Lista 8

Ćwiczenia 8 Hedging 2 Współczynniki greckie: Delta



- miara wrażliwości ceny opcji na zmianę ceny aktywa bazowego

V S



Z modelu Blacka-Scholesa: Opcja call:

 call  e(br )T N (d1 )

Opcja put:

 put  e(br )T  N (d1 )  1

2  S  ln     b  T 2  K  d1   T

2 S    ln     b  T 2  K  d2   d1   T  T

Gdzie: – cena instrumentu bazowego - cena wykonania opcji – stopa wolna od ryzyka – termin do wykupu ) – wartość dystrybuanty rozkładu normalnego – zmienność historyczna dla opcji/kontraktu forward na akcję niewypłacającą dywidendy dla opcji/kontraktu forward na akcję wypłacającą dywidendę, dla opcji/kontraktu forward na walutę, – stopa % obcej waluty Gamma



– stopa dywidendy

 - wrażliwość delty na zmianę ceny aktywa bazowego

 2V S 2

 call   put  (d1 )

 (d1 )e(br )T  S T

- funkcja gęstości rokłądu normalnego

 – wrażliwość ceny opcji na zmiany zmienności instrumentu bazowego V    call   put  Se(br )T  (d1 ) T

Vega

Theta



 

V T

- wrażliwość ceny opcji na upływ czasu

 - wrażliwość ceny opcji na zmiany stopy procentowej V  r

Rho

Zadanie 1 Akcja jest warta dzisiaj 100,00. Jutro może być warta 101,00 z prawdopodobieństwem 0,6 lub 99,00 z prawdopodobieństwem 0,4. Ile warta jest jednodniowa opcja na taką akcję? Podpowiedź: Zbuduj portfel zawierający 1 opcję oraz - ½ akcji i przedstaw możliwe wypłaty z opcji.

W przypadku wzrostu wartości akcji do 101, wypłata z opcji jest równa 1. W przypadku spadku ceny akcji do 99, wypłata z opcji to 0 (opcja wygasa niewykonana). Mogłoby się zatem wydawać, ze wartość opcji to wartość oczekiwana jej wypłaty: 0,6*1+0,4*0=0,6. Wartość oczekiwana wypłaty z opcji nie uwzględnia ryzyka. Jestesmy skłonni zapłacic za opcję mniej, niż wartość oczekiwana jej wypłaty, bo inwestycja niesie za sobą ryzyko, za które oczekujemy dodatkowej kompensaty. Jaka jest zatem wartość opcji? Zbudujmy portfel złożony z 1 opcji i -1/2 akcji (krótka pozycja w ½ akcji) i przedstawmy możliwe wypłaty z opcji:

Jeśli cena akcji wzrośnie, wartość portfela wyniesie Jeśli cena akcji spadnie, wartość portfela wyniesie W każdym przypadku otrzymujemy podobna wartość, zbudowaliśmy więc portfel wolny od ryzyka. Zakładając, ze stopy procentowe wynoszą 0%, dochodzimy do wniosku, że wartość portfela dziś musi również być równa . Wartość portfela dziś = . = wartość opcji – ½*100 Stąd wartość opcji = 0,5. Gdyby opcja miała inną wartość, możliwy byłby arbitraż (w wyniku którego cena opcji wyniosłaby na powrót 0,5) Jak wyznaczyć liczbę akcji potrzebnych do stworzenia portfela wolnego od ryzyka (oznaczmy ją poprzez )? Portfel po okresie t ma wartość w przypadku wzrostu ceny, lub . Aby był on wolny od ryzyka zmiany ceny, jego wartość powinna być w obu przypadkach taka sama: Stąd:

2

ł

jest miarą wrażliwości opcji na zmianę ceny aktywa bazowego

Zadanie 2 Inwestor zainwestował w 1000 akcji spółki X po 213 zł, które zamierza sprzedać za 3 miesiące. Inwestor chce zabezpieczyć się przed ryzykiem spadku ceny. Na giełdzie są dostępne europejskie opcje call i put na 100 akcji tej spółki z cenami wykonania odpowiednio 200 oraz 220 i ceną 300 zł i 1000 zł. Jaką strategię powinien wybrać inwestor, aby zabezpieczyć swoją pozycję w akcjach. Jakie będą przepływy pieniężne jeżeli za 3 miesiące cena akcji wyniesie 183 zł lub 242 zł. Inwestor powinien zająć długa pozycję w opcji put (zakupić 10 opcji put). Inwestor zabezpieczy się przed spadkiem cen akcji i ograniczy niecko zyski w przypadku wzrostu indeksu. Rynek spot: 1000 x 183 zł - 213 000= 183000 -213 000=-30 000 long put: 10 x100x(220-183)-10x1000= 37 000-10 000=27 000 Saldo: -30 000 + 27 000 = -3 000 Rynek spot: 1000 x 242 zł -213 000= 242 000 – 213 000 = 29 000 long put: 10 x 100 x max(220-242;0) - 10x1000= 0 -10 000=-10 000 Saldo: 29 000 - 10 000 = 19 000

long spot long put strategia

198

203

208

213

218

223

228

233

238

Zadanie 3 Dana jest europejska opcja put na akcję niewypłacającą dywidendy o cenie wykonania równej 22 i terminie wygaśnięcia równym 4 miesiące. Ile wynosi współczynnik delta tej opcji, jeżeli cena akcji wynosi 20 a odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwroty 25% w skali rocznej. Stopa wolna od ryzyka wynosi 6%. Rozwiązanie: = 20 = 22 = 0,06 =0 = 4/12 = 1/3 = 0,25

N(

3

Zadanie 4 Oblicz współczynnik delta dla europejskiej opcji call na 100 000$ o cenie wykonania 275000zł. przy założeniu, że stpa wolna od ryzyka w USA wynosi 2%, w Polsce 5%, a do terminu wygaśnięcia opcji pozostały 2 miesiące. Obecny kurs USD wynosi 2,8zł. Oszacowana zmienność kursu walutowego wynosi 25% w skali roku. = 2,8 ) = 2,75 )= ) = 0,02 = 0,05 =0 = 2/12 = 1/6 N( = 0,25

Zadanie 5 Rozważmy europejską opcję kupna na akcje o okresie wygaśnięcia 9 miesięcy. Niech cena akcji wynosi obecnie 55j.p. cena wykonania opcji 60j.p. zmienność akcji kształtuje się na poziomie 30% w skali roku, a stopa wolna od ryzyka ma wartość 10%. Ile wynoszą współczynniki „gamma” i „vega” („lambda”) tej opcji i jak należy je interpretować. = 55 = 60 =0 = 0,10 = 9/12 = 3/4 = 0,3

Zadanie 6 Inwestor sprzedaje 30 opcji call na akcje. Każda opiewa na 100 akcji. Cena wykonania opcji wynosi 700zł., a cena akcji 110zł. współczynnik delta jednej opcji wynosi 0,7. Inwestor zamierza zabezpieczyć swoją pozycję, co w takim przypadku powinien zrobić? Co powinien zrobić inwestor, jeżeli delta wzrośnie do 0,75? Delta kontraktów: 30*100*0,7 =2100 Inwestror powinien kupić 2100 akcji. Gdy delta opcji wzrośnie do 0,75: 30*100*0,75 = 2250. Inwestor powinien dokupić 150 sztuk akcji. Zadanie 7 Pewien podmiot kupuje akcje po 55 zł/szt. i jednocześnie zajmuje krótką pozycję w europejskich opcjach kupna na te akcje. Cena opcji = 1,41. Oszacowano, że współczynnik δ tych opcji ma wartość 0,4542 i nie oczekuje się jego zmiany w rozpatrywanym okresie. Ile sztuk opcji musi wystawić inwestor i ile akcji musi kupić, aby skonstruować portfel o wartości 100.000 i δ=0 (zakładamy doskonałą podzielność instrumentów finansowych) Dla akcji δ =1. δ portfela = Σ xi δi Musimy rozwiązać układ równań: 100 000 = ns* 55+ nc * 1,41 0 = ns * 1 + nc * 1,41

ns- liczba akcji w portfelu nc- liczba opcji w portfelu

ns = -0,4542* nc 100 000 = -0,4542* nc * 55+ 1,41 nc 100 000 = -23,571* nc nc = - 4 242,5, co oznacza krótką pozycję w opcjach

4

ns = 1 926,94, co oznacza długą pozycję w akcjach. Kiedy portfel będzie rzeczywiście niewrażliwy? Gdy cena opcji będzie stała Zadanie 8 Inwestor posiada 2000 akcji spółki Y. Na rynku dostępne opcje na tą akcję: - A - call z 2-miesięcznym terminem wygaśniecia, - B - call z 2 tygodniowym terminem wygaśnięcia, - C - put z 2 miesięcznym terminem wygaśnięcia. Opcje te charakteryzują się następującymi współczynnikami greckimi: Opcja delta gamma A 0,15 4 B 0,42 2 C -0,23 6

vega 7 4 1

Zbuduj portfel złożony z akcji oraz odpowiednich opcji, aby był to portfel delta-gamma-vega neutralny. Aby portfel był delta-gamma-vega neutralny, wszystkie współczynniki tego portfela muszą się równać 0. Stąd 2000+0,15XA+0,42XB-0,23XC=0 0+4XA+2XB+6XC=0 0+7XA+4XB+1XC=0 Rozwiązując układ równań otrzymujemy XA = 3606,557 XB = -6229,508 XC = -327,869 więc powinniśmy kupić 3607 opcji A, wystawić 6230 opcji B oraz wystawić 328 opcji C. Zadanie 9 Firma X przygotowuje się do realizacji dużego kontraktu, na realizację którego będzie musiała zaciągnąć 8miesięczny kredyt w wysokości 3 mln zł, w którym odsetki i kwota podstawowa zostaną spłacone na koniec okresu kredytowania. Firma ustaliła z bankiem warunki uzyskania kredytu, który ma być udzielony na okres 10 lutego 2010 r.- 10 października 2010 r., a jego stopa procentowa została ustalona jako stopa WIBOR 6M + 2,5%. Co powinna zrobić firma X w dniu 10 grudnia 2009 r., aby zabezpieczyć się przed wzrostem kosztu kredytu w ciągu najbliższych 2 miesięcy, jeżeli bank Y oferuje zawarcie kontraktu FRA 2x10 ze stopą 5,25%? Określ jakie będą przepływy z tytułu kontraktu, kredytu i całej zabezpieczonej pozycji jeżeli rozpatrujemy 2 scenariusze: a) stopa WIBOR za 2 miesiące spadnie do 4,5% b) stopa WIBOR za 2 miesiące wzrośnie do 5,95% a podmiot ma możliwość zainwestowania potencjalnie otrzymanej kwoty po stopie WIBOR 6M -0,5% lub skorzystania z krótkoterminowej pożyczki bankowej po stopie WIBOR 6M +3,5%. Firma X powinna zająć długą pozycję w kontrakcie o wartości nominalnej równej kwocie kredytu, a więc 3 mln zł. Taka strategia pozwala na zabezpieczenie wysokości oprocentowania kredytu na poziomie 7,75%. a)

Ponieważ stopa WIBOR jest niższa od stopy FRA, więc firma X musi wypłacić bankowi następującą sumę:

242 *3000000 365  14485, 62 242 (1  0, 045* ) 365

(0, 045  0, 0525)*

5

W związku z tym firma X pożycza ta kwotę po stopie 8% na 8 miesięcy w dniu 10 lutego 2010 r. na 8 miesięcy po stopie. Po 8 miesiącach musi więc oddać:

14485, 62*(1  8, 0%*

242 )  15253,95 365

Jednocześnie firma X na skutek spadku stopy WIBOR 6M zyskuje w wyniku zmniejszenia kosztu obsługi kredytu spłacanego w dniu 10 października 2010 r. w związku z różnicą między rzeczywistą stopą WIBOR 6M, a poziomem ustalonym w kontrakcie FRA. 3 000 000x(7,75%-7,00%)*242/365 = 14917,81 Zabezpieczenie nie jest pełne w związku z brakiem możliwości zagwarantowania sobie możliwości pozyskanie pieniędzy po stopie kontraktu zależnej od stopy WIBOR6M. Różnica wynosi: 14917,81-15253,95 = -336,15 b) Ponieważ stopa WIBOR jest wyższa od stopy FRA, więc bank jest zmuszony wypłacić firmie X następującą sumę:

242 *3000000 365  13394,87 242 (1  0, 0595* ) 365

(0, 0595  0, 0525)*

W związku z tym firma X inwestuje otrzymaną kwotą w dniu 10 lutego 2010 r. na 8 miesięcy po stopie 5,45% w skali roku, co daje:

13394,87*(1  5, 45%*

242 )  13878,88 365

Kwota ta częściowo rekompensuje wyższą płatność poniesioną w tytułu spłaty kredytu w dniu 10 października 2010 r. w związku z różnicą między rzeczywistą stopą WIBOR 6M, a poziomem ustalonym w kontrakcie FRA. 3 000 000x(8,45%-7,75%)*242/365 = 13923,29 Zabezpieczenie nie jest pełne w związku z brakiem możliwości zagwarantowania sobie reinwestycji na otrzymanych pieniędzy z kontraktu na poziomie stopy WIBOR 6M. Różnica wynosi: 13878,88-13923,29 = -44, 41 Zadanie 10 Bank wyemitował 3 letnie obligacje o kuponie WIBOR 6M + 0,80%, płatnym co pół roku i nominale 350 000 000 PLN. W kontrakcie IRS o tym samym nominale bank płaci raz do roku odsetki równe stopie 5%, a dostaje odsetki równe stopie WIBOR 6M 2 razy do roku. Przyjmując, iż okresy dzielą się na równe części po 0,5 roku, wyznacz płatności z tytułu kontraktu, jeśli stopa WIBOR 6M wynosiła: Okres 0 1 2 3 4 5 6

WIBOR 6M 5,5% 5,3% 4,9% 4,3% 5,1% 4,7% 4,1%

(okres 0 to dzień zawarcia kontraktu, kolejne to okresy płatności stopy zmiennej, stopa stała jest płatna w momentach 2, 4 i 6). Czy istnieje tu niedopasowanie pomiędzy płatnościami z tytułu obligacji a płatnościami w kontrakcie IRS?

6

Rozliczenie IRS

Zadanie 11 Spółka deweloperska zaciągnęła 2 letni kredyt w wysokości 40 000 000 PLN. Deweloper zajmuje się najmowaniem powierzchni handlowych w wybudowanych przez siebie centrach handlowo-rozrywkowych. Czynsze najmu wyrażone są w euro. Pragnąc zredukować swoją ekspozycję walutową (dochody w euro, a koszty w PLN) deweloper może zawrzeć kontrakt CIRS po kursie 4,16. W ramach kontraktu jedna ze stron płaci stawkę WIBOR 6M a druga EURIBOR 6M powiększoną o marżę 0,75%. Jakie będą przepływy pieniężne z tytułu kontraktu CIRS dla dewelopera jeśli stopy procentowe kształtowały się w następujący sposób: Okres 0 1 2 3 4

WIBOR 6M 4,8% 5,2% 5,1% 4,6% 4,0%

EURIBOR 6M 0,6% 0,65% 0,5% 0,4% 0,3%

Przyjmij, że kolejne okresy trwają dokładnie 0,5 roku.

7

8