokładnie za pierwszą z cyfr składających się na ten ułamek. Drugą częścią liczby zapisanej w postaci naukowej jest odpowiednia potęga liczby 10. Przykładem liczby zapisanej z wykorzystaniem notacji naukowej może być 5 × 103 = 5000.

136

Rozdział 3.

Notacja potęgowa to sposób zapisywania działania kilk akrotnego mnożenia bądź dzielenia prz ez tę samą liczbę. Na przykład zapis 106 ozn acza mnożenie sześciu dziesiąte k przez siebie. Jeśli chcesz zapisać wielok rotne dzielenie przez tę samą licz bę, możesz posłużyć się sym bolem ujemnego wykładnika potęgi , na przykład 10-7.

Dzielenie dziesiątki podniesionej do potęgi przez dziesiątkę podniesioną do potęgi Najłatwiejszą metodą dzielenia dziesiątki podniesionej do potęgi przez dziesiątkę podniesioną do potęgi jest zastąpienie dzielenia odpowiednim mnożeniem i wykonanie mnożenia zgodnie z zasadą mówiącą o dodawaniu wykładników potęg. Na przykład: 105 = 105 × 10-2 = 103 . 102

Prowadzenie obliczeń na liczbach zapisanych w notacji naukowej Mnożenie kilku liczb zapisanych w postaci naukowej najłatwiej wykonuje się następująco: iloczyn potęg liczby 10 należy policzyć osobno niż iloczyn ułamkowych części liczb w postaci naukowej, a następnie otrzymane wyniki na powrót połączyć w liczbę zapisaną w notacji naukowej.

Przeliczanie jednostek powierzchni i objętości

Pole powierzchni oraz obj ętość to odpowiednie iloczyny dłu gości — możesz wyobrazić sobie, jak wygląda metr kwadratowy lub sześcienny, i zastanowić się, czy odpowiedź, jakiej udz ieliłeś na pytanie postawione w zadaniu z fizyki, jest sensowna. Każde przeliczanie jednos tek powierzchni oraz objętości zaczynaj od wykonania rysunku, któ ry pomoże Ci ustalić właściwy przelicznik jednostek. Podczas przeliczania jednos tek zazwyczaj będziesz miał do czynienia z mnożeniem lub dzieleniem potęg liczby 10 przez inne potęgi liczby 10.

Notacja naukowa

Olbrzym, który wpadł na śniadanie Czy król powinien posłuchać swych doradców i, pamiętając o tym, że olbrzym jest dwa razy wyższy od przeciętnego człowieka, nakarmić go podwójną porcją jedzenia? Król musi mieć pewność, że brzuch olbrzyma zostanie należycie napełniony i nie będzie w nim miejsca na dodatkowy posiłek złożony z samego władcy i jego doradców.

Zagadka na pięć minut. Rozwiązanie

Wiemy, że olbrzym jest dwa razy wyższy od normalnego człowieka i że proporcje jego ciała odpowiadają proporcjom ciała przeciętnej osoby. Wobec powyższego musimy założyć, że „szerokość” od boku do boku oraz „głębokość” od przodu do tyłu ciała wielkoluda są dwa razy większe od odpowiadających im wymiarów ciała zwykłego człowieka. Brzuch olbrzyma również jest dwa razy wyższy, dwa razy szerszy i dwa razy głębszy od brzucha typowego przedstawiciela gatunku ludzkiego. Czyli tak naprawdę brzuch wielkoluda jest 2 × 2 × 2 = 8 razy większy od brzucha zwykłego człowieka. Jeśli więc król chce ocalić siebie i swoich podwładnych, powinien nakarmić olbrzyma ośmioma normalnymi śniadaniami.

jesteś tutaj  137

138

Rozdział 3.

%&   

Nauka języka

Prawa ręka czerwona, lewa stopa niebieska, lewa ręka zielona… eeee… mhm… Taak, no cóż, musiałbym chyba zobaczyć to na własne oczy… tak… Możesz przysłać mi zdjęcia?

Porozumiewanie się to podstawa. Jesteś na doskonałej drodze, by myśleć jak fizyk, ale musisz jeszcze nauczyć się przekazywać swoje myśli. W tym rozdziale przedstawię Ci dwa uniwersalne narzędzia pozwalające komunikować się z innymi ludźmi — wykresy i równania — obrazy, które przemówią z siłą tysiąca słów, opisując wykonane doświadczenia i problemy fizyki, z jakimi przyjdzie Ci się zmierzyć. Zobaczyć znaczy uwierzyć.

to jest nowy rozdział 139

mmmm… pizza

Nowa wersja strony pizzerii „Na złamanie karku” jest już prawie gotowa do publikacji w sieci… Dzięki opatentowanej metodzie przygotowywania posiłku „dokładnie na czas” i sprawnie działającej grupie rozwozicieli pizzeria „Na złamanie karku” zrewolucjonizowała rynek gastronomiczny. Ale to nie koniec! Ich powszechnie chwalona strona internetowa została przebudowana tak, by każdy zamawiający mógł poznać dokładny czas dostawy pizzy.

Ale jazda! „Na złamanie karku” podaje teraz czas dostawy. Super! Czyli moja pizza pojawi się, zanim zaczną się „24 godziny”?!

140

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Nigdy wcześniej nie byłem w tej okolicy… Nie mam pojęcia, ile zajmie mi dojazd!

… musisz tylko wymyślić, jak podać klientom dokładny czas dostawy pizzy Poproszono Cię o obmyślenie sposobu na obliczanie czasu dostawy pizzy do klienta. Programiści aplikacji internetowych z radością napiszą odpowiedni program, a Adam, najlepszy doręczyciel w „Na złamanie karku”, pomoże Ci zebrać potrzebne informacje. Czasy dojazdów do niektórych domów może podać Ci od ręki, ale musisz jeszcze opracować sposób określenia czasu dostawy w dzielnicach, których Adam nie zna.

Adam, najlepszy doręczyciel . w „Na złamanie karku”

Zaostrz ołówek Zapisz wszystkie czynniki, które Twoim zdaniem mają wpływ na czas dostawy pizzy podawany na stronie internetowej. Jak szybko Adam jeździ na rowerze?

jesteś tutaj 

141

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Zapisz wszystkie czynniki, które Twoim zdaniem mają wpływ na czas dostawy pizzy podawany na stronie internetowej. Oba te warunki wiążą się z czasem dojazdu do domu klienta.

Jak szybko Adam jeździ na rowerze? Odległość od pizzerii do domu klienta. Czy wszystkie pizze są przygotowywane jednocześnie? Grube czy cienkie ciasto? Jak długo strona WWW przetwarza zamówienie?

Te warunki wpływają na czas przygotowania pizzy.

Czy klient podał właściwy adres? Wszystko jest w porządku, jeśli podałeś też inne propozycje — na przykład zależność czasu realizacji zamówienia od rodzaju i ilości dodawanych składników.

Założymy, że te problemy pozostają w gestii informatyków. Ty zajmujesz się wyłącznie fizyką.

Jeśli zapiszesz równanie opisujące czas dostawy, będziesz mieć jasny obraz sytuacji Łączny czas dostawy to czas, jaki potrzebny jest Adamowi na dojazd do domu klienta, oraz czas przygotowania pizzy. Opisanie tego słowami zajmuje dużo miejsca, a dopóki nie przeczytasz całego opisu, nie wiesz, na czym polega problem. Żeby ułatwić sobie życie, fizycy posługują się równaniami. Każdy z czasów możesz oznaczyć literą z odpowiednim dopiskiem w indeksie dolnym.

Literą „t” oznaczamy parametr czasu. Towarzyszący jej opis w indeksie określa, o który dokładnie czas chodzi, na przykład tgotowania.

tcałkowity to czas łączny dostawy, tjazdy to czas potrzebny Adamowi na dowiezienie zamówienia, Pochyłą czcionką oznaczamy w książce wartości zmienne. Nie musisz tego robić, gdy zapisujesz je ręcznie!

142

tgotowania to czas przygotowania pizzy. Teraz zapisz równanie tcałkowity = tjazdy + tgotowania. Jest ono jednoznaczne ze stwierdzeniem „Całkowity czas dostarczenia pizzy do klienta jest równy sumie czasu, w jakim Adam dojeżdża do domu klienta, i czasu przygotowania pizzy w restauracji”. Różnica polega na tym, że patrząc na równanie, dostrzegasz tę zależność w jednej chwili.

Rozdział 4.

Równania pozwalają opisywać świat symbolicznie.

Równania i wykresy

Dzięki zmiennym równanie jest zapisem ogólnym Równanie zapisane w postaci tcałkowity = tjazdy + tgotowania jest formą ogólną, ponieważ nie wiąże się z żadnymi szczególnymi wartościami czasów jazdy i gotowania. Oznacza, że możesz posłużyć się tym samym wzorem do obliczania czasu realizacji każdego z zamówień. Każda wartość oznaczona symbolem literowym, a nie liczbą, jest nazywana zmienną. W podanym przykładzie zmiennymi są zarówno tcałkowity, tjazdy, jak i tgotowania, gdyż ich wartości będą inne podczas realizacji każdego z przyjmowanych zamówień. Wszystkie te symbole nazywamy ZMIENNYMI, ponieważ przypisane im wartości zmieniają się dla każdego zamówienia.

t

Co z kolei pozwoli Ci zastosować je w przypadku obliczania czasu dostarczenia pizzy do DOWOLNEGO klienta.

Czas jazdy Czas gotowania

=t +t

całkowity

jazdy

Kolejność dodawania nie ma znaczenia. Możesz równie dobrze zapisać to równanie w postaci: tcałkowity = tgotowania + tjazdy.

gotowania

Nie istnieją

głupie pytania

P: Po co w ogóle zaprzątać sobie

głowę zapisywaniem równań, skoro opis sprawdza się równie dobrze?

O

: Opisy są potrzebne, ponieważ ujmując coś słowami, masz pewność, że dobrze zrozumiałeś cały problem, ale równania okazują się niezwykle pomocne, gdy wyjaśniasz coś i chcesz zachować zwięzłą formę.

P: Ale w równaniach pojawiają

się litery, a to z pewnością utrudnia wyjaśnianie. Przecież żeby ktoś zrozumiał równanie, musi najpierw dowiedzieć się, co oznacza dana litera.

O

: To prawda, ale gdy dowiesz się już, jakim wielkościom odpowiadają poszczególne litery, zapisywanie problemów do rozwiązania w postaci równań staje się nieporównanie szybsze niż zapisywanie ich słowami.

P: Tylko po co w ogóle używać

liter w równaniach? Czy nie łatwiej byłoby podać czas dostawy, gdybyśmy od razu wpisali tam liczby?

O

: Masz oczywiście rację, ale takie rozwiązanie byłoby poprawne tylko dla jednego adresu! Przed każdą nową dostawą należałoby tworzyć równanie od nowa.

P: Czy nie mogę posługiwać się

różnymi literami, zamiast cały czas pisać t?

O

: Każda z pojawiających się w równaniu zmiennych reprezentuje czas. Przyjęło się oznaczać go literą t, a odpowiednim podpisem w indeksie dolnym określać, któremu odcinkowi czasu odpowiada dana zmienna.

P: Ale dlaczego mam używać

indeksów? Mógłbym przecież zapisywać dwie litery obok siebie, oznaczając na przykład czas dostawy symbolem „dt”. Czy zapis nie stałby się w ten sposób bardziej czytelny?

O

: Niestety, to niemożliwe. Po pierwsze dlatego, że w fizyce i matematyce mnożenie zmiennych oznacza się, zapisując te symbole obok siebie (zatem zapis a × b jest równoznaczny z zapisem ab). Po drugie, symbol „dt” jest już wykorzystywany w innych sytuacjach — niebawem dowiesz się, co mam na myśli.

P: No tak. Coś takiego obiło mi się

o uszy na matematyce. Dlaczego ten sposób zapisu jest tak przydatny?

O

: Dzięki niemu elementy składowe równania stają się lepiej widoczne. Zaraz do tego dojdziemy…

jesteś tutaj  143

O równaniach bez tajemnic

Równania z bliska

W równaniu pojawia się symbol oznaczający, że obydwie jego strony są sobie równe. Te strony są sobie równe.

Równanie musi zawierać znak równości! tcałkowity

= tjazdy + tgotowania

Jeśli znak ten nie pojawia się w zapisie, znaczy to, że nie masz do czynienia z RÓWNAniem!

Elementy równania, które dodaje się lub odejmuje od siebie, określa się wspólnym mianem wyrazu. Wyraz może być liczbą, pojedynczą zmienną lub liczbami i zmiennymi pomnożonymi lub podzielonymi przez siebie.

tcałkowity

=

tjazdy

+

tgotowania

To są wyrazy.

Wyraz jest jednym z dodawanych lub odejmowanych elementów równania.

Rozwiązywanie równań sprowadza się w dużej mierze do rozpatrywania każdego z wyrazów z osobna. Jeśli wyraz jest elementem składającym się z więcej niż samej zmiennej, musisz wykonać na nim wszystkie działania (mnożenie, dzielenie i tak dalej), zanim dodasz go do innych wyrazów lub odejmiesz od nich. Zapisanie mnożenia części wyrazu w formie skróconej (bz zamiast b × z) pozwala szybciej dostrzegać poszczególne składniki równania.

x

144

Rozdział 4.

=

y

+

bz

Rozwiązuj równania, obliczając po kolei wartości jego wyrazów.

dwóch Ten wyraz zbudowany jest z nnych. wymnożonych przez siebie zmie ych stał pozo do go sz doda Zanim owych po wstawieniu wartości liczb obliczyć do równania, będziesz musiał wartość wyrażenia bz.

Równania i wykresy

Musisz obliczyć czas jazdy Adama ek: z ołów r t s o a Z zanie Rozwią

Czas dostawy jest opisany równaniem tcałkowity = tjazdy + tgotowania. Po prawej stronie równania znajdują się dwa wyrazy — tjazdy, określający czas dowozu pizzy do klienta, i tgotowania, oznaczający czas przygotowania pizzy. Jeżeli zajmiesz się najpierw wyznaczeniem składowych czasów tjazdy i tgotowania, obliczenie łącznego czasu dostawy stanie się prostsze. Uświadamiając sobie, że wartość zmiennej tjazdy (czas potrzebny Adamowi na dojazd do klienta) zależy od szybkości jazdy i odległości domu klienta od pizzerii, posunąłeś proces obliczeń znacznie do przodu. Ale nadal nie wiesz, w jaki sposób czas zależy od tych dwóch parametrów.

Fragment odpowiedzi Zaostrzonego ołówka ze strony 142.

Jak sądzisz, co stanie się w przypadkach skrajnych — gdy odległość będzie niewielka lub szybkość będzie duża?

Magnesiki doręczyciela pizzy )$ ZMDNLVSRVyEV]\ENRĤþRGOHJâRĤþ      $F]DV    *         $ " 

Siedziba „Na złamanie karku”

Pamiętaj, że zmienna tjazdy określa czas, jakiego Adam potrzebuje na dojazd do domu klienta.

Jeśli odległość jest

Jeśli odległość jest wartość zmiennej tjazdy jest

Jeśli szybkość jest



wartość zmiennej tjazdy jest

.

Jeśli szybkość jest

wartość zmiennej tjazdy jest

 

.

.

wartość zmiennej tjazdy jest





 





 

.





 

jesteś tutaj  145

Rozwiązanie magnesików

Magnesiki doręczyciela pizzy. Rozwiązanie )$ ZMDNLVSRVyEV]\ENRĤþRGOHJâRĤþ      $F]DV    *         $ " 

Siedziba „Na złamanie karku”

Jeśli odległość jest

Pamiętaj, że zmienna tjazdy określa czas, jakiego Adam potrzebuje na dojazd do domu klienta.



wartość zmiennej tjazdy jest

Jeśli szybkość jest

 

.

.

 

wartość zmiennej tjazdy jest

Jeśli szybkość jest



wartość zmiennej tjazdy jest



Jeśli odległość jest

 

.

 

wartość zmiennej tjazdy jest



.

Nie do końca rozumiem, po co mam to robić, skoro nie znam jeszcze wartości odległości ani szybkości. Naszych klientów interesuje konkretna odpowiedź, a nie ogólny zapis!

Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania warto postawić się na chwilę wewnątrz problemu i zastanowić się, co ma miejsce w przypadkach skrajnych. Zanim przejdziesz do przeprowadzania obliczeń na liczbach i wartościach zebranych w czasie pomiarów, zawsze warto zanalizować problem od wewnątrz. Zastanów się, co Twoim zdaniem powinno dziać się z czasem jazdy w przypadkach pojawienia się wartości skrajnych — dużych odległości czy dużej szybkości. Gdy określisz już, jak droga i szybkość jazdy wpłyną na czas przejazdu, zwiększysz swoje szanse na wykrycie ewentualnych błędów w obliczeniach.

146

Rozdział 4.

Równania i wykresy No dobrze. Wiemy już, że dojazd do dalej położonych domów zajmuje więcej czasu, ale o ile więcej? Jak mamy określić czas dojazdu do poszczególnych domów, skoro znajdują się one w różnych odległościach od pizzerii, a Adam nie zawsze wie, jak do nich dojechać? Krzysiek: Cóż, przypuszczam, że moglibyśmy wysłać Adama do domów naszych potencjalnych klientów z tej dzielnicy, zmierzyć czas przejazdu z naszej siedziby do każdego z nich i założyć odpowiednią bazę danych. Wtedy, gdy klient podałby swój adres, strona łączyłaby się z bazą i podawała czas dostawy. Franek: Pomyśl tylko o nadgodzinach, które musielibyśmy zapłacić Adamowi! Całe to jeżdżenie zajęłoby mu wieki, a przecież nie rozwoziłby wtedy pizzy, tylko zapisywał czasy dojazdu do domów ludzi, którzy wcale nie musieliby niczego u nas zamawiać… to kiepski pomysł. Krzysiek: W porządku. Może zatem udałoby się opracować równanie opisujące czas dojazdu do domu klienta? Wiemy już, że zmienna t zależy od szybkości jazdy i odległości między naszą siedzibą a domem klienta, zatem szukalibyśmy czegoś o postaci „t = coś zależnego od szybkości i odległości”. Franek: Hmm, w zasadzie określenie odległości między pizzerią a domami to dobra myśl. Informatycy mogą uzyskać te dane dzięki aplikacji mapowej. Krzysiek: Musimy zatem określić szybkość jazdy Adama, żeby móc potem wykorzystać ją w równaniu. Wiem, że to zabrzmi dziwnie, ale… moglibyśmy spróbować stać się nim na chwilę. Podobno postawienie się w czyjejś sytuacji ma pomagać w rozwiązywaniu problemów. Franek: Chodzi ci o coś w stylu „Adam naciska pedały, a rower jedzie do przodu”? Dobrze, zróbmy burzę mózgów. Przyjmijmy więc, że jestem Adamem i mam przed sobą cały wieczór rozwożenia pizzy. Nie będę jechał zbyt szybko, żeby nie stracić sił.

Wczucie się w kogoś (lub w coś) pozwala poznać fizykę problemu i zazwyczaj ułatwia rozwiązanie.

Krzysiek: Ale nie będę też jechał zbyt wolno, bo rozwożąc mniejszą ilość pizzy, dostanę mniej napiwków. Franek: Pamiętajmy też, że jestem najlepszym doręczycielem, więc wiem, z jaką szybkością zacząć, żeby utrzymać ją przez cały wieczór. Kasia: A to oznacza, że Adam jeździ ze stałą szybkością. Poczekajcie, jeśli uda się nam określić tę szybkość, to będziemy mogli obliczyć czas, bo przecież mamy odległości pobrane z aplikacji mapowej. Franek: To niegłupie. Ale jak określić szybkość jazdy Adama? I jak obliczyć czas dostawy?

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak zmierzyć szybkość jazdy, żeby móc obliczać później czasy dostaw?

jesteś tutaj  147

Określanie czasu na podstawie szybkości i przebytej drogi Nadal nie rozumiem, dlaczego wyznaczamy szybkość, skoro interesuje nas czas. Krzysiek: Skoro Adam jeździ zawsze z tą samą szybkością, powinien pokonywać w jednym czasie zawsze tę samą drogę. Franek: Aaaa… chyba widzę, do czego zmierzasz. Skoro Adam zawsze jeździ tak samo szybko, to możemy zmierzyć czas, w jakim pokonuje drogę 1 km, bo przecież jej przejechanie zawsze będzie zajmować mu tyle samo czasu. Krzysiek: Sądzę, że nie musimy nawet mierzyć czasów przejazdu na różnych trasach. Gdy poznamy czas pokonania jednego kilometra, będziemy wiedzieli, że dwa kilometry przejedzie w dwukrotnie dłuższym czasie. Franek: No tak! A pokonanie odległości pół kilometra zajmie mu połowę tego czasu. Przejechanie trzech kilometrów będzie wymagało czasu trzykrotnie dłuższego. Już rozumiem! To oznacza, że żeby określić czas jazdy na dowolnym dystansie, wystarczy zmierzyć raz czas przejazdu jednego kilometra. Kasia: Nie jestem pewna, czy jeden pomiar wystarczy. Od tego naprawdę wiele zależy — jeżeli podamy niewłaściwy czas dostawy, klient będzie mógł zażądać pizzy gratis, a to bardzo podnosi koszty. Może powinniśmy wykonać kilka pomiarów i obliczyć ich wartość średnią. W ten sposób zdołamy uwzględnić drobne wahania mierzonej wartości.

Przeprowadzając eksperyment, powtórz każdy pomiar możliwie wiele razy. Dzięki temu uzyskasz najlepsze średnie przybliżenie wyniku.

Krzysiek: Chodzi ci o zmniejszenie niepewności? To wydaje się rozsądne. A może powinniśmy zmierzyć czasy przejazdów rożnych odległości? W ten sposób upewnimy się, czy Adam faktycznie jeździ zawsze tak samo szybko. Kasia: Brzmi rozsądnie. Franek: Czy nie skomplikujemy przez to za bardzo obliczeń? Gdybyśmy zmierzyli Adamowi czas tylko raz, na dystansie jednego kilometra, moglibyśmy łatwo określić czas przejazdu innych odległości — dla dwóch kilometrów wystarczyłoby go podwoić, dla pół kilometra należałoby go podzielić na dwa i tak dalej. A gdy zmierzymy czasy przejazdu wielokrotnie, na różnych dystansach, nie będziemy wiedzieli, co z nimi zrobić. Kasia: Jeżeli obliczymy szybkość, z jaką Adam pokonuje kolejne dystanse, bez trudu obliczymy potem czas przejazdu. Załóżmy, że Adam jeździ z szybkością 10 metrów na sekundę. W takim przypadku pokonanie stu metrów zajmie mu dziesięć sekund, pokonanie kilometra zabierze sto sekund i tak dalej. Dzięki takim obliczeniom będziemy mogli oszacować czas przejazdu na dowolną odległość. Franek: W porządku, udało ci się mnie przekonać. Na szczęście nasze miasto nie jest specjalnie górzyste, więc żadne wzniesienie nie powinno pokrzyżować nam planów. Zabierzmy się za organizowanie eksperymentu.

148

Rozdział 4.

Projektowanie eksperymentu

Równania i wykresy Nadal nie do końca rozumiem, po co mam przeprowadzać więcej niż jeden pomiar. Dlaczego obliczanie średniej wartości ma być takie pomocne.

Wielokrotne powtórzenie pomiaru pozwala określić stopień rozrzucenia wyników.

Granica błędu urządzenia pomiarowego to ± połowa najmniejszej podziałki jego skali.

Na razie przyjmujesz, że Adam jeździ zawsze z tą samą szybkością, ale przecież wcale nie musi tak być. Co wtedy? Co, jeżeli okaże się, że szybkość jazdy zmienia się dla każdego z przejazdów lub waha się w zależności od pokonywanego dystansu? Jeżeli zmierzysz czas jazdy tylko raz, nie będziesz wiedział, czy szybkość jazdy jest rzeczywiście stała. Gdy po wykonaniu wielu pomiarów okaże się, że zmierzone wartości różnią się znacznie od siebie (wyniki są mocno rozrzucone), prawdopodobnie będziesz musiał opracować nową metodę obliczania czasu przejazdu. Jeśli jednak czasy jazdy będą do siebie zbliżone i wszystkie będą mieściły się w granicach błędu urządzenia pomiarowego, będziesz mieć pewność, że ich średnia jest miarodajna.

Planując wykonanie doświadczenia, zawsze zastanów się, co może pójść nie tak! Zwielokrotnienie pomiarów to tylko jedna z metod poprawiania jakości doświadczenia. W jego trakcie kłopoty mogą pojawić się dosłownie na każdym etapie! Ich źródłem może być Adam, droga, po której będzie jechał, taśma miernicza czy stoper. Jeśli zawczasu nie przewidzisz najgorszych komplikacji, może okazać się, że zakończysz doświadczenie, dysponując bezwartościowymi wynikami i co gorsza, nie będziesz miał możliwości powtórzenia eksperymentu.

Czy naprawdę miałbyś serce prosić Adama o powtórzenie tych wyczynów?

Zaostrz ołówek Zastanów się, co może pójść nie tak w czasie doświadczenia, i pomyśl, jak tego uniknąć.

Obiekt wykorzystywany w doświadczeniu

Źródło potencjalnych błędów Szybkość jazdy Adama nie jest stała.

Adam i jego rower

Jak mu zaradzić? Zmierzyć czas przejazdu kilkakrotnie na tym samym dystansie i wyciągnąć średnią z wyników.

Droga

Taśma miernicza Stoper nie uruchomi się we właściwej chwili.

Stoper Każdy z obiektów może generować więcej niż jeden błąd.

jesteś tutaj  149

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Projektowanie eksperymentu

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Obiekt wykorzystywany w doświadczeniu

Zastanów się, co może pójść nie tak w czasie doświadczenia, i pomyśl, jak tego uniknąć.

Źródło potencjalnych błędów

Droga

Droga nie musi być płaska. Adam będzie jechał wolniej pod górę, a szybciej z góry.

Zmierzyć czas przejazdu kilkakrotnie na tym samym dystansie i wyciągnąć średnią z wyników. Zmierzyć mu czas na krótkich i długich dystansach. Przeprowadzać eksperyment na płaskim terenie.

Taśma miernicza

Taśma miernicza może z czasem rozciągnąć się i fałszować wyniki.

Zmierzyć nią coś o znanej długości, zanim wykorzysta się ją w czasie doświadczenia.

Stoper nie uruchomi się we właściwej chwili. Stoper nie zatrzyma się w odpowiednim momencie.

Uzgodnić z Adamem zasady mierzenia czasu, zanim zaczniecie eksperyment.

Adam i jego rower

Stoper

Szybkość jazdy Adama nie jest stała. Adam męczy się w czasie dłuższej jazdy.

Jak mu zaradzić?

Większość z podanych powyżej źródeł błędów obciąży wynik jednostronnie. Nie jestem pewien, czy wielokrotne pomiary i obliczenie średniej pozwolą usunąć te wpływy.

Nie przejmuj się, jeśli podałeś inne źródła problemów i inne rozwiązania lub jeśli nie przyszły Ci do głowy wszystkie wymienione tu pomysły.

Wyróżnia się dwa rodzaje błędów — błędy statystyczne (przypadkowe) i błędy systematyczne. Domyśliłeś się już, że mierzone czasy przejazdów będą rozrzucone wokół pewnej wartości, jeśli Adam nie utrzyma idealnie stałej szybkości jazdy. Ten rodzaj rozbieżności zalicza się do tej samej kategorii, co błędy związane z niedokładnością odczytu wartości ze skali urządzenia pomiarowego (jak w przypadku mierzenia rozmiarów ajPoda). Jeśli czasy przejazdu w poszczególnych seriach pomiarowych nie będą zbytnio różnić się od siebie, dzięki wykonaniu kilku pomiarów i obliczeniu średniej zdołasz zmniejszyć błąd statystyczny. Źródła niektórych błędów są nierozerwalnie związane z układem pomiarowym. Jeżeli zmierzyłbyś czas jazdy Adama na trasie z górki, okazałoby się, że jeździ on szybciej, niż normalnie po mieście, gdzie teren jest zazwyczaj płaski. Jeśli taśma miernicza rozciągnęłaby się, mierzone przez Ciebie odległości byłyby w rzeczywistości krótsze. Tego rodzaju błędy określa się zazwyczaj mianem błędów systematycznych. Powodują one jednostronne obciążenie wyniku nieprawidłowością. W tym przypadku obliczenie średniej nie usunie odchylenia, ponieważ wszystkie zmierzone wartości będą wyższe (lub niższe) od prawidłowych. Jedyną metodą wykluczenia błędów systematycznych jest odpowiednio wczesne ich wykrycie i takie projektowanie eksperymentu, które pozwoli zminimalizować ryzyko ich wystąpienia.

150

Rozdział 4.

Błędy statystyczne powodują ROZRZUCENIE wyników wokół właściwej wartości. Można je zminimalizować, UŚREDNIAJĄC wyniki wielu pomiarów. Błędy systematyczne powodują powstawanie OBCIĄŻENIA wyniku stałą wartością. Jedynie porządne PLANOWANIE doświadczenia pozwala je zminimalizować.

Równania i wykresy

Dobrze — pora podsumować dotychczasowe rozważania…

Ćwiczenie

Pracowałeś właśnie nad projektem doświadczenia, które pomoże stworzyć nową stronę internetową pizzerii „Na złamanie karku”. Wszystkie wnioski zapisałeś sobie na czystej serwetce (jak każdy szanujący się fizyk), ale niestety część słów skryła się pod tłustymi plamami sosu z pizzy. Uzupełnij puste miejsca, wpisując w nie słowa podane na dole ramki.

Niektóre z nich mogą pozostać niewykorzystane, inne mogą pojawić się w tekście częściej niż tylko raz!

Eksperyment mający określić czas przejazdu Adama na dowolnym . ji zamówienia, wydaje Choć pragnę obliczyć czas realizac , ystkim określić mi się, że powinienem przede wsz iel utrzymuje, że przez z jaką podróżuje Adam — doręczyc . cały wieczór jeździ ze stałą taśmy mierniczej kilka Mam zamiar wyznaczyć za pomocą e, podłożu. Wcześniej upewnię się takż na odkształciła. Dzięki temu że taśma nie zawinęła się ani nie . y mam nadzieję zminimalizować błęd Na każdym dystansie dokonam szybkość jazdy, żeby pomiaru i obliczę . zminimalizować błędy i trzy wartości pomiaru Trzy wartości pomiaru , dzięki pozwolą mi przeprowadzić dostawy pizzy do każdego domu której obliczę od pizzerii. położonego w dowolnej odległości Słowo to oznacza proces określania wyników dla dowolnej wartości na podstawie wyników zmierzonych dla znanych wartości.

Brakujące słowa: szybkość, trzykrotny, ekstrapolacja, kierunek, systematyczny, odległość, jednokrotny, powielenie, średnia, czas, odległości, statystyczny, płaski, czasy, dystans

jesteś tutaj 

151

Projektowanie eksperymentu

Proste eksperymenty

Przeprowadzanie eksperymentu

Przeprowadź eksperyment, w którym wyznaczysz szybkość jazdy Adama Klienci pizzerii „Na złamanie karku” chcą znać czas dostawy pizzy. Obliczenie właściwego czasu jest wyjątkowo ważne, gdyż w razie spóźnienia doręczyciela klient nie musi płacić za zamówioną pizzę! Stwierdziłeś, że najlepiej będzie przeprowadzić eksperyment i wyznaczyć szybkość, z jaką porusza się doręczyciel pizzy, Adam. Mając tę wartość, będziesz mógł obliczyć czas, w jakim przebędzie dowolną drogę. Zmierzysz czas jazdy na trzech dystansach, dokonując w każdym z przypadków trzech oddzielnych pomiarów. W ten sposób zdołasz stwierdzić, czy Adam utrzymuje stałą szybkość, oraz wyeliminujesz w dużym stopniu błędy statystyczne. Błędy te pojawiają się niezależnie od Twoich starań, ponieważ warunki przeprowadzania eksperymentu, mimo Twoich najlepszych starań, nigdy nie będą takie same, jak poprzednim razem. Poza tym nie dysponujesz urządzeniami pomiarowymi zdolnymi podawać wyniki z dokładnością do wartości atomowych. Pomyślałeś też o możliwościach pojawienia się błędów systematycznych i postarałeś się zadbać o to, by aparatura pomiarowa nie stała się ich źródłem.

152

Rozdział 4.

zamówienia, wydaje Choć pragnę obliczyć czas realizacji określić szybkość, tkim mi się, że powinienem przede wszys muje, że przez utrzy l zycie doręc — Adam z jaką podróżuje ością. szybk stałą ze i jeźdz ór wiecz cały taśmy mierniczej kilka Mam zamiar wyznaczyć za pomocą śniej upewnię się także, odległości na płaskim podłożu. Wcze tałciła. Dzięki temu odksz nie ani się że taśma nie zawinęła systematyczne. błędy ować maliz zmini eję nadzi mam rotnego powielenia Na każdym dystansie dokonam trzyk jazdy, żeby ość szybk ią średn zę oblic i ru pomia ne. stycz zminimalizować błędy staty wartości pomiaru Trzy wartości pomiaru czasu i trzy ekstrapolację, dzięki zić rowad odległości pozwolą mi przep każdego domu do pizzy wy dosta czas zę której oblic pizzerii. od położonego w dowolnej odległości

Ćwiczenie: Rozwiązanie Pies wyskoczył Adamowi pod koła podczas drugiego przejazdu na dystansie 250 metrów.

Oto co się stanie:

Start

Eksperyment mający określić czas przejazdu Adama na dowolnym dystansie.

100 m

250 m

500 m

Równania i wykresy

Zapisz wyniki… w tabeli Przeprowadzając doświadczenie, zapisuj jego wyniki w tabeli. Taki zapis pozwala utrzymać porządek w danych, ponieważ wartości związane ze sobą znajdują się w sąsiadujących ze sobą wierszach lub kolumnach. Dzięki temu zmniejszasz też ryzyko popełnienia błędu w trakcie zapisywania wyników. Wreszcie, tabela pozwala przyjrzeć się dokładniej wynikom i dostrzec zależności, które mogą pojawiać się w wynikach.

Wyniki pomiarów zapisuj w TABELI.

Nagłówki kolumn tabeli powinny znaleźć się w pierwszym jej wierszu. W pierwszej kolumnie z lewej strony umieść ten parametr, który zmieniasz w czasie trwania eksperymentu, a po prawej zapisuj mierzone wyniki. Nagłówek każdej z kolumn musi zawierać także jednostki, w których podajesz wyniki.

Zaostrz ołówek Uzupełnij tabelę, posługując się wartościami podanymi na sąsiedniej stronie. Nie zapomnij o dopisaniu odpowiednich danych w nagłówkach kolumn.

Nagłówki umieść w pierwszym wierszu.

Odległość, jaką przejeżdża Adam [m]

Czas 1 [s]

500

120

Czas 2 [ ]

Czas 3 [ ]

Jednostki zapisz w nagłówkach kolumn. Dzięki temu w tabeli znajdą się same liczby.

Czas średni [ ]

W tych wierszach wpisz wartości.

Wartości parametru zmienianego zapisz w porządku rosnącym w pierwszej kolumnie z lewej.

Wszystkie wartości mierzone powinny znaleźć się w kolumnach po prawej stronie.

Jeśli uśredniasz wyniki pomiarów, obliczona wartość średnia powinna znaleźć się w kolumnie po prawej stronie pomiarów.

Przenieś wyniki pomiarów do tabeli.

Tabele pomagają utrzymać porządek w zapisywanych wynikach i pozwalają łatwiej wychwycić zależności między mierzonymi wartościami. jesteś tutaj  153

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Projektowanie eksperymentu

Sprawdzanie wyników

Przeprowadzanie eksperymentu

Czy należy wliczać do średniej pomiar 80 s, biorąc pod uwagę, że Adam zwolnił, gdy pies wbiegł mu pod koła?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Pamiętaj, jakich JEDNOSTEK używasz.

Uzupełnij tabelę, posługując się wartościami podanymi na sąsiedniej stronie. Nie zapomnij o dopisaniu odpowiednich danych w nagłówkach kolumn.

Odległość, jaką przejeżdża Adam [m]

Czas 1 [s]

Czas 2 [s]

Czas 3 [s]

Czas średni [s]

100

23

24

24

23,7

250

58

80

59

65,7 58,5

500

120

121

119

120

Punkty na sprawdzianie traci się zazwyczaj za każde pominięcie jednostki, a to sumuje się bardzo szybko!

Jeżeli nie uwzględnisz wartości odbiegającej od pozostałych, średni czas na dystansie 250 m wyniesie 58,5 s.

Sprawdź, czy w zebranych wynikach nie znajdziesz takich, które odbiegają od pozostałych.

Jednym z powodów mierzenia czasów Adama więcej niż raz na jednym dystansie jest próba ustalenia rozrzutu osiąganych przez niego wyników. Jeśli okaże się, że Adam nie potrafi utrzymać stałej szybkości, będziesz musiał opracować zupełnie nowe rozwiązanie.

Określenie źródła rozbieżności wyników pozwala poprawić układ eksperymentalny i zmniejszyć wartość błędu.

Wyniki uzyskane w przeprowadzonym doświadczeniu leżą blisko siebie, a ich rozrzut nie przekracza granicy błędu używanego stopera. Jednak jeden z wyników odbiega od pozostałych o prawie 50%. Czas przejazdu 80 s na dystansie 250 m wyraźnie odstaje od pozostałych i musisz zastanowić się, dlaczego tak jest — czy wynika to z faktu, że Adam nie potrafi jeździć ze stałą szybkością, czy może stało się coś, co wpłynęło na wynik?

Jeżeli jednak nie masz dobrych podstaw, by go odrzucić, taki wynik będzie musiał pozostać na miejscu!

Jeśli wyniki pomiarów są rozrzucone, bo Adam porusza się z niestałą szybkością, będziesz musiał wykonać większą liczbę pomiarów na każdym z dystansów, żeby określić charakter rozrzutu i lepiej wyznaczyć wartość średnią. Jeżeli wynik pomiaru odstaje od pozostałych z uzasadnionych przyczyn (a w tym przypadku tak jest, ponieważ pies wbiegł Adamowi pod koła), można odrzucić taką wartość, jako mało reprezentatywną.

Gdy jeden z wyników nie pasuje do pozostałych, zanim go odrzucisz, zastanów się, DLACZEGO tak jest? 154

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Określ szybkość jazdy Adama, posługując się tabelą odległości i czasów Teraz, gdy dysponujesz zebranymi w tabeli czasami jazdy na poszczególnych dystansach, możesz określić szybkość, z jaką porusza się Adam. Szybkość podaje się w kilometrach na godzinę lub metrach na sekundę. Określenie „na” oznacza „dzielonych na”, zatem niezależnie od zastosowanych jednostek można powiedzieć, że wymiarem szybkości jest droga dzielona na czas. Samą szybkość definiuje się zaś jako drogę (zmianę położenia) przebytą przez Adama w przedziale czasu, który upłynął od chwili startu. kilometry To równanie jest Ci już znane, ponieważ wcześniej znałeś już jednostkę szybkości!

szybkość =

(zmiana) położenia (zmiana) czasu

na

godzinę

Nie martw się na razie zbytnio ową „zmianą” pojawiającą się w definicji. W dalszej części tego rozdziału wyjaśni się, dlaczego jest ona tak ważna.

Gdy obliczysz już szybkość jazdy Adama, będziesz mógł podać czas dostawy pizzy do domu dowolnego klienta.

Zaostrz ołówek Posługując się podanym powyżej wzorem, wyznacz szybkość jazdy Adama na różnych dystansach.

Odległość przejechana przez Adama [m]

Średni czas przejazdu [s]

100

23,7

250

58,5

500

120,0

Szybkość średnia [metry na sekundę]

Pusty obszar pod ramką to Twoja przestrzeń ROBOCZA. (Tu dokonaj obliczenia szybkości i przeliczenia jednostek).

Wzór opisujący szybkość można podać, patrząc na jej JEDNOSTKI — „kilometry na godzinę”, „metry na sekundę” i tak dalej. Szybkość to droga dzielona przez czas. Prawdę mówiąc, to rozumowanie sprawdza się jedynie w przypadku najprostszych równań, ale tym razem intuicja podpowiada, że jest ono właściwe.

jesteś tutaj  155

Projektowanie eksperymentu

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Przeprowadzanie eksperymentu

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Sprawdzanie wyników

Posługując się podanym wzorem, wyznacz szybkość jazdy Adama na różnych dystansach.

szybkość =

Odległość przejechana przez Adama [m]

Średni czas przejazdu [s]

Szybkość średnia [metry na sekundę]

100

23,7

4,22

250

58,5

4,27

500

120,0

4,17

Pamiętaj, aby OPISAĆ to, co robisz.

(zmiana) położenia (zmiana) czasu

Na dystansie 100 metrów: szybkość =

droga

=

100 m

= 4,22 metra na sekundę

23,7 s

czas Na dystansie 250 metrów: szybkość =

droga

=

czas

250 m

= 4,27 metra na sekundę

58,5 s

Jak to możliwe, że średnia szybkość jazdy wychodzi za każdym razem inna? Sądzę, że w trakcie wykonywania doświadczenia musieliśmy popełnić jakiś błąd!

Na dystansie 500 metrów: szybkość =

droga czas

=

500 m

= 4,17 metra na sekundę

120,0 s

Wszystko jest w porządku. W wynikach doświadczenia zawsze pojawia się pewien rozrzut ze względu na pojawiające się błędy statystyczne. Pamiętaj o tym, że od początku wszystkie pomiary są obarczone błędem odczytu o wartości ± pół podziałki skali. Poza tym pojawiają się przypadkowe fluktuacje mierzonej wartości, wynikające z warunków, na które nie masz wpływu — niewielkich zmian szybkości wiatru, stanu opon w rowerze Adama, nierówności na powierzchni drogi i tak dalej. Mierząc kilkakrotnie ten sam parametr, nie spodziewaj się uzyskania identycznych wyników za każdym razem.

156

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Błędy statystyczne sprawiają, że wyniki pomiarów są rozrzucone Obecność błędów statystycznych oznacza, że wyniki pomiarów będą rozrzucone wokół pewnej wartości średniej. Jeśli rozrzut ten nie jest zbyt wielki, wyniki określa się mianem precyzyjnych. Niestety pojawienie się błędów systematycznych, odchylających zbierane wyniki w jednym, ściśle określonym kierunku (przykładem takiego błędu jest opóźnienie wynikające z budowy mechanizmu stopera), sprawia, że nawet obliczenie średniej nie pozwoli uzyskać dokładnych wyników. Większy ROZRZUT oznacza mniejszą PRECYZJĘ.

Dokładne

Precyzyjne

Jeśli wyciągniesz średnią z NIEDOKŁADNYCH wyników, ostateczna odpowiedź będzie nieprawidłowa z powodu wystąpienia obciążającego błędu systematycznego.

Otrzymane wyniki mogą być DOKŁADNE, nie będąc przy tym PRECYZYJNYMI.

Zebrane wyniki mogą być PRECYZYJNE, choć wcale nie będą DOKŁADNE.

Zmniejszenie błędu statystycznego poprawia precyzję pomiaru.

W rzeczywistości zależy Ci na osiągnięciu DOKŁADNOŚCI i PRECYZJI.

Zmniejszenie błędu systematycznego poprawia dokładność pomiaru.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy to oznacza,

że stosując dokładne urządzenia pomiarowe, będę mógł zmniejszyć błędy statystyczne?

O

: Chodzi Ci chyba o precyzyjne urządzenia pomiarowe. Mniejsza jednostka podstawowa skali urządzenia sprawia, że wyniki są mniej rozrzucone, a to prowadzi do zwiększenia precyzji pomiaru. Urządzenie pracujące z większą dokładnością powinno dawać wyniki bardziej zbliżone do wartości prawdziwych.

P: Czy zatem zdołam

osiągnąć idealną precyzję, jeżeli zastosuję urządzenie z odpowiednio drobną podziałką?

O

: Niestety nie. Korzystając z urządzeń o gęstszej podziałce skali, narażasz się na wystąpienie fluktuacji (błędów), na przykład pomiar wykonywany śrubą mikrometryczną będzie zaburzony w wyniku występowania nierówności powierzchni mierzonego obiektu, a na pomiary wykonywane dokładną wagą wpływają nawet niewielkie ruchy powierza.

P: Rozumiem.

Ale w przypadku pomiarów szybkości jazdy Adama rozrzut wynika chyba z czegoś innego, prawda?

O

: Nie zdołasz nigdy ustalić identycznych — z dokładnością co do jednego atomu — warunków początkowych, w jakich wykonujesz eksperyment. Wyniki będą zawsze jakoś rozrzucone.

P: To irytujące.

Obliczyłem średnią wartość szybkości dla trzech dystansów i za każdym razem otrzymałem inny wynik. Skąd mam wiedzieć, która z obliczonych wartości jest najlepsza?

O

: Zdecydowanie potrzebujesz lepszej metody obliczania średniej. I tym zajmiemy się w dalszej kolejności…

jesteś tutaj  157

Projektowanie eksperymentu

Narysuj wykres

Sprawdzanie wyników

Przeprowadzanie Nanoszenie eksperymentu wyników na wykres

Wykres jest najlepszą metodą wyciągania średniej ze WSZYSTKICH zebranych wyników Jak dotąd obliczałeś średnią tylko z jednego zestawu wyników, ale przecież średnie czasy przejazdu (a co za tym idzie średnie wartości szybkości) różnią się nieco na każdym z dystansów. Z takiego zbioru wyników można wyliczyć „jednowymiarową” wartość średnią. Podwojenie dystansu skutkuje podwojeniem czasu przejazdu.

Każdy zestaw krzyżyków odpowiada czasom zmierzonym dla jednego z dystansów.

Czas

0

Każda linia pionowa wyznacza wartość średnią dla trzech zmierzonych czasów.

Najlepszym sposobem wyznaczania wartości średniej ze wszystkich zebranych wyników jest narysowanie wykresu. Ponieważ spodziewasz się podwojenia wartości mierzonego czasu wraz z dwukrotnym zwiększeniem pokonywanego dystansu i potrojenia jej wraz z trzykrotnym zwiększeniem dystansu, możesz zakładać, że wyniki ułożą się wzdłuż linii prostej. Takie rozważania prowadzą do wyznaczenia „dwuwymiarowej” wartości średniej — dwuwymiarowej dlatego, że wykres powstaje na bazie wartości wyznaczanych wzdłuż dwóch osi, dzięki czemu znajdują się na nim jednocześnie wartości mierzone na różnych dystansach.

Droga Średnia każdego z trzech zestawów punktów wypada mniej więcej w tym samym miejscu. Nie jest to oczywiście dokładnie to samo miejsce, ponieważ rozważasz również WSZYSTKIE inne punkty.

Podwojenie odległości zwiększa dwukrotnie czas przejazdu.

Każdy zestaw krzyżyków przedstawia czasy zmierzone na jednym z dystansów.

Linia przechodząca możliwie blisko WSZYSTKICH krzyżyków wyznacza średnią WSZYSTKICH pomiarów.

Czas Wykres daje Ci również możliwość odczytania czasu potrzebnego do pokonania dowolnie wybranej odległości. Rysunek, jak to ma często miejsce w fizyce, jest wart tysiąca słów!

158

Rozdział 4.

Linia wykresu pozwala Ci odczytać przewidywany czas przejazdu na DOWOLNYM dystansie.

Równania i wykresy

Wykresy z bliska Zapewne nieraz już przyszło Ci rysować wykresy, potraktuj więc zebrane tutaj informacje jako krótkie przypomnienie. Przede wszystkim musisz wyraźnie zaznaczyć, jaką zależność przedstawiasz na wykresie! Oznacza to, że każda z osi musi być opisana, a wykres musi być właściwie zatytułowany. Każda z osi powinna też być wyskalowana we właściwych jednostkach. Wszystkie punkty pomiarowe zaznaczaj na wykresie znakiem krzyżyka, tak by jego środek wypadał dokładnie w miejscu zmierzonej wartości. Jeżeli spodziewasz się, że po dwukrotnym zwiększeniu jednego z parametrów drugi też zwiększy swoją wartość dwukrotnie, narysuj linię prostą najbardziej pasującą do wszystkich punktów umieszczonych na wykresie. W ten sposób wyznaczysz najdokładniejszą wartość średnią ze wszystkich zgromadzonych danych, a jednocześnie zyskasz możliwość odczytania z wykresu dodatkowych wartości metodą interpolacji (odczytywanie wartości znajdujących się pomiędzy punktami pomiarowymi) lub ekstrapolacji (odczytywanie wartości leżących poza zakresem wykonanych pomiarów). Umieszczony poniżej wykres nie przedstawia zależności zmierzonych podczas eksperymentu przeprowadzanego z Adamem — tym zajmiesz się sam na następnej stronie! Ten wykres przedstawia inną zależność, w której podwojenie jednej wartości powoduje dwukrotny wzrost drugiej. Jest to wykres zależności kosztu wykonania sosu do pizzy od jego objętości. Podaj nazwę parametru umieszczonego na osi pionowej.

ZATYTUŁUJ odpowiednio wykres.

Koszt wykonania sosu Opisz osi każdą z [zł] wykresu.

Wykres zależności kosztu Następnie podaj nazwę wykonania sosu do pizzy parametru umieszczonego na osi poziomej. od jego objętości Pamiętaj, żeby zaznaczyć, CO dokładnie przedstawia wykres!

5 Jeżeli podwojenie jednej wartości podwaja też drugą, możesz poprowadzić linię prostą przez znane Ci punkty.

4 3 2

Chcąc poznać koszt wykonania sosu w ilości większej, niż jakakolwiek zmierzona (na przykład 2000 cm3), przeprowadź operację EKSTRAPOLACJI (przedłuż prostą do odpowiedniej wartości).

1200 cm3 sosu kosztuje 3 zł.

Chcąc poznać koszt wykonania sosu w objętości, dla której nie przeprowadzałeś obliczeń (na przykład dla objętości 1000 cm3), posłuż się metodą INTERPOLACJI.

400 cm3 sosu kosztuje 1 zł.

1

Symbol cm3 oznacza centymetry sześcienne.

0

Wiesz, że linia wykresu musi przeciąć ten punkt, ponieważ brak sosu oznacza brak kosztów (0 zł).

0

400

800 1200

800 cm3 sosu kosztuje 2 zł.

1600

Objętość sosu [cm3]

Wyskaluj każdą z osi. Pamiętaj o podaniu JEDNOSTEK!

jesteś tutaj  159

Opracowanie wyników

Projektowanie eksperymentu

Sprawdzanie wyników

Przeprowadzanie Nanoszenie eksperymentu wyników na wykres

Oczekiwaliśmy przecież, że średnia szybkość jazdy Adama na różnych dystansach będzie taka sama, ale wyniki eksperymentu temu zaprzeczyły — obliczone średnie były za każdym razem inne. W jaki niby sposób ma nam pomóc narysowanie wykresu?

Umieszczanie wyników eksperymentu na wykresie pomaga obliczać średnią z dokładnością większą niż dotychczas.

Szybkość średnia [metr na sekundę]

4,22



4,27 4,17



Poprzednim razem obliczyłeś średnią wartość szybkości przemieszczania się oddzielnie dla każdej z trzech serii pomiarowych, ale przez to dostałeś trzy różne wyniki, a nie o to nam chodziło. Przeprowadzając wiele pomiarów na różnych dystansach, poprawiasz precyzję ostatecznych obliczeń, ponieważ zmniejszasz błędy statystyczne. Jeżeli jednak nie połączysz zebranych wyników w jedną odpowiedź, nie odnajdziesz końcowego rozwiązania problemu. Jeśli naniesiesz wyniki pomiarów na wykres i narysujesz łączącą je prostą najlepszego dopasowania, otrzymasz średnią ze wszystkich zebranych wartości, co jest znacznie lepszą metodą rozwiązywania tego typu zadań. Ponieważ rozwiązanie problemu jest graficzne, zdołasz zawczasu zobaczyć, czy któryś z punktów nie odstaje zbytnio od pozostałych.

Znajdowanie linii najlepszego dopasowania odpowiada wyciąganiu „świadomej średniej”. Wskazówki dotyczące rysowania wykresów ‹Gdy tworzysz wykres zależności dowolnego parametru

od czasu, zawsze umieszczaj czas na osi poziomej. ‹Sprawdź ekstrema zgromadzonych danych (wartości

największą i najmniejszą) i dobierz skalę wykresu tak, by wykorzystać jak największą powierzchnię papieru. ‹Pamiętaj o opisaniu osi jednostkami! ‹Zaznaczaj punkt małym krzyżykiem (nie punktem),

żeby punkty były widoczne również po połączeniu ich linią wykresu.

‹Zawsze łącz punkty odręcznie, starając się uzyskać jak

najgładszą linię, z wyjątkiem tych sytuacji, w których masz pewność, że linia prosta lepiej odda charakter zależności (na przykład gdy obiekt poruszał się ze stałą szybkością). ‹Rysowanie prostej przebiegającej w pobliżu punktów

pomiarowych jest niczym innym, jak wyciąganiem średniej bardziej dopracowaną, graficzną metodą. ‹Nadaj wykresowi jasny tytuł, który wyraźnie opisze

jego zawartość. Skorzystaj z tych rad, żeby rozwiązać następne ćwiczenie.

160

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Narysuj wykres przedstawiający czas przejazdu Adama na DOWOLNYM dystansie

Tak samo, jak miało to miejsce w przypadku zależności ceny wykonania sosu od jego ilości.

Adam doskonale utrzymuje stałą szybkość jazdy, co oznacza, że w jego przypadku podwojenie odległości do pokonania wiąże się z podwojeniem czasu przejazdu.

Mówiąc inaczej, punkty odpowiadające pokonaniu kolejnych odcinków drogi w określonych przedziałach czasu powinny układać się wzdłuż linii prostej (oczywiście z uwzględnieniem błędu pomiarowego). Gdy narysujesz już wykres, będziesz mógł odczytać z niego czas pokonania dowolnego dystansu.

Dystans [m]

Czas 1 [s]

Czas 2 [s]

Czas 3 [s]

a) Nanieś na obszar wykresu wszystkie punkty pomiarowe zebrane w tabeli (możesz pominąć punkty znacznie odstające od pozostałych).

100

23

24

24

b) Następnie narysuj prostą przebiegającą najbliżej wszystkich zebranych na wykresie punktów. Dzięki niej będziesz w stanie odczytać czas przebycia przez Adama dowolnej drogi.

250

58

80

59

500

120

121

119

Zaostrz ołówek

c) Jak sądzisz, ile czasu zajmie Adamowi pokonanie dystansu 400 m?

d) Jak obliczyłbyś czas jazdy do domu oddalonego o 1040 m od siedziby pizzerii?

Przebyta droga [m] 500

Nadaj wykresowi odpowiedni TYTUŁ, który dokładnie opisze zawartość rysunku.

400 300 200

Czas umieszczaj zawsze na osi poziomej.

100 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Czas [s]

jesteś tutaj 

161

Projektowanie eksperymentu

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Sprawdzanie wyników

Nanoszenie Przeprowadzanie wyników na wykres eksperymentu

Linia wykresu pozwala uzyskać najlepsze przybliżenie czasu pokonania DOWOLNEJ drogi Dysponujesz już wykresem, więc możesz odczytać z niego czas, w jakim Adam pokona DOWOLNĄ drogę. Jeżeli dystans będzie wykraczać poza maksymalną drogę, dla której wykonałeś pomiary, będziesz musiał przedłużyć linię wykresu i dokonać ekstrapolacji, dzięki czemu określisz przybliżony czas dostawy. Jeśli zatem dom znajduje się w odległości 1040 m od siedziby pizzerii (co znacznie przekracza maksymalny dystans, na jakim były wykonywane pomiary), dopiero przedłużenie linii wykresu pozwoli Ci odkryć, że dojazd na miejsce zajmie 250 sekund. Wykres doskonale spełnia swoje zadanie! Pozostaje rozwiązać ostatni problem — jak udostępnić wnioski płynące z wykresu na stronie pizzerii „Na złamanie karku”, żeby klienci mogli poznać czas dostawy? ile d) Chcesz wiedzieć, i czasu zajmie Adamoww? pokonanie 1040 metró

Przesuwaj się w tę stronę!

Zaostrz ołówek:

Jeżeli Adam będzie poruszał się ze stałą szybkością, punkty opisujące drogę przebytą w określonym czasie powinny układać się wzdłuż linii prostej.

Rozwiązanie

To linia najlepszego dopasowania dla punktów zebranych w tabeli.

Przebyta droga [m] 500

Nie przejmuj się, że linia nie przechodzi dokładnie przez wszystkie punkty. Postaraj się po prostu umieścić ją możliwie blisko większości z nich.

400 300

c) INTERPOLACJA pozwala ocenić, że Adam pokona drogę 400 metrów w czasie około 96 sekund.

200 To „odstający” punkt, odpowiadający pomiarowi, w czasie którego pies przebiegł Adamowi drogę.

100 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Czas [s]

Możesz też uwzględnić ten punkt, ponieważ Adam w chwili startu nie przebyło jeszcze żadnej drogi.

162

Rozdział 4.

Równania i wykresy Nie istnieją

głupie pytania

P

Czy pamiętałeś, by nadać wykresowi odpowiedni tytuł?

Wykres zależności drogi od czasu jazdy

Przesuwaj się w poziomie tak długo, aż natrafisz na linię wykresu odpowiadającą szybkości jazdy.

P

: Przypomnij mi, dlaczego zdecydowaliśmy się rysować wykres, zamiast wykonać pojedynczy pomiar?

: A dlaczego nie połączyliśmy wszystkich punktów jak należy, tak jak robią to arkusze kalkulacyjne? Dlaczego narysowaliśmy linię, która w ogóle nie przechodzi przez niektóre punkty?

O

: Staramy się zminimalizować błędy. Serie pomiarowe są mniej obciążone błędami niż pojedyncze pomiary.

O

P

: To dlaczego nie zmierzymy po prostu szybkości jazdy Adama kilkakrotnie na tym samym dystansie? Po co powtarzaliśmy eksperyment na różnych dystansach?

O

: Powodów jest kilka. Po pierwsze, musisz upewnić się, że Adam rzeczywiście utrzymuje stałą szybkość na różnych dystansach (choć oczywiście prosiłeś go, żeby postarał się tak jeździć). Możesz przeprowadzić EKSTRAPOLACJĘ, przedłużając dowolnie linię wykresu, żeby odczytywać czasy pokonania innych odległości.

A następnie zejdź w dół i odczytaj wartość na osi czasu.

: Wyznaczenie prostej najlepszego dopasowania jest najskuteczniejszą metodą wyciągnięcia średniej ze wszystkich Twoich pomiarów. Jeżeli Adam przez cały dzień utrzymuje jedno tempo jazdy, punkty pomiarowe powinny rozłożyć się wzdłuż prostej. Jest to próba odnalezienia linii, której wykreślenie z punktów jest niemożliwe ze względu na błędy występujące w pomiarach. Wykres pokazuje też ewentualne punkty odstające od pozostałych. Jeśli poprowadzisz prostą z dala od nich, ich wpływ na średnią będzie znacznie mniejszy.

Poza tym, mierząc jego czasy na różnych trasach, możesz wykonać wykres.

Przypuszczam, że wykres zależności drogi od czasu doręczyciela jeżdżącego z inną szybkością wyglądałby inaczej.

Niewykluczone, że będziesz musiał zaznaczyć tu kilka przedziałów więcej, niż oryginalnie naniosłeś na oś.

jesteś tutaj  163

Projektowanie eksperymentu

Widzisz kąt nachylenia?

Sprawdzanie wyników

Przeprowadzanie Nanoszenie eksperymentu wyników na wykres

Szybkość jazdy daje się odczytać z nachylenia  Zrozumiesz, jeśli prostej do osi wykresu ZOBACZYSZ! Wykres zależności drogi od czasu pozwala odczytywać pewne wartości, a jednocześnie pozwala określić jednym spojrzeniem szybkość jazdy. Im szybciej porusza się rowerzysta, tym większą drogę pokona w danej jednostce czasu. Gdy narysujesz wykres zależności drogi od czasu, zobaczysz, że nachylenie linii wykresu (czyli tak zwany gradient) jest większe dla większych szybkości jazdy. Im wyższa szybkość, tym bardziej stromo układa się prosta wykresu zależności drogi od czasu.

Stromizna wykresu jest określana w fizyce mianem NACHYLENIA. Nachylenie nazywa się też czasami gradientem — to jedno i to samo.

Oznacza to, że jeśli Adam podjąłby się ścigać z doręczycielami pizzy pracującymi dla konkurencji „Na złamanie karku” (którzy poruszaliby się z właściwymi sobie, stałymi szybkościami), mógłbyś określić zwycięzcę, patrząc jedynie na kąt nachylenia wykresu zależności drogi od czasu. Bardziej stroma linia informuje Cię, że ktoś pokonał większą drogę w tym ał samym czasie, a to oznacza, że musi poruszać się z większą szybkością.

Droga [m]

Szybciej

Wykresy zależności drogi od czasu dla różnych doręczycieli pizzy Szybciej

Bardziej stroma linia = większe nachylenie

Szybciej

Czas [s]

Im szybciej przemieszcza się rowerzysta, tym prosta wykresu zależności drogi od czasu będzie bardziej nachylona do osi czasu.

164

Rozdział 4.

Rower do ćwiczeń jest sprzętem zupełnie STACJONARNYM, więc prosta wykresu leży zupełnie PŁASKO na osi czasu.

Równania i wykresy Czy to oznacza, że nachylenia linii wykresów można porównywać tylko wtedy, gdy znajdą się w tym samym układzie osi?

Wolno Ci porównywać nachylenia wykresów na oko tylko wtedy, gdy wszystkie są narysowane w tej samej skali.

To podejście jakościowe, czyli jednoznaczne ze stwierdzeniem „ten jedzie szybciej” czy „ten jedzie wolniej”, bez podawania jakichkolwiek wartości.

Wszystkie wykresy umieszczone na poprzedniej stronie powstały w tej samej skali. Oznacza to, że możesz jednym spojrzeniem określić, kto porusza się szybciej, ponieważ jego wykres będzie najbardziej stromy. Gdy porównasz dwa wykresy — jeden kreślony w układzie, w którym jednemu centymetrowi na papierze odpowiada dwieście metrów w rzeczywistości, i drugi, w którym jednemu centymetrowi odpowiada dziesięć metrów — linie przedstawiające tę samą zależność będą wyglądały zupełnie inaczej.

Trzeba będzie powalczyć nieco z liczbami, żeby strona internetowa podawała klientom dokładny czas dostawy.

Jednak niezależnie od przyjętej skali doręczyciel pokonuje daną odległość zawsze w tym samym czasie, a to oznacza, że droga zaznaczana na wykresie zmieni się w danej jednostce czasu o tę samą liczbę metrów. Liczby pozostaną niezmienne w każdej przyjętej skali, zatem możesz obliczyć wartość nachylenia. To oznacza przeprowadzenie operacji na konkretnych liczbach (dzięki czemu klient znajdzie na stronie internetowej dokładny czas dostawy pizzy).

Czy obliczenie wartości nachylenia pomoże nam określić szybkość jazdy Adama? Nie możemy przecież żądać od klientów, żeby odczytywali ją z wykresu!

Jeżeli chcesz podać odpowiedź ilościową, musisz obliczyć nachylenie wykresu, posługując się odpowiednimi liczbami. Jeśli obliczysz nachylenie wykresu zależności drogi od czasu, otrzymasz równanie określające związek między czasem a drogą. A ponieważ szybkość jazdy Adama to przecież droga (czyli zmiana położenia) podzielona przez czas (zmianę czasu), będziesz mógł ją bez problemów obliczyć. To właśnie jest Ci potrzebne, żeby pomóc pizzerii „Na złamanie karku”!

Gdy wyznaczysz nachylenie wykresu, otrzymasz równanie przedstawiające zależność dwóch parametrów, którą wcześniej obrazowałeś na wykresie. jesteś tutaj  165

Projektowanie eksperymentu

Nachylenie jest ważne

Sprawdzanie wyników

Obliczanie nachylenia

Przeprowadzanie Nanoszenie eksperymentu wyników na wykres

Szybkość jazdy Adama to nachylenie wykresu zależności drogi od czasu Aby obliczyć nachylenie wykresu będącego linią prostą, wybierz dwa punkty i podziel zmianę wartości parametru w pionie przez zmianę wartości parametru w poziomie. Im bardziej stromy wykres, tym większe otrzymasz nachylenie. W omawianym przez nas przypadku na osi pionowej znajduje się przebyta droga, a na osi poziomej czas. Oznacza to, że nachylenie tego wykresu oblicza się, dzieląc zmianę położenia (przebytą drogę) przez zmianę czasu, a to pokrywa się dokładnie z równaniem opisującym szybkość jazdy Adama. Aby zaoszczędzić sobie nieco czasu, zamiast pisać „zmiana”, możesz posłużyć się symbolem „”. Zatem odtąd „zmiana położenia” będzie zapisywana jako  położenia.

Droga [m]

Wykres zależności drogi od czasu

Droga [m]

Wykres zależności drogi od czasu

w kierunku poziomym

Nachylenie =

2. Określ w kierunku pionowym i w kierunku poziomym.

położenia

w kierunku pionowym

1. Wybierz dwa punkty

Czas [s]

Czas [s]

czasu

w kierunku pionowym

Szybkość =

w kierunku poziomym

położenia czasu

Wskazówki dotyczące obliczania nachylenia ‹Aby obliczyć nachylenie wykresu do osi, musisz wybrać

dwa punkty leżące na linii wykresu. ‹Staraj się wybierać takie punkty, które leżą dokładnie

na punktach przecięcia siatki papieru milimetrowego, żeby w obliczeniach wykorzystywać liczby będące wartościami całkowitymi. ‹Wybierz punkty położone w dużej odległości od siebie

— dzięki temu obliczenia będą bardziej dokładne. ‹Nachylenie to zmiana (pomiędzy dwoma punktami)

pojawiająca się w kierunku pionowym podzielona przez zmianę (pomiędzy dwoma punktami) w kierunku poziomym.

166

Rozdział 4.

‹Pamiętaj, żeby przed podstawieniem wartości zapisać

równanie, z którego obliczysz nachylenie. ‹Zawsze odejmuj wartości leżące najbardziej po lewej

stronie od wartości leżących najbardziej po prawej stronie. ‹Po obliczeniu nachylenia sprawdź z wykresem, czy Twoja

odpowiedź jest dobrze sKROJona. Nachylenie o wartości 2 oznacza, że zwiększeniu wartości na osi poziomej o 1 odpowiada wzrost wartości na osi pionowej o 2. Czy odpowiedź liczbowa zgadza się z narysowanym wykresem? ‹Pamiętaj, żeby w odpowiedzi uwzględnić jednostki.

Skorzystaj z tych wskazówek, żeby narysować wykres zależności drogi od czasu dla jazdy Adama.

Równania i wykresy

Oblicz na podstawie wykresu średnią szybkość Adama Zaostrz ołówek a) Wybierz dwa punkty na prostej i oblicz jej nachylenie. To może mieć coś wspólnego z szybkością jazdy Adama…

b) Co możesz powiedzieć na temat jednostek wyniku?

Wykres zależności drogi przebytej przez Adama od czasu

Przebyta droga [m] 500 400 300 200 100 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Czas [s]

jesteś tutaj  167

Projektowanie eksperymentu

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Sprawdzanie wyników

Obliczanie nachylenia

Przeprowadzanie Nanoszenie eksperymentu wyników na wykres

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

a) Wybierz dwa punkty na prostej i oblicz jej nachylenie. To może mieć coś wspólnego z szybkością jazdy Adama…

b) Co możesz powiedzieć na temat jednostek wyniku?

Przebyta droga

Wykres zależności drogi przebytej przez Adama od czasu

[m] 500

Punkt 2 400 300 200

Punkt 1

100 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Czas [s]

a. Współrzędne punktu 1 to (12 s, 50 m). Współrzędne punktu 2 to (96 s, 400 m). Obliczam nachylenie prostej wykresu w pionie = w poziomie (Podstawiam wartości)

=

położenia czasu

Tak samo wyglądało równanie szybkości, które zapisałeś jakiś czas temu.

350 m = 4,17 metra na sekundę 400 m - 50 m = 96 s - 12 s 84 s

b. Jednostka nachylenia (metr na sekundę) jest identyczna z jednostką szybkości — jest to droga dzielona przez czas. Odpowiedź wydaje się być poprawna, ponieważ w równaniu pozwalającym obliczyć nachylenie prostej wykresu do osi pojawia się dzielenie odległości pokonanej przez rowerzystę przez czas, w jakim się poruszał. To oznacza, że nachyleniem prostej wykresu zależności drogi od czasu jest szybkość przemieszczania się.

168

Rozdział 4.

Nie przejmuj się, jeśli wybrałeś inne punkty i otrzymałeś nieco inny wynik końcowy.

Nachyleniem prostej wykresu zależności drogi od czasu jest szybkość.

Równania i wykresy Nie istnieją

głupie pytania

P: Wcześniej, na stronie 156, obliczałem już szybkość, P: Ale przecież musi istnieć ta prawdziwa prosta

z jaką przemieszcza się Adam, dla każdego zebranego zestawu danych. Wszystkie odpowiedzi były zbliżone do obliczonej teraz z wykresu wartości 4,17 metra na sekundę. Jaki jest sens rysowania wykresu, skoro uzyskałem z niego znaną już odpowiedź?

najlepszego dopasowania!

O

: Oczywiście, że istnieje. Żeby za każdym razem otrzymywać ten sam wynik, musiałbyś używać profesjonalnego programu do obliczeń statystycznych, ale przecież nie będziesz mieć go do dyspozycji w czasie klasówki.

O

: Głównym powodem nanoszenia punktów pomiarowych na wykres i dobierania prostej najlepszego dopasowania jest to, że to najdokładniejsza metoda wyciągania średniej z zebranych danych. Szybkość obliczana z wykresu jest znacznie bliższa prawdziwej wartości niż wynik pojedynczego pomiaru.

P

: No dobrze. A o co chodzi z tym obliczaniem szybkości jazdy i nachyleniem prostej wykresu do osi? Jak to możliwe, że to jedno i to samo?

O

: Średnia szybkość jazdy Adama obliczana jest poprzez podzielenie  położenia przez  czasu i dlatego wynik otrzymujesz na przykład w metrach na sekundę. Nachylenie prostej do osi wykresu oblicza się zawsze jako  w kierunku pionowym dzieloną przez  w kierunku poziomym.

Wykres pokazuje Ci, co działo się w czasie eksperymentu, a gdy coś zobaczysz, z pewnością to zrozumiesz.

P

: Moja odpowiedź różni się nieco od Twojej. Czy to w porządku?

Oznacza to, że szybkość jazdy Adama i nachylenie prostej wykresu zależności drogi od czasu (gdy przebyte odległości znajdą się na osi pionowej, a czas na osi poziomej) to jedna i ta sama wartość.

O: Najprawdopodobniej narysowałeś nieco inną prostą „najlepszego dopasowania”. Wszystko jest w porządku.

Informatycy będą potrzebowali wzoru, z którego obliczą czas jazdy Adama Na podstawie danych zebranych w czasie doświadczenia narysowałeś wykres i obliczyłeś nachylenie jego prostej do osi układu, co jest tożsame z wyznaczeniem szybkości jazdy Adama. Świetnie! Pamiętaj jednak, że informatycy potrzebują wzoru, w którym wykorzystają szybkość jazdy i odległość od domu klienta do obliczenia czasu przejazdu. Poprosili Cię o zapisanie odpowiedniego równania, do którego podstawią szybkość i drogę, by w wyniku otrzymać czas. Znasz już równanie wiążące szybkość przemieszczania się z pokonywaną drogą i czasem, ponieważ opracowałeś je na podstawie znanej Ci jednostki szybkości: metry

szybkość =

położenia czasu

na

sekundę

Wzór ten pozwala wyznaczyć średnią szybkość pokonywania odległości dzielącej dwa punkty. Po lewej stronie równania znajduje się zapis „szybkość =”, co pozwala Ci obliczyć tę wartość, jeżeli dysponujesz wiedzą na temat czasu przejazdu i pokonywanej odległości. Informatycy potrzebują natomiast równania zaczynającego się od wyrażenia „ czasu =”, dzięki czemu mogliby obliczyć czas przejazdu do klienta, dysponując mapą i wiedzą na temat szybkości jazdy Adama. Gdzie znaleźć równanie potrzebne informatykom?

jesteś tutaj  169

Projektowanie eksperymentu

Przekształcanie równań

Sprawdzanie wyników

Obliczanie nachylenia

Przeprowadzanie Nanoszenie Przekształcanie eksperymentu wyników na wykres równań

Przekształć równanie do postaci „ czasu = coś” Gdy masz do czynienia z równaniem, w którym poszukiwany przez Ciebie czynnik nie znajduje się po lewej stronie znaku równości, musisz przekształcić je do żądanej postaci. Musisz pamiętać przy tym, by wszystkie działania wykonywać jednocześnie na obydwu stronach równania, w przeciwnym bowiem razie strony te przestaną być sobie równe (czy też przestaną się równoważyć). Takie rozwiązanie jest wyjątkowo wygodne, ponieważ opanowując umiejętność przekształcania znanych Ci równań, unikasz potrzeby zapamiętywania ogromnej liczby gotowych wzorów. Wystarczy przekształcić istniejący już wzór, by otrzymać równanie opisujące poszukiwany parametr. Oto metoda przekształcania znanego Ci równania na szybkość do postaci „ czasu = coś”.

1

szybkość

=

położenia czasu

Znakiem zapisujemy w skrócie słowo „zmiana”. To grecka litera zwana deltą.

Zależności między czasem, szybkością i drogą opisuje JEDNO, znane Ci JUŻ (wynikające z jednostki szybkości), równanie.

W równaniu w tej postaci  czasu znajduje się w mianowniku wyrażenia po prawej stronie (czynniki po tej stronie są dzielone przez wspomniane wyrażenie). Tobie potrzebne jest wyrażenie postaci „ czasu = coś”, musisz więc pomnożyć obydwie strony równania przez  czasu. W ten sposób usuniesz je z mianownika. Jeśli dodajesz coś lub odejmujesz, to po każdej ze stron równania musi pojawić się ten sam dodawany lub odejmowany nowy wyraz.

2

czasu × szybkość

=

położenia

Czas znajduje się już we właściwym miejscu, ale w tej chwili jest mnożony przez szybkość. Musisz teraz podzielić obydwie strony równania przez szybkość, żeby uporządkować zapis.

3

czasu

=

położenia szybkość

Oto równanie postaci „ czasu = coś”, które można wykorzystać na stronie pizzerii „Na złamanie karku”. Gotowe!

170

Rozdział 4.

Jeżeli mnożysz lub dzielisz, działanie to musisz wykonać oddzielnie dla każdego z WYRAZÓW obydwu stron równania.

Przekształcając równanie, pilnuj, by zawsze wykonywać te same działania na obydwu stronach równania. Tylko wtedy jego strony pozostaną w RÓWNOWADZE.

Hola, hola! Powtórz to wszystko jeszcze raz, tylko wolniej!

Równania i wykresy

1

szybkość

=

położenia czasu

W równaniu w tej postaci  czasu znajduje się w mianowniku wyrażenia po prawej stronie (czynniki po tej stronie są dzielone przez wspomniane wyrażenie). Tobie potrzebne jest wyrażenie postaci „ czasu = coś”, musisz więc pomnożyć obydwie strony równania p e  czasu. przez c asu. W ten te sposób usu usuniesz es je z mianownika. a ow a. Pomnóż obydwie strony równania przez czasu.

czasu × szybkość

=

położenia × czasu czasu

czasu × szybkość

=

położenia × czasu czasu

2

Te wyrażenia „ czasu” skracają się.

czasu × szybkość

=

położenia

Czas znajduje się już we właściwym miejscu, ale w tej chwili jest mnożony przez szybkość. Musisz teraz podzielić obydwie strony równania przez szybkość, żeby uporządkować zapis.

Gdy skończysz przekształcać równanie, przedstaw wyniki swojej pracy…

Te szybkości się skracają.

czasu × szybkość szybkość

=

położenia szybkość

czasu × szybkość szybkość

=

położenia szybkość

czasu

=

położenia szybkość

Podziel obie strony przez szybkość.

3

Oto równanie postaci „ czasu = coś”, które można wykorzystać na stronie pizzerii „Na złamanie karku”.

jesteś tutaj 

171

Matematyka liczy się w fizyce Przecież rozmawiamy o fizyce, a nie o matematyce, prawda? Jakoś wcale nie ciągnie mnie do całego tego przekształcania równań. Czy nie mogłabym po prostu zapamiętać trzech wzorów — na czas, na szybkość i na drogę — i nie zawracać sobie głowy żadnymi przekształceniami?

Matematyka jest podstawowym narzędziem pracy fizyka. Pozwala przekazywać innym swoje pomysły i przewidywać skutki zachodzenia procesów fizycznych. Fizyka to w dużej mierze rozumienie zasad rządzących światem materialnym, więc do pewnego stopnia masz rację — możesz całkiem nieźle dawać sobie radę w gimnazjum, jeżeli zrozumiesz niektóre z praw fizycznych i nauczysz się na pamięć kilku wzorów. Gdy jednak pójdziesz już do liceum, okaże się, że liczba wzorów i łączących je powiązań jest zbyt duża, by opanować je wszystkie na pamięć. A musisz pamiętać, że poza wzorami musiałbyś znać również wszystkie ich przekształcenia. Od Ciebie wymaga się korzystania z zasad fizyki i czynienia konkretnych prognoz — na przykład określenia czasu potrzebnego Adamowi na przejechanie określonej odległości. Do tego właśnie niezbędna jest matematyka. Cały ten rozdział poświęciłam zagadnieniom związanym z rysowaniem wykresów i tworzeniem równań, które są uniwersalnym językiem fizyki. Matematyka, jak każdy nowo poznawany język, może z początku sprawiać nieco trudności, ale odpowiednie ćwiczenia sprawią, że szybko nauczysz się zapisywać w ten sposób wszystkie prawa fizyczne. Powiem nawet więcej — z czasem przekonasz się, że matematyka pozwala zrozumieć i wyobrażać sobie skomplikowane zasady i idee fizyczne. W szkole średniej przekształcanie równań staje się nieodzownym elementem każdej lekcji fizyki. Nagroda za zrozumienie zasad działań na wzorach okazuje się być niebagatelna — wystarczy, że zapamiętasz tylko kilka podstawowych równań, które później przekształcisz do odpowiedniej postaci. Myślenie jak fizyk nie polega na zapamiętywaniu. Uszy do góry — będzie lżej! Obiecuję!

Matematyka pełni w fizyce rolę narzędzia niezbędnego do czynienia prognoz i przekazywania treści zasad fizycznych. 172

Rozdział 4.

Projektowanie eksperymentu

Sprawdzanie wyników

Obliczanie nachylenia

Wykorzystanie równania

Równania i wykresy

Przeprowadzanie Nanoszenie Przekształcanie eksperymentu wyników na wykres równań

Skorzystaj z przekształconej formy równania, by określić czas dojazdu do domu klienta Dysponujesz już równaniem, które pozwoli Ci przewidzieć czas przejazdu Adama do domów klientów pizzerii „Na złamanie karku”! Zacząłeś od zaprojektowania i przeprowadzenia eksperymentu. Po sprawdzeniu rozrzutu jego wyników zdecydowałeś się narysować wykres i odnaleźć prostą najlepszego dopasowania. Następnie obliczyłeś jej nachylenie do osi układu, które okazało się jednocześnie być szybkością jazdy na różnych dystansach. Uff! Teraz tak przekształciłeś równanie definiujące szybkość, by móc obliczyć z niego czas przejazdu z określoną szybkością w dane miejsce: czasu =

położenia szybkość

Możesz teraz zarządzić próbę generalną, polegającą na dojeździe pod kilka losowo wybranych adresów. Taki test pozwoli wychwycić wszelkie ewentualne problemy jeszcze przed uruchomieniem strony.

Wiąże się to z podstawieniem do wzoru kilku wartości liczbowych. Chcemy sprawdzić, czy wyniki będą wyglądały wiarygodnie.

„Próba generalna” to ważna część doświadczenia, pozwalająca sprawdzić poprawność uzyskanej odpowiedzi.

Zaostrz ołówek Korzystając z wyznaczonej wcześniej wartości szybkości, z jaką porusza się Adam (4,17 metra na sekundę), oraz z przekształconego równania, oblicz czasy dostawy pizzy dla wybranych klientów „Na złamanie karku”.

Adres klienta

Droga [m]

Przyjemna 57

1000

Popiołowa 71

3500

Akacjowa 29

5100

Obliczenia

Czas [s]

jesteś tutaj  173

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Korzystając z wyznaczonej wcześniej wartości szybkości, z jaką porusza się Adam (4,17 metra na sekundę), oraz z przekształconego równania, oblicz czasy dostawy pizzy dla wybranych klientów „Na złamanie karku”.

Adres klienta

Droga [m]

Obliczenia

Czas [s]

Przyjemna 57

1000

czasu

=

położenia szybkość

=

1000 4,17

240

Popiołowa 71

3500

czasu

=

położenia szybkość

=

3500 4,17

840

Akacjowa 29

5100

czasu

=

położenia szybkość

=

5100 4,17

1220

Przeprowadzasz próbę generalną działania strony…

… ale pojawia się problem. Programiści zaprojektowali stronę tak, by czas dostawy pojawiał się na niej w minutach. W przeprowadzonych obliczeniach posługiwałeś się sekundami i nie przeprowadziłeś nigdzie zamiany jednostek.

Zapisanie poprawnej odpowiedzi ze złą JEDNOSTKĄ to często popełniany błąd, którego łatwo uniknąć. 174

Rozdział 4.

Dostawa za cztery godziny?! Niemożliwe! Jeżdżę znacznie szybciej.

Projektowanie eksperymentu

Sprawdzanie wyników

Obliczanie nachylenia

Wykorzystanie równania

Równania i wykresy

Przeprowadzanie Nanoszenie Przekształcanie SPRAWDZENIE eksperymentu wyników na wykres równań RÓWNANIA!

Czyli pozostaje przeliczyć jednostki na właściwe i gotowe… prawda? Nie tak szybko! Zawsze gdy będziesz przygotowywać się do uruchomienia ważnej strony WWW (czy chociaż oddawać klasówkę w szkole), spójrz na wyniki z dystansu 20 000 km i zadaj sobie pytanie: Czy to jest dobrze sKROJone?

Nie możesz powiedzieć, że skończyłeś, dopóki nie odpowiesz sobie na pytanie „Czy to jest dobrze sKROJone?”.

Zaostrz ołówek Zamień jednostki czasu dostawy pizzy do klienta z sekund na minuty i sprawdź, czy odpowiedź jest dobrze sKROJona.

Adres klienta

Czas [s]

Przyjemna 57

240

K R O J

Obliczenia

Czas [min]

KONTEKST — Czy to, co chciałeś zrobić, było faktycznie tym, co rzeczywiście zrobiłeś, żeby uzyskać odpowiedź?

ROZMIAR — Czy odpowiedzi są tego rzędu wielkości, jakiego się spodziewałeś?

OBLICZENIA — Czy z punktu widzenia zasad matematyki wszystko jest w porządku?

JEDNOSTKI — Czy wszystkie wartości są opisane jednostkami i czy są to te jednostki, o które Cię proszono?

jesteś tutaj  175

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Obliczanie nachylenia

Wykorzystanie równania

Zamień jednostki czasu dostawy pizzy do klienta z sekund na minuty i sprawdź, czy odpowiedź jest dobrze sKROJona.

Adres klienta

Czas [s]

Przyjemna 57

240

K R O J

Sprawdzanie wyników

Przeprowadzanie Nanoszenie Przekształcanie SPRAWDZENIE eksperymentu wyników na wykres równań RÓWNANIA!

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Projektowanie eksperymentu

Obliczenia

240 s = 240 s ×

Czas [min] 1 min 60 s

4

KONTEKST — Czy to, co chciałeś zrobić, było faktycznie tym, co rzeczywiście zrobiłeś, żeby uzyskać odpowiedź? Poza użyciem złych jednostek i pominięciem czasu gotowania wszystko inne wydaje się być w porządku.

ROZMIAR — Czy odpowiedzi są tego rzędu wielkości, jakiego się spodziewałeś? Cztery minuty to bardzo prawdopodobny czas dostawy pizzy, czego nie można powiedzieć o wyniku 240 minut!

OBLICZENIA — Czy z punktu widzenia zasad matematyki wszystko jest w porządku? Pierwsze równanie, jakie zapisałem, to tcałkowity = tjazdy + tgotowania, gdzie tjazdy jest czasem przejazdu do klienta, a tgotowania jest czasem przyrządzenia pizzy. O NIE, ZAPOMNIAŁEM UWZGLĘDNIĆ CZAS GOTOWANIA!!

JEDNOSTKI — Czy wszystkie wartości są opisane jednostkami i czy są to te jednostki, o które Cię proszono? Chcieli mieć wynik w minutach, to mają go w minutach. (Teraz już tak!).

Poprawne rozwiązanie części problemu i podanie odpowiedzi „cząstkowej” jako ostatecznej jest kolejnym często popełnianym (i bardzo łatwym do uniknięcia) błędem!

176

Rozdział 4.

Projektowanie eksperymentu

Sprawdzanie wyników

Obliczanie nachylenia

Wykorzystanie równania

Wykorzystanie równania

Równania i wykresy

Przeprowadzanie Nanoszenie Przekształcanie SPRAWDZENIE eksperymentu wyników na wykres równań RÓWNANIA!

Uwzględnij w odpowiedzi czas przygotowania pizzy Przygotowanie pizzy na cienkim cieście zajmuje mi 10 minut. Na pizzę na grubym cieście trzeba czekać 13 minut. Wszystkie pizze przyrządzam jednocześnie.

W pierwszym równaniu pojawiały się dwa czasy — dojazdu i gotowania. Świetnie poradziłeś sobie z rozwiązaniem trudniejszej części problemu — obliczeniem czasu jazdy — ale w ostatecznej odpowiedzi zapomniałeś uwzględnić czasu gotowania.

Łączny czas dostawy

t

To łączny czas dostawy, który powinien pojawiać się na stronie internetowej.

Czas jazdy

Czas gotowania

=t +t

całkowity

jazdy

gotowania Z mapy internetowej.

czasu

=

położenia szybkość

4,17 metra na sekundę.

Zaostrz ołówek Oblicz czas przygotowania i dostawy każdego zamówienia.

Adres klienta

Droga [m]

Zamówienie

Czas jazdy [s]

Czas jazdy [min]

Przyjemna 57

1000

1 na cienkim cieście

240

4

Popiołowa 71

3500

2 na grubym cieście

840

Akacjowa 29

5100

1 na grubym cieście

1220

Czas gotowania oblicz na podstawie danych otrzymanych od kucharza.

Czas gotowania [min]

Czas dostawy [min]

jesteś tutaj  177

Projektowanie eksperymentu

Inne rozwiązanie

Sprawdzanie wyników

Obliczanie nachylenia

Wykorzystanie równania

Wykorzystanie równania

Przeprowadzanie Nanoszenie Przekształcanie SPRAWDZENIE eksperymentu wyników na wykres równań RÓWNANIA!

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oblicz czas przygotowania i dostawy każdego zamówienia.

Adres klienta

Droga [m]

Zamówienie

Czas jazdy [s]

Czas jazdy [min]

Czas gotowania [min]

Czas dostawy [min]

Przyjemna 57

1000

1 na cienkim cieście

240

4

10

14

Popiołowa 71

3500

2 na grubym cieście

840

14

13

27

Akacjowa 29

5100

1 na grubym cieście

1220

20 min 20 s

13

33 min 20 s

Wynik obliczeń to 20,333333… minuty. Ułamek w wyniku oznacza trzecią część minuty, czyli 20 sekund (a nie 33 sekundy). Nie zapominaj, że minuta mieści w sobie 60 sekund (a nie 100) i że w związku z tym ułamkowe wyniki podawane w minutach powinieneś przeliczyć na sekundy.

Strona „Na złamanie karku” zostaje uruchomiona, klienci są zachwyceni! Udało się! Pizzeria „Na złamanie karku” ma śliczną, nową stronę internetową, a to wszystko dzięki Twoim eksperymentom, wykresom, równaniom i przeliczaniu jednostek. Każdy, kto złoży u nich zamówienie, jest dokładnie informowany o czasie dostawy, więc może bez kłopotu zaplanować sobie czas. Klienci są wniebowzięci i już zachwalają ten lokal znajomym. Adam też jest zadowolony. Dzięki większym wpływom z napiwków zdołał już uskładać prawie całą kwotę niezbędną do zakupu nowego ajPoda, na którego ma już od dawna chrapkę.

178

Rozdział 4.

Ta nowa strona jest świetna. Mogę dokładnie zaplanować sobie wieczór, bo wiem, kiedy pojawi się zamówione jedzenie.

Równania i wykresy

Kilka tygodni później właściciel „Na złamanie karku” znów do Ciebie dzwoni Większość zamówionych dań jest dostarczana na czas… ale niektóre dostawy są spóźnione. Klienci zaczynają irytować się postawą pizzerii. Klienci uciekający do konkurencji z powodu błędu na stronie internetowej to naprawdę najczarniejszy scenariusz. Właściciel pizzerii zaproponował Ci kolejne zlecenie. Tym razem masz odkryć, w którym miejscu pojawia się błąd.

Dotąd sprawdzali się świetnie, ale dziś dostarczyli moją pizzę z opóźnieniem. Musiałam otworzyć drzwi dostawcy i przegapiłam przez to zakończenie ulubionego programu. Jeśli to się nie zmieni, będę musiała znaleźć sobie nową pizzerię.

ZA PÓŹNO!

Na czas.

Na czas.

Wskazówka: BĄDŹ… Adamem. Co mogło się zmienić? Poniżej znajdziesz trochę miejsca, w którym możesz wypisać potencjalne odpowiedzi, a potem zapytamy Adama.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Dlaczego tylko niektóre dostawy spóźniają się, podczas gdy pozostałe docierają do ludzi o czasie?

jesteś tutaj  179

Przygoda Adama

Utknąłem kilka razy na nowych światłach. W tym mieście wszystkie światła zatrzymują kierowcę na dwie minuty. Przez pozostały czas poruszałem się ze zwykłą szybkością.

Światła na osiemsetnym metrze trasy.

Światła na trzechsetnym metrze trasy.

Adam utknął na każdym z tych skrzyżowań na dwie minuty. Zastanów się, jak będzie to wyglądało na wykresie.

180

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Na wykresie bez problemów zobaczysz różnicę, którą wprowadziły światła Na wykresie zobaczysz wpływ świateł na przebieg podróży Adama i być może dzięki temu będziesz w stanie opracować odpowiednie rozwiązanie problemu.

Zaostrz ołówek Linia widoczna w tej chwili na wykresie odpowiada przewidywanemu tokowi podróży Adama — przemieszczaniu się ze stałą szybkością bez żadnych postojów. W założeniu powinien on osiągnąć cel podróży w cztery minuty. Narysuj wykres odpowiadający stanowi faktycznemu (temu, co Adam opisał na stronie 180)) i porównaj obydwie linie. Odpowiedz sobie na pytanie, jaką różnicę wprowadzają światła.

Wykres zależności drogi od czasu dla opóźnionych dostaw

Przebyta droga [m] 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Czas [min]

jesteś tutaj 

181

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Linia widoczna w tej chwili na wykresie odpowiada przewidywanemu tokowi podróży Adama — przemieszczaniu się ze stałą szybkością bez żadnych postojów. W założeniu powinien on osiągnąć cel podróży w cztery minuty. Narysuj wykres odpowiadający stanowi faktycznemu (temu, co Adam opisał na stronie 180 i porównaj obydwie linie. Odpowiedz sobie na pytanie, jaką różnicę wprowadzają światła.

Przebyta droga

Wykres zależności drogi od czasu dla opóźnionych dostaw

[m] 1000 Gdy Adam zatrzymuje się, jego szybkość wynosi zero. Nachylenie wykresu do osi układu też wynosi wtedy zero.

900 800 700

Gdy Adam nie stoi na światłach, NACHYLENIA prostych obydwu wykresów są DOKŁADNIE TAKIE SAME, ponieważ Adam zawsze jeździ z taką samą szybkością.

600 500 400 300

Skoro Adam przez dwie minuty stoi na światłach, droga, którą pokonuje, nie zmienia się przez ten czas.

200 100 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Czas [min]

Łatwo odnajduje się na wykresie jego fragmenty odpowiadające okresom bezruchu, ponieważ nachylenie wykresu do osi jest wtedy zerowe (wykres ma kształt linii poziomej). 182

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Światła drogowe zmieniają średnią szybkość jazdy Szybkość średnia to szybkość, która pozwala pokonać całkowitą żądaną drogę w tym samym czasie, w którym przebywało się ją ze zmienną szybkością. Oznacza to, że średnia szybkość jazdy Adama będzie nachyleniem prostej przebiegającej pomiędzy punktem oznaczającym początek jego podróży a punktem jej końca, poprowadzonej na wykresie zależności drogi od czasu.

Zaostrz ołówek a) Narysuj linię średniej szybkości, z jaką przemieszcza się Adam. Miejsce na rozwiązanie części b. b) Oblicz szybkość średnią w metrach na sekundę (wykonaj obliczenia w wolnym obszarze tej strony). c) Czy Adam jeździ kiedykolwiek z tak wyznaczoną szybkością średnią?

Wykres zależności drogi od czasu dla opóźnionych dostaw

Przebyta droga [m] 1000 900 800 700 600 500 400

Miejsce na rozwiązanie części c.

300 200 100 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Czas [min]

jesteś tutaj  183

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

a) Narysuj linię średniej szybkości, z jaką przemieszcza się Adam. Miejsce na rozwiązanie części b. b) Oblicz szybkość średnią w metrach na sekundę (wykonaj obliczenia w wolnym obszarze tej strony). Określam punkt początku c) Czy Adam jeździ kiedykolwiek z tak wyznaczoną szybkością średnią?

Wykres zależności drogi od czasu dla opóźnionych dostaw

Przebyta droga

podróży (punkt 1) i jej końca (punkt 2). Ich współrzędne to (0 min, 0 m) i (8 min, 1000 m).

[m]

Punkt 2

1000

szybkość =

900

położenia czasu

1000 m 8 min = 125 m/min

=

800

Rozwiązanie w metrach na sekundę:

700 600

125

500

m min

m x 1 min mi in min 60 s = 2,08 metra na sekundę

= 125

400

Miejsce na rozwiązanie części c.

300 200 100 0 0

Punkt 1

1

2

3

4

5

6

7

8

Czas [min]

Adam nigdy nie porusza się z tą szybkością przez czas mający jakiekolwiek znaczenie (choć na pewno porusza się z nią przez chwilę, zwalniając i przyspieszając na światłach).

Obliczając wartość średniej szybkości, musisz uwzględnić całkowitą przebytą drogę i całkowitą zmianę czasu. 184

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Do maksymalnego czasu dostawy dodaj dwie minuty przypadające na każde światła drogowe… A zatem dotarliście — Ty i Adam — do kresu swojej podróży. Wiesz już, że spowolniły go światła drogowe. Zdołałeś też rozwiązać ten problem i teraz, dzięki zastosowaniu odpowiedniej mapy internetowej, strona pizzerii podaje klientowi maksymalny czas realizacji zamówienia uwzględniający liczbę mijanych po drodze świateł. Jeśli w czasie podróży Adam napotka czerwone światła, nie stanie się nic złego, ponieważ uwzględniłeś możliwość opóźnienia. Jeżeli światła będą zielone, Adam będzie jechał w swoim zwykłym tempie, a pizza zostanie dostarczona wcześniej, niż zapowiedziano na stronie, więc klient będzie zadowolony.

… klienci będą zadowoleni…

Próba uwzględnienia w jakiś sposób szybkości średniej jest na tym etapie zbyt skomplikowana. To rozwiązanie jest znacznie prostsze…

W fizyce prostsze jest zazwyczaj jaśniejsze, a co za tym idzie, lepsze!

Świetna pizza i do tego o czasie!

… a Ty dostaniesz zaproszenie na przyjęcie do pizzerii Do obliczonych wcześniej 14 minut dodaj dwie minuty przypadające na każde z dwóch świateł.

jesteś tutaj  185

Lepiej zrozumieć

Ten rozdział utwierdził mnie jedynie w tym, co już wiedziałam. Fizyka polega wyłącznie na zapamiętaniu odpowiednich równań. Potem trzeba tylko mieć nadzieję, że przypomnisz sobie to właściwe w odpowiednim czasie.

Jeżeli zrozumiesz fizykę, nie będziesz musiał uczyć się równań na pamięć! Nauka fizyki nie polega na zapamiętywaniu równań. Fizyka to przede wszystkim poznawanie otaczającego nas świata. Próba opisania zjawisk z punktu widzenia fizyka wiąże się zazwyczaj z wykonywaniem pomiarów, rysowaniem wykresów i zapisywaniem równań, które przedstawią sposób zmiany jednego czynnika (na przykład dostawy pizzy do domu) po wystąpieniu zmiany innego czynnika (na przykład odległości). Owszem, żeby dać sobie radę w świecie fizyki, będziesz musiał opanować kilka równań, ale jest ich naprawdę niewiele. Większość z tych, które znajdziesz w tej książce, wynika z ogólnych zasad fizyki, których i tak się uczysz. Pamiętaj jedynie, by zawsze starać się ustawić w centrum problemu i skorzystać z posiadanej już wiedzy! Zaufaj swojej intuicji, sprawdzaj na wykresach, czy zmiany jednego parametru spowodują wzrost czy zmniejszenie innego.

W fizyce zapamiętywanie to przeciwieństwo zrozumienia!

Zrozumiesz, gdy zobaczysz!

186

Rozdział 4.

Myśl jak fizyk!

Równania i wykresy

Czy dobrze zgaduję, że istnieje przynajmniej kilka równań dających się zapisać na zdrowy rozum? Takich, których nie trzeba zapamiętywać, a jedynie wystarczy wiedzieć, skąd się wzięły.

Przecież znałeś wcześniej obydwa równania, które pojawiły się w tym rozdziale! Pierwsze z nich to:

metry

szybkość =

położenia czasu

na

sekundę

Ale to już przecież wiedziałeś! Za każdym razem, gdy mówisz, że coś porusza się z szybkością 70 kilometrów na godzinę, podajesz jednostkę, która podpowiada Ci, jak od ręki zapisać równanie na szybkość! A potem możesz przekształcić je do dowolnie wybranej postaci.

Drugie równanie to:

%&'  =

"# "#  "# "#

w kierunku poziomym

Duże nachylenie: w kierunku pionowym jest w kierunku większa niż poziomym.

w kierunku pionowym

w kierunku pionowym

Ale to też wiesz już od dawna! Strome wzgórza mają duże nachylenie. W tym przypadku intuicja podpowie Ci, że jeśli chcesz uzyskać dużą wartość ułamka,  w pionie musi znaleźć się na górze.

Strome wzgórze ma duże nachylenie. Małe nachylenie: w kierunku pionowym jest mniejsza niż w kierunku poziomym.

w kierunku poziomym

jesteś tutaj  187

Wykres kontra równanie

Pogawędki przy kominku

Rozmowa wieczoru: Wykres i Równanie debatują dziś nad tym, kto najlepiej przedstawia problem.

Wykres

Równanie

Wiesz, co mówią — „Obraz wart jest tysiąca słów”. Słyszałeś też, że „zobaczysz, a zrozumiesz”. I dlatego zastanawiam się, co ty w ogóle robisz w moim rozdziale, drogie Równanie? To nietypowa forma zaproszenia mnie do rozmowy, biorąc pod uwagę, że jako pierwsze pojawiam się w tytule rozdziału — przypomnę ci, nazywa się on „Równania i wykresy”. Widać korektor przegapił ten drobny szczegół! Przecież ten rozdział poświęcono przede wszystkim zagadnieniu obrazowania problemu. Co zatem tutaj robisz? Jestem po prostu inną metodą wizualizacji. Wystarczy na mnie spojrzeć, żeby od razu zobaczyć, że dwie wartości są sobie równe. Ty tego nie potrafisz. Dzięki mnie można zobaczyć zależności między parametrami, ocenić, jak jeden z nich zareaguje na zmiany drugiego. Tyle i ja potrafię. Wystarczy, że zastanowisz się przez chwilę, co stanie się z wyrazem po jednej stronie znaku równości, gdy zmieni się wartość zmiennej stojącej po jego drugiej stronie. Co? Zmienne, których znaczenie trzeba sprawdzać, zanim w ogóle da się cokolwiek o nich powiedzieć? To tylko symbole i litery, a na mnie widać wszystko na pierwszy rzut oka! Nie zgadzam się. Tylko ktoś, kto jest obeznany z odczytywaniem wykresów, będzie potrafił wysnuć na twojej podstawie jakiekolwiek wnioski! Nawet największe dziwactwo może stać się przyjazne, jeśli często się go używa. Gdy przyzwyczaisz się już do mojego skróconego sposobu zapisywania danych, zdołasz zapisać na niewielkiej przestrzeni ogromną ilość danych. Oszczędzisz przy tym masę czasu.

188

Rozdział 4.

Równania i wykresy

Wykres

Równanie

Sugerujesz, że łatwo zapamiętuje się zupełnie przypadkowe litery? One wcale nie są przypadkowe. Fizycy zawsze stosują te same oznaczenia w równaniach, więc gdy opanujesz już język, okaże się, że jest on całkiem prosty. Ale czy potrafisz opisać nachylenie? Czy zdołasz przedstawić wyniki eksperymentu? Czy ludzie ozdabiają cię uroczymi symbolami, na przykład takim ? Czy cię kochają? Czy nigdy nie przyszło ci do głowy, że wykres i równanie to w rzeczywistości różne sposoby przedstawienia tej samej wiedzy? Co proszę? Przyjrzyj się wykresowi zależności drogi od czasu, który pojawił się wcześniej w tym rozdziale. To rysunkowy sposób przedstawienia równania  położenia = szybkość ×  czasu (z tym że równanie nie jest tak rozwlekłe!). Nie sądzę! Ja mam nachylenie, a ty… no, ty nie masz w sobie nic ciekawego. Wręcz przeciwnie. To równanie mówi wszystko, co trzeba wiedzieć o nachyleniu prostej wykresu. Przecież nachylenie oblicza się właśnie równaniem, a gdybyś narysował wykres zależności drogi od czasu, musiałbyś skorzystać z równania, które właśnie przytoczyłem. Nieprawda! Nachylenie to  w kierunku pionowym podzielona przez  w kierunku poziomym, a w twoim równaniu nie ma znaku dzielenia! Przecież równania można przekształcać tak, by uzyskać za ich pomocą potrzebną w danej chwili zależność (oczywiście, jeśli odpowiednie parametry znajdowały się w równaniu lub były z nim związane). No cóż, chyba jesteś nieco bardziej, ale naprawdę niewiele więcej, uniwersalne. Ale na mnie i tak wszystko lepiej widać! Nie przeczę. Po prostu staram się pokazać, że nie jestem zupełnie bezużyteczne!

jesteś tutaj  189

Poradnia pytań — czy zrobiłeś to, o co Cię prosili? Niektóre pytania stosują jedną jednostkę (na przykład minuty), ale żądają odpowiedzi w innej jednostce (na przykład w sekundach). Z kolei inne pytania będą wymagały od Ciebie wykonania kroków pośrednich, zanim przejdziesz do udzielenia ostatecznej odpowiedzi. Zawsze sprawdź, czy to, co zrobiłeś, jest tym, o co Cię proszono! W przeciwnym razie możesz stracić punkty za „drobne” błędy pojawiające się w zasadniczo poprawnie rozwiązanym zadaniu. W tym pytaniu pojawiają się dwie różne jednostki długości.

Tę odległość zapisano słownie, a nie liczbą, więc ciężej jest ją od razu zauważyć!

dystans jednego 2. Biegacz przebywa biega na bieżnię kilometra, po czym w której zaczyna o długości 400 m, na nia. Przez pierwsze robić kolejne okrąże mety co 90 sekund. pół godziny mija linię cze cztery Potem pokonuje jesz każde zajmuje mu okrążenia, z których 75 sekund. ningu? biegacz po 30 minutach tre a) Jaki dystans przebiegł się zy się trening, który zaczął b) O której godzinie zakońc o godzinie 13:00? jeżeli s, jaki pokonał w tym dniu, c) Oblicz całkowity dystan ? sem obu domu aut zdecydował się wracać do

Pytanie zawiera też dwie różne jednostki czasu.

I jeszcze jedna jednostka czasu!

Inny sposób zapisania czasu!

Czy zanim przeczytałeś całe zadanie, zdążyłeś już zapomnieć o 1 km pokonanym na samym początku przez biegacza?

Pytania należące do pierwszej grupy „czy wiesz, o co Cię pytają?” mają sprawić, żebyś myślał o fizyce (i jednostkach), a nie podstawiał bezmyślnie liczb do wzorów. Pytania z innych grup mają nauczyć Cię czytać całe zadanie i sprawić, byś dokładnie je zrozumiał.

190

Na koniec znów inna jednostka czasu.

jednostki

Równania i wykresy

wykres punkty szczególne

Dzięki wykresom i równaniom rozumiem, co się dzieje.

czas

Bądź częścią problemu. równanie notacja naukowa

szybkość droga

objętość

nachylenie Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Droga

Długość, liczba metrów (kilometrów lub innych jednostek tej miary), które musisz przebyć, by pokonać trasę pomiędzy dwoma punktami.

Czas

Określenie trwania czynności, ile sekund (minut czy innych jednostek tej miary) upływa pomiędzy dwoma interesującymi Cię chwilami.

Szybkość

Określenie tempa zachodzenia procesu, stosunek zmiany położenia do czasu, jaki zajmuje jej pokonanie.

Wykres

Graficzne przedstawienie zależności łączącej dwie zmienne.

Równanie

Matematyczna reprezentacja zależności łączącej dwie zmienne.

Nachylenie

Stromość wykresu, zmiana zachodząca w pionie podzielona przez zmianę zachodzącą w poziomie.

jesteś tutaj 

191

Niezbędnik fizyka

t Wykonaj eksperymen odnaleźć Doświadczenie pozwala ie zmienne — zależność łączącą dw s. na przykład drogę i cza

Niezbędnik fizyka    

Masz już za sobą rozdział 4., więc możesz dodać do swojego przybornika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające sprawdzać Pomyśl o błędach poprawność odpowiedzi. nie, zastanów Projektując doświadcze ch mogą się, w których miejsca Narysuj wykres . dy pojawić się błę Wykres pozwala zobaczyć zależność tyczne, Ogranicz błędy systema łączącą dwie zmienne. konanie wy planując odpowiednio Zazwyczaj sprawdza się zmianę doświadczenia. jednej wartości wraz z upływem tyczne, Zmniejsz błędy statys czasu. ch pomiarów dokonując wielokrotny i (za pomocą Czas umieszcza się ZAWSZE i uśredniając ich wynik ). na poziomej osi wykresu. wzoru lub na wykresie

resu

wyk ie prostej n le y h c a N

Opracuj równanie

ze wzoru blicza się o m ie n le y h Nac u pionowy w kierunk m y = u poziom w kierunk nachylenie zależność o określić g e c ją la a zczone pozw ści umies o rt a w ą c łączą ie. na wykres

Tempo zmian i

nachylenie

Narysuj wykre s zależności do wolnej wartości od cz asu i umieść czas na osi poziomej . Nachylenie pr ostej wykresu będzie odpowiadać te mpu zmian tej warto ści w czasie. Oznacza to, że nachylenie wykresu zależn ości drogi od cz asu jest szybkością ruchu, ponieważ tak właśnie nazyw a się tempo zm iany położenia w cz asie.

192

Rozdział 4.

Równanie pokazuje wzajemną zależność między zmiennymi, zapisaną w języku matematyki. Dany „rodzaj” zmiennych oznacz aj zawsze tą samą literą, na przykład czas literą „t”. Różne zmienne tego samego „rodzaju” opisuj odpowiednimi indeksami, jak robiłeś to w tym rozdziale — t gotowania, tcałkowity, t

jazdy.

nie

Przekształć równa

a wnanie nie zawier Jeżeli zapisane ró ej, nn ie zm trzebnej Ci po lewej stronie po ej ni ed wi po ałcić do od musisz je przekszt postaci. zystkie działania Upewnij się, że ws ia. wu stronach równan wykonujesz na obyd agi ow wn nie zaburzysz ró Tylko w ten sposób stron równania. eń, ć więcej przekształc Lepiej jest pokaza wcale. niż nie pokazać ich

#   Byłam naprawdę wściekła, gdy trafiliśmy do Luksemburga zaraz po tym, jak wskazałam mu odpowiedni kierunek jazdy. On oczywiście wiedział lepiej, gdzie jechać. „Przecież znajdujemy się zaledwie sto sześćdziesiąt kilometrów od Paryża, kochanie” — mówił. I tak oto pierwszy dzień naszego miesiąca miodowego spędziliśmy w samochodzie. W Luksemburgu !

Wektory O rany, czy on zawsze był taki romantyczny?

Czas, szybkość i odległość to bardzo przydatne parametry, ale jeśli chcesz coś osiągnąć w życiu, potrzebujesz KIERUNKU. Posiadłeś już kilka supermocy fizyka: nauczyłeś się, czym są wykresy i równania, umiesz również na oko ocenić rząd wielkości odpowiedzi, których szukaniem zajmujesz się, rozwiązując zadania z fizyki, ale wielkość to nie wszystko. Z niniejszego rozdziału dowiesz się, czym są wektory. Dzięki tej wiedzy w Twoich odpowiedziach zaczną pojawiać się informacje o kierunkach. Ponadto nauczysz się szukać skutecznych skrótów na drodze do rozwiązań problemów, które wydają się być skomplikowane.

to jest nowy rozdział 193

Kto nie lubi szukać skarbów?

Poszukiwacze skarbów Czas na szukanie skarbów. Ty i Ania — Twoja partnerka z drużyny — jesteście jedną z grup, które grają w „Poszukiwaczy skarbów”. Jeśli chcecie wygrać, będziecie musieli postępować zgodnie z czterema wskazówkami. Oto pierwsza wskazówka…

6WDUDPDSDSRV]XNLZDF]\ VNDUEyZ Pn.

Dzięki temu będzie Ci łatwiej rozróżniać kierunki.

Zach.

Wsch. Pd.

Wskazówka 1. Do tyłu, do przodu, do przodu i w tył — chcesz zostać czysty czy w butach mieć pył? Pomyśl i ruszaj przed siebie i w dal, co w nocy odległe, jest bliskie za dnia. Idź: 1) 60 metrów na północ, 2) 150 metrów na południe, 3) 120 metrów na północ, 4) 60 metrów na południe, 5) 20 metrów na południe, 6) 40 metrów na północ. Stojąc obok drzewa, zacznij swą wyprawę, po nową wskazówkę zaglądaj pod trawę.

0RF]D

Stary dąb.

0RF]DU\

Skala: 0m

194

Rozdział 5.

Dzięki temu będziesz mógł odczytywać z mapy odległości.

100 m 200 m 300 m 400 m 500 m

Wektory

-H]LRUR

Jestem gotowa. Co robimy najpierw?

3RWRN

DU\

Ania

(WDS\



:VND]yZND :VND]yZND :VND]yZND :VND]yZND







WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak sądzisz, jak w najszybszy sposób można doprowadzić Anię do schowka z kolejną wskazówką?



jesteś tutaj  195

Rozmowa o wskazówce

Wskazówka 1. Do tyłu, do przodu, do przodu i w tył — chcesz zostać czysty czy w butach mieć pył? Pomyśl i ruszaj przed siebie i w dal, co w nocy odległe, jest bliskie za dnia. Idź: 1) 60 metrów na północ, 2) 150 metrów na południe, 3) 120 metrów na północ, 4) 60 metrów na południe, 5) 20 metrów na południe, 6) 40 metrów na północ. Stojąc obok drzewa, zacznij swą wyprawę, po nową wskazówkę zaglądaj pod trawę.

Krzysiek: Według mnie powinniśmy powiedzieć Ani, żeby natychmiast wyruszyła w poszukiwaniu kolejnej wskazówki. Powinna jak najszybciej zacząć iść zgodnie z instrukcją! Marta: Poczekaj, w tekście wskazówki znalazł się wers „Pomyśl i ruszaj (…)”. Krzysiek: No i co? Marta: Wydaje mi się, że zanim podejmiemy jakiekolwiek działania, powinniśmy nieco pomyśleć. Polecenia zawarte we wskazówce wydają się powtarzać… Głupio byłoby kilka razy robić to samo, jeśli tak naprawdę nie ma takiej potrzeby. Krzysiek: No tak, wiem, o co ci chodzi. Pierwsze z poleceń mówi, że musimy podążać na północ, ale następne każe nam cofnąć się po swoich śladach i iść na południe. Marta: Wszystkie polecenia ze wskazówki dotyczą przemieszczania się albo na północ, albo na południe, czyli tak naprawdę przyjdzie nam biegać w górę i w dół aż do chwili, gdy wykonamy ostatnie z poleceń. Krzysiek: Płynie z tego wniosek, że dokładne wykonywanie instrukcji nie jest najszybszym sposobem na dotarcie do celu. Marta: Może spróbujmy wyobrazić sobie, jak wyglądałoby wykonywanie poleceń, zamiast rzeczywiście tracić czas na postępowanie krok po kroku zgodnie ze wskazówką. Najpierw trzeba pójść 60 m na północ, później 150 m na południe, a następnie… Krzysiek: Nie lepiej byłoby to wszystko narysować? To chyba łatwiejszy sposób na przyjrzenie się trasie zaplanowanej we wskazówce, niż próba wyobrażenia sobie poszczególnych etapów wycieczki. Marta: Myślę, że masz rację. Bierzmy się do roboty! ZAWSZE rób rysunek sytuacji opisanej w treści zadania!

Wykonywanie rysunków podczas rozwiązywania problemów fizycznych to świetna metoda odciążania umysłu, dzięki której możesz skupić się na myśleniu o samym problemie, a nie o jego aspektach technicznych. 196

Rozdział 5.

Wektory

Zaostrz ołówek Twoja drużyna zaczęła szkicować trasę opisaną w pierwszej wskazówce, ale jeszcze nie skończyła rysunku. Dokończenie szkicu to Twoje zadanie. Twoi kompani postanowili każdą z wytycznych zawartych we wskazówce oddać na rysunku za pomocą odpowiedniej strzałki (1 cm narysowanej strzałki odpowiada 20 m w prawdziwym świecie). Ponadto uznali, że strzałki warto rysować jedną obok drugiej, żeby nie pokrywały się ze sobą.

1. strzałka

2. strzałka

3. strzałka

1 cm = 20 m Strzałki rysuj jedną obok drugiej, żebyś później nie miał problemu z ich rozróżnianiem.

4. 5. strzałka strzałka

6. strzałka

Pn.

Zach.

Wsch. Pd.

1 strzałka: idź 60 m na północ.

60 m

Początek drogi.

150 m

2 strzałka: idź 150 m na południe.

jesteś tutaj  197

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoja drużyna zaczęła szkicować trasę opisaną w pierwszej wskazówce, ale jeszcze nie skończyła rysunku. Dokończenie szkicu to Twoje zadanie. Twoi kompani postanowili każdą z wytycznych zawartych we wskazówce oddać na rysunku za pomocą odpowiedniej strzałki (1 cm narysowanej strzałki odpowiada 20 m w prawdziwym świecie). Ponadto uznali, że strzałki warto rysować jedną obok drugiej, żeby nie pokrywały się ze sobą.

1. strzałka

2. strzałka

3. strzałka

4. 5. strzałka strzałka

6. strzałka

Pn.

Zach.

1 cm = 20 m Strzałki rysuj jedną obok drugiej, żebyś później nie miał problemu z ich rozróżnianiem.

Wsch. Pd.

1 strzałka: idź 60 m na północ.

Okazuje się, że Ania powinna zakończyć swoją wędrówkę niedaleko miejsca, w którym ją zaczęła!

60 m 60 m Początek drogi.

150 m 120 m 2 strzałka: idź 150 m na południe.

198

Rozdział 5.

20 m

40 m

Wektory

Przemieszczenie to nie to samo, co droga Właśnie sprawdziłeś, że gdyby Ania wykonywała po kolei polecenia zawarte we wskazówce, zakończyłaby swą wędrówkę bardzo blisko drzewa, przy którym ją zaczęła. Ten przykład obrazuje różnicę między przebytą drogą a przemieszczeniem. Drogą nazywamy liczbę pokonanych metrów (albo kilometrów, mil itd.). Jeśli przebyłeś 70 m, poruszając się w kierunku północnym, a następnie 30 m w kierunku południowym, przebyłeś całkowitą drogę o długości 100 m. Mianem przemieszczenia określa się zmianę położenia poruszającego się obiektu, czyli najkrótszą odległość między dwoma punktami, oznaczającymi początek i koniec podróży, niezależną od drogi, jaką ten obiekt pokonał. Jeśli pójdziesz 70 m na północ, a później 30 m na południe, zakończysz spacer w miejscu oddalonym o 40 m od miejsca, z którego go zacząłeś. Dokładniej mówiąc, przemieścisz się o 40 m w kierunku północnym.

Zaostrz ołówek a) Oblicz drogę, jaką przebyłaby Ania, gdyby postępowała zgodnie z instrukcjami zawartymi we wskazówce.

b) Określ przemieszczenie Ani (podaj wartość i kierunek zmiany położenia Ani, za położenie początkowe przyjmując miejsce, z którego wyruszyła, a za końcowe — miejsce docelowe jej wycieczki).

W tym przypadku mamy do czynienia tylko z liczbą i jednostkami — wiemy, ile metrów łącznie przeszedłeś, ale nie wiemy nic o kierunku ruchu ani przemieszczenia.

Tu widzimy informacje zarówno o wartości, jak i kierunku przemieszczenia.

Wskazówka 1. Do tyłu, do przodu, do przodu i w tył — chcesz zostać czysty czy w butach mieć pył? Pomyśl i ruszaj przed siebie i w dal, co w nocy odległe, jest bliskie za dnia. Idź: 1) 60 metrów na północ, 2) 150 metrów na południe, 3) 120 metrów na północ, 4) 60 metrów na południe, 5) 20 metrów na południe, 6) 40 metrów na północ. Stojąc obok drzewa, zacznij swą wyprawę, po nową wskazówkę zaglądaj pod trawę.

jesteś tutaj  199

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek:

Wskazówka 1.

Rozwiązanie

Do tyłu, do przodu, do przodu i w tył — chcesz zostać czysty czy w butach mieć pył? Pomyśl i ruszaj przed siebie i w dal, co w nocy odległe, jest bliskie za dnia. Idź: 1) 60 metrów na północ, 2) 150 metrów na południe, 3) 120 metrów na północ, 4) 60 metrów na południe, 5) 20 metrów na południe, 6) 40 metrów na północ. Stojąc obok drzewa, zacznij swą wyprawę, po nową wskazówkę zaglądaj pod trawę.

a) Oblicz drogę, jaką przebyłaby Ania, gdyby postępowała zgodnie z instrukcjami zawartymi we wskazówce.

Droga = 60 m + 150 m + 120 m + 60 m + 20 m + 40 m = 450 m Gdyby Ania postępowała ściśle według instrukcji zawartych we wskazówce, przeszłaby łącznie 450 m. b) Określ przemieszczenie Ani (podaj wartość i kierunek zmiany położenia Ani, za położenie początkowe przyjmując miejsce, z którego wyruszyła, a za końcowe — miejsce docelowe jej wycieczki).

Z obrazka, na którym zostały narysowane strzałki, wynika, że Ania zakończy wędrówkę 10 m na południe od miejsca jej rozpoczęcia.

ch Każda z instrukcji zawarty szczeniem, mie prze jest wce azó wsk we KIERUNKU czyli informacją zarówno o onanego pok ŚCI RTO WA o i ruchu, jak dystansu.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czyli Ania zakończy spacer

P: Jak to się dzieje, że dwie wielkości P: Wydaje mi się, że zaczynam

w miejscu oddalonym o 10 m w kierunku południowym od miejsca przy drzewie! Czy w takim razie wskazówka nie jest typowym przykładem przerostu formy nad treścią?

: Przemieszczenie zawiera informację o kierunku zmiany położenia, a droga nie.

O

P: Czy kierunek nie ma swojej

: Wskazówka ma uczyć, że powinno się pomyśleć, zanim zacznie się działać. Jeżeli będziesz nadmiernie spieszył się z działaniem, zamiast oszczędzić czas, możesz go stracić.

P: Z poprzednich rozdziałów

dowiedzieliśmy się wiele na temat jednostek. Czy drogę i przemieszczenie mierzy się w tych samych jednostkach?

O: Zarówno drogę, jak i przemieszczenie

mierzy się w metrach (albo innych jednostkach długości).

200

Rozdział 5.

mierzone w tych samych jednostkach nie są tak naprawdę jedną i tą samą wielkością?

O

jednostki?

rozumieć, o co w tym chodzi. Droga i przemieszczenie różnią się tym, że pierwszy z parametrów to sama liczba, a drugi oprócz wartości liczbowej zawiera również informację o kierunku zmiany położenia.

O

: Właśnie tak… Za chwilę zajmiemy się tym problemem dokładniej.

O

: Nie. Na północ, na południe, w lewo, w prawo, pionowo, poziomo itd. — z tymi określeniami nie wiąże się żadna jednostka.

Droga to sama wartość liczbowa. Przemieszczenie to wartość liczbowa oraz informacja o kierunku zmiany położenia.

Wektory

Droga to skalar; przemieszczenie to wektor

Sto złotych!

Droga to przykład wielkości fizycznej będącej skalarem. Skalary mają jedynie wartości liczbowe, na przykład 10 m.

To tylko liczba, bez kierunku.

Przemieszczenie jest przykładem wielkości wektorowej.

A oto i kierunek!

Wektory zawierają informacje o wartościach liczbowych oraz o kierunkach, na przykład 10 metrów w kierunku południowym.

Wektory to połączenie WARTOŚCI LICZBOWYCH z KIERUNKAMI.

Skalary mają tylko WARTOŚCI LICZBOWE.

Wektory oznacza się strzałkami

Co więcej, kierując się intuicją, pododawałeś wektory metodą „nos do ogona”, ustawiając je tak, aby nos pierwszego wektora Start stykał się z ogonem drugiego itd.

Rysowanie kilku wektorów jeden na drugim może okazać się niewygodne…

Pn.

Zach.

Wsch. Pd.

60 m

Do oznaczania wielkości wektorowych używa się strzałek. Wartość liczbowa wielkości wektorowej jest proporcjonalna do długości strzałki, natomiast ułożenie i grot strzałki wskazują kierunek i zwrot wektora. Rysowałeś wektory w trakcie rozwiązywania zagadki z pierwszej wskazówki dla poszukiwaczy skarbów.

Podczas dodawania wektorów należy ustawiać je zgodnie z regułą „nos do ogona”.

60 m

Instrukcje znajdujące się we wskazówce są wektorami, ponieważ składają się z wartości liczbowych i kierunków. Tak naprawdę nie powinieneś przejmować się sugerowaną trasą prowadzącą do skrytki z następną wskazówką — bardziej interesująca jest zmiana położenia między miejscem, z którego zaczynasz wyprawę, a miejscem ze skrytką.

Sto złotych przechodzi z Twojego portfela do mojego!

Start

Możesz dodawać wektory, ustawiając je zgodnie z regułą „nos do ogona”.

Długość wektora jest proporcjonalna do wartości opisywanej nim wielkości fizycznej.

40 m

20 m

… dlatego warto niekiedy nieco je rozsunąć.

Meta 120 m

Jeśli kilka wektorów leży na jednej linii prostej (jak te widoczne obok), mylącym może okazać się rysowanie ich wszystkich jeden na drugim, ponieważ łatwo zgubić tok rozumowania, patrząc na tak wykonany obrazek. Dlatego niekiedy warto rysować wektory obok siebie, tak jak robiłeś to, rozwiązując zagadkę zawartą w pierwszej wskazówce, jednocześnie pamiętając, że tak naprawdę się pokrywają.

150 m

Meta

Grot wektora wskazuje jego zwrot. Ułożenie wektora to informacja o kierunku.

jesteś tutaj  201

Dodajemy wektory

Z praktycznego punktu widzenia dodanie najpierw wszystkich wektorów wskazujących północ, a następnie wszystkich wektorów wskazujących południe może być łatwiejsze; całkowite przemieszczenie i tak pozostaje niezmienione.

Niezależnie od tego, w JAKIEJ KOLEJNOŚCI dodasz do siebie wektory, ogólne przemieszczenie będzie takie samo.

Rozdział 5.

40 m

10 m

Meta 20 m

120 m

150 m

Pd.

Start

Niezależnie od tego, w jakiej kolejności dodasz wektory, całkowite przemieszczenie będzie takie samo.

20 m

60 m

60 m Start

202

Całkowite przemieszczenie.

Wsch. 60 m

Zach.

60 m

Dodawanie wektorów w kolejności zgodnej z kolejnością pojawiania się instrukcji we wskazówce.

Każda z instrukcji zawartych we wskazówce jest wektorem.

Pn.

150 m

Dodając wektory, zawsze powinieneś ustawiać je zgodnie z zasadą „nos do ogona”. Tak naprawdę to jedyna reguła, o której należy pamiętać — kolejność dodawania wektorów nie ma znaczenia.

120 m

Nie. Jedyną regułą, której trzeba przestrzegać podczas dodawania wektorów, jest reguła „nos do ogona”.

40 m

Załóżmy, że dodajemy wektory metodą „nos do ogona”. Czy w takim przypadku istotna jest kolejność dodawania poszczególnych wektorów?

Dodawanie wektorów w kolejności: najpierw wszystkie wskazujące północ, później wszystkie wskazujące południe.

Meta

Po co tracić czas na rysowanie wektorów? Czy korzystając ze zwykłej matematyki podczas dodawania wektorów, nie zaoszczędziłabym nieco czasu?

Można szybko dodawać wektory, korzystając z matematyki.

Wektory

Jeśli pójdziesz 60 m na północ, a następnie 60 m na południe, Twoje przemieszczenie będzie równe 0, ponieważ znajdziesz się w miejscu, z którego wyruszyłeś. Północ i południe to przeciwne strony świata, dlatego, opisując je matematycznie, możesz przypisać im przeciwne znaki. Załóżmy, że kierunkowi północnemu przypisałeś znak „+”, a kierunkowi południowemu „–”. W takim przypadku po przejściu 60 m w kierunku północnym i 60 m w kierunku południowym możesz napisać, że Twoje przemieszczenie to 60 m – 60 m = 0 m (albo 60 m + (– 60 m) = 0 m).

Zastanawiając się nad przemieszczeniem opisanym we wskazówce, mogłeś intuicyjnie wykonać działanie 60 m – 150 m + 120 m – 60 m – 20 m + 40 m = – 10 m. Wynik tego działania to informacja, że przemieszczenie wyniosło 10 m na południe w stosunku do miejsca rozpoczęcia wędrówki. Mogłeś również dodać wszystkie wektory wskazujące kierunek północny, a później wszystkie skierowane na południe, czyli wykonać działanie podobne do przedstawionego na rysunku z poprzedniej strony.

Przeciwne kierunki możesz oznaczać przeciwnymi znakami. Ta reguła sprawdza się tylko wtedy, gdy masz do oznaczenia dwa przeciwne kierunki, na przykład północ i południe, górę i dół albo lewo i prawo.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Skoro wektory dodajemy metodą „nos do ogona”, w jaki sposób powinniśmy dodawać skalary?

O: Tak, jak to zawsze robiliśmy, czyli zwyczajnie dodając liczby do siebie.

P

: Czy oprócz przemieszczenia istnieją w fizyce jakieś inne wielkości wektorowe?

O: Owszem. Z kilkoma zapoznasz się już wkrótce…

P

: Czy przed dodaniem wektorów nie należy ustalić jakiegoś punktu początkowego, od którego powinno zacząć się dodawanie?

O

: Masz rację, należy. Czasami punkt początkowy jest łatwy do określenia, na przykład miejsce przy drzewie, jednak czasem sam będziesz musiał go ustalić. Na przykład podczas prowadzenia pomiarów wysokości wzniesień i gór przyjmuje się, że wysokość zerowa to wysokość wyznaczana przez powierzchnię wody w morzach. Względem tej wysokości wyznacza się wszystkie inne.

P

: W jaki sposób ustala się, któremu z dwóch przeciwnych kierunków należy przypisać znak „+”, a któremu „–”?

O

: Wybór, który z kierunków oznaczyć znakiem „+”, a który znakiem „–”, należy do Ciebie. Jeśli tylko konsekwentnie będziesz się trzymał raz przyjętej konwencji, prowadzone przez Ciebie obliczenia będą poprawne z punktu widzenia matematyki. Jeżeli uznasz, że znakiem „+” warto opisać kierunek północny, przesunięcie podane we wskazówce dla poszukiwaczy skarbów wyniesie – 10 m, czyli 10 m w kierunku południowym. Jeśli zaś przypiszesz znak „+” kierunkowi południowemu, otrzymasz przesunięcie równe 10 m, także odpowiadające przemieszczeniu w kierunku południowym. Musisz tylko wiedzieć, w jaki sposób zinterpretować znak, który stoi przy ostatecznym wyniku obliczeń.

jesteś tutaj  203

Wskazówka numer 2

Znalazłeś kolejną wskazówkę… 6WDUDPDSD SRV]XNLZDF]\VNDUEyZ Pn.

Wskazówka 2.

Zach.

Znalazłeś oto wskazówkę, którą w ziemi ktoś schował i dowiesz się z niej zaraz o nowych przeszkodach. Dojść z punktu A do B jest celem Twej podróży tak byś nie utonął w ogromnej kałuży. Idź: 700 m na wschód, a potem 1100 metrów na północ. Kolejna wskazówka już na Ciebie czeka na końcu toru przeszkód. Biegnij! Czas ucieka!

Wsch. Pd.

0RF]D

0RF]DU\

Ale pojawił się problem… Na wschód od drzewa znajduje się wielkie bagno. Chyba nie będę w stanie tamtędy przejść.

204

Rozdział 5.

Po przejściu 10 m w kierunku południowym (zgodnie z wytyczną z pierwszej wskazówki) Ania znalazła się w tym miejscu.

Skala: 0m

100 m 200 m 300 m 400 m 500 m

Wektory

-H]LRUR

Zaostrz ołówek

3RWRN

a. Za pomocą strzałek-wektorów zaznacz na mapie instrukcje podane w drugiej wskazówce. b. „(…) tak byś nie utonął w ogromnej kałuży” to istotna część wskazówki. Napisz, w jaki sposób mógłbyś zastosować się do tej rady.

DU\

(WDS\



:VND]yZND



:VND]yZND :VND]yZND :VND]yZND







jesteś tutaj  205

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Za pomocą strzałek-wektorów zaznacz na mapie instrukcje podane w drugiej wskazówce. b. „(…) tak byś nie utonął w ogromnej kałuży” to istotna część wskazówki. Napisz, w jaki sposób mógłbyś zastosować się do tej rady.

Nie da się iść najpierw na wschód, a później na północ, ponieważ na wschodzie znajdują się moczary. Jednakże do wymienionego we wskazówce miejsca docelowego można dotrzeć, idąc najpierw 1100 m na północ, a później 700 m na wschód — instrukcje ze wskazówki można wykonać w odwrotnej

Wektory można dodawać w dowolnej kolejności Nawet jeśli wektory nie leżą na jednej linii prostej, możesz dodawać je zgodnie z regułą „nos do ogona”. Niezależnie od tego, w jakiej kolejności dodasz wektory, zmiana położenia między początkowym i końcowym będzie taka sama.

kolejności po to, by ominąć przeszkodę. Wynika z tego, że możesz powiedzieć Ani, żeby poszła 1100 m na północ, a później 700 m na wschód. W ten sposób dasz jej szansę na zdobycie kolejnej wskazówki bez ryzyka utopienia się w bagnie.

Pn.

700 m na wschód Zach.

Wsch. Pd.

Dodanie wektorów w taki sposób pozwoli Ci ominąć moczary.

1100 m na północ

1100 m na północ

700 m na wschód

Dodawanie wektorów w kolejności zgodnej z podaną we wskazówce to podążanie drogą wiodącą przez środek moczarów.

206

Rozdział 5.

Wektory Nie istnieją

głupie pytania

P

: Twierdzisz więc, że nawet sumę stu wektorów mógłbym wykonać, dodając wektory w dowolnej kolejności?

P

: Poczekaj… Wektor wypadkowy?!

: Można używać znaków „+” i „–” do oznaczania przeciwnych zwrotów wektorów, na przykład wektora wskazującego grotem północ i wektora wskazującego grotem południe, ale co z wektorami, które nie mają dokładnie przeciwnych zwrotów, takimi jak te z drugiej wskazówki dla poszukiwaczy skarbów? W jaki sposób matematycznie dodaje się takie właśnie wektory?

O: Wektor wypadkowy to inna

O: Bardzo dobre pytanie!

O: Właśnie tak! Jeśli tylko będziesz

postępował zgodnie z regułą „nos do ogona”, wynikiem dodawania zawsze będzie ten sam wektor wypadkowy.

P

nazwa wektora, który otrzymuje się jako wynik dodania do siebie kilku wektorów.

Odpowiedź na nie uzyskasz, czytając rozdział 9.

P

: Czy w wyniku dodawania wektorów zawsze otrzymuję jeszcze jeden wektor?

O

: Tak. Wynikiem dodawania wektorów zawsze musi być wektor.

P: Czy istnieje wektor równy

zeru? Czy taki wektor nadal jest wektorem?

O: Tak, w kontekście dodawania wektorów można mówić o specjalnym wektorze, na który mówi się „wektor zerowy”.

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Skalary to wartości liczbowe. Droga

jest przykładem wielkości skalarnej. ‹Wektory zawierają informacje

o wartościach liczbowych oraz o kierunkach. Przykładem wektora jest przemieszczenie. ‹Na rysunkach wektory zaznacza się

strzałkami. ‹Długość strzałki wektora

przemieszczenia jest proporcjonalna do faktycznej wartości przemieszczenia poruszającego się obiektu. ‹Kierunek i zwrot strzałki wektora

Wynikiem sumy dwu lub więcej wektorów jest wektor, który nazywamy wektorem wypadkowym.

przemieszczenia wskazuje faktyczny kierunek przemieszczenia poruszającego się obiektu. ‹Wektory dodaje się, ustawiając

je jeden za drugim, zgodnie z zasadą „nos do ogona”, i rysując nowy wektor między punktem, w którym zaczyna się pierwszy wektor z sumy (ogon), oraz punktem, gdzie kończy się ostatni wektor z sumy (nos). ‹Jeżeli wektory są równoległe do tej

samej linii prostej, ich sumę można policzyć bardzo szybko, jednemu z kierunków przypisując znak „+”, a drugiemu znak „–”. ‹Nawet jeśli wektory nie są równoległe

do jednej linii prostej, można je dodawać, korzystając z reguły „nos do ogona”. ‹Wektory można dodawać do siebie

w dowolnej kolejności, niezależnie od tego, jakie mają kierunki i zwroty.

jesteś tutaj  207

A teraz wskazówka trzecia

6WDUDPDSD SRV]XNLZDF]\VNDUEyZ Ania bez żadnych problemów dotrze do celu tą trasą.

Pn. Zach.

Przy brzegu jeziora znajduje się łódka.

-H]LRUR

3RWRN

700 na wschód

Wsch. Pd.

1100 m na północ

0RF]DU\

0RF]DU\ (WDS\



:VND]yZND Dokładn zawarty e wykonywan okazało ch w drugiej ie instrukcji ludzika się być zgub wskazówce ! ne dla tego

Skala: 0m

208

Rozdział 5.

100 m 200 m 300 m 400 m 500 m

:VND]yZND :VND]yZND :VND]yZND









Wektory

Brawo! Znalazłeś trzecią wskazówkę! Oprócz wskazówki znalazłeś również motorówkę. Niestety, tekst trzeciej wskazówki wydaje się być trochę skomplikowany — niemało w nim liczb i dziwnych słów. Zanim wspólnie ze swoją grupą będziesz mógł kontynuować poszukiwanie skarbu, musisz dowiedzieć się, co należy zrobić, żeby dostać się do skrytki z kolejną wskazówką. Gdy już dowiesz się, co należy zrobić, zastanów się, jak to zrobić. Najpierw co, a następnie jak.

Zaostrz ołówek Pomyśl najpierw o tym, co należy zrobić, a potem jak wykonać niezbędne czynności. Podkreśl te fragmenty tekstu wskazówki, z których wynika, co powinieneś zrobić. Następnie swoimi słowami jeszcze raz napisz, co powinieneś zrobić, a także jak według Ciebie można wykonać czynności niezbędne do ustalenia trasy dla Ani.

Wskazówka 3. Gdy już dotarłeś do brzegu jeziora i odnalazłeś w sitowiu łódź, nie zwlekaj, bracie, pora wiosłować, pod takim kątem dziób łodzi zwróć: 330 stopni. Obracaj się w stronę niezgodną z zegarem, zacznij się kręcić, patrząc na wschód. Płyń 4 razy po 100 metrów każdy, a potem przycumuj — skończony Twój trud. 2 kroki do celu, wysilić się warto — spiesz się, by zdobyć wskazówkę czwartą.

jesteś tutaj  209

Poradnia pytań — oddzielanie ziaren od plew Zapoznając się z treścią rozmaitych zadań z fizyki, niejednokrotnie natkniesz się na wiele nieznanych sobie słów, najprawdopodobniej wchodzących w skład takiego czy innego żargonu. Nigdy nie wpadaj w panikę, widząc obco wyglądające słowa! Bardzo często proste pytania formułuje się w taki sposób, żeby wydawały się trudne, w celu sprawdzenia, czy osoba mająca na nie odpowiedzieć potrafi wybrać z tekstu usłyszanego lub przeczytanego naprawdę ważne informacje. W treści zadania może występować więcej informacji, niż potrzebujesz, żeby owo zadanie rozwiązać, dlatego nie przejmuj się, jeśli zdarzy się podać rozwiązanie problemu bez wykorzystania wszystkich danych zawartych w jego opisie. Niektóre części pytania mogą zawierać zbędne informacje i nieznane Ci słowa. Nie daj się wystraszyć autorowi treści zadania, nie pozwól sobie wmówić, że nie dasz rady znaleźć odpowiedzi na zadane pytanie.

Wskazówka 3.

Zwracaj uwagę zarówno na wartości liczbowe, jak i na kierunki.

Gdy nauczysz się oddzielać ziarna od plew, albo — jeśli wolisz — ważne informacje od zwykłego lania wody, będziesz w stanie rozwiązać prawie każde zadanie.

brzegu jeziora Gdy już dotarłeś do iu łódź, nie zwlekaj, i odnalazłeś w sitow ać, pod takim kątem bracie, pora wiosłow 0 stopni. Obracaj się dziób łodzi zwróć: 33 zegarem, zacznij się w stronę niezgodną z schód. Płyń 4 razy kręcić, patrząc na w y, a potem przycumuj po 100 metrów każd ud. 2 kroki do celu, — skończony Twój tr spiesz się, by zdobyć wysilić się warto — . wskazówkę czwartą

Czasami istotne informacje mogą znaleźć się na przejściu z jednej linii do drugiej. Nie pozwól, żeby układ tekstu miał wpływ na to, czy dostrzegasz ważne fragmenty tekstu, czy nie!

Oto liczby, które wcale nie są potrzebne, żeby ze wskazówki wydobyć odpowiedź na pytanie, jak dotrzeć do kolejnej wskazówki.

Najpierw co, potem jak! Jeśli masz rozwiązać zadanie, najpierw zwróć uwagę na końcowy fragment jego treści — dowiedz się, o co tak naprawdę jesteś pytany. Nierzadko treści prostych zadań zawierają zbędne informacje po to, żeby egzaminujący Cię ludzie mogli sprawdzić, na ile rozumiesz fizykę.

210

Ta część treści wskazówki jest istotna!

Zaostrz ołówek: Rzuć okiem na pytania z jakiegoś „skomplikowanego” działu fizyki (na przykład fizyka cząsteczkowa), którego według własnego przekonania nie znasz zbyt dobrze. Wiele spośród tych pytań okaże się być pytaniami dotyczącymi dość prostych problemów, ale sformułowanymi tak, żeby wydawały się być naprawdę „trudne”. Możliwe, że nawet w tej chwili umiałbyś na nie odpowiedzieć, więc nie wpadaj w panikę podczas samego czytania treści nawet najdziwniejszego zadania.

Jeśli zapomniałeś wiele z tego, czego uczyłeś się kiedyś o kątach, nie powinieneś się martwić, ponieważ na kilku kolejnych stronach zamierzam wyjaśnić kilka kwestii związanych właśnie z kątami.

Najpierw CO, a dopiero później JAK!

Rozwiązanie Pomyśl najpierw o tym, co należy zrobić, a potem jak wykonać niezbędne czynności. Podkreśl te fragmenty tekstu wskazówki, z których wynika, co powinieneś zrobić. Następnie swoimi słowami jeszcze raz napisz, co powinieneś zrobić, a także jak według Ciebie można wykonać czynności niezbędne do ustalenia trasy dla Ani.

Wskazówka 3. Gdy już dotarłeś do brzegu jeziora i odnalazłeś w sitowiu łódź, nie zwlekaj, bracie, pora wiosłować, pod takim kątem dziób łodzi zwróć: 330 stopni. Obracaj się w stronę niezgodną z zegarem, zacznij się kręcić, patrząc na wschód. Płyń 4 razy po 100 metrów każdy, a potem przycumuj — skończony Twój trud. 2 kroki do celu, wysilić się warto — spiesz się, by zdobyć wskazówkę czwartą.

CO — „4 razy po 100 metrów każdy” to razem 400 m. Obracanie dzioba łodzi o 330 stopni to obracanie łodzi o określony kąt. Kąt należy mierzyć w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Obrót o odpowiedni kąt należy zacząć, będąc zwróconym ku wschodowi. JAK — Za pomocą kątomierza trzeba wyznaczyć kąt 330 stopni, przyjmując, że jedno z ramion kąta będzie biegło w kierunku wschodnim. Kąt należy wyznaczyć zgodnie z ruchem odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Korzystając z linijki oraz skali widocznej na mapie, trzeba wyznaczyć odcinek odpowiadający 400 metrom.

211

Praktyczne informacje o użytkowaniu kątomierza

Kąty to sposób na mierzenie obrotów Kąty są miarą obrotów; kąt to informacja, o ile jednostek trzeba obrócić jedną półprostą, żeby pokryła się z drugą półprostą. Kąt zaznacza się łukiem.

Najprawdopodobniej spotkałeś się już z najpopularniejszą metodą podawania miar kątów, czyli z metodą podawania miar kątów w stopniach (symbolem stopnia jest „°”). Kąty mierzy się kątomierzem. Każdy kątomierz ma naniesioną odpowiednią skalę, dzięki czemu wystarczy przyłożyć go w odpowiednim punkcie i odczytać miarę mierzonego kąta. Korzystanie z kątomierza nie różni się zbytnio od używania linijki do wykonywania pomiarów długości rozmaitych odcinków. To kąt 90°, czyli tzw. kąt prosty. Kąty proste znajdziesz wewnątrz dowolnego W fizyce prostokąta. i matematyce kąty mierzy się zazwyczaj w kierunku odwrotnym do kierunku ruchu wskazówek zegara.

Połowa pełnego obrotu to kąt 180°.

Miary kątów mierzy się kątomierzem.

Wyobraź sobie, że obracasz tę linię wokół punktu, w którym styka się ona z drugą linią, tak, by obydwie linie się pokryły.

Kątem bardzo często spotykanym w fizyce jest kąt prosty, czyli kąt mierzący 90°. Taki kąt to jedna czwarta pełnego koła i można go znaleźć w miejscach, w których stykają się boki dowolnego prostokąta. Kąty proste są wszędzie wokół nas. Zobaczysz je na przykład między podłogą a stojącymi na niej przedmiotami, takimi jak krzesła, stoły, szafy itd.). Kąt równy połowie obrotu to kąt 180°. Taki kąt nazywany jest kątem półpełnym. Każdy obiekt, który zawraca, by zacząć poruszać się w przeciwnym kierunku, obraca się o kąt mierzący 180°. Ramiona kąta półpełnego tworzą linię prostą. Pełny obrót to 360°. Jeśli obrócisz jedną z dwóch stykających się półprostych tak, żeby zatoczyła pełne koło i znów pokryła się z drugą półprostą, zakreślisz kąt 360°.

Pełny obrót to kąt

360°.

90° = kąt prosty 180° = kąt półpełny 360° = kąt pełny, czyli pełny obrót

212

Rozdział 5.

Kąt 90° to tak naprawdę jedyny kąt, o którym warto pamiętać, wystarczy bowiem odpowiednią ilość razy dodać go do siebie, żeby otrzymać pozostałe z omówionych wyżej kątów.

Wektory Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego pełny obrót to akurat 360°? Ta liczba

wydaje się być wybrana raczej losowo. To znaczy, dlaczego pełny obrót to nie 100° albo 1000°? Takie wartości wyglądałyby przyjemniej. No i chyba lepiej pasowałyby do innych jednostek z układu SI, prawda?

O

: Wiedza o kątach i obrotach zaczęła się rozwijać jeszcze w czasach antycznych cywilizacji istniejących tysiące lat temu. Ponadto można podać bardziej praktyczny powód, dla którego pełny obrót to 360°. Otóż liczbę 360 można dzielić (bez reszty) przez wiele innych, bardzo przydatnych liczb.

P: Ale gdyby pełny obrót zawierał 100°, również można by rzec, że mamy do czynienia z wygodną liczbą. Połową obrotu byłoby 50°, a ćwiartką kąt mierzący 25°…

O

: Już tłumaczę, o co w tym chodzi: jeśli przyjmiemy, że pełny obrót zawiera 360°, jedna trzecia obrotu wyniesie 120°, a jedna szósta 60°. Spróbuj wykonać podobne dzielenie dla pełnego obrotu równego 100° — jedna trzecia obrotu to 33,33333333… stopni. Kto chce liczyć dalej?

P: Czy istnieją kąty większe niż 360° (na przykład

Teraz możesz zająć się wskazówką numer 3 Wiesz już, że powinieneś się obracać odwrotnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Obrót należy zacząć, będąc zwróconym twarzą ku wschodowi, i kontynuować do chwili zakreślenia kąta 330°. Po wykonaniu odpowiedniego obrotu, płynąc prosto przed siebie, trzeba przebyć 400 m. Trzymanie się wymienionych tu wytycznych umożliwi Ci znalezienie wskazówki 4. Instrukcja, zgodnie z którą należy przebyć 400 m w stronę wyznaczoną przez obrót o 330°, wykonany po zwróceniu się twarzą ku wschodowi i w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, opisuje przemieszczenie, a nie drogę, ponieważ zawiera informacje o wartości liczbowej (400 m) oraz kierunku (kierunek wyznaczany obrotem o 330°, wykonanym odwrotnie względem ruchu wskazówek zegara tuż po zwróceniu się twarzą ku wschodowi).

wtedy, gdy coś obraca się wokół własnej osi raz za razem)? A może po każdym pełnym obrocie kąt zaczynamy mierzyć od nowa, czyli od 0°?

Noo… W jaki sposób mam wyznaczyć kąt 330° kątomierzem, którego skala obejmuje tylko 180°?

O

: To zależy, jakie zjawisko próbujesz opisać. Czasami wygodniej jest mówić o całkowitym, sumarycznym kącie więcej niż jednego obrotu, a czasami o kątach, które po pełnym obrocie na powrót wynoszą 0°.

P: Kąt to skalar czy wektor? O: Dobre pytanie! Kąt można opisywać zarówno za pomocą

skalarów, jak i wektorów, w zależności od tego, czy opisuje się łączną wartość obrotu danego obiektu, czy przemieszczenie obiektu będące wynikiem obrotu.

P: Wektory rysuje się w postaci prostych strzałek

o długości proporcjonalnej na przykład do wartości przemieszczenia. Chyba nie da się używać prostych strzałek do oznaczania kierunku i zwrotu obrotów, które nie mają nic wspólnego z liniami prostymi?!

O: To prawda, nie da się w oczywisty i prosty sposób oznaczać

kątów za pomocą strzałek wektorów. Pytanie o to, jak używać wektorów do opisywania wielkości kątowych, jest bardzo sensowne, ale na razie nie powinieneś zaprzątać nim sobie głowy. Odpowiedź poznasz za jakiś czas, czytając rozdział 12.

kąty Typowym kątomierzem można mierzyć mniejsze lub równe 180°.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W jaki sposób Ty wyznaczyłbyś kąt 330°, mając do dyspozycji kątomierz ze skalą obejmującą 180°?

jesteś tutaj  213

Wyznaczanie kąta

Jeśli nie radzisz sobie z czymś dużym, podziel to na mniejsze części Próbując zmierzyć za pomocą linijki długość dłuższego od niej obiektu, możesz odmierzyć i zaznaczyć na tym obiekcie pełną długość linijki, a następnie, przykładając linijkę początkiem skali do zaznaczenia, zmierzyć pozostałą część obiektu. Podczas mierzenia naprawdę długich obiektów opisaną czynność możesz powtarzać wielokrotnie. Powyższy przykład wykonywania pomiaru długości z użyciem zwykłej linijki obrazuje jedną z podstawowych zasad fizyki, szczególnie przydatną, gdy omawiane problemy fizyczne stają się bardzo złożone. Zasada ta mówi, że jeśli nie jesteś w stanie poradzić sobie z czymś dużym, podziel to na mniejsze, łatwiejsze do ogarnięcia części.

Obiekt, który chcesz zmierzyć.

Obiekt jest dłuższy niż linijka.

Odmierz jedną pełną długość linijki… … zaznacz ją…

… a potem zmierz kolejny fragment obiektu.

Reguła ta sprawdza się podczas korzystania z kątomierza o skali mierzącej 180°. Używając takiego kątomierza do wyznaczania kątów większych niż 180°, możesz postąpić zgodnie z instrukcjami podanymi poniżej. Wybierz tę metodę korzystania z kątomierza, która bardziej Ci odpowiada.

Możesz wykonać kątomierzem dwukrotny pomiar i z dwóch mniejszych kątów złożyć jeden większy Możesz postąpić tak samo, jak to zostało opisane w przykładzie z linijką i obiektem zbyt dużym, żeby dało się go zmierzyć bez odrobiny pomysłowości. Skala kątomierza składa się ze 180 podziałek (każda podziałka to 1°), więc najpierw odmierz kąt półpełny. Aby zorientować się, jaki powinien być drugi z kątów, które chcesz wyznaczyć, musisz wykonać działanie 330° – 180° = 150°, a następnie odmierzyć obliczony kąt, zaczynając od miejsca, w którym zaznaczyłeś kąt półpełny (180°).

Możesz wyznaczyć kąt odpowiadający obrotowi w przeciwnym kierunku Można powiedzieć, że kąt 330° różni się od pełnego obrotu zaledwie o 30°, a więc odmierzenie kąta 330° w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara jest tym samym, co wyznaczenie kąta 30° mierzonego w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Wyznaczając kąt większy niż 180°, możesz wykonać tylko jeden pomiar typowym kątomierzem, jeśli zdecydujesz się zmierzyć kąt odpowiadający obrotowi odbywającemu się w przeciwnym kierunku w stosunku do obrotu opisującego kąt, który fatycznie powinieneś wyznaczyć. 360° - 30° = 330°

180°

Możesz wyznaczyć kąt większy niż 180°, wykonując kątomierzem podwójny pomiar.

214

Rozdział 5.

150°

Wektory

kątomierz Zaostrz ołówek Przygotuj kątomierz, bo już czas wrócić do instrukcji ze wskazówki 3. i wyznaczyć kurs, którym Ania będzie musiała przepłynąć jezioro.

-H]LRUR

Pn. Zach.

3RWRN

Wsch. Start

Pd.

3. Wskazówka do brzegu jeziora

Gdy już dotarłeś łódź, i odnalazłeś w sitowiu nie zwlekaj, bracie, pora wiosłować, pod takim kątem 0 stopni. dziób łodzi zwróć: 33 Obracaj się w stronę niezgodną z zegarem, zacznij się kręcić, patrząc na wschód. trów każdy, Płyń 4 razy po 100 me — j mu a potem przycu skończony Twój trud. ć się warto — 2 kroki do celu, wysili spiesz się, by zdobyć wskazówkę czwartą.

0m

100 m

200 m

300 m

400 m

Skala: 2 cm = 100 m

jesteś tutaj  215

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

6WDUDPDSD SRV]XNLZDF]\VNDUEyZ

kątomierz Zaostrz ołówek:

Rozwiązanie

-H]LRUR

Pn. Zach.

330°

Wsch.

400

3RWRN

m

Pd.

0RF]DU\

0RF]DU\ (WDS\



:VND]yZND :VND]yZND :VND]yZND Skala: 0m

216

Rozdział 5.

100 m 200 m 300 m 400 m 500 m

:VND]yZND









Wektory

Zdobyłeś czwartą wskazówkę… Ania zauważyła znak wystający z wody i znalazła wiszącą na nim czwartą wskazówkę. Najwyraźniej kierunek, w którym należało płynąć, wyznaczyłeś prawidłowo!

Wskazówka 4. Nagroda już blisko, przygotuj więc czółno Oto wielkość fizyczna, z którą po raz pierwszy stykasz się w tej książce.

Hmm… Prędkość to słowo opisujące nową wielkość fizyczną… Może warto spróbować zgadnąć, co kryje w sobie określenie „prędkość”?

i jedną minutę płyń raźno na północ. Myśl o łączeniu skutków i przyczyn, płyń, pamiętając, że prędkość się liczy: 1,5 m/s. Na koniec mądrość weź sobie do serca, niech Cię nie zgubi bezmyślność typowa: choć tak wygodniej i dużo prościej, nie zawsze z prądem można dryfować…

Znaczenie nieznanych sobie określeń możesz wydobyć z kontekstu, w jakim się pojawiają. Czasami, czytając rozmaite teksty, możesz natknąć się na słowa, których nie znasz lub których znaczenia nie jesteś pewien. Przede wszystkim ważne jest, żebyś w takich chwilach nie wpadał w panikę. Znaczenie nieznanego sobie słowa bądź wyrażenia pojawiającego się w tekście często będziesz w stanie wychwycić z kontekstu, w którym się pojawiło. O czym mówi reszta zdania lub akapitu? Czy w tekście wymienione zostały jakieś jednostki? O co chodzi w pozostałej części pytania? Na jakie pytanie powinienem odpowiedzieć?

Zaostrz ołówek

Spróbuj określić znaczenie słowa „prędkość” na podstawie kontekstu, w którym się znalazło. Jeśli wiesz, czym jest prędkość, napisz, w jaki sposób ktoś, kto tego nie wie, mógłby wywnioskować znaczenie słowa „prędkość” z kontekstu wskazówki 4.

jesteś tutaj  217

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Wskazówka 4. Spróbuj określić znaczenie słowa „prędkość” na podstawie kontekstu, w którym się znalazło.

Nagroda już blisko, przygotuj więc czółno

Jeśli wiesz, czym jest prędkość, napisz, w jaki sposób ktoś, kto tego nie wie, mógłby wywnioskować znaczenie słowa „prędkość” z kontekstu wskazówki 4.

Myśl o łączeniu skutków i przyczyn,

i jedną minutę płyń raźno na północ. płyń, pamiętając, że prędkość się liczy: 1,5 m/s.

Prędkość wyrażana jest w m/s. Zapis ten sugeruje, że chodzi o metry podzielone przez sekundy. Takiej samej JEDNOSTKI używa się do oznaczania szybkości. W tekście wskazówki pojawiła się również informacja o KIERUNKU (kierunek północny). Wydaje mi się, że prędkość mogłaby być wektorową odmianą szybkości, składającą się z wartości liczbowej oraz informacji o kierunku.

Na koniec mądrość weź sobie do serca, niech Cię nie zgubi bezmyślność typowa: choć tak wygodniej i dużo prościej, nie zawsze z prądem można dryfować…

Tak samo jak przemieszczenie jest wektorową odmianą odległości.

Prędkość jest „wektorową odmianą” szybkości Prędkość mierzy się w metrach dzielonych przez sekundę. Z tego wynika, że jednostki prędkości i szybkości są tak naprawdę jedną i tą samą jednostką. Można powiedzieć, że prędkość to „wektorowa odmiana” szybkości, ponieważ oprócz wartości liczbowej składa się na nią również informacja o kierunku. Szybkość jest wielkością skalarną: „Przemieszczam się z szybkością 1,5 m/s”. Prędkość jest wielkością wektorową: „Przemieszczam się z szybkością 1,5 m/s w kierunku północnym”.

Ta sama jednostka.

Wartość liczbowa.

Kierunek.

We wskazówce 4. poproszono Cię o podążanie przez jedną minutę z prędkością 1,5 m/s. Wykonując zadanie, powinieneś kierować się na północ. Z kontekstu wskazówki można wywnioskować, czym jest prędkość. Skalar.

Szybkość jest miarą dystansu pokonywanego w jednostce czasu. Skalar.

Prędkość jest miarą zmiany położenia zachodzącą w jednostce czasu. Wektor.

218

Rozdział 5.

Wektor.

Wektory

Zapisuj jednostki, korzystając z odpowiednich skrótów Zapewne zauważyłeś, że jednostka prędkości została zapisana we wskazówce jako m/s. Jest to prostszy i bardziej zwarty sposób zapisywania dzielenia metrów przez sekundy. Symbol „/” to symbol dzielenia (odpowiada słowom „na” oraz „dzielony, -a, -e przez”). Określenie „metr na sekundę” znaczy to samo, co „metr dzielony przez sekundę”. Dlatego, posługując się skrótami nazw jednostek, otrzymujemy jednostkę szybkości lub prędkości zapisaną jako „m/s”. Jednostki zapisane słowami.

metry na sekundę Słowo „na” oznacza to samo, co wyrażenie „dzielony, -a, -e przez”.

metry sekundę

Przeglądając inne podręczniki do fizyki, mogłeś zetknąć się również z zapisem ms-1.

Korzystaj z ogólnie przyjętych skrótów.

m s

Czas wreszcie zająć się wskazówką nr 4…

m/s Aby zaoszczędzić nieco miejsca na kartce, możesz poziomą kreskę ułamkową zastąpić znakiem „/”.

Wiedząc, że prędkość jest wektorem, powiedziałeś Ani, że powinna ustawić motorówkę dziobem na północ, a następnie przez jedną minutę płynąć z prędkością 1,5 m/s. Niestety, po dotarciu do miejsca docelowego Ania nie znalazła skarbu.

Płynęłam w dół potoku przez jedną minutę, tak jak prosiłeś, i okazało się, że nie znalazłam żadnego skarbu!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Co według Ciebie poszło nie tak?

jesteś tutaj  219

W grę wchodzi więcej prędkości

Powinieneś był wziąć pod uwagę również prędkość, z jaką płynie woda w potoku! W trzeciej wskazówce opisane zostało zadanie polegające na pływaniu po jeziorze, gdzie woda pozostaje w bezruchu. Prędkość motorówki względem wody w jeziorze była tą samą prędkością, którą wskazywał prędkościomierz.

Płynięcie na północ, o którym jest mowa we wskazówce 4., to przemieszczanie się w dół potoku, w kierunku morza. Gdyby Ania nie uruchomiła silnika, łódź sama popłynęłaby na północ z prędkością równą prędkości wody w potoku. Prędkość wody w potoku.

Prędkość łodzi. Prędkość wody w jeziorze = 0.

Swobodnie dryfująca łódź.

większa niż odczyt Prędkość motorówki mierzona z brzegu potoku jest z prędkościomierza zamontowanego w motorówce. Prędkość wody w potoku.

Ania uruchomiła silnik, przez co łódź popłynęła w kierunku północnym z prędkością 1,5 m/s (taką prędkość wskazywał Prędkość prędkościomierz). Pamiętaj jednak, łodzi. że prędkościomierz pokazuje prędkość, jaką łódź osiąga względem wody. Okazuje się więc, że Ania płynęła szybciej, niż powinna, bo z prędkością 1,5 m/s powiększoną o prędkość ruchu wody potoku.

Gdyby Ania płynęła w górę potoku, wektory prędkości łodzi i wody potoku miałyby przeciwne zwroty. Prędkość motorówki mierzona z brzegu potoku byłaby mniejsza niż odczyt z prędkościomierza Prędkość zamontowanego w motorówce. łodzi.

Prędkość wody w potoku.

220

Rozdział 5.

Wektory dodajemy zgodnie z zasadą „nos do ogona”.

Gdyby woda w potoku płynęła bardzo, bardzo szybko, łódź mogłaby się cofać, mimo że z odczytów wartości pokazywanych przez prędkościomierz wynikałoby, że płynie do przodu!

Prędkość łodzi. Prędkość motorówki mierzona z brzegu potoku jest mniejsza niż odczyt z prędkościomierza zamontowanego w motorówce.

Prędkość wody w potoku.

Prędkość motorówki obserwowana z brzegu jest ujemna (wektor prędkości ma zwrot przeciwny do kierunku, w którym ustawiony został dziób łodzi).

Wektory

Jeśli uda Ci się określić prędkość, z jaką płynie woda w potoku, będziesz w stanie obliczyć odpowiednią prędkość dla motorówki Przecież mogłabym Wektory prędkości można dodawać, korzystając z reguły „nos do ogona”, którą poznałeś przy okazji omawiania przeze mnie dodawania wektorów przemieszczenia.

wrzucić do potoku liść i sprawdzić, jak daleko dopłynie w określonym czasie, prawda?

Wiesz, że całkowita wartość prędkości łodzi powinna wynosić 1,5 m/s, zaś strzałka wektora prędkości powinna wskazywać kierunek północny. Ania postanowiła zmierzyć prędkość wody w potoku, wrzucając do niej liście. Teraz wystarczy wykonać odpowiednie obliczenia, przekazać Ani wytyczne i… sięgnąć po skarb!

Zaostrz ołówek Całkowita prędkość, z jaką powinna płynąć łódź, wynosi 1,5 m/s. a. Wyznacz prędkość potoku, wiedząc, że liść wrzucony do wody przez Anię w ciągu 20 s przebył 10 m w kierunku północnym.

Wskazówka 4. Nagroda już blisko, przygotuj więc czółno i jedną minutę płyń raźno na północ.

b. Jaką prędkość powinien wskazywać prędkościomierz zamontowany w motorówce, żeby Ania, postępując zgodnie z wytycznymi zawartymi we wskazówce 4., mogła znaleźć skarb? (Podczas szukania odpowiedzi na to pytanie pomocne może okazać się naszkicowanie sytuacji z użyciem strzałek wektorów).

Myśl o łączeniu skutków i przyczyn, płyń, pamiętając, że prędkość się liczy: 1,5 m/s. Na koniec mądrość weź sobie do serca, niech Cię nie zgubi bezmyślność typowa: choć tak wygodniej i dużo prościej, nie zawsze z prądem można dryfować…

jesteś tutaj  221

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Całkowita prędkość, z jaką powinna płynąć łódź, wynosi 1,5 m/s. a. Wyznacz prędkość potoku, wiedząc, że liść wrzucony do wody przez Anię w ciągu 20 s przebył 10 m w kierunku północnym. b. Jaką prędkość powinien wskazywać prędkościomierz zamontowany w motorówce, żeby Ania, postępując zgodnie z wytycznymi zawartymi we wskazówce 4., mogła znaleźć skarb? (Podczas szukania odpowiedzi na to pytanie pomocne może okazać się naszkicowanie sytuacji z użyciem strzałek wektorów).

a. W ciągu 20 s liść przepłynął 10 m w kierunku północnym. Zmiana wektora położenia Zmiana czasu 10 m = = 0,5 m/s w kierunku północnym 20 s

Prędkość =

b. Annie chce podążać na północ z prędkością 1,5 m/s. Wkład nurtu potoku do całkowitej prędkości łodzi to 0,5 m/s. Wobec powyższego łódź powinna płynąć w kierunku północnym z prędkością 1,0 m/s (prędkość mierzona względem wody w potoku).

Przemieszczenie = 10 m na północ t = 20 s Całkowita potrzebna prędkość to 1,5 m/s w kierunku północnym.

Pamiętaj, że opisując wielkość wektorową, zawsze oprócz wartości liczbowej trzeba podać KIERUNEK.

Prędkość wody w potoku: 0,5 m/s w kierunku północnym. Wymagana prędkość motorówki (mierzona względem wody w potoku). Dzięki szkicowi tok myślowy staje się bardziej uporządkowany!

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Wektor to obiekt, który zawsze mogę narysować w postaci strzałki, tak?

O

: Owszem. Długość strzałki jest proporcjonalna do wartości liczbowej związanej z daną wielkością fizyczną, natomiast kierunek i zwrot wskazywane przez strzałkę wskazują kierunek i zwrot właściwy dla wielkości fizycznej.

Wypadkowy wektor prędkości wskazuje kierunek, w jakim porusza się opisywany nim obiekt. 222

Rozdział 5.

P

: W przypadku przemieszczenia zasada ta wydawała mi się prosta i intuicyjna, m.in. dlatego, że długość strzałki odpowiadała jakiejś RZECZYWISTEJ długości. Przyznam, że trudno mi wyobrazić sobie stosowanie jej podczas opisywania wielkości takich jak prędkość.

O

: Wypadkowy wektor prędkości dowolnego ciała wskazuje kierunek, w którym porusza się owo ciało. Jeśli ciało to porusza się szybko, rysujesz dłuższą strzałkę, jeśli zaś wolniej — krótszą.

P

: Aha. W takim razie szybkie przemieszczanie się czegoś na północ zaznaczamy długą strzałką zwróconą grotem ku północy, a wolny ruch w kierunku południowym krótką strzałką wskazującą południe, tak?

O: Dokładnie tak.

Wektory Już wszystko rozumiem. No… prawie wszystko. Tak naprawdę nie jestem pewna, co dzieje się w sytuacji, gdy ktoś próbuje płynąć łódką pod prąd po rzece, w której korycie woda przemieszcza się naprawdę bardzo szybko. Jak to możliwe, żeby motorówka płynęła w tył, mimo że zamontowany w niej prędkościomierz wskazuje coś zupełnie innego?

Prędkościomierze montowane w łodziach mierzą prędkość, z jaką łódka przemieszcza się względem wody. Nas jednak interesuje prędkość łodzi obserwowana z brzegu rzeki lub potoku.

P

: O co w tym chodzi? Przecież łódka może mieć co najwyżej jedną, określoną prędkość, prawda? Gdyby woda w potoku płynęła bardzo, bardzo szybko, łódź mogłaby się cofać, mimo że z odczytów wartości pokazywanych przez prędkościomierz wynikałoby, że płynie do przodu!

Prędkość łodzi.

Prędkość wody w potoku.

P: Przecież to nie ma sensu… O: Widziałeś kiedyś ruchomy chodnik? Chodzi o jeden

Oto co by się działo, gdyby nurt rzeki lub potoku był bardzo szybki.

Całkowita prędkość motorówki jest ujemna (zwrot wypadkowego wektora prędkości łodzi jest przeciwny do zwrotu wektora prędkości tej łodzi mierzonej względem wody).

Wtakim razie Ania płynie na północ przez 1 minutę z prędkością 1,0 m/s… … ale i tym razem nie znajduje żadnego skarbu.

O

: Prędkościomierz zamontowany w łodzi mierzy prędkość, z jaką łódź porusza się względem wody. Wiemy jednak, że woda płynie z jakąś swoją prędkością, więc całkowita wartość prędkości łódki widzianej z brzegu potoku będzie inna, niż prędkość odczytana z prędkościomierza. Wektor prędkości łodzi obserwowanej z brzegu potoku wskazuje kierunek, w którym łódź się porusza. Wektor ten jest sumą dwóch wektorów: prędkości łodzi mierzonej względem wody oraz prędkości ruchu samej wody w korycie potoku.

z chodników, jakie często spotyka się na lotniskach — korzystając z nich, ludzie mogą pokonywać znaczne dystanse w krótkim czasie. Wyobraź sobie, co by się stało, gdybyś, jadąc takim chodnikiem, nagle się odwrócił i zaczął iść w przeciwnym kierunku? Mogłoby się okazać, że starając się iść do przodu po automatycznej bieżni, przemieszczałbyś się do tyłu względem ścian terminalu, ponieważ chodnik poruszałby się szybciej, niż Ty idąc po nim. W przypadku łódki płynącej po powierzchni rzeki bądź potoku sytuacja wygląda podobnie.

Czy my kiedykolwiek znajdziemy ten skarb?!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Ania wykonała wszystkie Twoje polecenia jak należy, ale znów się okazało, że coś poszło nie tak. Masz pomysł, co?

jesteś tutaj  223

Panie i panowie! Uruchamiamy silniki!

Przyspieszenie ruchu łodzi wymaga czasu Ania skierowała łódź na północ i zaczęła płynąć z prędkością 1,5 m/s, ale nie wzięła pod uwagę faktu, że wprawienie łodzi w ruch z pożądaną prędkością wymaga czasu. Potrzeba czasu na przyspieszenie od 0 m/s do 1,5 m/s. Problem w tym, że Ania zaczęła odliczać 1 minutę, zanim motorówka osiągnęła prędkość 1,5 m/s. Mówiąc inaczej, nie płynęła z prędkością 1,5 m/s przez całą minutę i w efekcie nie dopłynęła tak daleko, jak daleko powinna była dopłynąć.

Nie przejmuj się tym, że nie pomyślałeś o przyspieszaniu łodzi — wskazówka 4. zawierała trudny do zauważenia haczyk!

Część minuty została poświęcona na rozpędzenie łodzi od 0 m/s do 1,5 m/s… Między tymi punktami motorówka musi PRZYSPIESZYĆ.

Oto nieruchoma motorówka. Jej prędkość to 0 m/s.

A to ta sama motorówka płynąca z prędkością 1,5 m/s.

Wektor prędkości zaznaczamy, rysując strzałkę.

… a pozostała część na jej ruch z prędkością 1,5 m/s. Między tymi dwoma miejscami prędkość motorówki jest stała.

Wartość wektora prędkości = 0 m/s, a więc wektor prędkości w tym miejscu jest tylko punktem.

Gdyby motorówka płynęła z prędkością 1,5 m/s przez PEŁNĄ MINUTĘ, dopłynęłaby dalej. Motorówka od razu płynie z prędkością 1,5 m/s.

224

Rozdział 5.

Tu dopłynęłaby motorówka, która na początku odmierzania minuty się nie poruszała. Skarb tak naprawdę znajduje się tutaj.

Wektory

Jak radzić sobie z przyspieszeniem?

Przyspieszenie.

Odrobinę otwierasz zawór silnika.

Przyspieszenie jest miarą zmiany prędkości w czasie — mówiąc o przyspieszaniu jakiegoś obiektu, mamy na myśli fakt, że jego prędkość ulega zmianie. Przyspieszenie to wielkość wektorowa, Porządnie czyli wielkość, na którą składa się wartość liczbowa oraz informacja dodajesz gazu. o kierunku. Jeżeli sterując łodzią motorową płynącą do przodu, postanowisz „dodać gazu”, łódź przyspieszy w kierunku, w którym dotąd się poruszałeś. W omawianym przypadku kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest przedłużeniem dzioba łodzi. Jeśli zaś płynąc łódką do przodu, zdecydujesz się rzucić kotwicę, łódź zacznie hamować. O hamowaniu możesz myśleć jak o przyspieszaniu w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu. W trakcie hamowania wektor przyspieszenia będzie wskazywał kierunek za rufą łodzi.

Przyspieszenie.

Przyspieszenie.

Rzucasz kotwicę.

Przyspieszenie jest miarą zmiany prędkości obiektu w jednostce czasu.

Narysuj strzałki wektorów prędkości i przyspieszenia dla poszczególnych sytuacji opisanych poniżej.

Ćwiczenie Wektor przyspieszenia niekiedy rysuje się z dwoma grotami, żeby wyglądał inaczej niż wektory prędkości i przemieszczenia.

Prędkość.

Przyspieszenie.

Otwierasz zawór silnika (dodajesz gazu) w chwili, gdy łódź płynie do przodu.

Otwierasz zawór silnika w chwili, gdy łódź dryfuje do tyłu.

Rzucasz kotwicę w chwili, gdy łódź płynie do przodu.

Rzucasz kotwicę w chwili, gdy łódź płynie do tyłu. Właśnie tak! Masz odpowiedzieć na pytanie dotyczące ruchu kaczki płynącej prosto na Ciebie.

Kaczuszka, płynąc od strony prawej do lewej, uderza w lewą krawędź naczynia.

Kaczuszkę płynącą do przodu spycha prąd wodny oddziałujący od prawej do lewej.

jesteś tutaj  225

Ćwiczenie — rozwiązanie Wektory prędkości są szare.

Wektory przyspieszenia są czarne i mają po dwa groty.

Narysuj strzałki wektorów prędkości i przyspieszenia dla poszczególnych sytuacji opisanych poniżej.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Silnik zawsze przyspiesza łódź w kierunku do przodu, niezależnie od tego, w którą ze stron Przyspieszenie. porusza się łódź przed otwarciem zaworu silnika.

Prędkość.

Prędkość.

Przyspieszenie.

Otwierasz zawór silnika (dodajesz gazu) w chwili, gdy łódź płynie do przodu.

Otwierasz zawór silnika w chwili, gdy łódź dryfuje do tyłu.

Rzucenie kotwicy sprawia, że łódź zaczyna hamować. Prędkość. Hamowanie to inaczej przyspieszanie Przyspieszenie. w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (czyli do kierunku Rzucasz kotwicę w chwili, gdy łódź wskazywanego przez zwrot prędkości). płynie do tyłu.

Prędkość. Rzucenie kotwicy hamuje każdy ruch łodzi.

Przyspieszenie.

Rzucasz kotwicę w chwili, gdy łódź płynie do przodu. Przyspieszenie.

Prędkość. Krawędź naczynia działa tak samo, jak kotwica.

Przyspieszenie.

Kaczuszka, płynąc od strony prawej do lewej, uderza w lewą krawędź naczynia.

Prędkość.

Mimo że kaczuszka porusza się zarówno do przodu, jak i w bok, ZMIANA prędkości zachodzi tylko w kierunku, w którym oddziałuje prąd wodny.

Kaczuszkę płynącą do przodu spycha prąd wodny oddziałujący od prawej do lewej.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy oznaczanie

P: Jak to możliwe,

O: Może okazać się mylące,

: Rzucenie kotwicy przez sternika łodzi zmienia prędkość tej łodzi. Przyspieszenie definiuje się jako zmianę prędkości w jednostce czasu, więc z formalnego punktu widzenia nawet zwalnianie można nazywać przyspieszeniem.

strzałkami zarówno przemieszczenia, prędkości, jak i przyspieszenia nie jest mylące?

jeśli nie będziesz odpowiednio opisywał swoich rysunków.

226

Rozdział 5.

że kotwica powodująca hamowanie łodzi nadaje jej przyspieszenie?

O

P: Ale czy przyspieszenia, P: Och, matematycznie… które powoduje zmniejszanie prędkości, nie powinno nazwać się jakoś inaczej?

O

: Przyspieszenie takie nosi nazwę opóźnienia. Opóźnienie jest odwrotnością przyspieszenia i ma zwrot przeciwny do prędkości hamującego obiektu. Innymi słowy, opisując matematycznie wektory prędkości i opóźnienia hamującego obiektu, oznaczylibyśmy je przeciwnymi znakami.

Ale się cieszę… Jeśli mam matematycznie opisywać przyspieszenie i opóźnienie, czy nie powinienem znać ich jednostki?

O

: Przyspieszenie i opóźnienie są zmianami prędkości w czasie. W rozdziale 6. sam dojdziesz do tego, jaka jednostka odpowiada tym wielkościom. W tej chwili skupmy się na omawianiu samej idei przyspieszenia.

Wektory

Jeszcze raz wracamy do łodzi… Powiedziałeś Ani, że powinna płynąć na północ z prędkością 1,0 m/s przez dokładnie jedną minutę, a także, że rejs powinna zacząć w miejscu, w którym znajduje się znak z czwartą wskazówką. Niestety, ponieważ motorówka potrzebuje nieco czasu, żeby przyspieszyć od 0 m/s do 1,0 m/s, Ania płynęła z wymaganą prędkością niecałą minutę, w efekcie czego zatrzymała łódkę w złym miejscu.

Jesteś pewien, że tym razem znajdziemy skarb?

Teraz już wiesz, że musisz wziąć pod uwagę kwestię przyspieszania motorówki od 0 m/s do wymaganej prędkości 1,0 m/s. W jaki sposób poprowadziłbyś Anię do miejsca, w którym został ukryty skarb?

Zaostrz ołówek Zastanów się, w jaki sposób możesz pomóc Ani dotrzeć do kryjówki ze skarbem. Korzystając z pustego miejsca poniżej, opisz swój pomysł, wykonując rysunki, prowadząc obliczenia i (lub) wyjaśniając istotne według Ciebie kwestie. Zauważ, że nikt nie narzuca Ci konkretnej formy odpowiedzi — sam zadecyduj, w jakiej formie warto podać rozwiązanie problemu! Ważne jest, abyś wyjaśnił swój punkt widzenia najlepiej, jak to tylko możliwe.

Wskazówka 4. Nagroda już blisko, przygotuj więc czółno i jedną minutę płyń raźno na północ. Myśl o łączeniu skutków i przyczyn, płyń, pamiętając, że prędkość się liczy: 1,5 m/s. Na koniec mądrość weź sobie do serca, niech Cię nie zgubi bezmyślność typowa: choć tak wygodniej i dużo prościej, nie zawsze z prądem można dryfować…

jesteś tutaj  227

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Zastanów się, w jaki sposób możesz pomóc Ani dotrzeć do kryjówki ze skarbem. Korzystając z pustego miejsca poniżej, opisz swój pomysł, wykonując rysunki, prowadząc obliczenia i (lub) wyjaśniając istotne według Ciebie kwestie. Zauważ, że nikt nie narzuca Ci konkretnej formy odpowiedzi — sam zadecyduj, w jakiej formie warto podać rozwiązanie problemu! Ważne jest, abyś wyjaśnił swój punkt widzenia najlepiej, jak to tylko możliwe.

Ani można pomóc, obliczając wartość PRZEMIESZCZENIA. Aby dotrzeć do kryjówki ze skarbem, Ania musi płynąć z prędkością 1,5 m/s przez 60 s. Reguły prowadzenia obliczeń W czasie 1 s łódź przebywa 1,5 m.

na wartościach przemieszczenia i prędkości są takie same jak w obliczeniach, które wykonuje się dla drogi lub odległości oraz szybkości.

W czasie 60 s łódź przebywa 1,5 m × 60 = 90 m. Należy powiedzieć Ani, żeby przepłynęła 90 m, licząc od znaku z czwartą wskazówką. Należy również pamiętać, że Ania powinna płynąć w kierunku północnym.

Istnieją DWA sposoby na rozwiązanie tego konkretnego zadania.

Ci się Nawet jeśli czasem zdarzy r, będziesz wzó inny czy taki ieć zapomn jąc się ługu pos go, ć yśli wym w stanie że nigdy rozsądkiem. Pamiętaj więc, nie należy wpadać w panikę!

Problem można również rozwiązać metodą „startu z ruchu”. Jeśli łódź będzie poruszała się we właściwym kierunku z prędkością 1,5 m/s, wystarczy odmierzyć minutę od chwili przepływania obok znaku z czwartą wskazówką, żeby dotrzeć do kryjówki ze skarbem.

Prędkość = 0 m/s. Łódź osiągnęła prędkość 1,5 m/s przed znakiem.

228

Rozdział 5.



Uruchamiamy stoper w chwili mijania znaku.



Skarb znajduje się w miejscu, do którego motorówka dotrze po 1 minucie.

Wektory W takim razie nie jest ważne, w jaki sposób rozwiązujemy zadanie, ponieważ odpowiedź i tak wychodzi taka sama.

To prawda — może istnieć więcej niż jedna metoda rozwiązania problemu. Niektóre zadania można rozwiązać na kilka sposobów, a wybranie dowolnego z tych sposobów prowadzi do uzyskania tej samej odpowiedzi. Przykładem takich zadań mogą być zadania matematyczne dające się rozwiązać za pomocą jednego z kilku różnych istniejących równań lub wzorów. Czasami, szukając rozwiązania jakiegoś problemu, możesz również znaleźć wygodny skrót, dzięki któremu uda Ci się zaoszczędzić nieco czasu. Omawiana tu właściwość zadań z fizyki objawia się szczególnie wyraźnie, gdy mając do dyspozycji dużo przyrządów i rozmaitego sprzętu, staramy się rozwiązać zadanie polegające na zaprojektowaniu jakiegoś eksperymentu. Zazwyczaj istnieje przynajmniej kilka układów doświadczalnych, które da się złożyć z dostępnych elementów i które świetnie nadają się do przeprowadzenia niezbędnego eksperymentu. Gdy masz zaprojektować eksperyment, tylko od Ciebie zależy, w jaki sposób to zrobisz, w jaki sposób opiszesz i (lub) narysujesz układ doświadczalny. Taką swobodę miałeś podczas opracowywania metody postępowania dla Ani.

Podstawowa zasada szukania odpowiedzi na pytania z fizyki: najpierw musisz zrozumieć, o CO w ogóle chodzi, a następnie zastanowić się nad tym, JAK rozwiązać postawione przed Tobą zadanie.

jesteś tutaj  229

Ania znalazła skarb!

6WDUDPDSD SRV]XNLZDF]\VNDUEyZ

-H]LRUR

Pn. Zach.

3RWRN

Wsch. Pd.

90 m

0RF]DU\

0RF]DU\ (WDS\



:VND]yZND :VND]yZND :VND]yZND Skala: 0m

230

Rozdział 5.

100 m 200 m 300 m 400 m 500 m

:VND]yZND









Wektory

Wektor, kąt, prędkość i przyspieszenie = ZWYCIĘSTWO!!!

Wskazóruwnkackhasą wa1żn. e.

Informacje o kie miana” to „wektorowa od Przemieszczenie ktor przemieszczenia składa we i informacja odległości. Na ść liczbowa, jak się zarówno warto o kierunku. ać odpowiednio nki można oznacz Przeciwne kieru rzałkami wektorów lub znakami narysowanymi st „+” i „–”.

Wskazówka 2. Możesz dodawać wektory, które nie są do siebie równoległe. Robi się to, rysując je zgodnie z zasadą „nos do ogona”. Jeżeli przestrzegasz reguły „nos do ogona” i odpowiednio ustawiasz wektory, możesz dodawać je w dowolnej kolejności.

ka 3. Wskazów zy znacza się i mier

W fizyce kąty wy nym do kierunku ciw w kierunku prze zegara, ustawiając k we zó ka ws u ruch . kątomierz poziomo

Wskazówka 4.

Prędkość jest „wektorową odm ianą” szybkości. Na wektor prędkośc i się wartość liczbowa i informa składają cja o kierunku. Wektory prędkości możesz doda do siebie, postępując zgodnie wać z zasadą „nos do ogona”. Zawsze zadawaj sobie pytanie: czego mierzona jest podana pręd„Względem Na przykład prędkość łodzi moż kość?”. na mierzyć względem wody w rzece albo wzg lędem brzegu rzeki.

jesteś tutaj  231

Wektory kontra skalary

Jak to możliwe, że zadanie z Adamem — dostarczycielem pizzy — rozwiązywaliśmy, korzystając z drogi i szybkości, a w tym rozdziale cały czas mówimy o przemieszczeniu i prędkości? Dlaczego musieliśmy uczyć się tych wszystkich pojęć, zamiast od razu zacząć pracować z wielkościami wektorowymi, takimi jak przemieszczenie i prędkość?

Wektory (na przykład przemieszczenie) niekiedy bywają bardziej użyteczne niż skalary (na przykład droga lub odległość). Czasami lepiej jest używać skalarów, czasami zaś bardziej rozsądnie jest opisywać zjawiska za pomocą wektorów. Jeśli na przykład chcesz policzyć ilość paliwa, jaką spali Twój samochód podczas wyprawy, którą zamierzasz zacząć i zakończyć przed domem, wektor przemieszczenia o wartości zero do niczego Ci się nie przyda. W swoich obliczeniach będziesz musiał posłużyć się drogą. Jeśli jednak interesuje Cię określenie najkrótszej trasy łączącej dwa miejsca, wektory okażą się nieocenione.

Sam decydujesz o tym, czy daną sytuację lepiej będzie opisać za pomocą wektorów, czy z użyciem skalarów.

Istnieją również wielkości fizyczne, których jeszcze nie poznałeś, a które występują tylko w formie skalarnej lub wektorowej (chodzi o wielkości skalarne niemające wektorowych odpowiedników oraz wielkości wektorowe niemające skalarnych odpowiedników). Nie martw się, w następnych rozdziałach dowiesz się, jakie to wielkości.

Czasami warto korzystać z wektorów. Czasami warto korzystać ze skalarów.

232

Rozdział 5.

Wektory

Zaostrz ołówek Oto mapa z zaznaczonym domem jednego z klientów, którym Adam powinien dostarczyć pizzę. a. Narysuj trasę, jaką musi pojechać Adam, żeby znaleźć się przy domu klienta. Następnie narysuj wektor całkowitego przemieszczenia Adama po dotarciu do celu. b. W każdym z punktów oznaczonych symbolem „X” narysuj wektor prędkości Adama. c. Wyjaśnij, dlaczego mówiąc o pracy Adama, lepiej było korzystać z pojęć takich jak droga i szybkość, niż przemieszczenie i prędkość.

jesteś tutaj  233

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oto mapa z zaznaczonym domem jednego z klientów, którym Adam powinien dostarczyć pizzę. a. Narysuj trasę, jaką musi pojechać Adam, żeby znaleźć się przy domu klienta. Następnie narysuj wektor całkowitego przemieszczenia Adama po dotarciu do celu. b. W każdym z punktów oznaczonych symbolem „X” narysuj wektor prędkości Adama. c. Wyjaśnij, dlaczego mówiąc o pracy Adama, lepiej było korzystać z pojęć takich jak droga i szybkość, niż przemieszczenie i prędkość.

Adam nie może przejechać przez budynki ani przez środek kaczej sadzawki, natomiast wektor przemieszczenia przechodzi przez wszystkie te obiekty. W związku z tym mówienie o przemieszczeniu zamiast o drodze byłoby niemądre. Mimo że kierunek i zwrot wektora prędkości Adama ulegają zmianie, wartość wektora prędkości, czyli szybkość, jest stała. Dlatego mówienie o prędkości zamiast o szybkości również nie ma sensu.

Całkowita droga. Całkowite przemieszczenie.

Wielkości skalarnych, takich jak droga lub odległość oraz szybkość, używa się wtedy, gdy informacje o kierunku nie mają znaczenia. 234

Rozdział 5.

Wektory

jednostki

wykres

skalar

przyspieszenie

punkty szczególne

Teraz już wiem, jak radzić sobie z zaznaczaniem i odczytywaniem kierunków.

czas

Bądź częścią problemu. równanie

wektor

notacja naukowa

szybkość

droga

przemieszczenie prędkość

objętość

nachylenie Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Skalar

skalarna wielkość fizyczna składająca się tylko z wartości liczbowej.

Wektor

na wektorową wielkość fizyczną składa się zarówno wartość liczbowa, jak i informacja o kierunku.

Przemieszczenie

„wektorowa odmiana” odległości bądź drogi; zmiana wektora położenia.

Prędkość

„wektorowa odmiana” szybkości; zmiana wektora położenia w jednostce czasu.

Przyspieszenie

zmiana wektora prędkości w jednostce czasu.

jesteś tutaj  235

Najpierw co, a następ

Niezbędnik fizyka

nie jak

  

Niezbędnik fizyka Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 5. niniejszej książki. Twój niezbędnik fizyka wzbogacił się o dodatkowe słownictwo oraz wiedzę matematyczną.

Wykonuj r

ysunki

Rozwiązyw anie każde go zadania zaczynaj od z fizy wykonania odpowiednie ki rysunku. N go ie żartuję! Wszystkie powinieneś zadania rozwiązywa ć w oparciu o wykonane przez siebie rysunki. Wykonując rysunek, ca łą n gromadzisz w jednym m iezbędną wiedzę iejscu. W te odciążasz u n sposób mysł i pozw alasz mu s na szukaniu ię skupić rozwiązania problemu.

Czy kierunki są

Matematyka i

ALBO

dawaj sobie nia z fizyki, za da za c ją zu ią ch są w tym Rozw acje o kierunka rm fo in zy „C e: pytani ne?”. przypadku waż niem innego e jest rozwiąza ni ta py to na zadanie, lepiej Odpowiedź y rozwiązując cz u: m le ob pr ch (takich ważnego lkości skalarny ie w z ć ta ys rz czy może byłoby ko az szybkość), or ć ie oś gł le od przemieszczen jak droga, ych (takich jak w ro to ek w ci z wielkoś i prędkość).

mierzenie kątó

w

wektory są Jeśli wszystkie tej, jednej linii pros równoległe do tów ro zw h yc możliw jeden z dwóch drugi a i, tn da j za do wektorów uzna za ujemny. i dawaj wartośc Następnie podo nym aw pr iętając o po wektorów, pam i „-”. ” „+ nich znaków stawianiu przy

W fizyce kąty wyznacza się, wykonując obro w kierunku prze ty ciwnym do kier unku ruchu wskazówek zega ra. Wyznaczan ie kąta zaczyn się od narysow a ania linii poziom ej, która stanow pierwsze z dw óch ramion wyz i naczanego kąta . Kąt większy ni ż 180° można wyznaczyć za typowego kąto pomocą mierza na dwa sposoby: albo określając, o ile ów kąt jest wię kszy od kąta półpełnego (180 °), albo oblicza jąc, o ile kąt te jest mniejszy n od kąta pełneg o (360°).

236

Rozdział 5.

wektory

aj, ustawiając Wektory dodaw ona”. sadą „nos do og za z e ni od zg je

istotne?

Wyznaczanie i

Zanim na poważnie we źmiesz się za rozwiązywanie zada nia z fizyki, zastanów się, na jakie pytanie masz odpowiedzieć. Przeczytaj polecenie i podkreśl ważne fragmenty tekstu . Sposobu na rozwiązan ie zadania zaczynaj szukać, mając pewność, że wiesz, na jakie py tanie masz odpowiedzieć.

Kierunek oraz zwrot wektorów prędkości i przyspieszenia Wektor prędkości, z jaką porusza się obiekt, wskazuje kierunek ruchu tego obiektu. Wektor przyspieszenia wskazuje kierunek, w jakim zmienia się prędkość obiektu. Jeśli prędkość zmienia się pod wpływem jakiegoś oddziaływania, wektor przyspieszenia wskazuje kierunek tego oddziaływania.

Hej! Myślałam, że w fizyce chodzi o siedzenie w laboratorium i przeprowadzanie doświadczeń! To znaczy, kiedy zaczniemy zajmować się eksperymentami?

Masz rację. Eksperymentowanie umożliwia nam prowadzenie cennych obserwacji. Kilka kolejnych stron poświęcę na omówienie zagadnień związanych z projektowaniem zestawu doświadczalnego. Posługując się konkretnym przykładem, pokażę Ci, w jaki sposób tworzy się doświadczenie, ale… najpierw sam spróbuj zmierzyć się z tym problemem i zaprojektować swój własny zestaw eksperymentalny. Zanim przystąpisz do pracy, chcę Ci przypomnieć, że tak naprawdę wiesz więcej, niż sądzisz, że wiesz.

Spróbuj

Elektromagnes to magnes, który można włączać i wyłączać za pomocą wyłącznika prądu.

Masz do dyspozycji metalową kulkę z łożyska, taśmę mierniczą, stoper i elektromagnes, który może wyłączać się w chwili uruchamiania stopera. Twoim zadaniem jest zaprojektowanie eksperymentu, na podstawie którego byłbyś w stanie stworzyć wykres zależności przemieszczenia od czasu dla swobodnie spadającego obiektu. a. Wypisz poniżej dodatkowe przedmioty, których chciałbyś użyć do budowy zestawu doświadczalnego. Nie bój się spróbować swoich sił jako projektant eksperymentu. Następnych kilka stron poświęcę na omówienie kwestii związanych z tworzeniem zestawów doświadczalnych, ale… przecież nawet w tej chwili wiesz więcej, niż sądzisz!

b. Wykonaj rysunek wymyślonego przez siebie zestawu doświadczalnego. Nie zapomnij opisać poszczególnych istotnych fragmentów rysunku.

c. Zwięźle opisz, jak wyglądałoby przeprowadzanie eksperymentu z użyciem zaprojektowanego przez Ciebie zestawu doświadczalnego. Powinieneś napisać o tym, jakie pomiary byłbyś w stanie wykonać i w jaki sposób za ich pomocą mógłbyś narysować wykresy, z których dałoby się odczytać wartość przemieszczenia dla dowolnej chwili.

jesteś tutaj  237

Poradnia pytań — projektowanie eksperymentu Fizyka opiera się na analizie wyników rozmaitych eksperymentów, dlatego ważne jest, żebyś umiał projektować swoje własne doświadczenia. Zazwyczaj eksperyment można zaprojektować na kilka równie dobrych sposobów. W treściach niektórych zadań znajdują się listy przedmiotów, których możesz użyć, projektując zestaw doświadczalny, pamiętaj jednak, że Twój zestaw nie musi zawierać wszystkich tych przedmiotów. Sam najlepiej wiesz, czego potrzebujesz, żeby przeprowadzić wymyślony przez siebie eksperyment.

e lnych zawsz doświadcza projektując ów aw st ze , iu projektowan w, których można użyćń tego typu, tó da legające na Zadania po tę dostępnych elemen iązując niektóre z za elementów zawierają lisyment. Co więcej, rozwać do listy dostępnych ie przedmioty. swój eksper zie potrzeby, dopisyw wymyślone przez sieb można, w ra erymentalnego nowe, sp zestawu ek

Jeśli zdarzy Ci się rozwiązywać zadanie polegające na projektowaniu eksperymentu, podkreśl wszystkie słowa, z których wynika, co dokładnie masz zrobić. Chodzi przede wszystkim o to, żeby jak najszybciej odsiać ziarna od plew i wydobyć z tekstu informacje o tym, jakie polecenia należy wykonać.

ji metalową kulkę 6. Masz do dyspozyc rniczą, stoper z łożyska, taśmę mie y może wyłączać i elektromagnes, któr iania stopera. się w chwili urucham zaprojektowanie Twoim zadaniem jest dstawie którego eksperymentu, na po zyć wykres byłbyś w stanie stwor czenia od czasu zależności przemiesz ącego obiektu. dla swobodnie spadaj

iałbyś owe przedmioty, których chc a. Wypisz poniżej dodatk doświadczalnego. użyć do budowy zestawu u ślonego przez siebie zestaw b. Wykonaj rysunek wymy ch lny egó nij opisać poszcz doświadczalnego. Nie zapom u. istotnych fragmentów rysunk dałoby przeprowadzanie c. Zwięźle opisz, jak wyglą rojektowanego przez Ciebie eksperymentu z użyciem zap , . Powinieneś napisać o tym zestawu doświadczalnego sób spo i jak w i ać kon wy nie jakie pomiary byłbyś w sta dałoby ysować wykresy, z których nar yś głb mó ocą pom ich za ili. chw ej oln dow ieszczenia dla się odczytać wartość przem

W Polsce niezbyt często spotyka się zadania, których rozwiązywanie polega na projektowaniu doświadczeń, ale nie powinieneś zakładać, że nigdy nie przyjdzie Ci się zmierzyć z podobnym problemem.

Rysując wykres zależności dowolnej wielkości fizycznej od czasu, powinieneś pamiętać o tym, że czas zaznacza się na poziomej osi układu współrzędnych.

zawierają słowa kluczowe, z których Pytania takie jak to widoczne w ramce zazwyczaj Uważaj więc na ważne słowa . zrobić należy nie dokład co ać, można wywnioskow odczytując pytanie, natkniesz się pojawiające się w treściach zadań, jeśli bowiem żadnego rysunku, na pewno stracisz asz wykon nie i uj” na przykład na polecenie „narys kilka punktów!

238

Czytając treść zadania, zawsze zwracaj uwagę na słowa kluczowe, z których wynika, co tak naprawdę trzeba zrobić!

Ñ

?

Ñ

CO OZNACZAJĄ POSZCZEGÓLNE SŁOWA KLUCZOWE? Ñ

Ñ

Narysuj linie łączące słowa kluczowe z ich opisami. Opisy mówią, co powinieneś zrobić, gdy natkniesz się na któreś ze słów w treści zadania z fizyki.

Słowo kluczowe

Opis słowa kluczowego

zaprojektuj

Liczba z jednostką. Powód wykonywania doświadczenia — najczęściej rezultat obliczeń prowadzonych na wynikach pomiarów.

opisz, w jaki sposób przeprowadziłbyś…

Polecenie, które wykonujesz, wymyślając i opisując zestaw doświadczalny bądź cały eksperyment.

narysuj wykres

Adnotacja, najczęściej ze strzałką, pojawiająca się przy istotnych fragmentach rysunku.

opis

Wykonując to polecenie, robisz szkic zestawu pomiarowego złożonego z dostępnych elementów.

wynik pomiaru

Polecenie, zgodnie z którym powinno się w układzie współrzędnych wykreślić zależność między dwoma zbiorami liczb uzyskanych w trakcie przeprowadzania doświadczenia.

wynik doświadczenia

Wyrażenie odnoszące się do sposobu korzystania ze złożonego przez siebie zestawu doświadczalnego.

wykonaj rysunek

Liczba z jednostką, którą w trakcie przeprowadzania doświadczenia odczytujesz ze skali lub wyświetlacza przyrządu pomiarowego.

239

Ñ

?

Ñ

CO OZNACZAJĄ POSZCZEGÓLNE SŁOWA KLUCZOWE? Ñ

Ñ

Narysuj linie łączące słowa kluczowe z ich opisami. Opisy mówią, co powinieneś zrobić, gdy natkniesz się na któreś ze słów w treści zadania z fizyki.

Słowo kluczowe

Opis słowa kluczowego

zaprojektuj

Liczba z jednostką. Powód wykonywania doświadczenia — najczęściej rezultat obliczeń prowadzonych na wynikach pomiarów.

opisz, w jaki sposób przeprowadziłbyś…

Polecenie, które wykonujesz, wymyślając i opisując zestaw doświadczalny bądź cały eksperyment.

narysuj wykres

Adnotacja, najczęściej ze strzałką, pojawiająca się przy istotnych fragmentach rysunku.

opis

Wykonując to polecenie, robisz szkic zestawu pomiarowego złożonego z dostępnych elementów.

wynik pomiaru

Polecenie, zgodnie z którym powinno się w układzie współrzędnych wykreślić zależność między dwoma zbiorami liczb uzyskanych w trakcie przeprowadzania doświadczenia.

wynik doświadczenia

Wyrażenie odnoszące się do sposobu korzystania ze złożonego przez siebie zestawu doświadczalnego.

wykonaj rysunek

Liczba z jednostką, którą w trakcie przeprowadzania doświadczenia odczytujesz ze skali lub wyświetlacza przyrządu pomiarowego.

W pierwszej kolejności warto napisać, co da się zmierzyć przy wykorzystaniu zaprojektowanego zestawu doświadczalnego lub co w ogóle można zrobić z przedmiotami, które znalazły się na liście elementów przeznaczonych do budowy zestawu. Warto również wypisać wszelkie zależności między pomiarami i elementami zestawu doświadczalnego. Ponadto nie zapomnij zanotować sobie, co tak naprawdę jest celem Twoich działań, jakie dokładnie polecenia znalazły się w treści rozwiązywanego przez Ciebie zadania.

240

Zaostrz ołówek Poniżej widać listę elementów, z których — rozwiązując przykładowe zadanie — możesz zbudować swój zestaw doświadczalny. Twoim zadaniem jest napisać, do czego służą poszczególne przedmioty oraz co da się z ich użyciem zmierzyć. Ponadto napisz, w jakim celu masz zaprojektować doświadczenie (co ma być ostatecznym wynikiem eksperymentu?), oraz podaj związek jednostek wielkości fizycznych, które da się zmierzyć w trakcie przeprowadzania eksperymentu, z jednostkami finalnego wyniku tego eksperymentu.

Element zestawu doświadczalnego

Co możesz zmierzyć za pomocą tego elementu lub co możesz z nim zrobić?

metalowa kulka z łożyska taśma miernicza

stoper

elektromagnes

Jaki jest cel eksperymentu (co powinienem otrzymać jako ostateczny wynik doświadczenia): Związek między tym, co można zmierzyć za pomocą przedmiotów wypisanych w tabeli, a celem doświadczenia: Jeśli uważasz, że do przeprowadzenia eksperymentu będzie Ci potrzebny dodatkowy sprzęt, wypisz go w tym miejscu:

Podczas rozwiązywania zadań polegających na projektowaniu eksperymentów zawsze staraj się odpowiedzieć sobie na dwa pytania: „Co da się ZROBIĆ z przedmiotami wymienionymi na liście dostępnych elementów zestawu doświadczalnego?” oraz „W jaki sposób przedmioty te mogą działać razem, jako jeden zestaw doświadczalny?”. 241

Rozwiązując konkretne zadanie, nie musisz robić takich tabelek. Wystarczy, że na liście elementów zestawu doświadczalnego wykonasz odpowiednie notatki.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Poniżej widać listę elementów, z których — rozwiązując przykładowe zadanie — możesz zbudować swój zestaw doświadczalny. Twoim zadaniem jest napisać, do czego służą poszczególne przedmioty oraz co da się z ich użyciem zmierzyć. Ponadto napisz, w jakim celu masz zaprojektować doświadczenie (co ma być ostatecznym wynikiem eksperymentu?), oraz podaj związek jednostek wielkości fizycznych, które da się zmierzyć w trakcie przeprowadzania eksperymentu, z jednostkami finalnego wyniku tego eksperymentu.

Element zestawu doświadczalnego

Co możesz zmierzyć za pomocą tego elementu lub co możesz z nim zrobić?

metalowa kulka z łożyska

Kulkę mogę zrzucić z jakiejś wysokości, żeby swobodnie spadła.

taśma miernicza

Taśmą mierniczą mogę zmierzyć wysokość, z jakiej zrzucam kulkę.

stoper

elektromagnes

Za pomocą stopera mogę zmierzyć czas spadania kulki. Elektromagnes może służyć jako uchwyt do kulki sterowany wyłącznikiem prądu (wyłączenie elektromagnesu to początek swobodnego spadku kulki). Poza tym elektromagnes wyłącza się w chwili uruchamiania stopera.

Jaki jest cel eksperymentu (co powinienem otrzymać jako ostateczny wynik doświadczenia):

Po wykonaniu doświadczenia i uzyskaniu niezbędnych wyników powinienem narysować wykres zależności przemieszczenia spadającej kulki od czasu.

Związek między tym, co można zmierzyć za pomocą przedmiotów wypisanych w tabeli, a celem doświadczenia:

Wykonując eksperyment, mogę zmierzyć przemieszczenie (m) oraz czas (s). Wartość przemieszczenia mierzy się taśmą mierniczą, a czas stoperem.

Jeśli uważasz, że do przeprowadzenia eksperymentu będzie Ci potrzebny dodatkowy sprzęt, wypisz go w tym miejscu:

Potrzebuję czegoś, co będzie trzymało elektromagnes. Poza tym przydałoby się coś, czego mógłbym użyć do wyłączania stopera w chwili zderzenia spadającej kulki z podłożem.

Zwracaj uwagę na JEDNOSTKI wielkości mierzonych w trakcie przeprowadzania doświadczenia i JEDNOSTKĘ ostatecznego wyniku eksperymentu. Jakie relacje dostrzegasz między jednostkami?

242

To konkretne pytanie można sformułować nieco inaczej: czy chciałbyś zbiór dostępnych elementów zestawu doświadczalnego rozbudować o dodatkowe, nieujęte w spisie przedmioty? Aby odpowiedzieć na takie pytanie, musisz wykonać test „świata idealnego”, czyli zastanowić się, jakiego sprzętu potrzebowałbyś, gdybyś chciał jak najdokładniej zbadać określone zjawisko fizyczne dziejące się w świecie idealnym. Gdy już wiesz, z czego będzie składał się Twój układ doświadczalny, powinieneś dokładnie go sobie wyobrazić. Zanim przystąpisz do projektowania, rysowania i opisywania układu doświadczalnego, stwórz w głowie jego możliwie najdokładniejszy obraz.

Okazało się, że możesz usprawnić zestaw doświadczalny, dodając do niego dodatkowy sprzęt: urządzenie zatrzymujące stoper i ramię podtrzymujące elektromagnes. W trakcie wykonywania eksperymentu możesz posłużyć się taśmą mierniczą i stoperem. Taśma miernicza przyda się do mierzenia wartości przemieszczenia kulki, natomiast stoper ułatwi Ci wykonywanie pomiarów czasu. W treści zadania znalazła się również informacja, że elektromagnes może się sam wyłączać w chwili uruchamiania stopera. Skoro jesteś w stanie włączać stoper dokładnie w chwili, gdy kulka zaczyna spadać, zapewne chciałbyś móc go wyłączać w momencie, gdy tylko uderza ona o podłoże, na które spada. Dlatego przydałby Ci się dodatkowy sprzęt, na przykład podstawka z odpowiednim przełącznikiem podłączonym do stopera. Chodzi o to, żeby kulka, uderzając w podstawkę, wyłączała stoper.

Zaostrz ołówek Czy zestaw doświadczalny, o którym myślisz w tej chwili, jest podobny do zestawu narysowanego przez Ciebie zaraz po przeczytaniu treści zadania? A może obydwa zestawy znacząco się od siebie różnią? Jeśli zestaw doświadczalny, którego użyłbyś teraz, różni się od tego, który wymyśliłeś zaraz po zapoznaniu się z treścią wspólnie rozwiązywanego przez nas zadania, narysuj i opisz nowy zestaw. Wyjaśnij również, w jaki sposób użyłbyś go do uzyskania niezbędnych wyników i narysowania wykresu zależności przemieszczenia od czasu. Możliwe, że wymyślony przez Ciebie zestaw doświadczalny w ogóle się nie zmienił… Jeśli uważasz, że najlepiej byłoby skorzystać z układu doświadczalnego, który zaprojektowałeś zaraz po przeczytaniu treści przykładowego zadania, nie musisz wykonywać tego ćwiczenia.

243

Spróbuj er i elektromagnes, który może z łożyska, taśmę mierniczą, stop Masz do dyspozycji metalową kulkę ojektowanie eksperymentu, zapr jest niem zada im stopera. Two wyłączać się w chwili uruchamiania mieszczenia od czasu dla prze i nośc zależ ie stworzyć wykres na podstawie którego byłbyś w stan swobodnie spadającego obiektu. budowy zestawu dmioty, których chciałbyś użyć do a. Wypisz poniżej dodatkowe prze doświadczalnego. go. Nie zapomnij opisać przez siebie zestawu doświadczalne b. Wykonaj rysunek wymyślonego tów rysunku. poszczególnych istotnych fragmen z użyciem zaprojektowanego przeprowadzanie eksperymentu c. Zwięźle opisz, jak wyglądałoby jakie pomiary byłbyś w tym, o sać napi eś alnego. Powinien przez Ciebie zestawu doświadcz wykresy, z których dałoby się ć sowa nary ich pomocą mógłbyś stanie wykonać i w jaki sposób za dla dowolnej chwili. odczytać wartość przemieszczenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy zestaw doświadczalny, o którym myślisz w tej chwili, jest podobny do zestawu narysowanego przez Ciebie zaraz po przeczytaniu treści zadania? A może obydwa zestawy znacząco się od siebie różnią? Jeśli zestaw doświadczalny, którego użyłbyś teraz, różni się od tego, który wymyśliłeś zaraz po zapoznaniu się z treścią wspólnie rozwiązywanego przez nas zadania, narysuj i opisz nowy zestaw. Wyjaśnij również, w jaki sposób użyłbyś go do uzyskania niezbędnych wyników i narysowania wykresu zależności przemieszczenia od czasu. Możliwe, że wymyślony przez Ciebie zestaw doświadczalny w ogóle się nie zmienił… Jeśli uważasz, że najlepiej byłoby skorzystać z układu doświadczalnego, który zaprojektowałeś zaraz po przeczytaniu treści przykładowego zadania, nie musisz wykonywać tego ćwiczenia.

Nie zapomnij o opisach — dzięki nim wiadomo, co znajduje się na rysunku!

Stojak z ruchomym ramieniem Elektromagnes

Kulka z łożyska

Stoper

244

Podstawka z wyłącznikiem

Odległość między dolną częścią kulki a górną powierzchnią podstawki (wyznaczana z użyciem taśmy mierniczej).

Nie trać czasu na rysowanie pięknych rysunków.

Za pomocą stojaka z ruchomym ramieniem i taśmy mierniczej kulkę można zawiesić na określonej, ustawianej ręcznie wysokości. Czas spadania kulki z ustawionej wysokości mierzy się, korzystając ze stopera, elektromagnesu i podstawki z wyłącznikiem. Doświadczenie przeprowadza się następująco: mierzy się czas spadania kulki z kilku różnych wysokości, w tym najmniejszej i największej możliwej (najmniejsza wysokość odpowiada najkrótszemu okresowi, jaki daje się mierzyć stoperem, największa zaś maksymalnej długości pionowego ramienia stojaka). Pomiary czasu dla każdej z ustawionych wysokości wykonuje się dwulub trzykrotnie, ażeby zmniejszyć błąd statystyczny, jakim obarczone są wyniki eksperymentu. Następnie, korzystając z uzyskanych wyników pomiaru czasu, należy narysować wykres; na osi poziomej układu współrzędnych powinien zostać zaznaczony czas, na osi pionowej zaś zaznacza się wartość przemieszczenia. Punkty naniesione w układzie współrzędnych łączy się linią ciągłą. Krzywa będąca końcowym rezultatem przeprowadzenia eksperymentu umożliwia odczytanie czasu spadania kulki z dowolnej wysokości. Czas zawsze zaznacza się na poziomej osi układu współrzędnych.

CELNE SPOSTRZEŻENIA

Czy nie byłoby warto zrobić podsumowania całego tego wykładu?

‹W Polsce rzadko spotyka się na egzaminach zadania,

których rozwiązywanie polega na projektowaniu eksperymentów, ale nie możesz wykluczyć możliwości, że kiedyś przyjdzie Ci zmierzyć się właśnie z takim zadaniem. ‹W treści zadania wspomnianego typu zazwyczaj

znajduje się lista elementów, z których można złożyć zestaw doświadczalny. Zadanie takie często daje się rozwiązać na kilka sposobów, dlatego starając się zaprojektować układ doświadczalny, nie czuj się zobowiązany do korzystania ze wszystkich przedmiotów wymienionych w poleceniu. ‹Projektując zestaw doświadczalny, możesz

korzystać również z dodatkowych przedmiotów, nieuwzględnionych w treści zadania, musisz jednak umieć wyjaśnić, dlaczego powiększyłeś zestaw elementów układu doświadczalnego o nowy sprzęt. ‹Rozwiązując zadanie polegające na tworzeniu

układu doświadczalnego, pamiętaj, że należy dokładnie i uważnie przeczytać treść polecenia oraz podkreślić w nim słowa, z których wynika, co tak naprawdę należy zrobić. ‹Pamiętaj również, że słowa takie jak zaprojektuj,

opisz, narysuj albo wyjaśnij, są informacją, za co zyskuje się punkty! ‹W trakcie projektowania zestawu doświadczalnego

pomocne może okazać się napisanie na kartce, co można zrobić z poszczególnymi jego elementami oraz co da się za ich pomocą zmierzyć. W ten sposób pobudzasz swój umysł do bardziej wydajnej pracy. ‹Ważne jest, abyś dokładnie wyjaśnił, co dałoby

przeprowadzenie zaprojektowanego przez Ciebie eksperymentu, jak i do czego należałoby używać poszczególnych elementów układu doświadczalnego, a także wykres jakiej zależności można by uzyskać na podstawie uzyskanych wyników. ‹Rysując wykresy, pamiętaj, że czas zawsze zaznacza

Pamiętaj, że rozwiązując zadanie polegające na projektowaniu układu doświadczalnego, powinieneś dokładnie wyjaśniać, na czym polega i do uzyskania jakich wyników prowadzi eksperyment, który można by za jego pomocą przeprowadzić.

się na poziomej osi układu współrzędnych.

245

246

Rozdział 5.

'( $    

O co chodzi? Przekazana biegnącemu z tyłu… od wznowienia gry pokonał około pięciu metrów pod kątem 30° do linii… teraz znów zmienił kierunek — patrzcie państwo, jak przyspiesza… zdobył już jeden metr i nadal biegnie…

Czy podczas powtórki nie możemy pokazać tablicy ze schematem całej akcji?

Ciężko śledzi się naraz więcej niż jedną rzecz. Wyobraź sobie spadający przedmiot. W tym samym czasie powinieneś śledzić jego przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. W jaki sposób odnotować wszystkie trzy czynniki i nie pominąć niczego istotnego? Z tego rozdziału dowiesz się, jak rozwinąć supermoce doświadczenia, wykresu i nachylenia, aby przygotować się na spięcie tego wszystkiego równaniem czy dwoma.

to jest nowy rozdział 247

O co w tym chodzi?

Oto kolejny dzień na pustyni…

Dingo zepchnie klatkę z dźwigu, gdy Emu pokaże się za zakrętem.

Pies Dingo chce utrzymać strusia Emu w miejscu na tyle długo, żeby doręczyć mu zaproszenie na swoje przyjęcie urodzinowe.

Dingo musi znać wysokość dźwigu. Musi też wiedzieć, czy klatka wytrzyma upadek z takiej wysokości.

Emu biega z prędkością 54 km/h.

Tarcza celownicza znajduje się 30 metrów od zakrętu.

Klatka ma spaść w określonym punkcie, na tarczę celowniczą.

248

Rozdział 6.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

…i kolejne spotkanie z Dingo i Emu! Emu — biegus pędziwiatrus

Co roku to samo! Dingo chce zaprosić Emu na swoje urodziny, ale ten durny ptak nie chce zatrzymać się nawet na chwilę, więc nie można wręczyć mu zaproszenia. W tym roku Dingo dojrzał do decyzji — zacieśnienie międzygatunkowych więzi przyjaźni wymaga drastycznych środków. Pies wynajął dźwig, żeby zrzucić z niego klatkę, która spadnie na przebiegającego w dole ptaka, gdy tylko ten pojawi się za zakrętem. Ale czy takie rozwiązanie ma sens? Jak wysoki musi być dźwig i czy klatka wytrzyma zderzenie z ziemią po osiągnięciu znacznej prędkości?

54 km/h

Dingo dzwoni więc do centrum obsługi klienta firmy trudniącej się wynajmowaniem dźwigów i zadaje kilka niewygodnych pytań…

Magnesiki dostawcy dźwigów + $ $'      "       "  *         ,   "  "    - SRGNUHĤOQDMZDİQLHMV]HIUDJPHQW\   $   .   

.ODWND 'R 3LHV'LQJR  7HPDW QD ELHJQÈFHJR +PPFKFHV] ]U]XFLÊNODWNÚ SRGDQÈQDPRQLWRU]H Ľ (PXELHJD] ZRGOHJïRĂFL 8VWDZLOLĂP\ GěZLJ LWDUF]Ú VSDGDZ F]DVLHZMDNLP

"%ÚG]LH WUXGQR  RG]DNUÚWX SRNRQXMH

SRNRQDVSDGDMÈFD NODWND DNÈ ]DNUÚW-HĝHOL REOLF]\P\M  QLÚFLH SRWU]HEQ\P (PXQDSU]HELHJ Z \P  LZUöFLP\GRGRPöZ] SRNDěQ XVWDZLP\ GěZLJ QD WÚ   Z\WU]\PD XGHU]HQLHR ]LHPLÚ 8ZDĝDM Ľ MQLĝ  PV MHĝHOLEÚG]LHVSDGDÊ ZROQLH !"  



  

 

 

     

 #

  !" 

jesteś tutaj  249

Rozwiązanie magnesików

Magnesiki dostawcy dźwigów. Rozwiązanie + $ $'      "       "  *         ,   "  "    - SRGNUHĤOQDMZDİQLHMV]HIUDJPHQW\   $   .   

.ODWND 'R 3LHV'LQJR  7HPDW +PPFKFHV] ]U]XFLÊNODWNÚ (PXELHJD]

  

QD ELHJQÈFHJR



SRGDQÈQDPRQLWRU]H Ľ

ZRGOHJïRĂFL 8VWDZLOLĂP\ GěZLJ LWDUF]Ú VSDGDZ F]DVLHZMDNLP  

!" 

"%ÚG]LH WUXGQR  



RG]DNUÚWX SRNRQXMH

SRNRQDVSDGDMÈFD NODWND  # DNÈ ]DNUÚW-HĝHOL REOLF]\P\M  !" QLÚFLH SRWU]HEQ\P (PXQDSU]HELHJ  Z \P  LZUöFLP\GRGRPöZ] SRNDěQ    XVWDZLP\ GěZLJ QD WÚ   Z\WU]\PD XGHU]HQLHR ]LHPLÚ   Ľ DM ZDĝ  8     MQLĝ  PV MHĝHOLEÚG]LHVSDGDÊ ZROQLH

NOTATKI Jaki jest czas spadania klatki? 

!" 

Te magnesiki nie zostały wykorzystane, ponieważ mają niewłaściwe jednostki.  

Chodzi raczej o szybkość (wartość prędkości), z jaką przemieszcza się Emu, ponieważ droga jest zakrzywiona.

250

Rozdział 6.

Na jakiej wysokości powinna znajdować się platforma dźwigu? Czy w chwili uderzenia o ziemię klatka będzie spadać szybciej niż 25 m/s?

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Który problem spróbujesz rozwiązać najpierw?

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Jak wykorzystać to, co już wiesz? Dingo zrzuci klatkę, gdy tylko zobaczy Emu wyłaniającego się zza zakrętu. Spadanie klatki i bieg Emu do wyznaczonego punktu zajmą tyle samo czasu. Czas, jaki zajmuje Emu dotarcie do celu, zależy od jego szybkości i odległości, którą ma do pokonania. Skoro Emu przemieszcza się ze stałą szybkością, wiesz, z jakiego równania powinieneś skorzystać. Gdy poznasz już czas potrzebny Emu na przebycie drogi do celu, będziesz musiał sprawdzić, jaką drogę przebywa w tym samym czasie spadająca klatka. W ten sposób Dingo pozna docelową wysokość zamocowania platformy na dźwigu.

Emu potrzebuje czasu, żeby pokonać odległość dzielącą zakręt od celu.

Klatka potrzebuje czasu na przebycie drogi między platformą a celem.

Jeśli jednak okaże się, że w czasie potrzebnym Emu na osiągnięcie celu szybkość klatki przekracza graniczną wartość 25 m/s, plan nie zadziała, ponieważ klatka nie wytrzyma siły uderzenia o ziemię. Jak dotąd nie miałeś do czynienia w się mart ze spadającymi ciałami, ale nie — o tym właśnie jest ten rozdział.

Te czasy są równe.

Zaostrz ołówek Po kolei — oblicz czas potrzebny Emu na pokonanie dystansu 30 m z szybkością 54 km/h.

Wskazówka: Będziesz musiał przeliczyć jednostki.

jesteś tutaj  251

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Po kolei — oblicz czas potrzebny Emu na pokonanie dystansu 30 m z szybkością 54 km/h.

Przeliczam jednostki z km/h na m/s. km

54 km/h W m/s = 54 To symbol wynikania. Możesz używać go w czasie przekształcania równania, gdy chcesz przejść do nowego wiersza.

h

x

1000 m 1 km

x

1h 60 min

x

1 min 60 s

Po uporządkowaniu ustawionych kolejno współczynników zamiany jednostek otrzymasz na górze metry, a na dole sekundy — m/s.

= 15 m/s Obliczam czas biegu Emu. =

odległości czasu

czasu

=

odległości

czasu

=

szybkość

szybkość

odległości = szybkość

Równanie wynika z jednostki szybkości. Metry na sekundę to odległość podzielona na czas.

30 m = 2,0 s 15 m/s

Przekształć równanie tak, by doprowadzić je do postaci czasu = …

Jeżeli nie masz przekonania do przeliczania wszystkich jednostek naraz, możesz wykonywać poszczególne kroki oddzielnie. To też dobra metoda.

Wszystkie wartości zadania podano z dokładnością do dwóch cyfr znaczących, więc Ty też powinieneś zapisać swoją odpowiedź z taką dokładnością.

Emu dobiega do celu w 2,0 sekundy, więc klatka też musi spadać 2,0 sekundy.

NOTATKI

Wiesz, że Emu osiąga cel w czasie równym 2,0 s.

Jaki jest czas spadania klatki? Na jakiej wysokości powinna znajdować się platforma dźwigu? Czy w chwili uderzenia o ziemię klatka będzie spadać szybciej niż 25 m/s?

252

Rozdział 6.



 Zatem klatka musi opaść na niego również w 2,0 s.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie No dobrze, mam więc obliczony czas, ale… ech, nadal nie wiem, jakiej wysokości powinien być dźwig ani jak szybko porusza się klatka w chwili uderzenia o ziemię. Czy nie to mieliśmy policzyć?

Nie bój się rozpocząć poszukiwań odpowiedzi, nawet jeśli nie wiesz, w jakim kierunku Cię zaprowadzą.

Nie martw się! I tak posunęliśmy się do przodu. Przed rozpoczęciem pracy znałeś tylko kilka suchych liczb opisujących szybkość, z jaką biega Emu, i odległość, jaką ma pokonać — nic na temat klatki czy platformy dźwigu. Teraz musimy obliczyć szybkość, z jaką porusza się klatka po 2,0 sekundach lotu, i odległość, jaką pokonuje w tym czasie.

BĄDŹ klatką Musisz wyobrazić sobie, że jesteś klatką. Co czujesz, znajdując się w każdym z punktów przedstawionych na rysunku? W jakim kierunku się poruszasz? Przyspieszasz czy zwalniasz? Dlaczego poruszasz się w ten sposób?

Punkt 1. Właśnie zepchnięto Cię z platformy.

Punkt 2.

W punkcie 1.:

W punkcie 2.: Punkt 3.

W punkcie 3.:

W punkcie 4.:

Punkt 4. Zaraz wylądujesz (ale jeszcze nie zetknąłeś się z ziemią).

Dlaczego:

jesteś tutaj  253

Bądź… rozwiązaniem

BĄDŹ klatką. Rozwiązanie Musisz wyobrazić sobie, że jesteś klatką. Co czujesz, znajdując się w każdym z punktów przedstawionych na rysunku? W jakim kierunku się poruszasz? Przyspieszasz czy zwalniasz? Dlaczego poruszasz się w ten sposób?

Punkt 1. Właśnie zepchnięto Cię z platformy.

Punkt 2.

W punkcie 1.: To jeden z „punktów szczególnych”, ponieważ nagle przestaję tkwić w miejscu i zaczynam spadać. W punkcie 2.: Spadam szybciej niż w punkcie 1. Punkt 3.

W punkcie 3.: Spadam jeszcze szybciej niż w punkcie 2.

W punkcie 4.: Poruszam się najszybciej jak to możliwe i zaraz uderzę o ziemię (osiągnę ten punkt po 2,0 s, jeżeli wysokość dźwigu będzie odpowiednia).

Punkt 4. Zaraz wylądujesz (ale jeszcze nie zetknąłeś się z ziemią).

Dlaczego: Siła grawitacji przyspiesza mój ruch. W tym zadaniu narzuciliśmy Ci nagłówki poszczególnych etapów rozważań, ale zawsze warto zaznaczyć, którą część problemu właśnie analizujesz!

Spadając, klatka przyspiesza Będziemy mówić o przemieszczeniu klatki i jej prędkości, ponieważ KIERUNEK ruchu ma w tym przypadku znaczenie — klatka nie jest wystrzeliwana do góry, a spada swobodnie!

254

Rozdział 6.

Zauważyłeś, że klatka przyspiesza w czasie spadania. Przyspieszenie opisuje tempo zmiany prędkości. O tym, że klatka przyspiesza, świadczy fakt, że jej prędkość ciągle się zmienia. Na początku wynosi zero, a w miarę zbliżania się do powierzchni ziemi ciągle wzrasta. Pamiętając o tym fakcie, postaramy się wyznaczyć prędkość klatki po dwóch sekundach lotu oraz obliczyć jej przemieszczenie w tym czasie, dzięki czemu Dingo będzie wiedział, czy pomysł ma w ogóle szansę zadziałać i jak wysoko powinien ewentualnie ustawić platformę.

Prędkość ciała, które przyspiesza, ulega zmianie.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie Ej, o co chodzi z tym przemieszczeniem i prędkością? Droga i szybkość w zupełności mi wystarczały.

Przemieszczenie i prędkość będą lepsze na dłuższą metę. Ponieważ klatka spada zawsze w tym samym kierunku — w dół — możesz opisywać jej ruch albo za pomocą pojęć „szybkość” i „droga”, albo „prędkość” i „przemieszczenie”. Jednak już niedługo zaczniesz stykać się z problemami, w których kierunek ruchu będzie miał zasadnicze znaczenie i w których będziesz musiał posługiwać się wektorami. Jeżeli podczas opisywania ruchu klatki zdecydujesz się na pracę z przemieszczeniem, prędkością i przyspieszeniem, szybko się z nimi oswoisz, co w przyszłości wyjdzie Ci tylko na dobre.

Zapisz równania wektorowo Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie z bliska Przemieszczenie to „wersja wektorowa” drogi. W równaniach oznacza się je zazwyczaj literą x (w niektórych podręcznikach pojawia się też oznaczenie s). Prędkość opisuje tempo zmian przemieszczenia, czyli jest „wektorową wersją” szybkości. W równaniach oznacza się ją literą v. Przyspieszenie określa tempo zmiany prędkości. Oznacza się je literą a. Przyspieszenie nie ma swojego skalarnego odpowiednika. Jeżeli obiekt porusza się ze zmienną prędkością, musisz znać kierunek zmiany jej wektora — tylko wtedy opis zmiany prędkości będzie miał sens. W przeciwnym razie nie będziesz w stanie stwierdzić, czy ciało przyspiesza, czy zwalnia, a może zmienia kierunek ruchu, bo prędkość może zmieniać się w każdy z przytoczonych tu sposobów.

Używałeś już równania szybkości odległości szybkość = czasu żeby obliczyć za jego pomocą czas potrzebny Emu na dotarcie do celu. Wektorowa wersja tego równania ma następującą postać: przemieszczenia Symbol prędkość = jest tożsamy czasu

z pojęciem „zmiana”.

'#!( v = x t

Równanie to ma to samo znaczenie, z tym że zamiast szybkości i odległości operuje pojęciami prędkości i przemieszczenia.

prędkość

v=

x t

zmiana położenia (przemieszczenie)

zmiana czasu

Wartości wektorowe oznacza się czcionką pogrubioną, na przykład x i v, a kursywą oznacza się wartości skalarne, na przykład t.

jesteś tutaj  255

Najpierw przemieszczenie czy prędkość? Czyli mamy obliczyć przemieszczenie klatki po 2,0 sekundach lotu. To nie brzmi najgorzej. Kuba: Musimy też obliczyć prędkość klatki w chwili uderzenia w ziemię. Jeżeli będzie większa niż 25 m/s, klatka rozpadnie się w drobny mak. Krzysiek: To może obliczmy najpierw prędkość? W ten sposób, jeśli okaże się, że po 2,0 sekundach lotu jest ona większa niż wartość graniczna, nie będziemy musieli sprawdzać przemieszczenia. Franek: Świetny pomysł. Na skróty zawsze lepiej! Kuba: Hmm, przecież ostatnio liczyliśmy coś podobnego. Rowerzysta jeździł wszędzie z tą samą szybkością. Może użyjemy równania v = x  t

!!'%)"*) "'"+

Franek: Tak, użyjmy tego równania! Szukamy przecież prędkości, a po jego lewej stronie jest napisane „v = ”. Litera v to przecież prędkość. Idealnie! Krzysiek: Nie jestem do końca przekonany. Klatka nie porusza się cały czas z tą samą prędkością — przyspiesza, spadając. Kuba: Ale przecież to nie znaczy, że nie możemy użyć tego równania, prawda? Jeżeli obliczymy przemieszczenie, będziemy mogli podzielić je przez czas, żeby uzyskać prędkość. Krzysiek: Nie sądzę. Gdyby klatka poruszała się ciągle ze stałą prędkością, nie byłoby problemów. Skoro jednak jej prędkość ciągle się zmienia ze względu na przyspieszenie, nie można powiedzieć, że jest stała. Chcemy poznać prędkość klatki pod koniec ruchu, tuż przed zderzeniem z ziemią.

Nigdy nie podstawiaj bezmyślnie wartości do równania. Zawsze zadaj sobie pytanie „Jaki jest SENS tego równania?”.

Franek: Oj… a prędkość, z którą klatka uderza o ziemię, nie zmienia się jedynie przez ułamek sekundy. Kuba: Tak, z każdą chwilą zbliżania się do powierzchni prędkość klatki wzrasta, liczba metrów na sekundę zwiększa się… Jeżeli podzielimy całkowite przemieszczenie przez całkowity czas lotu, obliczymy jedynie prędkość średnią klatki. Krzysiek: A musimy znać jej prędkość dokładnie w chwili zderzenia z ziemią. Średnia prędkość nie zda się nam na nic. Franek: Czyli musimy wymyślić coś innego… Jeśli najpierw obliczysz prędkość klatki i okaże się, że klatka rozpadnie się na kawałki, nie będziesz musiał przejmować się obliczaniem przemieszczenia.

256

Rozdział 6.

NOTATKI Jaki jest czas spadania klatki? Na jakiej wysokości powinna znajdować się platforma dźwigu? Czy w chwili uderzenia o ziemię klatka będzie spadać szybciej niż 25 m/s? TERAZ POLICZYĆ TO!!

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Chcesz obliczyć prędkość chwilową, a nie średnią

Δx

x Równanie v = t sprawdzi się świetnie, gdy będziesz musiał opisać ruch ciała poruszającego się ze stałą prędkością. Niestety, klatka, spadając, nabiera coraz to większej prędkości, a Ty chcesz poznać jej prędkość w chwili uderzenia w ziemię.

v Δx

Powyższe równanie pozwoli Ci w najlepszym razie obliczyć średnią prędkość klatki, która odpowiada stałej prędkości, z jaką ciało przebyłoby tę samą drogę w określonym czasie. Ponieważ jednak klatka nie porusza się ze stałą prędkością, wartość prędkości średniej nie przyda Ci się ani trochę.

v Klatka, spadając, zwiększa swoją prędkość.

Δx Przyspieszenie określa tempo zmiany prędkości klatki.

Wraz ze wzrostem prędkości wzrasta też przemieszczenie klatki przypadające na tę samą jednostkę czasu.

To wykres opisujący ruch rowerzysty wykonany w rozdziale 4.

Ten wektor przedstawia prędkość klatki w chwili poprzedzającej zderzenie z ziemią. Długość wektora odpowiada wartości prędkości. Nie sugeruj się tym, że wydaje się on „wchodzić” w tarczę.

x t

vśr =

x

v Mówiąc dokładniej, poprzednio posługiwałeś się równaniem wiążącym szybkość z odległością, a nie prędkość z przemieszczeniem, ale zasada pozostaje ta sama.

x Poprzednio posłużyłeś się równaniem v = t żeby obliczyć średnią prędkość rowerzysty spóźniającego się z dostawą pizzy z powodu świateł drogowych. Okazało się, że tak obliczona wartość jest jednocześnie nachyleniem do osi wykresu prostej łączącej jego punkt początkowy z punktem końcowym. Mając obliczoną wartość nachylenia prostej wykresu zależności przemieszczenia od czasu, mogłeś obliczyć chwilową prędkość rowerzysty w dowolnym punkcie trasy.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak mógłbyś spróbować obliczyć chwilową wartość prędkości klatki tuż przed uderzeniem w ziemię?

t jesteś tutaj  257

Czasami, choć równanie się nie sprawdza, sprawdzi się metoda

Czy to znaczy, że moglibyśmy narysować wykres zależności przemieszczenia od czasu dla spadającego ciała, obliczyć jego nachylenie w punkcie t = 2,0 s i w ten sposób otrzymać chwilową wartość prędkości? Czy ta część rozwiązania nadal jest prawdziwa?

Nawet jeżeli nie zdołasz posłużyć się tym samym równaniem, niewykluczone, że zdołasz wykorzystać raz wymyśloną metodę. x Skoro klatka nie spada ze stałą prędkością, równanie v = t pozwoli Ci obliczyć co najwyżej średnią prędkość spadania, która do niczego Ci się nie przyda. Z tego równania nie obliczysz chwilowej prędkości lotu klatki, ponieważ kontekst problemu jest zupełnie inny. Na szczęście nic nie stoi na przeszkodzie, by ponownie posłużyć się opracowaną wcześniej metodą. Jeżeli sporządzisz wykres zależności przemieszczenia od czasu dla spadającego ciała i zdołasz obliczyć nachylenie wykresu do osi w punkcie t = 2,0 s, poznasz prędkość chwilową klatki. Znajomość fizyki zjawiska sprawia, że choć nie możesz posłużyć się znanym już wzorem, bez kłopotów powielisz metodę rozwiązania. Tylko nadal pozostaje problem zaprojektowania doświadczenia…

… ale przecież projektowaliśmy już podobny eksperyment.

258

Rozdział 6.

Zrozumienie praw fizycznych pozwala opracować metodę rozwiązania problemu nawet wtedy, gdy nie można posłużyć się znanymi wzorami.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Zaostrz ołówek Przemieszczenie kulki [m]

Czas 1 [s]

Czas 2 [s]

0,10

0,142

0,150

0,25

0,228

0,224

Nanieś dane eksperymentalne na wykres zależności przemieszczenia od czasu.

0,50

0,316

0,319

0,75

0,387

0,390

(Na razie nie zaprzątaj sobie głowy obliczaniem nachylenia wykresu do osi — tym zajmiemy się za chwilę).

1,00

0,456

0,451

1,50

0,552

0,556

Po przeprowadzeniu zaprojektowanego wcześniej eksperymentu z kulką z łożyska, elektromagnesem i stoperem zebrałeś wyniki przedstawione w tabeli obok.

Przemieszczenie [m]

2,00

0,639

0,637

2,50

0,712

0,712

3,00

0,779

0,782

Wykres zależności

3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0 0

0,10

0,20 0,30

0,40 0,50

0,60 0,70

0,80

0,90 1,00

Czas [s]

jesteś tutaj  259

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Przemieszczenie kulki [m]

Czas 1 [s]

0,10

0,142

0,150

0,25

0,228

0,224

Nanieś dane eksperymentalne na wykres zależności przemieszczenia od czasu.

0,50

0,316

0,319

0,75

0,387

0,390

(Na razie nie zaprzątaj sobie głowy obliczaniem nachylenia wykresu do osi — tym zajmiemy się za chwilę).

1,00

0,456

0,451

1,50

0,552

0,556

2,00

0,639

0,637

2,50

0,712

0,712

3,00

0,779

0,782

Po przeprowadzeniu zaprojektowanego wcześniej eksperymentu z kulką z łożyska, elektromagnesem i stoperem zebrałeś wyniki przedstawione w tabeli obok.

Należy koniecznie wspomnieć, że ciało spada.

Przemieszczenie [m]

Czas 2 [s]

Wykres zależności przemieszczenia spadającej kulki łożyskowej od czasu

3,00 Jeżeli punkty nie układają się wzdłuż prostej, zamiast niej narysuj na wykresie gładką, zakrzywioną linię.

2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0 0

0,10

0,20 0,30

Pamiętaj o uwzględnieniu punktu (0,0) — kulka łożyskowa w chwili t = 0 doznaje zerowego przemieszczenia.

260

Rozdział 6.

0,40 0,50

0,60 0,70

0,80

0,90 1,00

Czas [s]

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie Czy nie powinniśmy wymusić na punktach układania się wzdłuż prostej?

Nigdy nie „łącz kropek” na wykresie. Przeprowadź między punktami gładką linię (niezależnie od tego, czy będzie ona prosta, czy krzywa).

Przyjrzyj się układowi punktów i zastanów, wzdłuż jakiej linii będą leżeć. Jeżeli punkty układają się wyraźnie wzdłuż prostej, narysuj prostą, która przejdzie możliwie blisko jak największej ich liczby. Jeśli zaś punkty układają się w kształt krzywej, narysuj gładką, zakrzywioną linię przebiegającą w pobliżu większości z nich. Pamiętaj jednak, żeby nigdy nie „łączyć kropek”! Nie istnieją

głupie pytania

P

P: Dlaczego nachylenie wykresu

O: Tę wartość określisz na podstawie

: Nachylenie wykresu to zmiana wartości pojawiających się na osi pionowej podzielona przez zmianę wartości pojawiających się na osi poziomej. Na wykresie zależności przemieszczenia od czasu przemieszczenie umieszczamy na osi pionowej, a czas na osi poziomej.

: Czyli… po co w zasadzie rysuję wykres zależności przemieszczenia od czasu, skoro chcę poznać prędkość klatki po 2,0 s?

wykresu.

P

: Ale co wspólnego ma prędkość z przemieszczeniem?

O: Prędkość określa tempo

przemieszczania się ciała. Oznacza to, że nachylenie wykresu do osi w danym punkcie jest jednocześnie wartością prędkości ciała.

P

: Prędkość i przemieszczenie to wektory, prawda? Czy muszę zapisywać je grubszymi literami, tak jak w książce?

O

: Jeżeli piszesz odręcznie, to nie. Pogrubiliśmy symbole oznaczające wartości wektorowe, żebyś cały czas miał w pamięci, że są wektorami, ale nie musisz stosować tego oznaczenia w swoich rozwiązaniach.

do osi jest takie ważne? W czym może mi pomóc?

O

Po podstawieniu nowych oznaczeń do wzoru opisującego nachylenie wykresu okazuje się, że w tym przypadku dzielimy zmianę położenia ciała (przemieszczenie) przez zmianę czasu, a tak właśnie wygląda równanie opisujące prędkość.

P: No dobrze, rozumiem już,

dlaczego wykres zależności przemieszczenia od czasu jest tak ważny. Tylko dlaczego tym razem nie narysowałem prostej linii wykresu?

O: Poprzednim razem punkty na wykresie

P: Czy to znaczy, że mam bawić się w arkusz kalkulacyjny i za pomocą linijki połączyć kolejne punkty odcinkami?

O

: Nie, nie w fizyce. Klatka nie opada, zacinając się w kolejnych punktach lotu. Jej ruch jest płynny i dlatego musisz narysować gładką linię przechodzącą w pobliżu możliwie wielu punktów pomiarowych.

P: Dobrze. Wykres zależności

przemieszczenia od czasu jest tym razem linią krzywą. Wiem, jak obliczyć nachylenie prostej do osi x wykresu —  — ale jak obliczyć nachylenie krzywej do osi, skoro zmienia się ona zbyt szybko, żeby wyznaczyć wartość x wyrażenia dla jej prostego  fragmentu?

O: Cieszę się, że o to pytasz…

leżały wzdłuż prostej. Tym razem wyraźnie widać, że układają się inaczej.

jesteś tutaj  261

Linia prosta może być nachylona

Wiesz już, jak obliczać nachylenie prostej do osi wykresu… x

 w kierunku pionowym  w kierunku poziomym

Wybierz dwa punkty, dzięki którym obliczysz nachylenie prostej.

Jeżeli na pionowej osi wykresu umieścimy przemieszczenie oznaczane x, a na poziomej czas, oznaczany t, wzór pozwalający obliczyć nachylenie przyjmie postać: x %'  "*% t

W przypadku krzywej mówi się o nachyleniu stycznej do krzywej w danym punkcie. Styczna jest prostą mającą tylko jeden punkt wspólny z krzywą, co jednocześnie oznacza, że styczna nie przecina krzywej.

w kierunku pionowym =

w kierunku poziomym =

t

Nachylenie stycznej do osi wykresu oblicza się tak samo, jak nachylenie prostej do osi wykresu.

x

Wykres zależności przemieszczenia od czasu Styczna do krzywej ma z nią tylko jeden punkt wspólny.

Ponieważ punkt styczności należy zarówno do krzywej, jak i do prostej będącej jej styczną, nachylenie stycznej będzie jednocześnie nachyleniem krzywej w danym punkcie.

Styczna jest linią, która styka się z prostą w jednym tylko punkcie, bez przecinania jej. 262

Rozdział 6.

x

ZNLHUXQNX SLRQRZ\P

Nachylenie punktu krzywej jest identyczne z nachyleniem stycznej w tym punkcie

t

ZNLHUXQNX SR]LRP\P

pionowym  w kierunku ziomym po nachylenie =  w kierunku

Prędkość określa tempo x przemieszczania ylenie = t ch na się ciała, czyli zmianę jego położenia prędkość nachylenie = w czasie.

Wykres zależności przemieszczenia od czasu

ZNLHUXQNX SLRQRZ\P

W rozdziale 4. obliczałeś nachylenie prostej do osi wykresu, wybierając współrzędne dwóch punktów i obliczając wartość wyrażenia

Nie podaliśmy jednostek obok opisu osi, ponieważ niezależnie od ich wyboru ten wykres i tak będzie mieć taki sam KSZTAŁT.

t ZNLHUXQNX SR]LRP\P

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Czy o stycznych nie powinniśmy mówić w kontekście okręgów?

: Czyli w tym przypadku mogę narysować styczną do krzywej w odpowiednim punkcie i obliczyć w nim prędkość?

O: Styczna to ogólne określenie prostej mającej tylko jeden

punkt wspólny z dowolną krzywą. Dlatego mówimy, że nachylenie stycznej do osi jest takie samo, jak nachylenie krzywej do osi w tym punkcie. Szczególnym przypadkiem styczności do krzywej jest poprowadzenie stycznej do okręgu — będzie to prosta mająca jeden punkt wspólny z okręgiem .

O: Tak. Nachylenie stycznej do wykresu zależności

przemieszczenia od czasu określa tempo zmiany położenia w czasie, czyli prędkość.

P

: Ale na wykresie znajdują się punkty niewykraczające poza wartość 0,78 s na osi czasu, a ja szukam prędkości po dwóch sekundach lotu klatki. Czy to znaczy, że będę musiał przeprowadzić ekstrapolację wykresu, żeby doprowadzić krzywą do wartości 2,0 s?

O: Spróbujmy to zrobić…

Zaostrz ołówek Gdy rysowałeś wykres zależności przemieszczenia od czasu dla ruchu rowerzysty, mogłeś dokonać ekstrapolacji, by poznać w ten sposób wartości położenia i czasu wykraczające poza dane zebrane w eksperymencie. Teraz spróbuj przeprowadzić ekstrapolację wykresu ilustrującego ruch spadającej kulki łożyskowej. Dane pomiarowe obejmują zakres do 0,78 s lotu, natomiast Tobie potrzebne jest położenie kulki w drugiej sekundzie ruchu. Poniżej znajdziesz wykres umieszczony tak, żeby dać Ci miejsce na przedłużenie krzywej.

x (m) Wykres zależności położenia od czasu 3,00

Musisz ekstrapolować wykres przynajmniej do wartości t = 2,0 s.

t (s) Na obydwu osiach zaznaczyliśmy największe wartości, które zebrałeś w czasie eksperymentu.

0,78

jesteś tutaj  263

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka Wykres może zachowywać się w taki sposób…

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

… albo w taki… … ewentualnie tak…

Gdy rysowałeś wykres zależności przemieszczenia … a może od czasu dla ruchu rowerzysty, mogłeś dokonać w taki… ekstrapolacji, by poznać w ten sposób wartości położenia i czasu wykraczające poza dane zebrane w eksperymencie.

… a może nawet tak,…

Teraz spróbuj przeprowadzić ekstrapolację wykresu ilustrującego ruch spadającej kulki łożyskowej. Dane pomiarowe obejmują zakres do 0,78 s lotu, natomiast Tobie potrzebne jest położenie kulki w drugiej sekundzie ruchu. Poniżej znajdziesz wykres umieszczony tak, żeby dać Ci miejsce na przedłużenie krzywej.

… ale nie możesz też wykluczyć, że żadna z tych propozycji nie jest poprawna, bo wykres zachowa się jeszcze inaczej!

x (m) Wykres zależności położenia od czasu 3,00

To jest ZUPEŁNIE do niczego!! Ekstrapolacja prostej miała sens, ale jak mam poradzić sobie z krzywą, skoro istnieje tyle możliwości?!

t (s) 0,78

Ekstrapolacja ma sens wyłącznie wtedy, gdy punkty układają się na wykresie wzdłuż prostej.

264

Rozdział 6.

Przeprowadzenie dokładnej ekstrapolacji krzywej jest prawie niemożliwe. Okazuje się, że ta metoda nie jest wcale taka wspaniała. Rysowanie wykresu zależności przemieszczenia od czasu wydawało się być rozsądne, ale okazało się, że nie ma on wcale kształtu prostej — wykres jest krzywą. Przedłużenie wykresu mającego kształt prostej wymaga tylko linijki — możesz poprowadzić linię dowolnie daleko. Niestety nie da się w ten sposób przeprowadzić ekstrapolacji wykresu krzywoliniowego, jeżeli nie wiesz, jak dokładnie ma przebiegać krzywa.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie Popełniliśmy fatalną w skutkach pomyłkę. Jak poprzednim razem, narysowaliśmy wykres zależności przemieszczenia od czasu, ale zupełnie nie spodziewaliśmy się, że będzie on miał kształt krzywej, której nie da się ekstrapolować. Fizyka jest do bani. Krzysiek: Ale nasz zakrzywiony wykres wygląda bardzo wiarygodnie. Skoro kulka łożyskowa spada coraz szybciej, jej przemieszczenie w kolejnych takich samych jednostkach czasu musi być większe. Popatrz tutaj: Przemieszczenie, jakiego doznaje kulka łożyskowa w identycznych przedziałach czasowych, będzie rosło wraz z wydłużaniem się czasu lotu.

Przemieszczenie

Taki sam przedział czasowy.

Czas

Franek: No dobrze, może nie jest aż tak źle, ale nadal nie znamy prędkości klatki po dwóch sekundach lotu. Nie mam pojęcia, jak się za to zabrać. Oczywiście zawsze możemy zrzucić prawdziwą klatkę z takiej wysokości, żeby leciała przez 2,0 s… Tylko pamiętajcie, że kulka łożyskowa, choć spadała w pomieszczeniu wysokim na trzy metry, nie leciała dłużej niż 0,78 s. Będzie ciężko. Krzysiek: Nie możemy zrzucać klatki. Przecież może się połamać podczas uderzenia, a tego właśnie staramy się uniknąć! Nie wspomnę już nawet o rachunku za reperację nawierzchni drogi. Kuba: Hmm. Gdy przygotowywaliśmy wykres zależności przemieszczenia od czasu dla ruchu rowerzysty, Adam wcale nie musiał pokonywać długich dystansów. Franek: To dlatego, że zastosowaliśmy potem ekstrapolację i przedłużyliśmy prostą wykresu o dowolną długość. Ale przecież zgodziliśmy się już, że tym razem nie możemy tak postąpić! Kuba: Poprzednio narysowaliśmy wykres zależności przemieszczenia od czasu i obliczyliśmy jego nachylenie do osi układu, żeby poznać prędkość rowerzysty. A potem wstawiliśmy uzyskaną wartość do równania, które pozwoliło obliczyć czas przejazdu na dowolnym dystansie. Franek: Tylko że tym razem prędkość ulega zmianie — w każdej chwili jest inna. Uzgodniliśmy już, że nie możemy użyć ponownie tego samego równania. Krzysiek: Ale moglibyśmy spróbować wyznaczyć nachylenie stycznych do krzywej wykresu zależności przemieszczenia od czasu w rożnych punktach i nanieść je na wykres zależności prędkości od czasu? Może jego kształt pozwoli przeprowadzić ekstrapolację i w ten sposób wyznaczyć prędkość klatki po dwóch sekundach lotu.

Zazwyczaj po przeprowadzeniu eksperymentu nanosisz na wykres zebrane wyniki, a potem na podstawie kształtu wykresu starasz się stworzyć odpowiednie RÓWNANIE.

Kuba: No, owszem. Gdybyśmy narysowali kilka stycznych do wykresu, mogłoby się udać. To ma nawet sens…

jesteś tutaj  265

Zaostrz ten ołówek

Zaostrz ołówek

Chcesz narysować wykres zależności prędkości od czasu dla spadającej kulki łożyskowej. Wartości prędkości w różnych chwilach znajdziesz, obliczając nachylenie wykresu w wybranych punktach. Ponieważ wykres ma kształt krzywej, zaznaczyliśmy już na nim punkty o współrzędnych wygodnych z punktu widzenia obliczeń i naszkicowaliśmy styczne do wykresu w tych punktach. a. Uzupełnij tabelę z danymi, wybierając dwa punkty na każdej ze stycznych i obliczając jej nachylenie do osi wykresu. W ten sposób obliczysz prędkość kulki w punkcie styczności. b. Nanieś obliczone wartości na wykres zależności prędkości od czasu dla spadającej kulki łożyskowej. Będziesz musiał sam podpisać wszystkie osie wykresu i wybrać odpowiednią skalę osi pionowej.

Przemieszczenie [m]

Wykres zależności przemieszczenia od czasu dla spadającej kulki łożyskowej

3,00

Na tej stycznej zaznaczyliśmy już dwa punkty i obliczyliśmy jej nachylenie w punkcie t = 0,20 s.

2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0 0

0,10

0,20 0,30

0,40 0,50

0,60 0,70

0,80

0,90 1,00

Prędkość ciała w dowolnym punkcie obliczysz, wyznaczając nachylenie stycznej do wykresu zależności przemieszczenia od czasu.

266

Rozdział 6.

Czas [s]

Możesz zaznaczyć poszczególne styczne różnymi kolorami, żeby łatwiej je odróżniać!

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie To różnica drugich współrzędnych pomiędzy dwoma punktami na stycznej.

a.

To różnica pierwszych współrzędnych pomiędzy dwoma punktami na stycznej.

x [m]

t [s]

1,65 – 0,00 = 1,65

0,95 – 0,10 = 0,85

Czas [s]

prędkość =

x [m/s]

t

0,00 0,20

1,65 = 1,94 0,85

0,40 0,60 0,76

Wykres b.

0 0 Musisz wybrać odpowiednią skalę dla osi pionowej.

0.10

0.20 0.30

0.40 0.50

0.60 0.70

0.80

0.90 1.00

jesteś tutaj  267

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Wykres zależności przemieszczenia od czasu dla spadającej kulki łożyskowej

Przemieszczenie [m]

Zaostrz ołówek:

3,00 2,50

Rozwiązanie

2,50 2,00 1,00

a.

0,50 0

x 0,30 0,40 prędkość0 =0,10 t0,20[m/s]

Czas [s]

x [m]

t [s]

0,00

0

1

0 = 0 1

0,20

1,65 – 0,00 = 1,65

0,95 – 0,10 = 0,85

1,65 1,94 = 0,85

0,40

2,65 - 0,20 = 2,45

0,88 - 0,25 = 0,63

2,45 = 3,89 0,63

0,60

3,25 - 0,25 = 3,00

0,85 - 0,34 = 0,51

3,00 = 5,88 0,51

0,76

3,15 - 0,45 = 2,70

0,80 - 0,44 = 0,36

2,70 = 7,50 0,36

b.

0,50

0,60 0,70

0,80

0,90 1,00

Czas [s]

To punkty, z których postanowiliśmy skorzystać. Nie przejmuj się, jeżeli wybrałeś inne i otrzymałeś nieco inne wartości prędkości, dopóki są one zbliżone do naszych wyników!

Wykres zależności prędkości od czasu dla spadającego łożyska kulkowego

Prędkość [m/s] 7,07.0

Wybraliśmy skalę, która pozwala narysować wyraźny wykres.

6,06.0 5,05.0

Wreszcie linia prosta!

4,04.0 3,03.0 Liczba cyfr znaczących na skali wykresu powinna zależeć od tego, co jesteś w stanie na nim zaznaczyć.

2,02.0

Musisz opisać osie i podać ich jednostki.

1,01.0 0 0

268

Rozdział 6.

0,10

0,20 0,30

0,40 0,50

0,60 0,70

0,80

0,90 1,00

Czas [s]

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie Udało się! Mamy wykres zależności prędkości od czasu dla spadającej kulki i w dodatku jest to linia prosta. Kuba: Wygląda dobrze. Linie proste sprawiają mi coraz większą radość, zupełnie jakby były najwłaściwszym rozwiązaniem. Prędkość Prędkość wzrasta w stałym tempie wraz z upływem czasu.

Wykres zależności prędkości od czasu dla spadającego ciała Cudowna linia prosta!

Czas

Franek: Ale co dalej? Nadal nie znamy prędkości po dwóch sekundach lotu. Nasz wykres sięga jedynie do wartości 0,76 s. Kuba: Teraz możemy przeprowadzić ekstrapolację do wartości 2,0 s i odczytać wartość prędkości z wykresu. Przecież linie proste wolno ekstrapolować! Krzysiek: Taaak… ale bardziej eleganckim rozwiązaniem byłoby znaleźć równanie, które pozwoliłoby obliczać prędkość w dowolnej chwili. Bo co zrobimy, jeżeli Dingo zdecyduje się ustawić dźwig w innym miejscu? Franek: Poprzednim razem określiliśmy prędkość rowerzysty jako nachylenie x wykresu zależności przemieszczenia od czasu i opisaliśmy ją wzorem: v = t Kuba: Wykres zależności przemieszczenia od czasu wykonany dla ruchu rowerzysty był, tak jak ten, cudowną linią prostą, tylko że tym razem mamy zależność prędkości od czasu. Ciekawe, czy uda się nam opracować podobne równanie, jak ostatnio. Krzysiek: Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu będzie v opisane wzorem t     #-

*%"*%.' %&' !)  "*%$  /0#%&%1. '*  "#  "*% +.&!)   v  =

Nachylenie wykresu zależności „czegokolwiek” od czasu określa tempo zmian tego „czegoś” w czasie.

Prędkość określa tempo przemieszczenia (zmiany położenia).

v=

x t

a=

v t

t

 2"% 3 #%"' 4

%&' 0 % #!) 05-%'!'%) #%&# ")  % "*%%0'  %&'1

Przyspieszenie określa tempo zmiany prędkości.

jesteś tutaj  269

Przyspieszenie jako nachylenie wykresu

Nachylenie wykresu zależności prędkości ciała od czasu pozwala wyznaczyć przyspieszenie tego ciała Przyspieszenie jest tempem zmiany prędkości w czasie, więc nachylenie prostej wykresu zależności prędkości od czasu jest równe wartości przyspieszenia. Doręczyciel pizzy porusza się ze stałą prędkością, więc wykres zależności jego ruchu od czasu ma stałe nachylenie. Wykres zależności prędkości doręczyciela od czasu ma kształt płaskiej linii, ponieważ przez cały czas trwania ruchu prędkość rowerzysty nie ulega zmianie. Nachylenie prostej wykresu zależności prędkości od czasu będzie w takim przypadku wynosiło zero, więc przyspieszenie rowerzysty też jest zerowe. Wykres zależności prędkości od czasu dla spadającego ciała jest linią prostą o stałym nachyleniu do osi. Ponieważ miarą tempa zmiany prędkości jest właśnie przyspieszenie, oznacza to, że spadające swobodnie ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem, równym v co do wartości nachyleniu prostej wykresu zależności prędkości od czasu:  = t

Wykresy ilustrujące ruch rowerzysty Adama (stała prędkość) x Zależność przemieszczenia od czasu

v Zależność prędkości od czasu Rosnąca wartość

wartość

270

Zerowy stopień nachylenia

Zależność przyspieszenia od czasu

Prędkość jest stała, więc przyspieszenie ma wartość zero.

Rozdział 6.

Nachylenie prostej wykresu zależności prędkości od czasu.

t a

Stały stopień nachylenia

Zależność przyspieszenia od czasu Stała wartość

Zerowa wartość

t

v t

t

v Zależność prędkości od czasu Stała

a

a=

Rosnący stopień nachylenia

t

t

Przyspieszenie

Wykresy przedstawiające ruch swobodnie spadającego ciała (stałe przyspieszenie) x Zależność przemieszczenia od czasu

Stały stopień nachylenia

Prędkość jest stała przez cały czas ruchu, więc jej wartość nie zmienia się. Oznacza to, że wykres jej zmian w czasie ma kształt linii płaskiej.

Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu jest równe wartości przyspieszenia.

t

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego na wykresach umieszczonych na poprzedniej stronie nie ma żadnych liczb ani jednostek?

O

P

P

: Nie rozumiem, dlaczego wykres zależności przyspieszenia Adama od czasu jest płaski.

: Dobrze, chyba już rozumiem wykresy ruchu Adama, ale nadal nie wiem, jak z zakrzywionego wykresu zależności przemieszczenia od czasu otrzymać prostą linię wykresu zależności prędkości od czasu.

O

: Ponieważ to tylko szkice wykresów, w których najważniejszy jest ich kształt. Wykresy x(t), v(t) i a(t) dla wszystkich ciał poruszających się ze stałą prędkością zawsze będą miały ten sam kształt, niezależnie od wartości prędkości. To samo dotyczy wykresów ruchu ciał poruszających się ze stałym przyspieszeniem.

: Adam porusza się ze stałą prędkością, więc w każdej chwili jego prędkość jest taka sama. Oznacza to, że linia wykresu nie wznosi się ani nie opada — wartość pozostaje stała.

Czasami takie wykresy pojawiają się w zadaniach, które masz do rozwiązania. Wskazując właściwy kształt, rysując go lub wyjaśniając jego znaczenie, dowodzisz swojej znajomości fizyki i zrozumienia jej zasad.

: Przyspieszenie określa tempo zmiany prędkości. Wykres zależności prędkości od czasu wyraźnie pokazuje, że prędkość jest stała, więc przyspieszenie ma wartość zero.

O

: Prędkość to tempo przemieszczania się ciała. Im krzywa wykresu staje się bardziej stroma, tym większe jest nachylenie jej stycznej w danym punkcie do osi wykresu. Stąd wiadomo, że prędkość rośnie wraz z upływem czasu, co na wykresie zależności prędkości od czasu przedstawiamy wznoszącą się linią prostą.

P

: A jak wywnioskować z tego zerową wartość przyspieszenia?

O

P

: W takim razie co jest jednostką przyspieszenia? Powinienem to chyba wiedzieć, żeby potem móc wykonać odpowiednie obliczenia.

O: Ciekawe, że o to pytasz…

Określ jednostkę przyspieszenia

Prędkość określa tempo przemieszczania się ciała, czyli informuje nas, jak zmienia się położenie ciała w czasie. Wiesz już, że prędkość mierzymy w metrach na sekundę (m/s). Przyspieszenie to tempo zmiany prędkości, czyli wielkość mówiąca, jak w czasie zmienia się prędkość ciała. Choć miałeś już do czynienia z ideą przyspieszenia, dopiero teraz zmierzysz się z nim w obliczeniach, a to oznacza, że musisz znać jego jednostkę.

Zaostrz ołówek Uzupełnij puste pola tabeli, by określić jednostkę przyspieszenia.

Wskazówka: W obliczeniach wygodniej jest zapisywać jednostki w postaci ułamka, a dopiero w odpowiedzi końcowej zamienić je na zapis jednowierszowy, na przykład m/s.

Wielkość

jest tempem zmiany

Jednostka zmieniającej się wielkości

Jednostka czasu

Jednostka wielkości

Prędkość

położenia





m = m/s s

Przyspieszenie

jesteś tutaj  271

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Uzupełnij puste pola tabeli, by określić jednostkę przyspieszenia.

Wielkość

jest tempem zmiany

Jednostka zmieniającej się wielkości

Jednostka czasu

Jednostka wielkości

Prędkość

położenia





m = m/s s

Przyspieszenie

prędkości

m/s

s

m m s 2 s = s2 = m/s

s2 to bardzo dziwna jednostka. Czy dobrze się domyślam, że nie powinienem myśleć o niej jako o „sekundzie kwadratowej”?

Dwukrotnie dzielisz przez sekundę, stąd wynik — m/s2.

Wyrażenie m/s2 należy rozumieć jako (metry na sekundę) na sekundę. Prędkość określa tempo zmiany położenia ciała, więc jej jednostką są metry na sekundę, czyli m/s. Przyspieszenie to tempo zmiany prędkości, więc jego jednostką jest [prędkość] na sekundę. Stąd właśnie metry na sekundę i znów na sekundę, czyli m/s2. Początkowo jednostka ta może wydawać się dziwna, bo przecież m2 jest jednostką powierzchni, popularnym „metrem kwadratowym”, a nie ma niczego takiego jak „sekunda kwadratowa”! Jeśli jednak, zamiast skupiać się na podnoszeniu sekundy do kwadratu, pomyślisz o całości jednostki jako (metrze na sekundę) dzielonym na sekundę, wszystko staje się nagle bardziej sensowne. Nawiasy kwadratowe wokół nazwy wielkości fizycznej są skrótem od słowa „jednostka”, zatem [prędkość] oznacza „jednostka prędkości”.

Jednostką przyspieszenia są m/s2, czyli (metry na sekundę) na sekundę. Słowo „na” oznacza „dzielone przez”.

272

Rozdział 6.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Zaostrz ołówek a. Na podstawie wykresu zależności prędkości od czasu wyznacz wartość przyspieszenia spadającego ciała. b. Korzystając z otrzymanego wyniku, oblicz prędkość klatki w drugiej sekundzie lotu. Czy jest ona mniejsza niż 25 m/s?

Wykres zależności prędkości od czasu dla spadającej kulki łożyskowej

Prędkość [m/s] 7,0 6,0 Etap tytułowania wykresu, opisywania osi, wybierania skali osi pionowej i nanoszenia punktów na wykres masz już za sobą.

5,0 4,0 3,0 2,0 1,0

0 0

0,10

0,20 0,30

Tu masz nieco miejsca, by pokazać kolejne etapy obliczeń.

0,40 0,50

0,60 0,70

0,80

0,90 1,00

Czas [s]

jesteś tutaj  273

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

a. Na podstawie wykresu zależności prędkości od czasu wyznacz wartość przyspieszenia spadającego ciała. b. Korzystając z otrzymanego wyniku, oblicz prędkość klatki w drugiej sekundzie lotu. Czy jest ona mniejsza niż 25 m/s?

Wykres zależności prędkości od czasu dla spadającej kulki łożyskowej

Prędkość [m/s]

NOTATKI

7,0

Jaki jest czas spadania klatki?

6,0

Na jakiej wysokości powinna znajdować się platforma dźwigu?

5,0

Czy w chwili uderzenia o ziemię klatka będzie spadać szybciej niż 25 m/s?

4,0 3,0

TERAZ POLICZYĆ TO!! Nie, klatka spada z prędkością 20 m/s, więc nie ulegnie zniszczeniu.

Staraj się wybierać punkty leżące DOKŁADNIE na przecięciu dwóch linii siatki.

2,0 1,0

0 0

a.

0,10

0,20 0,30

Przyspieszenie = a =

Pamiętaj, żeby zapisać, co właśnie robisz!

a = a =

b.

0,40 0,50

0,60 0,70

0,80

0,90 1,00

Tempo zmian prędkości v t

To punkty, które wybraliśmy do obliczeń. Jeśli zdecydowałeś się na jakieś inne i otrzymałeś nieco inny wynik, to dobrze.

4,9 m/s – 0,0 m/s 0,50 s – 0,00 s 9,8 m/s2

Prędkość po czasie t = 2,0 s: v a = t

Możesz podawać wyniki z dokładnością tylko do dwóch cyfr znaczących, ponieważ z taką dokładnością naniosłeś na wykres wartości prędkości.

Klatka zaczyna spadać z prędkością równą 0, więc zmiana prędkości równa 20 m/s oznacza, że prędkość końcowa klatki to właśnie 20 m/s.

v = a t = 9,8 m/s2 × 2,0 s = 19,6 m/s = 20 m/s

274

Rozdział 6.

Czas [s]

Ostateczna odpowiedź powinna być zapisana z dokładnością do dwóch cyfr znaczących, ponieważ obliczenia prowadziłeś na tak zapisanych liczbach.

Wartość prędkości klatki jest mniejsza niż 25 m/s, więc klatka nie ulegnie zniszczeniu, a cały plan nadaje się do realizacji.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Zwycięstwo! Obliczyłeś prędkość klatki po dwóch sekundach lotu i już wiadomo, że przetrwa ona upadek! Właśnie dowiedziałeś się, że po dwóch sekundach spadania klatka będzie poruszać się z prędkością 20 m/s, więc przetrwa zderzenie z ziemią. To oznacza, że Dingo zdoła zatrzymać Emu na odpowiednio długi czas, żeby wręczyć mu zaproszenie na przyjęcie urodzinowe! Żeby otrzymać wynik, musiałeś zaprojektować doświadczenie i stworzyć wykres zależności przemieszczenia od czasu dla swobodnie spadającego ciała.

Czy klatka osiągnie po dwóch sekundach spadania tak dużą prędkość, że rozbije się na kawałki? Jaka będzie jej PRĘDKOŚĆ?

v=? Stojak z uchwytem Elektromagnes

x

Wykres zależności przemieszczenia od czasu spadającego swobodnie ciała

Kulka łożyskowa

Rosnące nachylenie oznacza wzrost prędkości.

Przemieszczenie kulki łożyskowej

t Stoper

Potem obliczyłeś nachylenia wykresu zależności przemieszczenia od czasu w różnych punktach i narysowałeś wykres zależności prędkości od czasu.

v

Przełącznik

Mając wartość nachylenia wykresu zależności prędkości od czasu, mogłeś obliczyć wartość przyspieszenia pojawiającego się w wyniku działania siły grawitacji — 9,8 m/s2.

Wykres zależności prędkości od czasu spadającego swobodnie ciała

I w końcu wstawiłeś tę wartość do równania v  = t , które następnie przekształciłeś do postaci pozwalającej wyznaczyć prędkość klatki.

Stały kąt nachylenia jest równoważny ze stałym przyspieszeniem.

Prędkość jest mniejsza niż podana graniczna wartość, 25 m/s, więc wiadomo, że klatka przetrwa upadek.

t

Siła grawitacji na Ziemi przyspiesza wszystkie spadające ciała w stałym tempie 9,8 m/s2. jesteś tutaj  275

Grawitacja działa

Dokąd się tak spieszycie?! Cały czas zakładaliśmy, że kulka łożyskowa i klatka będą przyspieszać w tym samym tempie, ale przecież cięższe przedmioty spadają chyba szybciej niż małe, więc pewnie też bardziej przyspieszają w czasie lotu!

Siła grawitacji przyspiesza wszystkie ciała w takim samym tempie (jeśli pominąć opór powietrza). Choć zdrowy rozsądek zdaje się podpowiadać co innego, musisz pamiętać, że siła grawitacji przyspiesza wszystkie spadające ciała w ten sam sposób, nadając im przyspieszenie 9,8 m/s2 (w tym momencie zakładamy brak oporu powietrza). Powodem, dla którego lekkie przedmioty, na przykład piórka, spadają wolniej niż ciężkie ciała, na przykład kulki łożyskowe, jest to, że przemieszczają się w powietrzu. Powierzchnia piórka jest duża w porównaniu z powierzchnią kulki, więc piórko lepiej unosi się w powietrzu. Gdyby obydwa ciała spadały w próżni, czas ich lotu byłby identyczny.

Czasami warto wprowadzić założenie, które uprości nieco problem i pozwoli rozwiązać go w łatwiejszej wersji.

276

Rozdział 6.

W większości zadań z fizyki pojawiają się przedmioty, których powierzchnia jest niewielka w stosunku do ich wagi, na przykład klatki czy kulki łożyskowe, zatem jeśli polecenie nie nakazuje Ci niczego innego, możesz spokojnie zaniedbać opór powietrza.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie Skoro już o tym mowa, zastanawiałem się, jak można obliczać wartość prędkości chwilowej w jednym punkcie wykresu zależności przemieszczenia od czasu? Przecież we wzorze pojawia się zmiana, a do jej wyznaczenia są potrzebne dwa punkty, pomiędzy którymi ona zachodzi!

Faktycznie potrzebujesz dwóch punktów, ale mogą one znajdować się naprawdę bardzo blisko siebie.

x

t Niezależnie od wyboru punktów x będzie miało wyrażenie t tę samą wartość, ponieważ

Gdy pierwszy raz obliczałeś prędkość, korzystając z wykresu zależności przemieszczenia od czasu, rozważaliśmy przypadek rowerzysty poruszającego się ze stałą prędkością. W tamtym zadaniu nachylenie wykresu do osi było stałe, więc punkty pozwalające obliczyć x i t mogłeś wybrać dowolnie. Wartość nachylenia (czyli również prędkości) i tak była taka sama.

prędkość rowerzysty jest stała.

Tym razem musiałeś rozwiązać problem spadającego swobodnie ciała, którego prędkość ciągle rosła. Charakter ruchu ujawnia się na wykresie zależności przemieszczenia od czasu w postaci linii krzywej. Jej nachylenie do osi wykresu jest inne w każdym punkcie. Obliczanie nachylenia stycznej do krzywej w wybranym punkcie przypomina obliczanie wartości wyrażeń x i t dla bardzo, bardzo małych zmian odległości. Dwa punkty, których współrzędne powinieneś odjąć, leżą nieskończenie blisko punktu, który Cię interesuje. Jeżeli chcesz obliczyć chwilową prędkość ciała w wybranym punkcie jego ruchu, musisz wybrać dwa punkty znajdujące się naprawdę, ale to naprawdę blisko siebie. W zasadzie powinny być to punkty praktycznie leżące jeden na drugim!

x

Używając symbolu (duża litera delta), sugerujesz, że masz na myśli dużą zmianę wielkości fizycznej. Należy to rozumieć jako „mniejsza niż każda z istniejących miar”.

Gdy obliczasz prędkość chwilową w danym punkcie, poprawniej będzie oznaczać zmianę małą literą „d” niż dużą literą „”. Taki zapis oznacza, że zmiana jest nieskończenie mała.

t

Chcąc zapisać odpowiednie działanie pozwalające wyznaczyć prędkość w danym dx punkcie, powinieneś zapisać raczej dt x zamiast . Taki zapis oznacza, że t obliczana zmiana jest nieskończenie mała.

Zatem równanie opisujące prędkość chwilową powinno dx mieć postać v = 6 #"%! dt

)"*%%&'  !!0%&0%&0 %#  "*%#-%"  7'.! "% 4# "#  dx  -'"!'%   —

dt rysowanie stycznych (jak to właśnie zrobiłeś) lub posłużenie się rachunkiem różniczkowo-całkowym (co znacznie wykracza poza materiał opisywany w tej książce).

jesteś tutaj  277

To już prawie koniec

Pora obliczyć przemieszczenie! Wiesz już, że klatka nie będzie spadać na tyle szybko, by rozbić się w chwili uderzenia w ziemię po dwóch sekundach od zrzucenia z dźwigu, więc możesz zająć się dalszą częścią planu. W notesie znajdziesz podsumowanie wszystkiego, czego dowiedziałeś się dotąd o spadających ciałach.

NOTATKI Jaki jest czas spadania klatki? Na jakiej wysokości powinna znajdować się platforma dźwigu? Czy w chwili uderzenia o ziemię klatka będzie spadać szybciej niż 25 m/s?

Klatka — poznane zagadnienia Wykresy

Równania

Przemieszczenie

TERAZ POLICZYĆ TO!! Nie, klatka spada z prędkością 20 m/s, więc nie ulegnie zniszczeniu.

v = a = Czas

Prędkość

Obliczyłeś czas spadania klatki i prędkość, jaką ona osiągnie w ostatniej chwili swojego lotu. Teraz musisz obliczyć jeszcze jej przemieszczenie. Ponieważ przyspieszenie klatki jest stałe, jego wykresem jest płaska linia dla wartości a = 9,81 m/s2.

dx dt v

t

Wykres zależności przemieszczenia od czasu nie ma kształtu linii prostej, a to oznacza, że jego nachylenie do osi wykresu ulega ciągłej zmianie. Dlatego też równanie prędkości może być zapisane tylko dla nieskończenie małych zmian położenia i przedziałów czasu. Wykres zależności prędkości od czasu ma kształt linii prostej, więc przyspieszenie liczone dla dwóch dowolnie wybranych punktów będzie zawsze stałe. To wykresy, które narysowałeś.

Czas Przyspieszenie

a = 9,8 m/s2 Strona wygląda, jakby czegoś na niej brakowało. Nie przejmuj się tym — w rozdziale 7. uzupełnisz brakujące informacje.

Czas

To obliczona stała wartość przyspieszenia ziemskiego.

Pora na rozdzia ł 7.!

Dingo chce zatrzymać Emu, by wręczyć mu zaproszenie na urodziny. Jego plan zaczyna powoli nabierać rumieńców! Pora zatem przejść do rozdziału 7. i obliczyć przemieszczenie klatki po dwóch sekundach lotu. Dzięki temu Dingo dowie się, na jakiej wysokości ma zamontować platformę…

278

Rozdział 6.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie jednostki spadanie

wykres

skalar

przyspieszenie

punkty szczególne

Oswajam się z pojęciami przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.

czas

Bądź częścią problemu. równanie

wektor

stałe przyspieszenie

notacja naukowa

szybkość

droga

przemieszczenie prędkość

objętość

nachylenie Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Stałe przyspieszenie

Wykres zależności prędkości od czasu dla ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem ma kształt linii prostej, a samo v przyspieszenie opisane jest wzorem a = t

Spadanie

Ciała spadające z niewielkich wysokości nad powierzchnią Ziemi są przyspieszane przez siłę grawitacji przyspieszeniem o wartości 9,8 m/s2.

jesteś tutaj  279

Niezbędnik fizyka

  

Niezbędnik fizyka Masz już za sobą rozdział 6., więc możesz dodać do swojego przybornika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające rozwiązać bardziej złożone problemy.

Nachylenie wykresu do osi Nachylenie wykresu zależności przemieszczenia od czasu jest równe prędkości poruszającego się ciała. Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu jest równe przyspieszeniu tego ciała.

Doświadczenie –> wykres –> rów

nanie

Po wykonaniu doświadczenia zeb rane wyniki umieszczasz na wykresie, a pote m określasz nachylenie wykresu do osi, żeby otrzymać równanie opisujące ruch ciała.

Stałe przyspieszenie ym Jeżeli ciało porusza się ze stał dej każ przyspieszeniem, w sekundzie ruchu przebywa coraz większy fragment drogi. Nachylenie wykresu zależności prędkości tego ciała od czasu jest stałe i równe przyspieszeniu ciała.

Stała prędkość Ciało poruszające się ze stałą prędkością przebywa w każdej chwili swojego ruchu taki sam fragment drogi. Oznacza to, że wykres zależności przemieszczenia takiego ciała od czasu będzie miał kształt linii prostej, a jej nachylenie do osi będzie rów ne prędkości poruszającego się ciał a. Ciała poruszające się ze stałą prędkością mają zerowe przyspieszenie, pon ieważ ich prędkość nie ulega zmianie.

Spadanie pewnej (niedużej) Ciało spadające z erzchnią Ziemi wysokości nad powi przez siłę jest przyspieszane m się zatem ze 2stały grawitacji, porusza . s m/ 8 wnym 9, przyspieszeniem ró

Przyspieszenie grawitacyjne Przyspieszenie grawitacyjne w pobliżu powierzchni Ziemi 2 wynosi 9,8 m/s . Jego wektor jest skierowany w dół.

280

Rozdział 6.

%& " )$ *

Czas na równania Nie wiedziałem, że wspominając o wchodzeniu na wyższy poziom, mówiłeś aż tak dosłownie…

Już czas, żebyś osiągnął wyższy stopień wtajemniczenia. Do tej pory, uczestnicząc w przygotowanym przeze mnie kursie fizyki, zajmowałeś się projektowaniem i przeprowadzaniem eksperymentów, rysowaniem rozmaitych wykresów, a także wymyślaniem równań na podstawie kształtu niektórych spośród tych wykresów. Poznałeś wiele przydatnych umiejętności, ale polegając tylko na nich, nie zajdziesz zbyt daleko, ponieważ na świecie, oprócz wykresów łatwych do zinterpretowania, istnieją również wykresy przedstawiające linie, które nie są liniami prostymi. W tym rozdziale zajmiemy się poszerzeniem Twojej wiedzy matematycznej, abyś — robiąc odpowiednie podstawienia — mógł dojść do jednego z ważnych równań fizyki. Dokładniej mówiąc, poznasz i zrozumiesz równanie ruchu nierozerwalnie związane z wykresem zależności przemieszczenia od czasu, opisującym ruch swobodnie spadającego obiektu. Ponadto osobiście sprawdzisz, że warto swoje odpowiedzi poddawać testowi W.J.W.P.

to jest nowy rozdział 281

Czym jest przemieszczenie?

Jak wysoki powinien być dźwig? Dingo pragnie zaprosić Emu na swoje przyjęcie urodzinowe. Jednakże nie sposób zatrzymać Emu w jednym miejscu na zbyt długo bez zamykania go w klatce!

Emu dobiega do celu w 2,0 s.

W trakcie zapoznawania się z treścią rozdziału 6. mogłeś dojść do wniosku, że biegnący ze stałą szybkością Emu pokonuje odległość między zakrętem i miejscem pod ramieniem dźwigu w czasie 2,0 s. Dowiedziałeś się również, że po 2,0 s spadania prędkość klatki nie okaże się dostatecznie duża, żeby klatka rozpadła się po uderzeniu w ziemię. Wywnioskowałeś to, rysując wykres zależności prędkości od czasu v i korzystając z równania a =  t Jednak Dingo chciałby wiedzieć, jak wysoki powinien być dźwig, z którego zostanie zrzucona klatka. Innymi słowy, powinieneś policzyć wartość przemieszczenia klatki po 2,0 s swobodnego spadku. Na wykresie zależności przemieszczenia od czasu widać linię krzywą, więc nie możesz przeprowadzić ekstrapolacji… Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek:

Wykres może zachowywać się w taki sposób…

Rozwiązanie

… albo w taki…

Gdy rysowałeś wykres zależności przemieszczenia od czasu dla ruchu rowerzysty, … a może mogłeś dokonać ekstrapolacji, by poznać w ten w taki… sposób wartości położenia i czasu wykraczające poza dane zebrane w eksperymencie.

… ewentualnie tak…

… a może nawet tak,…

Teraz spróbuj przeprowadzić ekstrapolację wykresu ilustrującego ruch spadają cej kulki łożyskowej. Dane pomiarowe obejmują zakres do 0,78 s lotu, natomiast Tobie potrzebne jest położenie kulki w drugiej sekundz ie ruchu. Poniżej znajdziesz wykres umieszc zony tak, żeby dać Ci miejsce na przedłużenie krzywej .



Jakie jest przemieszczenie klatki po 2,0 s spadku swobodnego?

Narysowałeś wykres zależności przemieszczenia od czasu opisujący ruch swobodnie spadającego obiektu, ale nie możesz wykonać ekstrapolacji linii widocznej na wykresie, ponieważ linia ta jest krzywa. Krócej mówiąc, nie jesteś w stanie określić przemieszczenia klatki po 2,0 s metodą ekstrapolacji.

… ale nie możesz też wykluczyć, że żadna z tych propozycji nie jest poprawna, bo wykres zachowa się jeszcze inaczej!

x (m) 3,00

Wykres zależności położenia od czasu To jest ZUPEŁNIE do niczego!! Ekstrapolacja prostej miała sens, ale jak mam poradzić sobie z krzywą, skoro istnieje tyle możliwości?!

0,78

Ekstrapolacja ma sens wyłącznie wted

282

SZARE KOMÓRKI

t (s)

Przeprowadzenie dokładnej ekstrapolacji krzywej jest prawie niemożliwe. Okazuje się, że ta metoda nie

Rozdział 7.

jest

WYSIL

l t k

Skoro nie możesz odczytać odpowiedniej wartości z wykresu, w jaki inny sposób mógłbyś określić przemieszczenie spadającej swobodnie klatki po czasie 2,0 s?

Równania ruchu (część I) No dobrze, panowie, musimy dowiedzieć się, jakie będzie przemieszczenie klatki spadającej przez czas 2,0 s. Czy na pewno nie możemy ekstrapolować linii na narysowanym wcześniej wykresie zależności przemieszczenia od czasu? Doświadczenie przedstawione w rozdziale 6. miało pewne ograniczenia: maksymalną wysokością, z jakiej zrzucaliśmy obiekt próbny, była wysokość 3,00 m.

Przemieszczenie [m] 3,00

Czas [s] 0,78 Kuba: Na wykresie widzimy krzywą, której zachowania nie jesteśmy w stanie przewidzieć. Gdyby choć jeden z wyników uzyskanych podczas przeprowadzania eksperymentu był zbliżony do wartości 2,0 s, moglibyśmy spróbować zgadnąć, jaka wartość przemieszczenia mu odpowiada. Niestety, liczby, które uzyskaliśmy, zbyt różnią się od wartości 2,0 s. Franek: Przecież 0,78 s nie różni się aż tak bardzo od 2,0 s. Wystarczy dorysować do krzywej brakujący fragment o długości 1,22 s (długość mierzona wzdłuż osi poziomej układu współrzędnych). Tak naprawdę czas nieco przekraczający 1,0 s mija bardzo szybko! Kuba: Jedna sekunda to naprawdę długi czas w porównaniu z 0,78 s. Wystarczy spojrzeć na wykres, żeby zobaczyć, że wyznaczona przez nas krzywa nie zajmuje nawet połowy przedziału mierzonego od t = 0,0 s do t = 2,0 s. Krzysiek: Może warto zastanowić się nad jakimś równaniem? Wcześniej, odczytując wartość prędkości klatki z wykresu zależności prędkości od czasu, zdołaliśmy wymyślić równanie.

Prędkość

Przyspieszenie określa tempo zmian prędkości

v

t v = a t a=

v

Przekształć równanie do postaci „v = czemuś”

Wykresy i równania to dwa sposoby na opisywanie świata rzeczywistego.

Tym zajmowałeś się w rozdziale 6.

= 9,8 × 2,0

t

Czas

= 20 m/s

Franek: Zauważcie, że na wykresie zależności prędkości od czasu znajduje się linia prosta, a na naszym wykresie zależności przemieszczenia od czasu widać linię krzywą! Kuba: No tak… Nie mam pojęcia, czy da się linię krzywą opisać równaniem. Krzysiek: Jestem przekonany, że musi być na to jakiś sposób! Przecież zarówno wykresy, jak i równania służą do opisywania rzeczywistości…

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Czy sądzisz, że linię krzywą da się opisać równaniem?

jesteś tutaj  283

Wykresy i równania

Zarówno wykresy, jak i równania służą do opisywania prawdziwego świata Zarówno wykres, jak

Wykresy to metoda wizualizowania praw rządzących prawdziwym i równanie opisuje tę samą rzeczywistość światem. Równania to sposób na opisanie świata za pomocą symboli. fizyczną. Wykresy i równania umożliwiają Ci przewidzenie, co stanie się z jedną wielkością fizyczną, gdy inne, związane z nią wielkości fizyczne ulegną zmianie. v Wykres zależności v Weźmy na przykład równanie a = t , opisujące linię widoczną na wykresie zależności prędkości od czasu, utworzonym dla swobodnie spadającej klatki. Wykres i równanie są odbiciem tej samej fizycznej rzeczywistości. Równanie zawiera informację o tym, jaka relacja łączy prędkość, przyspieszenie i czas przy założeniu, że przyspieszenie jest stałe. Znając wartości dwóch wielkości fizycznych ujętych w równaniu, możesz obliczyć wartość trzeciej wielkości — wystarczy, żebyś odpowiednio przekształcił to równanie.

prędkości od czasu.

a=

v t

t

Nie możesz ekstrapolować linii widocznej na wykresie, x Wykres zależności ponieważ linia przemieszczenia od czasu. ta jest krzywą. Ale gdybyś był w stanie wymyślić równanie opisujące linię widoczną na wykresie, problem byłby rozwiązany.

????? t

Gdybyś tylko umiał napisać równanie odpowiadające stworzonemu wcześniej wykresowi zależności przemieszczenia od czasu, byłbyś w stanie policzyć, jak wysoko należy zawiesić klatkę, żeby zamknąć w niej Emu.

Chwileczkę! Ustaliliśmy chyba, że nie można stworzyć równania z wyrazów /x i /t dla wykresu z linią, która nie jest prosta, prawda?

Zgadza się! Tym razem nie będziemy korzystać z x i t. Ostatnio mówiliśmy o x i t w kontekście szukania nachylenia linii widocznej na wykresie do osi wykresu. Określając nachylenie, definiowaliśmy różnice wartości wielkości x i t. Tym razem, chcąc opisać linię krzywą, musielibyśmy wziąć pod uwagę fakt, że nachylenie linii do osi wykresu nie jest stałe. To z kolei oznacza, że musielibyśmy zajmować się tak małymi różnicami wartości wielkości x i t, że nie dałoby się ich zmierzyć! Aby uniknąć podobnych komplikacji, wprowadzimy nowe zmienne, za pomocą których oznaczymy wartości przemieszczenia i czasu w każdym z wybranych przez nas punktów.

284

Rozdział 7.

Wartości wielkości fizycznych w interesujących Cię punktach oznaczaj różnymi zmiennymi.

Równania ruchu (część I) Jeśli chcesz wypowiedzieć nazwę tej zmiennej, powiedz „fał zero”.

Ważne są punkty początkowe i końcowe Analizując ruch swobodnie spadającej klatki, tak naprawdę zainteresowani jesteśmy dwoma momentami: chwilą początkową ruchu, gdy klatka znajduje się jeszcze na dźwigu, oraz chwilą końcową ruchu, kiedy to klatka uderza o ziemię. Nasz wybór nie jest przypadkowy — chcemy obliczyć przemieszczenie klatki między chwilami ruchu początkową i końcową. Równanie opisujące krzywą z wykresu zależności przemieszczenia od czasu stworzymy w oparciu o zmienne, które przyporządkujemy początkowym i końcowym wartościom wymienionych wielkości fizycznych. x0 to przemieszczenie klatki mierzone w chwili początkowej ruchu (t = 0 s). v0 to prędkość klatki mierzona w chwili początkowej ruchu (t = 0 s). x to przemieszczenie klatki mierzone w chwili końcowej ruchu. v to prędkość klatki mierzona w chwili końcowej ruchu. a to przyspieszenie (wiesz, że przyspieszenie jest w tym przypadku stałe). Mała cyfra „0” jest częścią nazwy zmiennej. Takie małe litery i cyfry stanowiące części nazw zmiennych nazywamy indeksami dolnymi.

Nie ma powodu tworzyć dwóch zmiennych a0 i a, ponieważ wartość przyspieszenia jest przez cały czas stała.

Zaostrz ołówek Na naszym wykresie zależności prędkości od czasu zaznaczyliśmy chwilę początkową i chwilę końcową ruchu.

Prędkość

Wykres zależności prędkości od czasu wykreślony dla swobodnie spadającego obiektu.

Zmienne v i v0 są prędkościami — obydwie oznaczamy literą „v”. Jednocześnie zmienne te są różnymi niewiadomymi, ponieważ w przypadku jednej z nich korzystamy z indeksu dolnego „0”, a w przypadku drugiej nie.

Używaj tej samej litery do oznaczania niewiadomych będących różnymi wartościami tej samej wielkości fizycznej. Aby niewiadome nie myliły Ci się, korzystaj z indeksów dolnych.

b. Korzystając z wartości podanych na wykresie, przepisz podane w punkcie a. równanie do postaci zawierającej zmienne a, v0, v i t.

Chwila końcowa ruchu.

v Jeśli uznasz, że bazgranie bądź robienie dopisków na wykresie mogłoby być pomocne, nie wahaj się modyfikować v0 rysunku.

Chwila początkowa ruchu.

Oto jak zmieniałaby się prędkość klatki, gdyby ta nie uderzyła o ziemię.

0

t

c. Przekształć równanie, tak żeby miało postać „v = coś”.

Czas

a. Napisz znane sobie równanie wiążące ze sobą wielkości fizyczne: a, v i t.

jesteś tutaj  285

Równania ogólne

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Na naszym wykresie zależności prędkości od czasu zaznaczyliśmy chwilę początkową i chwilę końcową ruchu.

Prędkość

Wykres zależności prędkości od czasu wykreślony dla swobodnie spadającego obiektu.

b. Korzystając z wartości podanych na wykresie, przepisz podane w punkcie a. równanie do postaci zawierającej zmienne a, v0, v i t.

a = a =

v = v - v0

v

v = t v - v0

v - v0 t-0

t

c. Przekształć równanie, tak żeby miało postać „v = coś”.

a = v0 0

t = t - 0

t

Czas

a. Napisz znane sobie równanie wiążące ze sobą wielkości fizyczne: a, v i t.

Przyspieszenie = a =

miara zmiany prędkości w jednostce czasu. v t

at =

v - v0

Mnożymy obie strony równania przez t.

t v - v0 t

× t

v0 + at = v - v0 + v0 Teraz v stoi samo po lewej stronie równania.

v = v0 + at

Obustronnie dodajemy v0.

Zamieniamy strony równania.

Sprawiamy, że równania są bardziej ogólne, wstawiając do nich litery, na przykład „t” (dla oznaczenia czasu), a nie wartości takie jak 2,0 s?!

Powinieneś korzystać z możliwie najogólniejszych wersji równań, ponieważ równania w postaci ogólnej są najbardziej przydatne. W tej chwili zajmujesz się problemem spadającej klatki. Oczywiście mógłbyś wszystkie obliczenia prowadzić z uwzględnieniem konkretnych, znanych wartości liczbowych odpowiednich wielkości fizycznych (t = 2,0 s, a = 9,8 m/s2), ale w ten sposób otrzymałbyś równanie, które nadawałoby się do rozwiązywania dokładnie jednego jedynego zadania. Jeśli zdecydujesz się wszelkie rachunki wykonywać na literach, a dopiero po uzyskaniu ostatecznej formy równania litery zastąpić liczbami, znajdziesz tzw. równanie ogólne, z którego będziesz mógł korzystać zawsze wtedy, gdy zechcesz zająć się problemem dowolnego spadającego obiektu, ruchu samochodu, ruchu skutera wodnego… Dysponując ogólnym równaniem ruchu swobodnie spadającego ciała, będziesz w stanie rozwiązać każde zadanie, w którym pojawi się obiekt poruszający się ze stałym przyspieszeniem.

286

Rozdział 7.

Z równań w postaci ogólnej można korzystać wielokrotnie podczas rozwiązywania różnych zadań z fizyki.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego prędkość końcową oznaczyłaś literą v bez indeksu dolnego, a prędkość początkową nazwałaś v0?

O

: Oznaczanie wartości początkowych przemieszczenia i prędkości symbolami x0 i v0, natomiast wartości końcowych tych zmiennych symbolami x i v to ogólnie przyjęta konwencja. Można się z nią zetknąć w wielu podręcznikach oraz w trakcie rozmaitych sprawdzianów i egzaminów.

P: Ta konwencja wydaje się być mało ścisła. Prędkość

początkową oznaczamy symbolem v0, ale czas początkowy zaniedbujemy — nie nadajemy mu żadnej nazwy, tylko podstawiamy zamiast niego wartość 0 s.

O: Przyjmując omawianą konwencję, zakłada się, że w chwili

początkowej każdej sytuacji wartość zmiennej czasu wynosi 0 s. Indeks dolny „0” stojący przy literze v informuje nas, że mamy do czynienia ze zmienną, którą możemy nazywać „prędkością w chwili t = 0 s”. Jednak nie ma sensu mówić o zmiennej t0, która byłaby „czasem w chwili t = 0 s”. Po co wprowadzać oznaczenie t0, skoro wiemy, że t = 0 s wtedy, gdy t = 0 s?

P: Czy muszę używać symboli zgodnych z tą konwencją?

Niekiedy przemieszczenie oznacza się literą s, a nie x. Zdarza się również, że prędkość początkowa nazywana jest literą u, a nie v0. Cały ten bałagan wydaje się być nieco mylący!

O

: Przede wszystkim powinieneś rozumieć idee kryjące się za równaniami. Tak naprawdę nie ma większego znaczenia, jakimi literami oznaczasz zmienne. Rozwiązując zadania, możesz korzystać z symboli, do których jesteś przyzwyczajony.

Równania ruchu (część I)

P: W takim razie jaka idea kryje się za równaniami, nad uzyskaniem których teraz pracujemy?

O

: Wykresy i równania to dwie metody opisywania tego samego zjawiska znanego z prawdziwego świata. W tym rozdziale zajmujemy się wykresem i równaniem informującymi nas, co dzieje się z prędkością spadającej klatki.

P: Jasne! Tylko dlaczego opracowując równanie dla

spadającej klatki, musiałem korzystać z liter, zamiast znanych wartości odpowiednich wielkości fizycznych? Przecież dobrze wiem, jakie liczby należy wstawić zamiast v, v0, a i t!

O

: Chodzi o to, żeby móc korzystać z jednego równania wielokrotnie i w łatwy sposób rozważać różne warianty sytuacji, której przebieg badamy. Załóżmy, że dźwig, z którego Dingo chce zrzucić klatkę, znajduje się w innej odległości od zakrętu niż ta, którą znamy — w takim przypadku zmianie ulegnie również czas spadania klatki. Mając do dyspozycji równanie w postaci v = v0 + at, możesz policzyć wartość wielkości v dla dowolnego czasu trwania ruchu klatki. Jedyne, co musisz zrobić, to wstawić nowe wartości zmiennych w miejsce odpowiednich liter.

P: Czy to jedyny argument przemawiający za tym, żeby nie wstawiać od razu liczb do równania?

O

: Nie, jest jeszcze jeden powód, dla którego staramy się używać równań w postaci ogólnej. Otóż jeśli znamy ogólną postać równania, z którego korzystamy, obliczając prędkość klatki zrzucanej przez Dingo na Emu, jesteśmy w stanie rozwiązać każdy problem wiążący się z prędkością dowolnego obiektu poruszającego się ze stałym przyspieszeniem. Nawet jeśli wartość przyspieszenia okaże się inna niż 9,8 m/s2, będziemy mogli posłużyć się tym samym, ogólnym równaniem — wystarczy, że odpowiednie symbole zastąpimy liczbami opisującymi zupełnie nową sytuację.

Równanie pokazuje zależności zachodzące między różnymi zmiennymi. Możesz skorzystać z niego jak ze szczebla drabiny, który ułatwi Ci dotarcie tam, gdzie tak naprawdę chcesz się znaleźć. Równanie v = v0 + at pokazuje zależności między zmiennymi v, v0, a i t, ale nie zawiera zmiennej x, więc nie da się bezpośrednio z niego policzyć wartości przemieszczenia.

Poczekaj! Mieliśmy znaleźć równanie na przemieszczenie x, lecz jak na razie dysponujemy jedynie równaniem, w którym x w ogóle nie występuje! Czy nasze równanie przyda się do czegokolwiek?

Wiemy jednak, że przemieszczenie obiektu w jednostce czasu jest prędkością tego obiektu, zatem prędkość i przemieszczenie zależą od siebie nawzajem. I choć nie da się policzyć przemieszczenia klatki bezpośrednio z równania opisującego jej prędkość, możemy skorzystać z tego równania, żeby zbliżyć się do odpowiedzi na pytanie o to, jakie będzie przemieszczenie klatki po 2,0 s swobodnego spadku.

jesteś tutaj  287

Prędkość i przemieszczenie są ze sobą powiązane

Dysponujesz równaniem na prędkość spadającej klatki, ale co z tym przemieszczeniem? Korzystając z wiedzy o nachyleniu prostej w układzie współrzędnych i analizując wykres zależności prędkości od czasu, skonstruowałeś równanie v = v0 + at. Posługując się nim, jesteś w stanie policzyć prędkość v dowolnego obiektu po upływie czasu t (oczywiście musisz wiedzieć, jaka jest prędkość początkowa v0 obiektu oraz przyspieszenie a).

Notatnik będzie Ci przypominał o tym, co już zrobiłeś.

Równanie na prędkość Określając nachylenie prostej widocznej na wykresie zależności prędkości od czasu, można znaleźć wzór na przyspieszenie, a następnie przekształcić go tak, żeby otrzymać równanie na prędkość.

Prędkość [m/s]

Wykres zależności prędkości od czasu, wykreślony dla obiektu poruszającego się ze stałym przyspieszeniem.

Prędkość początkowa v0 = 0 m/s dla swobodnie spadającego ciała, które było nieruchome w początkowej chwili spadania.

v = v - v0

v

v0 t

0

t=t-0

Czas [s]

v = v0 + at

W przypadku swobodnie spadających obiektów przyspieszenie zawsze wynosi 9,8 m/s2 (dotyczy warunków ziemskich).

To równanie nie zawiera x, a właśnie x chciałbyś policzyć.

Korzystając z tego równania, możesz policzyć prędkość po upływie określonego czasu.

Tak naprawdę jednak chcielibyśmy móc policzyć przemieszczenie x po upływie określonego czasu. Mając do dyspozycji odpowiednie równanie, bylibyśmy w stanie powiedzieć, jaką odległość pokona klatka spadająca przez 2,0 s. Równanie na prędkość może okazać się przydatne nieco później, ponieważ prędkość i przemieszczenie są ze sobą jakoś powiązane, natomiast teraz musimy wykonać w naszych rozważaniach krok naprzód. Do tego będzie nam potrzebne równanie zawierające zmienną x…

288

Rozdział 7.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Skąd wziąć równanie zawierające przemieszczenie?

Równania ruchu (część I) A co ze średnią prędkością? Czy nie wiąże się ona jakoś z przemieszczeniem i czasem?

Obliczamy średnią prędkość, korzystając z wiedzy o całkowitym przemieszczeniu i całkowitym czasie trwania lotu klatki.

Prędkość średnia obiektu pokonującego Prędkość średnią klatki w okresie między chwilą początkową określony dystans i chwilą końcową spadku swobodnego obliczamy, dzieląc zmianę w określonym czasie położenia klatki przez czas trwania ruchu. ruchem zmiennym równa vśr = x t jest stałej prędkości, Wielkość vśr to prędkość średnia obiektu poruszającego się z jaką musiałby się ze zmienną prędkością chwilową i przebywającego w określonym czasie określony dystans. Gdyby ów obiekt miał przebyć ten poruszać ów obiekt, sam dystans, poruszając się ze stałą prędkością, prędkość żeby przebyć ten ta musiałaby być równa prędkości średniej obliczonej dla przypadku ruchu zmiennego. sam dystans w tym Ponieważ x jest zmianą położenia obiektu między punktami samym czasie ruchem początkowym i końcowym, równanie na prędkość średnią jednostajnym. zawiera zmienną x, której wartość chcemy umieć policzyć.

Symbolem x oznaczyliśmy przemieszczenie w chwili końcowej spadku swobodnego.

Zaostrz ołówek

Przemieszczenie

Wykres zależności przemieszczenia od czasu wykreślony dla swobodnie spadającego obiektu.

a. Na wykresie zależności przemieszczenia od czasu narysuj linię odzwierciedlającą prędkość średnią obiektu między chwilami 0 i t. b. Korzystając z wykresu, napisz równanie na prędkość średnią vśr, zawierające zmienne x0, x oraz t.

x

x0

t

0

Czas

Można obliczyć prędkość średnią, z jaką poruszał się obiekt między chwilą początkową a chwilą końcową swobodnego spadku.

jesteś tutaj  289

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Przemieszczenie

Wykres zależności przemieszczenia od czasu wykreślony dla swobodnie spadającego obiektu.

1. Prędkość średnia to nachylenie tej linii.

a. Na wykresie zależności przemieszczenia od czasu narysuj linię odzwierciedlającą prędkość średnią obiektu między chwilami 0 i t. b. Korzystając z wykresu, napisz równanie na prędkość średnią vśr, zawierające zmienne x0, x oraz t.

Prędkość średnia =

Całkowite przemieszczenie Całkowity czas

x

x t

vśr =

t

0

x - x0 t-0

x - x0

vśr =

x0

=

t

Czas

Można obliczyć prędkość średnią, z jaką poruszał się obiekt między chwilą początkową a chwilą końcową swobodnego spadku.

rędkość Równanie na p widocznej

ylenie prostej Określając nach i od czasu, żności prędkośc le za ie es kr wy na ieszenie, wzór na przysp można znaleźć tak, żeby zekształcić go a następnie pr . ść ko anie na pręd otrzymać równ czasu, ści prędkości od Wykres zależno iektu poruszającego ob dla ny ślo kre wy zeniem. stałym przyspies Prędkość [m/s] się ze

Równanie na prędkość średnią Korzystając z widocznej na wykresie zależności przemieszczenia od czasu, można znaleźć wzór na prędkość średnią. Przemieszczenie [m]

Wykres zależności przemieszczenia od czasu, wykreślony dla obiektu poruszającego się ze stałym przyspieszeniem.

x

v = v - v0

v

x0 v0

t 0

Czas [s]

t=t-0

v = v0 + at 290

Rozdział 7.

0

vśr =

t

x - x0 t

Czas [s]

To równanie zawiera zmienną x, którą chcę policzyć!

Równania ruchu (część I) Coś tu nie gra! Co prawda dysponujemy już równaniem zawierającym zmienną x, ale nie znamy prędkości średniej spadającej klatki, która również pojawia się w tym równaniu! Z tego wynika, że nadal nie jesteśmy w stanie policzyć wartości przemieszczenia. Po co w takim razie zajmowaliśmy się wzorem na prędkość średnią klatki?!

To prawda, nie znamy średniej prędkości spadającej klatki. Chyba możemy stwierdzić, że wykonałeś niemałą pracę — rysując i analizując odpowiednie wykresy, wymyśliłeś dwa poniższe równania: x - x0 v = v0 + at oraz vśr = . t W drugim równaniu widzimy x, czyli zmienną, którą chcemy policzyć. Niestety, w równaniu tym znajduje się również zmienna vśr — średnia prędkość spadającej klatki. Ponieważ nie wiesz, jaka jest wartość średniej prędkości vśr, nie możesz za pomocą tego równania wyznaczyć dla Dingo wysokości dźwigu, czyli wartości zmiennej x. Mimo to nie da się ukryć, że poczyniłeś widoczne postępy…

Czyż nie byłoby wspaniale, gdybyśmy mogli policzyć wartość średniej prędkości innym sposobem? Niestety, wiem, że to tylko marzenia…

x0 = 0 m

Chcesz policzyć x.



Znasz wartość x0. Znasz wartość t.

t = 2.0 s x=?

vśr =

x - x0 t

Nie znasz wartości vśr, więc nie możesz policzyć x.

jesteś tutaj  291

Nieznane zmienne i podstawienia Mamy więc dwa równania — to wygląda na całkiem niezły start.

¨t = t - 0

v = v0 + at

vśr =

x - x0 t

Kuba: Zobaczmy, co możemy zrobić z naszymi równaniami. Przy zmiennej x postawię znak zapytania, ponieważ to jej wartości szukamy. Przy zmiennych, których wartości znamy, narysuję „ptaszki”, natomiast zmienne o wartościach nieznanych zaznaczę krzyżykiem. ¨t = t - 0

v = v0 + at

vśr =

x - x0 t

Kuba: Hmm… Żadne z równań nie wygląda obiecująco. Z równania po lewej stronie możemy policzyć prędkość v, ale wartość tej zmiennej nas nie interesuje. Drugie z równań zawiera przemieszczenie x, czyli zmienną, której wartość chcemy poznać… Niestety, widzimy w nim również prędkość średnią vśr o nieznanej wartości. Krzysiek: Czy możemy się posłużyć jakimś dodatkowym równaniem? Franek: Co masz na myśli? Krzysiek: Nie znamy wartości vśr, prawda? Moglibyśmy tak przekształcić równanie zawierające x, żeby przyjęło postać „x = coś”, a następnie podstawić do niego wartości poszczególnych zmiennych, oprócz wartości zmiennej vśr. Gdybyśmy na tym etapie pracy znaleźli jeszcze jedno równanie, za pomocą którego dałoby się wyznaczyć wartość prędkości średniej… Franek: Podoba mi się twój sposób rozumowania, ale przecież już wyznaczyliśmy prędkość średnią vśr jedyną znaną nam metodą, czyli określając nachylenie prostej na wykresie zależności przemieszczenia od czasu. Kuba: Nie ma co się załamywać, mamy przecież wykres zależności prędkości od czasu! Przyjrzyjmy się mu dokładniej — może wymyślimy drugie równanie zawierające vśr. Krzysiek: Może coś być w tym, co mówisz… Zobaczmy, co da się zrobić!

292

Rozdział 7.

Jeśli w równaniu, z którego korzystasz, znajduje się zmienna o nieznanej wartości, spróbuj przypomnieć sobie lub znaleźć inne równanie również zawierające tę zmienną.

Równania ruchu (część I)

Poszukaj średniej prędkości na wykresie zależności prędkości od czasu

Chcesz policzyć x.

x0 = 0 m

Ale nie znasz

wartości vśr. Do tej pory udało Ci się wymyślić jedno równanie, z którego można policzyć średnią prędkość vśr spadającej klatki. Uzyskałeś je, analizując wykres zależności przemieszczenia od czasu. vśr =

Pora, żebyś posłużył się swoją intuicją i umiejscowił vśr na wykresie zależności prędkości od czasu. Jeśli uda Ci się to zrobić, znajdziesz drugie równanie, zawierające prędkość średnią spadającej klatki. (Gdy już będziesz w stanie policzyć średnią prędkość klatki, uda Ci się określić przemieszczenie, którego tak naprawdę szukasz!).

Jeśli zdołasz znaleźć jeszcze jedno równanie zawierające vśr, będziesz w stanie wykonać odpowiednie podstawienie i w efekcie „pozbyć się niewygodnej zmiennej”.

x - x0 t



t = 2.0 s x=?

Linia prędkości średniej powinna znaleźć się gdzieś między v0 i v.

Zaostrz ołówek

a. Zaznacz na wykresie prędkość średnią dla klatki w przedziale czasu od 0 s do t.

Prędkość

Wykres zależności prędkości od czasu wykreślony dla swobodnie spadającego obiektu.

v - v0 vśr = 2

v

v + v0 vśr = t v0 0

t

Czas

b. Wyjaśnij, dlaczego właśnie tak narysowałeś vśr?

c. Przyjrzyj się równaniom wypisanym po prawej stronie wykresu i zakreśl to, które najbardziej pasuje do linii naniesionej przez Ciebie na wykresie.

v - v0 vśr = t v + v0 vśr = 2 jesteś tutaj  293

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka Linia prędkości średniej powinna znaleźć się gdzieś między v0 i v.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

a. Zaznacz na wykresie prędkość średnią dla klatki w przedziale czasu od 0 s do t.

Prędkość

Wykres zależności prędkości od czasu wykreślony dla swobodnie spadającego obiektu.

v - v0 vśr = 2

v

v + v0 vśr = t

vśr

v0 0

t

Czas

b. Wyjaśnij, dlaczego właśnie tak narysowałeś vśr? Wydaje mi się, że vśr znajduje się dokładnie w połowie odległości między v0 i v.

v - v0 vśr = t

Co więcej, uważam, że wartość vśr jest średnią arytmetyczną z v0 i v. Zakreśliłem równanie, w którym suma v0 i v została podzielona przez dwa. Równanie to odpowiada wzorowi na średnią arytmetyczną liczoną z dwóch liczb.

c. Przyjrzyj się równaniom wypisanym po prawej stronie wykresu i zakreśl to, które najbardziej pasuje do linii naniesionej przez Ciebie na wykresie.

v + v0 vśr = 2

A mnie się nie udało wybrać żadnego równania. Do każdego z proponowanych równań podstawiłam v0 = 0 oraz t = 2, ponieważ takie liczby pojawiły się w opisie problemu Dingo i klatki na Emu. Niestety, po podstawieniu do nich wspomnianych liczb wszystkie równania dały dokładnie ten sam wynik!

Właściwe równanie daje poprawne wyniki dla WSZYSTKICH wartości v0 i t. Jeżeli Ty także próbowałeś wstawiać do powyższych równań dane, które podał Dingo — gratuluję! — Twój tok rozumowania jest właściwy. Mimo wszystko wciąż możesz nie wiedzieć, które z podanych równań jest tym szukanym. Aby znaleźć odpowiedź na to pytanie, powinieneś spróbować wstawić do każdego z równań różne, inne niż zna Dingo, wartości v0 i t i zobaczyć, co się stanie. Nawet jeśli wiesz, które równanie jest poprawne, nie zaszkodzi przetestować go za pomocą liczb. Zawsze dobrze jest upewnić się, że ma się rację.

294

Rozdział 7.

Równania ruchu (część I)

Sprawdzaj równania, z których korzystasz, wstawiając do nich różne liczby Jeśli nie masz pewności, czy równanie, z którego chcesz skorzystać, jest prawidłowe, możesz to sprawdzić, wstawiając do niego dowolnie wybrane wartości liczbowe zmiennych i oceniając sensowność otrzymanych wyników. W tej chwili dysponujesz czterema równaniami na vśr, z których powinieneś wybrać tylko jedno (nie istnieje możliwość, że wszystkie równania są poprawne!). Czas wstawić do każdego z równań różne wartości v, v0 i t, a następnie przyjrzeć się otrzymanym wynikom i ocenić, czy ich rząd wielkości nie kłóci się z rozsądkiem.

Prędkość v0 ciała, które leci w dół, gdy uruchamiamy stoper, Możemy przyjąć dowolną wartość czasu nie może być równa 0 m/s. (nie musimy wstawiać wartości 2,0 s).

Prędkość Wyk res zależności prędkości od czasu wyk reślony dla swo bodnie spadającego obiektu. v

v0

0

t

Zaostrz ołówek Wypełnij tabelkę wartościami vśr, otrzymanymi po wstawieniu różnych wartości v0, v i t do podanych równań.

Potencjalnie poprawne równanie na vśr

vśr =

v - v0 2

vśr =

v + v0 t

vśr =

v - v0 t

vśr =

v + v0 2

v0 = 0 m/s v = 10 m/s t=5s

v0 = 0 m/s v = 10 m/s t = 100 s

Czy wartość średniej prędkości odpowiada Twoim oczekiwaniom?

v0 = 9 m/s v = 10 m/s t=5s

Czas

Czy korzystając z równania, otrzymałeś prawidłową jednostkę prędkości?

Czy równanie jest dobrze sKROJone?

10 m/s - 0 m/s = 5 m/s 2

jesteś tutaj  295

Czy przyspieszenie jest stałe?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Potencjalnie poprawne równanie na vśr

vśr =

v - v0 2

v + v0 vśr = t

Wypełnij tabelkę wartościami vśr, otrzymanymi po wstawieniu różnych wartości v0, v i t do podanych równań.

v0 = 0 m/s v = 10 m/s t=5s

10 m/s - 0 m/s = 5 m/s 2

10 m/s + 0 m/s 5 s

v - v0 vśr = t

10 m/s - 0 m/s

v + v0 vśr = 2

10 m/s - 0 m/s

Prawidłowe równanie na vśr.

5 s

2

v0 = 0 m/s v = 10 m/s t = 100 s 10 m/s - 0 m/s 2

10 m/s + 0 m/s = 2 m/s2

100 s

10 m/s - 0 m/s = 2 m/s2

100 s

10 m/s + 0 m/s = 5 m/s

2

v0 = 9 m/s v = 10 m/s t=5s 10 m/s - 9 m/s

= 5 m/s

= 0,1 m/s2

2

10 m/s + 9 m/s 5 s

= 0,1 m/s2 10 m/s - 9 m/s 5 s

10 m/s + 9 m/s = 5 m/s

2

Czy równanie jest dobrze sKROJone?

Nie. W trzeciej kolumnie powinien = 0,5 m/s pojawić się wynik będący wartością z przedziału od 9 m/s do 10 m/s. Wynik jest spoza przedziału.

= 3,8 m/s

2

= 0,2 m/s2

= 9,5 m/s

Równanie, które udało nam się znaleźć, działa dla obiektów poruszających się ze stałym przyspieszeniem, prawda?

Nie. Jednostki się nie zgadzają. Poza tym wyniki z drugiej i trzeciej kolumny są za małe. Nie. Jednostki się nie zgadzają. Poza tym wyniki z drugiej i trzeciej kolumny są za małe. Tak. Wszystkie obliczone wartości vśr mieszczą się w przedziałach od v0 do v, co ma sens.

Prędkość

Linię vśr rysuje się w połowie przedziału wyznaczanego przez v0 i v wtedy, gdy przyspieszenie jest stałe.

To prawda — wzór na średnią prędkość byłby vśr inny, gdyby przyspieszenie nie było stałe. Znalezione równanie jest poprawne tylko dlatego, że na wykresie zależności prędkości klatki od czasu widnieje linia prosta (co oznacza, że klatka porusza się ze stałym przyspieszeniem). Prędkość

296

Rozdział 7.

Gdybyś nie wiedział, co dzieje się z prędkością klatki w przedziale od v0 do v , nie mógłbyś obliczyć średniej prędkości klatki. Jeśli ktoś bardzo długo poruszałby się ze stałą prędkością 1 m/s, a później na chwilę nagle przyspieszył do 5 m/s, nie moglibyśmy powiedzieć, że ów ktoś poruszał się ze średnią prędkością równą 3 m/s. Wynika to z faktu, że w trakcie prawie całego ruchu prędkość była niewielka. v śr

Czas Jeżeli przez większość CZASU trwania ruchu przemieszczasz się powoli, Twoja średnia prędkość vśr będzie niewielka.

Czas

Równania ruchu (część I)

Obliczamy przemieszczenie klatki! Korzystając z wykresów zależności przemieszczenia od czasu i prędkości od czasu, opracowałeś równania opisujące swobodnie spadającą klatkę. Teraz możesz użyć tych równań do obliczenia wartości przemieszczenia klatki po upływie 2,0 s!

Zaostrz ołówek

Jeszcze jedno równanie na prędkość średnią Korzystając z widocznej na wykresie zależności prędkości od czasu, można znaleźć wzór na prędkość średnią. Wykres zależności przemieszczenia od czasu, wykreślony dla obiektu poruszającego się ze stałym przyspieszeniem.

Prędkość [ms-1]

v

Równanie na prędkość średnią v śr

a. Narysuj schematyczny obrazek przedstawiający dźwig z klatką, a następnie zaznacz na nim wartości i (lub) wektory x, x0, v0, v, a i t. W ten sposób wszystko, co wiesz, zamkniesz w jednym rysunku.

Korzystając z widocznej na wykresie v0 zależności przemieszczenia od czasu, 0 znaleźć wzór na prędkość t można średnią. Czas

v + v0 vśr = 2

Przemieszczenie [m]

Klatka ma spadać 2,0 s; przyspieszenie, będące wynikiem działania siły grawitacji, wynosi 9,8 m/s2.

b. Korzystając z wiedzy, jaką dysponujesz, policz v.

[s]

Wykres zależności przemieszczenia od czasu, wykreślony dla obiektu poruszającego się ze stałym przyspieszeniem.

x rędkość Równanie na p widocznej

ylenie prostej Określając nach i od czasu, żności prędkośc le za , na wykresie przyspieszenie znaleźć wzór na by że moż k, x na ta zekształcić go t a na0stępnie pr . Czas ie na prędkość [s] an wn otrzymać ró 0

vśr =

x - x0 t

czasu, ści prędkości od Wykres zależno iektu poruszającego ob wykreślony dla yspieszeniem. stałym prz Prędkość [m/s] się ze

c. Korzystając z wyniku obliczeń z punktu b., policz vśr.

To równanie zawiera zmienną x, którą chcę policzyć!

v = v - v0

v

v0

t 0

d. Korzystając z wyniku obliczeń z punktu c., policz x.

Czas [s]

t=t-0

v = v0 + at

jesteś tutaj  297

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka Klatka ma spadać 2,0 s; przyspieszenie, będące wynikiem działania siły grawitacji, wynosi 9,8 m/s2.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

a. Narysuj schematyczny obrazek przedstawiający dźwig z klatką, a następnie zaznacz na nim wartości i (lub) wektory x, x0, v0, v, a i t. W ten sposób wszystko, co wiesz, zamkniesz w jednym rysunku.

t = 0 s x0 = 0 m

v0 = 0 m/s a = 9,8 m/s2

x = ? m t = 2,0 s

v = ? m/s

b. Korzystając z wiedzy, jaką dysponujesz, policz v. Możesz również wpisać wartość obliczoną w rozdziale 6.

v = v0 + at v = 0 m/s + 9,8 m/s2 × 2,0 s v = 19,6 m/s  20 m/s (wynik zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących)

c. Korzystając z wyniku obliczeń z punktu b., policz vśr. vśr =

v + v0

2 vśr = 10 m/s

=

20 m/s + 0 m/s 2

d. Korzystając z wyniku obliczeń z punktu c., policz x. vśr =

x - x0 t

x - x0 = vśrt x = vśrt + x0 x = 10 m/s × 2,0 s + 0 m

Teraz już wiesz, jak wysoki powinien być dźwig! Właśnie policzyłeś wartość przemieszczenia swobodnie spadającej klatki po 2,0 s. Inaczej mówiąc, wiesz, jak wysoki powinien być dźwig — to wspaniałe osiągnięcie! Dingo nareszcie będzie w stanie złapać Emu i zatrzymać go w jednym miejscu przez czas dostatecznie długi, by mógł mu wręczyć zaproszenie na swoje przyjęcie urodzinowe…

Zaczynając rozwiązywać zadanie z fizyki, zawsze wykonuj odręczny rysunek, na którym znajdą się wszystkie niezbędne informacje.

x = 20 m

Każda z części zadania wymaga posłużenia się innym równaniem; wszystkie potrzebne równania opracowałeś na podstawie wykresów.

298

Rozdział 7.

Po narysowaniu obrazka i wypisaniu danych staraj się policzyć wszystko to, co jest niezbędne, żeby móc udzielić odpowiedzi na pytanie zawarte w treści zadania.

Równania ruchu (część I)

Teraz Dingo chciałby dowiedzieć się czegoś więcej

Czy powiesz mi, jak się liczy przemieszczenie dla dowolnej wartości czasu?

Dingo przyszedł do Ciebie ze smutnymi wieściami: okazało się, że jego dźwig jest za niski. Poza tym nie wie, gdzie będzie musiał ustawić dźwig podczas następnej próby schwytania Emu, więc chciałby być przygotowany na każdą okoliczność. Innymi słowy, Dingo chce wiedzieć, w jaki sposób można określić przemieszczenie dla dowolnej wartości czasu, nie wiadomo bowiem, jak długo Emu będzie biegł do celu, gdy dźwig zostanie ustawiony w miejscu innym niż dotychczas.

Przecież potrafimy to zrobić, prawda? Najpierw, znając czas i przyspieszenie, liczy się prędkość, następnie, wiedząc, jaką wartość ma prędkość, oblicza się prędkość średnią, na końcu zaś, korzystając z wartości prędkości średniej, można policzyć przemieszczenie!

Nie warto robić tego wszystkiego za każdym razem, gdy chce się policzyć przemieszczenie! Masz rację, można liczyć przemieszczenie x, za każdym razem obliczając wartości zmiennych v i vśr, jednakże postępowanie zgodnie z tym schematem trudno nazwać efektywnym, ponieważ zabiera bardzo dużo czasu.

Dokładnie to zrobiłeś na poprzedniej stronie.

Tak naprawdę warto byłoby znaleźć równanie postaci „x = coś”, po którego prawej stronie znajdowałyby się zmienne o znanych wartościach (x0, a i t). Musimy więc w jakiś sposób pozbyć się z równań zmiennych pośrednich, jakimi są v i vśr, i napisać ogólne równanie, z którego będzie można korzystać podczas rozwiązywania kolejnych zadań tego samego typu.

Czas przeznaczony na szukanie nowego równania zwróci się, gdy zaczniesz z niego korzystać!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Czy byłbyś w stanie, posługując się równaniami, które już znasz, wymyślić sposób na pozbycie się zmiennych v i vśr z równania? (Wartości tych zmiennych nie są znane, więc nie chcesz mieć ich w równaniu).

jesteś tutaj  299

Podstawienia w równaniach

Pomocne okaże się podstawienie Załóżmy, że mamy dwa równania: e = 2b oraz e = c + d. Obydwie strony każdego z równań są sobie równe, co wynika z samej definicji równania.

=

e

2b

Obydwa równania są postaci „e = coś”.

W obydwu równaniach widzimy czynnik „e =”. Wynika z tego, że 2b jest tym samym, co e, oraz że suma c + d także równa się e.

e

=

c+d

W takim razie możemy zapisać nowe równanie: 2b = c + d, jeśli bowiem zarówno 2b, jak i c + d jest tym samym, co e, obydwa czynniki muszą równać się sobie nawzajem. Operację opisaną powyżej, polegającą na zastąpieniu jednego czynnika w równaniu innym, nazywamy podstawianiem; po wykonaniu podstawienia otrzymaliśmy równanie, w którym w ogóle nie występuje zmienna e. Zmienna e została po prostu wymieniona na inną zmienną, zupełnie jak ma to miejsce podczas meczów piłki nożnej, kiedy jeden zawodnik schodzi z boiska, a drugi wchodzi na boisko i kontynuuje grę za kolegę z drużyny.

2b

Wszędzie tam, gdzie w drugim z równań pojawia się „e”, możesz wpisać „2b” z pierwszego równania.

Po dokonaniu odpowiedniego podstawienia otrzymujemy równanie bez zmiennej „e”.

Dokonując odpowiedniego podstawienia, możesz pozbyć się z równania zmiennej, która wydaje się niezbyt pomocna.

300

Rozdział 7.

c+d

e

2b

=

c+d

Metoda podstawiania przydaje się, gdy w równaniu, z którego chcemy skorzystać, pojawia się trudna do zmierzenia wielkość fizyczna — w naszym przykładzie rolę takiej wielkości fizycznej spełnia zmienna e. Mając do dyspozycji dwa równania zawierające e, możemy dokonać odpowiedniego podstawienia i połączyć je w jedno równanie bez e. Nie martw się, jeśli w tej chwili nie bardzo wiesz, w jaki sposób metoda podstawień miałaby okazać się przydatna podczas rozwiązywania problemu wysokości dźwigu. Za chwilę wszystko się wyjaśni…

Równania ruchu (część I) Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy podstawień mogę dokonywać we wszystkich równaniach, jakie tylko przyjdą mi do głowy?

O: Z metody podstawień korzysta się tylko wtedy, gdy ma się

do dyspozycji kilka równań, w których występuje ta sama zmienna. Nie wszystkie równania muszą być ze sobą powiązane i zawierać tę samą zmienną (tak jak nie wszystkie klocki do gry w domino pasują do siebie nawzajem). Na przykład dwa równania a = b i c = d nie mają wspólnych zmiennych, więc nie możemy podczas pracy z nimi skorzystać z metody podstawień.

P

: A co z pytaniami, w których użyto tej samej litery do oznaczenia różnych wielkości fizycznych? Na przykład zarówno ciśnienie, jak i pęd oznacza się literą „p”.

O: Jeśli w dwóch równaniach występuje ta sama litera, lecz użyto

jej do oznaczenia różnych wielkości fizycznych, nie możesz dokonać podstawienia. Z metody podstawień korzysta się tylko wtedy, gdy w równaniach występuje dokładnie ta sama wielkość fizyczna.

P

: W trakcie niektórych egzaminów będę korzystał z równań podanych w tabelach. Skąd mam wiedzieć, co oznaczają litery we wzorach?

O: W niektórych tabelach znajdziesz legendy z odpowiednimi

wyjaśnieniami. Ponadto, próbując rozwiązać konkretne zadanie, powinieneś zorientować się, z jakiego działu fizyki pochodzi. Zazwyczaj tą samą literą oznacza się wielkości fizyczne omawiane w osobnych działach fizyki.

Z metody podstawień można korzystać tylko wtedy, gdy ma się do dyspozycji przynajmniej dwa równania, w których występuje co najmniej jedna i ta sama niewiadoma.

P

: Ale tak naprawdę nie mam ochoty w kółko przeglądać tabel, sprawdzając, co oznaczono taką czy inną literą.

O

: Dlatego właśnie dokładnie opisuję każdą wielkość fizyczną, która po raz pierwszy pojawia się w tekście, a później wielokrotnie przypominam Ci jej nazwę. W trakcie tego kursu poznasz wiele wielkości fizycznych oraz równań. Wiedza ta okaże się nieoceniona, gdy będziesz zdawał egzaminy, podczas których nie wolno korzystać z tabel wzorów!

P

: Twierdzisz więc, że jeśli oswoję się z równaniami, UŻYWAJĄC ich, nie będę musiał korzystać z tabel pomocniczych i w efekcie będę rozwiązywał zadania szybciej?

O: Właśnie tak! Dobrze jest móc zerknąć na kartkę z tabelą

wzorów, gdy chce się mieć pewność, że dobrze zapamiętało się dany wzór albo że poprawnie wykonało się rachunek jednostek. Czasami, nie będąc pewnym, jak zabrać się za rozwiązywanie zadania, można poszukać w tabeli pomocniczej inspiracji. Niemniej uczenie się równań poprzez ich zrozumienie i używanie to z całą pewnością najlepsza metoda przygotowywania się do wszelkich egzaminów.

P

: No dobrze, ale te przykładowe równania obrazujące korzystanie z metody podstawień nie są równaniami znanymi z fizyki!

O: To prawda. Dlatego czas powrócić do problemu dźwigu Dingo i w sposób praktyczny skorzystać z metody podstawiania.

Jeśli korzystasz z więcej niż jednego równania, pamiętaj, że we wszystkich równaniach ta sama zmienna powinna być oznaczana tak samo.

jesteś tutaj  301

Przekształcanie równań A co, jeśli zechcę pozbyć się z równania zmiennej, która nie będzie znajdowała się sama po żadnej z jego stron? W jaki sposób będę mogła wykonać podstawienie?

Jeśli jesteś w stanie odpowiednio Możesz w taki sposób przekształcić równanie, żeby zmienna, której chcesz się przekształcić pozbyć, stała sama po jednej z jego stron. przynajmniej jedno Jeśli w równaniach, którymi dysponujesz, vśr nie stoi samotnie z równań, z których po żadnej ze stron, przed wykonaniem podstawienia musisz chcesz się pozbyć przekształcić przynajmniej jedno z tych równań. jakiejś zmiennej, Dopiero po dokonaniu niezbędnych przekształceń niewygodną zmienną i otrzymaniu równania w postaci „vśr = coś”, możesz „coś” wstawić do drugiego równania wszędzie tam, gdzie znajduje możesz usunąć się w nim zmienna vśr. za pomocą metody podstawiania. Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego metoda podstawiania jest użyteczna?

O

Korzystanie z metody podstawiania w zamian za obliczanie wartości zmiennych pośrednich jest na dłuższą metę bardziej opłacalne, ponieważ pozwala zaoszczędzić czas.

302

Rozdział 7.

: Czasami równanie, którym chcesz się posłużyć w trakcie wykonywania obliczeń, może zawierać zmienną o nieznanej wartości. Korzystając z metody podstawiania, będziesz w stanie napisać nowe równanie bez niewygodnej zmiennej, za pomocą którego dasz radę policzyć to, co tak naprawdę jest Ci potrzebne.

P

: W jaki sposób, korzystając z metody podstawiania, mogę pozbyć się z równania niewygodnej zmiennej?

O

: Po pierwsze, musisz znać jeszcze jedno równanie, które również zawiera niewygodną zmienną. Po drugie, powinieneś przekształcić jedno z równań tak, żeby niewygodna zmienna stała samotnie po jednej ze stron znaku „=”. Trzeci i ostatni krok polega na wstawieniu tego, czemu równa jest niewygodna zmienna, do nieprzekształconego równania wszędzie tam, gdzie znajduje się symbol oznaczający ową zmienną.

P

: Dlaczego po prostu nie liczy się wartości niewygodnej zmiennej i nie wstawia jej do drugiego równania?

O: Można tak robić, postępowanie takie

nie jest niepoprawne. Jednak przedstawione przez Ciebie podejście zakłada, że wszystkie obliczenia niezbędne do rozwiązania zadania określonego typu będziesz powtarzał za każdym razem, gdy postanowisz zmierzyć się z kolejnym zadaniem tego samego typu. Ponadto, obliczając wartości zmiennych pośrednich (takich, które nie są istotne same w sobie), niepotrzebnie zwiększasz ryzyko popełnienie błędu, na przykład na etapie przepisywania liczb do kalkulatora.

P

: Cóż, w takim razie wykonywanie podstawień można nazwać obliczaniem wartości zmiennych pośrednich za pomocą liter, a nie liczb, prawda?

O: Bardzo dobre spostrzeżenie! Zamiast podstawiać

do równania wartość obliczonej zmiennej pośredniej, wstawia się jej odpowiednik, stanowiący odpowiednią relację między innymi zmiennymi.

Równania ruchu (część I)

Pozbywaj się niechcianych zmiennych z równań, wykonując odpowiednie podstawienia Do tej pory, analizując wykresy, udało Ci się opracować trzy różne równania. Jednakże w równaniach tych pojawiły się zmienne v i vśr, których wartości nie znasz. Aby nie tracić czasu na obliczanie wartości zmiennych pośrednich, warto byłoby pozbyć się ich poprzez dokonanie odpowiednich podstawień. Jeśli uda Ci się ta sztuka, znajdziesz ogólne równanie, niezawierające zmiennych v i vśr, za pomocą którego będzie można policzyć przemieszczenie dla dowolnej wartości czasu. Równanie to przyda Ci się zarówno podczas szukania odpowiedzi na pytanie, jaki dystans pokona klatka spadająca przez dowolnie długi czas, jak i w trakcie rozwiązywania rozmaitych zadań dotyczących ruchu obiektów przemieszczających się ze stałym przyspieszeniem. Pora zrobić kolejny krok w przód i metodą podstawiania pozbyć się z równań, którymi dysponujesz, niechcianych zmiennych v i vśr.

Równania wyznaczone dla swobodnie spadającej klatki

v = v0 + at

vśr =

x - x0 t

vśr =

v + v0 2

Zaostrz ołówek Równania, które do tej pory opracowałeś, znajdują się w notatniku widocznym wyżej. Zmienne, których wartości są znane od samego początku, zostały zaznaczone „ptaszkami”. Zastanów się, której z dwóch zmiennych, v i vśr, będzie się łatwiej pozbyć w pierwszej kolejności, a następnie metodą podstawiania po prostu usuń ją z równań.

jesteś tutaj  303

Najpierw to, co łatwe

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Równania, które do tej pory opracowałeś, znajdują się w notatniku widocznym wyżej. Zmienne, których wartości są znane od samego początku, zostały zaznaczone „ptaszkami”. Zastanów się, której z dwóch zmiennych, v i vśr, będzie się łatwiej pozbyć w pierwszej kolejności, a następnie metodą podstawiania po prostu usuń ją z równań.

v = v0 + at vśr = vśr

x - x0 t

Mam do dyspozycji dwa równania postaci „vśr = coś”, więc najpierw, korzystając z metody podstawiania, pozbędę się zmiennej vśr.

vśr =

v + v0 = 2

v + v0

oraz

2 v + v0 2

=

vśr =

x - x0 t

x - x0 t

Hmm… Ja postanowiłam w pierwszej kolejności pozbyć się v. Czy popełniłam błąd?

Warto zastanowić się nad najłatwiejszym sposobem prowadzenia obliczeń. Mając do dyspozycji dwa równania postaci „vśr = coś”, najprościej będzie wykonać podstawienie, korzystając właśnie z nich. Rozwiązując problem fizyczny, najrozsądniej jest zacząć od wykonania prostych czynności. Jeśli postanowisz od razu zająć się trudniejszymi częściami zadania, możesz narobić sobie zbędnych kłopotów i w efekcie nie znaleźć rozwiązania.

304

Rozdział 7.

Jeśli masz wpływ na kolejność wykonywania obliczeń, postaraj się ocenić, które obliczenia będzie najłatwiej przeprowadzić, i wykonaj je najpierw.

Równania ruchu (część I)

Kontynuujemy podstawienia… Teraz, po wykonaniu odpowiedniego podstawienia, mamy do dyspozycji równanie zawierające zmienne x i t, lecz pozbawione zmiennej vśr. Niestety, oprócz znanych zmiennych v0 i t w równaniu tym widzimy również zmienną v. Chcemy znaleźć ogólne równanie na x, którego rozwiązywanie nie zależałoby od znajomości wartości zmiennej v. Można tego dokonać, pozbywając się zmiennej v metodą podstawiania. W tym celu należy skorzystać z równania na v.

Równania po pozbyciu się z nich vśr

v = v0 + at

v + v0 x - x0 2 = t

Zaostrz ołówek a. Korzystając z dwóch dostępnych równań, metodą podstawiania pozbądź się zmiennej v. b. Po uzyskaniu nowego równania przekształć je tak, żeby przyjęło postać „x = coś”.

jesteś tutaj  305

Proste rozwiązania

v = v0 + at (1)

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Wygodnie jest numerować sobie równania, żeby w razie potrzeby można było się do nich łatwo odwoływać.

a. Korzystając z dwóch dostępnych równań, metodą podstawiania pozbądź się zmiennej v. Równanie (1) jest postaci „v = coś”. Nie zapominaj o wyjaśnieniach, co robisz i w jakim celu.

v + v0 x - x0 (2) = t 2

Przekształcam równanie (2) do postaci „v = coś”. v + v0

v = v0 + at

2 =

=

v + v0

=

v

=

Robię podstawienie. = Łatwiej będzie przekształcić do postaci „x = coś” równanie, w którym zmienna x znalazła się po lewej stronie.

2(x - x0)

- v0

t

=

x - x0

Obustronnie mnożymy przez 2.

t 2(x - x0)

Obustronnie odejmujemy v0.

t 2(x - x0) t

- v0

v0 + at

b. Po uzyskaniu nowego równania przekształć je tak, żeby przyjęło postać „x = coś”. 2(x - x0) t Obustronnie mnożymy przez t, dzięki czemu wyrażenie x - x0 nie jest przez nic dzielone.

Obustronnie dodajemy x0 i w ten sposób lewą stroną równania staje się samotnie stojąca zmienna x.

306

Rozdział 7.

- v0

2(x - x0) t

Obustronnie dodajemy v0, ponieważ chcemy, żeby po lewej stronie został tylko czynnik zawierający zmienną x.

=

v0 + at

=

2v0 + at

2(x - x0)

=

2v0t + at2

x - x0

=

v0t +

=

x0 +

x

1 2

Wykonujemy obustronne dzielenie przez 2, żeby wyrażenie x - x0 zostało samo po lewej stronie równania.

at 2 v0t +

1 2

at 2

Wyniki swoich obliczeń powinieneś przedstawiać w formie najprostszej z możliwych.

Równania ruchu (część I) Czy można by dla zaoszczędzenia czasu wykonać powyższe podstawienia bez uprzedniego przekształcania obydwu równań do postaci „v = coś”?

Jeśli rozumiesz prowadzone przez siebie obliczenia, możesz wykonywać podstawienia w inny sposób niż przedstawiony powyżej. Jeśli chciałbyś tylko jedno z równań przekształcić do postaci „v = coś”, a następnie w drugim zmienną v zastąpić tym „czymś” z pierwszego równania — nie ma problemu, możesz to zrobić. Takie obliczenia wyglądałyby jak poniższe. v =

v0 + at

(1)

Wstawiam v0 + at zamiast v w równaniu (2). v + v0 2 v0 + at + v0

2

=

=

x - x0 t

(2)

x - x0

t

Otrzymane równanie należy jeszcze przekształcić do postaci znanej z poprzedniej strony: x = x0 + v0t + 1/2at2 . Obliczenia prowadzone w sposób przedstawiony powyżej są poprawne. Najważniejsze jest, żebyś zawsze rozumiał, co robisz i dlaczego.

Zaostrz ołówek

To równanie udało Ci się wyprowadzić. Czy masz pewność, że jest ono poprawne?

x =

x 0 + v 0t +

1 2

at2

Wykonałeś kilka podstawień i otrzymałeś ładnie wyglądające równanie na x, składające się wyłącznie ze zmiennych, których wartości są znane. Należy zadać pytanie: czy Twoje równanie jest dobrze sKROJone? Wykorzystaj puste miejsce w tej ramce do wypisania wszystkich sposobów na sprawdzenie poprawności równania, jakie jesteś w stanie wymyślić. Pamiętaj, że równanie powinno być poprawne dla dowolnych wartości występujących w nim zmiennych.

Nie martw się, jeśli nie wiesz, jak przeprowadzić określony test. Na razie zostałeś poproszony tylko o napisanie, co zrobiłbyś, gdybyś wiedział, jak się to robi.

jesteś tutaj  307

Zawsze sprawdzaj wyniki

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

To równanie udało Ci się wyprowadzić. Czy masz pewność, że jest ono poprawne?

Wykonałeś kilka podstawień i otrzymałeś ładnie wyglądające równanie na x, składające się wyłącznie ze zmiennych, których wartości są znane. Należy zadać pytanie: czy Twoje równanie jest dobrze sKROJone? Wykorzystaj puste miejsce w tej ramce do wypisania wszystkich sposobów na sprawdzenie poprawności równania, jakie jesteś w stanie wymyślić. Pamiętaj, że równanie powinno być poprawne dla dowolnych wartości występujących w nim zmiennych.

x 0 + v 0t +

1 2

at2

K. — Kontekst. Z równania wynika, że x zależy od v0, a i t. Wydaje się, że zmienna x rzeczywiście powinna zależeć od tych zmiennych. R. — Rozmiar. Sądzę, że mógłbym wstawić do równania wartość t = 2,0 s i sprawdzić, czy wynik obliczeń będzie zgodny z otrzymanym przez nas wcześniej. Poza tym mógłbym przetestować równanie, wstawiając do niego inne wartości liczbowe. O. — Obliczenia. Myślę, że wszystkie podstawienia wykonałem prawidłowo. J. — Jednostki. Uważam, że należałoby sprawdzić jednostki, ale nie bardzo wiem, jak się za to zabrać.

Udało się! Wyprowadziłeś użyteczne równanie, dzięki któremu można policzyć przemieszczenie klatki! Otrzymane przez Ciebie równanie na przemieszczenie obiektu spadającego przez określony czas ma postać: x = x0 + v0t + at2 . Jak widać, nigdzie nie ma w nim zmiennych v ani vśr! Jednak wciąż nie masz pewności, czy to równanie jest poprawne. Przecież nie chcesz, żeby plany urodzinowe Dingo legły w gruzach przez jakiś błąd w obliczeniach.

Czy to równanie na pewno działa? Naprawdę bardzo chcę zaprosić Emu na swoje przyjęcie urodzinowe, ale żeby móc z nim porozmawiać, muszę go najpierw schwytać!

x =

Wyprowadzone równania należy sprawdzać, zanim zacznie się z nich korzystać. Metoda sprawdzająca związana z pytaniem „czy odpowiedź jest dobrze sKROJona” świetnie nadaje się do testowania wyników liczbowych, jednak nie wszystkie wchodzące w jej skład kryteria nadają się do sprawdzania poprawności równań. Dlatego właśnie wprowadzimy metodę W.J.W.P. W. — Wykres. Czy uzyskane równanie opisuje krzywą z wykresu? J. — Jednostki. Czy każdy człon wzoru ma tę samą jednostkę? W.P. — Wartości Próbne. Przetestuj równanie, wstawiając do niego skrajne wartości zmiennych albo wartości, które powinny doprowadzić do otrzymania znanego Ci wyniku. Sprawdzanie naszych równań zaczniemy od przyjrzenia się jednostkom. Gdy już biegle opanujesz przeliczanie jednostek, okaże się, że rachunek jednostek jest najszybszą z metod testowania wzorów.

308

Rozdział 7.

Równania ruchu (część I) Wykres Jednostki Wartości Próbne

Sprawdź równanie, sprawdzając Jednostki

Każdy z klocków to człon równania, czyli kawałek równania, który dodajemy do pozostałych kawałków lub który od nich odejmujemy.

Szybką metodą testowania poprawności równania jest sprawdzenie jednostki każdego z wyrazów tego równania (wyrazem bądź członem nazywamy kawałek równania dodawany do innych kawałków lub od nich odejmowany). Ponieważ wyrażenia typu „2 sekundy + 3 metry” są pozbawione sensu, możemy wykonywać sumy i różnice tylko tych wyrazów, które mają taką samą jednostkę. Stąd wniosek, że każdy człon wyprowadzonego przez Ciebie równania musi mieć dokładnie tę samą jednostkę. Wyraz równania może być albo pojedynczą zmienną, albo kilkoma zmiennymi i liczbami odpowiednio przez siebie pomnożonymi lub podzielonymi. Sprawdzając poprawność wyprowadzonego równania, musisz znać i kontrolować jednostki wszystkich zmiennych pojawiających się w tym równaniu.

 Wszystkie człony wyprowadzonego przez Ciebie równania muszą mieć tę samą jednostkę, żeby dało się je do siebie dodawać i od siebie odejmować. Na jeden człon może składać się wiele liczb i zmiennych, mnożonych i dzielonych przez siebie.

Członem może być pojedyncza zmienna.

x



x0

v0t



1 2 2 at

Członem równania może być zarówno pojedyncza zmienna, jak i kilka zmiennych oraz liczb pomnożonych i (lub) podzielonych jedne przez drugie.

Zaostrz ołówek Niektóre komórki tabeli wypełniono za Ciebie.

Czy Twoje równanie jest sensowne? Innymi słowy, czy wszystkie jego człony mają taką samą jednostkę? Wypełnij tabelkę, żeby uzyskać odpowiedź na to pytanie. Kwadratowe nawiasy znaczą tyle, co „jednostka zmiennej”, a więc na przykład [x] = metr.

Człon

Jednostka zmiennej

Jednostka członu

x

x0

[x]

[x0]

[x]

Ponieważ mamy tu do czynienia z iloczynem zmiennych, możemy policzyć jednostkę całego członu, odpowiednio mnożąc jednostki tych zmiennych.

[x0]

½at2

v0t [v0]

[t]

m/s

s

[v0t] = m/s × s

[½]

[a]

[t]

[½at2] =

m s = m s ×

jesteś tutaj  309

Sprawdzaj jednostki Wykres Jednostki Wartości Próbne

Zaostrz ołówek:

Liczby są bezwymiarowe — nie mają jednostek.

Rozwiązanie Czy Twoje równanie jest sensowne? Innymi słowy, czy wszystkie jego człony mają taką samą jednostkę? Wypełnij tabelkę, żeby uzyskać odpowiedź na to pytanie. Kwadratowe nawiasy znaczą tyle, co „jednostka zmiennej”, a więc na przykład [x] = metr.

Człon

Jednostka zmiennej

Jednostka członu

½at2

v0t

x

x0

[x]

[x0]

[v0]

[t]

[½]

[a]

[t]

m

m

m/s

s

bez jednostek

m/s2

s

[x]

[x0]

m

m

Wszystkie wyrazy składające się na wyprowadzone przez Ciebie równanie mają taką samą jednostkę (metr), można więc powiedzieć, że równanie to wydaje się być sensowne.

[v0t] = m/s × s

2 2 [½at2] = m/s × s

m s2 = m s2 ×

m s = m s ×

Jednostką wszystkich członów równania jest metr, a więc test równania oparty na sprawdzaniu jednostek dał pozytywny wynik.

Wszystkie człony Twego równania mają dokładnie tę samą jednostkę.

x

x0



v0t



1 2 2 at

Jeśli którykolwiek z członów wyprowadzonego przez Ciebie równania ma inną jednostkę niż pozostałe człony, powinieneś poszukać błędów, które MUSIAŁY wkraść się do obliczeń. Równanie składające się z członów o różnych jednostkach zwyczajnie nie ma sensu.





Każdy CZŁON równania.

Wszystko, co dodajesz do siebie lub od siebie odejmujesz, musi mieć dokładnie tę samą JEDNOSTKĘ. 310

Rozdział 7.

Równania ruchu (część I) Wykres Jednostki Wartości Próbne Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego takie ważne jest, żeby wszystkie człony równania miały tę samą jednostkę?

O

P: Czy właściwie przeprowadzony test jednostek daje stuprocentową pewność, że równanie jest poprawne?

O

: Nie można dodawać członów o różnych jednostkach. Pytanie o wynik działania „2 sekundy + 3 metry” nie ma najmniejszego sensu, ponieważ nie da się dodać metra do sekundy.

: Nie, test jednostek nie daje całkowitej pewności. Sprawdzanie jednostek pozwoli Ci wyłapać te błędy w obliczeniach, które mają wpływ na jednostki.

P: Ale przecież można mnożyć i dzielić zmienne, których

P: Jakie błędy nie zmieniają jednostek członów równania? O: Na przykład: jeśli chcesz wszystkie wyrazy równania pomnożyć

wartości wyrażane są w odmiennych jednostkach, prawda?

O

: Tak. Na przykład dzieli się przemieszczenie przez czas, aby policzyć prędkość poruszającego się obiektu; jednostką prędkości jest metr podzielony przez sekundę.

P: Co powinienem zrobić, jeśli po wyprowadzeniu przeze

przez 2, ale zapomnisz o jednym z członów, popełnisz błąd, który nie zmienia jednostki tego członu. Liczba 2 nie ma żadnej jednostki, więc związanych z nią pomyłek nie wychwycisz podczas analizy jednostek.

: Jeśli tylko jeden człon ma inną jednostkę, zapewne popełniłeś jakiś drobny błąd podczas prowadzenia obliczeń.

Innymi błędami niezmieniającymi jednostek członów równania są pomyłki polegające na gubieniu i zamienianiu indeksów stojących przy nazwach zmiennych. Przykładem takiego błędu może być pisanie x zamiast x0. Obydwie podane tu zmienne mają tę samą jednostkę, więc rachunek jednostek nie wykaże różnicy między nimi.

P: Na jakie błędy w obliczeniach powinienem szczególnie

P: W takim razie jak wykrywa się błędy, które

mnie równania okaże się, że jeden z jego członów ma inną jednostkę niż pozostałe?

O

uważać, jakich się spodziewać?

O: Jeśli podczas sprawdzania jednostek poszczególnych członów

równania okaże się, że jeden człon ma inną jednostkę niż pozostałe, najprawdopodobniej popełniłeś błąd w trakcie przekształcania wzoru. Na przykład wyobraź sobie, że przekształcając jakieś równanie, chcesz podzielić wszystkie jego wyrazy przez t, ale wykonując dzielenie przez nieuwagę pomijasz jeden z członów.

nie wpływają na jednostki członów równania?

O

: Można porównać równanie z krzywą wykreśloną na odpowiednim wykresie, a także spróbować wstawić do niego skrajnie różniące się od siebie wartości zmiennych, żeby zorientować się, czy równanie to naprawdę opisuje rzeczywistość…

Jeśli wszystkie człony wyprowadzonego przez Ciebie równania mają taką samą jednostkę, możesz być z siebie zadowolony, ponieważ pozytywny wynik testu jednostek jest informacją, że zmierzasz w dobrym kierunku.

jesteś tutaj 

311

Wykres Jednostki Wartości Próbne

Test skrajnych wartości

Sprawdź równanie, wstawiając do niego skrajne wartości zmiennych Znalazłeś równanie odpowiadające krzywej z wykresu zależności przemieszczenia od czasu, wykreślonej dla swobodnie spadającego obiektu: x = x0 + v0t + at2 . Ponadto sprawdziłeś, czy wszystkie człony tego równania mają taką samą jednostkę. Mimo to jeszcze nie możesz mieć pewności, że otrzymany wzór jest poprawny. Warto więc przetestować go, wstawiając do niego skrajne wartości zmiennych i porównując wyniki obliczeń z wiedzą o prawdziwym świecie. Sprawdzając swoje równanie, możesz chcieć dowiedzieć się, na przykład, co stałoby się, gdybyś przyjął, że czas wynosi 0 s, albo jaki wynik uzyskałbyś, zakładając, że prędkość początkowa jest bardzo duża. W prawdziwym życiu, mając 0 s czasu na przemieszczenie się, nie byłbyś w stanie zrobić nawet jednego kroku. Płynie stąd wniosek, że po czasie równym 0 s Twoje przemieszczenie byłoby takie samo, jak przemieszczenie początkowe x0. Twoje równanie ma postać: x = x0 + v0t + at2 . Jeśli przyjmiemy, że t = 0 s, człon v0t będzie równy 0, ponieważ dowolna liczba lub zmienna pomnożona przez zero daje zero. Oczywiście, człon at2 także równy jest 0. Wiedząc o tym, możesz zapisać swoje równanie tak: x = x0 + 0 + 0, albo po prostu tak: x = x0. Identyczny wniosek wysnułeś, myśląc o prawach rządzących prawdziwym światem!

x x

x0 x0



v0t

 t=0

Jeśli wartość zmiennej wynosi zero, wartości wszystkich członów wzoru, w których pojawia się mnożenie przez tę zmienną, również równe są zeru.

1 2 2 at Jeśli przyjmiemy warunek t = 0 s, te dwa człony również będą równe zeru i znikną z równania.

Jeżeli zmienną w równaniu zastąpisz dużą liczbą, człony mnożone Jeśli przyjmiemy warunek t = 0 s, równanie przez tę zmienną również będą dużymi liczbami i staną się najbardziej przyjmuje postać x = x0, co zgadza się z naszymi znaczącymi częściami równania. Człony podzielone przez bardzo dużą oczekiwaniami, ponieważ mając do dyspozycji 0 s liczbę będą liczbami małymi, a tym samym przestaną grać istotną rolę czasu, nie zdążysz się nigdzie przemieścić!

Jeżeli liczba wstawiona w miejsce zmiennej będzie bardzo duża, człon równania mnożony przez tę zmienną także musi okazać się dużą liczbą. Jeśli zaś człon równania podzielimy przez bardzo dużą liczbę, powinniśmy w wyniku otrzymać liczbę małą.

312

Rozdział 7.

w równaniu. Dzieje się tak, ponieważ podzielenie jakiejś liczby przez bardzo dużą liczbę zawsze daje w wyniku małą liczbę. Opierając się na swoim doświadczeniu, możesz założyć, że obiekt, który porusza się z bardzo dużą prędkością początkową, przebędzie znaczny dystans. Twoje równanie jest postaci: x = x0 + v0t + at2. Jeśli założymy, że prędkość początkowa v0 jest duża, człon v0t również okaże się być dużą liczbą i stanie się najbardziej znaczącą częścią równania. W takim przypadku równanie, którego poprawność sprawdzamy, przyjmie postać „x = coś bardzo dużego”. Wniosek ten pokrywa się z naszymi oczekiwaniami opartymi na wiedzy o prawdziwym świecie.

Równania ruchu (część I) Wykres Jednostki Wartości Próbne

BĄDŹ równaniem

Wyobraź sobie, że jesteś równaniem. Co będzie się z Tobą działo, jeśli podstawi się do Ciebie WARTOŚCI SKRAJNE poszczególnych zmiennych? Na przykład, co się stanie, jeśli założymy, że przyspieszenie równe jest zeru? A co się stanie, jeśli przyspieszenie będzie bardzo duże? Co się stanie, gdy przyjmiemy, że czas to zero sekund? A co, gdy założymy, że zmienna opisująca czas ma bardzo dużą wartość? W jaki sposób Twój kształt zależy od v0? A teraz pytanie najważniejsze ze wszystkich: czy opisujesz rzeczywistość?!

x = x0 + v0t + ½ at 2 Wartość skrajna

t=0s

Co dzieje się w prawdziwym świecie?

Co dzieje się z równaniem?

Czy równanie opisuje to, co dzieje się w prawdziwym świecie?

Nie możesz się nigdzie przemieścić, bo nie masz na to czasu. x jest dużą liczbą, ponieważ v0t oraz ½at2 są najbardziej znaczącymi członami równania.

t jest dużą liczbą

a = 0 m/s2

a jest dużą liczbą

Równanie przyjmuje postać x = x0 + ½at2

v0 = 0 m/s

v0 jest dużą liczbą

Twoje przemieszczenie jest duże, gdyż w chwili początkowej poruszasz się z bardzo dużą prędkością.

jesteś tutaj  313

Wykres Jednostki Wartości Próbne

Bądź równaniem — rozwiązanie

BĄDŹ równaniem. Rozwiązanie Wyobraź sobie, że jesteś równaniem. Co będzie się z Tobą działo, jeśli podstawi się do Ciebie WARTOŚCI SKRAJNE poszczególnych zmiennych? Na przykład, co się stanie, jeśli założymy, że przyspieszenie równe jest zeru? A co się stanie, jeśli przyspieszenie będzie bardzo duże? Co się stanie, gdy przyjmiemy, że czas to zero sekund? A co, gdy założymy, że zmienna opisująca czas ma bardzo dużą wartość? W jaki sposób Twój kształt zależy od v0? A teraz pytanie najważniejsze ze wszystkich: czy opisujesz rzeczywistość?!

x = x0 + v0t + ½ at 2 Wartość skrajna

Co dzieje się w prawdziwym świecie?

Co dzieje się z równaniem?

Czy równanie opisuje to, co dzieje się w prawdziwym świecie?

Nie możesz się nigdzie przemieścić, bo nie masz na to czasu.

x = x0

Tak, z równania wynika, że zostajesz tam, gdzie byłeś, i nigdzie się nie przemieszczasz.

Twoje przemieszczenie jest duże, bo na przemieszczanie się masz dużo czasu.

x jest dużą liczbą, ponieważ v0t oraz ½at2 są najbardziej znaczącymi członami równania.

Tak, z równania wynika, że Twoje przemieszczenie jest duże.

Poruszasz się ze stałą prędkością.

Równanie przyjmuje postać x = x0 + v0t.

Tak. Otrzymane równanie przypomina wzór: przemieszczenie = szybkość × czas, pomijając fakt, że jest wektorowe i zawiera człon x0.

a jest dużą liczbą

Prędkość bardzo szybko rośnie.

Wraz z upływem czasu człon ½at2 staje się coraz bardziej znaczący, ponieważ zwiększa się wartość czynnika t2.

Tak, z równania wynika, że coraz bardziej przyspieszasz.

v0 = 0 m/s

Przemieszczenie x zależy tylko od przyspieszenia i zmiennej x0, jako że prędkość początkowa wynosi 0 m/s.

Równanie przyjmuje postać x = x0 + ½at2

Tak, z równania wynika, że przemieszczenie zależy od przyspieszenia oraz x0 i nie zależy od v0.

v0 jest dużą liczbą

Twoje przemieszczenie jest duże, gdyż w chwili początkowej poruszasz się z bardzo dużą prędkością.

Wartość zmiennej x jest duża, bo człon v0t staje się najbardziej znaczącym członem równania.

Tak, z równania wynika, że Twoje przemieszczenie jest duże.

t=0s

t jest dużą liczbą

a = 0 m/s2

314

Rozdział 7.

Równania ruchu (część I) Wykres Jednostki Wartości Próbne

Magnesiki z historyjkami o równaniach i wykresach -  $    $ 0  $1 $2   "         " !   $  2  "   -              "$ 3435675 68 9      5     " ":" "    "   $"   ; $    "   $        -   $   < 2 "= >=5?>=     > =    5?9>

x

Na pustych magnesikach napisz własne historyjki.

x

x0 t

t

x

+      ,"&+#    -   #   &

x

$       %   &

x0 t

t

x

.   / & 0   [ # "&

['[

x0

['Y

t ['(D

['[Y

[ [*(D)

)

jesteś tutaj  315

Wykres Jednostki Wartości Próbne

Magnesiki — rozwiązanie

Magnesiki z historyjkami o równaniach i wykresach. Rozwiązanie -  $    $ 0  $1 $2   "         " !   $  2  "   -              "$ 3435675 68 9      5     " ":" "    "   $"   ; $    "   $        -   $   < 2 "= >=5?>=     > =    5?9> ['Y ['[

x

x

x

x0

x0 t

t $       %   &

Ktoś wychodzi z domu, gdzie x = 0 m, i idzie do pracy ze stałą prędkością (z przyspieszeniem równym 0 m/s2).

W tym równaniu nie występuje zmienna t. W sytuacji, gdy przemieszczenie x obiektu nie zależy od zmiennej t, mówimy o stałym przemieszczeniu równym przemieszczeniu początkowemu x0 (płożenie obiektu nie zmienia się).

Myśl o wykresach i równaniach jak o sposobach na „opowiadanie historyjek” o różnych zdarzeniach.

316

['[Y

['(D)

x

t .   / & 0   [ # "&

Rozdział 7.

t Kierowca prowadzący samochód wjeżdża na długą, prostą drogę szybkiego ruchu w miejscu, w którym przemieszczenie x = x0. Ponieważ od razu natyka się na kontrolę radarową, cią postanawia jechać ze stałą prędkoś 2 (z przyspieszeniem równym 0 m/s ).

Nieważne, jakie historyjki tu wpisałeś, ważne jest, abyś wiedział, że stałe nachylenie linii na wykresach zależności przemieszczenia od czasu wiąże się ze stałą prędkością obiektów, których ruch oddano na tych wykresach. Linie na tych wykresach są krzywe, ponieważ w opisujących je równaniach występuje czynnik t 2 (12 = 1, 22 = 4, 32 = 9). Im większa jest wartość zmiennej t, tym istotniejszą częścią obydwu równań staje się właśnie czynnik t 2. To przez niego linie widoczne na wykresach stają się coraz bardziej strome.

[ [*(D)

x

x0 t

+      ,"&+#    -   #   &

Równania ruchu (część I) Wykres Jednostki Wartości Próbne

Twoje równanie zdało egzamin! Twoje równanie postaci x = x0 + v0t + at2 pomyślnie przeszło wszystkie próby, którym je poddałeś.

W.

Wykres i równanie „opowiadają” tę samą historię.

Jeśli chcesz sprawdzić poprawność równania, wykonaj test W.J.W.P.

Człon t2 odpowiada za pojawienie się linii krzywej na wykresie zależności przemieszczenia od czasu.

['[Y(D)

x

J.

Wszystkie człony równania mają tę samą jednostkę (metr).

Sprawdzaj jednostki Wykres Jednostki Wartości Próbne

Zaostrz ołówek:

Liczby są bezwymiarowe — nie mają jednostek.

Rozwiązanie

t .   / & 0   [ # "&

W tym konkretnym przypadku x0 = 0 m (dlatego krzywa widoczna na wykresie zaczyna się w punkcie x = 0) i v0 = 0 m/s (co oznacza, że klatka przed zrzuceniem z dźwigu nie poruszała się).

Czy Twoje równanie jest sensowne? Innymi słowy, czy wszystkie jego człony mają taką samą jednostkę? Wypełnij tabelkę, żeby uzyskać odpowiedź na to pytanie. Kwadratowe nawiasy znaczą tyle, co „jednostka zmiennej”, a więc na przykład [x] = metr.

Człon

Jednostka zmiennej

Jednostka członu

½at2

v0t

x

x0

[x]

[x0]

[v0]

[t]

[½]

[a]

[t]

m

m

m/s

s

bez jednostek

m/s2

s

[x]

[x0]

m

m

Wszystkie wyrazy składające się na wyprowadzone przez Ciebie równanie mają taką samą jednostkę ( t) ż i i d i ć ż ó i

[v0t] = m/s × s m s = m s ×

2 2 [½at2] = m/s × s

m s2 = m s2 ×

Jednostką wszystkich członów równania jest metr, a więc test równania oparty na sprawdzaniu jednostek dał pozytywny wynik.

Zaostrz ołówek

W.P.

To, w jakim stopniu równanie opisuje rzeczywistość, można sprawdzić, wstawiając do równania skrajne wartości zmiennych, tzw. wartości próbne.

Tym razem Dingo chciałby, żeby klatka spadała przez 1,5 s. Jak wysoki powinien być dźwig?

Wykres Jednostki Wartości Próbne

Bądź równaniem — rozwiązanie

BĄDŹ równaniem. Rozwiązanie Wyobraź sobie, że jesteś równaniem. Co będzie się z Tobą działo, jeśli podstawi się do Ciebie WARTOŚCI SKRAJNE poszczególnych zmiennych? Na przykład, co się stanie, jeśli założymy, że przyspieszenie równe jest zeru? A co się stanie, jeśli przyspieszenie będzie bardzo duże? Co się stanie, gdy przyjmiemy, że czas to zero sekund? A co, gdy założymy, że zmienna opisująca czas ma bardzo dużą wartość? W jaki sposób Twój kształt zależy od v0? A teraz pytanie najważniejsze ze wszystkich: czy opisujesz rzeczywistość?!

x = x0 + v0t + ½ at 2 Wartość skrajna

Co dzieje się w prawdziwym świecie?

Co dzieje się z równaniem?

Czy równanie opisuje to, co dzieje się w prawdziwym świecie?

Nie możesz się nigdzie przemieścić, bo nie masz na to czasu.

x = x0

Tak, z równania wynika, że zostajesz tam, gdzie byłeś, i nigdzie się nie przemieszczasz.

t jest dużą liczbą

Twoje przemieszczenie jest duże, bo na przemieszczanie się masz dużo czasu.

x jest dużą liczbą, ponieważ v0t oraz ½at2 są najbardziej znaczącymi członami równania.

Tak, z równania wynika, że Twoje przemieszczenie jest duże.

a = 0 m/s2

Poruszasz się ze stałą prędkością.

Równanie przyjmuje postać x = x0 + v0t.

Tak. Otrzymane równanie przypomina wzór: przemieszczenie = szybkość × czas, pomijając fakt, że jest wektorowe i zawiera człon x0.

a jest dużą liczbą

Prędkość bardzo szybko rośnie.

Wraz z upływem czasu człon ½at2 staje się coraz bardziej znaczący, ponieważ zwiększa się wartość czynnika t2.

Tak, z równania wynika, że coraz bardziej przyspieszasz.

v0 = 0 m/s

Przemieszczenie x zależy tylko od przyspieszenia i zmiennej x0, jako że prędkość początkowa wynosi 0 m/s.

Równanie przyjmuje postać x = x0 + ½at2

Tak, z równania wynika, że przemieszczenie zależy od przyspieszenia oraz x0 i nie zależy od v0.

v0 jest dużą liczbą

Twoje przemieszczenie jest duże, gdyż w chwili początkowej poruszasz się z bardzo dużą prędkością.

Wartość zmiennej x jest duża, bo człon v0t staje się najbardziej znaczącym członem równania.

Tak, z równania wynika, że Twoje przemieszczenie jest duże.

t=0s

314

Rozdział 7.

jesteś tutaj  317

Dingo zrzuca…

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Tym razem Dingo chciałby, żeby klatka spadała przez 1,5 s. Jak wysoki powinien być dźwig?

t = 0 s x0 = 0 m

v0 = 0 m/s

x = ? m t = 1,5 s

v = ? m/s

a = 9,8 m/s2

x = x0 + v0t + ½at2 x = 0 m + 0 m + 0,5 × 9,8 m/s2 × (1,5 s)2 x = 11 m

No i Dingo zrzucił klatkę…

!

U IUU

ŁZ Brzd

ęk

… ale gdy kurz opadł… Mój drogi Dingo, chyba nie myślałeś, że nie zauważę klatki?! Z pewnością nie Twój, Emu

Mój drogi Dingo, chyba nie myślałeś, że nie zauważę klatki?! Z pewnością nie Twój, Emu

Ciąg dalszy nastąpi… 318

Rozdział 7.

Poradnia pytań — podstawienia Szukanie rozwiązania zadania, w treści którego pojawiają się wyrażenia takie jak „znajdź”, „wyprowadź” lub „podaj” „równanie”, „zależność” albo „wzór”, zazwyczaj polega na przekształcaniu jakiegoś równania, które powinno się pamiętać, bądź też podanego w samym poleceniu do zadania. Usiłując napisać właściwe równanie, nie wpadaj w panikę! Powinieneś zachować spokój, nawet jeśli w treści zadania natkniesz się na nieznane sobie wzory. Najważniejsze jest, żebyś zorientował się, które zmienne muszą zniknąć w wyniku obliczeń prowadzonych w celu wyprowadzenia równania końcowego. Jeśli wiesz, jaka jednostka odpowiada każdej zmiennej, będziesz mógł sprawdzić poprawność wyprowadzonego równania, porównując ze sobą jednostki jego poszczególnych członów (patrz strona 310).

j Oto informacja, że najprawdopodobnie nie będziesz musiał korzystać cz z żadnych dodatkowych równań opró i treśc w się wiły poja które tych, zadania.

7. Dane są równania: v = v0 + at

Pamiętaj o tym, że symbole pojawiające się w równaniach zawsze mają swoje ZNACZENIE — nie są tylko literami, na których prowadzi się bezsensowne obliczenia.

x - x0 t

vśr =

v + v0 2

a się symbolami fizyczne zazwyczaj oznacz a. Napisz, jakie wielkości tki tych wielkości h równaniach. Podaj jednos widocznymi w powyższyc fizycznych. x , v , a i t. ący zależnością zmiennych 0 0 b. Znajdź wzór na x, będ

Ten fragment tekstu informuje Cię o tym, że jako odpowiedź powinieneś napisać równanie postaci „x = coś”. Innymi słowy, chodzi o wzór, po którego lewej stronie będzie stała tylko zmienna x.

Postaraj się WYCZUĆ, jak wyglądałoby równanie, gdybyś w miejsce zmiennych wpisał skrajne wartości liczbowe. Czy równanie, które wyprowadziłeś, na pewno opisuje procesy zachodzące w prawdziwym świecie?

vśr =

To wyrażenie jest dla Ciebie informacją, że po prawej stronie końcowego równania NIE powinno być żadnych zmiennych poza x0, v0, a i t.

Zorientuj się, których zmiennych nie chcesz widzieć w końcowym równaniu, i zastanów się, jakimi podstawieniami możesz się ich pozbyć z równań podanych w treści zadania.

Zadania omawianego przeze mnie typu to zazwyczaj czysta algebra. Rozwiązując je, należy metodą podstawiania pozbyć się z określonych równań zmiennych, których nie powinno być w równaniu końcowym. Gdy już wyprowadzisz równanie, o które prosi Cię autor treści zadania, sprawdź, czy jest ono poprawne. W tym celu możesz przeprowadzić test W.J.W.P. (Wykres, Jednostki, Wartości Próbne). Sprawdzając równanie metodą W.J.W.P., dowiesz się, czy opisuje ono rzeczywistość!

319

Poradnia pytań — „sprawdzanie jednostek” albo „analiza wymiarowa” Czasami na egzaminie możesz zostać poproszony o wykazanie za pomocą „analizy wymiarowej”, że jakieś równanie jest poprawne (określenie „analiza wymiarowa” oznacza prawie to samo, co „sprawdzenie jednostek”). Jeśli przyjdzie Ci rozwiązywać podobne zadanie, pamiętaj, że powinieneś wyznaczyć jednostkę każdego z członów analizowanego równania — jednostki wszystkich członów powinny być takie same, gdyż nie da się dodawać do siebie ani odejmować od siebie wyrazów mających różne jednostki. Ważne jest, abyś dobrze radził sobie z prowadzeniem obliczeń na jednostkach zapisanych w notacji naukowej. Znajomość notacji naukowej przydaje się zarówno podczas pracy z liczbami, jak i w trakcie ustalania jednostek rozmaitych wielkości fizycznych, jeśli więc czujesz, że powinieneś odświeżyć wiedzę o notacji naukowej, jeszcze raz zajrzyj do rozdziału 3. tej książki.

a musi NÓW równani Każdy z CZŁOć tę samą jednostkę. mie

Zawsze zwracaj uwagę na treść polecenia do zadania: określenie „podaj JEDNOSTKĘ” nie jest równoznaczne ze sformułowaniem „podaj WYMIAR”.

W treści zadania podano tylko jednostki zmiennych t i x. To jednak w zupełności wystarczy do rozwiązania problemu, ponieważ zmienna x jest całym członem równania.

2 1vt + ½t .   i ac st po  e ni na 8. Dane jest rów       !            2 a a 1vt + ½t m ni na w ró z t a nn ie 9. Zm r ia ym w iast zmienna x ma wymiar czasu, natom iar zmiennej a? długości. Jaki jest wym

Pytania o wymiar wielkości fizycznej lub części równania niczym nie różnią się od pytań o ich jednostkę, musisz tylko pamiętać o tym, żeby w ostatecznej odpowiedzi posłużyć się słowem „długość” zamiast „metr”, napisać „czas” zamiast „sekunda” itd.

W treści niektórych zadań możesz natknąć się na pytania dotyczące WYMIARU wielkości fizycznej (wymiarem może być czas, długość itd.), pamiętaj więc, że nie zawsze wystarczy podać jednostkę zmiennej lub kilku zmiennych. Jeśli przyjdzie Ci szukać odpowiedzi na pytanie o wymiar fragmentu jakiegoś równania, wykonaj obliczenia na jednostkach (jesteś bardziej przyzwyczajony do prowadzenia takich obliczeń, niż do zastanawiania się nad wymiarami wielkości fizycznych), a dopiero w ostatecznej odpowiedzi zawrzyj informację na temat wymiaru konkretnych zmiennych. Na przykład jednostka m/s2 odpowiada wymiarowi „długość/czas2”.

320

Równania ruchu (część I)

Problem Czystego Harry’ego

Zagadka na pięć minut

Obsługa sklepu Auta Czystego Harry’ego zawsze bardzo starała się o to, żeby samochody z drugiej ręki, którymi handluje, były najatrakcyjniejsze na rynku pojazdów używanych. Dokładne specyfikacje samochodów podane na specjalnej stronie internetowej, roczna gwarancja oraz pluszowe kostki do zawieszania na lusterku dodawane gratis do każdego zakupionego auta przez długi czas okazywały się świetnymi chwytami marketingowymi, pozwalającymi Autom Czystego Harry’ego wygrywać trudną walkę z konkurencją. Pewnego dnia Harry wpadł na zupełnie nowy pomysł, który miał okazać się jeszcze większym ukłonem w stronę nabywców używanych samochodów. Niestety, tym razem chęć zadowolenia klientów wpędziła właściciela najlepszego komisu z autami w niemałe kłopoty! Na czym opierał się niefortunny pomysł Harry’ego? Oto plan, jaki Czysty Harry przedstawił swoim pracownikom: „Większość sprzedawców podaje w specyfikacjach informacje o tym, jak szybko ich auta przyspieszają od 0 km/h do 90 km/h, ale przecież po autostradach można jeździć z prędkością 130 km/h. W związku z tym postanowiłem wzbogacić nasze specyfikacje o dane dotyczące przyspieszenia samochodów w przedziale prędkości od 90 km/h do 130 km/h. Na razie nikt inny nie wpadł na taki pomysł!”. Harry i jego pracownicy szybko wprowadzili plan w życie. Jednak szybko okazało się, że coś poszło nie tak — niezadowoleni klienci na potęgę zwracali kupione auta, grożąc Czystemu Harry’emu, że pozwą go do sądu za podawanie nieprawdziwych informacji na temat sprzedawanych pojazdów. Okazało się, że auta wcale nie przyspieszały od 90 km/h do 130 km/h tak szybko, jak wynikało to z ich opisów umieszczanych na firmowej stronie Aut Czystego Harry’ego. „Nie mam pojęcia, skąd wzięły się te problemy!” — płakał Harry. „Przecież wszystko zrobiłem, jak należy: w odpowiednich odstępach czasu zmierzyłem prędkości samochodów przyspieszających od 90 km/h do 130 km/h, korzystając z uzyskanych danych, dla każdego z aut narysowałem wykres (w układzie współrzędnych zaznaczyłem punkty, na podstawie których poprowadziłem linie proste przechodzące przez jego początek), a później, analizując nachylenia krzywych, policzyłem konkretne wartości przyspieszenia, które ostatecznie znalazły się w specyfikacjach technicznych naszych pojazdów”.

Dlaczego Harry źle policzył przyspieszenia swoich samochodów?

jesteś tutaj  321

Najlepiej pasujące linie

Początkiem kłopotów Harry’ego jest… początek! Dlaczego Harry źle policzył przyspieszenia swoich samochodów? Rysując wykresy, Harry poprowadził linie proste przez początek układu współrzędnych. Punkt ten odpowiada prędkości równej 0 km/h i czasowi 0 s, natomiast prędkość samochodów Harry’ego w chwili, gdy t = 0 s, wynosiła nie 0, lecz 90 km/h. Płynie stąd wniosek, że Harry powinien był narysować linie proste tak, żeby przecinały się z pionową osią układu współrzędnych w punkcie odpowiadającym prędkości 90 km/h.

Prędkość [km/h]

Zagadka na pięć minut. Rozwiązanie

Wykres zależności prędkości od czasu wykreślony dla przyspieszającego samochodu.

130 90 Tak naprawdę to jest linia prosta najlepiej dopasowana do punktów na wykresie!

Tak wyglądały linie, które narysował Harry. Harry starał się, aby jak najlepiej odpowiadały punktom na wykresie i jednocześnie przechodziły przez początek układu współrzędnych.

Czas [s]

Okazało się więc, że nachylenie linii narysowanych przez Harry’ego było zbyt duże. Dlatego właśnie wartości przyspieszeń dla poszczególnych samochodów nie zgadzały się z rzeczywistymi możliwościami pojazdów. Nic dziwnego, że klienci Aut Czystego Harry’ego byli bardzo niezadowoleni z zakupionych aut! Równanie odpowiadające linii widocznej na powyższym wykresie ma postać v = v0 + at (v0 to wartość prędkości początkowej samochodu, czyli prędkości w chwili t = 0 s). Harry miał rację, twierdząc, że można policzyć przyspieszenie samochodu, jeśli zna się nachylenie linii prostej, która została wykreślona tak, żeby jak najlepiej pasowała do punktów pomiarowych zaznaczonych na wykresie. Niestety, nie wziął pod uwagę faktu, że linia ta powinna przechodzić przez punkt v0 leżący na osi pionowej układu współrzędnych!

322

Rozdział 7.

Pamiętaj, że najlepiej dopasowana do punktów zaznaczonych na wykresie linia prosta nie musi przechodzić przez początek układu współrzędnych.

Czy muszę zapamiętać wszystko, o czym mówiłaś w tym rozdziale? Trochę tego dużo, a poza tym są to trudne zagadnienia.

Równania ruchu (część I)

Jeśli przygotowujesz się do egzaminu z fizyki, na pewno powinieneś zapamiętać dwa równania spośród tych, które poznałeś w tym rozdziale. Oto dwa bardzo ważne równania, które powinieneś zapamiętać po przeczytaniu tego rozdziału: v = v0 + at oraz x = x0 + v0t + at2 . Obydwa przydadzą Ci się w trakcie zdawania większości egzaminów z fizyki — korzystając z nich, będziesz w stanie rozwiązać każde zadanie, które będzie podobne do opisanego przeze mnie przykładowego problemu przemieszczenia spadającej klatki. Jednak nie martw się, nie będziesz musiał uczyć się tych równań na pamięć. Same wejdą Ci do głowy, jeśli tylko będziesz ich używał do rozwiązywania rozmaitych zadań. Nie trzeba starać się zapamiętać wzorów, z których często się korzysta.

Myśljak fizyk! Jeśli zdecydujesz się ćwiczyć uderzanie piłki rakietą tenisową, Twoje umiejętności gry w tenisa wzrosną. Mimo że w trakcie gry z żywym przeciwnikiem nigdy nie uderzysz piłki dwa razy tak samo, ćwiczenie identycznych uderzeń i serwów pomoże Ci się rozwinąć. Rozwiązywanie zadań z fizyki można trenować podobnie, jak trenuje się uderzenia w tenisie. Korzystając z jednego zestawu równań, nauczysz się radzić sobie z problemami pewnego określonego typu, nauczysz się rozwiązywać zadania podobne do tego, z którym zapoznałeś się w tym rozdziale.

Rozwijając w sobie zdolności fizyka, nauczysz się rozwiązywać rozmaite zadania. Trening zdolności umysłowych nie polega na dokładnym zapamiętywaniu metod rozwiązywania konkretnych problemów.

Teraz powinieneś być w stanie rozwiązać każde zadanie podobne do tego, które rozwiązaliśmy wspólnie w tym rozdziale.

W trakcie swojej kariery fizyka (a już z pewnością podczas egzaminów z fizyki) niejednokrotnie przyjdzie Ci interpretować wykresy i na ich podstawie opracowywać równania. Jeśli naprawdę chcesz rozumieć, na czym polega fizyka, i dobrze sobie radzić z rozwiązywaniem problemów fizycznych, musisz nauczyć się przekształcania równań, robienia podstawień i sprawdzania poprawności udzielanych odpowiedzi. O tym wszystkim mogłeś przeczytać właśnie w tym rozdziale.

jesteś tutaj  323

Świat fizyki

jednostki spadanie

wykres

skalar punkty szczególne

przyspieszenie

doświadczenie

Okazuje się, że algebra nie jest taka zła.

czas

podstawienie Bądź częścią problemu. równanie

wektor

stałe przyspieszenie

notacja naukowa

szybkość

droga

przemieszczenie prędkość

objętość

nachylenie Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Podstawienie

324

Rozdział 7.

Za pomocą podstawienia pozbywamy się z równania zmiennej poprzez zastąpienie jej wyrażeniem, któremu zmienna ta jest równa (zazwyczaj wyrażenie to znajdujemy, korzystając z innego równania niż to, w którym dokonujemy podstawienia).

Równania ruchu (część I)

Niezbędnik fizyka   

Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 7. niniejszej książki. Twój przybornik fizyka wzbogacił się o nowe umiejętności, które okażą się przydatne podczas rozwiązywania problemów fizycznych oraz sprawdzania poprawności odpowiedzi udzielanych na pytania będące częścią zadań z fizyki.

j na wykresie

Równanie linii widoczne

ma postać: ej na wykresie zawsze czn do wi ii lin ie an wn Ró ść zawierająca u wsp. = jakaś zależno ład uk j we no pio i os zmienna układu wsp. zmienną osi poziomej

Jedno z podstawowych równań ruchu v Prędkość — czas

Jeszcze jedno ważne równanie ruchu zczenie — czas x Przemies

t

v = v0 + at Test W.J.W.P. Wykres — czy Twoje równanie i wyk res „opowiadają tę samą historię”? Jednostki — Czy wszystkie człony równania mają dokładnie tę samą jednostkę? Wartości próbne — Czy Twoje równ anie opisuje rzeczywistość, gdy poszczeg ólne zmienne zastępujesz w nim liczbą 0 lub bardzo dużymi liczbami?

t

2 x = x0 + v0t + ½ at

Podstawienie Metoda podstawiania e zmiennej to sposób na zastępowani remu równa któ , em w równaniu wyrażeni jest ta zmienna. wtedy, gdy Z podstawień korzystamy zmienną, chcemy usunąć z równania . której wartości nie znamy

jesteś tutaj  325

326

Rozdział 7.

%& " )$ *

Wyżej, w górę i… znów na dół Nie ma to jak mocna kawa, żeby dodać człowiekowi skrzydeł. Co nie zmienia faktu, że kilka godzin później spadam na samo dno…

Wszystko, co wzleci, musi kiedyś opaść. Wiesz już, jak radzić sobie z przedmiotami, które swobodnie spadają na ziemię. Świetnie, ale co z pozostałą częścią problemu? Co z ciałami wystrzelonymi w powietrze? W tym rozdziale poznasz trzecie z kluczowych równań ruchu. Mając do dyspozycji taki arsenał, poradzisz sobie z (prawie) wszystkim! Dowiesz się też, jak rozwiązywać problemy nierozwiązywalne, stosując odrobinę symetrii.

to jest nowy rozdział 327

I znów Dingo

Wpoprzednim odcinku… Mój drogi Dingo, chyba nie myślałeś, że nie zauważę klatki?! Z pewnością nie Twój,

Mój drogi Dingo, chyba nie myślałeś, że nie zauważę klatki?! Z pewnością nie Twój, Emu

Emu

Dziś ACME ma do zaoferowania nową, zdumiewającą wyrzutnię klatek Oczywiście Dingo nie podda się na długo, szczególnie że znalazł w ofercie ACME nową, zdumiewającą wyrzutnię klatek! Po odpowiednim zamontowaniu urządzenie wystrzeli w powietrze standardową klatkę ACME z zadaną wcześniej prędkością. To rozwiązanie dające możliwość zastawienia bardziej subtelnej pułapki. Klatka będzie wystrzelona z poziomu gruntu, więc Emu nie będzie miał okazji dostrzec przed czasem monumentalnej konstrukcji dźwigu. Musisz tylko obliczyć prędkość, z jaką wystrzelisz klatkę, tak by dotarła ona do celu dokładnie w chwili przybycia tam Emu, czyli dwie sekundy po zwolnieniu mechanizmu.

   

ACME

1

         

     

328

Rozdział 8.

2



 !"

Muszę kupić tę wyrzutnię klatek! Ustawię ją w tym samym punkcie, co ostatnio dźwig. Emu dotrze tam po dwóch sekundach od minięcia zakrętu.

Równania ruchu (część II) To znaczy, że musimy wystrzelić klatkę w powietrze tak, żeby wylądowała na ziemi po dwóch sekundach lotu. To dużo trudniejsze niż zrzucenie jej z platformy. Krzysiek: Jak sądzicie, czy możemy rozwiązać ten problem, posługując się równaniem ruchu z rozdziału 7.? No wiecie, chodzi mi o x = x0 + v0t + at2. Franek: Ale to równanie opisywało spadanie swobodne ciała. Tym razem klatka będzie poruszać się w górę, a to zmienia postać rzeczy. Krzysiek: Przecież kiedy wreszcie osiągnie swoją maksymalną wysokość, zacznie spadać, tak jak ostatnio, więc to prawie to samo. W każdym razie ruch klatki w dół mamy już opracowany. Franek: A co z pierwszą częścią ruchu? Co ze wznoszeniem się klatki? Kuba: Sądzę, że równanie może zadziałać. Pamiętajcie, że przecież miało opisywać dowolny ruch jednostajnie przyspieszony, a wydaje mi się, że przyspieszenie wynikające z działania siły grawitacji jest zawsze stałe, niezależnie od kierunku ruchu. Franek: Tylko jak to możliwe, że klatka przyspiesza w dół, skoro porusza się do góry? Krzysiek: Przyspieszenie miało być miarą tempa zmiany prędkości, prawda? A klatka lecąca w górę zwalnia. To oznacza, że wektor przyspieszenia musi być skierowany w dół, gdyż w przeciwnym razie klatka wcale by nie zwalniała.

Zawsze zaczynaj od rysunku!

Franek: Myślę, że najłatwiej będzie to narysować…

Zaostrz ołówek Narysuj szkic przedstawiający sytuację po wystrzeleniu klatki pionowo w górę. Zaznacz na rysunku wektor prędkości początkowej v0, wektor przyspieszenia a i uwzględnij na nim wszystkie pozostałe informacje o problemie.

Czy uważasz, że i tym razem wolno Ci skorzystać z równania x = x0 + v0t + 1/2at2 ? Odpowiedź uzasadnij.

jesteś tutaj  329

Czy przyspieszenie jest stałe?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Narysuj szkic przedstawiający sytuację po wystrzeleniu klatki pionowo w górę. Zaznacz na rysunku wektor prędkości początkowej v0, wektor przyspieszenia a i uwzględnij na nim wszystkie pozostałe informacje o problemie. Lot klatki w górę i w dół trwa t = 2,0 s.

Klatka rozpoczyna swój ruch w tym samym miejscu, w którym go kończy — na ziemi — więc zarówno x0, jak i x wynoszą 0 m.

v0 = ?

x0 = 0 m x = 0 m a = 9,8 m/s2

Czy uważasz, że i tym razem wolno Ci skorzystać z równania x = x0 + v0t + 1/2at2 ? Odpowiedź uzasadnij. Wektor przyspieszenia ziemskiego jest skierowany zawsze w dół, niezależnie od kierunku wektora prędkości. Przyspieszenie jest stale skierowane w dół i zawsze ma wartość 9,8 m/s2. Równanie ma opisywać ruch charakteryzujący się stałym przyspieszeniem, więc zapewne da poprawne wyniki.

Rysując odręcznie wektor przyspieszenia, możesz oznaczyć go podwójnie zakończoną strzałką, żeby odróżnić go od wektora prędkości.

Przyspieszenie pojawiające się w wyniku działania siły grawitacji jest stałe

v = 0 m/s

Poznane poprzednio równanie ruchu, x = x0 + v0t + at2 ma opisywać dowolny ruch ze stałym przyspieszeniem. Gdyby okazało się, że możesz i tym razem wykorzystać znalezione uprzednio rozwiązanie, byłoby to ze wszech miar wygodne. Nie musiałbyś przechodzić ponownie mordęgi związanej z zaprojektowaniem i wykonaniem eksperymentu polegającego na wystrzeliwaniu w powietrze różnych przedmiotów.

a = 9,8 m/s 2

W chwili, gdy prędkość klatki spada do zera, siła grawitacji nadal nadaje jej przyspieszenie 9,8 m/s2. Spadając, klatka przyspiesza. Jej prędkość rośnie dzięki skierowanemu w dół przyspieszeniu o wartości 9,8 m/s2.

v

Jeśli na ciało działa WYŁĄCZNIE SIŁA GRAWITACJI, ciało to porusza się z przyspieszeniem 9,8 m/s2, skierowanym w dół, niezależnie od prędkości, jaką ma.

330

Rozdział 8.

Choć równanie powstało w wyniku analizy danych eksperymentu polegającego na zrzucaniu różnych rzeczy z pewnej wysokości, można je uogólnić i stwierdzić, że każde ciało, na które działa tylko siła ciężkości, porusza się a = 9,8 m/s 2 ze stałym przyspieszeniem o wartości 9,8 m/s2, skierowanym w dół. To, czy wektor prędkości jest skierowany w górę, w dół, W czasie ruchu w górę klatka zwalnia, ponieważ jest hamowana w bok, czy pod kątem do poziomu, przez stałe przyspieszenie nie ma w tym przypadku znaczenia. 9,8 m/s2 skierowane w dół .

v

a = 9,8 m/s 2

Równania ruchu (część II) Nie jestem wcale przekonana! Skoro klatka zaczyna swój ruch i kończy go w tym samym miejscu, to x i x0 są równe zeru. Jak w takim razie równanie może być prawdziwe? Jak dwa wyrazy mogą dać w sumie zero?!

Jeżeli równanie dobrze oddaje rzeczywistość, powinno dać rozwiązać się po podstawieniu tych wartości.

t = 2,0 s v0 = ?

x0 = 0 m x=0m a = 9,8 m/s2

Doskonałe pytanie. Postaraj się wyobrazić sobie, jak będzie wyglądało to równanie po podstawieniu do niego wartości liczbowych. Ruch klatki zaczyna się i kończy na poziomie ziemi. Oznacza to, że zarówno x0, jak i x mają wartość zerową, co z kolei oznacza, że po podstawieniu równanie przyjmuje postać 0 = 0 + v0t + at2. Żeby równanie było prawdziwe, obydwa znajdujące się po jego prawej stronie wyrazy muszą dawać w sumie zero. Jak dodać do siebie dwa wyrazy, żeby otrzymać zero? Pora uruchomić wyobraźnię…

BĄDŹ równaniem Musisz wyobrazić sobie, że jesteś równaniem. W tym przypadku zarówno x, jak i x0 wynoszą 0, ponieważ ruch klatki zaczyna się i kończy w tym samym miejscu. W takiej sytuacji po lewej stronie równania stoi 0, a po prawej stronie znajdują się dwa DODAWANE do siebie składniki niezerowe. Zastanów się, czy jest to możliwe, czy też będziemy musieli stworzyć nowe równanie opisujące ten ruch?

x = x0 + v0t + ½ at 2

jesteś tutaj  331

Wektory mają zwrot

BĄDŹ równaniem. Rozwiązanie Musisz wyobrazić sobie, że jesteś równaniem. W tym przypadku zarówno x, jak i x0 wynoszą 0, ponieważ ruch klatki zaczyna się i kończy w tym samym miejscu. W takiej sytuacji po lewej stronie równania stoi 0, a po prawej stronie znajdują się dwa DODAWANE do siebie składniki niezerowe. Zastanów się, czy jest to możliwe, czy też będziemy musieli stworzyć nowe równanie opisujące ten ruch?

x = x0 + v0t + ½ at 2 Wektor v0 jest zwrócony pionowo W GÓRĘ.

Prędkość i przyspieszenie to wielkości wektorowe. Wektor prędkości początkowej v0 jest zwrócony w górę, a wektor przyspieszenia a jest zwrócony w dół. Ponieważ wektory te mają przeciwne zwroty, przyjmuje się, że mają też przeciwne znaki.

v0 = ?

Dodanie do siebie liczby dodatniej i ujemnej MOŻE dać w wyniku wartość zerową, więc równanie może być prawdziwe. a = 9,8 m/s2

Prędkość i przyspieszenie mają przeciwne zwroty, więc mają też przeciwne znaki Przy założeniu, że x i x0 mają wartość 0, równanie przyjmuje postać 0 = 0 + v0t + at2. Oznacza to, że wyrazy v0t i at2 znajdujące się po jego prawej stronie muszą w sumie dawać zero. Nas interesuje stan układu w chwili t = 2,0 s, z czego wynika, że składniki t i t2 mają wartość dodatnią. W takim razie o znaku wyrażeń v0t i at2 decydują znaki stojące przy v0 i a. Pamiętaj, że prowadzisz działania na wektorach! Wektory v0 i a poza wartością mają też kierunek i zwrot. Przyspieszenie, a, wynikające z działania siły grawitacji, jest zawsze skierowane w dół. Prędkość początkowa ciała, v0, jest skierowana w górę, a to znaczy, że obydwa wektory mają przeciwne znaki. Jeden z wektorów będzie miał znak dodatni, a drugi ujemny. Ponieważ wektory v0 i a mają przeciwne znaki, logicznym wydaje się istnienie takiej wartości v0, dla której zachodzi v0t + at2 = 0. I tę wartość chcesz właśnie obliczyć, ponieważ jest to prędkość, z jaką należy wystrzelić klatkę w powietrze!

332

Rozdział 8.

Wektor a jest zwrócony pionowo W DÓŁ.

v0

Pamiętaj, wektory mają ZWROT!

a

Ponieważ wektory v0 i a są przeciwnie skierowane, będą miały przeciwne znaki.

Zwrot wektora zaznacza się, przypisując wartości wektora znak dodatni bądź ujemny.

Równania ruchu (część II) Czy to znaczy, że musimy sami wybrać, który ze zwrotów będzie dodatni, a który ujemny? Czy to po prostu jeszcze jeden ze sposobów pracy z wektorami?



Tak. Jeżeli wektory są zwrócone w przeciwne strony, musisz sam zadecydować, który z nich będzie miał wartość dodatnią, a który ujemną. Wektor to wektor. Mając do czynienia z przeciwnie zwróconymi wektorami, musisz wskazać, który ze zwrotów będzie dodatni, a który ujemny, i konsekwentnie trzymać się raz podjętej decyzji. Rozpatrując ruch ciała w powietrzu, najczęściej przyjmuje się, że wektory zwrócone w górę mają znak dodatni, a wektory zwrócone w dół mają znak ujemny.

"

ści Przypisanie zwrotowi wektora w górę warto ści dodatniej, a zwrotowi wektora w dół warto ujemnej to ogólnie przyjęta konwencja.

Ale gdy rozważaliśmy spadanie klatki, przyjmowaliśmy, że wektory zwrócone w dół mają znak dodatni. Dlaczego mamy nagle zmieniać go na ujemny — to bardzo mylące!

Wybieraj taki znak, który ułatwia obliczenia. Prowadząc obliczenia na wartościach ujemnych, łatwo „gubi się” znak minus, co z kolei prowadzi do otrzymania błędnych wyników. W zadaniu ze spadającą klatką wszystkie wektory — przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia — były zwrócone w tę samą stronę, w dół. Przypisanie wszystkim wartościom znaku dodatniego pozwoliło uniknąć prowadzenia obliczeń na wartościach ujemnych. Tym razem klatka porusza się najpierw w górę, a potem w dół. Wektory v0 i a i tak mają przeciwne zwroty. Nadanie wektorom skierowanym w dół wartości dodatnich nie pozwoli Ci tym razem uniknąć obliczeń na liczbach ujemnych, więc lepiej trzymać się utartej formy zapisu. Dzięki temu, gdy narysujesz wykres zależności przemieszczenia od czasu, kierunek „w górę” na wykresie będzie pokrywał się z kierunkiem „w górę” w rzeczywistym świecie.

Prowadząc obliczenia na samych liczbach dodatnich, popełnisz mniej błędów, niż gdybyś miał do czynienia z liczbami ujemnymi. jesteś tutaj  333

Przeciwne zwroty, przeciwne znaki Nie istnieją

głupie pytania

P

: Nadal nie rozumiem, jak dodawanie dwóch liczb może dać w wyniku zero.

O

P

: Co by się stało, gdybym zdecydował się przypisać znak plus wektorom zwróconym w dół?

O

: Liczby mają różne znaki — mogą być dodatnie, ale równie dobrze mogą być ujemne. Jeśli jedna z liczb jest ujemna, może okazać się, że dodanie jej do liczby dodatniej da w wyniku zero. Oto przykład. Jeżeli wyrażenie + v0t = –2, a wyrażenie ½at 2 = 2, to ostatecznie otrzymujesz –2 + 2 = 0.

: Nadal mógłbyś przeprowadzić poprawne obliczenia, pod warunkiem że cały czas przestrzegałbyś raz przyjętej konwencji. Musiałbyś tylko uważać podczas dodawania i odejmowania od siebie liczb ujemnych.

P: Niestety… nadal nie rozumiem, jak dwie dodane

: Jak sprawdzić, czy nie pomyliłem się gdzieś w znakach?

O: Przypuśćmy, że przystąpiłeś do udziału w konkursie i zapłaciłeś

: Zawsze sprawdź, czy odpowiedź jest dobrze sKROJona. Jeżeli zgubiłeś gdzieś po drodze minus, wynik końcowy będzie najprawdopodobniej odbiegać od Twoich oczekiwań. Przed przystąpieniem do obliczeń zastanów się, jakiego rzędu wielkości odpowiedzi oczekujesz, a potem porównaj swoje przypuszczenia z otrzymanym wynikiem.

do siebie liczby mogą być równe zero.

10 zł wpisowego. Potem wygrałeś 10 zł nagrody. Łącznie zarobiłeś (–10) + 10 = 0 zł. Suma wpisowego (wartość ujemna) i nagrody (wartość dodatnia) daje zero.

P

: Dlaczego miałbym dodawać liczbę ujemną do dodatniej, skoro mogę po prostu przeprowadzić odejmowanie?

O

: Ponieważ rozwiązując równanie typu x = x0 + v0t + ½at 2, nie potrafisz z góry przewidzieć, które ze zmiennych mają wartość dodatnią, a które ujemną. Dopiero po podstawieniu do równania wartości liczbowych możesz przeprowadzić odejmowanie, oczywiście jeśli poprawnie postawisz znak minus.

P O

P

: Dobrze, sądzę, że dam sobie jakoś radę z liczbami ujemnymi, wektorami, ich kierunkami i zwrotami. Czy jest jeszcze coś, co powinienem zrobić?

O

: Ponieważ dotąd nie używałeś tego równania do analizowania rzutu w górę, nie zaszkodziłoby narysować kilku wykresów, żeby sprawdzić, czy takie rozwiązanie ma sens…

P: Czy to oznacza, że każda ze zmiennych x , x, v

iv 0 0 może mieć wartość ujemną, bo wszystkie są wektorami?

O

: Tak. Wektory poza wartością mają jeszcze kierunek i zwrot. Jeżeli wszystkie wektory są ułożone w jednym kierunku, a mają, jak w tym przypadku, różne zwroty, możesz wybrać, który ze zwrotów będzie dodatni, a który ujemny.

P

: I naprawdę to wszystko jedno, który ze zwrotów oznaczę znakiem plus, a który znakiem minus?

O: Oczywiście, dopóki będziesz konsekwentnie przestrzegać raz

dokonanego wyboru. Zazwyczaj jednak przyjmuje się, że wektory dodatnie są zwrócone w górę, ponieważ wtedy zwrot „w górę” na wykresie odpowiada zwrotowi „w górę” w życiu.

Wektory o przeciwnych zwrotach mają przeciwne znaki. 334

Rozdział 8.

To urządzenie pozwala oddać tylko jeden strzał. Jesteście pewni, że to równanie da dobre wyniki? Możecie pokazać mi jakiś wykres?

Równania ruchu (część II) Świetnie, mamy równanie, ale czy to wygląda dobrze? Franek: Przypuszczam, że teraz powinniśmy narysować kilka wykresów, które pokazałyby, że to równanie przyda się do rozwiązania problemu klatki wystrzelonej w powietrze. Kuba: To będzie trudne. Do tej pory umieszczaliśmy na wykresach wyniki eksperymentów, ale tym razem to chyba niemożliwe. Wyrzutnia pozwala wystrzelić klatkę tylko raz, a jeśli spróbujemy posłużyć się modelem, nie będziemy mogli zmierzyć prawdziwej prędkości początkowej. Krzysiek: A może spróbować naszkicować wykres tego, co według nas powinno się dziać w czasie wznoszenia i opadania ciała. Potem podstawimy kilka wartości do równania i zobaczymy, czy kształt wykresu będzie podobny — zrobimy takie sprawdzanie W.J.W.P. Porównamy równanie z wykresem, podstawiając do niego kilka wartości próbnych. Franek: Ale jak naszkicować wykres zależności przemieszczenia od czasu dla ciała, które najpierw porusza się do góry, a potem spada. Czy ma być linią krzywą? A może prostą? Czy kształt wykresu zależy od tego, czy ciało unosi się, czy spada? Nie sądzę, żeby udało się nam narysować wykres tak od ręki. Krzysiek: Możemy zacząć od wykresu zależności przyspieszenia od czasu. Wiemy, że przyspieszenie ma stałą wartość równą 9,8 m/s2. Kuba: Raczej –9,8 m/s2. Pamiętaj, w górę dodatnie, w dół ujemne! Krzysiek: Tak, prawda. Przyspieszenie określa tempo zmiany prędkości, więc wartość przyspieszenia jest nachyleniem wykresu zależności prędkości od czasu. Wartość przyspieszenia jest stała, –9,8 m/s2, więc nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu też będzie stałe i będzie miało dokładnie taką wartość. Franek: Kurczę! Ujemne nachylenie?! A jak to ma niby wyglądać?! Kuba: Wydaje mi się, że wykres powinien przebiegać na odwrót, czyli z lewej górnej części wykresu do prawej dolnej. Tak jakbyśmy zjeżdżali z górki, a nie jechali pod górkę. Krzysiek: Brzmi wiarygodnie. A gdy będziemy już mieli wykres zależności prędkości od czasu, będziemy mogli skorzystać z faktu, że prędkość określa zmianę przemieszczenia w czasie. Przecież wartość prędkości jest nachyleniem wykresu zależności przemieszczenia od czasu. Franek: I w ten sposób będziemy mogli narysować wykres zależności przemieszczenia od czasu! Kuba: Świetnie!

Nie przejmuj się teraz wartościami na wykresie — w tej chwili najważniejszy jest jego KSZTAŁT.

Równania są odbiciem rzeczywistości. Jeśli narysujesz wykres przedstawiający faktyczny przebieg zjawiska, jego kształt powinien być taki sam, jak kształt wykresu rysowanego na podstawie równania.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak mogą wyglądać wykresy zależności prędkości od czasu i przemieszczenia od czasu?

jesteś tutaj  335

Nachylenie dodatnie i nachylenie ujemne To samo dotyczy nachylenia wykresu zależności przemieszczenia od czasu i prędkości, która jest mu równa.

Nachylenie z bliska

Ponieważ prędkość jest wektorem, jej wartość może być zapisywana ze znakiem plus lub ze znakiem minus. Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu jest wartością przyspieszenia. Jeśli zmiana prędkości ma znak dodatni, wykres pnie się w górę, a przyspieszenie też ma wartość dodatnią. Jeżeli zmiana prędkości ma znak ujemny, wykres opada, a przyspieszenie ma wartość ujemną.

Wykres zależności prędkości od czasu

v

Przyspieszenie t jest dodatnia. Pnie się W GÓRĘ

Δv

v jest dodatnia. t

t

t

t jest dodatnia.

a =

v t

Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu ma wartość dodatnią, więc przyspieszenie również ma wartość dodatnią, a to oznacza, że ciało przyspiesza w tym kierunku.

Jeśli wykres wspina się w górę, jego nachylenie do osi jest dodatnie.

Wykres zależności prędkości od czasu

v

Przyspieszenie v jest ujemna. v jest ujemna. t

OPADA

a =

v

t t jest dodatnia.

t

Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu ma wartość ujemną, więc przyspieszenie również ma wartość ujemną, a to oznacza, że ciało przyspiesza w tym kierunku.

Jeśli wykres opada, jego nachylenie do osi jest ujemne.

336

Rozdział 8.

v t

Rysowałeś już kształt wykresu, analizując Równania wartości i nachylenia innych wykresów. To zadanie jest dość podobne do poprzednich.

Na podstawie jednego wykresu możesz określić kształty innych

ruchu (część II)

p ę ym przyspieszeniem, równym co do wartości nachyleniu prostej wykresu zależności prędkości od czasu:  = v t

Wykresy ilustrujące ruch rowerzysty Adama (stała prędkość) x Zależność przemieszczenia od czasu

Przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie są ze sobą związane. Jeśli dysponujesz wykresem zależności jednej z tych wielkości od czasu i początkowymi wartościami pozostałych, możesz naszkicować kształty brakujących wykresów. Wiesz, że wystrzelona w powietrze klatka porusza się ze stałym przyspieszeniem o wartości –9,8 m/s2. Ponieważ wartość przyspieszenia jest stała i mniejsza od zera, nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu również będzie stałe i o wartości ujemnej.

Wykresy przedstawiające ruch swobodnie spadającego ciała (stałe przyspieszenie) x Zależność przemieszczenia od czasu

Stały stopień nachylenia

Rosnący stopień nachylenia

t

t

v Zależność prędkości od czasu

v Zależność prędkości od czasu Rosnąca

Stała wartość

Prędkość jest stała przez cały czas ruchu, więc jej wartość nie zmienia się. Oznacza to, że wykres jej zmian w czasie ma kształt linii płaskiej.

t a

Zależność przyspieszenia od czasu

Prędkość jest stała, więc przyspieszenie ma wartość zero.

wartość

Zerowy stopień nachylenia

t a

Zależność przyspieszenia od czasu Stała wartość

Zerowa wartość

t

226

Stały stopień nachylenia

t

Rozdział 6.

Zaostrz ołówek Znając wartość przyspieszenia i kształt jego zależności od czasu, naszkicuj kształt wykresu zależności prędkości od czasu. Postaraj się wyobrazić sobie, z jaką prędkością porusza się klatka na początku i z jaką prędkością spada. Pierwsza przerywana linia umieszczona w układzie współrzędnych odpowiada chwili, w której klatka osiąga maksymalną wysokość. Druga przerywana linia wyznacza chwilę, w której klatka powraca na ziemię. Prędkość [m/s]

Wykres zależności prędkości od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

v0 Zaznaczyliśmy już długość wektora prędkości początkowej, żeby nieco ułatwić Ci start.

To wektor prędkości w chwili t = 0.

Przyspieszenie [m/s2]

Nie przejmuj się tym, co dzieje się po wylądowaniu klatki.

Czas [s]

Nie myśl na razie o tworzeniu wykresu zależności przemieszczenia od czasu — zajmiemy się tym za chwilę.

Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu ujawnia wartość przyspieszenia.

Wykres zależności przyspieszenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

Te dwa zdania ujmują tę samą myśl innymi słowami.

Ten wykres pokazuje, że wektor przyspieszenia przez cały czas ruchu zachowuje swój zwrot i długość.

Czas [s]

a -9,8 Przyspieszenie (a) ma stałą wartość –9,8 m/s2.

Wartość przyspieszenia ujawnia nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu.

Maksymalna wysokość

Lądowanie

jesteś tutaj  337

Wektory mają długość, kierunek i zwrot

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Znając wartość przyspieszenia i kształt jego zależności od czasu, naszkicuj kształt wykresu zależności prędkości od czasu. Postaraj się wyobrazić sobie, z jaką prędkością porusza się klatka na początku i z jaką prędkością spada. Pierwsza przerywana linia umieszczona w układzie współrzędnych odpowiada chwili, w której klatka osiąga maksymalną wysokość. Druga przerywana linia wyznacza chwilę, w której klatka powraca na ziemię.

Wykres zależności prędkości od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

Prędkość [m/s] v0

W najwyższym punkcie lotu wartość prędkości klatki wynosi zero.

Zaznaczyliśmy już długość wektora prędkości początkowej, żeby nieco ułatwić Ci start.

Gdy klatka spada, wektor jej prędkości jest ujemny, tak samo jak wektor przyspieszenia.

Czas [s] Nachylenie jest ujemne, więc wykres opada.

Przyspieszenie [m/s2]

Wykres zależności przyspieszenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

Gdy klatka opada z powrotem na ziemię, jej wektor prędkości stopniowo rośnie, ale ze ZWROTEM ujemnym.

Wykres zależności prędkości od czasu ma stałe nachylenie do osi równe –9,8 m/s2, ponieważ wykres zależności przyspieszenia od czasu ma stałą wartość, –9,8 m/s2.

Czas [s]

-9,8 Przyspieszenie (a) ma stałą wartość –9,8 m/s2.

v

Wykres zależności prędkości od czasu Gdy x ma wartość dodatnią, strzałki wektorów są zwrócone w górę. Gdy x ma wartość ujemną, strzałki wektorów są zwrócone w dół.

t

Początki wektorów znajdują się zawsze w punktach o współrzędnej v = 0.

Linia wykresu pokazuje punkty, w których znajdują się końce (groty) wektorów.

338

Rozdział 8.

Wektory to strzałki, prawda? W takim razie co wspólnego z wektorami mają te linie na wykresach?

Wykres pokazuje długość i zwrot wektora w dowolnej chwili czasu. Linia wykresu pokazuje długość i zwrot wektora wielkości, którą nanosisz na wykres zależności od czasu. Wyobraź sobie, że wektor zaczyna się zawsze w wybranym punkcie czasu dla zerowej wartości wielkości. Jego grot będzie dotykać linii wykresu.

Równania ruchu (część II)

Zaostrz ołówek Pora narysować wykres zależności przemieszczenia od czasu i wyjaśnić wszystko, co zrobiłeś. Pierwsza przerywana linia umieszczona w układzie współrzędnych odpowiada chwili, w której klatka osiąga maksymalną wysokość. Druga przerywana linia wyznacza chwilę, w której klatka powraca na ziemię.

Przemieszczenie [m]

Inną metodą pozwalającą określić kształt wykresu jest „stanie się klatką” i wyobrażenie sobie, co dzieje się w czasie lotu w górę i w czasie spadania.

Wykres zależności przemieszczenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

Czas [s]

Prędkość [m/s]

Nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu

Wykres zależności prędkości od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

ujawnia wartość przyspieszenia.

v0 Jeśli ta wartość jest duża, nachylenie wykresu zależności przemieszczenia od czasu do osi będzie bardziej strome.

Przyspieszenie [m/s2]

Czas [s]

Te dwa zdania ujmują tę samą myśl innymi słowami.

Wartość przyspieszenia ujawnia nachylenie wykresu zależności

Wykres zależności przyspieszenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

prędkości od czasu.

Czas [s] -9.8

jesteś tutaj  339

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Pora narysować wykres zależności przemieszczenia od czasu i wyjaśnić wszystko, co zrobiłeś. Pierwsza przerywana linia umieszczona w układzie współrzędnych odpowiada chwili, w której klatka osiąga maksymalną wysokość. Druga przerywana linia wyznacza chwilę, w której klatka powraca na ziemię.

W innych książkach możesz spotkać się z określeniem „współczynnik kierunkowy”. Ono również opisuje stromiznę wykresu. W tej książce posługujemy się przede wszystkim określeniem „nachylenie”.

Wykres zależności przemieszczenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

Przemieszczenie [m]

= 0. Nachylenie wykresu = 0, gdy prędkość

Nachylenie wykresu do osi maleje w czasie tak samo, jak maleje wartość prędkości.

Czas [s] Przemieszczenie końcowe i początkowe wynoszą x = 0.

Wykres zależności prędkości od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

Prędkość [m/s]

Wartość prędkości wynosi zero w tym punkcie, w którym nachylenie wykresu zależności przemieszczenia od czasu jest zerowe.

v0

Nachylenie jest ujemne, więc wykres opada.

Przyspieszenie [m/s2]

Wykres zależności przyspieszenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

W czasie spadania klatki długość wektora prędkości stale rośnie. Wartość prędkości klatki rośnie. Znak minus stojący przy wartości prędkości wskazuje kierunek ruchu — w dół. Nachylenie wykresu zależności przemieszczenia od czasu jest ujemne, ponieważ prędkość klatki ma wartość ujemną. Nachylenie staje się bardziej strome, ponieważ długość wektora prędkości wzrasta.

Czas [s] Wykres zależności prędkości od czasu ma stałe nachylenie do osi równe –9,8 m/s2, ponieważ wykres zależności przyspieszenia od czasu ma stałą wartość, –9,8 m/s2.

Czas [s] -9.8 Przyspieszenie (a) ma niezmiennie stałą wartość –9,8m/s2.

340

Rozdział 8.

Równania ruchu (część II)

Druga połowa wykresu zależności przemieszczenia od czasu wygląda tak samo, jak analogiczny wykres sporządzony dla spadającej klatki.

Wystrzelone pionowo w górę ciało w maksymalnym punkcie lotu ma prędkość = 0.

Tak. Druga część wykresu przypomina wykres sporządzony dla ciała spadającego swobodnie. Wszystko, co rzuciłeś w górę, musi kiedyś spaść! W najwyższym punkcie toru swojego ruchu klatka nie porusza się już do góry, ale jeszcze nie zaczyna spadać. Maksymalna wysokość lotu to jeden z „punktów szczególnych”, w którym prędkość ciała wynosi zero. Oznacza to, że spadająca po podrzuceniu klatka zachowuje się dokładnie tak samo, jak klatka zrzucona z wysokości Wykres ma ten sam kształt, co równej maksymalnemu wzniesieniu po rzucie. poprzednim razem, choć jest odwrócony. Odwrócenie wynika z faktu, że tym razem kierunek „w górę” ma wartość dodatnią.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Ciężko mi uwierzyć, że wykres zależności prędkości od czasu jest po prostu ukośną linią. To zdaje się być zbyt piękne, by było prawdziwe.

O: Przyspieszenie w tym ruchu ma stałą,

ujemną wartość. Oznacza to, że nachylenie wykresu zależności prędkości od czasu do osi również musi mieć stałą, ujemną wartość. Z tego wynika, że wykres zależności prędkości od czasu musi być ukośnie przebiegającą linią prostą.

P

: Skąd wiesz, pod jakim kątem nachylić wykres prędkości do osi?

O

: To tylko szkic wykresu, osie nie są wyskalowane, więc wartość kąta nachylenia nie ma większego znaczenia. Wystarczy upewnić się, że wykres przecina się z osią poziomą (v = 0) w tej chwili, w której ciało znajduje się na maksymalnej wysokości.

Gdybyś musiał narysować wykres zależności prędkości od czasu w odpowiedniej skali, nachyliłbyś go do osi pod kątem równym wartości przyspieszenia.

P: Skąd wiadomo, w którym miejscu P: Powiedziałeś, że linia wykresu zacząć rysować tę linię? Dlaczego nie umieszcza się jej w dowolnym punkcie wykresu?

O: Słuszna uwaga! Gdybyśmy

nie wiedzieli, że początkowa prędkość w tym ruchu wynosi v0, nie wiedzielibyśmy, w którym punkcie zacząć rysowanie.

musi przechodzić przez punkt v = 0 w chwili, gdy ciało znajduje się na maksymalnej wysokości. Jak to możliwe, że prędkość ciała nad ziemią wynosi zero?

O

: To dosłownie ułamek sekundy — chwila, w której ciało osiąga maksymalną wysokość. Chodzi o ten moment, w którym przestaje się ono wznosić, ale jeszcze nie zaczyna opadać. W tym punkcie prędkość ciała wynosi zero.

P

: Czy zerowa prędkość wystrzelonego w powietrze ciała oznacza też, że jego przemieszczenie jest równe zero?

O

: Nie… oznacza to tyle, że nachylenie wykresu zależności przemieszczenia od czasu wynosi zero.

P

: Czy sugerujesz, że mając wykres zależności przyspieszenia od czasu, możemy odtworzyć wykresy innych zależności?

O

: Nie do końca tak. Wiemy, że klatka zaczęła poruszać się z prędkością v0 i wystartowała z położenia x0 = 0. Bez tej wiedzy nie moglibyśmy naszkicować pozostałych wykresów.

P

: Ale skoro znaliśmy niektóre z wartości początkowych, można było narysować poprawne szkice. Czy możemy spróbować już wykreślić równanie x = x0 + v0t + ½at2 i porównać obydwa wykresy?

O: Myślę, że tak… jesteś tutaj  341

Kontrola W.J.W.P.

Czy wyniki obliczeń układają się w taki sam kształt, jaki mają Twoje szkice? 2

Sprawdź teraz, czy wolno Ci posłużyć się równaniem x = x0 + v0t + at — narysuj wykres wyników otrzymanych po podstawieniu do niego wartości próbnych. Jeśli kształt wykresu będzie zgadzał się z Twoimi prognozami, będziesz mógł zabrać się za poważne obliczenia! Ponieważ teraz przeprowadzasz jedynie kontrolę W.J.W.P. polegającą na narysowaniu szkicu wykresu i porównaniu jego kształtu z wykresem wartości próbnych, możesz pozwolić sobie na ustalenie próbnej wartości prędkości v0. Ostatecznie możesz zakładać, że klatka wystrzelona z dowolną (byle dodatnią) prędkością v0 powróci w końcu na ziemię, więc jeśli narysowany dla tej dowolnej prędkości wykres będzie miał właściwy kształt, będziesz mógł utwierdzić Dingo w słuszności obranej drogi.

Masz już względne przekonanie, że wolno Ci posłużyć się opracowanym wcześniej równaniem, bo powinno ono działać dla wszystkich przypadków ruchu ze stałym przyspieszeniem, ale przecież chcesz mieć ABSOLUTNĄ pewność.

W rozdziale 7. przeprowadzaliśmy część W.P. testu W.J.W.P. na wartościach ekstremalnych, ponieważ chcieliśmy sprawdzić, czy poznane równanie nie jest zupełnie pozbawione sensu. Tym razem podstawimy do niego sensowne dane, ale zasada przeprowadzania testu się nie zmienia.

Zaostrz ołówek Chcesz narysować wykres równania x = x0 + v0t + ½at 2 i zobaczyć, czy jego kształt pokrywa się z kształtem wykresu zależności przemieszczenia od czasu dla ruchu ciała w rzeczywistym świecie. Jeżeli równanie jest poprawne, kształt wykresu powinien mieć ten sam charakter, niezależnie od wybranej do obliczeń wartości v0. Tym razem narysujemy wykres dla prędkości v0 = 15 m/s. a. Wpisz w tabelę odpowiednie wartości. b. Narysuj wykres. Czy jego kształt przypomina Ci naszkicowany wcześniej wykres?

Przemieszczenie [m]

To szkic wykresu, który wykonałeś kilka stron wcześniej.

342

Rozdział 8.

Wykres zależności przemieszczenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki

Czas [s]

Równania ruchu (część II)

Oś pozioma

Przyjmujemy próbnie v0 = 15 m/s.

Pamiętaj, że przyspieszenie wynosi a = –9,8 m/s2.

Oś pionowa

Czas [s]

v0t

½at2

x = x0 + v0t + ½at2

0,0

15 m/s × 0 s = 0 m

0,5 × (–9,8 m/s2) × (0 s)2 = 0 m

0m+0m=0m

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Wykres zależności

Sam musisz wyskalować osie wykresu.

0 0

jesteś tutaj  343

Wykreśl swoje równanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Chcesz narysować wykres równania x = x0 + v0t + ½at 2 i zobaczyć, czy jego kształt pokrywa się z kształtem wykresu zależności przemieszczenia od czasu dla ruchu ciała w rzeczywistym świecie. Jeżeli równanie jest poprawne, kształt wykresu powinien mieć ten sam charakter, niezależnie od wybranej do obliczeń wartości v0. Tym razem narysujemy wykres dla prędkości v0 = 15 m/s. a. Wpisz w tabelę odpowiednie wartości. b. Narysuj wykres. Czy jego kształt przypomina Ci naszkicowany wcześniej wykres? Wykres otrzymany dla równania ma taki sam kształt jak szkic, więc równanie jest poprawne!

Czas [s]

v0t

0,0

15 m/s × 0 s = 0 m

0,5

½at2

15 m/s × 0,5 s = 7,5 m

1,0

15 m/s × 1,0 s = 15,0 m

1,5

15 m/s × 1,5 s = 22,5 m

2,0

15 m/s × 2,0 s = 30,0 m

2,5

15 m/s × 2,5 s = 37,5 m

3,0

Jeśli dodajesz lub odejmujesz jakieś wartości, podawaj wynik ostateczny z taką samą liczbą miejsc po przecinku, jaka pojawia się w najmniej dokładnej liczbie użytej w obliczeniach.

15 m/s × 3,0 s = 45,0 m

0,5 × (–9,8 m/s2) × (0 s)2 = 0 m 0,5 × (–9,8 m/s2) × (0,5 2 s) = –1,23 m 0,5 × (–9,8 m/s2) × (1,0 2 s) = –4,90 m 0,5 × (–9,8 m/s2) × (1,5 2 s) = –11,0 m 0,5 × (–9,8 m/s2) × (2,0 s )2 = –19,6 m 0,5 × (–9,8 m/s2) × (2,5 2 s) = –30,6 m 0,5 × (–9,8 m/s2) × (3,0 2 s) = –44,1 m

x = x0 + v0t + ½at2 0m+0m=0m 7,5 m + (–1,23 m) 6,3 m 15,0 m+ (–4,90 m) = 10,1 m 22,5 m + (–11,0 m) = 11,5 m 30,0 m + (–19,6 m) = 10,4 m 37,5 m + (–30,6 m) = 6,9 m 45,0 m + (–44,1 m) = 0,9 m

Wykres równania x – x0 = v0t + ½at2 dla v0 = 15 m/s

x – x0 [m]

12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0 0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t [s]

Każde równanie możesz sprawdzić, podstawiając do niego wartości próbne i rysując wykres. 344

Rozdział 8.

Równania ruchu (część II)

Wszystko gotowe do wystrzelenia klatki! Klatka gotowa do drogi! Naszkicowałeś wykresy i sprawdziłeś poprawność równania ruchu x = x0 + v0t + at2, podstawiając do niego wartości próbne. Wiesz już, że sprawdza się ono we wszystkich przypadkach, w których ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem — niezależnie od tego, czy klatka startuje z ziemi, czy swobodnie na nią spada. Teraz zaczyna się zabawa! Pora obliczyć prędkość początkową klatki dla Dingo.

Po wprowadzeniu do urządzenia wartości prędkości początkowej pozostanie już tylko usiąść i spokojnie poczekać na Emu…

?? m/s

Zaostrz ołówek Dingo chce złapać Emu, wyrzucając w powietrze klatkę, gdy zobaczy ptaka nadbiegającego zza zakrętu. Klatka powinna wylądować dwie sekundy później, gdy Emu dobiegnie do wyrzutni. Jaka powinna być prędkość początkowa? t = 0 s w chwili startu i t = 2,0 s w chwili lądowania. Góra to kierunek dodatni.

v0 = ? x0 = 0 m x = 0 a = –9,8 m/s2 To typowe zadanie. Wykonaliśmy za Ciebie rysunek, więc nie musisz go już powielać.

jesteś tutaj  345

Celne spostrzeżenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Dingo chce złapać Emu, wyrzucając w powietrze klatkę, gdy zobaczy ptaka nadbiegającego zza zakrętu. Klatka powinna wylądować dwie sekundy później, gdy Emu dobiegnie do wyrzutni. Jaka powinna być prędkość początkowa? t = 0 s w chwili startu i

Muszę obliczyć wartość v0 taką, by po 2,0 s przemieszcznie x wynosiło 0. x =

t = 2,0 s w chwili lądowania. Góra to kierunek dodatni.

x0 + v0t + ½at2

Przekształcam równanie do postaci „v0 = czemuś”. v0t = v0 =

v0 = ?

x – x0 – ½at2 x – x0 – ½at2

Dwie wartości ujemne pomnożone przez siebie dają wynik dodatni.

t

x0 = 0 m x = 0 a = –9,8 m/s2

Podstawiam wartości. 0 m – 0 m – 0,5 × (–9,8 m/s2) × (2 s)2 2 s v0 = 2 v0 = 9,8 m/s Prędkość początkowa klatki powinna wynosić 9,8 m/s.

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Zawsze zaczynaj od sporządzenia rysunku. Zaznacz

na nim długości i kierunki wszystkich wektorów, podaj wartości znanych zmiennych i zapisz, czego szukasz. ‹Jeśli w równaniu pojawiają się wektory, upewnij się,

że określiłeś kierunek dodatni, i trzymaj się tego ustalenia do końca! ‹Uważaj wyjątkowo, gdy w obliczeniach pojawią się

liczby ujemne! ‹Jeżeli dysponujesz już jednym z wykresów zależności

przemieszczenia od czasu, prędkości od czasu lub przyspieszenia od czasu, możesz naszkicować pozostałe dwa (będziesz potrzebować też kilku wartości początkowych, żeby wiedzieć, w którym miejscu zacząć rysowanie).

346

Rozdział 8.

‹Zanim skorzystasz ze znanego równania, zastanów

się nad kontekstem zadania. Niektóre równania mają sens tylko przy założeniu stałej prędkości, więc musisz zastanowić się, czy w rozważanym problemie prędkość jest stała. ‹Z równań v = v0 + at i x = x0 + v0t + ½at2 możesz

korzystać zawsze, gdy ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem.

Równania ruchu (część II) Nie istnieją

głupie pytania

P: Po przekształceniu równania

P: Czy dlatego wszyscy zawsze

do postaci „v0 = czemuś” otrzymałem ten sam wynik, co Ty, ale po podstawieniu wartości wyszło mi coś zupełnie innego. Dlaczego?

O

: Chyba musisz poćwiczyć jeszcze użycie kalkulatora.

P: To niesprawiedliwe,

że choć większość rozwiązania będzie poprawna, dostanę złą ocenę, bo pomylę się gdzieś w przepisywaniu.

O: Najważniejsze, byś pokazał,

że rozumiesz zagadnienie. Większość systemów punktowania odpowiedzi z fizyki nagradza najbardziej wykazanie się znajomością zasad fizyki i Twój nauczyciel doskonale o tym wie.

Jeśli opiszesz wszystkie etapy swojej pracy, łatwiej będzie Ci dostrzec i poprawić drobne błędy w obliczeniach.

P: Mówisz więc, że ludzie, którzy

zalecają mi dokładne opisywanie rozwiązania? Czy dlatego nie powinienem ograniczać się do zapisania równań i podania odpowiedzi?

znają fizykę lepiej niż ja, też popełniają takie błędy? Co za ulga!

O

: Między innymi. Jeśli dokładnie opiszesz całe rozwiązanie, łatwiej będzie Ci wyłapać wszystkie drobne pomyłki, które sprawiają, że otrzymujesz błędny wynik.

dokładnie rozpisał całe rozwiązanie, a w razie pomyłki zawsze będę mógł cofnąć się do odpowiedniego fragmentu i poprawić błędy?

O

P: Ale ludzie, którzy radzą sobie

z fizyką i matematyką, nie popełniają drobnych błędów polegających na zgubieniu minusa czy złym przepisaniu wartości… prawda?

O: Zdziwiłbyś się! Dlatego sprawdzamy

O: Nie da się zaprzeczyć. P: Czyli najważniejsze, bym

: Właśnie! Czasami to po prostu drobiazg w stylu zgubionego minusa czy źle przepisanej liczby.

P: Czy możemy zobaczyć, jak poradzi sobie Dingo?

odpowiedzi testami KROJ i W.J.W.P. Jeśli przyzwyczaisz się do takiego myślenia, zyskasz drugą linię obrony przed drobnymi pomyłkami matematycznymi.

O: Oczywiście…

Obliczona prędkość początkowa 9,8 m/s jest z pewnością poprawna! Dingo kładzie łapę na przycisku i czeka… 9,8 m/s

jesteś tutaj  347

Szybszy Dingo

… i czeka…

9,8 m/s

Nagle mija go Emu, który nadbiegł z przeciwnej strony

9,8 m/s

Fajnie byłoby poruszać się tak szybko jak Emu, ale to tylko marzenia…

9,8 m/s 348

Rozdział 8.

Równania ruchu (część II)

Na szczęście ACME ma w swojej ofercie poduszkowiec z napędem odrzutowym! Dingo wraca do sklepu ACME, gdzie znajduje poduszkowiec z napędem odrzutowym, który doskonale nadaje się do jego potrzeb. Dingo nie potrafi biegać tak szybko jak Emu, ale w poduszkowcu może poruszać się z dowolną szybkością, więc bez trudu dogoni ptaka. Najważniejsze jednak jest to, że może zrównać swój lot z biegiem Emu, ustawiając w poduszkowcu stałą prędkość 15 m/s. Wtedy bez trudu przekaże mu zaproszenie na urodziny! Ale Dingo nieco się niepokoi. Ma już dosyć poprzednich porażek i zanim w ogóle zacznie rozważać kupno poduszkowca, chce poznać jego drogę hamowania (odległość, jaką przebędzie     poduszkowiec po wciśnięciu hamulca, zanim    # naprawdę się zatrzyma).  

 

ACME



#&'  # #

 $% 

   ()*   , +,-.#& '

Poduszkowiec wydaje się być rozwiązaniem idealnym, ale nie wsiądę do niego, dopóki nie poznam drogi hamowania!

/ 0    '

Zaostrz ołówek Musisz wyznaczyć drogę hamowania poduszkowca. Zacznij od wykonania rysunku. Najpierw narysuj poduszkowiec w chwili wciśnięcia hamulca, gdy porusza się on z prędkością 15 m/s. Drugi rysunek powinien przedstawiać pojazd w chwili zatrzymania (na moment przed zwolnieniem pedału hamulca). Umieść na rysunku wszystkie znane już wartości i zapisz, czego szukasz.

Na widocznej wyżej stronie internetowej znajdziesz niektóre potrzebne dane.

Teraz zrób tylko rysunek, obliczeniami zajmiemy się za chwilę.

Wskazówka: Narysuj dwa osobne rysunki poduszkowca — przy jednym umieść wartości początkowe, a przy drugim wszystkie wartości końcowe.

jesteś tutaj  349

Jedna niewiadoma

Nie wykorzystałeś wszystkich podanych na stronie internetowej danych — na przykład w ogóle nie wspomniałeś o maksymalnej prędkości poduszkowca. Wszystko w porządku, czasami nie trzeba korzystać ze wszystkich danych podanych w zadaniu.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Początek ruchu

Musisz wyznaczyć drogę hamowania poduszkowca. Zacznij od wykonania rysunku. Najpierw narysuj poduszkowiec w chwili wciśnięcia hamulca, gdy porusza się on z prędkością 15 m/s. Drugi rysunek powinien przedstawiać pojazd w chwili zatrzymania (na moment przed zwolnieniem pedału hamulca). Umieść na rysunku wszystkie znane już wartości i zapisz, czego szukasz.

a = – 2,5 m/s

Przyspieszenie ma wartość ujemną, a prędkość dodatnią. W ten sposób pokazujesz, że poduszkowiec zwalnia.

2

Koniec ruchu

a = – 2,5 m/s

v0 = 15 m/s

t = 0 s x0 = 0 m

2

v = 0 m/s

Wektor przyspieszenia jest zwrócony w tył, ponieważ wciśnięcie hamulca sprawia, że wektor prędkości zmienia się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu poduszkowca.

t = ? x = ?

Wektory dodatnie są skierowane do przodu

Jeśli w treści zadania nie stwierdzono inaczej, zawsze warto przyjąć x = 0. 0

Czyli wystarczy podstawić te wartości do równania, z którego już korzystaliśmy, żeby poznać drogę hamowania, mam rację?

Nie znasz czasu hamowania! W wykorzystywanym poprzednio równaniu, x = x0 + v0t + at2, pojawia się kilka zmiennych — x, x0, v0, t i a. Musisz obliczyć położenie końcowe poduszkowca x, a znasz wartości v0 i a. Dobre i tyle. Ale wcale nie znasz wartości t! Jeżeli w jednym równaniu pojawiają się dwie niewiadome, nie dasz rady (bez pomocy innego równania) wyznaczyć którejkolwiek z nich.

350

Rozdział 8.

Zanim spróbujesz skorzystać z równania, upewnij się, czy zmienna, której wartości szukasz, jest JEDYNĄ niewiadomą.

Równania ruchu (część II) Teraz musimy znaleźć położenie końcowe poduszkowca, x, gdy pokona całą drogę hamowania. Kuba: Ostatnim razem posłużyliśmy się równaniem x = x0 + v0t + at2, ale teraz nie możemy go użyć, bo nie znamy wartości t. Franek: Racja. Gdy w jednym równaniu pojawiają się dwie niewiadome, nie da się wyznaczyć wartości żadnej z nich. Krzysiek: Przyspieszenie poduszkowca jest stałe i wynosi 2,5 m/s2, prawda? Kuba: MINUS 2,5 m/s2! Ustaliliśmy, że plusem oznaczamy kierunek do przodu. Krzysiek: Dobrze, przyspieszenie wynosi –2,5 m/s2, ale to nie zmienia faktu, że jest stałe. W takim razie możemy użyć jeszcze jednego równania ruchu, mianowicie v = v0 + at. Franek: Nie do końca rozumiem, jak miałoby to nam pomóc. W tym równaniu nie ma x, a przecież chcemy obliczyć właśnie drogę hamowania. Krzysiek: Ale jest w nim zmienna t. Znamy wartość v0, znamy v i wiemy, ile wynosi a, czyli wszystkie pozostałe zmienne równania są nam znane. Możemy wyznaczyć z tego równania t i wstawić jego wartość do drugiego równania. Kuba: Brzmi rozsądnie, ale nie mam ochoty wyznaczać pośredniej wartości t za każdym razem, gdy będę chciał policzyć drogę. Czy można dokonać jakiegoś podstawienia, które doprowadzi nas do bardziej ogólnego równania drogi w sytuacji, w której nie znamy czasu trwania ruchu? Wydaje mi się, że to byłoby naprawdę pomocne. Krzysiek: Masz rację. Należy dążyć do bardziej ogólnej postaci rozwiązania. Takie równanie jest bardziej przydatne i można wykorzystać je wielokrotnie do rozwiązywania podobnych problemów. Tylko jak uzyskać równanie na x, w którym nie pojawia się t?

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W jaki sposób połączyć dwa równania ruchu, v = v0 + at i x = x0 + v0t + ½at2, w jedno ogólne równanie, w którym nie pojawi się zmienna t, a które pozwoli wyznaczyć wartość x?

Równania ruchu v =

v0 + at

x =

x0 + v0t + ½at2

Ten problem Początek ruchu a = – 2,5 m/s2

Koniec ruchu a = 2,5 m/s2

v0 = 15 m/s t = 0 s

x0 = 0 m

v = 0 m/s t = ?

x = ?

Wektory dodatnie są skierowane do przodu

Lepiej zapisać ogólne równanie, niż odnotowywać mnóstwo wyników pośrednich. jesteś tutaj  351

Podstaw coś za niewiadomą

Podstaw odpowiednie wyrażenie za zmienną t, żeby otrzymać nowe równanie W tej chwili dysponujesz dwoma równaniami ruchu: v = v0 + at i x = x0 + v0t + at2 Szukasz długości drogi hamowania poduszkowca, którym porusza się Dingo, x. Poduszkowiec porusza się ze znaną Ci prędkością, hamując jednocześnie ze znanym przyspieszeniem. Nie znasz za to czasu hamowania, więc nie możesz skorzystać od razu z równania x = x0 + v0t + at2.

W tej chwili znasz te dwa równania.



$

$# Przekształć to równanie do postaci „t = czemuś”.

Możesz natomiast przekształcić pierwsze z równań w taki sposób, by wyznaczyć z niego zmienną t, czyli zapisać je w postaci „t = czemuś”, a potem dokonać podstawienia. Do ostatecznej formy równania wystarczy tylko podstawić wartości i obliczyć wynik.









& '

#$#%

Każde wystąpienie zmiennej t w tym równaniu zastępujesz wyrażeniem, któremu jest ona równa.



352

Rozdział 8.



Ponieważ na razie nie przekształciłeś jeszcze równania, wstawiliśmy w miejsce wyniku ten symbol.

#$#& '%& '

Jeżeli musisz pozbyć się z równania jakiejś zmiennej, dokonaj podstawienia.

Równania ruchu (część II)

Zaostrz ołówek Przekształć równanie v = v0 + at tak, by wyznaczyć z niego zmienną t i wstawić ją do równania x = x0 + v0t + ½at2. Ostateczne równanie opisujące drogę hamowania x powinno zawierać tylko zmienne v0, v oraz a. Podstawiając do równania drogi wyrażenie równe zmiennej t, możesz wspomóc się nawiasami. Dzięki nim wszystkie zmienne będące równowartością zmiennej t pozostaną razem.

Teraz podst zajmij się t odp awieniem z jedynie o Upros wiedniego a zmienną równa zczeniem wyrażenia ot nia za . jmiem rzymanego y się za ch

wilę.

jesteś tutaj  353

Jasne i proste równania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Przekształć równanie v = v0 + at tak, by wyznaczyć z niego zmienną t i wstawić ją do równania x = x0 + v0t + ½at2. Ostateczne równanie opisujące drogę hamowania x powinno zawierać tylko zmienne v0, v oraz a. Podstawiając do równania drogi wyrażenie równe zmiennej t, możesz wspomóc się nawiasami. Dzięki nim wszystkie zmienne będące równowartością zmiennej t pozostaną razem.

Mam do przekształcenia dwa równania. Z jednego muszę wyznaczyć zmienną t i podstawić ją do drugiego. (1) x = x0 + v0t + ½at2 v =

v0 + at

Pamiętaj o OPISANIU poszczególnych kroków rozwiązania.

Ponumeruj równania. Będzie Ci łatwiej odnosić się do nich w opisach.

(2)

Przekształcam równanie (2) do postaci „t = czemuś” i podstawiam wynik przekształcenia do równania (1). Temu równaniu nadaj numer (2a), ponieważ jest to tylko przekształcona wersja at = v - v0 równania 2, a nie całkiem nowy wzór.

t =

v - v0

(2a)

a

Umieść to wyrażenie w nawiasach, tak by było jasne, że CAŁA ich zawartość musi zostać pomnożona przez pozostałą część wyrazu.

Podstawiam równanie (2a) do równania (1). x =

x0 + v0

v - v0 a

+ ½a

v - v0

2

a

Nie pomiń przypadkiem indeksu 2 przy wyrażeniu zastępującym zmienną t.

To równanie wygląda na bardzo skomplikowane. Czy możemy nieco je uprościć, pozbywając się wyrażeń w nawiasach?

Gdy masz za zadanie stworzyć równanie opisujące jakieś zjawisko fizyczne, powinieneś zawsze podawać je w najprostszej możliwej formie. Często okazuje się, że równanie po wykonaniu podstawienia ma bardzo skomplikowaną postać, niejednokrotnie zawierającą wyrażenia zapisane w nawiasach. Takie równania możesz uprościć, mnożąc zawartość nawiasów przez pozostałe elementy całego wyrazu. Po wykonaniu takiej operacji okazuje się niejednokrotnie, że niektóre z nowych wyrazów redukują się, dając w sumie zero. Na kilku następnych stronach pokażemy Ci, jak przekształcić to paskudnie wyglądające równanie do bardziej przyjaznej postaci, dzięki czemu unikniesz popełniania błędów w czasie obliczeń.

354

Rozdział 8.

Z jasnymi, przejrzystymi równaniami pracuje się wygodniej niż ze skomplikowanymi, złożonymi wzorami.

Równania ruchu (część II)

Wymnóż zawartość nawiasów Zanim przystąpisz do przekształcania równania, musisz dowiedzieć się, jak postępować z równaniem, w którym część zawartości umieszczono w nawiasach. Przykładowo: a(b + c) = ab + ac.



















Ułatwimy sobie trochę pracę i wykonamy wszystkie niezbędne działania w oddzielnych krokach. Najpierw trzeba pomnożyć zmienną stojącą przed nawiasem przez pierwszy składnik sumy w nawiasie. 

Potem należy pomnożyć zmienną stojącą przed nawiasem przez drugi składnik sumy w nawiasie (i powtarzać ten krok tyle razy, ile jest elementów sumowanych w nawiasie). 







Pamiętaj — zapis ac oznacza a × c.

Pamiętaj — zapisanie dwóch wyrażeń obok siebie jest uproszczeniem pozwalającym ominąć znak ×, który powinien się tam znaleźć.

Uporządkuj prawy wyraz Pierwszym wyrazem z prawej wymagającym uporządkowania jest: v0

Gdy zapisujesz obok siebie w ten sposób dwa wyrażenia, zakładasz, że między nimi stoi znak ×.

v - v0 a

Wszystkie wyrażenia znajdujące się w nawiasie muszą zostać pomnożone przez stojącą poza nim zmienną v0.

Zaostrz ołówek Usuń nawiasy z pierwszego po prawej stronie składnika równania.

x

=

x0 + v0

v - v0 a

+ ½a

v - v0

2

a

Na razie możesz przepisać bez zmian zaznaczone na szaro fragmenty wzoru.

jesteś tutaj  355

Podnoszenie do kwadratu

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie x

=

x0 + v0

Usuń nawiasy z pierwszego po prawej stronie składnika równania. v - v0 a

+ ½a

v - v0

2

x

a

=

x0 +

v0v - v02 a

+

½a

v - v0

2

a

Gdy mnożysz ułamek przez liczbę całkowitą, działanie wykonujesz jedynie na górnej części ułamka — liczniku. Zgodnie z tą zasadą na dole ułamka — w mianowniku — pozostaje litera „a”, a nie pojawia się iloczyn „v0a”.

Pomnóż zawartości dwóch nawiasów przez siebie Następnym nieprzyjemnym fragmentem równania jest drugi z nawiasów znajdujących się po prawej stronie wzoru — ten wyraz jest podniesiony do kwadratu. Podnoszenie do kwadratu jest tym samym, co wymnożenie wyrazu przez siebie. Przykładowo wyrażenie (a + b)2 jest inną formą zapisu wyrażenia (a + b)(a + b). Obliczenie wartości wyrażenia polega na wymnożeniu wszystkich składników pierwszego nawiasu przez wszystkie składniki drugiego nawiasu. Po wykonaniu tych działań otrzymasz wynik a2 + ab + ab + b2, który po dodaniu do siebie dwóch składników ab można uprościć do postaci a2 + 2ab + b2.















Raz jeszcze przeprowadzimy obliczenia w osobnych krokach, żeby ułatwić Ci zrozumienie poszczególnych przekształceń. Zaczniemy od wymnożenia pierwszego składnika pierwszego nawiasu przez pierwszy składnik drugiego nawiasu.



Następnie pomnożymy pierwszy składnik pierwszego nawiasu przez drugi składnik drugiego nawiasu. 



















Teraz powtórzymy te kroki dla drugiego czynnika pierwszego nawiasu. 































































356

Rozdział 8.









Wynik można nieco uprościć, dodając do siebie dwa identyczne składniki.





Pomnóż wszystkie składniki drugiego nawiasu po kolei przez wszystkie składniki pierwszego nawiasu.

Równania ruchu (część II)

Możesz wreszcie zająć się drugim nawiasem znajdującym się po prawej stronie równania Drugim skomplikowanym wyrażeniem pojawiającym się po prawej stronie równania jest: v - v0 2 a a Ponieważ zawartość nawiasu jest podniesiona do kwadratu, można zapisać to wyrażenie w analogicznej postaci: v - v0 v - v0 a a a Wszystkie składniki pierwszego nawiasu muszą zostać wymnożone przez wszystkie składniki drugiego nawiasu, dokładnie w taki sposób, jak pokazaliśmy to na poprzedniej stronie. Najpierw zajmij się górą ułamków. Pomnóż wszystkie składniki licznika przez wszystkie składniki drugiego licznika. Potem zajmij się dołem ułamków. Przemnóż wszystkie składniki mianownika przez składniki drugiego mianownika.

Zaostrz ołówek

Pozbądź się nawiasów w drugim składniku znajdującym się po prawej stronie równania. Prawdopodobnie najłatwiej będzie wymnożyć najpierw zawartość nawiasu przez siebie, a potem pomnożyć wynik przez wyrażenie ½a znajdujące się poza nawiasami.

x

=

x0 +

v0v - v02 a

+

½a

v - v0 a

2

Najłatwiej jest zapisać jawnie mnożenie składnika w nawiasie przez samego siebie. W ten sposób redukujesz możliwość wystąpienia błędu.

Możesz na razie pominąć składniki zapisane szarą czcionką. Zajmiemy się nimi za chwilę.

jesteś tutaj  357

Algebra jest przydatna

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Pozbądź się nawiasów w drugim składniku znajdującym się po prawej stronie równania. Prawdopodobnie najłatwiej będzie wymnożyć najpierw zawartość nawiasu przez siebie, a potem pomnożyć wynik przez wyrażenie ½a znajdujące się poza nawiasami. 2

x

=

x0 +

x

=

x0 +

x

=

x0 +

v0v - v0 a

v0v - v02 a v0v - v02 a

+

½a

+

½a

+

½a

v - v0

Jeśli zapiszesz podnoszenie zawartości nawiasu do kwadratu jako mnożenie jej przez samą siebie, będzie Ci łatwiej wykonać działania potrzebne do otrzymania wyniku.

2

a v - v0

v - v0

a

a

liczba ujemna × liczba ujemna = liczba 2 dodatnia, czyli (–v0) × (–v0) = v0

v2 - 2vv0 + v02 a2

W mianowniku ułamka pojawia się a × a = a2

Teraz musisz jeszcze wymnożyć zawartość nawiasu przez czynnik ½a…

x

=

x0 +

v0v - v02 a

+

½v2 - vv0 + ½v02 a

… ale a znajdujące się w liczniku ułamka skraca się z a2 znajdującym się w mianowniku, przez co całość wyrażenia jest dzielona przez samo a.

Wszystko to jest strasznie trudne. Czy to znaczy, że nigdy nie nauczę się fizyki?

Te przekształcenia to działania algebraiczne. Algebra jest bardzo ważnym narzędziem w pracy fizyka. W fizyce chodzi przede wszystkim o zrozumienie problemu, ale nie wolno pomijać znaczenia opisu tego problemu za pomocą wykresów czy równań. W szkole niejednokrotnie przyjdzie Ci przekształcać równania czy dokonywać podstawień i z pewnością dostaniesz lepsze oceny, jeśli wszystkie działania będą wykonane porządnie. Oczywiście przede wszystkim masz zrozumieć fizykę i dlatego w tej książce nie natkniesz się często na paskudne obliczenia algebraiczne, więc uszy do góry!

358

Rozdział 8.

Równania ruchu (część II)

Jak miewa się Twoje równanie? Szukasz równania, które pozwoli Ci obliczyć drogę hamowania poduszkowca z napędem odrzutowym, poruszającego się z prędkością początkową v0. Okazało się niestety, że jedyne równanie opisujące przemieszczenie, x, zawiera w sobie zmienną t, czyli czas trwania hamowania, a Ty przecież nie znasz jego wartości.

Teraz starasz się uprościć możliwie otrzymane równanie, ponieważ dzięki temu zabiegowi zminimalizujesz ryzyko popełnienia błędu w trakcie obliczeń. Na razie równanie ma nadal skomplikowaną postać.

Pogrupuj wyrazy podobne, żeby uprościć zapis równania Po podniesieniu zawartości nawiasu do kwadratu w równaniu pojawiło się mnóstwo nowych wyrazów! Jeśli pogrupujesz wyrazy podobne (mające w sobie taką samą literę lub iloczyn takich samych liter), być może zdołasz nieco uprościć otrzymany wynik. Przyjrzyj się przez chwilę przykładowi równania a = b + c – b – 2c. Po prawej stronie równania pojawiają się wyrazy b i –b. Gdy zgrupujesz je, okaże się, że b – b = 0. Po tej samej stronie równania pojawiają się też wyrazy c i –2c. Po zgrupowaniu okazuje się, że c – 2c = –c.



& '





Dzięki przekształceniom i podstawieniom pokonałeś już większą część drogi dzielącej Cię od znalezienia nowego równania drogi — takiego, w którym nie pojawiałaby się zmienna t.



#$#%





























Zaostrz ołówek Pogrupuj wyrazy podobne znajdujące się po prawej stronie równania, żeby uprościć jego zapis. (Pierwszy krok, umieszczenie wszystkich składników dzielonych przez a na wspólnej kresce ułamkowej, wykonaliśmy za Ciebie). x

=

x0 +

v0v - v02 + ½v2 - vv0 + ½v02 a

Oto kolejne kroki grupowania wyrazów podobnych: a = b + c – b – 2c a = b – b + c– 2c a = –c Jeżeli wykonasz podobne operacje w zapisie równania drogi hamowania poduszkowca, równanie stanie się bardziej przejrzyste, a możliwość pojawienia się błędów w trakcie obliczeń znacznie się zmniejszy. Nie chcemy przecież, żeby Dingo zrobił sobie krzywdę, skoro jego celem jest jedynie wręczyć Emu zaproszenie na przyjęcie.

jesteś tutaj  359

Rozwiązanie zaostrzonego ołówka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Pogrupuj wyrazy podobne znajdujące się po prawej stronie równania, żeby uprościć jego zapis.

Rozstrzeliliśmy nieco wiersze rozwiązania, żeby wszystkie uwagi zmieściły się bez problemu.

(Pierwszy krok, umieszczenie wszystkich składników dzielonych przez a na wspólnej kresce ułamkowej, wykonaliśmy za Ciebie). x

W tym wierszu grupujemy razem wyrazy podobne.

Te dwa wyrazy dają w sumie zero.

x

x

=

=

=

x0 +

x0 +

x0 +

v0v - v02 + ½v2 - vv0 + ½v02 a Czy zauważyłeś, że vv0 i v0v to ten sam iloczyn, tylko ze składnikami zamienionymi kolejnością?

v0v - vv0 + ½v2 - v02 + ½v02 a

Oto wynik grupowania składników zawierających czynnik v02.

½v2- ½v02 a

2a

Zapis ½v2 – ½v02 wygląda bardziej elegancko niż – ½v02 + ½v2.

To równanie pojawia się czasami w tablicach 2 w postaci v2 = v0 + 2a(x – x0).

To po prostu przyjemniejsza dla oka forma zapisania powyższego równania.

x

=

x0 +

v2- v02

jnie

Spoko

Nie musisz tego

ć!

więcej powtarza

iem ruchu praca nad równan na ad kł do że y, matematyki. Stwierdziliśm o pewien rodzaj ec ni ć zy ic ćw po czynienia to okazja, by będziesz mieć do i am ni ce ał zt ks egzaminów Z takimi prze omiast w trakcie at N i. yk fiz ch ja znajdziesz na wielu lekc orów, na której wz ę ic bl ta em sz z arku dostaniesz razem równań. potrzebnych Ci i ac st po ostateczne

360

Rozdział 8.

Równania ruchu (część II) Skoro nie będę już tego więcej robić, po co miałam zajmować się tym teraz? Sprawdzałam i wiem, że w innych książkach do fizyki po prostu podają odpowiednie równanie i każą Ci go używać!

Dzięki przekształcaniu równań poznajesz ważne zasady działań algebraicznych. Choć stwierdziliśmy, że do radzenia sobie z zadaniami z fizyki nie potrzebujesz dogłębnej znajomości algebry, chcielibyśmy, żebyś zrozumiał z niej możliwie najwięcej. Jeśli teraz zaznajomisz się z zasadami algebry, będziesz naprawdę świetnie radzić sobie z fizyką. Dobrze by było, gdybyś teraz zrozumiał podstawy działań algebraicznych, na przykład pozbywania się nawiasów z zapisu równania, ponieważ dzięki temu w przyszłości unikniesz wielu stresów. Odpowiednia znajomość algebry przyda Ci się także w czasie klasówek i egzaminów — ich poziom nie będzie odbiegać zbytnio od tego, co prezentujemy w książce.

Dzięki nowemu równaniu możesz obliczyć drogę hamowania Masz już równanie, które pozwoli Ci obliczyć drogę hamowania poduszkowca Dingo.

To narysowany wcześniej szkic do zadania.

x

=

x0 +

v2- v02 2a

Zaostrz ołówek Poduszkowiec z napędem odrzutowym porusza się z prędkością 15 m/s. Po naciśnięciu hamulca zaczyna zwalniać z przyspieszeniem 2,5 m/s2. Oblicz drogę hamowania poduszkowca.

jesteś tutaj  361

Trzy kluczowe równania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Poduszkowiec z napędem odrzutowym porusza się z prędkością 15 m/s. Po naciśnięciu hamulca zaczyna zwalniać z przyspieszeniem 2,5 m/s2. Oblicz drogę hamowania poduszkowca. x

=

x0 +

v2- v02 2a

x

=

x0 +

v2- v02 2a

(0 m/s)2 – (15 m/s)2 x = 0 m +

x

=

2 × (–2,5 m/s2) 45 m

Droga hamowania wynosi 45 m.

Do opisu ruchu ze stałym przyspieszeniem przydadzą Ci się TRZY kluczowe równania Nie dość, że możesz wreszcie przekazać Dingo informację o długości drogi hamowania, to masz też do dyspozycji trzy podstawowe równania, które pozwolą Ci rozwiązać dowolny problem ruchu ze stałym przyspieszeniem. Możesz zająć się czym chcesz — ciałami spadającymi, ciałami wystrzeliwanymi, poduszkowcami, samochodami, łodziami! Wybór należy do Ciebie. To prawdziwa supermoc!

x

=

x0 +

To równanie, które właśnie wyznaczyłeś. Czasami nazywa się je równaniem „bezczasowym”, ponieważ w ogóle nie pojawia się w niej zmienna „t”.

362

Rozdział 8.

v2- v02 2a

Równania ruchu Trzy równania opisujące ruch ciała ze stałym przyspieszeniem

v = v0 + at x = x0 +v0t + ½at2

To dokładnie to samo równanie, ale przepisane do postaci bezułamkowej. Podajemy je tutaj, ponieważ dość często zapisuje się je właśnie w taki sposób.

v2 = v02 + 2a(x – x ) 0

Równania ruchu (część II) Wniosek z tego taki, że używając po prostu tych równań, dam sobie nieźle radę w szkole, ale jeśli zdecyduję się przekształcać je, dokonywać podstawień, usuwać z nich nawiasy i upraszczać je, będę naprawdę świetny. Czy tak?

Właśnie o to chodzi. Matematyka to tylko następne narzędzie, które pomaga Ci radzić sobie lepiej z fizyką. Autorzy większości książek do fizyki zakładają, że znasz na tyle algebrę, by radzić sobie z przekształcaniem podanych w podręczniku równań. My wyszliśmy z innego założenia. Stopniowo wprowadzamy coraz to nowe zagadnienia z algebry, ale wplatamy je w problemy fizyczne, dzięki czemu staje się ona narzędziem pomagającym Ci zrozumieć fizykę. Jeśli nie zrozumiesz od razu niektórych przekształceń, nic się nie stanie, ale tylko od Ciebie zależy, czy w ogóle spróbujesz ćwiczyć. Dzięki ćwiczeniom to, co początkowo było trudne, z czasem stanie się zupełnie jasne. Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy to znaczy, że mam zapamiętać wszystkie te równania? Jest ich strasznie dużo! Myślałem, że mam rozumieć problemy, a nie uczyć się rozwiązań na pamięć.

O: Pierwsze z równań, v = v + at, opisuje wartość 0

prędkości w danej chwili. Informuje Cię, że wartość prędkości początkowej zmieniła się o czynnik związany z przyspieszaniem w każdej chwili ruchu. Zmiany prędkości nie zależą od położenia początkowego x0 ani od położenia x w danej chwili ruchu. 2

Drugie równanie, x = x0 + v0t + ´at , określa położenie w każdej chwili ruchu. Położenie to zależy od poprzedniego przemieszczenia, prędkości początkowej, przyspieszenia oraz czasu trwania ruchu. Określanie położenia nie zależy od prędkości v.

P

: Skoro wzorów uczy się najlepiej, rozwiązując dużo zadań, to dlaczego w Head First. Fizyka. Edycja polska nie pojawiają się setki zadań na końcu każdego rozdziału?

O

: Może nie zauważyłeś, ale uczysz się i rozwiązujesz zadania w czasie lektury rozdziału.

Ta książka ma za zadanie tłumaczyć pewne idee w czasie przekazywania informacji o nich. Wszystkie przedstawiane tu rozwiązania wykorzystujesz na bieżąco. Staraliśmy się unikać, znanego z innych podręczników, suchego przekazywania wiedzy, wymagającego od Ciebie jedynie biernego przerzucania kartek książki. W innych książkach znajdziesz mnóstwo zadań, których rozwiązywanie utrwali wiedzę zdobytą dzięki tej książce.

No dobrze, pora brać się do pracy…

Trzecie równanie, v2 = v02 + 2a(x – x0), opracowałeś dopiero przed chwilą. Pozwala ono określić prędkość końcową ciała w ruchu, gdy nie znasz czasu jego trwania. Albo Cię on nie interesuje!

jesteś tutaj  363

Dingo kontra Emu !( ()(  *

+-/0( -)  

4 ) 1-

364

Rozdział 8.



Plask!

3

2 

Równania ruchu (część II)

Musisz obliczyć prędkość, z jaką należy wystrzelić Dingo na szczyt urwiska! Dingo spadł z urwiska, ale na szczęście miał miękkie lądowanie. Dobrze, że nadal ma swoją wyrzutnię ACME. Ma też nowy pomysł! Gdyby udało się mu wystrzelić siebie w powietrze w taki sposób, że maksymalny punkt toru jego lotu wypadałby na wysokości szczytu urwiska, zdołałby przekazać Emu zaproszenie na przyjęcie w sposób, który nie przestraszyłby biednego ptaka.

?? m/s

Dingo nie ma niestety pojęcia, jaka powinna być jego prędkość początkowa. Jeśli Dingo wystrzeli się ze zbyt małą prędkością, nie dotrze do krawędzi klifu. Jeżeli prędkość będzie zbyt duża, to mijając krawędź, będzie nadal leciał i może nie mieć czasu, by przekazać Emu zaproszenie. Jaka tym razem powinna być prędkość początkowa? Postaraj się wypisać równania z pamięci, a potem sprawdź na stronie 362, czy się nie pomyliłeś.

Zaostrz ołówek Dingo utknął na dnie kanionu, ale ma ze sobą wyrzutnię. Jaką powinien ustalić prędkość początkową, by wystrzelić się na wysokość urwiska, czyli 7 m? a. Wykonaj rysunek! Zaznacz na nim wszystko, co wiesz.

b. Zapisz trzy podstawowe równania ruchu przygotowane z myślą o rozwiązywaniu takich problemów. Następnie przy każdej szukanej niewiadomej postaw znak zapytania, przy zmiennych, które znasz, postaw znaczek „ptaszka”, a przy zmiennych, których wartości nie znasz, postaw krzyżyk. To umiejętność bardzo przydatna w trakcie rozwiązywania zadań.

c. Czy sądzisz, że to zadanie da się rozwiązać od razu, czy może potrzebujesz jakichś dodatkowych informacji?

jesteś tutaj  365

Rozwiązania

Postaraj się wypisać równania z pamięci, a potem sprawdź na stronie 362, czy się nie pomyliłeś.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Dingo utknął na dnie kanionu, ale ma ze sobą wyrzutnię. Jaką powinien ustalić prędkość początkową, by wystrzelić się na wysokość urwiska, czyli 7 m? a. Wykonaj rysunek! Zaznacz na nim wszystko, co wiesz.

Wartości dodatnie w górę

x = 7,00 m

b. Zapisz trzy podstawowe równania ruchu przygotowane z myślą o rozwiązywaniu takich problemów. Następnie przy każdej szukanej niewiadomej postaw znak zapytania, przy zmiennych, które znasz, postaw znaczek „ptaszka”, a przy zmiennych, których wartości nie znasz, postaw krzyżyk. To umiejętność bardzo

a = -9,8 m/s2

v0 = ? m/s x0 = 0 m t = 0 s

przydatna w trakcie rozwiązywania zadań.

2

x

=

x 0 + v 0t + ½ a t

v

=

v0 + a t

v2

=

v02 + 2a (x – x0)

Jeżeli nie wiesz, z którego równania skorzystać, powinieneś zawsze wypisać sobie wszystkie, które pamiętasz.

c. Czy sądzisz, że to zadanie da się rozwiązać od razu, czy może potrzebujesz jakichś dodatkowych informacji? We wszystkich równaniach pojawiają się różne nieznane mi niewiadome (prędkość, czas lub obydwie). Poza tym nie znam szukanej wartości v0, więc wydaje mi się, że potrzebuję dodatkowych informacji.

Byłoby super, gdyby udało mi się wyznaczyć jakoś wartości v lub t. Wtedy mogłabym obliczyć prędkość v0. Pomarzyć miła rzecz…

366

Rozdział 8.

Równania ruchu (część II)

Chwilkę! Czy nie mówiliśmy, że w szczytowym punkcie toru lotu ciało ma prędkość = 0?

Nachylenie wykresu zależności Czasami trzeba zauważyć, że ciało znajduje przemieszczenia od czasu się w jednym z „punktów szczególnych”. jest równe zero, więc prędkość ciała w tym punkcie MUSI Nie ograniczaj się tylko do danych podanych jawnie być równa zeru.

w treści zadania. Zacznij od wykonania rysunku. Bądź psem Dingo. Dostrzeż „punkt szczególny”!

Właśnie przypomniałeś sobie, że maksymalne położenie wznoszącego się ciała to jeden z punktów szczególnych. W tym punkcie ciało zatrzymało się już, ale jeszcze nie zaczęło opadać, więc jego prędkość wynosi zero. Możesz użyć tej wartości, żeby obliczyć inne, poszukiwane niewiadome.

Zaostrz ołówek

Na rysunku powinieneś też umieścić informację o prędkości w maksymalnej fazie lotu, v = 0, i postawić „ptaszka” przy każdym „v” pojawiającym się w równaniach.

Teraz, gdy odkryłeś już punkt specjalny, możesz umieścić na rysunku informację v = 0 w maksymalnym punkcie lotu Dingo. Informacja ta, razem z zebranymi poprzednio danymi, powinna wystarczyć do obliczenia prędkości początkowej.

jesteś tutaj  367

Co wzleciało…

Wartości dodatnie v = 0 m/s w górę

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

x = 7,00 m

a = -9,8 m/s2

Teraz, gdy odkryłeś już punkt specjalny, możesz umieścić na rysunku informację v = 0 w maksymalnym punkcie lotu Dingo. Informacja ta, razem z zebranymi poprzednio danymi, powinna wystarczyć do obliczenia prędkości początkowej.

v0 = ? m/s x0 = 0 m t = 0 s

v2

=

Wartość v0 jest jedyną niewiadomą w tym równaniu.

v02 + 2a (x - x0)

Dodatkowa informacja — na szczycie v = 0 m/s.

Przekształcam równanie do postaci „v0 = czemuś” v02

=

v2 - 2a (x - x0)

v0

=

v2 - 2a (x - x0) =

v0

=

11,7 m/s

Pod pierwiastkiem pojawia się mnożenie: liczba ujemna × liczba ujemna × liczba dodatnia = liczba dodatnia.

(0 m/s)2 – 2 × (–9,8 m/s2) × (7,00 m – 0 m)

Dingo powinien wystrzelić się z prędkością 11,7 m/s.

Dodatkowa informacja — znasz wartość v.

Prędkość początkowa została poprawnie obliczona!

137,2 m2/s2

=

x

=

x0 + v0t + ½ a t2

v

=

v0 + a t

v2

=

v02 + 2a (x – x0)

Właśnie skorzystałeś z wiedzy, że na wysokości równej szczytowi urwiska Dingo będzie poruszać się z prędkością v = 0. Dzięki temu obliczyłeś, że jego prędkość początkowa powinna wynosić 11,7 m/s.

Chcę wiedzieć, ile czasu zajmie mi lot w górę i w dół. Czy przez ten czas poduszka, na którą mam upaść, zdąży się nadmuchać?

W czasie lotu psa Dingo na ziemi nadmuchuje się wielka poducha.

Ale Dingo nie chce znów się zamoczyć, więc planuje inne lądowanie. Kupił sobie dmuchane lądowisko ACME i chce nacisnąć przycisk nadmuchiwania w tej samej chwili, w której uruchomi wyrzutnię. Lądowisko pompuje się przez 1,00 s. Jak długo Dingo będzie unosić się w powietrzu? Czy poducha będzie miała wystarczająco dużo czasu, by się nadmuchać, zanim Dingo opadnie na ziemię?

368

Rozdział 8.

Równania ruchu (część II) To znaczy, że musimy obliczyć czas, przez jaki Dingo pozostaje w powietrzu. Powinno pójść łatwo.

Kuba: Tak! Przecież mamy mnóstwo danych! Wiemy, że położenie początkowe x0 i położenie końcowe x są równe zero (bo Dingo zaczyna swój lot na dnie kanionu i tam też go kończy). Wiemy też, że v0 = 11,7 m/s. Krzysiek: Nie zapominajmy też o przyspieszeniu a = –9,8 m/s2. Wydaje mi się, że tym razem mamy więcej danych niż kiedykolwiek przedtem. Franek: Ale którego równania mamy użyć? Nie znamy wartości v, więc nie możemy posłużyć się żadnym, w którym pojawia się ta zmienna. Kuba: Nie pozostaje nam nic innego, jak użyć wzoru x = x0 + v0t + at2, a to powinna być sama przyjemność. Znamy przecież x, x0, v0 i a… Nie znamy jedynie wartości t, a przecież ją właśnie chcemy obliczać! Krzysiek: Jedno równanie, jedna niewiadoma — brzmi doskonale! Franek: Przepiszmy je zatem do postaci „t = czemuś”. Kuba: Tak, bierzmy się do roboty!

Ważna umiejętność podczas rozwiązywania zadań!

Zapisz wszystkie równania i zaznacz, które z wartości zmiennych są Ci znane, a które nie.

Zaostrz ołówek a. Przekształć równanie x = x0 + v0t + ½at2 do postaci „t = czemuś”, by móc obliczyć z niego czas potrzebny Dingo na przelecenie w górę i w dół.

b. Zastanów się, czy to dobry sposób rozwiązania tego problemu.

jesteś tutaj  369

Wartości zerowe

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Przekształć równanie x = x0 + v0t + ½at2 do postaci „t = czemuś”, by móc obliczyć z niego czas potrzebny Dingo na przelecenie w górę i w dół. x v0t t

Postaraj się wydobyć to t i zapisać równanie w postaci „t = czemuś”.

= x0 + v0t + ½ at 2 = x - x0 - ½ at 2 =

x - x0 - ½ at 2 v0

Tylko że zostało nam tutaj t2, więc to jednak nie był taki dobry pomysł.

b. Zastanów się, czy to dobry sposób rozwiązania tego problemu. Nie udało się. Próbowałem zapisać równanie w postaci „t = czemuś”, ale po drugiej stronie znaku równości pozostał czynnik t2. Jeżeli przekształcę równanie tak, żeby po jednej stronie otrzymać czynnik t2 (i wyciągnąć z niego pierwiastek kwadratowy), a po drugiej resztę wyrażeń, po prawej stronie pozostaje wtedy t w pierwszej potędze. Tego równania nie da się zapisać w postaci „t = czemuś”.

Musisz znaleźć inną metodę rozwiązania problemu Dingo W równaniu, którego użyłeś, x = x0 + v0t + at 2, zmienna t pojawia się w dwóch wyrazach — raz w wyrazie v0t, a raz w wyrazie 1/2at2. Ponieważ w jednym z nich t występuje w pierwszej potędze, a w drugim jest podniesione do kwadratu, nie da się w łatwy sposób wyznaczyć z tego równania wzoru opisującego czas lotu. Wyrazy zawierające t i t2 nie dodadzą się, dając w wyniku zero. Gdyby jednak któraś z wartości v0 lub a była równa zeru, wtedy jeden z tych składników zniknąłby z równania, pozwalając Ci przekształcić je do postaci „t = czemuś” i łatwo obliczyć czas.

Co stanie się z równaniem, gdy różne zmienne przyjmą wartość zero? Czy dzięki temu łatwiej znajdziesz rozwiązanie? 370

Rozdział 8.

To nie do końca prawda. Takie równanie można doprowadzić do postaci pozwalającej wyznaczyć wartość zmiennej t, pod warunkiem że zastosuje się wzory na obliczanie pierwiastków równania kwadratowego. Jeśli słyszałeś o tej metodzie, możesz się nią teraz posłużyć, ale jeśli rozwiązywanie równań kwadratowych jest Ci obce, nie przejmuj się. Zaraz pokażemy Ci znacznie prostszy sposób rozwiązania tego zadania…

Jeżeli któraś ze zmiennych wyrazu jest równa zeru, cały wyraz jest równy zeru i znika.

x = x0 + v0t + ½ a t 2 Jeśli v0 = 0, równanie przyjmuje postać x = x0 + ½ at 2.

Jeśli a = 0, wtedy równanie przyjmie postać x = x0 + v0t.

Gdy a = 0, równanie przyjmuje postać x = x0 + v0t, czyli znanego Ci już równania ruchu ciała poruszającego się ze stałą prędkością. Jednak w tym przypadku przyspieszenie nie jest zerowe. Gdy prędkość początkowa v0 = 0, równanie upraszcza się do postaci x = x0 + 1/2at2, z której bez trudu wyznaczysz czas. To niezwykle przydatne! Gdyby tylko udało się przekształcić ten problem tak, by v0 = 0, wtedy bez trudu skorzystałbyś z tego wzoru…

Równania ruchu (część II) Wykres zależności przemieszczenia od czasu jest symetryczny względem swojego środka. Symetria już się nam przydawała w czasie rozwiązywania problemów. Ciekawe, czy i tym razem do czegoś się przyda?

Lot w górę i lot w dół trwają dokładnie tyle samo.

Zaostrz ołówek Pies Dingo wystrzelił się w powietrze z prędkością 11,7 m/s w górę. Lecąc z tą prędkością, wzniesie się na wysokość 7,00 m. a. Wykorzystaj symetrię problemu, żeby przekształcić go do zadania, w którym prędkość v0 = 0. Dzięki temu zdołasz przekształcić równanie x = x0 + v0t + ½at2 do postaci „t = czemuś”. To równanie pozwoli Ci obliczyć czas potrzebny psu Dingo na powrót na dno kanionu. Tworzysz nowe zadanie, narysuj więc nowy szkic.

Szukaj symetrii, bo ona czasami ułatwia znalezienie rozwiązania… b. Poduszka mając zapewnić Dingo miękkie lądowanie potrzebuje 1,00 s, by automatycznie napełnić się powietrzem. Czy materac nadmucha się, zanim pies powróci na ziemię?

jesteś tutaj  371

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Pies Dingo wystrzelił się w powietrze z prędkością 11,7 m/s w górę. Lecąc z tą prędkością, wzniesie się na wysokość 7,00 m. a. Wykorzystaj symetrię problemu, żeby przekształcić go do zadania, w którym prędkość v0 = 0. Dzięki temu zdołasz przekształcić równanie x = x0 + v0t + ½at2 do postaci „t = czemuś”. To równanie pozwoli Ci obliczyć czas potrzebny psu Dingo na powrót na dno kanionu.

Połowę czasu spędzasz, lecąc w górę…

Obliczyć czas spadania z wysokości 7,0 m, a potem podwoić go, żeby otrzymać całkowity czas lotu w górę i spadania. v0 = 0 m/s

Wartości dodatnie w dół.

x0 = 0 m t = 0 s

Teraz prowadzisz obliczenia na wektorach zwróconych TYLKO w dół, więc możesz przypisać im wartość dodatnią. Takie posunięcie ułatwia znacznie obliczenia.

a = 9.8 m/s2

t = ? s

Teraz w równaniu występuje tylko parametr t2, więc równanie daje się łatwo rozwiązać.

Oznacza to, że ŁĄCZNY czas potrzebny na wzniesienie się i opadnięcie jest dwukrotnie dłuższy od czasu potrzebnego na spadnięcie z zadanej wysokości.

x = 7 m

x = x0 + v0t + ½at2 ½at2

=

x - x0

at2

=

2(x - x0)

t

=

2(x - x0) a

Przekształcam do postaci „t = czemuś” Prędkość v0 = 0 m/s, więc ten wyraz zeruje się.

9,8 m/s2

= 1,20 s

Tak, poduszka napełni się powietrzem, zanim Dingo wyląduje.

Czas potrzebny na wzniesienie się na pewną wysokość i opadnięcie z niej jest DWUKROTNIE dłuższy od czasu, w którym ciało opada z tej wysokości. Rozdział 8.

Ciało osiąga maksymalny punkt lotu dokładnie w POŁOWIE czasu jego trwania.

2(7,00 m - 0 m) =

b. Poduszka mając zapewnić Dingo miękkie lądowanie potrzebuje 1,00 s, by automatycznie napełnić się powietrzem. Czy materac nadmucha się, zanim pies powróci na ziemię?

372

… połowę zaś lecąc w dół.

Jeśli ustalisz, że wektory zwrócone w górę mają znak dodatni, otrzymasz ten sam wynik, ale ryzyko popełnienia błędu przy dodawaniu wartości ujemnych jest znacznie większe.

Równania ruchu (część II)

Czy z symetrii tego ruchu wynika także, że ciało, uderzając w ziemię, porusza się z tą samą szybkością, lecz w przeciwną stronę?

Ciało wystrzelone pionowo w górę ma w konkretnym punkcie toru lotu w górę tę samą szybkość, co podczas lotu w dół. Pies Dingo wystrzelił się z szybkością 11,7 m/s. Długość zwróconego w górę wektora prędkości odpowiada tej liczbie. Ponieważ lot w dół jest symetrycznym odbiciem podróży w górę, szybkość Dingo w chwili upadku będzie również wynosić 11,7 m/s, choć tym razem wektor prędkości będzie zwrócony w dół. W każdym punkcie toru ruchu szybkość Dingo będzie taka sama w czasie lotu w górę i w czasie spadania. To kolejna symetria tego ruchu, która niejednokrotnie przydaje się podczas rozwiązywania zadań. Jeśli zaczynasz lot z pewnej wysokości i kończysz go na tej samej wysokości, wektory prędkości początkowej i końcowej wiąże zależność v = –v0. Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego w ogóle szukałem punktu szczególnego, w którym v0 = 0 m/s? Nie do końca rozumiem ten fragment rozwiązania.

O: Chcieliśmy znaleźć wartość zmiennej t, posługując się równaniem x = x0 + v0t + ½at2. Niestety występują w nim wyrazy zawierające jednocześnie zmienną t i zmienną t2, więc nie da się przekształcić go do postaci „t = czemuś”.

Ponieważ zmienna t pojawia się w wyrazie v0t, można starać się znaleźć takie spojrzenie na problem, by prędkość początkowa ruchu wynosiła zero. Wtedy cały wspomniany wyraz znika, a Ty dostajesz równanie, z którego bez trudu wyznaczysz wartość parametru t.

Nie martw się, jeśli nie potrafisz rozwiązywać równań kwadratowych. Nie będziesz musiał uciekać się do tej metody, jeżeli nauczysz się dostrzegać symetrię problemu!

P: Dlaczego w takim razie

nie obliczyliśmy po prostu pierwiastków równania kwadratowego? W takim przypadku nie trzeba by było szukać całej tej symetrii.

O: Jeżeli potrafisz rozwiązywać równania

kwadratowe, zawsze możesz posłużyć się tą metodą. Każdy sposób rozwiązywania zadań, który rozumiesz, będzie dobry.

Pamiętaj jednak, że dostrzeżenie symetrii w problemie, obliczenie czasu spadania i podwojenie go jest zdecydowanie prostszym rozwiązaniem z punktu widzenia obliczeń. Warto pamiętać o takiej drodze na skróty, bo może przydać się w przyszłości. Symetria zazwyczaj upraszcza rozwiązanie.

P

: A co mam zrobić w sytuacji, w której nie da się w żaden sposób wprowadzić warunku v0 = 0 m/s? Jak wtedy rozwiązać takie równanie?

O

: Wtedy zazwyczaj najłatwiej jest wyznaczyć wartość prędkości końcowej v i skorzystać z prostszego wzoru, v = v0 + at. Prędkość wyznaczysz bez problemów za pomocą trzeciego z kluczowych równań ruchu: v2 = v02 + 2a(x – x0).

P

: Oj, strasznie dużo tych równań do zapamiętania…

O

: Nie przejmuj się. Wszystkie je znajdziesz w tablicach, a z czasem, jeżeli będziesz ich używać, zdołasz je zapamiętać.

Inną metodę rozwiązywania zadań tego typu poznasz w rozdziale 14. Możesz je stosować wymiennie.

Symetria ułatwia rozwiązywanie trudnych problemów. jesteś tutaj  373

BEREK! Teraz ty gonisz!

HEAD FIRST PRZEDSTAWIA

Poradnia pytań — „narysuj wykres” kontra „wskaż wykres” Czasami autorzy zadania proszą Cię o naszkicowanie wykresu ilustrującego zadanie czy równanie lub wskazanie właściwego spośród kilku przedstawionych na rysunkach. Zadania te mają sprawdzić, czy rozumiesz istotę problemu fizycznego .

ZAWSZE ZACZYNAJ OD WYKONANIA RYSUNKU DO ZADANIA! Nawet jeśli w poleceniu proszą Cię o narysowanie wykresu, i tak wykonaj rysunek sytuacji z zadania, żeby lepiej wyobrazić sobie, co się wtedy dzieje.

Zaznacz na rysunku ZWROT wektorów dodatnich i opisz go odpowiednio.

owo trzelona z ziemi pion ys w e aj st zo ka at Kl 2. kicuj początkową v0. Nasz w górę z prędkością wykresy zależności: a. przemieszczenia, b. prędkości, Wypisz wszystkie podane w zadaniu WARTOŚCI, które powinny znaleźć się na wykresie.

Nie musisz rysować wykresów dokładnie w tej kolejności. Najłatwiej jest narysować wykres przyspieszenia, ponieważ jest ono stałe i ma wartość –9,8 m/s2. Zacznij od niego, a pozostałe wykresy rysuj w odwrotnej kolejności.

Nie zapomnij o tym poleceniu. Brak wypisanych założeń odejmie Ci kilka punktów!

c. przyspieszenia

trzelenia ynając od chwili wys cz za u, as cz od ki at kl e momentu, gdy opadni jej w powietrze, aż do ynione cz ię. Podaj wszystkie po em zi na m te ro w po z założenia. Ten fragment polecenia mówi, jaka zmienna ma znaleźć się na osi poziomej. Ten fragment polecenia określa punkt na osi czasu, w którym powinny urywać się wykresy.

To słowo informuje Cię, że chodzi o KSZTAŁT wykresu. Nie zaznaczaj na nim żadnych innych punktów poza tymi, których wartość znasz lub które podano w zadaniu.

Jeśli w treści zadania pojawia się polecenie narysowania większej liczby wykresów, na przykład przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia, zacznij od tego, który najłatwiej narysować. Potem narysujesz pozostałe, zastanawiając się nad zależnościami między poszczególnymi wielkościami a nachyleniem wykresu.

375

Poradnia pytań — symetria i punkty szczególne Niektóre z zagadnień dotyczących ruchu ciała rozwiązuje się łatwo, ale rozwiązywanie innych wymaga dostrzeżenia symetrii układu. Symetria niejednokrotnie pozwala uprościć rozwiązanie problemu, a w sytuacjach ekstremalnych w ogóle umożliwia znalezienie odpowiedzi. Czasami będziesz musiał odnaleźć „punkty szczególne” dla danego modelu, ponieważ wiążą się z nimi cenne z punktu widzenia symetrii problemu informacje — na przykład to, że w maksymalnym punkcie toru lotu ciało wystrzelone pionowo w górę ma prędkość równą zeru, czy to, że jego szybkość jest na danej wysokości taka sama niezależnie od tego, czy ciało porusza się w górę, czy w dół (choć oczywiście wektor prędkości będzie miał przeciwny zwrot).

ZAWSZE ZACZYNAJ OD RYSUNKU UKŁADU!!

Ciało zaczyna swój ruch na tej samej WYSOKOŚCI, na której go kończy, więc jego szybkość będzie taka sama, ale zwrot wektora prędkości będzie inny.

zelona z ziemi Klatka zostaje wystr ędkością początkową pionowo w górę z pr ie swego lotu klatka v0 = 10 m/s. W czas e wysokość, a następni wznosi się na pewną licz: opada na ziemię. Ob

To forma pytania o czas trwania zjawiska. Jeżeli znasz już maksymalną wysokość lotu, możesz obliczyć czas potrzebny klatce na spadnięcie z niej, po czym podwoić wynik.

Oczywiście w tym zadaniu znasz też prędkość początkową i prędkość końcową (bo v0 = –v), więc możesz też skorzystać ze wzoru v = v0 + at.

376

ed zderzeniem z ziemią; a. prędkość klatki tuż prz aje w powietrzu; b. jak długo klatka pozost . , na jaką wzniesie się klatka c. maksymalną wysokość

Wiesz, że maksymalna wysokość jest jednym z „punktów szczególnych”. Prędkość ciała w tym punkcie wynosi zero. I wiesz, że lot w górę trwał dokładnie tyle samo czasu, ile będzie trwać lot w dół.

WYKONAJ DRUGI RYSUNEK! Ponieważ ta część zadania ma INNY PUNKT KOŃCOWY (w maksymalnym punkcie toru lotu, a nie na powierzchni ziemi), niektóre ze zmiennych będą miały inne wartości.

Tajemnica skutecznego rozwiązywania zadań polega na zachowaniu spokoju. Zacznij od wykonania szkicu układu. Zapisz trzy kluczowe równania ruchu i zaznacz na rysunku układu „punkty szczególne”. Potem przyjrzyj się zadanym warunkom, zmiennym i równaniom. Gdy zdecydujesz już, z którego równania skorzystać, przekształć je tak, by otrzymać odpowiedź.

Równania ruchu (część II) jednostki spadanie

wykres

skalar punkty szczególne

przyspieszenie

doświadczenie

Symetria czyni życie prostszym

czas

podstawienie

równania ruchu Bądź częścią problemu

równanie

wektor

stałe przyspieszenie

notacja naukowa

szybkość

droga

przemieszczenie prędkość

objętość

symetria nachylenie Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Równania ruchu

Trzy równania, za pomocą których opisujemy ruch ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem.

Symetria

W fizyce często spotyka się sytuacje, gdy zjawiska zachodzące w drugiej fazie ruchu są lustrzanym odbiciem zjawisk zachodzących w pierwszej jego fazie. Przykładem ruchu symetrycznego jest rzut pionowy, w którym ciało porusza się najpierw pionowo w górę, a następnie opada w dół.

jesteś tutaj  377

Niezbędnik fizyka

Wektory — dodatni zwrot

  

Niezbędnik fizyka Masz już za sobą rozdział 8., więc możesz dodać do swojego przybornika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające sprawdzać poprawność odpowiedzi.

Równania ruchu Trzy równania opisujące ruch ciała ze stałym przyspieszeniem

tory Gdy w zadaniu pojawiają się wek określić, isz mus k, une kier sam mające ten otem który z jego zwrotów będzie zwr dodatnim. atnie Zazwyczaj przyjmuje się, że dod ne óco zwr wartości mają wektory wartości w górę, ponieważ w ten sposób dzają się zga e resi wyk pojawiające się na ści. isto zyw rzec w z układem kierunków rowane Jeśli wszystkie wektory są skie sie spadania w dół (jak ma to miejsce w cza torów wek ciała), zdefiniuj dodatni zwrot plikacji kom z w dół. W ten sposób uniknies ych duż w rachunków pojawiającymi się ilościach znakami minus.

Nawiasy

v = v0 + at x = x0 +v0t + ½at2 v2 = v02 + 2a(x – x ) 0 Punkty szczególne

Usuwając nawiasy z zapisu równania, pamiętaj, że musisz wymnożyć każdy wyraz znajdujący się w nawiasie przez wyrazy znajdujące się poza nim: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = a2 + 2ab + b2

Którego równania użyć?

Jeśli nie jesteś pewien, którego równania ruchu powinieneś użyć, Punkty szczególne zapis z je wszystkie. Zaznacz, które pomagają uprościć problem, z wart ości zmiennych są Ci znane, a czasami ich odnalezienie który ch nie znasz i których szukasz, jest niezbędne na przyk ład w ten sposób: do rozwiązania zadania. Prędkość pionowa = 0 m/s w maksymalnym punkcie toru ruchu ciała.

Ciało może mieć też prędkość w kierunku poziomym, o czym powiemy w rozdziale 9…

378

Rozdział 8.

x

=

x 0 + v 0t + ½ a t 2

v

=

v0 + a t

v2

=

v02 + 2a (x – x0)

Symetria Czas wznoszenia się i czas opadania ciała w rzucie pionowym w górę TRWAJĄ tyle samo. Gdy ciało unosi się, a potem spada, w każdym punkcie lotu w górę porusza się z tą samą szybkością, którą ma w tym punkcie w czasie lotu w dół. Zmienia się jedynie kierunek wektora prędkości.

+&  (  ,   

Przejście w drugi wymiar Wiesz, zastanawiałem się nad tym, czy ta książka do fizyki i RZECZYWISTOŚĆ kiedykolwiek będą miały ze sobą coś wspólnego. I właśnie wtedy dostałem podręcznikiem w głowę, dokładnie między oczy…

Potrafisz już rozwiązywać jednowymiarowe problemy fizyczne. Co powiesz na to, żebyśmy zajęli się czymś bardziej życiowym? W prawdziwym życiu obiekty nie poruszają się tylko w górę i w dół, ale również na boki! Jednak nie ma powodu do niepokoju, albowiem już niedługo zyskasz nowe, trygonometryczne supermoce, dzięki którym wszędzie będziesz dostrzegał trójkąty prostokątne, a to umożliwi Ci sprowadzanie zadań wyglądających na skomplikowane do prostych problemów fizycznych, które potrafisz rozwiązać.

to jest nowy rozdział 379

Obrona zamku

Kamelot, mamy problem! Twierdza warowna Head First narażona jest na niebezpieczeństwo! Gdy ją budowano, najdłuższa drabina z oferty Bitwo-Polu mierzyła 15,0 m. Twierdzę zaprojektowano, mając na uwadze względy bezpieczeństwa, z fosą szeroką na 15,0 m i murami wysokimi również na 15 m, dzięki czemu nikt nie mógł wedrzeć się do niej za pomocą dostępnego sprzętu oblężniczego. Przez długi czas oparcie jednego końca drabiny na brzegu fosy, a drugiego na szczycie murów było po prostu niemożliwe. Koniec drabiny znajduje się daleko od szczytu muru twierdzy.

Drabina

15,0 m

Mur

15,0 m Fosa z wodą

Początek drabiny oparty został o brzeg fosy.

15,0 m

Ale czasy się zmieniają i oferta firmy Bitwo-Pol została zaktualizowana. Pojawiła się w niej między innymi drabina o długości 25,0 m. Prędzej czy później ktoś zdecyduje się zaatakować Twój zamek z użyciem najnowszego sprzętu z katalogu Bitwo-Polu. Przestarzały system zabezpieczeń nie sprawdzi się podczas oblężenia…

Nowa drabina bez przeszkód dosięgnie szczytu murów!

Mur

25,0 m Drabina Fosa

15,0 m

15,0 m

Nowa drabina

Jeśli natychmiast nie podejmiesz właściwych kroków, ktoś przyjedzie z nową drabiną i zrobi z Ciebie tosty! Pora wziąć się za projektowanie nowych zabezpieczeń!

380

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Zaostrz ołówek Poniżej wypisano kilka pomysłów na poprawienie systemu obronnego twierdzy. Korzystając z pustych okienek, zaznacz, którą z metod poprawiania systemu obronnego twierdzy uważasz za najrozsądniejszą.

Niestety, nie dysponujesz nadmiarem budulca w postaci kamieni. Jednak nie jest bardzo źle, ponieważ mieszkańcy zamku mają co jeść i posiadają łopaty. Wypisz przynamniej po jednej wadzie i jednej zalecie każdego z zaproponowanych niżej rozwiązań. Korzystając z pustych kratek widocznych po lewej stronie, zaznacz najlepszy pomysł na wzmocnienie systemu obronnego zamku.

Pokryć szczyt murów obronnych czymś śliskim. Zalety

Wady

Poszerzyć fosę. Zalety

Wady

Ratuj się, kto może!!! Zalety

Wady

Podwyższyć mury. Zalety

Wady

Na szczycie murów ustanowić punkty kontrolne BHP, w których będą się znajdowali inspektorowie nadzoru bezpieczeństwa pracy recytujący przepisy dotyczące prac wysokościowych każdemu, kto — zdobywając mur — wespnie się na wysokość większą niż 2 m nad ziemią. Ponadto można zwrócić się do wroga z prośbą o przedstawienie dokumentów z ostatniego przeglądu drabin oraz z pytaniem, czy szturmujący żołnierze na pewno zostali odpowiednio przeszkoleni w zakresie korzystania ze sprzętu oblężniczego. Warto również nalegać, żeby wspinający się na mury ludzie nosili pasy bezpieczeństwa, kaski ochronne, ochraniacze na uszy, gogle, rękawice, a także ochraniacze na palce. Zalety

Wady

jesteś tutaj  381

Potrzebujemy szerszej fosy

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Poniżej wypisano kilka pomysłów na poprawienie systemu obronnego twierdzy. Niestety, nie dysponujesz nadmiarem budulca w postaci kamieni. Jednak nie jest bardzo źle, ponieważ mieszkańcy zamku mają co jeść i posiadają łopaty. Wypisz przynamniej po jednej wadzie i jednej zalecie każdego z zaproponowanych niżej rozwiązań. Korzystając z pustych kratek widocznych po lewej stronie, zaznacz najlepszy pomysł na wzmocnienie systemu obronnego zamku.

Pokryć szczyt murów obronnych czymś śliskim. Zalety

Wady

Drabiny będą się ślizgały po murze, przez

Lepka substancja może zostać zmyta przez

co zyskamy nieco czasu.

deszcz, a poza tym przywabia stada kotów.

Poszerzyć fosę.

Rozwiązanie dobre na krótki czas.

Zalety

Wady

Dysponujemy szpadlami, więc możemy

Tak naprawdę nie wiemy, o ile należałoby

poszerzyć fosę.

poszerzyć fosę.

Dużo prościej byłoby poszerzyć fosę, niż podwyższyć mury.

Ratuj się, kto może!!! Zalety

Wady

Nie będzie nas w chwili zdobywania zamku

Wróg zdobędzie naszą twierdzę.

przez wroga.

Podwyższyć mury. Zalety

Wady

To z pewnością pomogłoby uchronić

Niestety, nie dysponujemy budulcem

twierdzę przed atakami.

potrzebnym do podniesienia murów.

Na szczycie murów ustanowić punkty kontrolne BHP, w których będą się znajdowali inspektorowie nadzoru bezpieczeństwa pracy recytujący przepisy dotyczące prac wysokościowych każdemu, kto — zdobywając mur — wespnie się na wysokość większą niż 2 m nad ziemią. Ponadto można zwrócić się do wroga z prośbą o przedstawienie dokumentów z ostatniego przeglądu drabin oraz z pytaniem, czy szturmujący żołnierze na pewno zostali odpowiednio przeszkoleni w zakresie korzystania ze sprzętu oblężniczego. Warto również nalegać, żeby wspinający się na mury ludzie nosili pasy bezpieczeństwa, kaski ochronne, ochraniacze na uszy, gogle, rękawice, a także ochraniacze na palce. Zalety

Wady

Atakujący mogliby poczuć znużenie

Wrogowie z ochraniaczami na uszach nie słyszeliby

w trakcie oblężenia.

przemów wygłaszanych przez inspektorów, więc nie przerwaliby ataku znużeni słuchaniem o nudnych przepisach BHP.

382

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Jak szeroka powinna być fosa? Okazuje się, że najlepszym sposobem na obronienie twierdzy przed napastnikami dysponującymi drabiną o długości 25,0 m jest poszerzenie fosy. Fosa ma 15,0 m szerokości — o ile metrów należy ją poszerzyć? Mógłbyś spróbować wykopać fosę o szerokości równej długości drabiny (25,0 m), dzięki czemu miałbyś pewność, że nikt nie zdoła jednego końca drabiny oprzeć na brzegu fosy, a drugiego na murach obronnych twierdzy.

Poszerzając fosę, odsuwasz dolny koniec drabiny od szczytu murów.

Odległość brzegu fosy od szczytu murów powinna być większa niż 25,0 m.

15,0 m

?m Szerokość starej fosy.

Pamiętaj jednak, że najważniejszy jest czas. Po co kopać fosę o szerokości 25,0 m, skoro węższa fosa też się sprawdzi? Tak naprawdę liczy się odległość od brzegu fosy do szczytu murów obronnych. Jeśli będzie większa niż 25,0 m, atakujący żołnierze nie będą mieli o co oprzeć swojej drabiny. Taki stan rzeczy da się osiągnąć, kopiąc fosę o szerokości mniejszej od długości drabiny. Dla ułatwienia narysujmy odpowiedni obrazek.

Zaostrz ołówek a. Narysuj obrazek przedstawiający mur o wysokości 15,0 m, drabinę o długości 25,0 m oraz poszerzoną fosę, która uniemożliwia dosięgnięcie drabiną szczytu muru. Rysunek powinien być prosty, schematyczny; poszczególne długości nie muszą odpowiadać prawdziwym długościom właściwym dla muru, drabiny i fosy.

b. Jaki kształt rozpoznajesz na swoim rysunku?

jesteś tutaj  383

Pamiętasz trójkąty?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Górny koniec drabiny nie sięga do samego szczytu murów.

a. Narysuj obrazek przedstawiający mur o wysokości 15,0 m, drabinę o długości 25,0 m oraz poszerzoną fosę, która uniemożliwia dosięgnięcie drabiną szczytu muru. Rysunek powinien być prosty, schematyczny; poszczególne długości nie muszą odpowiadać prawdziwym długościom właściwym dla muru, drabiny i fosy.

Drabina

,0 25

m

Mur 15,0 m

Fosa

Dolny koniec drabiny.

Jaka jest minimalna wymagana szerokość fosy? Szerokość fosy jest mniejsza niż 25,0 m. Poszerzenie fosy jest najszybszą i najrozsądniejszą metodą poprawiania parametrów obronnych twierdzy.

b. Jaki kształt rozpoznajesz na swoim rysunku? Na rysunku widzę trójkąt.

Wygląda trochę jak trójkąt, prawda? Szkic przedstawiający mur obronny, drabinę i fosę można zastąpić bardziej schematycznym rysunkiem trójkąta prostokątnego, z kątem prostym (czyli mierzącym 90°) znajdującym się pomiędzy bokami odpowiadającymi murowi i fosie. Znasz długości dwóch z trzech boków trójkąta, więc należałoby poznać również długość trzeciego boku. Aby to zrobić, mógłbyś zamówić drabinę o długości 25,0 m, następnie zaś oprzeć jeden jej koniec na szczycie murów, a drugi na ziemi. Musisz jednak pamiętać o ryzyku najazdu na Twój zamek — wróg może zjawić się pod Twoją twierdzą, zanim otrzymasz drabinę! Jeśli więc nie chcesz korzystać z drabiny, do wykonania niezbędnych pomiarów możesz użyć liny. Wystarczy odmierzyć i uciąć dwudziestopięciometrowy kawałek sznurka, a później jeden jego koniec przyłożyć do górnej krawędzi muru i sprawdzić, w którym miejscu drugi koniec dotknie ziemi (oczywiście lina musi być naprężona). Niestety, metoda ta, choć prostsza i szybsza od kupowania i odpowiedniego ustawiania drabiny, nie należy do najmniej pracochłonnych.

384

Rozdział 9.

Uproszczona wersja szkicu.

Drabina

25,0 m 15,0 m

Fosa

Mur

?m Musisz dowiedzieć się, jaka jest długość tego boku trójkąta.

adrat, Narysuj mały kw T KĄ żeby zaznaczyć cie. PROSTY w trójką

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Czyż nie byłoby wspaniale, gdybyśmy mogli określić minimalną wymaganą szerokość fosy, patrząc na rysunek trójkąta, bez wspinania się na mur i wykonywania wielu skomplikowanych pomiarów? Szkoda, że to tylko marzenia…

jesteś tutaj  385

Rysunki wykonane w skali

Tworzenie rysunków z zachowaniem proporcji rysowanych obiektów może okazać się pomocne Rysunek, który wykonałeś, jest tylko szkicem. Proporcje przedstawionych na nim obiektów nie zostały zachowane, mimo że opisy rysunków zawierały informacje na temat prawdziwych wymiarów ściany i drabiny. Z rysunkiem wykonanym w skali mamy do czynienia, gdy rysując, przyjmujemy, że na przykład „1 cm na rysunku odpowiada 1 m w prawdziwym świecie”. Możesz więc wykonać rysunek muru, drabiny i fosy, zastępując rzeczywiste wymiary 25,0 m i 15,0 m długościami 25,0 cm i 15,0 cm.

To jeden z kilku sposobów na określenie właściwej szerokości fosy. Sposób ten wcale nie jest najlepszy.

W pierwszej kolejności narysuj kąt prosty znajdujący się na styku muru i powierzchni wody w fosie. Następnie odmierz 15 cm i zaznacz linię muru. Teraz pora na spuszczenie drabiny z murów obronnych twierdzy i sprawdzenie, w którym miejscu jej koniec zetknie się z ziemią. Ustaw ramiona cyrkla w odległości 25 cm i od siebie… ośc gł odle w bny kla cyr ysując h podoów). a n r (r u io uc ram bie sz r z m aw od sie onuje abiny t s U cm dr wyk 25 klem, czania z r s cy opu do

Wykonywanie rysunków rozmaitych obiektów w skali jest czasochłonne. Ktoś przed nami musiał borykać się z podobnym problemem. Może istnieje jakieś przydatne równanie, którego można by użyć?

Odmierz 15 cm, żeby narysować mur.

Tu narysuj kąt prosty.

… i, wbijając ostro zakończone ramię w krawędź szczytu muru, ruchem z góry na dół narysuj linię, która przetnie się z linią gruntu. Jak widać, przedstawiona tu metoda również nie jest najwygodniejszym sposobem na znajdowanie długości odcinka…

Za pomocą cyrkla narysuj linię, która przetnie się z linią gruntu.

Wiele problemów fizycznych można rozwiązać, wykonując szkice, na których proporcje rysowanych obiektów są zachowane, niemniej metoda ta jest pracochłonna, a korzystanie z niej zabiera dużo czasu. 386

Rozdział 9.

25

cm 15 cm

? cm

Zmierz ten bok trójkąta, a następnie przeskaluj go, żeby otrzymać najmniejszą właściwą szerokość fosy.

Trójkąt utworzony przez mur, fosę i drabinę narysowany w skali.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa możemy szybko obliczać Najdłuższy bok trójkąta długości boków w trójkątach prostokątnego nazywamy przeciwprostokątną.

Jeśli nie chcesz rozwiązywać problemów fizycznych, biegając w tę i z powrotem z drabinami albo rysując obrazki z zachowaniem proporcji obiektów, których wymiary są istotne, powinieneś zapoznać się z twierdzeniem Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa to równanie, dzięki któremu, znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, możesz policzyć długość trzeciego boku. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego znajduje się naprzeciw kąta prostego (czyli największego kąta w każdym trójkącie prostokątnym) i dlatego nosi nazwę przeciwprostokątnej. Podniesiona do drugiej potęgi długość przeciwprostokątnej jest równa sumie długości pozostałych boków, również podniesionych do drugiej potęgi.

c b

Powyższa forma twierdzenia jest bardzo rozwlekła, dlatego, nazywając poszczególne boki trójkąta a, b i c (gdzie c to przeciwprostokątna), zapiszemy jego bardziej zwięzłą wersję 2

2

a

2

c =a +b

Tak naprawdę nie ma znaczenia, jakimi literami ponazywasz boki trójkąta. Zapis twierdzenia Pitagorasa podany w tej książce jest zapisem najczęściej spotykanym w polskich podręcznikach do matematyki i fizyki.

Pamiętaj, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe tylko dla trójkątów prostokątnych. Nie możesz korzystać z niego, szukając długości boków trójkątów innych niż prostokątne.

Jeśli znasz długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możesz obliczyć długość trzeciego boku.

Przeciwprostokątna leży naprzeciw największego kąta — kąta prostego.

c2 = a2 + b2

Po lewej stronie równania znajduje się długość przeciwprostokątnej, po prawej natomiast widzimy długości dwóch pozostałych boków. Twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe tylko dla trójkątów prostokątnych.

Jeśli trójkąt jest prostokątny: kwadrat przeciwprostokątnej równy jest sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, co można zapisać równaniem

c2 = a2 + b2 jesteś tutaj  387

Zwracaj uwagę na kąty proste Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Twierdzenie Pitagorasa określałaś mianem równania. Wiem również, że nieraz używa się słowa „wzór”. Jak to jest z tym nazewnictwem?

: Co miałbym zrobić w sytuacji, gdybym znał długość przeciwprostokątnej i musiał policzyć długość któregoś z dwóch pozostałych boków?

O: W gruncie rzeczy słowa „twierdzenie”, „równanie” i „wzór”

O: Wystarczy, żebyś odpowiednio przekształcił równanie

mają to samo znaczenie w tym sensie, że wszystkie opisują relacje typu „coś = coś innego”.

P

i sprowadził je do postaci, w której niewiadoma będzie stała sama po jednej z jego stron.

P

: W jaki sposób mam zapamiętać twierdzenie Pitagorasa? To znaczy, jak mam zapamiętać, po której stronie równania powinny pojawić się poszczególne litery (a, b lub c) i w jakiej kolejności należy je zapisać?

: Skąd wzięło się twierdzenie Pitagorasa? Czy nie powinniśmy udowodnić jego prawdziwości?

O: Jeśli pamiętasz sam kształt równania, nie musisz pamiętać

wykonując je, możemy poznać jakieś zasady rządzące światem i nauczyć się łatwiej rozwiązywać rozmaite problemy, zarówno te fizyczne, jak i inne.

liter. Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta niezależnie od tego, jaką literą ją nazwiesz. Przeciwprostokątna zawsze stoi po lewej stronie równania.

O: Wyprowadzanie twierdzenia ma sens tylko wtedy, gdy

Dowód twierdzenia Pitagorasa nie pomaga zrozumieć, jak działa świat, więc nie będziemy się nim zajmować w tej książce.

Natomiast po prawej stronie równania zapisuje się pozostałe boki trójkąta, podniesione do kwadratu, a następnie dodane do siebie. Możesz posłużyć się odpowiednim skojarzeniem — na stronach tej książki często zadajemy sobie pytanie, czy odpowiedź jest dobrze sKROJona, prawda? Litera „R” w słowie sKROJona odpowiada Rozmiarowi, a jak wiadomo: „Rozmiar ma znaczenie”. Stąd: najdłuższy, największy z boków trójkąta podniesiony do drugiej potęgi stoi sam po jednej ze stron równania.

Prawdopodobnie w trakcie nauki fizyki nieraz jeszcze zetkniemy się z trójkątami prostokątnymi, prawda? Na przykład linia podłoża, po którym chodzimy, jest pozioma, a siła grawitacji działa wzdłuż prostej pionowej…

Zobaczysz wiele kątów prostych na przecięciach linii poziomych i pionowych. Trójkąty prostokątne staną się jednym z Twoich najczęściej używanych narzędzi fizyka. W fizyce znajdziesz mnóstwo kątów prostych, na przykład między poziomym podłożem i pionowymi ścianami albo skierowanymi pionowo wektorami przyspieszenia istniejącymi dzięki działaniu grawitacji. Zapoznając się z niniejszym rozdziałem, bądź czujny i zwracaj uwagę na pojawiające się w nim kąty proste…

388

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Szkic + kształt + równanie = problem rozwiązany! Wróćmy do naszego zamku i drabiny z katalogu Bitwo-Polu. Narysowałeś szkic układu mur – fosa – drabina i dostrzegłeś widniejący na nim kształt trójkąta prostokątnego. Później straciłeś nieco czasu na wykonanie rysunku, na którym zachowane zostały proporcje obiektów, ostatecznie jednak odkryłeś istnienie równania Pitagorasa. Teraz wreszcie bez trudu możesz określić minimalną wymaganą szerokość fosy, a tym samym ochronić swą twierdzę przed atakiem wroga!



Drabina ,0

m

Mur

25

c

25,0 m 15,0 m

b

15,0 m

Fosa

?m

Jaka jest minimalna wymagana szerokość fosy?

Znajdź na obrazku znajome kształty (trójkątów, prostokątów itp.)

Zacznij od szkicu.

Zaostrz ołówek

a Skorzystaj z równania opisującego rozpoznany na rysunku kształt.

Rozwiąż problem!

Mur obronny twierdzy ma wysokość 15,0 m. Jak szeroka powinna być fosa oddzielająca mur od zwykłego gruntu, żeby drabina o długości 25,0 m ustawiona na brzegu fosy dotykała drugim końcem krawędzi muru?

jesteś tutaj  389

Twierdzenie Pitagorasa

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Mur obronny twierdzy ma wysokość 15,0 m. Jak szeroka powinna być fosa oddzielająca mur od zwykłego gruntu, żeby drabina o długości 25,0 m ustawiona na brzegu fosy dotykała drugim końcem krawędzi muru?

P

: W obliczeniach pojawiły się jakieś pierwiastki drugiego stopnia. Od dawna nie miałem z nimi do czynienia, więc pierwiastkowanie jest dla mnie nieco niejasne. Przypomnij mi, proszę, o co chodzi w pierwiastkowaniu.

Najpierw szkic:

Drabina

,0

m

Mur

25

15,0 m

Fosa

?m Oto co piszesz, powołując się na twierdzenie Pitagorasa.

O: Z rozdziału 3. dowiedziałeś się między innymi

tego, że podnoszenie dowolnej liczby do potęgi drugiej to nic innego, jak mnożenie jej przez samą siebie. Na przykład 32 = 3 × 3 = 9.

Wyciągając pierwiastek drugiego stopnia (√ ) z jakiejś liczby, otrzymujemy taką liczbę, którą należy podnieść do kwadratu, żeby w wyniku uzyskać liczbę, z której wyciągamy pierwiastek. Na przykład √9 = 3, ponieważ 32 = 9.

P: W wyniku obliczeń przeprowadzonych

Szukam długości a (czyli szerokości fosy). Z tw. c2 = a 2 + b 2 Pitagorasa: a2 = c2 - b2

Przekształć równanie tak, żeby otrzymać jego pożądaną postać.

a2 = (25,0 m)2 - (15,0 m)2 a2 = 400 m2 a =

400 m2 = 20,0 m

Odpowiedź brzmi: najmniejsza dopuszczalna szerokość fosy to 20,0 m.

Wartości długości zostały podane z dokładnością do trzech cyfr znaczących, więc w odpowiedzi również powinna pojawić się liczba złożona z trzech cyfr znaczących.

390

Nie istnieją

głupie pytania

Rozdział 9.

podczas rozwiązywania ostatniego ćwiczenia uzyskaliśmy komplet przyjemnie wyglądających, „okrągłych” liczb, takich jak 15,0, 20,0 i 25,0. Czy zawsze otrzymuje się tego typu wyniki, gdy prowadzi się obliczenia dla trójkątów prostokątnych?

O

: W omawianym przez nas przypadku drabina, mur i fosa tworzyły trójkąt prostokątny, dla którego stosunek boków wygląda następująco: 3:4:5. Proporcje trójkąta o bokach, których długości można opisać równaniem 32 + 42 = 52, są takie same, jak proporcje naszego trójkąta 15:20:25, co wynika z faktu, że stosunek 15:20:25 to nic innego, jak wyrażenie 3:4:5 pomnożone przez 5.

Zazwyczaj jednak wyniki obliczeń nie są tak ładnymi liczbami. Niejednokrotnie będziesz musiał zaokrąglać odpowiedzi do kilku cyfr znaczących, opierając się na tym, z jaką dokładnością podano liczby w treści zadania.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Udało Ci się powstrzymać najeźdźców! Twoi podkomendni zaczęli poszerzać fosę do 20,0 m natychmiast po tym, jak podałeś im wyniki swoich obliczeń. Pracę wykonali w zaledwie kilka godzin. Rzeczywiście, niedługo później pod murami Twojej twierdzy zjawili się żołnierze wroga. Kilku z nich postanowiło spróbować szczęścia i użyło nowej dwudziestopięciometrowej drabiny, i… wzięło niespodziewaną kąpiel!

Ale wróg okazał się być sprytny! Rozbijemy obóz na brzegu fosy i poczekamy, aż zgłodniejecie i będziecie musieli oddać nam zamek!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Zadzwonienie po pizzę tym razem nie wystarczy. Jak mógłbyś przepędzić wrogich żołnierzy, by móc zadbać o zaopatrzenie twierdzy?

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Rutynowe działanie zgodnie

z zasadą SZKIC KSZTAŁT RÓWNANIE zazwyczaj zdaje egzamin! ‹Często stykasz się z trójkątami

prostokątnymi, ponieważ podłoże, po którym chodzisz, zazwyczaj jest poziome, natomiast ściany oraz liczne wektory związane z oddziaływaniem grawitacyjnym wyznaczają kierunek pionowy.

‹Przeciwprostokątna to bok

trójkąta znajdujący się naprzeciw kąta prostego. ‹Jeśli znasz długości dwóch

boków trójkąta prostokątnego, długość trzeciego boku możesz policzyć, korzystając z równania Pitagorasa. ‹Twierdzenie Pitagorasa odnosi

się tylko do długości boków trójkątów prostokątnych!

‹Jeśli stosunek boków jakiegoś

trójkąta odpowiada proporcjom 3:4:5, to trójkąt ten na pewno jest prostokątny (twierdzenie Pitagorasa sprawdza się tylko dla trójkątów prostokątnych). ‹Jeśli nie możesz sobie

przypomnieć postaci równania Pitagorasa, pomyśl o długościach boków trójkąta i o tym, co tak naprawdę ma sens. Możesz również narysować trójkąt o bokach zadanych proporcją 3:4:5 i na podstawie rysunku wywnioskować, jak powinno brzmieć twierdzenie Pitagorasa.

jesteś tutaj  391

Armaty?

Kamelot… mamy KOLEJNY problem! Rozwiązałeś problem nowych drabin i — poszerzywszy fosę — zafundowałeś swoim wrogom nieplanowaną przez nich kąpiel. Jednak nieprzyjaciel nie dał się całkowicie zniechęcić. Rozbił obóz na brzegu fosy i postanowił poczekać, aż Tobie i Twoim ludziom zabraknie pożywienia — wtedy będziecie musieli się poddać. Mógłbyś powiedzieć, że problem głodu grożącego Twoim podwładnym Ciebie nie dotyczy… gdybyś nie utknął w otoczonej twierdzy razem z nimi.

Posiadasz armatę…

… ale stojąc na murze, nie możesz swobodnie się rozglądać ani tym bardziej celować, nie stając się jednocześnie łatwym celem dla wrogich żołnierzy.

Dobrą stroną zaistniałej sytuacji jest to, że posiadasz armatę.

.

ło zia ed

hom

uc

r Nie

Niestety, aby należycie jej użyć, trzeba nauczyć się nią celować. Co więcej, nie możesz po prostu wyjrzeć nad osłoną i odpowiednio ustawić działa, ponieważ próbując to zrobić, stałbyś się łatwym celem dla wrogich żołnierzy…

„Pachnąca nowością” fosa szeroka na 20,0 m.

Żołnierze wrogiej armii oczekujący na brzegu fosy.

Nachylenie lufy armaty można regulować.

jąc , można ysta Korz tomierzat, pod z ką wiać ką iona usta ustaw a jakimanie luf ożeniem zost ty. Poł lufy me. arma ątkowymie pozio pocz położen jest

392

Rozdział 9.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Czy byłbyś w stanie wycelować działem w obóz wrogich żołnierzy bez patrzenia na niego?

Trójkąty, trygonometria i trajektorie Franek: Nasza sytuacja jest oczywista! Siedzimy w twierdzy otoczonej przez wrogich żołnierzy i będziemy w niej siedzieć, dopóki nie zabraknie nam żywności. Bez jedzenia nie wytrzymamy zbyt długo i w końcu przyjdzie nam się poddać.

Podsumujmy wszystko, co w tym momencie już wiemy.

Kuba: Eeee… Chodziło mi o wiedzę na temat celowania działem bez możliwości ustawienia odpowiedniego kąta ostrzału na oko. Krzysiek: No tak… Znamy odległość między obozem nieprzyjaciela i naszą armatą: 25,0 m. Poznaliśmy ją, rozwiązując problem długiej drabiny oblężniczej. Franek: No pewnie! Wychodzi na to, że udało nam się jedynie opóźnić to, co jest nieuniknione. Krzysiek: Myśl pozytywnie! Tym razem też nam się uda! Znamy przecież wysokość murów oraz szerokość fosy. Nieznane sobie długości obliczyliśmy, rysując obrazek oraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Kuba: Zgadza się, wiemy wszystko na temat obliczania długości boków trójkątów prostokątnych. Jednakże w tej chwili musimy określić kąt nachylenia lufy armatniej. Przydałoby się nam coś takiego, jak „równanie Pitagorasa” dla kątów. Krzysiek: Istnieje coś takiego! Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180°! Kuba: Wiemy, że kąt prosty mierzy 90°, więc pozostałe dwa kąty w naszym trójkącie po dodaniu muszą dać 180° – 90° = 90°. To już jakiś postęp!

Suma wszystkich kątów wynosi 180°, więc suma tych dwóch kątów c musi być równa 90°.

Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180°.

b Kąt prosty mierzy 90°.

a Franek: Niezbyt duży postęp. Wiemy, jaki jest jeden z trzech kątów naszego trójkąta. Dwa pozostałe mogą mierzyć 1° i 89°, 45° i 45° albo 18,2° i 71,8°. Kuba: No właśnie. Dysponując jednym równaniem, nie da się obliczyć wartości dwóch niewiadomych. Krzysiek: Ponieważ w tej chwili rzeczywiście znamy tylko jedno pożyteczne równanie, może powinniśmy przyjrzeć się kilku różnym trójkątom prostokątnym i spróbować coś wymyślić na podstawie prowadzonych obserwacji? Franek: Jasne. Do tej pory metoda ta dobrze się sprawdzała…

jesteś tutaj  393

Kąty dopełniające się i przyległe

Nie tak szybko! Zauważ, że kąt, który chcecie obliczyć, nie leży w środku waszego trójkąta!

ału.

z ostr Kąt

25,0 m 15,0 m Mur

20,0 m Fosa

Trójkąt

Kąt, którego miarę chcesz poznać, może być TAKI SAM, jak któryś z kątów w trójkącie. Zajmując się trójkątami prostokątnymi, nierzadko zetkniesz się z kątami dopełniającymi się oraz (lub) przyległymi. Kąty dopełniające po zsumowaniu dają kąt 90°, jeśli zaś dodamy do siebie kąty przyległe, otrzymamy kąt 180°. Wiedza o obydwu rodzajach kątów przydaje się, gdy chcemy poznać miarę kąta leżącego poza trójkątem, którym się zajmujemy.

Zajmując się trójkątami prostokątnymi, zawsze staraj się dostrzegać kąty, których suma wynosi 90° lub 180°.

394

Rozdział 9.

Suma tych dwóch kątów wynosi 90°.

Suma kątów dopełniających się wynosi 90°. Kąt prosty

Nie musisz pamiętać nazw rodzajów kątów, żeby móc KORZYSTAĆ z wiedzy o nich!

Suma tych dwóch kątów wynosi 180°.

Suma kątów przyległych wynosi 180°. Ramiona kątów tworzą linię prostą.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Porównaj swój kąt z kątem w trójkącie Od tej chwili kąt ostrzału będziemy oznaczać symbolem . Symbol ten jest grecką literą „teta”. Fizycy często Szukany kąt możesz oznaczyć symbolem . oznaczają nią kąt, którego miara jest dla nich istotna. Chcesz policzyć miarę kąta ostrzału, ale kąt ten nie leży wewnątrz Twojego trójkąta. Jeśli trójkąt, którym się zajmujesz, jest trójkątem prostokątnym, zapewne dostrzeżesz wokół niego wiele kątów dających po zsumowaniu kąt 90° lub 180°. Niejednokrotnie właśnie dzięki temu będziesz w stanie określić miarę interesującego Cię kąta leżącego na zewnątrz trójkąta. Zauważ, że w omawianym przez nas przypadku kąt ostrzału i kąt znajdujący się w górnym wierzchołku trójkąta tworzą razem kąt 90°.

θ 25,0 m 15,0 m

Widzimy tu kąt prosty, więc suma miar kątów tworzących ten kąt musi wynosić 90°.

θ 25,0 m 15,0 m

20,0 m

Wszystkie trzy kąty dowolne go trójkąta po zsumowaniu dają kąt 180°. Kąt prosty to kąt o mierze 90°, więc suma mia r pozostałych dwóch kątów również musi wynosić 90°.

Hej! Czy nie powiedzieliśmy wcześniej, że suma tych dwóch kątów również daje kąt 90°?

20,0 m

θ 25,0 m

θ 20,0 m Ten kąt jest taki sam, jak kąt ostrzału, więc jego także możesz oznaczyć literą .

Kąt ostrzału jest taki sam, jak jeden z kątów znajdujących się w Twoim trójkącie. W tej chwili dysponujesz dwoma parami kątów, których suma jest kątem 90°. Pierwszą z par tworzą kąty: kąt ostrzału, czyli , oraz kąt 15,0 m znajdujący się wewnątrz górnego wierzchołka trójkąta. Na drugą parę składają się kąty z dolnego i górnego wierzchołka trójkąta. Wobec tego  i kąt leżący w lewym dolnym wierzchołku trójkąta muszą być takie same. Dlatego drugi z wymienionych tu kątów możesz nazwać tak jak pierwszy — , i zacząć rozmyślać, jaka musi być jego miara, abyś mógł oddać skuteczny strzał z armaty.

jesteś tutaj  395

Trójkąty podobne

No dobrze. Udało nam się dojść do tego, że θ, czyli kąt ostrzału, jest taki sam, jak jeden z kątów znajdujących się wewnątrz trójkąta. W takim razie odpowiedni kąt w trójkącie oznaczmy literą θ. Franek: Tak, ale co teraz?! Musimy dowiedzieć się, ile mierzy określony kąt, a znamy tylko długości boków trójkąta. Krzysiek: Cóż, jeśli nie istnieje odpowiednik twierdzenia Pitagorasa, za pomocą którego moglibyśmy obliczać miary kątów, chyba powinniśmy powrócić do koncepcji wykonywania rysunków z zachowaniem proporcji obiektów i — po wykonaniu dokładnego szkicu — zmierzyć interesujący nas kąt kątomierzem. Kuba: Sądzę, że to się może udać. Niezależnie od tego, jak duży jest trójkąt, suma miar leżących wewnątrz niego kątów zawsze wynosi 180°, można więc chyba myśleć, że miary kątów nie ulegną zmianie, jeśli tworząc rysunek naszego trójkąta w skali, odpowiednio zmniejszymy lub zwiększymy długości jego boków. Franek: Masz rację! Tak naprawdę ciągle będziemy mieli do czynienia z takim samym trójkątem!

Te kąty są sobie równe. Ten trójkąt jest zmniejszoną wersją większego

Kuba: Tu napisano, że trójkąty o takich samych kątach, lecz różniące się długościami poszczególnych, odpowiadających sobie boków nazywane są trójkątami podobnymi. Krzysiek: Stąd wynika, że wykonując rysunek trójkąta w skali, otrzymamy trójkąt podobny. Kąty w tym trójkącie będą dokładnie takie same, jak kąty oryginalnego, dużego trójkąta. Wspaniale! Franek: Ale co się stanie, jeśli oblegający twierdzę żołnierze postanowią się przemieścić? Będziemy musieli wykonać drugi rysunek w skali, a to zabiera dużo czasu.

Te kąty są sobie równe.

Obydwa kąty są kątami prostymi.

Jeśli poszczególne kąty w jednym z trójkątów są takie same jak kąty w drugim trójkącie, obydwa trójkąty nazywamy trójkątami podobnymi.

Kuba: Moglibyśmy wykonać całą tę pracę wcześniej, niejako na zapas. Moglibyśmy narysować wszystkie trójkąty prostokątne, jakie da się wymyślić, i pomierzyć w nich kąty. Krzysiek: Tak, można by zrobić odpowiednią tabelę. Wystarczyłoby później do niej zajrzeć, żeby odczytać miary kątów dowolnego trójkąta prostokątnego. Co więcej, zgromadzone informacje moglibyśmy zapisać w komputerze lub kalkulatorze, żeby maszyna za nas odnajdowała miary kątów trójkąta o określonych, podanych jej bokach. W ten sposób otrzymalibyśmy naprawdę szybki sposób uzyskiwania informacji o kątach trójkątów prostokątnych. Franek: Ale przecież niektóre z trójkątów, które musielibyśmy narysować, gdybyśmy chcieli stworzyć rysunki wszystkich trójkątów prostokątnych, byłyby naprawdę ogromne — ich boki ciągnęłyby się kilometrami! Kuba: Niekoniecznie. Przed chwilą doszliśmy do wniosku, że odpowiednie kąty w trójkątach podobnych są takie same. Na przykład: jeśli w naszej tabeli znajdzie się trójkąt o bokach równych 3, 4 i 5 cm, nie będziemy musieli wpisywać do niej informacji na temat trójkąta o bokach równych 3, 4 i 5 km albo 1500, 2000 i 2500 km. Wszystkie wymienione trójkąty są tym samym trójkątem, pomijając fakt, że różnią się nieco długościami boków. Krzysiek: Genialnie! Bierzmy się do roboty!

396

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie Poczekajcie! W jaki sposób zamierzacie wykonać tabelkę tak, żeby naprawdę dało się znaleźć w niej konkretny trójkąt?

Możesz pogrupować trójkąty ze względu na ich kształty, ale oprócz tego musisz wymyślić sposób na szybkie odszukanie interesującego Cię trójkąta, gdy zajdzie taka potrzeba. Gdy tworzy się tabelę, najlepiej byłoby skorzystać z wiedzy o trójkątach podobnych. Dzięki temu rodzina trójkątów o określonym kształcie pojawiłaby się w niej jako jeden wpis. Na przykład zamiast umieszczać w tabelce informacje o wielu różnych trójkątach, w przypadku których stosunek boków wynosi 3:4:5, wystarczyłoby dokonać tylko jednego wpisu. Rodzi się jednak pytanie, w jaki sposób najlepiej byłoby umieścić dane w tabeli albo stworzyć do niej indeks. Jak zamierzasz w razie potrzeby odnaleźć konkretny trójkąt w tabeli? Prawdziwą trudnością jest to, że ktoś może chcieć odnaleźć w tabeli informacje na temat trójkąta o dowolnych WYMIARACH albo PRZESKALOWANEGO względem trójkąta z tabelki. W jaki sposób należałoby szukać odpowiedniego wiersza, w którym zawarte byłyby dane dotyczące trójkąta o określonym KSZTAŁCIE?

Kształt trójkąta

Kąt θ [°]

Drugi kąt [°]

24,6

65,4

40,6

49,4

18,5

71,5

TU ę klasyfikowania KSZTAŁ Musisz wymyślić metod może opierać się na wiedzy nie ta a trójkąta. Metod ch kątów w trójkącie, o miarach poszczególny właśnie po to, żeby móc elę ponieważ tworzysz tab ne sobie miary kątów! z niej odczytywać niezna

Po odszukaniu w tabeli trójkąta o kształcie odpowiadającym kształtowi Twojego trójkąta możesz odczytać miary jego kątów.

Miary kątów podane w przykładowej tabelce zostały podane z dokładnością do trzech miejsc znaczących. Jednak może się okazać, że w kompletnej tabeli powinny pojawić się liczby zapisane w mniej wygodnej postaci, za pomocą większej liczby cyfr znaczących.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W jaki sposób mógłbyś pogrupować kształty w przygotowywanej przez siebie tabeli?

jesteś tutaj  397

Proporcje i trójkąty podobne

Powiększając lub zmniejszając dowolny trójkąt, tworzysz trójkąt do niego podobny. Na przykład na rysunku przedstawiającym jakiś trójkąt w pomniejszeniu widzimy tak naprawdę trójkąt podobny do oryginalnego, dużego. Trójkąty podobne różnią się od siebie długościami poszczególnych boków, ale już stosunki długości określonych boków są dla nich dokładnie takie same. Aby móc policzyć te ilorazy, musisz wiedzieć, jak nazywają się poszczególne boki trójkąta, a także odpowiednio je oznaczyć, aby każdy, kto będzie sprawdzał Twoje obliczenia, wiedział, co chciałeś powiedzieć, zapisując konkretne wzory.

(przeciwprostokątna)

Kąt, który Cię interesuje.

c

a

(przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta mierzonego)

Możesz pogrupować trójkąty podobne ze względu na stosunki długości ich boków

b (przyprostokątna leżąca przy kącie mierzonym)

Przeciwprostokątną oznaczmy literą c. Bok znajdujący się naprzeciwko interesującego Cię kąta nosi nazwę przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta mierzonego. Oznaczmy ten bok literą a. Trzeci z boków określa się mianem przyprostokątnej leżącej przy kącie mierzonym. Ten bok oznaczmy literą b. Stosunkiem (lub ilorazem) długości dwóch boków trójkąta nazywamy wynik podzielenia długości jednego z boków przez długość drugiego boku. Każdy trójkąt ma trzy boki i dla każdego trójkąta prostokątnego wyróżniamy trzy stosunki długości boków: sinus (wymawia się „sinus”), cosinus (wymawia się „kosinus”),

Naucz się nazw poszczególnych boków; pamiętaj, aby rozwiązując zadanie, konsekwentnie korzystać z raz przyjętych oznaczeń boków.

Ten napis należy czytać jako „sinus teta”.

&θ'

STOSUNKI określonych BOKÓW są takie same dla trójkątów podobnych. Wyróżniamy następujące STOSUNKI BOKÓW w trójkątach prostokątnych: sinus, cosinus i tangens. 398

Rozdział 9.

c



a

STOSUNKIEM DŁUGOŚCI dwóch boków trójkąta nazywamy wynik podzielenia długości jednego z boków przez długość drugiego boku.

&θ'

tangens (wymawia się „tangens”). W równaniach nazwy te pojawiają się w postaci skrótów: sinus zapisuje się jako „sin”, cosinus zapisuje się jako „cos”, natomiast tangens zapisuje się jako „tg”.



 

W tej chwili nie staraj się za wszelką cenę zapamiętać nazw poszczególnych ilorazów.

3&θ'

c

b

 

nas Nazwę interesującego iasie, naw kąta zapisujemy w razu który pojawia się od po nazwie ilorazu.

a

b

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Sinus, cosinus i tangens zawierają relacje między długościami boków i miarami poszczególnych kątów w trójkątach prostokątnych Ilorazy sinus, cosinus i tangens są rozwiązaniem problemu grupowania trójkątów podobnych w komórkach tabeli, o której wcześniej była mowa. Załóżmy, że mamy dwa trójkąty podobne. Długości boków pierwszego z nich to 3, 4 i 5 cm, a drugiego 15,0, 20,0, 25,0 m. Ponieważ trójkąty są do siebie podobne, każdy kąt pierwszego z trójkątów musi mieć swój odpowiednik w drugim trójkącie. Mimo że długości boków pierwszego trójkąta nie są takie same, jak długości boków drugiego trójkąta, stosunki długości odpowiednich boków policzone dla obydwu trójkątów są sobie równe. Stosunek długości dwóch krótszych boków obliczony dla pierwszego z trójkątów wynosi tan() = 43 = 0,75. Ten sam stosunek policzony dla 15 = 0,75. drugiego trójkąta to tan() = 20

25,0 m 15,0 m

20,0 m To są trójkąty podobne. Pierwszy z trójkątów zawiera 5 cm dokładnie takie same kąty jak drugi.

Stosunki odpowiednich boków obliczone dla każdego z trójkątów są sobie równe.

3 cm

4 cm

jesteś tutaj  399

Ćwiczenie

Przyjmijmy następujące oznaczenia dla boków trójkątów: a — przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta mierzonego, b — przyprostokątna leżąca przy kącie mierzonym, c — przeciwprostokątna. Wypełnij puste komórki tabeli. Brakujące długości boków oblicz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa (obliczenia zapisz na pustym kawałku strony widocznym pod tabelą). Kątem mierzonym, czyli tym, który nas interesuje, jest kąt .

Ćwiczenie

Trójkąt a

,6

46

sin()

m

24 a = 46,6 c

24 m

cos()

tg()

= 0.515

40 m 20 cm

b

9 cm 2,60 cm

c 2,72

d

48 m

cm

56 m

Wypełniając puste komórki tabeli, korzystaj z definicji sinusa, cosinusa i tangensa podanych na poprzednich stronach.

Aktualnie w tabeli znajduje się miejsce tylko na odpowiednie stosunki długości boków trójkątów. Ostateczna wersja tabeli będzie zawierała także miary kątów opisanych ilorazami sinus, cosinus i tangens — znając STOSUNEK DŁUGOŚCI dwóch boków trójkąta, będzie można odczytać miarę interesującego nas kąta i vice versa.

Puste miejsce, z którego powinieneś skorzystać podczas obliczania z twierdzenia Pitagorasa brakujących długości boków trójkątów.

400

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Przyjmijmy następujące oznaczenia dla boków trójkątów: a — przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta mierzonego, b — przyprostokątna leżąca przy kącie mierzonym, c — przeciwprostokątna. Wypełnij puste komórki tabeli. Brakujące długości boków oblicz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa (obliczenia zapisz na pustym kawałku strony widocznym pod tabelą). Kątem mierzonym, czyli tym, który nas interesuje, jest kąt .

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Trójkąt ,6m

a

24m

46

c

sin()

cos()

tg()

a

24 a = 46,6 c

= 0,515

40 b = 46,6 c

= 0,858

a = b

24 40

= 0,600

9cm

9 a = 21,9 c

= 0,411

20 b = 21,9 c

= 0,913

a = b

9 20

= 0,45

c

0,80 a = 2,72 c

= 0,294

2,60 b = 2,72 c

= 0,956

0,80 a = 2,60 b

= 0,308

48 56

= 0,857

28,8 b = 56 c

= 0,514

40m b b 20cm

b

c

21,

a

9cm

d

0,80cm

c

b 2,60cm a

m 2,72c

48m a

56m c

a = c

48 a = = 1,67 28,8 b

b 28.8m długość Te ilorazy nie mają jednostki, ponieważ to długość wielkość bezwymiarowa.

Tw. Pitagorasa: c2 = a2 + b2 Trójkąt b:

c2 = (20 cm)2 + (9 cm)2 c = 481 cm2 ≈ 21,9 cm

Trójkąt c:

a 2 = c2 - b2 a2 = (2,72 cm)2 - (2,60 cm)2 a = 0,6384 cm2 ≈ 0,80 cm

Trójkąt d:

b 2 = c2 - a2 b2 = (56 m)2 - (48 m)2 b = 832 m2 ≈ 28,8 m

Nie zapominaj o jednostkach! Niektóre długości zostały podane w m, a inne w cm.

Stosunki długości odpowiednich boków (sinus, cosinus i tangens) są zawsze takie same dla trójkątów podobnych. jesteś tutaj  401

Sinus bez tajemnic

Sinus bez tajemnic Wywiad tygodnia:

sinus jest mocarzem! Dziennikarz: Witaj, sinusie! Powiedz, proszę, kim jesteś? Czy to twoje imię zapisuje się jako „sin”?

Dziennikarz: Szczerze mówiąc, nie do końca rozumiem, do czego może się to przydać.

sinus: Jestem funkcją trygonometryczną. Tak, niekiedy opisuje się mnie skrótem „sin”.

sinus: No cóż… jeśli na przykład wiesz, jaka jest długość boku trójkąta leżącego naprzeciw kąta, którego miarę znasz, możesz przekształcić przytoczone równanie i policzyć długość przeciwprostokątnej. Jeśli zaś znasz miarę kąta i długość przeciwprostokątnej, możesz policzyć długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta.

Dziennikarz: Eee… trygono… czym? sinus: Funkcją trygonometryczną. Słowo „trygonometryczna” oznacza, że pomagam ludziom radzić sobie z trójkątami. Ponadto jestem funkcją, czyli jeśli dasz mi jakąś liczbę, ja dam ci w zamian inną. Dziennikarz: Wybacz, ale nie rozumiem. Dlaczego miałbym chcieć wymieniać się z tobą liczbami? sinus: Cóż, ty mi podajesz miarę kąta z trójkąta prostokątnego, a ja informuję cię, jaki jest stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta mierzonego do długości przeciwprostokątnej. Dziennikarz: Taa… Nie wiem, po co miałbym to robić, ale niech ci będzie… sinus: Jestem brakującym ogniwem! Łączę to, co wiesz o długościach boków trójkąta, z wiedzą na temat miar jego kątów. Dziennikarz: Hmm… No i co z tego? sinus: Trójkąty prostokątne i kąty są bardzo ważne w fizyce. Prawdę mówiąc, jestem jednym z najprzydatniejszych narzędzi fizyka! Dziennikarz: Czyli ludzie, którzy cię nie znają, nie będą w stanie poradzić sobie z większością materiału zawartego w dalszej części tej książki, tak? sinus: Właśnie! Dziennikarz: Rzeczywiście, wydajesz się być bardzo ważny. Czy możesz jeszcze raz opowiedzieć o tym, jak działasz? sinus: Podajesz mi miarę kąta (najprawdopodobniej będącego jednym z kątów w trójkącie prostokątnym), a ja zwracam liczbę — stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta mierzonego do długości przeciwprostokątnej. Wygląda to tak:



os

pr



rz

c

402

iw ec

Rozdział 9.

(p

a (przypr. leżąca naprzeciw k.m.)

&θ'

)

na

ąt

k to

Dziennikarz: A co, jeśli znam długość przyprostokątnej leżącej przy interesującym mnie kącie i jeszcze długość któregoś z dwóch pozostałych boków? Czy powinienem posłużyć się twierdzeniem Pitagorasa w celu obliczenia brakującej długości boku trójkąta po to, by później móc skorzystać z twojej pomocy? sinus: Niekoniecznie. W sytuacjach takich jak ta, którą tu opisałeś, możesz zwrócić się do moich krewnych: cosinusa i tangensa. Dziennikarz: A jakie są ich umiejętności? sinus: Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie mierzonym do długości przeciwprostokątnej. Natomiast tangens jest ilorazem długości dwóch przyprostokątnych: leżącej naprzeciw kąta mierzonego i znajdującej się przy kącie mierzonym. Dziennikarz: Z tego, co mówisz, wynika, że ty i twoi krewni wyczerpujecie wszystkie możliwe kombinacje ilorazów długości boków w trójkącie. Jeśli tylko będę znał miarę jednego z dwóch kątów ostrych w trójkącie prostokątnym i długość dowolnego boku, to korzystając z waszej pomocy, bez trudu zdołam policzyć długość któregokolwiek z pozostałych boków. Wspaniale! Ale co powinienem zrobić, jeśli nie będę znał miary żadnego z kątów ostrych? Czy dacie radę znaleźć dla mnie miary kątów ostrych w trójkącie prostokątnym? sinus: Chodzi ci o działanie polegające na obliczaniu miar kątów w trójkącie, którego długości boków są znane? Dziennikarz: Właśnie. Kilku facetów zamkniętych w twierdzy warownej próbowało rozwiązać podobny problem tuż przed tym, jak weszliśmy na antenę. sinus: Żeby móc wykonać takie działanie, musiałbyś posłużyć się funkcją odwrotną do mnie. Ona patrzy na tabelę z miarami kątów i długościami boków trójkąta inaczej niż ja. Innymi słowy, podawszy funkcji odwrotnej stosunek odpowiednich boków, w zamian otrzymasz odpowiadającą mu miarę kąta. Dziennikarz: Wszystko, o czym powiedziałeś, wydaje się być bardzo użyteczne. Dziękuję, sinusie, naprawdę urosłeś w moich oczach.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego korzysta się z trzech różnych stosunków długości boków trójkąta? Dlaczego na przykład nie korzysta się z jednego, dwóch albo pięciu lub sześciu?

O: Załóżmy, że znasz długości tylko dwóch boków trójkąta

prostokątnego i chcesz policzyć miarę jednego ze znajdujących się w nim kątów ostrych. Gdyby Twoja tabelka zawierała wyniki zaledwie jednego lub dwóch ilorazów długości boków trójkąta, przed policzeniem odpowiedniego ilorazu i znalezieniem w niej miary interesującego Cię kąta, musiałbyś za pomocą twierdzenia Pitagorasa obliczać długość trzeciego boku. Trzy ilorazy dają wszystkie możliwe kombinacje dobierania par ze zbioru trzech boków trójkąta.

P

: Obiło mi się o uszy, że tangens ma coś wspólnego z nachyleniem krzywej w układzie współrzędnych. Czy to prawda?

O

: Zgadza się! Bardzo dobra uwaga! Wzór na tangens tg(θ) jest analogiczny do wzoru na „nachylenie krzywej”, czyli nachylenie linii stycznej do krzywej w danym punkcie. Nachyleniami linii w układzie współrzędnych zajmowałeś się w trakcie zapoznawania się z treścią rozdziału 7.

w pionie

Nachylenie

P

w poziomie

w pionie

: Ale dlaczego nie korzystamy z pięciu lub sześciu ilorazów? Na przykład można podzielić przeciwprostokątną przez przyprostokątną leżącą przy kącie mierzonym.

O: Istnieją inne stosunki długości boków trójkąta prostokątnego

niż te, które opisałam. Mają one nawet swoje nazwy, lecz nie warto się nimi teraz zajmować. Najprawdopodobniej nigdy nie będziesz musiał z nich korzystać w trakcie nauki matematyki i fizyki (no, może z wyjątkiem cotangensa, który jest tylko ilorazem odwrotnym do tangensa).

w poziomie

Funkcje

3&θ'

trygonometryczne

 ci

ze

 c

sinus, cosinus i tangens

t

os

r (p

r wp

a (przypr. leżąca naprzeciw k.m.)

a)

tn

ą ok

b (przypr. leżąca przy k.m.)

łączą długości boków w trójkącie prostokątnym z miarami kątów ostrych znajdujących się w tym trójkącie. Po wstawieniu do funkcji liczby otrzymuje się inną liczbę. Przykładem może być funkcja sinus, która miarę kąta zamienia na wynik ilorazu długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta mierzonego i długości przeciwprostokątnej.

P

: Załóżmy, że policzę stosunek długości dwóch boków trójkąta prostokątnego (sinus, cosinus albo tangens). W jaki sposób mogę znaleźć kąt odpowiadający otrzymanej liczbie?

O: Twoje pytanie jest identyczne z problemem wyznaczania

kąta, pod jakim należy prowadzić ostrzał obozu wrogich żołnierzy, w oparciu o wynik ilorazu długości dwóch boków trójkąta utworzonego przez fosę i mur obronny. Za chwilę wszystko się wyjaśni…

jesteś tutaj  403

Korzystaj z kalkulatora

Niektóre kalkulatory mają wbudowane tablice sin(θ), cos(θ) i tg(θ) Twój kalkulator najprawdopodobniej ma wbudowaną tablicę podobną do tabelki, którą wcześniej wypełniłeś i w której znalazły się wartości stosunków długości odpowiednich boków trójkątów prostokątnych. Jeśli chcesz za pomocą kalkulatora obliczyć wartość funkcji trygonometrycznej dla określonego kąta, skorzystaj z klawisza opisanego jako sin(), cos() lub tan() (w większości kalkulatorów tangens oznaczany jest właśnie jako „tan()”, a nie „tg()”). Nazwy funkcji trygonometrycznych drukowane są zazwyczaj na przyciskach kalkulatorów. Ażeby znaleźć miarę kąta odpowiadającego określonemu stosunkowi długości boków trójkąta, należy skorzystać z funkcji odwrotnej do funkcji trygonometrycznej sinus, cosinus lub tangens. Symboli opisujących funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych należy szukać zazwyczaj tuż nad przyciskami funkcji trygonometrycznych. Z opcji funkcji odwrotnych korzysta się, wciskając najpierw przycisk „shift” lub „2nd fn”, a następnie odpowiedni przycisk funkcji trygonometrycznej. Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych oznaczane są symbolami „sin-1”, „cos-1” oraz „tg-1” (w kalkulatorach najczęściej „tan-1”). Ta dziwna konwencja przypomina notację naukową, ale nią nie jest. Musisz przyzwyczaić się do tego, że właśnie w taki mylący sposób opisuje się funkcje odwrotne.

Symbole funkcji odwrotnych zostały nadrukowane nad przyciskami.

Niekiedy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych nazywane są „arcus sinusem”, „arcus cosinusem” oraz „arcus tangensem”. Skróty tych nazw to: arc sin, arc cos i arc tg (w kalkulatorach zazwyczaj asin, acos i atan). Koniecznie sprawdź, jak funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych zostały opisane w Twoim kalkulatorze!

Symbole funkcji trygonometrycznych zostały nadrukowane na przyciskach.

Do czego służy ten śmieszny przycisk odpowiedzialny za wyświetlanie słów „deg”, „rad” i „grad”? Odnoszę wrażenie, że jest on ważny, ale nie mam pojęcia, jak się go używa.

Pamiętaj, że Twój kalkulator powinien być przełączony w tryb obsługi stopni (degrees)! Jeżeli Ty i Twój kalkulator zaczniecie mówić różnymi językami, nie będziecie w stanie się porozumieć. Kąty można mierzyć na kilka odmiennych sposobów. Pamiętaj, że Twój kalkulator powinien pracować w trybie obsługi stopni (degrees). W większości kalkulatorów naukowych znajdziesz przycisk podpisany jako „deg” lub „° ”. Służy on do przełączania trybu pracy kalkulatora. Poświęć nieco czasu na zabawę swoim kalkulatorem. Zorientuj się, w jakiej kolejności należy wciskać jego przyciski, aby uzyskać pożądany efekt. W większości kalkulatorów najpierw wpisuje się liczbę, a dopiero później wciska przycisk funkcji, której wartość chce się poznać, istnieją jednak kalkulatory (zazwyczaj są nieco droższe od tych najpopularniejszych) umożliwiające wykonywanie operacji matematycznych w takiej kolejności, w jakiej zapisywałoby się je na kartce papieru. Przed przystąpieniem do wyznaczania kąta ostrzału wrogiego obozowiska upewnij się, że wiesz, jak działa Twój kalkulator.

404

Rozdział 9.

Naucz się posługiwać swoim kalkulatorem. Upewnij się, że wiesz, w jakiej kolejności trzeba wciskać jego przyciski, aby uzyskać pożądany efekt! Jeśli zastosujesz się do tej rady, kalkulator będzie robił dokładnie to, co mu nakażesz.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Ćwiczenie

Poniżej znajdziesz tabelę, którą zacząłeś wypełniać na stronach 400 i 401. Jest ona podobna do tablic znajdujących się w Twoim kalkulatorze. Zanim zabierzesz się za obliczanie kąta ostrzału obozu wrogich żołnierzy, powinieneś poćwiczyć przechodzenie od długości boków trójkątów do miar kątów ostrych znajdujących się w tych trójkątach i na odwrót. W tabeli zawarte są informacje dotyczące długości niektórych boków (obliczone przez Ciebie brakujące długości nie zostały przepisane). Twoim zadaniem jest znalezienie miary kąta θ w oparciu o wartość stosunku długości dwóch boków trójkąta prostokątnego. Tym razem jednak, zamiast korzystać z twierdzenia Pitagorasa, dla każdego z trójkątów musisz wybrać funkcję trygonometryczną sin(θ), cos(θ) lub tg(θ)) pasującą do zestawu danych, którymi dysponujesz. Gdy już uporasz się z określaniem miary kąta θ dla każdego z trójkątów, postaraj się wymyślić metodę szybkiego obliczania miary kąta β.

y Użyliśmy tu jeszcze jednej liter greckiej — β (beta). Oznaczyliśmy nią drugi z kątów ostrych w trójkątach.

sin(θ)

cos(θ)

tg(θ)

Kąt θ [°]

24 m

0,515

0,858

0,6

31,0

9 cm

0,411

0,913

0,45

0,294

0,956

0,308

0,857

0,514

1,67

Trójkąt ,6

46

a

Kąt β [°]

m

40 m 20 cm

b

2,60 cm

c cm 2,72

d

48 m

56 m

Trójkąt a: można skorzystać z długości dowolnych dwóch boków trójkąta. Korzystam z funkcji tangens oraz długości obydwu przyprostokątnych. θ = tan-1(0,6) = 31,0°

Jeśli nie bardzo wiesz, jak masz używać swego kalkulatora, spróbuj wykonać za jego pomocą obliczenia z przykładu. Zorientuj się, które przyciski musisz wciskać (i w jakiej kolejności), żeby uzyskać ten sam wynik.

jesteś tutaj  405

Wykorzystaj odpowiednie ilorazy

Poniżej znajdziesz tabelę, którą zacząłeś wypełniać na stronach 400 i 401. W tabeli zawarte są informacje dotyczące długości niektórych boków (obliczone przez Ciebie brakujące

Ćwiczenie: długości nie zostały przepisane). Twoim zadaniem jest znalezienie miary kąta θ w oparciu o wartość Rozwiązanie stosunku długości dwóch boków trójkąta prostokątnego. Tym razem jednak, zamiast korzystać z twierdzenia Pitagorasa, dla każdego z trójkątów musisz wybrać funkcję trygonometryczną sin(θ), cos(θ) lub tg(θ)) pasującą do zestawu danych, którymi dysponujesz.

Gdy już uporasz się z określaniem miary kąta θ dla każdego z trójkątów, postaraj się wymyślić metodę szybkiego obliczania miary kąta β.

sin(θ)

cos(θ)

tg(θ)

Kąt θ [°]

Kąt β [°]

24 m

0,515

0,858

0,6

31,0

59,0

9 cm

0,411

0,913

0,45

24,2

65,8

0,294

0,956

0,308

17,1

72,9

0,857

0,514

1,67

59,0

31,0

Trójkąt ,6

46

a

m

40 m 20 cm

b

2,60 cm

c cm 2,72

d

48 m

56 m

Sposób na niezbyt szybkie obliczanie miary β: wyznaczanie Korzystam z funkcji tangens oraz długości obydwu przyprostokątnych. sinusa, cosinusa lub tangensa β. θ = tan-1(0,6) = 31,0° Trójkąt c: θ = cos-1(0,956) ≈ 17,1° Sposób na szybkie obliczanie miary β: -1 -1 Trójkąt b: θ = tan (0,45) ≈ 24,2° Trójkąt d: θ = sin (0,857) = 59,0° θ + β = 90°.

Trójkąt a: można skorzystać z długości dowolnych dwóch boków trójkąta.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Podczas uczenia się obsługi

kalkulatora wykonałem za jego pomocą działanie sin-1 (jakaś liczba). Zamiast otrzymać wynik będący miarą kąta, zostałem poinformowany o jakimś błędzie. Dlaczego tak się stało?

406

Rozdział 9.

O

: To dobrze, że znalazłeś nieco czasu, żeby poćwiczyć prowadzenie obliczeń z użyciem swojego kalkulatora. Ponieważ przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem w każdym trójkącie prostokątnym, długość któregokolwiek z dwóch pozostałych boków podzielona przez długość przeciwprostokątnej musi być liczbą mniejszą od 1. Jeśli więc próbowałeś podać funkcji sin-1 liczbę większą od 1, wyszedłeś poza przedział wartości dopuszczalnych dla funkcji sinus zapisanych w naszej tabeli (a także w tablicach kalkulatora) i zostałeś o tym poinformowany za pomocą komunikatu o wystąpieniu błędu w obliczeniach.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Wracamy do twierdzy — los zamkniętych w niej ludzi spoczywa w Twoich rękach! Okazuje się, że sytuacja w twierdzy nie jest najlepsza. Właśnie skończyły się zapasy żywności i morale Twoich ludzi jest bardzo niskie.

Dzięki zainstalowanemu kątomierzowi możesz celować działem bez patrzenia bezpośrednio na obiekt, w który chcesz trafić kulą.

θ

Kończy nam się czas. Musimy natychmiast znaleźć sposób na wycelowanie w obóz wrogich żołnierzy, aby zmusić ich do ucieczki.

Kąt θ to kąt zawarty między linią poziomą a linią łączącą lufę armatnią z obozem wroga.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus oraz tangens, możesz obliczać miary kątów w trójkątach prostokątnych w oparciu o długości ich boków i vice versa.

Tak sformułowane zadanie mogłoby pojawić się na egzaminie z fizyki.

Zaostrz ołówek Na szczycie muru obleganej twierdzy ustawiono armatę. Jaki kąt będzie tworzyć lufa armaty z linią poziomą, jeśli zostanie wycelowana prosto w obóz żołnierzy oblegających twierdzę? Obóz został rozbity na brzegu fosy o szerokości 20,0 m, mierząc od muru obronnego. Wysokość muru wynosi 15,0 m.

jesteś tutaj  407

Trójkąty prostokątne

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Na szczycie muru obleganej twierdzy ustawiono armatę. Jaki kąt będzie tworzyć lufa armaty z linią poziomą, jeśli zostanie wycelowana prosto w obóz żołnierzy oblegających twierdzę? Obóz został rozbity na brzegu fosy o szerokości 20,0 m, mierząc od muru obronnego. Wysokość muru wynosi 15,0 m.

Kąt ostrzału jest tym samym kątem, co kąt θ w trójkącie. tg(θ) =

15,0 a = = 0,75 20,0 b

Kąt rzału ost

Ta długość nie została podana w treści zadania, ale obliczyłeś ją wcześniej.

,0

Korzystam z funkcji tan-1 kalkulatora, aby sprawdzić odpowiednie wartości w jego wbudowanych tablicach. θ = tan-1(0,75) ≈ 36,9°

Jeśli chcemy działo wycelować dokładnie w obóz wrogich żołnierzy, jego lufa musi tworzyć z linią poziomą kąt 36,9°

m

25

15,0 m Mur 36,9°

20,0 m Fosa Pamiętaj o tym, żeby odpowied nio SFORMUŁOWAĆ odpowiedź, poni powinna być ona czymś więcej eważ niż tylko liczbą.

Możesz wiedzieć wszystko!* Znając długość jednego z boków trójkąta prostokątnego oraz długość drugiego boku lub miarę jednego z kątów ostrych znajdujących się w tym trójkącie, jesteś w stanie, dzięki swoim nowo nabytym supermocom, policzyć wszystkie brakujące długości boków i miary kątów właściwe dla danego trójkąta. Od tej pory w książce tej często zaczną pojawiać się trójkąty prostokątne, ponieważ podłoże, po którym chodzimy, zazwyczaj jest poziome, a siła grawitacji działa pionowo, czyli pod kątem prostym do płaszczyzny podłoża. * No, może nie wszystko o wszystkim, ale na pewno wszystko na temat trójkątów prostokątnych!

408

Rozdział 9.

Jeśli znasz DŁUGOŚĆ JEDNEGO Z BOKÓW trójkąta prostokątnego oraz DŁUGOŚĆ DRUGIEGO BOKU lub MIARĘ JEDNEGO Z KĄTÓW OSTRYCH znajdujących się w tym trójkącie, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa oraz funkcji sinus, cosinus i tangens, możesz policzyć WSZYSTKIE brakujące długości boków i miary kątów trójkąta.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Czy Twoja odpowiedź jest dobrze sKROJona? Pamiętaj, że otrzymawszy odpowiedź na pytanie zadane w treści rozwiązywanego przez siebie zadania, powinieneś ją sprawdzić. Czy odpowiedź pasuje do „kontekstu” problemu? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przypomnij sobie duży obrazek, który widziałeś przed przystąpieniem do rozwiązywania zdania. Czy „rozmiar” odpowiedzi jest wiarygodny (czy otrzymana liczba nie przeczy rozsądkowi)? A co z obliczeniami? Czy pamiętałeś o jednostkach?

Jeśli sam sprawdziłeś poprawność swojej odpowiedzi zaraz po jej otrzymaniu — gratuluję!

Zaostrz ołówek Wypełnij formularz, aby przekonać się, czy Twoja odpowiedź jest dobrze sKROJona. Pamiętaj o kontekście problemu i o tym, jak brzmiało pytanie, na które starałeś się odpowiedzieć!

K R O J

KONTEKST

ROZMIAR

OBLICZENIA

JEDNOSTKI

jesteś tutaj  409

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Wypełnij formularz, aby przekonać się, czy Twoja odpowiedź jest dobrze sKROJona. Pamiętaj o kontekście problemu i o tym, jak brzmiało pytanie, na które starałeś się odpowiedzieć!

K R O J

KONTEKST Działo stojące na murze obronnym twierdzy warownej wystrzeliwuje kulę armatnią, która leci po prostej linii będącej przeciwprostokątną trójkąta prostokąt… moment… O NIE! ZAPOMNIELIŚMY O GRAWITACJI!

ROZMIAR

To BARDZO dobra metoda spr czy miara znalezionego kąta awdzania, mieścić w rozsądnym zakresiwydaje się e liczbowym.

Wydaje mi się, że kąt powinien być mniejszy niż 45°, ponieważ leży naprzeciw najkrótszego z boków trójkąta. Wartość 36,9° wydaje się być rozsądna — najkrótszy bok trójkąta jest niewiele krótszy od dwóch pozostałych, podobnie jak obliczony kąt jest niewiele mniejszy od kąta mierzącego 45°.

OBLICZENIA Wydaje się, że obliczenia zostały przeprowadzone właściwie. Przekształciłem odpowiednie równanie i skorzystałem z odpowiedniej funkcji kalkulatora (na pewno nie pomyliłem się podczas wciskania przycisków kalkulatora).

JEDNOSTKI Pamiętałem o jednostkach. W wyniku obliczeń dostałem kąt mierzony w stopniach.

Zanim na dobre zabierzesz się do rozwiązywania zadania, zastanów się: „Czy aby na pewno odpowiadam na pytanie, które mi zadano?”. Można zaoszczędzić dużo czasu, jeśli zrobi się to PRZED wykonaniem wszystkich obliczeń.

410

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Ojej, jeszcze grawitacja… Wszyscy zapomnieliśmy o grawitacji! Założyliśmy, że kula armatnia poleci po prostej linii, podobnie jak prostą linię wyznaczała drabina przystawiona do muru. Mimo że znalezione przez Ciebie rozwiązanie problemu okazało się być wiarygodną liczbą i mieć właściwą jednostkę, mimo że na pewno nie pomyliłeś się, wykonując obliczenia, odpowiedź, której udzieliłeś, nie jest poprawna, ponieważ tak naprawdę nie jest odpowiedzią na zadane pytanie. Grawitacja sprawia, że obiekty takie jak piłki tenisowe czy do siatkówki poruszają się w powietrzu po liniach krzywych. Zasada ta obowiązuje również dla wystrzelonej z działa kuli armatniej, której grawitacja nadaje przyspieszenie skierowane pionowo do dołu.

BĄDŹ kulą armatnią Twoim zadaniem jest wyobrazić sobie, że zmieniłeś się w kulę armatnią. Jakie czynniki wpływają na zmianę kierunku Twego lotu, gdy swobodnie przemieszczasz się w powietrzu? Od czego zależy to, jak bardzo Twój tor lotu różni się od linii prostej?

Hmm…? Dlaczego spędziliśmy tyle czasu, zajmując się trójkątami, skoro nie mieliśmy szans na rozwiązanie zadania w ten sposób?!

Rozwiązywanie nie tego problemu, który należy rozwiązać, jest bardzo często popełnianym błędem. Sytuacje takie jak ta, do której dopuściliśmy w tym rozdziale, zdarzają się dużo częściej, niż Ci się wydaje! Zadanie z drabiną udało się rozwiązać, korzystając z wiedzy o trójkątach, dlatego chłopcy założyli, że z nowym problemem można poradzić sobie w ten sam sposób. Niestety, nie poświęcili ani chwili na sprawdzenie, czy sprawdzona metoda rozwiązywania zadań jednego typu nadaje się również do rozwiązywania problemów innego rodzaju.

Kula armatnia nie ma nic wspólnego z drabiną Czy istnieje metoda nie przemieszcza — poruszania się po torze się po torach możliwie najbardziej przypominających linie przypominającym linię proste. prostą?!

Zawsze wtedy, gdy stykasz się z nowym problemem fizycznym, najpierw powinieneś zastanowić się, co trzeba zrobić, żeby znaleźć jego rozwiązanie, a dopiero później, jak to zrobić. Najpierw co, później jak. Trzymaj się tej zasady, a unikniesz popełniania błędów takich jak ten, o którym tu mowa. W takim razie co wpływa na zakrzywienie toru lotu kuli armatniej? Z całą pewnością zakrzywienie toru lotu piłki tenisowej jest inne niż zakrzywienie toru lotu pocisku, może więc obliczony przez nas kąt ostrzału jednak okaże się przydatną informacją? Może tor lotu kuli armatniej różni się od linii prostej tylko w niewielkim stopniu? Aby dowiedzieć się, czy warto celować armatą pod obliczonym przez nas kątem, musisz na chwilę zamienić się w kulę armatnią.

jesteś tutaj 

411

Bądź kulą armatnią

BĄDŹ kulą armatnią. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wyobrazić sobie, że zmieniłeś się w kulę armatnią. Jakie czynniki wpływają na zmianę kierunku Twego lotu, gdy swobodnie przemieszczasz się w powietrzu? Od czego zależy to, jak bardzo Twój tor lotu różni się od linii prostej?

Czyli nadal nie wiemy, jak należy ustawić działo.

Kuba: Chyba nie jest tak źle. Zajrzałem na stronę BitwoPolu i znalazłem na niej informację, że szybkość pocisku wylatującego z lufy armatniej wynosi 90 m/s. To duża szybkość, jeśli weźmie się pod uwagę odległość, jaką ma do przebycia nasza kula. Możliwe, że tor lotu pocisku nie będzie się znacząco różnił od linii prostej. Krzysiek: Gdyby nie fakt, że nie znamy całkowitego przemieszczenia kuli, moglibyśmy skorzystać z naszych równań ruchu… Kuba: A może wartość przemieszczenia nie będzie nam potrzebna? Gdy byliśmy na pustyni i próbowaliśmy schwytać Emu, nie musieliśmy wiedzieć wszystkiego na temat klatki i jej ruchu, żeby móc obliczać wartości różnych wielkości fizycznych.

Kula armatnia nie ma nic wspólnego z drabiną Czy istnieje metoda nie przemieszcza — poruszania się po torze się po torach j rdzie najba możliwie przypominających przypominającym linię linie proste. prostą?!

Jestem przyciągany w dół przez grawitację. Gdybym leciał wolno, spadłbym tuż przy murze obronnym. Gdybym leciał szybko, spadłbym dalej. Gdybym leciał naprawdę bardzo szybko, poruszałbym się niemal wzdłuż linii prostej. To, jak bardzo tor mojego lotu różni się od linii prostej, zależy od prędkości, z jaką się poruszam.

Krzysiek: No to… co wiemy w tej chwili? Znamy prędkość początkową kuli (v0) oraz jej położenie początkowe (x0). Wiemy też, jakie przyspieszenie (a) rozmaitym obiektom nadaje grawitacja. Franek: Świetnie, tylko w jaki sposób mamy podstawić liczby do równań? Do tej pory wektory przyspieszenia i prędkości miały zawsze ten sam kierunek, tylko ich zwroty czasami bywały zgodne, a czasem przeciwne. Dlatego właśnie jeden ze zwrotów opisywaliśmy znakiem „+”, drugi zaś znakiem „–”. Niestety, przyspieszenie kuli armatniej skierowane jest pionowo w dół, natomiast orientacja wektora prędkości w przestrzeni zależy od obliczonego przez nas kąta ostrzału. Kierunki wektorów przyspieszenia i prędkości nie są w tym przypadku takie same! Jak mamy sobie z tym poradzić? Krzysiek: No tak, wiem, o co ci chodzi. Co gorsza, kierunek wektora prędkości kuli ciągle się zmienia. Płynie stąd wniosek, że jednoczesnej zmianie ulegają i wartość, i kierunek prędkości! Kuba: Mhm. Co możemy z tym zrobić? Krzysiek: Możemy znów zacząć eksperymentować. W końcu robimy to zawsze wtedy, gdy mamy do czynienia z zupełnie nowym problemem fizycznym…

412

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Wektory przyspieszenia i prędkości kuli armatniej mają różne kierunki Istnieje zasadnicza różnica między kulą armatnią wystrzeloną pod jakimś kątem do linii pionowej i przedmiotem rzuconym pionowo. Wektory przyspieszenia i prędkości kuli armatniej wyznaczają różne kierunki. Nie chodzi tu o przeciwne zwroty wektorów, lecz o to, że pokrywają się z liniami przecinającymi się pod kątem innym niż 180°.

v0

Klatka podrzucona Kula armatnia do góry. wystrzelona pod pewnym kątem do linii poziomej.

a = 9,8 m/s2

v0 a = 9,8 m/s2

W związku z tym rodzi się trudność związana z matematyczną częścią Wektory „v0” oraz „a” Wektory „v ” oraz „a” mają ten sam kierunek, 0 rozwiązywania problemu obrony twierdzy przed wrogim wojskiem. nie mają tego samego ale przeciwne zwroty. kier unk u W którymś z poprzednich rozdziałów umówiliśmy się, że zwrot — linie, W takim przypadku można z którymi się pokrywają, przyjąć następującą pionowo w górę oznaczymy znakiem „+”, natomiast zwrot pionowo przecinają się pod oznaczeń: konwencję w dół znakiem „–”. Mogliśmy to zrobić, ponieważ zajmowaliśmy się jakimś kątem, więc strzałka w górę nie można powiedzieć, problemem obiektu podrzuconego do góry — wektor prędkości takiego to znak „+”, że jeden ze zwrotów dół strzałka w obiektu jest zwrócony ku górze, zaś wektor przyspieszenia ma zwrot jest dodatni, a drugi to znak „–”. ujemny. przeciwny, tj. wskazuje w dół. Niestety, wektor prędkości kuli armatniej nie jest zwrócony ani pionowo w górę, ani pionowo w dół, więc nie można przyjąć założenia, które sprawdza się w przypadku, gdy dwa wektory mają ten sam kierunek. Całą sytuację dodatkowo komplikuje fakt, że lecąca kula armatnia, Wektor przyspieszając, zmienia kierunek lotu i coraz bardziej zbliża się do ziemi. prędkości kuli Oznacza to, że wraz z upływem czasu wektor prędkości nieustannie zmienia w początkowej v0 fazie ruchu. kierunek i ustawia się tak, by grotem wskazywać podłoże. Wszystko, co zostało tu napisane, wydaje się być naprawdę skomplikowane. Zmien ia się zarówno KIERUNEK, jak i DŁUGOŚĆ wektora prędkości!

v

a = 9,8 m/s2

Tor lotu kuli.

a = 9,8 m/s2

Wektor prędkości w końcowej fazie ruchu.

Zamiast kul możesz użyć dwóch długopisów. Rodzaj przedmiotów zrzucanych ze stołu nie jest istotny.

Na szczęście zawsze MOŻNA spróbować przeprowadzić eksperyment obrazujący sytuacje, które trudno sobie wyobrazić. Sam możesz się przekonać, czy grawitacja działa na przedmiot podrzucony do góry inaczej, niż na obiekt, który przed upadkiem poruszał się w kierunku poziomym (takim obiektem jest nasza kula armatnia).

Spróbuj! Spróbuj jednocześnie zepchnąć ze stołu dwie kule, jedną popychając delikatnie, a drugą mocno. Popychaj kule poziomo, tak żebyś nie wymusił na żadnej z nich ruchu w dół, w kierunku podłoża.

Delikatne pchnięcie.

SILNE PCHNIĘCIE!

Zwróć uwagę na to, po jakim czasie i gdzie spadnie każda z kul, i zapisz swoje obserwacje.

jesteś tutaj  413

Grawitacja i przyspieszenie

Grawitacja wszystkim obiektom nadaje skierowane w dół przyspieszenie o wartości 9,8 m/s2 Wcześniej, starając się pomóc Dingo, zajmowałeś się problemem klatki wystrzeliwanej do góry i zrzucanej z dźwigu na ziemię. W obydwu przypadkach, niezależnie od tego, czy mieliśmy do czynienia z ruchem w górę, czy w dół, w wyniku działania grawitacji klatka doznawała skierowanego pionowo przyspieszenia o wartości 9,8 m/s2. Tym razem zajmujemy się sytuacją, w której prędkość poruszającego się obiektu oprócz składowej pionowej ma również składową poziomą. Niezależnie od tego, jaki jest wektor prędkości obiektu, grawitacja zawsze nadaje temu obiektowi przyspieszenie o tej samej wartości (9,8 m/s2) i skierowane pionowo w dół.

ne! Wypróbowa

Właśnie zepchnąłeś ze stołu dwa przedmioty, każdemu nadając inną poziomą prędkość początkową. Już wiesz, który z przedmiotów pierwszy uderzył o podłogę. Tę kulę zepchnięto ze stołu, nadawszy jej znaczną prędkość w kierunku poziomym.

Grawitacja przyspiesza obie kule w dół. Przyspieszenie ma wartość 9,8 m/s2.

Pozioma składowa wektora prędkości nie zmienia się.

Ta kula zaczęła spadać z krawędzi stołu w tej samej chwili, w której zrzucono drugą kulę.

Każda z zaznaczonych na rysunku faz ruchu kuli trwała tyle samo.

Składowa pozioma wektora prędkości tej kuli również się nie zmienia (i przez cały czas trwania ruchu ma długość równą 0).

Obydwie kule uderzają o podłogę w tej samej chwili (oczywiście jeśli podłoga jest równa).

414

Rozdział 9.

Pionowe składowe wektorów prędkości obydwu kul zmieniają się dokładnie tak samo w wyniku działania grawitacji:

x = x0 + v0t + ½at2.

Ponieważ wartość pionowej składowej prędkości początkowej dla każdej z kul wynosi 0 m/s, pionowe składowe przemieszczenia kul są takie same przez cały czas trwania ruchu. Wartość pionowych składowych przemieszczenia dla kul wynosi at2.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Pozioma składowa wektora prędkości obiektu, który leci swobodnie, nie zmienia się Grawitacja nadaje wszystkim obiektom skierowane pionowo w dół przyspieszenie o stałej wartości 9,8 m/s2. Na każdy lecący swobodnie obiekt oddziałuje tylko grawitacja (zakładamy, że obiekt ten nie ma silnika, jak na przykład samolot). Kula armatnia nie ma silnika, więc gdy leci, zmianie ulega tylko pionowa składowa wektora jej prędkości. Zmianę pionowej składowej wektora prędkości kuli powoduje przyspieszenie o wartości 9,8 m/s2, będące wynikiem istnienia grawitacji. Pozioma składowa wektora prędkości kuli wystrzelonej z armaty nie zmienia się, przez cały czas trwania ruchu pozostaje dokładnie taka sama.

Dlatego właśnie obydwa przedmioty zepchnięte przez Ciebie ze stołu uderzyły o podłogę w tym samym momencie, mimo że jeden z przedmiotów popchnąłeś gwałtownie w kierunku poziomym, drugi zaś strąciłeś z blatu delikatnie, tak że spadał w dół praktycznie zupełnie pionowo. Pionowe składowe wektorów prędkości obydwu przedmiotów w pierwszej fazie trwania ruchu miały wartość 0 m/s, ponieważ przed oderwaniem się od krawędzi blatu żaden z przedmiotów nie poruszał się w kierunku pionowym (nie spadał). Następnie po opuszczeniu blatu oba przedmioty uzyskały takie samo przyspieszenie w dół równe 9,8 m/s2, a składowe pionowe wektorów ich prędkości zaczęły się zmieniać w identyczny sposób.

Mówiąc ściślej, na obiekty przemieszczające się w powietrzu działa siła oporu powietrza, ale w przypadku kuli armatniej siła ta jest niewielka, więc możemy ją na razie pominąć.

Spróbuj! Weź do rąk piłkę i stojąc, kilkakrotnie podrzuć ją pionowo do góry. Następnie, podrzucając piłkę tak, jak robiłeś to wcześniej, zacznij iść prosto przed siebie. Przemieszczając się do przodu, nadajesz piłce prędkość w kierunku poziomym. Prędkość ta jest taka sama, jak prędkość, z którą się poruszasz. Podrzucając piłkę do góry, nadajesz jej prędkość w kierunku pionowym. Wykonując szkice pomocnicze, zanotuj swoje obserwacje.

Grawitacja nijak nie wpłynęła na poziome składowe wektorów prędkości przedmiotów. Przedmiot delikatnie zepchnięty z blatu wylądował bliżej stołu niż przedmiot zepchnięty gwałtownie. Wróćmy jednak do kwestii związanej z ostrzeliwaniem wrogiego obozu. Otóż kula armatnia zostanie wystrzelona z działa, którego lufa tworzy jakiś niezerowy kąt z linią wyznaczającą kierunek poziomy, więc jej prędkość początkowa od razu będzie miała dwie składowe: pionową i poziomą. Co stanie się w takim przypadku? Pora przeprowadzić doświadczenie…

Grawitacja wpływa tylko na pionową składową wektora prędkości. jesteś tutaj  415

Stała prędkość

Pozioma składowa wektora prędkości obiektu poruszającego się swobodnie w powietrzu jest stała Piłka, którą podrzucasz pionowo do góry, po pewnym czasie spada prosto w Twoje ręce. Piłka wraca do Ciebie nawet wtedy, kiedy podrzucasz ją, idąc przed siebie. Mimo że Twoje dłonie przez cały czas znajdują się w tej samej odległości od Twego tułowia (co oznacza, że podrzucasz piłkę pionowo do góry), prędkość piłki ma składową poziomą. Dzieje się tak dlatego, że cały się przemieszczasz w trakcie rzucania piłką.

Kierunek i długość wektora prędkości zmieniają się przez cały czas trwania ruchu piłki, ponieważ grawitacja wpływa na pionową składową wektora prędkości.

W najwyższym punkcie łuku piłka nie ma prędkości w kierunku pionowym.

vpiłki

vpiłki

Pozioma składowa wektora prędkości nazywana jest również „prędkością w kierunku poziomym”.

Pozioma składowa wektora prędkości pozostaje niezmienna przez cały czas trwania ruchu piłki.

vpiłki Prędkość piłki.

vpiłki

Pionowa składowa wektora prędkości.

Pozioma składowa Twojej a, prędkości jest taka sam jak pozioma składowa prędkości piłki.

Pozioma składowa wektora prędkości.

vtwoja Twoja prędkość (tylko pozioma składowa).

Jesteś w stanie złapać spadającą piłkę, gdyż pozioma składowa Twojej prędkości była taka sama, jak pozioma składowa prędkości piłki.

vpiłki

vtwoja

vtwoja

vtwoja

vtwoja

Twoja prędkość w ogóle się nie zmienia.

Przez cały czas trwania lotu piłki pozioma składowa Twojej prędkości i pozioma składowa prędkości piłki są takie same. Mimo tego, że piłka przemieszcza się w górę i w dół, pozioma składowa wektora jej prędkości nie zmienia się.

416

Rozdział 9.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie NAPRAWDĘ?! Nie wierzę w to. Grawitacja musi wpływać na wszystkie składowe ruchu piłki. Przecież tor lotu piłki jest linią krzywą! Skąd pewność, że pozioma składowa wektora prędkości nie zależy od grawitacji?

A co by się działo w samolocie? Dobrze. Wyobraź sobie, że znajdujesz się w samolocie lecącym poziomo. Jeśli podrzucisz do góry piłkę, ta wróci do Ciebie i będziesz w stanie ją złapać.

Oto dwa różne sposoby patrzenia na podrzucaną do góry piłkę. Wynika z tego, że pozioma składowa wektora prędkości piłki MUSI być taka sama, jak pozioma składowa wektora prędkości samolotu.

Teraz wyobraź sobie, że patrzysz na lecący samolot z zewnątrz. Co widzisz? Piłkę poruszającą się po torze będącym linią krzywą. Względem wnętrza samolotu piłka porusza się w górę i w dół, natomiast ktoś, kto oglądałby samolot z zewnątrz, widziałby piłkę, która w kierunku poziomym poruszałaby się z prędkością identyczną jak prędkość samolotu.

W czasie między podrzuceniem piłki i jej złapaniem przez ludzika samolot przebył znaczny dystans w kierunku poziomym.

Pozioma składowa wektora prędkości piłki jest stała w trakcie trwania całego lotu piłki.

Maksymalna wysokość, na jaką została wyrzucona piłka, wciąż jest taka sama.

Pozioma składowa wektora prędkości swobodnie lecącego obiektu nie zależy od grawitacji, a więc jest STAŁA przez cały czas trwania ruchu tego obiektu. jesteś tutaj  417

Składowe prędkości: pozioma i pionowa Czy wiedzę o tym, że pozioma składowa wektora prędkości lecącego obiektu jest stała, dałoby się jakoś wykorzystać podczas rozwiązywania problemu ostrzału wrogiego obozu z armaty?

Tak. Pionowe i poziome składowe wektorów prędkości można traktować jak osobne, niezwiązane ze sobą nawzajem części problemu fizycznego. Zapoznając się z treścią rozdziału 6., rozwiązywałeś problem łapania Emu. Robiłeś to, osobno rozważając ruch odbywający się w pionie i ruch odbywający się w poziomie. Wiedziałeś, że możesz postępować w taki właśnie sposób, gdyż klatka i Emu były dwoma różnymi, nijak ze sobą niepowiązanymi obiektami. Korzystając z wiedzy na temat prędkości i przyspieszenia klatki (obydwa wektory miały kierunek pionowy), policzyłeś czas jej spadania z dźwigu na ziemię. Następnie obliczyłeś odległość, jaką w wyznaczonym czasie pokonuje poruszający się poziomo Emu. Ponieważ składowa pozioma i składowa pionowa ruchu kuli armatniej są od siebie niezależne, możesz problem ostrzału wrogiego obozu z działa rozwiązać tak, jak rozwiązałeś zadanie dotyczące łapania Emu. Opierając się na wiedzy o pionowej składowej wektora prędkości kuli armatniej i przyspieszeniu doznawanemu przez kulę (obydwa wektory mają kierunek pionowy), możesz policzyć czas, po jakim pocisk uderzy o ziemię. Obliczywszy czas, będziesz w stanie policzyć przemieszczenie kuli w kierunku poziomym — wystarczy, żebyś posłużył się wiedzą na temat poziomej składowej wektora prędkości kuli.

Pozioma składowa prędkości obiektu lecącego swobodnie zachowuje się tak samo, jak prędkość obiektu spadającego pionowo w dół lub podrzuconego pionowo do góry.

Wektor v ulega zmianom, ponieważ zmienia się jego pionowa składowa. Ta składowa wektora prędkości jest stała, gdyż obiekt nie doznaje żadnego przyspieszenia w kierunku poziomym.

v

Pozioma składowa wektora prędkości

418

Rozdział 9.

Ta składowa wektora prędkości zmienia się, ponieważ grawitacja działa w kierunku pionowym.

Pionowa składowa wektora prędkości

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Tą samą metodą da się rozwiązać dwa zupełnie różne problemy fizyczne Tak naprawdę JUŻ wiesz, jak rozwiązać zadanie! Wektory pionowe oraz poziome oznaczyliśmy skrótami „pi” i „po”, żeby wprowadzić rozróżnienie między ruchem w kierunki pionowym i ruchem w kierunku poziomym.

v0pi

xpi

W zadaniu z Emu zetknąłeś się z prędkością klatki (pionową) i prędkością Emu (poziomą). Prędkości te nie były składowymi.

v0pi

xpo Krok 1. Znajdź składowe pionową i poziomą (v0pi, v0po) wektora prędkości początkowej obiektu.

Krok 2. Korzystając z wiedzy na temat pionowej składowej wektora prędkości oraz pionowej składowej wektora przemieszczenia obiektu, oblicz czas lotu tego obiektu.

Krok 3. Wiedząc, jaka jest pozioma składowa wektora prędkości, oraz znając czas lotu obiektu, policz przemieszczenie obiektu w kierunku poziomym.

v0po

v0 v0pi

Czas t v0pi

Czas t

xpi

xpo

v0po

Korzystając z wiedzy o pionowych składowych wektorów, policz czas spadku obiektu.

xpi

Wektor prędkości początkowej kuli armatniej ma dwie składowe: pionową i poziomą.

Korzystając z wiedzy o poziomych składowych wektorów i czasie spadku obiektu, policz przemieszczenie tego obiektu w kierunku poziomym.

v0 v0pi

v0po

xpo

jesteś tutaj  419

Poradnia pytań — obiekty swobodnie przemieszczające się w powietrzu Rozwiązywanie zadań dotyczących ruchu obiektów swobodnie przemieszczających się w powietrzu (rzuty ukośny i poziomy) zazwyczaj należy zaczynać od rozłożenia wektora prędkości obiektu na składowe pionową i poziomą. Następnie, korzystając z wiedzy na temat trójkątów prostokątnych oraz równań ruchu (po więcej informacji zajrzyj do rozdziałów 6., 7. i 8.), można szukać odpowiedzi na pytanie zadane w treści konkretnego zadania. Poniżej znajdziesz typowe zadanie omawianego rodzaju.

To jest inne sformułowanie problemu, którym zajmowaliśmy się dotąd w tym rozdziale.

Gdy tylko w treści zadania dostrzeżesz słowo „kąt”, zacznij szukać na sporządzonym przez siebie rysunku trójkątów prostokątnych i myśleć o funkcjach sinus, cosinus oraz tangens.

Słowo „kąt” może być również sygnałem, że trzeba będzie zajmować się składowymi wektorów.

420

Pamiętaj, żeby najpierw wykonać rysunek z odpowiednimi opisami. Dzięki temu wszystkie niezbędne informacje znajdą się w jednym miejscu.

Zanim weźmiesz się za szukanie odpowiedzi na pytania b i c, powinieneś rozłożyć wektor prędkości kuli na składowe pionową i poziomą.

ronnym y otoczonej murem ob dz ier tw w się sz uje 5. Znajd tawione działo, ycie muru zostało us cz sz Na m. 15 ści ko o wyso erzy, rozbity w obóz wrogich żołni o an low ce wy ę luf o kuli armatniej któreg tawy muru. Szybkość ds po od m 20 ci łoś w odleg powiedz na pytania: a wynosi 90 m/s. Od iał dz y luf z j ce ują wylat ą gruntu)? aty z linią poziomą (np. z lini a. Jaki kąt tworzy lufa arm uderzy w ziemię? ili wystrzału kula armatnia b. Po jakim czasie od chw e kula? zu wrogich żołnierzy spadni c. W jakiej odległości od obo

Tę część zadania należy rozwiązać, rozważając PIONOWĄ składową wektora prędkości kuli w celu obliczenia czasu spadania kuli, czyli czasu trwania ruchu kuli w kierunku pionowym.

Część a zadania już rozwiązałeś, gdy zajmowałeś się trójkątem utworzonym przez fosę i mur obronny.

Tę część zadania należy rozwiązać, rozważając POZIOMĄ składową wektora prędkości kuli w celu obliczenia, jaki dystans (mierzony wzdłuż linii poziomej) pocisk pokona w określonym czasie.

Zadania dotyczące ruchu obiektów swobodnie przemieszczających się w powietrzu zazwyczaj rozwiązuje się według następującego schematu: najpierw oblicza się czas, jaki jest potrzebny, żeby dany obiekt spadł na ziemię (obliczenia prowadzi się, rozważając pionową składową wektora prędkości), następnie zaś oblicza się dystans, jaki obiekt ten pokonuje w kierunku poziomym w wyznaczonym wcześniej przedziale czasu (ta część zadania wymaga zajmowania się poziomą składową wektora prędkości).

Krok 1. Znajdź składowe pionową i poziomą (v0pi, v0po) wektora prędkości początkowej obiektu.

Krok K k 2. 2 Korzystając K j z wiedzy i d na temat pionowej składowej wektora prędkości oraz pionowej składowej wektora przemieszczenia obiektu, oblicz czas lotu tego obiektu.

Krok K k 3. 3 Wiedząc, Wi d jjaka k jjest pozioma i składowa wektora prędkości, oraz znając czas lotu obiektu, policz przemieszczenie obiektu w kierunku poziomym.

v0po

v0 v0pi

Czas t v0pi

xpi

Czas t xpo

v0po

Zaostrz ołówek Znajdujesz się w twierdzy otoczonej murem obronnym o wysokości 15 m. Na szczycie muru zostało ustawione działo, którego lufę wycelowano w obóz wrogich żołnierzy, rozbity w odległości 20 m od podstawy muru. Szybkość kuli armatniej wylatującej z lufy działa wynosi 90 m/s. Wcześniej policzyłeś miarę kąta, jaki tworzy lufa z linią poziomą: 36,9°. Teraz pora znaleźć składowe pionową i poziomą wektora prędkości kuli. Składowe oznaczaj indeksami dolnymi zgodnie z zasadą: vpi — składowa pionowa, vpo — składowa pozioma.

Oto trójkąt, którego bokami są wektory przemieszczenia. Musisz narysować trójkąt składający się z wektorów prędkości, a następnie policzyć długości jego boków.

421

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Znajdujesz się w twierdzy otoczonej murem obronnym o wysokości 15 m. Na szczycie muru zostało ustawione działo, którego lufę wycelowano w obóz wrogich żołnierzy, rozbity w odległości 20 m od podstawy muru. Szybkość kuli armatniej wylatującej z lufy działa wynosi 90 m/s. Wcześniej policzyłeś miarę kąta, jaki tworzy lufa z linią poziomą: 36,9°. Teraz pora znaleźć składowe pionową i poziomą wektora prędkości kuli. Składowe oznaczaj indeksami dolnymi zgodnie z zasadą: vpi — składowa pionowa, vpo — składowa pozioma.

Istnieją DWA różne sposoby na rozwiązanie tego zadania! Nieważne, który ze sposobów wybierzesz, ponieważ oba są poprawne.

Rozwiązanie z użyciem funkcji sinus, cosinus i tangens. Ta metoda jest szybsza, jeśli wcześniej nie zajmowałeś się trójkątem, którego bokami są wektory przemieszczenia. Składowa pionowa: vpi sin (36.9°) = v

s

,0 90

m/

v= 36,9°

vpi

Zacznij od napisania ogólnego wzoru.

=

vpi 90 m/s

= vpi = 90 m/s × sin(36,9°) ≈ 54 m/s

Następnie wsta w do niego liczby i wykonaj potrzeb przekształcenia. ne

vpo Składowa pozioma: vpo cos (36.9°) = v

Nie zapomnij o nagłówkach, żeby ktoś, kto będzie sprawdzał Twoje obliczenia, wiedział, co i w jakiej kolejności chciałeś zrobić.

=

vpo 90 m/s

vpo = 90 m/s × cos(36,9°) ≈ 72 m/s

Rozwiązanie z wykorzystaniem wiedzy o trójkątach podobnych Trójkąt złożony z wektorów przemieszczeń jest TRÓJKĄTEM PODOBNYM do trójkąta, którego bokami są wektory prędkości. Prędkość 90 v=

s m/

Przemieszczenie m 25

vpi

36,9° 20 m

36,9° vpo Składowa pionowa:

Składowa pozioma:

422

Ponieważ są to trójkąty podobne, odpowiednie stosunki długości 15 m ich boków powinny być sobie równe.

vpi 90 m/s vpo 90 m/s

=

=

15 m 25 m 20 m 25 m

vpi =

vpo =

15 m × 90 m/s 25 m 20 m × 90 m/s 25 m

= 54 m/s

= 72 m/s

Kąty wewnątrz obydwu trójkątów są takie same; oba trójkąty zawierają kąty mierzące 90° i 36,9°.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Czasami to samo zadanie można rozwiązać na kilka sposobów. W fizyce rzadko kiedy mamy do czynienia z jedynym właściwym sposobem rozwiązywania danego problemu. Jeśli tylko udało Ci się osiągnąć zamierzony cel i rozwiązać zadanie poprawnie, nie jest ważne, jak tego dokonałeś.

Rozwiązałam zadanie pierwszą metodą i nie widzę powodu, żeby robić to samo drugą. Po co nam ją pokazywałaś, skoro jest taka skomplikowana i możemy rozwiązać problem łatwiejszym sposobem?

Zazwyczaj długości składowych pionowej i poziomej wektora prędkości oblicza się, korzystając z funkcji sinus i cosinus oraz znanej miary jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego utworzonego przez obie składowe. Tę metodę przedstawiłam jako pierwszą. Niemniej, ponieważ wcześniej zajmowaliśmy się problemem długości drabiny oblężniczej i szerokości fosy, zabierając się za rozwiązywanie zadania, znaliśmy długości wszystkich trzech boków trójkąta zbudowanego z wektorów przemieszczenia. Dlatego właśnie tym razem mogliśmy „pójść na skróty” i skorzystać z drugiej metody rozwiązywania zadania z kulą armatnią. Zawsze warto wybierać prostszy, wymagający mniejszej ilości obliczeń sposób na rozwiązanie danego problemu fizycznego. Im mniej obliczeń musisz wykonać, tym mniej liczb przyjdzie Ci przepisać do kalkulatora. W efekcie zmniejsza się prawdopodobieństwo tego, że pomylisz się w trakcie przepisywania wartości wielkości fizycznych. Stosunki tych dwóch boków będą identyczne dla obydwu trójkątów. Te dwa trójkąty mają dokładnie taki sam kształt, choć każdy z nich został narysowany w innej skali.

25,0 m

v = 90 m/s

15,0 m

36,9°

vpi

36,9° vpo

20,0 m Te trójkąty są trójkątami podobnymi, ponieważ zawierają takie same kąty.

Rozwiązując zadanie z kulą armatnią drugą z przedstawionych przeze mnie metod, mogliśmy „pójść na skróty”, gdyż trójkąt zbudowany z wektorów przemieszczenia jest trójkątem podobnym do trójkąta, którego bokami są wektory prędkości. Dzięki temu mieliśmy pewność, że określone stosunki ich boków będą sobie równe. Mówiąc 15 m konkretnie, wiedzieliśmy, że iloraz 25 m pierwszego trójkąta odpowiada ilorazowi vpi z drugiego trójkąta. Nie musieliśmy więc w tym przypadku korzystać z funkcji 90 m/s trygonometrycznych i miary kąta ostrzału, żeby wyznaczyć przydatne stosunki długości boków obu trójkątów.

jesteś tutaj  423

Ważne są kroki pośrednie

5. Znajdujesz si ę w twierdzy ot oczonej murem o wysokości 15 obronnym m. Na szczycie m uru zostało usta którego lufę wyc wione działo, elowano w obóz wrogich żołnierz w odległości 20 y, rozbity m od podstawy muru. Szybkość wylatującej z lu kuli armatniej fy działa wynos i 90 m/s. Odpow iedz na pytania: a. Jaki kąt tworzy luf a armaty z linią pozio mą (np. z linią gruntu )? b. Po jakim czasie od chwili wystrzału kula armatnia uderzy w ziemię? c. W jakiej odległoś ci od obozu wrogich żołnierzy spadnie ku la?

Wyznaczanie składowych pionowej i poziomej wektora prędkości kuli armatniej nie było częścią polecenia do zadania, które rozwiązywaliśmy. Czy jest jakiś sposób określania, jakie dodatkowe kroki należy wykonać w trakcie rozwiązywania określonego zadania?

Czas zająć się podpunktem b naszego zadania!

Czasami sam musisz wykonać kroki pośrednie. Wiele procesów znanych z codziennego życia wymaga wykonywania czynności pośrednich, bez których osiąganie zamierzonych celów nie byłoby w ogóle możliwe. Na przykład: jeśli chcesz wejść do swego domu, najpierw musisz znaleźć odpowiedni klucz! Proces rozwiązywania różnych problemów fizycznych rządzi się podobnymi prawami. Jeśli chcesz policzyć czas, po jakim kula armatnia uderzy w ziemię, musisz wyznaczyć pionową składową wektora jej prędkości; aby obliczyć przemieszczenie kuli w kierunku poziomym, musisz wiedzieć, jaka jest pozioma składowa jej prędkości.

W „Poradni pytań” rozkładam na czynniki pierwsze typowe zadania egzaminacyjne i staram się pokazać Ci, jakich wskazówek powinieneś szukać w ich treści, aby dowiedzieć się, co tak naprawdę należy zrobić, jeśli chce się je poprawnie rozwiązać.

424

Rozdział 9.

Umiejętność dostrzegania kroków pośrednich, które należy wykonać podczas rozwiązywania rozmaitych problemów fizycznych, przychodzi z czasem. Żeby ją wytrenować, trzeba rozwiązać wiele zadań z fizyki i nabrać odpowiedniego doświadczenia w radzeniu sobie z zagadnieniami fizycznymi. Zapoznając się z treścią tej książki, nieustannie ćwiczysz swoją zdolność określania, co trzeba zrobić, aby poradzić sobie z dowolnym problemem fizycznym, uczysz się myśleć jak fizyk. Jednak pamiętaj, że nie powinieneś na tym poprzestawać! Musisz szlifować zdobytą wiedzę poprzez wyszukiwanie, gdzie tylko się da, i rozwiązywanie przykładowych zadań egzaminacyjnych oraz praktycznych problemów fizycznych.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie Krok 1. Znajdź składowe pionową i poziomą (v0pi, v0po) wektora prędkości początkowej obiektu.

Krok 2. Korzystając z wiedzy na temat pionowej składowej wektora prędkości oraz pionowej składowej wektora przemieszczenia obiektu, oblicz czas lotu tego obiektu.

Krok 3. Wiedząc, jaka jest pozioma składowa wektora prędkości, oraz znając czas lotu obiektu, policz przemieszczenie obiektu w kierunku poziomym.

v0po

v0 v0pi

Czas t v0pi

Czas t

xpi

xpo

v0po

Zaostrz ołówek b. Po jakim czasie od chwili wystrzału kula armatnia uderzy w ziemię? Wskazówka: Potraktuj kulę armatnią jak obiekt, który rzucono pionowo w dół. Przyjmij, że całkowita prędkość tego obiektu jest równa pionowej składowej wektora prędkości kuli. Wykonaj rysunek obrazujący ruch omawianego obiektu w kierunku PIONOWYM i zacznij rozwiązywać zadanie tak, jakby dotyczyło tylko takiego ruchu.

,0

s

m

25

90

15,0 m

m/

54 m/s

36,9°

36,9° 20,0 m

72 m/s

Oto trójkąty narysowane przez Ciebie wcześniej. Możesz korzystać ze szkicu, rozwiązując również tę część zadania.

Wskazówka: Do rozwiązania problemu może być potrzebne skorzystanie z więcej niż jednego równania ruchu.

jesteś tutaj  425

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie b. Po jakim czasie od chwili wystrzału kula armatnia uderzy w ziemię?

,0

s

m

25

15,0 m

m/

54 m/s

36,9°

36,9° Na tym rysunku przedstawiono tylko ruch w kierunku pionowym. Dzięki temu rysunek jest bardziej przejrzysty niż szkic, na którym widzimy trójkąty.

90

20,0 m

72 m/s

Oto trójkąty narysowane przez Ciebie wcześniej. Możesz korzystać ze szkicu, rozwiązując również tę część zadania.

Ponieważ grot żadnego z wektorów nie jest skierowany ku górze, przyjmijmy, że zwrot w dół jest zwrotem dodatnim. v0 = 54 m/s

t = 0 s x0 = 0 m

x - x0

=

v0t + ½at2

v

=

v0 + at

v2

=

v02 + 2a(x-x0)

a = 9,8 m/s2

t = ?

Zapisz trzy znane sobie ważne równania ruchu. Ponadto zanotuj sobie, co robisz i czego nie wiesz.

x = 15,0 m

W pierwszym równaniu występuje zmienna t, której wartości nie znam. Co więcej, w równaniu występują człony zawierające czynniki t i t2, dlatego nie będę w stanie przekształcić go tak, żeby otrzymać wzór postaci „t = coś”. Dlatego, korzystając z trzeciego równania, obliczę v, a otrzymaną wartość prędkości wstawię do równania v = v0 + at. W ten sposób obliczę czas t. v2

=

v02 + 2a(x-x0)

v

=

(54 m/s)2 + (2 × 9,8 m/s2 × 15 m) ≈ 56,7 m/s

Wynik powyższych obliczeń wstawiam do równania v = v0 + at. Chcę policzyć wartość t. v

=

v0 + at

at

=

v - v0

t

=

v - v0 a

=

56,7 m/s - 54 m/s 9,8 m/s2

≈ 0,276 s

Kula armatnia uderzy w ziemię po upływie 0,276 s (wynik został zaokrąglony do trzech cyfr znaczących).

426

Rozdział 9.

Jeśli prowadzisz obliczenia na składowych wektorów przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia skierowanych tak samo (w tym przypadku wszystkie składowe wektorów mają kierunek pionowy), możesz zrezygnować z indeksów dolnych, które stawia się, aby odróżnić kierunek pionowy od poziomego. Dzięki temu unikniesz bałaganu spowodowanego nadmiarem oznaczeń.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie Krok 1. Znajdź składowe pionową i poziomą (v0pi, v0po) wektora prędkości początkowej obiektu.

Krok 2. Korzystając z wiedzy na temat pionowej składowej wektora prędkości oraz pionowej składowej wektora przemieszczenia obiektu, oblicz czas lotu tego obiektu.

Krok 3. Wiedząc, jaka jest pozioma składowa wektora prędkości, oraz znając czas lotu obiektu, policz przemieszczenie obiektu w kierunku poziomym.

v0po

v0 v0pi

Czas t v0pi

xpi

Czas t xpo

v0po

Zaostrz ołówek Pora zająć się częścią c naszego zadania (albo, jeśli wolisz, widocznym powyżej krokiem 3.). Odwagi! Niebawem skończysz rozwiązywać zadanie! c. W jakiej odległości od obozu wrogich żołnierzy spadnie kula? (Obóz wrogich żołnierzy został rozbity na samym brzegu fosy, czyli w odległości 20,0 m od podstawy muru obronnego). Wskazówka: Potraktuj kulę armatnią jak obiekt poruszający się poziomo. Przyjmij, że całkowita prędkość tego obiektu jest równa poziomej składowej wektora prędkości kuli. Wykonaj rysunek obrazujący ruch omawianego obiektu w kierunku POZIOMYM i zacznij rozwiązywać zadanie tak, jakby dotyczyło tylko takiego ruchu.

s

90

m/

54 m/s

36,9° 72 m/s Aby poradzić sobie z tą częścią zadania, będziesz musiał przyjrzeć się narysowanemu wcześniej trójkątowi (chodzi o trójkąt, którego boki są składowymi wektora prędkości) oraz posłużyć się wartością t = 0,276 s obliczoną w części b naszego problemu (t — czas, po jakim wystrzelona z armaty kula uderzy w ziemię).

jesteś tutaj  427

Czy udzieliłeś odpowiedzi na pytanie?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie c. W jakiej odległości od obozu wrogich żołnierzy spadnie kula? (Obóz wrogich żołnierzy został rozbity na samym brzegu fosy, czyli w odległości 20,0 m od podstawy muru obronnego).

t = 0,276 s v = 72 m/s

Odległość = ?

To jest pozioma składowa wektora prędkości kuli armatniej.

Tę wartość uzyskałeś, rozwiązując część b zadania.

m/

54 m/s

36,9° 72 m/s

Kula armatnia uderza w ziemię po upływie 0,276 s. Wartość poziomej składowej prędkości kuli to 72 m/s. Dystans pokonany przez kulę w poziomie w wyznaczonym czasie

s

90

Tę wartość uzyskałeś, wykonując „dodatkowy krok” między częścią a i częścią b zadania.

= szybkość × czas = 72 m/s × 0,276 s

Obóz wroga jest oddalony o 20,0 m od podstawy muru obronnego. Inaczej mówiąc, jeśli mierzymy odległość wzdłuż linii poziomej, wrogi obóz znajduje się w odległości 20,0 m od armaty.

≈ 19,9 m

To dobra metoda obl przebytego przez kuiczania dystansu POZIOMYM, jeśli lę w kierunku wi czasie kula ta spad esz, po jakim (ruch w kierunku PInie na ziemię ONOWYM).

Kula armatnia uderzy o ziemię w odległości 20,0 m – 19,9 m = 0,1 m od obozu najeźdźców. Najprawdopodobniej wrodzy żołnierze wystraszą się i uciekną… które Czy odpowiedziałeś na pytanie,u wroga)? Ci ZADANO (odległość od oboz m 19,9 A może Twoja odpowiedź to obronnego)? (odległość mierzona od muru

Zawsze sprawdzaj sam siebie: „Czy aby na pewno odpowiedziałem na pytanie, które mi zadano?”.

428

Rozdział 9.

Dbaj o to, żebyś kończąc rozwiązywanie zadania, nie popełnił jakiegoś drobnego błędu. Błędem takim może być nieprzeliczenie jednostek albo nieodjęcie jednej odległości od drugiej.

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Napastnicy uciekli w podskokach… Kula armatnia spadła zaledwie 10 cm od obozu najeźdźców, ochlapując wszystko wokół wodą z fosy. Wrodzy żołnierze nie zdawali sobie sprawy z tego, że trzymasz w zanadrzu działo (o tym, że dysponujesz szpadlami, też nie wiedzieli). Zszokowani i przestraszeni doszli do wniosku, że nie chcą sprawdzać, czym jeszcze zechcesz się im pochwalić, i wzięli nogi za pas!

Uciekajmy! Ratuj się kto może!

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Oto wielka zaleta każdego trójkąta prostokątnego:

jeśli znasz długość jednego z trzech boków trójkąta prostokątnego oraz długość drugiego boku lub miarę jednego z kątów ostrych znajdujących się wewnątrz tego trójkąta, możesz policzyć wszystkie nieznane sobie długości jego boków oraz miary zawartych w nim kątów — wystarczy umieć korzystać z twierdzenia Pitagorasa i wiedzieć, czym są funkcje sinus, cosinus oraz tangens. ‹Miary odpowiednich kątów w trójkątach podobnych

są takie same. ‹Trójkąty podobne bywają przydatne, ponieważ

stosunki długości odpowiednich boków tych trójkątów są takie same. ‹Starając się opisać ruch obiektu, którego prędkość

nie jest równoległa do wektora przyspieszenia, rozkładaj wektor prędkości na dwie składowe: równoległą oraz prostopadłą do wektora przyspieszenia.

‹Wektory sumuje się zawsze zgodnie z regułą „nos

do ogona”. ‹Po rozłożeniu wektorów przemieszczenia, prędkości

i (lub) przyspieszenia na prostopadłe do siebie składowe każdy z dwóch otrzymanych kierunków możesz traktować jako zupełnie niezależny. ‹Może się zdarzyć tak, że będziesz musiał obliczyć

czas trwania ruchu z równania zawierającego jedną składową wektora po to, by móc uzyskaną wartość wstawić do wzoru z drugą składową tego samego wektora. ‹Kończąc rozwiązywanie zadania, w którym

trzeba było rozłożyć jakiś wektor na składowe, na powrót dodaj do siebie składowe, żeby zobaczyć, co po przeprowadzeniu niezbędnych obliczeń stało się z całym wektorem.

jesteś tutaj  429

Trójkąty standardowe Hej! Słyszałem, że w trakcie niektórych egzaminów można korzystać z tablic wartości funkcji sinus, cosinus i tangens. Słyszałem również, że jest coś takiego, jak tablice wartości funkcji trygonometrycznych dla „trójkątów standardowych”. O co chodzi z tymi „trójkątami standardowymi”?

Podczas niektórych egzaminów nie wolno korzystać z kalkulatora, jednak nierzadko będziesz miał do dyspozycji tabelę wartości funkcji trygonometrycznych dla różnych kątów, podobną do tej, którą wypełniałeś w tym rozdziale. Może się również zdarzyć, że zetkniesz się z uproszczoną tablicą wartości funkcji sinus, cosinus i tangens, zawierającą informacje na temat kilku najbardziej popularnych trójkątów.

Niektóre trójkąty będziesz widywał częściej niż z inne. Zapoznając się z treścią tego rozdziału, miałeś okazję zobaczyć trójkąt, dla którego stosunek boków wyraża się jako 3:4:5. Kąty ostre w tym trójkącie mają miary odpowiednio 37° i 53° (wartości te zostały zaokrąglone do dwóch cyfr znaczących). Jeśli ujrzysz trójkąt omawianego typu na egzaminie, będziesz wiedział o nim więcej, niż o innych, mniej popularnych trójkątach, na przykład będziesz znał jego proporcje i miary zamkniętych w nim kątów.

53° 5 3 Zauważ, że najkrótszy bok trójkąta leży zawsze naprzeciw najmniejszego kąta, a najdłuższy bok naprzeciw największego kąta.

37°

Trzecim dość popularnym trójkątem zazwyczaj opisywanym w uproszczonej tabeli wartości funkcji trygonometrycznych jest trójkąt o następującym stosunku boków: 1:2:83 . Kąty ostre w tym trójkącie mierzą 30° i 60°.

4

Innym standardowym trójkątem jest trójkąt o proporcjach 1:1:82 . Każdy trójkąt tego typu nazywamy trójkątem prostokątnym równoramiennym, ponieważ długości dwóch spośród trzech jego boków są takie same. Obydwa kąty ostre leżące wewnątrz omawianego trójkąta mierzą po 45°.

2 √2

45°

1 1

30° √3

45° 1

430

Rozdział 9.

60°

Poradnia pytań — brakujące kroki Na pewno nieraz zdarzy Ci się rozwiązywać zadanie składające się z kilku podpunktów. Przechodząc od jednej części takiego zadania do drugiej, będziesz musiał wykonywać czynności, o których w jego treści nie wspomniano ani słowem. Poniżej znajdziesz tekst naszego przykładowego zadania z jawnie zapisanym ukrytym poleceniem, którego istnienie sam powinieneś odkryć podczas odpowiadania na kolejne pytania zawarte w podpunktach. Jeśli dobrze radzisz sobie z typowymi zadaniami z fizyki, nie powinieneś mieć problemu z wykonywaniem czynności pośrednich podczas przechodzenia od jednego do drugiego podpunktu standardowo sformułowanego problemu fizycznego.

mało istotne W treści pytania mogą pojawiać się odwróceniu cznie wyłą ć służy mają szczegóły, które Innymi słowy, Twej uwagi od ważnych informacji. cześnie zadania wieloetapowe mogą być jedno a od plew”. ziarn zadaniami wymagającymi „odsiania

Rozwiązywanie zada powinieneś zacząć nia podobnego do przykładowego rysunku i rachunkó od wykonania odpowiedniego trygonometryczne w zawierających funkcje (si Pojawienie się try nus, cosinus, tangens). go że w niedalekiej prz nometrii jest sygnałem, z twierdzenia Pitag yszłości trzeba będzie skorzystać orasa.

rem obronnym ierdzy otoczonej mu 5. Znajdujesz się w tw ustawione ło szczycie muru zosta o wysokości 15 m. Na og wr ich wycelowano w obóz działo, którego lufę dstawy muru. odległości 20 m od po żołnierzy, rozbity w działa wynosi y iej wylatującej z luf Szybkość kuli armatn na pytania: 90 m/s. Odpowiedz Oto brakujące ą gruntu)? aty z linią poziomą (np. z lini polecenie, a. Jaki kąt tworzy lufa arm będące dkości kuli iomą składową wektora prę KLUCZEM Wyznacz pionową oraz poz do rozwiązania armatniej. całego zadania. uderzy w ziemię? ili wystrzału kula armatnia b. Po jakim czasie od chw e kula? zu wrogich żołnierzy spadni c. W jakiej odległości od obo

y Rozwiązując podpunkta, należy b i c naszego zadani ruchu. skorzystać z równań rawnie, Aby móc to zrobić popk MUSISZ wykonać kro pośredni, nieopisany w treści zadania.

Gdybyś nie zdawał sobie sprawy z faktu, że ta ukryta część zadania jest NAPRAWDĘ istotna, mógłbyś próbować rozwiązać nasze przykładowe zadanie prostą metodą bazującą na wykorzystaniu twierdzenia Pitagorasa. Wówczas okazałoby się, że tor lotu kuli armatniej jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Jak już wiesz, założenie to przyjęliśmy podczas pierwszej próby rozwiązania omawianego zadania, ale okazało się błędne.

Na tym przykładzie widać, jak ważne jest rozwiązywanie zadań pewnych określonych typów oraz jak niebagatelne znaczenie ma trening umiejętności radzenia sobie z rozmaitymi problemami fizycznymi. Gdy nabierzesz wprawy w rozwiązywaniu zadań danego rodzaju, wykonywanie kroków pośrednich charakterystycznych dla tego rodzaju problemów stanie się dla Ciebie czynnością zupełnie naturalną — nie będziesz się mylił ani tracił czasu na sprawdzanie różnych, nie zawsze właściwych metod postępowania.

431

Twój świat jednostki spadanie

wykres

skalar punkty szczególne

przyspieszenie

doświadczenie

Zyskałem nowe supermoce związane z trójkątami prostokątnymi. składowa

czas Pitagoras

podstawienie

równania ruchu Bądź częścią problemu

równanie

wektor

stałe przyspieszenie

notacja naukowa przemieszczenie

szybkość

droga trygonometria prędkość

objętość

symetria nachylenie Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Pitagoras

Twierdzenie Pitagorasa zawiera równanie, za pomocą którego można znaleźć długość dowolnego boku trójkąta prostokątnego, jeśli tylko zna się długości dwóch pozostałych boków.

Trygonometria

Zależności miedzy stosunkami długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego a miarami kątów ostrych w tym trójkącie. Nazwy wspomnianych ilorazów (stosunków długości boków) to sinus, cosinus i tangens.

Składowa

432

Rozdział 9.

„Część” wektora. Na przykład wektor, który nie jest zorientowany ani pionowo, ani poziomo, możesz rozłożyć na składowe pionową i poziomą.

Niezbędnik fizyka

Trójkąty, trygonometria i trajektorie

Dostrzegaj trójkąty

Niezbędnik fizyka

sa

Twierdzenie Pitagora

h boków Znając długości dwóc , możesz go trójkąta prostokątne o boku ieg ec policzyć długość trz tego trójkąta. c

Wykonując rysunki mające ułatwić Ci rozwiązywanie dwuwymiarowych gę problemów fizycznych, zwracaj uwa ąty. trójk nich na się na pojawiające Szczególnie ważne są trójkąty prostokątne, powstające, gdy rozmaite obiekty poruszają się jednocześnie w dwóch kierunkach — pionowym i poziomym.

Sinus, cosinus i tangens Sinus, cosinus i tangens to stosunki długości określonych boków trójkąta prostokątnego.

b

c

a

a

2 c2 = a2 + b

Składowe wektorów

Zaleta trójkątów prostokątnych Jeśli znasz długość jednego z trzech boków trójkąta prostokątnego oraz długość drugiego boku albo miarę jednego z kątów ostrych leżących w tym trójkącie, możesz policzyć długości WSZYSTKICH jego boków i miary WSZYSTKICH leżących wewnątrz niego kątów — wystarczy, abyś znał twierdzenie Pitagorasa i wiedział, jak zdefiniowane są funkcje sinus, cosinus oraz tangens.

Jeśli jakiś obiekt porusz a się inaczej niż pionowo lub poziomo, przydatne może okazać się rozłożenie wektora jego prędkości na składowe pionową i poziomą. Pozioma składowa zazwy czaj nie zmienia się w czasie trwania ruc hu. Pionowa składowa zależy od grawitacji. Rozkładając wektory na skł adowe, jeden złożony problem zmienias z w dwa prostsze — takie, które bez trudu dasz radę rozwiązać.

b

sin(θ) = a

c cos(θ) = b c a tg(θ) = b

że wiesz, pewnij się, U : A D A R A iedy należy DOBR kalkulator! K ój Tw ła ia ”, „cos” lub jak dz przycisk „sin m ni w ać miary kąta? wcisk y po podaniu cz ed rz p — cuje „tan” kalkulator pra no ew p na y oże trzeba Czy ab stopni? A m gi u sł ob ie dla osoby w tryb amiętaj, że P ć? zy ąc eł e ma nic go prz cej fizykę ni ją ie m zu ro ełnianie dobrze cego niż pop ją ru st u fr ej bardzi omyłek. otrzebnych p głupich, niep

jesteś tutaj  433

  

Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 9. niniejszej książki. Twój niezbędnik fizyka wzbogacił się o dodatkowe słownictwo oraz umiejętności w zakresie sprawdzania poprawności udzielanych odpowiedzi.

434

Rozdział 9.

  " $ 

Co zrobił pan Newton?

Skoro kij uderza piłkę, to piłka musi jednocześnie uderzać kij. Tak mówi III zasada dynamiki Newtona.

Nikt nie lubi żyć w niewiedzy. Jak dotąd nauczyłeś się radzić sobie z problemami, w których ciała były już w ruchu. Ale co wprawia je w ruch? Wiesz, że ciało zacznie się poruszać, jeśli coś je popchnie — ale jak będzie się poruszać? W tym rozdziale nauczysz się, dzięki zasadom dynamiki Newtona, pokonywać bezwładność. Dowiesz się także, czym jest pęd i dlaczego podlega zasadzie zachowania oraz jak wykorzystywać ją do rozwiązywania zadań.

to jest nowy rozdział 435

O co chodzi z zasięgiem działa?

Statek piracki ma drobny problem ze statkiem widmo… Statek widmo ściga piratów przez wszystkie morza i oceany, więc kapitan statku pirackiego chce utrzymać odpowiednio dużą odległość między okrętami.

Będę wdzięczny, jeśli obliczycie mi maksymalny zasięg naszych dział. Nie chciałbym, żeby ten statek widmo podpłynął zbyt blisko…

Okręt piracki zaopatrzono ostatnio w specjalne bojowe armaty produkcji Bitwo-Polu, a kapitan chce poznać maksymalny zasięg nowego uzbrojenia — maksymalną odległość w poziomie, na jaką może wystrzelić kulę armatnią. Zostałeś wytypowany do wykonania ekspertyzy. Ponieważ zapas kul armatnich na statku jest szczupły, a na morzu nie da się go uzupełnić, kapitan nie zgodzi się na oddanie strzału, dopóki nie zobaczy rozwiązania teoretycznego.

Tor lotu kuli armatniej

Okręt piracki

Prędkość wylotowa to prędkość, z jaką kula armatnia opuszcza działo. To prędkość początkowa kuli.

Okręt widmo

Kąt oddania strzału Morze Zasięg kuli to jej przemieszczenie w kierunku poziomym.

Zasięg

436

Rozdział 10.

Zasada zachowania pędu

Tablicowe bazgroły — kula armatnia Pora się zorientować, co dzieje się z kulą armatnią podczas lotu. Musisz naszkicować wykresy pokazujące, jak z czasem zmieniają się poziome i pionowe składowe przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia. Zacznij od jednej ze składowych i pamiętaj, żeby rozpocząć pracę od wykonania najprostszych wykresów!

Wskazówka: Zastanów się najpierw, jakich przyspieszeń w pionie i w poziomie doznaje lecąca kula armatnia.

Maksymalna wysokość Okręt widmo

Okręt piracki

Przemieszczenie poziome

Przemieszczenie pionowe

Czas

Prędkość pozioma

Czas

Prędkość pionowa

Czas

Przyspieszenie poziome

Czas

Przyspieszenie pionowe

Czas

Czas

jesteś tutaj  437

Rozwiązanie zagadki kuli armatniej

Tablicowe bazgroły — kula armatnia. Rozwiązanie Pora się zorientować, co dzieje się z kulą armatnią podczas lotu. Musisz naszkicować wykresy pokazujące, jak z czasem zmieniają się poziome i pionowe składowe przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia. Zacznij od jednej ze składowych i pamiętaj, żeby rozpocząć pracę od wykonania najprostszych wykresów! Maksymalna wysokość Okręt widmo

Okręt piracki

Przemieszczenie poziome

Przemieszczenie pionowe

Maksymalna wysokość w połowie lotu.

Czas

Czas Kula armatnia zaczyna i kończy swój lot na tej samej wysokości.

Przemieszczenie w poziomie zwiększa się w stałym tempie.

Prędkość pozioma

Prędkość pionowa

Pozioma składowa prędkości jest stała przez cały czas trwania ruchu.

Prędkość maleje coraz bardziej.

Czas

Przyspieszenie poziome

Przyspieszenie pionowe

Kula nie doznaje żadnego przyspieszenia w poziomie.

438

Rozdział 10.

Wektory skierowane w dół mają znak ujemny. Kula armatnia spada, nabierając prędkości.

Stałe przyspieszenie wywołane siłą ciężkości = –9,8 m/s2.

Czas Po oddaniu strzału nic nie popycha kuli armatniej w kierunku poziomym, przyspieszając ją, ani nie zwalnia jej ruchu.

Czas Wektory dodatnie są skierowane w górę, a kula armatnia też rozpoczyna swój lot w górę.

Kula armatnia pokonuje w każdej sekundzie swojego ruchu identyczną odległość w poziomie.

Pionowa składowa prędkości wynosi zero w szczytowym punkcie toru ruchu.

Czas

Zasada zachowania pędu

Od czego zależy zasięg lotu? Teraz, gdy skończyłeś już szkicować wykresy zależności zmiany składowych wektorów od czasu, możesz zastanowić się, które ze zmiennych mogą mieć wpływ na maksymalny zasięg strzału z armaty.

Jak zmienia się zasięg w zależności od zmiany kąta strzału?

Wiesz już z poprzedniego rozdziału, że kąt, pod jakim oddano strzał, wpływa na zasięg strzału. Ale jaki kąt byłby najlepszy? Czy jesteś w stanie określić jego wartość, przewidując zachowania kuli armatniej wystrzelonej pod ekstremalnymi wartościami kątów? Czy powinieneś pomyśleć o czymś jeszcze?

Zaostrz ołówek a. Wypisz wszystkie czynniki, które mogą mieć wpływ na zasięg strzału armatniego.

Zastanów się teraz, które z ekstremalnych wartości kątów mogłyby pomóc Ci określić inne czynniki wpływające na zasięg. b. Wyobraź sobie (i narysuj), co stanie się, gdy wystrzelisz kulę pod małym kątem (bliskim zeru, czyli prawie w poziomie). Opisz to zjawisko, posługując się pojęciami pionowej i poziomej składowej prędkości.

Miejsce na rysunek.

c. Wyobraź sobie (i narysuj), co stanie się, gdy wystrzelisz kulę pod dużym kątem (bliskim wartości 90°, czyli prawie w pionie). Opisz to zjawisko, posługując się pojęciami pionowej i poziomej składowej prędkości.

Miejsce na komentarz.

d. Jak sądzisz, jaka wartość kąta byłaby optymalna do oddania strzału o maksymalnym zasięgu? (Nie musisz być pewnym odpowiedzi — zaufaj instynktowi i zgadnij).

jesteś tutaj  439

Jaki jest najlepszy kąt?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Wypisz wszystkie czynniki, które mogą mieć wpływ na zasięg strzału armatniego. Kąt oddania strzału

Prędkość statku

Prędkość kuli

Wysoka fala może zmienić kąt strzału lub prędkość kuli.

Prędkość i kierunek wiatru

Zastanów się teraz, które z ekstremalnych wartości kątów mogłyby pomóc Ci określić inne czynniki wpływające na zasięg. b. Wyobraź sobie (i narysuj), co stanie się, gdy wystrzelisz kulę pod małym kątem (bliskim zeru, czyli prawie w poziomie). Opisz to zjawisko, posługując się pojęciami pionowej i poziomej składowej prędkości. Wektor prędkości

Gdy kąt oddania strzału jest niewielki, pozioma składowa prędkości jest duża, a składowa pionowa mała. Choć kula porusza się szybko w poziomie, jej lot trwa dość krótko, ponieważ składowa pionowa prędkości jest tak mała.

c. Wyobraź sobie (i narysuj), co stanie się, gdy wystrzelisz kulę pod dużym kątem (bliskim wartości 90°, czyli prawie w pionie). Opisz to zjawisko, posługując się pojęciami pionowej i poziomej składowej prędkości. Wektor prędkości

Gdy kąt oddania strzału jest duży, pionowa składowa prędkości jest duża, a pozioma składowa prędkości jest mała. Oznacza to, że lot kuli trwa długo, ale zasięg strzału jest niewielki, ponieważ nie przemieszcza się ona zbyt szybko w poziomie.

d. Jak sądzisz, jaka wartość kąta byłaby optymalna do oddania strzału o maksymalnym zasięgu? (Nie musisz być pewnym odpowiedzi — zaufaj instynktowi i zgadnij). Optymalny kąt strzału przypadnie pomiędzy dwiema skrajnymi wartościami, prawdopodobnie w okolicach kąta 45°. Większe kąty oddania strzału pozwalają kuli szybować dłużej, ale za to składowa pozioma prędkości jest mniejsza.

Oddanie strzału pod kątem 45° pozwala osiągnąć maksymalny zasięg Strzał oddany pod kątem 45° pozwala osiągnąć najlepszy kompromis między czasem spędzonym w powietrzu (pionowa składowa prędkości) a drogą pokonywaną w tym czasie w poziomie (pozioma składowa prędkości). Oddając strzał w ten sposób, gwarantujesz sobie osiągnięcie maksymalnego zasięgu, jaki daje się uzyskać dla danej prędkości.

440

Rozdział 10.

Prędkość początkowa

v0

v0po

v0pi

Tor lotu jest zawsze symetryczny.

Kąt 45° pozwala osiągnąć największy zasięg.

Składowe poziomą i pionową Mniejsze kąty oddania strzału prędkości oznaczyliśmy dają większą składową dolnymi indeksami „po” i „pi”. prędkości poziomej, ale kula szybuje krócej.

Zasada zachowania pędu

Nie da się zrobić wszystkiego, co teoretycznie jest możliwe, czasami trzeba myśleć praktycznie

Wszystko pięknie, ale nasze armaty pozwalają na oddanie strzału co najwyżej pod kątem 10°. Jaki będziemy mieć zasięg?

Kapitan był zachwycony, słysząc Twoją sugestię oddania strzału o maksymalnym zasięgu pod kątem 45°. Niestety okazało się, że armaty zamontowane na statku pozwalają celować skutecznie, tylko jeśli kąt oddania strzału nie przekracza 10°, więc wyznaczona wartość kąta 45° nie ma praktycznego zastosowania. Czasami zdarza się tak, że coś, co teoretycznie jest możliwe, nie ma zastosowania z powodu fizycznych ograniczeń. Na pocieszenie pozostaje Ci fakt, że skoro piraci mogą oddać strzał pod kątem 10°, to ten kąt zapewni im najlepszy zasięg, ponieważ jest on najbliższy teoretycznie wyznaczonej wartości 45°. Pora zatem obliczyć zasięg…

Zaostrz ołówek Pamiętaj, żeby zacząć od wykonania rysunku układu i zaznaczenia dodatniego zwrotu wektorów. Pionowe i poziome składowe prędkości możesz oznaczyć indeksami dolnymi, na przykład vpo i vpi.

Oblicz maksymalny zasięg strzału oddanego pod kątem 10° z prędkością początkową 90,0 m/s. (Załóż, że kula rozpoczyna swój lot na poziomie morza i kończy go na tej samej wysokości). Na stronie 372 rozdziału 8. i na stronie 419 rozdziału 9. powinieneś znaleźć wskazówki pomagające rozłożyć ten problem na mniejsze części.

jesteś tutaj  441

Wypatruj symetrii

Zaostrz ołówek: Oblicz maksymalny zasięg strzału oddanego pod kątem 10° z prędkością początkową 90,0 m/s. (Załóż, że kula rozpoczyna swój lot na poziomie morza i kończy go na tej samej wysokości).

Rozwiązanie

Zaczynam od wyznaczenia składowych wektora prędkości. s

0,0

v0

m/

sin(10°) =

=9

v0pi 10°

v0pi v0

cos(10°) =

v0pi = v0sin(10°) ≈ 15,6 m/s

v0po v0

v0po = v0cos(10°) ≈ 88,6 m/s

v0po Obliczam czas trwania lotu w kierunku pionowym (będę używać WYŁĄCZNIE pionowych składowych wektorów): Jeśli nie zdecydujesz się Wektory zwrócone w górę na opisywanie składowych mają wartość dodatnią. prędkości indeksami, zachowaj vpi = v0pi + apit api = –9,8 m/s2 szczególną ostrożność podczas xpi – x0pi = 0 m przeprowadzania obliczeń dla at = vpi – v0pi prędkości pionowej i poziomej. t = ? v0pi = 15,6 m/s (–15,6 m/s) – (15,6 m/s) t = vpi – v0pi = ≈ 3,18 s vpi = –15,6 m/s –9,8 m/s2 api Obliczam zmianę położenia ciała w poziomie w obliczonym poprzednio czasie (pracuję tylko z poziomymi składowymi wektorów): xpo xpo – x0po xpo = vpo = = t = 3,18 s vpo = 88,6 m/s t t t - 0 x0po = 0 m W poziomie ciało nie doznaje żadnego przyspieszenia. xpo = ?

xpo = vpot = 88,6 m/s × 3,18 s ≈ 282 m Zasięg strzału oddanego z działa okrętowego pod kątem 10° to 282 m.

Warto zauważyć, że pionowe składowe prędkości, początkowa i końcowa, mają tę samą wartość (choć przeciwne zwroty), prawda?

Szukaj skrótów, jakie daje symetria.

Wektor prędkości początkowej.

Symetria układu często pozwala rozwiązać zadanie w znacznie prostszy sposób. Jeśli całkowite przemieszczenie w pionie jest równe zeru, ruch najprawdopodobniej będzie symetryczny. Czasami rozwiązanie staje się łatwiejsze, jeśli zauważysz, że ruch pocisku w górę trwa tyle samo czasu, co jego opadanie. Możesz też wykorzystać wiedzę o tym, że pionowe składowe prędkości v0pi i vpi mają te same wartości (choć przeciwne zwroty) na tych samych wysokościach trajektorii.

442

Rozdział 10.

v0 v0pi

v0po

Zasada zachowania pędu

Nie istnieją

głupie pytania

P: Co stanie się, jeśli nie zauważę P: Jak mam określić, która symetrii układu, a mimo to rozwiążę większą część zadania?

O

: Nic złego się nie stanie. Pamiętaj jedynie o tym, że dostrzeżenie symetrii pozwala czasami rozwiązać zadanie szybciej i łatwiej.

P: Czy takie zadanie jak

poprzednie można rozwiązać poprawnie bez uciekania się do pomocy symetrii?

O

: Oczywiście. Możesz posłużyć się równaniem v2 = v02 + 2a(x – x0). W tym przypadku czynnik x – x0 = 0, ponieważ kula zaczyna swój lot na tej samej wysokości, na której go kończy. Przy takim warunku równanie upraszcza się do postaci v2 = v02.

P: Czy skoro zachodzi równość

v2 = v02, to mogę napisać, że v = v0?

O

: To nie takie proste. Pomnożenie dwóch liczb ujemnych przez siebie też daje wynik dodatni, więc rozwiązaniem równania v2 = v02 może być v = v0 lub v = –v0.

z dwóch możliwych odpowiedzi jest poprawna?

O

: Przyjrzyj się kontekstowi, w którym udzielasz odpowiedzi. W omawianym zadaniu pionowa składowa wektora prędkości początkowej jest skierowana w górę, a ta sama składowa wektora prędkości końcowej jest skierowana w dół, więc ich zwroty są przeciwne. Z tego wynika, że prawidłową odpowiedzią jest v = –v0.

P: W rozwiązaniu Zaostrzonego

Jeżeli pocisk zaczyna swój lot na tej samej wysokości, na której go kończy, pionowe składowe jego prędkości początkowej i końcowej mają tę samą wartość, choć ich zwroty są przeciwne.

ołówka pojawiają się indeksy dolne. Czy ja też mam używać takiego zapisu?

O

: Indeksy pomagają zachować porządek w obliczeniach, ale czasami gmatwają ich obraz! Możesz ich używać, jeśli będziesz trzymać się raz przyjętej konwencji i nie zapomnisz o komentarzach do zadania.

Byłoby wspaniale, gdyby dało się jeszcze bardziej zwiększyć zasięg, nie wymieniając dział. Pomarzyć piękna rzecz…

P: Co stanie się, jeśli statek widmo będzie dalej niż 282 m od fregaty piratów? Nie wydaje mi się, by korsarzom udało się dostać nowe działa o większej prędkości wylotowej.

O

: Piraci muszą radzić sobie z tymi działami, które mają, ale na stronie internetowej znajduje się informacja, że prędkość wylotowa została podana dla standardowej kuli armatniej… Wektor prędkości końcowej.

Pionowe składowe prędkości mają tę samą wartość, ale przeciwne zwroty.

vpi

v

Poziome składowe prędkości nie ulegają zmianie (bo nie ma przyspieszenia w poziomie).

Początek wektora prędkości końcowej należałoby zaznaczyć w środku kuli armatniej, ale zdecydowaliśmy się go przesunąć, żeby symetria układu była lepiej widoczna.

vpo

jesteś tutaj  443

Ciągle same problemy

Bitwo-Pol ma w ofercie nowe, kamienne kule armatnie, które mają umożliwiać oddawanie strzałów na większą odległość Na stronie Bitwo-Polu pojawiła się aktualizacja oferty! Teraz, poza standardową kulą żelazną, można też nabyć u nich kule kamienne. Mimo że wymiary obydwu kul są identyczne, masa kuli kamiennej to tylko jedna czwarta masy kuli żelaznej. Masa ciała informuje Cię o ilości materiału, z którego wykonano to ciało. Obydwie kule mają ten sam rozmiar i tę samą objętość (przecież muszą pasować do tej samej armaty), ale żelazo ma większą gęstość niż kamień. Z informacji podanych na stronie internetowej wynika, że kamienne kule armatnie wystrzelone z tego samego działa, co kule żelazne, mają większy zasięg. Niestety produkt ten jest zbyt nowy, by sprzedawca dysponował danymi technicznymi na jego temat, więc nie znamy prędkości wylotowej takiej kuli.

Nawet JEŚLI kamienna faktycznie dalej A kula zatem… czy kamienne kule poleci faktycznie niż żelazna, jej cena może okazać się zbyt dolatują dalej, czy jest to tylko szum w mediach?

wysoka. Czy zmiana zasięgu jest na tyle duża, by zakup był opłacalny?

„Czy faktycznie” i „ile dalej” to dwa pytania, które zmuszają nas do głębszego zastanowienia. Czasami trzeba udzielić odpowiedzi jakościowej. Pytaniem wymagającym takiej odpowiedzi jest właśnie „Czy kamienna kula faktycznie poleci dalej niż wystrzelona z tej samej armaty (cięższa od niej) kula żelazna?”. Czasami zaś musisz udzielić odpowiedzi ilościowej. Takiej odpowiedzi wymaga pytanie „O ile (i czy w ogóle) dalej poleci kula kamienna niż wystrzelona z tej samej armaty (cięższa) kula żelazna?”. W przypadku naszego zadania musisz udzielić odpowiedzi na obydwa te pytania. Jeżeli kula kamienna poleci dalej, piraci będą chcieli wiedzieć, o ile dalej, ponieważ zależy im na utrzymaniu jak największej odległości pomiędzy swoim statkiem a statkiem widmo.

444

Rozdział 10.

Zasada zachowania pędu Zapewnienia działu promocji zawsze budzą moje podejrzenia.

Kuba: Kurczę, nie mają nawet danych technicznych dotyczących prędkości kamiennej kuli. Wiemy tylko tyle, że jej masa to jedna czwarta masy kuli żelaznej. Franek: Ale skoro obydwie kule pasują do tego samego działa, to muszą mieć ten sam rozmiar. Jakim cudem mogą mieć inne masy? Krzysiek: Jeden centymetr sześcienny żelaza jest cięższy od jednego centymetra sześciennego kamienia. Gdybyś miał podnieść bryły kamienną i żelazną o jednakowej objętości, bardziej zmęczyłbyś się, podnosząc tę żelazną. Zatem z dwóch kul armatnich o tym samym rozmiarze żelazna musi być cięższa od kamiennej. Te informacje na stronie są prawdziwe. Kuba: Ale czy nie stwierdziliśmy, że wszystkie ciała, niezależnie od masy, przyspieszają w tym samym tempie? W takim razie nie powinno mieć znaczenia, czy strzelamy kulą kamienną, czy żelazną. Krzysiek: Hmm, przecież kule opuszczające lufę działa nie znajdują się jeszcze pod wpływem grawitacji. Za każdym razem wypycha je z działa taka sama eksplozja. Franek: I jak sądzę, taki napęd różni się nieco od grawitacji — eksplozja wypycha kulę z działa, a grawitacja nie musi mieć kontaktu z ciałem, żeby nadać mu przyspieszenie.

Armata działa na innej zasadzie niż grawitacja, ponieważ musi mieć kontakt z kulą, żeby ją wypchnąć z lufy.

Kuba: Może uda się nam być przez chwilę działem. Moglibyśmy wyobrazić sobie wypychanie kamiennych i żelaznych kul z działa, żeby przekonać się, co się wtedy dzieje. Krzysiek: Ale pchnięcie którejkolwiek z tych kul byłoby dla nas problemem. Myślę, że pora zająć się wartościami ekstremalnymi — wyobraźmy sobie popychanie dużej masy i popychanie małej masy… popchnijmy słonia i popchnijmy mysz…

BĄDŹ … kimś, kto musi coś popchnąć Masz wyobrazić sobie, że popychasz słonia i mysz z tą samą siłą. Załóżmy, że każde ze zwierząt stoi na deskorolce, więc pchnięcie przyniesie widzialny efekt. Co możesz powiedzieć o ich prędkościach?

jesteś tutaj  445

Ciężej zacząć… ciężej skończyć

BĄDŹ … kimś, kto musi coś popchnąć. Rozwiązanie Jeśli mocno pchnę mysz, zwierzę nabierze Masz wyobrazić sobie, że popychasz słonia i mysz z tą samą siłą. Załóżmy, że każde ze zwierząt stoi na deskorolce, więc pchnięcie przyniesie widzialny efekt. Co możesz powiedzieć o ich prędkościach?

naprawdę dużej prędkości. Słonia wprawia się w ruch znacznie trudniej, ponieważ ma większą masę, niż mysz. Gdy pchnę go tak samo mocno jak mysz, słoń nie poruszy się prawie wcale. Ciała o małej masie rozwijają większą prędkość, jeśli pchnie się je z taką samą siłą, jak duże ciała.

Masywne obiekty ciężej wprawia się w ruch Jeśli postawisz słonia i mysz na deskorolkach i pchniesz każde z taką samą siłą, mysz zacznie poruszać się znacznie szybciej niż słoń. Trudniej jest zmienić prędkość słonia, zwierzęcia o dużej masie.

Tak słoń, jak i mysz startują z zerową prędkością początkową.

Duża masa

msłonia vsłonia Taka sama siła pchnięcia

Mała zmiana prędkości

Im większa masa ciała, tym trudniej zmienia się jego prędkość.

Mała masa

vmyszy

mmyszy

To stwierdzenie jest prawdziwe zarówno wtedy, gdy prędkość początkowa ciała wynosi zero, jak i gdy ciało już znajduje się w ruchu.

Duża zmiana prędkości

Masywne obiekty ciężej się zatrzymuje Jeśli słoń i mysz poruszają się już z tą samą prędkością, zatrzymanie słonia będzie trudniejszym zadaniem niż zatrzymanie myszy. Popychane ciało o większej masie ma większą tendencję do utrzymania swojej bieżącej prędkości niż popychane z tą samą siłą ciało o mniejszej masie. Ciężko go zatrzymać!

vsłonia

Ta sama prędkość początkowa

vmyszy

446

msłonia

msłonia

Ta sama siła pchnięcia

mmyszy

Rozdział 10.

vmyszy = 0 Łatwo ją zatrzymać

vsłonia To stwierdzenie jest prawdziwe zarówno wtedy, gdy prędkość początkowa ciała wynosi zero, jak i gdy ciało już znajduje się w ruchu.

Ciała wolą poruszać się ze swoją bieżącą prędkością.

Zasada zachowania pędu

I zasada dynamiki Newtona

Być może słyszałeś powiedzenie „ciało w spoczynku ma w zwyczaju pozostawać w spoczynku, ciało wprawione w ruch ma tendencję do pozostawania w ruchu”. I zasada dynamiki Newtona posuwa się nawet dalej.

I zasada dynamiki

Każde ciało charakteryzuje się bezwładnością, co oznacza, że dopóki nie zadziałasz na nie pewną siłą (na przykład popychając je), będzie poruszać się ze stałą prędkością. Dlatego właśnie ciała nieruchome pozostają w bezruchu, dopóki nie pojawi się czynnik nadający im prędkość. Z tego samego powodu ciało poruszające się z pewną prędkością zachowuje ją, chyba że pojawi się czynnik, który zwiększy lub zmniejszy tę prędkość, albo nada ciału inny kierunek ruchu.

Newtona mówi, że ciało będzie poruszać się z tą samą prędkością, dopóki

To właśnie I zasada dynamiki Newtona. Mówi ona, że ciało, na które nie działa żadna siła wypadkowa, porusza się ze stałą prędkością lub pozostaje w spoczynku. a Siła wypadkow to suma wszystkich sił działających na ciało.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Skoro to PIERWSZA zasada dynamiki Newtona, czy to znaczy, że istnieją jeszcze inne? Ile ich jest?

O

: W tym i w następnym rozdziale przedstawimy Ci trzy zasady dynamiki Newtona.

P

: Słyszałem coś o zasadzie bezwładności Galileusza. Wydaje mi się, że może ona mieć coś wspólnego z I zasadą dynamiki Newtona. Czy jej też mam się nauczyć?

O

: Zasada bezwładności Galileusza i I zasada dynamiki Newtona to to samo prawo.

nie zadziała na nie siła wypadkowa. Jeszcze usłyszysz nieco na jej temat.

P

: Czy w takim razie nazwa zasady ma znaczenie? Czy muszę ją pamiętać? A może wystarczy, że będę rozumiał samą ideę?

O

: Zrozumienie idei jest najważniejsze, ale w czasie klasówki czy egzaminu mogą pojawić się pytania o wyjaśnienie pewnych zjawisk w kontekście, na przykład III zasady dynamiki Newtona. Wtedy musisz wiedzieć, która z zasad o czym mówi.

P

: Czy to, że prędkość ciała ulega zmianie, oznacza, że ciało zwalnia lub przyspiesza?

O

: Prędkość jest wektorem, więc zmiana prędkości może oznaczać przyspieszanie lub zwalnianie, ale równie dobrze może wiązać się ze zmianą kierunku wektora bez zmiany jego wartości.

P: Czym jest siła wypadkowa? O: Na ciało może w tym samym

czasie działać kilka sił. Siła wypadkowa jest sumą ich wszystkich.

Ta sama SZYBKOŚĆ, ten sam KIERUNEK i ten sam ZWROT.

Przecież to nieprawda! Wszyscy wiedzą, że poruszające się ciało zwalnia i w końcu się zatrzymuje. Głupotą byłoby sądzić inaczej!

Tarcie też jest siłą. Tarcie jest siłą pojawiającą się, gdy powierzchnie dwóch ciał stykają się ze sobą. I zasada dynamiki Newtona mówi, że prędkość ciała nie ulegnie zmianie, jeśli na ciało nie działa żadna siła wypadkowa. Ponieważ tarcie jest siłą, może zmniejszać prędkość ciała, i właśnie dlatego poruszające się obiekty zwalniają, jeżeli nie zakłócisz w żaden sposób ich ruchu. Więcej na temat tarcia dowiesz się z rozdziału 12.

jesteś tutaj  447

Myśl o sytuacjach ekstremalnych

Masa ma znaczenie Gdy popchniesz z taką samą siłą słonia i mysz, mysz zacznie poruszać się ze znacznie większą prędkością niż słoń, ponieważ ma mniejszą masę. Natomiast gdy podziałasz identyczną siłą na słonia i mysz przemieszczające się z taką samą prędkością, aby je zatrzymać, zostaniesz zmiażdżony przez słonia. Mysz zatrzymasz bez trudu. Im większa jest masa ciała, tym większa jest jego bezwładność, czyli skłonność do utrzymania prędkości. Oznacza to, że chcąc uzyskać taką samą zmianę prędkości masywnego ciała jak ciała lekkiego, musisz zadziałać na ciało masywne znacznie większą siłą.

Duża masa

msłonia vsłonia Taka sama siła pchnięcia

Mała zmiana prędkości

Mała masa

mmyszy

vmyszy

Duża zmiana prędkości

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy to oznacza, że będę musiał obliczać siły? Jak się to robi?

O

: Tym zajmiemy się później. Teraz poznasz jedynie kilka ogólnych praw rządzących siłami.

Nie do końca widzę związek między popychaniem słoni i myszy a strzelaniem z dział. W zasadzie po co robimy to wszystko?

P

: Słowo „bezwładność” zawsze kojarzyło mi się z pewnego rodzaju niemocą. Na przykład mogę powiedzieć „Wyczerpany, upadłem zupełnie bezwładnie”. Czy dobrze kojarzę jego znaczenie?

O: Istnieje pewne podobieństwo znaczeń. Bezwładność

ciała określa jego skłonność do zachowania swojej prędkości, więc można powiedzieć, że bezwładność określa niemożność zmiany prędkości.

Armata wywiera na kulę pewną siłę. Kule armatnie mają różne masy. Wybuch prochu wyrzuca kulę z lufy zawsze z tą samą siłą. Kula kamienna ma inną masę niż kula żelazna, ale ponieważ obie są dość ciężkie, Ty nie poczułbyś zapewne różnicy, gdybyś próbował pchnąć je ręcznie. Dlatego sugerowaliśmy, byś odkrył prawa rządzące takim układem, rozważając wartości ekstremalne — stąd słoń i mysz, dwa ciała o zupełnie różnych masach. Gdy powrócisz do rozważań o kulach armatnich, będziesz mógł powiedzieć: „Po wypchnięciu kul armatnich z lufy z tą samą siłą lżejsza kula kamienna zyska większą prędkość”. Zanim jednak powrócisz na statek piratów, spróbuj wykonać niewielkie ćwiczenie.

448

Rozdział 10.

Przywyknij do rozważania wartości ekstremalnych, które mają pomóc Ci w rozwiązaniu Twojego problemu.

Zasada zachowania pędu

Ćwiczenie

Masz do dyspozycji trzy kartonowe kubki od napojów. Na jednym z nich umieszczamy żelazną kulę armatnią, na drugim stawiamy nieco lżejszą kulę kamienną, a na ostatnim kładziemy najlżejszą kulę drewnianą. Na każdą z kul zrzucamy z tej samej wysokości cegłę. Który kubek zniszczy się najmniej i dlaczego?

Spokojnie, chcemy poznać Twoje przewidywania, więc nie przejmuj się, jeśli nie masz pomysłu, co się stanie.

Cegła spada zawsze z tej samej wysokości. Drewno (najlżejsze)

Żelazo (najcięższe) Kamień

Identyczne kartonowe kubki od napojów.

jesteś tutaj  449

Zmień masie prędkość

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Masz do dyspozycji trzy kartonowe kubki od napojów. Na jednym z nich umieszczamy żelazną kulę armatnią, na drugim stawiamy nieco lżejszą kulę kamienną, a na ostatnim kładziemy najlżejszą kulę drewnianą. Na każdą z kul zrzucamy z tej samej wysokości cegłę. Który kubek zniszczy się najmniej i dlaczego? Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało utrzymuje swoją prędkość, dopóki nie zadziała na nie siła wypadkowa. Początkowo prędkość każdej z kul wynosi zero. Im ciało jest cięższe, tym większa siła jest potrzebna, by zmienić jego prędkość. Kule ma wprawiać w ruch cegła spadająca na nie z tej samej wysokości. Ponieważ kula żelazna jest najcięższa, u niej najtrudniej będzie wywołać zmianę prędkości. Przez to stanowi ona swoistą ochronę dla kubka. Oznacza to, że kubek stojący pod kulą żelazną ulegnie najmniejszemu zgnieceniu.

Żelazo (najcięższe)

Kamień

Najmniej zgnieciony

To wszystko nie tak! Kula żelazna powinna spowodować największe zniszczenia, ponieważ jest najcięższa!

Trudniej rusza się masywne przedmioty. Im większa masa ciała, tym trudniej zmienić jego prędkość.

Gdyby słoń zsuwał się z górki w Twoim kierunku, wolałbyś, żeby najpierw musiał zderzyć się z ceglaną ścianą, czy z płachtą papieru? Patrząc w ten sposób na problem kul armatnich i cegły, dojdziesz do wniosku, że kule chronią kubki przed uderzeniem cegły. Są tym samym, czym ściana odgradzająca Cię od słonia. Kubek umieszczony pod żelazną kulą ulegnie najmniejszemu zgnieceniu, ponieważ jej masa jest największa. Gdybyśmy zrzucali na kubki kule, wtedy faktycznie żelazna wyrządziłaby największe szkody, ponieważ żeby ją zatrzymać, trzeba zadziałać największą siłą (kubek nie może tego zrobić… ale ziemia zdoła bez problemu).

450

Rozdział 10.

Drewno (najlżejsze)

Najbardziej zgnieciony

Zasada zachowania pędu

Kula z kamienia ma mniejszą masę, więc jej prędkość będzie większa. Ale o ile większa? Wiemy już, że kula z kamienia ma mniejszą masę niż kula z żelaza, więc wyleci z lufy z większą prędkością.

Duża masa

F

msłonia vsłonia

Taka sama siła pchnięcia

F

mmyszy vmyszy

Mała zmiana prędkości

Mamy już na pokładzie nowe, kamienne kule armatnie. Nie mam nic przeciwko próbnym salwom, pod warunkiem że w poziomie. Musimy pozostać poza zasięgiem radarów, rozumiemy się?

Duża zmiana prędkości

Mała masa

F Jeśli pchniesz je z tą samą F siłą…

mżelaza

Żelazo — duża masa

vżelaza mkamienia vkamienia

Mała zmiana prędkości

Duża zmiana prędkości

Kamień — mała masa

Jednak o kuli z kamienia wiesz tylko tyle, że jej masa to ćwiartka masy kuli żelaznej. Kapitan statku pragnie poznać zasięg strzału oddanego pod kątem 10° kulą z kamienia, ale pozwoli wykonać strzał próbny tylko w poziomie. Strzał oddany w poziomie w niczym Ci nie pomoże, bo nie będziesz mógł zmierzyć odległości, jaką pokona kula lecąca nad powierzchnią wody, a prędkość wylotowa będzie zbyt duża, by mierzyć ją bezpośrednio.

Będąc na morzu, nie zdołasz zmierzyć odległości!

Znając prędkość, zdołasz obliczyć zasięg.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Czy da się jakoś określić zasięg lotu lub prędkość kamiennej kuli wystrzelonej pod kątem 10°, dokonując pomiarów na pokładzie statku?

jesteś tutaj  451

Zmniejsz tarcie A zatem wiemy już, że kula z kamienia poleci dalej. Ponieważ masa kuli kamiennej jest mniejsza niż masa kuli z żelaza, jej prędkość wylotowa będzie większa od prędkości kuli żelaznej. Kuba: No dobrze, skoro kamienna kula ma większą prędkość, pionowa składowa tej prędkości też będzie większa, więc kula pozostanie dłużej w powietrzu. Oczywiście składowa pozioma też będzie większa, przez co kula przemieści się w tym czasie jeszcze dalej. Krzysiek: Czyli udało się nam odpowiedzieć na pytanie „czy faktycznie?”. Wiemy już, że kamienna kula poleci dalej, ale pytanie „o ile?” nadal pozostaje bez odpowiedzi. Nadal nie wiemy, o ile dalej od kuli żelaznej poleci kula kamienna. Franek: A na głupiej stronie Bitwo-Polu nadal nie ma potrzebnych nam danych technicznych. Gdybyśmy znali prędkość wylotową kamiennej kuli, wszystko byłoby łatwiejsze. Moglibyśmy zdziałać coś, mając dane dotyczące mas kul, ale na stronie podają tylko, że kula kamienna jest cztery razy lżejsza od żelaznej. Krzysiek: Może udałoby się przeprowadzić odpowiednie doświadczenie?

BUM

BUM

Franek: Tylko że piraci nie zgodzą się strzelić do statku widmo. Nie chcą tracić elementu zaskoczenia… Krzysiek: Sądziłem, że może uda się nam przeprowadzić doświadczenie w mniejszej skali, tak jak robiliśmy to wcześniej. Kuba: Masz na myśli armatę zabawkę? Moglibyśmy wystrzelić z niej dwa różne ciała, z których jedno byłoby cztery razy lżejsze od drugiego.

Doświadczenie w małej skali? Miniarmaty?

Sprężyna da większą kontrolę nad działającą siłą.

Zmniejszamy ta poduszkowca?! rcie — może za pomocą nie widziałem) (Choć nigdy czegoś takiego .

452

Rozdział 10.

Franek: Nie wiem, czy kalibrowanie zabawki ma sens z praktycznego punktu widzenia. A może użylibyśmy sprężyny, żeby pchnąć ciało w poziomie? Wtedy pracowalibyśmy tylko w jednym wymiarze, a wyniki ekstrapolowalibyśmy do dwóch wymiarów, posługując się składowymi wektorów. Krzysiek: Ale jeśli pchniemy ciało w poziomie, siła tarcia szybko je wyhamuje. Kula lecąca w powietrzu stawia stosunkowo nieduży opór. To co proponujesz, nie odda odpowiednio charakteru strzału. Kuba: Powietrze, powiadasz? A może spróbujemy wykonać takie małe poduszkowce, odpychane sprężynami. Wtedy ciało poruszałoby się na poduszce powietrznej.

Zasada zachowania pędu

Franek: A może, nie… mam jeszcze lepszy pomysł. Może dałoby się zredukować tarcie, gdybyśmy przeprowadzili doświadczenie na stole do hokeja powietrznego. Moglibyśmy zamontować na nim sprężynę, żeby na ciało działała zawsze ta sama siła, popychając je w poprzek stołu.

Stół do hokeja powietrznego nada się doskonale do zredukowania tarcia.

Krzysiek: Właśnie przyszło mi coś do głowy. Działa mają odrzut, prawda? Kuba: Co masz na myśli?! Krzysiek: Gdy strzelasz z działa lub pistoletu, siła wybuchu odrzuca broń wstecz. Czasami mówi się, że pistolet „kopie”. To dlatego działa na statku mają koła. Franek: W takim razie powinniśmy umieścić sprężynę pomiędzy dwoma ciałami znajdującymi się na stole do hokeja. Jedno z nich powinno być bardziej masywne, jak armata. Drugie będzie miało mniejszą masę, tak jak kula. Gdy zwolnimy sprężynę, pojawi się efekt odrzutu. Krzysiek: Pomysł jest niezły. Zastanawiam się tylko, jak zmierzyć prędkość. Przecież to właśnie ją chcemy określić dla ciał o różnych masach. Potem będziemy musieli przeliczyć wynik tak, żeby określić zasięg kamiennej kuli armatniej.

Działo ma odrzut, więc odepchniemy od siebie sprężyną dwie masy.

Kuba: Przypuszczam, że zdołamy określić drogę, jaką przebywa ciało, i zmierzyć czas, jaki mu to zajmuje. Mając te dane, zdołamy obliczyć prędkość. Krzysiek: Ciężko będzie zachować precyzję pomiarów. Nie możemy przecież posłużyć się zwyczajnym stoperem, bo mierzone czasy będą bardzo krótkie — może nawet krótsze niż pół sekundy — więc nie damy rady zrobić tego ręcznie. Franek: W pracowni fizycznej widziałem kiedyś takie cwane urządzenie. Z jednej strony znajduje się źródło wiązki światła, z drugiej odbiornik. Gdy jakieś ciało przecina wiązkę światła, uruchamia się stoper. Gdy wiązka znów dociera do czujnika, stoper się zatrzymuje. Kuba: Ale w tym urządzeniu jest tylko jedna wiązka światła, prawda? Jak w takim razie zmierzyć czas pokonywania pewnej odległości, skoro wiązka zawsze znajduje się w tym samym miejscu? Franek: Jeżeli będziemy znali długość ciała, będziemy jednocześnie znali drogę, jaką pokonuje ono, blokując wiązkę światła. W ten sposób obliczymy prędkość. Krzysiek: Możemy wykonać pomiary dla małej masy (kula) i dla dużej (armata), dzięki czemu obliczymy od razu prędkość odrzutu.

Fotokomórka pozwoli nam wyznaczyć dokładnie czas pokonania określonej drogi, dzięki czemu obliczymy prędkość.

Projektując doświadczenie, postaraj się, by było jak najbardziej PODOBNE do zjawiska, które modelujesz.

Kuba: Chodźmy do pracowni i sprawdźmy, jaki tam mamy sprzęt…

jesteś tutaj  453

Wyposażenie pracowni

Oto czym dysponuje pracownia

Prawdziwy tor powietrzny jest znacznie dłuższy.

Żeby przeprowadzić doświadczenie, potrzebujesz następujących przedmiotów.

Wagonik

Będziesz potrzebował trasy zmniejszającej tarcie. W pracowni fizycznej znajdziesz tor powietrzny. Jego zasada działania przypomina działanie stołu do hokeja powietrznego. Jest to rura z wyciętymi w niej małymi otworami, przez które wylatuje wdmuchiwane do niej powietrze. Powietrze to tworzy poduszkę powietrzną pod wózkiem poruszającym się nad rurą, przez co redukuje tarcie do minimum. Będziesz potrzebować modeli armaty i kuli. Do toru powietrznego dołączony jest zestaw wagoników, których kształt jest dopasowany do kształtu toru.

Unosi się na poduszce powietrznej.

Powietrze wylatuje przez te dziurki.

Tor powietrzny zmniejsza tarcie, przez co poruszające się po nim wagoniki dobrze modelują układ armata – kula.

Teraz musisz opracować metodę zmieniania masy wagonika i mierzenia jej. Do wagoników dołącza się zazwyczaj zestaw obciążników, które można mocować na szczycie wagonika. Zarówno wagonik, jak i obciążnik mają wyznaczone masy i są oznaczone odpowiednimi symbolami. Możesz zatem przyjąć, że jeden z wagoników będzie modelem armaty, a drugi modelem kuli. Możesz obciążyć wagoniki i odepchnąć je od siebie sprężyną.

Potrzebujesz też czegoś, co odepchnie wagoniki od siebie za każdym razem z taką samą siłą. Możesz użyć do tego celu sprężyny, którą będziesz umieszczać w tym samym miejscu przy każdym powtórzeniu doświadczenia. Po zwolnieniu sprężyny wagoniki zostaną odepchnięte od siebie.

Pora zastanowić się, jak zmierzyć prędkość. Na każdym z wagoników możesz umieścić kawałek tektury o określonej długości. Gdy zamontujesz w układzie fotokomórkę (bramkę świetlną), wagonik z kartonikiem przetnie wiązkę światła i tym samym uruchomi stoper. Gdy cały kartonik przesunie się już przez bramkę, światło dotrze znów do czujnika i wyłączy stoper. Dzięki temu poznasz czas potrzebny wagonikowi na pokonanie drogi równej długości kartonika. Te dane wystarczą do obliczenia prędkości.

Zastanów się, co MASZ zrobić. Potem pomyśl, jakim sprzętem DYSPONUJESZ. 454

Rozdział 10.

Zamontuj tekturkę na wagoniki i zmierz czas, w jakim będzie się ona przesuwać przez wiązkę fotokomórki.

Zasada zachowania pędu

Jaka zależność łączy siłę, masę i prędkość? Zebrałeś już cały sprzęt potrzebny do zaprojektowania doświadczenia, które pozwoli Ci określić wpływ masy kuli armatniej na prędkość wylotową. Teraz musisz zbudować układ doświadczalny. Jednocześnie musisz stale myśleć o tym, które wartości zmiennych chcesz zmieniać w czasie przeprowadzania doświadczenia. Na wynik całego eksperymentu (w tym przypadku wynikiem ma być wyznaczenie prędkości wagonika) mają wpływ różne czynniki.

Projektując eksperyment, zawsze zwracaj uwagę na ZMIENNE, z którymi masz do czynienia.

Zaostrz ołówek a. Zaprojektuj układ doświadczalny i wykonaj jego szkic. Układ powinien składać się z wymienionych na poprzedniej stronie przyrządów (możesz też dodać do niego inne potrzebne Ci elementy). Doświadczenie ma odtworzyć sytuację, która ma miejsce w czasie oddawania strzału z armaty, kiedy armata i kula doznają zmiany prędkości. Twoim celem jest określić, jak zmienia się prędkość kuli armatniej po zmienieniu jej masy (i zorientować się, czy masa wpływa też na zmianę prędkości odrzutu). b. Określ, które elementy układu będziesz zmieniać, żeby uzyskać zestaw wyników doświadczalnych. (Na tym etapie nie prosimy Cię o określenie charakteru tych zmian). c. Opisz, jakich pomiarów dokonasz w jednej serii pomiarowej i jak wykorzystasz je do wypełnienia tabeli danych o masach i prędkościach.

jesteś tutaj  455

Moc sprężyny

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

a. Zaprojektuj układ doświadczalny i wykonaj jego szkic. Układ powinien składać się z wymienionych na poprzedniej stronie przyrządów (możesz też dodać do niego inne potrzebne Ci elementy). Doświadczenie ma odtworzyć sytuację, która ma miejsce w czasie oddawania strzału z armaty, kiedy armata i kula doznają zmiany prędkości. Twoim celem jest określić, jak zmienia się prędkość kuli armatniej po zmienieniu jej masy (i zorientować się, czy masa wpływa też na zmianę prędkości odrzutu). b. Określ, które elementy układu będziesz zmieniać, żeby uzyskać zestaw wyników doświadczalnych. (Na tym etapie nie prosimy Cię o określenie charakteru tych zmian). c. Opisz, jakich pomiarów dokonasz w jednej serii pomiarowej i jak wykorzystasz je do wypełnienia tabeli danych o masach i prędkościach.

a. Zredukuj tarcie

za pomocą toru powietrznego.

Tektura o znanej długości. Umieść różne masy na wagonikach.

Sprężyna ściśnięta za każdym razem tak samo.

Fotokomórka mierzy czas potrzebny wagonikowi na jej minięcie.

Po zwolnieniu sprężyny na wagoniki zadziała w poziomie wyłącznie siła wynikająca z jej rozprężania.

b. Mogę zmieniać masę wagonika i sprężynę, żeby uzyskać różne siły. c. W jednej serii pomiarowej umieszczę na każdym z wagoników odpowiedni ciężarek. Następnie zważę wagoniki z ciężarkami. za pomocą fotokomórki zmierzę czas potrzebny wagonikowi na jej minięcie. Znając długość tekturki i czas mijania fotokomórki, obliczę prędkość wagonika.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego mam używać dwóch wagoników?

O: Po strzale z armaty pojawia się zjawisko

odrzutu. Kula armatnia wylatuje do przodu, ale jednocześnie armata cofa się. Starasz się stworzyć możliwie dokładny model tego zjawiska.

456

Rozdział 10.

P

: Dlaczego mierzę prędkość wagonika-armaty, skoro interesuje mnie tylko prędkość wagonika-kuli armatniej?

O

: Nigdy nie wiadomo, co może się przydać…

P: Ale to tylko dodatkowa praca! O: Sprężyna odpycha obydwa wagoniki.

Znajomość prędkości obydwu może pozwolić Ci lepiej zrozumieć całe zjawisko.

Zasada zachowania pędu

Uff… to układ doświadczalny już mamy!

Franek: Świetnie, a co dalej? Kuba: Wydaje się, że nie pozostaje nic innego, jak rozepchnąć wagoniki, zmierzyć ich czasy, obliczyć z tego prędkości i zapisać je w tabeli. Franek: Musimy to lepiej zaplanować. Zastanówcie się na przykład, co będziemy zmieniać w poszczególnych seriach pomiarowych. Krzysiek: Powinniśmy, jak sądzę, zmieniać masę wagonika „armaty” i masę wagonika „kuli”. Kuba: Myślę, że możemy zmieniać je jednocześnie. Dzięki temu nie będziemy musieli wykonywać tylu pomiarów, bo zmienimy dwa parametry naraz. Krzysiek: Nie jestem pewien, czy to najlepszy pomysł. Przypuśćmy, że po zmianie obydwu mas zmienią się prędkości wagoników. Nie będziemy wiedzieli, dlaczego otrzymaliśmy inne wyniki. Nie zdołamy określić, która zmiana spowodowała różnicę prędkości, ani czy przypadkiem obydwie masy nie przyczyniły się do otrzymania innych wyników. Franek: Słuszna uwaga. Przecież w rzeczywistości masa armaty nie ulega zmianie. Wydaje mi się, że powinniśmy obciążyć jeden z wagoników naprawdę dużą masą — tak by zachować przybliżony stosunek masy armaty do masy kuli — a potem w każdej serii zmieniać masę lżejszego wagonika.

m1

sprężyna

m2

Kuba: A co, jeśli wybrana przez nas masa „działa” będzie dawać jakiś szczególny efekt? Sądzę, że powinniśmy zmieniać również większe obciążniki. W ten sposób zdołamy uniknąć różnych nieprzewidzianych efektów.

m1

sprężyna

m2

m1

sprężyna

m2

Krzysiek: W takim razie powinniśmy opracować zestaw mas „działa” i zmieniać „masę kuli” dla każdej ze stałych „mas działa”. Franek: Przeprowadziłbym jeszcze ten sam zestaw pomiarów z wykorzystaniem innej sprężyny, żeby i w tym miejscu uniknąć jakichś „efektów specjalnych”. Kuba: Tak, wiem, co masz na myśli. Zmienianie za każdym razem tylko jednego parametru to najlepsza metoda. Jeśli nagle stanie się coś nieprzewidzianego, będziesz wiedział, co spowodowało tę zmianę. W doświadczeniu pojawiają

W trakcie doświadczenia powinieneś zmieniać za każdym razem tylko jedną zmienną.

się TRZY zmienne.

jesteś tutaj  457

Doświadczenie

Zmieniaj każdorazowo tylko jedną zmienną Eksperyment przeprowadzasz po to, by dowiedzieć się, co dzieje się z jedną z wartości fizycznych po zmianie innej wartości fizycznej. W tym przypadku chcesz określić, co stanie się z prędkościami dwóch ciał rozpychanych z taką samą siłą, gdy zmienisz masy tych ciał. Po przeprowadzeniu obliczeń będziesz mógł ekstrapolować wyniki i dowiedzieć się, co stanie się z kulą i działem w chwili detonacji ładunku. Gdybyś zmieniał obydwie masy naraz w każdej z serii pomiarowych, miałbyś problem z dostrzeżeniem schematu zmian. Nie wiedziałbyś, która ze zmienionych wielkości fizycznych wywarła największy wpływ na otrzymane wyniki. Nie byłbyś też w stanie określić, czy efekty zmian nie zniosły się przypadkiem.

Doświadczenie pozwala stwierdzić, co dzieje się z jedną wielkością w czasie zmieniania drugiej.

Jeżeli natomiast będziesz zmieniać tylko jedną masę w serii wykonywanych pomiarów, będziesz mógł przeprowadzić ekstrapolację dla dowolnych dwóch ciał o różnych masach.

Zaostrz ołówek Oto wyniki doświadczenia. Do tabeli dołączyliśmy szkic układu pomiarowego, na którym zaznaczyliśmy najważniejsze jego elementy — numery fotokomórek i długość kartonowej plakietki na wagonikach (10 cm). Uważaj przy określaniu zwrotu wektorów prędkości! Uzupełnij brakujące pola tabeli i zapisz poniżej swoje spostrzeżenia dotyczące zebranych wyników.

458

Rozdział 10.

Zasada zachowania pędu Tektura o długości 10 cm.

Sprężyna ściśnięta tak samo za każdym razem.

Ten wagonik ma zazwyczaj większą masę.

Fotokomórka 1

m1

Fotokomórka 2

m2

To zwrot wektorów dodatnich.

Czasy zostały zmierzone z dokładnością do dwóch cyfr znaczących, więc prędkości powinieneś podawać również z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Uważaj na znak minus określający zwrot wektorów przemieszczenia i prędkości wagonika.

Masa 1 [kg]

Masa 2 [kg]

Czas z F1 [s]

Czas z F2 [s]

Prędkość 1 = xt [m/s]

Prędkość 2 = xt [m/s]

0,150

0,150

0,19

0,20

-0,10 ≈ –0,53 0,19

0,10 = 0,50 0,20

0,150

0,300

0,17

0,35

0,150

0,450

0,16

0,48

0,300

0,150

0,34

0,17

0,300

0,300

0,27

0,26

0,300

0,450

0,25

0,38

0,450

0,150

0,47

0,16

0,450

0,300

0,37

0,25

0,450

0,450

0,34

0,33

Powtórz doświadczenie z masami umieszczonymi na odwrót, żeby wychwycić ewentualne źródło potencjalnych błędów systematycznych lub obciążonych, na przykład delikatne nachylenie toru powietrznego w jedną ze stron.

jesteś tutaj  459

Rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oto wyniki doświadczenia. Do tabeli dołączyliśmy szkic układu pomiarowego, na którym zaznaczyliśmy najważniejsze jego elementy — numery fotokomórek i długość kartonowej plakietki na wagonikach (10 cm). Uważaj przy określaniu zwrotu wektorów prędkości! Uzupełnij brakujące pola tabeli i zapisz poniżej swoje spostrzeżenia dotyczące zebranych wyników.

Masa 1 [kg]

Masa 2 [kg]

Czas z F1 [s]

Czas z F2 [s]

Prędkość 1 = xt [m/s]

Prędkość 2 = xt [m/s]

0,150

0,150

0,19

0,20

-0,10 ≈ –0,53 0,19

0,10 = 0,50 0,20

0,150

0,300

0,17

0,35

-0,10 ≈ –0,59 0,17

0,10 ≈ 0,29 0,35

0,150

0,450

0,16

0,48

-0,10 ≈ –0,63 0,16

0,10 ≈ 0,21 0,48

0,300

0,150

0,34

0,17

-0,10 ≈ –0,29 0,34

0,10 ≈ 0,59 0,17

0,300

0,300

0,27

0,26

-0,10 ≈ –0,37 0,27

0,10 ≈ 0,38 0,26

0,300

0,450

0,25

0,38

-0,10 = –0,40 0,25

0,10 ≈ 0,26 0,38

0,450

0,150

0,47

0,16

-0,10 ≈ –0,21 0,47

0,10 ≈ 0,63 0,16

0,450

0,300

0,37

0,25

-0,10 ≈ –0,27 0,37

0,10 = 0,40 0,25

0,450

0,450

0,34

0,33

-0,10 ≈ –0,29 0,34

0,10 ≈ 0,30 0,33

Dla identycznych mas prędkości są porównywalne. Dla identycznych, ale większych mas sprawdzanych w innej serii pomiarowej prędkości nadal były porównywalne, lecz tym razem mniejsze. Różne masy poruszają się z innymi prędkościami, przy czym prędkość mniejszej masy jest zawsze większa. Wartość iloczynu masa × prędkość jest stała dla obydwu wagoników, niezależnie od tego, czy ich masy są sobie równe.

Iloczyn dla obydwu wagoników masa × prędkość jest stały w każdej z przeprowadzonych prób. 460

Rozdział 10.

eś Nie martw się, jeśli nie zauważył tak ona jest Nie ści. ciwo właś tniej osta oczywista, jak pozostałe.

Zasada zachowania pędu Nie istnieją

głupie pytania

P

: Naprawdę starałem się znaleźć jakąś zależność, ale żadnej nie dostrzegłem. Czy to źle?

O

: Jeżeli zauważyłeś, że lżejszy wagonik porusza się szybciej (o ile drugi z nich ma ciągle tę samą masę), udało Ci się odkryć najważniejszą zależność. Informacja o stałości iloczynu masy i prędkości jest nadprogramowa.

P: Czy to oznacza, że gdybym

zmieniał również masę drugiego wagonika, nie udałoby mi się tak łatwo dostrzec zależności między masą a prędkością?

O

P

: Czy więcej serii było mi potrzebnych, żebym nieumyślnie nie wyciągnął wniosków na podstawie jednego zestawu wyników, podczas gdy inna masa „działa” mogłaby dać zupełnie inne zależności?

O: Widzę, że rozumiesz! P: Dlaczego w ogóle używamy

wagonika „działa”? Dlaczego nie odepchnęliśmy „kuli” od ściany?

O: Ponieważ wiemy, że w chwili strzału

P

: Czy to znaczy, że staramy się możliwie wiernie wymodelować rzeczywistość?

O: Tak, dokładnie o to chodzi. P: Teraz, gdy mamy już wyniki,

możemy spróbować opracować równanie, które pozwoli określić różnicę w strzelaniu kulami kamiennymi i żelaznymi, prawda?

O: Tak jest!

działo doznaje odrzutu. Gdy kula wylatuje z lufy, armata odsuwa się do tyłu — po to ma kółka.

: Właśnie. Zanim zaczęliśmy doświadczenie, określiłeś, które parametry możesz zmieniać. Potem upewniliśmy się, że za każdym razem będziesz zmieniać tylko jeden z nich.

Utrzymanie stałej masy jednego wagonika pozwoliło Ci zauważyć wpływ zmiany masy drugiego na jego prędkość. Udało Ci się dostrzec schemat, dlatego że zmieniałeś tylko jedną wielkość.

Iloczyn masa × prędkość ma tę samą wartość dla obydwu wózków, ale przecież wektory ich prędkości są przeciwnie zwrócone. Czy nie powinniśmy uważać na minusy?

P: Czyli w każdej serii pomiarowej

Na znaki musisz zwracać uwagę zawsze, gdy masz do czynienia z wektorami!

O: Tak! I to właśnie zrobiłeś w przepro-

Gdy wpisywałeś wartości do tabeli, obliczałeś prędkość, a nie szybkość, a to oznacza, że każda z obliczonych wartości musi mieć znak odpowiadający zwrotowi jej wektora.

powinienem ustalać wartości wszystkich zmiennych z wyjątkiem jednej?

wadzonym przed chwilą doświadczeniu. Pierwsza seria pomiarowa odbyła się dla „działa” o konkretnej masie. W drugiej serii zmieniłeś masę działa i tak dalej.

Za każdym razem zmieniaj wartość tylko jednej zmiennej. Wartości pozostałych zmiennych powinny pozostać ustalone. Dzięki temu łatwiej będzie Ci wyciągać wnioski.

Na razie stwierdziliśmy jedynie, że wartość iloczynu masy i prędkości jest stała, ale masz oczywiście rację — zwrot wektorów jest bardzo ważnym czynnikiem i zaraz się nim zajmiemy…

jesteś tutaj  461

Całkowity pęd układu jest zachowany Całkowity pęd początkowy = 0 (bo nic się nie porusza).

Iloczyn masa × prędkość, czyli pęd, jest zachowany

Duża masa

m1

Doświadczenie pokazało, że dwa odpychane od siebie ciała mają identyczny iloczyn masy i prędkości. Mała prędkość Iloczyn ten nazywamy pędem i oznaczamy literą p. Pęd ciała jest wektorem zwróconym w tę samą stronę, co wektor prędkości ciała. Doświadczenie dowiodło, że podczas odpychania się dwóch ciał pęd układu jest zachowany. Wynika to z faktu, że całkowity pęd obydwu ciał przed zajściem odpychania jest taki sam, jak po odepchnięciu. Masę mierzymy w kilogramach, prędkość w m/s, a to oznacza, że jednostką pędu jest kg·m/s. Znak pojawiający się między jednostką kg a jednostką m oznacza „mnożone przez”. Dzięki niemu łatwiej dostrzec, że kg i m to dwie oddzielne jednostki.

Całkowity pęd układu oddziałujących ze sobą ciał jest zachowany.

v1 p1

Mała masa

m2 Duża prędkość

*PING*

m1

m2

v2 p2

Wektory pędu mają tę samą wartość, ale przeciwne zwroty.

p1 Całkowity pęd końcowy = 0 (przeciwnie zwrócone wektory dają w sumie zero).

p2

Całkowity pęd układu na początku eksperymentu wynosi zero, ponieważ żadne z ciał się nie porusza. Gdy wagoniki zostają odepchnięte od siebie, całkowity pęd układu nadal wynosi zero, ponieważ dwa wektory pędu o tej samej długości są zwrócone w przeciwne strony. Dodanie ich sprawi, że się wyzerują. Całkowity pęd układu dwóch (lub większej liczby) ciał dowolnie ze sobą oddziałujących jest zawsze zachowany. Nie istnieją

głupie pytania

P

: Jak możecie mówić, że pęd jest zachowany? Przecież na początku wagoniki nie mają żadnego pędu, bo żaden z nich się nie porusza. Po odepchnięciu wagoniki poruszają się, więc obydwa mają pęd.

O: Jeśli myślisz o każdym wagoniku

osobno, to oczywiście, masz rację. Na początku żaden z nich nie ma pędu, a na końcu już ma. Lecz gdy policzysz całkowity pęd układu, czyli sumę pędów wszystkich ciał biorących udział w doświadczeniu, okaże się, że po wystąpieniu oddziaływania pęd sumaryczny jest taki sam, jak przed nim.

462

Rozdział 10.

P: Sądziłem, że wcześniej ustaliliśmy, P: Czyli gdy dodaję do siebie iż wartość iloczynu masa × prędkość jest taka sama dla każdego z odpychanych wagoników. Jak dwie takie same wartości mogą dać w sumie zero?

dwa wektory o tej samej długości, ale przeciwnych zwrotach, wynikiem jest zero?

O: Stwierdziliśmy, że wartość iloczynu

: Tak. Wektory dodaje się, stykając koniec jednego z początkiem drugiego, więc jeśli mają one tę samą długość, lecz przeciwne zwroty, powrócisz do punktu wyjścia. W takim przypadku wynikiem jest zero.

masy i prędkości jest taka sama dla każdego z wagoników, ale przecież ciała tego układu poruszają się w przeciwne strony, a to oznacza, że wektory ich prędkości — czyli również wektory pędów — są przeciwnie zwrócone.

Pęd jest wektorem!

O

P

: Dobrze, czy skoro opanowałem już zasadę zachowania pędu, mogę w końcu zająć się szukaniem równania i rozwiązaniem problemu kamiennej kuli armatniej?

O: Oczywiście!

Zasada zachowania pędu

Chwila, nie tak szybko! Czy nie mieliśmy przeprowadzić tego eksperymentu z inną sprężyną? Przecież wyniki mogą okazać się inne.

Słuszna uwaga. Musisz jeszcze sprawdzić, co stanie się w przypadku przyłożenia do ciał innej siły. Projektując doświadczenie, odkryłeś, że pojawiają się trzy czynniki, które powinieneś zmieniać, żeby określić ich wpływ na wynik końcowy — masa pierwszego wagonika, masa drugiego wagonika i siła, z jaką sprężyna rozpycha wagoniki. W porządnie wykonanym doświadczeniu powinieneś powtórzyć swoje pomiary dla zestawu różnych sprężyn, ale tym razem skorzystasz ze swojej intuicji fizyka i postarasz się przewidzieć, co stałoby się, gdybyś użył silniejszej sprężyny…

BĄDŹ eksperymentem Musisz wyobrazić sobie, że jesteś doświadczeniem, które właśnie wykonałeś. Zastanów się, co będzie się działo, jeżeli wagoniki zostaną rozepchnięte przez mocniejszą sprężynę. Jak większa siła sprężyny wpłynie na iloczyn masa × prędkość każdego z wagoników?

Stara sprężyna

m1

m2

Mocniejsza sprężyna

m1

m2

jesteś tutaj  463

Większa siła = większa zmiana

BĄDŹ eksperymentem. Rozwiązanie Musisz wyobrazić sobie, że jesteś doświadczeniem, które właśnie wykonałeś. Zastanów się, co będzie się działo, jeżeli wagoniki zostaną rozepchnięte przez mocniejszą sprężynę. Jak większa siła sprężyny wpłynie na iloczyn masa × prędkość każdego z wagoników?

Jeżeli dwa ciała odpychają się ze zwiększoną siłą przez określony czas, zmiana pędu będzie większa, niż gdyby te ciała odpychały się w tym samym czasie z mniejszą siłą.

Mocniejsza sprężyna rozsunie wagoniki z większą siłą, więc prędkość każdego z nich będzie większa. Wydaje mi się, że zasada zachowania pędu będzie nadal spełniona, ale iloczyn masa × prędkość będzie mieć większą wartość, ponieważ wagoniki są odpychane z większą siłą.

Duża siła działająca na ciała skutkuje większą zmianą pędu Jeżeli umieścisz między wagonikami mocniejszą sprężynę, zwiększysz tym samym siłę odpychającą pojazdy. Zakładając, że siła ta będzie działać na wagoniki tyle samo czasu, co przykładana poprzednio siła, zmiana pędu każdego z wagoników będzie większa. Jeżeli nie zmienisz przy tym masy wagoników, spodziewaj się odnotowania większej prędkości ruchu.

v1

m1

p1

*PING*

v2

m2

p2

Mała siła, mała zmiana pędu (przy założeniu, że siły działają w jednakowych przedziałach czasu). Prędkości są większe niż poprzednim razem.

v1 p1

m1

*PING* m2

Duża siła, duża zmiana pędu (przy założeniu, że siły działają w jednakowych przedziałach czasu). Oczywiście zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu jest nadal równy zeru, mimo że pęd każdego z wagoników jest większy niż poprzednim razem.

464

Rozdział 10.

Każdy z wagoników doznał większej zmiany pędu, ale CAŁKOWITY pęd układu nadal wynosi zero.

v2 p2

Zasada zachowania pędu

Zapisz zasadę zachowania pędu w postaci równania Pęd oznaczamy symbolem p, zatem możemy zapisać następujące równanie p = mv (pęd = masa × prędkość). Gdy problem dotyczy oddziaływania pomiędzy kilkoma obiektami, do równania wprowadza się zazwyczaj indeksy pozwalające odróżnić zmienne opisujące poszczególne ciała. Zgodnie z tą zasadą wagonik 1. opisują wielkości masa m1, prędkość v1 i pęd p1. Wagonik 2. opisują wielkości masa m2, prędkość v2 i pęd p2. Całkowity pęd układu to zawsze pcałk = p1 + p2. To właśnie ta wielkość jest zachowana.

!  5 #

1 5

Tym razem nie rysowaliśmy sprężyny, żeby było jasne, co dzieje się z wagonikami.

Na początku doświadczenia prędkości v1 i v2 są obie równe zeru, więc p1, p2 i pcałk też muszą być równe zeru.

m1

v1 = 0 p1 = 0

m2

v2 = 0 p2 = 0

W końcowej fazie eksperymentu cięższy wagonik porusza się powoli w lewo, a lżejszy wagonik przesuwa się w prawo z większą prędkością. Całkowity pęd układu pcałk jest nadal równy zeru, ponieważ jest to wielkość zachowana.

v1

# p1

*PING*

m1

m2

v2

Pęd oznaczamy literą p.

p2

Możemy zatem zapisać następujące równanie:

5#

Całkowity pęd układu, pcałk = 0, ponieważ wektory pędów wagoników dają w sumie zero, gdy przyłożyć je końcem jednego do początku drugiego.

p1 p2

Całkowity pęd układu przed rozpoczęciem oddziaływania jest taki sam, jak po jego zakończeniu.

Równanie to przydaje się do wyznaczania masy lub prędkości, co jest możliwe po zapisaniu go w następującej postaci:

5$5$# p1 = m1v1

p2 = m2v2

W tym miejscu pojawia się zero, ponieważ początkowy pęd układu wynosił zero. Gdyby ciała miały jakiś wypadkowy pęd początkowy, wielkość ta pojawiłaby się tutaj.

jesteś tutaj  465

Zasada zachowania pędu Czy to, że całkowity pęd układu jest zachowany w czasie każdego oddziaływania, oznacza, że dwa oddziałujące na siebie ciała doświadczają działania tej samej siły?

Jest też II zasada dynamiki Newtona — poznasz ją nieco później.

Zasada zachowania pędu jest innym sposobem wyrażenia III zasady dynamiki Newtona III zasada dynamiki Newtona mówi, że gdy działasz na ciało z jakąś siłą, to ciało działa na Ciebie z siłą o takiej samej wartości, lecz przeciwnie zwróconą. Wyobraź sobie, że sprężyna w Twoim doświadczeniu nie była umieszczona swobodnie między wagonikami, lecz została dołączona do wagonika znajdującego się z lewej strony i odepchnęła wagonik znajdujący się po prawej stronie. Teraz wyobraź sobie, że sprężyna zostaje przyczepiona do wagonika po prawej stronie i odpycha wagonik znajdujący się po lewej stronie. Okazuje się, że nie ma znaczenia, który z wagoników odpycha, a który jest odpychany — ich ruch przebiega nadal w ten sam sposób. Wartość zmiany pędu każdego z wagoników jest taka sama, przy czym należy pamiętać, że wektory pędu mają przeciwne zwroty. Oznacza to, że obydwa wagoniki musiały doznać działania sił o takich samych wartościach, działających w tym samym czasie, ale zwróconych w przeciwne strony. Dlatego właśnie nie ma znaczenia, który z wagoników odpycha, a który jest odpychany; obydwa doznają działania tej samej siły, ale w przeciwne strony.

v1

p1 = m1v1

p1 Siła o tej samej wartości, działająca w tym samym czasie skutkuje identyczną zmianą pędu.

m1

*PING* m2

F2/1

v2 p2

p2 = m2v2

F1/2

Obydwa wagoniki doświadczają działania sił o tej samej WARTOŚCI, ale ZWRÓCONYCH przeciwnie.

Z III zasady dynamiki Newtona i z zasady zachowania pędu wynika, że działo i wystrzelona z niego kula działają na siebie siłami o tej samej wartości. Z tego wynika zaś, że wartość zmiany pędu działa musi być taka sama, jak wartość zmiany pędu kuli. Wektor pędu działa będzie zwrócony przeciwnie do wektora pędu kuli, ponieważ działo działa na kulę z siłą zwróconą przeciwnie do siły, z jaką kula działa na działo.

466

Rozdział 10.

Na dwa oddziałujące ze sobą ciała działają siły o takiej samej wartości, ale przeciwnych zwrotach.

Określona siła działająca na ciało w danym czasie zawsze powoduje identyczną zmianę wartości pędu.

Zasada zachowania pędu Nie tak prędko! A co działoby się, gdyby przytwierdzić działo do ziemi? Kula wyleci do przodu, ale unieruchomione działo nie cofnie się przecież. Po oddaniu strzału kula będzie miała pewien pęd, ale działo nie, więc zasada zachowania pędu nie zostanie spełniona!

Jeżeli przymocujesz działo do podłoża, cała ZIEMIA dozna odrzutu! W oddziaływaniach dwóch lub większej liczby ciał zasada zachowania pędu jest zawsze spełniona. Skoro armata oddziałuje na kulę, kula musi oddziaływać na armatę z taką samą siłą, zwróconą w przeciwną stronę. To III zasada dynamiki Newtona.

Jeśli działo ma zamontowane koła, w wyniku odrzutu odtoczy się w tył, jeżeli jednak będzie przymocowane do gruntu, odrzut przeniesie się na całą Ziemię! Ponieważ całkowity pęd układu jest zachowany, cała planeta musi doznać odrzutu, ale jej ogromna masa sprawia, że efekt ten jest praktycznie niezauważalny. Zresztą sam możesz sprawdzić jego rząd wielkości…

Zaostrz ołówek Oblicz przybliżoną prędkość odrzutu Ziemi w wyniku oddania strzału z armaty Strona internetowa przymocowanej do podłoża. Skorzystaj z zasady zachowania pędu. Bitwo-Polu nie podaje masy kuli armatniej, Prędkość kuli o masie 1 kg wynosi 90,0 m/s. ale na oko wydaje się, Masa Ziemi to 5,97×1024 kg. Dlaczego nie widać efektów takiego odrzutu.

Pamiętaj, żeby wykonać najpierw porządnie

że kula waży około 1 kg. Jeśli potrzebujesz powtórki z zapisywania liczb w notacji naukowej, zajrzyj do rozdziału 3.

jesteś tutaj  467

Pęd układu jest zachowany

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Oblicz przybliżoną prędkość odrzutu Ziemi w wyniku oddania strzału z armaty przymocowanej do podłoża. Skorzystaj z zasady zachowania pędu. Prędkość kuli o masie 1 kg wynosi 90,0 m/s. Masa Ziemi to 5,97×1024 kg. Dlaczego nie widać efektów takiego odrzutu. Całkowity pęd układu Ziemia – armata na początku zdarzenia = 0

m2 = 1 kg v2 = 90 m/s

Całkowity pęd układu Ziemia – armata na końcu zdarzenia = 0 (zasada zachowania pędu) p = m1v1 + m2v2 = 0 Chcę obliczyć wartość v1, muszę zatem przekształcić równanie.

Wartość prędkości Ziemi jest ujemna, ponieważ planeta przesuwa się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu kuli.

m1v1

=

v1

=

v1

= -1 × 10-23 m/s

m1 = 5,97 × 1024 kg

-m2v2

v1 = ?

-m2v2 m1

–(1 kg × 90,0 m/s) =

5,97×1024 kg

Pamiętaj o wykonaniu dobrze opisanego rysunku, dzięki któremu Ty i Twój nauczyciel będziecie wiedzieli, czym są wielkości m , v itd. 1 1

Prędkość odrzutu Ziemi wynosi około 1×10-23 m/s. Planeta porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu kuli armatniej. Efekt ten jest niewidoczny, ponieważ zaobserwowanie przemieszczenia z tak niewielką prędkością wymagałoby trwania zjawiska przez bardzo długi czas.

Odpowiedź powinna być podana z dokładnością do jednej cyfry znaczącej, ponieważ masa kuli, „około 1 kg”, została podana z taką dokładnością.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Zasada zachowania pędu jest spełniona zawsze, nawet wtedy, gdy wydaje się, że tak nie jest, prawda?

O

: Prawda. Odrzut armaty widać gołym okiem, ale odrzutu Ziemi nie zobaczysz!

468

Rozdział 10.

P

: Kiedy wolno mi skorzystać z zasady zachowania pędu?

O

: Zasada ta jest spełniona zawsze, gdy masz do czynienia z oddziaływaniem dwóch ciał (lub większej ich liczby), więc zawsze możesz zapisać pprzed = ppo. Musisz tylko uważać, żeby nie pomylić prędkości i mas.

P

: Czy to znaczy, że mogę przeprowadzić podobne obliczenia, żeby odkryć, co stanie się z kamienną kulą armatnią?

O

: Tak, zasada zachowania pędu stanowi klucz do rozwiązania tego problemu. A skoro już o tym mowa…

Zasada zachowania pędu Czy to znaczy, że armata działa z taką samą siłą na kamienną kulę jak na żelazną kulę? Czasami można to zrobić, przeprowadzając odpowiednie doświadczenie (jak w tym przypadku), a czasami należy przeanalizować założenia w głowie, wspomagając się wykresami lub równaniami.

Sprawdzaj wszystkie czynione założenia. Jeśli armata, wyrzucając kulę, działa na nią zawsze z taką samą siłą i przez taki sam czas, zmiana pędu kuli będzie zawsze identyczna, niezależnie od materiału, z jakiego zostanie ona wykonana. Na razie jednak jest to wyłącznie założenie. Równie dobrze może okazać się, że armata nie zawsze działa na kulę z taką samą siłą lub zmienia się czas działania siły. Chcemy zbadać ten problem, więc na chwilę wrócimy do wykonywanego wcześniej doświadczenia…

Zaostrz ołówek Działanie tej samej siły w identycznym przedziale czasu powoduje zawsze jednakową zmianę pędu. Oznacza to, że jeśli wagoniki są od siebie odpychane zawsze z tą samą siłą, działającą zawsze jednakowo długo, każdy z nich doświadczył w każdej serii pomiarowej takiej samej zmiany pędu. a. Poniżej znajduje się tabela zawierającej część danych z przeprowadzonego wcześniej doświadczenia polegającego na odpychaniu sprężyną dwóch wagoników. Uzupełnij obliczenia w tabeli, żeby poznać zmianę pędu, jakiej doświadcza każdy z wagoników.

Masa 1 [kg]

Masa 2 [kg]

Prędkość 1 [m/s]

Prędkość 2 [m/s]

Zmiana pędu 1 p1 = m1v1 [kg·m/s]

0,450

0,150

–0,21

0,63

0,450 × –0,21 ≈ –0,094

0,450

0,300

–0,27

0,40

0,450

0,450

–0,29

0,30

Zmiana pędu 2 p2 = m2v2 [kg·m/s]

b. Czy zmiana pędu dla jednego wagonika jest taka sama w każdej z serii pomiarowych?

c. Postaraj się wyjaśnić odpowiedź, której udzieliłeś w punkcie b. Czy widzisz związek między wynikiem obliczeń a sytuacją polegającą na oddaniu dwóch strzałów kulami o różnych masach?

jesteś tutaj  469

Dalsze rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Działanie tej samej siły w identycznym przedziale czasu powoduje zawsze jednakową zmianę pędu. Oznacza to, że jeśli wagoniki są od siebie odpychane zawsze z tą samą siłą, działającą zawsze jednakowo długo, każdy z nich doświadczył w każdej serii pomiarowej takiej samej zmiany pędu. a. Poniżej znajduje się tabela zawierającej część danych z przeprowadzonego wcześniej doświadczenia polegającego na odpychaniu sprężyną dwóch wagoników. Uzupełnij obliczenia w tabeli, żeby poznać zmianę pędu, jakiej doświadcza każdy z wagoników.

Masa 1 [kg]

Masa 2 [kg]

Prędkość 1 [m/s]

Prędkość 2 [m/s]

Zmiana pędu 1 p1 = m1v1 [kg·m/s]

Zmiana pędu 2 p2 = m2v2 [kg·m/s]

0,450

0,150

–0,21

0,63

0,450 × –0,21 ≈ –0,094

0,150 × 0,63 ≈ 0,094

0,450

0,300

–0,27

0,40

0,450 × –0,27 ≈ –0,12

0,300 × 0,40 = 0,12

0,450

0,450

–0,29

0,30

0,450 × –0,29 ≈ –0,13

0,450 × 0,30 ≈ 0,14

b. Czy zmiana pędu dla jednego wagonika jest taka sama w każdej z serii pomiarowych? Nie, zmiana pędu jest inna dla każdej serii pomiarowej. Wydaje mi się, że jej wartość zwiększa się wraz z przyrostem masy ciał.

c. Postaraj się wyjaśnić odpowiedź, której udzieliłeś w punkcie b. Czy widzisz związek między wynikiem obliczeń a sytuacją polegającą na oddaniu dwóch strzałów kulami o różnych masach? Wartość zmiany pędu nie zmieni się tylko przy założeniu, że na ciała działa zawsze taka sama siła w takim samym przedziale czasu. Wraz ze wzrostem masy wagonika wzrasta wartość zmiany pędu. Im większa masa wagonika, tym trudniej jest ruszyć go z miejsca. Przypuszczam, że z tego powodu wagonik o większej masie pozostaje dłużej w kontakcie ze sprężyną, więc działanie siły odbywa się w innym czasie. Kula żelazna ma większą masę niż kula kamienna, a to oznacza, że trudniej jest wprawić ją w ruch. Wydaje mi się, że przez to spędza ona więcej czasu w lufie, więc zmiana jej pędu będzie większa.

Jak zatem rozwiązać zadanie, skoro siła jest za każdym razem inna?!

Możesz skorzystać z zasady zachowania pędu. Pamiętaj, że piraci zgodzili się na przeprowadzenie próbnych strzałów w poziomie. Chociaż poprzednio możliwość ta nie wydawała się nam zbyt przydatna, bo przecież nie zdołamy zmierzyć ani prędkości kuli, ani jej przemieszczenia, to pamiętajmy, że możemy dokonywać pomiarów NA statku. Nic nie stoi na przeszkodzie, by zmierzyć prędkość armaty po wystrzeleniu kuli kamiennej i po wystrzeleniu kuli żelaznej. Po porównaniu wyników dowiemy się, co jeszcze możemy powiedzieć o zasadzie zachowania pędu w tym układzie…

470

Rozdział 10.

Zasada zachowania pędu

Zaostrz ołówek

Pewnie, możemy oddać strzał próbny, pod warunkiem że strzelimy w poziomie i nie będziemy celować w statek widmo! To wartość określona dla konkretnego rodzaju działa i kuli, znaleziona na stronie internetowej sprzedawcy.

Oto wyniki eksperymentu, w którym zmierzono prędkość odrzutu działa po oddaniu dwóch strzałów w poziomie. Kula żelazna: prędkość działa = 0,126 m/s; prędkość kuli = 90,0 m/s. Kula kamienna: prędkość działa = 0,063 m/s. Wiesz jedynie tyle, że kula kamienna waży jedną czwartą tego, co kula żelazna. Gdybyś znał masę działa, obliczenia byłyby proste, niestety działo jest zbyt ciężkie, by określić jego masę za pomocą wagi. Na szczęście istnieje inna metoda wyznaczenia masy działa… a. Korzystając z zasady zachowania pędu, oblicz masę działa md, wyznaczając ją jako wielokrotność masy kuli żelaznej mż. Tym razem odpowiedź nie będzie konkretną wartością. Po przeprowadzeniu obliczeń otrzymasz wynik postaci m = 400 m , d ż co należy rozumieć następująco: masa działa to czterystukrotność masy żelaznej kuli.

A tak przy okazji, to wcale nie jest poprawna odpowiedź. To tylko przykład mający pokazać Ci, czego powinieneś się spodziewać.

b. Korzystając z zasady zachowania pędu i odpowiedzi udzielonej w punkcie a, oblicz prędkość kuli kamiennej. Masa kuli kamiennej to jedna czwarta masy kuli żelaznej. Na razie nie zastanawiaj się nad metodami obliczania zasięgu. Tym zajmiemy się już wkrótce.

jesteś tutaj  471

Podstaw zmienne

Zaostrz ołówek:

Kula żelazna: prędkość działa = 0,126 m/s; prędkość kuli = 90,0 m/s.

Rozwiązanie

Kula kamienna: prędkość działa = 0,063 m/s.

a. Korzystając z zasady zachowania pędu, oblicz masę działa md, wyznaczając ją jako wielokrotność masy kuli żelaznej mż. Kula żelazna

Kula kamienna mk =

mż = ?

md = ?

md = 714mż

vż = 90,0 m/s

vd = –0,126 m/s

mdvd = –mżvż md =

-mżvż vd

vk = ?

vd = –0,063 m/s

Nie znasz wartości żadnej z mas, ale wszystkie wyrazy równania zasady zachowania pędu zawierają w sobie zmienną m.

md = –mż × 90 m/s –0,126 m/s md ≈ 714mż

W takiej odpowiedzi nie podaje się jednostek. Jednostka zmiennej md będzie zależała od jednostki, w jakiej zmierzymy mż.

mkvk = –mdvd vk =

–mdvd mk

vk =

Mimo że nie znamy faktycznej masy żadnej z kul, możemy rozwiązać zadanie, bo nieznane nam wartości skróciły się w czasie dzielenia.

–714 × (–0,063 m/s) 0.25

vk ≈ 180 m/s

Często zdarza się tak, że zanim nie zaczniesz rozwiązywać zadania, nie zobaczysz, w jakim kierunku należy poprowadzić rozumowanie. Nie wpadaj zatem w panikę, gdy okaże się, że na początku pracy nie dysponujesz zbyt wieloma wartościami zmiennych. Zacznij od wykonania szkicu do rozwiązania, wypisz sobie, jak zabrałbyś się do rozwiązywania zadania, i zapisz wszystkie równania.

Rozdział 10.

Jeżeli znasz wzajemne zależności między masami, możesz wyrazić je jako wielokrotność jednej wybranej, na przykład mż. Wtedy wszystkie zmienne m pojawiające się w równaniu skrócą się w czasie dzielenia.

Podstawiam wartości md i mk wyrażone w postaci wielokrotności zmiennej mż. –714m mżvd vk = 0,25m mż

Podstaw zmienne podane na rysunku i zobacz, jaki będzie wynik.

472

mż = 0,25 mż 4

p = mdvd + mkvk = 0

p = mdvd + mżvż = 0

Czasami rozwiązaniem zadania nie jest liczba. Nie przejmuj się tym.

b. Korzystając z zasady zachowania pędu i odpowiedzi udzielonej w punkcie a, oblicz prędkość kuli kamiennej. Masa kuli kamiennej to jedna czwarta masy kuli żelaznej.

Gdy będziesz miał ten etap za sobą, zabierz się za równania! Bardzo często w trakcie wykonywania obliczeń okazuje się, że niektóre zmienne skracają się, co znacznie ułatwia rozwiązanie.

Jeżeli nie znasz wartości zmiennych, na których masz prowadzić obliczenia, pobaw się równaniami. Niektóre ze zmiennych mogą skrócić się w trakcie dzielenia.

Zasada zachowania pędu

Obliczyliśmy prędkość kuli kamiennej… Choć armata nie działa z taką samą siłą na różne wystrzeliwane z niej kule, w czasie oddawania każdego strzału spełniona jest zasada zachowania pędu. Szukając rozwiązania postawionego przed Tobą problemu, dwa razy posłużyłeś się zasadą zachowania pędu. W pierwszej części rozwiązania wyznaczyłeś z niej masę działa. W drugiej części rozwiązania zdołałeś obliczyć z niej prędkość kuli kamiennej — 180 m/s.

Nieznane Ci dotąd prędkości i masy wyznaczysz z zasady zachowania pędu.

Wspaniale, ale mnie potrzebny jest zasięg kuli armatniej.

… ale nadal nie znamy zasięgu! Wiesz już, że potrafisz obliczyć zasięg strzału, znając prędkość kuli. Robiłeś to poprzednio dla kuli żelaznej.

#%' !04  400#4%&"'" %&!'%9

Wypatruj symetrii

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

ścią oddanego pod kątem 10° z prędko Oblicz maksymalny zasięg strzału na poziomie , że kula rozpoczyna swój lot początkową 90,0 m/s. (Załóż wysokości). morza i kończy go na tej samej

ości. składowych wektora prędk Zaczynam od wyznaczenia s v0pi / m sin(10°) = v 0,0 0 =9 v0 v0pi m/s v0pi = v0sin(10°) ≈ 15,6 10°

cos(10°) =

v0po v0

m/s v0po = v0cos(10°) ≈ 88,6

Tak obliczałeś zasięg strzału kulą żelazną.

v0po CZNIE pionowych ym (będę używać WYŁĄ lotu w kierunku pionow Obliczam czas trwania wektorów): wych składo górę w one zwróc ry Wekto mają wartość dodatnią. vpi = v0pi + apit 2 xpi – x0pi = 0 m api = –9,8 m/s at = vpi – v0pi

v0pi = 15,6 m/s

t = ? t = vpi = –15,6 m/s

vpi – v0pi = api

(–15,6 m/s) – (15,6 m/s) ≈ 3,18 s 2 –9,8 m/s

(pracuję tylko obliczonym poprzednio czasie nia ciała w poziomie w Obliczam zmianę położe wektorów): xpo wymi x składo – x ymi poziom 0po z po xpo = = vpo = t t - 0 t t = 3,18 s vpo = 88,6 m/s 3,18 s ≈ 282 m xpo = vpot = 88,6 m/s × x0po = 0 m z działa okrętowego je Zasięg strzału oddanego W poziomie ciało nie dozna x = ? pod kątem 10° to 282 m. żadnego przyspieszenia. po

jesteś tutaj  473

Proporcje

Czyż nie byłoby pięknie, gdyby dało się obliczyć zasięg bez powtarzania od nowa tych żmudnych obliczeń. Ale to tylko marzenia…

Oblicz nowy zasięg z proporcji Poprzednio przeprowadzone obliczenia, w których wyznaczałeś zasięg strzału, składały się z trzech części. Część a: Obliczałeś składowe prędkości początkowej v0pi i v0po. Część b: Podstawiłeś składową pionową prędkości początkowej do równania vpi = v0pi + apit, żeby wyznaczyć z niego czas, przez jaki kula pozostaje w powietrzu. Część c: Podstawiłeś składową poziomą prędkości początkowej do równania xpo = v0pot, żeby wyznaczyć z niego przemieszczenie kuli w poziomie. Poszczególne składowe oznaczyliśmy indeksami dolnymi, żeby nie pomylić ich wartości.

474

Rozdział 10.

Teraz wiesz już, że początkowa prędkość kuli kamiennej jest dwukrotnie większa od prędkości początkowej kuli żelaznej. Gdybyś chciał wyznaczać zasięg tą samą metodą, co poprzednio, musiałbyś powtórzyć wszystkie etapy rozwiązania dla innej wartości prędkości v0. Dlatego lepiej skorzystać z proporcji i w ten sposób znaleźć zasięg strzału…

Zasada zachowania pędu

Zaostrz ołówek

a. Jeśli prędkość początkowa jest dwukrotnie większa niż poprzednim razem, to ile razy większe będą jej składowe pozioma i pionowa?

Część a

v0 v0pi

v0po b. Składowej pionowej prędkości używasz w równaniu vpi = v0pi + apit do wyznaczenia czasu, przez jaki kula pozostaje w powietrzu. Ile razy dłużej tym razem kula pozostanie w powietrzu?

Część b

v0pi vpi = v0pi + apit Część c

v0po

c. Mając poziomą składową prędkości, możesz wyznaczyć z równania Δxpo = v0pot zasięg strzału. Ile razy większy będzie on tym razem?

Δxpo = v0poΔt

d. Zasięg kuli żelaznej wystrzelonej pod kątem 10° do poziomu wynosi 282 m. Jaki będzie zasięg kuli kamiennej wystrzelonej pod tym samym kątem?

jesteś tutaj  475

Szukaj podobieństw Nie istnieją

Zaostrz ołówek:

głupie pytania

Rozwiązanie

P

: O co chodzi z tymi trójkątami podobnymi? Coś mi świta, ale…

O

a. Jeśli prędkość początkowa jest dwukrotnie większa niż poprzednim razem, to ile razy większe będą jej składowe pozioma i pionowa? Kąt oddania strzału jest identyczny, więc trójkąty zbudowane z wektorów składowych prędkości są podobne. Jeżeli jeden bok większego trójkąta jest dwukrotnie dłuższy od odpowiadającego mu boku mniejszego trójkąta podobnego, pozostałe dwa boki większego trójkąta też muszą być dwa razy dłuższe. Obydwie składowe są dwukrotnie dłuższe.

v0

v0piKula żelazna

v0po

Kula kamienna

v0

v0pi

t =

vpi – v0pi api

Dodając lub odejmując liczby dwukrotnie większe niż poprzednim razem (a w tym przypadku odejmowanie pojawia się przed dzieleniem przez api), otrzymuję odpowiedź dwukrotnie większą.

c. Mając poziomą składową prędkości, możesz wyznaczyć z równania Δxpo = v0pot zasięg strzału. Ile razy większy będzie on tym razem? Wartości vpo i t są dwukrotnie większe niż w poprzednim przypadku. Ponieważ podczas wyznaczania zasięgu strzału mnożę je przez siebie, sam zasięg Δxpo będzie czterokrotnie większy niż poprzednio (bo 2 × 2 = 4).

d. Zasięg kuli żelaznej wystrzelonej pod kątem 10° do poziomu wynosi 282 m. Jaki będzie zasięg kuli kamiennej wystrzelonej pod tym samym kątem? Nowy zasięg jest czterokrotnie większy od obliczonego poprzednio.

W tym przypadku dwukrotne zwiększenie długości wektora prędkości sprawi, że cały trójkąt będzie dwukrotnie większy, a to oznacza, że składowe wektora prędkości są dwukrotnie dłuższe.

P

v0po

b. Składowej pionowej prędkości używasz w równaniu vpi = v0pi + apit do wyznaczenia czasu, przez jaki kula pozostaje w powietrzu. Ile razy dłużej tym razem kula pozostanie w powietrzu? Wektory vpi i v0pi są dwukrotnie dłuższe, zatem po przekształceniu równania do postaci „t = coś” otrzymam wzór:

: Jeśli kąty dwóch trójkątów są identyczne, stosunki długości poszczególnych boków też są sobie równe. Z tej zasady korzystałeś, wyznaczając funkcje trygonometryczne sin, cos i tg.

: No tak. A o co chodzi z tym dodawaniem wektorów vpi i v0pi?

O: Wzór opisujący czas ma po przekształceniu postać

t=

vpi – v0pi api

Ponieważ zachodzi równość v0pi = –vpi (wektory te mają tę samą długość, lecz są przeciwnie zwrócone), licznik ułamka będzie dwukrotnie większy niż poprzednio. Pamiętaj też, że a ma tę samą wartość, więc wynik obliczeń musi być dwukrotnie większy niż ostatnim razem.

P: A co z częścią c? O: W tej części pojawiło się równanie

Δxpo = v0poΔt. Występująca w nim prędkość to pozioma składowa wektora prędkości początkowej, v0po, dwukrotnie większa od poprzednio wykorzystywanej wartości. Z kolei wartość czasu, t, też jest dwukrotnie większa niż ostatnim razem. W rezultacie cały czynnik vΔt jest czterokrotnie większy, ponieważ 2 × 2 = 4.

Nowy zasięg = 4 × 282 m ≈ 1130 m

Rozwiązywanie podobnych problemów na zasadzie proporcji pozwala czasami zaoszczędzić nieco czasu i pracy. 476

Rozdział 10.

Zasada zachowania pędu Nie do końca rozumiem, o co chodzi z tą całą proporcją. Czy mogę teraz policzyć wszystko porządnie, jak poprzednim razem, żeby sprawdzić, czy te wyniki są poprawne?

Jeśli któraś z metod rozwiązywania zadań bardziej Ci odpowiada, nie krępuj się z niej korzystać! Choć rozwiązywanie niektórych problemów za pomocą proporcji jest szybsze, możesz zawsze użyć innej (dłuższej), w pełni dla Ciebie zrozumiałej metody. Niektóre z zadań wymagają odpowiedzi na pytanie, jak zmieni się prędkość maksymalna, gdy prędkość początkowa wzrośnie dwukrotnie. W następnych rozdziałach pokażemy Ci, jak je rozwiązywać.

Rozwiązałeś problem piratów! Szum medialny powstały wokół nowego produktu Bitwo-Polu był jak najbardziej uzasadniony. Okazuje się, że pozioma składowa prędkości kuli kamiennej jest dwukrotnie większa niż odpowiadająca jej składowa prędkości kuli żelaznej, a to oznacza, że czas lotu kuli kamiennej jest dwa razy dłuższy. Gdyby pionowa składowa prędkości obydwu kul była taka sama, kula kamienna leciałaby dwa razy dalej (bo przecież pozostaje w powietrzu dwa razy dłużej). Obliczenia wykazały jednak, że pionowa składowa prędkości kuli kamiennej jest również dwa razy większa od pionowej składowej prędkości kuli żelaznej, a to oznacza, że zasięg strzału oddanego kulą kamienną jest aż czterokrotnie większy od zasięgu strzału oddanego kulą żelazną! Zasięg strzału kulą kamienną = 1130 m.

Zasięg strzału kulą żelazną = 282 m.

Oznacza to, że statek widmo będzie musiał pozostać w odległości 4 × 282 m = 1130 m od okrętu piratów. Z takiej odległości nie może już nikomu zaszkodzić. Kolejne świetnie wykonane zadanie!

jesteś tutaj  477

Poradnia pytań — pytanie o proporcję (często w postaci testu wielokrotnego wyboru) Czasami przyjdzie Ci odpowiedzieć na pytanie, w którym nie pojawiają się żadne konkretne wartości zmiennych. Pytania takie pojawiają się często w testach wielokrotnego wyboru. Nie znajdziesz w nich liczb, tylko określenia „trzykrotnie większa masa” lub „dwa razy większy pęd”. Pytania te mają sprawdzić, czy naprawdę rozumiesz problem, czy tylko sprawnie przeliczasz kolejne wyniki na kalkulatorze. Zacznij od wykonania rysunku do zadania! Wtedy od razu zorientujesz się, 3 m że problem porusza zagadnienie v zachowania pędu w układzie.

m ?

Zapisz na rysunku wszystko, co wiesz.

Ten warunek pozwala Ci zignorować efekt tarcia.

stoją na lodowisku. 2. Dorosły z dzieckiem . a dorosły ma masę 3m Dziecko ma masę m, o eg cz słego, w wyniku Dziecko popycha doro będzie ł z prędkością v. Jaka ty w on się wa su ze pr iecko? którą przesunie się dz wartość prędkości, z

Dziecko ma mniejszą masę, więc będzie poruszać się szybciej niż dorosły pchnięty z tą samą siłą. Wiedząc to, możesz od razu wyeliminować wszystkie odpowiedzi, które zakładają, że dziecko będzie poruszać się wolniej od dorosłego.

a. v v b. 3 3v c. v d. 2 e. 9v siły o identycznej wartości Na dziecko i dorosłego działają przez ten sam czas to, że iloczyn masa × a (zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona). Oznacz ć go dla dorosłego i dla prędkość będzie miał tę samą wartość, gdy policzy za od masy dorosłego, mniejs tnie trzykro jest a dzieck masa aż dziecka. Poniew dorosłego. ść prędko niż a większ tnie trzykro jego prędkość musi być

Pytania wymagające zapisania odpowiedniej proporcji mogą czasami mieć dziwną treść — na przykład mogą dotyczyć rozpadu jądra atomowego na dwie części. Cała sztuka polega na tym, żeby wyjrzeć poza „historię”, jaką opowiada zadanie — dlatego zawsze zaczynaj od rysunku — co dzieje się w opisanym problemie? Gdy wykonasz rysunek, okaże się, że rozpad jądra to nic innego, jak problem dwóch ciał wzajemnie się od siebie odpychających, do którego można zastosować zasadę zachowania pędu.

478

To określenie sugeruje skorzystanie z proporcji, więc nie musisz przejmować się brakiem wartości.

Prędkość jest wektorem, ale w pytaniu proszą Cię jedynie o określenie jego długości, a nie zwrotu.

Zasada zachowania pędu

jednostki spadanie

przyspieszenie

wykres

skalar punkty szczególne

doświadczenie

siła

Powoli zaczynam rozumieć, dlaczego i jak ruszają się różne ciała. składowa

czas Pitagoras

zachowanie pędu

podstawienie

równania ruchu Bądź częścią problemu

równanie

wektor

stałe przyspieszenie

notacja naukowa przemieszczenie

szybkość

droga trygonometria prędkość

objętość

symetria prawa Newtona

nachylenie

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

masa

Masa

Ilość materii, z której zbudowane jest ciało.

Zachowanie pędu

Pęd to iloczyn masa × prędkość. Gdy pomiędzy dwoma ciałami (lub większą ich liczbą) zachodzi jakieś oddziaływanie, całkowity pęd układu tych ciał jest taki sam przed oddziaływaniem, jak i po nim.

Siła

Przyczyna zmiany pędu ciała. Może pojawiać się pod postacią pchnięcia lub pociągnięcia (choć istnieją też jeszcze inne rodzaje sił).

Prawa Newtona

Trzy zasady opisujące ruch ciał w wyniku działania sił (lub braku działania sił).

jesteś tutaj  479

Niezbędnik fizyka

  

Niezbędnik fizyka Masz już za sobą rozdział 10., więc możesz dodać do swojego niezbędnika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające sprawdzać poprawność odpowiedzi.

Zmieniaj tylko jeden naraz

parametr

iadczenie, Przeprowadzając dośw ym razem zmieniać pamiętaj, by za każd parametru. wartość tylko jednego zdołasz z całą Tylko w ten sposób co spowodowało pewnością stwierdzić, h wyników. zmianę obserwowanyc

Zasada zachowania pędu my Pęd to masa × prędkość, co zapisuje jako p = mv. Pęd jest wektorem o takim samym i zwrocie, jak zwrot wektora prędkośc ciała. Siła o konkretnej wartości zawsze powoduje identyczną zmianę pędu. Jeśli pomiędzy dwoma ciałami (lub większą ich liczbą) pojawia się du oddziaływanie, całkowity pęd ich ukła ia wan iały oddz przed pojawieniem się . jest taki sam, jak po jego wystąpieniu ysz, nacz wyz Całkowity pęd układu a”. dodając wektory pędu „nos do ogon

I zasada dynamiki Newtona Prędkość ciała nie zmienia się, jeśli na ciało nie zadziała żadna siła. Obserwowałeś na pewno niejednokrotnie, że ciała wprawione w ruch zatrzymują się po pewnym czasie. Wynika to z faktu, że na wszystkie ciała na Ziemi działa siła tarcia.

Proporcja ującym Jeżeli dysponujesz równaniem opis zisz, ierd stw u trud bez ć, dowolną zależnoś enisz co stanie się z wynikiem, gdy zmi kład przy (na ych enn zmi ze wartość jednej pół). na isz ziel pod czy oisz podwoisz ją, potr za pomocą Jeżeli prowadziłeś juz obliczenia w ten iku wyn tego równania, określenie niż sze szyb sposób może być znacznie ania mow przeprowadzenie całego rozu od początku.

III zasada dynam

iki Newtona

Gdy dwa ciała oddziałują ze so bą, na każde z nich działa siła o ta kiej samej wartości, ale przeciwnie zwrócona. Prawo to wynik a bezpośrednio z zasady zachow ania pędu. Działanie siły o konkretnej warto ści powoduje zawsz e taką samą zm ia nę pędu, a skoro pę d układu ma by ć zachowany, obyd wa ciała muszą doświadczać dz iałania równych (lecz przeciwnie zwróconych) sił. Tylko wtedy pęd układu przed oddziaływaniem i po nim będzie miał tę samą wartość .

II zasada dynamiki Newtona jest opisana w rozdziale 11.!

480

Rozdział 10.

11. Ci$ar i si-a normalna

Siły na start Siła normalna już nieraz pomagała mi przeforsować swoje zdanie. ŁUP!

Czasami musisz wspomóc się siłą argumentów. W tym rozdziale wykorzystasz swoją wiedzę na temat zasady zachowania pędu i wyprowadzisz dzięki niej II zasadę dynamiki Newtona, Fwyp = ma. Mając do dyspozycji to równanie, III zasadę dynamiki Newtona (akcja-reakcja) i wiedzę o sporządzaniu diagramu rozkładu sił, dasz sobie radę z (prawie) wszystkim. Dowiesz się też, czym różni się masa od ciężaru, i nauczysz się pomagać sobie w dyskusjach siłą normalną argumentów.

to jest nowy rozdział 481

Kombinatorzy wagi ciężkiej kontra Pogromcy legend

Kombinatorzy wagi ciężkiej znów działają! Firma „Kombinatorzy wagi ciężkiej” utrzymuje, że jej nowy towar gwarantuje natychmiastową utratę wagi. Nie sposób uciec przed krzykliwymi reklamami kampanii, która pełną parą ruszyła w zeszłym tygodniu. Autorzy programu telewizyjnego „Pogromcy legend” nie wierzą w te buńczuczne zapewnienia, więc skontaktowali się z Tobą, prosząc o sprawdzenie całej sprawy. Jeżeli zdołasz dowieść, że urządzenie Kombinatorów wagi ciężkiej to mistyfikacja, Twoja praca zostanie zaprezentowana w przyszłotygodniowym specjalnym wydaniu programu.

Kombinatorzy wagi ciężkiej

Zgub zbędne kilogramy NATYCHMIAST!!! (za jedyne 1499 zł)

Notatka służbowa Od: Pogromcy legend ciężkiej Odp.: Kombinatorzy wagi iominutowy Chcemy zrealizować dziesięc reklamowym icom etn obi y materiał poświęcon dotyczącym Kombinatorów wagi ciężkiej, ich najnowszej oferty. binatorom Jeżeli możesz udowodnić Kom adzimy z Tobą ow oszustwo, z radością przepr wywiad.

482

Rozdział 11.

Ciężar i siła normalna

Czy ciężar faktycznie może zmaleć w jednej chwili? Oto jak działa cudowne urządzenie. Jego konstrukcja jest prosta. Na górze maszyny znajduje się platforma z umieszczoną na niej wagą. Gdy staniesz na wadze, odczytasz z niej to samo wskazanie, które widziałeś ostatnio w swojej łazience. Na razie nic zaskakującego.

W tym miejscu odczyt z wagi jest taki, jakiego się spodziewasz.

Następnie platforma zaczyna gwałtownie zjeżdżać w dół. Jednocześnie spada wskazanie wagi. Liczby nie kłamią — skoro odczyt jest mniejszy, Twój ciężar musiał się zmniejszyć. Prawda?

Waga. Tu jesteś lżejszy niż kilka chwil temu.

Tuż przed osiągnięciem najniższego punktu konstrukcji automat odłącza wagę, żeby nie uszkodziła się podczas lądowania w strefie tłumionego lądowania. Za tym wszystkim musi kryć się jakiś podstęp… ale jaki? W którym miejscu szukać oszustwa? Waga wygląda na prawdziwą i dopóki nie jest umieszczana w maszynie, daje takie odczyty, jakie widzisz zazwyczaj. Może więc chodzi o coś, co maszyna robi z wagą? Może kluczem jest odkrycie, w jaki sposób waga dokonuje pomiaru?

Platforma rusza w chwili, w której wchodzisz na wagę.

Tu dokonywany jest odczyt wskazania wagi. W tym miejscu odczyt z wagi jest niższy niż ten, którego dokonałeś na szczycie konstrukcji!

Tu wyłącza się wagę. Strefa tłumionego lądowania.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak sądzisz, jaka jest zasada działania urządzenia? (W jaki sposób waga dokonuje pomiaru masy ciała?)

jesteś tutaj  483

Wagi i sprężyny

Waga działa dzięki odpowiedniemu rozciąganiu i ściskaniu sprężyny Niektóre wagi dokonują pomiaru dzięki ściśnięciu sprężyny. Gdy będziesz układać na wadze, jeden po drugim, owoce porównywalnych rozmiarów, każdy kolejny dołożony owoc spowoduje ściśnięcie sprężyny w takim samym stopniu, jak jego poprzednik. Zmiana długości sprężyny jest następnie zamieniana na wskazanie w kilogramach. Zmiana długości sprężyny. Pierwotna długość sprężyny.

Nowa długość sprężyny. Zmiana długości sprężyny sprawia, że strzałka przesuwa się po tarczy, wskazując odpowiednią wartość w kilogramach.

Innym typem wagi jest urządzenie działające na zasadzie rozciągania sprężyny. Sposób działania urządzenia jest taki sam, z tą różnicą, że przedmiot ważony jest wieszany na sprężynie, a nie umieszczany na jej szczycie. Również i tym razem zmiana długości sprężyny jest przeliczana na kilogramy.

Sprężyna zawsze rozciągnie się (lub skurczy) o taką samą długość, gdy powiesi się na niej (lub położy) określoną masę. Dzięki temu odczyty z wagi są miarodajne. 484

Rozdział 11.

Znacznik umieszczony na końcu sprężyny wskazuje na skali punkt odpowiadający ciężarowi ciała.

Ta pętla jest przymocowana do jednego z końców sprężyny i może być ciągnięta przez zamocowane do niej ciało.

Ten koniec wagi jest dobrze zamocowany do punktu zawieszenia.

Tu znajduje się sprężyna.

Wewnętrzny fragment z pętlą jest oddzielony od zewnętrznego fragmentu z umieszczoną na nim skalą.

Ciężar i siła normalna

Staram się jakość to rozgryźć. Stajesz na wadze — odczyt jest taki, jak zawsze. Następnie waga zaczyna zjeżdżać w dół i to samo robi wskazówka wagi.

Kuba: Też mam z tym problem. Nie rozumiem, dlaczego ciężar człowieka miałby robić się mniejszy. To miałoby sens, gdyby stający na wadze miał na plecach plecak pełen kamieni i zrzucał go w chwili uruchomienia maszyny — przynajmniej tak to wygląda. Krzysiek: Może chodzi o sposób, w jaki waga dokonuje pomiaru? Przecież wagi nie mierzą bezpośrednio liczby kilogramów, a jedynie rejestrują zmianę długości sprężyny. Franek: Hmm. Sugerujesz, że gdy oprę wagę o ścianę i docisnę ją dłonią, waga wskaże jakąś liczbę kilogramów? Chyba zaczynam rozumieć. Dłoń popycha wagę z taką siłą.

Jeżeli wiesz, JAK działa urządzenie pomiarowe, możesz usunąć usterki z projektu doświadczenia, gdy wyniki okażą się być niewiarygodne.

Kuba: Dziwne. Kilogramy to jednostka masy, prawda? Masa jest miarą ilości materii w ciele. Ale przecież gdy naciskasz na wagę w poziomie, odczytywana wartość zależy od siły nacisku, a nie od ilości materii w dłoni. Krzysiek: Przypuszczam, że to dlatego, że waga nie mierzy bezpośrednio kilogramów, tylko zmianę długości sprężyny, a to musi zależeć od siły, z jaką ściskasz sprężynę. Franek: Gdy stoję na wadze, to w pewnym sensie uciskam umieszczoną w środku sprężynę w dół dzięki działaniu grawitacji. Wydaje mi się, że istnienie grawitacji sprawia, że masa iluś kilogramów wytwarza jakąś siłę i przez to powoduje określoną zmianę długości sprężyny. A to oznacza, że waga zawsze zachowuje się tak, jakby ktoś na niej stał i właśnie dokonywał pomiaru. Krzysiek: Czyli jeśli użyjesz wagi niezgodnie z zaleceniami producenta — dociskając ją do ściany albo umieszczając na opadającej platformie, jak zrobili to Kombinatorzy ciężkiej wagi — dostaniesz zafałszowany wynik. Franek: Brzmi wiarygodnie, ale szczerze mówiąc, wolałbym dowiedzieć się, co łączy siłę (która dociska sprężynę) z masą (która opisuje ilość materii)…

jesteś tutaj  485

Ciężar jest siłą

Masa jest miarą ilości materii Masa określa, ile materii znajduje się w danym ciele. Mierzy się ją w kilogramach. Masa jest wielkością skalarną, ponieważ materia nie ma kierunku — jest po prostu pewnego rodzaju „wypełnieniem”. Choć wskazania wagi Kombinatorów wagi ciężkiej sugerują coś innego, wiadomo, że masa osoby używającej ich urządzenia nie zmienia się — uczestnik pomiaru nie zdjął z pleców plecaka ani nie ściął włosów do połowy, tracąc w ten sposób materię.

MASA informuje Cię, z jakiej ilości materii zbudowane jest dane ciało. Jest wielkością skalarną, ponieważ materia nie ma kierunku.

Ciężar jest siłą Dociskając wagę dłonią do ściany, powodujesz ściskanie sprężyny w wyniku działania poziomo skierowanej siły.

Działając siłą w tym kierunku, ściskasz sprężynę i sprawiasz, że strzałka przesuwa się w górę skali.

Siła jest wektorem, ponieważ ma kierunek i zwrot — jest zwrócona w tę stronę, w którą dociskasz sprężynę. Mimo że ze skali wagi odczytujesz wynik w kilogramach, tak naprawdę waga określa jedynie zmianę długości sprężyny. Jeżeli zatem położysz na wadze nieco owoców i długość sprężyny ulegnie zmianie, będziesz wiedział, że na sprężynę zadziałała pewna siła.

Wektor siły ciężaru owoców wskazuje ten kierunek.

Sprężyna zmienia swoją długość, ponieważ musi przeciwdziałać sile ciężaru owoców, która pojawia się dlatego, że owoce znajdują się w polu grawitacyjnym Ziemi. Ciężar owoców to siła, z jaką Ziemia przyciąga je do siebie. Wektor ten zaznacza się na rysunkach w postaci strzałki zwróconej w dół, w kierunku środka kuli ziemskiej.

CIĘŻAR jest SIŁĄ, jakiej doświadczasz, pozostając w polu grawitacyjnym Ziemi. Ponieważ ciężar jest siłą, jest to wektor siły.

Na Ziemi Twój wektor siły ciężkości jest zwrócony w dół, w kierunku środka planety. 486

Rozdział 11.

Ale przecież ludzie ciągle mówią rzeczy w stylu „Ważę już 60 kilogramów, jestem taka ciężka”. Czemu w takim razie utrzymujesz, że masa i ciężar to dwie różne rzeczy?

Ciężar i siła normalna

Masa i ciężar nie są tym samym! W mowie potocznej często słyszy się, że słowa „masa” i „ciężar” są stosowane wymiennie, ale w fizyce nie możemy pozwolić sobie na taką swobodę. Musimy uważniej dobierać słowa.

Masa. Materia. Skalar.

Ciężar. Siła. Wektor.

Gdybyś poleciał na Księżyc, Twoja masa nie zmieniłaby się o ani jeden kilogram, ponieważ nadal byłbyś zbudowany z takiej samej ilości materii. Co innego z ciężarem mierzonym na Księżycu. Ciężar jest siłą, z jaką działa na Ciebie pole grawitacyjne planety, na której się znajdujesz. Pole grawitacyjne Księżyca jest mniejsze niż pole grawitacyjne Ziemi, więc Twój ciężar na Księżycu byłby mniejszy niż na Ziemi, choć masa nie zmieniłaby się ani trochę.

Czy to znaczy, że waga mierzy siłę potrzebną do ściśnięcia sprężyny, a potem zamienia wartość tej siły na kilogramy? Wygląda na to, że zależność między masą a siłą gra tu niebagatelną rolę.

Twoja masa na Ziemi i na Księżycu jest taka sama.

Księżyc.

Ziemia.

Sposób, w jaki waga przelicza siłę na odczyt podawany w kilogramach, ma tu pierwszorzędne znaczenie. Jeżeli staniesz na wadze na Księżycu, uzyskasz błędny odczyt, mimo że Twoja masa nie zmieniła się ani o kilogram. Błąd polega na tym, że waga przelicza zmianę długości sprężyny (pojawiającą się w wyniku działania siły) na kilogramy w taki sam sposób, jak miałoby to miejsce na Ziemi. Jeżeli uda Ci się określić zależność łączącą siłę i masę, zdołasz podważyć twierdzenia Kombinatorów wagi ciężkiej.

Ciężar na Księżycu. Ciężar na Ziemi. Strzałka wektora siły.

Twój ciężar mierzony na Ziemi jest sześć razy większy od ciężaru mierzonego na Księżycu.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Czy widziałeś już wcześniej równanie łączące siłę z masą?

jesteś tutaj  487

Siła i masa

W zależności łączącej siłę z masą pojawia się pęd W rozdziale 10. stwierdziłeś, że jeśli działasz określoną siłą na jakieś ciało przez określony czas, wywołasz zawsze taką samą zmianę pędu. Dopóki na ciało nie działają żadne inne siły, możesz zapisać następujące równanie: Ft = p Siła działająca na ciało… … powoduje zmianę pędu. … przez pewien czas…

Pęd z kolei to masa × prędkość, a to oznacza, że zawsze gdy w równaniu pojawia się symbol p, możesz podstawić za niego wyrażenie mv. W ten sposób powyższe równanie przepisuje się do postaci: Ft = (mv)

Pęd, p = mv Mała prędkość.

m1

Duża masa.

Taka sama zmiana pędu.

Przyjęliśmy, że słoń jest ciałem nr 1, więc ma masę m1 i prędkość v1. Indeksy bardzo często są wykorzystywane w fizyce do odróżniania wielkości opisujących różne ciała.

F v1

Taka sama siła działająca przez taki sam czas.

F

p 1 = m1v 1

Mała masa.

m2

v2

p 2 = m2v 2

Posługiwanie się liczbami sprawia, że równania zapisywane z indeksami są bardziej ogólne. Równanie postaci p1 = m1v1 może opisywać równie dobrze słonia, co kaczkę, czego nie da się już powiedzieć o równaniu ps = msvs.

Duża prędkość.

To równanie jest spełnione tak długo, jak długo siła F jest jedyną siłą działającą na ciało.

F t =

(mv)

Pęd, p = mv.

Jest to II zasada dynamiki Newtona. Mówi ona, że ciała o większej masie mają większą bezwładność czy też dają większy opór próbom zmienienia ich obecnego stanu ruchu. Gdybyś zadziałał określoną siłą na dwa różne ciała, ciało o większej masie okazałoby się „bardziej oporne na zmiany”, więc zmiana jego prędkości byłaby zupełnie niezauważalna. Równanie Ft = (mv) określa związek między siłą a masą. Dzięki niemu odkryjesz, na czym polega przekręt Kombinatorów wagi ciężkiej.

488

Rozdział 11.

To równanie jest prawdziwe dla każdego ciała. Ponieważ nie mamy na myśli konkretnego ciała, we wzorze p = mv nie pojawiają się żadne indeksy.

Ciężar i siła normalna

II zasada dynamiki Newtona: Jeżeli przez pewien czas działasz na ciało siłą zmiana

WYPADKOWĄ ,

Przecież czasami popychasz jakieś ciało z pewną siłą, a ono pozostaje w miejscu. Na czym tu polega zmiana pędu?

Liczy się siła wypadkowa. Oto schemat sił działających na mysz popychaną z jednakowymi siłami przez dwójkę ludzi.

F

pędu tego ciała ma zawsze taką samą wartość.

F m

Fwyp = 0.

Gdy poustawiasz te wektory nosem go ogona, wypadkowa siła działająca na ciało będzie równa zero. Dlatego właśnie mysz się nie przesuwa, a jej pęd pozostaje niezmieniony.

Gdyby jednak siła działająca na nią z lewej strony stała się nagle większa, przewyższyłaby siłę działającą z prawej strony, przez co pojawiłaby się siła wypadkowa, działająca To sprawdza się dla dowolnej liczby sił działających na ciało, zsumowanych razem z lewej strony. Oznacza to, że mysz do wartości siły wypadkowej, Fwyp. zaczęłaby się przesuwać w stronę prawą — jej pęd zmieniłby się w kierunku działania siły wypadkowej.

Fwyp t = (mv)

Zaostrz ołówek

a. Po dodaniu indeksu dolnego, zaznaczającego wyraźnie, że zmianę pędu wywołuje siła wypadkowa, Δ(mv) . równanie z poprzedniej strony, FΔt = Δ(mv), może zostać przekształcone do postaci Fwyp = Δt Określ na jego podstawie jednostkę siły.

Δ(mv) . Czy w czasie działania siły zmianie ulegają zarówno m, jak i v? (Dla Δt ułatwienia przyjmij, że rozmawiamy o sytuacji, gdzie słoń i mysz były popychane z pewną siłą wypadkową).

b. W równaniu pojawia się wyrażenie

c. Czy odpowiedź z podpunktu b sugeruje, w jaki sposób można by uprościć równanie Fwyp =

Δ(mv) Δt ?

Wskazówka: W jakich innych znanych Ci równaniach jedna z wielkości zmienia się w czasie?

jesteś tutaj  489

Jeżeli masa jest stała…

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Po dodaniu indeksu dolnego, zaznaczającego wyraźnie, że zmianę pędu wywołuje siła wypadkowa, Δ(mv) . równanie z poprzedniej strony, FΔt = Δ(mv), może zostać przekształcone do postaci Fwyp = Δt Określ na jego podstawie jednostkę siły. [t] = s

[m] = kg [v] = m/s

Jednostkę tę wymawia się „kilogram razy metr na sekundę kwadrat”.

[F] = kg·m/s = kg·m/s2 s

Δ(mv) . Czy w czasie działania siły zmianie ulegają zarówno m, jak i v? (Dla Δt ułatwienia przyjmij, że rozmawiamy o sytuacji, gdzie słoń i mysz były popychane z pewną siłą wypadkową).

b. W równaniu pojawia się wyrażenie

Prędkość zmienia się, ale masa pozostaje stała.

c. Czy odpowiedź z podpunktu b sugeruje, w jaki sposób można by uprościć równanie Fwyp = Ponieważ masa jest stała, równanie można przekształcić do postaci Wyrażenie

v t

Δ(mv) Δt ?

v t

to wzór przyspieszenia, zatem ostatecznie mogę zapisać F = ma.

Nie martw się, jeśli tego nie zauważyłeś.

Jeżeli masa ciała jest stała, Fwyp = m a II zasada dynamiki Newtona mówi, że jeśli przez pewien czas na ciało działa siła wypadkowa, pęd tego ciała ulega zmianie. Oznacza to, że siła określa tempo zmiany pędu ciała: Fwyp =

(mv) t

Tempo zmian pędu.

Zazwyczaj w czasie działania siły masa ciała nie ulega zmianie. Zgodnie z tym v stwierdzeniem m we wzorze jest stałą, a zmienia się tylko v. Wiesz już, że t to tempo zmiany prędkości ciała, czyli tak zwane przyspieszenie. Możesz zatem zapisać II zasadę dynamiki Newtona w nowej postaci: Fwyp = ma Wzór ten pozwala określić jednostkę siły — kg·m/s2. Jak widzisz, jest ona nieco nieporęczna, dlatego fizycy wprowadzili nową jednostkę siły, niuton (N), gdzie 1N = 1 kg·m/s2. Dlatego po wykonaniu obliczeń w zadaniu, w którym masa została podana w kg, a przyspieszenie w m/s2, otrzymasz wynik 10 N, a nie 10 kg·m/s2.

490

Rozdział 11.

Najczęściej będziesz mieć do czynienia z II zasadą dynamiki Newtona w postaci:

Fwyp = ma

Siła wypadkowa.

Masa.

Przyspieszenie.

Ciężar i siła normalna Nie istnieją

głupie pytania

P: To dlaczego nie powiedzieliśmy od razu, że F

wyp

= ma?

Po co było całe to gadanie o pędzie?

O

: Ta książka ma sprawić, że zrozumiesz fizykę. Zamiast podać Ci gotowy wzór postaci Fwyp = ma, woleliśmy cofnąć się do tego, czego dowiedziałeś się o siłach i pędzie w rozdziale 10. Dzięki temu wykorzystałeś swoją wiedzę do wyprowadzenia tej postaci II zasady dynamiki Newtona.

P

: Czy masa ciała jest zawsze stała? Czy zawsze można używać wzoru Fwyp = ma?

O

: Czasami zmieniają się i masa, i prędkość ciała. Na przykład rakieta lecąca w kosmos niesie ze sobą ogromny zapas paliwa, które nieustannie spala. Rakieta leci coraz szybciej, ale jednocześnie jej masa ciągle spada, bo zużywane są kolejne zapasy paliwa. Wtedy i masa, i prędkość rakiety ulegają zmianie, a to oznacza, że wyraz Δ(mv) równania FwypΔt = Δ(mv) trzeba będzie potraktować zupełnie inaczej.

P

: Jeśli masa ciała nie ulega zmianie, można zapisać, że Fwyp = ma, ale jeśli masa zmienia się, to czy należy stosować zapis FwypΔt = Δ(mv)?

O: Właśnie tak. Równanie F

Δt = Δ(mv) jest prawdziwe dla wyp każdego ciała, niezależnie od tego, czy jego masa jest stała, czy nie. Równanie Fwyp = ma jest słuszne tylko w przypadkach, gdy masa ciała jest stała.

P: Skąd mam wiedzieć, z którego z nich korzystać? O: Jeśli interesuje Cię prędkość ciała lub jego pęd,

a nie przyspieszenie, wygodniej będzie Ci użyć równania postaci FwypΔt = Δ(mv). Jeżeli zaś chcesz poznać przyspieszenie ciała, bardziej przydatna będzie postać Fwyp = ma (o ile, oczywiście, masa ciała jest stała).

Nie martw się jednak zanadto o takie przypadki. W tej książce nie będziemy się nimi zajmować.

Ale nas interesuje ciężar! Prędkość jabłka położonego na wadze nie zmienia się — jabłko nie przyspiesza, a przecież mimo to ma ciężar!

Symbol g oznacza przyspieszenie grawitacyjne. Na Ziemi wynosi ono g ≈ 9,8 m/s2. Wartość przyspieszenia ziemskiego może nieco różnić się w zależności od wybranego podręcznika.

Ciężar, Q = mg

To właśnie siła ciężkości sprawia, że puszczone w powietrzu ciało zaczyna przyspieszać. Gdy puścisz jabłko, zacznie ono przyspieszać w tempie 9,8 m/s2. Dzieje się tak dlatego, że „moc” pola grawitacyjnego wynosi 9,8 m/s2. Wiesz już, że aby ciało zaczęło przyspieszać, musi działać na nie siła wypadkowa. Jedyną siłą, jaka działa na spadające jabłko, jest siła ciężkości. Traktuj ją jako siłę grawitacji, której istnienie zależy od przyciągania się masy jabłka i masy Ziemi. Choć w tym przypadku jabłko nie spada, nadal pozostaje pod wpływem działania siły grawitacji, więc nadal ma ten sam ciężar liczony jako masa × przyspieszenie pola grawitacyjnego, czyli mg (przyspieszenie grawitacyjne oznaczamy literą g).

jesteś tutaj  491

Siła oparcia Na czym na razie stoimy? Ciężar to siła, prawda?

Kuba: Prawda. Mój ciężar wynika z ilości materii, z której jestem zrobiony, i z ilości materii, z której zrobiona jest Ziemia. Czyli możemy przyjąć, że ciężar to siła grawitacji. Krzysiek: Tak, twój ciężar jest powodem, dla którego przyspieszałbyś w tempie 9,8 m/s2 w kierunku ziemi, gdybyś nie miał żadnego oparcia pod nogami. Z kolei Fwyp = ma, więc skoro moja masa to 80,0 kg, mój ciężar musi wynosić 80 kg × 9,8 m/s2 = 784 N, bo działa na mnie taka siła grawitacji. Franek: Tak, a skoro nie przyspieszasz, musi to oznaczać, że Twój ciężar stale wynosi 784 N, bo przecież ciężar, Q = mg. Wydaje mi się, że jeżeli masa jest stała, to ciężar też nie zmieni się ani o jotę — ciągle będzie równy mg. Uwaga praktyczna: Różne podręczniki do fizyki podają różne wartości przyspieszenia g. Dość często spotkasz się 2 z wartością 9,81 m/s , choć czasami autorzy podają dla wygody większe przybliżenie — 10 m/s2.

Kuba: Ale wskazanie na wadze w urządzeniu Kombinatorów wagi ciężkiej spada, gdy waga porusza się w dół! Franek : Tak, to prawdziwa zagadka. Waga na pewno nie dokonuje bezpośredniego pomiaru ciężaru, bo w takim razie jej wskazania byłyby zawsze takie same. Jeśli zatem waga nie mierzy ciężaru, jaką siłę stara się ocenić? Krzysiek: Wydaje mi się, że odpowiedź kryje się w tym, że waga w urządzeniu Kombinatorów przyspiesza w dół. To wtedy zmienia się odczyt.

Gdybyś nie napotkał siły oparcia ze strony wagi (lub Ziemi), spadałbyś w nieskończoność!

Franek: Tylko dlaczego to miałoby zmieniać wynik pomiaru? Krzysiek: Cóż, wydaje mi się, że reakcja wagi na nacisk nie jest tak duża, jak w przypadku, gdy waga stoi w miejscu. Kuba: Faktycznie… Gdy stajesz na wadze, umieszczona w niej sprężyna skraca się w takim stopniu, jaki jest potrzebny, by zareagować na nacisk, który wywierasz na wagę. I to właśnie stopień ściśnięcia sprężyny jest źródłem wyniku pomiaru. Krzysiek: Waga mierzy siłę oparcia, jaką daje podłoże! Franek: Czy to znaczy, że gdyby waga nie reagowała w całości na ciężar, jej wskazanie byłoby niższe? Krzysiek: Wydaje mi się, że tak właśnie jest.

492

Rozdział 11.

Ciężar i siła normalna

Waga mierzy siłę oparcia Twój ciężar zawsze wynosi mg. To właśnie siła ciężkości sprawia, że przyspieszasz, spadając. Jeżeli stoisz na jakimś podłożu, musi ono działać na Ciebie siłą oparcia zwróconą przeciwnie do Twojego ciężaru — bez niej spadałbyś dalej! Gdy stajesz na umieszczonej na ziemi wadze, powodujesz ściśnięcie sprężyny. Przez chwilę poruszasz się w dół. Trwa to tak długo, dopóki sprężyna w wadze nie ściśnie się wystarczająco, by zareagować na nacisk siłą równą Twojemu ciężarowi. Od tej chwili siły działające na Ciebie równoważą się, czyli siła wypadkowa jest równa zero.

Jeżeli pozostajesz w bezruchu, nie może działać na Ciebie żadna siła wypadkowa.

Zaostrz ołówek a. Jaki jest ciężar człowieka o masie 80 kg?

b. Osoba ważąca 80 kg stoi nieruchomo na umieszczonej na ziemi wadze. Jaką siłą oparcia musi zadziałać waga na tego człowieka, żeby jej nie uszkodził lub żeby przez nią nie przeleciał?

c. Jaka działa na niego siła wypadkowa?

d. Narysuj szkic takiego człowieka, zaznaczając wszystkie działające na niego siły. Zaznacz je opisanymi strzałkami wskazującymi kierunek działania siły.

e. Wyobraź sobie teraz, że osoba stojąca na wadze łapie się za uchwyty zwisające z sufitu i podciąga się na nich z siłą 200 N. Narysuj szkic przedstawiający wszystkie siły działające na tę osobę, łącznie z siłami oparcia ze strony wagi i uchwytów.

Narysuj TYLKO człowieka — nie rysuj wagi, podłoża ani niczego innego.

f. Jakie będzie wskazanie wagi (w kg), gdy człowiek zwiśnie częściowo na uchwytach w sposób opisany w podpunkcie e?

jesteś tutaj  493

Siła oparcia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Jaki jest ciężar człowieka o masie 80 kg? ciężar = masa × przyspieszenie grawitacyjne

b. Osoba ważąca 80 kg stoi nieruchomo na umieszczonej na ziemi wadze. Jaką siłą oparcia musi zadziałać waga na tego człowieka, żeby jej nie uszkodził lub żeby przez nią nie przeleciał?

= 80,0 kg × 9,8 m/s2 ciężar

Ciężar tego człowieka wynosi 784 N, więc waga, żeby nie ulec zniszczeniu, musi zareagować na nacisk siłą równą 784 N.

= 784 N

c. Jaka działa na niego siła wypadkowa? Siła wypadkowa jest równa zero, ponieważ na człowieka działają dwie równe sobie siły: ciężkości — zwrócona w dół, i oparcia — zwrócona w górę.

e. Wyobraź sobie teraz, że osoba stojąca na wadze łapie się za uchwyty zwisające z sufitu i podciąga się na nich z siłą 200 N. Narysuj szkic przedstawiający wszystkie siły działające na tę osobę, łącznie z siłami oparcia ze strony wagi i uchwytów. Siła oparcia uchwytów, 200 N

Siła oparcia wagi, 584 N

d. Narysuj szkic takiego człowieka, zaznaczając wszystkie działające na niego siły. Zaznacz je opisanymi strzałkami wskazującymi kierunek działania siły. Siła oparcia, 784 N.

Narysuj TYLKO człowieka — nie rysuj wagi, podłoża ani niczego innego.

Ciężar, 784 N

f. Jakie będzie wskazanie wagi (w kg), gdy człowiek zwiśnie częściowo na uchwytach w sposób opisany w podpunkcie e? Waga działa na człowieka siłą oparcia równą 584 N. Zakładam, że F = mg. m =

Ciężar, 784 N

F g

=

584 kg·m/s2 9,8 m/s2

m = 59,6 kg

Waga mierzy siłę oparcia, jaką wytwarza sprężyna, a następnie — posługując się zależnością F = mg — określa masę człowieka. Jeżeli z jakichś przyczyn siła oparcia nie będzie równa Twojemu ciężarowi, waga i tak przeliczy jej wartość na kilogramy. Oczywiście taki odczyt nie będzie równy Twojej masie, ponieważ siła oparcia nie była równa ciężarowi.

494

Rozdział 11.

Waga mierzy siłę oparcia.

Ciężar i siła normalna

Możesz podważyć sposób działania urządzenia!

Siła oparcia uchwytów.

Odkryłeś, że waga mierzy wartość siły oparcia. Wiesz też, że jeżeli siła ta będzie z jakichś powodów mniejsza niż ciężar ważonej osoby, wskazanie wagi będzie mniejsze niż rzeczywista masa tej osoby. To zwykły

To diagram rozkładu sił. Różni się nieco od widocznego obok szkicu, ponieważ ukazuje tylko JEDNO ciało.

Siła oparcia wagi.

Ciężar, Q = mg

szkic. Wyciągnąłeś te wnioski dzięki zastosowaniu diagramu rozkładu sił. Pod tą tajemniczą nazwą kryje się zwykły szkic ciała, ukazujący wszystkie działające na nie siły. To doskonałe narzędzie służące do przeprowadzania analizy dynamicznej. A skoro mówimy już o analizie dynamicznej, Pogromcy legend dokonali przełomowego odkrycia w tej sprawie. Obejrzeli ponownie reklamę i ocenili, Diagram rozkładu sił Diagram rozkładu że podczas odczytywania pomiaru z wagi konstrukcja sił przedstawia przedstawia tylko jedno porusza się z przyspieszeniem 2,0 m/s2 w dół. tylko jedno ciało,

ciało i wszystkie działające na nie siły.

Zaostrz ołówek

więc narysuj samego człowieka — żadnych wag ani konstrukcji maszyny.

a. W polu po prawej stronie narysuj diagram rozkładu sił dla człowieka o masie m, stojącego w urządzeniu Kombinatorów wagi ciężkiej.

Możesz wykorzystać tę informację, by ujawnić fałszerstwo Kombinatorów wagi ciężkiej. Wskazówka: Waga zawsze przyjmuje, że zmierzona siła to mg, i przelicza wynik pomiaru na kilogramy.

c. Waga poda wynik pomiaru w kg. Jaka będzie jego wartość?

(Nie obliczałeś jeszcze wartości sił, więc nie musisz umieszczać ich na szkicu. Opisz słownie siły działające na człowieka, to w zupełności wystarczy). b. II zasada dynamiki Newtona, Fwyp = ma, stwierdza, że ciało przyspiesza, jeśli działa na nie niezerowa siła wypadkowa będąca sumą wszystkich działających na ciało sił. Osoba stojąca na wadze przyspiesza w tempie 2,0 m/s2. Wykorzystaj tę informację, by wyprowadzić równanie opisujące siłę oparcia ze strony wagi.

Twoja odpowiedź będzie liczbą bezwymiarową. Pojawi się w niej czynnik m — masa osoby stojącej na wadze. Na przykład wynik zapisany w postaci 0,5 m oznacza, że waga podała wartość będącą połową masy człowieka stojącego na niej.

d. Wyjaśnij, dlaczego wynik pomiaru jest niższy, niż gdyby został uzyskany na wadze stojącej na ziemi.

Uważaj, żeby zmienna masy, m, nie pomyliła Ci się z jednostką długości, metrem. Obydwie oznacza się tą samą literą, „m” (choć oczywiście pojawiają się w innym kontekście).

jesteś tutaj  495

Zmniejsz siłę oparcia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Siła oparcia

a. W polu po prawej stronie narysuj diagram rozkładu sił dla człowieka o masie m, stojącego w urządzeniu Kombinatorów wagi ciężkiej.

c. Waga poda wynik pomiaru w kg. Jaka będzie jego wartość? Waga przyjmuje, że zmierzona siła F = mg, więc dzieli siłę oparcia przez wartość g, żeby otrzymać masę podaną w kilogramach.

(Nie obliczałeś jeszcze wartości sił, więc nie musisz umieszczać ich na szkicu. Opisz słownie siły działające na człowieka, to w zupełności wystarczy).

Ciężar, Q = mg

modczyt

b. II zasada dynamiki Newtona, Fwyp = ma, stwierdza, że ciało przyspiesza, jeśli działa na nie niezerowa siła wypadkowa będąca sumą wszystkich działających na ciało sił. Osoba stojąca na wadze przyspiesza w tempie 2,0 m/s2. Wykorzystaj tę informację, by wyprowadzić równanie opisujące siłę oparcia ze strony wagi. Wektory zwrócone w dół mają znak dodatni. Siła wypadkowa jest sumą siły oparcia i ciężaru ciała.

Fwyp = ma

mg – Fop = 2,0 m/s2 × m Tym symbolem oznaczyliśmy siłę oparcia.

Fop = mg – 2,0 m/s2 × m

modczyt =

modczyt

mg – 2,0 m/s2 × m g

To wyrażenie tożsame

2,0 m/s2 × m z (1 – 0,204) m. = m g 2,0 m/s2 × m = m 9,8 m/s2 = m - 0,204 m

modczyt ≈ 0,80 m

d. Wyjaśnij, dlaczego wynik pomiaru jest niższy, niż gdyby został uzyskany na wadze stojącej na ziemi.

Siła jest wektorem, więc musisz najpierw Osoba stojąca na wadze porusza się ustalić znaki. z przyspieszeniem zwróconym w dół,

a to oznacza, że musi istnieć siła wypadkowa

Zacznij działająca w dół. Z tego wynika, że siła od zapisania II oparcia (mierzona przez wagę) jest mniejsza zasady dynamiki niż ciężar osoby stojącej na wadze. Newtona, a potem podstaw do niej znane wartości. Waga reaguje jedynie na część ciężaru ważonej osoby.

Urządzenie zmniejsza siłę oparcia Maszyna skonstruowana przez Kombinatorów wagi ciężkiej „działa” jedynie dlatego, że waga mierzy siłę oparcia, jakie daje waga stojącej na niej osobie. Gdy siła oparcia jest mniejsza od ciężaru ważonego ciała, odczyt z wagi jest mniejszy niż jego masa. Urządzenie przyspiesza ważonego człowieka w dół, a to oznacza, że na osobę stojącą w maszynie działa siła wypadkowa zwrócona w dół. Opisujemy ją wzorem Fwyp = ma. Jedyną siłą działającą w dół jest siła ciężkości, a jedyną siłą działającą w górę jest siła oparcia. Skoro istnieje przyspieszenie skierowane w dół, siła oparcia musi być mniejsza niż siła ciężkości. Dlatego waga podaje zaniżone wskazania. Tak właśnie działa urządzenie Kombinatorów wagi ciężkiej.

496

Rozdział 11.

Żeby wyznaczyć siłę wypadkową, dodaj wektory do siebie, ustawiając je nosem do ogona.

Fop, siła oparcia wagi. Siła oparcia jest mniejsza od siły ciężkości.

Fop

mg Fwyp = mg – Fop

Ciężar, Q = mg Strzałki wektorów określają zwrot siły.

Gdy wstawiasz wektory do równania, musisz umieścić przy nich odpowiednie znaki, żeby zdefiniować ich zwrot.

Ciężar i siła normalna Nie istnieją

głupie pytania

P: Czyli waga nie mierzy mojej masy… ani nawet ciężaru?!

O

: Waga mierzy siłę, z jaką działa na Ciebie jej sprężyna. My nazwaliśmy ją siłą oparcia. Waga wyznacza wartość tej siły, znając zmianę długości sprężyny.

P: Czy to oznacza, że jeżeli na mój

P: Co działoby się, gdyby siła

O: Jeśli nie doznajesz jednocześnie żadnego

: Pojawiłaby się siła wypadkowa zwrócona w górę, która wywołałaby przyspieszenie w górę.

ciężar reaguje kilka ciał, wszystkie siły oparcia będą równoważyć siłę ciężkości?

P: Jak to możliwe, że waga mierzy

przyspieszenia, to tak. Wszystkie siły oparcia będą w sumie równe sile ciężkości, ponieważ siła wypadkowa musi być równa zero.

O

wartość siły oparcia?

siłę oparcia mniejszą niż mój ciężar?

: Jeżeli waga będzie musiała zareagować jedynie na część Twojego ciężaru (na przykład dlatego, że podciągasz się na uchwytach lub stoisz jedną nogą na wadze, a jedną na ziemi), wytworzy siłę, która będzie tylko jakimś ułamkiem Twojego ciężaru.

Nie tak szybko! Wydawało mi się, że siły pojawiające się parami mają zawsze tę samą wartość — przynajmniej tak utrzymywaliście ostatnio. To przecież III zasada dynamiki Newtona. A siły na diagramie rozkładu sił wcale nie mają równej długości.

P: Dlaczego przyspieszenie zmienia O

: Doskonałe pytanie! Ale nie powinieneś myśleć o przyspieszeniu w kategoriach „powodowania” czy „zmieniania” siły. Zależność pojawia się w drugą stronę — niezerowa siła wypadkowa sprawia, że pojawia się przyspieszenie.

Jeśli przyspieszasz, wiesz, że musi działać na Ciebie niezerowa siła wypadkowa zgodnie z zasadą Fwyp = ma. Jeżeli przyspieszasz w dół, ciężar (zwrócony w dół) musi przewyższać siłę oparcia (zwróconą w górę). Tylko w takim przypadku pojawi się siła wypadkowa skierowana w dół, która wywoła obserwowane przyspieszenie.

zwrócona w górę była większa od mojego ciężaru?

O

P: Mam pytanie dotyczące diagramu

rozkładu sił. Dlaczego strzałki wektorów wskazują zawsze kierunki od ciała, nawet jeśli któraś z sił działa od dołu (jak na przykład siła oparcia)?

O

: To konwencja rysowania rozkładu sił, dzięki której wystarczy Ci jeden rzut oka na szkic, by wiedzieć, w które strony są zwrócone siły. Jest to szczególnie wygodne, gdy na rysunku pojawia się kilka sił. Strzałka znajdująca się ponad ciałem musi symbolizować siłę działającą w górę i tak dalej.

P: Czy teraz, gdy zdemaskowaliśmy kombinatorów, będę mógł wystąpić w telewizji?

O: Cóż… Siła oparcia wagi.

Siły z III zasady dynamiki Newtona działają na różne ciała. Na diagramie rozkładu sił pojawia się tylko jedno ciało. Siły, które na nim zaznaczamy, działają tylko na to ciało. Gdybyś narysował rozkład sił dla samego siebie, znalazłyby się na nim siła ciężkości i siła oparcia. III zasada dynamiki Newtona mówi o parze sił, z których każda działa na inne ciało. Jeżeli Ziemia działa na Ciebie siłą grawitacji, Ty musisz wywierać siłę o tej samej wartości i przeciwnym zwrocie na Ziemię. I skoro waga działa na Ciebie siłą oparcia ze strony podłoża (bo masz z nim kontakt), Ty działasz na wagę siłą kontaktową o równej wartości i przeciwnym zwrocie.

Obydwie siły działają na to samo ciało, więc nie mogą być parą sił z III zasady dynamiki Newtona.

Ciężar, Q = mg

Siły opisane w III zasadzie dynamiki Newtona działają na inne ciała. jesteś tutaj  497

Pary sił

Para sił pomoże Ci sprawdzić poprawność rozwiązania Ten rysunek NIE jest diagramem rozkładu sił, ponieważ pojawia się na nim więcej niż jedno ciało i nie zaznaczono tu wszystkich sił (brakuje siły ciężkości i siły oparcia ze strony podłoża). To para sił z III zasady dynamiki Newtona.

Zanim przedstawisz swoje odkrycie Pogromcom legend, musisz sprawdzić, czy dobrze obliczyłeś siły działające na ciało umieszczone w maszynie Kombinatorów wagi ciężkiej. Najlepszą metodą sprawdzenia poprawności rozwiązania będzie upewnić się, czy każda z sił widocznych na diagramie ma swój odpowiednik z III zasady dynamiki Newtona. Z III zasadą dynamiki Newtona spotkałeś się w rozdziale 10., w zadaniu z odpychającymi się wagonikami. Zasada zachowania pędu (którą stwierdziłeś doświadczalnie) wymagała, aby w chwili zderzenia na każdy z wagoników działała identyczna co do wartości siła, ale zwrócona w przeciwną stronę.

v1 p1

m1

Gdy rysujesz diagram rozkładu sił dla osoby stojącej na wadze, muszą pojawić się na nim dwie siły działające na człowieka — siła ciężkości i siła oparcia. Choć siły te mają tę samą wartość i są zwrócone przeciwnie, nie stanowią pary sił z III zasady dynamiki Newtona, ponieważ obie działają na to samo ciało.

498

Rozdział 11.

v2 p2

F1/2

Aby całkowity pęd układu był zachowany, na każdy ci z wagoników musi działać siła o takiej samej wartoś i przeciwnym zwrocie.

siła, z którą ciało 1 działa na ciało 2; siła, z którą ciało 2 działa na ciało 1.

Ta para sił istnieje nawet, jeśli znajdujesz się w pewnej odległości od Ziemi i nie masz z nią żadnego kontaktu.

m2

F2/1

Jeśli nadamy wagonikom oznaczenia „1” i „2”, to parą sił w tym układzie są:

Siła będąca parą ciężaru to siła grawitacji, z jaką przyciągasz Ziemię. Materia, z której zbudowane jest Twoje ciało, i materia, z której zbudowana jest Ziemia, przyciągają się wzajemnie.

*PING*

Siła oparcia wagi. Te siły NIE ilustrują III zasady dynamiki Newtona, ponieważ działają na to samo ciało.

Ciężar, Q = mg

Możesz sprawdzić poprawność swojego rozwiązania, znajdując drugą siłę z pary (III zasada dynamiki Newtona) dla każdej narysowanej na diagramie rozkładu sił. Żeby to zrobić, musisz wymyślić, jakie ciała oddziałują w każdym z przypadków z człowiekiem z diagramu rozkładu sił.

Siła będąca parą dla siły oparcia to siła kontaktowa, z którą naciskasz na powierzchnię wagi. Ciężar, Q = mg (Siła grawitacji)

Siła oparcia wagi.

Żadna z tych sił nie będzie istnieć, dopóki nie będziesz mieć kontaktu z wagą.

Siła grawitacji

To para sił z III zasady dynamiki Newtona. Zauważ, że działają one na inne ciała.

Kontaktowa siła, z którą naciskasz na wagę. To para sił z III zasady dynamiki Newtona. Zauważ, że działają one na inne ciała.

Ciężar i siła normalna Przecież to nie ma sensu! W dół są zwrócone dwie strzałki — ciężar i ta „siła kontaktowa”, więc po zsumowaniu okazuje się, że odpychasz podłoże z siłą równą dwukrotnej wartości ciężaru.

Sumuje się tylko te siły, które działają na to samo ciało.

Ciężar jest siłą, która działa na Ciebie. Siła ciężkości oddziałuje na Ciebie. Musi działać na Ciebie, gdyż w razie jej braku nie spadałbyś w dół urwiska. Ciężar jest zwrócony w dół. Jego pochodzenie wyjaśnia określenie „przyciąganie grawitacyjne”, którego używa się czasami do określenia tej siły. Siła kontaktowa pojawiająca się na powierzchni styku Twoich stóp i wagi działa na wagę. Jest również zwrócona w dół, ale działa na wagę, a nie na Ciebie. Wolno Ci dodawać tylko te siły, które działają na to samo ciało. Te dwie, zwrócone w dół siły działają na inne ciała, więc nie wolno Ci ich dodawać.

Czy siła oparcia pojawia się tylko wtedy, gdy masz kontakt z wagą?

Istnieją dwa rodzaje sił — kontaktowe i bezkontaktowe. Siła oddziaływania grawitacyjnego zalicza się do sił bezkontaktowych, ponieważ działa również na odległość. Ziemia przyciąga Cię niezależnie od tego, czy na niej stoisz, czy nie. Siły kontaktowe pojawiają się jedynie wtedy, gdy następuje zetknięcie się ze sobą dwóch ciał. Stojąc na ziemi, nie przyspieszasz, co oznacza, że siły działające na Ciebie — ciężar i siła oparcia — pozostają w równowadze. III zasada dynamiki Newtona mówi, że jeżeli Ziemia działa na Ciebie pewną siłą, to siła ta musi być reakcją na siłę kontaktową, z którą Ty działasz na Ziemię. Zastanów się nad tym, bo to stwierdzenie niepozbawione sensu. Żeby rozdeptać robaka, musisz na nim stanąć, a to oznacza kontakt z insektem. Nie możesz powiedzieć, że rozdeptałeś robaka w wyniku działania siły ciężkości, ponieważ ta siła działa na Ciebie, a nie na robaka. Ale jak najbardziej możesz zadziałać na niego siłą kontaktową, będącą parą dla siły oparcia, która działa na Ciebie.

Siły wchodzące w skład pary sił z III zasady dynamiki Newtona muszą zaliczać się do tego samego rodzaju (na przykład obydwie muszą być kontaktowe lub bezkontaktowe). jesteś tutaj  499

Zdemaskuj Kombinatorów wagi ciężkiej Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Dlaczego warto pamiętać o istnieniu par sił z III zasady dynamiki Newtona?

: Czy istnieje jakiś inny sposób określania pary sił?

O: Gdy rysujesz diagram rozkładu sił,

: Siły opisane III zasadą dynamiki Newtona należą zawsze do tego samego rodzaju. Będą albo siłami kontaktowymi, albo siłami bezkontaktowymi.

zaznaczasz na nim tylko siły działające na interesujące Cię ciało. Każda z nich musi mieć swoją parę, ponieważ gdy dwa ciała oddziałują ze sobą, pojawiają się dwie siły równe co do wartości, lecz zwrócone przeciwnie, działające na każde z tych ciał.

P

: Czy to oznacza, że rysując diagram rozkładu sił, powinienem od razu szukać drugiej siły do pary?

O: Właśnie tak! Powinieneś też zastanowić

się nad tym, które dwa ciała biorą udział w tym konkretnym oddziaływaniu. Dzięki temu unikniesz błędu polegającego na umieszczeniu na diagramie sił działających na różne ciała.

P

: Skąd wzięła się ta „siła kontaktowa”, z jaką działam na podłoże? Myślałem, że parą z III zasady dynamiki dla mojego ciężaru jest siła oparcia ze strony podłoża.

O: Zarówno ciężar, jak i siła oparcia

ze strony wagi działają na Ciebie, więc nie mogą stanowić pary sił z punktu widzenia III zasady dynamiki Newtona. Nie działają na inne ciała.

Zastanów się nad brakującymi siłami z pary z III zasady dynamiki Newtona. Dzięki temu unikniesz błędów na diagramie rozkładu sił. 500

Rozdział 11.

O

P: Dlaczego siła kontaktowa, z jaką

działam na Ziemię (poprzez wagę, która na niej stoi), nie przyspiesza Ziemi? Przecież to siła wypadkowa.

O

: Wywierasz na Ziemię siłę kontaktową zwróconą w dół, ale jednocześnie przyciągasz Ziemię w górę grawitacyjnie. Siła wypadkowa działająca na Ziemię wynosi w tym przypadku zero, więc planeta nie doznaje żadnego przyspieszenia.

P

: A co działoby się, gdybym nie stał na powierzchni Ziemi? Przecież wtedy siła przyciągania grawitacyjnego, z jaką działałbym na Ziemię, musiałaby przyspieszyć ją w moim kierunku.

O

: To doskonała obserwacja i pytanie jak najbardziej na miejscu. Jeżeli nie stałbyś na powierzchni, pomiędzy Tobą a Ziemią działałaby grawitacyjna para sił. Działająca na Ciebie siła grawitacji (ciężar) przyspieszałaby Cię w kierunku Ziemi. Taka sama siła przyspieszałaby planetę w Twoim kierunku.

P

: To dlaczego nie widzę, jak Ziemia przyspiesza?

O

: II zasada dynamiki Newtona ma F postać F = ma, a to oznacza, że a = . m Ponieważ Ziemia ma dużo większą masę niż Ty, doznaje stosunkowo małego przyspieszenia, więc nie masz szans go zauważyć.

Zdemaskowałeś Kombinatorów wagi ciężkiej! Diagram rozkładu sił działających na człowieka na wadze, który narysowałeś, jest poprawny. Siła oparcia wywierana przez wagę na ciało jest mniejsza niż ciężar ciała. To oznacza, że na człowieka stojącego na wadze działa siła wypadkowa, wywołująca przyspieszenie: Fwyp = ma. Siła wypadkowa sprawia, że człowiek zaczyna przyspieszać w dół, co zaobserwowano na filmie reklamowym. Waga mierzy wartość siły oparcia i przelicza ją na masę, zakładając zachodzenie następującej równości F = Q = mg. Jeżeli siła oparcia jest mniejsza niż ciężar, waga poda mniejsze wskazanie. Pogromcy legend skontaktują się z Tobą w nadchodzących dniach, żeby złożyć Ci należne gratulacje i uzgodnić szczegóły dotyczące realizacji odcinka programu z Twoim udziałem.

Obalon

e!

Ciężar i siła normalna

Ale to nie koniec Kombinatorów wagi ciężkiej! Zbyt wcześnie odtrąbiliśmy triumf. Kombinatorzy wagi ciężkiej powrócili na rynek z nowym wynalazkiem. Na razie reklamują go wyłącznie w gazetach.

Notatka służbowa Od: Pogromcy legend

Tym razem osoba pragnąca pozbyć się nadwagi zjeżdża na wadze po równi pochyłej. Taki zjazd w cudowny sposób (a przynajmniej na razie tak to wygląda) ma sprawić, że wskazanie wagi będzie niższe niż podczas kontrolnego pomiaru dokonanego na podłożu płaskim. Pogromcy legend znów potrzebują Twojej pomocy przy obalaniu fałszerstwa za pomocą nauki. Tutaj odczyt na wadze nie różni się niczym od standardowego wyniku.

Odp.: Kombinatorzy wagi ciężkiej Poradziłeś sobie świetnie z Kom binatorami… ale powrócili do akcji. Czy możesz sprawdzić ich najn owszy wynalazek i dowiedzieć się, w jaki sposób daje takie wyniki, jakie daje? W załączn iku znajdziesz kopię ich materiałów reklamow ych. Jeśli zdołasz udowodnić im oszustwo, z rad ością powitamy Cię znów w naszym programie.

Kombinatorzy wagi ciężkiej Przed

Po!

Zgub zbędne kilogramy NATYCHMIAST!!! (za jedyne 1499 zł)

Człowiek zsuwa się po równi na wadze.

Tutaj odczyt na wadze jest niższy od spodziewanego.

Z materiałów reklamowych wynika, że osoba zjeżdżająca po pochyłości waży mniej niż na płaskim podłożu. A więc — na czym tym razem polega przekręt?!

Powierzchnia równi pod względem braku tarcia przypomina stół do hokeja powietrznego.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak uważasz, na czym opiera się zasada działania nowego wynalazku?

jesteś tutaj  501

Siła normalna

Podłoże może działać na Ciebie wyłącznie siłą prostopadłą (normalną) do swojej powierzchni Gdy stoisz na poziomym podłożu, nie przyspieszasz, ponieważ podłoże działa na Ciebie siłą kontaktową prostopadle do swojej powierzchni.

Działająca w pionie siła kontaktowa.

Siła normalna

Do tej pory nazywaliśmy tę prostopadle działającą siłę siłą oparcia, ale bardziej odpowiednią dla niej nazwą jest określenie siła normalna. Nazwa ta wiąże się z pewną właściwością siły. Niezależnie od kąta nachylenia podłoża do poziomu działa ono na ciała siłą kontaktową prostopadłą, czyli właśnie normalną, do swojej powierzchni. Siła normalna nie zawsze równoważy ciężar ciała umieszczonego na powierzchni.

Jeśli spróbujesz „stanąć” na pionowej powierzchni (na przykład na ścianie), spadniesz od razu na dół, ponieważ powierzchnia pionowa może zadziałać na Ciebie jedynie siłą skierowaną poziomo. Podłoże pionowe nie zdoła dać oparcia Twojemu ciężarowi. Pionowe podłoże nie może wywierać pionowej siły.

Gdy rzucisz poziomo piłką o pionową ścianę, ściana zadziała na piłkę poziomą siłą normalną. To właśnie ta siła sprawia, że piłka odbija się od ściany. Jednocześnie na piłkę działa siła ciężkości, ale jest to siła pionowa, więc nie zmienia w żaden sposób wartości siły normalnej.

Siła normalna

Ciężar Ciężar

Ściana zadziała na Ciebie co najwyżej poziomo skierowaną siłą normalną, jeśli Ty zadziałasz na nią siłą kontaktową.

502

Rozdział 11.

Piłka rzucona poziomo o ścianę.

Poziome podłoże.

Ciężar

Podłoże działa na Ciebie siłą normalną o tej samej wartości, co prostopadła siła, z jaką Ty działasz na podłoże, lecz przeciwnie zwróconą.

Siła ciężkości działająca na piłkę jest równoległa do powierzchni ściany.

Piłka odbija się od ściany, ponieważ działa na nią siła normalna.

Siła normalna, z jaką podłoże zadziała na Ciebie, jest równa prostopadłej sile, z jaką Ty naciskasz na podłoże, choć działa w przeciwnym kierunku. Jeśli stoisz na poziomym podłożu, siła normalna ma wartość Twojego ciężaru. Jeżeli pchniesz ścianę poziomo z siłą 50 N, siła normalna będzie równa 50 N.

Ciężar i siła normalna Kuba: Zdecydowanie. Sprężyna wagi odpowiedzialna za pomiar może ulegać ściśnięciu jedynie prostopadle do powierzchni nachylenia, czyli w kierunku normalnym.

Waga w nowym urządzeniu określa, jak sądzę, wartość siły normalnej.

Krzysiek: Tylko jak obliczyć tym razem wartość siły normalnej? Ostatnio dysponowaliśmy danymi z reklamy telewizyjnej, ale tym razem mamy do dyspozycji jedynie reklamę w gazecie. Musimy coś wymyślić, bo termin programu coraz bliżej. Franek: Sądzę, że możemy zmierzyć kąt nachylenia równi… Kuba: A jak ma nam to pomóc w wyznaczeniu siły normalnej? Krzysiek: Mam tu zapisane, że „podłoże działa na Ciebie siłą normalną o tej samej wartości, co prostopadła siła, z jaką Ty działasz na podłoże, lecz przeciwnie zwróconą”. Franek: Wydaje mi się, że musimy spróbować opisać ten problem siłami prostopadłymi i równoległymi do powierzchni równi. Kuba: Racja. Jestem przekonany, że siła wypadkowa z równania Fwyp = ma pojawi się gdzieś prędzej czy później, chociaż nie mam pojęcia, w którym miejscu…

Zaostrz ołówek

Wskazówka: Przyspieszenie ciała musi pojawiać się w tym samym kierunku, co siła wypadkowa działająca na to ciało, ponieważ Fwyp = ma jest równaniem wektorowym.

a. Czy przyspieszenie samochodu przyspieszającego w poziomie, równolegle do podłoża, ma składową prostopadłą do powierzchni podłoża?

b. Czy przyspieszenie osoby poruszającej się w dół równi pochyłej, równolegle do jej powierzchni, ma składową prostopadłą do tej powierzchni?

c. Co możesz powiedzieć na temat siły wypadkowej działającej na ciało niemające przyspieszenia?

d. Co możesz powiedzieć o sile wypadkowej działającej na ciało w kierunku, w którym ciało to nie doznaje żadnego przyspieszenia?

e. Czy odpowiedzi, których udzieliłeś w podpunktach a – d, pozwalają Ci wyciągnąć jakieś wnioski dotyczące przyspieszenia, jakiego doznaje osoba poruszająca się po równi nowej maszyny Kombinatorów wagi ciężkiej?

jesteś tutaj  503

Rozwiązanie

Wskazówka: Przyspieszenie ciała musi pojawiać się w tym samym kierunku, co siła wypadkowa działająca na to ciało, ponieważ Fwyp = ma jest równaniem wektorowym.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Czy przyspieszenie samochodu przyspieszającego w poziomie, równolegle do podłoża, ma składową prostopadłą do powierzchni podłoża?

b. Czy przyspieszenie osoby poruszającej się w dół równi pochyłej, równolegle do jej powierzchni, ma składową prostopadłą do tej powierzchni? Nie, przyspieszenie ma jedynie składową równoległą do powierzchni równi, ponieważ osoba poruszająca się po równi przyspiesza wyłącznie w tym kierunku.

Nie, przyspieszenie ma jedynie składową równoległą do podłoża (poziomą), ponieważ samochód przyspiesza w tym właśnie kierunku.

c. Co możesz powiedzieć na temat siły wypadkowej działającej na ciało niemające przyspieszenia? Zachodzi równość F = ma, więc gdy przyspieszenie jest równe zeru, siła wypadkowa też musi być równa zeru (choć na ciało może działać kilka sił).

d. Co możesz powiedzieć o sile wypadkowej działającej na ciało w kierunku, w którym ciało to nie doznaje żadnego przyspieszenia? Jeżeli składowa przyspieszenia w jakimś kierunku jest równa zero, siła wypadkowa w tym kierunku też musi być równa zero.

e. Czy odpowiedzi, których udzieliłeś w podpunktach a – d, pozwalają Ci wyciągnąć jakieś wnioski dotyczące przyspieszenia, jakiego doznaje osoba poruszająca się po równi nowej maszyny Kombinatorów wagi ciężkiej? Człowiek przyspiesza równolegle do powierzchni równi, a w kierunku prostopadłym nie doznaje żadnego przyspieszenia. Rozkładanie przyspieszenia i sił na składowe prostopadłe i równoległe do podłoża równi może przynieść dobre efekty, ponieważ już teraz widać, że składowe sił prostopadłe do powierzchni dadzą w sumie zero.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Chciałbym uporządkować nieco nazewnictwo. Czy siła normalna i siła oparcia to ta sama siła, czy też są to dwie różne siły?

O

: Siła normalna to siła kontaktowa, z którą działa na Ciebie powierzchnia podłoża. Siła normalna działa zawsze prostopadle do powierzchni i zależy od wartości siły, z jaką Ty działasz na podłoże.

To, co poprzednio nazywaliśmy siłą oparcia, było szczególnym przypadkiem siły normalnej. Nazwaliśmy ją siłą oparcia, ponieważ dawała oparcie Twojemu ciężarowi, który działa prostopadle do podłoża. Określenie „siła oparcia” wydaje się dobrze opisywać przedstawioną Ci zasadę działania wagi.

504

Rozdział 11.

P

: Dlaczego teraz mówimy o sile normalnej, a nie o sile oparcia?

O

: W tym przypadku podłoże jest nachylone do poziomu pod pewnym kątem. Siła normalna działa zawsze prostopadle do podłoża, więc tym razem jej kierunek nie pokrywa się z kierunkiem działania siły ciężkości. Siła normalna działa pod pewnym kątem do ciężaru, gdyż powierzchnia równi jest nachylona pod pewnym kątem.

Tym razem nie możesz wyobrażać sobie, że siła normalna daje oparcie ciężarowi, ponieważ wektory tych sił nie są do siebie równoległe. Dlatego też lepiej jest posługiwać się określeniem „siła normalna”. W ten sposób unikniemy nieporozumień.

P

: Do tej pory mówiliśmy o pionowych i poziomych składowych wektorów. Dlaczego tym razem mówimy o składowych równoległych i prostopadłych?

O

: Wyobraź sobie lecący pocisk. Siłą wypadkową, która nadaje mu przyspieszenie 9,8 m/s2, jest siła grawitacji. Siła ta działa w pionie i tak też przyspiesza pocisk. W poziomie nie działa na niego żadna siła wypadkowa.

Na ciało przyspieszające na równi pochyłej działa siła wypadkowa równoległa do powierzchni równi i dlatego przyspiesza ono w tym kierunku. Wszystkie siły działające prostopadle do powierzchni równi równoważą się.

Ciężar i siła normalna

Ciało zjeżdżające z równi nie doznaje przyspieszenia prostopadle do jej powierzchni Na człowieka zjeżdżającego po równi pochyłej działają dwie siły — ciężar i siła normalna.

Diagram rozkładu sił

Siła normalna

Na diagramie rozkładu sił pojawiają się dwie siły: ciężar i siła normalna.

Osoba przyspiesza w tym kierunku, równolegle do powierzchni równi.

Osoba zjeżdżająca po równi porusza się z przyspieszeniem równoległym do powierzchni równi. Ponieważ Fwyp = ma, siła wypadkowa musi być także równoległa do równi. Stąd wynika, że składowe sił działających na człowieka na równi i prostopadłe do jej powierzchni muszą dawać w sumie wartość zerową.

Prostopadłe i równoległe składowe sił

Dodaliśmy do diagramu wagę i równię, żeby pokazać Ci kąt θ.

Ciężar, Q = mg

θ

Ponieważ Fwyp = ma, razem z przyspieszeniem musi pojawić się wywołująca je siła wypadkowa. Z tego wynika, że musi ona działać równolegle do powierzchni równi.

Człowiek nie doznaje przyspieszenia w kierunku pionowym, więc te dwa wektory muszą mieć taką samą długość, by dać w sumie zero.

Składowa prostopadła

θ

Siła normalna

Ciężar, Q = mg

θ

Siła NORMALNA, FN , jest zawsze prostopadła do powierzchni. Siła WYPADKOWA, Fwyp , ma zawsze ten sam zwrot, co wywoływane przez nią przyspieszenie.

Składowa równoległa

Składowa ciężaru równoległa do podłoża jest siłą wypadkową, powodującą przyspieszenie ciała.

Prostopadle do powierzchni równi działają tylko prostopadła składowa siły ciężkości i siła normalna. Aby siła wypadkowa działała równolegle do powierzchni równi, prostopadła składowa ciężaru i siła normalna muszą dawać w sumie zero.

jesteś tutaj  505

Poszukaj trójkątów podobnych

Wydaje się, że kąty, jakie tworzą składowe wektora, da się wyznaczyć — jak poprzednio — za pomocą innych kątów pojawiających się w tym problemie.

Robiłeś to już w rozdziale 9. — dla kątów trójkąta prostokątnego.

Kąty tworzone przez składowe ciężaru są związane z kątem nachylenia równi. Przekrój równi pochyłej to trójkąt prostokątny. Możesz oznaczyć jego kąty literami  (kąt nachylenia do poziomu) i : (drugi kąt ostry trójkąta). Wiesz, że suma wszystkich kątów w trójkącie to 180°, a w tym trójkącie jeden z kątów jest kątem prostym (90°). Stąd wynika, że kąty  i : dają razem 90°.

Suma kątów θ i β to 90°.

Składowe ciężaru też tworzą trójkąt prostokątny. Ponieważ jeden z boków tego trójkąta jest prostopadły do powierzchni równi, a drugi z nich jest do niej równoległy, można powiedzieć, że trójkąt równi i trójkąt składowych siły są trójkątami podobnymi. Oznacza to, że kąt nachylenia równi  pojawi się też w trójkącie składowych ciężaru.

Ta składowa jest prostopadła do równi, więc tutaj znajdzie się kąt prosty.

Ten kąt daje w sumie z kątem : 90°, a to oznacza, że musi on być kątem .

506

Rozdział 11.

Składowa prostopadła

Składowa równoległa

Suma kątów  i : to 90°.

Ciężar, Q = mg

Jeżeli w zadaniu pojawiają się prostopadłe i równoległe składowe siły, zacznij szukać trójkątów podobnych.

Ciężar i siła normalna

Składowe prostopadła i równoległa pomogą Ci poradzić sobie z równią Wskazanie wagi zależy od wartości siły normalnej, która jest równa prostopadłej do równi składowej ciężaru. Siła normalna działa zawsze prostopadle do powierzchni i zawsze ma tę samą wartość, co siła, z jaką Ty działasz na powierzchnię. Równoległa do równi składowa ciężaru jest siłą wypadkową, która nadaje przyspieszenie ciału na równi. Pora przygotować się do występu w telewizji…

Siła normalna

Składowa prostopadła ma tę samą wartość, co ciężar.

Trójkąty są podobne, więc te kąty są identyczne.

Składowa prostopadła

θ

Ciężar, Q = mg

θ

Zaostrz ołówek

Składowa równoległa

Składowa równoległa jest siłą wypadkową.

Kombinatorzy wagi ciężkiej zapewniają w swojej reklamie „natychmiastową 5-procentową redukcję wagi” u osób zjeżdżających po równi. Twoim zadaniem jest obliczyć kąt nachylenia równi potrzebny do uzyskania takiego efektu. Następnie zespół Pogromców legend porówna wyniki obliczeń z kątem nachylenia równi widocznym w materiałach reklamowych. a. Narysuj duży trójkąt sił zbudowany z wektora siły ciężkości i obydwu jego składowych — prostopadłej i równoległej do powierzchni równi. Opisz rysunek.

b. Jaki jest kąt nachylenia równi, skoro waga Kombinatorów wagi ciężkiej wskazuje 5-procentowy ubytek masy? (Załóż, że na wadze staje człowiek o masie m, a przyspieszenie ziemskie wynosi g). Wskazówka: Pięcioprocentowa redukcja masy oznacza, że siła normalna stanowi 95% faktycznego ciężaru ważonej osoby.

c. Oblicz przyspieszenie, z jakim człowiek zjeżdża po równi.

Oblicz siłę wypadkową ruchu w dół równi i posłuż się równaniem F = ma. wyp

jesteś tutaj  507

Natychmiastowy ubytek?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Kombinatorzy wagi ciężkiej zapewniają w swojej reklamie „natychmiastową 5-procentową redukcję wagi” u osób zjeżdżających po równi. Twoim zadaniem jest obliczyć kąt nachylenia równi potrzebny do uzyskania takiego efektu. Następnie zespół Pogromców legend porówna wyniki obliczeń z kątem nachylenia równi widocznym w materiałach reklamowych. a. Narysuj duży trójkąt sił zbudowany z wektora siły ciężkości i obydwu jego składowych — prostopadłej i równoległej do powierzchni równi. Opisz rysunek.

b. Jaki jest kąt nachylenia równi, skoro waga Kombinatorów wagi ciężkiej wskazuje 5-procentowy ubytek masy? (Załóż, że na wadze staje człowiek o masie m, a przyspieszenie ziemskie wynosi g).

Q = mg

Składowa prostopadła to FN = odczyt z wagi = 0,95 mg

5-procentowy ubytek masy oznacza, że siła normalna to 0,95 mg.

Wskazówka: Pięcioprocentowa redukcja masy oznacza, że siła normalna stanowi 95% faktycznego ciężaru ważonej osoby.

Z podobieństwa trójkątów:

cosθ =

b Ciężar, Q = mg

b c

=

0,95 mg mg

0,95

θ = arc cos(0,95) ≈ 18,2°

c a

=

Kąt nachylenia równi nie zależy od masy człowieka.

Wyraz „mg” pojawia się w liczniku i w mianowniku, więc można go skrócić.

Składowa równoległa to Fwyp powodująca przyspieszenie w ruchu wzdłuż równi.

c. Oblicz przyspieszenie, z jakim człowiek zjeżdża po równi. Obliczę siłę wypadkową, a następnie przyspieszenie z równania Fwyp = ma. Wyznaczam siłę wypadkową z podobieństwa trójkątów (to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta mierzonego). sinθ =

508

a c

=

Fwyp mg

Fwyp =

mg·sin(18,2°)

Fwyp =

0,312 mg

Zmienna „m” pojawia się we wszystkich wyrazach równania, więc można je przez nią podzielić i skrócić ją w ten sposób.

ma

=

0,312 mg

a

=

0,312 × 9,8 m/s2 ≈ 3,06 m/s2

Rozdział 11.

Przyspieszenie nie zależy od masy człowieka

Ciężar i siła normalna

Kolejne fałszerstwo wyjaśnione!

1. Zacznij od narysowania diagramu rozkładu sił. Siła normalna

Stojąc na najnowszej wadze Kombinatorów wagi ciężkiej, podlegasz działaniu dwóch sił — ciężaru i siły normalnej. Wektor siły ciężkości jest zwrócony pionowo w dół, a wektor siły normalnej jest prostopadły do powierzchni równi. Ciężar Zaczynasz zjeżdżać po równi, przyspieszając w kierunku równoległym do jej powierzchni, co jest jednoznaczne z pojawieniem się siły wypadkowej działającej równolegle do równi (wynika to z faktu, że Fwyp = ma). Jednocześnie prostopadłe składowe wektorów muszą się zrównoważyć. Po rozrysowaniu prostopadłej i równoległej składowej ciężaru dostrzeżesz, że składowa równoległa do równi jest jednocześnie równoległą siłą wypadkową. Siła wypadkowa prostopadła do równi wynosi zero, więc siła normalna i prostopadła składowa ciężaru muszą mieć tę samą wartość. Ponieważ waga mierzy w rzeczywistości siłę normalną, a ta jest jedynie częścią ciężaru, waga nie rejestruje odpowiedniej wartości. Odczyt z wagi jest zaniżony w stosunku do wyniku pomiaru dokonanego na powierzchni płaskiej.

θ

2. Określ kierunek działania siły wypadkowej. Siła wypadkowa działa równolegle do podłoża.

θ 3. Narysuj składowe sił prostopadłe i równoległe do kierunku działania siły wypadkowej. Siła normalna jest równoległa do siły wypadkowej.

Kombinatorzy wagi ciężkiej Przed

Po!

Obalon

Rozłóż ciężar na wektory składowe.

θ

θ

4. Składowe prostopadłe do kierunku

o!

Zgub zbędne kilogramy NATYCHMIAST!!! (za jedyne 1499 zł)

działania siły wypadkowej muszą dawać w sumie zero. Składowe prostopadłe do równi zerują się.

θ θ Ta składowa jest siłą wypadkową.

jesteś tutaj  509

Poradnia pytań — diagram rozkładu sił Rozwiązując zadanie, w którym pojawiają się siły, zawsze, zawsze, ZAWSZE rysuj na początku diagram rozkładu sił! W trakcie pracy nad rysunkiem pomagaj sobie III zasadą dynamiki Newtona i odnajduj kolejne pary sił. Jedna z sił z każdej pary będzie działać NA interesujące Cię ciało i ją zaznacz na diagramie (nie zaznaczaj na nim sił, z którymi to ciało działa na inne ciała). Jeżeli znasz masę ciała, możesz spróbować wyznaczyć siłę wypadkową (F = ma) lub pęd ciała (p = mv).

Ten fragment powinien natychmiast wywołać u Ciebie myśl o przeprowadzeniu rozkładu wektorów na składowe.

kg, wypełniony 5. Balon o masie 3500 omo m, przesuwa się pozi ze tr ie w po ym an rz rozg 0 m/s. ze stałą szybkością 2,

i opisz dokładnie du sił działających na balon a. Narysuj diagram rozkła wektory. wszystkie zaznaczone na nim rego wyrzucono balast rozkładu sił dla balonu, z któ b. Narysuj nowy diagram o masie 200 kg. kosza. onu po usunięciu balastu z c. Oblicz przyspieszenie bal

To stwierdzenie oznacza, że na balon nie działa żadna siła wypadkowa, która nadawałaby mu jakieś przyspieszenie.

Skoro nie ma siły wypadkowej, siła nośna musi równoważyć siłę ciężkości.

Teraz na balon działa siła wypadkowa, ponieważ siła nośna utrzymująca balon w powietrzu jest większa od nowej siły ciężkości. Przyspieszenie wyznaczysz z równania Fwyp = ma.

To zmienia ciężar balonu.

Diagram będzie wyglądał tak samo jak poprzedni, ale siła ciężkości działająca na balon będzie inna. Pamiętaj, żeby podstawić tu nową masę, pomniejszoną o masę balastu.

Pamiętaj, jeżeli ciało porusza się ze stałą prędkością albo pozostaje w spoczynku, nie działa na nie żadna siła wypadkowa. Takie ciało nie przyspiesza. W takim przypadku wszystkie siły działające na ciało muszą się równoważyć, czyli po dodaniu ich „nos do ogona” muszą dać wektor zerowy. Mając to na uwadze, nie pominiesz żadnej z sił na diagramie ich rozkładu.

510

To polecenie oznacza, że powinieneś napisać obok każdej strzałki wektora, jaką siłę reprezentuje.

Poradnia pytań — ciało na równi Czasem będziesz musiał zmierzyć się z zadaniem o ciele zsuwającym się z równi pochyłej. Każde zadanie tego typu rozpocznij od narysowania szkicu, na którym umieścisz równię i zapiszesz wszystkie dostępne Ci dane. Jeżeli w zadaniu pojawia się pytanie o siły i przyspieszenie, narysuj również diagram rozkładu sił. Przeczytaj uważnie zadanie i sprawdź, czy nie pojawia się w nim sformułowanie sugerujące działanie siły wypadkowej.

To oznacza, że na ciało działa siła wypadkowa.

e To dane niezbędnzadania, do rozwiązania treści. podane w jego

To sformułowanie podaje kierunek działania siły wypadkowej — równolegle do powierzchni równi.

a m stoi na wadze, któr ie as m o k ie w ło a Cz 5. wni pochyłej. Równi ró z się a uw zs , ąc aj przyspiesz ziomu pod kątem θ. jest nachylona do po ładnie Podstawowy diagram rozkładu sił nie powinien zawierać składowych wektorów, a jedynie wszystkie siły działające na ciało. Przeprowadź obliczenia dla składowych sił prostopadłych do powierzchni równi. To oznacza, że w zadaniu nie pojawią się wartości liczbowe, więc wszystkie obliczenia musisz wykonać na zmiennych m, θ i g. Taki sposób formułowania zadań sprawdza dokładniej Twoją oją znajomość fizyki.

Rozkładaj siły na składowe.

człowieka i opisz dok du sił działających na tego a. Narysuj diagram rozkła wszystkie wektory. i od wartości zmiennych podając wynik w zależnośc j, lne ma nor siły ść rto wa b. Oblicz kiego g. m, θ i przyspieszenia ziems ać ze wskazania wagi? c. Jaką masę można odczyt wiek porusza się w dół nachylona równia, skoro czło d. Pod jakim kątem θ jest 2 z przyspieszeniem 3 m/s ? po równi, a po prostu gdyby człowiek nie zjeżdżał gi, wa a ani kaz ws yby był e. Jakie spadał swobodnie?

Zawsze zastanów się, czy masz podać masę ciała, czy jego ciężar.

Narysuj nowy diagram rozkładu sił. Na człowieka nie działa siła normalna, więc waga pokaże 0.

Skorzystaj z równania F = ma i rozkładu wektorów na składowe.

Rozwiązując zadania, w których pojawia się ciało poruszające się po równi, nie możesz zapomnieć o rozłożeniu wektorów sił na składowe prostopadłe i równoległe do powierzchni równi — dotyczy to przede wszystkim wektora siły ciężkości ciała. Pamiętaj, że ciało poruszające się po równi nie doznaje działania siły wypadkowej w kierunku prostopadłym do powierzchni równi. Tylko właściwe rozłożenie wektorów na składowe pozwoli Ci obliczyć poprawną wartość siły normalnej i wyznaczyć siłę wypadkową działającą na to ciało.

511

Twój świat j je jednostki spadanie

przyspieszenie

wykres

skalar punkty szczególne

doświadczenie ciężar

siła

Nauczyłem się radzić sobie z ciężkimi zadaniami.

składowa

czas

Pitagoras

zachowanie pędu

podstawienie i i

równania ruchu Bądź częścią problemu

równanie

stałe przyspieszenie

notacja naukowa przemieszczenie

siła normalna

wektor

szybkość

droga trygonometria prędkość

objętość diagram rozkładu sił

symetria

prawa Newtona

nachylenie

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

512

masa

Ciężar

Siła grawitacji, z jaką ciało jest przyciągane przez inne, dużo większe ciało, na przykład przez Ziemię. Ciężar Q = mg, gdzie m to masa ciała, a g to przyspieszenie grawitacyjne.

Diagram rozkładu sił

Rysunek przedstawiający wyłącznie jedno ciało i wszystkie działające na nie siły.

Siła normalna

Siła kontaktowa, z jaką powierzchnia podłoża działa na ciało. Siła ta jest zawsze prostopadła (czyli właśnie normalna) do powierzchni podłoża.

Rozdział 11.

Ciężar i siła normalna

Niezbędnik fizyka

Siła wypadkowa Siłę wypadkową dział ającą na ciało wyznacza się, dodając do siebie „nos do ogona” wszystk ie wektory siły widoczne na diagra mie rozkładu sił. Gdy siła wypadkowa ma wartość zero, ciało nie przyspie sza. Gdy na ciało działa nie zerowa siła wypadkowa, ciało przyspiesza w kierunku jej działan ia.

Para sił z III zasady dynamiki Newtona

Diagram

rozkładu

sił

zadanie, dowolne c ją u z ią ię siły, Rozw jawiają s wać diagram o p m ry w któ e ryso eś zawsz zaj na nim powinien ac sił. Zazn ektorów rozkładu i w i kierunk jących na ciało. długości ła h sił dzia wszystkic j tak, rów rysu to k e w i wane Strzałk yły skiero b ie tk s y by wsz od ciała.

II zasada dynamiki Newtona Siła wypadkowa działająca przez pewien czas na dane ciało powoduje zawsze taką samą zmianę pędu:

Fwypt = (mv) Jeżeli masa ciała nie ulega zmianie, powyższe równanie upraszcza się do postaci:

Fwyp = ma

Para sił o pisana w III zasad dynamiki zie Newtona pojawia s w chwili ię zajś między dw cia oddziaływania oma ciała mi. Obie siły tej pary n ależą zaw do tego s sze amego ro d z aju sił (s kontaktow ą e lub bez kontaktow Ciało na równi pochyłej e). Każda z s ił tej pary działa na ciało. inne Siła normalna i prostopadła składowa siły ciężkości Obydwie siły mają e działające na ciało poruszające tę samą w lecz przec artość, iwne zwro e sobi są yłej poch i się po równ ty. równe co do wartości. Siła wypadkowa działająca na ciało na równi ma tę samą wartość, co równoległa do powierzchni podłoża składowa ciężaru.

Wybieranie kierunków wektorów składowych Jeżeli w zadaniu pojawia się siła wypadkowa działająca w konkretnym, znanym Ci kierunku (na przykład równolegle do powierzchni równi pochyłej), wszystkie inne siły rozkładaj w kierunkach prostopadłym i równoległym do kierunku działania siły wypadkowej. W ten sposób znacznie ułatwisz sobie obliczenia.

jesteś tutaj  513

ROZDZIA 11.

Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 11. książki. Twój niezbędnik fizyka wzbogacił się o kilka koncepcji ułatwiających rozwiązywanie problemów i zadań z fizyki.

514

Rozdział 11.

12. O pos-ugiwaniu si$ si-ami, p$dem, tarciem oraz pop$dem si-y

Poukładajmy to jakoś Naprawdę nie interesuje mnie to, czy potrafisz narysować diagram rozkładu sił działających na ciało, uwzględniając ciężar i siłę normalną. Bardziej zależy mi na tym, żebyś wreszcie zaczął prasować sobie koszule!

Zapamiętanie całego mnóstwa wzorów nie zda Ci się na nic, jeśli nie będziesz umiał ich zastosować. Znasz już równania ruchu, potrafisz rozkładać wektory na składowe, narysować diagram rozkładu sił, wiesz też, czym są zasady dynamiki Newtona. Z tego rozdziału dowiesz się, jak stosować wszystkie te narzędzia do rozwiązywania bardziej złożonych problemów fizycznych. Nieraz zdarzy Ci się odkryć, że problem, z którym się mierzysz, przypomina Ci coś, co już kiedyś robiłeś. Postaramy się też dodać nieco realizmu do rozwiązywanych zadań przez wprowadzenie siły tarcia i pokażemy Ci, dlaczego popęd siły bywa czasami pomocny.

to jest nowy rozdział 515

SimFutbol

Pora na… SimFutbol! Skontaktowali się z Tobą twórcy gry komputerowej SimFutbol. Proszą Cię o pomoc w implementacji fizyki w świecie gry. Jeżeli zdołasz wyjaśnić, dlaczego postaci w grze nie zachowują się tak, jak ma to miejsce w rzeczywistości, studio gier opłaci Twój pobyt w parku rozrywki X-Force Games!

Notatka służbowa Od: SimFutbol

Damy radę, prawda? Wycieczka do X-Force Games byłaby świetna! Przydałby mi się urlop!

516

Rozdział 12.

Odp.: Fizyka w naszej no wej grze Widzieliśmy Cię w nowym pro gramie „Pogromcy legend” i pomyśleliśmy, że zaproponu jemy Ci pracę konsultanta prz y naszej nowej grze. Graficy zakończyli już swoją pracę, lecz nadal nie mamy odpowiednio złożonego silnika fizyki w świecie gry. Potrzebujemy rad dotyczących implementacji stałych elementów gry oraz treningu — podań, szarżowania, ciągnięcia opony (tryb trening owy) i wykopnięcia. Proponujemy Ci ścisłą współp racę z jednym z programistów z naszego zespołu. Jeżeli uda Ci się rozwiązać nas ze problemy, obiecujemy opłacić Ci pobyt w X-Force Gam es.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Zaostrz ołówek Programista z SimFutbol przedstawił listę problemów, które pojawiły się w czasie pracy nad silnikiem gry. Będzie potrzebował rady fizyka, ponieważ chce zaimplementować skomplikowaną fizykę świata. Na początek masz poinformować go, które prawa i zasady fizyki będą potrzebne w czasie rozwiązywania problemów. Zacznij od wykonania rysunku każdego z żądanych aspektów gry. Ogranicz się do samego szkicu i zastanów się, czy to, co widzisz, nie przypomina Ci problemu, z którym miałeś już do czynienia. Podpisz zaznaczone na rysunkach przyspieszenie, prędkość, siłę itp. Podaj też skrócony opis fizyki każdego z problemów. a. Podanie — Obliczenie toru lotu piłki rzuconej w powietrze pod określonym kątem i ze znaną prędkością początkową.

b. Szarża — Zawodnicy o znanych masach biegną na siebie z określonymi prędkościami, a gdy dochodzi do zderzenia, sczepiają się ze sobą.

c. Ciągnięcie opony — W trybie treningowym zawodnik musi przebiec określony dystans, ciągnąc za sobą oponę przymocowaną liną do jego pasa.

d. Wykop — Stopa kopie umieszczoną w konkretnym punkcie boiska piłkę z określoną siłą; stopa pozostaje w kontakcie z piłką przez znany okres.

Spokojnie Nie martw się, jeśli nie znasz zasad gry w futbol amerykański. Poszczególne elementy gry będą wyjaśniane w kolejnych ćwiczeniach „Zaostrz ołówek”, więc Twoje zadanie będzie sprowadzało się do rozwiązywania problemów fizycznych. Znajomość zasad gry nie będzie Ci wcale potrzebna.

Futbol amerykański w niczym nie przypomina piłki nożnej, ale i tak niczym się nie martw!

jesteś tutaj  517

Zacznij od rysunku

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Programista z SimFutbol przedstawił listę problemów, które pojawiły się w czasie pracy nad silnikiem gry. Będzie potrzebował rady fizyka, ponieważ chce zaimplementować skomplikowaną fizykę świata. Na początek masz poinformować go, które prawa i zasady fizyki będą potrzebne w czasie rozwiązywania problemów. Zacznij od wykonania rysunku każdego z żądanych aspektów gry. Ogranicz się do samego szkicu i zastanów się, czy to, co widzisz, nie przypomina Ci problemu, z którym miałeś już do czynienia. Podpisz zaznaczone na rysunkach przyspieszenie, prędkość, siłę itp. Podaj też skrócony opis fizyki każdego z problemów. a. Podanie — Obliczenie toru lotu piłki rzuconej w powietrze pod określonym kątem i ze znaną prędkością początkową. Podanie piłki przypomina ruch pocisku wystrzelonego pod pewnym kątem. Użyję równań ruchu do opisania oddzielnie ruchu piłki w pionie i w poziomie.

a = –9,8 m/s2

v0

v0pi

v0po

c. Ciągnięcie opony — W trybie treningowym zawodnik musi przebiec określony dystans, ciągnąc za sobą oponę przymocowaną liną do jego pasa. Opona jest ciągnięta po ziemi, więc być może uda się odnaleźć odpowiedni trójkąt prostokątny i rozłożyć działającą na nią siłę na składowe.

b. Szarża — Zawodnicy o znanych masach biegną na siebie z określonymi prędkościami, a gdy dochodzi do zderzenia, sczepiają się ze sobą. Obydwaj zawodnicy Przed (o określonych masach) poruszali się przed m1 m zderzeniem ze ściśle v1 v2 2 określonymi prędkościami, więc każdy z nich miał jakiś pęd. Po Pęd podlega zasadzie m1 m2 zachowania, więc po zderzeniu jego wartość musi być taka sama, jak v = ? przed zderzeniem.

d. Wykop — Stopa kopie umieszczoną w konkretnym punkcie boiska piłkę z określoną siłą; stopa pozostaje w kontakcie z piłką przez znany okres. Tak piłka, jak i stopa mają określone masy i prędkości, więc ponownie skorzystam z zasady zachowania pędu. Siła, z jaką piłka działa na stopę.

W tej chwili nie potrafisz jeszcze rozwiązać wszystkich postawionych przed Tobą problemów, ale nie martw się — na razie świetnie sobie radzisz!

Gdy po raz pierwszy stykasz się z treścią zadania, wykonaj rysunek przedstawiający całą sytuację, żeby dowiedzieć się, jaka fizyka kryje się za „opowieścią”. Co Ci to PRZYPOMINA? 518

Rozdział 12.

m2 m1

Siła, z jaką stopa działa na piłkę.

t = czas pozostawania w kontakcie Jeśli dwa ciała oddziałują ze sobą, postaraj się stwierdzić, czy zdołasz posłużyć się zasadą zachowania pędu lub II zasadą dynamiki Newtona (w postaci F = ma lub Ft = p). Pamiętaj, że na obydwa te ciała działają siły o takich samych wartościach.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły Kuba: Świetnie, a co z szarżą? Zawodnicy zazwyczaj zderzają się czołowo i łapią jeden drugiego. Znamy ich prędkości i masy przed zderzeniem, bo są podane w programie. Auć!!! Co ty robisz?!

Z podaniami poradzimy sobie za pomocą równań ruchu!

Krzysiek: Po prostu staram się być częścią problemu! Wygląda na to, że jeśli przed szarżą na ciebie poruszałem się szybciej, razem poruszamy się też szybciej, niż gdybym szarżował na ciebie z mniejszą prędkością. Franek: A gdybyś więcej ważył, Kuba wystrzeliłby w powietrze! Krzysiek: Całkowity pęd układu, masa × przyspieszenie, będzie taki sam przed zderzeniem i po nim, prawda? Kuba: Cieszę się, że wróciliśmy do matematyki! Tak, zawodnicy w grze powinni poruszać się po szarży z odpowiednią prędkością. Znamy masę każdego z nich i ich prędkości przed szarżą, więc wydaje się, że użycie zasady zachowania pędu jest właściwym rozwiązaniem.

Zaostrz ołówek Dwóch zawodników zderza się czołowo. Pierwszy z nich, o masie 95,0 kg, nadbiega z lewej strony z prędkością 8,50 m/s. Drugi, o masie 120,0 kg, porusza się w przeciwnym kierunku z prędkością 3,80 m/s. Z jaką prędkością będą poruszać się zawodnicy spięci w szarży w chwilę po niej? Wskazówka: Zawodnicy spięci ze sobą poruszają się tak samo, jak jedno ciało o łącznej masie ich obydwu.

jesteś tutaj  519

Ciała i zderzenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Dwóch zawodników zderza się czołowo. Pierwszy z nich, o masie 95,0 kg, nadbiega z lewej strony z prędkością 8,50 m/s. Drugi, o masie 120,0 kg, porusza się w przeciwnym kierunku z prędkością 3,80 m/s. Z jaką prędkością będą poruszać się zawodnicy spięci w szarży w chwilę po niej?

Przed

m1 = 95,0 kg

Obliczam prędkość v3 z zasady zachowania pędu:

m2 = 120,0 kg

całkowity pęd układu przed = całkowity pęd układu po v1 = 8,5 m/s

m1v1 + m2v2 =

v2 = -3,8 m/s

m1v1 + m2v2

Najbezpieczniej

Po

m3 = 95,0 kg + 120,0 kg = 215,0 kg jest przekształcać

równania, zanim podstawi się do nich wartości liczbowe.

v3 =

v3 = ?

Pęd jest WEKTOREM, więc musisz wybrać ZWROT, który uznasz za dodatni.

v3 =

215,0 kg 1,63 m/s

Zawodnicy będą poruszać się w prawą stronę z prędkością 1,63 m/s.

Pęd podczas zderzenia jest zachowany Gdy pojawia się oddziaływanie pomiędzy dwoma ciałami, zasada zachowania pędu obowiązuje zawsze. Oznacza to, że sumaryczny pęd dwóch zawodników przed przystąpieniem do szarży jest taki sam, jak ich całkowity pęd po zderzeniu w wyniku szarży. Dzieje się tak dlatego, że w czasie zderzenia na każdego z zawodników działa siła o identycznej wartości i przeciwnym zwrocie, co na drugiego z zawodników — to zgodne z III zasadą dynamiki Newtona. Siła o danej wartości zawsze powoduje identyczną zmianę pędu.

Pęd każdego z zawodników.

Przed

Pamiętajmy jednak, że siły te są równe co do wartości, choć ich zwroty są przeciwne. Z tego wynika, że wektory zmiany pędu też będą miały równą wartość i przeciwne zwroty. W ten sposób całkowity pęd układu przed zderzeniem i po nim ma tę samą wartość. Zmiany pędów poszczególnych ciał znoszą się po dodaniu ich wektorów.

Rozdział 12.

m1

Dodaj wektory, ustawiając je „nosem do ogona”.

p1

p2

m2

p1 p2 pcałk

Po Oznacza to, że pęd pierwszego ciała zmienia się w kierunku siły działającej na pierwsze ciało, a pęd drugiego ciała zmienia się w kierunku siły działającej na drugie ciało.

520

m3

95,0 kg × 8,50 m/s – 120 kg × 3,80 m/s

v3 =

Wektory dodatnie są zwrócone w prawą stronę.

m3v3

m1+m2 Po zderzeniu zawodnicy stanowią jedną masę.

Całkowity pęd układu jest zachowany.

pcałk

Zastanów się, co się dzieje, gdy dwa ciała zderzają się ze sobą. Czy stają się jednym ciałem?

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły Nie istnieją

głupie pytania

P

: Skąd wiadomo, że po zderzeniu dwie oddzielne masy stały się nagle jedną?

O: Bardzo często będziesz mieć

do czynienia z zadaniami, w których dwie masy, zderzając się, tworzą jedną. Takie sformułowanie oznacza, że dwa ciała przestają poruszać się osobno, a nagle łączą się i poruszają z jedną prędkością. Musisz uważnie czytać polecenia!

P

: Czy w zadaniach pojawiają się jakieś słowa klucze, mogące wskazywać na połączenie dwóch ciał?

O

: Czasami mówi się o „zderzeniu niesprężystym” i to właśnie oznacza, że dwa ciała zderzyły się bez odbicia (w odróżnieniu od zderzenia sprężystego).

P

P

: Czy zasada zachowania pędu jest spełniona zawsze, czy ma to miejsce tylko wtedy, gdy ciała sklejają się ze sobą?

: Czy to wynika z III zasady dynamiki Newtona?

O: Całkowity pęd układu jest zachowany

zawsze, w każdym oddziaływaniu między dwoma ciałami. Nie ma znaczenia, czy ciała te odbijają się od siebie, czy się łączą. Zasada zachowania pędu jest prawdziwa zawsze, ponieważ każde z ciał biorących udział w zderzeniu doświadcza działania siły o identycznej wartości, lecz przeciwnie skierowanej. Działanie siły o konkretnej wartości zawsze powoduje ściśle określoną zmianę pędu. Zatem gdy pęd jednego z ciał zmienił się o +10 kg·m/s, a pęd drugiego ciała zmienił się o –10 kg·m/s, całkowity pęd układu pozostaje nadal bez zmian. Wartości zmian pędów +10 i –10 dają w sumie 0.

O

: Brawo! III zasada dynamiki Newtona i zasada zachowania pędu to dwie strony tego samego medalu.

P

: A co się stanie, jeśli zawodnik zderzy się z tablicą reklamową, która go zatrzyma? Co wtedy z zasadą zachowania pędu?

O

: Tablica reklamowa jest połączona z Ziemią. Masa Ziemi jest nieporównywalnie większa od masy zawodnika. Ponieważ masa Ziemi jest tak wielka, a zmiana jej pędu musi być równa zmianie pędu zawodnika, zmiana prędkości Ziemi jest zbyt mała, byśmy mogli ją obserwować.

Zderzenie może zachodzić przecież pod kątem Programista z SimFutbol ucieszył się niezmiernie, gdy okazało się, że znalazłeś rozwiązanie problemu szarżowania. Natychmiast zaimplementował je w programie!

Twoje rozwiązanie jest doskonałe… ale zawodnicy nie zawsze wbiegają na siebie frontalnie.

Szybko jednak okazało się, że zagadnienie to jest bardziej złożone, niż mogło się początkowo wydawać. Zawodnicy nie zawsze zderzają się czołowo, czasami jeden wbiega na drugiego pod pewnym kątem. Programista nie potrafi sobie z tym poradzić. Zawodnicy czasami zderzają się czołowo.

m1

p1

p2

m2

Ale czasami wpadają na siebie pod różnymi kątami.

m1 p1

m2 p2

jesteś tutaj  521

Pomyśl o kątach Skąd mamy wiedzieć, co się stanie, jeśli oni zderzą się pod pewnym kątem, a nie centralnie, jak miało to miejsce dotychczas?

Kuba: Ale przecież całkowity pęd układu jest chyba nadal zachowany? Możemy nadal spróbować obliczyć jego wartość przed zderzeniem. Jego wartość i zwrot powinny być takie same, jak całkowity pęd zawodników po zderzeniu. Krzysiek: Teoretycznie moglibyśmy spróbować, ale w praktyce będzie ciężko, ponieważ pęd jest wektorem. Musielibyśmy pododawać wektory, żeby określić całkowity pęd początkowy. Popatrz: Wektory pędów dwóch zawodników.

Dodanie wektorów pędu „nosem do ogona” w celu wyznaczenia całkowitego pędu układu.

p1 p1 p2

pcałk p2 Pęd całkowity.

Rysując szkic do zadania, pamiętaj o zaznaczeniu wszystkich kątów.

Franek: Ale w czym widzisz kłopot? Wektory tworzą trójkąt, a przecież doskonale radzimy sobie z trójkątami! Kuba: Mała poprawka. Radzimy sobie z trójkątami prostokątnymi, a ten tutaj nie wygląda na prostokątny. Franek: No tak. Gdy zawodnicy zderzali się czołowo, nie musieliśmy myśleć o żadnych kątach, bo wszystkie wektory leżały w jednej linii.

Nie możesz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa ani z funkcji trygonometrycznych, jeśli nie masz do czynienia z trójkątem prostokątnym.

Kuba: To może skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, czy coś? Krzysiek: Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych. Funkcje trygonometryczne też sprawdzają się tylko dla nich. Przypuszczam, że moglibyśmy spróbować czegoś, co zadziałałoby również dla innych trójkątów, ale wydaje mi się, że to straaasznie skomplikowane. Franek: Ech, te trójkąty bez kąta prostego, z którymi utknęliśmy, są naprawdę niewygodne. Kuba: Zastanawiam się, czy udałoby się tak poustawiać różne rzeczy, żeby jednak znaleźć jakiś trójkąt prostokątny…

522

Rozdział 12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Trójkąt bez kąta prostego jest niewygodny Podstawowym problemem, jaki pojawił się w czasie rozwiązywania zagadnienia zderzeń, jest to, że zawodnicy wpadają na siebie pod różnymi kątami. Możesz oczywiście dodać do siebie wektory pędów zawodników „nosem do ogona”, żeby wyznaczyć całkowity pęd układu przed zderzeniem, jak zrobiliśmy to poniżej.

Dodaj wektory pędu zawodników „nosem do ogona”.

p1 p Pęd całkowity.

Niestety trójkąt utworzony przez wektory pędu zawodników i wypadkowy wektor pędu układu nie jest prostokątny, a przez to obliczenie pędu układu staje się bardzo trudne. Twierdzenie Pitagorasa i funkcje trygonometryczne sprawdzają się tylko w przypadku trójkątów prostokątnych. Trójkąt bez kąta prostego jest nieporęczny!

p2

Jak obliczyć długość i zwrot wektora wypadkowego, skoro ten trójkąt nie jest prostokątny?

Czy nie byłoby cudownie, gdyby dało się jakoś rozbić ten trójkąt na trójkąty prostokątne, z którymi potrafimy pracować. Ale to tylko marzenie…

jesteś tutaj  523

Trójkąty prostokątne

Zrób trójkąty prostokątne z wektorów składowych Jeśli problem jest dwuwymiarowy, zawsze możesz rozbić go na wektory składowe.

1. Musisz dodać do siebie wektory pod pewnym kątem.

p1

Wektory te nie są do siebie ani równoległe, ani prostopadłe.

p2

Każdy wektor możesz rozbić na dwie prostopadłe do siebie składowe. Ta zasada przydaje się szczególnie wtedy, gdy musisz zsumować dwa wektory, które nie są do siebie ani prostopadłe, ani równoległe.

2. Rozbij każdy z wektorów na prostopadłe wektory składowe.

p1l/p p1g/d

p1

p2g/d

Nowe wektory składowe wektora pędu całkowitego.

pg/d

p1l/p pl/p

Całkowita składowa „góra-dół”.

Całkowita składowa „lewo-prawo”.

Teraz możesz złożyć nowy trójkąt prostokątny ze składowych „góra-dół” i „lewo-prawo” wektora pędu całkowitego. Mając taki trójkąt, obliczysz całkowity pęd układu (który będzie taki sam przed i po zderzeniu).

p2

Przeprowadź teraz obliczenia na nowych składowych! Trójkąty prostokątne pozwolą Ci dodać do siebie składowe „lewo-prawo” i „góra-dół” każdego z wektorów pędu oddzielnie.

3. Dodaj do siebie obydwa zestawy składowych.

p1g/d

Dolnym indeksem „g/d” oznaczyliśmy składową „z góry na dół”.

p2l/p p2g/d

Z trójkątami prostokątnymi radzisz sobie świetnie.

p2l/p

Dzięki temu wyznaczysz nowe składowe „lewo-prawo” i „góra-dół” wektora pędu całkowitego.

4. Oblicz całkowity pęd, dodając nowe wektory składowe.

p1g/d

p1 pg/d p

p2g/d

Rozdział 12.

Dodawanie składowych da ten sam wynik, co dodanie do siebie pierwotnych wektorów pędu.

p2 pl/p p1l/p

524

Dolnym indeksem „l/p” oznaczyliśmy składową „z lewej do prawej”.

p2l/p

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Zaostrz ołówek

Dwaj zawodnicy pojawiający się w grze „SimFutbol” zderzają się ze sobą w czasie szarży i pozostają w uścisku. Ich masy i wektory prędkości pokazuje poniższy rysunek.

m1 = 110 kg

a. Oblicz wartość wektora pędu każdego z zawodników.

29,2° v1 = 8,86 m/s

m2 = 125 kg 22,4° v2 = 2,92 m/s

b. Narysuj rysunek przedstawiający składowe „góra-dół” i „lewo-prawo” wektorów pędu każdego z zawodników. Oblicz wartości tych składowych.

c. Oblicz długość i zwrot całkowitego wektora pędu układu, posługując się cząstkowymi wynikami otrzymanymi w podpunkcie b.

d. Z jaką prędkością poruszają się zawodnicy po szarży?

jesteś tutaj  525

Czym jest pęd?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Dwaj zawodnicy pojawiający się w grze „SimFutbol” zderzają się ze sobą w czasie szarży i pozostają w uścisku. Ich masy i wektory prędkości pokazuje poniższy rysunek.

m1 = 110 kg

a. Oblicz wartość wektora pędu każdego z zawodników.

29,2°

p1 = m1v1 = 110 kg × 8,86 m/s ≈ 975 kg·m/s

v1 = 8,86 m/s

m2 = 125 kg

p2 = m2v2 = 125 kg × 2,92 m/s ≈ 365 kg·m/s

22,4° v2 = 2,92 m/s

b. Narysuj rysunek przedstawiający składowe „góra-dół” i „lewo-prawo” wektorów pędu każdego z zawodników. Oblicz wartości tych składowych. p1l/p

cos(29,2)

b c

=

29,2° p1g/d 975 p2l/p

22,4°

cos(22,4)

p2g/d

=

p1l/p 975 kg·m/s

=

a c

=

p2 g /d 975 kg·m/s

p1l/p = 975 kg·m/s cos(29,2°)

p1g/d = 975 kg·m/s sin(22,4°)

p1l/p ≈ 851 kg·m/s w prawo

p1g/d ≈ 476 kg·m/s w dół

=

b c

=

p2l/p 365 kg·m/s

p2l/p = 365 kg·m/s cos(22,4°)

365

sin(29,2)

p2l/p ≈ 337 kg·m/s w lewo

sin(22,4)

=

a c

=

p2g/d 365 kg·m/s

p2g/d = 365 kg·m/s sin(22,4°) p2g/d ≈ 139 kg·m/s w dół

c. Oblicz długość i zwrot całkowitego wektora pędu układu, posługując się cząstkowymi wynikami otrzymanymi w podpunkcie b. pl/p = 514 kg·m/s Składowa „lewo-prawo”: 851 kg·m/s – 337 kg·m/s = 514 kg·m/s w prawo

θ pg/d = 615 kg·m/s

Składowa „góra-dół”: 476 kg·m/s + 139 kg·m/s = 615 kg·m/s w dół p Długość wektora (z tw. Pitagorasa): p2 = pl/p2 + pg/d2 = (514 kg·m/s)2 + (615 kg·m/s)2 p =

(514 kg·m/s)2 + (615 kg·m/s)2 = 802 kg.m/s

Zwrot wektora (ponieważ wszystkie kąty podane w zadaniu były mierzone w stosunku do osi poziomej, tak też udzielę odpowiedzi): p 615 tg (θ) = g/d θ = arc tg ≈ 50,1° względem osi poziomej, od lewej do prawej pl/p 514

d. Z jaką prędkością poruszają się zawodnicy po szarży? Masa całkowita: m = 110 kg + 125 kg = 235 kg Pęd: p = mv

526

Rozdział 12.

v =

p = m

802 kg·m/s 235 kg

≈ 3,41 m/s pod kątem 50,1° do poziomu, z lewej do prawej.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły Nie istnieją

głupie pytania

P

: To obliczanie wektorów składowych wymagało przeprowadzenia strasznie wielu obliczeń!!

O

: Owszem, ale rachunki nie były bardziej skomplikowane niż wszystko, co robiłeś do tej pory. Musiałeś po prostu policzyć trochę długości boków i wartości kątów! Pamiętaj, dopóki utrzymasz porządek w swoich obliczeniach, nie pogubisz się w nich i najprawdopodobniej otrzymasz poprawny wynik. Skoro radzisz już sobie z wektorami składowymi i trójkątami prostokątnymi, poradzisz sobie z każdą dwuwymiarową sytuacją, jaką napotkasz.

Programista wprowadza do kodu zasadę zachowania pędu w 2D… Programista zespołu SimFutbol zabrał się do pracy i szybko wprowadził do gry reguły rządzące dwuwymiarowymi zderzeniami, które właśnie poznałeś. Teraz postaci zawodników przez sekundę po szarży zachowują się bardzo realistycznie…

P

ale umiejętność rozkładania dowolnego wektora na składowe pozwoli Ci zawsze rozwiązać problem, w którym masz zsumować wektory stykające się pod niewygodnymi kątami.

1 Y20 10 2 Y30 3 Y40 4 50 40 4 Y 30 3 Z 20 2 Z 10Z

O: Być może w ogóle nie natkniesz się na dokładnie takie zadanie,

Y

Y

: Jak często będę spotykać się z zadaniami wymagającymi takiego podejścia do zasady zachowania pędu?

ŁU

P!

10 Y20 Y30 Y40 50 40Z 30Z 20Z 10Z

P

: Tak się zastanawiam… co się stanie, jeżeli zawodnicy odbiją się od siebie po szarży? Przecież wtedy po zderzeniu będę mieć nadal dwa wektory pędu!

O: Świetna uwaga! Masz rację, to bardziej złożony problem

i zanim nauczysz się rozwiązywać takie zadania, będziesz musiał dowiedzieć się co nieco na temat energii. Zajmiemy się podobnymi zagadnieniami w jednym z dalszych rozdziałów, więc na razie nie zaprzątaj sobie tym głowy.

Gdy chcesz dodać do siebie dwa wektory przecinające się pod nietypowym kątem, rozłóż je na prostopadłe do siebie składowe i wykonaj dodawanie składowych.

… ale potem zawodnicy nie chcą się zatrzymać! Zasada zachowania pędu sprawdza się doskonale — właśnie wprowadziłem ją do kodu gry. Tylko że teraz zawodnicy po zderzeniu nie chcą się zatrzymywać i wpadają w niekończący się ślizg. Czasami zdarza się im przejechać przez całą długość boiska, zanim w coś uderzą! Da się coś na to poradzić?

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jaki czynnik może zapobiec ciągłemu ślizganiu się zawodników?

jesteś tutaj  527

Tarcie powstrzymuje ruch

W życiu stale towarzyszy nam siła tarcia Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało będzie poruszać się ze stałą prędkością, dopóki nie zadziała na nie siła wypadkowa. Na tym etapie prac nad grą SimFutbol ruch zawodników może zatrzymać jedynie tablica reklamowa albo słup bramki, jeżeli na nie wpadną. W tej chwili zawodnicy po szarży poruszają się z niezmienną prędkością tak długo, aż napotkają na swojej drodze jakąś przeszkodę. Bez siły tarcia w układzie zawodnicy będą poruszać się ze stałą prędkością.

Ten klocek symbolizuje zawodników ślizgających się po powierzchni boiska.

v

v

m

v

m

m

W rzeczywistości na każde poruszające się ciało działa siła tarcia (oznaczana Ft), przez co ciało to zwalnia i w końcu zatrzymuje się. Tarcie pojawia się natychmiast, gdy dwie powierzchnie zetkną się ze sobą, i zawsze przeciwdziała siłom powodującym ruch. Jeżeli ciało ślizga się po powierzchni, siła tarcia zadziała równolegle do tej powierzchni. Wektor siły tarcia jest zwrócony przeciwnie do wektora prędkości.

m

Tarcie zawsze PRZECIWDZIAŁA ruchowi. Jeżeli jakieś ciało porusza się po powierzchni, to RÓWNOLEGLE do tej powierzchni zaczyna działać siła tarcia.

528

Rozdział 12.

Fwyp = ma, a to oznacza, że siła tarcia wywoła opóźnienie ruchu ciała.

Wektor siły tarcia jest równoległy do podłoża.

v

Ft

Ft

v m

Gdy ustanie ruch ciała, siła tarcia znika, ponieważ nie istnieje żadne źródło ruchu, któremu mogłaby przeciwdziałać.

Ft

v m

m

Na ciało pozostające w bezruchu, którego prędkość jest stała i wynosi zero, nie działa żadna siła wypadkowa. Ponieważ na ciało nie działają żadne siły poziome, siła tarcia też nie występuje. Gdybyś zaczął delikatnie popychać to ciało, napotkasz opór, ponieważ tarcie zawsze przeciwdziała ruchowi. Jeśli pchniesz je mocniej, uda Ci się w końcu przyłożyć do ciała siłę większą od siły tarcia — wtedy ciało poruszy się. W zasadzie nikt nie wie do końca, jak działa tarcie. Na pewno jest ono jedną z sił kontaktowych. Pojawia się zawsze, gdy próbujesz przesuwać jedną powierzchnię po drugiej. Oddziaływania między powierzchniami hamują ruch tak długo, dopóki poruszające się ciało nie zatrzyma się. Jednak dokładna natura tych oddziaływań nie została jeszcze opisana.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły Czyli nie pozostaje nam nic innego, jak wprowadzić do gry tarcie. Tylko wtedy zawodnicy przestaną się ślizgać w nieskończoność po boisku. Kuba: Jak my to mamy policzyć?! Nie wiem, od czego zacząć. Krzysiek: Może zastanówmy się, co ma wpływ na wartość siły tarcia? Na razie nie damy rady znaleźć rozwiązania ilościowego, ale możemy poszukać odpowiedzi jakościowej. Franek: Zacząłbym od chropowatości powierzchni. Przypuszczam, że inne wyniki osiąga się poruszając po trawie, a inne na sztucznej murawie boiska. Kuba: I pewnie masa zawodnika też nie jest bez znaczenia. Krzysiek: Tak, i prędkość, z jaką się poruszali na początku ślizgu. No i to, że niektóre boiska są nieco nachylone — to może mieć znaczenie. Franek: Przypuszczam, że najlepiej zrobilibyśmy, gdybyśmy stali się na chwilę zsuwającym się ciałem. Wtedy może uda się nam stwierdzić, które zmienne mają wpływ na siłę tarcia.

a. Substancje, z którego zrobione są klocek i powierzchnia.

BĄDŹ zsuwającym się ciałem Musisz wyobrazić sobie, jak to jest zsuwać się po nachylonej powierzchni. Poniżej znajdziesz szkic doświadczenia, które możesz sam przeprowadzić, ale równie dobrze możesz spróbować postawić się w miejscu tego ciała (czy też zawodnika). Opisz, jaki wpływ na wartość siły tarcia mają Twoim zdaniem podane czynniki. Postaraj się uzasadnić swoje odpowiedzi.

Klocek zsuwający się po powierzchni.

c. Kąt nachylenia (stromizna) powierzchni.

m Możesz ustawić dowolny kąt.

b. Masa (lub ciężar) klocka.

v

Powierzchnia.

d. Prędkość klocka.

θ Zawias.

jesteś tutaj  529

Bądź zsuwającym się ciałem

BĄDŹ zsuwającym się ciałem. Rozwiązanie Musisz wyobrazić sobie, jak to jest zsuwać się po nachylonej powierzchni. Poniżej znajdziesz szkic doświadczenia, które możesz sam przeprowadzić, ale równie dobrze możesz spróbować postawić się w miejscu tego ciała (czy też zawodnika). Opisz, jaki wpływ na wartość siły tarcia mają Twoim zdaniem podane czynniki. Postaraj się uzasadnić swoje odpowiedzi.

a. Substancje, z którego zrobione są klocek i powierzchnia. Niektóre substancje będą powodowały pojawienie się większej siły tarcia niż inne. Zawodnicy ślizgający się na trawie poruszają się dalej, niż gdyby ślizgali się na sztucznej murawie, a to oznacza, że siła tarcia na trawie jest mniejsza.

b. Masa (lub ciężar) klocka. Im cięższe jest ciało, tym trudniej jest ruszyć je z miejsca, ponieważ samo „wgniata się” w powierzchnię. Wydaje mi się, że większa masa ciała powoduje pojawienie się większej siły tarcia.

Klocek zsuwający się po powierzchni.

m

c. Kąt nachylenia (stromizna) powierzchni.

v

Możesz ustawić dowolny kąt.

Powierzchnia.

θ

Duży kąt nachylenia zmniejsza siłę tarcia, ponieważ klocek nie jest tak bardzo „wpychany” w powierzchnię.

d. Prędkość klocka. Zawias.

Bez wykonania dokładnych pomiarów ciężko mi określić wpływ prędkości na wartość siły tarcia.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: To oznacza, że wartość siły tarcia zależy od chropowatości powierzchni, tak? Chodzi o to, że ciężko trze się papierem ściernym o papier ścierny, a gładkie powierzchnie przesuwają się po sobie bez problemów?

O: Nie do końca. Każdy, kto zdarł

hamulce w rowerze, powie Ci, że pomiędzy dwoma bardzo gładkimi powierzchniami (na przykład między dwoma powierzchniami stalowymi) pojawia się dużo większe tarcie niż między papierem ściernym czy gumą a stalą! Tarcie zależy do rodzaju powierzchni, a nie od jej chropowatości.

530

Rozdział 12.

P

: Ale przecież każdy wie, że jeśli naoliwić powierzchnię (sprawiając, że stanie się bardziej gładka), zmniejszy się tarcie.

O

: Tarcie pojawia się wtedy, gdy dwie powierzchnie mają ze sobą kontakt. Oliwienie wprowadza pomiędzy dwie powierzchnie warstwę cieczy, która zwiększa odległość między nimi. Oliwienie nie zmienia stopnia gładkości samych powierzchni.

Tarcie jest siłą kontaktową.

P

: A co z ciałami poruszającymi się w powietrzu? Przecież są z dala od jakichkolwiek powierzchni, a i tak zwalniają.

O

: Spowalnia je opór powietrza, który nie jest jednak tym samym, co tarcie. Siła tarcia, której doświadcza ciało ślizgające się po danej powierzchni, nie zależy od prędkości tego ciała, natomiast siły oporu towarzyszące przemieszczaniu się w powietrzu wzrastają wraz ze wzrostem prędkości ciała. Im szybciej porusza się lecące ciało, tym więcej cząsteczek powietrza musi „rozepchnąć”, żeby przesunąć się nieco dalej.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły Wydaje się, że trudniej ruszyć ciało z miejsca, niż utrzymać je w ruchu. Czy to oznacza, że na początku ruchu tarcie ma inną wartość niż w czasie jego trwania?

Tarcie statyczne i tarcie kinetyczne mają inne wartości. Tarcie statyczne to siła, którą musisz pokonać, by zacząć przesuwać ciało po powierzchni. Gdy próbujesz wprawić w ruch ciało spoczywające na jakiejś powierzchni, siła tarcia statycznego przeciwdziała Twoim próbom. Dopóki nie zadziałasz na ciało z siłą większą niż tarcie statyczne, ciało pozostanie w spoczynku.

Jeżeli nie popychasz ciała, nie pojawia się żadna przyczyna ruchu, której mogłaby przeciwdziałać siła tarcia.

Gdy zaczniesz popychać delikatnie ciało, na styku powierzchni pojawi się natychmiast siła tarcia równa co do wartości sile pchnięcia i starająca się przeciwdziałać potencjalnej przyczynie ruchu.

FN

FN Ft

m Siła wypadkowa w dwóch pierwszych sytuacjach wynosi zero.

I zasada dynamiki Newtona głosi, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła wypadkowa, ciało to będzie poruszać się ze stałą prędkością.

Gdy pchniesz ciało z siłą większą od maksymalnej możliwe j wartości tarcia statycznego, wprawisz ciało w ruch.

FN Fpchnięcia

Ft

m

Q

Fpchnięcia m

Q

Q

Tarcie kinetyczne to siła, którą musisz pokonać, by utrzymać ciało w ruchu. Jeżeli ciało już się porusza, a Ty pchniesz je z siłą równą sile tarcia kinetycznego, ciało nadal będzie poruszać się z niezmienioną prędkością, gdyż nie zadziała na nie żadna siła wypadkowa. Wartość siły tarcia nie zależy od prędkości ciała.

FN

Zerowa siła wypadkowa oznacza stałą prędkość.

Ft

Fpchnięcia m

v

Q Tarcie statyczne ma większą wartość niż tarcie kinetyczne. Dlatego poruszenie ciała z miejsca wymaga użycia większej siły niż utrzymanie go w ruchu.

Teraz pojawia się siła wypadkowa działająca w prawo.

Jeśli równoległa do podłoża składowa siły popychającej będzie równa co do wartości sile tarcia, ciało będzie poruszać się ze stałą prędkością, ponieważ nie zadziała na nie żadna siła wypadkowa. jesteś tutaj  531

Tarcie zależy od… W grze pojawiają się boiska wyłożone sztuczną murawą i takie, na których zasiano trawę. Musimy obliczyć tarcie na każdym z tych podłoży. Tylko wtedy modele zawodników będą poruszać się poprawnie.

Tarcie zależy od rodzajów stykających się powierzchni Siła tarcia, jakiej doświadcza ciało przesuwające się po danym podłożu (na przykład dwóch zawodników ślizgających się po murawie), zależy od właściwości powierzchni ciała i powierzchni podłoża. Właściwości te charakteryzuje jeden ze współczynników fizycznych, tak zwany współczynnik tarcia, oznaczany literą μ. Im większa jest wartość współczynnika μ, tym silniejsze tarcie działa na ciało. Wartości współczynnika tarcia wahają się od 0,05 dla dwóch powierzchni teflonowych, do 1,7 dla gumowej opony na asfalcie. Współczynnik tarcia dla boiska wyłożonego sztuczną murawą wynosi μ = 0,8, natomiast dla boiska pokrytego trawą μ = 0,5. Już samo to sugeruje, że siła tarcia działająca na zawodników przesuwających się po sztucznej murawie będzie większa od tarcia pojawiającego się na boisku obsianym trawą.

Tarcie zależy od wartości siły normalnej Wartość siły tarcia działającej na ciało zależy w dużej mierze do tego, jak mocno ciało jest „wpychane” w powierzchnię, po której sunie. Jest to jednoznaczne ze stwierdzeniem, że siła tarcia zależy od siły normalnej, jaką wywiera dane ciało na podłoże. Im większa jest wartość siły normalnej, tym większe tarcie ciała o podłoże. Ciało poruszające się po danym podłożu doświadcza działania siły tarcia wyrażonej wzorem: Współczynnik tarcia Siła tarcia

Ft = FN

Siła normalna

Powyższe równanie opisuje jedynie wartość siły tarcia. Jej wektor jest zawsze zwrócony przeciwnie do kierunku ruchu ciała (czy też kierunku, w którym miałoby się ono poruszać) i jest równoległy do podłoża. Żeby określić zwrot wektora Ft, musisz odnaleźć wektor prędkości ciała (jeśli szukasz wektora tarcia kinetycznego) lub znaleźć składową siły działającej na ciało, leżącą w płaszczyźnie podłoża (jeśli szukasz wektora tarcia statycznego). Gdy będziesz już znać zwrot wektora siły Ft, będziesz mógł obliczyć przyspieszenie zawodników, posługując się wzorem Fwyp = ma. Wyznaczoną w ten sposób wartość przyspieszenia podstawisz do równań ruchu, żeby opisać ruch zawodników na boisku.

532

Rozdział 12.

μ to litera alfabetu greckiego. Wymawia się ją „mi”.

Większe wartości współczynnika tarcia μ oznaczają większą wartość siły tarcia.

Im większa jest wartość siły normalnej, tym większa wartość siły tarcia. Pamiętaj, że to stwierdzenie opisuje jedynie zależność między długościami wektorów. Wektor siły normalnej jest prostopadły do podłoża, a wektor siły tarcia jest do niego równoległy.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Uważaj, wyznaczając wartość siły normalnej Gdyby wypadkowa wszystkich sił prostopadłych do podłoża nie była równa zeru, ciało albo przebiłoby się przez podłoże, albo zapadło w nie, albo odbiło od niego.

Siła normalna jest zawsze prostopadła do podłoża. Powinieneś dodawać ją do diagramu rozkładu sił na samym końcu, ponieważ jest to siła, z jaką podłoże działa na spoczywające na niej ciało, mająca zrównoważyć działanie sił prostopadłych do podłoża, wywieranych na nie przez ciało. Jeśli podłoże jest idealnie poziome, a na ciało nie działają żadne dodatkowe siły, siła normalna jest równa co do wartości ciężarowi ciała.

FN Wektor zwrócony przeciwnie do wektora prędkości.

Ft

Jeżeli na ciało działają dodatkowe siły (przykładem może być zawodnik futbolu amerykańskiego, wbijany w ziemię przez zawodnika przeciwnej drużyny), musisz pamiętać, że wektor siły normalnej ma równoważyć wszystkie siły prostopadłe do podłoża, tak by wypadkowa jego i tych sił była równa zero.

Jeśli podłoże jest nachylone pod jakimś kątem do poziomu, siła normalna jest również nachylona do poziomu, gdyż musi być prostopadła do podłoża.

v

Siła normalna musi równoważyć wszystkie siły prostopadłe do podłoża.

Q

Występowanie siły normalnej powoduje, że wypadkowa sił prostopadłych do powierzchni, działających na ciało jest równa zeru.

Siła tarcia jest większa niż poprzednio, ponieważ siła normalna ma większą wartość.

Jeśli ciało znajduje się na pochyłej powierzchni, musisz najpierw wyznaczyć prostopadłe do podłoża składowe każdej z działających na nie sił. Zazwyczaj zadanie to sprowadza się do rozłożenia na składowe ciężaru ciała, ale czasami dotyczy też innych sił, które pojawiają się, jeśli ktoś popycha lub ciągnie ciało. Jeżeli na ciało działają inne, poza ciężarem, siły mające składową prostopadłą do podłoża, musisz obliczyć ich sumę, żeby odnaleźć równoważący je wektor siły normalnej.

Długość wektora FN jest równa długości wektorów Q + Fdodatkowa.

FN

Ft

v

Fdodatkowa

Dodatkowa siła dociskająca klocek do powierzchni.

Q

Wiesz już, jak obliczyć siłę normalną działającą na ciało znajdujące się na równi.

Ciężar i siła normalna

Składowe prostopadła i równoleg ła pomogą Ci poradzić sobie z równią Wskazanie wagi zależy od wartoś ci siły normalnej, która jest równa prostopadłej do równi składo wej ciężaru. Siła normalna działa zawsze prostopadle do powierzchni i zawsze ma tę samą wartość, co siła, z jaką Ty działasz na powierzchnię .

Trójkąty są podobne, więc te kąty są identyczne.

Równoległa do równi składo wa ciężaru jest siłą wypadkową, która nadaje przyspieszenie ciału na równi. Pora przygotować się do występ

u w telewizji…

Siła normalna

Składowa prostopadła ma tę samą wartość, co ciężar.

Składowa prostopadła

θ

Ciężar, Q = mg

θ Składowa równoległa

Składowa równoległa jest siłą wypadkową.

jesteś tutaj  533

Siła tarcia Chcesz mi wmówić, że siła tarcia zależy wyłącznie od wartości μ i FN, a jest zupełnie niezależna od pola powierzchni ciała? Wybacz, ale to śmieszne! Jeśli podłoże styka się z ciałem o większym polu powierzchni dolnej, na pewno wywiera na nią większe tarcie!

Siła tarcia nie zależy od pola powierzchni dolnej ciała! Skoro siła tarcia pojawia się, gdy dwie powierzchnie mają ze sobą kontakt, wydawałoby się, że powinna zwiększać się, gdy pole styku tych powierzchni jest większe. Pozory czasami mylą. Zastanów się nad takim problemem. Weź prostopadłościenną cegłę, którą możesz postawić na podłożu tak, by za każdym razem w kontakcie z nim była inna powierzchnia. Siła normalna do powierzchni jest taka sama w każdym z przypadków, ponieważ siła ciężkości cegły nie ulega zmianie. Przypominam, że zakładamy, iż wraz ze wzrostem pola powierzchni kontaktu wzrasta wartość tarcia.

FN

FN

Największa powierzchnia styku. F N

Siła normalna nie zależy w żaden sposób od ustawienia cegły.

Najmniejsza powierzchnia styku.

Najmniejsze ciśnienie.

Pamiętaj jednak, że zwiększając powierzchnię styku, zmniejszasz jednocześnie ciśnienie (siłę działającą na element powierzchni) wywierane przez cegłę na podłoże. Oznacza to, że cegła o dużej powierzchni kontaktowej nie „zakopie” się w podłożu tak bardzo, jak cegła stojąca na swoim węższym końcu. Ten sam efekt możesz zaobserwować dla butów — buty na płaskim obcasie nie zapadają się w ziemię tak jak szpilki.

Największe ciśnienie.

Okazuje się, że wkład tych dwóch efektów — zwiększenia powierzchni kontaktu i zmniejszenia tarcia — do siły tarcia znosi się idealnie. Wartość siły tarcia zależy wyłącznie od wartości współczynnika tarcia i wartości siły normalnej, co opisuje wzór Ft = μFN

Siła tarcia zależy WYŁĄCZNIE od współczynnika tarcia i siły normalnej. 534

Rozdział 12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Jesteś gotów do wprowadzenia tarcia w grze! Zaczynaj rozwiązywanie każdego zadania z dynamiki (zadania z siłami) od narysowania diagramu rozkładu sił. Zasada ta jest szczególnie ważna w przypadku, gdy w zadaniu pojawia się siła tarcia. Pamiętaj, że tarcie zawsze przeciwdziała przyczynie ruchu, więc najpierw musisz określić prędkość ciała, bo tylko w ten sposób wyznaczysz zwrot siły tarcia. Zastanów się, jak zwrócony jest wektor przyspieszenia ciała (jeśli w ogóle występuje). Jeżeli ciało nie przyspiesza prostopadle do powierzchni, oznacza to, że wszystkie składowe sił działające wzdłuż tego kierunku równoważą się, nie dając żadnej siły wypadkowej. Wartość siły normalnej będzie równa sumie wartości pozostałych składowych sił prostopadłych do powierzchni.

Gdy w zadaniu pojawiają się siły, koniecznie narysuj diagram ich rozkładu.

Jeśli czujesz się zagubiony, spójrz na rysunek ze strony 533.

Zaostrz ołówek Dwóch zawodników o sumarycznej masie 215 kg łączy się w szarży i zaczyna ślizgać po podłożu z prędkością początkową równą 3,70 m/s. Ile czasu minie, zanim zawodnicy zatrzymają się na (a) sztucznej murawie (μ = 0,80) i (b) trawie (μ = 0,50)?

Wskazówka: Wykorzystaj wartość siły normalnej do obliczenia wartości siły tarcia. Opóźnienie spowodowane pojawieniem się siły tarcia obliczysz ze wzoru Fwyp = ma. Potem podstawisz je do równania ruchu, żeby wyznaczyć czas.

Wskazówka: Zacznij od narysowania diagramu rozkładu sił. Dzięki temu unikniesz pomyłki podczas określania ich zwrotów. Narysuj oddzielny rysunek, gdy przejdziesz do rozwiązywania równań ruchu.

jesteś tutaj  535

Uwzględnij tarcie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Dwóch zawodników o sumarycznej masie 215 kg łączy się w szarży i zaczyna ślizgać po podłożu z prędkością początkową równą 3,70 m/s. Ile czasu minie, zanim zawodnicy zatrzymają się na (a) sztucznej murawie (μ = 0,80) i (b) trawie (μ = 0,50)?

Diagram rozkładu sił

Chcę wyznaczyć czas ruchu zawodników. Ze wzoru Fwyp = ma wyznaczę przyspieszenie, które podstawię do równania ruchu, by obliczyć czas. Fwyp = ma

FN = mg Zwrot wektora prędkości,

Ft = ? m = 215 kg

Zwrot wektora prędkości pozwoli Ci określić zwrot siły tarcia,

Q = mg

m = 215 kg

μFN = a =

ma Fwyp`

=

m

v = v0 + at

Rysunek do równań ruchu a = μg

v0 = -3,7 m/s

Siła tarcia jest siłą wypadkową.

Fwyp = Ft = μFN

v - v0 μg

=

b. Na trawie: t =

v - v0 μg

=

Wektory dodatnie są zwrócone w lewą stronę.

m

=

t =

a. Na sztucznej murawie: t =

v = 0 m/s

μFN`

μmg m

= μg

v – v0 a

0 m/s – (–3,70 m/s) 0,80 × 9,8 m/s2 0 m/s – (–3,70 m/s) 0,50 × 9,8 m/s2

=

v - v0 μg

≈ 0,47 s

≈ 0,76 s

Wybierz zwrot dodatni i trzymaj się tej decyzji.

Wprowadzenie tarcia sprawia, że zawodnicy nie ślizgają się w nieskończoność! Wyjaśniłeś programiście, że na zawodnika ślizgającego się po powierzchni boiska musi zadziałać siła tarcia zmniejszająca jego prędkość. Siłę tę opisuje wzór Ft = μFN . Po zakończeniu wprowadzania poprawek w kodzie programista pokazuje Ci efekt swojej pracy. Zawodnicy nie ślizgają się po boisku bez końca, tylko zatrzymują się po pewnym czasie. Zupełnie jak w życiu. Doskonale!

536

Rozdział 12.

Suuuper! Witaj świecie X-Force Games! Nadchodzimy! No, prawie…

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Ślizganie się po boisku działa świetnie, ale ciągnięcie opony nadal sprawia kłopoty Nie minęła chwila, a zespół programistów SimFutbol zgłasza Ci następny problem dotyczący tarcia. W trybie treningowym gry model zawodnika porusza się, ciągnąc za sobą oponę.

Lina jest przytwierdzona do talii zawodnika. Opona ciągnie się po ziemi.

Chcieliśmy obliczyć siłę normalną, podstawiając do wzoru wartość ciężaru opony, ale wyniki symulacji nie zgadzają się z wynikami doświadczenia, które przeprowadziliśmy. Możesz wyjaśnić, co jest nie tak? Bez tego nie poprawimy kodu. Programista próbował wyznaczyć siłę tarcia opony, podstawiając do wzoru wartość ciężaru opony, ale okazało się, że postaci zawodników w grze nie zachowują się jak zawodnicy na boisku. Siła tarcia obliczana przez komputer wydaje się być większa, niż powinna.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Dlaczego wartości tarcia obliczane w grze są zbyt duże?

jesteś tutaj  537

Składowe poziome oraz pionowe Jeżeli dobrze rozumiem, siła tarcia obliczana ze wzoru Ft = ȝFN , gdzie za siłę normalną podstawiamy ciężar opony, ma niewłaściwą wartość. Ciekawe… Kuba: Czy używamy właściwej wartości współczynnika tarcia, μ? Czy boisko jest idealnie płaskie? Krzysiek: Tu wszystko się zgadza. W grze modelują płaskie boisko pokryte sztuczną trawą i na takim terenie przeprowadzono eksperyment. Franek: No to chyba pora wykonać rysunek. Może przyjdzie nam coś mądrego do głowy, gdy zobaczymy, co się tam naprawdę dzieje.

Kuba: Ooo, lina jest przywiązana do talii zawodnika, tak? Krzysiek: Tak, siła, z jaką zawodnik ciągnie oponę, przenosząca się po linie, działa pod pewnym kątem.

Jeśli siła działa pod pewnym kątem, powinieneś zastanowić się, czy nie należy rozłożyć jej na składową prostopadłą i równoległą do podłoża.

Franek: Czy to zmieni wartość siły normalnej? Kuba: Tak mi się wydaje. Zawodnik ciągnie oponę jednocześnie w górę i w bok. Spójrzcie na składowe siły ciągnącej: Siła ciągnąca działa wzdłuż sznura.

Składowa pozioma siły wywieranej na oponę za pośrednictwem sznura.

Składowa pionowa.

Krzysiek: Zobaczcie, lina nie tylko ciągnie oponę w bok, ale też nieco podtrzymuje ją, unosząc w górę. Franek: I co z tym zrobimy? Kuba: Wiemy, że wektor siły ciężkości opony jest zwrócony w dół. Pionowa składowa siły ciągnącej jest zwrócona w górę. Siła normalna zawsze wskazuje w górę. Opona nie unosi się w powietrzu ani nie wpada w ziemię, więc możemy powiedzieć, że w pionie nie działa na nią żadna siła wypadkowa. To oznacza, że suma ciężaru opony, pionowej składowej siły ciągnącej i siły normalnej musi być równa zeru. Krzysiek: A ponieważ opona porusza się w bok ze stałą prędkością, wiemy, że siła tarcia i pozioma składowa siły ciągnącej muszą się równoważyć, tak by w poziomie nie działała na oponę żadna pozioma siła wypadkowa. W przeciwnym razie opona przyspieszałaby.

538

Rozdział 12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Zaostrz ołówek

Zawodnik drużyny futbolu amerykańskiego ciągnie oponę na uwiązanej do pasa linie. Programista sprawdził, jakie są wyniki przeprowadzenia doświadczenia z wykorzystaniem prawdziwej opony i prawdziwego zawodnika, a teraz chce obliczyć siłę, z jaką model powinien ciągnąć oponę.

a. Narysuj diagram rozkładu sił działających na oponę ciągniętą przez zawodnika ze stałą prędkością po płaskim podłożu. Oznacz siłę, z jaką zawodnik ciągnie oponę na sznurze, jako Fsz.

b. Narysuj szkic, na którym zaznaczysz pionowe i poziome składowe sił działających na oponę.

Nie umieszczaj na rysunku żadnych wartości. Po prostu zaznacz wektory sił i opisz je.

c. Zapisz równanie opisujące siłę normalną, FN, za pomocą pionowych składowych sił.

e. Masa opony to 10,0 kg. Lina ma długość 2,00 m, a pas, do którego doczepiony jest jej koniec, znajduje się 120 cm nad ziemią. Powierzchnię boiska pokrywa sztuczna murawa o współczynniku tarcia μ = 0,80. Posłuż się równaniem wyznaczonym w podpunkcie d, żeby wyznaczyć siłę Fsz, z którą zawodnik działa na oponę.

d. Przekształć równanie Ft = μ FN do postaci, w której pojawią się jedynie Ft, masa opony, współczynnik tarcia i g — przyspieszenie grawitacyjne.

jesteś tutaj  539

Zadanie z oponą

Zaostrz ołówek:

Zawodnik drużyny futbolu amerykańskiego ciągnie oponę na uwiązanej do pasa linie. Programista sprawdził, jakie są wyniki przeprowadzenia doświadczenia z wykorzystaniem prawdziwej opony i prawdziwego zawodnika, a teraz chce obliczyć siłę, z jaką model powinien ciągnąć oponę.

Rozwiązanie

a. Narysuj diagram rozkładu sił działających na oponę ciągniętą przez zawodnika ze stałą prędkością po płaskim podłożu. Oznacz siłę, z jaką zawodnik ciągnie oponę na sznurze, jako Fsz.

b. Narysuj szkic, na którym zaznaczysz pionowe i poziome składowe sił działających na oponę.

Siła normalna FN

Siła ciągnąca Fsz

Siła normalna FN

Pionowa składowa siły ciągnącej Fsz pi Pozioma składowa siły ciągnącej Fsz po

Siła tarcia Ft Siła tarcia Ft

Q = mg

Q = mg

e. Masa opony to 10,0 kg. Lina ma długość 2,00 m, a pas, do którego doczepiony jest jej koniec, znajduje się 120 cm nad ziemią. Powierzchnię boiska pokrywa sztuczna murawa o współczynniku tarcia μ = 0,80. Posłuż się równaniem wyznaczonym w podpunkcie d, żeby wyznaczyć siłę Fsz, z którą zawodnik działa na oponę.

c. Zapisz równanie opisujące siłę normalną, FN, za pomocą pionowych składowych sił. Wektory dodatnie są zwrócone w górę. Nie ma siły wypadkowej, więc FN + Fsz pi – mg = 0 FN = mg - Fsz pi

Trójkąt utworzony przez siły i trójkąt odległości opony od zawodnika to trójkąty podobne.

Fsz

2,0 m

Fsz po

x

Z tw. Pitagorasa: x2 + (1,2 m)2 = (2,0 m)2 Z podobieństwa F trójkątów: sz pi Fsz d. Przekształć równanie Ft = μ FN do postaci, w której

pojawią się jedynie Ft, masa opony, współczynnik tarcia i g — przyspieszenie grawitacyjne.

Wektory dodatnie są zwrócone w prawo.

x ≈ 1,6 m

1,2 m =

Fsz po Fsz

Fsz pi

1,2 m

2,0 m

Fsz pi = 0,60 Fsz

1,6 m =

2,0 m

Fsz po = 0,80 Fsz

Równanie: μ(mg – Fsz pi) = Fsz po Prędkość jest stała, więc Fsz po + (–Ft) = 0 Siły działające w poziomie równoważą się.

Ft = Fsz po

A jednocześnie Ft = μFN = μ(mg – Fsz pi) μ(mg - Fsz pi) = Fsz po

540

Rozdział 12.

μ(mg – 0,60 Fsz) = 0,80 Fsz μmg – 0,60 μFsz = 0,80 Fsz μmg = Fsz (0,60 μ + 0,80) μmg Fsz = = (0,60 μ + 0,80) Fsz ≈ 61 N

0,80 × 10 kg × 9,8 m/s2 (0,60 × 0,80) + 0,80

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Wyznaczenie składowych sił pomogło!

To jest niesamowite! Uwzględniliśmy wszystko, co może mieć wpływ na tarcie. Cudownie!

Teraz programista wie, jak obliczyć siłę normalną. Zanim zdążyłeś się obejrzeć, fragmenty kodu odpowiedzialne za wprowadzenie tarcia do gry były już gotowe. Teraz modele zachowują się poprawnie w czasie ślizgu, ciągnięcia opony, a nawet ciągnięcia przeciwnika po murawie podczas szarży!

Nie istnieją

głupie pytania

P: Co powinienem wiedzieć, żeby obliczyć wartość siły tarcia?

O

: Wartość siły tarcia wyznacza się z równania Ft = μ FN , więc musisz znać wartość współczynnika tarcia powierzchni, które pojawiają się w zadaniu, i wartość siły normalnej.

P

: Skąd mam wziąć wartość współczynnika tarcia?

O

: Możesz sprawdzić ją w podręczniku lub w tablicach fizycznych. Jeśli natomiast zadanie pojawi się na klasówce lub na egzaminie, wartość współczynnika μ będzie podana w jego treści lub będziesz musiał wyznaczyć ją z wartości różnych sił.

P: Jak oblicza się siłę normalną? P: Co dzieje się, gdy na ciało działa siła tarcia? Jak doprowadzić O: Skoro ciało nie zapada się pod podłoże, do sytuacji, w której siła wypadkowa

na którym się znajduje, możesz założyć, że nie działa na nie żadna siła wypadkowa w pionie. To oznacza, że pionowe składowe wszystkich sił dają w sumie zero. Siła normalna będzie miała taką wartość, dzięki której ten warunek zostanie spełniony.

P

: Zauważyłem, że w zadaniach często pojawiają się ciała poruszające się ze stałą prędkością. Dlaczego tak jest i jak mam sobie radzić z takimi problemami?

O: Istnieje wiele sytuacji, w których

chciałbyś, by ciało poruszało się ze stałą prędkością. Stała prędkość oznacza, że na ciało nie działa żadna siła wypadowa (I zasada dynamiki Newtona) — wystarczy, że zapamiętasz tyle.

będzie równa zeru?

O

: Musisz popchnąć albo pociągnąć ciało z siłą równą sile tarcia. Możesz też nachylić podłoże pod większym kątem, zmniejszając w ten sposób siłę normalną (a tym samym siłę tarcia), by składowa ciężaru ciała równoległa do podłoża nadała mu pewne przyspieszenie.

P

: Czy tocząca się opona doznaje działania takiej samej siły tarcia jak opona ciągnięta po podłożu?

O

: Nie. Tarcie toczne jest znacznie mniejsze niż tarcie kinetyczne, ponieważ ta część opony, która ma kontakt z podłożem, ulega znacznej deformacji.

jesteś tutaj  541

Obnażamy tarcie

Obnażamy tarcie W tym tygodniu poruszamy temat „Jak zmierzyć się z tarciem?”. HeadFirst: Witaj, tarcie. Jesteś dość zagadkową personą, prawda? Nikt do końca nie potrafi powiedzieć, skąd naprawdę się bierzesz. Możesz nas nieco oświecić? Tarcie: To prawda. Ludzie nie mają pojęcia, dlaczego wszędzie się pojawiam, ale przecież najważniejsze, że jestem tutaj. HeadFirst: Czy można powiedzieć, że jesteś nieco zastałe? Zawsze jesteś przeciw!

Tarcie: To również się zgadza. Zawsze przeciwdziałam ruchowi, ale nie należy brać tego do siebie. HeadFirst: I trochę brak ci kierunku w życiu. To znaczy, zawsze zależysz od tego, co zrobią inni. Tarcie: Hmm, z tym też muszę się zgodzić. Ponieważ jestem siłą przeciwdziałającą przyczynom ruchu, muszę czekać z ujawnieniem się do chwili, gdy ciało spróbuje się ruszyć lub faktycznie się ruszy. Ale wystarczy, że zachowasz uwagę, a ta kwestia przestanie stanowić dla ciebie jakikolwiek problem. HeadFirst: Czy to znaczy, że cały czas kryjesz się przy powierzchni, czekając tylko na ujawnienie? Tarcie: Ależ nie! Ja nie istnieję, dopóki ciało nie poruszy się lub nie spróbuje się ruszyć. HeadFirst: Co i rusz wspominasz o tym, że ciało „rusza się lub próbuje się ruszyć”. Co masz na myśli? Tarcie: No cóż, musisz wiedzieć, że mam kilka różnych odmian. Jeżeli ciało już się porusza, przyczynie ruchu przeciwdziała tarcie kinetyczne. HeadFirst: Skąd ta nazwa? Tarcie: „Kinetyczne” oznacza „poruszające się”. HeadFirst: A co, jeśli ciało spoczywa i ktoś spróbuje je poruszyć?

542

Rozdział 12.

Tracie: Wtedy pojawia się tarcie statyczne. Sądzę, że kontakt dwóch nieporuszających się powierzchni trwa po prostu dłużej i dlatego żeby ruszyć ciało z miejsca, trzeba pokonać duże tarcie statyczne. HeadFirst: Ale wartość tarcia kinetycznego nie zależy od prędkości? Tarcie: Prawda. Dlatego wyobrażanie sobie tarcia w postaci „tworzących się i pękających wiązań” może zaciemniać faktyczny obraz sytuacji. HeadFirst: Co łączy cię z siłą normalną? Tarcie: Zastanawiałem się, kiedy pojawi się to pytanie! Mogę przeciwdziałać ruchowi tylko wtedy, gdy dwie powierzchnie faktycznie się z sobą stykają. I im mocniej te powierzchnie dociskają się do siebie, tym większe pojawia się między nimi tarcie. Siła normalna jest miarą tego dociśnięcia. HeadFirst: A w jaki sposób można zmienić siłę normalną?

Tarcie: Jeżeli podłoże jest nachylone do poziomu pod jakimś kątem i na ciało nie działają żadne dodatkowe siły, to siła normalna będzie mniejsza od ciężaru ciała. HeadFirst: Czy tylko kąt nachylenia podłoża wpływa na jej wartość? Tarcie: Nie. Jeżeli na ciało działają jeszcze jakieś, poza ciężarem, siły, to wszystkie ich składowe prostopadłe do podłoża muszą być równoważone przez siłę normalną. HeadFirst: Dlaczego? Tarcie: Skoro ciało nie zapada się w podłoże ani nie odbija się od niego, znaczy to, że nie działa na nie żadna wypadkowa siła prostopadła do tego podłoża. Stąd wynika, że składowe sił prostopadłe do podłoża muszą dawać w sumie zero. Siła normalna ma taką wartość, która umożliwia spełnienie tego warunku.

Poradnia pytań — pytania o tarcie W niektórych zadaniach siła tarcia odgrywa znaczącą rolę. Głównym problemem, z jakim będziesz musiał się w nich zmierzyć, jest wyznaczenie siły normalnej (która pomnożona przez wartość μ daje wartość siły tarcia). Rozwiązywanie zadań tego typu zaczynaj zawsze od narysowania diagramu rozkładu sił. Zwróć uwagę, że w przykładowym zadaniu, które znajdziesz poniżej, wszystkie kroki niezbędne do jego prawidłowego rozwiązania zostały podane w postaci podpunktów zadania. Musisz liczyć się z tym, że w innych zadaniach będziesz musiał wykonać je samodzielnie, gdyż i tak są niezbędne do uzyskania ostatecznej odpowiedzi.

Na ciało poruszające się ze stałą prędkością (lub mające prędkość zero) nie działa żadna siła wypadkowa.

Siła tarcia zawsze przeciwdziała przyczynie ruchu, więc jej wektor jest zwrócony przeciwnie do wektora prędkości.

ę uczepioną stałą prędkością opon ze ie gn cią k ni od w Sznur Za asa opony to 10 kg. M . sa pa go je do e rz na sznu ości 120 cm zaczepiony na wysok j ma 2 m długości i jest ie oponę po sztuczne gn cią k ni od w Za . ią nad ziem niku tarcia μ = 0,8. murawie o współczyn Siła normalna działa prostopadle do podłoża, więc każdy wektor działający w płaszczyźnie innej niż prostopadła lub równoległa do podłoża musi zostać rozłożony na odpowiednie składowe.

jących na oponę. a. Narysuj rozkład sił działa łoża wszystkich sił, które nie stopadłe i równoległe do pod pro e dow skła z nac Zaz b. h. działają w tych płaszczyznac eżną od niej oblicz siłę normalną oraz zal a, łoż pod do łe pad sto pro odnik ciągnie oponę. c. Znając składowe sił od wartości siły F, z którą zaw siłę tarcia. Wynik uzależnij cz wartość siły F. noległe do podłoża, wyzna d. Mając składowe sił rów

Ponieważ wartość siły normalnej zależy od wartości składowych prostopadłych do podłoża (siła normalna musi je zrównoważyć), powinieneś obliczać ją zawsze na końcu.

Skoro prędkość ciała w wybranym kierunku jest stała (lub zerowa), na ciało nie działa w tym kierunku żadna siła wypadkowa, a to oznacza, że wszystkie składowe sił leżące w tej płaszczyźnie muszą się równoważyć.

W czasie rozwiązywania zadań z dynamiki musisz pamiętać, że słowa „stała prędkość” są równoważne ze stwierdzeniem „brak siły wypadkowej”. Zazwyczaj oznacza to, że siła tarcia ma tę samą wartość, co siła wprawiająca ciało w ruch.

543

Kopnij piłkę

Na czym polega kopnięcie piłki? Gra jest prawie ukończona… jednak pracownicy studia SimFutbol chcą, żeby kopnięcia piłki w grze wyglądały możliwie naturalnie. Na podstawie materiałów filmowych określili prędkość piłki kopniętej w kierunku bramki. Żeby kopnięcie w grze wyglądało odpowiednio naturalnie, programiści muszą znać średnią siłę, z jaką zawodnik kopie piłkę.

Zrobiłem kilka stopklatek modelu zawodnika kopiącego piłkę. Mam nadzieję, że to pomoże nam w rozgryzieniu tego problemu.

Tylko jak masz zabrać się do tego zadania, skoro nie znasz przyspieszenia piłki, więc nie możesz skorzystać ze wzoru Fwyp = ma? Kolejne klatki są oddalone od siebie o 2,5 milisekundy.

Tu następuje pierwsze zetknięcie z piłką.

To koniec kontaktu z piłką.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W jaki sposób możesz wykorzystać te rysunki do wyznaczenia siły, z jaką zawodnik kopie piłkę?

544

Rozdział 12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły To proste! Skorzystamy z II zasady dynamiki Newtona: Fwyp = maa. Wiemy, że na piłkę działa niezerowa siła wypadkowa, ponieważ na pierwszej klatce piłka stoi na ziemi, a na następnej już się porusza!

Kuba: Nie tak szybko. Nie znamy wcale przyspieszenia piłki. Wiemy tylko, z jaką prędkością zaczyna lecieć. Franek: Słuszna uwaga. Kuba: Czy zdołamy obliczyć przyspieszenie na podstawie klatek filmu? Krzysiek: Będzie ciężko. Piłka zmienia swój kształt w chwili kopnięcia, a potem powraca do poprzedniej postaci. Nie wiadomo, który jej fragment powinniśmy brać pod uwagę, obliczając przyspieszenie, skoro każdy z nich porusza się nieco inaczej! Franek: Ale na podstawie filmu możemy obliczyć czas, w którym stopa zawodnika pozostaje w kontakcie z piłką. Wydaje mi się, że będzie to około 10 milisekund… może uda się wykorzystać jakoś tę wiedzę.

We wcześniejszym rozdziale wyprowadziłeś II zasadę dynamiki Newtona z zasady zachowania pędu.

Krzysiek: Ej… czekajcie! Przecież II zasada dynamiki Newtona nie ma wcale postaci Fwyp = ma. Newton stwierdził, że jeżeli na ciało działa przez pewien czas określona siła, pęd tego ciała ulega zmianie.

ać Newtona można zapis II zasadę dynamiki też w innej postaci działająca przez

siła tona wypadkowa acza to, że dą dynamiki New pędu tego ciała. Ozn Zgodnie z II zasa o powoduje zmianę ciał e dan na pewien czas u: pęd zmian siła określa tempo (mv) F = t

Kuba: Sugerujesz, że moglibyśmy użyć wzoru Fwypt = p, gdzie p = mv? Świetnie! Pęd piłki to masa × prędkość, a obie te wartości znamy!

pędu. Tempo zmian

a

zmianie. Jeżeli mas a ciała nie ulega ie działania siły mas w postaci: Zazwyczaj w czas ie można zapisać stała. nan rów e yższ jest stała, pow Zmienna m jest v enia się Wektor v zmi F = m t

Franek: A czas obliczymy na podstawie klatek filmu! To przecież właśnie czas działania siły, prawda? Te 10 milisekund?

w czasie.

i

i, czyl v po zmiany prędkośc z już, że t to tem Ale przecież wies : ego możesz zapisać przyspieszenie, dlat F = ma

y posługiwać się w

tona, którą będziem

dy dynamiki New

To postać II zasa książce.

Najbardziej pierwotna postać II zasady dynamiki Newtona to

Fwyp

Δp = Δt

tej

Kuba: Brzmi rozsądnie. Chociaż nie jestem przekonany, czy siła działająca na piłkę jest cały czas taka sama. Jestem pewien, że w połowie kopnięcia zawodnik działa na piłkę z siłą większą niż na początku i na końcu… Krzysiek: Przypominam ci, że mamy obliczyć siłę średnią. Gdy szukaliśmy prędkości średniej, braliśmy pod uwagę tylko początkowe i końcowe położenie ciała. Przypuszczam, że w tym przypadku uwzględnienie całkowitej zmiany pędu pozwoli obliczyć siłę średnią. Franek: Czyli jednak korzystamy z II zasady dynamiki Newtona, co sugerowałem już na początku, tylko zapiszemy ją w innej postaci. Kuba: Tak. Bierzmy się do roboty.

jesteś tutaj  545

Popęd siły

F t to popęd siły Okazuje się, że zdołasz obliczyć wartość siły działającej na piłkę w czasie kopnięcia, tylko musisz posłużyć się nieco inną postacią II zasady dynamiki Newtona, Ft = p. Wartość iloczynu Ft określa się mianem popędu siły, który — zgodnie z podanym przed chwilą równaniem — jest równy zmianie pędu ciała. Gdy natkniesz się na zadanie, które odruchowo chcesz rozwiązywać za pomocą równania Fwyp = ma, a nie znasz wartości przyspieszenia, sprawdź, czy znasz wartości masy i prędkości ciała na początku oraz na końcu ruchu. Stopa pozostaje w kontakcie z piłką przez czas t, wywierając na nią siłę F.

Jeśli wartości te są Ci znane, zdołasz obliczyć zmianę pędu ciała, czyli popęd siły, a stąd już tylko krok dzieli Cię od wyznaczenia wartości siły.

Wytłumacz to jeszcze raz — czym różnią się przyspieszenie, siła, pęd i popęd siły? Wydają mi się dość podobne…

Całkowity pęd układu wszystkich ciał biorących udział w zdarzeniu jest zachowany.

Wielkości te wiąże ze sobą równanie Fwyp = ma.

Jeśli siła działa przez krótki czas, zmiana pędu jest mniejsza niż w przypadku, gdy siła działa dłużej.

Pęd = masa × prędkość Oznaczamy literą p.

Przyspieszenie określa tempo zmiany prędkości ciała. Oznaczamy Siła określa tempo zmiany pędu ciała.

Rozdział 12.

literą F.

Popęd siły to faktyczna zmiana pędu ciała.

Niektórzy ludzie oznaczają popęd siły literą I. Inni w ogóle nie zaprzątają sobie głowy dodatkowymi oznaczeniami.

546

Oznaczamy literą a.

Zmiana pędu p też bywa nazywana popędem, a to oznacza, że możesz zapisać równanie Ft = p.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Zaostrz ołówek a. Programista chce znać średnią siłę kopnięcia piłki. Piłka do futbolu amerykańskiego waży 400 gramów, a na podstawie stopklatek z filmu można określić czas jej kontaktu ze stopą zawodnika na 10 ms (milisekund). Oblicz siłę kopnięcia, jeśli piłka leci pod kątem 45° do płaszczyzny boiska i pokonuje odległość 60 m. Wskazówka: Wektor prędkości jest nachylony pod kątem 45° do poziomu, jeśli obie jego składowe są sobie równe. Wskazówka: Prędkość początkową obliczysz, używając równania ruchu. Jeśli nie będziesz mieć pomysłu na dalsze rozwiązanie, zajrzyj na strony 441 – 442 rozdziału 10. Tamto zadanie było bardzo podobne. Wskazówka: Gdy będziesz już znać początkową wartość prędkości, możesz posłużyć się równaniem FΔt = Δp (pamiętaj, że p = mv).

b. Doświadczenie działania dużej siły wypadkowej jest bolesne! Posługując się pojęciem popędu siły, wyjaśnij, dlaczego zawodnicy futbolu amerykańskiego noszą ochraniacze.

jesteś tutaj  547

Siła średnia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Programista chce znać średnią siłę kopnięcia piłki. Piłka do futbolu amerykańskiego waży 400 gramów, a na podstawie stopklatek z filmu można określić czas jej kontaktu ze stopą zawodnika na 10 ms (milisekund). Oblicz siłę kopnięcia, jeśli piłka leci pod kątem 45° do płaszczyzny boiska i pokonuje odległość 60 m. Wskazówka: Wektor prędkości jest nachylony pod kątem 45° do poziomu, jeśli obie jego składowe są sobie równe. Wskazówka: Prędkość początkową obliczysz, używając równania ruchu. Jeśli nie będziesz mieć pomysłu na dalsze rozwiązanie, zajrzyj na strony 441 – 442 rozdziału 10. Tamto zadanie było bardzo podobne. Wskazówka: Gdy będziesz już znać początkową wartość prędkości, możesz posłużyć się równaniem FΔt = Δp (pamiętaj, że p = mv). Siłę obliczę z równania Ft = p. Najpierw jednak muszę obliczyć prędkość początkową piłki, v0, która pokonuje odległość 60 m. Wektor prędkości początkowej jest nachylony pod kątem 45°, więc v0po = vopi Z tw. Pitagorasa: v02 = v0po2 + v0pi2 v02 = 2v0v2

v0 45° v0po a = -9,81 m/s2

Obliczam czas ruchu z pionowej składowej prędkości, a potem obliczam poziomą składową prędkości, znając czas i pokonaną w nim odległość. Pionowo: vpi = –v0pi ze względu na symetrię ruchu. Skorzystam z tego warunku w równaniu ruchu: Liczba ujemna dzielona przez vpi = v0pi +at

x0 = 0 m x = 60 m Pionowe wektory dodatnie są zwrócone w GÓRĘ. Poziome wektory dodatnie są zwrócone w PRAWO.

t =

Poziomo:

–v0pi – v0pi

Obydwie strony równania pomnóż przez v0pi.

–9,8 m/s2

Rozdział 12.

= 0,204 s2/m v0pi

x - x0 t

v0pi =

0,204 s2/m v0pi

v0pi2 = 294 m2/s2

Tę wartość czasu podstaw do równania na poziomą składową prędkości.

Po obu stronach równania znajduje się zmienna v0pi, więc możesz z niego wyznaczyć jej wartość, a potem policzyć wartość zmiennej v.

60 m – 0 m

v0pi ≈ 17,1 m/s

Z trójkąta o kącie 45° v0 = 2 v0pi

v0 = 2 × 17,1 m/s ≈ 24,2 m/s

Przekształcam równanie FΔt = Δ(mv), żeby wyznaczyć z niego F:

F =

Średnia siła kopnięcia wynosi 970 N z dokładnością do 2 cyfr znaczących.

548

liczbę ujemną daje wynik dodatni.

–2v0pi

=

a

v0po = v0pi =

Wektory v0po i v0pi mają tę samą długość. Trójkąt prostokątny o kącie 45° ma dwa boki równe.

To czas, w jakim noga ma styczność z piłką, a nie czas lotu!

Symetria ruchu pozwala Ci zastąpić każdą zmienną vpi zmienną –v0pi.

v0 = 2 v0pi

v0pi

Δ(mv) Δt

=

0,4 kg × 24,2 m/s = 968 N 10 × 10-3 s Siłę mierzymy w niutonach.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły Nie istnieją

głupie pytania b. Doświadczenie działania dużej siły wypadkowej jest bolesne! Posługując się pojęciem popędu siły, wyjaśnij, dlaczego zawodnicy futbolu amerykańskiego noszą ochraniacze. Gdy poruszasz się z prędkością v, a zawodnik przeciwnej drużyny szarżuje na Ciebie i w efekcie zmienia Twoją prędkość do wartości 0 m/s, Twój moment pędu zmienia się z wartości mv do wartości 0. Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że w tym przypadku FΔt = mv. Jeżeli nie masz na sobie ochraniaczy, całe zdarzenie trwa bardzo krótko. Krótki czas oddziaływania oznacza, że siła musi być duża, więc odczuwany ból jest również duży. Jeżeli nosisz ochraniacze, zdarzenie trwa dłużej, ponieważ ochraniacze muszą się odkształcić. Dłuższy czas trwania zdarzenia oznacza, że wartość F jest mniejsza, a przez to mniejszy jest również ból.

Jeżeli zderzenie trwa dłużej, średnia siła uderzenia jest mniejsza, więc i odczuwany ból jest mniejszy!

P

: Dlaczego ta wielkość ma własną nazwę — popęd siły? Dlaczego nie mówimy po prostu o zmianie pędu?

O: Bo ludzie tak ją nazwali!

Świetnie, że znasz jej pochodzenie i rozumiesz implikacje, ale musisz też znać jej nazwę, by porozumieć się z ludźmi, którzy nazywają ją popędem siły.

P: Ale jeśli wyjaśnię im,

o czym mówię, zrozumieją mnie bez problemów, prawda?

O: Jeżeli na egzaminie lub klasówce

zostaniesz zapytany o popęd siły (jak miało to miejsce w przypadku pytania o ochraniacze), będziesz musiał posługiwać się tą nazwą, więc również wiedzieć, co ona znaczy.

P

: No tak, pytanie o ochraniacze. Przecież ochraniacze są skuteczne dlatego, że pochłaniają część siły uderzenia, więc zanim ono do ciebie dotrze, traci swój impet. Co to ma wspólnego z popędem siły?

O: Powiedziałeś właśnie „zanim

do ciebie dotrze”. O to właśnie chodzi. Jeżeli oddziaływanie trwa dłużej, średnia siła jest mniejsza.

P: Nie rozumiem! O: Uderzenie z dużą siłą

jest bolesne! Gdybyś miał na sobie zbroję, a nie ochraniacze, Twoja ochrona nie odkształciłaby się. Zderzenie w zbroi trwałoby dokładnie tyle samo czasu, co zderzenie bez jakiejkolwiek osłony i byłoby tak samo bolesne.

Hej… chyba skończyliśmy! Teraz zawodnicy podają sobie piłkę, szarżują, ciągną oponę i kopią. I żaden z nich nie ślizga się bez końca. Świecie X-Force Games — nadchodzimy!

jesteś tutaj  549

Futbol księżycowy

Gra działa doskonale, ale pojawiły się zmiany w specyfikacji! Udało Ci się pomóc programistom z SimFutbol stworzyć grę o wysokim poziomie realizmu i dużej grywalności! Gratulacje! Zanim jednak udało Ci się odebrać przepustki dla VIP-ów, dyrektor studia spróbował sam zagrać w futbol i stwierdził, że trzeba dodać jeszcze jeden tryb rozgrywki — na Księżycu!

Mam złe wieści. Szef chce grać na Księżycu! Mam nadzieję, że nie będziemy musieli wprowadzać zbyt wielu zmian. Bardzo zależy mi na tej wycieczce!!

Przyciąganie grawitacyjne na Księżycu jest mniejsze niż na Ziemi Księżyc jest mniejszy i lżejszy od Ziemi, więc przyciąga wszystkie ciała w pobliżu swojej powierzchni z mniejszą siłą, a to oznacza, że wartość przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu też jest mniejsza. Musisz zastanowić się, jak taka zmiana wpłynie na ruch gracza. Gracze będą rozgrywać mecz pod kopułą ciśnieniową wypełnioną powietrzem, więc nie musisz kłopotać się żadnymi kwestiami medycznymi.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak zmiana grawitacji na księżycową wpłynie na kształt rozgrywki (jeśli w ogóle)?

550

Rozdział 12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Zaostrz ołówek Które z aspektów gry ulegną zmianie w wyniku przeniesienia rozgrywki na Księżyc, a które pozostaną takie same? Twórcy SimFutbol sformułowali już kilka założeń dotyczących gry, a teraz proszą o Twoją ocenę ich poprawności. Jeśli uważasz, że dane zdanie jest poprawne, a kryjące się za nim przemyślenia właściwe, wyjaśnij swoją opinię w języku fizyki. Jeżeli zdanie jest niepoprawne, albo niepoprawne jest jego uzasadnienie, obal mit, posługując się odpowiednim rozumowaniem fizycznym, a jeśli potrafisz — poprzyj swoje przemyślenia wzorami. a. Piłka rzucona poziomo poleci dalej, ponieważ jej ciężar jest teraz mniejszy, więc łatwiej ją rzucić.

b. Piłka rzucona poziomo poleci dalej, ponieważ jej ciężar jest teraz mniejszy, więc spędza więcej czasu w powietrzu.

c. Piłka rzucona poziomo poleci dalej, ponieważ przyspieszenie grawitacyjne jest mniejsze.

d. Tarcie w grze będzie mniejsze, więc zawodnicy będą ślizgali się na większą odległość.

e. Szarża będzie wymagała mniejszej siły, ponieważ ciężar zawodników jest mniejszy.

f. Optymalny kąt kopnięcia piłki zmieni się z 45° na inną wartość, ponieważ ciężar piłki jest mniejszy.

g. Piłka w chwili kopnięcia będzie miała większą prędkość, ponieważ jej ciężar jest mniejszy.

h. Gdy zawodnik zderzy się ze słupem bramki, odczuje mniejszy ból, gdyż jego ciężar jest teraz mniejszy.

jesteś tutaj  551

Gramy na Księżycu?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Które z aspektów gry ulegną zmianie w wyniku przeniesienia rozgrywki na Księżyc, a które pozostaną takie same? Twórcy SimFutbol sformułowali już kilka założeń dotyczących gry, a teraz proszą o Twoją ocenę ich poprawności. Jeśli uważasz, że dane zdanie jest poprawne, a kryjące się za nim przemyślenia właściwe, wyjaśnij swoją opinię w języku fizyki. Jeżeli zdanie jest niepoprawne, albo niepoprawne jest jego uzasadnienie, obal mit, posługując się odpowiednim rozumowaniem fizycznym, a jeśli potrafisz — poprzyj swoje przemyślenia wzorami. a. Piłka rzucona poziomo poleci dalej, ponieważ jej ciężar jest teraz mniejszy, więc łatwiej ją rzucić. Nie — złe uzasadnienie! Piłka ma nadal tę samą masę. Siłę rzutu poziomego opisuje wzór Fwyp = ma, a stąd wynika, że przyspieszenie (więc również prędkość) zależą wyłącznie od masy piłki, a nie od jej ciężaru.

b. Piłka rzucona poziomo poleci dalej, ponieważ jej ciężar jest teraz mniejszy, więc spędza więcej czasu w powietrzu. Prawda. Zmiana prędkości piłki w pionie jest związana z jej ciężarem. Ciężar piłki na Księżycu jest mniejszy. Piłka poleci dalej, ponieważ będzie miała więcej czasu na przemieszczenie się w poziomie.

c. Piłka rzucona poziomo poleci dalej, ponieważ przyspieszenie grawitacyjne jest mniejsze. Tak. To inny sposób wyrażenia uzasadnienia punktu b.

d. Tarcie w grze będzie mniejsze, więc zawodnicy będą ślizgali się na większą odległość. Tak. Ponieważ przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jest mniejsze niż na Ziemi, ciężar zawodników też będzie mniejszy, a przez to zmaleje siła normalna. Ponieważ tarcie zależy od wartości siły normalnej, jego wartość też zmaleje, przez co zawodnicy będą bardziej się ślizgać.

e. Szarża będzie wymagała mniejszej siły, ponieważ ciężar zawodników jest mniejszy.

Nie. II zasada dynamiki Newtona głosi, że Fwyp = ma. Szarża przebiega w poziomie, więc ciężar zawodnika nie ma nic wspólnego z siłą oddziaływania na drugiego zawodnika (miałby, gdyby szarże odbywały się w pionie!). f. Optymalny kąt kopnięcia piłki zmieni się z 45° na inną wartość, ponieważ ciężar piłki jest mniejszy. Nie. Optymalny kąt kopnięcia wynosi 45° na dowolnie wybranej planecie!

g. Piłka w chwili kopnięcia będzie miała większą prędkość, ponieważ jej ciężar jest mniejszy. Nie. FΔt = Δ(mv). Nie zmieniają się ani siła, ani masa, ani czas kontaktu, więc prędkość musi pozostać taka sama.

h. Gdy zawodnik zderzy się ze słupem bramki, odczuje mniejszy ból, gdyż jego ciężar jest teraz mniejszy.

Nie. Uzasadnienie jest identyczne, jak w punktach a, e i g. Na ruch odbywający się w poziomie ma wpływ masa, a nie ciężar.

552

Rozdział 12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Żeby zwiększyć realizm rozgrywki, zawodnicy powinni czasami się poślizgnąć Programiści SimFutbol zdołali szczęśliwie zakończyć pracę nad trybem rozgrywki księżycowej, ale zdecydowali, że gra potrzebuje jeszcze jednego elementu. W tej chwili zawodnicy mogą bez żadnych problemów skręcać pod dowolnie ostrymi kątami i zmieniać kierunek ruchu zupełnie dowolnie. Wiadomo, że w prawdziwym świecie takie manewry zakończyłyby się poślizgnięciem.

Tryb księżycowy to strzał w dziesiątkę! Cała gra jest doskonała… nawet zbyt doskonała. Dobrze byłoby, żeby zawodnicy ślizgali się, gdy próbują zbyt gwałtownie zmienić kierunek ruchu.

Co sprawia, że człowiek czasami się poślizgnie, a w zasadzie, co sprawia, że człowiek w ogóle jest w stanie zmienić kierunek ruchu? Zmiana kierunku zawsze wiąże się ze zmianą wektora prędkości. Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że aby mogła pojawić się zmiana prędkości, na ciało musi zadziałać siła wypadkowa. Ale skąd bierze się siła, która pozwala zawodnikowi zmienić kierunek ruchu?

Zaostrz ołówek a. Skoro zawodnik zmienia kierunek ruchu, czyli także wektor swojej prędkości, musi działać na niego siła wypadkowa skierowana tak samo, jak wektor zmiany prędkości. Wyjaśnij, skąd bierze się ta siła i dlaczego w życiu zawodnik ryzykuje poślizgnięciem.

b. Opisz, jak zdecydowałbyś, czy w danej sytuacji zawodnik poślizgnie się, czy nie.

jesteś tutaj  553

Efekt tarcia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Skoro zawodnik zmienia kierunek ruchu, czyli także wektor swojej prędkości, musi działać na niego siła wypadkowa skierowana tak samo, jak wektor zmiany prędkości. Wyjaśnij, skąd bierze się ta siła i dlaczego w życiu zawodnik ryzykuje poślizgnięciem. Zawodnik może zmienić kierunek ruchu, ponieważ pomiędzy jego stopami a podłożem, po którym biega, pojawia się tarcie. Skoro zawodnik wywiera stopami pewną siłę na podłoże, ono reaguje, działając taką samą siłą o przeciwnym zwrocie na jego stopy. To III zasada dynamiki Newtona opisująca akcję i reakcję. Jeśli siła wymagana do zmiany kierunku jest mniejsza niż siła tarcia, zawodnik poślizgnie się.

b. Opisz, jak zdecydowałbyś, czy w danej sytuacji zawodnik poślizgnie się, czy nie. Obliczyłbym zmianę pędu zawodnika, jaka pojawia się ze zmianą kierunku ruchu. Następnie obliczyłbym maksymalną siłę tarcia (zależną od ciężaru zawodnika, siły normalnej i podłoża, na którym toczy się gra). FΔt = Δp. Skorzystałbym z wyznaczonych wcześniej wartości F i Δp, żeby obliczyć czas, przez jaki stopa zawodnika musi mieć kontakt z podłożem, żeby zapewnić mu odpowiednie tarcie. Zastanowiłbym się, czy udzielona odpowiedź ma sens.

Tylko tarcie może sprawić, że zdołasz zmienić kierunek ruchu w poziomie na płaskim podłożu Jeśli starasz się zmienić kierunek ruchu w poziomie na płaskim podłożu, z pomocą przyjdzie Ci tylko siła tarcia. Tylko ono może zapewnić siłę niezbędną do zmiany pędu. Bez tarcia poślizgnąłbyś się przy każdej próbie zmiany kierunku (chyba że miałbyś pod ręką ścianę lub inna przeszkodę, od której mógłbyś się odepchnąć).

554

Rozdział 12.

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

Zmiana kierunku ruchu zajmuje na każdym z rysunków tyle samo czasu.

Duża prędkość. Siła konieczna do zmiany kierunku ruchu.

Siła wywierana przez krawędź na stopę.

Mała prędkość. To oparcie, od którego możesz Siła konieczna się odepchnąć. do zmiany kierunku ruchu.

Siła wywierana przez stopę na krawędź.

Duża prędkość. Siła konieczna do zmiany kierunku ruchu.

Siła tarcia działająca na stopę.

Siła tarcia działająca na stopę.

Ta prędkość zmniejsza się, ale nie na tyle, by pozwolić na zmianę kierunku, więc wpadasz w poślizg.

Siła wywierana przez stopę, równoległa do płaszczyzny podłoża.

Dzięki! Sam nie dałbym sobie z tym wszystkim rady.

Siła wywierana przez stopę, równoległa do płaszczyzny podłoża.

Jeżeli chcesz zmienić kierunek ruchu na inny RÓWNOLEGŁY do podłoża, tylko tarcie może zapewnić Ci siłę potrzebną na przeprowadzenie tego manewru.

Gra jest świetna, a wyprawa do parku X-Force zapowiada się rewelacyjnie! Gra SimFutbol odniosła wielki sukces! Dzięki fizyce zdołaliście przenieść mecz piłki na ekrany komputerów. Wszystkie modele zachowują się zgodnie z oczekiwaniami — na Ziemi i na Księżycu!

jesteś tutaj  555

Zasady dynamiki Newtona

Zasady dynamiki Newtona dają Ci prawdziwą moc Wszystkie zadania, w których pojawiają się siły, rozwiążesz za pomocą zasady zachowania pędu, rozkładania sił na składowe i z użyciem zasad dynamiki Newtona. Podstawowa zasada, której możesz dowieść doświadczeniem.

Całkowity pęd układu jest zachowany.

Newton I: Ciała są stateczne. To wynika z zasady zachowania pędu.

To wynika z zasady zachowania pędu.

Newton II: Fwyp = ma

Stała prędkość (lub brak prędkości) oznacza brak siły wypadkowej.

Narysuj DIAGRAM ROZKŁADU SIŁ, żeby określić kierunek wektora siły wypadkowej.

Newton III: Pchnij mnie, a ja pchnę Ciebie.

Siły działające w reakcji na siebie mają tę samą wartość, ale przeciwne zwroty, i działają na inne ciała.

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Na początku zawsze rysuj rozkład sił

działających na ciało. ‹Zaznacz wszystkie siły. ‹Czy na ciało działa siła wypadkowa? ‹Oblicz siły, których nie znasz.

556

Rozdział 12.

‹Posłuż się równaniem Fwyp = ma,

żeby opisać ruch ciała.

‹Pamiętaj o popędzie siły — z II zasady

dynamiki Newtona FwypΔt = Δp. ‹Całkowity pęd układu

jest zachowany!

O posługiwaniu się siłami, pędem, tarciem oraz popędem siły

j je jednostki spadanie

przyspieszenie

wykres

skalar punkty szczególne

doświadczenie ciężar

siła

Teraz umiem już radzić sobie z tarciem, a to wcale nie hamuje mojego rozwoju!

składowa

czas

Pitagoras

zachowanie pędu

podstawienie i i

równania ruchu

popęd siły

Bądź częścią problemu

równanie

stałe przyspieszenie

notacja naukowa przemieszczenie

siła normalna

wektor

szybkość

droga trygonometria prędkość

tarcie

objętość diagram rozkładu sił

symetria

prawa Newtona

nachylenie

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

masa

Tarcie

Siła kontaktowa przeciwdziałająca przyczynie ruchu.

Popęd siły

Popęd siły jest równy zmianie pędu ciała, Fwyp t. Popęd siły oznacza się czasami symbolem I.

jesteś tutaj  557

Niezbędnik fizyka

ROZDZIA 12.

Niezbędnik fizyka Masz już za sobą rozdział 12., więc możesz dodać do swojego niezbędnika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające sprawdzać poprawność odpowiedzi.

Siły i równania ruchu

ać zadanie, Zanim zaczniesz rozwiązyw ziałuje w nim zastanów się, ile ciał odd ze sobą. się tylko Jeżeli w zadaniu pojawia jdziesz zna ie jedno ciało, rozwiązan c się ują ług najprawdopodobniej, pos hu. którymś z równań ruc e pojawia się Jeśli jednak oddziaływani większą między dwoma ciałami lub aniu pojawiają ich liczbą albo jeśli w zad siłach, się wzmianki o działających ad dynamiki musisz odwołać się do zas a pędu lub Newtona, zasady zachowani entualnie równania na popęd siły (ew az). skorzystać z wszystkich nar

Zadania wymagające obliczenia przyspieszenia ciała (lub jego prędkości) rozwiązuje się zazwyczaj, korzystając z II zasady dynamiki Newtona (zapisywanej najczęściej w postaci Fwyp = ma, choć czasami przydaje się również postać Fwypt = p).

Obliczanie tarcia

Obliczone w ten sposób wartości możesz podstawić do równania ruchu, określając, jak porusza się ciało pozostające pod działaniem konkretnej siły.

Tarcie, jakie pojawia się na styku powierzchni ciała i podłoża, zależy od siły normalnej i współczynnika tarcia, μ, dla substancji, z których wykonane jest ciało i podłoże.

Siła normalna Obliczając wartość siły normalnej w zadaniach poruszających problem tarcia (czy też w dowolnych innych), musisz zachować ogromną ostrożność. Siła normalna jest prostopadła do podłoża, na którym znajduje się ciało. Dopóki ciało pozostające w kontakcie z podłożem nie przyspiesza w kierunku prostopadłym do tego podłoża, można stwierdzić, że siła normalna ma wartość pozwalającą zrównoważyć wszystkie inne siły działające w tym kierunku.

558

Ile ciał?

Rozdział 12.

Ft = μFN „Stała prędkość” Jeżeli ciało porusza się ze stałą prędkością, nie działa na nie żadna siła wypadkowa. Żeby rozwiązać zadanie, w którym ciało porusza się w ten sposób, musisz rozłożyć działające na nie siły i sprawdzić, w jaki sposób mogą się one równoważyć.

 / -  

Chwila uniesienia Uwielbiam podnieść swoją energię potencjalną grawitacji i móc się trochę popisać.

Fizyka pozwala dokonywać nadludzkich czynów. W tym rozdziale dowiesz się, jak wykorzystać moment siły, by za pomocą dźwigni dać pokaz niezwykłej siły. Ale jak wiadomo, na świecie nie ma nic za darmo — energia musi być zachowana, więc praca, jaką musisz wykonać, by nadać ciału energię potencjalną grawitacji, będzie zawsze taka sama.

to jest nowy rozdział 559

Miecz w kamieniu

Pół królestwa dla tego, kto zdoła unieść miecz uwięziony w kamieniu… Miecz w kamieniu obrósł przez wiele wieków legendą. Nagle okazało się, że każdy może zmierzyć się z tym niemalże mitycznym zadaniem. Są oczywiście pewne zasady, ale to nie plotka, że zwycięzca dostanie w nagrodę pół królestwa.

MIECZ W KAMIENIU — ZASADY KTO ZDOŁA UNIEŚĆ MIECZ ZATOPIONY W KAMIENIU, DOSTANIE W NAGRODĘ POŁOWĘ KRÓLESTWA.

Cały jelec musi znaleźć się ponad górną linią. Jelec.

Kamień.

JELEC MIECZA MUSI UNIEŚĆ SIĘ NA WYSOKOŚĆ LINII OZNACZONEJ NA MURZE LUB WYŻEJ. PRÓBĘ MOŻE PODJĄĆ TYLKO JEDNA OSOBA NARAZ. KAŻDY CHĘTNY MOŻE STANĄĆ W SZRANKI TYLKO DWA RAZY W ŻYCIU.

560

Rozdział 13.

Moment siły i praca

Czy fizyka może okazać się przydatna podczas podnoszenia ciężkich przedmiotów? Jelec miecza musi unieść się o co najmniej 10,0 cm. Po pokonaniu tej drogi znajdzie się na wysokości linii granicznej. W zasadach nie ma jednak ani słowa na temat tego, czy miecz ma być w chwili uniesienia wyciągnięty z kamienia, czy nie. Pewnie chodziło im o to, żeby podnieść sam miecz.

Miecz.

Cały jelec musi znaleźć się ponad tą linią.

Ukryta furtka — można unieść miecz WRAZ z kamieniem.

Kamień.

Wygrasz, jeżeli korzystając z zasad fizyki, zdołasz unieść miecz i kamień na wysokość 10,0 cm ponad ziemię. Kłopot polega na tym, że kamień jest zbyt ciężki, by uniosła go jedna osoba, a przecież nie możesz zabrać go na Księżyc, żeby zmniejszyć jego ciężar, czy użyć dźwigu, który nie został przecież jeszcze wynaleziony…

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Przypomnij sobie wszystko to, czego nauczyłeś się do tej pory. Zastanów się, w jaki sposób możesz podnieść miecz i kamień?

jesteś tutaj  561

Na czym to polega?

Jeżeli uda się nam podnieść miecz i kamień, będziemy bogaci! Musimy tylko zastanowić się, jak przemieszczać przedmioty, które są zbyt ciężkie, by mogła podnieść je jedna osoba.

Kuba: Jak się za to zabierzemy? Jak wykorzystać fizykę do podniesienia ciężkiego przedmiotu? Na czym to polega…? Krzysiek: Może zadajemy sobie złe pytanie. Może „jak ludzie podnoszą ciężkie przedmioty” to niewłaściwy kierunek poszukiwań. Mówiąc o podnoszeniu, zakładasz, że na ciało zadziała pionowo w górę siła równa co najmniej ciężarowi ciała. Może powinniśmy zastanowić się raczej nad tym, jak można przyłożyć do ciała dużą siłę. Franek: Doskonały pomysł. Kuba: Ale… jak możesz twierdzić, że siła o wartości równej ciężarowi zdoła unieść kamień? Czy nie powinniśmy przyłożyć do niego większej siły, żeby ruszyć go z miejsca?

Naciśnij długi koniec.

Łom. Łom obraca się wokół punktu podparcia, który dotyka ziemi.

Przedmiot, na który chcesz zadziałać siłą.

Rozdział 13.

Kuba: Racja, zupełnie zapomniałem o pomysłach Newtona. Czyli jeżeli uda się nam jakimś cudem zadziałać siłą równą ciężarowi miecza i kamienia, damy radę wykonać zadanie? Franek: Wracamy do problemu, jak zadziałać na ciało dużą siłą. Na czym

Krótki koniec to polega? dokonuje zniszczeń.

Gdy nie możesz znaleźć odpowiedzi na pytanie „na czym to polega?”, postaraj się myśleć bardziej ogólnie. Zastanów się „Jak mogę zadziałać większą siłą?” zamiast myśleć „Jak mam podnieść ciężki przedmiot?”. 562

Krzysiek: Gdy już ruszysz miecz z kamieniem z miejsca (za pomocą siły niewiele większej od ciężaru), do dalszego podnoszenia nie będziesz potrzebować siły większej od ciężaru. Najwydajniejszą metodą jest unoszenie go za pomocą równej siły. Bez działania siły wypadkowej układ będzie podnosić się ze stałą prędkością.

Kuba : Cóż, gdybyś chciał otworzyć zamknięte drzwi bez użycia klucza, powinieneś je wyważyć. Pewnie użyłbyś łomu, bo dzięki niemu możesz zadziałać siłą na tyle dużą, by wyłamać zamek lub zniszczyć drzwi. Krzysiek: Jak to działa!? Łom ma chyba długą rączkę i krótkie zagięcie… a to znaczy, że można użyć go jako dźwigni. Naciskasz na długie ramię, a krótkie wyrządza duże szkody! Kuba: Prawda. Zniszczenia są dużo większe niż te, których mógłbyś dokonać, działając ręcznie tą siłą. Nie wiem dlaczego, ale siła, którą krótsze ramię dźwigni wywiera na ciało, jest znacznie większa, niż siła, z którą działasz na dłuższe ramię. Franek: To może uda się nam zmontować dźwignię z długim ramieniem z jednej strony i krótkim z drugiej, tak żeby zadziałać na kamień z mieczem dużą siłą. Takie urządzenie powinno dać się obsłużyć własnoręcznie. Chyba jesteśmy na właściwym tropie…

Moment siły i praca

Zamień dźwignią małą siłę na dużą Jedna osoba nie zdoła wytworzyć odpowiednio dużej siły, by podnieść własnoręcznie kamień i miecz — są zbyt ciężkie. Dźwignią będziesz w stanie wytworzyć większą siłę niż ta, którą zadziałałbyś na kamień i miecz, próbując chwycić je i unieść. Możesz wykorzystać fizykę do zwiększenia siły, którą działasz.

Na końcu krótkiego ramienia dostaniesz dużą siłę.

Długie ramię. Zadziałaj pewną siłą na końcu długiego ramienia.

Krótkie ramię.

Punkt podparcia.

Dźwignia budową przypomina nieco huśtawkę — jest to sztywny pręt mogący obracać się wokół punktu podparcia (albo osi obrotu). Gdy naciśniesz jeden koniec dźwigni, drugi uniesie się w górę. Fizycy nazywają te końce ramionami. Jeżeli ramiona dźwigni są różnej długości, to naciskając koniec długiego ramienia, zdołasz uzyskać dużą siłę na końcu krótkiego ramienia.

Użyj dźwigni, by uzyskać siłę większą niż własna.

Tylko jak dużej siły będziesz potrzebować, żeby unieść kamień z zatopionym w nim mieczem? Ramiona dźwigni w niczym nie przypominają Twoich ramion — nie zdołasz poruszyć jednego, bez ruszenia drugiego.

Zaostrz ołówek Miecz tkwi w granitowym kamieniu. Sprawdziliśmy w tablicach i wiemy, że 1 cm3 granitu ma masę 2,680 grama. a. Wymiary kamienia to 1,0000 m na 0,8100 m na 0,6900 m. Jaka jest masa kamienia?

Wskazówka: Uważaj na jednostki!

b. Masa miecza to 2,2 kg. Jakiej minimalnej siły trzeba, by unieść kamień i miecz?

jesteś tutaj  563

Jaka masa?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Miecz tkwi w granitowym kamieniu. Sprawdziliśmy w tablicach i wiemy, że 1 cm3 granitu ma masę 2,680 grama. a. Wymiary kamienia to 1,0000 m na 0,8100 m na 0,6900 m. Jaka jest masa kamienia? Obliczę objętość kamienia w cm3 i pomnożę przez 2,680 g, żeby uzyskać masę całej bryły: Najlepiej jest podawać odpowiedzi w głównych jednostkach układu SI, w tym przypadku w kilogramach.

Objętość: V = 100,0 cm × 81,0 cm × 69,0 cm = 558900 cm3 Masa:

m = 558900 cm3 × 2,68 g/cm3 = 1497852 g ≈ 1498 kg

b. Masa miecza to 2,2 kg. Jakiej minimalnej siły trzeba, by unieść kamień i miecz? Masa całkowita: mc = 1498 kg + 2,2 kg = 1500 kg Minimalna siła niezbędna do uniesienia kamienia z mieczem jest równa ich ciężarowi. Ciężar:

Uważaj i nie pomyl „g” – jednostki (gramy) z „g” – przyspieszeniem ziemskim!

P

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Założyliśmy, że do uniesienia kamienia z mieczem potrzeba siły równej ich ciężarowi, ale przecież z pewnością siła ta powinna być nieco większa.

: Oba końce dźwigni nazwaliśmy ramionami, ale to zdaje się sugerować, że powinny poruszać się niezależnie od siebie (tak jak moje ramiona).

O: I zasada dynamiki Newtona

: Określenie „ramię dźwigni” to termin fizyczny. Każdy koniec dźwigni to jedno ramię, ale ponieważ są ze sobą połączone, nie mogą poruszać się niezależnie.

stwierdza, że jeżeli na ciało nie działa siła wypadkowa, ciało będzie poruszało się ze stałą prędkością. Dlatego najbardziej wydajną metodą podniesienia czegokolwiek jest zadziałanie na to ciało przez krótką chwilę siłą odrobinę większą od jego ciężaru. W ten sposób nadamy ciału małą prędkość skierowaną w górę. Potem możemy podnosić je siłą równą ciężarowi, a ciało będzie poruszało się ze stałą prędkością.

P

: Czyli siła MUSI być większa od ciężaru!

O: Tak, ale niewiele i jedynie przez krótką

chwilę, tak by wprawić ciało w ruch. Możesz przyjąć z dobrym przybliżeniem, że siła unoszenia ma być równa ciężarowi ciała (z dodatkowym „szturchnięciem” na rozruch).

564

Rozdział 13.

Zerowa siła wypadkowa (ciężar + siła unoszenia) oznacza, że będziesz podnosić kamień z mieczem ze stałą prędkością — z I zasady dynamiki Newtona.

Q = mg = 1500 kg × 9,8 m/s2 = 14700 N

O

P

: Cały projekt maszyny wygląda jak duża huśtawka — dwa ramiona, punkt podparcia… W jaki sposób ma to zwiększyć siłę wywieraną na jednym z końców? Wszyscy wiedzą, że do zrównoważenia huśtawki potrzeba dwóch identycznych mas, czyli takiej samej siły na każdym z końców.

O

: Gdy na huśtawce siada dorosły z dzieckiem, nadal można uzyskać równowagę. Dorosły musi przesunąć się w kierunku punktu podparcia. Ciężar dziecka jest mniejszy, więc działa ono na ramię huśtawki z mniejszą siłą niż dorosły, który jest cięższy, a jednak udaje się zachować równowagę.

P

: No dobrze, ale ramiona huśtawki mają nadal tę samą długość, prawda?

O

: Tak, ale odległość między dorosłym a punktem podparcia ulega zmianie. Dzięki temu dziecko o małej masie może zadziałać na ramię siłą zdolną unieść większą masę dorosłego (równoważąc huśtawkę i dając małego „kuksańca” na rozpęd). To samo chcemy zrobić z mieczem i kamieniem.

P

: Czy chodzi o to, że po uzyskaniu równowagi przez dziecko i dorosłego na huśtawce można by odpiłować część ramienia za dorosłym i dostać dźwignię o różnych długościach ramion, jak ta, o której mówiliśmy?

O

: Właśnie o to chodzi! Chociaż musisz liczyć się z tym, że trzeba by było nieco przesunąć dorosłego, żeby skompensować utratę masy uciętego ramienia.

Przeprowadź doświadczenie, które odpowie na pytanie, gdzie umieścić punkt podparcia

Na długim ramieniu układasz piramidę kamieni o łącznej masie 150 kg.

Moment siły i praca

Gdzie powinien znaleźć się punkt podparcia, żeby zrównoważyć dźwignię?

Jeżeli do podniesienia kamienia z mieczem posłużymy się dźwignią, mała siła przyłożona do jej dłuższego ramienia przełoży się na większą siłę uzyskaną na końcu krótszego ramienia. Jeden rzut oka na stronę internetową Bitwo-Polu wystarczy, żeby przekonać się, że mają w ofercie dziesięć kamieni o masie 15 kg dających układać się w stosy. Łącznie mamy do dyspozycji masę 10 × 15 kg = 150 kg, którą można umieścić na dłuższym ramieniu dźwigni. Ale w którym miejscu należy umieścić punkt podparcia? Zasady mówią, że wolno Ci podjąć próbę tylko dwa razy w życiu! Zanim w ogóle zbliżymy się z dźwignią do kamienia i miecza, musimy upewnić się, że punkt podparcia wypadnie we właściwym miejscu. Pora zaprojektować doświadczenie!

Zaostrz ołówek

Nie przejmuj się tym, że nie wiesz do końca, czym są niektóre z tych przedmiotów. Postaraj się wywiązać z zadania najlepiej, jak potrafisz!

Mała siła przyłożona do dłuższego ramienia może zrównoważyć dużą siłę działającą na krótsze ramię.

Zaprojektuj doświadczenie, które pozwoli Ci określić związek pomiędzy siłami działającymi na końce ramion dźwigni a odległością każdego z punktów przyłożenia sił od punktu podparcia. Siły mają zrównoważyć dźwignię. a. Podkreśl te z wypisanych przyrządów, które będą Ci potrzebne do zbierania danych: stoper, metalowa linijka, waga, kątomierz, taśma klejąca dwustronna, pipeta, trójkątny słupek, tor powietrzny, zestaw odważników o identycznych masach. b. Poniżej znajduje się szkic stołu doświadczalnego. Narysuj na nim schemat układu doświadczalnego, oznacz na nim punkt podparcia oraz wszystkie siły i odległości istotne dla doświadczenia.

Stół doświadczalny.

c. Opisz przebieg doświadczenia.

jesteś tutaj  565

Projektowanie doświadczenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Zaprojektuj doświadczenie, które pozwoli Ci określić związek pomiędzy siłami działającymi na końce ramion dźwigni a odległością każdego z punktów przyłożenia sił od punktu podparcia. Siły mają zrównoważyć dźwignię. a. Podkreśl te z wypisanych przyrządów, które będą Ci potrzebne do zbierania danych: stoper, metalowa linijka, waga, kątomierz, taśma klejąca dwustronna, pipeta, trójkątny słupek, tor powietrzny, zestaw odważników o identycznych masach. b. Poniżej znajduje się szkic stołu doświadczalnego. Narysuj na nim schemat układu doświadczalnego, oznacz na nim punkt podparcia oraz wszystkie siły i odległości istotne dla doświadczenia. Ciężar 2 Ciężar 1

Punkt podparcia (trójkątny słupek)

Masa 1 Odległość 1

Masa 2

Metalowa linijka

Odległość 2

c. Opisz przebieg doświadczenia. Dźwignię wykonam z trójkątnego słupka (punkt podparcia) i metalowej linijki (ramiona). Umieszczę punkt podparcia w połowie linijki, tak by ramiona dźwigni pozostawały w równowadze, a następnie zacznę układać na ramionach odważniki w różnych odległościach od punktu podparcia. Odważniki będę układać w słupek, żeby cała masa naciskała na jeden punkt. Do każdego przykleję nieco taśmy dwustronnej, aby zapobiec ześlizgiwaniu się odważników z ramion dźwigni. Zacznę od umieszczenia jednego odważnika na końcu jednego z ramion i upewnię się, że umieszczenie drugiego w identycznej odległości od punktu podparcia zapewni dźwigni równowagę. Następnie na jednym z ramion dołożę drugi odważnik i postaram się przesunąć oba tak, by znaleźć punkt, w którym zrównoważą pojedynczą masę, leżącą na końcu drugiego ramienia. Powtórzę ten krok dla trzech i więcej odważników. Sporządzę tabelę wyników (masa 1, odległość 1, masa 2, odległość 2) i poszukam łączącej je zależności.

Sporządziłem inny układ doświadczalny, ale chyba dostanę punkty, jeżeli moja metoda też działa?

Dostaniesz punkty za każdy poprawnie zaprojektowany układ. Dość często zdarza się, że pytania egzaminacyjne polegające na projektowaniu eksperymentów nie mają odpowiedzi w kluczu. Dostaniesz do dyspozycji duży wybór sprzętu, więc może się okazać, że istnieje kilka sposobów na sprawdzenie zależności, którą polecono Ci zbadać. Sprawdzający przyzna Ci punkty, jeśli dobrze opiszesz przebieg doświadczenia i narysujesz przejrzysty, dobrze podpisany szkic układu, a proponowane przez Ciebie rozwiązanie będzie działać.

566

Rozdział 13.

Gdy przyjdzie Ci projektować doświadczenie, zawsze rozważ, do czego mogą PRZYDAĆ SIĘ poszczególne przyrządy wymienione w spisie.

Moment siły i praca Większą masę położyliśmy na prawym ramieniu dźwigni, ponieważ na poprzedniej ilustracji kamień z mieczem znajduje się po prawej stronie dźwigni.

Spróbuj! Teraz możesz zabrać się za przeprowadzenie doświadczenia! Musisz znaleźć punkty równowagi linijki dla różnych mas umieszczanych na jej ramionach. Odważnikami będzie pięć ciężkich monet o identycznych nominałach. Ciężar monety zapisany w jednostkach układu SI nie będzie Ci potrzebny, ponieważ możesz posłużyć się własną jednostką „ciężarem monetarnym”! Przyklej do stołu długopis z okrągłą oprawką — będzie Twoim punktem podparcia. Ułóż na nim linijkę w taki sposób, by długopis był zawsze w jej połowie. Na końcu jednego z ramion połóż jedną monetę, a następnie przesuwaj stos pozostałych monet wzdłuż drugiego ramienia, dopóki nie zrównoważysz równi. Za pomocą skali na linijce określ odległości od środka każdego stosu monet do punktu podparcia i uzupełnij poniższą tabelkę.

Jednostką siły może być „ciężar monetarny”, ponieważ wszystkie monety mają taką samą masę.

Pojedyncza moneta ma leżeć cały czas na końcu tego ramienia.

Odległość 1

Przesuwaj stos monet w obie strony, dopóki nie zrównoważysz dźwigni.

Odległość 2

F1

F2 Punkt podparcia ma być cały czas pośrodku linijki.

Siła 1 [ciężar monetarny]

Siła 2 [ciężar monetarny]

Odległość 1 [cm]

1

1

15

1

2

15

1

3

15

1

4

15

Odległość 2 [cm]

Jako dźwigni użyj linijki o długości 30 cm (lub dłuższej).

Ustaliliśmy wartość parametru „odległość 1” na 15 cm, ponieważ jest to połowa linijki o długości 30 cm. Jeżeli Twoja linijka ma inną długość, zmień wartości z tej kolumny na liczbę będącą połową długości Twojej linijki.

Czy widzisz jakiś wzór? Zapisz wszystkie uwagi dotyczące sił i odległości monet od punktu podparcia, które przyszły Ci na myśl po zrównoważeniu dźwigni.

jesteś tutaj  567

Podwoić siłę?

ne!

Wypróbowa

Teraz możesz zabrać się za przeprowadzenie doświadczenia! Musisz znaleźć punkty równowagi linijki dla różnych mas umieszczanych na jej ramionach. Odważnikami będzie pięć ciężkich monet o identycznych nominałach. Ciężar monety zapisany w jednostkach układu SI nie będzie Ci potrzebny, ponieważ możesz posłużyć się własną jednostką „ciężarem monetarnym”! Przyklej do stołu długopis z okrągłą oprawką — będzie Twoim punktem podparcia. Ułóż na nim linijkę w taki sposób, by długopis był zawsze w jej połowie. Na końcu jednego z ramion połóż jedną monetę, a następnie przesuwaj stos pozostałych monet wzdłuż drugiego ramienia, dopóki nie zrównoważysz równi. Za pomocą skali na linijce określ odległości od środka każdego stosu monet do punktu podparcia i uzupełnij poniższą tabelkę.

Pojedyncza moneta ma leżeć cały czas na końcu tego ramienia.

Przesuwaj stos monet w obie strony, dopóki nie zrównoważysz dźwigni.

Odległość 1

Odległość 2

F1

F2 Punkt podparcia ma być cały czas pośrodku linijki.

Siła 1 [ciężar monetarny]

Siła 2 [ciężar monetarny]

Odległość 1 [cm]

Odległość 2 [cm]

1

1

15

15

1

2

15

7,5

1

3

15

5,0

1

4

15

3,8

To nasze wyniki. To nic, jeśli Twoje nieco się różnią.

Czy widzisz jakiś wzór? Zapisz wszystkie uwagi dotyczące sił i odległości monet od punktu podparcia, które przyszły Ci na myśl po zrównoważeniu dźwigni. Gdy podwajam siłę (używając dwóch monet zamiast jednej), żeby utrzymać linijkę w równowadze, muszę skrócić o połowę odległość większej masy od punktu podparcia. Zauważyłem też, że gdy linijka jest w równowadze, iloczyn liczba monet × odległość od punktu podparcia jest taki sam dla obydwu stron.

568

Rozdział 13.

Moment siły i praca

Zerowy wypadkowy moment siły jest warunkiem równoważenia dźwigni

Być może nie przyszło Ci do głowy, że dźwignia wykonuje obrót, ale tak właśnie by było, gdyby nie napotkała podłoża i była ciągle podparta w punkcie podparcia.

Moment siły (moment obrotowy) jest czymś w rodzaju „siły obracającej”. Im większa jest jego wartość, tym potężniej wpływa on na ruch obrotowy ciała, do którego został przyłożony.

r1

F1

M1 = r1F1

Jeśli stwierdzimy, że ruch zgodny z ruchem wskazówek zegara odbywa się w kierunku dodatnim, ten moment siły będzie miał ujemny zwrot.

Doświadczenie, które właśnie zakończyłeś, dowiodło, że wartość momentu siły jest proporcjonalna do wartości przyłożonej siły i odległości, w jakiej ona działa, od punktu podparcia (ramienia siły). Jeżeli podwoisz odległość przyłożenia siły od punktu podparcia, podwoisz też wartość momentu obrotowego.

r2

M2 = r2F2

Wypadkowy moment siły jest równy zero, ponieważ momenty przyłożone do obydwu ramion mają tę samą wartość, lecz przeciwne znaki.

F2 Obrót następuje w kierunku ruchu wskazówek zegara, więc ten moment ma zwrot dodatni.

Moment siły jest wektorem, którego zwrot zależy od obrotu, jaki powoduje. Obrót w stronę zgodną z ruchem wskazówek zegara oznacza, że moment siły jest dodatni; obrót w stronę przeciwną oznacza, że moment siły jest ujemny. Kierunek obrotu zależy od zwrotu wektora siły i zwrotu ramienia siły (wektora położenia, r) . Jeśli dwa momenty siły mają taką samą wartość, ale powodują obroty w przeciwne strony, moment wypadkowy działający na ciało będzie równy zeru i ciało pozostanie w równowadze.

Moment siły oznacza się dużą literą „M” . Moment siły w układzie z punktem podparcia definiuje się jako iloczyn ramienia siły (wektora położenia poprowadzonego z punktu podparcia do punku przyłożenia siły) przez składową siły prostopadłą do dźwigni. Można zapisać to wzorem: M = rFA.

Moment siły.

Siła prostopadła do ramienia dźwigni.

3A

Ramię siły (wektora położenia poprowadzony z punktu podparcia do punku przyłożenia siły).

Ten symbol oznacza prostopadłość.

Posługując się pojęciem momentu siły, wyjaśnij:

Ćwiczenie

a. Dlaczego używając siły mniejszej niż ciężar miecza i kamienia, da się unieść je w powietrze.

b. Dlaczego klamki w drzwiach są mocowane daleko od zawiasów.

c. Dlaczego klucz francuski (używany do odkręcania i dokręcania śrub oraz nakrętek) ma długą rączkę.

jesteś tutaj  569

Moment siły wywołuje obrót

Posługując się pojęciem momentu siły, wyjaśnij:

Ćwiczenie: a. Dlaczego używając siły mniejszej niż ciężar miecza i kamienia, da się unieść je w powietrze. Rozwiązanie Jeżeli użyta dźwignia będzie miała ramiona o różnych długościach, da się uzyskać taki układ, w którym mała siła przyłożona do długiego ramienia wywoła taki sam moment siły, jak duża siła przyłożona do krótkiego ramienia. Wynika to z istnienia zależności moment siły = ramię siły × siła. Dzięki temu, działając stosunkowo małą siłą, można podnosić duże ciężary.

b. Dlaczego klamki w drzwiach są mocowane daleko od zawiasów. Aby otworzyć drzwi, trzeba wywołać moment siły. Tylko wtedy skrzydło drzwi zdoła obrócić się na zawiasach (oś obrotu). Gdy klamka znajduje się daleko od zawiasów, wystarczy przyłożyć do niej mniejszą siłę, by uzyskać taki sam moment siły, jaki powstałby, gdyby dużą siłę przyłożyć bliżej zawiasów. Im dalej od osi obrotu przyłoży się określoną siłę, tym większy uzyska się moment siły.

c. Dlaczego klucz francuski (używany do odkręcania i dokręcania śrub oraz nakrętek) ma długą rączkę. Rączka klucza francuskiego pozwala przyłożyć do nakrętki moment siły (oś obrotu znajduje się w środku nakrętki). Im dłuższa rączka, tym potrzeba mniejszej siły, by wywołać potrzebny moment siły.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego mówimy teraz

o obrotach i momentach siły? Przecież huśtawka wcale się nie obraca, tylko porusza w górę i w dół.

O: Oczywiście, że huśtawka się obraca!

Nie wykonuje wprawdzie pełnego obrotu wokół punktu podparcia, lecz gdyby nie było pod nią ziemi, obróciłaby się całkowicie.

P: Na czym polega różnica między siłą a momentem siły?

O

: Aby moment siły w ogóle mógł się pojawić, ciało musi być zaczepione w punkcie podparcia lub osi obrotu. Moment siły pojawia się wtedy, gdy w pewnej odległości od tego punktu pojawi się składowa siły działająca prostopadle do osi dźwigni. Na sąsiedniej stronie znajdziesz ilustrację tworzenia momentu siły.

570

Rozdział 13.

P: W równaniu M = rF

pojawia się A litera r. Dlaczego odległości od osi obrotu nie oznaczymy symbolem x, jak robiliśmy to ze wszystkimi odległościami do tej pory?

O

: Moment siły jest przyczyną obracania się ciała. Wyobraź sobie huśtawkę, która może wykonać pełny obrót wokół punktu podparcia. Jej ramiona zatoczą okrąg. Do końca każdego z nich, a więc w odległości promienia tego okręgu, została przyłożona siła. Jak widzisz, odległość ta, zwana też ramieniem siły, nie jest zwykłą odległością; jest promieniem wodzącym punktu zaczepienia siły. Dlatego oznaczamy ją literą „r”. Promień okręgu.

r

F

Gdyby huśtawka mogła obrócić się wokół punktu podparcia, jej ramiona zatoczyłyby pełny okrąg.

P: Używanie różnych liter

na oznaczenie odległości nieco mnie myli. Dlaczego musimy to robić?

O

: W równaniach opisujących ruch po okręgu zawsze wprowadzamy zmienną „r”. Jest to ogólnie przyjęta w fizyce konwencja. Dzięki temu pamiętasz, że ta odległość jest w rzeczywistości promieniem ruchu obrotowego.

Ciało obraca się wokół punktu podparcia pod wpływem działania momentu siły.

No dobrze… cały czas mówicie o prostopadłej składowej siły, a jak niby mam ją obliczyć?

Moment siły i praca

Do powstania momentu siły przyczynia się wyłącznie składowa siły prostopadła do ramienia dźwigni. Za powstanie momentu siły odpowiada prostopadła do ramienia składowa działającej siły.

W eksperymencie, który niedawno zakończyłeś, siła przykładana do ramienia dźwigni działała zawsze prostopadle do niego. Czasami jednak zdarza się, że siła działa na ramię dźwigni pod pewnym kątem. Gdyby do dźwigni przyłożyć siłę równoległą do jej ramienia, dźwignia w ogóle nie obróciłaby się, a moment siły byłby równy zeru.

F Siła działająca równolegle do ramienia nie wywołuje momentu siły.

Jeżeli siła F jest przyłożona do ramienia dźwigni pod pewnym kątem , to tylko jej składowa prostopadła do ramienia będzie miała wpływ na wartość momentu siły. Prostopadła do ramienia FA dźwigni składowa siły owy. obrot ent mom wywołuje

Zaostrz ołówek

F  F__

Siła działająca pod pewnym kątem.

Ten symbol oznacza równoległość.

Siła F działa na poziome ramię dźwigni w odległości r od osi obrotu. Siła jest przyłożona pod kątem θ do poziomu. a. Narysuj duży rysunek przedstawiający dźwignię i odpowiednie składowe siły F.

b. Na podstawie wykonanego rysunku przekształć wzór M = rFA do postaci zależnej od zmiennych r, F i θ.

Rysunek będzie powiększoną wersją tego.

jesteś tutaj  571

Wypadkowy moment siły

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Siła F działa na poziome ramię dźwigni w odległości r od osi obrotu. Siła jest przyłożona pod kątem θ do poziomu. a. Narysuj duży rysunek przedstawiający dźwignię i odpowiednie składowe siły F.

b. Na podstawie wykonanego rysunku przekształć wzór M = rFA do postaci zależnej od zmiennych r, F i θ. Siła działa na dźwignię pod kątem θ. Pionowa składowa siły jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta θ.

a F

F

FA

sin =

FA

c

a c

=

FA F

FA = F sin F|| F|| b

M = rFA

Poziome ramię siły.

M = rF sin

Nie ma znaczenia, czy składowa pozioma jest zwrócona „na zewnątrz”, czy „do wewnątrz” — składowa pionowa ma zawsze ten sam zwrot i tę samą wartość.

I zasada dynamiki Newtona głosi, że ciało nie zmienia swojej prędkości, jeśli nie zadziała na nie siła wypadkowa. Czy istnieje odpowiednik tej zasady dla momentów sił?

Wielokrotnie spotkasz się z tym równaniem na różnyc kartach wzorów. Uznaliśmy jednak, że lepiej będzie h je wyprowadzić, rysując odpowiednie trójkąty, gdyż z tak zapisanego równania nie wynika, który kąt się w nim pojawia.

Zerowa siła wypadkowa = równowaga statyczna Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało, na które nie działa żadna siła wypadkowa, będzie poruszać się z tą samą prędkością, czyli nie będzie przyspieszać. Sytuację tę określa się często mianem równowagi statycznej.

Zerowy moment wypadkowy = równowaga rotacyjna Jeżeli wypadkowy moment siły działający na dźwignię (czy inne ciało) jest równy zeru, szybkość obrotu nie zmieni się, czyli ciało nie zacznie obracać się ani szybciej, ani wolniej. Zjawisko to określa się mianem równowagi rotacyjnej.

572

Rozdział 13.

Jeśli dźwignia nie obraca się (albo obraca się ze stałą prędkością), wypadkowy moment siły działający na nią musi być równy zero.

Moment siły i praca Skoro suma momentów siły może być równa zero, sam moment siły musi być wektorem!

Wektor momentu siły Kierunek obrotu sprawia, że śruba się wkręca.

Moment siły jest wektorem. Moment siły ma nie tylko wartość, ma również kierunek i zwrot, co objawia się tym, że ciało może obracać się wokół punktu podparcia zgodnie z ruchem wskazówek zegara albo przeciwnie do niego. Grot wektora jest zwrócony w tym kierunku, w którym poruszałaby się śruba pod działaniem momentu siły. Stąd ruch zgodny z ruchem wskazówek zegara = w kartkę papieru. Ruch przeciwny do ruchu wskazówek zegara = z kartki papieru.

Kierunek obrotu sprawia, że śruba się wykręca.

Wektor momentu siły

Z pozoru wydaje się, że narysowanie tego na kartce papieru będzie trudne, ale istnieje konwencja zaznaczania takich wektorów na kartce.

Kierunek obrotu.

Wektor momentu siły (w kartkę)

Siła

Kierunek obrotu.

Siła

Wektor momentu siły (z kartki)

Symbolem oznaczającym wchodzenie wektora w papier jest … (przypomina główkę śrubki), zaś symbolem oznaczającym wychodzenie z kartki jest ~ (przypomina czubek śrubki).

Kierunek obrotu.

Wektor momentu siły.

Jeżeli nie jesteś w stanie wyobrazić sobie, w którą stronę będzie obracać się śruba po wystąpieniu momentu siły, wystaw kciuk prawej dłoni i zwiń pozostałe palce w kierunku obrotu ciała. Kciuk ustawi się albo w górę, albo w dół, wskazując Ci zwrot wektora momentu siły.

Zwrot wektora momentu siły ustalisz, kierując się zasadą prawej dłoni. jesteś tutaj  573

Równowaga Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Czy nie wystarczy, że zapamiętam równanie M = rFsin? Poza tym zawsze mogę sprawdzić je na karcie wzorów. Po co męczyć się z rysowaniem trójkątów?

: Dlaczego mówi się o dwóch rodzajach równowagi — statycznej i rotacyjnej? Przecież równowaga to po prostu równowaga, prawda?

O

O: Fajerwerk w postaci rakiety może wystartować, zachowując

: Jeśli tak wolisz… Pamiętaj jednak, że zawsze możesz natrafić na zadanie, w którym będziesz znać kąt, jaki tworzy siła z kierunkiem pionowym, a nie poziomym. Jeżeli od początku przyzwyczaisz się do rozkładania siły na składowe, będziesz mógł wyprowadzić sobie właściwy wzór. Ucząc się równania na pamięć, ryzykujesz, że podstawisz do niego złe dane i otrzymasz błędny wynik.

swoją równowagę rotacyjną, ponieważ nie działa na niego żaden moment siły. Oczywiście został on wytrącony z równowagi statycznej, ponieważ zaczął przyspieszać. Wyobraź sobie teraz fajerwerk w postaci wirującego dysku. Na pewno nie znajduje się on w stanie równowagi rotacyjnej, ponieważ niezerowy wypadkowy moment siły wprawia go w coraz szybszy ruch wirowy, ale jednocześnie dysk nigdzie się nie przesuwa, więc znajduje się w stanie równowagi statycznej — nie działa na niego żadna siła wypadkowa.

Podnieś miecz z kamieniem za pomocą dźwigni! Siła potrzebna na uniesienie kamienia z zatopionym w nim mieczem jest równa ich ciężarowi, a ten jest naprawdę imponujący. Teraz na szczęście wiesz już, jak dzięki fizyce ułatwić sobie życie, i możesz zaprojektować odpowiednią dźwignię. Dźwignia jest zbudowana z dwóch ramion o różnych długościach, które obracają się wokół punktu podparcia. Działanie siłą na koniec jednego ramienia powoduje powstawanie momentu siły, który umożliwia obrócenie dźwigni wokół osi obrotu w punkcie podparcia.

Mały ciężar.

Duży ciężar.

Długie ramię.

Krótkie ramię.

Punkt podparcia.

Jeżeli istnieje możliwość obrócenia ciała wokół wybranego punktu, to zastanów się, czy do rozwiązania problemu nie można użyć momentu siły. 574

Rozdział 13.

Moment siły jest opisany równaniem M = rFA. Spróbujesz skonstruować dźwignię. Na jej krótszym ramieniu zamocujesz miecz zatopiony w kamieniu (ze względu na swoją masę będą one wywierać ogromną siłę na ramię dźwigni), a potem za pomocą kamieni wytworzysz na drugim ramieniu odpowiedni moment siły. W ten sposób stworzysz układ znajdujący się w równowadze rotacyjnej, czyli taki, w którym wypadkowy moment siły jest równy zero. W tym momencie do pełnego sukcesu brakuje już tylko małego pchnięcia, które uniesie miecz z kamieniem. Sława i majątek już czekają… więc zabierz się za obliczenie położenia punktu podparcia.

Moment siły i praca

Zaostrz ołówek Na ramionach dźwigni o długości L umieszczono dwie masy. Na jednym końcu, w odległości r1 od punktu podparcia, znajduje się miecz umieszczony w kamieniu o łącznej masie m1. Na drugim ramieniu, w odległości r2 od osi obrotu, znajdują się kamienie o masie m2. a. Wyraź długość dźwigni, L, za pomocą zmiennych r1 i r2. (Przyjmij, że wektory dodatnie są zwrócone w prawą stronę, a L jest wektorem dodatnim. Pamiętaj, że r1 i r2 to też wektory, więc narysuj wszystko dokładnie i BARDZO uważaj na znaki).

b. Podaj warunek równowagi rotacyjnej dźwigni (stanu, w którym małe zaburzenie pozwoli Ci podnieść kamień z mieczem).

c. Użyj tych dwóch równań, by zapisać wzór na długość r1 wyrażoną wielkościami m1, m2 i L.

d. W jakiej odległości od miecza należy umieścić punkt podparcia, jeśli dźwignia ma długość 10,00 m, miecz z kamieniem ważą 1500 kg, a kamienie obciążające mają masę 150 kg.

jesteś tutaj  575

Dźwignia i dwie masy

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Na ramionach dźwigni o długości L umieszczono dwie masy. Na jednym końcu, w odległości r2 od punktu podparcia, znajduje się miecz umieszczony w kamieniu o łącznej masie m2. Na drugim ramieniu, w odległości r1 od osi obrotu, znajdują się kamienie o masie m1. a. Wyraź długość dźwigni, L, za pomocą zmiennych r1 i r2. (Przyjmij, że wektory dodatnie są zwrócone w prawą stronę, a L jest wektorem dodatnim. Pamiętaj, że r1 i r2 to też wektory, więc narysuj wszystko dokładnie i BARDZO uważaj na znaki).

b. Podaj warunek równowagi rotacyjnej dźwigni (stanu, w którym małe zaburzenie pozwoli Ci podnieść kamień z mieczem). r1

r2

m1 Wektory zwrócone w prawo mają znak dodatni. Wektor L jest zwrócony w prawo.

m2

F1 = m1g F2 = m2g

L r1

r2

L = r 2 - r1

Jeżeli inaczej zdefiniowałeś Wypadkowy moment siły musi być równy zero. wektory dodatnie, niektóre r1F1 + r2F2 = 0 Ponieważ w obydwu ze znaków minus w zapisie wyrazach występuje algebraicznym znajdą się r1m1g + r2m2g = 0 mnożenie przez g, w innych miejscach, ale wynik można dokonać końcowy będzie taki sam. r1m1 + r2m2 = 0 obustronnego dzielenia przez tę wielkość, co pozwoli ją skrócić.

c. Użyj tych dwóch równań, by zapisać wzór na długość r1 wyrażoną wielkościami m1, m2 i L. Przekształcam równanie z części a, żeby dokonać podstawienia za r2: r2 = L + r 1

Podstawiam to do wyniku z części b.

d. W jakiej odległości od miecza należy umieścić punkt podparcia, jeśli dźwignia ma długość 10,00 m, miecz z kamieniem ważą 1500 kg, a kamienie obciążające mają masę 150 kg. Podstawiam wartości do równania z części c (m1 to masa kamieni obciążających, a m2 to masa miecza uwięzionego w kamieniu). r1 =

r1m1 + (L + r1)m2 = 0 r1m1 + Lm2 + r1m2 = 0

r1 =

-Lm2

Wynik wyszedł ujemny, ponieważ wektor r1 jest zwrócony w lewo.

(m1 + m2) –10 m × 1500 kg

= –9,09 m

(150 kg + 1500 kg)

r1m1 + r1m2 = -Lm2 r1(m1 + m2) = -Lm2 Wstaw tu nawiasy, żeby po lewej stronie równania został tylko jeden wyraz ze zmienną r1.

576

Rozdział 13.

r1 =

-Lm2 (m1 + m2)

Wartość wektora r1 to odległość obciążenia od punktu podparcia. Teraz muszę obliczyć wartość wektora r2. Odległość miecza i kamienia od punktu podparcia to: r2 = L + r 1 r2 = 10,00 m – 9,09 m = 0,91 m W zadaniu pytano Cię, w jakiej odległości od miecza w kamieniu powinien znaleźć się punkt podparcia.

Poradnia pytań — dwa równania, dwie niewiadome Jedno równanie pozwala Ci wyznaczyć wartość jednej niewiadomej, o ile znasz wartości pozostałych zmiennych. Mając do dyspozycji dwa równania, możesz obliczyć wartości dwóch niewiadomych (o ile w obydwu równaniach występują te same niewiadome!).

Zawsze, ale to zawsze zaczynaj od wykonania rysunku!

Jeżeli w pytaniu pojawiają się konkretne nazwy zmiennych, musisz użyć ich przy udzielaniu odpowiedzi.

Nie spodziewaj się raczej takiego polecenia. Bardziej prawdopodobne jest, że autor zadania będzie oczekiwać, iż dostrzeżesz wagę tej zależności na podstawie rysunku.

Pisząc tę książkę, skupiliśmy się na przedstawieniu Ci metody podstawień, ale jeżeli wolisz inny sposób rozwiązywania równań, nie krępuj się z niego korzystać!

Słowa klucze „dźwignia” i „punkt podparcia” sygnalizują, że trzeba będzie posłużyć się pojęciem momentu siły.

masy. ni umieszczono dwie ig w dź ch na io m ra 2. Na nktu w odległości r1 od pu Na jednym jej końcu, miecz uwięziony podparcia, znalazł się końcu, j masie m1. Na drugim w kamieniu o łączne czono tu podparcia, umiesz nk pu od r ci oś gł le 2 w od ie m2. stertę kamieni o mas gość dźwigni, L. r i r zapisz równanie na dłu a. Za pomocą zmiennych 1 2 agi rotacyjnej dźwigni. b. Podaj warunek równow dź wzór na r1 wcześniej równań, wyprowa ych isan zap z c tają zys Kor c. w zależności od m1, m2 i L.

Sformułowanie „warunek” oznacza w tym kontekście „równanie”, ale powinieneś też opisać go słownie, żeby dostać pełną liczbę punktów!

Określ, które zmienne trzeba będzie zastąpić podstawieniami, i upewnij się, że odpowiadasz na zadane pytanie!

Zadanie z dwoma niewiadomymi rozwiązuje się na dwa sposoby — dokonując podstawienia albo tworząc układ równań, które rozwiązuje się jednocześnie. Metody te są praktycznie tym samym, więc tylko od Ciebie zależy, której użyjesz. Jeżeli któraś z niewiadomych jest „schowana” głęboko w równaniu, prawdopodobnie łatwiej będzie wyznaczyć ją i dokonać podstawienia. Jeśli obie niewiadome są oddzielnymi wyrazami równania (ewentualnie są tylko mnożone przez jakąś liczbę), rozwiązanie układu równań będzie szybsze, co oczywiście nie znaczy, że metoda podstawiania nie zadziała.

577

Celne spostrzeżenia

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Wartość momentu siły jest równa iloczynowi

prostopadłej do dźwigni składowej działającej siły przez ramię tej siły. ‹Prostopadłą składową siły wyznaczysz

za pomocą funkcji trygonometrycznych. ‹Jeżeli w zadaniu pojawia się obracające

się ciało, musisz przede wszystkim określić położenie osi obrotu.

‹Moment siły jest wektorem — określa

kierunek obrotu. ‹Zakrzyw palce prawej ręki w kierunku obrotu

ciała i wystaw kciuk. Jego kierunek będzie kierunkiem wektora momentu siły. ‹Suma wektorów momentów sił działających

na ciało w równowadze rotacyjnej jest równa zero.

Pora spróbować wydźwignąć kamień z mieczem. Przy odrobinie szczęścia fizyka pozwoli Ci osiągnąć sukces tam, gdzie inni zawiedli.

Brutalna siła nie rozwiąże tego problemu, ale umysł… zobaczmy!

578

Rozdział 13.

Moment siły i praca

Unosisz ramię dźwigni z mieczem uwięzionym w kamieniu… Użyłeś całej swej wiedzy na temat momentu siły, by przewidzieć skutki próby uniesienia bryły miecza w kamieniu o masie 1500 kg za pomocą obciążników o wadze 150 kg. Skonstruowałeś specjalną dźwignię, by zdołać unieść kamień siłą znacznie mniejszą od jego ciężaru. Stworzyłeś całą konstrukcję, ułożyłeś wszystkie kamienie obciążające, a kamień z uwięzionym w nim mieczem zaczął powoli unosić się w górę…

…ale zbyt nisko! Kamień z mieczem uniósł się wprawdzie nad ziemię, ale zbyt nisko. Jelec miecza miał podnieść się o 10 cm, a przemieścił się co najwyżej o 1 cm. Kamienie obciążające drugie ramię dźwigni na pewno pokonały dystans 10 cm w dół, ale ramię z mieczem nie przesunęło się o tyle samo. Co się stało?!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Kamienie obciążające przesunęły się o 10 cm. Dlaczego zatem kamień z mieczem nie pokonał takiej samej drogi w górę?

jesteś tutaj  579

Poszukaj trójkątów podobnych

Byliśmy już tak blisko! Nikomu wcześniej nie udało się go unieść choćby o milimetr!

Kuba: Nie sięgnęliśmy do linii! Obciążenie opadło o 10 cm, więc dlaczego miecz nie uniósł się o tyle samo? Krzysiek: Poczekaj chwilę, zaraz to narysujemy… Miecz w kamieniu

10 cm nne Kamieżenie obcią

Zupełnie nie 10 cm! Długie ramię jest 10 razy dłuższe od ramienia krótszego.

Franek: Aaa, trójkąty! Krzysiek: Tak, trójkąty podobne! Spójrzcie — ramię, na którym spoczywa kamienne obciążenie, jest dziesięć razy dłuższe od ramienia unoszącego miecz, a to oznacza, że jeżeli obciążenie opadnie o 10 cm, miecz pokona jedną dziesiątą tej odległości, czyli 1 cm. Kuba: Skoro przesunięcie obciążenia o 10 cm w dół powoduje podniesienie miecza w kamieniu o 1 cm, to — jak sądzę — obciążenie musiałoby przesunąć się o 100 cm w dół, żeby unieść miecz o 10 cm.

Zawsze szukaj trójkątów, a szczególnie podobnych! Trójkąty podobne nie muszą mieć kąta prostego. Wystarczy, że będą miały takie same kąty.

Franek: Brzmi paskudnie. Podnoszenie kamieni obciążających na taką wysokość to strasznie dużo pracy! Może łatwiej byłoby zrobić dźwignię o równych ramionach? Wtedy musielibyśmy przenieść kamienie na wysokość 10 cm, czyli na znacznie mniejszą odległość. Krzysiek: Ale w takim przypadku musielibyśmy zastosować obciążenie o masie 1500 kg, a nie 150 kg, jak w tej chwili. To dziesięć razy więcej kamieni obciążających! Co z tego, że przeniesiemy je na dziesięciokrotnie niższą wysokość, skoro ich ciężar będzie dziesięciokrotnie większy. Kuba: Zaczynam dochodzić do wniosku, że nie ma nic za darmo. Mamy do wyboru: przenieść dziesięciokrotnie mniejszy ciężar na dziesięciokrotnie większą wysokość albo podnosić taki sam ciężar na taką samą wysokość. Krzysiek: Tak czy inaczej, przed nami mnóstwo pracy!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak sądzisz, co wymaga wykonania większej pracy — podniesienie 10 kamieni obciążających na wysokość 1 m, czy podniesienie 100 na wysokość 10 cm?

580

Rozdział 13.

Moment siły i praca

Nic za darmo Nie ma nic za darmo. Jeżeli chcesz unieść masę 1500 kg, obciążając ramię dźwigni kamieniami o masie 150 kg, musi ono być dziesięć razy dłuższe od ramienia, na którym umieszczasz podnoszoną masę. Niestety w takim przypadku miecz uwięziony w kamieniu uniesie się jedynie o jedną dziesiątą tej odległości, na jaką opuścisz obciążenie.

Zmieniliśmy projekt dźwigni, która przypomina teraz wagę. Teraz wystarczy, że umieścisz 150 kg kamieni obciążających na najm niejszej wysokości potrzebnej do wyk onania zadania (na szali), a nie na szc zycie ramienia dźwigni.

Zatem żeby podnieść ważący 1500 kg kamień z mieczem na wysokość 0,100 m (10 cm), musisz umieścić 150 kg kamieni obciążających na wysokości 1,00 m nad ziemią, czyli dziesięć razy wyżej. Masz do wykonania ogromną pracę!

Przed Długie ramię dźwigni jest 10 razy dłuższe niż jej krótkie ramię, więc jego odległość od ziemi jest dziesięciokrotnie większa niż wysokość, na jaką chcesz unieść miecz.

Żeby unieść miecz uwięziony w kamieniu na wysokość 0,100 m, musisz najpierw podnieść obciążenie o masie 150 kg na tę wysokość!

150 kg

Po Jeśli chcesz, by ramię dźwigni obniżyło się dokładnie o 1,00 m, szala wagi musi znajdować się początkowo 1,00 m nad ziemią.

1,00 m

1500 kg 150 kg Aby unieść miecz w kamieniu na wysokość 0,100 m, musisz obniżyć długie ramię dźwigni o 1,00 m.

0,10 m Istnieje też inna metoda uniesienia miecza w kamieniu. Trzeba by wykonać dźwignię o ramionach identycznej długości i ułożyć na jednym z nich 1500 kg kamieni obciążających. Wtedy wystarczy umieszczać je na wysokości 0,100 m, zamiast 1,00 m, ale za to muszą one być 10 razy cięższe. To cena podnoszenia ich na mniejszą wysokość.

Przed Po Jeżeli umieścisz oś obrotu w połowie dźwigni, nie będziesz musiał podnosić obciążenia na dużą wysokość.

1500 kg 0,100 m

Z osią obrotu w połowie dźwigni wystarczy wprawdzie, że uniesiesz obciążenie na wysokość 0,100 m, ale za to będziesz musiał umieścić na szali 1500 kg kamieni.

1500 kg 0,10 m

jesteś tutaj  581

Praca, siła i ruch

Przesuwając ciało wbrew działającej na nie sile, wykonujesz pracę Masz zadanie do wykonania — musisz podnieść miecz w kamieniu o łącznej masie 1500 kg na wysokość 0,100 m, pokonując przy tym siłę ciążenia działającą na to ciało. Jeżeli na ciało działa jakaś siła, a Ty chcesz przesunąć je w kierunku przeciwnym do jej działania, musisz przyłożyć do niego inną siłę, która wykona pracę przeciwko sile ciążenia. Zatem podnosząc kamienne obciążniki, działasz na nie siłą przeciwną do ich ciężaru i siła ta wykonuje pracę przeciwko sile grawitacji. Tak samo, jeśli stos kamieni unosi (za pomocą dźwigni) miecz uwięziony w granicie, oznacza to, że na miecz zadziałała siła wykonująca nad nim pracę przeciwko jego ciężarowi.

Aby PRZESUNĄĆ ciało, na które działa pewna siła, musisz zadziałać na nie SIŁĄ o przeciwnym zwrocie. Siła ta wykona PRACĘ przeciwko pierwotnej sile działającej na ciało.

Praca potrzebna do wykonania zadania = siła × przesunięcie Słowo praca ma w fizyce bardzo dobrze zdefiniowane znaczenie. Wartość pracy wykonanej przez siłę (potrzebnej na przykład do podniesienia czegoś wbrew działaniu siły ciężkości), z którą działasz na ciało, zależy od dwóch rzeczy.

Po

Pierwszą z nich jest wartość składowej siły, którą działasz na ciało, równoległej do pokonywanej siły, przeciwko której wykonana zostanie praca. Gdy chcesz podnieść ciało na jakąś wysokość, musisz pokonać siłę grawitacji, więc znaczenie będzie miała wyłącznie pionowa składowa siły przyłożonej do ciała.

Przed

Działasz na kamienny obciążnik siłą F, chcąc podnieść go na wysokość Δx.

F

Drugą jest wartość przesunięcia w tym kierunku, jakiego doznaje ciało. Gdy podnosisz ciało wbrew działającej na nie sile grawitacji, musisz brać pod uwagę wyłącznie pionową składową przesunięcia.

x

Ciężar, Q = mg

Ciężar przeciwdziała podnoszeniu ciała.

W tym przypadku siła F, przesunięcie Δx i siła przeciwdziałająca (ciężar kamienia) są do siebie równoległe, więc W = FΔx.

Praca wykonana nad ciałem.

Składowa siły przykładanej do ciała równoległa do siły przeciwdziałającej ruchowi.

8__

Przesunięcie w kierunku działania siły F__.

Ten symbol oznacza równoległość.

582

Rozdział 13.

Praca, jaką wykonuje siła przykładana do ciała, jest zdefiniowana jako równoległa do przesunięcia składowa siły × przemieszczenie ciała. Zatem praca to: W = F__x, gdzie W to praca, x — przemieszczenie, a F__ — równoległa do przemieszczenia składowa siły przyłożonej do ciała.

Moment siły i praca

Który sposób wymaga wykonania mniejszej ilości pracy? Opracowałeś dwie metody podniesienia miecza uwięzionego w kamieniu za pomocą dźwigni i kamiennych obciążników. Możesz albo podnieść 150 kg kamieni na wysokość 1,00 m, albo przenieść 1500 kg kamieni na wysokość 0,100 m (od wyboru metody zależy też położenie punktu podparcia dźwigni). Kamienie umieszczone na ramieniu dźwigni uniosą miecz zatopiony w kamieniu.

150 kg kamiennych obciążników umieszczone 1,00 m nad ziemią. Jeżeli punkt podparcia znajdzie się tutaj, do podniesienia miecza w kamieniu wystarczy Ci 150 kg kamieni, ale będziesz musiał unieść je na wysokość 1,00 m.

Przed

Kamienne obciążniki podniesione na wysokość 1 m. 150 kg

Po 1,00 m

1500 kg 150 kg

Podnosząc ciało, działasz na nie siłą, która wykonuje pracę przeciwko skierowanej w dół sile ciężkości, przesuwając ciało w górę.

0,10 m

1500 kg kamiennych obciążników umieszczone 0,100 m nad ziemią. Przed Po

Kamienne obciążniki podniesione na wysokość 0,100 m. 1500 kg 0,100 m

Jeżeli punkt podparcia znajdzie się tutaj, do podniesienia miecza w kamieniu potrzeba będzie 1500 kg kamieni, ale wystarczy, że uniesiesz je na wysokość 0,100 m.

1500 kg 0,10 m

Wydaje się, że najrozsądniej będzie wybrać taką metodę, która wymaga wykonania mniejszej pracy podczas przenoszenia kamiennych obciążników na wysokość niezbędną do podniesienia miecza w kamieniu.

Zaostrz ołówek Zanim kamienne obciążenie wykona pracę, podnosząc miecz uwięziony w granicie, Ty musisz zadziałać na nie siłą, która wykona pracę potrzebną do uniesienia obciążenia. Nie wiadomo, która z metod wymaga wykonania mniejszej pracy. Oblicz pracę niezbędną do: a. podniesienia 150 kg kamieni na wysokość 1,00 m;

c. Wypowiedz się na temat wyników, które otrzymałeś, i jednostek obliczonych wartości.

b. podniesienia 1500 kg kamieni na wysokość 0,100 m.

Określ jednostkę pracy, używając do tego jednostek wielkości pojawiających się po prawej stronie równania.

jesteś tutaj  583

Praca i moment siły

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Zanim kamienne obciążenie wykona pracę, podnosząc miecz uwięziony w granicie, Ty musisz zadziałać na nie siłą, która wykona pracę potrzebną do uniesienia obciążenia. Nie wiadomo, która z metod wymaga wykonania mniejszej pracy. Oblicz pracę niezbędną do: a. podniesienia 150 kg kamieni na wysokość 1,00 m;

b. podniesienia 1500 kg kamieni na wysokość 0,100 m.

Siła unosząca kamienie musi równoważyć ich ciężar, więc F = mg.

Siła unosząca kamienie musi równoważyć ich ciężar, więc F = mg.

W = Fx = 150 kg × 9,8 m/s2 × 1,00 m

W = Fx = 1500 kg × 9,8 m/s2 × 0,100 m

W = 1470 Nm

W = 1470 Nm

c. Wypowiedz się na temat wyników, które otrzymałeś, i jednostek obliczonych wartości. Obydwie metody wymagają wykonania takiej samej pracy. Jednostką pracy jest iloczyn jednostki siły przez jednostkę przemieszczenia. Siłę mierzymy w niutonach, a przemieszczenie w metrach, więc jednostka pracy to Nm.

Jednostkę tę czyta się „niutonometr”.

Ej, moment siły i praca mają tę samą jednostkę, Nm, obliczaną z iloczynu siła × odległość. Czy to ma jakieś znaczenie?

Siła i odległość w definicji MOMENTU SIŁY są do siebie PROSTOPADŁE.

Praca i moment siły to dwie różne wielkości, ponieważ odległości w ich definicjach są zupełnie innego typu.

r

F

Mimo że praca i moment siły mają identyczną jednostkę, wielkości te nie mają ze sobą nic wspólnego. Moment siły, M = rFA, określa zdolność wykonania obrotu przez siłę przyłożoną w określonym miejscu. Odległość pojawiająca się w tej definicji to promień wodzący poprowadzony od osi obrotu do punktu przyłożenia siły. Siła zaś jest prostopadłą do powierzchni ciała składową całkowitej siły działającej na ciało.

Moment siły jest wektorem, praca jest skalarem.

Po

; 0 !!) 4 #%&""4'!%  4 0#' !   Praca, W = F__x, jest równoważna energii potrzebnej do przesunięcia ciała w wyniku działania na nie siłą. Odległość pojawiająca się w definicji pracy to przemieszczenie poruszanego ciała. Jego wartość jest mnożona przez składową siły przesuwającej, równoległą do jego wektora.

%'"*%- 4 ' "# "# 0 0"*' *%% %0 !'%

584

Siła i odległość w definicji PRACY są do siebie RÓWNOLEGŁE.

Rozdział 13.

Przed

F

x

Ciężar, Q = mg

Moment siły i praca

Jednostką pracy jest dżul Przecież jeśli będę podnosić kamień szybko, zmęczę się bardziej, niż gdybym podnosiła go na tę samą wysokość, ale powoli. Dlaczego miałabym uważać, że za każdym razem wykonałam taką samą pracę?!

Chcąc uniknąć pomyłek wynikających z identyczności jednostek pracy i momentu siły, naukowcy wprowadzili osobną jednostkę pracy, dżul (J), gdzie 1 J = 1 Nm. Udzielając odpowiedzi na pytanie o wykonaną pracę, powinieneś podawać ją zawsze w dżulach.

Pracę mierzy się w dżulach. Moc to tempo wykonywania pracy. Moc mierzymy w dżulach na sekundę, J/s.

Gdy podnosisz ciało w krótszym czasie, zużywasz na to więcej mocy. Praca jest mierzona w dżulach. Podnosząc dane ciało, wykonujesz zawsze taką samą pracę, niezależnie od czasu, jaki Ci to zabiera. Różnica polega na mocy, z jaką pracujesz. Moc jest tempem wykonywania pracy. Mierzymy ją w dżulach na sekundę (J/s). Budowa naszych ciał sprawia, że wykonywanie takiej samej ilości pracy w krótszym czasie wymaga większej mocy. Dlatego poczucie zmęczenia nie zawsze łączy się z wykonaną pracą.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Nie podoba mi się, że fizyka „kradnie” słowa języka codziennego, na przykład „praca” czy „moc”, i nadaje im inne znaczenia.

O: Nawet w języku codziennym słowa

miewają różne znaczenie. Masz rację, że fizycy rozumieją niektóre określenia — pracę, moc czy siłę — w ściśle określony sposób, ale jest to niezbędne, gdyż tylko dlatego wszyscy zrozumieją na pewno, o czym mówisz.

P

: Wiem, że odczuję zmęczenie bez wykonywania pracy, jeżeli będę trzymać w powietrzu wyciągnięte ramię, nawet jeśli będzie puste. Żaden ciężar nie jest przemieszczany, więc nie ma mowy o wykonywaniu pracy. O co w tym chodzi?!

O

: Gdy trzymasz uniesione ramię, jego włókna mięśniowe ciągle rozciągają się i kurczą (poruszają się w wyniku wykonania pracy). Praca jest wykonywana, ale nie nad ciałem zewnętrznym, a nad Twoimi mięśniami! Jedynie stół może podtrzymywać jakieś ciało bez konieczności wykonywania pracy.

P

: Wspominaliście wcześniej, że „praca jest równoważna energii potrzebnej do przesunięcia ciała w wyniku działania na nie siłą”. Czy to znaczy, że energia jest jednym z tych słów o ściśle określonym znaczeniu?

O

: Oczywiście, i poczynając od teraz, przez kilka następnych rozdziałów będziesz miał sporo do czynienia z energią…

jesteś tutaj  585

Energia jest zachowana

Energia określa zdolność ciała do wykonania pracy

Podnoszenie kamieni to zmienianie postaci energii

Gdy mówimy, że dane ciało może wykonać pracę, mamy na myśli, że może ono zadziałać na inne ciało z siłą niezbędną do przesunięcia go. Ale jak określić, ile pracy jest w stanie wykonać dane ciało?

Energia potencjalna grawitacji, którą zyskały kamienne obciążniki po podniesieniu ich na określoną wysokość, nie pojawiła się znikąd. Przypomnij sobie posiłki, które zjadłeś. To jedna z postaci chemicznej energii potencjalnej, którą możesz przekształcić na pracę.

Wielkością określającą zdolność ciała do wykonania pracy jest energia. Podnosząc 150 kg kamieni na wysokość 1,00 m, dajesz im potencjalną możliwość wykonania pracy F__x = 150 kg × 9,8 m/s2 × 1,00 m = 1470 J.

Wykonując pracę nad kamieniami, przekształcasz energię z jednej postaci do innej.

Możesz też powiedzieć, że nadałeś kamieniom 1470 J energii potencjalnej grawitacji.

Czy to znaczy, że energia — tak samo jak pęd — podlega zasadzie zachowania?

Energia jest zachowana. Całkowita energia wszystkiego, co istnieje we wszechświecie, jest zawsze stała. Można też ująć to w nieco mniejszej skali — całkowita energia układu izolowanego (złożonego na przykład z Ciebie, kamieni, dźwigni, miecza w bryle granitu i waszego otoczenia) jest zawsze taka sama, czyli mówiąc inaczej, jest zachowana.

Energia jest zachowana.

586

Rozdział 13.

Energia potencjalna grawitacji.

1470 J 150 kg

Po podniesieniu wszystkich kamieni obciążających dźwignię masz o 1470 J chemicznej energii potencjalnej mniej.

Chemiczna energia potencjalna.

1.00 m 1470 J

150 kg

Wykonując pracę równą 1470 J, nadajesz kamieniom 1470 J energii potencjalnej grawitacji. Energia ta nie bierze się znikąd, a po prostu zmienia formę, ponieważ po wykonaniu operacji podnoszenia kamieni Twoje ciało dysponuje chemiczną energią potencjalną mniejszą o 1470 J. Z kolei podniesione kamienie zyskały energię potencjalną grawitacji, 1470 J, więc mogą teraz wykonać pracę równą 1470 J.

Wykonywanie pracy to sposób przekazywania energii.

Moment siły i praca

Kamienie mają możliwość wykonania pracy 1470 J, ponieważ znajdują się na pewnej wysokości.

Kamienne obciążniki wykonują pewną pracę nad mieczem uwięzionym w granitowej bryle, przez co przekazują swoją energię temu ciału.

Energia potencjalna grawitacji.

Nad mieczem w kamieniu wykonano pracę 1470 J (potrzebną do podniesienia 1500 kg na wysokość 0,100 m wbrew sile grawitacji), przez co zyskały one energię potencjalną grawitacji równą 1470 J.

1470 J 150 kg

1,00 m 1470 J

Kamienne ciężary mają teraz o 1470 J energii potencjalnej grawitacji mniej, niż gdy znajdowały się wysoko.

150 kg

Wyobraź sobie, że kamienie użyte do obciążenia dźwigni wykonały pracę 1470 J potrzebną do podniesienia miecza uwięzionego w kamieniu. Zjawisko to można równie dobrze potraktować jako przekazanie 1470 J energii z jednego ciała do drugiego.

1500 kg Energia 0,100 m

potencjalna grawitacji.

Wspominane wciąż 1470 J miało początkowo postać chemicznej energii potencjalnej Twojego ciała, a skończyło jako 1470 J energii potencjalnej grawitacji miecza zatopionego w kamieniu (która została przekazana mu przez kamienne obciążniki).

Wszystkie przemieszczenia są mierzone od poziomu ziemi.

Każde zjawisko fizyczne, w którym następują jakieś zmiany, można rozpatrywać w kategorii przekazywania energii. jesteś tutaj  587

Zasada zachowania energii

Po co męczymy się z tą energią, skoro i tak wiemy już, gdzie umieścić punkt podparcia?!

Zasada zachowania energii pozwala rozwiązywać skomplikowane zadania w bardzo krótkim czasie. Na stronie 576 rozwiązałeś problem znalezienia najefektywniejszego sposobu podniesienia masy 1500 kg za pomocą masy 150 kg umieszczonej na dźwigni. W rozwiązaniu pojawiły się siły, momenty sił, trójkąty podobne i skomplikowane podstawienia. Dźwignia i dwie masy

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

ści r2 od punktu podparcia, Na jednym końcu, w odległo znajdują i L umieszczono dwie masy. odległości r1 od osi obrotu, Na ramionach dźwigni o długośc kamieniu o łącznej masie m2. Na drugim ramieniu, w w czony umiesz miecz się e znajduj i (stanu, . m dźwign nej masie o agi rotacyj 1 się kamienie b. Podaj warunek równow r ir. pozwoli Ci podnieść i, L, za pomocą zmiennych 1 2 w którym małe zaburzenie a. Wyraź długość dźwign ie są zwrócone w prawą m). miecze z kamień (Przyjmij, że wektory dodatn im. Pamiętaj, że r1 i r2 r2 stronę, a L jest wektorem dodatn ko dokładnie i r1 wszyst to też wektory, więc narysuj m1 m2 BARDZO uważaj na znaki). mają znak dodatni. Wektory zwrócone w prawo ny w prawo. Wektor L jest zwróco L

iowałeś Jeżeli inaczej zdefin re wektory dodatnie, niektó zapisie ze znaków minus w się algebraicznym znajdą ale wynik ach, miejsc w innych sam. końcowy będzie taki

r2

r1

F1 = m1g

L = r2 - r1

, by zapisać wzór na c. Użyj tych dwóch równań ciami m1, m2 i L. długość r1 wyrażoną wielkoś ie z części a, żeby Przekształcam równan za r : 2 dokonać podstawienia r2 = L + r1

u z części b. Podstawiam to do wynik

F2 = m2g musi być równy zero. Wypadkowy moment siły u Ponieważ w obydw r1F1 + r2F2 = 0 wyrazach występujemożna r m g + r m2g = 0 mnożenie przez g, 1

1

2

r1m1 + r2m2 = 0

go dokonać obustronne dzielenia przez oli ją tę wielkość, co pozw skrócić.

należy umieścić d. W jakiej odległości od miecza ma długość ia punkt podparcia, jeśli dźwign ważą 1500 kg, 10,00 m, miecz z kamieniem masę 150 kg. a kamienie obciążające mają

Chyba nie chcesz obliczać tego jeszcze raz (i nadal nie dostać poprawnej odpowiedzi), skoro jest prostszy sposób…

c do równania z części Podstawiam wartościobciążających, a m2 (m1 to masa kamieni onego w kamieniu). to masa miecza uwięzi -Lm2 Wynik wyszedł ujemny, ponieważ wektor r1 = (m1 + m2) r jest zwrócony 1

w lewo.

r1m1 + (L + r1)m2 = 0 r1 =

0 r1m1 + Lm2 + r1m2 = r1m1 + r1m2 = -Lm2 r1(m1 + m2) = -Lm2 -Lm2 Wstaw tu nawiasy, ie żeby po lewej stron równania został tylko jeden wyraz ze zmienną r1.

576

r1 =

(m1 + m2)

–10 m × 1500 kg = –9,09 m (150 kg + 1500 kg)

odległość obciążenia Wartość wektora r1 to Teraz muszę obliczyć od punktu podparcia. wartość wektora r2. ia od punktu Odległość miecza i kamien podparcia to: r = L + r1 2

= 0,91 m r2 = 10,00 m – 9,09 m łości o Cię, w jakiej odleg W zadaniu pytan niu powinien znaleźć od miecza w kamie się punkt podparcia.

Rozdział 13.

Obliczenia te były bardzo złożone, a do tego w trakcie rozwiązywania zadania musiałeś bardzo uważać na znaki! Co więcej, pomimo całego tego skomplikowanego rachunku nie poznałeś odpowiedzi na pytanie, z jakiej wysokości należy opuszczać obciążenie, żeby podnieść miecz i więżący go kamień na wymaganą wysokość 0,100 m nad poziom gruntu. Poznałeś jedynie położenie punktu podparcia dźwigni.

588

Rozdział 13.

Moment siły i praca

Zasada zachowania energii pozwala rozwiązywać zadania, w których pojawia się różnica wysokości Kamienie użyte do obciążenia dłuższego ramienia dźwigni są w stanie podnieść miecz uwięziony w granicie, ponieważ ciała te znajdują się na różnych wysokościach. Ponieważ obie masy znajdują się na dźwigni, różnica w wysokościach spowoduje zmianę wysokości każdej z mas. W czasie tego zdarzenia energia kamiennych obciążników zostanie przekazana mieczowi w kamiennej bryle. Energię Wykonując nad ciałem pracę W = F__x, możesz zwiększyć jego energię potencjalną grawitacji. Ponieważ w trakcie podnoszenia ciała na wysokość h musisz pokonać siłę grawitacji, mg, energia potencjalna grawitacji, jaką zyska ciało, wynosi Epg = mgh.

Zaginął jeden z kamieni obciążających… Niestety w czasie, jaki dzielił pierwszą próbę uniesienia głazu z mieczem (zakończoną połowicznym sukcesem, bo głaz uniósł się nieco nad ziemię, ale zbyt nisko) od czynionych właśnie przygotowań, zaginął jeden z kamieni obciążających. Masz teraz do dyspozycji 9 kamieni o masach 15 kg…

potencjalną oznacza się symbolem Ep.

Różnice napędzają zmiany powodujące przekazywanie energii. Składnik mg to ciężar ciała — siła, przeciw której jest wykonywana praca.

Epg = mgh

Litera „g” umieszczona w indeksie dolnym informuje Cię, że to energia potencjalna grawitacji.

W tym przypadku przemieszczenie ciała to zmiana jego wysokości, dlatego też oznacza się je inną literą, „h”.

Zaostrz ołówek Masz zamiar podnieść za pomocą dźwigni ciało o masie 1500 kg na wysokość 0,100 m. a. Ile energii potencjalnej grawitacji przekażesz układowi złożonemu z miecza i skały?

b. Masz do dyspozycji 9 kamiennych bloków, których możesz użyć do obciążenia dłuższego ramienia dźwigni. Masa każdego z nich to 15 kg. Jaką energię potencjalną grawitacji masz im nadać, żeby później unieść za ich pomocą skałę więżącą miecz?

c. Na jaką wysokość musisz unieść kamienne obciążniki?

jesteś tutaj  589

Przekazywanie energii

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Masz zamiar podnieść za pomocą dźwigni ciało o masie 1500 kg na wysokość 0,100 m. a. Ile energii potencjalnej grawitacji przekażesz układowi złożonemu z miecza i skały? Epg = mgh Epg = 1500 kg × 9,8 m/s2 × 0,100 m Epg = 1470 J

b. Masz do dyspozycji 9 kamiennych bloków, których możesz użyć do obciążenia dłuższego ramienia dźwigni. Masa każdego z nich to 15 kg. Jaką energię potencjalną grawitacji masz im nadać, żeby później unieść za ich pomocą skałę więżącą miecz?

Miecz i skuwająca go skała muszą zyskać 1470 J energii potencjalnej grawitacji.

Kamienie obciążające ramię dźwigni mają wykonać pracę 1470 J, dlatego trzeba przekazać im 1470 J energii potencjalnej grawitacji.

c. Na jaką wysokość musisz unieść kamienne obciążniki? Masa kamiennych ciężarów: m = 9 × 15 kg = 135 kg Epg = mgh Epg h =

mg

=

1470 J ≈ 1,11 m 135 kg × 9,8 m/s2

Odpowiedź wydaje się być poprawna, ponieważ wynik jest większy niż 1,00 m (wysokość, na jaką trzeba było podnieść 10 kamieni).

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Do czego przydają się pojęcia pracy i energii?

O: Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem

P

: Czym JEST energia? Ma tę samą jednostkę, co praca. Czy to oznacza, że jest tym samym?

O

zasady zachowania energii i definicji pracy bywa często znacznie prostsze niż analizowanie tych samych problemów za pomocą sił.

: Niezupełnie. Energia to zdolność do wykonania pracy.

P: Czy możesz podać przykład ilustrujący

: A ja myślałem, że energia ma coś wspólnego z elektrycznością. Przecież uruchamiając robota kuchennego czy czajnik elektryczny, zużywam energię!

prostsze rozwiązanie problemu za pomocą zachowania energii?

O

: Gdy w zadaniu pojawiają się różnice w wysokości położenia ciał — jak ma to miejsce podczas podnoszenia ciała — rozwiązanie go za pomocą zasady zachowania energii będzie znacznie szybsze, niż za pomocą analizy układu sił.

Zawsze gdy w zadaniu pojawią się różnice powodujące zmiany układu, zastanów się nad rozwiązaniem go z wykorzystaniem zasady zachowania energii.

590

Rozdział 13.

P O

: Istnieje wiele sposobów przechowywania energii — mówiliśmy już o energii potencjalnej grawitacji i chemicznej energii potencjalnej. Elektryczna energia potencjalna to jeszcze inny sposób jej gromadzenia, ale nie poświęcimy mu tu więcej uwagi.

Zastanów się — jakie różnice pojawiły się na początku, co zmieniło się w wyniku ich wystąpienia i w którym miejscu nastąpiła zmiana postaci energii?

Moment siły i praca

Czy zasada zachowania energii uratuje sytuację? Obliczyłeś przed chwilą, że podniesienie masy 135 kg na wysokość 1,11 m przekaże jej 1470 J w postaci energii potencjalnej grawitacji. Dzięki temu kamienie o tej masie będą w stanie zadziałać siłą niezbędną do wykonania pracy 1470 J i podnieść o 0,100 m miecz uwięziony w bloku granitu. Energia potencjalna grawitacji.

Kamienie zadziałają na dźwignię siłą odpowiednią do uniesienia kamiennego bloku z mieczem na wysokość 0,100 m, przekazując mu energię 1470 J w formie energii potencjalnej grawitacji. A przynajmniej taką masz nadzieję…

1470 J 135 kg

Zadziałasz na kamienie siłą potrzebną do wykonania 1470 J pracy, dzięki czemu uniesiesz je na wysokość 1,11 m, przekazując im 1470 J energii potencjalnej grawitacji.

1,11 m

135 kg Zgodnie z zasadami w całym życiu wolno Ci podjąć tylko dwie próby uniesienia jelca ponad wyznaczoną linię graniczną. To już druga próba, więc…

1470 J 1500 kg Energia potencjalna grawitacji.

0,100 m

Oj… Głaz z mieczem zachybotał się nieco, ale nie uniósł się w powietrze. Wydaje się, że niewiele brakuje, by oderwał się od ziemi, ale na razie nic nie zapowiada zmiany sytuacji. Jeżeli szybko wymyślisz, co się stało, i zastanowisz się, jaką masę trzeba dołożyć do szali z kamiennymi obciążnikami, może zdołasz jeszcze wykonać zadanie i zażądać w nagrodę połowy królestwa!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Nadałeś kamiennym ciężarom energię równą pracy, jaka potrzebna jest do uniesienia miecza wraz z więżącym go głazem, dlaczego więc nie zdołałeś poderwać ich masy z ziemi?

jesteś tutaj  591

Tarcie, siły i praca Nic nie rozumiem! Głaz i miecz prawie oderwały się od ziemi, ale jednak ciągle na niej stoją. Czy pomyliliśmy się w obliczeniach?

Kuba: Może chodzi o zaokrąglanie wyników? Obliczaliśmy wartość pracy niezbędnej do wykonania zadania i zaokrągliliśmy wynik do trzech cyfr znaczących, więc może praca powinna być jednak nieco większa? Krzysiek: Nie sądzę, by chodziło o to. Owszem, liczyliśmy raz energię, ale wysokość, na jaką należy unieść kamienie, wyznaczyliśmy z proporcji — jedna dziesiąta ciężaru wymusza dziesięciokrotnie większą wysokość. Franek: Chwila… powiedziałeś „ciężaru”? Spójrzcie! Tym razem dźwignia tworzy dużo większy kąt z poziomem, więc siła ciężkości obciążenia nie jest wcale prostopadła do ramienia dźwigni! Wywołaliśmy zbyt mały moment siły.

Kamienne obciążenie

Kuba: Ale wektor ciężaru głazu z mieczem też nie jest prostopadły do ramienia dźwigni. Obydwie siły są nachylone do ramienia pod tym samym kątem, więc wytworzone przez nie momenty sił będą nadal identyczne co do wartości.

Składowa prostopadła, wywołująca moment siły. Wektor siły ciężkości.

Miecz w głazie.

Franek: Pewnie masz rację. Musi istnieć jakaś inna przyczyna niepowodzenia — dlaczego praca wykonana do podniesienia głazu z mieczem okazała się za mała? Krzysiek: Czekajcie… przecież ten układ nie jest idealny… co z tarciem? Franek: Co masz na myśli? Krzysiek: Wiesz, jeśli na osi obrotu pojawia się tarcie, do poruszenia dźwigni potrzebna będzie większa siła niż w przypadku układu pozbawionego tarcia. Franek: Ach… ciężar kamieni musi wykonać pracę nie tylko przeciw sile ciężkości głazu i miecza, ale także przeciw sile tarcia! Kuba: Ale skąd masz pewność, że o to chodzi? Przecież nie podnosimy punktu podparcia. Krzysiek: Racja… poprzednio spodziewaliśmy się wykorzystać 100% energii potencjalnej grawitacji kamieni na pokonanie ciężaru głazu z mieczem i uniesienie go w powietrze. Ale musimy też pokonać tarcie pojawiające się na osi obrotu. A to oznacza, że nie cała zgromadzona dzięki podniesieniu kamieni energia zostanie zużyta na podnoszenie miecza w głazie. Szybko, znajdźcie mi coś, co można by dorzucić na ramię dźwigni…

592

Rozdział 13.

Moment siły i praca

Poza pokonaniem grawitacji musisz też pokonać siłę tarcia Miecz w granitowym głazie, choć jest na krawędzi uniesienia się w powietrze, pozostaje na ziemi, bo żaden układ rzeczywisty nie pracuje ze 100-procentową sprawnością.

Przeprowadzając obliczenia, założyłeś, że cała energia potencjalna grawitacji będzie mogła być użyta na wykonanie pracy nad głazem i mieczem. Przyjąłeś, że cały jej zapas zmieni postać w identyczny sposób. Okazuje się jednak, że między punktem podparcia a powierzchnią dźwigni pojawia się tarcie, więc część energii potencjalnej grawitacji kamiennych ciężarów zostaje zużyta na pokonanie siły tarcia, przez co wzrasta energia wewnętrzna punktu podparcia. Może jeszcze uda się osiągnąć równowagę, o ile tarcie nie jest zbyt duże…

Na szczęście oś obrotu była dobrze naoliwiona. Wystarczyło powiesić płaszcz na dłuższym ramieniu dźwigni, by kamień z mieczem uniosły się płynnym ruchem. Połowa królestwa jest Twoja!

jesteś tutaj  593

Energia wewnętrzna

No i znowu zaczynasz opowiadać farmazony, „energia wewnętrzna, bla, bla, bla”. A my nadal nie wiemy, czym ona jest!

Energia wewnętrzna ciała związana jest z zachowaniem cząsteczek i mikroskopową budową ciała. Każde ciało jest zbudowane z cząsteczek (atomów, molekuł i tak dalej). Cząstki te nie pozostają w bezruchu — w ciele stałym doznają ciągłych drgań, a w cieczach i gazach poruszają się w losowo wybranych kierunkach. Mówiąc, że energia wewnętrzna ciała wzrasta, mamy na myśli, że atomy tego ciała zaczęły się gwałtowniej poruszać. Miarą tego zjawiska jest temperatura. Ciała o wyższej temperaturze mają wyższą energię wewnętrzną.

Atom

„Sprężynujące” wiązania międzyatomowe. Cząsteczka

Atomy drgają w tę i z powrotem. Niższa energia wewnętrzna.

Prędkość

Niższa energia wewnętrzna.

Energia wewnętrzna ciała jest większa, jeśli jego atomy drgają z większą prędkością.

Energia wewnętrzna ciała jest większa, jeśli jego cząsteczki poruszają się z większą prędkością średnią. Wyższa energia wewnętrzna.

Wyższa energia wewnętrzna.

Im wyższa temperatura ciała, tym większa jego energia wewnętrzna. 594

Rozdział 13.

Temperatura jest miarą energii wewnętrznej ciała.

Moment siły i praca

Praca wykonana w celu pokonania siły tarcia zwiększa energię wewnętrzną ciała Energię wewnętrzną ciała można podnieść poprzez wykonanie pracy przeciwko sile tarcia. Najłatwiej można wyobrazić to sobie jako przepychanie ciała po podłożu. Gdy będziesz pchać ciało wystarczająco długo, wzrośnie temperatura jego powierzchni (oraz temperatura podłoża). Wyobraź sobie, że cząsteczki to kulki. W takim modelu pocieranie o siebie dwóch powierzchni będzie wyglądało jak szarpanie i potrącanie tacy wypełnionej kulkami. Kulki zaczną poruszać się z większymi prędkościami średnimi, a to oznacza wzrost energii wewnętrznej.

Energia jest przekazywana poprzez wykonywanie pracy przeciw sile tarcia.

Chemiczna energia potencjalna. Przesunięcie Siła

Potrącające się cząsteczki zwiększają energię wewnętrzną ciała.

Energia wewnętrzna klocka i powierzchni podłoża. Klocek nie znalazł się wyżej po zakończeniu ruchu, więc jego energia potencjalna grawitacji nie uległa zmianie.

Podobna rzecz ma miejsce podczas obracania się dźwigni na punkcie podparcia. Poruszające się części układu ocierają się o siebie. Tym razem większość energii potencjalnej grawitacji kamiennych ciężarów zostaje zużyta na pokonanie siły ciężkości głazu granitu i miecza, w wyniku czego zostaje ona zamieniona na energię potencjalną grawitacji tych ciał. Jednak część energii początkowej zostaje zużyta na wykonanie pracy przeciw tarciu pojawiającemu się na styku przesuwających się względem siebie powierzchni. W ten sposób niewielka część energii potencjalnej grawitacji kamieni zostaje przekształcona w energię wewnętrzną punktu podparcia. Energia przekazana na drodze wykonania pracy przeciwko sile ciężkości.

Energia potencjalna grawitacji.

Szerokość strzałek ma przedstawiać stosunek energii zmieniającej postać na oba ze wspomnianych sposobów.

Energia przekazana na drodze wykonania pracy przeciwko sile tarcia.

Energia wewnętrzna Energia potencjalna grawitacji.

Na końcu zjawiska energia potencjalna grawitacji jest nieco mniejsza niż na początku.

jesteś tutaj  595

Przekazywanie energii i różnice temperatur Przecież czajnik nie gotuje wody poprzez wykonanie na niej pracy, prawda? Czy istnieje więcej sposobów podnoszenia temperatury ciał?

Ogrzewanie zwiększa energię wewnętrzną Fizyka definiuje ogrzewanie jako przekazywanie energii wynikające z istnienia różnicy temperatur. Ciało o wyższej temperaturze umieszczone w izolowanym pojemniku pełnym wody o niższej temperaturze przekaże część swojej energii wewnętrznej wodzie, przez co jej energia wewnętrzna wzrośnie, a jego zmaleje o tę samą ilość. Proces ten będzie zachodzić tak długo, aż temperatury obydwu ciał nie staną się równe. (Zjawisko to nazywa się czasami oddawaniem ciepła). Jeżeli chcesz porównać ten proces z zachowaniem poruszających się kulek, wyobraź sobie, że szybko poruszające się kulki gorącego ciała znajdują się nagle w otoczeniu wolno poruszających się kulek wody. Kulki gorącego ciała będą potrącać sąsiadujące z nimi powolne kulki wody, podnosząc przy tym ich prędkości, tak długo, aż średnie prędkości wszystkich kulek się wyrównają.

Przekazywanie energii poprzez ogrzewanie. Identyczna temperatura.

Niższa temperatura.

Energia wewnętrzna. Przekazywaną energię zaznaczyliśmy tu tylko pod postacią „gwiazdy”. Klocek o wyższej temperaturze początkowej nadal ma pewną energię wewnętrzną, ale nie przekazuje jej już wodzie, ponieważ temperatury obydwu ciał wyrównały się.

596

Rozdział 13.

Energia wewnętrzna.

Wyższa temperatura.

Potrącające się cząsteczki.

Ogrzewanie to przekazywanie energii wynikające z istnienia różnicy temperatur.

Moment siły i praca

Nie można osiągnąć 100% sprawności Mierząc się z podnoszeniem bryły granitu z tkwiącym w niej mieczem, odkryłeś, że nie da się wykorzystać całej energii potencjalnej obciążenia dźwigni na wykonanie pracy przeciw sile ciężkości. Okazało się, że część z niej jest zużywana na wykonanie pracy przeciw tarciu powstającemu na styku dźwigni i punktu podparcia. Ten problem rozwiązałeś, rzucając na szalę swój płaszcz! Sprawność dźwigni to ta część energii, która zostaje spożytkowana na podniesienie głazu i miecza. Zwiększenie energii wewnętrznej punktu podparcia nie stanowi pożytku z Twojego punktu widzenia. Całkowita energia układu jest zawsze zachowana — część energii początkowej została przekazana układowi głaz – miecz, a część podniosła energię wewnętrzną punktu podparcia.

Sprawność to ułamek określający, jaką część energii da się spożytkować po zmianie postaci.

Sytuację tę można porównać do systemu bankowego, który nie pozwala Ci przekazać żadnej liczby banknotów bez zniszczenia jej części w niszczarce! Możesz oczywiście nie dokonywać żadnych przelewów, ale wtedy pieniądze nie przyniosą Ci wcale pożytku!

95%

Praca wykonana przeciwko sile ciężkości.

Energia potencjalna grawitacji, którą można wykorzystać do wykonania pracy.

Praca wykonana przeciwko sile tarcia.

100%

Ta liczba to wartość przykładowa.

Energia wprowadzona do układu.

Nie da się przekształcić postaci energii ze 100-procentową sprawnością.

5% Energia wewnętrzna — ponieważ jest nieuporządkowana, nie da się łatwo zużyć jej na wykonanie pracy.

jesteś tutaj  597

Praca i energia

Pogawędki przy kominku

Rozmowa wieczoru: Praca i Energia idą łeb w łeb.

Energia

Praca

Witaj, praco! Co dziś kombinujesz? Co by to było, na pewno będzie bardziej użyteczne niż twoje knowania. Jestem tego pewna! Spokojnie, spokojnie. Spuść trochę pary z gwizdka. O co chodzi? Prawdę mówiąc, czuję się mocno niedoceniona. Na początku rozdziału wszystko zapowiadało się doskonale. Byłam gwiazdą wieczoru. Przyciągałam uwagę, ale potem pojawiłaś się ty i ludzie w ogóle zapomnieli o moim istnieniu. To prawda, skupiłam na sobie całą uwagę! No właśnie, a to przecież ja jestem użyteczna! Gdy chcesz coś przesunąć, działając na to siłą, jestem gotowa do akcji. Cóż, prawdę mówiąc, ja też! Ale tylko w roli rzeczownika. Nie da się utworzyć od ciebie czasownika. Można pracować, ale energiować? Gdyby nie ja, w ogóle by cię nie było! Nie mogę się z tym zgodzić. Dlaczego twierdzisz, że od ciebie zależę? Wiesz, energia to zdolność do wykonywania pracy. Jeżeli ciało nie może się nią poszczycić, nie wykona żadnej pracy. Nie ma mnie, nie ma ciebie! Cała ty! Żonglujesz słowami i nie pozwalasz się jasno określić. Ja przynajmniej wiem, czym jestem — przesunięcie × równoległa do niego składowa siły. A ty? Czym ty jesteś? Jestem zdolnością ciała do wykonania pracy! To nie ty, to puste słowa. Dobrze. Zawsze spełniam zasadę zachowania, nie można mnie stworzyć ani zniszczyć. Pasuje ci? Wygląda mi to bardziej na metafizykę niż fizykę. I nadal nie daje odpowiedzi na pytanie, czym jesteś.

598

Rozdział 13.

Moment siły i praca





< '4  *%*'= )  ) !* 6)'"  4 #4"  %0'#!4 )   #$     44)"9%> "  % ! "  4' !"  %   %#%' 4 <%4-%4 ?4 4    @%!0 4 ?% 4  * @ %! %&)"!%0 -4 - #      >'% "#  *'-" # 4  %0 6%#"0%    3%&%*4 B!#%   - %%"4  3!  % 0C*"

    D15# !! 1 !#  1  E 4" %"  % F! #" 0!* %#  G %&"% %&%%"H0!* #           3'%'  134  % +1C*"   !;)%-* 4-  %' -7" % ! #9%   

%%416"#

0! !0%-%  54 % 1   3'"!#% %!  C"!%&%

jesteś tutaj  599

jednostki

Twój świat

spadanie zachowanie energii przyspieszenie

wykres

skalar punkty szczególne

doświadczenie ciężar

siła

Różnica w wysokości? Użyj zasady zachowania energii!

składowa

czas

Pitagoras

zachowanie pędu

moment siły

energia

podstawienie

równania ruchu

popęd siły

Bądź częścią problemu

równanie

stałe przyspieszenie

notacja naukowa przemieszczenie

siła normalna

wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji

droga trygonometria

prędkość

tarcie

diagram rozkładu sił

symetria nachylenie

objętość

praca

prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? powierzchnia

Moment siły

masa

Przyczyna obrotów. Jest równy iloczynowi prostopadłej do ramienia składowej siły przez odległość od punktu przyłożenia tej siły do osi obrotu.

Praca

Pojawia się podczas przesuwania ciała przeciwnie do kierunku działania siły. Wykonana praca = siła × przesunięcie w kierunku równoległym do siły.

600

Energia

Zdolność ciała do wykonania pracy.

Energia

Zdolność ciała do wykonania pracy wynikająca ze zwiększenia wysokości

potencjalna

położenia tego ciała.

Zachowanie

Całkowita energia układu przed zajściem zmiany jest równa całkowitej

energii

energii układu po zajściu zmiany. Dlatego mówimy, że energia jest zachowana.

Rozdział 13.

Moment siły i praca

Niezbędnik fizyka

„Zerowy wypadkowy moment

siły”

czenia siły Gdy stajesz przed zadaniem obli żeniu poło m cny obe w mającej utrzymać musisz tu, obro nia ona ciało zdolne do wyk siły. entu mom cie poję przypomnieć sobie więcej, ni ej, mni ni a, acz Takie polecenie ozn się ia wan zero k une war że musisz znaleźć sił. entu wypadkowego mom entów sił, Zanim zaczniesz obliczenia mom zmieniaj nie i tu ustal dodatni kierunek obro go do zakończenia obliczeń.

„Czy zauważyłeś różnicę?” Wszelkiego rodzaju różnice są przyczyną zmian zachodzących w układzie, których skutkiem jest przekazanie energii. Gdy końcowa wysokość położenia ciała zmieni się w stosunku do jego początkowej wysokości położenia, zastanów się, czy nie warto rozwiązać tego problemu, korzystając z zasady zachowania energii. Unikniesz wtedy wykonywania żmudnej analizy dynamicznej.

Podnoszenie ciał Z punktu widzenia za sad fizycznych do podniesienia ciała na jakąś wysokość wystarczy zadziałać na nie minimalną siłą równą jego ciężarowi (chyba że w zadaniu pojawia się tarcie). Wynika to bezpośrednio z I zasady dynamiki Newtona, któ ra stwierdza, że ciało, na które nie działa siła wypadkowa, będzie po ruszać się ze stałą prędkością. Oznacza to, że gdy „szturchniesz” lekko cia ło na rozruch, a ono zacznie już poru szać się w górę, utrzyma swoją prędkoś ć tak długo, jak długo będzie dział ać na nie siła równoważąca jego cię żar.

y Wykonywanie prac y jest jednym Wykonywanie prac zywania energii. ka ze sposobów prze konujesz Podnosząc ciało, wy le ciężkości pracę przeciwko si n sposób energię i zwiększasz w te cji tego ciała. potencjalną grawita ło, wykonujesz Gdy popychasz cia le tarcia pracę przeciwko si kszasz energię ię zw i jednocześnie ła oraz wewnętrzną tego cia ma kontakt. ą ór kt z powierzchni,

jesteś tutaj  601

   

Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 13. niniejszej książki. Twój przybornik fizyka wzbogacił się o nowe umiejętności, które okażą się przydatne podczas rozwiązywania problemów fizycznych oraz sprawdzania poprawności odpowiedzi udzielanych na pytania będące częścią zadań z fizyki.

602

Rozdział 13.

14. Zasada zachowania energii

Ułatw sobie życie Mówisz serio? Przez dziesięć minut tłumaczył na siłach i składowych wektorów, jak wiesza kapelusz na wieszaku? Człowieku, przecież wystarczy go podnieść i powiesić!

Po co się męczyć, skoro można ułatwić sobie życie? Na razie rozwiązywałeś wszystkie problemy, posługując się równaniami ruchu, siłami i składowymi wektorów. To doskonałe narzędzia, ale czasami wiążą Cię na długi czas w skomplikowanych obliczeniach matematycznych. Z tego rozdziału dowiesz się, jak zauważać, kiedy możesz uprościć rozwiązanie skomplikowanego problemu, posługując się zasadą zachowania energii.

to jest nowy rozdział 603

Co mi to przypomina? Zabójczy tor! Nie mogę doczekać się chwili, kiedy zedrę na nim płozy. Oczywiście, gdy będzie już bezpieczny!!

Jedyny w swoim rodzaju tor bobslejowy Wesołe miasteczko przygotowało na otwarcie w tym sezonie nową atrakcję — wspaniały, najnowocześniejszy tor bobslejowy. Zanim jednak nowa atrakcja stanie się dostępna dla turystów, trzeba sprawdzić, czy jest bezpieczna. I to właśnie Twoje zadanie. Co prawda nie jesteś saneczkarzem, ale znasz fizykę i dzięki temu możesz stwierdzić, czy projekt wymaga poprawek. Tor dzieli się na trzy części. Do pierwszego punktu kontrolnego jego nachylenie jest stałe. Pomiędzy pierwszym a drugim punktem kontrolnym jego wysokość obniża się o 30,0 m, ale tor jest pofalowany tak, że sanki przez chwilę jadą też pod górę! Trzecia część toru jest zupełnie płaska — na niej uruchamia się hamulec, który zatrzymuje sanki. Musisz obliczyć szybkość sanek w każdym z punktów kontrolnych oraz siłę hamowania potrzebną do zatrzymania sanek.

Start

Punkt kontrolny 1

Musisz obliczyć szybkość sanek w każdym z punktów kontrolnych.

20,0 m

Punkt kontrolny 2

Musisz też obliczyć SIŁĘ, która wyhamuje sanki przed końcem toru.

40,0° Pierwsza część toru ma stałe nachylenie.

W trzeciej części toru masz 50,0 m na zatrzymanie sanek.

30,0 m Druga część toru opada o 30,0 m, ale jest pofalowana.

Rozwiązanie zaczynaj zawsze od rysunku i odpowiedzi na pytanie „Co mi to PRZYPOMINA?”. 604

Rozdział 14.

50,0 m

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Czy jest taka część toru, z którą wiesz już, jak sobie poradzić?

Zasada zachowania energii

Siła normalna

Start

Jesteś tutaj.

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Chwilkę… czy nie opisywaliśmy już ruchu ciała zsuwającego się po równi?! Składowa prostopadła

θ

30,0 m

50,0 m

Wiesz już, jak to policzyć! Ciężar, Q = mg

θ Składowa równoległa

Pierwsza część toru wygląda jak urządzenie Kombinatorów wagi ciężkiej znane Ci z rozdziału 11., służące do zjeżdżania na wadze po pochyłości. Co prawda dalsze części toru bobslejowego mogą przyprawić o ból głowy, ale tę część potrafisz zanalizować tak, jak poprzednio!

Zaostrz ołówek

Pierwsza część toru nie powinna stanowić dla Ciebie problemu.

Sanki o masie m zjeżdżają w dół po równi pochyłej nachylonej pod kątem 40° do poziomu i pokonują różnicę wysokości 20,0 m. a. Oblicz drogę pokonaną przez sanki pomiędzy startem a pierwszym punktem kontrolnym.

b. Oblicz składową ciężaru sanek równoległą do powierzchni równi.

c. Oblicz szybkość sanek w pierwszym punkcie kontrolnym.

Wskazówka: Ponieważ masa sanek nie została podana liczbowo, uzyskana odpowiedź też nie będzie liczbą — będzie zawierać w sobie składnik „m”.

Wskazówka: Skorzystaj z II zasady dynamiki Newtona i wyznacz wartość przyspieszenia z równania na siłę wypadkową, a potem podstaw wynik do równania ruchu, z którego obliczysz szybkość.

jesteś tutaj  605

Mnóstwo trójkątów Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

40,0°

30,0 m

50,0 m

Sanki o masie m zjeżdżają w dół po równi pochyłej nachylonej pod kątem 40° do poziomu i pokonują różnicę wysokości 20,0 m. a. Oblicz drogę pokonaną przez sanki pomiędzy startem a pierwszym punktem kontrolnym. a c

sin() = c

a

c =

20 m  = 40,0°

c ≈

b

20,0 m



sin(40,0°) 31,1 m

Narysuj teraz trójkąt sił. Wektor siły ciężkości jest skierowany prosto w dół. Jego składowe będą prostopadłe i równoległe do równi. To, jak je narysujesz, nie ma znaczenia, ponieważ ich długości zawsze będą takie same.

||

c mg 31,1 m



Te dwa kąty dają w sumie 90°.



Jeżeli nie jesteś pewien, który z kątów rozkładu wektorów odpowiada kątowi równi, naszkicuj sobie wykres przedstawiający sytuację dla bardzo małego kąta . Mały kąt pomoże Ci odnaleźć trójkąty podobne.

b. Oblicz składową ciężaru sanek równoległą do powierzchni równi. a F

20 m

O trójkątach słów kilka — narysuj bardzo małe kąty

F||

b



FA

θ

Te dwa kąty dają w sumie 90°.

FA

θ mg mg θ

Ciężar sanek Q = mg F__ jest składową równoległą do równi i leży naprzeciw kąta .

FA

Jeśli chcesz, żeby siła wypadkowa pokrywała się z linią równi, najłatwiej jest narysować rozkład sił w ten sposób, ze składową równoległą na górze.

Jej wartość obliczam z podobieństwa trójkątów: F__ mg

=

20,0 m 31,1 m

F__ ≈ 0,643 mg

Jeżeli w odpowiedzi pojawiają się zmienne, na przykład „m” czy „g”, nie musisz podawać jednostek wyniku, ponieważ te wielkości fizyczne mają jednostki. Oczywiście w przypadku działań na liczbach musisz podawać jednostki.

c. Oblicz szybkość sanek w pierwszym punkcie kontrolnym. x0 = 0 m

F||

Jeżeli bardziej interesuje Cię wektor siły normalnej, narysuj rozkład sił w ten sposób, ze składową równoległą na dole.

Kąt  to najmniejszy kąt trójkąta równi, więc będzie też najmniejszym kątem trójkąta rozkładu sił.

Fwyp = ma

a = 0,643 g

0,643 mg = ma

v0 = 0 m/s

a = 0,643 g x = 31,1 m

Przyspieszenie wynosi 0,643 g, więc nie zapomnij podstawić 2 do wzoru wartości 9,8 m/s .

v2 = v02 + 2a(x - x0)

v = ? v = (0 m/s)2 + 2 × 0,643 × 9,8 m/s2 × 31,1 m ≈ 19,8 m/s

606

Rozdział 14.

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m

Nachylenie równi jest takie samo na całej pierwszej części toru. Składowa siły równoległa Start do równi jest cały czas taka sama.

F|| 20,0 m

Pierwszą część zadania rozwiążesz, rozkładając siły na składowe…

30,0 m

50,0 m

Pierwsza część toru jest nachylona do poziomu pod stałym kątem, co sprawia, że siła wypadkowa działająca na sanki jest zawsze taka sama — składowa ciężaru sanek równoległa do równi jest stała.

mg 40.0° FA 40,0°

Ciężar

40,0°

PK1

Wiesz już, że sanie, mijając pierwszy punkt kontrolny, będą poruszały się z szybkością 19,8 m/s. Na razie idzie dobrze… Chcesz poznać szybkość sanek w każdym z punktów kontrolnych.

… ale w drugiej części tor nie ma już stałego nachylenia Niestety druga część toru bobslejowego nie jest już tak przyjemna. Różnica poziomów jest wprawdzie znana i wynosi 30,0 m, ale nachylenie toru do poziomu wcale nie jest jednorodne — na całej jego długości pojawiają się wzniesienia i zagłębienia. Zdarza się nawet, że sanki jadą pod górkę! Każda zmiana kąta nachylenia toru powoduje zmianę składowej ciężaru równoległej do nawierzchni. To oznacza, że siła wypadkowa działająca na sanki zmienia się, powodując tym samym zmiany długości i kierunku wektora przyspieszenia. To utrudnia nieco Twoje zadanie, ponieważ równania ruchu w znanej Ci postaci pozwalają opisywać wyłącznie te przypadki, w których ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem. Metoda, którą posłużyłeś się ostatnio, nie sprawdzi się teraz.

Ciało poruszające się po nachyleniu przyspiesza pod wpływem działającej na nie równoległej do podłoża składowej swojego ciężaru.

Składowa równoległa do podłoża ma w każdym punkcie inną długość i inny kierunek. Czasami nawet spowalnia sanki!

PK1 F||

30,0 m

FA

mg mg

Ciężar

F||

FA Kąt nachylenia toru do poziomu zmienia się w każdym punkcie.

PK2

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak obliczyć szybkość sanek w drugim punkcie kontrolnym, gdy pokonują one różnicę wysokości 30,0 m po pofalowanym torze?

jesteś tutaj  607

Zmiany wysokości Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Jedna część toru już za nami. Zostały jeszcze dwie…

Krzysiek: Niestety następny odcinek toru jest bardziej wymagający — jego nachylenie do poziomu ulega ciągłym zmianom! Przyspieszenie ciała nie będzie stałe.

30,0 m

50,0 m

Kuba: A może podzielimy ten fragment toru na wiele małych kawałków? Jeżeli nachylenie będzie stałe choćby przez kilka metrów, zdołamy przeprowadzić potrzebne obliczenia, potem powtórzymy tę procedurę dla następnego fragmentu i tak dalej. Następnie dodamy do siebie wyniki obliczeń i otrzymamy całkowitą zmianę prędkości. Krzysiek: Przecież to zajmie całe wieki! Nie wydaje mi się, żebyśmy mieli szansę obliczyć to ręcznie. Franek: Pewnie dałoby się napisać działający w ten sposób program komputerowy… ale nie mam pojęcia, jak się to robi. Kuba: Może źle się do tego zabieramy? Tak bardzo skupiliśmy się na siłach, że zupełnie zapomnieliśmy o energii. Krzysiek: Hmm, sanki obniżają swoje położenie o 30,0 m, więc na początku tej części toru dysponują większą energią potencjalną grawitacji niż na jej końcu. Zmiana ta wynika z różnicy wysokości.

PK1

30,0 m

Różnica wysokości

PK2

Zawsze gdy natkniesz się w zadaniu na zmianę wysokości, na której znajduje się ciało, zastanów się nad użyciem zasady zachowania energii.

Franek: Ale jak to policzyć? Nie do końca wiem, w co zmieniła się ta energia! Kuba: Racja, ale wiemy przecież, że energia układu jest zachowana, prawda?! To oznacza, że energia potencjalna grawitacji musiała zmienić postać w czasie zjazdu sanek po torze! Krzysiek: Zastanawiam się, czy sanki mają energię tylko dlatego, że się poruszają?! Przecież energia miała określać zdolność ciała do wykonania pracy, czyż nie? Franek: Tak… jeśli poruszające się ciało uderzy w inne ciało, wywrze na nie tym samym siłę, która przemieści to drugie ciało. A to oznacza wykonanie pracy. Jak młotek! Poruszający się młotek działa na gwóźdź, dzięki czemu ten wbija się w drewno. To chyba właśnie wykonywanie pracy? Krzysiek: Chyba powinniśmy rozwinąć tę myśl.

608

Rozdział 14.

ów Sanki poruszają się, mijając pierwszy z punkt tym kontrolnych, więc można powiedzieć, że na czną etapie ruchu dysponują pewną energią kinety i pewną energią potencjalną.

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Poruszające się ciało ma energię kinetyczną

30,0 m

50,0 m

Sanki znajdujące się na górze toru bobslejowego mają większą energię potencjalną grawitacji niż w połowie toru lub na jego dole. Przyczyną jest różnica wysokości, na jakiej znajdują się sanki.

En. kinetyczna

Mówimy, że poruszające się ciała mają energię kinetyczną. Oznacza to, że mogą wykonać pracę, działając na inne ciało siłą, która spowoduje jego przesunięcie — na tej zasadzie działa wbijanie gwoździa młotkiem. Gdyby młotek pozostawał w jednym miejscu, czyli nie miał żadnej prędkości, nie mógłby wykonać pracy!

PK1

En. potencjalna

To energia, której postać uległa zmianie. 30,0 m

En. kinetyczna PK2

Różnice wywołują zmiany odpowiedzialne za przekazywanie energii. Różnica wysokości, na jakich znajdują się sanki, sprawia, że zmienia się ich prędkość. Inaczej mówiąc, energia potencjalna grawitacji sanek zostaje przekształcona w energię kinetyczną. Jeśli energia potencjalna grawitacji pojazdu zmniejsza się o 1000 J ze względu na zmianę wysokości, na której się on znajduje, jego energia kinetyczna musi wzrosnąć o 1000 J. Gdy uda Ci się odkryć równanie opisujące energię kinetyczną ciała, będziesz mógł posłużyć się zasadą zachowania energii do wyznaczenia prędkości sanek powstałej w wyniku obniżenia ich położenia w drugim z punktów kontrolnych. Zakładamy tu brak tarcia, ale pamiętaj, że na lodzie prawie się go nie odczuwa.

Zaostrz ołówek

Ta część energii kinetycznej pozostała w niezmienionej postaci.

Zmiana energii potencjalnej jest równa zmianie energii kinetycznej, ponieważ całkowita energia układu musi być zachowana. To wykonywanie pracy. Praca = Fx.

a. Wyobraź sobie poruszający się młotek, który uderza z pewną siłą w gwóźdź, przesuwając go w głąb drewnianej deski. Siła oddziałująca na gwóźdź wykonuje w ten sposób pewną pracę. Wiedząc to, postaraj się określić, które zmienne mogą mieć wpływ na wartość energii kinetycznej młotka. Uzasadnij swoją odpowiedź.

Możesz teraz wypisać równania, które pomogą Ci odnaleźć wzór opisujący energię kinetyczną. Pamiętaj, że w tym „Zaostrzonym ołówku” masz jedynie wypisać odpowiednie równania. Ich przekształcaniem zajmiemy się na następnej stronie. Jeżeli nie pamiętasz wszystkich wzorów, sprawdź je w dodatku B. b. Zapisz równanie opisujące energię potencjalną grawitacji sanek o masie m, znajdujących się w szczytowym punkcie toru na wysokości h .

c. Zapisz równanie ruchu spadającego ciała, posługując się wielkościami x, x0, v0, v i a.

jesteś tutaj  609

Energia kinetyczna Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

30,0 m

50,0 m

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Wyobraź sobie poruszający się młotek, który uderza z pewną siłą w gwóźdź, przesuwając go w głąb drewnianej deski. Siła oddziałująca na gwóźdź wykonuje w ten sposób pewną pracę. Wiedząc to, postaraj się określić, które zmienne mogą mieć wpływ na wartość energii kinetycznej młotka. Uzasadnij swoją odpowiedź.

Gdy siła działająca na gwóźdź wykonuje większą pracę, przemieszczenie gwoździa jest większe.

Młotek poruszający się z większą szybkością wykona większą pracę. Młotek o większej masie wykona większą pracę.

Z powyższych stwierdzeń wynika, że energia kinetyczna musi zależeć od masy i prędkości.

Możesz teraz wypisać równania, które pomogą Ci odnaleźć wzór opisujący energię kinetyczną. Pamiętaj, że w tym „Zaostrzonym ołówku” masz jedynie wypisać odpowiednie równania. Ich przekształcaniem zajmiemy się na następnej stronie. Jeżeli nie pamiętasz wszystkich wzorów, sprawdź je w dodatku B. b. Zapisz równanie opisujące energię potencjalną grawitacji sanek o masie m, znajdujących się w szczytowym punkcie toru na wysokości h .

c. Zapisz równanie ruchu spadającego ciała, posługując się wielkościami x, x0, v0, v i a. v2 = v02 + 2a(x – x0)

To wyrażenie pozwalające wyznaczyć wartość energii potencjalnej, która częściowo zostanie przekształcona w energię kinetyczną.

Epg = Fx = mgh

Ten wzór pomoże Ci znaleźć związek między różnicą wysokości położenia ciała a jego prędkością.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Gdybym znał różnicę w wysokościach początku i końca toru o stałym nachyleniu, mógłbym bez trudu wyznaczyć prędkość ciała na końcu toru, prawda?

O: Oczywiście. Jeżeli tor

jest nachylony do poziomu pod stałym kątem (jak na przykład pierwszy fragment toru z tego zadania), możesz wykonać rozkład sił działających na sanki, wyznaczyć siłę wypadkową, obliczyć przyspieszenie, jakiego doznaje ciało, i w ten sposób odszukać wartość prędkości.

610

Rozdział 14.

P

: A co mam zrobić, gdy tor jest falisty? Czy ta metoda zadziała?

O

: Teoretycznie tak, choć wszystko będzie bardziej skomplikowane. Musiałbyś wyznaczyć siłę wypadkową działającą na ciało w każdym, mikroskopijnym fragmencie toru. Żaden człowiek nie zdoła zrobić tego ręcznie. Takie obliczenia przeprowadza się wyłącznie dzięki programom komputerowym napisanym specjalnie w tym celu.

P

: Czy rozwiązanie każdego zadania, w którym pojawia się ruch ciała na nieregularnym stoku, wymaga użycia komputera?

O: Nie. Zawsze możesz

posłużyć się zasadą zachowania energii. Energia potencjalna grawitacji, którą ciało dysponuje na szczycie stoku, zostanie przekształcona w czasie zjazdu na energię kinetyczną.

P

: Czym jest energia kinetyczna?

O: Energia kinetyczna określa

zdolność ciała do wykonania pracy dzięki prędkości, z jaką się ono porusza. Każde poruszające się ciało ma energię kinetyczną.

P

: Wiem, że energię potencjalną grawitacji opisuje wzór mgh, ale nie znam równania energii kinetycznej.

O

: Właśnie zajmujemy się odnalezieniem tego wzoru. Na razie odkryłeś, że energia kinetyczna musi zależeć od masy ciała i jego prędkości. Teraz wykonasz kilka podstawień, żeby określić dokładny charakter tej zależności…

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Energia kinetyczna zależy od prędkości ciała Każde poruszające się ciało dysponuje energią kinetyczną. Gdy sanki zjeżdżają w dół po torze bobslejowym, część ich energii potencjalnej grawitacji zostaje przekształcona na energię kinetyczną. Energia kinetyczna, którą zyskują sanki, musi być równa energii potencjalnej grawitacji, którą tracą. Energia kinetyczna zależy w jakiś sposób od masy sanek i ich prędkości. Gdyby udało Ci się opisać wzorem zmianę energii kinetycznej sanek, zdołałbyś określić zmianę ich prędkości pomiędzy pierwszym punktem kontrolnym a drugim punktem kontrolnym. Byłoby to równoznaczne z wyznaczeniem prędkości sanek w drugim punkcie kontrolnym.

W PK1 sanki dysponują pewną energią kinetyczną i pewną energią potencjalną. En. kinetyczna

PK1

30,0 m

50,0 m

En. potencjalna

v1 = 19,8 m/s Ta energia zmienia postać.

30,0 m Ta część energii kinetycznej pozostaje w postaci energii kinetycznej. Zmiana wysokości powoduje przekształcenie części energii.

En. kinetyczna

PK2 v2 = ?

Zaostrz ołówek a. Równania, które zapisałeś na poprzedniej stronie — Epg = mgh i v2 = v02 + 2a(x – x0) — opisują te same wielkości różnymi symbolami. Przypuśćmy, że masz rozwiązać zadanie, w którym ciało puszczone swobodnie spada w dół. Które z wielkości podanych w powyższych wzorach będą swoimi odpowiednikami?

b. Wykonaj odpowiednie podstawienia i wykaż, że energia kinetyczna ciała (Ek) puszczonego swobodnie na pewnej wysokości h (mającego zatem energię potencjalną grawitacji Epg = mgh) jest opisana wzorem Ek = ½mv2.

jesteś tutaj 

611

Zmiany wysokości Start

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

30,0 m

50,0 m

2

2

a. Równania, które zapisałeś na poprzedniej stronie — Epg = mgh i v = v0 + 2a(x – x0) — opisują te same wielkości różnymi symbolami. Przypuśćmy, że masz rozwiązać zadanie, w którym ciało puszczone swobodnie spada w dół. Które z wielkości podanych w powyższych wzorach będą swoimi odpowiednikami? v2 = v02 + 2a(x – x0)

Ep = mgh

Przemieszczenie ciała jest oznaczone w pierwszym równaniu literą h, w drugim zaś odpowiada mu wyrażenie (x – x0). Przyspieszenie jest oznaczone w pierwszym równaniu literą g, w drugim natomiast literą a.

b. Wykonaj odpowiednie podstawienia i wykaż, że energia kinetyczna ciała (Ek) puszczonego swobodnie na pewnej wysokości h (mającego zatem energię potencjalną grawitacji Epg = mgh) jest opisana wzorem Ek = ½mv2. Początkowo ciało nie porusza się, więc v0 = 0 m/s.

Czasami wygodniej jest opuścić indeks dolny „g” w oznaczeniu energii potencjalnej grawitacji.

Z zasady zachowania energii Ep0 = Ek1.

ić Jest on potrzebny przede wszystkim po to, by odróżn energię potencjalną grawitacji Epg od energii potencjalnej sprężystości Eps.

Zmiana wysokości ciała, h, odpowiada wyrażeniu (x – x0), więc dokonuję odpowiednich przekształceń i podstawienia. Podstaw „g” za „a”.

Podstaw „h” za „x – x0”.

v2 = 2g(x – x0) (x - x0) =

v2 2g

h =

v2 2g

Podstaw za „h”.

Ek1 = Ep0 = mgh = mg Ek1 = ½mv2

Taka sama zmiana wysokości zawsze wywoła identyczną zmianę energii potencjalnej grawitacji, bez względu na tor, po jakim porusza się ciało.

612

Rozdział 14.

Jeżeli w zadaniu nie występują żadne sprężyny, nie ma konieczności wprowadzania dodatkowego indeksu „g”, który przy nieuważnym zapisie może ia pomylić się dodatkowo z oznaczeniem przyspieszen ziemskiego. Poza tym mniejszy natłok indeksów pozwala wprowadzić oznaczenia Ep0 i Ep1 dla odróżnienia energii w początkowej fazie zdarzenia od energii w jego fazie końcowej.

v2 2g

Wspaniale, tylko że to równanie opisuje lot ciała puszczonego swobodnie w dół, a sanki wcale nie spadają!

Ilość przekształconej energii zależy wyłącznie od zmiany wysokości, na której znajduje się ciało. Sanki dysponują pewną energią potencjalną grawitacji, zależną od wysokości, na której się znajdują. Ilość zmagazynowanej energii nie zależy od ścieżki, jaką sanki dostały się na szczyt. Określona zmiana wysokości wywoła zawsze taką samą zmianę energii potencjalnej grawitacji, zarówno w przypadku, gdy sanki będą poruszały się w dół, jak i gdy będą jechały pod górę. Oznacza to, że zmiana energii potencjalnej grawitacji zawsze wiąże się ze zmianą energii kinetycznej (przy założeniu braku tarcia), niezależnie od ścieżki, po jakiej poruszają się sanki. Określona zmiana wysokości zawsze wywoła identyczną zmianę energii kinetycznej ciała.

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Oblicz prędkość sanek, znając zasadę zachowania energii i zmianę wysokości na torze

30,0 m

50,0 m

Poruszające się ciało dysponuje energią kinetyczną opisaną wzorem: Ek = ½mv2 Znając masę sanek i ich energię kinetyczną, możesz wyznaczyć prędkość, z jaką mijają drugi punkt kontrolny. Energia kinetyczna

Masa

Energię kinetyczną sanek wyznaczysz, korzystając z zasady zachowania energii. Różnica prędkości sanek mierzona pomiędzy pierwszym a drugim punktem kontrolnym wynika z różnicy wysokości, na których umieszczono te punkty. Stąd wynika zaś, że zmiana energii potencjalnej grawitacji musi być równa zmianie energii kinetycznej.

Ek = ½mv2 Prędkość

Jesteś gotów do obliczenia prędkości sanek w drugim z punktów kontrolnych? Świetnie!

Zaostrz ołówek Sanki zjeżdżające po torze bobslejowym minęły właśnie pierwszy punkt kontrolny (PK1). Drugi punkt kontrolny znajduje się u podnóża stoku, 30,0 m poniżej pierwszego.

Warto oznaczyć wszystkie rodzaje energii ciała w danym punkcie kontrolnym jednym indeksem, na przykład Ek1, Ep1, Ek2, Ep2 itd.

Skoro mijając PK1, sanki poruszały się z szybkością 19,8 m/s, z jaką szybkością miną PK2? (Energia potencjalna grawitacji sanek + energia kinetyczna na początku trasy będą równe energii kinetycznej sanek na dole toru).

jesteś tutaj  613

Taka sama prędkość = taka sama energia kinetyczna

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Sanki zjeżdżające po torze bobslejowym minęły właśnie pierwszy punkt kontrolny (PK1). Drugi punkt kontrolny znajduje się u podnóża stoku, 30,0 m poniżej pierwszego. Skoro mijając PK1, sanki poruszały się z szybkością 19,8 m/s, z jaką szybkością miną PK2? (Energia potencjalna grawitacji sanek + energia kinetyczna na początku trasy będą równe energii kinetycznej sanek na dole toru). PK1: Ek1 + Ep1 = mgh + ½mv12 PK2: Ek2 = ½mv22 2

½mv mv2 W każdym z wyrazów pojawia się czynnik „m”, więc po podzieleniu obydwu stron równania przez tę wielkość, znika ona z równania.

v1 = 19,8 m/s

h = 30,0 m 2

= mgh m + ½mv m 1

v22 = 2gh + v12

v2 = ?

v2 = 2gh + v12 v2 = (2 × 9,8 m/s2 × 30,0 m) + (19,8 m/s)2 v2 = 31,3 m/s

Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem zasady zachowania energii jest prostsze niż analizowanie ich z użyciem sił.

Wspominaliśmy wcześniej, że praca jest skalarem. Czy to oznacza, że energia kinetyczna również jest skalarem?

Energia, tak samo jak praca, jest wartością skalarną. Praca jest wielkością skalarną, ponieważ dana siła, przesuwająca ciało na tę samą odległość, wykona zawsze taką samą pracę, niezależnie od kierunku swojego działania. Energia kinetyczna jest również skalarem, ponieważ ciało obdarzone prędkością v będzie miało zawsze taką samą ilość energii, Ek = ½mv2, niezależnie od kierunku wektora prędkości. Zmiana energii kinetycznej może mieć znak dodatni albo ujemny. W tym przypadku znak nie określa kierunku wektora, a jedynie charakter zmiany ilości energii (przyrost lub ubywanie energii). Tak samo zmiana masy określa zmianę ilości materii i również może mieć znak dodatni lub ujemny.

614

Rozdział 14.

Zwrot wielkości wektorowej określamy odpowiednim znakiem. Pamiętaj jednak, że wynik podnoszenia liczby do kwadratu jest zawsze dodatni, więc wyrażenie v2 musi być skalarem, ponieważ w czasie potęgowania tracimy informację o zwrocie prędkości (jej znak). Idąc dalej tym tropem, odkrywamy, że energia kinetyczna też 2 jest skalarem, gdyż Ek = ½mv .

Identyczna prędkość oznacza zawsze taką samą energię kinetyczną, niezależnie od zwrotu wektora prędkości.

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Rozwiązałeś drugą część zadania, posługując się zasadą zachowania energii Dzięki zasadzie zachowania energii zdołałeś wyznaczyć szybkość jazdy sankami podczas mijania drugiego punktu kontrolnego, znajdującego się 30,0 m poniżej pierwszego z nich. Wynosi ona 31,3 m/s.

En. kinetyczna

PK1

30,0 m

50,0 m

En. potencjalna

v1 = 19,8 m/s Ta energia zmienia postać.

Wiesz już też, że określona zmiana wysokości wywołuje zawsze taką samą zmianę energii potencjalnej grawitacji i identyczną zmianę energii kinetycznej, oczywiście przy założeniu braku tarcia.

30,0 m Ta część energii kinetycznej pozostaje w postaci energii kinetycznej.

En. kinetyczna

PK2

Zmiana wysokości powoduje przekształcenie części energii.

W trzeciej części zadania musi pojawić się siła, która zatrzyma sanki Trzecia część toru jest zupełnie płaska. To przestrzeń, na której musisz posłużyć się hamulcem, by zatrzymać sanki. Projekt zakłada, że sanki ważące 630 kg zatrzymają się w czasie niezbędnym im do pokonania odległości 50,0 m.

v2 = 31,3 m/s

Gdy obliczysz siłę hamowania, znając prędkość początkową, będę mogła odbyć pierwszy zjazd!

Jak zabrać się do obliczenia siły, z którą hamulec ma zadziałać na sanki? Sanki z pasażerami mogą ważyć maksymalnie 630 kg.

50,0 m v0 = 31,3 m/s

v=0

PK2 Musisz obliczyć SIŁĘ hamowania zdolną zatrzymać sanki przed końcem toru.

Meta

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak obliczyć siłę potrzebną do zatrzymania sanek?

jesteś tutaj  615

Siła działająca na pewnej drodze Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Jak mamy obliczyć siłę hamowania?

30,0 m

50,0 m

Kuba: Wysokość, na jakiej znajdują się sanki, nie ulega zmianie, więc nie zdołamy obliczyć żadnej energii. Nie pozostaje nam nic innego, jak użyć równań ruchu, żeby wyznaczyć przyspieszenie sanek, a potem podstawić je do wzoru na II zasadę dynamiki Newtona, Fwyp = ma, żeby obliczyć siłę. To powinno zadziałać! Krzysiek: Ale to przecież mnóstwo liczenia. Jesteś pewien, że nie zdołamy posłużyć się zasadą zachowania energii? Te obliczenia były znacznie prostsze niż rachunki prowadzone w pierwszej części zadania. Kuba: Ja nie widzę innego wyjścia. Nie ma zmiany wysokości, więc energia potencjalna grawitacji nie ulega zmianie. Jak zatem skorzystać z zasady zachowania energii? Krzysiek: Właśnie się zastanawiam… Przecież w zadaniu jest mowa o zatrzymaniu sanek na pewnej odległości poprzez przyłożenie odpowiedniej siły. Mnie to pachnie wykonywaniem pracy! Franek: Racja! Przykładając siłę, wykonujesz pewną pracę, ale wydawało mi się, że żeby móc posługiwać się pojęciem pracy, musisz najpierw przesunąć ciało, a nie po prostu szorować hamulcem po lodzie!

50,0 m

Zadziałaj SIŁĄ na pewnym DYSTANSIE, żeby zatrzymać sanki.

Zawsze, gdy masz do czynienia z siłą działającą na ciało na pewnym dystansie, myśl w kategoriach pracy i energii!

v 0 = 31,3 m/s

PK2

v=0

Meta

Kuba: Czekaj, czekaj… on może mieć rację. Wyobraź sobie, że masz złapać w rękawicę piłkę bejsbolową. Przecież działasz na nią pewną siłą, a łapiąc piłkę, przesuwasz rękę do tyłu, więc siła działa na pewnym dystansie. Takie działanie zmienia energię kinetyczną piłki. Krzysiek: Czy to oznacza, że możemy posłużyć się tą zasadą, obliczając siłę potrzebną do zatrzymania sanek? Znamy ich masę i prędkość, więc możemy obliczyć energię kinetyczną. POZA TYM wiemy, na jakiej odległości ma działać ta siła — 50,0 m. Franek: Tylko co dzieje się z energią kinetyczną sanek lub piłki, gdy się je zatrzyma?! Przecież nie zamienia się w energię potencjalną?

616

Rozdział 14.

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Hamulec pracuje

30,0 m

50,0 m

Musisz wyhamować sanki, zanim dojadą do końca toru. Hamulec musi zatrzymać je, zanim pokonają 50,0 m ostatniego odcinka toru. Oznacza to, że musisz przyłożyć do sanek odpowiednią siłę. Żeby rozwiązać ten problem, możesz obliczyć opóźnienie, jakiego doświadczają sanki, a potem podstawić je do równania Fwyp = ma, z którego obliczysz wartość siły. To poprawny sposób rozwiązywania tego typu zadań, więc na pewno otrzymałbyś dobry wynik.

Jeśli tylko możesz, rozwiązuj zadania, posługując się zasadą zachowania energii.

Jednak obliczając prędkość sanek po pokonaniu drugiej części toru odkryłeś, że stosowanie zasady zachowania energii znacznie ułatwia rozwiązanie — obliczenia nie są tak skomplikowane, jak w przypadku obliczania sił. Praca jest opisana wzorem W = Fx, a to oznacza, że przyłożenie siły na pewnym dystansie za pomocą hamulca wiąże się z wykonaniem pracy. Powstaje tylko pytanie, gdzie zostaje przekazana energia kinetyczna sanek w czasie ich zatrzymywania.

BĄDŹ hamulcem Musisz wyobrazić sobie, jak to jest być hamulcem. Postaraj się wyrazić za pomocą energii to, co ma miejsce od chwili przyłożenia hamulca do powierzchni lodu do chwili zatrzymania się sanek. Opisz odpowiednio rysunek i udziel wyjaśnienia pod spodem.

En. kinetyczna

Siła hamowania

Prędkość początkowa

Prędkość końcowa to 0 m/s.

Miejsce pierwszego kontaktu hamulca z lodem.

Droga, na której działa siła hamowania.

jesteś tutaj  617

Zwiększanie energii wewnętrznej Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

BĄDŹ hamulcem. Rozwiązanie

30,0 m

50,0 m

Musisz wyobrazić sobie, jak to jest być hamulcem. Postaraj się wyrazić za pomocą energii to, co ma miejsce od chwili przyłożenia hamulca do powierzchni lodu do chwili zatrzymania się sanek. Opisz odpowiednio rysunek i udziel wyjaśnienia pod spodem.

En. kinetyczna

Siła hamowania

„Trącane” cząsteczki.

Prędkość początkowa

Energia kinetyczna fragmentów lodu.

Prędkość końcowa to 0 m/s.

Energia wewnętrzna hamulca.

Energia wewnętrzna toru.

Droga, na której działa siła hamowania.

Na początku toru sanki mają pewną energię kinetyczną. Na końcu toru energia ta jest równa zero. Energia kinetyczna sanek zostaje zamieniona na energię wewnętrzną hamulca i toru, ponieważ pomiędzy powierzchnią toru a powierzchnią hamulca pojawia się tarcie. Przesuwający się po powierzchni lodu hamulec „trąca” cząsteczki lodu, sprawiając, że ich ruch staje się bardziej intensywny. To samo dzieje się z cząsteczkami materiału, z którego wykonany jest hamulec.

Wykonywanie pracy przeciw sile tarcia zwiększa energię wewnętrzną Z chwilą dociśnięcia hamulca do powierzchni toru zamieniasz część energii kinetycznej sanek na energię wewnętrzną hamulca i toru, ponieważ poruszające się sanki mimowolnie wykonują pracę przeciwko sile tarcia. W efekcie zmniejsza się energia kinetyczna sanek, a co za tym idzie, maleje ich prędkość, ponieważ Ek = ½mv2. Energia kinetyczna sanek zmienia postać również wtedy, gdy od powierzchni toru odrywają się małe fragmenty lodu. Każdy z nich ma swoją energię kinetyczną, niewielką w porównaniu z energią kinetyczną sanek, ale na drodze 50,0 m sumaryczny efekt staje się istotny.

618

Rozdział 14.

Wykonując pracę przeciw sile tarcia, zwiększasz ENERGIĘ WEWNĘTRZNĄ przesuwających się po sobie powierzchni.

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Cząsteczki mają tę samą energię wewnętrzną niezależnie od wysokości, na jakiej znajduje się ciało, i od jego prędkości.

Na czym polega różnica pomiędzy zwiększaniem energii wewnętrznej ciała (co powoduje wzrost energii kinetycznej jego cząsteczek) a zwiększaniem energii kinetycznej całego ciała?

30,0 m

50,0 m

Wyższa energia mechaniczna

Zwiększanie energii mechanicznej przesuwa wszystkie cząsteczki naraz w uporządkowany sposób.

Niższa energia mechaniczna Δx

Cząsteczki poruszają się naraz, gdy przesuwa się całe ciało — to wypadkowe przesunięcie makroskopowe.

To jest to samo ciało przed i po uniesieniu.

Gdy zmagazynowana w ciele energia mechaniczna może zostać wykorzystana do wykonania pewnej pracy, mówimy, że ciało dysponuje energią mechaniczną. Energia potencjalna grawitacji, energia kinetyczna i energia potencjalna sprężystości (właściwa rozciągniętej lub ściśniętej sprężynie) — wszystkie one są rodzajami energii mechanicznej. Zmiana energii mechanicznej ciała wiąże się z przesunięciem wszystkich jego cząsteczek naraz, na przykład poprzez uniesienie ciała, przesunięcie go czy nadanie mu prędkości. Mimo że wszystkie jego cząsteczki nadal poruszają się w losowo wybranych kierunkach, możemy zaobserwować wypadkowe przemieszczenie ciała w skali makroskopowej (dużej skali).

Zwiększanie energii wewnętrznej sprawia, że cząsteczki ciała zaczynają poruszać się szybciej, ale nadal chaotycznie. Jeśli zwiększysz energię wewnętrzną ciała, sprawisz, że przypadkowy ruch jego cząstek będzie bardziej intensywny. Gdy masz do czynienia z gazem lub cieczą, możesz wyobrażać sobie, że zwiększasz energię kinetyczną każdej poruszającej się w naczyniu cząsteczki. Cząsteczki poruszają się w losowo wybranych kierunkach.

Niższa energia wewnętrzna.

Wyższa energia wewnętrzna.

Każda cząsteczka z osobna ma większą energię kinetyczną niż miała poprzednio.

Cząsteczki ciała mającego energię potencjalną lub kinetyczną przemieszczają się razem w sposób uporządkowany. Gdy zwiększa się energia wewnętrzna ciała stałego, zwiększa się też częstotliwość drgań atomów sieci krystalicznej. Możesz myśleć o tym jako o procesie przekazywania atomom energii kinetycznej, a łączącym je wiązaniom — energii potencjalnej (jak w przypadku ściskania i rozciągania sprężyny). Zwiększenie energii wewnętrznej ciała powoduje pojawienie się małych przyrostów energii kinetycznej lub potencjalnej, ale te obserwuje się wyłącznie w skali mikroskopowej. Ponieważ zmiany te powodują wzbudzanie cząsteczek w losowo wybranych kierunkach, energia mechaniczna ciała w skali makroskopowej nie ulega zmianie. Nie pojawia się całkowite przesunięcie wypadkowe.

jesteś tutaj  619

Makro czy mikro Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Na czym polega różnica między energią mechaniczną a energią kinetyczną? Nazwy są dość podobne.

: Dlaczego energia wewnętrzna ciała jest czymś innym niż jego energia mechaniczna?

O: Energia mechaniczna to ogólna nazwa

O: Energia mechaniczna ciała zmienia się, gdy

wszystkich rodzajów energii potencjalnych i energii kinetycznej, czyli wszystkich typów energii, które można łatwo przekształcić na pracę.

wszystkie jego atomy doznają takiego samego przesunięcia w skali makroskopowej (dużej).

jego całkowitej energii potencjalnej i całkowitej energii kinetycznej.

Na przykład wszystkie cząsteczki ciała podnoszonego na pewną wysokość poruszają się razem, w sposób uporządkowany, przez co energia potencjalna grawitacji tego ciała wzrasta. Jeżeli ciało nabiera szybkości, jego cząsteczki poruszają się razem w sposób uporządkowany i przez to wzrasta jego energia kinetyczna.

P

P: Ale energia wewnętrzna też wiąże

P

: Jak obliczyć energię mechaniczną układu?

O: Energia mechaniczna układu to suma

: Czy energia mechaniczna przydaje się do czegoś?

O: Jeśli na ciała w układzie nie działa siła

tarcia, energia mechaniczna tego układu jest zachowana. Dzięki temu możesz obliczyć szybkość ciała znajdującego się na niższej wysokości niż początkowa. Wystarczy, że wyznaczysz zmianę jego energii potencjalnej. Zmiana ta musi równać się zmianie energii kinetycznej, a wiedząc to, bez trudu obliczysz szybkość ciała.

P: Czym jest energia wewnętrzna? O: Każde ciało dysponuje pewną energią

się z ruchem cząsteczek. Przecież one same mają własne zasoby energii potencjalnej i kinetycznej. Dlaczego ten ruch cząsteczek nie wpływa na energię mechaniczną?

O: Cząsteczki ciała drgają w sposób

przypadkowy, tak samo poruszają się cząsteczki gazu lub cieczy. Zwiększając energię wewnętrzną ciała, nie sprawisz, by jego atomy zaczęły nagle poruszać się w sposób uporządkowany. Każda cząsteczka uzyska większą energię w skali mikroskopowej, ale w skali makroskopowej ciało nie zmienia swojego położenia!

wewnętrzną. Wynika to z faktu, że wszystkie cząsteczki tego ciała pozostają w ciągłym ruchu — atomy ciała stałego drgają, a cząsteczki cieczy i gazów poruszają się chaotycznie.

Energia mechaniczna odpowiada zmianom zachodzącym w skali makroskopowej. 620

Rozdział 14.

Energia wewnętrzna wynika ze zmian zachodzących w skali mikroskopowej.

Obliczysz już siłę hamowania? Nie mogę doczekać się przejażdżki!

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

30,0 m

50,0 m

Zaostrz ołówek Sanki o masie 630 kg poruszające się z szybkością 31,3 m/s muszą zostać wyhamowane na oblodzonym torze. a. Opisz to zjawisko z punktu widzenia przekazywania energii.

b. Jakiej siły należy użyć, żeby sanki zatrzymały się po 50,0 m?

c. Sanki będą hamować skuteczniej, jeśli ostatnia część toru będzie nieco uniesiona. Jaka powinna być siła hamowania, żeby zatrzymać sanki na torze, który na dystansie 50,0 m unosi się o 10,0 m?

d. W jakim najkrótszym czasie uda się przesunąć sanki do punktu startu (50,0 m, licząc od najniższego punktu toru), jeśli do ich poruszenia używamy silnika o mocy 10,0 kW pracującego z 90-procentową wydajnością? Ten zapis oznacza, że silnik wykorzystuje jedynie 90% swojej energii na wykonanie „efektywnej” pracy. Pozostała energia zwiększa energię wewnętrzną różnych ruchomych części układu.

Wat (W) to jednostka mocy. 1 wat = 1 dżul na sekundę.

Wskazówka: Załóż, że w układzie nie występuje tarcie, przez co silnik będzie musiał pokonać jedynie siłę grawitacji.

Wskazówka: Oblicz całkowitą energię potrzebną do wepchnięcia sanek na szczyt toru, a następnie sprawdź, ile czasu zabierze silnikowi wytworzenie takiej energii.

jesteś tutaj  621

Zasada zachowania energii Start

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

30,0 m

50,0 m

Sanki o masie 630 kg poruszające się z szybkością 31,3 m/s muszą zostać wyhamowane na oblodzonym torze. a. Opisz to zjawisko z punktu widzenia przekazywania energii. Poruszające się sanki mają energię kinetyczną. Gdy sanki zaczynają zwalniać, energia ta zmienia postać, zwiększając energię wewnętrzną toru i hamulca. Po zatrzymaniu sanek powierzchnia toru i powierzchnia hamulca będą miały wyższą temperaturę, ponieważ wzrośnie ich energia wewnętrzna.

b. Jakiej siły należy użyć, żeby sanki zatrzymały się po 50,0 m? Wykonana praca = Fx

Ek = ½mv2

Muszę „pozbyć się” całej energii kinetycznej sanek, zużywając ją na wykonanie pracy przeciw sile tarcia. Fx = ½mv2 0,5 × 630 kg × (31,3 m/s)2 ½mv2 F = = ≈ 6170 N 50,0 m x

c. Sanki będą hamować skuteczniej, jeśli ostatnia część toru będzie nieco uniesiona. Jaka powinna być siła hamowania, żeby zatrzymać sanki na torze, który na dystansie 50,0 m unosi się o 10,0 m? Część energii kinetycznej zostanie zamieniona na energię potencjalną grawitacji. Pozostała część będzie starała się pokonać siłę tarcia. Fx + mgh = ½mv2 (0,5 × 630 kg × (31,3 m/s)2) – (630 kg × 9,8 m/s2 × 10,0 m) ½mv2 - mgh F = = 50,0 m x F = 4940 N

d. W jakim najkrótszym czasie uda się przesunąć sanki do punktu startu (50,0 m, licząc od najniższego punktu toru), jeśli do ich poruszenia używamy silnika o mocy 10,0 kW pracującego z 90-procentową wydajnością? Praca potrzebna na wepchnięcie sanek na górę toru = mgh = 630 kg × 9,8 m/s2 × 50,0 m ≈ 309000 J. Silnik wytwarza 10 000 dżuli na sekundę, z tego efektywnie można wykorzystać tylko 9000 dżuli na sekundę. 309000 J Droga, jaką przebywają sanki w poziomie, nie ma Czas wpychania = ≈ 34,3 s. znaczenia. Dopóki górny punkt toru znajduje się 9000 J/s Nie istnieją

50,0 m ponad punktem najniższym, tyle energii będzie trzeba zużyć na wepchnięcie tam sanek.

głupie pytania

P

: Skoro dzięki zasadzie zachowania pędu mogę tak łatwo rozwiązywać trudne zadania, po co wymyślono równania ruchu i siły?

O: Do zrozumienia zasady zachowania energii są Ci potrzebne

pojęcia, o których wspominałeś. Poza tym nie każdy problem daje się rozwiązać z zasady zachowania energii! Te wzory to kolejne narzędzia w Twoim przyborniku, lecz nie możesz się do nich ograniczać.

622

Rozdział 14.

P: Ale często będę się nimi posługiwać? O: Tak… gdy tylko będzie taka potrzeba. W wielu zadaniach

pojawiają się zderzenia, w których energia mechaniczna układu nie jest zachowana, a nie potrafisz wyznaczyć dokładnie zmiany energii wewnętrznej ciała. W takich przypadkach będziesz musiał posługiwać się również innymi narzędziami.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii pomaga łatwiej rozwiązywać złożone problemy

Tor jest bezpieczny? Cudownie! Jestem pierwsza w kolejce na górę!

Dzięki zasadzie zachowania energii rozwiązałeś właśnie sprawnie problem, który z początku wydawał się bardzo skomplikowany, żeby nie powiedzieć, że niemożliwy do rozwiązania. Gdy masz do czynienia z ciałem, które porusza się w dół lub w górę po podłożu nachylonym do poziomu, możesz zawsze obliczyć zmianę energii potencjalnej grawitacji tego ciała, uwzględniając zmianę jego wysokości. Droga, jaką ciało pokonuje stok, jest nieistotna. Ten wynik pozwoli Ci wyznaczyć zmianę energii kinetycznej i szybkość ciała. Gdy w takim zadaniu pojawi się siła tarcia, potraktuj skutki jej działania jako zmianę postaci energii i nie myśl o tym, że masz do czynienia z siłą. W ten sposób zdołałeś wyznaczyć wartość siły hamowania sanek, 6170 N.

En. potencjalna

To energia potencjalna, która pozostaje w tej postaci.

To zmiana postaci energii.

20,0 m

En. En. kinetyczna potencjalna

To zmiana postaci energii.

40,0°

30,0 m To energia kinetyczna, która pozostaje w tej postaci.

Start

Punkt kontrolny 1

En. kinetyczna

50,0 m En. wewnętrzna

Punkt kontrolny 2 To zmiana postaci energii.

Szukaj różnic poziomów, prędkości itd. występujących między punktem początkowym ruchu a jego punktem końcowym. One pozwolą Ci skorzystać z zasady zachowania energii. jesteś tutaj  623

Energia kinetyczna a pęd Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

30,0 m

Nie do końca rozumiem różnicę pomiędzy pędem (mv) a energią kinetyczną (½mv2). Poruszające się ciało charakteryzuje się obydwiema tymi wielkościami, wzory je opisujące są podobne i obie te wielkości są zachowane. Czy energia kinetyczna i pęd nie są tym samym, ujętym w nieco inny sposób?

Niezupełnie. Pęd i energia kinetyczna to inne pojęcia.

50,0 m

Siła działa przez czas Δt potrzebny do pokonania dystansu Δx.

Jeżeli ciało nie porusza się, możesz wprawić je w ruch, na przykład popychając je, czyli działając na nie pewną siłą.

x F Poruszające się sanki mają zarówno pęd, p, jak i energię kinetyczną, E .

Siła działa na drodze Δx.

k

Równanie popędu siły stwierdza, że siła wypadkowa działająca na ciało przez pewien czas powoduje zmianę jego pędu — Ft = p = (mv).

Równanie energii kinetycznej stwierdza, że jeśli siła działająca na ciało, wykonując pracę, przemieści je, ciało to zyska energię kinetyczną, Fx = Ek = 1/2mv2.

Ft = p

Fx = Ek

Siła Pole pod wykresem ma kształt prostokąta o wysokości F i szerokości Δt, a to oznacza, że powierzchnia pola wynosi FΔt.

Pole pod wykresem zależności siły od czasu to FΔt.

F

Rozdział 14.

Pole pod wykresem zależności siły od przemieszczenia to FΔx.

F

t

Czas

Pęd ciała wyznaczysz, określając czas, w jakim działała na nie siła.

624

Siła

x

Przemieszczenie

Energię kinetyczną ciała wyznaczysz, określając przemieszczenie, jakiego doznaje ciało pod działaniem siły.

Zasada zachowania energii Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

Pomiędzy pędem a energią kinetyczną istnieje praktyczna różnica

30,0 m

50,0 m

Próba dostrzeżenia jej na przykładzie popychania ciała, by ruszyć je z miejsca, jest zbyt oderwana od rzeczywistości. Spróbuj raczej wyobrazić sobie tę różnicę, myśląc o zatrzymaniu już poruszającego się ciała. Wyobraź sobie, że masz złapać lecącą w Twoim kierunku piłkę. Piłka ma swoją masę i pewną prędkość. Żeby ją zatrzymać, musisz wywrzeć na piłkę pewną siłę swoją ręką. Czas, przez jaki musisz działać siłą na piłkę, zależy od pędu piłki. Odległość, na jakiej stosujesz siłę do zatrzymania piłki, zależy od jej energii kinetycznej. Siła, z jaką zatrzymywana piłka działa na Twoje ramię i rękawicę, wykonuje pewną pracę, przez co rękawica odkształca się nieco, a Ty musisz F wyciągnąć rękę. Tylko dzięki temu możesz zredukować energię kinetyczną piłki do zera.

Gdy próbujesz zatrzymać piłkę, Twoja ręka przesuwa się o taką odległość.

x

Działasz na piłkę taką siłą, by ją zatrzymać.

Poniższe ćwiczenie ma pokazać Ci praktyczną różnicę między czasem, jakiego potrzeba na zatrzymanie ciała, a odległością niezbędną do tego. Jednocześnie będzie to doskonałą ilustracją różnicy pomiędzy pędem a energią kinetyczną.

Ć Ćwiczenie

a. Piłka bejsbolowa o masie 145 g została wybita z prędkością 35,8 m/s. Oblicz (i) jej pęd i (ii) jej energię kinetyczną.

b. Pocisk o masie 3,45 g zostaje wystrzelony z prędkością 1500 m/s. Oblicz (i) jego pęd oraz (ii) jego energię kinetyczną.

c. Działając pewną siłą na piłkę bejsbolową, jesteś w stanie złapać ją ręką. Wyjaśnij, dlaczego z punktu widzenia fizyki nie byłbyś w stanie zatrzymać pocisku, działając na niego tą samą siłą. (Załóż, że łapiąc piłkę rękawicą, zdołasz ją zatrzymać, działając siłą na drodze 30 cm).

jesteś tutaj  625

Co mi to przypomina? Start

Punkt kontrolny 1

Punkt kontrolny 2

20,0 m 40,0°

30,0 m

50,0 m

Ć Ćwiczenie: Rozwiązanie (i)

a. Piłka bejsbolowa o masie 145 g została wybita z prędkością 35,8 m/s. Oblicz (i) jej pęd i (ii) jej energię kinetyczną.

p = mv = 0,145 kg × 35,8 m/s

b. Pocisk o masie 3,45 g zostaje wystrzelony z prędkością 1500 m/s. Oblicz (i) jego pęd oraz (ii) jego energię kinetyczną. (i)

p = mv = 0,00345 kg × 1500 m/s p = 5,18 kg·m/s

p = 5,19 kg·m/s (ii) EK = ½mv2 = 0,5 × 0,145 kg × (35,8 m/s)2 EK = 107 J

(ii) EK = ½mv2 = 0,5 × 0,00345 kg × (1500 m/s)2 EK = 3880 J

c. Działając pewną siłą na piłkę bejsbolową, jesteś w stanie złapać ją ręką. Wyjaśnij, dlaczego z punktu widzenia fizyki nie byłbyś w stanie zatrzymać pocisku, działając na niego tą samą siłą. (Załóż, że łapiąc piłkę rękawicą, zdołasz ją zatrzymać, działając siłą na drodze 30 cm). Energia kinetyczna pocisku jest około 35 razy większa niż energia kinetyczna piłki. Żeby zatrzymać lecące ciało, muszę wykonać pracę równą jego energii kinetycznej. Oznacza to, że do zatrzymania pocisku muszę wykonać pracę większą około 35 razy. Praca = FΔx. Gdyby próbować zatrzymać pocisk, działając na niego taką samą siłą jak na piłkę, trzeba by było używać tej siły na drodze 30 × 30 cm = 900 cm = 9 m. Nie jest to możliwe fizycznie, więc kula przebije rękawicę (i nie tylko). Nie polecam wykonywania podobnych prób.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy dobrze rozumiem, że energia kinetyczna i pęd to dwa różne pojęcia, choć ich równania są tak podobne?

O

: Tak. To inne wielkości, opisane innymi jednostkami.

Droga potrzebna do zatrzymania ciała zależy od jego energii kinetycznej.

626

Rozdział 14.

P: Ale i jedna, i druga są zachowane dla całego układu?

O

: Pęd jest zachowany zawsze, tak samo jak całkowita energia układu, ale pamiętaj, że całkowita energia to niekoniecznie sama energia kinetyczna. Są też energie potencjalne i energia wewnętrzna.

P

: Skoro piłka i pocisk mają taki sam pęd, dlaczego pocisk wyrządza tyle szkód?

O

: Pęd ciała zależy od jego prędkości, a energia kinetyczna zależy od kwadratu prędkości. Gdy ciało porusza się z dużą prędkością, czynnik v2 zaczyna decydować o wartości energii. Jeżeli jedno z dwóch identycznych ciał zaczyna poruszać się 3 razy szybciej niż drugie, jego energia kinetyczna będzie dziewięciokrotnie większa! To oznacza, że chcąc zatrzymać to ciało, działając na niego taką samą siłą, jak w przypadku ciała poruszającego się wolniej, musisz przykładać ją na dziewięciokrotnie dłuższej drodze. To między innymi dlatego pocisk wbije się głęboko w drewno, podczas gdy piłka mająca taki sam pęd zrobi jedynie niewielkie wgniecenie.

Zasada zachowania energii Tak się zastanawiam… czym w zasadzie jest energia? Korzystam z tego pojęcia już w kolejnym rozdziale, ale nadal nie wiem, czym ona jest.

Energia opisuje zdolność ciała do wykonania pracy. Całkowita energia układu jest zawsze zachowana. Energię definiuje się jako zdolność ciała do wykonania pracy, zakładając, że cała ona może zostać wykorzystana na ten cel. Zazwyczaj daje się mierzyć zmiany postaci energii i wykorzystywać tę wielkość w obliczeniach.

Czy to oznacza, że powinienem raczej myśleć o zmianach energii, a nie o „całkowitej” energii posiadanej przez ciało?

Zachowanie energii to jedna z podstawowych zasad w fizyce. Zasada zachowania energii jest jednym z praw natury. Pamiętaj, że takie prawo nie jest przedmiotem, który możesz wsadzić do kieszeni, mówiąc „to zasada zachowania energii”. Możesz jedynie obserwować zachowania ciał spełniające tę zasadę.

Mówi się o zmianach energii potencjalnej, kinetycznej, wewnętrznej itp., a nie o jej bezwzględnych wartościach.

Możesz obserwować efekty zmian energii kinetycznej, potencjalnej czy wewnętrznej. Gdy sprawdzisz, jak zmieniały się poszczególne rodzaje energii ciała i zsumujesz wartości tych zmian, po czym stwierdzisz, że zmiana całkowitej energii ciała wynosi zero, to oznacza, że całkowita energia układu jest zachowana. Przykładowo przyrost energii kinetycznej może wiązać się z ubytkiem energii potencjalnej. Choć energii nie widać, możesz opisywać ją słowami lub wzorami i korzystać z zasady jej zachowania do rozwiązywania problemów z fizyki.

jesteś tutaj  627

Poradnia pytań — „wykaż, że…” Zadania polegające na wykazaniu prawdziwości jakiegoś twierdzenia różnią się od zwyczajnych zadań tym, że od razu oferują wynik końcowy. Twoje zadanie polega na uzyskaniu go po rozpoczęciu obliczeń we wskazanym przez autorów punkcie. Cała trudność polega na tym, żeby zrozumieć, że zadanie można rozwiązywać również od tyłu! Przyjrzyj się równaniu, które masz otrzymać w wyniku przekształceń, i zastanów się, co podstawić za odpowiednie zmienne w równaniu, z którego masz zacząć dowód. Przyjrzyj się także wcześniejszym postaciom równania początkowego, ponieważ najprawdopodobniej proszono Cię już o wykonanie pewnych przekształceń, które teraz mogą okazać się pomocne. To słowo klucz równoważne stwierdzeniu „spełnienie zasady Litery wyrażenie i h Zmienna Pamiętaj, że równania podane a i g oznaczają (x – x0) oznaczają zmianę zachowania energii w treści pytania mogą mechanicznej”. to samo sanek. położenia używać innych zmiennych przyspieszenie. na oznaczenie tych samych wielkości.

dnym z tarcia po niejednoro 2. Sanki zjeżdżają be torze saneczkowym. że energia To stwierdzenie oznacza, że masz do czynienia z zadaniem algebraicznym. Musisz przekształcić podane równania tak, by otrzymać równanie, którego prawdziwości masz dowieść.

2 2 – x ) i wiedząc, = mgh oraz v = v0 +2a(x 0 a. Korzystając z równań Ep ie toru jest równa zyc ek znajdujących się na szc potencjalna grawitacji san etyczna jest opisana kin rgia ene że e toru, wykaż, ich energii kinetyczn2 ej na dol 1 wzorem Ek = /2mv . j pierwszego. Jeśli mijając znajduje się 30,0 m poniże lny tro kon kt pun gi Dru b. ścią 19,8 m/s, to jaka sanki poruszają się z szybko pierwszy punkt kontrolny, gim punkcie kontrolnym? będzie ich szybkość w dru

Druga część zadania jest zazwyczaj związana z częścią pierwszą. W tym przypadku musisz zauważyć, że w podpunkcie b należy skorzystać z zasady zachowania energii i równania, którego prawdziwości dowiodłeś w części a.

Nawet jeżeli nie zdołasz wykazać i prawdziwości równania w pierwszej częśc zadania, możesz skorzystać z podanego równania w drugiej części.

Gdy natkniesz się na zadanie wymagające przeprowadzenia dowodu, sprawdź, czy w poprzedzających je podpunktach nie pojawiły się jakieś przydatne informacje. Nawet jeżeli utkniesz gdzieś w trakcie przekształcania wzorów i nie zdołasz dowieść prawdziwości danego równania, możesz używać go w innych podpunktach zadania głównego, tak jakbyś wykazał jego prawdziwość.

628

Poradnia pytań — przekazywanie energii Zawsze gdy zobaczysz w zadaniu pojęcie siły czy przemieszczenia, zastanów się, czy dasz radę rozwiązać ten problem za pomocą zasady zachowania energii. Szukaj w treści zadania wzmianek dotyczących różnic wysokości — powinny one natychmiast kojarzyć Ci się z energią potencjalną grawitacji! Szukaj też informacji o sile wypadkowej działającej na ciało pokonujące jakąś drogę. Takie dane powinny przywoływać na myśl zwiększenie energii kinetycznej ciała, wykonywanie pracy przeciwko sile tarcia lub obydwa te aspekty ruchu ciała. Słowo klucz „hamulec” oznacza, że energia kinetyczna zostanie przekształcona w energię wewnętrzną po wykonaniu pracy przeciwko sile tarcia.

Musisz stwierdzić, że całkowita energia układu jest zachowana, i wyjaśnić, jak zmienia się jej postać.

ią kg jadące z prędkośc 0 63 ie as m o i nk Sa 3. ęciu zymać się po naciśni 31,3 m/s muszą zatr hamulca. a w kontekście hodzące w czasie hamowani

To stwierdzenie oznacza, że masz opisać słownie pewne idee fizyczne, kryjące się za badanym zjawiskiem.

a. Opisz zjawiska zac zmian postaci energii. się na sanki, żeby zatrzymały b. Jaką siłą trzeba zadziałać po pokonaniu drogi 50,0 m? u będzie nieco bciej, jeśli ostatnia część tor c. Sanki zatrzymają się szy ki, żeby ą siłą trzeba działać na san nachylona do poziomu. Jak 10,0 m? o się si 50,0 toru, który uno zatrzymać je na dystansie

Siła ta będzie inna od obliczonej poprzednio, ponieważ część energii kinetycznej zostanie zamieniona na energię potencjalną, jaką zyska ciało po osiągnięciu wysokości 10,0 m.

CAŁKOWITA energia układu jest zachowana

Zawsze gdy w zadaniu pojawia się wzmianka na temat siły działającej na ciało i drogi, jaką to ciało przebywa, zastanów się, czy siła nie wykonuje pracy.

Gdy w zadaniu pojawi się wzmianka o zmianie wysokości, zastanów się nad możliwością wykorzystania energii potencjalnej grawitacji.

Pamiętaj zawsze, że całkowita energia układu jest zachowana. Jeżeli treść zadania sugeruje, że na ciało nie działa siła tarcia, oznacza to, że zachowana jest energia mechaniczna układu (energia potencjalna + energia kinetyczna). Jeżeli w zadaniu pojawia się tarcie, oznacza to, że energia zmienia postać na różne sposoby — na przykład energia kinetyczna może zmieniać się w energię potencjalną grawitacji i w energię wewnętrzną ciała.

629

Idziemy na SimBilard

Po sukcesie, jaki osiągnęła gra SimFutbol, nadeszła pora na SimBilard Nie minęło kilka tygodni od chwili, gdy zakończyłeś prace konsultanta zespołu programistów gry SimBilard, która sprzedała się w nakładzie wielu milionów egzemplarzy, a znów zgłosił się do Ciebie znany Ci już programista. W tej chwili zespół pracuje nad grą SimBilard, ale natknął się na pewien problem.

Używałem wszystkich zasad fizycznych, o których mi opowiedziałeś, ale teraz zupełnie utknąłem. Zawodnicy futbolu po szarży zawsze poruszali się razem, ale bile muszą odskakiwać od siebie po zderzeniu — to główna zasada gry!

Użycie starego kodu sprawia, że bile sklejają się razem! Bile muszą odbić się od siebie po zderzeniu, ale programista nie wie, jak obliczyć ich prędkości. Do tej pory programował jedynie ruch modeli zawodników drużyny futbolowej, a ci nie odbijali się od siebie po zderzeniu. Pęd gracza.

Przed

m1

m2 p 2 = m2v 2

p 1 = m1v 1 p1

Pęd całkowity.

p2

Pęd końcowy pk jest równy całkowitemu pędowi ciał układu przed zderzeniem.

pcałk Po

m1+m2 pk = (m1+m2)vk

Po zderzeniu zawodnicy poruszają się jako jedna masa.

Gdy programista użył starego kodu w grze w bilard, bile skleiły się razem po zderzeniu, a wiadomo, że tak się nie dzieje!

630

Rozdział 14.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania pędu nadaje się do rozwiązywania problemu zderzeń niesprężystych Zderzenie modelowane w grze SimFutbol to zderzenie niesprężyste. Nazywamy je tak, ponieważ zawodnicy po kontakcie ze sobą nie odbijają się i nie zaczynają poruszać się w inne strony.

Po zderzeniu zawodnicy grający w futbol poruszają się jako jedna masa.

Przed

Zderzenia, jakie mają miejsce podczas gry w bilard, to zderzenia sprężyste. Nazywamy je tak dlatego, że po zajściu zderzenia bile odskakują do siebie. Gdy dwa ciała zderzą się ze sobą niesprężyście, poruszają się później jako jedna masa mająca jedną prędkość. Po zderzeniu sprężystym każda z mas porusza się niezależnie z własną prędkością. Nie znamy prędkości żadnej z mas po zderzeniu. Oznacza to, że w tym przypadku masz do wyznaczenia dwie niewiadome. W czasie zderzenia zasada zachowania pędu jest spełniona, ale jedno równanie nie wystarczy, by wyznaczyć z niego wartości dwóch niewiadomych. Musimy wymyślić drugie równanie, które pozwoli zaprogramować grę w bilard. Gdy będziesz mieć obydwa równania, zdołasz wyznaczyć dwie niewiadome.

Żeby rozwiązać problem z dwiema niewiadomymi, potrzebujesz dwóch równań.

v1

m2

v2 m1+m2

Po

vk

Zasada zachowania pędu: m1v1 + m2v2 = (m1+m2)vk

W czasie zderzenia pęd układu jest zawsze zachowany. Ponieważ znamy masę i prędkość każdego z zawodników, po zderzeniu możemy opisać układ jednym równaniem (równaniem zasady zachowania pędu) z jedną niewiadomą (nie znamy prędkości złączonych ze sobą po zderzeniu zawodników), więc możemy bez trudu je rozwiązać.

Do obliczenia niewiadomych w zderzeniu sprężystym będziesz potrzebować drugiego równania

m1

Zmienna vk jest jedyną niewiadomą w tym równaniu, więc wyznaczysz ją z niego bez problemu. Symbol v10 oznacza „prędkość początkowa ciała 1”. Symbol v1k oznacza „prędkość końcowa ciała 1”. Indeksy pomogą Ci odróżnić zmienne opisujące obydwa ciała.

Przed

Po

m1

v10 v1k

v20 m1

m2

m2

v2k

Zasada zachowania pędu: m1v10 + m2v20 = m1v1k + m2v2k

Nie znasz ani wartości v1k, ani wartości v2k. Ponieważ w problemie pojawiają się dwie niewiadome i tylko jedno równanie, nie zdołasz wyznaczyć wartości żadnej z nich.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Skąd wziąć drugie równanie, które pozwoli wyznaczyć dwie nieznane wartości prędkości.

jesteś tutaj  631

Pęd jest zachowany

Koniecznie musimy rozwiązać zadanie z bilardem. Bile na pewno nie powinny sklejać się ze sobą. Przecież to zderzenie sprężyste! Kuba: Racja, ale przez to musimy się zmierzyć z kłopotami, jakich nie mieliśmy w przypadku zderzeń niesprężystych. Po zderzeniu ciała poruszają się z dwiema różnymi prędkościami, a nie z jedną. Krzysiek: Tym razem nie wystarczy nam zasada zachowania pędu. Nie można przecież wyznaczyć wartości dwóch niewiadomych z jednego równania. Franek: Prawda, lecz to chyba nie zmienia faktu, że pęd jest zachowany również w zderzeniach sprężystych? Pozostaje zatem znaleźć drugie równanie, które posłuży nam do opisania tego problemu. Kuba: A co z zasadą zachowania energii? Już wcześniej pomagała nam rozwiązywać różne problemy.

W zderzeniach sprężystych pęd jest zachowany.

Krzysiek: Nie jestem pewien. Przecież wysokość położenia kul bilardowych nie ulega zmianie, więc nie zdziałamy nic z energią potencjalną grawitacji. Franek: Ale bile się poruszają, prawda? Zastanówmy się, co wiemy o ich energii kinetycznej? Kuba: No właśnie! Kule poruszają się przed zderzeniem i po nim, więc zarówno przed, jak i po nim muszą mieć energię kinetyczną. Krzysiek: Ale skąd pewność, że w chwili zderzenia część energii kinetycznej nie zamienia się na energię wewnętrzną? Franek: Wiesz, kule nie są specjalnie gorące po zderzeniu. Na pewno nie tak gorące, jak hamulce po hamowaniu. Kuba: Poza tym nie odkształcają się, więc możemy założyć, że ich cząsteczki nie doznają przemieszczenia.

W zderzeniach sprężystych zachowane są pęd i energia kinetyczna.

Krzysiek: Tak, chyba macie rację. Odbicie jest sprężyste, prawda? Dalej — energia musi być zachowana. Przed zderzeniem każda bila ma pewną energię kinetyczną, tak samo jest po zderzeniu. Skoro zmiana energii wewnętrznej jest minimalnie mała, możemy założyć, że całkowita energia kinetyczna przed zderzeniem i po zderzeniu jest taka sama. Franek: Czyli jedno równanie to zasada zachowania pędu. Kuba: A skoro energia kinetyczna jest taka sama przed zderzeniem i po zderzeniu, to mamy drugie równanie! Krzysiek: W obydwu równaniach pojawiają się prędkości kul, więc możemy rozwiązać to zadanie!

632

Rozdział 14.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii to drugie z potrzebnych Ci równań

To tylko przykładowy rysunek, pokazujący, jakie prędkości MOGŁYBY osiągnąć kule po zderzeniu.

Zderzenie dwóch kul bilardowych to zderzenie sprężyste. Energia wewnętrzna ciał biorących udział w takim zderzeniu nie wzrasta w sposób znaczący, ponieważ ciała nie doznają odkształcenia (zawodnicy futbolu amerykańskiego nie odbijali się od siebie po zderzeniu, a ich ochraniacze ulegały odkształceniu, więc zmieniała się ich energia wewnętrzna). Ponieważ energia wewnętrzna zderzających się bil nie ulega zmianie, możemy stwierdzić, że ich całkowita energia kinetyczna jest taka sama przed zderzeniem i po nim. To właśnie drugie równanie, które pozwoli nam obliczyć prędkości bil. Masz już dwa równania (równanie zasady zachowania pędu i równanie zasady zachowania energii), więc możesz wyznaczyć wartości dwóch niewiadomych — prędkości końcowych kul bilardowych po zderzeniu.

Zaostrz ołówek

Ten zapis oznacza, że m1 = m2 = m.

Przed

Po

m1

v10 v1k

v20 m2

m1

Zasada zachowania pędu:

m2

v2k Mając dwa równania, obliczysz wartości dwóch niewiadomych.

m1v10 + m2v20 = m1 v1k + m2v2k Zasada zachowania energii: ½m1v12 + ½m2v22 = ½m1v1k2 + ½m2v2k2

To oznacza, że prędkość v20 = 0, a to powinno nieco ułatwić obliczenia.

Na stole do bilardu znajdują się dwie kule bilardowe o identycznych masach m. Pierwsza z nich, poruszająca się z prędkością v10, uderza centralnie w drugą — spoczywającą. Po zderzeniu pierwsza kula ma prędkość v1k, a druga ma prędkość v2k. a. Zapisz równanie zasady zachowania pędu.

b. Zapisz równanie zasady zachowania energii kinetycznej.

c. Przekształć równanie z podpunktu a w taki sposób, by wyznaczyć z niego zmienną v2k, po czym podstaw ją do równania z podpunktu b, by otrzymać jeden wzór z jedną niewiadomą — v1k.

d. Usuń nawiasy z zapisu równania i postaraj się możliwie je uprościć. (Nie przejmuj się, że nie zdołasz zapisać go w postaci „v1k = coś” — tym zajmiemy się na następnej stronie).

jesteś tutaj  633

Rozłóż swoje równania na czynniki

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Ten zapis oznacza, że m1 = m2 = m.

To oznacza, że prędkość v20 = 0, a to powinno nieco ułatwić obliczenia.

Na stole do bilardu znajdują się dwie kule bilardowe o identycznych masach m. Pierwsza z nich, poruszająca się z prędkością v10, uderza centralnie w drugą — spoczywającą. Po zderzeniu pierwsza kula ma prędkość v1k, a druga ma prędkość v2k. a. Zapisz równanie zasady zachowania pędu. mv10 + 0 = mv1k + mv2k

b. Zapisz równanie zasady zachowania energii kinetycznej. Prędkość v20 = 0, a to oznacza, ½mv102 + 0 = ½mv1k2 + ½mv2k2

że czynniki ją zawierające znikają z równania.

c. Przekształć równanie z podpunktu a w taki sposób, by wyznaczyć z niego zmienną v2k, po czym podstaw ją do równania z podpunktu b, by otrzymać jeden wzór z jedną niewiadomą — v1k. Wszystkie czynniki są mv10 = mv m m 1k + mv2k v10 = v1k + v2k v2k = v10 - v1k

½mv102 = ½mv11k2 + ½mv mv22k2

(a)

Wszystkie wyrazy zawierają zmienną m, więc można usunąć ją z równania przez obustronne dzielenie.

Podstawiam wynik do (b).

mnożone przez wartość

(b) ½ m, więc można podzielić

v102 = v1k2 + v2k2

obie strony równania przez tę wartość i w ten sposób ją zlikwidować.

v102 = v1k2 + (v10 - v1k)2

Jedyną niewiadomą w tym równaniu jest zmienna v1k.

d. Usuń nawiasy z zapisu równania i postaraj się możliwie je uprościć. (Nie przejmuj się, że nie zdołasz zapisać go w postaci „v1k = coś” — tym zajmiemy się na następnej stronie). 2 v102 = v1k2 + (v10 - v1k)2

Każdy wyraz równania możesz podzielić przez 2.

v102 = v1k2 + v1002 - 2v10v1k + v1k 2 0 = 2v 2 1k2 - 2v 2 10v1k v1k2 - v10v1k = 0

To równanie, w którym wszystkie wyrazy zawierające zmienną v1k znajdują się po lewej stronie znaku równości.

Czynnik v10 znajduje po obu stronach równania, więc można odjąć go obustronnie i w ten sposób usunąć.

Świetnie, udało mi się wyznaczyć to… to v1k2 – v10v1k = 0. Wiem, że powinnam otrzymać zapis „v1k = coś”, ale jak to zrobić?!

Pomoże nam rozłożenie równania na czynniki. Czasami okazuje się, że przekształcenie równania do postaci „v1k = coś” jest zbyt skomplikowane. Wtedy z pomocą może przyjść rozkładanie całości na czynniki. Rozkładanie równania na czynniki polega na dostrzeżeniu, które ze zmiennych można umieścić w jednym nawiasie — w zasadzie jest to działanie odwrotne do wymnażania nawiasów.

Jeżeli wyrażenie xy = 0, to albo x, albo y MUSI być równe 0 (ewentualnie obie liczby są równe 0). 634

Rozdział 14.

Gdy wynikiem mnożenia dwóch wielkości jest zero, możemy z całą pewnością stwierdzić, że przynajmniej jedna z nich wynosi zero. Gdy przykładowo xy = 0, wiadomo od razu, że albo x, albo y muszą być równe zero (ewentualnie obydwie zmienne są równe zero). Masz do rozwiązania równanie v1k2 – v10v1k = 0, po którego prawej stronie stoi wartość zero. Gdyby udało się rozłożyć lewą stronę równania na czynniki, otrzymałbyś do rozwiązania problem, w którym iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero, więc mógłbyś stwierdzić na pewno, że przynajmniej jedno z tych wyrażeń musi być równe zero. Zazwyczaj kontekst zadania pozwala określić, który z czynników musi przyjmować wartość 0.

Zasada zachowania energii

Rozkładanie na czynniki oznacza wstawienie nawiasów Zmienna a jest wspólna dla wyrazów ab i ac, a to oznacza, że wszystkie inne zmienne tych wyrazów są mnożone przez zmienną a. Dlatego też zmienną a nazywamy czynnikiem wspólnym wyrazów — czynnik ten pojawia się w każdym z nich. Rozkładanie równania na czynniki oznacza wyprowadzenie czynnika wspólnego przed nawias zawierający pozostałą część wyrazów. Zgodnie z tą zasadą wyrażenie ab + ac można zapisać jako a(b + c). ab

+

ac

=

a

b

+

c

Zmienna a jest czynnikiem wspólnym, przez który mnożone są pozostałe części wyrazów.

Jeżeli masz do rozwiązania równanie a(b + c) = 0, możesz stwierdzić, że zachodzi warunek a = 0 lub (b + c) = 0. Wynika on z faktu, że zerowy wynik mnożenia dwóch czynników występuje wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zeru.

Jeżeli ta sama zmienna pojawia się w więcej niż jednym wyrazie równania, możesz przeprowadzić rozłożenie tego równania na czynniki.

Zaostrz ołówek a. Która ze zmiennych równania v1k2 – v10v1k = 0 pojawia się w obydwu jego członach?

b. Równanie, w którym pojawiają się nawiasy, można zawsze uprościć do postaci bez nawiasów, na przykład a(b + c) = ab + ac. W ten sposób zmienna a staje się czynnikiem wspólnym obydwu wyrazów równania. Wiedząc to, zapisz równanie v1k2 – v10v1k = 0 w taki sposób, by po jego lewej stronie znalazł się iloczyn jakiejś zmiennej i wyrażenia zapisanego w nawiasach.

c. Gdy iloczyn dwóch czynników daje zero, przynajmniej jeden z nich musi być równy zero. Skorzystaj z tej wiedzy, by wyznaczyć dwie możliwe wartości zmiennej v1k, a następnie posłuż się kontekstem zadania do wskazania poprawnej odpowiedzi.

jesteś tutaj  635

Zderzenia sprężyste

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Która ze zmiennych równania v1k2 – v10v1k = 0 pojawia się w obydwu jego członach? W obydwu wyrazach pojawia się zmienna v1k.

b. Równanie, w którym pojawiają się nawiasy, można zawsze uprościć do postaci bez nawiasów, na przykład a(b + c) = ab + ac. W ten sposób zmienna a staje się czynnikiem wspólnym obydwu wyrazów równania. Wiedząc to, zapisz równanie v1k2 – v10v1k = 0 w taki sposób, by po jego lewej stronie znalazł się iloczyn jakiejś zmiennej i wyrażenia zapisanego w nawiasach. v1k2 – v10v1k = 0 v1k(v1k – v10) = 0

c. Gdy iloczyn dwóch czynników daje zero, przynajmniej jeden z nich musi być równy zero. Skorzystaj z tej wiedzy, by wyznaczyć dwie możliwe wartości zmiennej v1k, a następnie posłuż się kontekstem zadania do wskazania poprawnej odpowiedzi. Rozwiązaniem równania jest v1k = 0 lub (v1k – v10) = 0. Gdyby miał być spełniony warunek (v1k – v10) = 0, oznaczałoby to, że v1k = v10, czyli pierwsza bila musiałaby poruszać się po zderzeniu z niezmienioną prędkością, zupełnie jakby nie zderzyła się z drugą kulą. Takie rozwiązanie nie jest możliwe. Drugim dopuszczalnym rozwiązaniem jest v1k = 0. Odpowiedź ta wydaje się być poprawna, ponieważ w przypadku uderzenia jednej kuli bilardowej centralnie drugą, pierwsza z nich często zatrzymuje się.

Teraz wiesz już, jak radzić sobie ze zderzeniami sprężystymi Pęd układu jest zachowany w każdym rodzaju zderzeń, zarówno w zderzeniach sprężystych, jak i w zderzeniach niesprężystych. Energia również jest zachowana zawsze, lecz w zderzeniach niesprężystych część energii mechanicznej może przyjąć postać energii wewnętrznej. Jeżeli zderzenie jest sprężyste, całkowita energia kinetyczna układu jest zachowana.

W każdym zadaniu opisującym zderzenie skorzystaj z zasady zachowania pędu. Jeżeli zderzenie jest sprężyste i masz do czynienia z dwiema niewiadomymi, posłuż się również zasadą zachowania energii. 636

Rozdział 14.

Rodzaj zderzenia określa się najłatwiej, stwierdzając, czy w efekcie zdarzenia któreś z ciał doznało odkształcenia. Jeżeli tak, wiadomo, że było to zderzenie niesprężyste, ponieważ cząsteczki zdeformowanego ciała zmieniły swoje położenie, czyli doszło do zwiększenia energii wewnętrznej tego ciała.

Rozwiązując zadanie, w którym pojawia się zderzenie sprężyste, korzystaj zawsze z zasady zachowania pędu. Jeżeli występuje w nim tylko jedna niewiadoma, problem jest już właściwie rozwiązany. Jeżeli w zadaniu pojawiają się dwie niewiadome, musisz zapisać drugie równanie. Wtedy niezastąpiona okazuje się zasada zachowania energii.

Zasada zachowania energii

Prędkość względna w zderzeniu sprężystym zmienia kierunek

Kule ZBLIŻAJĄ się do siebie ze względną prędkością v10.

Przed

Rozwiązałeś właśnie problem zderzenia dwóch kul bilardowych — poruszającej się ze spoczywającą. Gdy poruszająca się kula uderza w kulę spoczywającą, sama zatrzymuje się, a druga kula, pozostająca dotąd w spoczynku, zaczyna się poruszać z prędkością równą prędkości pierwszej kuli przed zderzeniem. Wyobraź sobie teraz, że siedzisz na szczycie drugiej kuli. Widzisz najpierw, jak zbliża się do Ciebie pierwsza kula, poruszająca się z prędkością v10. Po zderzeniu wydaje się, że pierwsza kula oddala się od Ciebie z prędkością –v10 (choć faktycznie porusza się przecież kula druga). również w drugą stronę. Zasada ta jest słuszna ść względna dwóch dko prę niu rze zde po Jeżeli domo, że zderzenie ciał ulega odwróceniu, wia . ste ęży spr to musiało być

P: Czy w każdym zadaniu

dotyczącym zderzeń sprężystych muszę używać zasady zachowania pędu ORAZ zasady zachowania energii?

O: Nie zawsze. Czasami w zadaniu pojawia

się tylko jedna wielkość niewiadoma. W takim przypadku wystarczy Ci jedno równanie.

P: Z którego równania powinienem skorzystać, jeżeli nie znam wartości tylko jednej z prędkości — z zasady zachowania pędu czy z zasady zachowania energii?

O

: Lepiej korzystać z zasady zachowania pędu, ponieważ w zadaniach tego typu zwrot wektora prędkości ma znaczenie. Zasada zachowania pędu daje informacje nie tylko o wartości wektora prędkości, ale również o jego zwrocie, ponieważ pęd jest także wektorem.

P: Czy równanie energii kinetycznej

zawiera informację o kierunku wektora prędkości?

O

: Nie, ponieważ energia kinetyczna jest wielkością skalarną. Ciało o pewnej masie ma zawsze taką samą energię kinetyczną, niezależnie od kierunku prędkości.

m

Po

m

v10 v1k = 0

m

v20 = 0 m

v2k = v10

Kule ODDALAJĄ się od siebie ze względną prędkością v10.

To szczególny przypadek ogólnej zasady dotyczącej prędkości względnej w zderzeniach sprężystych, która mówi, że po zderzeniu sprężystym kierunek prędkości względnej ulega odwróceniu. Zasada ta jest spełniona również wtedy, gdy obydwa ciała są początkowo w ruchu.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy z równania energii kinetycznej P: Co mam zrobić, gdy zderzenie da się odtworzyć zwrot wektora prędkości?

sprężyste zajdzie pod pewnym kątem, a nie wzdłuż linii prostej?

O: Równanie energii kinetycznej ma postać O: Pamiętaj, że najpierw powinieneś Ek = ½m v2. Prędkość jest tu podnoszona do kwadratu. Wynik mnożenia dwóch liczb dodatnich jest dodatni, ale wynik mnożenia dwóch liczb ujemnych też jest dodatni. Oznacza to, że niezależnie od znaku stojącego przy wartości v (a znak określa kierunek wektora) wyrażenie v2 będzie zawsze dodatnie. To sprawia, że nie da się określić kierunku prędkości (wektora) z równania energii kinetycznej (skalara). Równanie to pozwala jedynie wyznaczyć wartość prędkości.

P: W zadaniu, które właśnie

skończyłem rozwiązywać, pojawiły się dwie możliwe odpowiedzi. Jak określić, która jest poprawna?

O

: Dwie odpowiedzi pojawiły się dlatego, że w równaniu energii kinetycznej występuje czynnik v2. Właściwą odpowiedź wskażesz dopiero po rozważeniu kontekstu zadania. Wybierz tę, która ma sens z punktu widzenia fizyki.

skorzystać z zasady zachowania pędu. W przypadku zderzenia pod pewnym kątem rozłóż wektory na składowe i zastosuj zasadę zachowania pędu do każdej ze składowych (robiłeś coś takiego w rozdziale 12.).

P: Czy prędkość względna

w zderzeniu sprężystym zawsze ulega odwróceniu? Nawet gdy ciała mają różne masy?

O

: Tak. Wyobraź sobie gumową piłkę odbijającą się od ściany. Piłka leci w kierunku ściany z prędkością v, a następnie odbija się od niej z prędkością –v (przy założeniu, że zderzenie jest całkowicie sprężyste). To samo będzie miało miejsce w miej skrajnym przypadku — prędkość względna ulegnie odwróceniu.

jesteś tutaj  637

Bardziej złożone zadania

Zderzenia w bilardzie działają doskonale! Programista wprowadził do gry kod zgodny z Twoimi wskazówkami. Rozwiązanie okazało się strzałem w dziesiątkę! Ale na kilka dni przed premierą gry znów zgłosił się do Ciebie z nowym, trudniejszym problemem…

Dzięki Twoim wskazówkom dotyczącym zderzeń sprężystych prawie skończyłem pracę nad grą, ale chciałbym, żebyś rzucił okiem na to rozwiązanie sztuczki bilardowej. Coś się w nim nie zgadza, ale nie mam pojęcia co. Pomożesz?

Strzał zaprzeczający grawitacji, który wymaga nieco doszlifowania… Gracz może zdecydować się na uruchomienie gry w specjalnym trybie, w którym da się wykonywać sztuczki bilardowe z użyciem przedmiotów niepojawiających się zazwyczaj na stołach do gry. Programista ma kłopot z konkretną sztuczką, polegającą na wbiciu bili do wyściełanego obiciem pudełka. Pudełko ma podlecieć z bilą w górę i jeżeli w najwyższym punkcie lotu osiągnie określoną wysokość (6,00 cm), uwolni bilę. Pudełko jest zawieszone na bardzo lekkim stalowym drucie.

Kula uderza w pudełko z pewną prędkością.

m1

Gdy pudełko znajdzie się na odpowiedniej wysokości, otworzy się w nim niewielka zapadka, która pozwoli wypaść bili z pudełka. Wyściełane pudełko.

v1 Bila i pudełko poruszają się teraz jak jedno ciało o większej masie.

638

Rozdział 14.

Kula jest uwalniana tylko wtedy, gdy pudełko osiągnie w najwyższym punkcie lotu określoną wysokość.

m2

h = 6,00 cm

Pudełko podlatuje na wysokość 6,00 cm powyżej poziomu startowego.

Zasada zachowania energii

Na czym polega błąd w rozumowaniu programisty?

Czyli energia kinetyczna piłki zamienia się w energię potencjalną… Muszę też pamiętać, że masa bili + masa pudełka to więcej niż masa bili. Ale dlaczego odpowiedź wychodzi zła?!

Programista próbował samodzielnie obliczyć prędkość, z jaką gracz ma uderzyć w bilę, korzystając z tego, czego nauczyłeś go na temat zasady zachowania energii. Założył, że początkowa energia kinetyczna kuli zostaje przekształcona w energię potencjalną kuli i pudełka, które podlatują na wysokość 6,00 cm powyżej poziomu początkowego (rozwiązanie tego zadania za pomocą sił i równań ruchu byłoby bardzo skomplikowane!). Jednak okazało się, że obliczona przez niego prędkość kuli jest mniejsza niż zmierzona w czasie testów wykonanych przez prawdziwego gracza. Gracz musi uderzyć bilę z większą prędkością, a programista nie wie, gdzie tkwi błąd.

Zaostrz ołówek Musisz się zastanowić, na czym polega błąd programisty. Po prawej stronie znajdziesz notatki z jego obliczeniami, a poniżej masz nieco miejsca na wyjaśnienie jego pomyłki. Masa piłki to 165 g, a masa pudełka to 95 g.

(1)

(2)

m2 = 0,260 kg

m1 = 0,165 kg

v2 = 0 m/s

v1 = ?

Wysokość = 0,060 m

Ek kuli w (1) = Ep kuli i pudełka w (2) Z zasady zachowania energii: Ek = ½m1v12 = m2gh v12 = v1 =

2m2gh m1 2m2gh m1

=

2 × 0,260 kg × 9,8 m/s2 × 0,060 m 0,165 kg

v1 ≈ 1,36 m/s Ale w rzeczywistości gracz wykonujący tę sztuczkę musi nadać bili większą prędkość. Nie mam pojęcia dlaczego! Wrrr!

jesteś tutaj  639

Sprężyste czy niesprężyste?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Musisz się zastanowić, na czym polega błąd programisty. Po prawej stronie znajdziesz notatki z jego obliczeniami, a poniżej masz nieco miejsca na wyjaśnienie jego pomyłki.

(1)

(2)

m2 = 0,260 kg

m1 = 0,165 kg

v2 = 0 m/s

v1 = ?

Wysokość = 0,060 m

Masa piłki to 165 g, a masa pudełka to 95 g. Programista założył, że cała energia kinetyczna kuli zostaje zamieniona na energię potencjalną grawitacji układu kula – pudełko. Należy jednak pamiętać, że pudełko jest w środku wyściełane obiciem. Kula wpadająca do pudełka zderza się niesprężyście z tym obiciem, więc energia mechaniczna układu nie jest zachowana.

Z zasady zachowania energii: Ek = ½m1v12 = m2gh v12 =

2m2gh m1

Gdy bila uderza w ściankę pudełka, pokrywające je obicie odkształca się, przez co zwiększa się jego energia wewnętrzna. Oznacza to, że nie cała energia kinetyczna bili zostaje zamieniona na energię potencjalną grawitacji.

v1 ≈ 1,36 m/s

W efekcie gracz musi nadać piłce większą prędkość, by pudełko wzniosło się na odpowiednią wysokość, co widać po wynikach testów przeprowadzonych w rzeczywistości.

Ale w rzeczywistości gracz wykonujący tę sztuczkę musi nadać bili większą prędkość. Nie mam pojęcia dlaczego! Wrrr!

Początkowe zderzenie jest niesprężyste, więc energia mechaniczna układu nie jest zachowana W chwili zderzenia kuli z obitą wyściółką ścianą pudełka część energii kinetycznej piłki zostaje przekształcona w energię wewnętrzną. Zderzenie jest niesprężyste. Pudełko jest pokryte od wewnątrz odkształcającą się wyściółką, przez co energia mechaniczna układu zmniejsza się o wartość zmiany energii wewnętrznej związanej z odkształceniem obicia. Z tego wynika, że założenie programisty dotyczące zamiany energii kinetycznej kuli na energię potencjalną grawitacji układu bila – pudełko jest niepoprawne.

Zanim zabierzesz się za obliczenia, zastanów się, czy zderzenie jest sprężyste, czy niesprężyste. 640

Ek kuli w (1) = Ep kuli i pudełka w (2)

Rozdział 14.

v1 =

2m2gh m1

2 × 0,260 kg × 9,8 m/s2 × 0,060 m 0,165 kg

=

Tylko ta część energii kinetycznej ulega zamianie w energię potencjalną grawitacji, gdy skrzynka z kulą podlatuje w górę.

W trakcie zderzenia niesprężystego energia mechaniczna nie jest zachowana.

En. kinetyczna m1

En. kinetyczna v1

m2

v2

En. wewnętrzna Część energii kinetycznej zostaje przekształcona na energię wewnętrzną.

Pudełko ŚCIEŁANE, jest WYerzenie więc zdESPRĘŻYSTE. jest NI

Zasada zachowania energii

Zderzenie niesprężyste opisz zasadą zachowania pędu Cała sztuczka w opisie tej sztuczki polega na rozłożeniu jej na dwa etapy. Etap pierwszy to zderzenie kuli z pudełkiem. To zderzenie niesprężyste, więc spełniona jest zasada zachowania pędu, ale energia mechaniczna nie jest już zachowana. Ponieważ znasz masy kuli i pudełka, możesz użyć zasady zachowania pędu, by uzależnić ich prędkość po zderzeniu (czyli również ich energię kinetyczną) od początkowej prędkości kuli. Drugi etap to uniesienie pudełka z piłką na określoną wysokość. Energia kinetyczna układu kula – pudełko zostaje w całości zamieniona na jego energię potencjalną grawitacji. Znasz wysokość, na jaką uniesie się pudełko, więc możesz wyznaczyć energię potencjalną układu. W ten sposób poznasz też energię kinetyczną układu po zderzeniu i prędkość kuli i pudełka, które uzależniłeś przecież od początkowej prędkości kuli.

Prędkość po zderzeniu jest mniejsza, ale masa jest większa.

Prędkość początkowa

m1

v1

m2

v2 Zasada zachowania pędu: p1 = p2

Pokaż, co potrafisz!

Zaostrz ołówek Kula bilardowa o masie 165 g zostaje wbita do obitego wyściółką pudełka, które jest zaczepione na lekkim stalowym drucie, dzięki czemu może unieść się na pewną wysokość. Sztuczka zadziała wtedy, gdy pudełko z kulą osiągnie w najwyższym punkcie swojego lotu wysokość 6,00 cm ponad poziomem, z którego się unosi. Oblicz prędkość początkową kuli, jeżeli masa pudełka wynosi 95 g.

En. kinetyczna m2

v2

En. potencjalna v=0 m2 h = 6,00 cm

Zasada zachowania energii: Ek pocz = Ep końc Wskazówka: Zadanie rozwiążesz najszybciej, jeśli obliczysz prędkość, jaką muszą mieć kula i pudełko po zderzeniu, a potem cofniesz się do wcześniejszego etapu.

jesteś tutaj  641

Rozwiąż zadanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Kula bilardowa o masie 165 g zostaje wbita do obitego wyściółką pudełka, które jest zaczepione na lekkim stalowym drucie, dzięki czemu może unieść się na pewną wysokość. Sztuczka zadziała wtedy, gdy pudełko z kulą osiągnie w najwyższym punkcie swojego lotu wysokość 6,00 cm ponad poziomem, z którego się unosi.

Jeżeli chcesz obliczyć wartość prędkości w m/s, musisz prowadzić obliczenia w kg i m, a nie w g i cm.

Oblicz prędkość początkową kuli, jeżeli masa pudełka wynosi 95 g.

(1)

(2)

m2 = 0,260 kg

(3)

Super! Skończyłem pracę nad kodem, więc teraz musisz już tylko poczekać, aż tantiemy wpłyną na Twoje konto!

v3 = 0 m/s Wysokość = 0,060 m m1 = 0,165 kg

m2 = 0,260 kg

v1 = ?

v2 = ?

Ek kuli i pudełka w (2) = Ep kuli i pudełka w (3) Wyznaczam v2 z zasady zachowania energii. Ek = ½m m2v22 = m2gh v2 =

2gh

To rozwiązanie różni się od pomysłu programisty, ponieważ używasz zasady zachowania energii w chwili, gdy kula jest już w pudełku.

2 × 9,8 m/s2 × 0,060 m ≈ 1,08 m/s

=

Wyznaczam v1 z zasady zachowania pędu. m1v1 = m2v2 v1 =

m2v2 m1

=

0,260 kg × 1,08 m/s ≈ 1,70 m/s 0,165 kg

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czyli czasami sama zasada zachowania energii nie wystarcza do rozwiązania zadania?

O: Właśnie. Jeśli energia wewnętrzna

układu zmieni się w sposób ciężki do określenia (jak w przypadku deformacji wyściółki), sama wiedza o zachowaniu energii nie wystarczy, bo nie będziesz mógł przeprowadzić obliczeń!

642

Rozdział 14.

P

: Czy to znaczy, że energia wewnętrzna może zmieniać się w sposób pozwalający przeprowadzać obliczenia? Przecież nie można zobaczyć tego, co dzieje się wewnątrz ciała!

O

: Jeżeli energia wewnętrzna ciała wzrasta wyłącznie z powodu wykonywania pracy przeciwko sile tarcia, zmiana energii wewnętrznej jest równa wyrażeniu FΔx, czyli całkowitej energii wykorzystanej na wykonanie pracy.

P

: Co mam zrobić, jeśli nie będę mógł obliczyć, o ile wzrosła energia wewnętrzna?

O

: Wtedy musisz skorzystać z zasady zachowania pędu, żeby opisać nią zderzenie niesprężyste. W ten sposób poznasz wartość prędkości ciał po zderzeniu. Tej prędkości możesz użyć do obliczenia energii kinetycznej układu ciał po zderzeniu.

Poradnia pytań — wahadło balistyczne Sztuczka bilardowa opisana w tym rozdziale to przykład zadania z wahadłem balistycznym. Nazwa tego urządzenia wiąże się z jego zastosowaniem do określania prędkości pocisku. Pomiar polega na oddaniu strzału do drewnianego klocka zawieszonego na stalowych linkach i zmierzeniu wysokości, na jaką wychyli się klocek po trafieniu przez kulę. Najistotniejsze w tego typu zadaniach jest to, byś pamiętał, że zderzenie, które ma miejsce po trafieniu kulą w blok wahadła, jest zderzeniem niesprężystym. W związku z tym energia mechaniczna układu (tj. suma energii kinetycznej i energii potencjalnej) nie jest zachowana. W chwili zderzenia część energii mechanicznej zostaje przekształcona w energię wewnętrzną kuli i bloku drewna.

To słowo klucz mogące sugerować zderzenie sprężyste, ale charakter zderzenia zależy również od drugiego ciała biorącego w nim udział!

To stwierdzenie oznacza, że w obliczeniach nie musisz uwzględniać masy linki.

To słowa klucze tożsame ze stwierdzeniem „zderzenie niesprężyste”.

Nie zdołasz opisać zderzenia niesprężystego za pomocą zasady zachowania energii, więc w tej części zadania będziesz musiał posłużyć się zasadą zachowania pędu.

masie 165 g zostaje 3. Kula bilardowa o e ciółką pudełka, któr wbita do obitego wyś , ie kkim stalowym druc jest zaczepione na le ieść się na pewną dzięki czemu może un zadziała wtedy, gdy wysokość. Sztuczka ie w najwyższym pudełko z kulą osiągn nad wysokość 6,00 cm po punkcie swojego lotu się unosi. poziomem, z którego asa ątkową kuli, jeżeli m Oblicz prędkość pocz pudełka wynosi 95 g.

Różnica poziomów powinna przywodzić Ci na myśl energię potencjalną grawitacji.

Część początkowej energii kinetycznej kuli zostaje przekształcone w energię wewnętrzną układu.

– pudełko Określ energię kinetyczną układu kula pnie po zderzeniu. Energia ta zostaje nastę m zamieniona na energię potencjalną. Pote , z której skorzystaj z zasady zachowania pędu kuli. ą tkow począ ość prędk z wyznaczys

Cała tajemnica rozwiązywania tego typu zadań polega na stwierdzeniu, czy w opisywanym problemie nie pojawia się czasem zderzenie niesprężyste. Dopiero gdy znajdziesz odpowiedź na to pytanie, możesz zabrać się za obliczenia. W zderzeniu niesprężystym pęd układu jest zachowany, ale całkowita energia kinetyczna przed zderzeniem ma inną wartość niż po zderzeniu. Dlatego najpierw musisz wyznaczyć z zasady zachowania energii prędkość nowej masy (pudełko + kula) po zderzeniu, czyli de facto jej energię kinetyczną. Potem z zasady zachowania pędu wyznaczysz prędkość początkową kuli.

643

j je jednostki

Świat fizyki

spadanie zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne ól

przyspieszenie

wykres doświadczenie

ciężar

zderzenie sprężyste

Ile ciał? Jaki rodzaj zderzenia? Już wiem!

składowa

siła

czas Pitagoras

zachowanie pędu

moment siły

energia

podstawienie i i

równania ruchu

popęd siły

Bądź częścią problemu

równanie

stałe przyspieszenie

trygonometria

energia kinetyczna

energia wewnętrzna powierzchnia powier pow ierzch zchnia nia

644

objętość

moc

diagram rozkładu du sił sił

symetria nachylenie

szybkość

energia mechaniczna prędkość dk ść

tarcie

wektor

energia potencjalna grawitacji

droga

notacja naukowa przemieszczenie

siła normalna

praca

prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Energia kinetyczna

Zdolność ciała do wykonania pracy związana z prędkością ciała.

Energia wewnętrzna

Całkowita energia kinetyczna i potencjalna wynikająca z przypadkowych drgań cząsteczek bądź ich ruchu w losowych kierunkach pojawiających się w skali mikroskopowej.

Energia mechaniczna

Suma całkowitej energii kinetycznej i całkowitej energii potencjalnej układu ciał w skali makroskopowej.

Moc

Tempo przekształcania energii na wykonanie pracy. Moc mierzymy w watach (1 W = 1 dżul na sekundę).

Zderzenie niesprężyste

Zderzenie, w którym pęd jest zachowany, ale energia kinetyczna nie.

Zderzenie sprężyste

Zderzenie, w którym zachowane są i pęd, i energia kinetyczna.

Rozdział 14.

Zasada zachowania energii

Niezbędnik fizyka

Zmiana pędu wiąże się z działaniem siły na ciało przez pewien czas. Zmiana energii kinetycznej wiąże się z działaniem siły na ciało na pewnej drodze.

ężyste

Zderzenie niespr

erzenie Mówimy, że zd jmniej te, jeżeli przyna jest niesprężys ział ud m ni ących w jedno z ciał bior cone ał zt ks sposób od zostaje w jakiś iku yn w w łączą się albo jeśli ciała zderzenia. owany, układu jest zach Całkowity pęd a ni czasie zderze ale ponieważ w nia ie ciało trwale zm niesprężystego na ergia kinetycz swój kształt, en część zachowana. Jej układu nie jest ergii en ana na zmianę jest przekazyw ładu. wewnętrznej uk

Różnica poziomów Zawsze gdy w zadaniu pojawia się wzmianka o różnicy poziomów położenia ciała, warto zastanowić się nad rozwiązywaniem go z wykorzystaniem zasady zachowania energii. Taki sposób rozwiązania jest prawie zawsze prostszy niż opisanie problemu równaniami ruchu. Całkowita energia układu na początku zdarzenia musi być równa całkowitej energii układu na końcu zdarzenia, więc wszelkie zmiany energii potencjalnej grawitacji będą równe zmianom energii kinetycznej.

Zderzenie sprężyst

e

W czasie zderzenia sprężystego ciała nie ulegają odkszta łceniu i zawsze odbijają się od sie bie. Zderzenia sprężyst e są trudniejsze w opisie matematy cznym, ponieważ po zakończeniu zdar zenia nadal trzeba rozpatrywać dwa oddzielne ciała. Na szczęście w czas ie zderzenia sprężystego zachow ane są i pęd, i energia kinetyczn a, więc cały układ można opisać dwom a równaniami i wyznaczyć wartośc i dwóch niewiadomych.

Zatrzymywanie ciała siłę Jeśli chcesz szybko obliczyć ła cia nia ma rzy zat do potrzebną jego na pewnej drodze, wyznacz energię kinetyczną. cy Energia ta będzie równa pra tarcia siły nia ona potrzebnej do pok aż iew Pon a. w czasie hamowani iem FΔx, praca opisana jest równan nie powinno siły ści odnalezienie warto mów. nastręczać większych proble

jesteś tutaj  645

ROZDZIA 14.

Masz już za sobą rozdział 14., więc możesz dodać do swojego przybornika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające sprawdzać poprawność odpowiedzi.

Pęd a energia kinetyczna

646

Rozdział 14.

15. Napr$enia, bloczki i technika rozwizywania problemów zycznych

Inny kierunek

Wyjaśnijmy to dokładnie… Powiadasz, że wystarczy pociągnąć sznurek w dół, żeby zasłony rozsunęły się na boki… Co jeszcze może wymyślić człowiek? Chętnie zadałabym to samo pytanie, ale bynajmniej nie w kontekście zasłon.

Czasami musisz sobie radzić z sytuacjami pełnymi napięć. Do tej pory korzystałeś z wiedzy na temat sił, rysowałeś diagramy rozkładu sił, a także zapoznałeś się z zasadą zachowania energii. W tym rozdziale zajmiemy się linami, bloczkami i naprężeniami, zwanymi czasem również napięciami. Przy okazji nauczysz się dostrzegać znajome znaki rozpoznawcze podczas rozwiązywania nieznanych sobie problemów fizycznych.

to jest nowy rozdział 647

Ryzykowna jazda na deskorolce

To ptak! To samolot! Nie… to… facet na deskorolce?! W mieście ogłoszono dość ryzykowny konkurs. Na czym polega zabawa? Trzeba skoczyć z jedenastometrowego molo i spaść prosto na cel unoszący się na wodzie w odległości 15,0 m od miejsca, w którym jej powierzchnia styka się z podestem. Michał — nieustraszony demon deskorolki — postanowił przynieść do domu główną nagrodę. Michał na deskorolce.

Zestaw obciążników przygotowany specjalnie po to, by można było zrzucić go z molo.

Niestety, Michał niezbyt dobrze zna fizykę, dlatego jesteś mu potrzebny. Czy zechcesz pomóc Michałowi rozwiązać problem fizyczny?

Lina łącząca deskorolkę z balastem.

Oto co POWINNO się wydarzyć…

Deskorolka jest ciągnięta przez linę wzdłuż molo.

Michał, chcąc być pewnym, że trafi w cel, zamierza nadać sobie określoną prędkość początkową. W tym celu przywiązał swoją deskorolkę do zestawu dużych obciążników, a linę umieścił na bloczku.

Po dotarciu deskorolki do krawędzi molo Michał porusza się z prędkością v.

v Jeśli prędkość początkowa Michała będzie odpowiednia, chłopak poleci wzdłuż tej trajektorii i trafi prosto w cel.

Zawody odbywają się w trakcie przypływu, gdy szczyt molo znajduje się na wysokości 11,0 m nad powierzchnią wody.

Środek tarczy, w którą mają celować zawodnicy, znajduje się w odległości 15,0 m od miejsca, gdzie powierzchnia wody styka się z molo.

11,0 m Balast uderza o powierzchnię wody.

15,0 m

648

Rozdział 15.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

Zawsze szukaj czegoś, co znasz Próbując rozwiązać zadanie, z którym mamy się zmierzyć, na pewno będziemy posługiwali się następującymi wyrażeniami: deskorolka, człowiek, zestaw obciążników, lina, bloczek, grawitacja, wysokość molo, odległość od celu. Co więcej, nasze zadanie jest dwuwymiarowym problemem fizycznym, możemy więc powiedzieć, że czeka nas rozwiązywanie dość skomplikowanej zagadki! Jednakże nie musisz zaczynać rozwiązywania problemu fizycznego tak samo, jak zrobił to Michał, czyli od połączenia liną deskorolki z balastem. Możesz w pierwszej kolejności zająć się tą częścią zadania, która przypomina Ci któryś ze wcześniej rozwiązywanych przez Ciebie problemów fizycznych.

W momencie spadania z deskorolki Michał porusza się poziomo (wektor jego prędkości początkowej skierowany jest poziomo).

v

Co prawda nie zajmowałeś się wcześniej linami i bloczkami, ale sytuację przedstawioną na tym rysunku już WIDZIAŁEŚ!

Możesz na przykład zająć się częścią zadania, w której Michał leci swobodnie w powietrzu z prędkością początkową v. Ten problem fizyczny wydaje się być znajomy, prawda?

Każde skomplikowane zadanie dziel na części. Następnie staraj się dostrzec PODOBIEŃSTWO niektórych fragmentów zadania do któregoś ze znanych sobie problemów fizycznych.

Zaostrz ołówek

Załóżmy, że w chwili oderwania się od molo Michał porusza się poziomo. Jaka powinna być prędkość początkowa Michała, aby trafił on w cel unoszący się na wodzie, jeśli cel ten znajduje się w odległości 15,0 m od dolnej części molo, a molo ma wysokość 11,0 m?

Rozwiązywanie zadania zawsze zaczynaj od wykonania rysunku, który ułatwi Ci ogarnięcie problemu fizycznego, z którym musisz sobie poradzić.

jesteś tutaj  649

Szukaj czegoś, co znasz

Aby poradzić sobie z tą częścią zadania, trzeba znać równania ruchu. Kluczem do jej rozwiązania jest zdanie sobie sprawy z tego, że można ją potraktować jak problem fizyczny niemający nic wspólnego z resztą zadania, czyli obciążnikami i bloczkiem.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Załóżmy, że w chwili oderwania się od molo Michał porusza się poziomo. Jaka powinna być prędkość początkowa Michała, aby trafił on w cel unoszący się na wodzie, jeśli cel ten znajduje się w odległości 15,0 m od dolnej części molo, a molo ma wysokość 11,0 m? Pionowo w dół to kierunek oznaczany znakiem „+”. v0po = ?

xpi = x0p + v0pit + ½apit2 0pi

v0pi = 0 m/s

api = 9,8 m/s2

Korzystając z wiedzy o składowych pionowych wektorów, obliczam czas.

x0pi = 0 m x0po = 0 m

Obydwa wyrazy są równe zeru.

½apit2 = xpi t =

2xpi api

=

2 × 11,0 m 9,8 m/s2

≈ 1,50 s

xpo = 15,0 m

xpi = 11,0 m

Znając wartość poziomej składowej wektora przemieszczenia, wyznaczam wartość poziomej składowej wektora prędkości. xpo 15 m = v0po = = 10,0 m/s (w kierunku od strony t 1,50 s lewej do prawej)

W tej części zadania prędkość początkowa Michała wynosi v0po = 10 m/s, lecz w części z liną itd. prędkość początkowa chłopca równa jest zeru, natomiast jego prędkość końcowa wynosi 10 m/s. Chyba powinniśmy bardzo uważać na to, co i jak robimy…

W tym miejscu Michał powinien poruszać się z prędkością 10,0 m/s.

Rozwiązując poszczególne części zadania, uważaj na to, jak nazywasz zmienne.

W tym punkcie prędkość Michała Rozbijając zadanie na mniejsze części, udało nam się je uprościć, wynosi 0 m/s.

co jest dla nas powodem do zadowolenia. Jeśli jednak przed przystąpieniem do rozwiązywania kolejnej części zadania zapomnisz zmienić nazwy zmiennych i opisy na wykonanym przed chwilą rysunku, narobisz sobie kłopotów.

Zajmując się częścią zadania, w której Michał zaczyna spadać z molo, wyznaczyłeś prędkość początkową v0po o wartości 10,0 m/s. Rozwiązując inną część zadania, będziesz musiał zmierzyć się z problemem osiągania przez Michała stojącego nieruchomo w pierwszej fazie ruchu prędkości 10,0 m/s, a więc obliczona wcześniej prędkość o wartości 10,0 m/s okaże się prędkością końcową, nie zaś początkową. Dlatego musisz być bardzo ostrożny, dobierając oznaczenia zmiennych!

650

Rozdział 15.

Jeśli zdecydujesz się rozłożyć zadanie z fizyki na części, to przechodząc między poszczególnymi jego częściami, czasami będziesz musiał zmieniać nazwy niektórych zmiennych.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych Kuba: Tak. A na drugim końcu liny mamy obciążniki, które nadadzą mu odpowiednie przyspieszenie. Franek: No pewnie! Obciążniki spadają z przyspieszeniem 9,8 m/s2 i ciągną za sobą Michała. Z tego wynika, że Michał także porusza się z przyspieszeniem o wartości 9,8 m/s2, czyli takim samym jak balast. Bułka z masłem!

Jeśli Michał osiągnie prędkość o wartości 10 m/s, trafi w cel, tak?

Krzysiek: Hmm… nie jestem pewien. Obciążniki muszą pociągnąć Michała, więc chyba nie będą spadały tak szybko, jak poruszałyby się, gdyby nie były przywiązane do deskorolki. Innymi słowy, sądzę, że ich przyspieszenie nie będzie równe 9,8 m/s2. Franek: Ale wiemy, że wartość przyspieszenia spadającego obiektu nie zależy od jego masy. Każdy obiekt spada tak samo szybko, jeśli tylko opór powietrza nie jest zbyt duży. Krzysiek: No tak, tylko że Michał nie spada, lecz porusza się poziomo. Kuba: Zgadza się… Wydaje mi się, że gdyby na desce zamiast Michała stanął słoń, nie przyspieszałaby ona prawie wcale. Franek: Siła ciągnąca balast w dół zależy od jego masy, a nie od masy Michała, ponieważ to nie Michał spada. Kuba: Okazuje się, że to wszystko nie jest wcale takie proste…

BĄDŹ deskorolkarzem Twoim zadaniem jest wyobrazić sobie, że jesteś Michałem stojącym na deskorolce. Co się z Tobą dzieje w chwili, gdy obciążniki doczepione do drugiego końca liny łączącej deskorolkę z balastem spadają? W jaki sposób masa obciążników wpływa na to, co się z Tobą dzieje?

jesteś tutaj  651

Bądź deskorolkarzem

BĄDŹ deskorolkarzem. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wyobrazić sobie, że jesteś Michałem stojącym na deskorolce. Co się z Tobą dzieje w chwili, gdy obciążniki doczepione do drugiego końca liny łączącej deskorolkę z balastem spadają? W jaki sposób masa obciążników wpływa na to, co się z Tobą dzieje?

Obciążniki ciągną Cię w tym kierunku.

Gdyby tu nie było obciążników, w ogóle byś się nie poruszał.

Duża masa przyspiesza szybciej.

Obciążniki spadają pionowo. Ponieważ ciągną deskorolkę, przyspieszam, poruszając się poziomo. Gdyby balast ważył więcej, przyspieszałbym szybciej. Gdyby balast ważył mniej, przyspieszałbym wolniej. Jeśli obciążniki byłyby naprawdę lekkie, mógłbym wcale nie przyspieszać.

Wartość przyspieszenia balastu jest taka sama jak wartość przyspieszenia Michała Ponieważ deskorolkę Michała połączono liną z zestawem obciążników, obciążniki i Michał przyspieszają dokładnie tak samo (mowa tu o wartości przyspieszenia). Dzieje się tak za sprawą naprężenia — lina jest całkowicie naciągnięta. Gdyby nie było liny łączącej deskorolkę z ciężarkami albo gdyby lina ta nie była całkiem naciągnięta, nie istniałoby naprężenie i Michał nie przyspieszałby mimo ruchu balastu. Większy ciężar na końcu liny sprawiłby, że Michał przyspieszałby szybciej, natomiast mniejszy ciężar nadawałby chłopcu na deskorolce mniejsze przyspieszenie. Fakt ten można przeanalizować, myśląc o naprężeniu liny.

Całkowicie naciągnięta lina działa na przywiązany do jej końca obiekt siłą NAPRĘŻENIA.

Siła wypadkowa działająca na Michała = N.

Siła normalna

Naprężenie = N

Ciężar, Q = mg

Ponieważ balast działa określoną siłą na Michała (za pośrednictwem liny), Michał musi działać na balast z taką samą siłą (w tym przypadku za pośrednictwem liny). Płynie stąd wniosek, że na zestaw obciążników oddziałują dwie siły: ciężar oraz naprężenie.

Naprężenie = N

Diagram rozkładu sił działających na Michała.

Ciężar

652

m

Balast został przywiązany za pomocą liny do deskorolki, na której stoi Michał. Oprócz znoszących się ciężaru i siły normalnej na deskorolkę i chłopca działa siła naprężenia liny N. Siła ta nadaje Michałowi przyspieszenie i sprawia, że porusza się on w prawo.

Rozdział 15.

Diagram rozkładu sił działających na obciążniki.

Siła wypadkowa działająca na obciążniki = mg – N.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych Jak to możliwe, że naprężenie oddziałuje na jeden obiekt poziomo, a na drugi pionowo? Czy z III zasady dynamiki Newtona nie wynika, że siły akcji i reakcji powinny mieć przeciwne zwroty?

Bloczek zmienia kierunek i zwrot siły naprężenia. O linie, której obydwa końce są ciągnięte (czyli na przykład o linie z naszego zadania), mówimy, że jest naprężona. Bloczek zmienia kierunek i zwrot siły naprężenia. Jest to możliwe, ponieważ bloczek został mocno przytwierdzony do krawędzi molo, molo zaś może działać na układ siłą oparcia. Gdyby nie siła oparcia, lina napięłaby się wzdłuż linii prostej. Jeśli narysowałbyś diagramy rozkładu sił tylko dla Michała na deskorolce i balastu, otrzymałbyś rysunek, z którego można by wywnioskować, że ma się do czynienia z siłami opisanymi trzecią zasadą dynamiki Newtona, lecz działającymi w różnych kierunkach. Jednakże po uwzględnieniu diagramu rozkładu sił właściwego dla bloczka dostrzegalne stają się pary sił naprężenia działających pionowo i poziomo. Bloczek nie przyspiesza w żadną ze stron, więc działające na niego siły muszą po zsumowaniu dawać 0.

Diagram rozkładu sił działających na bloczek.

Siła normalna

Siła oparcia

Diagram rozkładu sił działających na Michała.

N

Siła oparcia

N N

Ciężar

N

To para sił akcji-reakcji.

Jeśli w układzie pojawia się bloczek, musisz uwzględnić go w trakcie analizowania par sił akcji-reakcji.

N

To para sił akcji-reakcji.

N m

Ciężar, Q = mg

Diagram rozkładu sił działających na balast.

Gdyby nie siła oparcia, bloczek przyspieszałby w tym kierunku w wyniku naprężania się liny.

Naciągana lina działa siłą na bloczek. Jednakże bloczek nie przyspiesza, więc działająca na niego siła wypadkowa musi mieć wartość 0 N. Stąd wniosek, że krawędź mola, do której przymocowano bloczek, musi działać na układ siłą oparcia.

jesteś tutaj  653

Połączone ze sobą obiekty

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego zestaw obciążników w tym przypadku nie spada z przyspieszeniem równym 9,8 m/s2, jak zwykle?

O

: Ponieważ został za pomocą liny przywiązany do deskorolki, na której stoi Michał, a więc ciężar balastu zwiększa nie tylko przyspieszenie samego balastu, lecz również przyspieszenie Michała.

P

: Ale czy nie jest prawdziwe stwierdzenie, że wszystkie spadające obiekty przyspieszają dokładnie tak samo, niezależnie od tego, ile ważą?

O: Stwierdzenie to nie jest prawdziwe, jeśli mamy

do czynienia ze spadającym obiektem, który został połączony z czymś, co nie spada.

P: No dobrze, więc gdzie pojawia się naprężenie? O: Naprężeniem nazywamy siłę pojawiającą się

O

: Tak, możemy. Trzeba jednak pamiętać o tym, że naprężenie działa zawsze w kierunku pokrywającym się z linią wyznaczaną przez napiętą linę.

P

: Czy rozwiązując zadania, muszę brać pod uwagę także masę samej liny?

O: Dobre pytanie! W prawdziwym życiu masa liny

jest większa niż 0 kg, więc należałoby ją uwzględniać podczas prowadzenia obliczeń. Jeśli jednak masa liny jest dużo mniejsza niż masy połączonych tą liną obiektów, nie wpływa ona znacząco na zachowanie całego układu i dlatego zazwyczaj przyjmuje się założenie, że lina nic nie waży.

P

na obydwu końcach liny. Na przykład: gdyby balast powieszono na linie przytwierdzonej do sufitu, naprężenie miałoby taką samą wartość jak ciężar balastu.

: Skąd wiadomo, że wartości przyspieszenia dwóch obiektów połączonych liną są takie same?

P: Czy naprężenie liny ma zawsze taką samą

: Aby lina przez cały czas była maksymalnie napięta, obiekty przywiązane do jej końców muszą poruszać się z taką samą szybkością. Stąd wniosek, że wartości przyspieszenia również muszą być identyczne (oczywiście wektory przyspieszenia mogą różnić się kierunkiem i zwrotem, w zależności od ułożenia liny).

wartość jak ciężar obiektu podtrzymywanego przez linę?

O

: Gdy jakiś obiekt po prostu wisi na zawieszony na linie, jego przyspieszenie równe jest 0 m/s2, a co za tym idzie, działająca na niego siłą wypadkowa musi mieć wartość 0 N. Z tego wynika, że naprężenie musi być zwrócone przeciwnie do ciężaru ciała oraz że obie siły muszą mieć tę samą wartość.

Jeśli jednak obiekt przyczepiony do liny porusza się w dół z niezerowym przyspieszeniem (tak jak zestaw ciężarków z naszego zadania), ciężar tego obiektu musi być większy niż naprężenie liny, ponieważ musi istnieć siła wypadkowa skierowana pionowo i zwrócona w dół.

654

P

: Czy można myśleć o naprężeniu trochę tak, jak myśleliśmy o sile normalnej, rozwiązując inne problemy fizyczne? To znaczy, czy naprężenie możemy utożsamiać z siłą oparcia?

Rozdział 15.

O

Wartości przyspieszenia dwóch poruszających się i połączonych ze sobą obiektów są IDENTYCZNE.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

Skorzystaj z wiedzy o naprężeniu, aby rozwiązać zadanie Michał został przywiązany do balastu liną. Lina ta jest naprężona, więc wartości przyspieszenia Michała i balastu są takie same. Twoim zadaniem jest znalezienie odpowiedzi na następujące pytanie: jaką masę powinien mieć balast, aby podczas upadku z wysokości 11,0 m osiągnął prędkość 10,0 m/s (taką samą prędkość osiągnie Michał w chwili dojazdu do krawędzi molo).

Po dotarciu do tego miejsca Michał powinien osiągnąć prędkość 10,0 m/s.

10,0 m/s

Możesz narysować dwa osobne diagramy rozkładu sił — dla Michała oraz dla zestawu obciążników — a następnie skorzystać z nich podczas wyznaczania masy balastu. Pamiętaj, że na obydwu diagramach powinieneś zaznaczyć wszystkie siły, jakie działają na Michała i balast.

Wydaje mi się, że powinniśmy być ostrożni podczas opisywania zwrotów sił…

Myśl o tym, jak porusza się lina. Mając do czynienia z bloczkami i siłami działającymi za pośrednictwem naprężonej liny, musisz być bardzo ostrożny podczas opisywania zwrotów wektorów sił. W przypadku, gdy dwa obiekty są ze sobą połączone liną, najlepiej jest zdefiniować jeden z kierunków ruchu liny jako dodatni, dla każdego z dwóch obiektów narysować osobny diagram rozkładu sił i na obydwu diagramach dużą, wyraźną strzałką zaznaczyć dodatni zwrot dla wszystkich wektorów.

Kierunek dodatni (dodatni zwrot dla wektorów) Pamiętaj, że strzałka informująca o tym, jaki zwrot uznałeś za dodatni, powinna różnić się wyglądem od strzałek wektorów!

Siła normalna Naprężenie = N

Ciężar

Kierunek dodatni (dodatni zwrot dla wektorów)

Naprężenie = N

m

Przyjmij, że jeden z kierunków ruchu liny wyznacza dodatni zwrot dla wektorów, i zaznacz go na swoich diagramach rozkładu sił.

Ciężar, Q = mg

jesteś tutaj  655

Michał jedzie na deskorolce

Zaostrz ołówek Masa Michała wynosi M. Michał został przywiązany za pomocą liny do balastu o masie m. Lina opiera się na bloczku, tak jak zostało to pokazane na rysunku obok. Balast, po zrzuceniu go z podwyższenia, na którym stoi Michał, zaczyna spadać i przyspieszać — działa na niego pole grawitacyjne g. W wyniku ruchu balastu Michał także przyspiesza. Naprężenie liny równe jest N. a. Narysuj dwa oddzielne diagramy rozkładu sił — jeden dla Michała, drugi dla balastu.

b. Napisz, jaka jest wartość siły wypadkowej działającej na Michała.

c. Napisz, jaka jest wartość siły wypadkowej działającej na balast.

656

Rozdział 15.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

d. Zarówno Michał, jak i balast poruszają się z przyspieszeniem a. Korzystając z II zasady dynamiki Newtona, zapisz zależność zachodzącą między przyspieszeniem Michała, jego masą i działającą na niego siłą wypadkową, a następnie napisz analogiczny wzór dla balastu.

e. Siła naprężenia działająca na Michała ma taką samą wartość, jak siła naprężenia oddziałująca na balast. Korzystając z równań zapisanych w części d zadania, wykonaj odpowiednie podstawienie i wyprowadź wzór na masę m. Zmienna m powinna zależeć od zmiennych M, g i a.

jesteś tutaj  657

Diagramy rozkładu sił

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Masa Michała wynosi M. Michał został przywiązany za pomocą liny do balastu o masie m. Lina opiera się na bloczku, tak jak zostało to pokazane na rysunku obok. Balast, po zrzuceniu go z podwyższenia, na którym stoi Michał, zaczyna spadać i przyspieszać — działa na niego pole grawitacyjne g. W wyniku ruchu balastu Michał także przyspiesza. Naprężenie liny równe jest N. a. Narysuj dwa oddzielne diagramy rozkładu sił — jeden dla Michała, drugi dla balastu. Siła normalna

Naprężenie = N

Naprężenie = N Dodatni zwrot wektorów wyznaczany przez kierunek ruchu liny.

Dodatni zwrot wektorów wyznaczany przez kierunek ruchu liny.

Ciężar = Mg

Ciężar = Mg

b. Napisz, jaka jest wartość siły wypadkowej działającej na Michała.

c. Napisz, jaka jest wartość siły wypadkowej działającej na balast.

Suma siły normalnej i ciężaru daje zero.

= mg - N

Fwyp

Fwyp = N

Rysowanie dużych strzałek na diagramach ułatwi Ci zapisywanie w równaniach odpowiednich znaków („+” albo „–”) przed zmiennymi.

d. Zarówno Michał, jak i balast poruszają się z przyspieszeniem a. Korzystając z II zasady dynamiki Newtona, zapisz zależność zachodzącą między przyspieszeniem Michała, jego masą i działającą na niego siłą wypadkową, a następnie napisz analogiczny wzór dla balastu. Masa Michała wynosi M. Fwyp

= ma

czyli

N = Ma

Masa balastu wynosi m. Fwyp

= ma

czyli

Rób podstawienia.

mg - N = ma

e. Siła naprężenia działająca na Michała ma taką samą wartość, jak siła naprężenia oddziałująca na balast. Korzystając z równań zapisanych w części d zadania, wykonaj odpowiednie podstawienie i wyprowadź wzór na masę m. Zmienna m powinna zależeć od zmiennych M, g i a. N = Ma

(1)

mg - N = ma

(2)

Podstawiam N z równania (1) do równania (2)

Przekształcam otrzymane równanie do postaci „m = …”. mg - Ma = ma mg - ma = Ma m(g - a) = Ma m =

mg - Ma = ma Obydwie zmienne a i g są pomnożone przez m.

658

Rozdział 15.

Ma g - a

Możesz podzielić obie strony równania przez czynnik (g – a). W ten sposób otrzymasz wzór postaci „m = …”.

Możesz użyć nawiasów i postawić przed nimi tylko jedno m.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych A czy moglibyśmy potraktować Michała i balast jako jeden obiekt o masie M + m? Czy to by zadziałało?

Całkowita masa wynosi M + m.

M

Siła przyspieszająca masę M + m wynosi mg.

Rozwiązując zadanie z deskorolkarzem, możemy traktować dwa obiekty jako jeden o większej masie (jednakże NIE zawsze można tak robić!).

Siła = mg

Rozwiązując nasze zadanie, możesz potraktować Michała i balast jako jeden obiekt o masie M + m, który przyspiesza, ponieważ działa na niego siła mg, czyli ciężar balastu. W takim przypadku:

m

Po co w takim razie Siła = masa × przyspieszenie męczyć się z naprężeniem, mg = (M + m)a skoro zadanie da się rozwiązać inną metodą? Po odpowiednim przekształceniu powyższego równania otrzymujemy wzór: m =

Ma g–a

Mając świadomość istnienia siły naprężenia na końcach liny, lepiej rozumiesz fizykę. Jeśli nauczysz się rysować diagramy rozkładu sił dla problemów fizycznych, w których treści pojawiają się liny i bloczki, będziesz w stanie rozwiązać każde zadanie z linami i bloczkami, a nie tylko to, o którym mówimy w niniejszym rozdziale. Na przykład gdyby Michał był ciągnięty przez balast po pochyłej rampie, musielibyśmy zwrócić baczniejszą uwagę na wektor ciężaru Michała. Jedynym sposobem na rozwiązanie tak zmodyfikowanego zadania z wykorzystaniem II zasady dynamiki Newtona byłoby narysowanie dwóch osobnych diagramów rozkładu sił dla połączonych liną obiektów, co nie stanowi wielkiego kłopotu, jeśli tylko rozumie się fizykę.

Siła normalna

Jeśli składowa pozioma ciężaru Michała miałaby większą wartość niż ciężar balastu, chłopiec zjechałby po rampie do tyłu!

Siła normalna i ciężar nie są w tym przypadku równoległe, więc ich suma nie jest równa zeru.

N

N

Ciężar = Mg Zaledwie składowa ciężaru jest prostopadła do płaszczyzny, po której porusza się Michał.

Ciężar = mg

Ten skrót NIE zawsze jest poprawny. Nasze zadanie to problem dość szczególny, dlatego można je rozwiązać tą metodą.

Jeżeli kiedykolwiek zdarzy Ci się rozwiązywać zadanie z linami i bloczkami za pomocą wektorów sił, PAMIĘTAJ, żeby najpierw narysować diagramy rozkładów sił dla wszystkich połączonych linami obiektów, STAĆ się na chwilę każdym z tych obiektów, a dopiero później zabrać się za pozostałe czynności mające doprowadzić Cię do uzyskania odpowiedzi na postawione pytanie.

Diagram rozkładu sił narysowany dla balastu wygląda tak samo jak poprzednio, jednak naprężenie będzie inne, niż wynika z naszego przykładowego zadania, ponieważ Michał jedzie po płaszczyźnie, która nie jest pozioma.

jesteś tutaj  659

Inspiracja z rysunku Mamy je! Mamy równanie na masę balastu i możemy go użyć! Franek: Zgadza się. Wystarczy podstawić odpowiednie liczby do tego wzoru: Masa Michała Ma Masa balastu i deskorolki m= g–a Kuba: Przed chwilą widziałem się z Michałem. Powiedział mi, że razem ze swoją deskorolką waży 80,0 kg. Tę wartość możemy wstawić zamiast M. Ponadto wiemy, że wartość wektora g to 9,8 m/s2. Krzysiek: Ale co z przyspieszeniem a? Nie znamy jego wartości. Franek: Czy nie moglibyśmy podstawić za nie wartości 9,8 m/s2, tak jak zawsze to robimy? Krzysiek: Tym razem nie. Ciężar balastu musi przyspieszyć nie tylko sam balast, ale również Michała. Balast nie będzie przyspieszał tak szybko, jak by to robił, gdyby nie został przywiązany do Michała.

Jeśli rozwiązywanie zadania zacząłeś od wykonania rysunku, zawsze możesz do niego wrócić i szukać w nim inspiracji wtedy, gdy nie bardzo wiesz, co powinieneś zrobić.

Szkic jest swoistą kotwicą — przypomina Ci, nad jakim problemem fizycznym się głowisz i w jaki sposób możesz szukać jego rozwiązania.

Kuba: Czyli przed obliczeniem masy obciążników musimy wyznaczyć wartość przyspieszenia a. Jak się do tego zabierzemy? Krzysiek: No cóż, mamy szkic, który wykonaliśmy wcześniej…

Kuba: Czy nie dałoby się dopisać na nim takich rzeczy jak v0, v i x, a potem skorzystać z równań ruchu w celu obliczenia wartości a? Franek: Rzeczywiście! Tak bardzo pochłonęło mnie rozmyślanie o masach i siłach, że zupełnie zapomniałem, iż można by zająć się prędkością, przemieszczeniem i przyspieszeniem Michała bez rozważania wzajemnych oddziaływań obiektów widocznych na rysunku. Krzysiek: Wspaniale! Zabieramy się do pracy!

660

Rozdział 15.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

Patrz na cały szkic oraz na różne jego fragmenty Rozwiązywanie przykładowego zadania zacząłeś od rozbicia go na dwie części. 1. Pierwsza część polegała na określeniu prędkości, jaką musi osiągnąć Michał przy końcu molo, aby trafił w cel. Zająłeś się nią najpierw, ponieważ wymagała znajomości równań ruchu i dotyczyła problemu fizycznego podobnego do tych, którymi zajmowałeś się wcześniej.

v = 10 m/s

2. Aby rozwiązać drugą część przykładowego zadania, należało wyznaczyć masę, jaką powinien mieć balast, od niej bowiem zależy, czy Michał osiągnie na krawędzi molo odpowiednią prędkość. Zrobiłeś to, rysując odpowiednie diagramy rozkładu sił oraz korzystając z II zasady dynamiki Newtona. W wyniku podjętych przez siebie działań wyprowadziłeś następujące Ma . równanie: m = g–a

m=?

Zaostrz ołówek

Michał zamierza wyskoczyć poziomo poza krawędź wysokiego na 11,0 m molo z prędkością 10,0 m/s. Stoi na deskorolce, do której za pomocą liny i bloczka przywiązano balast poruszający się pionowo w dół. Łączna masa Michała i jego deskorolki wynosi 80,0 kg. a. Jaki dystans przebędzie Michał, jeśli dotrze do krawędzi molo w chwili, gdy balast uderzy o powierzchnię wody?

b. Wyznacz przyspieszenie Michała.

c. Korzystając z wyprowadzonego wcześniej równania Ma m = g – a , oblicz masę, jaką musi mieć balast, żeby Michał osiągnął właściwe przyspieszenie. (Masę balastu oznaczyliśmy jako m, natomiast masę Michała i deskorolki jako M).

Przed chwilą okazało się, że na przykładowe zadanie składają się nie dwie, lecz trzy różne części! Teraz musisz policzyć wartość wektorów przyspieszenia Michała i balastu. Przede wszystkim nie wpadaj w panikę. Cofnij się do chwili, gdy zaczynałeś rozwiązywać zadanie, i jeszcze raz przyjrzyj się całemu rysunkowi, który wtedy wykonałeś. Patrząc na szkic, na pewno dojdziesz do wniosku, że wartość przyspieszenia da się policzyć, korzystając z równań ruchu. Gdy już wyznaczysz wartość przyspieszenia, będziesz w stanie obliczyć masę balastu, czyli parametr, który naprawdę chcesz poznać.

Mimo wszystko pamiętaj, aby być ostrożnym podczas definiowania zmiennych, na których zamierzasz prowadzić obliczenia.

jesteś tutaj  661

Leć, Michale, leć!

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Michał zamierza wyskoczyć poziomo poza krawędź wysokiego na 11,0 m molo z prędkością 10,0 m/s. Stoi na deskorolce, do której za pomocą liny i bloczka przywiązano balast poruszający się pionowo w dół. Łączna masa Michała i jego deskorolki wynosi 80,0 kg. a. Jaki dystans przebędzie Michał, jeśli dotrze do krawędzi molo w chwili, gdy balast uderzy o powierzchnię wody? Balast przebył 11,0 m w kierunku pionowym. Wobec powyższego Michał musiał przejechać 11,0 m, poruszając się poziomo w stronę krawędzi molo.

b. Wyznacz przyspieszenie Michała. v2 = v02 + 2a(x - x0) a = ?

x0 = 0 m

x = 11,0 m

v0 = 0 m/s

v = 10,0 m/s

Ale v0 = 0 oraz x0 = 0, v2 = 2ax a =

v2 (10,0 m/s)2 = 2x 2 × 11,0 m

a ≈ 4,54 m/s2

c. Korzystając z wyprowadzonego wcześniej równania Ma m = g – a , oblicz masę, jaką musi mieć balast, żeby Michał osiągnął właściwe przyspieszenie. (Masę balastu oznaczyliśmy jako m, natomiast masę Michała i deskorolki jako M). m = m =

Ma g – a 80,0 kg × 4,54 m/s2 ≈ 69,0 kg 9,8 m/s2 - 4,54 m/s2 Michałowi, że powinien Należałoby powiedzieć 69,0 kg oraz, ego żąc użyć balastu wa lił się z nami nagrodą, że chcemy, aby podzie gdy już ją odbierze.

662

Rozdział 15.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

Ale w przededniu zawodów… Pojawiło się nachylenie… i tarcie… To przerażające! Jak mamy sobie z tym poradzić?!

Michał poszedł na miejsce, gdzie ma się odbyć konkurs, tylko po to, żeby zobaczyć, jak ono wygląda, i odkrył, że molo jest lekko pochyłe — jego krawędź znajduje się wyżej niż droga, która do niego wiedzie. Kąt nachylania mola to tylko 5,0°… Niestety, taki kąt może sprawić, że Twoje starannie prowadzone obliczenia do niczego się nie przydadzą. Dobrą stroną zaistniałej sytuacji jest to, że tuż przy krawędzi mola chodnik traci nachylenie i staje się poziomy, wiemy więc przynajmniej tyle, że Michał wyleci poza krawędź poziomo oraz że krawędź znajduje się na wysokości 11,0 m nad poziomem powierzchni wody. Ponadto Michał wyczytał na stronie producenta deskorolek, że współczynnik tarcia kółek zamontowanych w jego deskorolce wynosi μ = 0,0500. Twoje skomplikowane zadanie właśnie BARDZO się skomplikowało…

Zaostrz ołówek

M

Michał stoi na deskorolce, którą za pomocą liny i bloczka przywiązano do balastu o masie m (spójrz na rysunek). Łączna masa Michała i deskorolki wynosi M. Kółka deskorolki mają współczynnik tarcia równy μ, zaś kąt nachylenia molo względem linii poziomej to θ.

a. Narysuj diagram rozkładu wszystkich sił działających na Michała.

m

b. Narysuj diagram rozkładu wszystkich sił działających na balast.

c. Napisz, w jaki sposób chciałbyś spróbować rozwiązać omawiany problem fizyczny. Nie musisz podawać wzorów ani niczego liczyć — po prostu wyjaśnij, co należy zrobić, żeby znaleźć rozwiązanie problemu.

jesteś tutaj  663

Zasada zachowania energii — uproszczenie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

M

Michał stoi na deskorolce, którą za pomocą liny i bloczka przywiązano do balastu o masie m (spójrz na rysunek). Łączna masa Michała i deskorolki wynosi M. Kółka deskorolki mają współczynnik tarcia równy μ, zaś kąt nachylenia molo względem linii poziomej to θ. a. Narysuj diagram rozkładu wszystkich sił działających na Michała. Siła normalna

m b. Narysuj diagram rozkładu wszystkich sił działających na balast. Naprężenie N

Naprężenie N Tarcie Ciężar = Mg Ciężar = Mg

c. Napisz, w jaki sposób chciałbyś spróbować rozwiązać omawiany problem fizyczny. Nie musisz podawać wzorów ani niczego liczyć — po prostu wyjaśnij, co należy zrobić, żeby znaleźć rozwiązanie problemu. Korzystając z wiedzy na temat trójkątów, należy wyznaczyć równoległą do powierzchni molo składową ciężaru, czyli F__. Trzeba również policzyć wartość siły normalnej (wartość ta jest taka sama, jak prostopadła do powierzchni molo składowa ciężaru), a następnie użyć jej do obliczenia siły tarcia ze wzoru FT = μFN. Siła wypadkowa działająca na Michała jest równoległa do powierzchni molo. Jej wartość to Fwyp = N – F__ + FT. Znając tę wartość, można skorzystać ze wzoru Fwyp = ma. Wartość wektora przyspieszenia jest taka sama zarówno dla Michała, jak i dla balastu, więc od tego momentu zaczyna się powtarzanie kroków wykonanych podczas rozwiązywania poprzedniego problemu fizycznego, czyli podstawianie czegoś za naprężenie itd.

Odnoszę wrażenie, że czeka nas DUŻO pracy. Może, zanim zabierzemy się za wykonywanie obliczeń, warto zastanowić się nad jakąś prostszą metodą rozwiązania naszego problemu fizycznego?

Zanim zdecydujesz się na opisanie problemu fizycznego wektorami sił, zastanów się, czy nie warto skorzystać z zasady zachowania energii. Zawsze wtedy, gdy zdarzy Ci się natknąć na zadanie, w którym występują ogólnie rozumiane różnice wysokości, powinieneś sprawdzić, czy podczas rozwiązywania go nie da się wektorowego opisu problemu zastąpić opisem opierającym się na wykorzystaniu zasady zachowania energii, tak jak to zrobiłeś, zapoznając się z treścią rozdziału 14. Korzystanie z zasady zachowania energii pozwala łatwiej rozwiązywać zadania — wymaga wykonywania mniejszej liczby kroków pośrednich oraz obliczeń, co może nam wyjść tylko na dobre.

664

Rozdział 15.

Rozwiązując zadanie, w którym pojawia się jakaś różnica wysokości, zastanów się, czy nie możesz skorzystać z ZASADY ZACHOWANIA ENERGII.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

Korzystanie z zasady zachowania energii jest prostsze niż opisywanie problemów fizycznych za pomocą wektorów sił Zmianie uległa wysokość, na jakiej znajdują się interesujące nas obiekty.

W zadaniu, z którym próbujemy sobie poradzić, warto skorzystali z zasady zachowania energii, a nie z rachunku wektorowego, gdyż występują w nim zmiany prędkości dwóch różnych mas oraz zmiany wysokości, na jakich masy te się znajdują. Ponadto w zadaniu tym występuje również praca wykonywana przeciwko sile tarcia. Całkowita energia układu jest zawsze zachowana, natomiast wszelkie zmiany stanu układu to sposoby na przekazywanie energii. Jeśli więc uda Ci się dostrzec różnice między stanem początkowym układu (moment zrzucenia balastu z molo) a jego stanem końcowym (chwila oderwania się stóp Michała od deskorolki), będziesz wiedział, jak wykorzystać zasadę zachowania energii do rozwiązania naszego zadania.

Zmieniła się prędkość interesujących nas obiektów.

Występuje tarcie.

Wska rónice M

a. Wskaż różnice między stanami początkowym i końcowym układu. Zakreśl na rysunkach miejsca, w których różnice są widoczne, a następnie wypisz te różnice.

M

v = 10,0 m/s

v = 0 m/s m v = 0 m/s

m b. Napisz równanie zawierające informację o tym, że całkowita energia układu w chwili początkowej przedstawionego na rysunkach zdarzenia równa jest całkowitej energii układu w chwili końcowej. (Napisany przez Ciebie wzór może mieć dowolną formę — zmienne możesz oznaczyć wybranymi przez siebie symbolami oraz indeksami dolnymi, możesz również zapisać równanie za pomocą słów). c. Opisz każdy z członów stworzonego przez siebie równania. Za pomocą wzorów lub słownie wyjaśnij, w jaki sposób obliczyłbyś wartości liczbowe poszczególnych członów wzoru.

v = 10,0 m/s

jesteś tutaj  665

Wskaż różnice

Wska rónice. Rozwizanie

1

1

M

a. Wskaż różnice między stanami początkowym i końcowym układu. Zakreśl na rysunkach miejsca, w których różnice są widoczne, a następnie wypisz te 2 różnice.

M

2

v = 10,0 m/s

v = 0 m/s 5

5

3

m 1. Michał znajduje się na dolnej części podjazdu.

v = 0 m/s

2. Prędkość Michała wynosi 0 m/s.

4

1. Michał znajduje się na górnej części podjazdu. 2. Prędkość Michała wynosi 10,0 m/s.

3. Balast znajduje się na krawędzi molo.

3. Balast znajduje się przy powierzchni wody.

4. Prędkość balastu wynosi 0 m/s.

4. Prędkość balastu wynosi 10,0 m/s.

5. Przeciw sile tarcia nie została wykonana żadna praca.

5. Przeciw sile tarcia wykonana została praca.

b. Napisz równanie zawierające informację o tym, że całkowita energia układu w chwili początkowej przedstawionego na rysunkach zdarzenia równa jest całkowitej energii układu w chwili końcowej. (Napisany przez Ciebie wzór może mieć dowolną formę — zmienne możesz oznaczyć wybranymi przez siebie symbolami oraz indeksami dolnymi, możesz również zapisać równanie za pomocą słów). Energia w chwili początkowej = energia w chwili końcowej

3

m

Epbal = EpMi + EkMi + Ekbal + Wt

c. Opisz każdy z członów stworzonego przez siebie równania. Za pomocą wzorów lub słownie wyjaśnij, w jaki sposób obliczyłbyś wartości liczbowe poszczególnych członów wzoru.

v = 10,0 m/s

Ep = masa × g × h Ek = 1/2 × masa × v2

Takie same równania opisują zarówno to, co się dzieje z Michałem, jak i zachowanie balastu.

Aby policzyć Wt, należy wyznaczyć wartość siły normalnej (korzystając z wiedzy o ciężarze i kącie, jaki wektor ciężaru tworzy z pionem) i przemnożyć ją przez μ, czyli współczynnik tarcia. W ten sposób oblicza się wartość siły tarcia Ft, którą trzeba wstawić do wzoru:

4

Wt = Ft × przemieszczenie

Bawiąc się we „Wskaż różnice”, mogliśmy zauważyć, że energia potencjalna balastu, który w chwili początkowej zdarzenia znajdował się 11,0 m wyżej niż w chwili końcowej, została wydatkowana na: Ì zwiększenie energii potencjalnej Michała wjeżdżającego na podjazd; Ì nadanie Michałowi i jego deskorolce energii kinetycznej; Ì nadanie energii kinetycznej balastowi; Ì wykonanie pracy przeciwko tarciu kółek deskorolki. Czas zebrać całą tę wiedzę w jednym miejscu…

666

Rozdział 15.

Najłatwiejszą metodą korzystania z zasady zachowania energii jest bawienie się w grę „Wskaż różnice”.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

Zaostrz ołówek Łączna masa Michała i jego deskorolki wynosi 80,0 kg. Deskorolkę, na której stoi Michał, przywiązano za pomocą liny i bloczka do balastu o masie m. Współczynnik tarcia kółek deskorolki μ wynosi 0,0500. Deskorolka ciągnięta przez balast przebywa 11,0 m, jadąc po powierzchni molo nachylonej względem poziomu pod kątem θ = 5,0° (deskorolka jedzie pod górę). W tym samym czasie balast przemieszcza się pionowo w dół o 11,0 m. a. Oblicz różnicę między maksymalną i minimalną wysokością, na jakiej znalazł się Michał, stojąc na swojej deskorolce.

b. Oblicz wartość siły normalnej, z jaką powierzchnia molo działała na deskorolkę i Michała, oraz pracę wykonaną przeciw sile tarcia przez spadający balast.

Pamiętaj, że Ft = μFN

c. Dotarłszy do krawędzi molo, Michał powinien osiągnąć prędkość 10,0 m/s. Korzystając z zasady zachowania energii, oblicz masę, jaką powinien mieć balast, żeby Michał przy samym końcu molo poruszał się z pożądaną prędkością.

jesteś tutaj  667

Narysuj bardzo małe kąty

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Łączna masa Michała i jego deskorolki wynosi 80,0 kg. Deskorolkę, na której stoi Michał, przywiązano za pomocą liny i bloczka do balastu o masie m. Współczynnik tarcia kółek deskorolki μ wynosi 0,0500. Deskorolka ciągnięta przez balast przebywa 11,0 m, jadąc po powierzchni molo nachylonej względem poziomu pod kątem θ = 5,0° (deskorolka jedzie pod górę). W tym samym czasie balast przemieszcza się pionowo w dół o 11,0 m.

hM (różnica maksymalnej i minimalnej wysokości, na jakiej znalazł się Michał)

5° sin(5.0°) =

hM 11.0

Michał nie poszybował w górę ani nie spadł poniżej poziomu podłoża, po którym jechał, a więc suma prostopadłych do podłoża wektorów sił musi być równa zeru.

668

Rozdział 15.

F || θ θ mg mg θ

Siła normalna ma taką samą wartość jak prostopadła do podłoża składowa Ciężar ciężaru. = Mg Korzystaj z tych FA wskazówek, aby cos(5°) = uzyskać poprawne Mg

5°

siły ciężkości Narysuj teraz trójkąt sił. Wektor składowe Jego dół. jest skierowany prosto w ni. To, jak rów do głe nole rów i dłe będą prostopa ż ich iewa pon a, je narysujesz, nie ma znaczeni e. sam e taki będą długości zawsze

FA

b. Oblicz wartość siły normalnej, z jaką powierzchnia molo działała na deskorolkę i Michała, oraz pracę wykonaną przeciw sile tarcia przez spadający balast.

FA

Mały kąt pomoże Ci odnaleźć trójkąty podobne.

hM = (11,0 m) × sin(5°)

hM ≈ 0,959 m Dodaliśmy tu dolny indeks „M”, żeby różnica maksymalnej i minimalnej wysokości, na jakiej znalazł się Michał, nie myliła nam się z wysokością molo.

F||

z kątów Jeżeli nie jesteś pewien, który kątowi równi, da owia odp w rozkładu wektoró wiający dsta prze res wyk e sobi j kicu nasz . kąta ego sytuację dla bardzo mał



a. Oblicz różnicę między maksymalną i minimalną wysokością, na jakiej znalazł się Michał, stojąc na swojej deskorolce. 11,0 m

O trójkątach słów kilka — narysuj bardzo małe kąty

FA

Jeśli chcesz, żeby siła wypadkowa pokrywała się z linią równi, najłatwiej jest narysować rozkład sił w ten sposób, ze składową równoległą na górze.

F || normalnej, resuje Cię wektor siłyadową Jeżeli bardziej inte sób, ze skł spo ten w sił d kła narysuj roz równoległą na dole. równi, więc Kąt  to najmniejszy kąt trójkąta trójkąta m kąte szym niej najm też ie będz rozkładu sił.

trójkąty sił.

FA = Mgcos(5,0°) FA = (80 kg) × (9,8 m/s2) × cos(5,0°) ≈ 781 N FN = 781 N Wt = μFNx = 0,0500 × 781 N × 11,0 m Wt ≈ 430 J

Ten tekst pojawił się już w rozdziale 14.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

c. Dotarłszy do krawędzi molo, Michał powinien osiągnąć prędkość 10,0 m/s. Korzystając z zasady zachowania energii, oblicz masę, jaką powinien mieć balast, żeby Michał przy samym końcu molo poruszał się z pożądaną prędkością. Energia w chwili początkowej = energia w chwili końcowej Epbal = EpMi + EkMi + Ekbal + Wt

m(gh - ½v2) = MghM + ½Mv2 + Wt

mgh = MghM + ½Mv2 + ½mv2 + Wt mgh – ½mv2 = MghM + ½Mv2 + Wt Możemy wprowadzić nawiasy, żeby po lewej stronie m występowało tylko raz.

m =

MghM + ½Mv2 + Wt m = (gh - ½v2)

((80 kg) × (9,8 m/s2) × (0,959 m)) + (0,5 × (80 kg) × (10 m/s)2) + 430 J ((9,8 m/s2) × (11 m)) – (0,5 × (10 m/s)2) m ≈ 89,7 kg

Jak to się stało, że tym razem nie musieliśmy obliczać wartości przyspieszenia Michała i balastu? Ostatnio, gdy korzystaliśmy z wektorów sił do opisu problemu, musieliśmy…

Wynik wyszedł wyższy niż wartość masy obliczona przez Ciebie wcześniej, gdy zakładaliśmy, że powierzchnia spacerowa molo jest pozioma, i pominęliśmy tarcie.

Rozwiązywanie zadania różnymi sposobami może wymagać od nas wykonywania innych kroków pośrednich. Rozwiązując zadanie dotyczące ruchu Michała po płaskim, poziomym molo, pracowałeś na wektorach sił (nie uwzględniając jednak tarcia) — w ten sposób policzyłeś, jaką masę powinien mieć balast, żeby prędkość Michała w odpowiednim miejscu molo była odpowiednia. Prowadząc obliczenia, musiałeś skorzystać z II zasady dynamiki Newtona (Fwyp = ma), więc wartość przyspieszenia a była dla Ciebie bardzo istotną informacją. Teraz, zajmując się nieco innym problemem fizycznym, postanowiliśmy skorzystać z zasady zachowania energii. Wartość przyspieszenia nie jest nam do niczego potrzebna, ponieważ wszystko, czego chcemy się dowiedzieć, możemy obliczyć, wiedząc, jakie są masy elementów układu fizycznego oraz znając różnice między odpowiednimi wysokościami i prędkościami interesujących nas obiektów.

jesteś tutaj  669

Celne spostrzeżenia

I oto jedzie deskorolkarz… Michał skorzystał z Twojej rady i użył balastu o obliczonej przez Ciebie masie… Zobaczmy, co z tego wynikło.

v

Udało się! Michał wygrał konkurs! Teraz będzie mógł kupić sobie nowiutką deskorolkę i wyrzucić starą, zupełnie zużytą.

11,0 m

15,0 m

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Wartości przyspieszenia dwóch obiektów połączonych

ze sobą całkowicie naprężoną liną są takie same. Kierunki i zwroty wektorów przyspieszenia określa kierunek ruchu liny. ‹Na obydwu końcach liny występują siły naprężenia

o takiej samej wartości. ‹Jeśli jeden z dwóch połączonych liną obiektów spada,

a drugi nie, przyspieszenie spadającego obiektu nie wynosi 9,8 m/s2.

‹Rozwiązując zadanie, którego treść opisuje zdarzenie

z udziałem więcej niż jednego obiektu, rysuj osobny diagram rozkładu sił dla każdego z obiektów… ‹… i pamiętaj, żeby sprawdzić, czy problemu fizycznego,

którym się zajmujesz, nie da się skutecznie opisać, korzystając z zasady zachowania energii! Korzystanie z zasady zachowania energii to łatwiejsza metoda rozwiązywania zadań, niż prowadzenie obliczeń na podstawie wiedzy o wektorach sił. ‹Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania zawsze

graj w grę „Wskaż różnice”. Dzięki temu będziesz miał pewność, że dostrzegasz wszystkie zmiany energii elementów układu fizycznego.

670

Rozdział 15.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

Siłownia Grzegorza stała się bardzo popularna — tak popularna, że jej klienci musieli ustawiać się w kolejkach do kolejnych przyrządów treningowych. Popularność ma jednak swoje wady. Wielu klientów Grzegorza zaczęło przebąkiwać coś o szukaniu nieco cichszego miejsca, gdy tylko ich karnet straci ważność.

Zagadka na pięć minut

Widząc, co się dzieje, Grzegorz postanowił dokupić mnóstwo nowego sprzętu: rowerów treningowych, przyrządów wioślarskich, przyrządów do treningów siłowych. Urządzenia te były naprawdę skomplikowanymi w obsłudze maszynami, ale okazało się, że największy kłopot sprawił Grzegorzowi zwykły worek treningowy. „Nie mam pojęcia, co się stało — tłumaczył się Grzegorz — worek treningowy waży 20 kg, z czego wynika, że jego ciężar ma wartość 196 N. Na wszelki wypadek przyjąłem, że wartość ciężaru worka to 200 N. Nie byłem w stanie powiesić worka treningowego na pionowej linie, jak to się robi zazwyczaj, ponieważ haki zostały zamontowane w niewłaściwych miejscach, postanowiłem więc użyć dwóch haków zamiast jednego.

30° Lina została przyczepiona do haka wbitego w sufit.

30° Liny

Worek treningowy

m = 20 kg Ponieważ obydwie liny zwisały z sufitu pod takim samym kątem, uznałem, że na każdą z lin będzie działać siła będąca połową ciężaru worka, czyli siła o wartości 100 N. Specjalnie kupiłem liny, które powinny były wytrzymać naprężenie aż do 180 N… przynajmniej tak twierdzi producent. Wieszanie worka zacząłem od ustawienia go na szczycie drabinki schodkowej — chciałem, aby worek znajdował się na odpowiedniej wysokości, gdy go będę wieszał. Kiedy po przytwierdzeniu końców lin do worka wyjąłem spod niego drabinkę, jedna z lin zerwała się! Nie mogłem w to uwierzyć! Oczywiście worek poleciał w bok i wtedy urwał się drugi sznur”.

Dlaczego pękła pierwsza lina?

jesteś tutaj  671

Czy pamiętałeś o ruchu na boki?

Dlaczego pękła pierwsza lina? Grzegorz założył, że każda z lin będzie musiała działać na worek siłą, która zapobiegnie jego spadaniu, zapomniał jednak, że naprężenie przeciwdziała również huśtaniu się worka na boki (z huśtaniem się worka mielibyśmy do czynienia, gdyby worek ów powieszono tylko na jednej z dwóch przygotowanych lin).

Zagadka na pięć minut. Rozwiązanie

Każda z lin działa na worek siłą naprężenia. Kierunek siły określany jest przez ułożenie liny.

30°

30°

N1 30° Suma pionowych składowych wektorów sił musi być równa zeru.

Ciężar = mg

N2 30° Suma poziomych składowych wektorów sił musi być równa zeru.

Worek treningowy pozostaje w bezruchu, więc nie działa na niego żadna niezerowa siła wypadkowa.

Worek się nie porusza, a więc suma jego ciężaru i pionowych składowych naprężeń obydwu lin musi być równa zeru. Jeżeli zwrot w górę uznamy za dodatni, możemy napisać: N1sin(30°) + N2sin(30°) – 196 N = 0 N Jeśli worek ma naprawdę pozostawać w bezruchu, nie powinien się huśtać na boki, co oznacza, że suma poziomych składowych naprężeń również musi dawać zero. Załóżmy, że w lewo to zwrot dodatni dla poziomych składowych wektorów sił. Wtedy: N1cos(30°) + N2cos(30°) = 0 N

Rozwiąż równania samodzielnie!

672

Rozdział 15.

Otrzymaliśmy dwa równania, z których możemy policzyć dwie niewiadome — wartości wektorów N1 i N2. Po przeprowadzeniu odpowiednich rachunków otrzymuje się następujący wynik: każda z lin musi wytrzymać naprężenie o wartości 196 N, czyli takie, z jakim mielibyśmy do czynienia, gdybyśmy zawiesili worek pionowo na zaledwie jednym sznurze. Każda z zakupionych przez Grzegorza lin jest odporna na naprężenia nie większe niż 180 N, nic więc dziwnego, że jedna z nich pękła pod ciężarem worka treningowego, zanim przydarzyło się to drugiej. Znaczne naprężenie lin było wynikiem tego, że tworzyły one dość ostry kąt z płaszczyzną sufitu. Przy takim ustawieniu worka i sznurów potrzebna była znaczna siła, aby powstrzymać worek przed huśtaniem się na boki.

Naprężenia, bloczki i technika rozwiązywania problemów fizycznych

j je jednostki spadanie zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne ól

przyspieszenie

wykres doświadczenie

siła

Zaczynamy się ciężar uczyć zarówno tego,zderzenie sprężyste dlaczego różne obiekty się poruszają, jak i tego, jak to robią. składowa

Pitagoras

zachowanie pędu

moment siły

popęd siły

czas

podstawienie i i

równania i ruchu

bloczek

równanie

stałe przyspieszenie

przemieszczenie

trygonometria

energia kinetyczna

energia wewnętrzna powierzchnia

szybkość

energia mechaniczna objętość

moc

diagram rozkładu sił

symetria nachylenie

wektor

energia potencjalna grawitacji

prędkość

tarcie

Bądź częścią problemu

siła ił normalna l

droga

notacja naukowa

naprężenie

energia

praca

prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Naprężenie

Naprężenie jest siłą przekazywaną przez całkowicie napiętą linę. Siła naprężenia jest taka sama na obydwu końcach liny.

Bloczek

Za pomocą bloczka możesz zmieniać kierunek działania siły. Bloczek to koło, wokół którego częściowo owija się lina, działające na linę siłą oparcia i uniemożliwiające jej uzyskanie kształtu linii prostej.

jesteś tutaj  673

Niezbędnik fizyka

ROZDZIA 15.

Niezbędnik fizyka Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 15. niniejszej książki. Twoja ciągle powiększająca się skrzynka z narzędziami fizyka wzbogaciła się o dodatkowe umiejętności w zakresie rozwiązywania problemów fizycznych.

Lina i bloczek natkniesz się Jeżeli w treści zadania i „bloczek”, a” „lin na takie słowa jak które masz na ie, sprawdź, czy pytan sił. Jeśli y ycz dot odpowiedzieć, nie osobny ć wa yso tak, powinieneś nar dego każ dla diagram rozkładu sił do liny. h nyc wa z obiektów przymoco t taka sama Wartość naprężenia jes na obu końcach liny. dwóch Wartości przyspieszenia się ch ący zaj obiektów porus liną i połączonych naprężoną są takie same.

Wskaż różnice Rozwiązując zadania, zawsze zwracaj uwagę na zmiany wysokości, prędkośc i i pracę przeciw sile tarcia. Graj sam ze sobą w grę „Wskaż różnice”, tak jak to robiłeś przed zapisaniem równania będącego matematyczną wersją zasady zachowania energii. Dzięki tej zabawie będziesz miał pewność, że nic ważnego Ci nie umknęło i że równanie, które stworzyłeś, jest prawidłowe.

674

Rozdział 15.

Dziel zadania

na części

Dziel skompli kowane zada nia na mniejsze części. Rozwiązywan ie zadania za wsze zaczynaj od rozwiązania najłatwiejsze j części!

ać iedy korzyst Czy wiesz, k ii? howania energ z zasady zac

jawia się w zadaniu po Zawsze gdy neś przez ości, powinie zmiana wysok się leć, czy nie da sady chwilę pomyś za korzystając z go rozwiązać, ą ln ergii. Szczegó zachowania en w których j na zadania, uwagę zwraca e pytanie jawia się żadn treści nie po dotyczące sił. ania zasady zachow Korzystanie z zby lic ej sz a mniej energii wymag wektorami ę si ie zajmowan ż ni ń, ze lic ob osek: zasada ąd prosty wni st e ni ły P ł. si dność ergii to oszczę en ia an ow ch za pełnienia sze ryzyko po ej ni m i u as cz błędu.

%"  $, )$ *

Od α do ω

Więc mówisz, że sprawy mogą obrócić się przeciw nam? W tym rozdziale poznasz zagadnienia dotyczące ruchu po okręgu, przejdziesz intensywny kurs anatomii okręgu, dowiesz się, co łączy promień i obwód z Piastem Kołodziejem (choć powinnam raczej powiedzieć o aście Kołodzieju). Gdy dowiesz się już, czym są częstotliwość i okres, będziesz musiał nauczyć się przechodzenia od wartości liniowych do wartości kątowych. Ale nie martw się — wystarczy, że zrozumiesz, czym jest radian, by nie mieć z tym problemów.

to jest nowy rozdział 675

Zrób rozgrzewkę

Zrób rozgrzewkę przed rozpoczęciem dorocznych derby chomików w Kentucky Derby chomików w Kentucky, uważane powszechnie za najbardziej emocjonujące dwie minuty w kole, to ogromny interes! Jeden z najpotężniejszych hodowców w branży zatrudnił Cię, byś ułożył rygorystyczny program treningowy dla jego „stajni”. Szykuje się przecież wielki wyścig. W tej chwili chomiki nie trzymają się rozkładu ćwiczeń. Część haniebnie leniuchuje, pozostałe są nadaktywne. Musisz sprawić, by chomiki trenowały dokładnie tak, jak powinny.

Słuchaj mały, doroczne derby chomików w Kentucky to wielki interes, a my musimy trzymać się rozkładu!

Droga [km]

15,0

10,0

2,0

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

() Ustawienia silnika

Rozdział 16.

Droga [km]

Szybkość [km/h]

15,00

3,00

10,00

4,00

2,00

5,50

Całkowita liczba obrotów

Ustawienia silnika ( )

3,0

4,0

5,5

Właściciel stajni chomików, miliarder

676

Chomiki uwielbiają biegać całą noc w swoich kółkach. Harmonogram treningów ma sprawić, by odległości, jakie pokonują chomiki, i szybkości zwierzątek stanowiły ekwiwalent treningu przed wyścigiem.

Chomiki muszą zaliczyć trzy rodzaje biegów w zależności od dnia, w którym trenują. Właściciel stajni chomików wie, jakie dystanse mają pokonywać zwierzątka, i z jakimi szybkościami powinny biegać. Niestety brakuje mu wiedzy z fizyki i dlatego zwrócił się do Ciebie!

Ruch po okręgu (część I)

Możesz zrewolucjonizować treningi chomików Pora wspiąć się na szczyt swoich możliwości i zaprojektować jedyny w swoim rodzaju sprzęt do trenowania chomików. Masz do dyspozycji: Standardowe kółko dla chomików, o promieniu 10,0 cm, co oznacza, że jego oś mocująca jest oddalona o 10 cm od powierzchni, po której biega chomik.

10,0 cm

Promień to odległość od środka koła do jego krawędzi.

Oś wirownicy napędzanej silnikiem można połączyć z kołem, by obracać nim w ten sposób.

Regulacja obrotów silnika jest wyskalowana, lecz niestety jednostki uległy zatarciu.

Silnik z metalową osią, którą można napędzać koło. Na skali regulacji są podane jakieś wartości — większe wartości odpowiadają szybszym obrotom silnika — ale niestety jednostka skali starła się już dawno.

0 5 10 15 20 25

Silnik obraca się szybciej, jeśli przesuniesz regulator w prawo.

W harmonogramie podano liniowe wartości drogi i szybkości, które określa się zazwyczaj wzdłuż prostej, rozkładając wektory na składowe.

Urządzenie zliczające obroty koła. Możesz użyć go do uruchomienia silnika i zatrzymania go po wykonaniu pewnej liczby obrotów.

Licznik można zaprogramować tak, by zatrzymywał silnik po wykonaniu pewnej liczby obrotów.

Licznik rejestruje liczbę obrotów koła.

Ruch po okręgu różni się od ruchu prostoliniowego.

Niestety chomiki biegają po okręgu, a licznik zlicza jedynie liczbę obrotów. Jak zatem przeliczyć wymiary liniowe tak, by można było skorzystać ze sprzętu pracującego w wymiarach kątowych?

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W harmonogramie znajdują się wielkości liniowe, a sprzęt wymusza opis w układzie obrotowym. Co masz zamiar z tym zrobić?

jesteś tutaj  677

Obwód i obrót Za wyścigami chomików stoją ogromne pieniądze!

Krzysiek: Racja. Dlatego musimy koniecznie opracować sposób automatyzacji treningu i zbudować odpowiedni sprzęt! Kuba: Możemy, jak sądzę, posłużyć się silnikiem, żeby obracać kołem z określoną prędkością. Silnik powinien być połączony ze stoperem, który wyłączy go, gdy chomik pokona odpowiedni dystans. Wydaje się to dość oczywiste. Franek: Wiemy tylko tyle, że długość powierzchni koła to 10,0 cm… Kuba: Nie, 10,0 cm to promień koła, czyli odległość od jego środka do krawędzi. Musimy obliczyć, jakiej drodze odpowiada jeden obrót zewnętrznej krawędzi koła. Franek: Tak, racja, czyli musimy obliczyć drogę, jaką przebywa chomik z każdym obrotem koła. Licznik podaje liczbę obrotów koła, więc pozostaje nam tylko obliczyć, ile obrotów zawiera się w każdej odległości. Krzysiek: Tylko że dopóki nie poznamy obwodu koła, nic nam z tych obliczeń nie przyjdzie. Franek: A co to jest obwód?

Obwód koła to DROGA, jaką pokonuje coś umieszczone na krawędzi koła po wykonaniu jednego OBROTU. Możesz też myśleć o obwodzie jako o odległości, jaką musisz pokonać wzdłuż krawędzi koła, ale w fizyce bardziej opłaca się myśleć w kategoriach obracającego się koła.

Krzysiek: Obwód to nazwa na długość zewnętrznej krawędzi koła. Kuba: No dobrze, czyli musimy wymyślić jakiś sposób obliczenia obwodu. Gdy będziemy wiedzieli już, jaką drogę pokonuje chomik w jednym obrocie koła, zdołamy określić, ilu obrotów potrzeba, by zwierzak przebiegł odległość określoną w harmonogramie. Krzysiek : A kiedy poznamy już tę wartość, ustawimy licznik tak, by wyłączyć silnik po wykonaniu odpowiedniej liczby obrotów. Franek: Wydaje mi się, że będziemy musieli też dowiedzieć się, czym są te liczby podane na skali silnika. Będzie nam to potrzebne do wyznaczenia prędkości. Szkoda, że jednostka się zatarła. Krzysiek: Słuszna uwaga. Kuba: Przecież szybkość to droga dzielona przez czas, prawda? Czyli jeśli najpierw wyznaczymy drogę, będziemy mogli potem narzucić odpowiednią szybkość. Franek: Świetnie! Bierzmy się do pracy!

678

Rozdział 16.

Ruch po okręgu (część I)

Nowe spojrzenie na problem bywa pomocne

Koło jest okrągłe.

Musisz obliczyć obwód koła dla chomików (długość krawędzi) i obliczyć, ilu obrotom będą równe dystanse podane w tabeli treningów. Na razie wiesz jednak tylko tyle, że promień (odległość od środka koła do jego krawędzi) koła wynosi 10,0 cm. Jak obliczyć obwód, żeby móc wypełnić harmonogram treningów?

Mając wartość obwodu (oczywiście musisz ją najpierw obliczyć), będziesz musiał obliczyć tylko, ile obrotów mieści się w każdym z dystansów.

10,0 cm

Promień = 10,0 cm

Obwód = ?

Zaostrz ołówek Chcesz poznać drogę, jaką przebywa chomik biegnący w kółku, które wykona jeden obrót, czyli obliczyć obwód koła (o promieniu 10,0 cm). Podaj tyle metod rozwiązania tego problemu, ile zdołasz wymyślić. Masz opisać metody doświadczalnego wyznaczenia obwodu, a nie obliczać go.

jesteś tutaj  679

Równania oszczędzają czas

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Chcesz poznać drogę, jaką przebywa chomik biegnący w kółku, które wykona jeden obrót, czyli obliczyć obwód koła (o promieniu 10,0 cm). Podaj tyle metod rozwiązania tego problemu, ile zdołasz wymyślić. Masz opisać metody doświadczalnego wyznaczenia obwodu, a nie obliczać go.

Można wziąć kawałek sznurka i owinąć go wokół koła. Potem trzeba zaznaczyć miejsce zetknięcia sznurka ze swoim początkiem i zmierzyć tę długość linijką.

Można też zdjąć kółko ze stojaka i nanieść na jego krawędzi znacznik. Potem trzeba wyrównać znacznik ze znakiem na ziemi. Później trzeba potoczyć koło po ziemi, dopóki zrobiony na nim znacznik znów nie dotknie podłoża. Teraz można zmierzyć odległość pomiędzy pierwszym i drugim znakiem na ziemi.

Szkoda byłoby musieć powtarzać to wszystko, gdyby przyszło nam do głowy użyć innego koła. Czy nie istnieje równanie, z którego moglibyśmy wyznaczyć wartość obwodu?

Równania oszczędzają Twój czas. Długość zewnętrznej krawędzi kółka dla chomików wyznaczysz, oplatając je sznurkiem albo tocząc je po ziemi. Tylko co zrobisz, jeśli w przyszłości przyjdzie Ci użyć innego kółka? Linijką łatwo zmierzysz długość wymiaru liniowego (na przykład promienia), czego nie można powiedzieć już o mierzeniu długości zakrzywionych (na przykład obwodu). Dlatego dobrze byłoby dysponować równaniem łączącym wartość promienia z wartością obwodu.

680

Rozdział 16.

Jeśli musisz wykonać coś więcej niż raz, postaraj się odnaleźć równanie, które oszczędzi Twój czas.

Ruch po okręgu (część I)

Liczba π łączy promień okręgu z jego obwodem Wszystkie okręgi wyglądają podobnie. Mają zawsze ten sam kształt, różnią się jedynie rozmiarem. Choć nie mają boków, stosunek obwodu okręgu do jego promienia będzie zawsze taki sam. (Boki trójkątów podobnych pozostają do siebie w stałym stosunku).

To inny sposób przekazania myśli, że niezależnie od rozmiarów okręgu długość jego promienia zmieści się w długości jego średnicy zawsze tyle samo razy.

Promień okręgu mieści się w obwodzie:

… dwa razy…

r

Promień okręgu mieści się w jego średnicy około 6,28 razy. … trzy razy… r

r raz… Promień = r razem

0,28r 6,28 razy.

… cztery razy… r

r

… sześć razy…

r

Dokładny stosunek długości promienia do średnicy to liczba o nieskończenie wielu cyfrach! Dlatego zamiast pisać „6,28” czy na przykład „6,28318” (w zależności od liczby cyfr znaczących), stosuje się zapis skrócony — 2, gdzie  3,14. Możemy zatem zapisać równanie O = 2r, gdzie O to obwód, a r to promień. Z tego wzoru wynika, że obwód okręgu o promieniu 1,00 m wynosi 6,28 m i tak dalej.

… pięć razy… Obwód

Promień

 = πr π ≈ 3,14

Przecież to głupota! Dlaczego nie przyjąć, że π jest po prostu dwa razy większe, to znaczy, że π = 6,28…? Wtedy stosunek długości obwodu do promienia wynosiłby π zamiast 2π. Skoro mam zapamiętać nową stałą, wolałabym, żeby nie plątała się przy niej żadna 2!

Wartość liczby π została określona w czasach, gdy średnica okręgu miała większe znaczenie niż jego promień.

PROMIEŃ okręgu jest ciekawszy niż średnica z punktu widzenia fizyka. Na przykład moment siły = promień × siła.

Matematycy wyznaczyli początkowo wartość liczby  jako stosunek obwodu okręgu do jego średnicy (długości odcinka łączącego dwa punkty na obwodzie leżące najdalej od siebie). Średnica jest dwa razy dłuższa od promienia, więc  3,14. Właśnie tyle razy długość średnicy mieści się w długości obwodu. Ponieważ wartość liczby  została już raz ustalona, nie można jej zmienić ot, tak. Dla fizyka promień okręgu jest zazwyczaj bardziej interesujący niż jego średnica (wiesz już przecież, że moment siły = promień × siła), więc musisz przyzwyczaić się do wyrażenia 2, które będzie pojawiać się dość często.

π≈;5< jesteś tutaj  681

π to stosunek

Nie istnieją

głupie pytania

P

: W jakich jednostkach podajemy wartość liczby π?

O

: Liczba π to stosunek dwóch długości — obwodu i średnicy okręgu. Dzięki niej wiesz, ILE RAZY średnica mieści się w obwodzie — około 3,14 razy. Długość dzielona przez długość nie ma wymiaru, więc π jest LICZBĄ bez jednostek.

P

: Czy w czasie egzaminów muszę pamiętać wartość π?

O : Czasami warto wiedzieć, że π ≈ 3,14. Autorzy

P: Czy nie wspominałaś, że liczba π ma

nieskończenie wiele cyfr? To nieprawdopodobne. Z pewnością musi gdzieś być ich koniec!

O

: Nie! Liczba π to liczba niewymierna, a to oznacza, że nie można podać jej dokładnej postaci.

P

: Czy dlatego częściej używa się symbolu? Żeby nie musieć zapisywać tych wszystkich cyfr?

O: Właśnie po to. Możesz zapisać wtedy równanie O = 2πr i będzie ono spełnione, ponieważ symbol π oznacza całą liczbę niewymierną.

niektórych zadań w testach wyboru zapisują wynik mnożenia przez π w postaci liczby, więc warto pamiętać, że π to mniej więcej 3. Dzięki temu zdołasz oszacować w pamięci wartość odpowiedzi.

Gdybyś nie używał symbolu, musiałbyś pisać, że obwód ≈ 6,28r, ponieważ nie mógłbyś nigdy podać dokładnej wartości obwodu za pomocą tego równania.

P: Czy mogę używać przycisku [π]

: Pachnie mi to filozofią. W praktyce, jak sądzę, mogę przecież zapisać równanie O = 2πr i dopiero na samym końcu przekształceń podstawić π ≈ 3,14. Czy mam rację?

na kalkulatorze?

O

: Oczywiście. Musisz tylko pamiętać o właściwym zaokrągleniu wyniku odpowiedzi.

P

: Dlaczego liczba pi ma wartość w przybliżeniu równą 3,14? Przez to stosunek obwodu okręgu do jego promienia to 2π.

O

: Liczbę π wyznaczano po to, by opisać stosunek obwodu do średnicy: O = πd. Dziś w fizyce mówi się częściej o stosunku obwodu do promienia, ale wartość liczby π pozostaje niezmieniona.

P

O: Absolutną. P: Czy to znaczy, że powinienem teraz

wykorzystać liczbę π do zaprojektowania toru treningowego dla chomików?

O: Zaraz się przekonamy…

Stosunek obwodu okręgu do jego średnicy to π. Ponieważ promień jest połową długości średnicy, stosunek obwodu okręgu do promienia wynosi 2π, zatem O = 2πr.

Promień = r

π 682

Rozdział 16.

Średnica, d = 2r

π

Liczba π wyraża stosunek dwóch długości — określa ILE RAZY średnica okręgu mieści się w jego obwodzie. Ponieważ π jest LICZBĄ, nie ma jednostki.

Ruch po okręgu (część I)

Przeliczanie odległości liniowej na obroty W harmonogramie treningów przewidzianych dla chomików znajdują się dystanse podane w kilometrach. Twoim zadaniem jest wprowadzić w życie program treningowy. Masz do dyspozycji kółko i licznik zliczający kolejne obroty. Musisz dowiedzieć się zatem, ile obwodów — czyli ile obrotów — odpowiada każdemu z dystansów.

W jednym obrocie koła chomik przebywa drogę równą jednemu obwodowi.

Nie martw się na razie o zawartość tej kolumny. Wypełnisz ją później.

Zaostrz ołówek a. Przyjmij, że dysponujesz kółkiem dla chomika, o promieniu r. Zapisz równanie wyrażające za pomocą wielkości r drogę, jaką przebędzie ciało znajdujące się na krawędzi koła o takim promieniu.

c. Kółko dla chomika ma promień 10,0 cm. Uzupełnij kolumnę harmonogramu „Całkowita liczba obrotów”. Pod tabelą znajdziesz nieco miejsca na wykonanie obliczeń.

Droga [km]

Szybkość [km/h]

15,00

3,00

10,00

4,00

2,00

5,50

Całkowita liczba obrotów

Ustawienia silnika ( )

b. Chciałbyś, żeby chomik przebiegł drogę x. Zapisz równanie wyrażające x za pomocą wartości r i całkowitej liczby obrotów, N.

jesteś tutaj  683

Sprawdź jednostki

Nie martw się na razie o zawartość tej kolumny. Wypełnisz ją później.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Przyjmij, że dysponujesz kółkiem dla chomika, o promieniu r. Zapisz równanie wyrażające za pomocą wielkości r drogę, jaką przebędzie ciało znajdujące się na krawędzi koła o takim promieniu.

c. Kółko dla chomika ma promień 10,0 cm. Uzupełnij kolumnę harmonogramu „Całkowita liczba obrotów”. Pod tabelą znajdziesz nieco miejsca na wykonanie obliczeń.

Droga [km]

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

15,00

3,00

23900

10,00

4,00

15900

2,00

5,50

3180

r

Obwód O = 2πr

b. Chciałbyś, żeby chomik przebiegł drogę x. Zapisz równanie wyrażające x za pomocą wartości r i całkowitej liczby obrotów, N. Liczba obrotów jest równa liczbie obwodów koła odpowiadających pokonanej drodze x:

x = 2πrN

Ustawienia silnika ( )

N =

r = 0,100 m N = N =

x O x 2πr

15,00 km:

i O = 2πr

N =

x 2πr

15,00 × 103 m 2 × π × 0,100 m

Gdy w zadaniu pojawiają się różne jednostki długości, najbezpieczniej jest zamienić je wszystkie na metry. N ≈ 23900 obrotów

10,00 km: N =

x = 2πrN

10,00 × 103 m 2 × π × 0,100 m

N ≈ 15900 obrotów

Jakim cudem otrzymałaś jednostki z dzielenia odległości przez odległość? Czy to nie przeczy wszystkiemu, co powiedzieliśmy do tej pory o jednostkach?

2,00 km:

Wynikiem jest LICZBA obrotów. Chcąc obliczyć liczbę obrotów kółka zawartych w 15 km, musisz podzielić całkowitą drogę (15000 m) przez obwód koła (2πr ≈ 0,628 m). W ten sposób otrzymujesz wynik 23900 — bez jednostek, ponieważ długość podzielona przez długość jest wyrażeniem niemianowanym. Pamiętaj o tym, sprawdzając jednostki w równaniu czy odpowiedzi. Wielkość określająca liczbę (ciał albo na przykład obrotów) nie ma jednostki!

684

Rozdział 16.

N =

2,00 × 103 m 2 × π × 0,100 m

N ≈ 3180 obrotów

Jednostki skracają się.

15000 m = 23900 0,628 m Odpowiedź końcowa jest LICZBĄ bez jednostki.

Ruch po okręgu (część I) Świetnie, że obliczyłeś odległości, ale nie zapominaj o szybkościach. Są bardzo ważne. Wydaje mi się, że jednostką na silniku jest herc… dasz sobie radę?

Zamień szybkość liniową na herce

Utrzymanie odpowiednich dystansów w czasie treningu nie nastręcza już żadnych trudności, ale pamiętaj, że chomiki muszą w każdej sesji trenować swoją szybkość. Kółko możesz napędzać silnikiem, ale przy regulacji szybkości obrotów brak jednostki. Właściciel chomików Jednostkę herc jest przekonany, że skalę podano w hercach. zapisuje się w skrócie Hz, zaczynając zawsze od dużej litery.

Herc to jednostka częstotliwości, określająca, ile razy w ciągu sekundy następuje powtarzające się zdarzenie. W fizyce mówi się także czasami o liczbie cykli na sekundę. W ten sposób, jeśli kółko obróci się 5 razy w ciągu sekundy, możesz powiedzieć, że częstotliwość jego obrotów, f, to 5 Hz.

Droga [km]

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

15,0

3,0

23900

10,0

4,0

15900

2,0

5,5

3200

Ustawienia silnika ( )

Okres obrotu to czas potrzebny kołu na wykonanie jednego obrotu. Oznacza się go symbolem T. Mając wartość częstotliwości, z łatwością wyznaczysz z niej okres. Jeżeli jakieś zdarzenie zachodzi 5 razy na sekundę (czyli ma częstotliwość 5 Hz), w ciągu 1 sekundy obserwujemy je 5 razy. 1 Oznacza to, że okres tego zdarzenia to T = = 0,2 s. 5

Zaostrz ołówek a. Oblicz czas (w sekundach), w jakim chomiki pokonują dystans 15,00 km z szybkością 3,00 km/h.

b. Wykazałeś już wcześniej, że pokonanie takiej drogi równe jest wykonaniu 23900 obrotów. Oblicz okres obrotu koła, T, i częstotliwość f. Wpisz wyniki do tabeli.

Częstotliwość



Okres

5





Okres

5

Częstotliwość

Droga [km]

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

15,00

3,00

23900

10,00

4,00

15900

2,00

5,50

3180

Ustawienia silnika (Hz)

c. Przeprowadź obliczenia dla pozostałych dystansów i wpisz wyniki do tabeli.

Okres, T, to czas trwania jednego obrotu koła.

jesteś tutaj  685

Odpowiedzi i pytania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Droga [km]

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

Ustawienia silnika (Hz)

a. Oblicz czas (w sekundach), w jakim chomiki pokonują dystans 15,00 km z szybkością 3,00 km/h.

15,00

3,00

23900

1,33

droga droga czas = czas szybkość 15,00 km czas = = 5 h 3,00 km/h 60 s 60 mi min × 5 h = 5 h × ≈ 18000 s 1 min 1 h mi

10,00

4,00

15900

1,77

2,00

5,50

3180

2,43

szybkość =

b. Wykazałeś już wcześniej, że pokonanie takiej drogi równe jest wykonaniu 23900 obrotów. Oblicz okres obrotu koła, T, i częstotliwość f. Wpisz wyniki do tabeli.

c. Przeprowadź obliczenia dla pozostałych dystansów i wpisz wyniki do tabeli. Pokonanie 10,00 km z prędkością 4,00 km/h 10,00 km zajmuje × 60 min/h × 60 s/min = 9000 s. 4,00 km/h

Okres to czas wykonania 1 obrotu. Wykonanie 23900 obrotów zajmuje 18000 s. 18000 T = ≈ 0,753 s 23900 f =

T =

1 1 = ≈ 1,33 Hz T 0,753

9000 1 15900 f = = ≈ 1,77 Hz 15900 T 9000 Pokonanie 2,00 km z prędkością 5,50 km/h 2,00 km × 60 min/h × 60 s/min = 1310 s. zajmuje 5,50 km/h

T =

1310 3180

Nie istnieją

głupie pytania

P: Na czym polega różnica pomiędzy P: W niektórych książkach częstotliwością a okresem?

O

: Częstotliwość to liczba cykli na sekundę, czyli liczba określająca, ile razy w ciągu sekundy ma miejsce zdarzenie okresowe.

Okres to liczba sekund, jaka upływa w czasie trwania jednego cyklu.

częstotliwość ma jednostkę s–1. Czy to poprawny zapis?

O

: Tak, jak najbardziej. Jednostki można zapisywać w notacji naukowej. Zapewne nieraz napotkasz zapis ms–2 zamiast m/s2. Możesz stosować ten zapis, jeśli tylko tak Ci wygodniej.

: Dlaczego jednostki częstotliwości P: Dlaczego jednostką częstotliwości P nie zapisujemy w postaci „obrotów/s”? jest Hz? Czemu nie piszemy po prostu „na sekundę”?

O: Ponieważ łatwiej zapisać „Hz”, niż

„1/s” (bo właśnie tak należy zapisywać tę jednostkę). Poza tym taki zapis zostawia mniejsze pole do popełnienia błędu.

686

Rozdział 16.

Dlaczego stosuje się samo „1/s”?

O

: Dobre pytanie. Musisz pamiętać, że częstotliwość to liczba (zdarzeń) na sekundę. Może to być liczba obrotów, liczba fal uderzających o brzeg czy liczba szczeknięć psa. Liczba jest bezwymiarowa, więc nie może mieć jednostki.

f =

1 = T

3180 1310

≈ 2,43 Hz

To skrót, dzięki któremu nie musisz obliczać wartości T przed obliczeniem wartości f.

P: Co się dzieje, jeżeli zdarzenie

okresowe pojawia się rzadziej niż raz na sekundę?

O

: Wtedy częstotliwość ma wartość mniejszą niż 1. Przykładowo częstotliwość zdarzenia pojawiającego się raz na 5 sekund to 0,2 Hz.

P: Dlaczego 5 a 5 ? O: Częstotliwość to liczba cykli

na sekundę, okres — liczba sekund na cykl. Wyrażenie „na” jest tożsame ze stwierdzeniem „dzielone przez”, więc częstotliwość i okres to pojęcia odwrotne. Przykładowo coś zdarza się 5 razy na sekundę, więc częstotliwość tego zjawiska to 5 Hz. Możesz też przekazać tę informację inaczej — coś zdarza się co 0,2 s, ponieważ okres tego zjawiska to T = 1 = 0,2 s. f

Ruch po okręgu (część I)

Uruchamiasz maszynę… Korzystając z faktu, że obwód okręgu to O = 2πr, przeliczyłeś podane w harmonogramie jednostki (km i km/h) na bardziej odpowiednie w tym przypadku — liczbę obrotów i herce. Na obudowie silnika znajduje się skala, ale nie wiadomo, w jakich jednostkach, ponieważ zatarły się one w wyniku użytkowania. Hodowca chomików jest przekonany, że to herce, więc ustawiasz parametry potrzebne do przeprowadzenia pierwszej sesji treningowej…

Licznik jest zaprogramowany tak, by zatrzymać kółko po 23900 obrotach.

0 5 10 15 20 25

Silnik ustawiłeś na 1,33. I koło zaczyna się obracać!

Słuchaj mały, to koło porusza się zdecydowanie za wooolno. Musisz rozgryźć, o co w tym chodzi!

…ale koło obraca się zbyt wolno! Gdy miliarder przybywa na testowe uruchomienie toru treningowego, okazuje się, że nie wszystkie problemy zostały rozwiązane. Hodowca chomików utrzymuje, że koło obraca się zbyt wolno — coś jest nie tak i musisz szybko zorientować się co, jeśli w ogóle macie stanowić jakąś siłę w nadchodzącym wyścigu!

Zaostrz ołówek a. Jak sądzisz, co mogło pójść nie po Twojej myśli?

b. Co zrobisz, żeby zbadać potencjalną przyczynę błędu i wyeliminować ją?

jesteś tutaj  687

Przyspieszmy koło

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Jak sądzisz, co mogło pójść nie po Twojej myśli? Może hodowca pomylił się co do jednostek na silniku. Może to wcale nie herce.

b. Co zrobisz, żeby zbadać potencjalną przyczynę błędu i wyeliminować ją? Należy przeprowadzić doświadczenie i zliczyć liczbę obrotów silnika w określonym czasie. Mając te dane, należy określić jednostkę skali i przekształcić ją do takiej postaci, która pozwoli użyć silnika z zebranymi dotychczas danymi.

Zawsze upewnij się, że znasz JEDNOSTKI wszystkich wielkości, z którymi masz do czynienia.

Czyli obraca się zbyt wolno. Może pomyliliśmy się gdzieś w obliczeniach?

Kuba: Sprawdzałem już dwa razy. W obliczeniach wszystko się zgadza. Krzysiek: Może pomyliliśmy gdzieś jednostki. Kuba: Jednostki też sprawdzałem. Przeliczyliśmy je poprawnie. Krzysiek: Nie o to mi chodzi. Założyliśmy, że startą jednostką skali silnika jest herc, ale przecież hodowca chomików mógł się mylić. Franek: To jak mamy dowiedzieć się, co znaczą te liczby na skali? Przypuszczam, że moglibyśmy policzyć, ile razy w ciągu sekundy obraca się koło, gdy silnik jest ustawiony na wartość 1,33. Kuba: Po co męczyć się z niewygodnymi liczbami jak 1,33? Ustawmy silnik na „1,00” i zobaczmy, ile czasu trwa jeden obrót. Potem przeliczymy herce, w których mamy wyniki obliczeń, na te tajemnicze jednostki. Krzysiek: Racja. Z jedynką łatwiej się pracuje. Wydaje mi się, że moglibyśmy też przesunąć suwak do takiej pozycji, która odpowiada wykonaniu dokładnie jednego obrotu w czasie sekundy. Będziemy mieli dwie wartości do dalszych obliczeń.

688

Rozdział 16.

Ruch po okręgu (część I)

Spróbuj uzyskać kilka wartości, które połączą ze sobą mierzone wielkości Założyliśmy początkowo, że skala na silniku określa liczbę obrotów na sekundę (czyli herce), ale koło obraca się zbyt wolno, by mogło tak być. Nie pozostaje Ci nic innego, jak wykonać pomiary dla „ładnych” wartości i policzyć obroty na sekundę, którym odpowiadają te wartości.

Gdy chcesz sprawdzić zasadę działania urządzenia, posłuż się „przyjemnymi” wartościami, jak 1 czy 10.

Co się stanie, gdy ustawimy silnik na „1,0”?

Co się stanie, gdy silnik będzie poruszać się z częstotliwością 1 Hz?

Ustawiasz suwak tak, by wskazywał 1,0 na skali, i okazuje się, że koło obraca się raz w ciągu 6,3 sekundy.

Następnie ustalasz taką wartość na skali regulacji silnika, żeby koło obracało się mniej więcej raz na sekundę. Wiesz, że silnik będzie pracować z częstotliwością 1,0 Hz. Wyregulowanie wszystkiego zajmuje Ci trochę czasu, ale w końcu udaje się znaleźć właściwe ustawienie — suwak znajduje się w okolicy wartości 6,3.

Jeden obrót zajmuje 6,3 s.

Znaczysz krawędź koła, żeby śledzić jej ruch.

Jeden obrót zajmuje jedną sekundę.

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

Silnik ustawiony na „6,3”.

Silnik ustawiony na „1,0”.

Zaostrz ołówek Gdy silnik pracuje z wartością 1,0, jeden obrót koła trwa 6,3 s. Gdy silnik pracuje z wartością 6,3, jeden obrót koła trwa 1,0 s. Czy ostatnio spotkałeś się gdzieś z liczbą zbliżoną do wartości 6,3? Jeśli nie pamiętasz, poszukaj w rozdziale. Jak sądzisz, czym są liczby umieszczone na skali silnika?

jesteś tutaj  689

Kąty mierzymy w radianach

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Gdy silnik pracuje z wartością 1,0, jeden obrót koła trwa 6,3 s. Gdy silnik pracuje z wartością 6,3, jeden obrót koła trwa 1,0 s.

Obwód okręgu jest 2π — czyli 6,28 — razy większy od jego promienia. Oznacza to, że jeden obrót koła to około 6,3 promienia. Gdy ustawi się suwak silnika na 1, czas obrotu (czyli 6,3 promienia) to około 6,3 sekundy, a gdy ustawi się go na wartość 6,3, koło wykonuje jeden obrót (6,3 promienia) w czasie jednej sekundy.

Czy ostatnio spotkałeś się gdzieś z liczbą zbliżoną do wartości 6,3? Jeśli nie pamiętasz, poszukaj w rozdziale.

Może zatem jednostki na silniku informują, ile promieni na sekundę zatacza koło?

Jak sądzisz, czym są liczby umieszczone na skali silnika?

Jednostki na silniku to radiany na sekundę Zauważyłeś, że w obwodzie koła mieści się około 6,3 „promieni”. Gdy ustawisz na skali silnika wartość 6,3, koło wykonuje jeden obrót na sekundę (czyli pokonuje 6,3 promienia na sekundę).

r θ

Skala na silniku powinna być opisana jednostką radian. Radian jest jedną z miar kąta. Gdy obrócisz koło o stopień równy 1 radianowi, zewnętrzna krawędź koła pokona odległość równą promieniowi koła.

Promień = r Ten kąt to 1 radian.

Gdy obracasz koło o kąt 1 radiana, jego krawędź pokonuje odległość równą promieniowi koła.

Jeżeli musisz znaleźć powiązanie między odległością, jaką pokonują punkty na krawędzi koła, a kątem, jaki zatacza promień, posłuż się radianami.

Radiany są jedną z miar kąta. Pełen obrót jest równy kątowi 2π radianów.

690

Rozdział 16.

Krawędź koła, która przesunęła się o kąt 1 radiana, pokonała jednocześnie drogę równą długości promienia koła, r. Gdy obrócisz koło o kąt 2 radianów, jego krawędź przebędzie drogę 2r. Jeżeli obrócisz koło o kąt 2,4 radiana, krawędź przebędzie odległość 2,4r. Wystarczy, że pomnożysz kąt przez promień, a dostaniesz drogę, jaką pokonuje zewnętrzna krawędź koła. Gdy koło obróci się o kąt 2π radianów, jego krawędź przesunie się o odległość 2πr, czyli o odległość równą obwodowi koła. To oznacza, że kąt 2π jest równoznaczny jednemu obrotowi. Wnioski te pokrywają się z wynikami doświadczenia przeprowadzonego z udostępnionym Ci silnikiem. Gdy ustawisz szybkość obrotów na 6,3 (2π) radianów na sekundę, koło zatoczy pełen obrót w czasie 1 sekundy.

Ruch po okręgu (część I) Ale po co wymyślać jeszcze jedną miarę kąta, skoro stopnie są takie poręczne?

Radiany przydają się szczególnie wtedy, gdy obliczenia dotyczą koła.

Odległość liniowa.

Promień.

Stopnie wydają Ci się bardziej przyjazne tylko dlatego, że jesteś do nich przyzwyczajony. Gdy nabierzesz wprawy w posługiwaniu się radianami, szybko przekonasz się, że są one znacznie bardziej Kąt w radianach. wygodne.

θ To równanie skalarne.

Ćwiczenie

Stopnie przydadzą Ci się, gdy w zadaniach pojawią się trójkąty. Radiany są niezastąpione, gdy masz do czynienia z okręgami. Przeliczenie kąta na odległość nie stanowi żadnego problemu, jeżeli możesz posłużyć się równaniem x = r, gdzie x to odległość pokonana przez punkty leżące na krawędzi koła podczas obrotu o kąt .

Radiany pozwalają szybko przeliczyć wartości kąta na odległość, jeśli rozwiązywane zadanie dotyczy okręgu. Masz teraz okazję użyć radianów w obliczeniach i porównać je z obliczeniami wykonywanymi w stopniach. Potem przystąpimy do decydującego starcia z kółkiem dla chomików. Liczymy w stopniach

Kółko dla chomików, o promieniu 0,100 m, obraca się o kąt 60°. Jaką odległość pokona w efekcie tego obrotu krawędź koła?

Liczymy w radianach

Kółko dla chomików o promieniu 0,100 m obraca się o kąt π∕3 radiana. Jaką odległość pokona w efekcie tego obrotu krawędź koła?

Wskazówka: Jaką część koła wycina kąt 60°?

Wskazówka: Odległość odpowiadającą kątowi θ obliczysz z równania x = rθ.

Porównaj obliczenia, które wykonałeś w stopniach i w radianach, żeby obliczyć odległość.

jesteś tutaj  691

Radiany, ułamki i π

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Radiany pozwalają szybko przeliczyć wartości kąta na odległość, jeśli rozwiązywane zadanie dotyczy okręgu. Masz teraz okazję użyć radianów w obliczeniach i porównać je z obliczeniami wykonywanymi w stopniach. Potem przystąpimy do decydującego starcia z kółkiem dla chomików. Liczymy w stopniach

Liczymy w radianach

Kółko dla chomików, o promieniu 0,100 m, obraca się o kąt 60°. Jaką odległość pokona w efekcie tego obrotu krawędź koła? Kąt 60° to

60 360

lub

Kółko dla chomików o promieniu 0,100 m obraca się o kąt π∕3 radiana. Jaką odległość pokona w efekcie tego obrotu krawędź koła?

1 koła. 6

x = rθ x = 0,100 m ×

Obwód koła = 2πr 1 Przebyta droga = × 2πr 6 1 = × 2 × π × 0,100 m 6 Pokonana droga ≈ 0,105 m

π 3

x ≈ 0,105 m

Porównaj obliczenia, które wykonałeś w stopniach i w radianach, żeby obliczyć odległość. Ostatni krok obliczeń jest w obu przypadkach bardzo podobny, ale przeliczenie kątów podanych w stopniach na odległość jest znacznie bardziej żmudne niż przeliczanie radianów na odległość.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Po co mam mierzyć kąty w radianach?

O

: Jeżeli rozwiązujesz zadanie dotyczące okręgu, prowadzenie obliczeń w radianach znacznie uprości Twoje rachunki. Prowadząc obliczenia w stopniach, będziesz musiał najpierw określić, jaką częścią koła jest interesujący Cię kąt (na przykład 60° to jedna szósta koła). Potem musisz pomnożyć wynik przez wyrażenie 2πr. Dopiero wtedy poznasz szukaną odległość.

692

Rozdział 16.

P: Czy już do końca książki

będziemy posługiwać się radianami?

O

: We wszystkich problemach dotyczących ruchu po okręgu i samych okręgów — owszem. Gdy tylko pojawią się trójkąty, wrócimy do stopni.

P: Jak mam przyzwyczaić się do używania radianów, skoro wyglądają tak dziwnie!

O

: Musisz zapamiętać przede wszystkim to, że 2π radianów to pełny obrót. Idąc dalej tym tropem, π radianów to pół obrotu, π ∕2 radiana to ćwierć obrotu, π∕3 radiana to jedna szósta obrotu i tak dalej.

P: Czy to nie dziwne, mówić

o ułamkach liczby niewymiernej?

O

: Dopóki będziesz używać ułamków postaci π∕2 czy π∕3, gdzie do równania musisz podstawić na koniec tylko wartość π, wszystko powinno być dobrze. Same ułamki nie skomplikują Ci nadmiernie pracy.

Kąty opisane w radianach wyobrażaj sobie jako ułamki liczby π.

Ruch po okręgu (część I) Czy myślenie o radianach jako o ułamkach liczby π nie przypomina przypadkiem myślenia o kątach w charakterze ułamka wartości 360°?

Tak — kąty należy wyobrażać sobie jako wycinek obwodu koła. Kąt 360° odpowiada pełnemu obrotowi. Ponieważ do tej pory opisywałeś kąty w stopniach, przyzwyczaiłeś się do tego, że kąt prosty ma 90° (ćwierć obrotu), kąt 45° jest połową kąta prostego (jedna ósma obrotu), 180° jest połową obrotu i tak dalej. Za chwilę będziesz miał okazję poćwiczyć w podobny sposób pracę z radianami.

Basenowa układanka „Radiany” Twoim zadaniem jest wyłowić z basenu wartości kątów zmierzone w radianach i umieścić je w kratkach rozłożonych wokół koła. Żadnego z kątów nie wolno Ci użyć więcej niż raz, ale też nie wszystkie wykorzystasz. Masz przede wszystkim zapoznać się z prowadzeniem obliczeń w radianach. 0

Uwaga: Każdy kąt z basenu może być użyty tylko raz

2π π 4

2π 3 π 6

π 2

π 8

Kąty mierzymy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od poziomu.

π 3π 2

π 3

jesteś tutaj  693

Basenowa zagadka

Basenowa układanka „Radiany”. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wyłowić z basenu wartości kątów zmierzone w radianach i umieścić je w kratkach rozłożonych wokół koła. Żadnego z kątów nie wolno Ci użyć więcej niż raz, ale też nie wszystkie wykorzystasz. Masz przede wszystkim zapoznać się z prowadzeniem obliczeń w radianach. π 2

π 3

π 4 π 6

π

0

Pełen obrót to 2π radiana.

3π 2

Uwaga: Każdy kąt z basenu może być użyty tylko raz

2π 3 π 8

694

Rozdział 16.

2π

Czy to znaczy, że jesteśmy gotowi do podjęcia treningów? Musimy zacząć lada dzień, jeżeli mamy w ogóle myśleć o zajęciu pierwszego miejsca!

Ruch po okręgu (część I)

Przelicz częstotliwość na częstość kołową Odkryłeś, że jednostką regulacji pracy silnika jest radian na sekundę. Jednostka ta odpowiada wielkości fizycznej zwanej częstością kołową, którą oznacza się literą  (omega). Gdy ustawiłeś regulację szybkości obrotów na wartość 1,0, koło obracało się w tempie jednego radiana na sekundę.

Częstość kołowa

ωπ

Jeden pełny obrót to równowartość 2 radianów. Wiesz już, z jaką częstotliwością, f, ma poruszać się koło w czasie każdej z sesji treningowych — to liczba obrotów koła w czasie jednej sekundy.

Częstość kołowa to liczba radianów na sekundę.

Częstotliwość

Ponieważ w pełnym obrocie koła mieszczą się 2 radiany, posługując się wzorem = 2f, możesz obliczyć częstość kołową, z jaką powinien pracować silnik w czasie każdej z sesji treningowych.

Zaostrz ołówek Uzupełnij tabelę wartościami częstości kołowej potrzebnymi do napędzania kółka dla chomików podczas każdej z sesji treningowych.

Droga [km]

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

Częstotliwość [Hz]

15,00

3,00

23900

1,33

10,00

4,00

15900

1,77

2,00

5,50

3180

2,43

Częstość kołowa [rad/s]

jesteś tutaj  695

Dalej, mały chomiku

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Uzupełnij tabelę wartościami częstości kołowej potrzebnymi do napędzania kółka dla chomików podczas każdej z sesji treningowych.

Droga [km]

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

Częstotliwość [Hz]

Częstość kołowa [rad/s]

15,00

3,00

23900

1,33

8,35

10,00

4,00

15900

1,77

11,1

2,00

5,50

3180

2,43

15,3

f = 1,33 Hz:

ω = 2πf = 2× π × 1,33 Hz ≈ 8,35 rad/s

f = 1,77 Hz:

ω = 2πf = 2× π × 1,77 Hz ≈ 11,1 rad/s

f = 2,43 Hz:

ω = 2πf = 2× π × 2,43 Hz ≈ 15,3 rad/s

Świetna robota! Już nie mogę doczekać się pierwszego treningu!

Tor treningowy dla chomików jest gotowy! Po wprowadzeniu ostatnich poprawek konstrukcyjnych urządzenie do prowadzenia treningów chomików wyścigowych prezentuje się doskonale! Wdzięczny hodowca składa Ci serdeczne podziękowania i obdarowuje Cię 20% praw własności do chomika czystej krwi, który jest zdecydowanym faworytem mających odbyć się za miesiąc derby chomików w Kentucky!

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Obwód koła jest 2π razy

większy niż jego promień, O = 2πr. ‹Częstotliwość, f,

to liczba cykli na sekundę. Jej jednostką jest herc (Hz). ‹Okres, T, to czas potrzebny

na wykonanie jednego pełnego cyklu. Myśl o nim jako o liczbie sekund na cykl.

696

Rozdział 16.

‹Radiany są miarą kąta

przydatną szczególnie wtedy, gdy masz przeprowadzić obliczenia dotyczące okręgu. W jednym obrocie mieści się 2π radianów. ‹Czasami wygodnie

jest ujmować radiany w postaci ułamka liczby π.

‹Częstość kołowa, ω,

to liczba radianów na sekundę. ‹Ponieważ w jednym

obrocie mieści się 2π radianów, można zapisać ogólnie: x = rθ. ‹Ponieważ w jednym

obrocie mieści się 2π radianów, można zapisać ogólnie: ω = 2πf.

Ruch po okręgu (część I)

Pogawędki przy kominku

Rozmowa wieczoru: Stopień i radian spierają się dziś o to, który z nich jest najlepszą miarą kąta.

Stopień:

Radian:

Witaj radianie. Chyba zaliczyłeś właśnie spóźnione wejście.



Za to nikt nie ma problemu ze zrozumieniem tego, co oznaczam! Nie ciągną się za mną żadne piastowskie koła (a może powinienem powiedzieć astowskie). Zwykłe, uczciwe 360° w każdym obrocie, ot co! Czegóż chcieć więcej?

Naprawdę? A niby w którym miejscu?

Przecież ze mną też tak można! Załóżmy, że koło obraca się o 180°. Wystarczy zauważyć, że to połowa okręgu, i zapisać 180/360 = 0,5. Wiadomo przecież, że obwód to 2r, więc wystarczy teraz pomnożyć wyniki cząstkowe razem — 0,5 × 2r — żeby otrzymać r. To odległość pokonana przez koło. Ot, cała filozofia.

Nie ująłbym tak tego. Jesteś tu wprawdzie od dawna, ale to wcale nie oznacza, że jesteś lepszy z definicji. Po prostu minąłeś już półmetek.

Dobrze, przyznaję, że zabawy z kołami i liczbą  wymagają nieco wprawy, ale gdy już jej nabierzesz, okazuje się, że moja moc znacznie przewyższa twoją. Cóż, przeliczenie kąta na drogę pokonaną w ruchu po okręgu nie jest żadną filozofią, jeśli masz ze mną do czynienia. Załóżmy, że koło obraca się o kąt  radianów, a ty chcesz poznać długość zatoczonego łuku. Nic prostszego! Wystarczy pomnożyć wartość kąta przez odległość zmierzoną od środka koła (czyli promień r) i masz już drogę r.

Hmm… chodzi ci o to, że jeśli zatoczysz kąt  radianów (czyli połówkę okręgu), pokonasz odległość r = r? Przykro mi, ale ze mną to znacznie prostsze!

Ale jesteś zupełnym zaprzeczeniem intuicyjności! Chyba chcesz przez to powiedzieć, że gdy już się do mnie przyzwyczaić, okazuję się dużo lepszy od ciebie! Jak tam sobie chcesz!

jesteś tutaj  697

I znów trening chomików Młody człowieku! Przydałaby się Twoja pomoc w organizacji treningów. Potrzebujemy prostego sposobu przeliczania tych cyferek na silniku na m/s.

Kilka tygodni później… Chomiki zostały przygotowane do przeprowadzenia treningów w sprincie. Właściciel stajni wyjaśnił Ci, że chce, by jego chomiki osiągały szybkość 3,00 m/s, ale potrzebuje też prostej metody przeliczania „tych cyferek na silniku” na m/s. Nie pozostaje Ci nic innego, jak znaleźć metodę przeliczania metrów na sekundę (jednostki liniowej) na radiany na sekundę (jednostkę kątową).

Poprzednim razem wykonywałeś takie obliczenia w kilku krokach. Najpierw obliczyłeś całkowitą liczbę obrotów w każdym dystansie treningowym i całkowity czas biegu chomików. Wartości te pozwoliły Ci obliczyć częstotliwość (liczbę obrotów na sekundę) potrzebną do wyznaczenia wartości częstości kołowej (liczba radianów na sekundę).

Czy nie byłoby cudownie, gdybyśmy mogli przeliczać szybkość liniową na częstość kątową bez kroków pośrednich? Ale to tylko marzenie…

Dalej, mały chomiku

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

zania kółka dla chomików

ści kołowej potrzebnymi do napęd Uzupełnij tabelę wartościami często . podczas każdej z sesji treningowych

Droga [km]

Szybkość [km/h]

Całkowita liczba obrotów

Częstotliwość [Hz]

Częstość kołowa [rad/s]

3,00

23900

1,33

8,35

15,00

4,00

15900

1,77

11,1

10,00

5,50

3180

2,43

15,3

2,00

f = 1 33 Hz:

8,35 rad/s ω = 2πf = 2× π × 1,33 Hz ≈

To mnóstwo pracy! Ale wtedy nie wiedziałeś jeszcze, że liczby podane na skali regulacji pracy silnika to radiany na sekundę — nie wiedziałeś, w jakim kierunku zmierzasz. Teraz już wiesz, że szukasz wartości podawanych w radianach na sekundę…

698

Rozdział 16.

Musimy znaleźć sposób przeliczania wartości z metrów na sekundę na radiany na sekundę.

Ruch po okręgu (część I)

Kuba: Tak, tylko ostatnim razem zajęło nam to całe wieki. Krzysiek: Zauważyłem, że w obydwu jednostkach pojawia się element „na sekundę”. Metry na sekundę i radiany na sekundę. Franek: To znaczy, że jeśli uda się nam przeliczyć metry na radiany, całe zadanie powinno pójść znacznie sprawniej. Kuba: Przeliczaliśmy już przecież metry na radiany! Używaliśmy wzoru x = r. Franek: Ciekawe… To znaczy, że gdy pomnożymy kąt (podany w radianach) przez promień, otrzymamy odległość w metrach. x = r. Kuba: Zastanawiam się, czy pomnożenie liczby radianów na sekundę przez długość promienia da nam metry na sekundę. Krzysiek: Kto wie, może zachodzi równość v = r? Kuba: A co na to rachunek jednostek? Gdy mnożysz radiany przez promień, dostajesz metry. Wydawałoby się, że jeśli wymnożyć radiany na sekundę przez promień, powinniśmy dostać jednostkę odległości dzieloną na sekundę. Franek: A „jednostka odległości dzielona na sekundę” to po prostu prędkość. Genialne!

‹Częstość kołowa, ω,

to liczba radianów na sekundę.

‹Ponieważ w jednym

obrocie mieści się 2π radianów, można zapisać ogólnie: x = rθ.

Chłopcy rozmawiają o zagadnieniach, które pojawiły się wcześniej w tym rozdziale.

Zaostrz ołówek a. Kółko dla chomika ma promień 10,0 cm. Oblicz częstość kołową, jaką będzie miał chomik biegnący z prędkością 3,00 m/s. Posłuż się równaniem v = r ω.

b. Udostępniony Ci silnik może obracać kółkiem z dowolną częstością kątową nieprzekraczającą 25,0 rad/s. Jak zbudować urządzenie treningowe pozwalające chomikom biegać z prędkością 3,00 m/s bez wykorzystania szybszego silnika?

jesteś tutaj  699

W poszukiwaniu v

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Kółko dla chomika ma promień 10,0 cm. Oblicz częstość kołową, jaką będzie miał chomik biegnący z prędkością 3,00 m/s. Posłuż się równaniem v = r ω. v = rω 3,00 m/s 0,100 m ω = 30,0 rad/s

ω =

v r

=

b. Udostępniony Ci silnik może obracać kółkiem z dowolną częstością kątową nieprzekraczającą 25,0 rad/s. Jak zbudować urządzenie treningowe pozwalające chomikom biegać z prędkością 3,00 m/s bez wykorzystania szybszego silnika? Ze wzoru v = rω wynika, że szybkość zależy od promienia i częstości kątowej. Skoro nie mogę zwiększyć częstości kątowej do odpowiedniej wartości, muszę odpowiednio zwiększysz promień. To oznacza, że wystarczy użyć większego kółka podłączonego do tego samego silnika.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy wolno mi podstawić tę wartość za promień, choć przecież nie jest ona promieniem koła?

O: Tak. Gdy potrzebujesz szybkiego

O: Tak, ponieważ w kontekście zadania

przelicznika pomiędzy wartościami liniowymi a kątowymi, możesz skorzystać z równań x = rθ i v = rω.

promień określa odległość od środka koła do punktu, który Cię interesuje.

P: Co mam zrobić, by poznać szybkość

punktu leżącego na tarczy koła, ale nie na jego krawędzi?

: Czy wzory x = rθ i v = rω są poprawne tylko wtedy, gdy wartości θ i ω są podane w radianach, a nie w stopniach?

O: Taki punkt „zakreśli” podczas wirowania

O: To prawda. Jeżeli wartość kąta θ

koła okrąg o promieniu równym jego odległości od osi obrotu.

700

P

: Czy dobrze rozumiem, że radiany pomagają przeliczać odległość na kąty i prędkość liniową na częstość kołową?

Rozdział 16.

P

jest podana w stopniach, musisz najpierw określić, jaką częścią kąta 360° jest kąt θ, i pomnożyć tę wartość przez 2π. W ten sposób wyznaczyć przebytą drogę w ruchu po okręgu. Gdy wartość kąta jest podana w radianach, etap obliczania stosunku kątów jest automatycznie wykonany za Ciebie.

Ruch po okręgu (część I) Koło obróciło się o taki kąt.

Możesz zwiększyć szybkość (liniową), zwiększając promień koła Gdy koło obraca się z częstością kołową , w jednostce czasu obraca się całe o taki sam kąt. Jednocześnie te punkty koła, których promień wodzący jest dłuższy, muszą pokonać w tym samym czasie dłuższą drogę, a to oznacza, że muszą poruszać się z większą szybkością v.

PROMIEŃ prowadzący do tego punktu jest większy od tego drugiego. Punkt położony dalej od środka koła pokonuje w określonym czasie dłuższą drogę, niż pokonuje punkt położony bliżej środka. Większy promień oznacza większą szybkość.



Oznacza to, że możesz zwiększyć szybkość maksymalną maszyny do prowadzenia treningów bez zwiększania częstości kołowej. Wystarczy zwiększyć promień koła.

Zdaje się, że ω jest czymś w rodzaju szybkości kątowej. Przecież jej wartość określa liczbę radianów zakreślonych w czasie jednej sekundy, a szybkość to liczba metrów na sekundę.

Symbol v został tu oznaczony jako wielkość skalarna, żeby podkreślić fakt, że mówimy o wartości wektora prędkości ciała. Kierunek tego wektora zmienia się cały czas, ponieważ koło obraca się.

Tak — wielkość ω bywa czasami nazywana szybkością kątową. Pomnóż wartość kątową przez długość promienia, żeby otrzymać liniowy odpowiednik poszukiwanej wielkości.

Wielkość  nazywa się czasami szybkością kątową, czasami zaś prędkością kątową, ponieważ jest „kątowym odpowiednikiem” prędkości liniowej. Zależność między wartością  a szybkością v opisuje równanie v = r, bardzo podobne do zależności x = r, łączącej x i . Zatem ze względu na definicję radiana każda wielkość kątowa (na przykład  lub ) pomnożona przez r da swój liniowy odpowiednik. Odległość liniowa (metry).

Szybkość liniowa (metry na sekundę)

Zaostrz ołówek

Promień (metry)

θ ω Promień (metry).

Kąt (radiany)

Szybkość kątowa (radiany na sekundę). Czasami nazywana też „częstością kołową”

Masz do dyspozycji silnik o maksymalnej prędkości 25,0 rad/s, a chcesz, by chomik biegał w kółku z szybkością 3,0 m/s. Jaki powinien być promień koła?

jesteś tutaj  701

Celne spostrzeżenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Masz do dyspozycji silnik o maksymalnej prędkości 25,0 rad/s, a chcesz, by chomik biegał w kółku z szybkością 3,0 m/s. Jaki powinien być promień koła?

Wielkość liniowa

v = rω 3,00 m/s v r = = ω 25,0 rad/s r = 0,120 m

Promień.

θ ω

Wielkość kątowa.

Aby przekształcić wielkość kątową na wielkość liniową, pomnóż ją przez długość promienia.

Chomiki trenowane w większym kole były nie do zatrzymania. Wygrały wszystkie gonitwy, łącznie z prestiżowym derby chomików!

Mały, wygraliśmy derby dzięki sprintowi na finiszu!

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Jeżeli chcesz obliczyć drogę, jaką

przebyło ciało znajdujące się w promieniu r od środka koła po zatoczeniu przez nie kąta θ, użyj wzoru x = rθ. ‹Jeżeli chcesz obliczyć szybkość,

z jaką porusza się ciało znajdujące się w promieniu r od środka koła i obracające się z częstością kołową ω, użyj wzoru v = rω. ‹Równanie v = rω pozwala wyznaczyć

tylko wartość wektora prędkości. Nie daje żadnych informacji na temat jego kierunku i dlatego v oznaczam tu formatowaniem właściwym dla wielkości skalarnych. ‹Zmienną ω nazywa się czasami

szybkością kątową. Jest ona tożsama z częstością kołową i również mierzy się ją w radianach na sekundę.

702

Rozdział 16.

Ruch po okręgu (część I) No dobrze, zmienne x i r z równania x = rθ to odległości, prawda? Tylko że z tego wynika, że zmienna θ nie ma w ogóle jednostki, a przecież wiem, że kąty mierzymy w radianach! O co w tym chodzi?!

Radiany to raczej definicja skali niż jednostka. Wyrażenie 2 to stosunek promienia okręgu do długości jego średnicy. W tym przypadku obliczenie stosunku polegało na podzieleniu długości przez długość. Wyrażenie 2 jest odpowiedzią na pytanie „Ile razy promień okręgu mieści się w jego obwodzie?”. Odpowiedź ta jest liczbą. Wyrażenie 2 to liczba, więc nie ma jednostek. Tak się akurat składa, że ten stosunek, 2, doskonale sprawdza się podczas obliczania odległości, jaką pokonało ciało w czasie obrotu. Żeby podkreślić fakt, że wartość 2 nie jest zwyczajną liczbą (na przykład słoni czy małp), tylko opisuje w tym przypadku obrót, dodajemy do niej słowo „radiany”. Obrót o 2 odpowiada zatoczeniu pełnego kręgu. Analogicznie przelicza się na okręgi każdą wartość podaną w radianach. Zatem obliczając jednostkę ostatecznego wyniku (to tak zwany rachunek jednostek lub rachunek wymiarowy), traktuj radiany jak wielkość bez żadnej jednostki.

Myśląc o jednostkach poszczególnych członów równania, powinieneś pamiętać, że radiany są bezwymiarowe (nie mają jednostki).

jesteś tutaj  703

Poradnia pytań — wielkości kątowe Prawie zawsze, gdy przyjdzie Ci opisywać ruch po okręgu, będziesz mieć do czynienia z charakterystycznymi dla niego wielkościami — kątem przemieszczenia θ i szybkością kątową ω. Musisz pamiętać przede wszystkim o tym, że pełen obrót to dokładnie 2π radianów, a obwód okręgu to 2πr. Wiedząc to, z łatwością skojarzysz, że po pomnożeniu wielkości kątowej (np. θ = 2π) przez wartość promienia otrzymasz wartość liniową. Ten sposób zadziała nawet wtedy, gdy zapomnisz, że x = rθ, a v = rω.

W tym zadaniu podano średnicę koła. Uważaj — we wszystkich równaniach pojawia się PROMIEŃ, więc do obliczeń musisz podstawić wartość 10,0 cm, a nie 20,0 cm.

„Kółko” to słowo klucz, które powinieneś wiązać z ruchem po okręgu.

To prędkość LINIOWA.

o dla k ma obracać się kółk 2. Musisz określić, ja ty 20,0 cm), żeby punk chomika (o średnicy 3,00 km/h. ią śc z szybko się y ał sz ru po ła ko brzegowe Częstość kołowa i szybkość kątowa opisują, jak szybko wiruje ciało. Ich jednostką jest rad/s.

obracać się koło, ach na sekundę) powinno ian rad (w ą ow koł ścią sto a. Z jaką czę ść? żeby osiągnąć żądaną szybko ę odpowiada ta wartość? b. Ilu obrotom na sekund poruszał się z szybkością mieć koło, żeby jego brzeg dkością kołową c Jaką średnicę powinno silnik może obracać je z prę je cy ają ędz nap i jeśl /h, 3,00 km 25 rad/s?

Pamiętaj, że 2π radianów to dokładnie jeden obrót. Zastanów się, która z liczb powinna być większa.

W zadaniu proszą o podanie średnicy, a we wszystkich obliczeniach pojawia się promień. Upewnij się, że podajesz odpowiednią wartość w odpowiedzi!

Rozwiązując takie zadania, musisz cały czas pamiętać, czy w treści pojawia się częstotliwość — liczba obrotów na sekundę — czy częstość kołowa, znana też jako szybkość kątowa — liczba radianów na sekundę. Przeliczenie jednej wielkości na drugą nie stanowi żadnego problemu, dopóki pamiętasz, że jeden obrót to 2π radianów. Musisz tylko wiedzieć, w jakich jednostkach operujesz na początku!

704

jednostki

Ruch po okręgu (część I)

obwód

spadanie zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne

częstotliwość ciężar

częstość kątowa

przyspieszenie

wykres doświadczenie

czas Pitagoras

zachowanie pędu

moment siły

popęd siły stałe przyspieszenie

przemieszczenie

trygonometria

symetria

energia kinetyczna

nachylenie energia wewnętrzna powierzchnia

radiany

Bądź częścią problemu wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji energia mechaniczna prędkość

tarcie

równania ruchu

siła normalna

droga

notacja naukowa

naprężenie

energia

podstawienie bloczek

równanie

siła

zderzenie sprężyste

Teraz radzę sobie także z okręgami!

składowa

okres

promień praca

objętość

moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Promień

Odległość od środka okręgu do jego brzegu.

Obwód

Długość krawędzi okręgu. O = 2πr.

Częstotliwość

Określa liczbę wystąpień zdarzenia w ciągu jednej sekundy.

Okres

Określa czas trwania powtarzającego się zjawiska.

Radiany

Inny sposób podawania miary kątów. Jeden obrót to 2π radianów.

Częstość kołowa

Liczba radianów na sekundę. Wielkość tę nazywa się także szybkością kątową.

jesteś tutaj  705

Niezbędnik fizyka

  

Niezbędnik fizyka Masz już za sobą rozdział 16., więc możesz dodać do swojego przybornika nieco pojęć i utrwalić sobie pewne umiejętności pozwalające sprawdzać poprawność odpowiedzi.

Radiany Radiany są inną formą zapisu miary kąta. Okazują się szczególnie wygodne, gdy przychodzi do obliczania kątów wycinków okręgu. Jeden pełny obrót odpowiada 2π radianom. Wszystkie wartości kątów można zapisać w postaci ułamka wyrażenia 2π. π 2

Częstotliwość i okres symbolem f, Częstotliwość, oznaczana undzie. sek nej to liczba cykli w jed T, to czas Okres, oznaczany literą trwania jednego cyklu.

1 T = f

1 f = T

π 3

π 4

π 6

π

0, 2π

3π 2

towe

Częstość kołowa i szybkość kątowa Częstość kołowa ma te same jedn ostki, co szybkość kątowa. Zawsze też ma tę samą wartość. Częstość kołowa i szybkość kątowa to po prostu dwi e nazwy opisujące tę samą wielkoś ć. Znając częstotliwość, możesz zaw sze wyznaczyć wartość częstości koło wej ω:

ω = 2πf

706

Rozdział 16.

Wielkości liniowe i ką

niem: Posługując się równa

x = rθ

liczyć drogę x możesz bez trudu ob nięciu o kąt θ. odpowiadającą przesu niem: Posługując się równa

v = rω

liniową v ciała wyznaczysz szybkość ybkością kątową ω. obracającego się z sz

%"  $, )$ *

Nie zgub tropu Wiesz, chodzimy ze sobą już jakiś czas… i chyba chcę powiedzieć… że… Krysiu, kochana, czy wyjdzi…

KURCZĘ, TAŃCZĄCY BORSUK!

Czy poczułeś kiedyś, że Twój rozmówca wypadł z toru? A to właśnie ma miejsce, gdy próbujesz zmusić ciało do poruszania się po okręgu, ale nie zapewniasz odpowiedniej siły dośrodkowej. Z tego rozdziału dowiesz się, czym dokładnie jest siła dośrodkowa i dlaczego dzięki niej nie zboczysz z utartych szlaków, a przy okazji rozwiążesz kilka dość poważnych problemów dręczących astronautów stacji kosmicznej Head First. Nie ma co zwlekać. Odwróć kartkę i zaczynamy!

to jest nowy rozdział 707

Sztuczna grawitacja

Houston… mamy problem Astronauci pracujący na stacji kosmicznej Head First zagrozili strajkiem. Mają już dość ciągłego unoszenia się w przestrzeni. Chcą znów stanąć na twardym gruncie i zrobić kilka kroków, jak na Ziemi. Zadanie wywołania na stacji sztucznej grawitacji zlecono właśnie Tobie. Masz zaprojektować dodatkowe elementy stacji, dzięki którym astronauci będą szczęśliwi. Stacja kosmiczna.

i sm ko rs i Stacja dF Hea

t

cz na

mają dość Astronauci zenia os un ciągłego . Chcą się w pustce grunt pod uć cz po ów zn przestrzeni nogami — w kosmicznej!

Astronauta.

708

Rozdział 17.

Ruch po okręgu (część II) Jakim cudem stacja kosmiczna okrąża Ziemię, skoro grawitacja przyciąga ją w kierunku Ziemi?

Stacja kosmiczna SPADA SWOBODNIE.

Na ciało spadające swobodnie działa wyłącznie jego własny ciężar.

Na stację kosmiczną działa tylko jedna siła, jej własny ciężar — przyciąganie grawitacyjne wywołane przez masę Ziemi. Stacja nie styka się z żadnym innym ciałem, więc nie podlega działaniu sił kontaktowych. W kosmosie nie ma atmosfery, zatem ruch po orbicie odbywa się bez tarcia. Gdy ciało spada swobodnie, nie działa na nie żadna inna siła, poza siłą ciężkości. Dlatego można powiedzieć, że stacja krążąca po orbicie spada cały czas swobodnie. To samo tyczy się astronautów znajdujących się w stacji — jedyna działająca na nich siła to ich własny ciężar. Ale dlaczego ciało, na które działa tylko jego siła ciężkości skierowana do środka Ziemi, krąży po jej orbicie?!

1

Wyobraź sobie wystrzał z armaty. Kula armatnia spada swobodnie, ponieważ działa na nią tylko siła ciężkości. Kula, mająca swoją prędkość początkową, porusza się po krzywej i spada na Ziemię. Spadająca swobodnie kula armatnia porusza się tylko pod wpływem siły ciężkości. Kula upadnie tutaj, jeżeli jej zasięg pozwala zaniedbać krzywiznę Ziemi.

2

Na niewielkich odległościach powierzchnia Ziemi wydaje się płaska, lecz wiemy, że w rzeczywistości Ziemia jest kulą. Kula armatnia poruszająca się z dużą prędkością początkową, albo wystrzelona z dużej wysokości, przed uderzeniem o powierzchnię pokona większy dystans, ponieważ Ziemia zakrzywia się i „ucieka” spod kuli.

Tu byłaby powierzchnia, gdyby Ziemia była płaska.

3

Jeżeli działo znajdzie się na odpowiednio dużej wysokości, a wystrzelona z niego kula otrzyma odpowiednio dużą prędkość początkową, Ziemia będzie zakrzywiać się na tyle szybko, że kula nigdy nie zdoła osiągnąć jej powierzchni. W takim przypadku kula będzie spadać swobodnie, okrążając przy tym Ziemię tak samo, jak astronauci w stacji kosmicznej.

Kula wystrzelona z odpowiednią prędkością z naprawdę wysokiego działa będzie spadać na Ziemię bez końca, poruszając się po jej orbicie.

Kula armatnia porusza się po orbicie i jednocześnie spada swobodnie.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Astronauci spadają swobodnie, ponieważ działa na nich wyłącznie siła ciężkości. Jak sądzisz, dlaczego w takim razie astronauta narzeka na stan nieważkości?

Ponieważ powierzchnia Ziemi jest zakrzywiona, kula leci dalej i upada dopiero tutaj.

jesteś tutaj  709

Spadanie swobodne

Wszystkie ciała spadające swobodnie zdają się unosić w przestrzeni

Ty i jabłko spadacie tak samo szybko, więc jabłko porusza się cały czas koło Ciebie.

Wyobraź sobie, że właśnie wyskoczyłeś z samolotu i nie zdążyłeś jeszcze otworzyć spadochronu. Gdybyś w tym momencie wyrzucił z kieszeni jabłko, zaczęłoby ono spadać z tą samą prędkością, co Ty. Pozornie wyglądałoby to tak, jakby jabłko unosiło się przy Tobie w powietrzu. Oczywiście w czasie wykonywania skoku ze spadochronem możesz zaobserwować pewne znaki świadczące o tym, że i Ty, i jabłko spadacie. Ziemia przybliża się z każdą chwilą, a Ty czujesz owiewające Cię powietrze!

Tym razem nie widzisz, że spadasz, ponieważ znajdujesz się w skrzyni, a jabłko wydaje się unosić obok Ciebie.

Skrzynia też spada z tą samą prędkością, co Ty, więc spadasz izolowany przez skrzynię!

Prędkość jabłka. Prędkość skrzyni.

Twoja prędkość.

Twoja prędkość.

Prędkość jabłka.

Gdybyś jednak znalazł się razem z jabłkiem w dźwiękoszczelnej skrzyni pozbawionej okien, nie widziałbyś niczego ani nie słyszał, więc nie mógłbyś poznać po niczym, że spadasz. Wyglądałoby więc, że jabłko unosi się obok Ciebie w powietrzu! Ponieważ skrzynia spadałaby z tą samą prędkością, co Ty, wyglądałoby, jakbyś Ty również unosił się wewnątrz skrzyni. Gdybyś odepchnął się w górę od ściany skrzyni, nie spadłbyś w dół, jak ma to miejsce na Ziemi.

Tak samo czuje się astronauta na stacji kosmicznej. Przez cały czas spada, okrążając przy tym Ziemię. Gdy astronauta upuści na stacji jabłko, owoc, zamiast spaść na podłogę, będzie unosił się swobodnie w przestrzeni. W ten sposób powstaje wrażenie, że jabłko jest nieważkie, i oczywiście, że astronauta też jest nieważki. Astronauta — jak każdy człowiek — jest przyzwyczajony do tego, że siła jego ciężaru przyciąga go do ziemi, ale w kosmosie „ziemia” (czyli ściana stacji kosmicznej) spada w takim samym tempie, co astronauta.

Stacja kosmiczna nie różni się niczym od spadającej swobodnie skrzyni, dlatego wszystko w jej wnętrzu wydaje się unosić w powietrzu — cała zawartość stacji spada w tym samym tempie, co ona.

Właśnie dlatego astronauta nie jest w stanie chodzić po stacji tak, jak robił to na Ziemi.

710

Rozdział 17.

Prędkość astronauty.

Prędkość stacji kosmicznej.

Ruch po okręgu (część II)

Czego w porównaniu z warunkami panującymi na Ziemi brakuje astronaucie na stacji kosmicznej? Dla spadającego swobodnie astronauty wszystkie znajdujące się na stacji przedmioty będą wyglądały, jakby unosiły się w powietrzu, ponieważ one, stacja i on spadają w tym samym tempie. Rodzi się jednak pytanie, dlaczego jabłko spadające na stacji okrążającej Ziemię po orbicie zachowuje się inaczej niż jabłko puszczone na Ziemi. Przecież w obydwu sytuacjach działa na nie siła ciężkości. I dlaczego po stacji nie można chodzić normalnie, jak po ziemi? Gdy w zadaniu pojawiają się siły, zacznij od sporządzenia diagramu rozkładu sił…

Rozwiązywanie każdego zadania z dynamiki rozpoczynaj od narysowania diagramu rozkładu sił.

Zaostrz ołówek a. Narysuj diagram rozkładu sił, których działania doświadczałby astronauta stojący na Ziemi.

b. Narysuj diagram rozkładu sił działających na spadającego swobodnie astronautę.

c. Porównaj obydwa diagramy i powiedz, której siły brakuje na rysunku z podpunktu b.

d. Dlaczego człowiek stojący na Ziemi odczuwa swój ciężar inaczej niż osoba spadająca swobodnie?

e. Jak wprowadzić dodatkową siłę, która zrekompensowałaby brak siły z podpunktu a?

jesteś tutaj 

711

Siła kontaktowa

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Narysuj diagram rozkładu sił, których działania doświadczałby astronauta stojący na Ziemi. Siła normalna (kontaktowa), z jaką podłoże działa na człowieka.

Ciężar, Q = mg

b. Narysuj diagram rozkładu sił działających na spadającego swobodnie astronautę.

Te siły mają identyczne wartości i są przeciwnie zwrócone, więc na człowieka nie działa żadna siła wypadkowa. Człowiek nie przyspiesza.

Gdy spadasz swobodnie, działa na Ciebie tylko siła ciężkości.

Ciężar, Q = mg

c. Porównaj obydwa diagramy i powiedz, której siły brakuje na rysunku z podpunktu b. Na człowieka przebywającego w stacji kosmicznej nie działa siła normalna od podłoża.

d. Dlaczego człowiek stojący na Ziemi odczuwa swój ciężar inaczej niż osoba spadająca swobodnie? Człowiek na stacji nie czuje siły kontaktowej prostopadłej od powierzchni, na której stoi. Spadając swobodnie, doznaje wyłącznie działania siły ciężkości. To właśnie przez to nie da się chodzić po stacji tak samo, jak po powierzchni Ziemi. Siła normalna jest niezbędna do wytworzenia odpowiedniej siły tarcia, niezbędnej do chodzenia.

e. Jak wprowadzić dodatkową siłę, która zrekompensowałaby brak siły z podpunktu a? Z II zasady dynamiki Newtona wiadomo, że F = ma. Można przyspieszyć stację, sprawiając tym samym, że na astronautę zadziała dodatkowa siła.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego mamy wywoływać sztuczną grawitację, skoro na ciała znajdujące się na stacji działa cały czas przyciąganie grawitacyjne ze strony Ziemi?

O: Spadając swobodnie, czujesz się

P

: Ale przecież ciągle masz swój ciężar?

O

: Owszem. Tak samo jak osoba skacząca ze spadochronem. To właśnie ciężar sprawia, że skoczek spada!

nieważki, ponieważ razem z innymi otaczającymi Cię przedmiotami zdajesz się unosić w powietrzu. Wasze wzajemne odległości nie zmieniają się. Jeżeli nie rozumiesz, dlaczego tak się dzieje, wróć do rozdziału 11. i przyjrzyj się jeszcze raz pierwszemu wynalazkowi Kombinatorów wagi ciężkiej.

712

Rozdział 17.

P

: To dlaczego o ciałach spadających swobodnie mówi się, że są nieważkie? Przecież mają ciężar. To trochę mylące.

O

: Faktycznie, to nieco mylące określenie. Słowo „nieważki” w potocznym rozumieniu oznacza brak działania jakiejkolwiek siły kontaktowej, będącej reakcją podłoża na ciężar ciała. Gdyby człowiek przebywający na stacji kosmicznej stanął na wadze, jej wskazówka nie ruszyłaby się z zera.

Ruch po okręgu (część II)

Czy można symulować działanie siły kontaktowej odczuwalnej na Ziemi? Różnica pomiędzy staniem na Ziemi a swobodnym spadaniem polega na tym, że stojąc na Ziemi, odczuwasz działanie siły kontaktowej, z jaką Ziemia reaguje na Twój ciężar. Właśnie ją chciałby poczuć astronauta. Jeżeli uda Ci się wprowadzić na stację źródło siły kontaktowej równej co do wartości ciężarowi astronauty, umożliwisz mu swobodne spacerowanie po stacji. Tylko jak sprawić, by człowiek odczuwał działanie siły kontaktowej?

Zaostrz ołówek

Siła kontaktowa sprawia, że na Ziemi odczuwasz swój ciężar.

Siła kontaktowa.

Jedyną siłą, która działa na Ciebie w czasie swobodnego spadania, jest siła ciężkości.

Ciężar, Q = mg

Ciężar, Q = mg

To siła kontaktowa, z jaką działa na Ciebie podłoże, sprawia, że na Ziemi odczuwasz swój ciężar. Przede wszystkim zamknij oczy i zadaj sobie pytanie: CZUJĘ, ŻE COŚ MNIE POPYCHA, ALE CO?

Wyobraź sobie, jak czułbyś się w następujących sytuacjach. Narysuj siłę kontaktową, która działa na Ciebie w każdym z przypadków w wyniku występowania przyspieszenia. Napisz, co CZUJESZ za każdym razem, na przykład „Coś popycha mnie w plecy”. cy

Wszys pasażerowie są przypięci pasami.

Pociąg, stojący dotąd przy peronie, zaczyna nagle przyspieszać w prawo i wyjeżdża ze stacji. Pociąg jedzie w prawą stronę i nagle zaczyna hamować, żeby zatrzymać się na stacji.

Czy masz już pomysł, jak wywołać u astronautów poczucie działania siły kontaktowej podobnej do tej, którą odczuwamy na Ziemi?

jesteś tutaj  713

Wyobraź sobie Przede wszystkim zamknij oczy i zadaj sobie pytanie: CZUJĘ, ŻE COŚ MNIE POPYCHA, ALE CO?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Wyobraź sobie, jak czułbyś się w następujących sytuacjach. Narysuj siłę kontaktową, która działa na Ciebie w każdym z przypadków w wyniku występowania przyspieszenia. Napisz, co CZUJESZ za każdym razem, na przykład „Coś popycha mnie w plecy”. cy Pociąg, stojący dotąd przy peronie, zaczyna nagle przyspieszać w prawo i wyjeżdża ze stacji.

Popycha mnie oparcie siedzenia.

Pociąg jedzie w prawą stronę i nagle zaczyna hamować, żeby zatrzymać się na stacji.

F

F

Wrzyna mi się w ramię pas bezpieczeństwa.

Wrzyna mi się w ramię pas bezpieczeństwa.

F

Wszys pasażerowie są przypięci pasami.

F

Popycha mnie oparcie siedzenia.

Czy masz już pomysł, jak wywołać u astronautów poczucie działania siły kontaktowej podobnej do tej, którą odczuwamy na Ziemi? Można przyspieszyć całą stację kosmiczną. Dzięki temu na astronautę zadziała siła kontaktowa. To właśnie dzieje się w przyspieszającym pociągu.

Nie istnieją

Przyspieszając w tempie 9,8 m/s2, zapewnisz sobie działanie dokładnie takiej siły kontaktowej, jaka działa na Ciebie na Ziemi.

głupie pytania

P

: Potrafię wyobrazić sobie, że oparcie kanapy pociągu popycha mnie w plecy, ale nie wiem, dlaczego tak się dzieje.

O

: Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, jeżeli na ciało nie działa siła wypadkowa, ciało to porusza się ze stałą prędkością. Gdybyś siedział na peronie, nie odczuwałbyś przyspieszania pociągu, ponieważ nie miałbyś z nim żadnego kontaktu.

Znajdujesz się jednak w przedziale, więc oparcie kanapy może przekazywać działanie wypadkowej siły kontaktowej, która nadaje Ci przyspieszenie, przez co czujesz, jak siedzenie uwiera Cię w plecy.

714

Rozdział 17.

P: Jaką wartość ma siła kontaktowa? P: Dlaczego przyspieszenie stacji kosmicznej sprawi, że upuszczone O: Z II zasady dynamiki Newtona w niej jabłko spadnie, jak na Ziemi? wynika, że F = ma. Znając swoją masę O: Jabłko będzie poruszać się z prędkością, i przyspieszenie, jakiego doznajesz, możesz bez trudu obliczyć wartość siły kontaktowej.

P

: Jak sprawić, by astronauta odczuł działanie siły kontaktowej?

O

: Jeżeli nadasz stacji kosmicznej zwrócone do góry przyspieszenie, astronauta od razu odczuje działanie siły kontaktowej, ponieważ znajduje się wewnątrz stacji — tak samo czułeś ją Ty, będąc w pociągu.

którą już ma (I zasada dynamiki Newtona), bo nie działa na nie żadna siła kontaktowa. Jednocześnie stacja zacznie przyspieszać w tempie 9,8 m/s2. Jeżeli będziesz wtedy na stacji, poczujesz się jak na Ziemi, gdyż wszystkie ciała zaczną nagle przyspieszać w kierunku podłoża w tym samym tempie.

Ruch po okręgu (część II)

Przyspieszenie stacji sprawi, że poczujesz działanie siły kontaktowej Połóż się na plecach z zamkniętymi oczami. Poczujesz, że podłoże działa na Ciebie siłą kontaktową, napierając na Twoje plecy. Siła kontaktowa

Gdyby pociąg ruszył ze stacji z przyspieszeniem równym dokładnie 9,8 m/s2, poczułbyś działanie siły kontaktowej dokładnie o takiej samej wartości, jaką ma ta, z którą działała na Ciebie podłoga.

Pociąg przyspiesza, poruszając się w prawą stronę.

Nie zniechęcaj się pierwszymi trzema słowami tego zadania!

a. Teoria względności Einsteina głosi, że żadne ciało nie może poruszać się z prędkością większą niż prędkość światła, tj. 3 × 108 m/s. Oblicz, ile czasu zajęłoby stacji kosmicznej osiągnięcie tej granicy, gdyby miała przyspieszać w tempie 9,8 m/s2 (załóż na razie, że jest to możliwe i że w trakcie ruchu nie wystąpią żadne efekty relatywistyczne).

b. Jaką odległość pokona w tym czasie stacja? Siła kontaktowa

Jeżeli zatem sprawisz, że stacja zacznie przyspieszać w tempie 9,8 m/s2, na astronautów zadziała siła kontaktowa o mniej więcej takiej wartości, jaką znają z Ziemi. Wywołasz w ten sposób zjawisko sztucznej grawitacji i spełnisz prośbę astronautów!

Stacja kosmiczna przyspieszająca w górę.

Zaostrz ołówek

Siła kontaktowa

c. Odległość między Ziemią a Księżycem wynosi 4 × 108 m, zaś do krawędzi Układu Słonecznego mamy około 5,7 × 1012 m. Porównaj te odległości z wynikiem obliczeń z podpunktu b.

d. Jak sądzisz, czy w praktyce pomysł wywoływania sztucznego przyspieszenia ma sens?

A jak to wygląda w praktyce?

jesteś tutaj  715

Nieużyteczne przyspieszenie liniowe

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Teoria względności Einsteina głosi, że żadne ciało nie może poruszać się z prędkością większą niż prędkość światła, tj. 3 × 108 m/s. Oblicz, ile czasu zajęłoby stacji kosmicznej osiągnięcie tej granicy, gdyby miała przyspieszać w tempie 9,8 m/s2 (załóż na razie, że jest to możliwe i że w trakcie ruchu nie wystąpią żadne efekty relatywistyczne). Mam obliczyć wartość t: v = v0 + at v0 = 0 m/s v = 3,0 × 108 m/s

Ale v0 = 0 m/s t =

v a

=

a = 9,8 m/s2 t = ? x – x0 = ?

3,0 × 108 m/s 9,8 m/s2

t ≈ 3,1 × 107 s

b. Jaką odległość pokona w tym czasie stacja? Obliczam odległość x:

Tysiąckrotnie dalej niż kraniec Układu Słonecznego? To za daleko!

x = x0 + v0t + ½at2 2

7

x = 0 + 0 + 0,5 × 9,8 m/s × (3,1 × 10 s)

2

x ≈ 4,7 × 10 15

c. Odległość między Ziemią a Księżycem wynosi 4 × 108 m, zaś do krawędzi Układu Słonecznego mamy około 5,7 × 1012 m. Porównaj te odległości z wynikiem obliczeń z podpunktu b. Droga, jaką pokona stacja kosmiczna w czasie potrzebnym na osiągnięcie prędkości światła, jest 10 milionów razy większa niż odległość Księżyca od Ziemi i tysiąckrotnie większa niż odległość od krańca Układu Słonecznego.

d. Jak sądzisz, czy w praktyce pomysł wywoływania sztucznego przyspieszenia ma sens? Taka forma wywoływania sztucznego przyspieszenia nie ma sensu, ponieważ stacja zbyt szybko osiąga graniczną wartość prędkości, a jednocześnie bardzo oddala się od Ziemi. Przypuszczam też, że taki ruch wymagałby dużych ilości paliwa.

Liniowe dlatego, że ruch odbywa się po linii prostej.

716

Rozdział 17.

Teoretycznie przyspieszenie stacji kosmicznej w linii prostej w tempie 9,8 m/s2 tak, by na astronautów działała podobna do ziemskiej siła wypadkowa jest możliwe. Ale z praktycznego punktu widzenia nie ma ono sensu. Nie da się przyspieszać stacji bez końca, ponieważ i tak nie może ona przekroczyć prędkości światła. Poza tym gdy skończyłoby się już paliwo, okazałoby się, że astronauci są bardzo daleko od domu. Wiesz już, że przyspieszenie liniowe nie rozwiązuje problemów stacji. Masz może jakiś inny pomysł?

Ruch po okręgu (część II) Kuba: Zastanawiam się, czy istnieją jeszcze jakieś inne zjawiska, poza liniowym przyspieszaniem i opóźnianiem ruchu, które mogłyby wywołać działanie siły kontaktowej. Krzysiek: A pamiętasz jazdę na karuzeli w wesołym miasteczku? Jeżeli karuzela kręci się naprawdę szybko, czujesz, jak krzesełko naciska na Twój bok z coraz większą siłą. Franek: To z pewnością oznacza działanie siły kontaktowej, ale skąd się ona bierze? Kuba: No właśnie. Przecież karuzela nie kręci się coraz szybciej. Osiąga pewną stałą szybkość wirowania i utrzymuje ją do końca przejażdżki. A mimo to czuje się działanie siły. Jak to możliwe, skoro karuzela porusza się ze stalą szybkością? To niezgodne z I zasadą dynamiki Newtona! Krzysiek: Pomyśl tylko, przez cały czas zmienia się kierunek ruchu. A to oznacza, że prędkość ruchu ulega zmianie, choć jej wartość, szybkość, pozostaje stała. Prędkość jest wektorem, a I zasada dynamiki Newtona mówi, że ciało porusza się ze stałą prędkością, jeżeli nie działa na nie żadna siła. Franek: W takim razie to siła kontaktowa musi zmieniać kierunek ruchu, a to oznacza również zmianę prędkości, czyli pojawienie się przyspieszenia. Kuba: Tylko skąd bierze się ta siła? Przecież nikt nie montuje pasażerom karuzeli silników na plecach.

Franek: Zastanówmy się — w czasie przejażdżki czujesz, że zsuwasz się w kierunku zewnętrznej strony siedzenia, prawda? To oznacza, że musi istnieć jakaś tajemnicza siła wypychająca Cię na zewnątrz, i to tylko wtedy, kiedy wirujesz.

To co nam pozostaje, skoro nie możemy przyspieszyć stacji po prostej?

Krzysiek : Chwileczkę! Przecież źródło siły kontaktowej określaliśmy do tej pory, zamykając oczy i zadając sobie pytanie „Co na mnie napiera?”. Na karuzeli wyraźnie czuję, że zewnętrzna boczna ścianka krzesełka pacha mnie do wewnątrz. Nie ma żadnej „widmowej siły” wypychającej mnie na zewnątrz. Kuba: No dobrze, ale przecież zanim poczujesz napór ścianki, zjeżdżasz po siedzeniu w jej stronę. Co jest przyczyną tego ruchu, skoro nie popycha Cię żadna siła? Krzysiek: Gdyby zabrakło tej ścianki, człowiek siedzący w krzesełku na karuzeli wypadłby z niego. A to oznacza, że porusza się po okręgu tylko dlatego, że działa na niego pchająca go do wewnątrz siła kontaktowa, wywierana przez boczną ściankę krzesełka. Franek: Aaa… czyli chodzi o to, że to uczucie zjeżdżania na zewnątrz wynika z chęci kontynuowania ruchu z posiadaną prędkością (zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona)? Dopiero gdy zetkniesz się ze ścianką, która zadziała na Ciebie siłą kontaktową, zmienisz kierunek ruchu, przez co w efekcie będziesz poruszać się po okręgu?

Gdy działa na Ciebie siła kontaktowa, czujesz kierunek, w którym Cię popycha.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Spróbuj wyobrazić sobie przejażdżkę na karuzeli w wesołym miasteczku i odczucie wywołane działaniem siły kontaktowej.

jesteś tutaj  717

Siła dośrodkowa

Jeżeli nie zadziała na Ciebie siła wypadkowa, będziesz poruszać się dalej z tą samą prędkością.

Ruch po okręgu nie byłby możliwy bez działania siły dośrodkowej

v

Ramię kręcącej się karuzeli.

I zasada dynamiki Newtona stwierdza, że dopóki na ciało nie zadziała siła wypadkowa, będzie ono poruszać się ze stałą prędkością. Mówiąc inaczej, bez działania takiej siły ciało będzie poruszać się ze stałą szybkością i w tym samym kierunku.

v

Pamiętaj, że nawet jeśli poruszasz się po okręgu ze stałą szybkością, kierunek wektora prędkości ulega ciągle zmianom.

Eee… potrafię chodzić po okręgu bez pomocy żadnej siły dośrodkowej!

v

Skoro ostatecznie docierasz do tego punktu, mając inny wektor prędkości, musi działać na Ciebie jakaś siła wypadkowa.

Nawet jeśli poruszając się po okręgu, zachowujesz stałą szybkość, nie wolno Ci zapominać, że wektor Twojej prędkości zmienia kierunek w każdej chwili ruchu! Oznacza to, ni mniej, ni więcej, że musi na Ciebie działać jakaś siła, która nie pozwala Ci poruszać się po prostej z prędkością chwilową, tylko zmusza Cię do wykonania skrętu. Siłę, dzięki której poruszasz się po okręgu, nazywamy siłą dośrodkową.

Gdy chodzisz po okręgu, rolę siły dośrodkowej spełnia tarcie. Siłą dośrodkową nazywa się każdą siłę wypadkową, która zmienia kierunek wektora prędkości w taki sposób, że możesz poruszać się po okręgu. Siła dośrodkowa jest wywoływana przez różne zjawiska, w zależności od okoliczności, w jakich ma miejsce ruch. Chodzisz dzięki tarciu, jakie pojawia się między stopami a powierzchnią podłoża, po którym stąpasz. Gdyby nie było siły tarcia, nie byłbyś w stanie zmieniać poziomej składowej swojej prędkości. Nie mógłbyś przyspieszać, nie mógłbyś zwalniać. Nie miałbyś też możliwości zmienienia kierunku ruchu tak, by chodzić po okręgu. Dlatego w tym przypadku grupa zjawisk odpowiedzialnych za powstawanie tarcia wywołuje siłę wypadkową pozwalającą Ci zakręcać. Siłę tę nazywamy siłą dośrodkową.

718

Rozdział 17.

Siłę wypadkową, która zmienia kierunek Twojej prędkości tak, że poruszasz się po okręgu, nazywamy siłą dośrodkową.

Ruch po okręgu (część II)

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy siła dośrodkowa jest nowym rodzajem oddziaływania, który należy zapamiętać, jak siły kontaktowe czy oddziaływanie grawitacyjne?

O: Nie, bynajmniej! Tak nazywa się

siłę wypadkową, która sprawia, że ciało zaczyna poruszać się po okręgu zamiast po linii prostej.

P

: Co jest źródłem istnienia siły dośrodkowej?

O

: Siłą dośrodkową nazywamy każdą siłę zdolną wprawić ciało w ruch okrężny, więc nie można mówić o jednym źródle tej siły. Siłą dośrodkową może być siła kontaktowa, siła tarcia, ale równie dobrze może nią być siła grawitacji.

P

: Czy to znaczy, że skoro jakaś siła jest w stanie zmienić kierunek ruchu ciała, jest też w stanie wywołać zjawisko działania siły dośrodkowej?

O

: Oczywiście, że nie. Jeżeli nie wiesz, skąd bierze się siła dośrodkowa, narysuj diagram rozkładu sił ciała poruszającego się po okręgu, wyznacz z niego siłę wypadkową i w ten sposób dowiesz się, która z sił wywołuje ruch po okręgu.

P: W którą stronę zwrócony jest wektor siły dośrodkowej?

O: Zaraz sam na to wpadniesz…

O: Tak należy o tym myśleć.

Zaostrz ołówek

P

: Czyli siła dośrodkowa to nie żadna pojawiająca się znikąd „siła widmo”?

Rada: Do każdego z zaznaczonych punktów poprowadź promień okręgu. Wektor prędkości będzie skierowany pod kątem 90° do promienia.

v

a. W każdym punkcie toru ruchu karuzeli oznaczonym symbolem „x” narysuj wektor prędkości ciała. Przyjmij, że prędkość kątowa ruchu po okręgu jest stała. b. Innym kolorem zaznacz pionowe i poziome składowe wektorów, które właśnie narysowałeś.

Wskazówka: Kierunek działania siły może zmieniać się wraz z obrotem karuzeli.

c. Opisz, w jaki sposób zmieniają się składowe wektorów podczas przechodzenia do kolejnych punktów oznaczonych symbolem „x”. W każdym punkcie oznaczonym symbolem „o” narysuj wektor siły, który może powodować takie zmiany.

d. Jak sądzisz, w którą stronę będzie zwrócony wektor siły w innych punktach?

e. Co jest źródłem siły dośrodkowej pozwalającej Ci poruszać się ruchem po okręgu?

jesteś tutaj  719

Jaka siła kontaktowa?

Żeby wywołać taką zmianę, siła musi być wypadkową dużej składowej działającej w dół i małej składowej działającej w lewo.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. W każdym punkcie toru ruchu karuzeli oznaczonym symbolem „x” narysuj wektor prędkości ciała. Przyjmij, że prędkość kątowa ruchu po okręgu jest stała.

v F

b. Innym kolorem zaznacz pionowe i poziome składowe wektorów, które właśnie narysowałeś. c. Opisz, w jaki sposób zmieniają się składowe wektorów podczas przechodzenia do kolejnych punktów oznaczonych symbolem „x”. W każdym punkcie oznaczonym symbolem „o” narysuj wektor siły, który może powodować takie zmiany.

v F

v

Składowe wektora prędkości zmieniły się między pierwszymi dwoma wskazanymi punktami następująco — składowa zwrócona w dół stała się znacząco większa, a składowa zwrócona w prawo stała się nieco mniejsza. Oznacza to, że działająca siła musi być skierowana w dół i w lewo (znacznie bardziej w dół). Po przejściu z punktu drugiego do punktu trzeciego składowa pozioma wektora prędkości (skierowana w prawo) zniknęła zupełnie, natomiast składowa działająca pionowo w dół zwiększyła się trochę. Na ciało musiała zadziałać siła skierowana w dół i w lewo (bardziej w lewo).

d. Jak sądzisz, w którą stronę będzie zwrócony wektor siły w innych punktach? Wydaje mi się, że wektor siły będzie zwrócony zawsze do środka okręgu.

e. Co jest źródłem siły dośrodkowej pozwalającej Ci poruszać się ruchem po okręgu? Siła kontaktowa, z jaką działa zewnętrzna ścianka krzesełka. Jeżeli odpowiedziałeś „ramię karuzeli łączące krzesełko z jej osią”, udzieliłeś poprawnej odpowiedzi. Działa ono na krzesełko siłą dośrodkową, uniemożliwiającą mu ucieczkę po linii prostej.

Siła dośrodkowa działa zawsze do środka okręgu.

Coś nie chce mi się w to wierzyć. Przecież na karuzeli wyraźnie czuć, że jakaś siła chce Cię z niej wyrzucić, a nie wciągnąć do środka!

Zawsze zastanów się, co czujesz. Która z sił kontaktowych popycha Cię? W czasie wykonywania ruchu po okręgu odsuwasz się od środka toru, ponieważ — zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona — starasz się poruszać w kierunku, w którym poruszałeś się dotychczas. Boczna ścianka krzesełka przeciwdziała temu ruchowi i spycha Cię w kierunku środka okręgu. Stąd właśnie bierze się siła dośrodkowa, która sprawia, że zataczasz koła. Uczucie wyrzucania poza krzesełko to złudzenie. W tym kierunku nie popycha Cię żadna siła, a jedynie Twój pęd.

720

Rozdział 17.

Ruch po okręgu (część II)

Siła dośrodkowa jest zwrócona do środka okręgu

Gdyby nie działała na Ciebie siła wypadkowa, poruszałbyś się po takim torze.

v

Na kręcącej się karuzeli działa na Ciebie siła dośrodkowa, Fd, zwrócona do środka okręgu będącego torem Twojego ruchu. To właśnie dzięki niej jesteś w stanie poruszać się po okręgu, zamiast kontynuować ruch w kierunku narzuconym Ci przez stałą prędkość (zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona).

Fd

W przypadku przejażdżki na karuzeli rolę siły dośrodkowej spełnia siła kontaktowa, z jaką działa na Ciebie boczna ścianka krzesełka.

Rolę siły dośrodkowej pełni zawsze siła wypadkowa działająca na ciało. Jej wektor można wyznaczyć, rysując diagram rozkładu sił. Bez jej wpływu ciało poruszałoby się po linii prostej.

Słyszałem kiedyś o sile odśrodkowej. Czy ma ona coś wspólnego z siłą dośrodkową?

v Będąc na karuzeli, poruszasz się po takim torze.

Działa na Ciebie siła wypadkowa skierowana do wnętrza okręgu, po którym się poruszasz. Siła ta powoduje zmianę kierunku wektora prędkości.

„Siła odśrodkowa” nie jest wcale siłą. Pojęcia „siła odśrodkowa” używa się do opisania wrażenia wypychania na zewnątrz w czasie wykonywania ruchu obrotowego (na przykład w wirówce).

Ale przecież najkrótszy choćby KONTAKT ze ścianką pracującej wirówki wywoła siłę dośrodkową, która wprawi Cię w ruch po okręgu.

Teraz jednak już wiesz, że to, co ludzie określają mianem „siły odśrodkowej”, nie jest wcale siłą! To efekt związany z dążeniem do poruszania się nadal z tą samą prędkością z powodu braku działania siły wypadkowej.

Nigdy, ALE TO NIGDY nie wspominaj o „sile odśrodkowej”.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak możesz wykorzystać swoją właśnie zdobytą wiedzę na temat siły dośrodkowej, by rozwiązać trudności astronautów?

jesteś tutaj  721

Obracaj stację

Gdyby nie było ściany, astronauta poruszałby się z prędkością v.

Jeżeli stacja zacznie się obracać, astronauta poczuje działanie siły kontaktowej Stacja kosmiczna może obracać się tak samo jak karuzela. Wtedy każdy astronauta na jej pokładzie odczuje działającą na niego siłę dośrodkową, zwróconą do wnętrza stacji. Siłą tą będzie siła kontaktowa, z jaką stacja zacznie naciskać na stopy astronautów. Wrażenie powinno być bardzo podobne do tego, co czujemy na Ziemi, gdy działa na nas tutejsza siła kontaktowa.

To ściana działa na astronautę siłą dośrodkową.

v

Fd

v Fd

ω

Fd Fd

v

Gdy siła kontaktowa zacznie wreszcie działać na pokładzie, astronauci będą mogli normalnie spacerować wewnątrz stacji i nie zaczną strajkować.

v

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy każde ciało poruszające się po okręgu doznaje działania siły dośrodkowej?

O: Właśnie tak. Ciało obraca się wyłącznie

wtedy, gdy zadziała na nie siła dośrodkowa. Bez niej nie bylibyśmy w stanie zmienić kierunku wektora prędkości, więc poruszalibyśmy się stale po linii prostej.

P

P

: Ale kółko się obracało, więc na jego brzeg musiała działać siła dośrodkowa, prawda? Ale dlaczego? Przecież zewnętrzna krawędź kółka nie ma z niczym kontaktu.

O

: Siła dośrodkowa nie zawsze ma związek z działaniem zewnętrznej siły kontaktowej. Wystarczy, że będzie siłą wypadkową skierowaną do środka okręgu.

: To dlaczego biegający w kółku chomik z rozdziału 16. nie czuł działania siły dośrodkowej? A może czuł?

: Czyli siłę dośrodkową muszą odczuwać szczeble kółka?

O: Czy chomik poruszał się po okręgu? P: Nie… chomik przez cały czas

odłamał się i poleciał, nie poruszałby się już wcale po okręgu, a wybrałby styczną do niego. Zachowałby za to swoją prędkość.

przebywał w jednej pozycji, a kółko obracało się pod pchnięciami jego łapek. Czyli na chomika raczej nie działała siła dośrodkowa.

O: Doskonale! Gdy „znika” siła dośrodkowa, ciało zaczyna poruszać się po stycznej do okręgu. 722

Rozdział 17.

P

O: Świetnie! Gdyby któryś ze szczebli P

: Czy to I zasada dynamiki Newtona?

O

: Tak. Zresztą dokładnie w ten sposób wygląda rzut młotem, który można oglądać czasami w relacjach olimpijskich. Atleta obraca się w koło, rozkręcając ciężką kulę zamocowaną na mocnym łańcuchu. W pewnym momencie puszcza młot przed siebie. Brak siły dośrodkowej zapewnianej przez sportowca trzymającego łańcuch sprawia, że młot leci przed siebie po prostej.

P: Tak, widziałem coś takiego.

I mówisz, że ze stacją kosmiczną będzie tak samo? To, że stacja zacznie się obracać, sprawi, że w razie nagłego otwarcia drzwi wszyscy astronauci zostaną wyrzuceni w przestrzeń?

O

: Owszem. W momencie, gdy astronauta przestanie odczuwać działanie siły kontaktowej od strony ścian stacji, zacznie poruszać się po prostej.

P

: Hmm, wydaje się, że skoro stacja okrąża Ziemię, to musi działać na nią jakaś siła dośrodkowa.

O

: Doskonałe spostrzeżenie! Ten temat poznasz w rozdziale 18.

P

: To pewnie teraz będę musiał obliczyć, jak szybko ma obracać się stacja, żeby na astronautę zadziałała siła dośrodkowa równa mg, jak na Ziemi.

O: Spójrzmy na to, co wiemy…

Ruch po okręgu (część II)

Co wpływa na wartość siły dośrodkowej? Z II zasady dynamiki Newtona wiesz, że siła dośrodkowa, jaką odczuje astronauta, będzie równa jego masie pomnożonej przez przyspieszenie: Fd = mad

Siła dośrodkowa zależy od przyspieszenia dośrodkowego.

Przyspieszenie wywołane działaniem siły dośrodkowej określa się również mianem dośrodkowego. Przyspieszenie jest tempem zmiany prędkości, a jego wektor jest skierowany w tę stronę, w którą zachodzi ta zmiana: ad =

v t

Przyspieszenie dośrodkowe zależy od tempa zmian prędkości.

Równanie to jest spełnione, ponieważ siła dośrodkowa to faktycznie siła wypadkowa będąca źródłem przyspieszenia dośrodkowego.

Chcesz, żeby astronauci poruszali się z przyspieszeniem równym 9,8 m/s2. Dzięki temu odczują na stacji taką samą siłę kontaktową, do jakiej przywykli na Ziemi. Pozostaje odpowiedzieć na pytanie, co wpływa na wartość przyspieszenia dośrodkowego. Jeżeli uda Ci się na nie odpowiedzieć, zdołasz wyznaczyć równanie tego przyspieszenia i w rezultacie zapobiec strajkowi astronautów.

Zaostrz ołówek Tu rozpoczyna się ruch kapsuł.

Promień r2 jest dwa razy większy od promienia r1.

Widoczny obok rysunek przedstawia rzut z góry na karuzelę lub stację kosmiczną o dość szczególnej konstrukcji — od Ciebie zależy, z którą myślą czujesz się wygodniej. Do ramienia urządzenia przyczepione są dwie kapsuły, jedna znajdująca się dwa razy dalej od drugiej.

Kapsuła 1

Kapsuła 2

a. Pamiętając o zależności v = rω, narysuj wektor prędkości każdej kapsuły w obydwu zaznaczonych na rysunku położeniach. b. Która z kapsuł doświadcza większej zmiany prędkości pomiędzy zaznaczonymi punktami?

Tu kończy się ruch kapsuł.

r1 r2

Równanie znane z rozdziału 16. informuje Cię, co stanie się z wartością v po zmianie ω i r.

c. Która z kapsuł porusza się pomiędzy dwoma punktami z większym przyspieszeniem dośrodkowym?

d. Czy wiesz, co jeszcze może zwiększyć wartość przyspieszenia? (Przy założeniu, że promień mocowania kapsuły jest stały).

jesteś tutaj  723

Większy promień = większe przyspieszenie dośrodkowe

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Dwa razy dłuższy promień oznacza dwa razy większą prędkość (v = rω)

v2

Widoczny obok rysunek przedstawia rzut z góry na karuzelę lub stację kosmiczną o dość szczególnej konstrukcji — od Ciebie zależy, z którą myślą czujesz się wygodniej. Do ramienia urządzenia przyczepione są dwie kapsuły, jedna znajdująca się dwa razy dalej od drugiej.

Kapsuła 1 v1 Kapsuła 2

a. Pamiętając o zależności v = rω, narysuj wektor prędkości każdej kapsuły w obydwu zaznaczonych na rysunku położeniach. b. Która z kapsuł doświadcza większej zmiany prędkości pomiędzy zaznaczonymi punktami?

r1 r2

v1

v2

Prędkość drugiej (zewnętrznej) kapsuły zmienia bardziej swoją wartość, ponieważ wektory prędkości tej kapsuły są dłuższe, ale zmiana kierunku wektorów jest taka sama.

c. Która z kapsuł porusza się pomiędzy dwoma punktami z większym przyspieszeniem dośrodkowym? Przyspieszenie określa tempo zmiany prędkości. Z tego wynika, że przyspieszenie kapsuły 2 jest większe, ponieważ wartość jej prędkości zmienia się bardziej.

d. Czy wiesz, co jeszcze może zwiększyć wartość przyspieszenia? (Przy założeniu, że promień mocowania kapsuły jest stały). Można sprawić, by stacja wirowała z większa prędkością kątową ω, dzięki czemu wzrosną wartości prędkości linowych v obydwu kapsuł (bo v = rω).

Na razie nie szukamy jeszcze równania opisującego przyspieszenie dośrodkowe. W tej chwili staramy się określić, jakie zmienne wpływają na jego wartość.

Wielkość  mierzy tempo obrotów w radianach na sekundę. Nazywa się ją szybkością kątową lub częstością kołową. Czasami też spotkasz się z określeniem prędkość kątowa, pamiętaj więc, że jeśli pojawi się ona w tej książce w zapisie skalarnym, czyli , będzie określać jedynie wartość prędkości kątowej, a nie jej kierunek. Jest to szczególnie ważne, gdyż od tej pory będziemy często przeliczali wielkość v, czyli wartość prędkości liniowej, na wielkość  (i odwrotnie), więc żeby podkreślić związek między nimi, o wielkości  będziemy mówić przeważnie „prędkość kątowa”.

Ciało poruszające się z określoną prędkością kątową po większym PROMIENIU odczuwa skutki większego przyspieszenia dośrodkowego. 724

Rozdział 17.

Przyspieszenie dośrodkowe zależy od promienia położenia ciała względem osi obrotu i od jego prędkości kątowej, ponieważ obydwie te wielkości wpływają na tempo zmian prędkości liniowej.

Ciało poruszające się z większą PRĘDKOŚCIĄ KĄTOWĄ po okręgu o zadanym promieniu odczuwa skutki większego przyspieszenia dośrodkowego.

Ruch po okręgu (część II)

Znajdź równanie przyspieszenia dośrodkowego Jeżeli ciało ma poruszać się po okręgu o większym promieniu lub też ma wirować z większą prędkością kątową, musi znajdować się pod wpływem większego przyspieszenia dośrodkowego, ponieważ zwiększenie którejkolwiek ze wspomnianych wcześniej wielkości zwiększa tempo zmian prędkości liniowej. Wyprowadzenie równania przyspieszenia dośrodkowego od zera jest zadaniem trudnym, a przy tym wcale nie ułatwia zrozumienia fizyki kryjącej się za zjawiskiem ruchu po okręgu, dlatego też, zamiast zajmować się matematyką, spróbuj wskazać odpowiednie równanie, podstawiając do podanych wzorów wartości skrajne i wykonując rachunek jednostek.

Sprawdź równania za pomocą WARTOŚCI SKRAJNYCH i RACHUNKU JEDNOSTEK.

Robiłeś to już nieraz, więc niczym się nie martw!

Parada równań Poniżej znajdziesz sześć równań, które utrzymują, że określają wartość przyspieszenia dośrodkowego ciała poruszającego się z prędkością kątową ω po promieniu r. Przeanalizuj równania i wyjaśnij, co się stanie po zwiększeniu wartości r i wartości ω, a następnie odrzuć te równania, które dają wyniki niepokrywające się z Twoimi oczekiwaniami. Dla pozostałych równań wykonaj rachunek jednostek. Sprawdź, czy jednostki po lewej stronie równania zgadzają się z jednostkami po jego prawej stronie. W ten sposób powinieneś otrzymać tylko jedno równanie. (Pamiętaj, że radiany nie mają jednostki).

  ω



 ω

Wszystkie te równania są skalarne, ponieważ opisują tylko WARTOŚĆ przyspieszenia dośrodkowego.

 ω 

 ω

 ω  

   ω

jesteś tutaj  725

Parada równań

Parada równań. Rozwiązanie Poniżej znajdziesz sześć równań, które utrzymują, że określają wartość przyspieszenia dośrodkowego ciała poruszającego się z prędkością kątową ω po promieniu r. Przeanalizuj równania i wyjaśnij, co się stanie po zwiększeniu wartości r i wartości ω, a następnie odrzuć te równania, które dają wyniki niepokrywające się z Twoimi oczekiwaniami. Dla pozostałych równań wykonaj rachunek jednostek. Sprawdź, czy jednostki po lewej stronie równania zgadzają się z jednostkami po jego prawej stronie. W ten sposób powinieneś otrzymać tylko jedno równanie. (Pamiętaj, że radiany nie mają jednostki). Gdy zwiększają się wartości Gdy zwiększa się wartość ω, wartość przyspieszenia ad maleje, więc równanie jest niepoprawne.

  ω

Gdy zwiększają się wartości ω i r, wartość przyspieszenia ad wzrasta, więc należy sprawdzić jednostki.

Gdy zwiększa się wartość r, wartość przyspieszenia ad maleje, więc to równanie jest niepoprawne.

 ω 

Zwiększenie wartości r skutkuje zmniejszeniem wartości ad, więc równanie jest niepoprawne.

ω i r, wartość przyspieszenia ad wzrasta, więc należy sprawdzić jednostki.

 ω

Jednostki: P = m2 × 1/s = m2/s To nie jest jednostka przyspieszenia.

   ω

 ω  



 ω

Jednostki: P = m × 1/s2 = m/s2 To jest jednostka przyspieszenia!

Radiany nie mają jednostek, więc jednostką ω jest 1/s.

Zwiększenie wartości ω sprawia, że wartość przyspieszenia ad maleje, więc równanie jest niepoprawne. Nie istnieją

głupie pytania

P

: Parada równań wyłoniła wzór przyspieszenia dośrodkowego postaci ad = rω2. Dlaczego we wzorze na przyspieszenie nie pojawia się zmienna v, skoro przyspieszenie określa tempo zmian prędkości?

O: Pamiętaj, że v = rω, możesz więc

dokonać podstawienia za zmienną ω w równaniu ad = rω2, tak by wyrazić przyspieszenie w zależności od wartości v.

Prędkość kątowa ω określa tempo zmian kąta θ. 726

Rozdział 17.

P

: No dobrze… Po wykonaniu podstawienia dostaję równanie

  , ale to przecież bez sensu! Przyspieszenie ad powinno rosnąć wraz ze zwiększaniem się wartości r, a skoro r znajduje się w mianowniku ułamka, po zwiększeniu r ad będzie maleć.

O: Nie zapominaj, że gdy wzrasta r,

wzrasta też v, bo v = rω. Zwiększenie wartości r sprawi, że czynnik v 2 znajdujący się w liczniku ułamka wzrośnie. Ponieważ v w liczniku jest podniesione do kwadratu, wzrost tej zmiennej będzie miał większe znaczenie dla ostatecznego wyniku, niż zwiększanie się mianownika. To dlatego, gdy rośnie wartość r, ad ostatecznie zwiększa swoją wartość.

P

: A co się stanie, gdy r = 0, skoro równanie ma postać   ? Przecież nie wolno dzielić przez 0!

O

: Przyjrzyj się innej postaci tego równania: ad = rω2. Z niej wyraźnie wynika, że gdy r = 0, ad = 0.

P

: Czy przyspieszenie nie powinno

być wektorem? Dlaczego   jest równaniem skalarnym dającym informację tylko o wartości przyspieszenia, a nie o jego kierunku?

O

: Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest zwrócony zawsze do środka okręgu, po którym odbywa się ruch, a to oznacza, że jego kierunek ulega ciągłym zmianom. Ograniczamy się do opisu wartości przyspieszenia, żeby nie grzęznąć w zawiłościach opisu zmian kierunku jego wektora.

Ruch po okręgu (część II)

Spraw, by na astronautów zadziałała siła dośrodkowa Przyspieszenie w ruchu po okręgu jest opisane wzorem ad = r2. Wektory r i ad mają zawsze przeciwne zwroty, ale ponieważ stacja kosmiczna ma wirować wokół własnej osi, będziemy używać wyłącznie równań skalarnych. Wartość przyspieszenia dośrodkowego.

Promień.

 ω

ω

Prędkość kątowa.

Choć wektory r i F d mają przeciwne zwro ty, ich kierunki zmieniają się w ten sam sposób ze względu na ciągłe wirowanie stacji.

r

Druga zasada dynamiki Newtona głosi, że Fwyp = ma. Siła dośrodkowa jest zawsze siłą wypadkową wprawiającą ciało w ruch po okręgu. Po podstawieniu wartości przyspieszenia do II zasady dynamiki Newtona otrzymasz następujące równanie opisujące wartość siły dośrodkowej: Masa.

Wartość siły dośrodkowej.

 ω

Mimo że operujemy równaniami skalarnymi, ω warto zdawać sobie sprawę z tego, jak skierowane są poszczególne wektory.

Wektor r określa położenie ciała względem osi obrotu stacji.

Wektor Fd jest skierowany do środka okręgu.

Fd

Fd = mad.

Zaostrz ołówek Projektujemy specjalny, obracający się moduł stacji, w którym astronauci będą mogli normalnie chodzić. Musimy zdecydować się na wybór jednego z dwóch walców o identycznej objętości, ale o różnych promieniach. Pierwszy z nich ma promień 10,0 m, a drugi 100 m. a. Oblicz wartości siły dośrodkowej potrzebnej do wywołania przyspieszenia dośrodkowego o wartości 9,8 m/s2 (i) w walcu o promieniu 10,0 m oraz (ii) w walcu o promieniu 100 m. Zmienną ω nazywa się częstością kołową, szybkością kątową i prędkością kątową! Jednak niezależnie od nazwy jej jednostką są zawsze radiany na sekundę.

b. Z jaką prędkością (podaj wartość i kierunek wektora) poruszałby się astronauta, który wypadłby przez drzwi otwarte w ścianie stacji (i) o promieniu 10,0 m oraz (ii) o promieniu 100 m?

jesteś tutaj  727

W poszukiwaniu powierzchni podłoża

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Projektujemy specjalny, obracający się moduł stacji, w którym astronauci będą mogli normalnie chodzić. Musimy zdecydować się na wybór jednego z dwóch walców o identycznej objętości, ale o różnych promieniach. Pierwszy z nich ma promień 10,0 m, a drugi 100 m. a. Oblicz wartości siły dośrodkowej potrzebnej do wywołania przyspieszenia dośrodkowego o wartości 9,8 m/s2 (i) w walcu o promieniu 10,0 m oraz (ii) w walcu o promieniu 100 m. Siła dośrodkowa: Przyspieszenie dośrodkowe:

Fd = mrω2

(i) Dla promienia r = 10,0 m

Fd = mad ad = rω2

ω r

ω =

ad r

ω =

9,8 m/s2

(ii)

Dla promienia r = 100 m ω =

9,8 m/s2 100 m

10,0 m ω ≈ 0,990 rad/s

ω ≈ 0,313 rad/s

b. Z jaką prędkością (podaj wartość i kierunek wektora) poruszałby się astronauta, który wypadłby przez drzwi otwarte w ścianie stacji (i) o promieniu 10,0 m oraz (ii) o promieniu 100 m? (i) Dla promienia r = 10,0 m

(ii)

v = rω = 10,0 m × 0,990 rad/s v = 9,90 m/s

Astronauta będzie poruszał się z tą samą prędkością, którą już ma. v = rω = 100 m × 0,313 rad/s Torem jego ruchu będzie styczna do przekroju v = 31,3 m/s ω stacji w punkcie, w którym otworzyły się drzwi. Dla promienia r = 100 m

Astronauci chcą mieć możliwie dużą powierzchnię spacerową Obydwa projekty modułu obrotowego przewidują taką samą objętość pomieszczenia (90000 m3). Okazuje się, że aby wywołać w nich przyspieszanie ciała z takim samym przyspieszeniem, trzeba wprawić je w wirowanie z podobnymi prędkościami kątowymi. W przypadku stacji o promieniu r = 10,0 m będzie to prędkość kątowa równa 0,990 rad/s, a w przypadku stacji o promieniu r = 100 m prędkość ta będzie wynosić 0,313 rad/s. Jak wybrać najlepszy projekt? Z pomocą przyszli Ci astronauci. Zażądali możliwie dużej powierzchni spacerowej. Można powiedzieć, że poczuli głęboką potrzebę rozprostowania nóg i zażycia nieco ruchu w przestrzeni!

728

Rozdział 17.

Wektor prędkości jest zawsze styczny do okręgu będącego torem ruchu ciała.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak sądzisz, w którym z projektów powierzchnia podłogi będzie większa?

v

Ruch po okręgu (część II) To jak obliczymy powierzchnię podłogi w obydwu projektach? Franek: To chyba oczywiste, że moduł o średnicy 100 m będzie miał większą powierzchnię podłogi, skoro koło, na którym go zbudowano, jest większe! Kuba: Nie byłbym taki pewien… Przecież podłogą stacji jest powierzchnia boczna walca, a nie jego podstawa. Powierzchnią podłogi modułu jest zakrzywiona ściana stacji.

Franek: Aaa, racja. To jak obliczymy powierzchnię podłogi? Nie mam pojęcia, jak oblicza się powierzchnię krzywizny. Krzysiek: Zastanówmy się… Z jakich prostszych kształtów zbudowany jest walec? Kuba: Dobrze. Walec składa się z dwóch kół znajdujących się na jego końcach i zawiniętego na nich prostokąta. Obliczenie pola powierzchni to betka, czyli już po zadaniu! Franek: Spokojnie! Skąd weźmiemy długości boków prostokąta? Bez nich nie obliczymy jego powierzchni. Kuba: Jeden bok nie sprawi problemów, bo musi być równy obwodowi podstawy walca, ale w projektach nie podano informacji o długości żadnego z modułów. Huston, mamy problem!

Podłoga ma kształt prostokąta.

Te boki mają długość obwodu okręgu.

Krzysiek: Ale ZNAMY objętość obydwu modułów — 90000 m3. Gdy bryła ma takie same podstawy i prostopadłe do nich ściany boczne (jak walec), jej objętość oblicza się jako pole podstawy × wysokość. Chyba damy radę wyznaczyć dzięki temu wysokość?

Gdy musisz obliczyć powierzchnię bryły, postaraj się „rozwinąć” ją na kształty, z których jest zbudowana, i obliczyć powierzchnie figur płaskich.

Kuba: Wydaje się rozsądne, ale podstawą jest koło, a to znaczy, że musimy jakoś obliczyć pole powierzchni koła. To na pewno nie jest takie proste, na jakie wygląda…

jesteś tutaj  729

Oblicz objętość

Astronauci zażyczyli sobie modułu o największej możliwej powierzchni podłoża, a to oznacza, że będziesz musiał obliczyć powierzchnię boczną walców z obydwu konkurencyjnych projektów. Zawsze gdy masz za zadanie obliczyć powierzchnię bryły, postaraj się rozłożyć bryłę na składające się na nią figury płaskie. Zrób to, a przekonasz się, że zakrzywiona powierzchnia walca to w rzeczywistości prostokąt. Świetnie się składa, bo przecież wiesz już, że powierzchnia prostokąta to wysokość × szerokość. Jeden z boków prostokąta ma długość równą obwodowi podstawy walca, a drugi bok jest jego wysokością. To była łatwiejsza część zadania. Okazuje się jednak, że nie znasz wysokości walca, a jedynie jego objętość.

Wysokość prostokąta zależy od objętości walca.

Szerokość prostokąta jest równa obwodowi koła w podstawie.

Szerokość

Powierzchnia prostokąta to jego wysokość × szerokość.

Gdy wyznaczysz pole podstawy, zdołasz obliczyć pole podłogi

Zwróć uwagę na podobieństwo tych dwóch wzorów.

Objętość bryły — na przykład sześcianu czy walca — w której podstawa górna ma taką samą powierzchnię jak podstawa dolna, a ściany boczne są do nich prostopadłe, oblicza się ze wzoru(powierzchnia podstawy) × wysokość. Wiesz, że oba projekty przewidują wykonanie modułu o objętości 90000 m3, a to oznacza, że gdy zdołasz wyznaczyć pole podstawy walca (tj. pole powierzchni koła), będziesz mógł obliczyć wysokość walca z równania na jego objętość. Wysokość walca jest ostatnim elementem potrzebnym Ci do wyznaczenia powierzchni podłogi stacji. Podstawą górną i dolną walca jest koło.

Wysokość

Podłoga stacji ma kształt prostokąta.

Podłoga to powierzchnia boczna cylindra

Gdy bryła ma identyczne figury w podstawach, a jej ściany są do nich prostopadłe, objętość bryły wyznacza się ze wzoru (pole podstawy) × wysokość.

Wysokość

Szerokość prostokąta jest równa obwodowi koła w podstawie.

Wysokość walca wyznaczysz z jego objętości. Objętość = pole podstawy × wysokość.

730

Rozdział 17.

Szerokość

Ruch po okręgu (część II)

Zaostrz ołówek

1. Aby określić wzór opisujący pole koła, musisz podzielić je na małe wycinki i ułożyć je tak, by uformowały prostokąt. Jak wyraża się:

Przemieść wycinki koła tak, by utworzyły prostokąt.

a. wysokość tego prostokąta, b. jego szerokość, c. jego powierzchnia (a zatem również powierzchnia koła) w zależności od wartości r?

2. Dwa walce mają identyczną objętość, 90000 m3.

Pamiętaj, żeby zacząć od wykonania szkicu!

a. Promień pierwszego walca to r = 10,0 m. Jaka jest powierzchnia podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość? b. Promień drugiego walca to r = 100 m. Jaka jest powierzchnia podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość? c. Jaka jest powierzchnia boczna każdego z cylindrów… i który projekt modułu stacji będzie miał większą podłogę?

jesteś tutaj  731

Pole koła

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Przemieść wycinki koła tak, by utworzyły prostokąt.

1. Aby określić wzór opisujący pole koła, musisz podzielić je na małe wycinki i ułożyć je tak, by uformowały prostokąt. Jak wyraża się: a. wysokość tego prostokąta, b. jego szerokość, r

c. jego powierzchnia (a zatem również powierzchnia koła) w zależności od wartości r?

Połowa obwodu koła = πr

a. Wysokość prostokąta to promień koła, r. b. Szerokość prostokąta to połowa obwodu, ½ × 2πr = πr.

c. Powierzchnia prostokąta to jego wysokość × szerokość, czyli r × πr = πr2.

2. Dwa walce mają identyczną objętość, 90000 m3.

Pamiętaj, żeby zacząć od wykonania szkicu!

a. Promień pierwszego walca to r = 10,0 m. Jaka jest powierzchnia podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość? b. Promień drugiego walca to r = 100 m. Jaka jest powierzchnia podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość? c. Jaka jest powierzchnia boczna każdego z cylindrów… i który projekt modułu stacji będzie miał większą podłogę? a. Pole podstawy = πr2 = 3,14 × (10,0 m)2 = 314 m2 Wyznaczam wysokość cylindra z jego objętości: objętość = pole podstawy × wysokość pole podstawy 90000 m3 objętość ≈ 287 m wysokość = = 314 m2 pole podstawy b. Pole podstawy = πr2 = 3,14 × (100 m)2 = 31400 m2 wysokość =

objętość pole podstawy

=

90000 m3 31400 m2

wysokość

≈ 2,87 m

c. Powierzchnia boczna walca to prostokąt: szerokość = obwód koła = 2πr, wysokość = wysokość walca Dla projektu walca o promieniu r = 10,0 m: Powierzchnia podłoża = 2 × 3,14 × 10,0 m × 287 m ≈ 18000 m3 Dla projektu walca o promieniu r = 100 m: Powierzchnia podłoża = 2 × 3,14 × 100 m × 2,87 m ≈ 1800 m3 Powierzchnia podłogi w walcu o promieniu 10 m jest dziesięciokrotnie większa od powierzchni podłogi w walcu o promieniu 100 m. 2

Pole koła = πr .

732

Rozdział 17.

Ruch po okręgu (część II)

Przeprowadźmy test stacji… Obliczenia wykazały, że wąski moduł stacji (ten o promieniu 10,0 m, wirujący z prędkością około 1 rad/s) ma większe pole powierzchni bocznej. Ustaliwszy, który projekt lepiej spełnia wymagania astronautów, przystępujesz do budowy urządzenia testowego.

Spadające ciała zachowują się dziwnie. Poza tym mam zawroty głowy i nudności. Prawdę mówiąc, wcale nie jest przyjemnie.

W czasie testów zaczęły dziać się dziwne rzeczy! Jabłko upuszczone przez astronautę nie spadało tak, jak by się tego spodziewał, zaś sam astronauta nie czuł się wcale dobrze.

Na Ziemi jabłka spadają zupełnie inaczej!

Zaostrz Zaostrz ołówek ołówek Wypisz swoje propozycje wyjaśnienia tego, co się dzieje. Czy skonstruowanie stacji o promieniu 100 m zmniejszyłoby dziwne efekty pojawiające się w tym rozwiązaniu?

Nie przejmuj się, jeśli nie wiesz, dlaczego tak się dzieje. Po prosu wypisz pomysły, które przychodzą Ci do głowy.

jesteś tutaj  733

Dobre i złe pomysły

Nie martw się, jeśli nie wszystkie z tych pomysłów przyszły Ci do głowy!

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Problemy z obrotami

Wypisz swoje propozycje wyjaśnienia tego, co się dzieje. – Może błędnik astronauty i jego żołądek nie radzą sobie z dużą prędkością kątową. – Głowa i stopy astronauty znajdują się

Nasze błędniki nie są przystosowane do pracy w obracającym się środowisku. Ludzie radzą sobie wprawdzie z niewielkimi prędkościami kątowymi — przyzwyczajają się do panujących warunków — ale 1 rad/s to stanowczo zbyt wiele, więc nie należy się dziwić, że astronauta odczuwa pewien dyskomfort.

w różnych odległościach od środka modułu stacji, więc każda z części jego ciała

Jabłko spada po prostej, ale stacja się obraca

porusza się z innym przyspieszeniem dośrodkowym. – W czasie spadania jabłka puszczonego przez astronautę stacja (z astronautą), wykonuje obrót. Jabłko nie obraca się, więc dla astronauty wygląda to tak, jakby jabłko

Osoba patrząca z zewnątrz na stację kosmiczną zobaczy jabłko spadające po prostej, ale astronauta, który znajduje się w obracającym się układzie współrzędnych, widzi, że owoc spada po krzywej. To bardzo dziwny widok!

spadało po krzywej.

Głowa i stopy na różnych poziomach Wartość siły dośrodkowej zależy do promienia, w jakim znajduje się ciało względem środka obrotu. Im dalej znajduje się to ciało, tym silniejsza siła działa na nie. Z tego powodu na głowę astronauty działa mniejsza siła, niż na jego stopy, a to z pewnością wywołuje dziwne uczucie!

Z zewnątrz widać normalnie spadające jabłko i obracającego się astronautę.

Gdy astronauta upuszcza jabłko, owoc zaczyna spadać ze stałą prędkością wzdłuż linii prostej.

rgłowy rstóp

Siła dośrodkowa, Fd = mrω2.

734

Rozdział 17.

Stojący wewnątrz stacji astronauta jest przekonany, że stoi nieruchomo, a jabłko spada po dziwnym torze.

Tak naprawdę jabłko spada wzdłuż linii prostej!

niższy, ale celowo W rzeczywistości astronauta jest móc wyraźniej zaznaczyć żeby st, wzro jego y liśm kszy zwię obserwowany efekt.

Ruch po okręgu (część II)

Na stacji o promieniu 100 metrów nie odczuwa się tylu nieprzyjemnych skutków ubocznych

Stacja o promieniu 10,0 m.

Moduł o średnicy 100 m musi wirować z prędkością 0,313 rad/s, co jest niewielką wartością w porównaniu do 0,990 rad/s potrzebnych do wywołania odpowiedniego przyspieszenia na stacji o promieniu 10,0 m. Mniejsza prędkość kątowa sprawi, że astronauta będzie miał szansę przyzwyczaić się do nowych warunków i nie będzie odczuwać tylu nieprzyjemnych skutków wirowania. Oczywiście jego stopy i głowa nadal znajdują się w różnych odległościach od środka stacji, ale różnica ta jest niewielka w porównaniu z wymiarami stacji. I ostateczny test — stacja o promieniu 100 m nie obraca się o tak duże kąty, jak stacja o promieniu 10,0 m, ponieważ jej prędkość kątowa jest mniejsza. Jabłko rzucone na stacji o większym promieniu nie spadnie wprawdzie po torze będącym idealną prostą, ale jego krzywizna będzie znacznie mniejsza niż poprzednio.

Rysunki zostały wykonane w skali. Stacja o promieniu 100 m.

Udało Ci się opracować projekt modułu stacji kosmicznej! Do wywołania takiego Hura! Gdy uruchomiłeś urządzenie testowe o promieniu 100 m, okazało się, że astronauci są w stanie chodzić w nim z łatwością i nie odczuwają silnych efektów ubocznych!

samego przyspieszenia dośrodkowego potrzeba mniejszej prędkości kątowej.

Udało Ci się zatem zapewnić źródło „sztucznej grawitacji” w przestrzeni kosmicznej, a przy okazji poznałeś na tyle fizykę problemu ruchu po okręgu, że mogłeś wskazać lepszy z dwóch konkurujących ze sobą projektów modułu stacji. Zrobione!

jesteś tutaj  735

Poradnia pytań — siła dośrodkowa Zawsze gdy napotkasz w zadaniu informację o ciele poruszającym się po zakrzywionym torze, zastanów się, czy powinieneś rozważyć działanie siły dośrodkowej. Dzięki niej ciała poruszają się po okręgu. Opisuje ją wzór: Fd = mrω2. Równanie v = rω pozwoli Ci przeliczać prędkość liniową (v) na prędkość kątową (ω) i odwrotnie. Im większy jest promień toru ruchu i im większa prędkość kątowa, tym większej siły wymaga utrzymanie ciała na wybranym torze.

Takie sformułowanie powinno natychmiast przywieść Ci na myśl siłę dośrodkową.

Zawsze dokładnie czytaj treść zadania i upewnij się, czy podaje ona PROMIEŃ, czy ŚREDNICĘ okręgu. Pamiętaj, aby podstawić do wzorów odpowiednią wartość promienia!

i taczają poziome kręg za li ze ru ka na io m Ra ramion umocowane są o średnicy 20,0 m. Do siadają pasażerowie. h yc ór kt w i, ik on ag w

Upewnij się, że odpowiesz dokładnie na to pytanie, które Ci zadano!

Narysuj wszystkie siły działające NA osobę. Wiesz już, że siła wypadkowa będzie pełnić rolę siły dośrodkowej, ale nie opisuj jej w ten sposób. Napisz raczej, że jest to „siła reakcji działająca ze strony wagonika”.

siedzącą w wagoniku du sił działających na osobę a. Narysuj diagram rozkła nieruchomej karuzeli. siedzącą w wagoniku du sił działających na osobę b. Narysuj diagram rozkła jej środek. nacz wyraźnie na rysunku poruszającej się karuzeli. Zaz y kręcący się musi wykonać karuzela, żeb taktowej równej c. Ile obrotów na minutę ył działania poziomej siły kon na niej człowiek doświadcz arowi? co do wartości swojemu cięż

Uwaga na jednostki! Prędkość kątową ω podajemy w radianach na sekundę.

Siła wypadkowa jest skierowana w stronę środka okręgu.

Nie przejmuj się tym, że nie znasz masy 2 = mg, człowieka. Gdy otrzymasz równość mrω eniu. dziel i dzięk się ści upro masy czynnik

Gdy przyjdzie Ci rysować diagram rozkładu sił, nigdy nie podpisuj żadnej z nich „siła dośrodkowa”. Pod tą nazwą kryje się siła wypadkowa działająca w kierunku środka okręgu będącego torem ruchu. Siła ta jest sumą wszystkich sił działających na ciało. Pamiętaj też, że w niektórych zadaniach mogą poprosić Cię o podanie wartości przyspieszenia dośrodkowego. Wtedy skorzystaj z II zasady dynamiki Newtona, Fd = mad. Dzięki temu równaniu bez trudu przeliczysz wartość Fd na ad.

736

Narysuj wszystkie siły działające NA osobę.

Ruch po okręgu (część II) Nie istnieją

głupie pytania

P: Jak uwzględniać siłę dośrodkową na diagramie rozkładu sił?

O

: Diagram rozkładu sił przedstawia wszystkie siły działające na dane ciało. W tej chwili znasz już jedną siłę bezkontaktową — siłę grawitacji — i kilka sił kontaktowych — siłę normalną, siłę tarcia i naprężenie (będące wynikiem napięcia liny).

P: Ale żadna z tych sił nie jest siłą

dośrodkową. Jak umieścić ją na diagramie rozkładu sił?

O

: Rozważając przypadek ciała poruszającego się po okręgu, powinieneś zawsze zaznaczyć na diagramie wszystkie siły działające na to ciało. Gdy dodasz do siebie wszystkie siły, układając je nosami do ogonów, otrzymasz wektor siły wypadkowej, która sprawia, że ciało porusza się po okręgu. Siła dośrodkowa (niezbędna do wprawienia ciała w ruch po okręgu) może pojawiać się w wyniku działania siły grawitacji, siły normalnej, siły oparcia czy naprężenia.

P: Sugerujesz, że nie należy rysować na diagramie rozkładu sił strzałki skierowanej do środka okręgu, którą podpisałbym „siła dośrodkowa”?

O

: Właśnie o to mi chodzi! Diagram rozkładu sił powinien ukazywać pochodzenie każdego z wektorów sił — jak ma to miejsce dla siły ciężkości, siły normalnej, siły tarcia, naprężenia itd.

Siła dośrodkowa to tylko nazwa, jaką określa się siłę wypadkową wprawiającą ciało w ruch po okręgu. Siła ta nie jest żadną „siłą widmo”, pojawiającą się znikąd na diagramie rozkładu sił. Masz zatem rację — nie należy rysować na diagramie strzałki, którą potem opiszesz jako siłę dośrodkową, ponieważ wtedy rysunek nie określa źródła tej siły.

P: A co zrobić w sytuacji, gdy siła

wypadkowa wcale nie wprawia ciała w ruch po okręgu?

O

: Wtedy na pewno nie wolno Ci nazwać jej siłą dośrodkową, bo tak określamy tylko te siły, które wywołują ruch po okręgu.

Cześć! Zastanawiałam się, czy nie pomógłbyś nam znów przy projekcie toru saneczkowego?

Siła dośrodkowa to w rzeczywistości nic innego, jak siła wypadkowa. Żadna ze strzałek wektorów diagramu rozkładu sił nie powinna być podpisana „siła dośrodkowa”.

Diagram rozkładu sił powinien podkreślać POCHODZENIE każdego z wektorów — wektora siły grawitacji, siły normalnej, siły tarcia, naprężenia itd.

jesteś tutaj  737

Wejdź w zakręt

Znów na torze! Słuchaj, chcemy wydłużyć tor i zastanawialiśmy się, jak zmusić sanki do pokonania zakrętu. Czy dasz radę nam pomóc?

Twoje ostatnie zlecenie w charakterze konsultanta wymagało określenia prędkości sanek podczas mijania kolejnych punktów kontrolnych. Ale to nie zaspokoiło ambicji projektantów toru…

Rzut z góry na tor i poruszające się po nim sanki.

Ta część toru jest płaska (wzdłuż trasy nie pojawiają się żadne różnice wysokości).

v

r = 80,0 m Zakręt jest wycinkiem koła o promieniu 80,0 m.

Chcesz, by sanki minęły zakręt i poruszały się dalej wzdłuż toru.

v v

Sanki muszą wejść w zakręt Jeżeli sanki będą poruszać się z niezmienioną prędkością, wjadą w wózek z hot dogami.

Sanki to nie pociąg — nie wystarczy wytyczyć im toru, by po nim pojechały! Ponieważ między powierzchnią toru a płozami sanek nie występuje prawie żadne tarcie, bez ingerencji z zewnątrz sanki pojadą prosto w wózek z hot dogami.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak skłonić sanki do wejścia w zakręt?

738

Rozdział 17.

Ruch po okręgu (część II)

Zaostrz ołówek

a. Sanki o masie 630 kg pokonały różnicę poziomów 50,0 m, dzielącą początek trasy od zakrętu. Oblicz prędkość sanek w chwili wchodzenia w zakręt.

b. Promień zakrętu wynosi 80,0 m. Jaka siła dośrodkowa powinna zadziałać na sanki, żeby zdołały one wejść w zakręt?

Wskazówka: Zastanów się, jak zbudowany jest welodrom rowerowy lub tor wyścigów samochodowych.

c. W jakim kierunku musi być zwrócony wektor siły, żeby sanki weszły w zakręt?

d. Jak zmodyfikować tor, żeby na sanki zadziałała odpowiednia siła dośrodkowa umożliwiająca im skręt? Narysuj wektory składowe siły, pokazując, jak zmodyfikowany tor może wywołać odpowiedni efekt.

jesteś tutaj  739

Więcej siły wypadkowej

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie W tej części toru na sanki nie działa siła dośrodkowa, więc poruszają się one ze stałą prędkością.

a. Sanki o masie 630 kg pokonały różnicę poziomów 50,0 m, dzielącą początek trasy od zakrętu. Oblicz prędkość sanek w chwili wchodzenia w zakręt. Z zasady zachowania energii: Ep góra = Ek dół

Góra 50,0 m Dół

mgh = ½mv2 v =

2gh = 2 × 9,8 m/s2 × 50,0 m

v ≈ 31,3 m/s

b. Promień zakrętu wynosi 80,0 m. Jaka siła dośrodkowa powinna zadziałać na sanki, żeby zdołały one wejść w zakręt?

Nie przejmuj się zwrotem wektora. W zadaniu proszą Cię o podanie WARTOŚCI siły.

Fd

r = 80,0 m

v

Wyznaczam wartość ω ze wzoru v = rω: v r

=

31,3 m/s 80,0 m

Siła dośrodkowa jest zawsze zwrócona w stronę środka okręgu.

v = 31,3 m/s

Obliczam wartość siły dośrodkowej Fd: Fd = mrω2

ω =

v

Fd

≈ 0,391 rad/s

Fd = mrω2 = 630 kg × 80,0 m × (0,391 rad/s)2

Fd

Łuk jest fragmentem okręgu.

Fd ≈ 7710 N

v

c. W jakim kierunku musi być zwrócony wektor siły, żeby sanki weszły w zakręt?

Siła dośrodkowa jest zawsze równoległa do promienia i prostopadła do wektora prędkości.

Na sanki musi zadziałać siła dośrodkowa zwrócona do środka zakrętu.

d. Jak zmodyfikować tor, żeby na sanki zadziałała odpowiednia siła dośrodkowa umożliwiająca im skręt? Narysuj wektory składowe siły, pokazując, jak zmodyfikowany tor może wywołać odpowiedni efekt. Myślę, że odpowiednim rozwiązaniem byłoby wyprofilowanie zakrętu w taki sposób, by pojawiła się składowa siły normalnej zwrócona do środka zakrętu.

Siła normalna

Ciężar

740

Rozdział 17.

Składowa pozioma

Jeżeli chcesz, by sanki pokonały zakręt, musisz wywołać działanie siły wypadkowej, skierowanej do ŚRODKA okręgu, która spełni rolę siły dośrodkowej.

v

Ruch po okręgu (część II)

Wyprofilowanie toru pozwala uzyskać poziomą składową siły normalnej

Siła normalna jest prostopadła do podłoża.

Siła normalna

Sanki wyjeżdżają z powierzchni kartki w Twoim kierunku.

Na sanki działają dwie siły — ich ciężar i siła normalna. Jeżeli chcesz, żeby pojazd zakręcił, musi zadziałać na niego siła wypadkowa skierowana poziomo do wnętrza okręgu. Siła ta spełni rolę siły dośrodkowej, pozwalającej sankom wejść w zakręt. Wektor siły ciężkości sanek jest zawsze skierowany pionowo w dół, więc nie istnieje możliwość, by uzyskać jego składową poziomą. To samo dotyczy siły normalnej, która na poziomym torze jest skierowana pionowo w górę, i również nie ma składowej Ciężar, Q = mg w poziomie.

Siła normalna działa zawsze prostopadle do powierzchni toru. Jeżeli tor będzie nachylony pod pewnym kątem do poziomu w stronę środka okręgu, siła normalna zadziała na ciało również pod pewnym kątem do poziomu.

Musisz jakoś uzyskać wypadkową siłę działającą w poziomie, ponieważ chcesz uzyskać efekt działania siły dośrodkowej.

Płaski tor.

Siła normalna jest prostopadła do powierzchni toru.

Siła normalna

Tor wyprofilowany pod pewnym kątem.

θ Ciężar, Q = mg

Siła normalna działa zawsze PROSTOPADLE do powierzchni podłoża.

Po rozłożeniu siły normalnej na składowe pionową i poziomą stwierdzisz, że składowa pozioma siły jest skierowana do środka łuku zakrętu. Być może dzięki tej składowej sanki zdołają zmienić kierunek ruchu i płynnie wejść w zakręt. Aby sanki nie przyspieszały w pionie, wypadkowa siła działająca na nie w tym kierunku musi być równa zero. Warunek ten zostanie spełniony, jeżeli tor będzie nachylony pod odpowiednim kątem do poziomu. Jest to jednoznaczne ze stwierdzeniem, że pionowa składowa siły normalnej musi mieć tę samą wartość, co ciężar sanek.

Ponieważ sanki nie przyspieszają w pionie, te dwa wektory muszą się równoważyć.

θ

Siła normalna Pozioma składowa wektora siły normalnej jest skierowana w stronę środka okręgu, dzięki czemu może pełnić rolę siły dośrodkowej.

θ Ciężar, Q = mg

jesteś tutaj  741

Prostopadłe przyspieszenie Chwila, moment! Poprzednim razem, gdy zajmowaliśmy się ruchem ciała na równi pochyłej, siła normalna była zawsze równoważona składową ciężaru. Teraz nagle okazuje się, że siła normalna ma wartość większą niż ciężar ciała — to przecież nieprawda!

W czasie zjeżdżania po równi w dół nie występuje żadne przyspieszenie prostopadłe do powierzchni równi

SIŁA WYPADKOWA działa RÓWNOLEGLE do powierzchni równi.

Ciało zsuwające się po powierzchni równi porusza się z przyspieszeniem skierowanym równolegle do tej powierzchni, nie doznając żadnego przyspieszenia prostopadłego do niej. Oznacza to, że wszystkie składowe sił prostopadłe do powierzchni równi muszą dawać w sumie zero.

Ciało nie przyspiesza w kierunku prostopadłym do powierzchni równi, więc te dwie siły muszą się równoważyć.

Siła normalna

v θ

Wektor prędkości jest równoległy do powierzchni równi.

Ciężar, Q = mg θ

Siła wypadkowa działa równolegle do powierzchni równi.

Tylko dwie siły mają składowe prostopadłe do powierzchni równi — ciężar ciała i siła normalna, a to oznacza, że składowe te muszą sumować się do wartości zero, aby siła wypadkowa była równoległa do powierzchni równi.

742

Rozdział 17.

Ruch po okręgu (część II)

Ciało biorące zakręt nie przyspiesza w pionie

SIŁA WYPADKOWA działa w POZIOMIE.

Sanki, żeby pokonać zakręt, muszą znaleźć się pod działaniem działającej poziomo siły wypadkowej, która spełni rolę siły dośrodkowej. To oznacza, że sanki nie będą przyspieszać w pionie, więc pionowe składowe wszystkich sił muszą się równoważyć.

Sanki nie unoszą się w powietrzu ani nie zapadają się w głąb toru. Nie chcemy też, żeby podjeżdżały W GÓRĘ czy zjeżdżały W DÓŁ profilu zakrętu.

Siła wypadkowa działa w poziomie. Ponieważ ciało nie przyspiesza w pionie, te dwa wektory muszą się równoważyć.

θ

Siła normalna

v Tor musi spowodować pojawienie się siły działającej na sanki w poziomie. W przeciwnym razie sanki przebiją konstrukcję toru i uderzą w budkę z hot dogami.

Ciężar, Q = mg

Ciało nie przyspiesza pod kątem 90° do kierunku działania siły wypadkowej, z czego płynie wniosek, że siły działające w tej płaszczyźnie muszą się równoważyć.

v

θ

Wektor prędkości „wychodzi” z kartki w Twoją stronę.

Wektor prędkości sanek przed wejściem w zakręt miał ten kierunek. Gdyby sanki nadal poruszały się z tą prędkością, uderzyłyby w budkę z hot dogami.

Spośród sił działających na sanki jedynie ciężar i siła normalna mają pionowe składowe. Pionowa składowa siły normalnej i siła ciężkości muszą dawać w sumie zero, ponieważ tylko wtedy na ciało zadziała pozioma siła wypadkowa, która spełni rolę siły dośrodkowej. Przede wszystkim tor musi utrzymać ciężar sanek, ale też musi być na tyle wytrzymały, by rozpędzony pojazd nie przebił się na zakręcie przez jego ściankę i nie staranował budki z hot dogami. Dlatego konstrukcja toru wymusza powstanie poziomej składowej siły normalnej. To właśnie ona zadziała w charakterze siły dośrodkowej. Ponieważ siła normalna ma do spełnienia dwa zadania — utrzymać masę sanek na torze i nie dopuścić do przebicia ściany toru na zakręcie — jej wektor musi być dłuższy od wektora siły ciężkości.

jesteś tutaj  743

Ciała na równi Nie istnieją

Jak postępować z ciałem na równi pochyłej

P: Skąd mam wiedzieć, które składowe

1. Zacznij od narysowania diagramu rozkładu sił. Siła normalna

Ciężar

θ

sił działających na ciało na równi dadzą w sumie zero?

Siła normalna

Ciężar

O

: Rozwiązywanie zadania z ciałem na równi zaczynaj zawsze od określenia kierunku działania siły wypadkowej. Będzie to kierunek, w którym ciało przyspiesza. Następnie rozłóż wszystkie widoczne na rysunku siły na składowe prostopadłe i równolegle do kierunku siły wypadkowej. Składowe prostopadłe do niej muszą się równoważyć.

θ

2. Określ kierunek działania siły wypadkowej. Siła wypadkowa działa równolegle do podłoża.

głupie pytania

P: Jak to możliwe, że siła normalna

działająca na ciało na równi jest większa niż ciężar tego ciała?

Siła wypadkowa działa w poziomie.

O

θ

θ

3. Narysuj składowe sił prostopadłe i równoległe do kierunku działania siły wypadkowej. Rozłóż siłę normalną na wektory składowe.

Siła normalna jest równoległa do siły wypadkowej.

θ

: Taka sytuacja ma miejsce na profilowanych zakrętach, projektowanych tak, by ciało mogło z łatwością je pokonać. Tak uformowana nawierzchnia musi nie tylko utrzymać ciężar pojazdu. Jej zadaniem jest też uniemożliwienie mu przebicia się na wylot podczas wchodzenia w zakręt. Oznacza to, że siła normalna, z jaką powierzchnia zadziała na ciało, będzie miała składową pionową, równą ciężarowi, i składową poziomą, zapobiegającą przebiciu się przez zakręt.

P: Skąd wiadomo, że na zakręcające ciało działa pozioma siła wypadkowa?

Rozłóż ciężar na wektory składowe.

θ

θ

Siła ciężkości jest już prostopadła do siły wypadkowej.

O

: Pozioma siła wypadkowa jest źródłem przyspieszenia dośrodkowego, niezbędnego do pokonania zakrętu.

θ

4. Składowe prostopadłe do kierunku działania siły wypadkowej muszą dawać w sumie zero. Ta składowa Składowe prostopadłe do równi zerują się.

Składowe pionowe sił równoważą się.

jest siłą wypadkową.

θ

θ Ta składowa jest siłą wypadkową.

744

θ

Rozdział 17.

θ

Zacznij od narysowania diagramu rozkładu sił i zanim narysujesz składowe sił, określ, które z nich SIĘ ZRÓWNOWAŻĄ.

Ruch po okręgu (część II)

Zaostrz ołówek Sanki o masie 630 kg poruszające się z prędkością 31,3 m/s wejdą w zakręt o promieniu 80,0 m ze stałą prędkością, jeżeli zadziała na nie pozioma siła dośrodkowa o wartości 7710 N. Siłę tę można wywołać odpowiednim nachyleniem powierzchni toru do poziomu. a. Narysuj diagram rozkładu sił działających na sanki znajdujące się na wyprofilowanym zakręcie.

Tę wartość obliczyłeś już wcześniej.

b. Oblicz ciężar sanek.

c. Jakie powinny być składowe siły normalnej pozioma i pionowa, żeby sanki pokonały zakręt bez zjeżdżania w dół ani bez podjeżdżania do góry.

d. Jaki powinien być kąt nachylenia toru do poziomu, żeby sanki zdołały pokonać zakręt?

jesteś tutaj  745

Zacznij od szkicu

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Sanki o masie 630 kg poruszające się z prędkością 31,3 m/s wejdą w zakręt o promieniu 80,0 m ze stałą prędkością, jeżeli zadziała na nie pozioma siła dośrodkowa o wartości 7710 N. Siłę tę można wywołać odpowiednim nachyleniem powierzchni toru do poziomu. a. Narysuj diagram rozkładu sił działających na sanki znajdujące się na wyprofilowanym zakręcie.

b. Oblicz ciężar sanek.

Siła normalna

Q = mg Q = 630 kg × 9,8 m/s2 Q = 6180 N

Q = mg

c. Jakie powinny być składowe siły normalnej pozioma i pionowa, żeby sanki pokonały zakręt bez zjeżdżania w dół ani bez podjeżdżania do góry. Składowa pozioma = 7710 N (jest siłą dośrodkową) Składowa pionowa = 6180 N (musi równoważyć ciężar — ciało nie przyspiesza w pionie)

d. Jaki powinien być kąt nachylenia toru do poziomu, żeby sanki zdołały pokonać zakręt? 7710 N

Nachylenie zakrętu profilowanego:

6180 N θ

tg θ =

Siła normalna

a b

=

7710 N ≈ 1,25 6180 N

θ = arc tg(1,25) = 51,3°

Suma tych trzech kątów to 180°.

θ

Suma tych trzech kątów to 180°.

Na stronie 606 rozdziału 14. znajdziesz wskazówki dotyczące rozwiązywania takich trójkątów. Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: A co by się stało, gdyby sanki jechały szybciej lub wolniej? Czy zakręt musiałby być profilowany pod innym kątem?

: Czy na sanki o mniejszej masie powinna działać mniejsza siła dośrodkowa?

O: Od wartości prędkości zależy

: Tak, ale w takim przypadku siła normalna działająca na pojazd też będzie mniejsza, więc tor może zostać nachylony w ten sam sposób. Kąt nachylenia zależy wyłącznie od szybkości jazdy sanek i promienia zakrętu, natomiast nie zależy wcale od masy pojazdu.

wartość siły dośrodkowej niezbędnej do przeprowadzenia tego manewru. Gdyby sanki poruszały się szybciej lub wolniej, wymagałyby działania innej siły.

746

Rozdział 17.

O

P

: Czy to znaczy, że mając do dyspozycji tor będący zamkniętym okręgiem, można by wprawić sanki w niekończący się ruch?

O

: Gdyby pomiędzy powierzchnią toru a sankami nie pojawiało się tarcie, ruch trwałby wiecznie, ale ponieważ część energii kinetycznej jest tracona na rzecz podniesienia energii wewnętrznej ciał układu, sanki zatrzymają się prędzej czy później.

Ruch po okręgu (część II)

Wyprofilowanie toru to dobre rozwiązanie…

Teraz branie zakrętu to pestka! Sądzisz, że uda się zrobić coś, by sanki robiły pętlę?

Po wyprofilowaniu toru pod wskazanym przez Ciebie kątem 51,3° sanki pokonały zakręt bez żadnych przeszkód! Udało się uratować budkę z hot-dogami, więc wszyscy pracownicy toru są szczęśliwi. Entuzjazm Sanki rozpoczynają zrodził kolejny, bardziej ambitny plan…

swój ruch na tej wysokości, rozpędzając się do możliwie dużej szybkości.

… ale teraz trzeba zbudować pętlę

Najwyższy punkt pętli znajduje się 20,0 m powyżej najniższego punktu toru.

Właściciele toru, będąc pod wrażeniem Twoich dokonań, zaproponowali Ci, byś wykonał projekt pętli, która miałaby pojawić się na końcu toru! Ponieważ sanki jadące w pętli poruszają się po okręgu (zupełnie jak podczas 20,00 m pokonywania zakrętów), główny projektant budowy nie wątpi, że świetnie sobie poradzisz…

Czy fakt, że pętla jest pionowa, wpływa na to, które siły powinniśmy brać pod uwagę?

Promień górnej części pętli jest krótszy niż promień jej „podstawy”.

7,00 m Górna część pętli ma promień 7,00 m.

Spróbuj! Czy poruszanie się po okręgu w płaszczyźnie pionowej przebiega tak samo jak w płaszczyźnie poziomej? Spróbuj wykonać doświadczenie! Zawiąż ciężarek na końcu sznurka i kręć nim możliwie wolno w pionie i w poziomie. Postaraj się odkryć, co dzieje się z naprężeniem sznurka, ponieważ to właśnie ono odpowiada za wytworzenie siły dośrodkowej. Jak zmienia się naprężenie w różnych punktach ruchu w płaszczyznach poziomej i pionowej? Czy gdy ciało znajduje się na górze lub dole okręgu, musisz ciągnąć za sznurek mocniej czy może delikatniej?

jesteś tutaj  747

Zmienianie siły oparcia

„Siła oparcia” (czyli siła normalna albo naprężenie) pojawiająca się w ruchu po okręgu w płaszczyźnie pionowej ulega zmianie Sytuacja jest analogiczna do problemu wjeżdżania w zakręt. Kąt profilowania zakrętu był taki sam na całej jego długości, dzięki czemu pozioma składowa siły normalnej miała cały czas tę samą wartość.

Naprężenie sznurka, do którego zamocowano ciało poruszające się po okręgu w płaszczyźnie poziomej, jest źródłem siły dośrodkowej. Jeżeli ciało porusza się ze stałą szybkością, naprężenie sznurka będzie cały czas takie samo. Gdy ciało porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej, naprężenie sznurka jest mniejsze na górze toru, a większe w najniższym jego punkcie, chyba że zmieni się szybkość, z jaką porusza się ciało.

W najwyższym punkcie okręgu, po którym porusza się ciało, siła ciężkości jest skierowana m w dół (oczywiście w stronę środka okręgu), przez co — o ile ciało porusza się z odpowiednią Ciężar, Q = mg szybkością — stanowi ona wystarczającą siłę dośrodkową. Jeżeli ciało porusza się szybciej, Naprężenie 1 = N1 niż wynosi wymagana minimalna prędkość, na wartość siły dośrodkowej składają się wartość siły ciężkości i wartość naprężenia. To siła, z jaką musisz ciągnąć za sznurek.

W najniższym punkcie okręgu wektor siły ciężkości ciała wskazuje kierunek przeciwny do położenia środka okręgu, zatem siła dośrodkowa zależy całkowicie od wartości naprężenia sznurka. Ponieważ wektor siły ciężkości jest zwrócony przeciwnie do wektora siły dośrodkowej, naprężenie musi być równe sumie ciężaru ciała i siły dośrodkowej. Być może udało Ci się zaobserwować zjawisko „powolnego przekraczania wierzchołka”, gdy ciało poruszało się powoli.

748

Rozdział 17.

Być może zauważyłeś, że gdy ciało mija najniższy punkt toru ruchu, sznurek zdaje się wyrywać Ci się z ręki.

Siła dośrodkowa NIEZBĘDNA do wykonania ruchu po okręgu = mrω2.

Fd = Fwyp = N1 + mg

Promień = r

Środek okręgu.

Zmienna ω ma przez cały czas trwania ruchu tę samą wartość.

Naprężenie 2 = N2 Fd = Fwyp = N2 – mg m Cieżar, Q = mg

Siła dośrodkowa NIEZBĘDNA do wykonania ruchu po okręgu = mrω2.

Wektor SIŁY CIĘŻKOŚCI działającej na ciało w najwyższym punkcie toru ruchu po okręgu daje duży wkład do wartości siły dośrodkowej, ponieważ wektor ciężaru jest skierowany w stronę ŚRODKA okręgu.

Ruch po okręgu (część II)

Ciało znajdujące się w najwyższym punkcie toru porusza się z wektorem prędkości skierowanym w poziomie. Gdyby ciało nie było uwiązane na sznurku, i tak podążałoby zakrzywionym torem lotu, choć nie byłby to okrąg.

Nie zgadzam się z tym! W najwyższym punkcie toru siła na pewno jest większa, bo ciężar sumuje się z siłą dośrodkową, z jaką sznurek działa na ciało.

Ruch po okręgu jest niemożliwy bez wystąpienia siły dośrodkowej, która jest wypadkową działających na ciało sił. Siła dośrodkowa nie bierze się znikąd tylko dlatego, że ciało porusza się po okręgu. Jest dokładnie na odwrót. Ciało może poruszać się po okręgu tylko wtedy, gdy któraś z już działających na nie sił stanie się źródłem siły dośrodkowej.

W najwyższym punkcie ruchu ciała po okręgu siła ciężkości może To ćwiczenie pozwoli Ci oswoić się samodzielnie spełnić rolę siły dośrodkowej, ponieważ ma właściwy zwrot. nieco z okręgami Jeżeli ciało porusza się z najmniejszą możliwą szybkością, siła ciężkości, w płaszczyźnie pionowej. równa mg, stanie się źródłem całej niezbędnej do wykonania ruchu Potem zajmiemy się zagadnieniem pętli po okręgu siły dośrodkowej, więc będzie równa wyrażeniu mr2. na torze saneczkowym.

Chcesz zatoczyć pionowy okrąg wiadrem z wodą o łącznej masie m. Wiadro ma poruszać się ze stałą szybkością v.

Ćwiczenie a. Zapisz równanie łączące masę wiadra, długość Twojego ramienia i wartość siły dośrodkowej.

b. Z jaką najmniejszą szybkością, v, powinno poruszać się wiadro, żeby nie wylała się z niego woda? Przyjmij, że Twoje ramię ma długość r. Gdy ciało porusza się z najmniejszą dopuszczalną szybkością, siła ciężkości jest jedyną siłą dającą wkład do siły dośrodkowej.

c. Za pomocą wielkości m i g wyraź siłę, z jaką wiadro działa na wodę w najwyższym punkcie swojego toru ruchu.

Twoje ramię działa na wiadro z pewną siłą, a dno wiadra przenosi tę siłę na wodę.

d. Za pomocą wielkości m i g wyraź siłę, z jaką dno wiadra działa na wodę w najniższym punkcie toru ruchu. Przyjmij, że w ciągu trwania ruchu szybkość wiadra jest stała.

Narysuj diagram rozkładu sił działających na wiadro w każdym z tych przypadków! Jeśli będziesz mieć z tym problemy, zajrzyj na następną stronę.

jesteś tutaj  749

Diagramy rozkładu sił

Chcesz zatoczyć pionowy okrąg wiadrem z wodą o łącznej masie m. Wiadro ma poruszać się ze stałą szybkością v.

Ćwiczenie: Rozwiązanie b. Z jaką najmniejszą szybkością, v, powinno poruszać się wiadro, żeby nie wylała się z niego woda? Przyjmij, że Twoje ramię ma długość r. Siła minimalna = mg = F

a. Zapisz równanie łączące masę wiadra, długość Twojego ramienia i wartość siły dośrodkowej. Fd = mrω2, gdzie:

v = rω

m jest masą wiadra z wodą, r jest długością ramienia,

c. Za pomocą wielkości m i g wyraź siłę, z jaką wiadro działa na wodę w najwyższym punkcie swojego toru ruchu. Naprężenie, z jakim sznurek oddziałuje na wiadro, jest przenoszone przez dno wiadra na wodę.

v r

mg =

v2 = gr v =

m

Ciężar, Q = mg

Fd jest siłą wypadkową, więc Fd = N + Q Wektory dodatnie są zwrócone w górę: N – mg = Fd. Jednak Fd = mg

N – mg = mg

Po podstawieniu:

N = 2 mg

Kluczem do rozwiązania jest diagram rozkładu sił. Rysując diagram rozkładu sił działających na ciało poruszające się po okręgu, zwróć szczególną uwagę na siły działające w kierunku środka okręgu. To one mogą wpływać na wartość wypadkowej siły dośrodkowej, która umożliwia ciału poruszanie się po okręgu. W przypadku sanek na torze w kształcie pętli siła normalna zadziała w kierunku środka pętli.

Rozdział 17.

gr

Wiadro porusza się cały czas z tą samą Naprężenie, N szybkością, więc Fd = mg, ponieważ siła dośrodkowa nie może się zmieniać, skoro nie zmienia się szybkość wiadra.

Czy dobrze rozumiem, że z sankami będzie tak samo, jak z wodą w wiaderku? Siła normalna, z jaką tor działa na sanki, pozwoli wykonać pełny obrót?

750

mv2 r

d. Za pomocą wielkości m i g wyraź siłę, z jaką dno wiadra działa na wodę w najniższym punkcie toru ruchu. Przyjmij, że w ciągu trwania ruchu szybkość wiadra jest stała.

Skoro siła wypadkowa to Fd = mg, Naprężenie, naprężenie N = 0. N Siła, z jaką dno wiadra działa na wodę, wynosi 0 N.

Ciężar, Q = mg

ω =

mv2 Fd = r

ω jest prędkością kątową.

m

d

Fd = mrω2

Ruch po okręgu (część II)

Każda siła działająca na ciało w kierunku środka okręgu może zmienić wartość siły dośrodkowej Gdy ciało znajduje się w najwyższym punkcie toru ruchu po okręgu, mogą działać na nie dwie siły skierowane do środka okręgu. Obydwie mogą dawać wkład do wartości siły dośrodkowej, która ma przecież ten sam zwrot. Siłami tymi są naprężenie, z jakim sznurek oddziałuje na ciało, i siła oddziaływania grawitacyjnego, czyli ciężar ciała.

m

Ciężar, Q = mg

Fd = Fwyp = N + mg

Naprężenie, N

Sznurek

Promień = r

Siła naprężająca i składowa siły ciężkości skierowana do wewnątrz okręgu zawsze dadzą w sumie siłę dośrodkową niezbędną, by wprawić ciało w ruch po okręgu o zadanym promieniu z określoną szybkością.

Składowe wszystkich sił, które są skierowane do wnętrza okręgu, dadzą w sumie siłę dośrodkową. Siła normalna, z jaką tor działa na sanki, jest pewnego rodzaju siłą „antytunelującą”, dzięki której sanki nie przebijają toru na wylot.

Naprężenie ze strony sznurka działa na ciało, przyciągając je w kierunku środka okręgu.

Siła normalna wywierana przez tor na sanki jest skierowana do środka pętli.

Siła normalna działa ZAWSZE prostopadle do toru ruchu.

Tor ruchu.

m Ciężar, Q = mg

Fd = Fwyp = FN + mg

Siła normalna, FN Promień = r

Diagram rozkładu sił sanek w pętli jest niemal identyczny jak diagram wykonany dla ciała poruszającego się po okręgu na sznurku. Rysunki różnią się tym, że na sanki działa siła normalna skierowana do środka okręgu, a na ciało na sznurku działa naprężenie, którego zwrot jest taki sam jak zwrot siły normalnej. Siła normalna jest swojego rodzaju siłą „antytunelującą”. Gdyby szybko jadące sanki poruszały się po miękkim podłożu, które nie byłoby w stanie dać im wystarczającego oparcia (zadziałać odpowiednią siłą normalną), przebiłyby ścianę toru — prawdopodobnie na wylot. Siła normalna, będąca wynikiem oddziaływania odpowiednio odpornego podłoża, nie pozwala sankom przebić się na wylot toru i ma swój wkład w tworzenie siły dośrodkowej, niezbędnej do poruszania się po okręgu.

jesteś tutaj  751

Promień, szybkość i siła dośrodkowa Nie istnieją

głupie pytania

P

: W jaki sposób siła grawitacji może stać się nagle odpowiedzialna za powstanie siły dośrodkowej?! Gdyby faktycznie siła grawitacji miała coś wspólnego z siłą dośrodkową, sanki na pewno spadłyby na ziemię.

O

: Żeby w ogóle spróbować jazdy w pętli, w chwili osiągnięcia maksymalnego punktu okręgu sanki muszą poruszać się z bardzo dużą prędkością poziomą. Mając taką prędkość, nie spadłyby na ziemię ot, tak, nawet gdyby tor zniknął w ogóle. W takim przypadku sanki zaczęłyby poruszać się po krzywej balistycznej.

P: A co by się stało, gdyby sanki

nie miały odpowiedniej prędkości, by dostać się na szczyt pętli?

O: W takim wypadku siła dośrodkowa

P

: Skąd mam wiedzieć, czy sanki jadą odpowiednio szybko?

O: Siła dośrodkowa jest opisana wzorem

Fd = mrω2. Równanie to można zapisać mv 2 w postaci Fd = r , jeżeli skorzysta się z zależności v = rω.

Im szybciej poruszają się sanki, tym większej potrzeba siły dośrodkowej, by utrzymać je na torze o promieniu r.

P

: Czy z tego równania nie da się wyznaczyć wartości siły dośrodkowej?

O

: Niezupełnie. Dzięki niemu obliczysz wartość siły dośrodkowej niezbędnej do poruszenia ciała w pętli. Jeżeli wartość siły wypadkowej widocznej na obrazku jest zbyt mała, sanki nie pokonają bezpiecznie pętli.

P

: Skąd — poza oddziaływaniem grawitacyjnym — bierze się siła dośrodkowa?

O

: Siła normalna jest zawsze prostopadła do toru ruchu, więc gdy sanki znajdują się w pobliżu maksymalnego punktu karuzeli, siła normalna jest zwrócona w dół.

Siła normalna pełni funkcję siły „antyzakopującej”, dzięki której rozpędzone sanki nie przebijają toru na wylot.

P

: Skąd mam wiedzieć, czy tor jest bezpieczny, czy nie?

O

: Musisz obliczyć minimalną wartość szybkości, z jaką powinny poruszać się sanki, żeby wykonać pętlę. I właśnie do tego zmierzamy…

miałaby zbyt małą wartość, a to oznacza, że sanki zakręciłyby w kierunku ziemi szybciej niż krzywizna pętli, czyli po prostu odpadłyby z toru.

Jak mają poruszać się sanki? Musisz obliczyć graniczną wartość szybkości, przy której sanki zdołają pokonać pełną pętlę o promieniu 7,00 m. Na sanki będące w najwyższym punkcie toru ruchu działa ich siła ciężkości skierowana w stronę środka pętli. Ciężar samodzielnie zapewni wystarczającą siłę dośrodkową, jeżeli sanki będą poruszać się z odpowiednią szybkością.

Jeżeli sanki wystartują tutaj, powinny zdobyć odpowiednią szybkość, by wykonać pętlę.

Wartość granicznej siły dośrodkowej zależy od promienia okręgu i prędkości ciała.

Najwyższy punkt pętli znajduje się 20,00 m nad najniższym punktem toru.

7,00 m 20,00 m

752

Rozdział 17.

Promień pętli to 7,00 m.

Ruch po okręgu (część II)

Zaostrz ołówek

Wskazówka: W zadaniu pojawia się kilka różnic w wysokościach.

Sanki o masie 630 kg mają pokonać pełną pętlę w pionie. Pętla ma promień 7,00 m, a jej najwyżej położony punkt znajduje się 20,00 m nad punktem najniższym. Sanki mogą zacząć swoją podróż dowolnie wysoko. a. Z jaką minimalną szybkością będą musiały poruszać się sanki w najwyższym punkcie pętli, aby ukończyć jazdę z powodzeniem?

b. Z jaką szybkością sanki mają przekroczyć najniżej położony punkt pętli, żeby wykonać cały manewr?

c. Z jakiej wysokości muszą wystartować sanki, żeby osiągnąć szybkość graniczną?

d. Załóż, że w najwyższym punkcie obliczeń sanki poruszają się z szybkością 10,0 m/s (a nie z szybkością, jaką obliczyłeś w punkcie a). Jaka będzie wartość siły normalnej, z jaką tor zadziała na sanki? Siła normalna do powierzchni nie pozwala sankom przebić tunelu na wylot, a jednocześnie daje swój wkład w tworzenie siły dośrodkowej. Dzięki sile normalnej sanki mogą zatoczyć pętlę i nie uszkodzić toru.

jesteś tutaj  753

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Sanki o masie 630 kg mają pokonać pełną pętlę w pionie. Pętla ma promień 7,00 m, a jej najwyżej położony punkt znajduje się 20,00 m nad punktem najniższym. Sanki mogą zacząć swoją podróż dowolnie wysoko. a. Z jaką minimalną szybkością będą musiały poruszać się sanki w najwyższym punkcie pętli, aby ukończyć jazdę z powodzeniem?

Fd = mrω2 ω = v r

v = rω

Jeżeli sanki poruszają się z najmniejszą możliwą szybkością, siła dośrodkowa jest równa ciężarowi sanek: mv2 Fd = r mg =

mv2 Fd = r

mv2 r

v2 = gr v =

gr

= 9,8 m/s2 × 7,00 m ≈ 8,28 m/s

b. Z jaką szybkością sanki mają przekroczyć najniżej położony punkt pętli, żeby wykonać cały manewr? vg = 2,28 m/s Ekg + Epg

Z zasady zachowania energii: Ekd = Ekg + Epg

Indeksy „g” i „d” oznaczają „góra” i „dół” pętli.

½mvd2 = ½mvg2 + mgh

h = 20,0 m

vd2 = vg2 + 2gh Ekd

vd = ?

vd = vg2 + 2gh = (8,28 m/s)2 +2 × 9,8 m/s2 × 20,0 m ≈ 21,5 m/s

c. Z jakiej wysokości muszą wystartować sanki, żeby osiągnąć szybkość graniczną? Ep0

Z zasady zachowania energii:

Rewelacja!!

Ep0 = Ekd

h = ? Ekd Posłużyliśmy się indeksem „0”, żeby wyróżnić warunki początkowe w chwili startu.

mgh = ½ 2mvd2 h =

½ vd2 0,5 × (21,5 m/s)2 = ≈ 23,6 m g 9,8 m/s2

d. Załóż, że w najwyższym punkcie obliczeń sanki poruszają się z szybkością 10,0 m/s (a nie z szybkością, jaką obliczyłeś w punkcie a). Jaka będzie wartość siły normalnej, z jaką tor zadziała na sanki? Fd = Ciężar, Q = mg

Siła normalna, FN

mv2 630 kg × (10 m/s)2 = r 7,00 m

Fd = Q + FN = mg + FN FN = Fd – mg = 9000 N – 630 kg × 9,8 m/s2 ≈ 2830 N

Siła normalna nie pozwala sankom przebić się w górę.

754

Rozdział 17.

= 9000 N

Poradnia pytań — profilowany zakręt Zadania, w których pojawia się ciało poruszające się po profilowanym zakręcie, sprawdzają Twoją wiedzę z dynamiki, umiejętność rysowania diagramu rozkładu sił, rozkładania sił na składowe, używania zasad dynamiki Newtona, znajomość zagadnień ruchu po okręgu i wiedzę z trygonometrii, a wszystko to w jednym zadaniu! Zazwyczaj musisz obliczyć siłę dośrodkową, niezbędną do wejścia ciała w zakręt. Musisz wiedzieć, że siła dośrodkowa jest w rzeczywistości siłą wypadkową skierowaną do środka okręgu, czyli poziomą składową siły normalnej. Nie podstawiaj wartości masy do równania. Jeżeli przeprowadzisz obliczenia na symbolu „m”, unikniesz błędów rachunkowych, a jak sam się przekonasz, po porównaniu siły dośrodkowej z poziomą składową siły normalnej okaże się, że masa skraca się po obu stronach równania.

Te wartości będą Ci potrzebne do obliczenia siły dośrodkowej, Fd = mrω2.

kg, poruszające się 3. Sanki o masie 630 /s, wchodzą w zakręt z prędkością 31,3 m ze stałą szybkością. o promieniu 80,0 m Nie zapomnij wspomnieć, że siła działa w poziomie i jest zwrócona w stronę środka okręgu, którego wycinkiem jest łuk profilowanego zakrętu.

kowej, by mogła ona zwrot wektora siły dośrod a. Jaka ma być wartość i ? wprowadzić sanki w zakręt iomu. Wyjaśnij nachylisz tor nieco do poz gdy się, i aw poj a kow rod b. Siła doś śnie się dzieje. kładu sił, dlaczego tak wła na podstawie diagramu roz ioma składowa a toru do poziomu, żeby poz eni hyl nac kąt być n inie c. Jaki pow zbędną siłę dośrodkową? siły normalnej wywołała nie

To sformułowanie oznacza, że masz narysować diagram rozkładu sił i wykazać na nim, że wszystkie pionowe składowe sił równoważą się, więc siła wypadkowa działa w poziomie w taki sposób, że pełni jednocześnie rolę siły dośrodkowej.

Niektóre zadania wymagają podania wartości przyspieszenia dośrodkowego, a nie siły dośrodkowej. Przyspieszenie możesz zawsze wyznaczyć z II zasady dynamiki Newtona, F = ma.

Upewnij się, że obliczasz właściwy kąt! Znajdź trójkąty podobne, a potem zastanów się, czy Twoja odpowiedź jest dobrze sKROJona.

Zawsze gdy w zadaniu pojawi się ciało na równi pochyłej, zacznij rozwiązywanie od narysowania diagramu rozkładu sił i określenia zwrotu przyspieszenia. Następne rozłóż wszystkie wektory na składowe prostopadłe i równoległe do tego kierunku. W przypadku omawianego teraz zadania ciało nie przyspiesza w kierunku pionowym. Ta informacja pozwala wyciągnąć wniosek, że składowe pionowe sił muszą się równoważyć.

755

Poradnia pytań — okrąg w płaszczyźnie pionowej Rozważania dotyczące rozkładu sił działających na ciało obracające się w płaszczyźnie pionowej budzą wątpliwości związane ze zwrotem wektorów sił w poszczególnych fazach ruchu. Siła normalna działa zawsze prostopadle do powierzchni, nawet jeżeli ciało znajduje się do góry nogami! Z kolei ciężar ciała działa zawsze pionowo w dół. Gdy ciało porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej, doznaje również efektów związanych ze zmianą wysokości, więc pamiętaj, że w niektórych momentach możesz wspomóc się zasadą zachowania energii.

Gdy porównasz równanie siły dośrodkowej z równaniem siły wypadkowej, masa skróci się w czasie dzielenia.

Pojawia się różnica poziomów — pamiętaj o energii potencjalnej!

To promień, którego wartości masz użyć w czasie obliczania siły dośrodkowej niezbędnej do wykonania pętli.

ień pętli ykonują pętlę. Prom w kg 0 63 ie as m o i 2. Sank i 7,00 m. ym jej punkcie wynos d mierzony w najwyższ je się 20,00 m pona du aj zn t nk pu y an ni Wspom pętli. najniższym punktem

Ma to miejsce, gdy rolę siły dośrodkowej pełni w całości ciężar sanek.

najwyższym punkcie siały poruszać się sanki w mu ą będ ścią bko szy lną a. Z jaką minima powodzeniem? pętli, aby ukończyć jazdę z ść graniczną? ć sanki, żeby osiągnąć szybko wa rto sta wy szą mu i ośc b. Z jakiej wysok się z szybkością 10,0 m/s punkcie pętli sanki poruszają wartość siły normalnej, c. Załóż, że w najwyższym w punkcie a). Jaka będzie łeś iczy obl ą jak , ścią bko (a nie z szy z jaką tor zadziała na sanki?

Zasada zachowania energii okaże się nieoceniona.

Musisz powtórzyć obliczenia, ponieważ większa szybkość oznacza również większe przyspieszenie dośrodkowe. Na siłę dośrodkową złożą się ciężar ciała i siła normalna, z jaką tor działa na sanki.

756

Zawsze, ale to zawsze zaczynaj rozwiązywanie zadań od narysowania diagramu rozkładu sił! Zaznacz na nim wszystkie siły rzeczywiście działające na ciało i zastanów się, które z nich dadzą wkład do tworzenia siły dośrodkowej. Minimalna szybkość pokonania pętli oznacza nic innego, jak stwierdzenie, że ciało porusza się po okręgu wyłącznie pod wpływem działania własnej siły ciężkości. Jeśli prędkość ma być większa, do powstania siły ciężkości przyczynia się także siła normalna.

Ruch po okręgu (część II) jednostki

obwód

spadanie zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne

częstotliwość

siła dośrodkowa

ciężar

częstość kątowa

doświadczenie

okres

czas Pitagoras

zachowanie pędu

moment siły

popęd siły stałe przyspieszenie

przemieszczenie tarcie

trygonometria prędkość kątowa

energia kinetyczna

symetria nachylenie

energia wewnętrzna powierzchnia

równania ruchu radiany

siła normalna

Bądź częścią problemu wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji

droga

notacja naukowa

naprężenie

energia

podstawienie bloczek

równanie

siła

zderzenie sprężyste

Oddajcie honory mojej zdolności kręcenia się w kółko!

składowa

przyspieszenie

wykres

energia mechaniczna prędkość promień praca

objętość

moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Siła dośrodkowa

Siła wypadkowa niezbędna do wprawienia ciała w ruch po okręgu. Jej wektor jest zawsze zwrócony do wnętrza okręgu. Wartość siły dośrodkowej opisuje równanie Fd = mrω2.

Prędkość kątowa

Wartość prędkości kątowej jest identyczna z wartością częstości kołowej i szybkości kątowej.

jesteś tutaj  757

Niezbędnik fizyka

Spadanie swobodne

  

Niezbędnik fizyka Właśnie zapoznałeś się z rozdziałem 17. książki. Twój przybornik fizyka wzbogacił się o kilka koncepcji ułatwiających rozwiązywanie problemów i zadań z fizyki.

„Co mnie napędza?” Żeby odnaleźć działające na Ciebie siły kontaktow e, musisz odpowiedzieć sob ie na to pytanie. Zamknij oczy i zadaj sob ie pytanie „Co mnie napędz a?”

. Nie zdołasz odczuć w ten sposób siły bezkontaktow ej (na przykład swojego cię żaru), więc się nie pomylisz.

Siła odśrodkowa minaj. Nawet o tym nie wspo Paskudztwo!

a Mówimy, że ciało spad a sz ru swobodnie, jeżeli po em ływ wp się wyłącznie pod własnego ciężaru. szających Przykładami ciał poru się w ten sposób są spadochroniarz (jeśli w nie uwzględniamy oporó ujące ajd zn ła cia i ) powietrza się na orbicie Ziemi.

Objętość i powierzchnia ierzchni Gdy masz policzyć pole pow taraj trójwymiarowej bryły, pos i siatki się „rozciąć” ją do postac u będziesz dwuwymiarowej. Dzięki tem i masz wiedział, z jakimi kształtam do czynienia. 2 . Pole powierzchni koła = πr stawy są Objętość bryły, której pod tworzą zne identyczne, a ściany boc icza się obl mi, kąt prosty z podstawa ze wzoru: × wysokość. Objętość = pole podstawy

Siła dośrodkowa Siła potrzebna do wp rawienia ciała w ruch po okrę gu. Aby osiągnąć większ ą szybkość czy poruszać się po większym promieniu, musisz zn aleźć się pod działaniem więk szej siły dośrodkowej. Równanie: F = mrω2 , d gdzie v = rω.

758

Rozdział 17.

ń Rozwiązywanie zada z równią pochyłą nia diagramu Zacznij od narysowa rozkładu sił. łania siły Określ kierunek dzia , w którym ek un wypadkowej (kier ciało przyspiesza). y na składowe Rozłóż wszystkie sił głe do kierunku prostopadłe i równole dkowej. działania siły wypa dłe do tego Składowe prostopa wać w sumie zero. da ą kierunku musz

Rozwiązywanie zadań z siłą dośrodkową Zacznij od narysowania diagramu rozkładu sił. Żadna z początkowo zaznaczonych na nim sił nie jest siłą dośrodkową, ponieważ jest to SIŁA WYPADKOWA, która działa zwrócona DO ŚRODKA okr ęgu.

18. Grawitacja i orbity

Uciec od tego wszystkiego Ten taniec odwrotności kwadratu jest doskonały! Odległość mniejsza o połowę = cztery razy bardziej przystojny partner.

Nawiązałeś już bardzo bliską znajomość z grawitacją, ale co się stanie z wzajemnym przyciąganiem, gdy Twoje stopy oderwą się od ziemi? W tym rozdziale zapoznasz się z nową twarzą grawitacji — zależnością odwrotności kwadratu — i ujarzmisz potencjał grawitacyjny, dzięki czemu odbędziesz podróż ku nieskończoności… i jeszcze dalej. Powracając do domu, dowiesz się nieco o orbitach i podniesiesz swoje zdolności (tele)komunikacyjne.

to jest nowy rozdział 759

Ser? Na serio?

Organizacja przyjęć, wielkie wydarzenie i mnóstwo sera Firma zajmująca się organizacją przyjęć potrzebuje Twojej pomocy. Jej właściciel przyjął zamówienie na obsługę naprawdę wielkiego wydarzenia, którego główną atrakcją ma być danie w postaci wielkiej kuli sera. Instrukcja zawiera rysunek przekroju poprzecznego kuli serowej.

To nie wszystko… ale lepiej spójrz na wytyczne.

Jedyna w swoim rodzaju serowa kula

Przyjmij, że dysponujesz urządzeniem, które potrafi wbijać patyczki w pomarańczę w równych odstępach.

Przyjmij, że dysponujesz urządzeniem do nabijania sera na patyczki.

Bez przerw!

Kawałek sera.

W środku kuli znajduje się pomarańcza. Na całej powierzchni wbijamy w nią patyczki koktajlowe, które wystają ponad powierzchnię owocu. Jeden koniec patyczka tkwi bezpiecznie w środku pomarańczy, na drugim zaś umieszczamy kawałek sera. Wszystkie kawałki mają utworzyć gigantyczną kulę serową, pokrywając szczelnie pomarańczę. Kawałki sera mają mieć wymiary 2,0 cm × 2,0 cm × 0,5 cm. Z zewnątrz będzie widać kwadratową ścianę serowego równoległoboku. Każda Pomarańcza. Patyczek koktajlowy. kula serowa ma składać się z 500 kawałków sera. rzchnię powłoki serowej, żeby Każdy patyczek powinien wystawać 2,0 cm ponad powie z kuli. sera ka goście nie mieli problemów z wyciągnięciem kawał

PRZYLEGAĆ. KAWAŁKI SERA MUSZĄ ŚCIŚLE DO SIEBIE ROZWIĄZANIA! TO PODSTAWOWY WARUNEK PRZYJĘCIA

Organizator przyjęcia dysponuje urządzeniem, które tak nabije ser na patyczki, żeby ponad powierzchnią sera pozostało jeszcze 2,0 cm patyczka. Urządzenie wbije też w równych odstępach 500 patyczków w powierzchnię pomarańczy, więc nie musisz martwić się kwestiami technicznymi realizacji zamówienia.

760

Rozdział 18.

Grawitacja i orbity

Jaka powinna być długość patyczka koktajlowego? Musisz obliczyć długość patyczków koktajlowych. Jeżeli patyczki będą zbyt krótkie, nie zdołasz umieścić na nich 500 kawałków sera, ponieważ odległości między patyczkami będą zbyt małe, by wszystkie kostki sera zmieściły się wokół pomarańczy. Gdy patyczki będą zbyt długie, odległości między nimi będą za duże i między kawałkami sera pojawią się przerwy.

Pamiętaj, że to dwuwymiarowy przekrój poprzeczny trójwymiarowej kuli serowej.

Każdy z patyczków wystaje 2,0 cm nad powierzchnię kostki sera.

Wszystkie patyczki stykają się w środku pomarańczy.

Ten szkic przedstawia wygląd pomarańczy nabitej ZBYT KRÓTKIMI patyczkami. Niektóre z nich są puste, ponieważ kawałki sera nie mieszczą się w pozostawionym dla nich miejscu.

Ten szkic przedstawia wygląd pomarańczy nabitej ZBYT DŁUGIMI patyczkami. Tym razem zmieściły się na nich wszystkie kawałki sera, ale nadal pozostały przerwy.

Ojej, przerwy!

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Które parametry kawałków sera mogą mieć znaczenie dla obliczenia długości patyczków?

jesteś tutaj  761

Co mi to przypomina? Musimy zastanowić się, jak rozwiązać to zadanie!

Franek: Mamy już urządzenie potrafiące wbić 500 patyczków w pomarańczę z zachowaniem równych odstępów między nimi. Fajnie, nie? Kuba: Racja. Końce patyczków stykają się w środku pomarańczy. Sprawy techniczne nie stanowią żadnego problemu. Kłopot polega na tym, że nie wiemy, jakiej długości powinny być patyczki. Franek: Może przeprowadzimy doświadczenie? No wiesz, spróbujemy wbić w pomarańcze długie patyczki i nabić na nie ser, a następnie przesuwać go po patyczku, dopóki wszystkie kostki nie zetkną się ze sobą. Moglibyśmy zmierzyć wtedy odległość kostki sera od środka pomarańczy. Kuba: Powinno zadziałać. Krzysiek: A co zrobimy, jeżeli organizator przyjęcia postanowi nagle zmienić liczbę kostek sera albo ich wymiary? Wtedy będziemy musieli zaczynać wszystko od nowa! Potrzebujemy bardziej elastycznego rozwiązania. Kuba: Prawda. Jeśli taka kula serowa się przyjmie, organizatorzy przyjęć będą chcieli wydusić z niej wszystko, co się da. Musi istnieć lepsze rozwiązanie. Krzysiek: Myślę, że powinniśmy stworzyć równanie opisujące długość patyczka. Franek: Dobrze, zastanówmy się nad tym. Jak wygląda kula serowa? Kuba: W ostatecznej postaci przypomina piłkę pokrytą serem, z której wystają krótkie kolce.

Rozwiązywanie nowego problemu zaczynaj zawsze od zadania sobie pytania „Co mi to PRZYPOMINA?”.

Kula serowa przypomina piłkę nabitą krótkimi kolcami.

Krzysiek: Zastanawiam się, czy kula serowa i kula geometryczna mają ze sobą nieco wspólnego. Kuba: Wydaje się, że tak. To może objętość kawałka sera będzie ważna… Krzysiek: … albo jego powierzchnia…

762

Rozdział 18.

Grawitacja i orbity Ser sprawia wrażenie, jakby pokrywał powierzchnię piłki.

Ser tworzy kulę Pomarańcza ma kulisty kształt, a wbite w nią patyczki znajdują Pomarańcza. się w równych odległościach od siebie, więc kawałki sera utworzą kształt kuli. Im większy będzie promień tej kuli, tym większą będzie miała ona powierzchnię. Rodzi się pytanie, co jest ważniejsze — powierzchnia kuli, czy jej objętość. A może obie są równie ważne. Czy masz pomysł, jak to ocenić?

Pr o m i

eń

Kula o dużym promieniu ma też dużą powierzchnię i dużą objętość. Kula ma swoją powierzchnię i objętość.

Większy promień oznacza większą powierzchnię i objętość kuli.

Zaostrz ołówek Wymiary kostki sera to 2,0 cm × 2,0 cm × 0,5 cm. Dysponujesz 500 takimi kostkami. a. Oblicz całkowitą objętość sera w cm3.

b. Oblicz powierzchnię, jaką zajmuje ser ułożony kwadratowymi bokami do góry.

c. Jak sądzisz, czy do obliczenia długości patyczków potrzebna będzie powierzchnia kuli, czy może jej objętość? A może obie te wielkości? Swoją odpowiedź uzasadnij.

d. Jakich jeszcze danych będziesz potrzebować, żeby rozwiązać to zadanie?

jesteś tutaj  763

Kule i ich powierzchnia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Wymiary kostki sera to 2,0 cm × 2,0 cm × 0,5 cm. Dysponujesz 500 takimi kostkami. a. Oblicz całkowitą objętość sera w cm3. Objętość jednej kostki sera = długość × szerokość × wysokość = 2,0 cm × 2,0 cm × 0,5 cm = 2,0 cm3. Objętość 500 kostek sera = 500 × 2,0 cm3 = 1000 cm3.

b. Oblicz powierzchnię, jaką zajmuje ser ułożony kwadratowymi bokami do góry. Powierzchnia jednej kostki sera = długość × szerokość = 2,0 cm × 2,0 cm = 4,0 cm2. Powierzchnia 500 kostek sera = 500 × 4,0 cm3 = 2000 cm2.

c. Jak sądzisz, czy do obliczenia długości patyczków potrzebna będzie powierzchnia kuli, czy może jej objętość? A może obie te wielkości? Swoją odpowiedź uzasadnij. Wydaje mi się, że istotna jest powierzchnia kuli, bo klocki sera mają pokryć ją tak, by nie pojawiały się między nimi żadne przerwy. Objętość nie ma tu znaczenia.

d. Jakich jeszcze danych będziesz potrzebować, żeby rozwiązać to zadanie? Dobrze byłoby znać równanie opisujące powierzchnię kuli.

Powierzchnia kuli serowej jest taka sama jak powierzchnia wszystkich kostek sera Gdybyś miał zbudować kulę z kostek sera, jej objętość musiałaby być równa objętości kostek, którymi dysponujesz.

Równania jak na tacy

Ponieważ jednak kostki sera mają utworzyć wokół pomarańczy sferyczną powłokę, istotne jest, by powierzchnia tej powłoki była równa powierzchni kostek sera, którymi okryjesz pomarańczę.

Powierzchnia kuli

S = 4πr2

W tablicach matematycznych znajdziesz wzór opisujący powierzchnię kuli — S = 4r2. Powierzchnia kuli

764

Rozdział 18.

Promień

Grawitacja i orbity

Zaostrz ołówek Masz do dyspozycji 500 kostek sera o wymiarach 2,0 cm × 2,0 cm × 0,5 cm, z których masz ułożyć kulę. Poza tym masz pomarańczę i 500 patyczków koktajlowych wbitych do samego środka w równych odległościach w taki sposób, że 2,0 cm każdego patyczka wystaje ponad powierzchnię sera. a. Jakiej długości powinny być patyczki koktajlowe, żeby nabite na nie kostki sera przylegały ściśle do siebie, tworząc powierzchnię serowej sfery?

b. Załóżmy teraz, że masz wykonać kolejną konstrukcję, tym razem z czterokrotnie większej liczby kostek sera (2000). Postaraj się przeanalizować równanie powierzchni kuli i podać długość patyczka koktajlowego potrzebnego do wykonania nowej konstrukcji bez wykonywania obliczeń od nowa.

jesteś tutaj  765

Dwukrotnie większy promień = czterokrotnie większa powierzchnia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Masz do dyspozycji 500 kostek sera o wymiarach 2,0 cm × 2,0 cm × 0,5 cm, z których masz ułożyć kulę. Poza tym masz pomarańczę i 500 patyczków koktajlowych wbitych do samego środka w równych odległościach w taki sposób, że 2,0 cm każdego patyczka wystaje ponad powierzchnię sera. a. Jakiej długości powinny być patyczki koktajlowe, żeby nabite na nie kostki sera przylegały ściśle do siebie, tworząc powierzchnię serowej sfery? Pole Wewnętrzna powierzchnia kostek sera tworzy powłokę kuli serowej. powierzchnia kuli = powierzchnia sera 2

4πr = 2,0 cm × 2,0 cm × 500 r =

2000 cm2 ≈ 12,6 cm 4π

Nie zapomnij uwzględnić grubości kostki sera i długości patyczka wystającej ponad powłokę serową.

Długość patyczka koktajlowego: Należy uwzględnić 2,0 cm 12,6 cm patyczka wystające ponad powierzchnię sera i grubość samej kostki sera. Długość = 12,6 cm + 0,5 cm + 2,0 cm = 15,1 cm

2,0 cm 0,5 cm

powierzchni kuli.

S = 4πr2 Promień kuli.

Podwojenie długości promienia sprawia, że powierzchnia kuli rośnie CZTEROKROTNIE.

b. Załóżmy teraz, że masz wykonać kolejną konstrukcję, tym razem z czterokrotnie większej liczby kostek sera (2000). Postaraj się przeanalizować równanie powierzchni kuli i podać długość patyczka koktajlowego potrzebnego do wykonania nowej konstrukcji bez wykonywania obliczeń od nowa. Powierzchnia kuli, opisana wzorem S = 4πr2, jest proporcjonalna do kwadratu promienia kuli. Jeżeli powierzchnia kuli S będzie 4 razy większa, całe wyrażenie 4πr2 będzie miało wartość czterokrotnie większą. Wyrazy 4 oraz π mają wartość stałą, a to oznacza, że wyrażenie r2 musi być czterokrotnie większe, czyli promień kuli musi być dwukrotnie większy. Wewnętrzny promień = 12,6 cm × 2 = 25,2 cm. Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Skąd mam wiedzieć, czy należy brać pod uwagę powierzchnię, czy objętość?

: Byłem przekonany, że bryły mają objętość, a nie powierzchnię.

O: Zastanów się, o co chodzi w zadaniu.

: Każde ciało, które da się pomalować, musi mieć powierzchnię, bo w przeciwnym razie nie miałbyś gdzie kłaść farby! Kula też ma powierzchnię. Jest to co prawda powierzchnia zakrzywiona, której nie da się idealnie rozłożyć na płaszczyźnie, ale nie zmienia to faktu, że jest powierzchnią.

W tym przypadku masz ułożyć ser tak, jak układa się pokrycie piłki. To wyraźny sygnał, że znaczenie ma powierzchnia sera. Gdybyś topił ser i wypełniał nim piłkę, musiałbyś wziąć pod uwagę objętość wszystkich kostek sera.

766

Rozdział 18.

O

P

: Skąd wiadomo, jak zmienia się powierzchnia kuli po zmianie jej promienia?

O: Z równania powierzchni kuli, S = 4πr , 2

wiadomo, że jest ona proporcjonalna do kwadratu promienia. Jeżeli podwoisz promień, powierzchnia kuli zwiększy się czterokrotnie, bo 22 = 4. Zawsze możesz wykonać szybki rachunek w pamięci — skoro stary promień to y, nowy promień będzie równy 2y. Stara powierzchnia: S = 4πr2 . Nowa powierzchnia: Stara powierzchnia. S = 4π(2y)2 = 4π4y2 = 4 × 4πr2 . Widzisz zatem, że podwojenie promienia spowodowało zwiększenie powierzchni cztery razy.

Grawitacja i orbity

Niech stanie się ser… Wyślij rozwiązanie organizatorowi przyjęcia i zobaczymy, jakie będą efekty.

Klocki sera nie przylegają szczelnie do siebie.

… ale — jak to ser — dziurawy! Zaostrz ołówek Rozwiązanie, które podałeś na poprzedniej stronie, jest poprawne, ale organizator przyjęć popełnił błąd przy wdrażaniu planów. Zakreśl niepoprawne fragmenty w notatkach programisty urządzenia i wyjaśnij, gdzie leży błąd.

ki Kula serowa — notat nia 500 patyczków ija wb m Ustawić progra marańczę tak, żeby koktajlowych w po się w środku owocu. ich końce spotkały bijania kostki seracm Wybrać program na × 2,0 cm × 0,5 cm o wymiarach 2,0 k tak, żeby znad kostki na każdy patycze patyczka. wystawały 2 cm tyczka — 15,1 cm Ustawić długość pa pomarańczy. nią ch ponad powierz Nacisnąć „Start”.

jesteś tutaj  767

Środek czy powierzchnia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Rozwiązanie, które podałeś na poprzedniej stronie, jest poprawne, ale organizator przyjęć popełnił błąd przy wdrażaniu planów. Zakreśl niepoprawne fragmenty w notatkach programisty urządzenia i wyjaśnij, gdzie leży błąd.

ki Kula serowa — notat w ijania 500 patyczkó Ustawić program wb by że , tak czę rań ma koktajlowych w po się w środku owocu. ich końce spotkały bijania kostki seracm Wybrać program na × 2,0 cm × 0,5 cm o wymiarach 2,0 k tak, żeby znad kostki na każdy patycze patyczka. wystawały 2 cm tyczka — 15,1 cm Ustawić długość pa pomarańczy. nią ch ponad powierz Nacisnąć „Start”.

Zgodnie z Twoimi obliczeniam ta odległość powinna być rów i 15,1 cm. Należy użyć patyczkana koktajlowego o długości rów nej PROMIENIOWI kuli serowej , czyli trzeba liczyć jego dług ość od punktu, w którym stykają się wszystkie patyczki.

Używanie w obliczeniach odległości od powierzchni kuli zamiast jej promienia (lub na odwrót) jest często popełnianym błędem.

Z moich obliczeń wynika, że CAŁKOWITA długość patyczka ma wynosić 15,1 cm. Osoba obsługująca maszynę zaprogramowała ją tak, by patyczek wystawał na 15,1 cm ponad powierzchnię pomarańczy. Przy takim założeniu długość patyczka to 15,1 cm + promień pomarańczy i dlatego użyte patyczki są zbyt długie. Nieodpowiednio dobrana długość patyczków sprawiła, że kawałki sera nie przylegają ściśle do siebie.

Organizator przyjęć ustawił tę odległość — od powierzchni pomarańczy — przez pomyłkę w maszynie tworzącej kulki serowe.

Odległość od powierzchni pomarańczy.

Odległość od środka pomarańczy.

Organizator przyjęcia popełnił błąd, podając w urządzeniu obliczoną przez Ciebie długość jako odległość od powierzchni pomarańczy. W rzeczywistości odległość ta jest promieniem kuli, więc należy mierzyć ją od środka pomarańczy. Na szczęście to tylko podejście próbne, więc można jeszcze wszystko poprawić…

768

Rozdział 18.

Grawitacja i orbity

Zapraszamy na przyjęcie! Osoby odpowiedzialne za organizację imprezy są zachwycone. Pomysł okazał się tak chwytliwy, że od razu posypały się zamówienia na kolejne kule serowe o różnych rozmiarach. Ponieważ zdołałeś opracować elastyczne rozwiązanie, pozwalające obliczać długości patyczków dla różnych rozmiarów kul sera, można od razu przystąpić do masowej produkcji tego niezwykłego (i dość kolczastego) tworu. Podane prz ez Ciebie równani

e p kule serow ozwala tworzyć rozmiarów. e różnych

CELNE SPOSTRZEŻENIA

Wyciąg z tablic matematycznych znajdziesz w dodatku B.

‹Gdy w zadaniu pojawia się trójwymiarowa bryła,

‹Jeżeli bryła nie daje „rozwinąć się” na płaszczyznę,

zawsze zastanów się, co jest dla Ciebie ważniejsze — jej objętość czy jej powierzchnia. ‹Jeżeli bryła daje „rozwinąć się” na płaszczyznę,

sprawdź w tablicach wzór pozwalający obliczyć jej powierzchnię. ‹Pole powierzchni kuli jest proporcjonalne do r 2.

zdołasz obliczyć jej powierzchnię, rozbijając ją na prostsze figury geometryczne. Robiłeś to już w rozdziale 17.

jesteś tutaj  769

Buzz, Buzz, Buzz Astral

Na koniec świata i jeszcze dalej! Pierwszy astronauta stacji kosmicznej Head First został wybrany do wykonania zaszczytnej misji. Ma polecieć tam, gdzie nie pojawił się jeszcze żaden człowiek — na kraniec Układu Słonecznego! Musisz umożliwić mu odbycie tej podróży.

Astronauta musi pokonać odległość dzielącą Ziemię od Plutona.

Ziemia

Słońce

v0 Prędkość początkowa ciała.

Ten rysunek NIE zachowuje skali. Gdyby ją zachowywał, Pluton znajdowałby się 40 razy dalej od Słońca niż Ziemia.

Przyspieszenie statku kosmicznego będące skutkiem przyciągania grawitacyjnego Ziemi nie zależy od masy, więc nie musisz przejmować się tym, że będzie się ona zmniejszać w wyniku zużycia paliwa.

Rozdział 18.

Tor ruchu statku kosmicznego.

Tor ruchu ciała.

Orbity są w rzeczywis to bardziej spła ści ale chodzi o szczone, zarys proble ogólny mu.

770

Każde wystrzelone pionowo w górę ciało prędzej czy później spadnie na ziemię. Jeżeli astronauta ma dotrzeć na skraj Układu Słonecznego, musi lecieć cały czas przed siebie, nie spadając z powrotem na Ziemię!

Pluton

v0

Prędkość startowa statku kosmicznego.

Powierzchnia Ziemi.

Wydawałoby się, że mając do dyspozycji statek kosmiczny, zdołasz wypełnić to zadanie bez trudu, ale przecież nie możesz bez przerwy przyspieszać, bo w końcu wyczerpiesz cały zapas paliwa! Wydaje się, że najrozsądniejszym rozwiązaniem będzie wystrzelić statek tak, by osiągnął jak największą prędkość na początku podróży. Przecież im większa prędkość wznoszenia, tym dłużej ciało pozostanie ponad Ziemią. Musisz obliczyć prędkość ucieczki, czyli taką wartość prędkości początkowej, która pozwoli astronaucie oddalić się od powierzchni Ziemi i nie spaść na nią z powrotem. (Na dalszym etapie rozwiązania będziesz pewnie musiał obliczyć też inne parametry, ale w tej chwili prędkość ucieczki jest Twoim najważniejszym zmartwieniem).

Grawitacja i orbity To jak, wysyłamy astronautę poza granice Układu Słonecznego? Świetnie!

Kuba: No dobrze, musimy odpalić silniki statku na najwyższych obrotach i utrzymać je możliwie długo w tym trybie pracy. Dzięki temu astronauta uzyska możliwie dużą prędkość początkową, więc szanse powodzenia misji wzrosną. Krzysiek: Ale skąd mamy wiedzieć, że to wystarczy? Co zrobimy, jeżeli okaże się, że astronauta spadnie na Ziemię, jak rzucona w powietrze piłka? Ta odległość jest milion razy większa od promienia Ziemi i została podana z dokładnością do jednej cyfry znaczącej, więc nie ma znaczenia, czy mierzymy ją od środka Ziemi, czy też od jej powierzchni.

Franek: To może policzmy to? Sprawdzałem w tablicach i wiem, że orbita Plutona znajduje się w odległości około 6 × 1012 m… Kuba: … a przyspieszenie wynikające z działania siły grawitacji Ziemi to 9,8 m/s2… Franek: Chwilkę… masz chyba na myśli minus 9,8 m/s2, prawda? Przyspieszenie musi być ujemne, jeśli zakładamy, że „od Ziemi” to kierunek dodatni. Krzysiek: Dobrze, czyli znamy przemieszczenie i przyspieszenie, więc przyjmijmy, że osiągając orbitę Plutona, statek ma poruszać się z prędkością 0 m/s. To najmniejsza prędkość, z jaką ciało może dotrzeć do celu podróży.

Zaostrz ołówek a. Orbitę Plutona dzieli 6 × 1012 m od orbity Ziemi. Oblicz prędkość, z jaką statek kosmiczny musiałby wystartować z powierzchni Ziemi, by na zawsze opuścić jej powierzchnię, jeżeli ma poruszać się ze stałym opóźnieniem wynikającym z pozostawania w polu grawitacyjnym planety.

Kuba: Bierzmy się do roboty!

b. Czy otrzymana odpowiedź wydaje Ci się poprawna?

jesteś tutaj  771

Co z tą grawitacją?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Orbitę Plutona dzieli 6 × 1012 m od orbity Ziemi. Oblicz prędkość, z jaką statek kosmiczny musiałby wystartować z powierzchni Ziemi, by na zawsze opuścić jej powierzchnię, jeżeli ma poruszać się ze stałym opóźnieniem wynikającym z pozostawania w polu grawitacyjnym planety. v = 0 m/s x = 6 × 1012 m Zakładam, że prędkość końcowa ciała na orbicie Plutona to 0 m/s: v2 = v02 + 2a(x – x0)

v0 = ? t = 0 s

a = -9,8 m/s2 x0 = 0 m

v02 = v2 – 2a(x – x0) v02 = (0 m/s)2 – 2 × (–9,8 m/s2) × (6×1012 m – 0 m) v0 ≈ 1,1 × 10 7 m/s

Wartość prędkości jest bardzo duża!

Prędkość światła to 3 × 108 m/s.

b. Czy otrzymana odpowiedź wydaje Ci się poprawna? To bardzo, bardzo duża prędkość. Otrzymana wartość prędkości jest tylko o jeden rząd wielkości mniejsza od prędkości światła (która jest największą prędkością, jaką może osiągnąć poruszające się ciało). Duże ciała (na przykład statki kosmiczne) nie mogą się poruszać tak szybko, więc to rozwiązanie jest po prostu niemożliwe!

Kuba: Racja. Przecież żaden statek kosmiczny nie może poruszać się z tak dużą prędkością! Franek: Ale wysyła się sondy kosmiczne, które mijają Plutona. Niektóre z nich opuszczają nawet Układ Słoneczny, więc to musi dać się zrobić… Krzysiek: A może przyciąganie ziemskie maleje wraz ze wzrostem odległości od Ziemi? Franek: Co masz na myśli? Krzysiek: Zastanów się nad tym — gdy oddalasz się od źródła dźwięku, słyszane odgłosy stają się coraz cichsze. Światła też są bledsze, gdy odsuwasz się od ich źródła. Może z grawitacją jest tak samo?

Równania ruchu sprawdzają się tylko wtedy, gdy przyspieszenie ciała jest stałe. 772

Rozdział 18.

Kuba: Sugerujesz, że przyspieszenie, z jakim porusza się ciało pod wpływem działania siły grawitacji, będzie maleć wraz ze wzrostem odległości? Franek: No tak, tworząc równania ruchu, zakładaliśmy, że przyspieszenie ciała jest stałe przez cały czas trwania ruchu. Kuba: Coś w tym jest. Gdyby przyspieszenie zmieniało się wraz z odległością, znaczyłoby to, że nie możemy posłużyć się znanymi nam równaniami, bo one są prawdziwe tylko wtedy, gdy ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem. Krzysiek: Spróbujmy dowiedzieć się, jak zmienia się przyspieszenie wraz ze zmianą odległości ciała od Ziemi…

Grawitacja i orbity

Siła grawitacyjna Ziemi słabnie, gdy oddalasz się od planety W pobliżu Ziemi odczuwasz skutki działania siły grawitacji, ponieważ materia, z której zbudowana jest Ziemia, i materia, z której składa się Twoje ciało, przyciągają się wzajemnie. Jednak gdy odległość dzieląca Cię od planety zwiększa się, siła grawitacji staje się coraz słabsza. Podobny efekt możesz zaobserwować, oddalając się od źródła dźwięku, gdy staje się on coraz cichszy, lub oddalając się od źródła światła, kiedy staje się ono coraz gorzej widoczne. Gdy słabnie działająca na Ciebie siła grawitacji, przyspieszenie grawitacyjne, z jakim się poruszasz, staje się również coraz mniejsze (bo Fwyp = ma). Oznacza to, że nie poruszasz się ruchem jednostajnie przyspieszonym, więc nie możesz opisywać go za pomocą znanych Ci równań ruchu. Ale jak zmienia się siła grawitacji, gdy oddalasz się od planety?

Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi 9,8 m/s2.

a a

a W większej odległości od powierzchni planety przyspieszenie grawitacyjne jest mniejsze.

A jeszcze dalej przyspieszenie grawitacyjne jest jeszcze mniejsze.

Zaostrz ołówek Światło obserwowane z większej odległości jest mniej intensywne od światła obserwowanego bliżej źródła. Poniższy rysunek przedstawia kuliste źródło światła, emitujące promieniowanie równomiernie we wszystkich kierunkach. Obserwujesz je gołym okiem w dwóch różnych położeniach. Przyjmij, że źrenica (ta część oka, która odpowiada za odbieranie promieni świetlnych) ma taką samą powierzchnię w obydwu przypadkach. Wyjaśnij, dlaczego odsuwanie się od źródła światła sprawia, że światło wydaje się ciemniejsze. Pomiar dokonywany z jednej odległości… … a potem nieco dalej.

Wskazówka: Czy widziałeś gdzieś ostatnio podobny rysunek?

jesteś tutaj  773

Odległość ma znaczenie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Światło obserwowane z większej odległości jest mniej intensywne od światła obserwowanego bliżej źródła. Poniższy rysunek przedstawia kuliste źródło światła, emitujące promieniowanie równomiernie we wszystkich kierunkach. Obserwujesz je gołym okiem w dwóch różnych położeniach. Przyjmij, że źrenica (ta część oka, która odpowiada za odbieranie promieni świetlnych) ma taką samą powierzchnię w obydwu przypadkach. Wyjaśnij, dlaczego odsuwanie się od źródła światła sprawia, że światło wydaje się ciemniejsze.

Gdy oko znajduje się bliżej źródła światła, cała wiązka zawarta między tymi dwiema liniami trafia do źrenicy.

W większej odległości do źrenicy trafia tylko część wiązki zawartej między tymi samymi liniami.

W większej odległości od żarówki światło rozprzestrzenia się na większej powierzchni. Do oka znajdującego się bliżej źródła światła wpada całe promieniowanie zaznaczone na rysunku grubszymi liniami.

Te części wiązki nie trafiają do oka położonego dalej, choć trafiały do oka położonego bliżej źródła światła.

Gdy oko znajduje się dalej od źródła światła, dociera do niego tylko część promieniowania, więc żarówka wydaje się być ciemniejsza.

Powierzchnia S2 = 4πr22

W odległości r1 od źródła światła oświetlona zostaje powierzchnia równa 4πr12. W odległości r2 od źródła światło oświetla powierzchnię równą 4πr22.

r2

Na każdą z powierzchni pada taka sama ilość światła. Ponieważ w większej odległości od źródła oświetlana powierzchnia jest większa, na jeden metr kwadratowy przypada mniejsza ilość światła. Dlatego właśnie źródło światła widziane z większych odległości wydaje się być ciemniejsze.

Światło padające na ciało znajdujące się dalej od jego źródła oświetla większy fragment jego POWIERZCHNI. 774

Rozdział 18.

Powierzchnia S1 = 4πr12 Zmienne r1 i r2 to promienie obydwu sfer.

r1

Każdą ze sfer oświetla taka sama ilość światła.

Z większej odległości światło wydaje się ciemniejsze, bo rozprzestrzenia się na większej powierzchni.

Grawitacja i orbity

A co wspólnego ma rozchodzenie się światła z wysyłaniem astronauty na skraj Układu Słonecznego?

Natężenie światła i natężenie pola grawitacyjnego zależą od powierzchni kuli. Rysując źródło światła, zaznaczałeś wychodzące z niego promienie w postaci kresek zaczynających się w jednym punkcie. Promienie pokazują kierunek rozchodzenia się światła. Wraz ze zwiększeniem drogi, jaką przebywają promienie światła, zwiększa się też powierzchnia, na którą one padają, a zatem zmniejsza się natężenie światła.

Pole grawitacyjne Ziemi przedstawia się graficznie w bardzo podobny sposób. Tym razem kreski reprezentują nie promienie światła, a tak zwane linie sił pola grawitacyjnego. Linie te pokazują kierunek, w jakim będzie przyspieszać ciało, jeżeli jedyną działającą na nie siłą będzie siła przyciągania grawitacyjnego. Ciało pozostające w polu grawitacyjnym Ziemi będzie przyspieszać w jej kierunku, poruszając się po torze pokrywającym się z linią siły pola. Natężenie pola grawitacyjnego to inna nazwa przyspieszenia grawitacyjnego.

Powierzchnia S2 = 4πr22 Powierzchnia S1 = 4πr12 r2

r1

Wraz z oddalaniem się linii od źródła pola zwiększa się powierzchnia zamykającej je kuli, a to oznacza, że natężenie pola grawitacyjnego maleje.

Linie pola grawitacyjnego pokazują KIERUNEK, w którym dane ciało będzie przyspieszać.

Zmienne r1 i r2 to wektory wodzące, o początku w środku kuli ziemskiej. Zazwyczaj do rozwiązania zadania wystarczy znać odległość ciała od Ziemi, ale czasami niezbędne staje się określenie zwrotu wektora położenia, gdyż wektor położenia i wektor przyspieszenia w polu grawitacyjnym są do siebie antyrównoległe.

jesteś tutaj  775

Odległości między liniami Linie sił pola to tylko taka forma ilustracji problemu, prawda? Chyba nie istnieją naprawdę?

Odległości między liniami sił pola informują Cię o natężeniu pola grawitacyjnego. W tych obszarach pola, gdzie linie znajdują się bliżej siebie, jest ono silniejsze. W niedużych odległościach od powierzchni Ziemi linie sił pola znajdują się bardzo blisko siebie, lecz wraz ze zwiększaniem odległości od planety odległości między liniami sił pola również się zwiększają. To samo miało miejsce dla żarówki i promieni światła z niej wychodzących. W płaszczyźnie oddalonej od powierzchni Ziemi o konkretny promień pole grawitacyjne ma stałe natężenie.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego mówimy o „polu” grawitacyjnym? Czy przyspieszenie grawitacyjne lub siła grawitacji nie są lepszymi nazwami?

O

: Słowo „pole” oznacza pewien sposób opisu tego, co dzieje się z wartością przyspieszenia grawitacyjnego. Natężenie pola grawitacyjnego wyraża się w m/s2, czyli takich samych jednostkach, w jakich podaje się przyspieszenie. W pobliżu powierzchni Ziemi wartość natężenia wynosi 9,8 m/s2, lecz wraz ze zwiększaniem się odległości od planety będzie ona maleć.

P: Czy liczba linii sił pola musi

być zawsze równa 32? Załóżmy, że przyjdzie mi narysować pole grawitacyjne i jego linie sił. Jak mam się do tego zabrać?

O

: Nie istnieją żadne sztywne wytyczne. Narysuj tyle linii, żeby wyraźnie zaznaczyć to, co dzieje się w sytuacji opisanej w zadaniu. Z doświadczenia wiemy, że osiem to bardzo wygodna liczba sił pola.

P

Im dalej od siebie znajdują się linie, tym słabsze jest w tym punkcie pole.

Im bliżej siebie są położone linie, tym silniejsze w tym miejscu jest pole.

Linie sił pola nie istnieją fizycznie, ale są wygodnym narzędziem pozwalającym pokazać, co dzieje się w polu grawitacyjnym ciała.

: Co łączy siłę przyciągania grawitacyjnego i pole grawitacyjne?

O

: Pole grawitacyjne jest formą opisu przyspieszenia grawitacyjnego ciała, na które zadziałałaby siła grawitacji, gdyby ciało to znalazło się w danym punkcie pola. Siłę pola grawitacyjnego można zawsze wyrazić następująco: Fwyp = ma.

P: A siła przyciągania grawitacyjnego to po prostu ciężar ciała, czy tak?

Linie sił pola położone bliżej siebie oznaczają silniejsze pole (więc również większe przyspieszenie grawitacyjne). 776

Rozdział 18.

O

: Właśnie! Oczywiście musisz pamiętać, że siła ta, a więc również ciężar ciała, będzie zmieniać się w zależności od odległości od środka Ziemi.

P

: Jak zatem wygląda równanie opisujące taką zależność?

O: Świetnie się składa, że o to pytasz…

Grawitacja i orbity

Zaostrz ołówek Chcesz poznać równanie opisujące siłę grawitacji, jaka działa na statek kosmiczny w dowolnej odległości od Ziemi. a. Jak zmieni się powierzchnia kuli, gdy dwukrotnie zwiększysz jej promień?

b. Siła grawitacji zależy od odległości ciała od Ziemi. Czy siła ta będzie rosła, czy malała wraz ze zwiększaniem się odległości ciała od Ziemi?

c. Gdy zwiększa się odległość od źródła pola, linie jego sił padają — tak jak światło — w tej samej liczbie na coraz większą powierzchnię. Jak sądzisz, w jaki sposób zmieni się natężenie pola grawitacyjnego, jeżeli dwukrotnie zwiększysz odległość dzielącą Cię od Ziemi (tj. podwoisz promień kuli)?

d. Jak zmieni się wartość siły grawitacji, jeśli dwukrotnie zwiększysz masę ciała znajdującego się w polu?

Wskazówka: F = ma.

e. Jak zmieniłaby się wartość siły grawitacji, gdybyś zwiększył dwukrotnie masę Ziemi?

f. Poniżej znajdują się cztery równania. Zmienna G wchodząca w skład każdego z nich to stała (i jednocześnie współczynnik zamiany jednostek), dzięki której udaje się otrzymać właściwą jednostkę i poprawny wynik liczbowy. Przy każdym z równań zapisz, czy zmiany wartości siły grawitacji, FG, wynikające ze zmiany r (odległości ciała od Ziemi), m1 (masy Ziemi) i m2 (masy ciała), odpowiadają temu, czego spodziewasz się w rzeczywistości. Zakreśl równanie, które jest według Ciebie poprawne.

Wektor siły FG jest zwrócony do środka Ziemi, natomiast wektor r jest zwrócony przeciwnie. Przyjęło się, że opisując pole grawitacyjne, wstawia się w tym równaniu znak minus, żeby zaznaczyć przeciwne zwroty wspomnianych wektorów, choć jest to równanie skalarne.

FG = – Gm1m2r

Gm1m2 FG = – r

2

Gm1r FG = – m2

Zmienna G pojawiająca się w każdym z tych równań pozwala określić poprawną jednostkę wyniku, więc na razie nie zaprzątaj sobie nią głowy.

Gm1m2 FG = – r2

jesteś tutaj  777

Które równanie?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Chcesz poznać równanie opisujące siłę grawitacji, jaka działa na statek kosmiczny w dowolnej odległości od Ziemi. a. Jak zmieni się powierzchnia kuli, gdy dwukrotnie zwiększysz jej promień? Dokładne wyjaśnienie znajdziesz w podrozdziale „Nie istnieją głupie pytania” na stronie 766.

Podwajając promień kuli, zwiększa się czterokrotnie jej powierzchnię, bo S = 4πr2, a 22 = 4.

c. Gdy zwiększa się odległość od źródła pola, linie jego sił padają — tak jak światło — w tej samej liczbie na coraz większą powierzchnię. Jak sądzisz, w jaki sposób zmieni się natężenie pola grawitacyjnego, jeżeli dwukrotnie zwiększysz odległość dzielącą Cię od Ziemi (tj. podwoisz promień kuli)? Podwajając odległość dzielącą ciało od Ziemi, czterokrotnie zwiększę powierzchnię, na którą padają linie sił pola. Wydaje mi się, że przez to natężenie pola spadnie czterokrotnie.

b. Siła grawitacji zależy od odległości ciała od Ziemi. Czy siła ta będzie rosła, czy malała wraz ze zwiększaniem się odległości ciała od Ziemi? Na ciała znajdujące się dalej od Ziemi działa mniejsza siła grawitacji.

d. Jak zmieni się wartość siły grawitacji, jeśli dwukrotnie zwiększysz masę ciała znajdującego się w polu? Zwiększając dwukrotnie masę, zwiększę tyle samo razy siłę grawitacji, bo F = ma.

Wskazówka: F = ma.

e. Jak zmieniłaby się wartość siły grawitacji, gdybyś zwiększył dwukrotnie masę Ziemi? Zwiększając dwukrotnie masę Ziemi, zwiększyłbym dwukrotnie siłę przyciągania (F = ma), z jaką działa na mnie planeta. Ponieważ siły przyciągania grawitacyjnego podlegają III zasadzie dynamiki Newtona, siła, z jaką przyciąga mnie Ziemia, również wzrosłaby dwukrotnie.

f. Poniżej znajdują się cztery równania. Zmienna G wchodząca w skład każdego z nich to stała (i jednocześnie współczynnik zamiany jednostek), dzięki której udaje się otrzymać właściwą jednostkę i poprawny wynik liczbowy. Przy każdym z równań zapisz, czy zmiany wartości siły grawitacji, FG, wynikające ze zmiany r (odległości ciała od Ziemi), m1 (masy Ziemi) i m2 (masy ciała), odpowiadają temu, czego spodziewasz się w rzeczywistości. Zakreśl równanie, które jest według Ciebie poprawne.

FG = – Gm1m2r

2

Źle — zwiększając promień, zwiększyłbym wartość siły FG.

FG = –

Gm1m2 r

Źle — zwiększając dwukrotnie wartość r, zmniejszyłbym wartość siły FG tylko o połowę.

778

Rozdział 18.

Gm1r FG = – m2 Źle — zwiększając m2, zmniejszyłbym wartość siły FG.

FG = –

Gm1m2 r2

Dobrze — podwojenie m1 lub m2 podwoi wartość siły FG. Podwojenie wartości r sprawi, że siła zmaleje czterokrotnie.

Grawitacja i orbity

Grawitacja jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości

głupie pytania

Siła przyciągania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami zależy 1 od wyrażenia r2 . Oznacza to, że podwojenie odległości od źródła siły zmniejszy ją czterokrotnie. Gdy jakaś wielkość spełnia taki warunek, mówimy, że jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu danej wielkości.

: Ale przecież przyjmuje się, że powierzchnia Ziemi to poziom zerowy, prawda? Czy to równanie nie będzie wyglądało nieco dziwnie, gdy podstawi się w mianowniku wartość 0?

Mówimy o odwrotności, ponieważ liczba 1 zostaje podzielona przez pewną wartość — w tym przypadku przez r2 . Zależność od kwadratu wynika stąd, że w mianowniku pojawia się właśnie czynnik podnoszony do drugiej potęgi.

r2 Długość wektora r2 jest dwukrotnie większa od długości wektora r1, więc siła grawitacji w odległości r2 od Ziemi będzie czterokrotnie mniejsza niż siła działająca na ciało w odległości r1.

Nie istnieją

P

O: Wartość r określa odległość ciała

od ŚRODKA Ziemi, a nie odległość od jej powierzchni. Gdy znajdujesz się na powierzchni, zmienna r przyjmuje po prostu wartość promienia Ziemi, a gdy znajdziesz się nieco dalej, r przyjmie wartość Twojej odległości od środka planety.

P

: Czy siła nie powinna zależeć raczej 1 od wyrażenia 4πr2 , niż od 1 r2 ? Przecież powierzchnia kuli to 4πr2.

r1

O

: Wyrażenie 4π to stała. Niezależnie od tego, jak zmieni się r, wartość 4π pozostanie zawsze taka sama. Dlatego też nie można mówić, by wartość siły grawitacji „zależała” od wyrażenia 4π.

r3

Długość wektora r3 jest czterokrotnie większa niż długość wektora r1. Siła przyciągania ziemskiego będzie w tym punkcie szesnastokrotnie mniejsza od siły działającej w punkcie r1, gdyż 42 = 16.

P

: W jakich jednostkach podaje się zmienną G?

O: Dasz radę to obliczyć…

Zaostrz ołówek Wiesz już, że ostatnie z równań zachowuje się zgodnie z oczekiwaniami, gdy zmieniasz wartości mas i promień. Oblicz jednostkę układu SI zmiennej G. Pamiętaj, że obie strony równania muszą mieć tę samą jednostkę.

Gm1m2 FG = – r2

Wskazówka: Nie używaj jednostek siły, N. Postaraj się przeprowadzić obliczenia na najbardziej podstawowych jednostkach (kg, m i s).

Uważaj, żeby nie pomylić m — masy i m — metrów.

jesteś tutaj  779

Stała grawitacji

Wiesz już, że ostatnie z równań zachowuje się zgodnie z oczekiwaniami, gdy zmieniasz wartości mas i promień.

Jednostki po lewej stronie równania: F = ma

Oblicz jednostkę układu SI zmiennej G. Pamiętaj, że obie strony równania muszą mieć tę samą jednostkę.

Gm1m2 FG = – r2

[F] = [m][a] =

kg·m s2

Jednostki po prawej stronie równania: Gm1m2 Równanie ma postać r2 Rachunek jednostek

[G][m1][m2] [r2]

[G]·kg2

kg·m =

m2

kg·m·m2 [G] =

s2.kg2

m3 =

kg.s2

Zapis [G] oznacza „jednostka G”.

Ale co to jest to G?! Po co w ogóle umieszczać je w równaniu?

Równania rachunku jednostek przekształca się tak samo jak wszystkie inne wzory.

Ponieważ obliczenia prowadzimy w jednostkach układu SI, wartość siły przyciągania grawitacyjnego FG zapiszemy w niutonach, natomiast wartości m1 i m2 podamy w kilogramach, a odległość r — w metrach. Stała G ma sprawić, że obydwie strony równania będą miały taką samą jednostkę. Poza tym stała G poprawia wynik obliczeń siły. Pomnożenie przez siebie wartości dwóch mas i podzielenie tego wyniku przez kwadrat promienia nie daje wyniku równego wartości siły zapisanej w niutonach. Liczba G jest pewnego rodzaju współczynnikiem konwersji — jest stałą, która poprawia również wynik obliczeń. To główny powód, dla którego G określa się mianem stałej grawitacji.

Rozdział 18.

m2

= m3/kg.s2

Stała G jest współczynnikiem konwersji, potrzebnym do skorygowania jednostek i wartości siły.

780

[G]·kg2 =

Jednostki po obu stronach są równe. Przekształcam równanie tak, by wyznaczyć z niego wartość [G]:

s2

Prowadząc obliczenia na jednostkach, zaznaczaj mnożenie kropką, gdyż w ten sposób unikniesz pomyłki polegającej na odczytaniu zapisu „kg” jako „k × g”.

Jednostki zapisuj w postaci ułamków, ponieważ łatwiej jest je wtedy przekształcać.

Najpierw oblicz osobno jednostkę każdej ze stron równania.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

G to stała grawitacji. Koryguje zarówno jednostki, jak i wynik obliczeń.

Grawitacja i orbity Wreszcie możemy obliczyć siłę grawitacji dla różnych mas i różnych odległości. Rewelacyjnie! Kuba: Chyba nie do końca. Nie wiemy, czym w równaniu jest G. Oczywiście, znamy jej jednostkę, ale nie znamy wartości. Gdyby tylko dało się to jakoś wyznaczyć… Krzysiek: Mamy jedno równanie, w którym nie znamy jedynie zmiennej G. Możemy spróbować wyznaczyć ją z tego równania. Franek: Chyba możemy też stwierdzić, że znamy przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi — 9,8 m/s2. To powinno ułatwić nieco sprawę. Krzysiek: A mnie udało się znaleźć w podręczniku masę i promień Ziemi. Teraz chyba mamy już wszystko, co może być nam potrzebne do obliczenia wartości stałej G.

Fakty jak na tacy

Zaostrz ołówek a. Korzystając z faktu, że znasz przyspieszenie ziemskie przy powierzchni Ziemi, oraz wspomagając się danymi z tablic, oblicz wartość stałej grawitacyjnej, G.

Masa Ziemi:

5,97 × 1024 kg Promień Ziemi:

6,38 × 106 m Minus umieszcza się tu zwyczajowo, aby pokazać, że FG i r mają przeciwne zwroty. Jeżeli liczysz WARTOŚĆ siły F , możesz opuścić ten znakG w obliczeniach.

Siła przyciągania grawitacyjnego działająca między dwiema masami:

Gm1m2 FG = – r2

b. Użyj obliczonej wartości G do obliczenia przyspieszenia grawitacyjnego w polu Ziemi, z jakim będzie poruszać się statek kosmiczny na orbicie Plutona (w odległości 6 × 1012 m od Ziemi).

jesteś tutaj  781

Fakty jak na tacy

G jest stałe

Masa Ziemi:

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

5,97 × 1024 kg

a. Korzystając z faktu, że znasz przyspieszenie ziemskie przy powierzchni Ziemi, oraz wspomagając się danymi z tablic, oblicz wartość stałej grawitacyjnej, G.

Promień Ziemi:

6,38 × 106 m

Niech m1 będzie masą ciała, a m2 — masą Ziemi. Przyspieszenie ziemskie przy powierzchni planety wynosi a = 9,8 m/s2. G m1m2 F = m1a = r = 6,38 × 106 m r2 Gm2 m1 = ? m2 = 5,97 × 1024 kg a = r2 ar2 G = m2 9,8 m/s2 × (6,38 × 106 m) 2 G =

5,97 × 1024 kg

Siła przyciągania grawitacyjnego działająca między dwiema masami:

FG = –

≈ 6,68 × 10–11 m3/kg·s2

Gm1m2 r2

Minus umieszcza się tu zwyczajowo, aby pokazać, że FG i r mają przeciwne zwroty. Jeżeli liczysz WARTOŚĆ siły FG, możesz opuścić ten znak w obliczeniach.

b. Użyj obliczonej wartości G do obliczenia przyspieszenia grawitacyjnego w polu Ziemi, z jakim będzie poruszać się statek kosmiczny na orbicie Plutona (w odległości 6 × 1012 m od Ziemi). F = m1a =

G m1m2 2

r

Gm2 a =

r

2

=

6,68 × 10–11 m3/kg·s2 × 5,97 × 1024 kg (6 × 1012 m) 2

Czy zawsze, gdy będę chciała użyć stałej G, muszę obliczać w ten sposób jej wartość? To bez sensu!

G jest wartością stałą, więc gdy będziesz jej potrzebować do obliczeń, możesz sprawdzić ją w tablicach. Stała grawitacji, G, jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. Nie musisz pamiętać jej wartości ani obliczać jej za każdym razem, gdy będziesz chciał jej użyć. Zawsze kiedy będzie Ci potrzebna, możesz sprawdzić jej wartość w tablicach (albo w dodatku B tej książki). Gdyby stała grawitacji była Ci potrzebna w czasie egzaminu, szukaj jej na karcie wzorów.

782

Rozdział 18.

≈ 1 × 10–11 m/s2

Nie istnieją

głupie pytania

P: Jak ludzie wyznaczyli masę Ziemi? O: Historycznie masę Ziemi wyznaczono dzięki

stałej grawitacji, natomiast wartość stałej G wyznaczono na drodze eksperymentu, mierząc siłę przyciągania między dużymi masami, na przykład kulami armatnimi.

P: Czy to znaczy, że nie tylko Ziemia przyciąga różne ciała grawitacyjnie?

O

: Właśnie tak! Każde ciało przyciąga grawitacyjnie inne ciała. Ciężko to dostrzec, ponieważ efekt oddziaływania grawitacyjnego małych mas (nieporównywalnych z masą Ziemi) jest znikomo mały.

Grawitacja i orbity

Zaostrz ołówek

Minus w tym równaniu pokazuje jedynie, że wektor y mają przeciwne zwroty. Tym razem posłużyliśmy się FG i r zapisem bez znaku minus, ponieważ interesuje nas WARTOŚĆ siły FG i wartość przyspieszenia, a.

Siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, a to oznacza, że jeśli podwoisz odległość między jakimś ciałem a Ziemią, siła przyciągania grawitacyjnego między nimi zmaleje do jednej czwartej poprzedniej wartości. Jak wygląda graficzna interpretacja tej zależności? Narysuj wykres, aby się przekonać. a. Uzupełnij wartości natężenia pola grawitacyjnego dla różnych odległości od Ziemi. Stała grawitacji, G, wynosi 6,67 × 10–11 m3/kg·s2, masa Ziemi, mZ, wynosi 5,97 × 1024 kg. Promień Ziemi to 6,4 ×106 m (po zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących). Wskazówka: Spójrz, jak zwiększają się wartości w tabeli…

b. Narysuj wykres zależności siły grawitacji od odległości. Odległość od Ziemi umieść na osi poziomej, a wartości siły na osi pionowej.

Odległość od Ziemi [m]

a=

GmZ r2

F = m1a =

G m1mZ r2

mZ to masa Ziemi.

6,4 × 106 1,28 × 107 1,92 × 107 2,56 × 107 5,12 × 107

jesteś tutaj  783

Odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości Pamiętaj o podniesieniu promienia do kwadratu.

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Możesz liczyć każdą z wartości natężenia pola oddzielnie albo skorzystać z odwrotnej proporcjonalności do kwadratu odległości po obliczeniu pierwszej wartości (podwajasz odległość, siła maleje czterokrotnie).

Siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, a to oznacza, że jeśli podwoisz odległość między jakimś ciałem a Ziemią, siła przyciągania grawitacyjnego między nimi zmaleje do jednej czwartej poprzedniej wartości. Jak wygląda graficzna interpretacja tej zależności? Narysuj wykres, aby się przekonać. a. Uzupełnij wartości natężenia pola grawitacyjnego dla różnych odległości od Ziemi. Stała grawitacji, G, wynosi 6,67 × 10–11 m3/kg·s2, masa Ziemi, mZ, wynosi 5,97 × 1024 kg. Promień Ziemi to 6,4 ×106 m (po zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących). Wskazówka: Spójrz, jak zwiększają się wartości w tabeli…

b. Narysuj wykres zależności siły grawitacji od odległości. Odległość od Ziemi umieść na osi poziomej, a wartości siły na osi pionowej.

Odległość od Ziemi [m]

a=

GmZ r2

mZ to masa Ziemi.

6,4 × 106

9,72 m/s2

1,28 × 107

2,43 m/s2

1,92 × 107

1,08 m/s2

2,56 × 107

0,608 m/s2

5,12 × 107

0,152 m/s2

Natężenie pola grawitacyjnego Wykres zależności natężenia pola grawitacyjnego od odległości ciała względem Ziemi

[m/s2]

10,0 8,0

Wartość proporcjonalna do odwrotności kwadratu odległości maleje bardzo szybko, gdy odległość zaczyna wzrastać.

6,0 4,0 2,0

Odległość

0 0

6,4

1 promień Ziemi

784

Rozdział 18.

12,8

19,2

25,6

2 promienie Ziemi

51,2

od Ziemi (m × 106)

Tak można zapisywać skalę wykresu, jeżeli masz do czynienia z bardzo dużymi albo bardzo małymi liczbami.

Grawitacja i orbity

Teraz możesz obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego statku w dowolnym punkcie przestrzeni Astronauta planuje lot z Ziemi w najdalsze zakątki Układu Słonecznego. Szukamy prędkości ucieczki, czyli takiej jej wartości, która zagwarantuje, że wystrzelony z Ziemi statek kosmiczny nie spadnie z powrotem w wyniku oddziaływania grawitacyjnego. Odkryłeś, że pole grawitacyjne Ziemi musi słabnąć, gdy przyciągane ciało oddala się od jej powierzchni. To oznacza, że przyspieszenie grawitacyjne, z jakim porusza się statek kosmiczny, nie będzie stałe, co oczywiście jest skutkiem pozostawania statku pod wpływem działania zmiennej siły przyciągania grawitacyjnego. Natężenie pola grawitacyjnego Natężenie pola grawitacyjnego Ziemi maleje gwałtownie wraz ze zwiększaniem się odległości od powierzchni planety.

Odległość

Po przeanalizowaniu znanych Ci faktów doszedłeś do wniosku, że natężenie pola grawitacyjnego jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości. Z tego powodu dwukrotne zwiększenie odległości ciała od źródła pola sprawia, że natężenie tego pola, jakie odczuwa ciało, spada czterokrotnie. Oczywiście siła przyciągania grawitacyjnego również maleje, więc statek kosmiczny oddalający się od Ziemi będzie przyciągany przez nią coraz słabiej. Ponieważ siła i przyspieszenie są zmienne, nie zdołasz obliczyć prędkości ucieczki, posługując się znanymi Ci równaniami ruchu.

Natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości.

Równania ruchu są prawdziwe, dopóki ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Masz do rozwiązania zadanie, w którym siła działająca na ciało nie ma stałej wartości, a to oznacza, że wartość przyspieszenia również ulega zmianie, więc nie będziesz mógł posłużyć się równaniami ruchu. Czy przychodzi Ci do głowy pomysł, jak inaczej możesz wyznaczyć prędkość ucieczki?

jesteś tutaj  785

Energia potencjalna grawitacji No dobrze, możemy obliczyć siłę działającą na statek kosmiczny w każdym miejscu Układu Słonecznego. Doskonale!

Kuba: Nie ma się z czego cieszyć. Musimy obliczyć prędkość, z jaką ma poruszać się astronauta, żeby opuścić powierzchnię Ziemi. Krzysiek: Właśnie, jest to pewien problem. Wszystkie znane nam równania ruchu zakładają, że ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem, a przecież przyspieszenie grawitacyjne wcale nie jest stałe. Franek: Przecież już raz poradziliśmy sobie ze zmiennym przyspieszeniem, kiedy obliczaliśmy prędkość sanek u podnóża stoku o zmiennym nachyleniu. Krzysiek: Racja. Składowa siły ciężkości, która nadawała sankom przyspieszenie, zmieniała się w każdym punkcie toru ruchu. Siła wypadkowa nie była stała, więc z równania Fwyp = ma wynika, że przyspieszenie też nie mogło być stałe. I jak sobie poradziliśmy? Franek: Użyliśmy zasady zachowania energii, jak mi się zdaje. Krzysiek: Prawda. Stwierdziliśmy, że energia potencjalna sanek, jaką dysponowały na szczycie toru, zostanie zamieniona w energię kinetyczną u podnóża toru. Stosując takie rozumowanie, nie musieliśmy myśleć o kształcie toru. Franek: Wystarczyło znać różnicę wysokości położeń ciała.

KONIEC

START

En. potencjalna

En. kinetyczna

v = 0 m/s

v=? Ziemia

Pluton Całkowita energia układu jest zachowana.

Krzysiek: Zmiana energii potencjalnej będzie równa zmianie energii kinetycznej, więc powinniśmy dać radę obliczyć prędkość z równania Ek = ½mv2! Franek: Świetnie. Energię potencjalną wyznaczymy ze wzoru Ep = mgh, więc zadanie mamy już w zasadzie rozwiązane!

START

KONIEC En. kinetyczna

v=?

En. potencjalna

v = 0 m/s Ziemia

Ten lot jest SYMETRYCZNY. Prędkość ucieczki będzie taka sama jak prędkość końcowa po upadku na Ziemię.

786

Kuba: Ciekawe, czy da się rozwiązać w ten sposób problem statku kosmicznego? Czy możemy udawać, że statek startuje w bardzo dużej odległości od Ziemi, mając mnóstwo energii potencjalnej, a potem „spada” z powrotem na Ziemię? To przecież zagadnienie symetryczne do naszego, prawda? Prędkość ucieczki potrzebna do opuszczenia Ziemi byłaby taka sama jak końcowa prędkość spadania.

Rozdział 18.

Pluton

Kuba: Nie jestem pewien. W tym wzorze pojawia się „g”, czyli przyspieszenie ziemskie, prawda? Ale w rozważanym przypadku ono wcale nie jest stałe. Krzysiek: Równanie Ep = mgh to nic innego, jak praca = siła × przesunięcie. Można go używać, jeżeli wysokość, na jaką przemieszczamy ciało, nie przekracza kilkuset metrów. My musielibyśmy chyba rozbić wykres zależności siły od przemieszczenia na małe fragmenty i liczyć zmianę energii dla każdego z nich oddzielnie. Po zsumowaniu otrzymalibyśmy całkowitą pracę wykonaną przez siłę grawitacji. Franek: To może lepiej poszukać nowego równania energii potencjalnej grawitacji. Takiego, które sprawdzałoby się na dużych odległościach.

Grawitacja i orbity

Energia potencjalna jest równa polu pod wykresem zależności siły od odległości Wykonując pracę przeciwko sile grawitacji, nadajesz ciału energię potencjalną Ep. W pobliżu powierzchni Ziemi energia ta jest równa Ep = mgh, co wynika bezpośrednio z definicji pracy, W = Fx. Pojawiające się we wzorze wyrażenia mg i h to odpowiednio siła grawitacji i zmiana wysokości, jakiej doświadczyło ciało. Zmianę energii potencjalnej można zilustrować wykresem zależności siły od odległości, gdzie zmiana energii jest równa polu pod tym wykresem.

Siła

F

x

Siła

Jednak w dużej odległości od Ziemi siła zmienia się razem z kwadratem odległości, a to oznacza, że obliczenie pola pod wykresem zależności wartości siły od położenia ciała — a tym samym obliczenie zmiany energii potencjalnej — wcale nie jest proste.

Odległość

Wyrażenie FΔx to praca wykonana przez siłę F. Jest ono równe polu pod wykresem zależności siły od przemieszczenia.

Siła zmienia się razem z odległością.

to wykonana Jeżeli na ciało działa siła grawitacji, cjalnej poten ii energ nie zmia = praca przeciw niej grawitacji ciała.

Chcieliśmy oszczędzić Ci (ogromnego!) trudu obliczania pola pod krzywą zależności siły grawitacji od odległości, więc postanowiliśmy podać Ci równanie opisujące energię potencjalną grawitacji jak na tacy.

Równanie jak na tacy

Epg = –

Odległość

Zaostrz ołówek a. Jaka, zgodnie z równaniem, będzie wartość energii Ep, gdy r będzie bardzo, bardzo duże (czytaj: nieskończenie wielkie)?

b. Posługując się podanym równaniem, oblicz wartość energii potencjalnej grawitacji Ep masy równej 10,0 kg na powierzchni Ziemi. (Promień Ziemi to 6,38 × 106 m, a masa Ziemi to 5,97 × 1024 kg. Wartość stałej grawitacji to G = 6,67 × 10–11 m3/kg·s2).

Gm1m2 r c. Skomentuj otrzymane wyniki.

jesteś tutaj  787

Zmierz zmianę

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Jaka, zgodnie z równaniem, będzie wartość energii Ep, gdy r będzie bardzo, bardzo duże (czytaj: nieskończenie wielkie)?

Równanie jak na tacy

Epg = –

Gdy r jest bardzo, bardzo duże, Ep = 0 J, ponieważ licznik ułamka jest dzielony przez bardzo, bardzo duży mianownik.

b. Posługując się podanym równaniem, oblicz wartość energii potencjalnej grawitacji Ep masy równej 10,0 kg na powierzchni Ziemi. (Promień Ziemi to 6,38 × 106 m, a masa Ziemi to 5,97 × 1024 kg. Wartość stałej grawitacji to G = 6,67 × 10–11 m3/kg·s2). Na powierzchni Ziemi zmienna r jest promieniem Ziemi. Ep = -

Gm1m2 6,67 × 10–11 m3/kg·s2 × 10,0 kg × 5,97 × 1024 kg = r 6,38 × 106 m Ep ≈ – 6,24 × 108 J

c. Skomentuj otrzymane wyniki. To dziwne. Ostatnio energia potencjalna grawitacji na powierzchni Ziemi wynosiła Ep = 0 J. Teraz tę wartość przyjmuje energia w nieskończoności. I dlaczego energia potencjalna grawitacji na powierzchni planety ma ujemną wartość?

Czy poprzednio nie twierdziliśmy, że energia potencjalna Ep na powierzchni Ziemi jest równa zeru? I o co w ogóle chodzi z tymi liczbami ujemnymi? Ewidentnie coś jest nie tak z tym równaniem!

Możesz mierzyć tylko zmianę energii. Wiedząc, o ile zmienia się energia potencjalna grawitacji statku odbywającego podróż z Ziemi na skraj Układu Słonecznego, możesz powiedzieć, że na dotarcie tam statek musi wydatkować dokładnie taką samą ilość energii kinetycznej. Korzystając z tej zależności, zdołasz obliczyć prędkość ucieczki statku, bo Ek = ½mv2. Ponieważ dla Twoich obliczeń istotna jest zmiana energii, jej wartość bezwzględna jest bez znaczenia, o ile względnie zmienia się ona o tyle samo. Przypomina to trochę ocenianie długości przedmiotu położonego na linijce. Jeżeli jego początek znajduje się przy podziałce oznaczonej 2,0 cm, a koniec styka się z podziałką 4,0 cm, widzisz, że ciało ma 2,0 cm długości. Jednak gdybyś położył je przy podziałce oznaczonej 28,0 cm tak, by jego koniec znajdował się przy podziałce 30,0 cm, długość ciała nadal byłaby równa 2,0 cm. Jej wartość nie zależy od wyboru początku skali.

788

Rozdział 18.

Gm1m2 r

Wykrywasz i obliczasz ZMIANĘ energii potencjalnej grawitacji, a nie jej wartość bezwzględną.

ΔEp = 6.24 × 108 J

START (Ziemia)

En. kinetyczna

v=? Ep = -6.24 × 108 J

KONIEC (Pluton)

En. potencjalna

v = 0 m/s Ep = 0 J

ΔEp = -6.24 × 108 J KONIEC START (Ziemia) (Pluton) En. kinetyczna

v=? Ep = -6.24 × 108 J

En. potencjalna

v = 0 m/s Ep = 0 J

Zmiana energii potencjalnej ΔEp zawsze ma tę samą WARTOŚĆ bezwzględną. Znak, który się przy niej pojawia, informuje jedynie o kierunku ruchu będącego powodem pojawienia się zmiany. Przemieszczanie się w jedną stronę sprawi, że energia potencjalna ciała wzrośnie (dodatnia zmiana energii), a poruszanie się w stronę przeciwną sprawi, że energia potencjalna ciała zmaleje (ujemna zmiana energii).

Grawitacja i orbity

Jeżeli w nieskończoności Ep = 0 J, otrzymane równanie będzie prawdziwe dla dowolnej gwiazdy czy planety Przyjęcie założenia, że Ep = 0 J przy powierzchni Ziemi, sprawdza się doskonale, gdy rozważasz zdarzenia mające miejsce na niewielkich wysokościach w stosunku do promienia Ziemi. Wtedy możesz założyć również, że przyspieszenie ziemskie, g = 9,8 m/s2, jest stałe. Przy takich warunkach brzegowych prawie zawsze przyjmuje się energię potencjalną równą zero na poziomie ziemi. To wygodny punkt odniesienia dla dalszych obliczeń. Ale gdy oddalasz się znacznie od Słońca czy innej planety, powierzchnia Ziemi przestaje być dobrym punktem odniesienia dla wykonywanych pomiarów. Z myślą o wykonywaniu uniwersalnych pomiarów temperatury naukowcy stworzyli skalę Kelwina, której najniższą temperaturą — i najniższą w ogóle dopuszczalną we wszechświecie — jest tak zwane „zero bezwzględne”. Nikt jeszcze nie osiągnął zera bezwzględnego, tak samo jak nikt nie doleciał do nieskończoności, ale określenie wspólnego, niezmiennego punktu odniesienia pozwala wygodnie porównywać wszystkie inne mierzone wartości.

Podobnie wygląda sp skali temperatur. Na rawa z definiowaniem jest posługiwać się Ziemi wygodniej na punktach zamarz skalą bazującą ania i wrzenia wody — 0°C i 100°C — ale nie jest uniwersalna skala Celsjusza od warunków panując, ponieważ zależy ych na Ziemi.

Maksymalną energię potencjalną grawitacji osiąga się w nieskończoności. Dziś szacuje się, że w kosmosie znajduje się 1022 gwiazd i planet. Gdyby chcieć zdefiniować punkt odniesienia energii potencjalnej grawitacji dla każdej z nich z osobna, obliczenia stałyby się bardzo skomplikowane. Dlatego lepiej jest określić wspólny punkt odniesienia energii potencjalnej grawitacji dla wszystkich ciał we wszechświecie — taki, który nie zależałby od ich masy ani od odległości dowolnego ciała od ich powierzchni. Takim wspólnym punktem odniesienia jest miejsce, gdzie energia potencjalna grawitacji dowolnego ciała będzie największa. Warunek ten zostaje spełniony, gdy przemieścisz się możliwie najdalej od powierzchni Ziemi — czy Słońca, czy też jakiejkolwiek innej gwiazdy czy planety. Punkt ten nazywamy nieskończonością.

A zatem… największą energię potencjalną grawitacji osiąga się dla bardzo dużych r. Równanie to potwierdza — Ep = 0 J, gdy r jest bardzo duże. Czy to oznacza, że energia potencjalna grawitacji może wynosić maksymalnie jedynie 0 J?! Czy to znaczy, że wszędzie poza nieskończonością energia potencjalna grawitacji będzie ujemna?

Energia potencjalna Obliczana energia potencjalna grawitacji grawitacji Ep = 0 J będzie zawsze ujemna. w nieskończoności. Twoja energia potencjalna grawitacji wzrasta wraz z oddalaniem Całkowita energia się od powierzchni planety. Ponieważ zdefiniowaliśmy energię potencjalną grawitacji Ep = 0 J w nieskończoności układu jest zachowana, — a to najdalej, jak możesz się udać — zwiększanie energii więc wzrost energii kinetycznej w efekcie spadania na powierzchnię planety oznacza jednoczesny ubytek energii potencjalnej grawitacji, która osiąga kinetycznej w wyniku w efekcie wartości ujemne. spadania oznacza spadek Ale wszystko jest w porządku — skala nie uległa zmianie. energii potencjalnej Zmiana energii potencjalnej będzie nadal taka sama, a wybór do wartości ujemnych. początku skali nie ma znaczenia. Musisz tylko uważać na znak minus w obliczeniach!

jesteś tutaj  789

Obnażamy energię potencjalną

Obnażamy energię potencjalną W tym tygodniu poruszymy temat „Energia potencjalna odpiera zarzuty niespójności”. Head First: A zatem, droga energio potencjalna,

Energia potencjalna: Nie wiesz? To wyobraź sobie,

co powiesz na stawiane ci zarzuty niespójności? Jak nisko możesz upaść?

że Twój statek kosmiczny ma wystartować z Księżyca lub z Marsa. Co byś wtedy zrobił?

Energia potencjalna: Mogę upaść tak nisko, jak tylko

Head First: Przypuszczam, że przyjąłbym zerową wartość energii potencjalnej na Marsie lub Księżycu…

zechcę. Innymi słowy, energia potencjalna jest zerem tam, gdzie chcesz.

Head First: Chwileczkę, sugerujesz, że nie wiesz nawet, w którym miejscu przyjmujesz wartość zerową?

Energia potencjalna: Owszem… Head First: Ale skoro ty tego nie wiesz, to jakim cudem ja miałbym wiedzieć? Czy ktokolwiek inny na Ziemi, skoro już o tym mowa?

Energia potencjalna: Wydaje mi się, że nie do końca

Energia potencjalna: Ale to przecież strasznie niespójne, prawda? Jak miałbyś porównywać wyniki obliczeń, skoro punkt odniesienia ciągle zmieniałby swoje położenie?

Head First: Hmm, coś w tym jest, ale nie rozumiem idei stosowania ujemnych wartości energii potencjalnej. Nie przypuszczałem, że energia jest wektorem. Energia potencjalna: Nie jestem wektorem. Temperatura też nie jest. Temperatura –2°C nie jest zwrócona w przeciwną stronę niż temperatura 2°C. Minus przy jej wartości wskazuje położenie na skali, a nie zwrot.

rozumiesz całą sytuację. Nie zdołasz zmierzyć bezwzględnej energii potencjalnej. Zawsze określasz tylko jej zmianę, więc możesz wybrać sobie punkt zerowy energii.

Head First: Co to oznacza w praktyce?

Head First: A niby do czego miałoby mi się to przydać?

Energia potencjalna: Dobrze, wyobraź sobie,

Energia potencjalna: W ten sposób zyskujesz punkt odniesienia dla pomiaru dalszych zmian energii potencjalnej.

Head First: No dobrze, tylko powiedz mi, dlaczego musimy umieszczać ten punkt w nieskończoności? Czułem się zupełnie spełniony, gdy zero było przypisane do powierzchni Ziemi.

Energia potencjalna: Musisz dostrzec większą skalę. Gdy znajdujesz się przy powierzchni Ziemi, możesz przyjąć z powodzeniem, że przyspieszenie i siła grawitacji są stałe, przez co energia potencjalna wyrazi się wzorem Ep = mgh.

Head First: To dlaczego nie mogę skorzystać z tego, gdy znajdę się daleko od naszej planety?

Energia potencjalna: Siła grawitacji maleje wraz z kwadratem odległości. Ponieważ nie ma stałej wartości, obliczanie energii potencjalnej wymaga odwołania się do bardziej złożonych metod matematycznych.

Head First: Rozumiem. Ale to nadal nie daje odpowiedzi na pytanie, dlaczego umieszczać zerową energię potencjalną w nieskończoności, a nie na powierzchni Ziemi.

790

Rozdział 18.

że rozpoczynasz swoją podróż w nieskończoności, dysponując zerową energią potencjalną. Zaczynasz spadać na Ziemię (lub inną gwiazdę czy planetę). Co dzieje się z Twoją energią kinetyczną?

Head First: Moja prędkość wzrasta, więc i energia kinetyczna wzrośnie. Energia potencjalna: Doskonale! Ale pamiętaj, że energia całkowita musi pozostać niezmieniona. Skoro zacząłeś swoją podróż z zerową energią potencjalną i zyskałeś, powiedzmy 100 J energii kinetycznej, energia potencjalna musi wynosić w tej chwili –100 J.

Head First: No dobrze… ale przez te minusy obliczenia strasznie się komplikują. Energia potencjalna: Przyznaję, to wada rozwiązania polegającego na umieszczeniu zera w nieskończoności. To moja rada: po prostu musisz uważać i wszystko będzie dobrze. Pamiętaj też, że masz do czynienia ze zmianami energii — oddalając się od planety, zyskujesz energię potencjalną, więc zmiana jest dodatnia. To jak podnoszenie się temperatury od –40°C do –2°C — zmiana wynosi 38°C.

Head First: Dziękuję ci. Teraz wszystko jest znacznie prostsze.

Grawitacja i orbity

Oblicz prędkość ucieczki z zasady zachowania energii Gdyby na statek kosmiczny działała stała siła grawitacji, przez co poruszałby się on ze stałym przyspieszeniem, mógłbyś obliczyć prędkość ucieczki, używając równań ruchu. Niestety siła grawitacji maleje wraz z oddalaniem się statku od Ziemi, przez co rachunek sił staje się zbyt skomplikowany. Nie zapominaj jednak, że masz jeszcze do dyspozycji zasadę zachowania energii, która mówi, że początkowa energia kinetyczna, którą dysponował statek, musiała zostać przekształcona na energię potencjalną grawitacji.

Zaostrz ołówek Napęd statku zostaje wyłączony zaraz po starcie z Ziemi. Z jaką minimalną prędkością powinien wystartować statek, żeby uciec z pola grawitacyjnego Ziemi i osiągnąć nieskończoność?

En. kinetyczna

En. potencjalna

v=?

v=0

Ziemia

Pluton

Zasada zachowania energii sprawdza się tam, gdzie obliczanie sił byłoby zbyt skomplikowane.

To, którą mas m1, a którą poę podstawisz pod zmienn żadnego znac d zmienną m2, nie ma ą zenia, pod w że będziesz ko arunkiem podjętej decy nsekwentnie trzymał się zji przez całe rozwiązanie.

Równanie jak na tacy

Epg = –

Gm1m2 r

Promień Ziemi jest równy 6,68 × 106 m, jej masa wynosi 5,97 × 1024 kg, a stała grawitacji G = 6,67 × 10–11 m3/kg·s2. Jeżeli zdołasz odlecieć w nieskończoność, to na pewno dasz radę dolecieć na Plutona!

jesteś tutaj  791

Słońce też ma pole grawitacyjne

Równanie jak na tacy

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Epg = –

Napęd statku zostaje wyłączony zaraz po starcie z Ziemi. Z jaką minimalną prędkością powinien wystartować statek, żeby uciec z pola grawitacyjnego Ziemi i osiągnąć nieskończoność?

Gm1m2 r

Promień Ziemi jest równy 6,38 × 106 m, jej masa wynosi 5,97 × 1024 kg, a stała grawitacji G = 6,67 × 10–11 m3/kg·s2. m1 = masa statku kosmicznego Powierzchnia Ziemi

Nieskończoność

v0 = ?

m2 = masa Ziemi

v = 0

Równanie opisujące energię potencjalną grawitacji (przy założeniu Ep = 0 J w nieskończoności) jest bardzo podobne do równania siły grawitacji.

Energia kinetyczna, jaką dysponuje statek przy powierzchni Ziemi, zostaje przekształcona na energię potencjalną, jaką statek ma w nieskończoności. ΔEp = Ep niesk. – Ep na Ziemi

Jeżeli posłużyłeś się tu wartością energii potencjalnej grawitacji przy powierzchni Ziemi, którą obliczyłeś na stronie 788, nie popełniłeś żadnego błędu, ale skrócenie masy ciała w tego typu zadaniach ułatwia zazwyczaj ich rozwiązanie.

ΔEp = 0 J. – Ep na Ziemi Odejmowanie liczby ujemnej Gm1m2 od zera daje wynik dodatni, więc ΔEp = r Masa statku skraca się po podzieleniu przez nią obydwu stron równania. Okazuje się, że prędkość ucieczki nie zależy od masy wystrzeliwanego w powietrze ciała.

ΔEk = ΔEp ½m1v02 =

v0 =

Gm1m2 r 2Gm2 r

=

2 × 6,67 × 10–11 m3/kg·s2 × 5,97 × 1024 kg 6,38 × 106 m

v0 ≈ 1,12 × 104 m/s = 11,2 km/s

Hmm, tak się zastanawiam… czy nie muszę uciec też z pola grawitacyjnego Słońca?

Osiągnięcie prędkości ucieczki gwarantuje, że statek kosmiczny nie spadnie na Ziemię po wyłączeniu silników. W przypadku próby opuszczania pola grawitacyjnego Ziemi prędkość ta wynosi 11,2 km/s. Sporo, ale pamiętaj, że w kosmosie nie ma atmosfery, więc nie spowalnia Cię siła tarcia! Tymczasem astronauta zgłosił zastrzeżenia. Uważa, że aby dotrzeć do nieskończoności, będzie musiał uciec również z pola grawitacyjnego Słońca! Masa Słońca jest około 300 000 razy większa od masy Ziemi, więc oddziałuje na naprawdę duże odległości! W rozwiązaniu będziesz musiał uwzględnić zmianę energii potencjalnej wynikającą z oddalania się od Słońca, ale także tą, która wiąże się z opuszczaniem pola Ziemi.

792

Rozdział 18.

Jakub zauważył pewien problem…

Grawitacja i orbity

Zaostrz ołówek Po pewnym czasie od wystrzelenia z Ziemi napęd statku kosmicznego zostaje wyłączony. Z jaką minimalną prędkością powinien wystartować statek, żeby uciec z pola grawitacyjnego Ziemi oraz z pola grawitacyjnego Słońca i osiągnąć nieskończoność? Promień Ziemi jest równy 6,38 × 106 m, jej masa wynosi 5,97 × 1024 kg. Odległość Ziemi od Słońca to 1,50 × 1011 m. Promień Słońca wynosi 6,69 × 108 m, jego masa to 1,99 × 1030 kg, a stała grawitacji G = 6,67 × 10–11 m3/kg·s2. Wskazówka: Zacznij od wykonania dwóch szkiców — jednego, na którym zaznaczysz zmianę energii potencjalnej związaną z ucieczką z pola grawitacyjnego Ziemi, i drugiego, na którym zaznaczysz zmianę energii potencjalnej grawitacji wynikającą z opuszczenia pola grawitacyjnego Słońca.

Wskazówka: Całkowita zmiana energii potencjalnej grawitacji jest sumą zmian energii wynikłych z opuszczania pól grawitacyjnych Ziemi i Słońca. Dalsze obliczenia przebiegają tak samo jak na poprzedniej stronie.

Nadając nazwy zmiennym, zachowaj NAJWYŻSZĄ uwagę, bo w rozwiązaniu pojawi się kilka promieni, różne masy i wiele przemieszczeń.

jesteś tutaj  793

Na koniec świata…

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Po pewnym czasie od wystrzelenia z Ziemi napęd statku kosmicznego zostaje wyłączony. Z jaką minimalną prędkością powinien wystartować statek, żeby uciec z pola grawitacyjnego Ziemi oraz z pola grawitacyjnego Słońca i osiągnąć nieskończoność? Promień Ziemi jest równy 6,38 × 106 m, jej masa wynosi 5,97 × 1024 kg. Odległość Ziemi od Słońca to 1,50 × 1011 m. Promień Słońca wynosi 6,69 × 108 m, jego masa to 1,99 × 1030 kg, a stała grawitacji G = 6,67 × 10–11 m3/kg·s2. Zmiana energii potencjalnej statku wynikająca z działania pola grawitacyjnego Ziemi.

Zmiana energii potencjalnej statku wynikająca z działania pola grawitacyjnego Słońca.

m1 = masa statku kosmicznego

m1 = masa statku kosmicznego rod Sł. = odległość od Słońca mS = masa Słońca

rZ = promień Ziemi mZ = masa Ziemi

Powierzchnia Ziemi Ep = –

Nieskończoność

Gm1mZ

Powierzchnia Ziemi

Ep = 0 J

rZ

Ep = –

Gm1mS

Nieskończoność Ep = 0 J

rod Sł.

Promień Słońca nie ma nia. w tym przypadku znacze Liczy się wyłącznie odległość od niego.

Energia kinetyczna, którą dysponuje ciało przy powierzchni Ziemi, zostaje przekształcona w energię potencjalną grawitacji w nieskończoności. ΔEp = Ep niesk. – Ep na Ziemi ΔEp = 0 J. – Ep na Ziemi Odejmowanie liczby ujemnej Gm1mZ Gm1mS + r od zera daje wynik dodatni, więc ΔEp = r Z od Sł. Masa statku kosmicznego skraca się po podzieleniu przez nią obydwu stron równania.

ΔEk = ΔEp ½m1v02 =

Gm1mZ Gm1mS + r rZ od Sł.

v0 =

v0 =

v0 =

794

Rozdział 18.

Wspaniale! Plutonie, nadciągam. Ale jest jeszcze jedna sprawa…

2GmZ 2GmS + r rZ od Sł. 2 × 6,67 × 10–11 m3/kg·s2 × 5,97 × 1024 kg 6,38 × 106 m

+

2 × 6,67 × 10–11 m3/kg·s2 × 1,99 × 1030 kg 1,50 × 1011 m

1,44 × 108 m2/s2 + 1,77 × 109 m2/s2 ≈ 4,37 × 104 m/s = 44,7 km/s

Grawitacja i orbity

Musimy mieć łączność z astronautą Zanim wyślemy astronautę w podróż na podbój Plutona, musimy zorganizować satelity komunikacyjne, dzięki którym będziemy z nim w stałym kontakcie. Chcemy umieścić je na szczególnym rodzaju orbity ziemskiej, zwanej orbitą geostacjonarną. Satelita krążący po orbicie geostacjonarnej pozostaje zawieszony cały czas nad jednym i tym samym punktem powierzchni Ziemi.

Patrzymy na kulę ziemską od spodu.

Ziemia i satelita obracają się w tym samym kierunku.

uje Satelita utrzymnktem pu m ty d na ę si emi. powierzchni Zi

Tu jest biegun południowy.

Rysunek nie zachowuje skali.

Okres obrotu orbity GEOSTACJONARNEJ wynosi 24 godziny, czyli dokładnie tyle samo, co okres obrotu Ziemi wokół własnej osi.

obracają i satelita sem, ia m ie Skoro Z im samym okreieszony k się z ta pozostanie zaw samym satelita ły czas nad tym przez ca powierzchni. punktem

Satelita porusza się przez cały czas… a mimo to pozostaje ciągle nad tym samym punktem powierzchni. Przyczyna jest prosta — okres obrotu satelity jest taki sam jak okres obrotu Ziemi wokół własnej osi. Ta cecha satelitów geostacjonarnych pozwala wykorzystywać je do utrzymywania łączności, ponieważ wystarczy wycelować w określony punkt nieba naziemne nadajniki i odbiorniki, by przez cały czas mieć dostęp do kanałów komunikacyjnych.

Naziemne stacje przekaźnikowe wysyłają sygnały do satelity i odbierają je z niego przez całą dobę.

Wiemy, że okres obrotu satelity musi wynosić dokładnie 24 godziny, ponieważ właśnie tyle trwa jeden obrót Ziemi wokół własnej osi.

jesteś tutaj  795

Lata i dni To proste, no nie? Księżyc okrąża Ziemię raz na 24 godziny, więc satelity komunikacyjne muszą znaleźć się nad Ziemią na takiej samej wysokości, na jakiej znajduje się Księżyc. Kuba: Hmm… wydaje mi się, że Księżyc potrzebuje więcej czasu, by okrążyć Ziemię. Pełnia jest tylko raz w miesiącu. Franek: Ale Księżyc musi wykonywać pełny obrót wokół Ziemi w ciągu doby! Przecież nie widać go na niebie za dnia. Krzysiek: Jeżeli to twój jedyny argument na poparcie twojej hipotezy, to zaraz dojdziesz do wniosku, że Słońce też okrąża Ziemię raz na 24 godziny! A przecież wszyscy wiedzą, że to nieprawda — Ziemia okrąża Słońce i potrzebuje na to całego roku. Franek: No, niby tak. Kuba: Z Ziemi wygląda to tak, jakby Księżyc i Słońce płynęły po niebie, ale to złudzenie wynikające z faktu, że Ziemia obraca się wokół własnej osi raz na 24 godziny. Stąd właśnie różne pory dnia i nocy. Franek: No przecież! I dlatego satelita komunikacyjny ma mieć okres obrotu równy 24 godziny? Żeby jego ruch zgadzał się z ruchem Ziemi, dzięki czemu satelita będzie zawieszony cały czas nad tym samym punktem? Krzysiek: I co z tego, skoro nie wiemy, jak — mając okres — obliczyć promień orbity. Co więcej, nie potrafimy policzyć żadnego parametru ruchu po orbicie! Kuba: Hmm, jestem przekonany, że Pluton obiega Słońce znacznie dłużej niż Ziemia. Może okres poruszania się po orbicie zależy od odległości od okrążanego ciała?

Doba to czas potrzebny Ziemi na wykonanie jednego obrotu wokół własnej osi.

Rok to czas potrzebny Ziemi na jednokrotne obiegnięcie Słońca.

Franek: Nie jestem pewien. Pamiętacie kółka dla chomików? Każdy fragment kółka poruszał się chyba z tą samą prędkością kątową, a to oznacza, że każdy z nich miał taki sam okres obrotu, a może się mylę? Chodzi mi o to, że odległość od osi kółka nie wpływała na okres obrotu jego elementów. Krzysiek: Tylko że elementy kółka były ze sobą połączone, więc nie miały innego wyjścia — musiały mieć identyczny okres obrotu. Wydaje mi się, że ogólnie okres może zależeć od odległości ciała od środka toru w ruchu po okręgu. Franek: Ciężko się z tym nie zgodzić. Kuba: Jestem przekonany, że ciała położone dalej od środka okręgu potrzebują więcej czasu na wykonanie jednego obrotu. Krzysiek: Ale jak to policzyć?

796

Rozdział 18.

Grawitacja i orbity

Byłoby cudownie, gdyby istniał sposób powiązania ze sobą odległości od środka Ziemi i okresu obiegu wokół niej. Miło czasami pomarzyć…

jesteś tutaj  797

Siła grawitacji w roli siły dośrodkowej

Siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej Na ciało poruszające się po okręgu musi działać siła wypadkowa, pełniąca rolę siły dośrodkowej. Siła wypadkowa musi być skierowana do środka okręgu, po którym porusza się ciało. W rozdziale 15. dowiedziałeś się, jak porównywać wartość siły dośrodkowej, Fd = mr2, z wartością siły wypadkowej. W przypadku satelity geostacjonarnego siłą wypadkową jest siła przyciągania grawitacyjnego Ziemi.

KIERUNEK: Siła grawitacji jest zawsze zwrócona do środka okręgu, więc może pełnić rolę siły dośrodkowej.

WARTOŚĆ siły grawitacji jest opisana tym równaniem (pamiętaj, że minus w tym zapisie to wyłącznie konwencja).

FG =

–Gm1m2 r2

Po porównaniu równań opisujących wartości sił grawitacji i dośrodkowej będziesz musiał dokonać kilku podstawień, żeby wyrazić wynik uzależniony od prędkości kątowej  za pomocą zmiennej T, czyli okresu obrotu. Potem będziesz mógł policzyć promień dowolnej orbity satelitarnej, również interesującej Cię geostacjonarnej, której okres obrotu wynosi 24 godziny. Podane jak na tacy dane pozwolą Ci dokonać niezbędnych obliczeń.

Istnieje tylko jeden promień orbity, na której satelita ma okres obrotu równy 24 godziny, i jest to właśnie orbita geostacjonarna.

Fakty jak na tacy Masa Ziemi:

Ponieważ obydwie są skierowane do środka okręgu, mają identyczny znak.

798

Rozdział 18.

Zadania, w których pojawiają się ciała na orbitach, rozwiążesz, przyjmując, że SIŁA GRAWITACJI pełni rolę SIŁY DOŚRODKOWEJ.

5,97 × 1024 kg Promień Ziemi:

6,38 × 106 m Stała grawitacji:

G = 6,67 × 10–11 m3/kg·s2

Grawitacja i orbity

Zaostrz ołówek W dodatku B znajdziesz równania zawierające zmienną T.

a. Wyprowadź ogólne równanie pozwalające obliczyć długość promienia orbity r dla satelit. Wyraź wartość promienia za pomocą zmiennej T, okresu obrotu ciała, stałej grawitacji G i masy Ziemi mZ (na razie nie podstawiaj żadnych danych, tylko podaj samo równanie).

b. Oblicz, jak wysoko nad powierzchnią Ziemi znajduje się orbita o okresie obiegu równym 24 godziny.

c. Jak zmieni się okres obiegu, jeżeli zwiększysz dwukrotnie promień orbity? (Rozwiąż to zadanie, korzystając z proporcji).

d. Jak zmieniają się energia kinetyczna i potencjalna satelity, który porusza się po okręgu orbity?

jesteś tutaj  799

Oblicz to!

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Wyprowadź ogólne równanie pozwalające obliczyć długość promienia orbity r dla satelit. Wyraź wartość promienia za pomocą zmiennej T, okresu obrotu ciała, stałej grawitacji G i masy Ziemi mZ (na razie nie podstawiaj żadnych danych, tylko podaj samo równanie). Siła przyciągania grawitacyjnego pełni rolę siły dośrodkowej. Fd = Fwyp msrω2 =

GmsmZ r2 GmZ

Masę satelity ω2 = oznaczyliśmy symbolem ms, ale to bez znaczenia, 2 2π bo ta masa i tak = się upraszcza. T

4π2

r

Podstawiam za wartość ω.

3

ω = 2πf ω =

GmZ

a

f =

2π

1 T

T

r3 GmZ

=

To III prawo Keplera. Opisuje ono zależność okresu obrotu i promienia orbity.

r3

T2 r3 =

Obydwie siły są zwrócone do środka okręgu, więc możesz pozbyć się znaku minus.

GmZT2 4π2

Promień pojawiający się w równaniu siły grawitacyjnej jest zawsze mierzony od środka Ziemi, a nie od jej powierzchni. Nie zapomnij uwzględnić tej różnicy w ostatecznym wyniku.

b. Oblicz, jak wysoko nad powierzchnią Ziemi znajduje się orbita o okresie obiegu równym 24 godziny. r =

GmZT2 3

4π2

=

6,67 × 10-11 m3/kg·s2 × 5,97 × 1024 × (86400 s)2 3

4 × π2

≈ 4,22 × 107 m

24 godziny to 24 × 60 × 60 s = 86400 s.

Odległość od powierzchni Ziemi = r – rZ = 4,22 × 107 m – 6,38 × 106 m ≈ 3,59 × 107 m

c. Jak zmieni się okres obiegu, jeżeli zwiększysz dwukrotnie promień orbity? (Rozwiąż to zadanie, korzystając z proporcji). r3 =

GmZT2

W powyższym równaniu wszystkie elementy z wyjątkiem r i T mają stałą wartość.

4π2

Jeżeli podwoimy wartość r, lewa strona równania zwiększy się 2 × 2 × 2 = 8 razy. Oznacza to, że T2 będzie ośmiokrotnie większe niż poprzednio. Proste obliczenie pokazuje, że T = 8 ≈ 2,83 razy większe niż pierwotnie.

d. Jak zmieniają się energia kinetyczna i potencjalna satelity, który porusza się po okręgu orbity? Obydwa rodzaje energii pozostaną niezmienione, ponieważ satelita nie zmieni ani szybkości, ani wysokości (choć oczywiście kierunek wektora prędkości będzie zmieniać się cały czas).

800

Rozdział 18.

Grawitacja i orbity Nie istnieją

głupie pytania

P

: Co to za dziwadło matematyczne 3√, które pojawiło się na poprzedniej stronie?

O

P

: Dlaczego nie mogę porównać po prostu natężenia pola grawitacyjnego z przyspieszeniem dośrodkowym i ominąć całe to skracanie mas?

: To symbol pierwiastka trzeciego stopnia. Pierwiastek kwadratowy pozwala odnaleźć liczbę, którą trzeba podnieść do kwadratu, żeby otrzymać wartość znajdującą się pierwotnie pod pierwiastkiem.

O: Ależ oczywiście, że możesz… tylko jednak warto

P: Tyle wiem… O: Pierwiastek trzeciego stopnia podaje liczbę, którą

: Dlaczego mam prowadzić obliczenia na siłach, a nie na przyspieszeniach?

należy podnieść do sześcianu, żeby otrzymać wartość umieszczoną początkowo pod pierwiastkiem.

P: Czy to znaczy, że jeżeli zachodzi r

to mogę zapisać r = 3

3

= coś,

?

O: Tak. Pierwiastkowanie zawsze przebiega tak samo. P: Zauważyłem, że porównanie wzorów siły

grawitacji i siły dośrodkowej skróciło masę satelity po obu stronach znaku równości. To już nie pierwszy raz…

O

: Świetne spostrzeżenie! Dzieje się tak dlatego, że siła wypadkowa zależy od masy ciała, m. Jeżeli siła ta będzie jednocześnie pełnić rolę siły dośrodkowej, Fd = mad, porównanie ich wzorów spowoduje, że po obu stronach znaku równości pojawi się zmienna m, która następnie skróci się w wyniku dzielenia.

wyrobić sobie nawyk prowadzenia obliczeń na siłach.

P O

: Bo rolę siły dośrodkowej mogą pełnić różne inne siły, których wartość wcale nie musi zależeć od masy ciała.

P: Kiedy wartość siły nie zależy od masy ciała? O: Na przykład elektron w polu magnetycznym

porusza się po okręgu. Ruch jest wynikiem istnienia niezrównoważonego ładunku elektrycznego elektronu, a nie jego masy. Na razie nie musisz się tym przejmować, bo elektromagnetyzm to oddzielny dział fizyki, ale jeśli przyzwyczaisz się teraz do przyrównywania siły dośrodkowej do siły wypadkowej, zadania o zakręcających elektronach nie będą dla Ciebie niczym nowym.

Satelity komunikacyjne są już na swoich miejscach, więc Pluton (i cały wszechświat) stoją przed nami otworem Satelity komunikacyjne znalazły się już na pozycjach, czyli na wysokości blisko 36 000 km nad powierzchnią Ziemi. Astronauta jest gotów do drogi. Szykuj się na podbój Plutona — i tego, co leży za nim!

jesteś tutaj  801

Poradnia pytań — siła grawitacji = sile dośrodkowej Rozwiązywanie zadań o ciałach na orbitach to kolejny standardowy sposób sprawdzenia Twojego zrozumienia zagadnień związanych z siłą dośrodkową. Cała sztuka polega na tym, by przyrównać siłę dośrodkową do siły przyciągania grawitacyjnego, która jest jej źródłem. Potem zostaje już tylko matematyka.

Słowa klucze mające przypomnieć Ci o istnieniu ruchu po okręgu.

Upewnij się, że podstawiasz do równania masę Ziemi, a nie masę Słońca czy innego obiektu scharakteryzowanego w tablicach!

To informacja o tym, które litery powinny pojawić się we wzorze.

ieszczony iemskiej ma zostać um oz oł ok cie bi or Na 2. satelita. wielkości

To znaczy, że na razie nie wolno Ci podstawiać wartości liczbowych.

Zauważ, że od obliczonego promienia orbity satelitarnej musisz odjąć promień Ziemi, ponieważ w poleceniu proszą Cię o podanie wysokości nad powierzchnią Ziemi!

jąc tę zmienną od okresu obiegu, T , uzależnia ie nan rów lne ogó dź wa a. Wypro witacji G i masy Ziemi mZ. promienia orbity, r, stałej gra o ba umieścić satelitę, by jeg chnią Ziemi, na której trze ierz pow nad ość sok wy b. Oblicz ziny. okres obrotu wynosił 24 god iększysz promień orbity? satelity, jeśli dwukrotnie zw egu obi m ese okr z się nie c. Co sta

To typowe pytanie, mające skłonić Cię do zbudowania proporcji ze znanego już wzoru (w tym przypadku jest to wzór z podpunktu a).

Będziesz musiał przeliczyć jednostki tak, by podać czas w sekundach. W przeciwnym razie jednostki nie będą się zgadzać.

Uważaj, żeby nie pomylić równań! Równania opisujące siłę grawitacji, pole grawitacyjne (tj. przyspieszenie wynikające z działania siły grawitacji) i energię potencjalną grawitacji (tę od 0 w nieskończoności) są do siebie bardzo podobne. Pamiętaj, że siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości i że w jej równaniu pojawiają się masy obydwu oddziałujących ze sobą ciał.

802

Grawitacja i orbity j je jednostki

obwód

spadanie

odwrotność kwadratu odległości

zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne

częstotliwość

siła dośrodkowa

wiem już, czym są prędkość ucieczki, orbity i potencjał grawitacyjny!

pole grawitacyjne

składowa zachowanie pędu

doświadczenie

Teraz ciężar

częstość kątowa

przyspieszenie

wykres

moment siły

czas

bloczek

przemieszczenie tarcie

Bądź częścią problemu wektor

szybkość

energia mechaniczna prędkość

prędkość kątowa symetria

spadek swobodny

radiany

energia potencjalna grawitacji

trygonometria

energia kinetyczna

równania ruchu

siła normalna

droga

notacja naukowa

naprężenie

energia

podstawienie

stałe przyspieszenie

siła

zderzenie sprężyste ż t

Pitagoras

popęd siły równanie

okres

nachylenie

energia wewnętrzna powierzchnia

promień praca

objętość

moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Pole grawitacyjne

Natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie jest takie samo jak przyspieszenie ciała spadającego swobodnie z tego punktu. Linie sił pola grawitacyjnego pomagają przedstawić graficznie natężenie pola.

Odwrotność kwadratu odległości

Jeżeli jakaś wielkość fizyczna (na przykład natężenie pola grawitacyjnego) jest proporcjonalna do 1r , mówimy, że jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. 2

jesteś tutaj  803

Pole grawitacyjne

Niezbędnik fizyka

ROZDZIA 18.

Niezbędnik fizyka Masz już za sobą rozdział 18., więc możesz dodać do swojego przybornika kilka metod y pozwalających rozwiązywać zadania z fizyki.

Odwrotność kwadratu o ległości od Linie sił pola grawitacyjnego Linie sił pola grawitac yjnego wskazują kierunek, w jakim poruszałoby się ciało mające spadać swobodnie z teg o punktu. Im bliżej są one na rys unku, tym silniejsze jest w tym punkcie pole.

a będąca K żda wielkość fizyczn Ka a aln oodwrotnie proporcjon ci ddo kwadratu odległoś łości p po zwiększeniu odleg ść jak rto zzmniejsza swoją wa li jeś t, 11/r2. Mówiąc wpros ległość, od z ys dw d ukrotnie zwiększ aleje zm a zn d na wielkość fizyc da czterokrotnie. światła, Przykłady: natężenie tężenie natężenie dźwięku, na pola grawitacyjnego.

Potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny to inna nazwa energii potencjalnej. Najczęściej używa się jej, gdy E = 0 w nieskończoności. p

Potencjał grawitacyjny maleje proporcjonalnie do 1/r, co znaczy, że jeśli podwoisz odległość ciała od źródła pola, potencjał grawitacyjny spadnie o połowę.

Obliczanie orbit

Rozdziałł 118. 8.

Orbita geostacjonarna Okres ciała poruszającego się na tej szczególnej orbicie wynosi 24 godziny. Jej naz wa bierze się stąd, że umieszcz one na niej nad równikiem ciało — jeżeli będzie poruszać się w tym samym kierunku, co Ziemia — będzie zawies zone cały czas nad tym samym punktem pow p ierzchni planety.

ncjału Obliczanie pote grawitacyjnego

jest równa i potencjalnej Zmiana energi j. i kinetyczne zmianie energi mocno uważaj Uważaj, bardzo ach znak się w obliczeni na pojawiający m iś y Ep = 0 J aż zdefiniowal minus! Poniew pozostałe ści, wszystkie ne. w nieskończono jalnej będą ujem nc te po i gi er en zawsze wartości energii będzie A N IA M Z e ci Oczywiś łożenia zera ezależnie od po taka sama, ni na skali.

Siłą wypadkową pełniącą rolę si ły dośrodkowej dla ciała poruszając ego się po orbicie je st siła przyciąg ania grawitacyjnego. Przyrównaj siłę grawitacji do si ły dośrodkowej, a rozwiązania sam e wysypią się z te j tożsamości.

804

Natężenie pola gr awitacyjnego w danym punkci e jest równe przyspieszeniu, z jakim poruszałoby się ciało spadające swobodnie z tego punktu. Natężenie pola gr awitacyjnego jes st odwrotnie prop orcjonalne do kwadratu odle głości.

Równania jak na tacy

Gm1m2 FG = – r2 Gm1m2 Epg = – r

19. Drgania (cz$ I)

W kółko i na okrągło Ojej… od kiedy obróciłam te plany we właściwą stronę, wszystko nabrało nagle innego znaczenia.

Sprawy widziane pod innym kątem potrafią zupełnie zmienić swój wydźwięk. Do tej pory śledziłeś ruch po okręgu wyłącznie z góry, nie zastanawiając się, jak to wygląda z boku. W tym rozdziale połączysz swoją wiedzę na temat ruchu po okręgu ze znajomością trygonometrii, by poznać definicje funkcji sinus i cosinus. Gdy nie będą już one stanowiły dla Ciebie tajemnic, bez trudu poradzisz sobie z każdym ciałem poruszającym się po okręgu — niezależnie od tego, jak na nie spojrzysz.

to jest nowy rozdział 805

Kaczki, strzelby i ruch obrotowy

Witajcie w wesołym miasteczku! Sukces, jaki osiągnąłeś w dziedzinie trenowania chomików wyścigowych, sprawił, że stałeś się sławny. Zgłosiła się do Ciebie kolejna potrzebująca Twojej pomocy osoba. Janka postanowiła otworzyć swoje stoisko w miejskim wesołym miasteczku. Chce urządzić konkurs strzelania do kaczek — z półobrotu. W tej chwili Janka używa urządzenia składającego się z wielkiej obrotowej tarczy i zamocowanej na niej kaczki. Dzięki tarczy kaczka porusza się po okręgu. Jednak Janka przewiduje, że ta forma rozrywki stanie się wkrótce bardzo popularna, więc chciałaby zastąpić tarczę jakimś bardziej kompaktowym rozwiązaniem, żeby zrobić więcej miejsca dla osób zainteresowanych zakupem biletów.

To trudne! Każda moja próba rozwiązania tego problemu była porażką. Pomożesz mi?

W tym rozdziale będziemy często odwoływać się do tego, co zrobiliśmy w sprawie treningów chomików w rozdziale 16.

Janka pomyślała, że klienci mogliby strzelać do elektronicznej wersji kaczek, których obraz byłby wyświetlany na wielkim, płaskim ekranie. Jak na solidnego przedsiębiorcę przystało, Janka zgromadziła cały sprzęt potrzebny do realizacji tego planu — ma kaczkę zamontowaną na poruszającym się po okręgu kiju, ekran, pistolety świetlne, z których strzela się w stronę ekranu. Ekran rejestruje punkt, w który trafiła wiązka światła, oraz pistolet, z którego oddano strzał. Do Ciebie należy najtrudniejsza część całego zadania. Musisz opracować metodę wyświetlania na ekranie ruchu kaczki po okręgu.

Kaczka jest um ocowana na kiju…

się … który obraca o. wkoł

ma gotowa, Janka, młoda da lionów mi się bić by doro teczku… w wesołym mias tysięcy. albo chociaż kilku

806

Rozdział 19.

Janka chce wyświet cyfrowy obraz kaczkilać na ekranie będzie się strzelać , do którego świetlnych, a nie z z pistoletów To znacznie bezpiec wiatrówek. zniejsze rozwiązanie!

Drgania (część I)

Odwzoruj kaczkę na ekranie Prawdziwa kaczka jest umieszczona na kiju i porusza się po okręgu na wysokości wzroku. Ty musisz wymyślić, w którym punkcie ekranu powinna pojawiać się cyfrowa wersja kaczki. Wszystkie próby przeniesienia ruchu kaczki na ekran, które podejmowała dotychczas Janka, dawały komiczne rezultaty i nie nadawały się do użycia.

Koło obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

T = 2,5 s

Koło zatacza pełny obrót w 2,50 sekundy, więc okres obrotu jest równy 2,50 s.

Strzelec staje po tej stronie.

Wiemy, że prawdziwa kaczka porusza się po okręgu o średnicy 3,00 m. Wiemy też, że pełny okręg zatacza w 2,50 sekundy. Kaczka startuje z punktu położonego w połowie ekranu, ywistości w największej możliwej odległości od strzelającego, W rzeleczc stoi nieco strze zaraz i porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek dalej, ale o tego d y m ci ró w zegara. . gadnienia

Kaczka rozpoczyna ruch w tym punkcie.

za

3,00 m

Koło ma 3 m średnicy.

Zaostrz ołówek

W tym miejscu ekran Janki. St stanie rz będzie strzelać elec do niego z pistoletów św ietlnych. Miejsce na Twój szkic.

Przedstaw wygląd gry z punktu widzenia osoby strzelającej i opisz, jak strzelec interpretuje ruch kaczki po okręgu ze swojej perspektywy. Strzelec stoi znacznie dalej od tarczy z kaczką, ale rozmiary kartki nie pozwoliły nam zachować właściwej skali. W rzeczywistości uczestnik zabawy stoi gdzieś przy lewym brzegu sąsiedniej strony! Upewnij się, że wypisałeś wszystkie znane Ci czasy i odległości, które mogą pomóc w przeniesieniu obrazu kaczki na ekran.

jesteś tutaj  807

W przód i w tył

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Przedstaw wygląd gry z punktu widzenia osoby strzelającej i opisz, jak strzelec interpretuje ruch kaczki po okręgu ze swojej perspektywy. Strzelec stoi znacznie dalej od tarczy z kaczką, ale rozmiary kartki nie pozwoliły nam zachować właściwej skali. W rzeczywistości uczestnik zabawy stoi gdzieś przy lewym brzegu sąsiedniej strony! Upewnij się, że wypisałeś wszystkie znane Ci czasy i odległości, które mogą pomóc w przeniesieniu obrazu kaczki na ekran.

0,625 s

1,25 s

0 s — kaczka startuje z połowy ekranu w lewo,

1,50 m

1,875 s

2,5 s — kaczka powraca do punktu startu,

1,50 m

Strzelec widzi, że kaczka startuje z połowy jego pola widzenia i rusza w lewą stronę. Po czasie 0,625 s kaczka znajduje się maksymalnie z lewej strony pola widzenia gracza. Po 1,25 s od rozpoczęcia ruchu kaczka jest znów w środku. Po 1,875 s kaczka osiąga punkt wysunięty maksymalnie w prawo. Po 2,5 s kaczka powraca do punktu wyjścia i jest zwrócona w tę samą stronę, co na początku. Uczestnik zabawy wcale nie widzi koła. Dla niego kaczka porusza się w prawo i w lewo (choć wydaje się odwracać, bo ruch po okręgu sprawia, że zawodnik widzi w danej chwili różne boki kaczki).

Czyli wydaje się, że kaczka porusza się w tył i w przód z jednej strony na drugą. Kuba: No racja. Gdy patrzy się na koło z boku, wcale nie widać jego okrągłych fragmentów. Skoro promień tarczy to 3,00 metry… Krzysiek: … eee, promień to 1,50 metra. Średnica tarczy ma 3,00 metry. Kuba: Oj, masz rację. Przepraszam. Średnica koła to 3,00 metry. Ekran Janki jest szerszy niż wymiar koła, więc będziemy mogli pokazać kaczkę naturalnej wielkości. Krzysiek: Świetnie. Musimy tylko określić, jak szybko kaczka przemieszcza się w obie strony. Potem będziemy mogli wyanimować ruch z tą samą prędkością na ekranie. Franek: Wiemy, że wykonanie pełnego obrotu zajmuje jej 2,5 sekundy. Kuba: Czyli okres obrotu kaczki wynosi 2,5 sekundy. Znamy też promień koła, więc możemy obliczyć szybkość kaczki, tak jak zrobiliśmy to, projektując urządzenie do trenowania chomików. Krzysiek: Wiecie, martwię się trochę tymi pistoletami świetlnymi. Sądzę, że natkniemy się na spore problemy. Wydaje mi się, że…

808

Rozdział 19.

Drgania (część I)

Zaostrz ołówek

Krzysiek martwi się metodą rejestrowania trafień ekranu. Odległość między kaczką a strzelcem jest większa, gdy kaczka znajduje się z tyłu tarczy, po czym stopniowo zmniejsza się do odległości minimalnej, gdy kaczka znajduje się z przodu tarczy. Oznacza to, że światło wystrzelone z pistoletu ma do pokonania różne odległości, zależne od tego, w którym punkcie znajduje się aktualnie kaczka. Kaczka na karuzeli

Strzelec

40,00 m

3,00 m

Przód karuzeli jest 3,00 metry bliżej strzelca niż jej tył.

W efekcie może się okazać, że choć w rzeczywistości strzał oddany do kaczki znajdującej się bliżej byłby rejestrowany wcześniej niż strzał oddany do kaczki znajdującej się dalej, to strzały oddane w kierunku płaskiego ekranu będą rejestrowane jednocześnie. Czy uważasz, że jest to problem wymagający oddzielnej analizy? a. Kaczka jest umieszczona na krawędzi tarczy o średnicy 3,00 m. Tarcza wykonuje pełen obrót w 2,5 sekundy. Z jaką szybkością porusza się kaczka? Równania potrzebne

do rozwiązania tego zadania znajdziesz w rozdziale 16.

b. Strzelec musi trafić kaczkę z pistoletu świetlnego, mierząc z odległości 40,00 m od przodu tarczy. O ile dłużej będzie lecieć światło do końca tarczy (43,00 m od strzelca)? Prędkość światła wynosi 3 × 108 m/s.

Fakt jak na tacy Prędkość światła:

3,00 × 108 m/s c. Czy sądzisz, że uczestnik zabawy zorientuje się w różnicy czasu potrzebnej na zarejestrowanie strzałów?

jesteś tutaj  809

Gdzie jest kaczka?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Krzysiek martwi się metodą rejestrowania trafień ekranu. Odległość między kaczką a strzelcem jest większa, gdy kaczka znajduje się z tyłu tarczy, po czym stopniowo zmniejsza się do odległości minimalnej, gdy kaczka znajduje się z przodu tarczy. Oznacza to, że światło wystrzelone z pistoletu ma do pokonania różne odległości, zależne od tego, w którym punkcie znajduje się aktualnie kaczka. Kaczka na karuzeli

Strzelec

40,00 m

3,00 m

Przód karuzeli jest 3,00 metry bliżej strzelca niż jej tył.

W efekcie może się okazać, że choć w rzeczywistości strzał oddany do kaczki znajdującej się bliżej byłby rejestrowany wcześniej niż strzał oddany do kaczki znajdującej się dalej, to strzały oddane w kierunku płaskiego ekranu będą rejestrowane jednocześnie. Czy uważasz, że jest to problem wymagający oddzielnej analizy? a. Kaczka jest umieszczona na krawędzi tarczy o średnicy 3,00 m. Tarcza wykonuje pełen obrót w 2,5 sekundy. Z jaką szybkością porusza się kaczka? Obliczam szybkość kaczki z równania v= rω. Wartość ω wyznaczę z zależności od częstotliwości. Okres obrotu: T = 2,50 s. Częstotliwość: f =

1 T

=

1 2,50 s

= 0,400 Hz

v = rω = r × 2πf

Ten sam wynik otrzymałbyś, obliczając drogę, jaką pokona kaczka w czasie jednego obrotu, (O = 2πr) i dzieląc ją przez okres obrotu.

= 1,50 m × 2 × π × 0,400 1/s ≈ 3,77 m/s

b. Strzelec musi trafić kaczkę z pistoletu świetlnego, mierząc z odległości 40,00 m od przodu tarczy. O ile dłużej będzie lecieć światło do końca tarczy (43,00 m od strzelca)? Prędkość światła wynosi 3 × 108 m/s. Różnica odległości = 43,00 m – 40,00 m = 3,00 m Czas potrzebny na jej przebycie: szybkość = czas =

droga czas

Fakt jak na tacy Prędkość światła:

droga 3,00 m = szybkość 3,00 × 108 m/s

3,00 × 108 m/s

= 1,00 × 10–8 s

c. Czy sądzisz, że uczestnik zabawy zorientuje się w różnicy czasu potrzebnej na zarejestrowanie strzałów? Czas równy 1,0 × 10–8 s jest bardzo krótki — to jedynie 10 nanosekund! Strzelec nie zauważy różnicy między oddaniem strzału do kaczki znajdującej się bliżej stanowiska strzeleckiego a oddaniem strzału do kaczki znajdującej się dalej. Możemy bez wahania użyć płaskiego ekranu do rejestrowania trafień.

810

Rozdział 19.

Wiemy już, że kaczka porusza się z szybkością 3,77 m/s, a światło dociera do niej mniej więcej po takim samym czasie, niezależnie od tego, gdzie się ona znajduje. Doskonale!

Drgania (część I)

Kuba: Zatem kaczka zaczyna poruszać się po środku pomieszczenia, przesuwa się 1,50 metra w lewo z prędkością 3,77 m/s, następnie z tą samą szybkością przemieszcza się 3,00 m w prawo, by zawrócić i pokonać jeszcze 1,5 m w lewo, nadal z szybkością 3,77 m/s. Rozwiązanie powinno być banalne. Krzysiek: Chwilkę… coś mi się tu nie zgadza. Gdyby kaczka miała pokonać 6,00 m z prędkością 3,77 m/s, wykonanie pełnego obiegu zajęłoby jej mniej niż 2 sekundy. Kuba: Co masz na myśli? Krzysiek: Wiemy, że widziana z daleka kaczka wygląda, jakby przebywała najpierw 1,50 m w lewo, potem pokonywała 3,00 m dzielące od siebie krawędzie koła, a następnie jeszcze 1,5 m, by powrócić do punktu startu. Franek: Zgadza się. Razem 6,00 m. Krzysiek: To teraz załóżmy, że kaczka porusza się z prędkością jedynie 3,00 m/s. Wybrałem tę wartość, żeby szybciej policzyć pewne rzeczy w pamięci. W każdym razie wiemy już, że cała droga kaczki, jaką obserwuje strzelec, to 6,00 m. Gdyby kaczka poruszała się z prędkością 3,00 m/s, pokonanie 6,00 m zajęłoby jej dokładnie 2,00 s. A przecież 3,77 m/s to więcej niż 3,00 m/s, więc gdyby kaczka faktycznie poruszała się tak szybko, cała droga zajęłaby jej mniej niż 2,00 s. Kuba: A przecież wiemy, że pełny obrót zajmuje jej 2,50 s. To więcej niż 2,00 s! Dzieje się coś dziwnego…

Czy odpowiedź ma sens? Zawsze sprawdzaj wyniki swojej pracy!

Zaostrz ołówek Prawdziwa kaczka wykonuje jeden obrót w ciągu 2,50 s. Jej odwzorowanie na ekranie ma do przebycia 6,00 m z punktu widzenia gracza. Przed chwilą obliczyliśmy wartość prędkości kaczki — 3,77 m/s. a. Jak to możliwe, że kaczka potrzebuje 2,50 s na przebycie odległości 6,00 m, jaką widzi strzelec, skoro wyznaczyliśmy jej prędkość na 3,77 m/s? b. Opisz jakościowo szybkość ruchu kaczki, tak jak widzi ją strzelec. Zwróć uwagę na pojawianie się pewnych punktów szczególnych. Zilustruj swoje rozważania rysunkiem.

jesteś tutaj 

811

Ograniczona widoczność

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Prawdziwa kaczka wykonuje jeden obrót w ciągu 2,50 s. Jej odwzorowanie na ekranie ma do przebycia 6,00 m z punktu widzenia gracza. Przed chwilą obliczyliśmy wartość prędkości kaczki — 3,77 m/s.

a. Kaczka porusza się z prędkością 3,77 m/s po obwodzie koła, a nie po jego średnicy. Obwód kola = 2πr = 2 × 3,14 × 1,50 m = 9,42 m Okrążenie tarczy jest równoważne pokonaniu odległości 9,42 m, a nie 6,00 m. Jeżeli kaczka będzie poruszać się z szybkością 3,77 m/s, pokona ten dystans w 2,50 s.

b. Strzelec patrzy na kaczkę z boku. Gdy kaczka znajduje a. Jak to możliwe, że kaczka potrzebuje się pośrodku toru obserwowanego przez strzelca, sprawia 2,50 s na przebycie odległości 6,00 m, wrażenie, jakby poruszała się szybciej — z szybkością 3,77 m/s. jaką widzi strzelec, skoro wyznaczyliśmy jej prędkość na 3,77 m/s?

b. Opisz jakościowo szybkość ruchu kaczki, tak jak widzi ją strzelec. Zwróć uwagę na pojawianie się pewnych punktów szczególnych. Zilustruj swoje rozważania rysunkiem.

Kiedy jednak kaczka przybliża się do jednej z krawędzi tarczy, większa część wektora jej prędkości jest skierowana w stronę strzelca — w przód lub w tył — więc dla niego kaczka zwalnia niemal do zera. Wolno

3,77 m/s

3,77 m/s

Czyli mimo tego, że kaczka porusza się ze stałą szybkością, strzelec widzi tylko skutki działania składowej wektora prędkości skierowanego w prawo lub w lewo. Czy to wynika z faktu, że strzelec widzi cały ruch jedynie z boku?

Uczestnik zabawy widzi tylko jedną składową wektorów prędkości i położenia kaczki. Wyobraź sobie, że idziesz na strzelnicę postrzelać do kaczek. Opisana tu konstrukcja urządzenia sprawia, że widzisz jedynie tyle, że kaczka przesuwa się z lewej do prawej i odwrotnie po linii prostej. W ogóle nie obserwujesz jej ruchu w tył i w przód. W rzeczywistości widzisz jedynie składowe wektorów położenia i prędkości zwrócone w prawo lub w lewo. Zatem z Twojej perspektywy prędkość kaczki zdaje się zależeć wyłącznie od składowych prędkości zwróconych w lewo lub w prawo. Dlatego właśnie kaczka sprawia wrażenie, jakby przemierzała szybko środek toru ruchu, zwalniając dopiero przy jego końcach.

812

Rozdział 19.

Wolno

Drgania (część I)

Ekran jest DWUWYMIAROWY Kaczka jest obiektem trójwymiarowym, ale jej rzut na ekran ma tylko dwa wymiary. Wyobraź sobie, że stoisz koło rzutnika i obserwujesz tylko cień kaczki poruszający się po ekranie. Ty obserwujesz cień kaczki przemierzający środek ekranu. W rzeczywistości kaczka porusza się wtedy po okręgu z wektorem prędkości, w którym dominuje składowa zwrócona w lewą lub w prawą stronę. Gdy kaczka dociera do jednego z wysuniętych najbardziej na boki (względem Ciebie) punktów obwodu koła, w jej prędkości dominuje głównie składowa działająca w przód lub w tył (względem Ciebie). Na ekranie widać jedynie ruch w kierunku lewo – prawo, więc cień kaczki zaczyna zwalniać na końcach swojego toru ruchu. Wyobraź sobie, że w miejscu strzelca znajduje się rzutnik oświetlający obracającą się kaczkę.

Rzutnik to tylko analogia. Projekt Janki zakłada wyświetlanie obrazu na ekranie telewizora.

Załóż, że gdy światło z projektora padnie na kaczkę, rzuci ona cień na ekran dokładnie w linii PROSTEJ.

Cień kaczki rowy jest dwuwymiana ekranie i porusza się awo lub wyłącznie w pr w lewo.

„Promień światła”, przez który przejeżdża kaczka.

Wszystkie powyższe zasady dotyczą także cyfrowej kaczki mającej zastąpić prawdziwy cel na strzelnicy. Kaczka będzie pojawiać się na dwuwymiarowym wyświetlaczu, więc składowa prędkości zwrócona w przód lub w tył będzie niewidoczna. Dla gracza istotna będzie jedynie składowa zwrócona w lewo lub w prawo, ponieważ obserwuje on tylko rzut wektora przemieszczenia kaczki.

jesteś tutaj  813

Naszkicuj wykres

Zaostrz ołówek Musisz określić, jak zmienia się wektor położenia kaczki w zależności od czasu, ponieważ tylko w ten sposób będziesz w stanie nanieść jej ruch odpowiednio na dwuwymiarowy ekran. Kaczka jest przymocowana do tarczy o średnicy 3,00 m i okresie obrotu 2,50 s. Wiedząc, że prędkość kątowa tarczy jest stała (i posługując się umieszczonym poniżej rysunkiem), naszkicuj kształt wykresu przedstawiający zmiany składowej położenia kaczki, działającej w kierunku lewo – prawo (odkładanej na osi pionowej) zależne od wartości kąta θ (mierzonego w radianach i odkładanego na osi poziomej). Wykonaj wykres dla jednego pełnego obrotu (2π radianów). Zaznacz na rysunku wartości składowej w punktach szczególnych ruchu. Szukaj punktów skrajnego położenia — zera i maksymalnych wartości położenia w obie strony. Wyznacz też wartości czasu, w których kaczka osiąga te położenia. Lewa strona strzelca.

Koło zostało podzielone na 24 równe części.

Oblicz je, korzystając z tego, że okres obrotu to 2,50 s.

Punkty obwodu koła zostają ZRZUTOWANE na osi wykresu.

Strzelec znajduje się daleko w tamtą stronę.

Gdy kaczka osiągnie ten punkt, będzie miała za sobą połowę obrotu.

Prawa strona strzelca.

814

Rozdział 19.

Kąt θ jest mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, poczynając od poziomej linii podziałki. Wybór kierunku kąta zależał od kierunku obrotu koła.

Drgania (część I) Radiany

Opis wykresu — jego tytuł, opisy osi itd. — musisz wykonać samodzielnie.

Przed przystąpieniem do rozwiązania tego zadania z radością przypomnisz sobie pewnie notatki poczynione po lekturze rozdziału 16.

Radiany są inną formą zapisu miary kąta. Okazują się szczególnie wygodne, gdy przychodzi do obliczania kątów wycinków okręgu. Jeden pełny obrót odpowiada 2π radianom. Wszystkie wartości kątów można zapisać w postaci ułamka wyrażenia 2π. π 2

Przyjmij, że lewa strona strzelca to zwrot dodatni.

π

π 3

π 4

π 6 0, 2π

3π 2

Położenie ciała = 0, gdy θ = 0.

Narysuj ten wykres najlepiej, jak potrafisz, i nie przejmuj się, jeśli coś Ci nie wyjdzie. Za pomocą linijki podziel oś poziomą na 24 równe części, tak jak my zrobiliśmy to z kołem.

jesteś tutaj  815

Znajdź punkty szczególne

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Musisz określić, jak zmienia się wektor położenia kaczki w zależności od czasu, ponieważ tylko w ten sposób będziesz w stanie nanieść jej ruch odpowiednio na dwuwymiarowy ekran. Kaczka jest przymocowana do tarczy o średnicy 3,00 m i okresie obrotu 2,50 s. Wiedząc, że prędkość kątowa tarczy jest stała (i posługując się umieszczonym poniżej rysunkiem), naszkicuj kształt wykresu przedstawiający zmiany składowej położenia kaczki, działającej w kierunku lewo – prawo (odkładanej na osi pionowej) zależne od wartości kąta θ (mierzonego w radianach i odkładanego na osi poziomej). Wykonaj wykres dla jednego pełnego obrotu (2π radianów). Zaznacz na rysunku wartości składowej w punktach szczególnych ruchu. Szukaj punktów skrajnego położenia — zera i maksymalnych wartości położenia w obie strony. Wyznacz też wartości czasu, w których kaczka osiąga te położenia. Przemieszczenie [m]

Wykres zależności składowej przemieszczenia w kierunku prawo – lewo od kąta przygotowany na zlecenie strzelnicy wesołego miasteczka

1,50

0,625 s

To jeden z punktów szczególnych, ponieważ odpowiada maksymalnemu przemieszczeniu.

Okres obrotu koła wynosi 2,50, więc jego połowa to 1,25 s, ćwiartka to 0,625 s itd.

24 równe części odpowiadają kątowi 2π, czyli pełnemu obrotowi.

1,25 s 0,00 π 2 Znasz te wartości, bo wiesz, że koło ma promień równy 1,50 m.

π

3π 2

2π

θ (radiany)

2,50 s Kąt π przypada w połowie drogi. Okres obrotu koła wynosi 2,50, więc jeden obrót trwa 2,50 s.

1,875 s

-1,50

816

Rozdział 19.

To jeden z punktów szczególnych, ponieważ odpowiada maksymalnemu ujemnemu przemieszczeniu.

Drgania (część I)

Wiemy już, jak rusza się kaczka… Biorąc udział w zawodach na strzelnicy, masz możliwość obserwowania ruchu kaczki wyłącznie w prawo lub w lewo, ponieważ widzisz tylko taką składową wektora przemieszczenia kaczki. Lewa strona strzelca.

x

droga = szybkość × czas, więc dla wielkości kątowych można zapisać równoważne równanie, opisujące wartości zmiennej θ: θ = ωt.

t

Prawa strona strzelca.

Dla wielkości liniowych zachodzi równość:

Strzelec obserwuje taki ruch kaczki w czasie. Ruch kaczki będzie wyglądać zawsze tak samo, niezależnie od okresu obrotu tarczy.

Maksymalne przesunięcia wynoszą 1,50 m w każdą stronę od środka ekranu.

Zmienna θ to wartość kąta, zmienna ω to szybkość kątowa.

Wiesz, że kaczka powróci do punktu startowego po 2,50 s, więc jeśli na osi poziomej zaznaczysz czas, w tym punkcie przypadnie wartość 2,50 s.

… ale nie wiemy, gdzie dokładnie jest! Choć kształt wykresu jest poprawny, możemy z niego odczytać dokładne wartości tylko dla skrajnych położeń — gdy kaczka znajduje się możliwie daleko po prawej lub możliwie daleko po lewej stronie ekranu, ewentualnie wtedy, gdy jej przemieszczenie jest równe zeru. Aby wyświetlacz mógł działać poprawnie, musimy wiedzieć, gdzie dokładnie znajduje się kaczka w dowolnie wybranej chwili… a to oznacza, że musimy znaleźć równanie opisujące przemieszczenie kaczki.

Zmienna ω jest podawana w radianach na sekundę, Δθ więc ω = Δt θ = ωt Δθ = ωΔt Tu rozpoczyna Ponieważ dla się ruch t = 0 s, θ = 0, kaczki. można zapisać θ = ωt

Kaczka porusza się ze stałą prędkością kątową, więc w identycznej jednostce czasu zatacza zawsze taki sam kąt. Gdyby udało Ci się narysować dość dokładny wykres, mógłbyś pokusić się o odczytanie z niego wartości, ale zdecydowanie lepiej byłoby dysponować równaniem, które podawałoby dokładną wartość przemieszczenia w dowolnej chwili.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Za chwilę wykorzystasz właściwości trójkąta prostokątnego do określenia położenia kaczki w dowolnie wybranej chwili. Czy wiesz, co łączy trójkąt prostokątny z okręgiem?

jesteś tutaj  817

Szukaj trójkątów prostokątnych

Zmienna ω jest podawana w radianach na sekundę, Δθ więc ω = Δt

Zawsze gdy masz do czynienia ze składowymi wektora, staraj się odnaleźć jakiś trójkąt prostokątny

Δθ = ωΔt Ponieważ dla t = 0 s, θ = 0, można zapisać θ = ωt

Ludzie odwiedzający strzelnicę widzą tylko jedną składową wektora przemieszczenia kaczki — tę, która jest równoległa do ekranu. Gdyby udało Ci się narysować również składową prostopadłą, mógłbyś utworzyć trójkąt prostokątny o bokach będących dwiema składowymi wektora przemieszczenia i promieniem. 2

Posługując się równaniem θ = ωt, możesz określić kąt położenia kaczki, θ, w dowolnej chwili. Jednak nas interesuje tak naprawdę przemieszczenie kaczki względem środka okręgu.

1 Kaczka zawsze znajduje się w odległości r od środka koła. Kaczka obraca się razem z kołem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, z prędkością kątową ω. Obraz kaczki rzucony na ekran to nic innego, jak ślad równoległej do ekranu składowej wektora przemieszczenia. Lewa strona strzelca. Wyświetlacz Kaczka rozpoczyna swój ruch na środku ekranu.

r Wektor przemieszczenia (o początku w środku okręgu).

Prawa strona strzelca.

To rysunki przedstawiające kaczkę widzianą z GÓRY. Strzelec stoi po lewej stronie instalacji w bardzo dużej odległości od ekranu i koła. Na ekranie pojawia się rzut odpowiadający temu, co widzi strzelec.

818

Rozdział 19.

To „kątowy odpowiednik” drogi = szybkość × czas.

Rzut wektora przemieszczenia kaczki względem środka okręgu będzie zawsze przedstawiony w pionie (w konwencji rysunku, którą tu przyjęliśmy). Wielkość tę nazywamy wektorem przemieszczenia względem osi pionowej y. Jej rzut na ekranie jest składową y promienia koła, po którym porusza się kaczka.

Wartość kąta θ wzrasta z upływem czasu.

r

y



y

Wartość kąta θ jest mierzona przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, począwszy od linii poziomu.

Przemieszczenie w pionie oznacza się często w matematyce i fizyce literą y, żeby odróżnić je od przemieszczenia w poziomie, oznaczanego literą x.

Rzut kaczki na ekranie to nic innego, jak składowa y promienia.

Ekran wydaje się być pionowy, ale to tylko złudzenie wynikające ze sposobu, w jaki został tu narysowany. Zauważ, że lewa strona strzelca znalazła się na górze rysunku, a jego prawa strona znalazła się na dole. To samo miało miejsce w „Zaostrzonym ołówku” ze strony 814.

Drgania (część I)

Gdy rzutujesz wektor, wprowadzając trójkąt prostokątny do okręgu, PROMIEŃ okręgu będzie zawsze PRZECIWPROSTOKĄTNĄ tego trójkąta.

Funkcja sinus zwraca wartość skalarną, więc podane równanie pozwala obliczyć długość wektora y.

4 3 Jeśli do rysunku dodamy teraz x, składową poziomą wektora przemieszczenia, będziemy mogli utworzyć trójkąt prostokątny o bokach: składowa y, składowa x i promień. Przeciwprostokątną takiego trójkąta prostokątnego jest zawsze promień okręgu.

Teraz możesz posłużyć się funkcjami trygonometrycznymi, żeby obliczyć długość y, uzależniając ją od wartości promienia r i kąta θ. y Wzór funkcji sinus to sinθ = r . Gdy będziesz już mieć długość y wyrażoną za pomocą wartości kąta θ, będziesz mógł obliczyć y dla dowolnej chwili, podstawiając θ = ωt. W ten sposób określisz, w którym miejscu ekranu powinna pojawić się w dowolnym czasie replika kaczki.

Przeciwprostokątna = r

r



y x

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY!

r



y x

Składowa y wektora położenia leży naprzeciw kąta θ, a promień r jest przeciwprostokątną trójkąta.

Możesz wykorzystać wartość funkcji sinθ do wyznaczenia długości składowej y.

jesteś tutaj  819

Użyj trójkątów

Zaostrz ołówek r Spróbuj wyznaczyć zależność długości składowej y wektora przemieszczenia kaczki za pomocą odnalezionego trójkąta prostokątnego. Dzięki temu będziesz w stanie podać położenie kaczki na ekranie w dowolnej chwili. a. Obracająca się tarcza ma średnicę 3,00 m. Zamocowana na niej kaczka przemieszcza się z szybkością liniową równą 3,77 m/s.

y

 x

Składowa y wektora położenia leży naprzeciw kąta θ, a promień r jest przeciwprostokątną trójkąta.

Jaka będzie prędkość kątowa kaczki, ω ? Możesz wykorzystać wartość funkcji sinθ do wyznaczenia długości składowej y.

b. Przyjmij, że w chwili t = 0 s, θ = 0. Zapisz równanie wyrażające wartość θ za pomocą zmiennych ω i t (kąt θ jest mierzony w radianach). Użyj tego równania, by wypełnić kolumnę „Czas, t [s]” tabeli umieszczonej na sąsiedniej stronie.

c. Zapisz równanie długości składowej y wektora przemieszczenia kaczki, wiążące tę wartość z wartością kąta θ mierzonego w radianach. Wykorzystaj tę odpowiedź oraz rozwiązanie podpunktu b, żeby zapisać równanie długości y zależne od zmiennej t.

820

Rozdział 19.

Drgania (część I)

Wartości kąta θ zostały podane w radianach. Przed wykonaniem obliczeń powinieneś przełączyć kalkulator w tryb pracy z radianami.

d. Wypełnij tabelę, podając wartości t oraz składowej y wektora przemieszczenia dla danych kątów θ (w radianach).

Kąt, ș [rad]

Czas, t [s]

Długość składowej y wektora przemieszczenia [m]

0  12  8  6  4  3  2

e. Nanieś wartości zebrane w tabeli na wykres zależności długości składowej y wektora przemieszczenia od czasu.

Powinieneś opisać wykres i jego osie.

Powinieneś wyskalować odpowiednio osie.

jesteś tutaj  821

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Spróbuj wyznaczyć zależność długości składowej y wektora przemieszczenia kaczki za pomocą odnalezionego trójkąta prostokątnego. Dzięki temu będziesz w stanie podać położenie kaczki na ekranie w dowolnej chwili. a. Obracająca się tarcza ma średnicę 3,00 m. Zamocowana na niej kaczka przemieszcza się z szybkością liniową równą 3,77 m/s. Jaka będzie prędkość kątowa kaczki, ω? b. Przyjmij, że w chwili t = 0 s θ = 0. Zapisz równanie wyrażające wartość θ za pomocą zmiennych ω i t (kąt θ jest mierzony w radianach). Użyj tego równania, by wypełnić kolumnę „Czas, t [s]” tabeli umieszczonej na sąsiedniej stronie. c. Zapisz równanie długości składowej y wektora przemieszczenia kaczki, wiążące tę wartość z wartością kąta θ mierzonego w radianach. Wykorzystaj tę odpowiedź oraz rozwiązanie podpunktu b, żeby zapisać równanie długości y zależne od zmiennej t. d. Wypełnij tabelę, podając wartości t oraz składowej y wektora przemieszczenia dla danych kątów θ (w radianach). e. Nanieś wartości zebrane w tabeli na wykres zależności długości składowej y wektora przemieszczenia od czasu.

Składowa y wektora przemieszczenia [m]

a.

Kąt, ș [rad]

Czas, t [s]

Długość składowej y wektora przemieszczenia [m]

0  12  8  6  4  3  2

0

0

0,104

0,388

0,156

0,574

0,208

0,750

0,313

1,06

0,417

1,30

0,625

1,50

v = rω ω =

v r

=

3,77 m/s ≈ 2,51 rad/s 1,50 m

b. Prędkość kątową ω podaje się Δθ w radianach na sekundę, więc ω = Δt Δθ = ωΔt Ponieważ dla t = 0 s θ = 0, można zapisać θ = ωt c.

y r y = rsinθ i podstawiam θ = ωt

sinθ =

y = rsin(ωt)

Wykres zależności długości składowej y wektora przemieszczenia od czasu

1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 0.00

822

Rozdział 19.

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

Czas [s]

Drgania (część I) No dobrze, wiemy, że położenie kaczki opisuje równanie y = rsin(ωt), ale narysowaliśmy tylko jedną ćwiartkę wykresu! Co z większymi kątami w dalszych częściach koła? Przecież nie da się narysować dla nich trójkąta prostokątnego!

Bo θ = ωt.

Musimy znaleźć bardziej ogólne definicje funkcji sinus i cosinus. Jak dotąd w argumencie funkcji sinus i cosinus pojawiały się wyłącznie kąty trójkątów prostokątnych. Pora rozszerzyć definicje tych funkcji tak, by obejmowały wszystkie kąty, jakie można zakreślić w okręgu.

Pierwotna definicja funkcji sinus pozwalała zajmować się kątami mieszczącymi się wyłącznie w tej ćwiartce okręgu.

Dla kątów  mniejszych od kąta prostego wystarczyło zbudować trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną był promień r, a role przyprostokątnych pełniły składowe x i y promienia.

r



y

x

Następnie zrzutowaliśmy wektor r na prostą równoległą do osi OY i obliczyliśmy długość

y składowej y, posługując się równaniem sinθ = r . W ten sposób otrzymaliśmy wzór opisujący przemieszczenie kaczki względem środka ekranu. Teraz pora zająć się kątami z pozostałych trzech  ćwiartek okręgu, większymi niż 2 radianów (90°). Musimy nauczyć się obliczać wartości funkcji sinus dla tych kątów, gdyż bez tego nie uda się nam wyświetlić obrazu kaczki w odpowiednim miejscu ekranu.

Nowa definicja funkcji sinus: sin θ =

y

r

Ten wzór jest prawdziwy dla KAŻDEGO kąta zatoczonego przez promień okręgu, również dla takiego, który nie mógłby być kątem trójkąta prostokątnego.

Funkcja sinus jest nadal definiowana jako stosunek składowej y do długości promienia, więc równanie ją opisujące pozostaje niezmienione:

y

r

 x

y sinθ = r . Funkcja sinθ to z definicji ej dow

STOSUNEK długości skła Fakt, y do długości promienia r. kąta że kąt θ jest większy od . prostego, nic tu nie zmienia

Sposób obliczania długości składowej y nie ulega zmianie. Nadal musisz narysować trójkąt prostokątny, zbudowany ze składowej y, składowej x i wektora promienia. Potem posłużysz się nową definicją funkcji sinus, dzięki czemu znajdziesz położenie obrazu kaczki na ekranie dla dowolnego kąta.

Nowa definicja funkcji sinus pozwala obliczać jej wartość również dla pozostałych kątów.

jesteś tutaj  823

Ujemna składowa y = ujemna wartość funkcji sinθ Sądzę, że wartość funkcji sinus jest ujemna dla ujemnych wartości składowej y. To zgadzałoby się z wykresem, który narysowaliśmy wcześniej.

Wartość sinθ jest ujemna dla ujemnych wartości składowej y. od kąta nia w kierunku prawo – lewo ści składowej przemieszcze Przemieszczenie Wykres zależnona zlecenie strzelnicy wesołego miasteczka przygotowany [m]

To wykres, który narysowaliśmy na stronie 816.

1,50

iadają 24 równe części odpowmu kątowi 2π, czyli pełne obrotowi.

0,00

π 2

π

3π 2

2π

-1,50

Wektor r wodzący kąty o wartościach większych niż  (większych niż 180°) ma ujemną składową y. Oznacza to, że wartość funkcji sinus liczona od takiego kąta będzie również ujemna.

Gdy promień r zatacza kąt θ poza połowę okręgu, składowa y tego wektora będzie ujemna.

 r

Wartości funkcji sinus dla tych dwóch kątów mają taką samą wartość, ponieważ składowe y obydwu wektorów wodzących mają identyczną wartość i identyczny znak.. Jeżeli składowa y wektora wodzącego ma ujemną wartość, sinus kąta zatoczonego przez ten wektor też będzie ujemny.

824

Oczywiście r jest wektorem, więc możesz zawsze narysować go w okręgu, ale w definicji sinusa używa się wyłącznie jego długości.

Chcąc mieć pewność, że wartość funkcji sinus będzie miała właściwy znak, przyjmujemy, że r jest zawsze dodatnie, gdyż jest zwrócone na zewnątrz okręgu. Dlatego właśnie r jest zawsze zaznaczane kursywą — w świetle definicji jest ono skalarem, czyli ma tylko długość (dodatnią), a nie ma kierunku.

x y

Wszystkie te wartości składowej y są ujemne, ponieważ założyliśmy, że wektory o zwrocie dodatnim są położone na lewo od strzelca, a wektory o zwrocie ujemnym są położone na prawo od niego.

Rozdział 19.

Przyjmuje się, że wektor r jest zawsze dodatni, ponieważ jest zwrócony na zewnątrz okręgu.



x

r

y

Drgania (część I)

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy dobrze rozumiem, że wartość funkcji sinus można wyznaczać dla wszystkich kątów, a nie tylko dla kątów trójkąta prostokątnego?

O: Tak. Zgodnie z nową, rozszerzoną

definicją funkcja sinus to stosunek składowej wektora wodzącego do długości tego wektora. Argumentem obliczanej w ten sposób funkcji sinus jest kąt pomiędzy wektorem wodzącym a dodatnią półosią OX.

P

P

: Skąd wiadomo, jak ułożyć osie wykresu?

O

: Ich zwrot wynika bezpośrednio z założeń, jakie poczyniliśmy, rysując rzut z góry na strzelca mierzącego do celu. Przyjęliśmy, że kierunek dodatni znajduje się po jego lewej stronie, a kierunek ujemny jest po jego prawej. Można oczywiście odwrócić osie, ale wynik obliczeń będzie nadal taki sam — po prostu wartości dodatnie znajdą się po prawej ręce strzelca.

P

: Dlaczego warto móc obliczać wartość funkcji sinus dla dowolnego kąta? Sinus przydaje się chyba tylko wtedy, gdy trzeba obliczyć związki w trójkącie prostokątnym.

: Słyszałem już nazwę „funkcja okresowa”, ale nie miałem pojęcia, co ona oznacza. Czy właśnie narysowałem funkcję okresową?

O: Wartości funkcji sinus dla większych

: Tak! Funkcję sinus określa się mianem funkcji okresowej, ponieważ jej wzór powtarza się, gdy ciało wykonuje więcej niż jeden obrót.

kątów są niezbędne, by poprawnie opisać ruch po okręgu, jak próbujemy zrobić to z urządzeniem na strzelnicy. Do zrealizowania projektu Janki potrzebujemy określić długość składowej y wektora przemieszczenia kaczki, a to oznacza, że musimy znaleźć wartości funkcji sinus kątów, jakie tworzy wektor przemieszczenia kaczki z osią OX.

P: W „Zaostrzonym ołówku”

ze strony 814 nie obliczałem żadnych sinusów dla kątów większych od 90°. Wystarczyło wykonać rzut punktów koła na oś wykresu. Jak mam obliczać wartość składowej y, skoro nie znam wartości sinusa dla większych kątów?

O

: Wszystkich obliczeń możesz dokonać na kalkulatorze. Po prostu upewnij się przed obliczaniem wartości funkcji sinus, w jakich jednostkach masz podać wartość kąta (w stopniach czy w radianach).

O

y Sinus tego kąta = r , czyli ma dokładnie tę samą WARTOŚĆ, co sinθ. Ten kąt ma miarę 2π – θ.

Czy sinus kąta większego od dziewięćdziesięciu stopni da się powiązać z jakimś trójkątem prostokątnym?

Z każdym kątem większym od dziewięćdziesięciu stopni można związać jakiś trójkąt prostokątny.



Z promienia wodzącego i jego składowej y można zbudować trójkąt prostokątny, w którym trzecim bokiem będzie fragment osi OX. Sinus jednego z kątów ostrych tego trójkąta będzie y równy r , czyli będzie wynosił dokładnie tyle, ile wynosi funkcja sinus kąta rozwartego .

x

r

y

Sprawdź znak składowej y wektora wodzącego, żeby określić ZNAK wyniku obliczeń.

Wiedząc to, możesz wyznaczyć miarę kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Zobaczysz, że kąt ten zsumowany z kątem  da ładny, „okrągły” wynik postaci  (180°) lub 2 (360°).

jesteś tutaj  825

Pokaż wyświetlacz

Pokażmy Jance jej wyświetlacz Mamy gotowe równanie ruchu y = rsin(t), tak potrzebne Jance, by zmodernizować strzelnicę. Pora zacząć liczyć zyski z udziałów w interesie…

y = r sin(ωt)

… ale dziewczyna ma nowy pomysł, a to oznacza dodatkową pracę do wykonania.

Wygląda doskonale, ale zapomniałam o jednym drobiazgu… Wydaje mi się, że powinniśmy pozwolić na współzawodnictwo między dwoma osobami. Wiesz, zyski będą dwukrotnie większe.

Tu stanie pierwszy zawodnik. Tę część problemu mamy już opracowaną.

Janka chce strzelec s , by drugi z tej strontanął sposób uczy. W ten zabawy ni estnicy sobie wza e będą przeszkadzjemnie ać.

Strzelec 2

Pamiętaj, że w rzeczywistości zawodnicy stoją znacznie dalej od ekranu. Tarcza zatacza pełny krąg po 2,50 s.

Strzelec 1

3,00

m Kaczka rozpoczyna swój ruch tutaj.

Tarcza obraca się nadal przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Drugi zawodnik obserwuje ruch kaczki na tym ekranie.

Drugi zawodnik uważa, że kaczka zaczyna swój ruch w tym punkcie. Ale jak będzie poruszać się dalej?

826

Rozdział 19.

Drgania (część I) Strzelec 2 mierzy w tę stronę.

Drugi strzelec widzi składową x przemieszczenia kaczki

Kaczka jest tutaj.

Drugi strzelec patrzy w inną stronę — jest przesunięty względem pierwszego o  radianów (90°) zgodnie z ruchem 2 wskazówek zegara.

r



Oznacza to, że drugi strzelec nie widzi składowej y wektora przemieszczenia kaczki. Przesunięcie sprawia, że z jego punktu widzenia całkowite przemieszczenie kaczki to wyłącznie składowa x faktycznego wektora przemieszczenia.

y Lewa strona strzelca 2.

x

Prawa strona strzelca 2. Strzelec 2 widzi tylko składową x wektora przemieszczenia kaczki.

Pierwszy strzelec widzi wyłącznie składową y wektora przemieszczenia. Środek ekranu 2.

Zaostrz ołówek

Przyjmij, że wartości dodatnie znajdują się po lewej stronie strzelca 2.

a. Tym razem interesuje Cię wartość x długości składowej x wektora przemieszczenia. Zapisz równanie opisujące długość x, wyrażając ją za pomocą zmiennych r i . (Kaczka rozpoczyna ruch w punkcie  = 0).

b. Naszkicuj wykres zależności zmian długości x od kąta  dla jednego pełnego obrotu koła o promieniu r. Zaznacz na wykresie wszystkie punkty szczególne.

Narysowanie szkicu może Ci sporo pomóc.

To rzut wektora widziany przez strzelca 1.

c. Naszkicuj wykres zależności zmian wartości y, długości składowej y wektora przemieszczenia kaczki, od kąta . Porównaj obydwa wykresy, wskazując ich podobieństwa i różnice.

Narysuj obydwa wykresy jeden pod drugim w tej samej skali.

Wyjaśnij tu podobieństwa i różnice między obydwoma wykresami.

jesteś tutaj  827

Nowa definicja funkcji cosinus

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Przyjmij, że wartości dodatnie znajdują się po lewej stronie strzelca 2.

b. Naszkicuj wykres zależności zmian długości x od kąta  dla jednego pełnego obrotu koła o promieniu r. Zaznacz na wykresie wszystkie punkty szczególne.

a. Tym razem interesuje Cię wartość x długości składowej x wektora przemieszczenia. Zapisz równanie opisujące długość x, wyrażając ją za pomocą zmiennych r i . (Kaczka rozpoczyna ruch w punkcie  = 0). r θ x

y

cos θ =

x r

x r

x = rcos θ π

π 2

3π 2

θ

2π

-r

c. Naszkicuj wykres zależności zmian wartości y, długości składowej y wektora przemieszczenia kaczki, od kąta . Porównaj obydwa wykresy, wskazując ich podobieństwa i różnice. y Wykresy mają taki sam kształt, ale wykres składowej, którą widzi strzelec 2, jest przesunięty względem wykresu składowej y r π o kąt 2 , ponieważ strzelec 2 jest przesunięty o taki właśnie kąt. Strzelec 1 widzi, że kaczka zaczyna poruszać się w połowie ekranu, a dla strzelca 2 jej ruch zaczyna się w maksymalnym wychyleniu. Funkcje sinus i cosinus są związane ze sobą, ponieważ obydwie oblicza się jako stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej.

π 2

-r

π

3π 2

2π

θ

Narysuj obydwa wykresy jeden pod drugim w tej samej skali.

Potrzebujemy też szerszej definicji cosinusa Nie zaskoczy Cię pewnie informacja, że tak samo, jak istnieje rozszerzona definicja funkcji sinus, istnieje też bardziej ogólna definicja funkcji cosinus. Zresztą właśnie ją zapisałeś. Jest ona bardzo podobna do definicji funkcji sinus, z tym że odwołuje się do długości składowej x wektora x przemieszczenia: cos = r

828

Rozdział 19.

r

 x

Znak wartości funkcji cosinus zależy od znaku składowej x wektora przemieszczenia kaczki.

Nowa definicja: x cos θ = r

y

Znak wartości funkcji cosinus zależy od znaku składowej x wektora przemieszczenia.

Funkcja cosθ jest definiowana jako stosunek długości x do długości r nawet wtedy, gdy kąt θ nie jest częścią trójkąta prostokątnego.

Drgania (część I)

Funkcje sinus i cosinus są ze sobą związane Każdy z uczestników zabawy interpretuje ruch kaczki po okręgu w inny sposób. Drugi strzelec widzi składową x wektora przemieszczenia, której długość opisuje wzór x = rcos(t), podczas gdy pierwszy dostrzega tylko składową y, opisaną wzorem y = rsin(t). Wykresy obydwu funkcji pozwalają dostrzec łączące je bliskie podobieństwo. Funkcje mają identyczny kształt, a cała różnica polega na tym, że wykres funkcji cosinus „wyprzedza” wykres funkcji sinus  o fazę równą 2 . W rozważanym przypadku różnica ta wynika z faktu  przesunięcia strzelca numer 2 o kąt 2 względem strzelca numer 1. Wykres funkcji cosinus przyjmuje najpierw największą wartość dopuszczalną dla tej funkcji, natomiast wykres funkcji sinus rozpoczyna się w początku układu współrzędnych.

Funkcje sinus i cosinus mają identyczny kształt, ale inne punkty początkowe.

Funkcja cosi nus wyprzed za funkcję sinu s o fazę I 2

Przemieszczenie r

θ = ωt

Największą wartością przemieszczenia jest r.

y = r sin( sin(ωt ωt)) x = r cos( cos(ωt ωt)) 1,25 s

2,50 s

-r π 2

π Wartości kąta θ w trzech punktach szczególnych.

3π 2

2π

Czas

Dla kąta θ = 0 funkcja sinus przyjmuje wartość zero. Dla tego samego kąta funkcja cosinus przyjmuje wartość maksymalną. jesteś tutaj  829

Amplituda

Gdy spoglądam na narysowane w jednym układzie współrzędnych funkcje sinus i cosinus, odnoszę wrażenie, że mają tę samą wysokość.

Największe wartości wykresu funkcji sinus i cosinus nazywamy amplitudą. Maksymalne odchylenie wartości zmiennej zależnej od środka wykresu nazywamy amplitudą wykresu lub równania. To amplituda wykresu.

AMPLITUDA to maksymalne wychylenie krzywej wykresu funkcji sinus lub cosinus od osi OX.

Wiesz, że w tym przypadku amplitudą wykresu zależności przemieszczenia od czasu jest promień koła, r. Dlatego też ekstremami wykresu są wartości +r i –r. Amplituda pojawia się także w równaniu opisującym krzywą wykresu. Wiadomo, że funkcje sinus i cosinus mogą przyjmować maksymalnie wartość 1, więc jeśli na wykresie pojawia się maksymalna wartość r, to wiadomo, że aby otrzymać równanie krzywej, należy pomnożyć wartość funkcji trygonometrycznej przez r. Z tego powodu opracowane przez Ciebie równania przemieszczenia ciała mają postać y = rsin(t) i x = rcos(t).

Maksymalnie mogą być równe r.

Maksymalnie mogą być równe 1.

To właśnie dlatego obydwa wykresy mają taką samą wysokość — ich amplitudy są identyczne.

830

Rozdział 19.

Drgania (część I)

Obnażamy sinus Rozmowa tygodnia — sinus znów naszym gościem! Head First: Witaj sinusie! Minęło już nieco czasu

Sinus: Pamiętaj, że kąty w fizyce mierzy się zawsze

od naszego ostatniego spotkania w rozdziale 9., więc tym bardziej cieszę się, mogąc gościć cię dziś w studio. Chciałbym porozmawiać z tobą o rewelacjach z ostatnich stron — a może powinienem powiedzieć: o rewolucjach?!

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, rozpoczynając od osi poziomej. Jeżeli kąt ma miarę mniejszą niż 90°, sinus jest stosunkiem długości składowej y do długości promienia. Mój dobry znajomy, cosinus, jest definiowany jako stosunek długości składowej x do długości promienia.

Sinus: Celna uwaga. Okazało się, że radzę sobie z wszystkimi kątami, o co pewnie mnie nie podejrzewałeś. Ale przyznam, że nie do końca rozumiem, czemu robi się wokół tego tyle hałasu.

Head First: Tak, to już wiedzieliśmy, ale gdy zaczynasz

Head First: Masz, oczywiście, rację. To nic takiego,

Sinus: Przecież ja się nie zmieniam! Nadal jestem

choć te wieści są może nieco… nieoczekiwane! Nigdy nie przyszło mi do głowy, że można liczyć sinus kąta niebędącego częścią trójkąta prostokątnego.

stosunkiem składowej y do promienia.

Sinus: Chyba rozumiem, co masz na myśli. To trochę jakby odkryć, że twój najlepszy przyjaciel prowadzi podwójne życie. Chociaż to może zbyt drastyczne porównanie, bo moja uogólniona definicja nie różni się znów tak bardzo od tej, którą już znasz.

Head First: Hmm… do tej pory uważałem, że jesteś stosunkiem długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, ale właśnie dowiedziałem się, że kąty, które nijak nie mogą znaleźć się w takim trójkącie, też mają swoje wartości funkcji sinus.

Sinus: Jedno się nie zmieniło. Nadal jestem stosunkiem dwóch długości, więc ta część definicji nie uległa zmianie.

Head First: Ale te długości nie mają już nic wspólnego z bokami trójkąta prostokątnego.

Sinus: Zwróć uwagę, że są to doskonale określone odcinki, z których można zbudować trójkąt prostokątny! Gdy rozważasz kąt skierowany okręgu o promieniu r, możesz poprowadzić wektor wodzący r ze środka tego okręgu do jego krawędzi. Składowa x tego wektora będzie jednym odcinkiem, a składowa y — drugim.

mówić o sinusie kątów większych od kąta prostego… powiedzmy, że sprawy nieco się wtedy gmatwają.

Head First: Pewnie tak… choć to chyba oznacza, że tracisz nieco ze swej wyjątkowości.

Sinus: Tak, przykro mi to mówić, ale teraz wiadomo już, że zawsze istnieją dwa kąty o takiej samej wartości sinusa.

Head First: Poza wzlotami miewasz też upadki, prawda? Ostatnio bilans masz raczej na minus, jak się zdaje.

Sinus: To prawda. Przyjmuję wartości ujemne dla kątów większych od kąta półpełnego, ponieważ składowa y promienia jest wtedy zwrócona w dół.

Head First: Twój przyjaciel cosinus przyjmuje wartości ujemne dla innych kątów niż ty, prawda? Czy nie utrudnia wam to czasami współpracy?

Sinus: Raczej nie. Obydwaj wiemy, kiedy ten drugi przyjmie wartości ujemne czy dodatnie. Wystarczy, że będziesz pamiętać o jednym — w pierwszej ćwiartce (tam, gdzie znajdują się kąty mniejsze od kąta prostego) obydwaj mamy wartości dodatnie. Gdy określisz już kierunek dodatni dla każdego z nas, bez trudu poradzisz sobie z dalszymi obliczeniami.

Head First: Dziękuję ci. Sądzę, że zdołaliśmy poznać cię znacznie lepiej.

Head First: Wszystko to bardzo piękne… ale skąd mam wiedzieć, który z odcinków leży przy kącie, a który naprzeciw niego?

jesteś tutaj  831

Równania ogólne rządzą!

Igrzyska czas zacząć! Obydwa równania, x = rcos(t) i y = rsin(t), dają idealne wyniki. Janka ledwo zdążyła podłączyć ekrany, a ludzie już tłoczą się w kolejce po bilety. Czy jest ktoś, kto przeszedłby obojętnie obok okazji polowania za pomocą pistoletu świetlnego na obracającą się kaczkę? Sprawy mają się doskonale — zdołałeś odkryć ogólne równania składowych wektora przemieszczenia. Jeżeli Janka zapragnie zmienić parametry gry — na przykład promień koła czy okres jego obrotu — równania nadal dadzą poprawne wyniki. Wystarczy, że podstawi do nich nowe wartości r i .

To właśnie widzi ze swojej perspektywy strzelec 1.

y

Strzelec 1: y = rsin(ωt)

r Amplituda = r

t 2,50 s -r r

-r

x

x r

Strzelec 2: x = rcos(ωt) θ = ωt

t 2,50 s

t 2,50 s To rzut wektora przemieszczenia widziany z perspektywy strzelca 2.

832

Rozdział 19.

-r Odwróciliśmy wykres tego, co widzi strzelec 2, byś łatwiej mógł porównać wykresy sinusa i cosinusa.

Drgania (część I)

Słuchaj, chciałabym lepiej śledzić ruch kaczki. Czy zdołamy wyznaczyć jej prędkość chwilową widzianą na odpowiednim ekranie przez każdego z uczestników zabawy?

Kolejne zlecenie od Janki — Jaką prędkość kaczki obserwuje każdy ze strzelających? Już myślałeś, że kacza przygoda dobiegła końca, gdy nagle pojawiła się Janka z nowym pomysłem. Chciałaby poznać wartość prędkości kaczki, jaką widzi na ekranie każdy z oddających strzał. Wygląda na to, że pora wyciągnąć kartki i znów naostrzyć ołówki.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Poprzednio wyznaczyłeś prędkość liniową kaczki na 3,77 m/s. To cenna informacja, która pewnie gdzieś się tu przyda.

Jak zabrałbyś się do szkicowania wykresu zależności prędkości od czasu i obliczania wartości prędkości kaczki z punktu widzenia każdego ze strzelających?

jesteś tutaj  833

Kształt na podstawie nachylenia

Kształt wykresu prędkość – czas zależy od nachylenia wykresu przemieszczenie – czas Kształt wykresu zależności prędkości od czasu określisz bardzo łatwo, jeżeli uda Ci się odczytać z wykresu zależności przemieszczenia od czasu jego nachylenie. Ten temat dx omówiliśmy Możesz skorzystać z tej metody, gdyż v = dt . szeroko Można więc wyciągnąć kilka wniosków.

Wykresy ilustrujące ruch rower zysty Adama (stała prędkość) x Zależność przemieszczenia od czasu Stały stopień nachylenia

Rosnący stopień nachylenia

t

pod koniec rozdziału 6.

Duże, dodatnie nachylenie wykresu przemieszczenia do osi odpowiada dużej prędkości.

t

v Zależność prędkości od czasu

Stała wartość

Prędkość jest stała przez cały czas ruchu, więc jej wartość nie zmienia się. Oznacza to, że wykres jej zmian w czasie ma kształt linii płaskiej.

Brak nachylenia wykresu zależności przemieszczenia od czasu oznacza, że prędkość wynosi w tym punkcie zero. Małe, ujemne nachylenie wykresu zależności przemieszczenia od czasu odpowiada małej, ujemnie zwróconej prędkości.

t a

Rosnąca wartość

Zależność przyspieszenia od czasu

t a

Stały stopień nachylenia

Zależność przyspieszenia od czasu

Prędkość jest

W rozdziale 6. dowiedziałeś się, jak przechodzić między wykresami przemieszczenia i prędkości w przypadkach, gdy ciało porusza się ze stałą prędkością lub ze stałym przyspieszeniem.

Równanie prędkości można opracować, posługując się wektorami składowymi, prawda?

Wektory składowe niewątpliwie się przydadzą… Wektory składowe umożliwiłyby Ci stworzenie równań ruchu kaczki. Każdy z grających widzi tylko jedną składową prędkości kaczki. Gdy kaczka przesuwa się dokładnie w Twoim kierunku — w Twoją stronę lub przeciwnie — w ogóle nie dostrzeżesz jej prędkości. Gdy kaczka znajdzie się na środku ekranu, dla Ciebie będzie poruszać się ze swoją prędkością liniową v.

…ale szybciej będzie uzyskać równanie prędkości bezpośrednio z wykresu! Jeżeli wykres zależności położenia od czasu ma „standardowy kształt”, jeżeli znasz okres obiegu, będziesz w stanie odczytać równanie prędkości bezpośrednio z wykresu, wspomagając się jego amplitudą…

Rozdział 19.

v Zależność prędkości od czasu

Zerowy stopień nachylenia

I tak dalej.

834

t

Wykresy przedstawiające ruch swobodnie spadającego ciała (stałe przyspieszenie) x Zależność przemieszczenia od czasu

Drgania (część I)

Zaostrz ołówek a. Górny wykres przedstawia zależność położenia kaczki od czasu w sposób, w jaki widzi to strzelec 1. Spróbuj naszkicować pod spodem wykres zależności prędkości od czasu, bazując na nachyleniu pierwszego wykresu. Zaznacz tam, gdzie jest to konieczne, punkty szczególne dla obydwu wykresów (średnica koła to 3,00 m, okres obrotu to 2,50 s, a prędkość liniowa kaczki wynosi 3,77 m/s). b. Opisz punkty szczególne wykresu, wyjaśniając, dlaczego znajdują się one w tych, a nie innych miejscach.

y (m)

t (s)

vy (m/s)

t (s)

c. Co Ci przypomina kształt wykresu zależności prędkości od czasu? Spróbuj na podstawie tego skojarzenia zapisać równanie składowej y prędkości, vy, uzależniając ją od wartości v (prędkości liniowej kaczki), ω i t. Jeżeli będziesz miał problemy, zerknij na sposób wyprowadzenia równania na r, które pojawiło się w tym rozdziale.

d. Z jaką prędkością według strzelca 1 porusza się kaczka w chwili t = 0,90 s?

Musisz wyrazić wartość kąta θ za pomocą zmiennych ω i t.

Zastanów się, jaką wartość będzie miała amplituda wykresu (spójrz na stronę 830).

jesteś tutaj  835

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Górny wykres przedstawia zależność położenia kaczki od czasu w sposób, w jaki widzi to strzelec 1. Spróbuj naszkicować pod spodem wykres zależności prędkości od czasu, bazując na nachyleniu pierwszego wykresu. Zaznacz tam, gdzie jest to konieczne, punkty szczególne dla obydwu wykresów (średnica koła to 3,00 m, okres obrotu to 2,50 s, a prędkość liniowa kaczki wynosi 3,77 m/s). b. Opisz punkty szczególne wykresu, wyjaśniając, dlaczego znajdują się one w tych, a nie innych miejscach. Zerowy kąt nachylenia krzywej wykresu do osi poziomej oznacza, że prędkość w tym punkcie jest równa zero.

y (m) 1,5

t (s) 0,625

1,25

1,875

2,5

-1,5

Największy dodatni kąt nachylenia wykresu zależności przemieszczenia od czasu oznacza maksymalną dodatnią wartość prędkości.

vy (m/s) 3,77

t (s) Największy ujemny kąt nachylenia wykresu zależności przemieszczenia od czasu oznacza maksymalną ujemną wartość prędkości.

-3,77

c. Co Ci przypomina kształt wykresu zależności prędkości od czasu? Spróbuj na podstawie tego skojarzenia zapisać równanie składowej y prędkości, vy, uzależniając ją od wartości v (prędkości liniowej kaczki), ω i t. Wykres ma kształt funkcji cosθ, gdyż zaczyna się od maksymalnej wartości funkcji. Największa wartość, jaką może przyjąć funkcja cosinus, to 1, ale na wykresie największą wartością jest v = 3,77 m/s. Oznacza to, że v jest amplitudą tego równania. vy = vcosθ, a θ = ωt, co podstawię do równania w miejsce zmiennej θ. vy = v cos(ωt)

d. Z jaką prędkością według strzelca 1 porusza się kaczka w chwili t = 0,90 s? v = rω

ω = v r

= 3,77 m/s ≈ 2,51 rad/s

1,50 m vy = vcos(ωt) = 3,77 m/s × cos(2,51 rad/s × 0,90 s) ≈ –2,39 m/s

836

Rozdział 19.

Równanie to sprawdza się wyłącznie wtedy, gdy kąt θ jest wyrażony w radianach, więc przed rozpoczęciem obliczeń upewnij się, że kalkulator pracuje we właściwym trybie.

Drgania (część I) Czy nie mówiliśmy poprzednio, że w definicji sinusa pojawia się składowa y wektora? Jakim cudem ze składowej y otrzymaliśmy wykres funkcji cosinus?

Wektor prędkości pojawia się w innym trójkącie. Gdy rozłożysz na składowe wektor v i spróbujesz wyznaczyć długość jego składowej vy, tworzącej nowy trójkąt prostokątny, otrzymasz wynik vy = vcos. Jest to tożsame z zapisem vy = vcos(t), bo  = t. v Składowa y tworzy trójkąt o przeciwprostokątnej r.

Składowa vy tworzy trójkąt o przeciwprostokątnej v.

r



x

y

x

v

vy



Wektor prędkości liniowej w ruchu obrotowym jest PROSTOPADŁY do wektora przemieszczenia.

r



Trójkąt wektorów prędkości ustawiliśmy w taki sposób, by kąt θ był mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od składowej poziomej.

Ogólniejsze definicje funkcji sinus i cosinus są prawdziwe wyłącznie dla kątów skierowanych mierzonych w stronę przeciwną do ruchu wskazówek zegara od poziomej osi układu współrzędnych. Aby wyznaczyć składową prędkości, musimy obrócić trójkąt prostokątny, w którym się ona znajduje, tak by kąt  był mierzony od poziomu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Po wykonaniu tej operacji wektor vy, przylegający do kąta , układa się wzdłuż osi OX układu współrzędnych. Stosunek między odcinkiem leżącym wzdłuż osi OX a przeciwprostokątną opisuje funkcja cosinus, stąd równanie vy = vcos(t).

v

vx

 vy

sin θ =

y

r x cos θ = r

są prawdziwe tylko wtedy, gdy θ jest mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od poziomej osi układu współrzędnych.

Dlatego teraz w funkcji cosθ pojawia się składowa x. Nie zmieni się to, jeżeli kąt θ będzie mierzony w taki sposób, jak dotychczas.

jesteś tutaj  837

Zwycięstwo

Stoisko ukończone! Tym razem to już naprawdę pożegnanie z polowaniem na kaczki. Stoisko Janki okazało się strzałem w dziesiątkę, więc Janka planuje już otwarcie sieci strzelnic w całym kraju, by każdy mógł codziennie upolować swoją kaczkę.

Strzelec 1 2,39 m/s

2,91 m/s

Cudownie! Interes kręci się nadspodziewanie dobrze. Masz u mnie 10% zysków… będziemy bogaci!

Kolejka do strzelnicy!

838

Rozdział 19.

Strzelec 2

Drgania (część I)

j je jednostki

obwód

spadanie zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne

częstotliwość

siła dośrodkowa

doświadczenie

zachowanie pędu

moment siły

popęd siły stałe przyspieszenie

Pitagoras

przemieszczenie tarcie

trygonometria prędkość kątowa symetria

energia kinetyczna spadek swobodny

nachylenie

energia wewnętrzna powierzchnia

Amplituda

naprężenie

energia

podstawienie

równania ruchu radiany

siła normalna

Bądź częścią problemu wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji

droga

notacja naukowa

siła

czas

bloczek

równanie

okres

zderzenie sprężyste ż t

poradzę sobie z ruchem po okręgu niezależnie od kąta!

pole grawitacyjne

przyspieszenie

wykres

ciężarTeraz

częstość kątowa składowa

odwrotność kwadratu odległości

energia mechaniczna prędkość promień praca

objętość

amplituda moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Największe wychylenie względem wartości środkowej, jakie przyjmuje zmienna, to właśnie amplituda wykresu lub równania.

jesteś tutaj  839

Niezbędnik fizyka

Niezbędnik fizyka

Nowe definicje funkcji sinus i cosinus

ROZDZIA 19.

Masz już za sobą rozdział 19., więc możesz dodać do swojego przybornika kilka metod pozwalających rozwiązywać zadania z fizyki.

idy Równania sinuso i cosinusoidy

Gdy mierzysz kąt θ przeciwni e do kierunku ruchu wskazówek zegara od poziomu:

Odkrywanie postaci równania lub kształtu wykresu

ań: Ogólne formy równ x = Asinθ

sin θ =

y r

ccos θ =

x r

Amplituda to największa wartość, jaką może osiągnąć funkcja.

x = Acosθ, ituda gdzie A to ampl ość, jaką może (największa wart przyjąć x).

Dokonaj podstawienia θ = ωt. Ciało powraca do punktu startu po 2π radianów lub jednym okre e obrotu. okresi

Wykres funkcji cosinus

v

Wykres funkcji sinus

Dla θ = 0 wartość funkcji cosinus jest maksymalna.

Dla θ = 0 wartość funkcji sinus jest równa 0.

x

x

x = A cos θ

x = A sin θ A

A π

2π

Amplituda

Wykresy funkcji trygonometrycznych kreśli się w zależności od kąta θ lub zmiennej t.

x = A sin(ωt) A

Amplituda Okres obiegu, T

840

Rozdział ozd dziiałł 19. 19

2π

Amplituda

θ

x

π

θ

x x = A cos(ωt) A

t

Amplituda

t

Okres obiegu, T

2, )$ *

Sprężyny i huśtawki Cudownie tu być, ale słyszałam już wszystkie jego historie chyba z tysiąc razy. Szkoda, że musi się tak powtarzać.

Co zrobić, gdy coś powtarza się w kółko i na okrągło? Ten rozdział, poświęcony drganiom, ma pomóc Ci dostrzec całość obrazu. Zbierzesz całą zgromadzoną dotąd wiedzę — o wykresach, równaniach, siłach, zasadzie zachowania energii i ruchu okresowym — żeby okiełznać sprężyny i wahadła poruszające się prostym ruchem harmonicznym. Mamy nadzieję, że wkrótce przeżyjesz jedyne w swoim rodzaju doświadczenie towarzyszące myśli „i kto tu rządzi?”… bez zbytniego powtarzania się.

to jest nowy rozdział 841

Ukołysz swoją roślinę

Pora skończyć puste gadki Mówienie do roślin to przeżytek. Dziś zobaczysz coś zupełnie niespotykanego! Właśnie zadzwoniła do Ciebie Anka z wiadomością dotyczącą pomysłu, który wstrząśnie posadami światka ogrodniczego — opatentowanej przez nią kołyski dla roślin.

To mój patent. Dasz radę mi pomóc?

Anka zgłosiła do patentu jedynie pomysł. Wykonaniem projektu masz zająć się Ty!

roślin 4 262 — kołyska dla Patent numer EP 1 46 ądzenie ogrodnicze.

Napędzane sprężyną urz Sprawi, że mówienie do

Delikatnie kołysze roślinę Kierunek kołysania jest

ebne

roślin nie będzie już potrz z częstotliwością 0,750

Hz.

bez znaczenia. istotna.

Amplituda ruchu jest nie

Kołyska dla roślin ma działać dla doniczek o trzech różnych masach Anka ma trzy ulubione rośliny. Chciałaby móc kołysać wszystkie, ale każda z nich ma inny rozmiar (i oczywiście inną masę). Musisz stworzyć projekt, który będzie nadawał się do kołysania wszystkimi trzema roślinami. Anka nalega, by zbudować oddzielne kołyski dla każdego kwiatka.

Każdą roślinę trzeba kołysać oddzielnie.

842

Rozdział 20.

Trzy ulubione kwiaty Anki mają różne masy.

Drgania (część II)

Sprężyna jest źródłem regularnych drgań Anka chciałaby napędzać kołyskę dla roślin sprężyną. Wymyśliła, że ruch mógłby być inicjowany przez odciągnięcie sprężyny, która puszczona swobodnie, wprawiłaby roślinę w drgania. Ani kierunek drgań, ani ich amplituda (maksymalne wychylenie rośliny z położenia równowagi) nie są istotne z punktu widzenia korzyści, jakie ma dawać kołyska. Natomiast szczególnie ważne jest — co Anka podkreślała wielokrotnie — by kołyska działała z częstotliwością 0,750 Hz. Pora wyobrazić sobie, jak to jest…

BĄDŹ rośliną w kołysce Wyobraź sobie, że jesteś rośliną umieszczoną w kołysce. Postaraj się poczuć działanie kołyski na sprężynie, tak jakbyś w niej siedział. Obok znajdziesz rysunki przedstawiające poszczególne fazy cyklu drgań kołyski.

W tym miejscu rozpoczyna się ruch. Sprężyna jest rozciągnięta.

Gdy odciągniesz kołyskę zaczepioną na sprężynie, po czym puścisz ją wolno, wózek z doniczką zacznie poruszać się w przód i w tył.

Sprężyna zaczepiona do wózka i ściany.

Wózek poruszający się ze zmniejszonym tarciem.

Położenie równowagi.

1

Maksymalne wychylenie w każdą ze stron.

Siła

Krótki opis

Prędkość

2

Siła

Krótki opis

Prędkość Sprężyna ma swoją „normalną” długość.

W pustych kratkach narysuj wektory siły działającej na kołyskę i prędkości, z jaką się ona Roślina właśnie porusza, oraz krótko opisz, zmieniła kierunek ruchu. co dzieje się z kołyską na każdym z rysunków. Sprężyna jest ściśnięta.

3

Krótki opis

Prędkość

4 Jeżeli siła lub prędkość mają wartość zerową, zapisz w ramce „zero”.

Siła

Siła

Krótki opis

Prędkość

Cykl kończy się, gdy roślina powraca do tego punktu.

5

Siła

Krótki opis

Prędkość

jesteś tutaj  843

BĄDŹ rośliną

BĄDŹ rośliną w kołysce. Rozwiązanie Wyobraź sobie, W tym miejscu że jesteś rośliną umieszczoną rozpoczyna w kołysce. Postaraj się ruch. się poczuć działanie kołyski Sprężyna na sprężynie, tak jest rozciągnięta. jakbyś w niej siedział. Obok znajdziesz rysunki przedstawiające poszczególne fazy cyklu Sprężyna ma drgań kołyski.

Położenie równowagi.

1

Maksymalne wychylenie w każdą ze stron.

Siła

Krótki opis

Prędkość Zero.

2

Siła

Krótki opis Zero.

Prędkość

swoją „normalną” długość.

W pustych kratkach narysuj wektory siły działającej Roślina właśnie na kołyskę i prędkości, z jaką zmieniła kierunek się ona porusza, oraz krótko ruchu. opisz, co dzieje się z kołyską Sprężyna na każdym z rysunków. jest ściśnięta.

3

Siła

Zero.

Siła

Cykl kończy się, gdy roślina powraca do tego punktu.

5

Siła

Gdy odciągniesz roślinę w lewo i puścisz, sprężyna zadziała na nią siłą, która przyspieszy roślinę w prawo. Siła, z jaką działa sprężyna, jest proporcjonalna do jej rozciągnięcia, więc im bliżej punktu równowagi, tym mniejsza siła działa na wózek z rośliną. W punkcie równowagi na roślinę nie działa już żadna siła wypadkowa.

844

Rozdział 20.

W położeniu równowagi sprężyna nie działa na ciało żadną siłą.

Krótki opis

Prędkość Zero.

Każde rozciągnięcie i ściśnięcie sprężyny, czyli jakiekolwiek wychylenie jej z położenia równowagi, sprawia, że sprężyna zaczyna działać na doczepione do niej ciało siłą zwróconą przeciwnie do wektora przemieszczenia.

Sprężyna działa siłą w lewą stronę. Roślina nie rusza się.

Krótki opis Zero.

Prędkość

Jeżeli siła lub prędkość mają wartość zerową, zapisz w ramce „zero”.

W położeniu równowagi sprężyna nie działa na ciało żadną siłą.

Krótki opis

Prędkość

4

Sprężyna działa siłą w prawą stronę. Roślina nie rusza się na razie.

Sprężyna działa siłą w prawą stronę. Roślina nie rusza się.

Brak siły wypadkowej sprawia, że roślina kontynuuje swój ruch z niezmienioną prędkością, przez co mija punkt równowagi i zaczyna ściskać sprężynę. Im bardziej sprężyna skraca się, tym silniejszą siłą odpycha roślinę w przeciwną stronę, spowalniając tym samym jej ruch. Roślina osiąga punkt maksymalnego wychylenia, gdzie na krótko pozostaje w bezruchu. Po chwili roślina nabiera zwróconego w lewą stronę przyspieszenia, mija punkt równowagi i powraca do położenia wyjściowego, kończąc tym samym cykl swojego ruchu.

Drgania (część II)

Wartość siły określają wychylenie z położenia równowagi i parametr sprężystości sprężyny Potrafisz już opisać jakościowo ruch kołyski dla kwiatów, pora więc zająć się opisem ilościowym i obliczyć kilka parametrów.

Wpływ obydwu czynników wyraża równanie Fs = –kx, gdzie F to siła sprężystości, x jest wychyleniem z położenia równowagi, a k współczynnikiem sprężystości określającym siłę oddziaływania sprężyny. W równaniu pojawia się znak minus, ponieważ siła sprężystości działa zawsze w przeciwnym kierunku do przemieszczenia, jakiego doznaje koniec sprężyny. Zależność tę nazywa się prawem Hooke’a.

Siła, z jaką sprężyna działa na ciało, zależy od kilku parametrów. Pierwszym z nich jest zmiana długości sprężyny. Im większe rozciągnięcie sprężyny (większe wychylenie z położenia równowagi), tym większa jest wartość działającej siły.

F x

Podwajając rozciągnięcie, podwajasz wartość działającej na ciało siły.

Drugim czynnikiem wpływającym na wartość siły jest tak zwany współczynnik sprężystości sprężyny. Im jest on większy, tym większa wartość działającej siły.

F Siła wywierana przez sprężynę.

x

F x

Stała sprężystości.

8J

Wychylenie końca sprężyny z położenia równowagi.

Znak minus informuje Cię o tym, że siła działa przeciwnie do wektora przesunięcia końca sprężyny.

Zaostrz ołówek a. Na podstawie równania Fs = –kx wyznacz jednostkę stałej k (wyraź ją w jednostkach podstawowych układu SI, tj. kg, m, s itd.).

b. Częstotliwość drgań kołyski to 0,750 Hz. Jaki jest okres drgań urządzenia?

c. Wyjaśnij, posługując się równaniem Fs = –kx, jaki wpływ na okres drgań będzie miało zastosowanie mocniejszej sprężyny (o większym współczynniku sprężystości)?

d. Jakie jeszcze zmienne mogłyby zmienić okres drgań kołyski?

jesteś tutaj  845

Coś jeszcze?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie b. Częstotliwość drgań kołyski to 0,750 Hz. Jaki jest okres drgań urządzenia?

a. Na podstawie równania Fs = –kx wyznacz jednostkę stałej k (wyraź ją w jednostkach podstawowych układu SI, tj. kg, m, s itd.). F = –kx

ma = -kx

k = - ma x

[k] = [k] =

[m][a] [x] kg.m m/s2 m

Okres drgań, T, to czas wykonania jednego cyklu ruchu. Częstotliwość, f, jest liczbą cykli przypadających w jednostce czasu.

[k] = kg/s2

T =

1 f

=

1 ≈ 1,33 s 0,750 Hz

c. Wyjaśnij, posługując się równaniem Fs = –kx, jaki wpływ na okres drgań będzie miało zastosowanie mocniejszej sprężyny (o większym współczynniku sprężystości)? Jeżeli zamocujesz wózki z roślinami do dwóch różnych sprężyn — jednej mocnej, drugiej słabej — i odciągniesz je na identyczną odległość, wózek połączony z mocniejszą sprężyną przyspieszy gwałtowniej, ponieważ większa wartość współczynnika k oznacza działanie większej siły. To samo będzie miało miejsce po przekroczeniu przez roślinę położenia równowagi — mocniejsza sprężyna zadziała większą siłą i szybciej wyhamuje wózek. Wydaje mi się, że zastosowanie mocniejszej sprężyny skróci okres drgań.

d. Jakie jeszcze zmienne mogłyby zmienić okres drgań kołyski? Siła wypadkowa jest równa F = ma, więc cięższa roślina dozna mniejszego przyspieszenia, gdy odciągnie się ją na taką samą odległość jak roślinę o mniejszej masie. Cięższa roślina będzie poruszać się wolniej, przez co okres jej drgań będzie dłuższy. Przypuszczam, że nie bez znaczenia jest również odległość, na jaką odciąga się roślinę z położenia równowagi. Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego mamy obliczać siłę,

z jaką sprężyna działa na roślinę?

O

: Zawsze gdy w zadaniu pojawiają się siły, warto zacząć od narysowania diagramu rozkładu sił i wyznaczyć siłę wypadkową działającą na ciało (jak zrobiłeś to, wyobrażając sobie, że jesteś rośliną w wózku).

P: Skąd wiadomo, że podwojenie

rozciągnięcia sprężyny podwaja siłę działającą na ciało?

O

: Odpowiedzią były doświadczenia ze sprężynami! Takie rozważania pojawiły się w rozdziale 11., gdy zastanawialiśmy się, jak działa waga.

P: A jak zmierzyć współczynnik

P: Czy maksymalne wychylenia

O: Mocna sprężyna ulegnie mniejszemu

: Tak. Na ciało wychylone maksymalnie z położenia równowagi działa siła o największej wartości, choć zwrot wektora siły i zwrot wektora przemieszczenia ciała są przeciwne. W punktach, w których ciało zmienia kierunek ruchu, jego prędkość jest równa zero.

sprężystości sprężyny? Przecież producent nie wybija ich na każdej sztuce, prawda?

odkształceniu niż słabsza sprężyna, gdy zadziała się na nie taką samą siłą (na przykład wieszając na nich taką samą masę). Jeżeli zmierzysz wychylenie sprężyny ze stanu równowagi (tj. zmianę jej długości) dla różnych mas, będziesz mógł narysować wykres. Wartość współczynnika sprężystości wyznaczysz z wykresu. Zresztą będziemy to robić w dalszej części rozdziału.

i położenie równowagi to punkty szczególne?

O

W położeniu równowagi na ciało nie działa żadna siła wypadkowa, więc ciało porusza się z niezmienioną prędkością (która jest jednocześnie prędkością maksymalną).

P: Czy rozważania dotyczące sił pomogą nam rozwiązać problem częstotliwości drgań?

O: Właśnie do tego zmierzamy… 846

Rozdział 20.

Drgania (część II)

Zaostrz ołówek Wykresy ruchu kołyski dla kwiatów pomogą Ci odkryć równanie łączące wartość współczynnika sprężystości z częstotliwością drgań. Wózek kołyski rozpoczyna drgania w punkcie x = x0. Naszkicuj wykresy przedstawiające zależności przemieszczenia rośliny, jej prędkości i przyspieszenia od czasu dla jednego cyklu ruchu. Okres drgań wynosi 1,33 s (lub, jeśli wolisz, ich częstotliwość to 0,750 Hz). Zacznij od zaznaczenia punktów szczególnych, w których dana funkcja przyjmuje wartość maksymalną, i poprowadź szkic między nimi. Niektóre z tych punktów zaznaczyliśmy już na wykresie.

Tu rozpoczyna się ruch wózka z rośliną.

x

Połowa cyklu drgań.

0,67 s

1,33 s

Tu znajduje się roślina na zakończenie cyklu drgań.

x0

t Maksymalne wychylenie ze stanu równowagi w drugą stronę.

Na razie oznacz maksymalną wartość prędkości symbolem vmax. Obliczysz ją później.

Wskazówka: Oblicz, w jakiej chwili roślina osiągnie położenie równowagi.

Wskazówka: Czy roślina zwalnia, czy przyspiesza, zbliżając się do punktu maksymalnego wychylenia?

v

t

Wskazówka: Czy roślina zawraca gwałtownie, czy też powoli?

Wskazówka: Kształt kolejnych wykresów określaj na podstawie nachylenia poprzednich do osi poziomej oraz dzięki tym wartościom zmiennych, które już znasz.

a Pomóż sobie, używając wspomnianych punktów szczególnych.

t Wskazówka: Oblicz maksymalną wartość przyspieszenia z równań F = ma i F = –kx.`

jesteś tutaj  847

Wykresy zawsze pomagają

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Wykresy ruchu kołyski dla kwiatów pomogą Ci odkryć równanie łączące wartość współczynnika sprężystości z częstotliwością drgań. Wózek kołyski rozpoczyna drgania w punkcie x = x0. Naszkicuj wykresy przedstawiające zależności przemieszczenia rośliny, jej prędkości i przyspieszenia od czasu dla jednego cyklu ruchu. Okres drgań wynosi 1,33 s (lub, jeśli wolisz, ich częstotliwość to 0,750 Hz). Zacznij od zaznaczenia punktów szczególnych, w których dana funkcja przyjmuje wartość maksymalną, i poprowadź szkic między nimi. Niektóre z tych punktów zaznaczyliśmy już na wykresie. Tu rozpoczyna się ruch wózka x z rośliną.

Połowa cyklu drgań.

0,67 s

Tu znajduje się roślina na zakończenie cyklu drgań.

1,33 s

x0

Wszystkie zmiany są płynne.

Obliczam wartość przyspieszenia. F = ma = –kx

t

Maksymalne wychylenie ze stanu równowagi w drugą stronę.

ma = -kx a = -kx m Przyspieszenie osiąga wartość maksymalną dla maksymalnego wychylenia z położenia równowagi. -kx0 amax = m

v Prędkość osiąga maksymalną wartość w położeniu równowagi, gdy x i a mają wartość 0.

t Czy ja już gdzieś tego nie widziałem…

0 m/s, gdy roślina zmienia kierunek ruchu.

a amax

kx0 = m

Porównaj z obliczeniami maksymalnej wartości przyspieszenia.

848

W położeniu równowagi a = 0.

Rozdział 20.

W punkcie maksymalnego wychylenia ze stanu równowagi przyspieszenie ma wartość maksymalną (choć jest przeciwnie skierowane).

t Wykres przyspieszenia jest lustrzanym odbiciem wykresu przemieszczenia, ponieważ F = –kx, co oznacza, że wektory a oraz x mają przeciwne zwroty.

Drgania (część II)

Ruch masy na sprężynie wygląda tak samo jak ruch po okręgu widziany z boku Gdy patrzysz na ruszającą się z jednej strony na drugą kołyskę dla kwiatów — czyli masę zamocowaną na sprężynie — widzisz dokładnie to samo, co widziałeś, patrząc z boku na ruch po okręgu. Maksymalne położenia.

Maksymalne położenia. Położenie równowagi.

Środek okręgu.

x0

-x0

r

-r

x

x Wykresy zależności przemieszczenia od czasu mają identyczne KSZTAŁTY.

Obróć głowę w prawo, a zobaczysz, że wykres ten jest identyczny z wykresem z poprzedniej strony!

t

t

Wykresy przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia masy drgającej na sprężynie mają sinusoidalny kształt.

Płynie z tego prosty wniosek — sporządzone wykresy przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia mają takie same kształty, jak ich odpowiedniki dla widzianego z boku ruchu po okręgu. Oznacza to, że równania ruchu kołyski dla kwiatów należą do tego typu równań, co równania ruchu opisujące widziany z boku ruch po okręgu. Z tego wynika, że w równaniach ruchu kołyski pojawią się funkcje sinus i cosinus.

jesteś tutaj  849

Prosty ruch harmoniczny

Masa zaczepiona na sprężynie porusza się prostym ruchem harmonicznym Kołyska dla kwiatów porusza się tam i z powrotem, ponieważ działa na nią ze strony sprężyny „siła przywracająca równowagę”, Fs = –kx. Siła ta jest wprost proporcjonalna do wychylenia sprężyny z położenia równowagi i działa przeciwnie do wektora przemieszczenia ciała. Wykresy, które przed chwilą szkicowałeś, potwierdzają, że przyspieszenie — a zatem również siła — działa zawsze przeciwnie do wektora przemieszczenia.

x

Ciało porusza się ruchem prostym harmonicznym, gdy działa na nie siła przywracająca do położenia równowagi wprost proporcjonalna, ale przeciwna do wektora przemieszczenia.

0,67 s

1,33 s

x0

t

Fwyp = ma, więc siła ma zawsze ten sam zwrot, co przyspieszenie, a ono ma przeciwny zwrot do wektora przemieszczenia.

a

Gdy przemieszczenie ciała jest duże i ma wartość dodatnią, na ciało działa duża siła o wartości ujemnej.

Wykres o kształcie sinusoidalnym może przedstawiać równie dobrze funkcję sinus, jak i funkcję cosinus — to nazwa ogólnego kształtu wykresu.

Gdy ciało nie jest wychylone z położenia równowagi, nie działa na nie żadna siła.

t

Zjawiska, w których siła przywracająca równowagę jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi, są na tyle często spotykane w fizyce, że właściwy im ruch otrzymał własną nazwę — jest to prosty ruch harmoniczny, w skrócie PRH. Wykresy opisujące PRH mają zawsze kształt sinusoidalny. Sinusoidę określa się też mianem „pierwszej harmonicznej”.

850

Rozdział 20.

Drgania (część II)

Czy w prostym ruchu harmonicznym stosuje się te same równania częstotliwości i okresu, których nauczyłem się przy okazji poznawania obserwowanego z boku ruchu po okręgu?

Tak, równania częstotliwości, okresu, szybkości maksymalnej itd. pozostają bez zmian. Jeżeli ustawisz obok siebie układy doświadczalne ilustrujące prosty ruch harmoniczny i ruch po okręgu (o ile będziesz obserwować go z boku), zaobserwujesz te same zjawiska. Dlatego kształty wykresów zależności przemieszczenia od czasu, prędkości od czasu i przyspieszenia od czasu są dla tych rodzajów ruchu identyczne. Oznacza to, że możesz używać znanych Ci już równań częstotliwości, okresu czy prędkości kątowej do opisu prostego ruchu harmonicznego. Częstość kołowa i szybkość kątowa Częstość kołowa ma te same jednos tki, co szybkość kątowa. Zawsze też ma tę samą wartość. Częstość kołow a i szybkość kątowa to po prostu dwie nazwy opisujące tę samą wielkość. Znając częstotliwość, możesz zawsz e wyznaczyć wartość częstości kołow ej ω:

ω = 2πf

Częstotliwość i okres

PRH ma częstotliwość i okres drgań, więc możesz opisywać go równaniami znanymi z ruchu po okręgu.

a symbolem f, Częstotliwość, oznaczan sekundzie. to liczba cykli w jednej T, to czas ą liter y Okres, oznaczan trwania jednego cyklu.

1 T = f

1 f = T

Te dwie kartki z notatkami dają ogromne możliwości łączenia i przekształcania równań.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Przeskok od masy na sprężynie do trzech

P: Czy prosty ruch harmoniczny jest dokładnym

O: Najważniejsze to stwierdzić, czy na ciało działa siła

: Tak! Gdybyś obserwował ciała poruszające się prostym ruchem harmonicznym (PRH) i widzianym z boku ruchem po okręgu o takim samym okresie ruchu, obydwa ciała poruszałyby się dla Ciebie tak samo.

sinusoidalnych wykresów był dla mnie zbyt duży. Czy możesz wyjaśnić to jeszcze raz?

proporcjonalna do przemieszczenia ciała z położenia równowagi i czy jej zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia. Jeżeli tak — niezależnie od tego, czy źródłem ruchu jest sprężyna, czy cokolwiek innego — to wiadomo, że masz do czynienia z prostym ruchem harmonicznym.

P: Jak wygląda prosty ruch harmoniczny? O: Przyjrzyj się ciału drgającemu na sprężynie, a zauważysz,

że porusza się ono powoli, gdy zbliża się do maksymalnych wychyleń z położenia równowagi, natomiast samo położenie równowagi mija z dużą prędkością. Zmiany prędkości zachodzą w sposób ciągły.

odpowiednikiem widzianego z boku ruchu po okręgu?

O

P: W prostym ruchu harmonicznym pojawia się

przyspieszenie będące skutkiem działania siły sprężystości. Zresztą rysowałem je na wykresie. Gdzie jest zatem przyspieszenie w ruchu po okręgu?

O

: Jeżeli ciało porusza się po okręgu, musi działać na nie siła dośrodkowa, gdyż bez niej ruch taki nie byłby możliwy. Zatem przyspieszeniem w widzianym z boku ruchu po okręgu będzie ta składowa przyspieszenia dośrodkowego, którą możesz zobaczyć ze swojej perspektywy.

jesteś tutaj  851

Obejdziemy się bez rachunku różniczkowo-całkowego

Skąd ta pewność, że wykresy ruchu dla sprężyny mają kształt sinusów i cosinusów? A może są tylko podobne z wyglądu do tych funkcji?

Dowiedzenie tego wymagałoby zastosowania rachunku różniczkowo-całkowego. Żeby wyznaczyć maksymalną wartość przyspieszenia, przyrównaliśmy do siebie dwie siły: F = –kx i F = ma. Po podstawieniu za F do dowolnie wybranego równania otrzymaliśmy: –kx = ma, co po przekształceniu daje a = - mk x . W tej chwili w równaniu występują dwie wielkości stałe przez cały czas trwania ruchu (k i m) oraz dwie wielkości zmieniające się w czasie (a i x). Nie da się rozwiązać jednego równania zawierającego dwie niewiadome. Ale przecież wiesz, że przyspieszenie określa tempo zmiany dv prędkości ciała, a = dt , możesz więc podstawić tę zależność dv do równania a = - mk x . Otrzymasz wtedy dt = - mk x . Na razie sytuacja nie wygląda o wiele lepiej, bo nadal masz dwie niewiadome w równaniu (v i x), ale pamiętaj, że prędkość to tempo zmian przemieszczenia, więc można zapisać v = dx . Po podstawieniu d dx dt k x. do naszego równania otrzymasz dt dt = - m Teraz w równaniu jest tylko jedna niewiadoma, x, ale żeby je rozwiązać, musiałbyś znać rachunek różniczkowo-całkowy. Nie martw się, nie będziemy tego od Ciebie wymagać. Na następnej stronie znajdziesz podane na tacy rozwiązanie tego równania.

Spokojnie KL0M ("(3* Nie musisz znać poszczególnych przekształceń prowadzących d dx od ohydnie wyglądającego równania dt dt = - mk x do wyniku podanego na następnej stronie. W szkole nikt nie będzie wymagać od Ciebie znajomości wyższej matematyki, a co najwyżej zastosowania podanego równania.

852

Rozdział 20.

Drgania (część II)

Prosty ruch harmoniczny to drgania sinusoidalne W chwili t = 0 masa doczepiona do sprężyny znajduje się w maksymalnym wychyleniu. Stąd wiadomo, że równanie opisujące zmianę położenia ciała w czasie musi zależeć w jakiś sposób od funkcji cosinus, gdyż właśnie ta funkcja przyjmuje maksymalną wartość dla t = 0. Równanie to przyjmuje postać x = x0cos

k m

t.

Czy do otrzymania wykresu funkcji sinusoidalnej nie potrzeba wartości kąta? Przecież sinus i cosinus przyjmowały zmienną w postaci kąta.

Równania jak na tacy

Funkcja cosinus osiąga swoje maksimum w t = 0.

Masa drgająca na sprężynie zaczyna swój ruch w położeniu x = x0 :

#

Wyrażenie umieszczone pod funkcją cosinus ma wymiar kąta i odpowiada kątowi w równoważnym PRH ruchowi po okręgu widzianym z boku.

 



x0 to maksymalna wartość przemieszczenia x, więc jest amplitudą tego ruchu.

Jeżeli ustawisz obok siebie roślinę drgającą na sprężynie i kaczkę obracającą się na kole i zadbasz o to, by obydwa ciała poruszały się z identycznymi amplitudami i częstotliwościami, ich ruch widziany z boku będzie wyglądać tak samo.

Wielkości θ i ω są tu raczej „narzędziami matematycznymi” niż faktycznymi wielkościami fizycznymi.

Oglądany z boku ruch po okręgu można opisywać za pomocą funkcji kąta , o jaki obraca się tarcza. W tym celu wprowadza się równanie x = x0cos(). Jeżeli chcesz opisywać zmianę położenia ciała w zależności od czasu, musisz dokonać podstawienia  = t, które doprowadzi wspomniane wcześniej równanie do postaci x = x0cos(t).

I jak tam? Wiesz już, jak kołysać moimi roślinami z odpowiednią częstotliwością?

Ponieważ ruch po okręgu widziany z boku wygląda tak samo jak prosty ruch harmoniczny, równanie PRH przyjmuje tę samą postać, co równanie ruchu po okręgu widzianego z boku, mimo że w ruchu drgającym nie pojawiają się żadne kąty.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jak wykorzystać równanie ruchu PRH do wyznaczenia częstotliwości drgań kołyski dla roślin?

jesteś tutaj  853

Wyznacz stałe Wielkości x i t to zmienne.

Wyznacz wartości stałe, porównując równanie szczegółowe z równaniem ogólnym

+&ω'

Równanie ogólne prostego ruchu harmonicznego (i widzianego z boku ruchu po okręgu), opisujące położenie ciała zaczynającego iem nan rów się drgać w maksymalnym wychyleniu to x = Acos(t). m 19. y Z t ałeś iale Równanie opisujące przemieszczenie kwiatków w kołysce to x = x0cos

k m

z tk spo w rozd ż ju

t.

Porównaj te równania krok po kroku, a przekonasz się, że mają one identyczną formę, ale w „ważnych miejscach” pojawiają się w nich inne zmienne.

#

 



Wielkości x0, k i m to wartości stałe dla każdego ciała umieszczonego w kołysce.

Spójrz na amplitudę

Spójrz na argument funkcji cosinus

W obydwu równaniach funkcja cosinus jest mnożona przez pewną wielkość. W równaniu ogólnym jest nią zmienna A, czyli amplituda, określająca maksymalną wartość, jaką może przyjąć równanie (bo maksymalna wartość funkcji cosinus to 1).

W obydwu równaniach pojawia się funkcja cosinus przyjmująca za argument pewne wyrażenie. W równaniu ogólnym wyrażeniem tym jest t, częstość kołowa pomnożona przez czas. Zgodnie z definicją częstość kołowa określana jest wzorem  = 2f, więc znając wartość , możesz bez trudu wyznaczyć częstotliwość tego ruchu i okres drgań.

W równaniu opisującym przemieszczenie w ruchu drgającym w miejscu amplitudy stoi zmienna x0, określająca maksymalne odciągnięcie wózka ze stanu równowagi, czyli największą dopuszczalną wartość przemieszczenia.

k W równaniu szczególnym pojawia się czynnik m t będący argumentem funkcji cosinus, a więc odpowiednikiem wyrażenia t z równania ogólnego. Możesz zapisać równanie k t = m t , z którego wyznaczysz częstotliwość kołyski dla roślin.

Chwileczkę! Wielkości ω można używać z pewnością tylko do opisu ruchu po okręgu! Przecież jej wartość podajemy w radianach na sekundę, a tu nie mamy ani okręgu, ani kątów!

Porównaj otrzymane równanie z równaniem W tym równaniu zmienna ω jest wyłącznie ogólnym. Dzięki narzędziem, które pozwala Ci osiągnąć zamierzone cele. temu określisz Równanie ogólne można równie dobrze zapisać w postaci amplitudę drgań x = x0cos(2ft), bo  = 2f. Wtedy nie pojawia się w nim i częstotliwość zmienna , bo ta została wyrażona za pomocą zmiennej f. w ruchu Masa drgająca na sprężynie porusza się z pewną częstotliwością harmonicznym (liczbą cykli wykonywanych w sekundzie ruchu). Chcesz dowiedzieć się, jak wywołać drgania z określoną częstotliwością, prostym. 854

Rozdział 20.

a zmienna  jest po prostu narzędziem matematycznym, które pozwoli Ci ten cel osiągnąć.

Drgania (część II)

Zaostrz ołówek Masz do dyspozycji trzy ciała o masach 100 g, 250 g i 500 g. Chcesz zamocować każde z nich na drgającej poziomo sprężynie, tak by częstotliwość drgań wynosiła 0,750 Hz. k

a. Porównaj równanie x = x0cos m t z równaniem ogólnym ruchu harmonicznego prostego i wyprowadź wzór częstotliwości drgań kołyski dla kwiatów.

b. Sprawdź poprawność rozwiązania, wyobrażając sobie, jak zmieni się częstotliwość drgań, gdy będą zmieniać się kolejno k i m. Zapisz wyniki swoich przemyśleń i powiedz, czy zgadzają się one z zachowaniem rośliny w rzeczywistym świecie.

c. Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny niezbędny do wprawienia każdej z roślin w drgania z częstotliwością 0,750 Hz. Kołyska zostaje wychylona w chwili t = 0 do położenia x0 = 10,0 cm. Wskazówka: Musisz też obliczyć jednostkę współczynnika.

d. Czy można by wywołać drgania tych trzech roślin, mając do dyspozycji identyczne sprężyny i działając na nie identyczną siłą, przy założeniu, że każda z roślin zostanie odciągnięta na inną odległość początkową? Uzasadnij swoją odpowiedź.

jesteś tutaj  855

Rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Masz do dyspozycji trzy ciała o masach 100 g, 250 g i 500 g. Chcesz zamocować każde z nich na drgającej poziomo sprężynie, tak by częstotliwość drgań wynosiła 0,750 Hz. k a. Porównaj równanie x = x0cos m t z równaniem ogólnym ruchu harmonicznego prostego i wyprowadź wzór częstotliwości drgań kołyski dla kwiatów.

Równanie ogólne:

x = A cos(ωt)

Masa na sprężynie: x = x0 cos k ω = m

kt m

k 2πf = m 1 k f = 2π m

Bo ω = 2πf

b. Sprawdź poprawność rozwiązania, wyobrażając sobie, jak zmieni się częstotliwość drgań, gdy będą zmieniać się kolejno k i m. Zapisz wyniki swoich przemyśleń i powiedz, czy zgadzają się one z zachowaniem rośliny w rzeczywistym świecie. Gdyby wzrosła wartość współczynnika sprężystości, k, to zgodnie z wyprowadzonym równaniem wzrośnie również częstotliwość drgań. Wydaje się, że to poprawny wniosek, gdyż większa wartość współczynnika k oznacza większą siłę działającą na wózek z rośliną, więc również większe przyspieszenie i szybszy ruch. Gdyby wzrosła masa, m, to zgodnie z równaniem częstotliwość musiałaby zmaleć. To rozsądne, gdyż siła identyczna jak poprzednio musiałaby powodować ruch większej masy, więc roślina nie przyspieszałaby tak bardzo i poruszałaby się wolniej.

c. Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny niezbędny do wprawienia każdej z roślin w drgania z częstotliwością 0,750 Hz. Kołyska zostaje wychylona w chwili t = 0 do położenia x0 = 10,0 cm. f = f2 =

1 k 2π m 1 k 4π2 m

Jednostkę współczynnika sprężystości określasz na pod jednostek wielkości znajdującystawie po prawej stronie równania. ch się

k = 4π2mf2 roślina o masie 100 g: k = 4π2 × 0,100 kg × (0,750 Hz)2 ≈ 2,22 kg/s2 roślina o masie 250 g: k = 4π2 × 0,250 kg × (0,750 Hz)2 ≈ 5,55 kg/s2 roślina o masie 500 g: k = 4π2 × 0,500 kg × (0,750 Hz)2 ≈ 11,1 kg/s2

Masy muszą być podane w kilogramach, a nie w gramach.

d. Czy można by wywołać drgania tych trzech roślin, mając do dyspozycji identyczne sprężyny i działając na nie identyczną siłą, przy założeniu, że każda z roślin zostanie odciągnięta na inną odległość początkową? Uzasadnij swoją odpowiedź. Nie, ponieważ częstotliwość nie zależy od amplitudy drgań, a wyłącznie od stałej sprężystości i masy ciała. Odciągnięcie ciała na różne odległości początkowe nie zmieni częstotliwości.

ogólnym każdego PRH. Dla  +&ω' jestmasyrównaniem drgającej na sprężynie można zapisać ω  Za pomocą tego równania

856

Rozdział 20.

rozwiążesz każde zadanie PRH.

Wielkość ω jest tu jedynie narzędziem pozwalającym odnaleźć rozwiązanie.

Poradnia pytań — to równanie wygląda jak tamto W fizyce bardzo często mamy do czynienia ze szczególnymi postaciami ogólnych równań. Przykładem może tu być ogólne równanie prostego ruchu harmonicznego, x = Acos(ωt). Położenie KAŻDEGO ciała poruszającego się prostym ruchem harmonicznym można opisać tym właśnie równaniem (albo alternatywnie równaniem x = Asin(ωt), jeżeli ruch zaczyna się w położeniu x = 0). W przytoczonym równaniu A to amplituda drgań, czyli maksymalna wartość zmiennej x. Argument funkcji cosinus jest zawsze równy ωt, a to oznacza, że aby poznać f czy T, wystarczy obliczyć wartość ω. To definicje wszystkich zmiennych równania.

y m po czasie t, Przemieszczenie mas e o współczynniku drgającej na sprężyni ne równaniem sprężystości k, jest da k t. x = x0cos m To amplituda drgań. To oznacza, że musisz porównać podane równanie z równaniem x = Acos(ωt) i na tej podstawie wyznaczyć amplitudę drgań i ich częstotliwość.

Wiele zadań da się rozwiązać, jeśli zauważy się podobieństwo do znanych już rozwiązań i dokona się odpowiednich podstawień.

stego ruchu z ogólnym równaniem pro a. Porównaj to równanie tliwość sto czę ący dź wzór opisuj harmonicznego i wyprowa drgań oscylatora, f. rawienia ężystości niezbędny do wp b. Oblicz współczynnik spr 100 sie ma o liny roś 0,750 Hz w drgania z częstotliwością gramów.

Użycie wyprowadzonego wcześniej równania do przeprowadzenia dalszych obliczeń to bardzo typowe polecenie. Nie przejmuj się, jeżeli wyprowadzisz niepoprawne równanie. Powinieneś otrzymać choć część punktów, jeżeli dobrze podstawisz do niego wartości liczbowe.

Przeczytaj też w dodatku i o równaniu y = ax + b.

To częstość kołowa, ω.

A zatem ω = k m

Tu ω = 2πf

k Więc 2πf = m

W rozwiązywaniu tego typu zadań najważniejsze jest, by zorientować się, jakie wartości znajdują się na każdej z osi wykresu, i porównać je z wielkościami pojawiającymi się w równaniu. Jest to szczególnie ważne, jeśli w równaniu pojawiają się inne symbole niż te, do których przywykłeś. Zacznij od naszkicowania wykresu i opisania go wielkościami podanymi przez autora zadania.

857

Częstotliwość i PRH Wygląda na to, że ani częstotliwość, ani okres drgań nie zależą od ich amplitudy.

Częstotliwość PRH nie zależy od amplitudy drgań. Prosty ruch harmoniczny i obserwowany z boku ruch po okręgu wyglądają dokładnie tak samo. Wyobraź sobie dwa ciała wirujące na tej samej tarczy, lecz w różnych odległościach od jej środka. Okres obrotu tych ciał będzie identyczny, ale ciało znajdujące się bardziej na zewnątrz będzie poruszało się z większą szybkością, sprawiając wrażenie, jakby chciało wyprzedzić ciało poruszające się bliżej środka tarczy. Ponieważ ciało zewnętrzne porusza się z większą szybkością, musi działać na nie większa siła dośrodkowa, gdyż tylko wtedy będzie ona w stanie utrzymać je w takim ruchu.

x

Obydwa ciała drgają z takim samym okresem, ale z innymi amplitudami.

t

Okres obrotu to czas potrzebny na ukończenie jednego cyklu ruchu. Wartość T możesz wyznaczyć z wartości ω. Potem będziesz mógł policzyć k i masę m, bo ω = k m Częstość kołowa zależy i m, wyłącznie od wartości k es okr i ość tliw sto czę więc też będą zależeć wyłącznieuda od tych zmiennych. Amplit nie pojawia się w żadnym z równań.

Oczywiście zakładamy, że nie zniszczysz sprężyny przy naciąganiu, gdyż w takim razie nie otrzymasz PRH, tylko rachunek ze sklepu za wykonanie naprawy.

858

Rozdział 20.

T

Tak samo wygląda to dla masy na sprężynie. Jeżeli na początku napniesz sprężynę mocniej, na ciało zadziała większa siła, więc uzyska ono większą prędkość przechodzenia przez położenie równowagi. Oczywiście ciało ma też większy pęd, przez co „wyprzedza” ciała o takiej samej masie, drgające z mniejszą amplitudą. Należy przy tym pamiętać, że ciało drgające z większą amplitudą w ruchu PRH będzie poruszać się z tym samym okresem, co wcześniej, i z tą samą częstotliwością.

Częstotliwość, f, to liczba 1 cykli przypadających na 1 sekundę T

Ani częstotliwość, ani okres drgań PRH nie zależą od amplitudy drgań.

Drgania (część II)

Rządzisz, a rośliny Anki bujają się swobodnie!

F x

Zdołałeś zaprojektować sprzęt ogrodniczy według patentu Anki i możecie stwierdzić z całą pewnością, że urządzenie huśta się, jak należy! Zacząłeś od określenia, co wpływa na drgania rośliny, i poznałeś przy tym prawo Hooke’a, F = –kx. Potem naszkicowałeś wykresy zależności przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia rośliny od czasu. Od razu rzuciło Ci się w oczy, że wykresy te przypominają do złudzenia ilustrację równań ruchu dla ruchu po okręgu oglądanego z boku. Okazało się, że rośliny będą poruszać się prostym ruchem harmonicznym, a Ty dowiedziałeś się, że jeżeli siła przywracająca równowagę układu jest proporcjonalna do przemieszczenia, wykresy tych wielkości zawsze mają taki sam kształt.

F x Jeżeli siła jest proporcjonalna do przemieszczenia (lecz zwrócona przeciwnie), ciało porusza się PRH.

Po poznaniu podanego na tacy (bo wymagającego stosowania

Wykresem prostego ruchu harmonicznego jest sinusoida. Wiedząc to, zdołasz obliczyć częstotliwość, okres drgań, amplitudę i inne wielkości charakteryzujące ten ruch, ponieważ kształt równania tego ruchu jest zawsze taki sam.

rachunku różniczkowo-całkowego) równania przemieszczenia, x = x0cos mk t , mogłeś porównać je z ogólnym równaniem prostego ruchu harmonicznego x = Acos(t). Porównanie argumentów funkcji cosinus w obydwu równaniach pozwoliło zapisać: t = mk t , co z kolei prowadzi do ostatecznego wyniku  = mk . Mając do dyspozycji ten wzór, mogłeś obliczyć stałą sprężystości sprężyny potrzebnej do kołysania każdej z roślin.

>"0'40*) "-%-4*'    %   %'*) "494 #%&#& % 4 '-'#

Ale Anka zapomniała o jednym drobiazgu… Wspaniale! Ale zapomniałam Ci wcześniej powiedzieć, że chciałabym, żeby rośliny poruszały się maksymalnie z prędkością 1,50 m/s. Mam nadzieję, że to nie problem…

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Od czego może zależeć maksymalna prędkość drgań masy zawieszonej na sprężynie?

jesteś tutaj  859

Energia potencjalna sprężystości Nasz projekt był doskonały, ale Anka zażyczyła sobie, żeby maksymalna prędkość drgań wynosiła dokładnie 1,50 m/s.

Kuba: Przypuszczam, że prędkość maksymalna będzie zależeć od tego, jak bardzo rozciągniemy sprężynę na początku ruchu. Franek: Racja. Im większe wychylenie z położenia równowagi, tym większa siła działa na ciało, więc i jego przyspieszenie będzie większe. Ciało porusza się z maksymalną prędkością, gdy przechodzi przez punkt położenia równowagi, bo potem ściskana sprężyna zaczyna hamować jego ruch. Krzysiek: Ale jeśli przemieszczenie początkowe będzie zbyt duże, roślina nabierze zbyt wielkiej prędkości. Musimy obliczyć, o ile dokładnie mamy odciągnąć doniczkę, by ta, przechodząc przez położenie równowagi, osiągnęła prędkość równą dokładnie 1,50 m/s. Franek: Pewnie powinniśmy nauczyć się rachunku różniczkowo-całkowego i zabrać się za rozwiązywanie równań sinusoidalnych. DO BANI! Kuba: Jestem pewien, że to nie jedyne rozwiązanie. Spróbujmy narysować więcej diagramów rozkładu sił. Na pewno coś wymyślimy. Krzysiek: Słuchajcie… zacięliśmy się na myśleniu o siłach, a przecież zazwyczaj łatwiej liczy się wszystko z energii.

Ściśnięta sprężyna dysponuje energią potencjalną sprężystości. Jeżeli w zadaniu pojawiają się sprężyny, możesz posłużyć się zasadą zachowania energii.

Żeby prowadzić obliczenia z uwzględnieniem działających sił, przyspieszeń, prędkości i przemieszczeń ciała, musiałbyś najpierw odbyć kurs rachunku różniczkowo-całkowego. Lepiej używać energii…

Franek: Kto wie? Różnice wywołują zmiany, a te z kolei prowadzą do przekazywania energii. Prędkość doniczki zmienia się z pewnością w każdej chwili. Krzysiek: Tak samo, jak długość sprężyny. Rozciągnięta sprężyna na początku ruchu ma energię potencjalną sprężystości, którą zamienia potem całkowicie na energię kinetyczną w punkcie równowagi, by potem powrócić znów do maksymalnego wychylenia z samą energią potencjalną sprężystości. Kuba: To prawda. Gdy prędkość doniczki jest maksymalna, roślina dysponuje wyłącznie energią kinetyczną Ek = mv2. Franek: I mamy v we wzorze! Gdybyśmy znali wartość energii potencjalnej sprężyny na początku ruchu, moglibyśmy użyć zasady zachowania energii i w ten sposób obliczyć prędkość rośliny w punkcie równowagi. Bo przecież tam energia potencjalna sprężystości ma zerową wartość. Byłoby świetnie! Krzysiek: Czyli na początku nadajemy sprężynie energię potencjalną… Kuba: Tak, wykonujemy pracę nad sprężyną, no nie? A praca = siła × przesunięcie. I po bólu! Krzysiek: Eee… tylko której siły użyć. Przecież im bardziej rozciągasz sprężynę, tym większy opór Ci stawia. Franek: Praca to pole powierzchni pod wykresem zależności siły od przesunięcia ciała. Damy radę to obliczyć?

860

Rozdział 20.

Drgania (część II)

Zaostrz ołówek

To trudne ćwiczenie. Nie spiesz się i czekaj, aż zrozumiesz je dokładnie. Nie przejmuj się, nawet jeśli zabierze Ci to dużo czasu

a. Naszkicuj na poniższym wykresie kształt zależności siły od przesunięcia dla sprężyny o współczynniku sprężystości równym k. Sprężyna jest rozciągana maksymalnie do położenia x0. Ponieważ wykres ma przedstawiać zależność siły, z jaką ciągniesz sprężynę, od czasu, a nie siły, z jaką sprężyna działa na Ciebie, wektory siły i przemieszczenia będą miały ten sam zwrot, więc wartość siły to F = kx .

F

x x0 b. Zaznacz na wykresie wartość siły F dla przemieszczenia równego x0. c. Całkowita wykonana przez siłę praca to obszar zamknięty między linią wykresu a poziomą osią układu współrzędnych. Oblicz pole tej powierzchni, a uzyskasz równanie opisujące pracę wykonaną w czasie rozciągania sprężyny do położenia x0.

Indeks dolny „ps” informuje Cię, że masz do czynienia z energią potencjalną sprężystości.

d. Jaką energię potencjalną sprężystości, Eps, uzyskuje sprężyna o współczynniku sprężystości k w wyniku rozciągnięcia jej z położenia równowagi do położenia x0?

jesteś tutaj  861

Przekazywanie energii

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Naszkicuj na poniższym wykresie kształt zależności siły od przesunięcia dla sprężyny o współczynniku sprężystości równym k. Sprężyna jest rozciągana maksymalnie do położenia x0. Ponieważ wykres ma przedstawiać zależność siły, z jaką ciągniesz sprężynę, od czasu, a nie siły, z jaką sprężyna działa na Ciebie, wektory siły i przemieszczenia będą miały ten sam zwrot, więc wartość siły to F = kx .

F kx0

Powierzchnia pod wykresem ma kształt trójkąta. Jej powierzchnia jest równa połowie powierzchni prostokąta o bokach równych prostopadłym bokom trójkąta.

En. kinetyczna x x0 b. Zaznacz na wykresie wartość siły F dla przemieszczenia równego x0. c. Całkowita wykonana przez siłę praca to obszar zamknięty między linią wykresu a poziomą osią układu współrzędnych. Oblicz pole tej powierzchni, a uzyskasz równanie opisujące pracę wykonaną w czasie rozciągania sprężyny do położenia x0. Wykonana praca = powierzchnia pod wykresem F(x). Wykonana praca = pole powierzchni trójkąta. Pole powierzchni trójkąta jest równe połowie pola powierzchni prostokąta o identycznym boku pionowym i poziomym. Wykonana praca = pole powierzchni = ½ × podstawa × wysokość = ½ × x0 × kx0

Wykonana praca jest równa polu powierzchni pod wykresem F(x).

Wykonana praca = ½kx02

d. Jaką energię potencjalną sprężystości, Eps, uzyskuje sprężyna o współczynniku sprężystości k w wyniku rozciągnięcia jej z położenia równowagi do położenia x0? Eps = ½kx02

862

Rozdział 20.

Drgania (część ś II)

Jak to możliwe, że całkowita energia rośliny to ½kx02, skoro doniczka spędza bardzo mało czasu w położeniu x0?

En. potencjalna

Całkowita energia masy zaczepionej na sprężynie zależy od współczynnika sprężystości i amplitudy ruchu drgającego.

En. kinetyczna

Gdy odciągasz roślinę z położenia równowagi, rozciągasz sprężynę, co wymaga zadziałania na nią pewną siłą, która wykonuje w tym czasie pracę. Wykonanie pracy wiąże się ze zmianą postaci energii w układzie — w tym przypadku zmiana ta skutkuje wzrostem energii potencjalnej sprężystości sprężyny. Po uwolnieniu doniczki energia potencjalna układu jest stopniowo zmieniana w energię kinetyczną, ponieważ wzrasta prędkość rośliny doczepionej do sprężyny. W położeniu równowagi doniczka dysponuje wyłącznie energią kinetyczną. Po minięciu tego punktu energia kinetyczna zaczyna przekształcać się w energię potencjalną sprężystości, po czym cały proces powtarza się. Energia potencjalna sprężystości układu w dowolnym wychyleniu doniczki z położenia równowagi to kx2, a energia kinetyczna to zawsze mv2, ale całkowita energia układu jest zawsze równa kx02.

En. potencjalna

En. potencjalna

En. kinetyczna

En. potencjalna

Zaostrz ołówek a. Naszkicuj wykresy zależności energii kinetycznej Ek i energii potencjalnej Ep od czasu dla jednego pełnego cyklu drgań kołyski dla kwiatów.

b. Korzystając z zasady zachowania energii, wyprowadź równanie opisujące vmax, maksymalną prędkość kołyski, zależną od zmiennych k, m i x0 — wychylenia początkowego (i jednocześnie maksymalnego).

x t

Ek t

c. Doniczka z kwiatkiem jest przymocowana do ułożonej poziomo sprężyny o współczynniku sprężystości równym 2,22 N/m. Jakie powinno być wychylenie początkowe, żeby maksymalna prędkość rośliny była równa 1,50 m/s?

Ep t

jesteś tutaj  863

Współczynnik sprężystości

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie b. Korzystając z zasady zachowania energii, wyprowadź równanie opisujące vmax, maksymalną prędkość kołyski, zależną od zmiennych k, m i x0 — wychylenia początkowego (i jednocześnie maksymalnego).

a. Naszkicuj wykresy zależności energii kinetycznej Ek i energii potencjalnej Ep od czasu dla jednego pełnego cyklu drgań kołyski dla kwiatów.

x

Ep max = Ek max

t Ek przyjmuje największą wartość dla zerowego wychylenia.

Ek

t Ep przyjmuje największą wartość dla największego wychylenia.

Ep

½kx02 = ½mv ½k ½ max2 k x vmax = m 0

c. Doniczka z kwiatkiem jest przymocowana do ułożonej poziomo sprężyny o współczynniku sprężystości równym 2,22 N/m. Jakie powinno być wychylenie początkowe, żeby maksymalna prędkość rośliny była równa 1,50 m/s? k x vmax = m 0

t Energia jest wartością skalarną, więc nawet dla ujemnych przemieszczeń jej wartość jest dodatnia.

x0 =

m vmax k

x0 =

0,100 kg × 1.50 2,22 N/m

x0 ≈ 0,318 m

Nie istnieją

głupie pytania

½ Energia potencjalna sprężystości zależy od amplitudy drgań i współczynnika sprężystości sprężyny.

864

Rozdział 20.

P: A co z masą sprężyny? Dlaczego

w obliczeniach uwzględniamy tylko masę rośliny?

O

: Poprzednio — kiedy rozpatrywaliśmy siły działające na roślinę — i teraz przyjęliśmy założenie, że sprężyna jest nieważka. Jeżeli masa sprężyny jest pomijalnie mała w stosunku do masy rośliny, takie założenie jest jak najbardziej dopuszczalne. Gdyby masa sprężyny była istotnym ułamkiem masy donicy, musielibyśmy uwzględnić przemieszczenia różnych części sprężyny, a to bardzo trudne, ponieważ każdy kawałek ulega innemu odkształceniu.

Drgania (część II)

Rośliny kołyszą się miarowo i tylko dzięki Tobie. Rządzisz! Dzięki połączeniu wiedzy z różnych dziedzin fizyki zdołałeś zaprojektować kołyskę dla kwiatów, która porusza się z określoną częstotliwością, nie przekraczając przy tym żądanej prędkości maksymalnej. Świetna robota!

x

x = A sin(ωt) A

Amplituda

Używałeś też wykresów o takich kształtach.

t

Okres obiegu, T x

x = A cos(ωt)

A

Amplituda

t

Okres obiegu, T

Supermoce fizyka „Siły — przeanalizuj zadanie za pomocą diagramu rozkładu sił. „Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie — wykorzystaj łączące

je zależności. „Wykresy — przedstaw charakter ruchu graficznie. „Ruch po okręgu — dostrzeż podobieństwa zagadnienia do charakterystyki

ruchu po okręgu oglądanego z boku. „Równania — opisz ruch za pomocą odpowiednich symboli.

Super!

„Równania ogólne — zauważ podobieństwa między poznawanymi

równaniami. „Wielkości kątowe — skorzystaj z podobieństwa rozwiązywanego równania

do równania ogólnego, żeby powiązać wielkości ω i f z parametrami k i m.

„Zachowanie energii — dostrzeż, że układ magazynuje energię potencjalną

i energię kinetyczną, a także to, że w czasie wykonywania drgań energia ciągle zmienia postać z jednej energii na drugą. „Praca — oblicz pracę sprężyny. „Powierzchnia — oblicz powierzchnię pod wykresem F(x). „Obliczenia algebraiczne i podstawienia — oblicz prędkość, przyrównując

do siebie maksymalną energię kinetyczną ciała i jego maksymalną energię potencjalną.

Gdy użyjesz wszystkich swoich supermocy, będziesz myśleć jak prawdziwy fizyk! jesteś tutaj  865

O co chodzi, Aniu?

Zmieniła się częstotliwość kołysania… Anka, choć początkowo zachwycona prototypem Twojej konstrukcji, wróciła wkrótce z niemałym problemem. Otóż okazało się, że częstotliwość drgań kołyski uległa zmianie. Każdy kolejny cykl drgań zajmuje więcej czasu, więc częstotliwość jest zbyt niska.

Wszystko działało doskonale, ale teraz każdy cykl drgań trwa dłużej, niż powinien.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Co mogło wpłynąć na zmianę częstotliwości drgań?

866

Rozdział 20.

Drgania (część II) Zastanawiam się, co poszło nie tak. Z początku kołyska działała rewelacyjnie…

Kuba: Anka podlewała swoje rośliny, prawda? Może sprężyna zardzewiała, albo coś w tym stylu, i zmienił się współczynnik sprężystości? Krzysiek: W zasadzie chyba chodzi bardziej o to, że jeśli podlewała kwiaty, to ich masy musiały ulec zmianie. Franek: Racja, przecież częstotliwość zależy od masy. Kuba: No tak, cięższa roślina nie będzie przyspieszać tak szybko, jak lekka. Siła, która działa na doniczkę, jest ciągle taka sama, F = ma, więc zwiększenie masy musi spowodować zmniejszenie przyspieszenia. Wtedy na wykonanie jednego cyklu potrzeba więcej czasu. To dlatego częstotliwość zmalała, a okres drgań wzrósł. Krzysiek: To poważna usterka konstrukcyjna. Masa rośliny i tak uległaby zmianie wraz z jej wzrostem, więc samo podlewanie nie stanowi tutaj problemu. Ciekaw jestem, czy da się to jakoś naprawić. Franek: Czyli problemem jest masa? Kuba: Tak. Gdyby masa kwiatów była stała, częstotliwość nie zmieniałaby swojej wartości (oczywiście przy założeniu, że sprężyna nie uległaby uszkodzeniu). Franek: A może uda się skrócić masę przez jakieś dzielenie? Rozwiązywaliśmy już równania, w których coś takiego miało miejsce. Krzysiek: A, widzę Twój tok rozumowania. W obliczeniach, w których pojawiała się siła ciężkości — wiecie, orbity i te sprawy — zdarzało się, że masa ciała zupełnie ginęła z równania, bo pojawiała się po obydwu stronach równania. Kuba: Może rozwiązaniem byłoby powiesić roślinę w pionie? Wtedy działałaby na nią również siła grawitacji. Krzysiek: Gdyby masa miała skrócić się przy dzieleniu, wszystkie rośliny mogłyby huśtać się na takich samych sprężynach. Wydaje mi się, że nie tędy droga. Zastanówcie się, przecież słoń huśtający się na sprężynie musi poruszać się z inną częstotliwością niż zawieszona na niej mysz.

Zastanów się, jakie procesy fizyczne towarzyszą obserwowanemu zjawisku. Wyobraź sobie, że „jesteś” częścią problemu, albo sprawdź, jak zachowa się równanie, gdy zmienisz wartości zmiennych.

Franek: Może powinniśmy wykonać próbne obliczenia, zanim w ogóle udamy się do warsztatu. To nie powinno trwać zbyt długo…

jesteś tutaj  867

Pionowe sprężyny

Częstotliwość drgań poziomej sprężyny zależy od przyczepionej do niej masy Częstotliwość drgań doniczki umocowanej na poziomej sprężynie 1 k wyraża się wzorem f = 2 m . Gdy zwiększysz masę rośliny, częstotliwość drgań spadnie, ponieważ masa pojawia się po prawej stronie równania w mianowniku. Oznacza to, że po zwiększeniu masy wykonanie jednego cyklu drgań będzie trwać dłużej.

Podlewanie rośliny zwiększa jej masę.

Przyczyna jest bardzo prosta. Z II zasady dynamiki Newtona, F = ma, wynika, że większa masa będzie poruszać się z mniejszym przyspieszeniem, jeżeli zadziała na nią taka sama siła. Podlewanie kwiatów zwiększa ich masę. Anka utrzymuje stanowczo, że rośliny muszą kołysać się z częstotliwością 0,750 Hz, więc projekt zakładający połączenie doniczki z poziomo mocowaną sprężyną nie spełnia warunków pracy urządzenia, bo częstotliwość drgań sprężyny zależy od masy.

Czy użycie pionowo mocowanej sprężyny będzie rozwiązaniem? Gdy ciało porusza się wyłącznie pod wpływem siły grawitacji, jego przyspieszenie nie zależy od masy. W rozdziale 18. przeprowadziłeś obliczenia, z których wynikało, że okres obiegu Ziemi i częstotliwość ruchu satelity nie zależą nijak od jego masy. Chłopcy zaproponowali, żeby sprawdzić, czy urządzenie, w którym doniczka będzie drgać na pionowej sprężynie, zadziała inaczej — w końcu grawitacja odgrywa tu niemałą rolę. Musisz przeprowadzić odpowiednie obliczenia, które zweryfikują ich pomysł.

Częstotliwość ruchu satelity na orbicie i jego okres nie zależą od masy satelity.

868

Rozdział 20.

Być może schemat ten powtórzy się dla drgań pionowej sprężyny… ale pewności nie ma.

Drgania (część II)

Zaostrz ołówek a. Do sufitu zamocowano sprężynę, do której doczepiono potem doniczkę z kwiatem. Sprężyna wydłuża się nieco, by w końcu osiągnąć nowe położenie równowagi. Narysuj diagram rozkładu wszystkich sił działających na doniczkę, gdy znajduje się ona w położeniu równowagi.

b. Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny, jeżeli wydłuża się ona o 44,1 cm, gdy zawiesi się na niej ciało o masie 0,100 kg?

Równanie opisujące wartość siły sprężystości znajdziesz na stronie 845..

c. Wychyl roślinę z położenia równowagi na 4,00 cm i puść. Narysuj diagram rozkładu sił działających na doniczkę w chwili, gdy zwalniasz uchwyt, i oblicz wartość siły wypadkowej.

d. Jaka będzie wartość siły wypadkowej działającej na doniczkę zaczepioną na poziomej sprężynie, jeżeli doniczkę wychylono z położenia równowagi o 4,00 cm?

e. Czy uważasz, że umocowanie sprężyny w pionie wpłynie na częstotliwość i okres drgań doniczki? Czy zmieni to wynik działania kołyski w porównaniu do stosowanego wcześniej układu ze sprężyną poziomą? Uzasadnij swoją odpowiedź.

jesteś tutaj  869

Sprężyny są do bani

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Do sufitu zamocowano sprężynę, do której doczepiono potem doniczkę z kwiatem. Sprężyna wydłuża się nieco, by w końcu osiągnąć nowe położenie równowagi. Narysuj diagram rozkładu wszystkich sił działających na doniczkę, gdy znajduje się ona w położeniu równowagi.

b. Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny, jeżeli wydłuża się ona o 44,1 cm, gdy zawiesi się na niej ciało o masie 0,100 kg? x = 0,441 m

Fs = –kx

Siła sprężystości, Fs = –kx

Q = mg

Na doniczkę nie działa żadna siła wypadkowa.

m = 0,100 kg Na ciało nie działa żadna siła wypadkowa,

więc: mg – kx = 0 kx = mg mg 0,100 kg × 9,8 m/s2 k = x = c. Wychyl roślinę z położenia równowagi na 4,00 cm i puść. Narysuj diagram 0,441 m Ciężar, Q = mg

rozkładu sił działających na doniczkę w chwili, gdy zwalniasz uchwyt, i oblicz wartość siły wypadkowej.

To wynik dodawania 44,1 cm + 4,00 cm.

Siła sprężystości, Fs = –kx Na doniczkę działa siła wypadkowa skierowana w górę.

Fwyp = mg – kx Fwyp = 0,100 kg × 9,8 m/s – 2,22 kg/s2 × 0,481 Fwyp ≈ – 0,878 N

Ciężar, Q = mg

d. Jaka będzie wartość siły wypadkowej działającej na doniczkę zaczepioną na poziomej sprężynie, jeżeli doniczkę wychylono z położenia równowagi o 4,00 cm? Fs = –kx

k ≈ 2,22 kg/s2

Fwyp = –kx Fwyp = – 2,22 kg/s2 × 0,0400 m Fwyp = 0,888 N

Wygląda na to, że mój pomysł ze sprężyną nie wypalił. Jak jeszcze można by kołysać moje rośliny? Wolałabym uniknąć robienia tego ręcznie!

Niewielka różnica pomiędzy otrzymanymi wartościami wynika z zaokrągleń, które pojawiały się po drodze. Praktycznie rzecz biorąc, w obydwu przypadkach na ciało działa ta sama siła wypadkowa.

x = 0,0400 m

e. Czy uważasz, że umocowanie sprężyny w pionie wpłynie na częstotliwość i okres drgań doniczki? Czy zmieni to wynik działania kołyski w porównaniu do stosowanego wcześniej układu ze sprężyną poziomą? Uzasadnij swoją odpowiedź. Wychylenie rośliny z położenia równowagi na tę samą odległość spowodowało w obydwu przypadkach pojawienie się identycznej siły wypadkowej. Po zmianie sposobu mocowania sprężyny zmieniło się jedynie położenie równowagi ciała. Wydaje mi się, że częstotliwość drgań poziomej sprężyny będzie taka sama jak częstotliwość drgań sprężyny pionowej, ponieważ w obydwu przypadkach na ciało działa ta sama siła przywracająca równowagę układu.

870

Rozdział 20.

Drgania (część II) Ech, okazuje się, że nie możemy w ogóle użyć sprężyny, niezależnie od tego, jak się ją zaczepi.

Kuba: Na szczęście sprężyna nie była wcale naszym pomysłem. To Anka upierała się, żeby napędzać kołyskę sprężyną! Krzysiek: Czyli musimy wymyślić teraz coś innego, co kiwa się w przód i w tył, regularnie jak w zegarku, ale nie zależy od masy ciała. Franek: Jak w zegarku, powiadasz? Niektóre zegarki są napędzane sprężyną, prawda? Kuba: Owszem, ale masa mechanizmu zegarka napędzanego sprężyną nie ulega zmianie. Nasz problem polega na tym, że zmienia się masa rośliny. Franek: Nie wszystkie zegary są napędzane sprężyną. W niektórych wykorzystuje się wahadło. Ciekaw jestem, czy wahadło nadałoby się na kołyskę dla kwiatków. Krzysiek: Taak… wahadło porusza się rytmicznie w przód i w tył. W ten sposób działają chyba zegary skrzyniowe. A na wahadło działa tylko siła grawitacji, więc jest szansa, że masa skróci się w czasie dzielenia. Kuba: Tylko że wahadło zegara porusza się z okresem 1 s (a może dwóch, jeśli tyknięcie ma pojawiać się na każdym końcu kiwnięcia — nie jestem pewien, jak to działa). To za mało! Musimy skonstruować takie wahadło, które będzie huśtać się z częstotliwością 0,750 Hz. Okres drgań, jak już wiemy, ma wynosić 1,33 s. Franek: Może większe wychylenie wahadła z położenia równowagi zwiększyłoby okres drgań. Przecież wahadło musiałoby wtedy pokonać dłuższą drogę w każdym kiwnięciu. Krzysiek: A może powinniśmy zmienić długość wahadła, czyli odległość, jaka będzie dzielić doniczkę od sufitu. To też może mieć wpływ na częstotliwość i okres drgań.

Wahadło porusza się rytmicznie w przód i w tył ze stałą częstotliwością i niezmiennym okresem.

Kuba: Ale nadal nie wiemy, czy częstotliwość i okres drgań wahadła będą zależeć od masy rośliny. Co prawda zadziała na nią tylko siła grawitacji (no i naprężenie ze strony sznurka), więc na pierwszy rzut oka to rozwiązanie wydaje się być lepsze od sprężyny. Franek: Taak… zastanawiam się właśnie, czy dorosły na huśtawce porusza się szybciej, wolniej, czy może tak samo jak dziecko. Ale nie jestem pewien. Krzysiek: Chyba będziemy musieli przeprowadzić doświadczenie, żeby stwierdzić, jak masa ciała, długość wahadła i amplituda jego drgań wpływają na okres ruchu. I jeśli wpływają, to jak.

jesteś tutaj  871

Poeksperymentuj w domu

Spróbuj! Musisz stwierdzić, które zmienne (masa wahadła, jego długość czy amplituda wahań) wpływają na częstotliwość i okres drgań wahadła. Nie narzucamy Ci żadnych rozwiązań — możesz badać ten problem, jak tylko chcesz, projektując własne doświadczenia, rysując wykresy i zapisując konkluzje.

Częstotliwość drgań może zależeć od masy zawieszonej na wahadle.

Częstotliwość drgań może zależeć od długości wahadła.

Częstotliwość drgań może zależeć od ich amplitudy.

872

Rozdział 20.

Drgania (część II)

jesteś tutaj  873

Wahadła a PRH

(Dla kątów mniejszych niż 10°).

Wahadło porusza się prostym ruchem harmonicznym

Obciążnik nie przyspiesza, więc nie może działać na niego żadna siła wypadkowa.

Wahadło zwisające pionowo w dół znajduje się w położeniu równowagi. Gdy obciążnik zwisa swobodnie, działająca na niego siła ciężkości i naprężenie ze strony nici, na której wisi, są ułożone w płaszczyźnie pionowej. Ponieważ obciążnik nie przyspiesza w pionie, ewidentnie nie działa na niego żadna siła wypadkowa.

W położeniu równowagi na obciążnik nie działa żadna siła, więc N – mg = 0

Ciężar, Q = mg

Ciężar i naprężenie nie są już do siebie równoległe, więc na wahadło zaczyna działać siła wypadkowa.

θ

Naprężenie i równoległa Naprężenie do niego składowa ciężaru pozostają w równowadze.

θ

Składowa równoległa

Ciężar, Q = mg

Składowa prostopadła

Jeżeli wahadło zostanie odchylone z położenia równowagi o niewielki kat , wektor jego ciężaru nie jest już równoległy do wektora naprężenia sznurka. Składowa ciężaru prostopadła do sznurka przyjmuje rolę siły wypadkowej, która nadaje wahadłu przyspieszenie w kierunku punktu równowagi. Gdy wahadło zbliża się do położenia równowagi, to kąt, jaki tworzy z pionem, zmniejsza się, więc zmniejsza się również działająca na nie siła wypadkowa. Na znajdujące się w położeniu równowagi wahadło nie działa żadna siła wypadkowa, więc wahadło porusza się z niezmienioną prędkością. Po minięciu punktu równowagi na wahadło zaczyna znów działać spowalniająca je siła wypadkowa. To dzięki niej wahadło zatrzymuje się w końcu w punkcie maksymalnego wychylenia po drugiej stronie położenia równowagi.

Prostopadła składowa ciężaru jest siłą wypadkową, starającą się przywrócić wahadło do położenia równowagi.

Siła wypadkowa działająca na wahadło jest proporcjonalna do przemieszczenia masy, jak miało to miejsce w przypadku drgającej sprężyny (pod warunkiem że kąt wychylenia wahadła nie przekracza 10°). Proporcjonalność siły do przemieszczenia jest warunkiem wystąpienia prostego ruchu harmonicznego. Po prawej stronie znajdziesz równanie opisujące położenie wahadła w dowolnej chwili trwania ruchu. Jeżeli chcesz poznać znaczenie poszczególnych wyrazów równania, możesz porównać je z równaniem ogólnym PRH.

874

Naprężenie, N

Rozdział 20.

Równanie jak na tacy

Zmienna g to przyspieszenie ziemskie.

Wahadło rozpoczyna ruch w punkcie x = x0:

3   #&ω' #

Stała x0 to maksymalna wartość zmiennej x, więc również amplituda drgań.

Zmienna l (litera „l”, a nie liczba „1”) to długość wahadła.

Drgania (część II)

Od czego zależy częstotliwość drgań wahadła? Równanie opisujące położenie wahadła matematycznego (takiego, które porusza się prostym ruchem harmonicznym), które rozpoczyna drgania w położeniu g maksymalnym, ma postać: x = x0cos l t . Równanie to, tak samo jak równanie opisujące przemieszczenie ciała drgającego na sprężynie, oblicza się za pomocą rachunku różniczkowo-całkowego. Dlatego też podaliśmy Ci to równanie na tacy. Przeprowadzone doświadczenie i poznane właśnie równanie prowadzą do tego samego wniosku — okres drgań wahadła zależy wyłącznie od długości nitki, na której wisi obciążnik, ale nie zależy ani od masy obciążnika, ani od amplitudy drgań. Przy okazji okazało się, że okres drgań wahadła zależy od przyspieszenia ziemskiego. Nie jest to informacja, która miałaby znaczenie dla konstrukcji kołyski dla kwiatów, ale pamiętaj, że Twój zegar skrzynkowy nie będzie działać poprawnie na Księżycu!

Zaostrz ołówek

Częstotliwość i okres drgań wahadła zależą od jego długości, ale nie zależą od masy. Wskazówka: Skorzystaj z równań umieszczonych na samoprzylepnych karteczkach ze strony 851.

Pora obliczyć długość wahadła, które będzie wykorzystane jako kołyska dla kwiatów. a. Posługując się podanym równaniem przemieszczenia ciała, x = x0cos

g l

t ,

b. Oblicz długość wahadła niezbędną do kołysania kwiatem z częstotliwością równą 0,750 Hz.

wyprowadź wzór na częstotliwość drgań wahadła. Wskazówka: Porównaj to równanie z ogólnym równaniem ruchu harmonicznego.

c. Użyj równania z podpunktu a do wyjaśnienia, jak zmieni się okres drgań kołyski, jeżeli podwoisz długość wahadła.

d. Jak zmieniłby się okres drgań wahadła, gdybyś zabrał je na Księżyc (gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest sześciokrotnie mniejsze od ziemskiego)?

jesteś tutaj  875

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Pora obliczyć długość wahadła, które będzie wykorzystane jako kołyska dla kwiatów. a. Posługując się podanym równaniem g l

przemieszczenia ciała, x = x0cos

b. Oblicz długość wahadła niezbędną do kołysania kwiatem z częstotliwością równą 0,750 Hz.

t ,

wyprowadź wzór na częstotliwość drgań wahadła. Równanie ogólne: x = Acos(ωt) Wahadło matematyczne: x = x0 cos g

ω =

2πf =

l

f

g t l

l

T =

i

f =

1 2π

g

1 4π2

g

=

f2

1 4π2

9,8 m/s2 (0,750 Hz)2

l

d. Jak zmieniłby się okres drgań wahadła, gdybyś zabrał je na Księżyc (gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest sześciokrotnie mniejsze od ziemskiego)?

g l

T =

2π l g

Gdy podwoimy długość wahadła, czynnik znajdujący się pod pierwiastkiem zwiększy się dwukrotnie, więc T będzie 2 większe niż poprzednio.

2π

l g

Gdy przyspieszenie g zmaleje do 1/6 swojej ziemskiej wartości, czynnik znajdujący się pod pierwiastkiem stanie się sześciokrotnie większy (bo g znajduje się w mianowniku). To oznacza, że wartość T będzie 6 razy większa niż poprzednio.

Częstość kołowa i szybkość kątowa

Szybkie i łatwe przechodzenie między wartościami f, T i ω jest naprawdę bardzo ważne, więc ćwicz je przy każdej okazji!

l

l ≈ 0,442 m

g

c. Użyj równania z podpunktu a do wyjaśnienia, jak zmieni się okres drgań kołyski, jeżeli podwoisz długość wahadła. 1 f

l

1 = 4π2

l =

g

1 f = 2π

T =

2

g

1 2π

f =

Częstotliwość i okres a symbolem f, Częstotliwość, oznaczan sekundzie. to liczba cykli w jednej T, to czas ą liter y czan Okres, ozna trwania jednego cyklu.

Częstość kołowa ma te same jednos tki, co szybkość kątowa. Zawsze też ma tę samą wartość. Częstość kołow a i szybkość kątowa to po prostu dwie nazwy opisujące tę samą wielkość. Znając częstotliwość, możesz zawsz e wyznaczyć wartość częstości kołow ej ω:

ω = 2πf

1 T = f

x

x = A sin(ωt)

x

A t

Amplituda Okres obiegu, T

Rozdział 20.

x = A cos(ωt)

A

Amplituda

876

1 f = T

t

Okres obiegu, T

Drgania (część II)

Projekt wahadła okazał się rozwiązaniem idealnym!

Wahadła o długości 0,442 m.

Na podstawie wyników obliczeń skonstruowałeś kołyskę dla kwiatów Anki. Działa bez zarzutów. Rozwiązanie jest po prostu doskonałe, bo częstotliwość drgań nie zależy od masy rośliny, więc wszystkie trzy kwiatki zostały zawieszone na takich samych linkach.

Wielkie dzięki! Jest SUPER!

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Jeśli siła przywracająca

równowagę układowi jest proporcjonalna do przemieszczenia, masz do czynienia z prostym ruchem harmonicznym (PRH). ‹PRH przypomina ruch po okręgu

widziany z boku. Równania przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w tym ruchu opisują funkcje sinusoidalne (ich wykresy mają kształt funkcji sinus lub cosinus). ‹Okres drgań sprężyny zależy

od zaczepionej na niej masy i stałej sprężystości, ale nie zależy od amplitudy drgań. W ten sposób rozwiążesz zadania, w których pojawiają się wahadła, ale także te problemy, w których masz do czynienia ze sprężynami.

‹Okres drgań wahadła o małych

wychyleniach zależy od długości wahadła i przyspieszenia w polu grawitacyjnym, ale nie od masy. ‹Mając do czynienia z zadaniami

o PRH, możesz stosować zasady dynamiki, ale w pewnym momencie osiągniesz punkt, w którym nieodzowny stanie się rachunek różniczkowocałkowy. Dlatego problemy tego rodzaju rozwiązuje się przede wszystkim, korzystając z zasady zachowania energii. ‹Energia kinetyczna PRH

w punkcie równowagi (gdzie siła i przemieszczenie wahadła są równe zeru) jest równa energii potencjalnej wahadła w punkcie maksymalnego wychylenia.

jesteś tutaj  877

Zastosowania ruchu po okręgu Tak się zastanawiam… skoro PRH przypomina ruch po okręgu widziany z boku, to czy da się wyznaczyć maksymalną prędkość drgającego ciała, korzystając z równania v = rω, zamiast z zasady zachowania energii?

Owszem, również tu możesz posługiwać się równaniami ruchu po okręgu. Prosty ruch harmoniczny przypomina widziany z boku ruch po okręgu. Oznacza to, że maksymalna szybkość ciała w ruchu harmonicznym będzie taka sama, jak szybkość w ruchu po okręgu, który widziany z boku ma taką samą amplitudę i częstotliwość jak PRH.

v

Ruch po okręgu:

Te same prędkości maksymalne równoległe do amplitudy.

r

v = rω

Ta sama amplituda.

vmax Równanie PRH:

MAKSYMALNA szybkość w PRH jest identyczna jak szybkość liniowa w ruchu po okręgu, jeżeli oba mają tę samą częstotliwość drgań i ich amplitudę.

vmax = x0ω x0

Dlatego możesz posłużyć się równaniem v = r, by obliczyć maksymalną szybkość w PRH. Równanie przyjmie wtedy postać vmax = x0. Wartość vmax zależy od amplitudy drgań i ich częstotliwości.

878

Rozdział 20.

W tym równaniu pojawia się częstość kołowa. Obliczysz ją ze wzoru ω = 2πf.

Poradnia pytań — sprężyna pionowa Zadania poruszające problem drgań ciała zamocowanego na pionowej sprężynie to typowy sposób sprawdzenia Twojej wiedzy na temat prostego ruchu harmonicznego. Zaczyna się od tego, że jakieś ciało zostaje zawieszone na pionowej sprężynie i rozciąga ją do nowego położenia równowagi. Następnie dowiadujesz się, że sprężyna została ściśnięta lub rozciągnięta i puszczona swobodnie. Twoim zadaniem jest obliczyć częstotliwość drgań i ich okres.

To określenie sygnalizuje fakt, że sprężyna jest zamocowana pionowo, więc ciężar ciała będzie odgrywać pewną rolę w tym zadaniu.

Gdy w zadaniu pojawi się słowo „sprężyna”, powinieneś natychmiast skojarzyć je z prostym ruchem harmonicznym.

rężyna. 54. Z sufitu zwisa sp

To oznacza, że doniczka pozostaje w położeniu równowagi, czyli że nie działa na nią żadna siła wypadkowa.

Skoro sprężyna wydłuża się, musi działać na ciało siłą F = –kx. To znaczy, że siła sprężystości musi znaleźć się na diagramie rozkładu sił.

ez co sprężyna wydłuża się o doniczkę z kwiatem, prz ion zep doc ny ęży du wszystkich spr Do a. ać. Narysuj diagram rozkła usz por się aje est prz cu równowagi. nieco, ale w koń znajduje się ona w położeniu gdy ę, iczk don na ych jąc sił działa ona o 44,1 cm, ężyny, k, jeżeli wydłuża się spr ści sto ęży spr k nni czy b. Jaki jest współ a o masie 0,100 kg? gdy zawiśnie na niej doniczk i puść. Oblicz okres drgań nia równowagi na 4,00 cm c. Wychyl roślinę z położe doniczki. lu ta doniczka? czasie jednego pełnego cyk d. Jaką drogę pokonuje w

Siły powinny dać w sumie zero. Zwróć uwagę na określenia „droga” i „pełny cykl”. Doniczka przesunie się o 4,00 cm do położenia równowagi, potem o kolejne 4,00 cm do drugiego punktu maksymalnego wychylenia, po czym powtórzy ten schemat — łącznie przebędzie 16,00 cm.

Jako podstawę obliczeń wykorzystaj diagram, który narysowałeś w podpunkcie a.

Pamiętaj, że chodzi o wychylenie z nowego położenia równowagi.

W tym zadaniu najważniejsze jest poprawne zdefiniowanie przemieszczenia. Początkowe przemieszczenie tworzy nowe położenie równowagi i pozwala Ci obliczyć współczynnik sprężystości sprężyny. Przed przystąpieniem do obliczania wielkości charakterystycznych dla PRH przyjmij, że nowe położenie równowagi to x = 0, i dopiero wtedy oblicz częstotliwość lub okres, używając w rachunkach wyznaczonego wcześniej współczynnika sprężystości.

879

Poradnia pytań — zależności między wielkościami Istnieje mnóstwo zadań, w których w ogóle nie pojawiają się żadne liczby, a cały problem jest przedstawiany za pomocą symboli algebraicznych. Zadania te mają na celu sprawdzić Twoje rozumienie fizyki i języka matematycznego, którym ją opisujemy. Zazwyczaj autor zadania opisuje w nim jakąś sytuację, a następnie pyta Cię, jak zmieni się ona po zmianie jednego z parametrów (na przykład po zwiększeniu czy zmniejszeniu go). To równanie nie zawiera żadnych wartości liczbowych. Każda wielkość fizyczna jest tu opisana literą.

m T. itudą drgań A i okrese pl am z je lu cy os m ie 55. Ciało o mas powiedz, jak zem z tego punktu, ra ym żd ka za ąc dz Wycho ch. stępujących warunka zmieni się układ w na amplitudę do wartości 2A? drgań, jeżeli zwiększymy ich a. Co stanie się z okresem jego drgań do 2A? gdy zwiększymy amplitudę a, tor yla osc rgia ene ita b. Jak zmieni się całkow 2A? uda jego drgań wzrośnie do szybkość ciała, jeżeli amplit lna ma ksy ma się i ien zm c. Jak ciała do wartości 2m? drgań po zwiększeniu masy esu okr ści rto wa o iesz d. Co pow

a. Tę część zadania możesz rozwiązać bez używania równań. Okres drgań oscylatora harmonicznego nie zależy od ich amplitudy. b. Musisz posłużyć się równaniem całkowitej energii układu, E = ½kA2. c Ponieważ czynnik A występuje w tym równaniu w kwadracie, jego zwiększenie spowoduje czterokrotny wzrost energii układu.

Zapisz właściwe równanie

880

c. Aby stwierdzić, jak zmieni się v po podwojeniu A, skorzystaj z zależności ½mv2 = ½kA2.

d. Użyj równania T = 2π m . k Stwierdzisz, że nowy okres to —2.

Upewnij się, że w odpowiedzi zapisałeś właściwe równanie. Tylko wtedy będziesz mógł stwierdzić, jak zmieni się dana zmienna po wprowadzeniu nowych wartości pozostałych parametrów. Następnie „wstaw” w miejsce starej zmiennej jej nową wartość uwzględniającą czynnik, o który się zmieniła (na przykład m może stać się 2m), i zobacz, jak wpłynie to na wartość zmiennej, o którą pytają Cię w zadaniu. Jeżeli w równaniu pojawia się wyrażenie m2, to podstawienie wartości 2m w miejsce m da wynik (2m)2, czyli 4m2. Oznacza to, że wynik równania będzie czterokrotnie większy niż poprzednio. Spróbuj zastosować tę zasadę do udzielenia odpowiedzi na umieszczone wyżej pytania.

Drgania (część II) jednostki

obwód

spadanie zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne

częstotliwość

siła dośrodkowa

ciężar

częstość kątowa

sprężyna

zachowanie pędu

moment siły

energia potencjalna sprężystości

popęd siły równanie

stałe przyspieszenie

przemieszczenie

trygonometria prędkość kątowa

tarcie

doświadczenie

symetria

energia kinetyczna spadek swobodny

okres

Pitagoras

siła

bloczek

nachylenie

energia wewnętrzna powierzchnia

naprężenie

energia

podstawienie

równania ruchu radiany

siła normalna

Bądź częścią problemu wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji

droga

notacja naukowa

przyspieszenie

wykres

Wszystko to zderzenie sprężyste wahadło tworzy jedną całość… i to całkiem ruch harmoniczny prosty czas sensowną!

pole grawitacyjne

składowa

odwrotność kwadratu odległości

energia mechaniczna prędkość promień praca

objętość

amplituda moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

Ruch harmoniczny prosty

Ruch, w którym siła przywracająca ciało do położenia równowagi jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi.

Sprężyna

Sprężyna działa na ciało siłą przywracającą do położenia równowagi, jeżeli zostanie ono z niego wychylone.

Wahadło

Wahające się ciało doświadcza działania siły przywracającej do położenia równowagi, proporcjonalnej do wychylenia ciała z tego położenia (pod warunkiem że kąt wychylenia jest niewielki).

jesteś tutaj  881

Prawo Hooke’a

Niezbędnik fizyka

siła, Zgodnie z prawem Hooke’a ło, cia z jaką sprężyna działa na ia len chy jest proporcjonalna do wy a Sił . ciała z położenia równowagi otu zwr ta ma zwrot przeciwny do ła. wektora przemieszczenia cia

Niezbędnik fizyka   

Masz już za sobą rozdział 20., więc możesz dodać do swojego przybornika kilka metod rozwiązywania zadań z fizyki.

F = –kx

Ruch prosty harmonicz

ści). (k to współczynnik sprężysto

ny

Drgania, jakich doświad cza ciało, na które działa siła wprost proporcjonalna do wych ylenia z położenia równowagi, chcąca po wrócić je do tego położenia. Skrót — PRH.

rężynie

Masa na sp

drgań ść i okres Częstotliwo od masy adu zależą takiego ukł rężystości. i stałej sp drgań ść i okres Częstotliwo y drgań. d tu li d amp o żą le za nie acyjnego pola grawit Natężenie iwość na częstotl rężynie nie wpływa ciała na sp ń a rg d s e i okr omie ma jące w pozi ciało (ciało drga ć, tliwoś co to s ę cz ą m tę sa pionie). drgające w

Porównywanie równań sz Jeżeli równanie, które ma tać, pos ą sam rozwiązać, ma tę , lne ogó ie co znane Ci równan bie sie k obo je możesz zapisać razy są i powiedzieć, że ich wy sobie równe. nując W ten sposób — porów monicznego równanie oscylatora har H — z ogólnym równaniem PR tliwości uzyskasz równanie często tego oscylatora.

882

Rozdział 20.

Wykresy PRH ia ciała, Wykresy zależności przemieszczen czasu od nia jego prędkości i przyspiesze mają kształt sinusoidalny. żności Jako pierwszy narysuj wykres zale przemieszczenia od czasu. Zacznij od położenia ciała x0. od czasu Wykres zależności przyspieszenia . x(t) resu wyk m jest dokładnym odbicie czasu Wykres zależności prędkości od wykresu narysujesz, analizując nachylenie ółrzędnych. x(t) do poziomej osi układu wsp

Wahadło matematyczne Wahadło matematyczne drga prostym ruchem harmonicznym dla niedużych kątów wychylenia (θ musi być mniejsze od 10°). Częstotliwość i okres drgań tego wahadła zależą od jego długości i natężenia pola grawitacyjnego. Częstotliwość i okres drgań wahadła matematycznego nie zależą od jego masy. Dla niewielkich kątów częstotliwość i okres drgań nie zależą od amplitudy drgań.

PRH i ruch po o

kręgu

Postaraj się m yśleć o PRH w kategoriach właściwych ruch owi po okręgu i zastanów się, które z rów nań tego drugie go mogą okazać się pom ocne przy rozw iązywaniu problemów z PR H.

ω to Twój PRZYJACIEL! a Wielkość ω pojawi ej sz st ro jp się w na postaci równania opisującego PRH. ω jest „ogniwem” łączącym prosty ruch harmoniczny . z ruchem po okręgu

21. Myl jak zyk

To już ostatni rozdział

W drogę! (Nawiasem mówiąc, drogę liczy się ze wzoru x = x0 + v0t + ½at2).

Czas ostro wziąć się do pracy. Zapoznając się z treścią tej książki, uczyłeś się utożsamiać wiedzę fizyczną ze zjawiskami, które obserwujesz na co dzień wokół siebie, a także wykształcałeś w sobie umiejętność rozwiązywania rozmaitych problemów fizycznych. W tym rozdziale będziesz miał okazję użyć swego nowego zestawu narzędzi fizyka do rozwiązania problemu, który omówiłam w rozdziale 1., czyli problemu tunelu bez końca wiodącego przez środek Ziemi. Musisz zadać sobie ważne pytanie: „Jak mogę wszystko to, co wiem, wykorzystać, żeby dowiedzieć się tego, czego jeszcze nie wiem?”.

to jest nowy rozdział 883

Wspaniały świat fizyki

Masz za sobą naprawdę długą drogę! Na początku rozdziału 1. tej książki zetknąłeś się z obrazkiem przedstawiającym Ziemię pokrytą plakietkami ze słowami, które mogły wydać Ci się przypadkowo wybranymi, niemającymi sensu określeniami zapożyczonymi z jakiegoś dziwnego żargonu. Jednakże w trakcie zapoznawania się z treścią książki stopniowo uczyłeś się jednostki spadanie dostrzegać związek między fizyką a zdarzeniami z codziennego zachowanie energii życia i coraz pewniej używałeś technicznych skalar zderzenie niesprężyste sformułowań, w wyniku czego nieznane słowa punkty szczególne częstotliwość zmieniły się w język, z którym teraz siła dośrodkowa ciężar jesteś dobrze obyty. częstość kątowa

składowa

pole grawitacyjne moment siły

energia potencjalna sprężystości

równanie

stałe przyspieszenie

przemieszczenie

„Jak mogę wszystko to, co wiem, wykorzystać, żeby dowiedzieć się tego, czego jeszcze nie wiem?”. 884

Rozdział 21.

trygonometria prędkość kątowa symetria

energia kinetyczna spadek swobodny

nachylenie

energia wewnętrzna powierzchnia

przyspieszenie

wykres doświadczenie

okres

siła

zderzenie sprężyste

wahadło

ruch harmoniczny prosty Pitagoras

bloczek

czas naprężenie

energia

podstawienie

równania ruchu radiany

siła normalna

Bądź częścią problemu. wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji

droga

notacja naukowa

tarcie

odwrotność kwadratu odległości

sprężyna

zachowanie pędu popęd siły

obwód

energia mechaniczna prędkość promień praca

objętość

amplituda moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

W chwili obecnej, gdy zaczynasz czytać 21. rozdział niniejszego podręcznika, słowa z powyższego rysunku ułatwiają Ci rozmyślanie o fizyce oraz rozwiązywanie problemów fizycznych. Nauczyłeś się zadawać sobie pytanie: „Jak mogę wszystko to, co wiem, wykorzystać, żeby dowiedzieć się tego, czego jeszcze nie wiem?”.

Myśl jak fizyk

Możesz dokończyć rozwiązywanie zadania z Ziemią Czy istnieje lepszy sposób na wykorzystanie Twych nowych supermocy fizyka niż ponowne odwiedzenie tunelu prowadzącego do wnętrza Ziemi i zmierzenie się z problemem podróży przez środek planety? Chyba nie. Z rozdziału 1. nauczyłeś się, jak stawać się częścią rozważanego przez siebie problemu fizycznego poprzez wyobrażenie sobie, że jesteś uczestnikiem określonej ej sytuacji, i zadanie sobie pytań: „Co się zaraz wydarzy?” oraz „Jak to jest brać udział w takim, a nie innym zdarzeniu?”. Teraz jesteś w stanie opisywać rozmaite sytuacje nie tylko za pomocą słownictwa, którym posługujesz się na co dzień, lecz również korzystając z określeń oraz pojęć właściwych dla języka fizyki. Rozmyślając nad kwestią podróży przez środek Ziemi, doszedłeś do wniosku, że punkt centralny naszej planety jest punktem szczególnym. W samym środku Ziemi nie działa na Ciebie żadna siła wypadkowa — otaczająca Cię materia jest rozmieszczona symetrycznie, więc we wszystkich możliwych kierunkach jesteś przyciągany dokładnie tak samo. (Przyciąganie to nie rozrywa Cię na kawałki, ponieważ siła grawitacji to siła bezkontaktowa). Ponadto zauważyłeś, że jeśli znajdujesz się poza środkiem Ziemi, zawsze działa na Ciebie siła przyciągająca o kierunku i zwrocie, które wskazują punkt centralny naszej planety.

mu. oble r p ą ęści ź cz Bąd

Zdarzenia możesz opisywać za pomocą terminów i pojęć fizycznych.

Zaostrz ołówek

e punkty szczególn

symetria przyspieszenie

a. Skorzystaj ze swojej poszerzonej wiedzy fizycznej i ponownie zadaj sobie pytanie podobne do pytania „Co mi to przypomina?”. Innymi słowy, zastanów się, z czym teraz kojarzy Ci się podróżowanie tunelem biegnącym przez środek Ziemi. Wypisz wszystkie skojarzenia, jakie przyjdą Ci do głowy.

siła

Oznacza to, że jeśli wpadniesz do tunelu, w wyniku działania na Twoje ciało niezerowej siły wypadkowej zaczniesz coraz szybciej poruszać się w kierunku środka planety. Lecąc ku środkowi Ziemi, będziesz wciąż przyspieszał, natomiast dotarłszy do niego, zaczniesz poruszać się ze stałą prędkością. Kiedy już miniesz środek planety, zaczniesz lecieć coraz wolniej, gdyż znowu będzie na Ciebie działała siła grawitacji przyciągająca wszystko w kierunku punktu centralnego Ziemi. I zasada dynamiki Newtona

b. Czy muszą zostać spełnione jakieś szczególne warunki, żeby odpowiedź, której udzieliłeś w punkcie a, miała sens?

II zasada dynamiki Newtona

prawa Newtona

kość

pręd

jesteś tutaj  885

Nowe spojrzenie na PRH

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie a. Skorzystaj ze swojej poszerzonej wiedzy fizycznej i ponownie zadaj sobie pytanie podobne do pytania „Co mi to przypomina?”. Innymi słowy, zastanów się, z czym teraz kojarzy Ci się podróżowanie tunelem biegnącym przez środek Ziemi. Wypisz wszystkie skojarzenia, jakie przyjdą Ci do głowy. Podróżowanie tunelem przypomina prosty ruch harmoniczny. W środku Ziemi znajduje się punkt równowagi, w którym nie działa na mnie żadna niezerowa siła wypadkowa.

b. Czy muszą zostać spełnione jakieś szczególne warunki, żeby odpowiedź, której udzieliłeś w punkcie a, miała sens? Wartość siły przywracającej równowagę musi być proporcjonalna do wartości przemieszczenia opisującego moje wychylenie ze stanu równowagi. Zwrot wektora siły musi być przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia. Powyższe warunki definiują prosty ruch harmoniczny.

Działająca na mnie siła jest zawsze zwrócona w kierunku znajdującego się w środku Ziemi punktu równowagi. Siła ta ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia. Poruszam się powoli przy wlotach tunelu i szybko przelatuję przez środek Ziemi.

przemieszczenie

siła

ruch harmoniczny prosty

Podróż w obie strony przypomina prosty ruch harmoniczny Zapoznając się z treścią rozdziału 1., doszedłeś do wniosku, że gdybyś wpadł do dziury bez dna, przeleciałbyś przez środek Ziemi, pojawił się na chwilę po drugiej stronie planety, a potem znów zniknął w tunelu i poleciał w drugą stronę, żeby znaleźć się tam, gdzie zacząłeś swą podróż. Nie zabawiłbyś jednak zbyt długo w miejscu początku przygody, bo ponownie wpadłbyś do dziury… i tak bez końca. Powyższy opis przywodzi na myśl prosty ruch harmoniczny, o którym przeczytałeś w rozdziale 20. ? zypomina r p Teraz, gdy już wiesz, jak radzić sobie z zadaniami, o t i m Co ełnie w których pojawia się prosty ruch harmoniczny, p u z ć a z , ię rozwią możemy bardziej szczegółowo omówić problem podróży m fizyczny Starając s wy proble o p a ty in ie m n o , p przez środek Ziemi. y rz p nowy ie n

się, czy zastanów mów, ś z proble wcześniej. on którego nąłeś się tk e z i m ry akie inne z któ pytanie: „J ie b o s j a i sytuacja Zad ypomina m które rz p ie n e rz zda ania, treści zad opisana w iązać?”. mam rozw

886

Rozdział 21.

x Położenie równowagi

Wlot tunelu

Środek Ziemi.

t Druga strona Ziemi.

Myśl jak fizyk

Ale jak długo trwa podróż w obiee strony? Podróż przez środek Ziemi może być wyczerpująca. Załóżmy, że chcesz zamówić pizzę, aby móc coś przekąsić po powrocie z podróży. Siłą rzeczy zależy Ci na tym, żeby pizza została dostarczona do Twojego domu dopiero wtedy, gdy przelecisz przez centralny punkt naszej planety, pojawisz się na moment z jej drugiej strony i wrócisz tą samą drogą do domu. Pracownicy pizzerii „Na złamanie karku” obiecują, że pizzę otrzymasz po 45 minutach od chwili złożenia zamówienia… ale czy zdążysz w tym czasie polecieć na drugi koniec Ziemi i wrócić, żeby spotkać się z Adamem — rozwozicielem pizzy? Ile czasu zabiera wycieczka na drugi koniec Ziemi i z powrotem?

No właśnie, czy zdążysz wrócić na czas, żeby odebrać pizzę?

Kto dotrze pierwszy do Twojego domu — rozwoziciel pizzy Adam czy Ty?

Najpierw musisz ustalić, czy planowana przez Ciebie podróż przez środek Ziemi naprawdę JEST prostym ruchem harmonicznym. Nie wszystko, co na pierwszy rzut oka wydaje się być prostym ruchem harmonicznym, w istocie nim jest. Jeżeli okaże się, że wycieczka na drugą stronę planety i z powrotem jest prostym ruchem harmonicznym, będziesz mógł policzyć czas jej trwania (a tym samym odpowiedzieć na pytanie, czy zdążysz odebrać pizzę), korzystając z równań, które wyprowadziłeś w rozdziale 20.

Odbiór pizzy? Podróż w obie strony przez środek Ziemi wydaje się być PRH. Czy wycieczka to na pewno PRH? Czy wartość siły przywracającej równowagę jest proporcjonalna do wartości przemieszczenia?

Jeśli wycieczka to PRH, czas jej trwania mogę policzyć z równań wyprowadzonych dla PRH.

jjesteś tutaj  887

Kontekst ma znaczenie

prosty ruch harmoniczny

To jest to! Lot przez środek Ziemi i z powrotem jest prostym ruchem harmonicznym.

Siła wypadkowa działająca na obiekt wychylony z położenia równowagi, której kierunek i zwrot zawsze wskazują punkt położenia równowagi.

Krzysiek: Nie tak szybko! Żeby wycieczkę przez centralny punkt Ziemi można było nazwać PRH, musi ona pasować do definicji PRH: wartość siły przywracającej równowagę powinna być proporcjonalna do wartości przemieszczenia będącego miarą wychylenia z położenia równowagi obiektu poruszającego się raz w jedną, raz w drugą stronę. Na razie nie wiemy, czy siła przywracająca równowagę występująca w ruchu przez środek Ziemi pasuje do podanego przeze mnie opisu PRH. Franek: Masz rację. Jeśli okaże się, że podróż w obie strony przez środek planety to nie PRH, nie będziemy mogli użyć równań PRH do obliczenia czasu trwania lotu na drugą stronę Ziemi i z powrotem. Krzysiek: Siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, Gm1m2 . Jeżeli podwoisz odległość prawda? Oto wzór na siłę grawitacji: FG = – r2 dzielącą poruszający się obiekt od punktu równowagi, siła ta będzie miała wartość równą jednej czwartej swojej wcześniejszej wartości. Z tego wynika, że nie jest ona proporcjonalna do wartości przemieszczenia. Im większe jest przemieszczenie, tym mniejszą wartość ma nasza siła przywracająca równowagę!

równanie ś i odległośc odwrotność kwadratu

OJona? Czy odpowiedź jest dobrze sKR

Za każdym razem, gdy chcesz skorzystać z jakiegoś wzoru, zastanów się, czy dany wzór PASUJE do KONTEKSTU zagadnienia, którym się zajmujesz. Na przykład poznane w rozdziale 20. równania opisujące prosty ruch harmoniczny działają tylko wtedy, gdy wartość siły przywracającej równowagę jest proporcjonalna do wartości przemieszczenia.

Franek: No tak, definicja PRH mówi, że siła przywracająca równowagę powinna rosnąć wraz z wychyleniem obiektu ze stanu równowagi. Kuba: Moment! Czy nie powiedzieliśmy wcześniej, że w środku Ziemi nie działa na nas żadna niezerowa siła?! Jeśli chcielibyśmy skorzystać z równania Gm1m2 w celu policzenia wartości siły w punkcie centralnym Ziemi, gdzie FG = – r2 r = 0 m, musielibyśmy dzielić przez zero. Dzieląc jakąś liczbę przez inną, bardzo małą liczbę, otrzymuje się bardzo dużą liczbę, natomiast dzieląc jakąkolwiek liczbę przez zero w wyniku dostaje się nieskończoność! Komputer mówi „Niemożliwe”! Gm1m2 Krzysiek: Tak… A może równanie FG = – działa tylko wtedy, gdy r2 znajdujesz się na zewnątrz kuli ziemskiej. Znajdując się na zewnątrz kuli ziemskiej, masz ją całą pod sobą. Franek: A jeśli lecisz tunelem, część kuli ziemskiej znajduje się pod tobą i przyciąga cię w dół, natomiast druga część planety znajduje się nad tobą i przyciąga cię w górę. Kuba: Stąd wniosek, że w samym środku Ziemi nie działa na ciebie żadna siła wypadkowa, ponieważ taka sama część kuli ziemskiej znajduje się nad tobą, jak pod tobą. Ponadto wartość, zwrot i kierunek siły wypadkowej zależą od tego, ile Ziemi masz nad sobą, a ile pod. Krzysiek: Wygląda na to, że siłę działającą na obiekt znajdujący się wewnątrz kuli ziemskiej będziemy musieli policzyć z jakiegoś innego równania. Musimy znaleźć Gm1m2 takie równanie, które w przeciwieństwie do FG = – będzie prawidłowe. r2

WYSIL

SZARE KOMÓRKI 888

Rozdział 21.

Szukanie wartości siły wypadkowej działającej na obiekt znajdujący się we wnętrzu kuli ziemskiej nie jest łatwym zadaniem. W jaki sposób rozbiłbyś taki problem fizyczny na mniejsze części?

Myśl jak fizyk

Możesz przyjąć założenie, że Ziemia to kula otoczona sferą Gm1m2 Każde dwie kule przyciągają się z siłą, której wartość wynosi FG = – . Możesz założyć, r2 że masa każdej z kul skupia się w jednym punkcie będącym jej środkiem. Jeśli przyjmiesz założenie, że ludzkie ciało to bardzo mała kula, będziesz w stanie za pomocą powyższego równania obliczyć wartości siły grawitacji, z jaką przyciąga Cię Ziemia. Oczywiście, aby móc skorzystać z tego równania, musisz znajdować się na zewnątrz kuli ziemskiej. Sprawy komplikują się, jeżeli znajdujesz się wewnątrz tunelu biegnącego przez środek Ziemi, wówczas bowiem jedna część kuli ziemskiej znajduje się nad, a druga pod Tobą. W takim przypadku obliczenie wartości siły grawitacji staje się naprawdę złożonym problemem fizycznym.

Złożone problemy fizyczne zawsze staraj się dzielić na mniejsze części.

Jesteś tutaj.

Na szczęście złożony problem możesz spróbować rozbić na mniejsze części. Mówiąc dokładniej, na dwie części należy w tym przypadku podzielić kulę ziemską.

r

Kula o promieniu r. Znasz równanie na wartość siły grawitacji, z jaką kula oddziałuje na obiekty pozostające poza jej wnętrzem!

zy? Odbiór piz rzez ie strony spię być Podróż w ob je a mi wyd środek Zie PRH. ewno PRH? ka to na p racającej cz ie yc w Czy ć siły przyw Czy wartoś jest proporcjonaln?a gę a równow ci przemieszczenia do wartoś ? działa sfera Siła, z jaką

la? ą działa ku Siła, z jak , czas jej ka to PRHz równań cz ie yc w li Jeś ę policzyć RH. trwania mog ych dla P on dz a w wypro

Gdy wchodzisz do wnętrza planety, to od jej środka, czyli od punktu położenia równowagi dla obiektów poruszających się w tunelu, dzieli Cię pewna określona odległość (nazwijmy ją r). Można powiedzieć, że pod Tobą znajduje się kula o promieniu r. Znając promień i masę tej kuli, jesteś w stanie policzyć wartość siły grawitacji, z jaką kula Gm1m2 ta działa na Ciebie — wystarczy skorzystać ze wzoru: FG = – . r2 Reszta kuli ziemskiej tworzy sferę, której część znajduje się nad, a część pod Tobą. Zdefiniowaliśmy promień jako przemieszczenie obiektu od środka Ziemi w kierunku któregoś z wylotów tunelu. Siła działa do środka planety — stąd we wzorze wziął się znak „–”.

Jeśli udałoby Ci się policzyć wartość siły, z jaką działa na Ciebie sfera, mógłbyś dodać ją do wartości siły wyznaczonej ze wzoru Gm1m2 FG = – . Wynik r2 takiego działania byłby wartością siły wypadkowej, z jaką działa na Ciebie (znajdującego się w tunelu) cała Ziemia.

Jesteś tutaj.

Sfera

r RZ

Rz to promień Ziemi.

jesteś tutaj  889

A co ze sferą?

Wiesz, jak poradzić sobie z kulą, ale co zrobić ze sferą? Uyj magnesików, eby uzupeni tekst, z którego dowiesz si, jak$ si$ sfera dziaa na obiekt zamknity w jej wntrzu. Odkrywaj$c kolejne partie tekstu, opatruj rysunki odpowiednimi adnotacjami. Wiksz cz sfery masz

sob ni2

sob, a wic

Tob znajduje si wiksza ni2

Tob.

Jednoczenie

Jesteś tutaj.

midzy Tob a fragmentem sfery, który masz sob, na oko wydaje si by wiksza ni2 midzy Tob

a fragmentem sfery znajdujcym si

Tob.

pod

odleg#o

masa

nad

lewej

suma wynosi zero pod

nad prawej Znajdujcy si nad Tob fragment sfery jest

w gór

. Innymi mi s#owy, ka2dy kawa#eczek kawa#ecz jego

czci ma swój odpowiednik w czci

. Sk#adowe

si#y grawitacji, jak dzia#aj na Ciebie ka2da z czci górnego fragmentu sfery, maj identyczne warto i kierunek, lecz

zwroty, wic ich

. Sk#adowe

si#y grawitacji po zsumowaniu daj si# wypadkow, która cignie Ci

. Ten tok rozumowania

mo2na powtórzy, wyznaczajc si# pochodzc od fragmentu sfery znajdujcego si pod Tob. Dolny fragment sfery dzia#a na Ciebie si# wypadkow, której wektor skierowany jest pionowo

; sk#adowe

si#y grawitacji pochodzcej od dolnego fragmentu sfery maj t w#aciwo, 2e ich

.

Z przeprowadzonych tu rozwa2a5 wynika nastpujcy wniosek: znajdujcy si

Tob fragment

sfery przyciga Ci

sob, przyciga

Ci

, natomiast fragment, który masz .

przeciwne

poziome

w dó#

symetryczny

pionowe

Wyobra/my sobie kawa#ek bardzo cienkiej sfery —

tego kawa#ka mo2emy

policzy, mno2c jego

. Wobec tego

przez

bardzo cienkiej sfery zale2y od powierzchni tej sfery.

masa

890

Rozdział 21.

pole powierzchni

grubo

objto

Myśl jak fizyk Cienka sfera to cieniutka warstwa otaczająca sferę. a to niewielka odległość.

a Jeli wyci#by bardzo ma#y kawa#ek z fragmentu cienkiej sfery znajdujcego si Tob oraz bardzo ma#y kawa#ek z fragmentu sfery znajdujcego Tob, móg#by myle o tych kawa#kach jak o niewielkich

si

fragmentach sfer, których promienie by#yby równe i

b

. Wiemy, 2e powierzchnie tych sfer by#yby proporcjonalne

do czynników, odpowiednio, Poniewa2

i

.

b to duża odległość.

cienkiej sfery zale2y od pola jej powierzchni,

masy kawa#ków wycitych z obu sfer by#yby proporcjonalne do i

.

odwrotnie proporcjonalna

Si#a grawitacji jest

a

Każdy punkt z kawałka górnej części sfery ma swój odpowiednik na kawałku dolnej części sfery.

do kwadratu odleg#oci, jaka dzieli

oddzia#ujce ze sob obiekty. Jeli we/miemy to pod uwag, oka2e si, 2e kawa#ek o masie

pod

1 kg wycity z fragmentu sfery, który masz nad g#ow, i znajdujcy si w odleg#oci od miejsca Twego pobytu, dzia#a#by na Ciebie z si# proporcjonaln a2

do wyrazu

; kawa#ek dolnego fragmentu sfery wa2cy 1 kg i oddalony

od Ciebie o odleg#o do

b2

przyciga#by Ci z si# proporcjonaln .

Z powy2szych rozwa2a5 wynika, 2e kawa#ek sfery le2cy w odleg#oci a od miejsca, w którym si znajdujesz, przyciga#by Ci z si# proporcjonaln do czynnika

1 a2

×

, natomiast kawa#ek sfery oddalony od Ciebie o dystans b, przyciga#by Ci si# proporcjonaln do czynnika

b

×

.

1 b2

masa

nad

Warto si#y, z jak dzia#a#by na Ciebie kawa#ek sfery znajdujcy si nad Tob, jest wartoci si#y pochodzcej od dolnego kawa#ka sfery. P#ynie std wniosek, 2e warto si#y wypadkowej pochodzcej od cienkiej sfery

Wypełniliśmy sferę wieloma bardzo cienkimi sferami, takimi jak ta, która pojawiła się na rysunku do poprzedniej partii tekstu.

wynosi

niutonów. Gdyby lecia# w g#b Ziemi, z ka2d

chwil otacza#aby Ci coraz grubsza sfera. Poniewa2 grub sfer mo2na sobie wyobrazi jako co utworzonego z bardzo wielu niezwykle cienkich sfer, mo2emy uzna, 2e si#a wypadkowa, z jak dzia#a#aby na Ciebie owa sfera, ma warto niutonów. zero

równa

zero

Tutaj zapisz wnioski, jakie nasuwają Ci się po zabawie w magnesiki:

jesteś tutaj  891

Zwracaj uwagę na symetrie

Magnesiki. Rozwiązanie Część sfery Większą część sfery masz pod sobą niż znajdująca się nad sobą, a więc pod Tobą znajduje nad Tobą. się większa masa niż nad Tobą. Jednocześnie odległość między Tobą a fragmentem sfery, który masz pod sobą, na oko wydaje się być większa niż między Tobą a fragmentem sfery znajdującym się nad Tobą.

Problemy fizyczne, w których można dostrzec SYMETRIĘ, cechują się tym, że bardzo często występują w nich znoszące się nawzajem składowe sił.

Jesteś tutaj.

Część sfery znajdująca się pod Tobą.

Znajdujący się nad Tobą fragment sfery jest symetryczny. Innymi słowy, każdy kawałeczek jego lewej części ma swój odpowiednik w części prawej. Składowe poziome siły grawitacji, jaką działają na Ciebie każda z części górnego fragmentu sfery, mają identyczne wartość i kierunek, lecz przeciwne zwroty, więc ich suma wynosi zero. Suma poziomych składowych daje w wyniku zero.

Składowe pionowe siły grawitacji po zsumowaniu dają siłę wypadkową, która ciągnie Cię w górę. Ten tok rozumowania można powtórzyć, wyznaczając siłę pochodzącą od fragmentu sfery znajdującego się pod Tobą. Dolny fragment sfery działa na Ciebie siłą wypadkową, której wektor skierowany jest pionowo w dół; poziome składowe siły grawitacji pochodzącej od dolnego fragmentu sfery maję tę właściwość, że ich suma wynosi zero. Z przeprowadzonych tu rozważań wynika następujący wniosek: znajdujący się nad Tobą fragment sfery przyciąga Cię w górę, natomiast fragment, który masz pod sobą, Suma pionowych składowych przyciąga Cię w dół. jest siłą wypadkową.

Wyobraźmy sobie kawałek bardzo cienkiej sfery — objętość tego kawałka możemy policzyć, mnożąc jego grubość przez pole powierzchni. Wobec tego masa bardzo cienkiej sfery zależy od powierzchni tej sfery.

892

Rozdział 21.

Pole powierzchni

Grubość Masa zależy od pola powierzchni.

Pogrubienia wskazują, gdzie w tekście zostały wstawione słowa z magnesików. Odległości a i b są skalarami, a nie wektorami, mimo że zapisano je pogrubioną czcionką.

Jeśli wyciąłbyś bardzo mały kawałek z fragmentu cienkiej sfery znajdującego się nad Tobą oraz bardzo mały kawałek z fragmentu sfery znajdującego się pod Tobą, mógłbyś myśleć o tych kawałkach jak o niewielkich fragmentach sfer, których promienie byłyby równe a i b. Wiemy, że powierzchnie tych sfer byłyby proporcjonalne do czynników, odpowiednio, a2 i b2. Ponieważ masa cienkiej sfery zależy od pola jej powierzchni, masy kawałków wyciętych z obu sfer byłyby proporcjonalne do a2 i b2. Siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, jaka dzieli oddziałujące ze sobą obiekty. Jeśli weźmiemy to pod uwagę, okaże się, że kawałek o masie 1 kg wycięty z fragmentu sfery, który masz nad głową, i znajdujący się w odległości a od miejsca Twego pobytu, działałby na Ciebie z siłą proporcjonalną do wyrazu 12 ; kawałek dolnego fragmentu sfery ważący 1 kg i oddalony od Ciebie a o odległość b przyciągałby Cię z siłą proporcjonalną do 12 . b Z powyższych rozważań wynika, że kawałek sfery leżący w odległości a od miejsca, w którym się znajdujesz, przyciągałby Cię z siłą proporcjonalną do czynnika a2 × 12 , a natomiast kawałek sfery oddalony od Ciebie o dystans b przyciągałby Cię siłą proporcjonalną do czynnika b2 × 12 . b

Myśl jak fizyk Niewielka masa znajdująca się blisko Ciebie.

a

b

Większa masa, ale i większa odległość między Tobą a kawałkiem o tej masie.

Siła pochodząca od kawałka górnej części sfery.

Siła pochodząca od kawałka dolnej części sfery.

Wartość siły, z jaką działałby na Ciebie kawałek sfery znajdujący się nad Tobą, równa jest wartości siły pochodzącej od dolnego kawałka sfery. Płynie stąd wniosek, że wartość siły wypadkowej pochodzącej od cienkiej sfery wynosi zero niutonów. Gdybyś leciał w głąb Ziemi, z każdą chwilą otaczałaby Cię coraz grubsza sfera. Ponieważ grubą sferę można sobie wyobrazić jako coś utworzonego z bardzo wielu niezwykle cienkich sfer, możemy uznać, że siła wypadkowa, z jaką działałaby na Ciebie owa sfera, ma wartość zero niutonów.

Obie siły mają te same wartość i kierunek, lecz ich zwroty są przeciwne — siła, z jaką działa na Ciebie sfera, ma wartość 0 N.

Tutaj zapisz wnioski, jakie nasuwają Ci się po zabawie w magnesiki:

Siła wypadkowa pochodząca od otaczającej mnie sfery ma wartość 0 N. Dzieje się tak, ponieważ siła, z jaką działa na mnie mały kawałek sfery znajdujący się blisko mnie, i siła, z jaką przyciąga mnie większy, bardziej oddalony kawałek sfery, mają te same wartość i kierunek, ale przeciwny zwrot.

Wartość siły wypadkowej działającej na obiekt zamknięty w sferze wynosi 0 N! jesteś tutaj  893

Zerowa siła wypadkowa

Odbiór pizzy?

Wartość siły wypadkowej, z jaką działa na Ciebie otaczająca Cię sfera, wynosi zero

Podróż w obie strony przez środek Ziemi wydaje się być PRH. Czy wycieczka to na pewno PRH? Czy wartość siły przywracającej równowagę jest proporcjonalna do wartości przemieszczenia? Siła, z jaką działa sfera? Jej wartość to 0 N!

Oznacza to, że sfera nie działa na Ciebie żadną siłą wypadkową. Lecąc tunelem,, doświadczasz działania siły w całości pochodzącej od kuli o promieniu r. Jeżeli siła ta okaże się być proporcjonalna do wartości promienia r, podróż przez środek Ziemi i z powrotem będziemy mogli nazwać prostym ruchem harmonicznym, zaś czas powrotu do domu po dotarciu na drugi koniec planety zdołamy policzyć za pomocą poznanych w rozdziale 20. równań PRH.

Siła, z jaką działa kula? Jeśli wycieczka to PRH, czas jej trwania mogę policzyć z równań wyprowadzonych dla PRH.

Jesteś tutaj. Wartość siły wypadkowej pochodzącej od sfery wynosi 0 N.

r

W punkcie r działa na Ciebie siła pochodząca od kuli o promieniu r.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy muszę zrozumieć i zapamiętać P: Dlaczego sfera jest taka ważna? to wszystko?! O: Niedawno doszedłeś do wniosku, O: Nie martw się, na egzaminie nikt że wartość siły, z jaką działa na Ciebie sfera,

nie zada Ci aż tak skomplikowanego pytania. Cały powyższy wywód służył temu, żeby pokazać Ci, że wartość siły wypadkowej, z jaką działa na Ciebie otaczająca Cię sfera, wynosi zero niutonów. Dzieje się tak, ponieważ siły pochodzące od małej masy usytuowanej blisko Ciebie i większej masy znajdującej się w większej odległości od miejsca Twego pobytu znoszą się. Jeśli to zrozumiałeś, należą Ci się gratulacje!

P: Ale Ziemia nie jest kulą otoczoną przez sferę, prawda?

O: Myślenie o Ziemi jak o kuli otoczonej

sferą jest jednym z matematycznych narzędzi, którymi posługują się fizycy. Przykładem innego narzędzia mogą być strzałki wektorów oraz składowych wektorów prędkości poruszających się obiektów, które rysujemy na naszych szkicach. Choć strzałki te nie istnieją w prawdziwym świecie, bardzo przydają się w fizyce.

894

Rozdział 21.

wewnątrz której się znajdujesz, wynosi 0 N. Wynika z tego, że siła wypadkowa, której działania doświadczasz w tunelu, musi w całości pochodzić od kuli znajdującej się pod Tobą.

P: Dlaczego kula jest taka ważna? O: Potrafisz policzyć wartość siły grawitacji

działającej na obiekt znajdujący się na zewnątrz kuli.

P: Czy nie jest tak, że równanie

na siłę grawitacji sprawdza się tylko wtedy, gdy znajduję się na zewnątrz kuli, która mnie przyciąga?

O

: Znajdując się w odległości r od środka Ziemi, przebywasz na zewnątrz kuli o promieniu r.

P: Dlaczego akurat promień r dzieli większą kulę na mniejszą kulę i otaczającą ją sferę?

O

: Promień r opisuje Twoje wychylenie z położenia równowagi, czyli odległość, jaka dzieli Cię od środka Ziemi. W poświęconym PRH rozdziale 20. wychylenie oznaczaliśmy symbolem x, tym razem jednak lepiej było wychylenie ze stanu równowagi oznaczyć jako r, dla podkreślenia faktu, że jest ono promieniem kuli.

Jeżeli wartość siły, z jaką działa na Ciebie Ziemia, okaże się być proporcjonalna do wartości Twego przemieszczenia r, podróż, którą odbywasz na drugi koniec planety i z powrotem, będzie można uznać za PRH. W takim przypadku okres PRH byłby niczym innym, jak czasem lotu, który odbywasz na drugą stronę Ziemi i z powrotem. To właśnie ten czas chcesz wyznaczyć!

Myśl jak fizyk

Zaostrz ołówek Twoim zadaniem jest dojść do tego, czy podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem jest prostym ruchem harmonicznym. Aby wycieczkę, o której mowa, można było nazwać prostym ruchem harmonicznym, muszą zostać spełnione następujące warunki: wartość działającej na Ciebie siły powinna być w każdej chwili lotu proporcjonalna do wartości Twojego przemieszczenia względem położenia równowagi (położenie równowagi uzyskujesz w momencie, gdy znajdujesz się w samym centrum naszej planety). Równanie

jak na tacy

Czy siła wypadkowa działająca na Ciebie w tunelu jest proporcjonalna do wartości wektora r?

Objętość kuli:

a. Korzystając ze wzoru w ramce, napisz równania na VZ, czyli objętość Ziemi, oraz na objętość kuli o promieniu r, znajdującej się wewnątrz planety. Promień Ziemi oznacz symbolem RZ.

V =

4 3

πr3

Jesteś tutaj.

b. Wiedząc, że kula o promieniu r jest częścią Ziemi, podaj równanie na jej masę. Masę Ziemi oznacz jako MZ, natomiast masę interesującej nas kuli jako mk.

Sfera

r

RZ

`Wskazówka: Masa kuli jest zawsze proporcjonalna do jej objętości.

Rz to promień Ziemi.

c. Korzystając ze wzoru na masę kuli o promieniu r, wyznaczonego przez siebie w części b zadania, wyprowadź równanie na siłę grawitacji FG, z jaką kula ta działa na Ciebie (swoją masę oznacz symbolem m). Czy wartość siły FG jest proporcjonalna do wartości wektora r? Zastanów się nad tym, które wielkości w Twoim równaniu są stałymi, a które zmiennymi.

jesteś tutaj  895

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Twoim zadaniem jest dojść do tego, czy podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem jest prostym ruchem harmonicznym. Aby wycieczkę, o której mowa, można było nazwać prostym ruchem harmonicznym, muszą zostać spełnione następujące warunki: wartość działającej na Ciebie siły powinna być w każdej chwili lotu proporcjonalna do wartości Twojego przemieszczenia względem położenia równowagi (położenie równowagi uzyskujesz w momencie, gdy znajdujesz się w samym centrum naszej planety). Równanie

jak na tacy

Czy siła wypadkowa działająca na Ciebie w tunelu jest proporcjonalna do wartości wektora r?

Objętość kuli:

a. Korzystając ze wzoru w ramce, napisz równania na VZ, czyli objętość Ziemi, oraz na objętość kuli o promieniu r, znajdującej się wewnątrz planety. Promień Ziemi oznacz symbolem RZ. Objętość Ziemi:

VZ =

4 3

Objętość kuli o promieniu r:

Vs =

4 3

πRZ3 πr3

V =

Jesteś tutaj.

Sfera

r

Masa kuli jest proporcjonalna do jej objętości. mk Vk

=

mk =

MZ

MZ. 4 πr3 3 4 3

RZ

MZVk

mk =

VZ

πRZ

3

=

πr3

objętość

b. Wiedząc, że kula o promieniu r jest częścią Ziemi, podaj równanie na jej masę. Masę Ziemi oznacz jako MZ, natomiast masę interesującej nas kuli jako mk.

Wskazówka: Masa kuli jest zawsze proporcjonalna do jej objętości.

4 3

VZ masa

MZr3

Rz to promień Ziemi.

3

RZ

c. Korzystając ze wzoru na masę kuli o promieniu r, wyznaczonego przez siebie w części b zadania, wyprowadź równanie na siłę grawitacji FG, z jaką kula ta działa na Ciebie (swoją masę oznacz symbolem m). Czy wartość siły FG jest proporcjonalna do wartości wektora r?

FG =

-

Gmkm r2

= -

GMZr3m RZ3 r2

= -

GMZr m RZ3

= -

GMZm r RZ3

Wielkości G, MZ, RZ są stałymi, można więc napisać, że: FG = – stała × r Wartość siły FG jest proporcjonalna do wartości r; zwroty wektorów FG i r są przeciwne. Podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem jest prostym ruchem harmonicznym.

896

Rozdział 21.

Zmienna r została podzielona i pomnożona przez kilka innych wielkości, ale wszystkie one są stałymi. Wynika z tego, że cały zakreślony czynnik jest stałą.

Myśl jak fizyk

Wartość siły jest proporcjonalna do wartości przemieszczenia, a więc mamy PRH Przed chwilą sprawdziłeś, że wartość siły FG jest proporcjonalna do wartości przemieszczenia r, czyli odległości dzielącej Cię od środka Ziemi. Ponadto wektor FG zawsze wskazuje punkt będący Twoim położeniem równowagi. Teraz już mamy pewność, że podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem możemy zaliczyć do rodziny prostych ruchów harmonicznych!

przemieszczenie

siła

ruch harmoniczny prosty

Świetnie… Rozumiem, że wrócisz do domu przed moim przyjazdem? Czy to znaczy, że poruszasz się szybciej niż ja?

Adam, znany wszystkim amator wyczynowej jazdy rowerem, chce wiedzieć nie tylko, po jakim czasie od wskoczenia do tunelu wrócisz do domu, lecz także, jak szybko się poruszasz, lecąc. Postarajmy się zrobić na nim wrażenie…

Teraz, gdy już wiesz, że planowana przez Ciebie wycieczka to PRH, możesz wykorzystać wiedzę o prostym ruchu harmonicznym i zaktualizować wpisy w naszym notatniku. Okres wyznaczany dla obiektów poruszających się prostym ruchem harmonicznym w przypadku rozwiązywanego przez nas problemu jest czasem lotu na drugą stronę Ziemi i z powrotem. Adam chciałby poznać Twoją średnią szybkość. Wiedząc, że poruszasz się prostym ruchem harmonicznym, możesz ją policzyć…

Odbiór pizzy? Podróż w obie strony przez środek Ziemi wydaje się być PRH. Czy wycieczka to na pewno PRH? Czy wartość siły przywracającej równowagę jest proporcjonalna do wartości przemieszczenia? Siła, z jaką działa sfera? Jej wartość to 0 N!

Siła, z jaką działa kula?

czas

szybkość

okres

Jej wartość jest proporcjonalna do wartości r, a więc mamy PRH! Jeśli wycieczka to PRH, czas jej trwania mogę policzyć z równań wyprowadzonych dla PRH.

To wszystko zrobisz już na następnej stronie.

jesteś tutaj  897

Przekształcanie równań Wskazówka: Aby uzyskać pomoc w rozwiązywaniu tego zadania, zajrzyj do naszej „Poradni pytań”.

Zaostrz ołówek Prosty ruch harmoniczny można opisać równaniem: a = – ω2x (w równaniu użyto typowych oznaczeń wielkości fizycznych). a. Korzystając z II prawa Newtona, przekształć swoje równanie na wartość siły, FG = której działania doświadczasz, znajdując się we wnętrzu Ziemi, tak żeby zamiast zmiennej FG występowała w nim zmienna a. Uzyskany wzór porównaj ze wzorem a = – ω2x, a następnie przekształć, by otrzymać równanie na ω.

-

GMZm r RZ3

To równanie wyprowadziłeś na poprzedniej stronie.

b. Wiedząc, że masa Ziemi wynosi 5,97 × 1024 kg, promień Ziemi wynosi 6,38 × 106 m, a wartość stałej grawitacyjnej G to 6,67 × 10-11 m3/kg˜s2, oblicz czas, po jakim wróciłbyś do punktu początkowego podróży po wskoczeniu do tunelu wiodącego przez środek Ziemi. Wynik podaj w minutach i sekundach. Czy wycieczka tam i z powrotem przez środek planety zajęłaby mniej niż 45 minut? Czas, po jakim Adam przywiezie pizzę do Twego domu.

c. Jaka byłaby Twoja średnia szybkość, gdybyś wybrał się w podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem? Z jaką prędkością średnią byś się poruszał?

898

Rozdział 21.

Poradnia pytań — równanie, którego nigdy wcześniej nie widziałeś Może się zdarzyć tak, że czytając treść jakiegoś zadania, natkniesz się na wzór, którego nigdy wcześniej nie widziałeś. Ważne jest, abyś nigdy z góry nie zakładał, że nie dasz rady rozwiązać podobnego zdania. Rozwiązywanie problemów fizycznych tego typu może wymagać odpowiedniego połączenia Twej wiedzy ze wzorami podanymi w ich treści bądź też właściwego zinterpretowania nowych dla Ciebie informacji. Nie panikuj, jeśli zapoznając się z treścią zadania, dostrzeżesz nieznany sobie wzór! Przepisz go i opisz występujące w nim symbole.

Wyszukaj w treści zadania wszystkie symbole, których znaczenia nie znasz. W trakcie egzaminu najprawdopodobniej będziesz mógł zaglądać do tablic wzorów. Pamiętaj również, że niektóre wielkości fizyczne zwyczajowo oznacza się kilkoma różnymi symbolami (na przykład przemieszczenie czasami zapisuje się jako x, a kiedy indziej jako r).

ć równaniem: oniczny można opisa rm ha ch ru ty os Pr 4. o typowych oznaczeń yt uż u 2 ni na w ró (w x a=–ω . wielkości fizycznych) To jest informacja, że będziesz musiał posłużyć się odpowiedzią, której udzieliłeś na wcześniejszym etapie rozwiązywania naszego przykładowego problemu fizycznego.

ie na wartość siły, przekształć swoje równan tak , oru wz o zeg yżs pow żeby otrzymać a. Korzystając z jdując się we wnętrzu Ziemi, zna , asz dcz wia doś nia ała której dzi równanie na ω. 8 × 106 m, 24 kg, a jej promień ma długość 6,3 10 × 7 5,9 i wynos podróży po wskoczeniu b. Wiedząc, że masa Ziemi yś do punktu początkowego ciłb wró im jak po s, cza icz obl w minutach i sekundach. środek Ziemi. Wynik podaj do tunelu wiodącego przez w podróż na drugą stronę szybkość, gdybyś wybrał się a dni śre oja Tw aby był a c. Jak poruszał? prędkością średnią byś się Ziemi i z powrotem? Z jaką

W tej wersji treści naszego zadania, stylizowanej na treść zadania egzaminacyjnego, wartość stałej G nie została podana. To znak, że powinieneś sam ją odszukać w tablicach wzorów i wartości stałych fizycznych.

W poleceniach zaczyna Upewnij się, że wiesz, kiedy takich jak Zwróć uwagę na różnicę między zy proces, który masz końc i się to jesteś , szybkością (zależną od przebytej drogi) przeanalizować. Pamiętaj o tym z proszony prze nych adzo prow a prędkością (obliczaną z użyciem prze ik wyn żeby o wykonanie ciwych wektora przemieszczenia). siebie obliczeń podać we właś odpowiednich ach. ostk jedn przekształceń Jeżeli część a naszego przykładowego zadania wydała oraz Ci się zbyt trudna, zajmij się częścią b. Znajdziesz podstawień w niej kilka wskazówek dotyczących wielkości, które we wzorach. powinny były znaleźć się w odpowiedzi do punktu a. Może okazać się, że niektóre zadania łatwiej jest rozwiązywać od końca!

Próbując rozwiązać zadanie podobne do powyższego, powinieneś zwracać szczególną uwagę na znaczenie poszczególnych symboli pojawiających się we wzorach. W zależności od kontekstu zadania w jego treści mogą pojawiać się różne oznaczenia tej samej wielkości fizycznej — na przykład długość można opisać za pomocą liter: x (wartość przemieszczenia), r (promień), l (długość jakiegoś obiektu) oraz h (wysokość). Patrząc na równania, myśl o znaczeniu tworzących je symboli, aby nie przegapić możliwości dokonania mniej intuicyjnego podstawienia.

899

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Prosty ruch harmoniczny można opisać równaniem: a = – ω2x (w równaniu użyto typowych oznaczeń wielkości fizycznych). a. Korzystając z II prawa Newtona, przekształć swoje równanie na wartość siły, której działania doświadczasz, znajdując się we wnętrzu Ziemi, tak żeby zamiast zmiennej FG występowała w nim zmienna a. Uzyskany wzór porównaj ze wzorem a = – ω2x, a następnie przekształć, by otrzymać równanie na ω.

FG =

-

GMZm r RZ3

To równanie wyprowadziłeś na poprzedniej stronie.

Do tej pory wychylenie ze stanu równowagi oznaczaliśmy literą r, natomiast w tym równaniu tę samą wielkość fizyczną oznaczono jako x. Aby zachować spójność kolejnych etapów rozwiązywania naszego zadania, wychylenie będę oznaczać literą r. FG =

-

GMZ m r RZ

3

ma = -

i FG = ma

Otrzymane równanie jest postaci a = – ω2r, jeśli przyjmie się, że

GMZm r RZ3

ω2 =

GMZ

GMZ

ω =

RZ3

RZ3

b. Wiedząc, że masa Ziemi wynosi 5,97 × 1024 kg, promień Ziemi wynosi 6,38 × 106 m, a wartość stałej grawitacyjnej G to 6,67 × 10-11 m3/kg˜s2, oblicz czas, po jakim wróciłbyś do punktu początkowego podróży po wskoczeniu do tunelu wiodącego przez środek Ziemi. Wynik podaj w minutach i sekundach. Czy wycieczka tam i z powrotem przez środek planety zajęłaby mniej niż 45 minut? Czas, który chcę policzyć, równy jest okresowi T. Znając wartość ω, chcę policzyć T. 2π 1 ω = ω = 2πf i f = T T 2π 2 × π 2π = = | 5070 s T = ω GMZ -11 3 2 24 (6,67 × 10 m /kg˜s ) × (5,97 × 10 kg) RZ3 (6,38 × 106 m)3 Czas muszę podać w minutach i sekundach.

5070 s = 5070 s ×

1 min 60 s

= 84,5 min = 84 min 30 s.

Lot na drugą stronę Ziemi i z powrotem będzie trwał dłużej niż 45 minut, więc Adam dotrze do mojego domu przede mną.

c. Jaka byłaby Twoja średnia szybkość, gdybyś wybrał się w podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem? Z jaką prędkością średnią byś się poruszał?

RZ RZ

Średnia szybkość =

Całkowita droga

Całkowita droga = 4RZ Średnia szybkość =

4RZ T

6

=

Średnia szybkość ≈ 5030 m/s

900

Średnia prędkość =

Całkowity czas

Rozdział 21.

4 × 6,38 × 10 m 5070 s

Całkowite przemieszczenie Całkowity czas

Całkowite przemieszczenie wynosi 0 m, ponieważ zaczynam i kończę podróż dokładnie w tym samym miejscu. Średnia prędkość = 0 m/s

Myśl jak fizyk

Już znasz swoją szybkość średnią, ale… jaka jest Twoja największa szybkość? Korzystając z wiedzy na temat prostego ruchu harmonicznego, policzyłeś czas trwania podróży tam i z powrotem (84 min 30 s) oraz dowiedziałeś się, że średnia szybkość Twego lotu byłaby większa niż 5 km na sekundę. Mimo że nie zdążysz wrócić do domu, zanim dotrze do niego Adam, zrobiłeś na dostawcy pizzy duże wrażenie. Teraz chłopak chciałby poznać maksymalną szybkość, jaką osiągnąłbyś w trakcie wycieczki na drugą stronę Ziemi.

Średnia szybkość większa niż 5 km na sekundę? To naprawdę niesamowite! Jaka byłaby Twoja największa szybkość?

Brawo! Udało Ci się zaimponować Adamowi!

Zawieszony na sprężynie obiekt o masie m porusza się prostym ruchem harmonicznym. Maksymalną szybkość tego obiektu liczyłeś, korzystając Już wiesz, jak można policzyć maksymalną z zasady zachowania energii. Niestety, wydaje się, że wyznaczanie energii ość obiektu potencjalnej czegoś, co znajduje się wewnątrz kuli ziemskiej, byłoby dużym szybkszają cego się poru wyzwaniem… PRH. Czy wiedzę

Czyli tym razem musimy wyznaczyć energię potencjalną obiektu lecącego tunelem biegnącym przez środek Ziemi?! Przecież to było trudne nawet dla obiektów, które znajdowały się na zewnątrz kuli ziemskiej!

tę dałoby się wykorzystać do rozwiązania problemu, nad którym właśnie się głowimy?

Krzysiek: Niekoniecznie. Jest coś, nad czym rozmyślam już od kilku minut. Gdy na początku próbowaliśmy odpowiedzieć na pytanie „Jakie inne zdarzenie przypomina nam sytuację opisaną w treści naszego zadania?”, powiedziałem, że podróżowanie tunelem wiodącym przez środek Ziemi przypomina mi ruch po okręgu obserwowany z boku.

Krzysiek: I jeszcze jedno! Sądzę, że amplitudy wychylenia od położenia równowagi obiektu orbitującego tuż nad powierzchnią Ziemi oraz podróżującego tam i z powrotem tunelem biegnącym przez środek naszej planety byłyby takie same.

Franek: No tak. Widziany z boku ruch po okręgu i prosty ruch harmoniczny opisuje się takimi samymi równaniami.

Kuba: Potrafimy policzyć okres ruchu zarówno dla obiektu orbitującego, jak dla obiektu poruszającego się prostym ruchem harmonicznym. Innymi słowy, możemy sprawdzić, czy obydwa okresy, o których wspomniałeś, są takie same, czy nie. Jeżeli okaże się, że amplitudy wychylenia obiektów od położenia równowagi i okresy są takie same dla obu ruchów, będziemy mogli stwierdzić, że ruchy te, oglądane z boku, wyglądają identycznie.

Kuba: Ale jakie ma to znaczenie dla nas? Krzysiek: Pomyślałem, że obserwowany z boku ruch po orbicie okołoziemskiej wyglądałby dokładnie tak samo, jak podróżowanie tam i z powrotem przez środek kuli ziemskiej. Przecież umiemy policzyć prędkość obiektu orbitującego wokół Ziemi. Wydaje mi się, że maksymalna prędkość w prostym ruchu harmonicznym może być taka sama, jak prędkość w oglądanym z boku ruchu po orbicie.

Franek: Ale co, jeśli okresy obydwu ruchów okażą się być różne?

jesteś tutaj  901

Ruch po okręgu widziany z boku

Obserwowany z boku ruch po okręgu wygląda jak prosty ruch harmoniczny

trygonometria składowa

Gdybyś był w stanie orbitować wokół Ziemi tuż przy jej powierzchni, poruszałbyś się po torze będącym okręgiem. Patrząc z boku na ruch po okręgu, widzi się zaledwie jedną składową przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.

kąt

promień

Ruch po okręgu obserwowany z boku oraz prosty ruch harmoniczny opisuje się takimi samymi równaniami, a więc ich wykresy również wyglądają identycznie.

Możesz zrzutować tę składową promienia na oś tunelu.

amplituda

Przemieszczenie

W tej chwili znajdujesz się na drugim końcu tunelu.

To jest okres PRH.

RZ RZ 42 min 15 s

84 min 30 s Czas

-RZ Jeżeli okres PRH i ruchu po orbicie są takie same, obydwa ruchy oglądane z boku wyglądają identycznie.

Niemal na każdy problem można spojrzeć z kilku różnych perspektyw.

Amplitudy ruchu po orbicie i PRH są takie same. Ich wartość równa jest długości promienia Ziemi.

Jeżeli amplitudy oraz okresy ruchu po orbicie i podróży przez środek Ziemi są takie same, obydwa ruchy oglądane z boku wyglądają identycznie.

Oznacza to, że maksymalna szybkość obiektu przemieszczającego się tunelem biegnącym przez środek naszej planety jest taka sama, jak szybkość liniowa obiektu orbitującego tuż przy powierzchni Ziemi (stwierdzenie to jest prawdziwe tylko wtedy, gdy okresy obydwu ruchów są identyczne). Powyższy wniosek jest bardzo ważny, ponieważ Narysowaliśmy tylko wykres zależności przemieszczenia od czasu, ale wykres umiesz policzyć szybkość liniową ciała poruszającego się zależności prędkości od czasu również byłby po orbicie… wspólny dla obydwu omawianych ruchów.

902

Rozdział 21.

Myśl jak fizyk

Zaostrz ołówek Nie istnieją

głupie pytania

P: Chyba orbitowanie tuż przy

powierzchni Ziemi byłoby niemożliwe, ponieważ na lecący obiekt działałaby siła oporu powietrza…

O

: Masz rację. Pamiętaj jednak, że zastanawiając się nad kwestią podróży tunelem na drugi koniec Ziemi i z powrotem, również przyjęliśmy pewne założenia! Umówiliśmy się, że będziemy pomijać opór powietrza (który spowalniałby lot obiektu spadającego tunelem) oraz ruch obrotowy Ziemi (w wyniku którego obiekt przemieszczający się tunelem odbijałby się od jego ścian). Te same założenia możemy przyjąć, zajmując się problemem orbitowania obiektów tuż przy powierzchni kuli ziemskiej.

Jeśli okres ruchu po orbicie jest taki sam, jak okres prostego ruchu harmonicznego, obydwa ruchy oglądane z boku wyglądają identycznie. a. Oblicz okres ruchu obiektu krążącego po orbicie kołowej tuż przy powierzchni kuli ziemskiej (masa Ziemi: 5,97 × 1024 kg; długość promienia Ziemi: 6,38 × 106 m). Jak otrzymana wartość ma się do wartości okresu wyznaczonej dla PRH, jakim jest podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem?

P: Świetnie, ale skąd wiesz, że okresy

ruchu po orbicie oraz PRH są takie same? Wartości okresów mogą być różne, mimo że amplitudy w przypadku obydwu ruchów są identyczne.

O: Masz rację, w tej chwili nie możemy być

pewni, że okresy rozważanych przez nas ruchów są takie same. Jednakże zajmowałeś się już ruchem po orbicie, więc jesteś w stanie sprawdzić, jak mają się do siebie wartości tych okresów. W zasadzie możesz to zrobić od razu…

b. Oblicz maksymalną wartość prędkości obiektu lecącego tunelem biegnącym przez środek Ziemi. Wskazówka: Zastanów się nad tym, skąd bierze się siła dośrodkowa. Jeśli chcesz, możesz korzystać z dodatku zawierającego ważne równania.

jesteś tutaj  903

Pizza w samą porę

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Jeśli okres ruchu po orbicie jest taki sam, jak okres prostego ruchu harmonicznego, obydwa ruchy oglądane z boku wyglądają identycznie.

Twoja maksymalna szybkość to niemal 8 km na SEKUNDĘ!

Niesamowite!!! Jesteś superszybki!

a. Oblicz okres ruchu obiektu krążącego po orbicie kołowej tuż przy powierzchni kuli ziemskiej (masa Ziemi: 5,97 × 1024 kg; długość promienia Ziemi: 6,38 × 106 m). Jak otrzymana wartość ma się do wartości okresu wyznaczonej dla PRH, jakim jest podróż na drugą stronę Ziemi i z powrotem? GMZm

Fd = mrω2 =

T =

m r

GMZ

ω = ω = 2πf

MZ

r2

RZ3 i

f =

1 T

ω =

2π T

2π

2π ω

= GMZ RZ3 2 × π = (6,67 × 10-11 m3/kg˜s2) × (5,97 × 1024 kg) (6,38 × 106 m)3 T ≈ 5070 s

Okres jest taki sam, jak w przypadku podróży tam i z powrotem przez środek Ziemi.

b. Oblicz maksymalną wartość prędkości obiektu lecącego tunelem biegnącym przez środek Ziemi.

Jeśli zadzwonisz do „Na złamanie karku” i zamówisz pizzę w momencie, gdy znajdziesz się przy wlocie tunelu po drugiej stronie Ziemi (powrót z tego miejsca na swoją półkulę zajmie Ci 42 minuty i 15 sekund), zdążysz wrócić do domu przed przybyciem Adama! Zaczynasz podróż tutaj.

Wracasz z podróży.

Maksymalna wartość prędkości jest taka sama, jak wartość prędkości w ruchu po okręgu. v = rω

v =

2πr T

i

=

ω =

2π T

2 × π × 6,38 × 106 m 5070 s

v ≈ 7900 m/s Składasz zamówienie.

904

Rozdział 21.

Myśl jak fizyk

Jesteś w stanie zrobić (prawie) wszystko! Właśnie zakończyłeś wycieczkę przez środek Ziemi. Dobiegł również kres Twej podróży po stronach tej książki. Dowiedziałeś się, jak fizyka działa w prawdziwym świecie, oraz nauczyłeś się kilku przydatnych metod rozwiązywania problemów fizycznych. Metody te świetnie sprawdzą się w (prawie) każdej sytuacji, gdy tylko zechcesz zmierzyć się z jakąś zagadką.

Korzystając z tego, co wiem, potrafię dowiedzieć się tego, czego jeszcze nie wiem.

je jednostki

obwód

spadanie

odwrotność kwadratu odległości

zachowanie energii skalar

zderzenie niesprężyste

punkty szczególne

częstotliwość

siła dośrodkowa częstość kątowa składowa

Myśl jak fizyk!

moment siły

energia potencjalna sprężystości

popęd siły równanie

stałe przyspieszenie

przemieszczenie tarcie

trygonometria prędkość kątowa symetria

energia kinetyczna spadek swobodny

siła

nachylenie

energia wewnętrzna powierzchnia

wahadło

rruch harmoniczny prosty Pitagoras Pita

bloczek

czas naprężenie

energia

podstawienie podstaw

równania ruchu radiany

siła normalna

Bądź częścią problemu. wektor

szybkość

energia potencjalna grawitacji

droga

notacja naukowa

okres

zderzenie sprężyste

pole grawitacyjne

zachowanie pędu

doświadczenie

ciężar sprężyna

przyspieszenie

wykres

energia mechaniczna prędkość promień praca

objętość

amplituda moc

diagram rozkładu sił prawa Newtona

Czy odpowiedź jest dobrze sKROJona? masa

jesteś tutaj  905

906

Rozdział 21.

2   +(  $  -

Sześć bardzo ważnych kwestii (których nie poruszyliśmy wcześniej)

Co?! Żadnej T.W.U. ani W.T.W.? Czy mogę prosić o zwrot gotówki?

T.W.U. — teoria wielkiej unifikacji W.T.W. — wielka teoria wszystkiego

W żadnej książce nie znajdziesz odpowiedzi na wszystkie pytania. Na stronach tej książki udało nam się omówić naprawdę wiele zagadnień z dziedziny fizyki. Czytając ją, zdobyłeś niemałą wiedzę i wykształciłeś w sobie umiejętności, które przydadzą Ci się w przyszłości, niezależnie od tego, czy będziesz przygotowywał się do egzaminów, czy po prostu zechcesz dowiedzieć się, jak działa świat wokół Ciebie. Tworząc niniejszy podręcznik, niejednokrotnie musieliśmy dokonywać trudnych wyborów, jakie zagadnienia omówić, a jakie pozostawić niewyjaśnione. W tym dodatku poruszymy kilka tematów, o których dotąd nie wspomnieliśmy nawet słowem, a które niewątpliwie są bardzo istotne i użyteczne.

to jest nowy dodatek 907

Prosta na wykresie

1. Równanie prostej na wykresie: y = ax + b Czytając rozdział 20,. uczyłeś się porównywać szczególne przypadki równań prostego ruchu harmonicznego — na przykład równanie drgań obiektu o masie m zawieszonego na sprężynie albo równanie wahnięć wahadła matematycznego) z równaniem ogólnym opisującym ten ruch (x = Acos(t)).

+&ω'

#

 



Amplitudą

Jeśli porównasz swoje szczególne równanie na PRH z równaniem interesującego Cię ruchu jest ogólnym, będziesz w stanie wyznaczyć z niego amplitudę oraz x0, ponieważ częstość kołową właściwe dla układu fizycznego, który badasz. właśnie x0

Istnieje jeszcze ogólniejsze równanie, z którego możesz korzystać, analizując rozmaite wzory. Równaniem tym jest ogólne równanie prostej; jego postać to: y = ax + b (wzór opisuje prostą narysowaną w układzie współrzędnych o osiach X i Y).

odpowiada amplitudzie A z równania ogólnego.

Częstością kołową interesującego Cię k , ponieważ ruchu jest wyrażenie m k właśnie czynnik m odpowiada częstości kołowej ω z równania ogólnego.

Dla x = 0 równanie y = ax + b przyjmuje postać y = 0 + b, czyli po prostu y = b. Wynika z tego, że wielkość b jest współczynnikiem przecięcia prostej opisanej równaniem z osią Y układu współrzędnych (inaczej mówiąc, wartością zmiennej y dla x = 0). Jeśli do wartości zmiennej x dodasz 1, wartość zmiennej y również się zmieni. Zmiana wartości y zależy od wartości współczynnika a. Dzieje się tak za sprawą tej części równania: y = ax. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej.

y

b

Współczynnik nachylenia = a

Wielkość a to współczynnik kierunkowy prostej.

Współczynnik kierunkowy prostej Wartości z osi Y układu współrzędnych



x Wielkość b to informacja o tym w którym miejscu prosta prze , cina się z osią Y układu współrzędny ch.

Każde równanie opisujące prostą ma postać y = ax + b.

908

Dodatek A

Współczynnik przecięcia prostej z osią Y układu. Wartości z osi X układu współrzędnych

Każde równanie opisujące linię prostą ma taką właśnie postać. Oznacza to, że jeśli uda Ci się dopasować swoje równanie do schematu określonego wzorem y = ax + b, czyli określić, która zmienna z Twego równania odpowiada zmiennej x, a która zmiennej y z równania ogólnego, będziesz w stanie narysować wykres przedstawiający prostą, a także wyznaczyć z niego współczynnik kierunkowy tej prostej oraz współczynnik jej przecięcia z pionową osią układu współrzędnych. Równanie

Pionowa Pozioma Współczynnik oś układu oś układu kierunkowy współrzędnych współrzędnych prostej

Współczynnik przecięcia prostej z osią Y

y = ax + b

y

x

a

b

x = x0 + vt

x

t

v

x0

v = v0 + at

v

t

a

v0

Narysuj wykres zależności prędkości od czasu, a następnie, znając nachylenie prostej, wyznacz przyspieszenie.

Dlaczego miałabym jakiekolwiek równanie porównywać do równania y = ax + b, skoro mogę po prostu narysować odpowiadający mu wykres przedstawiający linię prostą w oparciu o wyniki wykonanych przez siebie pomiarów?

(prawie)

To, co się nie zmieściło

Dla KAŻDEGO równania da się narysować wykres przedstawiający linię prostą, a następnie wyznaczyć współczynnik kierunkowy tej prostej. Załóżmy, że wykonujesz doświadczenie w celu wyznaczenia przyspieszenia klocka zsuwającego się po równi pochyłej (przyspieszenie może być potrzebne na przykład do obliczenia współczynnika tarcia). Wiesz, że przemieszczenie klocka opisuje wzór x = x0 + v0t + at2 oraz odpowiadająca temu wzorowi krzywa na wykresie zależności x od t. Jeśli przyjmiesz założenie, że x0 = 0 i v0 = 0, Twoje równanie przyjmie postać x = 0 + 0 + at2, czyli x = at2. Zapewne zdajesz sobie sprawę z faktu, że równaniu x = 1/2at2 odpowiada wykres przedstawiający krzywą… Co tego typu równanie może mieć wspólnego ze wzorem y = ax + b opisującym linie proste? Aby uniknąć pomyłek, rób odpowiednie zestawienia zmiennych tworzących Twoje równania ze zmiennymi z ogólnego równania prostej.

Równanie

Pionowa Pozioma Współczynnik oś układu oś układu kierunkowy współrzędnych współrzędnych prostej

Współczynnik przecięcia prostej z osią Y

y = ax + b

y

x

a

b

x = ½at2

x

t2

½a

0

Jeśli na podstawie danych uzyskanych w trakcie przeprowadzania swojego eksperymentu dla wszystkich punktów pomiarowych wyznaczysz wartości t2, a następnie zaznaczysz wartości t2 na osi poziomej układu współrzędnych, zaś wartości x na osi pionowej tego samego układu, narysujesz wykres przedstawiający linię prostą, której współczynnik kierunkowy będzie równy wartości wyrażenia a. Jak widzisz, wystarczy tylko narysować odpowiedni wykres i zmierzyć nachylenie prostej (jej współczynnik kierunkowy), aby poznać wartość zmiennej a będącej niewiadomą, której szukasz! Opisaną wyżej procedurę można przeprowadzić również w nieco inny sposobów. Otóż mógłbyś przyjąć, że z = t2, po czym dokonać odpowiedniego podstawienia w równaniu x = at2. W wyniku takiego działania otrzymałbyś wzór x = az. Jeżeli na pionowej osi układu zaznaczyłbyś wartości zmiennej x, natomiast na poziomej wartości z, otrzymałbyś prostą o współczynniku kierunkowym a. Znajomość postaci równania opisującego relacje między wielkościami fizycznymi, których wartości zamierzasz zmierzyć w trakcie przeprowadzania eksperymentu, niejednokrotnie może okazać się niezwykle przydatna.

x

Współczynnik kierunkowy = ½a Współczynnik przecięcia t prostej z pionową osią układu współrzędnych ma wartość 0, ponieważ x = 0 m dla t2 = 0 s. 2

Nadając swojemu równaniu postać analogiczną do ogólnego równania prostej, dbaj o to, żeby zmienna, której wartość chcesz poznać, była odpowiednikiem współczynnika kierunkowego prostej lub współczynnika przecięcia prostej z osią pionową układu współrzędnych. jesteś tutaj  909

Przemieszczenie jest polem powierzchni

2. Wartość przemieszczenia jest polem powierzchni figury geometrycznej utworzonej przez krzywą na wykresie zależności prędkości od czasu Niedawno dowiedziałeś się, że praca to pole powierzchni figury geometrycznej utworzonej przez krzywą na wykresie zależności siły od przyspieszenia. Nawet kilka razy korzystałeś z tej wiedzy podczas obliczania zmian energii. Zasada ta jest prawdziwa, ponieważ wartość pracy wykonanej nad układem równa jest wartości wyrażenia Fx. Podane wyrażenie ma taką samą postać, jak wzór na pole prostokąta: pole powierzchni = wysokość × szerokość. Jeżeli przebieg krzywej narysowanej w układzie współrzędnych, którego pionową oś opisano jako oś wartości zmiennej F, natomiast oś poziomą zarezerwowano dla wartości zmiennej x (na tej osi zaznacza się odcinek x), wyznacza prostokąt, pole powierzchni tego prostokąta jest równe pracy wykonanej nad układem. Dla każdego równania postaci P = bc prawdziwe jest stwierdzenie, że P jest polem powierzchni figury geometrycznej wyznaczonej przez krzywą narysowaną na wykresie zależności zmiennej b od zmiennej c.

Prędkość

Na wykresie widzimy prostokąt o wysokości v i szerokości 't. Pole prostokąta równe jest wartości wyrażenia v't, czyli przemieszczeniu.

v

t

Siła

F

x

Czas

W praktyce przemieszczenie by policzyć, wyznaczając polemożna i pola obydwu widocznych na prostokąta wykresie trójkątów.

t

910

Dodatek A

Czas

Przemieszczenie

Najczęściej spotykaną zależnością, dla której obowiązuje podana wyżej reguła, jest zależność prędkości od czasu wyrażona wzorem x v = t , który po przekształceniu daje x = vt. Jeśli zdecydujesz się narysować wykres zależności v od t, pole figury geometrycznej widocznej pod krzywą z wykresu będzie równe wartości wielkości x.

Omawiana tu zasada jest prawdziwa nawet wtedy, gdy na wykresie widnieje figura geometryczna inna niż prostokąt. Każdą figurę geometryczną, jaka może powstać między krzywą na wykresie a poziomą osią układu współrzędnych, teoretycznie da się podzielić na wiele bardzo małych prostokątów. Jeśli zsumujemy pola wszystkich małych prostokątów tworzących jakąś figurę geometryczną, obliczymy pole powierzchni tej figury i, co za tym idzie, na przykład całkowite przemieszczenie obiektu, którego ruch analizujemy. Spróbuj wyobrazić Prędkość sobie, że ten trójkąt składa się z bardzo wielu małych, podłużnych prostokątów, v podobnych nieco do prostokąta z wykresu powyżej.

Na wykresie widzimy prostokąt o wysokości F i szerokości Δx. Pole prostokąta równe jest wartości wyrażenia FΔx, czyli pracy wykonanej nad układem fizycznym.

Dla każdego równania postaci P = bc prawdziwe jest stwierdzenie, że P jest polem powierzchni figury geometrycznej wyznaczonej przez krzywą narysowaną na wykresie zależności zmiennej b od zmiennej c. Na przykład x = vt, więc wartość zmiennej x równa jest polu figury geometrycznej utworzonej przez krzywą na wykresie zależności v od t.

Czyli w przypadku, gdy prędkość jest ujemna, przemieszczenie powinniśmy utożsamiać z polem powierzchni figury geometrycznej leżącej pod poziomą osią wykresu, a nie nad nią, prawda?

To, co się nie zmieściło

Owszem. Dla ujemnych prędkości położenie poruszającego się obiektu zmienia się przeciwnie niż dla prędkości dodatnich. Pole powierzchni obszaru wydzielonego przez poziomą oś układu współrzędnych i krzywą narysowaną na wykresie jest informacją o całkowitym przemieszczeniu obiektu, którego ruch badamy. Jeżeli prędkość tego obiektu przez cały czas trwania ruchu będzie dodatnia, jego całkowite przemieszczenie również musi być dodatnie. Jeśli jednak poruszający się obiekt w pewnym momencie osiągnie ujemną prędkość, zaobserwujemy jego ruch wsteczny, odbywający się w przeciwnym kierunku do pierwotnego. Sytuację tę obrazuje na wykresie przejście krzywej pod poziomą oś układu współrzędnych, co wiąże się również ze zmianą zwrotu wektora przemieszczenia. Jeśli pola powierzchni obszarów utworzonych przez krzywą nad i pod poziomą osią wykresu zależności prędkości od czasu są takie same, wypadkowy wektor przemieszczenia badanego obiektu ma wartość 0 m.

Obszar, który krzywa wykresu wyznacza nad poziomą osią układu współrzędnych, odpowiada dodatniemu przemieszczeniu. Obszar, który krzywa wykresu wyznacza pod poziomą osią układu współrzędnych, odpowiada ujemnemu przemieszczeniu.

Wykres zależności przemieszczenia od czasu Przemieszczenie narysowany dla obiektu poruszającego się najpierw pionowo w górę, a później w dół [m]

Obszar wyznaczany przez prostą z wykresu znajduje się nad poziomą osią układu współrzędnych, więc jego pole równe jest dodatniemu przemieszczeniu.

Prędkość [m/s]

Czas [s]

Wykres zależności prędkości od czasu narysowany dla obiektu poruszającego się najpierw pionowo w górę, a później w dół

Czas [s]

W tej chwili ruchu obszary wyznaczone przez prostą nad i pod poziomą osią układu współrzędnych mają takie same pola, więc wartość całkowitego przemieszczenia badanego przez nas obiektu wynosi 0 m.

jesteś tutaj 

911

Zwracaj uwagę na moment siły

3. Moment siły przyłożony do mostu Powiedzieliśmy wcześniej, że moment siły jest „czymś w rodzaju siły obracającej”. Moment siły w układzie z punktem podparcia definiuje się jako iloczyn ramienia siły (wektora położenia poprowadzonego z punktu podparcia do punku przyłożenia siły) przez składową siły prostopadłą do dźwigni: MF = rFA. Moment siły jest wektorem. Jeżeli ramię siły kręci się w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wskazówek zegara, moment siły jest dodatni, w przeciwnym zaś razie mówimy, że moment siły jest ujemny.

r1

F1

M1 = r1F1

Jeśli stwierdzimy, że ruch zgodny ze wskazówkami zegara odbywa się w kierunku dodatnim, ten moment siły będzie miał ujemny zwrot.

r2

M2 = r2F2

Wypadkowy moment siły jest równy zero, ponieważ momenty przyłożone do obydwu ramion mają tę samą wartość, lecz przeciwne znaki.

F2 Obrót następuje w kierunku ruchu wskazówek zegara, więc ten moment ma zwrot dodatni.

20,0 m 5,0 m m = 80 kg

m = 200 kg

Zaczynając rozwiązywać zadanie dotyczące sił, zawsze sprawdzaj, czy wszystkie siły działają w kierunku do środka obiektu opisanego w treści zadania. Jeśli nie, musisz zwrócić uwagę na MOMENT SIŁY.

912

Dodatek A

F=?

Jaką siłą przęsło działa na most?

Może się zdarzyć, że będziesz musiał rozwiązać zadanie, w którego treści pojawi się pytanie o siłę, z jaką przęsło lub cięgno działa na płytę mostu. Poniżej znajdziesz tekst przykładowego zadania tego typu. „Ważący 80 kg Imhotep stoi w odległości 5 m od końca mostu o masie 200 kg i długości równej 20 m. Płyta mostu jest pozioma i pozostaje w położeniu równowagi. Z jaką siłą działa na płytę mostu przęsło bardziej oddalone od Imhotepa?”. Kluczem do rozwiązania takiego zadania jest zorientowanie się, że żeby móc sobie z nim poradzić, należy skorzystać z wiedzy na temat momentu siły.

To, co się nie zmieściło Jeśli chcesz rozwiązać zadanie podobne do przykładowego, w pierwszej kolejności musisz zastanowić się nad taką oto kwestią: gdzie znajdowałby się punkt podparcia płyty mostu, gdyby nie było przęsła, o którym wspomniano w pytaniu do zadania? W przypadku naszego zadania odpowiedź brzmi: płyta mostu obracałaby się wokół drugiego z przęseł. W takim razie siła, z jaką przęsło z pytania działa na płytę mostu, musi powodować powstawanie momentu siły, który równoważy inne momenty sił przyłożone do mostu tak, że wypadkowy moment siły jest zerowy. Oprócz momentu siły związanego z istnieniem naszego przęsła musimy rozważyć momenty sił związane z Imhotepem oraz samą płytą mostu. Ponadto musimy zdać sobie sprawę z faktu, że omawiany przez nas układ fizyczny działa tak, jakby cała masa płyty mostu obracającej się wokół jednego z własnych końców skupiona była w punkcie środkowym tej płyty. Nawet gdyby Imhotep zniknął z mostu, i tak mielibyśmy do czynienia z momentem siły.

20,0 m 10,0 m 5,0 m

tak, jakby Omawiany przez nas układ fizyczny działa jednego cała masa płyty mostu obracającej się wokół środkowym ie z własnych końców skupiona była w punkc tej płyty.

m = 80 kg

m = 200 kg

F1 = 80g

F2 = 200g

F=?

Punkt podparcia

Przyjmijmy, że ruch ramienia siły w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu wskazówek zegara związany jest z dodatnim zwrotem momentu siły.

Gdyby w tym miejscu zabrakło przęsła, drugie z przęseł stałoby się punktem podparcia płyty mostu.

r1F1 + r2F2 – r3F = 0 r1F1 + r2F2 r3 (5,0 m × 80 kg × 9,8 m/s2) + (10,0 m × 200 kg × 9,8 m/s2) F= 20,0 m

F=

F = 1176 N Po rozwiązaniu zadania należy sprawdzić, czy uzyskana odpowiedź jest dobrze sKROJona. Wiemy już, że jednostka jest prawidłowa, ale co z rozmiarem odpowiedzi? Wartość łącznego ciężaru płyty mostu i Imhotepa to (200 kg + 80 kg) × 9,8 m/s2 = 2744 N. Ponieważ masa układu płyta – Imhotep skupiona jest przy drugim z przęseł, pierwsze przęsło, czyli to, o którym była mowa w treści naszego zadania, musi działać na płytę z siłą mniejszą niż połowa obliczonego przed chwilą ciężaru. Wartość 1176 N jest ponaddwukrotnie mniejsza od wartości 2744 N, więc możemy uznać, że wynik naszych obliczeń wydaje się być sensowny.

Chcąc się dowiedzieć, z jaką siłą przęsło (albo cięgno) działa na płytę mostu, musisz zadać sobie pytanie: „Gdzie znajdowałby się punkt podparcia płyty, gdyby interesujące mnie przęsło (lub cięgno) zniknęło?”. jesteś tutaj  913

Ćwiczyć, ćwiczyć i jeszcze raz ćwiczyć!

4. Moc

Pracę mierzy się w dżulach.

Moc jest tempem wykonywania pracy. Jednostką mocy jest dżul podzielony przez sekundę. Całkiem możliwe, że pewnego dnia będziesz musiał odpowiedzieć na pytanie: ile czasu potrzebuje maszyna pobierająca określoną ilość mocy na przekształcenie energii do innej postaci.

Moc to tempo wykonywania pracy.

Prędkość, czyli miara zmiany wektora położenia w jednostce czasu.

Na przykład: silnik pobierający 1,0 kW mocy, a więc przekształcający 1,0 kJ energii na sekundę, wykona pracę o wartości 10 kJ w 10 s. W Moc = t Ponadto dobrze jest wiedzieć, (F__x) że istnieje wzór na moc zawierający x Ÿ Moc = t = F__ t prędkość ciała, nad którym wykonano pracę. Niekiedy może się on okazać Ÿ Moc = F__v naprawdę przydatny.

Moc = Fv

Moc mierzym y w dżulach na sekundę, J/s.

Pamiętaj, że tu powinna znaleźć się składowa siły równoległa do przemieszczenia. Prędkość również musi być równoległa do siły i przemieszczenia.

5. Rób zadania

Lepsza znajomość fizyki

Gdy opanujesz już podstawy fizyki, zaczniesz odczuwać większą radość z jej poznawania, aż w końcu stanie się ona naprawdę doskonałą rozrywką!

Koniec Ta ksiązka stanowi przede wszystkim kompendium wiedzy z fizyki, więc nie znajdziesz w niej wyprowadzeń wzorów znanych z podręczników ani setek zadań Jeżeli do rozwiązania. Wszystkie zawarte w niej pytania nie będziesz i ćwiczenia zostały dobrane tak, byś zdołał zrozumieć ćwiczy ć, nigdy ideę problemu, którym się aktualnie zajmujesz. nie wyjdziesz poza ten poziom, Jednak aby dobrze pojąć fizykę, nie wystarczy, że o nie poczytasz — musisz się nią zajmować. Musisz nauczyć się, jak stosować poznane zasady, jak prowadzić obliczenia i jak wyjaśniać to, co właśnie robisz.

Ucz się

Ćwicz

Ucz się Ucz się Ucz się

Ćwicz Ćwicz Ćwicz

Ucz się Start Gdy będziesz uczyć się więcej,

Rozwiązywanie zadań sprawi, że będziesz uczyć się szybciej i lepiej wszystko rozumieć.

Nie nauczysz się grać w tenisa tylko dlatego, że przeczytałeś zaczniesz rozwiązywać trudniejsze zadania. książkę. Tak samo jest z fizyką — żeby stać się naprawdę biegłym w tej dziedzinie, musisz rozwiązywać zadania, Rozwiązanych zadań nigdy za wiele! Niestety liczba stron odpowiadać na pytania i robić mnóstwo ćwiczeń. książki jest ograniczona, więc nowych wyzwań musisz szukać gdzie indziej. Jeżeli przygotowujesz się do egzaminu, Przed egzaminami ćwicz zacznij od sprawdzenia zadań, jakie pojawiały się na nim w poprzednich latach, albo znajdź zbiór zawierający rozwiązywanie zadań — przykładowe problemy, przygotowany z myślą o tym egzaminie.

najlepiej jeśli będą to zadania z poprzednich lat.

914

Dodatek A

Zadania egzaminacyjne z poprzednich lat znajdziesz na stronach internetowych OKE. Zestawy zawierają zazwyczaj klucz z poprawnymi odpowiedziami.

To, co się nie zmieściło

6. Przygotowanie do egzaminu Choć nie każdy, kto kupi tę książkę, będzie przygotowywać się do egzaminów, to jednak wierzę, że niejedna osoba zasiądzie do lektury z tą właśnie myślą! Oczywiście podane niżej rady nadadzą się doskonale dla wszystkich, którzy chcą po prostu dostać dobrą ocenę z klasówki.

Dobrze wypocznij przed egzaminem. Tylko wtedy Twój mózg będzie sprawnie radzić sobie z zadaniami. Wkuwanie tylko zmęczy kreatywne obszary umysłu.

CELNE SPOSTRZEŻENIA ‹Znajdź sobie zaciszne miejsce

do pracy, gdzie nic nie będzie Cię rozpraszać. Jeżeli istnieje taka potrzeba, wypnij z komputera kabel internetowy lub wyciągnij bezprzewodową kartę sieciową! ‹Pamiętaj, że każdy uczy się

po swojemu. Niektórzy lubią zaplanować sobie rytm nauki z góry, a inni wolą kontrolować na bieżąco czas spędzony nad danym zagadnieniem. ‹Nie daj się sterroryzować kolegom

z klasy, którzy będą opowiadać Ci, jak mocno się uczą lub też, że wcale się nie uczą. Rób to, co robiłeś dotychczas. ‹Zacznij od przejrzenia swoich

zeszytów (możesz też wspomagać się zawartością tej książki). Upewnij się, że rozwiązując umieszczone tu zadania (również ponownie), rozumiesz ideę, jaka kryje się za każdym ze zjawisk. ‹Przejrzyj zadania, które odrabiałeś

w domu, i przypomnij sobie, jak je rozwiązywałeś. Jeżeli nie pamiętasz którejś z metod rozwiązywania zadania, zrób je jeszcze raz, żeby wszystko sobie odświeżyć.

‹Zapewnij sobie spory zapas

testów z poprzednich lat. Gdy skończysz już przeglądanie notatek i prac domowych, spróbuj rozwiązać dwa czy trzy zestawy egzaminacyjne, pomagając sobie teorią z podręcznika. Potem weź jeden czy dwa świeższe zestawy pytań i postaraj się rozwiązać je tak, jak na egzaminie — bez zaglądania do notatek. Rozwiąż tyle zestawów, ile zdołasz. ‹Dowiedz się wcześniej,

czy możesz używać kalkulatora. Upewnij się też, że wziąłeś ze sobą zapasowe baterie. Pobierz z internetu kartę wzorów obowiązujących na egzaminie lub skopiuj ją z któregoś z zestawów i używaj w czasie rozwiązywania zadań w domu. ‹Wyśpij się dobrze przed

egzaminem i nie wkuwaj — zadania z fizyki są konstruowane tak, by sprawdzić, czy umiesz myśleć, a nie tak, byś mógł wykazać się wiedzą rodem z encyklopedii. ‹Przeczytaj uważnie pytania.

Podkreśl te informacje, które wydają Ci się istotne. Za udzielenie odpowiedzi na niezadane pytanie nie dostaniesz żadnych punktów!

‹Zacznij od wykonania rysunku

i wyobraź sobie, co DZIEJE SIĘ w problemie. ‹Staraj się opisywać każdy krok

prowadzonego wywodu. Dzięki temu uporządkujesz nieco swoją wiedzę i dasz sprawdzającemu szansę na przyznanie Ci punktów za dobre zrozumienie problemu. ‹Podkreśl wyraźnie kolejne etapy

swojej pracy! Podanie samego wyniku nie wystarczy, by uzyskać pełną liczbę punktów, nawet jeśli jest to wynik poprawny. ‹Nigdy niczego nie skreślaj. Gdyby

zdarzyło się, że zmienisz zamysł na rozwiązanie, wykreśl pierwszą odpowiedź dopiero wtedy, gdy udzielisz już drugiej. ‹Dowiedz się, czy niepoprawne

odpowiedzi w teście wielokrotnego wyboru są punktowane ujemnie. Jeżeli możesz dostać ujemne punkty za niepoprawną odpowiedź, nie ryzykuj i nie zgaduj, chyba że zdołasz zmniejszyć liczbę możliwych odpowiedzi do dwóch czy trzech. Wtedy ryzyko może się opłacić.

jesteś tutaj  915

916

Dodatek A

Dodatek B Tablice wzorów

Skarbnica wiedzy Samochód przestępców był niebieski czy zielony…? Dwóch mężczyzn czy trzech…? Prędkość samochodu to v czy v0?

Bardzo trudno jest zapamiętać coś, co widziało się tylko raz. W fizyce zdarzenia opisuje się równaniami. Za każdym razem, gdy korzystasz z jakiegoś równania, rozwiązując problem fizyczny, oswajasz się z nim, mimo że nie starasz się go za wszelką cenę zapamiętać. Zanim jednak określone równanie samo zapadnie Ci w pamięć, możesz chcieć móc sprawdzić jego kształt w odpowiednich tablicach. Po to właśnie tworzy się w książkach dodatki z tablicami wzorów — są one łatwo dostępnymi zbiorami informacji, z których możesz korzystać, gdy tylko zajdzie taka potrzeba.

to jest nowy dodatek 917

Te równania są prawidłowe również dla prostego ruchu harmonicznego.

Tablica wzorów z mechaniki Równania ruchu „Bez przemieszczenia”

v = v0 + at

„Bez prędkości końcowej”

x = x0 + v0t + ½at2

„Bez czasu”

v2 = v02 + 2a(x - x0)

Jeżeli siła zmienia się wraz z upływem czasu, po lewej stronie równania powinno stać wyrażenie na pole powierzchni figury geometrycznej powstałej pod krzywą widoczną na wykresie zależności siły od czasu.

Siły p = mv

Pęd II zasada dynamiki Newtona — postać pędowa (wielkość Fwypt nazywana jest popędem siły)

MF = rFA

Moment siły Wektor momentu siły jest prostopadły do wektorów r i FA. W przypadku obrotu ramienia w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara wektor momentu siły ma zwrot dodatni; w przypadku obrotu ramienia w kierunku odwrotnym wektor momentu siły ma zwrot ujemny.

W = F__x

Energia potencjalna grawitacji

Ep = mgh

Energia kinetyczna

Ek = ½mv2

Moc średnia

ΔW Pśr = Δt

Moc jest miarą ilości pracy wykonanej w czasie.

918

Dodatek B

Częstość kołowa (zwana inaczej szybkością kątową lub wartością prędkości kątowej)

 = 2f

Odległość liniowa i odległość kątowa

x = r

Prędkość liniowa i prędkość kołowa

v = r

Przyspieszenie dośrodkowe (zależność od częstości kołowej)

ad = r2

f

Przyspieszenie dośrodkowe 2 (zależność od szybkości ad = vr liniowej) W przypadku prostego ruchu harmonicznego wzory te służą do obliczania maksymalnych wartości x oraz v.

P = F__Δv Te wszystkie równania są równaniami skalarnymi, ponieważ mnożenie wektora przez wektor do niego prostopadły daje w wyniku skalar.

FG = –

Gm1m2 r2

EpG = –

Gm1m2 r

Siła grawitacji, z jaką przyciągają się dwie kule Potencjał grawitacyjny między dwiema kulami

To równanie jest skalarne, To równanie lecz i tak warto zapisywać jest skalarne. Mimo w nim minus dla zaznaczenia że Ft i FN są do siebie faktu, że wektory F i r mają prostopadłe, kierunek przeciwne zwroty. i zwrot siły Ft zależy od kierunku, w jakim przemieszcza się obiekt, na który siła ta działa, Prosty ruch harmoniczny a nie od właściwości wektora siły FN. Siła i stała sprężystości

Praca wykonana nad układem

Moc wykorzystana na wykonanie pracy nad układem

T=

Grawitacja Fwyp = ma Ft = μFN

Siła tarcia

1

Okres i częstotliwość

Fwypt = p

II zasada dynamiki Newtona — postać z przyspieszeniem

Praca i energia

Ruch po okręgu

Energia potencjalna sprężystości Standardowe równania PRH na x, v i a przyjmują jedną z przedstawionych form (w zależności od warunków początkowych).

W tym równaniu pojawia się minus, ponieważ wartość EpG w nieskończoności z definicji wynosi 0 J.

Fs =

– kx

Eps =

½ k x2

x=

x0sin(t)

x=

x0cos(t)

Częstość kołowa drgań obiektu o masie m zawieszonego na sprężynie

=

k m

Częstość kołowa wahnięć wahadła matematycznego

=

g l

Tabela wzorów To są jednostki podstawowe układu jednostek widocznych w tabeli da SI. Każdą z pozostałych się wyrażenie złożone z jednostek pods zapisać jako odpowiednie tawowych (na przykład wzór na siłę ma postać F = ma, więc jedno stkę siły możemy wyrazić jako kg˜m/s2).

Przyspieszenie ziemskie nazywane jest również natężeniem pola grawitacyjnego.

Stałe

Jednostki

Wartość przyspieszenia ziemskiego (blisko powierzchni Ziemi)

g = 9,8 m/s2

Stała grawitacyjna

G = 6,67 × 10-11 m3/kg˜s2 c = 3,00 × 108 m/s

Szybkość światła

Wartości innych przydatnych stałych znajdziesz w tablicach wielkości fizycznych.

Długość

metr

m

Masa

kilogram

kg

Czas

sekunda

s

Częstotliwość

herc

Hz

Siła

niuton

N

Energia

dżul

J

Moc

wat

W

Geometria Pole prostokąta

Pp = długość podstawy × wysokość

Pole trójkąta

Pt = ½ × długość podstawy × wysokość

Przedrostki 109 6

10 Obwód koła

Ok = 2r

Pole koła

Pk = r2

Pole powierzchni kuli

Pkuli = 4r2

Objętość kuli

Vkuli = 4 r3 3

Objętość graniastosłupa (czyli trójwymiarowej figury geometrycznej, której obie Vg = pole podstawy × wysokość podstawy mają ten sam kształt; boki ścian bocznych czynienia z trójwymiarową graniastosłupa są do siebie Mając do figurą geometryczną, warto równoległe). „rozwinąć” ją (rozłożyć jej boki

Trygonometria

tak, żeby wszystkie pokrywały się z jedną płaszczyzną), żeby zobaczyć, z jakich dwuwymiarowych figur została zbudowana.

Twierdzenie Pitagorasa Sinus

c

c2 = a2 + b2 sin() =

a Cosinus

θ

cos() =

b Tangens

tg() =

a c b c

a b

Rozszerzone definicje funkcji sinus, cosinus i tangens dla kątów większych niż 90° znajdziesz w tablicach matematycznych i trygonometrycznych.

3

10

-2

10

giga mega kilo

G

10-3

mili

m

M

10

-6

mikro

μ

10

-9

nano

n

10

-12

piko

p

k

centy

c

Symbole w równaniach Odległość

x, r, l

Przemieszczenie

x, r

Prędkość

v

Przyspieszenie

a

Czas

t

Masa

m

Pęd

p

Siła

F

Moment siły

MF

Praca

W

Energia potencjalna

Ep

Energia kinetyczna

Ek

Moc

P

Okres

T

Częstotliwość

f

Kąt



Częstość kołowa



Stała sprężystości

k

Literą r zawsze oznacza się promień. Pogrubionymi literami oznaczamy wielkości wektorowe. Kursywą oznaczamy wielkości skalarne. Czasami w równaniach pojawiają się symbole zmiennych wektorowych zapisane kursywą. Zapis taki oznacza, że w danym wzorze korzystamy z wartości wielkości wektorowej — wartość wektora jest skalarem.

jesteś tutaj  919

920

Dodatek B

Skorowidz I zasada dynamiki Newtona, 447, 528, 722 II zasada dynamiki Newtona, 488, 489 III zasada dynamiki Newtona, 466, 497, 498, 513, 520

A aktywność mózgu, 37 algebra, 358 amplituda, 830, 834, 839 analiza problemu od wewnątrz, 146 analiza wymiarowa, 320 armata, 392, 445 atomy, 594

B bardzo małe liczby, 112 bezwładność, 447, 448 bilard, 630 bloczek, 648, 653, 673, 674 błędy, 98, 149, 192 obliczeniowe, 127 przypadkowe, 150 statystyczne, 150, 152, 157, 160 systematyczne, 150, 157 błędy pomiaru, 87 propagacja, 87 brak siły wypadkowej, 543 budowanie układu doświadczalnego, 455 bycie częścią problemu, 48, 53

chropowatość powierzchni, 529 chwilowa prędkość, 257 ciało na równi pochyłej, 505, 513, 744 rozwiązywanie zadań, 511 ciało spadające swobodnie, 709, 710 ciało wystrzelone pionowo w górę, 373 ciągnięcie opony, 517, 518, 537 ciężar, 483, 486, 491, 492, 499, 505, 509, 512, 652, 713 obliczanie, 494 ciśnienie, 534 cos, 398 cosinus, 398, 399, 403, 823, 828, 840, 849 amplituda, 830 wykres, 829, 840 cyfra najbardziej znacząca, 80 cyfry znaczące, 80, 85, 94, 98, 108 czas, 69, 70, 142, 145, 251, 454 czas hamowania, 350 cząsteczki ciała, 619 częstość kołowa, 695, 705, 706, 724, 851, 858 częstotliwość, 685, 686, 689, 705, 706, 851 drgania wahadła, 875 prosty ruch harmoniczny, 858 czynnik wspólny wyrazów, 635 czynności pośrednie, 424

Ć ćwiczenia, 363

C

D

c, 118 cal, 69 całkowita energia kinetyczna, 633 całkowita energia masy zaczepionej na sprężynie, 863 całkowita energia układu, 627, 629 całkowity pęd układu, 462, 468, 521 cel eksperymentu, 242 centy, 118 centymetr, 70 chemiczna energia potencjalna, 595

delta, 170 diagram rozkładu sił, 495, 498, 510, 512, 535, 658, 737, 750 długie liczby, 108 długość, 69, 70, 128 długość wektora, 201, 338 doba, 70, 796 dodawanie wektory, 201, 202, 206, 476 wykładniki potęg, 120

to jest skorowidz 921

Skorowidz dokładność, 94, 157 pomiary, 157 doświadczenia życiowe, 59 doświadczenie, 458, 461 zmiana wartości fizycznych, 458 drgania, 843 maksymalne wychylenie, 844 parametr sprężystości sprężyny, 845 prosty ruch harmoniczny, 850 siła, 845 sinusoidalne, 853 wahadło, 874 wychylenie z położenia równowagi, 845 droga, 199, 201, 234, 454 droga hamowania, 349, 361 duże liczby, 110 dwuwymiarowa wartość średniej, 158 działania algebraiczne, 358, 361 dźwignia, 562, 563, 574 doświadczenie, 565 moment siły, 569 oś obrotu, 563, 581 projektowanie doświadczenia, 566 punkt podparcia, 563, 565 ramiona, 563 równowaga rotacyjna, 572 równowaga statyczna, 572 sprawność, 597 wypadkowy moment siły, 572 dżul, 585

E efekt odrzutu, 453 efekt tarcia, 554 egzamin, 915 ekran, 813 eksperyment, 148, 152, 173, 192, 238 projektowanie, 238 ekstrapolacja, 159, 162, 263, 264, 269 ekstrema, 160 energia, 586, 598, 600, 627, 918 zasada zachowania energii, 589 energia kinetyczna, 609, 610, 620, 624, 644, 645 prędkość ciała, 611

922

Skorowidz

energia mechaniczna, 619, 620, 644 energia potencjalna, 600, 787, 790 energia potencjalna grawitacji, 586, 608, 610, 786, 789 energia potencjalna sprężystości, 860, 864 energia wewnętrzna, 593, 594, 595, 620, 644 ogrzewanie, 596 tarcie, 595

F fizyka, 45, 46, 49, 172 fluktuacja, 157 funkcje odwrotne, 402, 404 funkcje okresowe, 825 funkcje trygonometryczne, 403 cosinus, 828 obliczanie, 404 sinus, 823

G g, 491 G, 118, 780, 782 geometria, 919 giga, 118 godzina, 70 gradient, 164 graficzne rozwiązanie problemu, 160 gram, 70 grawitacja, 56, 275, 411, 414, 708, 759, 772, 779, 918 energia potencjalna, 786, 787 G, 780 odwrotność kwadratu odległości, 779 prędkość ucieczki, 785, 791 siła dośrodkowa, 798 Słońce, 792 stała grawitacji, 780 zadania, 802

H hamowanie, 56, 226, 349 hamulec, 617 herc, 685 huśtanie, 672 Hz, 686

Skorowidz

I indeksy, 143, 465 informacje o kierunku, 234 interpolacja, 159, 162 intuicja, 50, 59

J J, 585 jazda na deskorolce, 648 jednostki, 66, 76, 91, 92, 98, 119, 175, 219, 309, 688, 919 centymetr, 70 czas, 69, 70 długość, 69, 70, 116 doba, 70 dżul, 585 godzina, 70 gram, 70 J, 585 kilogram, 70 kilometr, 70 masa, 69, 70, 71 metr, 70, 71 miligram, 70 milimetr, 70 minuta, 70 nazwy, 71 praca, 585 przedrostki, 71 przeliczanie, 69, 72, 128 przyspieszenie, 271 rok, 70 sekunda, 70 siła, 490 układ SI, 69 ułamki, 75 współczynniki zamiany, 73

K k, 118 kalkulator, 105 funkcje trygonometryczne, 404 tryb obsługi stopni, 404 kątomierz, 211, 212

kąty, 211, 212, 668, 690 dopełniające się, 394 pełny, 212, 213 półpełny, 212 przyległe, 394 radiany, 692 stopnie, 212 wielkości kątowe, 704 wyznaczanie, 214 kierunek, 193, 200, 234, 236, 255 kierunek zmiany położenia, 200 kilo, 71, 118 kilogram, 70 kilometr, 70 kolejność wykonywania obliczeń, 304 kołyska dla roślin, 842 kontekst, 91, 92, 258, 888 kopnięcie piłki, 544 krawędź, 50 KROJ, 91, 98, 409 kroki pośrednie, 424 krzywe, 283 kształt, 389 kształt wykresu, 271 kula, 761, 762, 889, 894 objętość, 763 powierzchnia, 763, 764, 766 kula armatnia, 411, 412, 437

L liczba cyfr znaczących, 80, 94 liczba obrotów, 684 liczby, 75, 132 Y, 681, 692 cyfra najbardziej znacząca, 80 duże liczby, 110 miejsca po przecinku, 84 notacja naukowa, 99, 110, 132 postać standardowa, 110 przedrostki, 118 rząd wielkości, 80 zaokrąglanie wyników pomiarów, 81 lina, 674

jesteś tutaj  923

Skorowidz linia najlepszego dopasowania, 160 linia wykresu, 162 linie sił pola grawitacyjnego, 775, 804 litery, 142

Ł łom, 562

M m, 118 M, 118, 569 maksymalna wysokość lotu, 341 małe kąty, 668 masa, 69, 70, 71, 444, 446, 448, 450, 451, 479, 486, 564 bezwładność, 448 jednostki, 485 pomiar, 483 prędkość, 455 masa na sprężynie, 882 masa Ziemi, 782 matematyka, 172, 363 mega, 118 metapoznanie, 37 metoda W.J.W.P., 308, 319 metody, 258 metody obliczania średniej, 157 metody rozwiązanie problemów, 229 metr, 69, 70, 71 miary kątów, 212 miecz w kamieniu, 560 miejsca po przecinku, 84 mierzenie obrotów, 212 mikro, 118 mila, 69 mili, 71, 118 miligram, 70 milimetr, 69, 70 minuta, 70 mm, 66 mnożenie zmiennych, 143 moc, 585, 644, 914 moc sprężyny, 456 model armaty i kuli, 454

924

Skorowidz

moment obrotowy, 569 moment siły, 569, 570, 571, 573, 584, 600, 912 kierunek, 573, 578 wartość, 569, 578 zasada prawej dłoni, 573 zerowy wypadkowy moment siły, 569 zwrot, 569, 573 mózg, 35 myślenie, 37

N n, 118 N, 490 nachylenie linii wykresu, 164, 166, 168, 262, 280 nachylenie punktu krzywej, 262 nachylenie stycznej, 262 nagłówki kolumn tabeli, 153 najlepsze średnie przybliżenie wyniku, 148 nano, 118 naprężenie, 652, 655, 670, 673 natężenie pola grawitacyjnego, 775, 776 natężenie światła, 775 nauczanie, 35 nawiasy, 353, 354, 355, 378, 635 nazwy jednostek, 68, 71 Newton, 447 niepewność pomiaru, 87, 96 nieskończoność, 789 nieznane określenia, 217 nieznane zmienne, 292 niuton, 490 nos do ogona, 201, 206, 429, 523 notacja naukowa, 99, 107, 110, 136 bardzo małe liczby, 112 obliczenia, 120, 125 rząd wielkości, 107 ujemny wykładnik, 112 zaokrąglanie wyników, 109 notacja potęgowa, 105, 136

O obciążenie wyniku nieprawidłowością, 150 obciążniki, 648 obiekty swobodnie przemieszczające się w powietrzu, 420

Skorowidz objętość, 115, 116, 119, 128, 445, 730, 758 bryły, 730 kula, 763 przeliczanie jednostek, 128 obliczanie czasu przejazdu, 169 obliczanie energii mechanicznej układu, 620 obliczanie nachylenia wykresu, 166 obliczanie objętości, 730 obliczanie prędkości chwilowej, 257 obliczanie prędkości ucieczki, 791 obliczanie przemieszczenia, 278 obliczanie siły grawitacji, 781 obliczanie tarcia, 558 obliczanie wartości funkcji trygonometrycznej, 404 obliczanie wartości siły tarcia, 541 obliczenia, 87, 91, 92, 304, 333 obliczenia z wykorzystaniem notacji naukowej, 120 obrót, 570, 678, 679 obwód koła, 678, 679, 696 obwód okręgu, 687, 690, 705 odległość, 145, 234 odległość liniowa, 691 odpowiedzi ilościowe, 444 odrzut, 453, 461 odwrotność kwadratu odległości, 783, 785, 803, 804 ogólne równania składowych wektora przemieszczenia, 832 ogólne równanie prostej, 908 ogrzewanie, 596 okrąg, 677, 681 obwód, 687 promień, 681 okrąg w płaszczyźnie pionowej, 756 okres, 686, 705, 706, 851 okres obrotu, 685, 808 orbita geostacjonarna, 795 określanie czasu na podstawie szybkości i przebytej drogi, 148 opis rysunku, 55 opisywanie świata, 284 opisywanie zdarzeń, 54, 885 opracowanie wyników, 160 orbita, 804 orbita geostacjonarna, 795, 798, 804

organizowanie eksperymentu, 148 oś obrotu, 563

P p, 118 para sił, 498, 500 parametr sprężystości sprężyny, 845 pęd, 462, 488, 491, 526, 545, 624, 632, 645 zasada zachowania pędu, 466 zderzenia, 520 zderzenia sprężyste, 632 zmiany, 464 pętla, 747, 756 pierwiastki drugiego stopnia, 390 piko, 118 piłka, 416 pionowa składowa wektora prędkości, 415, 425 pionowe sprężyny, 868 podanie, 517, 518 podnoszenie ciał, 561, 586, 601 podnoszenie do kwadratu, 356 podobieństwa, 476 podróż tunelem, 886 podróż w obie strony, 886 podstawa potęgi, 105 podstawienie, 292, 300, 324, 325 poduszkowiec, 349 podział problemu na mniejsze części, 214 pole grawitacyjne, 487, 776, 803, 804 pole koła, 732 pole powierzchni, 115, 116 koło, 729 połączone obiekty, 654 położenie, 199 położenie wahadła matematycznego, 875 pomiar błąd, 87 liczba cyfr znaczących, 80 masa, 483, 485 niepewność, 87 propagacja błędów, 87 zaokrąglanie wyników, 83, 86 popęd siły, 546, 557 popychanie obiektów, 446, 625

jesteś tutaj  925

Skorowidz porównywanie równań, 882 poruszające się ciało, 609 postać naukowa liczby, 110, 132 postać standardowa liczby, 110 poślizgnięcie, 553 potencjał grawitacyjny, 786, 787, 804 potęgowanie, 105 powierzchnia, 128, 758 bok walca, 729 bryły, 729 krzywizna, 729 kula, 763, 764 prostokąt, 730 przeliczanie jednostek, 128 pozioma składowa wektora prędkości, 415, 417, 425 praca, 580, 582, 584, 598, 600, 614, 918 jednostka, 585 moc, 585 obliczanie, 582 pracownia, 454 prawa Newtona, 447, 479 prawo Hooke’a, 845, 882 precyzja pomiaru, 157, 453 precyzyjne wyniki, 157 prędkościomierz, 223 prędkość, 217, 218, 235, 254, 255, 256, 491 energia kinetyczna, 611 równanie, 288 składowe, 415, 416, 418 prędkość chwilowa, 257, 277 prędkość ciała w dowolnym punkcie, 266 prędkość kątowa, 724, 726, 757 prędkość kuli, 473 prędkość odrzutu, 453 prędkość początkowa, 365 prędkość średnia, 256, 289, 290, 297 prędkość ucieczki, 785, 791 prędkość w kierunku pionowym, 415 prędkość w kierunku poziomym, 415 prędkość względna w zderzeniu sprężystym, 637 PRH, 850 problem dwuwymiarowy, 524 problemy, 48

926

Skorowidz

profilowany zakręt, 741, 755 siła normalna, 741 siła wypadkowa, 741, 743 projekt modułu stacji kosmicznej, 735 projektowanie eksperymentu, 150, 238, 258, 566 promień, 681, 705 propagacja błędów, 87, 88 proporcje, 386, 398, 474, 478, 480 prosta, 908 prosty ruch harmoniczny, 850, 851, 882, 886, 897, 918 amplituda, 854, 858 częstość kołowa, 851 częstotliwość, 851, 854, 858 drgania sinusoidalne, 853 maksymalna szybkość, 901 okres, 851, 858 równanie, 857 ruch po okręgu, 878, 902 szybkość kątowa, 851 wahadło, 874 wykres, 850, 859 zadania, 879 próba generalna, 173 przeciwne kierunki, 203 przeciwprostokątna, 387, 391, 398 przedrostki, 118, 919 przejrzyste równania, 354 przekazywanie energii, 586, 587, 590, 596, 629, 862 ogrzewanie, 596 przekształcenia, 170, 302, 358, 898 działania algebraiczne, 358 przeliczanie częstotliwości na częstość kołową, 695 przeliczanie jednostek, 69, 72, 128, 131, 252 liczba wymiarów, 129 objętość, 128, 131 powierzchnia, 128, 131 współczynnik zamiany, 73 przeliczanie odległości liniowej na obroty, 683 przemieszczenie, 199, 201, 235, 254, 255, 256, 282, 288, 299, 910 obliczanie, 278 stała szybkość, 251 przenoszenie się błędów, 87

Skorowidz przybliżenie, 54, 148 przyciąganie, 56 przyciąganie grawitacyjne, 550 przyciąganie ziemskie, 772 przycisk potęgowania, 105 przygotowanie do egzaminu, 915 przypadki skrajne, 146 przyprostokątna, 398 przyspieszenie, 56, 224, 225, 235, 254, 330, 414, 490, 491, 497, 545, 651 grawitacyjne, 275, 280, 330, 414, 491, 550, 773 jednostka, 271 liniowe, 716 nachylenie wykresu, 270, 339 przyspieszenie dośrodkowe, 723 promień, 724 równanie, 725 zwrot, 726 przyspieszenie prostopadłe, 742 punkt końcowy, 285 punkt początkowy, 285 punkt podparcia, 563, 565, 574 punkt równowagi, 51 punkty szczególne, 47, 50, 51, 59, 60, 254, 367, 376, 816 krawędzie, 52 szukanie, 50 środek, 52

R rachunek jednostek, 76 rachunek różniczkowo-całkowy, 852 radiany, 690, 691, 692, 696, 697, 703, 705, 706, 815 ramię siły, 569, 912 redukcja błędów pomiarowych, 87 reguła nos do ogona, 201 relacje między długościami boków i miarami poszczególnych kątów, 399 rok, 70, 796 rozciągnięcie sprężyny, 484, 845 rozkładanie równania na czynniki, 634 rozmiar, 64, 91, 92 rozmiar mierzonego obiektu, 88 rozmiar pomiaru, 74, 75, 82

rozrzucenie wyników, 149 rozrzut, 154 rozwiązanie ilościowe, 529 rozwiązywanie podobnych problemów, 351 zasada proporcji, 476 rozwiązywanie problemów fizycznych, 48, 653 bycie częścią problemu, 48, 53 opisy rysunku, 55 przybliżenia, 54 punkty szczególne, 50 sytuacje podobne, 57 upraszczanie problemu, 54 wykonywanie rysunków, 196 założenia, 54 zbieranie wniosków, 57 rozwiązywanie równań, 144 równania, 142, 147, 169, 188, 192, 283, 335, 389, 680, 899 dwie niewiadome, 350 elementy, 144 grupowanie wyrazów podobnych, 359 litery, 142, 143 nawiasy, 353 podstawienie, 300 postać ogólna, 286 prosta na wykresie, 908 przekształcanie, 170, 302, 358 przyspieszenie dośrodkowe, 725 rozwiązywanie, 144 sprawdzanie poprawności, 308 szybkość, 169 upraszczanie zapisu, 359 usuwanie niechcianych zmiennych, 303 wartości zerowe, 370 wyraz, 144 zapis ogólny, 143 zmienne, 143, 284 znak równości, 144 równania ruchu, 281, 325, 351, 377, 378, 558, 918 droga hamowania, 361 kolejność wykonywania obliczeń, 304 maksymalna wysokość lotu, 341 ogólne równanie, 286, 303 prędkość, 286, 288

jesteś tutaj  927

Skorowidz równania ruchu prędkość średnia, 289, 290, 297 prosty ruch harmoniczny, 857 przemieszczenie, 288 ruch ze stałym przyspieszeniem, 362 sprawdzanie poprawności równania, 307, 308 stałe przyspieszenie, 330 równia pochyła, 501, 505, 506, 511, 744 składowe ciężaru, 506 zadania, 758 równowaga, 574 równowaga rotacyjna, 572 równowaga statyczna, 572 równoważenie się sił, 53 różnica poziomów, 645 różnice temperatur, 596 ruch, 281 ruch harmoniczny, 850 ruch masy na sprężynie, 849 ruch obiektów swobodnie przemieszczających się w powietrzu, 420 ruch obrotowy ciała, 569 ruch po okręgu, 677, 806, 878, 918 częstość kołowa, 695, 724 częstotliwość, 685, 686 diagram rozkładu sił, 750 miara kąta, 690 odległość liniowa, 691 okres obrotu, 685, 686 pełen obrót, 690 pętla, 747, 756 prędkość kątowa, 724 profilowany zakręt, 741, 755 promień, 701, 752 prosty ruch harmoniczny, 902 przyspieszenie dośrodkowe, 723 równanie przyspieszenia dośrodkowego, 725 siła dośrodkowa, 718, 722, 749, 752 siła oparcia, 748 sprężyna, 849 szybkość, 752 szybkość kątowa, 701, 724 wartość siły dośrodkowej, 723

928

Skorowidz

wektor prędkości, 728 wielkości kątowe, 704 ruch prosty harmoniczny, 881, 882 ruch swobodnie spadającego ciała, 270, 282 ruch ze stałym przyspieszeniem, 330, 362 rysowanie wykresów, 160, 375 rysunki, 196 skala wykonania, 386 rząd wielkości, 80, 125, 126 odpowiedzi, 124, 127 rzut na ekran, 813 rzut poziomy, 420 rzut ukośny, 420 rzut wektora przemieszczenia, 813, 818

S satelity komunikacyjne, 795, 801 sekunda, 70 sfera, 890, 894 SI, 69, 71 siła, 455, 466, 479, 485, 490, 918 diagram rozkładu sił, 495 jednostka, 490 siła bezkontaktowa, 499 siła ciężkości, 491, 499, 748, 752 siła dośrodkowa, 718, 720, 727, 741, 749, 752, 757, 758 diagram rozkładu sił, 737 wartość, 723 zadania, 736, 758 zwrot, 721 siła grawitacji, 52, 275, 276, 330, 492, 498, 773, 777, 885, 893 obliczanie, 781 odwrotność kwadratu odległości, 779, 783 siła dośrodkowa, 798 zadania, 802 siła kontaktowa, 497, 498, 499, 504, 712, 713, 714, 722 przyspieszenie, 715 zwrot, 720 siła naprężenia, 659, 751 siła normalna, 502, 504, 505, 509, 512, 543, 558, 741, 751 obliczanie, 541 tarcie, 532 wyznaczanie, 533

Skorowidz siła odśrodkowa, 721 siła oparcia, 492, 493, 494, 504, 748 siła prostopadła, 503 siła przyciągania grawitacyjnego, 779 siła równoległa, 503 siła sprężystości, 845 siła średnia, 545, 548 siła tarcia, 447, 452, 528, 534, 535, 618 siła wypadkowa, 447, 489, 490, 491, 496, 503, 505, 513, 607, 740 SimBilard, 630 SimFutbol, 516, 517 ciągnięcie opony, 517, 518 podanie, 517, 518 szarża, 517, 518 wykop, 517, 518 sin, 398 sinus, 398, 399, 402, 403, 823, 824, 831, 840, 849 amplituda, 830 duże kąty, 825 ujemne wartości, 824 wykres, 829, 840 skala rysunku, 386 skalar, 201, 207, 232, 235 składowe ciężaru, 506 składowe pionowe, 538 składowe poziome, 538 składowe prędkości, 418 skrajne wartości zmiennych, 312 Słońce, 792 słupek błędu, 87 spadające obiekty, 56, 251 spadanie, 252, 276, 279, 280 spadanie swobodne, 329, 710, 758 sprawdzanie jednostek, 320 sprawdzanie poprawności równania, 307, 308 jednostki, 309 wartości próbne, 317 wartości skrajne, 312 wykresy, 317 sprawność, 593, 597 sprężyna, 452, 456, 484, 843, 881 energia potencjalna sprężystości, 860 parametr sprężystości, 845

pionowa, 868, 879 prawo Hooke’a, 845 prosty ruch harmoniczny, 850 rozciągnięcie, 845 ruch masy, 849 siła, 845, 846 waga, 484 współczynnik sprężystości, 864 wychylenie z położenia równowagi, 845 zadania, 879 stała grawitacji, 780 stała prędkość, 270, 280, 416, 543, 558 stała sprężystości, 845 stałe fizyczne, 782, 919 stałe przyspieszenie, 270, 279, 280 standardowe trójkąty, 430 stawanie się częścią problemu, 48 stopa, 69 stopień rozrzucenia wyników, 149 stopnie, 212, 691, 697 stromizna powierzchni, 530 stromizna wykresu, 164 strzałki, 201 styczna, 262 suma kątów w trójkącie, 393 suma wektorów, 207 swobodnie lecące obiekty, 417 swobodnie spadające obiekty, 282 symbol pierwiastka trzeciego stopnia, 801 symbole, 899, 919 symboliczne opisywanie świata, 142 symetria, 52, 371, 376, 377, 378, 442, 892 symulacja działania siły kontaktowej, 713 sytuacje podobne, 57 szarża, 517, 518 szczególne postaci ogólnych równań, 857 szkic, 386, 389 sztuczna grawitacja, 708, 712 szukanie „punktów szczególnych”, 50 szybkość, 145, 155, 218, 234, 250 szybkość kątowa, 701, 706, 724, 851 szybkość średnia, 183

jesteś tutaj  929

Skorowidz

Ś ściskanie sprężyny, 484 ślizganie się, 537 średnia, 148, 154, 157 średnia prędkość, 257, 289 średnia szybkość, 183 średnica okręgu, 681 środek, 50 środek Ziemi, 52 świadoma średnia, 160

T T, 118 tabela, 153 nagłówki kolumn, 153 wyniki pomiarów, 153 tabele informacyjne, 117 tabele wartości wielkości fizycznych, 117 tablice wzorów, 918 tangens, 398, 399, 403 tarcie, 447, 452, 528, 542, 543, 554, 557, 593, 663, 718 energia wewnętrzna ciała, 595 kinetyczne, 531, 542 powierzchnia, 532 siła normalna, 532 statyczne, 531, 542 współczynnik tarcia, 532 taśma miernicza, 243 technika rozwiązywania problemów fizycznych, 653 temperatura, 594 tempo wykonywania pracy, 585 tempo zmian, 164, 166, 269 tempo zmiany pędu, 490, 546 teoria względności Einsteina, 715, 716 tera, 118 test skrajnych wartości, 312 test W.J.W.P., 317 testowanie równania, 308 testy wielokrotnego wyboru, 478 tg, 398 tor bobslejowy, 604 tor lotu kuli armatniej, 411 treść zadań z fizyki, 210

930

Skorowidz

trójkąty, 384, 433, 606 kąty, 394, 396 podobne, 396, 476, 506, 580 standardowe, 430 suma kątów, 393 trójkąty prostokątne, 384, 387, 391, 524, 818, 819 cosinus, 398 przeciwprostokątna, 387, 398 przyprostokątna, 398 relacje między długościami boków i miarami poszczególnych kątów, 399 sinus, 398, 402 stosunki boków, 398 tangens, 398 twierdzenie Pitagorasa, 387 tryb księżycowy, 553 trygonometria, 399, 432, 919 tunel, 886 twierdzenie, 388 twierdzenie Pitagorasa, 387, 388, 390, 391, 433 tworzenie rysunków z zachowaniem proporcji rysowanych obiektów, 386 tworzenie układu doświadczalnego, 245

U ujemny wykładnik, 112 układ doświadczalny, 245, 455 układ równań z dwoma niewiadomymi, 577 układ SI, 69 ułamki, 74, 75, 692 upraszczanie problemu, 54 upraszczanie zapisu równania, 359

W W.J.W.P., 308, 319, 342 waga, 484 siła oparcia, 493 wahadło, 871, 881 amplituda, 871 częstotliwość drgań, 875 długość, 871 matematyczne, 882 położenie wahadła matematycznego, 875 prosty ruch harmoniczny, 874

Skorowidz wahadło balistyczne, 643 wartości ekstremalne, 445, 448 wartości liczbowe, 200, 201 wartości próbne, 317 wartości skrajne, 146 wartości wektorowe, 255 wartości zerowe, 370 wartość błędu, 89, 90 wartość momentu siły, 578 wartość siły dośrodkowej, 723 wczucie się w problem, 47, 48 wejście w zakręt, 738 wektor przyspieszenia dośrodkowego, 726 wektory, 201, 207, 232, 235, 236 długość, 207, 338 dodatni zwrot, 378 dodawanie, 201, 202, 206 grot, 201 kierunek, 207, 338 przeciwne zwroty, 334 strzałki, 201 wypadkowy wektor, 207 zerowy wektor, 207 zwrot, 207, 332, 338 wektory przecinające się pod nietypowym kątem, 527 wektory sił, 665, 669 wektory składowe, 524 wielkości kątowe, 704, 706 wielkości liniowe, 706 wielkości skalarne, 234 wielkości wektorowe, 201 wielkość odwrotnie proporcjonalna do kwadratu, 779 wielokrotne powtórzenie pomiaru, 149 worek treningowy, 671 wskazanie wykresu, 375 Wskaż różnice, 665, 666, 674 współczynnik kierunkowy prostej, 908, 909 współczynnik sprężystości, 845, 846, 864 współczynnik tarcia, 532, 541, 663 współczynnik zamiany jednostek, 73, 85, 252 ułamek, 74 wybieranie kierunków wektorów składowych, 498, 502, 509, 513 wyciąganie średniej, 158, 160

wykazywanie prawdziwości twierdzenia, 628 wykładnik potęgi, 105 wykonywanie eksperymentu, 243 wykonywanie pracy, 582, 601 wykonywanie rysunków, 196 wykop, 517, 518 wykresy, 158, 163, 188, 192, 258, 335, 848 ekstrema, 160 funkcja cosinus, 829, 840 funkcja sinus, 829, 840 gradient, 164 jednostki, 160 krzyżyki, 158, 160 kształt, 271 linia najlepszego dopasowania, 160 linia wykresu, 162 nachylenie, 164, 166, 182 obliczanie nachylenia, 166 prosta, 908 prosty ruch harmoniczny, 850, 859 rysowanie, 160, 375 skala, 165 symetria, 371 tytuł, 160 wskazywanie, 375 wyciąganie średniej, 160 zależność prędkości od czasu, 275, 282, 292, 336 zależność prędkości od czasu dla spadającego ciała, 269 zależność prędkości od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki, 337 zależność przemieszczenia od czasu, 261, 293, 335 zależność przemieszczenia od czasu dla swobodnie spadającego ciała, 275 zależność przemieszczenia od czasu podczas wznoszenia się i opadania klatki, 339 wymiar wielkości fizycznej, 320 wynik ostateczny, 95 wyniki, 95, 160, 342 dokładne, 157 forma, 306 liczba cyfr znaczących, 95 niepewność pomiarowa, 96 precyzyjne, 157

jesteś tutaj  931

Skorowidz wypadkowy moment siły, 572 wypadkowy wektor, 207 wyposażenie pracowni, 454 wyprowadzanie równania, 319 wyraz, 144 wyrzutnia klatek, 328 wysokość słupka błędu, 88 wyświetlacz, 826 wyznaczanie kąta, 214 wyznaczanie siły normalnej, 503 wzory, 899

Z zachowanie energii, 586, 588, 600, 627 zachowanie pędu, 462, 479 zakręty, 738 zależności między wielkościami, 880 założenia, 54, 469 zamiana jednostek, 72, 98 zamiana jednostek błędów, 88 zaokrąglanie błędów, 88 zaokrąglanie wyników, 81, 83, 86, 109, 592 cyfry znaczące, 85 reguły, 83 w dół, 83 w górę, 83 zapis ogólny, 143 zapis potęgowy, 105 zapisywanie długich liczb, 108 zapisywanie wyników, 95 zasada bezwładności Galileusza, 447 zasada prawej dłoni, 573 zasada proporcji, 476 zasada zachowania energii, 588, 591, 603, 609, 615, 627, 632, 664, 786 zasada zachowania pędu, 462, 464, 466, 468, 480, 519, 527, 631, 632 równanie, 465 zderzenia, 520 zderzenia niesprężyste, 641 zasady dynamiki Newtona, 435, 447, 480, 556 I, 447, 528 II, 488, 489 III, 466, 497, 498, 513, 520

932

Skorowidz

zasięg strzału armatniego, 436 doświadczenie, 458 ekstremalne wartości kątów, 439 maksymalny zasięg, 439, 440 masa kuli, 444, 455 model armaty i kuli, 454 obliczanie, 441, 473 odrzut, 453, 461 pęd, 462 pracownia, 454 prędkość, 455, 473 prędkość odrzutu, 453 prędkość wylotowa, 452 proporcje, 474 rozmiar kuli, 445 siła, 455 układ doświadczalny, 455 założenia, 469 zatrzymywanie ciała, 645 zderzenia, 520, 640, 644 kąt, 521 niesprężyste, 521, 631, 640, 641, 645 siła uderzenia, 549 sprężyste, 631, 636, 640, 645 zasada zachowania pędu, 520 zera, 96 zerowa siła wypadkowa, 572, 894 zerowy wektor, 207 zerowy wypadkowy moment siły, 569, 572, 601 Ziemia, 782, 885, 889 orbita geostacjonarna, 795 prędkość ucieczki, 785 zmiana pędu, 464, 488, 490, 546 zmiana położenia, 199 zmiana postaci energii, 586 zmiana siły oparcia, 748 zmiana wielkości, 277 zmiana wysokości, 608, 613, 623 zmienne, 143, 284, 455, 650 zmniejszanie błędu statystycznego, 157 zmniejszanie błędu systematycznego, 157 zmniejszanie niepewności pomiarowej, 87 zmniejszanie tarcia, 452 znajdowanie linii najlepszego dopasowania, 160

Skorowidz znak równości, 144 znak wykładnika, 114 zsuwające się ciało, 529 związek między siłą a masą, 488 zwiększanie energii mechanicznej, 619 zwiększanie energii wewnętrznej, 618 zwrot wektora, 236, 332, 338, 461 moment siły, 573

Ź źródło rozbieżności wyników, 154

jesteś tutaj  933