MAT (2015-10-14) WYK2 Granica Funkcji

2015-10-14

WYKLAD 2

FUNKCJE GRANICA FUNKCJI

JeSli fjest funkcja liczbowa ktorej dziedzinqjest zbi6r N+, czylr N. R, to funkcje takE nazywamy ciagiem

/:

-

liczbowym nieskoiczonym. Argument tradycyjnie oznaczamy ptzez n (n = 1,2,3,...), a wartosci ciqgu /(r) oznaczamy titerqz indeksem n, np. an. cn nazywamy wyrazem og6lnym lub n-tym, a ciEg zapisujemy symbolicznie (an).

1

2015-10-14

Liczbq g nazywamy granicA ciagu (an), jezeli dla dowolnej liczby r > 0 istnieje taka liczba 6, 2e dla kazdego n > d, (n e N1), spelnionajest nier6wnosc:

la"*sl<€ czyli.

E- E < an < g -

€

Granice zapisujemyl lim an= g

an-9

jl*."

- o i{

fi

[

LICZBA

A

to,

-

gt <

.

e

Dany jest ciag (an) o wyrazie og6lnym:

a-=1+l+1,...-l ' r'2'

"

st f -t-k-ok'

Granica tego ciqgu oznaczana jest litera e:

/ t 1 r\ limll+-+-+..+-l=e .n:) ,__ \ lt 2:

e = 2,77828182a4 ... 2,72 - liczba aule? '. Te sama granicg otrzymamy rownie2 w przypadku;

limll+:l=e Logarytmem naturalnymz liczby e> 0 nazywamy logarytm o podstawie e; logua = In a

2

2015-10-14

Jak mo2na interpretowa6 liczbe e Pewien BANK dale za roczny depozyt 100% zysku. Odsetki mogq byc doticzane do kwoty!6E!Ewow$ w r6zny spos6b. np. na koniec roku. Czyli inwestujEc 1 zl zl . co p6l roku jest kapitalizacja -------------2

.

to na koniec roku Q +!72 =2,25.1 Czyl: inwestujac 1 zl ---------2,25 zt Co kwartal Jest kapitalizacja

.

to na koniec roku Q +!1a =2,44

11

Czlli inwestujqc 'l zl

zl

-\44 .

co miesiAc jest kapitalizacla

to na koniec roku

(l

+ )-112 =2,61 .1

Czyli inwestu.jqc 1zl ---------------- 2,61 zl Codziennre jest kapitalizacja

.

to na koniec roku (1 + fi)365 =2,71 zt Czyli inwestujEc 1zl ...-............ 2,71 zl . gdy kapitalizacja odbywa sig w spos6b ciaglv (czyl; liczba okres6w kapitalizacji dazv do nieskonczono6ci) o na koniec

roku rim,.-- (r * *)" = ,t "

Czyli inwestujqc 1

^

----------------

e=2,7221

3

2015-10-14

MI(IXDHXN Leonard Euler .1707 -.1783 Euler stomulowal wele twierdzei oraz wprowadzit liczne delln cje i oznaczenia wspolczesnej malem Wprowadzil lei do analzy matematycznej fu n kcte zespolone zmiennel zespoloneji podat zwiazek fu nkcja ml trygof o melrycznym funkcjqwyktadnicza Op aLowal ogol,]e w,asrolc lulkc,, oga-y1T.cz1eJ Ugrunlowal teorie rownai rozniczkowych za poczqlkowal reorie rownan ro2niczkowych

i

Wprowadzil szeregl lrygonomelryczne stworzyt podslawy leorii tunkcjr speclalnych, zapoczqtkowat analityczne teorie liczb.

GRANICA FUNKCJI Zdefiniujmy sesiedztwo S punktu /0 o promieniu 6: S(xo; d) = (ro - d; xo) u (x6;ro + d) S(:ro;d)

/ ro ,t

.{o

ro+d

Rozwazmy funkcjq i, okreslonq w pewnym sasiedztwie S punktu xr. Oznacza to, 2e funkcja posiada skonczonq wartos6 dla kazdego x e.t, w punkcie xo funkcja mo2e byi nieokreSlona

4

2015-10-14

GRANICA FUNKCJI DEFINICJA HEINEGO Liczbe nazywamy granicA (wla6ciwq) funkcji w punkcie , jezeli dla kazdego ciEgu , takiego,2e ) zachodzi

(

Granice funkcji zapisujemy limo

Deflnicjq Heinego

*

/(r)

= g tub I @)

zapisana za pomocq symboli

9A

,ri." rr,r =.s

{(],rn

-

S

,, - 16 a x, e s)

txo.l

= ( ri. 11r,; = 9).}

GRANICA FUNKCJI DEFINICJA CAUCHY'EGO Liczbe g nazywamy granice (wla6ciwd funkcji / w punkcie xo, jeieli dla dowolnej liczby r > 0 istnieie liczba 6 > O taka, ie dla kazdego.a spelniajecego nie16wno66

I

0
zachodzi nier6wnoS6

lf(x)-sl
€>0

d>O

:

<6 + lf(x) - gl <

5

2015-10-14

JEDNOSTRONNE GRANICE FUNKCJI Definiujemy lewostronne S- i prawostronne sEsiedztwo punktu x6 o promieniu 6: 5* (re; d) = (xo 6; x6) S+(re;6) = (x6; x6 d)

-

.S+

f

s- (roj 6) _-H--l+:

S*(xo;6)

---'+.+

x

ro

,0+6

JEDNOSTRONNE GRANICE FUNKCJI Granica lewostronna: gdy x da2y do & z lewej strony.r

-.r;

DEFINICJA HEINEGO

,um_f(x)=e3fi{(,tlgr=xo ax, e s-)

-

(ti,,

i,,,)"-'

11r,1 =

e)]

DEFINICJA CAUCHY'EGO

Jrr rul

o

i1fl . * - ro < 0 - tt (x) - gt < t ,lvr\ f f\l-a l €>0

J

d>o r

6

2015-10-14

JEDNOSTRONNE GRANICE FUNKCJI Przyklad Wyznacz granicQ lewostronnq i prawoslronnq funkcii ,(x) = !.r

lim f(r) = I .

lih frrl

=

--_;_-__,l

-r

i

il Funkcja / ma granice g w punkcie.r0 Medy itylko wtedy, gdy funkcja / ma w punkcie r0 granice lewostronne i prawostronn4 i granice te sE r6wne g. Iim /(x) - 9 <* lim 7 (x) = lim.lt\) = g 1-tj

JEDNOSTRONNE GRANICE FUNKCJI Liczba g jest granica lewostronna funkcii f (x) w punkcie x = xo Medy itylko Medy, je2eli dla kazdego ciEgu (x,r) nalezqcego do dziedziny funkcji itakiego.2e

linr \,, =

\,, i

\,, < \,,

granicq ciqgu f( xn) jest liczba g

lin f(r) -

; '-';

g

Liczba g jest granica prawostronna funkcji f (x) w punkcie x = xo Medy itylko wtedy, jezeli dla kazdego ciagu (xn) nalezEcego do dziedziny funkcji itakiego, Ze

Iinr r,,

: \,, i

\,, > \,1

granicE ciegu f( xn) jest liczba g

:

lin f(\):

\ ,\;

g

7

2015-10-14

GRANICE FUNKCJI

.

Je2eli liczba bjest to piszemy:

g ran

ica funkcji f(x) dla x dqzqcych do a,

gdy x dqzy do a w dowolny

sposdb.

liln f(:r) = b

.

gdy x dEZy do z lewej strony, czyti tak, 2e x jest stale mniejsze od a:

lim

.

l(\)

=b

gdy x dqzy do z prawej strony, czyli tak, Ze x jest state wieksze ad a:

litn f(r)

Przvklad

.

-

tr

1

Niech funkcja f(x) ma wartosd 2 dla x=1, dla x>1 waioicifunkcji sq rowne 1, dla x<1 warto6ci funkcji sa r6wne -1. Funkcja nie ma granicy w punkcie 1, poniewaz granica prawostronna lewostronna funkcji sq r62ne.

l1

i

Przvklad 2

. .

Funkcja f(x) ma warto66 2 dta argumentu x=7, dla argument,w rdznych od 1 wafto'ci funkcji sq rdwne 1. Funkcja ma granice w punkcie x=1, poniewaz granice lewostronna i prawostronna funkcji sE sobie rowne-

8

2015-10-14

GRANICE FUNKCJI wzorv c, gdzie c jest stalq

lim c =

lim x=xo JeSli lim f(x)

- s i lim h(x) = L to okreslone

sq dzialania

arytmetyczne na granicach:

c g , gdzie c jest stalq tim,f(x)+s(x)l=s+t

lim [c.f(x)] =

lgy"lfQ)- s@)l= o-t timlf(x) s(x)l= g't

*"|^,J!S=1'sdzie'+o'

SYMBOLE NIEOZNACZONE

.

lloruzy

t*l El,

l:oczyn

Io *1,

r62nica

[oo

i

wyrazenia typu

-

oo],

[oo],

[1-],

[ooo]

Nazywamy symbolami nieoznaczonymi Nie majA sensu liczbowego, slu2a tylko do zaznaczenia nieoznaczonosci. Aby oblicryc granice lakiego wyra2enia nale2y dokonacdalszych przeksaalceh' Wa2nArzecza jest zrozumienie tego. 2e wy62eni€ nieoznaczone iest pewnym symboiem, ktoreniesie treScirozne od tych, do ktorych si9 moze przyzl yczaiismy' N; przyklad symbol w wy.azeniaci n eoznaczonych Nla oznacza liczby zero Uak wieiu ludziom sie blednle wydaie. )tylko ciqg o granicy r6wnej zero -a lo zupelnie cos innego, prawda?W symbolunie mamywiec .dzielenia przez zero", iloraz dwoch ciaqow

2015-10-14

Wielko6ci nieskofczenie

maNe i du2e

Zmienna a nazywamy nieskonczenie !oe!q, jezeli dla kazdej, dodatniej liczby E istnieje taka wartosc ao zmiennej a, poczynajqc, od ktorej wszystkie nastepne waftoici zmiennej sq, co do waftoaci bezwzglgdnej mnieisze od E. GranicE wielkosci nieskoiczenie malej iest 0.

Zmiennqz nazywamy nieskohczenie dUZq, jezeli dla kazdej dodatniej liczby N istnieje taka warto66 zo zmiennej z poczynajac, od kt6rej wszystkie nastepne wartosci zmiennej sA, co do warto6ci bezwzglednej wieksze od N.

Granica wielko6ci nieskoriczenie du2ei iest w niesko6czono6ci .

'

Z definicji granicy oraz z definicji wielkosci niesko6czenie malych i nieskoficzenie wielkich wynika, Ze: 1) granicE nieskoiczenie malej wielkoscijest zero (a wiec jesli a jest wielkoScjq nieskohczenie malE to /lma=O) 2) r6znica zmiennej i jej granicy jest wielkoscie nieskonczenie mald a wiec je6li lim x = a, to x-a=o) 3) odwrotno6e wielko6ci nieskoiczenie duzej jest wjelkosciq nieskohczenie mata, a wiec jesli z -.' oo r,, 1 _+ {t z

4) odwrotnos6 wielko6ci nieskofrczenie malej jest wielkosciE nieskoiczenie duZE, a wiec jeSli

:r-+

o to !;.o

10

2015-10-14

. Przyklad

1 Da cjqgu o wyrazach

\ o

neN. Wraz ze wzrostem n wyrazy ctqqu malei -'", zbrizanie sie wa(osci wyru.o* ;o rXr.; 1!11r.::i? wartoscj te zostaly nanies one na wykres tch zaleznosct "tegu o;n

f:-q":*':

lls

rn

I OJ

0.r5

rsoj.im . Pu:*r!-'.dpori:arjT. \rft6( ctrli dl. FE.lalnxt

l."^ynl":" i""9 u qg

"

ze wartoscrzbt,zaja sre do zera Jest ro gran,ca rego

os

iot"r"i" j"ii

,u"!:e:Iuik:on]ecznre poczAwszy.od n:5- od egloSc od zera bezwtg eonel wanosc. c,qgu bo lxr -o,:lx.r) Iest mlrejsza od E: 0 25

_

rffia

. Przyklad2 Ciqg:

,, l

lL

dqzy do zera z dw6ch zobacz wykres obok

n21.4!icr:.rl3:z'

11

2015-10-14

GRANICE NIEWLASCIWE

/

Funkcja posiada w punkcie ro granice niewlaSciwE + co (-co), jezeli dla ka2dego ciqgu (xn), rn € S, takiego, 2e lim r, =.r0 zachodzi lim F(r") = +oo (-co).

l,S/(,) = +-

llT-

f(,) = --

GRANICE NIEWLASCIWE Funkcja f ma w punkcie xo granice niewlasciwe.o i piszemy lim f(x) = c6 0

jezeli dla kazdego ciagu (x") zbieznego do xo ciqg (f(x)) jest rozbie2ny do nieskohczono6ci.

Jezeli przy obliczaniu granicy funkcji f (x) otrzymamy:

g=+@ lub S=--, to mowimy, Ze funkcja ma w tym punkcie oranice niewlaSciwa.

12

2015,10-14

ASYMPTOTY PIONOWE Prostq r = a nazywamy asymptote pionowE lewostronn4 (prawostronnq) krzywej y = f(x), jeili lim /(x) = 1oo lt

ti- r(rl = +-/ ). ,rLX\

I(r) = +i,t

,/

-"21

I

,r+/c)

=

--

/

Funkcja posiada granicQ (wla6ciwq) g w +co, jezeli dla kazdego ciagu (r,) rozbieznego do +co, tzn. lim rn = +oo,

rn e (a; +oo), zachodzi lim f (x") = g. Prosta y = b nazywamy asymptota pozioma lewostronna (prawostronnd kzywq y = f(x), je6li /(r) = r

(

ri, 11r;-6).

,lim

!=

l

Y=l

13

2015-10-14

/-

Prosta ax + , jest asymptota uko6na krzywej ), = tedy i tylko wtedy, gdy istnieja granice wla6ciwe

lim

M = m.

ctAr

f jest ciqgla w pun

rim

[/(x)

-

mx] =

a

PUNKCIE Iim

l(x)

(,'-l

(

(_,

(,

Ii+r

f(r)

= f(ro) ,-L

dh**2

un,=,

14

2015-10-14

CIAGTOSE FUNKCJI W PUNKCI

.

9jqq1A56 funkcii- funkcja jest ciqgla w punkcie, jezeli warto66 funkcji w tym punkcie i granice lewo- i prawostronne w tym punkcie sq

sobie r6wne.

.

Funkcja jest ciEgla w pEedziale otwartym (skonczonym lub nieskohczonym), jezelij;st ciAgla w kazdym punkcie teg o ptzedzialu

Przvklad

I

Funkcja

.\(r-ll

jest ciEgla w przedzialach: r:l)

,

{ ...1| i

ll.+r

I

29

.

ctecrosc ruruxc.tt w putrtxcte Funkcja f(x) jest prawostronnie ciqgla w punkcie

xo je2eli spelniony

Jest warunek

(x) = .11.ri, ; .J11i .l

gdzie

.

'

+..;

oznacza, Ze x dqzy do x0 z prawei strony.

Funkcja f(x) jest lewostronnie ciqgta w punkcie xo jezeli spelniony jest warunek ,lrm /(.\i)= /G,)

gdzie

'

,

\: oznacza,2e x dqzy

do xo z lewej strony.

15

2015-10-14

CIAGLOSC FUNKCJI W PUNKCIE

, .

. .

Funkcja f(x) jest ciqgla w pnedziale domkniqtym [a;b] je2eli spelnia nastgpujEce warunki: jest ciqgla w przedziale (a; b) prawostronnie ciqgla w Punkcie a, lewostronnie ciqgla w punkcie b.

CIAGLOSC FUNKCJI W PUNKCIE

)

Je2eli funkcja l (.i nie jest ciqgla w punkcie xo, to xo nazywamy punktem n i ec i qgloi c i tej f u n kcj i

16

2015-10-14

GRANICE W NIESKONCZONOSCI

.

.

Funkcja y = f (x) ma w +oo (--) granice g , jezeli dla ka2dego ciagu (xn ) o wyrazach nalezacych do dziedziny funkcji i zbie2nego do +- 1--1, ciqg [f(x")] jest zbie2ny do liczby g .

Przyklad: Obliczmy granice funkcji f (x) = exp(x) na krancach dziedziny. Jak\ri.!tt{nDLcrd/'irt-c\pi\,hr'oiruc2q./rr)-,'tcitnrtcj{$tkt.dtrrr2r.ir.l

dzicdznrl l.rt zh6r li.zb rzccz.vNilrr[ 1),D, ri,nlnr m!2. z.dani. ],.$.d. oblicz.r:a gr.licy r..r n!,kcr i odpo\ i.dtr,o ( trlnus ipl,u oi.llotr.uo.oiri

rie do

B(u.,nr 11< o.! , \ ' ,rli. rc \,. - -! '.bhczin.) 3,.rn-q =' =o = ,liu'.

"' 'rlli"

A .logic2tri€dla ciiry lr, ) ,,rjl."

lrry

"

=" .

'!zt'i.2

.eo do pl$ !i
o'.ior2$,xtr'l

="

olli{2rntu q.:r gFnic

$.ro pq?or!ri.6 robi. Nyler

fi'n\c.ii

\r}tl!.ticz.j

17

2015-10-14

GRANICE FUNKCJI LICZYMY

't. Gdy x dq2y do nieskoticzono6ci- dzielAc wz6r funkcji pzez n,wyzszq potggg, w lakiej wystgpuje "n", lub najwyzszq potege "n" mianownika, jezeli wystQpuje ulamek, np.

.2

t*fJ=s':

IX -3 JX

37 00 f---l: tim = =

;_F

'--

*-r

0-l =0

x

35

GRANICE FUNKCJI LICZYMY

2.

W punkcie-, jezeli .jest to mo2liwe podstawiamy za X punkt, w kt6rym obliczamy granice, jezeli nie da rady (otrzymujemy symbol nieoznaczony) to musimy przeprowadzi1 przeksztalcenia wzoru. S4 162ne sposoby, ale najczq6ciej stosuje sig wzory skr6conego mnozenia lub kilka innych wlasnosci, np.:

.2 9 Itt I rr-Jrrr r-J r-+J r-J Llll \--'l

Jt

\?J

1B

2015-10-14

Jednostronnq- granicg lewo- lub prawostronnq w punkcie liczymy np. lewostronnE w punkcie 2 biorEc pod uwage punkty znajdujqce siQ z lewej strony dw6jki, wiec by to zrozumied najlatwiej jest podstawi6 jakas niewaele mniejszq liczbg zaX np. 1,8 potem 1,9, a nastepnie np. 1.99 i sprawdzi6, do jakiej wielko6ci dE2y funkcja z lewej strony w tym punkcie np.:

limJ: -r=o PodstawiajEc za X 4 otzymamy 1, zas 4,75- 0,5, podstawiajac 4,99 prawe zero. Nie jest tojakas fachowa metoda rozwiqzywania, ale przyklad na podstawie, ktorego mozna zrozumied granice lewo i prawo stronne.

DZTEKUJE ZA UWAGE

'19