Malanowski - 6 - odpowiedzi

18.01.2016 SYMSE 2015/2016Z Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium 2

Ad. 1 a) 𝐻(𝑧) = 1 + 2𝑧 −1 + 2𝑧 −2 b) 𝐻(𝑧) =

𝑧 2 +2𝑧+2 𝑧2

Zera: 𝑧 2 + 2𝑧 + 2 = 0 => 𝑧 = −1 ± j Bieguny: 𝑧 2 = 0 => 𝑧 = 0 (podwójny biegun w zerze)

Im{z}

1

2x 1

-1

Re{z}

-1

c) 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] + 2𝑥[𝑛 − 1] + 2𝑥[𝑛 − 2] d) To jest układ typu SOI, który zawsze jest stabilny. Ad. 2 8𝑠+19

a) 𝐻(𝑠) = 𝑠2 +5𝑠+6 b) Stopień wielomianu licznika jest nie większy niż stopień mianownika. Należy więc sprawdzić położenie biegunów transmitancji. Bieguny: 𝑠 2 + 5𝑠 + 6 = 0 => 𝑠 = −2 i 𝑠 = −3 Bieguny leżą na lewej półpłaszczyźnie, więc układ jest stabilny. 8𝑠+19

3

5

c) 𝐻(𝑠) = 𝑠2 +5𝑠+6 = 𝑠+2 + 𝑠+3 (rozkład na ułamki proste) ℎ(𝑡) = (3𝑒 −2𝑡 + 5𝑒 −3𝑡 ) ∙ 𝟏(𝑡)

Ad. 3 a)

|X(f)| 2 1 -200 -150 -100 -50

0

100 150 200 f [Hz]

50

b)

|Xs(f)| 180 90 -200 -150 -100 -50 -20

0 -10 10

100 150 200 f [Hz]

50 20

c)

|Xf(f)| 2 1 -200 -150 -100 -50 -20

Ad. 4 𝑠𝐿

a) 𝐻(𝑠) = 𝑅+𝑠𝐿 = 𝑅 b) 𝐻(𝜔) = 𝑅 𝐿

j𝜔

𝐿

𝑠 +𝑠

+j𝜔

𝐴(𝜔) = |𝐻(𝜔)| =

|𝜔| 2

√(𝑅) +𝜔2 𝐿

0 -10 10

50 20

100 150 200 f [Hz]

𝜋 2

𝐿 𝑅

𝜑(𝜔) = arg{𝐻(𝜔)} = sng(𝜔) − arctg ( 𝜔)

A 

1 1 2





R L

0

R L

    2

 

R L

4

0



R  L  4 

𝜋



2

c) 𝑦(𝑡) = 12 ∙ 𝐴(0) + 8 ∙ 𝐴(𝜔0 ) cos (𝜔0 𝑡 + 4 + 𝜑(𝜔0 )) =

8 cos (𝜔0 𝑡 √2

𝜋

+ 2)