WYKLAD
1
.
FUNKCJE
Tadeusz wyzszej" farmacji.
T
-
raczyk,,Elementy maiematyki podrqcznik dla studentow
: Jezy Chmaj ,,Rachunek rozniczkowy calkowy"
dr Krystyna Stan isz-Wallis mvwal lis@ cyf-kr. ed u.
p
-
podrQoznik dla studentow.
I
ZAKI-AD FARMAKOKINETYKI I FARMACJI FIZYCZNEJ
. . . . . . . . .
cyklometryczna Granica i ciqglo56 funkcji Pochodna funkcji jednej zmiennej ijej zastosowania Pochodne czEstkowe Calki nieoznaczone Catki oznaczone i ich zastosowania R6wnania r62niczkowe zwyczajne Rachunek macierzowy
LtczBA
-
PODSTAWOWE MATEMATYKI
POJECIE
. Liczby naturalne N - 1, 2,3, .. . Liczby calkowite C - ...-3, -2, -1, A, 1,2,3... . Liczby wymierne W- .-211, -312,0,213, 111,211 pzedstawii w postaci p/q (q#0) ulamka zwyklego Liczby niewymierne NW - liczby nie dajqce si pzedstawic w postaci ulamka zwyktego, majq rozwinigcil dziesigtne nieskoriczone, Iiczby kt6re da siq
.
Oznaczenia
Funkcja Funkcja wykladnicza, logarytmiczna,
nieokresowe
Jl ,{i,
n, e.... R - to liczby W i
.,/8,
Zbi6r liczb rzeczywistych
i
'
Liczby zespolone
i
Funkcje Jezeli X i Y sq zbiorami niepustymi, czyli
X+OiY*@wtedy:
funkcjq f okre6lon4w zbiorze Xo waftoSciach ze zbioru Y nazywamy takie przvporzadkowanie, kt6re kazdemu elementowix ze zbioru X przyporzqdkowuje dokladnie ieden elemerrt.ir ze zbioru Y.
FUNKCJE
Funkc.jq f odwzorowujqcq zbior X w zbior Y zapisujemy:
. f:X +Y " y*f(x),xr- X,Jey
.
SPOSOBY PRZEDSTAWIANIA FUNKCJI zA POMOCA GRAFU
,,_tE#&
*,.,**is
i stosujemy nastepu.iacA terminologiq:
' x - argument, zmienna niezaleina. . y - warto56 funkcji, zmienn a zaleLna,
'
zA PoMocATABELK'
. ,
.
ZA POMOCA
.
ZA POMOCAWYKRESU
- (D, D,) - dziedzina lunkcji (zbior argumentow), Y - (R, R) - przeciwdziedzina (zbior warto$ci),
X
Pqzvk{adv:
, !=x), D=lpt, ,e=R*U{Oi . y=^te, D=m.*U{oi, R=R+U{0)
Dzialania na funkcjach Je2eli fi g sa,dowolnymi funkcjanrl o dzjedzinach odpowiednio D,i D, to okreilone sq nastgpujqce funkcje:
1 I ...-'\,.
'!
suma .f * g:
. (/ +.c/)(r) = l(r) +.q(,r),
f - g: . {f -s)G) =/(_r)-s(r), iloczyn f .!i: . (f *u)$)=fk)-uG),
x e D, D =
D1
*
Dn
..i.'-....i.........r..-. r....
1t
iloraz
xe
t)
d)
rEl)
iloraz f: -----.u.
. /I)r,r=11! '-. {/(.r,' 's/
"€
iJ
\ [.t:,9(.i) =
tt1
..r.-.
*
,$t..:.r..-1"--r.--t-..i -.r*.r 1.. xi5 t t7 ?1 ?4 18 5 s 11
ROWNANIA y=x+2
Mieisee zerowe Miejsce zerowe jest to argument funkcji dla ki6rego funkcja przyjmuje wartoSc 0. np. x=3 dla funkcjiy=x-3
FUNKCJE
. . . . . . .
MonotonicznoS6 Jezeli x.,, x, A iA cX to: a) funkcja jest rosnqca w zbiorze A wtedy i ty wtedy, gdy Xr < Xz +f(x.,) .f(xz) b) funkcja jest malejqcaw zbiorze A wtedy i , f(xr) tylko wtedy, gdy Xr < Xz =f(x.,) c) funkcja jest stala w zbiorze A Medy i tylko wtedy, gdy f(x,) = f(xz)
Funkcja linlowa Funkcja kwadratowa Funkcja wielomianowa Funkcja wymierna Funkcja potggowa Funkcja wykladnicza Funkcja logarytmiczna
FUNKC.JA KWADRATOWA
FUNKCJA LINIOWA
Funkcja
postaci:
Y--f(x)=ax*b D=lR, R/=R Wasn.o$cifunkcii : Wykresem funkcji f nazywamy zbi6r wszystkich upoaqdkowanych par (x,y) takich,2e x e D,y = f
(r)
ffl
Funkcja kwadratowa w og6lnym przypadku ma
ill:
posta6:
jtti
.ili
f(x)=axz+bx+c
przyczymu+o
FUNKCJA WYMIERNA
FUNKCJA WIELOMIANOWA Funkcjq wielomianow4 (wielomianem) stopnia n nazyliramy funkcje: f (x) = &nx" + @n-rxo-7 + "'+ d1.x + ao pfzy czym (trr + 0, ? Qn, Qa-1, ,.,;4t, &o sq liczbarni rzeczywistymi. i
I
i
't' i
t) ll
il
i
--'> 1
\:
gdzie P i
'1
sq wielomianami
Q
,, : 'i t.--.
l'|=-I '
.
..........-,...........-.J..--{."....-....-..
'i
il
I=t ; - --! -'
i 'i ''i l'i ii
)'=
tl ,:t !i r:
I
.,
,,,,,,,,,
.,.1:.
,, ,,
,i
,,i
', |
"!
.i, ' L'--F.\lot
rl :
,:
/
|
\,; i,li
| r5
't| !I i/'t I t I ':----;*,.-*--'-.,----; --.--'
\
,
'it I 'i i
-xr1 : . )'=r-2
-it
!l
l i
- ---, ...*s.:.- -
{;
,ii .ii 'il t,i
'i
I
Funkcja wymierna ma postac:
iri ti
?
i
I
(!r -< 0)
(d )' 0)
ii'i
I
I
I
-'-*--
i '
lo=a\izl i
FUNKCJA POTEGOWA
FUNKCJA WYKLADNICZA Funkcja w postaci
@
Funkcja potqgowa, to funkcja postaci: gdzie: a>0, xeR,
gdzie
T'l
'1,,i
:|
,,, .':i =v'i
;
;
';-:'
' ':
i'
--r--;-l
,
- _:'-:-
! :.^i-i-.'i"r": ',:*'
:,
ll
: (0ie)
L
-
(-y,; (l)
U (();
1 I
. . dziedzina funkcji - zbior R, . zbior warto6ci funkcji - zbiot liczb dodatnich
.
funkcja
jest r6znowarto6ciowa,
. punkt charakterystyczny .
wykresu - punkt (0,1) funkcja jest monotoniczna:
- dla kazdego - dla kazdego
'
Przyklady funkcji wykladniczej:
.r.=f'1', ).=5*, ),=ill t-a
!
Wykre5li6funkcjey=!x moiemy ulo2yt tabelg
a>1 funkcja rosnaca w zbiorze R. 0
x v
Prosta jz = 0 jest asymptotq poziomq wykresu funkcji
-3
-2
1t8
1t4
1
0
1
2
1t2
1
2
4
. Szczeg6lnym
pzypadkiem funkcji wyktadnic
jest funkcja Wiasno6ci pot?gi
ao=7 CLxr
. tlxz - gx1Ix2
ol-rt
a^2- n*r-*., (Axtlxz - Axyxz
Y=e*
e-a_ e:rL
.
odzie e iest Iiczba Fulera. J--
Zwanajest ona eksponencjaln4 i czqsto siq oznacza j a ko._-------___
Ax . bx = (A, b)*
(v = exn(x) )
o'
e=tim(1**)"
b\'
: fg)* \b J
e jest liczbq niewymiernE e = 2,71828
4
FUNKCJA LOGARYTMIGZNA
Funkgia-y/qstaci gdzie a>0
a:,*,
i a* 1 xe
R *,
Wlasno6ci funkcii loqarvtmicznei: , dziedzina funkcji'- zbi6r liczb dodatnich R*, . zbior wartoSci funkcji - zbi6r R,
.
funkcja
jest
r6znowarto6ciowa,
. punkt charakterystyczny
Y=log"x =lnx
.
wykresu - punkt (1,0) funkcja jest monotoniczna:
-
dla kazdego a>1 funkcja
jest rosnqca w zbiorze
-
R,
dla kazdego 0
jest mqlejqca w zbioze R, Prosta o r6wnaniu x = 0 jest asymptotq pionowq prawostronnq
.
Pojpcie logarytmu:
logob:
a b
- podsiawa
LogaMm ma nastgpujqce wlasnoSci:
c
lognx*iogny=lagoxy x logox - log, y = lo1a;.
logarytmu
*liczba logarytmowana Iogub,,=
P
*.ac,:
v
logo
b
: : aeIRa\{1} Ir>0
. .
r'l = nlogux olog*, : x
Wzor na zmianq podstawy logaMmu:
LOGARYTM DZIESIETNY logn
Iog.,oa=loga=lga
lnu Ir b: ''o'"
log. o
LOGARYTM NATURALNY
=lna
FUNKCJE TRYGONOMETRYGZNE
' Funkcja sinus: /(r) = sinx . Funkcja coslnus: /(r) = .ot x . Funkcja tangens: f(x) = tg x . Funkcja cotangens: l'U) : ctS :
''.
,
i'' ," : \. ,1 t . .,'; .lrr: .. ,1, ;t ' /. ,; --\
\"\;" \. " .,; \..-
.)'
=
cos n-D
x
6 = (-1;1.)
,,
"--.,,)
-
Okresowo6c funkcii Funkcjg f :D + 11 nazywamy okresowq, je6li istnieje liczba rzeczywista 7 > 0 taka. 2e dla ka2dego ,r € spelniony jest warunek: f (x +1') = f {x)
,
!=tgx l/ = lll \ 1: +
R1I
l, t( t L
Najmniejszq liczbq f spelnra.jqcq powlzszy warunek nazywamy okresem podstawowym fun kcji. Fun
kcje trygonorne tryczne sq f unkcjamr okresowynri
sin(x
y:ctgx
cos(x t.q(x
,=[t\{kn},ke't. i?
=
-x
€
2n-)
=
co.s
* n) = ;,q '1
r
Rozn owa rto6ciowoS6 fu n kcii
- funkcja f(x) jest ro2nowado6ciowa, Ar,,"r.rr{ xt+ xz 1 f (r) + f (x))
Ro2nowartosciowosc
I n f(t) : 61-x;
D
t
jeili:
,:'-
..,
-x
e
';:;:::,:::,;:a,:tt:::.:_-.
.
.
Funkcja fjest nieparzysta, gdy: A*eDl
:
2r) = sin.r
ccg(-r*r)=619-1
iBl
Parzvsto56 i nieparzvsto66 funkcii Funkcja fjest parzysta, gdy: A*6p,
-l-
.:,
,f A -f(n) = f(-x) I
l'(r)
=
.t)
,1 \,
...
i
,
,011''
= t'n
:l
'
,,-
_ .i ,. lli .., ,: ,
.]'.-,,
\
9(r) =
cosx
Funkcia odwrotna v-,I
: : '
'i
':.
-;1
-l
.
-'
:'
r'=irl
' '
i
l
',
Funkcja logarytmiczna f(x)=leg"
x€D
I
o1'az
jest
funkcjq odwrotnE do funkcji wyktadniczej f(x)=3x
DEFINICJA Jezeli funkcja f: jest X -+Y jest r6znowado6ciowa, to funkcjq g: Y *rX nazylvamy funkcja-odwrotrrE do funkcji f. jezeli
AA l\ ts " f 1(x) : x
x
wykresy funkcji
;
f(x)=log"
I 1
g(x)=a*
s4
symetryczne wzglqdem prostej y=X,
/\ (/ " ct)(y) = t,.
l, eDo
Funkcjq g oznaczamy w6wczas przez
t1
35
n
Funkcia odwrotna do funkcji logarytmicznej jest funkcia wvkladnicza. Oznacza to, 2e wykres funkcji logarytmicznej log.x i wykladniczej a x sq symetryczne do siebie wzglqdem prostej y=x co widac na nastQpujqcym wykresie:
Funkcie cvklometrvczne
'
Funkcje cyklometryczne (kolowe) - to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, ale,..
Funkcla
/
w'tedy, gdy
posiada funkcjg do niej odwrotnq wtedy i lylko f jest funkcjq r6znowartoSciowq.
Funkc.je trygonometryczne nie sq r62nowarto6ciowe, dlatego
pzed zdeflniowaniem funkcji do nich odwrotnych naleZy \,q/brac ptzedzialy (dziedziny) w ktorych funkcje sA r6znowartoSciowe, czyli.
() z dla () , dta )
(i (-,
a dla ()
(
dra
t
,
)
FUNKCJ E CYKLOMETRYCZNE
' .
DEFINICJA.I Funkcje cyklometryczne sa to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na pewnych paedzialach, na ktorych funkcja jest r62nowarto6ciowa. Def. Funkcja arcsin (arcus sinus) jest to funkcja odwrotna funkcji srnus na przedziale \-x12, rl2). sin,( -nl2, rl2 ) -+ (-1 ,1) arcsin:(-1 , 1) -+ ( -x12,
tlZ
)
-lt I
j
' Def. Funkcja arccos (arcus cosinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji cosrn{-/s na przedziale (0, tr). cos:(O, r ) -+ (1 ,-1 ) arccos: (1,-'1) + (0, n )
7
.
Def. Funkcja arcig (arcus tangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji tanges na przedziale (-x12, nl?). lg: (-t12, xl2) -+ R arctg: R -> (-rJ2, rl2).
.
funkcja n).
Def. Funkcja arcctg (arcus cotangens) jest to odwrotna do funkcji cotanges na pzedziale (0,
ctg:(0,n)+R arcctg:
R,+
(0, n).
I
,
