Nawrocki J - Matematyka cz. 1. Algebra i geometria analityczna

Jan Nawrocki

MATEMATYKA cz. 1 ALGEBRA i GEOMETRIA ANALITYCZNA

Politechnika Warszawska 2010

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Kierunek "Edukacja techniczno informatyczna" 02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel (22) 849 43 07, (22) 234 83 48 ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: [email protected]

Opiniodawca: prof. dr hab. Krzysztof CHEŁMIŃSKI Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI, Jan NAWROCKI

Publikacja bepłatna, przeznaczona jest dla studentów kierunku "Edukacja techniczno informatyczna"

Copyright © 2010 Politechnika Warszawska Utwór w całości ani we fragmentach nie moŜe być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.

ISBN 83-89703-39-4

Druk i oprawa: Drukarnia Expol P. Rybiński, J. Dąbek Spółka Jawna, 87-800 Włocławek, ul. Brzeska 4

Spis treści ALGEBRA I. Elementy logiki matematycznej i algebry zbiorów.......................... 7 Elementy logiki matematycznej ............................................................................. 8 Algebra zbiorów .................................................................................................. 10 II. Relacje i odwzorowania ................................................................. 17 Relacje................................................................................................................. 18 Odwzorowania i funkcje ...................................................................................... 20 III. Liczby zespolone i wielomiany zespolone ..................................... 25 Zbiór liczb zespolonych ....................................................................................... 26 Postać trygonometryczna liczby zespolonej ......................................................... 28 Wielomiany w dziedzinie zespolonej ................................................................... 32 Funkcje wymierne ............................................................................................... 34 IV. Przestrzeń liniowa ......................................................................... 37 Liniowa zaleŜność wektorów ............................................................................... 39 Baza i wymiar przestrzeni .................................................................................... 40 V. Macierze i wyznaczniki .................................................................. 43 Macierze.............................................................................................................. 44 Wyznaczniki........................................................................................................ 46 Macierz odwrotna ................................................................................................ 50 VI. Równania liniowe........................................................................... 55

GEOMETRIA ANALITYCZNA VII. Przestrzeń metryczna i unormowana, iloczyny wektorów............ 63 Przestrzeń metryczna ........................................................................................... 64 Przestrzeń unormowana ....................................................................................... 67 Iloczyn skalarny................................................................................................... 68 Iloczyn wektorowy .............................................................................................. 70 Iloczyn mieszany ................................................................................................. 72 VIII. Płaszczyzna i prosta w R3............................................................. 77 Płaszczyzna w R3 ................................................................................................. 78 Prosta w R3 .......................................................................................................... 80 Wzajemne połoŜenie prostych i płaszczyzn.......................................................... 82 IX. Powierzchnie stopnia drugiego ..................................................... 87 Powierzchnie obrotowe........................................................................................ 89 Powierzchnie prostokreślne.................................................................................. 92 Literatura ..................................................................................... 101

Przedmowa Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej finansowanego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są dla studentów pierwszego roku studiów inŜynierskich kierunku nauczania „Edukacja techniczno-informatyczna” prowadzonych na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej. Swoim zakresem obejmują pierwszą część tematyki określonej w programie studiów dla przedmiotu pn. „Matematyka” opisanym w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu. Jest to przedmiot z grupy przedmiotów podstawowych. W planie studiów przewidziano jego realizację na pierwszym i drugim roku studiów. Na pierwszym semestrze są to dwa wykłady 30-godzinne i 15-godzinne ćwiczenia dla kaŜdego z nich: 1. Matematyka cz. 1 – Algebra i geometria analityczna, 2. Matematyka cz. 2 – Analiza 1. Na drugim semestrze 2 wykłady 30-godzinne i 30 -godzinne ćwiczenia dla kaŜdego wykładu: 3. Matematyka cz. 3 – Analiza 2, 4. Matematyka cz. 4 – Szeregi funkcyjne i równania róŜniczkowe zwyczajne. Na trzecim semestrze 30 - godzinny wykład: 5. Matematyka cz. 5 – Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej. Niniejsze materiały przeznaczone są dla studentów pierwszego semestru. Skrypt ten zawiera podstawowe treści z algebry i geometrii analitycznej potrzebne studentom wydziałów technicznych Politechniki Warszawskiej. Postanowiłem pominąć niektóre dowody, starając się jednocześnie ilustrować kaŜde twierdzenie przykładem. NajwaŜniejsze definicje i wszystkie twierdzenia zostały zapisane w ramkach, co pozwala studentom zwrócić uwagę na te waŜne w matematyce zdania. Komentarze przy rozwiązywaniu zadań są oszczędne, starałem się jednak odwoływać do twierdzeń, wniosków i uwag podanych wcześniej; uŜywam oznaczenia T na twierdzenia, W na wnioski i U na uwagi podając numer po literze, przed literą oddaję rzymski numer rozdziału, w którym znajduje się dane twierdzenie, wniosek lub uwaga. Komentarze podaję takŜe w specjalnych nawiasach w ciągu wywodów, aby skrócić zapisy.

I

Elementy logiki i algebry zbiorów

ROZDZIAŁ I

Elementy logiki matematycznej

Zdaniem prostym w matematyce nazywamy takie zdanie proste w sensie gramatycznym, o którym moŜna orzec, czy jest prawdziwe, czy fałszywe. Zdania proste oznaczamy literami: p, q, r, ... . JeŜeli zdanie p jest prawdziwe, to przypisujemy mu wartość logiczną 1 (piszemy wtedy w(p)=1), jeśli zaś p jest zdaniem fałszywym, to przypisujemy mu wartość logiczną 0 (piszemy wtedy w(p)=0 ). Aby ze zdań prostych otrzymać zdania złoŜone uŜywamy tzw. funktorów (spójników) zdaniotwórczych. Funktory te, to: negacja, alternatywa, koniunkcja, implikacja i równowaŜność. 1. Negacja: p' (albo ~p) będzie oznaczać negację zdania p, tzn. zdanie: „nie p” (albo „nieprawda, Ŝe p”), którego wartość logiczna podana jest w tabeli: p 0 1

p' 1 0

2. Alternatywa: p ∨ q będzie oznaczać alternatywę zdań p i q (czytaj „p lub q”), czyli zdanie złoŜone, którego wartość logiczna podana jest w tabeli: p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p∨q 0 1 1 1

3. Koniunkcja: p ∧ q będzie oznaczać koniunkcję zdań p i q (czytaj „p i q”), czyli zdanie złoŜone, którego wartość logiczna podana jest w tabeli: p 0 0 1 1

Strona 8

q 0 1 0 1

p∧q 0 0 0 1

ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW 4. Implikacja: p ⇒ q będzie oznaczać implikację zdania q ze zdania p (czytaj: „jeśli p, to q” lub „z p wynika q”), czyli zdanie złoŜone, którego wartość logiczna podana jest w tabeli: p q p⇒q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 5. RównowaŜność: p ⇔ q będzie oznaczać równowaŜność zdań p i q (czytaj „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”), czyli zdanie złoŜone, którego wartość logiczna podana jest w tabeli: p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p⇔q 1 0 0 1

Przykład 1. Niech zdanie p będzie: „2 + 2 = 7” zaś zdanie q: „4 + 4 = 8”, wtedy zdania p', p ∨ q, p ⇒q są prawdziwe, zaś zdania p ∧ q i p ⇔ q są fałszywe. W matematyce często mamy do czynienia ze zdaniami, które są prawdziwe niezaleŜnie od tego, jaką wartość logiczną mają zdania proste. Zdania złoŜone, które są prawdziwe bez względu na to, jaką wartość logiczną mają zdania proste składowe nazywamy prawami rachunku zdań lub tautologiami. NajwaŜniejszymi tautologiami ze względu na ich zastosowanie w matematyce są: 1. (p ∨q)′ ⇔ p′∧ q′ - I prawo de Morgana, 2. (p ∧ q)′ ⇔ p′∨ q′ - II prawo de Morgana, 3. [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) - prawo sylogizmu, 4. (p ⇒ q) ⇔ (q′⇒ p′) - prawo kontrapozycji, 5. (p ⇒ q)′ ⇔ p ∧ q′ - prawo negacji implikacji, 6. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) - rozdzielność koniunkcji względem alternatywy, 7. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) - rozdzielność alternatywy względem koniunkcji. W matematyce mamy do czynienia nie tylko z pojedynczymi zdaniami, lecz równieŜ ze zbiorami zdań, które w logice nazywamy formami zdaniowymi , a w matematyce warunkami . Formę zdaniową zaleŜną od jednej zmiennej x , przyjmującej wartości z pewnego zbioru X, oznaczamy: p(x). Przykładem formy zdaniowej jest następujący zbiór zdań: x 2 − 5 x + 6 < 0,

x ∈ ℜ.

Łatwo moŜemy ustalić zbiór tych x, dla których zdanie jest prawdziwe; jest to przedział otwarty: (2 , 3). Strona 9

ROZDZIAŁ I Uogólnieniem na formy zdaniowe funktora alternatywy jest tzw. kwantyfikator szczegółowy o symbolu : ∃ . Zapis postaci : ∃x : p(x) oznacza zdanie: „istnieje taka wartość zmiennej x, Ŝe zdanie p(x) jest prawdziwe” albo „istnieje takie x , dla którego zachodzi p(x)”. Jeśli X = {x1, x2, .... , xn } , to zdanie : „∃x : p(x)” jest równowaŜne zdaniu:

„ p (x1) ∨ p(x2) ∨ ... ∨ p(xn)”.

Uogólnieniem na formy zdaniowe funktora koniunkcji jest tzw. kwantyfikator ogólny o symbolu: ∀ . Zapis postaci: ∀x : p(x) oznacza zdanie: „dla kaŜdej wartości zmiennej x zdanie p(x) jest prawdziwe” albo „dla kaŜdego x zachodzi p(x)”. JeŜeli X = {x1, x2, ... , xn}, to zdanie: „∀x : p(x)” jest równowaŜne zdaniu:

„p(x1) ∧ p(x2) ∧ ... ∧ p(xn)”.

Przykład 2. Zdanie prawdziwe z uŜyciem kwantyfikatora szczegółowego: ∃x ∈ ℜ: x2 - 1 = 0.

∀x ∈ ℜ: x2 + 1 > 0. Zdanie fałszywe z uŜyciem kwantyfikatora szczegółowego: ∃n ∈ N : n2 = 7. Zdanie fałszywe z uŜyciem kwantyfikatora ogólnego: ∀n ∈ N : (n + 1)2 = n2 + 1. Zdanie prawdziwe z uŜyciem kwantyfikatora ogólnego:

Do najczęściej stosowanych w matematyce tautologii dla rachunku kwantyfikatorów naleŜą uogólnione prawa de Morgana: 1. 2.

( ∀x : p(x) )′ ⇔

( ∃x : p(x) )′ ⇔

∃x : p′(x); ∀x : p′(x).

Algebra zbiorów

Pojęcie zbioru jest w matematyce tzw. pojęciem pierwotnym , tzn. takim, którego nie definiujemy, ale którego sens jest intuicyjnie zrozumiały. Zbiory będziemy oznaczać duŜymi literami, zaś ich elementy małymi literami. PrzynaleŜność elementu do zbioru jest takŜe pojęciem pierwotnym. Zdanie: „element a naleŜy do zbioru A” zapisujemy następująco: „a ∈ A”. Negację tego zdania: „element a nie naleŜy do zbioru A’’ zapisujemy: „ a ∉ A’’. Podamy teraz oznaczenia zbiorów szczególnych: N = {1,2,3, ... } − zbiór liczb naturalnych, N0 − zbiór liczb naturalnych z zerem, Z − zbiór liczb całkowitych, Q − zbiór liczb wymiernych, ℜ − zbiór liczb rzeczywistych, C − zbiór liczb zespolonych. Strona 10

ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW

Zbiór A jest podzbiorem zbioru B, jeŜeli kaŜdy element zbioru A naleŜy do zbioru B. Mówimy teŜ wtedy, Ŝe zbiór B zawiera zbiór A, lub, Ŝe zbiór A zawiera się w zbiorze B. Zawieranie się jednego zbioru w drugim nazywamy równieŜ inkluzją zbiorów i oznaczamy symbolem ⊂ . Definicję zawierania się zbiorów moŜna zapisać następująco: A⊂B ⇔ (∀a∈A : a∈A⇒a∈B), lub krócej: A ⊂ B ⇔ ( ∀ a ∈ A : a ∈ B ). Dwa zbiory A i B nazywamy równymi (co zapisujemy: A = B), jeŜeli kaŜdy z nich jest podzbiorem drugiego, zatem A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) lub A = B ⇔ [∀a ∈ A : (a ∈ A ⇔ a ∈ B)]. W matematyce dla kaŜdego zagadnienia ustala się pewien zbiór zawierający wszystkie inne zbiory występujące w tym zagadnieniu. Zbiór taki nazywamy przestrzenią i oznaczamy literą Ω. Wtedy podzbiór A przestrzeni Ω moŜemy zdefiniować podając warunek p(x), który spełniają wszystkie elementy x tego zbioru i tylko te elementy: A : = {x ∈ Ω : p(x)}. Oto kilka przykładów takiego definiowania zbiorów: {x ∈ ℜ : x2 < 1} = (-1,1), {x ∈ N : x2 < 8} = {1,2}, {x ∈ ℜ : 2x + 1 > 7} = (3,+∞). Zbiór nie zawierający Ŝadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem ∅, tak więc ∅ : = {x ∈ Ω : x ∉ Ω }. Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni Ω nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni Ω, które nie naleŜą do zbioru A. Oznaczając dopełnienie zbioru A symbolem A’ moŜemy napisać: A′ : = {x ∈ Ω : x ∉ A}.

Zbiór, którego elementami są wszystkie podzbiory przestrzeni Ω nazywamy rodziną podzbiorów przestrzeni Ω i oznaczamy symbolem 2Ω, tak więc A ⊂ Ω ⇔ A ∈ 2Ω. Strona 11

ROZDZIAŁ I Własności: 1. A ⊂ A; 2. (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C); 3. ∀A ∈ 2Ω : ∅⊂ A; 4. ∅′= Ω , Ω′=∅. Dla zbiorów A,B ∈ 2Ω określamy ich sumę mnogościową, iloczyn mnogościowy i róŜnicę mnogościową. Unią (sumą mnogościową) zbiorów A,B ∈ 2Ω nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni Ω , które naleŜą do zbioru A lub do zbioru B. Oznaczając unię zbiorów A i B symbolem A ∪ B moŜemy napisać: A ∪ B : ={x ∈ Ω : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Sumowanie mnogościowe zbiorów jest przemienne i łączne, tzn.

∀ A, B, C ∈ 2Ω

:

A∪B=B∪A

i

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C.

Przekrojem (iloczynem mnogościowym) zbiorów A,B ∈ 2Ω nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni Ω , które naleŜą do jednego i do drugiego zbioru. Oznaczając przekrój zbiorów A i B symbolem A ∩ B moŜemy napisać: A ∩ B : = {x ∈ Ω : x ∈ A ∧ x ∈ B }.

Strona 12

ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW TakŜe iloczyn mnogościowy zbiorów jest przemienny i łączny, tzn.

∀ A,B,C ∈ 2Ω

:

A∩B = B∩A

i

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Ponadto iloczyn mnogościowy jest rozdzielny względem sumy mnogościowej:

∀ A,B,C ∈ 2Ω

:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ,

oraz suma mnogościowa jest rozdzielna względem iloczynu mnogościowego:

∀ A,B,C ∈ 2Ω

:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

RóŜnicą (róŜnicą mnogościową) zbiorów A,B ∈ 2Ω nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni Ω , które naleŜą do zbioru A i nie naleŜą do zbioru B. Oznaczając róŜnicę zbiorów A i B symbolem A\B moŜemy napisać: A \ B : = { x ∈ Ω : x ∈ A ∧ x ∉ B }.

Oprócz podanych wcześniej własności działań na zbiorach, podamy jeszcze kilka. JeŜeli A, B, C ∈ 2Ω , to: 1. A ∩ B ⊂ A , A ∩ B ⊂ B; 2. A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B; 3. A ∪ A′ = Ω, A ∩ A′ =∅; 4. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ - prawo de Morgana dla dopełnień; 5. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ - prawo de Morgana dla dopełnień; 6. A \ B ⊂ A; 7. A ⊂ B ⇒ A \ B =∅; 8. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) - prawo de Morgana dla róŜnic zbiorów; 9. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) - prawo de Morgana dla róŜnic zbiorów. Przykład 3. Wykazać, Ŝe A ∩ B ⊂ A. Z określenia inkluzji oraz przekroju zbiorów wynika, iŜ naleŜy wykazać, Ŝe zdanie:

∀x∈Ω : (x ∈ A

∧ x ∈ B) ⇒ x ∈ A jest prawdziwe. Jeśli oznaczymy przez p zdanie:„x ∈ A” zaś przez q zdanie: „x ∈ B”, to wystarczy sprawdzić, czy zdanie: „p ∧ q ⇒ p” jest tautologią.

Strona 13

ROZDZIAŁ I p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p∧q p∧q⇒p 0 1 0 1 0 1 1 1

Zdanie to jest tautologią, więc dla kaŜdego x zdanie: (x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇒ x ∈ A jest prawdziwe, a więc A ∩ B ⊂ A . Przykład 4. Wykazać, Ŝe A\ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C). x ∈ [ A \ (B ∪ C)] ⇔ [ x ∈ A ∧ x ∉ (B ∪ C)] ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪C)′] ⇔ ⇔[x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)′ ]. Wykorzystując I prawo de Morgana, ostatnie zdanie piszemy w postaci równowaŜnej: [x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C)] ⇔ [x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C] ⇔ ⇔ [x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A ∧ x ∉ C] ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C)] ⇔ ⇔]x ∈ (A \ B) ∧ x ∈ (A \ C)] ⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Wykazaliśmy więc, Ŝe ∀x∈Ω : x ∈ [A \ (B ∪ C)] ⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C) zatem A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).

Strona 14

ELEMENTY LOGIKI I ALGEBRY ZBIORÓW

Ćwiczenia 1. Sprawdzić, czy prawdziwe są następujące zdania: a) Jeśli 2 dzieli 5, to 7 dzieli 9; b) 2 + 2 = 5 lub jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 2 = 6; c) jeśli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, iŜ a nie dzieli się przez 3, wynika, Ŝe a nie dzieli się przez 5. 2. Sprawdzić, czy następujące zdania są tautologiami: a) p ⇔ (p)′ ; b) (p ⇒ q) ⇔ (p′ ∨ q) ; c) p′ ⇒ (p ⇒ q) ; d) (p ⇒ q) ⇒ [ p ⇒ (q ∨ r)] ; e) [(p ∨ q) ⇒ (p ∨ q′)] ⇒ p′ ∨ q . 3. Wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A dla następujących zbiorów A i B. a) A = {a, b, c, e, f}, B = {a, c, e}. b) A = {1, 3, 5, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 7, 8}. c) A = { n ∈ N : n < 4}, B = {n ∈ N : n ≥ 4}. d) A = { x ∈ ℜ : x2 ≥ 0}, B = {x ∈ ℜ : x ≥ 0}. e) A = { x ∈ ℜ : x2 − x − 2 = 0}, B = { x ∈ ℜ : x (x − 2) ≥ 0}. 4. Wykazać, Ŝe dla dowolnych zbiorów A, B, C∈2Ω zachodzą relacje: a) A⊂B ⇒ A∩B = A. b) (A∪B)−C = (A−C)∪(B−C). c) (A\B = B\A) ⇒ A = B. d) (A⊂B) ⇒ (C\B ⊂ C\A).

Strona 15

ROZDZIAŁ I

Strona 16

II

Relacje i odwzorowania

ROZDZIAŁ II

Relacje

RozwaŜmy dwuelementowy zbiór A = {a, b}. Rodziną wszystkich jego podzbiorów będzie zbiór czteroelementowy 2A = { φ , {a}, {b}, {a,b}}. Dwuelementową podrodzinę tej rodziny złoŜoną ze zbiorów: {a} i {a,b} nazywamy parą uporządkowaną elementów a i b i oznaczamy symbolem (a, b). Element a nazywamy poprzednikiem (albo pierwszą współrzędną) a element b następnikiem (albo drugą współrzędną) pary (a, b). Dwie pary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich poprzedniki i ich następniki są równe, a więc [(a, b) = (c, d)]⇔ [a = c ∧ b = d]. Oczywiste jest, Ŝe gdy a ≠ b , to (a, b) ≠ (b, a). Pojęcie pary uporządkowanej uogólniamy na większą liczbę elementów (współrzędnych), np. uporządkowaną trójkę elementów a, b, c określamy następująco: (a, b, c) : = ( (a, b), c). Wykorzystując definicję pary uporządkowanej, wprowadzimy bardzo waŜne w matematyce pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Iloczynem kartezjańskim niepustego zbioru A przez niepusty zbiór B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie pary uporządkowane o poprzednikach ze zbioru A i następnikach ze zbioru B. Oznaczając iloczyn kartezjański zbioru A przez zbiór B symbolem A × B mamy: A × B : = { (a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B }. W szczególności, gdy A = B, iloczyn A × A oznaczamy A2 i nazywamy kwadratem kartezjańskim zbioru A, a więc A2 : = {(a, b) : a,b ∈ A}. JeŜeli A ≠ B, to A × B ≠ B × A. Przykład 1. Jeśli A = {1, 2, 3}, B = {5, 6}, to A × B = {(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}, oraz B × A = {(5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3)}. Strona 18

RELACJE I ODWZOROWANIA

Przykład 2. Niech A będzie odcinkiem [−1,1] a B odcinkiem [3,5] , wtedy A × B i B × A mogą być interpretowane na płaszczyźnie XOY jako kwadraty: A × B = {(x,y) : x ∈ [-1,1] ∧ y ∈ [3,5]}, B × A = {(x,y) : x ∈ [3,5] ∧ y ∈ [-1,1]}.

Przykład 3. Jeśli A = ℜ, to ℜ2 = {(x,y) : x ∈ ℜ ∧ y ∈ ℜ}, tak więc kwadrat kartezjański zbioru liczb rzeczywistych jest płaszczyzną. Analogicznie ℜ3 = {(x,y,z) : x ∈ ℜ ∧ y ∈ ℜ ∧ z ∈ ℜ} jest przestrzenią trójwymiarową. Relacją dwuargumentową między elementami zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór R iloczynu kartezjańskiego A × B. Jeśli A = B, to zbiór R ⊂ A2 nazywamy relacją określoną w zbiorze A. Zdanie „a jest w relacji R z b” oznaczamy: (a, b) ∈ R lub aRb. Często literę R zastępujemy symbolem graficznym danej relacji (np. ≤, >, ⊥) jak to widać w następnym przykładzie. Przykład 4. RozwaŜmy trzy podzbiory R1, R2 i R3 kwadratu kartezjańskiego ℜ2 takie, Ŝe:

R1 ⊂ ℜ2 określa relację większości w zbiorze ℜ , bo x R1 y ⇔ x > y . R2 ⊂ ℜ2 określa relację równości w zbiorze ℜ, bo x R2 y ⇔ x = y . R3 ⊂ ℜ2 określa relację mniejszości w zbiorze ℜ, bo x R3 y ⇔ x < y . Dziedziną relacji R ⊂ A × B nazywamy zbiór DR ⊂ A, który definiujemy następująco: DR : = {a ∈ A :

∃b∈B

: a R b}.

Strona 19

ROZDZIAŁ II Za pomocą relacji wprowadza się w matematyce wiele podstawowych pojęć. Określimy teraz fundamentalne pojęcie, jakim jest odwzorowanie i funkcja.

Odwzorowania i funkcje Niepustą relację ƒ ⊂ A × B, taką, Ŝe: 10. ∀a ∈ A ∃ b∈ B : aƒ b, 20. ∀a ∈ A ∀ b1,b2 ∈ B : (aƒ b1 ∧ aƒ b2) ⇒ b1 = b2, nazywamy odwzorowaniem (funkcją) zbioru A w zbiór B i oznaczamy następująco:

ƒ : A → B. W przypadku odwzorowań zamiast oznaczenia (a,b) ∈ ƒ ⇔ aƒ b, uŜywamy zapisu b = ƒ(a) , wtedy b nazywamy obrazem elementu a w odwzorowaniu ƒ , albo wartością odwzorowania ƒ na elemencie a , zaś a ∈ Dƒ nazywamy argumentem odwzorowania ƒ . Czasami a∈ Dƒ nazywamy zmienną niezaleŜną, zaś b =ƒ(a) zmienną zaleŜną odwzorowania ƒ.

Odwzorowanie f : A →ℜ nazywamy funkcjonałem rzeczywistym, w szczególności: - gdy A ⊂ ℜ, to jest to funkcja rzeczywista jednej zmiennej rzeczywistej; - gdy A ⊂ ℜ2 , to jest to funkcja rzeczywista dwóch zmiennych (rzeczywistych); - gdy A ⊂ ℜ3 , to jest to funkcja rzeczywista trzech zmiennych (rzeczywistych); - gdy A = N , to jest to ciąg liczbowy nieskończony. Przykład 5. Sprawdzić, czy relacja R ⊂ ℜ2 jest funkcją, jeŜeli xRy ⇔ x2 = y2 . Sprawdzamy, czy prawdziwe jest następujące zdanie:

∀x ∈ ℜ ∃ y,z ∈ ℜ :

(x2 = y2 ∧ x2 = y2) ⇒ (y = z)

Łatwo wskazać takie x, y, i z , dla których implikacja jest fałszywa. Jeśli x = y = 1 , z = −1 , to x2 = y2 ∧ x2 = z2 , zaś y ≠ z. Tak więc dana relacja nie jest funkcją. Przykład 6. Sprawdzić, czy relacja R ⊂ ℜ 2 jest funkcją, jeŜeli xRy ⇔ x2 = y + 1. Sprawdzamy, czy prawdziwe jest zdanie:

∀x ∈ ℜ ∃ y,z ∈ ℜ

: (x2 = y + 1 ∧ x2 = z + 1) ⇒ (y = z).

PoniewaŜ x2 = y + 1 i x2 = z + 1, więc y + 1 = z + 1, czyli y = z, zatem zdanie to jest prawdziwe. Strona 20

RELACJE I ODWZOROWANIA Mamy ponadto ∀x ∈ ℜ ∃y = x2 − 1 : xRy (⇔ x2 = x2 − 1 + 1) , czyli dana relacja jest funkcją (jest to funkcja określona wzorem y = x2 − 1). Aby określić pewne szczególne własności funkcji, wprowadzimy pojęcie przeciwdziedziny (zbioru wartości funkcji). Przeciwdziedziną funkcji ƒ : A → B nazywamy zbiór ƒ(A) zdefiniowany następująco:

ƒ(A) = { b ∈ B :

∃a∈A

: b = ƒ(a)}.

Określimy teraz trzy rodzaje funkcji za pomocą ich podstawowych własności. Funkcję ƒ : A → B , której przeciwdziedzina jest identyczna ze zbiorem B (tzn. B = ƒ(A)), nazywamy funkcją „na” (zbiór B) lub suriekcją .

Funkcję ƒ : A → B , która spełnia warunek lewostronnej jednoznaczności :

∀a,a′ ∈ A

: ( a ≠ a′ ) ⇒ [ f(a) ≠ f(a′ )]

nazywamy funkcją róŜnowartościową lub iniekcją.

Funkcję ƒ jednocześnie suriektywną i iniektywną nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją (zbioru A na zbiór B) i oznaczamy: ƒ : A ←→ B. Zbiór wszystkich odwzorowań postaci f: A → B będziemy oznaczać BA ( zapis f∈BA oznacza, Ŝe f jest funkcją o dziedzinie A i przeciwdziedzinie B).

Przykład 7. Zbadać rodzaj funkcji ƒ : N2 → N , gdzie ƒ (n,k) = min(n,k). Funkcja ta jest „na” zbiór N , bo

∀m ∈ N ∃(m, m+1)

∈ N2 : ƒ(m,m+1) = m ,

tzn. kaŜda liczba naturalna m jest obrazem pary (m,m+1). Nie jest to funkcja róŜnowartościowa, bo np. ƒ(1,2) = ƒ(1,3) , zaś (1,2) ≠ (1,3). Zatem ƒ jest funkcją „na” (suriekcją). Przykład 8. Zbadać, czy funkcja ƒ : ℜ → ℜ , gdzie ƒ(x) = x3 , jest bijekcją ? Funkcja ta jest „na”, poniewaŜ dla kaŜdego y ∈ ℜ, istnieje x = 3 y . Jest to takŜe funkcja róŜnowartościowa, bo jeśli x ≠ x′ , to x3 ≠ (x′)3 , zatem f jest bijekcją.

Strona 21

ROZDZIAŁ II Do tworzenia funkcji o bardziej złoŜonej budowie uŜywa się, oprócz operacji arytmetycznych, takŜe operacji składania (superpozycji) funkcji. Superpozycją (złoŜeniem) funkcji: f : A → B i funkcji g : B → C nazywamy funkcję, którą oznaczamy g o f , spełniającą warunek:

∀a ∈ A

: (g◦f)(a) = g[ƒ(a)].

Za pomocą tego pojęcia moŜemy zdefiniować funkcję odwrotną do danej. Funkcją odwrotną do funkcji ƒ : A → B nazywamy funkcję ƒ warunki:

∀a ∈ A

: (ƒ −1◦ƒ)(a) =a ;

∀ b∈B

−1

: B → A spełniającą

: (ƒ◦ƒ −1)(b) =b.

Dla funkcji tych mamy następujące twierdzenia. Twierdzenie 2. Funkcja ƒ : A → B ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy ƒ jest bijekcją.

Twierdzenie 3. JeŜeli funkcje f i g są bijekcjami i f : A ↔ B , a g : B ↔ C , to równieŜ ich ƒ jest bijekcją ( zbioru A na zbiór C) oraz zachodzi równość: superpozycja g◦ƒ (g◦ƒ ƒ)−1 = ƒ−1◦g−1.

Przykład 9. JeŜeli f : ℜ → ℜ dane jest wzorem: f(x) = x3 + 1 , zaś g : ℜ → ℜ dana jest wzorem: g(x) = x3 , to g◦f : ℜ→ ℜ i (g◦f)(x) = g[f(x)] = (x3 + 1)3 = x9 + 3x6 + 3x3 +1 oraz f◦g : ℜ → ℜ i Na ogół więc: f◦g ≠ f◦g.

Strona 22

(f◦g)(x) = f[g(x)] = (x3)3 + 1 = x9 + 1 .

RELACJE I ODWZOROWANIA

Ćwiczenia 1. Naszkicować w układzie współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie zbiory A × B i B × A, jeŜeli: a) A = {x ∈ ℜ : |x| = x}, B = {y ∈ ℜ : y > 0}; b) A = {x ∈ ℜ+ : log2x > 0}, B = {y ∈ ℜ : 0 < y ≤ 1}; c) A = {x ∈ ℜ : x < 1 ∨ x > 2}, B = {y ∈ ℜ : y < 0}. 2. Wyznaczyć iloczyn kartezjański A × B i B × A dla następujących zbiorów A i B: a) A = {a, b, c,} , B = {1, 2}; b) A = {1} , B= {1, 2, 3, 4}; c) A = {0, 2, 4}, B = {1, 3, 5}. 3. Niech A = {1,2,3,4,5,6}. Określić następujące relacje określone w zbiorze A: a) R1⊂ A2 , R1 = {(1,1) , (1,2) , (2,1)} ; b) R2 ⊂ A2 , R2 = {(1,6) , (2,6) , (3,6) , (4,6) , (5,6) , (6,6) , (6,5) , (6,4) , (6,3) , (6,2) , (6,1)} ; 2 c) R3 ⊂ A , R3 = {(3,6) , (6,3) , (4,5) , (5,4)} ; d) R4 ⊂ A2 , R4 = {(1,3) , (2,4) ,(3,5) , (4,6) , (6,4) , (5,3) , (4,2) , (3,1)} . 4. Zbadać rodzaj funkcji (suriekcja, iniekcja, bijekcja), jeŜeli: a) f : ℜ → ℜ + , f(x) = 2|x| ; b) f : ℜ → < −3, +∞) , f(x) = x2 + 2x − 2; c) g : N → ℜ , g(n) = n2 + 1; d) h : ℜ → < 0, +∞) , h(x) =|x| ex .

Strona 23

ROZDZIAŁ II

Strona 24

III

Liczby zespolone i wielomiany zespolone

ROZDZIAŁ III

Zbiór liczb zespolonych

Zbiór liczb rzeczywistych nie wystarcza do opisu rzeczywistości (takŜe do opisu zjawisk w zastosowaniach inŜynierskich), dlatego zbiór ten został rozszerzony do zbioru liczb zespolonych. W zbiorze tym wykonuje się wszystkie działania, które wykonujemy w zbiorze liczb rzeczywistych a dodatkowo moŜliwe jest pierwiastkowanie liczb rzeczywistych ujemnych. Zbiór liczb zespolonych zdefiniujemy w taki sposób, aby podkreślić fakt geometryczny, Ŝe liczba zespolona moŜe być utoŜsamiana z punktem na płaszczyźnie. Niech (x, y) i (x′, y′) będą parami uporządkowanymi ze zbioru ℜ 2. Określamy na zbiorze tych par działanie dodawania i mnoŜenia w następujący sposób: (x, y) + (x′, y′ ) : = (x + x′, y + y′) (x, y) ⋅ (x′, y′ ) : = (xx′ − yy′ , xy′ + x′y). Zbiór ℜ 2 z działaniami dodawania i mnoŜenia spełnia wszystkie własności, jakie mają liczby rzeczywiste, w szczególności mnoŜenie i dodawanie jest przemienne i łączne, mnoŜenie jest rozdzielne względem dodawania, para (0,0) spełnia rolę zera a para (1,0) rolę jedynki. Zbiór ten z tak określonymi działaniami dodawania i mnoŜenia nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy symbolem C. PoniewaŜ (x, 0) + (x′, 0) = (x + x′,0),

∀x, x′ ∈ ℜ:

(x,0) ⋅ (x′, 0) = (xx′, 0),

więc zarówno suma, jak i iloczyn liczb zespolonych postaci (x,0) są liczbami tej samej postaci, więc liczbę zespoloną (x,0) utoŜsamiamy z liczbą rzeczywistą x. Tak więc w dalszym ciągu przyjmujemy, Ŝe (x, 0) ≡ x, w szczególności (0,0) ≡ 0 i (1,0) ≡ 1. Łatwo zauwaŜyć, Ŝe liczby zespolone postaci (0, y) nie mają tej własności, bo np.: (0, y) ⋅ (0, y′ ) = (−yy′, 0) Liczby zespolone postaci (0,y) (y ≠ 0) nazywamy liczbami urojonymi , w szczególności liczbę (0,1) nazywamy jedynką urojoną i oznaczamy literą i , tak więc i : = (0,1). ZauwaŜmy, Ŝe: i2 = (0,1)⋅ (0,1) = (−1,0) = −1. Strona 26

LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE

PoniewaŜ (0,y) = (0,1)⋅(y,0) = iy , więc dowolną liczbę zespoloną (x,y) moŜemy zapisać w postaci dwumianu: (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + iy. Jest to tzw. postać algebraiczna liczby zespolonej (x,y). JeŜeli liczbę zespoloną x + iy oznaczymy literą z , tzn. jeśli z = x + iy , to liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i oznaczamy rez, natomiast liczbę rzeczywistą y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy imz. Tak więc: z = x + iy = rez + i imz. Liczby zespolone w postaci algebraicznej dodaje i mnoŜy się jak dwumiany, np.: (3 − 5i) + (1 + 3i) = 3 + 1 + (−5 + 3)i = 4 − 2i, (3 − 5i) ⋅ (1 + 3i) = 3 + 9i − 5i − 15i2 = 18 + 4i. PoniewaŜ liczby zespolone są parami uporządkowanymi liczb rzeczywistych, więc ich równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość części rzeczywistych i równość części urojonych tych liczb. Tak więc:

∀ z, z ' ∈ C

: (z = z' ) ⇔ (rez = rez′ ∧ imz = imz′).

Liczbą sprzęŜoną z liczbą zespoloną z = x + iy nazywamy liczbę zespoloną z postaci: z = x − iy.

PoniewaŜ z z = x2 + y2 , więc istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej z z . Liczbę tę nazywamy modułem liczby zespolonej z i oznaczamy przez z:

z  : =

zz .

JeŜeli z = x + iy , zaś z′ = x′ + iy′ , to róŜnicę liczb zespolonych określamy następująco:

z − z ′ = x − x ′ + i (y − y ′ ) . Jeśli z' ≠ 0, to iloraz liczb zespolonych moŜemy obliczyć następująco: z z z' z ⋅ z ′ = = 2 , z ' z' z ' z′

np.:

5 − 3i (5 - 3i)(1 - 2i) 5 − 10i − 3i + 6i 2 − 1 − 13i − 1 13 = = = = − i. 2 2 5 5 1 + 2i (1 + 2i )(1 − 2i) 1 +2 5

Strona 27

ROZDZIAŁ III

Podstawowe własności liczb zespolonych: 1. ∀z ∈ C : z= 0 ⇔ z =0; 2. ∀z ∈ C : rez ≤ z ∧ imz ≤ z, 3. ∀z,z′ ∈ C : z + z ' = z + z' , 4. ∀z,z′ ∈ C : z - z ′ = z - z ′ , 5. ∀z,z′ ∈ C : zz' = z z' , 6.

∀z,z′ ∈ C

z z :  = , (z′ ≠ 0),  z′  z'

8.

∀z ∈ C : z ∀z,z′ ∈ C :

9.

∀z,z′ ∈ C

7.

:

= |z| , zz' = |z| z' ,

z z = , (z′ ≠ 0), z' z′

10. ∀z,z′ ∈ C : z + z' ≤ |z| + |z′| , 11. ∀z,z′ ∈ C : |z − z′| ≥ |z| − |z′| .

Postać trygonometryczna liczby zespolonej Liczbę zespoloną z = (x,y) = x + iy moŜna interpretować jako punkt P(x,y) płaszczyzny XOY albo jako wektor o początku O(0,0) i końcu P(x,y).

Y

y

P(x,y)

|z| ϕ X O

x

Długość wektora OP jest równa modułowi liczby zespolonej z : |z| = x 2 + y 2 . PoniewaŜ x = |z|cosϕ i y = |z|sin ϕ , więc róŜną od zera liczbę zespoloną z = x + iy moŜna zawsze przedstawić w postaci: z = |z|(cos ϕ +i sin ϕ) , którą nazywamy postacią trygonometryczną tej liczby, przy czym ϕ nazywamy argumentem liczby zespolonej z .

Strona 28

LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE

Ze względu na okresowość funkcji sinus i cosinus kaŜda liczba zespolona z ≠ 0 ma nieskończenie wiele argumentów, których zbiór oznaczamy Argz, zatem Argz : = { ϕ ∈ R : cos ϕ =

rez imz }. ∧ sin ϕ = z z

Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy ten jej argument, który naleŜy do przedziału (-π,π〉 , oznaczamy go przez argz , tak więc

Argz = { ϕk = argz + 2kπ , k ∈ Z} . Argument liczby 0 nie jest określony.

Przykład 1. Wyznaczyć postać trygonometryczną liczby zespolonej: a) z = 3 − i;

b) z = −2 + 2i;

a) z = 3 − i , cos ϕ =

3 2

z = i

( 3 ) + (− 1)

sin ϕ =

2

c) z= 5;

d) z = i;

e) z= −2.

2

=2,

-1 π stąd ϕ = − , 2 6

a więc

  π  π  3 − i = 2 cos −  + isin  −   .  6    6

b) z = −2 + 2i , z = (− 2) + 2 = 8 = 2 2 , -2 -1 2 1 3 cos ϕ = = i sin ϕ = = , stąd ϕ = π , tak więc: 2 2 2 2 2 2 4 3 3 −2 −2i = 2 2 (cos π + i sin π ). 4 4 5 0 c) z = 5 , z = 52 + 02 = 5 , cos ϕ = = 1 i sin ϕ = = 0 , stąd ϕ = 0 , zatem 5 5 5 = 5(cos0 + i sin0). 0 1 π d) z = i , z = 02 + 11 = 1 , cos ϕ = = 0 i sin ϕ = = 1 , stąd ϕ = , czyli 1 1 2 π π + i sin . i = cos 2 2 -2 0 2 e) z = -2 , z = (− 2) + 02 = 2 , cos ϕ = = −1 i sin ϕ = = 0 , stąd ϕ = π , czyli 2 2 -2 = 2(cosπ + i sinπ). 2

2

Równość dwóch róŜnych od zera liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej określona jest warunkiem:

∀z,z′ ∈ C\{0} : (z = z′) ⇔ (|z| = |z′| ∧ Argz = Argz′) . JeŜeli z = |z| (cos ϕ1 + i sin ϕ1) zaś z′ = | z′|(cosϕ2 + i sin ϕ2) , to

Strona 29

ROZDZIAŁ III

zz′ = |z||z′|( cos ϕ1 + i sin ϕ1) (cosϕ2 + i sin ϕ2) = = |z||z′|[cosϕ1 cosϕ2 - sin ϕ1 sin ϕ2 + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cosϕ2)]= = |z||z′|[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)] z z = [cos(ϕ1 - ϕ2) + i sin(ϕ1 - ϕ2)]. z' z' Udowodnione zostało więc Podobnie:

Twierdzenie 1. JeŜeli liczby zespolone z i z′ są róŜne od zera, a ϕ1 i ϕ2 są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma ϕ1 + ϕ2 jest argumentem iloczynu zz′ zaś róŜnica ϕ1 - ϕ2 jest z argumentem ilorazu . z′ Przykład 2. z 2 2 π π + i sin ). , jeŜeli z = 4(cos π + i sin π) i z′ = 2(cos z' 9 9 18 18 2 2 π π 5 5 π + i sin π ) , zz′ = 8[cos ( π + ) + i sin ( π + )] = 8(cos 9 9 18 18 18 18 z 2 2 3 1 π π π π )] = 2(cos + i sin ) = 2( = 2[cos ( π− ) + i sin ( π − +i )= 3 +i. z' 9 18 9 2 2 18 6 6

Oblicz zz′ oraz

Twierdzenie 2. JeŜeli liczba zespolona z jest róŜna od zera, a ϕ jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista nϕ , gdzie n ∈ N , jest argumentem liczby z n . Wniosek 1. ( wzór de Moivre’a) (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ . n Tak więc , jeśli z = z (cosϕ + isinϕ ) , to z n = z (cosnϕ + isinnϕ ) .

1995

− 3 1  + i  Przykład 3. Oblicz:  2   2 Ze wzoru de Moivre’a: 1995

.

1995 − 3 1  5 5 π π     =  cos π + isin π  + i = cos1662π +  + isin 1662π +  =  2  2  6 6  2 2     π π = cos + isin = 0 + i⋅1=i . 2 2

Strona 30

LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE

KaŜdą liczbę zespoloną w spełniającą równanie w n = z nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Zbiór wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z oznaczamy symbolem n z . Twierdzenie 3.

JeŜeli z ≠ 0 i z = z (cosϕ + isinϕ ) , to n

n

z jest zbiorem n - elementowym postaci:

  ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ   z = z k = n z  cos + isin  ; k = 0,1, ... , n − 1 . n n    

Uwaga 1. PoniewaŜ wszystkie pierwiastki z liczby zespolonej z mają ten sam moduł, więc w interpretacji geometrycznej leŜą one na okręgu o środku w punkcie z = 0 i promieniu ρ = n z . PoniewaŜ róŜnica argumentów dwóch kolejnych 2π pierwiastków jest równa , więc n pierwiastki te są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

Przykład 4. Wyznaczyć z = − 16,

4

−16 .

z = 16 ,

argz = π

a więc

z = 16(cos π + i sin π).

 2 π π 2   = 2 +i 2, z 0 = 4 16  cos + isin  = 2  +i 4 4 2    2  π + 2π π + 2π  2 2   = − 2 +i 2 , z1 = 4 16  cos + isin +i  = 2  −  4 4  2 2     π + 4π π + 4π  2 2   = − 2 −i 2 , z 2 = 4 16  cos + isin −i  = 2  − 4 4  2    2  2 π + 6π π + 6π  2   = 2 −i 2 . z 3 = 4 16  cos + isin −i  = 2  4 4  2    2

Tak więc 4

− 16 =

{

}

2 + i 2, − 2 + i 2, − 2 − i 2, 2 − i 2 .

Strona 31

ROZDZIAŁ III

Przykład 5. Wyznaczyć 5 − 12 i . PoniewaŜ argument liczby z = 5 − 12i nie jest charakterystyczny, wyznaczamy więc pierwiastki z definicji. Jeśli liczba a + ib jest pierwiastkiem, to (a + ib) 2 = 5 −12i , czyli a 2 − b 2 = 5 i 2ab = − 12 . Rozwiązując ten układ równań dla a,b ∈ ℜ otrzymamy rozwiązanie: a = +3 i b = −2 lub a = −3 i b = 2 , a więc 5 − 2i = { 3 − 2i, − 3 + 2i} .

Wielomiany w dziedzinie zespolonej Funkcję zespoloną p zmiennej zespolonej o postaci

∀z ∈ C

:

p(z) = a 0 + a 1z + .... + a n z n ,

gdzie a n ≠ 0 , n ∈ N , nazywamy wielomianem stopnia n w dziedzinie zespolonej; liczby zespolone a 0 , a 1 ,..., a n noszą nazwę współczynników tego wielomianu. Miejscem zerowym albo pierwiastkiem wielomianu p nazywamy takie z 0 ∈ C , dla którego p(z0 ) = 0 .

Wielomian p jest podzielny przez wielomian q jeŜeli istnieje taki wielomian s , Ŝe p = q ⋅ s , piszemy wtedy: q|p (q dzieli p) . Twierdzenie 4 (Bèzouta) . JeŜeli z0 jest miejscem zerowym wielomianu p , to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z – z0 i odwrotnie, czyli p(z) = 0 ⇔ (z - z 0 ) p(z) . Miejsce zerowe z0 wielomianu p nazywamy k-krotnym miejscem zerowym tego wielomianu, jeŜeli (z − z0 ) k p(z) a ( z − z 0 ) k +1 nie dzieli p(z) . O istnieniu pierwiastków wielomianu w dziedzinie zespolonej rozstrzyga tzw. zasadnicze twierdzenie algebry : Twierdzenie 5 (d’Alemberta). KaŜdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n ≥ 1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Wniosek 1. Wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami, czyli moŜna go rozłoŜyć na czynniki pierwszego stopnia , tzn. p(z) = an (z − z1 )(z − z 2 )....(z − zn ) , Strona 32

LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE

gdzie z1 , z 2 ,..., z n są miejscami zerowymi wielomianu p . Wielomiany w dziedzinie zespolonej o współczynnikach rzeczywistych mają specjalną własność. Twierdzenie 6. JeŜeli liczba zespolona z0 jest pierwiastkiem wielomianu p o współczynnikach rzeczywistych, to równieŜ pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprzęŜona z 0 . Dowód. Oczywiste są następujące równowaŜności, jeŜeli powołamy się na podstawowe własności liczb zespolonych: p(z0) = 0 ⇔ p(z 0 ) = 0 ⇔ a 0 + a 1 z 0 + ... + a n z 0n = 0 ⇔ a 0 + a 1z 0 + ... a n z 0n = 0 ⇔ ⇔ a 0 + a 1 z 0 + ... + a n z 0n = 0 ⇔  a i = ai , i=0,1,2, ... ,n, bo ai∈ℜ ⇔ n

⇔ a0 + a1 z 0 + ... + an z 0 = 0 ⇔ p( z 0 ) = 0 . ♦ Uwaga 1. Miejsca zerowe nierzeczywiste wielomianu o współczynnikach rzeczywistych występują więc zawsze parami i jeśli wielomian jest stopnia nieparzystego, to co najmniej jeden pierwiastek jest rzeczywisty.

JeŜeli z 0 = a + ib jest pierwiastkiem wielomianu p o współczynnikach rzeczywistych, to wielomian ten jest podzielny przez ( z − z 0 )( z − z0 ) = z 2 − 2az + a 2 + b 2 , czyli przez trójmian kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych. Uwaga 2. KaŜdy wielomian zmiennej rzeczywistej x o współczynnikach rzeczywistych moŜna rozłoŜyć na czynniki stopnia co najwyŜej drugiego, czyli

∀x ∈ ℜ :

p(x) = a n ( x − x 1 ) k1 ....(x − x m ) k M ( x 2 + b1 x + c1 ) n1 ....(x 2 + b L x + c L ) n L ,

gdzie x1 ,..., x m są pierwiastkami rzeczywistymi o krotnościach odpowiednio k 1 ,..., k M , zaś n1 ,..., n L są krotnościami par pierwiastków sprzęŜonych tego wielomianu, przy czym k 1 + .... + k M + 2(n 1 + ... + n L ) = n .

Przykład 6. RozłoŜyć na czynniki wielomian p(x) = x 6 − 2x5 + 5x 4 − x 2 + 2x − 5 , x ∈ ℜ , wiedząc, Ŝe 1− 2i jest pierwiastkiem tego wielomianu. PoniewaŜ wielomian ten ma współczynniki rzeczywiste, więc takŜe 1+2i jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem wielomian ten dzieli się przez (x − 1 − 2i)(x − 1 + 2i) = x 2 − 2x + 5 : p(x) : ( x 2 − 2x + 5) = x 4 − 1 = ( x 2 − 1)(x 2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x 2 + 1) . Ostatecznie: p(x) = (x - 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 - 2x + 5).

Strona 33

ROZDZIAŁ III

Funkcje wymierne JeŜeli p i q są dwoma wielomianami zmiennej rzeczywistej, to funkcję rzeczywistą p(x) określoną dla x ∈ { x ∈ ℜ : q(x) ≠ 0} nazywamy funkcją wymierną . f(x) = q(x)

Funkcję wymierną, dla której stopień wielomianu p jest mniejszy od stopnia wielomianu q nazywamy funkcją wymierną właściwą. KaŜdą funkcję wymierną moŜna przedstawić w postaci: p r =s+ , q q gdzie s jest wielomianem, zaś

r q

Funkcję wymierną właściwą postaci

funkcją wymierną właściwą.

u I (x) =

α

( x − x 0 )n

, gdzie

x0 ,α ∈ ℜ , n ∈ N ,

x ∈ ℜ \ {x 0 } nazywamy ułamkiem prostym I rodzaju.

βx+γ

, gdzie n∈ N , n + bx + c ) β ,γ ,b , c ∈ ℜ oraz b 2 − 4c < 0 , nazywamy ułamkiem prostym II rodzaju.

Funkcję wymierną właściwą postaci

u II (x) =

(x

2

Następne twierdzenie określi, jak funkcję wymierną właściwą moŜna przedstawić za pomocą skończonej sumy ułamków prostych. Twierdzenie 7. p moŜna przedstawić w postaci sumy pewnej q liczby ułamków prostych, przy czym: 1°. KaŜdemu czynnikowi postaci (x − x 0 ) k w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki: αk α k +1 α1 , + + .... + k k −1 (x − x 0 ) (x − x 0 ) x − x0 gdzie α 1 , ... , α k ∈ ℜ .

KaŜdą funkcję wymierną właściwą

2°. KaŜdemu czynnikowi postaci (x 2 + bx + c) k w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki: βk x + γ k β x + γ1 + .... + 2 1 2 k (x + bx + c) x + bx + c

gdzie β 1 ,..., β k , γ 1 ,..., γ k , b, c ∈ ℜ oraz b 2 − 4c < 0 . Przykład 7. Strona 34

LICZBY ZESPOLONE I WIELOMIANY ZESPOLONE

RozłoŜyć na ułamki proste funkcję wymierną

f ( x) =

f(x) =

5x 2 − 18 x + 8 . x(x − 2) 2

a b c a( x − 2) 2 + bx( x − 2) + cx + + = = x x − 2 ( x − 2) 2 x( x − 2) 2

(a + b) x 2 + (−4a − 2b + c) x + 4a 5 x 2 − 18 x + 8 , = x 2 ( x − 2) x( x − 2) 2 stąd ∀x ∈ ℜ : (a + b) x 2 + (−4a − 2b + c) x − 4a = 5 x 2 − 18 x + 8 ,

a + b = 5  − 4a − 2b + c = −18 4a = 8 

czyli

a=2 b=3 c = −4

⇒

5 x 2 − 18 x + 8 2 3 −4 = + + . 2 x ( x − 2) x x − 2 ( x − 2) 2

Tak więc

Przykład 8. Podać postać rozkładu na ułamki proste funkcji wymiernej f ( x) = f ( x) =

a ( x − 2)

2

+

b x−2

+

c x−1

+

dx + e x2 + 1

x 3 − 3x 2 + 9 x − 9 ( x − 2 )2 ( x − 1)( x 2 + 1)

.

.

Strona 35

ROZDZIAŁ III

Ćwiczenia 1. Wyznaczyć liczby rzeczywiste x i y spełniające równanie: (2−4i)x+(−1+i)y = 1−5i. 3 − 4i i i 47 , c) z = . 2. Wyznaczyć rez i imz, jeŜeli: a) z = , b) z = 5 3 − 4i (1 + i) 1 − 3i 3. Wyznaczyć postać trygonometryczną liczby z, jeŜeli: a) z=−5, b) z=3, c) z=2−2i, c) z= −3 + 3i, d) z= 2 − 2 3i , d) -2i, e) − 3 + i . 4. Określić geometrycznie zbiór A punktów płaszczyzny zespolonej: π a) A = {z∈C: 1<|z−1+2i|<3}, b) A = {z∈C: 0rez+1}, d) A = {z∈C: re z +1 4. Wykorzystując postać trygonometryczną liczb: −1 + i oraz 1+ 3i , wyznaczyć cos

5π 12

5π . 12 5. Stosując wzór Moivre’a, obliczyć:

i sin

(

399

)

 −1 3  a) (1 − i ) , b) i . 3 − i , c) (− 1 − i ) , d)  + 2   2 5 6. Stosując wzór Newtona i wzór Moivre’a do wyraŜenia (cosϕ + isinϕ ) zapisać cos5ϕ i sin5ϕ przy pomocy cosϕ i sinϕ . 7. Wyznaczyć pierwiastki: 17

25

i , d) 3 − i , e) 3 + 4i . n −1 2kπ 2kπ 8. Wykazać, Ŝe ∑ z k =0, jeŜeli zk = cos + i sin , n≥2 . n n k =o 9. Wyznaczyć pierwiastki wielomianów: a) p(z) = z2 + z + 1 , b) p(z) = z2 – 3(1+i)z + 5i , 4 2 c) p(z) = iz + z + 1+i , d) p(z) = z4 – 16 . 10. Rozwiązać równanie: (z-i)2(z3+z2+z+1)=0. 11. Wiedząc, ze liczba 2 + i jest jednym z pierwiastków, wyznaczyć pozostałe pierwiastki wielomianów: a) p(z) = z4 – 4z3 +6z2 –4z + 5 , b) p(z) = z5 –5z4 +9z3 –3z2 – 8z + 10 12. RozłoŜyć na ułamki proste: x2 +1 2x + 4 a) f (x ) = , b) f ( x ) = , x (x 2 + x − 2 ) (x + 2)(x − 1)2 a)

4

− 8 − 8 3i , b)

13

6

1 , c)

4

c)

f (x ) =

1 , x (x − 1) x 2 + 1

d) f (x ) =

c)

f (x ) =

1 , x (x − 1) x 2 + 1

d) f (x ) =

Strona 36

( (

) )

x 2 + 3x + 1

(

)

x x2 + x +1

2

x 2 + 3x + 1

(

)

x x2 + x +1

2

. .

IV

Przestrzeń liniowa (wektorowa)

ROZDZIAŁ IV

Zdefiniujemy jedno z podstawowych pojęć w matematyce, które jest bardzo uŜyteczne w naukach inŜynierskich. Niech (V,⊕) będzie zbiorem, w którym określone jest działanie wewnętrzne ⊕ spełniające warunki: 1. ∀u,v∈V: u ⊕ v=v ⊕ u, (przemienność) 2. ∀u,v,w ∈V: (u ⊕v) ⊕w=u ⊕(v ⊕w), (łączność) 3. ∃o∈V ∀u ∈V: u ⊕o=u, (istnienie elementu neutralnego) 4. ∀ u ∈V ∃ u′ ∈V: u ⊕ u′ =o. (element przeciwny) JeŜeli dodatkowo w zbiorze V określone jest mnoŜenie przez skalary (liczby) ze zbioru liczb rzeczywistych (lub zespolonych) spełniające następujące warunki: 5. 6.

∀v,u∈V ∀α∈K: α(v ⊕ u) = αv ⊕ αu, ∀v∈V ∀α,β∈K: (α+β)v = αv ⊕ βv, ∀v ∈V ∀α,β∈K: (α⋅β)v = α(βv),

7. 8. ∀a∈V: 1v= v , to V nazywamy przestrzenią liniową ( wektorową ) nad zbiorem liczb rzeczywistych (liczb zepolonych) i oznaczamy V(R)( V(C)) lub V, a elementy zbioru V nazywamy wektorami.

Odwzorowanie występujące w powyŜszej definicji nosi nazwę mnoŜenia wektorów (elementów zbioru V) przez skalary (elementy zbioru R lub C). Uwaga 1. Wprost z definicji wynikają następujące własności:

1. 2. 3. 4.

∀v∈V : 0v = o; ∀α∈K : αo = o; ∀v∈V : (−1)v = −v (element przeciwny do elementu v); ∀v∈V ∀α∈K : α(−v) = (−α)v = −(αv).

Przykład 1. PoniewaŜ zbiór liczb rzeczywistych (zbiór liczb zespolonych) spełnia warunki 1 – 4, gdy działanie ⊕ jest dodawaniem więc w szczególności, gdy przyjmiemy, Ŝe skalary pochodzą ze zbioru liczb rzeczywistych (liczb zespolonych), to spełnione są wszystkie aksjomaty definicji przestrzeni liniowej, tak więc zbiór liczb rzeczywistych (liczb zespolonych) jest przestrzenią liniową nad samym sobą (zbiór C jest takŜe przestrzenią liniową nad ℜ). Przykład 2. JeŜeli w produkcie kartezjańskim Kn określimy dodawanie n-tek uporządkowanych a=(a1, a2, ... , an), b=(b1, b2, ... ,bn) i mnoŜenie tych n-tek przez skalary ze zbioru K w następujący sposób:

Strona 38

PRZESTRZEŃ LINIOWA (WEKTOROWA)

∀a,b∈Kn:

a ⊕ b := ( a1 + b1, a2 + b2, ... , an+bn );

∀a∈Kn ∀α∈K:

α(a1, a2, ... , an) := ( αa1, αa2, ... , αan ), to otrzymamy przestrzeń liniową nad zbiorem K. W szczególności, gdy K = ℜ, to ℜn nazywamy liniową przestrzenią arytmetyczną. Przykład 3. Przykładem przestrzeni liniowej waŜnej w zastosowaniach jest przestrzeń, której elementami są odcinki skierowane (para punktów uporządkowanych), których dodawanie definiujemy za pomocą „reguły równoległoboku”, a mnoŜenie przez skalary określamy jako wydłuŜanie względnie skracanie odcinków z zachowaniem lub ze zmianą ich skierowania.

Liniowa zaleŜność wektorów

Kombinacją liniową n elementów v1, v2, ... , vn ∈ V o współczynnikach λ1, λ2, ... ,λn∈K nazywamy element v∈V postaci:

v= λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn =

n

∑λv . i =1

i i

Jeśli wszystkie współczynniki tej kombinacji są równe zeru, to kombinację nazywamy trywialną, w przeciwnym przypadku – nietrywialną. Elementy v1, v2, ... , vn ∈ V, dla których istnieje nietrywialna kombinacja liniowa n

v = ∑ λi vi = o, nazywamy liniowo zaleŜnymi. i =1

JeŜeli zachodzi implikacja λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn = o ⇒ λ1 = λ2 = ... λn = 0, to elementy v1, v2, ... , vn nazywamy liniowo niezaleŜnymi. Twierdzenie 1. Elementy v1, v2, ... , vn∈V(K) są liniowo zaleŜne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

Dowód. ⇒(konieczność): jeŜeli elementy v1, v2, ... , vn są liniowo zaleŜne, to istnieje takie λk ≠ 0, Ŝe λ1v1 + λ2v2 + ... + λkvk + ... + λnvn = o, a stąd wynika, Ŝe λ λ λ λ λ vk = − 1 v1 − 2 v 2 − ... − k-1 v k-1 − k +1 v k +1 − ... − n v n , co oznacza, Ŝe element vk jest λk λk λk λk λk kombinacją pozostałych elementów. ⇐ (dostateczność): Niech element vm będzie kombinacją pozostałych elementów, wtedy: vm=µ1v1 + µ2v2 + ... + µm-1vm-1 + µm+1vm+1 + ... +µnvn ⇒ µ1v1 + µ2v2 + ... + µm-1vm-1 +(−1)vm + µm+1vm+1 + ... +µnvn =o, czyli elementy v1, v2, ... , vn są liniowo zaleŜne. Strona 39

ROZDZIAŁ IV

Przykład 4. Zbadać liniową zaleŜność elementów przestrzeni liniowej wielomianów stopnia co najwyŜej drugiego o współczynnikach rzeczywistych, jeŜeli: p1(x)=x−1, p2(x) = x2−3x+2, p3(x)=x2+6. λ1p1 + λ2p2 + λ3p3 = 0 ⇒λ1 (x−1)+ λ2(x2−3x+2) + λ3(x2+6) = 0 ⇒ λ1 + λ 3 = 0,   2 λ1 − 3λ 2 = 0, ⇒ (λ1 + λ3)x + (λ1−3λ2)x +(−λ1+2λ2+6λ3) = 0 ⇒  ⇒ λ1=λ2=λ3=0, tak − λ + 2λ + 6λ = 0, 2 3  1 więc wielomiany te są liniowo niezaleŜne. Zastępując w definicji przestrzeni liniowej zbiór V przez jego podzbiór V′ zamknięty ze względu na działanie ⊕ otrzymamy definicję podprzestrzeni liniowej V′ przestrzeni V. Twierdzenie 2. JeŜeli V1 i V2 są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej V, to zbiór V1∩V2 jest takŜe podprzestrzenią liniową przestrzeni V.

Twierdzenie 3. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych dowolnego podzbioru A przestrzeni liniowej V jest najmniejszą podprzestrzenią liniową przestrzeni V zawierającą zbiór A. Najmniejszą podprzestrzenią liniową zawierającą podzbiór A nazywamy powłoką liniową tego podzbioru i oznaczamy przez L(A). Jeśli L(A) = V, to mówimy, Ŝe podzbiór A generuje przestrzeń V.

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

KaŜdy podzbiór B liniowo niezaleŜnych elementów przestrzeni V generujący tę przestrzeń nazywamy bazą przestrzeni liniowej V. KaŜda baza przestrzeni V ma tyle samo elementów. Moc bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem tej przestrzeni i oznaczamy symbolem dimV.

Uwaga 2. Bazą przestrzeni jest więc niepusty jej podzbiór {ei}i∈∈I, (I jest zbiorem skończonym) którego elementy są liniowo niezaleŜne, przy czym kaŜdy wektor przestrzeni V da się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy, tzn. v = ∑ v i e i − jest to rozkład wektora v w bazie {ei}i∈∈I , przy czym współczynniki vi i∈I

występujące w tym rozwinięciu nazywamy współrzędnymi wektora v w tej bazie. Twierdzenie 4. W ustalonej bazie rozkład dowolnego wektora w przestrzeni liniowej jest jednoznaczny.

Strona 40

PRZESTRZEŃ LINIOWA (WEKTOROWA)

Dowód. Przypuśćmy, Ŝe wektor v ma w bazie {ei}i∈I dwa rozkłady: ′ v = ∑ v i e i i v = ∑ v i e i , wtedy z równości ∑ v i e i = ∑ v′i e i mamy: i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

∑ (v i∈I

i

- v′i )e i = 0.

Otrzymaliśmy więc kombinację trywialną wektorów liniowo niezaleŜnych, a więc współczynniki tej kombinacji są równe 0, tzn. vi −vi′ =0, czyli vi = vi′ dla i∈I. Przykład 5. Podamy przykłady baz ( będą to bazy kanoniczne) w pewnych przestrzeniach liniowych: a) W przestrzeni arytmetycznej ℜn bazą kanoniczną jest: e1=(1, 0 , ... ,0), e2=(0, 1 , ... ,0), e3=(0, 0 , 1, 0, ... ,0), ... , en=(0, 0 , ... ,0, 1). Łatwo wyznaczyć rozkład dowolnego wektora w tej bazie: v= ( v1, v2, ... , vn) = v1e1 + v2e2 + v3e3 + ... + vnen. Oczywiście wymiar tej przestrzeni jest równy n. b) W przestrzeni Wn wielomianów stopnia co najwyŜej n, bazę kanoniczną tworzą wielomiany: 1, x, x2, ... ,xn. Współczynniki dowolnego wielomianu są jednocześnie współrzędnymi tego wektora w tej bazie; dimWn=n+1.

Strona 41

ROZDZIAŁ IV

Ćwiczenia 1. Wykazać, Ŝe zbiór wielomianów zmiennej rzeczywistej stopnia mniejszego równego n jest przestrzenią liniową nad zbiorem ℜ. 2. Wykazać, Ŝe zbiór ciągów nieskończonych o wyrazach rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad zbiorem ℜ, jeŜeli działania na ciągach (an)=(a1,a2, a3, ... ) i (bn)=(b1,b2,b3, ...) określamy następująco: (an)⊕(bn) = (a1+b1, a2+b2, a3+b3, ... ), α(an)=(αa1,αa2,αa3, ... ), α∈ℜ. 3. Zbadać liniową niezaleŜność wektorów w danej przestrzeni: a) (1,2,3,4), (1,0,1,0), (2,4,6,8) w ℜ4; a) (1,1,1), (−2,1,2), (0,1,0) w ℜ3; b) p1(x)=x−1, p2(x)=x2+2x+1, p3(x)=−4x2+2 w przestrzeni wielomianów stopnia ≤ 2. 4. Sprawdzić, czy wektor v naleŜy do podprzestrzeni generowanej przez wektory a i b, jeŜeli: a) v=[−3,6,−5], a=[1,2,−1], b=[3,0,1]? b) v=[1,2,3,1], a=[0,1,2,1], b=[1,1,2,0]? 5. Wyznaczyć współrzędne wektora v w danej bazie, jeŜeli: a) v=[1,4], e1=[1,1], e2=[−2,1]; b) v=[4,−1,0], e1=[1,0,1], e2=[2,1,0], e3=[0,1,1]. 6. Sprawdzić, które z podanych zbiorów wektorów tworzą bazę w przestrzeni ℜ3: a) (1,2,3), (0,1,−1), (1,1,1), (1,0,0); b) (2,2,1), (1,1,1), (2,1,2); c) (1,2,1), (0,1,0); d) (1,−1,2), (0,1,2), (2,−3,2)?

Strona 42

V

Macierze i wyznaczniki

ROZDZIAŁ V

Macierze

Macierzą o wymiarze m×n nazywamy zbiór wartości odwzorowania iloczynu kartezjańskiego {1, 2, ... , m}×{1, 2, ... ,n} w zbiór K, co zapisujemy: {1, 2, ... , m}×{1, 2, ... ,n} ∋ (i,j) → aij ∈K. Uporządkowany, m·n-elementowy zbiór wartości tego odwzorowania będziemy zapisywać za pomocą „tablicowej” i oznaczać przez A:  a 11 a 12 a a A =  21 22  ... ...  a m1 a m2

... a 1n  ... a 2n  ... ...   ... a mn 

[ ]

Macierz o wymiarze m×n oznaczać będziemy takŜe: a ij

m×n

, Am×n, A∈Kmn ( Kmn oznacza

więc zbiór macierzy o tym samym wymiarze m×n). JeŜeli w powyŜszym zapisie ustalimy pierwszy wskaźnik, to otrzymamy wiersz macierzy A, ustalając zaś drugi wskaźnik − kolumnę macierzy A. Macierz mającą tę samą liczbę wierszy i kolumn, a więc macierz wymiaru n×n, nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Oznaczając krótko przez aj − j-tą kolumnę, a przez ai′ − i-ty wiersz macierzy A, moŜna ją zapisać w postaci: − wierszowej : A =[a1, a2, ... ,an];  a 1′   a′  2 − kolumnowej: A =   .  ...    a ′m  Uporządkowaną n-tkę wyrazów macierzy kwadratowej A, których oba wskaźniki są te same, ( a więc zbiór postaci {a11, a22, ... ,ann}) nazywamy główną przekątną macierzy A. Macierz, której wyrazy poza główną przekątną są równe zeru nazywamy macierzą diagonalną. Macierz diagonalną, której główna przekątna składa się z samych jedynek nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy symbolem E. W zbiorze macierzy Kmn określimy dodawanie i mnoŜenie macierzy przez skalary z ciała K:

[ ]

− sumą macierzy A = a ij

m×n

[ ]

− iloczynem macierzy A = a ij

[ ]

i B = b ij m×n

m×n

[

jest macierz A + B = a ij + b ij

]

m×n

[ ]

przez skalar λ∈K jest macierz λA = λa ij

; m×n

.

Elementem neutralnym względem dodawania w zbiorze macierzy Kmn jest macierz zerowa (O = A − A ), tzn. macierz, której wszystkie elementy są zerami, a macierzą przeciwną do Strona 44

MACIERZE I WYZNACZNIKI

macierzy A jest macierz (−1)A= −A. RóŜnicą macierzy A i B jest macierz A − B = A + (−1)A . Łatwo wykazać, Ŝe dodawanie macierzy jest łączne i przemienne, i uzasadnić następujący wniosek.

Wniosek 1. Zbiór macierzy Kmn jest przestrzenią liniową nad zbiorem K. Niech t: Kmn ↔Kmn będzie odwzorowaniem bijektywnym, w którym obrazem macierzy

[ ]

[ ]

A = a ij m×n jest macierz AT =t(A) = a ijT m×n spełniająca warunek: ∀i,j: a Tji = a ij . Macierz AT nazywamy macierzą transponowaną (przestawioną) do macierzy A. Prawdziwe są następujące równości: 1. 2. 3.

∀A∈Kmn: (AT)T = A; ∀A,B∈Kmn: (A+B)T = AT + BT ; ∀A∈Kmn ∀λ∈ℜ: (λA)T = λAT .

Przykład 1.

 1 2 − 2 0  .    3 3 0 − 9 1 − 2 3  4 − 6 0  3 − 6 9   1 PoniewaŜ BT =  , więc 2A − 3BT =  −  =    . 2 0 3 2 − 2 4 6 0 9 − 4 − 2 − 5

2 − 3 0 Wyznaczyć 2A − 3B , jeŜeli A=  , B = 1 − 1 2 T

MnoŜenie macierzy moŜna określić tylko dla macierzy szczególnych wymiarów. Odwzorowanie s: Kmp×Kpn → Kmn, w którym obrazem pary macierzy (A,B), gdzie aij m× p A = i B = bij p×n jest macierz AB=s(A,B) o postaci :

[ ]

[ ]

 p  ABm×n = ∑ a ik bkj  ,  k =1  m×n nazywamy mnoŜeniem macierzy, a macierz AB jest iloczynem macierzy A i B.

Uwaga 1. Z powyŜszej definicji wynika, Ŝe nie dla kaŜdych dwóch macierzy A i B, dla których istnieje iloczyn AB, będzie istniał iloczyn BA, poniewaŜ mnoŜenie jest wykonalne, jeśli pierwsza macierz ma tyle kolumn, ile druga wierszy. Nawet jeśli istnieją obydwa iloczyny AB i BA, to na ogół AB ≠ BA. Przykład 2. Wyznaczyć obydwa iloczyny AB i 1 2 − 3 0 a) A =  , B = − 2  1 − 1 2  3

BA (o ile istnieją), jeŜeli: 2 0  ; b) A = 3

 1 3 − 2 1 ,  

 1 2 B = − 2 0  ;  3 3

1 0 − 1 1 c) A =  , B=    . 1 0  0 0

Strona 45

ROZDZIAŁ V

− 5 4  1 2  1 2 4 2 − 3 0  8 4 2 − 3 0     a) AB =  − 2 0 =  , BA = − 2 0   = − 4 6 0  .     1 − 1 2  3 3 9 8  1 − 1 2  9 − 12 6     3 3    1 2 − 3 5   1 3    b) AB − niewykonalne, BA = − 2 0   = − 2 − 6 .  − 2 1  3 3   − 3 12 

1 0 − 1 1 − 1 1 c) AB =    =   , BA = 1 0  0 0 − 1 1

− 1 1 1 0 0 0  0 0 1 0 = 0 0 .     

Wykorzystując definicję mnoŜenia, łatwo wykazać następujące własności.

Wniosek 2 a)

∀A∈Kmn:

AOn××p=Om××p , Op××mA= Op××n;

b)

∀A∈Knn:

AE = EA = A;

c)

∀A∈Kmp ∀B∈Kpq∀C∈Kqn:

(AB)C = A(BC);

d)

∀A∈Kmp ∀B∈Kpn∀C∈Kpn:

A(B+C) = AB + AC;

e)

∀A∈Kmp ∀B∈Kmp∀C∈Kpn:

(A + B)C= AC + BC;

f) jeśli istnieje iloczyn AB, to istnieje równieŜ iloczyn BTAT i zachodzi równość: (AB)T=BTAT.

Wyznaczniki

Dalsze badanie własności macierzy wymaga wprowadzenia pojęcia wyznacznika. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A =[a1, a2, ... ,an] nazywamy wartość odwzorowania, det : Knn → K , które spełnia następujące aksjomaty:

1. 2.

∀ai∈Kn∀λ∈K : det[a1, ... ,λai, ... ,an] = λ det[a1, ... ,ai, ... ,an] (jednorodność); ∀ai, bi∈Kn : det[a1, ... ,ai+bi, ... ,an] = det[a1, ... ,ai, ... ,an] + det[a1, ... ,bi, ... ,an] (addytywność);

3. ∀ai, ak∈Kn : det[a1, ... ,ai, ... , ak, ... ,an] = − det[a1, ... ,ak, ... ,ai, ... ,an](antysymetria); 4. detE = 1 (unormowanie).

Strona 46

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Wyznacznik macierzy A będziemy oznaczać symbolami: a 11 a 12 ... a 1n a a 22 ... a 2n detA = det[a1, ... ,an] = 21 ... ... ... ... a n1 a n2 ... a nn przenosząc jednocześnie terminologię macierzową na ten symbol (np. wiersz, przekątna wyznacznika). Przykład 3. a 12  a Posługując się definicją, wyznaczyć wyznacznik macierzy A =  11 . a 21 a 22  Zapiszemy kolumny wyznacznika w postaci kombinacji kolumn jednostkowych:  1  0 1  0   det A = det  a 11   + a 21   , a 12   + a 22    = aksjomat 2 1 0  1    0   1   0 1  0  1 0  =det  a 11   , a 12   + a 22    +det  a 21  , a 12   + a 22    =aksjomat 2= 0  1  0 1    0   1  1   1  0  0 1  0   1  0  det  a 11   , a 12    +det  a 11   , a 22    +det  a 21   , a 12    +det  a 21  , a 22    = 0  1   0  1   0   0  1  1

 1  1   1  0  = aksjomat 1 = a11a12det    ,    + a11a22det    ,    +  0 0   0 1   0 1    0 0   1  1  a21a12det    ,    +a21a22det   ,    = z aksjomatu 3 mamy: det    ,    = 0,  1 0   1 1   0 0   0 0   0 1    1  0   1  0  det   ,    = 0, det    ,    = −det    ,     = a11a22det    ,    −  1 1   1 0   0 1   0 1   1  0  1 0 1 0 a21a12det    ,    = a11a22det  − a21a12det    = aksjomat 4 =a11a22− a21a12 . 0 1 0 1   0 1  Przy wyznaczaniu wyznaczników wyŜszych stopni będziemy stosowali twierdzenie 1 oraz następujące własności. Własność 1. detA = detAT. Z własności tej wynika, Ŝe wszystkie własności sformułowane dla kolumn macierzy, prawdziwe są takŜe dla wierszy tej macierzy.

Własność 2. Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy zeru. Dowód. JeŜeli ai = ak, to z aksjomatu 3 mamy detA = −detA, a to oznacza, Ŝe detA=0. ♦

Własność 3. zeru.

Macierz o dwóch proporcjonalnych kolumnach ma wyznacznik równy

Własność 4. Macierz mająca kolumnę zerową ma wyznacznik równy zeru.

Strona 47

ROZDZIAŁ V

Własność 5. Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, jeŜeli do kolumny macierzy dodamy dowolną kombinację liniową pozostałych kolumn tej macierzy. Dowód. det(a1, ... ,ai−1,ai+ ∑ λ k a k ,ai+1, ... ,an) = aksjomat 2 =det(a1, ... ,ai−1,ai,ai+1, ... ,an) + k ≠i

λ1 det(a1, ... ,ai−1,a1,ai+1, ... ,an) + ... +λi−1 det(a1, ... ,ai−1,ai−1,ai+1, ... ,an)+ λi+1 det(a1, ... ,ai−1,ai+1,ai+1, ... ,an) + ... + λn det(a1, ... ,ai−1,an,ai+1, ... ,an) =we wszystkich wyznacznikach poza pierwszym występują dwie jednakowe kolumny, więc zgodnie z własnością 2, wyznaczniki te są równe zeru = det(a1, ... ,ai−1,ai,ai+1, ... ,an) = detA. ♦ Wnioskiem z własności 5 jest następna własność.

Własność 6. (Wyznacznik macierzy jest równy 0 ) ⇔ (kolumny (wiersze) tej macierzy są liniowo zaleŜne) . Własność 7 (twierdzenie Cauchy’ego) det(AB) = detA⋅detB. Uwaga 2. Nawet jeśli AB≠BA, to det(AB) = det(BA) . 75 76 77  Przykład 4. Wyznaczyć wyznacznik macierzy A = 80 81 82  . 92 93 94  Wyznacznik macierzy A nie ulegnie zmianie, jeŜeli pierwszy wiersz odejmiemy od wiersza drugiego i od wiersza trzeciego (własność 5). Otrzymamy wtedy: 75 76 77  detA = det  5 5 5  . PoniewaŜ drugi i trzeci wiersz macierzy są proporcjonalne, więc 17 17 17  na mocy własności 3, mamy detA = 0.

Aby sformułować twierdzenie, które podaje prosty sposób na obliczanie wyznaczników wyŜszych stopni, wprowadzimy nowe pojęcia minora i dopełnienia algebraicznego.

Minorem Mik odpowiadającym wyrazowi aik macierzy kwadratowej A = [aik] nazywamy wyznacznik macierzy, która powstaje przez usunięcie z macierzy A i-tego wiersza i k-tej kolumny. Dopełnieniem algebraicznym Aik wyrazu aik nazywamy liczbę określoną wzorem: Aik = (−1)i+kMik. Transponowaną macierz , której wyrazami są dopełnienia algebraiczne wyrazów macierzy A nazywamy macierzą dołączoną i oznaczamy symbolem AD, czyli AD = [Aik]T .

PoniŜsze twierdzenie określa sposób obliczania wyznacznika przy pomocy wyznaczników stopnia niŜszego i często przyjmuje się je jako tzw. rekurencyjną definicję wyznacznika.

Strona 48

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Twierdzenie 1 (Laplace’a). n

∀k∈{1,2, ... ,n}:

detA = det[aik] =

∑a j=1

jk

A jk .

Biorąc pod uwagę własność 1, tezę twierdzenia tzw. rozwinięcie wyznacznika względem k-tej kolumny, moŜna zapisać w postaci rozwinięcia wyznacznika względem i-tego wiersza.

Wniosek 3.

∀i∈{1,2, ... ,n}:

n

detA = det[aik] =

∑a j=1

ij

A ij .

detA, gdy i = k A kj =  = δikdetA, gdy i ≠ k j=1  0, 1, gdy i = k jest tzw. symbolem Kroneckera. gdzie δik=   0, gdy i ≠ k n

Wniosek 4.

∑a

Wniosek 5.

∑a

ij

n

j=1

ij

detA, A ik =   0,

gdy j = k = δjkdetA. gdy j ≠ k

Wniosek 6. ADA = (detA)E, AAD = (detA)E . Uwaga 3. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. Przykład 5.

 2 − 3 5 3 − 2 4 2 5 . Wyznaczyć wyznacznik macierzy A =   3 − 1 3 2   2 − 3 2 1 Wyznacznik macierzy nie zmieni się, zgodnie z własnością 5, gdy wykonamy następujące operacje na wierszach macierzy: ostatni wiersz 1. pomnoŜymy przez (−2) i dodamy do pierwszego wiersza; 2. pomnoŜymy przez 2 i dodamy do drugiego wiersza; 3. pomnoŜymy przez (−3) i dodamy do trzeciego wiersza. Otrzymamy wtedy stosując rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny: 0 − 7 4 −1 − 7 4 −1 0 8 −4 9 4+1 8 − 4 9 =pierwszy wiersz dodajemy do det A = = 1⋅(−1) 0 − 7 12 − 4 − 7 12 − 4 1 2 −3 2 − 7 4 −1 drugiego, oraz pomnoŜony przez (−3) dodajemy do trzeciego = (−1) 1 0 8 = 14 0 − 1 (−1)4(−1)1+2

1 8 = 4(−1−8⋅14) =−452. 14 − 1

Strona 49

ROZDZIAŁ V

1 1 a1 a 2 Uwaga 4. MoŜna wykazać, Ŝe wyznacznik Vandermonde’a : ... ... r n -1 a1 a 2n-1 równy następującemu iloczynowi: (a2−a1) (a3−a1)... (an−a1) (a3−a2) (a4−a2)...(an−a2) ... (an−an−1) = ∏ (a j − a i ) .

... 1 ... a n jest ... ... ... a nn -1

j>i

Macierz odwrotna

Pojęcie wyznacznika pozwala na wyodrębnienie wśród macierzy kwadratowych tych macierzy, dla których istnieje element odwrotny względem mnoŜenia (macierz odwrotna). Macierz A, której wyznacznik jest róŜny od zera, nazywamy macierzą nieosobliwą. Jeśli detA = 0, to macierz A nazywamy osobliwą. Niech A,B∈Knn, jeŜeli AB = BA = E, to macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy symbolem A−1 .

Twierdzenie 2 (o odwracaniu macierzy) Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ macierz A jest nieosobliwa . Dowód. (⇒ ) Jeśli macierz A ma macierz odwrotną, to AA−1=E, wtedy z własności 7 mamy: Det(AA−1) = detA detA−1=detE = 1, a stąd wynika, Ŝe det A≠0, czyli macierz jest A nieosobliwa. 1 (⇐ ) PoniewaŜ detA≠0, moŜna więc określić macierz B= AD . Jest to macierz detA odwrotna do macierzy A, bo zgodnie z wnioskiem 6 mamy: 1 1 AB = AAD == (detA)E = E. ♦ detA detA

 1 2 1 Przykład 6. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A, jeŜeli A =  3 1 4 . − 1 0 2 Wyznacznik macierzy detA = −17, więc macierz jest nieosobliwa i istnieje A−1. Twierdzenie 1 podaje metodę konstrukcji macierzy odwrotnej do danej macierzy. Wyznaczymy najpierw macierz dopełnień algebraicznych.

Strona 50

MACIERZE I WYZNACZNIKI

[A ] ij

 1 +  0  2 = −  0  2 + 1 

4 2 1 2 1 4

−

3

4

−1 1 + −1 1 − 3

2 1 2 1 4

+

3

−1 1 − −1 1 + 3

1  0  2 − 10 1  2  2  .  = −4 3 0  7 − 1 − 5 2   1 

 2 −4 7   2 −4 7  −1    −1 Macierz dołączona ma postać A = − 10 3 − 1 , a więc A = − 10 3 − 1 .  17  1  1 2 − 5 2 − 5 D

Wniosek 7. Jeśli A i B są macierzami nieosobliwymi stopnia n i 0≠λ∈K, to 1 ; (a) detA−1= detA (b) (A−1)−1 = A; (c) (AB)−1 = B−1A−1; (d) (A−1)T = (AT)−1; (e) (λA)−1 =

1 −1 A . λ

Istnienie macierzy odwrotnej do macierzy nieosobliwej moŜna wykorzystać do rozwiązywania równań macierzowych, w których występuje iloczyn danej macierzy kwadratowej nieosobliwej i macierzy niewiadomej. RozwaŜymy trzy główne typy takich równań: 1. An×nXn×p=Bn×p, detA ≠0, wtedy X = A−1B; 2. Xn×p Ap×p = Bn×p,

det A≠0, wtedy X = BA−1;

3. An×nXn×pBp×p = Cn×p, det A≠0, det B≠0 , wtedy X = A−1CB−1.

1  2 − 3  Przykład 7. Rozwiązać równanie macierzowe:   ⋅X⋅ − 1 − 2 4    2 1 3  2 − 3  Jest to równanie typu trzeciego, gdzie A =   , B = − 1 2 − 2 4    2 1

3 2  10 2 0 =  −5 1 1   2  10 0  , C =  − 5 1 

20 0 . 15 5 20 0 . 15 5

Det A =2 ≠ 0, więc istnieje macierz odwrotna do tej macierzy, którą wyznaczamy metodą 1 4 3 podaną w przykładzie 1: A−1 =  . 2 2 2

Strona 51

ROZDZIAŁ V

Podobnie, poniewaŜ det B = −5, wyznaczamy macierz odwrotną do macierzy B:  2 −1 4  −1  −1 B = 1 − 3 − 2 .  5 − 5 5 5  Ostatecznie X = A−1CB−1 =  2 −1 4  − 1 4 3  10 20 0  − 1 4 1 − 3 − 2 =      10 2 2 − 5 15 5 2 2 − 5 5 5   2 −1 4  − 1 5 25 3   = − 10 32.5 1 − 3 − 2 =     − 4 17 2 2 14 2  − 5 5 5  

3 2

 2 −1 4   2 4 0    − 1 3 1   1 − 3 − 2 =   − 5 5 5  

7.5 . 5 

Podamy teraz definicję waŜnego w matematyce odwzorowania, które pojawia się takŜe w podstawowych pojęciach analizy (np. operacja róŜniczkowania i całkowania). Niech U i V będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad tym samym zbiorem K. Odwzorowanie f: U→ V spełniające warunki: 1.

∀a,b∈U: f(a+b) = f(a) + f(b) (addytywność); ∀a∈U∀λ∈K: f(λa) = λf(a) (jednorodność),

2. nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w przestrzeń V. W szczególności, gdy U=V przekształcenie liniowe przestrzeni V w siebie nazywamy operatorem liniowym, a gdy V=ℜ − formą liniową. Uwaga 5. Obydwa warunki występujące w definicji moŜna zapisać przy pomocy jednego warunku:

∀a,b∈U∀λ1,λ2∈K : f(λ1a+λ2b) = λ1f(a) + λ2f(b).

Strona 52

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Ćwiczenia 1 3 1  1 1   1. Dla danych macierzy A = 0 − 2 3 i B = − 2 2 wyznaczyć ( o ile istnieją ) 2 2 4  4 0  T 2 T następujące macierze: AB, BA, B A, A , B B , BBTA, 3AB−4BT. 1 0 2. Wyznaczyć An , jeŜeli A =  . 0 2 3. Wyznaczyć wszystkie macierze diagonalne stopnia 2 spełniające równanie: X2−5X+4E=O. 4. Zbadać liniową niezaleŜność macierzy w przestrzeni macierzy kwadratowych stopnia 2 nad ciałem ℜ: 1 0 2 2 0 1  2 1 , 1 1  , 3 −1 .       5. Wyznaczyć jedną z baz oraz określić wymiar przestrzeni liniowej: a) macierzy kwadratowych stopnia 2 o wyrazach zespolonych nad zbiorem ℜ; b) macierzy kwadratowych stopnia 2 o wyrazach zespolonych nad zbiorem C. 6. Obliczyć wyznaczniki: 1 1 2 3 70 71 72 a b c 2 2 3 , d) a) 4 5 6 , b) 73 74 75 , c) 1 −2 3 6 9 76 77 78 a +1 b + 2 c + 3 3 7. Rozwiązać równania lub nierówności: x 1 2 z 1 −2 z −2 a) 1 x 2 > 0 (x∈ℜ) , b) 1 z 1 = 0 (z∈C) , c) 1 1 1 2 x 1 1 z i z 1 1 d) 2 x 4 x2

1 1 6 −3

2 3 3 1

3 4 . 1 2

i z = i+1 (z∈C), i

1 sin2x cos2x − sin2x 2 x = 0 (x∈ℜ), e) cos2x sin2x 0 = 0. 4 x tgx tgx 1

2 − 3 8. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A jeŜeli: a) A =  , 1 − 4 1 2 − 1 i − 1 2 3   b) A = 2 1 3  , c) A =  − i 1 i  . 0 1 − 1  − 1 0 i 

Strona 53

ROZDZIAŁ V

 −1 2 1  9. Wyznaczyć A , jeŜeli A =  1 0 3  . − 2 2 − 1 10. Rozwiązać równania macierzowe: 3 i  2i 4 − 2i  a) AX=B , gdzie A =  , B=    ; 4 2i   0 2 2i  2 1 − 1 − 2 3 0 ; b) XA=B , gdzie A = 1 2 3  , B =  1 1 3  0 1 2  −2

1 1 0  c) AXB=C , gdzie A = 3 1 0  , B = 2 2 −1

Strona 54

2 1 4 3 , C =  

2 0  4 − 2 .   2 − 6 

VI

Równania liniowe

ROZDZIAŁ VI

Równanie liniowe zapisujemy w postaci: równania macierzowego − Ax = b , równania wektorowego –

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, układu równań liniowych –

 a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1 ,  a x + a x + ... + a x = b ,  21 1 22 2 2n n 2   a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m , gdzie A = [aij]m×n = [a1, a2, ... ,an] jest macierzą układu równań,  b1   x1  b  x  b=  2  − kolumną wyrazów wolnych, zaś x =  2  − kolumną wyrazów niewiadomych .  ...   ...      b m  x n  Macierz A =[a1, a2, ... ,an] nazywamy macierzą podstawową układu równań , a macierz Ab =[a1, a2, ... ,an, b] macierzą rozszerzoną tego układu. Układ równań, w którym b=o (b1=0, b2=0, ... ,bm=0) nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku − niejednorodnym . RozwaŜmy najpierw przypadek, gdy m = n, tzn. przypadek, gdy macierz główna układu jest macierzą kwadratową stopnia n. Twierdzenie1 (Cramera). JeŜeli macierz podstawowa A = [a1, a2, ... ,an] układu n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu określone wzorami (Cramera): det (a 1 , a 2 , ... , a i −1 , b, a i +1 , ... , a n ) detA i xi = = , i = 1, 2, ... ,n , detA det(a 1 , a 2 , ... , a n ) lub w postaci macierzowej : x = A−1b.

Strona 56

RÓWNANIA LINIOWE

Dowód. JeŜeli detA≠0, to istnieje macierz odwrotna A−1. MnoŜąc lewostronnie obie strony równania Ax = b przez macierz odwrotną A−1, otrzymamy A−1Ax = A−1b, a stąd wynika, Ŝe x = A−1b . Wektor ten spełnia dane równanie, bo Ax = A(A−1b) = (AA−1)b = Eb = b. Aby wykazać prawdziwość wzorów Cramera, obliczmy wyznacznik macierzy Ai = [a1,a2, ... ,ai-1,b,ai+1, ... ,an] powstałej z macierzy A przez zastąpienie w niej i-tej kolumny wektorem b (kolumną wyrazów wolnych). detAi = det [a1,a2, ... ,ai-1,b,ai+1, ... ,an] = det [a1,a2, ... ,ai-1,a1x1 + ... + anxn,ai+1, ... ,an] = det [a1,a2, ... ,ai-1,a1x1,ai+1, ... ,an] + ... + det [a1,a2, ... ,ai-1,ai-1xi-1,ai+1, ... ,an] + det [a1,a2, ... ,ai-1,aixi,ai+1, ... ,an]+ det [a1,a2, ... ,ai-1,ai+1xi+1,ai+1, ... ,an]+ ... + det [a1,a2, ... ,ai-1,anxn,ai+1, ... ,an] = wszystkie wyznaczniki poza i−tym wyznacznikiem są równe zeru, bo mają kolumny proporcjonalne = xidet [a1,a2, ... ,ai-1,ai,ai+1, ... ,an] = xidetA, stąd przy załoŜeniu, Ŝe detA≠0, otrzymamy wzory Cramera. ♦ W dalszym ciągu układ równań liniowych, w którym macierz podstawowa jest kwadratowa i nieosobliwa, będziemy nazywać układem Cramera. Wniosek 1. Jednorodny układ Cramera ma jedynie rozwiązanie zerowe.

Przykład 1.

 2x + 3y − z = 2  Rozwiązać układ równań:  4x − y + 2z = − 2 .  3x + 2 y + z = 3  2 3 − 1 Macierz podstawowa układu A = 4 − 1 2  jest kwadratowa i nieosobliwa, bo 3 2 1  detA = −15, zatem układ równań jest układem Cramera. Aby zastosować wzory Cramera, obliczamy: 2 3 −1 2 2 −1 2 3 2 detA1 = − 2 − 1 2 = 15, detA2 = 4 − 2 2 =−30, detA3 = 4 − 1 − 2 = −30, 3 2 1 3 3 1 3 2 3 stąd x =

detA 3 detA1 detA 2 =−1, y = =2, z = =2 . detA detA detA

Twierdzenie 2. Jednorodny układ równań o kwadratowej macierzy głównej A ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy det A = 0.

Dowód. (⇒) (nie wprost) Jeśli det A ≠0, to z wniosku 1 wynika, Ŝe układ ma tylko rozwiązanie zerowe, otrzymaliśmy więc sprzeczność z załoŜeniem. (⇐) JeŜeli układ równań a1x1 + a2x2 + ... + anxn = o ma rozwiązanie niezerowe, to wektory a1, a2, ... ,an są liniowo zaleŜne. Z własności 6 (V.W6) wynika , Ŝe detA =det[a1, a2, ... ,an]=0.

Strona 57

ROZDZIAŁ VI

Aby określić istnienie rozwiązań układu równań o dowolnej macierzy głównej, wprowadzimy pojęcie rzędu macierzy. Rzędem niezerowej macierzy A=[a1, a2, ... ,an] (który oznaczamy r(A)) nazywamy ilość liniowo niezaleŜnych kolumn tej macierzy. Uwaga 1. Z definicji powłoki liniowej rozpiętej na wektorach a1, a2, ... ,an wynika, Ŝe r(A) = dimL(a1, a2, ... ,an). Uwaga 2. Z uwagi na własność 6 wyznacznika (V.W6), rząd macierzy moŜna określić jako stopień największego minora tej macierzy róŜnego od zera.

Z powyŜszych określeń wynikają następujące wnioski. Wniosek 2. 1. r(AT) = r(A); 2.

0 ≤ r(Am××n) ≤ min(m,n);

3.

r(A) =0 ⇔ A = 0;

4.

rząd macierzy nie ulegnie zmianie gdy: a) przestawimy kolumny (wiersze) macierzy; b) dowolną kolumnę pomnoŜymy przez liczbę róŜną od zera; c) do dowolnej kolumny (wiersza) dodamy inną kolumnę (wiersz) pomnoŜoną przez dowolną liczbę; d) usuniemy z macierzy kolumnę (wiersz) zerową; e) usuniemy jedną z dwóch jednakowych lub proporcjonalnych kolumn (wierszy).

Przykład 2. 4 1 0 1 2 − 1 2 1 3 1  Wyznaczyć rząd macierzy A, jeŜeli A =  .  2 − 1 − 2 − 1 − 2   9 5 1 1 6 R(A) =rząd macierzy nie zmieni się, gdy drugi wiersz pomnoŜony przez 2 dodamy do trzeciego wiersza i pomnoŜony przez (−1) dodamy do czwartego wiersza =   1 2 4 1 0     − 1 2 1 3 1  = r =wiersz czwarty jest proporcjonalny do wiersza pierwszego, więc  0 3 0 5 0     2 4 8 2 0      1 2 4 1 0    na mocy wniosku 4e = r  − 1 2 1 3 1  = rząd macierzy nie zmieni się, gdy kolumnę   0 3 0 5 0    piątą pomnoŜoną przez odpowiednią (taką, aby otrzymać zero w drugim wierszu) liczbę

Strona 58

RÓWNANIA LINIOWE  1 2 4 1 0    dodamy do pozostałych kolumn = r  0 0 0 0 1  = kolumna trzecia jest  0 3 0 5 0     1 2 1 0    proporcjonalna do pierwszej, więc = r  0 0 0 1  = pierwszą kolumnę mnoŜymy  0 3 5 0    przez (−2) i dodajemy do kolumny drugiej oraz pomnoŜoną przez (−1) dodajemy do kolumny  1 0 0 0   1 0 0       trzeciej = r  0 0 0 1   =kolumna druga i trzecia są proporcjonalne= r  0 0 1  =  0 3 5 0   0 3 0      1 0 0 =poniewaŜ det 0 0 1 = −3 ≠ 0 , więc = 3. 0 3 0

Twierdzenie 3 (Kroneckera-Capelli’ego). Układ równań liniowych Ax = b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A)=r(Ab).

Dowód. Wektor c=(c1, ... ,cn) jest rozwiązaniem równania Ax = b, czyli równania a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, wtedy i tylko wtedy, gdy a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b ⇔ ⇔ b∈L(a1, a2, ... ,an) = L(a1, a2, ... ,an,b) ⇔ dim L(a1, a2, ... ,an) = dimL(a1, a2, ... ,an,b) ⇔ ⇔ r(A) = r(Ab) .♦

Komentarz JeŜeli r(A) = r(Ab) = k ( k ≤ m, k ≤ n ), to dokładnie k wierszy macierzy A jest liniowo niezaleŜnych, a z uwagi na własność r(A) = r(AT) takŜe dokładnie k kolumn tej macierzy jest liniowo niezaleŜnych. Dokonując przestawienia równań w danym układzie i ewentualnie zmieniając kolejność niewiadomych, moŜemy przyjąć, Ŝe pierwszych k wierszy i pierwszych k kolumn jest liniowo niezaleŜnych. Jeśli m−k > 0, to m−k ostatnich równań moŜemy pominąć, bo kaŜde z nich jest kombinacją liniową pierwszych k równań (co oznacza, Ŝe kaŜde pominięte równanie będzie spełnione przez rozwiązanie otrzymane z k pierwszych równań). Otrzymamy wtedy następujący układ równań: A′x=b′ ⇔ a′1x1 + a′2x2 + ... +a′nxn = b′, gdzie A′ =[ a′1, a′2, ... ,a′n] jest macierzą bez m−k ostatnich wierszy, a b′ kolumną bez m−k ostatnich elementów. Jeśli k = n, to równanie A′x=b′ jest układem Cramera (detA′≠0) i jego jedyne rozwiązanie jest rozwiązaniem układu Ax = b. Jeśli k < n, to równanie A′x=b′ zapisujemy w postaci: a′1x1 + a′2x2 + ... +a′kxk = b′ − a′k+1tk+1 − ... − a′ntn , gdzie tk+i ( i = 1, 2, ... , n−k) są parametrami przyjmującymi dowolne wartości z e zbioru K. W tym przypadku układ równań A′x=b′ , a więc takŜe układ równań Ax = b ma rozwiązania zaleŜne od n−k parametrów. Reasumując otrzymujemy następujący wniosek: Strona 59

ROZDZIAŁ VI

Wniosek 3. JeŜeli r(A) = r(Ab)=k a n jest ilością niewiadomych, to: 1. gdy n = k, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie; 2. gdy k < n, to układ ma rozwiązania zaleŜne od n-k parametrów; 3. gdy r(A) < r(Ab), to układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

Przykład 3. Przedyskutować istnienie rozwiązań w zaleŜności od parametru λ∈ℜ następującego układu równań:  2x − y + z + u = 1,   x + 2y − z + 4u = 2, x + 7y − 4z + 11u = λ. 

2 − 1 1 1  2 − 1 1 1 1    Macierz główna A= 1 2 − 1 4  , macierz rozszerzona Ab= 1 2 − 1 4 2 . 1 7 − 4 11 1 7 − 4 11 λ  Badamy rząd macierzy A: r(A) = kolumnę drugą mnoŜymy przez 2 dodajemy do pierwszej   0 −1 0 0     oraz dodajemy do kolumny trzeciej i czwartej = r   5 2 1 6   = kolumna pierwsza  15 7 3 18      0 − 1    0 −1 jest proporcjonalna do kolumny trzeciej i czwartej = r   5 2   = 2 minor jest 5 2  15 7     róŜny od zera, więc . Badamy rząd macierzy Ab: r(Ab) = wykonujemy te same operacje na kolumnach macierzy   0 − 1 0 0 1    Ab, które wykonaliśmy na kolumnach macierzy A = r   5 2 1 6 2  = kolumny  15 7 3 18 λ     pierwsza, trzecia i czwarta są proporcjonalne, więc usuwamy dwie z nich, a następnie   0 −1 0    kolumnę drugą dodajemy do kolumny piątej = r   5 2 4   = poniewaŜ  15 7 λ + 7     0   0 −1 2, gdy λ = 5  det  5 2 4  = 5λ−25 =  . 3, gdy λ ≠ 5  15 7 λ + 7

Jeśli λ≠5, to układ równań jest sprzeczny, bo r(A)=2, a r(Ab) = 3.

Strona 60

RÓWNANIA LINIOWE

Jeśli λ=5, to r(A) = r(Ab) = 2, więc na mocy twierdzenia Kroneckera−Capelli’ego układ ma rozwiązanie, a z uwagi na wniosek 3 (punkt 2) rozwiązania tego układu są zaleŜne od 2 parametrów. −1 1 Jeśli przyjmiemy, Ŝe minor macierzy A róŜny od zera to , wtedy jako parametry 2 −1 przyjmujemy niewiadome x oraz u. Odrzucając trzecie równanie i przyjmując x = t, u = s, gdzie t,s∈ℜ, mamy układ: − y + z = 1 − 2t − s ,  2y − z = 2 − t − 4s którego rozwiązanie otrzymujemy stosując wzory Cramera:  y = 3 − 3t − 5s , t,s∈ℜ.  z = 4 − 5t − 6s Ostatecznie rozwiązanie układu równań ma postać:  x = t,  y = 3 − 3t − 5s,  t,s∈ℜ.  z = 4 − 5t − 6s,  u = s,

Strona 61

ROZDZIAŁ VI

Ćwiczenia 1. Rozwiązać układ równań stosując; a) metodę macierzową, b) wzory Cramera :  x + 3y + z + t = 3 x + 2y + 3z = 14  2x + 3y + z = 6  2x − y − 2z + 2t = 5    a)  4x + 3y − z = 7 b) 4x + 5y + 2z = 10 , c)  .  x−y+z =2  3x − 3y + z = −7 − x − 2y + 2z − t = 0    3x + y − z + 2t = 6 2. Wyznaczyć rząd macierzy A, jeŜeli: 1 1 − 2 3 1  0   a) A = 2 0 2 − 2 , b) A =  2 1 − 6 7 5   0

0 1 0 3

0 1 0 3

1 2 1 2 1 2 0   1 − 1 − 2 . , c) A = 3 2 2 1 − 2 − 3 − 3 3   0

3. Wyznaczyć rząd macierzy A w zaleŜności od parametru k∈ℜ: 2 − 2 2 − 1 1 1 1  k 1    a) A = 1 2 − 1 4 2  , b) A =  1 − 2 − 3 2  . 1 7 − 4 11 k   5 0 1 − k  4. Przedyskutować istnienie rozwiązań (w zaleŜności od parametru k∈ℜ) układu równań AX=b, gdzie A∈ℜ33 wiedząc, Ŝe : detA=(k−1)(k+2), detA1=(k−1)2(k+2), detA2=(k+1)(k+2)2, detA3=(k−1)(k+2) . 5. Wyznaczyć rozwiązania układu równań w zaleŜności od parametru a,b∈ℜ: a 2 x + 3y + 2z = 0  ax + y + z = 1  ax + y = 3  2x + y − z = a    a)  , b)  x + ay + z = a , c)  ax − y + z = 0 , f) 2x − 3y = −4 , 4x + ay − 2z = 4 x + y + az = a 2  3x − y = a 2  y + 4z = 0     x+y+z =a ax + by + (a + b)z = 0  2x − y + z − t = a + 1    d) x + (a + 1)y + z = 2a , e) bx + ay + (a + b)z = 0 , g) − x + 2y − 3z + 3t = 2 .  x + y + (a + 1)z = 0  x + y + 2z = 0  3x + ay − z + t = 4    6. Wyznaczyć rozwiązania układu równań w zaleŜności od parametru a∈C: ax − y + iz = 0  x + 2iy + 3z = 5   a)  x + ay + z = 0 , b) ax − 2y + 3iz = 6 − a .  y + az = 0  2x + ay + 3z = 7  

Strona 62

VII

Przestrzeń metryczna i unormowana, iloczyny wektorów

ROZDZIAŁ VII

Przestrzeń metryczna

Funkcjonał rzeczywisty d: A2 →ℜ , gdzie A≠∅, spełniający warunki: (1) (2) (3)

∀ a,b∈A: d(a,b) = 0 ⇔ a = b (jednoznaczność); ∀ a,b∈A: d(a,b) = d(b,a) (symetria); ∀ a,b,c∈A: d(a,b) + d(b,c) ≥ d(a,c) (nierówność trójkąta)

nazywamy metryką w zbiorze A. Liczbę rzeczywistą d(a,b) nazywamy odległością elementów a i b zbioru A. Jest to liczba nieujemna, bo: 1 d(a,b) = z warunku (2) = (d(a, b) + d(b, a)) = z warunku (3) ≥ 2 1 ≥ d(a,a) =0 z warunku (3). 2

Zbiór A wraz z metryką d, czyli parę (A,d) nazywamy przestrzenią metryczną. Przykład 1. Odwzorowanie d: A2 → ℜ 0+ określone wzorem:

0, gdy a = b d(a,b) =  1, gdy a ≠ b jest metryką w A. Jest to tzw. metryka dyskretna. Tak więc kaŜdy niepusty zbiór moŜna zmetryzować.

∀a,b∈A:

Przykład 2. Funkcja dN: ℜ2 → ℜ określona wzorem:

∀x,y∈ℜ: dN(x,y) = |x−y| spełnia warunki (1) − (3) jest więc metryką w ℜ. Jest to tzw. metryka naturalna w ℜ. Przykład 3. Przestrzeń arytmetyczną ℜn zmetryzować za pomocą róŜnych metryk. Dla x = (x1, x2, ... ,xn), y =(y1, y2, ... ,yn), określimy: Strona 64

PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW n

∑ (x

(a) metrykę kartezjańską postaci: dK=

i =1

− yi ) ; 2

i

n

dM= ∑ x i − y i ;

(b) metrykę „miejską” postaci:

i =1

(c) metryką Czebyszwa postaci:

dC= max { x i − y i , i = 1,2,..., n } .

Dla n=1 wszystkie trzy metryki pokrywają się z metryką naturalną dN w ℜ. Wprowadzenie metryki w zbiorze A pozwala wyróŜnić pewne podzbiory zbioru A zwane sferami i kulami.

Sferą o środku a i promieniu r nazywamy zbiór: S(a,r):= {x∈A: d(a,x) = r }. Kulą o środku a i promieniu r nazywamy zbiór: B(a,r):= {x∈A: d(a,x) ≤ r }. Punkt a nazywamy środkiem sfery (kuli) a nieujemną liczbę rzeczywistą r − promieniem sfery (kuli). Zbiór B0(a,r) = B(a,r) −S(a,r) nazywamy kulą otwartą. Kulę otwartą o środku a i dowolnym promieniu ε∈ℜ+ nazywamy otoczeniem punktu a w przestrzeni metrycznej (A,d) i oznaczamy przez U(a,ε) lub U(a), tak więc U(a) = { B0(a,ε), ε∈ℜ+}. Zbiór N(a) = U(a)− {a} nazywamy sąsiedztwem punktu a w przestrzeni metrycznej (A,d). Przykład 4. Zbiór A z metryką „dyskretną” ma mało sfer, bo dla a∈A mamy: S(a,1) = A\{a}, S(a,0) = {a}, S(a,r) =∅, gdy r≠1 i r≠0. Przykład 5. Sferami o środku (0,0) i promieniu r=1 w przestrzeni ℜ2 w metrykach (a), (b), (c) z przykładu 3 będą zbiory tych (x,y)∈ℜ2, które spełniają warunki: (a) x2 + y2 = 1; (b) |x| + |y| = 1; (c) max(|x| , |y| ) = 1. Korzystając z pojęcia odległości między elementami przestrzeni metrycznej (A,d) wprowadzamy pojęcie odległości elementu od podzbioru X tej przestrzeni i odległości dwóch podzbiorów X i Y tej przestrzeni.

Strona 65

ROZDZIAŁ VII

Odległością elementu a∈A od zbioru X⊂ A nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą d(a,X) określoną wzorem: gdy a ∈ X,  0 , d(a,X) := inf d(a,x), gdy a ∈ X.  x∈ X Odległością dwóch zbiorów X, Y⊂ A nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą d(X,Y) określoną wzorem: gdy X ∩ Y ≠ ∅,  0 , d(X,Y) := inf d(x, y), gdy X ∩ Y = ∅.  x∈ X , y∈Y Średnicą zbioru X nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą δ ( o ile istnieje)określoną wzorem: δ= sup d(x,x′). x , x ′∈ X

Przykład 6. W przestrzeni ℜ+ z metryką naturalną kula B(1, 9) zawiera się w kuli B(5,6), czyli kula o promieniu mniejszym zawiera kulę o promieniu większym. PoniewaŜ B(1,9) = {x∈ℜ+: |x−1|≤9 } = (0,10], a B(5,6) = {x∈ℜ+: |x−5|≤6 } = (0,11], więc B(1, 9) ⊂ B(5,6).

Uwaga 1. Wśród przekształceń przestrzeni metrycznej w siebie szczególne zastosowania mają dwa następujące przekształcenia.

Przekształcenie f: A → A jest izometrią, gdy

∀a,b∈A:

d(f(a),f(b)) = d(a,b).

Przekształcenie f: A → A jest zwęŜające (kontrakcją), gdy

∃λ∈(0,1) ∀a,b∈A:

d(f(a),f(b)) ≤ λ d(a,b).

Izometrie zachowują odległość między dwoma dowolnymi punktami przestrzeni metrycznej, a więc zachowują kształt i rozmiary figur w tej przestrzeni i mają szczególne zastosowania w geometrii i fizyce. Przekształcenia zwęŜające odgrywają istotną rolę w analizie matematycznej, gdyŜ przy pewnych dodatkowych załoŜeniach o przestrzeni mają punkty stałe. Przykład 7. Wykazać, Ŝe odwzorowanie f: (0,+∞) → (0,+∞) określone wzorem 1 2 f(x) =  x +  jest zwęŜające w przedziale [1, +∞). 2 x Niech x,y∈[1, +∞), wtedy:

Strona 66

PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW

1 1  1 1 1 1 x + − y − = (x−y)  −  . 2 x 2 y  2 xy  PoniewaŜ dla x,y∈[1, +∞) iloczyn xy ≥ 1, więc f(x) − f(y) =

∃λ∈(0,1) ∀ x,y∈[1, +∞) :

1 f(x) − f(y) ≤ λ x − y , przy czym λ = , 2 co oznacza, Ŝe odwzorowanie f jest zwęŜające w przedziale [1, +∞).

Przestrzeń unormowana

Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad zbiorem ℜ.

Funkcjonał rzeczywisty || • || : V → ℜ spełniający warunki: (a) (b)

∀ v∈V : ||v|| = 0 ⇔ v=0; ∀ λ∈ℜ ∀ v∈V : ||λv|| =|λ| ||v||; ∀ v,u∈V : ||v+u||≤ ||v|| +||u||,

(c) nazywamy normą w przestrzeni V, a liczbę ||v|| − normą elementu (wektora) v∈V. Przestrzeń liniowa V, w której została zdefiniowana norma nosi nazwę przestrzeni unormowanej. Funkcjonał rzeczywisty d: V2 →ℜ postaci:

∀ v,u∈V :

d(v,u) = || v−u ||

jest metryką w przestrzeni V, jest to tzw. metryka generowana przez normę. Metryki dK, dM, dC określone w przykładzie 3. są generowane przez odpowiednie normy: ||x||K =

n

∑x i =1

2 i

,

||x||M =

n

∑x i =1

i

,

||x||C = max(|xi| , i=1, 2, ... ,n).

Między tymi normami zachodzą nierówności: ||x||C ≤ ||x||K ≤ ||x||M.

Strona 67

ROZDZIAŁ VII

Iloczyn skalarny

Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem ℜ.

Funkcjonał g: V2 →ℜ taki, Ŝe : (1) (2) (3)

∀ u,v,w∈V: g(u+v,w) = g(u,w) + g(v,w), g(u,v+w) = g(u,v) + g(u,w), ∀ u,v∈V ∀ λ∈ℜ: g(λu,v) = λg(u,v), g(u,λv) = λg(u,v), ∀ u,v∈V: g(u,v) = g(v,u), ∀ o≠u∈V: g(u,u) > 0 ,

(4) nazywamy mnoŜeniem skalarnym w przestrzeni V, a wartość tego funkcjonału na parze elementów u,v∈V, czyli liczbę rzeczywistą g(u,v) − iloczynem skalarnym tych elementów. Iloczyn skalarny elementów u i v będziemy oznaczać uv (stosuje się takŜe inne oznaczenia: (u,v), u⋅v, ). Przestrzeń liniową, w której wprowadzono iloczyn skalarny, czyli parę (V,g) nazywamy przestrzenią unitarną. Uwaga 2. Warunek (1) w definicji mnoŜenia skalarnego oznacza rozdzielność mnoŜenia skalarnego względem dodawania. Uwzględniając warunek(2) widzimy, Ŝe mnoŜenie skalarne jest liniowe ze względu na kaŜdą ze zmiennych.

Z warunku (4) wynika, Ŝe vv = v2 (kwadrat skalarny) jest liczbą nieujemną, określony więc jest pierwiastek z tej liczby, który nazywamy modułem elementu v i oznaczamy przez |v|, tzn. |v| =

v 2 ⇔ |v|2 = v2 .

Element, którego moduł jest równy 1 nazywamy wersorem. Oczywiście , dla v≠0 element

v v

jest wersorem. Łatwo uzasadnić, Ŝe moduł elementu v spełnia wszystkie aksjomaty normy, tak więc zdefiniowanie w przestrzeni wektorowej iloczynu skalarnego pozwala na wyznaczenie normy a tym samym odległości w tej przestrzeni.

Twierdzenie 1. JeŜeli V jest przestrzenią unitarną, to: 1. 2. 3.

∀ λ∈ℜ ∀ v∈V : |λv| =|λ| |v|, ∀ v,u∈V : |vu| ≤ |v||u|, ∀ v,u∈V : |v+u| ≤ |v| + |u|.

(nierówność Schwarza) (nierówność Minkowskiego)

Dowód. (1) |λv| = Strona 68

(λv )2 = (λv ) (λv ) =

λ 2 v2 = λ 2

v 2 = |λ| |v| ;

PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW

∀ λ ≠0:

0≤ (λv+u)2 = λ2v2 + 2λvu + u2 ∆≤0 ⇒ (vu)2 ≤ v2u2 ⇒ |vu|2 ≤|v|2|u|2 ⇒ |vu| ≤ |v||u|; 2 (3) ( v + u ) =|v|2+2|v||u|+|u|2 ≥nierówność Schwarza≥ |v|2+2|vu|+|u|2 ≥ v2+2vu+u2 = (2)

(v+u)2 ⇒ |v+u| ≤ |v| + |u|. Uwaga 3. Z nierówności Schwarza, dla elementów niezerowych, otrzymujemy następującą równowaŜność: uv uv ≤ 1 ⇔ ∃ϕ∈ℜ: cosϕ= , uv uv

w której liczbę rzeczywistą ϕ∈[0,π] nazywamy miarą kąta między niezerowymi elementami u i v. Wynika stąd równość : uv = |u||v| cosϕ, prawdziwa dla dowolnych elementów u i v. W przestrzeni unitarnej definiujemy relację ortogonalności elemenów: dwa elementy u i v nazywamy ortogonalnymi, jeŜeli ich iloczyn skalarny jest równy zeru, tzn. uv = 0. Z uwagi 2 wynika, Ŝe niezerowe elementy przestrzeni V są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, π gdy ϕ = , stąd pojęcie prostopadłości (zamiast ortogonalności) stosowane w geometrii. 2 Bazę {e1, e2, ... ,en} w n−wymiarowej przestrzeni unitarnej (V,g) nazywamy bazą ortonormalną, jeśli wszystkie elementy tej bazy są parami ortogonalne i kaŜdy z nich jest wersorem. Uwaga 4. Dla elementów bazy ortonormalnej, na mocy uwagi 2, mamy następujące równości:

∀i,j∈{1,2, ... ,n} :

eiej = δij.

Obliczanie iloczynu skalarnego

Wyprowadzimy teraz wzór na obliczanie iloczynu skalarnego w n wymiarowej przestrzeni unitarnej. Niech {e1, e2, ... ,en} będzie bazą w n−wymiarowej przestrzeni unitarnej V i niech n

n

u=

∑ u iei , v= ∑ u je j , wtedy: j =1

i =1

n n    n uv =  ∑ u i ei   ∑ v je j  = wykorzystując uwagę 1 = ∑∑ u i v j (ei e j ) . i =1 j=1  i =1   j=1  Jeśli baza jest ortonormalna, to na mocy uwagi 3, mamy: n

n

Wniosek 1. Jeśli elementy u i v mają w bazie ortonormalnej postać: u =

∑u e i =1

i i

,

n

v = ∑ u je j , to ich iloczyn skalarny jest liczbą rzeczywistą postaci: j =1

Strona 69

ROZDZIAŁ VII n

uv =

n

n

∑∑ ui v jδij =

∑u v

i =1 j = 1

i

i =1

i

.

Uwaga 5. Baza kanoniczna w przestrzeni ℜn jest otonormalna i dlatego w bazie tej mamy: uv = u1v1 + u2v2 + ...+ unvn ,

|v| =

v12 + v 22 + ... + v 2n , n

∑u v cosϕ =

i =1

n

i

i

∑u ∑v i =1

.

n

2 i

i =1

2 i

Przykład 8. Sprawdzić, czy trójkąt o wierzchołkach A(1,2,3), B(−1,4,6), C(3,7,1) jest prostokątny. Wyznaczyć długości boków i kąty tego trójkąta. PoniewaŜ AB =[−2,2,3], AC =[2,5,−2] oraz AB AC =−4+10−6=0, czyli kąt A jest prosty i dany trójkąt jest prostokątny. Stosując wzory podane w uwadze 4, mamy: AB = 4 + 4 + 9 = 17 , AC = 4 + 25 + 4 = 33 , BC = [4,3,−5] = 16 + 9 + 25 =5 2 ,

) [2,−2,−3][4,3,−5] = 17 = 34 , stąd B) = arccos 34 , C) = π − B) . BA BC cos B = = 2 10 17 ⋅ 5 2 5 34 10 BA BC

Iloczyn wektorowy

MnoŜenie wektorowe, ze względu na moŜliwość interpretacji poglądowej, wprowadzimy tylko w trójwymiarowej przestrzeni unitarnej (V,g). MnoŜeniem wektorowym w trójwymiarowej przestrzeni unitarnej (V,g) z ustaloną w niej bazą ortonormalną e1, e2, e3, nazywamy odwzorowanie f: V2 → V, spełniające następujące warunki ( wartość tego odwzorowania na parze wektorów (u,v)∈V, czyli wektor f(u,v), będziemy oznaczać u×v i nazywać iloczynem wektorowym wektorów u i v ): (1) v×u = − u×v, (2) u×(v+w) = u×v + u×w, (v+w)×u = v×u + w×u, (3) (λ u)×v = u×(λv) =λ(u×v), (4) e1× e2 = e3 , e2× e3 = e1 , e3× e1 = e2.

Strona 70

PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW

Własności iloczynu wektorowego wynikające wprost z jego definicji: Wniosek 2.

∀v∈V∀λ∈ℜ: v×(λv) = o.

Dowód. Z warunku (1) definicji mamy: v×v = − v×v, czyli v×v = o, stąd na mocy warunku (2) mamy: v×(λv) = λ(v×v) = o.♦ Wniosek 3. JeŜeli wektory u i v mają w bazie ortonormalnej {e1, e2, e3}rozkłady: u = u1e1+u2e2+u3e3, v = v1e1+v2e2+v3e3, to u×v = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v3)e3, lub w zapisie symbolicznym:

e1 u×v = u1 v1

e2 u2 v2

e3 u3 . v3

Dowód. Wykorzystując warunek (2) definicji (rozdzielność mnoŜenia wektorowego względem dodawania) mamy: u×v = (u1e1+u2e2+u3e3)×(v1e1+v2e2+v3e3) = u1v1(e1×e1) + u1v2(e1×e2) + u1v3(e1×e3) + u2v1(e2×e1) + u2v2(e2×e2) + u2v3(e2×e3) + u3v1(e3×e1) + u3v2(e3×e2) + u3v3(e3×e3) = = wykorzystując wniosek 1 oraz warunek (4) w definicji mnoŜenia wektorowego = = u1v1(o) + u1v2(e3) + u1v3(−e2) + u2v1(−e3) + u2v2(o) + u2v3(e1) + u3v1(e2) + u3v2(−e1) + e1 e 2 e 3 + u3v3(o) =(u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v3)e3 = u1 u 2 u 3 .♦ v1 v 2 v 3

Podobnie dowodzimy następującego wniosku: Wniosek 4. Wektor u× ×v jest ortogonalny do wektora u i do wektora v, tzn. iloczyn ×v) = 0 i v(u× ×v) = 0. skalarny u(u×

Przykład 9. Wyznaczyć wektor prostopadły do wektorów u, v∈ℜ3, jeŜeli u = [1,0,2], v=[1,3,−2]. Z uwagi na wniosek 3, wektorem takim będzie iloczyn wektorowy tych wektorów, więc i j k 0 2 1 2 1 0 u×v = 1 0 2 = i −j +k = −6i+4j+3k = [−6,4,3]. 3 −2 1 −2 1 3 1 3 -2 W przestrzeni unitarnej trójwymiarowej określa się takŜe iloczyn mieszany wektorów.

Strona 71

ROZDZIAŁ VII

Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów (u, v, w) nazywamy iloczyn u(v×w), który oznaczamy symbolem uvw . Uwaga 6. JeŜeli u, v, w∈ℜ3, to wykorzystując wniosek 2, łatwo wykazać, Ŝe iloczyn mieszany uvw = u(v×w) = (u×v)w = det(u, v, w).

W trójwymiarowej przestrzeni wektorowej dwa wektory liniowo zaleŜne nazywamy wektorami kolinearnymi (współliniowymi)( w przestrzeni ℜ3 – równoległymi), a trzy wektory liniowo zaleŜne noszą nazwę komplanarnych (współpłaszczyznowych). Uwaga 7. Z własności wyznaczników (własność 6) wynika, Ŝe trzy wektory u,v,w są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy uvw = 0. Uwaga 8. PoniewaŜ iloczyn mieszany trójki wektorów u,v, u× ×v jest równy (u×v)( u×v) = 2 | u×v| > 0, więc wektory te, na mocy uwagi 2, są liniowo niezaleŜne, o ile u× ×v ≠0.

Twierdzenie 2. W trójwymiarowej przestrzeni unitarnej V zachodzą następujące toŜsamości wektorowe: u × (v × w ) = (uw )v − (uv )w 1. ∀ u, v, w∈ ∈V:  , (toŜsamość Gibbsa) (u × v ) × w = (uw )v − (vw )u uw vw  2. ∀ u, v, w,z∈ ∈V: (u× ×v)(w× ×z) = det   , (toŜsamość Laplace’a) uw vz  3.

∀ u, v∈ ∈V:

×v)2 = u2v2 − (uv)2. (u×

(toŜsamość Lagrange’a)

Z toŜsamości Lagrange’a, uwzględniając równość uv = |u||v||cosϕ|, mamy: (u×v)2 = u2v2 − (uv)2 = |u|2|v|2 −(|u||v||cosϕ|)2 = |u|2|v|2(1−cos2ϕ) = |u|2|v|2sin2ϕ, czyli: Wniosek 5. ∀u, v∈ ∈V: |u× ×v|| = |u|||v||sinϕ ϕ , ϕ∈[0,π π], zatem moduł wektora u× ×v 3 w przestrzeni ℜ jest równy polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v.

Bazując na tym wniosku i rozwaŜając równoległościan rozpięty na wektorach u, v i w nietrudno uzasadnić następujący wniosek. Wniosek 6. JeŜeli wektory u, v, i w nie są współpłaszczyznowe, to liczba |uvw|| określa objętość równoległościanu rozpiętego na tych wektorach.

Strona 72

PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW

Przykład 10. Obliczyć objętość czworościanu ABCD oraz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D, jeŜeli A(0,1,1), B(1,2,3), C(2,1,3), D(4,5,4). Wyznaczamy wektory , na których rozpięty jest czworościan : AB = [1,1,2], AC = [2,0,2], AD = [4,4,3]. r r r i j k AB × AC =

1 1 2

= i(2) - j(-2) + k(-2) = [2, 2,-2].

2 0 2

1 1 5 | AB AC AD | = [2,2,-2][4,4,3] = . 6 6 3 1 1 Pole podstawy czworościanu: P = |[2,2,-2]| = 4+ 4+ 4 = 3. 2 2 5 1 Ze wzoru na objętość czworościanu V = Ph, mamy: h = . 3 3 Objętość czworościanu: V =

Przestrzeń euklidesowa Niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K, której elementy będziemy nazywać teraz punktami i oznaczać duŜymi literami A, B, C, ... . RóŜnicę dwóch punktów B − A będziemy nazywać wektorem o początku A i końcu B i oznaczać AB . Wektor OA , gdzie O jest elementem zerowym przestrzeni V, nazywamy wektorem wodzącym punktu A. To działanie odejmowania spełnia następujące warunki: 1. 2.

∀A,B,C∈V: ∀A,B,C∈V:

( AB = AC ) ⇒ (B = C ), (jednoznaczność) AB + BC = AC .

(warunek Chaslesa)

JeŜeli przestrzeń V będzie przestrzenią unitarną, to tę nową strukturę, która spełnia powyŜsze warunki, i w której określona została norma, a zatem i metryka generowana przez tę normę, będziemy nazywać przestrzenią euklidesową i oznaczać symbolem E. Tak więc w tej przestrzeni określone są takie pojęcia jak odległość, kąt, pole, objętość, itp. JeŜeli w przestrzeni n wymiarowej V dana jest baza {e1, e2, ... , en}, to jej odpowiednikiem w przestrzeni euklidesowej n wymiarowej En będzie uporządkowany układ n+1 punktów {o, e1, e2, ... , en}, nazywanych kartezjańskim układem współrzędnych. Punkt zerowy o nazywamy wtedy początkiem układu współrzędnych, a współrzędne wektora OA w danej bazie współrzędnymi punktu A w tej bazie. Najprostszy i najczęściej stosowany jest tzw. ortokartezjański układ współrzędnych, w którym wektory bazy są wersorami parami ortogonalnymi. W przestrzeni euklidesowej ℜ3 ortokartezjańskim układem współrzędnych jest np. układ {o , i , j , k }, gdzie o = (0, 0, 0), i =[1, 0, 0], j =[0, 1, 0], k =[0,0,1].

Strona 73

ROZDZIAŁ VII

Ćwiczenia 1. Sprawdzić, Ŝe dane odwzorowanie jest metryką, obliczyć odległość wskazanych punktów A i B, wyznaczyć kulę o środku w punkcie A i promieniu r: x a) d1: ℜ+ → ℜ+∪{0}: d1(x,y) = ln , A=e, B=e2, r = 1 ; y + b) d2: C → ℜ ∪{0}: d2(z1,z2) = |rez1−rez2| + |imz1−imz2| , A=1−i, B=3+2i, r=1 . 2. Wykazać, Ŝe odwzorowanie f jest zwęŜające, jeŜeli: f(x) =

1 2 x , x∈[−3,3]. 10

3. Wykazać, Ŝe odwzorowanie f jest izometrią, jeŜeli: f: ℜ2 → ℜ2 oraz   ∀(x,y)∈ℜ2: f(x,y) =  1 x − 3 y − 2, 3 x + 1 y + 1 (metryka kartezjańska). 2 2 2 2  4. Wykazać, Ŝe funkcjonał g: V2 → ℜ określa mnoŜenie skalarne w przestrzeni V macierzy  a b   x y   kwadratowych stopnia 2, jeŜeli g   ,    = ax + by + cv + dz.  c d   v z   5. Wykazać, Ŝe w przestrzeni V macierzy kwadratowych stopnia 2 normę macierzy moŜna a b  2 2 2 2 określić wzorem:   = a + b + c + d . Przyjmując metrykę indukowaną przez c d   0 1 tę normę, wyznaczyć odległość macierzy A=   iB=  − 3 − 2

 2 2 − 1 0  .  

W następnych przykładach iloczyn skalarny w rozwaŜanych przestrzeniach określony jest w Uwadze 5. − 2 − 2 1 −1 2 2 6. Wykazać, Ŝe zbiór {e1, e2, e3}, gdzie e1 =  , ,  , e 2 =  , ,  , e3 =  3 3 3  3 3 3 − 2 1 − 2 3  3 , 3 , 3  tworzy w przestrzeni ℜ bazę ortonormalną. 7. Wyznaczyć rzut wektora a = [1, 2, 2] na oś wyznaczoną przez wektor b [−3, 0, −4]. 8. Sprawdzić, czy łamana ABCDA jest kwadratem , jeŜeli A(1,1,1), B(2,3,3), C(3,−1,2), D(4,1,4) ? 9. Wykazać, Ŝe trójkąt o wierzchołkach A(2+5 3 ,5,−1), B(2−5 3 ,−3,5), C(2,4,6) jest równoramienny. Wyznaczyć miary kątów tego trójkąta. 1 10. Wyznaczyć miary kątów i pole trójkąta rozpiętego na wektorach: p =−a + b + c, 2 q = 2a − b + c wiedząc, Ŝe wektory a i b są wzajemnie prostopadłe, wektor c tworzy z π wektorami a i b kąty równe oraz |a| = 1, |b| = |c| = 2 . 3 Strona 74

PRZESTRZEŃ METRYCZNA I UNORMOWANA, ILOCZYNY WEKTORÓW

11. Sprawdzić, czy punkty A(1,2,2), B(0,−3,1), C(2,3,1), D(−1,−2,3) leŜą w jednej płaszczyźnie? 12. Dane są trzy wierzchołki czworościanu ABCD: A(1,0,1), B(0,1,1), C(1,1,0). Wyznaczyć wierzchołek D wiedząc, Ŝe jego trzy współrzędne są jednakowe, a objętość czworościanu jest równa 2. 13. Dane są cztery punkty : A(0,3,1), B(2,−1,2), C(3,0,−1) i S(5,7,−3) będące wierzchołkami ostrosłupa ABCS. Wyznaczyć wektor ES , gdzie E jest spodkiem wysokości ostrosłupa wychodzącej z wierzchołka S. 14. Dane są wierzchołki trójkąta: A(−1,1,2), B(3,1,−1), C(2,3,1). Wyznaczyć: a) pole trójkąta; b) długość wysokości wychodzącej z wierzchołka C; c) punkt przecięcia się środkowych; d) wektor określający kierunek dwusiecznej kąta przy wierzchołku B; e) wektor wysokości wychodzącej z wierzchołka A; f) objętość czworościanu o wierzchołkach A,B,C i D, gdzie D(−2,2,4); g) długość wysokości czworościanu wychodzącej z wierzchołka D.

Strona 75

ROZDZIAŁ VII

Strona 76

VIII

Płaszczyzna i prosta w R3

ROZDZIAŁ VIII

Płaszczyzna w ℜ3 Równanie płaszczyzny π prostopadłej do wektora r n =[A,B,C] i przechodzącej przez punkt P(x0,y0,z0) wyznaczymy z warunku na prostopadłość wektorów nr i PP0 , gdzie punkt P(x,y,z) jest dowolnym punktem płaszczyzny:

r P0 P o n = 0 ⇔ A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. Otrzymaliśmy ogólne równanie płaszczyzny: Ax+By+Cz+D=0, gdzie D=−Ax0−By0−Cz0. JeŜeli D≠0, to moŜemy napisać odcinkowe równanie płaszczyzny:

x y z + + = 1, gdzie a b c

a, b, c są współrzędnymi odcinanymi przez płaszczyznę na osiach układu współrzędnych. Przez trzy punkty A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3), C(c1,c2,c3) nie leŜące na jednej prostej przechodzi jedna płaszczyzna. Wektor AB × AC jest prostopadły do tej płaszczyzny i jeśli punkt P(x,y,z) leŜy na tej płaszczyźnie, to wektory AB , AC , AP są komplanarne, czyli AB AC AP = 0, a więc równanie tej płaszczyzny moŜna zapisać w postaci: x y z 1 x - a1 y - a 2 z - a 3 a1 a 2 a 2 1 = 0. b1 − a1 b 2 - a 2 b3 - a 3 = 0 ⇔ b1 b2 b3 1 c1 − a1 c 2 − a 2 c3 − a 3 c1 c2 c3 1

Komplanarność (współpłaszczyznowość) trzech wektorów: AP , ur , vr ( gdzie wektory ur i vr są równoległe do płaszczyzny), moŜna zapisać w postaci: r r AP = σ u + τv , σ, τ∈ℜ. Otrzymujemy wtedy równania parametryczne płaszczyzny równoległej do wektorów ur i vr zawierającej punkt A:  x = a1 + σu1 + τv1  y = a 2 + σu 2 + τv2 , σ, τ∈ℜ.  z = a + σu + τv 3 3 3  Strona 78

PŁASZCZYZNA I PROSTA W R3

Przykład 1. Wyznaczyć równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora nr = [1,−2,3] przechodzącej przez punkt P(1,0,−1). Równanie płaszczyzny będzie miało postać: x − 2y + 3z + D = 0. PoniewaŜ punkt P leŜy na tej płaszczyźnie, więc jego współrzędne spełniają równanie: 1(1)-2(0)+3(-1) +D=0, stąd mamy D = 2 i równanie płaszczyzny ma postać: x −2y + 3z + 2 = 0. Przykład 2. Wyznaczyć równanie płaszczyzny, na której leŜy trójkąt ABC o wierzchołkach: A(1,0,1), B(−2,0,3), C(1,2,−1). Obliczyć pole tego trójkąta. Wyznaczamy wektory, na których rozpięty jest trójkąt: AB = [−3,0,2], AC = [0,2,−2]. r r r i j k = Wektorem prostopadłym do płaszczyzny jest wektor AB × AC = - 3 0 2 0 2 -2 i(−4) − j(6) +k(−6) = [−4,−6,−6], zatem jej równanie ma postać: −4x − 6y − 6z + D = 0 . PoniewaŜ punkt A leŜy na tej płaszczyźnie więc −4(1) − 6(0) − 6(1) + D = 0, a stąd otrzymamy D = 10, zatem równanie płaszczyzny ma postać: −4x −6y −6z + 10 = 0 , albo w formie prostszej: 2x + 3y + 3z −5 = 0 . 1 Pole trójkąta obliczymy wykorzystując iloczyn wektorowy: P =  AB × AC  = 2 1 16 + 36 + 36 = 22 . 2

Kąt między płaszczyznami: π1 : A1x +B1y +C1z +D1 = 0 ; π2: A2x +B2y +C2z +D2= 0: r r n1 o n 2 A 1A 2 + B1 B2 + C1C 2 cosϕ = r r = . 2 2 2 2 2 2 n1 n 2 A 1 + B1 + C1 A 2 + B2 + C 2 Warunek prostopadłości: r r π1 ⊥ π2 ⇔ n 1 o n 2 = 0 ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 . Warunek równoległości: A1 B1 C r r π1 π2 ⇔ n 1 × n 2 = 0 ⇔ = = 1 . A2 B2 C2 Odległość punktu P0(x0,y0,z0) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 : Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d(P0, π ) = . A 2 + B2 + C2

Przykład 3. Wyznaczyć kąt miedzy płaszczyznami: π1 : 2x − z + π2 : x − y +4z −1 = 0. r r Mamy wektory prostopadłe do płaszczyzn: n1 = [2,0,−1] , n 2 = [1,−1,4], więc 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( −1) + ( −1) ⋅ 4 2 2 cosϕ = = , stąd ϕ = arccos . 4 + 0 + 1 1 + 1 + 16 3 10 3 10

7

=

0,

Strona 79

ROZDZIAŁ VIII

Przykład 4. Obliczyć odległość dwóch płaszczyzn równoległych: π1 : x −2y + z − 1 = 0, π2 : −2x + 4y − 2z −4 = 0. Płaszczyzny te są równoległe, bo ich wektory prostopadłe: [1,−2,1], [−2,4,−2] są równoległe 1 −2 1 ( bo = ). = −2 4 −2 Punkt A(1,1,2) leŜy na płaszczyźnie π1 , więc szukana odległość będzie równa: − 2 ⋅1 + 4 ⋅1 − 2 ⋅ 2 − 4 6 6 . d(π1, π2) = d(A, π2) = = = 2 4 + 16 + 4 2 6

Prosta w ℜ3 Równanie prostej przechodzącej przez punkt A(a r 1,a2,a3) i równoległej do niezerowego wektora v =[v1,v2,v3] wyprowadzimy z warunku na równoległość wektorów. JeŜeli punkt P(x,y,z) jest dowolnym punktem prostej L, to r r AP v ⇔ AP =t v , a stąd otrzymujemy parametryczną postać prostej:  x = a 1 + tv1  L:  y = a 2 + tv 2 , t∈ℜ .  z = a + tv 3 3 

r

r

Inaczej, poniewaŜ AP || v , więc AP × v =0, czyli r r r i j k y - a2 z - a3 x - a1 z - a 3 x - a1 y - a 2 x - a1 y - a 2 z - a 3 = 0 ⇔ ( = 0, = 0, =0), v2 v3 v1 v 3 v1 v 2 v1 v2 v3 stąd otrzymujemy kierunkowe równanie prostej: y - a2 z -a3 x - a1 L: = = v2 v3 v1 ( jeśli któreś vi = 0, wtedy przyjmujemy, Ŝe odpowiedni licznik jest równy 0). Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3): poniewaŜ wektor AB || L , więc: y-a2 z-a3 x - a1 L: = = b2 − a2 b3 − a 3 b1 − a1

( jeśli któreś bi – ai = 0, wtedy przyjmujemy, Ŝe odpowiedni licznik jest równy 0)

Strona 80

PŁASZCZYZNA I PROSTA W R3

lub w postaci parametrycznej:  x = a 1 + t(b1 − a 1 )  L:  y = a 2 + t(b 2 − a 2 ) , t∈ℜ.  z = a + t(b − a ) 3 3 3 

Przykład 5. Wyznaczyć równanie prostej L przechodzącej przez dwa punkty: A(1,2,3), B(2,4,−1). Wektor równoległy do prostej L: AB = [1,2,−4] , więc postać kierunkowa prostej L będzie: y-2 x -1 z-3 L: = = , 1 2 -4 x = 1 + t  zaś postać parametryczna: L:  y = 2 + 2t , t∈ℜ. z = 3 - 4t 

Dwie płaszczyzny π1 : A1x +B1y +C1z +D1 = 0 i π2: A2x +B2y +C2z +D2= 0 mogą mieć punkty wspólne lub być zbiorami rozłącznymi. Punkty wspólne tych płaszczyzn będą rozwiązaniami następującego układu równań liniowych z trzema niewiadomymi: A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,   A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelli’ego układ ten będzie miał rozwiązanie, gdy  A B1 C1   A B1 C1 D1  rzędy macierzy A=  1 i Ab =  1   A 2 B2 C2  A 2 B 2 C 2 D 2  będą równe. JeŜeli r(A) ≠ r(Ab), to π1∩π2=∅ i płaszczyzny π1 i π2 są równoległe. JeŜeli r(A) = r(Ab) = 1, to wektory nr 1 =[A1,B1,C1] i nr 2 =[A2,B2,C2] są równoległe, czyli istnieje λ∈ℜ, takie Ŝe nr 1 =λ nr 2 , a poniewaŜ r(Ab) = 1, więc takŜe D1=λD2, a więc płaszczyzny π1 i π2 pokrywają się. JeŜeli r(A) = r(Ab) = 2, to rozwiązania tego układu są zaleŜne od jednego parametru i przedstawiają równania parametryczne prostej L=π1∩π2 będącej wspólną krawędzią tych płaszczyzn. Otrzymujemy w ten sposób równania krawędziowe prostej L: A x + B1 y + C1z + D1 = 0, L:  1  A 2 x + B2 y + C 2 z + D 2 = 0. Krawędź L wyznacza tzw. pęk płaszczyzn (czyli zbiór płaszczyzn zawierających prostą L), który jest kombinacją liniową równań płaszczyzn tworzących prostą L. Równanie pęku ma więc następującą postać: α(A1x +B1y +C1z +D1) +β( A2x +B2y +C2z +D2)=0, α2+β2≠0, α, β∈ℜ.

Strona 81

ROZDZIAŁ VIII

Przykład 6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(1,2,−1) i zawierającej prostą x + y - z = 0 L:  . 2x - y + 3z - 4 = 0 Szukana płaszczyzna naleŜy do pęku: α(x+y−z) + β(2x−y+3z−4) = 0. PoniewaŜ punkt P naleŜy do szukanej płaszczyzny, więc α(1+2+1) + β(2−2−3−4) = 0, stąd 4α=7β. Przyjmując α=7, β=4 otrzymamy równanie szukanej płaszczyzny: 7(x+y−z) + 4(2x−y+3z−4) = 0 ⇔ 15x + 3y + 5z −16 = 0. Przykład 7. x = 2t  Wyznaczyć punkt Q symetryczny do punktu P(1,−2,7) względem prostej L:  y = 1 + t . z = 2 - t  r Wektor v =[2,1,−1] równoległy do prostej L jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny prostopadłej do prostej L. Wyznaczymy równanie takiej płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt P: π: 2(x−1)+1(y+2)−1(z−7)= 0 ⇔ 2x + y − z + 7=0. Punkt wspólny S danej prostej i znalezionej płaszczyzny wyznaczymy wstawiając do równania płaszczyzny współrzędne prostej: 2(2t) + (1+t) − (2−t) + 7= 0, stąd t=−1 i mamy punkt S(-2,0,3). Punkt S jest środkiem odcinka PQ i jeśli punkt Q ma współrzędne (a,b,c), to: a +1 b-2 c+7 = −2 , = 0, = 3, stąd Q(−5,2,−1). 2 2 2

Wzajemne połoŜenie prostych i płaszczyzn RozwaŜmy dwie proste L1 i L2 o równaniach: x - a1 y - a2 z -a3 x - b1 y - b 2 z - b3 L1: = = , L2 : = = . v1 v2 v3 u1 u2 u3 r r v1u1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 vo u Kąt miedzy prostymi: cosϕ = r r = . v⋅u v12 + v 2 2 + v 3 2 u12 + u 2 2 + u 3 2

r r

Warunek prostopadłości: L1 ⊥ L2 ⇔ v o u = 0 ⇔ v1u1 + v2u2 + v3u3 = 0. Warunek równoległości: L1 || L2 ⇔ (

u1 u2 u3 r r = = lub u × v = 0 ). v1 v2 v3

Warunek przecinania się prostych nierównoległych: r r r rr v × u ≠ 0 i AB v u = 0 , gdzie A∈L1 a B∈L2 . rr JeŜeli AB v u ≠ 0 , to proste nazywamy skośnymi .

Strona 82

PŁASZCZYZNA I PROSTA W R3

Odległość punktu P(x0,y0,z0) od prostej x - a1 y -a2 z -a3 L: = = , obliczamy ze wzoru: v1 v2 v3 r v × AP d(P,L) = , gdzie punkt A(a1,a2,a3)∈L. r v

Odległość dwóch prostych skośnych: x - a1 y -a2 z -a3 x - b1 y - b 2 z - b 3 Dla danych prostych skośnych L1: = = i L2 : = = v1 v2 v3 u1 u3 u2 ich odległość wyraŜa się wzorem: rr vu AB d(L1,L2) = r r , gdzie A(a1,a2,a3)∈L1 i B(b1,b2,b3)∈L2 . v×u

Przykład 8.

x -1 y + 2 z -1 x y -5 z+4 = = i L2 : = = się przecinają. 1 2 2 1 -1 3 Wyznaczyć cosinus kąta między nimi. r A(1,-2,1) ∈L1 , B(0,5,-4) ∈L2 , stąd AB = [−1,7,−5]; v = [1,2,2] , ur = [1,−1,3], stąd r r r r r v × u = [8,−1,−3] ≠ 0 . PoniewaŜ AB o ( v × u ) = (−1)8+(7)(−1)+(−5)(−3) = 0, więc proste przecinają się. Sprawdzić, Ŝe proste L1:

cosϕ =

1− 2 + 6 5 5 = , stąd ϕ = arccos . 1+ 4 + 4 1+1+ 9 3 11 3 11

Przykład 9.

x -1 y +1 z - 3 Wyznaczyć odległość punktu P(1,2,−1) od prostej L: = = . 2 0 1 r Mamy tutaj: A(1,−1,3) ) ∈L, AP = [0,3,−4], v = [2,0,1] , a stąd r r r i j k v × AP = 2 0 1 = [−3,8,6]. Ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy: 0 3 -4 d(P,L) =

9 + 64 + 36 = 4 + 0+1

109 . 5

x - a1 y - a2 z -a3 = = i płaszczyzna π: Ax + By + Cz + D = 0 mogą v1 v2 v3 względem siebie znajdować się w trzech moŜliwych połoŜeniach: 1. L ∩ π = ∅ (prosta i płaszczyzna niermaj jest r ą punktów wspólnych, czyli r prosta r równoległa do płaszczyzny), wtedy v⊥n , czyli Av1+Bv2+Cv3=0 ( n o v =0) i Aa1+Ba2+Ca3+D≠0;

Prosta L:

Strona 83

ROZDZIAŁ VIII

r r 2. L ⊂ π (prosta leŜy na płaszczyźnie), wtedy Av1+Bv2+Cv3=0 ( n o v =0) i Aa1+Ba2+Ca3+D=0;

r r 3. L ∩ π = P0 (prosta i płaszczyzna mają jeden punkt wspólny), wtedy n o v ≠ 0 i moŜna r r nov wyznaczyć kąt miedzy prostą i płaszczyzną: sinϕ = r r . n⋅v

Przykład 10. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P(1,2,0), równoległej do płaszczyzny π: x + 2y − z + 4 = 0 oraz przecinającej prostą L:

x y -1 z - 3 = = . 2 -1 1

Sposób 1. Szukana prosta L1 leŜy w płaszczyźnie π1 równoległej do płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P. Równanie płaszczyzny π1 będzie: 1(x−1)+2(y−2)−(z−0)=0 lub krócej: x+2y−z−5=0. Prosta L1 zawiera punkt wspólny płaszczyzny π1 i prostej L. Wstawiając współrzędne prostej L do równania płaszczyzny π1 mamy: 1(2t)+2(1−t)−(3+t)−5=0, stąd t=−6 i punkt wspólny ma współrzędne Q(−12,7,−3). Szukana prosta przechodzi przez punkty P i Q, a więc moŜna ją zapisać w postaci:  x = 1 + 13t  L1:  y = 2 - 5t , t∈ℜ.  z = 3t  Sposób 2. Szukana prosta jest krawędzią dwóch płaszczyzn: płaszczyzny π1 (wyznaczonej w poprzednim rozwiązaniu) i płaszczyzny z pęku wyznaczonego przez prostą L zawierającej punkt P. Piszemy prostą L w postaci krawędziowej: − x = 2(y -1) x + 2y - 2 = 0 ⇔ L:  L:  .  x = 2(z - 3) x - 2z + 6 = 0 Równanie pęku wyznaczonego przez prostą L: α(x+2y−2) + β(x−2z+6) = 0. Punkt P leŜy na tej płaszczyźnie, więc α(1+2(2)−2) + β(1−2(0)+6) = 0 ⇔ 3α+7β=0. Przyjmując α=7 i β=−3 mamy równanie szukanej płaszczyzny: 7(x+2y−2) − 3(x−2z+6) =0 ⇔ 2x+7y+3z−16 = 0. x + 2y - z - 5 = 0 . Tak więc szukana prosta ma postać krawędziową: L1:  2x + 7y + 3z -16 = 0

Strona 84

PŁASZCZYZNA I PROSTA W R3

Ćwiczenia 1. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(7,−5,1) i odcinającej na osiach układu współrzędnych równe odcinki. 2. Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającej punkt A(1,−1,1) i prostopadłej do płaszczyzn: π1: x−y+z=1, π2: 2x+y+z+1=0. 3. Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającej oś OZ i tworzącej z płaszczyzną π π: 2x + y − 5 z −7 = 0 kąt o mierze .

3

4. Wyznaczyć stałą k∈ℜ tak, aby płaszczyzny o równaniach: x−y+z=0, 3x−y−z+2=0, 4x−y−2z+k=0, przecinały się wzdłuŜ prostej. 5. Wyznaczyć równania prostej przechodzącej przez punkt A(1,−2,3) i tworzącej z osiami

π π 2π , , . 4 3 3 6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(3,1,−2) i zawierającej x−4 y+3 z prostą L: = = . −2 2 1 układu współrzędnych kąty o miarach:

7. Wyznaczyć współrzędne punktu symetrycznego do punktu A(4,−3,1) względem płaszczyzny π: x+ 2y −z −3 = 0. 8. Wyznaczyć współrzędne punktu symetrycznego do punktu P(4,3,10), względem prostej x −1 y − 2 z − 3 L: = = .

2

4

5

9. Wyznaczyć równania prostych, na których leŜą dwusieczne kątów między prostymi: x + 1 y −1 z − 1 x − 5 y +1 z +1 L1: = = i L2: = = . 2 1 −2 4 −3 0 10. Wyznaczyć odległość dwóch prostych: L1: x = −y = 2z i L2: x = y = 2.

x −1 y + 2 z − 4 = = jest równoległa do płaszczyzny 5 3 4 π: 4x+8y−11y+5=0 oraz wyznaczyć odległość tej prostej od płaszczyzny π.

11. Wykazać, Ŝe prosta L:

 x + 3y = 3 12. Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającej prostą L:  i równoległej do x + y − z = 0  x + z =1 prostej K:  . 3x − y + z = 0

x −1 y −1 z + 1 = = na płaszczyznę π: x+2y−2z−1=0. 1 2 0 Wyznaczyć kąt jaki tworzy prosta L z płaszczyzną π oraz równanie płaszczyzny zawierającej prostą L i prostopadłej do płaszczyzny π.

13. Wyznaczyć rzut prostej L:

Strona 85

ROZDZIAŁ VIII

14. Dla czworościanu o wierzchołkach A(0,1,2), B(3,2,1), C(−1,0,2), D(2,3,3), wyznaczyć: a) miarę kąta między ścianą czworościanu zawierającą punkty A, B, C a prostą, na której leŜą wierzchołki A i D; b) miarę kąta między wysokością wychodzącą z wierzchołka A w trójkącie ABC a ścianą tego czworościanu zawierającą wierzchołki BCD.

Strona 86

IX

Powierzchnie stopnia drugiego

ROZDZIAŁ IX

Zbiór punktów przestrzeni ℜ3, których współrzędne spełniają równanie: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0, gdzie |a11|+|a22|+|a33|+|a12|+|a13|+|a23| >0, nazywamy kwadryką albo powierzchnią stopnia drugiego.

Równanie to moŜna przedstawić w zapisie macierzowym: XAXT +2BXT+c=0,  b1   x1    gdzie A=[aij]3×3, B=  b 2  i X=  x 2  .  x 3   b 3 

MoŜna wykazać, Ŝe istnieje takie przekształcenie płaszczyzny (będzie to złoŜenie przesunięcia i obrotu), w wyniku którego otrzymamy tzw. postać kanoniczną powierzchni stopnia drugiego. JeŜeli detA≠0, to postać kanoniczna jest następująca:

~ a11x 2 + ~ a22y2 + ~a33z 2 + c~ =0, natomiast w przypadku, gdy detA=0, kanoniczne równanie kwadryki będzie:

~ ~ a11x 2 + ~ a22y2 + b3z + c~ =0.

~ a33 , b3 , ~c (które mogą być takŜe równe zeru) ZaleŜnie od znaku współczynników ~a11 , ~a 22 , ~ wyróŜniamy 17 róŜnych powierzchni stopnia drugiego, w tym 9 kwadryk właściwych, pozostałe to tzw. kwadryki niewłaściwe (zdegenerowane) (zbiory puste, zbiory jednoelementowe, unie prostych i płaszczyzn).

Strona 88

POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO

Przykład 1. Przykłady kwadryk niewłaściwych: a) Równanie x2+y2+z2=0 przedstawia punkt O(0,0,0); b) Równanie x2+y2+z2=−1 przedstawia zbiór pusty; c) Równanie x2+y2=0 przedstawia prostą (oś OZ); d) Równanie x2−y2=0 przedstawia unię dwóch płaszczyzn o równaniach: x−y=0 i x+y=0. Przykład 2. Przykładem kwadryki właściwej jest sfera S(A,r) o środku A(a1,a2,a3) i promieniu r>0: (x−a1)2+(y−a2)2+(z−a3)2 = r2. JeŜeli środek sfery A jest odległy od płaszczyzny π: v1x+v2y+v3z+v0=0 o mniej niŜ r, to unię tych zbiorów C=S∩π nazywamy okręgiem a układ równań:

v1x + v2 y + v3z + v0 = 0   2 2 2 2 (x - a1 ) + (y - a 2 ) + (z - a 3 ) = r nazywamy równaniami krawędziowymi okręgu C. Sfera jest szczególnym przypadkiem rodziny powierzchni obrotowych.

Powierzchnie obrotowe  x = f1 (t)  Niech Γ :  y = f 2 (t) , t∈T⊂ℜ będzie  z = f (t) 3  krzywą, którą obracamy dookoła prostej x − a1 x − a 2 x − a 3 L: . = = v1 v2 v3

KaŜdy punkt krzywej Γ zakreśla okrąg, którego równanie krawędziowe moŜemy napisać w postaci:

v1 (x - f1 (t)) + v2 (y - f 2 (t)) + v3 (z - f 3 (t)) = 0,   2 2 2 2 2 2 (x - a1 ) + (y - a 2 ) + (z - a 3 ) = (f1 (t) − a1 ) + (f 2 (t) − a 2 ) + (f3 (t) − a 3 ) .

Strona 89

ROZDZIAŁ IX

Zbiór tych okręgów tworzy powierzchnię obrotową, krzywą Γ nazywamy kierownicą, a prostą L osią obrotu tej powierzchni obrotowej. Rugując z tego układu równań parametr t otrzymamy równanie powierzchni obrotowej. Nie zawsze będzie to równanie powierzchni stopnia drugiego, co pokazuje następujący przykład. Przykład 3. Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej y = x 2 z obrotu paraboli Γ:  dookoła osi OX.  z=0 x=t  Krzywa Γ ma postać parametryczną  y = t 2 , z =0  a wektor kierunkowy osi obrotu v=[1,0,0].

Przyjmując A(0,0,0)∈L za środek sfery, moŜemy napisać równania okręgów tworzących powierzchnię:

x = t,   1(x − t) + 0(y − t 2 ) + 0(z − 0) = 0, ⇔  2  2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z = t + t . (x − 0) + (y − 0) + (z − 0) = (t − 0) + (t − 0) + (0 − 0) Rugując parametr t otrzymamy równanie powierzchni: x2 + y2 + z2 = x2 + x4 ⇔ y2 + z2 = x4, która jest powierzchnią stopnia czwartego. Przykład 4.

 x2 z2  + 2 = 1, Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu półelipsy Γ:  a 2 c y = 0, (x ≥ 0), dookoła osi OZ.

 t2 x = a 1 − 2 , c  y = 0, Postać parametryczna półelipsy: Γ:   z = t,  

wtedy podobnie jak w przykładzie 3, moŜemy napisać równania okręgów tworzących powierzchnię obrotową : Strona 90

POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO

  t2   0 x - a 1 - 2  + 0(y - 0) + 1(z - t) = 0,  c     2 2   t  2 2 2 2 2   (x - 0) + (y - 0) + (z - 0) =  a 1 - c 2  + (0 − 0) + (t − 0) .    Rugując z tego układu parametr t otrzymamy: x 2 y2 z2 + + = 1. a 2 a 2 c2 Jest to równanie elipsoidy obrotowej. Ogólne równanie elipsoidy eliptycznej ma postać: x 2 y2 z2 + + =1 a 2 b2 c2

 x 2 z2  Obracając dookoła osi OZ hiperbolę Γ:  a 2 − c 2 = 1,  y = 0, otrzymamy równanie powierzchni stopnia drugiego: x 2 y2 z2 + − = 1 − obrotową hiperboloidę jednopowłokową. a 2 a 2 c2 Ogólne równanie hiperboloidy jednopowłokowej ma postać: x 2 y2 z2 + − = 1. a 2 b2 c2  x 2 z2  Obracając dookoła osi OX tę samą hiperbolę Γ:  a 2 − c 2 = 1, otrzymamy równanie  y = 0, x 2 y2 z2 powierzchni stopnia drugiego: 2 − 2 − 2 = 1 − obrotową hiperboloidę dwupowłokową. a c c Ogólne równanie hiperboloidy dwupowłokowej ma postać: x 2 y2 z 2 − − = 1. a 2 b 2 c2

Strona 91

ROZDZIAŁ IX

x 2 = 2pz, Obracając dookoła osi OZ parabolę Γ:  otrzymamy równanie powierzchni stopnia  y = 0, drugiego: x2 + y2 = 2pz − paraboloidę obrotową. Uogólnieniem tej powierzchni jest paraboloida eliptyczna o równaniu: x 2 y2 + = 2pz . a 2 b2

Powierzchnie prostokreślne Inną klasą powierzchni są powierzchnie prostokreślne, czyli powierzchnie utworzone przez proste. JeŜeli w równaniach prostej przechodzącej przez punkt A(a1,a2,a3) i równoległej do wektora v = [v1, v2 , v3 ] , punkt A i wektor v będą zaleŜne w sposób ciągły od pewnego parametru t, to równanie kierunkowe tej prostej przyjmie następującą postać: x − a 3 (t) x − a 1 (t) y − a 2 (t) = = . v1 (t) v 2 (t) v 3 (t) Rugując z tego układu równań parametr t, otrzymamy związek między zmiennymi x, y, z, który moŜna zapisać w postaci: F(x,y,z) = 0, gdzie F jest ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na podzbiorze ℜ3. Równanie to nazywamy równaniem ogólnym tej powierzchni prostokreślnej, a pojedynczą prostą, którą otrzymamy dla ustalonego parametru t nazywamy tworzącą tę powierzchnię. Z uwagi na to, Ŝe dwie proste tworzące mogą być równoległe, przecinać się lub być skośne, klasę powierzchni prostokreślnych dzielimy odpowiednio na powierzchnie walcowe, stoŜkowe i torsoidalne. Powierzchnią walcową (walcem) nazywamy powierzchnię prostokreślną, której wszystkie tworzące są równoległe (czyli wektor kierunkowy v jest stały).

Niech punkt A będzie punktem leŜącym na krzywej  x = f1 (t)  Γ:  y = f 2 (t) , t∈T⊂ℜ, wtedy równania tworzących  z = f (t) 3  walca moŜna zapisać w postaci: x − f1 (t) y − f 2 (t) z − f 3 (t) = = . v1 v2 v3 Rugując z tego układu parametr t, otrzymamy równanie walca.

Strona 92

POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO

Przykład 5. Wyznaczyć równanie walca o tworzących równoległych do wektora v =[0,0,1] x = acost  i przecinających elipsę Γ:  y = bsint , t∈[0,2π], a,b∈ℜ+. z=0  Równania tworzących tej powierzchni mają postać:

x − acost y − bsint z = = . 0 0 1 Piszemy równania tej prostej w postaci krawędziowej: x  a = cost x = acost ⇔  , stąd zaś, poniewaŜ  y  y = bsint  = sint b cos2t+sin2t = 1, otrzymamy równanie walca eliptycznego : x 2 y2 + =1. a 2 b2

Jeśli a = b, to otrzymamy równanie walca kołowego (czyli walca, którego równanie moŜemy otrzymać obracając prostą wokół innej prostej równoległej do niej).

W sposób analogiczny moŜemy otrzymać równanie: walca hiperbolicznego:

x 2 y2 − = 1; a 2 b2

Strona 93

ROZDZIAŁ IX

walca parabolicznego : y2 = 2px .

Powierzchnią stoŜkową (stoŜkiem) nazywamy powierzchnię prostokreślną, której wszystkie tworzące przecinają się w ustalonym punkcie tzw. wierzchołku stoŜka.

Niech punkt A będzie punktem leŜącym na krzywej Γ:  x = f1 (t)   y = f 2 (t) , t∈T⊂ℜ, wtedy równania tworzących stoŜka  z = f (t) 3  o wierzchołku F(a,b,c) moŜna zapisać w postaci: x−a y−b z−c = = . f1 (t) − a f 2 (t) − b f 3 (t) − c Rugując z tego układu parametr t, otrzymamy równanie stoŜka.

Przykład 6. Wyznaczyć równanie stoŜka o wierzchołku F(0,0,0) i tworzących przecinających elipsę Γ: x = acost  +  y = bsint , t∈[0,2π], a,b,c∈ℜ . z=c  Równania tworzących tej powierzchni mają postać:

x −0 y−0 z-0 = = . acost - 0 bsint - 0 c-0 Piszemy równania tej prostej w postaci krawędziowej:  cx  az = cost, stąd zaś, poniewaŜ cos2t+sin2t = 1,  cy  = sint,  bz otrzymamy równanie stoŜka eliptycznego : Strona 94

POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO x 2 y2 z2 + = . a 2 b2 c2

Jeśli a = b, to otrzymamy równanie stoŜka kołowego (czyli stoŜka, którego równanie moŜemy otrzymać obracając prostą wokół innej prostej przecinającej ją).

Powierzchnią torsoidalną (torsoidem) nazywamy powierzchnię prostokreślną, której kaŜde dwie tworzące są prostymi skośnymi.

Przykład 7. Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu prostej L dookoła osi OZ, jeŜeli L :  x = t,   y = 1,  z = t.  Prosta L i oś OZ nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe, są więc skośne. Zbiór okręgów tworzących powierzchnię obrotową ma postać (jako środek sfery przyjmiemy punkt (0,0,0)): x 2 + y 2 + z 2 = t 2 + 1 + t 2 ,  z = t.  Rugując z tego układu parametr t, otrzymamy równanie powierzchni x2 + y2 − z2 = 1. Jest to równanie hiperboloidy jednopowłokowej, która jest nie tylko powierzchnią obrotową, ale i powierzchnią prostokreślną (powierzchnią torsoidalną).

Przykład 8. Wykazać, Ŝe kwadryka o równaniu: x 2 y2 − = cz (jest to paraboloida hiperboliczna) a 2 b2 jest powierzchnią prostokreślną.

Strona 95

ROZDZIAŁ IX

Zapiszemy równanie powierzchni w następującej postaci: y x 1  x y  x y  a + b = x y.  +  −  = cz ⇔ cz  a b  a b  a − b x y x y 1 + = λcz oraz − = , gdzie λ≠0. Wynika stąd, Ŝe a b a b λ Otrzymaliśmy w ten sposób układ dwóch równań liniowych postaci:  xa + yb − λcz = 0,  x y 1  a − b − λ = 0, który moŜna interpretować jako równania krawędziowe pewnej prostej (dla ustalonej wartości parametru λ), a więc paraboloida hiperboliczna zawiera proste, czyli jest powierzchnią prostokreślną.

Strona 96

POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO

Ćwiczenia x −1 y −1 z +1 = = na płaszczyznę π: x+2y−2z−1=0. 1 2 0 Wyznaczyć kąt jaki tworzy prosta L z płaszczyzną π oraz równanie płaszczyzny zawierającej prostą L i prostopadłej do płaszczyzny π. Dla czworościanu o wierzchołkach A(0,1,2), B(3,2,1), C(−1,0,2), D(2,3,3), wyznaczyć: a) miarę kąta między ścianą czworościanu zawierającą punkty A, B, C a prostą, na której leŜą wierzchołki A i D; b) miarę kąta między wysokością wychodzącą z wierzchołka A w trójkącie ABC a ścianą tego czworościanu zawierającą wierzchołki BCD. 5 Wyznaczyć środek i promień sfery o równaniu: x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − z − = 0 . 4 2 2 2 (x − 3) + (y − 7) + (z + 1) = 25, Wyznaczyć środek i promień okręgu K:  2x − y − 2z − 10 = 0.  Wyznaczyć punkty wspólne powierzchni K i prostej L, jeŜeli: x−4 y+6 z+2 x 2 y2 z2 = = a) K: + + = 1 , L: ; 16 12 4 2 −3 −2 x − 4 y + 3 z −1 x2 y2 = = + − z 2 = 1, L: b) K: . 16 9 4 0 1 Wyznaczyć równanie powierzchni będącej zbiorem punktów przestrzeni ℜ3, które są

1. Wyznaczyć rzut prostej L:

2.

3. 4. 5.

6.

 y = 0,  x = 0, równooddalone od dwóch prostych skośnych: L1:  i L2:  z + 1 = 0, z − 1 = 0. Określić rodzaj otrzymanej powierzchni. 7. Wyznaczyć równanie powierzchni będącej zbiorem punktów przestrzeni ℜ3, które są

x = a , a≠0, i płaszczyzny YOZ. równooddalone od prostej L:  y = 0 Określić rodzaj otrzymanej powierzchni. 8. Wyznaczyć równanie powierzchni zawierającej wszystkie środki odcinków, których

 y 2 = 2(z − 3), x + y − 2 = 0, końce leŜą na prostej L:  i paraboli P:   z − 1 = 0,  x − y = 0. 9. Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu krzywej K dookoła prostej L, jeŜeli:

xz = 1 x − z = 0, a) K:  , L:  y =0  y = 0.

Strona 97

ROZDZIAŁ IX

b) K:

x y−a z = , L: x = y = z . = 0 0 1

z 2 − y 2 = 1, c) K:  L : oś OY.  x = 0, 10. Wyznaczyć równanie powierzchni utworzonej przez proste przechodzące przez punkt F(1,0,0) i tworzące z płaszczyzną XOY kąt o mierze

π . 6

11. Wyznaczyć równanie walca o tworzących równoległych do wektora v i przecinających krzywą K, jeŜeli: x = 2t 2 , (x − 1) 2 + (y + 3) 2 + (z − 2) 2 = 25,  v =[1,0,0]. a) K:  y = t, t∈ℜ, v =[1,2,1]; b) K:  x + y − z + 2 = 0,   z = 1, 

12. Wyznaczyć równanie stoŜka o wierzchołku F i tworzących przecinających krzywą K, jeŜeli:

y 2 + z = 1, a) K:  F(1,−1,2);  x = 0,

 x 2 + y 2 = z, b) K:  F(0,0,0). x + y + z = 3,

13. Wyznaczyć równanie powierzchni zawierającej wszystkie proste przecinające

x = 0, równocześnie prostą L:  i dwie parabole: P1:  z = 0,

 y = x2,  y = x2, P2:   z − 1 = 0, z + 1 = 0.

14. Wyznaczyć równanie powierzchni zawierającej wszystkie proste równoległe do

x = 0, płaszczyzny o równaniu: x+y+z=0 i przecinające dwie proste: L1:   y = 0, x = 1, i L2:  z = 0.

Strona 98

POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO

15. Wyznaczyć równanie oraz określić rodzaj powierzchni będącej zbiorem wszystkich

x − y − z = 0, x +1 y z −1 = = prostych przecinających trzy dane proste: L1:  L2: , −2 1 1  y − z − 1 = 0,  x = −s,  L3:  y = s − 14 , z = s + 1 . 4 

Strona 99

ROZDZIAŁ IX

Strona 100

Literatura 1. 2. 3. 4. 5.

Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1, OWGiS, Wrocław, 2005. Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 2, OWGiS, Wrocław, 2005. Nawrocki J.: 30 wykładów z ćwiczeniami, OWPW, Warszawa, 2002. Świrszcz T.: Algebra liniowa z geometrią analityczną, OWPW,1990. Witczyńska D., Witczyński K.: Wybrane zagadnienia z algebry liniowej i geometrii, OWPW, Warszawa, 1996.

Strona 101

Strona 102