Adam Jaroszewicz dr inż. PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Literatura Literatura podstawowa: • Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków, praca zb., WNT,...
7 downloads
48 Views
135MB Size
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Adam Jaroszewicz dr inż.
Literatura
Literatura podstawowa: • • • • • •
Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków, praca zb., WNT, Warszawa 1971. Elektrotechnika teoretyczna — teoria pola elektromagnetycznego, t. 1 i 2, R. Matusiak, WNT, Warszawa 1982. Teoria pola elektromagnetycznego, R. Sikora, WNT, Warszawa 1985. Zbiór zadań z elektryczności i magnetyzmu, praca zb. pod red. H. Percaka, Wyd. PWr, Wrocław 1989. Elektryczność i magnetyzm, Z. Bajorski, S. Dołżycki, R. Kurdziel, A. Skopec, Wyd. PWr, Wrocław 1990. Teoria obwodów elektrycznych, S. Bolkowski, WNT, Warszawa 1995.
Literatura uzupełniająca: • • • • •
Poradnik inżyniera elektryka, WNT, Warszawa 1974. Teoretyczne podstawy elektrotechniki, A. Łuczycki, Wyd. PWr, Wrocław 1980. Elektrotechnika i elektronika, F. Przezdziecki, PWN, Warszawa 1982. Elektryczność i magnetyzm, A.H. Piekara, PWN, Warszawa 1970. Elektryczność i magnetyzm, Kurs fizyki, Tom III, B. Jaworski, A. Dietłaf, L. Miłkowska, PWN, Warszawa.
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Pojęcia podstawowe Adam Jaroszewicz dr inż.
Elektrotechnika jest działem wiedzy obejmującym zagadnienia związane z zastosowaniami elektryczności w technice Termin elektryczność, wprowadzony w 1600 r. przez Williama Gilberta, pochodzi od greckiego słowa elektron, tj. bursztyn (w starożytności znane było zjawisko elektryzowania się bursztynu przy pocieraniu wełną lub futrem zwierząt). Gilbert przedstawił koncepcje dwóch „rodzajów elektryczności” („szklana” i „żywiczna”) – model fenomenologiczny obiektów nazwanych później ładunkami dodatnimi i ujemnymi. William Gilbert (ur. 24 maja 1544 w Colchester - zm. 10 grudnia 1603 w Londynie) — angielski fizyk i lekarz, odkrywca zjawiska magnetyzmu ziemskiego, indukcji magnetycznej i elektryzowania się ciał na skutek tarcia. Jako pierwszy przeprowadził ok. 1600 roku szczegółowe badania magnetyzmu i wykazał, że oprócz bursztynu można naelektryzować jeszcze wiele materiałów. Gilbert wprowadził do języka angielskiego nowe terminy, takie jak biegun magnetyczny, siła magnetyczna czy przyciąganie magnetyczne. Jako pierwszy spopularyzował termin "elektryczność".
• 1663 r. – Otto von Guericke (ur. 20 listopada 1602 w Magdeburgu, zm. 11 maja 1686 w •
• •
• •
Hamburgu) – niemiecki fizyk, wynalazca) , zbudował pierwszą maszynę elektrostatyczna (w postaci siarkowej kuli). 1727 r. – Stephen Gray (ur. w grudniu 1666 w Canterbury, zm. 7 lutego 1736 w Londynie), angielski barwiarz, astronom amator i naukowiec, który jako pierwszy prowadził systematyczne eksperymenty nad przewodnictwem elektrycznym), odkrył zjawisko indukcji elektrostatycznej. Na podstawie zdolności przenoszenia ładunku przez różne ciała, określał je jako przewodzące albo nieprzewodzące. 1745 r. – Pieter van Muschenbroek (ur. 14 marca 1692 w Lejdzie, zm. 19 września 1761 tamże) – holenderski fizyk) wynalazł butelkę lejdejska (pierwszy kondensator). 1785 r. – Charles Coulomb (ur. 14 czerwca 1736 w Angoulême, zm. 23 sierpnia 1806 w Paryżu) – francuski fizyk, od którego nazwiska pochodzi prawo Coulomba i jednostka ładunku elektrycznego – kulomb) ogłosił tzw. prawo odwrotnego kwadratu, dotyczące oddziaływania ładunków punktowych. 1800 r. – Alessandro Volta (ur. 18 lutego 1745 w Como, zm. 5 marca 1827 tamże) − włoski fizyk, wynalazca, konstruktor), zainspirowany wynikami doświadczeń Luigiego Galvaniego (1789 r.), zbudował „stos galwaniczny” (zespół ogniw galwanicznych). 1819 r. – Hans Christian Oersted (ur. 14 sierpnia 1777 w Rudkøbing, zm. 9 marca 1851 w Kopenhadze) – duński fizyk i chemik), wykonał eksperyment świadczący o tym, że prąd elektryczny jest źródłem pola magnetycznego – odkrycie wzajemnego oddziaływania elektryczności i magnetyzmu.
• 1820 r. – Andre Maria Amper (ur. 20 stycznia 1775 w Lyonie, zm. 10 czerwca 1836 w
• •
• • •
Marsylii − francuski fizyk i matematyk) opisał zjawisko elektrodynamicznego oddziaływania przewodników. 1826 r. – Georg Ohm (ur. 16 marca 1789 w Erlangen, zm. 6 lipca 1854 w Monachium, niemiecki matematyk) ustalił zależność pomiędzy rezystancją (opornością) , napięciem i natężeniem prądu elektrycznego. 1831 r. – Michael Faraday (ur. 22 września 1791, zm. 25 sierpnia 1867 – fizyk i chemik angielski, eksperymentator, samouk) odkrył zjawisko i sformułował zasadę indukcji elektromagnetycznej, a w latach 1833 - 34 podał prawa elektrolizy. M. Faraday przedstawił też koncepcję linii sił pola oraz oddziaływania ładunków na zasadzie oddziaływania pól wytwarzanych przez te ładunki. 1841 r. – James Joule (24 grudnia 1818 – 11 października 1889 – fizyk angielski), podał prawo określające ilość ciepła wydzielającego się w przewodniku, pod wpływem przepływającego prądu elektrycznego. 1846 r. – Gustav Robert Kirchhoff (12 marca 1824 – 17 października 1887 – niemiecki fizyk), definiuje prawa przepływu prądu elektrycznego, zwane obecnie prawami Kirchhoffa. 1864 r. – James Clerk Maxwell – (ur. 13 czerwca 1831 w Edynburgu, zm. 5 listopada 1879 w Cambridge – szkocki fizyk i matematyk) dokonał unifikacji oddziaływań elektrycznych i magnetycznych, to znaczy udowodnił, że elektryczność i magnetyzm są dwoma rodzajami tego samego zjawiska – elektromagnetyzmu. Wprowadzone przez niego w 1861 roku równania Maxwella pokazały, że pole elektryczne i magnetyczne podróżują w próżni z prędkością światła w postaci fali. Doprowadziło go to do wniosku, że światło jest falą elektromagnetyczną.
WIELKOŚĆ FIZYCZNA (MIERZALNA) – cecha zjawiska, ciała lub substancji, którą można wyrazić jakościowo i wyznaczyć ilościowo.
np. napięcie elektryczne, prąd elektryczny, temperatura
WARTOŚĆ (WIELKOŚĆ) – wyrażenie ilościowe wielkości określonej na ogół w postaci iloczynu liczby i jednostki miary.
np.: długość danego pręta 5,34m
JEDNOSTKA (MIARY) – wielkość określona, zdefiniowana i przyjęta umownie, z którą porównuje się inne wielkości tego samego rodzaju w celu ich ilościowego wyrażenia stosunku do tej wielkości przyjętej umownie – wartość danej wielkości fizycznej, której umownie przyporządkowujemy wartość liczbową.
WIELKOŚĆ FIZYCZNA SKALARNA – wielkość N określona za pomocą wartości liczbowej N* i jednostki [N], jako
N N [ N ] np. napięcie elektryczne, U = 230V → wielkość fizyczna U* = 230, zaś jednostka [U] = 1V → jest większa 230 razy od jednostki miary tej wielkości (1V) Skalar jest wielkością fizyczna, która można jednoznacznie opisać za pomocą liczby i odpowiedniej jednostki. . Przykłady skalarów (wielkości skalarnych): temperatura, masa, gęstość, wymiary liniowe, ładunek, praca, energia, ciepło, potencjał, lepkość, itd.
W wyniku operacji matematycznych przeprowadzonych na skalarach otrzymuje się zawsze skalar: SKALAR · SKALAR = SKALAR na przykład: ciepło = ciepło właściwe · masa · różnica temperatur;
Q c m T
SKALAR / SKALAR = SKALAR na przykład: masa właściwa (gęstość) = masa / objętosc
m V
WIELKOŚĆ FIZYCZNA WEKTOROWA – wielkość określona nie tylko za pomocą wartości liczbowej i jednostki, a także określa się jej kierunek i zwrot np. wektor natężenia pola elektrycznego, gdzie w równaniu
E El E – wektor natężenia pola elektrycznego E – wartość bezwzględna (miara natężenia pola elektrycznego) l – wektor jednostkowy – wersor, którego kierunek i zwrot odpowiada kierunkowi i zwrotowi wektora E Wektor jest wielkością fizyczną, mającą określony punkt przyłożenia, kierunek działania, zwrot oraz wartość wyrażoną liczba i odpowiednią jednostkę. . Wektor można odwzorować geometrycznie za pomocą odcinka skierowanego o zwrocie zgodnym z kierunkiem działania wektora i długości odpowiadającej jego wartości. Przykłady wektorów: siła, ciśnienie, prędkość, przyspieszenie, moment siły, pęd, moment pędu, natężenie pola (elektrycznego, magnetycznego, grawitacyjnego), ciężar, ciężar właściwy, indukcja magnetyczna, indukcja elektryczna itd. UWAGA! Wielkości wektorowe zostały oznaczone pogrubioną czcionką (Bold) lub „strzałką” umieszczoną nad symbolem danej jednostki
W wyniku operacji matematycznych przeprowadzonych na wektorach otrzymuje się wektory bądź skalary, zgodnie z regułami: WEKTOR × SKALAR = WEKTOR na przykład: → siła = masa × przyśpieszenie; WEKTOR / SKALAR = WEKTOR
F ma
P V
na przykład: → ciężar właściwy = ciężar / objętość WEKTOR · WEKTOR = SKALAR
W F l
na przykład: → praca = siła · przesunięcie → przesuniecie traktuje się jako odcinek skierowany, czyli wektor. Znak mnożenia • oznacza operacje mnożenia skalarnego, zwanego iloczynem skalarnym
WEKTOR X WEKTOR = WEKTOR
M F xl
na przykład: → siła x ramię działania siły = moment siły → ramię działania siły jest również odcinkiem skierowanym, czyli również wektorem. Znak mnożenia x oznacza operacje mnożenia wektorowego, zwanego te iloczynem wektorowym
Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych.
Wektor r i jego składowe rx, ry, rz w pewnym układzie współrzędnych
Suma i różnica wektorów
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a X b jest nowym wektorem c, którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi
c a b sin Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b. Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora a do wektora b (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora c = a X b tak jak na rysunku poniżej
UKŁAD SI (franc. Système international d'unités)
Międzynarodowy Układ Jednostek Miar zatwierdzony w 1960 (później modyfikowany) przez Generalną Konferencję Miar. Jest stworzony w oparciu o metryczny system miar. W Polsce układ SI obowiązuje od 1966, obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata z wyjątkiem Stanów Zjednoczonych, Liberii i Birmy. Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne
WIELKOŚCI PODSTAWOWE UKŁADU SI Układ SI definiuje siedem jednostek miary jako podstawowy zbiór, z których tworzone są jednostki pochodne. Te podstawowe jednostki i ich fizyczna wielkość to
Do układu SI należą też jednostki uzupełniające, będące miarą kąta.
WIELKOŚCI PODSTAWOWE UKŁADU SI
WIELKOŚCI POCHODNE UKŁADU SI Jednostkami pochodnymi nazywamy wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych, zarówno te mające własne nazwy jak np. wat (W) czy dioptria (δ), jak i te, które ich nie mają i są wyrażane za pomocą jednostek podstawowych, np. przyspieszenie nie ma swojej nazwy jednostki i wyrażane jest za pomocą metra i sekundy
PRZEDROSTKI LICZBOWE WIELOKROTNE I PODWIELOKROTNE W celu łatwego operowania wartościami liczonymi w tysiącach, milionach lub np.. miliardach, do opisu bardzo dużych i bardzo małych wielkości, stosuje się przedrostki (potęgi 10). Dla liczb większych od 1 noszą nazwę wielokrotności → wykładnik potęgi n > 0 (n Є C), zaś dla mniejszych od 1 noszą nazwę podwielkorotności → wykładnik potęgi n < 0 (n Є C),
Poza kilogramem wszystkie jednostki podstawowe SI nie są spotęgowane i nie posiadają przedrostków.
WIELKOŚCI I ICH JEDNOSTKI UŻYWANE W ELEKTROTECHNICE
BUDOWA ATOMU • • • • • • • • • •
Atom pierwiastka: elektron i jądro złożone z protonów i neutronów. Protony i neutrony (nukleony) wchodzą w skład jądra atomowego Chmura elektronowa jest to obszar w zasięgu oddziaływania jądra atomowego, w którym istnieje prawdopodobieństwo znalezienia elektronów Powłoka elektronowa jest to część chmury elektronowej, w której prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest największe Protony mają ładunek elektryczny + e i masę ≈1 u Neutrony nie mają ładunku a ich masa ≈ 1 u Elektrony mają ładunek elektryczny - e i masę prawie 2000 razy mniejszą od masy protonu Jądro atomowe jest bardzo małe w porównaniu z atomem, znajduje się w jego centrum i w nim skupiona jest prawie cała masa atomu Liczba protonów w jądrze atomu jest równa liczbie elektronów w chmurze elektronowej i nazywa się liczbą atomową Z Liczba nukleonów to liczba masowa A + e/ - e – ładunek e. elementarny
Elektron walencyjny - elektrony znajdujące się na ostatniej, najbardziej zewnętrznej powłoce atomów, która nazywana jest powłoką walencyjną. Liczba oraz poziomy energetyczne elektronów walencyjnych decydują w dużym stopniu o właściwościach atomów a tym samym i pierwiastków chemicznych. W metalach elektrony walencyjne mogą się przemieszczać między węzłami sieci krystalicznej, w całej jego objętości. Z tego względu nazwane zostały one elektronami swobodnymi.
Elektrony walencyjne jako słabo związane z jądrem siłami atomowymi, już pod wpływem niewielkich sił mogą „wyzwolić" się ze strefy oddziaływania danego atomu.
Grupa IA - pierwiastki grupy 1 (litowce) - 1 elektron walencyjny Grupa IIA - pierwiastki grupy 2 (berylowce) - 2 e. w. Grupa IIIA - pierwiastki grupy 13 (borowce) - 3 e. w. Grupa IVA - pierwiastki grupy 14 (węglowce) - 4 e. w. Grupa VA - pierwiastki grupy 15 (azotowce) - 5 e. w. Grupa VIA - pierwiastki grupy 16 (tlenowce) - 6 e. w. Grupa VIIA - pierwiastki grupy 17 (fluorowce) - 7 e. w. Grupa VIIIA - pierwiastki grupy 18 (helowce) - 8 e. w.
PRZEWODNIKI / DIELEKTRYKI
Ciała zawierające ładunki (elektrony lub jony), które mogą się w nich swobodnie przemieszczać, nazywają się ciałami przewodzącymi lub przewodnikami.
Ciała nie zawierające takich ładunków, tzn. ciała o umiejscowionych ładunkach, przemieszczających się co najwyżej w obrębie kryształów, noszą miano dielektryków lub izolatorów. Ciała będące normalnie dielektrykami, a uzyskujące własności przewodników w zmienionych warunkach zewnętrznych, nazywają się półprzewodnikami. Zdolność bądź niezdolność ciał krystalicznych do przemieszczania się w nich ładunków elektrycznych tłumaczy się istnieniem bądź nieistnieniem elektronów walencyjnych (sytuujących się na niezapełnionych do końca orbitach atomów). Elektrony walencyjne biorą udział w wiązaniach chemicznych i krystalicznych.
ENERGETYCZNY MODEL PASMOWY Izolatory
Półprzewodniki
Przewodniki
Pasmo wzbronione
W przewodnikach ładunki elektryczne mogę się swobodnie poruszać wewnątrz przewodnika, natomiast w izolatorach (dielektrykach) ładunki są unieruchomione. Mimo, że w przyrodzie nie ma doskonałych izolatorów, zdolność izolacyjna 25 stopionego kwarcu jest około 10 razy większa od miedzi. W przewodnikach (metalach) pasmo walencyjne i pasmo przewodnictwa częściowo pokrywają się ze sobą. Istnieje koncentracja swobodnych elektronów w paśmie przewodnictwa, które są nośnikami prądu.
Jeśli szerokość pasma wzbronionego Eg.; jest większa od ok. 3 eV, to substancje takie są izolatorami, a gdy jest ona mniejsza od tej umownej granicy, to są półprzewodnikami. Umowną granicę 3 eV wyznacza możliwość detekcji prądu przepływającego przez kryształ w temperaturze pokojowej.
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Elektrostatyka Adam Jaroszewicz dr inż.
ŁADUNEK ELEKTRYCZNY ELEMENTARNY – podstawowa stała fizyczna, wartość ładunku elektrycznego niesionego przez proton lub (alternatywnie) wartość bezwzględna ładunku elektrycznego elektronu → e ≈ 1,602 ∙10-19 C
JEST TO NAJMNIEJSZA I NIEPODZIELNA CZĘŚĆ ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO • • • • •
elektron zwykły (ujemny) - ładunek - e antyelektron, czyli elektron dodatni (nazywany też pozytonem) - ładunek + e proton zwykły (dodatni) - ładunek + e antyproton - ładunek - e neutron - ładunek 0 (jak sam nazwa wskazuje jest "neutralny")
Kwarki (elementy składowe jądra) - cząstki obdarzone ułamkowym ładunkiem elementarnym mniejszym niż e, jednak występują one zawsze w stanie związanym (występują w parach lub trójkach) tworząc inne cząstki w ten sposób, że ich ładunek jest całkowitą wielokrotnością ładunku elementarnego. • • • • • •
kwark górny (up) ładunek +2/3e. kwark dolny (down) ładunek -1/3e. kwark piękny (charm) ładunek +2/3e. kwark dziwny (strange) ładunek -1/3e. kwark szczytowy (top) - stara nazwa "prawdziwy" (truth) - ładunek +2/3e. kwark denny (bottom) - stara nazwa "piękny" (beauty) - ładunek -1/3e.
Ładunki elektryczne protonu i elektronu są dokładnie sobie równe co do wartości bezwzględnej i są najmniejszą niepodzielną „porcją” elektryczności. W każdym atomie liczba elektronów i protonów jest jednakowa, a zatem atom jest jako całość elektrycznie obojętny.
Ładunku elektrycznego nie można ani stworzyć, ani unicestwić, można tylko pewną liczbę ładunków elementarnych, np. elektronów, przenieść z jednego ciała na drugie, przez co pierwsze będzie wykazywać ładunek elektryczny dodatni, a drugie ujemny o takiej samej wartości bezwzględnej. Ładunki elektryczne podlegają dwóm fundamentalnym prawom: 1. Ładunek podlega prawu zachowania → ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO 2. Ładunek może przybierać jedynie wartości będące (co do modułu) wielokrotnością ładunku elektronu → KWANTYZACJA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO
ZASADA ZACHOWNIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO UKŁAD ODOSOBNIONY → układ, przez którego granice nie przenikają ładunki elektryczne. Sumaryczny ładunek układu elektrycznie izolowanego (odosobnionego), tj. suma algebraiczna ładunków dodatnich i ujemnych układu, jest stały, czyli nie może ulegać zmianie. Ewentualna zmiana ładunku elektrycznego układu musi być rezultatem wymiany ładunku z otoczeniem. W układach izolowanych elektrycznie od wszystkich innych ciał, ładunek może być przemieszczany z jednego ciała do drugiego, ale jego całkowita wartość nie ulega zmianie. Zasada ta została sformułowana przez B. Franklina i jest jednym z podstawowych praw fizyki.
q
i izol
0
Jedną z bezpośrednich konsekwencji zasady zachowania ładunku jest pierwsze prawo Kirchhoffa. Może ono być sformułowane w sposób nawiązujący do zasady zachowania ładunku w następujący sposób: Ilość ładunków wpływających do węzła sieci równa jest ilości ładunków wypływających z tego węzła.
ZASADA ZACHOWNIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO Ładunek elektryczny jest niezniszczalny: nigdy nie ginie i nie może być stworzony. Ładunki mogą się natomiast przemieszczać z jednego miejsca w inne, ale nigdy nie biorą się znikąd. Mówi się więc, że ładunek elektryczny jest zachowany. Można także potocznie mówić o generowaniu, wytwarzaniu ładunków, rozumiejąc przez to generalnie przemieszczanie, przenoszenie elektronów z jednego ciała na drugie, które powoduje, że ciała stają się naelektryzowane wskutek nadmiaru albo niedomiaru (braku) ładunków elektrycznych. Proces taki nazywa się elektryzowaniem (się), elektryzacją ciał i jest fizycznym odzwierciedleniem, potwierdzeniem zasady zachowania ładunku elektrycznego.
Podział na ładunki dodatnie i ujemne dotyczy zarówno skali makro, jak mikro. W ciałach zgromadzone są olbrzymie ilości, powiązanych wzajemnie, ładunków obu znaków, lecz w normalnych warunkach ich działania się równoważą i ciała są elektrycznie obojętne. Analizując zjawiska związane z oddziaływaniami elektrycznymi, bierze się pod uwagę tylko niezrównoważone w ciałach ładunki o określonych znakach. Przez ładunek zgromadzony w ciele, np. na okładzinie kondensatora, rozumie się wiec ładunek występujący w nim poza wewnętrznie zrównoważonymi strukturami cząsteczkowymi.
KWANTYZACJA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO
Ładunki znanych w przyrodzie obiektów są "skwantowane", co oznacza, że mogą przyjmować tylko wartości ściśle określone → ładunki występują tylko w ściśle określonych porcjach (nie mogą one jednak pochodzić spomiędzy dwóch najbliższych siebie możliwych wartości). Tą najmniejszą porcją ładunku jest tzw. ładunek elementarny. Ładunek elektryczny może występować jedynie w całkowitej wielokrotności najmniejszej porcji, tzw. kwantu ładunku, jakim jest ładunek elementarny. KWANTYZACJĘ ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO ZALICZA SIĘ DO PODSTAWOWYCH PRAW NATURY.
e 1,602 1019 [C],
Q n e, n N
ŁADUNEK ELEKTRYCZNY
Jako ładunek elektryczny należy rozumieć określoną liczbę ładunków elementarnych e dodatnich lub ujemnych. Wyróżniamy następujące stany ładunków elektrycznych: • ładunki nieruchome o wartości niezmiennej w czasie, którym odpowiadają zjawiska elektrostatyczne; • ładunki w ruchu lub o wartości zmiennej w czasie, którym odpowiadają zjawiska przepływu prądu elektrycznego. Ładunek elektryczny jest podstawową cechą materii. Wszelka znana jej postać musi występować w jednym trzech następujących stanów: • może mieć ładunek dodatni (+) • może być obojętne elektrycznie (ładunek zerowy) • może mieć ładunek ujemny (-) Zarówno dodatnie, jak i ujemne ładunki mogą mieć różne - większe, lub mniejsze - wartości. Najczęściej wartość ładunku oznaczana jest literą q lub Q. Siły i oddziaływania tego rodzaju określa się jako elektryczne lub – odnosząc je do ładunków nieruchomych – jako elektrostatyczne (natura zjawiska jest ta sama, niezależnie od tego, czy ładunki pozostają w spoczynku, czy są w ruchu).
ŁADUNEK ELEKTRYCZNY Ładunek elektryczny jest podstawową cechą materii. Wszelka znana jej postać musi występować w jednym trzech następujących stanów: • może mieć ładunek dodatni (+) • może być obojętne elektrycznie (ładunek zerowy) • może mieć ładunek ujemny (-) Zarówno dodatnie, jak i ujemne ładunki mogą mieć różne - większe, lub mniejsze wartości.
Ładunki elektryczne oddziaływują ze sobą siłą elektrostatyczną (patrz Prawo Coulomba), lub (jeśli są w ruchu) siłą magnetyczną.
DIPOL ELEKTRYCZNY
Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch ładunków elektrycznych równych co do wartości lecz o przeciwnych znakach znajdujących się względem siebie w pewnej skończonej odległości.
Dla scharakteryzowania dipola wprowadza się wielkość wektorową nazywaną elektrycznym momentem dipolowym.
p l Q
CIAŁO NAELEKTRYZOWANE / ROZELEKTRYZOWANE
Zakłócenie równowagi elektrycznej ciała poprzez udzielenie mu dodatkowego ładunku nazywa się naelektryzowaniem (naładowaniem). Odebranie ciału nadmiaru ładunków dodatnich lub ujemnych nazywa się rozelektryzowaniem (rozładowaniem) → suma ładunków elementarnych dodatnich jest różna od sumy ładunków elementarnych ujemnych.
Ciała obdarzone ładunkami elektrycznymi (naładowane, naelektryzowane) mogą się przyciągać lub odpychać, przy czym: • ładunki jednoimienne – odpychają się (a) Q I t C A s • ładunki różnoimienne – przyciągają się (b)
Jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb [C], przy czym 1 kulomb jest to ładunek przenoszony przez prąd elektryczny o natężeniu 1 ampera [A] w czasie 1 sekundy [s]
CIAŁO NAELEKTRYZOWANE / ROZELEKTRYZOWANE
CIAŁO NAELEKTRYZOWANE / ROZELEKTRYZOWANE Elektryzowanie ciał przez tarcie Pocierając o siebie dwa ciała będące izolatorami, możemy uzyskać trwałe naelektryzowanie obu ciał. Elektryzują się one przeciwnym ładunkiem, a ich suma jest równa zeru (czyli tyle ile było przed elektryzowaniem). Pocieranie służy jak największemu zbliżeniu cząsteczek ciał obu substancji. Substancje muszą być izolatorami, gdzie jedna jest skłonna oddać ładunek ujemny, a druga pobrać ten ładunek np. szkło - papier, bursztyn - wełna, polar - włosy. Na przykład podczas czesania suchych i świeżo umytych włosów plastikowym grzebieniem, elektrony przechodzą z włosów na grzebień. Grzebień elektryzuje się ujemnie i przyciąga do dodatnio naelektryzowanych włosów. Poszczególne dodatnio naelektryzowane włosy wzajemnie odpychają od siebie.
CIAŁO NAELEKTRYZOWANE / ROZELEKTRYZOWANE
Elektryzowanie ciał przez dotyk Dotykając ciała nienaelektryzowanego ciałem naelektryzowanym, elektryzujemy je w sposób trwały. Ładunek elektryczny przechodzi między ciałami. Ciało naelektryzowane traci tyle ładunków ile zyskuje ciało początkowo nienaładowane. W efekcie oba ciała są naelektryzowane ładunkiem tego samego znaku. Jest to zgodne z zasadą zachowania ładunku – w układzie ciał izolowanych elektrycznie od otoczenia, całkowity ładunek (suma ładunków ujemnych i dodatnich) nie uległa zmianie, a ładunek może jedynie przemieszczać się z jednego ciała (lub jego części) do innego ciała (lub jego części).
CIAŁO NAELEKTRYZOWANE / ROZELEKTRYZOWANE
Elektryzowanie ciał przez indukcję (wpływ) Jeżeli zbliżymy do ciała nienaelektryzowanego ciało naelektryzowane, ciało nienaładowane zaczyna być przyciągane przez to drugie ciało. Elektryzowanie przez indukcję, czyli wpływ innego znajdującego się w pobliżu ciała naelektryzowanego (pod wpływem ładunku zbliżanego ciała naelektryzowanego), polega na przemieszczeniu się elektronów swobodnych wewnątrz metalu lub polaryzację atomów izolatora (powstają dipole elektryczne). W efekcie ciało jako całość nadal jest elektrycznie obojętne, ale jedną stronę ma naładowaną „+” a drugą „–”
Właściwości elektryczne ciała nienaładowanego zanikają natychmiast po usunięciu ciała elektryzującego.
PRAWO COULOMBA Prawo sformułowane w 1785 r. przez Charlesa Coulomba na podstawie doświadczeń z wagą skręceń dotyczące oddziaływania dwu nieruchomych, punktowych ładunków elektrycznych. Wartość bezwzględna sił oddziaływania elektrycznego F dwóch ładunków punktowych o wartościach bezwzględnych Q1 i Q2, umieszczonych w próżni i oddalonych od siebie o r
Q1 Q2 F N 2 4 o r
Q1 Q2 o 4 F r 2
o 8,859 1012 C 2 N 1m2 – przenikalność elektryczna próżni (stała dielektryczna) – wielkość równa liczbowo sile, z jaką oddziałują na siebie dwa ładunki 1 C znajdujące się w odległości 1m w próżni.
PRAWO COULOMBA Jeśli uwzględnimy znaki Q1 i Q2 , a odległości Q2 od Q1 przypiszemy wektor r21 = r2 – r1 = r × 1r.21 , zaś odległości Q1 od Q2 – wektor o przeciwnym zwrocie r12 = r1 – r2 = = r × 1r.12 = – r21 (1r.12 i 1r.21 są wektorami kierunkowymi odległości, mającymi przeciwne zwroty a kierunek taki, jak prosta wyznaczona przez położenie Q1 i Q2), to siła działająca na Q2 jest wektorem
F21
Q1 Q2 1r .21 2 4 o r
natomiast siła działająca na Q1
Q1 Q2 F21 1r .12 F12 2 4 o r Ze zmniejszania się siły oddziaływania elektrostatycznego z kwadratem odległości od ładunku, wynika jego ograniczony zasięg
Q1 Q2 F 4 o r 2
PRAWO COULOMBA
Q1 Q2 Q1 Q2 1 9 2 2 F k k 8.9875 10 Nm C 2 2 4 o r r 4 o k
1 4 o r
8.9875 109
Dla ośrodka innego niż próżnia, wprowadza się pojęcie względnej przenikalności elektrycznej ośrodka i wyraża się liczbą niemianowaną εr Znając εr i εo możemy określić przenikalność elektryczną ε każdego ośrodka materialnego:
o r
r
Nm2C 2
PRAWO COULOMBA Jeśli uwzględnimy znaki Q1 i Q2 , a odległości Q2 od Q1 przypiszemy wektor r21 = r2 – r1 = r × 1r.21 , zaś odległości Q1 od Q2 – wektor o przeciwnym zwrocie r12 = r1 – r2 = = r × 1r.12 = – r21 (1r.12 i 1r.21 są wektorami kierunkowymi odległości, mającymi przeciwne zwroty a kierunek taki, jak prosta wyznaczona przez położenie Q1 i Q2), to siła działająca na Q2 jest wektorem
Q1 Q2 F21 1r .21 2 4 r natomiast siła działająca na Q1
Q1 Q2 F21 1r .12 F12 2 4 r Ze zmniejszania się siły oddziaływania elektrostatycznego z kwadratem odległości od ładunku, wynika jego ograniczony zasięg
Q1 Q2 F 4 o r 2
PRAWO COULOMBA
Siły wywierane przez dipol elektryczny (dwa ładunki przeciwnych znaków oddalonych o l) na ładunek q
W naukach fizycznych w I połowie XIX, wprowadzono pojęcie pewnej substancji, za pomocą której próbowano wyjaśnić niektóre znane zjawiska fizyczne, np. zjawisko przenoszenia ciepła, elektryzowania ciał,… Wprowadzono istnienie hipotetycznych nieważkich, niewidzialnych substancji → „cieplików” i „fluidów”, wypełniających wszystkie ciała. Ciało, które miało ja w nadmiarze, było cieplejsze od otoczenia, zaś przenoszenie ciepła odbywało się na drodze wymiany „cieplików”. Teoria „cieplika" nie utrzymała się długo. Przyjęcie, e istnieje cos, co jest nieważkie i niewidzialne, czego nie można wykryć przyrządami, nie wytrzymało krytyki. Fizyka nie mogła przyjąć, e istnieje cos, czego istnienia nie można dowieść ani empirycznie, ani teoretycznie. Jednak obserwowane zjawiska oddziaływania ciał na odległość (m.in. elektryzacja ciał przez indukcje, oddziaływania w postaci sił miedzy oddalonymi ładunkami elektrycznymi, przenoszenie ciepła) nie dawało fizykom spokoju.
POLE FIZYCZNE jest to przestrzeń fizyczna (obszar) odpowiedzialna za oddziaływanie między obiektami wprowadzonymi do tej przestrzeni lub w niej przebywającymi.
Pola fizyczne są wytwarzane zarówno przez obiekty nieruchome w przestrzeni, jak i przez obiekty poruszające się z określoną prędkością. W szczególności obiektami tymi mogą być cząstki elementarne, które mogą poruszać się z prędkością bliska prędkości światła. Gdy źródła pola poruszają się z prędkością bliską prędkości światła, to zmiana stanu jednej cząstki, związana ze zmiana jej energii i pędu, powoduje dopiero po pewnym czasie pojawienie się siły działającej na druga cząstkę. Energia i pęd, oddane przez pierwsza cząstkę, a jeszcze nie pobrane przez druga, są na ten czas przekazane przenoszącemu je polu. Pole w sensie fizycznym można opisać za pomocą symboli matematycznych, posiada pewne właściwości fizyczne i przenosi oddziaływanie pomiędzy ciałami wprowadzonymi do tego pola. W przyrodzie występuje bardzo wiele różnych pól. Ogólnie dzielą się one na pola: skalarne i wektorowe. . • POLE SKALARNE – pole, którego każdy punkt można scharakteryzować za pomocą wielkości skalarnej → np. pole temperatur, pole energii, pole potencjałów → np. Izotermy, które są liniami pola temperatur • POLE WEKTOROWE – pole, którego każdy punkt można scharakteryzować za pomocą wielkości wektorowej → np. pole prędkości, pole przyśpieszeń, pole ciśnień, pole sił (pole grawitacyjne, pole elektryczne, pole magnetyczne).
POLE SIŁ
POLE SIŁ – pole wektorowe, w którym na obiekt wprowadzony do tego pola działa określona siła. np. pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, pole magnetyczne, pole elektromagnetyczne i pole sił jądrowych.
POLE ELEKTRYCZNE – stan przestrzeni otaczającej ładunki elektryczne lub zmienne pole magnetyczne. W polu elektrycznym na ładunek elektryczny działa siła elektrostatyczna → Prawo Coulomba. Każdy ładunek jest źródłem pola elektrycznego działającego na inne ładunki, ale sam też podlega działaniu pól wytworzonych przez nie → wzajemność oddziaływań.
Za pośrednictwem pola elektrycznego możliwe jest oddziaływanie pomiędzy oddalonymi od siebie naelektryzowanymi ciałami, czyli oddziaływanie na odległość. Jeśli pole elektryczne nie zmienia się w czasie, to mówimy, że jest elektrostatyczne. Koncepcję pola elektrycznego wprowadził Michael Faraday (w połowie XIX wieku) jako opis oddziaływania ładunków elektrycznych.
LINIE SIŁ POLA ELEKTRYCZNEGO Linie sił pola elektrycznego (linie sił, linie pola) są to linie, po których poruszają się ładunki elektryczne wprowadzone do tego pola. Przez każdy, dowolny punkt pola przechodzi linia sił. Linie sił pola są: • styczne każdym punkcie przestrzeni do wektora siły działającej w tym polu na dodatni ładunek punktowy (w dowolnym punkcie pola) • skierowane od ładunku elektrycznego dodatniego do ujemnego • liczba linii na jednostkę powierzchni jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego • linie te nigdy nie przecinają się Ładunki punktowe - ciała naelektryzowane, których wymiary są znikomo małe w stosunku do odległości pomiędzy nimi. Elektrony i protony można traktować jako ładunki punktowe ponieważ stosunek rozmiaru jader atomowych do rozmiaru atomów (odpowiadających rozmiarowi (zewnętrzne powłoki elektronowe) jest rzędu 10-4
LINIE SIŁ POLA ELEKTRYCZNEGO Linie sił pola elektrycznego wytworzonego przez dodatnio naładowaną, płaską, nieskończenie wielką płytę. Linie sił pola ładunku punktowego Jest to pole centralne – siły działają wzdłuż promienia Linie sił pola zaczynają się zawsze na ładunkach dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych. W niektórych przypadkach linie sił pola biegną do nieskończoności → uważamy wtedy, że odpowiednie ładunki, na których te linie się kończą, znajdują się nieskończenie daleko.
Całkowita liczba linii sił w dowolnej odległości od ładunku jest zawsze taka sama
LINIE SIŁ POLA ELEKTRYCZNEGO
POLE CENTRALNE to pole wytworzone przez dodatni lub ujemny ładunek punktowy. Linie pola centralnego rozchodzą się promieniście i przecinają się w miejscu, w którym znajduje się ładunek będący źródłem tego pola. Linie te są zwrócone tak jak siły, które działałyby na umieszczony w tym polu ładunek próbny. Pole centralne nazywamy polem kulombowskim. POLE JEDNORODNE to pole wytworzone przez dwie równoległe, płaskie płytki naelektryzowane ładunkami o takiej samej wartości i o przeciwnym znaku. Linie pola jednorodnego są do siebie równoległe i są zwrócone od płytki dodatniej do ujemnej.
LINIE SIŁ POLA ELEKTRYCZNEGO
Linie sił pola dla dwóch jednoimiennych i różnoimiennych ładunków punktowych. Ładunki jednoimienne – odpychają się, różnoimienne – przyciągają się. E - wektor natężenia pola elektrycznego w każdym punkcie jest styczny do linii sił pola przechodzącej przez ten punkt.
Dla układu wielu ładunków, układ linii sił jest bardzo złożony, a linie sił nie są półprostymi, lecz liniami o bardziej złożonym przebiegu . Niezależnie jednak od kształtu pola (wyznaczonego graficznie przez układ linii sił) linie sił pola elektrostatycznego są zawsze liniami „otwartymi” (w przeciwieństwie do linii „zamkniętych” – np. pole magnetyczne), tzn. zaczynają się na powierzchni danego ładunku w przypadku pola ładunku punktowego lub kończą się na innych ładunkach w przypadku pola wytwarzanego przez układ ładunków. Taka właściwość posiadają tylko pola źródłowe. „Otwarte” linie sił są wiec cechą PÓL ŹRÓDŁOWYCH.
Źródłem linii sił pola elektrostatycznego są nieruchome ładunki elektryczne wytwarzające pola rozciągające się w nieskończoność. Do celów analizy pól nie jest jednak dogodne używanie siły działającej na ładunki wprowadzone do tego pola, gdy siła ta zależy jednocześnie od wartości Q1 i Q2. Dlatego też wprowadza się pojęcie: NATĘŻENIA POLA ELEKTRYCZNEGO
NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO Przestrzeń otaczająca ładunki elektryczne posiada taką właściwość, że na umieszczone w dowolnym jej punkcie inne ładunki działa siła F → wokół ładunków elektrycznych istnieje pole elektryczne. Istnienie pola elektrycznego można wykryć wprowadzają do przestrzeni w której ono działa, ładunek próbny q0 , na który działa siła F Natężenie pola elektrycznego E definiuje się jako stosunek siły F, działającej na dodatni ładunek próbny q0, do wartości tego ładunku. Ładunek próbny jest z założenia tak mały, że nie powoduje żadnych zmian w polu.
F N J / m V A s V E q0 C A s m A s m NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO JEST WEKTOREM. W każdym punkcie pola wektor E może mieć inną wartość i inny kierunek. Styczna do linii sił pola w dowolnym punkcie pola wyznacza kierunek natężenia pola E w tym punkcie. Siła F działająca na ładunek elektryczny q0 w polu elektrycznym E, jest wiec skierowana stycznie do linii pola i wynosi → F q0 E
NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO Natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorowa i charakteryzuje dany punkt pola niezalenie od wartości ładunku q0 wprowadzonego do tego pola.
Q q0 F Q E 1 2 2 r .Qq0 q0 4 o q0 r 4 o r
Q r2
Natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy (źródło punktowe) jest proporcjonalne do wartości wytwarzającego je ładunku i maleje proporcjonalnie do kwadratu odległości od obiektu wytwarzającego pole. Natężenie pochodzące od skończonej liczby ładunków jest równe wektorowej sumie natężeń pochodzących od poszczególnych ładunków (ZASADA SUPERPOZYCJI)
ZASADA SUPERPOZYCJI Natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez kilka ładunków możemy obliczyć w każdym punkcie przestrzeni (np. q) jako sumę wektorów natężeń pół wytworzonych w tym punkcie przez każdy ładunek z osobna Qn n
F Fn i1
n
E En i1
NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO
Linia sił pola elektrycznego wychodzi prostopadle z powierzchni przewodnika. Gdyby wektor natężenia pola, który jest styczny do linii sił w punkcie wyjścia tej linii, nie był prostopadły do powierzchni przewodnika, to można by go było rozłożyć na dwa składowe wektory: jeden styczny do tej powierzchni i drugi do niej prostopadły. Pod wpływem stycznego wektora natężenia pola nastąpiłby ruch ładunków elektrycznych po powierzchni przewodnika, co jest sprzeczne z ogólnym założeniem przyjętym przy rozważaniu pola elektrostatycznego (nie zmieniającego się w czasie).
Linie sił pola elektrycznego w ujęciu dotychczasowym nie dają pojęcia o wartości natężenia pola. Można wprowadzić warunek wiążący wartość natężenia pola z zagęszczeniem linii sił pola elektrycznego. Tam, gdzie natężenie pola jest większe, będziemy rysowali linie gęściej, a tam gdzie mniejsze — rzadziej.
INDUKCJA ELEKTRYCZNA INDUKCJA ELEKTRYCZNA D (zwana też przesunięciem elektrycznym) – wielkość wektorowa → wektor indukcji elektrycznej D związany z wektorem natężenia pola zależnością:
C D 0 r E 2 m
W dielektryku umieszczonym w polu elektrycznym występuje polaryzacja dielektryka – orientacja istniejących dipoli elektrycznych zgodnie z liniami sił pola Wielkością charakteryzującą stopień polaryzacji jest tzw. Wektor indukcji elektrycznej (gęstość strumienia elektrycznego)
prawo Gaussa dla wektora indukcji elektrycznej D
D
D dS Q S
Całkowity strumień indukcji elektrycznej φD przez dowolną powierzchnię zamkniętą S jest równy algebraicznej sumie Q ładunków zawartych wewnątrz tej powierzchni.
INDUKCJA ELEKTRYCZNA
dSi
dS i
Di n
i
Di S
STRUMIEŃ INDUKCJI W PRZYPADKU OGÓLNYM
m
m
i 1
i 1
Di dSi Di dSi cos i
STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO Pojęcie strumienia wprowadza się dla dowolnego pola wektorowego
v V dS S
Całkujemy po powierzchni S, która nie musi być powierzchnią zamkniętą, wielkość ds jest prostopadła do elementu powierzchni ds
E
S
Nm2 J m2 V A s m2 E dS V m m A s m A s C Miarą strumienia pola elektromagnetycznego ФE jest liczba linii pola elektromagnetycznego (E) przechodzącego przez daną powierzchnię S.
Wielkość dS jest prostopadła do elementu powierzchni ds.
STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO
Strumień Ф pola elektrycznego przez powierzchnię S definiujemy jako iloczyn skalarny wektora powierzchni S i natężenia pola elektrycznego E.
E S cos gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni S i wektorem E
STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO
Jeżeli wektor natężenia pola E, w różnych punktach powierzchni S, ma różną wartość i przecina tę powierzchnię pod różnymi kątami to wówczas dzielimy powierzchnię na małe elementy dS i obliczamy iloczyn skalarny wektora powierzchni ds i lokalnego natężenia pola elektrycznego.
Strumień pola E przez elementarną powierzchnię dS definiujemy jako iloczyn dФ = E·dS
STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO • Powierzchnia S jest prostopadła do wektora natężenia pola elektrycznego E
E S cos E S • Powierzchnia S jest ustawiona pod kątem do wektora natężenia pola elektrycznego E
E S cos
• Powierzchnia S jest prostopadła do wektora natężenia pola elektrycznego E
E S cos 0
Kąt Ф → kąt pomiędzy wektorem E, a normalną do powierzchni S
STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO Strumień pola elektrycznego (wielkość skalarna) przechodzący przez powierzchnię kulistą, w środku której znajduje się ładunek punktowy q.
q q q 4 r 2 q q E dS dS d S 2 2 2 4 r 4 r 4 r 0 r S S S Całkowity strumień Ф przez powierzchnię sferyczną →
q
Wektory E i dS są w każdym punkcie na powierzchni kuli równoległe do siebie, a symbol oznacza całkowanie po powierzchni zamkniętej (jaką jest powierzchnia kulista).
STRUMIEŃ POLA ELEKTRYCZNEGO
S
q E dS 0 r
Całkowity strumień pola elektrycznego nie zależy od promienia kuli, przez którą przechodzi, a zależy jedynie od ładunku q znajdującego się wewnątrz i od przenikalności elektrycznej ośrodka.
Powyższe równanie jest spełnione także w przypadku zastąpienia kuli dowolną zamkniętą powierzchnią S
Jeżeli wewnątrz zamkniętej powierzchni S znajduje się n ładunków Q1,Q2 ,Q3,... ,Qn (dodatnich i ujemnych), to całkowity strumień elektryczny przechodzący przez tę powierzchnię
1 1 (Q1 Q2 ... Qn ) 0 r 0 r
n
Q i 1
i
PRAWO GAUSSA Jeżeli powierzchnia zamknięta obejmuje ładunki dodatnie i ujemne w takiej ilości, że ich suma algebraiczna równa się zeru, to całkowity strumień elektryczny przez tę powierzchnię równa się zeru.
1 n n Qi Qi 0 0 r i 1 i 1 Strumień pola elektrycznego Ф przez dowolną powierzchni S zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu w tej powierzchni podzielonemu przez wartość przenikalności dielektrycznej є
Carl Friedrich Gauss (ur. 30 kwietnia 1777 w Brunszwiku, zm. 23 lutego 1855 w Getyndze) – niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta.
1
n
Q i 1
i
Strumień pola elektrycznego obejmowany przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy ładunków zawartych wewnątrz powierzchni.
PRAWO GAUSSA – POSTAC RÓŻNICZKOWA
Przekształćmy strumień wektora indukcji elektrycznej zgodnie z twierdzeniem Ostrogradzkiego-Gaussa:
Twierdzenie Gaussa w postaci różniczkowej • Obszar V został wybrany dowolnie i dlatego poprzednia zależność słuszna jest dla wszystkich wartości V. przy takim założeniu, funkcje pod znakiem całek powinny być sobie równe: → div D = ρ
Otrzymana zależność przedstawia twierdzenie Gaussa w postaci różniczkowej. Twierdzenie to wyraża fakt, że źródła pola elektrycznego znajduję się tylko w tych miejscach w których znajdują się ładunki elektryczne. • W środowisku o stałej przenikalności elektrycznej → div E = ρ/ε
W przypadku objętościowego rozkładu ładunku, ładunek Q
POWIERZCHNIOWA GĘSTOSC ŁADUNKU
Zakłada się, że ładunek +Q został umieszczony w środku kuli o promieniu r, a powierzchnia tej kuli jest pokryta cienka warstwa przewodzącą, która stanowi osłonę elektrostatyczną (ekran) ładunku. Na zasadzie zjawiska indukcji elektrostatycznej (influencji), po wewnętrznej stronie osłony gromadzi się ładunek −Q, a po zewnętrznej ładunek +Q. Powierzchniowa gęstość ładunku (po wewnętrznej stronie – ujemnego, po zewnętrznej – dodatniego)
Q q 4 r 2 Jeśli ładunek Q jest osłonięty dowolną, zamkniętą warstwą przewodzącą, to po zewnętrznej stronie tej warstwy, niezalenie od kształtu jej powierzchni S, indukuje się ładunek o łącznej wartości Q:
q Q S
PRACA I ENERGIA W POLU ELEKTRYCZNYM Na ładunek q0 znajdujący się w polu elektrycznym działa siła F
F q0 E Siła ta może wykonać pracę przesuwając ładunek w polu elektrycznym. Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczeniu ładunku punktowego q na odcinku elementarnym dl miedzy punktem początkowym K’ i punktem końcowym K”
dW F dl q E dl q E dl cos , zaś przy przemieszczaniu ładunku pomiędzy punktami A i B B
B
B
A
A
A
WAB F dl q E d l q E dl cos
Pole elektrostatyczne (niezmienne w czasie), jest polem potencjalnym → siły elektryczne są siłami zachowawczymi. Wartość pracy WAB nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B.
Praca ta nie zależy od drogi, po której przemieszcza się ładunek, a jedynie od położenia punktów krańcowych A i B (odległości r1 i r2 od ładunku Q wytwarzającego pole).
PRACA I ENERGIA W POLU ELEKTRYCZNYM
Jeśli przeniesienie ładunku q z punktu A do punktu B jest wykonane kosztem: • •
sił pola elektrycznego W<0 kosztem sił zewnętrznych W > 0
Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym, czyli takim, że praca wykonana przy przesuwaniu ładunku po drodze zamkniętej równa jest zero. W związku z tym praca, jaką wykonują siły pola albo jaką należy wykonać przeciwko siłom pola, przesuwając punktowy ładunek elektryczny z jednego położenia w polu elektrostatycznym w inne, zależy tylko od położenia początkowego i końcowego, a nie zależy wcale od kształtu toru, po którym następuje ruch ładunku. Odcinki AB i CD tej drogi leżą na liniach sił pola, odcinki BC i DA – na łukach okręgów (stała odległość do Q), które w każdym swym punkcie są prostopadłe do linii sił. Praca sił pola na odcinku AB jest równa co do wartości, lecz przeciwna co do znaku względem pracy wykonanej na odcinku CD → WAB = – WBA Prace na odcinkach BC i AD są równe zeru ze względu na prostopadłość kierunków siły i przesunięcie → WBC = WAD = 0. Całkowita praca na drodze zamkniętej ABCDA → WABCDA = 0
PRACA I ENERGIA W POLU ELEKTRYCZNYM
Praca w polu elektrycznym przy przesuwaniu ładunku punktowego od A do B, przy zmianie odległości dr od r1 i r2 od ładunku Q wytwarzającego pole.
dWAB Fdr Qq F 4 o r r 2
dWAB
Qq dr 2 4 o r r
2 Qq Qq Qq 1 dr = dr E p J 2 2 2 4 o r r 4 o r r 4 o r r r1 r r1
r2
WAB
WAB
r
Qq 4 o r
1 1 E pA E pB r1 r2
EpA i EpB – energia potencjalna ładunku q w punktach A i B
PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM
1. Zwiększenie odległości pomiędzy dwoma różnoimiennymi ładunkami (+ i -) pod wpływem siły zewnętrznej, nie będącą siłą oddziaływania tych ładunków.
WAB
Qq 4 o r
r1 r2
1 1 E pB E pA r2 r1
1 1 r1 r2
Ładunki oddalają się od siebie
WAB
Qq Qq Qq 4 o r r2 4 o r r1 4 o r
WAB 0
1 1 r1 r2
PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM
2. Zwiększenie odległości pomiędzy dwoma jednoimiennymi ładunkami pod wpływem siły oddziaływania elektrostatycznego – siła „odpychająca”.
WAB
Qq 4 o r
r1 r2
1 1 E pB E pA r2 r1
1 1 r1 r2
Ładunki oddalają się od siebie
WAB
Qq Qq Qq 4 o r r2 4 o r r1 4 o r
WAB 0
1 1 r2 r1
PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM
3. Zmniejszenie odległości pomiędzy dwoma różnoimiennymi ładunkami pod wpływem siły oddziaływania elektrostatycznego – siła „przyciągająca”.
WAB
Qq 4 o r
r1 r2
1 1 E pB E pA r2 r1
1 1 r1 r2
Ładunki zbliżają się do siebie
WAB
Qq Qq Qq 4 o r r2 4 o r r1 4 o r
WAB 0
1 1 r1 r2
PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM
4. Zmniejszenie odległości pomiędzy dwoma jednoimiennymi ładunkami pod wpływem siły zewnętrznej, nie będącą siłą oddziaływania tych ładunków.
WAB
Qq 4 o r
r1 r2
1 1 E pB E pA r2 r1
1 1 r1 r2
Ładunki zbliżają się do siebie
WAB
Qq Qq Qq 4 o r r2 4 o r r1 4 o r
WAB 0
1 1 r2 r1
PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM Aby określić czy praca jest dodatnia czy ujemna, musimy się zastanowić jaki jest kąt między wektorem przyłożonej przez nas siły a wektorem przesunięcia.
dW F dl q E dl q E dl cos • ładunek próbny jest przyciągany przez źródło pola, a praca jaką wykonujemy przemieszcza ładunek ten bliżej źródła, to musimy zrównoważyć siłę przyciągającą (siłę Coulomba) → Przykładamy więc siłę która tworzy z wektorem przesunięcia kąt 180°. Zatem cos(α)= – 1 → praca jest ujemna. • ładunek próbny jest „oddalany” od ładunku źródłowego (ale źródło przyciąga ładunek próbny), to by zrównoważyć siłę Coulomba → przykładamy siłę równoległą do wektora przesunięcia, więc α = 0°, czyli cos(α) = 1 → praca jest dodatnia. Można łatwo zauważyć, że jeśli na układ (np. na te dwa ładunki) działa jakaś siła zewnętrzna to praca jest dodatnia - zwiększa się energia potencjalna układu. Jeśli działa siła wzajemnych oddziaływań między ładunkami (+ przyciąga - i odwrotnie) to praca jest ujemna - zmniejsza się energia potencjalna układu. Należy jeszcze wspomnieć, że energia potencjalna dwóch oddziałujących na siebie ładunków jednoimiennych jest dodatnia, natomiast ładunków różnoimiennych jest ujemna
ENERGIA POTENCJALNA W POLU ELEKTRYCZNYM Ładunek q, znajdujący się w polu ładunku Q, ma energię potencjalną, zaś nie posiada takiej energii, gdy jest nieskończenie daleko od ładunku Q. Aby ładunkowi q nie posiadającemu energii nadać energię, należy przesunąć go z nieskończoności do danego punktu. Uzyskana energia potencjalna równa jest wykonanej pracy:
Qq EP Wr1 4 o r
1 1 r1
Można łatwo zauważyć, że jeśli na układ (np. na te dwa ładunki) działa jakaś siła zewnętrzna to praca jest dodatnia zwiększa się energia potencjalna układu. Jeśli działa siła wzajemnych oddziaływań między ładunkami (+ przyciąga - i odwrotnie) to praca jest ujemna zmniejsza się energia potencjalna układu.
Ponieważ jeden przez nieskończoność dąży do zera, zatem:
Qq EP 4 o r r1
Energia potencjalna jest dodatnia przy ładunkach jednoimiennych, a ujemna przy ładunkach różnoimiennych
ENERGIA POTENCJALNA W POLU ELEKTRYCZNYM
Qq Ep r Ep 0 4 o r r
Energia potencjalna jest dodatnia przy ładunkach jednoimiennych, a ujemna przy ładunkach różnoimiennych
Energia potencjalna ładunków dąży do zera, gdy r dąży do nieskończoności (oddalany się od źródła pola elektrycznego) Energia potencjalna ładunku próbnego q w polu elektrycznym jest proporcjonalna do wielkości tego ładunku.
Stosunek energii potencjalnej do ładunku nie zależy od wielkości ładunku i charakteryzuje samo pole elektryczne → Potencjał V pola elektrycznego w danym punkcie
Qq E p 4 o r r Q J V A s V V q q 4 o r r C A s Potencjał pola jest wielkością skalarną
POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO
Jeżeli pole elektryczne jest wytwarzane przez większą liczbę ładunków punktowych, wypadkowy potencjał będzie sum¡ algebraiczną potencjałów, pochodzących od poszczególnych ładunków. W przypadku, gdy ładunek elektryczny wytwarzający pole jest rozłożony w ciągły sposób, suma musi być zastąpiona odpowiednią całką. Potencjał elektryczny jest to właściwość poła elektrycznego w pewnym punkcie określająca zdolność tego pola do wykonania pracy - związany z pracą przesunięcia ładunku q od punktu A do nieskończoności
Potencjał elektryczny w każdym punkcie pola zależy od odległości r rozpatrywanego punktu pola od ładunku wytwarzającego to pole. Nie zależy on od wartości ładunku wprowadzonego do pola q, a jedynie od wartości ładunku Q wytwarzającego to pole, przy założeniu, że ładunek wprowadzany do pola jest pomijalnie mały w porównaniu z ładunkiem wytwarzającym pole.
Q V r V 0 4 o r r NIE WOLNO MYLIĆ OZNACZENIA JEDNOSTKI NAPIĘCIA Z SYMBOLEM POTENCJAŁU!!!
POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO
Potencjał elektryczny dipola elektrycznego (na płaszczyźnie xy)
POWIERZCHNIOWA GĘSTOSC ŁADUNKU
Michał Faraday zaobserwował, że ładunki gromadzą się na zewnętrznej powierzchni przewodnika. Co więcej, pole elektryczne nie przenika poprzez przewodniki. Zjawisko to nazywamy ekranowaniem.
W naelektryzowanym przewodniku ładunki gromadzą się wyłącznie na powierzchni ciała. Ładunki odpychając się nie mogą gromadzić w środku ciała. Ładunki układają się na powierzchni ciała w taki sposób, że natężenie pola wewnątrz przewodnika jest równe zeru. Powoduje to między innymi, że najwięcej ładunków gromadzi się na ostrych częściach przewodnika.
POWIERZCHNIOWA GĘSTOSC ŁADUNKU Powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną, kierunki wektora natężenia pola i linii sił na zewnątrz przewodnika muszą być prostopadłe do jego powierzchni. Powierzchniowa gęstość ładunku na danym przewodniku zależy od kształtu jego powierzchni. Największa gęstość ładunku występuje na najbardziej zakrzywionych fragmentach powierzchni, charakteryzujących się najmniejszym promieniem krzywizny; dotyczy to w szczególności ostrz i występów na powierzchni przewodnika. Przy dużych gęstościach ładunku elektrycznego może on przechodzi¢ z ostrza na otaczające je cząsteczki powietrza, wywołując ich ruch w wyniku odpychania elektrostatycznego ładunków (tzw. „wiatr elektryczny") lub wyładowanie iskrowe.
POWIERZCHNIOWA GĘSTOSC ŁADUNKU
Zależność pola E od odległości od środka naładowanej kuli o promieniu R
POWIERZCHNIA EKWIPOTENCJALNA Każdy punkt pola elektrycznego opisany jest przez: • natężenie pola elektrycznego E (wektor) • potencjał elektryczny V (skalar) POWIERZCHNIE UTWORZONE PRZEZ PUNKTY POLA O STAŁYM POTENCJALE NAZYWAMY POWIERZCHNIAMI EKWIPOTENCJALNYMI Przemieszczanie się ładunków po powierzchni ekwipotencjalnej nie wiąże się z wydatkowaniem energii, zatem linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych. Dla ładunku punktowego powierzchnia ekwipotencjalna jest powierzchnią kulistą, a dla ładunku punktowego na płaszczyźnie redukuje się ona do okręgu. Powierzchnie i linie ekwipotencjalne posiadają dwie zasadnicze właściwości: • •
powierzchnie (i linie) ekwipotencjalne są zawsze powierzchniami (i liniami) zamkniętymi powierzchnie (i linie) ekwipotencjalne w każdym punkcie pola są prostopadłe do siły działającej w tym punkcie → wektor siły (natężenia) pola elektrycznego jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej;
ZAGĘSZCZENIE LINII POLA ELEKTRYCZNEGO PRZY KRZYWIZNACH POWIERZCHNI ELEKTROD Przy większych krzywiznach powierzchni elektrod występuje zagęszczenie linii pola elektrycznego, co sprzyja jonizacji dielektryka i emisji elektronów z katody. Do wyjaśnienia tego zjawiska służy model dwóch kul o różnych promieniach, połączonych ze sobą cienkim drutem.
Na podstawie twierdzenia Gaussa, strumień elektryczny naładowanej kuli
Q Q 4 r D 4 r E E 4 r 2 2
2
Potencjał przy powierzchni kuli jest zatem równy
Q V r0 E dr 4 r0 r0
ZAGĘSZCZENIE LINII POLA ELEKTRYCZNEGO PRZY KRZYWIZNACH POWIERZCHNI ELEKTROD Potencjały V1 i V2 dwóch kul połączonych cienkim drutem są jednakowe: V1 = V2
Q1 Q2 Q1 r1 r1 r2 Q2 r2
4 r12 q1 , 4 r22 q 2
q1 Q1 r22 2 q 2 Q2 r1
q1 E1 q1 D1 , q 2 D2 q 2 E2 E1
E2
ZAGĘSZCZENIE LINII POLA ELEKTRYCZNEGO PRZY KRZYWIZNACH POWIERZCHNI ELEKTROD
q1 Q1 r22 r1 r22 r2 2 2 q 2 Q2 r1 r2 r1 r1 Natężenie pola przy powierzchni jest odwrotnie proporcjonalne do promienia krzywizny
E1 r2 E2 r1 Największe wartości natężenia pola elektrycznego występują wiec w pobliżu występów i nierówności powierzchni, szczególnie przy ostrzach i krawędziach
ENERGIA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO (KONDENSATORA) Praca przeniesienia ładunku Q w polu elektrycznym, miedzy punktami, których potencjały różnią się o napięcie U, wynosi W = Q U. Gromadzenie ładunków różnych znaków na okładzinach kondensatora („przesuwanie” ładunku w obwodzie zewnętrznym z jednej okładziny na druga) zachodzi przy zmieniającym się napięciu.
Elementarna praca dW przeniesienia ładunku dq przy napięciu u i przyroście napięcia du (q i u – wielkości zmienne w czasie)
dW u dq W przypadku kondensatora liniowego
q C u dq C du dW C u du
C U Q U Q W C u du 2 2 2C 0 U
2
2
ENERGIA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO (KONDENSATORA)
GĘSTOŚĆ ENERGII POLA ELEKTROSTATYCZNEGO 2 Q Odnosząc zależność W 2C
do prostopadłościennej „komórki” dielektrycznej
Q D S U E d
1 1 W U D E 2 2
S d objętość „komórki”
Przestrzenna (objętościowa) gęstość energii pola elektrostatycznego 2 1 1 D 2 W D E E 2 2 2
Jednostka gęstości energii jest dżul na metr do sześcianu (J·m-3).
CIŚNIENIE ELEKTROSTATYCZNE
Ładunki zgromadzone na różnych elektrodach przyciągają się w wyniku tego przyciągają się elektrody, zaś na ładunki działa ciśnienie elektrostatyczne, które wypycha je do dielektryka. Ze wzorów na energię i pojemność kondensatora płaskiego
Q2 D2 S 2 S D2 S W C W x 2C 2C x 2 Elementarna praca siły F przy przesunięciu okładzin na drodze dx, czyli zmiana energii dW przy tym przesunięciu: dW = F × dx , zatem siła F przyciągania się elektrod w kondensatorze płaskim
dW D 2 S F dx 2
CIŚNIENIE ELEKTROSTATYCZNE
Ciśnienie elektrostatyczne →
F D2 1 1 pE D E E2 S 2 2 2
Jednostka ciśnienia elektrostatycznego jest niuton na metr do kwadratu (N m-2). Trzeba tu zaznaczyć, że chociaż prawe strony równań
D2 1 2 W , pE E 2 2
są identyczne, to jednak wielkości występujące po ich lewych stronach takimi nie są. Przestrzenna gęstość energii elektrycznej ρW i ciśnienie elektrostatyczne pE to różne wielkości fizyczne, mierzone w innych jednostkach, które wyrażają się tak samo w jednostkach podstawowych (J m-3 = N m-2 = kg m-1 s-2).
NAPIĘCIE ELEKTRYCZNE Zakładając równoważność pracy i energii potencjalnej pola elektrycznego, pracę wykonaną przez siły elektryczne przy przemieszczaniu ładunku q z punktu A do punktu B pola elektrycznego, można przedstawić jako
WAB q VA VB q U B
M
B
M
M
A
A
M
A
B
U AB E dl E dl + E dl E dl E dl VA VB Różnicę potencjałów dwóch punktów pola elektrycznego nazywamy napięciem U pomiędzy tymi punktami
U AB VA VB V Praca wykonana przy przemieszczaniu ładunku w polu elektrycznym jest równa iloczynowi ładunku i napięcia pomiędzy początkowym i końcowym punktem drogi
WYTRZYMAŁOŚĆ ELEKTRYCZNA DIELEKTRYKÓW
Każdy dielektryk: stały, ciekły czy gazowy, ma określoną wytrzymałość elektryczną. Pojęcie to oznacza największą wartość natężenia pola elektrycznego, nie wywołująca przebicia dielektryka. Przebicie dielektryka wyraża się utrata jego własności izolacyjnych i jest efektem działania różnych zjawisk i czynników, związanych bezpośrednio lub pośrednio z istniejącym polem elektrycznym. Mechanizmy przebicia dielektryków różnych rodzajów są odmienne. Przebicie dielektryka gazowego, nazywane też przeskokiem, zachodzi z chwilą wystąpienia w nim wyładowania zupełnego, które obejmuje swym zasięgiem całą drogę pomiędzy elektrodami. Przy dużym prądzie wyładowanie to ma postać iskry lub łuku elektrycznego. Forma wyładowania elektrycznego w gazie zależy od jego początkowego zjonizowania, geometrii układu oraz wartości prądu. W układach o polach jednorodnych występują tylko wyładowania zupełne. W układach o polach niejednorodnych spotyka się wyładowania obejmujące tylko część drogi łączącej elektrody. Noszą one nazwę wyładowań niezupełnych. Zalicza się do nich m.in. ulot, któremu na ogół towarzyszy świetlenie lub snopienie. Przebicia dielektryków ciekłych i stałych maja złożony charakter, ale i tu zauważa się występowanie wyładowań niezupełnych i zupełnych. W oleju izolacyjnym obserwuje się wyładowania niezupełne w postaci świetleń, snopień i pozałamywanych kanałów rozwijających się od katody i od anody. W dielektrykach stałych występują z reguły jakieś „wtrąciny” gazowe i wokół nich to właśnie obserwuje się przebicia częściowe, powodujące osłabienie izolacji i prowadzące do przebicia pełnego.
POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA
Kondensatorem nazywamy układ dwóch przewodników (zwanych okładkami kondensatora) rozdzielonych dielektrykiem → przewodniki o różnych potencjałach i przeciwnych ładunkach. Pojemność elektryczna, w sensie fizycznym, oznacza zdolność ciał przewodzących, umieszczonych w środowisku nieprzewodzącym (w próżni lub dielektryku), do gromadzenia ładunku elektrycznego.
Dla ustalonej pary przewodników S stosunek ładunku Q do różnicy potencjałów (V2 – V1) jest stały → pojemność kondensatora C.
Q Q C C F V1 V2 U V Rozpatrzymy dwie przewodzące płytki o jednakowych rozmiarach ustawione równoległe w odległości d od siebie. Niech powierzchnia każdej z płytek wynosi S. Niech na jednej płytce znajduje się ładunek Q, a na drugiej – Q. Potencjały obu płytek wynoszą odpowiednio V1 i V2.
POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA – KONDENSATOR
dW F dl q E dl q E dl cos
W q V1 V2
W q E l cos W obszarze pomiędzy płytkami wartość natężenia pola elektrycznego E
V1 V2 E
q V1 V2 q E l cos
d
Przebieg linii pola wskazuje, że pole kondensatora jest polem jednorodnym z wyjątkiem obszarów brzegowych. Strumień indukcji przez powierzchnię prostopadłościenną (ABCD) zamykającą jedną okładkę → strumień przez powierzchnię górną CD i boczne AD i BC możemy zaniedbać ponieważ przechodzi tam niewielka liczba linii sił pola → powierzchnia AB, dla której strumień indukcji Φ jest określony jako,
DS D S
POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA – KONDENSATOR Zgodnie z prawem Gaussa
Q
Q DS
D 0 r E V1 V2 E
E
d
V1 V2 d
Q
0 r S
Q
0 r S
Całkowity ładunek Q znajdujący się na jednej z elektrod kondensatora płaskiego
V1 V2 Q 0 r S d
POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA – KONDENSATOR
Q C V1 V2
Q C U
V1 V2 Q 0 r S d
V1 V2 C V F C V1 V2 0 r S d
C 0 r
S C d F C d S m Jeżeli ładujemy kondensator tj. zwiększamy ładunek Q zgromadzony na jego okładkach, rośnie również różnica potencjałów (napięcie) U między okładkami kondensatora, przy czym iloraz Q/U pozostaje stały. Iloraz Q/U jest więc wielkością charakterystyczną dla danego kondensatora i nazywamy go pojemnością kondensatora C. Pojemność kondensatora zależy od jego rozmiarów geometrycznych S, d oraz od rodzaju wypełniającego go dielektryka є.
S d
POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA – KONDENSATOR Pojemność kondensatora cylindrycznego (kabla jednożyłowego z powłoką)
Okładziny kondensatora (odcinka kabla) są powierzchniami walców współosiowych, mających promienie r1 i r2 oraz jednakowe długości l, zaś przestrzeń pomiędzy nimi wypełnia dielektryk o przenikalności elektrycznej є → wektor E skierowany promieniowo
Q 2 l C r2 U ln r1
SZEREGOWE ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW
Zgodnie z II prawem Kirchoffa
Q Q Q Q U U1 U 2 U 3 C C1 C2 C3
n n 1 1 1 1 1 1 1 Sn Sn C C1 C2 C3 C i 1 Cn Cn i 1
Odwrotnością pojemności elektrycznej jest elastancja S wyrażana w darafach (nie jest to jednostka układu SI)
Układ szeregowo połączonych kondensatorów mona nazwać pojemnościowym dzielnikiem napięcia, → napięcie całkowite w tym układzie „dzieli się” na kondensatorach proporcjonalnie do wartości ich elastancji:
RÓWNOLEGŁE ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW
Zgodnie z i prawem Kirchoffa
I I1 I 2 I3 I t I1 t I 2 t I 3 t
U U1 U 2 U3
Q Q1 Q2 Q3 U C U C1 U C2 U C3 n
C C1 C2 C3 C Cn i 1
Układ równolegle połączonych kondensatorów można nazwać dzielnikiem ładunku, ponieważ ładunek całkowity tego układu „dzieli się” na ładunki kondensatorów proporcjonalnie do wartości ich pojemności
POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA – KONDENSATOR Pojemność kondensatora o dwuwarstwowym dielektryku
C1 0 1
S S C2 0 2 d2 d1
C1 C2 1 1 1 C C C1 C2 C1 C2
Można założyć, że powierzchnia graniczna pomiędzy dwiema warstwami dielektryku jest przewodząca, przy czym jej grubość jest nieskończenie mała → wówczas można kondensator traktować jak dwa kondensatory połączone ze sobą szeregowo o pojemnościach C1 i C2
S 0 C d1 d 2
1
2
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Prąd elektryczny Adam Jaroszewicz dr inż.
PRĄD ELEKTRYCZNY Z prądem elektrycznym mamy do czynienia gdy ładunki elektryczne poruszają się lub zmieniają w czasie. Za dodatni kierunek przyjęto przeciwny do kierunku ruchu elektronów.
PRĄD UNOSZENIA (KONWEKCJI) - przestrzeń z ładunkami swobodnymi; działające na ładunki o gęstości objętościowej , pole elektryczne E powoduje ich ruch z prędkością v; (lampy elektronowe)
PRĄD PRZEWODZENIA - ruch ładunków, elektronów lub jonów (przewodniki)
PRĄD PRZESUNIĘCIA -
przemieszczanie ładunków wewnątrz atomu bez naruszania jego struktury pod wpływem zmiennego w czasie pola elektrycznego; zmiana polaryzacji próżni, zmiana polaryzacji cząstek (kondensatory)
PODZIAŁ CIAŁ POD WZGLĘDEM ELEKTRYCZNYM (ze względu na przeważający rodzaj prądu) - przewodniki: tylko prąd przewodzenia; - dielektryki: tylko prąd przesunięcia; - półprzewodniki: prąd przewodzenia i przesunięcia, możliwość sterowania poprzez odpowiednią polaryzację złącza.
ŁADUNKI ELEKTRYCZNE NA PRZEWODNIKACH Przewodniki, w odróżnieniu od izolatorów, są ciałami, w których ładunki elektryczne mogą się swobodnie przemieszczać → metale. Po wprowadzeniu ładunków na dany przewodnik, w krótkim czasie rozłożą się one w taki sposób, aby natężenie wypadkowego pola elektrycznego E = 0 w każdym punkcie wewnątrz przewodnika. W przeciwnym przypadku pole elektryczne powodowało by dalszy ruch ładunków. • Potencjał elektryczny wewnątrz przewodnika i na jego powierzchni jest stały.
V1 V2 V const • Ładunki znajdują się tylko na zewnętrznej powierzchni przewodnika. Gdyby istniał pewien ładunek Q wewnątrz przewodnika, to można byłoby otoczyć go powierzchni¡ zamkniętą S, przebiegającą całkowicie wewnątrz przewodnika → prawo Gaussa
S
Q E dS 0 r
ponieważ jednak na całej powierzchni E = 0, więc strumień pola przez tą powierzchnię znika, skąd wynika, że Q = 0.
STRZAŁKOWANIE NAPIĘCIA I POTENCJAŁU ELEKTRYCZNEGO
Napięcie elektryczne i potencjał elektryczny to wielkości skalarne → trudno mówić o ich zwrocie lub kierunku. Używa się jednak tych terminów w celu graficznego określenia, poprzez ich „strzałkowanie”, założonych dodatnich wartości tych wielkości → strzałki o grocie otwartym.
Przy strzałce umieszcza się znak literowy wielkości. •
•
Potencjał w punkcie A, z założenia – dodatni, obrazuje strzałka umieszczona pomiędzy punktem o potencjale zerowym M a punktem A, z grotem przy A (strzałka jest zwrócona do A). Napięcie pomiędzy punktem A i punktem B, z założenia – dodatnie, obrazuje strzałka umieszczona miedzy punktem B a punktem A, z grotem przy A (strzałka jest zwrócona do A). Grot strzałki potencjału lub napięcia elektrycznego wskazuje wiec punkt o wyższym potencjale.
Jeśli napięcie pomiędzy punktem A i punktem B jest dodatnie, to potencjał punktu A jest wyższy od potencjału punktu B
PRZEWODNIKI PRĄDU ELEKTRYCZNEGO PODZIAŁ CIAŁ POD WZGLĘDEM ELEKTRYCZNYM (ze względu na przeważający rodzaj prądu) Cząstki obdarzone ładunkiem mogą występować w pustej przestrzeni, ale mogą też znajdować się w materiale. W zależności od tego czy materiał „pozwala” na ruch ładunków dzielimy materiały na: • izolatory: ładunki nie mają możliwości ruchu (szkło, papier, ebonit, polietylen) → prąd przesunięcia • przewodniki: ładunki swobodnie mogą się poruszać (metale, polimery przewodzące) → prąd przewodzenia • I klasy – metale → podczas przepływu prądu nie podlegają zmianom chemicznym • II klasy – roztwory (elektrolity) → podczas przepływu prądu podlegają zmianom chemicznym) • półprzewodniki: ładunki się poruszają, ale ich ruch nie jest w pełni swobodny, a ich ilość zależy od temperatury materiału (krzem, german) → prąd przewodzenia i przesunięcia, możliwość sterowania poprzez odpowiednią polaryzację złącza p-n.
PRZEWODNIKI PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Z punktu widzenia teorii elektronowej mechanizm powstania zjawiska prądu elektrycznego jest inny w zaliczanych do:
• przewodniki pierwszego → metale • przewodników drugiego rodzaju → elektrolity W metalach pole elektryczne powoduje uporządkowany ruch elektronów swobodnych, w elektrolitach zaś pod działaniem pola elektrycznego występuje uporządkowany ruch jonów dodatnich i ujemnych, powstających w wyniku dysocjacji. W elektrolitach wchodzących mamy do czynienia z ruchem jonów dodatnich (tzw. kationów) do elektrody ujemnej (katody) i jonów ujemnych (tzw. anionów) do elektrody dodatniej (anody). W tym przypadku mówimy o prądzie jonowym.
PRZEWODNIKI PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Jeśli na swobodne elektrony nie działa zewnętrzna siła, ich ruch jest bezładny, chaotyczny. Jeżeli jednak jakiś czynnik zewnętrzny uporządkuje ruch ładunków, mamy do czynienia z prądem elektrycznym.
POLE ELEKTRYCZNE PRZEPŁYWOWE Jeśli zewnętrzne źródło pola elektrycznego wymusza uporządkowany ruch (przepływ) ładunków w ciele przewodzącym, czyli odpływ z niego jednych ładunków jest równoważony dopływem do niego innych ładunków, to mamy do czynienia z POLEM ELEKTRYCZNYM PRZEPŁYWOWYM !!!. Jeśli przy tego rodzaju przemieszczaniu się i wymianie nośników prądu, przestrzenny rozkład ładunków w ciele przewodzącym nie zmienia się z upływem czasu, to wówczas nie indukuje się w nim pole wewnętrzne. W takiej sytuacji mówi się, że źródło wytwarza, a w ciele przewodzącym występuje, pole elektryczne przepływowe stacjonarne (statyczne). Z przepływowym stacjonarnym polem elektrycznym związany jest przepływ prądu stałego. Rozkład linii sił i linii ekwipotencjalnych w przewodzie o zmiennym przekroju. W obu odcinkach przewodu występuje jednorodne pole elektryczne, którego natężenie we wszystkich punktach jest takie samo, równe napięciu pomiędzy liniami ekwipotencjalnymi, podzielonemu przez odległość pomiędzy nimi.
Przepływowe pole elektryczne w przewodniku
E U d
POLE ELEKTRYCZNE PRZEPŁYWOWE
Qq EP Wr1 4 o r
F Q E q0 4 o r r 2
1 1 r1
Zapis skalarny
F
Qq 4 o r r 2
WAB
Qq 4 o r
Q qo E p 4 o r r Q V qo qo 4 o r r
1 1 U V1 V2 4 o r r1 r2 Q
1 1 E pA E pB r1 r2
dWAB Fdr = E q0 dr WAB q0 VA VB q0 U
d r1 r2
E U d
odległość pomiędzy liniami ekwipotencjalnymi
POLE ELEKTRYCZNE PRZEPŁYWOWE
Każdego roku, od 6 do 14 lipca w Pampelunie w Hiszpanii, obchodzone jest święto Sanfermines, ku czci św. Fermina. Główną atrakcją święta jest encierro (dosł. zamknięcie), czyli przepędzanie ulicami miasta stada byków. Wyobraź sobie, ze jesteś w hiszpańskim mieście Pampeluna na ulicy. Trwa festyn. Ludzie chodzą chaotycznie z miejsca na miejsce potrącając się wzajemnie. Wreszcie następuje główna atrakcja dnia: wypuszczono byki. Tłum zaczyna się poruszać w jedna stronę, byle dalej od byków biegnących ulica. Zanim puszczono byki ulica przypomina przewodnik, w którym nie płynie prąd. Ludzie to swobodne nośniki ładunku. Byki wymuszają uporządkowany ruch tłumu. Z takim uporządkowanym ruchem ładunków mamy do czynienia w czasie przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik.
POLE ELEKTRYCZNE PRZEPŁYWOWE Prąd elektryczny to ruch ładunków pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego.
POLE ELEKTRYCZNE PRZEPŁYWOWE
Zjawisko prądu elektrycznego ma dynamiczny charakter. Nośniki prądu zderzają się ze sobą i z innymi cząstkami, przy czym wytracają prędkość, następnie oddalają się od siebie nabierając prędkości, znowu się zderzają itd. Średnia prędkość przemieszczania się nośników prądu v, tj. średnia prędkość ich uporządkowanego ruchu, równa wektorowi średniej prędkości miedzy ich zderzeniami, zależy wprost proporcjonalnie od wartości ładunku nośnika prądu i natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E, oraz w pewnym stopniu – od pobudzenia termicznego atomów (czyli od temperatury ciała).
średnia droga swobodna Elektrony poruszają się swobodnie (pod działaniem pola) tak długo aż nie zostaną rozproszone na niedoskonałościach struktury. Miedzy zderzeniami elektron jest rzeczywiście przyspieszany i przebywa odległość l (średnia droga swobodna) w czasie t (czas relaksacji). Po zderzeniu traci pamięć kierunku ruchu i przyspieszanie rozpoczyna się na nowo. Średnia prędkość ładunków (prędkość unoszenia) jest stała
PRĄD ELEKTRYCZNY
W metalach (które są dobrymi bezwodnikami elektrycznymi) nośnikami ładunków są elektrony. Elektrony przewodnictwa są w nieustannym elektronowego”) i zderzają się z atomami.
ruchu
(model
„gazu
Kiedy przyłożone zostanie pole elektryczne wówczas ruch elektronów stanie się „bardziej uporządkowany”.
Efektywnie elektrony przemieszczają się z prędkością ‘dryfowania” Vd. Elektrony (maja ładunek ujemny) więc poruszają się przeciwnie do ustalonego kierunku prądu.
PRĄD ELEKTRYCZNY Prędkość dryfu elektronów jest stosunkowo niewielka rzędu 10-1 – 10-4 m/s W przewodniku natomiast pole elektryczne działa na wszystkie elektrony – rozprzestrzenia się w przewodniku z prędkością światła. (to pole elektryczne rozchodzi się z prędkością światła – nie elektrony)
Przykład: jeśli bateria zostaje podpięta do przewodnika to nie dostarcza ładunków tylko dostarcza „siły” aby ładunki elektryczne poruszyć.
PRĄD ELEKTRYCZNY
Jak wiadomo, w stanie ustalonym wszystkie punkty przewodnika maja ten sam potencjał a natężenie pola elektrycznego wewnątrz niego jest równe zeru. Jeżeli na przewodnik wprowadzimy ładunek, w przewodniku wytworzy się pole elektryczne. Ładunki elektryczne będą się wówczas przemieszczać aż do wyrównania się potencjałów wszystkich punktów przewodnika. Ogólnie prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ruch ładunków elektrycznych w przestrzeni. W rozpatrywanym przykładzie występuje wiec przepływ prądu wewnątrz przewodnika aż do momentu ustalenia się określonego rozkładu ładunku. Ma to np. miejsce w przypadku rozładowania kondensatora
PRĄD ELEKTRYCZNY
Prąd związany z przepływem ładunków w przewodniku nosi nazwę prądu przewodzenia. Kierunek przepływu prądu zależy od kierunku ruchu oraz od znaku przemieszczających się ładunków. Przyjmuje się, ze prąd płynie od punktu (punktów) o wyższym potencjale do punktu (punktów) o niższym potencjale, a wiec kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich. Jeśli nośnikami prądu są ładunki ujemne, to kierunek prądu jest przeciwny do kierunku ruchu ładunków.
Za kierunek przepływu prądu uważamy kierunek przepływu ładunku dodatniego (kierunek odwrotny do przepływu elektronów)
PRĄD ELEKTRYCZNY Zgodnie z tradycją, za kierunki prądu w obwodzie zewnętrznym przyjmuje się kierunek od potencjału wyższego – dodatniego, do niższego – ujemnego, czyli za umowny kierunek prądu przyjmuje się kierunek ruchu ładunków dodatnich. W czasie przepływu prądu przez przewodniki metalowe mamy do czynienia z ruchem swobodnych elektronów, a więc nośników prądu poruszających się od potencjału niższego do wyższego, czyli w kierunku przeciwnym do umownie przyjętego. Przyjęto uważać za dodatni kierunek prądu ten, który jest przeciwny do kierunku przepływu elektronów, ponieważ mają one ładunek elektryczny ujemny.
PRĄD ELEKTRYCZNY
Jest to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wywołany różnicą potencjałów. Warunki powstania prądu elektrycznego: • nośniki ładunku muszą mieć możliwość poruszania się w przestrzeni (tzn. nie mogą być np. unieruchomione w sieci krystalicznej) • musi istnieć przyczyna ruchu (np. siła elektryczna FE=qE, dyfuzja, unoszenie)
Nośniki prądu elektrycznego
RUCH ŁADUNKÓW POD WPŁYWEM POLA ELEKTRYCZNEGO Jeśli zewnętrzne źródło pola elektrycznego wymusza uporządkowany ruch (przepływ) ładunków w ciele przewodzącym, czyli odpływ z niego jednych ładunków jest równoważony dopływem do niego innych ładunków, to mamy do czynienia z polem elektrycznym przepływowym → przepływ prądu elektrycznego → przepływ nośników ładunku trwa on tak długo, aż wewnątrz przewodnika zaniknie pole elektryczne
Wielkością skalarną charakteryzującą zjawisko prądu elektrycznego jest natężenie prądu elektrycznego.
Q dQ i lim t 0 t dt Prąd elektryczny I – graniczna wartość stosunku hipotetycznego (umownego) dodatniego ładunku elektrycznego dQ, przepływającego przez przekrój przewodnika S w czasie dt, do tego czasu.
Q I t
C A s
Prąd niezmienny w czasie i(t) = I = const. nazywa się prądem stałym.
Stały prąd elektryczny o natężeniu 1 A jest prądem, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o znikomo małym przekroju kołowym, umieszczonych w próżni w odległości 1 m od siebie, spowodowałby wzajemne oddziaływanie przewodów na siebie z siłą równą 2·10-7 N na każdy metr długości przewodu.
NATĘŻENIE PRĄDU ELEKTRYCZNEGO I GĘSTOŚĆ PRĄDU
Wielkością wektorową charakteryzującą zjawisko prądu elektrycznego jest gęstość prądu elektrycznego J (j). Jest to graniczna wartość stosunku prądu elektrycznego Δi, do pola płata powierzchni ΔS, przez która ten prąd przepływa, i która jest prostopadła do wektora prędkości v uporządkowanego ruchu ładunków dodatnich:
I dI I A J lim 1v 1v j 2 S 0 S dS S m
v 1v v
– wektor kierunkowy prędkości v
Jest to wektor, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora prędkości v dodatnich ładunków, a wartość bezwzględna jest równa stosunkowi natężenia prądu do wielkości prostopadłej powierzchni przez która przepływa prąd
NATĘŻENIE PRĄDU ELEKTRYCZNEGO I GĘSTOŚĆ PRĄDU
Równanie ciągłości, określające związek pomiędzy szybkością zmian całkowitego ładunku, znajdującego się wewnątrz pewnego obszaru przewodnika, a natężeniem lub gęstością prądu, przepływającego przez powierzchnie S.
I j S
S S cos
I j S cos j S
I
S
j dS
Zgodnie z prawem Gaussa
Prąd wypływający przez zamkniętą powierzchnię S, ograniczającą dany obszar
1
n
Q i 1
i
Strumień pola elektrycznego Ф przez dowolną powierzchni S zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu w tej powierzchni podzielonemu przez wartość przenikalności dielektrycznej є
PRAWO ZACHOWANIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO
I
j dS
dQ I dt
S
→ Q – sumaryczny ładunek, zawarty w danej chwili wewnątrz powierzchni S. Znak minus wynika z faktu, ze prąd ładunków wypływających z danego obszaru uważamy za dodatni i ładunek Q w tym przypadku będzie malał z czasem → prędkość ubywania ładunku w obszarze ograniczonym powierzchnią
S
Szybkość zmiany ładunku wewnątrz zamkniętej powierzchni musi być, co do bezwzględnej wartości, równa szybkości, z jaka ładunek przepływa przez te powierzchnię.
dQ j dS dt
dQ j dS 0 dt S
PRAWO ZACHOWANIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO
PRAWO ZACHOWANIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO
dQ j dS 0 dt S
PRAWO ZACHOWANIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO
Szybkość zmiany ładunku wewnątrz zamkniętej powierzchni musi być, co do bezwzględnej wartości, równa szybkości, z jaka ładunek przepływa przez te powierzchnię.
dQ dt
j dS S
Dla prądu stałego: ładunek Q, zawarty wewnątrz dowolnego obszaru przewodnika, i gęstość ładunku elektrycznego ρ nie mogą się zmieniać, Q = const i ρ = const.
j dS 0 S
PRAWO ZACHOWANIA ŁADUNKU ELEKTRYCZNEGO
W celu zilustrowania fizycznego sensu równania ciągłości rozpatrzymy prosty przykład przepływu prądu stałego przez przewodnik o zmiennym przekroju. Stosując równanie ciągłości do fragmentu przewodnika, ograniczonego przekrojami S1 i S2 i zakładając, ze gęstość prądu na tych przekrojach ma stałą wartość →
j dS j S 1
1
j2 S2 j1 S1 j2 S2 I1 I 2
S
Zależność ta wyraża równość natężenia prądu, przepływającego przez oba przekroje przewodnika, I1 = I2. Rozważmy niewielki element przewodnika w kształcie walca, przez który płynie prąd o gęstości j, wywołany polem elektrycznym o natężeniu E
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Natężenie prądu I, przepływającego przez przekrój poprzeczny przewodnika S
I j S l t vd
Q e n l S I t t t - czas, w którym elektron przebędzie odległość równą długości l elementu
I e n vd S n - koncentracja elektronów w przewodniku, vd - średnia prędkość dryfu elektronów pod wpływem pola elektrycznego
j e n vd w postaci wektorowej
I e n vd S j e n vd
gęstość prądu
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO Koncentracja n elektronów w przewodniku nie powinna zależeć od natężenia pola elektrycznego → średnia prędkość dryfu elektronu vd jest proporcjonalna do natężenia pola E
vd E μ - ruchliwość elektronu w danym przewodniku
j e n vd
j E
j en E
en
σ - przewodnictwo właściwe przewodnika → proporcjonalne do koncentracji swobodnych elektronów oraz do ich ruchliwości
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
en Znając przewodnictwo elektryczne określonego metalu, można oszacować ruchliwość występujących w nim swobodnych elektronów → np. dla sodu Na • przewodnictwo elektryczne (T = 300K) → 2.4 105 1 cm1 Zakładając, że na każdy atom sodu przypada jeden swobodny elektron, koncentracje swobodnych elektronów można określić N A 6.023 1023 mol 1 - liczba Avogadro
, 0,971 g / cm3 , 23 g / mol
Jeżeli w tym przewodniku wytworzyć np. pole elektryczne E = 1 V/cm, to prędkość dryfu elektronów będzie równa vd = 60 cm/s.
- gęstość sodu
n
NA ,
,
- masa 1 mola sodu ruchliwość elektronów Na
n 2.5 1022 cm1 Koncentracja elektronów
cm2 60 V s
en
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
model Drudego
Poruszające się elektrony (niebieskie) zderzają się z jonami sieci krystalicznej (czerwone).
Model Drudego (również model elektronów swobodnych, model gazu elektronów swobodnych) – model przewodnictwa elektrycznego ciał stałych (głównie metali) zaproponowany przez Paula Drudego w 1900 r. Model stosuje do elektronów klasyczną kinetyczną teorię gazów zakładając, że bezładny ruch elektronów swobodnych w metalu odbywa się podobnie jak ruch cząsteczek w gazie, i że są one rozpraszane (tzw. czas relaksacji) na skutek zderzeń z nieruchomymi jonami sieci krystalicznej. Teoria Drudego dobrze opisuje zjawisko oporu elektrycznego. Nie wyjaśnia wartości przewodności uzyskanych dla poszczególnych metali.
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
model Blocha Elektrony są rozpraszane jedynie na niedoskonałościach sieci krystalicznej.
Model poprawnie opisuje przewodność różnych metali i jej zależność temperaturową.
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
vd E Proporcjonalność średniej prędkości dryfu vd elektronów do natężenia pola E wykazuje, ze na elektrony w metalu działają siły oporu, proporcjonalne do ich prędkości. Przy ich braku ruch elektronów w stałym polu elektrycznym byłby jednostajnie przyspieszony. Źródłem wspomnianych sił oporu jest rozproszenie elektronów na zjonizowanych atomach metalu, przy czym stracona w procesach rozpraszania energia elektronów zamienia się w energię cieplną → Ciepło Joule’a
Ze względu na występujące zderzenia, ruch pod wpływem siły F =q·E nie ma przyspieszenia. Ruch elektronu wygląda tak, jakby istniała siła tarcia → ruch jest hamowany
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Średnia prędkość ruchu cieplnego elektronów, oszacowana na podstawie kinetycznej teorii gazów:
3 k T v0 m k 1.38 1023 J / k
m 9.11031 kg
T 300 K
- stała Boltzmanna - masa elektronu
v0 1.1105 m / s
vd
v0
Ruch elektronów w metalu, wewnątrz którego istnieje pole elektryczne, można więc traktować jako wypadkowa chaotycznego ruchu cieplnego elektronów, nie powodującego przepływu prądu elektrycznego, oraz uporządkowanego ruchu elektronów pod działaniem pola elektrycznego.
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Ruch elektronów w metalu, wewnątrz którego istnieje pole elektryczne, można wiec traktować jako wypadkowa chaotycznego ruchu cieplnego elektronów, nie powodującego przepływu prądu elektrycznego, oraz uporządkowanego ruchu elektronów pod działaniem pola elektrycznego. →
vd
można przyjąć, że wypadkowa prędkość elektronu →
v
Ze względu na zależność
v0 v0
W rezultacie średni czas τ pomiędzy kolejnymi zderzeniami elektronów z jonami metalu (tzw. średni czas relaksacji) i średnia droga swobodna elektronu λ nie zależy od natężenia zewnętrznego pola elektrycznego.
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Średnia prędkość dryfu elektronu przy założeniu, ze w procesie rozproszenia elektron traci cała energię uzyskana uprzednio w zewnętrznym polu elektrycznym. Siła działająca na elektron
→
F e E F ma
e E a m Średnia prędkość dryfu elektronu jest wiec w przybliżeniu równa
e E vd a m
τ - średni czas relaksacji
MODEL PRZEPŁYWU PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
e E vd a m e m
vd E
ruchliwość elektronu w danym przewodniku
m e
Na 3.4 1014 s
średni czas relaksacji elektronu w danym przewodniku
cm2 60 V s
dla sodu Na
Z makroskopowego punktu widzenia średni czas relaksacji elektronów w metalach jest bardzo krótki → niewielka prędkość dryfu elektronów pod wpływem pola elektrycznego.
Średnia droga swobodna elektronu w metalu
v0
Na 3.5 109 m
PRĄD ELEKTRYCZNY W PRÓŻNI
Obwód składający się z diody, ogniwa i rezystora
W0 eU 0 e – ładunek elektronu U0 – bariera potencjału
• •
• •
Różnica potencjałów występująca między elektrodami wywołuje w próżni pole elektryczne (konieczne do powstania prądu) Prąd elektryczny nie może powstać, dopóki nie zostaną wprowadzone cząstki obdarzone ładunkiem (gdyż w próżni nie występują elektrony swobodne) Osiąga się to dzięki wykorzystaniu zjawiska emisji elektronów, które umożliwia otrzymanie elektronów swobodnych z powierzchni ciał stałych Oddalenie się od katody wymaga wykonania pracy wyjściowej W0
PRĄD ELEKTRYCZNY W GAZACH
• Prąd elektryczny w środowisku gazowym pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego przepływa tylko wówczas, gdy w środowisku tym znajdują się nośniki ładunku elektrycznego (elektrony lub jony dodatnie) • Jonizacja to proces podziału elektrycznie obojętnego atomu lub cząsteczki, polegający na oderwaniu jednego lub więcej liczby elektronów od atomu • Fotojonizacja polega na wytrąceniu elektronów z atomów naświetlanych promieniowaniem elektromagnetycznym o dużej energii, przewyższającej energię jonizacji • W stanie jonizowanym gaz staje się gazem przewodzącym
PRĄD ELEKTRYCZNY W ELEKTROLITACH •
•
•
Q – ładunek elektryczny przenoszony przez elektrolit k – równoważnik elektrochemiczny (kg/C)
Pod wpływem pola elektrycznego w elektrolicie następuje przepływ prądu elektrycznego (polegające na ruchu jonów dodatnich i jonów ujemnych) Podczas elektrolizy na katodzie wydziela się wodór lub metal, na anodzie przebiega proces utleniania Wraz z ruchem jonów przenoszona jest pewna masa (odpowiadająca masie cząsteczkowej jonu), którą określa prawo Faradaya
m k Q
RODZAJE PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Prąd zmienny
Prąd okresowy (periodyczny)
Prąd przemienny
Prąd sinusoidalny
Prąd odkształcony (niesinusoidalny)
Prąd nieokresowy (aperiodyczny)
Prąd tętniący
PRĄD STAŁY
- Elektrony swobodne
Elektrony poruszają się w sposób ciągły w jednym kierunku. Charakteryzuje się stałą wartością natężenia w funkcji czasu. Elektrony płyną zawsze od ujemnego bieguna baterii do dodatniego.
PRĄD ZMIENNY
Elektrony poruszają się na przemian w jednym i drugim kierunku w przewodzie i we wszystkich elementach składowych obwodu. Wartość natężenia prądu zmiennego zmienia się w czasie w dowolny sposób.
- Jon dodatni - Elektrony swobodne
W zależności od charakteru tych zmian można wyróżnić następujące rodzaje prądu:
prąd okresowo zmienny tętniący przemienny prąd nieokresowy
PRĄD ZMIENNY
Prąd okresowo zmienny Zmienia się w sposób okresowy tak, że jego wartości chwilowe powtarzają się w równych odstępach czasu (okresach), w tej samej kolejności i w tym samym kierunku.
Prąd przemienny - wartości chwilowe podlegają zmianom w powtarzalny, okresowy sposób, z określoną częstotliwością.
Prąd tętniący - wartość średnia całookresowa w ciągu jednego okresu jest różna od zera. Oznacza to, że taki prąd posiada składową stałą.
PRĄD ZMIENNY Prąd okresowo zmienny jest to prąd zmienny, którego zmiany powtarzają się w czasie.
Prąd okresowo przemienny jest to prąd przemienny, którego zmiany powtarzają się w czasie.
Prąd sinusoidalny jest to prąd przemienny, którego wartość i kierunek natężenia, zmieniają się jak funkcja sinus (cosinus)
STRZAŁKOWANIE PRĄDU ELEKTRYCZNEGO
Prąd elektryczny to – podobnie jak napięcie elektryczne i potencjał elektryczny – wielkość skalarna i trudno mówić, o jego zwrocie lub kierunku. Używa się jednak tych terminów (wymiennie) w celu graficznego zaznaczenia, poprzez strzałkowanie, zwrotu prędkości uporządkowanego ruchu ładunków dodatnich (rzeczywistych bądź hipotetycznych), przy znanym torze i kierunku tego ruchu w ciele. Przyjęcie ruchu ładunku dodatniego za podstawę określenia zwrotu (kierunku) założonej dodatniej wartości prądu ma charakter umowy porządkującej, o znaczeniu historycznym. Przyjęty sposób strzałkowania prądu elektrycznego → symbolem graficznym jest strzałka o grocie zamkniętym, niezaczernionym. Przy tej strzałce umieszcza się znak literowy prądu.
PRAWO OHMA
Dla wywołania przepływu prądu elektrycznego w przewodniku niezbędne jest wytworzenie różnicy potencjałów miedzy określonymi jego punktami. Jeżeli będziemy utrzymywać stałe napięcie miedzy końcami odcinka przewodu, to natężenie prądu płynącego przez te część przewodnika będzie miało stała wartość. W r. 1826 G. S. Ohm wykazał, ze dla przewodników metalicznych natężenie prądu I, płynącego przez przewodnik, jest wprost proporcjonalne do napięcia U na jego końcach. Georg Simon Ohm (1789 – 1854), matematyk niemiecki, Sformułował (1826) prawo opisujące związek pomiędzy natężeniem prądu elektrycznego, a napięciem elektrycznym (tzw. Prawo Ohma). Badał nagrzewanie się przewodników przy przepływie prądu elektrycznego. Znalazł zależność oporu od formy geometrycznej przewodnika. Na jego cześć jednostce rezystancji nadano nazwę om → Ω.
I const U
PRAWO OHMA Średnia prędkość nośników prądu (głównie - elektronów w przewodnikach i rodzaju) zależy wprost proporcjonalnie od ruchliwości elektronów i natężenia zewnętrznego pola elektrycznego oraz w pewnym stopniu - od temperatury ciała.
vd E Jeśli rozważamy ciała wykonane z tego samego materiału, to liczba nośników prądu w określonej objętości, czyli gęstość objętościowa ładunku ρq, jest w zasadzie stała (objętościowa gęstość ładunków ρq oraz ich prędkość v).
q q 1 i 1 q lim lim lim S 0 S l S 0 S t v S 0 S v l 0 l 0
i J lim 1v q v 1v q v S 0 S Prędkość v uporządkowanego ruchu umownych ładunków dodatnich ma ten sam kierunek i zwrot, jak natężenie pola elektrycznego E, tzn. linie prądowe (gęstości prądu) pokrywają się z liniami pola elektrycznego.
PRAWO OHMA
i J lim 1v q v 1v q v S 0 S Należy podkreślić, że równanie to ma ogólniejszy charakter, niż prawo Ohma w postaci makroskopowej Jeżeli przewodnik prądu ma nieregularny kształt i natężenie pola oraz gęstość prądu zmieniają się od punktu do punktu, w celu obliczenia jego rezystancji należy korzystać z tego równania.
J E
POSTAĆ RÓŻNICZKOWA (WEKTOROWA) PRAWA OHMA (Prawo Ohma w postaci mikroskopowej)
np. materiał nie spełnia prawa Ohma
E J POSTAĆ RÓWNOWAŻNA PRAWA OHMA
- przewodność właściwa → KONDUKTYWNOŚĆ - opór (rezystancja) właściwa → REZYSTYWNOŚĆ
PRAWO OHMA Element przewodzący, w którym płynie prąd i, a pomiędzy którego końcami występuje napięcie u, został podzielony powierzchniami ekwipotencjalnymi na plasterki, zaś te plasterki – na elementarne rurki prądu
Przyjmując, że w rurce o przekroju ΔS i długości Δ l występuje: prąd Δ i, gęstość prądu J, natężenie pola E i napięcie Δ u (oraz różnica potencjałów ΔV miedzy podstawami plasterka, skierowana przeciwnie do napięcia Δ u), można dla wielkości skalarnych napisać:
i J S, u E l
PRAWO OHMA
J E
i J S, u E l
i u S l
u i R
S i u l
i u G
l l S S 1 R G G S S l l R R – rezystancja (opór elektryczny) elementu, G – konduktancja (przewodność) elementu
PRAWO OHMA
Sumując prądy elementarnych rurek prądu otrzymuje się prąd całkowity elementu (plasterka)
1 i i G u u = S S G S
Sumując napięcia elementarnych plasterków, otrzymuje się całkowite napięcie elementu Dla elementarnych przyrostów: długości dl i powierzchni dS przekroju ciała, oraz
1 u u i l l G S
R l
dl
dS S
u R i i G u POSTAĆ CAŁKOWA (SKALARNA) PRAWA OHMA (Prawo Ohma w postaci makroskopowej)
PRAWO OHMA
u R i
- odmiana rezystancyjna postaci całkowej prawa Ohma
i G u
- odmiana konduktancyjna postaci całkowej prawa Ohma
1 G R G R
- KONDUKTANCJA - REZYSTANCJA (OPÓR)
Jednostka rezystancji R jest om (Ω), jednostka konduktancji G - simens (S), czyli odwrotność oma (1 S = 1 Ω-1). Przy prądzie stałym: i(t) = I = const., u(t) = U = const., wobec czego:
U = R·I lub I = G·U
PRAWO OHMA Prawo Ohma mówi nam, że natężenie płynącego przez przewodnik prądu dokładnie „nadąża” za zmianami napięcia. Gdy napięcie wzrasta 2 – krotnie, wtedy wywołany tym napięciem przepływ prądu też osiągnie natężenie 2 razy większe, gdy napięcie wzrośnie 5 krotnie, to natężenie prądu też powinno wzrosnąć 5 razy w stosunku do wartości początkowej.
Natężenie prądu, będące efektem przyłożonego napięcia, zachowuje się proporcjonalnie do swojej przyczyny. Prawo Ohma jest spełniane przez część materiałów – głównie przez metale i materiały ceramiczne. Jest jednak dużo substancji które prawa Ohma nie spełniają, czyli natężenie przepływającego przez nie prądu zmienia się w sposób nieproporcjonalny do napięcia. Materiały, które się do niego stosują, nazywamy przewodnikami omowymi lub "przewodnikami liniowymi"
spełnia
nie spełnia
REZYSTANCJA STATYCZNA / DYNAMICZNA
Poszczególnym punktom (I, U) nieliniowych charakterystyk statycznych rezystorów można przyporządkować wartości rezystancji statycznej Rs i rezystancji dynamicznej (różniczkowej) Rd
dU U Rd = RS = dI I W przypadku rezystorów liniowych – rezystancja statyczna i rezystancja dynamiczna, znaczą to samo i maja tą samą wartość R (rezystancji) w każdym punkcie charakterystyki.
REZYSTANCJA STATYCZNA / DYNAMICZNA
Rezystancja statyczna rezystorów (fizycznych, rzeczywistych) ma wartości dodatnie, natomiast rezystancja dynamiczna może przyjmować równie wartości ujemne. Mówi się w związku z tym o: R jest rezystancją ujemnego oporu elementu • dodatnim – dla Rd > 0 w ograniczonym zakresie zmian ΔU i ΔI • ujemnym – dla Rd < 0, nachyleniu charakterystyki w określonych przedziałach wartości prądu i napięcia. Dla ustalonych (quasi-ustalonych) zmian napięcia ΔU i prądu ΔI , zachodzących w otoczeniu ustalonych wartości Uo i Io i mieszczących się w zakresie ujemnego nachylenia charakterystyki U (I), można podać przybliżoną zależność liniową
U R I
REZYSTANCJA ODCINKA PRZEWODU W przypadku odcinka przewodu, tzn. elementu przewodzącego o długości l, stałym przekroju S i stałej konduktywności γ (w całej objętości) przewodu
l l S S R G S S l l RS GS l l
- konduktywność (przewodność właściwa) → S·m / S·mm2 / m - rezystywność (rezystancja (opór) właściwy) → Ω·m / Ω·mm2 / m
REZYSTANCJA ODCINKA PRZEWODU
RS l l RS
rezystywność – opór elektryczny przewodnika wykonanego z danego materiału o przekroju poprzecznym 1 m2 i długości 1 m
- opór (rezystancja) właściwa → REZYSTYWNOŚĆ
PRAWO JOULE`A Energia dostarczana ze źródła do elementu rezystancyjnego wydziela się w nim w postaci ciepła James Prescott Joule (1818-1889), fizyk brytyjski, badacz zjawisk termodynamicznych i elektrodynamicznych (prawo Joule'a - Lenza, zjawisko Joule'a - Thomsona), sformułował zasadę zachowania energii uwzględniającą zjawiska cieplne i elektryczne, wyznaczył mechaniczny równoważnik ciepła, tj. współczynnik liczbowy pomiędzy jednostkami mechanicznymi i cieplnymi.
Przy przepływie ładunku ΔQ w czasie dt przez elementarna rurkę prądu wykonywana jest praca
d W u Q u i dt R i 2 dt G u 2 dt Moc chwilowa prądu elektrycznego w elementarnej rurce wynosi
d W u Q u i dt dp u i R i 2 G u 2 dt dt dt
PRAWO JOULE`A
a przestrzenna (objętościowa) gęstość mocy pola przepływowego
u i P E J J 2 E 2 dl S Przy przepływie prądu i w czasie dt przez element o rezystancji R wykonywana jest praca
dW u i dt R i 2 dt G u 2 dt Moc chwilowa prądu elektrycznego w tym elemencie wynosi
dW p u i R i2 G u2 dt
PRAWO JOULE`A
Zgodnie z zasadą zachowania energii, praca wykonana nad przemieszczeniem ładunku Q (energia wydzielająca się w czasie t musi) być równa energii cieplnej, wydzielanej w przewodniku. t
W Q p dt 0
Przy prądzie stałym
W Q P t U I t R I 2 t G U 2 t P U I R I G U 2
2
Ilość ciepła wydzielanego w czasie przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik elektryczny jest wprost proporcjonalna do iloczynu oporu elektrycznego przewodnika, kwadratu natężenia prądu i czasu jego przepływu.
Prawo Joule'a w postaci makroskopowej Prawo Joule'a, zwane również prawem Joule'a - Lenza
PRAWO JOULE`A Jeżeli odcinek przewodnika ma kształt walca o długości Δl i przekroju ΔS, to moc wydzielana w jednostkowej objętości przewodzącego ośrodka będzie równa:
p p u i pV E j V S l l S
V m3
Biorąc pod uwagę zgodność kierunków wektorów j i E, można zapisać jako
pV E j Prawo Joule’a - Lenza w postaci mikroskopowej, ogólniejsze od podanego poprzednio. W przypadku gdy gęstość prądu i natężenie pola zmieniają się wewnątrz przewodnika, moc wydzielana w przewodniku należy obliczać, całkując ostatnie wyrażenie po objętości przewodnika.
TEMPERATUROWY WSPÓŁCZYNNIK REZYSTANCJI METALE : Metal o doskonałej sieci krystalicznej przewodzi prąd bez oporu: każde odstępstwo od doskonałego ułożenia powoduje rozpraszanie elektronów: rezystancja (opór) elektryczny.
•
drgania T↑ → R↑ sieci krystalicznej (fonony)
•
domieszki (rezystancja w niskich temperaturach nie dąży do 0)
PÓŁPRZEWODNIKI: Czym wyższa temperatura, tym więcej elektronów może uczestniczyć w przewodnictwie: rezystancja (opór) maleje ze wzrostem temperatury
TEMPERATUROWY WSPÓŁCZYNNIK REZYSTANCJI W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego elektrony te są w bezustannym chaotycznym ruchu. Ruch elektronów swobodnych hamowany jest głównie przez oddziaływania z siecią krystaliczną: • •
poprzez rozpraszanie na fononach, dominujące w temperaturach wyższych od 100 K (tzw. opór fononowy) poprzez rozpraszanie na domieszkach i defektach sieci krystalicznej (tzw. opór resztkowy), dominujące w temperaturach niższych. Wraz ze wzrostem temperatury rosną amplitudy drgań atomów sieci krystalicznej wokół położeń równowagi. W wyniku tego maleje średnia droga swobodna elektronów (droga pomiędzy kolejnymi zderzeniami), maleje czas relaksacji, a w konsekwencji rośnie opór właściwy.
Dla przewodników zależność oporu właściwego od temperatury T jest w przybliżeniu zależnością liniową, którą można opisać wzorem empirycznym (dla temperatur T ≤ 473K):
T 1 T 0 T 0 T1 T0
T 1 T 0 T 0 T1 T0 T1 T0
(dla temperatur T ≤ 473K) (dla temperatur T > 473K)
α, β – temperaturowe współczynniki (rezystancji) oporu właściwego
TEMPERATUROWY WSPÓŁCZYNNIK REZYSTANCJI
T 1 T 0 T 0 T1 T0
T 1 T 0 T 0 T1 T0 T1 T0 α, β – temperaturowe współczynniki (rezystancji) oporu właściwego (np. dla wolframu → α = 4.1∙10-3 1/s, → β = 1∙10-6 1/s T0 – temperatura odniesienia (np. 273.25K) T1 – temperatura w której dokonywany jest pomiar ρT1 – (rezystywność) opór właściwy w temperaturze T1 ρT2 – (rezystywność) opór właściwy w temperaturze T2 Ponieważ bezpośrednio mierzoną wielkością jest rezystancja R, to równanie można przekształcić do postaci:
RT 1 RT 0 RT 0 T1 T0 RT 1 RT 0 1 T1 T0
RT 1 RT 0 RT 0 T1 T0
TEMPERATUROWY WSPÓŁCZYNNIK REZYSTANCJI
RT 1 RT 0 1 T1 T0
TEMPERATUROWY WSPÓŁCZYNNIK REZYSTANCJI
Zależność oporu platyny od temperatury dla wysokich temperatur
Zależność oporu miedzi i platyny od temperatury
TEMPERATUROWY WSPÓŁCZYNNIK REZYSTANCJI
Termometr rezystancyjny – sensor Pt100
Obwód elektryczny jest zbiorem elementów, połączonych ze sobą przewodami w taki sposób, że możliwy jest przepływ prądu elektrycznego.
W ujęciu graficznym, obwód elektryczny można identyfikować ze zbiorem połączonych ze sobą elementów (w najprostszej wersji dwukońcówkowych), aktywnych i pasywnych → SCHEMAT ELEKTRYCZNY.
W ujęciu ściśle analitycznym, obwód jako „model" można by identyfikować z układem równań, opisujących wszystkie powiązania (więzy) wielkości charakteryzujących ten model.
Obydwa ujęcia muszą być równoważne, czyli modelowi graficznemu można przypisać model analityczny i na odwrót.
Obwody elektryczne w ujęciu graficznym można przedstawiać na dwa sposoby – w tzw. ujęciach: zaciskowym i sieciowym: • Elementami obwodu w ujęciu zaciskowym są struktury o określonej liczbie zacisków: dwójniki, trójniki, czwórniki,... Właściwości elementów obwodu są opisywane przez zależności miedzy ich wielkościami zaciskowymi, tj. prądami i napięciami wybranych par zacisków. Struktury wewnętrzne elementów obwodu maja znaczenie drugorzędne, stanowią „czarne skrzynki”.
• Elementami obwodu w ujęciu sieciowym są struktury tworzone w określony sposób z elementów podstawowych, którymi są: idealne źródła napięciowe, idealne źródła prądowe, rezystancje, pojemności i indukcyjności. Źródła to główny czynnik motoryczny w obwodzie (wymuszający ruch ładunków elektrycznych).
• Oczkiem obwodu elektrycznego nazywamy zbiór połączonych ze sobą elementów tworzących drogę zamkniętą dla przepływu prądu, mającą tą właściwość, że po usunięciu dowolnego elementu ze zbioru, pozostałe elementy nie tworzą drogi zamkniętej • Elementami obwodu elektrycznego nazywamy część składową obwodu elektrycznego niepodzielną pod względem funkcjonalnym bez utraty swych właściwości
W elementach obwodu elektrycznego zachodzą trzy rodzaje procesów energetycznych • Wytwarzanie energii elektrycznej • Akumulacja energii elektrycznej • Rozpraszanie energii elektrycznej
W elementach rzeczywistych obwodu elektrycznego zachodzą dwa a niekiedy trzy rodzaje procesów energetycznych → jeden z nich jest najczęściej dominujący W elementach idealnych obwodu elektrycznego zachodzi tylko jeden rodzaj procesów energetycznych Elementy aktywne to niezależne źródła napięcia i prądu (reprezentują urządzenia zasilające), lub źródła sterowane (występują z reguły w modelach obiektów elektronicznych). Elementy pasywne (R, L, C) symbolizują odpowiednio: • rozpraszanie energii, czyli przemian¦ energii elektrycznej na cieplną (lub mechaniczną), • gromadzenie energii w polu magnetycznym układu, • gromadzenie energii w polu elektrycznym.
Odwzorowaniem struktury połączeń elementów występujących w obwodzie elektrycznym jest schemat elektryczny. Elementy przedstawia się używając ustalonych normami symboli graficznych i literowych. Linie miedzy elementami traktuje się jako połączenia bezoporowe (rezystancja R = 0Ω) – o ile nie symbolizują umownie jakichś elementów, opisanych symbolami literowymi lub danymi liczbowymi.
Obwód z połączonymi szeregowo: źródłem napięciowym e(t) i elementami pasywnymi R, L, C
obwód nierozgałęziony:
obwód rozgałęziony:
Obwód elektryczny składa się z elementów o końcach (zaciskach) połączonych ze sobą przewodami. Ta droga, przy udziale przepływających ładunków elektrycznych, odbywa się wymiana energii pomiędzy elementem i reszta obwodu. W związku z kierunkiem i sposobem wymiany energii wyróżnia się elementy aktywne (źródła) oraz pasywne (rezystancje, pojemności, indukcyjności). Ogólnie, przez aktywność bądź pasywność elementu rozumie się jego zdolność bądź niezdolność do wydania energii elektrycznej większej od pobranej w przeszłości. Chodzi o bilans energii elementu względem reszty obwodu w długim przedziale czasu. Podział elementów obwodu elektrycznego na aktywne i pasywne nie przesądza wiec o tym, czy – w pewnej chwili – dany element wydaje energie elektryczna do obwodu, czy też ją z niego pobiera. W określonej sytuacji, element aktywny może z obwodu energię pobierać, a element pasywny (nie każdy, co prawda, i tylko w ograniczonym czasie) może zwracać do obwodu energię wcześniej z niego pobraną. Elementy magazynujące nie mogą jednak dostarczyć do obwodu energii większej od tej, jaka wcześniej z niego przejęły, wiec zalicza się je do elementów pasywnych.
Elementy mające zdolność akumulacji oraz rozpraszania energii tworzą tzw. Elementy pasywne. Element obwodu elektrycznego jest pasywny, gdy spełnia dwa warunki: • całkowita energia elektryczna doprowadzona do elementu w czasie od – oo (minus nieskończoność) do t jest nieujemna • do chwili doprowadzenia napięcia do zacisków elementu prąd w nim nie płynie i odwrotnie – na jego zaciskach nie ma napięcia przed doprowadzeniem prądu t
Energia
W
u (t )i (t )dt 0
pobrana przez element
pasywny jest nieujemna Element, który nie spełnia powyższych warunków, nazywa się elementem aktywnym → np. źródła energii (zdolne są do wytwarzania energii elektrycznej)
Elementy pasywne, w których zachodzi proces przemiany energii elektrycznej w inny rodzaj energii, nazywamy elementami rozpraszającymi łub dyssypatywnymi. Przykładem takiego elementu jest rezystor (opornik)
Elementy pasywne, które charakteryzują się zdolnością gromadzenia (akumulacji) energii, nazywamy elementami zachowawczymi lub konserwatywnymi. Przykładami takich elementów są kondensator i cewka, przy czym w kondensatorze energia jest gromadzona w polu elektrycznym, a w cewce w polu magnetycznym.
Elementy idealne obwodu są opisywane równaniami algebraicznymi lub różniczkowymi, wiążącymi napięcie i prąd na zaciskach elementu. Jeśli element idealny obwodu elektrycznego może być opisany równaniem algebraicznym liniowym lub równaniem różniczkowym liniowym, to element taki nazywamy elementem liniowym. Element opisany równaniem algebraicznym nieliniowym lub równaniem różniczkowym nieliniowym nazywamy elementem nieliniowym
Elementy obwodu elektrycznego mogą być odwracalne lub nieodwracalne • Element odwracalny - ma takie same właściwości niezależne od sposobu połączenia w obwodzie i niezależnie od biegunowości → np. rezystor
• Element nieodwracalny - właściwości zależą od sposobu połączenia w obwodzie i niezależnie od biegunowości → np. dioda półprzewodnikowa
Źródła wytwarzają energię elektryczna poprzez zamianę na nią różnego rodzaju nieelektrycznych nośników energii ewentualnie energii elektrycznej o innych parametrach. Źródła czerpią energię z otoczenia i oddają do obwodu, ale w określonych konfiguracjach mogą te energię z obwodu elektrycznego, pobierać a oddawać do otoczenia (procesy przemian energii przebiegają wtedy w przeciwnym kierunku, ale nie musza być zwierciadlanym odbiciem cyklu wytwarzania energii elektrycznej). Jeśli ta „odwrotna” sytuacja jest normalnym stanem pracy elementu aktywnego, to wtedy nazywa się go odbiornikiem aktywnym.
Przejmowanie energii ruchu ładunków zachodzi w rezystancjach, gdzie jest ona w całości rozpraszana po zamianie na ciepło (wyłączając z rozważań procesy elektrochemiczne, w których zasadnicza część pobranej energii powiększa energię chemiczną elementu), oraz w pojemnościach, gdzie pobrana energia gromadzi się w polu elektrycznym, i w indukcyjnościach, gdzie gromadzi się w polu magnetycznym. Energia zmagazynowana w pojemności lub indukcyjności uczestniczy czynnie w dalszych przemianach, stosownie do zmian zachodzących w obwodzie.
Rola generatora („wydajnika”) bądź odbiornika mocy elektrycznej, przypisana elementowi lub układowi, znajduje wyraz w odpowiednim strzałkowaniu prądu i napięcia na zaciskach. Jeśli poprzez zaciski moc jest wydawana do obwodu, to stosuje się strzałkowanie generatorowe , jeśli natomiast moc jest poprzez zaciski pobierana, to stosuje się strzałkowanie odbiornikowe.
strzałkowanie generatorowe
strzałkowanie odbiornikowe
Formalnie, każdy element obwodu może być odbiornikiem lub generatorem energii (mocy) elektrycznej. Zależy to jedynie od konwencji strzałkowania prądu i napięcia: generatorowego – o zgodnych zwrotach tych wielkości, albo odbiornikowego – o zwrotach przeciwnych. Jeśli zastosowane strzałkowanie nie odpowiada rzeczywistej sytuacji, to iloczyn wielkości zaciskowych ma ujemna wartość, a wiec moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna
OBWÓD PRĄDU STAŁEGO Obwód elektryczny, w którym wartości prądu wszystkich elementów i wartości napięcia na wszystkich elementach są niezmienne w czasie, a przy tym nie są wszystkie równe zeru, nazywa się obwodem prądu stałego. Warto zaznaczyć, e nieformalnie używa się pojęcia obwodu prądu stałego także w szerszym znaczeniu, obejmującym dodatkowo, oprócz stanów ustalonych, stany przejściowe układów zawierających pojemności i indukcyjności, przy wymuszeniach stałoprądowych. Prądy i napięcia elementów obwodu prądu stałego są zatem stałe, tj. niezmienne w czasie, co zaznacza się pisząc symbole wielkimi literami: U, I. Wszystkie elementy obwodu prądu stałego znajdują się w stanie stacjonarnym. Pojemności i indukcyjności, odwzorowujące określone właściwości struktury przestrzennej badanego obiektu, nie maja wpływu na stan pracy obwodu prądu stałego. Energia zakumulowana w elementach układu jest wynikiem procesów przejściowych, poprzedzających osiągniecie stanu ustalonego.
OBWÓD PRĄDU STAŁEGO W stanie ustalonym nie płyną prądy ładowania pojemności i nie występują napięcia na indukcyjnościach. Nie ma wiec potrzeby umieszczania tych elementów na schematach obwodów prądu stałego (pojemność stanowi tu przerwę, a indukcyjność – zwarcie końców). Jedynymi elementami pasywnymi, występującymi na schematach tych obwodów, są rezystancje.
Charakteryzowane obwody prądu stałego będą się składać z gałęzi, zbudowanych z rezystancji (konduktancji) oraz idealnych źródeł prądu stałego – napięciowych (o stałej wartości napięcia) i prądowych (o stałej wartości prądu).
OBWÓD PRĄDU STAŁEGO
Zależność U od I nazywa się charakterystyka statyczna prądowonapięciowa U(I) elementu, a zależność I od U – jego charakterystyka statyczna napięciowo-prądowa I(U). Przydomek „statyczna” oznacza, e chodzi o wielkości stałe w czasie. Analogiczne zależności dla wielkości zmiennych w czasie (u, i – pisane małymi literami): u(i) lub i(u), dotyczące tych samych obiektów fizycznych, mogą się znacznie różnić od charakterystyk statycznych. Symbole oraz charakterystyki statyczne prądowo-napięciowe: a). idealnego źródła napięciowego b). idealnego źródła prądowego c). rezystora liniowego d). rezystora nieliniowego Napięcie i prąd są tu strzałkowane w normalny sposób: • przy źródłach – zgodnie (generatorowo), • przy rezystorach – przeciwnie (odbiornikowo).
OBWÓD PRĄDU STAŁEGO Każde rzeczywiste źródło sygnału stałoprądowego można, w celu analizy, zastąpić prostym układem zastępczym. Układ taki składa się z dwu elementów; idealnego źródła napięcia NZE lub prądu PZE oraz elementu reprezentującego rezystancję (oporność) wewnętrzną źródła rzeczywistego.
IDEALNE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA (RW = 0)
Idealne źródło napięciowe wytwarza na swych zaciskach napięcie e (SEM - siłę elektromotoryczną), którego wartość nie zależy od obciążenia, czyli wartości dostarczanego przez to źródło prądu. Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięcia nie zależy od obciążenia, tzn. od pobieranego prądu. Stanowi ono w obwodzie takie miejsce, w którym następuje skok napięcia o E przy rezystancji wewnętrznej równej zero. Strzałka napięcia źródłowego e wskazuje zacisk o wyższym potencjale, strzałka napięcia u na odbiorniku jest przeciwna do strzałki prądu i.
IDEALNE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA (RW = 0)
Idealne źródło napięcia (bez rezystancji wewnętrznej) Moc chwilowa idealnego źródła napięcia
pe (t ) u (t ) i(t ) e(t ) ie (t ) [W ] pe (t ) 0 źródlo oddaje energię pe (t ) 0 źródlo pobiera energię
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA (RW > 0)
Rezystancja wewnętrzna źródeł rzeczywistych wpływa w znaczący sposób na właściwości tych źródeł. Rzeczywiste źródło napięcia jest tym lepsze im mniejsza jest jego rezystancja wewnętrzna RW. Rezystancja ta ujawnia swoje oddziaływanie w przypadku, kiedy ze źródła napięcia pobierany jest prąd.
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA (RW > 0)
Prąd I pobierany przez obciążenie dołączone do zacisków wyjściowych źródła powoduje, że napięcie U występujące na zaciskach tego źródła, jest mniejsze od napięcia E występującego na tych zaciskach w sytuacji kiedy ze źródła nie jest pobierany prąd (to jest I = 0).
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO NAPIĘCIA (RW > 0) E U O J J ZWARCIA zwarcie RW I 0 U U 0 E s tan jalowy
Prąd IO pobierany przez obciążenie RO dołączone do zacisków wyjściowych źródła 1- 1' powoduje, że napięcie U występujące na zaciskach tego źródła, jest mniejsze od napięcia E występującego na tych zaciskach w sytuacji kiedy ze źródła nie jest pobierany prąd (to jest IO = 0).
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO NAPIĘCIOWE OBCIĄŻONE REZYSTANCJĄ Schemat i charakterystyka zewnętrzna rzeczywistego stałoprądowego źródła napięciowego, obciążonego rezystancją R. Charakterystyka przedstawia zależność
W stanie jałowym (I = 0) napięcie U ma wartość
Moc wytwarzana w źródle (oddawana przez idealne źródło) przy obciążeniu prądem I wynosi
w stanie zwarcia (U = 0) prąd I ma wartość
Moc oddawana do obwodu zewnętrznego (pobierana przez odbiornik) oraz sprawność źródła
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO NAPIĘCIOWE OBCIĄŻONE REZYSTANCJĄ
Stan, w którym z danego źródła pobierana jest największa moc, nazywa się stanem dopasowania odbiornika do źródła. Prąd I ma wtedy taka wartość, że
Ponieważ jednak,
sprawność źródła w stanie dopasowania
więc warunkiem dopasowania odbiornika do źródła jest
moc pobierana przez odbiornik
Moc P2.dop , jest nazywana mocą dopasowania odbiornika do źródła napięciowego lub mocą dysponowana źródła napięciowego.
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO NAPIĘCIOWE OBCIĄŻONE REZYSTANCJĄ
sprawność źródła w stanie dopasowania
moc pobierana przez odbiornik
Moc P2.dop , jest nazywana mocą dopasowania odbiornika do źródła napięciowego lub mocą dysponowaną źródła napięciowego.
IDEALNE ŹRÓDŁO PRĄDU (Rw = oo)
Idealne źródło prądu wytwarza prąd, którego natężenie jest niezależne od dołączonego obciążenia. Napięcie na zaciskach takiego źródła jest równe zeru przy zwarciu i rośnie proporcjonalnie do wzrostu wartości rezystancji obciążenia.
IDEALNE ŹRÓDŁO PRĄDU (Rw = oo)
Idealne źródło napięcia (rezystancja wewnętrzna = oo) Moc chwilowa idealnego źródła prądu
p j (t ) u (t ) i (t ) u j (t ) j (t ) [W ] p j (t ) 0 źródlo oddaje energię p j (t ) 0 źródlo pobiera energię
U O J J ZWARCIA zwarcie I 0 U U0
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO PRĄDU (Rw > 0)
IZ s tan jalowy GW
1 GW RW
Źródło prądowe rzeczywiste charakteryzuje się występowaniem zmniejszania wartości prądu przy wzroście napięcia na zaciskach źródła. Schemat zastępczy źródła prądowego rzeczywistego składa się z równoległego połączenia źródła prądowego idealnego i konduktancji wewnętrznej.
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO PRĄDU OBCIĄŻONE KONDUKTANCJĄ Schemat i charakterystyka zewnętrzna rzeczywistego stałoprądowego źródła prądowego, obciążonego konduktancją G. Charakterystyka przedstawia zależność
W stanie jałowym (I = 0) napięcie U ma wartość
Moc wytwarzana w źródle (oddawana przez idealne źródło) przy napięciu U wynosi
w stanie zwarcia (U = 0) prąd I ma wartość
Moc oddawana do obwodu zewnętrznego (pobierana przez odbiornik) oraz sprawność źródła
RZECZYWISTE ŹRÓDŁO PRĄDU OBCIĄŻONE KONDUKTANCJĄ
Stan, w którym z danego źródła pobierana jest największa moc, nazywa się stanem dopasowania odbiornika do źródła. Napięcie U ma wtedy taka wartość, że
Ponieważ jednak,
sprawność źródła w stanie dopasowania
więc warunkiem dopasowania odbiornika do źródła jest
moc pobierana przez odbiornik
Moc P2.dop , jest nazywana mocą dopasowania odbiornika do źródła prądowego lub mocą dysponowana źródła prądowego.
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
Równoważność źródeł dotyczy ich wielkości zaciskowych, tj. identyczności prądów oraz napięć na zaciskach obu źródeł Źródła napięciowe przy I < 0 i prądowe przy U < 0, stają się odbiornikami aktywnymi
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
Źródło napięciowe Źródło prądowe
Otrzymuje się tożsamość z niej warunki równoważności układów Charakterystyki zewnętrzne źródeł równoważnych są identyczne
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
U E R I
I I ŻR G U R G 1
WARUNEK RÓWNOWAŻNOŚCI ZACISKOWEJ
I ŻR G U E R I ŻR
Zamiany rzeczywistych źródeł – napięciowego na prądowe albo prądowego na napięciowe, to zabiegi czysto obliczeniowe, dotyczące równoważności wielkości zaciskowych (napięć oraz prądów na zaciskach).
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
R G 1 I ŻR G U E R I ŻR
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ ZACISKOWA RÓWNOWAŻNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH I PRĄDOWYCH
Trzeba zaznaczyć, że na ogół źródła równoważne – ze względu na wielkości zaciskowe – nie są równoważne ze względu na straty mocy wewnątrz źródeł. W rzeczywistym źródle napięciowym straty te są równe
W rzeczywistym źródle prądowym straty te są równe
Stąd ich stosunek Równoważność źródeł ze względu na straty mocy zachodzi tylko wtedy, gdy R = Rw , czyli w stanie dopasowania odbiornika do źródła
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ PRĄDU STAŁEGO
Układy różnych źródeł można zastępować – ze względu na wielkości zaciskowe – jednym źródłem odpowiedniego typu → układy szeregowych i równoległych połączeń źródeł tych samych rodzajów. Warunkiem równoważności idealnych źródeł jest równość, odpowiednio, napięcia bądź prądu źródłowego. Warunkiem równoważności rzeczywistych źródeł jest równość dwóch z trzech wielkości: • napięcia w stanie jałowym U0, • prądu zwarcia Iz • rezystancji Rw (konduktancji Gw) wewnętrznej, będącej ilorazem tych wielkości Rw = U0 / Iz (Gw = Iz / U0).
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH Szeregowe połączenie idealnych źródeł napięciowych
Szeregowe połączenie rzeczywistych źródeł napięciowych
Dwa lub więcej źródeł napięcia (rzeczywiste lub idealne) połączone szeregowo należy zastąpić jednym Wypadkowa SEM E jest równa sumie algebraicznej SEM wszystkich źródeł, tzn. SEM Ei o zwrocie zgodnym ze zwrotem E bierzmy ze znakiem plus, a SEM Ei o zwrocie przeciwnym do zwrotu E bierzmy z znakiem minus.
Równoważność układów wymaga, aby
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH Równoległe połączenie rzeczywistych źródeł napięciowych
Dwa rzeczywiste źródła napięcia połączone równolegle należy zastąpić jednym. Każde ze źródeł zamieniamy na rzeczywiste źródło prądu.
J1
E1 E1 Gw1 Rw1
J2
E2 E2 Gw2 Rw2
Równolegle połączone źródła prądu zastępujemy jednym źródłem
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ PRĄDOWYCH Równoległe połączenie idealnych źródeł prądowych
Dwa źródła prądu (idealne lub rzeczywiste) połączone równolegle należy zastąpić jednym.
Równoległe połączenie rzeczywistych źródeł prądowych
Równoważność wymaga, aby
J J1 J 2 G G1 G2
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ PRĄDOWYCH Szeregowe połączenie rzeczywistych źródeł prądowych Zamieniamy otrzymane zastępcze źródło napięcia w rzeczywiste źródło prądu
Dwa rzeczywiste źródła prądu połączone szeregowo należy zastąpić jednym. Każde z rzeczywistych źródeł prądu zamieniamy na rzeczywiste źródło napięcia.
E1 R1 J1 E2 R2 J 2
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ NAPIĘCIOWYCH
I Jeżeli jedno ze źródeł jest idealne (Ri = 0, Gi = ∞), to zastępcze źródło ma parametry
R0
E2
E1
U
R2
E Ei
czyli pozostałe źródła nie dają żadnego wkładu do reszty obwodu i w stosunku do niej można je pominąć.
I
U
Jeżeli przynajmniej dwa źródła są idealne, to powstaje sytuacja niedopuszczalna (nierealizowalna fizycznie).
E1
I U
E1
E2
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ PRĄDOWYCH
I
Jeżeli jedno ze źródeł jest idealne (Ri = ∞), to zastępcze źródło ma parametry
R
J Ji
I J1
U
U R2
czyli pozostałe źródła nie dają żadnego wkładu do reszty obwodu i w stosunku do niej można je pominąć.
J2
I Jeżeli przynajmniej dwa źródła są idealne, to powstaje sytuacja niedopuszczalna (nierealizowalna fizycznie).
J1 U J2
J1
ŁĄCZENIE ŹRÓDEŁ PRĄDU STAŁEGO
Połączenia wywołujące sprzeczność definicyjną są ZAKAZANE. Zakaz ten dotyczy łączenia równoległego idealnych źródeł napięciowych o różnych napięciach źródłowych oraz łączenia szeregowego idealnych źródeł prądowych o różnych prądach źródłowych.
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
Jak wiadomo, w stanie ustalonym wszystkie punkty przewodnika maja ten sam potencjał a natężenie pola elektrycznego wewnątrz niego jest równe zeru. Jeżeli na przewodnik wprowadzimy ładunek, w przewodniku wytworzy się pole elektryczne. Ładunki elektryczne będą się wówczas przemieszczać aż do wyrównania się potencjałów wszystkich punktów przewodnika. Ogólnie prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ruch ładunków elektrycznych w przestrzeni. W rozpatrywanym przykładzie występuje wiec przepływ prądu wewnątrz przewodnika aż do momentu ustalenia się określonego rozkładu ładunku. Ma to np. miejsce w przypadku rozładowania kondensatora Dla wytworzenia prądu stałego niezbędne jest urządzenie, utrzymujące stałą różnicę potencjałów pomiędzy końcami przewodnika. Do takich urządzeń należą tzw. źródła siły elektromotorycznej → źródło siły elektromotorycznej dostarcza do obwodu energię elektryczną kosztem energii innego rodzaju – chemicznej, mechanicznej ,…
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
Wszystkie punkty przewodnika mają taki sam potencjał. Elektrony swobodne poruszają się wewnątrz przewodnika w przypadkowych kierunkach. Brak jest wypadkowego ruchu nośników.
Do przewodnika dołączono źródło siły elektromotorycznej SEM. Pomiędzy punktami A i B istnieje różnica potencjałów U = VB – VA. Istnieje wówczas przepływ elektronów swobodnych wewnątrz przewodnika od punktu B o niższym potencjale do punktu A o potencjale wyższym. Przyjmuje się umowny kierunek przepływu prądu od wyższego do niższego potencjału.
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
Praca wykonana w obwodzie elektrycznym przez siły zewnętrzne nad ładunkiem jednostkowym (umownie dodatnim) nosi nazwę siły elektromotorycznej (SEM). SEM jest pracą przypadającą na jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło przenosząc ładunek z bieguna o mniejszym potencjale do bieguna o większym potencjale
W q
Siła elektromotoryczna źródła jest zdefiniowana jako iloraz pracy wykonanej przez źródło do wartości przenoszonego ładunku
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA Źródło siły elektromotorycznej przenosi ładunek elektryczny wbrew siłom pola elektrycznego. Siły przenoszące ładunek są nazywane siłami postronnymi. Siły postronne przenosząc ładunek wykonują pracę nad ładunkiem.
Źródło wykonuje pracę nad ładunkami kosztem m.in.:
• • • •
energii chemicznej (ogniwo chemiczne) energii mechanicznej (prądnica) energii termicznej (ogniwo termoelektryczne) energii słonecznej (ogniwo fotowoltaniczne)
Siła elektromotoryczna (SEM) – czynnik powodujący przepływ prądu w obwodzie elektrycznym równy energii elektrycznej uzyskanej przez jednostkowy ładunek przemieszczany w urządzeniu (źródle) prądu elektrycznego w przeciwnym kierunku do sił pola elektrycznego oddziałującego na ten ładunek.
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
Spadek napięcia na Rw ŹRÓDEŁ
Przebieg potencjału elektrycznego wzdłuż obwodu elektrycznego
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
Przebieg potencjału elektrycznego wzdłuż obwodu elektrycznego
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA
Przebieg potencjału elektrycznego wzdłuż obwodu elektrycznego
SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA Przebieg potencjału elektrycznego wzdłuż obwodu w przypadku, gdy źródłem siły elektromotorycznej jest ogniwo galwaniczne, składające się z dwóch różnych płytek przewodnika (elektrod), zanurzonych w określonym roztworze (elektrolicie). Należy zauważyć, ze na granicy elektrod z elektrolitem potencjał zmienia się w nieciągły sposób → występują tam skoki potencjału o wartości Є1 i Є2. Biorąc pod uwagę, ze suma skoków potencjału musi być równa sumie spadków potencjału na zewnętrznym oporze R i wewnętrznym oporze Rw źródła siły elektromotorycznej
1 2 I R I Rw Suma algebraiczna przyrostów potencjału przy „obejściu” obwodu w kierunku przepływu prądu jest siłą elektromotoryczną E danego ogniwa.
Prosty zamknięty obwód, składający się ze źródła siły elektromotorycznej i przewodnika o rezystancji R
WĘZEŁ OBWODU ELEKTRYCZNEGO
Węzłem nazywamy wyprowadzoną na zewnątrz końcówkę gałęzi do której dołączona jest co najmniej jedna końcówka innej gałęzi. Punkt obwodu elektrycznego (początek gałęzi), z którego wychodzą co najmniej trzy przewody (gałęzie). Prądy tych gałęzi spełniają pierwsze (prądowe) prawo Kirchhoffa
GAŁĄŹ OBWODU ELEKTRYCZNEGO
Zawiera elementy
rzeczywiste
idealne
GAŁĄŹ OBWODU ELEKTRYCZNEGO Gałąź jest elementem dwukońcówkowym (dwuzaciskowym). W „środku” jej może się znajdować dowolna liczba różnych elementów podstawowych. Jeden lub kilka elementów obwodu elektrycznego połączonych szeregowo, z których każdy ma co najmniej dwie końcówki – na zewnątrz wyprowadzone są jedynie dwie końcówki → gałąź jest dwójnikiem. Oznacza to, że przez wszystkie elementy danej gałęzi przepływa prąd elektryczny o takiej samej wartości natężenia. Najprostszymi gałęziami są rezystancje, pojemności i indukcyjności oraz idealne źródło napięciowe.
IDEALNE ŹRÓDŁO PRĄDOWE NIE TWORZY SAMO GAŁĘZI (BO PRZY PRĄDZIE ŹRÓDŁOWYM RÓWNYM ZERO STANOWI PRZERWĘ W OBWODZIE).
GAŁĄŹ OBWODU ELEKTRYCZNEGO
Połączenia występujące w obwodzie elektrycznym - połączenie szeregowe gałęzi obwodu - połączenie równoległe gałęzi obwodu
Połączenie gałęzi obwodu jest połączeniem szeregowym, jeżeli przepływa przez nie ten sam prąd. Połączenie gałęzi obwodu jest połączeniem równoległym, jeżeli na wszystkich połączonych gałęziach występuje to samo napięcie.
OCZKO OBWODU ELEKTRYCZNEGO
Schemat elektryczny pojedynczego oczka – obwód nie rozgałęziony; Schemat elektryczny obwodu elektrycznego – obwód rozgałęziony; Graf obwodu elektrycznego, zaznaczono przepływ prądów oczkowych
Oczko obwodu (kontur obwodu) jest zbiorem połączonych ze sobą gałęzi, tworzących zamkniętą drogę dla przepływu prądu. Cechą charakterystyczną oczka jest to, że po usunięciu dowolnej jednej jego gałęzi pozostałe gałęzie nie tworzą drogi zamkniętej dla prądu. Obwodem nazywamy oczko lub zbiór oczek, połączonych ze sobą i mających jedną lub więcej dróg dla przepływu prądu. Obwód o jednym oczku nazywany jest obwodem elementarnym (nie rozgałęzionym). Obwód składający się z więcej niż jednego oczka (obwód rozgałęziony) nazywany jest układem elektrycznym.
OBWÓD ELEKTRYCZNY
Schemat elektryczny obwodu – jest to schemat narysowany z zastosowaniem umownych symboli graficznych reprezentujących rzeczywiste podzespoły, z których jest zbudowany ten obwód. Zawiera gałęzie z występującymi w nich źródłami (źródła napięć i prądów) i odbiornikami (elementy bierne rozpraszające energię elektryczną) połączonymi odcinkami prostoliniowymi reprezentującymi połączenia przewodowe (galwaniczne). Schemat geometryczny obwodu (graf) – jest to schemat narysowany linami ciągłymi łączącymi węzły obwodu. Pojedyncza ciągła linia oznacza gałąź obwodu bez precyzowania, jakie podzespoły tą gałąź tworzą.
OBWÓD ELEKTRYCZNY
• Obwód nazywamy planarnym lub płaskim, jeżeli schemat elektryczny obwodu można narysować bez krzyżowania gałęzi. • Obwód nazywamy nieplanarnym lub przestrzennym, jeżeli jego schematu elektrycznego nie można narysować bez krzyżowania gałęzi.
Obwód planarny
Obwód nieplanarny
I PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa Prawa Kirchhoffa dotyczą bilansu prądów w węźle układu i bilansu napięć w zamkniętym oczku sieci elektrycznej. Gustav Robert Kirchhoff (ur. 1824, zm. 1887) – niemiecki fizyk, twórca prawa promieniowania cieplnego dotyczącego zależności między zdolnością emisyjną i absorpcyjną, oraz praw dotyczących obwodów elektrycznych (pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa).
Suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła.
Prawo Kirchhoffa w odniesieniu do prądów,
prądy wpływające do węzła są zapisywane w równaniu ze znakiem plus (+) a prądy odpływające od węzła są zapisywane w równaniu ze znakiem minus (-)
n
m
i i i
i 1
j
j 1
Dla wartości chwilowych
I PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa
Suma algebraiczna jest wynikiem dodawania jednomianów (np. 2a, -43a,…), które nazywamy wyrazami tej sumy.
I PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa
Q4
Q3
Pierwsze prawo Kirchhoffa odnosi się do węzłów i jest zapisanym w specyficznej postaci równaniem ciągłości. W stanie ustalonym ładunek dopływający do węzła w danym czasie powinien być równy ładunkowi odpływającemu z węzła w tym samym czasie.
Q2
Q5 Q1
Prąd elektryczny jest przepływem ładunków, a w węźle ładunek nie może: • gromadzić się • zostać zniszczony ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU • zostać wytworzony Co pozwala stwierdzić, że całkowity ładunek wpływający do węzła sieci musi być równy całkowitemu ładunkowi wypływającemu. n
m
Q Q i
i 1
j 1
j
I PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa
Uważając ładunek i prąd dopływające do węzła za dodatnie, a odpływające z niego – za ujemne,
Suma algebraiczna prądów zbiegających się w dowolnym węźle obwodu jest równa zeru
Q4
Q3
Q1 Q3 Q5 Q2 Q4
Q2 Q1 Q3 Q5 Q2 Q4 0
Qi 0 i 1 t n
Q5 Q1 n
I1 I 3 I 5 I 2 I 4 0 I i 0 i 1
I PRAWO KIRCHOFFA Postać różniczkowa Przez S1 i S2 powierzchni zamkniętej ładunek dopływa do objętości; przez powierzchnię zamkniętą S3 taki sam ładunek opuszcza rozpatrywaną objętość. objętość
Węzeł utworzony z elementów przewodzących, przez które przepływają prądy o gęstościach J1 J2 J3. Powierzchnie przekrojów poprzecznych odpowiednich gałęzi wynoszą S1; S2, S3. Prądy w kolejnych gałęziach, przy przyjętych na rysunku zwrotach
J
1
dS = I1
2
dS = I 2
3
dS = I 3
S1
J S2
J S3
I PRAWO KIRCHOFFA Postać różniczkowa
J dS J dS J 1
S
S1
2
dS J 3 dS 0
S2
S3
Stosując twierdzenie Ostrogradzkiego - Gaussa
I1 I 2 I3 0 Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego (twierdzenie o dywergencji) wiąże całkę powierzchniową dowolnej funkcji wektorowej K po zamkniętej powierzchni S z całką objętościową po objętości V ograniczonej powierzchnią S i orzeka, że strumień wektora K przez powierzchnię zamkniętą S jest równy całce objętościowej z dywergencji pola wektorowego K po objętości V ograniczonej powierzchnią S.
K dS KdV = divKdV S
V
V
J dS JdV = divJdV = 0 S
V
V
Ponieważ całkę oblicza się po objętości skończonej, a równanie jest słuszne dla dowolnej, skończonej objętości, więc wyrażenie podcałkowe powinno się równać zeru
divJ = 0
I PRAWO KIRCHOFFA Postać różniczkowa Pole wektorowe gęstości prądu jest bezźródłowe
Gęstość prądu przewodzenia nie ma źródeł. Równanie to stwierdza, że linie pola gęstości prądu przewodzenia nigdzie nie zaczynają się i nie kończą to znaczy że są zawsze zamknięte. Zależność ta wyraża w postaci różniczkowej cechę ciągłości prądu stałego.
divJ = 0 Jeżeli dywergencja gęstości prądu przewodzenia równa jest zeru, to linie wektora gęstości J prądu są liniami zamkniętymi → POLE BEZŹRÓDŁOWE, dlatego też równanie nosi nazwę równania ciągłości dla prądu stałego.
dQ dt
J dS S
J dS 0 S
ładunek Q, zawarty wewnątrz dowolnego obszaru przewodnika, i gęstość ładunku elektrycznego ρ nie mogą się zmieniać, Q = const i ρ = const.
W obwodzie prądu zmiennego dywergencja wektora gęstości prądu zmiennego może być ≠ 0
I PRAWO KIRCHOFFA Postać różniczkowa
Jeżeli prąd elektryczny przepływa przez pewną powierzchnię zamkniętą S, to strumień wektora gęstości prądu elektrycznego przez tę powierzchnię jest równy zeru
J dS 0 S
II PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa
Prawo Kirchhoffa w odniesieniu do napięć, Suma spadków napięć w zamkniętym oczku jest równa zeru (dotyczy to spadków napięć na odbiornikach łącznie z napięciami na zaciskach źródeł występujących w gałęziach danego zamkniętego oczka).
napięcia których zwrot jest zgodny z kierunkiem prądu oczkowego są zapisywane w równaniu ze znakiem plus (+) a napięcia których zwrot jest przeciwny do kierunku przepływu prądu oczkowego są zapisywane w równaniu ze znakiem minus (-), taka sama zasada obowiązuje przy źródłach które występują w danym oczku.
II PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa
algebraiczna suma wszystkich sił elektromotorycznych występujących w oczku sieci równa jest sumie występujących w tym oczku spadków napięć. n
n
A
n
I R U E i
i
i 1
i
i 1
i
i 1
U1 U 2 U3 U 4 U5 E2 E4 suma spadków napięć w zamkniętym oczku jest równa zeru
I1 R1 I 2 R2 E2 I 3 R3 E4 I 4 R4 I 5 R5 0 U1 U 2 E2 U 3 E4 U 4 U 5 0
II PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa
Jeżeli w wyniku obliczeń otrzymamy ujemne natężenie prądu to znaczy, że rzeczywisty kierunek prądu jest przeciwny do przyjętego.
II PRAWO KIRCHOFFA Postać całkowa Napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo, a na rezystorach – odbiornikowo (względem zwrotu prądów gałęzi);
Przy stosowaniu II prawa Kirchhoffa należy przestrzegać określonej konwencji, dotyczącej znaków prądów i sił elektromotorycznych. Zwykle wybiera się w dowolny sposób kierunek obiegu oczka (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie). Sumowanie napięć jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.: a) napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone przeciwnie do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”; b) wyrażenia Rk Ik są pisane po przeciwnej niż Ek stronie równania ze znakiem „+”, gdy prądy w obieganych gałęziach są zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu, a ze znakiem „–”, gdy są zwrócone przeciwnie;
II PRAWO KIRCHOFFA Postać wektorowa Drugie prawo Kirchhoffa w postaci wektorowej dotyczy bilansu napięć przy wyrażeniu tych napięć za pośrednictwem natężenia pola elektrycznego. W obwodach elektrycznych napięcie źródłowe jest wywołane przez zjawiska chemiczne, elektrochemiczne, cieplne, termoelektryczne itp. Napięciu źródłowemu w obwodzie elektrycznym możemy przyporządkować w polu przepływowym natężenie pola elektrycznego źródłowego – E źr l
l
E dl
U AB
AB
E dl
U BC
BC
U ABC
E dl E dl AB
BC
E dl
ABC
UWAGA: W różnych odcinkach drogi całkowania: A – B, B – C, natężenie pola elektrycznego E jest różne w związku z rozmaitymi przekrojami poprzecznymi i różnymi konduktywnościami γ na drodze całkowania.
II PRAWO KIRCHOFFA Postać wektorowa
Napięcie źródłowe na drodze ADC
EADC
E źr dl
ADC
EADC EABC
ABC
E dl
E źr dl
ADC
Bilans napięć w obwodzie można wyrazić w postaci wektorowej
Twierdzenie o obwodzie zamkniętym. Algebraiczna suma sił elektromotorycznych i przyrostów napięć w dowolnym obwodzie zamkniętym jest równa zeru (spadek napięcia jest przyrostem ujemnym napięcia).
SZEREGOWE POŁĄCZENIA REZYSTORÓW
RÓWNOLEGŁE POŁĄCZENIA REZYSTORÓW
POŁĄCZENIA REZYSTORÓW
Polączenie
I const n
szeregowe
RW Ri i 1
Polączenie równolegle
U const n 1 1 R W i 1 R i
REZYSTANCYJNY DZIELNIK NAPIĘCIA ROZSZERZANIE ZAKRESU POMIAROWEGO WOLTOMIERZA
a)
b)
REZYSTANCYJNY DZIELNIK PRĄDU ROZSZERZANIE ZAKRESU POMIAROWEGO AMPEROMIERZA
a)
b)
MOC PRĄDU ELEKTRYCZNEGO Obwód elektryczny, zawierający źródło prądu elektrycznego połączone z odbiornikiem energii elektrycznej np. grzejnikiem. Niech przez grzejnik o oporze R przepływa prąd o natężeniu I, a napięcie na zaciskach A i B grzejnika niech wynosi U. Aby określić pracę prądu elektrycznego i jego moc obliczamy pracę dW → praca dW wykonana podczas przeniesienia ładunku dq od punktu A do punktu B, czyli między punktami pola elektrycznego o różnicy potencjałów U
Moc – praca wykonana w jednostce czasu
[W]
MOC PRĄDU ELEKTRYCZNEGO Całkując powyższe wyrażenie, otrzymujemy wzór na pracę prądu elektrycznego:
W przypadku prądu stałego, tj. prądu, którego napięcie i natężenie są stałe
[J] Energia potencjalna ładunku przepływającego przez odbiornik maleje. Wynika to z faktu, że potencjał punktu A jest wyższy niż potencjał punktu B. Energia elektryczna ulega przy tym przemianie w inny rodzaj energii, zależnie od typu odbiornika. Jeżeli odbiornik zawiera tylko rezystancję R,, to energia prądu elektrycznego wydzieli się w postaci ciepła, które nazywamy ciepłem Joule’a → Q.
2 U t 2 W Q UIt I Rt R
OBWÓD ELEKTRYCZNY
Podstawowe zależności zachodzące w liniowych obwodach prądu stałego pomiędzy napięciem (U), prądem (I), mocą (P) i rezystancją (R); • „trójkąt” trzech podstawowych wielkości fizycznych w obwodzie elektrycznym prądu stałego; • zestawienie związków między U, I, P, R.
BILANS MOCY OBWODU ELEKTRYCZNEGO (ZASADA TELLEGENA) Ze spełnienia w obwodzie obu praw Kirchhoffa wynika zasada Tellegena. Moce oddawane i moce pobierane przez wszystkie elementy obwodu musza się bilansować.
Bernard DH Tellegen (1900 - 1990) holenderski inżynier i wynalazca. Autor twierdzenia z teorii obwodów – tzw. zasada Tellegena (1952).
Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:
,gdzie elementy, stosownie do ich charakteru, strzałkuje się generatorowo bądź odbiornikowo, a wielkości ich dotyczące umieszcza, odpowiednio, po lewej lub prawej stronie równania
BILANS MOCY OBWODU ELEKTRYCZNEGO (ZASADA TELLEGENA)
Dla ujednolicenia procedury sporządzania bilansu mocy przyjmuje się często te samą konwencję strzałkowania prądu i napięcia każdego elementu, co powoduje, e moce elementów o różnym charakterze maja różne znaki. BILANS MOCY
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa), to bilans mocy
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako aktywne (konwencja generatorowa), to bilans mocy
BILANS MOCY OBWODU ELEKTRYCZNEGO (ZASADA TELLEGENA) Zasada Tellegena (bilansowania się mocy w obwodzie elektrycznym), podana dla wartości chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym, obowiązuje w obwodzie prądu stałego dla wartości ustalonych.
,gdzie źródła strzałkuje sie generatorowo i wielkości ich dotyczące umieszcza po lewej stronie równania, a wielkości dotyczące rezystancji gałęziowych umieszcza po prawej stronie Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (odbiorniki) albo aktywne (generatory), to bilans mocy przyjmuje postaci:
BILANS MOCY OBWODU ELEKTRYCZNEGO (ZASADA TELLEGENA) Bilans mocy obwodu przy mieszanej konwencji strzałkowania prądów i napięć elementów
Uwzględniając zwroty prądów zaznaczone na danym schemacie, zwroty (rys. a), napięć: na źródłach – w konwencji generatorowej, oraz na rezystorach – w konwencji odbiornikowej (rys. b). Wartość napięcia na źródle prądowym jest suma napięć (o właściwym zwrocie) na gałęziach tworzących dowolna drogę miedzy węzłami, do których jest przyłączone to źródło, np. na dwóch górnych gałęziach (1 + 6 = 7 V) albo na dwóch środkowych (3 + 4 = 7 V).
tzn. moce się bilansują
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Analiza i synteza obwodów elektrycznych Adam Jaroszewicz dr inż.
ANALIZA I SYNTEZA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH Przez analizę obwodu rozumiemy wyznaczenie rozpływu prądów i rozkładu napięć w obwodzie lub jego części przy danej strukturze obwodu oraz parametrach wszystkich elementów. Polega na wyznaczenie wartości prądów bądź napięć gałęziowych, gdy znane są wartości parametrów elementów pasywnych i aktywnych. Czynnikiem wymuszającym działanie układu są wtedy napięcia i prądy źródłowe (parametry idealnych elementów aktywnych), zaś odpowiedzią układu na te wymuszenie – prądy i napięcia gałęziowe.
Analizę obwodu nazywamy czasem niezbyt ściśle rozwiązywaniem obwodu. Przez syntezę obwodu rozumiemy wyznaczenie parametrów niektórych elementów obwodu i/lub jego struktury tak, aby uzyskać zadane z góry właściwości obwodu.
ANALIZA I SYNTEZA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
ANALIZA I SYNTEZA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Wyznaczenie rozpływu prądów i rozkładu napięć w obwodzie lub jego części przy danej strukturze obwodu oraz parametrach wszystkich elementów może być zrealizowane jedną z poniższych metod: • • • • • • •
METODA RÓWNAŃ KIRCHOFFA METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH METODA TRANSFIGURACJI METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH METODA SUPERPOZYCJI METODA THEVENINA METODA NORTONA
METODA RÓWNAŃ KIRCHOFFA
W ogólnym przypadku w każdej gałęzi obwodu płynie inny prąd, z czego wynika że liczba prądów jest równa liczbie gałęzi obwodu. Do obliczenia tych prądów należy ułożyć tyle niezależnych równań, ile dany obwód ma gałęzi. •
Pomiędzy liczbą oczek, gałęzi i węzłów zachodzi zależność
gałąź
węzeł
oczko
g (w 1) o g − liczba gałęzi, o – liczba oczek, w − liczba węzłów.
•
W obwodzie na rysunku g=6 o=3 6 (4 1) 3 w=4
6 gałęzi 4 węzły 3 oczka
elementy
METODA RÓWNAŃ KIRCHOFFA W metodzie tej wykorzystuje się w bezpośredniej formie prawo prądowe i napięciowe Kirchhoffa uzupełnione o równania symboliczne opisujące poszczególne elementy obwodu. W efekcie zastosowania praw Kirchhoffa otrzymuje się układ równań algebraicznych. • Rozwiązaniem są np. poszukiwane prądy gałęziowe, których jest g → należy ułożyć właśnie tyle niezależnych równań. • Z zależności → g = (w − 1) + o wynika, że możemy do tego celu wykorzystać: • •
w – 1 równań ułożonych dla w – 1 węzłów wg pierwszego prawa Kirchhoffa o równań ułożonych dla wszystkich oczek wg drugiego prawa Kirchhoffa.
E1 R2
I1
I2
I3 R1
R3 U J5 I4
I5 I6 E4
J5 E6
R6
W metodzie klasycznej wykorzystującej bezpośrednio prawa Kirchhoffa istnieje potrzeba rozwiązania układu b równań z b niewiadomymi → metoda złożona obliczeniowo. W efekcie metodę tę stosuje się głównie w przypadku obwodów o małej liczbie elementów.
METODA RÓWNAŃ KIRCHOFFA
E1 1. Ustala się dowolnie kierunki prądów we wszystkich gałęziach obwodu. 2. Ustala się spadki napięć (przeciwnie do strzałki prądu) na wszystkich rezystancjach (reaktancjach) łącznie z rezystancjami wewnętrznymi źródeł napięcia. 3. Ustala się spadki napięć (zgodnie do strzałki prądu) na wszystkich źródłach 4. Układa się (w-1) równań gałęziowych według pierwszego prawa Kirchhoffa w opuszczając jeden dowolny węzeł. 5. Układa się tyle równań według drugiego prawa Kirchhoffa ile dany obwód zawiera oczek. 6. Rozwiązuje się powyższy układ ze względu na nieznane prądy gałęziowe.
R2
I1
I2
I3 R1
Uwaga: jeżeli w obwodzie występują źródła prądu, to prąd gałęziowy jest znany i można od razu zamiast niego używać prądu źródłowego → I5 = J5
R3 U J5 I4
I5 I6 E4
J5 E6
R6
I1 I 2 I 3 0 I 4 I3 J5 0 J5 I2 I6 0
I5 J5 Źródło prądowe
Zaletą metody równań Kirchhoffa jest duża prostota w trakcie układania równań, natomiast wadą jest duża pracochłonność przy ich rozwiązywaniu
METODA RÓWNAŃ KIRCHOFFA
E1
E1 R3 I 3 E4 R1I1 0
R2
I1
R3 I 3 R2 I 2 U J 5 0
I3
E4 U J 5 R6 I 6 E6 0
R1
Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na niewiadome (prądy gałęziowe i napięcia na źródłach prądowych).
I1 I 2 I 3 0 I I J 0 5 4 3 J 5 I 2 I 6 0 E1 R3 I 3 E4 R1 I1 0 R3 I 3 R2 I 2 U J 5 0 E4 U J 5 R6 I 6 E6 0
I2
R3 U J5 I4
I5 I6 E4
J5 E6
R6
I1 , I 2 , I3 , I 4 ,U J 5 , I 6 Metoda równań Kirchoffa (klasyczna) pozwala na rozwiązanie dowolnego obwodu elektrycznego, w praktyce przy dużej liczbie gałęzi i węzłów otrzymujemy złożone układy wielu równań, nie zawsze łatwych do rozwiązania.
METODA RÓWNAŃ KIRCHOFFA
Wyznaczyć rozpływ prądów metodą równań Kirchhoffa 1Ω
18 V
2Ω
2A
3Ω
I1 1 Ω
2Ω
I2
I3 18 V
3Ω
UJ
2A
METODA RÓWNAŃ KIRCHOFFA
Wyznaczyć rozpływ prądów metodą równań Kirchhoffa I1 1 Ω
2Ω
I2
I3 18 V
3Ω
UJ
2A
I2 = 2A źródlo prądowe I1 2 I 3 0 18 1 I1 3 I 3 0 3 I 2 2 U 0 J 3
I 3 I1 2 3I 3 I1 18
( ) : 4 I 3 20
I3
20 = 5A 4
I1 I 3 2 5 2 3A
U J 3 I3 2 2 3 5 2 2 19V
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH W metodzie prądów oczkowych, zwanej również metodą oczkową (prądów cyklicznych), daną sieć przedstawia się za pomocą oczek, które są „jak gdyby” elektrycznie nie powiązanymi ze sobą obwodami → wprowadza się jako zmienne prądy oczkowe, czyli prądy przypisane niezależnym oczkom występującym w obwodzie. Prądem oczkowym nazywamy „wirtualny” prąd zamykający się w obrębie oczka Prąd gałęziowy jest wypadkową prądów oczkowych płynących w danej gałęzi. Dla uzyskania opisu oczkowego wykorzystuje się prawo napięciowe Kirchhoffa napisane dla wszystkich oczek niezależnych obwodu – oczko niezależne – oczko w którym bilans napięć nie wynika z bilansu napięć innych oczek (co najmniej jeden element oczka nie był wykorzystywany w bilansie napięć innych oczek) . Następnie wyraża się wszystkie prądy gałęziowe poprzez prądy oczkowe (prąd gałęziowy jest równy sumie lub różnicy prądów oczkowych przeprowadzonych przez daną gałąź) i otrzymuje opis obwodu w postaci układu równań oczkowych. W metodzie oczkowej równania układa się tylko dla Prądy oczkowe dla uproszczenia zapisu numerujemy indeksami rzymskimi I, II, III, oczek, a niewiadomymi są prądy oczkowe.
IV, …, a prądy gałęziowe – arabskimi 1, 2, 3,.
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
III R2 E1 Kierunek przepływu prądów oczkowych można strzałkować dla każdego oczka w sposób dowolny, jednakże komplikuje to układanie równań dla oczek. Prądy oczkowe są wirtualnymi, mającymi jedynie znaczenie pomocnicze → najlepiej jest zastrzałkować je jednakowo w całym obwodzie (wszystkie zgodnie lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara → ułatwia to znacznie układanie równań
II
R3
IIII R1
IIV R4
E2 IV
DZIĘKI WPROWADZENIU WIRTUALNYCH PRĄDÓW OCZKOWYCH OGRANICZA SIĘ LICZBĘ PRĄDÓW WYSTĘPUJĄCYCH W UKŁADZIE RÓWNAŃ OPISUJĄCYCH UKŁAD. LICZBA PRĄDÓW OCZKOWYCH JEST RÓWNA LICZBIE OCZEK NIEZALEŻNYCH
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH Rezystancją własną Rk,k oczka k nazywamy sumę rezystancji w oczku, np.
RIII,III R1 R2 R3 R4
III
Rezystancję wspólną Rk,l oczek k i l nazywamy sumę rezystancji w gałęzi dzielącej oczka k i l, np.
RIII,I R1
RIII,II R2
RIII,IV R3 R4
RIII,V 0
Napięcie źródłowe oczka k oznaczamy Ek i nazywamy sumę algebraiczną napięć źródłowych w oczku. W sumie tej poszczególne napięcia bierzemy ze: • znakiem dodatnim → strzałkowane zgodnie ze zwrotem prądu oczkowego • znakiem ujemnym → strzałkowane przeciwnie ze zwrotem prądu oczkowego
R2 E1
II
R3
IIII R1
IIV R4
E2 IV
EIII E1 E2
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH Przy założeniu, że wszystkie prądy oczkowe strzałkowano w jednym kierunku, równanie dla k-tego oczka ma postać
Rk ,k I k Rk ,l I l Ek
III
l
W metodzie oczkowej jedno z oczek określa się oczkiem odniesienia, zaś pozostałe jako oczka robocze
R2 E1
II
R3
IIII R1
IIV R4
E2 IV
( R1 R2 R3 R4 ) I III R1I I R2 I II ( R2 R3 ) I IV E1 E2
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
Ustalmy (strzałkujmy) dowolnie kierunki przepływów prądów gałęziowych i ułóżmy dla oczka równanie spadków napięć → drugie prawo Kirchhoffa:
III R2
E1 R2 I 2 R3 I 3 R4 I 3 E2 R1I1 0 Prądy w poszczególnych gałęziach wyrażamy przez prądy oczkowe:
I1 I III I I
I 2 I III I II
E1
II
IIII R1
I 3 I IV I III
R3
IIV R4
E2 IV
( R1 R2 R3 R4 ) I III R1 I I R2 I II ( R3 R4 ) I IV E1 E2 RIII, III
RIII, I
RIII, II
RIII, IV
EIII
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
Strzałkujemy jednakowo wszystkie prądy płynące w danym oczku.
E1 R2
Dla każdego oczka układamy równanie spadków napięć → równanie oczkowe.
( R1 R3 ) I I R3 I II E1 E4 ( R2 R3 ) I II R3 I I U J 5 R I E U E 4 J5 6 6 III Dla każdego źródła prądowego występującego w obwodzie układamy równanie określające prąd źródłowy jako sumę / różnicę prądów oczkowych.
J 5 I III I II
R1
III
II
E4
R3 U J5
IIII E6
J5
R6
Dla źródeł prądowych występujących w oczkach sieci, uwzględniamy spadki napięć na tych źródłach – wartości napięć na tych źródłach oznaczamy jako niewiadome.
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na prądy oczkowe i napięcia na źródłach prądowych
( R1 R3 ) I I R3 I II E1 E4 ( R R ) I R I U 2 3 II 3 I J5 R6 I III E4 U J 5 E6 J 5 I III I II I I , I II , I III, U J 5 Wyznaczamy prądy gałęziowe.
I1 I I
I 2 I II
I 4 I III I I
I 3 I I I II
I5 J 5
I 6 I III
E1 R2
R1
III
II
E4
R3 U J5
IIII E6
J5
R6
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
Wyznaczyć rozpływ prądów metodą prądów oczkowych 1Ω
18 V
I1
2Ω
3Ω
1Ω
2Ω
I2 2 A
I2
I3 18 V
II
UJ
3Ω
III
2A
2A
(1 3) I I 3I II 18V (2 5) I II 3I I U J I 2 A II
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
Wyznaczyć rozpływ prądów metodą prądów oczkowych
I1
1Ω
2Ω
I2 2 A
I2
I3 18 V
II
UJ
3Ω III
(1 3) I I 3I II 18V I II 2 A (2 3) I II 3I I U J
2A
(1 3) I I 3I II 18V (2 5) I II 3I I U J I 2 A II
4 I I 3 ( 2) 18V
II 3 A
U J 3 3 5 ( 2) 9 10 19 V
METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH
Wyznaczyć rozpływ prądów metodą prądów oczkowych
I1 1 Ω
2Ω
I2 2 A
I2
I3 18 V
II
2A
UJ
3Ω III
(1 3) I I 3I II 18V I II 2 A (2 3) I II 3I I U J I1 I I 3 A
(1 3) I I 3I II 18V (2 3) I II 3I I U J I 2 A II
4 I I 3 ( 2) 18V
U J 3 3 5 ( 2) 9 10 19 V
I2 2 A
II 3 A
I 3 I I I II 3 (2) 5 A
METODA TRANSFIGURACJI
Metoda polega na przekształceniu obwodu elektrycznego, w którym nie można wyróżnić jednoznacznych konfiguracji np. rezystorów (połączenie szeregowe / równoległe) w sposób pozwalający uzyskać prosty obwód, w którym obliczenie rozpływu prądów / napięć nie stwarza poważniejszych problemów.
Równoważność obwodów (transfiguracja np. gwiazda – trójkąt) oznacza warunek niezmienności prądów i napięć w tej części obwodu, która nie podlega przekształceniu transfiguracji.
u1 v1
i1 j1
u2 v2 i2 j2 u3 v3
i3 j3
METODA TRANSFIGURACJI
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH Metoda potencjałów węzłowych, zwana również metodą węzłową, jest jedną z najogólniejszych i najczęściej stosowanych metod, pozwalających wyznaczyć prądy wszystkich gałęzi występujących w obwodzie. Jako zmienne przyjmuje się w niej potencjały poszczególnych węzłów obwodu określane względem jednego arbitralnie wybranego węzła uznanego za węzeł odniesienia ("masy"), którego potencjał przyjmuje się za równy zeru. Liczba równań w tej metodzie jest równa liczbie węzłów niezależnych a więc znacznie mniejsza niż w metodzie wykorzystującej bezpośrednio układ równań otrzymanych w wyniku zastosowania praw Kirchhoffa.
Metoda węzłowa wynika bezpośrednio z równań prądowych Kirchhoffa napisanych dla wszystkich węzłów niezależnych w obwodzie. Prąd każdej gałęzi obwodu jest wyrażany za pośrednictwem potencjałów węzłowych.
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH
Napięcie UAB między dwoma punktami A i B to różnica ich potencjałów A
U AB VA VB Każdy punkt w obwodzie ma pewien potencjał (napięcie względem punktu odniesienia) → każdy węzeł obwodu ma pewien potencjał. Węzły numerujemy np. wielkimi literami łacińskimi A, B, C, … .
W metodzie potencjałów węzłowych równania układa się tylko dla węzłów, gdzie niewiadomymi są potencjały węzłowe.
B
C
D
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH Rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie elektrycznym nie zależy od bezwzględnej wartości potencjałów, lecz jedynie od ich różnic.
A 120 V
B 100 V
C 110 V
U AB VA VB
130 V D
B 0V
A 20 V
C 10 V
30 V D
Jednemu dowolnie obranemu punktowi obwodu np. B można przypisać zupełnie dowolny potencjał (potencjały pozostałych węzłów i punktów będą określone przez napięcia na elementach). Węzeł taki nazywamy węzłem odniesienia.
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH B Potencjał węzła odniesienia O najwygodniej jest przyjąć równy VO = 0V → VB = 0V → uproszcza to układanie równań.
R1 R2 A
J5
R3
D
Na schemacie węzeł odniesienia oznacza się symbolem uziemienia.
C
E4
A 20 V
R4 B 0V
C 10 V
30 V D
E Rezystancja wewn. idealnego źródła napięciowego = 0, a idealnego źródła prądowego = oo Konduktancją GA,B gałęzi łączącej węzły A i B nazywamy konduktancję tej gałęzi po odłączeniu jej od innych gałęzi oraz po zastąpieniu źródeł idealnych ich rezystancjami wewnętrznymi, np.
GCA
1 R3
GCB
1 R1 R2
GCD 0
GCE
1 R4
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH B R1
Prądem źródłowym węzła nazywać będziemy wyrażenie
I A ( EA, BGA, B , J A, B )
R2
R3
A
J5 D
C
B
,gdzie:
E4
EA,B – napięcie źródłowe źródła napięciowego w gałęzi A-B JA,B – prąd źródłowy źródła prądowego w gałęzi A-B.
R4 Prąd w obwodzie wytwarzają tylko źródła
Wielkości te opisujemy: ze znakiem plus, gdy strzałka EA,B lub JA,B zwrócona jest do węzła ze znakiem minus, gdy strzałka EA,B lub JA,B zwrócona jest od węzła Równanie węzłowe dla węzła A
E4 IC J5 R4
VA GA, B GA, BVB I A B
B
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH B R1 Równanie potencjałów węzłowych
VA GA, B GA, BVB I A B
R2 A
R3
J5 D
B
C dla węzła A
E4
Konduktancja źródła prądowego → 0
R4
1 1 1 1 R R R 0 R VC R VA 3 1 2 4 3 1 1 1 VB 0 VD VE E4 J5 R1 R2 R4 R4
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH Ustalamy kierunki przepływu prądów gałęziowych i układamy dla węzła C równanie wg I prawa Kirchhoffa
B R1
I1 I 3 J 5 I 4 0 W oparciu o prawo Ohma, prądy gałęziowe przedstawiamy za pośrednictwem napięć, a te jako różnice potencjałów
I1
U12 1 (VB VC ) R1 R2 R1 R2
I3
U3 1 (VC VA ) R3 R3
I4
U 4 U EC E4 1 (VE VC E4 ) R4 R4 R4
U12=UBC A
R3
R2 I1
U3=UCA
I3
D C I4
E4 R4
J5
UEC U4
E
Równanie węzłowe
1 1 1 1 1 1 1 0 VC VA VB VE E4 J5 R4 R3 R1 R2 R4 R4 R3 R1 R2
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH E1 Oznaczamy wszystkie węzły obwodu elektrycznego. Jeden z węzłów obieramy za węzeł odniesienia i przypisujemy mu potencjał 0 V → B.
R1
1 R1
Jeżeli istnieją gałęzie o zerowej rezystancji (zawierające tylko idealne źródła napięcia), to układamy dla nich równania wiążące potencjały ich końców.
R3 B
C
D
I4
Dla każdego z pozostałych węzłów układamy równanie węzłowe.
( 1 1 1 )VA 1 VC 1 VD R3 R2 R1 R3 R2 1 1 ( R3 )VC R3 VA I 4 J 5 1 1 1 1 ( ) V V J E R2 R6 D R2 A 5 R6 6
R2
A
E4
E6
J5
R6
E1 Uwaga: w prądzie źródłowym węzła uwzględniamy również źródła napięcia, przy czym prądy przez nie płynące są na razie niewiadome.
VC V B E4 E4 0
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH E1 Układ równań rozwiązujemy ze względu na potencjały węzłowe oraz prądy w gałęziach o zerowej konduktancji.
( R11 R13 R12 )VA R13 VC R12 VD 1 1 ( ) V R3 C R3 VA I E 4 J 5 1 1 1 1 ( R2 R6 )VD R2 VA J 5 R6 E6 V E 4 C VA ,VC ,VD , I 4
1 R1
E1
(VB 0, VC E4 )
Określamy kierunki i wyznaczamy prądy gałęziowe
R2
A
R1
R3 B
C
D
I4 E4
J5
E6
R6
E1 V A R1
R1I1 E1 V A
I1
R2 I 2 V A VD
I2
I 3 I1 I 2
V A VC R3
I5 J5 I6 I 2 I5
E6 VD R6
V A VD R2
METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH
Wyznaczyć rozpływ prądów metodą potencjałów węzłowych 1Ω
2Ω
Konduktancja źródła prądowego → G = 0 S
18 V
2A
3Ω
I2 2 A
I1
I2
A
I3
1 1 1 0 V 18 2 A 1 3 1 20 VA 4 15 V
18 V
1Ω
3 Ω 2 Ω UJ
2A
B
3
18 1 I1 VA
I 3 I1 I 2 3 2 5 A
I1
18 15 3A 1
lub
3 I 3 VA
I3
VA 5A 3
METODA SUPERPOZYCJI
Zasadę superpozycji, tzn. nakladania się (łac.” (superponere = super + ponere = nad + kłaść = nakładać). ,możemy sformułować jako: ODPOWIEDŹ OBWODU ELEKTRYCZNEGO LUB JEGO GAŁĘZI NA KILKA WYMUSZEŃ, ROWNA SIĘ SUMIE ODPOWIEDZI NA KAŻDE WYMUSZENIE Z OSOBNA. Prąd w dowolnym elemencie liniowego układu elektrycznego jest równy algebraicznej sumie prądów wywołanych w tym elemencie w wyniku działania każdego napięcia źródłowego niezależnie. Ponieważ zależności miedzy prądami w elementach, a napięciami w tych elementach są liniowe, wiec w podobny sposób można sformułować zasadę superpozycji dla napięć. W przypadku obwodu o n - źródłach (napięcia, prądu), należy n – krotnie rozwiązać ten sam obwód elektryczny, następnie zsumować otrzymane wyniki
Zasada superpozycji pozwala zastąpić skomplikowane oddziaływanie sumą oddziaływań prostszych (łatwiejszych lub wygodniejszych do analizy).
METODA SUPERPOZYCJI Przy pomocy tej zasady oblicza się prądy lub napięcia wywoływane kolejno przez poszczególne źródła napięcia lub prądu . Pozostałe źródła napięcia lub prądu traktuje się jako niedziałające (nie mające żadnego wpływu na wartości prądów płynących w obwodzie), pozostawiając w obwodzie impedancje wewnętrzne tych źródeł: • • • •
niedziałające (pomijane) idealne źródło napięcia ma rezystancję wewnętrzną równą zero → RW = 0 → wtedy zaciski tego źródła zwieramy niedziałające (pomijane) rzeczywiste źródło napięcia ma rezystancję wewnętrzną większą od zera → RW > 0 → wtedy pomiędzy zaciskami źródła występuje rezystor o rezystancji równej rezystancji wewnętrznej źródła napięciowego R = RW niedziałające (pomijane) idealne źródło prądu ma rezystancję wewnętrzną równą nieskończoność → RW = oo → wtedy zaciski tego źródła pozostawiamy rozwarte niedziałające (pomijane) rzeczywiste źródło prądu ma rezystancję wewnętrzną równą → RW > 0 → wtedy pomiędzy zaciskami źródła występuje rezystor o konduktancji równej konduktancji wewnętrznej źródła prądowego G = GW
Tok postępowania podczas obliczania obwodów metodą superpozycji: • Rozpatrywany obwód zastępujemy przez n obwodów takich, że w każdym z nich działa jedno źródło, rezystancje pozostają bez zmian. • Każdy z otrzymanych obwodów obliczamy niezależnie, stosując prawa Kirchhoffa lub metodę przekształceń. • Prąd płynący w dowolnej gałęzi obliczamy jako sumę algebraiczną prądów występujących w danej gałęzi w każdym z n obwodów składowych.
METODA SUPERPOZYCJI Obwód elektryczny z dwoma źródłami napięcia E1 i E2 (przyczyna przepływu prądu). Prąd (tj. skutek przepływu prądu)
E1 E2 I R E1 E2 I I I R R
E2
E1
R I
Prąd I (skutek) jest więc sumą dwóch prądów I′ i I″ (skutków). Pierwszy z nich jest wywołany jedynie przez źródło E1 (przyczynę pierwszą), a drugi – przez źródło E2 (przyczynę drugą).
Zauważmy, że prąd I′ popłynie w obwodzie zawierającym tylko E1, zaś prąd I″ popłynie w obwodzie zawierającym tylko E2.
METODA SUPERPOZYCJI Zauważmy, że prąd I′ popłynie w obwodzie zawierającym tylko E1, zaś prąd I″ popłynie w obwodzie zawierającym tylko E2. Obwód oryginalny powstaje w wyniku nałożenia jeden na drugi obwodów z poszczególnymi źródłami.
„NAKŁADANIE” CZYLI „SUPERPOZYCJA”
E1
R I′
Obwód z wieloma (n) źródłami napięcia lub prądu rozkłada się na n obwodów, z których w każdym znajduje się tylko jedno źródło. ZALETA: obwód z jednym źródłem rozwiązuje się często znacznie szybciej i łatwiej.
E2
R I″
WADA: trzeba rozwiązać n obwodów zamiast jednego.
I = I′ + I″
• •
METODA SUPERPOZYCJI Określamy kierunki przepływu prądów w obwodzie. Obwód rozkładamy na tyle obwodów, ile jest źródeł napięcia i prądu, pozostawiając w każdym obwodzie wszystkie rezystancje, ale tylko jedno źródło napięcia lub prądu. I1
I3 E1
R1
R2
I2
R3 I5
I4 E4
E6
J5
R6 I6
Uwaga: przy pomijaniu źródeł:. – idealne źródła napięciowe → zwieramy, gdyż Rw = 0, – idealne źródła prądowe → rozwieramy, gdyż Rw = ∞.
METODA SUPERPOZYCJI
• Każdy z obwodów cząstkowych rozwiązujemy dowolną metodą. • Obliczamy wypadkowe prądy gałęziowe jako sumę przyczynków od poszczególnych źródeł: I = I′ + I″ + I‴ + ... . Wskazówki:
Do rozwiązania obwodów cząstkowych warto wykorzystać: • redukcję połączeń rezystorów, • dzielnik napięcia i prądu, zamianę rzeczywistego źródła napięcia w rzeczywiste źródło prądu i odwrotnie, Nie opłaca się natomiast stosować: • metody równań Kirchhoffa, • metody prądów oczkowych, • metody potencjałów węzłowych.
METODA SUPERPOZYCJI
I′1 R1 E1 I′4
I′3
R3
R2
I″1
I′2
R1
I′5
I″4 R6 I′6
I1 E1
R1
I3 R 2 R3
R1
IIV3 R 2 IV I 2 R3 IIV5
IIV4
J 5 R6 IIV6
E6
J5
I‴1 R6
I6 I1 = I′1 + I″1 + I‴1 + IIV1 … I6 = I′6 + I″6 + I‴6 + IIV6
I″5
I″6
I2
I4 E4
I″2
R6
E4 I5
IIV1
I″3 R 2 R3
R1
I‴3 R2 R3
I‴2 I‴5
I‴4 E6
R6 I‴6
METODA SUPERPOZYCJI
Wyznaczyć rozpływ prądów metodą potencjałów węzłowych 1Ω
I1
I2 2 Ω
I3 18 V
1Ω
I′1
2A
3Ω
I′2 2 Ω
1Ω
I′3
18 V
I″3 3Ω
3Ω I 2 2 A
I 2 0
3 6 1,5 A 1 3 4 1 2 0,5 A I 2 2 A ( I 2 I 2 0 2) I 3 2 1 3 4
18 I1 I 3 4,5 A 1 3 I1 I1 I1 4,5 1,5 3 A I 3 I 3 I 3 4,5 0,5 5 A
I″1 I″2 2 Ω
I1 2
2A
METODA THEVENINA Każdy rozgałęziony obwód elektryczny może być zastąpiony przez rzeczywiste źródło napięciowe. Twierdzenie Thevenina wykorzystujemy, gdy chcemy określić wartość prądu w jednej , wybranej gałęzi Prąd płynący przez odbiornik rezystancyjny Rmn, przyłączony do dwóch zacisków mn dowolnego liniowego układu zasilającego prądu stałego jest równy ilorazowi napięcia U0 mierzonego na zaciskach mn w stanie jałowym przez rezystancję R powiększoną o rezystancję zastępczą Rw układu zasilającego mierzoną na zaciskach mn
Leon Charles Thevenin (1857 – 1926), francuski inżynier (telegrafia). W wyniku studiów nad prawami obwodów Kirchhoffa i Ohma rozwinął swoje słynne twierdzenie → twierdzenie Thevenina, co pozwoliło obliczyć prądy w bardziej złożonych obwodów elektrycznych i pozwalając zmniejszyć złożoność obwodów do prostszych układów nazywanych równoważnymi obwodami Thevenina.
Twierdzenie to spotykane jest również pod nazwą twierdzenia o zastępczym źródle napięcia i bywa sformułowane następująco: Obwód elektryczny liniowy o dowolnym ukształtowaniu, traktowany jako złożony dwójnik liniowy aktywny o zaciskach mn, można zastąpić jednym źródłem o napięciu źródłowym EZ, równym napięciu stanu jałowego U0 na zaciskach mn i o rezystancji wewnętrznej Rz, równej rezystancji zastępczej mierzonej na zaciskach mn obwodu.
METODA THEVENINA Działanie aktywnego rozgałęzionego obwodu elektrycznego na jedną gałąź A-B można zastąpić działaniem dwójnika aktywnego, w którym zgodnie z twierdzeniem Thevenina występuje jedno idealne źródło napięcia E0 połączone szeregowo z idealnym rezystorem Rw, natomiast zgodnie z twierdzeniem Nortona - jedno idealne źródło prądu Jz połączone równolegle z idealnym rezystorem Rw A Rozgałęziony obwód aktywny
A I
U B
I
Rw R0
A
U E0 B
I R0
Jz
Rw U
R0
B
Występujące w tych zastępczych dwójnikach parametry wyznacza się następująco: • • • •
napięcie E0 jest to napięcie między zaciskami A-B w stanie jałowym, prąd Jz jest to prąd płynący przez gałąź A-B w stanie zwarcia, rezystancja Rw jest rezystancja zastępcza rozgałęzionego obwodu aktywnego widziana z zacisków A-B przy zwartych źródłach napięciowych i rozwartych źródłach prądowych.
METODA THEVENINA Dwójnik aktywny można zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia (E0, Rw). • Napięcie źródłowe E0 wyznacza się jako równe napięciu na jego zaciskach w stanie jałowym. • Rezystancję wewnętrzną Rw wyznacza się jako równą rezystancji zastępczej dwójnika widzianej z jego zacisków po usunięciu z niego wszystkich źródeł (zwarciu źródeł napięciowych i rozwarciu źródeł prądowych). A
A Dwójnik aktywny
E0 B
Rw B
Podstawowe zastosowanie: •
zastępowanie fragmentu obwodu rzeczywistym źródłem napięcia, wyznaczanie prądu w wybranej gałęzi obwodu bez rozwiązywania całego obwodu.
Oprócz tego stosuje się je w szeregu różnych zagadnień: •
dobór rezystora ze względu na moc maksymalną, analiza obwodów nieliniowych z jednym elementem nieliniowym.
METODA THEVENINA
Wyznaczyć prąd przepływający przez rezystor 3Ω 1Ω
18 V
1Ω
3Ω
2Ω
A
18 V
2Ω
U0 B
2A
1Ω
A
2Ω
2A B
E0 U 0 18 1 2 20 V
Rw RAB 1 Ω
E0 20 I3 5A Rw R3 1 3
METODA NORTONA • •
•
• • •
Twierdzenie Thevenina pozwala zastąpić dwójnik aktywny rzeczywistym źródłem napięcia. Rzeczywiste źródło napięcia można zamienić na rzeczywiste źródło prądu. Twierdzenie Nortona → twierdzenie o zastępczym źródle prądu → dwójnik aktywny można zastąpić rzeczywistym źródłem prądu (Jz, Rw). Prąd źródłowy Jz wyznacza się jako prąd zwarcia dwójnika. Rezystancję Rw wyznacza się tak samo jako w twierdzeniu Thevenina. Jz = E0/Rw.
A Dwójnik aktywny B
A Jz
Rw B
Twierdzenie Nortona było niezależnie uzyskane w 1926 r. przez badacza Hansa Ferdinanda Mayera (1895 – 1980) → Siemens & Halske i inżyniera Edwarda Lawry Nortona (1898 – 1983) → Bell Labs
Edward Lawry Norton
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Pole magnetyczne Adam Jaroszewicz dr inż.
HISTORIA MAGNETYZMU Nazwą magnetyzm określa się zespół zjawisk fizycznych związanych z polem magnetycznym, które może być wytwarzane zarówno przez prąd elektryczny jak i przez materiały magnetyczne. Historia magnetyzmu zaczyna się w czasach antycznych, kiedy między innymi Grecy i Chińczycy zauważają własności magnetytu, będącego naturalnym magnesem. Nazwa magnes pochodzi od regionu Grecji o nazwie Magnesia, gdzie odkryto, jeszcze w starożytności złoża magnetytu.
Siły magnetyczne są jednymi z podstawowych sił w naturze. •
•
Oddziaływania magnetyczne odbywają się za pośrednictwem pola magnetycznego, które w skali makroskopowej wytwarzane jest na skutek ruchu ładunków elektrycznych lub prądu elektrycznego. Stały prąd elektryczny wywołuje statyczne pole magnetyczne, natomiast zmienny prąd elektryczny powoduje powstanie nierozerwalnie związanego z nim zmiennego pola magnetycznego i elektrycznego (takie podwójne pole nosi nazwę pola elektromagnetycznego). W skali mikroskopowej pole magnetyczne powstaje głównie na skutek ruchu elektronów: orbitalnego oraz obrotowego (tzw. spin), przy czym ten ostatni jest efektem dominującym. Ruch orbitalny elektronu (dookoła jądra atomowego) jest efektem wtórnym i tylko nieznacznie modyfikuje spinowe pole magnetyczne. W niewielkim stopniu pole magnetyczne wytwarzane jest również przez moment magnetyczny protonów i neutronów.
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI Magnetyzm makroskopowy jest przyczyną istnienia ziemskiego pola magnetycznego. We wnętrzu Ziemi istnieje roztopione jądro, w którym występują prądy konwekcyjne. Prądy takie unoszą ze sobą olbrzymie ilości wolnych elektronów, które są równoważne z prądem elektrycznym, który z kolei skutkuje powstaniem otaczającego pola magnetycznego. W 1600 roku William Gilbert jako pierwszy wysunął hipotezę dotyczącą występowania pola magnetycznego w pobliżu Ziemi. W celu jej zweryfikowania z magnetytu zbudował model Ziemi i przykładając do niego niewielki kompas, badał kierunek pola magnetycznego na jego powierzchni. Na podstawie swoich doświadczeń wywnioskował, że Ziemia jest dużym kulistym magnesem, a jej pole magnetyczne nie jest pochodzenia nadprzyrodzonego, ale wynika z jej budowy wewnętrznej. William Gilbert (1544 - 1603) — angielski fizyk i lekarz, odkrywca zjawiska magnetyzmu ziemskiego, indukcji magnetycznej i elektryzowania się ciał na skutek tarcia. Gilbert wprowadził do języka angielskiego nowe terminy, takie jak biegun magnetyczny, siła magnetyczna czy przyciąganie magnetyczne. Główne dzieło Gilberta „De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure (O Magnesach i ciałach magnetycznych, oraz o wielkim magnesie Ziemi)” zostało opublikowane w 1600 r. Opisuje w nim wiele doświadczeń ze swoim modelem Ziemi zwanym terrella. Wywnioskował z tych eksperymentów, że Ziemia sama jest namagnesowana i dlatego igła kompasu wskazuje na północ (poprzednio wierzono, że to gwiazda polarna lub wielka wyspa magnetyczna na biegunie północnym są odpowiedzialne za przyciąganie igły kompasu). Na jego cześć jednostkę siły magnetomotorycznej (napięcie magnetyczne) nazwano – Gilbert (Gb).
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI
Pole magnetyczne występujące naturalnie wewnątrz i wokół Ziemi. Odpowiada ono w przybliżeniu polu dipola magnetycznego z jednym biegunem magnetycznym w pobliżu geograficznego bieguna północnego i z drugim biegunem magnetycznym w pobliżu bieguna południowego. Linia łącząca bieguny magnetyczne tworzy z osią obrotu Ziemi kąt 11,3° - 11,5°. Pole magnetyczne rozciąga się na kilkadziesiąt tysięcy kilometrów od Ziemi, a obszar w którym ono występuje nazywa się ziemską magnetosferą.
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI Bieguny magnetyczne Ziemi znajdują się w pobliżu przeciwstawnych biegunów geograficznych Kula ziemska zachowuje się jak olbrzymi magnes stały. Biegun północny igły magnetycznej kompasu ustawia się zawsze w kierunku geograficznego bieguna północnego, gdyż w jego pobliżu leży magnetyczny biegun południowy. Linie pola magnetycznego ziemskiego mają taki kształt, jakby we wnętrzu Ziemi znajdował się olbrzymi magnes sztabkowy.
Jako biegun północny igły magnetycznej (i ogólnie magnesów) przyjęło się wskazywać ten z jej końców, który wskazuje północ. Jest on przyciągany przez odwrotnie spolaryzowany biegun magnetyczny Ziemi, skąd wynika, iż na północnej półkuli Ziemi znajduje się jej południowy biegun magnetyczny i odwrotnie, na południu biegun północny. Mimo to często stosowane jest oznaczanie biegunów magnetycznych Ziemi zgodnie z nazwami biegunów geograficznych, a odwrotnie w stosunku do oznaczeń biegunów magnesu stosowanych w fizyce.
Równik magnetyczny, aklina, linia na powierzchni Ziemi łącząca punkty o zerowej inklinacji magnetycznej.
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI Inklinacja magnetyczna, nachylenie magnetyczne, kąt zawarty pomiędzy wektorem natężenia ziemskiego pola magnetycznego a horyzontem. Pomiaru inklinacji magnetycznej dokonuje się za pomocą inklinatora. Linie na mapach łączące punkty o jednakowej inklinacji magnetycznej nazywane są izoklinami.
Deklinacja magnetyczna, zboczenie magnetyczne, kąt odchylenia się igły kompasu od rzeczywistego kierunku północnego na skutek rozbieżności pomiędzy biegunem geograficznym i biegunem magnetycznym Ziemi.
Krzywa zmian wiekowych deklinacji i inklinacji dla Londynu od 1540 do 1960 r. Przebieg zmian wskazuje, że okres zmian wiekowych wynosi ok.500 lat.
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI Po przeprowadzeniu licznych badań stwierdzono, że położenie biegunów magnetycznych Ziemi nie jest stałe, lecz ulega pewnym przesunięciom z biegiem czasu. Ich położenie jest wynikiem prądów indukowanych przez jądro ziemskie, które działa jak dynamo, do czego dokłada się jeszcze działanie prądów elektrycznych w jonosferze, pasów radiacyjnych i ziemskiej magnetosfery. Północny biegun magnetyczny przesuwa się ku północy średnio o 10 km na rok. Jest to ruch po elipsie. W jakimkolwiek momencie biegun magnetyczny może znajdować się w promieniu 80 km od swojego średniego położenia, w zależności od zaburzeń geomagnetycznych w jonosferze i magnetosferze.
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI Zmienne pole magnetyczne Ziemi jest definiowane jako różnica pomiędzy wartością obserwowaną składowych natężenia pola magnetycznego a średnią wartością obliczoną dla ustalonego przedziału czasowego. Wyróżniamy następujące zmian czasowe pola magnetycznego: •Zmiany długookresowe (wiekowe) – wywoływane przez powolne zmiany namagnesowania wnętrza Ziemi. Mają charakter periodycznych zjawisk o okresie 500-600 lat. Przyczyną jest przesuwanie się bieguna magnetycznego Ziemi po krzywej zamkniętej.
•Zmiany krótkookresowe: – Zmiany spokojne (płynne) podlegające określonym prawidłowościom wywołane przez ruchy przypływowe jonosfery. • zmiany dobowe słoneczne, • zmiany dobowe księżycowe, – Zmiany zaburzone. Mają one charakter nieuporządkowany. • zmiany nieregularne, • zmiany aperiodyczne, • wariacje dobowe zaburzone, •Zakłócenia i burze magnetyczne. Są to nagłe i nieokresowe zmiany elementów pola magnetycznego Ziemi (czas trwania do kilku dni). – zakłócenia lokalne, – zakłócenia zatokowe (charakter prawidłowy, lecz nie posiadające okresu), – burze magnetyczne (wywoływane są przez promieniowanie korpuskularne Słońca), – pulsacje (sinusoidalne wahania natężenia pola o amplitudzie kilku jednostek i okresie kilku minut)
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI PRZEBIEGUNOWANIE ZIEMI proces, w którym następuje odwrócenie kierunku ziemskiego pola magnetycznego (zamiana magnetycznego bieguna północnego z południowym), którego wielokrotne zachodzenie w historii Ziemi stwierdzono doświadczalnie w drugiej połowie XX w., Zmiany biegunów Ziemi są zdarzeniami losowymi – następowały po sobie w odstępach od 10 tysięcy do nawet 50 milionów lat. Średnio zdarzają się co około 250 tysięcy lat, a ostatnie miało miejsce około 780 tysięcy lat temu. Podczas procesu przebiegunowania pole magnetyczne Ziemi nie zanika zupełnie, jednak staje się dużo bardziej skomplikowane niż to obserwowane obecnie. Umieszczony w nim kompas mógłby wskazywać różne kierunki geograficzne w zależności od jego położenia na powierzchni Ziemi, oraz od formy przejściowego pola magnetycznego w jego otoczeniu. Przebiegunowanie jest procesem trwającym od 1000 do 10 tysięcy lat, jednakże niektóre dane wskazują, że około 16 mln lat temu biegun północny przez krótki czas przemieszczał się z prędkością nawet 3° dziennie.
POLE MAGNETYCZNE ZIEMI
SKUTKI ZANIKU POLA MAGNETYCZNEGO Zanik pola magnetycznego dopuści do atmosfery cząstki zjonizowane wiatru słonecznego, atmosfera znacznie zmieni swe właściwości w rozchodzeniu się w niej fal radiowych, stanie się silnie zależna od burz słonecznych, zakłóceniu ulegnie działanie wielu urządzeń łączności. Według niektórych opinii czasowe zaniknięcie pola magnetycznego w czasie zmiany polaryzacji biegunów może spowodować znaczny wzrost ilości bardzo szkodliwego promieniowania kosmicznego docierającego na powierzchnię Ziemi. Nie ma jednak żadnych nieodpartych naukowych dowodów na to, że odwrócenie pola magnetycznego miałoby prowadzić do jakiejkolwiek katastrofy ekologicznej czy wymierania organizmów żywych. Zarówno Homo erectus jak i jego przodkowie przeżyli kilka podobnych „katastrof".
HISTORIA MAGNETYZMU Z historią rozwoju magnetyzmu, a w latach późniejszych elektromagnetyzmu, wiążą się m.in. nazwiska Coulomba (który w 1785 roku sformułował nie tylko znane nam już prawo oddziaływania ładunków elektrycznych, ale również prawo wzajemnego oddziaływania biegunów magnetycznych), Oersteda, Ampere’a, Biota i Savarta (pole magnetyczne prądu elektrycznego), Faradaya i Lenza (indukcja elektromagnetyczna). W początkowym okresie rozwoju magnetyzmu wprowadzono pojęcie mas magnetycznych: północnej i południowej (lub dodatniej i ujemnej), stwierdzając równocześnie niemożliwość ich rozdzielenia (zasadnicza różnica w stosunku do ładunków elektrycznych dodatnich i ujemnych). Z biegiem czasu pojęcie masy magnetycznej wyszło z użycia; obecnie nie traktujemy już sił magnetycznych jako skutku istnienia mas magnetycznych. Posługujemy się jednak w dalszym ciągu pojęciem biegunów magnetycznych, mając na myśli takie obszary w pobliżu końców magnesów trwałych (w postaci sztabek, podków itp.) lub elektromagnesów, w których dają się zauważyć najsilniejsze oddziaływania magnetyczne (np. jeśli magnes sztabkowy zbliżymy do opiłków żelaznych, to bieguny magnetyczne przyciągają ich najwięcej). Istnienie pól magnetycznych jest traktowane obecnie (jako następstwo wtórne), jako skutek ruchu ładunków elektrycznych. W chwili obecnej obowiązuje pogląd, że wszelki przepływ prądu elektrycznego powoduje powstanie pola magnetycznego. Jest to zjawisko niezależne od natury prądu je wywołującego: może to być prąd elektronowy w przewodniku metalicznym, prąd jonowy w elektrolicie, czy prąd w gazie. Pole magnetyczne towarzyszy też ruchowi elektronów w atomie, ruchowi jąder atomowych w cząsteczkach itd.
POLE MAGNETYCZNE Polem magnetycznym nazywamy taki stan przestrzeni, w którym na poruszające się ładunki, przewodniki z prądem oraz na umieszczone w niej ciała namagnesowane (posiadające moment magnetyczny) działają siły. Pole to istnieje ono wokół przewodników z prądem, wokół magnesów stałych i wokół poruszającego się ładunku. Występowanie oddziaływań magnetycznych (pól magnetycznych) wiąże się z prądem elektrycznym. Źródłami pola magnetycznego są tzw. elementy prądowe: • • •
ładunki poruszające się z określoną prędkością (a); odcinki przewodów z prądem elektrycznym (b); płaskie pętle, tj. zamknięte obwody, zwoje, ramki, w których płynie prąd elektryczny (c).
Pole magnetyczne jest nierozerwalnie związane z polem elektrycznym. W zależności od układu odniesienia to samo zjawisko może być postrzegane jako efekt działania pola elektrycznego bądź magnetycznego. O ile pole elektryczne wytwarzane jest przez ładunki, o tyle pole magnetyczne wytwarzane jest tylko przez ładunki w ruchu bądź ciała posiadające moment magnetyczny. Siły magnetyczne nie działają na ładunki w spoczynku. Ponieważ prąd elektryczny tworzą poruszające się ładunki, przewodniki z prądem będą oddziaływały magnetycznie.
POLE MAGNETYCZNE Magnesy trwałe, np. sztabki wycięte z rudy magnetycznej, Fe3O4, przyciągają opiłki żelaza, niklu i kobaltu. Miejsca, którymi magnes przyciąga najsilniej, nazwano jego biegunami; znajdują się one w pobliżu końców magnesu. Bieguny jednoimienne dwóch magnesów odpychają się, a bieguny różnoimienne – przyciągają się. Istnieje więc analogia między oddziaływaniem ładunków elektrycznych a oddziaływaniem biegunów magnesów. Jest ona jednak niepełna i biegunów magnesu nie można rozdzielić. Po przełamaniu magnesu sztabkowego otrzymuje się dwa magnesy, z których każdy posiada oba bieguny.
Szukanie najmniejszego magnesu ???
POLE MAGNETYCZNE Pole magnetyczne przedstawiamy w postaci tzw. linii pola magnetycznego. Umowny zwrot tych linii jest od bieguna północnego N do południowego S. Pola elektryczne i magnetyczne mają dużo wspólnego, ale też różnią się w paru kwestiach: • pole magnetyczne nie działa na ładunki w spoczynku chyba, że posiadają moment magnetyczny • nie ma ładunków magnetycznych • linie pola magnetycznego nie mają początku ani końca (są zamknięte) • potencjał magnetyczny nie ma takiego znaczenia jak potencjał elektryczny • pole magnetyczne nigdy nie wykonuje pracy !!! Wygodnym narzędziem do badania pola magnetycznego jest igła magnetyczna– namagnesowany kawałek stali.
Zachowanie igły magnetycznej w okolicach magnesu sztabkowego. Kierunek igły wskazuje kierunek linii pola magnetycznego
POLE MAGNETYCZNE Pole magnetyczne jest polem wektorowym. Do charakterystyki wektorowej pola magnetycznego (podobnie jak dla pola elektrycznego) wykorzystuje się dwie wielkości fizyczne - wektory:
• wektor indukcji magnetycznej B • oraz wektor natężenia pola magnetycznego H
Pomiędzy tymi wielkościami zachodzi związek:
B H , gdzie:
- przenikalność magnetyczna ośrodka
Znając wartość i kierunek wektora indukcji magnetycznej B można ustalić własności pola magnetycznego i zjawiska zachodzące w polu magnetycznym. Pole magnetyczne nazywamy jednorodnym, jeżeli w każdym punkcie tego pola istnieje taki sam wektor B (lub H) tzn. w każdym punkcie pola wektor ten ma tę samą wartość, zwrot i kierunek.
INDUKCJA MAGNETYCZNA Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest indukcja magnetyczna B. – wielkość fizyczna określająca intensywność pola w każdym punkcie przestrzeni. Definiując tę wielkość korzysta się z zależności określających siłę lub moment, z jaka pole magnetyczne działa na próbne elementy prądowe.
INDUKCJA MAGNETYCZNA
Siła ΔF (wartość ΔF) lub moment ΔM (wartość ΔM), działające na próbne elementy prądowe → iloczyny wektorowe wyrażających je wielkości przez indukcję magnetyczną B: - siła ΔF (N), nazywana siłą Lorentza, z jaka pole magnetyczne działa na ładunek elektryczny ΔQ , poruszający się z prędkością v (m·s-1)
- siła ΔF (N), nazywana siłą Ampere’a, z jaką pole magnetyczne działa na mały, prostoliniowy odcinek przewodu z prądem I (A), o długości skierowanej Δ l (m)
- moment ΔM (N·m), z jaką pole magnetyczne działa na dipol magnetyczny o prądzie I (A) i powierzchni Δ S (m2)
dipolowy moment magnetyczny
INDUKCJA MAGNETYCZNA
Pomiędzy miarami elementów prądowych (ładunek, przewód z prądem, dipol magnetyczny) i modułami sił lub momentów, działających na nie w polu magnetycznym, zachodzi proporcjonalność wyrażona współczynnikiem (B·sinα ) Moduły sił ΔF i momentów ΔM osiągają największe wartości, jeśli wielkości
występujące w iloczynach wektorowych są do siebie prostopadłe
2
90o
Znając wartość i kierunek wektora indukcji magnetycznej B można ustalić własności pola magnetycznego i zjawiska zachodzące w nim.
INDUKCJA MAGNETYCZNA Zakładając prostopadłość wektorów odpowiednich wielkości (odpowiednie ustawienie elementu prądowego w polu magnetycznym),
definicję indukcji B można uformować na podstawie granicznych wartości modułów:
Podstawowa wielkość wektorowa opisująca pole magnetyczne. Indukcja magnetyczna jest definiowana nie wprost, ale przez siłę (moment) działający na element prądowy umieszczony w polu magnetycznym Indukcja magnetyczna B jest wektorem, którego wartość może być definiowana jako m.in: • •
wartość siły F działającej na dodatni ładunek elektryczny Q wpadający do pola magnetycznego prostopadle do linii tego pola z prędkością v: wartość siły elektrodynamicznej F przypadającej na iloczyn jednostki natężenia prądu I i długości przewodnika l:
INDUKCJA MAGNETYCZNA
Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym działa siła skierowana prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez linie pola i wektor prędkości ładunku. Tor ruchu cząstki w stałym, równomiernym polu magnetycznym ulega wiec zakrzywieniu → LAMPA KINESKOPOWA CRT Na odcinek przewodu prostoliniowego z prądem działa siła wypychająca go w kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez linie pola i przewód → MIERNIK MAGNETOELEKTRYCZNY Na płaski zwój przewodu z prądem działa moment obracający go prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez linie pola i normalna do płaszczyzny zwoju → SILNIK ELEKTRYCZNY
INDUKCJA MAGNETYCZNA
Jednostka indukcji magnetycznej jest Tesla (T), która może być wyrażona w jednostkach innych wielkości m.in. jako :
• Weber na metr do kwadratu (Wb×m-2) • Wolt razy sekunda na metr do kwadratu (V×s×m-2) • Niuton na amper razy metr (N×A-1×m-1)
W układzie SI
Wilhelm Eduard Weber (1804 – 1891) – niemiecki fizyk, badał magnetyzm i elektryczność. Ogłosił szereg podstawowych prac z zakresu elektromagnetyzmu, wydanych pt.: „Elektrodynamische Massbestimmungen” (1846 – 1877). Na jego cześć jednostkę strumienia magnetycznego (układ SI) nazwano Weberem.
1 Tesla – wartość indukcji magnetycznej, która na ładunek 1 C, poruszający się z prędkością 1 m/s prostopadle do linii pola magnetycznego, działa z siłą Lorentza o wartości równej 1 N
Nikola Tesla (1856 – 1943) – inżynier i wynalazca serbskiego pochodzenia. Jest autorem blisko 300 patentów, głównie rozmaitych urządzeń elektrycznych : silnik elektryczny, prądnica prądu przemiennego, autotransformator, dynamo rowerowe, radio, elektrownia wodna, bateria słoneczna, turbina talerzowa, transformator Tesli (rezonansowa cewka wysokonapięciowa) i świetlówka. Nikola Tesla był m.in. twórcą pierwszych urządzeń zdalnie sterowanych drogą radiową. Na jego cześć jednostkę indukcji magnetycznej (układ SI) nazwano Teslą.
LINIE POLA MAGNETYCZNEGO
Linie pola magnetycznego są to krzywe, do których styczne w każdym punkcie pokrywają się z kierunkiem indukcji magnetycznej. Własności linii pola magnetycznego. • są to krzywe zamknięte biegnące od bieguna N do S • ich gęstość jest proporcjonalna do wartości indukcji – im gęściej, bliżej siebie znajdują się te linie, tym silniejsze jest pole magnetyczne.
• •
można je wystawić w każdym punkcie pola nie można rozdzielić pola magnetycznego (bieguny występują zawsze parami)
Linie sił pola magnetycznego są liniami zamkniętymi, tym samym pole magnetyczne jest bezźródłowe, tzn. nie istnieją "ładunki" magnetyczne wytwarzające pole
SIŁA LORENTZA Jeśli na ładunek q poruszający się z prędkością v działa siła ΔF prostopadła do prędkości i proporcjonalna zarówno do ΔQ jak i do v, to mówimy, .e w przestrzeni działa pole magnetyczne o indukcji B, takiej, że Pod koniec XIX wieku stwierdzono, że na naładowane cząstki poruszające się w polu magnetycznym działa określona siła, nazywana obecnie siłą Lorentza. Pierwsze takie doświadczenia wykonał w 1897 roku J.J. Thomson (Kelvin) z promieniami katodowymi tj. wiązką poruszających się elektronów.
Badacze z niemieckiego centrum Helmholtz - Zentrum Dresden - Rossendorf ustanowili rekord → udało im się uzyskać najsilniejsze pole magnetyczne, jakie kiedykolwiek wytworzono na ziemi → 91,4 T (lipiec 2011)
Rurka wyładowcza Crookesa ilustrująca pęd promieni katodowych.
Gaus (Gs) – jednostka indukcji magnetycznej w układzie CGS (jednostka przejściowo legalna w Układzie SI, ale niezalecana z uwagi na zbieżność symbolu z gigasekundą) →
SIŁA LORENTZA Jest to siła działająca na ładunek poruszający się w polu magnetycznym, opisana jako
F Qv B ,gdzie F - siła Lorentza B - indukcja pola elektromagnetycznego; v - prędkość ładunku ΔQ - ładunek;
Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928) – fizyk holenderski. Zapoczątkował m.in. elektronową teorię budowy materii, opisał teorię wyjaśniającą zjawisko przewodnictwa elektrycznego.
Załóżmy, że w polu magnetycznym porusza się z prędkością v ładunek Q. Okazuje się, że pole magnetyczne działa na poruszający się ładunek elektryczny siłą F, zmieniając prędkość v ładunku próbnego, Można stwierdzić, że niezależnie od kierunku jego prędkości v siła F jest zawsze do niej prostopadła, natomiast wartość bezwzględna siły zależy od wartości i od kierunku prędkości.
F Q v B sin
,gdzie → α to kąt między v i B
Jak łatwo zauważyć, pole magnetyczne nie działa na ładunek elektryczny wówczas, gdy ładunek nie porusza się (v = 0) lub gdy porusza się w kierunku linii indukcji pola magnetycznego (wtedy sinus kąta między wektorami v i i B równa się zero). Siła działająca na ładunek będzie miała wartość największą, gdy ruch ładunku będzie się odbywał prostopadle do linii indukcji magnetycznej B
SIŁA LORENTZA Wektor F jest prostopadły do wektorów B i v . Wartość siły jest maksymalna, gdy v ⊥ B. Gdy wektory v i B są do siebie równoległe to siła F = 0.
Zwróćmy uwagę, że w odróżnieniu od siły elektrycznej siła magnetyczna działa tylko na ładunki w ruchu oraz, że jej kierunek jest zawsze prostopadły do kierunku wektora B
Związki pomiędzy wektorami v, B i F Siła magnetyczna działająca na poruszające się ładunki działa zawsze prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez prędkość i kierunek pola magnetycznego.
Zwrot siły F określa reguła trzech palców lub śruby prawoskrętnej
SIŁA LORENTZA Reguła śruby prawoskrętnej Pole magnetyczne jest skierowane od obserwatora do płaszczyzny rysunku (bo widzimy "pióra" strzał, czyli uciekają one od nas do rysunku). Tutaj widać też efekt działania siły magnetycznej - gdy ładunek dodatni porusza się w prawo, a pole magnetyczne ma zwrot od obserwatora do rysunku, wtedy siła działająca na ładunek będzie skierowana do góry.
Zastosowanie reguły śruby prawoskrętnej Aby posłużyć się regułą śruby prawoskrętnej musimy ustalić który z wektorów/kierunków - prędkości cząstki, czy pola magnetycznego weźmiemy jako pierwszy.
Reguła ta jest stosowana przy ustalaniu kierunku iloczynu wektorowego (siła Lorentza F), który jest wektorem utożsamianym ze śrubą. Gdy mnożymy wektory v przez B (ładunek dodatni) lub B przez v (ładunek ujemny) , przekręcamy śrubę w takim kierunku, jakbyśmy kładli wektor v na B (+Q) lub B na v (- Q) po mniejszym kącie.
Zasada jest następująca: •
jeśli ładunek jest dodatni to pierwszym wektorem wziętym do reguły śruby prawoskrętnej jest wektor prędkości.
•
jeśli ładunek jest ujemny to jako pierwszy musimy wziąć kierunek pola magnetycznego (indukcji).
NAJWIĘKSZEGO ODCHYLENIA W POLU DOZNAJĄ CZĄSTKI PORUSZAJĄCE SIĘ W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO KIERUNKU LINII POLA MAGNETYCZNEGO.
SIŁA LORENTZA Reguła trzech palców (lewej dłoni) Reguła lewej dłoni, reguła Fleminga reguła określająca kierunek i zwrot wektora siły magnetycznej. Jeżeli lewą dłoń ustawi się tak, aby linie pola magnetycznego zwrócone były prostopadle ku wewnętrznej powierzchni dłoni (aby wnikały w wewnętrzną stronę dłoni), a wszystkie palce - z wyjątkiem kciuka - wskazywały kierunek i zwrot poruszającej się cząstki o ładunku dodatnim, to odchylony kciuk wskaże kierunek i zwrot siły Lorentza działającej na dodatni ładunek elektryczny umieszczony w tym polu (dla ładunku ujemnego zwrot siły będzie przeciwny).
Jeśli lewą rękę ustawimy tam, że trzy palce (kciuk, wskazujący i środkowy) będą ustawione prostopadle i przypiszemy im kierunki: wskazujący kierunek indukcji pola magnetycznego B, środkowy kierunek ruchu dodatniego ładunku, to kciuk wskaże nam kierunek siły magnetycznej (Lorentza)
SIŁA LORENTZA Ruch ładunków w polu magnetycznym 1. Ładunek wpada równolegle do linii pola – ruch ładunku się nie zmienia. 2. Ładunek wpada do linii pola – kierunku linii indukcji B równoległym do osi OZ i prostopadłym do wektora prędkości v
Z definicji siły Lorentza wynika, że siła F działająca na cząstkę leży na płaszczyźnie XY i jej wartość →
Ponieważ przyśpieszenie styczne do toru cząstki jest równe zeru, to wektor prędkości ma stałą wartość. Ruch może odbywać się tylko w płaszczyźnie XY i siła będzie zawsze prostopadła do kierunku ruchu. Również przyśpieszenie cząstki a = F/m ma stałą wartość i jest skierowane prostopadle do prędkości
Ruchem o takich własnościach jest ruch jednostajny po okręgu, w którym siła Lorentza jest zarazem siłą dośrodkową: Ładunek zacznie się poruszać po okręgu → promień okręgu Czas zataczania jednego okręgu przez poruszający się ładunek, czyli tak zwany okres obiegu
mv r qB
r - promień okręgu; m - masa ładunku; q - ładunek; v - prędkość ładunku; B - indukcja pola magnetycznego CZAS TEN NIE ZALEŻY OD PRĘDKOŚCI ŁADUNKU, A TYLKO OD WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO I STOSUNKU MASY CZĄSTKI DO JEJ ŁADUNKU
SIŁA LORENTZA Ruch ładunków w polu magnetycznym i elektrycznym 3. Ładunek wpada pod kątem do linii pola. Ładunek zacznie się poruszać po linii śrubowej. Wektor prędkości v rozkładamy na dwie składowe: • prostopadłą v= v·sin • równoległą v|| = v·cos do wektora indukcji magnetycznej. Ruch w każdym z kierunków rozpatrujemy osobno !!!.
m v sin qB
W kierunku prostopadłym do kierunku linii sił pól elektrycznego i magnetycznego na elektron działa siła Lorentza
r
Ruch w tej płaszczyźnie (prostopadłej do kierunku linii sił pól elektrycznego i magnetycznego) będzie ruchem po okręgu o promieniu →
pv
Promień śruby
2m cos qB
Skok śruby Natomiast w kierunku równoległym (wzdłuż linii sił obu pól) na cząstkę poruszającą się w tym kierunku z prędkością vII działa tylko siła od pola elektrycznego. W przypadku jego nieobecności elektron poruszałby się w tym kierunku ze stałą prędkością vII =ν cos (składowa siły Lorentza wzdłuż tego kierunku jest równa zeru), a złożenie ruchów w obu kierunkach dawałoby w efekcie ruch elektronu po linii śrubowej o stałym skoku. Obecność pola elektrycznego powoduje, że elektron w tym kierunku porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, co po złożeniu daje ruch po linii śrubowej o zmiennym, zwiększającym się skoku.
SIŁA LORENTZA Ruch ładunków w polu magnetycznym i elektrycznym Jeśli w przestrzeni w której znajduje się ładunek Q działa zarówno pole magnetyczne o indukcji B jak i pole elektryczne o natężeniu E, to całkowita siła F działająca na taki ładunek
F QE Qv B = Q( E v B)
Równanie jest prawdziwe zawsze, niezależnie od ruchu ładunku, źródła pola magnetycznego, czy też źródła pola elektrycznego.
Ponieważ siła Lorentza jest zawsze skierowana prostopadle do kierunku ruchu ładunku, to (dla stałego pola magnetycznego) praca wykonana przez tę siłę nad ładunkiem wynosi zero. Dla elementu toru ładunku Q o długości dL praca dW wynosi → jest ona równa zero, ponieważ wektory F i dL są zawsze prostopadle.
Z tego powodu stałe pole magnetyczne nie może zmienić energii kinetycznej poruszającego się ładunku, a zatem i wartości prędkości → może tylko zmienić kierunek jego ruchu.
dL W = dW F dL = Q(v B)dL = Q( B)dL = 0 dt PRACA SIŁY LORENTZA NAD ŁADUNKIEM Q
Pole magnetyczne nie zwiększa energii cząstki naładowanej, lecz może zmieniać jej tor
SIŁA LORENTZA vs. SIŁA COULOMBA Ruch ładunków w polu magnetycznym i elektrycznym
SIŁA LORENTZA Spektrometr masowy
Umożliwia to identyfikację jonów, a także separację izotopów w technice jądrowej
Równanie paraboli, której parametrem jest stosunek e/m jonu
SIŁA LORENTZA Cyklotron Cyklotron służy do przyspieszania naładowanych cząstek elementarnych
Tor cząstki wpadającej w pole magnetyczne prostopadle do linii wektora indukcji magnetycznej jest zakrzywiany przez siłę Lorentza
Cyklotron składa się z pary metalowych wnęk umieszczonych w prostopadłym polu magnetycznym. W środku znajduje się źródło naładowanych cząstek, a pomiędzy wnęki przykłada się źródło napięcia zmiennego przyspieszającego cząstki przy każdym przejściu pomiędzy wnękami. Czas jednego obiegu cząstki po pełnym okręgu nie zależy od prędkości, a jedynie od rodzaju (masy i ładunku) cząstki oraz od przyłożonego pola magnetycznego.
Umożliwia to duże przyspieszenie cząstki, która porusza się po coraz większym okręgu i jest wielokrotnie przyspieszana
STRUMIEŃ MAGNETYCZNY Strumień magnetyczny ΔΦ przenikający przez powierzchnię ΔS , tzn. strumień wektora indukcji magnetycznej B przez element powierzchni Δ S, jest skalarem
wektor normalny do elementu powierzchni ΔS (w przypadku powierzchni zamkniętej – skierowany na zewnątrz tej powierzchni).
Strumień magnetyczny Φ przenikający przez powierzchnię S, tzn. całka powierzchniowa B po S , jest skalarem
POLE RÓWNOMIERNE Jeśli moduł, kierunek i zwrot siły lub momentu pochodzenia magnetycznego, jakie działają na określony element prądowy, są stałe w dowolnym miejscu rozważanej przestrzeni (przy jednakowym zorientowaniu elementu względem osi układu współrzędnych), to indukcja magnetyczna jest stała co do modułu, kierunku i zwrotu. Pole magnetyczne występujące w tej przestrzeni jest polem równomiernym.
STRUMIEŃ MAGNETYCZNY W równomiernym (jednorodnym) polu magnetycznym strumień magnetyczny Φ przez powierzchnię S prostopadłą do B (moduł: B) jest równy iloczynowi Strumień indukcji magnetycznej przyjmuje wartość maksymalną, gdy wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły do powierzchni a najmniejszą (równą 0), gdy jest do niej równoległy.
B S B S cos dla powierzchni płaskiej i w równomiernym polu magnetycznym Jednostką strumienia magnetycznego jest weber (Wb) wolt razy sekunda (V∙s). Spotyka się także mniejszą jednostkę makswel [Mx] → 1[Wb] = 108[Mx]
Wynika z tego, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym (solenoidalnym), a jego linie są liniami zamkniętymi. Stwierdzenie to wyraża tzw. zasadę ciągłości linii pola magnetycznego. W przestrzeni ograniczonej liniami pola magnetycznego strumień ma stała wartość.
B dS BdV = 0 S
V
Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją źródła pola magnetycznego w postaci pojedynczych biegunów magnetycznych (nie istnieją ładunki magnetyczne), dywergencja pola jest wszędzie równa zero
B dS B dS cos S
V
dla dowolnej powierzchni
Strumień magnetyczny przenikający przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru
Jest to odpowiednik prawa Gaussa dla pola elektrycznego Strumień pola magnetycznego ma wartość 1 Webera, gdy przez powierzchnię 1 metra kwadratowego ustawioną do linii pola przechodzą linie o indukcji 1 T.
PRAWO GAUSSA DLA POLA MAGNETYCZNEGO •
Liczne doświadczenia pozwalają stwierdzić, że całkowity strumień magnetyczny obliczony po powierzchni zamkniętej jest zawsze równy zeru. Strumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zero
• •
Strumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zero Stosując tw. Ostrogradzkiego - Gaussa otrzymamy
•
Ponieważ całka jest równa zero to i wyrażenie podcałkowe jest równe zero → divB = 0 CO OZNACZA, ŻE INDUKCJA B NIE MA ROZBIEŻNOŚCI, LINIE INDUKCJI MAGNETYCZNEJ SĄ ZAWSZE CIĄGŁE I TWORZĄ OBIEGI ZAMKNIĘTE. LINIE TE NIGDZIE SIĘ NIE ZACZYNAJĄ I NIGDZIE NIE KOŃCZĄ.
•
Równanie divB = 0 nazywa się równaniem ciągłości.
Ponieważ linie sił pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi, to zawsze tyle samo ich wchodzi do obszaru ograniczonego przez daną powierzchnię zamkniętą ile ich z niego wychodzi. Matematycznie możemy to stwierdzenie wyrazić w postaci prawa Gaussa.
PORÓWNANIE PÓL: MAGNETYCZNEGO I ELEKTRYCZNEGO
Linie sił pola B są zamknięte: pole magnetyczne jest „bezźródłowe” w tym sensie, że nie istnieją ładunki magnetyczne: ilość linii sił przepływających przez zamkniętą powierzchnie (czyli strumień) jest równy 0
Linie sił pola E wychodzą ze źródła – ładunku: ilość linii sił przepływających przez zamkniętą powierzchnię (czyli strumień) jest równy ładunkowi zawartemu ww. tej powierzchni (prawo Gaussa)
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Pole magnetyczne jest polem wektorowym. Do charakterystyki wektorowej pola magnetycznego (podobnie jak dla pola elektrycznego) wykorzystuje się dwie wielkości fizyczne - wektory:
B H
• wektor indukcji magnetycznej B (dla próżni BO ) • oraz wektor natężenia pola magnetycznego H , gdzie:
- przenikalność magnetyczna ośrodka
M
- namagnesowanie środowiska (polaryzacja magnetyczna)
H
B
0
M
A m
Jednostką natężenia pola magnetycznego jest amper na metr (A⋅m-1) Natężenie pola magnetycznego
r 0
M B 0 H M 0 H 1 H H
r - przenikalność magnetyczna względna ośrodka 0 - przenikalność magnetyczna próżni np. Ni – ok. 600, Fe – ok. 2 ∙ 105
m
Podatność magnetyczna określa wielkość namagnesowania jako funkcję natężenia pola magnetycznego
M M 1 0 H H
Podatność magnetyczna - (magnetic susceptibility) określa zdolność ciał do magnesowania się pod wpływem przyłożonego (zewnętrznego) pola magnetycznego.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Materia wpływa nie tylko na pole elektryczne, ale także oddziaływuje z polem magnetycznym, w którym się znajduje. Jeżeli w próżni indukcja pola magnetycznego wynosi B0, a po umieszczeniu w nim materiału indukcja B jest określona jako:
B r B0
r - przenikalność magnetyczna ośrodka
gdzie:
Wszystkie znane pierwiastki, związki chemiczne i materiały mogą zostać sklasyfikowane na podstawie ich własności magnetycznych.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Doświadczenie pokazuje, że jeżeli przewodniki z prądami zostaną umieszczone nie w próżni, a w innym środowisku, to pole magnetyczne zmieni się. Ta zmiana pola jest wynikiem powstania w danym środowisku pod wpływem pola zewnętrznego, określonej orientacji elementarnych wewnątrz molekularnych i wewnątrz atomowych prądów (prądy te tworzą elektrony krążące po orbitach i wokół własnych osi).
Obraz pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem
Elementarne prądy są zorientowane na ogół w materii chaotycznie, tak że ciało nie wykazuje stanu magnetycznego – bez oddziaływania zewnętrznego pola magnatycznego Istnieją ciała, w których elementarne prądy pod wpływem pola zewnętrznego przyjmują taką orientację, że ich pole wzmacnia pole zewnętrzne. Są to tzw. ciała paramagnetyczne i ferromagnetyczne (ruch orbitalny i wokół własnej osi – spinu). Istnieje też grupa ciał nazywanych diamagnetycznymi, w których elementarne prądy pod wpływem pola zewnętrznego przyjmują taką orientację, że ich pole osłabia pole zewnętrzne (tylko ruch orbitalny elektronów).
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Ze względu na właściwości magnetyczne stosuje się podział ciał na: a)
Ciała niemagnetyczne - różni się od 1 nieznacznie i jest wielkością stałą; należą do nich ciała diamagnetyczne ( < 1) i ciała paramagnetyczne ( > 1). Wartość w obu wypadkach różni od jedności nie więcej niż o 0,001. np. przenikalność magnetyczna względna diamagnetyków jest znikomo mniejsza, a paramagnetyków – znikomo większa od 1 (np. srebro ma µr ≅0,99998, zaś aluminium 1,00002).
b)
Ciała magnetyczne - wynosi od 10 do kilku tysięcy, a w specjalnych stopach magnetycznych dochodzi do setek tysięcy i jest w dużym stopniu zależna od natężenia pola magnetycznego. Typowymi przedstawicielami tych ciał są ferromagnetyki, do których należą żelazo, kobalt, nikiel itp.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Wszystkie znane pierwiastki, związki chemiczne i materiały mogą zostać sklasyfikowane na podstawie ich własności magnetycznych. Każdy pierwiastek chemiczny wykazuje jeden z czterech podstawowych typów magnetyzmu: • • • •
diamagnetyzm, paramagnetyzm, ferromagnetyzm ferrimagnetyzm
• wnikające pole magnetyczne ulega niewielkiemu wzmocnieniu, a więc μ > 1. Takie substancje nazwano paramagnetykami. Paramagnetyki posiadają własny moment magnetyczny ustawiający się zgodnie z zewnętrznym polem, (Mn, Sn, Al, Pt) • wnikające pole magnetyczne ulega niewielkiemu osłabieniu, a więc μ < 1. Takie substancje nazwano diamagnetykami. Diamagnetyki nie posiadają własnego momentu magnetycznego, indukuje się w nich przeciwne pole magnetyczne (Bi, Zn, Pb, Ag, Au, Hg). Wszystkie materiały mają własności diamagnetyczne ale zazwyczaj są one przesłonięte przez paramagnetyzm • wnikające pole magnetyczne ulega znacznemu wzmocnieniu, a więc μ >> 1. Takie substancje nazwano ferromagnetykami. Ferromagnetyki wykazują się istnieniem obszarów stałego namagnesowania zwanych domenami. Własność tą tracą powyżej temperatury Curie (Fe, Ni, Co).
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Elektron w atomie ma moment pędu, zwany orbitalnym momentem pędu L, oraz towarzyszący mu orbitalny moment magnetyczny .L
Elektron ma swój własny moment pędu, nazywany spinowym momentem pędu (albo po prostu spinem) S. Z tym spinem związany jest własny spinowy moment magnetyczny S
O magnetycznych właściwościach ciał decyduje budowa atomów i ich przestrzenne, wzajemne ułożenie. Tzw. prądy molekularne, odpowiadające orbitalnym i spinowym ruchom elektronów oraz przypisanym im orbitalnym i spinowym momentom magnetycznym, są głównym źródłem wypadkowych pól magnetycznych atomów. Ruchom protonów i neutronów wewnątrz jader atomów odpowiadają wypadkowe momenty magnetyczne jader, ale są one około 2000 razy mniejsze od orbitalnego i spinowego momentu elektronu.
MOMENT MAGNETYCZNY ATOMU TO SUMA JEGO MOMENTÓW MAGNETYCZNYCH ORBITALNYCH I SPINOWYCH
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Jądro atomowe Elektron poruszający się po zamkniętej powłoce jest równoważny mikroskopijnej pętli z prądem, wytwarzającej własne pole magnetyczne
Elektron
Atomy będące elementarnymi magnesami – atomy, które wytwarzają pole magnetyczne wokół siebie, bo mają nieparzystą liczbę elektronów walencyjnych Atomy nie będące elementarnymi magnesami – atomy, które nie wytwarzają pola magnetycznego wokół siebie. Mają parzystą liczbę elektronów walencyjnych i ich pola się znoszą.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Dia – oddzielny, osobny
Diamagnetyki
Diamagnetyki - substancje wykazujące zjawisko diamagnetyzmu. Diamagnetyki są to gazy, ciecze oraz ciała stałe złożone z atomów (cząsteczek) nie mających stałego momentu magnetycznego (spin całkowity równa się zeru). Ciała o przenikalności magnetycznej mniejszej niż przenikalność magnetyczna próżni i ujemnej podatności magnetycznej; podatność magnetycznej większości diamagnetyków, jak np. gazy szlachetne, większość związków organicznych, niektóre metale (cynk, złoto, srebro, miedź, rtęć), półprzewodniki, nie zależy od temperatury; zależność podatności magnetycznej od temperatury wykazują grafit, bizmut, antymon. Idealny diamagnetyzm wykazują nadprzewodniki, których wnętrze jest całkowicie izolowane od zewnętrznego pola magnetycznego (zjawisko Meissnera). W normalnych substancjach diamagnetyzm jest efektem bardzo słabym i może być obserwowany jedynie wtedy, gdy nie istnieją w nich trwałe momenty magnetyczne, prowadzące do zjawiska paramagnetyzmu lub ferromagnetyzmu. Diamagnetyzm – zjawisko polegające na indukcji w ciele znajdującym się w zewnętrznym polu magnetycznym pola przeciwnego, osłabiającego działanie zewnętrznego pola.
wzgl 1 wzgl próżni
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Diamagnetyki
Jeśli atomy ciała nie wytwarzają wypadkowego pola magnetycznego w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego, czyli pola orbitalne oraz spinowe atomów kompensują się, to ciało takie zalicza się do diamagnetyków Diamagnetyki charakteryzują się przenikalnością magnetyczną względną mniejszą od jedności wzgl 1 W niejednorodnym polu magnetycznym na diamagnetyki działa siła skierowana w kierunku słabszego pola.
Atomy nie posiadają gotowych momentów magnetycznych → samorzutnie nie wykazują właściwości magnetycznych; po umieszczeniu w zewnętrznym polu magnetycznym powstaje w nich pole magnetyczne, skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego wyrażający się osłabieniem w nikłym stopniu pola zewnętrznego, określa się jako → efekt diamagnetyczny.
Pojawiają się momenty magnetyczne wyindukowane → diamagnetyk jest wypychany z obszaru pola magnetycznego (odpychanie przez magnes, zjawisko lewitacji).
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Para – gr. wzdłuż
Paramagnetyki
Jeśli atomy ciała wytwarzają wypadkowe pole magnetyczne, czyli pola orbitalne oraz spinowe atomów nie kompensują się, a kierunki i zwroty pól w ramach tworzonych przez cząsteczki struktur przestrzennych są zupełnie dowolne, to ciało takie zalicza się do paramagnetyków → cząsteczki (atomy) p. mają własny moment magnetyczny. Paramagnetyki charakteryzuje przenikalność magnetyczna nieco większa od jedności wzgl 1 W niejednorodnym polu magnetycznym na paramagnetyki działa siła skierowana w kierunku silniejszego pola.
Posiadają trwałe dipolowe momenty magnetyczne, które zmieniają swoją orientację przestrzenną pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego z chaotycznej na częściowo uporządkowaną
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Paramagnetyki
Atomy paramagnetyków można przedstawić jako elementarne magnesy, które dążą do zajęcia położenia zgodnego z polem zewnętrznym. Działanie to, utrudniane w znacznym stopniu przez ruchy cieplne cząsteczek, prowadzi do powstania wypadkowego wewnętrznego pola magnetycznego, skierowanego zgodnie z polem zewnętrznym. Wynikiem jest niewielkie wzmocnienie pola zewnętrznego, określane jako efekt paramagnetyczny. Diamagnetyki są przez magnes słabo odpychane, a paramagnetyki słabo przyciągane.
W zewnętrznym polu magnetycznym paramagnetyki ustawiają się wzdłuż linii sił pola magnetycznego (para w języku greckim oznacza wzdłuż)
paramagnetyk
N
S W nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego paramagnetyk nie jest namagnesowany
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Paramagnetyki
Paramagnetyki - substancje, które magnesują się pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego. Po usunięciu zewnętrznego pola, substancje te tracą swoje namagnesowanie. Do paramagnetyków należą m.in. tlen (O2), tlenek azotu (II) (NO), lit, sód, potas, magnez, wapń, glin, roztwory wodne soli zawierających jony pierwiastków przejściowych, niektóre z tych soli w postaci krystalicznej. • Dipole magnetyczne paramagnetyka w zewnętrznym polu magnetycznym dążą do ustawienia zgodnego z kierunkiem pola magnetycznego; • Paramagnetyk jest przyciągany przez magnes, jednak znacznie słabiej niż ferromagnetyk. • W zewnętrznym polu na momenty magnetyczne cząsteczek działa moment siły porządkujący je tak, że wytworzone przez nie pole magnetyczne dodaje się do pola zewnętrznego. • Procesowi porządkowania przeciwdziałają drgania termiczne. • Podatność magnetyczna paramagnetyka jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury → prawo Curie. • Paramagnetyki są „wciągane” do pola magnetycznego (działa na nie siła skierowana w stronę rosnącego pola magnetycznego).
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Ferrum – łac. żelazo
Ferromagnetyki
Nadzwyczajne właściwości magnetyczne wykazują ferromagnetyki. Ich kryształy dzielą się na elementarne przestrzenne obszary samorzutnego namagnesowania, w których atomowe pola magnetyczne (typu paramagnetycznego) są zorientowane zgodnie, chociaż w różny sposób w poszczególnych obszarach. Obszary te nazwano domenami magnetycznymi.
Ferromagnetyk w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego
Domena magnetyczna wymiary około 0,0001-0,01 m
Do ferromagnetyków należą m.in.: żelazo, kobalt, nikiel oraz niektóre stopy
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Ferromagnetyki
Domeny wyraźnie reagują na pojawienie się zewnętrznego pola magnetycznego. Dążą do zorientowania swych pól zgodnie z polem zewnętrznym (dotyczy to głównie momentów spinowych elektronów) przez przejmowanie i podporządkowanie tej orientacji części cząsteczek sąsiednich domen i przez „poprawę” własnego ustawienia. Nazywa się to poglądowo obrotem i rozrostem domen, chociaż jedno i drugie zjawisko polega w zasadzie na tym samym: zmianie orientacji momentu dipoli magnetycznych. Efektem tego „przeorientowania” jest magnesowanie się ciała.
Ferromagnetyk w niezerowym polu magnetycznym
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Ferromagnetyki
Ferromagnetyk nienamagnesowany jest silnie przyciągany przez magnes, bowiem w wyniku przeorientowania domen sam staje się magnesem. W niektórych substancjach, zwanych ferromagnetykami, wewnętrzne (własne) pole magnetyczne może setki, tysiące a nawet, w przypadku specjalnych stopów, miliony razy przewyższać wywołujące je zewnętrzne pole magnetyczne. Jakkolwiek związek między zewnętrznym i wewnętrznym polem magnetycznym w ferromagnetykach nie jest, jak będzie omawiane dalej, jednoznaczny, można formalnie przyjąć, że ferromagnetyki charakteryzuje bardzo duża względna przenikalność magnetyczna, rzędu µwzgl ≈ 102 − 106. Ciała ferromagnetyczne wykazują zdolność zachowywania uporządkowanej orientacji domen po zaniku zewnętrznego pola magnetycznego – zwaną magnetyzmem szczątkowym – mogą one wytwarzać na zewnątrz pole magnetyczne (magnes trwały). Zależnie od tego, jak jest ono duże, mówi się o materiale, że jest magnetycznie miękki albo magnetycznie twardy.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Ferromagnetyki
Zależność indukcji B od natężenia pola magnetycznego H dla ciał ferromagnetycznych podaje się zwykle w postaci krzywych zwanych charakterystykami magnesowania. Charakterystyki te określa się przez pomiary używając próbek z badanego materiału wykonanych w kształcie zamkniętego obwodu o jednakowym przekroju, przy czym uzwojenie nawinięte jest równomiernie na całej długości.
Magnesowanie próbki rozmagnesowanej do zera (H = 0 i B = 0) przy monotonicznie rosnącym natężeniu pola magnetycznego (prądu magnesującego w uzwojeniu) przebiega wg. tzw. pierwotnej krzywej magnesowania
B
4 3 2
-Hx 0
1 Hx
H
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Ferromagnetyki
Histereza (gr. hystérēsis ‘brak’, ‘niedostatek’), fiz. zależność zmiany parametrów (charakteryzujących stan układu lub jego właściwości), wywołanej zmianami czynników zewn., od historii układu (tzn. stanów poprzedzających dany stan); Graficznym przedstawieniem jest pętla histerezy obrazująca niejednoznaczną zależność polaryzacji magnetycznej (namagnesowania) od natężenia zewnętrznego pola magnetycznego Histereza - przebieg procesu magnesowania, rozmagnesowywania i ponownego namagnesowania ferromagnetyka przy zmianach wartości i zwrotu natężenia pola magnesującego Charakterystyka ta początkowo ma małą stromość 1 - 2, potem stromość się zwiększa, aż osiągnie obszar, w którym mimo wzrostu natężenia pola indukcja magnetyczna wzrasta bardzo nieznacznie – jest to tzw. nasycenie. Tłumaczy się je jako wynik ustawienia się pól wszystkich domen zgodnie z kierunkiem pola zewnętrznego. Przy cyklicznym przemagnesowywaniu materiału ferromagnetycznego od –Hx do +Hx i z powrotem do –Hx Charakterystyka B = f(H) zakreśla krzywą zamkniętą zwaną pętlą histerezy.
B
4 3 2
-Hx 0
1 Hx
H
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Ferromagnetyki
Magnesowanie nie zachodzi bez przeszkód: ściany domen są przytrzymywane przez defekty struktury materiału, a odrywanie się ścian od defektów powoduje skokowe zmiany namagnesowania (zjawisko Barkhausena). Z tego samego powodu po usunięciu zewnętrznego pola magnesującego pole wewnątrz ferromagnetyka nie spada do zera, ale pozostaje pewna pozostałość magnetyczna. Dla jej usunięcia trzeba przyłożyć zewnętrzne pole zwane polem koercji. ZJAWISKO TO NAZYWAMY HISTEREZĄ. Materiały o dużej koercji (o szerokiej pętli histerezy) nazywa się magnetycznie twardymi, a o małej magnetycznie miękkimi.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Zjawisko Barkhausena
Heinrich Georg Barkhausen (1881-1956) - niemiecki fizyk i elektrotechnik. Autor prac głównie z zakresu magnetyzmu oraz radiotechniki. Jako pierwszy opisał zjawisko Barkhausena. Był profesorem Uniwersytetu Technicznego w Dreźnie.
Odrywanie się ścian domen od defektów, powodujące skokowe zmiany namagnesowania to zjawisko Barkhausena. Możemy je zaobserwować umieszczając dookoła ferromagnetyka cewkę, w której wystąpią zmiany strumienia pola magnetycznego, a te z kolei zaindukują siłę elektromotoryczną
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Na podstawie pierwotnej charakterystyki magnesowania definiuje się: przenikalność magnetyczną statyczną (dla danego punktu charakterystyki magnesowania): przenikalność magnetyczną maksymalną (jest to przenikalność statyczna w punkcie styczność pierwotnej charakterystyki magnesowania i prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych): przenikalność magnetyczną dynamiczną (nazywana nachyleniem charakterystyki magnesowania):
st
B3 H3
m
B2 H2
B dB H 0 H dH
d lim
przenikalność magnetyczną początkową (d w punkcie H = 0, czyli nachylenie stycznej do pierwotnej charakterystyki magnesowania w początku układu współrzędnych:
Pierwotna krzywa magnesowania
0r
dB dH H 0
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Jeśli proces cyklicznego przemagnesowywania powtarzać stopniowo zwiększając wartość natężenia pola magnetycznego, to otrzymuje się rodzinę pętli histerezy oraz graniczną pętlę histerezy odpowiadającą wartości natężenia pola ±Hm, przy której osiąga się stan nasycenia w materiale ferromagnetycznym. Zwiększenie wartości H powyżej Hm nie powoduje zwiększenia pola powierzchni histerezy. Pole to przedstawia straty energii na przemagnesowanie materiału.
B +Br
-Hm-Hc +Hc +Hm
-Br
H
Graniczna pętla histerezy odcina na osi rzędnych wartości indukcji szczątkowej (indukcji remanentu) Br, tzn. jest to indukcja jaka pozostaje w rdzeniu ferromagnetycznym po wyłączeniu prądu magnesowania gdy uprzednio namagnesowano go do stanu nasycenia.
Na osi odciętych graniczna pętla histerezy wyznacza wartość ujemnego natężenia pola Hc zwanego natężeniem powściągającym albo natężeniem koercji, potrzebnego do całkowitego usunięcia indukcji szczątkowej Br.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII W zależności od kształtu pętli histerezy materiały magnetyczne dzielimy na magnetycznie miękkie i twarde.
materiał magnetycznie miękki B +Br
-Hc
materiał magnetycznie twardy
+Hc
H
-Br
Typowe pętle histerezy materiałów magnetycznych
•
• •
materiały magnetycznie twarde (używane jako magnesy trwałe) miękkie (magnetyczne rdzenie transformatorów i silników) półtwarde (magnetyczne nośniki danych).
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Strata energii na jeden cykl przemagnesowania jest proporcjonalna do powierzchni pętli histerezy. Dla obwodów magnetycznych pracujących w warunkach ciągłego przemagnesowywania rdzenia (np. rdzenie transformatorów) celowe jest stosowanie materiałów o wąskiej pętli histerezy (materiałów magnetycznie miękkich). Materiały magnetycznie miękkie odznaczają się małym natężeniem koercji (blachy magnetycznie miękkie – używane do budowy maszyn i transformatorów – 50100 A/m). Do wyrobu magnesów trwałych (materiały magnetycznie twarde – 7000 A/m stal węglowa, do 40000 A/m stopy magnetyczne np. almico, magnico).
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
W materiałach magnetycznie półtwardych powierzchnia pętli histerezy jest optymalizowana jako kompromis pomiędzy ilością energii zgromadzonej w magnetyku a łatwością jego przemagnesowania (łatwością odczytu/zapisu informacji). Wartości stosowanych koercji materiałów magnetycznie półtwardych są pośrednie pomiędzy materiałami miękkimi i twardymi (jednak bardziej w kierunku materiałów twardych – stąd też nazwa półtwarde). W materiałach magnetycznie twardych (czyli w magnesach trwałych) parametrem najważniejszym jest ilość zgromadzonej energii magnetycznej, toteż dąży się do osiągnięcia maksymalnej szerokość pętli histerezy. Parametrem charakterystycznym każdego magnesu jest wartość (B·H)max, którą wylicza się jako wartość maksymalną iloczynu BH z fragmentu histerezy leżącego w drugiej ćwiartce układu osi współrzędnych (tzw. krzywa odmagnesowania).
B +B r
-HmHc
+H +Hm c
-Br
H
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Substancje wykazujące histerezę to materiały magnetycznie półtwarde, są one wykorzystywane do zapisu informacji w twardych dyskach, dyskietkach, taśmach magnetycznych, kartach kredytowych itp. Po namagnesowaniu fragmentu materiału półtwardego i usunięciu pola magnesującego materiał taki pozostaje namagnesowany. Namagnesowanie to jest zależne (prawie proporcjonalnie) od natężenia pola magnesującego, co jest wykorzystywane np. w analogowych systemach zapisu dźwięku i obrazu.
B +B r
-HmHc
+H +Hm c
-Br
Ferromagnetyzm jest własnością kryształów a nie pojedynczych atomów. Dowodzi tego m.in. fakt, że sole żelaza nie wykazują własności ferromagnetycznych natomiast niektóre stopy pierwiastków, które oddzielnie nie mają własności ferromagnetycznych, są ferromagnetykami (np. stop Heuslera Cu2MnAl). Ferromagnetyzm jest więc związany z oddziaływaniem między sąsiednimi atomami w sieci krystalicznej ciała stałego.
H
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Temperatura (punkt) Curie Powyżej pewnej temperatury (zwanej temperaturą Curie) energia drgań termicznych jest wystarczająca do zerwania uporządkowania i zjawisko ferromagnetyczne zanika. Ciało staje się zwykłym paramagnetykiem. Temperatura Curie (oznaczana TC) − temperatura, powyżej której ferromagnetyk gwałtownie traci swoje właściwości magnetyczne i staje się paramagnetykiem, zjawisko to wynika ze zmiany fazy ciała stałego. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego fizyka Piotra Curie, męża Marii SkłodowskiejCurie. W temperaturze niższej od temperatury Curie dipole magnetyczne atomów lub cząsteczek ustawiane są przez wiązania chemiczne w jednym kierunku tworząc domeny ferromagnetyczne. W temperaturze powyżej temperatury Curie drgania cieplne sieci krystalicznej niszczą ustawienia dipoli magnetycznych, dipole wykonują drgania.
Pierre Curie (1859 - 1906) – francuski fizyk, wykładowca na uniwersytecie w Paryżu, mąż Marii Skłodowskiej - Curie
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Temperatura (punkt) Curie
POLE MAGNETYCZNE W MATERII Temperatura (punkt) Curie
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Diamagnetyki
Paramagnetyki Objętościowa podatność paramagnetyczna w temperaturze pokojowej jest rzędu 10-6. W materiałach izotropowych podatność magnetyczna zależy od temperatury zgodnie z prawem Curie:
N 2 C 3k B gdzie C – stała Curie.
N – ilość atomów na jednostkę objętości, moment magnetyczny pojedynczego atomu
Oddziaływanie paramagnetyczne tych substancji wzrasta wraz ze spadkiem temperatury i staje się silne w zakresie temperatur bliskich temperaturze zera bezwzględnego. Przykładami są m.in.: aluminium, NaCl (sól kuchenna), wolne rodniki organiczne (substancje organiczne z niesparowanymi elektronami).
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
Ferromagnetyki Ferromagnetyki to materiały, w których w niskich temperaturach występuje spontaniczne namagnesowanie tzn. istnieje niezerowy moment magnetyczny nawet w nieobecności zewnętrznego pola magnetycznego. W temperaturze zera bezwzględnego, orientacja momentów magnetycznych jest całkowita i namagnesowanie spontaniczne osiąga swoją maksymalną wartość. Ze wzrostem temperatury, na skutek fluktuacji cieplnych, następuje rozporządkowanie orientacji poszczególnych momentów magnetycznych, w skutego czego namagnesowanie spontaniczne maleje ze wzrostem temperatury. Powyżej pewnej temperaturze krytycznej TC, zwanej temperaturą Curie, w której zachodzi przemiana fazowa II-ego rodzaju, spontaniczne namagnesowanie znika i układ wykazuje zachowanie paramagnetyczne. Temperaturową zależność podatności magnetycznej ferromagnetyka powyżej temperatury Curie określa tzw. prawo Curie-Weissa:
Gdy ferromagnetyk jest rozmagnesowany, kierunki namagnesowania w różnych domenach zorientowane są w sposób chaotyczny i stąd właśnie wynika zerowy wypadkowy moment magnetyczny w przypadku nieobecności pola magnetycznego. W momencie gdy zostaje przyłożone niewielkie zewnętrzne pole magnetyczne ferromagnetyk namagnesowuje się trwale, na skutek ustawienia się wektorów namagnesowania poszczególnych domen w kierunku zewnętrznego pola. Wzrost natężenia pola magnetycznego powoduje zwiększenie objętości domen, których kierunki dipolowych momentów magnetycznych są zbliżone do kierunku pola magnetycznego i jednocześnie zmniejszanie objętości tych domen, których kierunki momentów są znacząco różne od kierunku pola magnetycznego, aż do ich całkowitego zaniku, co ostatecznie powoduje, że materiał wchodzi w stan nasycenia Ms
PRAWO BIOTA-SAVARTA-LAPLACE’A. W środowisku jednorodnym i izotropowym obowiązuje zasada superpozycji pól magnetycznych pochodzących od różnych źródeł. Natężenie pola pochodzące od przewodu z prądem jest równe sumie natężeń pochodzących od odcinków tego przewodu. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego B (H), której źródłem jest element przewodnika dl przez który płynie prąd elektryczny I
Natężenie pola dH → pochodzące z elementarnego odcinka przewodu dl z prądem i w punkcie położonym w odległości r od dl → w postaci wektorowej albo skalarnej:
Równanie, zwane prawem Biota – Savarta, pozwala obliczyć B (H) z rozkładu prądu. Gdy rozkład prądów jest złożony (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nieskończenie małe elementy i stosując prawo Biota – Savarta obliczamy pole od takich elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy) żeby uzyskać wypadkowy wektor B (H).
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem – Siła elektrodynamiczna Na początku XIX w H. Oersted zauważył, że gdy przez przewodnik ustawiony równolegle pod igłą magnetyczną popłynie prąd elektryczny to zmieni ona swoje położenie.
A.Ampere skojarzył to zjawisko z oddziaływaniem biegunów magnetycznych i doszedł do wniosku, że prąd płynący w przewodniku jest źródłem pola magnetycznego. Jak wiemy przepływ prądu polega na uporządkowanym ruchu ładunków elektrycznych, oznacza to, że poruszające się ładunki elektryczne są źródłem pola magnetycznego. Także właściwości magnetyczne substancji możemy wyjaśnić uwzględniając ruch elektronów w atomach. Doświadczalnie stwierdzono, że umieszczony w pobliżu przewodnika magnes działa na ten przewodnik tylko wtedy jeżeli przez przewodnik płynie prąd elektryczny oznacza to, że pole magnetyczne działa tylko na poruszające się ładunki elektryczne.
PRAWO BIOTA-SAVARTA-LAPLACE’A. Hans Christian Oersted odkrył, prostoliniowego przewodnika, w którym elektryczny, istnieje pole magnetyczne.
że wokół płynie prąd
Francuscy uczeni - J. Biot i F. Savart kontynuowali badania Oersteda. Starali się znaleźć ogólny wzór określający pole magnetyczne wytworzone przez przewodnik z prądem o dowolnym kształcie. W wyniku licznych doświadczeń uczeni do wniosków: • indukcja magnetyczna w danym punkcie jest wprost proporcjonalna do natężenia prądu płynącego w przewodniku • indukcja magnetyczna w danym punkcie zależy od kształtu i rozmiarów przewodnika, w którym płynie prąd J.Biot i F. Savart podali wzory dla poszczególnych przypadków m.in. dla przewodnika prostoliniowego i dla solenoidu, nie potrafili jednak wyprowadzić wzoru ogólnego. Dopiero Laplace sformułował ogólne rozwiązanie tego zagadnienia. Stwierdził on, że indukcja magnetyczna w danym punkcie pola magnetycznego wytworzona przez przewodnik z prądem o dowolnym kształcie jest sumą wektorową indukcji pochodzących od małych odcinków przewodnika z prądem. Laplace zakładał, że obowiązuje zasada superpozycji tzn. niezależnego działania pól. Uzyskany przez Laplace'a wzór określany jest obecnie jako prawo Biota - Savarta - Laplace'a.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A)
Całka liniowa wektora natężenia pola magnetycznego H po krzywej zamkniętej (całka okrężna) równa się sumie prądów przenikających (przepływowi prądu Q ) przez powierzchnie rozpiętą na tej krzywej
Krążenie wektora indukcji B po dowolnej krzywej zamkniętej jest proporcjonalne do sumy natężeń prądów Ii zawartych wewnątrz tej krzywej. ΔLi oznacza fragment krzywej dla której indukcja ma stałą wartość.
Wartość całki jest w ogólnym przypadku różna od zera. Pole magnetyczne jest wiec polem wirowym.
n
B dl k 1
i
i
n
O ik k 1
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Pole magnetyczne pochodzące od nieskończenie długiego przewodnika z prądem Linie sił pola magnetycznego. Nie mają początku ani końca tworząc zamknięte kręgi. Zwrot linii sił pola wyznaczamy stosując regułę prawej dłoni. Symbol oznaczający wektor skierowany za slajd Symbol oznaczający wektor skierowany przed slajd
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Pole magnetyczne pochodzące od nieskończenie długiego przewodnika z prądem W przypadku przewodnika prostoliniowego w którym płynie prąd o natężeniu I linie sił pola magnetycznego mają kształt współśrodkowych okręgów. Natężenie pola magnetycznego w danym punkcie przestrzeni jest styczne do przechodzącej przez ten punkt linii sił pola i posiada jednakową wartość dla punktów jednakowo odległych od przewodnika.
H = I / 2πr Przewodnik w kształcie okręgu, w którym płynie prąd elektryczny jest dipolem magnetycznym. Jeżeli płynie w nim prąd o natężeniu I, a przewodnik ma kształt okręgu o promieniu r to:
H = I / 2r Natężenie pola magnetycznego jest prostopadłe do płaszczyzny w której płynie prąd elektryczny, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej: jeżeli obracamy śrubę prawoskrętną zgodnie z kierunkiem przepływu prądu, to ruch postępowy śruby wyznacza kierunek i zwrot natężenia pola magnetycznego
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Pole magnetyczne pochodzące od przewodnika z prądem
Linie pola magnetycznego wokół nieskończenie długiego przewodnika z prądem układają się koncentrycznie
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Pole magnetyczne pochodzące od przewodnika z prądem Pole magnetyczne pętli z prądem
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem – Siła elektrodynamiczna Jeżeli w przewodniku umieszczonym w polu magnetycznym płynie prąd elektryczny, to na poruszające się w nim ruchem uporządkowanym elektrony działa siła Lorentza.
F Qv B Elektrony oddziaływując z jonami sieci krystalicznej metalu przekazują tą siłę na przewodnik. Oznacza to, że na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym działa siła zwana siłą elektrodynamiczną równa sumie sił działających na poruszające się w nim ładunki elektryczne. Siła elektrodynamiczna zależy od natężenia prądu płynącego przez przewodnik, jego długości, oraz indukcji magnetycznej
F I l B ,gdzie: zwrot l jest zgodny z umownym kierunkiem przepływu prądu I.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem – Siła elektrodynamiczna
Ponieważ przepływ prądu przez przewodnik polega na ruchu w nim nośników ładunku, na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym również działa siła zwana siłą elektrodynamiczną Siła działająca na prostoliniowy odcinek przewodnika , w którym: q - całkowity ładunek nośników w rozważanym odcinku, v - szybkość ich ruchu w przewodniku.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem – Siła elektrodynamiczna Szybkość v nośników ładunku jest związana z natężeniem prądu I w przewodniku. Z definicji natężenia prądu mamy:
gdzie: jest czasem przepływu ładunku q przez przewodnik o długości l.
Rozpatrywany odcinek przewodnika możemy uważać za wektor o zwrocie zgodnym z kierunkiem przepływu prądu. Wzór można wtedy zapisać w postaci wektorowej
Siła elektrodynamiczna
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem – Siła elektrodynamiczna
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem
B - rzut wektora indukcji magnetycznej na
kierunek prostopadły do elementu długości przewodnika, l - rzut wektora długości przewodnika na kierunek prostopadły do linii sił pola magnetycznego. WARTOŚĆ SIŁY ELEKTRODYNAMICZNEJ α jest kątem między wektorami l i B
- stałe pole magnetyczne nie działa na przewodnik w którym prąd płynie równolegle do linii sił pola magnetycznego - siła elektrodynamiczna jest prostopadła do przewodnika czyli nie wpływa na natężenie płynącego w nim prądu.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem Linie sił pola magnetycznego możemy zaobserwować przy pomocy igieł magnetycznych lub opiłków żelaznych, które magnesując się w polu magnetycznym stają się małymi igiełkami magnetycznymi. Igła magnetyczna ustawia się stycznie do linii sił pola magnetycznego przy czym kierunek od jej bieguna południowego do północnego określa zwrot linii sił pola magnetycznego.
Pole magnetyczne wokół przewodnika prostoliniowego w którym płynie prąd elektryczny Zwrot linii sił pola magnetycznego wokół przewodnika, w którym płynie prąd określamy zgodnie z regułą prawej dłoni, lub zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej: • •
jeżeli odchylony kciuk wskazuje umowny kierunek przepływu prądu (zwrot prędkości ładunku dodatniego), to zgięte wokół przewodnika cztery palce pokazują zwrot linii sił pola magnetycznego; jeżeli obracamy śrubę prawoskrętną tak, że jej ruch postępowy wskazuje umowny kierunek przepływu prądu (zwrot prędkości ładunku dodatniego), to jej ruch obrotowy określa zwrot linii sił pola magnetycznego.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem
W przypadku, gdy przewodnik ustawiony jest prostopadle do linii pola, kierunek i zwrot siły elektrodynamicznej wyznaczamy, stosując regułę lewej dłoni: jeżeli lewą dłoń ustawimy w polu magnetycznym tak, aby linie tego pola były zwrócone prostopadle ku wewnętrznej powierzchni dłoni (przebijały wnętrze dłoni), a cztery wyprostowane palce wskazywały kierunek prądu, to odchylony o 90 stopni kciuk wskaże kierunek i zwrot siły elektrodynamicznej działającej na przewodnik.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem Położone blisko siebie przewody z prądem przyciągają się lub odpychają. Oddziaływania tego rodzaju zwykło się określać jako elektrodynamiczne. W przypadku dwóch prostoliniowych, nieskończenie długich, biegnących równolegle do siebie, cienkich przewodów z prądem
siła Ampere’a działająca na jednostkę długości pierwszego przewodu, pochodząca od prądu drugiego przewodu
siła Ampere’a działająca na jednostkę długości drugiego przewodu, pochodząca od prądu pierwszego przewodu
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem Przewodniki, w których płynie prąd elektryczny, oddziaływają na siebie wzajemnie siłami elektrodynamicznymi. Przewodnik 1 w którym płynie prąd o natężeniu I1 wytwarza wokół siebie pole magnetyczne. Natężenie tego pola w miejscu gdzie znajduje się przewodnik 2 wynosi H1 = I1 / 2πr , a indukcja magnetyczna: B1 = μoI1 / 2πr i ma zwrot za płaszczyznę rysunku.. Siła elektrodynamiczna działająca w polu magnetycznym wytworzonym przez przewodnik 1, na odcinek przewodnika 2 o długości 1, w którym płynie prąd o natężeniu I2, ma wartość
działa w płaszczyźnie rysunku i ma zwrot do przewodnika I. Oczywiście siła działająca ze strony przewodnika 2, na odcinek o długości l przewodnika 1, ma identyczną wartość i kierunek oraz zwrot do przewodnika 2
Jeżeli prądy w obu przewodnikach płyną w tą samą stronę, to przewodniki przyciągają się gdy w strony przeciwne odpychają się.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem
Widać, że przewody odpychają się przy przeciwnym zwrocie prądów, a przyciągają – przy zgodnym
Jeśli:
W ten sposób, za pomocą siły oddziaływania elektrodynamicznego przewodów z prądem elektrycznym, definiuje się podstawowa jednostkę elektryczną: 1 amper (A) jest natężeniem prądu, który płynąć w dwóch prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o pomijalnie małym przekroju kołowym, umieszczonych w próżni i biegnących równolegle do siebie w odległości 1 m, wywołuje miedzy nimi siłę równa 2×10-7 N na każdy metr długości.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Siła działająca na przewodnik z prądem
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy Ramka w której płynie prąd zachowuje się w polu magnetycznym tak samo jak lekki magnes (igła magnetyczna) nazywamy ją dipolem magnetycznym, a jej bieguny magnetyczne określamy jako: Jeżeli patrząc w światło ramki widzimy przepływ prądu w ramce jako przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara, to przed płaszczyzną ramki jest biegun północny - N. Jeżeli patrząc w światło ramki widzimy przepływ prądu w ramce jako zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to przed płaszczyzną ramki jest biegun południowy - S. Oddziaływanie pola magnetycznego na ramkę w której płynie prąd elektryczny pozwala zrozumieć zasadę działania mierników prądu (amperomierza i woltomierza) oraz silnika prądu stałego.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy
Moment magnetyczny obwodu z prądem Oddziaływanie jednorodnego pola magnetycznego na prostokątną ramkę, w której płynie prąd elektryczny, mogącą się obracać wzdłuż osi 00'
Na obrót ramki wokół osi 00' mają wpływ jedynie siły elektrodynamiczne działające na boki b ramki o wartościach F1 = F2 = BIb (wartości sił działających na boki „b" ramki nie zmieniają się przy obrocie ramki ponieważ jest w każdym położeniu ramki prostopadłe do boków „b").
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy Na ramkę działa moment pary sił elektrodynamicznych powodujący jej obrót w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara o wartości równej M = I·a·b·B·sinα jeżeli I·a·b = I·S oznaczymy przez pm i nazwiemy momentem magnetycznym, to M = pm·B·sinα
Moment magnetyczny jest wektorem prostopadłym do powierzchni ramki o zwrocie określonym tak, aby z jego końca widać było przepływ prądu w ramce jako przeciwny do kierunku obie u wskazówek zegara. Pod działaniem momentu pary sił elektrodynamicznych ramka obróci się wokół osi 00' tak, aby płaszczyzna ramki była prostopadła do linii sił pola magnetycznego, a zwrot wektora był zgodny ze zwrotem pola magnetycznego.
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy
PRAWO PRZEPŁYWU PRĄDU (PRAWO AMPERE’A) Magnetyczny moment dipolowy
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA) Symetria zjawisk elektromagnetycznych Przepływ prądu elektrycznego
Pole magnetyczne
Pole magnetyczne
Przepływ prądu elektrycznego
Elektryczność i magnetyzm nie są niezależnymi zjawiskami, lecz jakby dwiema stronami tego samego zjawiska: elektromagnetyzmu. Zjawiska elektryczne i magnetyczne są współzależne. Czasem zjawiska elektryczne powodują zjawiska magnetyczne: - gdy płynął prąd elektryczny , powstawało pole magnetyczne. Czasem zjawiska magnetyczne powodują zjawiska elektryczne: *gdy zmienia się pole magnetyczne, to powstaje prąd elektryczny
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA) Symetria zjawisk elektromagnetycznych
Pole magnesu sztabkowego
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA) Symetria zjawisk elektromagnetycznych
ZWOJNICA - CEWKA - SOLENOID
Spirala zwinięta z przewodnika zwana solenoidem, w której płynie prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne, które na zewnątrz zwojnicy jest identyczne z polem magnesu sztabkowego przy czym jej bieguny możemy określić analogicznie jak dla ramki, w której płynie prąd elektryczny. Jeżeli patrząc prostopadle w światło zwojów solenoidu widzimy przepływ prądu jako zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to przed nami jest biegun południowy zwojnicy. Wykorzystując opiłki żelazne można wykazać, że wewnątrz zwojnicy pole magnetyczne jest jednorodne, a zwrot jego linii sił jest od bieguna południowego zwojnicy do północnego Linie sił pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi tzn. nie mają ani początku ani końca. Oznacza to, że pole magnetyczne jest polem innego typu niż np. pole elektryczne gdzie linie sił pola zaczynały się w ładunkach dodatnich, a kończyły w ładunkach ujemnych. Ponieważ linie sił pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi, a biegunów magnetycznych nie można rozdzielić mówimy, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym
ZWOJNICA - CEWKA - SOLENOID
Zwojnica wytwarza pole magnetyczne, którego linie na zewnątrz mają podobny przebieg, jak w przypadku magnesu sztabkowego. Wewnątrz zwojnicy linie te są do siebie równoległe. Aby rozpoznać położenie biegunów magnetycznych pętli zwojnicy, możemy posłużyć się regułą prawej dłoni, której treść w tym przypadku jest następująca: jeżeli prawą dłonią obejmiemy zwojnicę tak, aby cztery palce skierowane były zgodnie z płynącym w zwojach prądem, to odchylony kciuk wskaże zwrot linii pola magnetycznego wewnątrz zwojnicy, czyli wskaże ten koniec zwojnicy, przy którym położony jest biegun północny N.
ZWOJNICA - CEWKA - SOLENOID
Pole magnetyczne wewnątrz nieskończonego solenoidu (zwojnicy), a także wewnątrz torusa (n – liczba zwojów na jednostkę długości solenoidu lub torusa) :
ZWOJNICA - CEWKA - SOLENOID
Ogólnie, na wartość stosunku Ψ do i może wpływać wartość oraz charakter zmienności Ψ lub i. Zależność Ψ (i) jest więc: • w nieliniowa • przedstawia pętlę histerezy → uzwojenie cewki jest osadzone na rdzeniu ferromagnetycznym, który stanowi magnetowód, to wykres Ψ(i), podobnie jak B(H), Cewki (indukcyjności) o charakterystykach nieliniowych - bez histerezy i z histerezą – nazywa się nieliniowymi.
ZWOJNICA - CEWKA - SOLENOID
Operowanie pojęciem L ma sens, jeśli stosunek Ψ do i ma stała wartość, czyli zależność Ψ jest liniowa. Taka cewka (indukcyjność) nosi nazwę liniowej. Cechę liniowości maja cewki z uzwojeniami umieszczonymi w środowisku o stałej wartości przenikalności magnetycznej μ. W praktyce za liniowe uważa się cewki bezrdzeniowe (powietrzne) oraz – w ograniczonym zakresie cewki o rdzeniach stalowych ze szczelina powietrzną i cewki o rdzeniach wykonanych ze specjalnych materiałów (Perminvar, Izoperm). Perminwar – stop niklu (45%), żelaza (23-30%) i kobaltu (25%), niekiedy z dodatkiem molibdenu (do 7%), stosowany jako materiał magnetycznie miękki, tj. łatwo ulegający namagnesowaniu nawet w słabym polu magnetycznym, w przypadku zaś nieobecności pola magnetycznego tracący namagnesowanie niemal całkowicie. Izoperm - stop niklu (50%) i żelaza (50%) o dużej i stałej przenikalności magnetycznej stosowany na rdzenie wysokojakościowych cewek indukcyjnych
ZWOJNICA - CEWKA - SOLENOID
Jeżeli w cewce występuje pole magnetyczne, bez względu na to czy jest to pole magnetyczne zewnętrzne czy też cewka jest źródłem tego pola, ponad to jeżeli strumienie przenikające poszczególne zwoje różnią się od siebie, wtedy sumę strumieni przenikających poszczególne zwoje nazywamy strumieniem skojarzonym z cewką (Ψ). Natomiast jeśli strumienie przenikające poszczególne zwoje są identyczne, a liczba zwojów cewki wynosi z, to strumień skojarzony z cewką ma wartość:
Jeżeli strumień Ψ skojarzony z cewką znajduje się w środowisku o niezmiennej przenikalności magnetycznej proporcjonalny do wywołującego prądu I. Zatem po wprowadzeniu współczynnika proporcjonalności L otrzymujemy:
Współczynnik proporcjonalności L nazywamy indukcyjnością własną cewki i jest on stosunkiem strumienia magnetycznego, skojarzonego z cewką lub z zwojem, do płynącego przez nie prądu, który strumień ten wywołuje:
ZWOJNICA - CEWKA - SOLENOID
Indukcyjność idealnego solenoidu
Indukcyjność podobnie jak pojemność zależy wyłącznie od parametrów geometrycznych cewki. Można ją zwiększyć przez wprowadzenie rdzenia ferromagnetycznego o przenikalności magnetycznej μ.
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA)
Indukcja elektromagnetyczna to zjawisko polegające na wzbudzaniu SEM (siły elektromotorycznej) w obwodzie lub między końcami przewodników wskutek zmiany strumienia magnetycznego. Wartość SEM indukcji zależy od szybkości zmian strumienia magnetycznego w czasie. Zależność tę wyraża tzw. prawo Faradaya Jeżeli obwód jest zamknięty, to konsekwencją wzbudzenia SEM indukcji jest przepływ prądu. Tak wzbudzony prąd nazywamy prądem indukcyjnym. Wartość SEM indukcji pomiędzy końcami przewodnika o długości l, poruszającego się z prędkością v prostopadle do linii jednorodnego pola magnetycznego, obliczamy ze wzoru:
(dla kąta pomiędzy liniami B i powierzchnią ramki o boku l równego 0O) Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycznych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy wtedy, że w obwodzie jest indukowana siła elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywołuje przepływ prądu indukcyjnego.
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA)
Strumień indukcji pola magnetycznego jest zdefiniowany jako całka po powierzchni S:
zatem istnieją trzy zasadnicze sposoby uzyskania indukowanej siły elektromotorycznej: • zmiana indukcji pola B, • zmiana powierzchni S, • zmiana kąta pomiędzy B i wektorem powierzchni (obrót ramki w polu magnetycznym – prądnica)
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA) Symetria zjawisk elektromagnetycznych
• Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetyczna SEM) • Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola magnetycznego (mamy tzw. elektryczną SEM).
• Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd, który jest źródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA) Symetria zjawisk elektromagnetycznych W obwodzie (zwoju) obejmującym zmieniający się w czasie strumień magnetyczny F powstaje napięcie indukowane uind (siła elektromotoryczna indukowana eind ) o wartości bezwzględnej proporcjonalnej do zmian strumienia w czasie ǀ dF/dt ǀ, niezależnej od sposobu wywoływania zmian strumienia obejmującego uzwojenie, np. poprzez ruch uzwojenia w polu magnetycznym niezmiennym w czasie, czy poprzez zmiany prądu w umieszczonym obok, nieruchomym uzwojeniu.
Wszystkie eksperymenty pokazały, że zmiana strumienia magnetycznego przechodzącego przez pętlę z przewodnika powoduje powstanie w tym przewodniku siły elektromotorycznej. Wielkość indukowanej siły elektromotorycznej zależy od szybkości zmian strumienia pola B przechodzącego przez powierzchnię
Prędkość zmian strumienia indukcji magnetycznej - Im większa szybkość zmian strumienia pola magnetycznego tym większa siła elektromotoryczna.
d B dt
d B SEM dt
PRAWO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ (PRAWO FARADAYA)
Prądnica prądu przemiennego
Transformator
TRANSFORMATOR JEDNOFAZOWY
Transformatory to urządzenia stosowane do przetwarzania napięcia przemiennego na napięcie przemienne o innej wartości maksymalnej. Prosty transformator składa się z rdzenia z miękkiej stali, na którym umieszczone są dwa uzwojenia: • Pierwotne - podłączone do źródła napięcia przetwarzanego (pierwotnego) i wytwarzające w rdzeniu zmienne pole magnetyczne i • Wtórne - w którym w wyniku zjawiska indukcji powstaje napięcie przemienne przetworzone (wtórne), wyższe lub niższe od napięcia pierwotnego. Dla transformatora obowiązuje
U1/U2=I2/I1=z1/z2 ,gdzie: U1- napięcie pierwotne, U2- napięcie wtórne, I1- natężenie prądu w uzwojeniu pierwotnym, I2- natężenie prądu w uzwojeniu wtórnym, z1- liczba zwojów uzwojenia pierwotnego, z2- liczba zwojów uzwojenia wtórnego.
REGUŁA LENZA – PRAWO PRZEKORY Kierunek prądu indukowanego Prąd indukowany płynie w takim kierunku, że pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwdziała zmianie strumienia pola magnetycznego, która ten prąd indukuje.
Efekt wywołany przemieszczaniem źródła pola magnetycznego (magnesu) względem nieruchomej pętli.
Kierunek prądu indukowanego w pętli i wytwarzanego przez niego pola magnetycznego zależy od tego czy strumień pola magnetycznego pochodzącego od przesuwanego magnesu rośnie czy maleje to jest od tego, czy zbliżamy czy oddalamy magnes od przewodnika.
REGUŁA LENZA – PRAWO PRZEKORY Kierunek prądu indukowanego
Aby określić zwrot uind lub eind , korzysta się z reguły Lenza (nazywanej prawem przekory), w myśl której: skutek wynikający z przebiegu zjawiska „stara się” przeciwdziałać przyczynie wywołującej to zjawisko. Dla ułatwienia można posłużyć się hipotetycznym prądem Lenza iL , który wytwarza strumień przeciwstawiający się zmianom strumienia podstawowego.
REGUŁA LENZA – PRAWO PRZEKORY Kierunek prądu indukowanego Zjawisko powstawania prądu indukcyjnego (czyli zjawisko indukcji elektromagnetycznej) ma miejsce w zamkniętym obwodzie, np. zwojnicy, w której pole magnetyczne ulega zmianie. Jeśli pole magnetyczne wewnątrz zwojnicy nie ulega zmianie, to wówczas prąd indukcyjny w niej nie powstaje. Pole magnetyczne wewnątrz obwodu, np. zwojnicy, można zmieniać, przesuwając względem niej magnes. Wówczas powstający w zwojnicy prąd indukcyjny podczas zbliżania i oddalania od niej magnesu ma zawsze taki kierunek, że pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeszkadza ruchowi magnesu, tzn. - odpycha magnes zbliżany do zwojnicy a) i b) oraz - przyciąga magnes oddalany od zwojnicy c) i d). Zjawisko indukcji elektromagnetycznej znalazło zastosowanie między innymi w prądnicach prądu przemiennego i w transformatorach.
REGUŁA LENZA – PRAWO PRZEKORY Kierunek prądu indukowanego
Prąd indukowany podczas zbliżania magnesu do pętli wytwarza pole przeciwne do pola magnesu.
ZJAWISKO SAMOINDUKCJI Zwojnica - Cewka - Solenoid Cewka indukcyjna (inaczej: zwojnica, solenoid, induktor) jest uzwojeniem o określonej liczbie zwojów, wraz z otoczeniem stanowiącym środowisko wytwarzanego pola magnetycznego. Przez strumień magnetyczny cewki (obejmowany przez cewkę) rozumie się strumień obejmowany przez jej zwoje. Zwoje cewki są rozłożone w przestrzeni, wiec ogólnie każdy z nich może obejmować inny strumień (inna część strumienia cewki). Strumień obejmowany przez zwój cewki nazywa się strumieniem skojarzonym z tym zwojem lub skojarzeniem magnetycznym tego zwoju. Cewka składa się ze zwojów 1, 2, ... , z, obejmujących strumienie: Φ1, Φ2, ... , Φ z. Napięcie indukowane w cewce jest sumą napięć indukowanych w jej zwojach (przez strumienie z nimi skojarzone → Ψ ):
ZJAWISKO SAMOINDUKCJI Zwojnica - Cewka - Solenoid Wielkość Ψ , tzn. suma strumieni skojarzonych ze zwojami cewki
nazywa się strumieniem skojarzonym z cewką lub skojarzeniem magnetycznym cewki. Jeśli skojarzenia magnetyczne poszczególnych zwojów cewki są jednakowe, równe strumieniowi obejmowanemu przez cewkę
Φ = Φ 1 = Φ2 = … = ΦZ to skojarzenie magnetyczne cewki wynosi Ψ=z∙Φ ,a napięcie indukowane w cewce
ZJAWISKO SAMOINDUKCJI Zwojnica - Cewka - Solenoid
Przy równych strumieniach skojarzonych z poszczególnymi zwojami cewki
Napięcie indukowane w cewce przez płynący przez nią prąd nazywa sią napięciem samoindukcji
ZJAWISKO SAMOINDUKCJI Zwojnica - Cewka - Solenoid Jeżeli prąd w obwodzie zmienia się w czasie, strumień pola magnetycznego w cewce też jest zmienny i indukowana siła elektromotoryczna przeciwdziała zmianom prądu.
- wewnątrz idealnego solenoidu o N zwojach i długości l: - strumień pola magnetycznego przez powierzchnię NS (S – powierzchnia jednego zwoju)
Siła elektromotoryczna samoindukcji
ZJAWISKO SAMOINDUKCJI Zwojnica - Cewka - Solenoid Prąd płynący przez obwód ( cewkę) wytwarza pole magnetyczne
Jeśli prąd się zmienia, to zmienia się strumień pola magnetycznego w cewce
Indukuje się w cewce siła elektromotoryczna
Ale strumień zależy od prądu L : współczynnik samoindukcji (indukcyjność). L zależy od wielkości opisujących geometrie cewki (liczba zwojów, pole powierzchni zwoju, kształt cewki) oraz od obecności ferromagnetycznego rdzenia w cewce.
ZJAWISKO SAMOINDUKCJI Samoindukcja Zjawisko indukowania się napięcia w cewce lub pojedynczym zwoju (obwodzie elektrycznym), wskutek zmian prądu płynącego w tej cewce lub tym zwoju, nazywa się indukcją własna lub samoindukcją. Takie cewki lub zwoje, występujące jako elementy obwodu, noszą miano indukcyjności. Miara zdolności cewki (zwoju, obwodu) z prądem i, do wytworzenia własnego strumienia skojarzonego Ψ, jest indukcyjność własna
Jednostka indukcyjności własnej jest henr (T) czyli omosekunda (Ω∙s).
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
Przepływ prądu i wytwarza pole magnetyczne, które przenikając pewną powierzchnię, daje strumień magnetyczny Φ. Na skutek zmian strumienia przenikającego element indukcyjny (cewkę) indukuje się w niej siła elektromotoryczna. Jeśli strumień przenikający cewkę został wytworzony przez prąd płynący przez tę cewkę, to zjawisko tłumaczymy indukcją własną. Jeśli natomiast strumień przenikający cewkę został wytworzony przez inny prąd, to mówimy o zjawisku indukcji wzajemnej. Obwody zawierające elementy indukcyjne, w których wzbudzają się siły elektromotoryczne indukcji wzajemnej, noszą nazwę obwodów sprzężonych magnetycznie. W zależności od tego, czy strumienie indukcji własnej i wzajemnej się dodają, czy odejmują, mówimy odpowiednio o magnesowaniu zgodnym lub niezgodnym.
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
Aby ułatwić poprawne zapisywanie równań, wprowadzono tzw. zaciski jednoimienne, które oznacza się zwykle gwiazdkami, kropkami lub dwoma innymi, ale jednakowymi symbolami. Gwiazdkami oznaczono zaciski jednoimienne, które mają tę własność, że przy jednakowych względem tych zacisków zwrotach prądów i1 oraz i2 strumienie magnetyczne F1 i F2 dodają się (magnesowanie zgodne). Dwa pozostałe zaciski tworzą oczywiście drugą parę zacisków jednoimiennych.
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
Napięcia na poszczególnych cewkach określone są jako
d i1 d i2 u1 R1i1 L1 M , dt dt
d i2 d i1 u 2 R2 i2 L2 M dt dt
gdzie: R1, R2 - rezystancje uzwojeń, L1 i L2 - indukcyjności własne, a M - indukcyjność wzajemna. Składniki, przy których znajdują się współczynniki L1 i L2, wywołane są zjawiskiem indukcji własnej, a składniki, przy których znajduje się M, wywołane są zjawiskiem indukcji wzajemnej.
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
Jeżeli w jednej z cewek zmienimy kierunek prądu, to wówczas strumienie magnetyczne indukcji własnej i wzajemnej w każdym elemencie będą się odejmować (magnesowanie niezgodne).
d i1 d i2 u1 R1i1 L1 M , dt dt
d i2 d i1 u 2 R2i2 L2 M dt dt
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
Stopień sprzężenia indukcyjnego dwóch elementów obwodu charakteryzuje się za pomocą współczynnika sprzężenia k:
k
M L1 L2
Wartość współczynnika sprzężenia k należy do przedziału [0, 1], gdyż strumień wywołany prądem w jednym z elementów nie kojarzy się całkowicie ze zwojami drugiego elementu ze względu na zjawisko rozproszenia. Indukcyjność wzajemna M, a przez to i współczynnik sprzężenia k, zależy od wzajemnego położenia elementów sprzężonych magnetycznie.
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
Cewki połączone szeregowo
Cewki połączone równolegle
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
2
Transformator powietrzny
ZM Z Z1 Z2 Z0
Sprzężenie magnetyczne obwodów jest podstawą działania m.in. transformatorów i autotransformatorów. Pole magnetyczne traktuje się jednak w wielu przypadkach jako czynnik negatywny, pogarszający właściwości układu. Kompatybilność elektromagnetyczna określa się dziedzinę zajmującą się analizą wpływu urządzeń elektrycznych na otaczające środowisko, na skutek przekazywania energii na drodze polowej (sprzężenia magnetyczne, pojemnościowe, radiacyjne) i obwodowej (sprzężenia galwaniczne).
OBWODY SPRZĘŻONE MAGNETYCZNIE
Strumień magnetyczny zaindukowany w jednym urządzeniu może powodować zakłócenia pracy lub powstanie pasożytniczych zjawisk w innych (znajdujących się w pobliżu) urządzeniach, np.: • • •
oddziaływanie pola magnetycznego transformatora na elementy pomiarowe w układzie (możliwe do zaobserwowania również w trakcie ćwiczenia oddziaływanie pola autotransformatora na blisko ustawione elementy pomiarowe), oddziaływanie wytworzonych pól magnetycznych na znajdujące się w pobliżu osoby, oddziaływanie pól magnetycznych od przewodników znajdujących się blisko siebie (np. przesłuchy międzykanałowe, przydźwięki, napięcia indukowane ).
W celu ograniczenia efektów związanych z oddziaływaniem pól magnetycznych należy: • • • • • • •
zmniejszać pole oczek, na które oddziałuje pola, czyli stosować małe pętle prądowe; zwiększać odległość między elementami układu (między pętlami prądowymi); unikać (jeżeli możliwe) równoległego prowadzenia przewodów; stosować przewody w postaci skrętki; właściwie zorientować w przestrzeni element zakłócany względem elementu zakłócającego (np. prostopadłe umieszczenie dwóch cewek selenoidalnych); stosować ekranowanie magnetyczne (niewygodne i kosztowne ze względu na konieczność stosowania ekranów z ferromagnetyków).
PRAWA (RÓWNANIA) MAXWELLA Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej zebrane i rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.
Równania Maxwella opisują całą elektrodynamikę klasyczną. Jest to pierwsza w fizyce kompletna teoria pola i pierwsza unifikacja oddziaływań (elektrycznych i magnetycznych) James Clerk Maxwell (1831 r.- 1879 r.) – szkocki fizyk i matematyk. Autor wielu wybitnych prac z zakresu elektrodynamiki, kinetycznej teorii gazów, optyki i teorii barw.
PRAWA (RÓWNANIA) MAXWELLA
•
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki elektryczne
Całkowity strumień wektora indukcji pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy ładunkowi zawartemu w otoczonej przez tę powierzchnię objętości.
Pole elektryczne jest polem źródłowym - źródłem pola elektrycznego jest ładunek elektryczny.
E dS q
PRAWA (RÓWNANIA) MAXWELLA
•
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
Całkowity strumień wektora indukcji pola magnetycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zeru. Pole magnetyczne jest polem bezźródłowym.
B dS 0
PRAWA (RÓWNANIA) MAXWELLA
•
I prawo Maxwella (uogólnione prawo Faradaya) - wirowe pole elektryczne
Cyrkulacja pola elektrycznego wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej równe jest szybkości zmian strumienia pola magnetycznego przez powierzchnię rozpiętą przez tę krzywą.
Znak minus odzwierciedla regułę Lenza mówiącą, że zmienny strumień pola magnetycznego indukuje w obwodzie taki prąd, aby pole magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwdziałało zmianie strumienia pola magnetycznego, która ten prąd indukuje.
d B E dl dt
PRAWA (RÓWNANIA) MAXWELLA
•
II prawo Maxwella (uogólnione prawo Ampère’a) - wirowe pole magnetyczne
Cyrkulacja pola magnetycznego wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej związana jest z szybkością zmian strumienia pola elektrycznego przez powierzchnię rozpięta na tej krzywej oraz wypadkowym prądem przebijającym tę powierzchnię.
d E B d l 0 0 d t 0 I
PRAWA (RÓWNANIA) MAXWELLA
div D
Źródłem pola elektrycznego są ładunki elektryczne
div B 0
Pole magnetyczne jest bezźródłowe, linie pola magnetycznego są zamknięte
B rot E t D rot H j t
Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne
Przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne
PRAWA (RÓWNANIA) MAXWELLA
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Prądy przemienne jednofazowe Adam Jaroszewicz dr inż.
Prądy sinusoidalne • W praktyce spotyka się zarówno napięcia stałe (np. 1,5 V baterii, 5 V zasilacza, 12 V akumulatora) jak i sinusoidalne (np. 230 V w gniazdku instalacji sieciowej). • Prądy sinusoidalne są łatwo wytwarzane przez generatory z elementami wirującymi. • Prądy sinusoidalne można transformować na wyższe i niższe napięcia za pomocą transformatorów.
Prąd sinusoidalny
i
t
Prąd sinusoidalny • Najogólniejszy prąd sinusoidalny ma Im postać
i(t ) I m sin(2π Tt α) gdzie: i – wartość chwilowa, Im – wartość maksymalna (amplituda), T – okres, α – kąt fazowy.
• Wartości i(t) zmieniają się w czasie sinusoidalnie. • Wartości i(t) powtarzają się po upływie okresu T.
−α –Im
T
t ωt i(t)
Częstotliwość • Odwrotność okresu nazywamy częstotliwością
f
1 T
• Jednostką częstotliwości jest Hz (herc, 1/s). • Liczbowo częstotliwość jest równa ilości okresów w jednej sekundzie. • Na przykład, 50 Hz oznacza, że wszystkie wartości funkcji powtarzają się kolejno 50 razy w ciągu sekundy.
Pulsacja • Bardzo często używa się terminu pulsacja. Jest to częstotliwość pomnożona przez kąt pełny
ω 2πf
2π T
• Jednostką pulsacji jest rad/s. • Zapis funkcji sinusoidalnej jest wtedy bardziej zwięzły:
i(t ) I m sin(ωt α)
Skutki cieplne • W celu oceny skutku cieplnego przepływu prądu okresowego i(t) zauważmy, że prąd stały I płynąc przez rezystor o rezystancji R przez czas t wydziela energię cieplną w ilości
WI RI 2t • Dowolny prąd i wydzieli w „niewielkim” czasie Δt energię
ΔWi Ri 2 Δt • Przechodząc do infinitezymalnego przedziału czasu, dostaniemy
dWi Ri 2 dt • Po scałkowaniu za okres otrzymujemy
Wi
T
T
T
t 0
0
0
2 2 d W Ri d t R i i dt
Wartość skuteczna • Zastępczy prąd stały I wywołujący takie same skutki cieplne jak prąd okresowy i nazywamy wartością skuteczną przebiegu okresowego i. • Z określenia tego otrzymujemy równanie 2
Im
i2 I m2 2
T
RI 2T R i 2 dt
Im
I
0
a stąd wartość skuteczna wynosi T
1 2 I i dt T0
t
i
Dla sinusoidy
Im I 2
Im 2
Im I 2
Pomiar prądu sinusoidalnego • Co wskaże amperomierz w przypadku prądu sinusoidalnego? Wartość maksymalną? Skuteczną? Wartości chwilowe? Zero? • W większości mierników będzie to wartość skuteczna. • Niektóre mierniki wskazują wartość średnią (dla prądu sinusoidalnego będzie to zero).
Parametry przebiegu sinusoidalnego • • • • • • •
Im – wartość maksymalna (amplituda), i – wartość chwilowa, I – wartość skuteczna, T – okres, f – częstotliwość, ω – pulsacja, α – kąt fazowy.
1 f T
2π ω 2πf T
Im I 2
i(t ) I m sin(ωt α) 2I sin(ωt α)
Sinusoida – interpretacja geometryczna • Z zależności na prąd sinusoidalny mamy i(t ) i(t ) I m sin(ωt α) sin(ωt α) Im • Wartość chwilowa i(t) jest rzutem na oś Oy odcinka o długości Im wychodzącego z początku układu współrzędnych pod kątem ωt + α do osi Ox.
Wirujący wskaz • Wraz z upływem czasu odcinek ten wiruje wokół początku układu współrzędnych. • Ten wirujący odcinek nazywać będziemy wirującym wskazem przebiegu sinusoidalnego. • Sinusoida jest w pełni określona przez jej wirujący wskaz.
Wirujący wskaz
Wirujący wskaz
Wirujący wskaz
Wirujący wskaz
Suma sinusoid i ich wskazy • Rozpatrzmy sumę dwóch sinusoid: i1(t) = Im1sin(ωt + α) i2(t) = Im2sin(ωt + β)
• Wypadkowa funkcja też jest sinusoidą. i1(t) + i2(t) = Imsin(ωt + γ)
• Każda z tych trzech sinusoid ma swój wirujący wskaz. • Mimo wirowania, wskazy zachowują względem siebie ustalone położenie.
Wniosek: zamiast wirujących wskazów można rozpatrywać ich „fotografię” w pewnej chwili, tzn. wskazy nieruchome.
Wskaz wielkości sinusoidalnej • Każdemu przebiegowi sinusoidalnemu przyporządkowujemy wskaz. • Długość wskazu jest równa amplitudzie Im lub wartości skutecznej I. • Wskaz rysujemy pod kątem równym kątowi fazowemu α sinusoidy (względem osi odniesienia – zwykle jest to oś pozioma).
Im I –α
ωt
i
i(t ) 2I sin(ωt α) I α
Wskaz wielkości sinusoidalnej
Wskaz wielkości sinusoidalnej
Wskaz wielkości sinusoidalnej
Dodawanie wskazów • Aby dodać dwie sinusoidy o wartościach skutecznych I1 i I2 oraz kątach fazowych α i β, korzystamy z konstrukcji graficznej dla ich wskazów. • Rysujemy wskazy obydwu sinusoid. • Wskaz ich sumy powstaje jako geometryczna (wektorowa) suma wskazów I1 i I2.
i1(t) = Im1sin(ωt + α) i2(t) = Im2sin(ωt + β) i1(t) + i2(t) = Imsin(ωt + γ)
I2 β γ α
I
I1
Dodawanie wskazów – wnioski • Z konstrukcji tej otrzymujemy: I ( I1 I 2 cos( β α)) 2 ( I 2 sin( β α)) 2 I12 I 22 2 I1I 2 cos( β α) tg( γ α)
I 2 sin( β α) I1 I 2 cos( β α)
• Wnioski: – w ogólności I ≠ I1 + I2. Wolno dodawać tylko wskazy, a nie wartości skuteczne. – Przebiegi sinusoidalne wygodnie sumuje się za pomocą wskazów.
i1(t) = Im1sin(ωt + α) i2(t) = Im2sin(ωt + β) i1(t) + i2(t) = Imsin(ωt + γ)
I2
I
I2sin(β−α)
β–α β γ α
I1
I2cos(β−α)
Wskaz wielkości sinusoidalnej
Wskaz wielkości sinusoidalnej
Elementy obwodu prądu sinusoidalnego
• Typowy obwód prądu sinusoidalnego zawiera: – Rezystory (element pasywny czynny), – Cewki (element pasywny bierny), – Kondensatory (element pasywny bierny), – Elementy źródłowe, tj. źródła napięcia i prądu sinusoidalnego (elementy aktywne).
Źródło napięcia i źródło prądu • Źródła napięcia zmiennego będziemy oznaczać tak jak stałego, lecz bez symboli „+” i „−”. • Strzałka napięcia sinusoidalnego wskazuje wyższy potencjał dla dodatnich chwilowych wartości napięcia. • Strzałka prądu sinusoidalnego wskazuje kierunek ruchu
Rezystor • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla rezystora liniowego zachodzi zależność
u Ri i
• Jeżeli
R u
i(t ) 2 I sin( ωt α) to
u
u (t ) 2 RI sin( ωt α)
i
U
• Wniosek: prąd i napięcie rezystora są w fazie.
t
Rezystor dla prądu sinusoidalnego • Prąd i napięcie są w fazie, tzn. mają ten sam kąt fazowy. • Wskazy prądu i napięcia są równoległe.
R
i
u u i t
u(t ) 2U sin(ωt α) i(t ) 2I sin(ωt α) U RI
ω
U α
I
Cewka • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla cewki liniowej zachodzi zależność
di uL dt
• Jeżeli
i
L u
i(t ) 2 I sin( ωt α) to
u (t ) 2ωLI cos(ωt α) 2ω LI sin( ωt α 90) U
• Wniosek: napięcie wyprzedza prąd o 90°.
i
u t
Cewka dla prądu sinusoidalnego • Prąd spóźnia się za napięciem o 90°, czyli napięcie wyprzedza prąd o 90°. • Wskazy napięcia i prądu są prostopadłe, przy czym wskaz prądu spóźnia się za wskazem napięcia o 90°.
i
L
u i
u t
ω
u(t ) 2U sin(ωt α 90) i(t ) 2I sin(ωt α) U ωLI
U
I α
Reaktancja indukcyjna • Wielkość
X L ωL nazywamy reaktancją indukcyjną albo oporem biernym indukcyjnym. • Reaktancję wyraża się w omach. • Zależność pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia na cewce ma postać (prawo Ohma dla cewki)
U X LI • Często zamiast indukcyjności L podaje się reaktancję XL.
Reaktancja indukcyjna a częstotliwość • Reaktancja indukcyjna zależy od częstotliwości prądu płynącego przez cewkę. – im większa częstotliwość tym większa reaktancja cewki (tym większy opór stawia), – dla prądu stałego (ω = 0) cewka stanowi zwarcie, gdyż wtedy XL = 0, – dla bardzo dużych częstotliwości cewka stanowi praktycznie przerwę (wykorzystuje się to do tłumienia prądów o dużych częstotliwościach).
XL XL
ω
Kondensator • Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla kondensatora liniowego du iC dt
• Jeżeli
i
C
u
u (t ) 2U sin( ωt α) to
u
i (t ) 2ωCU cos(ωt α) 2ω CU sin( ωt α 90) I
• Wniosek: napięcie spóźnia się za prądem o 90°.
i t
Kondensator dla prądu sinusoidalnego • Prąd wyprzedza napięcie o 90°, czyli napięcie spóźnia się za prądem o 90°. • Wskazy napięcia i prądu są prostopadłe, przy czym wskaz prądu wyprzedza wskaz napięcia o 90°.
u(t ) 2U sin(ωt α 90) i(t ) 2I sin(ωt α) I U ωC
i
C u
i
u t
I
α U
ω
Reaktancja pojemnościowa • Wielkość
1 XC ωC nazywamy reaktancją pojemnościową albo oporem biernym pojemnościowym. • Reaktancję wyraża się w omach. • Zależność pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia ma postać (prawo Ohma dla kondensatora)
U XC I • Często zamiast pojemności C podaje się reaktancję XC.
Reaktancja pojemnościowa a częstotliwość • Reaktancja pojemnościowa zależy od częstotliwości napięcia na zaciskach kondensatora. – im większa częstotliwość tym mniejsza reaktancja kondensatora (tym mniejszy opór stawia), – dla prądu stałego (ω = 0) kondensator stanowi przerwę, gdyż wtedy XC = ∞, – dla bardzo małych częstotliwości kondensator stanowi praktycznie przerwę (wykorzystuje się to do tłumienia napięć o małych częstotliwościach).
XC
XC
ω
Elementy RLC – podsumowanie R
L
X L ωL
U I
U RI
C 1 XC ωC
I
U I
U X LI
U U XC I
Reguła CIUL • W przyswojeniu co za czym się spóźnia, jeśli chodzi o cewkę i kondensator, pomocna może być reguła mnemotechniczna zwana CIUL. • Czytając pierwsze trzy litery od początku: dla C mamy I potem U, • Czytając ostatnie trzy litery od końca: dla L mamy U potem I. • Czytając całość od początku: … teraz już chyba zapamiętacie!
Prąd i napięcie sinusoidalne • Jeżeli przez liniowy dwójnik płynie prąd sinusoidalny, to napięcie na jego zaciskach jest również sinusoidalne. • W ogólności dla dowolnego dwójnika liniowego mamy
i u
Dwójnik
i(t ) 2 I sin(ωt α) u (t ) 2U sin(ωt β ) • Dla każdego takiego dwójnika możemy narysować wykres wskazowy. • Wykres ten w pełni określa wartości chwilowe prądu i napięcia.
U β
ω
α
I
Moduł impedancji • Modułem impedancji dwójnika pasywnego (lub niezbyt precyzyjnie – impedancją), nazywamy iloraz wartości skutecznej napięcia do wartości skutecznej prądu
U Z I
• Jest to uogólnienie pojęcia rezystancji na przypadek prądów sinusoidalnych. • Jednostką impedancji jest 1 om (1 Ω), czyli tak jak rezystancji.
i Dwójnik pasywny
U β
u
ω
α
I
Kąt fazowy dwójnika (odbiornika) • Kątem fazowym dwójnika nazywamy różnicę pomiędzy kątami fazowymi napięcia i prądu
φ β α • Kąt fazowy jest kątem pomiędzy wskazami napięcia i prądu. • Kąt fazowy dwójnika pasywnego zawiera się od −90° do 90°. • Kąt ten jest dodatni, gdy napięcie wyprzedza prąd, zaś ujemny, gdy napięcie spóźnia się za prądem.
i Dwójnik pasywny
U
u
ω
φ=β–α β I α
Prąd, napięcie, impedancja i kąt fazowy • Jeżeli dwójnik pasywny o danym module impedancji Z i kącie fazowym φ zasilimy napięciem sinusoidalnym
u(t ) 2U sin(ωt β ) to popłynie prąd i(t ) 2
U sin(ωt β φ) Z
i
Z, φ
U
u
ω
φ=β–α β I α
Elementy RLC – impedancja R
L U I
U 90° I
C I −90° U
ZR
Z X L ωL
Z XC
φ0
φ 90
φ 90
1 ωC
Susceptancja • Odwrotność reaktancji nazywa się susceptancją
1 B X • Jednostką susceptancji jest 1 simens (1 S).
X L ωL
1 BL ωL
1 XC ωC
BC ωC
Admitancja • Modułem admitancji nazywamy odwrotność modułu impedancji 1 Y Z • Jest to uogólnienie pojęcia konduktancji. • Jednostką admitancji jest 1 simens (1 S).
Elementy RLC – podsumowanie R
L U I
U 90° I
C I −90° U
ZR
Z X L ωL
Z XC
φ0
φ 90
φ 90
Y G
1 R
Y BL
1 1 X L ωL
Y BC
1 ωC
1 ωC XC
Podsumowanie • Wielkości omowe: – Rezystancja R (resistere – opierać się), opór czynny - opór stawiany prądowi przez rezystor, – Reaktancja X (reagere – reagować), opór bierny – opór stawiany prądowi przez cewkę lub kondensator. – Impedancja Z (impedere – zawadzać), opór pozorny – opór wypadkowy stawiany przez dwójnik pasywny.
• Wielkości simensowe: – Konduktancja G (conducere – prowadzić, przewodzić), przewodność czynna – odwrotność rezystancji. – Susceptancja B (suscipere – popierać), przewodność bierna – odwrotność reaktancji. – Admitancja Y (admittere – pospieszać), przewodność pozorna – odwrotność impedancji.
Impedancja i kąt fazowy i
• Każdy dwójnik pasywny charakteryzuje się: – modułem impedancji Z = U/I, – kątem fazowym φ.
• Moduł impedancji jest nieujemną liczbą rzeczywistą. • Kąt fazowy przyjmuje wartości z zakresu od −90° do +90°. • Wartości te są niezależne od wartości skutecznej prądu i napięcia dwójnika, ale zależą od częstotliwości. • Wartości te są określone jedynie dla przebiegów sinusoidalnych.
u
Dwójnik
U φ
I
Trójkąt impedancji • Narysujemy trójkąt prostokątny o kącie φ i przeciwprostokątnej Z. • Przyprostokątne wyrażają się wzorami
R Z cos φ
X Z sin φ Z
oraz zachodzą związki.
Z R X 2
Z, φ
Dwójnik
2
X tg φ R
• Jest to tzw. trójkąt impedancji. Każdy dwójnik pasywny charakteryzuje się zatem pewną rezystancją R i reaktancją X.
φ R
X
Metoda klasyczna • Za pomocą wskazów można rozwiązywać proste obwodu prądu sinusoidalnego. • Metoda taka nazywa się klasyczną. • Polega ona na budowaniu wykresu wskazowego w oparciu o zależności wiążące prąd i napięcie na poszczególnych elementach.
Obliczanie wartości chwilowych, maksymalnych i skutecznych U i I
Dowolnie zaznaczamy wskaz prądu I. W fazie z nim zaznaczamy wskaz napięcia na rezystorze UR. Napięcie na cewce wyprzedza prąd o 90°, więc wskaz UL zaznaczamy jako obrócony o +90° względem prądu. Napięcie na kondensatorze spóźnia się za prądem o 90°, więc wskaz UC zaznaczamy jako obrócony o −90° względem prądu. Suma wskazów UR, UL i UC daje wskaz napięcia zasilania U. Pomiędzy wskazami U i I zaznaczamy kąt fazowy φ.
R
I
UR U X L L
U
XC
UC
UL U φ UC
UR
I
Obliczanie wartości chwilowych, maksymalnych i skutecznych U i I WYPADKOWE NAPIĘCIE BIERNE
Z wykresu
I
U U R2 (U L U C ) 2
UR U X L L
U
XC
( RI ) ( X L I X C I ) 2
2
UC
I R 2 ( X L X C )2
Stąd moduł impedancji
U Z R 2 ( X L X C )2 I
UL
UR U
UL – UC φ
Kąt fazowy
U L UC X L I X C I X L X C tg φ UR RI R
R
UC
UR
I
Wnioski • Obwody prądu sinusoidalnego rozwiązujemy za pomocą wykresów wskazowych. • Dzięki temu unika się rozwiązywania równań różniczkowych. • Nie wolno sumować wartości skutecznych – sumować należy tylko wskazy. Mówimy, że napięcia w oczku oraz prądu w węźle sumuje się geometrycznie. • Wykresy wskazowe konstruuje się w ten sposób, aby: – Wskazy napięcie i prądu rezystora były w fazie, – Wskaz prądu cewki spóźniał się za wskazem napięcia na niej o 90°, – Wskaz prądu kondensatora wyprzedzał wskaz napięcia na nim o 90°.
Moc chwilowa
Moc chwilowa • Mocą chwilową nazywamy iloczyn chwilowych wartości napięcia i prądu p(t ) u(t )i(t )
• Jeżeli dla pewnego dwójnika u(t ) 2U sin(ωt ψu )
i(t ) 2I sin(ωt ψi )
to można pokazać, że
p(t ) UI cos φ UI cos(2ωt 2ψu φ) gdzie φ = ψu − ψi jest kątem fazowym dwójnika.
Moc chwilowa
Moc chwilowa • Będzie nam potrzebna tożsamość trygonometryczna
cos(α β ) cos(α β ) sin α sin β 2 • Otrzymamy wtedy p(t ) 2UI sin(ωt ψu ) sin(ωt ψi ) cos(ωt ψu ωt ψi ) cos(2ωt ψu ψi ) 2UI 2 cos(ψu ψi ) cos(2ωt ψu ψi ) 2UI 2 UI cos φ UI cos(2ωt 2ψu φ)
Moc chwilowa
Przebieg czasowy mocy chwilowej • Moc chwilowa oscyluje z częstotliwością dwukrotnie większą (w porównaniu do częstotliwości napięcia i prądu) wokół wartości średniej równej UIcosφ:
p(t ) UI cos φ UI cos(2ωt 2ψu φ)
p
UI
UIcosφ
i ωt
φ ψi ψu
u
Moc czynna i pozorna • Średnią mocy chwilowej nazywamy mocą czynną P UI cos φ
Współczynnik mocy
• Amplitudę mocy chwilowej nazywamy mocą pozorną
S UI p
S = UI P = UIcosφ
i ωt
φ ψi ψu
u
Prąd czynny i bierny • Wskaz prądu można uważać za sumę dwóch wskazów: – równoległego do wskazu napięcia, – prostopadłego do wskazu napięcia.
U φ Ib
Ic I
• Składowa równoległa Ic to tzw. składowa czynna; odpowiada ona sinusoidzie będącej w fazie z sinusoidą napięcia, a jej wartość skuteczna wynosi
I c I cos φ • Składowa prostopadła Ib to tzw. składowa bierna; odpowiada sinusoidzie przesuniętej o 90°, a jej wartość skuteczna wynosi
I b I sin φ
t
Moc czynna i bierna • Ponieważ P = UIcosφ, a Icosφ = Ic, moc czynną można obecnie wyrazić jako
P UI cos φ UIc • Wniosek: moc czynna przenoszona jest jedynie przez składową czynną prądu (stąd i nazwa „czynna”). • Składowa bierna prądu nie wytwarza mocy czynnej, niesie natomiast tzw. moc bierną
Q UIb UI sin φ
Moc czynna
Moc bierna
Współczynnik mocy – analogia kufla z piwem Jak wiadomo, moc gaszenia pragnienia zawarta jest w złocistym płynie symbolizującym moc czynną (P). Jednak piwo, zwłaszcza w upalne dni, nalewane jest w określonych warunkach, np. pod presją kolejki oczekujących Nie ma możliwości, aby uniknąć powstawania pianki reprezentującej moc bierną (Q). Suma obu tych wielkości tworzy zawartość kufla, czyli moc pozorną (S). Istotne w tym jest, żeby piana (Q) dodawała przyjemności z konsumpcji, ale też, żeby jej ilość mieściła się w rozsądnych granicach. Udział piwa – mocy czynnej, w zawartości kufla – mocy całkowitej, inaczej zwanej mocą pozorną, jest wielkością charakteryzującą układ elektryczny.
PF = P / S = piwo / (piwo+pianka) PF – ang., power factor – współczynnik mocy Z tej zależności wynika, że im więcej mocy biernej (piany), tym niższy współczynnik mocy (PF). Z kolei, gdy udział piany (moc bierna – Q) w zawartości kufla (moc pozorna – S) zbliża się do zera, współczynnik mocy dąży do 1. Idealnie nalany kufel piwa, po opadnięciu piany, zawiera dokładnie tyle piwa, za ile zapłaciliśmy – współczynnik mocy wynosi wtedy 1.
Wnioski W obwodach prądu sinusoidalnego wyróżnia się zatem: • moc chwilową p(t) = u(t)i(t) – jest to wartość zmienna w czasie oscylująca sinusoidalnie z amplitudą S i podwojoną częstotliwością wokół wartości średniej P, • moc czynną P = UIcosφ – jest to średnia wartość mocy (za okres) realnie pobieranej przez urządzenie, możliwa do przetworzenia na inną formę (np. mechaniczną, cieplną), moc ta jest zawsze nieujemna, • moc bierną Q = UIsinφ – jest to wielkość czysto umowna związana okresowymi zmianami w energii zmagazynowanej w elementach reaktancyjnych (cewka, kondensator), moc ta może być dodatnia (indukcyjna, gdy φ > 0) lub ujemna (pojemnościowa, gdy φ < 0), • moc pozorną S = UI – moc wynikająca z amplitud napięcia i prądu, uwzględniająca zarówno moc czynną jak i bierną.
Jednostki mocy • Jednostką mocy w układzie SI jest wat (W), • Nominalnie W = J/s = A·V, • Moc chwilową p i czynną P, jako wielkości realne, wyrażamy w watach (W), • Moc pozorną S wyrażamy z woltoamperach (VA, nominalnie jest to wat), • Moc bierną Q wyrażamy w warach (VAr – woltoamper reaktancyjny, nominalnie jest to wat), • Rozróżnianie jednostek W, VA, VAr ma na celu uwypuklenie tego, że dotyczą one różnych wielkości.
Trójkąt mocy • Ze wzorów S UI
P UI cos φ
Q UI sin φ
dostajemy związki S P2 Q2 Q tg φ P
P cos φ S
S Q
Q sin φ S
• Możemy je zobrazować za pomocą tzw. trójkąta mocy.
φ
P
Współczynnik mocy • Moc czynną można zapisać jako
P S cos φ • Występującą tą wielkość
P cos φ S nazywamy współczynnikiem mocy. • Przyjmuje on wartości z przedziału od 0 do 1: – 1 dla φ = 0 (rezystor), – 0 dla φ = 90° (cewka lub kondensator).
• Współczynnik mocy typowych urządzeń: – Żarówka, grzałka, żelazko – około 0,95 do 0,99, – Silniki od 0,1 w stanie jałowym do około 0,8 w stanie nominalnym.
Moc rezystora • Dla rezystora φ = 0, więc p UI UI cos(2ωt 2ψu ) P UI cos φ UI RI 2 φ0
U RI
Q UI sin φ 0 S P RI 2
• Moc chwilowa rezystora jest zawsze nieujemna, zatem rezystor w sposób pulsacyjny pobiera energię ze źródła (średnio PT w jednym okresie T). • Rezystor nie pobiera mocy biernej, a tylko moc czynną.
Moc cewki • Dla cewki φ = 90°, więc
p UI cos(2ωt 2ψu 90) P UI cos φ 0 φ90
Q UI sin φ UI
U X LI
X LI 2
S Q X LI 2 • Moc chwilowa cewki oscyluje wokół zera, zatem cewka przez ćwierć okresu pobiera energię i magazynuję ją w polu magnetycznym, a przez następne ćwierć okresu oddaje ją do obwodu. • Cewka nie pobiera mocy czynnej, a tylko dodatnią moc bierną.
Moc kondensatora • Dla kondensatora φ = −90°, więc
p UI cos(2ωt 2ψu 90) P UI cos φ 0 φ 90
Q UI sin φ UI
XCI 2
U XC I
S Q XCI 2 • Moc chwilowa kondensatora oscyluje wokół zera, zatem kondensator przez ćwierć okresu pobiera energię i magazynuje ją w polu elektrycznym, a przez następne ćwierć okresu oddaje ją do obwodu. • Kondensator nie pobiera mocy czynnej, a tylko ujemną moc bierną (czyli wytwarza dodatnią moc bierną).
Elementy RLC – podsumowanie
U
I
U I
I
U
1 ωC
ZR
Z X L ωL
Z XC
φ0
φ 90
φ 90
P RI 2
P0
P0
Q0
Q X LI 2
Q XCI 2
Bilans mocy
Bilans mocy • Bilans mocy przeprowadza się oddzielnie dla mocy czynnej i oddzielnie dla mocy biernej
Podb Pźr ,
(Qodb ) (Qźr )
• Moc bierną sumujemy z uwzględnieniem znaku (ujemna dla kondensatora, dodatnia dla cewki). • Nie wolno sumować mocy pozornych, moc pozorną należy obliczać ze związku S UI P 2 Q 2
Metoda klasyczna – ogólna idea Metoda klasyczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego opiera się na wskazach wielkości sinusoidalnych: 1. Oblicza się reaktancje cewek i kondensatorów, ewentualnie ich susceptancje. 2. Wartości skuteczne napięć i prądów na poszczególnych elementach wyrażają się związkami typu prawo Ohma. 3. Prawa Kirchhoffa spełniane są nie dla wartości skutecznych, lecz dla wskazów (lub wartości chwilowych). 4. Na podstawie wykresu wskazowego uzyskuje się zależności na wartość skuteczną sumy napięć lub prądów oraz na ich kąty fazowe.
X L ωI
XC
1 ωC
1 ωL
BC ωC
U RI U X LI
I GU I BLU
U XCI
I BCU
BL
Przesyłanie energii elektrycznej • Podłączając odbiornik energii elektrycznej do sieci nie zastanawiamy się zwykle, jaką drogę pokonuje energia elektryczna. • Pomijając wszelkie szczegóły, wystarczy, że wyobrazimy sobie, że po wyprodukowaniu w elektrowni jest przesyłana liniami energetycznymi do odbiorników.
Elektrownia
Odbiorniki
Koszty przesyłu • Jedno z najważniejszych zagadnień energetyki to: Przesłać zadaną moc czynną jak najtańszym kosztem. • Główne składniki kosztów to: – Bezpowrotne straty energii spowodowane wydzielaniem ciepła w przewodach linii energetycznych wskutek przepływu prądu, – Koszty budowy linii energetycznych, – Koszty eksploatacyjne (np. naprawa uszkodzonych linii).
• Obniżenie tych kosztów jest możliwe dzięki tzw. kompensacji mocy biernej.
Kompensacja mocy biernej • Większość odbiorników energii elektrycznej ma charakter rezystancyjno-indukcyjny (φ > 0, cosφ < 1, Q = QL > 0). • Idea jest taka: zamiast produkować moc bierną w elektrowni i przesyłać ją linią energetyczną, lepiej wyprodukować ją tuż przy odbiorniku. • Ponieważ w ogólności Q = QL – QC, to aby uzyskać Q ≈ 0, równolegle do odbiornika wystarczy podłączyć odpowiedni kondensator. • Takie postępowanie nazywa się kompensacją mocy biernej, albo poprawą współczynnika mocy (jako, że po takim zabiegu cosφ wzrasta).
Kompensacja mocy biernej
Jak to działa? • Rozważmy odbiornik o charakterze rezystancyjno-indukcyjnym (np. silnik indukcyjny, piec indukcyjny, łukowy). U • Prąd I0 spóźnia się za napięciem U o kąt φ, zatem zawiera zarówno składową czynną Ic, jak i bierną Ib. • Jeżeli równolegle do odbiornika podłączymy kondensator, to popłynie przez niego prąd IC. • Prąd ten kompensuje całkowicie lub częściowo składową bierną prądu pobieraną z sieci, czyli zmniejsza prąd I płynący w sieci.
I
IC I0 C
R L
U Ic φ′ IC
I I0 φ Ib
Jak to działa? – c.d. • Moc bierna indukcyjna potrzebna odbiornikowi RL jest częściowo wytwarzana na miejscu przez kondensator – stąd nazwa kompensacja mocy biernej. • Odbiornik wypadkowy ma kąt fazowy φ′ < φ, czyli cosφ′ > cosφ – stąd inna nazwa poprawa współczynnika mocy. • Dla odbiornika nic się nie zmieniło – płynie przez niego taki prąd I0 jak przed kompensacją. • Zmienił się natomiast prąd pobierany z sieci z I0 na I, czyli zmalał.
I
IC I0 C
R
U
L
U Ic
φ′ IC
I I0
φ Ib
Kompensacja częściowa, całkowita i przekompensowanie • Jeżeli w wyniku kompensacji mocy biernej wypadkowy kąt fazowy φ′ > 0 (cosφ′ < 1), to mówimy o kompensacji częściowej. • Jeżeli φ′ = 0 (cosφ′ = 1), to kompensację nazywamy całkowitą; w tym stanie układ ma charakter rezystancyjny (zachodzi w istocie rezonans prądów w odbiorniku wypadkowym). • Jeżeli zaś φ′ < 0 (cosφ′ < 1), to mówimy o przekompensowaniu – w tym stanie układ ma charakter rezystancyjnopojemnościowy.
U I φ′
I0
φ
IC U I φ
I0
IC U I IC
φ′
I0 φ
Dobór kondensatora • Aby uzyskać kompensację ze współczynnika mocy cosφ na cosφ′, należy użyć kondensatora o pojemności P(tg φ tg φ) C ωU 2
• Wyprowadzenie: Q QL QC Q P tg φ,
QL P tg φ,
P tg φ P tg φ ωCU 2 P(tg φ tg φ) C ωU 2
U2 QC ωCU 2 XC
Co daje kompensacja mocy biernej? • Najważniejszym efektem jest zmniejszenie prądu przesyłanego linią energetyczną, w efekcie czego: – Zmniejszają się straty energii wydzielanej w liniach przesyłowych, transformatorach itp. (P = RI2), – Zmniejszają się spadki napięcia w przewodach linii, transformatorach – u odbiorcy jest zapewnione odpowiednie napięcie (np. 230 V zamiast 210 V), – Można użyć przewodów o mniejszym przekroju poprzecznym, co obniża koszty budowy linii, transformatorów, generatorów, – Można przesyłać większą moc czynną.
• Wszystkie zakłady przemysłowe muszą mieć instalację kompensacji mocy biernej; jeżeli pobierają z sieci moc bierną większą niż dopuszczalna, to płacą kary.
Przykład – szeregowa gałąź RLC • Rozważmy szeregową gałąź RLC zasilaną napięciem
u(t ) 2U sin(ωt α)
i
U R RI
UL X LI
UC X C I
• Czy U = UR + UL + UC? NIE – nie wolno dodawać wartości skutecznych! Wolno dodawać wartości chwilowe (u = uR + uL + uC), co odpowiada dodawaniu geometrycznemu wskazów.
uR u L C
u
• Rysujemy obwód dla wartości skutecznych. • Załóżmy, że znamy prąd I. Napięcia na elementach (wartości skuteczne) są równe
R L
uC I U
R UR U X L L
XC
UC
X L ωL XC
1 ωC
Szeregowa gałąź RLC – wykres • Dowolnie zaznaczamy wskaz prądu I. • W fazie z nim zaznaczamy wskaz napięcia na rezystorze UR. • Napięcie na cewce wyprzedza prąd o 90°, więc wskaz UL zaznaczamy jako obrócony o +90° względem prądu. • Napięcie na kondensatorze spóźnia się za prądem o 90°, więc wskaz UC zaznaczamy jako obrócony o −90° względem prądu. • Suma wskazów UR, UL i UC daje wskaz napięcia zasilania U. • Pomiędzy wskazami U i I zaznaczamy kąt fazowy φ.
R
I
UR U X L L
U
XC
UC
UL U φ UC
UR
I
Szeregowa gałąź RLC – impedancja WYPADKOWE NAPIĘCIE BIERNE
• Z wykresu
U U R2 (U L U C ) 2
I
UR U X L L
U
XC
( RI ) 2 ( X L I X C I ) 2 I R 2 ( X L X C )2 • Stąd moduł impedancji
R
UC UL
U UL – UC Z R 2 ( X L X C )2 I • Kąt fazowy UC U L UC X L I X C I X L X C tg φ UR RI R
UR U φ
UR
I
Wartości chwilowe • Skoro u(t ) 2U sin(ωt α) to U i(t ) 2 sin(ωt α φ) Z • Ponadto
i
uR u L C
u
uC
UL U φ
R sin(ωt α φ) UC Z X u L (t ) 2U L sin(ωt α φ 90) 2U L sin(ωt α φ 90) Z X uC (t ) 2U C sin(ωt α φ 90) 2U C sin(ωt α φ 90) Z u R (t ) 2U R sin(ωt α φ) 2U
R
UR
I
XC
1 C
XC
XL L
XL L
XC
1 C
XL L
R
R
L arc tg
R
1 C
R
1 C
L 0 arc tg
R
1 C
L 0
arc tg
R
1 C
0
Połączenie RL i
L
R
i(t ) I m sin(t i ) gdzie
uL
uR
u i arc tg
u
L R
u t uR uL R I m sin(t i ) LI m sin(t i
2
)
R L I m sin(t i ) 2
2
Um
u
Połączenie RL Trójkąt impedancji i wykres wskazowy: U UL
Z R 2 L
2
0
UR i
Z
R
R - rezystancja X – reaktancja indukcyjna Z – impedancja (moduł impedancji)
X L gdzie
arc tg
L R
Połączenie RC i
R
C
i(t ) I m sin(t i ) 1 C gdzie arc tg R
uC
uR u
u t uR uC R I m sin(t i ) 1 I m sin(t i ) C 2
2
1 R I m sin t i C 2
Um
u
Połączenie RC
i
uR u
uC
R
1 2 Z R C
2
R - rezystancja X – reaktancja pojemnościowa Z – impedancja (moduł impedancji)
1 X C
0
1 C gdzie arc tg R
Połączenie RLC i
R
L
uR
uL
C uC
u Przyjmijmy, że
i(t ) I m sin(t i ) u R I m R sin t i
u L I m L sin t i 2 1 uC I m sin t i C 2
Połączenie RLC u u R u L uC 2
Im
1 sin t i R L C 2
u Z
Impedancja zespolona
Um Argument impedancji
1 L C arc tg R
Połączenie RLC
Połączenie RLC
Połączenie RLC Takiemu połączeniu odpowiada trójkąt impedancji: R XC
1 C
XC
1 C
XL L
R
XL L
1 C
XL L
R
L arc tg
XC
R
1 C
L 0 arc tg
R
1 C
L 0
arc tg
R
1 C
0
Połączenie szeregowe RLC
X X L XC 0
1 L 0 C
UC
U L UC
1 L C
UL 0
U
I
U R RI OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
Połączenie szeregowe RLC
X X L XC 0
1 L 0 C
1 L C
UL
U L UC
U R RI
I
U
0
UC
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
Połączenie szeregowe RLC
X X L XC 0
1 L 0 C
1 L C
UL
U L UC X (r ) 0
0
UC
U UR
I
1 r LC
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
Połączenie równoległe RLC
I U
G IR
C
L IL
IC
Y
B
G
1 Y G C L 2
2
Połączenie równoległe RLC
1 C L
1 C 0 L
B BC BL 0 IL
IC I L
IC 0
I
I R GU
U
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
Połączenie równoległe RLC
B BC BL 0
IC I L
1 C L
1 C 0 L Ic I R GU
U
I
IL
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
0
Połączenie równoległe RLC
B BL BC 0
1 C 0 L
1 C L
IC
I L IC B(r ) 0
0
IL
U GU I I R
1 r LC
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Rezonans w obwodach elektrycznych Adam Jaroszewicz dr inż.
Co to jest rezonans?
Rezonans to zjawisko polegające na powstawaniu oscylacji o bardzo dużej amplitudzie wskutek działania wymuszenia o relatywnie niewielkiej amplitudzie. Warunkiem wystąpienia rezonansu jest odpowiednia częstotliwość oscylacji wielkości wymuszającej (napięcia, siły). Częstotliwość ta nazywa się częstotliwością rezonansową układu (częstotliwością drgań swobodnych nietłumionych).
Drgania swobodne
Układ mechaniczny wychylony ze stanu równowagi i pozostawiony sam sobie próbuje do niego wrócić. Jeżeli czynniki tłumiące (np. tarcie, lepkość) nie są zbyt duże, powrót do stanu równowagi następuje oscylacyjnie. Częstotliwość tych drgań to częstotliwość drgań swobodnych. Jeżeli nie ma tłumienia, to mamy drgania swobodne nietłumione. Jeżeli czynniki tłumiące są zbyt duże, oscylacji nie ma.
Kiedy występuje rezonans?
Jeżeli w takim układzie wystąpi czynnik okresowy pobudzający układ do drgań (np. siła) o częstotliwości równej lub bliskiej częstotliwości drgań swobodnych nietłumionych, to amplituda drgań zostanie spotęgowana. W kolejnych okresach działania wymuszenia układ pobiera porcje energii i magazynuje ją, co prowadzi do narastania amplitudy oscylacji. Amplituda drgań przestaje narastać, gdy pobrana w jednym okresie energia jest rozpraszana w czasie jednego okresu drgań (dotychczas zmagazynowana energia pozostaje zaś w układzie). Taki stan to właśnie rezonans.
Rezonans w układach elektrycznych
W teorii obwodów rezonansem nazywamy stan, w którym odbiornik zawierający elementy reaktancyjne nie pobiera mocy biernej. W stanie rezonansu: –
–
prąd nie ma składowej biernej – jest zatem w fazie z napięciem, odbiornik nie pobiera mocy biernej – cała dostarczana energia zamienia się na ciepło, dlatego już niewielkie wymuszenie może spowodować relatywnie duże oscylacje prądu lub napięcia.
Rezonans w układach elektrycznych
Co to jest rezonans?
Rezonans w układach elektrycznych
Rezonans w szeregowym układzie RLC
Moc bierna wynosi
i
Q X L I X C I ( X L X C )I 2
2
2
Moc ta zeruje się, jeżeli XL = XC, czyli
u
Stan taki nazywamy rezonansem napięć, gdyż wtedy wartości skuteczne napięcia cewce i kondensatorze są takie same, ale z powodu przesunięcia fazowego wartości chwilowe napięć sumują się do zera.
uR u L C
L
uC UL
1 ωL ωC
R
U = UR
UC
I
Rezonans w szeregowym układzie RLC
Pulsacja rezonansowa
Z warunku rezonansu otrzymujemy pulsację rezonansową
ωr
1 LC
Częstotliwość rezonansowa szeregowego dwójnika RLC wynosi
ωr 1 fr 2π 2π LC
i u
R uR u L C uC
1 ωL ωC
L
Rezonans napięć W stanie rezonansu napięć: Reaktancja pojemnościowa XC i indukcyjna XL są sobie równe: XL = XC, Moduł impedancji Z = R, a więc prąd osiąga maksymalną wartość równą U/R, Kąt fazowy φ = 0, a więc prąd jest w fazie z napięciem zasilania, Napięcie zasilania U odkłada się na rezystorze: UR = U, Wartości skuteczne napięcia na cewce i kondensatorze są sobie równe UL = UC, Wartości chwilowe napięcia na cewce kondensatorze znoszą się (uL + uC = 0).
i u
R uR u L C
L
uC UL U = UR UC
I
Impedancja falowa
Dobroć układu rezonansowego
Dobroć układu rezonansowego
Dobrocią szeregowego układu rezonansowego RLC nazywamy stosunek napięcia na cewce do napięcia na rezystorze w stanie rezonansu
Q
UL UR
ωω
ωr L 1 L R R C
r Dobroć jest wielkością niemianowaną i przyjmuje wartości nieujemne. Dobroć zależy od L, C i R, ale nie zależy od napięcia zasilania. W układach rezonansowych dąży się do uzyskania jak największej dobroci, czyli rezystancja powinna być jak najmniejsza. Dobroć dedykowanych układów rezonansowych wynosi od kilkudziesięciu nawet do kilku tysięcy.
Dobroć układu rezonansowego
Rezonans napięć
Rezonans napięć
Rezonans napięć
Rezonans napięć
Rezonans napięć
Rezonans napięć
Rezonans napięć
Rezonans napięć
Przepięcia
W stanie rezonansu wartość skuteczna napięcia na cewce i kondensatorze wynosi
XL ωr L UC U L X L I U U QU R R
Jeżeli Q > 1, to napięcie na cewce i kondensatorze jest większe od napięcia zasilania. Taki stan nazywamy przepięciem. Przepięcia są pożądane w układach selekcji sygnałów (telekomunikacja), natomiast niepożądane i niebezpieczne w układach energetycznych.
Prądy i napięcia w funkcji pulsacji I
U 1 R 2 ωL ωC
2
Q U L ωLI U
UC X C I U
U L C
Q ω ω 1 Q 2 r ωr ω
ω ωr
ω ω 1 Q 2 r ωr ω
Q
2
ωr ω
ω ω 1 Q 2 r ωr ω
2
2
Wpływ dobroci (rezystancji)
Q=1
Q = 10
Q=2
Q = 100
Kąt fazowy gałęzi
Kąt fazowy szeregowego układu RLC wyraża się jako: Jeżeli ω < ωr, to φ < 0 (układ ma charakter rezystancyjnopojemnościowy), Jeżeli ω > ωr, to φ > 0 (układ ma charakter rezystancyjnoindukcyjny), Jeżeli ω = ωr, to φ = 0 (układ ma charakter rezystancyjny).
φ arctg
1 ωC arctg Q ω ωr ω R r ω
ωL
Rezonans w równoległym układzie RLC
2
2
U U Q ( BL BC )U 2 X L XC
Zeruje się ona jeżeli BL = BC, czyli XL = XC, a stąd pulsacja rezonansowa wynosi
ωr
i
Moc bierna wyraża się wzorem
1 LC
Jest ona taka sama jak w układzie szeregowym. Rezonans w układzie równoległym nazywa się rezonansem prądów, gdyż IL = IC, co prowadzi do wzajemnej kompensacji prądów cewki i kondensatora.
iR u
iL
R
iC
L
C
IC
I = IR IL
I
Rezonans prądów W stanie rezonansu prądów: Susceptancja pojemnościowa BC i indukcyjna BL są sobie równe: BL = BC, Moduł admitancji Y = G, a więc prąd osiąga minimalną wartość równą UG, Kąt fazowy φ = 0, a więc prąd jest w fazie z napięciem zasilania, Prąd zasilania I płynie tylko przez rezystor: IR = I, Wartości skuteczne prądów cewki i kondensatora są sobie równe IL = IC, Wartości chwilowe prądów cewki i kondensatora znoszą się (iL + iC = 0). Jeżeli BL = BC > G, to IL = IC > I – dochodzi do tzw. przetężeń (prądy cewki i kondensatora większe od prądu zasilania).
i iR u
iL R
iC L
C
Rezonans prądów
Rezonans prądów
Częstotliwości rezonansowe W ogólności częstotliwości rezonansowe dwójnika RLC wyznacza się z warunku zerowania kąta fazowego dwójnika. R
L C
ωr
1 LC
L
L
C
C C R
C
R
ωr
R
C
L RL
1 1 2 2 LC R C
ωr
1 RL2 LC L2
L
ωr
ωr
L ωr
R RL
1 LC 1 L2 LC 2 R RL R L2 LC 2 R 1
Idealne układy rezonansowe
Idealne układy rezonansowe
Idealne układy rezonansowe
Praktyczne znaczenie rezonansu
Praktyczne znaczenie rezonansu
Pozwala selektywnie wybrać sygnały o częstotliwości bliskiej częstotliwości rezonansowej (np. układy dostrajania w TV, radiu, telefonie komórkowym, CB, itd.), Układy zapłonowe (np. świec w silniku benzynowym, świetlówek) – tam celowo doprowadza się do przepięć, aby uzyskać znaczne napięcie na cewce zapłonowej.
Do wzmacniacza
Małe napięcie
Duże napięcie
Praktyczne znaczenie rezonansu
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Liczby zespolone w obwodach prądu przemiennego Adam Jaroszewicz dr inż.
Liczby zespolone
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b). Liczby rzeczywiste a i b stanowią odpowiednio część rzeczywistą oraz urojoną liczby zespolonej (a, b). Liczbę zespoloną z = (a, b) zapisujemy zwykle w postaci kanonicznej
z a jb gdzie
j 1 jest jednostką urojoną (w matematyce stosujemy symbol i, ale w elektrotechnice i oznacza prąd, dlatego używamy wyjątkowo j).
Działania arytmetyczne Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych wykonuje się tak samo, jak na liczbach rzeczywistych z uwzględnieniem, że j2 = −1:
(a j b) (c j d ) (a c) j(b d ) (a j b) (c j d ) (a c) j(b d ) (a j b)(c j d ) (ac bd ) j(bc ad ) a j b (a j b)(c j d ) (ac bd ) j(bc ad ) c j d (c j d )(c j d ) c2 d 2 1 j j
Postać geometryczna
Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy Rez, zaś część urojoną Imz. Jeżeli w układzie współrzędnych (x, y) będziemy na osi Ox odkładać części rzeczywiste, zaś na osi Oy – części urojone, to otrzymamy tzw. płaszczyznę zespoloną. Liczbę zespoloną (a, b) interpretuje się geometrycznie jako punkt na płaszczyźnie zespolonej.
Imz b
a + jb
a
Rez
Moduł liczby zespolonej
Długość odcinka pomiędzy punktem (a, b) a początkiem układu współrzędnych nazywamy modułem liczby zespolonej a + jb i oznaczamy |a + jb|. Z rysunku wynika, że
Imz b
a + jb
a
z a jb a 2 b2
Rez
Argument liczby zespolonej
Kąt α pomiędzy odcinkiem łączącym punkt (a, b) z początkiem układu współrzędnych a osią rzeczywistą nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy arg(a + jb). Umownie argument przyjmuje wartości z przedziału od −π do π. Z rysunku otrzymujemy
a cos α z
b sin α z
b tg α a
Imz b
a + jb α a
Rez
Działania arytmetyczne
Ilustracja graficzna sumowania liczb zespolonych Z= Z1+Z2
Interpretacja geometryczna – j Prosta interpretacja geometryczna jednostki urojonej j (franc. Imaginaire). Niech wektor z1 = 2 z1 = 2
Po pomnożeniu przez j → z2 = j∙2
Po pomnożeniu przez j 2 → z3 = – 2 Pomnożenie przez j wektora odpowiadającego liczbie z1 jest równoznaczne z jego obrotem o kąt 90O (π/2)
Postać algebraiczna Liczbą zespoloną będziemy nazywać obiekt zapisywany jako (a+jb), gdzie j jest naszą jednostką urojoną, a i b są zwykłymi liczbami rzeczywistymi. 2 j 1
j 1 Im
Moduł wektora (jego długość)
Oś urojona Część urojona, rzut modułu na oś urojonych.
Część rzeczywista, rzut modułu na oś rzeczywistych Re
α
(2 + j3) – postać algebraiczna Płaszczyzna zespolona
Oś rzeczywista Część rzeczywista
Część urojona
Liczba zespolona i odpowiadający jej wektor wodzący mogą znajdować się w każdym miejscu płaszczyzny zespolonej, w zależności od wartości oraz znaku części rzeczywistej i urojonej.
Postać trygonometryczna cos α
a z
sin α
b z
tg α
b a
Z powyższego wynika, że liczbę zespoloną z = a + jb można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej
z z (cos α j sin α) gdzie α = arg(a + jb).
Imz b
a + jb α a
Rez
Postać wykładnicza
Korzystając ze wzoru Eulera, dostajemy postać wykładniczą liczby zespolonej
Imz b
z z e jα
cos α j sin α e j α Wzór Eulera
a + jb α a
Rez
Postać wykładnicza Liczbę zespoloną można przedstawić również w tzw. postaci wykładniczej która jest równoważna postaci algebraicznej.
z re
z re
j Im
j
modułu wektora Liczba e – podstawa logarytmu naturalnego e ≈ 2,71828
α
Re
Argument α to kąt o jaki moduł przesunięty jest względem dodatniej osi liczb rzeczywistych. α > 0 – dla indukcyjności α < 0 – dla pojemności Przykładowo dla wektora z rysunku
z 3,6 e
j 57 Moduł: Argument:
z re2 im2 22 32 3,6 im 3 tg 1,5; 57 re 2
Postać algebraiczna → wykładnicza Aby przekształcić zapis algebraiczny do równoważnego zapisu wykładniczego należy: 1. policzyć moduł wektora, Zapis algebraiczny liczby z 2. policzyć argument czyli kąt α, 3. zapisać liczbę w postaci wykładniczej
z (4 j3)
Część rzeczywista i urojona to przyprostokątne trójkąta prostokątnego a moduł to przeciwprostokątna, stąd jego długość obliczymy z twierdzenia Pitagorasa
Im
z Re2 Im2 42 32 25 5
α
Argument to kąt o jaki moduł przesunięty jest względem dodatniej osi liczb rzeczywistych. Obliczymy go z wykorzystaniem funkcji tangens kąta α
tg Zapis liczby z w postaci wykładniczej
Im 3 0, 75 37 Re 4
z 5e j 37
z (4 j3) 5e j 37 5(cos37 j sin 37) 5(0,8 j 0,6) (4 j3)
Postać wykładnicza → algebraiczna Aby przekształcić zapis wykładniczy do równoważnego zapisu algebraicznego należy skorzystać z zapisu trygonometrycznego: Zapis algebraiczny liczby z 1. wstawić odpowiednio dane do postaci trygonometrycznej , j 37 2. policzyć i zapisać liczbę w postaci algebraicznej
z 5e
Postać trygonometryczna
z z ( cos j sin )
Moduł wektora Funkcja cosinus argumentu z uwzględnieniem znaku (przebieg zmienności) dająca część rzeczywistą. Funkcja sinus argumentu z uwzględnieniem znaku (przebieg zmienności) dająca część urojoną zapisu algebraicznego
z 5(cos 37 j sin 37) 5(0,8 j 0,6) (4 j3) Zapis liczby z w postaci algebraicznej
z (4 j3)
Postać algebraiczna a = Re (x) – część rzeczywista b = Im (x) – część urojona
z a 2 b2 Moduł liczby zespolonej Argument liczby zespolonej z2 = – a + jb
z1 = a – jb
b tg a
Działania na liczbach zespolonych
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci kanonicznej:
z1 z2 (a j b) (c j d ) (a c) j(b d ) z1 z2 (a j b) (c j d ) (a c) j(b d )
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci wykładniczej:
z1 z2 z1 e j α1 z2 e j α2 z1 z2 e j(α1 α2 ) z1 e j α1
z1 j(α1 α2 ) z1 e j α2 z2 z2 e z2
Operator obrotu Imz
Liczbę zespoloną
zejψ
e
jψ
nazywamy operatorem obrotu o kąt ψ, gdyż w wyniku mnożenia liczby |z|ejα przez ejψ dostajemy liczbę niezmienionym module lecz argumencie α + ψ, czyli obróconą o kąt ψ. Imz Wnioski: ponieważ j = ej90°, to jz – – –
Liczba j jest operatorem obrotu o 90°, zaś liczba –j jest operatorem obrotu o −90°. Mnożenie przez j obraca liczbę o 90°, Dzielenie przez j obraca liczbę o −90°.
z ψ α
Rez
z α Rez −jz
Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona
Każdemu przebiegowi sinusoidalnemu o postaci
a(t ) 2 A sin(ωt ψ )
odpowiada wskaz, który może być rozpatrywany jako odcinek łączący początek układu współrzędnych z pewnym punktem płaszczyzny. Płaszczyznę tę możemy rozpatrywać jako płaszczyznę zespoloną. Każdemu punktowi na tej płaszczyźnie odpowiada pewna liczba zespolona. Wniosek: każdemu przebiegowi sinusoidalnemu odpowiada pewna liczba zespolona.
Am A –ψ
ωt
a(t)
Im
A = Aejψ A ψ Re
Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona
Tę liczbę zespoloną nazywa się zespoloną wartością skuteczną albo fazorem. Zespolona wartość skuteczna przebiegu
Am A –ψ
ωt
a(t)
a(t ) 2 A sin(ωt ψ ) ma postać
A Ae jψ
Im
A = Aejψ A
Wielkości zespolone podkreślamy. Uwaga: Należy odróżniać A i A, gdyż A to zespolona wartość skuteczna przebiegu a(t), zaś A to wartość skuteczna (moduł), tzn. A = |A|.
ψ Re
Ψ > 0 – dla indukcyjności L Ψ < 0 – dla pojemności C
Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona
Mając zespoloną wartość skuteczną A, możemy otrzymać wartość chwilową a(t) jako
a(t ) Im[ 2 Ae j ωt ]
Wyprowadzenie:
a(t ) 2 A sin(ωt α ) 2 A Im[cos(ωt α ) j sin(ωt α )] 2 A Im[e j(ωt α ) ] Im[ 2 Ae j α e j ωt ] Im[ 2 Ae j ωt ] A
Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona Znaleźć wartość skuteczną zespoloną napięcia, jeżeli napięcie sinusoidalne opisane jest następującym równaniem:
u U m sin(t u ) Należy obliczyć wartość skuteczną napięcia oraz jego fazę początkowa i zapisać napięcie zespolone w postaci wykładniczej
U Ue ju
u 2 125 sin(t 60 ) o
U 125e j60 V o
Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona Wartość skuteczna zespolona napięcia wynosi:
U (60 j80)V Napisz równanie opisujące wartość chwilową tego napięcia. Zamieniamy napięcie zespolone z postaci algebraicznej na postać wykładniczą
z Re2 Im2 602 802 10000 100 Im 80 tg 1,33 5313` Re 60
U (60 j80)V 100e
Wartość skuteczna napięcia wynosi 100V a faza początkowa 53o13` Wartość chwilowa napięcia
u 2 100 sin(t 53,13o )V
j53,13o
V
Dwójnik a liczba zespolona 1. Dwójnik o rezystancji R
Zakładamy, że przez opornik przepływa prąd sinusoidalny o wartości zespolonej
I Ie
j 0o
Wartość skuteczna tego prądu wynosi I a jego faza początkowa → Wartość zespoloną napięcia możemy obliczyć z prawa Ohma.
0o
U IR Prawo Ohma ma taką samą postać jak dla wartości skutecznych napięcia i prądu, ponieważ napięcie i prąd na oporniku są w fazie.
Napięcie i prąd jako liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej.
Dwójnik a liczba zespolona 2. Dwójnik o indukcyjności L
Zakładamy, że przez indukcyjność przepływa prąd sinusoidalny o wartości zespolonej
I Ie
j0 o
Wartość zespoloną napięcia możemy obliczyć z prawa Ohma. Z uwagi na to, że napięcie wyprzedza prąd o 90o wykorzystamy operator obrotu aby przesunąć napięcie o j90o względem prądu. e Wiedząc, że →
e
j90o
Napięcie i prąd zespolony na płaszczyźnie zespolonej. Jak widać napięcie jest położone na osi urojonej (stąd jednostka urojona j w prawie Ohma).
prawo Ohma dla cewki przyjmuje postać.
j
I
U 1 1 U jX L j X L
Dwójnik a liczba zespolona 3. Dwójnik o pojemności C
Zakładamy, że przez pojemność przepływa prąd sinusoidalny o wartości zespolonej
I Ie
j0 o
Wartość zespoloną napięcia możemy obliczyć z prawa Ohma. Z uwagi na to, że napięcie opóźnia się względem prądu o 90o wykorzystamy operator obrotu aby opóźnić o napięcie o względem prądu. e j 90
U IX e
Wiedząc, że →
e
j 90o
Napięcie i prąd zespolony na płaszczyźnie zespolonej. Napięcie leży na osi urojonej ujemnej i dlatego w prawie Ohma występuje –j
j90o
prawo Ohma dlaCcewki przyjmuje postać.
j
I
U 1 1 U jX C j X C
Impedancja jako wielkość zespolona Obwody elektryczne prądu przemiennego charakteryzują się impedancją. Impedancja jest wielkością, która określa wartość prądu płynącego w obwodzie pod wpływem zadanego wymuszenia napięciowego. Służy ona do sformułowania prawa Ohma w zastosowaniu do obwodów pradu przemiennego.
gdzie U i I – wartości skuteczne napięcia i prądu, a Z — moduł impedancji obwodu.
Elementy impedancyjne można łączyć ze sobą szeregowo, równolegle lub w sposób mieszany. Układ połączeń elementów impedancyjnych można zastąpić jedna impedancja równoważna (zastępcza), przy czym odpowiednie równania są analogiczne do wzorów określających rezystancje zastępczą układów połączeń rezystorów, z ta różnicą, że impedancje traktuje się jak liczby zespolone, a nie jak liczby rzeczywiste.
Impedancja jako wielkość zespolona W przypadku szeregowego połączenia elementów o impedancjach Z1; Z2... impedancja zastępcza jest równa
W przypadku równoległego połączenia elementów o impedancjach Z1; Z2... impedancja zastępcza jest równa
Impedancja, jak każda wielkość zespolona, składa się z części rzeczywistej i części urojonej. Część (składowa) rzeczywista impedancji nazywa się rezystancja i oznacza przez R, składowa urojona impedancji nazywa się reaktancja i oznacza przez X
Impedancja jako wielkość zespolona W przypadku elementów idealnych R, L, C impedancje wyraża się wzorami
W przypadku obwodu szeregowego RC → impedancja
IMPEDANCJA
MODUŁ IMPEDANCJI
Impedancja jako wielkość zespolona
W przypadku obwodu równoległego RC impedancja
Impedancja jako wielkość zespolona W przypadku obwodu szeregowego RL impedancja
natomiast moduł impedancji
Impedancja jako wielkość zespolona
W przypadku obwodu równoległego RL impedancja
Impedancja jako wielkość zespolona
Reaktancja elementów biernych jest zależna od częstości przepływającego prądu lub częstości napięcia wymuszającego. W tym przypadku reaktancję pojemnościową kondensatora traktujemy umownie jako ujemną. Wynika to z przesunięć fazowych prądów i napięć na elementach biernych. Przebieg napięcia uL (wartości chwilowe) na cewce wyprzedza w fazie o kąt 90° przebieg prądu, natomiast przebieg napięcia uC na kondensatorze jest opóźniony w fazie względem przebiegu prądu o kąt 90°. W konsekwencji przebieg napięcia na kondensatorze jest opóźniony w fazie względem przebiegu napięcia na cewce o 180°. (przeciwne zwroty napięć chwilowych) Fakt ten ilustruje właśnie znak „—" przed wyrażeniem określającym reaktancję pojemnościową kondensatora.
Impedancja jako wielkość zespolona Przebieg zmienności reaktancji elementów biernych w funkcji częstości → na którym zaznaczono również linią kreskową przebieg zmienności reaktancji wypadkowej układu. Jak widać, istnieje taka częstość ω0 zwana częstością rezonansową, przy której reaktancja wypadkowa obwodu szeregowego RLC → X = 0
Impedancja układu przy X = 0 jest równa rezystancji obwodu, Z = R
Impedancja obwodu szeregowego RLC Przebieg zmienności reaktancji cewki indukcyjnej, kondensatora i układu szeregowego LC w funkcji częstości oraz odpowiadających im napięć
Impedancja jako wielkość zespolona
Impedancja obwodu szeregowego RLC
natomiast moduł impedancji
Impedancja jako wielkość zespolona
Impedancją (zespoloną) dwójnika pasywnego nazywamy iloraz wartości skutecznych napięcia na jego zaciskach i pobieranego przez niego prądu: I
U Z def I
Dwójnik pasywny
U
Jednostką impedancji zespolonej jest om. Impedancja jest liczbą zespoloną charakteryzującą właściwości dwójnika dla prądu sinusoidalnego.
W ogólności
U Ue jψu czyli
Z
I Ie jψi φ
j ψu
Ue U e j ψi I Ie
j(ψu ψi )
Ze j φ
Z
Moduł impedancji Z = |Z| jest zatem ilorazem wartości skutecznych napięcia i prądu dwójnika.
Impedancja jako wielkość zespolona ● Kąt fazowy impedancji φ = argZ jest różnicą pomiędzy kątami fazowymi napięcia i prądu, czyli jest kątem fazowym dwójnika. ● Zespolona impedancja Z łączy obydwie wielkości Z i φ, które dotychczas były rozpatrywane niezależnie. Admitancją zespoloną nazywamy odwrotność impedancji zespolonej:
1 def Z
Y
I 1 1 jφ Y j φ e Ye j φ U Ze Z
prawo Ohma
U ZI
I
U YU Z
Impedancja jako wielkość zespolona Z R j X L ( j X C ) R j( X L X C )
R
XL
Z Z R 2 ( X L X C )2 φ arg Z arctg
XC
Y
R
XL
X L XC R
1 1 1 1 1 1 j R j X L j XC R XC X L
XC YY
1 1 1 2 X X R C L
2
1 1 X X R( X C X L ) L φ arg Y arctg C arctg 1 X L XC R
Impedancja jako wielkość zespolona (Wartości rezystancji i reaktancji w omach)
1 j 3
6
1
3
30
10 30 || j10
30 j10 j j(3 j) j3 1 30 30 2 2 30 3 j9 30 j10 3 j 10 3 1
1 – j3 6
6
3 + j9
(3 j 9) (1 j 3) 4 j 6
4 + j6 (4 j 6) || ( j 6) (4 j 6) ( j 6) 36 j 24 9 j 6 Ω (4 j 6) ( j 6) 4
Impedancja jako wielkość zespolona R
L
R
jXL
U RI
X L ωL U jXL I
U j XC I
Z jXL
1 Y G R
Y
I
1 ωC
XC
ZR
U
C j XC
1 j BL jXL
Z j XC Z
1 j BC j XC
I
U I
U
Prąd jako wielkość zespolona Ponieważ impedancja obwodów prądu przemiennego wyraża się liczbą zespoloną, również prąd i napięcie w takich obwodach będą wielkościami zespolonymi. W szczególnym przypadku, w przypadku elementów biernych idealnych, jeżeli założymy, że wartość napięcia przedstawimy jako liczbę rzeczywistą, prąd zespolony będzie miał tylko składową urojoną (prąd bierny). Zgodnie z prawem Ohma. prąd płynący przez kondensator będzie wyrażony zależnością
Na płaszczyźnie liczb zespolonych prąd I jest zobrazowany wektorem prostopadłym do wektora napięcia U. Przebieg wartości chwilowej prądu wyprzedza w fazie o 90° przebieg wartości chwilowej napięcia.
Prąd jako wielkość zespolona Zgodnie z prawem Ohma. prąd płynący przez cewkę będzie wyrażony zależnością
Na płaszczyźnie liczb zespolonych prąd ten jest zobrazowany wektorem prostopadłym do wektora napięcia U. Przebieg wartości chwilowych prądu opóźnia się w fazie o 90° względem przebiegu wartości chwilowej napięcia.
Prąd jako wielkość zespolona Podobnie oblicza się prąd zespolony w przypadku elementów biernych rzeczywistych (cewek i kondensatorów) lub w układach połączeń tych elementów. Dla przykładu obliczmy prąd płynący w obwodzie szeregowym RC. Niech napięcie zasilające obwód wyraża się liczbą rzeczywistą.
Celem przedstawienia prądu I w dogodniejszej postaci licznik i mianownik wyrażenia mnożymy przez liczbę sprzężoną
Prąd jako wielkość zespolona Po wykonaniu obliczeń, pamiętając, że U jest wielkością rzeczywistą →
U U
Pierwszy składnik wyrażenia oznacza składową czynną prądu płynącego w obwodzie RC, a drugi — składową bierną prądu
Wektor napięcia U, jako wielkość rzeczywista (z założenia), pokrywa się z wektorem prądu Icz. Przebieg prądu biernego wyprzedza w fazie przebieg prądu czynnego o 90°, natomiast przebieg prądu całkowitego I wyprzedza w fazie o kąt φ przebieg napięcia U.
Prąd jako wielkość zespolona Dla przykładu obliczmy prąd płynący w obwodzie szeregowym RC.
Wektor napięcia U, jako wielkość rzeczywista (z założenia), pokrywa się z wektorem prądu Icz. Przebieg prądu biernego opóźnia się w fazie względem przebiegu prądu czynnego o 90°, natomiast przebieg prądu całkowitego I opóźnia się w fazie o kąt φ względem przebiegu napięcia U
BADANIE UKŁADU PRĄDU PRZEMIENNEGO Z UŻYCIEM LICZB ZESPOLONYCH NOSI NAZWĘ RACHUNKU SYMBOLICZNEGO.
Moc jako wielkość zespolona U Ue jψu
I Ie jψi
S Ue jψu Ie jψi UIe j(ψu ψi ) UIe j φ UI cos φ jUI sin φ
S ZI 2 P j Q
S P jQ
P UI cos φ RI 2 Re S Q UI sin φ XI 2 Im S S UI ZI 2 P 2 Q 2 S
Zespolona moc pozorna jest jedną wielkością, która łączy w sobie trzy wielkości: moc czynną, moc bierną i moc pozorną. Zespolona moc pozorna jest wielkością addytywną – można sumować zespolone moce pozorne różnych elementów, gdyż wykonujemy wtedy w istocie sumowanie mocy czynnych i biernych.
Przykłady
Przykłady
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 2
Przykład 3
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 4
Przykład 4 u i i u
6
2
2
6
3
3
dla napięć 0 charakter pojemnosciowy
dla prądów 0 charakter pojemnosciowy
Przykład 4 u i i u
6
2
2
6
3
3
dla napięć 0 charakter pojemnosciowy
dla prądów 0 charakter pojemnosciowy
Przykład 5
Przykład 5
Przykład 6
Przykład 6
lub poprzez wykorzystanie prawa Ohma
Przykład 7 Obliczyć prąd w obwodzie i
e(t ) 50 2 sin(ωt 45) V
R
rad s R5 3Ω
ω 106 e
L
L 9 μH C
C 250 nF I
R
UR
E 50e j 45 V X L ωL 10 9 10 6
6
9Ω
1 1 103 XC 4Ω ωC 106 250 10 9 250
E
UC
UL
XL
XC Schemat dla wartości skutecznych
Przykład 7 I
E U R U L U C 0
R UR
E UC
UL
XL
XC E R I j X L I ( j X C I ) 0 E 50e j45 50e j45 I R j( X L X C ) 5 3 j(9 4) 5 3 j 5 5 jarctg 2 5 3
5 3 j 5 (5 3 ) 2 5 e 50e j45 j15 I 5 e A j 30 10e
10e j 30
Wartość chwilowa wynosi i(t ) 5 2 sin(ωt 15) A
Przykład 8 C R
L
Wyznaczyć pulsację rezonansową
j RX L RX L2 j R 2 X L Z j X C R || j X L j X C j XC R jXL R 2 X L2
Dla szeregowego obwodu rezonansowego (w rezonansie) → XL = XC Im Z 0
R2 X L XC 2 0 2 R XL
R 2 ω2 L2 ωLR 0 ωC ωC
2
ωr
R2 C L2 LR C 2
R 2 X L R 2 X C X L2 X C 0
1 L2 LC 2 R
2
L2 R 2 ω LR C C 2
Przykład 9
Przykład 10
Przykład 11
Przykład 11
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Prądy przemienne trójfazowe Adam Jaroszewicz dr inż.
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Układ nieskojarzony – uzwojenia prądnicy prądu przemiennego np. SGO 8
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Układy trójfazowe posiadają następujące zalety: • dla dostarczenia do odbiornika zadanej mocy wymagają najmniejszego zużycia materiału na przewody zasilające, • powodują najmniejsze straty energii w przewodach przy danym napięciu i danej mocy przesyłowej, • wytwarzają magnetyczne pole wirujące, które zostało wykorzystane do tanich i prostych silników indukcyjnych, • moc chwilowa przekazywana do odbiornika jest stała w czasie.
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
ECm
e
eA
eB
120
EAm
120
T/3 120
EBm
eC
120
2T/3 240
t
T 360
t
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego Zależność pomiędzy napięciem fazowym i przewodowym (międzyfazowym) dla połączenia w gwiazdę
Obwody prądu trójfazowego Zależność pomiędzy prądem fazowym i przewodowym (międzyfazowym) dla połączenia w trójkąt
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
Obwody prądu trójfazowego
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Filtry elektryczne Adam Jaroszewicz dr inż.
CZWÓRNIK
Czwórnik jest to obwód elektryczny o dowolnej wewnętrznej strukturze połączeń elementów , mający wyprowadzone na zewnątrz cztery zaciski uporządkowane w dwie pary , zwane bramami : wejściową i wyjściową , którymi energia jest do obwodu doprowadzana lub odprowadzana . W analizie szeregu zagadnień nie jest potrzebna dokładna znajomość rozpływu prądów i rozkładu napięć w obwodzie , wystarczy natomiast informacja o tym , co dzieje się na dwóch wybranych parach zacisków. Dla wyznaczenia własności takiego czwórnika należy określić związki między czterema wielkościami : prądem wejściowym , prądem wyjściowym , napięciem wejściowym oraz napięciem wyjściowym.
CZWÓRNIK
KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW Czwórniki liniowe i nieliniowe. Jeśli chociaż jeden z elementów czwórnika jest nieliniowy, to nie jest spełniona zasada superpozycji i czwórnik jest nieliniowy – np. element półprzewodnikowy. Czwórniki aktywne i pasywne. Czwórnik nazywamy aktywnym, jeśli wewnątrz znajdują się nieskompensowane źródła energii – np. wzmacniacz. Czwórniki odwracalne. Czwórnik nazywamy odwracalnym, jeśli spełnia on zasadę wzajemności (stosunek reakcji do pobudzenia nie ulegnie zmianie przy zamianie miejscami reakcji i pobudzenia), np. czwórnik liniowy pasywny – filtr typu Π i T . Czwórniki równoważne. Przez równoważność dwóch czwórników mających różną strukturę wewnętrzną rozumie się możliwość ich wzajemnej zamiany w obwodzie bez zmiany prądów i napięć w pozostałej części obwodu. Czwórniki symetryczne. Czwórnik nazywamy symetrycznym, gdy wzajemna zamiana miejscami jego zacisków wejściowych i wyjściowych nie zmienia prądów i napięć w pozostałej części obwodu. Czwórniki stacjonarne i parametryczne. Czwórnik nazywamy parametrycznym, jeśli jeden z jego elementów zmienia się w czasie, np. C(t) = C0 + C1cos(ω1t).
CZWÓRNIK
SCHEMATY ZASTEPCZE CZWÓRNIKÓW
Czwórniki, jako schematy zastępcze wielu urządzeń, można prawie zawsze przedstawić za pomocą trzech impedancji tworzących strukturę czwórnika
CZWÓRNIK
STANY PRACY CZWÓRNIKÓW
Do zacisków 1 – 1’ podłączone jest źródło napięciowe. Zaciski wyjściowe 2 – 2’ mogą być: • rozwarte i taki stan pracy nazywamy stanem jałowym, • zwarte, ten stan nazywamy stanem zwarcia • w przypadku dołączenia do zacisków wyjściowych impedancji Z0, czwórnik znajduje się w stanie obciążenia. W stanie jałowym i zwarcia równania czwórnika ulegają uproszczeniu i można wtedy łatwo pomierzyć parametry czwórnika.
CZWÓRNIK
POŁĄCZENIA CZWÓRNIKÓW
Rozróżniamy trzy podstawowe układy połączeń czwórników: - połączenia łańcuchowe
- połączenia równoległe
Zaciski wyjściowe pierwszego czwórnika są połączone z zaciskami wejściowymi drugiego czwórnika. Zaciski wejściowe pierwszego czwórnika są połączone z zaciskami wejściowymi drugiego czwórnika jak również zaciski wyjściowe pierwszego czwórnika są połączone z zaciskami wyjściowymi drugiego czwórnika.
- połączenie szeregowe Zaciski wejściowy 1’ pierwszego czwórnika jest połączony z zaciskiem wejściowym 1 drugiego czwórnika jak również zacisk wyjściowy 2’ pierwszego czwórnika jest połączony z zaciskiem wyjściowym 2 drugiego czwórnika.
CZWÓRNIK
CZWÓRNIK
CZWÓRNIK
CZWÓRNIK
CZWÓRNIK Neper (oznaczenie Np) – bezwymiarowa logarytmiczna jednostka miary wielkości ilorazowych, stosowana w elektrotechnice i akustyce, nazwana na cześć Johna Napiera (1550-1617), którego zlatynizowane nazwisko brzmiało "Neper".
Stosunek dwu wielkości x1 i x2 w neperach jest definiowany przez jego logarytm naturalny (ln)
1 neperowi odpowiada taki stosunek wielkości x1 i x2 , dla którego x1 / x2 = e (liczba Eulera).
John Napier [Neper] Lord of Merchiston (1550 – 1617) - szkocki właściciel ziemski, antypapista, matematyk, odkrywca logarytmów. W 1614 rozpowszechnił podany przez swego znajomego, Josta Burgiego, sposób budowy tablic umożliwiających mnożenie liczb za pomocą dodawania innych liczb, odpowiednio z danymi powiązanych, czyli czegoś co jest bardzo pokrewne dzisiejszym logarytmom. Właściwe logarytmy dziesiętne zostały wprowadzone przez Henry'ego Briggsa.
CZWÓRNIK
Neper należy do jednostek miar układu SI stosowanych wyłącznie w specjalnych dziedzinach, prócz niego do wyznaczania stosunku jest stosowana oparta na logarytmie dziesiętnym jednostka bel lub decybel (dB). ITU (ang. International Telecommunication Union) – Międzynarodowy Związek Telekomunikacyjny) stosuje obie jednostki, które są związane następującą zależnością:
Bel – jednostka miary wielkości ilorazowych. W wypadku pomiaru mocy
Często stosuje się jednostkę podwielokrotną, decybel:
CZWÓRNIK
FILTR ELEKTRYCZNY
Filtry znajdują zastosowania głównie w urządzeniach elektronicznych i elektrycznych. Stosuje się je tam, gdzie zachodzi potrzeba wyeliminowania z widma sygnałów składowych o niepożądanych częstotliwościach a przepuszczenia tylko pożądanych. Pasmo częstotliwości, w którym widmo sygnału jest nietłumione lub mało tłumione nazywa się pasmem przepustowym, a pasmo w którym sygnały są silnie tłumione nazywa się pasmem tłumienia lub zaporowym. Częstotliwość, która rozdziela te pasma, nazywana jest częstotliwością graniczną fg. Filtr może mieć więcej niż jedną częstotliwość graniczną. !!!
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
Charakterystyki amplitudowe
DP – filtr dolnoprzepustowy GP – filtr górnoprzepustowy ŚP – filtr środkowoprzepustowy
FILTR ELEKTRYCZNY
Rezystancyjny dzielnik napięcia - dzielnik napięciowy jest często wykorzystywany jako moduł dopasowujący. Ma on za zadanie dzielić lub zmniejszać napięcie wejściowe (U) zgodnie z zadanym stosunkiem rezystancji.
U2
R2 1000 12V U 12V 6V R1 R2 1000 1000 2
Układ złożony z dwu rezystorów można zastąpić jednym potencjometrem. Uzyskujemy w ten sposób regulowany dzielnik napięcia. Dzielnik taki można zastosować jako najprymitywniejszy rodzaj zasilacza regulowanego (silnie uzależnionego od przepływu prądu).
FILTR ELEKTRYCZNY
Potencjometr – regulowany dzielnik napięcia
FILTR ELEKTRYCZNY
U 12V (const ) f var ( wzrost )
FILTR ELEKTRYCZNY
X L 2 fL 1 XC 2 fC
XC U2 U f X L XC XC
XC
, XL
U 2 Spadek poziomu U 2 przy wzroscie f FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY
U2 XL
XL U f X L XC
XC
, XL
U 2 Wzrost poziomu U 2 przy wzroscie f FILTR GÓRNOPRZEPUSTOWY
FILTR ELEKTRYCZNY Ze względu na przeznaczenie filtry można podzielić na: • dolnoprzepustowe • górnoprzepustowe • środkowoprzepustowe • środkowozaporowe Ze względu na konstrukcję i rodzaj działania filtry można podzielić na: • pasywne – nie zawierają elementów dostarczających energii do obwodu drgającego, zawierają tylko elementy RLC • o jednostopniowe • o wielostopniowe • aktywne – zawierają zarówno elementy RLC, jak również i elementy dostarczające energię do filtrowanego układu np. wzmacniacze, układy nieliniowe. Filtry można również podzielić na typy obwodów w jakich są używane: • analogowe • cyfrowe
FILTR ELEKTRYCZNY Według pasma częstotliwości filtry dzieli się na: ● dolnoprzepustowe (FDP) – pasmo przepustowe zawiera się od częstotliwości f = 0 Hz do częstotliwości granicznej fg; zakres f > fg to pasmo zaporowe, ● górnoprzepustowe (FGP) – pasmo przepustowe zawiera się od częstotliwości granicznej fg do nieskończoności, ● pasmowo-przepustowe (FSP) – pasmo przepustowe zawiera się od dolnej częstotliwości granicznej fg1 do górnej częstotliwości fg2 przy czym fg1 < fg2, selektywne – pasmo przepustowe jest stosunkowo wąskie, tzn. (fg2 - fg1 ) << fg1, ● pasmowo-zaporowe (FSZ) - pasmo przepustowe zawiera się częstotliwości f = 0 Hz do częstotliwości granicznej fg1 i od częstotliwości granicznej fg2 do nieskończoności.
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
Charakterystyka amplitudowa - zależność wzmocnienia od częstotliwości; Charakterystyka amplitudowa filtru może nie być płaska, czyli może być nierównomierna (falista) w obrębie pasma przepustowego. Definiuje się więc nierównomierność charakterystyki w paśmie przepustowym Pasmo przepustowe - zakres częstotliwości sygnałów przechodzących przez filtr bez znacznego tłumienia. Najczęściej przyjmuje się, że krańcem pasma przepustowego jest częstotliwość, dla której wzmocnienie filtru maleje o 3dB. Są jednak filtry (o charakterystyce "równomiernie falistej") o nieco inaczej zdefiniowanej częstotliwości krańcowej pasma przepustowego.
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
Częstotliwość graniczna – sygnały o częstotliwościach z pasma zaporowego są znacząco tłumione przez filtr. Początek pasma zaporowego definiuje się przez przyjęcie pewnej minimalnej wartości tłumienia sygnałów – np. – 3 dB. Charakterystyka fazowa – zależność przesunięcia fazy sygnału wejściowego filtru względem sygnału doprowadzonego do jego wejścia od częstotliwości tych sygnałów. Ważność charakterystyki fazowej filtru wynika z faktu, że jeśli składowe sygnału wyjściowego, których częstotliwości całkowicie mieszczą się w paśmie przepustowym filtru, są różnie opóźnione po przejściu przez filtr, to sygnał wyjściowy filtru będzie zniekształcony. Stałość czasu opóźnienia sygnałów o rożnych częstotliwościach odpowiada liniowemu narastaniu przesunięcia fazy w funkcji częstotliwości → filtr o liniowym przesunięciu fazy odnosi się do filtru o idealnej charakterystyce fazowej.
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
Decybel, dB – logarytmiczna jednostka miary równa 1/10 bela. Decybela używamy w sytuacji, gdy chcemy porównywać wielkości zmieniające się liniowo w bardzo szerokim zakresie, a interesują nas zmiany względne (np. procentowe). Jednostką podstawową jest bel [B], jednak przyjęło się używać jednostki pochodnej – 10 razy mniejszej czyli 1 dB = 0,1 B. Wartości wyrażane w decybelach odnoszą się do stosunku dwóch wielkości P do pewnej wielkości odniesienia P0.
gdzie: PdB – wielkość P w decybelach, log10 – logarytm dziesiętny, P0 – wielkość odniesienia. Na przykład załóżmy, że chcemy pokazać na wykresie jak zmienia się pewna wielkość P: P0 = 1, P1 = 10, P2 = 100, P3 = 1000, P4 = 10000 Jeżeli nanieślibyśmy te wartości na skalę liniową arytmetyczną), to punkty P1, P2 i P3 byłyby zupełnie niewidoczne, przesłonione największa wartością P4. Zmieńmy dane na decybele oznaczając otrzymane wielkości p → p1 = 10 log (P1/P0) = 10 dB i podobnie p2 = 20 dB, p3 = 30 dB, p4 = 40 dB
FILTR ELEKTRYCZNY Skala arytmetyczna utrzymuje takie same odległości w ujęciu bezwzględnym. To znaczy, że odległość na wykresie między np. ceną 2 i 4 będzie taka sama, jak między 100 i 102. Mimo, iż w pierwszym wypadku wzrost ceny wyniósł 100%, to w drugim tylko 2%. Skala arytmetyczna słabo nadaje się do konstruowania wykresów, na których znajdować się będą bardzo różne wartości. Skala logarytmiczna zachowuje takie same odległości w ujęciu procentowanym (względnym). Jeśli zmianę np. ceny z 2 do 4 dzieli na wykresie 2 cm, to również wzrost ze 100 do 200 oznaczać będzie przesunięcie się w górę o 2 cm. W obydwu wypadkach notowania cen zmieniły się o 100%.
FILTR ELEKTRYCZNY
W przypadku wielkości typu wzmocnienie napięciowe wykorzystuje się następującą definicję decybela:
Wzór ten wykorzystywany jest przy analizie charakterystyk amplitudowych filtrów elektronicznych oraz obiektów automatyki, w których np. o sytuacji, gdy 10-krotny wzrost częstotliwości powoduje 10-krotny wzrost napięcia, mówi się o wzroście 20 dB na dekadę. Dla stosunku napięć będzie to 20 log (U1/U2).
FILTR ELEKTRYCZNY
Dla wzmocnienia napięciowego
U2 K u dB 20 log10 U1 U2 44 dB 20 log10 U1 44 U 2 44 U2 log10 10 20 U1 20 U1
U 2 U1 102,2 U 2 158 U1
Antena telewizyjna UHF ATX 55w DVB-T ze wzmacniaczem LNA-177 i zasilaczem wzmocnienie anteny aż 44dB !!
Wzmocnienie napięciowe wzmacniacza wynosi ok. 158
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
W filtrach dolnoprzepustowych elementy umieszczone w gałęziach poprzecznych (równoległych) są kondensatorami, zaś umieszczone w gałęziach podłużnych (szeregowych) są cewkami.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
Filtry dolnoprzepustowe LC w układach: a) - T b) - Π
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
Częstotliwość graniczna
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy LC
Jeżeli sygnał wejściowy UWE nie zawiera składowej stałej, a jego częstotliwość spełnia warunek f≫ fg to filtr dolnoprzepustowy działa jak układ całkujący.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy LC
Częstotliwość graniczna
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy LC
Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe współczynnika tłumienia filtru górnoprzepustowego prezentowane w neperach (a) i decybelach (k)
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy LC
Jeżeli sygnał wejściowy ma częstotliwość f << fG to można przyjąć, że UWY << UWE, to filtr górnoprzepustowy działa jak układ różniczkujący
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy / środkowoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy / środkowoprzepustowy LC
Idealny filtr pasmowoprzepustowy przepuszcza bez tłumienia częstotliwości w paśmie od fg1 do fg2, zaś poza tym pasmem występuje wysokie tłumienie połączone z narastaniem przesunięcia fazowego pomiędzy sygnałami wejściowym i wyjściowym. Szerokość pasma przepustowego definiowana jako różnica pomiędzy górną i dolną częstotliwością graniczną.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy / środkowoprzepustowy LC
Średnia geometryczna częstotliwości granicznych jest równa częstotliwości rezonansowej f0
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy / środkowoprzepustowy LC
Dla częstotliwości rezonansowej przesunięcie fazowe jest równe zeru.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy / środkowoprzepustowy LC
Dobroć filtru
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy / środkowoprzepustowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowozaporowy/ środkowozaporowy LC Filtr zaporowy jest połączeniem dwóch filtru górnoprzepustowego złożonego z pojemności C1 i indukcyjności L2 (częstotliwość graniczna fg2) i dolnoprzepustowego złożonego z pojemności C2 i indukcyjności L1 (częstotliwość graniczna fg1). Pasmo zaporowe znajduje się pomiędzy częstotliwościami granicznymi fg1 i fg2.
Filtry zaporowe LC w układach: a) - T b) - Π
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowozaporowy/ środkowozaporowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowozaporowy/ środkowozaporowy LC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowozaporowy/ środkowozaporowy LC
Dla częstotliwości rezonansowej przesunięcie fazowe jest równe zeru.
Charakterystyki częstotliwościowe filtrów pasmowozaporowych LC
FILTR ELEKTRYCZNY LC
FILTR ELEKTRYCZNY RC
Mimo dobrych własności tłumieniowych filtrów LC, to w ich przypadku problemy związane są z elementami indukcyjnymi. Cewki nie mogą być bezpośrednio realizowane w technice scalonej. Uzyskanie dużych wartości indukcyjności pociąga za sobą konieczność stosowania cewek z rdzeniem ferromagnetycznym. Poza tym każda cewka oprócz indukcyjności wprowadza do układu rezystancję uzwojenia. Powyższych wad nie mają filtry złożone z rezystancji i pojemności – filtry RC. Ich działanie opiera się na zależności impedancji kondensatora od częstotliwości. W przypadku wzrostu częstotliwości maleje impedancja gałęzi, w której występuje pojemność.
Filtry pasywne RC: a) dolnoprzepustowy, b) górnoprzepustowy
FILTR ELEKTRYCZNY RC
Poprzez odpowiednie dobranie wartości pojemności i rezystancji filtrów można uzyskać filtry dolnoprzepustowe i górnoprzepustowe o częstotliwościach granicznych (3-decybelowych) określonych taką samą zależnością
FILTR ELEKTRYCZNY RC
Filtry pasywne RC: a) dolnoprzepustowy, b) górnoprzepustowy
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy RC
Jeżeli filtr dolnoprzepustowy RC, dołączony jest do idealnego źródła sygnału (idealne źródło sygnału to takie, które posiada zerową impedancję wewnętrzną) dla niskich wartości częstotliwości sygnału, filtr może być traktowany jako źródło sygnału o rezystancji R (R – wartość rezystancji w szeregowej gałęzi filtru). Sygnał o częstotliwości wyższej od częstotliwości granicznej nie wydostaje się na wyjście filtru, ponieważ jest zwierany przez kondensator.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy RC
arctg (2 fRC )
2 fO
1 RC
Podstawiając, dla f = fO
arctg (1)
4
Filtr dolnoprzepustowy RC oraz jego charakterystyka amplitudowo – częstotliwościowa
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy RC
• dla małych częstotliwości f≪ fg mamy UWY/Uwe = 1 = 0dB. • dla wielkich częstotliwości f≫ fg wzmocnienie jest odwrotnie proporcjonalne do częstotliwości. • Przy dziesięciokrotnym zwiększeniu Częstotliwości, wzmocnienie maleje 10 razy, tzn. 20 dB na dekadę lub 6 dB na oktawę. • dla częstotliwości f = fg mamy UWY/Uwe = 1/√2 = -3dB
Charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej 1kHz.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy RC
Charakterystyka fazowa filtru dolnoprzepustowego o częstotliwości granicznej 1kHz. Przesunięcie fazy dla tej częstotliwości wynosi φ = - 45o
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy RC
dla częstotliwości 3 dB mamy przesunięcie +45 stopni.
minus oznacza, że sygnał po filtrze jest opóźniony względem wejścia
Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe współczynnika tłumienia i współczynnika przesunięcia fazowego filtru dolnoprzepustowego RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr dolnoprzepustowy RC
dla f ~ 0 => faza->0 dla f → nieskończoności => faza dąży do -90 stopni
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy RC
Jeżeli na wejście filtru górnoprzepustowego RC, wprowadzi się sygnał o wysokiej częstotliwości, to na jego wyjściu pojawi się sygnał o napięciu w przybliżeniu równym napięciu wejściowemu. Spowodowane jest to, niską wartością impedancji gałęzi szeregowej da sygnałów o wysokiej częstotliwości.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy RC
1 arctg 2 fRC
1 2 fO RC Podstawiając, dla f = fO
arctg (1)
4
Filtr górnoprzepustowy RC oraz jego charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy RC
dla częstotliwości 3 dB mamy przesunięcie +45 stopni.
Plus oznacza, że sygnał po filtrze jest przyśpieszony względem wejścia Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe współczynnika tłumienia i współczynnika przesunięcia fazowego filtru górnoprzepustowego RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr górnoprzepustowy RC
dla częstotliwości 3 dB mamy przesunięcie +45 stopni.
dla f ~ 0 => faza => + 90 stopni dla f → nieskończoności => faza dąży do 0 stopni
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC
Połączenie kaskadowe – kolejne ogniwa obciążają poprzednie co prowadzi do spadku poziomu sygnału
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC – mostek Wienna
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC – mostek Wienna
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowoprzepustowy RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr pasmowozaporowy RC
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr wszechprzepustowe
Filtry wszechprzepustowe o płaskiej charakterystyce amplitudowej, lecz z odpowiednio ukształtowaną charakterystyką fazową Służą do korekcji fazy sygnału podawanego na wejście. Filtr, posiada stałe wzmocnienie równe jedności Sygnał wyjściowy jest opóźnioną wersją sygnału wejściowego Przejście sygnału przez filtr wszechprzepustowy nie powoduje zniekształcenia sygnału, ale jego przesunięcie fazowe
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr wszechprzepustowe
Stałe wzmocnienie równe jedności
Korekcja fazy sygnału wyjściowego w stosunku podawanego na wejście.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr aktywne Filtry pasywne RC odznaczają się małym nachyleniem charakterystyki amplitudowej. Zwiększenie szybkości opadania charakterystyki w obszarze przejściowym wymaga zwiększenia liczby połączonych kaskadowo ogniw filtru, co wpływa na osłabienie amplitudy sygnału. Filtry LC oraz RLC połączone kaskadowo oferują dużą stromość charakterystyki amplitudowej na granicach pasma, jednak są to układy ciężkie, o dużych rozmiarach, kosztowne i trudne w realizacji. Obecnie stosowane są najczęściej w układach mocy oraz wysokiej częstotliwości.
Filtr dolnoprzepustowy rzędu II → nachylenie pasma zaporowego równe 40dB/dek
Filtr górnoprzepustowy rzędu II → nachylenie pasma zaporowego równe 40dB/dek
Filtry aktywne, realizowane w oparciu o wzmacniacze operacyjne pozwalają uzyskać parametry oferowane przez filtry RLC przy braku konieczności stosowania kosztownych (szczególnie dla dużych wartości), ciężkich, wrażliwych na zakłócenia elektromagnetyczne, nieliniowych, stratnych – niezerowa wartość rezystancji szeregowej) indukcyjności.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr aktywne
Obecnie filtry LC stosuje się tylko w zakresie wysokich częstotliwości. Natomiast filtry na zakres małych częstotliwości, w tym częstotliwości akustycznych, z powodzeniem realizuje się wykorzystując wzmacniacze operacyjne oraz odpowiednio dobrane obwody RC w pętli sprzężenia zwrotnego.
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr aktywne
R1=R2=R3=R oraz R4=1,5R1 Filtr dolnoprzepustowy
RB=RC oraz CA=CB=CC=C Filtr górnoprzepustowy
FILTR ELEKTRYCZNY Filtr aktywne Prościutki filtr z rysunku to w sumie dzielnik napięcia, gdzie jeden z elementów jest kondensatorem. Reaktancja kondensatora wyraża się znanym wzorem: 1 XC 2 fC
Już to pokazuje, że przy dwukrotnym (o oktawę) wzroście częstotliwości f, reaktancja Xc zmniejszy się dwukrotnie (o 6 decybeli). Przy dziesięciokrotnej zmianie częstotliwości (o dekadę), reaktancja też zmienia się dziesięciokrotnie (o 20 decybeli).
Zależność taka powoduje, że najprostsze filtry RC mają poza pasmem przepustowym ściśle określoną stromość charakterystyki. Tłumienie w paśmie przejściowym i zaporowym prostego filtru RC zmienia się z szybkością 20dB/dekadę, czyli 6dB/oktawę → są to filtry pierwszego rzędu
FILTR ELEKTRYCZNY Rzędy filtrów RLC
Wzrost skuteczności tłumienia filtrów jest realizowany poprzez kaskadowe łączenie filtrów. W zależności od liczby filtrów składowych określa się tzw. rząd filtra. Przesunięcie fazowe filtrów poszczególnych rzędów wiąże się z nachyleniem charakterystyki amplitudowej. Z uwagi na to wyróżnia się: • filtry 1-go rzędu o nachyleniu 20dB/dek • filtry 2-go rzędu o nachyleniu 40 dBb/dek • filtry 3-go rzędu o nachyleniu 60 dB/dek itd. Połączenie kaskadowe filtrów wprowadza przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego w odniesieniu do sygnału wejściowego filtra. Przesunięcia fazy są zależne od zastosowanego stopnia rzędu filtru. Każdy rząd filtru przesuwa fazę o 90 stopni, czyli końcowym wynikiem filtracji jest przesunięcie fazy o 90o → I rząd o 90o; II rząd o 180o; II rząd o 270o i IV rząd o 360o. Natomiast przesunięcie fazy dla punktu filtracji jest równe połowie przesunięcia końcowego czyli: I rząd 45o; II rząd 90o; III rząd 135o itd.
FILTR ELEKTRYCZNY Rzędy filtrów RLC
W praktyce wzmacniacz operacyjny współpracuje w dwoma, a czasem trzema kondensatorami → pozwala to zrealizować filtr o nachyleniu zbocza 40dB/dekadę (12dB/oktawę), czyli tak zwany filtr drugiego rzędu.
Filtr trzeciego rzędu ma stromość 60dB/dekadę (18dB/okt), a np. filtr 8. rzędu – 160dB/dek. (48dB/okt.). Ogólnie biorąc, czym bardziej stroma ma być charakterystyka, tym więcej ogniw, czyli filtr wyższego rzędu trzeba zastosować.
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI Miernictwo elektryczne Adam Jaroszewicz dr inż.
POMIAR
Czynności doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości wielkości mierzonej wyrażającej się iloczynem liczby i jednostki miary wyznaczone z określoną dokładnością np. 5 kg.,120 m., 35 s.
POMIAR
POMIAR
POMIAR – jest jedynym sposobem otrzymania ilościowej informacji o obiektywnie istniejącej rzeczywistości. Bez odpowiednio zaprogramowanego eksperymentu i pomiaru niemożliwy byłby rozwój nauk przyrodniczych: biologii, chemii, fizyki, ...
POMIAR
Zasada pomiaru określa zjawisko fizyczne stanowiące podstawę pomiaru np. zasada proporcjonalnego wydłużania słupka rtęci pod wpływem wzrostu temperatury.
Sposób pomiaru określa kolejność czynności koniecznych do wykonania pomiaru. Metoda pomiarowa - sposób postępowania przy porównaniu parametrów badanego zjawiska z wzorcem celem wyznaczenia wartości danej wielkości fizycznej.
POMIAR
BEZPOŚREDNI – wynik otrzymuje się na podstawie bezpośredniego wskazania narzędzia pomiarowego wywzorcowanego w jednostkach miary mierzonej wielkości np.: waga, taśma miernicza,... - w wyniku których, otrzymuje się bezpośrednio wartość wielkości mierzonej bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych na zależnościach funkcjonalnych. POŚREDNI - wynik otrzymuje się na podstawie bezpośredniego pomiaru innych wielkości, opierając się na znanej zależności między tymi wielkościami, a wielkością mierzoną np.: pomiar rezystancji metodą techniczną, pirometr – w wyniku których, otrzymuje się wartości innych wielkości związanych funkcjonalnie z wielkością mierzoną i znając zależność funkcjonalną oblicza się wielkość mierzoną.
POMIAR
Metody pomiarowe można podzielić na:
a) bezpośrednie: - metodę bezpośredniego porównania, - metodę różnicową, - metodę zerową, b) pośrednie. Metoda bezpośrednia jest to taki sposób pomiaru, w którym wynik pomiaru otrzymuje się na podstawie wskazania przyrządu wywzorcowanego w jednostkach miary wielkości mierzonej. Metoda bezpośredniego porównania polega na porównaniu całkowitej wartości wielkości mierzonej ze znaną wartością wzorcową tej wielkości, wchodzącą bezpośrednio do pomiaru, czyli wskazanie K przyrządu stanowi wynik X pomiaru:
X=K
POMIAR
Metoda różnicowa polega na odjęciu od wielkości mierzonej X znanej wartości wzorcowej W i pomiarze otrzymanej różnicy K metodą bezpośredniego porównania. A więc wartość wielkości mierzonej można obliczyć ze wzoru:
X=W+K Przykładem realizacji tej metody jest ważenie na wadze sklepowej z użyciem odważników, pomiar długości z użyciem wzorców długości (płytek wzorcowych), pomiar DGPS itp. Metoda zerowa polega na badaniu różnicy między wielkością mierzoną a wzorcową i takiej zmianie wielkości wzorcowej, aby tę różnicę sprowadzić do zera. Stąd wynik pomiaru X jest równy wartości wzorca
X=W Przykładem realizacji tej metody jest pomiar masy na wadze laboratoryjnej dwuszalkowej.
POMIAR
Metoda pośrednia polega na bezpośrednim pomiarze innych wielkości, związanych z wielkością szukaną znaną zależnością. Z zależności tej wyznacza się wartość X mierzonej wielkości:
X = f (A,B,C,...) gdzie: A, B, C,… - wielkości mierzone bezpośrednio. Przykładem realizacji tej metody jest pomiar techniczny rezystancji
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
Pozycje pracy przyrządów pomiarowych instalacji elektrycznych
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
POMIAR
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY W 1867 Thomson zbudował przyrząd magnetoelektryczny, który służył do rejestracji znaków telegraficznych. W 1881 Deprez i d'Arsonwal zmodyfikowali przyrząd Thomsona do pomiaru prądu stałego. W 1888 Weston opracował postać stosowaną do dziś mierników magnetoelektrycznych o ruchomej cewce. Mierniki magnetoelektryczne służą do pomiaru prądu stałego. Stosuje się je głównie jaki woltomierze, amperomierze i omomierze. Mierniki magnetoelektryczne dzieli się na mierniki magnetoelektryczne o ruchomej cewce i mierniki magnetoelektryczne o ruchomym magnesie. MIERNIK MAGNETOELEKTRYCZNY O RUCHOMEJ CEWCE Do biegunów magnesu trwałego (1) są przymocowane dwa nabiegunniki (2) ze stali miękkiej o czołach ukształtowanych w postaci wycinków walcowych. Między nabiegunniki jest umieszczony rdzeń (3) ze stali miękkiej mający kształt walca. W ten sposób z elementów 1, 2, 3 jest utworzony stały obwód magnetyczny. Na ramce aluminiowej, umocowanej na półośkach wspartych na części stałej miernika nawinięte jest uzwojenie.. Sprężyny spiralne (5) górna i dolna wykonane są z brązu fosforowego, dzięki nim doprowadzane jest prąd do cewki oraz wytwarzają moment zwrotny.
SZCZELINA POWIETRZNA O STAŁEJ SZEROKOŚCI – STAŁA WARTOŚĆ INDUKCJI B
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY MIERNIK MAGNETOELEKTRYCZNY O RUCHOMYM MAGNESIE Z magnesem (2) jest umocowana trwale oś. Nieruchome cewki (1) włączone w obwód mierzonego prądu wytwarzają pole magnetyczne wzdłuż linii sił którego stara się ustawić magnes trwały. Moment zwrotny zapewnia sprężyna spiralna (3). W celu wyeliminowania sprężyny moment zwrotny można uzyskać poprzez umieszczenie nieruchomego magnesu trwałego. Rozwiązanie takie charakteryzuje się bardzo dużą niezawodnością i odpornością na wstrząsy. Zaletami mierników o ruchomym magnesie są: małe wymiary, doprowadzenie prądu bez użycia sprężyn, stabilna praca bez wstrząsów. Wadami są: mała dokładność, duża masa obrotowa i duży moment bezwładności.
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY MIERNIK MAGNETOELEKTRYCZNY O RUCHOMYM MAGNESIE
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako woltomierz
W skład obwodu woltomierza magnetoelektrycznego o ruchomej cewce wchodzą: rezystancja cewki RC, rezystancja sprężynek dających moment zwrotny 2RS , rezystancja opornika dodatkowego RD dostosowująca woltomierz do wymaganego zakresu pomiarowego. Rezystancja woltomierza wynosi
Prąd IV płynący przez woltomierz ma wartość:
Mnożnik zakresu m określa stosunek napięcia całkowitego doprowadzonego do woltomierza U i napięcia na cewce UC:
Rezystancja woltomierza jest m razy większa od rezystancji cewki
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako woltomierz
Rezystory (oporniki) dodatkowe łączy się szeregowo z cewką miernika, umieszczając je wewnątrz obudowy miernika. Jedynie w przypadku dużych wartości rezystancji rezystorów dodatkowych lub w przypadku stosunkowo dużej mocy wydzielanej w rezystorze dodatkowym powoduje że konieczne jest umieszczenie go na zewnątrz miernika.
Moc wydzielona w woltomierzu wynosi:
PC - moc wydzielona na cewce woltomierza
REZYSTORY DODATKOWE POSOBNIKI:
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako woltomierz
Woltomierz o zakresie U = 3V i rezystancji R = 1000 Ω ma dobroć równą 1000/3 = 333,3 Ω/V Prąd płynący w obwodzie takiego woltomierza przy pełnym odchyleniu wskazówki wynosi 3 mA. Jeżeli woltomierz pobiera przy pełnym wychyleniu 1mA to jego dobroć wynosi 1000 Ω/V natomiast gdy pobiera 0,1 mA to dobroć wynosi 10000 Ω/V. Woltomierze magnetoelektryczne stosuje się do pomiaru w zakresie 10− 2V −104V
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako woltomierz PRĄD PRZEMIENNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako amperomierz Amperomierz jest miernikiem służącym do pomiaru natężenia prądu. Łączy się go szeregowo z źródłem i odbiornikiem, związku z tym przez amperomierz przepływa całkowity mierzony prąd. Ponieważ uzwojenie cewki jest wykonane z przewodu o średnicy rzędu 0,1 – 0,2 mm to dla większych prądów (I ≥ 100 mA) większość prądu przepływa przez równolegle dołączony opornik tak zwany bocznik. Amperomierz składa się więc z miliwoltomierza mV o rezystancji RP przez który przepływa prąd IP nie większy niż 100mA, oraz bocznika o rezystancji RB przez który przepływa prąd IB.
Zgodnie z prawem Kirchhoffa
mnożnik zakresu pomiarowego
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako amperomierz PRĄD PRZEMIENNY
WOLTOMIERZ I AMPEROMIERZ W OBWODZIE ELEKTRYCZNYM
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako omomierz Omomierze są miernikami służącymi do pomiaru rezystancji. Omomierze magnetoelektryczne dzieli się na dwie grupy: omomierze z szeregowym włączeniem mierzonej rezystancji i omomierze z równoległym włączeniem. OMOMIERZ SZEREGOWY Omomierz szeregowy składa się z miliamperomierza o rezystancji RO , opornika dodatkowego R1 i wyłącznika przyciskowego P. Układ zasilany jest ze źródła o napięciu U. Mierzona rezystancja RX jest włączona do zacisków wyjściowych omomierza. Przy zwarciu przycisku P prąd płynący w obwodzie wynosi:
Jeżeli natomiast w obwodzie zostanie włączona rezystancja mierzona , to otrzyma się:
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako omomierz OMOMIERZ SZEREGOWY Stosunek tych prądów równy jest równy stosunkowi wychyleń wskazówki:
Przy znanej rezystancji RO i R1 można wyznaczyć przebieg podziałki omomierza:
Ponieważ napięcie U zasilania ulega zmianą w miarę zużywania baterii, należy przeprowadzać regulację wstępną omomierza. Regulacja ta polega na ustawieniu czułości miliamperomierza za pomocą bocznika magnetycznego na taką wartość, żeby przy zwartym przycisku P otrzymać maksymalne wskazanie(działkę zerową omów). Omomierze szeregowe można budować na kilka zakresów, zmieniając dla każdego z zakresów opornik i odpowiednio bocznikując miliamperomierz.
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako omomierz OMOMIERZ RÓWNOLEGŁY Układ jest zasilany ze źródła o napięciu U przez rezystor R1. Miliamperomierz ma rezystancję równą R0 , mierzona rezystancja wynosi RX. Po odłączeniu mierzonej rezystancji RX prąd w miliamperomierzu wynosi:
Gdy mierzona rezystancja zostanie przyłączona, prąd IX przepływający przez miliamperomierz ma wartość:
Podziałka jest określona zależnością: Stosunek prądów wynosi:
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY jako omomierz OMOMIERZ RÓWNOLEGŁY Porównując przebiegi podziałki dla omomierza szeregowego i równoległego wynika, że podziałka omomierza równoległego będzie miała przebieg odwrotny (działka zerowa będzie znajdować się z lewej strony). W praktyce dobiera się R1 >> R0 i wówczas:
Jeżeli miliamperomierz przy bocznikowaniu podlega zbyt wielkiemu tłumieniu przebiegów nieustalonych, to w szereg z nim można włączyć rezystor dodatkowy, wówczas zwiększy się wartość rezystancji i zmieni się rozkład podziałki.
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY WPŁYWY ZEWNĘTRZNE NA DOKŁADNOŚĆ POMIARU W miernikach magnetoelektrycznych o ruchomej cewce wpływy zewnętrzne na pomiar są stosunkowo małe. Wynik pomiaru jednak zależy w pewnym stopniu od temperatury i od obcych pól magnetycznych. Wpływ temperatury Temperatura przyrządu zależy od temperatury otoczenia i od mocy rozproszonej w postaci ciepła w układzie elektrycznym miernika. Wzrost temperatury zwiększa wymiary, zmniejsza sprężystość sprężynek, zmniejsza stały strumień magnetyczny i zwiększa rezystancję cewki miernika. Wzrost rezystancji cewki miernika nawiniętej z drutu miedzianego lub aluminiowego wynosi 0,4%/K. W woltomierzach szeregowo z cewką miernika o rezystancji włączony jest opornik dodatkowy o rezystancji wykonany z konstantanu lub manganu W amperomierzach niższych klas zadowalamy się częściową kompensacją temperatury, włączając szeregowo z cewką miliwoltomierza opornik dodatkowy manganinowy. Większego opornika nie stosuje się, gdyż pociągnęłoby to za sobą znacznie zwiększenie spadku napięcia na boczniku, co nie jest pożądane. Bocznik amperomierza jest wykonany z manganinu i jego rezystancja nie zmienia się pod wpływem temperatury
Wpływ obcych pól magnetycznych Wpływ ten na wskazania mierników magnetoelektrycznych o ruchomej cewce jest stosunkowo mały i głównie zależy od wielkości szczeliny (im większa szczelina tym większy wpływ) Jeżeli obce pole magnetyczne (stałe lub zmienne) jest bardzo duże, to może spowodować trwałe rozmagnesowanie magnesu w mierniku, dlatego należy chronić mierniki magnetoelektryczne od działania pól magnetycznych o bardzo dużym natężeniu.
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY ILORAZOWY Wskazania miernika magnetoelektrycznego przy pomiarze rezystancji są zależne od wartości napięcia zasilania → USTAWIANIE ZERA OMOMIERZA Wartość prądu elektrycznego przepływającego przez cewkę miliamperomierza jest uwarunkowana wartością napięcia zasilającego i wartościami rezystorów tworzących układ pomiarowy. Przy stałej rezystancji Rt (np. Pt100) przy zmianie napięcia zasilającego od 20 do 30V, zmianie ulegają wartości potencjału p.A i B, co przy stałej rezystancji cewki miliamperomierza prowadzi do zmiany wartości prądu cewki (kąta wskazań) Wzrost napięcia zasilającego o 50% (20V → 30V) powoduje wzrost wartości płynącego prądu przez uzwojenie cewki miliwoltomierza o ok. 50%, co ma bezpośredni wpływ na dokładność wskazań. Wartości potencjałów VA i VB oraz wartość spadku napięcia na uzwojeniu cewki miliamperomierza przy dwóch wartościach UZAS
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY ILORAZOWY
Rozwiązanie powyższego problemu jest możliwe poprzez zastosowanie: • stabilizacji napięcia zasilającego układ pomiarowy • zastosowanie wskaźnika magnetoelektrycznego ilorazowego tzw. logometru Logometr (gr. Lógos – stosunek + Metreín - mierzyć) – tzw. miernik ilorazowy – elektryczny przyrząd pomiarowy zbudowany jest z dwóch, prostopadłych względem siebie, cewek i magnesu trwałego połączonego, za pomocą osi obrotowej, ze wskazówką. Płynący przez cewki prąd wytwarza dwa pola magnetyczne, które powodują, że magnes trwały wraz ze wskazówką ustawia się wzdłuż wypadkowego pola magnetycznego.
SZCZELINA POWIETRZNA O ZMIENNEJ SZEROKOŚCI – ZMIENNA WARTOŚĆ INDUKCJI B W ZALEŻNOŚCI OD POŁOŻENIA RAMKI MIERNIKA
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY ILORAZOWY
Wskaźnik logometru z ruchomym magnesem 1 – magnes trwały ruchomy, 2 – oś magnesu ruchomego, 3 – wskazówka, 4 – ciężarki wyważające, 5 – tłumik, 6 – nieruchomy magnes, 7 – ekran
Wewnątrz dwóch par nieruchomych cewek rozmieszczonych pod kątem ok. 120O umieszczony jest magnes trwały połączony ze wskazówką, posiadający możliwość swobodnego obracania się względem osi obrotu. Prądy I1 i I2 przepływające przez obie cewki wytwarzają dwa niezależne strumienie magnetyczne o osiach odchylonych o kąt ok. 120O. Przy jednakowych wartościach prądów I1 i I2, oba strumienie są identyczne co do wartości, w układzie pojawia się wypadkowy strumień magnetyczny będący dwusieczną kąta wzajemnego odchylenia obu strumieni (cewek). Ruchomy magnes trwały ustawia się wzdłuż linii wypadkowego strumienia magnetycznego (Moment napędowy / zwrotny od cewki 1 → M1 = cf(α)I1 , moment napędowy / zwrotny od cewki 2 → M2 = cf(α)I2 . Po ustaleniu się równowagi M1 = M2 wskazówka przyjmuje środkowe położenia na skali wskaźnika
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY ILORAZOWY
Przy różnych wartościach prądów I1 i I2 w zależności od ich wzajemnej proporcji, wypadkowy strumień magnetyczne przyjmuje położenie: • Początek skali wskaźnika (skrajne lewe) – I1 = 0, I2 = Imax • Koniec skali wskaźnika (skrajne prawe) – I1 = Imax, I2 = 0
PRZYRZĄD (MIERNIK) MAGNETOELEKTRYCZNY ILORAZOWY
NIEZALEŻNOŚĆ WSKAZAŃ OD WARTOŚCI NAPIĘCIA ZASILANIA
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY (FERROMAGNETYCZNY) Zasada działania miernika elektromagnetycznego polega na oddziaływaniu pola magnetycznego cewki przewodzącej prąd, na ruchomy rdzeń ferromagnetyczny umieszczony w tym polu.
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY jako amperomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY jako amperomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY jako amperomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY jako woltomierz
W przypadku pomiaru wyższych napięć prądu przemiennego, do rozszerzenia zakresu pomiarowego stosuje się transformator pomiarowy i wówczas na wyjściu transformatora stosuje się woltomierz o znormalizowanym zakresie pomiarowym.
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY jako woltomierz Do rozszerzenia zakresu pomiarowego w stosunku dwukrotnym stosuje się łączenie dwóch cewek woltomierza z rezystorami dodatkowymi szeregowo lub równolegle. W tym przypadku cewka woltomierza jest nawinięta dwoma jednakowymi uzwojeniami. W przypadku połączenia szeregowego cewek, napięcie potrzebne do wywołania pełnego odchylenia miernika jest dwa razy większe w porównaniu z napięciem potrzebnym w przypadku równoległego ich połączenia. Pobór mocy przez woltomierz elektromagnetyczny jest stosunkowo duży. Woltomierz o zakresie 5V pobiera prąd ok. 1A, a więc moc 5VA, z czego ok. 2VA wydziela się w cewce, natomiast reszta w rezystorze dodatkowym. Woltomierz o zakresie 200V pobiera prąd ok. 30 mA, co odpowiada mocy 6VA. Ze względu na znaczną moc traconą w oporniku dodatkowym, przy wyższych napięciach stosuje się transformatory pomiarowe.
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY jako woltomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY WPŁYWY ZEWNĘTRZNE NA DOKŁADNOŚĆ POMIARU W miernikach elektromagnetycznych wynik pomiaru zależy od temperatury, obcych pól magnetycznych, zjawiska histerezy, wpływu prądów wirowych, wpływu reaktancji indukcji cewki miernika zależnej od częstotliwości i od kształtu krzywej mierzonego napięcia lub prądu. Wpływ temperatury W amperomierzach przy wzroście temperatury maleje sprężystość sprężyn momentu zwrotnego, a wiec dla danej wartości prądu wskazanie wzrasta. Ponieważ w miernikach elektromagnetycznych prąd przez sprężynę nie przepływa, więc jej rezystancja może być dowolnie duża, możliwy jest dobór materiałów o stosunkowo niewielkim współczynniku temperaturowym sprężystości. W woltomierzach na uchyb temperaturowy ma wpływ zmiana rezystancji cewki woltomierza, nawiniętej drutem miedzianym. Dla częstotliwości ok. 50Hz, przy których pracują mierniki elektromagnetyczne, reaktancja cewki woltomierza jest bardzo mała i w związku z tym można przyjąć, że impedancja woltomierza jest równa jego rezystancji. Przy wzroście temperatury maleje sprężystość sprężyn, co powoduje wzrost kąta odchylenia α, wzrasta rezystancja wskutek wzrostu rezystancji cewki, co powoduje zmniejszenie kąta odchylenia α.
Wpływ obcych pól magnetycznych Na wskazanie mierników elektromagnetycznych dość znaczny wpływ mają obce pola magnetyczne, gdyż indukcja w środku cewki miernika jest niewielka. W przypadku pomiaru prądu stałego i zakłócenia obcym polem magnetycznym stałym, uchyb pomiarowy zależy od kierunku wektora obcego pola magnetycznego względem wektora pole magnetycznego pochodzącego od mierzonego prądu. W celu zmniejszenia wpływu obcych pól magnetycznych stosuje się ekranowanie cewek przez użycie obudowy ze stali magnetycznie miękkiej. Ekrany mogą być kilkuwarstwowe, co poprawia właściwości ekranowania.
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY WPŁYWY ZEWNĘTRZNE NA DOKŁADNOŚĆ POMIARU W miernikach elektromagnetycznych wynik pomiaru zależy od temperatury, obcych pól magnetycznych, zjawiska histerezy, wpływu prądów wirowych, wpływu reaktancji indukcji cewki miernika zależnej od częstotliwości i od kształtu krzywej mierzonego napięcia lub prądu. Wpływ histerezy Wpływ histerezy magnetycznej rdzenia blaszkowego na wskazania mierników elektromagnetycznych pojawia się przede wszystkim przy pomiarach napięć i prądów stałych. Przy cyklicznych zmianach wartości mierzonego prądu / napięcia daje o sobie znać zjawisko histerezy - wskazania są różne, gdy wzrasta lub maleje wartość mierzonego prądu / napięcia. W celu wyeliminowania wpływu histerezy magnetycznej należy brać pod uwagę średnią z dwóch odczytów: odczytu wykonanego przy zwiększaniu prądu i odczytu wykonanego przy jego zmniejszaniu. Przy prądzie sinusoidalnym wpływ histerezy magnetycznej częściowo kompensuje się. Są jednak dodatkowe straty energii wynikające z przemagnesowywania rdzenia, co powoduje zmniejszenie wskazań woltomierza.
Wpływ prądów wirowych Z powodu przepływu prądu zmiennego przez cewkę miernika, w sąsiadujących z nią częściach metalowych wskutek indukcyjności wzajemnej indukuje się siła elektromotoryczna dająca prąd wirowy o charakterze indukcyjnym. W celu zmniejszenia uchybu pomiarowego powodowanego prądami wirowymi należy zmniejszyć indukcyjność wzajemną występującą między cewką a masą metalową, a więc zwiększyć odległość między tymi elementami . W celu zmniejszenia wpływu prądów wirowych i zjawiska naskórkowości w amperomierzach na duże prądy zaleca się stosować uzwojenie wykonane z plecionki o izolowanych przewodach, a konstrukcje metalowe w miarę możliwości zastępować konstrukcjami z materiałów nieprzewodzących..
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY WPŁYWY ZEWNĘTRZNE NA DOKŁADNOŚĆ POMIARU W miernikach elektromagnetycznych wynik pomiaru zależy od temperatury, obcych pól magnetycznych, zjawiska histerezy, wpływu prądów wirowych, wpływu reaktancji indukcji cewki miernika zależnej od częstotliwości i od kształtu krzywej mierzonego napięcia lub prądu. Wpływ zmian częstotliwości napięcia / prądu W przypadku stosowania dodatkowych rezystorów połączonych szeregowo z miernikiem (np. w woltomierzach) dodatkowym źródłem błędu jest ten rezystor. Wraz ze zmianą częstotliwości zmienia się moduł impedancji zarówno cewki miernika jak i dodatkowego posobnika. Gdy rośnie częstotliwość mierzonego przebiegu rosną również wspomniane impedancje, więc występuje błąd ujemny (zmniejszenie wskazań).
Korekcja błędu częstotliwości
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROMAGNETYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY Miernikami elektrodynamicznymi nazywamy mierniki, w których odchylenie organu ruchomego następuje w wyniku oddziaływania elektrodynamicznego dwóch cewek, przez które płyną prądy. Mierniki elektrodynamiczne dzieli się na mierniki elektrodynamiczne bezrdzeniowe oraz mierniki ferrodynamiczne
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY
Mierniki elektrodynamiczne działają przy prądzie stałym jak i przemiennym Dla prądu przemiennego kąt wychylenia wskazówki
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY
Wychylenie wskazówki miernika jest proporcjonalne do iloczynu prądów przepływających przez oba uzwojenia miernika. Podziałka w takim wskaźniku jest zagęszczona na początku skali, rozszerza się przy większych wartościach
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako woltomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako woltomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako amperomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako amperomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako amperomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako watomierz Mierniki elektrodynamiczne pracują na zasadzie wzajemnego oddziaływania strumieni magnetycznych wytarzanych przez dwie cewki (ruchoma i stała) wskutek przepływu przez nie mierzonego prądu. Cewka ruchoma dąży do ustawienia się w takie położenie, żeby wytworzony przez nią strumień magnetyczny dodawał się do strumienia magnetycznego cewki stałej. WATOMIERZ jest przyrządem służącym do pomiaru mocy czynnej, która przy prądzie sinusoidalnym wynosi:
P = U I cos(I,U) = U I cosϕ ϕ - przesunięcie fazowe
Ze względów użytkowych rozróżnia się watomierze jednoukładowe, stosowane w sieciach jednofazowych i watomierze wieloukładowe, stosowane do pomiarów mocy w sieciach trójfazowych.
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako watomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako watomierz
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY jako waromierz WAROMIERZ j est miernikiem służącym do pomiaru mocy biernej, którą określa się jako:
Q = U I sin(I,U) = U I sinϕ
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY Przyrząd FERRODYNAMICZNY różni się od elektrodynamicznego tym, że cewka nieruchoma 1 nawinięta jest na rdzeniu z żelaznych blach. Powoduje powstawanie dużego strumienia magnetycznego dzięki czemu moment napędowy jest większy i nie zależy od zmian indukcyjności wzajemnej cewek(podziałka liniowa). Ze względu na zjawisko histerezy (w rdzeniu) przyrząd ten służy do pomiarów tylko przy prądzie zmiennym. Przyrządy ferrodynamiczne mają większe błędy niż elektrodynamiczne (prądy wirowe, uchyby częstotliwościowe).
1 – cewka nieruchoma 2 – cewka ruchoma 3 – sprężyna zwrotna
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTRODYNAMICZNY / FERRODYNAMICZNY
WPŁYWY ZEWNĘTRZNE NA DOKŁADNOŚĆ POMIARU W miernikach elektrodynamicznych wynik pomiaru zależy od temperatury, obcych pól magnetycznych, zjawiska histerezy, wpływu prądów wirowych, wpływu reaktancji indukcji cewki miernika zależnej od częstotliwości i od kształtu krzywej mierzonego napięcia lub prądu.
PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE
W instalacjach energetycznych, przy dużych prądach, moc mierzy się za pośrednictwem przekładnika prądowego, podobnie jak duże prądy. Watomierz przewidziany do współpracy z przekładnikiem prądowym powinien mieć dostosowany prąd znamionowy do znamionowego prądu wtórnego przekładnika wynoszącego np. 5 A. W urządzeniach niskonapięciowych większej mocy cewkę prądową watomierza przyłącza się do obwodu za pośrednictwem przekładnika prądowego, natomiast cewkę napięciową włącza się bezpośrednio (pomiar półpośredni.
z2 I1 I2 z1 I1,I2 – są wartościami skutecznymi prądów w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym z1,z2 – są ilościami zwojów odpowiednio po stronie pierwotnej i wtórnej
W urządzeniach wysokiego napięcia zarówno cewkę prądową jak i napięciową przyłącza się za pośrednictwem przekładników, które w tym przypadku oddzielają przyrząd od sieci wysokiego napięcia, umożliwiając bezpieczną pracę przy nim.
PRZEKŁADNIKI NAPIĘCIOWE
W instalacjach energetycznych, przy dużych napięciach, napięcia mierzy się za pośrednictwem przekładnika napięciowego. Przekładnik napięciowy jest transformatorem pomiarowym pracującym w stanie bliskim stanowi jałowemu.
z1 U1 U 2 z2
U1,U2 – napięcia po stronie pierwotnej i wtórnej z1,z2 – są ilościami zwojów po stronie pierwotnej i wtórnej
W urządzeniach wysokiego napięcia zarówno cewkę prądową jak i napięciową przyłącza się za pośrednictwem przekładników, które w tym przypadku oddzielają przyrząd od sieci wysokiego napięcia, umożliwiając bezpieczną pracę przy nim.
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROSTATYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROSTATYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) ELEKTROSTATYCZNY
PRZYRZĄD (MIERNIK) TERMOELEKTRYCZNY Mierniki termoelektryczne zaliczają się do urządzeń mierzących wartości prądu przemiennego. Miernik termoelektryczny stanowi połączenie miernika magnetoelektrycznego z przetwornikiem termoelektrycznym, składającym się z termoelementu i grzejnika.
Grzejnik o rezystancji R mierzonym prądem nagrzewa spoinę termoelementu, różnica temperatur powoduje powstanie siły termoelektrycznej, która jest następnie mierzona. Prąd I0 płynący przez ustrój, a więc i wychylenie organu ruchomego są proporcjonalne do kwadratu wartości skutecznej prądu mierzonego (P = I2R prop. do różnicy temp.). Podziałka miernika ma, więc przebieg nieliniowy. Ponieważ napięcie termoelektryczne E0 jest małe 1 – 10mV, więc miernik magnetoelektryczny jest miliwoltomierzem wyskalowanym w amperach. Woltomierze termoelektryczne są budowane rzadziej niż amperomierze. Pobierają one z obwodu mierzonego prąd, który rozgrzewa termoelement. Zasada działania jest identyczna jak amperomierza.
POMIAR REZYSTANCJI METODĄ TECHNICZNĄ
POMIAR REZYSTANCJI METODĄ WOLTOMIERZOWĄ
POMIAR MOCY UKŁADU JEDNOFAZOWEGO – P,Q,S
Przy pomiarze mocy przy użyciu woltomierza, amperomierza i watomierza moc czynna osiąga wartość
Po Pw gdzie
Pw jest wskazaniem watomierza, P’0 – przybliżona moc czynna odbiornika
Moc pozorna:
S o U v * I A
S’o – przybliżona moc pozorna, Uv wskazanie woltomierza, IA wskazanie amperomierza
Moc bierna:
Qo S o 2 Po2
Q’o – jest mocą pozorną odbiornika (modułem).
Pomijamy moc czynną i bierną wydzielaną na elementach pomiarowych
UWAGA !!! Rysunki zawarte w niniejszej prezentacji są częściowo wykonane przez autora, ale zostały także częściowo zapożyczone m.in. z: • • • • • • • • • • • • •
Cezary Łucyk – ELEKTROTECHNIKA PODSTAWOWA – Warszawa 2006 – INTERNET Dagmara M. Dołęga – ELEKTROTECHNIKA – cykl prezentacji (10 części) – INTERNET Stanisław Bolkowski – ELEKTROTECHNIKA WSiP Warszawa 2005 Stanisław Bolkowski – TEORIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH WNT Warszawa 2008 Marek Polawski – FIZYCZNE PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI – Warszawa 2010 Paweł Jabłoński – WYKŁADY Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI - cykl prezentacji (11 części) – INTERNET Dorota Lewandowska – BUDOWA ATOMU – ZamKor 2008 Stanisław Krakowiak – PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI – zagadnienia wybrane – Warszawa 2006 Franciszek Gołek – ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA (konspekt) – Wrocław Roman Kurdziel – PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI – WNT 1965 Michał Tadeusiewicz – TEORIA OBWODÓW – PŁ – Łódź 2000 Stanisław Osowski – TEORIA OBWODÓW – PW – Warszawa 2000 Michał Marzantowicz – FIZYKA I – prezentacja – INTERNET
a także z innych publikacji i rysunków ogólnodostępnych w sieci Internet, bez zawartej informacji o autorze / autorach prezentowanych publikacji / rysunków. Część rysunków (pierwowzory rysunków) w niniejszej prezentacji oraz część obliczeń poszczególnych metod analizy obwodów elektrycznych i obwodów jednofazowego prądu przemiennego zapożyczone zostały z prezentacji Pawła Jabłońskiego
DZIĘKUKJĘ ZA UWAGĘ
