MAT (2015-12-02) WYK8 Rachunk macierzowy

2015-12-02

WYKTAD VIII RACHUNEK MACIERZOWY

.

Macierza nazywamy prostokatnatablicq o ,,h" wierszach i ,,m" kolumnach. Zapisujemy jqw nastqpujqcej postaci:

{ otl 6t2 "' #1*n J ,{=l o'tl *l,z "'| #2rr, I

rub

Lo,'r, d"z

"'

':;;J

A=[?;;Jn*m

..,n

numer wiersza - pienruszy wskaZnik J = 1 ,... .,ffi numer kolumny - drugi wska2nik Wymiar macierzy (typ)jest n*m I = 1,...

1

2015-12-02

Do wyrazow danej macierzy A odwolujemy sig podajqc ich wsp6lrzgdne: piszemy A[i,y] wskazujEc na element stojqcy w r'-tym wierszu iy'-tej kolumnie. Macierze czgsto zapisujemy tez w postaci podkreslajqcej znaczenie jej wyrazow: (a,,)

' t

7^ t1

-t

t-*

7 5

.G

"2-

r,!,!

r:

1

Przyklad: lVlacierz

.l

::.:.:.

i: I [:

i

;i I Il ir {) ll 2{rrJ

ma wvmiar "3 na 4".

4t2,1]=-1 ,411,3] = lorazA[3,3] =9. kolum na

Z

2015-12-02

,5

:*

.

Rodzaje macierzy:

1. macierz kwadratowa , ktora ma tyle samo

@hr;,np.:

[-re +l { I -51

,4.=l

macierz 3*3

12 1 -1j

2. macierz zerowa, w ktorei wszvstkie l

e@i

lrr u r:l

,4:l ooIl

3. maqierz trFnsponoyv?na, ktora powstaje z

Lrt

[ fiJ

"'=l*

*"}

zamtany wterszy. na kolum-ny, jednoczeSnie nre zmtentaJEc tcn Kotejnosct. Zapisywana jest jako g?'

Przyklad: sl ,-[r 6: 6J s=14

macierz transPonowana to

3

2015-12-02

.

macierz diagonalna to taka macierz k w ktorej.nad przekqtnq i pod przekqtnq elementy sazeranii.

5. macierz iednostkowa

to taka to macrerz diagonalna, w.ktorej elementy na przekqtnej sq rowne liczbie

1'

przyklad:

j ,* =l I l:; '"*Lii il i j

I

6. macierz osobliwa to taka macterz kwadratowa,

@jestrownyzero. detA=O

7. macierz nieosobliwa

kwa

zera.

PrzYkladt

to taka macierz jest rozny , va,,I vv od

detA=-4

i-.., A-'li:'il -l.l t;j

-r *l : Przyktad: "-*it

l .-.

..

'|

I I

r;,|

Dzialania na macierzach 1. dodawanie macieruy

2. 3.

odejmowanie macierzy mno2enie macierzy a. prizez skalar b. przez macierz

4

2015-12-02

I

Dodawanie macie rzy Odejmowanie macie rzy

Dodawanie (i analogic znie odejmowanie) macierzy jest mozliwe tylko dla dwoch macierzy o takich samych wymiarach. Wynikiem dodawania macierzy jest macierz o takich samych wymiarach jak sktadniki.

Elementy macie rzy wynikowej sq sumE odpowiednich elementow skladnikow.

A=h,j]nr, , B=[b,,]n*, Sumq macierzy A+B nazywamy takq macierz C = [c,j]nr,

dla ktorej c,,=a,,+b,, dla (i= 1 ,2,. .. , n;j= 1 ,2, . . . ,m)

czyli

C-A+B-

,

[ai,+b',]n*,

hg ft22',142 Q11

r.

0lro

&tn

""h*1

*,r" -',I

I

.l.l

Lr,tl

*brot

{lnm .t

,,,

j

analogicznie defin iujemy odejmowanie: D=A-B= [a;;-bi;ln* macierzy A-B nazywamy takq macierz d = [di;ln*, , dla ktorej: D=A-B= [ai;-bi;ln*, ,'o

5

2015-12-02

Przyklady: . Dodawanie macierzy 2 na 3

I lt, [],:; ] .*l -f, ,,,, *-; ;J It : uj ,.,j

.

.

:1,[:, L+

s

+

*2

Hl r6J

Dodawanie macierzy 3 na 2 +l [:r +i oi

:

?l [: ]l [s ,l* l'l : ls ls rj 3J ;l

L3

L3

L6

Dodawanie macierzy 3 na 3

[t : ri [,, r -, ll,, Io tol lo l{) l-r x: ''l*1" I: -rl-,r L- "-] Lt I, 11" Iil Io.l l

Dodawanie macierzy jest przemienne i lqczne

. A+B=B+A . (A+B) +C=A+(B+C)

6

2015-12-02

Mno2enie macierzy przez skalar

. Mnozenie przez liczbg rzeczywistE polega na pomnozeniu kazdego elementu przeztq !iczbg. Mnozenie przez skalar jest przemienne

Dla ma cierzy A=[orln*, iloczynem cr.A nazywamy takq macierz C=[c;;ln*

*, 2e:

cij=cr,.aij

PrzykNad:

-] -rl [,: -r(, *+l Is +l-s r-r,l:l-:,, r: ',I Ir -5 ,..J l+ -3, :J F.(o.A)

- F.cr.A

7

2015-12-02

.

macierz odwrotma A-1 Jezeli dana jest macierz kwadratowa A to mowimy, ze jest ona odwracalna jezeli istnieje macierz B spetniajqca warunek:

,4.8*I Gdzie I to macierz jednostkowa. Czgsto macierz odwrotnq do A oznacza sig jako A1 Czyli

A'A-'

=I 15

Mn o2enie dwoch macierzy Mnozenie macierzy jest mohliwe dla Macierzy o odpowiednich wymiarach. Jezeli chcemy przeprowadzic mnozenie A.B to ,',i:,)11-,

1,,;.i. '.'.:.1,......;.." tt

,

:.

..

Wynikiem mnozenia macierzy macierz C o wym iarze nxm

....,

.

.,...^-.::.

A,nqhr, jest

c nxm

2015-12-02

.

DziaNanie mozna zilustrowac

.

Przyklad

T. .: li. ll L'

\i

:'

. r)

:r t.'

1

lr' 1,.

[: Ir

t..t,.i,.tl 't*i l,' J. a. 't.il l ltL'-

7

l1

lL+ 17

.

lloczynem macierzy A=[aii]nxp przez macierz B=[bii]p*m nazywamy takq macierz C=[c,j]n** piszemy C=A.B, 2e t.'

c,t =\ct,rb,.. A-l

dla i=l,2,...,nij=I,2,...,m

18

I

2015-12-02

Oblicz iloczyn macierzy :

::l

_1 r I ',-: jA{}, B- '-** l. .l -: ::

Otr.y^rny *Vrik zamien

na

,-..i

.l

+J

macierz

transponowanE.

i: A=i_r

Rozwiazanie:

ll

3t

4l

Ls tj B=[ 3 -1 : l L-: -i I ;J 7 I'll i-t

r*

AB=

(AB;T =

*31.

f*nt *zL : t rj II

f* tr*11

l:L r:

*LL *t

It

I

161

+

J

L3

1

-4"Ll rr rl"

3.*

4

1CI

2015-12-02

Przykl,ady nulo2enia macierzy:

",liTlliil r, ,r 1.1 ll

[:r;l

I 0 rl _ i;;i l:lj r,l ii ,. i r il -

: 1...--t lj d l)l

Lro2l

r

.

MnoZenie macierzy nie jest przemienne tzn. chcqc wykonac mnozenie B.A liczba kolumn macierzy B musi byc rowna liczbie wierszy macierzy A

A.B*B.A Mnozenie macierzy jes-t lqcznetzn. jeZeli dane sq macierze A, B, i C, to

A(Bc) = (AB)C

11

2015-12-02

Przvklad

'=[ll]

n=[' '1., =[: ,l Lr rJ [l r] \"/

ol [++.:l [-r A(B(',1: fr =

[: r] [z, ,l

(AB)('

:

2{}ol_

t:;lti tl /\

\-l

1,,,

[tu Ir:

;l

L:r .J."-L,

[+

;l ,l

--",1

[rrr uJ'

,j't

[:

=[,,

,,-l

rl

.{.A-'=l

Liczymy tylko dla macierzv kwadratowei Obliczyc macterz odwrotnq macierzy ANiech l',,

B--A ,=[",, Ih.,

[: :l *=1,-,1

I

]i.._]

Z definicji macierzy odwrotnej wynika, Ze

f

l::

1,,,1

t: il= [il] 24

12

2015-12-02

'

l-b,,

Czyli

:tr,, +5h,, Jh,, -1r,, I Il rfl = [:tr., *5h,. 3tr., - lr,,J l_,, lJ

1.,

I b,, lr,,

fz s l-

I

{r

[, - r J- {tl

[

'

Z rownosci macierzy wynika rownosc odpowiednich elementow

I th., +.5h." = {l 3h,, - h,. = 1; j6., - 5.- = 31i,, +5h,. =

1

Rozwiqzujqc te uktady rownan otrzymujemy: ljir

lr,.--. '- l-

L,, =::. "

l:

Macierz odwrotna ma

lr.,-' :r I-'

lr,,--

postac:

; l-

i

[a I- I r-llB= { I i *r |

|

_ _

I

125

Lr- r- l

WYZNACZNIK Jest to liczba rzeczywista jednoznacznie przypisywana macierzy

MACIERZ MUSI BYG KWADRATOWA Wyznacznikiem stopnia n macierzy kwadratowej o n wierszach i n kolumnach nazywamy tablicg utworzonq.z n2liczb a;;, gdzie a,, to elementy wyznacznika:

,.1

* 26

13

2015-12-02

1. n=1

a'rl ln l= lr,, l=detA=a,,

A=[

2. n=2

, [.',,,,,. I -r=l .I

L(I. ri/

_l

ln I = det A =

i'l'

'l ,i=

it'-t(/:

,,

1a22-a2ja12

i

2l

.

3. n=3

SCHEMAT SARRUSA

[t',,",,,',, I ^l=lr:r,/::(/:, l(/..(/,.(1.. L 1t \- \\_l

I I

DEtA= IA

=

?11

flZZQ;3*

?zzdzzalf apazt

t dzzdts - 3t sdzzazt?ee

28

14

2015-12-02

Przyklad -,

'n=2

.

--.,''

il

I -t'

:

It::l-, 4l*i.+ *2.:3**2 l, n=3

2 -rl [r II A- ls u rl

r : -r rlAl=detA= .\o {, r

[,, I -il

=1

0

-i

(-3) +2'10+31(-1)-00(-1)-23 (-3) -1.1 1=

14

.

Jezeli w wyznaczniku jeden wiersz lub jedna kolumna sklada siq z samych zer, to wyznacznik jest rowny zero. ()+ ll+

l)'

({} r-{l -r-{)) = ll,

Lr rH

[:.r; t: ls s n llr)

{l -r

ll

+.

(} " (l) + l) +- {)} ,.. ll

rillil

15

2015-12-02

Jezeli w wyznaczniku dwie kolumny lub dwa wiersze sq identyczne, to wyznacznik jest rowny zef o.

:

f

+

{l+-l * (l +{l+ 2} :

(},

[:

u:1 . I

= (rJ + 72 t 6$

* (.72+ (rJ + (r{l} :

11

lr

LJ

Jezeli w wyznaczniku przestawimy dwa wiersze lub dwie kolumny, to zmieni sig tylko jego znak.

:

{

+ 0+ -l

- (,*i + ll + 2} : -1.

{} rl [t tt U:i= , , i=l+(|+ti-(-t+9-r{}:l t')l L' - -_) l',

32

16

2015-12-02

Jezeli wszystkie elementy jakiegos wiersza (lub -zawierajq kolumny)

wyznacznika *"pOtny czynnik, to mozna go wylqczyc- przed znak wyznacznika.

[t ;I t--.---l

{ =lI!l=+l i il Ll,

Ir

J

33

{ ' = fr(*")'

[: Jl .{,=l

ll

L5

AD

-

.{l

= O to maclerz odwrotna do danel macierzy nre istnieje

macierz dopelnien

-

I

IJ

Dla macierzy 2x2

^=N] a lr

iit:-

*l.l:,,-;] =fi.[\s']

I sl r-Li-' \ t-l i :j

B=-{.

I

ft__r

rl _ln -l ri s -:

|

I

I

LI? r,,-l

17

2015-12-02

Zastosowanie macierzy Macierze mogE ulatwic rozwiqzywanie wielu problemow matematycznych. Naj prostszym przykladem wykorzystan ia macierzy jest rozwiqzywa n ie u ktadow rownan. Macierze znaldujq rowniez szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach techniki, takich jak informatyka, elektronika itd.

UKTAD ROWNAN LINIOWYCH

. 2x-y=2 - wykresem jest prosta ( w R2 ) . 2x+y+32=5 - wykresem jest ptas zczyzna (w R3) [,rrr,

+:1.11

+......+ir,\n - tr, I

. Jit,s,+it.r,+.......+irrrr-nrf [o.,r,

+ilrr, +.......+a,,r,,

= h,,J

(1)

Jest to uklad n rownan liniowych o n niewiadomy

1Q

2015-12-02

. lnny zapis ( macierzowy )

[",'

i,,,, lt{it-l L,,

,,

,/r] ,tt,, I

rr..

.t/.

tr ,., . tt

,,,,

Itl [hI

i,,,1

)

r-,

1.,

l=ir,

ilr trr + il . tr.

+ ....., + il} X0 = t)r

il.Il +il.I. .l-...,....l ilrtXr, = b" illll +.4.11.. +,..".,.4"il,,Ir, *. b-.

I

"] L/,. 1

A .iest danE macierzq wspoiczynnikow (rzeczywistych), B -- clanym u,ektorctr wyrazow w.olny ch (rzeczywistych), rvektorem nicu,iadorn.vch (rzeczvwistych).

X

A*

- uklad rownan Iiniowych

,r[,r,

kolumna rt Vfttzorr rr tt I nr,c h

,|:] Itozrvi4zr-r ja.c uklad ( 1 ) zapisLrierr-rv go

(3)

w postaci

il l,

rt

I

)

I

tll
19

2015-12-02

Uktad (1) nazywamy ukladem Cramera, jeSli wyznacznik det (A)# 0 -uklad jest ozna czony ,,,,.l f-,,,,,,,, '',^ ,lt,t .,1=ll' = "t''"t | | 1.,,

.

,"

- .,

rt,ltr.

br,tr,...rtr,, Itr{t

.....t'r.,,

iar

tlt,t .4, =

l) ,,i r ,,a. . {r

J

c{etA

.1

..

.u ,,,

"1, = (l

,r,

Ma dokladnie jedno rozwiqzanie detA, clet A,\"1 = ,l . ^.:-

dt't

tt .rh,

..tr r,,

,,tl),, "(l

,,,,

clu A"

.1

1

tlt't

.4

Je2eli macierz A.iest osobliwa. to uklad.iest albo sprzeczny albo nieoznaczonv. Metocla Kramera pozrvala na stwierdzenie. ktory z tych dw6ch przypadk6rv zachodzi. Je2eli macierz wspolczynnik6rv A.iest osoblir.va. a przyna.irnnie.l ,iedna z macicrzy nieosobliwa. to uklad .lrvnah.iest sprzeczn)' (nie ma 2adnego roz'i4zania'1.

. Uklady Cramera +.,, *

J.i..

1=l-,i

[-r

L,

\

l, .\ = l,',,. ,

'lcl''

i,r.

(i

!

i-'lnt

-l

[r ril,l',,1*, [.,.llrl Ir -rr ]J

I

-f-i

1.,-, +).r.:-i : lJ.,',

.iest

I lr:r

Przyktad: Rozwiqzac uktad rownan

[ '',*.\'-+\|-I

A,

't,'::

- postac macrerzowa

,J L- ,l

,

- mam dwie metody

1. metoda wzorow Cramera ( 2. metoda wzor6w macierzowych

20

2015-12-A2

r Ir il

, 2l,tlet.\-{--t+8+l)-(--l+2.r-J}=i*l=J

-t.. lt lr II

I

-+

_

I

r.\.,:l

r.1.,

.\.1

., .', l_tt

+ Lr', = -.r.'_-z-'tj*-'

il.'. r.-

-i

r-l-r,,,,

..

,

,

l.lwolnych

J-l ttrt.{, (-lr({}r(5})

*

lr I rl =| l' -ra 1l lr

t, rlef

l.]

I rl kolumng pienvszq zamieniamy kolumnq

[r

,'r-l : i _ r< L*2

rl

(1

wy tazow

,(a{t)rlr,j

- kolumngdrugqzamieniamy kolumnqwyrazowwotnych

"\. : (-2{}+ll+(-2)}-(-2t}}-(-J)--l

=6

+

fr,rl

{ |r I sl -kolumngtrzeciqzamieniamy kolumnqwyazow L-r r rl rlet.{,,:{2+(-2{}i+t}-t-l+(-2)+{-5)i:-lT+lI:{r

Rozwiqzaniem rownania liniowego

I

\l

'

-

Xr.. X,::''

tlef {, ' rlef \

i

-t -

i

.{.; .-,-2 6 -def,{ 3 rlet A -) _-_) -6 rlet

,

clet

A

I

i

L=

41

: r, .1..r. : I r, + ).r, =-.j I lJr', + r, + -lr',, = -' .1'l

.i

jest

wolnych

--

det

.\,

tltt ,\.

tlet.\,

..

=

.3

-(r

=6

't

J

21

2015-12-02

Isr,+2r,+r.:S Jzr,+ir,+r,:l [2.,*t,+Jr.:11

otlp.

I, = 2 r: = -2

-\,.

-

3

Historia MACIERZY P_ie

rwszym r macierzam i.bVtV prawd opod obn ie kwad raty

ggglczne 3x3, ktore w literatlrze chinskiei pojaw@ffirg juz ok. 650 p.n.e. tekst matematyczlly, powstgly migdzy ill W:fly:linski p.n.e= p.n wreKrem e. a llwrekiem ll wiekiem n.e. n.'e. Dziewrgc Dliewr Rozdzrblow o sztuce I,,r=iekiem g?EmF4-rlu sn uzycta macierzy uzycia macrerzy do ro2wiqzania rozwiqzania ukiadu'rownari ukladu rownan riniowibtr liniowvbh w '' rozdziale r-91!zi!e

znE

nffi

siodmym, zbvt Zbyt. ciu2o i nre co po raz pierwszy wprowadzond koncepcjQ wvznacznika, pi-awie 2000 t,at przed.yego publikacjq przez idrjoisklEqo matematyka Seki Kowa 1683 ii nielnl-egKieg-o niemieck-ig66 ma rn;IEm;r\il;h^m.ii"r.-i ^ix;H w KpW.a w i06s

@

22

2015-12-02

Kwadratymagic@

prawdopodobnie juZ w Vl I wieku, kiedy

9,?[?::1',3:I:n:.3re zdobycze matematyfi i'astr

matematykom, uie podbili

iprzejeri iOel ta dotarla do nich pizez chiny. pierurrsze t
6vtvffii"ili

Po opracowaniu teorii wyznacznikow (dzisiai mowimv o yyznacznj\ach macrerzy) pzez Seki Kowa iLeibniza pod konlqc XVI_lrryqkU qFllel rozwinql jq datej w XVilt wibku, znajdujqc..w roku 1750.wzory na iozwtqzahia uklacl6w rownan liniowych, nazwane po2niej wzoiami Cramera W XIX wieku znano wyznaczniki i oczywiscie kwadraty magiczne, dopiero jednak James Joseph

Termin "macierz" polawil sig po raz pierwszy w 1848, u|ylyo" przez Sylvestera.

23