mikro 1 - zajecia 5

MIKROEKONOMIA 1 wybór Natalia Starzykowska

Zadanie 1 Znajdź funkcje popytu (zależną od p1, p2 oraz dochodu m) dla następujących funkcji użyteczności:

• U = X1CX2D • Tekst prezentacji Dla funkcji Cobba-Douglasa optymalny wybór możemy policzyć ze wzoru: 𝑥1∗ 𝑥2∗

=

=

𝑐 𝑐+𝑑 𝑑 𝑐+𝑑

∗

∗

𝑚 𝑝1 𝑚 𝑝2

• U = min{aX1, bX2} Optymalne rozwiązanie znajduje się na wierzchołku, wiemy też, że cały dochód wydajemy 𝑎𝑥1 = 𝑏𝑥2 /: 𝑎 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 = 𝑚 𝑏

𝑝1

𝑥1

𝑥2 + 𝑎

𝑏 = 𝑥2 𝑎

𝑝2 𝑥2

= 𝑚 /∗ 𝑎

P1bx2 + ap2x2 = am X2 (p1b + ap2 ) = am 𝑥2∗ = 𝑥1∗ =

𝑎𝑚 𝑝1 𝑏+𝑎𝑝2 𝑏 𝑎𝑚 ∗ 𝑎 𝑝1 𝑏+𝑎𝑝2

Zadanie 1 Znajdź funkcje popytu (zależną od p1, p2 oraz dochodu m) dla następujących funkcji użyteczności:

• U = aX1+ bX2 • Tekst prezentacji Wiemy, że krzywa obojętności w optimum przecina ograniczenie budżetowe Rozwiązanie zależy od wartości MRS ! Jeżeli a = b (doskonałe 𝑥1 = substytuty)

𝑚 𝑔𝑑𝑦 𝑝1 < 𝑝2 𝑝1 𝑚 𝐽𝑎𝑘𝑎ś 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑝𝑜𝑚𝑖ę𝑑𝑧𝑦 0 𝑎 𝑔𝑑𝑦 𝑝1 = 𝑝2 𝑝 0 𝑔𝑑𝑦 𝑝1 > 𝑝2

Zadanie 1 Znajdź funkcje popytu (zależną od p1, p2 oraz dochodu m) dla następujących funkcji użyteczności: • U = 100X1+ X2– 0,5X12 Konstruujemy Lagrange’a • Tekst2 prezentacji 𝐿 = 100𝑥1 + 𝑥2 − 0,5𝑥1 − ℷ(𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 − 𝑚) 𝜕𝐿 = 100 − 𝑥1 − ℷ𝑝1 = 0 → 100 − 𝑥1 = ℷ𝑝1 𝜕𝑥1 𝜕𝐿 = 1 − ℷ𝑝2 = 0 → 1 = ℷ𝑝2 𝜕𝑥2 𝜕𝐿 = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 − 𝑚 = 0 𝜕ℷ 100−𝑋1 𝑃1

ℷ=

Więc 100 − 𝑋1 1 = 𝑃1 𝑃2

:

1 𝑃2

ℷ=

/∗ 𝑝1

𝑝1 100 − 𝑥1 = 𝑝2 𝑝1 −𝑥1 = − 100 𝑝2 𝑝1 ∗ 𝑥1 = 100 −

/∗ (−1)

𝑝2

Wstawiamy do ograniczenia i liczymy 𝑥2 ∗ 𝑝2 𝑥2 = 𝑚 − 𝑝1 𝑥1 𝑥2 ∗

𝑚 𝑝1 𝑚 𝑝1 𝑝1 2 = 100 − = − 100 + 2 𝑝2 𝑝2 𝑝2 𝑝2 𝑝2

Zadanie 2 Darek konsumuje lody truskawkowe i śmietankowe zawsze w tej samej proporcji, wywołuje to oczywiście śmiech wśród znajomych, którzy uważają go z tego względu za dziwaka. Na 2 kulki lodów truskawkowych zawsze dodaje 3 kulki śmietankowych, oczywiście interesują go także każde wielokrotności tych proporcji. Jaki jest wybór Darka, jeśli miesięcznie przeznacza on 150zł na lody, a kulka lodów truskawkowych kosztuje 9zł, zaś śmietankowych 4zł (proszę policzyć i nanieść rozwiązanie na odpowiedni wykres).

Zawsze w tej samej proporcji -> dobra komplementarne na 2T przypadają 3S UD= min (0,5T ; (1/3)S) m = 150 zł PT = 9 zł PS= 4 zł Dla uproszczenia możemy 2 gałki truskawkowe i 3 śmietankowe traktować jako jedno dobro (zestaw)

• Tekst prezentacji

• Cena zestawu: 2*9 = 3*4 = 18 + 12 = 30 • Na ile zestawów go stać? 150/30 = 5 zestawów • Czyli Darek zje 5*2 = 10 gałek truskawkowych 5*3 = 15 gałek śmietankowych

Zadanie 3 Natalia ma miesięczny dochód w wysokości 1000zł. Natalia przeznacza swój dochód na zajęcia z jogi i inne dobra. Funkcja użyteczności Natalii jest opisana przez funkcje U(c,y)=y0,25 c0,75, gdzie (y) jest ilością zajęć z jogi a (c) jest ilością pieniędzy (w zł) przeznaczonych na inne dobra (cena jednej jednostki c wynosi 1zł). Cena za lekcje jogi różni się w zależności od tego czy posiada się kartę „klubowicza” czy nie. Karta klubowicza kosztuje 100zł miesięcznie. Posiadacze karty płacą 5zł. a nie-posiadacze karty płacą 10 zł. za zajęcia.

1. Jaki jest optymalny, miesięczny, wybór Natalii jeśli nie wykupi karty „klubowicza”? 2. Czy Natalia powinna wykupić kartę? M = 1000 zł konsumuje: joga Inne dobra U(c,y)=y0,25 c0,75 y- joga Py st. = 10 zł c-gotówka Pc = 1

• Tekst prezentacji

• 1.

0,25 1000 𝑦 = ∗ = 25 𝑧𝑎𝑗ęć 1 10 0,75 1000 ∗ 𝑐 = ∗ = 750 𝑧ł 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑧𝑡ę 1 1 ∗

karta=100zł Py karta=5zł

• 2. po zakupie karty m = 900zł 0,25 900 ∗ 𝑦𝑘 = ∗ = 45 𝑧𝑎𝑗ęć 1 5 𝑐𝑘∗ = 0,75 ∗ 900 = 675 𝑧ł

Zadanie 3 Natalia ma miesięczny dochód w wysokości 1000zł. Natalia przeznacza swój dochód na zajęcia z jogi i inne dobra. Funkcja użyteczności Natalii jest opisana przez funkcje U(c,y)=y0,25 c0,75, gdzie (y) jest ilością zajęć z jogi a (c) jest ilością pieniędzy (w zł) przeznaczonych na inne dobra (cena jednej jednostki c wynosi 1zł). Cena za lekcje jogi różni się w zależności od tego czy posiada siękartę „klubowicza” czy nie. Karta klubowicza kosztuje 100zł miesięcznie. Posiadacze karty płacą 5zł. a nie-posiadacze karty płacą 10 zł. za zajęcia.

Musimy porównać użyteczność osiąganą w tych dwóch scenariuszach • Tekst prezentacji

Bez karty: U = 250,25 7500,75 = 320,4653 Z kartą: U = 450,25 6750,75 = 342,9896 Skoro użyteczność w opcji z kartą jest wyższa, niż bez, to Natalia powinna ją kupić.

Zadanie 4 Zastanawiasz się nad kupnem domku letniskowego. Cena domku jest uzależniona od odległości od lasu. Im bliżej lasu tym cena domu rośnie zgodnie z zależnością: cena=30000-400*d, gdzie d jest odległością od lasu w km. Twój całkowity majątek w gotówce wynosi M=500 000. Nie za bardzo lubisz wydawać pieniądze, ale lubisz przebywać w lesie.

• Można więc określić twoją użyteczność względem posiadanej gotówki i bliskości lasu jako: • 3.Tekst prezentacji U(M,d)=M-4d • Jeżeli nie kupisz domku letniskowego, musisz dojeżdżać do lasu 50km. Czy zdecydujesz się na kupno domku? Jeśli tak to na jaki domek się zdecydujesz ? Cena domku = 30000 – 400d d – odległość od lasu (w km) M = 500 000 U(M,d)=M-4d3 bez domku d = 50 km • Gdy nie mam domku U (M,d) = 500 000 – 4*503 = 500 000 – 4*125 000 = 0 Skoro bez domku jest tak źle, to najpewniej jakiś kupimy

Zadanie 4 Zastanawiasz się nad kupnem domku letniskowego. Cena domku jest uzależniona od odległości od lasu. Im bliżej lasu tym cena domu rośnie zgodnie z zależnością: cena=30000-400*d, gdzie d jest odległością od lasu w km. Twój całkowity majątek w gotówce wynosi M=500 000. Nie za bardzo lubisz wydawać pieniądze, ale lubisz przebywać w lesie.

• Budujemy Lagrange’a: • Tekst prezentacji Ograniczenie budżetowe Cena domku + gotówka = 500 000 500 000 – cena domku = M, które będzie w użyteczności L= 500 000 – (30000 – 400d)-4d3 L= 470 000 + 400d – 4d3 𝜕L = 400 − 12𝑑2 = 0 𝜕d 10 Wierzchołek paraboli d= = 5,77 𝑘𝑚 3

Kupimy domek, który znajduje się w odległości 5,77 km od lasu

Zadanie 5 Marta chce znaleźć pracę. Jej tata sugeruje jej aby osobiście wybrała się do sklepu i zapytała o posadę. Każda taka osobista aplikacja kosztuje ją 5 zł na transport oraz z poświęceniem 5 godzin na dojazd tam i z powrotem. Mama Marty namawia ją jednak do wysłania aplikacji pocztą co wiąże się z kosztem znaczka pocztowego 1 zł i poświęceniem 30 min. Marta może poświęcić tygodniowo 30 godzin i może wydać maksymalnie 50 zł.

• Jak wyglądają zbiór możliwości wyboru Marty? Na osi OX proszę zaznaczyć aplikacje osobiste a • Tekst prezentacji na osi OY aplikacje listowe. Jaki będzie wybór donny (tzn, na ile aplikacji listowych (L) i osobistych (O) się zdecyduje) jeśli jej preferencje do form poszukiwania pracy są opisane funkcją U(L,O)=L*O? Osobiście (O) poczta(L) budżet Dojazd 5zł znaczek 1zł 50 zł Czas 5h czas 0,5h 30h Funkcja użyteczności jest typu Cobba Douglasa. Czyli 1 𝑚 L= ∗ 0

2 𝑝2 1 𝑚 = ∗ 2 𝑝0

Zadanie 5 Marta chce znaleźć pracę. Jej tata sugeruje jej aby osobiście wybrała się do sklepu i zapytała o posadę. Każda taka osobista aplikacja kosztuje ją 5 zł na transport oraz z poświęceniem 5 godzin na dojazd tam i z powrotem. Mama Marty namawia ją jednak do wysłania aplikacji pocztą co wiąże się z kosztem znaczka pocztowego 1 zł i poświęceniem 30 min. Marta może poświęcić tygodniowo 30 godzin i może wydać maksymalnie 50 zł.

• Ceny składają się tu z dwóch czynników ( zł i h ) PO = 5 zł + 5h • Tekst prezentacji PL = 1zł + 0,5h Zł = c • Ograniczenie budżetowe O* (5c + 5h) + L * (1c + 0,5h) = 50c + 30h 1 50𝑐+30ℎ O= ∗ 2 5𝑐+5ℎ Tutaj ogranicza nas przede wszystkim czas, więc na L poświęcimy 0,5 * 30h = 15h czyli O* = 3 O* = 3 1 50𝑐+30ℎ L= ∗ 2

1𝑐+0,5ℎ

Tutaj ogranicza nas przede wszystkim c, czyli na O poświęcimy 0,5*50c = 25c, czyli L = 25

Zadanie 5 Marta chce znaleźć pracę. Jej tata sugeruje jej aby osobiście wybrała się do sklepu i zapytała o posadę. Każda taka osobista aplikacja kosztuje ją 5 zł na transport oraz z poświęceniem 5 godzin na dojazd tam i z powrotem. Mama Marty namawia ją jednak do wysłania aplikacji pocztą co wiąże się z kosztem znaczka pocztowego 1 zł i poświęceniem 30 min. Marta może poświęcić tygodniowo 30 godzin i może wydać maksymalnie 50 zł.

• W sumie przeniesiony koszt: •h Tekst prezentacji c O 15 15 L 25 12,5 suma 40 27,5 U=75 +1O +1L

5 1

5h-> niemożliwe, bo brakuje h 0,5h

• Z niewykorzystanego budżetu stać ją jeszcze na 5 aplikacji listownych, czyli O* = 3 L* = 25 + 5 = 30

Alternatywnie wpisujemy od razu taki budżet Jaki został 35𝑐+15ℎ L= 1𝑐+0,5ℎ

Czyli O* = 3 L* = 25 + 5 = 30

U = 90 !

Zadanie 6 Dochód Wojtka, który przeznacza na rozrywkę i edukację w danym tygodniu wynosi 120. Jego preferencje opisuje są następującą funkcją użyteczności U(R,E) = R0,6E 0,4. Cena jednej jednostki edukacji równa jest 3. Cena rozrywki zależy od liczby zakupionych jednostek. Pierwsze 20 jednostek rozrywki kosztuje 2, a każda następna jednostka kosztuje 1. Ile jednostek edukacji i rozrywki będzie konsumował Wojtek

M = 120 pe = 3 U(R,E) = R0,6E•0,4Tekst prezentacji pr = pierwsze 20 jednostek 2zł/szt Każda następna 1zł/szt • Sprawdźmy ile przeznaczy na edukację (prościej bo jedna cena) E* =

0,4 1

∗

120 3

= 16

• Ile nam zostało w budżecie? 120 – 16*3 = 120 – 48 = 72

• Ile teraz rozrywki może nabyć? Pierwsze 20 sztuk: 20*2 = 40 zł Zostało nam 72 – 40 = 32 zł 32szt / 1zł = 32 jednostki po 1zł R*= 20+ 32 = 52 U* = 52 0,6*16 0,4 = 32,45264