Lekcja 1 Statystyka Opisowa

Statystyka Opisowa Wzory Szereg rozdzielczy:

xi - wartości cechy ni - liczebności wartości cechy

N   ni - liczebność całej zbiorowości

Wskaźnik natężenia przy rysowaniu wykresu szeregu rozdzielczego przedziałowego o nierównych przedziałach: wskaźnik natężenia



liczebnosć klasy  rozpiętosć najwęższej (najszerszej ) klasy rozpiętosć klasy

Liczba klas w szeregu rozdzielczym: k  5log N Rozpiętość klas w szeregu rozdzielczym: i 

xmax  xmin k

I.

Miary średnie

xn

i i

Średnia arytmetyczna:

Średnia harmoniczna:

N

N



Średnia geometryczna:

N

1 x1

ni

x

ni i

Dominanta: D  Wartość cechy xi , która ma największą liczebność ni . W przypadku szeregu przedziałowego: D  xD 

nD  nD 1 i ,  nD  nD1    nD  nD1  D

gdzie: xD - dolna granica przedziału, w którym znajduje się dominanta nD - liczebność przedziału, w którym znajduje się dominanta nD 1 - liczebność przedziału, poprzedzającego ten z dominantą nD 1 - liczebność przedziału, następującego po tym z dominantą

iD

- rozpiętość przedziału, w którym znajduje się dominanta

Mediana: Mediana dzieli zbiorowość na dwie równe połowy. xN 1 (wartość cechy, która jest „pośrodku” 2 uporządkowanych rosnąco wartości cech)

Gdy N jest nieparzyste: Me 

 1 Gdy N jest parzyste: Me   x N  x N  (średnia wartości cechy, będących 1 2 2 2  „pośrodku”)

Kwartyle Q1 , Q2  Me, Q3 : Dzielą zbiorowość podobnie jak mediana, tylko że w proporcjach odpowiednio 25% : 75%; 50% : 50%; 75% : 25%. W przypadku szeregu przedziałowego:

N k 1   ni 4 i 1 Q1  xQ1  iQ1 nQ1 N k 1   ni 2 i 1 Q2  Me  xMe  iMe nMe

3N k 1   ni 4 i 1 Q3  xMe  iQ3 nQ3 xQ1 , xMe , xQ3 - dolne granice przedziałów, w którym znajduje się

kwartyl k 1

 n - suma liczebności przedziałów POPRZEDZAJĄCYCH ten, w i 1

i

którym znajduje się kwartyl nQ1 , nMe , nQ3 - liczebności przedziałów, w którym znajduje się

kwartyl iQ1 , iMe , iQ3 - rozpiętości przedziałów, w którym znajduje się kwartyl

Kwantyle: Dzielą zbiorowość podobnie jak mediana i kwartyle, ale w zupełnie dowolnych proporcjach. Na przykład kwantyl rzędu 0, 4 , czyli x0,4 dzieli zbiorowość w proporcji: 40% : 60%.

II.

Miary zmienności (dyspersji)

Empiryczny obszar zbieżności: R  xmax  xmin Odchylenie przeciętne: d 

 x Xn i

i

N

Odchylenie ćwiartkowe: Q 

Q3  Q1 2

Typowy obszar zmienności przy pomocy miar pozycyjnych: Me  Q  xtyp  Me  Q

 x  X  n  2

Wariancja: S

2

i

i

N

Odchylenie standardowe: S  S 2 Typowy obszar zmienności: X  S  xtyp  X  S Współczynnik zmienności: VS 

S Q 100%, VQ  100% X Me

III.

Miary asymetrii

Wskaźnik asymetrii: WS  X  D, WS   Q3  Q2   Q2  Q1  WS  0 - asymetria prawostronna WS  0 - brak asymetrii, rozkład symetryczny

WS  0 - asymetria lewostronna Współczynnik asymetrii (skośności): AS 

WS , S

AS 

WS 2Q

Oprócz kierunku asymetrii wskazuje na siłę asymetrii. Im bliżej 0 , tym asymetria jest słabsza. Im bliżej 1 , tym asymetria jest silniejsza.

 x  X  

3

Moment centralny trzeciego rzędu: m3

i

 ni

N

Interpretacja ujemności/dodatności taka sama jak WS . Moment standaryzowany trzeciego rzędu: As 

m3 S3

Interpretacja siły asymetrii taka sama jak w AS .

IV.

Miary koncentracji

Koncentracja w sensie podziału funduszu cechy: Współczynnik koncentracji Lorenza: k 

a , gdzie a to pole pomiędzy linią 5000

równomiernego podziału, a krzywą koncentracji Lorenza.

k  0 oznacza zupełny brak koncentracji (każda jednostka ma taką samą część funduszu cechy) k  1 oznacza zupełną koncentrację (jedna jednostka posiada cały fundusz cechy) Koncentracja w sensie koncentracji wokół średniej:

Moment centralny czwartego rzędu: m4

 x  X   i

Moment standaryzowany czwartego rzędu: a4 

4

 ni

N

m4 S4

Punktem odniesienia jest rozkład normalny.

a4  3 - wartości cechy są bardziej skoncentrowane wokół średniej, niż w rozkładzie normalnym (wykres wysmukły)

a4  3 - wartości cechy tak samo skoncentrowane wokół średniej, niż w rozkładzie normalnym (wykres identyczny)

a4  3 - wartości cechy są mniej skoncentrowane wokół średniej, niż w rozkładzie normalnym (wykres spłaszczony)