Jaka jest 5-procentowa jednodniowa wartość zagrożona kontraktu forward, w ramach którego inwestor zobowiązał się do zakupu 2 mln funtów brytyjskich za...
7 downloads
18 Views
48KB Size
Jaka jest 5-procentowa jednodniowa wartość zagrożona kontraktu forward, w ramach którego inwestor zobowiązał się do zakupu 2 mln funtów brytyjskich za złote w terminie przypadającym za 3 miesiące po kursie 4,79 PLN za 1 GBP. W chwili obecnej kurs funta wynosi 4,82 PLN za 1 GBP. Wolna od ryzyka stopa procentowa dla horyzontu 3-miesięcznego wynosi 4,19%, a w Wielkiej Brytanii 3%. Zastosuj model kapitalizacji prostej. Odchylenie standardowe stopy zwrotu z kursu spot funta oszacowano na 1,8% w skali dziennej. Odchylenie standardowe stopy zwrotu z czynnika dyskontowego odpowiadającego terminowi zapadalności za 3 miesiące wynosi 1,2% dla stopy krajowej i 0,9% dla stopy zagranicznej. Współczynnik korelacji między stopami zwrotu z czynników dyskontowych oszacowano na 0,6. Zakłada się, że stopa zwrotu z kursu spot nie jest istotnie skorelowana ze stopami zwrotu z czynników dyskontowych. Średnie stopy zwrotu są bliskie zeru. Wartość pozycji długiej w jednostce kontraktu (kontrakcie na zakup 1 funta) wynosi ft = (F - K)/(1+rT), gdzie F jest kursem forward w dniu wyceny kontraktu, K jest kursem wykonania, r – krajową stopą wolną od ryzyka, a kurs forward w danej chwili zależy od kursu spot i stóp procentowych w obu krajach w następujący sposób: F = S·(1+rT)/(1+rfT), gdzie S to kurs spot, a rf to wolna od ryzyka stopa procentowa w kraju waluty obcej. Przy szacowaniu ryzyka uwzględnij wszystkie czynniki ryzyka z dokładnością do przybliżenia liniowego. Dane: Szukane: T = 3 miesiące = 0,25 roku r = 4,19% q = 5% VaR W = 2 000 000 GBP rf = 3% τVaR = 1 dzień K = 4,79 σRB = 1,2% S = 4,82 σRP = 0,9% σRS = 1,8% ρ(RB,RP) = ρ1 = 0,6 ρ(RS,RB) = ρ(RS,RP) = ρ0 = 0 Rozwiązanie: Przekształcając wzór na wycenę długiej pozycji w kontrakcie:
f =
F−K , 1 + rT
z uwzględnieniem parytetu stóp procentowych:
F =S
1 + rT , 1 + rf T
f =S
1 1 −K (1 + r f T ) (1 + rT )
otrzymujemy:
Jak widać, wartość kontraktu może być przedstawiona jako funkcja kursu walutowego spot oraz czynników dyskontowych dla stopy krajowej i zagranicznej. Zatem czynnikami ryzyka są: - kurs walutowy spot, - czynnik dyskontowy dla stopy zagranicznej (3-miesięczny jednostkowy bon skarbowy zagraniczny), - czynnik dyskontowy dla stopy krajowej (3-miesięczny jednostkowy bon skarbowy krajowy). Oznaczmy czynniki dyskontowe jako:
B=
1 (1 + rT )
P=
1 (1 + r f T )
Wartość kontraktu można zapisać wzorem:
f = SP − KB Nie jest to, co prawda, liniowy portfel, ale stopę zwrotu można w przybliżeniu wyrazić jako sumę stóp zwrotu z tych czynników ryzyka.
W tym celu obliczymy stopę zwrotu dla nieskończenie krótkiego okresu, i za jej pomocą przybliżymy stopę zwrotu dla okresu 1 dnia. Przyjmujemy więc następujące przybliżenie liniowe:
R f = S t0 Pt0
1 1 1 RS + S t0 Pt0 RP − KBt0 RB f t0 f t0 f t0
Jedynymi zmiennymi w równaniu są stopy zwrotu, przy czym występuje korelacja między dwoma z nich: RP i RB. Wariancja stopy zwrotu z inwestycji (wyrażona w skali rocznej): 2
2
2
1 2 1 2 1 2 σ = S t0 Pt0 σ R S + S t0 Pt0 σ R P − KBt0 σ + RB f f f t t t 0 0 0 2 f
1 f t0
+ 2 ⋅ S t0 Pt0
1 ⋅ − KBt0 ⋅ σ R Pσ R B ρ1 f t0
Wartość zagrożona:
VaR = W ⋅ f t0 ⋅ 1,65 ⋅ σ f Wartości początkowe - stałe we wzorach: S t 0 = S = 4,82 (PLN za GBP)
Pt0 =
1 1 = (1 + r f T ) 1 + 0,03 ⋅ 0,25 = 0,9926
1 1 = = 0,9896 (1 + rT ) 1 + 0,0419 ⋅ 0,25 f t0 = S t0 Pt0 − KBt0 = 4,82 ⋅ 0,9926 − 4,79 ⋅ 0,9896 = 0,04415
Bt0 =
S t0 Pt0
1 4,82 ⋅ 0,9926 = = 108,3654 f t0 0,04415
KBt0
1 4,79 ⋅ 0,9896 = = 107,3654 f t0 0,04415
Odchylenie standardowe stopy zwrotu z pozycji w kontrakcie: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 σ f = S t0 Pt0 σ R S + S t0 Pt0 σ + − KBt0 σ + RP RB f t0 f f t t 0 0
1 + 2 ⋅ S t0 Pt0 f t0
[
1 ⋅ − KBt0 ⋅ σ R Pσ R B ρ 1 f t0
0,5
=
= (108,3654 ) ⋅ (0,018) + (108,3654 ) (0,009 ) + (107,3654 ) (0,012 ) + 2
2
2
2
+ 2 ⋅ 108,3654 ⋅ (− 107,3654 ) ⋅ 0,009 ⋅ 0,012 ⋅ 0,6 = 221,54%
2
]
0,5
2
= [6,4159 − 1,5079]
Wartość zagrożona dla kontraktu wielkości 2 000 000:
VaR = 2000000 ⋅ 0,04415 ⋅ 1,65 ⋅ 2,2154 = 322772,70 [PLN]
0,5
= 4,908 0,5 = 2,2154 =