Pilone T. - Head First Algebra. Edycja polska

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Spis treści

Spis treści (skrócony) Wprowadzenie

19

1.

Poszukiwanie niewiadomych: Czym jest algebra?

31

2.

Algebra w podróży: (Bardziej) skomplikowane równania

63

3.

Postępuj zgodnie z regułami: Reguły operacji z liczbami

4.

Podcasty, które rozprzestrzeniają się jak epidemia: Potęgowanie

135

5.

Obraz jest wart tyle, co 1000 słów: Wykresy

165

6.

Czy nie można dostać tyle, ile się potrzebuje: Nierówności

225

99

7.

Wiedzieć, czego się nie wie: Układy równań

261

8.

Zrywanie ze sobą jest trudne: Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

307

Wychodzimy poza linię: Równania kwadratowe

341

Każdy ma jakieś ograniczenia: Funkcje

393

9. 10.

Rozwiązywanie problemów świata: Algebra w praktyce

435

A

Pięć najważniejszych tematów (których nie poruszyliśmy): Pozostałości

461

B

Buduj na solidnych podstawach: Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

467

11.

Spis treści (na serio)

W

Wprowadzenie Co myśli Twój mózg o algebrze? Próbujesz się czegoś nauczyć, a Twój mózg oddaje Ci przysługę, próbując robić wszystko, aby proces nauki się nie kleił. Twój mózg myśli sobie: „Lepiej zostaw miejsce na ważniejsze sprawy, jak na przykład, których dzikich zwierząt należy unikać i dlaczego jeżdżenie nago na snowboardzie to zły pomysł”. A zatem w jaki sposób nakłonić mózg do tego, by zaczął myśleć, że życie zależy od znajomości algebry? Dla kogo jest ta książka?

20

Wiemy, co sobie myślisz

21

Metapoznanie: myślenie o myśleniu

23

Oto co zrobiliśmy

24

Oto co możesz zrobić, aby zmusić mózg do posłuszeństwa

25

Przeczytaj koniecznie

26

Zespół recenzentów technicznych

28

Podziękowania

29

7 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Spis treści

Czym jest algebra?

1

Poszukiwanie niewiadomych… Czy kiedykolwiek chciałeś wiedzieć więcej, niż wiesz? W tym właśnie leży sedno algebry: przemiana niewiadomych w wiadome. Kiedy przeczytasz ten rozdział, z pewnością uświadomisz sobie, że X to znacznie więcej niż oznaczenie miejsca, w którym zakopano skarb.

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA A! LN SPECJA lna specja cena

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. ie. Jeden dżojstik w zestaw (KILLX-112)

199 € Słuchawki z mikrofonem. Zestaw słuchawek z mikrofonem idealny do gier online (HS-AL1-867)

specjalna cena

specjalna cena

39 €

Wielki zbiór gier. Różne gry dla konsoli KillerX (HD-ISH-5309)

49 €

Wszystko zaczęło się od wielkiej promocji konsoli do gier

32

Ile naprawdę kosztuje konsola?

33

Algebra polega na szukaniu niewiadomych

34

Julia ma znacznie więcej niewiadomych

35

X oznacza niewiadomą

37

Równania to zdania w matematyce

38

Teraz znajdziemy niewiadomą

43

Jakie działania wykonujesz i kiedy?

45

Działania odwrotne

46

Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań

58

(Bardziej) skomplikowane równania

2

Algebra w podróży Wyobraź sobie świat, w którym jest więcej niż JEDNA rzecz, której nie wiesz. Nie tylko istnieją problemy z więcej niż jedną niewiadomą, ale czasami ta sama niewiadoma występuje wiele razy w tym samym równaniu! Nie ma się jednak czego obawiać… dzięki narzędziom, które poznasz w tym rozdziale, będziesz rozwiązywać bardziej skomplikowane problemy zupełnie bez wysiłku. Zawsze zaczynaj od tego, co wiesz

8 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

65

Z każdym uczestnikiem są związane koszty

66

Zastąp słowa liczbami

69

Obliczamy c… krok po kroku

71

Jeśli będziesz postępować według zasad, zawsze uzyskasz prawidłowy wynik

72

Z liczbami całkowitymi zwykle łatwiej się pracuje

73

Zmienna może wystąpić w równaniu więcej niż jeden raz

76

Sprawdzenie pracy potwierdza wynik

80

Wyraz to fragment równania algebraicznego

90

Spis treści

Reguły operacji z liczbami

3

Postępuj zgodnie z regułami Czasami po prostu musisz postępować zgodnie z niewygodnymi regułami. Jeśli jednak chodzi o algebrę, reguły to dobra rzecz. Reguły chronią Cię przed uzyskiwaniem nieprawidłowych odpowiedzi. Często się zdarza, że reguły pomagają znaleźć niewiadomą bez większego nakładu dodatkowej pracy. Na czas lektury tego rozdziału odłóż na bok swój kapelusik z balu maskowego. Znajdziesz tu kilka przydatnych zasad, które pozwolą Ci osiągnąć doskonałe wyniki.

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

3

Mnożenie i dzielenie

4

Dodawanie i odejmowanie

Obowiązuje kolejność wykonywania działań

104

Równania można przekształcać

112

Własności działań bez tajemnic

119

To bardzo ważna runda…

120

Wyciągnięcie wartości przed nawias nie zmienia wartości wyrażenia

124

Stała reprezentuje liczbę

128

Potęgowanie

4

Podcasty, które rozprzestrzeniają się jak epidemia Czy można pomnożyć to jeszcze raz… i jeszcze raz? Istnieje inny sposób przedstawienia mnożenia tych samych liczb oprócz powtarzania czynników. Potęgowanie to sposób na powtarzanie mnożenia. Potęgowanie jest jednak bardziej złożone, jeśli dotyczy liczb mniejszych niż zwykle (i nie mamy tu na myśli ułamków). W tym rozdziale będziemy mówili o podstawach, stopniach i pierwiastkach.

runda 2

1=3 dzień runda 1

Anka

runda 1

136

Zmobilizujmy słuchaczy Anki

137

runda 2

Czy Anka i Olek uzyskają wystarczającą liczbę wejść?

141

runda 2

Olek zawodzi swoją siostrę

144

Zawsze są czarne owce…

148

Zgodnie z kolejnością działań najpierw wykonuje się potęgowanie

152

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania

154

runda 2 runda 1

Anka prowadzi podcast

runda 2 runda 2 runda 2 runda 2

=3 dzień 2 9 = razy 3

runda 2

9 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Spis treści

Wykresy

5

Obraz jest wart tyle, co 1000 słów Czasami równanie zaciemnia problem. Czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się, że spojrzałeś na równanie i pomyślałeś: „Ale co, u licha, to może znaczyć?”. W takich sytuacjach może Ci być potrzebna wizualna reprezentacja równania. Do tego właśnie służą wykresy. Dzięki nim można oglądać równania, a nie tylko je czytać. Na wykresie można dostrzec istotne punkty. Na przykład kiedy zabraknie Ci pieniędzy lub ile czasu zajmie Ci zaoszczędzenie sumy potrzebnej na nowy samochód. W rzeczywistości dzięki wykresom można wykorzystać równania do podejmowania inteligentnych decyzji.

Usugi Strzyenia Trawników

Firma Edka potrzebuje pomocy…

166

Dlaczego po prostu nie pokażecie mi odpowiedzi?

171

Wykres przepływu gotówki w firmie Edka

172

Wykresy pokazują całą relację

173

Narysujmy równanie Edka na układzie współrzędnych

184

Edek oblicza NACHYLENIE trawników

190

Równanie prostej przechodzącej przez punkt

194

W jaki sposób na podstawie punktu i nachylenia można wyznaczyć linię?

195

Skorzystajmy z równania prostej przechodzącej przez punkt

200

Równania mają również postać ogólną

204

Postać kierunkowa jest łatwa do wykreślenia

205

y 5 4

Ulica jest na poziomie 0 metrów n.p.m.

Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

3

Dom jest o 4 metry dalej.

2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

10 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nachylenie = 1

Spis treści

Nierówności

6

Czy nie można dostać tyle, ile się potrzebuje? Czasami wystarczająco oznacza wystarczająco… a czasami nie. Czy kiedykolwiek pomyślałeś: „Potrzebuję nieco więcej”? Co jednak, jeśli ktoś dał Ci więcej niż tylko trochę więcej? Wtedy miałbyś więcej, niż potrzebujesz… ale życie pomimo to mogłoby być dość przyjemne. W tym rozdziale pokażemy, w jaki sposób język algebry pozwala powiedzieć: „Daj mi trochę więcej… i jeszcze troszkę!”. Dzięki nierównościom możemy wyjść poza dwie wartości i pozwolić sobie na otrzymywanie więcej lub mniej. Karolina bardzo lubi futbol

226

Koszty dla wszystkich graczy nie mogą przekroczyć 1 000 000 €

227

Nierówności to porównania

230

Nierówności wykorzystujące operacje na liczbach ujemnych wymagają specjalnego traktowania

234

Liga Futbolu Amerykańskiego Fantazja

Nierówności z liczbami ujemnymi działają w przeciwnym kierunku

235

Strona gówna

Zmiana znaku nierówności poprzez mnożenie bądź dzielenie obu stron nierówności przez liczbę ujemną

236

Wieci ze wiata

Pozycja

Liga

Nazwisko

Aktualnoci

Pensja

Formacja defensywna Biegacz Skrzydłowy Kopacz Rozgrywający Razem

Kiedy wykonujesz działania z nierównością oraz mnożeniem bądź dzieleniem przez liczbę ujemną…

237

Zbiór rozwiązań możesz zobrazować na osi liczbowej

243

W nierównościach mogą występować dwie zmienne

247

Korzystaj z wykresu w celu wizualizacji rozwiązań nierówności

251

Odpowiedzi tworzą obszar zacieniowany

252

Czy jesteście gotowi na trochę futbolu?

257

Biegacze Formacje defensywne Zespół

Koszt

Waleczni Orły

300 000 € 200 000 €

Stalowi Kruki

333 000 € 250 000 €

Skrzydłowi

Nazwisko

Koszt

Michał Abramowicz

197 000 €

Nazwisko

Bogdan Horbaczewski

202 187 €

Benedykt Trawińsk i

Ryszard Tomczak

185 200 €

Edward Babinicz

209 115 €

Kopacze Nazwisko Jerzy Amanowski Ryszard Wolański Piotr Hiszczuk Mateusz Ewański

Edmund Fred

ro

183 500 € 155 000 € 203 200 € 209 100 €

212 000 € 185 200 €

Roman Jankowsk i Marek Mar tyniuk

Koszt

Koszt 195 289 €

165 950 €

Rozgrywający

Nazwisko

Koszt

Tomasz Jagielsk i

208 200 €

Eryk Hetman Paweł Bromski

175 000 € 199 950 €

Daniel Drzycimski 202 400 €

11 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Spis treści

Układy równań

7

Wiedzieć, czego się nie wie Równania z dwiema niewiadomymi można przedstawić na wykresie, ale czy można je faktycznie rozwiązać? Niedawno tworzyliśmy wykresy dla bardzo różnych wyrażeń: G i t, x i y oraz innych. Co jednak zrobić, aby rozwiązać równania z dwiema niewiadomymi? W takim przypadku należy wykorzystać więcej niż jedno równanie. Mówiąc dokładniej, potrzebujemy równania dla każdej niewiadomej, którą próbujemy znaleźć. Co dalej? Kilka podstawień, parę linii i przecięcie — to wszystko, co jest potrzebne do rozwiązania równań z dwiema niewiadomymi.

owa Sylwestr balanga

1.00 21.00 – ! Muzyka Tace!

100%

12 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

40% 100%

Nie możesz użyć –1 litra cieczy!

267

W jaki sposób działa równanie do obliczania nasycenia CO2 w ponczu?

269

Punkt przecięcia linii wyznacza rozwiązanie obu równań liniowych

273

Rozwiązywanie równań z wieloma niewiadomymi za pomocą układów równań

274

Dwa rodzaje naczyń… oto dwie niewiadome

276

Rozwiązujemy problem naczyń

277

Zamiast wykresu można zastosować metodę podstawiania

278

Obliczenie w nie przysporzyło żadnych problemów

286

Przekształcanie równań w celu przygotowania do eliminowania zmiennych

289

Układy równań — podsumowanie

293

Prywatka u Zbyszka!

294

Czasami dwa równania nie oznaczają dwóch linii

302

+

52% = 40%

52%

Spis treści

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

8

Zrywanie ze sobą jest trudne Czasami wystarczy, że ktoś czegoś nie zrozumie, aby Cię zirytować. Do tej pory mieliśmy do czynienia z takimi zmiennymi, jak x i y. Co jednak się stanie, jeśli x w naszych równaniach zostanie podniesione do kwadratu? Nadszedł czas, aby się tego dowiedzieć. Teraz mamy już wszystkie narzędzia potrzebne do rozwiązania takich problemów! Pamiętasz o regule rozdzielności mnożenia względem dodawania? W tym rozdziale nauczymy Cię, w jaki sposób skorzystać z rozdzielności oraz specjalnej techniki PZWO w celu rozwiązywania nowego rodzaju równań: dwumianów. Przygotuj się — nadszedł czas, by nauczyć się upraszczać naprawdę trudne równania. Liczyć czy nie liczyć — finały rejonowe

0

Kasia

1

Janusz

Liczy czy nie liczy

308

Kto ma rację?

309

Dwumian to grupa dwóch wyrażeń algebraicznych

311

Wracamy do własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

312

Upraszczanie dwumianów dzięki własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

313

Co zrobić, jeśli znaki są takie same?

319

Czasami nie można znaleźć wzoru…

321

Metoda PZWO zawsze się sprawdza

322

Rozkład na czynniki to inaczej faktoryzacja

327

Faktoryzacja polega na odwróceniu efektów mnożenia

328

Faktoryzacja poprzez znalezienie wspólnego czynnika

329

Faktoryzacja — podsumowanie

330

Zero pomnożone przez dowolną liczbę daje 0

334

x2 - 4 x+5

2x - 3

Wszystkie dwumiany

2+3

x-y

13 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Spis treści

Równania kwadratowe

9

Wychodzimy poza linię Nie wszystko w życiu ma charakter liniowy. Ale sam fakt, że równania nie da się wykreślić w postaci linii prostej, nie oznacza, że jest nieważne. W rzeczywistości większość z najważniejszych niewiadomych, z którymi spotykamy się w życiu, ma charakter nieliniowy. Czasami musimy korzystać z wyrażeń o wykładnikach większych od 1. Równania zawierające wyrażenia kwadratowe na wykresie tworzą krzywe! W jaki sposób to działa? Jest tylko jeden sposób na to, by się tego dowiedzieć.

WOJOWNICY-TO-MY

WTM

Katapulta Drewniana katapulta Maksymalnie 5 kg

h = wysokość rzutu

Zasig bazuje na równaniu:

Y OW KT DU

N O PR

x = odległość, na jaką należy wystrzelić balon

Head First U jest w stanie wojny!

342

Janek unowocześnia swoją technologię

343

Gdzie Janek umieści katapultę?

347

Zawsze należy opracować plan

348

Bractwo Pi Gamma Delta buduje mur!

352

9 metrów to nie problem

360

Równanie kwadratowe

361

Co to jest wyróżnik delta?

368

Wojna bractw — część druga

372

2

Jak należy wykreślić x ?

374

Wykresem równania kwadratowego jest parabola

378

Wykreślenie paraboli wymaga znajomości wierzchołka

379

Praca z parabolą — sposób inteligentny

383

Wyróżnik pomaga także w tworzeniu wykresów

384

Kwatera Pi Gamma Delta Kwatera Teta Teta Pi

h (wysokość)

Janek chce strzelać balonami z wodą nad drzewem znajdującym mi się pomiędzy siedziba dwóch bractw.

Gdzie powinien wylądować balon z wodą?

x (odległość od czoła katapulty) ? metrów

14 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

? metrów

Przewodn ic Pi Gamma zący bractwa Delta

Spis treści

Funkcje

10

Każdy ma jakieś ograniczenia Niektóre równania są jak sąsiedzi na przedmieściu… ogrodzeni płotem. Jak można się przekonać, w rzeczywistym świecie wiele równań ma ograniczenia. Równania są dobre tylko dla niektórych wartości. Na przykład, nie można przejechać samochodem –10 kilometrów lub wykopać dołu o wysokości 4 metrów w górę. W takich przypadkach należy określić ograniczenia dla równań. A do określania ograniczeń dla równań nie ma niczego lepszego od funkcji. Funkcja? Co to jest, u licha? Otwórz na właściwej stronie i dowiedz się — tak jak na ekranie reality show. Zespół Śmierć Piżamy w telewizji

€=

395

Równania mają ograniczenia (w większości przypadków)

397

Ograniczenia argumentów wyznaczają dziedzinę funkcji

398

Funkcje mogą mieć minimalną i maksymalną wartość

401

Algebra dotyczy relacji

404

Relacje, równania i funkcje są ze sobą powiązane

409

Funkcje — podsumowanie

410

Wykresy funkcji mają ograniczenia

413

Przed drugim odcinkiem programu telewizyjnego z udziałem zespołu Śmierć Piżamy…

417

Wykres pokazuje charakter relacji

418

Funkcje przechodzą test linii pionowej

419

Ale… co z resztą biletów?

423

Wykorzystaj tę część funkcji, której potrzebujesz

424

Mamy wszystkie dane… i co z tego wynika?

427

Program telewizyjny z udziałem zespołu Śmierć Piżamy okazał się hitem!

429

+ 15

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Spis treści

Algebra w praktyce

11 Moto Salon

Rozwiązywanie problemów świata Świat ma wielkie problemy… Ty masz wielkie odpowiedzi. Kilkaset stron wiedzy matematycznej i co z tego masz? Pęk iksów i igreków oraz parametrów a i b? Nieprawda… masz umiejętności znajdowania niewiadomych. Nawet w najtrudniejszych sytuacjach. Do czego to może służyć? Ten rozdział w całości będzie poświęcony realnym problemom: wykorzystasz swoją wiedzę z algebry do rozwiązywania praktycznych problemów. Kiedy to Ci się uda, będziesz mieć wielu przyjaciół, znać wpływowych ludzi i zaoszczędzisz mnóstwo pieniędzy. Jesteś zainteresowany? A więc do dzieła.

FORMULARZ DANYCH

SAMOCHODU

VIN 1992 HF 5.0L SALOON 4-PASSENGER SPECIALTY 5.0L H1 HF V- ENGINE AUTO OVERDRIVE TRANSMISSION

WYPOSAŻENIE STANDARDOWE THE FEATURES LISTED SĄ DOŁĄCZONE BEZ DODATKOWYCH OPŁAT

W STANDARDOWYM WYPOSAŻENIU WYSZCZEGÓLNIONO Z PRAWEJ STRONY: ochodowe czeniaH1Sam HF 8-CYL. ENGINE i - Ubezpie •• 5.0L • PRZYCIEMNIANE SZYBY EEC-IV COMPUTERIZED ENGINE • ELEKTRONICZNE RADIO STEREO Jan Kowalsk

STANDARDOWA CENA POJAZDU

€18540.00

WYPOSAŻENIE OPCJONALNE PREFEROWANY PAKIET WYPOSAŻENIA NR 4560 SZYBKOŚCIOMIERZ ELEKTRYCZNE RADIO AM/FM Z ZEGAREM I MAGNETOFONEM DODATKOWY BIEG OVERDRIVE MODUŁ OSZCZĘDNOŚCI PALIWA P233/H323F4778 UDOGODNIENIA PRZEDNI PANEL DO MOCOWANIA TABLICY REJESTRACYJNEJ 8-PUNKTOWO PODGRZEWANE SIEDZENIA LIMITOWANA EDYCJA OPCJONALNA BLOKADA MECHANIZMU RÓŻNICOWEGO KLIMATYZACJA

CONTROLS • 5-SPEED MANUALU OVERDRIVE TRANSMISSION

AM/FM Z ZEGAREM • KIEROWNICA OPRAWIONA W SKÓRĘ • ELEKTRYCZNE SZYBY • INTERWAŁOWE WYCIERACZKI – VARIABLE TENSION SPRINGS ECZ • PEŁNE OPRZYRZĄDOWANIE UBEZPI – GAS PRESSURIZED SUPPORTS – TACHOMETER – OCTAGON SHOCK REAR ___ – TERMOMETR SUSPENSION ________ – KONTROLA NAPIĘCIA ____ • TRACTION-LOCK BUTTON AKUMULATORA ________ BRAKES • ULTRA-POWER ________ – OIL PRESSURE GUAGE ____ • P233/2543272 ALL____ SEASON TIRES – TRIP ODOMETER o: ________ ____ • 16”X7” CAST wisk WHEELS • ELECTRIC SEATS WITH REGULOWANE ________ ALUM. • LARGE-CAPACITY Imi i naz TRUNK ___________ LUMBAR SUPPORT ________ ____ HALOGEN HEADLAMPS ________ KRED•• YT • LIGHT GROUP ________ POWER y: LOCK ________ SAMO • HEAVY DUTY BATTERY CHODOWY___ Adres:_ poc•ztow ELECTRIC MIRRORS ____ — FORM• CONSOLE WITH ARMREST ztwo, kod

OCHOD HANDLING SUSPENSION INCL.: ENIE •SAM

Bank Kredyt owo-Oszczdn

1HFACALG4UISCOOL

EXTERIOR BLUE AD SHINY INTERIOR GRAY LEATHER

INFORMACJE O CENIE

ociowy

ŚRODEK DO PIELĘGNACJI SIEDZEŃ SKÓRZANYCH KOREKTOR GRAFICZNY RAZEM POJAZD+WYPOSAŻENIE

1641.00 1190.00 W CENIE 198.00 W CENIE 366.00 1700.00

W CENIE 1634.00 W CENIE 278.00

OPCJONALNE 28230.00 ULARZ KOSZTY SPROWADZENIA I DOSTAWY ________ 440.00 ________ FOR ADDED PROTECTION, Miasto, ________ THIS VEHICLE IS EQUIPPED WITH A RAZEM PRZED UDZIELENIEM RABATÓW ________ ____SUPPLEMENTAL 28670.00. ____ Mark SIDE ne:_ AIR BAG a samochoduDRIVER RESTRAINT SYSTEM (SRS) ail: ____ _ Cell Pho Adres e-m __________ ________: ____________________ _____ Compare : ________ __________ this vehicle to others in the FREE GAS MILEAGE __________ GUIDE available at the dealer. _______________ _____ domowy ___ __ Telefon Vehicle_ Mode _____________________ l:______________ ____ ____ ____ ____ _____ ____ ____ _______________ _____ .___CITY Bank __________ Kredytowo-Oszczd ___ Czas:__ MPG nociowy _____ ____ mos ________ ___________ HIGHWAY MPG _________ _____ ________ _______________ ____Vehic ________ 1234leSQL ____ St. Year: PO Box 1000 ___ yrs. ____ :___ _____ sny _____ WYCIĄG BANKOWY OPTION PACKAGE SAVINGS waDV ________ _____czy €3670.00 _______________ _____ COMPARED WITH BUYING 26849 _____ owanyDataville __________ ____________ ________ TGESE OPTIONS SEPARATELY _____________________ Wynajm STRONA 1 z 1 ______ -___ ____ __________ Vehicle Milea ________ ___ _____ - ____ ge:________ ________ NIP: ____ _______________ _____ /yyyy) JOHN ROOTS __________ _____ _________ Statement Okres ____ (mm/dd _____ __________ _________ h: Numer rachunku ____ _____ Birt _____RM. KAPPA MU 2009_ to 2009-03-31 EPSILON HALL ____ _____ cy… Date of Vehicle Price: 34_____ 2009-03-01 ____ Kalend miesi _____arz 9NUMBERVILLE _____ 00004-323-3477-8 ze ____ ___ _____ Jeszc e: ____ ________ __________ 91210 ____ Nam _____ r 2009 _____ ____ _______________ ____ Kwiecień _______________ Employe ___ Marzec 2009 N _______________ ____ S ________ P C _____ Ś ____ W __ P N ____ S : ________ Luty 2009 P _____ C Ś W ____ ______________ 2009 Kelley P N ____ S upation P DATE Blue C ____ Ś OccStyczeń W Book P DESCRIPTION ____ N 1992 FORMULÆ, ___ S Value t: 5.0L P ENGINEREF C Ś :_____ ____ WYPŁATY men W P _____ WPŁATY (FEEDBACK ____ ploy FUEL SYSTEM), 1 _____ SALDO _____ Previous balance _____ _____ ____ Em of MAR _____ ____ 8 CYCLINDERS, FUEL __________ INJECTION, _____ Length MAR 7 ________ ________ CATALYST, __________ € TOTAL 7,267.00 Check No. 357 ________ me: ____ 5-SPEED_____ €25000.00 AUTOMATIC Downthly _________ Inco $103.00 Paym ________ ent:__ ________ € 7,164.00 Mon MAR 8 ATM _____ ____ Withdrawal _ $60.00 _____ - The Other_____ Left _____ Bank ____ ___8901 _____ ____ _______________ ___ Estimated Annual Fuel Cost: $847 ____ _____ 54999 ___ € 7,104.00 MAR 11 ____ _____ 2009 ATM ___ Withdrawal _____ ____ _____ Sierpień 1st National ___ _____ ___ ____ 9014 2009 _____ N LipiecSavings S $30.00 _____ P ______ C Model:__ TotalMAR Ś € 7,074.00 ___ W _____ 16 nt Check 2009 P Amou N S No. _____ ____ 112 Czerwiec P C Ś Finan ____ ____ W P 9 2009 7 8 0 5 9 6 5 27358 N ced:__ Maj S ____ P C € _______________ Ś 500.00 ____ W _____ € 7,574.00 MAR N 18 P ____ S _____ Visa Card - Regular Payment P C Ś ____ _____ W __________ 9554 $200.00 P _____

wojewód

18

25

Obliczanie odsetek na podstawie stopy procentowej oraz pożyczonej kwoty kapitału

443

Marek jeszcze nie jest właścicielem tego samochodu…

448

Dzięki algebrze nie musisz bawić się w ZGADYWANIE

456

Marek chce Ci płacić za to, byś stał się jego planistą finansowym

460

Gas Mileage Information

__________

MAR 22

P

______

ATM Withdrawal - Dataville _____ _____ Savings _ r Name:_____ & Loan __________ 9759 $110.00 ___Deale ____ MAR 27 Check_____ No. 113 _______________ __________ _____ _____ MAR 31 _____ ________ _____Date... Closing _____Ending ________ _____Balance ___ 2009 _____ ________ Grudzień__ ______ Listopad 2009______________ ______ k 2009 Październi 2009 Year:__ Wrzesień icle Veh W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

€ 36.00

N

€ 7,374.00 € 7,264.00 € 7,300.00 € 7,300.00

Pozostałości

A 16 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Pięć najważniejszych tematów (których nie poruszyliśmy) Niewątpliwie wiele nauczyłeś się z tej książki, tymczasem algebra może zaoferować Ci jeszcze więcej. Nie bój się. To już prawie koniec! Przedtem jednak musimy wypełnić jeszcze kilka luk. Następnie będziesz mógł zacząć poznawać algebrę zaawansowaną, ale to już zupełnie oddzielna książka. Numer 1. Potęgi o wykładnikach ujemnych

462

Numer 2. Tabela wartości do tworzenia wykresów

464

Numer 3. Równania z wartością bezwzględną

465

Numer 4. Kalkulatory

466

Numer 5. Dodatkowe ćwiczenia — zwłaszcza w rozkładaniu wyrażeń na czynniki

466

Spis treści

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

B

Budowa na solidnych podstawach Czy kiedykolwiek miałeś wrażenie, że nie wiesz, od czego zacząć? Algebra jest doskonała, ale jeśli chcesz się jej uczyć, musisz dobrze znać reguły rządzące liczbami. Przypuśćmy, że zdałeś sobie sprawę z tego, że zapomniałeś, jak mnoży się liczby całkowite, dodaje ułamki zwykłe lub dzieli ułamki dziesiętne. W takim razie trafiłeś w odpowiednie miejsce! W tym dodatku umieścimy wszystkie wiadomości z algebry elementarnej, które powinieneś znać — w telegraficznym skrócie. Algebra zaczyna się od liczb

Liczby naturalne {1, 2, 3, ...}

92 46

2 2

23

S

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Skorowidz

468

W jaki sposób pracuje się z liczbami ujemnymi?

469

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

471

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

472

Wartość bezwzględna

475

Zbiory liczbowe — wszystkie razem

480

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

484

Mnożenie ułamków dziesiętnych

487

Dzielenie ułamków dziesiętnych

488

Specjalne ułamki dziesiętne

490

Działania na procentach

494

Ułamki

497

Mnożenie ułamków

498

Ułamki niewłaściwe

501

Więcej informacji na temat ułamków niewłaściwych

502

Wyznaczanie odwrotności ułamków

505

Dodawanie i odejmowanie ułamków

507

Aby porównywać ułamki, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika

508

Wyznaczanie najmniejszego wspólnego mianownika w operacji dodawania

509

Dzielenie przez jeden nie zmienia wartości

513

Skracanie ułamków poprzez dzielenie przez 1

514

Drzewa rozkładu na czynniki pozwalają na wyeliminowanie wielu drobnych kroków

515

Upraszczanie ułamków za pomocą drzewa rozkładu na czynniki

516

Podsumowanie — ułamki

518

Przekształcanie ułamków dziesiętnych na zwykłe

522

Dzielenie przez zero jest niedozwolone

525

Czasami mnożenie zajmuje wieczność!

526

531

17

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jak korzysta z tej ksiki?

Wprowadzenie

Nie mogę uwierzyć, że umieścili to w książce do algebry.

Czy ta książka jest dla Ciebie? Ta książka jest dla każdego kto ma pieniądze by za nią zapłacić. Będzie wspaniałym prezentem dla kogoś specjalnego.

anie: iadamy na palące pyt W tym rozdziale odpow to w książce do algebry?”. „Dlaczego oni umieścili

19 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jak korzystać z tej książki

Dla kogo jest ta książka? Jeśli odpowiesz „tak” na wszystkie poniższe pytania: 1

Czy potrafisz swobodnie posługiwać się liczbami i znasz podstawowe pojęcia matematyczne?

2

Czy chcesz uczyć się algebry poprzez przyswajanie pojęć, a nie tylko przez rozwiązywanie ćwiczeń?

3

Czy potrafisz wykonywać działania na liczbach całkowitych i ułamkach i jesteś gotów, by przystąpić do rozwiązywania równań z niewiadomymi?

…ta książka jest dla Ciebie.

Kto raczej powinien trzymać się z dala od tej książki? Jeśli odpowiesz „tak” na dowolne z poniższych pytań: 1

Czy należysz do osób, które nie radzą sobie z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi?

2

Czy szukasz książki z zaawansowanej algebry lub statystyki?

3

Czy jesteś kimś, kto ma obsesję na punkcie wykonywania wszystkich obliczeń przy pomocy kalkulatora?

…ta książka nie jest dla Ciebie.

[Uwaga od pracowników działu mark etingu: ta książka jest dla każdego, kto ma kartę kredytową].

20

Wprowadzenie

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

eneś …w takim razie powini ad First. „He ę ążk ksi po ć gną się ska" Statystyka. Edycja pol

Wprowadzenie

Wiemy, co sobie myślisz „W jaki sposób to może być poważna książka z algebry?” „Po co są te wszystkie ilustracje?” „Czy naprawdę mógłbym się uczyć w taki sposób?”

Twój mózg myśli, że TO jest ważne.

Wiemy, co myśli sobie Twój mózg Twój mózg pragnie nowości. Przez cały czas szuka, skanuje, czeka na coś niezwykłego. Został stworzony w taki sposób i pomaga człowiekowi przeżyć. A zatem co robi Twój mózg z wszystkimi rutynowymi, zwykłymi, normalnymi rzeczami, z jakimi się spotykamy? Wszystko co może, aby nie dopuścić do tego, by przeszkadzały wykonywać prawdziwe zadanie mózgu — rejestrować informacje, które są ważne. Mózg nie zadaje sobie kłopotu, aby zapisywać nudne rzeczy. Tego typu informacje nigdy nie przechodzą przez filtr „to oczywiście nie jest ważne”. Skąd Twój mózg wie, co jest ważne? Załóżmy, że podczas wędrówki po górach nagle przed Tobą pojawia się tygrys. Co się dzieje wewnątrz Twojej głowy i ciała? Neurony płoną. Emocje są coraz gorętsze. Chemiczny przypływ.

Doskonale. Jeszcze tylko jakieś 510 nudnych, suchych stron.

A oto jak odbiera tę sytuację Twój mózg…

To jest bardzo ważne! Nie przeocz tego! Wyobraź sobie teraz, że jesteś w domu albo w bibliotece. Jest bezpiecznie, ciepło — strefa wolna od tygrysów. Uczysz się. Przygotowujesz się do egzaminu. Albo próbujesz zapoznać się z jakimś technicznym tematem, na którego yśli, ózg m O poznanie szef dał Ci tydzień, maksymalnie dziesięć dni. Twój m warto TEG nie . Tylko jeden problem. Twój mózg próbuje wyświadczyć Ci wielką przysługę. Stara się zapewnić, że ta bez wątpienia mało istotna zawartość nie zaśmieci cennych zasobów. Zasobów, które można wykorzystać do zapamiętania naprawdę ważnych rzeczy. Jak, na przykład, napotkanych tygrysów. Jak niebezpieczeństwa pożaru. Jak zapamiętania wszystkich tajnych przejść w grze Super Mario Brothers. Nie istnieje prosty sposób na to, by powiedzieć mózgowi: „Hej, mózg! Nieważne, jak nudna jest ta książka i jak niewiele rejestrują moje przyrządy w emocjonalnej skali Richtera, naprawdę proszę cię, byś to zapamiętał”.

ć że iętywa zapam

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

21

Jak korzystać z tej książki

e się. Czytelników książek Head First postrzegamy jak osoby ucząc zadbać, by tego nie zapomnieć. Na czym polega proces uczenia się? Najpierw trzeba coś zapamiętać, a potem nie nauk kognitywnych, dziedzi w Nauka nie polega na wpychaniu faktów do głowy. Z ostatnich badań elementów niż czytanie więcej e znaczni je neurobiologii i psychologii edukacyjnej wynika, że nauka obejmu mózgu. o Twojeg ie tekstu na stronie. My wiemy, jakie informacje powodują włączen Kilka zasad nauki obowiązujących dla serii Head First. łatwiej od słów, a nauka Zaprezentuj informacje wizualnie. Obrazy zapamiętuje się o wiele nawet o 89% skuteczniej tywane zapamię są obrazy że przebiega skuteczniej (z badań wynika, ałe. Umieść słowa na zrozumi bardziej też się stają enia od słów). Dzięki obrazom zagadni e, a nie pod nimi związan są którymi z cji, ilustra obok ilustracjach lub rozwiążą łatwiej nie dwukrot nawet się uczący a stronie, ej lub na następn 52% 40% 100% treścią. z ne problemy powiąza (lub)

Siema, siostro! Mogę Używaj konwersacyjnego i osobowego ci pomóc… Mam wielu przyjaciół. Widziałaś mój nawet stylu. Z najnowszych badań wynika, że uczniowie osiągali profil na Naszej Klasie? o 40% lepsze wyniki w testach przyswajania informacji, jeśli treść była im ej osobie, podawana w postaci bezpośrednich zwrotów wypowiadanych w pierwsz swobodnego języka. Używaj ć. zamiast tonu formalnego. Lepiej opowiadać historie, niż wykłada ującym przyjęciu emocjon na stwu Nie bądź zbyt poważny. Komu poświęca się więcej uwagi: towarzy czy wykładowcy na wykładzie?

, jeśli aktywnie nie Spowoduj, by uczeń zaczął myśleć intensywniej. Inaczej mówiąc głowie. Czytelnik musi pobudzisz swoich neuronów, nic ciekawego nie będzie się działo w Twojej problemów, wyciągania ywania być zmotywowany, zaangażowany, ciekawy i zainspirowany do rozwiąz ia, ćwiczenia i pytania wyzwan są ne wniosków i generowania nowych wiadomości. Aby to osiągnąć, potrzeb . zmysłów wiele i prowokujące myśli, a także działania angażujące obie półkule mózgu ie. Któż z nas nie przeżył co Zwróć uwagę czytelnika na treść i utrzymaj jego zainteresowan już po pierwszej stronie”? zasypiam ale najmniej raz sytuacji typu „Naprawdę chcę się tego nauczyć, dziwne, przyciągające jące, interesu Twój mózg poświęca uwagę rzeczom, które są niezwykłe, nych nie musi być technicz eń zagadni uwagę, nieoczekiwane. Uczenie się nowych, trudnych nie będzie. taki proces ten jeśli , nudne. Twój mózg będzie się uczył znacznie szybciej Przemawiaj do emocji. Wiemy, że zdolność zapamiętywania stopniu zależy od treści emocjonalnej. Zapamiętujemy dużym w jeśli coś czujemy. Nie, nie będziemy opowiadali my, to, co nas obchodzi. Pamięta jego psie. Mamy na myśli takie emocje, jak i chłopcu wzruszających historii o zadawanie sobie pytań typu „Co jest, u licha…?” zabawa, ść, niespodzianka, ciekawo ujesz oraz odczucia w rodzaju „Udało mi się!”, które pojawiają się, kiedy rozwiąz że wiesz sz, odkrywa lub trudne, za uważają wszyscy co czegoś, łamigłówkę, uczysz się nego. technicz działu z Bogdan rzały coś, czego nie wie przemąd

22

Wprowadzenie

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA ! NA SPECJAL na specjal cena

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. Jeden dżojstik w zestawie. (KILLX-112)

199 € Słuchawki z mikrofonem. Zestaw słuchawek z mikrofonem idealny do gier online (HS-AL1-867)

specjalna cena

specjalna cena

39 €

Wielki zbiór gier. Różne gry dla konsoli KillerX (HD-ISH-5309)

49 €

Wprowadzenie

Metapoznanie: myślenie o myśleniu Jeśli naprawdę chcesz się uczyć i jeśli chcesz to robić szybciej i głębiej, powinieneś zwracać uwagę na to, w jaki sposób skupiasz się na poznawanym temacie. Myśl o tym, w jaki sposób myślisz.

Ciekaw jestem, w jaki sposób nakłonić mój mózg do zapamiętywania tych informacji…

Poznaj sposób, w jaki się uczysz. Większość z nas, w czasie gdy dorastaliśmy, nie uczestniczyła w kursach na temat metapoznania czy też teorii nauki. Oczekiwano od nas, byśmy się uczyli, ale rzadko uczono, w jaki sposób się uczyć. Zakładamy jednak, że jeśli trzymasz tę książkę w rękach, to z pewnością chcesz się uczyć algebry. I najprawdopodobniej nie chcesz poświęcać temu zbyt wiele czasu. Jeżeli chcesz wykorzystać wiadomości, o których czytasz w tej książce, musisz zapamiętywać to, co czytasz. A co ważniejsze, musisz to zrozumieć. Aby zyskać jak najwięcej z tej książki, a także z dowolnej książki lub nauki, weź odpowiedzialność za swój mózg. Nakłoń go do zarejestrowania tej treści. Sztuczka polega na tym, aby Twój mózg uznał nowy materiał, którego się uczysz, za Bardzo Ważny. O kluczowym znaczeniu dla Twojej pomyślności. Tak samo ważny jak spotkanie z tygrysem. W przeciwnym razie będziesz toczył z mózgiem nieustanną walkę, a ten zrobi wszystko, aby nie zapamiętać nowych wiadomości.

Zatem w jaki sposób skłonić mózg do tego, by traktował algebrę tak, jakby była ona głodnym tygrysem? Prowadzi do tego powolna, żmudna droga lub szybsza i bardziej skuteczna. Powolna droga polega na cierpliwym powtarzaniu. Oczywiście wiesz, że możesz nauczyć się nawet najnudniejszych zagadnień, jeśli będziesz usilnie wkuwał je sobie do mózgu. W przypadku wytrwałego powtarzania mózg mówi sobie: „Nie wygląda to na zbyt ważne dla niego, ale powtarza to samo tyle razy, że chyba trzeba to zapamiętać”. Szybszy sposób polega na zrobieniu czegoś, co zwiększa aktywność mózgu, zwłaszcza jeśli są to różne typy aktywności. Istotny fragment takiego rozwiązania zaprezentowano na poprzedniej stronie. Udowodniono, że te czynności wywierają pozytywny wpływ na to, by nakłonić Twój mózg do pracy na Twoją korzyść. Z badań wynika, że umieszczenie słów wewnątrz ilustracji (w odróżnieniu od umieszczenia ich w innym miejscu strony, na przykład w podpisie lub w treści akapitu) skłania mózg czytającego do próby znalezienia sensu, w jaki słowa i rysunki się ze sobą wiążą. To powoduje, że w procesie myślenia bierze udział więcej neuronów. Więcej pracujących neuronów = więcej szans na to, aby Twój mózg uznał, że są to informacje, na które warto zwrócić uwagę i być może zarejestrować. Zastosowanie stylu konwersacyjnego jest pomocne, ponieważ ludzie zwykle koncentrują się bardziej, kiedy prowadzą konwersację. Wtedy oczekuje się od nich śledzenia tematu rozmowy i dotrwania do końca. Zabawne, że dla mózgu niekoniecznie ma znaczenie to, że „konwersacja” jest prowadzona pomiędzy Tobą a książką! Z drugiej strony, jeśli styl pisania jest formalny i suchy, Twój mózg odbiera to tak samo, jakbyś był na wykładzie i siedział w pokoju pełnym pasywnych uczestników. Nie ma potrzeby, by się budzić. Ilustracje i styl konwersacyjny to jednak zaledwie początek…

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

23

Jak korzystać z tej książki

Oto co zrobiliśmy Wykorzystaliśmy ilustracje, ponieważ Twój mózg jest nastawiony na odbiór informacji wizualnych, a nie tekstu. Dla mózgu obraz jest wart tyle, co tysiąc słów. Kiedy tekst występuje razem z ilustracjami, wtedy osadzamy go wewnątrz ilustracji. Twój mózg pracuje bardziej efektywnie, jeśli tekst znajduje się wewnątrz obiektu, którego dotyczy, a nie w podpisie lub gdzieś w treści akapitu.

x2 - 4

2x - 3

x+5 Wszystkie dwumiany

2+3

x-y

Wykorzystaliśmy redundancję, powtarzając tę samą rzecz na różne sposoby, za pomocą różnych środków przekazu oraz w różnym znaczeniu. W ten sposób zwiększamy szanse, że treść zostanie zakodowana w więcej niż jednym obszarze mózgu. Pojęcia i ilustracje zaprezentowaliśmy w nieoczekiwany sposób, ponieważ Twój mózg jest nastawiony na nowości. Ilustracje i idee zostały wykorzystane tak, by w pewien sposób miały charakter emocjonalny. Twój mózg zwraca uwagę na biochemię emocji. To, co sprawia, że coś czujesz, będzie z większym prawdopodobieństwem zapamiętane, nawet jeśli tym uczuciem jest rozbawienie, zaskoczenie lub zainteresowanie. Zastosowaliśmy spersonalizowany styl konwersacyjny, ponieważ Twój mózg koncentruje się bardziej, kiedy prowadzi konwersację, niż wtedy, gdy pasywnie słucha prezentacji. Twój mózg zachowuje się w ten sposób nawet wtedy, gdy czytasz. Wykorzystaliśmy ponad 80 zajęć, ponieważ Twój mózg uczy się i zapamiętuje lepiej, jeśli coś robisz, niż jeśli o tym czytasz. Wybraliśmy zadania trudne, ale możliwe do rozwiązania, ponieważ większość osób takie preferuje. Wykorzystaliśmy wiele stylów nauki. Jeden woli uczyć się procedur krok po kroku, drugi lepiej się czuje, gdy najpierw zapozna się z ogólnym obrazem całości, a trzeci potrzebuje przykładu. Niezależnie jednak od preferencji w zakresie sposobu nauki każdy skorzysta, jeśli zobaczy tę samą treść przedstawioną na różne sposoby. Zamieściliśmy treść, którą przyswajają obie półkule naszego mózgu, ponieważ im większą część mózgu zaangażujesz, tym wyższe prawdopodobieństwo, że nauczysz się tematu i go zapamiętasz oraz że dłużej utrzymasz koncentrację. Ponieważ często jest tak, że gdy pracuje jedna półkula mózgu, druga odpoczywa, to dzięki naprzemiennemu wykorzystywaniu półkul możesz uczyć się efektywnie przez dłuższy czas. Zamieściliśmy historie i ćwiczenia, które prezentują więcej niż jeden punkt widzenia, ponieważ Twój mózg uczy się intensywniej, jeśli jesteś zmuszony do dokonywania porównań i osądów. Zamieściliśmy zadania i ćwiczenia oraz pytania, na które nie zawsze można znaleźć proste odpowiedzi. Twój mózg uczy się i zapamiętuje lepiej, jeśli musi wykonać jakąś pracę. Pomyśl tylko — nie uda Ci się wyrzeźbić muskulatury, jeśli będziesz tylko obserwować ludzi na siłowni. Zrobiliśmy wszystko, aby zapewnić, że jeśli będziesz ciężko pracować, to tylko wtedy, gdy jest to potrzebne. Że nie będziesz musiał poświęcić dodatkowego dendrytu na przetwarzanie trudnego do zrozumienia przykładu lub parsowanie żargonowego czy bardzo skomplikowanego tekstu. W naszych przykładach występują ludzie. Bohaterami historii czy przykładów są ludzie, ponieważ Ty jesteś człowiekiem. Twój mózg poświęca więcej uwagi ludziom niż rzeczom.

24

Wprowadzenie

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Pięciu przyjaciół? Nie ma problemu… Zdobędę te e-maile bez trudu.

Wprowadzenie

Oto co możesz zrobić, aby zmusić mózg do posłuszeństwa A zatem my zrobiliśmy swoje. Reszta zależy od Ciebie. Zamieszczone wskazówki to punkt wyjścia. Posłuchaj swojego mózgu i spróbuj się dowiedzieć, co w Twoim przypadku sprawdza się najlepiej, a co nie. Próbuj nowych rzeczy. Wytnij to i przyczep sobie na lodówkę.

1

Nie spiesz się. Im więcej zrozumiesz, tym mniej będziesz musiał zapamiętać. Nie poprzestawaj na samym czytaniu. Zatrzymaj się i pomyśl. Kiedy w książce natkniesz się na pytanie, nie zaglądaj od razu do odpowiedzi. Wyobraź sobie, że ktoś naprawdę zadaje Ci pytanie. Im bardziej zmusisz swój mózg do myślenia, tym większą masz szansę na nauczenie się tematu i jego zapamiętanie.

6

Twój mózg pracuje najlepiej w miłej wodnej kąpieli. Odwodnienie (które może nastąpić, zanim poczujesz pragnienie) obniża zdolność do nauki. 7

3

8

Przeczytaj je wszystkie, bez wyjątku. Nie są to opcjonalne ramki, jest w nich istotna treść! Nie pomijaj ich.

jaką przeczytasz przed pójściem spać. Lub przynajmniej ostatni z trudnych tematów. Część procesu nauki (w szczególności transfer do pamięci długoterminowej) odbywa się po odłożeniu książki. Twój mózg potrzebuje czasu dla siebie, aby dodatkowo przetworzyć dostarczone mu informacje. Jeśli wówczas dostarczysz mu nowych danych, niektóre informacje z tych, których się nauczyłeś, zostaną utracone. 5

Mów o tym, czego się nauczyłeś. Na głos. Mówienie uaktywnia inną część mózgu. Jeżeli próbujesz coś zrozumieć lub zwiększyć swoje szanse na późniejsze zapamiętanie informacji, powtarzaj je na głos. Jeszcze lepiej będzie, jeśli spróbujesz na głos wyjaśnić nowy temat komuś innemu. Dzięki temu będziesz się szybciej uczyć oraz być może odkryjesz informacje, o których istnieniu nie zdawałeś sobie sprawy w czasie czytania.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Angażuj się w to, co czytasz. Twój mózg musi wiedzieć, że to, co czytasz, ma znaczenie. Angażuj się w opowiadane historie. Spróbuj stworzyć własne podpisy pod zdjęciami. Zmuszanie się do śmiechu po usłyszeniu kiepskiego dowcipu jest pomimo wszystko lepsze od braku jakichkolwiek odczuć.

Czytaj punkty „Nie istnieją głupie pytania”.

4 Niech to będzie ostatnia rzecz,

Słuchaj swojego mózgu. Zwracaj uwagę na to, czy Twój mózg nie jest zbyt mocno obciążony. Jeśli zauważysz, że czytasz bez zrozumienia lub zapominasz, o czym czytałeś przed chwilą, zrób sobie przerwę. Kiedy przekroczysz pewien punkt, nie będziesz się uczyć szybciej poprzez czytanie coraz większej ilości materiału. W rzeczywistości możesz pogorszyć proces uczenia się.

2 Wykonuj ćwiczenia. Rób własne notatki.

W książce są ćwiczenia. Gdybyśmy jednak robili je za Ciebie, byłoby to tak, jakby ktoś odrabiał za Ciebie pracę domową. I nie ograniczaj się do samego patrzenia na ćwiczenia. Używaj ołówka. Jest wiele dowodów na to, że fizyczna aktywność podczas nauki usprawnia proces przyswajania wiedzy.

Pij dużo wody.

9

Używaj algebry w życiu. Jest tylko jeden sposób na nauczenie się algebry: trzeba jej używać. Nie oznacza to, że musisz się zamknąć w pokoju z papierem milimetrowym i ołówkiem. Ale że powinieneś zastanowić się nad tym, jak wykorzystać algebrę w świecie, który Cię otacza. Jaki problem próbujesz rozwiązać? Jakie są wiadome, a jakie niewiadome? W jaki sposób się ze sobą łączą? Chodzi o to, że nie nauczysz się algebry, jeśli tylko będziesz o niej czytać — musisz jej używać. W tej książce zaprezentujemy sporo wiedzy praktycznej: w każdym rozdziale jest wiele ćwiczeń oraz pytań, o których powinieneś pomyśleć. Nie pomijaj ich obojętnie — większa część procesu nauki odbywa się w czasie, gdy robisz ćwiczenia. Nie wahaj się sięgnąć do rozwiązań, jeśli nie będziesz mógł ruszyć z miejsca, ale wcześniej jednak przynajmniej spróbuj rozwiązać problem.

jesteś tutaj 

25

Jak korzystać z tej książki

Przeczytaj koniecznie To jest książka do nauki, a nie materiał referencyjny. Celowo pozbyliśmy się wszystkiego, co mogłoby przeszkadzać w nauce. Wszystko, co jest do nauki potrzebne, omawiamy w tej książce. Lekturę zacznij od początku, ponieważ w książce przyjęto pewne założenia dotyczące tego, co wcześniej widziałeś i czego się nauczyłeś.

Zaczynamy od nauczenia Cię sposobów rozwiązywania równań algebraicznych. Uwierz nam lub nie, ale nawet jeśli nigdy nie uczyłeś się algebry, możesz natychmiast przystąpić do szukania niewiadomych. Zapoznasz się również z głębszymi motywacjami do nauki algebry oraz dowiesz się, dlaczego w ogóle powinieneś się jej uczyć.

Kalkulatory służą tylko do obliczeń arytmetycznych, których nie można łatwo zrobić w pamięci. NIE służą do rozwiązywania równań. Na rynku jest wiele kalkulatorów zdolnych do wykonywania różnych operacji, włącznie z rozwiązywaniem równań i tworzeniem wykresów. Ponieważ celem pracy z tą książką jest nauczenie Cię sposobów rozwiązywania równań i tworzenia wykresów, używanie do tego celu kalkulatora byłoby oszukiwaniem samego siebie!

Jeśli zapomniałeś jakichś tematów z algebry elementarnej, pomożemy Ci je sobie przypomnieć. Zanim przystąpisz do nauki algebry oraz szukania niewiadomych, powinieneś umieć wykonywać działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych, liczbach całkowitych oraz potęgować i pierwiastkować. Dobra wiadomość jest taka, że jeśli rozumiesz wymienione zagadnienia, ale na przykład nie pamiętasz, w jaki sposób znaleźć wspólny mianownik, to możesz skorzystać z obszernego dodatku zamieszczonego na końcu tej książki. Zawiera on zwięzłe i suche informacje, pozwala jednak szybko przypomnieć sobie potrzebne zagadnienia z algebry elementarnej.

26

Wprowadzenie

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wprowadzenie Algebra nie polega tylko na znalezieniu prawidłowej „odpowiedzi”. W tej książce zamieszczono wiele informacji dotyczących procesu rozwiązywania problemów: jakie etapy obejmuje rozwiązanie zadania, o co chodzi w każdym punkcie. Dzięki temu można zrozumieć, co się robi. Poświęciliśmy mnóstwo czasu na to, by dobrze wyjaśnić każde ćwiczenie. Jest ku temu powód — próbujesz się przecież czegoś nauczyć, prawda? A zatem nie przechodź od razu do zapisu x = 5, aby sprawdzić, czy dobrze rozwiązałeś zadanie, ponieważ to tylko część odpowiedzi.

Ćwiczenia nie są opcjonalne. Ćwiczenia i zadania nie są dodatkami. Należą do zasadniczej treści książki. Niektóre są po to, aby pomóc w zapamiętaniu informacji, inne mają pomóc w ich zrozumieniu, a jeszcze inne w zastosowaniu poznanej wiedzy w praktyce. Nie pomijaj ćwiczeń.

Redundancja jest celowa i istotna. Zasadnicza różnica pomiędzy książkami z serii Head First a innymi książkami polega na tym, że w tym przypadku bardzo nam zależy, by Czytelnicy dobrze zapoznali się z ich treścią. Chcemy, abyś po przeczytaniu tej książki zapamiętał to, czego się nauczyłeś. Celem większości książek referencyjnych nie jest zapamiętywanie i przypomnienie materiału. Ta książka dotyczy jednak procesu nauki, zatem niektóre pojęcia będą powtarzane więcej niż raz.

Każdy może nauczyć się algebry, nawet te osoby, które mówią o sobie: „Matematyka nie jest dla mnie”. Powinieneś zapomnieć o tym, że kiedykolwiek mówiłeś: „Matematyka nie jest dla mnie”. Matematyka jest dla wszystkich, a Ty tylko jeszcze o tym nie wiesz. Każdy korzysta z algebry na co dzień, tylko że nie zawsze zdaje sobie z tego sprawę. Jeśli jeszcze nie odkryłeś w sobie „żyłki do matematyki” lub jeśli potrzebujesz inspiracji, trafiłeś w odpowiednie miejsce. Kiedy przeczytasz tę książkę, będziesz wiedział, jak podchodzić do algebry. Tymczasem rozwiąż kilka równań!

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

27

Zespół recenzentów technicznych

Zespół recenzentów technicznych Ariana Anderson

Amanda Borcky

Dawn Griffiths

Shannon Stewart

Herbert Tracey

Karen Shaner

Cary Collett

Recenzenci techniczni: Ariana Anderson jest doktorantem statystyki na Uniwersytecie UCLA oraz członkiem kolegium nauczycieli akademickich CUTF (Collegium of University Teaching Fellows). Prowadzi badania na temat integracji neuroobrazowania i statystyki w celu stworzenia maszyn „czytających umysły”. Amanda Borcky jest studentką uczelni Virginia Tech w Blacksburg, w stanie Virginia. Studiuje dietetykę i ma zamiar stworzyć w przyszłości klinikę dietetyki. Wystąpiła w roli recenzentki technicznej po raz pierwszy. Dawn Griffiths jest autorką książki Head First Statistics. Kiedy Dawn akurat nie pracuje nad książkami Head First, zgłębia tajniki tai-chi, robi na szydełku lub spędza czas ze swoim ukochanym mężem Davidem. Karen Shaner jest absolwentką Emerson College w Bostonie. Oprócz pracy dla wydawnictwa O’Reilly pisze pracę magisterską z dziedziny publikacji i edytorstwa. W czasie wolnym, którego nie ma zbyt wiele, zajmuje się tańcem towarzyskim, spędza czas z przyjaciółmi, śpiewa w zespole Praise Band oraz korzysta z rozrywek, jakie oferuje Boston.

28

Wprowadzenie

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Shannon Stewart jest byłą nauczycielką matematyki w piątej klasie. Podczas pięciu lat pracy w Mesquite była cenionym pedagogiem oraz osobą wyróżnianą w klasyfikacji Who’s Who of American Teachers. Jest absolwentką Hardin Simmons i posiada tytuł licencjata z nauczania początkowego. Następnie podjęła studia na Uniwersytecie A&M Commerce i uzyskała tytuł magistra pedagogiki. Obecnie mieszka w stanie Texas wraz z mężem Lesem i synem Nathanem. Herbert Tracey otrzymał tytuł licencjata w Towson University, natomiast magistra w The Johns Hopkins University. Obecnie jest wykładowcą matematyki na Uniwersytecie w Loyola w stanie Maryland. Jednocześnie pełni funkcję honorowego szefa Wydziału Matematyki w Hereford High School. Cary Collett studiował fizykę i astrofizykę w college’u i wyższej uczelni. Nie trzeba więc mówić, że musiał uczyć się dużo matematyki. Jego zdaniem algebra jest w matematyce najtrudniejsza. Obecnie zajmuje się informatyką i mieszka w centralnej części stanu Ohio.

Wprowadzenie Sanders Kleinfeld

Podziękowania Naszym redaktorom: Dziękujemy Sandersowi Kleinfeldowi, który prowadził tę książkę od projektu do pierwszych kopii roboczych. Odpowiadał również na niezliczone pytania (w większości zadawane przez Tracey) i pozwolił na filozofowanie na temat książek z matematyki pisanych przez gwiazdy telewizyjne z lat osiemdziesiątych. Dziękujemy również Brettowi McLaughlinowi, który oprócz tego, że przewodził pracy nad całą serią, pomógł nam przejść od pierwszych kopii roboczych do szczęśliwego końca. Bardzo często udzielał nam rad typu „a dlaczego nie pomyśleliśmy o tym…”, które okazały się niezwykle pomocne. Jesteśmy mu bardzo wdzięczni także za wyrozumiałość i tolerowanie dzieci oraz psa w tle podczas konferencji telefonicznych. Dziękujemy także Lou Barr, która spełniała prośby w stylu „Lou, czy mogłabyś to zrobić tak, żeby wyglądało fajnie?”. Ponieważ żadne z nas nie ma talentu artystycznego, wszystko co w tej książce wygląda fantastycznie, to jej zasługa.

Brett McLaughlin Pracownikom wydawnictwa O’Reilly: Caitrin McCullough za doskonały serwis internetowy i Karen Shaner za to, że zarówno spełniała rolę recenzentki technicznej, jak i dbała o to, by proces korekty przebiegał sprawnie.

Lou Barr

Brittany Smith — redaktor prowadzącej, która zawsze bardzo szybko odpowiadała na nasze pytania, nadawała sens wszystkim plikom komputerowym wykorzystywanym w tym projekcie oraz zawsze wysyłała optymistyczne e-maile. Na koniec, co nie umniejsza jej zasług, dziękujemy Laurie Petrycki, która dała nam szansę napisania książki matematycznej, co było dla nas niezwykle ekscytującym przeżyciem!

Recenzentom: Dziękujemy Wam wszystkim za przeczytanie całej książki z tak wielkim entuzjazmem. Amandzie Borcky za to, że spełniała rolę potencjalnego czytelnika i wskazywała te fragmenty, które były mniej udane. Herbertowi Tracey, który oprócz tego, że uczył Tracey trygonometrii i analizy matematycznej, przekazywał nam niezwykle cenne uwagi, dzięki którym udało nam się stworzyć znacznie lepszą książkę matematyczną. Arianie Anderson i Shannon Stewart, które jako nauczycielki matematyki potrafiły wskazać luki w naszych założeniach oraz zadawać dobre pytania. Na koniec dziękujemy Cary Collett i Dawnowi Griffithsowi, którzy pomogli nam w matematyce i zadbali o to, byśmy postępowali zgodnie z założeniami serii Head First. Naszym przyjacioom i rodzinie: Wszystkim z rodziny Pilone i Chadwicks. Gdyby nie Wasza miłość i wsparcie, nie udałoby się nam zaliczyć kursu algebry za pierwszym razem! Nauczycielom matematyki, którzy uczyli Tracey — Panu Tracey, Pani Vesley i Pani Booth — którzy dokonali jej transformacji z zadeklarowanego przeciwnika matematyki na inżyniera, a także nauczycielom matematyki Dana — Bratu Leahy, Panu Cleary, Ojcu Shea i Pani Newell, którzy zawsze go wspierali w trudnych chwilach i dzięki którym pierwszy plan tej książki powstał tak wiele lat temu… Na koniec, co nie umniejsza ich poświęcenia, dziękujemy Vinny’emu i Nick — pierwszym dwóm projektom, nad którymi Dan i Tracey pracowali razem. Oni wielokrotnie musieli znosić odpowiedzi w stylu „Tata i mama mają konferencję” i nauczyli się znacznie więcej algebry, niż powinno się wymagać od przedszkolaków.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

29

30

Wprowadzenie

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

1. Czym jest algebra?

Poszukiwanie niewiadomych… To takie słodkie, czy moglibyśmy sobie na to pozwolić?

Nie wiem…, ale myślę, że to nie może być zbyt drogie. Sprzedawca powiedział, że dwunastokrotna cena tego przedmiotu to 22 400 złotych. Wydaje mi się, że to nie jest tak dużo.

Czy kiedykolwiek chciałeś wiedzieć więcej, niż wiesz? Na tym właśnie polega sedno algebry: przemiana niewiadomych w wiadome. Kiedy przeczytasz ten rozdział, z pewnością uświadomisz sobie, że X to znacznie więcej niż oznaczenie miejsca, w którym zakopano skarb. Dowiesz się, czym są równania, poznasz działania wykonywane po obu stronach równań i niezmieniające ich sensu oraz dowiesz się, dlaczego poszukiwanie niewiadomych nie jest niczym wielkim. Na co jeszcze czekasz? Zabieraj się do pracy!

to jest nowy rozdział  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

31

Algebra jest wszędzie

Wszystko zaczęło się od wielkiej promocji konsoli do gier Julia obserwowała od jakiegoś czasu rywalizację na rynku konsoli do gier i w końcu zdecydowała się na model, który chciała mieć. W tym tygodniu jest promocja jej ulubionej konsoli. Julia jest zdecydowana na zakup. Czy jednak będzie mogła sobie na nią pozwolić? Aby odpowiedzieć na to pytanie, potrzebuje Twojej pomocy.

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA A! SPECJALN

Mogę zapłacić 199 € — ale czy właśnie tyle będę musiała zapłacić?

lna specja cena

Zestaw słuchawek z mikrofonem idealny do gier online (HS-AL1-867)

Julia czeka na odpowiednią konsolę do gier.

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. Jeden dżojstik w zestawie. (KILLX-112)

199 € Słuchawki z mikrofonem.

32

eka — którą Julia cz To konsola, na… ale czy konsola i kilka jest promocja nie za duży koszt? akcesoriów to

specjalna cena

specjalna cena

39 €

Wielki zbiór gier. Różne gry dla konsoli KillerX (HD-ISH-5309)

49 €

Czym jest algebra?

Ile naprawdę kosztuje konsola? Kiedy coś kupujesz — zwłaszcza drogą elektronikę — pamiętaj, że jest wiele składowych, które musisz dodać do ceny podanej na promocyjnej ulotce: podatek VAT, rozszerzona gwarancja, wysyłka itp. A zatem ile naprawdę kosztuje konsola KillerX?

Do ceny trzeba doliczyć podatek VAT… Podstawowa cena konsoli wynosi 199 €. Do tej ceny trzeba doliczyć podatek VAT. Załóżmy, że wynosi on 5%. Spróbujmy obliczyć, ile podatku zapłaci Julia:

Super

Nowa konsola do gier Ki 2.0 to doskonałe urządze do zabawy. Jeden dżojst zestawie. (KILLX-112)

lna specja cena

…oblicz tę wartość. Zapamiętaj ją, będzie potrzebna za chwilę.

a 5% podatku VAT oznacza konieczność pomnożeni ceny przez 0,05…

Konsola do gier KillerX 2.0.

199 € special value

199 € × 0,05 = €

$3

To jest cena wyjściowa 199 €, którą odczytaliśmy z reklamy.

Jeśli nie pamiętasz, jak wykonać działania na ułamkach dziesiętnych, otwórz dodatek i odśwież sobie te wiadomości!

…trzeba też pomyśleć o rozszerzonej gwarancji Julia chce wydać 199 € na konsolę do gier, a ponadto postanowiła zakupić plan rozszerzonej gwarancji za dodatkowe 20 €. Uwzględnijmy te koszty w końcowej cenie. Jaką cenę będzie musiała zapłacić Julia?

199,00 €

i… Wyjściowa cena konsol

…podatek VAT, który obliczyłeś wcześniej…

+ 20,00 € Oblicz łączną cenę

…i do tego rozszerzona gwarancja.

Dodaj te wszystkie składniki do siebie, aby dowiedzieć się, ile naprawd ę wydać Julia, aby kupić konsolę. musi

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

33

Poszukiwanie niewiadomych

To głupie. Myślałam, że będziemy się uczyć algebry!

Obliczenie łącznej ceny nie było zwykłym dodawaniem! To było obliczenie wartości niewiadomej — a to już algebra. W tym przypadku niewiadomą stanowiła końcowa cena konsoli. i… Wyjściowa cena konsol

199,00 €

…podatek VAT, który obliczyliśmy wcześniej…

9,95 €

+ 20,00 €

arancja. …oraz rozszerzona gw

228,95 € wszystkie To była niewiadoma — y znane. był cje rma pozostałe info będzie musiała Wiedzieliśmy, że Julia wyjść ze sklepu aby ę, zapłacić jakąś cen za niewiadoma! z konsolą. To była nas

Algebra polega na szukaniu niewiadomych Algebra polega na szukaniu brakujących informacji, które nas interesują, na podstawie informacji, które znamy. Niewiadomą może być koszt pożyczki na samochód, potrzebna ilość wody sodowej lub wysokość, na jaką zdołamy rzucić balonem wypełnionym wodą. Jeśli czegoś nie znamy, jest to niewiadoma. Wszystkie umiejętności, które przyswoisz, będą dotyczyły sposobów manipulowania znanymi danymi w celu znalezienia nieznanych danych. Istnieją reguły dotyczące tego, kiedy można pomnożyć określone elementy lub przenieść z jednej strony znaku równości na drugą, ale są to jedynie sztuczki pomocne w szukaniu informacji.

34

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Czym jest algebra?

Julia ma znacznie więcej niewiadomych A zatem Julia już wie, ile potrzeba jej pieniędzy na kupno świetnej konsoli do gier razem z rozszerzoną gwarancją. W dalszym ciągu nie ma jednak żadnej gry… ani drugiego dżojstika… czy też mikrofonu ze słuchawkami. Julia miała na koncie bankowym 315,27 €. Ile będzie mogła wydać na akcesoria, kiedy już zapłaci za konsolę? Rozpocznijmy od zapisania tego problemu słownie. wnie jest Zapisanie problemu sło jścia. wy m kte pun m ały kon dos sisz Na tym etapie nie mu i. bam licz się ać przejmow

Saldo – rachunku

Cena konsoli

=

Pieniądze na akcesoria

Wiemy, ile kosztuje konsola (228,95 €), a także ile Julia ma na koncie (315,27 €). Wystarczy wypełnić puste miejsca, aby dowiedzieć się, jakim budżetem na akcesoria dysponuje Julia.

danej na Dzięki kwocie wy ała się st lia Ju ria so ce ak zem… szczęśliwym grac

315,27 € – 228,95 € = Tyle pieniędzy Julia ma na koncie.

To jest cena konsoli, obliczona przez nas wcześniej.

Uzupełnij niewiadomą!

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

35

X oznacza niewiadomą

Ceny konsoli z bliska Przyjrzyjmy się nieco bliżej temu, co właśnie zrobiliśmy. Najpierw wpiszemy w ramkę z niewiadomą standardowy symbol niewiadomej w algebrze — x.

x = pieniądze na akcesoria

ej magii Nie ma żadn— to po x w literze a najczęściej prostu liter algebrze. używana w

315,27 € – 228,95 € = 86,32 € = x Tyle Julia ma na koncie.

To jest cena konsoli, obliczona przez nas wcześniej.

…a to jest nasza niewiadoma.

86,32 € = x Możemy także zamienić strony równania, dzięki czemu otrzymamy:

x = 86,32 €

rozdziału W dalszej części na temat tego, ej ęc wi powiemy zamieniać dlaczego można ób. Pokażemy os strony w ten sp ki. Tymczasem także inne sztucz ętać, że obie mi powinieneś zapa są sobie ia postacie równan leżnie od tego, za równoważne, nie z prawej, czy x znajduje się . ny czy z lewej stro

Algebra polega na zrozumieniu problemu oraz znalezieniu niewiadomej — x. Wykorzystanie takich sztuczek, jak zapisywanie problemu słownie czy też zamiana elementów miejscami, to jedynie sposób, który pozwala na wyszukiwanie niewiadomych.

Fajnie! 86,32 € to w dalszym ciągu sporo do wydania na gry i zestaw mikrofonowo-słuchawkowy.

36

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Algebra to poszukiwanie wartości niewiadomych.

Czym jest algebra?

X oznacza miejsce niewiadomą Oznacza niewiad omą.

Może to być odpowiedź na pytanie, ile ktoś waży, ile psów potrzeba do tego, by ciągnąć sanie, lub ile będzie kosztować przyszycie rękawa w kurtce Twojego brata. Może oznaczać jedną lub wiele liczb.

X

Istnieje zbiór reguł, które mówią, co z nią można zrobić, a czego nie wolno.

Niewiadoma nie musi być oznaczona literą x, może to być dowolna litera bądź litery.

W równaniu określa się ją terminem zmienna.

x to po prostu symbol zastępczy ramki na niewiadomą, używanej przez nas wcześniej. Symbol x łatwiej napisać. To właśnie wartości x szukamy podczas rozwiązywania równań. Niewiadomą w dowolnej sytuacji określa się terminem zmienna. Problemy są w życiu na porządku dziennym. Przekształcenie ich na równania matematyczne pozwala je rozwiązać.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy niewiadomą zawsze oznacza się symbolem x? O: Nie. W równaniach matematycznych często można spotkać

niewiadome x, y i z. Do tego celu można jednak wykorzystywać dowolne litery.

P

: Dlaczego na stronie 36. mogliśmy zamienić strony równania?

O

: W rzeczywistości jedynie odwróciliśmy to samo równanie. Była to jedna z możliwych operacji na równaniach. Istnieją reguły określające sposoby, w jakie można przekształcać równania bez zmiany ich wartości. Powiemy o tym znacznie więcej w dalszej części niniejszej książki.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

37

Równania to zdania w matematyce

Równania to zdania w matematyce Równania podobne do tego, które wykorzystaliśmy wcześniej do obliczenia, ile Julia może wydać na akcesoria, to po prostu matematyczne zdania, czyli matematyczny sposób na to, by coś wyrazić. A zatem kiedy mówiliśmy o saldzie rachunku Julii, w rzeczywistości używaliśmy równania:

Saldo – rachunku

Cena konsoli

=

…równa się kwota pozostała do dyspozycji na zakup akcesoriów.

minus kwota wydana na konsolę…

Saldo rachunku…

Pieniądze na akcesoria

Te równania matematyczne mówią to samo. Są to po prostu dwa sposoby przedstawienia tego samego problemu.

Nasze równanie ma następujące znaczenie: „Saldo rachunku pomniejszone o cenę zapłaconą za konsolę równa się kwocie, jaka pozostała do dyspozycji na akcesoria”. A zatem oznacza to, że saldo rachunku musi się równać kosztowi konsoli powiększonemu o pieniądze na akcesoria. Jeśli to zdanie zostanie zapisane w formie równania, będzie miało następującą postać:

Saldo = rachunku Saldo rachunku…

Cena konsoli

+

równa się kwocie wydanej na konsolę…

Pieniądze na akcesoria …powiększonej o sumę pozostałą do dyspozycji na zakup akcesoriów.

Oba zdania oznaczają to samo. Zostały jedynie inaczej przedstawione. Na kolejnych kilku stronach wyjaśniono, w jaki sposób przekształca się zdania matematyczne, tak aby nie zmienić wartości wyrażeń.

38

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania można przekształcać tak jak zdania.

Czym jest algebra?

Magnesiki matematyczne Poniej zamieszczono kilka problemów wyraonych sownie oraz zbiór magnesików. Twoim zadaniem jest stworzenie równa z magnesików w taki sposób, aby miay takie same znaczenia jak problemy wyraone sowami. Po uoeniu równa zakrel niewiadom — warto, któr powiniene wyznaczy. Nastpnie zapisz równanie w postaci kompletnego zdania.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

....................................

x

....................................

=

....................................

Umieść po jednym magnesiku w każdym pustym miejscu…

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

Następnie zakreśl magnesik, który musisz wyznaczyć.

y To równanie zaczęliśm za Ciebie…

Koszt jednej subskrypcji razy… ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym? Tym razem samodzieln stwórz całe równanie…ie

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

Czas na poziom 1

NA YWO

pienidze za wszystkie subskrypcje

..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................

Koszt jednej subskrypcji Julia

Liczba gier

Julia i jej bracia

Czas na poziom 3

Czas na poziom 2

Poziom 5

Czas na poziom 4

Czas, po którym Julia musi wyj

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

39

Magnesiki. Rozwiązanie

Magnesiki matematyczne. Rozwiązanie Poniej zamieszczono kilka problemów wyraonych sownie oraz zbiór magnesików. Twoim zadaniem jest stworzenie równa z magnesików w taki sposób, aby miay takie same znaczenia jak problemy wyraone sowami. Po uoeniu równa zakrel niewiadom — warto, któr powiniene wyznaczy. Nastpnie zapisz równanie w postaci kompletnego zdania.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

Koszt jednej subskrypcji ....................................

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

x

Julia i jej bracia ....................................

=

pienidze za wszystkie .................................... subskrypcje

W tym zadaniu trzeba rą wyznaczyć kwotę, któ Julia musi wydać.

Koszt jednej subskrypcji razy liczba osób w grupie Julia i jej bracia równa ..................................................................................................................................... się kwota pieniędzy, którą wydadzą na aktualizacje subskrypcji „NA ŻYWO”. .....................................................................................................................................

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym? Oto co należy obliczyć.

Czas na poziom 1

+

Czas na poziom 2

Teraz zapisz swoje równanie sowami:

Poziom 5

40

Czas na poziom 3

+

Czas na poziom 4

=

Czas, po którym Julia musi wyj

Czas na poziom 1 plus czas na poziom 2 plus czas na poziom 3 plus czas ..................................................................................................................................... na poziom 4 równa się czas, po którym Julia musi wyjść. .....................................................................................................................................

WYSIL

Liczba gier

NA YWO

+

Julia

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

SZARE KOMÓRKI Możesz również stworzyć równanie postaci: „Czas, po którym Julia musi wyjść minus czas na poziom 1 minus czas na poziom 2 minus czas na poziom 3 równa się czas na poziom 4”. Czy tak byłoby lepiej? Dlaczego?

Czym jest algebra?

Konstruowanie równa Teraz moesz utworzy równania! Wyjd od „matematycznego zdania”, które zapisae, i przekszta je na równanie. Uyj liczb dla tych elementów, które byy znane, oraz x dla niewiadomych.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

Koszt jednej subskrypcji ....................................

x

Julia i jej bracia ....................................

=

pienidze za wszystkie .................................... subskrypcje , która Potrzebujemy zmiennej e dane. kan szu ć wa izo bol ma sym tamy x. Do tego celu wykorzys

Odczytaj te informacje . z treści zadania

x = x ..................................................................................................................................................................................... Ten symbol oznacza mnożenie.

To samo dotyczy tego problemu — w miejscu niewiadomej zapiszemy x.

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym? Uważaj na tę wartość! Godziny czy minuty?

Czas na poziom 1

+

Czas na poziom 2

+

+ +

Czas na poziom 3

+

Czas na poziom 4

=

+

=

+

=

Czas, po którym Julia musi wyj

.....................................................................................................................................................................................

W tej linijce dodaj liczby i zapisz krótsze równanie.

.....................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

41

Upraszczamy, upraszczamy

Konstruowanie równa Teraz moesz utworzy równania! Wyjd od „matematycznego zdania”, które zapisae, i przekszta je na równanie. Uyj liczb dla tych elementów, które byy znane, oraz x dla niewiadomych.

1. Julia i jej 3 bracia myl o aktualizacji subskrypcji „NA YWO” do poziomu „Platynowy”, który kosztuje 12 € na osob. Ile to bdzie ich razem kosztowao?

Koszt jednej subskrypcji ....................................

x

Julia i jej bracia ....................................

=

pienidze za wszystkie .................................... subskrypcje To jest niewiadoma, ć. którą próbujemy znaleź

4 12 € x = x ..................................................................................................................................................................................... 3 braci+Julia = 4

2. Julia zacza gra w interesujc now gr, ale musi wyj za dwie godziny. Przejcie poziomu pierwszego zajo jej 20 minut, drugiego — 37 minut, a trzeciego — 41 minut. Ile zostao jej czasu na gr na poziomie czwartym?

Czas na poziom 1

20

+

Czas na poziom 2

+

+

37

+

Czas na poziom 3

+

Czas na poziom 4

as Potrzebny jest cz tach, wyrażony w minu y na ponieważ czas gr ziomach poszczególnych pominutach. przedstawiono w

=

Czas, po którym Julia musi wyj

41

+

x

=

120

98

+

x

=

120

.....................................................................................................................................................................................

iłeś Dobra robota — uprośctaci równanie do takiej pos je — w tej formie będzie łatwiej rozwiązać.

42

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

.....................................................................................................

Czym jest algebra?

Teraz ZNAJDZIEMY niewiadomą Julia sprawdza, czy opłaca jej się zakupić subskrypcję „NA ŻYWO”. Posiada 10 gier, dla 7 z nich nie ma wersji online. Ile gier, w które można grać w trybie online, posiada Julia? Czy zakup subskrypcji ma w jej przypadku sens?

x

+

Chcemy przejść bezpośrednio do równania, bez formułowania zd an Jeśli Ci to pomo ia. możesz zapisać że, ró słownie. Powinn wnanie o wystarczyć słown jednak sformułowanie pr e oblemu wyłącznie w myśla ch.

=

Pewna nieznana liczba gier…

10 gier…

7 gier…

W tym zadaniu interesuje nas x — niewiadoma liczba gier. W zasadzie nie interesuje nas siedem gier po lewej stronie równania. Możemy pozbyć się tej siódemki, o ile zrobimy to samo po obu stronach równania. Znak równości oznacza, że obie strony są takie same. Zatem jeśli zabraliśmy 7 z jednej strony, musimy zrobić to samo z drugiej strony równania.

+

x

=

Pewna nieznana liczba gier…

7 gier…

10 gier…

m Pozostały na … hm y… 3 gr

Możemy pozbyć się siódemki poprzez odjęcie 7 po obu stronach równania.

Oto do jakiej postaci doszliśmy:

x lub

=

x = 3

Hm! Mogę zagrać online tylko w trzy gry. Na razie nie będę kupowała tej subskrypcji.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

43

Izolowanie zmiennych

W jaki sposób to pomaga? Nie mam zamiaru poświęcić reszty mojego życia na rysowanie ilustracji wszystkich moich problemów.

Do robienia obliczeń algebraicznych nie są potrzebne rysunki. Potrzebny jest sposób wykorzystania znanych operacji (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) do rozwiązywania równań. Co jest najtrudniejsze? Trzeba zachować zasady równości. Równość oznacza, że obie strony są takie same. Jeśli wykonasz jakieś działanie po jednej stronie równania, musisz zrobić to samo po drugiej stronie równania. Oto inny sposób spojrzenia na problem Julii z grami online — tym razem bez rysunków: Odpowiedź musi mieć postać x = coś, zatem powinniśmy pozbyć się siódemki

…w tym miejscu odejmujemy 7 od obydwu stron równania w celu zachowania równości…

x + 7 = 10

wstępne równanie dla gier Julii.

x + 7 - 7 = 10 - 7

Ponieważ 7–7 równa się 0, po tej stronie równania pozostał sam x…

x = 3

— to wna się 3 A 10–7 ró co chcieliśmy wszystko, wiedzieć…

Doprowadzając do sytuacji, w której po jednej stronie występuje sama niewiadoma x, izolujesz zmienną. Jest to najważniejsza część rozwiązywania równań. Izolowanie zmiennej oznacza, że po lewej stronie równania została sama zmienna x, natomiast cała reszta znajduje się po prawej stronie. Jeśli możesz wyizolować zmienną, to rozwiązałeś równanie — pozostaje zapisanie odpowiedzi, na przykład x = 3. Ponieważ Twoim celem jest wyizolowanie zmiennej, wiesz, jakie liczby usunąć z lewej strony. Ponieważ chcesz pozostawić samo x, przenosisz siódemkę, nie dziesiątkę!

44

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Czym jest algebra?

Jakie działania wykonujesz i kiedy? Działaniem odwrotnym do dodawania jest odejmowanie. Zatem jeśli dodajesz liczbę po jednej stronie równania i chcesz przenieść ją na drugą stronę, możesz odjąć tę liczbę od obu stron. Tego typu pary działań określa się w matematyce jako działania odwrotne. Podstawowymi działaniami matematycznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Działanie odwrotne to takie działanie, które niweluje skutki innego działania (tak jak dodawanie niweluje odejmowanie). Operacje odwrotne pozwalają na przeniesienie liczby lub zmiennej z jednej strony równania na inną, poprzez „anulowanie działania z tą liczbą” po jednej stronie równania.

ie by pozbyć Dlatego właśn(liczby dodanej), ki em się siód jąć liczbę trzeba było odu stron. siedem od ob

+

– do Działaniem odwrotnym wanie… jmo ode t jes a ani aw dod

Kiedy chcesz rozwiązać równanie: 1

Spójrz na równanie i zastanów si, jakie liczby naley przenie. W przypadku równania Julii musieliśmy pozbyć się siódemki. To dlatego, że próbowaliśmy wyizolować zmienną x.

2

Zastanów si, jakie dziaania powiniene wykorzysta. Aby pozbyć się liczby, musisz wykorzystać działanie odwrotne. W przypadku liczby odjętej wykorzystaj dodawanie. Dla liczby dzielonej — mnożenie itd.

3

Zachowuj równo. Jeśli wykonasz jakieś działanie po jednej stronie równania, musisz zrobić to samo po drugiej stronie równania. Dzięki temu równanie pozostaje równoważne.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Istnieją również inne pary działań odwrotnych. Czy potrafisz je wymienić?

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

45

Działania odwrotne

Dziaania odwrotne Wywiad tygodnia:

Kim są działania odwrotne? Head First: Witamy ponownie w programie „Algebra wieczorem”. Dzisiejszym gościem… lub raczej dzisiejszymi gośćmi… są działania odwrotne. Czy wy zawsze podróżujecie parami? Działania odwrotne: No cóż, tak. Nie byłybyśmy działaniami odwrotnymi, gdyby nie było nas obu razem. Jesteśmy po to, by zachować równowagę. Head First: Ach, tak… Zatem dodawanie zawsze występuje w parze z odejmowaniem, mnożeniu zawsze towarzyszy dzielenie… dlaczego tak jest? Działania odwrotne: Przeciwności się przyciągają, a mnożenie jest przeciwieństwem dzielenia. Head First: To samo dotyczy dodawania i odejmowania, prawda? Działania odwrotne: Tak. Jesteśmy przeciwieństwami, ponieważ wzajemnie niwelujemy skutki swojej pracy.

Head First: OK. Myślę, że rozumiem — możesz przenosić liczby z jednej strony równania na drugą. Zatem przydajecie się podczas wyznaczania wartości zmiennej? Działania odwrotne: Oczywiście! To robimy najlepiej. Trochę dodawania tu lub odejmowania tam i można wyizolować prawie każdą zmienną. Head First: Doskonale! Jakieś ostatnie słowo, zanim się rozłączymy. Działania odwrotne: Tylko kilka uwag. Musicie być bardzo ostrożni, aby równanie pozostało w równowadze. Jest jeszcze kilka naszych par, które można spotkać tu i ówdzie, ale one pojawią się później. Head First: Spotkanie z wami było przyjemnością — chętnie porozmawiam z wami następnym razem. Tymczasem życzę wam, aby mnożeniu zawsze towarzyszyło dzielenie, a dodawaniu — odejmowanie.

Head First: Czy mówiąc „niwelujemy skutki swojej pracy”, masz na myśli, że jeśli mamy mnożenie, to w wyniku dzielenia mnożenie znika? Działania odwrotne: Niezupełnie znika — pamiętaj, że naszym zadaniem jest utrzymanie wszystkiego w równowadze. My tylko przenosimy dane! Jeśli masz mnożenie, które musisz przenieść, możesz cofnąć skutki tego mnożenia za pomocą dzielenia — po obu stronach równania.

Działania odwrotne pomagają w wyizolowaniu zmiennej.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Algebra polega na szukaniu niewiadomych.

Q

Niewiadomą określa się terminem zmienna.

Q

Do sformułowania równania zawierającego niewiadome używamy innych informacji z zadania.

Q

Aby znaleźć wartość zmiennej (na przykład x), trzeba ją wyizolować.

46

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Zmienną można izolować za pomocą działań odwrotnych, które pozwalają na przekształcanie równania.

Q

Dodawanie jest działaniem odwrotnym do odejmowania, a mnożenie jest działaniem odwrotnym do dzielenia.

Czym jest algebra?

Zaostrz ołówek Poniżej znajdują się równania, w których po obu stronach są niewiadome i liczby. Użyj operacji odwrotnych w celu wyizolowania zmiennej i rozwiązania równania. Ten symbol y”. oznacza „raz

5

5 : x = 125 : x = 125

Tutaj mamy wartość x pomnożonąe przez 5… jakie będzie prawidłow działanie odwrotne? Pamiętaj, aby wykonać działanie po obu stronach…

x= x - 13 = 29 x - 13 = 29 x=

I gotowe!

x : 6 = 47 - 11 x:6 = x= Taki zapis również oznacza „razy”.

x + 22 = 25 x + 22 = 25

3 (x) = 5 3 (x)

x= Dlaczego mnożenie oznacza się kropką i nawiasami? Czy z symbolem x jest coś nie tak?

Komuś, kto uznał za dobry pomysł wykorzystanie symbolu x do oznaczenia niewiadomej, zapewne nie sprawiało kłopotu odróżnienie tego symbolu od znaku mnożenia u. Jednak wiele osób miało z tym kłopot. Zaprzestali oni używania symbolu u na oznaczenie mnożenia i wymyślili kilka bardziej czytelnych opcji:

=5 x= sów Każdy z tych zapi oznacza mnożenie.

Kropka:

5 : x = 125

5 (x) = 125 Brak jakiegokolwiek 5x = 125 Nawiasy:

symbolu:

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

47

Rozwiąż to

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Nie zapomnij wykonanej pr sprawdzić ac podstaw pod y — wynik i sprawx uzyskany równanie jest dź, czy prawdziwe. 5 x 25 = 125

Poniżej znajdują się równania, w których po obu stronach są niewiadome i liczby. Użyj operacji odwrotnych w celu wyizolowania zmiennej i rozwiązania równania.

5 : x = 125 5 ÷ 5 : x = 125 x=

Sprawdzamy… 42–13 = 29

x - 13 = 29 x - 13 + 13 = 29 x=

3 + 22 = 25

Pamiętaj, aby wykonać działanie po obu stronach…

÷ 5

I gotowe!

25

Tutaj musisz się trzynastki, zatem pozbyć tej z działania odwr korzystając ot 13 do obu stron nego, dodajesz równania.

To było trochę bardziej skomplikowane. Mamy tu –11, ale możemy obliczyć 47–11; nie ma potrzeby, by przenosić tę jedenastkę gdziekolwiek.

x : 6 = 47 - 11 x : 6 ÷ 6 = 36 ÷ 6

+ 13

42

x + 22 = 25 x + 22 - 22 = 25 we… Prawie goto x= 3

x pomnożoną Tutaj mamy wartość prawidłowe przez 5… jakie będzie działanie odwrotne?

Prawdziwym problemem jest szóstka, której możemy się pozbyć, dzieląc obie strony równania przez 6.

x=

6 … To również sprawdzamy 6 x 6 = 47–11 Nowy symbo

- 22

3 (x) = 5 „dzielone przel z”. 3 (x) / 3 = 5 / 3 anie, x = 5/3 lub 1,6667 Sprawdź to dział czy , nić ew up y się ab idłową ułamek ma praw wartość. 5/3 x 3 = 5

Symbole dzielenia również zmieniono… Znak dzielenia, do którego jesteś przyzwyczajony, również został zastąpiony innym. Zamiast niego stosuje się następujące symbole:

48

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

125/x = 5 125 Kreska ułamkowa: x =5 Ukośnik:

To są dwa różne sposoby prezentowania dzielenia.

Czym jest algebra?

: 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

Dopasuj każdy z przykładów działań, które poznałeś w tym rozdziale, do jego nazwy. Uważaj, niektóre nazwy występują dwukrotnie!

Przykad dziaania

Nazwa dziaania

Dziaanie odwrotne do dodawania

Dzielenie

Dziaanie odwrotne do mnoenia

Równanie

7/3

Przekształcanie równania

x

Zmienna

2x = 10 x:3

Odejmowanie

=5

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

49

Kto co robi

: 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

ROZWIĄZANIE

Dopasuj każdy z przykładów działań, które poznałeś w tym rozdziale, do jego nazwy. Uważaj, niektóre nazwy występują dwukrotnie!

Przykad dziaania

Nazwa dziaania

Dziaanie odwrotne do dodawania

Dzielenie

Dziaanie odwrotne do mnoenia

Równanie

7/3

Przekształcanie równania

x

Zmienna

2x = 10 x:3

50

÷ 3

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Odejmowanie

=5

÷ 3

Czym jest algebra?

Julia jest gotowa na zakup akcesoriów! Julia obliczyła, że na rachunku bankowym pozostało jej 86,32 €, które może przeznaczyć na akcesoria. Postanowiła, że kupi sobie więcej gier i nie będzie martwić się na razie mikrofonem ze słuchawkami. Aby dowiedzieć się, na ile gier może sobie pozwolić, Julia wykonała kilka obliczeń algebraicznych:

Julia zamierza kupić kilka gier w promocyjnej cenie.

$199 Słuc h z mik awki rofo Zesta nem w słu .

z mik chaw r ek do g ofonem i ier o nline dealny (HS-A L1-86 7)

spe c cenjalna a

39 € Wiel k zbió i rg

ier. Różn e dla k gry o (HD- nsoli Kille ISH-5 309) rX

spe c cenjalna a

49 €

Kiedy z obliczeń wyszło, że mogę sobie sprawić dwie gry, poszłam je kupić i wtedy okazało się, że muszę zapłacić więcej niż 86,32 €! Musiałam się gdzieś pomylić — myślałam, że mam dość pieniędzy!

Obliczenia Julii 49x = 86,32 49 49x/49 = 86,32/ x = 2,007

, że uważa Julia urat tyle ma ak dzy, ile ry. pienię ba na 2 g potrze

Zaostrz ołówek Rozwiąż problem Julii! Znajdź miejsce, w którym popełniła błąd. .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

51

Zawsze sprawdzaj obliczenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Rozwiąż problem Julii! Znajdź miejsce, w którym popełniła błąd.

49x = 86,32x ..........................................................................................................................................................................................

Julia pomyliła się przy obliczeniach z użyciem

49x/49 = 86,32/49 promocyjnych cen. Czy mogła uniknąć pomyłki? .......................................................................................................................................................................................... x = 1,76

.......................................................................................................................................................................................... W dzieleniu był błąd!

Spradzanie pracy… Sprawdzanie Podczas analizy kolejnych tematów z algebry przekonałeś się, że problemy są coraz bardziej skomplikowane i dość łatwo o błąd. Julia popełniła błąd w dzieleniu i z tego powodu uzyskała błędny wynik! Sprawdzanie pracy nie polega tylko na przejrzeniu tego, co się zrobiło. Oznacza również wykorzystanie specjalnej techniki zwanej podstawianiem.

Podstawianie polega na wykorzystaniu uzyskanego wyniku w wyjściowym równaniu Podstawienie oznacza zastąpienie określonego elementu innym elementem. Podobnie jest w przypadku, kiedy nauczyciel prowadzi zajęcia w zastępstwie nauczyciela zasadniczego. W celu sprawdzenia pracy podstawiasz obliczoną odpowiedź pod zmienną w pierwotnym równaniu. Podstawianie jest procesem, który można wykorzystać nie tylko do sprawdzania pracy, ale także do innych operacji. Kiedy przejdziemy do bardziej złożonych równań oraz równań z więcej niż jedną zmienną, będziemy korzystali z podstawiania podczas rozwiązywania równań.

Sprawdzenie obliczeń Julii 49x = 86,32 49 49x/49 = 86,32/ 2,007 = x

52

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

49x = 86,32 49(2,007) = 86,32? 89,343 = 86,32 Weź odpowiedź Julii i podstaw ją za x w równaniu wyjściowym.

Odpowiedzi się nie zgadzają, zatem Julia popełniła błąd.

Czym jest algebra? Nie istnieją

głupie pytania

P

: Chciałbym zadać pytanie dotyczące sprawdzania własnej pracy…

O

: Należy to robić. To łatwe, dzięki temu dowiesz się, czy uzyskany wynik jest prawidłowy! Naprawdę. Jeśli masz równanie postaci 5+x = 11 i uzyskasz wynik, na przykład x = 2, to kiedy podstawisz 2 do wyjściowego równania, uzyskasz 5+2 = 11, co jest oczywiście błędne. x nie jest równe 2. Po obliczeniu niewiadomej łatwo sprawdzić wykonaną pracę.

P: Kiedy poza tym używa się podstawiania? O: Będziesz się z tym spotykać wielokrotnie — zawsze podczas

sprawdzania obliczeń, ale także wykorzystasz to jako punkt wyjścia do rozwiązywania równań z dwiema niewiadomymi, do tworzenia wykresów, rozwiązywania nierówności… czytaj dalej, wkrótce do tego dojdziemy!

P

: Dlaczego istnieją różne notacje dla mnożenia i dzielenia?

O: Są wygodniejsze i znacznie mniej mylące od tradycyjnych

symboli mnożenia i dzielenia. Kiedy dojdziesz do dalszych rozdziałów, spotkasz się z bardziej skomplikowanymi równaniami. W takich równaniach przedstawienie dzielenia w jednej linii powoduje naprawdę olbrzymią różnicę. To samo dotyczy mnożenia (zwłaszcza z użyciem nawiasów) — czasami wyrażenie wystepujące w nawiasie jest bardzo złożone. Na koniec, mnożenie liczby przez zmienną jest tak częste, że napisanie obu wyrażeń obok siebie okazuje się znacznie mniej mylące niż w przypadku, gdy symbol mnożenia występuje pomiędzy mnożonymi składnikami.

P

: Czy dla dodawania i odejmowania też istnieją inne notacje?

O

: Nie. Symbole dodawania i odejmowania nie zmieniły się. Plus oznacza dodawanie, a minus odejmowanie, ale kto wie…

P

: Jaka jest różnica pomiędzy liczbą ujemną a odejmowaniem liczby dodatniej?

O

: W zasadzie nie ma żadnej. A zatem liczba –4 znaczy to samo, co +(–4).

P

: Wygląda na to, że rozwiązywanie równania obejmuje wiele elementów. Jak mam je zapamiętać?

O

: Rzeczywiście jest ich wiele, ale wkrótce staną się one Twoją drugą naturą. Kiedy przyzwyczaisz się do rozwiązywania równań, będziesz automatycznie używać działań odwrotnych w celu przenoszenia liczb pomiędzy stronami równań oraz upraszczać równania tak długo, aż uzyskasz samą zmienną.

W dalszej części książki prześledzimy dokładnie kolejne kroki. W gruncie rzeczy są one odpowiedziami na pytanie, co powinieneś zrobić, kiedy masz do rozwiązania równanie. Zwykle najczęściej zapominaną czynnością jest sprawdzenie obliczeń. Pamiętaj, by to robić!

P

: Kiedy powinienem wykorzystać nawiasy, kiedy kropkę, a kiedy po prostu zapisać liczbę i zmienną obok siebie?

O

: Nie ma różnicy pomiędzy różnymi notacjami. Najlepsza notacja to taka, która wydaje się nam najwygodniejsza i wygląda najbardziej estetycznie. Jeśli liczbę należy pomnożyć przez kilka wyrażeń, można użyć nawiasów. Powiemy o tym znacznie więcej w rozdziale 2. Jeśli chcesz pomnożyć liczbę przez zmienną, po prostu zapisz je obok siebie. Jeśli chodzi o kropkę… cóż, to tak dla odmiany, jeśli nudzą Cię inne notacje.

W przypadku dzielenia niemal zawsze korzystamy z zapisu z kreską ułamkową. Wyjątek stanowi sytuacja, w której wpisujemy równanie w edytorze tekstu lub e-mailu. Wtedy korzystanie z takiego zapisu sprawia kłopot. W takich przypadkach stosujemy zapis z ukośnikiem.

Podstawianie polega na użyciu uzyskanej wartości w wyjściowym równaniu.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

53

Potrzebuję więcej gier…

Ćwiczenie

Julia udoskonala plan wydatków oszczędności, jakie jej pozostały po zakupie nowej konsoli do gier. Pomóż jej obliczyć szczegóły!

Podczas niezbyt udanych zakupów, kiedy Julia próbowała nabyć akcesoria, musiała odłożyć na półkę zestaw mikrofonowo-słuchawkowy i kupiła tylko grę. Zostało jej więc 33,55 €. Nowa gra ma wersję sieciową, zatem nadszedł czas na zainwestowanie w subskrypcję NA ŻYWO (12 €) oraz zestaw mikrofonowosłuchawkowy (39 €). Ile Julia musi zaoszczędzić, żeby kupić te wszystkie akcesoria?

Pamiętaj, żeby sprawdzić obliczenia…

Subskrypcja NA ŻYWO+zestaw mikrofonowo-słuchawkowy = pieniądze, których Julia .......................................................................................................................................................................................... potrzebuje+saldo oszczędności .......................................................................................................................................................................................... Przekształć równanie .......................................................................................................................................................................................... w cel u znalezienia x.

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... nia! Sprawdź oblicze

..........................................................................................................................................................................................

Julia chce kupić dodatkowy poziom swojej gry w subskrypcji NA ŻYWO. Potrzebuje do tego 720 punktów. Tymczasem 60 punktów kosztuje 1 €. Ile będzie kosztował nowy poziom? 60 punktów (kwota w euro) = całkowity koszt poziomu w punktach ..........................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... wartość .......................................................................................................................................................................................... Podstaw obliczoną o równania. x do wyjścioweg

..........................................................................................................................................................................................

54

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Czym jest algebra?

Jaką kwotę musi zgromadzić Julia? Chciałaby kupić wszystkie akcesoria oraz nowy poziom gry…

Te obliczenia są te… stosunkowo pros

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... a wnani Podstaw do ró o… eg w io śc yj w ..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

Julia doszła do wniosku, że aby zapłacić za zestaw mikrofonowo-słuchawkowy, subskrypcję i dodatkowy poziom, może sprzedać niektóre używane gry, które już się jej znudziły. Może dostać 8 € za grę. Ile gier musi sprzedać, aby zdobyć pieniądze na nowe rzeczy? .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

55

Rozwiąż równania

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Julia udoskonala plan wydatków oszczędności, jakie jej pozostały po zakupie nowej konsoli do gier. Pomóż jej obliczyć szczegóły!

Podczas niezbyt udanych zakupów, kiedy Julia próbowała nabyć akcesoria, musiała odłożyć na półkę zestaw mikrofonowo-słuchawkowy i kupiła tylko grę. Zostało jej więc 33,55 €. Nowa gra ma wersję sieciową, zatem nadszedł czas na zainwestowanie w subskrypcję NA ŻYWO (12 €) oraz zestaw mikrofonowosłuchawkowy (39 €). Ile Julia musi zaoszczędzić, żeby kupić te wszystkie akcesoria?

Pamiętaj, żeby sprawdzić obliczenia…

Subskrypcja NA ŻYWO+zestaw mikrofonowo-słuchawkowy = pieniądze, których Julia potrzebuje+saldo oszczędności

12 + 39 = x + 33,55 51 - 33,55 = x + 33,55 - 33,55 17,45€ = x 12 + 39 = 17,45 + 33,55

Sprawdź obliczenia :)

podstaw Aby sprawdzić wynik, iu 17,45 za x. nan rów ym iow jśc wy w

51 = 51

Julia chce kupić dodatkowy poziom swojej gry w subskrypcji NA ŻYWO. Potrzebuje do tego 720 punktów. Tymczasem 60 punktów kosztuje 1 €. Ile będzie kosztował nowy poziom? 60 punktów (kwota w euro) = całkowity koszt poziomu w punktach

60x = 720

Dzielimy obie strony równania przez 60.

Podstaw obliczoną wartość x do wyjściowego równania.

56

60x = 720 60

60 x = 12

60(12) = 720 720 = 720

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

To jest nowa notacja dzielenia.

Czym jest algebra?

Jaką kwotę musi zgromadzić Julia? Chciałaby kupić wszystkie akcesoria oraz nowy poziom gry… Te obliczenia są stosunkowo proste…

Nowe akcesoria+nowy poziom = całkowita kwota, jakiej potrzebuje Julia

17,45 + 12 = x 29,45 € = x Podstaw do równania wyjściowego…

17,45 + 12 = 29,45 29,45 = 29,45 Teraz znamy łączną kwotę, jakiej potrzebuje Julia.

Julia doszła do wniosku, że aby zapłacić za zestaw mikrofonowo-słuchawkowy, subskrypcję i dodatkowy poziom, może sprzedać niektóre używane gry, które już się jej znudziły. Może dostać 8 € za grę. Ile gier musi sprzedać, aby zdobyć pieniądze na nowe rzeczy? całkowita kwota, jakiej potrzebuje Julia

= liczba gier, jaką musi sprzedać

cena, jaką może otrzymać za jedną grę

29,45 = x 8 3,68125 = x 29,45 = 3,68125 8 3,68125= 3,68125

coś tam jest dokładna, Ta wartość 3 przecinek całkowitą liczbę gier. ać ale Julia może sprzed ci Julia musi sprzedać toś Tak więc w rzeczywis dze na nowe rzeczy! nią 4 gry, aby zdobyć pie

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

57

Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań

Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań Spróbujmy zebrać razem wszystkie umiejętności rozwiązywania równań potrzebne do wyjaśniania praktycznych problemów z wykorzystaniem algebry. 2

Zapisz równanie do rozwizania. Kiedy zrozumiesz, co należy znaleźć, zapisz równanie w postaci algebraicznej. Do oznaczenia niewiadomej użyj litery x (lub dowolnej innej litery).

1

Zrozumienie treci problemu. W treści każdego problemu można znaleźć zarówno wskazówki, jak i niewiadome. Dowiedz się z treści zadania, czego szukasz oraz jakie inne liczby, które tam występują, mogą Ci pomóc w rozwiązaniu. Najpierw sformułuj problem słownie.

7

Sprawd obliczenia! Sprawdź — poprzez podstawienie wyniku do wyjściowego równania w miejsce niewiadomej — czy uzyskany wynik jest prawidłowy.

6

Zapisz równanie w postaci niewiadoma = liczba. Doprowadzenie równania do postaci, w której po jednej stronie występuje sama zmienna, oznacza znalezienie rozwiązania.

x = jakaś wartość

58

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Czym jest algebra?

Podejmij decyzj o tym, w jaki sposób mona wyizolowa zmienn.

3

Użyj działań odwrotnych i wykonaj obliczenia arytmetyczne na liczbach w taki sposób, aby po jednej ze stron równania pozostała sama zmienna.

x

÷

Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie…

4

Jeśli musisz uprościć równanie, używaj tec hni przekształcania równań k .

5

Przekszta równanie. Zastosuj techniki przenoszenia liczb w równaniu — po to, by po jednej stronie równania pozostała sama zmienna. Pamiętaj, że zachowanie równoważności równania wymaga wykonywania takich samych działań po obu stronach.

Przepisz równanie. Uprość równanie poprzez wykonanie obliczeń arytmetycznych powstałych w wyniku przenoszenia elementów pomiędzy stronami i zobacz, czy po jednej ze stron równania pozostała sama zmienna. Jeżeli nie, to zastosuj inną technikę zmierzającą do wyizolowania zmiennej.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

59

Dzięki algebrze Julia zaoszczędziła dzień

Julia ma doskonałą konfigurację Po wycieczce mającej na celu sprzedaż 4 gier i zakup zestawu mikrofonowosłuchawkowego Julia nabyła subskrypcję NA ŻYWO, kupiła nowy poziom gry i jest gotowa do grania. To jest konsola, którą kupić. Ponieważ Julia Julia chciała wszystkie dodatkowe ma już akcesoria, jest gotowa do wypró bowania gry.

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA ! SPECJALNA

a

ln specja cena

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. Jeden dżojstik w zestawie. (KILLX-112)

199 € special value ę Julia kupiła tę konsol … za swoje oszczędności

Następnie kupiła i sprzedała kilka gier, dzięki czemu mogła sobie pozwolić na nowy zestaw słuchawkowo-mikrofonowy i wersję online.

Julia ma zamiar spędzić wiele godzin z nową grą — kiedy się nią nacieszy, z łatwością obliczy, na jaką grę będzie mogła sobie pozwolić następnym razem!

Julia jest gotowa na przyjęcie wyzwania każdego gracza. W każdej chwili.

60

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Czym jest algebra?

Niezbędnik matematyka Rozdzia 1.

otnym do Działaniem odwr ejmowanie… od t jes dodawania

+

–

x

÷ Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie…

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Algebra polega na szukaniu niewiadomych.

Q

Do sformułowania równania zawierającego niewiadome używamy innych informacji z zadania.

Q

Niewiadomą określa się terminem zmienna.

Q

Aby znaleźć rozwiązanie równania, należy wyizolować zmienną.

Q

Zmienną można izolować za pomocą działań odwrotnych, które pozwalają na przekształcanie równań.

Q

Dodawanie jest działaniem odwrotnym do odejmowania, a mnożenie jest działaniem odwrotnym do dzielenia.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

61

62

Rozdział 1.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

2. (Bardziej) skomplikowane równania

Algebra w podróży

Kiedyś bardzo się bałam nieznanego, ale teraz Bogdan może mnie zawieźć wszędzie…

Wyobraź sobie świat, w którym jest więcej niż JEDNA rzecz, której nie wiesz. Tak, to trudne do wyobrażenia… ale istnieją problemy, w których jest więcej niż jedna niewiadoma. Poza tym czasami ta sama niewiadoma występuje wiele razy w tym samym równaniu! Nie ma się jednak czego obawiać… wiesz już przecież, w jaki sposób można przekształcać równania. Jeśli do tej wiedzy dodasz narzędzia, które poznasz w tym rozdziale, będziesz rozwiązywać bardziej skomplikowane problemy zupełnie bez wysiłku.

to jest nowy rozdział  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

63

Śmierć Piżamy

Paweł uwielbia zespół Śmierć Piżamy Paweł jest wielkim fanem punkowego zespołu Śmierć Piżamy. W tym tygodniu zespół rozpoczyna trasę koncertową po Europie od miasta Tromso. Paweł postanowił, że musi tam być. Przygotował swoje oszczędności, ale nie ma pojęcia, ile pieniędzy powinien podjąć z rachunku bankowego.

Czy możesz pomóc Pawłowi? Paweł ma na rachunku bankowym 1330 € i zamierza wydać wszystkie oszczędności. Chce zabrać ze sobą przyjaciół i przepuścić wszystkie pieniądze w ten weekend. Ilu przyjaciół może ze sobą wziąć? Poza tym jest mnóstwo kosztów, które należy uwzględnić: Bilety

mer 1 Paweł — fan nu żamy! Pi zespołu Śmierć

Hotele

Żywność

Paliwo

Zespół Śmierć Piżamy gra na żywo w Tromso…

64

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Koledzy Pawła są zawsze go do podróży. towi

(Bardziej) skomplikowane równania

Zawsze zaczynaj od tego, co wiesz Najlepszym sposobem podejścia do każdego problemu jest określenie tego, co wiemy, oraz tego, czego nie wiemy. Wielką niewiadomą w przypadku tego problemu okazuje się liczba przyjaciół, których Paweł może zabrać ze sobą. Oznaczmy to literą c od słowa „chłopaki”. Wiemy także, że Paweł ma 1330 € na swoim rachunku bankowym. To maksymalna kwota, jaką może wydać podczas podróży.

Liczba kolegów, których zabierze Paweł.

c

Data 01-05

1330 € Pieniądze, które Paweł może wydać.

Rachunek o szczdnoc iowy Pawa Opis Kwota Saldo 1330,00 €

Maksymalna kwota, którą Paweł może wydać, wynosi 1330 € — to jest pierwsza „wiadoma” w naszym równaniu.

Ciągle jest jednak wiele brakujących elementów. Nie możemy tak po prostu porównać tych dwóch rzeczy… to nie miałoby sensu.

c

=

1330 €

Zaostrz ołówek Co jeszcze należałoby uwzględnić w równaniu opisującym całkowity koszt podróży? Czy liczba osób, które Paweł zabierze ze sobą, ma znaczenie? .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

65

Z każdym uczestnikiem są związane koszty

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie takie Zużycie paliwa będzie o, ile teg od ie eżn zal samo, nie odzie. osób pojedzie w samoch

Co jeszcze należałoby uwzględnić w równaniu opisującym całkowity koszt podróży? Czy liczba osób, które Paweł zabierze ze sobą, ma znaczenie? Te trzy elementy zależą od liczby osób biorących udział w wycieczce.

Brakującym elemente m całkowity koszt wycie jest czki.

Na koszty składają się: paliwo, hotel, jedzenie i bilety. Niektóre z tych elementów zależą .......................................................................................................................................................................................... od liczby osób biorących udział w wycieczce, ale nie wszystkie. ..........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

Z każdym uczestnikiem są związane KOSZTY Paweł będzie musiał ponieść koszty paliwa po to, by dotrzeć do Tromso. Co jednak z żywnością? Biletami? Pokojami w hotelu? Te elementy zależą od liczby osób biorących udział w wycieczce (Paweł jest jedną z nich). Zatem najpierw musimy obliczyć koszty stałe, takie jak paliwo, a następnie obliczyć, ile kosztuje udział każdego uczestnika w wycieczce. Tę drugą wartość trzeba pomnożyć przez liczbę osób i dodać do kosztów stałych. Wszystkie wyniki obliczeń muszą być powiązane z kwotą, którą Paweł może wydać na wycieczkę. A zatem otrzymujemy równanie w następującej postaci:

Koszty stałe

+

Koszty stałe to takie, które nie zmieniają się w zależności od liczby osób.

C

Ta zmienna oznacza liczbę chłopaków, którzy mogą wziąć udział w wycieczce, łącznie z Pawłem.

Koszt na jedną osobę

=

Każda dodatkowa osoba biorąca udział w wycieczce to więcej żywności, dodatkowe bilety itp.

Stałe koszty się nie zmienią, ale całkowite koszty w miarę dodawania nowych chłopaków (c) wzrosną. Problem polega na tym, by wyznaczyć, ile kosztuje każda nowa osoba.

66

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

1330 € To jest 1330 €, które Paweł może wydać.

(Bardziej) skomplikowane równania

Magnesiki do obliczania kosztów Teraz, kiedy masz podstawowy obraz równania, uyj magnesików pokazanych poniej w celu wyznaczenia kosztu wycieczki na podstawie liczby chopaków biorcych w niej udzia. Pamitajmy, e niektóre koszty zale od liczby chopaków biorcych udzia w wycieczce, a niektóre nie.

+

)=

( Pawe

jcia Cena wyna lowego e t o h u pokoj

2 Kolega nr

Kolega nr 1

x ywno

+ +

÷

+ Cena biletu x

Liczba kolegów (k)

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

Pawe

Paliwo Kwota, jak zarabia Pawe tygodn iowo (120 €)

Liczba ) ków (c o  ch pa

Kolega nr 3

Cena wynajcia pokoju hotelowego

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

67

Ile to wszystko będzie kosztowało?

Magnesiki do obliczania kosztów. Rozwiązanie Teraz, kiedy masz podstawowy obraz równania, uyj magnesików pokazanych poniej w celu wyznaczenia kosztu wycieczki na podstawie liczby chopaków biorcych w niej udzia. Pamitajmy, e niektóre koszty zale od liczby chopaków biorcych udzia w wycieczce, a niektóre nie. A to jest maksymalna kwota łącznych kosztów — zakładamy, że Paweł chce wydać wszystko do ostatniego centa, dlatego wykorzystaliśmy całą kwotę 1330 €, jaką Paweł miał na koncie.

jscu nie używać w tym mie Należy pamiętać, aby weł+Kolega nr 1+Kolega nr 2…)… (Pa i liczbę osób, wyrażenia postac że z góry zakładamy ponieważ to oznacza, ą. sob ze iąć które Paweł może wz

Paliwo

+

Liczba chopaków (c)

Paliwo jest naszym kos ma znaczenia, czy Paw ztem stałym — nie czy umieści w swoim eł pojedzie sam, osób jedna na drugiej. samochodzie 10 kosztów pozostaje po Zatem ten składnik lewej stronie.

(

ywno

+

Cena biletu

jcia Cena wyna pokoju ÷ o hoteloweg

)=

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

oba potrzebuje ęść — każda os To jest ważna cz i miejsca do spania. Musimy żywności, biletu ty przez liczbę chłopaków. ki. pomnożyć te koszyskamy całkowity koszt wyciecz W ten sposób uz

Dlatego właśnie liczba chłopaków jest nieznana… musimy obliczyć, (c) w jakim stopniu każdy z chłopakó ma wpływ na koszty wycieczki. w

Kolega nr 1 x ÷ 2 Kolega nr

Pawe

68

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Zastąp słowa liczbami Teraz, kiedy mamy ogólne równanie, możemy podstawić liczby. W miejsce ramek zamieszczonych poniżej możesz wstawić odpowiednie liczby…

Większość posiłków typu fast food — powiedzmy 60 € na osobę na całą wycieczkę.

Chłopaki, paliwo kosztuje teraz 1 € za litr. To drogo. Musimy wydać 160 € na paliwo… W porządku — bilety na koncert będą kosztowały po 50 € na osobę.

Tu mam hotel za 100 € za noc. W ciągu wycieczki potrzebujemy 3 noclegów, co daje 300 € za całą wycieczkę.

Zaostrz ołówek y obliczyć Tę wartość musimnaczymy oz iu an wn ró w — ją literą „c”.

Paliwo

+

Liczba ) ków (c chopa

Skorzystaj z liczb reprezentujących poszczególne składniki kosztów, aby stworzyć ostateczne równanie kosztów wycieczki (nie musisz rozwiązywać równania, doprowadź je tylko do postaci, z którą możesz pracować).

(

ywno

+

Cena biletu

+

jcia Cena wyna pokoju o hoteloweg

)=

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

.......................................................................................................................................................................................... zastąpimy Najpierw .......................................................................................................................................................................................... każdą ramkę wartościami jącymi .......................................................................................................................................................................................... występu w konwersacji czonej zamiesz Następnie .......................................................................................................................................................................................... powyżej… uporządkujemy liczby i trochę uprościmy .......................................................................................................................................................................................... równanie.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

69

Jakie równanie?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie awimy bez Tę ramkę pozost wiadomą, nie t zmian. c jes wyznaczyć. którą próbujemy

Paliwo

+

Liczba ) ków (c chopa

Skorzystaj z liczb reprezentujących poszczególne składniki kosztów, aby stworzyć ostateczne równanie kosztów wycieczki (nie musisz rozwiązywać równania, doprowadź je tylko do postaci, z którą możesz pracować).

(

ywno

+

Cena biletu

+

jcia Cena wyna u j o k o p ego w o l e t o h

)=

Pienidze, które Pawe moe wyda (1330 €)

160 € na paliwo, 60 € na żywność, 50 € na bilet i 300 za noclegi w hotelu podczas € wycieczki.

160 + c x (60 + 50 + 300) = 1330 .......................................................................................................................................................................................... Po dodaniu tych sum otrzymaliśmy 410 € Tyle Paweł może . 160 + c x (410) = 1330 osobę. na wydać — 1330 € ..........................................................................................................................................................................................

160 + 410c = 1330 .......................................................................................................................................................................................... Tutaj trochę uporządko równanie — teraz prz waliśmy yję możliwą do rozwiązan ło postać ia…

70

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Obliczamy c… krok po kroku Otrzymaliśmy równanie (160+410c = 1330), które informuje nas o tym, ile osób Paweł może zabrać ze sobą na wycieczkę. W rozdziale 1. przekształcaliśmy równania w celu wyizolowania zmiennej. W tym przypadku zmienną jest c. Aby otrzymać samą zmienną c po jednej stronie równania, możemy wykorzystać działania odwrotne:

160 + 410c = 1330 Musimy po liczby 160 zbyć się z strony rów tej nania…

…i przenieść na tę stronę…

Trzeba też pozbyć się współczynnika 410…

…równanie musi jednak pozostać w równowadze W tym równaniu naszym zadaniem jest wyizolowanie zmiennej (c), aby obliczyć liczbę osób, które mogą pojechać na wycieczkę. Od czego jednak zacząć? Są dwie czynności, które trzeba zrobić, aby uzyskać samą zmienną c: po pierwsze pozbyć się liczby 160, która występuje po lewej stronie i jest dodana do wyrazu 410c. Należy również pozbyć się liczby 410, która jest pomnożona przez c. Niezależnie od tego, co zrobisz, strony równania powinny być sobie równe.

160 + 410c = 1330 Czy najpierw przenosimy liczbę 160?

amy Czy raczej pozbyw 0? się 41

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Równanie wykorzystane do obliczania kosztów jest wieloetapowe. Aby wyznaczyć c, trzeba zająć się zarówno liczbą 160, jak i 410. Którą czynność należy wykonać w pierwszej kolejności? Czy wykonanie tych czynności w innej kolejności spowoduje uzyskanie różnych wyników? Która kolejność jest prawidłowa?

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

71

Postępuj zgodnie z zasadami

Jeśli będziesz postępować według zasad, ZAWSZE uzyskasz prawidłowy wynik Najistotniejszą cechą równań jest to, że obie ich strony są równe. A zatem jeśli chcesz, możesz najpierw przenieść 160 za pomocą odejmowania, ale równie dobrze możesz się najpierw zająć wyrazem 410c. W rzeczywistości pytanie brzmi, które z działań jest łatwiejsze do wykonania w pierwszej kolejności.

Serio… nie ma niczeg w wybieraniu łatwiejszo złego rozwiązywania proble ego sposobu mów w algebrze.

Jeśli spróbujesz pozbyć się najpierw 410, będziesz musiał podzielić obie strony równania przez 410. Ponieważ 410c nie jest jedynym elementem równania po lewej stronie, trzeba będzie podzielić wszystko przez 410 w następujący sposób: Trzeba podzielić wszystko przez 410…

160 + 410c = 1330 410

410

410

i nie Z takimi liczbam wygodnie. pracuje się zbyt

0,3902 + c = 3,2439 - 0,3902 + 0,3902 + c = 3,2439 - 0,3902 c = 2,8537

Teraz odejmujemy 0,03902 od obu stron równania.

Zajęcie się w pierwszej kolejności liczbą 410 było OK, ale w tym przypadku byliśmy zmuszeni pracować z nieprzyjemnymi ułamkami dziesiętnymi. Nie ma w tym niczego złego, jednak bez kalkulatora rozwiązywanie tego rodzaju równania może okazać się trudniejsze, niż musi być. Pomimo to, niezależnie od wykorzystanego sposobu, za każdym razem otrzymujemy takie same wyniki. Czasami wykonywanie operacji w jeden konkretny sposób jest łatwiejsze. Spróbujmy obliczyć c w inny sposób. Tym razem najpierw odejmiemy 160 od obu stron równania.

Kiedy masz do dyspozycji więcej niż jeden sposób rozwiązywania równania, szukaj NAJPROSTSZEGO sposobu pracy z równaniem. 72

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Z liczbami całkowitymi zwykle łatwiej się pracuje Zamiast dzielić wszystko przez 410, co powoduje uzyskanie nieprzyjemnej liczby 160/410, spróbujmy najpierw odjąć 160 od obu stron równania, zrobimy to w następujący sposób:

- 160 + 160 + 410c = 1330 - 160 To samo działanie należy wykonać po obu stronach równania. Zobaczcie! Taka sama odpowiedź.

410c = 1170 410

410

w pierwszej Dzięki zastosowaniu uzyskaliśmy nia wa jmo ode i ośc ejn kol niejsze do god wy są re któ by, licz pracy…

c = 2,8537

…i tylko jedno nieco trudniejsze dzielenie — na samym końcu.

Wykonanie odejmowania w pierwszej kolejności było łatwiejsze, a uzyskany wynik jest taki sam. Drugi sposób okazał się łatwiejszy z dwóch powodów: do końca nie musieliśmy posługiwać się ułamkami dziesiętnymi, a rozwiązanie równania wymagało wykonania mniejszej liczby działań! Nie zawsze można tak łatwo ocenić, jakie działania należy wykonać w pierwszej kolejności. Dobrą wiadomością jest jednak to, że nawet jeśli nie wybierzemy najłatwiejszej strategii, zawsze dojdziemy do prawidłowego wyniku. Wystarczy tylko postępować zgodnie z regułami, a z pewnością uzyska się to samo rozwiązanie, niezależnie od kolejności, w jakiej zostaną wykonane działania.

Zatem w wycieczce Pawła może uczestniczyć 2,8537 osoby. To nie ma sensu… Jak to możliwe, aby Paweł zabrał inną osobę i jeszcze 0,8537 części trzeciej?

Liczba osób nie może być wyrażona ułamkiem. Wydaje się, że uzyskana wartość c nie ma sensu. Jak myślisz, co należy zrobić w tym przypadku?

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

73

Przekształcanie równań Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Co z kolejnością wykonywania działań? Czy nie muszę wykonywać mnożenia i dzielenia przed dodawaniem i odejmowaniem?

: Czy mogą być jeszcze bardziej złożone równania? Co zrobić, jeśli do wykonania jest jeszcze więcej czynności?

O: Jeśli masz kilka działań dodawania, odejmowania, mnożenia

: Równania mogą być rzeczywiście bardzo długie. Do niektórych z nich dojdziemy później. Ogólna idea pozostaje jednak taka sama. Trzeba zdecydować, jaką zmienną powinniśmy wyznaczyć, a następnie tak przekształcić równanie, aby ta zmienna znalazła się sama po jednej stronie.

i dzielenia do wykonania po jednej stronie, wtedy tak, musisz przestrzegać kolejności wykonywania działań. W tym przypadku jednak jest to jedynie przekształcanie równania. Równanie pozostało w równowadze dzięki temu, że z każdą ze stron równania wykonaliśmy dokładnie takie same działania. Kiedy przekształcasz równanie, nie ma znaczenia, jakie działanie wykonasz w pierwszej kolejności, pod warunkiem że zrobisz to po obu stronach równania.

O

Nie ma znaczenia, ile razy skorzystasz z działań odwrotnych, pomnożysz obie strony równania przez liczbę czy też wykonasz dowolne inne operacje. Jeśli będziesz postępować według zasad, zawsze uzyskasz prawidłowy wynik.

P

P: Czy zawsze muszę rozwiązywać równanie dwa razy?

: Kiedy zaczynam rozwiązywać duży, złożony problem, to czy muszę najpierw zapisać go słowami?

O

: Niekoniecznie. To zależy od Ciebie, ale zapisanie problemu słownie jest przydatnym sposobem zorientowania się, na czym problem polega, bez konieczności zajmowania się liczbami.

Skąd mam wiedzieć, jakie działania wykonać w pierwszej kolejności?

: Nie musisz rozwiązywać równania dwa razy. W tym przykładzie zrobiliśmy tak tylko po to, by pokazać, że każdy sposób jest dobry. Jeśli chodzi o to, jakie działanie wykonywać w pierwszej kolejności… cóż, to zależy. Jeżeli masz możliwość wykonania dodawania lub odejmowania w celu przeniesienia wyrazów z lewej na prawą stronę, zazwyczaj są to najprostsze operacje do wykonania w pierwszej kolejności. Będziesz mieć później mniej elementów do wykonania dalszych operacji, takich jak mnożenie lub dzielenie.

ojnie Spok

O

Dzięki zapisaniu problemu na papierze możesz zastanowić się nad nim przez chwilę — pomyśleć, jaki jest jego kontekst.

Na temat kolejności wykonywania działań powiemy znacznie więcej.

Nie przejmuj się, jeśli kolejność wykonywania operacji nadal sprawia Ci pewne kłopoty. W dalszej części książki bardzo często będziemy korzystać z kolejności wykonywania działań. Po zakończeniu lektury będziesz mistrzem w kolejności wykonywania działań.

74

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Łącznie ze mną mogą jechać 2,8 osoby. Hm, Olek, ty studiujesz biologię — czy mogę zabrać 0,8 części jednego z was?

A zatem, z technicznego punktu widzenia, otrzymaliśmy prawidłowe rozwiązanie dla zmiennej c. Wynik 2,8537 nie jest jednak prawidłową odpowiedzią dla tego konkretnego problemu. Ponieważ Paweł nie może zabrać 0,8 osoby, prawidłową odpowiedzią w tym zadaniu są 2 osoby (włącznie z Pawłem). Ponieważ w wycieczce nie mogą wziąć udziału 3 osoby (bo 3 to więcej niż 2,85, a zatem więcej, niż Paweł może sobie pozwolić), trzeba było zaokrąglić wynik do dwóch osób: to znaczy może pojechać Paweł z jednym kolegą. Kiedy rozwiązujesz problem z algebry, część tego procesu polega na rozwiązaniu równania… ale druga część wymaga pamiętania o tym, czego problem dotyczy. Nazywa się to kontekstem problemu. Matematyka nie służy do wykonywania działań na liczbach czy też przekształcania równań, ale do rozwiązywania praktycznych problemów.

Zaczekajcie… Jeśli nie będziemy musieli płacić za pokój hotelowy dla każdego z nas, będzie mogło pojechać więcej osób. Możemy przecież umieścić 2 osoby w jednym pokoju.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Koledzy Pawła mają rację! W naszym równaniu uwzględniliśmy wydatek 300 € na każdą osobę za hotel. Ale przecież można umieścić 2 osoby w jednym pokoju. Jak to uwzględnić? Którą część równania trzeba zmienić? Czy koszt uczestnictwa każdej z osób w dalszym ciągu zależy od liczby wycieczkowiczów?

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

75

Jedna zmienna — wiele wystąpień

Zmienna może wystąpić w równaniu WIĘCEJ NIŻ JEDEN RAZ Pokój hotelowy kosztuje 300 €. Do tej pory mnożyliśmy tę kwotę przez liczbę osób biorących udział w wycieczce.

160 + c x (60 + 50 + 300) = 1330

pozostałych kosztów, Te 300 € dodajemy do przez liczbę osób. my oży mn a następnie we dla każdej z osób A zatem opłaty hotelo . wynoszą po 300 €

Teraz musimy jednak zabrać te 300 € i policzyć oddzielnie. Nie każda osoba musi zapłacić 300 €, ponieważ w jednym pokoju mogą mieszkać 2 osoby. Zatem najpierw oddzielimy opłatę hotelową 300 €.

160 + c x (60 + 50) + 300 = 1330

jest mnożone Teraz 300 € nie … ale to nie jest przez liczbę osób t w dalszym sz prawidłowe… ko any z liczbą osób ciągu jest powiązw wycieczce. biorących udział

Pokój hotelowy kosztuje 300 € na każde 2 osoby. Zatem każdą osobę pokój kosztuje150 €, tak jak w poniższym równaniu:

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330 Ponieważ każda osoba połowę, dzielimy 300 płaci € na 2 i otrzymujemy 150 €.

y tę wartość Następnie mnożym każda osoba ż wa nie po o, przez . 0 € 15 płaci po

Poczekajcie — teraz zmienna c występuje w równaniu dwa razy. Co powinniśmy z nią zrobić? Czy to jest to samo c?

TAK! Jeśli zmienna występuje w równaniu więcej niż jeden raz, zawsze reprezentuje tę samą wartość. Zmienna zastępuje w równaniu liczbę. Zatem za każdym razem, kiedy w równaniu pojawi się zmiennac, musi ona reprezentować tę samą liczbę. Ponieważ c reprezentuje tę samą wartość za każdym razem, gdy występuje w równaniu, możemy połączyć wyrazy zawierające tę zmienną. Na przykład 2c+3c = 5c. Zobaczmy, jak można to wykorzystać do rozwiązania naszego zadania…

76

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek Poniżej znajduje się nowe równanie kosztów wycieczki. Wykorzystaj nowe wartości kosztów do ustalenia liczby osób, które mogą wziąć udział w wycieczce, przy założeniu, że 2 osoby zamieszkają w jednym pokoju. Bądź ostrożny. Rozwiązanie tego równania obejmuje kilka kroków. Prawdopodobnie będzie trzeba połączyć wyrazy ze zmienną c. w To jest równanie kosztó ia w przypadku podzielen zynamy kosztów hotelu. Rozpoc ia. od uproszczenia równan

160 + c

(60 + 50) + 150c = 1330

x .......................................................................................................................................................................................... Najpierw wykonujemy

działania w nawiasach. .......................................................................................................................................................................................... ępnie łączymy wyrazy podobne.

Nast .......................................................................................................................................................................................... Później izolujemy zmienną.

.......................................................................................................................................................................................... Na koniec obliczamy liczbę .......................................................................................................................................................................................... osób, które mogą wziąć udział w wycieczce.

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... Czy taka odpowiedź jest prawidłowa? Ile osób faktycznie może wziąć udział w wycieczce? .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

WYTĘŻ UMYSŁ

W przypadku tego problemu jest pewna komplikacja związana z tym, czy w wycieczce bierze udział parzysta, czy nieparzysta liczba osób. Czy możesz powiedzieć, na czym ona polega?

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

77

Kontekst króluje

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Poniżej znajduje się nowe równanie kosztów wycieczki. Twoim zadaniem było wykorzystanie nowych wartości kosztów do ustalenia liczby osób, które mogą wziąć udział w wycieczce, przy założeniu, że 2 osoby zamieszkają w jednym pokoju. Najpierw pozbywamy się nawiasó poprzez dodanie do siebie liczb w wew

nątrz.

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330 160 + 110c + 150c = 1330 160 + 260c = 1330 -160 + 160 + 260c = 1330 - 160 260c = 1170 260c = 1170 260 260 c = 4,5

Następnie łączymy wyrazy podobne (110+150 = 260)…

Teraz możemy pozbyć się liczby 160 poprzez odjęcie 160 po obu stronach równania. Aby uzyskać samą zmienną c, musimy podzielić obie strony równania przez 260.

odpowiedź! A to jest nasza nowa

Czy taka odpowiedź jest prawidłowa? Ile osób faktycznie może wziąć udział w wycieczce? Obliczona wartość o to 4,5 osoby. Jest to wartość prawidłowa matematycznie, ale co oczywiste, .......................................................................................................................................................................................... Paweł nie może wziąć ze sobą pół osoby. Jednak dzięki umieszczeniu w pokoju dwóch osób teraz .......................................................................................................................................................................................... na wycieczkę mogą pojechać cztery osoby! ..........................................................................................................................................................................................

78

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Wow — teraz znacznie lepiej. A zatem jeśli podwoimy liczbę osób w pokojach, wygląda na to, że będą mogły pojechać cztery osoby. Zanim powiem cokolwiek chłopakom… jak mógłbym sprawdzić, czy ten wynik jest prawidłowy?

Zawsze sprawdzaj obliczenia! Doskonałe pytanie i bardzo prosta odpowiedź. Powinieneś sprawdzić obliczenia. To łatwe. Wystarczy wstawić odpowiedź do równania w miejsce, w którym występuje zmienna, i przekonać się, czy obie strony równania są takie same.

Zaostrz ołówek Sprawdź, czy uzyskałeś prawidłową odpowiedź, poprzez podstawienie wyniku do wyjściowego równania i sprawdzenie, czy obie strony są sobie równe.

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330

Pamiętaj, aby wstawić rzeczywi sty wynik uzyskany w rozwiązaniu: 4,5.

.......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

79

Zawsze sprawdzaj obliczenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Sprawdź, czy uzyskałeś prawidłową odpowiedź, poprzez podstawienie wyniku do wyjściowego równania i sprawdzenie, czy obie strony są sobie równe.

160 + c x (60 + 50) + 150c = 1330 .......................................................................................................................................................................................... Podstaw 4,5 160 + 4,5 (110) + 150(4,5) = 1330 .......................................................................................................................................................................................... w miejsce zm iennej c wsz występuje on ędzie, gdzie a w równaniu. 160 + 495 + 675 = 1330 ..........................................................................................................................................................................................

1330 = 1330 .......................................................................................................................................................................................... ejność Zastosuj właściwą kol obliczeń. dokonania pozostałych

ceniach

ał w celu .......................................................................................................................................................................................... …po przekszt 30 = 1330. wykonywania działań uzyskujemy 13 Doskonale!

..........................................................................................................................................................................................

Sprawdzenie pracy potwierdza wynik Obliczyliśmy zmienną c, podstawiliśmy wynik do równania w celu sprawdzenia i upewniliśmy się, że uzyskana odpowiedź jest prawidłowa. Na koncert zespołu Śmierć Piżamy mogą pojechać cztery osoby — dwa razy tyle, ile mogło pojechać, kiedy każdy miał własny pokój! Załatwiliśmy sprawę żywności, pokoi hotelowych i biletów. Jest tylko jedna rzecz, która może postawić całe przedsięwzięcie na głowie…

Koledzy, czy mogłaby z nami pojechać moja dziewczyna?

80

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Wyraz to fragment równania algebraicznego.

Q

Niezależnie od liczby wyrazów w równaniu, jego rozwiązanie wymaga wyizolowania zmiennej.

Q

Podczas przekształcania równania, łączenia wyrazów podobnych oraz izolowania zmiennej trzeba stosować kolejność wykonywania działań.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego podstawiliśmy 4,5 do równania, skoro powiedzieliśmy, że to 4 było prawidłową odpowiedzią?

O

: Liczbowym rozwiązaniem równania jest 4,5. To jest wartość, która daje prawidłowy liczbowy wynik. Ponieważ jednak Paweł nie może zabrać pół osoby, prawidłową odpowiedzią w tym zadaniu są 4 osoby. Jednak podczas sprawdzania obliczeń trzeba użyć matematycznie poprawnego wyniku — to znaczy 4,5.

P

: Czy trzeba tak często przypominać o konieczności sprawdzania obliczeń?

O: Oczywiście. To bardzo frustrujące,

kiedy przejdziemy przez cały problem i uzyskamy odpowiedź, która jest nieprawidłowa. Można tego uniknąć, jeśli sprawdzimy wykonane obliczenia.

P

: Moje obliczenia wyglądają nieco inaczej niż te pokazane w rozwiązaniu, ale uzyskałem prawidłową odpowiedź. Czy zrobiłem coś źle?

O

: Ależ nie. W algebrze musisz jedynie konsekwentnie postępować według zasad, a dojdziesz do prawidłowego wyniku. Rozwiązania, które zaprezentowaliśmy, pokazują sposób uzyskania odpowiedzi, ale w żadnym razie nie jest to jedyny sposób.

P

: Skąd było wiadomo, że podczas izolowania zmiennej najpierw należy wykonać odejmowanie, a potem dzielenie?

O

: Próbowaliśmy zminimalizować liczbę wyrazów do podzielenia. Jeśli możesz zmniejszyć liczbę wyrazów w równaniu poprzez połączenie wyrazów podobnych, zwykle oznacza to ułatwienie pracy na dalszych etapach. Będzie mniej wyrazów do obliczania. Dzięki odejmowaniu po obu stronach pozbywamy się liczby 160 i musimy podzielić tylko jeden wyraz przez 260.

P: Co się stanie, jeśli pominę wyraz,

który można było połączyć?

O

: Nie ma problemu. Jeśli tylko przekształcasz równanie prawidłowo, stosując reguły, nie uzyskasz błędnego wyniku… ale problem może się niepotrzebnie skomplikować.

P

: Co to za matematyka, jeśli istnieje więcej niż jeden sposób rozwiązania problemu? Czy nie powinno być tak, że jest tylko jedna prawidłowa odpowiedź?

O

: Istnieje ogromna różnica pomiędzy „jedną prawidłową odpowiedzią” a „jednym sposobem dojścia do odpowiedzi”. Charakterystyczną cechą matematyki jest między innymi to, że pomimo istnienia wielu sposobów rozwiązania tego samego problemu zawsze dochodzi się do tej samej (prawidłowej) odpowiedzi.

Na przykład, można obyć się bez mnożenia i wykorzystać wiele operacji dodawania. Użycie mnożenia jest jednak innym sposobem dojścia do tej samej odpowiedzi. Różne problemy wymagają różnych technik, ale na koniec zawsze powinno się dojść do tego samego miejsca.

Jeżeli poczujesz, że podążasz niewłaściwą drogą, nie musisz trzymać się jej do końca. Możesz powrócić do wyjściowego problemu i zacząć jeszcze raz.

Algebra dotyczy poszukiwania niewiadomych, ale również dokonywania inteligentnych wyborów w zakresie sposobów dojścia do rozwiązania. jesteś tutaj 

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

81

Zarządzaj zespołem Śmierć Piżamy

To jest Twoja szansa na to, by spojrzeć na pewne problemy, napisać kilka równań i wykonać działania.

Ćwiczenie Zyski zespołu Śmierć Piżamy Ta trasa koncertowa ma duże znaczenie dla zespołu Śmierć Piżamy. Większość pieniędzy muzycy zdobywają podczas tras koncertowych (branża muzyczna to trudny biznes). Na podstawie umowy firma nagrywająca koncerty zespołu Śmierć Piżamy otrzymuje procent zysku ze wszystkich przychodów, jakie wygenerują podczas trasy. Jaki minimalny procent zysku od firmy nagrywającej powinien dostać zespół, aby zarobić 15 000 € z jednego koncertu?

Przychody w czasie trasy koncertowej 1. rednia sprzeda ywnoci — 17 000 €/wieczór.

Kilka wskazówek: pro cen jest oznaczony za pom t w równaniu dziesiętnego. Dla każ ocą ułamka dego rodzaju przychodu będzie obo wią procent udziału w zys zywał ten sam kach.

2. Pyty CD (sprzedane podczas koncertu) — 10 €/sztuka, 100 sztuk w czasie koncertu. 3. T-shirty — 15 €/sztuka, 800 sprzedanych sztuk podczas koncertu. 4. Bilety — 50 €/sztuka, 4000 miejsc.

82

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Straty zespołu Śmierć Piżamy Jeden z koncertów zespołu Śmierć Piżamy wymknął się nieco spod kontroli i zespół otrzymał karę finansową 3600 €. Za każdy problem została naliczona taka sama kwota (zniszczone wentylatory, barmani, którzy zrezygnowali z pracy, itp.). Zespół chce jednak wiedzieć, ile wynosi kwota kary za każdy incydent. Oblicz, jaka kara została naliczona za każdy z incydentów.

Incydenty podczas koncertu: 1. 4 zniszczone wentylatory sufitowe; 2. 3 zamane gryfy gitarowe; 3. 2 barmanów zrezygnowao z pracy.

.............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

83

Jeden problem, wiele sposobów rozwiązania

To jest Twoja szansa na to, by spojrzeć na pewne problemy, napisać kilka równań i wykonać działania.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Przychody w czasie trasy koncertowej 1. rednia sprzeda ywnoci — 17 000 €/wieczór. 2. Pyty CD (sprzedane podczas koncertu) — 10 €/sztuka, 100 sztuk w czasie koncertu. 3. T-shirty — 15 €/sztuka, 800 sprzedanych sztuk podczas koncertu. 4. Bilety — 50 €/sztuka, 4000 miejsc.

To wszystkie składniki zysków wymienione powyżej.

dzie Całkowity zysk bę temu wi się równał całko ożonemu przychodowi pomn sku. przez procent zy

Zysk z ywnoci = 17 000 • P Zysk z pyt CD = 10 • 100 • P Zysk z T-shirtów = 15 • 800 • P Zysk z biletów = 50 • 4000 • P

Literą „P” oznaczyliśmy procent. Ponieważ wa rto jest taka sama dla każ ść źródła zysku, występuj dego we wszystkich równan e iach.

trzeba Dla płyt CD, T-shirtów i biletów nie obliczyć przychód poprzez pomnoże . cenę liczby sprzedanych sztuk przez

Cakowity zysk = Zysk z ywnoci+Zysk z pyt CD+Zysk z T-shirtów+Zysk z biletów W treści zadania powiedziano, że zespół chce zarobić 15 000 €.

15, 000 = 17, 000P + 1, 000P + 12, 000P + 200, 000P 15, 000 = 17, 000P + 1, 000P + 12, 000P + 200, 000P 1000

1000

1000

1000

15 = 17P + 1P + 12P + 200P 15 = 230P 15 = 230P 230

230

15 =P 230 0.0652 =P , , 6.52% =P 84

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Izolujemy zmienną poprzez podzielenie przez 230.

Zamieniamy na ułamek dziesiętny, a następnie na procent.

1000

Wszystkie te wyrazy dotyczą „P”, są to e. zatem wyrazy podobn

e

i kojn o p S

Tutaj dzielimy obie strony równania przez 1000. Dlaczego? Ponieważ dzięki temu upraszczamy problem, a poza tym taka a operacja jest dozwolon — trzeba jedynie podzielić wszystkie wyrazy po obu stronach równania.

obów Istnieje kilka spos oblemu. pr o teg a rozwiązani

ich przez 1000 wszystk Nie musisz dzielić w zó ra wać wszystkich wy wyrazów lub doda winien on żnie od sposobu po podobnych. Niezale edzi. wi po takiej samej od doprowadzić Cię do

(Bardziej) skomplikowane równania

Straty zespołu Śmierć Piżamy Jeden z koncertów zespołu Śmierć Piżamy wymknął się nieco spod kontroli i zespół otrzymał karę finansową 3600 €. Za każdy problem została naliczona taka sama kwota (zniszczone wentylatory, barmani, którzy zrezygnowali z pracy, itp.). Zespół chce jednak wiedzieć, ile wynosi kwota kary za każdy incydent. Oblicz, jaka kara została naliczona za każdy z incydentów. Incydenty podczas koncertu: 1. 4 zniszczone wentylatory sufitowe; 2. 3 zamane gryfy gitarowe; 3. 2 barmanów zrezygnowao z pracy.

4 zniszczone wentylatory sufitowe

ry 3 gita

daje w sum karę 3600 ie €

2 barmanów

4x + 3x + 2x = 3600 Ponieważ kara wy 9x = 3600 dla każdego incyd nosi tyle samo wykorzystać jednąentu, możemy zmienną: x. 9x = 3600 9

…następnie dzielimy obie strony równania przez 9…

t ta sama, Ponieważ zmienna jes y podobne. możemy połączyć wyraz Otrzymujemy 9x…

9

x = 400

wynik 400 € …i uzyskujemy to dużo. ej, Oj za incydent.

Sprawdzamy obliczenia poprzez podstawienie wyniku do równania wyjściowego…

4 (400) + 3 (400) + 2 (400) = 3600 1600 + 1200 + 800 = 3600 3600 = 3600

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

85

Równania z wieloma zmiennymi

Co to za wycieczka bez dziewcząt? Obliczyliśmy, ile osób pojedzie na wycieczkę, co jednak z dziewczynami? Paweł nie ma więcej pieniędzy, zatem jeśli miałyby jechać dziewczyny, nie będzie mógł zabrać tylu kolegów. Poza tym koszt uczestnictwa dziewcząt w wycieczce może być inny niż chłopaków… Jest kilka elementów, które trzeba zmienić w równaniu, aby uwzględnić uczestnictwo dziewcząt:

Ja też chcę jechać! Nie podoba mi się zbytnio, abym była jedyną dziewczyną. Chciałabym, aby pojechała ze mną jakaś koleżanka.

x dziewczyny nie chcą mieszkać w pokoju wspólnie z chłopakami — muszą mieć własne pokoje w hotelu; x dziewczyny potrzebują tylko 30 € na jedzenie. Problem polega na tym, że w naszym bieżącym równaniu pomnożyliśmy liczbę osób, które mają jechać na wycieczkę, przez koszty ich uczestnictwa.

ków Liczba chłopa ał zi d u biorących ) w wycieczce (c

Koszty stałe

Koszt uczestnictwa = chłopaka

1330 €

liczbę chłopaków przez W tym równaniu pomnożyliśmy wycieczce… teraz jednak w paka chło ctwa koszt uczestni koszt uczestnictwa ych któr dla ta, zabieramy dziewczę zmiany… ne pew zić wad jest inny. Trzeba wpro

To jest dziewczyna Pawła — Ania.

Potrzebujemy dodatkowej zmiennej Ponieważ z uczestnictwem dziewczyny w wycieczce wiąże się inna wartość kosztu, musimy potraktować je inaczej w naszym równaniu. Trzeba wprowadzić nową zmienną. Oznaczmy ją literą d (od słowa „dziewczęta”). Teraz nasze równanie wygląda następująco:

Koszty stałe

+

c

Liczba chłopaków, którzy wezmą udział w wycieczce.

86

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Koszt uczestnictwa + chłopaka

d

Liczba dziewczyn, które wezmą udział w wycieczce.

Koszt uczestnictwa dziewczyny w wycieczce

=

1330 €

Pieniądze, które Paweł może wydać.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek

€ 60 € na jedzenie, 50 legi na bilet i 300 € za noc czki. w hotelu podczas wycie

Koszty stałe

+

c

Liczba chłopaków, którzy wezmą udział w wycieczce.

Użyj informacji na temat kosztów uczestnictwa w wycieczce chłopaków i dziewcząt oraz zapisz nowe równanie, by ustalić liczbę osób, które mogą pojechać.

30 € na jedzenie, 50 € na bilet i 300 € za noclegi w hotelu podc wycieczki… ale bez mieszkania zas w pokoju z chłopakami.

Koszt uczestnictwa + chłopaka

d

Liczba dziewczyn, które wezmą udział w wycieczce.

Koszt uczestnictwa dziewczyny w wycieczce

=

1330 €

Pieniądze, które Paweł może wydać.

.............................................................................................................................................................................................. Nie wolno zapominać, że dwóch

chłopaków może mieszkać w jedn .............................................................................................................................................................................................. ym pokoju. W przypadku dziewczyn mogłoby być tak samo.

.............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................. h Uważaj podczas łączenia zmiennyc zy ze zmienną wyra że j, ięta pam — .............................................................................................................................................................................................. c można łączyć tylko z innymi mi wyrazami z c, a wyrazy z d z inny d. z i wyrazam ..............................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

87

Dziewczyny już są

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Użyj informacji na temat kosztów uczestnictwa w wycieczce chłopaków i dziewcząt oraz zapisz nowe równanie, by ustalić liczbę osób, które mogą pojechać.

waliśmy. Mają Tych wyrazów już uży nie, jak we cze zna o one takie sam tego rozdziału. wcześniejszej części

Koszty stałe

+

c

Liczba chłopaków, którzy wezmą udział w wycieczce.

Dla dziewcząt przyjmujemy takie same rodzaje kosztów. Są tylko nieco inne wartości.

Koszt uczestnictwa + chłopaka

Koszt uczestnictwa dziewczyny w wycieczce

d

Liczba dziewczyn, które wezmą udział w wycieczce.

=

1330 €

Pieniądze, które Paweł może wydać.

.............................................................................................................................................................................................. Paliwo + c (jedzenie + cena biletu) + c (hotel/2) + d (jedzenie + bilet) + d (hotel/2) = 1330 € .............................................................................................................................................................................................. Jedzenie kosztuje 30 €

tyle samo dla chłopaków, ale dziewczyny nie mogą mieszkać z chłopakami!

Bilety kosztują tyle Pokoje hotelowe kosztują za każdą dziewczynę. .............................................................................................................................................................................................. samo dla chłopaków, dziewcząt, co dla co dla dziewcząt.

.............................................................................................................................................................................................. nio Równanie w rzeczywistości zbyt bne niło — koszty są podo zmie nie się .............................................................................................................................................................................................. — d. i występuje dodatkowa zmienna

160 + c

(60 + 50) + 150c + d

(30 + 50) + 150d = 1330

x x .............................................................................................................................................................................................. 160 + 110c + 150c + 80d + 150d = 1330 ..............................................................................................................................................................................................

Przenieś nych liczby na wszystkie Podczas łączenia zmien zmienną 160 + 260c + 230d = 1330 stronę. jedną ze .............................................................................................................................................................................................. pamiętaj, że wyrazy z innymi c można łączyć tylko y z d wyrazami z c, a wyraz d. -160 + 160 + 260c + 230d = 1330 - 160 .............................................................................................................................................................................................. z innymi wyrazami z

260c + 230d = 1170

..............................................................................................................................................................................................

88

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(Bardziej) skomplikowane równania

Co teraz robimy? Mamy w równaniu dwie zmienne: c i d!

Dwie zmienne wydają się być problemem, ale jest to coś, z czym można sobie poradzić. Pomyśl o tym, w jaki sposób pracowaliśmy z jedną zmienną. Tworzyłeś równanie po to, by powiedzieć, jakie są relacje pomiędzy obiektami, w kontekście zmiennej. Zatem kiedy omawialiśmy udział w wycieczce tylko chłopaków, rozpatrywaliśmy koszty wycieczki w kontekście liczby chłopaków biorących udział w wycieczce — to znaczy zmiennej c. Nawet indywidualne części kosztów wycieczki były przedstawiane w ten sposób — na przykład tak obliczyliśmy koszty hotelu:

wydadzą Ile chłopaki hotele… na y dz ię pien

Ceny hoteli z bliska

Koszty hoteli =

150c

chłopaków …w kontekście

Koszty hoteli są przedstawione w kontekście chłopaków. Bazowa cena zakwaterowania w hotelu wynosi 150 €. Dla każdego chłopaka biorącego udział w wycieczce koszt hotelu zwiększa się o cenę bazową.

Hm, jak to się ma do łączenia wyrazów podobnych, tak jak robiliśmy wcześniej ze zmiennymi c i d?

Doskonałe pytanie. Aby to wyjaśnić, musimy powiedzieć nieco więcej na temat tego, czym dokładnie jest wyraz…

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

89

Wyrazy to algebraiczne cząstki

Wyraz to fragment równania algebraicznego Istotne znaczenie ma rozróżnienie pomiędzy zmienną a wyrazem. Zmienna to litera używana w celu podstawienia za liczbę, która jest nieznana: c oznacza chłopaków, d — dziewczęta itd. Z kolei wyraz to fragment równania. A zatem w równaniu 6c+10c = 32 jest tylko jedna zmienna — c, ale za to trzy wyrazy: 6c, 10c i 32. Kiedy mówimy o łączeniu wyrazów podobnych, mamy na myśli wybranie wyrazów z tą samą zmienną i wykonanie z nimi działań: 6c plus 10c równa się 16c. W jaki sposób jednak wyznaczyć liczbę wyrazów znajdujących się w równaniu? Wyrazy są scalane przez operacje mnożenia (lub dzielenia). A zatem 60b to wyraz, natomiast 60+b to dwa wyrazy. Czym więc jest 3(x+2)? Cóż, to po prostu jeden wyraz. Wszystko jest ze sobą połączone, ponieważ zawartość nawiasu została pomnożona przez 3.

Kontekst zmiennej — sekret wielu zmiennych w równaniu W algebrze bardzo wiele wyrażeń zawiera wiele zmiennych. Najczęściej w równaniach z wieloma zmiennymi występują niewiadome x i y, choć w naszym równaniu mamy zmienne c i d. Fraza „w kontekście zmiennej” nabiera znaczenia dopiero wtedy, gdy zaczynamy mówić o równaniach z wieloma niewiadomymi. Jeśli masz do rozwiązania równanie z dwiema niewiadomymi: Znacznie łatwiej się z nimi pracuje, jeśli można wyznaczyć jedną zmienną „w kontekście” drugiej. Dzięki temu można zastosować podstawienie. Równanie z dwiema niewiadomymi tworzy relację proporcjonalności pomiędzy dwiema zmiennymi. Pojedynczego równania z dwiema niewiadomymi nie można rozwiązać bez znajomości dodatkowych relacji.

Podsumowanie Wyraz — fragment wyrażenia algebraicznego połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

90

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

o To jest klucz do naszeg problemu chłopaki – dziewczyny, powrócimy do niego za chwilę.

(Bardziej) skomplikowane równania

:

?

CO MAM ZROBIĆ?

7

7

Dopasuj każde z równań do opisu wyjaśniającego, która zmienna jest wyrażona w kontekście innej zmiennej. Niektóre równania mają dwie prawidłowe odpowiedzi, a niektóre opisy zostaną wykorzystane dwukrotnie!

T = 15d - 45 + 2 2

h - e = a + 12 - 5 e Q=

x-4 11

^ h f-r= r-6 8

2

h - 5 = 4 + 12 - 5 e

Równanie można uprościć tak, by wyrazić zmienną f w kontekście zmiennej r

Zmienna Q w kontekście zmiennej x

Zmienna h w kontekście zmiennej e

Jedna zmienna nie jest wyizolowana (jeszcze)

Zmienna T w kontekście zmiennej d

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

91

W kontekście…

:

?

CO MAM ZROBIĆ?

7

h - e = a + 12 - 5 e

Zmienna Q w kontekście zmiennej x

x-4 11

^ h f-r= r-6 8

ROZWIĄZANIE

Równanie można uprościć tak, by wyrazić zmienną f w kontekście zmiennej r

T = 15d - 45 + 2 2

Q=

7

Zmienna h w kontekście zmiennej e

2

Jedna zmienna nie jest wyizolowana (jeszcze)

h - 5 = 4 + 12 - 5 e

Zmienna T w kontekście zmiennej d

CELNE SPOSTRZEŻENIA

92

Q

Pamiętaj, że podczas rozwiązywania problemu często kluczową sprawą jest wyrażenie zmiennej „w kontekście” innej zmiennej.

Q

Dla ułatwienia rozbijaj skomplikowany problem na mniejsze części.

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Zanim zrobisz cokolwiek innego, postaraj się dobrze zrozumieć problem.

Q

Jeżeli w treści problemu są stałe, możesz użyć ich wartości liczbowej lub, jeśli tak jest łatwiej, wykorzystać litery i podstawić je w miejsce stałych.

(Bardziej) skomplikowane równania

Myślę, że powinno być tyle samo dziewczyn, co chłopaków.

Jaka jest relacja pomiędzy liczbą chłopaków a dziewczyn? Aby rozwiązać problem Pawła — z tym, co wiemy na temat wielu zmiennych w równaniach — musimy znaleźć nową relację pomiędzy liczbą chłopaków a liczbą dziewcząt (c i d). Dla uproszczenia przyjmijmy, że na wycieczkę powinno pojechać tyle samo chłopaków, co dziewczyn. To jest nasza nowa relacja! Jeśli powiemy, że w wycieczce może wziąć udział ta sama liczba chłopaków, co dziewczyn, to możemy zapisać relację c = d. Po przyjęciu takiego założenia możemy podstawić c wszędzie tam, gdzie w równaniu występuje d (ponieważ są sobie równe). Nagle równanie staje się o wiele prostsze do rozwiązania…

Zaostrz ołówek Dokończ równanie kosztów wycieczki i oblicz c. Następnie oblicz d. y podstawić c Ponieważ c = d, możem stępuje d. wy wszędzie tam, gdzie

260c + 230d = 1170 .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... wykonaj z dokładnością

Dzielenie .......................................................................................................................................................................................... do jednego miejsca po przecinku (przecież nie możemy zabrać

.......................................................................................................................................................................................... na wycieczkę mniej niż jednej osoby, prawda?).

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

93

Jaki jest kontekst?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było dokończenie równania kosztów wycieczki i obliczenie c. Następnie trzeba było obliczyć d.

260c + 230d = 1170 .......................................................................................................................................................................................... wyrazy podobne.

490c = 1170 Połącz .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................... 490c = 1170

490 490 .......................................................................................................................................................................................... c = 2,3 oraz d = 2,3 .......................................................................................................................................................................................... Pokazujemy tylko jedno miejsce po przecinku, ale pełna odpowiedź to 2,387755102…

Tymczasem wracamy do nowej relacji c = d, jednocześnie wiemy, że d = 2,3. To ma sens, ponieważ suma c+d wynosi 4,6. Tak jak w przypadku, gdy braliśmy pod uwagę tylko chłopaków.

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Dlaczego zapisaliśmy tylko fragment części dziesiętnej, a nie całą liczbę?

: Czy możemy tak po prostu powiedzieć, że c = d?

O: Ponieważ w przypadku tego

: Oczywiście, ponieważ to jest nasza druga relacja (równanie), które stworzyliśmy dla tego problemu. Relacja ta była częścią treści problemu. Wykorzystaliśmy ją do rozwiązania naszego wyjściowego równania. Wiedza o tym, że c = d oznacza, że można podstawić c w miejsce d w wyjściowym równaniu i dalej rozwiązywać równanie tylko z jedną zmienną.

problemu możemy zabrać na wycieczkę tylko całkowitą liczbę osób. Moglibyśmy zaokrąglić wynik do najbliższej liczby całkowitej i pokazać tylko dwa miejsca dziesiętne, ale w celu uniknięcia zamieszania wykorzystaliśmy tylko jedno miejsce po przecinku. Należy zawsze pamiętać o tym, jaki jest kontekst problemu. Z matematycznych obliczeń można uzyskać wynik 2,387755102 osoby. Kto jednak chciałby być tą częścią 0,387755102?

94

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

O

P

: Czy w rozwiązaniu problemu zawsze trzeba podawać liczbę? Czy problem może się zakończyć inaczej? Co zrobić, jeśli możliwe okazuje się jedynie sformułowanie równania w kontekście dwóch zmiennych?

O

: W przypadku niektórych problemów może to być wszystko, co jest potrzebne. Inna sprawa, że należy myśleć o całym problemie, a nie tylko o równaniu. W niektórych przypadkach celem mogą być proporcje dwóch zmiennych, a nie odpowiedź liczbowa.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek Pamiętaj, aby za właściwą kolejno stosować ść wykonywania dział ań.

Uprość poniższe wyrażenia matematyczne, łącząc wyrazy podobne. Pamiętaj, że wyraz jest połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

2x 2x^ y - 1h + 4 - 2

6 + 5x - 10y + 2y - 2x + 3y - 4

12 - 3xy + 4y^ x - 2h - 3 x ^ 9 : 3h

x

1 1 xy - 4 2 + 2 - 4 x - 0.75 , x - 2y

Ten przykład zaczęliśmy za Ciebie.

(9 x 3) xy - 42 + 1 - 1 x - 3 x - 2y 2 4 4 x

3^ 3b - g h + 3 2 -

16

^ 10 - 2h

+ g - 10

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

95

Muzyczne dylematy

Musimy zabrać się do roboty. Mam dość pieniędzy, aby pojechały cztery osoby. Ja, Olek, Ania i jej najlepsza przyjaciółka!

Wycieczka! Wystarczyło trochę algebry, aby obliczyć, ilu z nas może jechać i ile to wszystko będzie kosztowało. Robi wrażenie. Pozostała jeszcze jedna rzecz do rozwiązania…

Niestety, to jest proble którego nie jest w sta m, rozwiązać nawet najlepnie sza książka z algebry…

70 30d = 11 260c + 2 70 490c = 11 Połącz wyrazy 70 podobne. 490c = 11 90 4 490 2,3 oraz d = c = 2,3 = d, i c150g lacj+ wej+re50) 160 +y g (60 = doxno acam Tymczasem wrwiemy, że d = 2,3. To ma 160 jednocześnie aż … + 110g + 150c = 1330 sens, poniew

160 + 260c = 1330

-160 + 160 + 260c = 1330 - 160 260c = 1170 260c = 1170 260 260 c = 4,5

96

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Musimy uzgodnić, jakiej muzyki będziemy słuchać. Świetny jest nowy utwór Fergie… naprawdę fajny.

się Najpierw pozbywamy anie nawiasów poprzez dod rz. do siebie liczb wewnąt

Następnie łączymy wyrazy podobne (110+150 = 260)… się liczby Teraz możemy pozbyć po obu 160 poprzez odjęcie 160 stronach równania. enną c, Aby uzyskać samą zmi strony musimy podzielić obie równania przez 260.

(Bardziej) skomplikowane równania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Uprość poniższe wyrażenia matematyczne, łącząc wyrazy podobne. Pamiętaj, że wyraz jest połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

6 + 5x - 10y + 2y - 2x + 3y - 4 2 + 3x - 8y + 3y

Zapisanie problemu pomaga śledzić wyrazy podobne.

Mnożenie z wykorzystaniem własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

2 + 3x - 5y

i dzielenie

2xy - 2x + 4 - x 2xy - 3x + 4

12 - 3xy + 4y^ x - 2h - 3 x -3xy + 4y(x-2) - 4x

2x 2x^ y - 1h + 4 - 2 2xy - 2x + 4 - 2x 2

Uproszczenie ułamka.

-3xy + 4yx - 8y - 4x

Własność przemienności.

-3xy + 4xy - 8y - 4x xy - 8y - 4x

^ 9 : 3h

x

obny ze Nie jest to wyraz pod zawiera zmienną x, ponieważ . dodatkową zmienną (y)

1 1 xy - 4 2 + 2 - 4 x - 0.75 , x - 2y

Przekształcanie na ułamek

(9 x 3) xy - 2 + 1 - 1 x - 3 x -2y 4 x 4 2 4 działania w nawiasach

(27) 3 1 1 2 x xy - 4 + 2 - 4 x - 4 x -2y

3^ 3b - g h + 3 2 -

16 + g - 10 ^ 10 - 2h

działania w nawiasach

3(3b - g) + 32 - 16 + g - 10 8 potęgowanie

3(3b - g) + 9 - 16 + g - 10 8 mnożenie

2

9b - 3g + 9 - 16 + g - 10 8 9b - 2g - 3

potęgowanie

27 3 1 1 x xy - 16 + 2 - 4 x - 4 x -2y dzielenie

3 27y - 16 + 1 - 1 x - 4 x -2y 4 2 25y - 16 + 1 - 1x 2 25y - 15 1 - 1x 2

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

97

Niezbędnik algebraika

Rozdzia 2.

Niezbędnik algebraika Ten rozdział dotyczył rozwiązywania bardziej złożonych równań algebraicznych.

CELNE SPOSTRZEŻENIA

98

Q

Niezależnie od liczby wyrazów w równaniu jego rozwiązanie wymaga wyizolowania zmiennej.

Q

Kolejność wykonywania działań determinuje porządek wykonywanych operacji.

Q

Znalezienie rozwiązania wymaga występowania po jednej relacji dla każdej zmiennej występującej w równaniu.

Q

Podczas łączenia fragmentów równania należy upewnić się, że mamy do czynienia z tymi samymi wyrazami.

Rozdział 2.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Jeżeli w treści problemu są stałe, możesz użyć ich wartości liczbowej lub, jeśli tak jest łatwiej, wykorzystać litery i podstawić je w miejsce stałych.

Q

Wyraz to fragment równania połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia.

3. Reguy operacji z liczbami

Postępuj zgodnie z regułami Mama mówi, że jeśli najpierw nie będę wykonywał mnożenia, to zabierze mi mój zdalnie sterowany helikopter napędzany na benzynę. Porażka…

Czasami po prostu musisz postępować zgodnie z niewygodnymi regułami. Przychodzi taki czas w życiu każdego człowieka, kiedy mama i tata przestają decydować o jego losie. Nikt już nie sprząta Twojego pokoju ani nie zabiera Ci telefonu komórkowego do czasu, kiedy odrobisz lekcje. Jeśli jednak chodzi o algebrę, reguły to dobra rzecz. Reguły chronią Cię przed otrzymywaniem nieprawidłowych odpowiedzi. Często się zdarza, że reguły pomagają znaleźć niewiadomą bez większego nakładu dodatkowej pracy. Na czas lektury tego rozdziału odłóż na bok swój kapelusik z balu maskowego. Znajdziesz tu kilka przydatnych zasad, które pozwolą Ci osiągnąć doskonałe wyniki.

to jest nowy rozdział  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

99

Bądź sędzią

Liczyć czy nie liczyć Powstał nowy teleturniej, którym wszyscy się fascynują — Liczyć czy nie liczyć. W tym nowym hicie o najwyższej oglądalności dwóch konkurentów staje ze sobą w szranki i rozwiązuje problemy matematyczne. Uczestników quizu łatwo znaleźć, ale program Liczyć czy nie liczyć potrzebuje pomocy. W programie nie ma sędziów, którzy oceniliby, czy konkurenci prawidłowo rozwiązali zadane problemy. W tej roli wystąpisz Ty… Zostałeś wyznaczony jako sędzia w programie, który zostanie wyemitowany w tym tygodniu. Powodzenia… lega asz, na czym po Jeśli nie pamięt gnij do dodatku… się , potęgowanie

Problem numer 1:

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

11 ½

117 10

Oboje już podali swoje odpowiedzi. Kto ma rację?

To jest Jacek.

To jest Kasi a.

100

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reguły operacji z liczbami

BĄDŹ sędzią Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

ściowe. Wyrażenie wyj 2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

Oto jak Kasia doszła do wyniku.

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

5 2 + ] 6 g + ] 3 g2 - 5 - b 10 l

+ 3m 4 + 4 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

2 + ^6h + ^3h2 - 5 - c 21 m

+ 3m 8 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m

+ 3m 14 - 3 2 - 5 - c 210

8 + 9 - 5 - c 21 m

+ 3m 11 2 - 5 - c 210 +3 l 121 - 5 - b 210

11 1 2 czące Zrób notatki dotykażdy sposobu, w jaki związał z konkurentów ro ażyłeś uw problem. Czy za jakieś błędy?

Kto ma rację?

(zakreśl właściwe imię)

Oto jak J a rozwiązał cek zadanie.

Kasia

+ 3m 116 - c 210

Jacek

114 + 3 10

=

117 10

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

101

Kto wygrał tę rundę?

BĄDŹ sędzią. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

ściowe. Wyrażenie wyj 2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

2 + 2 = 4

Kasia najpierw wykonała działania w nawiasach…

+ 3m 4 + 4 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

5 2 + ] 6 g + ] 3 g2 - 5 - b 10 l 2 + ^ h + ^3h2 - 5 - c 1 m

6

następnie uprościła ułamki

Jacek wykonywał działania od lewej do prawej.

+ 3m 8 + ^6 - 3h2 - 5 - c 210

2

do kwadratu uprościła wyrażenie podniesione

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m dodała 2 + 6

8 + 9 - 5 - c 21 m dodała i odjęła to, co pozostało

+ 3m 14 - 3 2 - 5 - c 210

Kasia postanowiła najpierw wykonać działania w grupach, następnie wykonać dodawanie i odejmowanie…

Ponieważ 14–3 = 11, zatem tę liczbę podniósł do kwadratu

…Jacek rozwiązywał cały problem od lewej do prawej.

11 1 2

+ 3m 11 2 - 5 - c 210

+3 l 121 - 5 - b 210 + 3m 116 - c 210 116–2

Kto ma rację? 102

(zakreśl właściwe imię)

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kasia

Jacek Zastanawiasz się Czytaj dalej, aby dlaczego? dowiedzieć się więcej…

114 + 3 10

=

117 10

dodał do siebie to, co pozostało

Reguły operacji z liczbami Dlaczego to Kasia ma rację? Kto tak powiedział? Odpowiedź Jacka też ma sens. Kasia ma rację, ponieważ jej odpowiedź jest zgodna z regułami działań na liczbach. Kasia rozwiązała swoje równanie prawidłowo, ponieważ zastosowała kolejność wykonywania działań. Dlatego właśnie uzyskany przez nią wynik jest prawidłowy. Stosowanie się do obowiązującej kolejności wykonywania działań jest regułą obowiązującą podczas wykonywania działań na liczbach.

Jeśli nie zastosujesz się do reguł, nic nie będzie działało tak, jak powinno.

Jacek NIE przestrzegał reguł, dlatego otrzymał błędny wynik. Jacek rozwiązywał problem od lewej do prawej. Wydaje się to dość logiczne, ale ponieważ na taki sposób rozwiązywania problemów nie zgodziły się pozostałe osoby używające algebry, dlatego Jacek nie otrzyma prawidłowego wyniku.

Dziwna postaća przypominając . o zagrożeniach

Równania i wyrażenia pisze się po to, by określić kolejność działań. Kolejność ta musi być taka sama dla każdego, kto korzysta z wyrażenia. Inaczej nie będzie możliwe uzyskanie prawidłowych odpowiedzi. Witaj, matematyczny chaosie! Aby rozwiązywać problemy, należy nauczyć się i stosować kolejność wykonywania działań. Właśnie to spróbujemy zrobić za chwilę. Dzięki istnieniu zasad porządku wykonywania działań możesz mieć pewność, że zarówno Ty, jak i uczestnicy teleturnieju Liczyć czy nie liczyć postępujecie zgodnie z regułami.

Kolejność wykonywania działań to jeden ze sposobów, dzięki któremu wszystkie osoby rozwiązujące ten sam problem uzyskują taki sam wynik. Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

jesteś tutaj  103

Algebra ma swój porządek

Obowiązuje kolejność wykonywania działań Porządek operacji z liczbami, które należy wykonywać w wyrażeniu matematycznym, nazywa się kolejnością wykonywania działań. Jeśli będziesz postępować według zasad, zawsze uzyskasz taki sam wynik, jak inne osoby rozwiązujące problem. Oto obowiązująca kolejność:

Kolejność wykonywania działań Najpierw wykonuje się…

^h

Nawiasy

Należy obliczyć i uprościć wszystkie wyrazy i zapisać je w prostszej postaci.

Wszystko, co znajduje się wewnątrz.

Nawiasy obejmują wszystkie wyrazy pogrupowane w wyrażeniu. e To jest wyjściow równanie Kasi i Jacka.

2 2 + ^2 + 4h + ^6 - 3h - 5 - c 2 + 3 m 10

Ponieważ są to wyrażenia w nawiasach, w pierwszym kroku je uprościmy.

eży

Następnie nal wykonać…

Potęgowanie Wszystkie wyrażenia podnoszone do potęgi (dowolnej potęgi — chodzi też o pierwiastkowanie). u Po uproszczeniu wyraz iczyć obl eży nal ach ias naw w potęgi.

. To jest potęgo p wanie

2 + ^6h + ^3h2 - 5 - c 21 m

jności W dalszej kole wykonuje się…

Mnożenie i dzielenie Te operacje są równe w hierarchii. Należy wykonywać obliczenia od lewej do prawej, upraszczając zarówno mnożone, jak i dzielone części wyrażenia.

ma W tym wyrażeniu nie , mnożenia ani dzielenia je dlatego pozostawiamy bez zmian.

onuje się… Na koniec wyk

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m Dodawanie i odejm to także działan owanie ia odwrotne.

Dodawanie i odejmowanie Dodawanie i odejmowanie są sobie równe, jeśli chodzi o kolejność. Należy je zatem obliczać od lewej do prawej, wykonując wszystkie działania dodawania i odejmowania. Po wykonaniu tych działań wyrażenie powinno być uproszczone.

2 + ]6 g + 9 - 5 - c 21 m

= 11 1

2

Oblicz to, co pozostało — od lewej do prawej.

104

Mnożenie i dzielenie to działania odwrotne, dlatego ich „siła” jest taka sama.

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dodawanie „najsłabsze”i odejmowanie to występują działania, dlatego na końcu.

Reguły operacji z liczbami

Magnesiki matematyczne Czas na sdziowanie kolejnego zadania. Poniej znajduje si kilka problemów, które zostay czciowo obliczone. Twoim zadaniem jest okrelenie nastpnej czynnoci, któr naley wykona podczas rozwizywania problemu. Zastosuj obowizujc kolejno wykonywania dziaa i umie magnesiki opisujce dziaania, które bd wykonane w nastpnej kolejnoci. wszej wykonasz w pier Jakie działanie rz tego nawiasu? ąt wn kolejności we

^6 - 3 : 2 + 4 2 h 2

8 1 2 -1- -c m 12 3 3 Co zrobić dalej?

Co zrobić dalej?

5+3 l 1 - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - -8 12 3

- 1b

kowanie Pamiętaj, że pierwiast . nia wa ęgo pot to rodzaj

2 : ]- 1g +

4 -3

- 0.4 , + 0.1 , _6 + ^12 + 13h 6 ^25h

1/2

9i

3

wewnątrz

+7

1/2

+7 6 5+7 6

To działanie jest podchwytliwe — zastanów się dlaczego.

później

Mnoenie Potgowanie

Mnoenie

Potgowanie

Dzielenie

Nawiasy

Odejmowanie

Nawiasów

Dodawanie

Potgowanie

wanie Potgo

jesteś tutaj  105 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Magnesiki — rozwiązanie

Magnesiki matematyczne. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest okrelenie nastpnej czynnoci, któr naley wykona podczas rozwizywania problemu. Zastosuj obowizujc kolejno wykonywania dziaa i umie odpowiednie magnesiki opisujce operacje, które bd wykonane w nastpnej kolejnoci. liczniku jest Ponieważ wyrażenie w ach, musisz je ias naw pogrupowane w należy wykonać uprościć — najpierw . nie wa ęgo pot

^6 - 3 : 2 + 4 2 h 2

8 1 2 -1- -c m 12 3 3

Potgowanie

5+3 l 1 - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - - 23 12 3 8 l 1 - 1b - -8 12 3

- 1b

Należy pozbyć się nawiasu, a następnie wykonać potęgowanie (pierwiastek kwadratowy).

2 : ]- 1g +

4 -3

Nawiasy

Odejmowanie

Wyrażenie w nawiasach zostało uproszczone, zatem w następnej kolejności należy wykonać mnożenie.

Mnoenie

z nawiasów. Tam Należy wykonać działania wewnątranie — nie zapomnij, gow potę nać wyko ba najpierw trze a zapisu potęgowania. że pierwiastki kwadratowe to form

- 0.4 , + 0.1 , _6 + ^12 + 13h 6 ^25h

1/2

9i

3

Potgowanie

Nawiasów

+7

1/2

+7 6 5+7 6

Dodawanie należy wykonać najp ierw, ponieważ występuje w postaci grupy nad znakiem dzielenia.

Dodawanie

tały Te magnesiki nie zos e. san ypi prz e dzi nig

106

wewnątrz

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

później

Potgowanie

Dzielenie

Mnoenie wanie Potgo

Reguły operacji z liczbami Nie istnieją

głupie pytania

P

: Skąd pochodzą reguły kolejności wykonywania działań?

O

: Zostały ustanowione przez starożytnych matematyków (dziwaków zajmujących się algebrą dla zabawy), którzy starali się jakoś porównać swoją pracę. Dzięki uzgodnionej kolejności mogli oni porozumiewać się ze sobą i uzyskiwać te same wyniki rozwiązywanych przez siebie problemów, co jest dość istotne.

P

: Dlaczego ustalono taką, a nie inną kolejność wykonywania działań?

O: Najsilniejsze działania są wykonywane

w pierwszej kolejności. Nawiasy stanowią sposób wyrażenia nakazu „Zrób to najpierw!”. Następnie wykonuje się potęgowanie, a później mnożenie i dzielenie. Na końcu jest dodawanie i odejmowanie. To, co pozostało, oblicza się od lewej do prawej, zgodnie ze sposobem, w jaki czytamy tekst.

P: Czy pierwiastki kwadratowe

to rodzaj potęgowania?

O: Tak, dlatego są na drugim miejscu

w kolejności wykonywania działań. Jeśli chcesz przypomnieć sobie szczegóły, sięgnij do dodatku, w którym omówiono potęgowanie i pierwiastkowanie. Pierwiastek jest wyrażeniem podniesionym do potęgi ułamkowej, na przykład ½ bądź 1⁄3 (odpowiednio dla pierwiastków kwadratowych i sześciennych).

P

: Czy działania odwrotne zawsze występują na tej samej pozycji na liście kolejności wykonywania działań?

O

: Tak. Dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie to dość oczywiste przykłady działań odwrotnych. Potęgowanie i pierwiastkowanie to także działania odwrotne.

P: Czy powinienem to zapamiętać? O: Tak, ale wystarczy zapamiętać, że

kolejność wykonywanych operacji jest zgodna z ich siłą.

P: Czy ułamki należy skracać? O: Sposób postępowania z ułamkami

to Twoja sprawa. Jeśli chcesz wykonywać działania z dużymi licznikami i mianownikami, możesz to robić (ale nie jest to zalecane).

P

: Czy zatem ułamki to po prostu dzielenie, czy też można je zostawić w niezmienionej postaci?

P

: Kiedy można pominąć nawiasy? Czy muszą pozostać na swoim miejscu, jeśli działania wewnątrz nich zostały wykonane?

O

: Wybór należy do Ciebie. Tak jak w przypadku ułamków, kiedy połączysz wyrazy wewnątrz nawiasów i doprowadzisz je do najprostszej formy, Twoje zadanie jest zakończone. Niektórzy wolą zachować nawiasy w celu wskazania mnożenia lub uwypuklenia potęgowania, ale to nie jest obowiązkowe.

P

: Wydaje się, że to sporo pracy. Czy trudno śledzić wykonywane działania?

O

: Czasami tak, dlatego należy zapisywać pracę podczas rozwiązywania problemu. Ponieważ Jacek zapisywał wykonywane działania, mogliśmy znaleźć miejsca, w których popełnił błędy, przez co otrzymał nieprawidłowe odpowiedzi.

O

: Oba zapisy są prawidłowe. W przypadku ułamka nie zmieniamy wartości liczby, a jedynie sposób jej wyrażania (½ lub 0,5). Tak więc każdy z tych zapisów jest poprawny. Jeśli chcesz podzielić ułamki, żeby otrzymać liczbę w postaci dziesiętnej, możesz to zrobić. Możesz też pozostawić ułamki bez zmian.

Dobrym pomysłem jest zapisywanie, w jaki sposób będzie wyglądało wyrażenie po każdym przekształceniu. Dzięki temu możesz śledzić to, co zrobiłeś, i sprawdzać swoją pracę. jesteś tutaj  107

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Powracamy do gry

1

Kasia

0

Jacek

Liczy czy nie liczy

Wracamy do teleturnieju Liczyć czy nie liczyć Czas na rundę drugą. Reguły także się trochę zmieniły. Teraz konkurenci dostają jeden punkt za prawidłową odpowiedź i kolejny punkt za to, że udzielili odpowiedzi jako pierwsi. A zatem w tym przypadku szybkość ma znaczenie. Zobaczmy, jak poradzili sobie Kasia i Jacek, zwłaszcza teraz, gdy wszyscy znają kolejność wykonywania działań…

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

3

Mnożenie i dzielenie

4

Dodawanie i odejmowanie

Problem numer 2:

c 1 + .6 m + 1 + c 1 : 8m + 1 , 5 2 2 2

108

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reguły operacji z liczbami

BĄDŹ sędzią Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

Praca Jacka

wyrażenie wyjściowe

Praca Kasi

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2 d

1 3 1 1 1 2 + 5 n + 5 + c 2 : 8m + 2

d

1 3 1 1 1 2 + 5 n + 5 + c 2 : 8m + 2

1 3 1 1 2 +d 5 + 5n+ 4 + 2

c

5 6 1 1 1 10 + 10 m + 5 + c 2 : 8 m + 2

1 1 4 2 + 2 + 5 +4

11 2 1 10 + 10 + 4 + 2 11 2 40 5 10 + 10 + 10 + 10

1 + 4 + 54

13 + 45 10 10

5 54

58 10 5 54 Kto ma rację?

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi)

Kasia

Jacek

Czyje rozwiązanie było szybsze? Kasia

Jacek

Żadne z nich (zakreśl jedno imię)

ojnie Spok

Działania na ułamkach opisano w Dodatku.

Nie pamiętasz ułamków? Otwórz dziesz dodatek na końcu książki. Tam znaj pomoc.

jesteś tutaj  109 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kasia znów wygrywa

BĄDŹ sędzią. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku.

Praca Kasi

Kasia od razu zaczęła przekształcać wszystko na ułamki…

wyrażenie wyjściowe

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2

…następnie pogrupowała te, które mają piątkę w mianowniku.

Jacek teraz wie, o co chodzi — najpierw działania w nawiasach — zatem jest potrzebny wspólny mianownik…

1 3 1 1 1 d + n + + c : 8m + 2 5 5 2 2

1 1 1 c 1 + .6 , m + + c : 8m + 5 2 2 2

1 3 1 1 2 +d 5 + 5n+ 4 + 2 1 1 4 2 + 2 + 5 +4

Potem zmieniła kolejność tego, co pozostało, tak by ułamki o wspólnym mianowniku znalazły się obok siebie…

1 + 4 + 54

Jeszcze jedna zmiana kolejności i można dodać liczby całkowite…

Działania w nawiasach wykonane. Znów jest potrzebny wspólny mianownik…

5 54

Kto ma rację?

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi) Oboje uzyskali prawidłowy wynik.

Kasia

Jacek

Czyje rozwiązanie było szybsze? Kasia 110

Praca Jacka

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jacek

d

1 3 1 1 1 2 + 5 n + 5 + c 2 : 8m + 2

c

5 6 1 1 1 10 + 10 m + 5 + c 2 : 8 m + 2 11 2 1 10 + 10 + 4 + 2 11 2 40 5 10 + 10 + 10 + 10

Skracamy ułamki i doprowadzamy do postaci całość+ułamek właściwy.

13 + 45 10 10 58 10 5 54

Żadne z nich (zakreśl jedno imię) a — jej acznie szybsz Kasia była zn ładało się z mniejszej rozwiązanie sk, w odróżnieniu od liczby etapów cka. rozwiązania Ja

Reguły operacji z liczbami

Co? Kasia rozwiązała swoje równanie zupełnie niezgodnie z kolejnością wykonywania działań, a uzyskała prawidłową odpowiedź. O co tu chodzi?

Oprócz reguł są własności. Kasia nie zignorowała kolejności wykonywania działań, a tylko najpierw zastosowała inne własności liczb. Do pracy z równaniem Kasia wykorzystała własności łączności i przemienności, a dopiero potem zastosowała kolejność wykonywania działań. Własności łączności i przemienności to w rzeczywistości inny typ reguł. Można z nich skorzystać przed zastosowaniem kolejności wykonywania działań, w jego trakcie lub po nim.

WYTĘŻ

UMYSŁ

Wróć na chwilę do pracy Kasi i przyjrzyj się uważnie jej działaniom. Zakreśl miejsca, w których Twoim zdaniem Kasia skorzystała ze specjalnych własności. Nie przewracaj strony, zanim nie zyskasz pewności, gdzie Kasia zastosowała sprytne chwyty.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

111

Przekształcanie równań

Równania można przekształcać Własność łączności pozwala na zmianę grupowania liczb w działaniach dodawania i mnożenia. Załóżmy, że masz do dodania grupę liczb. Możesz dowolnie zmieniać sposób ich grupowania. Kasia właśnie to zrobiła:

Praca Kasi sności Kasia skorzystała z włay grupowania łączności w celu zmianDzięki temu w części rozwiązania. ałania na najpierw wykonała dzi mianownikach, ułamkach o wspólnych . a potem zrobiła resztę

1 + c 1 : 8 m + 12 3 1 + n d2+ 5 5 2 1 1 + d 3 + 15 n + 4 + 2 2 5

Co się tu dzieje? Ponieważ wszystkie działania to dodawanie, nawiasy nie mają wpływu na wynik. Własność łączności mówi, że kiedy wykonuje się dodawanie lub mnożenie, to grupowanie nie ma wpływu na wynik. Dzięki temu można dowolnie zmieniać sposób grupowania. Możemy przekształcić wyrażenie postaci 10u(4,2u0,225) na łatwiejsze do obliczenia, na przykład (10u4,2)u0,225. Znacznie łatwiej mnoży się liczby przez 10 niż przez 0,225, dlatego lepiej zawczasu zmodyfikować grupowanie w tym wyrażeniu.

Podsumowanie Własność łączności — zmiana grupowania zbioru liczb, które są do siebie dodawane lub mnożone, nie przeinacza wyniku działania.

112

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reguły operacji z liczbami

Zaostrz ołówek Tutaj masz szansę na zastosowanie własności łączności w praktyce. Obok siebie znalazły się dwa wyrażenia różniące się grupowaniem. Czy odpowiedzi będą takie same?

ż za Ciebie Grupowanie ju przekonaj się, — y ! zmieniliśm w obie strony że to działa

c1 + 3m + 1 5 2 5

1 c3 1m + + 5 5 2

kontra

Czy wyniki są takie same? Tak

^12 - 5h - 3

Czy wyniki są takie same? Tak

c 1 : 9m 2 3

Czy wyniki są takie same?

Nie

12 - ^5 - 3h kontra

1 ^9 : 2h kontra 3

Nie

Tak

Nie

12 ' ]4 ' 2g kontra

]12 ' 4g ' 2

Czy wyniki są takie same? Tak

Nie

Dlaczego wyniki były takie same w przypadku niektórych zadań, a w przypadku innych nie?

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

113

Ćwiczenia z wykorzystaniem własności łączności

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

c1 + 3m + 1 5 2 5

Twoim zadaniem było rozwiązanie obu grup problemów, sprawdzenie, czy wyniki są takie same, i zastanowienie się, dlaczego uzyskałeś takie wyniki.

1 c3 1m + + 5 5 2 1 + 4 2 5 5 + 4 10 5 5 + 8 10 10 13 10

kontra

5+ 6 + 1 10 10 5 11 + 1 10 5 11 + 2 10 10 13 10

Czy wyniki są takie same? Tak

12 - ^5 - 3h

c 1 : 9m 2 3

(3)2

6

Wyniki są takie same — w tym przypadku działa własność łączności.

^12 - 5h - 3

12 - (2)

(7) - 3

10

4

Wyniki nie są ze sobą zgodne. Zmiana grupowania w tym przypadku była niedozwolona.

Czy wyniki są takie same? Tak

1 ^9 : 2h kontra 3 1 (18) 3

6

Czy wyniki są takie same?

Nie

kontra

Zmiana grupowania w obu tych wyrażeniach nie zmienia WARTOŚCI rozwiązania.

Nie

Zmiana grupowania w tym przypadku całkowicie zmieniła wartość rozwiązania — własność łączności w tym przypadku nie ma zastosowania.

Tak

Nie

12 ' ]4 ' 2g kontra

]12 ' 4g ' 2 (3) - 2

12 - (2)

3 2

6

Te wyniki także są różne — własność łączności ma ograniczenia!

Czy wyniki są takie same? Tak

Nie

Dlaczego wyniki były takie same w przypadku niektórych zadań, a w przypadku innych nie? Zmiana grupowania jest dozwolona dla dodawania i mnożenia — nie jest dozwolona dla dzielenia i odejmowania.

114

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reguły operacji z liczbami

Własność łączności obowiązuje tylko dla dodawania i mnożenia — NIE obowiązuje dla odejmowania i dzielenia.

Uwaga!

Oznacza to, że nie można zmienić grupowania dla problemów odejmowania bądź dzielenia bez zmiany wartości rozwiązania. Wyrażenia z odejmowaniem i dzieleniem trzeba rozwiązywać w takiej kolejności, w jakiej zostały napisane.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: A zatem potrzebujemy kolejności wykonywania działań czy nie?

O

: Tak — kolejność działań (nawiasy, potęgowanie, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie) to porządek pozwalający na uproszczenie problemu. Stosując własność łączności, nie zmieniasz obowiązującej kolejności wykonywania działań — w dalszym ciągu najpierw wykonujesz działania w nawiasach — jedynie przenosisz pewne elementy wyrażenia z miejsca na miejsce.

P

: Jaki jest sens własności łączności działań? Co mi z tego, że mogę zmieniać sposób grupowania?

O: Własność łączności umożliwia obliczenie

wyrażenia w najłatwiejszy i jednocześnie najszybszy sposób. Pogrupowanie ze sobą takich ułamków, z którymi łatwo wykonać obliczenia, pozwala zaoszczędzić czas potrzebny do wyznaczania wspólnych mianowników. Liczby dziesiętne także można odpowiednio pogrupować. Pogrupowanie elementów pod kątem planowanego sposobu ich wykorzystania czasami pozwala również na to, by ruszyć z miejsca w przypadku trudnych problemów.

P: Czy istnieją inne własności? O: Tak — o dwóch z nich opowiemy na

kilku kolejnych stronach. Chodzi o własność przemienności i rozdzielności mnożenia względem dodawania. Własność przemienności pozwala na zamianę miejscami wyrazów w równaniu. Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala na dystrybucję działań mnożenia i dzielenia wewnątrz równania (lub połączenia ich w pojedynczy wyraz, ale do tego dojdziemy później).

P

: Zatem własność łączności pozwala na zmianę porządku liczb. Czy tak?

O: Nie — własność łączności mówi tylko,

że można zmieniać sposób grupowania liczb, które są do siebie dodawane lub przez siebie mnożone. Nie można jednak zmieniać kolejności dowolnych liczb ani przenosić liczb z jednej części równania w inne miejsce. Jednak nie wszystko stracone. Istnieje własność, która pomoże Ci w zmianie porządku wyrazów: własność przemienności. Kiedy poznasz te własności, będziesz mógł zmieniać zarówno kolejność wyrazów, jak i sposób grupowania. Czytaj dalej…

Własność łączności mówi, że możesz zmieniać sposób grupowania w operacjach dodawania i mnożenia — NIE możesz tego robić dla odejmowania czy dzielenia!

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

115

Reguły operacji z liczbami

Wygląda na to, że Kasia nie tylko zmieniła sposób grupowania wyrazów… zmieniła także ich kolejność. Czy zatem istnieje własność pozwalająca na zmianę porządku liczb?

1 3 2 + d 5 + 51 n + 4 + 1 2

Możesz zmieniać kolejność liczb w wyrażeniu, a także sposób ich grupowania… używając własności przemienności. Własność przemienności dotyczy kolejności wyrazów w działaniach dodawania i mnożenia. Własność przemienności mówi, że możesz dodawać liczby wykorzystywane w działaniach dodawania lub mnożyć liczby w działaniach mnożenia w dowolnej kolejności i nie będzie to miało wpływu na uzyskany wynik. z jednak W dalszym ciągu musisobowiązującą postępować zgodnie z a działań kolejnością wykonywani przed i mnożenie wykonywać dodawaniem!

Przeniosła liczby całkowite, tak by występowały razem, i nie musiała wykonywać działań na ułamkach niewłaściwych.

1 3 1 1 2 +d 5 + 5n+ 4 + 2 1 1 4 2 + 2 + 5 +4 1 + 4 + 54

Własność przemienności — możesz zmieniać kolejność, w jakiej wyrazy są do siebie dodawane bądź mnożone, bez wpływu na wynik.

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

1+4+ 4 5 Kasia zastosowała jak sztuczkę, zmieniając ąś kolejność tych liczb.

Kasia pogrupowała ze sobą połówki, aby dodawanie było łatwiejsze.

Podsumowanie

116

1 1 2 + 2 + 54 + 4

Reguły operacji z liczbami Kilka równoważnych wyrażeń, przebranych w kostiumy, bawi się w grę „Kim jestem?”. Dadzą wskazówkę, a Ty na podstawie tego, co powiedzą, spróbuj zgadnąć, z jakiej własności korzystają. Zakładamy, że zawsze mówią o sobie prawdę. Wypełnij puste pola z prawej strony w celu identyfikacji uczestników zabawy.

Kim jestem?

Uczestnicy zabawy dzisiejszego wieczoru: Może się pojawić każda z czarujących własności, które poznałeś do tej pory… mogą one nawet być ze sobą razem!

Jaką własność zastosowano? jest równoważne

15 + ^14 + 2h

2 : 8 : 16

jest równoważne

8 : 2 : 16

^3 : 4 h + c 1 + 1 m

jest równoważne

c 1 + 1 m + ^3 : 4 h 2 3

5 ^0.5 , : 0.12 , h

jest równoważne

^5 : 0.5 , h 0.12 ,

^15 + 14h + 2

2

3

h + 16 + ^4 + 0.23 , , h 127 ^16 : 0.177 jest równoważne

^16 : 127h + ^16 + 4h + 0.23 0.177 , ,

Możesz potrzebować więcej niż jednej własności dla wybranego problemu.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Własność łączności mówi, że możesz zmieniać położenie nawiasów w operacjach dodawania i mnożenia bez wpływu na wynik.

Q

Własność przemienności mówi, że możesz zmieniać kolejność wyrazów w operacjach dodawania i mnożenia bez wpływu na wynik.

Q

Nie możesz stosować własności łączności i przemienności dla operacji dzielenia lub odejmowania.

Q

Kolejność wykonywania działań zawsze informuje o porządku, w jakim ma być obliczane wyrażenie.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

117

Własności — podsumowanie

Kilka równoważnych wyrażeń, przebranych w kostiumy, bawi się w grę „Kim jestem?”. Dadzą wskazówkę, a Ty na podstawie tego, co powiedzą, spróbuj zgadnąć, z jakiej własności korzystają. Zakładamy, że zawsze mówią o sobie prawdę. Wypełnij puste pola z prawej strony w celu identyfikacji uczestników zabawy.

Kim jestem?

Uczestnicy zabawy dzisiejszego wieczoru: Może się pojawić każda z czarujących własności, które poznałeś do tej pory… mogą one nawet być ze sobą razem!

Rozwizanie jsce Zmieniło się tylko mie … ów występowania nawias ści. to jest własność łączno

^15 + 14h + 2

jest równoważne

Jaką własność zastosowano? 15 + ^14 + 2h

Własność łączności

Zmieniła się kolejność wyrazów… to jest własność przemienności.

2 : 8 : 16

jest równoważne

8 : 2 : 16

Własność przemienności

To było trochę bardziej skomplikowane. Zmieniła się kolejność dwóch grup… ale grupy pozostały te same.

^3 : 4 h + c 1 + 1 m

2

3

jest równoważne

c 1 + 1 m + ^3 : 4 h 2 3

Własność przemienności

innego Nawiasy zmieniły miejsce, ale nic i. nośc łącz ność włas niło: zmie nie się

5 ^0.5 , : 0.12 , h

jest równoważne

^5 : 0.5 , h 0.12 ,

h + 16 + ^4 + 0.23 , , h 127 ^16 : 0.177 jest równoważne

Własność łączności

Własności łączności i przemienności

Tutaj zmieni ł się sposób grupowania

^16 : 127h + ^16 + 4h + 0.23 0.177 , ,

…

…ale także zmieniła się kolejność wyrazów.

118

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reguły operacji z liczbami

Wasnoci dziaa bez tajemnic Wywiad tygodnia:

Własności łączności i przemienności — kto co robi? Własność łączności: Cześć, Przemienność. Czy wszystko w porządku? Wyglądasz na trochę zmieszanego. Własność przemienności: Cha, cha — zrozumiałem aluzję. Mieszanie to moja specjalność. Jeśli masz jakieś operacje dodawania lub mnożenia, to mogę zamieniać liczby miejscami bez żadnych problemów. Łączność: To miłe. Ja również pracuję z dodawaniem i mnożeniem, ale nie mogę zmieniać miejsca liczb. Ja pracuję z nawiasami. Przemienność: Zaczekaj, czy nawiasy nie są na początku łańcucha pokarmowego kolejności wykonywania działań? Łączność: Tak, właśnie z nimi pracuję. Obowiązują jednak ścisłe reguły. Nie wolno mi zmieniać kolejności działań ani zmieniać wyniku, dlatego mogę tylko przenosić nawiasy wtedy, gdy wewnątrz nich są działania dodawania lub mnożenia. Przemienność: Rozumiem. U mnie są takie same zasady. Nie wolno mi zmieniać wyniku, dlatego również mogę zmieniać kolejność liczb tylko w działaniach dodawania lub mnożenia. Zgaduję, że ty także nie możesz robić niczego z działaniami dzielenia lub odejmowania. Czy tak?

Przemienność: Mam te same problemy. Kolejność ma istotne znaczenie w przypadku odejmowania i dzielenia, dlatego muszę trzymać ręce z daleka. Łączność: Wiesz, myślę, że musimy coś sobie wyjaśnić przy okazji naszej rozmowy Przemienność: Co? Łączność: Że i ciebie, i mnie można używać poza rygorami kolejności wykonywania działań bez zmiany wyniku. Przemienność: Jasne. Przyzwyczaiłem się do tego, ale zgaduję, że może to być mylące. Możemy pracować w dowolnym momencie. Dodawanie i mnożenie można przegrupowywać lub zmieniać kolejność w dowolnym momencie podczas upraszczania. Łączność: Widzisz, zawsze jesteśmy pomocni! Aha… zanim sobie pójdę. Słyszałeś tę historię o operacji dodawania, która została niesprawiedliwie oskarżona? Przemienność: Jej wyrok złagodzono. Łączność: Nie słyszałem. Wiesz coś na ten temat?

Łączność: Zgadza się. Zmiana kolejności w odejmowaniu lub dzieleniu zmienia wynik, dlatego w tym przypadku nie mogę zmieniać sposobu grupowania.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

119

Runda finałowa

3

kt w ostatniej Jacek dostał jeden pun ł prawidłowej ieli udz aż iew pon rundzie otrzymała dwa odpowiedzi, ale Kasia prawidłowy ała pod że punkty za to, rwsza. pie o jak wynik i zrobiła to

1

Kasia

Jacek

Liczy czy nie liczy

To bardzo ważna runda… W kolejnej rundzie można otrzymać dwa punkty, co oznacza, że napięcie wzrasta: musisz osądzić prawidłowo następne zadanie. W przeciwnym razie będzie wielka kłótnia o to, kto wygrał dzisiejsze wydanie teleturnieju Liczyć czy nie liczyć. Za rozwiązanie zadania znów można otrzymać jeden punkt, ale jest dodatkowa premia za rozwiązanie problemu tak szybko, jak to możliwe. Co więcej, zarówno Jacek, jak i Kasia znają zasady kolejności wykonywania działań, a także własności łączności i przemienności.

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

3

Mnożenie i dzielenie

4

Dodawanie i odejmowanie

ienności

Własność przem

w kolejno wyrazó Moesz zmienia nia e no dawania i m w operacjach do nik. wy bez wpywu na

Problem numer 3 — runda finałowa Uprość wyrażenie:

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

120

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Własność łączności Moesz zmienia spo sób grupowania wyrazów w operacjach dodawania i mnoenia bez wpyw u na wynik.

Reguły operacji z liczbami

BĄDŹ sędzią Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku. Praca Kasi

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

4 2(5) 5 1 d 12 + 12 + 12 11 n + 32 - 15 3 12 6 ^ 4 + 10 + 11h + 32 - 15 _ 25 i + 32 - 15

T

25 + 9 - 15 19

Czas: 45 sekund

Praca Jacka

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

4 + 10 + 11 m + 32 - 15 12 c 12 12 12 2 12 d 25 12 n + 3 - 15

12 d 25 12 n + 9 - 15

Czas: 1 minuta 20 sekund

25 + 9 - 15 = 19 Kto ma rację? Kasia

Czyje rozwiązanie było szybsze? Jacek

Żadne z nich

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi)

Kasia

Jacek

(zakreśl jedno imię)

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

121

Kolejne zwycięstwo Kasi?

BĄDŹ sędzią. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest ocena pracy Kasi i Jacka. Opisz ich działania krok po kroku, aby pokazać, w jaki sposób doszli do wyniku. Praca Kasi

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12

4

stały Te liczby pozo ę si po pozbyciu . mianowników

d 12

2(5) 1 + 12 5 + 12 11 n + 32 - 15 3 12 6

^ 4 + 10 + 11h + 32 - 15 Pozostało jeszcze potęgowanie, a następnie dodawanie i odejmowanie.

_ 25 i + 32 - 15

Zamiast uproszczenia wewnątrz nawiasów Kasia pomnożyła każdy z wyrazów przez 12.

T

25 + 9 - 15 19

Czas: 45 sekund

Praca Jacka

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12 Jacek sprowadził wszystkie ułamki do wspólnego mianownika.

Tutaj Jacek uprościł ułamek.

Tutaj Jacek przegrał: . działania na ułamkach

4 + 10 + 11 m + 32 - 15 12 c 12 12 12 2 12 d 25 12 n + 3 - 15

Dalej trzeba wykonać potęgowanie.

12 d 25 12 n + 9 - 15

Czas: 1 minuta 20 sekund

25 + 9 - 15 = 19 Kto ma rację? Kasia

Czyje rozwiązanie było szybsze? Jacek

Żadne z nich

(zakreśl jedną lub dwie odpowiedzi)

122

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kasia

Jacek

(zakreśl jedno imię)

Reguły operacji z liczbami Żartujecie sobie? Zawsze dowiadujemy się później, jak będą oceniane zadania. Kasia znów zastosowała jakąś sztuczkę.

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala na mnożenie kilku liczb (i to nie jest żadna sztuczka). Kasia uprościła wszystkie ułamki w jednym kroku, poprzez pomnożenie ich wszystkich przez 12. Dzięki temu pozbyła się mianowników. Kiedy mnożysz wszystkie wyrazy w grupie przez tę samą liczbę, stosujesz własność rozdzielności mnożenia względem dodawania. Przyjrzyjmy się nieco bliżej temu, co zrobiła Kasia… i sprawdźmy, jak możesz to wykorzystać.

Praca Kasi z bliska Oto praca Kasi poddana jeszcze bardziej wnikliwej analizie. O co tu naprawdę chodzi? Kasia pomnożyła każdy z wyrazów w nawiasach przez 12.

12 c 1 + 5 + 11 m + 3 2 - 15 3 6 12 d 12 :

ciła Tutaj Kasia skró każdy z ułamków ie poprzez podzielen liczników przez mianowniki.

12 : 5 12 : 11 2 3 + 6 + 12 n + 3 - 15

d 12 : 1

d4 : 3 : 1

3

To wszystko, co pozostało po pozbyciu się mianowników.

5 1 11 2 3 + 12 : 6 + 12 : 12 n + 3 - 15

Kasia nie zmieniła niczego więcej w tym kroku.

+ 6 : 26 : 5 + 1212: 11 n + 32 - 15

_ 4 + 2 : 5 + 11 i + 32 - 15

^ 4 + 10 + 11h + 32 - 15 _ 25 i + 32 - 15

Kasia zastosowała wania kolejność wykony działań.

25 + 9 - 15 19 jesteś tutaj  123 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Wyciągnięcie wartości przed nawias nie zmienia wartości wyrażenia Jeśli mnożysz wartość przez grupę, dokonujesz dystrybucji tej wartości. Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania mówi, że jeśli mnożysz przez siebie dwie grupy, to możesz najpierw uprościć grupy, a potem wykonać mnożenie lub najpierw pomnożyć, a potem uprościć. Wyniki są takie tego, czy najpier— niezależnie od działania w nawi w wykonaliśmy wykonaliśmy mn asie, czy najpierw ożenie.

Oto fragment pracy Kasi, w którym skorzystała ona z własności rozdzielności mnożenia względem dodawania. Oto co zrobiła Kasia. Najpierw wykonała mnożenie, a potem uprościła wyrażenie.

1 + 5 + 11 m 3 6 12 ^4 + 10 + 11h 25

12 c 12 poza nawiasem zostało pomnożone przez każdą z liczb znajdującą się w nawiasie.

konywane Oto obliczenia wy najpierw y gd u, dk pa zy w pr nie uprościmy wyrażetem w nawiasie, a po pomnożymy.

12 c 1 + 5 + 11 m 3 6 12 12 c 4 + 10 + 11 m 12 12 12 12 c 25 m 12 25

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy można wykonać mnożenie, zanim wykona się działania w nawiasach?

O

: Tak. Jeśli masz sytuację, w której mnożysz przez siebie dwie grupy, możesz najpierw pomnożyć, a następnie uprościć lub najpierw uprościć, a potem pomnożyć.

P

: Czy własność rozdzielności mnożenia względem dodawania nie ignoruje obowiązującej kolejności wykonywania działań?

O

: Nie, trzeba tylko wiedzieć, kiedy można obejść kolejność wykonywania działań. Tak jak w przypadku własności łączności i przemienności. Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania służy do tego, by rozwiązywać problemy w sposób prostszy i bardziej efektywny. Te własności są wykorzystywane razem z kolejnością wykonywania działań, a nie przeciwko niej.

124

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

P

: Co robić, jeśli wewnątrz nawiasów są działania odejmowania lub dzielenia?

O

: To nie ma znaczenia. Trzeba jedynie zachować operatory po pomnożeniu wartości znajdującej się poza nawiasem. Jeśli liczba w nawiasie jest odejmowana, to po dokonaniu dystrybucji wartości w dalszym ciągu będzie odejmowana.

P

: Czy zatem nie trzeba najpierw wykonywać działań w nawiasie?

O

: Nie, jeśli zawartość nawiasu mnożymy przez liczbę. W takim przypadku można dokonać dystrybucji liczby na grupę.

Reguły operacji z liczbami

Zaostrz ołówek

Nadszedł czas na ćwiczenia zastosowania własności rozdzielności mnożenia względem dodawania. Wyrażenia zamieszczone poniżej uprość na dwa sposoby: stosując własność rozdzielności mnożenia względem dodawania i postępując zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Dla każdego zadania wskaż sposób, który według Ciebie jest szybszy.

2^ 4 - 2 + 11h Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

3 1 5 3 24 b 8 - 12 + 6 - 4 l

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

1 9 7 3 4 b 20 + 20 + 20 + 20 l Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

18^ 110 - 80 + 3 - 22 - 10h Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

jesteś tutaj  125 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenia w wykorzystaniu rozdzielności mnożenia względem dodawania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było uproszenie wyrażeń na dwa sposoby: poprzez zastosowanie własności rozdzielności mnożenia względem dodawania i poprzez postępowanie zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Który sposób okazał się szybszy w każdym z zadań?

1 9 7 3 4 b 20 + 20 + 20 + 20 l

2^ 4 - 2 + 11h Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

2 •4 - 2 •2 + 2 •11

2(13)

8 - 4 + 22

26

26

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

4 1 +4 9 +4 7 +4 3 20 20 20 20 1 + 9 + 7 + 3 5 5 5 5 20 5

Kolejność wykonywania działań

4 20 20 4(1) 4

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

Który sposób był szybszy? Dlaczego? Myślę, że szybszy był sposób polegający na

Szybszy był sposób z wykorzystaniem kolejności

zastosowaniu kolejności wykonywania działań,

wykonywania działań, ponieważ pozwolił na

ponieważ trzeba było wykonać mniej kroków.

pozbycie się wszystkich ułamków. Czasami zastosowanie kolejności wykonywania działań umożliwia szybsze rozwiązanie problemu.

odpowiedzi… Tu nie ma prawidłowej . bie Cie do eży wybór nal

3 1 5 3 24 b 8 - 12 + 6 - 4 l Rozdzielność mnożenia względem dodawania

18^ 110 - 80 + 3 - 22 - 10h

Kolejność wykonywania działań

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Kolejność wykonywania działań

24 3 - 24 1 + 24 5 - 24 3 8 12 6 4

24 9 - 2 + 20 - 18 24 24 24 24

(1980 - 1440 + 54 - 396 - 180)

18(1)

9 - 2 + 20 - 18

24 9 24

18

18

9

9

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

Który sposób był szybszy? Dlaczego?

Myślę, że szybszy był sposób z wykorzystaniem

Zastosowanie kolejności wykonywania działań było

rozdzielności mnożenia względem dodawania,

szybsze ze względu na wynik obliczenia w nawiasach.

ponieważ pozwolił na pozbycie się wszystkich ułamków.

126

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jeśli liczby w nawiasie są duże, zastosowanie rozdzielności mnożenia względem dodawania nie jest dobrym pomysłem.

Reguły operacji z liczbami

ci Własność przemiennoś o wyrazów Moesz zmienia kolejn nia i mnoenia w operacjach dodawa bez wpywu na wynik.

Własn

ość łą

czn

ości Moe sz zm ienia wyraz sposó ów w b grup opera i mno owania cjach enia d odawa bez w nia pywu na wy nik.

i ielnośc awania z d z o dod ość r Własn ia względem w, wyrazó en grup z e mnoż z r czb p rup,

li oci g noysz jpierw rw upr Jeli m ie jp lub na a n ie n z e s  e no pie to mo ona m azów w gru r m wyk y te w kadym o z p W a ci. ady  k o r  y p  u m pomno a pote sam. ie ten liczb, z d z  e z b r p ynik dku w przypa

Jak mam to wszystko zapamiętać? Najpierw była kolejność wykonywania działań, a teraz te wszystkie własności… to tak jak pamiętanie wielu paragrafów. Czy powinnam je wszystkie zapamiętać?

Możesz zapamiętać ogólne równania. Nie musisz pamiętać rozbudowanych reguł. Zapamiętywanie wszystkich regułek dla każdej z własności bywa kłopotliwe… ale to jest matematyka, a nie pisanie wypracowań. Na szczęście, powyższe regułki można łatwo przekształcić na proste równania. Jednak aby to zrobić, potrzebny jest sposób reprezentowania liczb… potrzebujemy stałych. Co to dokładnie jest stała?

jesteś tutaj  127 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Stałe reprezentują liczby

Stała reprezentuje liczbę

To nie jest łatwe do zapamiętania.

Stała to pojęcie wykorzystywane do opisania w równaniu niewiadomej reprezentującej liczbę, która się nie zmienia. Mówiąc inaczej, litera a po jednej stronie równania to ta sama liczba, co litera a po drugiej stronie równania. Stała, po prostu, reprezentuje liczbę.

Własnoś

ć przem

ienno

ści Moesz zmienia kolejno w operac  wyrazó jach dod w a wania i m bez wpy noenia wu na w ynik.

Stałe doskonale nadają się do przekształcania problemów specyficznych w bardziej ogólne, ponieważ pozwalają na używanie liter zamiast konkretnych liczb. Na przykład…

zegółowy problem. To jest to bardzo szc amiętania. zap do wy Nie jest łat

2 : 8 : 16

Liczbę 2 możemy oznaczyć literą „a”…

jest równoważne

8 : 2 : 16

…liczbę 16 oznaczymy literą „c”.

a:b:c=b:a:c

…liczbę 8 oznaczymy literą „b”…

Początkowo może się wydawać, że użyte litery są równie trudne do zapamiętania, co ciąg zdań. Spróbujmy jednak jeszcze bardziej uprościć problem:

a:b=b:a a+b=b+a To jest opis własności przemienności dodawania.

Teraz szczegółowy problem przestał być szczegółowy. O wiele łatwiej go zapamiętać.

To jest opis włas przemienności mnności ożenia.

pamiętać, że Teraz łatwiej za enia możemy oż w przypadku mn liczb. ść no lej ko iać ien i zm wienie własnośc To jest przedsta z używania słów! be i śc no en przemi

Ogólne równanie to sposób pozwalający na zapamiętanie reguł mających zastosowanie do wszystkich liczb w określonej sytuacji.

128

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reguły operacji z liczbami

:

?

KTÓRE JEST KTÓRE? 7

7

Wiesz więcej, niż Ci się wydaje… spróbuj dopasować wzór opisujący określoną własność do jej nazwy. Uważaj, niektóre nazwy własności zostały użyte dwukrotnie!

a ^b + ch = ab + ac a + ^b + ch = ^a + bh + c a:b=b:a a+b=b+a

Wasno przemiennoci

Wasno rozdzielnoci mnoenia wzgldem dodawania

Wasno cznoci

a ^b : ch = ^a : bh c

jesteś tutaj  129 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jaka własność :

?

KTÓRE JEST KTÓRE? 7

7

ROZWIĄZANIE

Dopasuj poszczególne wzory opisujące własności do ich nazw. Niektóre nazwy własności zostały użyte dwukrotnie!

a ^b + ch = ab + ac a + ^b + ch = ^a + bh + c a:b=b:a a+b=b+a a ^b : ch = ^a : bh c

130

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wasno przemiennoci

Wasno rozdzielnoci mnoenia wzgldem dodawania

Wasno cznoci

Reguły operacji z liczbami

ci Własność przemiennoś o wyrazów Moesz zmienia kolejn nia i mnoenia w operacjach dodawa bez wpywu na wynik.

Własność przemienności mnożenie

a:b=b:a a+b=b+a

Własność łączności Moesz zmienia sposób grupowa nia wyrazów w operacjach dodawania i mnoenia bez wpywu na wynik.

dodawanie

Własność łączności mnożenie

a ^b : ch = ^a : bh c

dodawanie

a + ^b + ch = ^a + bh + c

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania wyrazów, Jeli mnoysz liczb przez grup a potem , grup ci upro ierw to moesz najp noy pom ierw najp lub ie wykona mnoen , liczb z prze ie grup w kady z wyrazów ku pad przy ym kad W . a potem uproci . sam wynik bdzie ten

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania

a ^b + ch = ab + ac

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

131

Gra się skończyła

Podsumowanie rywalizacji… Po przeanalizowaniu pracy Kasi doszliśmy do wniosku, że wszystkie zadania rozwiązała prawidłowo i zrobiła to szybciej. 1

Kasia rozwizaa swoje pierwsze zadanie, stosujc kolejno wykonywania dziaa . Po tym, co zobaczyliśmy w pracy Jacka, wyraźnie widać, że nie można po prostu iść własną drogą, dlatego kolejność wykonywania działań jest istotna.

2

Kasia rozwizaa drugie zadanie, stosujc wasnoci cznoci i przemiennoci, a nastpnie zastosowaa kolejno wykonywania dziaa . Poradziła sobie ze swoim zadaniem szybciej i sprytniej. Dzięki temu mogła łatwiej wykonać obliczenia na ułamkach.

3

Kasia rozwizaa trzecie zadanie prawidowo i bya szybsza od Jacka dziki temu, e najpierw skorzystaa z wasnoci rozdzielnoci mnoenia wzgldem dodawania, a nastpnie zastosowaa kolejno wykonywania dziaa . W efekcie zastosowania własności rozdzielności mnożenia względem dodawania wykonanie obliczeń na ułamkach okazało się znacznie łatwiejsze.

Jacek był zawsze drugi. Nauczył się kolejności wykonywania działań na podstawie pierwszego problemu, ale by móc skutecznie rywalizować z Kasią, powinien poznać własności działań. 1

Jacek le rozwiza pierwsze zadanie, poniewa nie przestrzega regu kolejnoci wykonywania dziaa . Próbował najpierw rozwiązać najłatwiejsze części zadania, nie zważając na kolejność wykonywania działań. W związku z tym całkowicie rozminął się z wynikiem.

2

Jacek prawidowo rozwiza drugie zadanie dziki zastosowaniu kolejnoci wykonywania dziaa . Niestety, nie skorzystał z własności łączności i przemienności, dlatego rozwiązanie drugiego zadania zajęło mu więcej czasu niż Kasi.

3

Jacek prawidowo rozwiza take trzecie zadanie, ale znów by wolniejszy. Kolejność wykonywania działań nigdy go nie zawiodła, ale go spowolniła!

Postaraj się doskonalić umiejętności oceny zadań… nigdy nie wiadomo, kiedy będziesz znów potrzebny w teleturnieju Liczyć czy nie liczyć. 132

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reguły operacji z liczbami

Niniejszy rozdział dotyczył własności działań na liczbach mających znaczenie dla rozumienia kolejności rozwiązywania równań.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Własność łączności dotyczy wyłącznie grupowania.

Q

Własność przemienności dotyczy kolejności.

Q

Własności rozdzielności mnożenia względem dodawania określa sposoby mnożenia grup.

Q

Zastosowanie kolejności wykonywania działań zawsze pozwala poprawnie uprościć wyrażenie.

Kolejność wykonywania działań 1

Nawiasy

2

Potęgowanie

Q

Zmienna to niewiadoma, która może się zmieniać w zależności od problemu.

3

Mnożenie i dzielenie

Q

4

Dodawanie i odejmowanie

Stała jest wiadomą lub niewiadomą, która się nie zmienia.

Własność przemiennoś

ci

a:b=b:a a+b=b+a

Wszystkie zaprezentowane własności można stosować dla liczb i dla niewiadomych.

Własność łączności

a + ^b + ch = ^a + bh +c a ^b : ch = ^a : bh c

Własność rozdzielnoś ci mnożenia względem do dawania

a ^b + ch = ab + a c

jesteś tutaj  133 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozdzia 3.

Niezbędnik algebraika

134

Rozdział 3.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

4. Potgowanie

Podcasty, które rozprzestrzeniają się jak epidemia (co w tym przypadku jest dobre…) Dzięki programowi iTunes całkowicie wciągnęła mnie subskrypcja podcastów. Teraz włączam telewizor tylko po to, by obejrzeć ostatni odcinek „Zagubionych”.

Czy możesz pomnożyć to jeszcze raz? Czy możesz pomnożyć to jeszcze raz? Oprócz powtarzania czynników istnieje jeszcze inny sposób przedstawienia mnożenia tych samych liczb. Potęgowanie to sposób na powtarzanie mnożenia. Potęgowanie jest jednak bardziej złożone, jeśli dotyczy liczb mniejszych niż zwykle (i nie mamy tu na myśli ułamków). W tym rozdziale będziemy mówić o podstawach, stopniach i pierwiastkach. Jak to zwykle bywa, z zerem i jedynką jest związana osobna grupa problemów. Zatem… zaczynajmy pokaz podcastingu…

to jest nowy rozdział  135 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Szaleństwo podcastów

Anka prowadzi podcast Prowadzę własny podcast, ale teraz potrzebuję sprzętu dobrej jakości… tymczasem nowy sprzęt jest drogi! nych. Hm… ekscentrycz

Anka prowadzi podcast o szalonych osobistościach. t Anka — producen niezwykłego podcasta.

Ostatnio podcast Anki zyskuje coraz większą liczbę słuchaczy. Aby poprawić poziom swojego serwisu, Anka potrzebuje lepszego sprzętu i jeszcze lepszego podcastu… ale na to potrzeba sporo pieniędzy. Anka ma witrynę WWW, która jest hostem jej podcastów. Chce umieścić na niej ogłoszenie w celu zebrania funduszy na nowy sprzęt. Znalazła kilku potencjalnych sponsorów, ale nie pomogą jej, jeśli Anka nie udowodni, że ruch w jej serwisie jest stosunkowo intensywny. Anka musi: …monitorowa liczb codziennych wej na stron w cigu nastpnych dwóch tygodni.

…udowodni, e w cigu nastpnych dwóch tygodni bdzie co najmniej 5 000 000 wej do jej serwisu! Ojej, to bardzo dużo.

Komputer Anki. Czy to jest rocznik 198 7?

136

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie

Zmobilizujmy słuchaczy Anki Anka wie o tym, że ma gorących zwolenników. Oto list, jaki napisała do swoich trzech najwierniejszych słuchaczy:

hacze, jwierniejsi suc Drodzy trzej na my mogli ego podcastu, by sz na a dl w ró so spon dni potencjalni Próbuj pozyska nych dwóch tygo p st na u g ci W t. szego serwisu. kupi nowy sprz czb wej do na li li zi ed l d reklamodawcy b dziennie. 5 000 000 wej  gn i os my si Mu a ten e-mail do rwis dzi i wys se  zi ed wi od ie i wysya Prosz konieczn wiedza serwis od ie dz b y d . Jeli ka nam si uda! 3 kolejnych osób i, to myl, e dn 14 z ze pr ób wych os e-maile do 3 no

Dzikuj, StarTalk Anka z podcastu

Zaostrz ołówek

Napisz równanie, które pozwala obliczyć, ile wejść na stronę uzyska Anka na koniec 14. dnia, przy założeniu, że każdy z jej 3 najwierniejszych słuchaczy nakłoni codziennie 3 nowe osoby do odwiedzenia serwisu. Na razie nie przejmuj się rozwiązaniem tego równania.

.................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  137 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wielokrotne mnożenie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było napisanie równania, które pozwala obliczyć liczbę wejść na stronę Anki na koniec 14-dniowego okresu, przy założeniu, że każdy z jej 3 najwierniejszych słuchaczy nakłoni codziennie 3 nowe osoby do odwiedzenia serwisu.

ć Każdego dnia mnożymy liczbę wejś przez 3, ponieważ codziennie .................................................................................................................................................................................. angażowane są 3 nowe osoby.

Liczba wejść = 3 razy 3, codziennie przez 14 dni

liczba wejść = 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ° 3 ..................................................................................................................................................................................

tym pogubić. Oj, to dużo trójek… łatwo się w

Czat IM: Potgowanie To równanie jest olbrzymie.

Jola

Mamy 14 dni. Jeli kady, kto otrzyma ten e-mail, wejdzie na stron, bdziemy mieli 3 razy 3 dla kadego dnia. Nie do koca rozumiem dlaczego… Janek

Jola

OK. Zatem liczba wej w drugim dniu to dwie trójki pomnoone przez siebie. W 14. dniu bdziemy mieli 14 trójek.

Próbuj obliczy to na kalkulatorze, ale si gubi. Nie wiem, ile trójek wprowadziam.

ka An Anka

Janek

runda 1

runda 1

Jola

… Jola

Pogubiem si. O czym wy mówicie?

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

runda 2 runda 2 runda 2

runda 2

Co to takiego? Potgowanie to skrócony sposób przedstawiania mnoenia przez t sam liczb. Potgowanie take moesz wykona na kalkulatorze. Trzeba wprowadzi tylko dwie liczby, a nie rzd 14 liczb.

runda 2

runda 2

Istnieje lepszy sposób na wykonanie tego dziaania. Syszaa o potgowaniu?

Jola

138

runda 2

runda 1

Janek

Dokadnie tyle.

Jola

runda 2

1=3 dzień

Oto rysunek. Mamy na nim rozrysowane 2 pierwsze rundy.

Janek

Janek

=3 dzień 2 9 = razy 3

runda 2

Potęgowanie

Potgowanie z bliska Potęgowanie to specjalna notacja używana do wyrażania powtarzanego mnożenia. Tego właśnie potrzebujemy do obliczenia liczby wejść na stronę Anki, bez konieczności mnożenia wielu trójek: sposobu na wyrażenie wielokrotnego mnożenia przez 3. Liczba podnoszona do potęgi ma następującą postać: wykładnik

podstawa

x a = x : x : x... : x Taki zapis oznacza: pomnóż x przez siebie a razy.

Podstawa jest liczbą poddawaną mnożeniu (w przypadku Anki jest to liczba 3), natomiast wykładnik oznacza, ile razy powtarzamy mnożenie (w przypadku Anki — 14). Aby uzyskać wynik na kalkulatorze, musisz wprowadzić tylko te dwie liczby.

Konstruowanie równa Przepisz równanie Anki, korzystajc z notacji potgowania, i rozwi je (uycie kalkulatora w celu uzyskania wyniku to dobry pomys). zenia liczby Równanie do oblic Anki. isu rw se wejść do

liczba wej = 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  139 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Upraszczanie potęgowania

Konstruowanie równa Twoim zadaniem byo przepisanie równania Anki z wykorzystaniem notacji potgowania i rozwizanie tego równania. ! To jest 14 trójek

liczba wejść = 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3

................................................................................................................................................................................................. 3 jest podstawą, ponieważ ozna cza liczbę poddawaną mnożeniu.

aż 14 to wykładnik, poniewmy określa, ile razy mnoży trójkę przez siebie.

liczba wejść = 3 ................................................................................................................................................................................................. 14

liczba wejść = 314 = 4 782 969

Ponad 4 miliony wejść 14. dnia. To niezwykłe… ale niewystarczające.

.................................................................................................................................................................................................

To nie rozwiąże problemu. Aby uzyskać sponsoring, potrzebuję 5 000 000 wejść. Pomocy!

Siema, siostro! Mogę ci pomóc… Mam wielu przyjaciół. Widziałaś mój profil na Naszej Klasie?

Brat Anki, Olek.

140

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie

Czy Anka i Olek uzyskają wystarczającą liczbę wejść? Olek zaoferował Ance wysłanie kolejnej rundy e-maili. Rozpocznie od 3 przyjaciół, tak jak to zrobiła Anka, i spróbuje uzyskać 5 000 000 w 14 dni. Aby dowiedzieć się, ile wyniesie całkowita liczba wejść, trzeba ustalić, w jaki sposób zsumować obie grupy, z którymi pracuje Anka. W rozdziale 2. łączyliśmy wyrazy podobne, aby pomóc Pawłowi w jego wycieczce. Tutaj wykorzystamy ten sam pomysł. Jak pamiętamy z rozdziału 2., wyraz to dowolny fragment równania połączony za pomocą mnożenia bądź dzielenia. Ponieważ potęgowanie to tylko skrócona wersja mnożenia, oznacza to, że wyrazami podobnymi są wyrazy o tej samej podstawie oraz tym samym wykładniku. W przypadku potęgowania można łączyć wyrazy o tej samej podstawie. Spróbujmy pokazać, jak to działa.

Magnesiki matematyczne Napisz nowe równanie do obliczania liczby wej, jakie uzyska Anka wraz z Olkiem. Czy Anka uzyska teraz 5 000 000 wej? Anka skontaktowała się z 3 przyjaciółmi…

Teraz Olek również skontaktowa ł się z 3 przyjaciółmi.

= ................................................................................................................................................................. Niech w oznacza liczbę wejść.

w

=

w

=

2(

Potęgi o tej samej podstawie są wyrazami podobnymi.

)

................................................................................................................................................................. To jest całkowita liczba wejść.

.................................................................................................................................................................

Czy Anka i Olek uzyskają 5 000 000 wejść? .................................................................................................................................................................

Nie

14

14

9 565 938

3

14 +

3

3

5 000 000

w Tak

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

141

Mnożenie czy dodawanie

Magnesiki matematyczne. Rozwiązanie Napisz nowe równanie do obliczania liczby wej, jakie uzyska Anka wraz z Olkiem. Czy Anka uzyska teraz 5 000 000 wej? Anka skontaktowała się z 3 przyjaciółmi…

Teraz Olek również skontaktowa ł się z 3 przyjaciółmi.

14

14

=

w

3

+

3

................................................................................................................................................................. Niech w oznacza liczbę wejść.

14

w

=

w

=

2(

)

3

Potęgi o tej samej podstawie są wyrazami podobnymi.

................................................................................................................................................................. To jest całkowita liczba wejść.

9 565 938

................................................................................................................................................................. Tak

Czy Anka i Olek uzyskają 5 000 000 wejść? ................................................................................................................................................................. 5 000 000 Nie

Zaczekajcie. Dlaczego mamy tu 2(314), a nie (314)2?

Ponieważ (314)2 oznacza mnożenie, a nie dodawanie. Wyraz to fragment równania scalony za pomocą mnożenia. Oznacza to, że cały wyraz oznaczający potęgowanie jest interpretowany jako jedna grupa. 14

3 to jeden wyraz, a nie dwa.

Kiedy grupujesz ze sobą dwa wyrazy podobne, dodajesz je do siebie. Kiedy jednak weźmiesz te dwa wyrazy i użyjesz potęgowania (ta dwójka na końcu wyrazu (314)2), będzie to oznaczało ich mnożenie, a to nas nie interesuje. Popatrz:

314 + 314 = 2(314) Ten wyraz

142

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

plus ten wyraz

Pamiętaj! Potęgowanie oznacza mnożenie.

(314)2 = 314  314

oznacza dwa takie same wyrazy.

Ta notacja to inny sposób zapisu . 14 mnożenia 3 przez siebie 2 razy

Potęgowanie OK. Zatem (314)2 nie jest prawidłową odpowiedzią. Jak zatem rozwiązywać tego rodzaju problemy? Zgaduję, że można by zapisać bardzo długi ciąg trójek?

Cóż, tak by można, ale to bardzo dużo trójek… Zapisanie mnożenia ręcznie zadziała, ale nie jest zbyt wygodne. Zobacz, jak długi byłby taki ciąg trójek:

Bardzo wiele trójek…

^3 14h = 3 14 : 3 14 =^3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3h ^3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3h Ile wynosi wykładnik? Policz trójki =3 2

i wpisz wartość w ramce.

Ale zobacz, jest wzorzec! Oto jak można go zapisać:

^ x ah b = x a : b

żył Pomnóż 214 — to tak jakbyś mno k. tróje ciąg i dług ie sieb z prze

Wcześniej połączyliśmy potęgi o równych podstawach. Czy można robić jeszcze inne operacje dla potęg z równymi podstawami?

Potęgi o tej samej podstawie są WYRAZAMI PODOBNYMI. Oznacza to, że można je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Spróbujmy dzielenia:

3 14 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 = 3:3:3:3:3:3:3:3:3:3:3:3 3 12 =3 : 3 Rozpisu

jąc potęgo zobaczysz, ile cz wanie, z łatwością ynników możesz podzielić.

Zaostrz ołówek

Napisz ogólną postać wzoru na łączenie wyrazów podobnych. Pierwszy przykład zrobiliśmy za Ciebie.

3 + 3 = x a + x a = 2x a 14

14

^3 14h = 2

=

3 14 = 3 12

=

3 14 : 3 2 = x a : x b =

Możesz rozpisać potęgowanie, jeśli masz taką potrzebę, ale powinieneś obyć się bez tego.

jesteś tutaj  143 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Różne potęgi

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było zapisanie ogólnej postaci wzoru na łączenie wyrazów podobnych. W przypadku dzielenia wykładnik mianownika wystarczy odjąć licznika (to szybki spo od wykładnika wykładnika po podzie sób określenia leniu).

3 + 3 = x + x = 2x 14

14

a

^3 h =

(x )

a b

14 2

a

a

=

Wystarczy pomnożyć przez siebie dwa wykładniki…

xa

3 14 = 3 12

x

ab

x

b

a-b = x

3 : 3 = x a : x b = xa + b 14

2

3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 Rozpocznij od rozpisania potęg — to jest 16 trójek.

Olek zawodzi swoją siostrę

Anka, e zapomniaem przepraszam Ci, ale cakowici jeszcze tego o wysaniu tych maili. Do dzi osignicie nie zrobiem. Mam nadziej, e e. celu w dalszym cigu jest moliw Olek

Olek do trzeciego dnia nie wysłał e-maili do swoich przyjaciół. Oznacza to, że pozostało mu tylko 12 dni na dotrzymanie słowa danego siostrze. Czy Olkowi się to uda?

144

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie

Zaostrz ołówek Czy Ance uda się osiągnąć wymaganą liczbę wejść? Oblicz, ile wejść uzyska, jeśli wziąć pod uwagę to, że na działanie e-maili Olka pozostało już tylko 12 dni, a nie 14.

Zapisz nowe równanie i rozwiąż je: ....................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Jaka jest ogólna postać tego równania? ................................................................................................................................ Wykorzystaj litery x i y do ............................................................................................................................................................................................... oznaczenia podstaw oraz a i b do oznaczenia wykładników.

............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czy wyrazy podnoszone do potęgi mają taką samą podstawę?

Tak

Nie

Tak

Nie

ź. Zakreśl jedną odpowied

Czy Ance uda się uzyskać 5 000 000 wejść?

jesteś tutaj  145 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wyrazy podobne

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy Ance uda się osiągnąć wymaganą liczbę wejść? Oblicz, ile wejść uzyska, jeśli wziąć pod uwagę to, że na działanie e-maili Olka pozostało już tylko 12 dni, a nie 14.

w = 314 + 312

Olek ma dwa dni mniej, czyli 12.

Zapisz nowe równanie i rozwiąż je: .......................................................................................................................................

w = 4 782 969 + 531 441 E-mail Anki działa tak jak ............................................................................................................................................................................................... w poprzednim równaniu.

w = 5 314 410 ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

w = x + x Jaka jest ogólna postać tego równania? ................................................................................................................................ a

b

Tych wyrazów nie da się łatwo mają Wykorzy staj litery x i y do połączyć. Ponieważ te potęgi nie są ............................................................................................................................................................................................... oznaczenia podstaw oraz a i b takiego samego wykładnika, NIE do oznaczenia wykładników. wyrazami podobnymi.

............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czy wyrazy podnoszone do potęgi mają taką samą podstawę?

Tak

Nie Ale liczba ta zostanie przekroczona zaledwie o 314 410 wejść. Anka jest dość bliska wygranej.

Czy Ance uda się uzyskać 5 000 000 wejść?

Tak

Uff! Olek nie położył przedsięwzięcia. Teraz mogę jedynie czekać na osiągnięcie 5 000 000 wejść. Gdy tylko firma reklamowa to zobaczy, za kilka tygodni będę mogła kupić trochę sprzętu. Witaj, sklepie ze sprzętem Apple.

146

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nie

Potęgowanie

Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego potęgowanie nie jest po prostu mnożeniem? O: Ponieważ pozwala zaoszczędzić wiele pracy. Zapisywanie

wartości do wielokrotnego mnożenia jest żmudne i stwarza ryzyko popełnienia błędów. Kiedy liczba czynników osiąga duże wartości (na przykład przy wykładniku 14), bez potęgowania nie można się obyć.

P

: Dlaczego jeśli chce się dodawać bądź odejmować potęgi, muszą one mieć takie same podstawy i takie same wykładniki?

O: Ponieważ muszą być wyrazami podobnymi. Pamiętaj,

że potęgi to skrót dla mnożenia. Ze względu na kolejność wykonywania działań nie można dodać do siebie dwóch wyrażeń mnożenia bez wykonania wcześniej mnożenia… chyba że mamy do czynienia z wyrazami podobnymi. Wyrazy podobne można uprościć i stworzyć na ich podstawie jeden wyraz. Dokładnie w ten sposób wykonuje się dodawanie potęg o równych podstawach i równych wykładnikach!

P

: Gdzie występuje potęgowanie w kolejności wykonywania działań?

P

: W jaki sposób pracuje się z wykładnikami o różnych podstawach?

O

: Przyjrzymy się im bliżej za chwilę. Ostrzegamy jednak, że nie można zrobić zbyt wiele, aby uprościć wyrażenia tego typu. Jeśli mamy dwie podstawy, to mamy dwa różne wyrazy do pomnożenia, podzielenia, czy wykonania innych działań. Nie istnieje łatwy sposób łączenia takich wyrazów, ponieważ trzeba oddzielnie śledzić obie podstawy.

P

: Co zrobić, jeśli po podzieleniu potęg uzyskamy ujemny wykładnik?

O

: Doskonałe pytanie! Podczas dzielenia wyrażeń potęgowych odejmujemy ich wykładniki. Oznacza to, że możemy uzyskać ujemny wykładnik. Na szczęście, łatwo sobie z tym poradzić. Ujemny wykładnik to po prostu 1 przez dodatni wykładnik. A zatem:

2–1 to inaczej 1/2, x–25 to 1/x25 …i tak dalej.

O

: Na drugim miejscu. Ponieważ potęgowanie to dająca większe możliwości forma mnożenia, należy je wykonywać przed mnożeniem. Zatem mamy nawiasy, potęgowanie, a potem mnożenie i dzielenie.

jesteś tutaj  147 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Złe czasy dla Anki

Zawsze są czarne owce… Prowadzący Movie Podcast słyszeli o planach Anki dotyczących zwiększenia liczby subskrybentów i nie spodobało im się to. W końcu sponsoring, który Anka próbuje uzyskać, to mniej pieniędzy w kieszeni kierownictwa Movie Podcast. Z tego powodu zaczęła się rywalizacja.

Drodzy czterej najwierniejsi sucha cze Movie Podcast, StarTalk Podcast chce nam wykra reklamodawców! Jeli osign 5 000 000 wej w cigu nas tpnych 10 dni, nasz sponsor nas opuci.

Anka rozpoczęła swoją akcję, zanim ten e-mail został wysłany.

Musimy o niego walczy! Nie wchod cie na stron StarTalk i wylijcie ten e-mail do 4 uytko wników StarTalk Podcast z prob, by take tego nie robili . Jeli kady wyle e-mail do kolejnych 4 osób, zablok ujemy wystarczajco duo wej, aby plany naszej konkurencji si nie powiody! Dzikujemy, Movie Podcast

Każda osoba, która wejdzie na stronę Movie Podcast zamiast StarTalk Podcast, zabiera potencjalne wejścia. Co to oznacza dla Anki, która chce sprostać wymaganiom przyszłych sponsorów?

148

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie

Konstruowanie równa Poniewa Movie Podcast ma zamiar zabiera wejcia, policzmy, ile ich zostanie. Czy Ance uda si wypeni warunki sponsoringu, czy raczej bdzie miaa z tym kopoty?

Zapisz nowe równanie i rozwi je: Nie zapominaj o tym, co Anka i Olek zrobili do tej pory.

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

Czy Ance uda si uzyska 5 000 000 wej?

Tak

Nie

Zakreśl jedną odpowiedź.

Jeli nie, to ile nowych wej potrzebuje Anka, .......................................................................................................... aby uzyska planowane 5 000 000?

Zapisz równanie w postaci ogólnej:

............................................................................................................................ ............................................................................................................................ ............................................................................................................................

Ile rónych podstaw wystpuje w równaniu?

1

2

3

Ile rónych wykadników wystpuje w równaniu?

1

2

3

jesteś tutaj  149 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Więcej o potęgowaniu

Konstruowanie równa Poniewa Movie Podcast ma zamiar zabiera wejcia, policzmy, ile ich zostanie. Czy Ance uda si wypeni warunki sponsoringu, czy raczej bdzie miaa z tym kopoty? ailem Pierwotna liczba wejść do serwisu Anki.

Zapisz nowe równanie i rozwi je: Ojej! Akcja serwisu Movie Podc ast spowodowała wystarczająco dużo złego, aby liczba wejść do serw isu Anki spadła poniżej potrzebnego progu.

Wejścia związane z e-m Olka (dwa dni później). E-maile serwisu Movie Podcast: pozostało 10 w = 314 + 312 - 410 dni i każdy wysyła po 4 e-maile.

w = 4 782 969 + 531 441 - 1 048 576 w = 4 265 834

Tak

Czy Ance uda si uzyska 5 000 000 wej?

Nie zez Mniej niż ma teraz (pr t). ludzi z Movie Podcas

Liczba wejść, jakich potrzebuje Anka.

Jeli nie, to ile nowych wej potrzebuje Anka, 5 000 000 - 4 265 834 = 734 166 .......................................................................................................... aby uzyska planowane 5 000 000? obyć ponad Anka musi zdych wejść! w no 0 00 700

Zapisz równanie w postaci ogólnej:

w = 3 + 3 - 4 ............................................................................................................................ 14

12

10

inną Nowy wyraz ma inny AZ OR wę w = x + x - y podsta ............................................................................................................................ wykładnik. a

b

c

Te wyrazy są takie sam w poprzednim równaniu — mają tak e jak ............................................................................................................................ ą ale różne wykładniki. samą podstawę,

Ile rónych podstaw wystpuje w równaniu?

1

2

3

Ponieważ Anka i Olek wysłali e-maile do tej samej liczby osób, podstawa potęg w tych wyrazach jest taka sama. Serwis Movie Podcast, ze względu na krótszy czas, wysłał e-maile do większej liczby osób.

Ile rónych wykadników wystpuje w równaniu?

1

2

y trzech różnych Dlatego właśnie użyliśma wykładników. zmiennych do oznaczeni nie można ich Oznacza to również, że łatwo połączyć.

150

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

3

Potęgowanie

Ponieważ te wyrazy mają różne podstawy, nie można ich łączyć tak jak zmiennych.

Różne wyrazy = wyrazy NIE są podobne. Wyrazy o różnych podstawach nie są podobne (niezależnie od wykładników). Takie wyrazy nie mają ze sobą nic wspólnego. Są to potęgi, które nie dotyczą mnożenia tej samej liczby, niezależnie od tego, ile razy.

wcześniej, Jak przekonaliśmy się i ym obn pod i z wyrazam nia w przypadku potęgowa o mamy do czynienia tylk stawy, wtedy, gdy zarówno pod ne. rów JAK I wykładniki są

Nie możesz dodawać wykładników dla potęg o różnych podstawach Fragment równania Anki zawierający dwa wyrazy ma następującą postać:

c xb - y = ?

To jest fragment równania Anki.

Wiesz, że nie możesz dodać lub odjąć tych dwóch wyrazów, ponieważ nie są to wyrazy podobne. Mnożenia i dzielenia również nie można łatwo wykonać. Mnożenie wyrazów potęgowych zapisuje się poprzez umieszczenie ich obok siebie, w następujący sposób:

x b ^ y ch = x b : y c = x b y c y, ale inaczej To są takie same wyraz jednak ich żna mo Nie ne. zapisa wszystkich połączyć.

Dlaczego nie możemy po prostu wszystkiego połączyć, na przykład (xy)bc?

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

151

Najpierw potęgowanie

Zgodnie z kolejnością działań NAJPIERW wykonuje się potęgowanie Nie można podzielić podstaw i połączyć różnych wykładników, ponieważ każda podstawa musi pozostać przy własnym wykładniku. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań potęgowanie wykonuje się przed mnożeniem. Oznacza to, że wykładniki trzeba uprościć, zanim będzie można je połączyć z innymi elementami.

OK

To NIE jest poprawne.

x b ^ y ch = x b : y c = x b y c

x b y c ! ^ x : yh

Te działania są po ponieważ wykładn prawne, obok swoich pods iki występują taw.

bc

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Przetestuj pokazane wzory na prawdziwych liczbach — podstaw wyrazy 32 i 43. Czy możesz pokazać, że (32)(43) to nie to samo, co ((3)(4))(2)(3) bez obliczania dokładnego wyniku?

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy naprawdę muszę zapamiętywać te wszystkie reguły działań z potęgami?

O

: Nie, ponieważ zawsze możesz rozwiązać te równania oddzielnie, obliczając każdy z wyrazów. Jeśli jednak uda Ci się zapamiętać te reguły, będziesz mógł szybciej łączyć wyrazy podobne i rozwiązywać równania. Znacznie łatwiej jest połączyć wyrazy i wykonać jedno obliczenie. To o wiele lepsze od oddzielnego obliczania wielu wyrazów, zwłaszcza gdy wyrazy te można uprościć, ponieważ są to wyrazy podobne.

P

: Co zrobić, jeśli podstawy są różne, a wykładniki takie same?

152

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

O

: Cóż, w takim przypadku niewiele da się zrobić. Jeśli wykładniki są takie same, to każdy wyraz jest mnożony tę samą liczbę razy, zatem MOŻNA je uprościć w następujący sposób: xayya = (xy)a. Wzór ten działa tylko ze względu na własności przemienności i łączności. Potęgowanie to przecież mnożenie, zatem możemy zmienić kolejność, a wynik się nie zmieni.

P

: A zatem wracam do problemu z ramki „Wysil szare komórki”. Jak rozwiązać problem bez wykonywania obliczeń?

O

: Można to zrobić za pomocą zmiennych. Zatem zamiast 3 i 4 podstawiamy x i y. Otrzymujemy wtedy x2y3 = xyxyyyyyy. Natomiast (xy)(2)(3) = (xy)6 = xyyxyyxyyxyyxyyxy = xyxyxyxyxyxyyyyyyyyyyyy. Wystarczy rzut oka na te wyrażenia, aby stwierdzić, że nie są one sobie równe.

Potęgowanie Co mam zrobić z liczbą wejść, której potrzebuję? Potrzebuję o 734 166 wejść więcej, a pozostało mi tylko 9 dni. Jeśli nie uda mi się z tym sponsoringiem, to kto wie, ilu jeszcze subskrybentów stracę.

Anka potrzebuje kolejnej rundy e-maili. Ile e-maili powinna zatem wysłać? Pozostało jej tylko 9 dni. Anka musi znaleźć liczbę e-maili, które trzeba wysłać dziś, aby nadrobić straty spowodowane działaniami serwisu Movie Podcast.

Trzeba podejść do obliczania potęgi „wstecz” Wróćmy do równania Anki. Tym razem dysponujemy innymi danymi — liczbą potrzebnych wejść oraz liczbą pozostałych dni:

Liczba wejść.

Liczba e-maili dziennie na osobę.

a w = x

To jest ogólna postać wyjściowego równania.

Liczba dni.

Teraz podstawiamy dane, które znamy:

734 166

w = xa

Pozostało 9 dn i.

Co powinnam z tym zrobić? Nie potrafię obliczyć podstawy.

734 166 = x9 Teraz należy obliczyć x.

jesteś tutaj  153 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Pierwiastkowanie to także działanie odwrotne

Pierwiastkowanie to działanie ODWROTNE do potęgowania Potrzebujemy działania, które umożliwi rozwiązanie potęgi. Chcemy odpowiedzieć na pytanie, jaka liczba podniesiona do danej potęgi da nam pożądany wynik. Do tego potrzebne jest pierwiastkowanie. Znalezienie pierwiastka z liczby polega na znalezieniu takiej wartości, która po wielokrotnym pomnożeniu da nam pierwiastkowaną liczbę. W przypadku problemu Anki potrzebujemy wyznaczyć pierwiastek dziewiątego stopnia z obu stron równania. Dzięki temu wyizolujemy x i wyznaczymy liczbową wartość po drugiej stronie.

734, 166 = x 9

To jest nasze równanie wyjściowe.

9

734, 166 =

9

734, 166 = x

9

x9

W jaki sposób oblicza się ten szalony pierwiastek? Czy do tego trzeba być jakimś geniuszem?

Równanie Anki.

734 166 = x 9 Trzeba wyznaczyć pierwiastek dziewiątego stopnia.

Obliczamy pierwiastek stopnia z obu stron rówdziewiątego sposób pozbywamy się nania. W ten wykładnika 9 po prawej stronie.

Wiemy, że z tej strony powinien pozostać x, ponieważ stopień same pierwiastka i wykładnik są takie zą. znos się i wzajemnie

Pierwiastkowanie z bliska Nadszedł czas, aby wyjąć kalkulator. Dobrze się przyjrzyj — za jego pomocą z łatwością można obliczyć pierwiastek dowolnego stopnia z dowolnej liczby. Większość kalkulatorów pozwala na wprowadzenie pierwiastkowanej liczby, jak i stopnia pierwiastka (na przykład 9 lub 3).

Zapytaj nauczyciela lub poszukaj informacji w instrukcji kalkulatora.

Przyjrzyjmy się nieco bliżej pierwiastkom: pokazuje, Ten niewielki indeks yć noż pom eba trz y raz ile ypadku 2). pierwiastek (w tym prz

32 = 9 (czy widzisz związek?)

2

9=3

To jest symbol pierwiastkowania. Można go odczytać: „znajdź pierwiastek”.

To jest pierwiastek z liczby.

Powyższy zapis należy odczytać: „pierwiastek drugiego stopnia z liczby dziewięć wynosi trzy”. Pierwiastkiem jest liczba trzy. To tę liczbę trzeba pomnożyć dwukrotnie, aby uzyskać liczbę podpierwiastkową. Zatem aby znaleźć pierwiastek dziewiątego stopnia w równaniu Anki, wystarczy kalkulator.

154

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie

Zaostrz ołówek Nadeszła chwila prawdy. Ile dodatkowych e-maili powinna wysłać Anka? Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania?

Rozwiąż pierwiastek z równania Anki: ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Ile e-maili powinna wysłać Anka? .......................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania?

Tak

Nie

Dlaczego? ..............................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  155 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie i pierwiastkowanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Nadeszła chwila prawdy. Ile dodatkowych e-maili powinna wysłać Anka? Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania? kalkulatora, Wprowadź te liczby do wynik. a uzyskasz potrzebny

734,166 = x Rozwiąż pierwiastek z równania Anki: ................................................................................................................................... 9

4,4849 = x ............................................................................................................................................................................................... Ta liczba ma wiele miejsc po

............................................................................................................................................................................................... przecinku, ale to wystarczy, aby uzyskać obraz.

............................................................................................................................................................................................... Anka powinna wysłać 5 e-maili w pierwszej rundzie. Ile e-maili powinna wysłać Anka? .......................................................................................................................................... Musi wysłać więcej niż 4,4 e-maila. Zatem powinna wysłać 5 e-maili.

............................................................................................................................................................................................... ja, kiedy To jest kolejna sytuac , jaki jest należy pamiętać o tympowiedź tekst problemu. Od kon............................................................................................................................................................................................... aila. przypadku to 4,4849 e-m tym w

Czy istnieje sposób, aby Anka spełniła wymagania?

Tak

Nie erbować Anka może również zw jeśli będzie więcej przyjaciół Olka, liczby osób. potrzebowała większej

Oczywiście — musi wysłać e-maile do dodatkowych 5 osób! Dlaczego? ..............................................................................................................................................................................

Pięciu przyjaciół? Nie ma problemu! Zdobędę te e-maile bez trudu.

9 dni później Pomogłeś Ance uzyskać czek na pokaźną sumę! Serwis Anki bez problemu osiągnął 5 000 000 wejść. Sponsoring stał się faktem. Subskrybentów przybywa, a Anka może wybrać się do lokalnego sklepu ze sprzętem Apple. Następnym krokiem będzie kampania wideo w serwisie YouTube!

156

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie Nie istnieją

głupie pytania

P

: Wystarczy po prostu wprowadzić liczby do kalkulatora? Naprawdę?

O

: Istnieje kilka sposobów znajdowania pierwiastków z liczb. Są tabele, z których można je odczytać, a nawet sposoby ręcznego obliczania przypominające długie dzielenie. Mówiąc szczerze, to jednak sposoby ze starej szkoły. W większości przypadków kalkulator świetnie się sprawdza.

Innym sposobem wyznaczania przybliżeń pierwiastków jest znajomość kwadratów liczb całkowitych (2u2 = 4, 3u3 = 9 itd.). Dzięki temu możemy znaleźć wartości znajdujące się blisko tych, których szukamy.

P: Jakie jest odwrotne działanie

do potęgowania? Pierwiastek?

O

: Niezupełnie. Działaniem odwrotnym jest wyznaczanie pierwiastka. Pierwiastek to symbol działania. To tak jak kropka symbolizuje mnożenie.

P: W jaki sposób odczytuje się

pierwiastki bez numeru indeksu?

O: Należy założyć wartość indeksu

równą 2. To jest pierwiastek kwadratowy. Istnieje konwencja, według której, jeśli brakuje indeksu, mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym.

P

: Czy wykładnik może być ułamkiem?

O

: Tak. Oznacza to po prostu, że należy obliczyć pierwiastek z podstawy. Na przykład, potęga o wykładniku ½ to nic innego, jak pierwiastek kwadratowy. Podobnie 1⁄3 oznacza pierwiastek sześcienny itp.

P

: W moim kalkulatorze nie ma przycisku z pierwiastkiem dziewiątego stopnia. Co mogę z tym zrobić?

O: Możesz zapisać pierwiastek w postaci

potęgi o wykładniku ułamkowym. A zatem pierwiastek dziewiątego stopnia można 1 zapisać jako 9 734 166 lub jako (734 166).9 W większości kalkulatorów jest przycisk do obliczania potęg. Można zatem podnieść liczbę podpierwiastkową do potęgi (1/9) i uzyskać taki sam wynik.

P

: Czy zdarza się, że trzeba wyznaczyć wykładnik, a nie podstawę?

O

: Jeszcze nie na tym etapie poznawania algebry. Istnieją działania, które można wykonywać w celu rozwiązywania tego rodzaju problemów, ale wykraczają one poza ramy tej książki. Nie przejmuj się tym na razie (czyż nie jest miło usłyszeć coś takiego?).

P: Co z wykładnikiem o wartości 0? O: Każda liczba podniesiona do potęgi 0

daje jedynkę. Dlaczego? Jeśli powrócisz do dzielenia potęg, zobaczysz, że operacja ta polega na odjęciu wykładnika licznika od wykładnika mianownika. Jeżeli w liczniku i mianowniku znajdą się te same potęgi, będzie to równoważne z podniesieniem podstawy do potęgi 0. To zawsze jest liczba „1”.

P: Co z wykładnikiem o wartości 1? O: Każda liczba podniesiona do potęgi 1

daje samą siebie. Oznacza to, że wykładnik 1 jest domniemany dla KAŻDEJ liczby i KAŻDEJ zmiennej. Czasami warto o tym pamiętać.

P: Czy wykładnik może być ujemny? O: Tak — oznacza to potęgę

w mianowniku. Tak więc jak .

to nic innego,

To również ściśle wiąże się z odejmowaniem wykładników. Ponieważ wykładnik w liczniku ma wartość 0, otrzymujemy wykładnik ujemny.

P

: Czy można skorzystać z ujemnych wykładników w celu pozbycia się ułamków?

O

: Tak. Jeśli masz wyrażenie z ułamkami, możesz zapisać wyrazy z mianownikami w postaci potęg o wykładnikach ujemnych. Taka operacja pomaga tylko wtedy, gdy działania z potęgami wydają Ci się łatwiejsze od działań z ułamkami. Oczywiście niektórzy tak wolą i jest to całkowicie dopuszczalny sposób postępowania. Działa to również w drugą stronę. Jeśli uważasz, że działania na ułamkach są łatwiejsze od działań na potęgach, możesz zapisać potęgi o ujemnych wykładnikach w postaci ułamków.

P

: Słyszałem o pierwiastkach zasadniczych. Co to takiego?

O

: Kiedy mówimy o wyznaczaniu pierwiastka, w rzeczywistości myślimy o znalezieniu pierwiastka zasadniczego. Jest to dodatni pierwiastek z liczby. Tymczasem liczby mają inne pierwiastki. Najczęściej spotykane to pierwiastki ujemne. Na przykład, pierwiastek zasadniczy z liczby 9 wynosi 3, ale –3 jest również pierwiastkiem kwadratowym z 9, ponieważ (–3)(–3) = 9.

jesteś tutaj  157 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przerwa na kawę

Może krótka przerwa na kawę?

158

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie : 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

Zapisaliśmy działania z potęgami, o których będziemy mówili w kontekście ogólnych zmiennych. Dopasuj każde z wyrażeń do jego uproszczonej postaci.

Wzór ogólny

xa : xb ^ x ah b

xa - xb

Wersja uproszczona.

xa:b 2x a xa+b

xa xb

xa

xa + xb

xa-b

2x a - x a Wyrażenie jest już uproszczone.

xa yb jesteś tutaj  159 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Uprość wyrażenia : 7

?

7

KTO CO ROBI? 7

ROZWIĄZANIE

Zapisaliśmy działania z potęgami, o których będziemy mówili w kontekście ogólnych zmiennych. Dopasuj każde z wyrażeń do jego uproszczonej postaci.

Wzór ogólny

Wersja uproszczona.

xa : xb

x

^ x ah b Ponieważ potęgi nie mają równych podstaw i wykładników, nie można zrobić nic więcej.

xa xb x +x

Podniesienie potęgi do potęgi to po prostu więcej mnożenia.

2x a

xa - xb

a

a:b

xa+b

Tutaj dodajemy. Pamiętaj o tym.

xa b

Upraszczamy wyrazy podobne.

x

a-b

Tu należy wykonać odejmowanie, ponieważ mamy tę samą podstawę i operację dzielenia.

2x a - x a Potęgi nie mają równych podstaw ani wykładników. Także nie można zrobić nic więcej.

160

xa yb

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wyrażenie jest już uproszczone.

Potęgowanie

SPRÓBUJ BYĆ kalkulatorem Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę kalkulatora i wykonanie działań na liczbach w taki sposób, w jaki robi to kalkulator. Musisz zastosować to, czego się właśnie nauczyliśmy na temat wykładników ujemnych i podnoszenia podstaw do potęgi zerowej. Ponieważ udajesz kalkulator, nie używaj kalkulatora! ności Możesz użyć znaku rów e tego kilkakrotnie — obliczenisię wyrażenia może odbyć w kilku krokach.

ach Pamiętaj o własności wykładników…

14670 + 18561 =

22 + 23 =

22 : 23 =

Postaraj się znaleźć dwa sposoby obliczenia tego wyrażenia.

57 = 59 =

W tym przypadku także istnieje kilka sposobów rozwiązania tego problemu — spróbuj znaleźć dwa, jeśli możesz.

1 1 = 3 + 3 33 = = jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

161

Bądź kalkulatorem

SPRÓBUJ BYĆ kalkulatorem. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę kalkulatora i wykonanie działań na liczbach w taki sposób, w jaki robi to kalkulator. Musisz zastosować to, czego się właśnie nauczyliśmy na temat wykładników ujemnych i podnoszenia podstaw do potęgi zerowej. Ponieważ udajesz kalkulator, nie używaj kalkulatora! dodawać, jeśli Potęg nie można mej podstawy sa j kie nie mają ta wykładnika. i takiego samego

22 + 23 =

Te wyrazy mają taką samą podstawę, ale różne wykładniki. To jest OK, ponieważ wykonujemy mnożenie.

22 : 23 = zywać Nie trzeba było rozwią mi tki zys ws zadania a sposobami, ale było kilk prawidłowych metod.

Także w tym przypadku istnieje kilka sposobów rozwiązania tego problemu.

57 = 59 =

1 1 = + 33 33

=

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

1 + 1856 =

? 1857

Jedyne, co można zrobić, to rozp isać potęgi i dodać liczby.

2 •2 + 2 •2 •2 = 4 + 8 = 12 Kiedy mnożysz potęgi o równej podstawie, możesz dodać wykładni ki.

22 + 3 = 25 = 32

5 7-9 =

1 1 = 25 52

Następnie należy potraktować ujemne wykładniki tak jak mianowniki (można wykorzystać zarówno notację ułamkową, jak i dziesiętną).

5 7 - 9 = 5 -2 = 0,04

taci potęg Zapisz ułamki w pos Ponieważ o ujemnym wykładniku. podstawę ą potęgi mają taką sam ki, są to dni kła wy e sam ie i tak e. obn pod wyrazy

Rozdział 4.

14670 + 18561 =

Dowolna liczba 1 podniesiona do potęgi daje samą siebie.

Należy tu pamiętać o odejmowaniu wykładników.

=

162

Dowolna liczba podnie sio do potęgi 0 daje jedynk na ę.

W rezultacie otrzymam y ujemny wykładnik.

3-3 + 3-3 = 2(3-3) = 2 2 2 33 = 27 2 1 1 27 + 27 = 27

2 1 33 = 27

razy podobne Możesz uznać je za wy pierw je naj i ów mk uła i tac pos w ościć. dodać, a następnie upr

Mógłbyś też je najpierw uprościć bez korzystania z reguł dotycząc , ych potęg.

Potęgowanie

Rozdzia 4.

Niezbędnik algebraika Niniejszy rozdział dotyczył działań na potęgach.

we Wyrażenia potęgo wykładnik

podstawa

x = x : x : x... : x a

nóż x przez Taki zapis oznacza: pom y. raz siebie a

To są ogólne wzory działań na potęgach dla potęg o takich samych podstawach oraz o różnych podstawach.

x ax b = x a + b x a y a = ^ xy h a

^ x ah b = x ab

xa a-b or xb = x a xa x = ya c ym x0 = 1 x1 = x x - a = 1a x

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Potęgowanie to sposób na powtarzanie mnożenia.

Q

Podstawa to liczba poddawana mnożeniu.

Q

Wykładnik wskazuje, ile razy jest mnożona podstawa.

Q

Aby dodawać lub odejmować wyrażenia potęgowe, muszą one mieć tę samą podstawę i ten sam wykładnik.

Q

Dodawanie i odejmowanie takich wyrażeń to nic innego, jak upraszczanie wyrazów podobnych.

Q

Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, wystarczy dodać ich wykładniki.

Q

Aby podzielić potęgi o tej samej podstawie, należy odjąć od siebie ich wykładniki.

Q

Aby podnieść do potęgi potęgę, należy pomnożyć przez siebie wykładniki.

Q

Reguły postępowania z potęgami dotyczą liczb i zmiennych.

jesteś tutaj  163 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

164

Rozdział 4.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

5. Wykresy

Obraz jest wart tyle, co 1000 słów Na tym zdjęciu widać znacznie więcej niż uśmiech. Wystarczy się przyjrzeć.

Czasami równanie zaciemnia problem. Czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się, że spojrzałeś na równanie i pomyślałeś: „Ale co, u licha, to może znaczyć?”. W takich sytuacjach może Ci być potrzebna wizualna reprezentacja równania. Do tego właśnie służą wykresy. Dzięki nim można oglądać równania, a nie tylko je czytać. Na wykresie można dostrzec istotne punkty, na przykład kiedy zabraknie Ci pieniędzy lub ile czasu zajmie Ci zaoszczędzenie sumy potrzebnej na nowy samochód. W rzeczywistości dzięki wykresom można wykorzystać równania do podejmowania inteligentnych decyzji.

to jest nowy rozdział  165 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Strzyżenie trawników i plany finansowe

Firma Edka potrzebuje pomocy… Edek od kilku lat prowadzi własną firmę zajmującą się koszeniem trawników i strzyżeniem żywopłotów. Oto jak dziś wygląda jego działalność:

@ Edek bierze 12 zł za koszenie trawnika. @ Edek ma obecnie 7 klientów, u których strzyże trawniki co tydzień.

@ Edek strzyże każdy trawnik co tydzień. @ Edek otrzymuje wynagrodzenie co tydzień. To jest Edek.

Usugi Strzyenia Trawników Edek chciałby ule swoją kosiarkę. pszyć

Edek sporządził listę nowych rzeczy, które chciałby kupić, aby rozszerzyć swoją firmę — myśli długofalowo. Chciałby się dowiedzieć, kiedy będzie w stanie zakupić każdy z tych towarów. B Ostrzaka do kos: 336 z B Maszyna do strzyenia ywopotów: 168 z B Zbieracz do trawy: 504 z

166

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Potrzebuję pomocy. Muszę coś zaplanować, ale nie wiem, jak się do tego zabrać…

Edek potrzebuje pomocy, aby ZOBACZYĆ, jak będzie wyglądała jego przyszłość finansowa. Edek chce, abyś pomógł mu w zaplanowaniu terminów wykonania przyszłych zakupów. Pomóż mu w podjęciu decyzji o tym, jak szybko musi pozyskiwać nowych klientów, oraz w finansowym zorganizowaniu firmy. Masz wszystkie informacje o firmie Edka. Jego dochody, liczbę klientów oraz listę przedmiotów, które chce kupić. Brzmi jak równanie. Trzeba je tylko ułożyć…

WYTĘŻ UMYSŁ

Korzystając z informacji otrzymanych od Edka, ułóż ogólne równanie dla jego przychodów w ciągu następnych tygodni i miesięcy. aczenia Użyj litery „G” dla ozn dla „t” i a Edk ki ów got odni. oznaczenia liczby tyg

.......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... Postaraj się zrobić to jak najlepiej. Kiedy skończysz, odwróć kartkę.

jesteś tutaj  167 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równanie ogólne

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Korzystając z informacji otrzymanych od Edka, ułóż ogólne równanie dla jego przychodów w ciągu następnych tygodni i miesięcy. Ta wartość się zmienia. Oznaczym y ją literą „t” (od tygodnie).

Tyle Edek zarobił w ciągu podanego okresu. Oznaczmy to literą „G”.

Gotówka Edka = liczba wszystkich trawników tygodniowo razy cena skoszenia 1 trawnika razy liczba tygodni

..................................................................................................................................................................................................... znana Ta wartość jest zł G = (7 •12)t 12 rze bie ek — Ed ..................................................................................................................................................................................................... wnika za skoszenie 1 traików i strzyże 7 trawn G = 84t tygodnia. w ciągu .....................................................................................................................................................................................................

Teraz Edek może się dowiedzieć, ile zarobi gotówki w DOWOLNYM czasie Ponieważ mamy dwie zmienne, to ogólne równanie, które zapisaliśmy, może być wykorzystane na dwa sposoby. Jeśli Edek będzie znał czas zarabiania pieniędzy i będzie się chciał dowiedzieć, ile pieniędzy zarobi, będzie można podstawić znaną wartość czasu za t i wyznaczyć zmienną G. Z kolei, jeśli Edek będzie wiedział, ile pieniędzy chce zarobić, będziemy mogli mu powiedzieć, kiedy osiągnie tę kwotę, poprzez podstawienie planowanej kwoty za G i rozwiązywanie równania pod kątem zmiennej t.

Kiedy będę mógł kupić sobie maszynę do strzyżenia żywopłotów?

Podstaw za G, oblicz t. Wystarczy podstawić cenę maszyny do strzyżenia żywopłotów za G i obliczyć t.

Ogólne równanie przepływu gotówki w firmie Edka.

pisz W ramkę w artość. obliczoną w

168

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

C G = 84t 168 = 84t 84

84

=t

Tyle tygodni Edek musi strzyc trawniki, aby kupić sobie maszynę do strzyżenia żywopłotów.

Odpowiedź: 2

Maszyna do strzy żywopłotów kosz żenia tuje 168 zł.

Wykresy

OK. Doskonale. Co jednak z ostrzałką do kos? Albo koszem na trawę? Muszę się dowiedzieć, kiedy będę mógł pomyśleć także o tym sprzęcie.

Zaostrz ołówek Oblicz liczbę tygodni, jaką zajmie Edkowi zarobienie wystarczającej kwoty na ostrzałkę do kos lub na zbieracz do trawy. Wtedy Edek będzie miał obraz tego, co może zrobić.

Czas potrzebny na zebranie funduszy na ostrzałkę do kos: ................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Czas potrzebny na zebranie pieniędzy na zbieracz do trawy: ................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  169 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przyszłość finansowa Edka

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oblicz liczbę tygodni, jaką zajmie Edkowi zarobienie wystarczającej kwoty na ostrzałkę do kos lub na zbieracz do trawy. Wtedy Edek będzie miał obraz tego, co może zrobić.

Ostrzałka do kos kosztuje 336 zł, zatem to jest wartość G. Czas potrzebny na zebranie funduszy na ostrzałkę do kos: .......................................................................................................

G = 84t ............................................................................................................................................................................................... To jest dokładnie taki sam proc 336 = 84t es, korzystaliśmy wcześniej. Podstawi z jakiego amy kwot ę 84 84 gotówki, jakiej potrzebuje Edek, ............................................................................................................................................................................................... i obliczamy liczbę tygodni — t.

4 = t

............................................................................................................................................................................................... zenie kwoty OK. Zatem zaoszczęd cej do zakupu ostrzałki ają rcz sta wy ............................................................................................................................................................................................... 4 tygodnie. do kos zajmie Edkowi

Zbieracz do trawy jest drogi, kosztuje 504 zł. Czas potrzebny na zebranie pieniędzy na zbieracz do trawy: ................................................................................................ Znów to samo. Wystarczy podstawić 504 za G.

G = 84t ............................................................................................................................................................................................... 504 = 84t 84 84 ............................................................................................................................................................................................... Rzeczywi ście zbieranie pieniędzy zakup tego sprzętu potrwa najd na łużej. Zbieracz kosztuje 504 zł.

6 = t ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Doskonale. Udało nam się. Jeśli Edek będzie potrzebował podkaszarki, powtórzymy obliczenia. To samo będzie trzeba zrobić dla nowych noży. I każdego innego sprzętu… czy NIE ma sposobu na uniknięcie ciągłego powtarzania tych samych czynności?

170

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Dlaczego po prostu nie POKAŻECIE mi odpowiedzi? A gdyby tak znaleźć sposób, by spojrzeć na wartość — na przykład cenę określonego przedmiotu — a następnie sprawdzić, jaka wartość t odpowiada tej kwocie? W rzeczywistości istnieje sposób pokazania wszystkich możliwych wartości dla równania. Wykres pozwala narysować wszystkie dopuszczalne punkty równania. Następnie można sprawdzać wartości w różnych punktach, w miarę gdy będą potrzebne. Na wykresie można zobaczyć, ile pieniędzy zarobi Edek w dowolnym czasie, i w efekcie powiedzieć mu, czy może sobie na coś pozwolić, bez konieczności ciągłego rozwiązywania tego samego równania. Zacznijmy od zebrania informacji, które znamy, i narysowania ich na układzie współrzędnych.

Te punkty możemy wykreślić na układzie współrzędnych.

Ja Produkt Cena (zł) k długo Ostrzałka 4 tygodnie 336 do kos Maszyna do 2 168 strzyżenia żywopłotów Zbieracz 6 504 do trawy

To są liczby, które już obliczyliśmy.

Wykreśl dwa pozostałe punkty, aby sprawdzić, czy dobrze rozumiesz, o co chodzi.

G (gotówka Edka)

Zobacz, gdzie powinn a liczba 336, a następnie znaleźć się na linii odpowiadającej wykreśl ją 4 tygodniom. (4, 336)

t (tygodnie)

Odpowiedzi na nastpnej stronie. jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

171

Połącz punkty

Wykres przepływu gotówki w firmie Edka G (gotówka Edka)

(6, 504)

Ja Produkt Cena (zł) k długo Ostrzałka 4 tygodnie 336 do kos Maszyna do 2 168 strzyżenia żywopłotów

(4, 336)

(2, 168 )

Zbieracz do trawy

504

6

t (tygodnie)

Też coś! Jak może mi pomóc ten zbiór kropek? W dalszym ciągu nie widzę sposobu znalezienia czasu, jakiego Edek potrzebuje, by kupić sprzęt, który kosztuje na przykład 255 zł.

Co z punktami, które jeszcze nie zostały wykreślone? Trzeba znaleźć wartości dla tych punktów, których jeszcze nie ma na wykresie. Popatrzmy jednak na te, które już mamy… wydaje się, że tworzą prostą linię. Jeśli narysujesz linię, która łączy wszystkie te punkty, będziesz mógł skorzystać z nich do obliczenia różnych wartości czasu i cen. Na przykład, z łatwością odpowiesz na pytanie, kiedy Edek będzie mógł kupić sobie nauszniki do tłumienia hałasu, które kosztują 255 zł. Wystarczy wykreślić linię i zobaczyć, w którym punkcie osiąga ona wartość 255 zł. ącą Wykreśl linię przechodz … przez te punkty. Śmiało

172

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Wykresy pokazują CAŁĄ relację Po dodaniu linii do wykresu złożonego z wyznaczonych punktów okazało się, że narysowaliśmy wykres relacji pomiędzy G (gotówka Edka) a t (liczba tygodni, przez które Edek kosi trawę): G (gotówka Edka)

(6, 504)

(4, 336) To są punkty, które j. wykreśliliśmy wcześnie

(2, 16 8)

t (tygodnie)

Istnieje coś jeszcze, co opisuje całą relację Można również określić równanie, które opisuje całą relację pomiędzy G a t:

G = 84t Okazuje się, że to, co narysowaliśmy — układ współrzędnych z linią i punktami — to w rzeczywistości wykres równania. Pokazuje on równanie w sposób graficzny i określa relację zachodzącą pomiędzy wielkościami G i t. Poza tym wykres pokazuje trend równania: ogólny kierunek, w jakim zmierza relacja. Wykres Edka pokazuje trend wzrostowy. Oznacza to, że Edek zarobi tym więcej pieniędzy, im dłużej będzie kosił trawniki (co oznacza, że będzie kontynuował prowadzenie firmy, oszczędzał coraz więcej pieniędzy itd.). Teraz, kiedy Edek będzie chciał coś kupić, wystarczy, że spojrzy na wartość zmiennej G, która go interesuje. Przyjrzyjmy się dokładnie, jak to działa…

jesteś tutaj  173 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Narysuj wykresy równań

BĄDŹ planistą Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę planisty finansowego. Skorzystaj z wykresu przepływu gotówki przygotowanego dla Edka, aby pokazać, kiedy może on zaplanować przyszłe zakupy. Tym razem nie potrzebujesz ŻADNYCH obliczeń — wykres wykona pracę za Ciebie! G (gotówka Edka)

(6, 504)

G = 84t (4, 336)

(2, 168 )

t (tygodnie)

Ile czasu potrzeba, aby Edek mógł sobie kupić nauszniki do tłumienia hałasu za 255 zł? Nie staraj się odczytywać dokładnej

............................................................................................................................................................................................... wartości — oszacuj tylko czas w tygodniach.

Edek myśli o zakupie nowej kosiarki. Jej cena wynosi 375 zł. Kiedy będzie mógł ją kupić? ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

174

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy wykres równania to linia, czy osobne punkty?

O

: Jedno i drugie. Linia składa się z nieskończonej liczby punktów. Dla Edka wyliczyliśmy zaledwie kilka punktów z tej relacji. Po wykreśleniu linii przedstawia ona wykres całego równania.

Równania i wykresy demonstrują relację pomiędzy zmiennymi. W tym przypadku zmiennymi są G i t. Wykresy i równania to różne sposoby przedstawiania tej samej rzeczy.

P: Skąd mam wiedzieć, gdzie

wykreślić punkty, jeśli nie leżą one dokładnie na linii siatki układu współrzędnych?

O

: Nie przejmuj się! Spójrz tylko na liczby pod osią (oś jest linią na krawędzi wykresu, która informuje o liczbach odpowiadających poszczególnym liniom siatki) i oszacuj, gdzie powinien się znaleźć wykreślany punkt. Jeśli wystarczająco dokładnie wykreślisz punkty, wykres będzie wystarczająco dobry, by z niego korzystać.

Inna rzecz to fakt, że wykresy nie zawsze mają tak duży zakres, jak w przypadku wykresu Edka. Edek rozpatruje problemy długofalowo. W przypadku wykresów, na przykład tylko z zakresu 0 – 10, jest o wiele łatwiej dokładnie wyznaczyć punkty.

P

: Czym jest trend? Czy mógłbym jeszcze raz usłyszeć, co to jest?

O

: Trend to po prostu ogólny kierunek linii. Jeśli wykres idzie w górę, oznacza to, że w miarę wzrastania jednej zmiennej wzrasta także druga. Jeżeli zaś idzie w dół, oznacza to, że im jedna zmienna jest większa, tym druga mniejsza.

P

: Skąd mam wiedzieć, jaką liczbę wykreślić na dolnej osi, a jaką na bocznej?

O

: Zazwyczaj każda z osi na wykresie jest oznaczona — na przykład „czas”, „liczba tygodni” lub „Gotówka Edka”. Kiedy zobaczysz te oznaczenia, będziesz mógł wykreślić każdą z wartości na właściwej osi.

Jeśli osie nie są oznaczone, powinieneś je oznaczyć! Jeśli równanie oznacza relację pomiędzy x a y, to x jest osią poziomą, a y — pionową. W przypadku gdy Twoje zmienne są inne, wstrzymaj się — nauczysz się sposobu identyfikacji struktury równania liniowego. Wtedy będziesz mógł łatwo stwierdzić, która zmienna zachowuje się jak x i jest pozioma.

P

: Czy na wykresie można pokazać dowolne zmienne?

O

: Tak samo jak w przypadku równań można wykorzystać dowolne zmienne. Najczęściej stosowane to x i y, przy czym x zwykle oznacza oś poziomą, natomiast y — pionową. Można jednak wykorzystać dowolne litery.

P

: Czy za każdym razem najpierw trzeba wyznaczyć kilka punktów? Czy też istnieje sposób, aby od razu wykreślić linię?

O

: Nie musisz zawsze zaczynać od wykreślania punktów. Poznamy metody, które nie wymagają wykonywania ŻADNYCH obliczeń. Po zapoznaniu się z nimi będziemy mogli stworzyć wykres dowolnego równania, tylko na nie patrząc. Najpierw jednak będziesz potrzebował trochę więcej informacji…

Równania i wykresy demonstrują różne sposoby pokazywania relacji pomiędzy dwiema zmiennymi.

jesteś tutaj  175 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaplanuj przyszłość

BĄDŹ planistą. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę planisty finansowego. Skorzystaj z wykresu przepływu gotówki przygotowanego dla Edka, aby pokazać, kiedy może on zaplanować przyszłe zakupy. Tym razem nie potrzebujesz ŻADNYCH obliczeń — wykres wykona pracę za Ciebie! G (gotówka Edka)

Nowa kosiarka kosztuje 375 zł.

G = 84t

Aby oszacować czas, po którym można będzie kupić nauszniki, zacznij od wartości 255 zł w tym miejscu i odczytaj punkt z osi t.

t (tygodnie)

Ile czasu potrzeba, aby Edek mógł sobie kupić nauszniki do tłumienia hałasu za 255 zł? 3 tygodnie.

...............................................................................................................................................................................................

Edek myśli o zakupie nowej kosiarki. Jej cena wynosi 375 zł. Kiedy będzie mógł ją kupić? Za 4 do 5 tygodni. Zatem w praktyce — po 5 tygodniach. ...............................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................

176

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

OK. Doskonale. Teraz wiem, na czym stoję, i mogę zaplanować ekspansję.

Wykres daje wszystkie potrzebne odpowiedzi. Wystarczy spojrzeć, aby poinformować Edka o tym, kiedy będzie mógł sobie pozwolić na różne rzeczy. Edek może teraz przystąpić do sezonu koszenia traw i zacząć oszczędzać na zakup nowych akcesoriów.

G (gotówka Edka)

zbieracz do trawy

G = 84t ostrzałka do kos

Nauszniki

t (tygodnie)

Czasami jednak coś się zmienia… na przykład można złamać nogę podczas wycinania chwastów…

jesteś tutaj  177 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nowe okoliczności — nowe równania

Przewróciłem się na nierówności terenowej i złamałem nogę. Gips zdejmą mi dopiero za 10 tygodni. Moim klientom trzeba jednak kosić trawę!

Edek potrzebuje podwykonawcy. Edek nie może sobie pozwolić na to, by już na początku lata stracił wszystkich klientów. Pracuje dopiero od 3 tygodni, a tu zanosi się, że przez następne 10 tygodni nie będzie mógł wykonywać pracy. Na szczęście jego brat zgodził się mu pomóc… za 19 zł od trawnika! Mimo że Edek otrzymuje tylko 12 zł za trawnik, postanowił za wszelką cenę utrzymać działalność firmy. W związku z tym będzie musiał pokryć różnicę w cenie strzyżenia każdego trawnika z własnej kieszeni.

Nowa sytuacja wymaga nowego równania

Brat Edka wie, że Ede k nie ma wyjścia!

Edek ma w banku pieniądze z 3 tygodni koszenia trawników…

Edek musi się dowiedzieć, ile pieniędzy ma w banku oraz przez jaki czas będzie mógł sobie pozwolić na to, by płacić swojemu bratu. Edek otrzymuje 12 zł za skoszenie każdego trawnika, a jego brat chce od niego po 19 zł, zatem dopóki Edek nie dojdzie do pełnej sprawności, będzie musiał dopłacać do każdego trawnika po 7 zł.

Czy Edek moe sobie pozwoli na pacenie bratu, dziki czemu utrzyma swoich klientów? Twoim zadaniem jest narysowanie nowego wykresu pokazującego zmienioną sytuację Edka — konieczność płacenia pieniędzy zamiast ich zarabiania — przez 10 tygodni. Czy Edkowi zabraknie pienidzy, zanim zdejm mu gips? Sytuacja ma trwać tylko przez 10 tygodni, ale Edek nie ma nieskończonej kwoty pieniędzy. Ile zostanie Edkowi po upływie 10 tygodni?

178

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Ćwiczenie

Opracuj z Edkiem plan awaryjny. Oblicz, ile pieniędzy ma Edek, ile będzie go kosztowało wynajęcie brata oraz kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy.

Gotówka Edka = Oszczędności+Przychody Edka–koszty wynajęcia brata Napisz nowe równanie przepływu gotówki dla Edka: ........................................................................................................................ Użyj oznaczeń G i t, tak jak wcześniej — powinieneś jednak uwzględnić kwotę, od której ........................................................................................................................................................................................................... Edek zaczął, i odjąć wydatki, które poniósł.

........................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... Kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy? ................................................................................................................................................... Stanie się to w momencie, gdy G = 0.

........................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................................

Czy w tym czasie Edek będzie już miał zdjęty gips? (zakreśl jedną odpowiedź)

Tak

Nie

Jeśli Edek będzie w dalszym ciągu w gipsie, to w jaki sposób obliczysz wysokość długów, w które popadnie? ................................... Wynotuj spostrzeżenia dotyczące sposobów, w jaki można by

to obliczyć. Nie używaj liczb. ...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  179 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Za pomocą równań można przewidywać przyszłość

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Opracuj z Edkiem plan awaryjny. Oblicz, ile pieniędzy ma Edek, ile będzie go kosztowało wynajęcie brata oraz kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy.

Gotówka Edka = Oszczędności+Przychody Edka–koszty wynajęcia brata ........................................................................................................................ Wydatki na brata Edka = 19 zł za trawnik •7 = 133 zł Edek zarobił 7 •12 zł tygodniowo przez tygodnie, tzn. 3 •7 •12 zł = 252 zł „G”. 3 jest To 84t •liczba trawników na tydzień = 133t ...........................................................................................................................................................................................................

my ostatnim razem.

G = 252 + 84t - 133t To obliczyliś ........................................................................................................................................................................................................... G = 252 - 49t

...........................................................................................................................................................................................................

0 = 252 - 49t Kiedy Edkowi zabraknie pieniędzy? ................................................................................................................................................... Jeśli rozwiążemy równanie dla G = 0,

49t + 0 = 252 - 49t + 49t

to otrzymamy wartość t wskazują ........................................................................................................................................................................................................... cą, kied y Edkowi zabraknie pieniędzy.

49t = 252 49 49

........................................................................................................................................................................................................... sc Ta liczba dziesiętna ma wiele miej zenia. po przecinku, ale to nie ma znac zatem 5 t = 5,142... ........................................................................................................................................................................................................... Chcemy wyznaczyć liczbę tygodni,zią. jest szukaną przez nas odpowied

Tak

Nie

Edek będzie miał nogę w gipsie przez 10 tygodni, zatem w połowie tego okresu zabraknie mu pieniędzy.

Jeśli Edek będzie w dalszym ciągu w gipsie, to w jaki sposób obliczysz wysokość długów, w które popadnie? ................................... Tu nie ma nieprawidłowej odpowiedzi — chcieliśmy tylko, żebyś zaczął myśleć. ...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

180

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy W jaki sposób mógłbym przewidzieć, w jak wysokie długi popadnę? Czy możesz stworzyć kolejny wykres?

Narysuj wykresy! Narysuj wykres dla nowego równania przepływu gotówki w firmie Edka.

G = 252 - 49t jeśli G = 0, to t = 5,142 Potrzebny jest jeden dodatkowy punkt, tak aby można było narysować linię. Spróbuj podstawić t = 0. Łatwo wtedy obliczyć G. Po zaznaczeniu tych dwóch punktów możesz narysować linię — to jest wykres równania.

To jest obszar robocz y, gdybyś go potrzebował.

..........................................................................................................................

.............................................................................................................................

G (gotówka Edka)

t (tygodnie)

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

181

Narysuj wykres Narysuj wykresy! Rozwizanie

G = 252 - 49t jeśli G = 0, to t = 5,142 Potrzebny jest jeden dodatkowy punkt, tak aby można było narysować linię. Spróbuj podstawić t = 0. Łatwo wtedy obliczyć G.

G = 252 - 49t 0 G = 252 - 49(0)

Więc, dla t = 0, G = 252 G (gotówka Edka)

) (0, 252 G = 252 - 49t

( 5, 0) t (tygodnie)

? 182

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Edkowi zdejmą gips w 10. tygodniu — zatem ile będzie wynosił jego dług? Czy można to odczytać z wykresu?

Wykresy

Trzeba rozszerzyć wykres, aby odczytać ostatnią wartość. Gdyby wartości G spadały, wykres byłby OK, ale Edek ma dług, zatem wartość G będzie mniejsza od zera.

Kartezjański układ współrzędnych pozwala na reprezentowanie wartości PONIŻEJ zera Na wielu wykresach trzeba przedstawiać liczby ujemne. Standard matematyczny do rysowania wykresów nazywa się kartezjańskim układem współrzędnych. W kartezjańskim układzie współrzędnych na obu osiach mogą występować wartości ujemne, co oznacza, że zmienne także mogą być mniejsze od zera. Oto jak wygląda kartezjański układ współrzędnych: To jest oś y. To jest numer ćwiartki .

II Ćwiartka II jest obszarem, w którym wartości x są ujemne, a wartości y — dodatnie.

III zarem, Ćwiartka III jest obs e tki zys w którym ws jak i y, wartości, zarówno x, są ujemne.

I układu To jest początek środkowa — ch ny ęd łrz pó ws część wykresu.

Ćwiartka I jest obszarem, w którym wszystkie wartości są dodatnie.

To jest oś x.

IV Ćwiartka IV jest obszarem, w którym wartości x są dodatnie, a wartości y — ujemne.

Dla równania opisującego dług Edka są nam potrzebne wartości ujemne. jesteś tutaj  183 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kartezjański układ współrzędnych

Narysujmy równanie Edka na układzie współrzędnych To, że podczas tworzenia wykresu dla Edka zaczęliśmy od jednej ćwiartki układu współrzędnych, nie oznacza, że musimy pozostać w tej ćwiartce. Jeśli narysujemy wykres Edka w kartezjańskim układzie współrzędnych, będziemy mogli odczytać wartość długu, jaki osiągnie Edek. Kiedy po raz pierwszy narysowaliśmy wykres Edka, stworzyliśmy siatkę i wykreśliliśmy znane punkty. Każdy punkt stanowił uporządkowaną parę: liczbę, po której występowała kolejna liczba. Parę tę zapisywaliśmy w następujący sposób: (0, 252). Pierwsza liczba oznacza współrzędną na osi poziomej, natomiast druga — na osi pionowej. Nawiasy informują nas, że liczby te są ze sobą powiązane. Zatem każdy punkt na wykresie Edka jest parą (t, G), gdzie t oznacza czas, natomiast G to gotówka Edka: W standardowym kartezjańskim układzie współrzędnych to jest oś y.

G (gotówka Edka)

G = 252 - 49t

) (0, 252

Aby dojść do tego pun należy przejść w górę ktu, nad wartością 0 o 252 jednostki.

Para uporządkowana.

(5, 0)

t (tygodnie)

W standardowym kartezjańskim układzie współrzędnych to jest oś x.

Wykres Edka ma dwa punkty PRZECIĘCIA Równanie liniowe wyraża relację pomiędzy dwiema zmiennymi — na przykład pomiędzy ilością gotówki a czasem. Linia reprezentująca równanie liniowe zawiera punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych. W miejscu, w którym G = 0, mamy punkt przecięcia z osią t. W miejscu, w którym t = 0, mamy punkt przecięcia z osią G. Standardowo określa się je jako punkty przecięcia z osiami x i y, ponieważ litery x i y są standardowymi oznaczeniami osi poziomej i pionowej.

184

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy Hej! W jaki sposób można rozszerzyć wykres na pozostałe ćwiartki? Nie mamy tam żadnych punktów, przez które można by przeprowadzić linię.

Linie są nieskończone. Po wyznaczeniu dowolnych dwóch punktów dla równania możesz narysować przez nie linię. Jest to wykres równania liniowego. Linie jednak nie mają nigdzie końca. Jeśli nic się nie zmienia, to biegną do nieskończoności. To, że dwa punkty wyznaczają linię, ma sens, ale dlaczego tak jest? Ponieważ linia, aby została dokładnie wyznaczona, wymaga punktu i kierunku. Przez jeden punkt można przeprowadzić linie we wszystkich kierunkach, które przechodzą przez ten punkt. Po wyznaczeniu drugiego punktu, wiesz, w jakim kierunku musi przechodzić linia, aby biegła przez obydwa punkty. Aby wykreli lini prost: 1

Wykrel dwa punkty speniajce warunki równania.

2

Narysuj lini prost, która przechodzi przez obydwa punkty (i wykracza poza nie). Linia prosta biegnie w nieskończoność w obu kierunkach, dlatego linia, którą rysujesz, musi przechodzić przez obydwa narysowane punkty.

3

Dodaj strzaki po obu stronach prostej. Strzałki wskazują, że linia biegnie poza część równania reprezentowaną na wykresie.

Prawda o równaniach liniowych… Równanie liniowe definiuje linię prostą. Oznacza to, że każde równanie tego typu pokazane na wykresie tworzy linię prostą. Aby zidentyfikować równanie liniowe, wystarczy na nie spojrzeć: jeśli znajdują się w nim jedna lub dwie zmienne i jeśli wykładnik tych zmiennych wynosi 1 oraz wszystkie wyrazy są stałymi bądź stałymi pomnożonymi przez zmienne, to jest równanie liniowe. Kiedy spojrzysz na dowolne równanie i stwierdzisz, że jest ono liniowe, wykreśl dwa punkty i narysuj prostą. Rozpocznij od ustawienia jednej zmiennej na 0 i oblicz drugą zmienną. Następnie zamień zmienne miejscami: podstaw pod drugą zmienną zero i oblicz wartość pierwszej. W ten sposób wyznaczysz dwa punkty przecięcia wykresu z osiami. Następnie możesz wykreślić linię prostą przez te dwa punkty i wykres jest gotowy.

Równanie Edka jest liniowe: G = 252 - 49t re Wszystkie wyrazy, któ o alb w nim występują, to h jedna z dwóch zmiennyc pomnożona przez stałą, albo sama stała.

jesteś tutaj  185 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Celne spostrzeżenia i pytania Nie istnieją

głupie pytania

P

: Dlaczego punkty przecięcia wykresu z osiami są tak istotne?

O

: Ponieważ są to elementy, które ułatwiają życie. Czy kiedykolwiek zauważyłeś, że jeśli wykorzysta się zero, to równania stają się łatwiejsze? Ponieważ punkty przecięcia z osiami x i y umożliwiają ustawienie jednej ze współrzędnych w równaniu na zero, znalezienie punktów wykresu staje się dzięki nim dość łatwe.

P: Słyszałem o tabeli wartości.

Co to takiego?

O

: Tabela wartości to bardziej formalny sposób rozwiązania równania w celu uzyskania punktów do wykorzystania na wykresie. Zazwyczaj tworzy się tabelę, która zawiera kolumny odpowiadające wartościom x, y oraz wartości równania. Podstawia się wartości za x i oblicza y lub odwrotnie. W rzeczywistości bardzo podobnie zrobiliśmy w przypadku równania Edka. Ten sposób jest tylko trochę bardziej sformalizowany.

Największą różnicą pomiędzy wykorzystaniem tabeli wartości a rozwiązywaniem tylko w oparciu o punkty przecięcia z osiami jest szybkość. W przypadku szukania punktów przecięcia wyznacza się tylko dwa, łatwe do znalezienia punkty. Zazwyczaj można to zrobić bardzo szybko.

P

: A co z równaniami zawierającymi więcej niż dwie zmienne?

O

P

: Dlaczego poszczególne ćwiartki są opisane liczbami rzymskimi?

O

: Są to wykresy trójwymiarowe, którymi w tej książce nie będziemy się zajmować! Nie ma potrzeby, by przejmować się tego rodzaju wykresami w algebrze.

: To jest po prostu standardowa notacja — wszyscy matematycy, mówiąc o wykresach, używają rzymskich liczb.

P: Czy istnieje sposób sprawdzenia

: Czy istnieją standardowe zmienne dla każdej osi?

O: Tak. Najprostszym sposobem jest

: Tak. Zwykle oś pozioma jest oznaczana literą x, natomiast oś pionowa literą y. Nie oznacza to jednak, że tak musi być. W równaniu Edka wykorzystaliśmy litery G i t — nie ma przeszkód, by używać takich oznaczeń.

poprawności wykresu?

próba rozwiązania równania w innym punkcie i sprawdzenie, czy punkt znajduje się na tej samej linii. W naszym przykładzie, jeśli podstawimy za x = –1 i poszukamy y, to wartość y, którą uzyskamy, powinna znajdować się na linii prostej. Jeśli jest poza prostą, oznacza to, że coś jest nie w porządku.

P

: Dlaczego ten układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim?

P O

Kartezjański układ współrzędnych pokazuje tylko relacje pomiędzy dwiema zmiennymi. Można zamienić miejscami zmienne x i y w równaniu lub zmienić oznaczenia każdej z osi na wykresie.

O

: Ten standardowy sposób przedstawiania współrzędnych został opracowany przez Rene Descartes’a w 1637 w ramach jego pracy na temat związków pomiędzy algebrą i geometrią. Układ ten doskonale się sprawdza, ponieważ pozwala na tworzenie figur (na przykład linii), które można opisać za pomocą równań algebraicznych.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Typowe zmienne używane na wykresach to x dla osi poziomej oraz y dla osi pionowej.

Q

Aby wyznaczyć punkt przecięcia wykresu z osią y, należy podstawić za x wartość 0 i obliczyć y.

Q

Punkt przecięcia z osią x to punkt o współrzędnych (x, 0).

Q

Q

Aby wyznaczyć punkt przecięcia wykresu z osią x, należy podstawić za y wartość 0 i obliczyć x.

Pary uporządkowane przedstawia się jako (x, y). Pierwsza jest współrzędna na osi x, a za nią współrzędna na osi y.

Q

Linie są definiowane przez dwa punkty i są nieskończone.

Q

186

Punkt przecięcia z osią y to punkt o współrzędnych (0, y).

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Zaostrz ołówek Używając pełnego kartezjańskiego układu współrzędnych, odczytaj z wykresu Edka, na jaką kwotę będzie zadłużony za 10 tygodni.

G (gotówka Edka)

G = 252 - 49t

t (tygodnie)

mą gips Edkowi zdej i. za 10 tygodn

Wartość tę można odczytać z wykresu. Nie jest nam potrzebna bardzo dokładna wartość.

Ile będzie wynosił dług Edka? ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... Kiedy Edkowi zdejmą gips, będzie znów zarabiał 84 zł tygodniowo. Ile czasu zajmie mu spłata długu? ......................................................................................................................................... Aby znaleźć odpowiedź na to pytanie, ............................................................................................................................................................................................... powrócić do wyjściowego należy równania Edka G = 84t.

...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  187 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Edek jest na minusie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Używając pełnego kartezjańskiego układu współrzędnych, odczytaj z wykresu Edka, na jaką kwotę będzie zadłużony za 10 tygodni. G (gotówka Edka)

G = 252 - 49t

s Edkowi zdejmą gip i. dn go ty 10 za

t (tygodnie)

To jest około -250

Edek będzie zadłużony na około 250 zł.

Ile będzie wynosił dług Edka? ................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

G = 84t ............................................................................................................................................................................................... Kiedy Edkowi zdejmą gips, będzie znów zarabiał 84 zł tygodniowo.

250 = 84t Ile czasu zajmie mu spłata długu? ......................................................................................................................................... cy

k czasu wystarczają Musimy znaleźć odcineW związku z tym 250 = 84t zł. 250 a do zarobieni wartość, ną zna ia nan 84 84 rów do ............................................................................................................................................................................................... podstawiamy ześniej. tak jak robiliśmy to wc

2,97... = t ............................................................................................................................................................................................... Spłacanie długów potrwa około 3 tygodni. Wow! Oznacza to, że Edek po 16 tygodniach sezonu (włącznie z czasem chodzenia w gipsie) będzie z powrotem na 0.

188

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy Cóż, trzy tygodnie to nie było długo. Może teraz, kiedy nie mam gipsu, uda mi się zdobyć więcej klientów i zrekompensować ten falstart.

Edek potrzebuje nowych klientów. Edek chce powrócić do zarabiania pieniędzy. Jest już czerwiec i Edek jest zdrowy, ale ma długi i chce nadrobić stracony czas. Stworzył nowy formularz, w którym zapisuje szczegółowe dane dotyczące każdego trawnika. Dzięki temu chce przedstawić nową ofertę potencjalnym klientom. Edek koncentruje się na pofałdowaniu terenu. Chce naliczać większe opłaty proporcjonalnie do stopnia nachylenia. Oto jego nowy formularz:

Usugi Strzyenia Trawników Formularz nowego klienta Nazwisko i adres klienta

W jaki sposób to obliczyć?

Opata Obliczenia dla wzniesie

Nachylenie = 0

12 zł

Nachylenie > 0

20 zł

Nachylenie < 0

15 zł

Cakowity koszt trawnika:

jesteś tutaj  189 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jakie jest nachylenie?

Edek oblicza NACHYLENIE trawników Edek opracował system pozwalający na obliczenie stopnia nachylenia trawnika. Rozpoczyna od poziomu ulicy i mierzy kluczowe własności trawnika. Następnie wykorzystując te informacje, oblicza współczynnik nachylenia trawnika. Jak wysoko w górę (lub w dół) biegnie wzniesienie, jeśli liczyć od poziomu ulicy?

Oto w jaki sposób to robi:

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

Dla trawnika pokazanego poniej:

sienie, Jak długie jest wznie cy? uli od jeśli liczyć

Wzniesienie

Nachylenie =

Odległość

=

4 metry w górę = 2 2 metry w głąb

Usugi Strzyenia Trawników

Nachylenie jest wi to, że zgodnie z ększe od 0. Oznacza Edka koszt strzy nowym cennikiem że będzie wynosił 20 nia tego trawnika zł.

Formularz nowego klienta Nazwisko i adres klienta

Pani Eleonora Kowalska, plac Parkowy 8

Opata Obliczenia dla wzniesie

Nachylenie = 0 Nachylenie > 0

20 zł

Nachylenie < 0

15 zł

Cakowity koszt trawnika:

20 zł

Tutaj jest ulica.

190

12 zł

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wysokość 4 metry

Wysokość 0 metrów

2 metry

Wykresy :

?

7

JAKIE JEST NACHYLENIE WZNIESIENIA 7

7

Oblicz nachylenie wzniesień dla wszystkich nowych klientów Edka oraz wysokość opłaty. Pamiętaj: wysokość wzniesienia należy podzielić przez odległość, na jakiej występuje wzniesienie! Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

Wykres y 5

Nachylenie

Opłata za strzyżenie trawnika Spójrz na wykres Edka.

4

Ulica jest na poziomie 0 n.p.m.

3

Dom jest oddalony o 4 metry od ulicy.

2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Nachylenie =

5

-1

Wzniesienie Odległość

=

=

-2 -3 -4 -5

y 5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4

sienie Pamiętaj — wznie dodatnia, ść rto wa to w górę w dół — ujemna

i Dom jest na wysokośc 0 metrów n.p.m.

3 2 1 x

-5

-4

-3

-2

1

-1

2

3

-1

4

Nachylenie =

5

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-2 -3

Wzniesienie Odległość

=

=

=

=

-4 -5

Ten punkt jest na poziomie . 2 metrów n.p.m

y

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

4 metry od ulicy 1

-1 -1

2

3

4

x 5

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

-2 -3 -4 -5

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

191

Nachylenie: rozwiązanie :

?

7

JAKIE JEST NACHYLENIE WZNIESIENIA 7

ROZWIĄZANIE

7

Oblicz nachylenie wzniesień dla wszystkich nowych klientów Edka oraz wysokość opłaty. Pamiętaj: wysokość wzniesienia należy podzielić przez odległość, na jakiej występuje wzniesienie! Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

Wykres y 5

Nachylenie

Opłata za strzyżenie trawnika

4

Ulica jest na poziomie 0 n.p.m.

Dom jest oddalony o 4 metry od ulicy.

1

x -5

-4

-3

-2

ka Znowu wspinacz zł. w górę, zatem 20

3 2

-1

1

2

3

4

Nachylenie =

5

-1

Wzniesienie Odległość

=

4 metry w górę 4 metry w głąb

1

=

20 zł

-2 -3 -4 -5

y

i Dom jest na wysokośc 0 metrów n.p.m.

5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4

To jest wzniesie nie ujemne (z górki), opłata wynosi 15 zatem zł.

3 2 1 x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-1

4

Nachylenie =

5

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-2 -3

Wzniesienie Odległość

=

-4 2

=

-2

15 zł

-4 -5

Ten punkt jest na poziomie . 2 metrów n.p.m

y

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

5

Przyjemny płask i zatem tylko 12 zł. teren,

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

4 metry od ulicy

-1

1 -1

2

3

4

x 5

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

=

0 4

=

0

-2 -3 -4 -5

192

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Fajnie, to sporo kasy. Zaczynam odbijać się od dna!

12 zł

Wykresy

Nachylenia na wykresie są reprezentowane jako linie proste. Czy tak? Czy te linie przy okazji nie reprezentują także równań?

Linia na wykresie zawsze reprezentuje równanie. Jeśli znasz jeden z punktów należących do linii oraz jej nachylenie, możesz zapisać dla niej równanie.

Jak to jest możliwe? To się wydaje zbyt łatwe.

Równanie może przyjąć kilka różnych form. Możesz wykorzystać taką formę, która najbardziej Ci pomaga. Kiedy równania liniowe są pisane w określony sposób, mają one określoną postać. Postać równania to kolejność zmiennych, liczb i operacji. Czasami podaje się dwa punkty, a innym razem punkt przecięcia z osią i nachylenie. Jednak niezależnie od postaci równania liniowego każda linia prosta ma nachylenie, punkty przecięcia, nie ma wykładników większych od jeden oraz dwie zmienne. Zrozumienie, na czym polegają postacie równania, oznacza umiejętność interpretowania równań i zapisywania ich w różny sposób.

jesteś tutaj  193 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równanie prostej przechodzącej przez punkt

Równania prostej przechodzącej przez punkt Równanie prostej przechodzącej przez punkt to reprezentacja równania utworzona na podstawie punktu należącego do linii oraz nachylenia tej linii. Jeśli zatem znasz jeden z punktów należących do linii oraz jej nachylenie, możesz skorzystać z tej postaci. To jest dowolny punkt należący do linii.

m reprezentuje nachylenie linii.

y i x to nasze dwie zmienne.

y - y1 = m ^ x - x1h

Co to jest?

_ x1, y1i wnaniu We właściwym ró zbami, lic są te i wartośc 2). na przykład (3,

Sporo tu nowych informacji, zatem przyjrzyjmy się im nieco dokładniej.

Równanie prostej przechodzcej przez punkt

y - y1 = m ^ x - x1h

Równanie prostej przechodzącej przez punkt z bliska

Powyższe wyrazy wyglądają trochę dziwnie i są trochę mylące. Czy to są zmienne, czy stałe? I co oznaczają te małe cyferki?

x1

y1

Indeksy

Co to jest? Te małe jedynki nieco poniżej i z boku to indeksy. Określają specyficzne wartości zmiennych x i y. Ponieważ wartości indeksów są takie same, oznaczają one, że wartości x i y są ze sobą powiązane. Jest to zatem para uporządkowana:

_ x1, y1i Para ta reprezentuje dowolny punkt należący do linii. Może to być punkt przecięcia z osią, ale nie musi. Do zapisania równania można wykorzystać dowolny punkt. Ponieważ są to punkty na wykresie, są to stałe, a nie zmienne. A zatem w równaniu prostej przechodzącej przez punkt bierzemy parę uporządkowaną reprezentującą punkt należący do linii i rozdzielamy dwie liczby z tej pary, tworząc równanie.

194

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

W jaki sposób na podstawie punktu i nachylenia można wyznaczyć linię? Sposób obliczania nachylenia zaprezentowaliśmy już nieco wcześniej. Do obliczenia parametrów nachylenia trawników klientów Edka wykorzystaliśmy iloraz wzniesienia przez odległość, na jakiej ono występuje.

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

tek w górę Liczba jednos tości ujemne ar (w lub w dół unek w dół). oznaczają kier

Liczba jednostek w prawo lub w lewo (wartości ujemne oznaczaj ą kierunek w lewo).

Masz już jeden punkt należący do linii, zatem aby wykreślić całą linię, wykonaj następujące czynności: 1

Zaznacz punkt. Jeśli masz do dyspozycji równanie prostej przechodzacej przez punkt, to Twój punkt ma współrzędne:

Odległość

y 5

_ x1, y1i

4 3

drugi punkt (x, y)

Wzniesienie

pierwszy punkt (x1, y1)

2

2

Zinterpretuj nachylenie i wykorzystaj je do zaznaczenia drugiego punktu. Jeśli przesuniesz się w górę wzniesienia i dalej od punktu początkowego, będziesz mógł wykreślić punkt, w którym się znajdziesz. Korzystając z tego punktu, z łatwością wykreślisz linię.

1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4

3

Poprowad lini prost przez wyznaczone punkty.

-5

jesteś tutaj  195 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nie istnieją głupie pytania Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy punkt (x1, y1) może być dowolny?

O

: Może to być dowolny punkt należący do linii. Edek zna po dwa punkty dla trawników, dla których szacuje ceny, zatem możemy wybrać dowolny z nich i skorzystać z niego do zaprezentowania równania prostej przechodzacej przez punkt.

P: Sposób obliczania nachylenia

jest nieco rozmyty, „z górki”, „wzniesienie”, „odległość”… czy to naprawdę są pojęcia matematyczne?

O: Oczywiście. To, że to jest algebra,

nie oznacza, że musi być skomplikowana i dziwaczna. O wiele łatwiej nauczyć się czegoś, jeśli używa się prostszych określeń. Stwierdzenie, że wzniesienie ujemne to teren „z górki” ma przecież sens.

P

O

: Dlaczego nachylenie jest tak istotne?

O

: Każda prosta jest zdefiniowana przez określony typ nachylenia. Jeśli wiadomo, że nachylenie jest ujemne bądź dodatnie, można powiedzieć, czy zmienna y wzrasta, czy maleje wraz ze wzrastającymi wartościami x.

Można to przełożyć na dowolne dwie zmienne, z którymi pracujemy. Na przykład, Edek oszczędza coraz więcej gotówki (G) w miarę upływu tygodni (t). A zatem to równanie ma nachylenie dodatnie.

: Tak. Jednak to jest dość łatwe. Równanie prostej przechodzacej przez punkt można wyznaczyć na podstawie definicji nachylenia.

Nachylenie =

Wzniesienie Odległość

m oznacza nachylenie.

P

y - y1 m= x - x1

Odległość oznacza różnicę pomiędzy dwiema współrzędnymi x.

: Czy trzeba zapamiętać postać równania prostej przechodzacej przez punkt? Po kilku przekształceniach otrzymujemy…

y - y1 = m ^ x - x1h

Współrzędne x1 i y1 mają przeciwne znaki.

Uwaga!

196

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wzniesienie oznacza różnicę pomiędzy dwiema współrzędnymi y.

Najtrudniejsze do zapamiętania w równaniu prostej przechodzacej przez punkt jest to, że dodatnie wartości współrzędnych x1 i y1 są odejmowane. Jeśli zatem w równaniu prostej przechodzacej przez punkt zobaczymy wartości dodatnie, będzie to oznaczało, że mamy do czynienia ze współrzędnymi ujemnymi, a nie dodatnimi.

Wykresy

Zaostrz ołówek Korzystając z tego, co wiesz na temat równań prostej przechodzacej przez punkt, spróbuj wykreślić kilka wykresów równań w tej postaci!

y + 1 = 1 ^ x + 8h 2

y - 3 = - 2 ^ x + 5h 3

jesteś tutaj  197 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Korzystając z tego, co wiesz na temat równań prostej przechodzacej przez punkt, spróbuj wykreślić kilka wykresów równań w tej postaci!

y 1 = –1

y + 1 = 1 ^ x + 8h 2

x1 = –8

Punkt, który można odczytać z równania, to (–8, –1). Wartości współrzędnych są ujemne, ponieważ w równaniu jest dodawanie.

o jeden na Wzniesienie nej dwóm w ró ci oś odległ jednostkom.

1 Nachylenie wynosi 2.

(-6, 0)

m jest liczbą przed wyrazem (x+8).

1 y + 1 = 2

(x + 8)

(-8, -1)

Oznacza to, że prosta wznosi się o 1 jednostkę na odległości równej 2 jednostkom.

x1 = -5

y1 = 3

y - 3 = - 2 ^ x + 5h 3

Punkt, który można odczytać z równania, to (–5, 3).

(-5, 3)

Współrzędna x jest ujemna, ponieważ w równaniu jest dodawana.

(-2, 1)

Nachylenie wynosi –2/3.

Obniżenie o 2 jednostki na odległości 3 jednostek.

Oznacza to, że prosta opada o 2 jednostki

- 2 y - 3 = 3

198

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(x + 5)

na odległości równej 3 jednostkom.

Wykresy

Co z trawnikami Edka? Czy teraz wiemy wystarczająco dużo, abyśmy mogli dla nich zapisać równania?

Oczywiście, że tak! Znając jeden punkt oraz nachylenie, które obliczyliśmy już wcześniej, wiemy dostatecznie dużo, aby zapisać równania dla tych trawników.

Zróbmy to…

jesteś tutaj  199 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Więcej równań prostej przechodzącej przez punkt

Skorzystajmy z równania prostej przechodzącej przez punkt Jeśli weźmiemy pierwszy z trawników Edka i wykorzystamy informacje, które obliczyliśmy do tej pory, będziemy mogli zapisać równanie bez dodatkowych wyliczeń. y 5 4

Ulica jest na poziomie 0 metrów n.p.m.

Dom jest na wysokości 4 metrów nad ulicą.

Dom jest o 4 metry dalej.

3 2 1

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3

Nachylenie = 1

-4

możemy Znane wartości odczytać stąd…

…i umieścić je tu.

-5

, ponieważ ółrzędne (4, 4) Punkt ma wspi się o 4 metry na trawnik wznos etrów. odległości 4 m

y - y1 = m ^ x - x1h

Nachylenie tego trawnika wynosi 1.

(4, 4)

y - 4 = 1 ^ x - 4h

To jest równanie prostej przechodzącej przez punkt.

To samo dotyczy dowolnej prostej, dla której znamy punkt i nachylenie. Wystarczy wyjść od ogólnego wzoru równania prostej przechodzącej przez punkt i podstawić wartości za m, x1 i y1. To wystarczy, aby wyznaczyć prawidłowe równanie prostej. Uważaj na znaki! Jeśli współrzędne x1 lub y1 mają ujemne wartości, należy wstawić je do równania ze zmienionym znakiem, a następnie uprościć. W efekcie w równaniu linii będzie dodawanie.

200

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Zapisz równania prostej przechodzacej przez punkt dla pozostałych trawników, dla których Edek wykonywał obliczenia.

Ćwiczenie

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

y

kości Dom jest na wyso . .m n.p 0 metrów

5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4 3

1 x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-3

-5

iomie Ten punkt jest na poz 2 metrów n.p.m.

y 5 4 3

-5

-4

-3

-2

-1

4 metry od ulicy. 1

-1 -2

y - y1 = m ^ x - x1h

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

(

Nachylenie =

2 1

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt: Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

-4

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

)

Nachylenie = –2

2

-5

(

2

3

4

x 5

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt:

) 0

y - y1 = m ^ x - x1h

-3 -4 -5

Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

jesteś tutaj  201 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwijamy firmę Edka

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Zapisz równania prostej przechodzacej przez punkt dla pozostałych trawników, dla których Edek wykonywał obliczenia. To jest punkt, w którym się wykres — od ulicy. zaczyna

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

y

kości Dom jest na wyso . .m n.p 0 metrów

5

Ulica jest na poziomie 4 metrów n.p.m.

4 3

1 x -4

-3

-2

0, 4

)

Nachylenie = –2

2

-5

(

-1

1

2

3

4

5

-1 -2

Dom jest oddalony o 2 metry od ulicy.

-3

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt: Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

-4 -5

y - y1 = m ^ x - x1h

y - 4 = -2(x - 0) Po uproszczeniu otrzymujemy y–4 = –2x.

iomie Ten punkt jest na poz 2 metrów n.p.m.

y 5

Ulica jest na poziomie 2 metrów n.p.m.

4 3

-5

-4

-3

-2

-1

4 metry od ulicy. 1

-1 -2

( 4, 2

Nachylenie =

2 1

Punkt, który wykorzystamy w równaniu:

2

3

4

x 5

Ogólny wzór równania prostej przechodzacej przez punkt:

Tutaj jest dom.

)

0

y - y1 = m ^ x - x1h

-3 -4 -5

Równanie prostej przechodzacej przez punkt dla tego trawnika:

0 y - 2 = 0(x - 4)

Równanie w tej postaci nie wygląda na prawidłowe. Może jest inna postać równania, która w tym przypadku byłaby lepsza…

202

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy Co teraz robimy? Przy nachyleniu równym 0 wszystko się pomieszało.

Przy nachyleniu równym 0 równanie wygląda dziwnie. Istnieją przypadki, w których gdy nachylenie wynosi na przykład 0, równanie prostej przechodzacej przez punkt niezbyt dobrze opisuje prostą. Wykres trawnika z ostatniego przykładu z całą pewnością przedstawia linię prostą. W jaki sposób można zaprezentować równanie dla tej prostej? Wiemy, że równanie należy przedstawić w kontekście zmiennych x i y. Co jednak z nachyleniem? W jaki sposób pokazać nachylenie równe zeru?

Linie poziome wymagają innej postaci Edek patrzy na przyjemny, płaski trawnik. Wzniesienie linii wynosi 0, zatem niezależnie od tego, jaka będzie odległość, nachylenie zawsze będzie wynosić zero.

Nachylenie poziomej linii zawsze wynosi 0.

Zapisanie równania opisującego taką poziomą linię jest stosunkowo proste. Ponieważ wartości współrzędnej y są takie same dla wszystkich punktów (w tym przypadku wynoszą 2), możemy po prostu zapisać:

y= Tutaj wpisz wartość zmiennej y.

Nachylenie wynosi zero, ale co się dzieje ze współrzędną x? Przecież nie może też wynosić zero. Zgadza się?

W równaniu jest zmienna x ze współczynnikiem 0. Jeśli współczynnik zmiennej w równaniu wynosi zero, ta zmienna znika z równania. Powyższe równanie można zapisać następująco:

y - 2 = 0x W dalszym ciągu nie wygląda to zbyt dobrze. Na szczęście istnieje jeszcze inna postać, która sprawdza się lepiej…

jesteś tutaj  203 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Postać ogólna

Równania mają również postać ogólną Równania liniowe mają również tzw. postać ogólną. Pozioma linia jest bardzo specyficznym przypadkiem, dla którego równanie prostej przechodzacej przez punkt nie działa. Istnieje jednak postać bardziej ogólna. W postaci ogólnej brane są pod uwagę obie zmienne: y i x. Postać ogólna działa również wtedy, gdy nachylenie prostej wynosi zero:

ax + by = c a, b i c to liczby występujące w równaniu prostej.

wartości a i b Czy możesz obliczyć y = 2? dla prostej o równaniu

W tej postaci równania nie ma m. A zatem żadna ze zmiennych nie oznacza nachylenia. Liczby a, b i c nie są w prosty sposób powiązane z wykresem. W związku z tym przekształcenie takiego równania w wykres okazuje się niezbyt łatwe. To jednak nie jest najważniejsze, ponieważ ten typ równania pozwala na przedstawienie każdego typu prostej.

Równanie ma po stać 0x+1y = 2.

Zatem jeśli podstawimy a = 0, b = 1 i c = 2, otrzymamy równanie dla płaskiego trawnika Edka. Zgadza się?

To prawda! Każdą postać równania liniowego można przekształcić do postaci ogólnej. Tak więc wcześniejsze równanie y = 2 można przekształcić do postaci ax+by = c.

204

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy Czy istnieją jeszcze jakieś postacie równań, które powinniśmy znać?

Istnieje jeszcze jedna postać… ta postać JEST doskonała do tworzenia wykresów. Ostatnia postać równania przypomina równanie prostej przechodzacej przez punkt. W równaniu w tej postaci występuje punkt i nachylenie. W tej odmianie równania wykorzystywany jest punkt przecięcia z osią y, postać ta nosi nazwę równania kierunkowego prostej.

Postać kierunkowa jest ŁATWA do wykreślenia Co więcej, w równaniu postaci kierunkowej występuje ta sama stała określająca nachylenie — m. A zatem m oznacza nachylenie, tak jak wcześniej. Poza tym są zmienne x i y, tak jak w pozostałych postaciach równań liniowych. Różnica polega na występowaniu przecięcia. Oto jak wygląda równanie liniowe w tej postaci: m reprezentuje nachylenie, tak jak zwykle.

To jest to samo nachyl które obliczaliśmy ze enie, wz wzniesienie przez odl oru egłość.

y = mx + b

Punkt (0, b) to przecięcie z osią y. Punkt b określa miejsce, w którym linia przetnie oś y.

Aby wykreślić linię, należy zaznaczyć punkt przecięcia z osią y — współrzędne (0, b), a następnie korzystając ze wzniesienia m, znaleźć drugi punkt, tak jak robiliśmy to wcześniej.

Podsumowanie Równanie w postaci kierunkowej — równanie w postaci y = mx+b, gdzie m oznacza nachylenie linii, natomiast b współrzędną y w miejscu przecięcia z osią y.

jesteś tutaj  205 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Postacie równań: przegląd

Równania liniowe z bliska Równanie prostej przechodzacej przez punkt Ta postać równania ma wiele zalet. Pozwala szybko wyznaczyć punkt do wykreślenia oraz nachylenie. Na tej podstawie można z łatwością wykreślić pozostałą część linii. Wadą równania w takiej postaci jest to, że w przypadku konieczności manipulowania trzeba wykonywać wiele operacji w nawiasach.

m =

Wzniesienie Odległość

y - y1 = m ^ x - x1h

Wzniesienie Odległość

(x1, y1) to dowolny i punkt należący do lini

Równanie prostej przechodzacej przez punkt doskonale nadaje się do tworzenia wykresów, ale nie nadaje się do manipulowania

Postać ogólna

równaniami.

Postać ogólna jest oczywista — zarówno zmienna x, jak i y mają współczynniki. W tej postaci równania występuje dodatkowo stała. Równanie w tej postaci pozwala przedstawić dowolną prostą i jest łatwe do przekształcania. Tworzenie wykresów na podstawie postaci ogólnej jest trudne, ponieważ nie można w łatwy sposób wyznaczyć punktu na prostej ani nachylenia. Jedynym sposobem utworzenia wykresu na podstawie takiego równania jest wyliczenie kilku punktów, zaznaczenie ich w układzie współrzędnych i wykreślenie prostej.

206

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Postać kierunkowa Równanie w tej postaci pozwala na wyznaczenie punktu przecięcia z osią y oraz nachylenia. Dzięki tym informacjom można wykreślić pozostałą część linii. Postać kierunkowa to dobry kompromis pomiędzy poprzednimi dwiema postaciami. Jest łatwa do przekształcania i pozwala na natychmiastowe wyznaczenie punktu. Jeśli jednak punkt przecięcia z osią y ma bardzo dużą lub bardzo małą wartość, narysowanie wykresu staje się trudne.

y = mx + b

Punkt przecięcia z osią y ma współrzędne (0, b) b

Wzniesienie m = Odległość

Postać kierunkowa doskonale nadaje się do wykreślania prostych przecinających oś y blisko początku układu współrzędnych. Równanie jest stosunkowo łatwe do przekształcania.

Wzniesienie Odległość

mne To jest nachylenie uje (z górki), dlatego jest reprezentowane przez liczbę ujemną.

ax + by = c

Postać ogólna pozwala na opisanie każdej prostej. Także przypadki szczególne, takie jak te.

Postać ogólna jest łatwa do manipulowania, ale na jej podstawie trudno rysuje się wykresy.

jesteś tutaj  207 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Znajomość postaci równań

Narada zespou: postacie równania liniowego Czy wystarczy spojrze na równanie, by mona byo powiedzie, jak bdzie wyglda wykres? Tak, wystarczy zapamita postacie równa.

Jola

Skd jednak wiadomo, jak bdzie wyglda wykres? Czy to na pewno bdzie linia prosta?

Janek

Tak — jeli jest x i y, nie ma wyrae podniesionych do kwadratu, to mamy do czynienia z lini.

Krystyna

OK. To jest prosta. Ale jakiego typu? Nie mona przecie wzi liczb z równania i traktowa ich jako punkty.

Janek

Mona — trzeba tylko wiedzie, jak posta równania mamy przed sob.

Jola

To jest dla mnie najtrudniejsze. Janek

Oto mój sposób na zapamitywanie: w równaniu prostej przechodzcej przez punkt s nawiasy, w odmianie kierunkowej x i y wystpuj po przeciwnych stronach i nie ma nawiasów, z kolei w postaci ogólnej x i y s po jednej stronie.

Krystyna

...

Janek

Krystyna

To pomaga, ale eby naprawd zobaczy, jak wyglda równanie, trzeba narysowa wykres.

Korzystaj z właściwej postaci równania Wiesz już wystarczająco dużo, aby spojrzeć na równanie i jeśli jest to równanie prostej przechodzącej przez punkt lub równanie kierunkowe, możesz narysować jego wykres. Jeżeli ma postać ogólną, musisz wcześniej wyznaczyć kilka punktów (łatwe do wyznaczenia punkty odpowiadają współrzędnym y = 0 oraz x = 0). Potem możesz wykreślić swoją linię. A zatem w większości przypadków nie są potrzebne obliczenia! Wystarczy rysować.

208

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jeśli znasz postać równania, wystarczy, że na nie spojrzysz, abyś mógł narysować wykres.

Wykresy Narysuj wykresy!

Równanie:

W tym momencie jesteś gotów, aby narysować wykresy kilku równań. Poniżej zamieszczono kilka równań w różnych postaciach… y narysuj wizualną reprezentację każdego z nich.

y = 3x - 2 x

Jaka jest postać tego równania?

y

Równanie:

1x + 0y = 7

x

Jaka jest postać tego równania?

y

Równanie:

1 y + 2 =- ] x - 1 g 2

x

Jaka jest postać tego równania?

jesteś tutaj  209 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jaka postać równania? Narysuj wykresy!

W tym momencie jesteś gotów, aby narysować wykresy kilku równań. Poniżej zamieszczono kilka równań w różnych postaciach… narysuj wizualną reprezentację y e i każdego z nich. n a z

i

Rozw

Równanie:

y = 3x - 2

To jest nachylenie. Wzniesienie wynosi 3, odległość 1.

y = 3x - 2

Wzniesienie 3, odległość 1.

a To jest punkt przecięci ). –2 (0, y ą z osi

x

od punktu Rozpocznij z osią ia przecięc y (0, –2).

Jaka jest postać tego równania? To jest równanie kierunkowe.

y

Równanie:

Dla wszystkich punktów wartość współrzędnej x wynosi 7. Wykres ma postać pionowej linii.

1x + 0y = 7

Pamiętając, że współczynnik 0 pow zniknięcie zmiennej y, łatwo zauw oduje ażyć, że równanie ma postać x = 7.

x

x = 7

Jaka jest postać tego równania? To jest równanie w postaci ogólnej.

Równanie:

1 y + 2 =- ] x - 1 g 2

To oznacza, że wartość współrzędnej y dla tego punktu wynosi –2. Ponieważ w tej postaci równania współrzędne są odejmowane, –(–2) zmienia się na +2.

y

Nachylenie jest ujemne — spada o 1 na odległości dwóch jednostek. A zatem w dół o 1 i w prawo o 2.

y + 2 =

1 (x - 1) 2

y nia wyznaczam Z tego równa i wykreślamy go punkt (1, –2) lejności. ko w pierwszej

x

Rozpocznij w punkcie (1, –2).

Jaka jest postać tego równania? To jest równanie w postaci prostej przechodzącej przez punkt.

210

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zejdź o 1 w dół i w prawo o 2.

Wykresy Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego nachylenie oznacza się literą m? O: Tak naprawdę nikt nie wie. Descartes (Pan Kartezjański Układ

P

: Cały czas powtarzacie, że „postać” równania jest ważna. Co to naprawdę oznacza?

O

Współrzędnych we własnej osobie) nie używał tego oznaczenia. Niektórzy twierdzą, że pochodzi ono od łacińskiego słowa modulus, natomiast inni uważają, że litera m przyjęła się, ponieważ jest to środkowa litera alfabetu. W tym momencie wystarczy, jeśli powiemy, że wszyscy używają takiego oznaczenia.

: Postać równania to tylko układ zmiennych i stałych. Na przykład, aby uzyskać równanie prostej przechodzącej przez punkt, należy wyizolować y po lewej stronie, a po prawej stronie pozostawić wyraz ze zmienną x.

nachylenia. We wczesnych latach matematyki w kilku krajach używano innych liter do oznaczenia punktów przecięcia z osią y — na przykład k, n lub h.

— zatem jest to równanie w postaci kierunkowej. W tym przypadku m = 1, a b = 0. Ponieważ mamy m i b, możemy narysować wykres.

P: A co w przypadku równania y = x? Czy to jest P: Dlaczego punkt przecięcia z osią y oznacza się literą b? równanie w jakiejś specjalnej postaci? O: Tak. Równanie y = x to dokładnie to samo, co y = 1x+0 O: Cóż, to kolejna tajemnica. Podobnie jak w przypadku P

P: Czy równanie może być w postaci kierunkowej,

: Czy zdarza się, że trzeba zapisać równanie na podstawie wykresu?

O: Oczywiście, ale trzeba je przekształcić do postaci y = mx+b.

: Taka sytuacja zdarza się bardzo często. Kiedy wykreślasz jakieś dane — na przykład finansowe lub doświadczalne — i musisz zapisać równanie, które uogólnia jakiś trend, masz wykres przed równaniem.

jeśli x i y znajdują się po tej samej stronie?

Znaki mogą być różne — to oznacza, że określona stała jest liczbą ujemną.

P

: Dlaczego m i b są stałymi, natomiast x i y zmiennymi? Na jakiej podstawie można stwierdzić, że litera oznacza zmienną, a nie stałą?

O: Zazwyczaj stałe występują w równaniu w postaci liczb. Kiedy

rozpoznasz ogólną postać równania (a także kierunkową), będziesz wiedział, że m i b są stałymi, ponieważ zawsze mają taką samą wartość w równaniu.

O

P

: Czy naprawdę można wyznaczyć nachylenie i przecięcie i zapisać równanie?

O

: Na tym polega piękno postaci ogólnej. Każdy wie, że współczynnik wyrazu z x to nachylenie, natomiast stała występująca w równaniu to współrzędna y punktu przecięcia z osią y.

A oto inna wskazówka: układ współrzędnych bazuje na x i y, dlatego są to zmienne. x, podobnie jak y, może przybierać wszystkie możliwe wartości, natomiast m i b zawsze pozostają takie same.

P

: Jeśli m jest liczbą całkowitą, to jak ją wyrazić w postaci „wzniesienie” przez „odległość”.

Jeśli nachylenie jest liczbą całkowitą,

O

WZNIESIENIE prostej jest tą liczbą,

: Wróć na chwilę do ułamków! Każdej liczbie całkowitej odpowiada ułamek, który w liczniku ma tę liczbę, a w mianowniku jedynkę. Zatem jeśli nachylenie wynosi 5, to jest to samo co 5 przez 1, czyli „wzniesienie 5 na odległości 1”.

natomiast ODLEGŁOŚĆ wynosi 1.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

211

Firma Edka rozwija się

Strzygę te trzy nowe trawniki już od dwóch tygodni. Coraz więcej osób prosi o oferty. Dla mnie to za dużo pracy, zatem mój brat mi pomoże.

Edek doszedł z bratem do porozumienia. Aby zrekompensować straty, które Edek poniósł na początku lata w związku z koniecznością dopłacania do pracy brata, jego brat postanowił pracować za darmo do końca sezonu. Edek szacował swoje trawniki na podstawie wykresów i tego, jak strome było ich nachylenie, ale jego brat zdecydował się na rozwiązanie bardziej kreatywne. Wykorzystał „nowy system” i kiedy przyniósł formularze do Edka, były na nich równania zamiast wykresów.

Nie mogę tak pracować — muszę zobaczyć na wykresach jego trawniki. Dzięki temu będę mógł ustalić wysokość opłat.

212

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy Twoim zadaniem jest konwersja każdego z równań na postać pozwalającą łatwo wykonać wykres. Następnie stwórz wykres dla każdego równania, tak by Edek mógł sporządzić oferty dla klientów.

Usugi Strzyenia Trawników Brat Edka zapisał równanie, zamiast narysować trawnik.

Formularz nowego klienta

Obliczenia dla trawników:

3 y = - x + 7 2

Edek lubi pracow z rysunkami. Br ać at powinien był spor Edka ządzić wykresy.

Trawnik Kowalskich y

x

Trawnik Nowaków

7x + 3y = 15

y

x

jesteś tutaj  213 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Narysuj wykresy równań Twoim zadaniem jest konwersja każdego z równań na postać pozwalającą łatwo wykonać wykres. Następnie stwórz wykres dla każdego równania, tak by Edek mógł sporządzić oferty dla klientów.

Usugi Strzyenia Trawników Formularz nowego klienta Obliczenia dla trawników:

3 y = - x + 7 2

Trawnik Kowalskich y

(0, 7)

x

nkowej. To jest równanie w postaci kieru

(0, 7), a nachylenie Punkt przecięcia ma współrzędne 3 wynosi 2 .

3 x+7 2

y=

Trawnik Nowaków

7x + 3y = 15

y

(0, 5)

( 15 , 0) 7

nej. To jest równanie w postaci ogól tów. punk ć aczy wyzn Nie można łatwo

0 7(0) + 3y = 15 3 3

0 7x + 3(0) = 15 7 7

y = 5

x = 15 7

(0, 5) To jest nieco ponad 2. Czy tak?

214

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(

15 7

, 0)

x

7x + 3y = 15

Wykresy

Zatem jaka będzie ostateczna kwota, którą zarobię po uwzględnieniu nowych trawników?

Edek ma pracowite lato — nie zawsze szło mu dobrze. Zaczął ostro, złamał nogę. Aby utrzymać klientów, musiał płacić bratu szalone kwoty. Później jednak karta się odwróciła i Edek zaczął zdobywać nowych klientów. Oto co się zdarzyło. 1

Przez pierwsze trzy tygodnie lata Edek strzygł 7 trawników — po 12 zł za każdy.

2

Wtedy złamał nogę i musiał chodzić 10 tygodni w gipsie. Jego 7 klientów w dalszym ciągu płaciło 12 zł za strzyżenie, ale brat Edka życzył sobie 19 zł za trawnik. W rezultacie Edek popadł w długi wysokości 238 zł.

3

Przez dwa kolejne tygodnie skosił 7 trawników, ponownie po 12 zł za każdy, i dodał trzy nowe trawniki — jeden za 20 zł, drugi za 15 zł i trzeci za 12 zł.

4

Wtedy brat Edka zgłosił chęć strzyżenia 2 trawników — po 15 zł za każdy. Ma zamiar strzyc te trawniki przez resztę wakacji — 6 tygodni.

Ile zarobi Edek na koniec tego okresu? Jeśli potrzebujesz pomocy, obróć stronę. Tam znajdziesz kilka wskazówek…

jesteś tutaj  215 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przyszłość projektu Edka

Dugie wiczenie Oblicz, ile zarobi Edek na koniec wakacji. Narysuj wykres, aby pokazać mu prognozę na następne 22 tygodnie (taki okres obejmuje jego plan). Na początek wypełnij poniższą tabelę.

Numer tygodnia

Liczba trawników

Kwota za trawnik

Zarobek Edka

12 zł

1 – 3

252 zł

4 – 14

–

Złamana noga!

15 – 16 17 – 22

Cakowita zarobiona kwota

10

Różne ceny: 8 trawników po 12 zł, 1 za 15 zł i 1 za 20 zł Różne ceny — wszystkie trawniki z tygodni 15 i 16 plus 2 trawniki dodatkowe za 15 zł

131 zł tygodniowo×2 tygodnie = 262 zł 131 zł+30 zł tygodniowo = 161 zł tygodniowo

Dla tej części trzeba zapisać równanie i narysować wykres!

Napisz równanie opisujące ilość gotówki, jaką będzie miał Edek na koniec wakacji: ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

216

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

Narysuj wykres nowego równania:

G

Ile gotówki będzie miał Edek na koniec wakacji: .................................................................................................................... wykresu — jest to Odczytaj tę wartość z odniowi nr 6. tyg ca ............................................................................................................................................................................................... ają liczba odpowiad

jesteś tutaj  217 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przyszłość rysuje się w jasnych barwach

Dugie wiczenie: Rozwizanie Twoim zadaniem było obliczenie zarobku Edka na koniec wakacji i narysowanie wykresu pokazującego prognozę na następne 22 tygodnie (taki okres obejmuje plan Edka).

Numer tygodnia

Liczba trawników 7

1 – 3 4 – 14 Złamana noga!

15 – 16

7

10

17 – 22

12

Kwota za trawnik 12 zł 12 zł za trawnik, ale koszty wynosiły 19 zł za trawnik = –7 zł straty za trawnik Różne ceny: 8 trawników po 12 zł, 1 za 15 zł i 1 za 20 zł Różne ceny — wszystkie trawniki z tygodni 15 i 16 plus 2 trawniki dodatkowe za 15 zł

Zarobek Edka

Cakowita zarobiona kwota

84 zł tygodniowo przez 3 tygodnie = 252 zł

252 zł

–49 zł tygodniowo przez 10 tygodni = –490 zł

–238 zł

131 zł tygodniowo×2 tygodnie = 262 zł 131 zł+30 zł tygodniowo = 161 zł tygodniowo

24 zł Dla tej części trzeba zapisać równanie i narysować wykres!

Napisz równanie opisujące ilość gotówki, jaką będzie miał Edek na koniec wakacji: To równanie przypomina wcześniejsze równanie przychodów Edka, ale teraz Edek zarabia więcej pieniędzy.

Nie wolno zapominać o kwocie początkowej!

Gotówka = 161 zł tygodniowo razy liczba tygodni plus 24 zł, od których Edek zaczął.

............................................................................................................................................................................................... Punkt przecięcia z osią y G = 161t + 24 ............................................................................................................................................................................................... ma współrzę dne (0, 24). To jest równanie y = mx+b. Naryso w postaci standardowej wanie wykresu jes ............................................................................................................................................................................................... bardzo łatwe. t

218

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy

G

(0, 24)

i 161, ie wynos Nachylenzrost o 161 dla zatem w ia. 1 tygodn

Odczytaj tę wartość z wykresu — jest to wartość odpowiadająca tygodniowi nr 6.

G = 161t+24

1000 zł Ile gotówki będzie miał Edek na koniec wakacji: ...........................

1000 zł! Pomimo złamanej nogi — to niebywałe. Wykorzystam wykres, który sporządziłeś, i zrobię plany!

Obraz może być również wart tysiąc złotych! Czasami z równania można wiele wywnioskować o przyszłości. Równanie może powiedzieć Edkowi, ile zaoszczędzi, ile trawników powinien strzyc, a nawet jakie będą zyski ze strzyżenia określonego trawnika. Czasami jednak potrzeba czegoś więcej niż tylko zbioru liczb i liter. W takich przypadkach wykres pomaga zobrazować równanie… i umożliwia podejmowanie świadomych decyzji.

jesteś tutaj  219 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenia w rysowaniu wykresów

Zaostrz ołówek Jeśli w zadaniu jest równanie liniowe, narysuj jego wykres! Jeżeli jest wykres, wyznacz równanie.

y + 3 =- 3 x 5

Punkt nr 1: (

9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

x

) -9 -8

Punkt nr 2: (

-7 -6 -5 -4 -3 -2

-1 -1

1

2

3

4

5

6

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

)

y 5 4 3

y= 1x+3 2

2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

5

Punkt przecicia z osi y =

-5

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

4

-2

-4

Rozdział 5.

3

Nachylenie =

-3

220

2

-1

7

8

9

Wykresy

y

sać Możesz śmiało pi na wykresach.

5 4

Nachylenie =

3

Punkt przecicia z osi y =

2 1

y=

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x+

5

-1 -2 -3 -4 -5

m=1 6

Punkt: (- 3, 4)

y 5 4 3 2 1 x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

jesteś tutaj  221 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwiązania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Jeśli w zadaniu jest równanie liniowe, narysuj jego wykres! Jeżeli jest wykres, wyznacz równanie.

y + 3 =- 3 x 5

9 8 7 6 5 4 3 2 1

5·(0 + 3) = - 3 x·5 5 15 = - 3x -3 -3

y = 0

(-5, 0) Punkt nr 1: (-5, 0 )

-5 = x

-9 -8

-7 -6 -5 -4 -3 -2

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

y + 3 = - 3 (0) 5

x = 0

y + 3 - 3 = 0 - 3

y = -3

Punkt nr 2: ( 0, -3 )

y 5

wzniesienie 1

-1 -1

odległość 2

y

x 1

2

3

2

-2

-1

y= 1x+3 2

2

3

4

5

1 2

Nachylenie =

-2

Punkt przecicia (0, 3) z osi y =

-5

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

9

przecięcie z osią y

-1

-4

Rozdział 5.

8

y + 3 = - 3 x 5

nachylenie

1 i s o n y w 2 Nachylenie

(0, 3)

1

-3

222

7

(0, -3)

x -3

6

y = mx + b

1

-4

5

4 3

-5

4

Wykresy

y

sać Możesz śmiało pi na wykresach.

5 4

Nachylenie =

3

Punkt przecicia (0, -1) z osi y = 1 y = 4 x + -1

2 1

Na odległości 4

W górę o 1 -5

-4

-3

-2

x

-1

1

2

3

4

1 4

5

1 4

Wzniesienie = Odległość

-1 -2

= m

-3 -4 -5

i dalej o 6.

m=1 6

Punkt: (- 3, 4)

Równanie prostej przechodzącej y – y1 = m (x - x1) przez punkt

y - 4 =

1 (x + 3) 6

Uważaj: znak się zmienia, ponieważ to jest –3.

Idź w górę o 1

y 5 4

ię. narysuj lin Następnie

3 2 1 x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

jesteś tutaj  223 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Niezbędnik algebraika

Rozdzia 5.

Niezbędnik algebraika

CELNE SPOSTRZEŻENIA

Ten rozdział dotyczył rysowania wykresów.

Q

Wszystkie linie mają nachylenie — m.

Q

Nachylenie definiuje się jako wzniesienie na odległości.

Q

Linie zazwyczaj mają punkty przecięcia z osiami x i y, chyba że są to linie poziome lub pionowe.

Q

Równanie liniowe zawiera dwie zmienne i żadna z nich nie ma wykładnika większego od 1.

ch

Kartezjański układ współrzędny To jest numer ćwiartki.

II obszarem, Ćwiartka II jest i x są śc rto wa w którym ści y ujemne, a warto — dodatnie.

-9 -8

-7 -6 -5 -4 -3 -2

III I jest Ćwiartka II którym w , em ar sz ob wartości, wszystkie jak i y, x, no w zaró są ujemne.

To jest oś y. 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Ćwiartka I jest obszarem, w którym wszystkie wartości są dodatnie.

I To jest początek nych układu współrzęd ć — środkowa częś wykresu. 1

2

3

4

5

6

7

Postać ogólna

To jest oś x.

ax + by = c

x 8

9

IV

Prosta przechodząca przez punkt

Ćwiartka IV jest obszarem, w którym wartości x są dodatnie, a wartości y — ujemne.

m =

y - y1 = m ^ x - x1h

Postać kierunkowa

y = mx + b m =

224

Rozdział 5.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wzniesienie Odległość

Wzniesienie Odległość

6. Nierównoci

Czy nie można dostać tyle, ile się potrzebuje? O! Te wszystkie niesprawiedliwości… Powinienem dostać wystarczająco, a dostałem za mało.

Czasami wystarczająco oznacza wystarczająco… a czasami nie. Czy kiedykolwiek pomyślałeś: „Potrzebuję nieco więcej”? Co jednak, jeśli ktoś dał Ci więcej niż tylko trochę więcej? Wtedy miałbyś więcej, niż potrzebujesz… ale życie pomimo to mogłoby być dość przyjemne. Z tego rozdziału dowiesz się, w jaki sposób język algebry pozwala powiedzieć: „Daj mi trochę więcej… i jeszcze troszkę!”. Dzięki nierównościom możemy wyjść poza dwie wartości i pozwolić sobie na otrzymanie więcej lub mniej.

to jest nowy rozdział  225 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Liga futbolu to algebra

Karolina bardzo lubi futbol Karolina chce założyć własną drużynę futbolową, ale potrzebuje pomocy w jej zarządzaniu. Każdy zespół nie może wydać więcej niż 1 000 000 € na pensje dla zawodników. Twoim zadaniem jest pomóc Karolinie w zarządzaniu drużyną.

Każdy zespół może wydać 1 000 000 €. Muszę jednak rozdzielić tę kwotę na obrońców, graczy ofensywnych i rozgrywającego. u Jako menedżer zespoł yć, Karoliny musisz oblicz dać jaką kwotę można wy na każdą z pozycji.

Liga Futbolu Amerykańskiego Fantazja Strona gówna

Wieci ze wiata

Pozycja

Nazwisko

Formacja defensywna Biegacz W przypadku obrony cała formacja jest traktowana jako całość, zarobki nie są rozbijane na pojedynczych graczy.

226

Skrzydłowy Kopacz Rozgrywający

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Razem

Liga

Aktualnoci

Pensja

Nierówności

Koszty dla wszystkich graczy nie mogą przekroczyć 1 000 000 € Karolina musi wypełnić zestawienie swoich graczy i zadbać o to, aby koszty nie przekroczyły 1 000 000 €. Oto jakich wyborów dokonała Karolina dla swojego zespołu. Do podjęcia jest bardzo wiele decyzji!

Biegacze

Formacje defensywne

Skrzydłowi

Nazwisko

Koszt

Michał Abramowicz

197 000 €

Nazwisko

Bogdan Horbaczewski

202 187 €

Benedykt Trawińsk i

Zespół Waleczni

Koszt 300 000 €

Orły

200 000 € 333 000 €

Ryszard Tomczak

185 200 €

250 000 €

Edward Babinicz

209 115 €

Stalowi Kruk i

Kopacze Nazwisko

To jest lista zespołów i graczy, z których można zestawić zespół Karoliny.

i Jerz y Amanowsk i Ryszard Wolańsk Piotr Hiszczuk Mateusz Ewańsk i

Koszt 183 500 € 155 000 € 203 200 € 209 100 €

Edmund Fred

Koszt 195 289 €

ro

212 000 €

Roman Jankowsk i

185 200 €

Marek Mar tyniuk

165 950 €

Rozgrywający Nazwisko

Koszt

Tomasz Jagielski

208 200 € 175 000 €

Eryk Hetman Paweł Bromski

199 950 € Daniel Drz ycimski 20 2 400 €

Zaostrz ołówek Czy korzystając z równania kosztów zamieszczonego poniżej, możesz zestawić zespół spełniający warunki? Jeśli nie, to dlaczego? Czy jest jakiś problem z równaniem? Koszt formacji defensywnej+Koszt biegacza+Koszt skrzydłowego+Koszt Kopacza+Koszt rozgrywającego = 1 000 000 € ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  227 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Porównania z wykorzystaniem nierówności

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy korzystając z równania kosztów zamieszczonego poniżej, możesz zestawić zespół spełniający warunki? Jeśli nie, to dlaczego? Czy jest jakiś problem z równaniem?

Koszt formacji defensywnej+Koszt biegacza+Koszt skrzydłowego+Koszt Kopacza+Koszt rozgrywającego = 1 000 000 €

............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Problem z użyciem znaku równości polega na tym, że nie istnieje taka kombinacja graczy, którzy w sumie ............................................................................................................................................................................................... będą kosztowali dokładnie 1 000 000 €. Nie potrzebujemy dokładnie 1 000 000 €. Zespół nie powinien tylko ............................................................................................................................................................................................... kosztować więcej od tej kwoty. ...............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Właściwie wykonujemy porównanie… W tym przypadku nie interesuje nas równość. Koszt całego zespołu powinien być mniejszy lub równy 1 000 000 €. Potrzebujemy sposobu pokazania, że koszt może być niższy od tej kwoty — wynosi nie więcej niż tyle. W przypadku wykonywania porównań nie używa się znaków równości. Do tego celu używa się symboli porównań — tzn. mniejszy niż (<) oraz większy niż (>).

Koszt formacji Koszt Koszt + + + defensywnej biegacza skrzydłowego

Ten symbol oznacza „mniejszy lub równy”.

Koszt Koszt  1 000 000 € + Kopacza rozgrywającego

Zsumowany koszt wszystkich graczy.

A zatem znak < służy do porównania jednej strony równania z drugą. Czy tak?

Znaki <, >,  i oznaczają porównania. Pierwszy z nich — < — oznacza, że wyrażenie po lewej stronie jest mniejsze niż wyrażenie po prawej stronie. Następny — > — oznacza, że wyrażenie po lewej stronie jest większe niż wyrażenie po prawej stronie. Ostatnie dwa znaki to odpowiednio mniejszy lub równy oraz większy lub równy. Wyrażenia, w których wykorzystuje się te symbole, określa się terminem nierówności, ponieważ opisują one sytuację, kiedy dwie strony nie są równe.

228

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Większy niż oraz mniejszy niż to OPERATORY PORÓWNAŃ. Operatory te bardzo często spotyka się w treści zadań.

Nierówności

Nierównoci z bliska Znak = oznacza „jest równy”. O tym, jak działa, dowiedziałeś się już wcześniej. Symbol ten oznacza, że obie strony równania są takie same.

, wi, że wszystko Znak równości mó … nie ro co jest po tej st

…jest równe temu, co po tej stronie.

x + 7 = 10

W przypadku problemu Karoliny mamy do czynienia z nierównościami. Oznacza to, że dwie strony nie są sobie równe, ale zachodzi pomiędzy nimi relacja. Nierówność można zapisać za pomocą jednego z czterech symboli. Każdy z nich wyraża inną relację: większy niż, mniejszy niż, większy bądź równy oraz mniejszy bądź równy. Znaki te występują w nierówności dokładnie w tym samym miejscu, w którym w równaniu znajduje się znak równości. po Wszystko co e… ni ro st j te

jest mniejsze niż…

to, co po tej stronie.

x + 7 < 10

Zaostrz ołówek Poniżej zamieszczono kilka nierówności. Niektóre są prawidłowe, inne nie. Dla każdej z nierówności napisz, czy wyraża prawdę, czy fałsz.

5 < 10

1234 $ 1233

8>4

101 # 101.5 ,

4<8

-3 > 6

10 # 10

- 10 < 10

> 3.2 1.23 , ,

-8 <- 4 jesteś tutaj  229

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nierówności i oś liczbowa

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Ten symbol oznacza „jest mniejszy lub równy”. Ponieważ 10 = 10, to jest prawda.

Poniżej zamieszczono kilka nierówności. Niektóre są prawidłowe, inne nie. Dla każdej z nierówności napisz, czy wyraża prawdę, czy fałsz.

5 < 10

prawda

1234 $ 1233

prawda

8>4

prawda

101 # 101.5 ,

prawda

4<8

prawda

-3 > 6

fałsz

10 # 10

prawda

- 10 < 10

prawda

> 3.2 1.23 , ,

fałsz

-8 <- 4

prawda

Z liczbami ujemnymi trzeba uważać! –4 to więcej niż –8, mimo że 8 to więcej niż 4.

Nierówności to PORÓWNANIA Symbole nierówności dostarczają sposobu porównania dwóch liczb lub dwóch zbiorów liczb. Spójrzmy na oś liczbową. To doskonały sposób na prezentację relacji zachodzących pomiędzy liczbami. Liczby są coraz mniejsze w miarę poruszania się wzdłuż osi w lewo, natomiast coraz większe, gdy poruszamy się w prawo. Zaznacz obie liczby na osi liczbowej.

niż jest mniejsze

1<3

Plus dwa

-5 -4 -3 -2

jest większe niż

jest mniejsze niż

-1

0

1

2

3

4

5

2

3

4

5

3

4

5

Liczba z lewej strony jest zawsze mniejsza.

minus trzy.

2 >- 3 Minus osiem

od 3, 1 znajduje się w lewo niż (<) 3. sze iej mn t jes 1 zatem

-5 -4 -3 -2

-1

0

1

2 znajduje się w prawo od –3, zatem 2 jest większe niż –3.

minus cztery.

-8 <- 4 -8

-7 -6 -5 -4 -3 -2

Tutaj to samo. –8 znajduje się w lewo od –4, zatem jest mniejsze niż –4.

230

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

-1

0

1

2

Nierówności

Hej! A co z moim zespołem? Wybrałam paru graczy, ale w dalszym ciągu potrzebuję rozgrywającego.

Liga Futbolu Amerykańskiego Fantazja Strona gówna

Wieci ze wiata

Pozycja Formacja defensy wna Biegacz Skrzydłowy Kopacz

Liga

Aktualnoci

Nazwisko

Pensja

Stalowi Michał Abramowicz

333 000 € 197 000 €

Edmund Fredro Ryszard Wolańsk i

212 000 € 155 000 €

Razem

897 000 €

Rozgrywający

Pamiętaj, Karolina nie może wyd ać więcej niż 1 000 000 €.

Zaostrz ołówek Korzystając z informacji o pieniądzach, jakie Karolina wydała do tej pory, napisz nierówność i oblicz, jaką maksymalną kwotę Karolina może wydać na rozgrywającego. ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... nej Do wyizolowania zmienodwrotne, ............................................................................................................................................................................................... korzystaj działania wy nania. tak samo jak dla rów

jesteś tutaj  231 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dlaczego nierówności są ważne?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Koszt formacji

+

Koszt

Korzystając z informacji o pieniądzach, jakie Karolina wydała do tej pory, napisz nierówność i oblicz, jaką maksymalną kwotę Karolina może wydać na rozgrywającego. +

Koszt

+

Koszt

+

Koszt

‹ 1 000 000 €

skrzydłowego Kopacza rozgrywającego defensywnej biegacza ............................................................................................................................................................................................... 333 000 + 197 000 + 212 000 + 155 000 + r -‹ 1 000 000

............................................................................................................................................................................................... , 897 000 + r ‹- 1 000 000 Niech r oznacza kwotędać ............................................................................................................................................................................................... ą Karolina może wy jak . na rozgrywającego

-897 000 + 897 000 + r ‹ 1 000 000 - 897 000

............................................................................................................................................................................................... r ‹ 103 000

...............................................................................................................................................................................................

Trochę tego nie rozumiem. Wykonaliśmy dokładnie takie same obliczenia, jakbyśmy mieli do czynienia ze znakiem równości. Po co zawracać sobie głowę nierównościami?

Najważniejszą różnicą pomiędzy nierównościami a równaniami jest ZNACZENIE ODPOWIEDZI. Rozwiązanie nierówności oznacza, że Karolina może wydać co najwyżej 103 000 € na rozgrywającego. Nie oznacza to jednak, że musi wydać dokładnie tę kwotę. Gdyby był rozgrywający za 94 000 €, Karolina mogłaby wydać tę kwotę i warunki nierówności byłyby spełnione (94 000 € 103 000 €). Najłatwiejszym sposobem nadania sensu nierówności jest odczytanie rozwiązania. Na przykład, r jest mniejsze lub równe 103 000. W przypadku nierówności określa się zakres odpowiedzi. Odpowiedzi spełniające warunki nierówności określa się terminem zbiór rozwiązań.

232

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

ości Zbiór rozwiązań to wszystkie wart przypadku W spełniające warunki wyrażenia. iązania należą problemu Karoliny do zbioru rozw e 103 000. wszystkie liczby mniejsze lub równ

Nierówności Nie istnieją

głupie pytania

P

: Do czego są potrzebne nierówności?

O

: W wielu sytuacjach nierówności są o wiele bardziej realistyczne od równań. Jeśli chcesz się dowiedzieć, czy masz wystarczającą ilość paliwa, dowolna ilość paliwa powyżej minimalnej spełnia warunki prawidłowej odpowiedzi. To jest nierówność.

W przypadku Karoliny istnieje kilka różnych sposobów na wydanie 1 000 000 €. Wszystkie spełniają warunki nierówności, mimo że suma wydatków w żadnym przypadku nie wynosi dokładnie 1 000 000 €.

P: Jaka jest różnica pomiędzy

„mniejszy niż” a „mniejszy lub równy”?

O: „Mniejszy niż” oznacza, że zbiór

rozwiązań zawiera wszystkie wartości aż do liczby z lewej strony nierówności (ale bez niej). Dotyczy to również ułamków i liczb dziesiętnych. Jeśli zatem rozwiązaniem nierówności jest x < 6, to x może być dowolną liczbą mniejszą niż 6. Liczba 5,99999999999 spełnia warunki nierówności, ale liczba 6 ich nie spełnia. Jeśli zmienimy wyrażenie na x ≤ 6, to liczba 6 będzie prawidłowym rozwiązaniem nierówności.

P

: Czy to samo można powiedzieć o symbolach „większy niż” i „większy bądź równy”?

O

: Tak, poza tym, że nierówność spełniają liczby większe od wartości występującej z lewej strony. Jeśli zatem mamy nierówność x > 6, to jej zbiór rozwiązań zawiera liczby większe od 6, na przykład 6,000000001.

P

: Po obu stronach nierówności wykonywaliśmy działania odwrotne. Czy zatem znak nierówności zawsze zachowuje się tak samo jak symbol równania?

O

: Cóż, nie zawsze. Więcej szczegółów podamy później. Jeśli jednak wykonujemy tylko dodawanie i odejmowanie, nierówności rozwiązuje się tak samo jak równania.

P: Co rozumiesz przez „nie zawsze”? O: Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron

nierówności przez liczby ujemne, zaczyna ona zachowywać się interesująco. W takich przypadkach znak nierówności zmienia się. Opowiemy o tym zaledwie kilka stron dalej.

P

: Czy nierówności naprawdę pomagają? Moim zdaniem istnienie tak wielu odpowiedzi nie wydaje się być zbyt ścisłe.

O: I nie jest. Ważne, aby zdać sobie

sprawę, że w wielu życiowych sytuacjach nie mamy do czynienia z pojedynczymi liczbami. Trzeba znać zbiór rozwiązań spełniających podane warunki. Algebra potrafi sobie radzić z bardziej złożonymi sytuacjami niż tradycyjna arytmetyka. To jest jeden z takich przykładów. Częściowo algebra dotyczy przekształcania wyrażeń w celu znalezienia rozwiązania. Trzeba jednak sprawdzać, czy znalezione rozwiązanie ma sens.

P: Kiedy używamy osi liczbowej? O: Zawsze, kiedy nie jesteśmy do końca

pewni porównania bądź sposobu analizy odpowiedzi. Do osi liczbowych powrócimy w dalszej części tego rozdziału. Powiemy, jak się je wykorzystuje do prezentowania całego zbioru rozwiązań.

P

: Równanie zazwyczaj ma ustaloną liczbę rozwiązań. Ile rozwiązań ma nierówność?

O

: Nierówności mają nieskończoną liczbę rozwiązań. Rozwiązania nierówności polegają na znajdowaniu wartości granicznych: największej bądź najmniejszej dozwolonej wartości. Kiedy się je znajdzie, można rozwiązać problem. Trzeba jednak pamiętać, że fakt istnienia nieskończonej liczby matematycznie prawidłowych odpowiedzi nie oznacza, że zawsze rozwiązania te mają sens w rzeczywistym świecie.

Na przykład, pomiędzy wartością 102 999,99 € a 103 000,00 € istnieje nieskończenie wiele liczb, ale one nie mają znaczenia dla Karoliny. Ponieważ jej problem dotyczy pieniędzy, to kwota 102 999,99 € oznacza praktycznie to samo, co 103 000,00 €.

P

: W równaniach obie strony oznaczają to samo. Co oznaczają w nierówności? Nie to samo?

O

: Ogólnie rzecz biorąc tak. Dzięki przeczytaniu symbolu nierówności użytego w wyrażeniu można się dokładnie dowiedzieć, jaka relacja zachodzi pomiędzy stronami.

P

: Co oznacza symbol , który widziałem w książkach do matematyki? Czy to jest nierówność?

O

: Oznacza on frazę „jest różny”. Na przykład:

4Ž6 Nie jest to zbyt opisowy symbol. Pomimo to stanowi symbol nierówności.

jesteś tutaj  233 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczby ujemne

Nierówności wykorzystujące operacje na liczbach ujemnych wymagają specjalnego traktowania Karolina nadal potrzebuje dobrego rozgrywającego, ale istnieje inny sposób, dzięki któremu może obrócić kartę na swoją stronę. Liga futbolu Fantazja, w której gra jej zespół, pozwala na karanie innych zespołów poprzez kupowanie „karnych punktów” przed meczem. Każdy punkt karny, który zakupi Karolina, spowoduje, że przeciwny zespół, grając mecz z jej zespołem, straci dziesięć metrów w ofensywie.

Następny mecz gram z zespołem brata, dlatego potrzebuję ubezpieczenia. Muszę zabrać przeciwnikom co najmniej 50 metrów.

ć Co powinna powiedzie można Karolina, aby problem ocą było zilustrować za pom równania?

Ponieważ Karolina powiedziała, że chce zabrać co najmniej 50 metrów, mamy do czynienia z nierównością. Jeśli przez g oznaczymy liczbę punktów karnych, które powinna zakupić Karolina, otrzymamy następującą nierówność:

- 10g # - 50 Spróbujmy przyjrzeć się tej nierówności nieco bliżej. Dla każdego punktu karnego (g) przeciwny zespół traci 10 metrów (–10). Karolina chce, aby zespół brata zaczynał cofnięty o 50 metrów. W celu rozwiązania nierówności należy podzielić jej obie strony przez –10…

- 10g - 50 # - 10 - 10 g # 5...???

To nie może być poprawny wynik… musieliśmy zrobić coś źle.

Tutaj jest tyle niejasności, że nawet nie wiem, od czego zacząć. Dlaczego w nierówności jest –10g mniejsze lub równe –50, skoro Karolina powiedziała „co najmniej”? A następnie ten wynik: g 5? Dla g = 5 nierówność jest spełniona, ale po podstawieniu niższych wartości otrzymujemy nieprawidłowe wyniki! Jeśli g równa się 4, to po lewej stronie nierówności otrzymujemy –40. Czy to jest liczba mniejsza bądź równa –50? Nierówności wykorzystujące operacje na liczbach ujemnych wymagają stosowania SPECJALNYCH REGUŁ. Przyjrzyjmy się nieco bliżej temu, co tu się dzieje.

234

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nierówności

Nierówności z liczbami ujemnymi działają w przeciwnym kierunku Najpierw zajmijmy się frazą „co najmniej” z treści problemu. Karolina chce zabrać przeciwnikom co najmniej 50 metrów. 51 metrów, 52 metry, 60 metrów… wszystkie te liczby spełniają warunki nierówności. Ale 40 metrów to zbyt mało. Ponieważ dla przeciwnika są to wartości ujemne, oznacza to, że –50 metrów i –60 metrów spełnia warunki zadania, natomiast –40 nie. spełnia Wiemy, że 50 metrów warunki zadania…

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

…ale równie dobrze spełniają je liczby –60, –70 itp.

Ponieważ liczby występujące po lewej stronie osi liczbowej są mniejsze niż liczby po prawej, wyrażenie, które próbujemy znaleźć, musi być mniejsze niż –50. W efekcie uzyskujemy następującą nierówność:

- 10g # - 50 Niezależnie od tego, jakie wyrażenie znajdzie się po lewej stronie nierówności, musi być ono mniejsze lub równe –50.

Mnożenie i dzielenie przez liczby ujemne stwarza problemy z nierównościami Chcemy się dowiedzieć, co się nie udało na końcu obliczeń zmiennej g. Powód, dla którego nierówność nie działa dla liczb ujemnych, jest prosty: liczby ujemne wzrastają w odwrotnym kierunku. Na przykład –10 to mniej niż –2 — dokładnie odwrotnie niż w przypadku liczb dodatnich 10 i 2. Jeden milion to naprawdę WIELKA liczba. ak to liczba Ponieważ jednznacznie st je , ujemna zera i jej mniejsza od niska. st je wartość

Dziesięć to nie jest zbyt duża liczba…

- 1, 000, 000 < - 10 blisko zera, …ale jest dość jest ść rto wa jej m zate a. większ

Wniosek jest taki, że w przypadku mnożenia bądź dzielenia nierówności przez liczbę ujemną relację wyrażoną w nierówności należy odwrócić. Jest tak, ponieważ liczby ujemne i dodatnie charakteryzują się odwrotną relacją do liczby zero.

Jeśli mnożysz lub dzielisz strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz odwrócić znak nierówności.

W jaki sposób to działa?

jesteś tutaj  235 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Mnożenie i dzielenie przez liczby ujemne a nierówności

ZMIANA ZNAKU nierówności poprzez mnożenie bądź dzielenie obu stron nierówności przez liczbę ujemną Ponieważ wartość liczby ujemnej zmienia się odwrotnie do jej rozmiaru, liczby ujemne odwracają relację nierówności. Dla przykładu spróbujmy pomnożyć obie strony równania przez –2. Minus jeden — liczba ujemna.

Dziewięć — liczba dodatnia.

9 >- 1

Pomnożenie obu stron ad nierówności, na przykł przez –2.

]- 2g 9 ? - 1 ]- 2g

18 to większa liczba, ale teraz jest ujemna, więc jej wartość jest mniejsza.

Teraz minus jedynka zmieniła się na plus dwa — jej wartość jest większa.

- 18 ? 2 Znak nierówności w porównaniu z nierównością wyjściową zmienił się.

- 18 < 2

Kiedy zaczęliśmy rozwiązywać nierówność, większa liczba była po lewej stronie. Na koniec większa liczba znalazła się po prawej — relacja zmieniła się na przeciwną. Sposób postępowania z nierównościami jest prosty. Kiedy mnożysz lub dzielisz strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz odwrócić jej znak.

Zastosowanie osi liczbowej do wizualizacji relacji Wykres

9 >- 1

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

Wartości wzrastają w tę stronę.

Pomnożenie obu stron nierówności przez –2 powoduje odwrócenie znaku nierówności…

Wykres

- 18 < 2

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

236

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

Wartości wzrastają w tę stronę.

Nierówności

Kiedy wykonujesz działania z nierównością oraz mnożeniem bądź dzieleniem przez liczbę ujemną… 1

Rozpocznij od prawidowej nierównoci. Nierówność może zawierać liczby lub niewiadome i musi być prawdziwa (jeśli możesz sprawdzić ją za pomocą osi liczbowej, warto to zrobić).

2

Rozwizuj nierówno tak jak równanie do czasu, kiedy zostaniesz zmuszony do pomnoenia lub podzielenia obu stron nierównoci przez liczb UJEMN.

3

Mnoenie lub dzielenie obu stron nierównoci przez liczb UJEMN. Jeśli musisz pomnożyć lub podzielić obie strony nierówności przez liczbę ujemną, pamiętaj, aby zrobić to samo po obu jej stronach. Na tym jednak nie koniec. Zawsze, kiedy mnożysz lub dzielisz strony nierówności przez liczbę ujemną, powinieneś natychmiast…

4

…odwróci symbol w nierównoci. Zrób to od razu! Znak większy niż zamienia się na mniejszy niż, mniejszy lub równy na większy lub równy itd. Pamiętaj, że należy to robić zawsze podczas mnożenia lub dzielenia stron nierówności przez liczbę ujemną.

Lokalizację liczb łatwo zobrazować na osi liczbowej. W ten sposób można pokazać, jak zmienia się relacja nierówności. Znak nierówności to sposób śledzenia relacji w równaniu. Twoim zadaniem jest praca ze znakiem nierówności w taki sposób, aby zachować prawidłową relację. Należy pamiętać, aby odwracać znak nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu stron nierówności przez liczby ujemne. Takie działanie nie tylko nie zmienia wyrażenia… ale w praktyce pozwala zachować jego prawdziwość.

Liczby ujemne mają WIĘKSZE wartości, kiedy są BLIŻEJ zera.

jesteś tutaj  237 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nie istnieją głupie pytania

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Jak to jest, że można odwrócić znak nierówności? Czy to wszystkiego nie zmienia?

: Czy znak nierówności można zamienić więcej niż raz?

O: W rzeczywistości odwrócenie znaku

: Jest taka możliwość. Jeśli nierówność została tak napisana, że trzeba mnożyć lub dzielić obie jej strony więcej niż raz, to znak nierówności także trzeba odwrócić więcej niż raz. Znak nierówności należy odwracać za każdym razem, kiedy wykonujemy mnożenie bądź dzielenie przez liczbę ujemną.

nierówności utrzymuje jej prawdziwość. Przypomnij sobie oś liczbową — kiedy mnożysz lub dzielisz strony nierówności przez liczbę ujemną, zmieniasz relację pomiędzy nimi. Znak nierówności to sposób śledzenia tego, która strona ma większą wartość. Wysoka liczba ujemna ma niższą wartość niż niska liczba dodatnia (i odwrotnie).

P: W jaki sposób odwrócić znak ≤? O: Jeśli w znaku nierówności występuje

komponent „lub równy”, należy zastąpić go przeciwnym znakiem z komponentem „lub równy”. Zatem znak „mniejszy lub równy” należy zastąpić znakiem „większy lub równy”.

P

: Czy możesz powiedzieć mi jeszcze raz, czym dokładnie jest zbiór rozwiązań?

O

: Zbiór rozwiązań nierówności zawiera WSZYSTKIE liczby, które spełniają nierówność.

238

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

O

To tak samo jak z rozwiązywaniem równań. Jeśli będziemy prawidłowo stosowali się do reguł, za każdym razem otrzymamy prawidłową odpowiedź.

P

: Co zrobić, jeśli trzeba podzielić lub pomnożyć nierówność przez ułamek lub liczbę dziesiętną? Czy w takim przypadku trzeba zmieniać znak nierówności?

O

: Tylko wtedy, gdy liczba dziesiętna lub ułamek są ujemne. Nie ma znaczenia, jaką formę ma liczba ujemna. Jeśli jest ujemna, to przy mnożeniu lub dzieleniu trzeba zmienić znak.

P

: Co zrobić, jeśli dodajemy lub odejmujemy liczby ujemne?

O

: W tej sytuacji nie ma potrzeby odwracania znaku nierówności. To dlatego, że kierunek wzrastania liczb się nie zmienia. Jeśli dodamy liczbę ujemną po obu stronach nierówności, obie strony nierówności przesuną się w lewo na osi liczbowej o tę samą liczbę jednostek. Oznacza to, że strony równania pozostaną do siebie w tej samej relacji.

Pamiętaj, że chodzi o względne relacje pomiędzy stronami. Jeśli się nie zmieniają, to nie ma powodu, by cokolwiek zmieniać.

P

: Co zrobić, jeśli podczas upraszczania nierówności mnożymy lub dzielimy wyraz po jednej stronie przez liczbę ujemną? Na przykład (–3)(2) > –10?

O

: W tym przypadku, ze względu na to, że nie wykonujemy mnożenia lub dzielenia obu stron nierówności, znak pozostaje bez zmian. A zatem w tym przykładzie otrzymamy –6 > –10, co jest prawdą.

Nierówności

Zaostrz ołówek Teraz, kiedy potrafisz dzielić i mnożyć strony nierówności przez liczby ujemne, możesz prawidłowo rozwiązać problem Karoliny dotyczący punktów karnych. Jest tu też kilka innych nierówności do wypróbowania. Aby sprawdzić pracę, skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej na dole strony. „Następny mecz gram z zespołem mojego brata, dlatego potrzebuję ubezpieczenia. Muszę zabrać przeciwnikom co najmniej 50 metrów”. Oblicz, ile punktów karnych powinna zakupić Karolina. ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Za każdy wygrany mecz liga przyznaje 40 punktów. Jeśli na koniec sezonu zespół zdobędzie ponad 260 punktów, otrzymuje Puchar Heismana. Ile meczów musi wygrać zespół Karoliny, aby otrzymać trofeum? ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

Zgodnie z regułami obowiązującymi w lidze, jeśli zespół uzyska więcej niż 10 punktów karnych w ciągu sezonu, następuje jego dyskwalifikacja. Karolina chce rozłożyć równomiernie kary na pozostałe 16 meczów. Jaka jest maksymalna liczba punktów karnych, jakie może otrzymać zespół Karoliny w ciągu 1 gry, aby nie został zdyskwalifikowany? ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

jesteś tutaj  239 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Teraz, kiedy potrafisz dzielić i mnożyć strony nierówności przez liczby ujemne, możesz prawidłowo rozwiązać problem Karoliny dotyczący punktów karnych. Jest tu też kilka innych nierówności do wypróbowania. Aby sprawdzić pracę, skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej na dole strony.

„Następny mecz gram z zespołem mojego brata, dlatego potrzebuję ubezpieczenia. Muszę zabrać przeciwnikom co najmniej 50 metrów”. Oblicz, ile punktów karnych powinna zakupić Karolina.

-10g -50 ............................................................................................................................................................................................... -10g ?-50 ............................................................................................................................................................................................... -10

-10

dy dzielisz obie strony

Kie , nie ............................................................................................................................................................................................... nierówności przez –10 ku. zapomnij o zmianie zna

g 5 ............................................................................................................................................................................................... Karolina musi kupić 5 lub więcej punktów karnych. ............................................................................................................................................................................................... Za każdy wygrany mecz liga przyznaje 40 punktów. Jeśli na koniec sezonu zespół zdobędzie ponad 260 punktów, otrzymuje Puchar Heismana. Ile meczów musi wygrać zespół Karoliny, aby otrzymać trofeum?

40w > 260 ............................................................................................................................................................................................... iany znaku — dzi liczbę dodatnią. ...............................................................................................................................................................................................

40w > 260 Nie ma zm ............................................................................................................................................................................................... elenie przez 40

40

w > 6,5 ............................................................................................................................................................................................... Karolina musi wygrać więcej niż 6,5 meczu. Ponieważ jednak nie można wygrać pół meczu, ............................................................................................................................................................................................... musi wygrać 7 lub więcej meczów. ............................................................................................................................................................................................... Zgodnie z regułami obowiązującymi w lidze, jeśli zespół uzyska więcej niż 10 punktów karnych w ciągu sezonu, następuje jego dyskwalifikacja. Karolina chce rozłożyć równomiernie kary na pozostałe 16 meczów. Jaka jest maksymalna liczba punktów karnych, jakie może otrzymać zespół Karoliny w ciągu 1 gry, aby nie został zdyskwalifikowany? ............................................................................................................................................................................................... 16p 10 ............................................................................................................................................................................................... 16p 10

16 16 ............................................................................................................................................................................................... p 0,625

...............................................................................................................................................................................................

Odpowiedź matematyczna brzmi nie więcej niż 0,625 punktów karnych na mecz. Ponieważ ............................................................................................................................................................................................... jednak nie można otrzymać ułamkowej części kary, Karolina nie ma możliwości równomiernego ............................................................................................................................................................................................... rozłożenia kar na poszczególne gry. Karolina musi zdecydować, w jakich meczach jej zespół ............................................................................................................................................................................................... może pozwolić sobie na nieczystą grę, a w jakich musi grać fair. ...............................................................................................................................................................................................

240

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nierówności

Magnesiki matematyczne Uywajc magnesików zamieszczonych poniej, wypenij puste miejsca w celu rozwizania nierównoci.

12 > 2x - 4x + 16

15 - 3y > - 9y + 18 - 18 + 15 - 3y > - 9y + 18 - 18

- 16 + 12 > 2x - 4x + 16 - 16 - 4 > 2x - 4x

- 3 - 3y > - 9y 3y - 3 - 3y > - 9y + 3y

- 4 > - 2x

- 3 > - 6y

-2 x -2

-4 -2

-6 y -6

-3 -6

x Wybierz dowolną liczbę spełniającą nierówność.

Sprawdź obliczenia:

12 > 2 ^5h - 4 ^5h + 16

y Sprawdź obliczenia.

12 > 10 - 20 + 16

15 - 3 ^3h > - 9 ^3h + 18

12 > 6

15 - 9 > - 27 + 18

liczbę, którą Warto wybraćwykorzystać do o tw można ła obliczeń. sprawdzenia

6 >- 9 Podstaw rozwiązanie do wyjściowej nierówności, aby sprawdzić, czy wynik jest prawidłowy.

< -18

2 -4

-4

-2x

<

-16

15-9

<

?

-27+18

2x-4x

-9

1 2

-3-3y

-9y

-3-3y

?

6 6

10-20+1 6

jesteś tutaj  241 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Magnesiki matematyczne: rozwiązanie

Magnesiki matematyczne. Rozwiązanie Twoim zadaniem byo wypenienie pustych miejsc i rozwizanie nierównoci. podobne, Aby uprościć wyrazy po jednej by licz cić ieś um musisz giej. dru po ne ien zm stronie, a

Połącz wyrazy podobne.

12 > 2x - 4x + 16

15 - 3y > - 9y + 18

-16 - 16 + 12 > 2x - 4x + 16 - 16

- 18 + 15 - 3y > - 9y + 18 - 18 -18 3 -3 --3 -y3y > - -99yy

x --4 4 > 2x 2x- 44x

3y - -3 3 -3 -y3y > - 9y + 3y

--44 > - 2x

Odwróć znak nierówności!

-4 ? ? -2 x -2 -2 <

2

zez liczbę Dzielisz pr m te za ujemną, odwrócić powinieneś ności. znak nierów

x

12 > 2 ^5h - 4 ^5h + 16 12 >

10-20+16

12 >

6

-3 -6 1 2

Sprawdź obliczenia.

Dla uproszczenia obliczeń wybraliśmy liczbę 5. Równie dobrze można było jednak wybrać dowolną liczbę większą niż 2.

- 3 > - 6y ?

-6 y -6

1< < y 2

Odwróć znak nierówności!

Sprawdź obliczenia.

15 - 3 ^3h > - 9 ^3h + 18 ksza niż czba wię . Każda li ia nierówność ak ½ spełn pozwoli jedn eń. 3 z Liczba szczenie oblic ro p u na

15-9

6

>

-27+18

>

-9

-2x

Sądziłam, że rozwiązaniem nierówności jest ZBIÓR liczb. Jak to się dzieje, że do sprawdzenia obliczeń używamy tylko jednej wartości?

Obliczenia należy sprawdzić za pomocą liczby należącej do zbioru rozwiązań… ale jaka to powinna być liczba?

242

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Do zbioru rozwiązań należy wiele liczb. Przyjrzyjmy się nieco bliżej zbiorom rozwiązań na osi liczbowej…

Nierówności

Zbiór rozwiązań możesz zobrazować na osi liczbowej Oś liczbowa to doskonały sposób wizualizacji zbioru rozwiązań. Oś liczbową wykorzystywaliśmy do zaznaczania punktów. W jaki sposób jednak można zaznaczyć zakres punktów lub cały zbiór rozwiązań? Gdyby to było możliwe, można by łatwiej wybierać liczby do sprawdzania naszej pracy. Dzięki temu można również zrozumieć, jakie liczby spełniają nierówność. Oto co należy zrobić: stana ność wykorzy To jest nierówpensji rozgrywającego do obliczenia liny. ro w zespole Ka

rq # 103, 000

Określ punkt, który Cię interesuje (w tym przypadku 103 000). Jest to punkt graniczny zbioru rozwiązań.

Spójrz na symbol nierówności, aby zdecydować, od jakiego typu punktu rozpocząć.

<

lub

<

Narysuj puste kółko.

#

lub

#

Narysuj pełne kółko.

cza, że zbiór Taki symbol ozna zi do punktu od ch do ań iąz rozw go nie zawiera. granicznego, ale

Taki symbol oznacza, że zbiór rozwiązań zawiera punkt graniczny. 103 000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

Narysuj strzałkę na osi liczbowej w kierunku rozwiązania. Dla rozwiązań „mniejszy niż” należy narysować strzałkę w lewo, natomiast dla rozwiązań „większy niż” — strzałkę w prawo. Interesują nas liczby mniejsze (lub równe), zatem strzałka wskazuje w lewo.

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

Wszystkie liczby, począwszy od kółka w punkcie 103 000, i mniejsze są rozwiązaniami nierówności. Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

70000

103 000

80000

90000

100000

jesteś tutaj  243

Nie istnieją głupie pytania Nie istnieją

głupie pytania

P: Po co się męczyć z osią liczbową? O: Oś liczbowa jest przydatnym narzędziem ułatwiającym

interpretację zbioru rozwiązań. Jeśli masz kłopoty z wizualizacją liczb, które mieszczą się w zbiorze rozwiązań, spróbuj narysować je na osi liczbowej. A oto inny sposób spojrzenia na oś liczbową: oś liczbowa jest układem współrzędnych składającym się z pojedynczej osi. Linia, którą rysujemy, to wykres wszystkich punktów na tej osi, spełniających nierówność.

P

: Co zrobić, jeśli mamy dużą liczbę i nie możemy narysować linii, która sięga tak daleko?

O

: Trzeba elastycznie dobierać odstępy na osi liczbowej. Kiedy prezentowaliśmy pensję rozgrywającego na poprzedniej stronie, każdy odcinek oznaczał 10 000 jednostek. W innych zadaniach odcinki będą oznaczać 1 lub 10 jednostek. Wszystko zależy od konkretnego problemu i sytuacji. Zawsze można narysować rozwiązanie. Trzeba tylko zaprezentować oś liczbową we właściwej skali.

P

: Czy ta cała zabawa z osią liczbową nie jest trochę dziecinna?

O: Absolutnie nie, zwłaszcza jeśli ułatwia znalezienie rozwiązania.

Wszystko, co pomaga w zrozumieniu nierówności, relacji lub rozwiązania, jest cenne i należy z tego korzystać. To, że poznawaliśmy to narzędzie, kiedy byliśmy młodsi, nie sprawia, że jest ono teraz mniej użyteczne.

W szczególności osie liczbowe są niezwykle przydatne w pracy z liczbami całkowitymi i nierównościami. Kiedy poruszasz się wokół zera w różne strony, możesz łatwo stracić orientację, gdzie się znajdujesz w danym momencie.

Możesz zmienić SKALĘ osi liczbowej bez wpływu na WARTOŚCI tej osi liczbowej. Użyj takiej skali, jaka ma sens dla TWOJEJ konkretnej nierówności.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Oś liczbowa to doskonały sposób sprawdzania obliczeń i wizualizacji zbioru rozwiązań.

Q

244

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

dla ≤ lub ≥.

Q Q

dla < lub >. Wystarczy, że zaznaczysz kierunek zbioru rozwiązań na osi liczbowej — nie możesz zaznaczyć wszystkich rozwiązań!

Nierówności

Ćwiczenie

Rozwiąż poniższe zadania i narysuj ich zbiory rozwiązań na osi liczbowej.

W szkolnej lidze baseballa podjęto próbę przyznania graczom tytułu GRACZ SEZONU na podstawie danych statystycznych. Aby otrzymać tytuł, trzeba zdobyć średni współczynnik skuteczności uderzeń wyższy niż 0,320. Średni współczynnik uderzeń to liczba punktów zdobytych w sezonie podzielona przez liczbę razy, kiedy zawodnik grał jako uderzający. W sezonie jest 12 meczów, a każdy gracz w ciągu meczu 4 razy występuje jako uderzający. Ile punktów musi zdobyć gracz, aby mógł być kandydatem do tytułu GRACZ SEZONU? ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Odbywa się właśnie ostatnia runda meczu w rzutki pomiędzy Januszem a Stanisławem. Wynik brzmi 18 dla Janusza, 12 dla Stanisława. Wygra ten, kto będzie miał większą liczbę punktów po rzucie Janusza. Jest też zasada, że kiedy gracz uderzy przeciwnika lotką w ucho, automatycznie odejmuje mu się 3 punkty. Stanisław powiedział coś na temat mamy Janusza. Janusz chce się dowiedzieć, ile razy może uderzyć Stanisława w ucho i w dalszym ciągu wygrać lub zremisować mecz. ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

jesteś tutaj  245 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Rozwiąż poniższe zadania i narysuj ich zbiory rozwiązań na osi liczbowej.

W szkolnej lidze baseballa podjęto próbę przyznania graczom tytułu GRACZ SEZONU na podstawie danych statystycznych. Aby otrzymać tytuł, trzeba zdobyć średni współczynnik skuteczności uderzeń wyższy niż 0,320. Średni współczynnik uderzeń to liczba punktów zdobytych w sezonie podzielona przez liczbę razy, kiedy zawodnik grał jako uderzający. W sezonie jest 12 meczów, a każdy gracz w ciągu meczu 4 razy występuje jako uderzający. Ile punktów musi zdobyć gracz, aby mógł być kandydatem do tytułu GRACZ SEZONU?

h

> 0,320

Średni współczynnik skuteczności uderzeń > 0,320

Aby wyizolować zmienną, trzeba pomnożyć obie strony przez 48.

12 •4 ............................................................................................................................................................................................... Liczba punktów h > 0,320 > 0,320 Liczba meczów •4 uderzenia na mecz ...............................................................................................................................................................................................

48

•

48 h

> 0,320

• 48

Na początek zapisaliśmy ............................................................................................................................................................................................... 48 nierówność słowami.

h > 15,36 ...............................................................................................................................................................................................

mu. my o kontekście proble

Pomyśl ktu. ............................................................................................................................................................................................... można zdobyć 0,36 pun Nie ci h > 15. Zatem w rzeczywistoś

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

To jest zbiór rozwiązań.

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Odbywa się właśnie ostatnia runda meczu w rzutki pomiędzy Januszem a Stanisławem. Wynik brzmi 18 dla Janusza, 12 dla Stanisława. Wygra ten, kto będzie miał większą liczbę punktów po rzucie Janusza. Jest też zasada, że kiedy gracz uderzy przeciwnika lotką w ucho, automatycznie odejmuje mu się 3 punkty. Stanisław powiedział coś na temat mamy Janusza. Janusz chce się dowiedzieć, ile razy może uderzyć Stanisława w ucho i w dalszym ciągu wygrać lub zremisować mecz.

erą „U” Oznaczyliśmy lit . 18 - 3(U) 12 od „ucho” ...............................................................................................................................................................................................

Wynik Janusza po rzucie Aktualny wynik Stanisława

- 18 + 18 - 3(U) 12 - 18 Aktualny wynik Janusza–punkty ujemne Aktualny wynik Stanisława ............................................................................................................................................................................................... - 3(U) -6

Więcej

operacji przygotowawczych. ...............................................................................................................................................................................................

- 3(U) - 6 m Dzielisz przez liczbę ujemną, zate ? Janusz może rzucić ści. ówno nier znak ócić - 3 - 3 musisz odwr ............................................................................................................................................................................................... dwa razy w ucho Stanisława U 2 i w dalszym ciągu Odwróć znak nierówności. ............................................................................................................................................................................................... będzie remis.

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

246

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Cały zbiór rozwiązań NIERÓWNOŚCI jest nieskończony. W naszym przypadku jednak zatrzymuje się na liczbie zero — nie można uderzyć przeciwnika w ucho ujemną liczbę razy!

Nierówności

W nierównościach mogą występować dwie zmienne

Potrzebuję pomocy — 103 000 € to za mało na rozgrywającego…

Karolina chciałaby wybrać inną formację defensywną. Dzięki temu miałaby więcej pieniędzy na rozgrywającego. Teraz jednak są dwie rzeczy, których Karolina nie wie…

Liga Futbolu Amerykańskiego Fantazja Strona gówna

Karolina anulowała wybór formacji defensywnej i dzięki temu uzyskała nieco więcej pieniędzy.

Wieci ze wiata

Liga

Aktualnoci

Pozycja Formacja defensy wna

Nazwisko

Pensja

Biegacz

Michał Abramowicz Edmund Fredro Ryszard Wolańsk i

197 000 € 212 000 €

Razem

564 000 €

Skrzydłowy Kopacz

155 000 €

Rozgrywający Karolina może wy najwyżej 1 000 dać co 000 €.

Zaostrz ołówek Użyj informacji zamieszczonych powyżej do opracowania nierówności dla dwóch brakujących pensji: formacji defensywnej i rozgrywającego. ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  247 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Koszt formacji

+

Koszt

Twoim zadaniem było opracowanie nierówności opisującej pensje formacji defensywnej i rozgrywającego. +

Koszt

+

Koszt

+

Koszt



1 000 000

skrzydłowego Kopacza rozgrywającego defensywnej biegacza ............................................................................................................................................................................................... 333 000 + 197 000 + 212 000 + 155 000 + r 1 000 000 ............................................................................................................................................................................................... ygnowała Karolina zrez formacji. d + 197 000 + 212 000 + 155 000 + r 1 000 000 j te ............................................................................................................................................................................................... u or z wyb

Oznaczmy tę zmienną przez d.

d + 564 000 + r 1 000 000 ............................................................................................................................................................................................... -564 000 + d + 564 000 + r 1 000 000 - 564 000 ............................................................................................................................................................................................... d + r 436 000 ............................................................................................................................................................................................... a Oto nasza końcow nierówność.

Co powinnam z tym zrobić? Zastosować podstawienie? wiamy Za r podsta . 185 000

Podstawienie to prawie zawsze dobry pomysł. Załóżmy na przykład, że znalazłeś rozgrywającego, który chce zarabiać 185 000 €. Po podstawieniu tej wartości do nierówności otrzymasz inną nierówność, którą będzie można wykorzystać do obliczenia pensji formacji defensywnej — d.

248

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

d + 185, 000 # 436, 000 - 185, 000 + d + 185, 000 # 436, 000 - 185, 000 d # 251, 000 Tutaj nie musisz odw rac znaku nierówności, pon ać to jest odejmowanie. ieważ

ota Teraz wiemy, jaka kw up zak na nam ała ost poz formacji defensywnej.

Nierówności Czy za każdym razem trzeba stosować metodę prób i błędów? To wydaje się bardzo nieefektywne. Czy istnieje jakiś inny sposób?

Pamiętasz wykresy? W przypadku równań z dwiema niewiadomymi wykres pokazywał całą linię rozwiązań. Zatem wykres jest w istocie sposobem zobrazowania rozwiązań równania. Spróbujmy narysować wykres dla prostej nierówności. W tym przypadku należy pamiętać o kilku sprawach: 1

Kiedy rysujesz wykres nierównoci, zacznij od prostej. Narysuj wykres nierówności w taki sam sposób, w jaki narysowałbyś wykres równania.

2

Okrel zakres, w jakim mieszcz si rozwizania nierównoci. Czy odpowiedzi znajdują się powyżej, czy poniżej linii? Czynność ta jest podobna do rysowania wykresów na osi liczbowej: pomyśl, jaka jest relacja odpowiedzi do narysowanej prostej.

To tylko pewne wskazówki na początek. Wkrótce powiemy o szczegółach!

3

Zaznacz stron prostej, po której znajduj si rozwizania. Możesz użyć do tego linii przerywanych, linii ciągłych, cieniowania… wszystkiego, czego chcesz.

Zaostrz ołówek Spróbuj narysować wykres nierówności na poniższym układzie współrzędnych.

y > 3x + 2 Jeśli masz taką potrzebę, użyj tego miejsca do obliczeń.

Postaraj się zrobić to tak, jak umiesz. O szczegółach opowiemy na następnej stronie.

jesteś tutaj  249 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie To jest prosta przechodząca przez punkt.

Twoim zadaniem było narysowanie wykresu nierówności. Jak należało to zrobić? Oto prawidłowy sposób wykonania wykresu:

y > 3x + 2

cia z osią y) b (punkt przecię

m (nachylenie)

Ponieważ y jest większe od równania liniowego, zacieniowaliśmy obszar odpowiadający większym wartościom zmiennej y.

nkt Wykorzystując pu y, przecięcia z osią sie punkt zaznacz na wykre(0, 2). o współrzędnych

Korzystając z wartości nachylenia, wznieś się o 3 jednostki na odległości 1 — zaznacz drugi punkt o współrzędnych (1, 5).

Tu jest prosta.

Rozwiązaniem nierówności jest y CAŁY zacieniowany obszar. Każd punkt wewnątrz tego obszaru spełnia nierówność.

250

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Linia jest przerywana, ponieważ w nierówności jest symbol „większy niż”, a zatem większy niż linia — punkty na linii nie należą do rozwiązania.

Nierówności

Korzystaj z wykresu w celu wizualizacji rozwiązań nierówności Rysowanie wykresów nierówności z dwiema zmiennymi przypomina rysowanie wykresów dla równań, ale wymaga nieco więcej cieniowania (rozwiązywanie nierówności także jest podobne do rozwiązywania równań). W przypadku nierówności wykreślenie całego zbioru rozwiązań wymaga wykonania następujących czynności: 1

Rozpocznij od ułożenia prawidłowej nierówności z dwiema zmiennymi. Należy wyizolować zmienną na osi pionowej (zazwyczaj y).

2

Zdecyduj, jaki będzie format linii:

<

lub

<

# lub #

narysuj linię przerywaną

narysuj linię ciągłą.

3

Narysuj linię tak samo jak w przypadku równania. Zadbaj o to, by była przerywana lub ciągła, w zależności od typu nierówności.

4

Zdecyduj, czy należy zacieniować obszar powyżej linii, czy poniżej niej.

5

to dokładnie Linia graniczna jak punkt sł, my po m sa ki ta liczbowej! graniczny na osi

y

<

lub

#

Zacieniuj wiksze wartoci y.

y

<

lub

#

Zacieniuj mniejsze wartoci y.

Zacieniuj wykres.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Co reprezentuje zacieniony obszar na wykresie?

jesteś tutaj  251 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Cieniowanie na wykresie nierówności pokazuje rozwiązania

Odpowiedzi tworzą obszar zacieniowany Spójrz na wcześniejszy przykład i wykreśl jedno z rozwiązań. Co według Ciebie reprezentuje zacieniony obszar?

(-1,5; 3,2)

Linia przerywana (ponieważ w nierówności jest znak “większy niż”).

y > 3x + 2

Cieniowanie pokazuje potencjalne odpowiedzi Pary uporządkowane należące do zacieniowanego obszaru spełniają nierówność. Każda para uporządkowana jest rozwiązaniem. Dzięki temu stosowanie metody prób i błędów można schować do lamusa. Jeśli x ma mieć wartość –1,5, to można wykorzystać dowolną wartość y powyżej linii. Każda taka para spełnia nierówność. Zobaczmy, jak to działa! Jeśli podstawisz obie liczby do nierówności, zawsze powinieneś otrzymać prawidłową nierówność:

y > 3x + 2 Wypróbuj punkt o współrzędnych (–1,5; 3,2) Po zaznaczeniu go na układzie współrzędnych on widać, że znajduje się ze. w zacienionym obszar

252

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

3., 2 > 3^ - 1.5 , h+ 2 3.,2 >- 4.5 , +2 3.,2 >- 2.5 , Zobacz! Punkt ć! spełnia nierównoś

Wszystkie pary uporządkowane należące do zacieniowanego obszaru spełniają nierówność.

Nierówności :

7

?

KTO CO ROBI? 7

Dopasuj każdą z nierówności do jej wykresu. Uważaj! Nie wszystkim nierównościom odpowiadają wykresy!

Nierówność

Wykres

t > 2 ^d - 0.5 , h

y-3>x-7

y $- x -3 2

y > 2 ^ x - 0.5 , h

y #- x -3 2

y-3 $ x-7

jesteś tutaj  253 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kto co robi: rozwiązanie :

7

?

KTO CO ROBI? ROZWIĄZANIE

7 Dopasuj każdą z nierówności do jej wykresu. Uważaj! Nie wszystkim nierównościom odpowiadają wykresy!

Nierówność

Wykres

t > 2 ^d - 0.5 , h

y-3>x-7 Nierówność jest podobna do pierwszego wykresu, ale znak nierówności nie jest prawidłowy.

y $- x -3 2 W tej nierówności są niewłaściwe zmienne (nie są to zmienne t i d).

y > 2 ^ x - 0.5 , h

y #- x -3 2

y-3 $ x-7

254

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykres tej nierówności jest podobny do drugiego wykresu po prawej, ale powinien zawierać ciągłą linię.

Nierówności

A zatem mogę stworzyć wykres dla pozostałych graczy. Następnie spojrzeć na tabelę i wykres, aby stwierdzić, jakie możliwości mi pozostały.

Zaostrz ołówek Nierówność z wcześniejszych obliczeń…

dd + + qr # 436, 000

Narysuj wykres dla nierówności Karoliny. Najpierw musisz wyrazić d w zależności od r. Układ współrzędnych wykreśliliśmy w taki sposób, aby odpowiadał naszemu problemowi. Zawsze należy pamiętać o odpowiednim zaznaczeniu wartości.

r

jesteś tutaj  255 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Narysuj wykres dla nierówności Karoliny. Najpierw musisz wyrazić d w zależności od r. Układ współrzędnych wykreśliliśmy w taki sposób, aby odpowiadał naszemu problemowi. Zawsze należy pamiętać o odpowiednim zaznaczeniu wartości.

dd + + qr # 436, 000 -r + d + r

436 000 - r

d

436 000 - r To oznacza, że nachylenie wynosi –1.

ą d Punkt przecięcia z osi ma wartość 436 000.

W tym przypadku rozwiązania mog być tylko dodatnie (rozgrywający ą nie będzie przecież płacił swojemu pracodawcy).

r

ny obszar Cały zacienio ność. ów er spełnia ni

z Każdy punkt zaznaczony wewnątr zacienionego obszaru spełnia nierówność.

256

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nierówności

Czy jesteście gotowi na trochę futbolu? Teraz, korzystając z wykresu, pomóż Karolinie w dokonaniu wyborów. Najpierw wybierz formację defensywną, a następnie zobacz, na jakiego rozgrywającego możesz sobie pozwolić. Aby skorzystać z wykresu, wybierz formację defensywną i zaznacz związane z nią koszty na osi d. Następnie odczytaj wartości r spełniające nierówność.

Formacje defensywne Zespół Waleczni

Koszt 300 000 €

Orły

200 000 € 333 000 €

Stalowi Kruk i

Postaraj się jak najbardziej zbliżyć do kwoty wszystkich pieniędzy, które Karolina ma do wydania.

250 000 €

Rozgrywający Nazwisko

Koszt

Tomasz Jagielski

208 200 € 175 000 €

Eryk Hetman Paweł Bromski

199 950 € Daniel Drz ycimski 20 2 400 €

Tutaj wybierz formację defensywną…

…i spójrz na tę oś, aby odczytać z niej maksymalną pensję rozgrywającego.

r

OK. A więc kogo mam wybrać? Potrzebuję formacji defensywnej i rozgrywającego!

Formacja defensywna:

Rozgrywający:

jesteś tutaj  257 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Karolina ma zespół

Świetnie! Orły to doskonała formacja defensywna, a Daniel Drzycimski otrzymał w tym roku nagrodę Heismana!

Formacje defensywne

Rozgrywający

Zespół Waleczni

Koszt 300 000 €

Nazwisko Tomasz Jagielski

208 200 €

Orły

200 000 € 333 000 €

Eryk Hetman

175 000 €

Stalowi Kruk i

250 000 €

Koszt

Paweł Bromski

199 950 € Daniel Drz ycimski 20 2 400 €

ztu 300 000 €. To jest punkt dla kos jącego za cenę wa gry roz Możesz kupić do 150 000 €.

Ponieważ pensja Orłów wynosi 200 000 €, Twój rozgrywający może zarabiać nawet do 250 000 €.

r

258

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nierówności

Ten rozdział dotyczył nierówności algebraicznych.

Mniejszy niż

<

w połączeniu ze znakiem równości

<

=

oznacza mniejszy niż.

Większy niż

Mniejszy lub równy. mniejszy niż

Rozdzia 6.

Niezbędnik algebraika

ak oznacza znlub równy” „mniejszy

#

<

Większy lub większy niż

<

oznacza większy niż.

równy.

w połączeniu ze znakiem równości

=

oznacza znak „większy lub równy

#

”

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Oś liczbowa to doskonały sposób sprawdzania rozwiązań nierówności z jedną zmienną.

Q

dla ≤ lub ≥.

Q

dla < lub >.

Q

Zaznacz kierunek zakresu na osi liczbowej.

Q

Kartezjański układ współrzędnych pozwala na wizualizację nierówności z dwiema zmiennymi.

Q

Używaj ciągłej linii do tworzenia w kartezjańskim układzie współrzędnych wykresu nierówności typu „mniejszy lub równy” oraz „większy lub równy”.

Q

Używaj przerywanej linii do tworzenia w kartezjańskim układzie współrzędnych wykresu nierówności typu „mniejszy niż” oraz „większy niż”.

Q

Po narysowaniu wykresu zacieniuj obszar, w którym znajdują się prawidłowe rozwiązania — powyżej lub poniżej linii.

Q

Kiedy rozwiązujesz nierówność, otrzymujesz zakres prawidłowych odpowiedzi — tzw. zbiór rozwiązań.

Q

W celu rozwiązania nierówności należy manipulować nią tak jak równaniem. Wyjątkiem jest sytuacja, w której mnożymy bądź dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną.

Q

Kiedy mnożysz lub dzielisz dwie strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz odwrócić jej znak.

jesteś tutaj  259 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

260

Rozdział 6.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

7. Ukady równa

Wiedzieć, czego się nie wie Cóż, rozumiem, że Ty także nie wiesz… ale czy możesz powiedzieć mi coś więcej o tym, czego nie wiesz? Tak kochanie… to naprawdę ważne. Muszę wiedzieć, co wiesz o tym, czego nie wiesz.

Równania z dwiema niewiadomymi można przedstawić na wykresie, ale czy można je faktycznie rozwiązać? Niedawno tworzyliśmy wykresy dla bardzo różnych wyrażeń: G i t, x i y oraz innych. Co jednak zrobić, aby rozwiązać równania z dwiema niewiadomymi? W takim przypadku należy wykorzystać więcej niż jedno równanie. Mówiąc dokładniej, potrzebujemy równania dla każdej niewiadomej, którą próbujemy znaleźć. Co dalej? Kilka podstawień, parę linii i przecięcie — to wszystko, co jest potrzebne do rozwiązania równań z dwiema niewiadomymi.

to jest nowy rozdział  261 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przygotowania do przyjęcia

wa o r t s e w l Sy balanga

W sylwestrowy wieczór Zbyszek organizuje przyjęcie. Za godzinę ma

.00 1 – 0 0 .

21

przyjść kilka osób. Problem w tym, że Zbyszek jeszcze nie przygotował

! Muzyka Tace!

drinków.

Miała to zrobić moja dziewczyna, ale ona ciągle się przygotowuje. Nie mam pojęcia, jak się robi poncz. Powiedziała, że poncz powinien mieć 52% zawartości CO2, ale to wszystko, co wiem. Co u licha powinienem zrobić z tymi procentami?

Zbyszek

Naczynie na poncz o pojemności 5 litrów

100%

+

40%

Cydr — w 10 0% gazowany

sok ananasowy go — 40% gazowane

262

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

=

52% W jaki sposób uzyskać poncz o nasyceniu CO 52%? 2

Układy równań

Ćwiczenie

Pomóż Zbyszkowi. Zbyszek potrzebuje równania, które pozwala obliczyć ilość cydru oraz soku ananasowego, które trzeba zmieszać, aby otrzymać poncz o nasyceniu CO2 52%.

To jest ilość, w litrach, Napisz równanie dla potrzebnej ilości ponczu ...................................................................................................................... każdego ze składników, których należy użyć.

Tę wartość należy wyrazić w litrach.

............................................................................................................................................................................................... Z jakiej postaci równania liniowego korzystasz? (zakreśl jedną)

Posta ogólna

Narysuj wykres równania:

Prosta przechodzca przez punkt

Posta kierunkowa

Nie zapomnij oznaczyć osi.

Nie zapomnij oznaczyć osi.

Jakie są współrzędne punktów przecięcia? .............................................................................................................................. Co one oznaczają? ...................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  263 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wizualizacja mieszaniny

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Pomóż Zbyszkowi. Zbyszek potrzebuje równania, które pozwala obliczyć ilość cydru oraz soku ananasowego, które trzeba zmieszać, aby otrzymać poncz o nasyceniu CO2 52%.

Objętość naczynia na poncz wynosi 5 litrów, zatem tyle wynosi Napisz równanie dla potrzebnej ilości ponczu ...................................................................................................................... całkowita ilość ponczu. ...................................................................................................................... To jest równanie liniowe. Są w nim informacje objętość cydru+objętość soku ananasowego = 5 litrów c + a = 5 o nachyleniu, przecięciu ............................................................................................................................................................................................... i nie ma wykładników większych od 1.

Z jakiej postaci równania liniowego korzystasz? (zakreśl jedną)

Posta ogólna

Prosta przechodzca przez punkt

Mógłbyś rozwiązać równanie, aby przecięcia lub przekształcić je do obliczyć kierunkowej i w efekcie narysow postaci ać wykres. Wtedy znałbyś także nachylenie.

Posta kierunkowa

c + a = 5 -a + c + a = 5 - a e ma postać: Teraz równani b y = mx+

c = 5 - a c = -a + 5 m = –1 = nachylenie

c + a = 5 Jakie są współrzędne punktów przecięcia? .............................................................................................................................. Podstaw c.

0 + a = 5 0 za ................................................................................................................................................................................................. Zatem punkt przecięcia z osią a a = 5 ma współrzędne (5, 0). ................................................................................................................................................................................................. Podstawiamy a = 0.

Punkt przecięcia z osią c

c + 0 = 5 ma współrzędne (0, 5). ................................................................................................................................................................................................. Obliczone punkty przecięć z osiami to (0, 5) i (5, 0). ................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................

Jeśli c = 0, to poncz będzie się składał wyłącznie z soku ananasowego. Co one oznaczają? ................................................................................................................................................................... Jeśli a = 0, to poncz będzie się składał z samego cydru.

264

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

Narysuj wykres równania: Nie zapomnij oznaczyć osi.

c+a=5 Rozpocznij od punktu 5). przecięcia z osią c (0,

(0, 5)

Nachylenie wynosi –1, co oznacza: przejdź o 1 w dół i o 1 w prawo.

Nie zapomnij oznaczyć osi.

a

A to jest drugi punkt przecięcia: (5, 0).

WYTĘŻ UMYSŁ

Co pokazuje wykres? Co się dzieje wraz ze wzrostem wartości zmiennej c? Co się dzieje wraz ze wzrostem wartości zmiennej a? ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

jesteś tutaj  265 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Niektóre odpowiedzi nie mają sensu

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Co pokazuje wykres? Co się dzieje wraz ze wzrostem wartości zmiennej c? Co się dzieje wraz ze wzrostem wartości zmiennej a? Z wykresu widać, że wraz ze wzrostem wartości zmiennej c maleje wartość ...................................................................................................................................................... zmiennej a. Oznacza to, że im więcej cydru dodamy do ponczu, tym mniej soku ...................................................................................................................................................... ananasowego. Co więcej, ze względu na to, że nachylenie wynosi –1, zmienne c i a ...................................................................................................................................................... rosną i maleją w tym samym tempie. ......................................................................................................................................................

Linia oznacza nieskończoną liczbę rozwiązań

Linia

Ponieważ mamy prostą, która pokazuje całą relację pomiędzy a i c, wiemy, że to równanie ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba sposobów mieszania cydru i soku ananasowego w celu uzyskania 5 litrów ponczu. Takie informacje nie pomagają Zbyszkowi.

reprezentuje nieskończoną liczbę punktów.

(-1, 6)

(4, 1)

Można zmieszać cydru z 1 litrem 4 litry soku ananasowego.

c = -a + 5 4 = -1 + 5

a

a

6 litrów cydru i –1 litra soku ananasowego również spełnia warunki równania.

c = -a + 5 -1 = -6 + 5

Przyjrzyj się uważnie wykresowi. Czy wszystkie rozwiązania reprezentowane przez linię mają sens dla TEGO problemu?

266

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

Nie możesz użyć –1 litra cieczy! Jeśli rozwiązujesz praktyczny problem, musisz pamiętać o jego kontekście. Wartości zmiennych c i a nie mogą być mniejsze lub równe zeru, ponieważ nie może być mniej niż zero litrów ponczu. Wiemy zatem, że nie można wykorzystać niektórych odpowiedzi z wykresu, ale w dalszym ciągu nie wiemy, jakie proporcje powinien zastosować Zbyszek. Co teraz należy zrobić?

Jaki był cel tej całej zabawy w rysowanie wykresu?

Istnieje WIELE rozwiązań. Oto co na razie wie Zbyszek: istnieje kilka sposobów na zmieszanie cydru z sokiem ananasowym w celu uzyskania 5 litrów ponczu. Ale Zbyszkowi nie chodzi tylko o to, aby uzyskać 5 litrów mieszaniny. Chce uzyskać 5 litrów ponczu, który będzie nasycony CO2 w 52%. Zatem jest coś, czego…

Naczyn o pojemie na poncz 5 litrów ności

100% Cydr 100% CO2

+

40%

Sok ananasowy 40% CO2

=

52%

W jaki sp o nasycen osób uzyskać poncz iu CO 52 %? 2

Zaostrz ołówek Zbyszkowi chodzi także o odpowiednie nasycenie ponczu dwutlenkiem węgla, a nie tylko o to, by wypełnić naczynie. Napisz kolejne równanie dla ponczu. To równanie powinno dotyczyć nasycenia ponczu CO2, a nie samej jego ilości. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  267 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dwie zmienne to dwa równania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było napisanie kolejnego równania dotyczącego nasycenia ponczu dwutlenkiem węgla. Oto co zrobiliśmy:

równanie dla Aby zapisać reśl relację dla Mamy do dyspozycji: cydr w 100% gazowany, sok ananasowy w 40% ok i, cj la re tej ............................................................................................................................................................................................ mieszaniny nasycenia CO2 składników.

gazowany i chcemy stworzyć poncz nasycony CO w 52%.

2 ............................................................................................................................................................................................

To jest całkowita

c oznacza objętość cydru.

objętość ponczu. 1c + 0,4a = 0,52(5) ............................................................................................................................................................................................

40% objętości soku (0,4) a oznacza objętość to sok gazowany. soku ananasowego. ............................................................................................................................................................................................ Cała objętość cydru — 100% — jest gazowana (1,0).

To jest nasze drugie równanie.

c + 0,4a = 2,6

............................................................................................................................................................................................ nkę. W wyrażeniu 1c pominęliśmy jedy Nie istnieją

głupie pytania

P

: Skąd się wzięły liczby przed zmiennymi c i a?

O: Zastosowaliśmy do zmiennych c i a tę

samą logikę, z jakiej korzystaliśmy podczas wyznaczania całkowitej ilości ponczu. Jeśli możesz pomnożyć całkowitą ilość ponczu przez procent nasycenia CO2, to samo możesz zrobić także dla każdego ze składników z osobna. 100% gazowanego cydru = 1c 40% gazowanego soku ananasowego = 0,4a

P

: W jaki sposób obliczyć ilość ponczu, która ma być gazowana?

O

: Problem Zbyszka jest klasycznym problemem mieszaniny. Problemy mieszanin zazwyczaj bazują na proporcjach. W naszym przypadku celem jest określenie, w jakim stopniu ma być gazowany poncz. Jeśli całkowita objętość ponczu ma być gazowana w 52%, to ilość ponczu, która ma być gazowana w 100%, wynosi 2,6 litra (52% z 5 litrów).

268

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

P

P

: Czy mogę przepisać równanie tak, by dla ułatwienia zastosować zmienne x i y?

: W jaki sposób postępować z tymi dwoma równaniami?

O: Oczywiście. Równanie i wykres możesz

: Tym właśnie zajmiemy się za chwilę. Równanie objętości ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Równanie proporcji również ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Istnieje jednak sposób wykorzystania tych dwóch zbiorów rozwiązań…

zapisać z wykorzystaniem zmiennych x i y lub c i a. Wybór należy do Ciebie.

P

: Czy należy brać pod uwagę ujemne rozwiązania?

O

: W przypadku tego problemu nie należy brać pod uwagę ujemnych rozwiązań, ponieważ nie może istnieć ujemna ilość ponczu.

O sposobach wyrażania tego rodzaju ograniczeń w równaniach powiemy przy okazji omawiania funkcji, za kilka rozdziałów.

O

Układy równań

W jaki sposób działa równanie do obliczania nasycenia CO2 w ponczu? Problem, jaki ma Zbyszek z pierwszym równaniem, polega na tym, że istnieje nieskończona liczba sposobów, na jakie można zmieszać składniki, aby uzyskać 5 litrów ponczu. Jednak żadne z tych rozwiązań nie dotyczy konkretnie prośby dziewczyny Zbyszka, aby poncz był nasycony CO2 w 52%. Dzięki zdefiniowaniu innego równania, które dotyczy relacji zachodzących w mieszaninie, możemy znaleźć proporcje składników tworzących prawidłową mieszaninę. To drugie równanie może nam pomóc, ponieważ używamy tych samych zmiennych, reprezentujących tę samą rzecz.

c = ilość gazowanego cydru, w litrach. a = ilość soku ananasowego, w litrach. W celu opracowania drugiego równania skorzystaliśmy z dodatkowych danych, jakimi dysponowaliśmy na temat każdej ze zmiennej — stopnia nasycenia dwutlenkiem węgla. ła Tę liczbę podabyszka. dziewczyna Z

Poncz nasycony CO2 w 52% = 5 litrów × 0,52 = 2,6 litra

mkach Jeśli działania na uła h tac cen pro i ych ętn esi dzi — wyleciały Ci z głowy wież zajrzyj do dodatku i odś i! ośc dom wia sobie te

Oto ile potrzebujemy czystej gazowanej cieczy.

Jeśli tę samą logikę zastosujemy do zmiennych c i a, otrzymamy nowe równanie. Cydr jest w gazowany w 100%, natomiast sok ananasowy jest gazowany tylko w 40%:

1c+(0,4)a = 2,6 To jest objętość cydru, która jest gazowana (całość).

anasowego, Objętość soku an na to 40%. wa zo ga która jest

Otrzymaliśmy kolejne równanie liniowe Mamy więc kolejne równanie liniowe z wykorzystaniem tych samych zmiennych — c i a, z których korzystaliśmy w poprzednim równaniu. To równanie występuje w postaci ogólnej i można z nim postępować dokładnie tak, jak z poprzednim.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Co można zrobić z drugim równaniem, by łatwiej znaleźć rozwiązanie problemu ponczu?

jesteś tutaj  269 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dwa równania z tymi samymi zmiennymi

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Wykres równania liniowego przedstawia nieskończoną liczbę rozwiązań równania.

Q

Zawsze należy pamiętać o tym, jaki jest kontekst problemu.

Teraz mamy DWA równania liniowe A zatem teraz mamy dwa równania z tymi samymi dwiema zmiennymi. c oznacza objętość cydru, natomiast a to objętość soku ananasowego. Ponieważ oba równania mówią o tym samym i korzystają z tych samych zmiennych, można je analizować razem:

c+a = 5 c + 0,4a = 2,6

we. Wiemy, że to jest równanie linio należące Oznacza to, że wszystkie punkty . do linii są rozwiązaniem równania To także jest równanie liniowe. Wszystkie punkty należące do wykr esu równania rozwiązują problem.

Jedno równanie określa relację dla całkowitej objętości ponczu, natomiast drugie dla tej objętości ponczu, którą tworzą gazowane składniki, ale oba równania dotyczą objętości. Każdemu z równań odpowiada nieskończona liczba uporządkowanych par, które są ich rozwiązaniami. Należy pamiętać, że rozwiązanie równania polega na znalezieniu takich wartości niewiadomych, dla których równanie jest prawdziwe.

Równanie liniowe

My potrzebujemy jednak zbioru liczb, które spełnią oba równania. Chcemy znaleźć parę liczb, która da nam całkowitą ilość 5 litrów ponczu i jednocześnie pozwoli na otrzymanie ponczu, który jest gazowany w 52%. W jaki sposób można naleźć rozwiązanie spełniające obydwa równania?

do tej prostej jest

Zacznijmy od wykreślenia obu tych równań… na tym samym kartezjańskim układzie współrzędnych.

równania liniowego.

270

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

jest reprezentowane przez LINIĘ PROSTĄ. Każdy punkt należący rozwiązaniem DOKŁADNIE TEGO

Układy równań Narysuj wykresy!

Narysuj wykresy obu równań ponczu na tym samym kartezjańskim układzie współrzędnych.

c+a = 5

c + 0,4a = 2,6

a

Użyj tego miejsca do obliczeń, jakie musisz wykonać, aby narysować wykresy równań.

............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ Czy istnieją jakiekolwiek punkty spełniające obydwa równania?..........................................................................................

jesteś tutaj  271 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Narysuj wykres: rozwiązanie Narysuj wykresy!

Narysuj wykresy obu równań ponczu na tym samym kartezjańskim układzie współrzędnych.

ie

izan

Rozw

c+a = 5

6 c + 0,4a = 2,

c + 0,4a = 2,6

c + a =5

em Co Twoim zdani , 1)? oznacza punkt (4

Aby wykreślić punkt (0; zaznacz punkt w połow 2,6), drogi pomiędzy 2 i 3. ie

a

Wcześniej rysowaliśmy 5 = wykres równania c+a sta. pro a sam ta t jes — to

c + 0,4a = 2,6 -0,4a + c + 0,4a = 2,6 - 0,4a

Czy istnieją jakiekolwiek punkty spełniające obydwa równania? Wygląda na to, że punkt (4, 1) spełnia OBYDWA równania.

c = -0,4a + 2,6 c = Przekształcenie nachylenia na ułamek ułatwia pracę.

272

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

4 a + 2,6 10

Punkt przecięcia z osią y ma współrzędne (0; 2,6).

Układy równań

PUNKT PRZECIĘCIA linii wyznacza rozwiązanie OBU równań liniowych Punkt, w którym dwie proste się przecinają, jest rozwiązaniem obydwu równań. Dlatego właśnie, w celu rozwiązania problemu Zbyszka, należy znaleźć punkt, w którym spotykają się obie linie. Ten punkt wyznacza ilość cieczy, które są potrzebne do uzyskania doskonałego ponczu na prywatce. ów ponczu, „Doskonałe” jest 5 litr w 52%. any ow gaz który będzie

Aby uzyskać doskonały poncz: Objętość soku litrach. ananasowego, w

a = 4 litry

Objętość cydru w litrach.

c = 1 litr

Oba równania, rozwizywane osobno, maj niesko czon liczb rozwiza . Każda linia prosta to nieskończony zbiór uporządkowanych par, które spełniają określone równanie i powodują, że jest ono prawdziwe. Punkt przecicia dwóch linii jest rozwizaniem problemu. Punkt przecięcia jest rozwiązaniem obu równań, ponieważ jednocześnie należy do obu linii.

Zaostrz ołówek Podstaw punkt (4, 1) do obu równań, aby sprawdzić, czy je spełnia. Czy rozwiązanie jest prawidłowe?

c + 0,4a = 2,6

c+a = 5

............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  273 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Znajdź rozwiązania obu równań

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było sprawdzenie, czy punkt (4, 1) jest rozwiązaniem obu równań.

tamy Punkt, który wykorzys stawienia, ma do pod ............................................................................................................................................................................................ współrzędne (4, 1).

c + 0,4a = 2,6

c+a = 5

1 + 0,4(4) = 2,6 4 + 1 = 5 ............................................................................................................................................................................................ Oba równania są spełnione.

1 + 1,6 = 2,6 To dowodzi, że punkt 5 = 5 ............................................................................................................................................................................................ przecięcia stanowi nie obu problemów!

rozwiąza 2,6 = 2,6 ............................................................................................................................................................................................

Rozwiązywanie równań z wieloma niewiadomymi za pomocą UKŁADÓW RÓWNAŃ Właśnie rozwiązałeś układ równań! Układ równań to grupa równań, które można traktować tak jak jeden problem. Rozwiązaniem układu równań jest punkt, który jednocześnie spełnia wszystkie równania.

Układy równa ń

c + 0,4a = 2,6 c+a = 5

Rozwizanie (4, 1)

W przypadku układów równań znalezienie dwóch niewiadomych wymaga dwóch równań. Dlaczego? Ponieważ rozwiązaniem jednego równania z dwiema niewiadomymi jest linia prosta, która biegnie w nieskończoność. Aby dowiedzieć się, który z punktów należących do linii należy wybrać, potrzebne są dodatkowe informacje. Drugie równanie pozwala na narysowanie drugiej linii prostej. Dzięki temu można wyznaczyć punkt przecięcia dwóch linii, który jest rozwiązaniem układu równań.

Aby można było znaleźć dwie niewiadome, trzeba znać dwie niezależne relacje.

274

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy trzeba sprawdzać obliczenia? O: Cóż. To dotyczy zrozumienia sytuacji, a nie przekształcania równań. Algebra jest O: Tak! Czy naprawdę trzeba liczyć dwa tylko narzędziem do rozwiązywania

razy? Wystarczy zaledwie kilka sekund, aby było wiadomo, czy otrzymaliśmy prawidłową odpowiedź. Wyobraź sobie, jaki to luksus odejść od zadania, gdy się wie, że jest zrobione bezbłędnie. Sprawdzanie pracy pozwala również zweryfikować poprawność przekształceń równania i zastosowanych podstawień.

P: Czy użycie wykresów to jedyna

metoda znalezienia odpowiedzi?

O: Cierpliwości! Wkrótce zaprezentujemy

kilka innych możliwości! Wielka zaleta wykresów polega jednak na tym, że pomagają one zobaczyć, co mogłoby się zdarzyć, gdyby coś się zmieniło w problemie.

P

: Skąd wiadomo, że można wykorzystać oba równania jednocześnie?

problemów. Kiedy rozwiązujesz równania, zawsze musisz pamiętać, jaki jest kontekst problemu. Zbyszka interesowało nie tylko uzyskanie 5 litrów ponczu, ale także odpowiedni stopień nasycenia CO2. Oznacza to, że są nam potrzebne dwa równania, a nie jedno.

P

: Co zrobić, jeśli mam jedno równanie i dwie zmienne. Czy mogę znaleźć rozwiązanie?

O

: Bez dodatkowych informacji nie jest to możliwe. Do wyznaczenia jednej niewiadomej potrzebne jest jedno równanie. Aby wyznaczyć dwie niewiadome, potrzebne są dwa równania. Aby wyznaczyć trzy… cóż, myślę, że zrozumiałeś, w czym rzecz.

Dodatkowe kłopoty… Zbyszek upuścił kilka naczyń

P

: Do jakich praktycznych zastosowań mogą się przydać układy równań?

O

: Takich zastosowań jest bardzo wiele. Dobieranie proporcji (jak w naszym przypadku), problemy dostaw i zapotrzebowań, pola i obwodu, odległości i czasu. Za pomocą układów równań można rozwiązywać niemal wszystkie problemy, w których występują dwie powiązane ze sobą niewiadome.

P

: Czy jeśli mam dwa równania z tymi samymi dwiema niewiadomymi, to zawsze istnieje rozwiązanie obu równań?

O

: Niekoniecznie. Czasami nie istnieje rozwiązanie dwóch konkretnych równań. Oznacza to, że ich wykresy nigdy się nie przecinają.

Wymiana kieliszka do wina kosztowała 6 zł.

Kiedy Zbyszek wraz z dziewczyną przygotowywał się do prywatki, zbił kilka naczyń. Naczynia były wypożyczone, zatem Zbyszek musi zapłacić za ich wymianę. Teraz próbuje ustalić, ile dodatkowych naczyń potrzebuje, ale nie pamięta, ile naczyń z każdego typu zbił. Oto co Zbyszek wie:

Karolina powiedziała, że zapłaciliśmy 33 zł za stłuczone naczynia. Było ich 7 sztuk.

Wymiana ch każdej z taki szklanek zł. kosztowała 4

WYTĘŻ UMYSŁ

Napisz dwa równania, które Zbyszek może wykorzystać do ustalenia typu potrzebnych szklanek. ........................................................................................................................ ........................................................................................................................

jesteś tutaj  275 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wizualizacja układu równań

Dwa rodzaje naczyń… oto DWIE niewiadome Teraz, kiedy potrafimy rozwiązywać układy równań, wiemy, co jest potrzebne, aby pomóc Zbyszkowi. W jego problemie są dwie niewiadome: Ile takich szklanek — x?

Ile takich kieliszków — y?

Ponieważ mamy dwie niewiadome, potrzebne nam są dwa równania: Równanie kosztów: 4x+6y = 33 — wymiana szklanek — x kosztuje po 4 zł za każdą, natomiast wymiana kieliszków do wina — y, kosztuje po 6 zł za każdą. Zbyszek zapłacił w sumie 33 zł za wymianę naczyń. Równanie liczby naczyń: x+y = 7 — Zbyszek zbił w sumie 7 naczyń.

Rozwiąż układ równań za pomocą wykresu Narysowanie wykresu obu równań jest sposobem na znalezienie wartości spełniających oba równania. Możemy narysować wykres linii będących rozwiązaniem każdego z równań, a następnie znaleźć punkt ich przecięcia. Następnie należy sprawdzić oba równania oraz bilans przychodów i rozchodów w naczyniach podczas przygotowań do imprezy u Zbyszka.

1

Narysuj wykres obu równa . Użyj dowolnej metody narysowania obu linii rozwiązania na tym samym układzie współrzędnych.

2

Okrel punkt przecicia. Wykorzystując siatkę układu współrzędnych, znajdź punkt, w którym te dwie linie się przecinają. Ten punkt spełnia obydwa równania.

3

Sprawd punkt rozwizania. Wróć do obu równań i podstaw do nich znaleziony punkt rozwiązania. Sprawdź, czy punkt jest poprawny.

276

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

Rozwiążmy problem naczyń Oba równania są w postaci ogólnej, zatem aby ułatwić rysowanie wykresów, przekształcimy je do postaci y = mx+b.

x+y=7 -x + x + y = 7 - x

4x + 6y = 33 -4x +4x + 6y = 33 - 4x 6y = 33 - 4x 6 6 6

Punkt przecięcia ), ma współrzędne (0, 33 — 6 a nachylenie wynosi –4/6.

y = 7 - x y = -x + 7

y = 33 - 4x 6 6 y = -4x + 33 6 6

Punkt przecięcia ma współrzędne (0, 7), a nachylenie wynosi –1.

x + y = 7 3 4x + 6y = 3

jest Gdzie u licha cięcia? ze pr ten punkt

Nie możemy odczytać z wykresu punktu przecięcia. Co można zrobić w takim przypadku?

jesteś tutaj  277 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Podstaw jedno równanie do drugiego

Zamiast wykresu można zastosować metodę podstawiania Czasami rozwiązywanie układu równań za pomocą wykresów nie sprawdza się. Na przykład, punkt przecięcia wypada w miejscu, które nie należy do siatki współrzędnych. W takich sytuacjach układ równań można rozwiązać metodą podstawiania. Aby można było skorzystać z podstawiania, należy wyznaczyć jedną niewiadomą z jednego równania. Wyznaczyliśmy niewiadomą x w kontekście niewiadomej y.

x+y=7 -y + x + y = 7 - y x = 7 - y

Znaleźliśmy sposób reprezentowania x w kontekście y. Możemy zatem podstawić tę wartość za x do drugiego równania. To jest podstawienie, o którym mowa.

4x + 6y = 33 4(7 - y) + 6y = 33

Tę wartość podstawiliśmy za x do DRUGIEGO równania.

y = jakaś liczba

Teraz wyznaczyliśmy y i możemy rozwiązać równanie.

Kiedy wyznaczysz y, podstaw tę wartość do pierwszego równania i oblicz x.

Użyj obliczonej wartości y do wyznaczenia x.

x + y = 7 x + liczba = 7 x = 7 - liczba

Zaletą metody podstawiania jest łatwość obliczenia wyniku w przypadku, gdy jest on ułamkiem zwykłym lub dziesiętnym. W przypadku metody graficznej wyznaczenie tego rodzaju rozwiązań nie jest łatwe. Metodę podstawiania można zastosować, ponieważ układ równań zawiera te same zmienne. Jeśli możesz wyznaczyć jedną zmienną w kontekście drugiej, możesz wyznaczyć prawidłowe równanie z jedną zmienną.

278

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Metodę podstawiania można zastosować, ponieważ układ równań to zbiór równań z tymi samymi niewiadomymi.

Układy równań

CELNE SPOSTRZEŻENIA

Ćwiczenie

Q

Aby rozwiązać układ równań za pomocą wykresu, należy wyznaczyć punkt przecięcia obydwu linii.

Q

Aby rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania, należy wyznaczyć jedną ze zmiennych

w kontekście drugiej zmiennej, podstawić ją do drugiego równania, a następnie obliczyć pozostałą zmienną. Q

Układ równań to grupa równań, które można traktować tak jak jeden problem.

Stosując metodę podstawiania, oblicz, ile naczyń każdego typu Zbyszek powinien wymienić.

............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  279 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Pamiętaj o kontekście problemu

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Stosując metodę podstawiania, oblicz, ile naczyń każdego typu Zbyszek powinien wymienić.

4x + 6y = 33 x+y=7 nać ............................................................................................................................................................................................ ależy wyko n Najpierw tawienie. s d o p e ki ta

-y + x + y = 7 - y

4(7 - y) + 6y = 33 ............................................................................................................................................................................................ x = 7 - y

28 - 4y + 6y = 33 ............................................................................................................................................................................................ 28 + 2y = 33 ............................................................................................................................................................................................ - 28 + 28 + 2y = 33 - 28 ............................................................................................................................................................................................ x = 7 - 5 2 Następn ............................................................................................................................................................................................ do pierwie należy pow 2y = 5 x = 14 - 5 i znaleź szego równan rócić ć ia x 2 . 2 2 2 ............................................................................................................................................................................................ y. x = 9 y = 5 Oblicz ............................................................................................................................................................................................ 2 2 Czy ta odpowied

ź ............................................................................................................................................................................................ nie wydaje Ci się podejrzana?

............................................................................................................................................................................................

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy metoda podstawiania jest lepsza od metody graficznej?

O

: Lepsza — to nie jest dobre określenie. Metoda podstawiania ma kilka zalet: pozwala między innymi na obliczenie dokładnej odpowiedzi. Ponieważ nie ma potrzeby szacowania odpowiedzi na wykresie, jest ona bardziej dokładna.

Ma również kilka wad. Wymaga wielu przekształceń równania, a to zajmuje sporo czasu. Metoda podstawiania nie pozwala również na śledzenie tego, co się dzieje z układem równań. Metoda ta nie na wiele się zda przy próbie odpowiedzi na pytanie, co się dzieje w innym miejscu układu równań.

280

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

P

P

: Dlaczego oba równania można traktować jako część tego samego problemu? Czy rzeczywiście można wymieniać zmienne w dwóch różnych równaniach?

: W jaki sposób zdecydować, którego z równań należy użyć w pierwszej kolejności? Którą zmienną trzeba najpierw wyznaczyć?

O: Jeśli z treści zadania wynika, że są to

: To bardzo subiektywna sprawa. Najlepiej spojrzeć na obydwa równania i ocenić, które z nich jest łatwiejsze do przekształcenia. Ważną kwestią, którą należy zapamiętać, jest to, że jeżeli będziemy przestrzegać reguł algebraicznych, zawsze dojdziemy do prawidłowego wyniku.

te same dwie zmienne, to można. Mogą to być oddzielne relacje (tak jak dla ponczu Zbyszka) lub dwa specyficzne równania występujące razem. Powodem, dla którego mamy dwa równania i dwie niewiadome, jest znajomość dwóch relacji zachodzących pomiędzy tymi niewiadomymi.

O

Układy równań Przecież nie zbiliśmy połowy szklanki. Karolina musiała źle podać sumę, którą zapłaciliśmy za wymianę naczyń. Karolina

Oj, przepraszam. Sprawdziłam jeszcze raz i to było 30 zł.

Zaostrz ołówek Korzystając z nowej kwoty podanej przez Karolinę, oblicz liczbę szklanek każdego typu, które Zbyszek był zmuszony wymienić. Narysuj wykresy, a następnie, dla sprawdzenia, skorzystaj z metody podstawiania. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  281 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zawsze sprawdzaj obliczenia

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było ponowne obliczenie liczby naczyń każdego typu, które Zbyszek był zmuszony wymienić. Narysuj wykresy, a następnie, dla sprawdzenia, skorzystaj z metody podstawiania.

lina podała Tym razem Karo wartość. ą ow idł aw pr m na

7

4x + 6y = 33 + = ............................................................................................................................................................................................ Idź w dół o 4 i dalej x

y

o 6 do punktu (6, 1).

Nowy punkt 4x + 6y = 30 y = -x + 7 ............................................................................................................................................................................................ ecięcia z osią prz y ma współrzędne Tę relację (0, 5). -4x + 4x + 6y = 30 4x wyznaczyliśmy ............................................................................................................................................................................................ wcześniej.

6y = 30 - 4x

............................................................................................................................................................................................ 6 6 6 y + x = 7

y = 5 - 4x

............................................................................................................................................................................................ 6 nie To się

y = -4x + 5 zmieniło. 2 wykresu rozwiązaniem jest (6, 1) ............................................................................................................................................................................................ 6 -2x = -12

y = -x + 7 ............................................................................................................................................................................................ 4x + 6y = 30 -2 -2 x = 6 Sprawdź za Z metody podstaw 4x + 6(-x + 7) = 30 ............................................................................................................................................................................................ pomocą metody uzyskaliśmy parę (6, 1)!

iania także

podstawiania.

Zbyszek potrzebuje 6 szklanek

y = -x + 7 i 1 kieliszka do wina. 4x - 6x + 42 = 30 ............................................................................................................................................................................................ -2x + 42 = 30 y = -6 + 7 ............................................................................................................................................................................................ -42 - 2x + 42 = 30 - 42 ............................................................................................................................................................................................ y = 1

Zbyszek i Karolina mają wystarczającą liczbę naczyń i doskonałą mieszankę ponczu. Wszystko wskazuje na to, że będzie udana impreza. Powstał jednak nowy problem…

282

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań Dziewczyny mają zamiar wyjść, jeśli nie będzie dobrej muzyki. Co powinienem zrobić?

Każdy lubi wolne tańce. Zbyszek doszedł do wniosku, że jeśli zwiększy liczbę wolnych kawałków, to więcej dziewcząt zostanie. Chce odtwarzać wolny kawałek za każdym razem po dwóch szybkich. Musi jednak stworzyć listę odtwarzania na pozostałą część prywatki i do tego potrzebuje Twojej pomocy.

Każdy utwór ma około czterech minut, a prywatka potrwa cztery godziny.

Cztery godziny muzyki = 4 godziny po 60 minut na godzin = 240 minut 240 minut = 60 utworów 4 minuty na utwór

utworów Całkowita liczba ę. na imprez

Zaostrz ołówek Utwórz dwa równania z dwiema niewiadomymi w postaci ogólnej, aby obliczyć liczbę szybkich i liczbę wolnych utworów, jakich potrzebuje Zbyszek. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  283 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Utwórz dwa równania z dwiema niewiadomymi w postaci ogólnej, aby obliczyć liczbę szybkich i liczbę wolnych utworów, jakich potrzebuje Zbyszek.

Równanie nr 1 — całkowita liczba utworów.

plus liczba szybkich utworów

............................................................................................................................................................................................ wynosi 60 — obliczyliśmy, Liczba wolnych

w + s = 60

że taka będzie całkowita

utworów liczba utworów, które zostaną ............................................................................................................................................................................................ Równanie nr 2 — wolne utwory a szybkie utwory.

odtworzone na przyjęciu.

............................................................................................................................................................................................

1 s Innym sposobem wyrażenia 2 tej relacji jest stwierdzenie, ............................................................................................................................................................................................ że liczba wolnych utworów 1 powinna wynosić połowę 2w = s2 wolny jeden być powinien Założyliśmy, że 2 ............................................................................................................................................................................................ liczby utworów szybkich. w =

utwór na każde dwa szybkie utwory.

............................................................................................................................................................................................ -s + 2w = s -s Spróbujmy doprowadzić to

2w - s = 0 równanie do postaci ogólnej. ............................................................................................................................................................................................

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy ma znaczenie to, które równanie zapiszemy

P: Czy mogę wykorzystywać dowolne zmienne,

O: W przypadku układów równań nie ma znaczenia kolejność,

O: Tak! My wybraliśmy litery w i s od słów wolne i szybkie, zawsze

jako pierwsze?

w jakiej rozwiązujemy równania. Jeśli będziesz konsekwentnie postępował według reguł przekształcania równań, uzyskasz prawidłowy wynik.

jakie chcę?

jednak można poprzestać na standardowych zmiennych x i y. Jeśli podczas tworzenia wykresów użyjesz innych liter niż x i y, pamiętaj, aby prawidłowo oznaczyć osie wykresu.

Uff! Obliczenie tych wartości zajęło wieczność… Chciałabym, aby istniał łatwiejszy sposób.

284

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

Czat IM: Dodawanie równa Hej! Te litery to po prostu liczby. Czy tak? Tak… Krystyna

I s to te same litery w kadym z równa. Prawda?

Janek

Tak. I co z tego?

Krystyna

Co to znaczy?

Janek

Jola

Có, moemy doda pierwsze równanie do drugiego. Hm… To prawda, poniewa zmienne maj takie samo znaczenie w obu równaniach.

Krystyna

Jaki byby tego sens?

Janek

Gdyby mona byo pozby si niektórych wyrazów… Na przykad, gdyby mona byo uproci dodatnie s z ujemnym s. Wtedy zostaoby tylko w do wyznaczenia. Janek

Jola

Co? W dalszym cigu nie rozumiem…

Na przykad tak: Teraz mamy jedno równanie i jedną niewiadomą.

w + s = 60

+ 2w – s = 0 3w

Krystyna

Jola

Te równania można do siebie dodać, tak jak dodaje się do siebie liczby.

= 60

Ach tak! Rozumiem! Teraz moemy atwo wyznaczy w! To wanie miaam na myli…

Jane

Krystyna

To jest metoda podobna do podstawiania, ale troch szybsza.

jesteś tutaj  285 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwiązuj równania szybciej dzięki metodzie przeciwnych współczynników

Obliczenie w nie przysporzyło żadnych problemów Wystarczyło sprytne dodawanie, aby z obu równań wyznaczyć zmienną w. Ponieważ te dwa równania tworzą układ równań i są w nich te same niewiadome, możemy pominąć kilka kroków poprzez dodanie do siebie wszystkich wyrazów w obu równaniach. Jeśli równania zostaną odpowiednio przekształcone, pozwoli to na pozbycie się jednej ze zmiennych, co znacznie ułatwi obliczenia. Dzięki temu będzie można obyć się bez wykresów lub podstawiania. Bez trudu obliczamy w, a następnie podstawiamy do dowolnego z równań wyjściowych i obliczamy s: Najpierwy w: obliczam

3w = 60 3

-20 +

3

w = 20

y podstawiam Następnie artość tu… w ną obliczo

w + s = 60 20 + s = 60 -20 s = 40 …i oblicza my s.

Eliminacja zmiennej za pomocą METODY PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW Taki sposób rozwiązywania układów równań nazywa się metodą przeciwnych współczynników. Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników jest procesem, który polega na dodaniu do siebie dwóch równań, a następnie na rozwiązaniu powstałego w ten sposób równania. Jest to prawidłowy sposób postępowania z równaniami, ponieważ w obu równaniach występują te same niewiadome, tyle że w różnych relacjach. Mówiąc dokładniej, ponieważ mamy do czynienia z równaniem, w którym lewa strona, w+s, jest równa prawej stronie, 60, to dodawanie obu równań jest po prostu wykonaniem tego samego działania po obu stronach równania. Taka operacja jest zgodna z regułami algebry. Metoda przeciwnych współczynników okazuje się bardzo przydatna ze względu na to, że pozwala pominąć bardzo wiele etapów w rozwiązaniu.

Podsumowanie Metoda przeciwnych współczynników — metoda rozwiązywania układów równań polegająca na dodaniu do siebie dwóch równań, a następnie na rozwiązaniu powstałego w ten sposób równania.

286

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy zawsze można doprowadzić

do sytuacji, w której zmienne znikną?

O

: Tak, jeśli najpierw doprowadzi się równania do odpowiedniej postaci. Potrzebne są współczynniki, które wzajemnie się wyeliminują. W poprzednim równaniu mieliśmy –1s oraz +1s, które po zsumowaniu dały wynik zero. O sposobie doprowadzania równań do takiej postaci opowiemy za chwilę.

P: Czy ma znaczenie to, do którego

równania podstawimy pierwszą obliczoną zmienną?

O: Nie. Po znalezieniu jednej niewiadomej

można podstawić obliczoną wartość do dowolnego równania i w ten sposób obliczyć brakującą niewiadomą.

To ma sens. Rozwiązaniem układu równań jest przecież JEDEN punkt spełniający oba równania. Oznacza to, że ten jeden punkt — x i y (lub też w i s) jest taki sam dla obu równań.

P: Dlaczego dodawanie dwóch

równań w taki sposób jest dozwolone?

O

: Metoda przeciwnych współczynników przypomina szybką metodę podstawiania. Wartości zmiennych w punkcie rozwiązania są takie same. Zatem możesz wykorzystać dowolne z równań, ponieważ oba opisują te same zmienne. Każde równanie jest zapisane w inny sposób, dlatego połączenie ich pozwala na uzyskanie jednego rozwiązania.

Dodawanie równań do siebie to jeden ze sposobów postępowania ze zmiennymi. Polega on na przekształcaniu obu równań na raz.

P

: Z jakiej metody powinienem skorzystać: graficznej, podstawiania czy przeciwnych współczynników?

O

: Tu mamy dobrą wiadomość: każda metoda jest dobra dla każdego problemu. Jak pokazaliśmy wcześniej, ograniczenia metody graficznej polegają na tym, że w tym przypadku trzeba odczytać rozwiązanie wykresu, a to jest trudne w przypadku liczb dziesiętnych i ułamków.

Metoda podstawiania okazuje się najprostsza, ale przypomina poruszanie się w przód i w tył. To może zajmować wiele czasu i stwarza większe ryzyko popełnienia błędów. Metoda przeciwnych współczynników jest dobra, jeśli równania zostaną doprowadzone do odpowiedniej postaci. Zazwyczaj robi się to dość szybko.

P

: Co zrobić, jeśli postać równań nie pozwala wyeliminować zmiennej?

O

: Wtedy należy przekształcić jedno lub oba równania w taki sposób, aby uzyskać wyrazy, które wzajemnie się eliminują.

Załóżmy, że mamy dwa równania. W jednym występuje wyraz –4s, a w drugim jest wyraz +s. Możemy pomnożyć całe drugie równanie przez 4 (wszystkie jego wyrazy i obie strony, tak by otrzymać równanie równoważne). W ten sposób otrzymujemy wyraz +4s i możemy zsumować równania. Tak stworzymy sytuację, w której zmienne wzajemnie się wyeliminują.

WYTĘŻ UMYSŁ

Wróć na chwilę do problemu Zbyszka z ponczem. Spróbuj rozwiązać ten problem, stosując tym razem metodę przeciwnych współczynników. ................................................................................................................................................................................

Równanie opisujące ilość ponczu

c+a = 5

................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................

c + 0,4a = 2,6

ujące nasycenie CO2 Równanie opis ................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  287 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przekształć równania w celu przygotowania eliminacji

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Twoim zadaniem było rozwiązanie problemu ponczu z wcześniejszej części rozdziału. Tym razem należało zastosować metodę przeciwnych współczynników. Mnożymy całe Zsumowanie tych dwóchje równanie przez –1. wyrazów nie wyeliminu c — oba -c - a = -5 zmiennej................................................................................................................................................................................ ie. Teraz dodajemy współczynniki są dodatn równania do siebie. c + 0,4a = 2,6 ................................................................................................................................................................................

c+a = 5 c + 0,4a = 2,6

-0,6a = -2,4

-0,6 ................................................................................................................................................................................ -0,6 c + a = 5 a = 4 ................................................................................................................................................................................ -4 + c + 4 = 5 - 4 ................................................................................................................................................................................ 4 litry soku ananasowego

To dokładnie taki sam

i 1 litr cydru. wynik, jaki uzyskaliśmy c = 1 ................................................................................................................................................................................ poprzednim razem!

Metoda przeciwnych współczynników wymaga PLANOWANIA Aby można było skutecznie zastosować metodę przeciwnych współczynników, zmienne w równaniach muszą się wzajemnie eliminować.

Muzyka

w + s = 60 + w – s=0 2 3w = 60

Układ równań do obliczania utworów na prywatkę był skonfigurowany w sposób umożliwiający łatwe wyeliminowanie zmiennej.

288

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

, Zmienne eliminują się ponieważ s–s = 0.

W tym układzie ró żadna ze zmienny wnań zostanie wyelimi ch nie po dodaniu równ nowana ań.

Poncz

+

c+a = 5 c + 0,4a = 2,6

Układ równań do obliczania składników ponczu nie był skonfigurowany w sposób umożliwiający łatwe wyeliminowanie zmiennej.

Układy równań

Przekształcanie równań w celu przygotowania do eliminowania zmiennych Dodanie do siebie dwóch równań opisujących relacje zachodzące pomiędzy składnikami ponczu powoduje uzyskanie równania z dwiema zmiennymi, którego nadal nie można rozwiązań. Aby wyeliminowanie zmiennej było możliwe, współczynnik występujący przy tej zmiennej w jednym równaniu powinien być liczbą przeciwną współczynnika przy tej samej zmiennej w drugim równaniu. Po opracowaniu układu równań należy spojrzeć na ten układ i ocenić kilka elementów: 1

Czy po dodaniu równa do siebie którakolwiek ze zmiennych zostanie wyeliminowana? W układzie równań składników ponczu mieliśmy współczynniki +1c i +1c oraz +1a i +0,4a. Taki rozkład współczynników nie pozwalał na łatwe wyeliminowanie żadnej ze zmiennych.

2

Jeli nie, to wybierz zmienn, któr chcesz wyeliminowa. Dla której zmiennej należy ustawić przeciwne współczynniki w poszczególnych równaniach? Poniżej zamieszczono przykład strategii wybierania zmiennej do eliminacji.

Która zmienna? W przypadku układu równań opisującego relacje pomiędzy składnikami ponczu mamy do wyboru zmianę jednego z wyrazów +1c na –1c, tak by wyeliminować zmienną c, lub zmianę wyrazu +1a na –0,4a, a w efekcie wyeliminować zmienną a. Spróbujmy wyeliminować zmienną c, ponieważ w tym przypadku nie ma żadnych liczb dziesiętnych. W jaki sposób zmienić wyraz +1c na –1c? Wystarczy pomnożyć całe równanie przez –1. Po tym zabiegu można dodać oba równania do siebie i zastosować metodę przeciwnych współczynników. Podjęcie decyzji o tym, którą zmienną wyeliminować, oraz przekształcenie równania do postaci umożliwiającej przeprowadzenie takiej eliminacji jest najtrudniejszą częścią metody przeciwnych współczynników. Oto kilka elementów, na które warto zwrócić uwagę: rych wspóczynniki Szukaj zmiennych, któ tej samej liczby, na s wielokrotnociami ynnik 1 jest dobry przykad 2 i 4. Wspócz w kadym przypadku. Aby wspóczynniki przy zmiennych wzajemnie si eliminoway, a równanie pozostao w równowadze, naley pomnoy cae równanie przez odpowiedni zmienn.

jesteś tutaj  289 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Po wyeliminowaniu zmiennej zastosuj podstawianie Nie istnieją

głupie pytania

P: Co zrobić, jeśli wybiorę nieodpowiednią zmienną do wyeliminowania?

O: W rzeczywistości nie ma czegoś takiego, jak „nieodpowiednia zmienna”. Jeśli będziesz konsekwentnie stosować reguły przekształcania równań, nie otrzymasz błędnego wyniku.

Zwykle jednak istnieje zmienna, która gwarantuje łatwiejsze rozwiązanie problemu. Kiedy zdobędziesz więcej doświadczenia w rozwiązywaniu równań, wybieranie zmiennej do wyeliminowania będzie przychodzić Ci łatwiej. Jeśli jednak w jednym z równań istnieje zmienna o współczynniku 1, zwykle najlepszym sposobem postępowania jest wybranie tej zmiennej. W takiej sytuacji można łatwo stwierdzić, co trzeba zrobić z całym równaniem, aby można było wyeliminować zmienną.

P: Dlaczego dodawanie dwóch równań jest dozwolone?

O: Ponieważ w obu równaniach są wykorzystywane te same

zmienne, reprezentujące te same rzeczy. To zupełnie tak, jak dodawanie do siebie dwóch liczb. Nie można jednak zamieniać stron ani w żaden inny sposób zmieniać równań. Po prostu dodaj do siebie dwa równania w celu wyeliminowania jednej zmiennej, a następnie rozwiąż otrzymane równanie.

P: Czy ma znaczenie to, do którego równania podstawimy obliczoną zmienną?

O

: Nie. Można podstawić ją do dowolnego z równań. Podobnie jednak, jak w przypadku wyboru zmiennych do wyeliminowania, zwykle istnieje równanie pozwalające na łatwiejsze obliczenie drugiej zmiennej. Jeśli w jednym z równań są wyłącznie całkowite współczynniki, a w drugim ułamki zwykłe lub dziesiętne, prawdopodobnie łatwiej będzie wybrać równanie z liczbami całkowitymi. W ten sposób można szybciej uzyskać rozwiązanie.

P: Czy powinienem używać podstawiania do rozwiązywania wszystkich układów równań?

O

: Wszystko zależy od równania. Możesz użyć metody graficznej, podstawiania lub przeciwnych współczynników. Każda z nich będzie skuteczna. Wszystko sprowadza się do wyznaczenia takiej metody, która najlepiej nadaje się do określonej sytuacji. Po dokonaniu wyboru należy zastosować ją do rozwiązania problemu.

Pamiętaj: jeśli będziesz postępować według zasad, zawsze uzyskasz prawidłowy wynik, niezależnie od wybranej metody.

CELNE SPOSTRZEŻENIA

290

Q

Zawsze sprawdzaj obliczenia.

Q

Najtrudniejszym elementem w metodzie przeciwnych współczynników jest wybór zmiennej, która ma być wyeliminowana.

Q

Zawsze stosuj ten sam mnożnik po obu stronach znaku równości.

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Po wyeliminowaniu jednej zmiennej i wyznaczeniu drugiej podstaw obliczoną wartość do dowolnego z równań w celu obliczenia drugiej zmiennej.

Układy równań

Konstruowanie równa Przyjrzyj si poniszym sytuacjom. Napisz ukady równa, a nastpnie je rozwi, uywajc metody przeciwnych wspóczynników lub metody podstawiania.

Zbyszek pracuje nad obliczeniem dochodów z organizowanej przez siebie imprezy. Uczestnicy mog nabywa bilety na dwa sposoby: w przedpacie — wtedy bilet kosztuje 18 z — lub pacc przy wejciu — wówczas trzeba zapaci 22 z. Na imprez przyszo 1512 osób, a Zbyszek zebra 31 566 z. Ile biletów sprzedano w przedpacie, a za ile zapacono przy wejciu? ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ Zbyszek zamówi na przyjcie 11 ciast i zapaci za nie, ale zadzwoniono do niego z cukierni z informacj, e s problemy z odnalezieniem jego zamówienia. Zbyszek wie, e ciasto tortowe dzieli si na 150 kawaków, natomiast sernik na 104 kawaki. Ile ciast z kadego rodzaju zamówi Zbyszek, jeli wiadomo, e kady uczestnik imprezy mia otrzyma kawaek ciasta? ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  291 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Konstruowanie równań: rozwiązanie

Konstruowanie równa Przyjrzyj si poniszym sytuacjom. Napisz ukady równa, a nastpnie je rozwi, uywajc metody przeciwnych wspóczynników lub metody podstawiania. Zbyszek pracuje nad obliczeniem dochodów z organizowanej przez siebie imprezy. Uczestnicy mog nabywa bilety na dwa sposoby: w przedpacie — wtedy bilet kosztuje 18 z — lub pacc przy wejciu — wówczas trzeba zapaci 22 z. Na imprez przyszo 1512 osób, a Zbyszek zebra 31 566 z. Ile biletów sprzedano w przedpacie, a za ile zapacono przy wejciu? Aby

-18p -18d = -27 216 p + d = 1512 -18(p + d) = -18(1512) ....................................................................................................................................................................................................... wyeliminować

zmienną p, + należy 18p + 22d = 31 568 18p + 22d = 31 568 ....................................................................................................................................................................................................... pom nożyć pierwsze 4d = 4,352 równanie ....................................................................................................................................................................................................... prze z –18. 4 4

p + 1088 = 1512

d = 1088 ....................................................................................................................................................................................................... W przedpłacie sprzedano 424

-1088 + p +1088 = 1512 -1088 bilety, natomiast za 1088 ....................................................................................................................................................................................................... biletów zapłacono przy wejściu.

p = 424 ....................................................................................................................................................................................................... Zbyszek zamówi na przyjcie 11 ciast i zapaci za nie, ale zadzwoniono do niego z cukierni z informacj, e s problemy z odnalezieniem jego zamówienia. Zbyszek wie, e ciasto tortowe dzieli si na 150 kawaków, natomiast sernik na 104 kawaki. Ile ciast z kadego rodzaju zamówi Zbyszek, jeli wiadomo, e kady uczestnik imprezy mia otrzyma kawaek ciasta? Całkowita

To jest całkowita liczba

— tortowe+serniki — wynosi 11.

udział w imprezie.

-150(t + s) = -150(11)

t + s = 11 ....................................................................................................................................................................................................... liczba ciast osób, które wezmą -150t - 150s = -1650 150t + 104s = 1512 ....................................................................................................................................................................................................... 150 kawałków z każdeg o ciasta tortowego.

+

104 kawałki z każdego sernika. 150t + 104s = 1512 .......................................................................................................................................................................................................

-46s = -138

t + 3 = 11 ....................................................................................................................................................................................................... -46 -46 Aby każdy uczestnik imprezy ta, Zbyszek potrzebu tortowych i 3 serniki.

otrzymał kawałek cias s = 3 -3 + t + 3 = 11 - 3 ....................................................................................................................................................................................................... je 8 ciast

....................................................................................................................................................................................................... t = 8

292

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

Ukady równa bez tajemnic Wywiad tygodnia:

Jeden problem, ale dwa równania?

Head First: Jak to jest być układem równań? Czy cierpisz na rozdwojenie jaźni?

Head First: Czy istnieje inna możliwość znalezienia dokładnego rozwiązania?

Układ równań: Wcale nie! To, że składa się na mnie wiele równań, nie oznacza, że mam wiele osobowości. Wszystkie moje równania dotyczą tego samego problemu.

Układ równań: Oczywiście — to metoda przeciwnych współczynników. W tej metodzie należy zawczasu ustalić, jaka zmienna ma być wyeliminowana. Kiedy to się zrobi, reszta przekształceń nie przysparza żadnych trudności.

Head First: Nie miałem zamiaru cię zdenerwować. Miałem jedynie na myśli to, że składanie się z dwóch całkowicie różnych równań musi być skomplikowane. Układ równań: To wszystko, co wiem. Naprawdę myślę, że łatwiej mieć kilka równań, które mnie opisują. Współpracujące ze sobą równania — to jest to, co naprawdę mnie kręci. Ponieważ zwykle mam dwie niewiadome, nie mógłbym być rozwiązany w sposób jednoznaczny, bez ich obu.

Head First: Co masz na myśli? Układ równań: Cóż, w przypadku metody przeciwnych współczynników dodajemy do siebie dwa równania — wszystkie wyrazy z lewej strony obu znaków równości oraz wszystkie wyrazy z prawej strony obu znaków równości. Po wyeliminowaniu jednej zmiennej pozostaje jedno równanie z jedną zmienną.

Head First: Istnieje kilka sposobów na rozwiązanie ciebie — pomówmy najpierw o metodzie podstawiania.

Head First: Widzę, że to nie jest zbyt proste. A jeśli jesteśmy już przy widzeniu — co mają zrobić ci, którzy wolą zobaczyć, co się dzieje?

Układ równań: OK. Metoda podstawiania jest jedną z moich ulubionych, ponieważ umożliwia uzyskanie dokładnej odpowiedzi bez wielkiego planowania. Wystarczy wyznaczyć jedną zmienną w kontekście drugiej, a następnie zająć się drugim równaniem i podstawić do niego obliczoną zmienną. Stosowanie tej metody nie wymaga skomplikowanego planowania przed realizacją!

Układ równań: Istnieje również metoda graficzna. Aby rozwiązać mnie tą metodą, wystarczy narysować wykres obu równań i poszukać punktu przecięcia. Metoda graficzna doskonale się sprawdza, kiedy chcemy znaleźć sens trendów obu linii. Jest to również dobry punkt wyjścia do odgadywania, co będzie dalej — na przykład, jeśli dodamy więcej cydru.

Head First: Czy praca w taki sposób nie komplikuje się w niektórych sytuacjach?

Head First: Układzie równań, przyjemnie było cię poznać. Jesteś skomplikowany, ale nikt nie może powiedzieć, że nie istnieje wiele sposobów, by cię rozwiązać.

Układ równań: Czasami tak się dzieje. Wyznaczamy jedną zmienną — na przykład x w kontekście drugiej — najprawdopodobniej y i kilku stałych. Podczas realizacji podstawiania trzeba wykonać wiele przekształceń, by uzyskać wynik.

jesteś tutaj  293 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Prywatka, którą warto zapamiętać

Prywatka u Zbyszka!

Używając metody graficznej oraz metody przeciwnych współczynników, obliczyłeś proporcje doskonałego ponczu.

Mocno się napracowałeś, dlatego chciałbym Cię zaprosić na najlepsze przyjęcie sylwestrowe, jakie kiedykolwiek miało miejsce.

Poncz

c+a = 5 + c + 0,4a = 2,6 c=1 ap = 4

1 litr cydru imbirowego

4 litry soku ananasowego

Muzyka Za pomocą metody przeciwnych współczynników obliczyłeś, ile wolnych utworów i ile szybkich utworów musi przygotować Zbyszek, aby dziewczyny były zadowolone.

w+s=6 0 2w – s = 0 w = 20 s = 40

20 wolnych utworów 40 szyb utworówkich

Jesteśmy gotowi na przyjęcie!

294

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

Karolina — dziewczyna Zbyszka

Kiedy związek upada z powodu zakupów! Podczas gdy Zbyszek był zajęty planowaniem przyjęcia, jego dziewczyna, Karolina, także się przygotowywała. Oprócz tego, że Karolina jest wielką fanką futbolu amerykańskiego, uwielbia robić zakupy. Ostatnio bardzo dużo czasu spędziła w centrum handlowym na poszukiwaniu czegoś do ubrania na przyjęcie. Zamiłowanie Karoliny do zakupów nie jest czymś, czemu Zbyszek przyklaskuje, zatem kiedy Karolina chce sobie coś kupić, zawsze dba o to, aby Zbyszek o tym wiedział.

Tajemnica piętnastu minut

Na przyjęcie Karolina potrzebuje sukienki i butów. Znalazła niezwykłą wyprzedaż: sukienki za zaledwie 16 zł i buty — 8 zł za parę. Oznacza to, że Karolina musi w sumie wydać zaledwie 72 zł! Informując Zbyszka o zakupach, Karolina powiedziała, że kupiła dwa razy tyle sukienek, co butów, oraz że w sumie kupiła 6 rzeczy. Korzystając ze swoich niezwykłych umiejętności algebraicznych, Zbyszek przeprowadził szybkie obliczenia i trochę się zdenerwował. Zdarzało się, że Karolina ze Zbyszkiem już się o to kłócili. „Jak mogłaś mnie okłamać?” — zapytał Zbyszek Karolinę.

Skąd Zbyszek wiedział, że Karolina kłamała?

jesteś tutaj  295 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Tajemnica: rozwiązanie

Kiedy związek upada z powodu zakupów — rozwiązanie! Skąd Zbyszek wiedział, że Karolina kłamała? Aby dowiedzieć się, czy Karolina kłamała, Zbyszek musiał sprawdzić, ile par butów oraz ile sukienek kupiła dziewczyna. Zacznijmy od ułożenia kilku równań:

1

Tajemnica piętnastu minut — rozwiązanie

Okrel niewiadome wystpujce w treci zadania: Sukienki: oznaczymy je zmienną s — cena jednej sukienki wynosi 16 zł. Buty: oznaczymy je zmienną b — cena pary butów wynosi 8 zł. Razem: wydanych 72 zł; dwa razy tyle sukienek, co par butów — razem 6 rzeczy.

2

Spróbujmy zapisa równania i stworzy ukad równa :

Dwa razy tyle sukienek

Każda sukienka kosztuje 16 zł.

co butów

2s + b = 6 16s – 8b = 72 Para butów kosztuje 8 zł.

daje w sumie 6 rzeczy.

Karolina wydał w sumie 72 a zł.

Teraz trzeba tylko zsumować równania stronami… 296

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

3

Skorzystaj z metody przeciwnych wspóczynników w celu wyeliminowania zmiennej.

ć zmienną b, Aby wyeliminowa iu musi wystąpić an wn ró ym rn w gó ymy całe górne wyraz –8b. Mnoż . –8 z ze pr równanie

2s + b = 6 16s - 8b = 72

-16s - 8b = - 48 16s + 8b = 72 0s + 0b = 24

Co jest u… Na czym polega problem?

Równania, które nie są prawdziwe, są NIEPRAWIDŁOWE. 0 razy liczba sukienek+0 razy liczba par butów nie równa się 24. To nie ma zbyt wiele sensu i nie wyjaśnia, dlaczego Zbyszek jest wściekły na Karolinę. A zatem metoda przeciwnych współczynników nie działa. Spróbujmy narysować wykresy równań i zobaczmy, co się dzieje.

jesteś tutaj  297 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek

Zaostrz ołówek Przekształć równania do takiej postaci, która pozwala na narysowanie ich na wykresie. Następnie wykreśl linie oznaczające rozwiązania w kartezjańskim układzie współrzędnych. Czy punkt przecięcia się obu linii daje jakąś informację na temat historii Karoliny?

16s + 8b = 72

2s + b = 6

298

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równań

s 10 d 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

bs 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

jesteś tutaj  299 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Pamiętaj: zmienna s odpowiada niewiadomej y, zatem w celu przekształcenia równania do postaci y = mx+b trzeba wyizolować zmienną s.

-8s

Przekształć równania do takiej postaci, która pozwala na narysowanie ich na wykresie. Następnie wykreśl linie oznaczające rozwiązania w kartezjańskim układzie współrzędnych. Czy punkt przecięcia się obu linii daje jakąś informację na temat historii Karoliny?

2s + b = 6

16s + 8b = 72 16s + 8b = 72 -8b 16s 8b = 16 16

Nachylenie = -

1 2

+

-b

72 16

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nachylenie = -

10 ds 9 8 7 9 ) 6 (0, 2 5 4 3 2 (0 , 3) 1

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

1

2

6 2

s = - 1 b + 3 2

9 t (0, 2 ) Zaznacz punk dół w 1 i przejdź o o. i o 2 w praw

2s + b = 6

Rozdział 7.

2s b = + 2 2

s = - 1 b + 9 2 2

ałcania Niezależnie od sposobu przekszt esu, wykr m anie sow nary d prze ań równ zawsze byłby on taki sam.

300

2s + b = 6 -b

3

1 2

ij Rozpoczn (0,3) ie c k n u wp

16s + 8b = 72

bs 4

5

6

7

8

9 10

Nie istnieje punkt przecięcia tych dwóch linii!

Układy równań

Kiedy związek upada z powodu zakupów — rozwiązanie! Skąd Zbyszek wiedział, że Karolina kłamała? Na podstawie szybkich obliczeń Zbyszek dowiedział się, że nie istnieje rozwiązanie równań Karoliny, zatem Karolina musiała w którymś momencie skłamać. Linie są równoległe! Oznacza to, że nie istnieje ani jeden punkt, który spełniłby oba równania. Linie równoległe biegną w nieskończoność i nigdy się nie przecinają — zatem punkt przecięcia nie istnieje.

Tajemnica piętnastu minut — rozwiązanie

Oznacza to, że to, co Karolina powiedziała, nie może być prawdą, ponieważ nie istnieje taka kombinacja butów i sukienek, które mogą spełnić oba równania. A zatem Karolina kupiła dodatkową sukienkę albo w inny sposób mija się z prawdą!

Hm… zauważyłem, że te linie mają takie samo nachylenie, ale różne punkty przecięcia z osiami…

Linie równoległe mają takie samo nachylenie, ale nie mają ze sobą nic więcej wspólnego. Nachylenie jest kluczowym wskaźnikiem tego, że linie są równoległe. Jeśli masz dwa równania o tym samym nachyleniu, nie musisz ich rysować. Linie są równoległe — układ równań nie ma rozwiązania.

Istnieje jednak jeden wyjątek… jesteś tutaj  301 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Różne równania, ale ta sama prosta

Czasami dwa równania nie oznaczają dwóch linii W tym momencie wiesz sporo na temat równań: możesz narysować je na kilka różnych sposobów, a jeśli masz układ równań, możesz je rozwiązać na trzy różne sposoby. Nie tylko to! Jeśli masz dwa równania o tym samym nachyleniu, układ równań nie ma rozwiązania. Zgadza się? Niezupełnie. Mogą istnieć dwa równania o tym samym nachyleniu, które wyglądają na różne. Kiedy je jednak wykreślisz, linie wyglądają dokładnie tak samo:

4x + 6y = 30 8x + 12y = 60

Oto dwa wyjściowe równania.

Przekształć oba aci równania do post kierunkowej.

4x + 6y = 30 6y =- 4x + 30 y =- 4 x + 5 6 8x + 12y = 60 12y =- 8x + 60 y =- 8 x + 5 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

302

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Te dwa równania nie wyglądają tak samo do chwili, kiedy skrócimy ułamki…

-

4 2 =6 3

To samo nachylenie!

-

8 2 =12 3

dy

2 x+5 y=- 3

sx 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Ponieważ wykres obu równań jest tą samą prostą, oznacza to, że każdy punkt należący do linii spełnia oba równania — istnieje nieskończona liczba rozwiązań. Jeśli zatem napotkasz dwie linie o takim samym nachyleniu, sprawdź, czy punkty przecięcia również są takie same. Jeżeli tak jest — mamy do czynienia z tą samą linią. W przeciwnym razie linie są równoległe.

Układy równań

Ćwiczenie

Spójrz na poniższe układy równań i odpowiedz na pytania. Następnie rozwiąż je dowolną metodą…

2x + 3y = 100 , x - .75 , y =- 25 - 0.5 Jaka własność opisuje te dwie linie? (zakreśl jedną) Przecinają się

Są równoległe

Ta sama linia

Dlaczego?

- 2x + 2y =- 8 - 3x - 3y =- 30 Jaka własność opisuje te dwie linie? (zakreśl jedną) Przecinają się

Są równoległe Ta sama linia

Dlaczego?

jesteś tutaj  303 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

Spójrz na poniższe układy równań i odpowiedz na pytania. Następnie rozwiąż je dowolną metodą…

Ćwiczenie: Rozwiązanie

-4(-0,5x - 0,75y) = -4(-25)

2x + 3y = 100 , y =- 25 , x - .75 - 0.5

Równania są takie same!

2x + 3y = 100

Jaka własność opisuje te dwie linie? (zakreśl jedną) Przecinają się

Są równoległe

Ta sama linia

Dlaczego? Ponieważ wykresem obu równań jest ta sama linia, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Najlepszym sposobem rozwiązania tego układu równań jest pomnożenie obu równań przez stałe.

ież To zadanie można rozwiązać równ graficzną. metodą podstawiania lub metodą powinieneś Niezależnie od wybranej metody ź. wied odpo ą sam tę kać uzys

3(-2x + 2y) = 3(-8)

- 2x + 2y =- 8 - 3x - 3y =- 30 Jaka własność opisuje te dwie linie? (zakreśl jedną) Przecinają się

Są równoległe Ta sama linia

Dlaczego? Ponieważ istnieje punkt będący

2(-3x -3y) = 2(-30) +

-6x +6y = -24 -6x - 6y = -60 - 12x -84 = -12 -12 x = 7

y = 3

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

-2x + 2y = -8 -2(7) +2y = -8 +14 -14 + 2y = -8 +14

rozwiązaniem obu równań.

304

Jest to operacja podobna do wyszukiwania wspólnego mianownika ułamków.

2y 6 2 = 2

Układy równań

Rozdzia 7.

Niezbędnik algebraika Ten rozdział dotyczył rozwiązywania układów równań trzema metodami.

nań

Układy rów

aktować e można tr ór kt ń, na w ró równań ń to grupa em układu ni za ią w Układ równa oz R wszystkie n problem. tak jak jede śnie spełnia ze oc dn je y któr jest punkt, . a równani

układ równań

c + 0,4a = 2,6 c+a = 5

ie: (4, 1)

n Rozwiza

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Zawsze sprawdzaj obliczenia.

Q

Najtrudniejszym elementem w metodzie przeciwnych współczynników jest wybór zmiennej, która ma być wyeliminowana.

Q

Zawsze stosuj ten sam mnożnik po obu stronach znaku równości.

Q

Po wyeliminowaniu jednej zmiennej dokończ rozwiązywanie układu równań poprzez podstawienie obliczonej zmiennej do dowolnego równania.

Q

Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi mogą mieć jedno rozwiązanie (jeden punkt przecięcia), brak rozwiązań (linie wcale się nie przecinają) lub nieskończoną liczbę rozwiązań (linie się pokrywają).

jesteś tutaj  305 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

306

Rozdział 7.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

8. Rozwinicia dwumianów i rozkad na czynniki pierwsze

Zrywanie ze sobą jest trudne Ona powiedziała: „Zupełnie nie podoba mi się nowy odcinek 90210”, a ja jej na to: „Zapomnij. Zupełnie nie rozumiesz, w czym rzecz. I zerwaliśmy ze sobą”. To wszystko… między nami koniec.

Czasami wystarczy, że ktoś czegoś nie zrozumie, aby Cię zirytować. Do tej pory mieliśmy do czynienia z takimi zmiennymi, jak x i y. Co się jednak stanie, jeśli x w naszych równaniach zostanie podniesione do kwadratu? Nadszedł czas, aby się tego dowiedzieć. Teraz mamy już wszystkie narzędzia potrzebne do rozwiązania takich problemów! Pamiętasz o regule rozdzielności mnożenia względem dodawania? W tym rozdziale nauczymy Cię, w jaki sposób skorzystać z rozdzielności oraz specjalnej techniki PZWO w celu rozwiązywania nowego rodzaju równań: dwumianów. Kontynuuj lekturę — nadszedł czas, by nauczyć się upraszczać naprawdę trudne równania.

to jest nowy rozdział  307 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wracamy do teleturnieju Liczyć czy nie liczyć

Liczyć czy nie liczyć — finały rejonowe Nasza mistrzyni, Kasia, zamierza bronić swojego tytułu przed nowym konkurentem — Januszem. Twoim zadaniem jest ponowne wcielenie się w rolę sędziego… tym razem problemy są jednak znacznie trudniejsze.

Zadanie numer 1: uprość wyrażenie

^ x + 3h ^2x - 1h Oto jakie odpowiedzi uzyskali konkurenci: Odpowiedź Kasi

Odpowiedź Janusza

4x 2 + 5x - 3

2x 2 + 5x - 3

Kto ma rację?

Kasia zamierza bronić tytułu.

308

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

wy Janusz jest goto si Ka na pozbawienie mistrzostwa.

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Kto ma rację? Poniżej Kasia i Janusz zamieścili swoje prace. Kasia wykonała obliczenia poprzez pomnożenie całego pierwszego wyrażenia przez drugie. Janusz rozdzielił pierwszy dwumian. Wyrażenie wyjściowe

^ x + 3h ^2x - 1h

2x 2 - x + 2x 2 + 6x - 3 Połączenie wyrazów podobnych

4x 2 + 5x - 3

^ x + 3h ^2x - 1h

x^ 2x - 1h + 3^ 2x - 1h 2x 2 - x + 6x - 3 2x 2 + 5x - 3

To jest dystrybucja wyrazu 2x–1 na obie części pierwszego dwumianu.

W jaki sposób dowiedzieć się, kto ma rację? Gdybyś znał rozwiązanie, mógłbyś zastosować podstawienie. Zatem możesz podstawić prawidłową wartość x do każdego z równań i sprawdzić, czy obliczenia są prawidłowe. Jeśli obliczenia nie są prawidłowe, to znak, że jedno z uproszczeń, jakie wykonali Kasia i Janusz, okazało się niepoprawne.

Zaostrz ołówek Producenci odcinka powiedzieli Ci, że poprawna wartość niewiadomej x wynosi –3, a równanie należy przyrównać do zera. Podstaw –3 za x do równań Kasi i Janusza i sprawdź, kto ma rację. Pokaż swoją pracę i nie zapomnij zakreślić prawidłowego wyrażenia. Podstaw do wyrażeń oraz: 2x 2 + 5x - 3 4x 2 + 5x - 3 x =- 3 ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  309 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Producenci odcinka powiedzieli Ci, że poprawna wartość niewiadomej x wynosi –3, a równanie należy przyrównać do zera. Podstaw –3 za x do równań Kasi i Janusza i sprawdź, kto ma rację. Pokaż swoją pracę i nie zapomnij zakreślić prawidłowego wyrażenia.

Podstaw do wyrażeń oraz: 2x 2 + 5x - 3 4x 2 + 5x - 3 x =- 3 .......................................................................................................................................................................................................

4(-3)2 + 5(-3) - 3

2(-3)2 + 5(-3) - 3 ....................................................................................................................................................................................................... 4(9) - 15 - 3 2(9) - 15 - 3 ....................................................................................................................................................................................................... 36 - 15 - 3 18 - 15 - 3 ....................................................................................................................................................................................................... 0 To wyrażenie 21 - 3 ....................................................................................................................................................................................................... ne! To jest błędna odpowiedź.

jest popraw

18 Równanie miało ....................................................................................................................................................................................................... mieć wartość zero, zatem to wyrażenie jest prawidłowe.

OK, ale właściwie w jaki sposób Janusz doszedł do swojej odpowiedzi? To znaczy… świetnie, że… hm… producenci znali prawidłową odpowiedź, ale zwykle przecież nie mamy kogoś, kto mógłby nam podpowiedzieć. Zgadza się? A więc o co tu naprawdę chodzi?

Powyższe wyrażenia są dwumianami. Aby zrozumieć, co zrobił Janusz, trzeba wiedzieć, w jaki sposób postępuje się z wykładnikami w równaniach. A zatem musimy poznać zasady postępowania z dwumianami i wielomianami.

310

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Dwumian to grupa dwóch wyrażeń algebraicznych W tym odcinku teleturnieju Liczyć czy nie liczyć Kasia i Janusz pracują z dwumianami. Dwumian jest wyrażeniem składającym się z dwóch wyrazów algebraicznych. Dwumiany wchodzą w skład większej rodziny: wielomianów. Wielomiany są wyrażeniami składającymi się z wielu wyrazów. Zatem zawsze, kiedy zobaczysz wyrażenie z więcej niż jednym wyrazem, pomyśl o nim: wielomian. Jeśli zaś składa się ono tylko z dwóch wyrazów, pomyśl dwumian. Popatrz: Jeden bądź oba wyrazy mogą być podniesione do kwadratu.

ć kombinacje Mogą zawiera zb… lic i h yc nn zmie

są Pamiętaj, że wyrazy za ą sob ze one ącz poł em pomocą mnożenia, zat 2x to jeden wyraz.

x2 - 4

x+5

2x - 3 Pierwszy wyraz

Wszystkie dwumiany Choć to liczby, są również wyrazami.

2+3

Drugi wyraz

Dwa wyrazy mogą być różnymi zmiennymi.

x-y x-y+5

To nie jest dwumian! Trzy wyrazy = trójmian.

Podsumowanie Wielomian — wyrażenie składające się z dowolnej liczby wyrazów algebraicznych podniesionych do całkowitych potęg o wykładniku równym co najmniej 0. Dwumian — specjalny przypadek wielomianu będący grupą dwóch wyrazów algebraicznych.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

311

Rozdzielność mnożenia względem dodawania a dwumiany

Wracamy do własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

^ x + 3h ^2x - 1h

Spójrz jeszcze raz na konkursowe zadanie Kasi i Janusza. Nie można uprościć wyrazów algebraicznych wewnątrz nawiasów. A gdyby tak wykonać samo mnożenie? Ponieważ nie można uprościć wyrażenia, trzeba będzie wykonać mnożenie wielu wyrazów. W związku z tym należy skorzystać z rozdzielności mnożenia względem dodawania. Oba wyrazy z pierwszego dwumianu należy przemnożyć przez oba wyrazy drugiego dwumianu. x Trzeba pomnożyć … –1 i 2x z ze pr

^ x + 3h ^2x - 1h

…trzeba również pomnożyć 3 przez 2x i –1.

Pomnożenie WSZYSTKICH wyrazów pierwszego dwumianu… Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania dotyczy mnożenia przez siebie grup wyrazów algebraicznych. Oto jak to wygląda: Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania

a ^b + ch = ab + ac

Pierwszy wyraz

aby uzyskać taki wynik…

można pomnożyć przez oba wyrazy dwumianu

Jednak w tym przypadku chcemy pomnożyć dwumian przez dwumian. W związku z tym najpierw należy pomnożyć wszystkie wyrazy pierwszego dwumianu przez cały drugi dwumian.

Pomnożenie dwóch dwumianów polega na przemnożeniu obu wyrazów pierwszego dwumianu przez obydwa wyrazy drugiego dwumianu.

312

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Upraszczanie dwumianów dzięki własności rozdzielności mnożenia względem dodawania Teraz należy odpowiednio przemnożyć pierwszy dwumian przez drugi. Zanim zagłębimy się w problem Kasi i Janusza, zobaczmy, jaki jest ogólny sposób wykonywania tego rodzaju mnożenia: Typowe dwumiany: x plus stała.

umian Rozdziel pierwszy dw gi dru i przemnóż go przez dwumian… …następnie przemnóż siebie wszystkie wyrazprzez y.

^ x + ah ^ x + bh

x ^ x + bh + a ^ x + bh x 2 + bx + ax + ab

Teraz możemy bardziej uprościć wyrażenia. Mamy dwa wyrazy z x — bx i ax. Ponieważ a i b są stałymi, bx i ax to wyrazy podobne. Możemy je uprościć: jak a i b są stałymi, tak wać. mo 2 i 18. Można je zsu

To są dwie stałe pom noż siebie. Zwykle jest to one przez na przykład 35 lub 90. kolejna liczba,

x 2 + ^a + bh x + ab

obnych w celu Połączenie wyrazów podrównania. nia cze osz dalszego upr

Zaostrz ołówek Skorzystaj z własności rozdzielności mnożenia względem dodawania i uprość wyrażenie z teleturnieju Liczyć czy nie liczyć.

^ x + 3h ^2x - 1h ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  313 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Skorzystaj z własności rozdzielności mnożenia względem dodawania i uprość wyrażenie z teleturnieju Liczyć czy nie liczyć.

^ x + 3h ^2x - 1h ....................................................................................................................................................................................................... tak el pierwszy dwumian,

Rozdzi x(2x - 1) + 3(2x - 1) emnożyć ....................................................................................................................................................................................................... by można go było prz przez drugi dwumian… ów Po uproszczeniu wyraz 2 do 2x x + 6x 3 ....................................................................................................................................................................................................... podobnych doszliśmy a, tego samego wyrażeni usz. Przemnóż wyrazy przez siebie 2x2 + 5x - 3 do jakiego doszedł Jan ....................................................................................................................................................................................................... i poszukaj wyrazów podobnych.

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania mówi, że można rozdzielić oba wyrazy.

O

P: Czy to dotyczy zarówno liczb, jak i zmiennych? O: Jasne, że tak. Oczywiście w przypadkach, kiedy mamy same

: Tak. Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania mówi, że należy przemnożyć pierwszy dwumian przez cały drugi dwumian. Oznacza to, że oba wyrazy pierwszego dwumianu trzeba przemnożyć przez oba wyrazy drugiego dwumianu.

liczby, możemy najpierw wykonać działania w nawiasach i uniknąć stosowania zasady rozdzielności. Łatwo jednak zauważyć pewną prawidłowość: każda reguła, która dotyczy zmiennych, w równym stopniu dotyczy także liczb.

P

P: Jak często trzeba mnożyć przez siebie dwumiany? O: W praktyce często wykorzystuje się inne sposoby mnożenia.

: Rozwijanie dwumianów wygląda na skomplikowaną operację. Czy istnieje jakiś łatwiejszy sposób?

O

: Istnieją narzędzia, z których można skorzystać, ale trzeba pamiętać, że mnożenie dwumianów w praktyce polega na stosowaniu zasady rozdzielności mnożenia względem dodawania. Nie jest to takie trudne, jeśli weźmie się wyrazy pierwszego dwumianu i przemnoży je przez wyrazy drugiego dwumianu.

Powiemy o nich w następnym punkcie. Niektóre typy równań trzeba doprowadzić do postaci zbioru dwumianów. Czy to wydaje się zagmatwane? Nie przejmuj się, wkrótce poświęcimy temu znacznie więcej czasu.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

314

Mnożenie dwóch dwumianów to częsty problem algebraiczny.

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Aby pomnożyć dwa dwumiany, należy zastosować własność rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Q

Każdy wyraz pierwszego dwumianu trzeba przemnożyć przez każdy wyraz drugiego dwumianu.

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Zaostrz ołówek Uprość poniższe wyrażenia dwumianowe. Pamiętaj o uproszczeniu wyrazów podobnych!

^ 4 + x h ^3 - x h

^ y - 1h ^ y - 7h

a znaki! Uważaj n

^ a + 4 h ^ a - 6h

^- x - 3h ^ x + 3h

jesteś tutaj  315 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było uproszczenie poniższych wyrażeń dwumianowych. Trzeba było również uprościć wyrazy podobne.

W wyrażeniu może również występować zmienna y!

^ y - 1h ^ y - 7h

Można było również przekształcić dwumiany przed pomnożeniem: (x+4)(–x+3) = 0.

^ 4 + x h ^3 - x h

y(y - 7) - 1(y - 7)

4(3 - x) + x(3 - x)

y2 - 7y - 1y + 7

12 - 4x + 3x - x2

y2 - 8y + 7

- x2 - x + 12 Uważaj na znaki!

^ a + 4 h ^ a - 6h

316

Pamiętaj o odpowiednim postępowaniu ze znakami przy każdym działaniu.

^- x - 3h ^ x + 3h

a(a - 6) + 4(a - 6)

-x(x + 3) - 3(x + 3)

a2 - 6a + 4a - 24

-x2 - 3x - 3x - 9

a2 - 2a - 24

- x2 - 6x - 9

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

0

Kasia

1

Janusz

Liczy czy nie liczy

Zadanie numer 2: Uprość wyrażenie — zrób to jak najszybciej! ^ x + 2 h ^ x - 2h Oto jakie odpowiedzi uzyskali konkurenci:

Odpowiedź Kasi

x2 - 4

To jest dwumian.

^ x + 2h^ x - 2h

Odpowiedź Janusza

x^ x - 2h + 2^ x - 2h x 2 - 2x + 2x + 2^- 2h x2 - 4

Kto był szybszy? I kto ma rację? Kasia stosuje swoje stare sztuczki, dzięki którym zyskuje na szybkości. W jaki sposób jednak uzyskała ten wynik?

jesteś tutaj  317 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Szukaj wzorów skróconego mnożenia

Kasia na pewno oszukiwała. Przecież nawet nie pokazała swojej pracy!

Kasia skorzystała ze wzoru, zamiast wykonać obliczenia. Czy zauważyłeś kiedyś jakieś prawidłowości w numerze telefonu kolegi lub ustawieniu formacji ofensywnej drużyny futbolowej? Wzór pozwala się zorientować, o co chodzi na podstawie pewnych kluczowych cech. W takim przypadku nie trzeba niczego obliczać. Czasami w matematyce również stosuje się wzory. Dzięki nim można uniknąć konieczności dodatkowej pracy.

Różnica kwadratów W celu pomnożenia dwóch dwumianów różniących się pomiędzy sobą znakiem drugiego wyrazu można skorzystać ze wzoru znanego pod nazwą różnica kwadratów. W zadaniu, które rozwiązywali Kasia i Janusz, pierwszym wyrazem w obu dwumianach był x, natomiast drugim 2 i –2. Drugi wyraz obu dwumianów to 2.

Pierwszy wyraz obu dwumianów to x.

Możemy uprościć to wyrażenie w standardowy sposób, aby zobaczyć, jaka jest odpowiedź.

^ x + 2h^ x - 2h

x^ x - 2h + 2^ x - 2h x 2 - 2x + 2x + 2^- 2h x2 - 4

To jest pierwszy wyraz — podniesiony do kw —x adratu

.

Znak minus przechodzi do ostatecznego rozwiązania.

To jest drugi wyraz podniesiony do kwadratu.

Powyższe wyrażenie to różnica kwadratów. Podnosimy do kwadratu pierwszy wyraz i odejmujemy od niego kwadrat drugiego wyrazu. Wszystkie inne wyrazy eliminują się i znikają. A zatem za każdym razem, kiedy zobaczysz dwa wielomiany, które są takie same, ale różnią się znakiem stałej, pamiętaj, że ich iloczyn jest różnicą kwadratów obu wyrazów. Możesz pominąć etapy pośrednie i od razu podać odpowiedź.

(x + a) (x - a) = x2 - a2 Jeden z tych znaków musi być plusem, natomiast drugi musi być minusem.

318

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Oto co zauważyła Kasia podczas rozwiązywania ostatniego problemu.

W odpowiedzi tutaj zawsze występuje minus.

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Co zrobić, jeśli znaki są takie SAME? Co jednak zrobić, kiedy mamy dwa takie same wyrazy w obu dwumianach, ale znaki stałych są takie same? Spróbujmy pomnożyć takie dwumiany: Pierwszy wyraz ob dwumianów to x. u

To jest pierwszy wyraz —x — podniesiony do kwadratu.

^ x + 5h ^ x + 5h x ^ x + 5h + 5 (x + 5)

x 2 + 5x + 5x + 25 x 2 + 10x + 25

Drugi wyraz obu dwumianów to 5.

To jest drugi wyraz — 5 — podniesiony do kwadratu.

To jest podwojony drugi wyraz.

Mnożenie takich samych dwumianów to podnoszenie dwumianu do kwadratu. Jest to zatem pomnożenie dwumianu przez samego siebie. Taki wyraz występuje,

t jeśli w dwumianach jes k… zna taki sam

Dwumian podniesiony do kwadratu: Dwumiany z różnymi znakami:

^ x + ah = x 2 + 2ax + a 2

…a taki, jeśli znaki są przeciwne.

2

(x + a) (x - a) = x2 - a2 Rozwiązaniem jest różnica dwóch kwadratów.

Zaostrz ołówek Poniżej zamieszczono kilka wyrażeń dwumianowych, na których możesz przetestować wzory skróconego mnożenia. Nie obliczaj tutaj niczego… po prostu znajdź odpowiedni wzór i zapisz odpowiedź. Powodzenia!

(x + 3) (x - 3)

(2x - 10) (2x + 10)

(x + 9) (x + 9)

Ten przykład jest trochę podchwytliwy. Znaki są te same, ale tym razem jest to znak minus. Jaki to ma wpływ na rozwiązanie?

(x - 7) 2

jesteś tutaj  319 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było pomnożenie dwumianów bez wykonywania obliczeń krok po kroku. Jak należało to zrobić?

(x + 3) (x - 3)

(x + 9) (x + 9)

x2-9

(2x - 10) (2x + 10)

x2 + 18x + 81 są Ponieważ znaki iem różne, rozwiązan jest różnica zów. kwadratów wyra

(x - 7) 2

Podnieś do kwadratu pierwszy wyraz, podnieś do kwadratu drugi wyraz i dodaj podwojony pierwszy wyraz przez drugi.

x2 - 14x + 49

4x2 - 100

, jak się wydawało. To nie jest takie trudne podnieść do kwadratu eży nal j nie ześ Tak jak wc raz trzeba odjąć. x i 7, ale środkowy wy ez drugi wyraz prz i x ez Mnożymy 2 prz e uzyskujemy –14x. — czyli –7. W efekci

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Te wzory są doskonałe. Czy zawsze można z nich korzystać?

O

: Zawsze wtedy, gdy dwumiany pasują do jednego z podanych wzorców! Należy tylko uważać na znaki i współczynniki.

P

: Co zrobić, jeśli dwumiany wyglądają podobnie, ale nie pasują dokładnie do jednego ze wzorów skróconego mnożenia?

O: Wtedy, aby zobaczyć, jaka jest uproszczona postać wyrażenia, trzeba skorzystać z własności rozdzielności mnożenia względem dodawania. Następnie należy przemnożyć wyrazy przez siebie, uprościć wyrazy podobne. To będzie ostateczne rozwiązanie. Wzory skróconego mnożenia można zastosować tylko wtedy, gdy wyrażenie dokładnie pasuje do wzorca.

Dwumian podniesiony do kwadratu: Dwumiany z różnymi znakami: 320

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

^ x + ah = x 2 + 2ax + a 2 2

(x + a) (x - a) = x2 - a2

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Czasami nie można znaleźć wzoru… Przypuśćmy, że bierzesz udział w konkursie z atrakcyjnymi nagrodami, który polega na jak najszybszym upraszczaniu dwumianów. Kiedy nie możesz zastosować wzoru skróconego mnożenia, musisz znaleźć inny sposób upraszczania dwumianów. Metoda polegająca na stosowaniu własności rozdzielności mnożenia względem dodawania nie jest tak szybka. Na szczęście, istnieje inny rodzaj wzoru, z którego można skorzystać. Nosi on nazwę PZWO. Jest to skrót od słów Pierwsze, Zewnętrzne, Wewnętrzne, Ostatnie. Przyjrzyjmy mu się nieco bliżej. Załóżmy, że stałe a i b są różn e, można zastosować wzoru skrócone zatem nie go mnożenia.

Uprość wyrażenie:

^ x + ah ^ x + bh

Pomnóż x przez x.

P

Pierwsze Pomnóż przez siebie pierwsze wyrazy obu dwumianów.

^ x + ah ^ x + bh

x2

pierwszy wyraz

pierwszy wyraz

+ Z

Pomnóż x przez b.

Zewntrzne Pomnóż przez siebie zewnętrzne wyrazy obu dwumianów.

^ x + ah ^ x + bh

yraz zewnętrzny w

bx

zewnętrzny wyraz

+ W

Pomnóż a przez x.

Wewntrzne Pomnóż przez siebie wewnętrzne wyrazy obu dwumianów.

^ x + ah ^ x + bh

yraz wewnętrzny w

O

Ostatnie Pomnóż przez siebie ostatnie wyrazy obu dwumianów.

ax

wewnętrzny wyraz

+

Pomnóż a przez b.

^ x + ah ^ x + bh az ostatni wyr

ab

ostatni wyraz

Następnie zsumuj ze sobą poszczególne iloczyny:

x 2 + bx + ax + ab jesteś tutaj  321

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Pierwsze zewnętrzne wewnętrzne ostatnie

Metoda PZWO zawsze się sprawdza Spróbujmy skorzystać ze wzoru PZWO dla prawdziwych dwumianów… takich, które nie pasują do wzorów skróconego mnożenia.

^ x + 1h ^ x - 3h

^ x + 1h ^ x - 3h

Pierwsze

^ x + 1h ^ x - 3h

Ostatnie

x + ^- 3h x + ^1x h + ]1g ^- 3h Zewnętrzne x 2 - 2x - 3 Wewnętrzne

x ^ x - 3h + 1 ^ x - 3h x 2 - 3x + 1x - 3 x - 2x - 3

2

2

Na koniec kilka zów uproszczeń wyra podobnych. Rozwiązane metodą PZWO

Zastosowanie własności rozdzielności mnożenia względem dodawania wymaga wiele mnożenia i upraszczania.

Rozwiązane bez metody PZWO — z wykorzystaniem własności rozdzielności mnożenia względem dodawania

Metoda PZWO pozwala zaoszczędzić jeden krok, ale również znacznie ułatwia wykonanie potrzebnych działań. Nie musisz za wiele myśleć na temat stosowania własności rozdzielności mnożenia względem dodawania, a na koniec pozostaje tylko łatwe uproszczenie wyrazów podobnych. Najlepsze z wszystkiego jest jednak to, że metoda PZWO zawsze działa — nawet wtedy, gdy nie da się użyć żadnego ze wzorów skróconego mnożenia.

CELNE SPOSTRZEŻENIA

322

Q

Mnożenie dwóch dwumianów to specjalny przypadek rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Q

PZWO to narzędzie pozwalające na stosowanie własności rozdzielności mnożenia względem dodawania w sposób łatwy i spójny.

Q

PZWO to skrót od słów Pierwsze, Zewnętrzne, Wewnętrzne, Ostatnie.

Q

Q

Metoda PZWO pozwala na upraszczanie wyrażeń bez ścisłego stosowania własności rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Wzory skróconego mnożenia pozwalają na szybkie rozwiązywanie problemów, ale metoda PZWO zawsze działa.

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Mnożenie dwumianów — magnesiki Poniej zamieszczono kilka zada z poprzedniego odcinka teleturnieju Liczy czy nie liczy. Sprawd , jakby sobie poradzi poprzez wypenienie brakujcych elementów.

^ x - 3h ^ x + 4h

x2 +

^ y - 10h ^ y + 2h

- 12

-

y2 y2

- 10y

PZWO, aby Skorzystaj z metody dwóch krokach! w m ble pro zać rozwią

^c - 5h ^c - 2h

cx - 1 m cx + 1 m 2 2

1 8

+

^3 + x h ^ 7 - x h +

cx + 1 m cx + 1 m 8 8

+

+

c2 c2

x2

1 4

x2 - x - 12

4x +

1 x 4

10

-20

-8y - 20

1 64

+ x2 + x - 12

3x

-2c - 5c

-

7x

21

jesteś tutaj  323 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Mnożenie dwumianów — magnesiki: rozwiązanie

Mnożenie dwumianów — magnesiki. Rozwiązanie Poniej zamieszczono kilka zada z poprzedniego odcinka teleturnieju Liczy czy nie liczy. Sprawd , jakby sobie poradzi poprzez wypenienie brakujcych elementów.

^ x - 3h ^ x + 4h

x2 +

4x

-

3x

^ y - 10h ^ y + 2h

- 12

y2 y2

Pierwsze

x2 + x - 12

Zewnętrzne

Wewnętrzne

1 4

1 + x 4

x

-20

-8y - 20

Ostatnie

c2 c2

cx + 1 m cx + 1 m 8 8 2

- 10y

^c - 5h ^c - 2h

cx - 1 m cx + 1 m 2 2 x2 -

+2y

1 + 64

-2c - 5c

+

+

10

-7c

10

^3 + x h ^ 7 - x h - 3x + 7x 21 21 + 4x - x2

+

1 8 x2 - x - 12

324

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

x2

1

1

Kasia

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Janusz

Liczy czy nie liczy

Jesteśmy na półmetku odcinka konkursu Liczyć czy nie liczyć. Oto jak wygląda sytuacja konkurentów:

W rundzie pierwszej Kasia potrzebowała trochę pomocy, by poprawić swoją pracę:

^ x + 3h ^2x - 1h 2

2

2x - x + 2x + 6x - 3 4x 2 + 5x - 3

Ten wyraz został użyty dwukrotnie. Zastosowanie metody PZWO pozwoliłoby Kasi na dokładniejsze śledzenie wykonywanych działań. Dzięki temu uniknęłaby błędów.

Kasia zauważyła, że wyrazy są identyczne, ale różnią się znakiem, i wykorzystała wzór skróconego mnożenia „różnicę kwadratów”.

^ x + 2 h ^ x - 2h

x2 - 4

Kasia zauważyła, że wyrazy są identyczne, ale różnią się znakiem, i wykorzystała wzór skróconego mnożenia „różnicę kwadratów”.

Janusz skorzystał z własności rozdzielności mnożenia względem dodawania, ale nie skorzystał z metody PZWO. Pomimo to uzyskał prawidłową odpowiedź i zebrał punkty w rundzie 1:

^ x + 3h ^2x - 1h

Zastosowanie metody PZWO pozwala pominąć ten krok.

x^ 2x - 1h + 3^ 2x - 1h Janusz 2 pra widłowo 2x - x + 6x - 3 Hprzeks ztałcił równanie, b dla o uzyskał 2x 2 + 5x - 3 mprateg widłowy ewynik.

Mimo że Janusz uzyskał prawidłową odpowiedź, przegrał w rundzie, w której chodziło o jak najszybsze uzyskanie wyniku.

^ x + 2 h ^ x - 2h

x^ x - 2h + 2^ x - 2h x 2 - 2x + 2x + 2^- 2h x2 - 4

Janusz uzyskał prawidłową odpowiedź, ale był zbyt wolny.

Między konkurentami jest remis… przynajmniej do następnej rundy. jesteś tutaj  325 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Szybkość ma znaczenie

Zadanie numer 3: Kolejna runda na szybkość… 11x + 11 x - 33 x 3 4 =1 1 3 1+ 3 4

Ten problem, jak do tej wygląda na najbardziej pory, złożony.

zbyć ułamków. Kasia chce się po

ion rid of the fract 11 33 xx 11x + 1 3 3 4 =1 (1 + - )x (1 + 1 - 3 ) x 1 3 3 4 3 4 1+ 3 4 W tym kroku Kateskorzyst uses a com Kasia ała mon zedeno wspólne go to minator mianown ika com połączen like term w celubine ia s in this wyrazów step. podobnych.

33 1 3 11x + 11 3 x- 4 x = 1+ 3 - 4

132 x + 44 x - 99 x = 12 + 4 - 9 12 12 12 12 12 12 77 7 d x = ie 12 się pl x 12 ti być ul poz x m y Ab e Kat ów, Kasia to 12 12 mk ułaerything by 12 ev nożyła wszystkoons. pom Poz All ost d of fracti 77x = 7 tylk ało’s jes t ri12. that geez prz lefzcz t ise t o 77

redmk ucskr e t.óce he nie fraction ów 77 uła

11x + 11 x - 33 x 3 4 =1 1 3 1+ 3 4

11x d 1 + 31 - 34 n =1 3 1 d1 + 3 - n 4 Wow… co ?s się tu stałorm 11x = 1 Jakim cudem Januszowi udało się ch pozbyć tyw? wszystkich wyrazów?

11

11

1 x = 11

7 1 x = 77 = 11 Czas:

1 minuta 35 sekund

Ta sama odpowiedź, ale Janusz pokonał Kasię. W jaki sposób, Twoim zdaniem, udało mu się to zrobić?

326

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Czas:

35 sekund

.................................................................................................................. ..................................................................................................................

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki to inaczej FAKTORYZACJA Do tej pory mówiliśmy sporo na temat dystrybucji. Jest to działanie polegające na mnożeniu wyrazu przez grupę wyrazów. Janusz wykonał jednak działanie odwrotne do dystrybucji… rozłożył wyrażenie na czynniki, co w języku algebry określa się terminem faktoryzacja. Przyjrzyjmy się temu bliżej. Oto od jakiego wyrażenia wyjściowego rozpoczął Janusz:

To jest wyjściow wyrażenie do up e roszczenia.

11x + 11 x - 33 x 3 4 =1 1 3 1+ 3 4

Janusz spojrzał na to wyrażenie nieco inaczej… zauważył, że wszystkie wyrazy w licznikach ułamków można przedstawić w postaci iloczynu liczby 11. Oto jak wygląda to samo wyrażenie, jeśli liczba 11 wystąpi w nim jawnie: Janusz wyciągnął 11 z każdego wyrazu. Dzięki temu wyrażenie przyjęło taką postać.

11 : x + 11 : 1 : x - 11 : 3 : 1 : x 4 3 =1 1 1 1+ -3: 4 3

Czynnik to wyraz, który jest mnożony przez CAŁE wyrażenie.

To była najtrudniejsza część… ale Janusz zauważył, że 33/4 znaczy to samo, co 11×3/4.

Tu się nic nie zmieniło… to jest to samo równanie, co poprzednio.

Jeśli w wyrażeniu istnieje liczba lub wyraz, przez które zostają pomnożone pozostałe wyrazy, ta liczba lub wyraz są określane jako czynnik. Tak więc 11, a także x, to czynniki górnej części równania:

11x jest czynnikiem… zatem możemy go wyodrębnić i zapisać osobno, w taki oto sposób.

11x c1 + 1 - 3 m 3 4 =1 1+1-3 3 4

ć na pomnoży Czynnik moż ególne wyrazy, cz sz przez po e otrzymać aby ponownirównanie bądź wyjściowe wyrażenie.

Spójrzmy jednak, co się stało… po wyciągnięciu wyrazu 11x przed nawias pozostałe wyrazy tworzą wyrażenie identyczne z tym, które występuje w mianowniku. Można zatem uprościć ułamek!

11x c1 + 1 - 3 m 3 4 =1 1 3 1+ 3 4

To jest ta sama liczba, można skrócić ułamek. zatem

jesteś tutaj  327 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Faktoryzacja — omówienie

Faktoryzacja polega na odwróceniu efektów mnożenia Wyciągnięcie wspólnych czynników z wyrazu lub grupy określa się terminem faktoryzacja. Po wyciągnięciu wspólnego czynnika można wykonywać działania z grupą lub czynnikiem. Dzięki temu można przeprowadzać między innymi takie operacje, jak upraszczanie wyrazów (to właśnie zrobił Janusz). Faktoryzacja jest w gruncie rzeczy odwrotnością mnożenia. Z kolei w przypadku pracy z grupą wyrazów faktoryzacja stanowi odwrotność dystrybucji. Należy pamiętać, że własność rozdzielności mnożenia względem dodawania będąca sednem dystrybucji dotyczy mnożenia przez siebie grup wyrazów algebraicznych.

a ^b + ch = ab + ac

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania

wyraz. To jest wspólny

Ten wyraz należy pomnożyć przez tę grupę…

…aby taki w uzyskać ynik.

A zatem działanie odwrotne polega na wyjściu od rozwiązania i wyciągnięciu wspólnego czynnika.

ab + ac = a (b + c) a jest czynnikiem wy stę w obydwu rozwiązaniac pującym h…

…można zatem wykorzystać go jako wspólny czynnik, który jest mnożony przez grupę.

Dzięki skorzystaniu z odwrotności własności rozdzielności mnożenia względem dodawania możemy wyciągać wspólne wyrazy. W efekcie przekształcenia wyrazów w taki sposób można skonfigurować równanie, z którym zwykle łatwiej się pracuje. Czasami można uprościć wspólny czynnik lub nawet całą grupę.

Faktoryzacja to odwrotność własności rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Faktoryzacja polega na rozdzielaniu liczb i wyrazów poprzez znalezienie wyrazów, które po pomnożeniu tworzą inny wyraz bądź wyrażenie.

328

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Własność rozdzielności mnożenia względem dodawania mówi, że należy dokonać równomiernej dystrybucji czynnika na wszystkie wyrazy w grupie.

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Faktoryzacja poprzez znalezienie wspólnego czynnika Faktoryzacja nie jest tak przyjemnym procesem, jak metoda PZWO… bardziej przypomina poszukiwanie wzorców. Nie są to jednak tak oczywiste wzorce, jak w przypadku wzorów skróconego mnożenia. Trzeba raczej próbować „zobaczyć” wspólne czynniki w wyrażeniu. Czy to wydaje się zagmatwane? Trochę tak jest, ale wystarczy odrobina wprawy, aby przestało być takie trudne. Oto kilka wskazówek, od czego należy zacząć w przypadku, gdy rozwiązujemy równanie i wydaje się nam, że faktoryzacja może pomóc: Spójrz na równanie, które masz do rozwiązania. Jeśli jest w nim niewiele wyrazów, poszukaj liczb, które się powtarzają lub wielokrotności liczb występujących więcej niż raz. jących się ukania powtarza Zacznij od wysz padku mamy liczby 11, liczb. W tym przy to jednak 3×11, zatem 11/3 i 33/4… 33 stąpienie liczby 11. to jest kolejne wy

11x + 11 x - 33 x 3 4 =1 1 3 1+ 3 4

Następnie znajdź największy wspólny dzielnik (NWD) wyrazów, które Cię interesują. Najprawdopodobniej będzie to jedna z liczb, które wyznaczyłeś w pierwszym kroku.

Jeśli nie pamiętasz, co to jest NWD, otwórz dodatek i odśwież sobie te wiadomości.

To jest część procesu faktoryzacji — znajdź NWD wyrazów 11x, 33 x 11 x 3 i 4 .

11x + 11 x - 33 x 3 4 =1 1 3 1+ 3 4

Wyznacz NWD i zanotuj tę wartość, a następnie napisz nawiasy. W nawiasach zapisz nowe wyrazy pozostałe po wyciągnięciu NWD. Są to wyjściowe wyrazy po podzieleniu przez NWD, który wyodrębniłeś przed chwilą. Wspólnym czynnikiem wszystkich tych wyrazdla 11x, dlatego wyciągam ów jest y go przed nawias.

ostają Wewnątrz nawiasów poz wyjściowe wyrazy po D. podzieleniu przez NW

11x c1 + 1 - 3 m 3 4 =1 1+1-3 3 4

jesteś tutaj  329 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wywiad: faktoryzacja bez tajemnic

Faktoryzacja bez tajemnic Wywiad tygodnia:

Czy faktoryzacja rzeczywiście pomaga? Head First: Cześć, Faktoryzacjo. Miło móc z tobą porozmawiać!

Head First: Wydaje się więc, że twoje możliwości są dość duże.

Faktoryzacja: Dziękuję! Z przyjemnością przedstawię bardziej wyczerpujące wyjaśnienia na temat tego, kim naprawdę jestem.

Faktoryzacja: Cóż… Tak! Nie lubię zbytnio prężyć muskułów, ale mam kilka szalonych umiejętności.

Head First: Istnieją pewne niejasności. Kim więc dokładnie jesteś? Faktoryzacja: Za każdym razem, kiedy usuwa się czynnik z wyrazu, grupy wyrazów lub równania, jestem tą, która wykonuje czarną robotę. Head First: To brzmi dość ogólnie, czy mogłabyś być bardziej konkretna? Faktoryzacja: Niezupełnie — na tym polega moja uniwersalność. Jestem pojęciem ogólnym — to wszystko. Head First: Zatem jakie są twoje mocne strony? W czym możesz pomóc? Faktoryzacja: Cóż, jeśli ze mnie skorzystasz w celu oddzielenia zmiennej od wszystkich współczynników, równania wydadzą się znacznie łatwiejsze do rozwiązania. Head First: OK. To ma sens. Zatem jest to rodzaj bardzo szybkiej izolacji zmiennej. Zgadza się? Faktoryzacja: Właśnie tak! Jedna prosta czynność i masz wyizolowaną zmienną. Potem możesz rozwiązać równanie. Kto tego nie lubi?

330

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Head First: Czy można cię wykorzystać z innymi własnościami? Faktoryzacja: Jestem sposobem pozwalającym na cofnięcie skutków dystrybucji lub mnożenia, ponieważ identyfikuję czynniki i usuwam je z grup wyrazów. Head First: Hm… to interesujące. Faktoryzacja: Ponieważ bezpośrednio nie pracuję z wyrazami, w większości przypadków trzeba również skorzystać z własności łączności i przemienności. Head First: Czy chcesz dodać coś więcej? Faktoryzacja: Nie zapominaj o liczbach domniemanych! Jeśli zmienna występuje samotnie, przed nią znajduje się jedynka. Wiele osób cały czas o tym zapomina. Head First: Dziękuję za rozmowę… to była przyjemność. Faktoryzacja: Dziękuję za umożliwienie mi udzielenia wyjaśnień. Często czuję się taka… wydzielona poza grupę.

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Zaostrz ołówek Skorzystaj z faktoryzacji w celu rozwiązania bonusowych zadań z teleturnieju Liczyć czy nie liczyć. Po zastosowaniu faktoryzacji rozwiąż równania do końca.

x 3x 6 = + 2 2

zp 5 5 - = 3 3

5y - 3 =

4y - 3y y

8x + 24x - 16x 24 = 100

jesteś tutaj  331 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było skorzystanie z faktoryzacji, a następnie rozwiązanie wszystkich równań.

x 3x 6 = + 2 2

1

W tym miejscu wyciągnęliśmy przed nawias 1/2. Można było jednak wyciągnąć przed nawias wyraz 1/2x.

2 (x + 3x) = 6 1 (2) 2 (x + 3x) = 6(2)

4y - 3y y

5y - 3 = y (4-3) y 5y - 3 = 4-3 3 + 5y - 3 = 1 + 3

x + 3x = 12 4x = 12 4 4

5y = 4 5 5

x = 3

y = 4 5

zp 5 5 - = 3 3

(3)

5y - 3 =

ożna było Te zadania m wiele sposobów. na ć za się rozwią ecydowaliśmy My jednak zd y sposób, który żd Ka na taki. kiej uzyskania ta prowadzi do i niewiadomej, śc samej warto y. w jest prawidło

8x + 24x - 16x 24 = 100

1 3

(p-5) = 5

1 3

(p-5) = 5 (3)

8x + 24x - 16x = 2400

p - 5 = 15

8x (1 + 3 – 2) = 2400

p - 5 + 5 = 15 + 5 p = 20

(100) (8x + 24x - 16x) = 24 (100) 100

8x (2) = 2400 16x 16

= 2400 16 x = 150

332

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

1

2

Kasia

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Janusz

Ostatnia runda: Kasia może jeszcze zremisować. Jeśli wygra Janusz, to on zgarnie główną nagrodę.

Liczy czy nie liczy

Postaraj się!

Zadanie numer 4: Rozwiąż równanie… ^ x - 3h ^ x + 7h = 0 Kasia rozwinęła dwumian.

^ x - 3h ^ x + 7h = 0

^ x - 3h ^ x + 7h = 0

x 2 + 7x - 3x - 21 = 0 x 2 + 4x - 21 = 0

?

Kasia nie wie, co zrobić dalej!

Janusz rozdzielił równan oba wyrażenia do zer ie i przyrównał a.

x - 3 = 0 and / or x + 7 = 0 i / lub x-3+3 = 0+3 x+7-7 = 0-7 x = 3 and i / lub / or x =- 7

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Dlaczego Janusz uzyskał dwa rozwiązania? Która odpowiedź jest prawidłowa? Czy obie odpowiedzi są poprawne?

jesteś tutaj  333 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dowolna liczba pomnożona przez zero daje zero

Zero pomnożone przez dowolną liczbę daje 0 Kasia rozwiązywała zadanie w standardowy sposób, natomiast Janusz coś zauważył… dwa wyrazy pomnożone przez siebie mają dać wynik zero. Załóżmy, że pierwsza grupa to a, natomiast druga to b.

Jeżeli:

a:b=0 a= 0

To:

^ x - 3h ^ x + 7h =0

Zarówno a, jak i b mo ilość, liczbę, zmienną, gą oznaczać cokolwiek.

i/lub

b=0

Jeśli a wynosi (x–3), a b — (x+7), to trzeba znaleźć taką wartość x, dla której (x–3) wynosi 0 lub (x+7) wynosi 0.

dwie Nie ma możliwości, abynożone NIEZEROWE liczby pom o. przez siebie dały zer

Jeśli dowolne z tych wyrażeń będzie miało wartość zero, to całe równanie będzie równe zero. Jest to tzw. reguła iloczynu zerowego: dowolna liczba lub wyraz pomnożone przez zero dają zero.

Spróbujmy wyzerować te wyrażenia… ^ x - 3h ^ x + 7h = 0 wdziwe, wyraz Aby równanie było pra ne zeru. rów być a lub b muszą

a

:

b

=0

b może być x - 3 = 0 i/lub x + 7 = 0 x - 3 +3 = 0 +3 x + 7 - 7 = 0 - 7 i x =- 7 x=3

a może być zerem

Jeśli a lub b mają wartość zero, to całe równanie przyjmuje wartość zero. Zatem równanie jest spełnione, jeśli x ma wartość 3 lub –7. Janusz miał rację. Istnieją dwa prawidłowe rozwiązania tego problemu.

334

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

zerem

Oba rozwiązania są prawidłowe, ponieważ powodują, że całe wy oba rażenie przyjmuje wartość 0.

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze Nie istnieją

głupie pytania

P

P

P

: Czy wspólny czynnik musi występować we wszystkich wyrazach w równaniu?

: Jak to się stało, że Janusz pracował tylko z jedną częścią swojego równania na raz?

: Skąd mam wiedzieć, kiedy należy stosować faktoryzację?

O: Faktoryzację można przeprowadzić

O: Było to możliwe dzięki regule

: To zależy. Zazwyczaj można znaleźć rozwiązanie problemu na kilka różnych sposobów. Faktoryzacja to jeden z nich.

dla dowolnego wyrazu lub dla wszystkich wyrazów w równaniu. Kiedy jednak wyciągniesz czynnik, jest on mnożony tylko przez te wyrazy, z których go wyciągnąłeś. W algebrze zazwyczaj dokonuje się faktoryzacji dla wszystkich wyrazów występujących po tej samej stronie znaku równości. W bardziej skomplikowanych obliczeniach można wyciągnąć kilka czynników w pojedynczym równaniu.

P

: Co zrobić, jeśli wybiorę poprawny czynnik, ale nie pomoże mi on w rozwiązaniu zadania?

O

: Jeśli będziesz postępował według zasad i nie popełnisz błędu w faktoryzacji, zawsze będziesz mógł powrócić do wyjściowego równania. Podobnie rzecz się ma w przypadku działań odwrotnych i dystrybucji — wszystkie te narzędzia można wypróbować, a jeśli nie pomogą — cofnąć ich działanie.

O

iloczynu zerowego. Ponieważ tylko jedna część równania musi mieć wartość zero, obie części można przyrównać do zera, a następnie rozwiązać niezależnie od siebie. Dzięki zastosowaniu reguły iloczynu zerowego można rozwiązać obie części równania osobno i oba rozwiązania będą prawidłowe.

Jeśli spróbujesz skorzystać z faktoryzacji i nie doprowadzi Cię to donikąd — nie przejmuj się. Po prostu spróbuj czegoś innego!

P

: A co z równaniami zawierającymi wiele zmiennych? Co zrobić, jeśli w równaniu są zmienne x, y, z i w?

P

: Jak to możliwe, aby jedno równanie miało dwa rozwiązania?

O

: Faktoryzację można przeprowadzić w taki sam sposób. Jeśli NWD zawiera wiele zmiennych, możesz je wszystkie wykorzystać do przeprowadzenia faktoryzacji. Inna strategia rozwiązywania równań z wieloma zmiennymi polega na wydzieleniu tylko jednej zmiennej, jeśli to możliwe. Trzeba także pamiętać, że reguła iloczynu zerowego daje wspaniałe możliwości.

O

: Dobre pytanie. W następnym rozdziale powiemy o tym znacznie więcej. Na razie wystarczy wiedzieć, że jeśli podstawisz każdą ze znalezionych wartości za x do równania wyjściowego i otrzymasz prawidłowe rozwiązanie, to Twój sposób postępowania jest prawidłowy.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Faktoryzacja jest narzędziem ułatwiającym przekształcanie równań.

Q

Faktoryzację wykonujesz zawsze wtedy, kiedy wyciągasz przed nawias wspólną liczbę lub wyraz.

Q

Reguła iloczynu zerowego oznacza, że jeśli wyrazy pomnożone przez siebie dają zero, to co najmniej jeden z tych wyrazów musi mieć wartość zero.

Q

Jeśli uda się zastosować faktoryzację w taki sposób, aby doprowadzić równanie do postaci, w której dwa wyrazy pomnożone przez siebie są równe zeru, to do rozwiązania takiego równania można wykorzystać regułę iloczynu zerowego.

jesteś tutaj  335 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

1

Kasia przegrała

Kasia

3

Janusz

Liczy czy nie liczy

Przepraszam, Kasiu, ale reguła iloczynu zerowego pozwoliła mi wygrać.

Podsumujmy: 1

Zarówno Janusz, jak i Kasia rozwijali wielomiany. Janusz był ostrożny z dystrybucją, natomiast Kasia nie, dlatego popełniła błąd podczas rozwiązywania pierwszego problemu. Później oboje poznali zasadę PZWO. Następnym razem oboje znajdą rozwiązanie szybciej i w sposób bardziej niezawodny.

2

Kasia bysna znajomoci wzorów skróconego mnoenia. Kasia znała wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, dlatego w celu znalezienia wyniku nie musiała wykonywać żadnych obliczeń.

3

Szale stwo Janusza z faktoryzacj pokonao Kasi. Janusz wiedział, że faktoryzacja doskonale nadaje się do upraszczania wyrażeń… i udowodnił to.

4

Regua iloczynu zerowego dziaa. Janusz zastosował regułę iloczynu zerowego w celu rozwiązania trudnego równania. Ponieważ Kasia nic nie wiedziała o regule iloczynu zerowego, nie miała tyle szczęścia.

336

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

ŁAMIGŁÓWKA Twoim zadaniem jest wykorzystanie wyrazów ze zbioru zamieszczonego poniżej i wstawienie ich w puste miejsca w wyrażeniach. Nie można używać tego samego wyrazu więcej niż raz. Nie wszystkie wyrazy muszą być wykorzystane. Twoim celem jest uzupełnienie rozwiązań wszystkich zadań.

6d + 4d - 18 = d - 12a - 3ab + 9ab = 0

6d + 4d - 18 + 18 = d + 18 6d + 4d - d = d + 18 - d = 18 = 18

]

g= 0

( =0

d ] g = 18

)=0 + 12

i/lub

9

9

6

d=

= 0 + 12 = 12 6

b=

Uwaga: każdy wyraz ze zbioru może być wykorzystany najwyżej raz.

9 -12 + 6b a

-12 - 3b + 9b a a

2

d(6 + 4 - 1) 2

6b

6d + 4d - d

-12 + 6b

jesteś tutaj  337 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Łamigłówka: rozwiązanie

ŁAMIGŁÓWKA. ROZWIĄZANIE Twoim zadaniem było wykorzystanie wyrazów ze zbioru zamieszczonego poniżej i wstawienie ich w puste miejsca w wyrażeniach. Nie mogłeś użyć tego samego wyrazu więcej niż raz. Nie wszystkie wyrazy musiały być wykorzystane. Twoim celem było uzupełnienie rozwiązań wszystkich zadań.

6d + 4d - 18 = d 6d + 4d - 18 + 18 = d + 18 6d + 4d - d = d + 18 - d 6d + 4d - d = 18 d(6 + 4 - 1) = 18 d ]9 g = 18 9

9

d=

338

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

2

- 12a - 3ab + 9ab = 0 a

]

a

a

=0

g= 0

-12 - 3b + 9b

(

)=0

-12 + 6b

i/lub -12 + 6b

+ 12 6b 6

= 0 + 12 = 12 6

b=

2

Rozwinięcia dwumianów i rozkład na czynniki pierwsze

Ten rozdział dotyczył rozwijania dwumianów oraz podstaw faktoryzacji.

PZWO

^ x + ah ^ x + bh

Aby pomnożyć te dwa dwumiany: P

Z

W

O

Pierwsze ^x + Pomnóż przez siebie pierwsze wyrazy obu dwumianów. pierwszy wyraz zewnętrzny

Zewnętrzne Pomnóż przez siebie zewnętrzne wyrazy obu dwumianów.

Wewnętrzne Pomnóż przez siebie wewnętrzne wyrazy obu dwumianów. Ostatnie Pomnóż przez siebie ostatnie wyrazy obu dwumianów.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Mnożenie dwóch dwumianów to specjalny przypadek własności rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Q

PZWO to narzędzie wspomagające wykorzystanie własności rozdzielności mnożenia względem dodawania.

Q

Wzory skróconego mnożenia pozwalają na szybkie rozwiązywanie problemów, ale metoda PZWO zawsze działa.

Q

Faktoryzacja jest narzędziem ułatwiającym przekształcanie równań.

Q

Faktoryzację wykonujesz zawsze wtedy, kiedy wyciągasz przed nawias wspólną liczbę lub wyraz.

Q

Reguła iloczynu zerowego oznacza, że jeśli wyrazy pomnożone przez siebie dają zero, to co najmniej jeden z tych wyrazów musi mieć wartość zero.

Q

Jeśli uda się zastosować faktoryzację w taki sposób, aby doprowadzić równanie do postaci, w której dwa wyrazy pomnożone przez siebie są równe zeru, to do rozwiązania takiego równania można wykorzystać regułę iloczynu zerowego.

ah ^ x + bh pierwszy wyraz

wyraz

zewnętrzny wyraz

^ x + ah ^ x + bh wewnętrzny

wyraz

^ x + ah ^ x + bh wewnętrzny wyraz

^ x + ah ^ x + bh ostatni wyraz

ostatni wyraz

x 2 + bx + ax + ab Dwumian podniesiony do kwadratu:

^ x + ah 2 = x 2 + 2ax + a 2

Dwumiany z różnymi znakami:

(x + a) (x - a) = x 2 - a 2

Reguła iloczynu zerowego Jeżeli: To:

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

a:b=0 a= 0

i/lub

b=0 jesteś tutaj  339

Rozdzia 8.

Niezbędnik algebraika

340

Rozdział 8.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

9. Równania kwadratowe

Wychodzimy poza linię

To głupie. Czy mam czekać w tej kolejce cały dzień? Zobacz, jest tak długa, że skręca nawet za blok!

Nie wszystko w życiu ma charakter liniowy. Ale samo to, że równania nie da się wykreślić w postaci linii prostej, nie oznacza, że jest nieważne. W rzeczywistości większość z najważniejszych niewiadomych, z którymi spotykamy się w życiu, ma charakter nieliniowy. Czasami musimy korzystać z wyrażeń o wykładnikach większych od 1. Równania zawierające wyrażenia kwadratowe na wykresie tworzą krzywe! W jaki sposób to działa? Jest tylko jeden sposób, by się tego dowiedzieć.

to jest nowy rozdział  341 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Head First U i balony z wodą

Head First U jest w stanie wojny! HFU podtrzymuje tradycję wojen pomiędzy bractwami w czasie tygodnia przyjmowania nowych członków do bractwa. Kandydaci na członków bractwa mają za zadanie trafić balonami z wodą w przewodniczącego przeciwnego bractwa. Janek jest jednym z kandydatów i podczas tygodnia wojny musi trafić przewodniczącego co najmniej trzy razy. Inaczej nie będzie mógł pozostać w bractwie Teta Teta Pi. Zgadnij, kogo poprosi o pomoc… Ciebie!

Janek jest kapitanem zespołu pretendentów do bractwa Teta Teta Pi. Kwatera Teta Teta Pi

Kwatera Pi Gamma Delta

h (wysokość)

Janek chce strzelać balonami z wodą nad drzewem znajdującym i się pomiędzy siedzibam dwóch bractw.

x (odległość od czoła katapulty) ? metrów

? metrów

Tradycyjnie balony z wodą były wystrzeliwane ręcznie lub procą. Janek chce jednak pozostawić ślad w historii zespołu Teta Teta Pi…

342

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Gdzie powinien wylądować balon z wodą? Przewodn ic Pi Gamma zący bractwa Delta

Równania kwadratowe

Janek unowocześnia swoją technologię wa, na której To jest strona interneto apultę. kat oją sw ił ów Janek zam owano zasięgi W serwisie zaprezent za pomocą lt apu oferowanych kat równań.

Janek zamierza skorzystać z katapulty. Dzięki katapulcie będzie dokładniejszy i trafi przewodniczącego zespołu Pi Gamma Delta nawet mocniej. W efekcie z pewnością zostanie przyjęty do bractwa. Do katapulty dołączono równanie zasięgu w funkcji wysokości i odległości. Jeśli wiesz, jak wysoko ma polecieć balon, możesz obliczyć, w którym miejscu należy umieścić katapultę, aby balon uderzył przewodniczącego bractwa Pi Gamma Delta prosto w głowę.

WTM

WOJOWNICY-TO-MY

Katapulta Drewniana katapulta

Jest tylko jeden problem. Janek nie zna algebry… tutaj Ty wchodzisz do gry.

h = wysokość rzutu Zasig bazuje na równaniu: Maksymalnie 5 kg

u. To jest równanie zasięg

WY NO UKT OD PR

x = odległość, na jaką należy wystrzelić balon

WYTĘŻ UMYSŁ

Przy pierwszym strzale przewodniczący bractwa Pi Gamma Delta siedzi na trawniku, zatem wysokość wynosi zero, h = 0. Oblicz x tak, by Janek mógł ustawić katapultę w odpowiednim miejscu. Rozpoczniemy za Ciebie…

Kiedy przewodniczący ły siedzi na ziemi, h = 0. Aby obliczenia byożymy 2 - x + 10x + 75 = h ................................................................................................................................................................................ łatwiejsze, pomn ania obie strony równ - x 2 + 10x + 75 = 0 ................................................................................................................................................................................ przez –1.

1 : ^- x 2 + 10x + 75h =- 1 : ^0h ................................................................................................................................................................................ x 2 - 10x - 75 = 0 ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................

ości Ile wynosi x? Podstaw kilka wart i zobacz, jakie uzyskasz wyniki.

jesteś tutaj  343 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe — przegląd

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Przy pierwszym strzale przewodniczący bractwa Pi Gamma Delta siedzi na trawniku, zatem wysokość wynosi zero, h = 0. Oblicz x tak, by Janek mógł ustawić katapultę w odpowiednim miejscu.

Aby obliczenia były y łatwiejsze, pomnożym próbujemy x = 20 202 - 10(20) - 75 = 0 ? - x 2 + 10x + 75 = h ony równania obie str............................................................................................................................................................................................. przez –1.

125 = 0 - x 2 + 10x + 75 = 0 .............................................................................................................................................................................................

- 1 : ^- x + 10x + 75h =- 1 : ^0h ............................................................................................................................................................................................. 2

próbujemy x = 0

02 - 10(0) - 75 = 0 ?

x - 10x - 75 = 0 ............................................................................................................................................................................................. 2

-75 = 0

jest wartość x? Podstaw kilka Jaka............................................................................................................................................................................................. uzyskasz. wartości i zobacz, jakie wyniki

............................................................................................................................................................................................. Być może

wybrałeś inne wartości. Mogłeś próbujemy x = 10 102 - 10(10) - 75 = 0 ? ............................................................................................................................................................................................. tak zrobić, ale to dość oczywis

te, że metoda prób i błędów nie jest właściwym sposobem -75 = 0 postępowania. Musi istnieć sposób rozwiązania ............................................................................................................................................................................................. równań metodami algebraicznymi.

Przedstawiamy nowy typ równań: równania kwadratowe Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe stopnia drugiego — oznacza to, że największy wykładnik zmiennej wynosi dwa. Stopień równania informuje również o tym, ile potencjalnych rozwiązań może mieć równanie. Ponieważ równanie kwadratowe ma stopień równy dwa, może mieć do dwóch rozwiązań. Zatem równanie Janka trzeba przekształcić w taki sposób, aby dwa razy wyznaczyć zmienną x. W rozwiązaniu równania może również pomóc reguła iloczynu zerowego. Gdyby można było przekształcić równanie kwadratowe do postaci iloczynu dwóch wyrażeń równego zero, wówczas rozwiązanie tych równań byłoby znacznie łatwiejsze. Rozwinięcie dwóch dwumianów tworzyło równanie kwadratowe, zatem być może faktoryzacja równania kwadratowego z powrotem do postaci dwóch dwumianów będzie właściwą metodą postępowania. Spróbujmy zrobić coś takiego i zobaczmy, co się będzie działo.

liniowych, W przypadku równań (stopień na przykład 3 = 4x–2 jeden), tego równania wynosi no zmienna mogła mieć jed rozwiązanie.

Z kilkoma równaniami kwadratowym mieliśmy do czynienia w poprzedn i rozdziale… przekształcaliśmy je im do postaci dwóch dwumianów, ale w wyjściowej postaci były to równ ania kwadratowe.

Dowolne równanie drugiego stopnia jest równaniem kwadratowym. 344

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Faktoryzacja — magnesiki

Pamiętaj! Wyrażenie równa się zeru, ponieważ wysokość jest równa zero… przewodniczący jest na tym samym poziomie, co katapulta.

Skorzystaj z magnesików u dou strony w celu wypenienia pustych miejsc. Zobacz, czy potrafisz samodzielnie rozwiza zadanie.

x 2 - 10x - 75 = 0

z reguły Aby skorzystać , go we ro ze u yn ilocz óch wyrażeń, potrzebujemy dw iu dadzą en oż mn po które po wynik zero.

Później wyjaśnimy, skąd wziął się ten znak.

] -

+

+

] g= 0

g^

-

h=0

+

Dwie spośród tych wartości będą równe x, natomiast dwie będą liczbami.

Później wyjaśnimy, k. skąd wziął się ten zna

^

=0 +

-

Ostatnie dwie liczby po pomnożeniu przez siebie muszą dać wynik –75.

-

h=0

+ +

=0 -

+

x =-

x = Skorzystaj z tego miejsca w celu sprawdzenia pracy — ponownie rozwiń dwumiany.

X

5

X 15

h

1

15

3 25

5

75

5

1

5

X X

15

5

5 15

X

75

25

X

15

15

jesteś tutaj  345 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Faktoryzacja — magnesiki: rozwiązanie

Faktoryzacja — magnesiki. Rozwiązanie Twoim zadaniem byo wykorzystanie magnesików do rozwizania równania kwadratowego i pomoc Jankowi w trafieniu przewodniczcego konkurencyjnego bractwa. To jest najtrudniejsze. Należy wyznaczyć dwie liczby, które spełniają następujące dwa warunki: po przemnożeniu przez siebie dają –75, a po dodaniu dają –10 (współczynnik przy x w wyjściowym równaniu).

x 2 - 10x - 75 = 0

]

obu Pierwszy wyraz x, to ów ian dwum x2. ponieważ x •x =

]X+

15

+

15

-

X

X

-

g^

15

X

g= 0 15

(x - 15)(x + 5) = 0 x2 + 5x - 15x - 75 = 0

-

15

h=0

5

^

=0 +

x =

+

X

+

+

5

5

X

h=0

+

y W tych obliczeniach zastosowaliśmże się, nić upew aby O, metodę PZW idłowo. faktoryzacja została wykonana praw

1 3 25

75

h

75

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

=0 -

x =-

15

x2 - 10x - 75 = 0

346

5

1

25

5

5

Równania kwadratowe

Gdzie Janek umieści katapultę? Zatem x wynosi –5 lub 15. W jaki sposób katapulta może wystrzelić balon na odległość –5? Należy pamiętać o kontekście problemu. Jak to możliwe, aby balon z wodą mógł przebyć drogę równą –5 jednostek? Ujemny dystans oznacza, że balon musiałby polecieć do tyłu — poza czoło katapulty. W tym kontekście nie ma to sensu, można więc zignorować tę odpowiedź. Nas interesuje odpowiedź dodatnia. Balon przebędzie drogę równą 15 metrów. Zatem spróbujmy wystrzelić z katapulty z odległości 15 metrów od przewodniczącego. Kwatera Pi Gamma Delta

lonu Ścieżka ba z wodą

Kwatera Teta Teta Pi

h (wysokość)

Nowa katapulta Janka

x (odległość od czoła katapulty) –5 metrów

15 metrów

Gdzie powinien wylądować balon z wodą? Przewodn ic bractwa P zący Delta sto i Gamma i trawie… na

Ojej… przewodniczący przemieścił się W czasie, gdy przeprowadzaliśmy obliczenia, jak trafić przewodniczącego, ten zwietrzył niebezpieczeństwo i zmienił swoje miejsce! Teraz ukrywa się we własnoręcznie wykopanym bunkrze.

…ale w czasie, gdy przeprowadzaliśmy faktoryzację, okopał się i teraz…

Zaostrz ołówek 21-metrowy bunkier wszystko zmienia. Zapisz nowe równanie, które powinieneś rozwiązać dla Janka.

…bezpiecznie przebywa w schronie o głębokości 21 metrów.

jesteś tutaj  347 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Faktoryzacja wymaga planowania

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie Wysokość ma wa ujemną, poniewa rtość jest to dół — poż poziomu gruntu. niżej

21-metrowy bunkier wszystko zmienia. Zapisz nowe równanie, które powinieneś rozwiązać dla Janka.

h = -x2 + 10x + 75

Musisz powrócić do wyjściowego równania, aby podstawić nową wartość h.

-21 = -x2 + 10x + 75 +21 -21 = -x2 + 10x + 75 + 21

0 = -x2 + 10x + 96

Zawsze należy opracować PLAN Jeśli zależy nam na tym, by trafić przewodniczącego, teraz musimy szybciej rozwiązać równanie kwadratowe. Działania, jakie wykonaliśmy z pierwszym równaniem, nie były zbyt dobrze zorganizowane ani spójne. Wypróbowaliśmy kilka czynników, a następnie skorzystaliśmy z odwróconej metody PZWO. Żaden z tych sposobów nie był szybki. Przyjrzyjmy się nieco bliżej, co zrobiliśmy z równaniem x2–10x–75 = 0, i zastanówmy się, co można zrobić, aby szybciej obliczyć potrzebne dane.

w postaci Równanie kwadratowe razy: wy y trz a ogólnej zawier wyraz z x2, wyraz z x i stałą.

1

Potrzebujemy postaci ogólnej. Równanie kwadratowe musi być w ogólnej postaci — przyrównane do zera. Po jednej stronie równania powinno być zero. Inaczej nie będzie można skorzystać z reguły iloczynu zerowego i rozdzielić możliwych rozwiązań.

2

Potrzebujemy dwóch dwumianów. Po doprowadzeniu równania do prawidłowej postaci powinno ono przedstawiać iloczyn dwóch dwumianów rozpoczynających się od x. Wpisz to, co wiesz, a połowa pracy będzie za Tobą.

3

Wyznacz pozostae dwa wyrazy w dwumianach. Ostatnie dwa wyrazy powinny spełniać dwa warunki. Po pierwsze, po pomnożeniu przez siebie muszą dawać stałą występującą w równaniu kwadratowym. Po drugie, ich suma powinna być równa współczynnikowi przy zmiennej x.

348

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

x2 - 10x - 75 = 0

(x

)(x

) = 0

Te liczby po pomnożeniu przez siebie muszą dać wynik –75.

(x

15)(x

5) = 0

nna być równa Suma liczb powi przy zmiennej i ow współczynnik x — czyli –10.

Równania kwadratowe

Faktoryzacja z bliska Wyznaczenie ostatnich dwóch wyrazów do wstawienia w dwumianach jest najtrudniejszą częścią faktoryzacji. Czasami warto bliżej przyjrzeć się szczegółom.

(x

)(x

) = 0 wyrazów Wyznaczenie tych dwóch

Najłatwiejszym sposobem na znalezienie tych liczb jest sporządzenie listy wszystkich możliwych czynników stałej równania kwadratowego. Dlaczego? Ponieważ wiemy, że po pomnożeniu tych wyrazów metodą PZWO musimy uzyskać stałą z naszego równania.

75 = 75

1

= 25

3

= 15

5

Wiedząc, że możliwe są takie opcje, powinniśmy spojrzeć na wyraz z x — w naszym przypadku 10. Liczby należy dobrać w taki sposób, aby ich suma (lub różnica) wynosiła 10. 15–5 = 10

Przyjrzyjmy się bliżej tym czynnikom. Jaka para pozwoli nam na uzyskanie środkowego wyrazu z x? Ponieważ współczynnik przy x ma wartość 10, możemy wykorzystać liczby 15 i 5 — ich różnica ma wartość 10.

(x

4

15)(x

5) = 0

Uzupenij znaki i sprawd prac. Aby dokończyć dwumiany, uzupełnij znaki. Stałe dwumianów po przemnożeniu powinny dać ten sam znak, jaki występuje przy stałej równania (75), a po zsumowaniu powinno się uzyskać prawidłowy wyraz z x (–10x). Następnie należy rozwinąć uzyskane dwumiany za pomocą metody PZWO i sprawdzić, czy pasują do równania w postaci wyjściowej.

Ćwiczenie

(x - 15)(x + 5) = 0 x2 + 5x - 15x - 75 = 0 x2 - 10x - 75 = 0

Skorzystaj z nowej umiejętności rozkładania na czynniki oraz z równania, które stworzyłeś dla przewodniczącego schowanego w bunkrze, aby obliczyć miejsce, w którym powinna stać katapulta.

............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  349 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Skorzystaj z nowej umiejętności rozkładania na czynniki oraz z równania, które stworzyłeś dla przewodniczącego schowanego w bunkrze, aby obliczyć miejsce, w którym powinna stać katapulta.

0 = -x2 + 10x + 96 -x2 + 10x + 96 = 0

Następnie można pozbyć się –1.

-1 (-x2 + 10x + 96 ) = -1(0) x2 - 10x - 96 = 0

Opcje ostatnich dwóch wyrazów:

96 = 96

jest do Ta postać równania nie można ale a… łow końca prawid gą stronę. przenieść zero na dru

(x

1

= 48

2

= 32

3

= 24

4

= 16

)(x

Teraz równanie kwadratowe jest w postaci ogólnej.

) = 0

Wiemy również, że środkowy wyraz ma wartość –10x, zatem suma lub różnica tych dwóch wyrazów musi dać 10.

6

(x

16)(x

6) = 0

Aby uzyskać –96, jedna ze stałych musi mieć dodatni znak, a druga ujemny. Ponieważ chcemy uzyskać –10x, ujemna powinna być większa z liczb — czyli –16.

(x + 6)(x - 16) = 0 x + 6 = 0 - 6 + x + 6 = 0 - 6 x = -6

x - 16 = 0 + 16 + x - 16 = 0 + 16 x = 16

PZWO Skorzystaj z metody iczeń. obl nia dze aw spr u w cel

) = 0 (x + 6)(x - 16 - 96 = 0 x2 - 16x + 6x = 0 x2 - 10x - 96 Aby trafić przewodniczącego bractwa Pi Gamma Delta, Janek musi cofnąć katapultę o 16 metrów!

Hurra! Bezpośrednie trafienie! Może się przemieszczać, ale się nie ukryje…

350

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Równania kwadratowe mogą mieć do dwóch rozwiązań.

Q

Faktoryzacja równania kwadratowego polega na znalezieniu iloczynu dwóch dwumianów.

Q

Aby sprawdzić, czy faktoryzacja została wykonana prawidłowo, należy skorzystać z metody PZWO.

Q

Wyznaczenie wyrazów stałych dla dwumianów jest najtrudniejszą czynnością podczas faktoryzacji równania kwadratowego.

Q

Przed przystąpieniem do faktoryzacji równania kwadratowego należy je doprowadzić do postaci ogólnej.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy muszę zapisywać wszystkie te subtelne kroczki? O: Nie zawsze. Kiedy jednak uczysz się czegoś nowego, zawsze

warto zapisywać jak najwięcej, tak by można było łatwo sprawdzić pracę. W naszym przypadku zapisaliśmy kilka kroków pośrednich, aby łatwiej zrozumieć sposób rozwiązywania problemów. W rzeczywistości dwumian trzeba zapisać tylko raz, a nie trzy razy. Należy zapamiętać zasadę, że dobrze jest zapisywać tyle kroków, ile potrzeba do zrozumienia i wykonania pracy.

P

: Czy to jest metoda PZWO zastosowana w drugą stronę?

O: Tak! Staramy się wyznaczyć dwa dwumiany, których

pomnożenie pozwoli na uzyskanie równania w postaci wyjściowej. Dlaczego? Ponieważ zastosowanie reguły iloczynu zerowego umożliwia rozwiązanie równania kwadratowego!

P

: Do czego mogą się przydać równania kwadratowe w praktyce?

O

: Równania kwadratowe można wykorzystać do całkiem nowej grupy praktycznych zadań. Na przykład, równanie Janka to uproszczona postać równania ruchu przedmiotu rzucanego, które opisuje sposób poruszania się obiektów w powietrzu.

Równania kwadratowe wykorzystuje się również do projektowania mikrofonów parabolicznych, talerzy satelitarnych oraz mostów podwieszanych. Wykorzystuje się je nawet do projektowania fontann podobnych do tych, jakie można spotkać przed hotelami w Las Vegas.

P

: Jak to możliwe, aby jedno równanie miało dwa rozwiązania?

O

: Równania drugiego stopnia mają dwa rozwiązania. Pamiętaj! Rozwiązanie to taka liczba, która po podstawieniu do równania powoduje, że równanie przedstawia prawdę. Podczas sprawdzania rozwiązań zauważysz, że rzeczywiście istnieją dwie liczby, które spełniają równanie.

P: Jaka jest ogólna postać równania kwadratowego? O: Ogólny sposób zapisu równania kwadratowego to ax +bx+c = 0. P: A co jeśli jest wyraz ax ? Do tej pory rozpatrywaliśmy 2

2

tylko przypadki z x2.

O

: Wtedy sprawy bardziej się komplikują. Proces się nie zmienia, ale jeśli powrócimy do metody PZWO, będzie to oznaczało dwie rzeczy. Po pierwsze, iloczyn pierwszych wyrazów dwumianów musi dać ax2, a nie tylko x2, zatem trzeba znaleźć współczynniki przed obydwoma wyrazami z x.

Po drugie, oznacza to również, że podczas rozwijania dwumianów trzeba pamiętać o współczynnikach przy wyznaczaniu wyrazu z x. A zatem znalezienie rozwiązania wymaga przeprowadzenia znacznie większej liczby prób.

P

: Czy zawsze jest możliwe rozłożenie równania na czynniki?

O

: Tak i nie. Istnieją metody pozwalające na wykorzystanie ułamków, co umożliwia rozkład na czynniki prawie każdego równania. Jest to jednak skomplikowane i raczej jest zadaniem z zakresu zaawansowanej algebry. A zatem jak wygląda równanie kwadratowe, którego rozkład na czynniki nie jest prosty? Dobre pytanie. Przewróć stronę i zobacz…

jesteś tutaj  351 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nowy problem Janka

Bractwo Pi Gamma Delta buduje mur! W nocy członkowie bractwa Pi Gamma Delta zatrudnili inżynierów i zbudowali mur pomiędzy terenami bractw. Teraz przewodniczący bractwa czuje się bezpieczny, ponieważ chroni go coś więcej niż tylko parę krzaków. z wodą. Ścieżka balonu zatrzyma? nie go r mu y Cz

Kwatera Pi Gamma Delta Kwatera Teta Teta Pi

Ściana o wysokości 9 metrów

Doskonała katapulta Janka

x (odległość od czoła katapulty)

Przewodniczący bractwa Pi Gamma Delta czuje się bezpiecznie za murem.

Mur ma wysokość 9 metrów. Czy istnieje jakiś sposób, aby teraz trafić przewodniczącego?

Janek nie ma pojęcia, jak można to obliczyć. Ty jednak wiesz. Twoim zadaniem będzie teraz obliczenie nowej wartości h. 9 metrów? Nie ma problemu! Zrób tylko to, co robiłeś do tej pory, a sprawdzisz, czy dla h równego 9 metrów można znaleźć rozwiązanie.

352

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Zaostrz ołówek Czy Janek może pokonać mur? Rozpocznij od równania w wyjściowej postaci. Podstaw 9 za h i rozwiąż równanie. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... je się coś dziwnego. Kiedy Dzie róg, poczujesz się zapędzony w kozi po prostu przewróć stronę… ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  353 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy Janek może pokonać mur? Rozpocznij od równania w wyjściowej postaci. Podstaw 9 za h i rozwiąż równanie.

.............................................................................................................................................................................................

Wiemy, że balon musi pokonać wysokość 9 metrów.

-x2 + 10x + 75 = h

ie Aby doprowadzić równan

do postaci ogólnej, ............................................................................................................................................................................................ si być

-x2 + 10x + 75 = 9

w tym miejscu mu zero.

...............................................................................................................................................................................................

-9 - x2 + 10x + 75 = 9 - 9

............................................................................................................................................................................................... Pozbywamy się –1.

-1(-x2 + 10x + 66) = -1(0)

............................................................................................................................................................................................. Teraz równanie kwadratowe

ma postać ogólną. x2 - 10x - 66 = 0 ............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................... tatnich Iloczyn dwóch os sić 66.

(x )(x ) = 0 wyrazów musi wyno 66 = 66 1 ............................................................................................................................................................................................... możliwości: Są następujące

= 22

3

............................................................................................................................................................................................. 2

= 33

Potrzebujemy dwóch stałych, które = 11 6 po zsumowaniu dadzą –10, ale żadna ............................................................................................................................................................................................ para nie spełnia tego warunku!

To jest owo dziwne zjawisko, prze ............................................................................................................................................................................................... d którym Cię ostrzegaliśmy. Faktoryz acja nie zawsze działa.

Co teraz?

354

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Czy masz jakieś pomysły, gdzie należy umieścić katapultę, o Wielki i Wspaniały Kapitanie?

Janek: Nie możemy tego obliczyć. To równanie nie sprawdza się. Stefan: Janek, jeśli nie trafimy tych facetów… Tomek: Hej, chłopaki, co tu jest napisane drobnym druczkiem na stronie? Stefan: Nie widziałem tego wcześniej. Niech sprawdzę.

WTM

WOJOWNICY-TO-MY

Katapulta Drewniana katapulta Maksymalnie 5 kg Zasig bazuje na równaniu:

Tomek

Janek

Stefan

WY NO UKT OD PR

Drobny druk x = -b !

b 2 - 4ac 2a

b! Stefan: Ach tak. Coś tu jest. Tu jest napisane: x = -

b 2 - 4ac 2a

Janek: Do czego to służy, u licha? Tomek: Wygląda na równanie zasięgu. Jest tu x. Zgadza się? Stefan: A co znaczą te wszystkie pozostałe litery a, b i c? Skąd się wzięły? Janek: Nie jestem pewien, ale sprawdzimy. Stefan: Tylko szybko, bo przewodniczący znów zmieni miejsce!

jesteś tutaj  355 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenia w posługiwaniu się wzorem

Ćwiczenie

Wypróbuj to dziwne równanie, które znalazł Stefan, i sprawdź, czy uda się w ten sposób wyznaczyć x. Wtedy Janek będzie wiedział, czy możliwe jest trafienie przewodniczącego bractwa Pi Gamma Delta w głowę, mimo że na drodze znajduje się ściana.

............................................................................................................................................................................................. Równanie, które trzeba rozwiązać, ma postać

lazł Stefan. To jest wzór, który zna

To jest ogólna postać równania kwadratowego.

............................................................................................................................................................................................

b 2 - 4ac Postać ogólna: x –10x–66 = 0 2a ax2+bx+c = 0. ............................................................................................................................................................................................... 2

x = -b !

Ten znak oznacza plus lub minus.

............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

356

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Zostawiliśmy Ci dużo miejsca na obliczenia!

............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  357 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

Wypróbuj to dziwne równanie, które znalazł Stefan, i sprawdź, czy uda się w ten sposób wyznaczyć x. Wtedy Janek będzie wiedział, czy możliwe jest trafienie przewodniczącego bractwa Pi Gamma Delta w głowę, mimo że na drodze znajduje się ściana.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

............................................................................................................................................................................................. Równanie, które trzeba rozwiązać, ma postać

lazł Stefan. To jest wzór, który zna

To jest ogólna postać równania kwadratowe go.

............................................................................................................................................................................................

b 2 - 4ac Postać ogólna: x –10x–66 = 0 2a ax2+bx+c = 0. ............................................................................................................................................................................................... x = -b !

2

Ten znak oznacza plus lub minus.

............................................................................................................................................................................................... Tutaj znajdują się

wszystkie informacje, które są potrzebne do rozwiązania ............................................................................................................................................................................................. problemu. Najbardziej podchwy tliwe jest rozbicie wzoru na x na dwie części: jedna ze znakiem minus i druga ze znakiem plus.

............................................................................................................................................................................................ ...............................................................................................................................................................................................

b = -10

Pamiętaj, aby zachować znaki minu

s. x - 10x - 66 = 0 ............................................................................................................................................................................................... 2

-66

a = 1 c= ............................................................................................................................................................................................. b i c Podstaw wartości a,

............................................................................................................................................................................................

b 2 - 4ac 2 a ............................................................................................................................................................................................... …tutaj.

x = -b !

Uważaj na znaki! ...............................................................................................................................................................................................

+

x = - (-10) - (-10) - 4(1)(-66) ............................................................................................................................................................................................. Po podstawieniu uprość tak bardzo, jak się da.

2

2 (1)

+

x = 10 - 100 + 264 ............................................................................................................................................................................................

2 + x = 10 - 364 ............................................................................................................................................................................................... 2 W tym miejscu należy rozdzielić wzór, aby o równanie z dodawaniem i jedno z odejmowaniem.

uwzględnić znak „plus lub minus”. Oznacza ............................................................................................................................................................................................... to, że mamy jedn

...............................................................................................................................................................................................

358

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ kujemy dwa rozwiąza To samo równanie, ale x2 = 10 - 364 x1 = 10 + 364 jedno ma znak plus, 2 ............................................................................................................................................................................................... s. 2 a drugie minu W taki sposób uzys ............................................................................................................................................................................................... nia równania.

x1 = 10 + 19,0788 x2 = 10 - 19,0788 2 2 ............................................................................................................................................................................................. x1 = 29,0788 To jest rozwiązanie x2 = - 9,0788 po zaokrągleniu. 2 ............................................................................................................................................................................................ 2

x2 = - 4,5394 x1 = 14,5394 ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... się, Teraz sprawdź pracę i upewnij e. awn popr są nia iąza że rozw .............................................................................................................................................................................................

x - 10x - 66 = 0 x2 - 10x - 66 = 0 ............................................................................................................................................................................................ 2

(14,5394) -10(14,5394) - 66 = 0 (-4,5394) -10(-4,5394) - 66 = 0 ............................................................................................................................................................................................... 2

2

20,6061 + 45,394 - 66 = 0 211,394 - 145,394 - 66 = 0 ............................................................................................................................................................................................... 0,0001 = 0 0 = 0 ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ .

nia Stosowaliśmy zaokrągleki, że Wynik jest na tyle blis widłowy. można go uznać za pra ...............................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................

To działa! Teraz Janek wie, gdzie umieścić katapultę! ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  359 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Interpretacja rozwiązań równania kwadratowego

9 metrów to nie problem Po zastosowaniu wzoru znalezionego na stronie internetowej obliczyliśmy, że wysokość 9 metrów dla katapulty jest osiągalna w dwóch lokalizacjach: –4,54 metra oraz 14,54 metra. Obie te liczby oznaczają odległość od czoła katapulty do miejsca, w którym balon z wodą osiągnie wysokość 9 metrów nad ziemią. To dobra wiadomość dla Janka, ponieważ oznacza ona, że balon z wodą jest na wysokości 9 metrów w punkcie oddalonym od czoła katapulty o 14,54 metra. Jeśli katapulta znajduje się bliżej niż 14,54 metra od ściany, balon powinien przelecieć ponad ścianą.

x2 - 10x - 66 = 0 x1 = 14,5394

x2 = - 4,5394 ą. Balon lonu z wod Ścieżka ba nę, jeśli jego droga pokona ściasza niż 14,54 metra. będzie krót Kwatera Pi Gamma Delta

Kwatera Teta Teta Pi

Ściana o wysokości 9 metrów

x (odległość od czoła katapulty)

Trafiłem go! To już drugi raz!

360

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

a Przewodniczący bractw az zar lta De a mm Ga Pi zostanie trafiony.

Równania kwadratowe Co to był za wzór, z którego skorzystałeś? Janek znalazł go zapisanego drobnym druczkiem w serwisie internetowym.

To jest wzór na rozwiązanie równania kwadratowego. Istnieje wzór, za pomocą którego można znaleźć rozwiązanie każdego równania kwadratowego — nie trzeba przeprowadzać faktoryzacji. Właśnie ten wzór był zapisany na kartonie z katapultą.

Równanie kwadratowe Innym sposobem rozwiązywania równań kwadratowych — poza faktoryzacją — jest skorzystanie ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Wzór ten jest zapisany dla ogólnej postaci równania kwadratowego i pozwala na rozwiązywanie dowolnych równań kwadratowych, zarówno takich, które można poddać faktoryzacji, jak i takich, dla których nie da się przeprowadzić tego procesu. Współczynniki a, b i c w tym i c równaniu to współczynniki a, b z ogólnej postaci równania. To jest x z równania kwadratowego.

x = -b !

Posta og ólna to: ax 2 + bx + c=0

b 2 - 4ac 2a

Ten symbol oznacza „plus lub minus”.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego jest doskonały, ponieważ pozwala na rozwiązywanie dowolnych równań, może jednak sprawiać pewne kłopoty. Aby uzyskać obydwa rozwiązania równania kwadratowego (pamiętaj, że równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania), trzeba posłużyć się symbolem „plus lub minus”. W tym celu należy uprościć wyrażenie — zapisać je raz dla dodatniej wartości pierwiastka i drugi raz dla ujemnej — w następujący sposób:

x1 = - b +

b 2 - 4ac 2a

i

x2 = - b -

b 2 - 4ac 2a

Indeks dolny zapewnia sposób rozróżniania odpowiedzi.

jesteś tutaj  361 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nie istnieją głupie pytania Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Dlaczego poprzednio nie użyliśmy wzoru na pierwiastki równania kwadratowego? Czy faktoryzacja nie była stratą czasu?

: Czy pierwiastek kwadratowy zawsze jest liczbą dziesiętną?

O: Nie robiliśmy tego najpierw, ponieważ wiedzieliśmy, że to

: W większości przypadków tak, zatem będzie potrzebny kalkulator. Oczywiście są kwadraty liczb całkowitych (9, 16, 25 itd.), ale niezbyt często występują pod pierwiastkiem.

powiesz! Wzór na pierwiastki równania kwadratowego jest fantastyczny, jeśli nie można dokonać faktoryzacji. Jeżeli jednak jest ona możliwa, to za jej pomocą można łatwo obliczyć rozwiązania całkowite. Inny problem w przypadku wzoru na pierwiastki równania kwadratowego polega na tym, że przy stosowaniu go można łatwo popełnić pomyłkę. Należy śledzić kolejność wykonywania działań i poprawnie wyciągać pierwiastek kwadratowy. Jeżeli którąkolwiek z tych czynności wykonamy nieprawidłowo, uzyskany wynik będzie niepoprawny.

P

: Ten pierwiastek kwadratowy był naprawdę długi. Ile cyfr powinniśmy zapisać?

O

: To zależy. Istnieje standard dotyczący liczby miejsc dziesiętnych, które należy wykorzystać — jest to tzw. notacja naukowa. Na razie przyjmijmy, że dwa do czterech miejsc dziesiętnych to wystarczająca liczba.

P: Co zrobić, jeśli współczynniki a, b lub c są ułamkami? O: Nie jest to duży problem. Można zrobić dwie rzeczy: Po pierwsze, można wstawić ułamki do równania kwadratowego i je uprościć. Czasami jest to dość trudne, ale jeśli śledzi się kolejność wykonywania działań, nie powinno być z tym problemu. Inna możliwość to pomnożenie równania przez liczbę, która pozwala na pozbycie się ułamków — na przykład przez 4, jeśli mamy ułamki ¼ lub ¾. Po tej operacji można wykorzystać uzyskane współczynniki we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego.

O

P

: Czy w równaniach wykorzystywanych w praktyce występują liczby dziesiętne?

O

: W większości przypadków trzeba używać liczb dziesiętnych. Niestety, rzeczywiste problemy są złożone i nie dają się łatwo kwantyfikować. Wiele równań dotyczy rzeczywistych materiałów (na przykład wody czy stali) lub rzeczywistych zjawisk (na przykład szybkości) i bazuje na pomiarach, które zwykle mają postać liczb dziesiętnych.

P

: Skąd pochodzi wzór na pierwiastki równania kwadratowego?

O

: Wzór na pierwiastki równania kwadratowego można wyznaczyć za pomocą specjalnej techniki faktoryzacji, nazywanej „uzupełnieniem do kwadratu”. Jeśli podczas uzupełniania kwadratu użyjemy ogólnych stałych a, b i c, otrzymamy wzór na pierwiastki równania kwadratowego.

Sposoby uzupełnień do kwadratu dla dowolnych równań poznasz podczas dalszych lekcji matematyki… na razie nie ma się czym przejmować.

P

: Co zrobić w przypadku, gdy liczba pod pierwiastkiem jest ujemna?

O: Czy chodzi Ci o to, co zrobić, jeśli wyrażenie b –4ac jest 2

ujemne? Cóż, nie da się wyciągnąć pierwiastka z liczby ujemnej, jeśli nie zna się całkiem nowej klasy liczb… ale o tym można by napisać osobną książkę. Co zrobić, jeśli napotkamy taką wartość powyższego wyrażenia teraz? Czytaj dalej…

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wymaga dokładności.

W czasie korzystania ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego należy śledzić kolejność wykonywania działań. Przed wyciągnięciem pierwiastka trzeba uprościć wyrażenie pod pierwiastkiem. Należy również uważać na znaki! Łatwo się w nich pogubić, zatem jeśli masz potrzebę zapisywania wszystkich kroków, rób to — to dobry sposób na uniknięcie pomyłek.

Uwaga!

362

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Zaostrz ołówek Podczas gdy Janek jeszcze raz ustawiał katapultę, Tomek i Stefan wyciągnęli procę z ubiegłego roku z zamiarem trafienia wiceprzewodniczącego bractwa Pi Gamma Delta. Pomóż im wyznaczyć miejsce, z którego powinni strzelać. muru, x oznacza odległość od leźć proca, zna w jakiej powinna się mur. balon z wodą pokonał aby ............................................................................................................................................................................................. x –8x = –13 ............................................................................................................................................................................................ 2

............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... Pamiętaj, żeby sprawdzić obliczenia…

............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  363 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie muru, x oznacza odległość od leźć proca, zna w jakiej powinna się onał mur. aby balon z wodą pok

Podczas gdy Janek był zajęty ustawianiem katapulty, Tomek i Stefan wyciągnęli procę z ubiegłego roku z zamiarem trafienia wiceprzewodniczącego bractwa Pi Gamma Delta. Pomóż im wyznaczyć miejsce, z którego powinni strzelać.

............................................................................................................................................................................................. 2

x = -b !

b - 4ac 2a

x –8x = –13 ............................................................................................................................................................................................ 2

To równanie x = - (-8) +- (-8)2 - 4(1)(13) inno być Uważaj na znaki! pow 2 (1) x2 - 8x = -13 w postaci ............................................................................................................................................................................................... ogólnej.

x = 8 + 64 - 52 +13 + x - 8x = -13 + 13 2 ............................................................................................................................................................................................... 2

x = 8 + 12 2 ............................................................................................................................................................................................. a=1 13 = c b = -8 x2 - 8x + 13 = 0

............................................................................................................................................................................................

x1 = 8 + 12 x2 = 8 - 12 2 2 ............................................................................................................................................................................................... x2 = 8 - 3,464 x1 = 8 + 3,464 2 2 ...............................................................................................................................................................................................

x1 = 11,464 x2 = 4,536 2 2 ............................................................................................................................................................................................. To są dwie wartości, które spełniają równanie. Zatem ustawienie procy x2 = 2,268 x1 = 5,732 ............................................................................................................................................................................................ w odległości pomiędzy 2,268 metra a 5,732 przeleci wodą z balon że je, metra spowodu nad murem.

............................................................................................................................................................................................... Pamiętaj, żeby sprawdzić obliczenia…

............................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................

x - 8x + 13 = 0 x2 - 8x + 13 = 0 ............................................................................................................................................................................................ 2

(5,732) -8(5,732) + 13 = 0 (2,268)2 -8(2,268) + 13 = 0 ............................................................................................................................................................................................... 2

5,1348 - 18,144 + 13 = 0 32,856 - 45,856 + 13 = 0 ............................................................................................................................................................................................... -0,0092 = 0 0 = 0 ............................................................................................................................................................................................... W obliczeniach stosowaliśmy zaokrąglenia, zatem można przyjąć, że ta wartość wynosi zero.

364

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

WYTĘŻ UMYSŁ

Oto dwa równania kwadratowe do rozwiązania — uważaj, mogą tu się zdarzyć dziwne rzeczy.

x2 + x + 7 = 0

aniem Możesz wybrać pomiędzy zastosow u na wzor faktoryzacji a skorzystaniem ze o. pierwiastki równania kwadratoweg

....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................

Jakie dziwne zjawisko tutaj zaszło? .................................................................................................................

x 2 + 10x + 25 = 0 Tu spróbuj skorzystać z faktoryzacji:

Tutaj zastosuj wzór na pierwiastki równania kwadratowego:

....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................

Jakie dziwne zjawisko tutaj zaszło? .................................................................................................................

jesteś tutaj  365 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wytęż umysł: rozwiązanie

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Oto dwa równania kwadratowe do rozwiązania — uważaj, mogą tu się zdarzyć dziwne rzeczy.

toryzacji: Spróbujmy najpierw fak

^x +

Możesz wybrać pomiędzy zastosowaniem faktoryzacji a skorzystaniem ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.

x2 + x + 7 = 0 h ^x +

h=0

7=7:1

b 2 - 4ac 2a 2 - 1 ! 1 - 4 ]1g ^7h x= 2 ]1g

x = -b !

x = - 1 ! 1 - 28 2

Jedyne czynniki, które przemnożeniu dają licz po po dodaniu dają liczbę bę 7, a po odjęciu — 6… nie8, dobrze.

Dla tego równania nie da się przeprowadzić faktoryzacji, zatem skorzystamy ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.

Aby zachować właściwą kolejnoś ć działań, najpierw wykonaj działaniawykonywania pod pierwiastkiem.

To jest liczba ujemna! Co to znaczy?

Jakie dziwne zjawisko tutaj zaszło? Pod pierwiastkiem jest liczba ujemna, zatem nie można wyciągnąć pierwiastka kwadratowego.

x 2 + 10x + 25 = 0 Tu spróbuj skorzystać z faktoryzacji:

Tutaj zastosuj wzór na pierwiastki równania kwadratowego:

^ x + 5h ^ x + 5 h = 0

x + 5 - 5= 0 - 5 x =- 5

b 2 - 4ac 2a 2 - 10 ! 10 - 4 ]1g ^25h x= 2 ]1g x = -b !

x + 5- 5 = 0 - 5 x =- 5

Ale tutaj jest tylko jedna odpowied ź!

x = - 10 ! 100 - 100 2 x = - 10 ! 0 =- 10 =- 5 2 2 Ten wyraz odpada.

Jakie dziwne zjawisko tutaj zaszło? Liczby pod pierwiastkiem upraszczają się, zatem jest tylko jedno rozwiązanie.

366

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Poczekajcie sekundę! Myślałam, że wzór na pierwiastki równania kwadratowego zawsze działa. W pierwszym zadaniu całkowicie się zablokowaliśmy, zanim skończyliśmy wykonywanie działań pod pierwiastkiem. W drugim pierwiastek po prostu znikł. Co się stało?

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego zawsze działa… ale może generować zaskakujące odpowiedzi. Równanie kwadratowe może mieć dwa rozwiązania… ale może również mieć jedno rozwiązanie. A żeby było jeszcze trudniej… czasami rozwiązania są niezdefiniowane. Rozwiązanie niezdefiniowane występuje wtedy, gdy jesteśmy zmuszeni do obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Skąd można się dowiedzieć, czego należy się spodziewać? Trzeba obliczyć wyróżnik.

Do czego, u licha, służy wyróżnik? Wyróżnik, nazywany też deltą, to część wzoru na pierwiastki równania kwadratowego znajdująca się pod pierwiastkiem:

x= Jeli

-b !

b 2 - 4ac 2a

To jest wyróżnik.

b 2 - 4ac > 0 , to równanie kwadratowe ma dwa rozwizania.

Jest to najczęstsza sytuacja, z którą mieliśmy do czynienia do tej pory: dwa rzeczywiste rozwiązania niezależne od siebie. Jeli

b 2 - 4ac = 0 , to równanie kwadratowe ma jedno unikatowe rozwizanie.

W takim przypadku istnieje tylko jedno rozwiązanie spełniające równanie kwadratowe.

Jeli

b 2 - 4ac < 0 , to rozwizania równania kwadratowego s niezdefiniowane.

W tym przypadku nie istnieją rzeczywiste wartości x spełniające równanie kwadratowe. Wynika to stąd, że znalezienie rozwiązania wymagałoby wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.

jesteś tutaj  367 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wywiad: wyróżnik bez tajemnic

Wyrónik bez tajemnic Wywiad tygodnia:

Czy trudno się z tobą pracuje?

Head First: Cześć, Wyróżniku. Wydaje się, że ostatnio nie było o tobie zbyt wiele słychać. Wyróżnik: To prawda. W większości przypadków ludzie są zobowiązani, by się o mnie uczyć, ale nie doceniają mojej przydatności.

Head First: A więc można cię wykorzystać jako sztuczkę pozwalającą na oszacowanie liczby rozwiązań, ale jak to możliwe, że obliczenie ciebie w pierwszej kolejności jest lepsze od przeprowadzenia faktoryzacji?

Head First: Ach tak! Zatem do czego dokładnie jesteś przydatny?

Wyróżnik: To jest trochę tak, jak ze sprawdzaniem obliczeń zawczasu. Jeśli wiesz, ile ma być rozwiązań, to kiedy znajdziesz jakieś rozwiązania, będziesz wiedzieć, czy jesteś na właściwej ścieżce.

Wyróżnik: Jestem skrótem! Szybkie obliczenie b2–4ac pozwala zaoszczędzić wiele pracy.

Head First: Wydaje się, że to jest przydatne. Czy oferujesz jakieś inne wskazówki?

Head First: W jaki sposób?

Wyróżnik: Jeśli mnie obliczysz i okaże się, że jestem kwadratem liczby całkowitej, rozwiązania równania mogą być okrągłymi liczbami.

Wyróżnik: Jeśli obliczysz ten wzór i przyrównasz do zera, dowiesz się, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe. Head First: Rozumiem. Zatem jeśli jesteś mniejszy od zera, rozwiązania są niezdefiniowane. Czy to prawda?

Head First: Dla przypomnienia — dlaczego jeśli jesteś ujemny, rozwiązania równania są niezdefiniowane?

Head First: A co wtedy, gdy jesteś równy zero?

Wyróżnik: Ponieważ nie można wyznaczyć pierwiastka z liczby ujemnej. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej jest niezdefiniowany. Takie są właściwości pierwiastków kwadratowych.

Wyróżnik: Wtedy tylko jedna liczba spełnia równanie — zatem jeśli chcesz rozwiązać równanie, wiesz, że szukasz tylko jednego rozwiązania.

Head First: Serdecznie dziękuję za poświęcenie mi czasu. Myślę, że teraz wszyscy lepiej rozumiemy, co powinniśmy robić.

Head First: A jeśli jesteś większy od zera?

Wyróżnik: Dziękuję ci! Denerwuje mnie, jeśli ktoś uważa mnie za stratę czasu. W rzeczywistości dzięki mnie oszczędza się czas.

Wyróżnik: Tak, to prawda. Nie istnieją liczby rzeczywiste, które po podniesieniu do kwadratu dadzą liczbę ujemną.

Wyróżnik: Wtedy są dwa rozwiązania — tak jak można się spodziewać dla równania kwadratowego.

368

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe :

7

?

KTO CO ROBI? 7

Uprość każdy z wyróżników, a następnie dopasuj do odpowiadających im możliwych rozwiązań równania kwadratowego. Wartość wyróżnika (delty)

b 2 - 4ac = ?

^6h - 4 ^3h ^3h 2

^5h - 4 ]1g ]- 14g

Możliwe rozwiązania równania kwadratowego, któremu odpowiada wyróżnik.

Nie musisz obliczać dok rozwiązań. Zobacz, czy ładnych skorzystać z wyróżnik możesz a, by je określić.

-1

2

]1g - 4 ^7h ]1g

- 2, 7

2

]4g - 4 ]- 2g ]- 2g

Niezdefiniowane

2

]2g 2 - 4 ^3h ^3h

jesteś tutaj  369 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kto co robi: rozwiązanie :

7

?

KTO CO ROBI? 7

ROZWIĄZANIE

Uprość każdy z wyróżników, a następnie dopasuj do odpowiadających im możliwych rozwiązań równania kwadratowego. Wartość wyróżnika

Możliwe rozwiązania równania kwadratowego, któremu odpowiada wyróżnik.

^6h 2 - 4 ^3h ^3h 0

^5h - 4 ]1g ]- 14g

-1

2

81

]1g - 4 ^7h ]1g 2

- 2, 7

-27

]4g - 4 ]- 2g ]- 2g

Niezdefiniowane

2

0

]2g 2 - 4 ^3h ^3h -32

370

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wszystkie te dotyczyły liczbzadania dzięki wyróżni y rozwiązań… z łatwością okkowi mogliśmy rozwiązania sąreślić, które możliwe.

Równania kwadratowe

towe

Równanie kwadra

Wykuj to na blach!

x=

-b !

b 2 - 4ac 2a

Ogólna posta ć równania kwadratoweg o ax 2 + bx + c =

0

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Sprawdzanie obliczeń w przypadku korzystania ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego sprawia mi duży problem…

: Czy jeśli chcę skorzystać z wyróżnika, muszę obliczyć jego dokładną wartość?

O: Zgadza się. Jest to trochę kłopotliwe, ale warto to robić. Przy

: Możesz ocenić go na oko! Jeśli wyróżnik wynosi 1 minus jakaś duża liczba, to jest oczywiste, że jego wartość jest ujemna. Nie trzeba obliczać dokładnej wartości, żeby się tego dowiedzieć. Wystarczy oszacować wartość wyróżnika!

wykorzystywaniu wzoru na pierwiastki równania kwadratowego łatwo popełnić błąd… te znaki to prawdziwe utrapienie. Liczby dziesiętne powodują, że sprawdzanie obliczeń także nie jest proste, a rozwiązanie równania staje się trudne. Dlatego sprawdzanie obliczeń okazuje się tak ważne!

P

: Dlaczego nie można wyznaczyć pierwiastka z liczby ujemnej?

O

: Ponieważ wynik ujemny można uzyskać tylko poprzez pomnożenie liczby dodatniej przez ujemną. Kwadrat liczby to wynik mnożenia dokładnie takich samych liczb — żadna liczba pomnożona przez samą siebie nie daje ujemnego wyniku.

Można jednak obliczyć pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej. Liczba podniesiona do sześcianu to nic innego, jak potrójny iloczyn liczby — liczba ujemna razy liczba ujemna daje wynik dodatni. Jeśli wynik jeszcze raz pomnożymy przez liczbę ujemną, uzyskamy wynik ujemny.

O

P

: Co jest lepsze: zastosowanie faktoryzacji czy skorzystanie ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego?

O

: To zależy. Jeśli równanie daje się rozłożyć na czynniki, to faktoryzacja jest łatwiejsza. Jeżeli rozpoczniesz od obliczenia wyróżnika i uzyskasz wartość, która jest kwadratem liczby całkowitej, warto najpierw spróbować faktoryzacji. W przypadku faktoryzacji otrzymujemy rozwiązania w postaci liczb całkowitych, co znacznie ułatwia życie.

Z drugiej strony, jeśli przede wszystkim chcesz rozwiązać równanie kwadratowe, skorzystaj ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, a zawsze otrzymasz odpowiedź. Wada takiego postępowania to łatwość popełnienia błędu.

jesteś tutaj  371 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przemieszczający się cel

Wojna bractw — część druga To zajmuje zbyt dużo czasu, a przewodniczący cały czas zmienia swoją lokalizację! Musimy zaliczyć co najmniej jeszcze jedno trafienie albo zostaniemy wyeliminowani z gry. Trzeba przyspieszyć obliczenia!

9 metrów

Po nieskutecznych próbach ukrycia przewodniczącego w bunkrze i za murem członkowie bractwa Pi Gama Delta doszli do przekonania, że Janek potrafi być bardzo dokładny w strzelaniu balonami z wodą, jeśli ma czas na wykonanie obliczeń. W związku z tym przewodniczący postanowił, że teraz będzie cały czas zmieniał swoje miejsce, ponieważ nie uda nam się tak szybko liczyć. Aby właściwie wycelować katapultę, trzeba odpowiedzieć na dwa pytania:

1

Na jak wysoko moemy wystrzeli balon z wod? Balony z wodą wystrzeliwane przez Janka mogą polecieć tylko tak wysoko. Każdej wysokości h odpowiada inna wartość współrzędnej x.

2

Gdzie powinna znale si katapulta, aby balon z wod osign wybran wysoko? Janek musi wyznaczyć pozycję, z której będzie celował — czyli x. Dzięki temu będzie mógł trafić przewodniczącego bractwa Pi Gamma Delta oraz wprowadzić siebie i swoich kolegów do bractwa Teta Teta Pi.

372

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Problem polega na tym, że musimy wielokrotnie rozwiązywać równania kwadratowe. Przydałby się sposób, by móc graficznie zaprezentować wyniki…

Równania kwadratowe

Kwatera bractwa Pi Gamma Delta

h -x + 10x + 75 = 2

Będę przez cały czas chodził… wtedy nigdy mnie nie trafią.

a Przewodniczący bractw Pi Gamma Delta

Wykres pozwala ZOBACZYĆ wartości… Tak jak w przypadku równań liniowych, kiedy chcieliśmy uniknąć robienia obliczeń, sporządzenie wykresu równania kwadratowego pozwala zobaczyć wszystkie możliwe rozwiązania. Musimy wyznaczyć związek pomiędzy odległością a wysokością. Dzięki temu dla dowolnej odległości będziemy znać wysokość, na jaką należy wystrzeliwać balony, i odwrotnie — dla każdej wysokości będziemy znać odległość, z jakiej należy strzelać. Poszukujemy zatem związku pomiędzy dwiema zmiennymi — x i h. Gdybyśmy mieli wykres, moglibyśmy odczytać z niego punkty i odpowiedzieć Jankowi na pytania bez konieczności wykonywania wielu obliczeń. Problem polega jednak na tym, że wewnątrz tego równania jest wyraz x2. Co to oznacza? Prawdopodobnie wykres nie jest linią.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jaki kształt, Twoim zdaniem, będzie miał ten wykres?

jesteś tutaj  373 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresy równań kwadratowych

Jak należy wykreślić x2? Potrafimy sporo powiedzieć na temat równań pierwszego stopnia: nachylenie, punkty przecięcia. Wiadomo, że jest to linia prosta. Jednak równania drugiego stopnia mają inny kształt, o którym na razie niewiele wiemy. Wiemy, że takie równania mogą mieć dwa rozwiązania, a nie tylko jedno, a to musi wpłynąć jakoś na kształt wykresu… Najprostszym sposobem narysowania wykresu równania jest zaznaczenie kilku punktów, a następnie połączenie ich. Ponieważ nie znamy kształtu tego wykresu, spróbujmy wybrać kilka punktów i je wykreślić. Wtedy zobaczymy, do czego dojdziemy. Uzupełnij poniższą tabelkę, wstawiając odpowiednią wartość h dla każdego x.

W tej kolumnie podano kilka wartości x. Należy obliczyć dla nich wartości h.

x

–x2+10x+75

h

5

–(5)2+10(5)+75

100

8 10 3 0 ejsce Wykorzystaj to mi tatki: na dodatkowe no

....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................

374

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Zaostrz ołówek Zaznacz punkty, które obliczyłeś na poprzedniej stronie, i narysuj zawierającą je krzywą.

ię Narysuj ciągłą lin z te punkty. ze pr cą zą od ch prze

-x2 + 10x + 75 = h

jesteś tutaj  375 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Uzupełnij poniższą tabelkę, wstawiając odpowiednią wartość h dla każdego x.

Obliczenie tego przykł adu było bardzo proste.

ejsce Wykorzystaj to mi tatki: no we tko da do na

0) półrzędne (5, 10 Ten punkt ma ws

x

–x2+10x+75

h

5

-^5h + 10 ^5h + 75

100

8

-(8)2 + 10(8) + 75

91

(8, 91)

10

-(10)2 + 10(10) + 75

75

(10, 75)

3

-(3)2 + 10(3) + 75

96

(3, 96)

0

(0)2 + 10(0) + 75

75

2

(0, 75)

ty. Narysuj te punk

.......................................................................................................................................................................

-(8) + 10(8) + 75 = - 64 + 80 + 75 = 91 ....................................................................................................................................................................... 2

-(10) + 10(10) + 75 = -100 + 100 + 75 = 75 ....................................................................................................................................................................... 2

-(3) + 10(3) + 75 = -9 + 30 + 75 = 96 ....................................................................................................................................................................... 2

376

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Zaznacz punkty, które obliczyłeś na poprzedniej stronie, i narysuj zawierającą je krzywą.

(5, 100 )

ię Narysuj ciągłą lin z te punkty. ze pr cą zą od ch ze pr

(3, 96) (0, 75)

(8, 91)

(10, 75)

-x2 + 10x + 75 = h

Jaki to kształt?

ojnie pok

S

Nie przejmuj się, jeśli Twoja krzywa nie ma regularnych kształtów.

Celem tego ćwiczenia było znalezienie ogólnego kształtu wykresu równania, a nie narysowanie idealnej krzywej.

jesteś tutaj  377 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykresem równania kwadratowego jest parabola

Wykresem równania kwadratowego jest parabola Parabola, ogólnie rzecz biorąc, ma kształt zbliżony do litery „U”. Szerokość i lokalizacja litery U zmienia się w zależności od równania. Parabola jest symetryczna względem osi symetrii, a jej najniższy (bądź najwyższy) punkt określa się terminem wierzchołka. a, To jest niewidoczna lini pół. na która dzieli parabolę

Oś symetrii

Osią symetrii te j paraboli jest oś Jednak nie zaws y. ze tak bywa.

y = x2

Parabola jest symetryczna — to oznacza, że jest taka sama po obu stronach wykresu.

Taki kształt określa się ogólną nazwą parabola.

Wierzchołek paraboli leży w początku układu współrzędnych.

Najprostsza parabola, y = x2, jest symetryczna względem osi y, a jej wierzchołek leży w początku układu współrzędnych (0, 0). To jest najprostsza parabola, dlatego stanowi doskonały przykład do opisania części wykresu równań kwadratowych. Dodanie wyrazów z x, współczynników i stałych do równania kwadratowego powoduje, że wykres się zmienia. Wykres toru balonu wystrzeliwanego z katapulty Janka był odwrócony, ponieważ w równaniu występował wyraz –x2. Inne współczynniki przed x2 mają wpływ na to, jak szeroki lub jak wąski jest kształt U. Wyraz przy x oraz stała w równaniu kwadratowym powodują przemieszczanie paraboli na układzie współrzędnych: w górę, w dół lub na boki.

378

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Parabola równania y = x2 jest najprostszym wykresem spośród wszystkich równań kwadratowych.

Równania kwadratowe

Wykreślenie paraboli wymaga znajomości wierzchołka Kiedy się dowiesz, gdzie leży wierzchołek paraboli, możesz wybrać kilka punktów po lewej lub po prawej stronie wierzchołka i narysować dokładny wykres. To wszystko, czego potrzebujesz! Znalezienie współrzędnej x wierzchołka jest łatwe. Oblicza się ją ze wzoru:

x =- b 2a

Aby znaleźć wierzchołek paraboli lotu balonu wystrzelonego z katapulty, należy wyjść od równania w postaci ogólnej i skorzystać ze wzoru:

-x2 + 10x + 75 = h a = –1

b = 10

c = 75

x =- b 2 2a -^5h + 10 ^5h + 75 = h 10 - 25 + 50 + 75 = h =2 ]- 1g 100 = h x =5 dną rzę pół ws Podstaw ia, wierzchołka do równan dną aby obliczyć współrzę pionową (w naszym przypadku h).

Wierzchołek paraboli ma współrzędne (5, 100).

zapamiętania. Wydaje się, że jest tu sporo do rozwiążesz, tym Im więcej równań kwadratowych ie tych równań w większym stopniu rozwiązywan prostu Po stanie się Twoją drugą naturą. j się. rozwiązuj równania i nie poddawa

Wykorzystanie i znaczenie wierzchołka Wierzchołek jest najwyższym bądź najniższym punktem paraboli. Jak można to stwierdzić? Jeśli równanie kwadratowe zaczyna się od dodatniego wyrazu z x2, to wierzchołek jest najniższym punktem paraboli. Z kolei jeśli równanie kwadratowe zaczyna się od ujemnego wyrazu z x2, to wierzchołek jest najwyższym punktem paraboli. Wierzchołek

x2

Wierzchołek

Kiedy wyznaczysz współrzędne wierzchołka, dokończenie wykresu będzie wymagało znajomości kilku punktów po obu stronach paraboli. Aby wyznaczyć resztę punktów do narysowania wykresu, wybierz punkty z lewej i z prawej strony wierzchołka. Na tej podstawie wykreślisz podstawowy kształt.

- x2

jesteś tutaj  379 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Janek potrafi trafić przemieszczający się cel

Popatrzcie — powiem wam, gdzie ustawić katapultę, jeśli powiecie mi, gdzie jest przewodniczący.

Pamiętaj, to jest ścieżka balonu z wodą.

-x2 + 10x + 75 = h

380

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Stefan, kandydat na członka bractwa, celowniczy katapulty.

Równania kwadratowe

Zaostrz ołówek Poniżej podano lokalizacje, o które prosił Stefan. Skorzystaj z narysowanego przez Ciebie wykresu, aby wyznaczyć miejsce, w którym należy umieścić katapultę.

Przewodniczący wspiął się na maszt o wysokości 30 metrów. .................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. Przewodniczący wszedł na balkon na drugim piętrze na wysokości 15 metrów. ....................................................... .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. Przewodniczący leci balonem! Jest na wysokości 120 metrów nad ziemią! ............................................................... .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. Przewodniczący zszedł do piwnicy na głębokości –10 metrów. ................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  381 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Poniżej podano lokalizacje, o które prosił Stefan. Skorzystaj z narysowanego przez Ciebie wykresu, aby wyznaczyć miejsce, w którym należy umieścić katapultę. Bezpośrednie trafienie!

W przypadku gdy cel znajduje się na wysokości Przewodniczący wspiął się na maszt o wysokości 30 metrów. .................................................................................. 30 metrów, możliwości ustawienia katapulty to 13 metrów oraz –3 metry. Umieść katapultę .................................................................................................................................................................................. w odległości 13 metrów od masztu. .................................................................................................................................................................................. Trafiliśmy go!

Przy wysokości 15 metrów Przewodniczący wszedł na balkon na drugim piętrze na wysokości 15 metrów. ....................................................... lokalizacja katapulty to –4 lub 14,5 metra. Należy zatem umieścić katapultę w odległości .................................................................................................................................................................................. 14,5 metra od balkonu. .................................................................................................................................................................................. Katapulta nie jest w stanie Przewodniczący leci balonem! Jest na wysokości 120 metrów nad ziemią! ............................................................... tak wysoko wystrzelić balonu z wodą! 120 metrów to wyżej niż wierzchołek paraboli znajdujący się .................................................................................................................................................................................. na wysokości 100 metrów. .................................................................................................................................................................................. Jeszcze jedno trafienie prosto w głowę!

Aby zejść na głębokość –10 metrów, Przewodniczący zszedł do piwnicy na głębokości –10 metrów. ................................................................................. należy umieścić katapultę w odległości 16 metrów. ..................................................................................................................................................................................

-x2 + 10x + 75 = h

382

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Równania kwadratowe

Praca z parabolą — sposób inteligentny Teraz, kiedy wiemy wszystko o kształcie paraboli oraz o tym, jaki jest jej związek z równaniem i wyróżnikiem, możemy zebrać wszystko razem i zobaczyć, jak to działa. Równanie wyjściowe

-x2 + 10x + 75 = h

1

Wiemy, że parabola jest skierowana w dół, ponieważ współczynnik przy x2 ma wartość –1.

2

Współrzędną x wierzchołka można łatwo obliczyć ze wzoru x =- b . 2a

x = -(10) = 5 2(-1)

-(5 ) + 10(5) + 75 = h -(25) + 50 + 75 = h Wystarczy podstawić obliczoną 100 = h wartość 2

x do wyjściowego równania, aby drugą współrzędną wierzchołka. znaleźć

A zatem wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych (5, 100). b2–4ac

3

Oblicz wyróżnik, aby wyznaczyć liczbę rozwiązań równania kwadratowego opisującego tor pocisków katapulty.

wyróżnik = 102 - 4(-1)(75)

t większy od Ponieważ wyróżnik jesa rzeczywiste dw ma ie zera, równan rozwiązania.

= 100 + 300 = 400 Dwa rzeczywiste rozwiązania równania wskazują dwie współrzędne x, przy których współrzędna pionowa (w naszym przypadku h) ma wartość zero. Te wartości już znamy:

(15, 0) i (–5, 0)

] ]X +

15

+

X

-

15 g = 15

X

-

g^

X

+

15

5

h=0

^ X + 5 h=0

0

=0 +

x =

15

To był pierwszy raz, kiedy rozwiązywaliśmy równanie (h = 0).

15

-

5

+

X

+

5

=0 -

x =-

5

5

Co by było, gdyby wyróżnik miał wartość 0 lub był mniejszy od zera? Jaki miałoby to wpływ na wykres? Istnieją dwa dodatkowe możliwe położenia paraboli w kartezjańskim układzie współrzędnych względem osi x.

jesteś tutaj  383 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wyróżnik a wykres

Wyróżnik pomaga także w tworzeniu wykresów Wartości wyróżnika można podzielić na trzy kategorie: większy od zera, mniejszy od zera lub zerowy. Wcześniej powiedzieliśmy, co znaczą te wartości dla liczby rozwiązań równania kwadratowego. Jaki jest jednak wpływ tych wartości na wykres. 1

JEŚLI

b2–4ac > 0

to równanie kwadratowe ma dwa rzeczywiste rozwiązania — dwa miejsca, w których parabola przecina oś x.

Rozwiązaniami równania kwadratowego są dwie wartości spełniające równanie, kiedy przyrówna się je do zera — tzn. kiedy parabola przecina oś x. 2

JEŚLI

b2–4ac = 0

to istnieje tylko jedno unikatowe rozwiązanie i parabola tylko dotyka osi x.

Tak jak w przypadku wykresu równania y = x2 — parabola styka się z osią x, ale jej nie przecina. 3

JEŚLI

b2–4ac < 0

to rozwiązania są niezdefiniowane — wykres znajduje się nad osią x lub pod osią x i nigdy jej nie przecina.

Rozwiązanie niezdefiniowane to przypadek, kiedy dla równania kwadratowego nie istnieje taka wartość, która po podstawieniu do niego dałaby wartość zero. Na wykresie wygląda to tak, jakby parabola pływała nad osią x…

Oto wykres w ostatecznej postaci Zbierzmy wszystkie informacje, a uzyskamy taki sam wykres jak poprzednio. Tym razem jednak jest kilka wbudowanych testów naszej pracy. Wiemy, że należy się spodziewać paraboli skierowanej ramionami w dół, która przecina oś x w dwóch miejscach. wierzchołek (5, 100)

Parabola powinna być skierowana w dół i powinna dwukrotnie przecinać oś x.

Rozwiązaniami równania są punkty (–5, 0) i (15, 0) — liczba rozwiązań zgadza się z wartością wyróżnika.

384

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozwiązaniami równania kwadratowego są wartości zmiennej x, przy których druga zmienna (zwykle y) ma wartość 0.

Równania kwadratowe Nie istnieją

głupie pytania

P

: O co chodzi z tym, że równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania?

O

: Kiedy mówiliśmy o wyróżniku, zaznaczyliśmy, że istnieją trzy różne opcje liczby rozwiązań. Jedno rozwiązanie, dwa rozwiązania lub brak rozwiązań. Podstawowa parabola, y = x2, dotyka osi x tylko w jednym punkcie, zatem istnieje tylko jedno rozwiązanie tego równania.

Typowa parabola — taka jak ta, która opisuje tor lotu balonów wystrzeliwanych z katapulty — ma dwa rozwiązania, a tym samym dwa miejsca, w których przecina oś x. Kiedy rozwiązywaliśmy równanie kwadratowe za pomocą wzoru na pierwiastki równania, obliczone punkty oznaczały dwa miejsca, w których parabola przecina oś x.

P: Jak można wyznaczyć współrzędne wierzchołka

P

: Czy oprócz wykreślania kolejnych punktów istnieje jakiś inny sposób rysowania paraboli?

O

: Tak, ale to skomplikowany proces. W tej książce zaledwie dotknęliśmy tematu parabol. Aby poznać ich największe sekrety, trzeba zapoznać się z wieloma innymi zagadnieniami matematycznymi. Wszystkie te tematy to zagadnienia algebry zaawansowanej. Na razie poprzestańmy na wykreślaniu punktów — procesie, który należy rozpocząć od zaznaczenia wierzchołka.

P

: Jakiego rodzaju równania kwadratowe mają wykresy w postaci paraboli skierowanej w dół?

O: Jeśli w równaniu występuje ujemny wyraz z x , to parabola 2

jest skierowana w dół, czyli — inaczej mówiąc — odwrócona. Jeżeli wyraz z x2 jest dodatni, to parabola kieruje się w górę.

paraboli?

O: Wierzchołek ma współrzędną x, którą można wyznaczyć ze b

wzoru x =- 2a . To doskonałe miejsce na rozpoczęcie rysowania wykresu, ponieważ określa ono najwyższy (lub najniższy) punkt paraboli, a jak wiadomo, po obu stronach wierzchołka parabola zawiera symetryczne punkty.

P: Czy istnieje sposób znalezienia osi symetrii? O: Oś symetrii paraboli to pionowa linia przechodząca przez

wierzchołek paraboli.

Jeśli powrócimy do ogólnej postaci równania linii pionowej, b . otrzymamy x = współrzędna x wierzchołka, a zatem: x =- 2a

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Kształt będący wykresem równania kwadratowego określa się terminem parabola.

Q

Najwyższy (lub najniższy) punkt paraboli to jej wierzchołek.

Q Q

b Współrzędną x wierzchołka oblicza się ze wzoru - 2a Równanie kwadratowe ma zero, jedno lub dwa rozwiązania.

Hurra! Jesteśmy w bractwie! Trafiliśmy przewodniczącego, mimo że się przemieszczał i wspinał.

Nie rozumiem, jak to się stało, że za każdym razem mnie trafili. Szaleni wojownicy.

jesteś tutaj  385 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dwa ćwiczenia

Spróbuj wykorzystać wszystko, czego się dowiedziałeś. Rozwiąż poniższe równania kwadratowe, stosując wszystkie poznane techniki.

Ćwiczenie

x2 - 4 = 0

Ile rozwiązań ma równanie? W jaki sposób będziesz je rozwiązywać?

5x 2 + 4x - 11 = 0

W gór

Ile rozwiązań ma równanie?

0

W gór

Ile rozwiązań ma równanie?

0

W którą stronę będzie skierowana parabola?

386

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

2

W dó

1

2

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki

W którą stronę będzie skierowana parabola?

W jaki sposób będziesz je rozwiązywać?

1

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki

W którą stronę będzie skierowana parabola?

W jaki sposób będziesz je rozwiązywać?

3x 2 - x + 13 = 0

0

W dó

1

2

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki

W gór

W dó

Równania kwadratowe

Ćwiczenie

Rozwiąż jeszcze jedno równanie. Tym razem narysuj jego wykres.

x 2 - 11x + 28 = 0

Ile rozwiązań ma równanie? W jaki sposób będziesz je rozwiązywać? W którą stronę będzie skierowana parabola?

0

1

2

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki

W gór

W dó

kres. Tutaj narysuj wy

jesteś tutaj  387 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dwa ćwiczenia: rozwiązanie

Spróbuj wykorzystać wszystko, czego się dowiedziałeś. Rozwiąż poniższe równania kwadratowe, stosując wszystkie poznane techniki.

Ćwiczenie: Rozwiązanie ica . t różn To jes kwadratów 2 x dwóch

-4=0

Ile rozwiązań ma równanie? W jaki sposób będziesz je rozwiązywać?

(x + 2)(x - 2) = 0 x + 2 = 0

x - 2 = 0

-2 + x + 2 = 0 - 2

+2 + x - 2 = 0 + 2

x = - 2

0

x = 2

W gór

x = -b -+ b2 - 4ac 2a

W jaki sposób będziesz je rozwiązywać?

— Większy od zera ia. an iąz zw ro a dw są

0

Ile rozwiązań ma równanie?

W dó

Wiemy to, ponieważ współczynnik przy wyrazie x2 jest dodatni.

b2–4ac = 16–4(5)(–11) = 236

5x 2 + 4x - 11 = 0

2

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki Każda z metod jest prawidłowa, ale skorzystanie z faktoryzacji okazuje się łatwiejsze.

W którą stronę będzie skierowana parabola?

1

1

2

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki

x = -4 -+ (4)2 - 4(5)(-11) W którą stronę będzie skierowana parabola? 2(5)

W gór

W dó

x = -4 -+ 236 10 x = -4 + 236 10 x = 1,136

x = -4 - 236 10 x = -1,936

To jest mniej niż 0. zań Nie ma żadnych rozwią rzeczywistych.

b2–4ac = 1–4(3)13 = –155

3x 2 - x + 13 = 0

Ile rozwiązań ma równanie? W jaki sposób będziesz je rozwiązywać? W którą stronę będzie skierowana parabola?

388

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

0

1

2

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki

W gór

W dó

Równania kwadratowe

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Rozwiąż jeszcze jedno równanie. Tym razem narysuj jego wykres. b2 – 4ac = (–11)2 –4(1)28 = 9

x 2 - 11x + 28 = 0

Ile rozwiązań ma równanie?

(x - 7)(x - 4) = 0 x - 7 = 0

W jaki sposób będziesz je rozwiązywać?

x - 4 = 0

Tutaj narysuj wykres.

x = 4 To znaczy, że znamy dwa punkty (7, 0) i (4, 0).

1

2

Faktoryzacja Wzór na pierwiastki

W którą stronę będzie skierowana parabola?

+7 + x - 7 = 0 + 7 +4 + x - 4 = 0 + 4 x = 7

0

W gór

5,5 - 60,5 + 28 = y

Wierzchołek (x) = -b/2a x = -(-11) 2(1) x = 11 2

W dó

2

30,25 - 60,5 + 28 = y -2,25 = y

2 28 y = x –11x+

Wierzchołek

jesteś tutaj  389 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Niezbędnik algebraika

Rozdzia 9.

Niezbędnik algebraika Faktoryzacja równań kwadratowych:

Ogólna postać równania kwadratowego

aczenie.

Postać równania ma zn

staci — musi być w ogólnej po Równanie kwadratowe nia powinno na rów e Po jednej stroni przyrównane do zera. z reguły ć sta rzy sko można będzie być zero. Inaczej nie ązań. dzielić możliwych rozwi iloczynu zerowego i roz

ax 2 + bx + c = 0 x2 - 10x - 75 = 0

Sformułowanie dwumianów. Po doprowadzeniu równania do prawidłowej postaci powinno ono przedstawiać iloczyn dwóch dwumianów rozpoczynających się od x. Wpisz to, co wiesz, a połowa pracy będzie za Tobą.

a wyrazy Wyznacz pozostałe dw w dwumianach.

(x

) = 0

u przez Te liczby po pomnożeni –75. nik wy dać szą siebie mu

(x

warunki. powinny spełniać dwa Ostatnie dwa wyrazy szą mu bie sie ez prz ożeniu Po pierwsze, po pomn owym rat ad kw niu na rów w ą dawać stałą występując na rów suma powinna być (–75). Po drugie, ich zmiennej x (–10x). y prz współczynnikowi

)(x

15)(x

5) = 0

Suma liczb powinna być równa współczynnikowi przy zmiennej x — czyli –10.

(x - 15)(x + 5) = 0

Uzupełnij znaki i sprawdź pracę.

pełnij znaki. Stałe dwumianów Aby dokończyć faktoryzację, uzu sam znak, jaki występuje po przemnożeniu powinny dać ten zsumowaniu powinno się przy stałej równania (–75), a po x). Następnie należy uzyskać prawidłowy wyraz z x (–10 ocą metody PZWO pom za ny rozwinąć uzyskane dwumia a w postaci wyjściowej. i sprawdzić, czy pasują do równani

x2 + 5x - 15x - 75 = 0 x2 - 10x - 75 = 0

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Równania kwadratowe mogą mieć do dwóch rozwiązań.

Q

Faktoryzacja równania kwadratowego polega na znalezieniu iloczynu dwóch dwumianów.

Q

390

Aby sprawdzić, czy faktoryzacja została wykonana prawidłowo, należy skorzystać z metody PZWO.

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Wyznaczenie wyrazów stałych w dwumianach jest najtrudniejszą czynnością podczas faktoryzacji równania kwadratowego.

Q

Przed przystąpieniem do faktoryzacji równania kwadratowego należy je doprowadzić do postaci ogólnej.

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe

wyróżnik

Rozdzia 9.

2 b ! b - 4ac x=2a

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego Wzór na pierwiastki równania kwadratowego można wykorzystać do rozwiązania równania kwadratowego w postaci:

ax2 + bx + c = 0

2 Wyróżnik (delta) b - 4ac

wiastki równania Wyróżnik to część wzoru na pier pierwiastkiem. Jeśli pod kwadratowego znajdująca się nanie kwadratowe rów , zera od wyróżnik jest większy Jeżeli jest równy ma dwa rzeczywiste rozwiązania. rozwiązanie, a gdy zero, istnieje jedno rzeczywiste rzeczywiste ieją jest mniejszy od zera, nie istn rozwiązania równania.

Kształt wy kresu równania k wadratowe go

y = x2 Wierzchołek

współrzędną x wierzchołka oblicza się ze wzoru –b/2a.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Figurę będącą wykresem równania kwadratowego określa się terminem parabola.

Q

Najwyższy (lub najniższy) punkt paraboli to jej wierzchołek.

Q

Współrzędną x wierzchołka oblicza się ze wzoru x =- b .

Q

2a

Równanie kwadratowe ma zero, jedno lub dwa rzeczywiste rozwiązania.

jesteś tutaj  391 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

392

Rozdział 9.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

10. Funkcje

Każdy ma jakieś ograniczenia Wszystkie moje przyjaciółki mówią, że on nie ma granic, ale teraz przynajmniej ja jestem władczynią jego dziedziny.

Niektóre równania są jak sąsiedzi na przedmieściu… …ogrodzeni płotem. Jak można się przekonać, w rzeczywistym świecie wiele równań ma ograniczenia. Równania są dobre tylko dla niektórych wartości. Na przykład, nie można przejechać samochodem –10 kilometrów lub wykopać dołu o wysokości 4 metrów w górę. W takich przypadkach należy określić ograniczenia dla równań. A do określania ograniczeń dla równań nie ma niczego lepszego od funkcji. Funkcja? Do czego to służy, u licha? Otwórz na właściwej stronie i dowiedz się — tak jak na ekranie reality show.

to jest nowy rozdział  393 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Powrót zespołu Śmierć Piżamy

Koledzy, nadszedł dla nas wielki czas: dłuższe trasy, więcej fanów… Aby jednak przejść do następnego poziomu, potrzebujemy 52 375 € na nowy sprzęt. Jakim cudem uda nam się zarobić tyle pieniędzy?

Od CIEBIE zależy, czy zespół Śmierć Piżamy zarobi więcej pieniędzy. Kiedy członkowie zespołu Śmierć Piżamy dowiedzieli się o tym, jak zabrałeś Pawła na ich koncert, rozpoznali w Tobie prawdziwego fana… a jednocześnie finansowego czarnoksiężnika. Chcieliby, abyś postarał się zadbać o ich lepszą finansową przyszłość. Jakie jest Twoje pierwsze zadanie? Oblicz, ile zarobi zespół Śmierć Piżamy dzięki programowi reality show, na który właśnie podpisał kontrakt ich menedżer. Nikt nie lubi się sprzedawać… ale trzeba przecież kupić nowy sprzęt na trasę koncertową. żamy Zespół Śmierć Pi

394

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

Zespół Śmierć Piżamy w telewizji Oto warunki umowy: sieć telewizyjna zaproponowała 11 odcinków, z których zespół Śmierć Piżamy otrzymuje 5% zysków. Na zyski składają się dochody z reklamy plus opłaty za bilety uprawniające do udziału w nagraniu na żywo w każdym tygodniu. Cotygodniowy odcinek trwa 90 minut. Sieć telewizyjna gwarantuje nadanie 20 reklam w ciągu odcinka. Jednym ze źródeł dochodów są reklamy nadawane w telewizji.

Całkowite dochody na odcinek.

€= Tę wartość należy obliczyć. Ile pieniędzy zarobi zespół Śmierć Piżamy?

Bilety dające prawo do wzięcia udziału w nagraniu na żywo również przynoszą dochody.

+ 11 2

godzinny odcinek

=

20 reklam

Każda reklama przynosi dochód 1000 €.

Jeden bilet uprawniający do wzięcia udziału w nagraniu kosztuje 100 € za miejsce. Liczba miejsc jest różna w zależności od odcinka.

Zaostrz ołówek Napisz równanie opisujące dochody z odcinka i oblicz, ile pieniędzy zarobi zespół Śmierć Piżamy, jeśli na premierę programu sprzedano 1515 biletów.

.................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  395 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Modelowanie rzeczywistości

Zaostrz Zaostrzołówek: ołówek Rozwiązanie

Twoim zadaniem było obliczenie dochodów zespołu wynikających z udziału w programie telewizyjnym. Liczba reklam na odcinek pomnożona przez dochód z reklamy. x oznacza liczbę biletów. D = 1000(20) + 100x

Całkowity dochód .

.................................................................................................................................................................................. Koszt biletu.

Równanie modelujące dochody zespołu uwzględnia liczbę reklam emitowanych

D = 20 000 + 100x. .................................................................................................................................................................................. w czasie odcinka, dochód z jednej reklamy, cenę biletu oraz liczbę

Dla 1515 miejsc, D = 20 000 + 100(1515) = 171 500 biletów sprzedanych na odcinek. .................................................................................................................................................................................. Nieźle jak na jeden odcinek!

Gaża zespołu ŚP 5% = (0,05)(171 500) = 8 575 € ..................................................................................................................................................................................

Ojej… zmieniła się lokalizacja nagrania W ostatniej chwili zmieniła się lokalizacja nagrania. Teraz dostępnych jest tylko 1511 miejsc, a nie 1515. Czy jest z tym jakiś kłopot? W przypadku praktycznych problemów ograniczenia występują przez cały czas. Równanie na papierze nie ma ograniczeń, ale sytuacje w rzeczywistym świecie je mają. Nasze obecne równanie nie mówi zbyt wiele na temat problemu, który modeluje. Oczywiście można obliczyć wartość zmiennej D, ale może się zdarzyć, że przypadkowo podstawimy za x zbyt dużą liczbę miejsc i zawyżymy kwotę, którą zarobi zespół Śmierć Piżamy. Równanie jest prawid łowe dla wszystkich D.

D = 20 000 + 100x

łowe Równanie jest prawid x. także dla wszystkich

Ograniczenia dla tego równania pochodzą od wartości zmiennej x, a nie D. Ponieważ D w całości zależy od x, to jeśli ograniczymy zmienną x, która oznacza liczbę biletów, wartość zmiennej D także ulegnie ograniczeniu. Co zatem wiemy na temat liczby biletów (x)? Najgorszy przypadek? Jaki jest najgorszy scenariusz dla zespołu Śmierć Piżamy, jeśli chodzi o sprzedaż biletów? Nikt nie przychodzi na nagranie. Taka sytuacja to zero sprzedanych biletów. Najlepszy przypadek? Zespół Śmierć Piżamy sprzedaje 1511 miejsc. Sprzedanie większej liczby biletów spowoduje, że uczestnicy będą źli, ponieważ nie będą mieli gdzie usiąść… zatem 1511 to maksymalna wartość zmiennej x.

396

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Jak przekształcić te fakty na postać ograniczeń naszego równania?

Funkcje

Równania mają ograniczenia (w większości przypadków) W rzeczywistym świecie zdarza się wiele ograniczeń, takich jak bilety, dostępny czas na program telewizyjny, liczba piosenek, jaką mogą zaśpiewać członkowie zespołu Śmierć Piżamy, zanim stracą głosy. Każde z tych ograniczeń można wymodelować za pomocą matematyki. Na szczęście, algebra posiada doskonały instrument na tę okazję: funkcję. Funkcja może, między innymi, ograniczać pewne wartości dla zmiennych, które w niej występują. Te zmienne określa się jako argumenty funkcji.

W równaniu opisującym zyski zespołu Śmierć Piżamy przepisanym na postać funkcji argumentem byłaby zmienna x oznaczająca liczbę sprzedanych biletów.

W przypadku zespołu Śmierć Piżamy ograniczeniami są maksymalna i minimalna liczba biletów — x, które mogą być sprzedane. Dzięki określeniu tych ograniczeń zyskamy pewność, że nie sprzedamy większej liczby miejsc, niż mamy dostępnych, co z kolei wpływa na ograniczenie kwoty pieniędzy, jakie zespół Śmierć Piżamy może zarobić na jednym odcinku.

Funkcję można wyrazić w postaci równania Funkcja jest w rzeczywistości specjalnym typem równania i zazwyczaj zawiera w sobie pewne dodatkowe informacje. Ponieważ równania mogą być także funkcjami, muszą istnieć odmienne notacje dla funkcji, tak by można było stwierdzić, z czym mamy do czynienia w danym przypadku. Funkcji nie zapisuje się w kontekście innej zmiennej, na przykład y. Zamiast tego stosuje się inny zapis: f(x). Możliwości funkcji można wykorzystać w celu wprowadzenia ograniczeń dochodów zespołu Śmierć Piżamy. Należy zatem zapisać równanie dochodów w postaci funkcji. Ograniczenie liczby biletów wymaga zapisania wyrażenia ze zmienną x. Oznacza to, że wyrażenie musi zawierać zmienną x i należy je przyrównać do f(x). Możemy zatem pozbyć się D i przepisać równanie w postaci funkcji:

zmiennych, Tak jak w przypadku oznaczane funkcje nie muszą byćoznaczyć jako f(x) — można je ad r(x). jako c(d) lub na przykł nak Oznaczenie f(x) jest jed najpopularniejsze.

Zmienna wewnątrz nawiasów to argument funkcji.

To f oznacza „funkcja zmiennej”.

f(x) = 20 000 + 100x o Znak równości czyta się teraz niec ”. inaczej — „jest zdefiniowana jako

WYTĘŻ UMYSŁ

Uzupełnij ograniczenia dla funkcji dochodów zespołu Śmierć Piżamy.

f(x) = 20 000 + 100x

# x # jesteś tutaj  397

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dziedzina wyznacza ograniczenia

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Uzupełnij ograniczenia dla funkcji dochodów zespołu Śmierć Piżamy. stkie Sprzedano wszy ! ek cin od na y et bil

To jest najgorszy przypadek — nikt nie przyszedł na nagranie.

f(x) = 20 000 + 100x

0

# x #

Argument wejściowy

Ograniczenia argumentów wyznaczają dziedzinę funkcji

f(x)

Wszystkie funkcje mają dziedzinę — zbiór prawidłowych argumentów. Zbiór wartości, które są dla funkcji prawidłowe, zazwyczaj zapisuje się w postaci nierówności. Nierówność opisującą dziedzinę zapisuje się w kontekście argumentu wejściowego, czyli zmiennej występującej wewnątrz nawiasów w f(). Zatem w przypadku naszej funkcji x oznacza argument, a dziedziną są wszystkie wartości, które może przyjmować zmienna x: od 0 do 1511. Dla funkcji

f(x) = 20 000 + 100x

1511

dziedziną jest:

0

ści x mieszczą się Poprawne warto do 1511 (dlatego 0 od w zakresie ło użyć znaku właśnie trzeba by y, a nie tylko wn ró mniejszy lub mniejszy).

# x # 1511 Nie istnieją

głupie pytania Ogólnie rzecz biorąc, dziedzina funkcji może być całkowicie dowolna (bazująca na problemie bądź sytuacji) lub zdefiniowana ze względu na samo wyrażenie. Liczba biletów, jakie można sprzedać, jest dowolna, ponieważ została podyktowana liczbą miejsc dostępnych na widowni. Nie jest to wartość związana z żadnym matematycznym wyrażeniem.

Wszystkie funkcje mają dziedzinę.

398

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

P

: Co masz na myśli, mówiąc: „ograniczenie ze względu na samo wyrażenie”?

O: Wiele wyrażeń matematycznych nie ma

nieograniczonej dziedziny — są to wyrażenia samoograniczające się. Jeśli mamy wyrażenie z x w mianowniku, część paraboli, która zajmuje tylko wybraną część układu współrzędnych, lub miejsce, gdzie może dojść do obliczania ujemnego pierwiastka kwadratowego, dziedzina jest określana za pomocą samego wyrażenia, niekoniecznie ze względu na praktyczny problem, który funkcja modeluje.

Funkcje Na pierwszy odcinek przyszło tylko 473 osób. To była klęska.

x należy do dziedziny. Zaledwie 473 osoby? Wygląda na to, że zespół Śmierć Piżamy osiągnął rezultat znacznie niższy, niż się tego spodziewał, zwłaszcza po pierwszym odcinku. Wiadomo jednak, że 473 to wartość dopuszczalna, ponieważ jest większa niż (lub równa) 0 i mniejsza niż (lub równa) 1511. Do tego właśnie służy dziedzina: określa zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów.

Zaostrz ołówek To jest funkcja opisująca dochody zespołu z odcinka.

Ile zarobił zespół za pierwszy odcinek? Jeśli na pozostałe 10 odcinków znów przyjdzie po 473 osoby, to czy zespół zarobi wystarczająco dużo pieniędzy, aby mógł zakupić sprzęt, który sobie zaplanował?

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

Zespół Śmierć Piżamy potrzebuje 52 375 € na koniec sesji — pozostało jeszcze 10 odcinków.

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  399 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Ile zarobił zespół za pierwszy odcinek? Jeśli na pozostałe 10 odcinków znów przyjdzie po 473 osoby, to czy zespół zarobi wystarczająco dużo pieniędzy, aby mógł zakupić sprzęt, który sobie zaplanował? 473 należy do dziedziny, zatem ta wartość

jest prawidłowa. 0 f(x) = 20 000 + 100x # x # 1511 .................................................................................................................................................................................................. Znamy wartość argumentu

wejściowego — to 473. f(473) = 20 000 + 100(473) .................................................................................................................................................................................................. To są całkowite dochody z udziału w programie.

f(473) = 67 300 .................................................................................................................................................................................................. To o wiele mniej, niż potrzebuje zespół.

5% dochodu = (0,05)(67 300) = 3365 € .................................................................................................................................................................................................. 11 – 10 dodatkowych odcinków plus jeden, który już się odbył.

..................................................................................................................................................................................................

Całkowite dochody przy udziale 473 widzów = 11 (3365) .................................................................................................................................................................................................. Całkowite dochody przy udziale 473 widzów = 37 015 € ..................................................................................................................................................................................................

Zespół Śmierć Piżamy potrzebuje 52 375 € na .................................................................................................................................................................................................. koniec sesji — pozostało Przy takiej liczbie jeszcze 10 odcinków. widzów zespół nie zarobi 37 015 € to o wiele mniej niż 52 375 .................................................................................................................................................................................................. wystarczająco dużo pieniędzy, aby mógł zakupić potrzebny sprzęt.

Co za fatalny przebieg wydarzeń. Nigdy nie sprzedamy tak wielu biletów! Nie możemy ich sprzedać, a więc nie będzie sprzętu! To całkowicie patowa sytuacja.

400

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

Funkcje mogą mieć minimalną i maksymalną wartość Wiemy, że argumenty funkcji tworzą ich dziedziny. Dzięki ograniczeniu zbioru liczb, które mogą być danymi wejściowymi funkcji, ograniczamy także zbiór wartości funkcji. Jeśli da się sprzedać tylko 1511 biletów, to można obliczyć, że wartość f(x) może wynieść co najwyżej… To samo można zrobić w odniesieniu do minimalnej wartości funkcji. Wartości minimalna i maksymalna to ograniczenia dla danych wyjściowych funkcji. Proces określania danych wyjściowych funkcji to wyznaczanie wartości funkcji. Zatem każdorazowe podstawienie wartości za x i obliczenie f(x) to wyznaczenie wartości funkcji dla określonego argumentu. W rzeczywistości czynność ta nie różni się niczym od rozwiązywania równań — zadania, które wykonywaliśmy dziesiątki razy.

Ile MAKSYMALNIE możemy zarobić? Ile wynosi wartość MINIMALNA? Wykorzystując dziedzinę jako punkt wyjścia, możemy znaleźć minimalną i maksymalną wartość funkcji. Sprowadza się to do odpowiedzi na pytanie, jak niska i jak wysoka może być wartość f(x).

f(x) = 20 000 + 100x

0 # x # 1511

alną wartość TEJ Aby uzyskać minimalną i maksym możemy ocenić wartości funkcji (nie wszystkich funkcji), ch wejściowych. funkcji dla tych ekstremalnych dany

Ćwiczenie

Wyznacz wartości funkcji dochodów w celu określenia maksymalnej kwoty pieniędzy, jaką zespół Śmierć Piżamy może zarobić do końca sesji. Załóżmy, że po słabej premierze na pozostałe odcinki zespół sprzeda wszystkie bilety. Ile pieniędzy zarobiłby zespół za cały udział w reality show?

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  401 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wartości funkcji tworzą przeciwdziedzinę

Wyznacz wartości funkcji dochodów w celu określenia maksymalnej kwoty pieniędzy, jaką zespół Śmierć Piżamy może zarobić do końca sesji. Załóżmy, że po słabej premierze na pozostałe odcinki zespół sprzeda wszystkie bilety. Ile pieniędzy zarobiłby zespół za cały udział w reality show?

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Wracamy do funkcji wyjściowej.

0 # x # f(x) = 20 000 + 100x .................................................................................................................................................................................................. 1511

Wyznaczamy wartość dla przypadku ich biletów na odcinek.

wysprzedania wszystk f(1511) = 20 000 + 100(1511) .................................................................................................................................................................................................. Argument wejściowy i odpowiadającą mu wartość funkcji

To znacznie więc ej niż potrzebuje zespół!

kwota 52 375 €, zapisuje się w postaci pary uporządkowanej (1511; 171 100). f(1511) = 171 100 której ..................................................................................................................................................................................................

5% dochodu = (0,05)(171 100) = 8555 € 10(8555) + 3365 = 88 915 .................................................................................................................................................................................................. Tyle zarobiłby zespół za gdyby sprzedano wszys odcinek, tkie bilety.

Załóżmy, że jest 10 dodatkowych odcinków z wysprzedanymi n wszystkimi miejscami i tylko jede nieudany odcinek…

Wszystkie prawidłowe wartości funkcji tworzą przeciwdziedzinę Jak wiemy, każda funkcja posiada zbiór argumentów wejściowych, dla których jej równanie jest prawidłowe. To jej dziedzina. Oprócz tego funkcja posiada też przeciwdziedzinę. Przeciwdziedzina funkcji to zbiór liczb będących jej prawidłowymi wartościami. Przeciwdziedzina określa minimum (najmniejszą możliwą wartość) oraz maksimum (największą możliwą wartość) funkcji. Przeciwdziedzinę zapisuje się tak samo jak dziedzinę: w postaci nierówności. Przy zapisywaniu funkcji obok dziedziny podaje się ich przeciwdziedziny. Dzięki temu można się dowiedzieć, jakie są granice wartości funkcji. Trzeba także pamiętać, że przeciwdziedzina niektórych funkcji będzie ograniczona, ponieważ wykres nie zawsze pokrywa cały kartezjański układ współrzędnych.

Granicznym elementom dziedziny nie zawsze odpowiadają maksymalna i minimalna wartość funkcji.

Uwaga!

W przypadku funkcji przychodów najmniejszej wartości dziedziny odpowiada minimalna wartość przeciwdziedziny, natomiast największej wartości dziedziny odpowiada maksymalna wartość przeciwdziedziny. Wynika to stąd, że wykresem funkcji jest prosta o dodatnim współczynniku nachylenia. Gdyby jednak prosta miała ujemny współczynnik nachylenia, wartości byłyby odwrócone. Z kolei w przypadku krzywej wartość maksymalna może wypadać w środku dziedziny.

402

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje OK. Zatem funkcje mają dziedzinę i przeciwdziedzinę. Czy jest jeszcze coś innego, co powinienem brać pod uwagę? Funkcje sprawiają wrażenie bardzo przydatnych…

Funkcje mają konkretną definicję. Problem z funkcjami polega na tym, że nie zawsze są zdefiniowane w postaci równań. Czasami bywają jeszcze bardziej ogólne…

Funkcje z bliska Do tej pory poznaliśmy pewne charakterystyki funkcji: dziedzina, przeciwdziedzina, argumenty i wartości. Czym jednak jest sama funkcja? Oficjalna definicja funkcji brzmi:

Funkcja jest relacją, w której jednemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość. Można ją zaprezentować w postaci równania lub zbioru uporządkowanych par. Funkcja ma dziedzinę i przeciwdziedzinę.

Zaczekajcie. Czym jest? Relacją? A co to takiego?

jesteś tutaj  403 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

W matematyce istnieją relacje

Algebra dotyczy relacji Relacja to ogólny związek pomiędzy dwoma zbiorami liczb. Zazwyczaj są one reprezentowane za pomocą uporządkowanych par. Różnica pomiędzy relacją a równaniem polega na tym, że w relacji nie musi być żadnego wzorca: może ona być całkowicie losowa. Relacja ma dziedzinę i przeciwdziedzinę, które można określić bezpośrednio poprzez odczyt uporządkowanych par. Aby uzyskać obraz tego, o czym mówimy, przyjrzyjmy się prostej relacji, która nie bazuje na równaniu:

To jest relacja. e Nawiasy klamrowek oznaczają począt i koniec relacji.

{(4, 1), (4, - 1), (2, 0)}

Relacja wymaga jedynie zbioru uporządkowanych par.

Dziedzinę i przeciwdziedzinę określa się poprzez odczyt punktów z relacji.

Dziedzina: Przeciwdziedzina:

To nie jest funkcja, ale w dalszym ciągu jest to relacja.

{2, 4} {- 1, 0, 1}

Funkcja jest jedynie specyficznym typem relacji. Jest relacją, która posiada jedną wartość dla jednego argumentu. Z tego wynika, że relacja pokazana powyżej nie jest funkcją, ponieważ dla argumentu 4 są możliwe dwie wartości: 1 i –1. Zmienna x jest argumentem. W tej relacji są dwie pary uporządkowane, w których występuje argument 4.

{(4, 1), (4, - 1), (2, 0)}

Dziedzina: Przeciwdziedzina:

Istnieją dwie dozwolone wartości dla zmiennej 4: –1 i 1.

To NIE JEST funkcja.

Podsumowanie Relacja — zbiór uporządkowanych par posiadających dziedzinę i przeciwdziedzinę.

404

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

{2, 4} {- 1, 0, 1}

To są zbiory dozwolonych wartości tworzących relację.

Funkcje

Kim jestem?

Przedstawiciele terminologii związanych z funkcjami, przebrani w kostiumy, bawią się w grę „Kim jestem?”. Dadzą wskazówkę, a Ty na podstawie tego, co powiedzą, spróbuj zgadnąć, kim są. Zakładamy, że zawsze mówią o sobie prawdę. Wypełnij puste pola z prawej strony w celu identyfikacji uczestników zabawy. Uczestnicy zabawy dzisiejszego wieczoru: FUNKCJA, DZIEDZINA, PRZECIWDZIEDZINA, RELACJA, RÓWNANIE, ARGUMENTY, WARTOŚCI, F(X)

Nazwa Jestem zbiorem liczb, które są wynikiem funkcji.

Mogę być równaniem lub zbiorem uporządkowanych par, ale tak czy owak, jestem zabawna.

Reprezentuję minimalne i maksymalne wartości funkcji. Ale uważaj! Nie zawsze możesz użyć najmniejszej i największej wartości argumentów, by mnie uzyskać.

Czasami bywam funkcją, ale nie jestem tak dobrze zorganizowana jak równanie. Po prostu tworzę zbiór uporządkowanych par.

Ograniczam argumenty funkcji. Łatwym sposobem na stwierdzenie, czy uporządkowane pary bądź równanie tworzą funkcję, jest zaobserwowanie mnie w okolicy. Jestem koronnym dowodem.

Mogę być funkcją, choć nie muszę nią być, ale definiuję jedną lub kilka zmiennych w kontekście liczb.

Jestem liczbą przekazywaną do funkcji.

jesteś tutaj  405 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kim jestem: rozwiązanie

Kim jestem?

Przedstawiciele terminologii związanych z funkcjami, przebrani w kostiumy, bawią się w grę „Kim jestem?”. Dadzą wskazówkę, a Ty na podstawie tego, co powiedzą, spróbuj zgadnąć, kim są. Zakładamy, że zawsze mówią o sobie prawdę. Wypełnij puste pola z prawej strony w celu identyfikacji uczestników zabawy. Uczestnicy zabawy dzisiejszego wieczoru: FUNKCJA, DZIEDZINA, PRZECIWDZIEDZINA, RELACJA, RÓWNANIE, ARGUMENTY, WARTOŚCI, F(X)

Rozwizanie Nazwa Jestem zbiorem liczb, które są wynikiem funkcji.

Mogę być równaniem lub zbiorem uporządkowanych par, ale tak czy owak, jestem zabawna.

Reprezentuję minimalne i maksymalne wartości funkcji. Ale uważaj! Nie zawsze możesz użyć najmniejszej i największej wartości argumentów, by mnie uzyskać.

Czasami bywam funkcją, ale nie jestem tak dobrze zorganizowana jak równanie. Po prostu tworzę zbiór uporządkowanych par.

Ograniczam argumenty funkcji. Łatwym sposobem na stwierdzenie, czy uporządkowane pary bądź równanie tworzą funkcję, jest zaobserwowanie mnie w okolicy. Jestem koronnym dowodem.

Mogę być funkcją, choć nie muszę nią być, ale definiuję jedną lub kilka zmiennych w kontekście liczb.

Jestem liczbą przekazywaną do funkcji.

406

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wartości

Funkcja

Przeciwdziedzina

Relacja

Dziedzina

f(x)

Równanie

Argumenty

Funkcje Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy funkcja nie musi być równaniem?

O

: Nie. Funkcję można przedstawić za pomocą równania, ale także za pomocą zbioru uporządkowanych par. W takim przypadku uporządkowane pary mają postać (argument, wartość). Pary uporządkowane prawdopodobnie wyglądają dziwnie, ale w ten sposób znacznie łatwiej określić dziedzinę i przeciwdziedzinę — są podane.

Aha… i pamiętaj, równanie linii prostej definiuje nieskończony zbiór uporządkowanych par.

P

: Funkcjami rządzi bardzo wiele reguł…

O: Nie. Funkcje można wykreślać,

: Matematycy stworzyli definicję funkcji po to, by wszyscy dokładnie rozumieli, o czym mowa. To bardzo ważne, aby wszyscy uzyskali takie same wyniki.

podobnie jak punkty lub równania. Szczegółowe informacje na temat tego, o co w tym chodzi, podamy później. Należy jednak zapamiętać, że wykreślanie funkcji jest bardzo przydatne.

P

: Czy zasada jednego argumentu i jednej wartości oznacza, że określona wartość f(x) nie może być wynikiem dla różnych x?

O: Czy chodzi Ci na przykład o taką funkcję: P: Czy przeciwdziedzina i dziedzina f(x) = {(1, 4), (–1, 4)}? Funkcja może zwracać

są podane, czy też trzeba je obliczyć?

O: To zależy od sytuacji. Czasami dziedzina i przeciwdziedzina są podane, czasem wynikają z treści problemu (tak jak w przypadku sprzedaży biletów), a jeszcze innym razem trzeba je wyznaczyć. Więcej informacji na ten temat podamy później.

P

: Jeden argument i jedna wartość… o co w tym chodzi?

te same wartości dla różnych argumentów wejściowych. Tu jest wszystko w porządku. Niedozwolona jest sytuacja odwrotna… tzn. odwzorowanie {(1, 4), (1, 3)} NIE jest funkcją. Niedozwolone jest, aby funkcja zwracała różne wartości dla tego samego argumentu.

P

: Czy maksimum funkcji oznacza to samo, co maksymalna wartość przeciwdziedziny?

O

O

: Tak. Podchwytliwe jest jednak to, że niekoniecznie uzyskamy tę wartość po podstawieniu do funkcji największego argumentu z dziedziny.

P: Czy wszystkie równania

P: Dlaczego nie? O: Ponieważ jeśli dowolny fragment

: Chodzi o to, że w funkcji nigdy nie można otrzymać dwóch wartości f(x) dla jednej wartości x.

reprezentują funkcje?

O: Nie. To jest coś, o czym również

dowiesz się niebawem. Jeśli równanie daje wiele wartości wyjściowych dla jednego argumentu, nie jest to funkcja. Pomimo to jest prawidłowym równaniem.

P

: Pary uporządkowane przypominają punkty na wykresie. Czy to zbieg okoliczności?

wykresu funkcji jest krzywą, to po podstawieniu maksymalnego argumentu z dziedziny możemy ominąć maksymalną lub minimalną wartość funkcji. Na przykład, jeśli wierzchołek paraboli odpowiada jednemu z argumentów pomiędzy dolnym i górnym ograniczeniem dziedziny, to maksimum funkcji będzie właśnie w tym punkcie, a nie w jednym z punktów ekstremalnych.

O

P

: Czy wszystkie funkcje są relacjami?

O

: Tak. Ponieważ funkcja ma dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz reprezentuje zbiór uporządkowanych par, jest relacją.

Stwierdzenie odwrotne nie jest jednak prawdziwe. Relacja nie musi być odwzorowaniem jednego argumentu na jedną wartość, zatem niekoniecznie jest to funkcja.

P

: Do czego wykorzystuje się relacje?

O

: To stosowany w matematyce sposób łączenia ze sobą liczb, które nie są powiązane ze sobą jakimś oczywistym wzorcem. Gdybyśmy zbierali dane statystyczne dotyczące kosztów mieszkań, interesowałyby nas tylko adres i cena. Nie miałaby znaczenia kolejność, w jakiej te dane występują, ani jakaś konkretna cena.

Funkcja zawsze jest relacją, ale relacja nie zawsze jest funkcją.

jesteś tutaj  407 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Konwersacja IM

Czat IM: Relacje Jestem zupenie zdezorientowana. Jaki zwizek maj relacje z czymkolwiek? Mówilimy o funkcjach i nagle pojawiy si jakie relacje. Niezupenie. Relacje zawsze byy. Jola

Myl, e rozumiem, o co chodzi z tymi relacjami. Relacja to po prostu dowolny zbiór uporzdkowanych par. Superogólne pojcie.

Janek

Zgadza si. Istniej konkretne reguy, które czyni relacj funkcj, natomiast relacja to dowolny zbiór uporzdkowanych par.

Krystyna

A co z równaniami? Rozwizywalimy je od wieków, a teraz zniky.

Janek

Nie zniky. Pamitaj, równanie jest sposobem zapisania nieskoczonego zbioru uporzdkowanych par. Pasuj one do okrelonego wzorca.

Jola

Ach tak! Równanie te jest relacj. Czy tak? Musi by, poniewa reprezentuje zbiór uporzdkowanych par.

Krystyna

Hm… a co z funkcjami? S równaniami czy nie?

Janek

Janek

Mog by, ale nie musz. Jola

Co?!

Janek

Zgodnie z de nicj funkcja jest relacj, w której kademu argumentowi odpowiada dokadnie jedna warto. To zbiór uporzdkowanych par speniajcy pewne warunki.

Krystyna

A zatem to samo, co wczeniej. Czy tak? Jeli równanie spenia te same warunki — czyli stanowi odwzorowanie jednego argumentu na jedn warto — to jest funkcj.

Janek

Tak. Krystyna

... Janek

Jola

OK… Myl, e teraz rozumiem…

408

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

Relacje, równania i funkcje są ze sobą POWIĄZANE Te trzy terminy to różne sposoby scharakteryzowania grupy uporządkowanych par. Problematyka ta jest dość szeroka, zatem cofnijmy się o krok i przyjrzyjmy każdemu z tych trzech pojęć. Jaki związek zachodzi pomiędzy nimi? Jakie istnieją podobieństwa? Jakie są różnice? Relacje, równania liniowe i funkcje s zbiorami uporzdkowanych par. Równanie przedstawione na wykresie to nic innego, jak zbiór punktów (x, y). To samo dotyczy funkcji i relacji, choć uporządkowane pary nie muszą łączyć się w funkcje i relacje. Relacje, równania liniowe i funkcje maj dziedzin i przeciwdziedzin. Dziedzina określa zbiór prawidłowych argumentów wejściowych, natomiast przeciwdziedzina zbiór prawidłowych wartości wyjściowych. Dziedzina i przeciwdziedzina mogą być nieskończone, ale zawsze istnieją. Równanie z dwiema niewiadomymi MUSI by relacj i MO E by funkcj. Z faktu, że równanie jest listą zawierającą nieskończoną liczbę punktów, wynika, że wszystkie równania są relacjami. Funkcje obowiązuje jednak specjalna reguła: jeden argument – jedna wartość. Taka zasada nie obowiązuje równań. A zatem nie wszystkie równania są funkcjami. Funkcja MUSI by relacj i MO E by równaniem. Funkcje są bardzo specyficzne. Muszą tworzyć zbiór uporządkowanych par, a to czyni z nich również relację. Jednak nie każdy zbiór uporządkowanych par można wyrazić w postaci równania.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Wiadomo, że niektóre funkcje można zapisać w formie równań. Jak myślisz, w jaki sposób postępuje się z funkcjami? Czy można stworzyć ich wykres i czy można je rozwiązać?

jesteś tutaj  409 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wywiad: funkcje bez tajemnic

Funkcja bez tajemnic Wywiad tygodnia:

Jakie traktowanie lubisz?

Head First: Cześć, Funkcjo! Dużo się o tobie ostatnio uczyliśmy. Funkcja: Dziękuję, to bardzo mi pochlebia. Head First: Wszyscy chcą się dowiedzieć, jak postępują z tobą inni? Czy tak jak ze zwyczajnym równaniem? Funkcja: W pewnym sensie tak. Jeśli jestem również równaniem, możesz mnie rozwiązać i obliczyć wartości w taki sam sposób, w jaki robi się to z równaniami. Head First: Zatem jeśli podstawimy f(x) = 0, czy to będzie w porządku? Funkcja: Tak. W taki sposób można znaleźć miejsca zerowe funkcji.

Funkcja: Tak i nie. Możesz tak postępować, jeśli wszystko, co robisz, mieści się w dziedzinie i przeciwdziedzinie. Nie należy rysować wykresu, który biegnie zbyt daleko, ani rozwiązywać mnie dla wartości, które nie należą do mojej dziedziny. Jeśli tak zrobisz, nie będzie to prawidłowe. Head First: Zatem posiadasz większe ograniczenia niż równanie? Funkcja: Tak, ale wolę, jeśli określa się je realiami. W świecie istnieją ograniczenia i mnie one również dotyczą. Oznacza to, że dzięki mnie możesz rozpatrywać bardziej realistyczne przypadki. Head First: Dziękuję. Teraz wszyscy znacznie lepiej rozumiemy, w jaki sposób należy z tobą postępować…

Head First: A co z wykresami? Funkcja: Podobnie. Jeśli jestem zapisana w postaci równania z dziedziną i przeciwdziedziną, możesz narysować mój wykres w sposób podobny do zwyczajnego równania. Powinieneś jednak pokazać ograniczenia na wykresie. Head First: Ach tak, rozumiem. Zatem można rysować wykres tylko dla tych wartości, które są prawidłowe, to znaczy należą do dziedziny. Funkcja: Zgadza się. Jeśli moją dziedziną jest przedział od –1 do 10, to mój wykres również powinien dotyczyć zbioru od –1 do 10. Head First: Czyli jeśli jesteś napisana w postaci równania, to można cię traktować tak samo jak równanie. Czy tak?

410

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ograniczenia dotyczące funkcji pozwalają na bycie bardziej realistycznym w sposobie, w jaki matematyka reprezentuje rzeczywistość.

Funkcje Czy to oznacza, że możemy narysować wykres funkcji?

Zawsze można narysować wykres funkcji. Z doświadczenia nabytego podczas rysowania wykresów równań liniowych wiesz, jaki powinien być ogólny kształt większości funkcji. Po prostu musisz znaleźć sposób, by pokazać na wykresie dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji.

WYTĘŻ UMYSŁ

Znajdź przeciwdziedzinę funkcji przychodów zespołu Śmierć Piżamy poprzez odczytanie ich z wykresu.

f ^ x h = 20, 000 + 100x 0 # x # 1511 ....................................................................................................................................................................................................... 180 000 160 000

....................................................................................................................................................................................................... 140 000

....................................................................................................................................................................................................... 120 000 ....................................................................................................................................................................................................... 100 000 80 000 ....................................................................................................................................................................................................... 60 000 ....................................................................................................................................................................................................... 40 000

....................................................................................................................................................................................................... 20 000

....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... Przeciwdziedzina: ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

411

Wytęż umysł: rozwiązanie

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Znajdź przeciwdziedzinę funkcji przychodów zespołu Śmierć Piżamy poprzez odczytanie ich z wykresu.

miejscu, Zakończ linię w tym iec oznacz Kon 1. 151 = x w punkcie aniczenie. ogr ć aza pok kółkiem, aby

180 000 160 000

Po kilku przekształceniach funkcja występuje teraz w postaci y = mx+b.

140 000

dzina

dzie Przeciw

100 000

20 000

0 ,3

0 00

0 (10

m = 100

Ponieważ skala wykresu nie pozwala na skorzystanie z nachylenia, potrzebny jest drugi punkt do zaznaczenia na wykresie. Spróbuj wyznaczyć wartość dla punktu x = 100. Punkt ten należy do dziedziny.

)

80 000

40 000

f(x) = 100x + 20 000 b = 20 000

120 000

60 000

f ^ x h = 20, 000 + 100x 0 # x # 1511

Ten punkt jest oz za pomocą pełne naczony ponieważ reprez go kółka, en dziedzinę funkcji tuje on .

f(100) = 100(100) + 20 000

(0, 20 000)

= 10 000 + 20 000 = 30 000 Zaznaczamy punkt (100, 30 000)

Przeciwdziedzina:

20 000 < f(x) < 170 000

ów To jest możliwy zakres przychod esu. zespołu odczytany wprost z wykr

ojnie Spok

Nie przejmuj się, jeśli Twój wykres nie jest dokładny.

Wykresy czasami nie są dokładne. Skoncentruj się na przedstawieniu podstawowego kształtu i znalezieniu ekstremalnych punktów dziedziny.

412

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

Wykresy funkcji mają OGRANICZENIA Wykres funkcji nie wygląda na znacząco różny od wykresu równania. Musisz jedynie zaprezentować ograniczenia funkcji na wykresie. Nawet zaznaczanie końcowych punktów dziedziny za pomocą wypełnionych kropek wygląda znajomo: robiliśmy to podczas rysowania wykresów nierówności. Pomyśl o rysowaniu funkcji tak, jakby było to rysowanie wykresu równania.

1

Wykrel podstawowe równanie w skali f(x) zamiast y. Wystarczy podstawić wartości f(x) za y w typowym kartezjańskim układzie współrzędnych i narysować wykres funkcji. Zwykle na wykresie funkcji jest oś x oraz oś f(x).

2

Spójrz, jaka jest dziedzina funkcji, i usu wykres poza dziedzin. Wytrzyj, wydrap, nie rysuj tej części — ważne, by usunąć fragmenty, które są nieistotne.

To jest dziedzina. Po usuń wykres przed argprostu i za argumentem 1511. umentem 0

3

0

# x # 1511

Narysuj punkty ko cowe. Kiedy rysujesz nierówność na osi liczbowej, punkty końcowe, w zależności od typu nierówności, są pełnymi bądź pustymi kółkami. W przypadku funkcji jest tak samo.

ci Ponieważ w nierównoś określającej dziedzinę funkcji są dwa znaki „mniejszy lub równy”, należy wykreślić pełne kółka.

4

# oraz #

Narysuj pełne kółko.

< oraz <

Narysuj puste kółko.

cza, Taki symbol ozna a że wykres zawier. punkty graniczne

Taki symbol oznacza, że wykres dochodzi do punktu granicznego, ale go nie zawiera.

Odczytaj wszystkie wartoci, których potrzebujesz, bezporednio z wykresu. Tak samo jak w przypadku wykresu równania liniowego, z wykresu funkcji można odczytać dowolne wartości. Dotyczy to również zakresu wartości, nawet jeśli funkcja nie reprezentuje równania liniowego.

jesteś tutaj  413 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Celne spostrzeżenia

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Rysowanie wykresów funkcji jest podobne do rysowania wykresów równań.

Q

Aby zaprezentować ograniczenia funkcji, należy wykorzystać pełny punkt dla nierówności typu „lub równy”, natomiast dla prostych nierówności „mniejszy” bądź „większy” należy wykorzystać pusty punkt.

Q

Najlepszym sposobem na określenie przeciwdziedziny funkcji jest odczytanie jej z wykresu.

Q

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji, należy ustawić f(x) na 0.

Nie istnieją

głupie pytania

P: W jaki sposób można wyznaczyć dziedzinę funkcji? O: To zależy od sposobu prezentacji funkcji. Jeżeli w treści

problemu dziedzina występuje w formie równania, należy przeanalizować problem i stwierdzić, jakie są ograniczenia. Jeśli funkcja jest zbiorem uporządkowanych par, dziedzinę można odczytać bezpośrednio z podanych punktów.

P: W jaki sposób można znaleźć przeciwdziedzinę

funkcji?

O: Najlepszym i najłatwiejszym sposobem jest narysowanie

wykresu funkcji i odczytanie przeciwdziedziny z wykresu. Dlaczego? Ponieważ jeśli z równaniem (lub punktami) dzieje się coś dziwnego pomiędzy punktami granicznymi dziedziny, można to zobaczyć.

P

: Jaka jest różnica pomiędzy przeciwdziedziną a wartościami maksymalną i minimalną?

O: Dobre pytanie. Przeciwdziedzina zawiera wszystkie wartości f(x), jakie może przyjmować równanie. Wartości minimalna i maksymalna to wartości graniczne, ale wyłącznie te.

P: Jak można stwierdzić, czy równanie jest funkcją? O: Równanie jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdemu

argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość. Oznacza to, że dla każdego x istnieje tylko jedna wartość f(x). Jeśli trochę o tym pomyślisz, przekonasz się, że to również można odczytać z wykresu… ale o tym powiemy więcej za chwilę.

P

: Czy można określić wartości funkcji dla najmniejszego i największego elementu dziedziny i w ten sposób określić przeciwdziedzinę?

O

: Czasami można, ale nie zawsze. W praktyce taki sposób jest skuteczny wyłącznie dla funkcji liniowych o dodatnim nachyleniu. W przypadku funkcji kwadratowej, której wierzchołek paraboli leży pomiędzy punktami granicznymi, taki sposób okazuje się zupełnie nieskuteczny.

Jeśli nie masz całkowitej pewności co do tego, co dzieje się z równaniem lub zaprezentowaną relacją, najlepiej narysuj wykres relacji i na tej podstawie określ przeciwdziedzinę.

414

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Najlepszym sposobem na określenie przeciwdziedziny funkcji jest odczytanie jej z wykresu.

Funkcje

Ćwiczenie

Charakterystykę mikrofonów parabolicznych, które chce kupić zespół Śmierć Piżamy, można określić za pomocą równania: f(x) = –2x2+12x–9. Argumenty rozpoczynają się powyżej zera i dochodzą do 5. Zespół chciałby poznać zakres wyjściowy mikrofonów, aby kupić odpowiedni wzmacniacz.

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. Zakres: (przeciwdziedzina) ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  415 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

Charakterystykę mikrofonów parabolicznych, które chce kupić zespół Śmierć Piżamy, można określić za pomocą równania: f(x) = –2x2+12x–9. Argumenty rozpoczynają się powyżej zera i dochodzą do 5. Zespół chciałby poznać zakres wyjściowy mikrofonów, aby kupić odpowiedni wzmacniacz.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Znak minus oznacza, że parabola jest skierowana w dół.

To jest jeden z argumentów granicznych dziedziny.

- 2 ^0h + 12 ^0h - 9 2

Podstaw x = 0

f (x) =- 2x 2 + 12x - 9

..................................................................................................................................................................................................

0
To jest dziedzina: większy od zera

f(x) =- 9

oraz mniejszy lub równy 5. .................................................................................................................................................................................................. Ponieważ to jest równanie To jest drugi punkt kwadratowe, najpierw graniczny dziedziny. .................................................................................................................................................................................................. znajdziemy wierzchołek.

b 12 2 ==3 Podstaw x = 5 - 2 ^5h + 12 ^5h - 9 2 a ] 2 - 2g .................................................................................................................................................................................................. współrzędna x = -

współrzędna y = 2 ^3h 2 + 12 ^3h - 9 =- 50 + 60 - 9 = 1 ..................................................................................................................................................................................................

=- 18 + 36 - 9 = 9 .................................................................................................................................................................................................. cie (3, 9).

Narysuj wierzchołek w punk Zakres: (przeciwdziedzina) -9 < f(x) < 9 .................................................................................................................................................................................................. Teraz odczytaj zakres bezpośrednio z wykresu.

9

wierzchołek = (3, 9)

To jest przypadek, w którym podstawienie granicznych punktów dziedziny nie gwarantowało uzyskania prawidłowych granicznych wartości przeciwdziedziny.

(5, 1)

Przeciwdziedzina

To powinno być puste kółko — znak „większy niż”.

-9

416

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

(0, -9)

Ten punkt powinien być zaznaczony jako pełne kółko… mniejszy lub równy.

Funkcje

Przed drugim odcinkiem programu telewizyjnego z udziałem zespołu Śmierć Piżamy… Czy miejsca będą zajmowane dowolnie? Czy raczej powinniśmy przydzielić numer miejsca każdemu klientowi? Przydzielanie numerów miejsc POWINNO BYĆ funkcją! Przydzielanie numerów miejsc przypomina funkcję. Jest argument — numer miejsca — i wartość — identyfikator klienta, który siedzi na tym miejscu.

Argument (numer miejsca, m)

odwzorowanie Powinno tu być . Jednemu go ne jed do jeden ada JEDEN klientowi odpowi ta, nie en kli r to identyfika więcej.

Miejsce 110 Miejsce 112 Miejsce 125 Miejsce 110 Miejsce 75

Wartość (ID klienta, k) 75 63 85 40 56

W funkcji może istnieć tylko jedna wartość f(x) dla każdego x. Taką właśnie sytuację chcemy mieć w tym przypadku. Nie chcemy, by istniały jakiekolwiek duplikaty wartości f(x), ponieważ to oznaczałoby dwa identyfikatory klientów powiązane z tym samym miejscem. To nie byłaby dobra sytuacja!

WYTĘŻ UMYSŁ

Wynotuj kilka pomysłów na to, w jaki sposób można sprawdzić, czy relacja pomiędzy miejscami (m) a klientami (k) jest funkcją.

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  417 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykorzystanie wykresów do sprawdzania, czy relacja jest funkcją

Wykres pokazuje charakter relacji Różnica pomiędzy prawidłowym a nieprawidłowym przydziałem miejsc jest dokładnie taka sama jak różnica pomiędzy relacją a funkcją. Jeśli plan przydziału miejsc stanowi odwzorowanie jednego argumentu na jedną wartość, każdy będzie miał gdzie pójść… i to jest funkcja. Jeżeli nie, może dojść do walk na pięści w związku z relacją, która powinna być funkcją, ale nią nie jest. Spróbujmy zbadać różnicę na wykresach pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanych par — jednym, który jest tylko relacją, a drugim, który jest prawidłową funkcją. Funkcja

Jeden x…

f ^ x h = {^1, 2h, ^2, 5h, ^- 1, - 2h}

Tylko relacja …dla każdego f(x). Doskonale.

{^1, 2h, ^2, 5h, ^1, 4h} mentu x Dla jednego argu rtości f(x). wa ele istnieje wi t funkcja. Zatem to nie jes

Dwie wartości f(x) dla jednego x… to tak samo jak dwie wartości y dla tego samego x. Czy tak? Czy to tak, jak w przypadku pionowej linii?

Pionowa linia nie jest funkcją! W funkcji nie może występować wiele wartości f(x) dla żadnego z x. Można zatem powiedzieć, że dla żadnej wartości x nie mogą istnieć dwa punkty, które da się połączyć pionową linią: Funkcja

Tylko relacja

f ^ x h = {^1, 2h, ^2, 5h, ^- 1, - 2h} y

{^1, 2h, ^2, 5h, ^1, 4h}

4 3 2 1

(1,2)

(2,5)

y

Dla tego argumentu x istnieją DWIE wartości f(x)… zatem to NIE jest funkcja.

(2,5)

5

5

(1, 4)

4 3 2

(1,2)

1

x

x -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

(-1, -2)

-3 -4 -5

418

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-1 -2

-5

Możesz przemieszczać tę linię w dowolne miejsce… i nigdy nie powinna zawierać DWÓCH punktów funkcji na raz.

-2 -3 -4 -5

Linia dotyka dwóch punktów… zatem to nie jest funkcja.

Funkcje

Funkcje przechodzą test linii pionowej Czynność polegająca na odczytywaniu charakteru relacji z wykresu nosi nazwę testu linii pionowej. Test ten bazuje na regule, że w przypadku gdy gdziekolwiek na wykresie istnieją punkty, które są pionowo jeden nad drugim, ten wykres NIE JEST funkcją. Jeśli zatem przez dwa punkty na wykresie można przeprowadzić pionową linię, NIE jest to funkcja. To wszystko. Do testowania wykresu możesz użyć linijki, ocenić na oko lub przeciągnąć brzeg kartki papieru nad wykresem i sprawdzić, czy to jest funkcja.

Zaostrz ołówek Czy przydział miejsc na odcinek jest funkcją? Argument (numer miejsca, m)

Wartość (ID klienta, k)

Miejsce 110 Miejsce 112 Miejsce 125 Miejsce 110 Miejsce 75

75 63 85 40 56

k 80 70 60 50 40 30 20 10

m 10

20

30

40

50

60

70

80

90 100 110 120

Jeśli przydział miejsc nie jest funkcją, to które miejsca należy przydzielić inaczej, aby był funkcją? ........................................... .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  419 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Czy przydział miejsc na odcinek jest funkcją?

Argument (numer miejsca, m)

Wartość (ID klienta, k)

Miejsce 110 Miejsce 112 Miejsce 125 Miejsce 110 Miejsce 75

75 63 85 40 56

k 80 70

Miejsce 110 zostało przydzielone dwa razy!

(125, 85) (110, 75) (112, 63)

60 (75, 56)

50

(110, 40)

40 30

Wykres nie przechodzi testu linii pionowej.

20 10

k 10

20

30

40

50

60

70

80

90 100 110 120

Jeśli przydział miejsc nie jest funkcją, to które miejsca należy przydzielić inaczej, aby był funkcją? ........................................... Należy przydzielić inne miejsce klientowi o identyfikatorze 40. Miejsce 110 jest już zajęte. ..................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. Ta relacja nie pr pionowej dla m zeszła testu linii = wartość m, dla któ110, zatem to jest istnieć więcej niż rej nie powinna jedna wartość k.

420

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Wykres umożliwia przeprowadzenie testu pionowej linii w celu sprawdzenia, czy relacja jest funkcją.

Q

Wykres pokazuje również przeciwdziedzinę funkcji lub relacji.

Q

Wykres pokazuje dziedzinę funkcji lub relacji.

Q

Z wykresu można odczytać miejsca zerowe równania lub funkcji.

Nie istnieją

głupie pytania

P: Czy zawsze trzeba rysować wykres funkcji? O: To zależy od sytuacji. Wykres funkcji, równania czy relacji to

: Czy funkcje zawsze są oznaczane jako f(x)? Czy nie może to być f(t) lub jakieś inne oznaczenie?

Człowiek ma ograniczone możliwości odczytywania danych z wykresu. Jeśli na wykresie są liczby dziesiętne lub skala wykresu jest duża, czytanie wartości z wykresu może być trudne.

to nie jest konieczne. Format zależy od zmiennych, których dotyczy funkcja. Może to być równie dobrze r(q) lub g(t). Na przykład zapis r(q) oznacza, że r jest funkcją zmiennej q. Przy innych oznaczeniach należy jedynie zmodyfikować osie na wykresie, ale poza tym cała reszta pozostaje bez zmian.

najlepszy sposób wizualnej oceny sytuacji. W ten sposób można uzyskać cenne informacje, ale istnieją pewne ograniczenia.

Tworzenie wykresu wymaga czasu. Jeśli wykonujesz test i interesuje Cię tylko specyficzna wartość, to wystarczy, że obliczysz wartość funkcji dla tego konkretnego argumentu. Nie musisz wtedy rysować wykresu.

P

: Czy naprawdę można traktować funkcje tak jak równania?

O

: To naprawdę dobry punkt wyjścia. Jeśli funkcja jest reprezentowana za pomocą równania, możesz wyznaczyć miejsca zerowe funkcji, a następnie ją narysować.

P

O: Oczywiście, że może! Zwykle funkcję oznaczamy przez f(x), ale

P

: Wydaje się, że funkcje wymagają więcej pracy niż równania. Trzeba pamiętać o dziedzinach i przeciwdziedzinach. Dlaczego zatem są one znacznie lepsze?

O

: „Lepsze” to dość subiektywne słowo. Rzecz w tym, że w większości przypadków funkcje są znacznie bardziej realistyczne. W rzeczywistym świecie istnieją ograniczenia, a w przypadku funkcji możesz łatwo określić, jakie to ograniczenia, i pokazać je na wykresie. To bardzo przydatna cecha.

Jedyne, na co należy uważać, to zachowanie właściwych ograniczeń dla wykresu (należy przy tym pamiętać o dziedzinie i przeciwdziedzinie). Trzeba też podstawić 0 za f(x).

jesteś tutaj  421 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przybycie VIP-ów zmieniło liczby

Co się dzieje? Podczas próby dźwiękowej pojawiły się VIP-y z darmowymi biletami. O co tu chodzi?

Zaczyna się drugi odcinek i teraz się okazuje, że są darmowe bilety. W jaki sposób wpływa to na zmianę sytuacji? Okazało się, że w kontrakcie był zapis drobnym druczkiem, który umknął Twojej uwadze (i uwadze zespołu Śmierć Piżamy)! Chodzi o to, że stacja telewizyjna może rozprowadzić 350 darmowych biletów na odcinek dla VIP-ów. Dzięki temu widownia będzie bardziej atrakcyjna… tak przynajmniej uważało kierownictwo stacji.

Co to oznacza dla dochodów zespołu Śmierć Piżamy?

PIERWSZYCH 350 biletów jest darmowych! Ojej! To trochę komplikuje sprawy. Zatem teraz w dalszym ciągu jest 1511 możliwych miejsc. Ale na każdy odcinek pierwszych 350 miejsc jest darmowych (zespół Śmierć Piżamy nie ma z nich zysku). Pozostałe miejsca są sprzedawane po normalnej cenie. A zatem otrzymaliśmy coś takiego: 1511 miejsc

Ile teraz zarobi zespół w jednym odcinku?

€=

To jest w porządku — dziedzina została określ w kontekście zmiennej ona zatem funkcja także. x, Niezależnie od tego, ile osób przyjdzie na nagranie, jeśli rozprowadzonych będzie mniej niż 351 biletów, przychód będzie pochodził wyłącznie z reklam: 20 000 €.

422

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

+ Bilety kosztują 100 € za miejsce, ale pierwszych 350 biletów jest DARMOWYCH.

Dochody z reklam w dalszym ciągu wynoszą 20 000 €.

f ^ x h = 20, 000 + 100x f ^ x h = 20, 000 0 # x # 350

0

0 # x # 350 ejsc nie przynosi Pierwsze 350 mi ż zmieniła się wa nie Po u. iór dochod ił się również zb dziedzina, zmien . cji nk wartości fu

Funkcje

Ale… co z RESZTĄ biletów? Bilety sprzedane poza pulą przysługującą VIP-om kosztują po 100 € za miejsce. To oznacza, że równanie jest niemal takie samo jak wcześniej… ale dopiero po rozprowadzeniu tych pierwszych 350 biletów. To stwarza nowy problem… Dochód wynosi 100 € za bilet, ale dopiero za bilety o numerach 351 wzwyż. Trzeba to wziąć pod uwagę: e To jest nasznie. stare równa

f ^ x h = 20, 000 + 100x f (x) = 20, 000 + 100 ^ x - 350h

•x … Tu już nie będzie 100 h 350 biletów, Trzeba odjąć pierwszyc darmowe. ponieważ teraz są one

351 # x # 1511

To jest zaktua lizowane równanie.

Zatem teraz otrzymaliśmy dwie różne funkcje, każda ma osobne równanie i dziedzinę. W jaki sposób można pokazać to matematycznie?

Dziedzina także się zmieniła. Równanie dotyczy TYLKO biletów od numeru 351 do 1511.

Jedna funkcja, dwie części = rzeczywistość Powyższe funkcje można traktować zbiorczo pod warunkiem, że weźmie się pod uwagę, jakich przedziałów dotyczą. W sytuacji podobnej do naszej, kiedy funkcja ma różne wartości w różnych częściach dziedziny, mówimy o funkcji zdefiniowanej w wielu przedziałach. Taką definicję pokazujemy jako jedną, złożoną funkcję z różnymi dziedzinami. Robi się to następująco: oznacza, że Ta klamra pod uwagę oba ać br . należy dnocześnie równania je

20, 000 ( f ^ x h = 20, 000 + 100 ^ x - 350h

zapisana obok Każda dziedzina jest yczy. dot o reg któ ia, równan

0 # x # 350 2 351 # x # 1511 A więc ta funkcja zachowuje się w różny sposób, w zależności od dziedziny argumentów.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI W jaki sposób oblicza się wartości funkcji zdefiniowanej w wielu przedziałach? Nie uda Ci się obliczyć dochodów zespołu Śmierć Piżamy, jeśli nie dowiesz się, jak się to robi…

jesteś tutaj  423 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje zdefiniowane w wielu przedziałach

Wykorzystaj tę część funkcji, której POTRZEBUJESZ To jest kolejny przypadek, kiedy jest dość istotne, aby pamiętać, co funkcja reprezentuje. W rzeczywistym świecie trzeba wziąć pod uwagę całą sytuację, a w przypadku funkcji zdefiniowanej w wielu przedziałach dziedzina ma kluczowe znaczenie. Ponieważ istnieją różne równania dla różnych argumentów wejściowych (w tym przypadku wartości x), musisz zdecydować, które równanie dotyczy Twojej sytuacji.

Obliczanie wartości funkcji zdefiniowanej w wielu przedziałach Co się dzieje, jeśli chcesz obliczyć wartość funkcji dla określonego argumentu? Musisz sprawdzić, w jakiej części dziedziny mieści się ten argument, i skorzystać z właściwego równania w celu obliczenia wartości funkcji dla tego argumentu. Robi się to w następujący sposób: 1

Po wyborze argumentu, dla którego chcesz obliczy warto, okrel t cz dziedziny funkcji, do której naley argument.

2

Oblicz warto funkcji, biorc pod uwag tylko t jej cz, która dotyczy dziedziny. Skorzystaj z odpowiedniego równania, oblicz wartość i wykorzystaj ją do narysowania wykresu. Pozostałe części funkcji nie mają zastosowania!

Wykresy funkcji zdefiniowanych w wielu przedziałach tworzy się tak jak wykresy zwykłych funkcji! Tworzenie wykresów funkcji zdefiniowanych w wielu przedziałach nie odbiega zbytnio od tworzenia wykresów zwykłych funkcji. Należy, po prostu, narysować wykres odpowiedniego równania we właściwej dziedzinie. W ten sposób powstaną różne części wykresu dla każdego fragmentu funkcji… i tak powinno być. Przecież na tym właśnie polega istota funkcji zdefiniowanych w wielu przedziałach. Konwencje dotyczące punktów na końcach przedziałów dziedziny są takie same: pełne kółka i otwarte kółka, w zależności od typu nierówności.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Funkcje zdefiniowane w wielu przedziałach to zbiór funkcji pogrupowanych ze sobą.

Q

Poszczególne części przedziałów należących do dziedziny zwykle nie zachodzą na siebie.

Q

Reguły rysowania wykresów funkcji nie zmieniają się.

424

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Aby obliczyć wartość funkcji zdefiniowanej w wielu przedziałach, należy określić właściwą część dziedziny, a następnie obliczyć wartość dla właściwego fragmentu funkcji.

Q

Funkcje zdefiniowane w wielu przedziałach pozwalają na wyrażenie tego, że w różnym czasie dzieją się różne rzeczy.

Funkcje

Ćwiczenie

Narysuj wykres funkcji dochodów zespołu Śmierć Piżamy. Zaprezentuj obie części dziedziny na jednym wykresie, tak aby uzyskać pełny obraz tego, co się dzieje. Nowy wykres pokazuje wszystkie możliwe wartości dochodów dla dowolnej liczby sprzedanych biletów.

Najpierw narysuj tylko ten

fragment funkcji przychodów. ..................................................................................................................................................................................................

20, 000 0 # x # 350 .................................................................................................................................................................................................. ( 2 f ^ x h = 20, 000 + 100 ^ x - 350h 351 # x # 1511 .................................................................................................................................................................................................. Następnie narysuj drugi

fragment funkcji. ..................................................................................................................................................................................................

180 000

0 < x < 350

351 < x < 1511

160 000 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000

jesteś tutaj  425 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie Narysuj wykres nowej funkcji dochodów zespołu Śmierć Piżamy. Zaprezentuj obie części dziedziny na jednym wykresie, tak aby uzyskać pełny obraz tego, co się dzieje. Nowy wykres pokazuje wszystkie możliwe wartości dochodów dla dowolnej liczby sprzedanych biletów.

y skorzystać ment, możem ag fr n te mamy do ić Aby wykreślgranicznych, ponieważ yby to była linią! ą iom poz t gd w jes tó ść — czę nk Ta wą . z pu wierzchołek funkcją linio czynienia z zeba by było obliczyć 0 100) 2 tr .................................................................................................................................................................................................. 1, , (35 parabola

Ćwiczenie: Rozwiązanie

20, 000 ( f ^ x h = 20, 000 + 100 ^ x - 350h

0 # x # 350 2 351 # x # 1511

f(351) = 100(351) - 15 000 = 20 100 .................................................................................................................................................................................................. f(x) = 20 000 + 100x - 35 000 f(1511) = 100(1511) - 15 000 = 136 100 ..................................................................................................................................................................................................

Uprość wyrażenie i doprowadź (1511, 136 100) do wygodniejszej postaci. f(x) = 100x - 15 000 ..................................................................................................................................................................................................

351 < x < 1511

0 < x < 350

180 000 160 000 (1511, 136 100)

140 000

Ten punkt graniczny również jest pełny.

120 000 100 000 80 000 60 000

Pierwsza część wykresu to prosta f(x) = 20 000.

40 000 20 000

426

0) (351, 20 10

kółkami, ponieważ nierówność Obie granice dziedziny są pełnymi i mniejszy lub równy. znak era określająca dziedzinę zawi

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

Mamy wszystkie dane… i co z tego wynika? Zakończyła się sesja telewizyjna zespołu Śmierć Piżamy. Nadszedł czas, by obliczyć, ile zarobił zespół. Musisz powrócić do pierwszego odcinka i obliczyć dochody z uwzględnieniem biletów dla VIP-ów, a następnie wykonać obliczenia dla pozostałych odcinków.

Konstruowanie równa Wykorzystujc równanie dochodów, wypenij tabelk, aby dowiedzie si, czy zespó mier Piamy zarobi wystarczajco duo pienidzy, by uda si na zakupy.

Numer odcinka

Liczba widzów

Całkowity dochód

5% zespołu Śmierć Piżamy

1

473

2

123

3

789

4

974

5

1246

6

1234

7

1499

8

1412

9

1461

10

1511

Czy to wystarczy na zakup nowego sprztu, który kosztuje 52 375 €?

11

1503

Tak

NIE

Całkowity dochód zespołu Śmierć Piżamy

jesteś tutaj  427 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Konstruowanie równań: rozwiązanie

Konstruowanie równa Wykorzystujc równanie dochodów, wypenij tabelk, aby dowiedzie si, czy zespó mier Piamy zarobi wystarczajco duo pienidzy, by uda si na zakupy.

Numer odcinka

Liczba widzów

Całkowity dochód

5% zespołu Śmierć Piżamy

1

473

32 300

1615

2

123

20 000

1000

3

789

63 900

3195

4

974

82 400

4120

5

1246

109 600

5480

6

1234

108 400

5420

7

1499

134 900

6745

8

1412

126 200

6310

9

1461

131 100

6555

10

1511

136 100

6805

Czy to wystarczy na zakup nowego sprztu, który kosztuje 52 375 €?

11

1503

135 300

6765

Tak

54 010 € Nie przejmuj się, jeśli wartości , które odczytałeś z wykresu, nie są identyczne. Ponieważ wykres jest duży, niektóre wartości musisz oszacować.

428

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Całkowity dochód zespołu Śmierć Piżamy

NIE

Funkcje

Program telewizyjny z udziałem zespołu Śmierć Piżamy okazał się hitem! Program zyskał znaczną popularność i zespół Śmierć Piżamy zarobił wystarczająco dużo pieniędzy, aby kupić wszystko, co sobie zaplanował. Teraz członkowie grupy zamierzają wydać nowy album i wybrać się w długą trasę koncertową. Wszystko dzięki Tobie! Teraz, kiedy pomogłeś im zrozumieć, ile pieniędzy mogą zarobić, poważniej podejdą do tworzonej muzyki!

Hej! Wielkie dzięki. Bez Ciebie to by się nam nie udało, dlatego napisaliśmy dla Ciebie piosenkę. Jej tytuł brzmi…

TY TU RZDZISZ! jesteś tutaj  429 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje zdefiniowane w wielu przedziałach: ćwiczenie

Dugie wiczenie Spójrz na funkcję zdefiniowaną w wielu przedziałach i narysuj jej wykres w celu wyznaczenia przeciwdziedziny.

Wykorzystaj to mi ejsce do pracy:

Z 2 ] 2x + 8x - 1 ]x f (x) = [ ]] x 5 - + \ 3

_ - 5 # x < 0b 0 < x < 3b ` 3 < x # 8b b a

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

430

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

Przeciwdziedzina: ................................................................

jesteś tutaj  431 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Długie ćwiczenie

Dugie wiczenie: Rozwizanie

Spójrz na funkcję zdefiniowaną w wielu przedziałach i narysuj jej wykres w celu wyznaczenia przeciwdziedziny.

Z 2 ] 2x + 8x - 1 ]x f (x) = [ ]] x 5 - + \ 3

_ - 5 # x < 0b 0 < x < 3b ` 3 < x # 8b b a

..................................................................................................................................................................................................

Ponieważ granice dziedziny znajdują się po prawej i po lewej stronie wierzchołka, wykorzystamy je do wykreślenia punktów. ..................................................................................................................................................................................................

(-5, 9)

f(x) = 2x + 8x -1 f(-5) = 2(-5) + 8(-5) - 1 = 9 .................................................................................................................................................................................................. 2

2

-b - 8 Współrzędna (0, -1) = 2a =2 (2) = -2 x wierzchołka f(0) = 2(0)2 + 8(0) - 1 = -1 .................................................................................................................................................................................................. Podstaw obliczoną f(x) = 2(-2)2 + 8(-2) -1 .................................................................................................................................................................................................. x wartość do wzoru na f(x). f(x) = 8 - 16 - 1 = -9

..................................................................................................................................................................................................

wierzchołek (-2, -9) .................................................................................................................................................................................................. Druga część funkcji to równanie

.................................................................................................................................................................................................. liniowe, zatem można spokojnie wykorzystać punkty graniczne.

f(x) = x

..................................................................................................................................................................................................

(0,0)

Teraz wystarczy wykreślić te punkty.

Uważaj jednak na to, jakiego typu f(0) = 0 .................................................................................................................................................................................................. punkty rysujesz na wykresie… pełne dla nierówności typu „lub równe”

(3,3) i puste dla zwykłych nierówności. f(3) = 3 .................................................................................................................................................................................................. To samo dotyczy ostatniej części funkcji — jest liniowa. ..................................................................................................................................................................................................

f(x) = -

x

+ 5

3 ..................................................................................................................................................................................................

(3,4) f(3) = - 3 + 5 = 4 3 .................................................................................................................................................................................................. 1 8 7 (8, 2 3 ) f(8) = + 5 = 3 3 ..................................................................................................................................................................................................

432

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Funkcje

(-5, 9)

(3, 4) 2 -1 f(x) = 2x + 8x

(3,3)

x f(x) = - 3 + 5

1 (8, 2 3 )

f(x) = x

(0,0) (0,1)

nie oznacza, To, że jest to funkcja, ciągły. być si mu s kre że jej wy

wierzchołek (–2, –9)

Nie zapomnij o tym!

-9 < f(x) < 9 Przeciwdziedzina: ................................................................

jesteś tutaj  433 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Niezbędnik algebraika

Rozdzia 10.

Niezbędnik algebraika Ten rozdział w całości dotyczył funkcji.

y funkcji.

Wyznaczanie dziedzin

nia, owano w postaci równa Jeżeli funkcję zaprezent o równania. teg zę ali an ez prz czyć po dziedzinę można wyzna ki, ad yp elenie przez 0 lub prz Należy uważać na dzi tków ias rw pie do prób obliczania w których może dojść t jes e, iow lin t równanie jes część z liczb ujemnych. Jeśli ko tyl ona je mu zaj , parabola aniczać nieskończone; jeśli to ogr że mo współrzędnych i to kartezjańskiego układu c. mó po wykresu może dziedzinę. Narysowanie

Obliczanie miejsc zerowych funkcji. Już wiesz, jak to należy zrobić! Po prostu podstaw f(x) = 0 i wyznacz x z równania. Obowiązują dokładnie takie same reguły, jak podczas rozwiązywania równań: działania odwrotne, reguła PZWO, równania kwadratowe itp. Rozwiązaniem jest wartość zmiennej x, dla której funkcja przyjmuje wartość zero. Jeśli masz wykres i możesz odczytać wartość x, przy której f(x) = 0, to miejsca zerowe możesz odczytać bezpośrednio z wykresu!

Wyznaczanie przeciwdziedziny/ rysowanie wykresu funkcji. Najlepszym sposobem wyznaczenia przeciwdziedziny funkcji jest narysowanie jej wykresu. Istnieją przypadki (na przykład dla równań liniowych), w których można łatwo określić przeciwdziedzinę. Zwykle jednak należy posłużyć się wykresem. Kiedy znasz dziedzinę, wystarczy wyciąć właściwy fragment wykresu i zinterpretować to, co pozostało.

Obliczanie wartości funkcji. Oznacza to, że znasz argument i chcesz wyznaczyć wartość funkcji dla tego argumentu. Najtrudniejszą częścią w tym pytaniu jest zrozumienie, czego ono dotyczy!

Praca z funkcjami zdefiniowanymi w wielu przedziałach.

Funkcje zdefiniowane w wielu przedziałach to zbiór pogrupowanych ze sobą funkcji, które dotyczą różnych fragmentów dziedziny. Należy pamiętać o tym, aby każdą część rozpatrywać osobno.

434

Rozdział 10.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

11. Algebra w praktyce

Rozwiązywanie problemów świata Wzięłam pod uwagę to, jak bardzo mnie kochasz, uwzględniłam cenę tego samochodu i tak… masz rację. Zdecydowanie jesteś mężczyzną dla mnie. Zostańmy razem!

Świat ma wielkie problemy… Ty masz wielkie odpowiedzi. Kilkaset stron wiedzy matematycznej i co z tego mamy? Pęk iksów i igreków oraz parametrów a i b? Nieprawda… masz umiejętności znajdowania niewiadomych. Nawet w najtrudniejszych sytuacjach. Do czego to może służyć? Ten rozdział w całości będzie poświęcony praktycznym problemom: wykorzystamy umiejętności z algebry do rozwiązywania praktycznych problemów. Kiedy to Ci się uda, będziesz mieć wielu przyjaciół, znać wpływowych ludzi i zaoszczędzisz mnóstwo pieniędzy. Jesteś zainteresowany? A więc do dzieła.

to jest nowy rozdział  435 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kupowanie samochodu z pomocą algebry

Zaoszczędziłem trochę forsy i mam zamiar postarać się o dobrą pracę, kiedy za 9 miesięcy ukończę szkołę. Z całą pewnością przydałyby mi się cztery kółka… Potrzebuję dobrego kredytu na takich warunkach, którym mógłbym sprostać.

Finanse? Mój przyjacielu, przyszedłeś we właściwe miejsce. Zobacz, co mogę zrobić, abyś już dziś mógł jeździć tym wózkiem. Możemy ci zaoferować raty zero procent, bez odsetek, na długi okres spłaty… powiedz, czego chcesz, a my sprawimy, że stanie się to rzeczywistością. Budżet? Nie ma obawy. Stać cię na więcej samochodów, niż ci się wydawało.

a miesięcy Marek za kilk wą pracę. no ma dostać jnego Potrzebuje fa óry pasowałby kt , du ho oc m sa o statusu. do jego noweg

Mówiłeś coś o handlarzu używanymi samochodami? Lepiej uważaj na tego gościa…

Obiekt marzeń motoryzacyjnych Marka — samochód sportowy za 25 000 €.

436

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Algebra w praktyce

Zaostrz ołówek Marek musi wiele przemyśleć, aby zdobyć samochód swoich marzeń. Poniżej zamieszczono kilka dokumentów, które Marek musi wziąć pod uwagę… zapisz kilka informacji, które pomogą Markowi ruszyć z miejsca.

Z jakimi algebraicznymi niewiadomymi będziemy mieli do czynienia? ...................................................................................... .................................................................................................................................................................................................. Jakie elementy będą miały wpływ na koszty samochodu Marka? (Od czego będą one zależały?) ............................................ ..................................................................................................................................................................................................

FORMULARZ DANYCH VIN 1HFACALG4UISCOOL Moto 1992 HF 5.0L SALOON EXTERIOR 4-PASSENGER SPECIALTY SAMOC HODU BLUE AD SHINY Salon 5.0L H1 HF V- ENGINE INTERIOR .................................................................................................................................................................................................. AUTO OVERDRIVE TRANSMISSIO N GRAY LEATHER

WYPOSAŻEN IE STANDARDO WE THE FEATURES LISTED SĄ DOŁĄCZONE BEZ DODATKOWYCH OPŁAT

INFORMACJE O CENIE

e .................................................................................................................................................................................................. STANDARDOWA CENA POJAZDU mochodYMowWYPOSAŻENIU WYSZCZEGÓLNIONO Z PRAWEJ STRONY: SW aSTANDARDOW

ieczeniaH1 HF 8-CYL. ENGINE ki - Ubezp •• 5.0L ls a w EEC-IV COMPUTERIZ ED ENGINE o K n Ja CONTROLS

€18540.0 0

• PRZYCIEMNI ANE SZYBY • ELEKTRONIC ZNE RADIO STEREO AM/FM Z ZEGAREM • 5-SPEED MANUALU OVERDRIVE • KIEROWNICA OPRAWIONA W SKÓRĘ OD TRANSMISSI ON • ELEKTRYCZN E SZYBY OCHSUSPENSION M A S • HANDLING INCL.: • INTERWAŁOW E WYCIERACZK I CZENIE – VARIABLE TENSION SPRINGS IE P • PEŁNE OPRZYRZĄD OWANIE Z E B U – GAS PRESSURIZE D SUPPORTS – TACHOMETE R – OCTAGON SHOCK REAR _ – TERMOMETR SUSPENSION ____________ – KONTROLA NAPIĘCIA __ BUTTON • TRACTION-L __ OCK __ __ AKUMULATO RA __ ULTRA-POWE R BRAKES – OIL PRESSURE GUAGE ______••__P233/254327 ______ 2 __ ALL__ SEASON TIRES ________ – TRIP ODOMETER : o __ k is __ • 16”X7” CAST ALUM. WHEELS __ azw _ • ELECTRIC SEATS WITH REGULOWAN E ____ • LARGE-CAPA CITY TRUNK __________ Imi i n ______ LUMBAR SUPPORT ____ ________KRED• HALOGEN HEADLAMPS • LIGHT GROUP __O______ • YT ________ POWER : LOCK y __ SA w :_ • HEAVY DUTY BATTERY o s M zt re CHODOW oc• ELECTRIC MIRRORS Ad p _ d __ o • CONSOLE k WITH ARMREST Y __ , ____ — FORM ztwo

WYPOSAŻEN IE OPCJONALNE PREFEROWANY PAKIET WYPOSAŻENIA NR 4560 SZYBKOŚCIOM IERZ ELEKTRYCZNE RADIO AM/FM Z ZEGAREM I MAGNETOFO NEM DODATKOWY BIEG OVERDRIVE MODUŁ OSZCZĘDNOŚ CI PALIWA P233/H323F4 778 UDOGODNIEN IA PRZEDNI PANEL DO MOCOWANIA TABLICY REJESTRACYJNEJ 8-PUNKTOWO PODGRZEWA NE SIEDZENIA LIMITOWANA EDYCJA OPCJONALNA BLOKADA MECHANIZMU RÓŻNICOWEG O KLIMATYZACJ A ŚRODEK DO PIELĘGNACJI SIEDZEŃ SKÓRZANYCH KOREKTOR GRAFICZNY

.................................................................................................................................................................................................. 1641.00 1190.00 W CENIE 198.00

CENIE 366.00 ..................................................................................................................................................................................................W1700.00

Bank Kredy

towo-Oszcz dn

ociowy

W CENIE 1634.00 W CENIE 278.00

.................................................................................................................................................................................................. RAZEM POJAZD+WY POSAŻENIE

OPCJONALNE 28230.00 ULARZ KOSZTY SPROWADZE NIA I DOSTAWY ________ 440.00 wojewód __ ______FOR Miasto, ADDED PROTECTIO RAZEM PRZED UDZIELENIEM RABATÓW ______N,__THIS VEHICLE IS EQUIPPED WITH A ________ __ __ 28670.00. :_ e __ DRIVER n M SIDE __ o AIR ar BAG SUPPLEME h ka samocho _ Cell P NTAL RESTRAINT SYSTEM (SRS) : __ il a -m e __: ________ ____du Adres ________ ______ ____ ____ ____ ____ Compare : __ ____ this __GAS ______ to others __ ____ in the FREE MILEAGE GUIDE ______ __vehicle at the dealer. ______ domowy ____available __________ __ Telefon Vehicl__ ______________ e M od el ________ __ _ :___________ __ __ __ __ __ __ __ ____ ____ ______________ ___ ____ __CITY ____towo-O .___ Bank sszczd Kredy __m Czas:___ __o__ ____________ MPG nocio ____ ____ ____wy ________ ___ HIGHWAY MPG ____ ________ ____ ____Ve ________ ____________________ __ hi cl __ 1234 __ e SQL . __ St. Ye PO Box ar __ 1000 yrs :_ :_ _ __ y __ n s __ OPTIONOWY WYCIĄG BANK __ PACKAGE SAVINGS a ________ w ______ €3670.00 czy __ille COMPARED WITH BUYING DV ____ __26849 ____ _______________________ owanyDatav ______ ____ TGESE OPTIONS SEPARATELY ______ __ -_ Wynajm __ __ __ __ __ __ _ __ __ __ ____ __ ____ STRON __ __ A 1 z __ 1 __ Ve __ __ hi __ __ cl _________ _____ e Mileage:______ ______ ____ ) ____ NIP: ____ ____________ ___ yyyyROOT /__ JOHN ____ S __________ ____ ____ __ ____ Statement Okres ____________ ________ (mm/dd : __ Numer rachunku th __ __ ir __ __ B ___ __ ______ KAPPA ____ MU 2009 EPSILO z__ __c y…N HALL __ __ RM. nd __ _ar Date of Vehiclecz 34 2009-0 si le __ __ 3-01 to 2009-03-31 ____ ie Ka __ m __ __ 9 __ __ e Pr __ 00004-323-3477-8 ic __ __ __ e: sz __ _ __ __ Je : ____ NUMB e __ ERVILL m E __ __ 91210 a __ __ N __ __ r ______________ 9 e ____________ ____ _ iecień 200 9 __ ____ __ Employ ____ __Kw ____ ____ Marzec 200 N ____ S __ P __ ____ C __ Ś __ __N ______ W __ __S__ P Luty 2009________ __C__ __P__ :9______ n ______ Ś __ o200 W __ ti Ke ń P __ a cze N ____ lle p __ Sty S y u __ P DATE c Bl __ C __ Ś ____ Oc C P S N W Bo __ P ue DESCR _ ok IPTION __ 1992 __ FORMULÆ, Va t: 5.0L ENGINE lu n __ Ś WYPŁATY mePreviou e:__________ W ____ SYSTEM), REF P ____ WPŁAT Y (FEEDBACK p1lo SALDO m__ ____ __ E__ __y__ ____ e ______ __FUEL of MAR ______s__balanc __, __ 8 CYCLINDERS FUEL __INJECTION, ____ __ Length MAR 7 ______ ________ CATALYST, __357 € TOTAL 7,267.00 __ ___________ : Check __ __ e No. __ __ m 5-SPEED __ €25000. 00 AUTOMATIC o __ c __ DownnthPa __ __________ $103.00 Inen oMAR lyym t:___Withdr ________ € 7,164.00 _ __ ______ ____ _ __$60.00 awal ____ _ -__ The ____ Other__M Left _ Bank _ ______8______ATM _ __ 8901 _ __ __ Estimated _ __ Annual __ _ Fuel Cost: __ _________ 54999 € 7,104.00 __________awal ____ MAR 11 ____ 2009 ń$847 rpie__ ____aliec___ Sie__ _Lip Nation ___ Saving __ __ ________ ATM Withdr ____ _N 200 l:__ S $30.00 ____-_1st P _9__ __N9__s __P__W__Ś__C9014 _112 ModeTo € 7,074.00 __200 taMAR 16 l Am __ec Check rwi S No. __ ou Cze P nt C __ __ Ś Fin __ __ W 9 __ P an 9 200 7 __ 8 0 j N 5 9 6 5 27358 Ma ______ P W Ś C ce S__ P d: € 500.00 ________ __ __ € 7,574.00 __ __ MAR N 18 __ S __ P __ ______Visa C Ś __ nt ______ W __ P __ Card - Regular Payme__

18

25

Gas Mileage Information

P

________9554 _____$200.00

____________

__

MAR 22

____s __ lle__ Saving _ aler Name:__ATM Withdrawal - Datavi__ & Loan __________ 9759 $110.00 ___De ____ ______ MAR 27 Check No.__ 113 ____________ __________ ____ _ ________ _ _ MAR 31 ____Closing ______Date... _ _ __ _ __________2009 ______ Ending _ Balanc _ e _ _ ____ _ _ ___________9__ Grudzień opad 200 ____________ __9 _____List __rnik__200 __dzie 9ear:_Paź 200Y ńle esie Wrz ic Veh W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

P

W

Ś

C

P

S

N

€ 36.00

€ 7,374.00 € 7,264.00 € 7,300.00 € 7,300.00

jesteś tutaj  437 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Co się składa na cenę samochodu?

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było wynotowanie elementów, które Marek musi wziąć pod uwagę przy zakupie samochodu. Oto co napisaliśmy:

Musimy uwzględnić cenę samochodu, Z jakimi algebraicznymi niewiadomymi będziemy mieli do czynienia? ...................................................................................... jego ubezpieczenie, oprocentowanie pożyczki na samochód, kwotę pieniędzy, jaką Marek zdoła odłożyć, .................................................................................................................................................................................................. oraz okres, na jaki Marek chce wziąć pożyczkę. .................................................................................................................................................................................................. Niektóre koszty będą Jakie elementy będą miały wpływ na koszty samochodu Marka? (Od czego będą one zależały?) ........................................... zależały od ceny samochodu (ubezpieczenie, wysokość odsetek pożyczki itp.), natomiast inne będą .................................................................................................................................................................................................. zależeć od czasu — na przykład okres, na jaki Marek zaciągnie pożyczkę, oraz to, jak szybko .................................................................................................................................................................................................. będzie mógł ją spłacić. ..................................................................................................................................................................................................

Czat IM: Koszty zwizane z zakupem samochodu Jest wiele rzeczy, które skadaj si na koszty samochodu. Wikszo z nich zaley od tego, jaka jest jego cena wyjciowa. Zgadza si? Tak, a to jeszcze zaley od tego, ile Marek moe zapaci gotówk. Wikszo dilerów da zapacenia co najmniej 1000 €.

Krystyna

Nie zapominajcie o tym, e Marek musi jeszcze przez 9 miesicy chodzi do szkoy, zanim dostanie prac! Hm… to nie jest atwa sytuacja. Poniewa nie ma pracy, opata gotówk i raty miesiczne bd musiay w tym okresie pochodzi z oszczdnoci.

Jola

To prawda. W porzdku. Zatem wysoko oszczdnoci Marka powinna wynosi 9 razy wysoko patnoci miesicznej plus wysoko opaty gotówk. Moemy to zapisa w formie równania, w nastpujcej postaci: oszczdnoci = patno gotówk+9 (rata miesiczna). Z tego równania mona atwo wyznaczy patno miesiczn. Krystyna

Janek

Có, to jednak troch trudniejsze. Diler mówi, e musimy wpaci przynajmniej 1000 €. Patnoci, co oczywiste, nie mog by ujemne. Zatem nie jest to tylko proste równanie. Hm… jeli trzeba ograniczy wartoci, to naley wykorzysta funkcj. Zgadza si?

Janek

Tak. Musimy zapisa równanie w postaci funkcji i wprowadzi ograniczenia dla dziedziny i przeciwdziedziny.

Krystyna

Poczekajcie! Jeli zapiszemy to w formie funkcji, bdziemy mogli narysowa wykres. Tak?

Janek

Jasne! Dziki temu zobaczymy zaleno wysokoci pierwszej wpaty od wysokoci miesicznych rat.

Jola

...

438

Janek

Rozdział 11. bardzo pomoe. Zróbmy to… To naprawd

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Janek

Algebra w praktyce

Zaostrz ołówek Zapisz równanie Marka w postaci funkcji, znajdź dziedzinę oraz przeciwdziedzinę i narysuj wykres. Załóżmy, że Marek zaoszczędził 7300 €. Na jaką ratę miesięczną za samochód będzie sobie mógł pozwolić? Oznaczmy to przez p(r).

7300 €

Tę wielkość oznaczymy przez r.

oszczędności = pierwsza wpłata+9 (rat miesięcznych) .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

Dziedzina: ............................................................................... Przeciwdziedzina: ............................................... .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

7500

p(r)

7000 6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 -50

r 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

jesteś tutaj  439 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie 7300 €

Zapisz równanie Marka w postaci funkcji, znajdź dziedzinę oraz przeciwdziedzinę i narysuj wykres. Załóżmy, że Marek zaoszczędził 7300 €. Na jaką ratę miesięczną za samochód będzie sobie mógł pozwolić? Tę wielkość oznaczymy przez r.

Oznaczmy to przez p(r).

Chcemy się dowiedzieć, jaka jest relacja pomiędzy p(r) a wysokością raty miesięcznej. W związku z tym spróbujmy wyizolować p(r) i traktować tę wielkość jako 7300 = p(r) + 9(r) .................................................................................................................................................................................................. wysokość pierwszej wpłaty.

oszczędności = pierwsza wpłata+9 (rat miesięcznych)

-.................................................................................................................................................................................................. 7300 + 7300 - p(r) = 9(r) - 7300

Można by również odjąć 9m od obu stron równania, aby uzyskać sam wyraz p(r). Każdy ze sposobów jest dobry… wszystko -1(-p(r)) = (-7300 + 9(r)) - 1 .................................................................................................................................................................................................. zależy od Ciebie. Mnożymy przez –1, aby uzyskać p(r) = 7300 - 9r dod.................................................................................................................................................................................................. atni wyraz p(r).

Rata miesięczna 0 r 700 1000 p(r) 7300 Dziedzina: ............................................................................... Przeciwdziedzina: ............................................... musi wynosić 0 lub więcej.

Pierwsza wpłata musi wynosić co najmniej 1000 € i mniej niż .................................................................................................................................................................................................. całkowita kwota oszczędności W celu wyznaczenia górnej granicy — maksymalnej kwoty, zebranych przez Marka. którą Marek będzie miał do dyspozycji — należy odjąć od zgromadzonych oszczędności (7300 €) kwotę minimalnej sumy .................................................................................................................................................................................................. pierwszej wpłaty (1000 €). A zatem mamy 6300 €. Wartość tę trzeba podzielić przez 9 miesięcy. Maksymalna wysokość raty miesięcznej wynosi więc 700 € za miesiąc.

.................................................................................................................................................................................................. 7500

p(r)

7000

Co ten wykres napraw oznacza? Pokazuje, że dę wyższa pierwsza wpłat im niższa dostępna wysok a, tym ość miesięcznej raty.

6500 6000 5500 5000 4500 4000

0 €, będzie Jeśli Marek odłoży 100 ę co miesiąc rat na że , ało acz ozn to jest zostanie mu 700 €. To rą Marek może któ , ota kw lna maksyma samochód. wydać co miesiąc na

3500 3000 2500 2000

To jest najwyższa możliwa wysokość miesięcznej raty, jaką może zapłacić Marek.

1500 1000 500 -50

440

r 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Algebra w praktyce

Czat IM: Kapita i odsetki

wietnie! A wic na rat mamy do dyspozycji 700 € miesicznie. To cakiem niele. Poczekajcie. Zapomnielimy o ubezpieczeniu samochodu. Jest obowizkowe. Telefonowaam w kilka miejsc. Powinnimy przyj kwot 150 € miesicznie. Jeli odejmiemy 150 € miesicznie od kwoty 700 €, to okae si, e patno miesiczna bdzie moga wynie nie wicej ni 550 €.

Jola

To w dalszym cigu cakiem duo. Witaj, nowa bryczko!

Krystyna

Spokojnie. Nie gorczkujcie si. Nie mówilimy jeszcze nic o odsetkach. Wiemy, ile Marek moe zapaci co miesic, ale nie wszystkie te pienidze id na spat samochodu… jeli chce poyczy pienidze, musi zapaci odsetki bankowe.

Jola

To prawda. Banki naliczaj odsetki od kapitau — kwoty, któr poyczymy. A wic Marek moe zapaci 550 € miesicznie, ale nie wszystkie te pienidze bd przeznaczone na spat samochodu.

Janek

Tak jest. Na kwot 550 € skadaj si odsetki i kapita. Musimy si zastanowi, na jaki kredyt moe sobie pozwoli Marek. Niektórzy sporód wtpliwej jakoci dilerów naliczaj niebotycznie wysokie odsetki.

Krystyna

A zatem powinnimy zastanowi si nad kredytem. Na cakowit kwot kredytu bdzie si skada poyczony kapita powikszony o odsetki, które naliczy bank. Co w tym gucie: kapita + odsetki = cakowita kwota kredytu.

Janek

Zgadza si. Marek bdzie musia spaci kredyt w miesicznych ratach. Kwota kredytu bdzie równa kwocie miesicznej raty pomnoonej przez liczb rat, które Marek bdzie spaca. Bdzie to wygldao nastpujco: kwota kredytu = miesiczna rata x liczba rat.

Krystyna

...

Jola

Dokadnie. Zatem spróbujmy obliczy, na co moe sobie pozwoli Marek…

WYTĘŻ UMYSŁ

Połącz dwa równania występujące w konwersacji IM i stwórz na ich podstawie jedno równanie pozwalające wyliczyć wysokość miesięcznej raty, jaką będzie płacił Marek. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  441 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Należy uwzględnić odsetki

WYTĘŻ

UMYSŁ. ROZWIĄZANIE Równanie 1.

Połącz dwa równania występujące w konwersacji IM i stwórz na ich podstawie jedno równanie pozwalające wyliczyć wysokość miesięcznej raty, jaką będzie płacił Marek.

Równanie 2.

Kapitał + Odsetki = Całkowita kwota kredytu

Kwota kredytu = Miesięczna rata * Liczba rat .................................................................................................................................................................................................. ać Możemy przyrówn zego Kapitał + Odsetki = Miesięczna rata * Liczba rat ą stronę pierws lew ej .................................................................................................................................................................................................. równania do praw strony drugiego Teraz możemy wyizolować (Kapitał + Odsetki) = Miesięczna • Liczba rat rata równania. miesięczną ratę.

Liczba rat Liczba rat .................................................................................................................................................................................................. (Kapitał + Odsetki)

= Miesięczna rata

To właśnie chcieliśmy wyliczyć… Miesięczną ratę Marka.

Liczba rat ..................................................................................................................................................................................................

OK. Doskonale. Ile jednak będę musiał zapłacić odsetek? W banku odesłali mnie do tej strony internetowej, ale nie wiem, co to wszystko znaczy…

Bank Kredytowo-Oszczdnociowy BKO Strona Główna > Oprocentowanie wkładów > Oprocentowanie pożyczek konsumenckich

Pożyczki na zakup nowych samochodów Samochody nowe

Oprocentowanie

Samochody uywane uywane

Samochody hybrydowe

Pojazdy rekreacyjne rekreacyjne

3 lata

4 lata

5 lat

3,0%

3,5%

4,0%

Samochód marzeń Marka kosztuje 25 000 €. (Kapitał + Odsetki) Liczba rat 24 000 €

442

= Miesięczna rata

Wynikająca z warunków € kredytu wybranego Maks. 550 przez Marka

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Możemy podstawić informacje, które znamy, a następnie obliczyć resztę. Wiemy, że Marek może sobie pozwolić na płacenie miesięcznych rat w wysokości 550 € oraz że na zakup samochodu potrzebny mu jest kapitał w wysokości 24 000 €. Skoro znamy oprocentowanie kredytu, powinniśmy bez trudu wypełnić pozostałe elementy równania.

Pamiętaj, samochód kosztuje 25 000 €, ale Marek dokonał pierwszej wpłaty w wysokości 1000 €. Zatem pozostaje 24 000 €, które trzeba pożyczyć.

Algebra w praktyce

Obliczanie odsetek na podstawie stopy procentowej oraz pożyczonej kwoty kapitału Znamy dostępne okresy spłaty, jakie oferuje bank: 3 lata (36 miesięcy), 4 lata (48 miesięcy) i 5 lat (60 miesięcy). Znamy również wysokość oprocentowania dla każdego z wymienionych okresów spłaty. W celu uzupełnienia równania musimy poznać kwotę odsetek. W jaki sposób można uzyskać tę wartość? Cóż, mógłbyś poszukać w Google hasła „Kalkulator odsetek prostych”, ale nie musisz, bo zrobiliśmy te obliczenia za Ciebie. To jest równanie pozwalające na obliczenie kwoty odsetek na podstawie okresu spłaty i kwoty kapitału: O oznacza całkowitą kwotę odsetek.

Odsetki proste oblicza się z takiego wzoru.

Oproste = (p xK0)n

To oznacza odsetki proste — są także odsetki złożone, ale na razie nie musisz się nimi przejmować.

Stopa oprocentowania w postaci liczby dziesiętnej.

Liczba płatności (w LATACH, nie miesiącach).

Wyjściowa kwota poż yczki. Kapitał.

Bank oferuje trzy różne okresy spłaty. Dla każdego z nich jest inne oprocentowanie. Musimy obliczyć całkowitą kwotę odsetek dla każdego okresu spłaty, a następnie podstawić do równania wyjściowego, aby uzyskać wysokość miesięcznej raty, jaką będzie musiał zapłacić Marek:

Oproste = (p xK0)n

(Kapita + Odsetki) = Miesiczna Liczba rat rata

Zaostrz ołówek Oblicz odsetki dla pierwszej opcji: 3 lata przy stawce oprocentowania 3,0%.

Oproste = (p xK0)n

Należy uważać, aby liczby miały odpowiednią postać (postać dziesiętną procentu ).

Oproste = (.............. x24 000) .............. .............................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  443 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przeliczenie wysokości rat

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oblicz odsetki dla pierwszej opcji: 3 lata przy stawce oprocentowania 3,0%. 3,0% w postaci dziesiętnej to 0,03.

Oproste = (p xK0) n

Pamiętajmy, ten okres spłaty jest wyrażony w LATACH, a nie miesiącach. erwszej wpłaty 25 000–1000 pi

3 0,03 x24 000) .............. Oproste = (.............. Oproste = (720)3

..............................................................................................................................................................................

Oproste = 2160

To oznacza, że całkowita kwota odsetek dla .............................................................................................................................................................................. 3-letnie go okresu spłaty wyniesie 2160 €.

PODSTAWIAMY obliczoną wartość w celu wyliczenia wysokości miesięcznej raty Musimy obliczyć całkowitą kwotę odsetek dla każdego okresu spłaty, a następnie podstawić do równania wyjściowego, aby uzyskać wysokość miesięcznej raty, jaką będzie musiał zapłacić Marek: Teraz znamy tę wielkość.

24 000 € (Kapita+Odsetki) Liczba rat

odsetek To jest całkowita kwota liczeń. wy ch dni rze znana z pop

=

Miesiczna rata

To jest liczba miesięcy: 3 lata razy 12 miesięcy w roku.

^24, 000 + 2, 160h , = 726.67 3 : 12

> 550 €

Tyle wynosi wysokość miesięcznej raty dla opcji nr 1.

Nie stać mnie na tyle! A co z dłuższymi okresami spłaty? Naprawdę chcę mieć ten samochód!

444

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Teraz powinno się udać obliczenie tej wartości.

Na tyle Marek może sobie pozwolić.

Algebra w praktyce

Zaostrz ołówek Sprawdź, czy Marek będzie mógł sobie pozwolić na dowolną z pozostałych opcji czasu spłaty — okres 4-letni lub 5-letni.

Opcja nr 2: 4 lata przy stawce oprocentowania 3,5%. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

Opcja nr 3: 5 lat przy stawce oprocentowania 4,0%. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  445 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było sprawdzenie, czy Marek będzie zdolny do spłaty pożyczki w terminie czterech lub pięciu lat. Podstawienie do równan utworzonego wcześnie ia j.

Opcja nr 2: 4 lata przy stawce oprocentowania 3,5%.

O

= (p •K )n

Uważaj na przecinek dziesiętny w tym miejscu.

(24 000 + 3 360)

= 570

4 •12 proste 0 .................................................................................................................................................................................................. 570 € > 550 € Oproste = (0,035 •24 000)4 .................................................................................................................................................................................................. O

= (840)4

proste Taka wysokość miesięcznej raty .................................................................................................................................................................................................. jest

wciąż za wysoka. Marek ma nadz że następna opcja będzie do przyieję, jęcia! ..................................................................................................................................................................................................

Oproste = 3360

To jest łączna kwota odsetek do zapłacenia w ciągu całego okresu spłaty pożyczki.

Marek będzie winien 28 800 €… kapitał plus 4 800 € odsetek.

Opcja nr 3: 5 lat przy stawce oprocentowania 4,0%.

(24 000 + 4 800)

= 480 5 •12 .................................................................................................................................................................................................. Oproste = (p •K0)n

O

= (0,04 •24 000)5

O

= (960)5

480 €

550 €

< proste .................................................................................................................................................................................................. Świetnie! Taka rata odpowiada!

d, jeśli zaciągnie pożyczkę o najdłużsiąc Oproste = 4 800 okresie spłaty. Co więcej, co mies .................................................................................................................................................................................................. zostanie mu 70 €. ochó proste .................................................................................................................................................................................................. Marek może sobie pozwolić na samzym

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Jaka jest rzeczywista cena samochodu, jeśli uwzględnimy odsetki różnych opcji kredytu? Co by było, gdyby Marek mógł dokonać pierwszej wpłaty w wyższej wysokości? Co by było, gdyby poczekał dłużej, tak by mógł płacić więcej, kiedy już dostanie pracę?

446

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Algebra w praktyce Nie istnieją

głupie pytania

P: Dlaczego równanie odsetek jest tak skomplikowane? O: Równanie, które wykorzystaliśmy do obliczania odsetek, to

standardowe równanie służące do obliczania odsetek prostych. W rzeczywistości nie jest ono skomplikowane, chociaż dodatkowe litery i oznaczenia powodują, że na pierwszy rzut oka wydaje się ono złożone.

P: W jaki sposób działa równanie do obliczania odsetek? O: Równanie: O = (pxK )n jest właściwie dość proste. Mówi proste

0

ono, że całkowita kwota odsetek pożyczki jest równa stopie procentowej pomnożonej przez pożyczoną kwotę i czas, na jaki pożyczono pieniądze.

P

: Podczas obliczania odsetek okazało się, że przy pięcioletnim okresie spłaty trzeba oddać więcej pieniędzy, ale miesięczna rata jest niższa. Dlaczego tak jest?

O

: W przypadku pożyczek tego rodzaju czas spłaty ma większy wpływ na wysokość spłacanej kwoty od stopy odsetek. Dodanie roku spłaty do pożyczki to 12 dodatkowych rat. To znacznie więcej odsetek, ale są one rozłożone na dodatkowych 12 miesięcy. W efekcie miesięczna rata jest niższa.

Warto zapamiętać, że pożyczka zaciągnięta na dłuższy okres dość znacząco podniesie cenę samochodu. Krótsza pożyczka oznacza mniej odsetek, a tym samym niższy całkowity koszt. Krótszy okres spłaty jest lepszy, jeśli możemy sobie na niego pozwolić.

Co z tego wynika? Na koszty pożyczki składają się dwie rzeczy: wysokość stopy procentowej oraz czas, na jaki pożyczamy pieniądze.

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

W przypadku rozwiązywania praktycznych problemów w równaniach często trzeba wprowadzać ograniczenia i przekształcać je na funkcje.

Q

Obliczanie odsetek polega na wyznaczeniu niewiadomej z równania.

Q

Z równania odsetek wynika, że czas spłaty pożyczki i oprocentowanie mają wpływ na wysokość miesięcznej raty.

Q

Ubezpieczenie samochodu jest stałą, a nie zmienną. To stała kwota.

Stać mnie na pięcioletnią pożyczkę. To niezwykłe! Teraz mogę sobie kupić samochód!

jesteś tutaj  447 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Uważaj na spadek wartości

Marek jeszcze nie jest właścicielem tego samochodu… Marek jest gotów do zakupu. Może wpłacić 1000 € pierwszej wpłaty oraz zaciągnąć na pięć lat kredyt oprocentowany na 4% z ratą miesięczną. Stać go nawet na wykupienie polisy ubezpieczeniowej. Jest jednak jeszcze coś, co należy wziąć pod uwagę…

Zgadzasz się na finansowanie za pomocą kredytu na oferowanych przeze mnie warunkach? Jak chcesz. Ale kolego, co z ubezpieczeniem GAP? Potrzebujesz go, wiesz? Nie słyszałeś nigdy o ubezpieczeniu GAP. Przecież nie chcesz, by twój nowy samochód wyglądał tak. Zgadza się?

448

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Algebra w praktyce

Czat IM: Samochody trac na wartoci Ten facet oferuje mi co, czego nie rozumiem. Co to jest ubezpieczenie GAP, o którym on mówi?

Jola

Có, wiesz przecie, e samochody bardzo szybko trac na wartoci. Problem polega na tym, e samochody najwicej trac na wartoci na pocztku. Dlatego byskawicznie s warte mniej, ni si poyczyo. Naprawd? Czy to znaczy, e Marek bdzie winien bankowi wicej pienidzy?

Jola

Krystyna

Nie, Marek w rzeczywistoci nie bdzie winien bankowi wicej, tylko jego samochód bdzie wart znacznie mniej. Ten mechanizm dziaa nastpujco: powiedzmy, e Marek poyczy 28 800 €, których potrzebowa na zakup samochodu (24 000 € plus odsetki). Z powodu spadku wartoci samochód bdzie wart okoo 20 000 € natychmiast po wyjedzie od dilera. Janek

A zatem gdyby Marek mia wypadek w drodze od dilera do domu, to dostaby z agencji ubezpieczeniowej 20 000 €, poniewa tyle byby wart jego samochód. Czy pomimo to w dalszym cigu byby winien bankowi 28 800 €? Wydaje si, e to niesprawiedliwe… Krystyna

Có, nie do, e byby winien bankowi 8800 €, to jeszcze nie miaby samochodu. Jola

Wanie. To, co próbuje sprzeda handlarz, nazywa si ubezpieczeniem GAP. Pokrywa ono rónic pomidzy wartoci samochodu a kwot, jak nabywca jest winien bankowi. Krystyna

Ale to kolejna rzecz do zapaty. Czy Marka na to sta? Czy warto kupi takie ubezpieczenie? ...

Jola

Janek

Trzeba przytoczy kilka liczb, aby to obliczy…

jesteś tutaj  449 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Oblicz, ile jest wart samochód Marek jest winien bankowi 24 000 € plus 4800 € odsetek.

ąg Załóżmy, że Marek otrzymał wyci … czki poży jej swo y cząc doty u bank z oto jak mógłby on wyglądać.

28 800 €

Saldo kredytu Cena samochodu rocznik 2009 to — bieca, zdewaluowana war

20 000 €

Po wyjeździe z parkin gu u dilera samochód Marka jest wart tylko 20 000 €.

Deprecjacja to smutna rzeczywistość Przedmioty szybko się starzeją… zwłaszcza samochody. Opony, hamulce, płyny i silnik zużywają się wraz z każdym przejechanym kilometrem. Dlatego właśnie używane samochody są tańsze od nowych. Deprecjacja to pojęcie opisujące ubytek wartości samochodu. Zdeprecjonowana wartość to cena samochodu pomniejszona o kwotę deprecjacji. Inaczej mówiąc, jest to wartość samochodu w określonym momencie. Niestety, samochody tracą około 20% swojej wartości natychmiast po wyjeździe od sprzedawcy. Następnie tracą pozostałą swoją wartość w ciągu około 10 lat. Po tym okresie są w zasadzie nic niewarte.

owana w wielu To jest funkcja zdefini łeś, co to nia pom Za ch! iała edz prz cji znajdziesz znaczy? Więcej informa 10. ale w rozdzi

Bank w dalszym ciągu ma swoje pieniądze Wartość samochodu spada szybciej niż tempo, w jakim spłaca się kredyt. Istnieje zatem różnica pomiędzy kwotą, jaką jesteśmy winni bankowi, a wartością samochodu.

Kwota długu spada ze stałą szybkością, w miarę jak co miesiąc spłacamy bankowi raty.

450

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Istnieje luka… ró pomiędzy wartośc żnica samochodu a kw ią otą, którą jesteśmy winni bankowi.

LUKA Samochód jest jednak zwykle wart mniej od kwoty długu.

Algebra w praktyce

Ćwiczenie

W celu wymodelowania luki musisz określić kilka funkcji. Napisz funkcję salda pożyczki Marka, a następnie funkcję deprecjacji zdefiniowaną w kilku przedziałach. Nie zapominaj o dziedzinach. w(t) Obie funkcje będą oznaczone jako u. czas od ci żnoś zale w ość — wart

Saldo kredytu: ........................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. Dziedzina: ............................................................................................................................................................................... Załóżmy, że samochód traci na wartości równomiernie w ciągu 10 lat… poza pierwszym spadkiem o 20%.

Zdeprecjonowana wartość samochodu: ............................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. Dziedzina: ...............................................................................................................................................................................

jesteś tutaj  451 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

W celu wymodelowania luki musisz określić kilka funkcji. Napisz funkcję salda pożyczki Marka, a następnie funkcję deprecjacji zdefiniowaną w kilku przedziałach. Nie zapominaj o dziedzinach.

Ćwiczenie: Rozwiązanie

a Ten zapis oznacz wartość pożyczki w funkcji czasu.

Znak minus oznacza, że spłata każdej raty zmniejsza kwotę długu.

t 480 miesięcznie razy cy. się mie ba licz — Saldo kredytu: ........................................................................................................................................................................

w(t) = 28 800 – 480t

Ta liczba oznacza całkowity koszt pożyczki: kapitał plus odsetki, które obliczyliśmy wcześniej. ..................................................................................................................................................................................................

Dziedzina: ............................................................................................................................................................................... 0 t 60 Dziedzina tej funkcji rozpoczyna się w chwili, kiedy Marek kupił samochód, i trwa 60 miesięcy (pięć lat) — tyle wynosi okres spłaty pożyczki.

Fragment nr 1 funkcji

Początkowa wartość samochodu

minus deprecjacja

0% oznacza 2 Ten wyraz ej wartości w o początk u razy t. samochod

w(t) = 25 000 – 0,2(25 000)t Zdeprecjonowana wartość samochodu: ...............................................................................................................................

Ta relacja jest prawdziwa

w(t) = 25 000 – 5000t 0 t < 1 tylko dla pierwszego .................................................................................................................................................................................................. mies

iąca — fragment nr 1 Najpierw oblicz, ile funkcji. Fragment nr 2 jest wart samochód po = 25 000 – 0,2(25 000) = 20 000 funk cji pierwszym spadku ceny. .................................................................................................................................................................................................. Nowa wartość początkowa

w(t) = 20 000 –

0,1

(20 000)t

Wiemy, że cena samochodu

spada w ciągu 10 lat. Średni 12 .................................................................................................................................................................................................. spadek wartości wynosi zatem To w dalszym ciągu jest funkcja 10% rocznie. wartości samochodu w czasie, w(t) = 20 000 – 166t ale dla t > 1. .................................................................................................................................................................................................. Podziel tę wartość przez 12, aby przekształcić stopę roczną 2 t 60 Dziedzina: ............................................................................................................................................................................... na miesięczną. Ta relacja jest prawdziwa dla pozostałego czasu życia pożyczki: 60 miesięcy.

Podsumujmy — uzyskujemy czny obraz funkcji opisujcej „luk”:

25 000-- 5000 5000tt 0 # t # 1 25000 } w ^t h = { 20 000--166 166t 20000 t 1 < t # 60 w(t) = 28 800 - 480t 0 # t # 60 452

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Układy równa funkcji rozwiąń i układy dokładnie tak zuje się samo.

Funkcji!

To jest układ równań ! Z technicznego punktu widzenia równania są przecież funkcjami.

Algebra w praktyce Hej! To zwykły układ równań. Jeśli narysujemy jego wykres, będziemy mogli „zobaczyć” lukę i znajdziemy miejsce, w którym się ona kończy.

Narysuj wykresy! Narysuj wykres obu funkcji, aby „zobaczyć” lukę. Zaczęliśmy za Ciebie, wykreślając pierwszą część wykresu deprecjacji. Deprecjacja

25 000-- 5000 5000tt 0 # t # 1 25000 w ^t h = { } 20 000--166 166t 20000 t 1 < t # 60

Saldo kredytu

W(t) w = 28 800 - 480t 0 # t # 60

w(t) 35 000

30 000

25 000

To jest fragment funkcji deprecjac nr 1 ji.

20 000

15 000

10 000

5000

t -5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

jesteś tutaj  453 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Narysuj wykres: rozwiązanie

Narysuj wykresy! Rozwizanie

Twoim zadaniem było narysowanie wykresu układu równań reprezentującego lukę. Jakie efekty uzyskałeś? 25 000-- 5000 5000tt 0 # t # 1 25000 w ^t h = { } 20 000--166 166t 20000 t 1 < t # 60

Deprecjacja

Saldo kredytu

W(t) w = 28 800 - 480t 0 # t # 60

w(t) 35 000

30 000

Saldo kredytu Ten punkt przecięcia odp punktowi w czasie, kie owiada Marka kosztuje dokład dy samochód ile Marek jest winien nie tyle, bankowi.

25 000

20 000

15 000

10 000

Deprecjacja

To jest luka! Odległość pomiędz y tymi liniami oznacza kwotę, któr ą Marek będzie winien w dowolnym momencie. Począwszy od mniej więcej 28. ie miesiąca, samochód Marka będz en wini jest ek Mar niż ej, więc wart lem bankowi. W tym przypadku prob ubezpieczenia przestaje istnieć.

5000

t -5

5

10

15

20

25

30

35

ości przez ponad Marek ponosi ryzyko „luki” w wartLepiej jeźdź lata! dwa d pona To . ięcy 25 mies ostrożnie, Marku…

454

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

40

45

50

55

60

Algebra w praktyce

Hej, wystarczy już dziwacznych liczb. Wiecie teraz, że nie radziłem wam źle. Podpiszcie opcję nr 2 i nie będziecie się musieli więcej martwić problemem luki…

sy i opłaty re k o — P A G ie Ubezpieczen dzy wartością icę pomię nie pokryje różn ypadku. To ubezpiecze ytu w sytuacji w ed kr ą ot kw a samochodu

Option #1 18-miesięczna

ochrona — 20

Option #2

€ miesięcznie

ęcznie

a — 60 € miesi

3-letnia ochron

Co powinien zrobić Marek? Czy powinien wykupić ubezpieczenie GAP? Jeśli tak, to która opcja jest lepsza? jesteś tutaj  455 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wybierz właściwy okres ochronny

Dzięki algebrze nie musisz bawić się w ZGADYWANIE Marek zdecydowanie potrzebuje ubezpieczenia GAP w celu ochrony w okresie, kiedy jego samochód będzie wart mniej, niż Marek jest winien bankowi. Którą opcję powinien jednak wykupić? Pierwszą czy drugą? Dzięki wykresowi, funkcjom i Twoim diabelskim umiejętnościom z algebry możesz to wyliczyć. Musisz określić maksymalne potencjalne ryzyko Marka w dowolnym czasie oraz wziąć pod uwagę, ile kosztują poszczególne opcje ubezpieczenia GAP. Powinieneś również wziąć pod uwagę miesięczny budżet Marka oraz całkowity koszt każdej opcji ubezpieczenia GAP.

Ubezpiecz enie GAP T

Option

3-letnia

#2 ochrona

…pamiętaj jednak o kontekście problemu Najpierw powinniśmy się dowiedzieć, na jaki wydatek może sobie pozwolić Marek, biorąc pod uwagę kwotę rat kredytu oraz wcześniejszych ubezpieczeń. Nie jest to jednak jedyna rzecz, o którą Marek musi się martwić. Oto co należy zrobić: 1

Oblicz, na jaki wydatek sta Marka. Oblicz, ile pozostaje mu pieniędzy po dokonaniu zakupów, i sprawdź, czy stać go na którąkolwiek z opcji ubezpieczenia GAP.

2

Oblicz koszty opcji nr 1. Oblicz najgorszy przypadek luki w ciągu pierwszych 18 miesięcy (to jest ryzyko, jakie ponosi Marek) oraz całkowitą kwotę, jaką będzie musiał zapłacić Marek za tę opcję ochrony ubezpieczeniowej.

3

Oblicz koszty opcji nr 2. Oblicz najgorszy przypadek luki w okresie pomiędzy 18. miesiącem a 3 latami (to jest dodatkowe ryzyko, przed którym chroni opcja nr 2) oraz całkowitą kwotę, jaką będzie musiał zapłacić Marek w ciągu trzech lat za tę opcję ochrony ubezpieczeniowej.

4

Wybierz najrozsdniejszy wariant. Posługując się nowymi informacjami oraz wykresem luki, zdecyduj, który plan jest najbardziej rozsądny. Jaką opcję powinien wybrać Marek?

456

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

— okres

o ubezp ieczenie po samocho du a kwo kryje różnicę po między w tą kredyt artością u w sytu acji wyp Option adku. #1 18-miesi ęczna och rona — 20 € mie sięcznie

— 60 € m

iesięcznie

y i opłaty

Algebra w praktyce

Zaostrz ołówek Wykorzystaj to miejsce do wykonania obliczeń dotyczących problemu ubezpieczenia GAP Marka.

1

Oblicz, na jaki wydatek stać Marka. ................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 2

Oblicz koszty opcji nr 1. ...................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 3

Oblicz koszty opcji nr 2. ...................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. 4

Wybierz jedną z opcji!.......................................................................................................................................................

jesteś tutaj  457 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Twoim zadaniem było wybranie najlepszej opcji ubezpieczenia GAP dla Marka.

(24 000 + 4 800)

= 480 5 • 12 1 Oblicz, na jaki wydatek stać Marka. ................................................................................................................................ 480 € < 550 € onie 446, Obliczyliśmy to na str wariant Świetnie! Taka rata odpowiada! Marek może .................................................................................................................................................................................................. kiedy Marek wybierał sobie pozwolić na samochód, jeśli zaciągnie pożyczkę o najdłuższym okresie spłaty. Dodatkowo pozostanie mu 70 €.

kredytu.

.................................................................................................................................................................................................. 2

Oblicz koszty opcji nr 1. ................................................................................................................................................... Największa luka występuje w ciągu pierwszych

18 miesięcy — po początkowym spadku ceny. Wysokość spadku wynosi około 8000 €. ..................................................................................................................................................................................................

Liczba miesięcy

Miesięczna składka

Składki do zapłacenia = 18(20) = 360 €

ji nr 1 Razem składki przy opc

Mak

symalne ryzyko, .................................................................................................................................................................................................. jakie pono si Marek

Składka wynosi 20 € miesięcznie, na co Marek bez trudu może sobie pozwolić.

.................................................................................................................................................................................................. A zatem za kwotę 360 € Marek zabezpiecza maksymalne możliwe ryzyko utraty 8000 €. ..................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................. 3

Najgorsza luka w okresie pomiędzy 18. miesiącem a 3 latami wynosi około 2000 €. Oblicz koszty opcji nr 2. ...................................................................................................................................................

Liczba miesięcy

Miesięczna składka

Całkowite maksymalne ryzyko ji nr 2 Razem składki przy opc w dalszym ciągu wynosi 8000 € € Składki do zapłacenia = 36(60) = 2160 .................................................................................................................................................................................................. w ciągu kilku pierwszych miesięcy. Jednak pomiędzy miesiącem 18. a 19. maksymalne Składka wynosi 60 € miesięcznie, na co Marek również może sobie pozwolić. ryzyko niezabezpieczone przez .................................................................................................................................................................................................. opcję nr 1 wynosi 2000 €. Za całkowitą kwotę 2160 € Marek zabezpiecza to samo ryzyko 8000 €, jak w opcji 1. .................................................................................................................................................................................................. Dodatkowo zabezpiecza ryzyko utraty 2000 €, która mogłaby nastąpić po upływie okresu ochrony planu nr 1. ..................................................................................................................................................................................................

4

458

Nie warto wybierać opcji nr 2! Marek musiałby zapłacić dodatkowo 1800 € Wybierz jedną z opcji!.......................................................................................................................................................

(koszt opcji nr 2–koszt opcji nr 1), aby zabezpieczyć dodatkowe ryzyko utraty 2000 €. A zatem zapłacenie dodatkowych składek pozwoliłoby Markowi potencjalnie zaoszczędzić 200 €! Lepiej wybrać opcję nr 1 i ostrożnie jeździć pomiędzy 19. i 28. miesiącem!

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Algebra w praktyce

w(t) 35 000

30 000

Saldo kredytu

Ten punkt przecięcia odpowiada punktowi w czasie, kiedy samochó d Marka kosztuje dokładnie tyle, ile Marek jest winien bankowi.

25 000

20 000 Deprecjacja

15 000

10 000

Począwszy od mniej więcej 28. ie miesiąca, samochód Marka będz en wart więcej, niż Marek jest wini lem bankowi. W tym przypadku prob ubezpieczenia przestaje istnieć.

5000

t -5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

. Marek ponosi ryzyko „luki” w wartości przez ponad 25 miesięcy To ponad dwa lata! Lepiej prowadź ostrożnie, Marku…

Opcja nr 1

Opcja nr 2

jesteś tutaj  459 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przebiegnij rundę honorową

Marek chce Ci płacić za to, byś stał się jego planistą finansowym Marek jest podekscytowany tym, że pomogłeś mu zaoszczędzić tyle pieniędzy, a jednocześnie zdobyć samochód swoich marzeń. Obiecał nawet w dalszym ciągu korzystać z Twoich usług doradcy przy podejmowaniu decyzji finansowych… i powiedzieć o Tobie swoim przyjaciołom! Aby doradzić Markowi, wykorzystałeś wiele zaawansowanych umiejętności algebraicznych:

Przedstawianie równa w kontekcie zmiennych. Korzystanie z funkcji z ograniczeniami dla dziedziny i przeciwdziedziny. Rysowanie wykresów funkcji i czytanie wyników. Rozwizywanie ukadów równa i funkcji.

Przyjechałem tutaj moim nowym samochodem! Jestem zabezpieczony przed wypadkiem we wczesnym okresie posiadania samochodu i stać mnie na opłaty. Nie ma problemu. Twoje rady były doskonałe! Hej! My też chcemy skorzystać z Twoich usług. Jakie są Twoje warunki?

Możesz otworzyć firmę! Dzięki Twojemu sukcesowi z Markiem w kolejce ustawiło się wiele osób, które tylko czekają, aby zapłacić Ci za porady finansowe. Najlepiej będzie, jeśli otworzysz biuro… i wykorzystasz algebrę do zaplanowania swojej własnej finansowej przyszłości!

460

Rozdział 11.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Tak. Tylko pięć. Do tej pory bardzo wiele się nauczyłeś…

Dodatek A Pozostaoci

Pięć najważniejszych tematów (których nie poruszyliśmy) Mimo że zjedliśmy to wszystko, trochę jeszcze zostało.

Wiele nauczyłeś się z tej książki, ale algebra może zaoferować Ci jeszcze więcej. Nie bój się. To już prawie koniec! Przedtem jednak musimy wypełnić jeszcze kilka luk. Następnie będziesz mógł zacząć poznawać algebrę zaawansowaną, ale to już zupełnie oddzielna książka.

to jest dodatek  461 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgi o wykładnikach ujemnych

Numer 1. Potęgi o wykładnikach ujemnych Wspominaliśmy o nich w rozdziale 3. Dla szybkiego przypomnienia pokażemy, jak wyglądają potęgi o wykładnikach ujemnych:

1 x-a = x a Jeśli połączysz tę regułę z zasadą mnożenia wyrazów wykładniczych, nauczysz się także dzielić wyrażenia wykładnicze. Robi się to w następujący sposób:

xa = xa-b b x Co się tu dzieje? Problem sprowadza się do upraszczania wyrazów… oto prosty przykład, w którym możesz zaobserwować, na czym polega skracanie:

g Rozwinięcie potę

Zastosowanie reguł dzielenia wyrażeń wykładniczych

]2 : 2g 22 1 = 22 4 = ]2 : 2 : 2 : 2g 2 Ponieważ obydwa sposoby są prawidłowe, uzyskane odpowied zi są takie same.

2 2 2 2 - 4 2 -2 = = 24

Potęga o wykładniku ujemnym oznacza dzielenie jedynki przez wyraz podniesiony do potęgi dodatniej (o przeciwnym wykładniku). Potęgi o wykładniku ujemnym zapewniają doskonały sposób pozbycia się ułamków. Każdy ułamek można zapisać w postaci potęgi o wykładniku ujemnym i postępować z nim w taki sam sposób, w jaki postępuje się z każdą inną potęgą.

Potęgi o wykładniku ujemnym umożliwiają pozbycie się ułamków. 462

Dodatek A

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Weź potęgę…

Ogólny wzór:

x - a = 1a x

…i umieść ją w mianowniku, bez znaku minus.

Pozostałości

Obliczenia z potęgami o wykładnikach ujemnych Jedyna różnica między postępowaniem z potęgami o wykładnikach ujemnych a działaniem ze zwykłymi potęgami polega na obserwowaniu znaku. To są reguły postępowania z potęgami opisane w rozdziale 4.

Dla przykładu przeanalizujmy tę regułę…

a+b xa xb = x a x a y a = ^ xy h

xax-b = xa+(-b) Zasady są takie same. Należy jedynie uważać na znaki!

^ x ah = x ab b

1 x a = x a - b lu b xb - a or x xb a xa = c x m y ya x0 = 1

To samo można zrobić dla pozostałych działań na tej liście.

x1 = x 1 x -a = x a x (1/a) =

a

x

Potęgi o wykładnikach ujemnych gwarantują nowe możliwości Jeśli napotkasz wyrażenie potęgowe w mianowniku, możesz zapisać je w postaci potęgi o wykładniku ujemnym i pozbyć się ułamka. Następnie możesz rozwiązać równanie w dowolny sposób. Na przykład:

5 + 62 ^ x 3h = 5 + 6x - 2 ^ x 3h x To są dokładnie takie same wyrażenia.

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

jesteś tutaj  463

Tabela wartości

Numer 2. Tabela wartości do tworzenia wykresów O tabeli wartości wspominaliśmy kilka razy, a nawet raz z niej skorzystaliśmy. Czym jednak dokładnie jest tabela wartości? Tabela wartości to zestawienie zawierające obie zmienne występujące w równaniu, pozwalające na łatwe śledzenie wyników dla różnych podstawień. Jest to jeden ze sposobów wyznaczania punktów do tworzenia wykresów. Dla wykresów liniowych tworzenie tabeli zazwyczaj nie jest konieczne, ponieważ do ich wykreślenia potrzeba tylko dwóch punktów. Warto jednak stworzyć taką tabelę dla innych kształtów… Ta tabela pochodzi z rozdziału 9. Pokazuje równanie, wartości zmie x i obliczone wartości zmiennej nnej h.

x

Wyjdź od tych wartości i uzupełnij resztę…

5 8 10 3 0

-x2 + 10x + 75 -(52) + 10(5) +75 -(8)2 + 10(8) + 75 75 -(10)2 + 10(10) + -(3)2 + 10(3) + 75 (0)2 + 10(0) + 75

h 100 91 75 96 75

Tabelę wartości można stworzyć dla dowolnego równania, którego wykres rysujemy, jeśli pomoże ona nam w śledzeniu tego, co się w nim dzieje.

464

Dodatek A

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ponieważ to jest równanie kwadratowe, jego wykresem będzie parabola.

h –x2 + 10x + 75 =

Pozostałości

Numer 3. Równania z wartością bezwzględną Nauczyłeś się wiele na temat przekształcania i rozwiązywania równań. Nie powiedzieliśmy jednak nic o sposobie postępowania z równaniami, w których występuje wartość bezwzględna. Wiesz, jak postępować z wartością bezwzględną z liczby. Co jednak zrobić, jeśli wewnątrz symbolu wartości bezwzględnej znajduje się zmienna, którą chcesz wyizolować? Równania z wartością bezwzględną, nawet wtedy, gdy zawierają tylko jedną zmienną, mają dwa rozwiązania.

77 = 11 : x

11 da, To musi być prawpadku zy pr w ż poniewa lędnej wartości bezwzg zby. obcinamy znak lic

11

77 = x 11 7= x x = 7 lub x = -7

Co się dzieje, jeśli wewnątrz symboli wartości bezwzględnej występuje więcej niż jeden wyraz? Jeśli tak jest, to przed wykonaniem innych działań należy zinterpretować cały wyraz wewnątrz symbolu wartości bezwzględnej jako niewiadomą, a następnie ją wyizolować.

Należy zinterpretować wyrażenie „x+3” jako niewiadomą i ją wyizolować.

2+ x + 3 - 2 = 0 +2

x+3 =2

W tym miejscu sprawy się komplikują. Pamiętaj, że znaki wartości bezwzględnej oznaczają, że wartość bezwzględna z całego wyrażenia wewnątrz symbolu jest równa 2. Oznacza to, że wyrażenie wewnątrz symboli wartości bezwzględnej może być równe 2 lub –2!

x+3 =2 x+3=2 -3 + x + 3 = 2 - 3 x =- 1

x + 3 =- 2 -3 + x + 3 =- 2 - 3 x =- 5 lub

Aby pozbyć się wartości bezwzględnej, należy wyizolować wyrażenie, które ją zawiera, a następnie rozwiązać równania dla dwóch przypadków znaków. Oznacza to, że trzeba rozwiązać dwa równania. jesteś tutaj  465 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Mniej kalkulatorów, więcej ćwiczeń

Numer 4. Kalkulatory Ogólnie rzecz biorąc, obliczenia zamieszczone w niniejszej książce można wykonać ręcznie (jeśli dysponujesz odpowiednią ilością papieru). W przypadku użycia kalkulatora wystarczy prosty kalkulator z funkcją potęgowania. Na rynku dostępnych jest wiele kalkulatorów, które pozwalają na rysowanie wykresów, rozwiązywanie równań, a także wyznaczanie pierwiastków równań kwadratowych. Na razie przyjmijmy jednak zasadę:

Nie używaj kalkulatora do rozwiązywania równań!

Celem tej książki i zgromadzonego w niej materiału jest nauczenie sposobu postępowania z podstawowymi równaniami w taki sposób, by Czytelnik rozumiał, co i w jakim celu się wykonuje. Jeśli tylko wprowadzisz dane do kalkulatora, jedynym, czego się nauczysz, będzie sposób posługiwania się kalkulatorem!

W miarę osiągania postępów w matematyce w większym stopniu będziesz potrzebować urządzeń technicznych, ale jeszcze nie teraz!

Numer 5. Dodatkowe ćwiczenia — zwłaszcza w rozkładaniu wyrażeń na czynniki Najlepszym sposobem na ugruntowanie wiedzy zamieszczonej w tej książce jest wykonywanie dodatkowych ćwiczeń. Wykonanie ćwiczeń zamieszczonych w tej publikacji to dobry początek. Powinieneś jednak wziąć zeszyt i popracować samodzielnie. W niniejszej książce opisano wszystkie zasady niezbędne do pracy z większością opracowań z algebry elementarnej. Im więcej będziesz z nimi pracował, tym bardziej na tym skorzystasz. Szczególnie rozkład na czynniki jest czynnością, którą będziesz mógł wykonywać szybciej, im więcej ćwiczeń wykonasz. Zatem ćwicz jak najwięcej…

466

Dodatek A

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Dodatek B Przegld zagadnie z algebry elementarnej

Budowa na solidnych podstawach Nie od razu stałam się mistrzynią baletu — najpierw musiałam się nauczyć podstawowych kroków.

Czy kiedykolwiek miałeś wrażenie, że nie wiesz, od czego zacząć? Algebra jest doskonała, ale jeśli chcesz się jej uczyć, musisz dobrze znać reguły rządzące liczbami. Przypuśćmy, że zdałeś sobie sprawę z tego, że zapomniałeś, jak mnoży się liczby całkowite, dodaje ułamki lub dzieli ułamki dziesiętne. W takim razie trafiłeś w odpowiednie miejsce! W tym dodatku umieścimy wszystkie wiadomości z algebry elementarnej, które powinieneś znać — w telegraficznym skrócie.

to jest dodatek  467 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Pojęcie liczb

Algebra zaczyna się od liczb Jeśli słyszysz w prognozie pogody, że jest „minus pięć”, wiesz, że jest naprawdę zimno, zimniej niż zero. W przypadku liczb czasem zachodzi potrzeba wskazania, że są mniejsze od 0. Aby to zrobić, przed liczbą stawiamy znak minus. Znak minus

-5

To jest typowa liczba ujemna. Liczby ujemne oznacza się znakiem minus.

A zatem to jest liczba ujemna. Jakie są inne liczby. Te zwykłe? To liczby dodatnie. Oznacza się je poprzez nieumieszczenie żadnego znaku lub umieszczenie znaku plus. Dodatnie lub ujemne liczby bez części ułamkowej to liczby całkowite.

10 5 0 -5 -10

+1

-34 55

-5

-22 To wszystko są przykłady liczb całkowitych.

0

17

Podsumowanie Liczby całkowite — wszystkie liczby ujemne i dodatnie bez części ułamkowej. {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

468

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Obie te liczby są dodatnie.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

W jaki sposób pracuje się z liczbami ujemnymi? Działania z liczbami ujemnymi są podobne do działań z liczbami dodatnimi. Trzeba jedynie obserwować znak liczb, z którymi się pracuje. Pierwszą rzeczą, jaką należy zrozumieć, jest wzajemna relacja zachodząca pomiędzy liczbami ujemnymi i dodatnimi. W określeniu tej relacji pomaga oś liczbowa.

Oś liczbowa

Nierówności zostały omówione.

ojnie Spok

w lewo –3 znajduje się jest od 1, zatem –3 mniejsze niż 1.

-3 < 1

Nie martw się, nierówności zostały opisane w tej książce. Jeśli nie wiesz, co znaczą symbole > (większy niż) lub < (mniejszy niż), to przejdź do pierwszych stron rozdziału 6., który w całości poświęcono nierównościom. Tam znajdziesz omówienie interesujących Cię tematów.

Aby ocenić relacje pomiędzy liczbami całkowitymi, wykreśl obie liczby na osi liczbowej. Liczby znajdujące się z lewej strony zawsze są mniejsze. To dlatego, że lewa strona osi liczbowej jest skierowana w stronę minus nieskończoności — bardzo, ale to bardzo małej liczby. Liczby znajdujące się z prawej strony zawsze są większe. Jest tak, ponieważ im bardziej z prawej strony osi liczbowej się znajdujesz, tym bliżej jesteś plus nieskończoności — olbrzymiej liczby. Jeśli spojrzysz na liczby –3 oraz 1 na osi liczbowej, będzie oczywiste, że –3 to mniej niż 1, ponieważ liczba –3 znajduje się z lewej strony.

Zaostrz ołówek Skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej powyżej w celu wykreślenia relacji, a następnie uzupełnij znaki mniejszy niż bądź większy niż.

-4

4

4 1

-3 -1 jesteś tutaj  469

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Skorzystaj z osi liczbowej zamieszczonej powyżej w celu wykreślenia relacji, a następnie uzupełnij znaki mniejszy niż bądź większy niż.

ze Ujemna wersja liczby będzie zaws mniejsza od jej wersji dodatniej.

znak Jeśli dwie liczby mają ten sam i są dodatnie, to liczba położona z prawej strony jest większa.

-4 < 4 4>1

-3 <- 1

W przypadku liczb ujemnych — im większa liczba za znakiem minu tym mniejsza jest liczba ujemna. s,

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

470

Liczbami całkowitymi są wszystkie „liczby policzalne” (0, 1, 2, 3, …), a także ich ujemne wersje (–3, –2, –1 itd.).

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Oś liczbowa pozwala rozstrzygnąć, która liczba całkowita jest większa.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych Liczby dodatnie prawdopodobnie dodajesz od wieków, dlatego z pewnością nie masz z tym żadnych problemów. Dobra informacja jest taka, że kiedy pracujesz z liczbami o tym samym znaku, musisz postępować zgodnie z prostymi regułami.

1

Wynik dodawania dwóch liczb dodatnich jest liczb dodatni. Nic się tu nie zmienia. Suma ma jedynie większą wartość!

2

Wynik dodawania dwóch liczb ujemnych jest liczb ujemn. W przypadku dodawania dwóch liczb ujemnych najpierw należy dodać liczby do siebie, a następnie umieścić przed wynikiem znak minus.

Za chwilę praktycznie przećwiczymy te działania.

Działania z mieszanymi liczbami całkowitymi Zauważyłeś, że na tej liście nie ma „odejmowania liczb dodatnich”? Kiedy wykonujesz działania z liczbami całkowitymi, linia pomiędzy dodawaniem a odejmowaniem jest bardzo cienka. Odejmowanie liczby to działanie analogiczne do dodawania liczby ujemnej. Na przykład 2–3 oznacza to samo, co 2+(–3). Skąd to wiadomo? Aby wykonać działanie, można posłużyć się osią liczbową. Reguły są proste: dla każdej liczby ujemnej (lub w przypadku odejmowania) przesuń się na osi liczbowej w lewo, natomiast dla każdej liczby dodatniej (lub przy dodawaniu) przesuń się w prawo.

Zacznij od liczby 2 na osi liczbowej.

Przesuń się w lewo na osi liczbowej o 3 jednostki. Dojdziesz do tego miejsca.

2 - 3 =- 1 Tutaj zakończ.

3

-3

-2

-1

u. Zacznij w tym miejsc

Reguy dodawania i odejmowania liczb mieszanych. Przesuwaj się w lewo na osi liczbowej dla liczb ujemnych i w prawo dla liczb dodatnich.

jesteś tutaj  471 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Znaki przy mnożeniu

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych jest podobne do tych samych działań na zwykłych liczbach dodatnich. Trzeba jedynie przestrzegać kilku prostych reguł postępowania ze znakami. Kiedy napotkasz problem mnożenia liczb całkowitych, najpierw znajdź wynik liczbowy: To jest problem wyjściowy.

Najpierw wykonaj działania na liczbach.

-2 # 3 = ? 2#3= 6

Musisz poznać reguły rządzące znakami.

DODAJ ZNAK (PLUS LUB MINUS)

Reguły znaków dla liczb całkowitych — mnożenie i dzielenie Teraz, kiedy wiesz, jakich reguł potrzebujesz, spróbujemy je przedstawić. Pamiętaj, najpierw wykonujesz mnożenie (bądź dzielenie), tak jak robiłbyś to dla liczb dodatnich, a następnie dodajesz znak przed wynikiem.

1

Liczba dodatnia pomnoona lub podzielona przez liczb dodatni daje wynik dodatni. Wystarczy zatem wykonać obliczenia — reszta jest prosta.

2

Liczba ujemna pomnoona lub podzielona przez liczb ujemn daje wynik dodatni. Dwa znaki minus wzajemnie się znoszą.

3

Liczba ujemna pomnoona lub podzielona przez liczb dodatni daje wynik ujemny. Jeśli liczby mają różne znaki, wynik mnożenia lub dzielenia jest ujemny.

Spróbujmy teraz dodać znak do wyniku działania.

472

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

-2 # 3 = ? - 2 # 3 =- 6

Wypróbuj to…

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

BĄDŹ kalkulatorem Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę kalkulatora i wykonanie poniższych działań na liczbach całkowitych. Pamiętaj o wszystkich nowych regułach, których się nauczyłeś! Korzystaj z osi liczbowej — to pomaga.

7+4= -3 - 8 =

Możesz skorzystać z osi liczbowej, ale ponieważ obie liczby są ujemne, wynik pozostanie ujemny.

Uważaj na znaki…

4 #- 5 =

- 1 # - 32 =

Najpierw wykonaj obliczenia, następnie określ znak wyniku.

3-6=

- 5 + (- 4) =

-3 + 7 =

jesteś tutaj  473 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Kalkulator: rozwiązanie

BĄDŹ kalkulatorem. Rozwiązanie Twoim zadaniem jest wcielenie się w rolę kalkulatora i wykonanie poniższych działań na liczbach całkowitych. Pamiętaj o wszystkich nowych regułach, których się nauczyłeś! Korzystaj z osi liczbowej — to pomaga.

Dwa znaki minus wzajemnie się znoszą, zatem wynik jest dodatni.

7 + 4 = 11

- 3 - 8 =- 11

Jest tylko jedna liczba ujemna, zatem wynik pozostaje ujemny.

- 1 # - 32 = 32

To jest rozgrzewka.

4 #- 5 =- 20 3 - 6 =- 3

Możesz skorzystać z osi liczbowej, ale ponieważ obie liczby są ujemne, wystarczy, że dodasz je do siebie i zachowasz znak.

owa Pamiętaj, że liczb nie część działania zmienia się!

o 6 jednostek w lewo

To jest dokładnie takie samo działanie, jak odejmowanie liczby 4.

o 4 jednostki w lewo

- 5 + (- 4) =- 9

-3 + 7 = 4

Jeśli dodajesz liczby dodatnie, przesuwaj się w prawo.

7 jednostek w prawo

474

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Wartość bezwzględna Wyznaczanie wartości bezwzględnej to działanie polegające na pozbyciu się znaku liczby całkowitej. W efekcie zawsze otrzymujemy dodatni wynik. Tak to wygląda: To jest symbol wartości bezwzględnej.

Symbol wartości bezwzględnej oznacza: „obetnij znak z tej liczby”.

i 6 =6 - 6 = 6 and

W jaki sposób należy interpretować symbol wartości bezwzględnej i liczby znajdujące się wewnątrz niego? Symbol wartości bezwzględnej działa jak nawiasy — należy najpierw wykonać działania wewnątrz, a następnie pozbyć się go. Zatem jeśli w wyrażeniu, którym się zajmujesz, pojawi się symbol wartości bezwzględnej, musisz go obsłużyć, a dopiero potem kontynuować operację. Pomocne może okazać się interpretowanie symbolu wartości bezwzględnej jako ściany z cegieł. To jest wyrażenie wyjściowe.

6 - 8 = -2 = 2 Następnie możesz pozbyć się znaku.

Najpierw musisz wykonać działanie wewnątrz.

6-8

-2

=

=2

CELNE SPOSTRZEŻENIA Q

Symbol wartości bezwzględnej oznacza obcięcie znaku liczby.

Q

Wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest liczbą dodatnią.

Q

Wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest liczbą dodatnią.

Q

Przed usunięciem symbolu wartości bezwzględnej należy uprościć wyrażenie wewnątrz symbolu.

jesteś tutaj  475 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Mierzenie odległości od zera

Co oznacza wartość bezwzględna? Wartość bezwzględna w rzeczywistości oznacza odległość pomiędzy liczbą a zerem na osi liczbowej. Jest to ważne w przypadkach, kiedy bardziej interesuje nas różnica niż kierunek. Sama liczba informuje Cię, jak daleko się przemieszczasz, natomiast znak mówi Ci, w którą stronę — na lewo od zera, jeśli znak jest ujemny, lub na prawo od zera, jeśli znak jest dodatni. Wartość bezwzględna oznacza odległość, a nie znak. możesz również Wartość bezwzględną egłość tej liczby interpretować jako odl od zera.

-2 = 2

–2 Liczba taj. jest tu

2

Odległość wynosi 2 jednostki.

7 Odległość wynosi 7 jednostek.

Wartość bezwzględna zawsze ma wartość dodatnią — oznacza odległość od zera do liczby.

bą 7 Odległość pomiędzy licz a zerem wynosi…

Podsumowanie Wartość bezwzględna — wartość bezwzględna z liczby odpowiada liczbie bez znaku. Oznacza ona odległość pomiędzy liczbą a zerem na osi liczbowej.

476

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

7 =7

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Zaostrz ołówek Uprość poniższe wyrażenia z wartością bezwzględną. Pamiętaj, interesuje Cię odległość pomiędzy liczbą a zerem na osi liczbowej. ości Znak liczby wewnątrz symbolu wartsymbol — a zeni znac ma nie dnej bezwzglę ten oznacza obcięcie znaku.

- 22 =

10 + 3 =

172 =

+ 75 =

15 - 16 =

Najpierw uprość wyrażenie z wartością bezwzględną, . a następnie wykonaj odejmowanie

25 - 13 + 4

25 + - 13 - 4

jesteś tutaj  477 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Uprość poniższe wyrażenia z wartością bezwzględną. Pamiętaj, interesuje Cię odległość pomiędzy liczbą a zerem na osi liczbowej. Znak plus został obcięty, ale wartość bezwzględna w dalszym ciągu wynosi 75.

- 22 = 22 nia Musisz wykonać działa ści rto wa u bol sym z ątr wn we nie pozbyć bezwzględnej, a następ względnej. bez ści rto wa się znaku

10 + 3 = 13 = 13

+ 75 = 75

172 = 172

To samo w tym przypadku — najpierw wykonaj działania wewnątrz, a następnie pozbądź się symbolu wartości bezwzględnej.

15 - 16 = - 1 = 1

Najpierw uprość wyrażenie z wartością bezwzględną, a następnie wykonaj odejmowanie.

25 - 13 + 4 25 - 17 25 - 17 8

478

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

25 + - 13 - 4 25 + - 17 25 + 17 42

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Nie istnieją

głupie pytania

P

: Do czego wykorzystuje się wartości bezwzględne w praktyce?

O

P: Czy zero także jest liczbą całkowitą? O: Oczywiście, że tak. Jest liczbą całkowitą, ponieważ są to liczby

: Odległość to w istocie jest właśnie wartość bezwzględna. To odpowiedź na pytanie: „Jak daleko jedziesz?”. Nie ma znaczenia, w jakim kierunku, zatem podana odległość zawsze będzie miała wartość dodatnią — to jest właśnie wartość bezwzględna.

bez części ułamkowej, a zero spełnia ten warunek. Cierpliwości. O liczbie zero i sposobie postępowania z nią powiemy w dalszej części tego rozdziału.

Innym przykładem jest zmiana temperatury. Ponieważ temperaturę mierzy się zarówno powyżej, jak i poniżej zera, czasami chcemy wiedzieć, o ile stopni wzrosła. Jeśli temperatura wyjściowa będzie poniżej zera, natomiast końcowa powyżej (powiedzmy od –10 stopni do +32), to obliczenie jej wzrostu wymaga dodania wartości bezwzględnej liczb, a nie samych liczb.

: Co zrobić, jeśli trzeba wykonać działania z dużymi liczbami całkowitymi? W takim przypadku nie można przecież skorzystać z osi liczbowej?

P: Czy oś liczbowa nie jest trochę dziecinna? O: Nie. Oś liczbowa jest doskonała — zapewnia łatwy sposób

śledzenia tego, co się dzieje podczas wykonywania działań z liczbami dodatnimi i ujemnymi. To, że przygotowujesz się do nauki algebry, nie oznacza, że musisz posługiwać się jakimiś skomplikowanymi instrumentami.

P

: Co zrobić, jeśli mamy trzy liczby całkowite, które chcemy pomnożyć? Jaki będzie znak wyniku?

P O

: Tak i nie. Być może nie uda Ci się policzyć wyniku, to prawda, ale możesz przecież narysować oś liczbową, w której każdy odcinek będzie oznaczał na przykład 10 jednostek.

P

: Czy na osi liczbowej można też wykonywać odejmowanie?

O

: W gruncie rzeczy to kwestia perspektywy. Odejmowanie i dodawanie liczby ujemnej oznacza to samo. A zatem nie ma znaczenia, jak je nazwiemy — wykonując działanie, robimy to samo.

Wniosek z tego jest taki, że w celu wykonania działań możemy wziąć liczbę ujemną w nawias i wykonywać z nią działania w ten sposób, jeśli okazuje się to łatwiejsze w określonej sytuacji.

O

: Oto sposób postępowania przy mnożeniu przez siebie ciągu liczb całkowitych: jeśli wszystkie są dodatnie — wynik jest dodatni. Jeżeli istnieje parzysta liczba ujemnych znaków, wynik jest dodatni. W przypadku nieparzystej liczby ujemnych znaków wynik jest ujemny.

jesteś tutaj  479 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Grupowanie liczb w zbiory

Zbiory liczbowe — wszystkie razem Zbiory liczbowe to sposób grupowania liczb określonego typu — na przykład liczb całkowitych. Znajomość sposobu grupowania liczb umożliwia poznanie sposobu postępowania z nimi w działaniach algebraicznych. to Liczby całkowite ujemne wszystkie liczby ęści i dodatnie bez cz ułamkowej.

Temperatura poniżej zera jest liczbą ujemną.

Liczby cakowite {...,-3, -2, -1,0, 1, 2, 3...}

Liczby naturalne (działania z początkowymi liczbami naturalnymi można wykonywać na palcach).

{1, 2, 3, ...} Liczby cakowite dodatnie

Liczby wymierne

e to Liczby rzeczywistz tego y zb lic kie st zy ws erne obszaru — wymi i niewymierne.

To jest 0 balonów.

Liczby naturalne

sta

wa

Ka {wszystkie liczby, które mona zapisa w postaci uamka}

To jest liczba pi — liczba która nigdy się nie powtarza i nigdy nie kończy! 3,1415926535897…

3,141

Liczby rzeczywiste

59265

{wszystkie liczby wymierne i niewymierne}

35897

...

Liczby niewymierne {wszystkie liczby, których NIE mona zapisa w postaci uamka}

Zbiory liczbowe wzajemnie na sobie bazują. Najmniejszym zbiorem są liczby naturalne, liczby całkowite dodatnie to zbiór liczb naturalnych powiększony o zero, liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne, liczby ujemne i zero itd.

480

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

cia łek

{0, 1, 2, 3...}

Istnieje również zbiór zwany liczbami urojon liczb ymi, ale o nich napiszemy w następnej książce. już

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Zbiory liczbowe W matematyce obowiązuje typowa notacja dla zbiorów liczbowych. Oto jak ona wygląda:

Liczby wymienione wewnątrz nale do zbioru oraz definiują wzorzec żą dla pozostałej części zbioru.

Nawiasy klamrowe oznaczają „zbiór matematyczny”.

Liczby naturalne:

{1, 2, 3, ...}

To oznacza „więcej podobnych liczb w tym kierunku” (4, 5, 6 itd.).

Liczby naturalne stanowią najmniejszy zbiór liczb. Są to liczby, które wykorzystuje się do liczenia przedmiotów. Jest to również pierwszy zbiór liczb, o którym się dowiadujesz, kiedy zaczynasz się uczyć matematyki.

Liczby cakowite dodatnie:

{0,1, 2, 3, ...}

Jest to zbiór liczb naturalnych powiększony o zero.

Liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne i zero. Zero jest potrzebne do wyrażenia, że mamy brak czegoś.

Liczby cakowite:

{..., -3, -2, -1, 0, 1 , 2, 3, ...}

Liczby całkowite to wszystkie liczby całkowite dodatnie oraz liczby ujemne.

Liczby wymierne:

{wszystkie liczby postaci a/b}

Liczby wymierne są nieco bardziej złożone. Liczbą wymierną jest każda liczba, którą da się zapisać w postaci ułamka. Ponieważ liczby naturalne i liczby całkowite dodatnie (na przykład 2) można zapisać w postaci liczby podzielonej przez 1 (na przykład 2/1), są to również liczby wymierne — liczbami wymiernymi są również wszystkie liczby całkowite. Ten zbiór liczbowy przydaje się podczas wykonywania działań na ułamkach. Ułamki dziesiętne, które można przekształcić na ułamki zwykłe, również są liczbami wymiernymi.

Liczby niewymierne:

{wszystkie liczby, których nie można zapisać w postaci ułamka}

Liczby niewymierne to takie liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamków. Spotyka się je często w geometrii oraz w zastosowaniach praktycznych. Są to nieskończone ułamki dziesiętne, których część po przecinku nie zawiera powtarzających się członów. Przykładami są nieskończone pierwiastki kwadratowe, a także liczba pi, która określa stosunek pomiędzy obwodem koła a jego średnicą.

Liczby rzeczywiste:

{wszystkie poprzednie zbiory liczb}

Liczby rzeczywiste to zbiór obejmujący wszystkie liczby — zarówno wymierne, jak i niewymierne. Ponieważ liczby wymierne nie mogą być niewymiernymi, ale oba rodzaje liczb istnieją w świecie, zbiór liczb rzeczywistych obejmuje je wszystkie.

jesteś tutaj  481 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Reprezentowanie fragmentów całości

Trzy sposoby podziału liczb całkowitych Umiejętność wyrażania fragmentu liczby całkowitej jest bardzo ważna. Istnieją trzy sposoby wykonywania tej czynności, które powinieneś poznać: ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne i procenty.

tać Powiedz, że chcesz dos sób spo i jak W k. ałe kaw ten to wyrazisz?

Ułamki

Ułamki dziesiętne

Procenty

Ułamki to wymierny sposób reprezentacji fragmentu całości.

Taka notacja jest wykorzystywana przez kalkulatory i komputery.

Ta notacja jest w gruncie rzeczy odmianą ułamków dziesiętnych. 100% oznacza całość.

Liczba części, które masz To jest ogólna postać ułamka.

łączną liczbę części składających się na całość Nasz fragment ciasta to:

1 10

Jeden kawałek

z 10 kawałków.

Przecinek dziesiętny

Liczba części, które masz

,

rozmiar części mniejszej od jeden

Postać tej części jest specyficzna — powrócimy do niej później.

0.10 ,

Liczba całkowita

10%

Znak procentu

%

Czy widzisz związek pomiędzy procentami a ułamkami dziesiętnymi?

Mówimy o mniejszym kawałku od całego ciasta, zatem ta część wynosi zero.

Teraz musimy się dowiedzieć, w jaki sposób wykonuje się działania z zaprezentowanymi różnymi rodzajami liczb. Rozpoczniemy od ułamków dziesiętnych…

482

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Anatomia ułamków dziesiętnych Ułamki dziesiętne są najłatwiejsze do przetwarzania przez kalkulatory, a także przez niektórych ludzi. Ich omawianie rozpoczniemy od szczegółów dotyczących samego formatu. Tak jak w liczbach całkowitych są pozycje jedności, dziesiątek i setek, w ułamkach dziesiętnych także występują różne pozycje. rony Część z lewej st a przecinka oznacz liczbę całkowitą.

dziesiąte setne

Pozycji dziesiętnych może być nieskończenie wiele…

1.234 ,

przecinek dziesiętny

e

tysięczn

W jaki sposób ułamki dziesiętne informują o swojej zawartości? Jeśli zna się format ułamków dziesiętnych, można powiedzieć o nich dwie istotne rzeczy — to znaczy określić: 1

Warto czci cakowitej. Wartość części całkowitej to fragment ułamka dziesiętnego z lewej strony przecinka dziesiętnego. Jeśli liczba jest mniejsza od jedności, jej część całkowita wynosi zero.

2

Rozmiar czci uamkowej liczby. Cyfry z prawej strony przecinka dziesiętnego informują o rozmiarze poszczególnych części. Na przykład, jeśli na pierwszej pozycji po przecinku jest jakaś cyfra, oznacza ona taką liczbę dziesiętnych.

Jeśli musisz posługiwać się fragmentami całości i potrzebujesz kalkulatora, prawdopodobnie będziesz potrzebować ułamków dziesiętnych.

jesteś tutaj  483 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wyrównywanie przecinków dziesiętnych

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych wykonuje się niemal tak samo jak dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, ale trzeba wyrównać przecinki dziesiętne. Tak jak w działaniu z liczbami całkowitymi, w przypadku ułamków dziesiętnych trzeba dodawać liczby na właściwych pozycjach. Tak więc dziesiąte części trzeba dodawać do części dziesiętnych, setne do setnych itd. Aby tak mogło być, trzeba wyrównać przecinki dziesiętne w liczbach.

Spróbuj wykonać poniższe działanie:

12,34 + 4,5 = ?

Prawidłowy sposób: Przecinki dziesiętne zostają wyrównane.

Dodawanie kolumn wykonuje się dokładnie tak samo jak w przypadku liczb całkowitych.

12.34 , + 4.5 , 16.84 ,

Nieprawidłowy sposób: W tym przypadku liczby zostają wyrównane do prawej.

Dziesiąte części są pod częściami dziesiątymi.

12.34 , , + 4.5 Przecinek dziesiętny w wyniku znajduje się na tej samej pozycji, na jakiej występuje w dodawanych liczbach (składnikach sumy).

12.7.9 ,,

Przy sumowan wyrównanych iu liczb części dziesi do prawej ąt składnika doda e jednego części setnyc jemy do h drugiego składnika.

? ?

Gdzie należy umieścić przecinek dziesiętny? Ponieważ nie my wyrównaliśmy przecinka, nie może odpowiedzieć na to pytanie…

Przenoszenie pomiędzy kolumnami wykonuje się dokładnie tak samo jak w przypadku liczb całkowitych. Pożyczanie z innych kolumn również wykonuje się tak samo. Odejmowanie wykonuje się analogicznie jak dodawanie. Trzeba jedynie pamiętać o wyrównaniu przecinków dziesiętnych.

Kiedy dodajesz lub odejmujesz ułamki dziesiętne, musisz pamiętać o wyrównaniu przecinków dziesiętnych. 484

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Zaostrz ołówek Uzupełnij działania dodawania lub odejmowania i rozwiąż poniższe zadania. Pamiętaj o wyrównaniu przecinków dziesiętnych!

6,9 + 12,41 = ?

3 + 16,01 = ?

Pamiętaj, że musisz wyrównać przecinki dziesiętne!

14,27 - 3,6 = ?

21,24 - 9,7 = ?

Staszek chce kupić najnowszą grę na konsolę Y-box — kosztuje 49,99 zł plus 2,50 VAT oraz 13,65 za przesyłkę (w ciągu 24 godzin!). Ile będzie kosztowała gra Staszka?

Ela, siostra Staszka, dostała pieniądze na urodziny i ma 80 zł do wydania. Chce kupić płytę DVD za 13,35 zł i nową bluzkę za 42,35 zł. Ile jej zostanie?

jesteś tutaj  485 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Uzupełnij działania dodawania lub odejmowania i rozwiąż poniższe zadania. Pamiętaj o wyrównaniu przecinków dziesiętnych!

6,9 + 12,41 = ?

14,27 - 3,6 = ?

Pamiętaj, że musisz wyrównać przecinki dziesiętne!

6.9 , 0 + 12.41 , 19.31 ,

3

14.27 , - 3.6 , 00 10.67 ,

3 + 16,01 = ?

Trzeba dodać przecinek dziesiętny i dwa zera.

10

11.54 ,

0019.01 ,

Dodajemy zero dla ułatwienia śledzenia miejsc dziesiętnych.

21,24 - 9,7 = ? 21.24 , - 9.70 , 0

,00 003.00 + 16.01 ,

Pożyczamy z następnej kolumny, tak jak przy zwykłym odejmowaniu.

Tutaj jest sporo pożyczania. Należy to zrobić tak samo jak w przypadku liczb całkowitych.

Staszek chce kupić najnowszą grę na konsolę Y-box — kosztuje 49,99 zł plus 2,50 VAT oraz 13,65 za przesyłkę (w ciągu 24 godzin!). Ile będzie kosztowała gra Staszka? Możesz dodawać tyle ułamków dziesiętnych, ile chcesz.

2

49.99 , , + 2.50 13.65 , 66.14 , z

Ela, siostra Staszka, dostała pieniądze na urodziny i ma 80 zł do wydania. Chce kupić płytę DVD za 13,35 zł i nową bluzkę za 42,35 zł. Ile jej zostanie?

Najpierw musisz dodać kwoty jej zakupów.

13.35 , , + 42.35 55.70 , z

486

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Następnie możesz odjąć tę wartość od kwoty pieniędzy, które Ela dostała na urodziny.

80.00 , , - 55.70 24.30 , z

Po prostu wyrównaj przecinki dziesiętne i dodaj ułamki dziesiętne tak jak zwykłe liczby całkowite!

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Mnożenie ułamków dziesiętnych Mnożenie ułamków dziesiętnych wykonuje się prawie tak samo jak mnożenie liczb całkowitych. Na końcu tej operacji jest jednak pewien haczyk. Zadanie mnożenia ułamków dziesiętnych zaczynamy tak samo jak w przypadku liczb całkowitych. Wyrównujemy liczby do prawej i rozpoczynamy mnożenie. Po pomnożeniu pierwszej liczby przez wszystkie cyfry drugiej liczby można je do siebie dodać. Ostatni krok — ten, który jest różny od postępowania z liczbami całkowitymi — to policzenie liczby miejsc po prawej stronie przecinka dziesiętnego w obu czynnikach, a następnie umieszczenie tej liczby miejsc dziesiętnych w wyniku.

Spróbuj wykonać następujące działanie:

14.45 , # 1.5 , =? 14.45 , # 1.5 ,

1

Zapisz mnoenie tak, jak si to robi w przypadku liczb cakowitych.

2

Wykonaj etapy mnoenia i dodawania tak, jak robiby to dla liczb cakowitych. Na razie po prostu zignoruj przecinki dziesitne. Ta część to w mnożenia 1x14 ynik 45.

3

Ostatnia czynno polega na policzeniu miejsc dziesitnych w obu czynnikach. Nastpnie naley umieci na odpowiedniej pozycji przecinek dziesitny wyniku.

14.45 , 1 miejsce

1.5 ,

Upewnij się, że zapisałeś przecinki dziesiętne w odpowiednich miejscach.

2 miejsca

To są razem trzy miejsca dziesiętne.

2

2 2

14.45 , # 1.5 ,

7225 + 14450 21,.675

To jest 5x1445.

Dodaj zero, ponieważ mnożymy przez dziesiątki.

Policzyłeś, że oba czynniki mają razem trzy miejsca dziesiętne.

Podczas mnożenia ułamków dziesiętnych należy policzyć całkowitą liczbę miejsc dziesiętnych w czynnikach. jesteś tutaj  487

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Postępowanie z przecinkami dziesiętnymi podczas dzielenia

Dzielenie ułamków dziesiętnych Dzielenie ułamków dziesiętnych przypomina standardowe pisemne dzielenie liczb całkowitych, z pewnymi drobnymi zmianami. Zanim powiemy coś więcej na ten temat, krótkie odświeżenie niektórych pojęć.

Dzielna ÷ Dzielnik = Iloraz

sposoby To są dwa różne ielenia, dz nia wa to en prez neś być do których powinie y. jon za przyzwyc

Iloraz =

Dzielna Dzielnik

Jeśli dzielisz ułamki dziesiętne, wykonaj standardowe pisemne dzielenie liczb i wprowadź następujące zmiany: 1

Jeli w dzielniku wystpuje przecinek dziesitny, musisz si go pozby. Jeśli w dzielniku występuje przecinek dziesiętny, trzeba go wyeliminować. Najpierw przesuń przecinek dziesiętny w dzielniku w prawo o tyle miejsc, aby dzielnik stał się liczbą całkowitą. Następnie przesuń przecinek dziesiętny w dzielnej o tę samą liczbę pozycji dziesiętnych w prawo.

2

Jeli w dzielnej pozostanie przecinek dziesitny, w wyniku umie go w tym samym miejscu, w jakim wystpuje w dzielnej. Po odpowiednim zapisaniu problemu przecinek dziesiętny wyniku powinien pozostać w tym samym miejscu, w jakim jest w dzielnej. Jeśli w dzielnej nie było przecinka dziesiętnego, przeprowadź dzielenie w taki sam sposób, w jaki zrobiłbyś to dla liczb całkowitych. Jeżeli przesunąłeś przecinek dziesiętny w kroku 1., pamiętaj o wykorzystywaniu nowej pozycji.

Wykonajmy dzielenie! Oto zadanie, w którym występują wszystkie możliwe haczyki. Mamy do podzielenia dwa ułamki dziesiętne i aby to zrobić, musimy sięgnąć do pewnych sztuczek. Prosimy, nie korzystaj z kalkulatorów! W końcu starasz się nauczyć wykonywania tych działań ręcznie.

15.126 ' 1.2 , , =?

Najpierw należy zapisać równanie w formie pisemnego dzielenia… 488

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

OK. A więc w dzielnej i w dzielniku występuje przecinek dziesiętny. Musisz zatem wykorzystać obie sztuczki.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Ćwiczenia z dzielenia ułamków dziesiętnych 1

2

3

Zapisz zadanie w postaci przygotowanej do pisemnego dzielenia liczb.

'1,2 uzyskać 15.126 , Aby

Dostosuj pozycję przecinków dziesiętnych w miarę potrzeb. Jeśli w dzielniku występuje przecinek dziesiętny, przesuń go w prawo, tak aby uzyskać liczbę całkowitą. Następnie przesuń przecinek dziesiętny w dzielnej o tę samą liczbę pozycji dziesiętnych. Po wykonaniu tych czynności zapisz przecinek dziesiętny w wyniku w tym samym miejscu, w którym występuje on w dzielnej.

, 15.126 , , '1,2 Aby uzyskać liczbę całkowitą, przesunęliśmy przecinek dziesiętny w dzielnej o jedno miejsce w prawo. To samo trzeba zrobić w dzielniku.

Wykonaj dzielenie pisemne. Działanie to wykonuje się identycznie jak w przypadku liczb całkowitych.

12.605 , 151., 260 '12, - 12 31 - 24 72 - 72 Reszta z dzielenia? Już nie jest potrzebna …

5

liczbę całkowitą, przesunęliśmy przecinek dziesiętny w dzielniku o jedno miejsce w prawo.

Kontynuuj dzielenie. Kiedy wykonasz dzielenie bez reszty, zadanie jest skończone!

060

4

Reszta z dzielenia już dla Ciebie nie istnieje! Ponieważ pracujesz z ułamkami dziesiętnymi, możesz dodać zera do dzielnika bez obawy o zmianę wartości i kontynuować dzielenie. Jeśli musisz dodać zero do dzielnika, nie zapomnij dodać zera także w wyniku.

- 60 0

ły Istnieje kilka wyjątków do tej regu — przewróć stronę…

jesteś tutaj  489 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Specjalne rodzaje ułamków dziesiętnych

Specjalne ułamki dziesiętne Istnieje kilka przypadków specjalnych, na które należy być przygotowanym podczas wykonywania działań z ułamkami dziesiętnymi. Dzielenie ułamków dziesiętnych może się zakończyć na jeden z trzech sposobów: 1

12.,605

Sko czone uamki dziesitne. Przykład, który wykonaliśmy przed chwilą, dotyczy właśnie skończonego ułamka dziesiętnego. Oznacza to, że liczba ma skończoną liczbę pozycji.

2

13,225

Okresowe uamki dziesitne. Takie ułamki dziesiętne mają tzw. okres. Najprostszym przykładem są ułamki o dzielniku 3 (1/3, 2/3). Tego rodzaju liczby są nieskończone. Istnieje konwencja dotycząca ich zapisu:

Spróbuj wykonać to działanie. To jedynka podzielona przez trzy.

3

1 = 0,3333333... lub 0,(3) 3

Człon w nawiasach oznacza, że jest to fragment po przecinku, który się powtarza.

Niesko czone i nieokresowe uamki dziesitne. Są to liczby o nieskończonej liczbie miejsc po przecinku. Można dodawać zera w nieskończoność i kontynuować dzielenie. Kiedy zaobserwujesz coś takiego, zapisz tę wartość, którą obliczyłeś, i dodaj notatkę, że liczba jest nieskończona. Nie istnieją

głupie pytania

P

: Czy w okresowych ułamkach dziesiętnych zawsze powtarza się tylko jedna cyfra?

O

: Niekoniecznie. Czasami powtarza się kilka cyfr, na przykład 1,234234234…

W takim przypadku w nawiasach umieszcza się cały powtarzający się człon:

1,(234)

490

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

P

: Skąd mam wiedzieć, czy otrzymałem liczbę nieskończoną nieokresową, czy też po prostu mam do czynienia z długą powtarzającą się sekwencją?

O

: W większości przypadków w treści problemu jest informacja o tym, ile miejsc dziesiętnych powinno się znaleźć w wyniku. Na przykład, może wystąpić stwierdzenie „weź pod uwagę tylko pięć pierwszych miejsc”.

P

: W jaki sposób wykorzystujemy okresowe ułamki dziesiętne? Przecież nie można ich dodawać do innych liczb. Czy tak?

O

: W przypadku okresowych i nieskończonych ułamków dziesiętnych znacznie łatwiej wykonuje się z nimi działania, jeśli są zapisane w postaci ułamków zwykłych.

P

: Dlaczego przy dzieleniu przez ułamki dziesiętne można dodawać zera na końcu?

O

: Ponieważ zero dodane na końcu części dziesiętnej nie zmienia wartości dzielnej. Liczba 15,126 ma dokładnie taką samą wartość, co liczba 15,12600000. Dodawanie zer jest sztuczką ułatwiającą dokończenie długich operacji dzielenia.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Rozwiąż poniższe przykłady mnożenia i dzielenia. Za częścią dziesiętną możesz dodać tyle zer, ile chcesz. Nie zapominaj jednak o okresowych oraz nieskończonych ułamkach dziesiętnych. Jeśli obliczysz cztery miejsca i nie wyznaczysz dokładnego wyniku, możesz się zatrzymać.

Ćwiczenie

15,1 # 0,72 = ?

23,2 ' 5 = ?

'

# To, że nie dzielimy przez siebie ułamków dziesiętnych, nie oznacza, że wynik nie będzie ułamkiem dziesiętnym.

10,6 ' 0,34 = ?

56 ' 3 = ?

'

'

jesteś tutaj  491 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Rozwiąż poniższe przykłady mnożenia i dzielenia. Za częścią dziesiętną możesz dodać tyle zer, ile chcesz. Nie zapominaj jednak o okresowych oraz nieskończonych ułamkach dziesiętnych. Jeśli obliczysz cztery miejsca i nie wyznaczysz dokładnego wyniku, możesz się zatrzymać.

15,1 # 0,72 = ? W wyniku są trzy miejsca po przecinku, ponieważ pierwszy czynnik ma jedno miejsce po przecinku, natomiast drugi — dwa miejsca po przecinku.

15.1 , , # 0.72 302 10570 10.872 ,

18,6(6)

'3

026 024 0020 0018 00020 00018 00002

23,2 ' 5 = ?

320. 30.0 00020

10,6 ' 0,34 = ? Przecinek dziesiętny w odpowiedzi należy umieścić bezpośrednio nad przecinkiem dziesiętnym dzielnej.

Nawias oznacza, że ten człon się powtarza. W nawiasie jest liczba 6.

ieść Po prostu um siętny ie dz k ne ci prze ośrednio w wyniku bezpm ie nk ci ze nad pr dzielnej. dziesiętnym w

4.64 , 23.2 , 0 '5 20

Jedyną nową czynnością, jaką należy wykonać, jest umieszczenie przecinka dziesiętnego w tym miejscu. To, że nie dzielimy przez siebie ułamków dziesiętnych, nie oznacza, że wynik nie będzie ułamkiem dziesiętnym.

56 ' 3 = ? 56.00 , 3

Nie ma potrzeby wyrównywania przecinków dziesiętnych. Trzeba je tylko śledzić.

,,

311764 10.60 , 0000 '0,34 0102 00040 00034

Hm… wydaje się, że ten człon nigdy się nie skończy. Wygląda na to, że mamy do czynienia z okresowym ułamkiem dziesiętnym.

Dzielenie w dalszym ciągu nie jest skończone! Wynik jes t liczbą nieskończoną nieokresową.

Przecinek trzeba przesunąć o dwa miejsca.

000060 000034 5 00.00260 00000238

,

Ten przecinek dziesiętny także ć trzeba przesuną o dwa miejsca.

000000220 000000204 5 0000000160 0000000136 0000000024 łuż Aby to sprawdzić, pos en ini się kalkulatorem. Pow wyświetlić tyle miejsc dziesiętnych, ile może pokazać wyświetlacz!

492

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Masz 100% racji! Ułamki dziesiętne i procenty to prawie to samo. Procenty to konwencja wykorzystywana podczas posługiwania się ułamkami dziesiętnymi — w szczególności tymi, których wartości mieszczą się pomiędzy zerem a jedynką. I tak 0% odpowiada liczbie 0, natomiast 100% odpowiada 1. Wszystkie pozostałe liczby pomiędzy tymi wartościami są ułamkami dziesiętnymi. W wielu sytuacjach zachodzi potrzeba posługiwania się częścią całości pomiędzy zerem a jedynką — mogą to być stawki podatku, udziały itp.

Jeśli powiemy 5%, brzmi to znacznie lepiej niż 5 setnych.

Posługiwanie się procentami jest łatwe. Wystarczy zamienić je na ułamki dziesiętne i wykonywać działania tak jak z ułamkami dziesiętnymi!

1% = 1 ze 100 części = 0,01

Aby zamienić procent na ułamek dziesiętny, wystarczy przesunąć przecinek dziesiętny o dwa miejsca w lewo.

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

: Czy można wykonać operację odwrotną — zamianę ułamka dziesiętnego na procent?

: Co zrobić z procentem większym niż 100?

O: Tak. Aby zamienić ułamek dziesiętny

: Proces przebiega tak samo — należy przesunąć przecinek dziesiętny o dwa miejsca w lewo. Liczba, którą uzyskamy w wyniku, będzie miała wartość większą niż jeden. To wszystko!

na procent, wystarczy przesunąć przecinek dziesiętny o dwa miejsca w prawo.

O

P

: Czy procenty można zapisać w postaci ułamków?

O

: Oczywiście, że można. Wkrótce powiemy, w jaki sposób się to robi. Na razie zapamiętaj, że ułamki dziesiętne, procenty i ułamki zwykłe to sposoby wykonywania działań na fragmentach liczb.

jesteś tutaj  493 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Procenty to tylko specjalna notacja

Działania na procentach W typowym problemie związanym z procentami wyszukujemy procent jakiejś liczby — na przykład podatku VAT. W rozdziale 1. pomogliśmy Julii kupić konsolę do gry. Kiedy coś kupujesz, musisz zapłacić VAT:

Konsola do gier KillerX 2.0.

OFERTA ! SPECJALNA a

ln specja cena

Najpierw zajmijmy się podatkiem VAT Podstawowa cena konsoli wynosi 199 €. Do tej ceny trzeba doliczyć podatek VAT. Załóżmy, że podatek VAT wynosi 5%. Spróbujmy obliczyć, ile podatku zapłacimy.

Nowa konsola do gier KillerX 2.0 to doskonałe urządzenie do zabawy. Jeden dżojstik w zestawie (KILLX-112)

Konsola do gier kosztuje 199 €.

199 €

Musisz obliczyć procent z ceny netto wynoszącej 199 €.

Obliczenie procentu z jakiejś liczby składa się z trzech kroków.

199

1

Znajdź liczbę, z której chcesz obliczyć procent.

2

Przekształć procent na ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, należy przesunąć przecinek dziesiętny o dwa miejsca w lewo.

5%. Wychodzimy od

Opuść symbol procentu.

5% Przesunięcie przecinka dziesiętnego o dwa miejsca oznacza konieczność dodania zera.

3

,0 5, %=0,05 Przecinek dziesiętny jest tutaj. Mimo że nie jest zapisany.

Pomnóż ułamek dziesiętny przez liczbę bazową. Wartość, którą otrzymasz, jest szukanym procentem. Wartość, którą otrzymasz, jest szukanym procentem.

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

9,95

Odpowiedź:

494

199 # 0.05 , +

Wykonaj obliczenia!

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Magnesiki do obliczania kosztów Uyj magnesików, aby dokoczy zadania z procentami.

Procenty można też wyrazić w postaci ułamków dziesiętnych…

Przesuń przecinek dziesiętny o dwa miejsca w lewo.

15% =

0,027 =

Więcej niż 100% odpowiada liczbie powyżej jeden.

117% =

0,39 =

Kierownictwo dużego centrum handlowego próbuje wysondować, czy klienci korzystaliby z bezprzewodowej sieci komputerowej w centrum, gdyby takie zostało w nim zainstalowane. W związku z tym przeprowadzono wśród 618 kupujących ankietę, w której 61% z nich zadeklarowało, że gdyby sieć Wi-Fi była dostępna, to korzystaliby z niej. Ilu klientów reprezentuje ten procent?

618 # 0.61

61% =

618

# 618 = ?

37080

0,615

0,15%

37,698

1,15

0,61

376,98

0,615 1,17

0,61

2,7%

0,15

39%

0,615

0,61

jesteś tutaj  495 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Magnesiki: rozwiązanie

Magnesiki do obliczania kosztów. Rozwiązanie Uyj magnesików, aby dokoczy zadania z procentami.

Przesuń przecinek dziesiętny o dwa miejsca w lewo.

15% =

Procenty można też wyrazić w postaci ułamków dziesiętnych…

0,15

0,027 =

1,17

0,39 =

2,7%

Idź w drugą stronę — dwa miejsca w prawo .

Więcej niż 100% odpowiada liczbie powyżej jeden.

117% =

39%

Kierownictwo dużego centrum handlowego próbuje wysondować, czy klienci korzystaliby z bezprzewodowej sieci komputerowej w centrum, gdyby takie zostało w nim zainstalowane. W związku z tym przeprowadzono wśród 618 kupujących ankietę, w której 61% z nich zadeklarowało, że gdyby sieć Wi-Fi była dostępna, to korzystaliby z niej. Ilu klientów reprezentuje ten procent?

61% =

0,61

# 618 = ?

0,61

618 0,61 # 0.61 618 37080 376,98

0,615

0,15%

1,15 37,698

0,615

0,615

496

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Ułamki Nie cierpię ułamków. Są trudne i nie rozumiem, w czym mogłyby pomóc. Zamierzam skorzystać z kalkulatora. Mam serdecznie dość ułamków…

Zaczekaj! Ułamki nie są takie złe.

Pamiętasz okresowe ułamki dziesiętne?

Ułamki bywają naprawdę przydatne. Kiedy je dobrze poznasz, okaże się, że pozwalają wykonywać działania szybciej i dokładniej. Nauczenie się ułamków jest dość trudne, dlatego rozpocznijmy od przypomnienia, czym w rzeczywistości one są.

Ułamki reprezentują fragmenty całości Ułamki informują o tym, ile części czegoś posiadasz i na ile części tę całość podzielono. Ten To jest licznik.

Liczba części, które masz łączna liczbę części składających się na całość

jnie

o Spok

k to kawałe

To jest mianownik.

1 4

1

2

3

4

Jeśli obawiasz się ułamków, zaradzimy temu.

Ułamki są faktem w życiu. Kiedy dobrze poznasz sposób postępowania z nimi, okażą się dość przydatne. Kontynuuj lekturę, a wkrótce staniesz się geniuszem w posługiwaniu się ułamkami.

jesteś tutaj  497 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Mnożenie ułamków

Mnożenie ułamków Mnożenie to najłatwiejsze działanie do wykonania na ułamkach. Wystarczy pomnożyć liczniki, aby uzyskać licznik wyniku, a następnie pomnożyć mianowniki, aby uzyskać mianownik wyniku. Pomnóż przez siebie liczniki.

1 1 1#1 1 # = = 2 3 2#3 6 Rozpocznij od dwóch ułamków.

Zapisz nowy ułamek — to wszystko!

Pomnóż przez siebie mianowniki.

1

Pomnóż liczniki i zapisz iloczyn jako licznik wyniku.

2

Pomnóż mianowniki i zapisz iloczyn jako mianownik wyniku.

Podczas dzielenia ułamków mnożymy na przemian liczniki z mianownikami Dzielenie ułamków przypomina ich mnożenie. Jest jednak pewien haczyk. Aby podzielić ułamek przez ułamek, wykonujemy tzw. mnożenie na krzyż. Oto w jaki sposób się to robi: Wykonaj mnożenie na krzyż — pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego — w ten sposób uzyskasz licznik wyniku.

Rozpocznij od dwóch ułamków.

1 1 1#2 2 ' = = 3 2 3#1 3 Następnie pomnóż mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego, aby obliczyć mianownik wyniku.

Aby podzielić, pomnóż!

498

1

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i zapisz tę wartość jako licznik rozwiązania.

2

Pomnóż mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i zapisz tę wartość jako mianownik rozwiązania.

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Teraz to wypróbuj…

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej :

?

KTÓRE JEST KTÓRE? 7

Dopasuj każde z działań do ich wyników.

Dziaania

Wyniki

1 6 '7 20

5 30

3 1 # 7 11

7 120

1 2 '9 12

3 8

1 1 ' 8 3

1 24

1 3 # 2 1

9 24

1 3 ' 10 5

1 1 # 8 3

3 77 3 2

jesteś tutaj  499 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie :

?

KTÓRE JEST KTÓRE? 7

ROZWIĄZANIE

Dopasuj każde z działań do ich wyników.

Dziaania

Wyniki

1 6 ' 20 7

5 30

3 1 # 7 11

7 120

1 2 ' 12 9

3 8

1 1 ' 8 3

1 24

1 3 # 2 1

9 24

1 3 ' 10 5

3 77

1 1 # 8 3

3 2 A co to takiego? Licznik jest większy od mianownika! Tak przecież nie może być, prawda?

500

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Ułamki niewłaściwe Ułamek niewłaściwy to taki, w którym licznik jest większy od mianownika. Ponieważ licznik jest większy od mianownika, ułamek w rzeczywistości reprezentuje liczbę większą niż jeden.

3

Na przykład, mianownik ostatniego ułamka w poprzednim ćwiczeniu ma wartość 2, co oznacza, że całość jest podzielona na dwie części. Licznik o wartości 3 oznacza, że mamy trzy takie kawałki (więcej niż całe ciasto).

1

2

Ta liczba jest większa

3 2

2

1 od tej.

1

2 Trzy kawałki z ciast podzielonych na pół.

Czasami (jak w przypadku mnożenia i dzielenia) bardziej sensowna jest praca z ułamkami niewłaściwymi. Co jednak zrobić, jeśli chcemy się dowiedzieć, ile mamy ciast?

Wykonaj dzielenie, aby zamienić ułamek niewłaściwy na zwykły Aby przekształcić ułamek niewłaściwy na zwykły, wystarczy pamiętać, że kreska ułamkowa w ułamkach oznacza dzielenie. Ta kreska ułamkowa oznacza dzielenie.

3 2

Inny sposób czytania tego ułamka to „3 podzielone przez 2”.

Zatem wykonaj dzielenie!

1 3 '2 -2

Wynik brzmi reszty 1.

1

1 Reszta z dzielenia powraca do licznika. Całkowita liczba uzyskana z dzielenia pozostaje jako część całkowita.

11 2 Oto ułamek zwykły (oficjalne pojęcie to liczba mieszana).

m nka w dalszy Pozostała jedy 1 przez 2. a cz ciągu ozna

Jeśli spojrzysz jeszcz e raz na ilustrację ciasta, zobaczysz, że wynik oznacza całe ciasto plus pół ciasta .

jesteś tutaj  501 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Działania na liczbach mieszanych

Więcej informacji na temat ułamków niewłaściwych Co zrobić, aby rozwiązać takie oto zadanie?

21 # 41 = ? 6 2 Liczby mieszane komplikują działania na ułamkach. Przed pomnożeniem liczników i mianowników należy zamienić je na ułamki niewłaściwe. Dzięki temu będziemy mieć tylko liczniki i mianowniki. Nie będzie części całkowitych. Części całkowite tylko komplikują zadanie.

21 6

1

2

5

4

2

1

6

3

6 5

Ta liczba oznacza, że mamy dwie całe i dodatkowo jedną szó stą

1

4

2 3

.

13 Policz części — to 6

1 6

1

2

6

3 5

4

Aby uzyskać liczbę mieszaną, musiałeś wykonać dzielenie, zatem aby powrócić do ułamka niewłaściwego, musisz wykonać działanie odwrotne — mnożenie.

1

2

502

Aby przekształcić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, najpierw zapisz mianownik wyniku. Ma on taką samą wartość, co mianownik części ułamkowej liczby mieszanej. Aby znaleźć nowy licznik, pomnóż liczbę całkowitą przez mianownik i dodaj do starego licznika. To wszystko!

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

21 6

Razy

Równa się Plus

=

Mianowniki są takie same.

13 6

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

wiczenia w dziaaniach na uamkach

plus

12 = razy 9

Przekszta ponisze uamki z postaci liczb mieszanych na uamki niewaciwe. Skró wszystkie wyniki do postaci liczb mieszanych.

33 8

razy

25 7

plus

1 razy 3 plus 1

11 # 7 = 3 8

ejsce Wykorzystaj to miłcenia w celu przeksztaem ułamka z powrot ną. na liczbę miesza

26 # 11 = 7 4

Skorzystaj z tego miejsca, aby przekształcić wynik na liczbę mieszaną.

jesteś tutaj  503 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

wiczenia w dziaaniach na uamkach Rozwizanie plus

razy

1 2 = 11 9 9

Przekszta ponisze uamki z postaci liczb mieszanych na uamki niewaciwe. Skró wszystkie wyniki do postaci liczb mieszanych.

Licznik wynosi 1 razy 9 plus 2.

3 razy 8 plus 3

plus

3 3 = 27 8 8 razy

Najpierw zapisz ten sam mianownik.

plus

2 razy 7 plus 5

2 5 = 19 7 razy 7

Najpierw mianownik

1 razy 3 plus 1

11 # 7 = 4 # 7 3 8 3 8 28 = 24 1 4 24 g 28 '24 1 24

Tę liczbę trzeba przekształcić na postać liczby mieszanej.

W tym celu należy podzielić licznik przez 24 i wykorzystać resztę z dzielenia w roli nowego licznika.

- 24 4

Aby obliczyć licznik tej liczby, musisz pomnożyć przez siebie liczniki obu czynników (20 i 5).

Aby przekształcić wynik na liczbę mieszaną, należy podzielić licznik przez 28 i wykorzystać resztę z dzielenia w roli nowego licznika.

2 6 # 1 1 = 20 # 5 7 7 4 4 100 = 28 3 26 28 g 100 '28 3 28 - 84 26

CELNE SPOSTRZEŻENIA

504

Q

Aby pomnożyć przez siebie ułamki, należy pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Q

Aby podzielić ułamki, należy przemnożyć liczniki z mianownikami na krzyż.

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Aby przekształcić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, należy wykonać dzielenie.

Q

Aby przekształcić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, należy wykonać mnożenie.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Uczyłem się dzielić ułamki w inny sposób. My korzystaliśmy z odwrotności.

To prawda. Istnieje skrócony sposób dzielenia ułamków. Mnożenie na krzyż jest najprostszą metodą, ale równie dobrze możesz skorzystać z odwrotności.

Wyznaczanie odwrotności ułamków Odwrotność ułamka to ułamek, w którym zamieniono licznik i mianownik. Aby podzielić dwa ułamki z wykorzystaniem tej metody zamiast mnożenia na krzyż, możesz pomnożyć ułamek przez odwrotność dzielnika.

1 2

Odwrotnością tego ułamka jest ten ułamek.

2 1

Zobacz, po prostu zamieniliśmy licznik z mianownikiem!

Wyjdź od typowego problemu dzielenia.

Dzielenie ułamków — opcja nr 2 Oto sposób dzielenia ułamków z wykorzystaniem odwrotności. W ten sposób uzyskamy dokładnie taki sam wynik, jak w przypadku mnożenia na krzyż: 1

Zastąp symbol mnożenia symbolem dzielenia i zastąp dzielnik jego odwrotnością.

2

Wykonaj mnożenie tak jak w przypadku standardowego mnożenia ułamków.

1 6 ' = 4 7 1 7 # = 4 6 7 24

WYTĘŻ UMYSŁ

Spróbuj rozwiązać to samo zadanie z wykorzystaniem mnożenia na krzyż — uzyskasz taką samą odpowiedź.

jesteś tutaj  505 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Nie istnieją głupie pytania

Nie istnieją

głupie pytania

P

P

P

: Dlaczego musimy uczyć się ułamków? Czy większość osób nie używa kalkulatorów?

: Czy dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych wykonuje się tak samo jak z liczbami całkowitymi?

: Do czego wykorzystuje się ułamki niewłaściwe?

O: To prawda, że większość osób używa

O: Tak, jeśli WYRÓWNAMY PRZECINKI

: To doskonały instrument do przyspieszenia wykonywanych działań. Jeśli masz kilka czynności do wykonania podczas mnożenia i dzielenia ułamków, znacznie łatwiej posługiwać się ułamkami niewłaściwymi. Jeżeli w środku wykonywania zadania przekształcisz ułamek niewłaściwy na właściwy (na przykład na postać liczby mieszanej), a następnie będziesz musiał go pomnożyć, będziesz zmuszony cofnąć się w obliczeniach.

kalkulatorów. Problem polega na tym, że w przypadku gdy otrzymamy wyniki, na przykład w postaci ułamków dziesiętnych nieskończonych lub okresowych, znacznie łatwiej posługiwać się ułamkami. Wykonanie kilku obliczeń algebraicznych z długimi ułamkami dziesiętnymi nie byłoby zbyt wygodne.

P

: Skąd wiadomo, co oznaczają poszczególne pozycje dziesiętne: dziesiętne, setne?

O

: To jest podstawowa wiedza na temat liczb. Trzeba to po prostu zapamiętać: 0,1 to jedna dziesiąta, 0,01 to jedna setna itd. Z każdą pozycją rząd wielkości zmniejsza się dziesięciokrotnie.

Jeśli się to wie, przekształcenie ułamka dziesiętnego na zwykły jest łatwe.

DZIESIĘTNE. Nie należy wyrównywać liczb do prawej, ponieważ wtedy trzeba by dodawać części setne do dziesiętnych, a tak nie można.

P

: Jak długo można dodawać zera przy dzieleniu?

O

: Dobre pytanie. W rzeczywistości tak długo, jak chcesz. Jeśli będziesz miał do czynienia z ułamkiem dziesiętnym okresowym, bardzo szybko się zorientujesz — prawdopodobnie już na pozycji setnych. W przeciwnym przypadku kontynuuj dzielenie do czasu, kiedy nie będzie reszty lub kiedy uzyskasz wystarczającą liczbę pozycji, by móc udzielić odpowiedzi na pytanie. Wszystko zależy od kontekstu problemu.

P

: Czy procenty to po prostu ułamki dziesiętne?

O

: Zgadza się! Wymyślono je po to, by można było łatwo posługiwać się setnymi częściami całości. Ponieważ właśnie w taki sposób dzielimy nasze pieniądze, są one tak wygodne!

506

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

O

P

: Jaki sposób dzielenia ułamków jest lepszy: mnożenie na krzyż czy wykorzystanie odwrotności?

O

: W rzeczywistości to sprawa stylu. Oba sposoby są skuteczne, jednak w pierwszym przypadku trzeba przepisywać ułamek, natomiast w drugim nie ma takiej konieczności. Niektórych może denerwować to, że w przypadku mnożenia na krzyż nie zawsze piszemy dokładnie te czynności, które wykonujemy. W przypadku zapisywania odwrotności wykonywane obliczenia są dokładnie takie same, ale notacja jest inna.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Dodawanie i odejmowanie ułamków Dodawanie i odejmowanie ułamków jest nieco bardziej skomplikowane niż ich mnożenie i dzielenie. Pomnożyć i podzielić przez siebie można bez większych kłopotów dowolne dwa ułamki. Dodawanie lub odejmowanie dwóch ułamków wymaga, aby miały one taki sam mianownik. Dlaczego? Ponieważ szukany wynik będzie podany z użyciem określonego mianownika, który poinformuje nas, na ile części jest podzielona całość.

1 3

1 4

2 3

+

1 1 + = 3 4

2 4

3

Liczba części, które masz łączna liczba części składających się na całość

=

?

Ta wartość zmienia się w zależności od mianownika.

Jaki ma być mianownik? 3 czy 4?

Potrzebny jest wspólny mianownik Morał tej historii jest następujący: potrzebujemy sposobu zmiany mianownika ułamka bez zmiany jego wartości. Zanim jednak poznamy ten sposób, musimy nauczyć się kilku rzeczy.

jesteś tutaj  507 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ułamki równoważne są sobie równe

Aby porównywać ułamki, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika Jak pewnie pamiętasz z nauki tabliczki mnożenia, każda liczba pomnożona przez jeden daje samą siebie. Dzięki tej prostej własności możemy zmienić mianownik bez zmiany wartości ułamka — czyli zmienić rozmiar kawałków, na które chcemy podzielić ciasto. Aby otrzymać ułamek równoważny (na przykład, by wykonać dodawanie, w którym ułamki muszą mieć taki sam mianownik), trzeba pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę (na przykład 2 przez 2). Można to zrobić, ponieważ 2 przez 2 to jeden. Zatem w tym przypadku nie zmieniamy wartości ułamka, a jedynie sposób jego zapisu. Kiedy to robimy w celu uzyskania ułamka równoważnego, wyznaczamy inny sposób wyrażenia tego samego kawałka ciasta. Wypróbuj to. To jest inna postać liczby jeden. Wychodzimy . od czwartych

Wykonaj to dz tak jak standaiałanie mnożenie ułamrdowe ków.

1 2 1#2 2 # = = 4 2 4#2 8 Te ułamki są równoważne.

1 4

1 4

2 3

2 8

Oba te kawałki oznaczają tyle samo ciasta do zjedzenia.

1 8

2 3 7 6

4 5

OK. A więc możemy uzyskać ułamki równoważne. Ale w dalszym ciągu nie wiemy, jak dodać dwa ułamki o różnych mianownikach. Skąd wiadomo, przez jaką liczbę należy pomnożyć ułamek? Pamiętasz, że próbujemy dodać do siebie te dwa ułamki?

1 1 + = 3 4 508

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

?

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Wyznaczanie najmniejszego wspólnego mianownika w operacji dodawania W tym przypadku poszukujemy wspólnego mianownika obu ułamków. Dla uproszczenia obliczeń powinien to być najmniejszy wspólny mianownik.

Najmniejszy wspólny mianownik Najmniejsza liczba…

którą we wszystkich dodawanych lub odejmowanych ułamkach…

można wykorzystać w roli mianownika.

Aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik, należy wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb będących mianownikami dodawanych lub odejmowanych ułamków (w naszym przypadku 3 i 4). Po wyznaczeniu tej wartości można znaleźć sposób wyznaczenia ułamków równoważnych każdego ze składników sumy o odpowiednim mianowniku. elokrotności To są wspólne wi . ów nik ow an mi

Wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24… Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…

Wielokrotność liczby to wynik mnożenia tej liczby przez inną liczbę.

Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności, zatem zatrzymujemy się w tym miejscu, ale moglibyśmy kontynuować w nieskończoność.

Kiedy masz dwa ułamki i chcesz znaleźć ich najmniejszy wspólny mianownik, wymień wielokrotności każdej z liczb i wybierz najmniejszą z tych, która jest dla nich wspólna. Ponieważ dowiedzieliśmy się, że 12 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością, możemy wykorzystać tę liczbę w roli najmniejszego wspólnego mianownika.

Podsumowanie Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) — najmniejsza wielokrotność wspólna dla zbioru liczb. Najmniejszy wspólny mianownik (NWM) — najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników.

jesteś tutaj  509 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Sprowadzanie do wspólnego mianownika w celu dodawania lub odejmowania

Ćwiczenia w dodawaniu i odejmowaniu ułamków Nadal czujesz, że nie potrafisz dodawać ułamków? Jesteś bliżej tej umiejętności, niż myślisz — musisz tylko zebrać poznane informacje. Znajdź najmniejszy wspólny mianownik (NWM) i pomnóż składniki przez 1, aby sprowadzić je do wspólnego mianownika. 1

Zapisz wyjściowe zadanie. Jeśli rozwiązujesz zadanie z treścią, upewnij się, czy wiesz, co masz obliczyć, poprzez zapisanie działań do wykonania.

1 1 + = 3 4

To jest ten sam problem, co wcześniej. Teraz jesteś gotów do wykonania działań!

2

Wyznacz najmniejszy wspólny mianownik. Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników dodawanych do siebie ułamków w taki sam sposób, w jaki zrobiliśmy to wcześniej. a ę — to najmniejsz Wybierz tę liczb tność obu liczb. kro wspólna wielo

3

Wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24… Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…

Zastanów się, jaką wersję liczby 1 wykorzystać, aby sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika. Wiesz już, jaki mianownik chcesz uzyskać (12). Teraz musisz określić ułamkową wersję liczby 1, której użycie pozwoli Ci na sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Ten ułamek powinien mieć licznik taki sam jak mianownik (dzięki temu będzie miał wartość 1).

inien 3x4 = 12, zatem to pow 4. ez prz 4 k być ułame

1 # 3 4

4 4

=

4

12

Oba te ułamki należy przekształcić w taki sposób, aby uzyskać 12 w mianowniku.

1 # 4

3 3

Dodaj (lub odejmij od siebie) nowe równoważne ułamki. Zastąp ułamki z zadania wyjściowego ich odpowiednikami, a następnie dodaj je do siebie w celu wyznaczenia wyniku.

Zastąp ułamki z wyjśc iowego problemu ułamkami równoważnymi, które wyznaczyłeś w tym kro ku.

Teraz możesz dodać

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

=

3

12 4x3= 12, zatem ten ułamek powinien mieć wartość 3 przez 3.

do siebie liczniki. 1 1 + = 3 4 7 4 3 j, że mianownik = + Wiadomo było wcześnieieważ to jest pon 12, 12 12 12 będzie wynosił wspólny mianownik. najmniejszy

510

?

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Zaostrz ołówek Wykorzystaj swoje nowe umiejętności sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika, aby dodać ułamki do siebie lub odjąć je od siebie.

5 2 =? + 6 15

2 3 =? + 5 10 Wielokrotności liczby 5:

Wielokrotności liczby 6:

Wielokrotności liczby 10:

Wielokrotności liczby 15:

Aby sprowadzić pierwszy ułamek do wspólnego mianownika, pomnóż go przez dwie drugie.

+

Drugi ułamek również możesz pomnożyć przez jeden.

+

=

jściowe, Przepisz równanie wy ciem uży z i mk uła zapisując nownika. nowego wspólnego mia

=

Przepisz równanie wyjściowe, zapisując ułamki z użyciem nowego wspólnego mianownika.

16 1 + =? 5 12

3 1 ? + = 4 6 Wielokrotności liczby 4:

Wielokrotności liczby 12:

Wielokrotności liczby 6:

Wielokrotności liczby 5:

+

=

jściowe, Przepisz równanie wy ciem uży z i mk uła zapisując nownika. nowego wspólnego mia

+

=

Przepisz równanie wyjściowe, zapisując ułamki z użyciem nowego wspólnego mianownika.

jesteś tutaj  Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

511

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Wykorzystaj swoje nowe umiejętności sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika, aby dodać ułamki do siebie lub odjąć je od siebie.

To jest najmniejsza wspólna wielokrotność.

2 3 =? + 5 10

NWW

5 2 =? + 6 15

Wielokrotności liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30...

Wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36

Wielokrotności liczby 10: 10, 20, 30, 40, 50...

Wielokrotności liczby 15: 15, 30, 45, 60

Aby sprowadzić pierwszy ułamek do wspólnego mianownika, pomnóż go przez dwie drugie.

5 przez 5

5 5 25 # = 6 5 30

3 1 3 10 # 1 = 10

2 2 4 5 # 2 = 10

4 3 7 = + 10 10 10

Pomnóż przez dwie drugie, aby sprowadzić do wspólnego mianownika.

Ponieważ drugi ułamek jest już sprowadzony do wspólnego mianownika, możesz pomnożyć go przez 1.

2 2 4 # = 15 2 30

25 4 29 = + 30 30 30

Trzeba było znaleźć sposób sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika.

16 1 + =? 5 12

3 1 ? + = 4 6 Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24

Wielokrotności liczby 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72

Wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30

Wielokrotności liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60

3 3 9 # = 4 3 12

1 2 2 # = 6 2 12

9 2 11 + = 12 12 12

512

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

16 5 80 # = 12 5 60

1 12 12 # = 5 12 60

80 12 92 = + 60 60 60

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej 92 60 ? Naprawdę? To niezbyt wygodna liczba. Nie chcę tak dużych wartości wspólnych mianowników.

Wiemy, w jaki sposób wyznacza się ułamki równoważne z większymi mianownikami — a co zrobić, aby uzyskać ułamek równoważny z mniejszym mianownikiem? Dość często zdarzają się sytuacje, w których najmniejszy wspólny mianownik ma dość dużą wartość i wtedy wynik również jest przedstawiony za pomocą takiego niewygodnego ułamka. Kiedy tak się stanie, trzeba podzielić go przez jeden w taki sposób, by uzyskać ułamek równoważny o mniejszym mianowniku. Taka operacja nazywa się skracaniem ułamka.

Dlaczego można tak zrobić?

Dzielenie przez jeden nie zmienia wartości Dzielenie przez jeden również nie zmienia wartości. Oznacza to zatem, że możemy podzielić ułamek przez jeden (w jednej z wielu postaci jedynki) bez zmiany rozmiaru ciasta, które mamy. Wszystkie ułamki wykorzystane do dzielenia stanowią różne sposoby przedstawienia jedynki. Każda liczba podzielona przez jeden daje samą siebie. Teraz problem polega na tym, w jaki sposób wyznaczyć liczbę, przez którą trzeba podzielić ułamki.

Podsumowanie Własność tożsamości mnożenia lub dzielenia przez jeden — każda liczba pomnożona lub podzielona przez jeden daje samą siebie.

jesteś tutaj  513 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Skracanie ułamków z wykorzystaniem wspólnych dzielników

Skracanie ułamków poprzez dzielenie przez 1 Aby skrócić ułamek, należy znaleźć wersję (lub wersje) liczby 1, przez które można podzielić licznik i mianownik. Dzielenie to można wykonać dowolną liczbę razy. Zatem na początek trzeba znaleźć wspólny dzielnik obu liczb — może to być dowolny wspólny dzielnik.

Skróć ten ułamek, aby sprowadzić go do wygodniejszej postaci.

Obie te liczby są parzyste, zatem możemy podzielić licznik i mianownik przez 2.

92 92 ' 2 46 = = 60 60 ' 2 30

Tak jest lepiej, ale jeśli istnieje inny wspólny dzielnik, to także należy go wykorzystać — dzięki temu ułamek będzie występował w najprostszej postaci.

Aby całkowicie skrócić ułamek, należy uprościć wszystkie wspólne dzielniki. Oznacza to, że powinieneś tak długo dzielić liczby, aż nie będzie dla nich istniał żaden wspólny dzielnik. Ponieważ zarówno liczba 46, jak i 30 są parzyste, wiemy, że można je co najmniej skrócić przez 2.

46 46 ' 2 23 = = 30 30 ' 2 15

OK, to wszystko! 23 jest liczbą pierwszą, zatem nie ma więcej dzielników. Ułamka nie można już bardziej skrócić.

Nie można przestać skracać ułamków, jeśli licznik i mianownik mają jeszcze wspólny dzielnik. Oznacza to, że licznik bądź mianownik musi być liczbą pierwszą albo muszą to być liczby, które nie mają wspólnego dzielnika.

Wiecie co? Ciągłe wykonywanie tej samej czynności jest nudne. Czy istnieje jakiś sposób, by to przyspieszyć?

514

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Drzewa rozkładu na czynniki pozwalają na wyeliminowanie wielu drobnych kroków Istnieje prosty sposób wyznaczania czynników liczby. Są to drzewa rozkładu na czynniki. Drzewo rozkładu na czynniki jest tabelą zawierającą wszystkie czynniki. Dzięki temu utworzenie listy czynników, a następnie skracanie ułamków staje się łatwiejsze. Najpierw rozłóżmy na czynniki liczbę 60 . — jest nieco mniejsza

2

Wybierz pierwsz liczb do podzielenia. Jeśli rozkładasz na czynniki liczbę parzystą, będzie to liczba 2. Zwykle bez trudu da się w pamięci wyznaczyć inną liczbę.

4

60

1

Zapisz liczb.

3

30

2 2

Zatrzymaj tworzenie drzewa w tym miejscu, jeli otrzymasz jedynk oraz rozkadan liczb. Wszyscy wiedzą, że przez 1 dzielą się wszystkie liczby, dlatego się nie martw. Drzewo jest zakończone.

Tutaj umie wynik dzielenia. Dwie liczby w tym wierszu po pomnożeniu powinny dać liczbę znajdującą się w wierszu powyżej (2u30 = 60).

15

5

5

3 6

Podziel swoj now liczb przez dwa, jeli taki jest nastpny czynnik. Wynik zapisz w tym miejscu.

Powtarzaj te czynnoci do czasu, a nie pozostanie adna ga.

Odczytaj czynniki pierwsze Możesz jeszcze nie wiedzieć, w jaki sposób czyta się utworzone drzewo, ale to, co stworzyliśmy, jest listą wszystkich czynników składających się na rozkładaną liczbę. Postać drzewa informuje dodatkowo o jednej ważnej rzeczy. Koniec każdej gałęzi jest czynnikiem pierwszym liczby. Wyszczególnienie wszystkich czynników pierwszych nazywa się rozkładem na czynniki pierwsze. Polega on na znalezieniu najmniejszych liczb, które po pomnożeniu przez siebie dadzą naszą dużą liczbę. Co więcej, mnożenie ich w różnych kombinacjach da nam wszystkie czynniki liczby. W tej postaci możesz wykorzystać listę czynników jako metodę wyznaczania wszystkich czynników.

Rozkład na czynniki pierwsze liczby 60: 2, 2, 3, 5

Zapisaliśmy dwie dwójki, ponieważ jest to rozkład liczby na czynniki pierwsze, a nie lista liczb pierwszych.

jesteś tutaj  515 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozkładanie liczb na czynniki pierwsze za pomocą drzew

Upraszczanie ułamków za pomocą drzewa rozkładu na czynniki Teraz, kiedy wiesz, jak posługiwać się drzewami rozkładu na czynniki pierwsze, możesz szybko skracać ułamki. Spróbuj jeszcze raz skrócić nasz ułamek.

1

Zapisz ułamek, który chcesz skrócić. Wielokrotnie w równaniach występują ułamki, zatem warto je zapisać z boku, gdzie jest trochę miejsca.

2

Rozłóż na czynniki pierwsze licznik i mianownik ułamka. Do wykonania tej czynności przyda Ci się drzewo rozkładu na czynniki. Poprzednio rozłożyliśmy na czynniki pierwsze liczbę 60. Spróbujmy szybko rozłożyć na czynniki pierwsze liczbę 92.

To jest wykonany wcześniej rozkład na czynniki pierwsze liczby 60.

3

92 60

92 46

2

Rozkład na czynniki pierwsze liczby 60: 2, 2, 3, 5 Rozkład na czynniki pierwsze liczby 92: 2, 2, 23

Przepisz ułamki, zapisując zamiast licznika i mianownika ich rozkłady na czynniki pierwsze. Jeśli pomnożysz przez siebie wszystkie czynniki pierwsze liczby, uzyskasz liczbę wyjściową. Taka operacja nie zmienia wartości żadnej liczby, a jedynie sposób jej zapisu.

2

23

To są c pierwsz zynniki e.

92 2 : 2 : 23 = 60 2 : 2 : 3 : 5 4

Podziel przez siebie wszystkie czynniki wspólne. Wszystkie czynniki występujące zarówno w liczniku, jak i mianowniku można skrócić.

92 2 : 2 : 23 = 60 2 : 2 : 3 : 5 5

Uprość pozostałe czynniki. Jeśli pozostają czynniki, które trzeba ponownie pomnożyć, zrób to przed zapisaniem ułamka w końcowej postaci.

92 23 23 = = 60 3 : 5 15

516

To, co pozostało, to ułamek całkowicie skrócony.

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Rozkład liczby na czynniki pierwsze pozwala na szybkie skracanie ułamków.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej Nie istnieją

głupie pytania

P

: Co to jest NWD? Słyszałem o tym wcześniej, ale nie jestem pewien, do czego służy.

O: NWD to największy wspólny dzielnik.

Jest to największa liczba, przez którą można podzielić dwie większe liczby.

P

: Słyszałem o wykorzystaniu NWD do skracania ułamków. W jaki sposób się to wykorzystuje?

O

: NWD wykorzystuje się do skracania ułamków w bardzo podobny sposób, w jaki wykorzystujemy NWW do wyznaczania największego wspólnego mianownika. Jeśli potrafisz wymienić czynniki składające się na licznik i mianownik, z łatwością znajdziesz największy.

Po wykonaniu tej czynności możesz po prostu podzielić licznik i mianownik przez NWD. Problem polega na wyznaczeniu listy czynników. W pierwszej kolejności należy skorzystać z drzewa rozkładu na czynniki w celu rozłożenia liczby na czynniki pierwsze.

P

: Jaka jest różnica pomiędzy najmniejszym wspólnym mianownikiem a najmniejszą wspólną wielokrotnością?

O

: Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to własność dowolnych dwóch liczb. NWW dwóch liczb można wykorzystać w roli najmniejszego wspólnego mianownika (NWM). W gruncie rzeczy jest to NWW zastosowana do specyficznej sytuacji — ułamków.

P

: Działania na ułamkach zwykłych wydają się znacznie trudniejsze od działań na ułamkach dziesiętnych. Czy warto je wykonywać?

O

: Rozpoczęcie działań na ułamkach zwykłych jest nieco trudniejsze od działań na ułamkach dziesiętnych. Problem polega na tym, że po poznaniu zasad postępowania z nimi użycie ułamków zwykłych staje się szybsze i łatwiejsze, ponieważ liczby te są wygodniejsze od ułamków dziesiętnych.

Pomyśl tylko: wykonywanie działań z nieskończonymi i nieokresowymi ułamkami dziesiętnymi nie jest zbyt miłe.

P

: Kiedy zachodzi potrzeba skracania ułamków?

O

: Czasami wykonuje się skracanie po to, aby wykonywanie działań z ułamkami było łatwiejsze. Wykonywanie działań z dużymi mianownikami jest dość niewygodne, zwłaszcza jeśli zachodzi potrzeba sprowadzenia ułamków do wspólnego mianownika w celu wykonania dodawania lub odejmowania.

Innym razem w zadaniu jest polecenie skrócenia ułamków. Zdarza się też, że uzyskujemy wynik, który nie ma sensu, jeśli się go nie skróci.

92 46

2 2

P

: Dlaczego używamy nazwy drzewo rozkładu na czynniki?

O

: Nie wiem, jak Tobie, ale mnie się one wydają podobne do choinek.

P

: Co robić, jeśli potrafię rozłożyć liczbę na czynniki w pamięci? Czy w takiej sytuacji w dalszym ciągu muszę korzystać z drzewa rozkładu na czynniki?

O

: Nie musisz, możesz pominąć ten krok. Jeśli jednak będziesz korzystać z drzewa, nie pomylisz się tak łatwo.

P

: Czy dzielenie i mnożenie przez jeden jest ważne?

O

: Bardzo! Dzięki własności tożsamości liczby jeden wykonywanie działań na ułamkach staje się możliwe.

Działania na ułamkach zwykłych początkowo mogą się wydawać nieco trudniejsze od działań na ułamkach dziesiętnych, ale w gruncie rzeczy są one łatwiejsze.

23

jesteś tutaj  517 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Podsumowanie wiadomości o ułamkach

Podsumowanie — ułamki

# '

#1 =1 1 1 1 # = #3 6 2 3 2

Aby pomnożyć ułamki, pomnóż przez siebie liczniki w celu uzyskania nowego licznika, a następnie pomnóż przez siebie mianowniki w celu uzyskania nowego mianownika.

Aby podzielić ułamki, wykonaj mnożenie na krzyż. Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, aby obliczyć licznik wyniku. Następnie pomnóż mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego, aby obliczyć mianownik wyniku.

+

Aby dodać ułamki, najpierw musisz sprowadzić je do wspólnego mianownika. Po wykonaniu tej czynności wystarczy dodać do siebie liczniki i zachować wspólny mianownik.

-

Aby odjąć ułamki, najpierw musisz sprowadzić je do wspólnego mianownika. Po wykonaniu tej czynności wystarczy odjąć od siebie liczniki i zachować wspólny mianownik.

Aby przekształcić ułamki niewłaściwe, należy wykonać dzielenie. Po prostu podziel licznik przez mianownik. To, co pozostanie jako reszta, będzie licznikiem części ułamkowej.

1 1 1 3 '2 = #2= 2 3#1 3

1 +1 = 3 4 7 3 4 + = 12 2 1 12

1 1 3 -4 = 4 1 3 = 12 12 12 3 2

1 g 3 '2 -2 1

Aby skrócić ułamki, wykonuj dzielenie licznika i mianownika przez ten sam czynnik tak długo, aż nie będą one miały wspólnego dzielnika.

518

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

1

1 2

Pozostała jedynka w dalszym ciągu oznacza jedną drugą.

92 2 : 2 : 23 23 60 = 2 : 2 : 3 : 5 = 15

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Wykonaj różne typy działań na ułamkach i skróć ułamki uzyskane jako wyniki!

Ćwiczenie

11 + 15 = 2 + 1 + 5 7 3 7 3

51 - 1 = ? 4 3

Wykonywanie tego dzi ała od dodania liczb całkow nia zacznij a następnie zsumuj ułaitych, mki.

23 ' 1 = ? 7 7

75 ' 8 = ? 7 7

jesteś tutaj  519 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Ćwiczenie: rozwiązanie

Wykonaj różne typy działań na ułamkach i skróć ułamki uzyskane jako wyniki!

Ćwiczenie: Rozwiązanie

Wykonywanie tego działania zacznij od dodania liczb całkowitych, a następnie zsumuj ułamki.

11 + 15 = 2 + 1 + 5 7 3 7 3

Wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Wielokrotności liczby 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42

23 ' 1 = ? 7 7 Najpierw ałć przekszt 2 3 = 17 ułamek. 7 7 17 1 119 ' = 7 7 7

Następnie wykonaj mnożenie na krzyż.

Ta sama liczba!

5 3 15 # = 7 3 21

1 7 7 # = 3 7 21

Wynik trzeba przekształcić na ułamek właściwy.

2 + 7 + 15 = 2 22 21 21 21 2+1 1 =3 1 21 21

Wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

21 3 63 # = 4 3 12

11

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

4 11 12

17

49 49 0

75 ' 8 = ? 7 7 7 5 = 54 7 7

Wykonaj mnożenie na krzyż lub…

Przekształć ułamek.

54 8 378 ' = 7 7 56

Z całą pewnością ten ułamek należy skrócić.

378 3 : 3 : 3 : 2 : 7 = 56 2:2:2:7 27 4 Wykonaj dzielenie w celu zamiany ułamka na właściwy.

63 4 59 = 12 12 12 4 59 '12 48

520

1 4 4 # = 3 4 12

17 119 '7 07

Nie ma reszty, ponieważ wynik jest liczbą całkowitą.

W celu wykonania tego działania należy przekształcić pierwszy ułamek na ułamek niewłaściwy, a następnie wykonać odejmowanie .

Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24

17 7 119 # = 7 7 1

Wykonaj dzielenie w celu skrócenia ułamka.

Możesz wykonać dzielenie, aby skrócić ułamek, ale ponieważ jest on tak bliski mianownikowi, łatwo zauważyć, że wynik takiego dzielenia to 1 reszty 1.

51 - 1 = ? 4 3 21 1 ? - = 4 3

Wynik trzeba przekształcić na ułamek właściwy.

Możesz też pomnożyć ułamek przez odwrotność dzielnika.

6 27 '4 24 3

63 4

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej Czy nie mogę powiedzieć: „Mam dość ułamków”? Czy istnieje sposób przekształcenia ich na ułamki dziesiętne? Mogłabym wtedy wykonywać z nimi działania tak jak z ułamkami dziesiętnymi.

TAK! Możesz przekształcać ułamki zwykłe na dziesiętne. Teraz, kiedy potrafisz skracać ułamki i zmieniać ich mianowniki, możesz poznać sposób przekształcania ułamków dziesiętnych na zwykłe oraz w drugą stronę. Ponieważ ułamki dziesiętne i procenty to właściwie to samo, możesz również przekształcać ułamki na procenty.

Przekształcanie ułamków zwykłych na dziesiętne Przekształcanie ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne jest bardzo proste. Należy wykonać dzielenie. Z doświadczenia zdobytego podczas przekształcania ułamków niewłaściwych na właściwe wiemy, że kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Wiemy również, z dzielenia ułamków dziesiętnych, że aby dokończyć dzielenie, możemy dodać po przecinku dziesiętnym dowolną liczbę zer na końcu liczby. Wykorzystanie tych wiadomości pozwala na przekształcanie ułamków zwykłych na dziesiętne. Zapisz uamek

5 8

Wykonaj dzielenie W dzieleniu trzeba uwzględnić przecinek dziesiętny.

,.625 5.,000 '8 - 48

20 - 16 40

Dodawaj zera do momentu zakoczenia dzielenia

To wszystko!

5 0.625 = , 8 jesteś tutaj  521 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przekształcanie ułamków zwykłych na dziesiętne za pomocą dzielenia

Przekształcanie ułamków dziesiętnych na zwykłe Kluczem do przekształcania ułamków dziesiętnych na zwykłe są miejsca dziesiętne. Pamiętasz, że 0,1 to jedna dziesiąta? Tak jak ułamek 1 przez 10. A zatem w celu przekształcenia ułamka dziesiętnego opuść przecinek dziesiętny, umieść liczbę z części dziesiętnej w liczniku, a następnie wpisz jedynkę i odpowiednią liczbę zer w mianowniku (na przykład 1000 dla tysięcznych). Zapisz uamek

, 0.625

Umie liczb z czci dziesitnej w liczniku.

Napisaliśmy „skró co oznacza, że na ć”, wykonać tę czyn leży ność, o ile jest ona możliwa.

Zapisz mianownik 10, 100, 1000, w zalenoci od liczby pozycji.

Skró uamek.

625 ętna Ponieważ część dziesi 625 ść rto wa miała tysięcznych, mianownik ma wartość 1000.

625 1000

625 125 = = 1000 200 25 5 = Kilkakrotnie 40 8 po dzie

Konwersje są wszędzie Dla uzupełnienia — wiesz również, w jaki sposób przekształcić ułamek dziesiętny na procent i w drugą stronę. Oznacza to, że postać, z jakiej korzystamy w celu rozwiązania określonego zadania, w rzeczywistości zależy od Ciebie. Różne postacie nadają się do różnych zadań. Najlepiej można się tego nauczyć przez doświadczenie.

Wykonaj dzielenie.

Uamki zwyke

Uamki dziesitne

Zapisz część dziesiętną w postaci ułamka zwykłego i skróć ułamek.

522

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przesuń przecinek dziesiętny o dwa miejsca w prawo i dodaj symbol %.

Procenty

Przesuń przecinek dziesiętny o dwa miejsca w lewo i opuść symbol %.

liliśmy licznik i mianownik przez 5.

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Zaostrz ołówek Wykonaj ćwiczenia w przekształcaniu ułamków zwykłych na dziesiętne.

13 = 16

33 = 250

3 8=

13

33

3

'16

13 = 16

'250

33 = 250

'8

3 8=

jesteś tutaj  523 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

13 = 16 Po prostu podziel . licznik przez mianownik

33 = 250

3 8=

524

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Wykonaj ćwiczenia w przekształcaniu ułamków zwykłych na dziesiętne.

0,8125 13 0000 '16 -128 Przepisuj 20 zera. - 16 40 - 32 80 - 80 0

13 0.8125 = , 16

0,132 33 000 '250 -250 800 -750 500 -500 0

33 , = 0.132 250

0,375 3 000 '8 -24 60 -56 40 -40 0

3 0.375 8= ,

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Dzielenie przez zero jest niedozwolone W dzieleniu występuje przypadek specjalny: dzielenie przez zero jest niedozwolone (ponieważ ułamki to nic innego, jak dzielenie, problem ten dotyczy również ułamków). Z matematycznego punktu widzenia dzielenie przez zero jest niezdefiniowane. Aby zrozumieć dzielenie przez zero, najlepiej rozpocząć do dzielenia przez kilka liczb bliskich zeru. W miarę zbliżania się do zera można zaobserwować niepokojący trend. Przepisaliśmy działanie z wykorzystaniem reguł postępowania z ułamkami zwykłymi.

To jest dość mała liczba.

Ta liczba jest mniejsza od poprzedniej.

Bardzo mała liczba

5 5 : 2 10 = = 1 1 2

Zbiór 10 kokosów.

5 5 : 4 20 = = 1 1 4 100 500 5 =5: = 1 1 100

Im bliżej dzielenia przez zero, tym większy wynik otrzymujemy. Jeśli dzielenie przez 1/100 daje wynik 500, wyobraźmy sobie, jaki byłby wynik dzielenia przez 1/1000 lub 1/1 000 000! Im bliżej zera, tym bardziej zbliżamy się do nieskończoności. Przez zero nie można dzielić — nie ma wyniku takiego działania.

Dzielenie przez 0 jest niezdefiniowane. Oznacza to, że nie można znaleźć wyniku dzielenia przez zero. jesteś tutaj  525

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Potęgowanie oznacza mnożenie

Czasami mnożenie zajmuje wieczność! Co zrobić, jeśli chce się zapisać wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez samą siebie? Przypuśćmy, że wysyłasz list-łańcuszek do dwóch osób, które powinny go wysłać do kolejnych dwóch osób. Do ilu ludzi dotrze list do trzeciego dnia? To zadanie brzmi, jak typowy problem mnożenia… Każda z tych osób wysyła list do kolejnych dwóch osób (dlatego mnożymy przez 2).

Początkowe dwie osoby.

2:2:2=8

Tyle osób otrzyma list do trzeciego dnia.

Następnie każda z tych osób wysyła list do kolejnych dwóch osób (liczba osób wynosi teraz 2 razy 2).

Czy istnieje krótszy zapis? Wydaje się, że powinien istnieć prostszy sposób zapisu tego problemu. Dość łatwo można pomylić się w liczbie zapisanych dwójek, a poza tym wielokrotnie zapisujemy to samo. Do tego właśnie służą potęgi. Potęga to notacja zapisywania liczby nad liczbą, która oznacza: „pomnóż podstawę przez samą siebie tyle razy”. Jeśli poprzednie równanie zapiszemy z wykorzystaniem potęgi, będzie ono wyglądało następująco: To jest wykładnik — 3.

Ta liczba nosi nazwę „podstawy”. Jest to liczba poddawana mnożeniu.

23 = 8

e takie To są dokładnia, ni na same rów im tyle że w drug stano zy or yk w ch ni z potęgowanie.

WYSIL

SZARE KOMÓRKI Teraz, kiedy wiesz, jak działa potęgowanie, spróbuj odpowiedzieć na pytanie, ile osób będzie miało list-łańcuszek czwartego dnia zabawy? A ile otrzyma go piątego dnia?

526

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Jak szybko rozprzestrzenia się list? Wcześniej powiedzieliśmy, co się stanie z łańcuszkiem trzeciego dnia. A gdybyśmy chcieli się dowiedzieć, co się stanie w czwartym lub w dziesiątym dniu? Byłoby dobrze, gdyby można było uogólnić równanie. Wiemy, że każda osoba, która otrzymuje list, wysyła go do kolejnych dwóch osób — to się nie zmieni. Zmienia się liczba dni, które upłynęły — to jest nasz wykładnik. Dzień 1. 2 listy…

Dzień 2. 2×2 = 4 listy

Dzień 3. 2×2×2 = 8 listów

Łucja

1

Janina

2

Czesiek

3

Dzień 4. 2×2×2×2 = 16 listów

Justyna Cecylia Krzysztof

?

Wiktoria 4 Monika 5

Rozpoczynamy od 1 listu.

Beata

Lucyna Lidka

Ponieważ każda z osób wysyła list do kolejnych dwóch osób, podstawą naszej potęgi jest dwa. Każdy dzień oznacza liczbę dwójek w mnożeniu — to jest nasz wykładnik.

Wiesiek

6

Mikołaj

7

Waldek

8

Wykładnik wynosi 4 (liczba dni).

2 4 = 2 : 2 : 2 : 2 = 16

Czwartego dnia list dotrze do 16 osób…

Podstawa wynosi 2.

Podsumowanie Wykładnik — liczba zapisana w górnym indeksie, oznaczająca, ile razy należy pomnożyć podstawę.

jesteś tutaj  527 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek

Zaostrz ołówek Oblicz potęgi. Najpierw zapisz potęgi w postaci rozwiniętej. Do wykonania niektórych przykładów przyda się kalkulator. Nie przejmuj się, że to jest ułamek — zapisz potęgowanie tak samo jak dla liczb całkowitych.

Liczbę 5 należy pomnożyć 5 razy. 2

55 =

c1m = 2

=

ż Liczby ujemne równie niczego nie zmieniają, zapisz je i pomyśl, jak obliczyć wynik.

16 =

=

^- 3h 3 =

Sztuczki i kruczki Jeśli chcesz zaobserwować żywy przykład potęgowania, weź kawałek papieru. Złóż go na pół. Grubość kartki będzie teraz podwójna. Na razie nie ma się czym ekscytować… Następnie złóż kartkę jeszcze raz na pół — arkusz papieru będzie miał teraz poczwórną grubość. Jeszcze raz — teraz grubość wynosi osiem grubości pojedynczych. W jaki sposób wyraziłbyś to w postaci podstawy i wykładnika, tak abyś mógł powiedzieć, jaką grubość ma złożony arkusz, gdy ktoś Ci powie, ile razy złożył kartkę?

528

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

= Pamiętaj! Przy mnożeniu ułamków licznik mnożymy przez licznik, a mianownik przez mianownik.

=

Przegląd zagadnień z algebry elementarnej

Dlaczego to wszystko jest ważne? W tym momencie jesteś gotów do zmierzenia się z algebrą. A algebra to początek dobrego. Nie uwierzyłbyś, jakie problemy udało nam się rozwiązać.

Kasia

Jacek i Kasia stanęli w matematyczne szranki, aby pojechać na wycieczkę do Australii.

Jacek

Pomogliśmy Julii dowiedzieć się wszystkiego na temat konsoli do gier oraz składników ich ceny.

Teraz pouczmy się algebry.

li Paweł i Ania skorzysta z algebry w celu obliczenia kosztów j. wycieczki samochodowe

Karolina nauczyła się zarządzać ligą futbolową, tak by nie przekroczyć budżetu przeznaczonego na pensje.

jesteś tutaj  529 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Zaostrz ołówek: rozwiązanie

Zaostrz ołówek: Rozwiązanie

Oblicz potęgi. Najpierw zapisz potęgi w postaci rozwiniętej. Do wykonania niektórych przykładów przyda się kalkulator.

Liczbę 5 należy pomnożyć 5 razy. 2

c1m = 1 : 1 = 1 2 2 2 4

5 5 = 5 : 5 : 5 : 5 : 5 = 3125 3215 Możesz skorzystać z kalkulatora lub wykonać obliczenia ręcznie: 5 x 5 = 25, 25 x 5 = 125 itd.

W przypadku mnożenia liczb całkowitych z nieparzystą liczbą ujemnych znaków wynik jest ujemny.

^- 3h 3 =- 3 : - 3 : - 3 =- 27

16 = 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1 = 1 Kolejny sposób wyrażenia własności tożsamości jedynki = jedynka podniesiona do dowolnej potęgi daje jedynkę.

Składanie papieru to przykład znaczenia potęgowania.

dy Za każdym razem, kie jamy złożymy papier, podwa liczbę arkuszy, zatem podstawą jest 2. 2a

Wykładnik wskazuje, ile razy złożymy arkusz.

CELNE SPOSTRZEŻENIA

530

Q

Potęgowanie to sposób na powtarzanie mnożenia.

Q

Podstawa to liczba poddawana mnożeniu.

Dodatek B

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Q

Wykładnik wskazuje, ile razy mnożona jest podstawa.

Skorowidz %, 482 <, 228, 233 =, 229 >, 228, 233 d, 228, 238 t, 228

A aktywność mózgu, 23 algebra, 31, 34, 36, 46, 81, 275 anulowanie działania, 45 argumenty funkcji, 397

C charakter relacji, 418 charakterystyka mikrofonów parabolicznych, 415 cieniowanie na wykresie nierówności, 252 czynniki, 327 czynniki pierwsze, 515

Ć ćwiartki układu współrzędnych, 183

D dane wyjściowe funkcji, 401 definicja funkcji, 403 definicja funkcji w wielu przedziałach, 423 delta, 391 deprecjacja, 450 dobieranie proporcji, 275 dodawanie, 45, 53, 104, 479 liczby całkowite, 471 liczby mieszane, 471 równania, 285 ułamki, 507, 510 ułamki dziesiętne, 484 drzewa rozkładu na czynniki, 515 upraszczanie ułamków, 516

dwumiany, 310, 311, 348, 390 czynniki, 327 faktoryzacja, 327, 328, 335 mnożenie, 312, 323 podnoszenie do kwadratu, 319 PZWO, 321, 322, 339 reguła iloczynu zerowego, 334 rozdzielność mnożenia względem dodawania, 312, 313 rozkład na czynniki pierwsze, 317, 325, 327 rozwinięcie, 314, 317, 344 różne znaki, 319, 320, 339 różnica kwadratów, 318 szukanie wspólnego czynnika, 329 upraszczanie, 313 wyciągnięcie wspólnych czynników, 328 wzory skróconego mnożenia, 319, 320, 322 działania, 45, 49, 104 na fragmentach liczb, 493 na liczbach mieszanych, 502 na procentach, 494 odwrotne, 45, 46, 61, 154 z mieszanymi liczbami całkowitymi, 471 dziedzina, 398, 399, 404, 407, 421 wyznaczanie, 414, 434 dzielenie, 45, 48, 53, 104 dzielenie nierówności przez liczby ujemne, 234 liczby całkowite, 472 przez jeden, 513 przez zero, 525 ułamki, 498, 505 ułamki dziesiętne, 488, 489

F

E

G

eliminowanie zmiennych, 289

f(x), 397 faktoryzacja, 327, 328, 330, 345 planowanie, 348 równania kwadratowe, 344, 362, 390 stosowanie, 335 szukanie wspólnego czynnika, 329 finanse, 436 fragmenty równania algebraicznego, 90 funkcje, 393, 397, 409, 410 argumenty, 397 dane wyjściowe, 401 definicja, 403 dziedzina, 398, 399, 404, 407, 414, 421 graniczne elementy dziedziny, 402 maksymalna wartość, 401 miejsca zerowe, 421 minimalna wartość, 401 obliczanie miejsc zerowych, 434 obliczanie wartości, 434 ograniczenia, 398, 410, 413, 414 ograniczenia argumentów, 398 określanie dziedziny, 434 określanie przeciwdziedziny, 414, 434 przeciwdziedzina, 402, 404, 407, 414, 421 relacje, 403, 407 równania, 397, 407 test linii pionowej, 419 wartości, 402 wykresy, 407, 411, 413, 421 wyznaczanie wartości, 401 funkcje zdefiniowane w wielu przedziałach, 423, 424, 434 obliczanie wartości, 424 wykresy, 424

grupa równań, 279 grupowanie liczb, 115

jesteś tutaj  531 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Skorowidz grupowanie liczb w zbiory, 480 grupowanie wyrazów, 131

I indeksy, 194 interpretacja rozwiązań równania kwadratowego, 360 izolowanie zmiennej, 44, 48, 59, 71

licznik, 497, 502 linie poziome, 203 linie proste, 185, 266, 270 linie równoległe, 301

Ł łączenie wyrazów podobnych, 90 łączność, 111, 115, 117, 119, 131

J

M

jest równy, 229 jest różny, 233

maksymalna wartość funkcji, 401, 402 matematyka, 38, 81 metapoznanie, 23 metoda podstawiania, 278 metoda przeciwnych współczynników, 286, 288, 294, 297 metoda PZWO, 321, 322, 339, 348, 349 mianownik, 497, 501, 507 miejsca zerowe, 421, 434 mierzenie odległości od zera, 476 miesięczna rata spłaty kredytu, 442, 443, 444 mikrofon paraboliczny, 351, 415 minimalna wartość funkcji, 401, 402 mniejszy lub równy, 228, 233, 238, 259 mniejszy niż, 228, 233, 259 mnożenie, 45, 53, 104, 124, 142, 526 dwumiany, 312, 323 liczby całkowite, 472 mnożenie na krzyż, 498, 506 mnożenie nierówności przez liczby ujemne, 234 potęgowanie, 138, 139 przez jeden, 513 przez zero, 334 ułamki, 498 ułamki dziesiętne, 487 modelowanie rzeczywistości, 396 mosty podwieszane, 351 mózg, 21 myślenie, 23

K kalkulator, 161, 466, 506 kalkulator odsetek prostych, 443 kapitał, 441 kartezjański układ współrzędnych, 183, 184, 186, 224 kolejność wykonywania działań, 74, 81, 98, 103, 104, 107, 108, 115, 117, 120, 133 potęgowanie, 147 konstruowanie równań, 291 kontekst problemu, 456 kontekst zmiennej, 78, 89, 90, 92, 267, 279, 280 kredyt, 442 kupno samochodu, 436 kwota kredytu, 442

L liczba rozwiązań, 266 liczby, 73, 128, 468 całkowite, 73, 94, 468, 481, 482 całkowite dodatnie, 481 czynniki pierwsze, 515 mieszane, 502 naturalne, 481 niewymierne, 481 rzeczywiste, 481 ujemne, 469 wartość bezwzględna, 475 wymierne, 481 wyznaczanie czynników, 515 zbiory, 480, 481 znak, 468

532

Skorowidz

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

N nachylenie, 190, 191, 196, 211, 224 obliczanie, 195 równanie prostej przechodzącej przez punkt, 196

wartość 0, 203 wykresy, 192 najgorszy przypadek, 396 najlepszy przypadek, 396 najmniejsza wspólna wielokrotność, 509, 517 najmniejszy wspólny mianownik, 509, 510 największy wspólny dzielnik, 329 nauka, 25 nawiasy, 104, 107, 112, 124 nieokresowe ułamki dziesiętne, 490 nierówności, 225, 228, 229, 469 cieniowanie na wykresie, 252 działania, 237 dzielenie przez liczby ujemne, 235, 236 liczby ujemne, 235 mnożenie przez liczby ujemne, 235, 236 odwracanie znaku nierówności, 235 operacje na liczbach ujemnych, 234 operatory porównań, 228 oś liczbowa, 230 porównania, 230 punkt graniczny zbioru rozwiązań, 243 rozwiązanie, 233, 250 skala osi liczbowej, 244 symbol, 233, 243 wizualizacja relacji, 236 wizualizacja rozwiązań, 251 wykresy, 249 zastosowanie, 232, 233 zbiór rozwiązań, 232, 238, 243 zmiana znaku nierówności, 236, 238 zmienne, 247 znaczenie odpowiedzi, 232 nieskończona liczba rozwiązań, 266, 270 nieskończone ułamki dziesiętne, 490 niewiadome, 34, 35, 36, 37, 61, 81 określanie, 43 notacje dzielenia, 53 notacje mnożenia, 53 NWD, 329, 517 NWM, 509, 510 NWW, 509, 517

Skorowidz

O obliczenia, 34, 44 kolejność wykonywania działań, 103, 104 koszty, 65, 67 miejsca zerowe funkcji, 434 nachylenie, 195 odsetki, 443, 447 pierwiastkowanie, 157 potęgi o wykładnikach ujemnych, 463 reguły działań na liczbach, 103 wartość funkcji, 434 wartość funkcji zdefiniowanej w wielu przedziałach, 424 wartość niewiadomej, 34 wysokość miesięcznej raty, 444 odejmowanie, 45, 53, 104, 479 liczby całkowite, 471 liczby mieszane, 471 ułamki, 507, 510 ułamki dziesiętne, 484 odległość, 190, 196, 211, 224 odsetki, 441, 442, 443 odwracanie znaku nierówności, 235, 238 odwrotność ułamka, 505 ogólna postać równania kwadratowego, 348, 351, 371, 390 ogólne równanie, 168 ograniczenia, 393, 396, 397, 398, 410 ograniczenia argumentów, 398 ograniczenia ze względu na samo wyrażenie, 398 okres spłaty kredytu, 443 okresowe ułamki dziesiętne, 490 określanie niewiadome, 43, 296 problem, 65 przeciwdziedzina funkcji, 414 operacje, 44 na liczbach, 116 na liczbach ujemnych, 234 na równaniach, 37 odwrotne, 48 operatory porównań, 228

osie wykresu, 183, 186 oś liczbowa, 230, 233, 244, 259, 469, 479 punkt graniczny zbioru rozwiązań, 243 skala, 244 wizualizacja relacji, 236 zbiór rozwiązań, 243 oś symetrii, 378, 385

P parabola, 378, 383 oś symetrii, 385 położenie względem osi x, 383 wierzchołek, 379 pełny punkt, 414 pierwiastki, 157 kwadratowy, 107, 157, 362 liczby ujemne, 157, 371 zasadniczy, 157 pierwiastki równania kwadratowego, 361, 362 pierwiastkowanie, 154, 156 obliczanie, 157 Pierwsze, Zewnętrzne, Wewnętrzne, Ostatnie, 321 plus lub minus, 361 podatek VAT, 33, 494 podcasty, 136 podejmowanie świadomych decyzji, 219 podnoszenie do potęgi, 139 podnoszenie dwumianu do kwadratu, 319 podnoszenie potęgi do potęgi, 163 podobne wyrazy, 146, 147 podstawa, 139, 143, 163, 526 podstawianie, 52, 53, 90, 248, 290 układ równań, 278 podział liczb całkowitych, 482 pokazywanie relacji, 175 porównania, 228, 230 operatory, 228 postacie równań, 193, 206, 208, 210 kierunkowa, 207, 224, 263 ogólna, 204, 206, 224, 263 ogólna równania kwadratowego, 348, 351 postępowanie według zasad, 72

poszukiwanie niewiadomych, 34, 81 poszukiwanie wartości niewiadomych, 36 potęgi, 147, 163, 526 wykładnik ujemny, 462 potęgowanie, 104, 107, 135, 139, 147, 150, 156, 159, 163, 526 dodawanie wykładników, 151 kolejność wykonywania działań, 147 podstawa, 139, 143, 526 potęgi z równymi podstawami, 143 reguły działań z potęgami, 152 ujemny wykładnik, 147, 463 upraszczanie, 140 wykładnik, 139, 141, 527 wykładnik o wartości 0, 157 wykładnik o wartości 1, 157 wykładnik ujemny, 157 wyrazy o różnych podstawach, 151 pożyczka, 443 problem ubezpieczenia GAP, 456 problemy, 65 procenty, 482, 493, 506 działania, 494 zamiana na ułamek dziesiętny, 493 proporcjonalność, 90 prosta przechodząca przez punkt, 194, 196, 198, 200, 224, 263 przeciwdziedzina, 402, 404, 407, 414, 421 określanie, 414, 434 przeciwdziedzina funkcji, 402 przeciwne współczynniki, 286 przekształcanie procenty na ułamek dziesiętny, 494 równania liniowe do postaci ogólnej, 204 ułamki dziesiętne na zwykłe, 522 ułamki zwykłe na dziesiętne, 521 przekształcanie równań, 38, 45, 59, 74 łączność, 112, 115, 119, 131 przemienność, 116, 119, 131 rozdzielność mnożenia względem dodawania, 123, 124, 131 własności, 111, 118, 127, 129, 131 wyciąganie wartości przed nawias, 124 zmiana grupowania zbioru liczb, 112 przeliczenie wysokości rat, 444

jesteś tutaj  533 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Skorowidz przemienność, 111, 116, 117, 119, 131 przemieszczający się cel, 372 przewidywanie przyszłości, 180 punkt graniczny zbioru rozwiązań, 243 punkty, 171, 175, 184 punkty przecięcia wykresu z osiami, 184, 186 przecięcie z osią y, 211 pusty punkt, 414 PZWO, 321, 322, 339, 348, 349, 434

R rata spłaty kredytu, 442 reguła iloczynu zerowego, 334, 335, 339, 344 reguły działań na liczbach, 99, 103, 115, 116 reguły działań z potęgami, 152 reguły kolejności wykonywania działań, 107 reguły znaków dla liczb całkowitych, 472 relacja proporcjonalności, 90 relacje, 93, 173, 175, 403, 404, 407, 409 relacje pomiędzy dwiema zmiennymi, 184 rodzaje ułamków dziesiętnych, 490 rozdzielność mnożenia względem dodawania, 123, 124, 131, 313, 322, 328 dwumiany, 312 rozkład na czynniki pierwsze, 311, 317, 319, 325, 327, 515, 516 rozkładanie wyrażeń na czynniki, 351, 466 rozprzestrzenianie się listów, 527 rozwiązanie nierówności, 233 rozwiązanie problemu, 75, 94 rozwiązanie równania, 48 rozwiązanie równania kwadratowego, 351, 384 interpretacja, 360 rozwiązywanie równań, 52, 53, 58 równania kwadratowe, 351, 361 równania z dwiema niewiadomymi, 261 równania z dwoma zmiennymi, 273 równania z wieloma niewiadomymi, 274

534

Skorowidz

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

rozwiązywanie układu równań, 276 metoda przeciwnych współczynników, 286 rozwinięcie dwumianów, 311, 314, 317, 319, 344 równania, 37, 38, 178, 409 drugi stopień, 344 funkcje, 397, 407 ograniczenia, 396, 397 operacje, 37 postać, 193, 206, 208 postać kierunkowa, 205, 207 postać ogólna, 204 prosta przechodząca przez punkt, 194, 198, 200, 206 przekształcanie, 38, 45, 74, 112 przewidywanie przyszłości, 180 reprezentacja wizualna, 165 rozwiązywanie, 52, 58 równość obu stron, 72 stopień, 344 trend, 173 tworzenie, 41, 65 wykresy, 173, 175, 193 wyrazy, 90 zmienne, 76 równania kwadratowe, 341, 344, 371, 391 delta, 391 faktoryzacja, 344, 362, 390 interpretacja rozwiązań, 360 parabola, 378 pierwiastki, 361 postać ogólna, 348, 351, 390 rozłożenie na czynniki, 351 rozwiązanie, 351, 361, 367, 384, 385 sprawdzanie obliczeń, 371 współczynniki, 361, 362 wykresy, 373, 374, 391 wyróżnik, 367, 368, 391 wyznaczanie wyrazów stałych w dwumianach, 390 wzór na rozwiązanie, 361 zastosowanie, 351 równania liniowe, 184, 185, 206, 224, 263, 269 postać ogólna, 204 równania wielomianowe, 344

równania z dwiema niewiadomymi, 261 równania z wartością bezwzględną, 465 równania z wieloma zmiennymi, 86 równanie do obliczania odsetek, 447 równanie kierunkowe prostej, 205 równanie ogólne, 168 równanie ruchu przedmiotu rzucanego, 351 równość, 44, 45, 72 równoważne ułamki, 508 różnica kwadratów, 318 ruch obiektów w powietrzu, 351 rysowanie wykresu, 174, 182, 214, 220 wykres funkcji, 411, 434 wykres nierówności, 249

S skala osi liczbowej, 244 składanie kartki papieru, 528 skończone ułamki dziesiętne, 490 skracanie ułamków, 107, 513, 514 dzielenie przez jeden, 514 spadek wartości, 448 sposoby rozwiązywania problemów, 81, 84 sposoby rozwiązywania równań, 72 sprawdzanie obliczeń, 52, 58, 79, 81, 275 równania kwadratowe, 371 sprawdzanie poprawności wykresu, 186 sprawdzanie, czy relacja jest funkcją, 418 sprowadzanie do wspólnego mianownika, 510 stałe, 92, 98, 128, 133 stopa procentowa, 443 stopień równania, 344 strzelanie balonami z wodą, 342 symbole, 48 nierówności, 233, 243 niewiadome, 36, 37 wartość bezwzględna, 475 szukanie wspólnego czynnika, 329

T tabela wartości, 186, 464 test linii pionowej, 419, 421 tożsamość mnożenia lub dzielenia przez jeden, 513

Skorowidz trend równania, 173, 175 treść problemu, 58 tworzenie równania, 41, 65, 150, 291 wykresy, 172, 464 wykresy na podstawie postaci ogólnej, 206

U ubezpieczenie GAP, 455 okres ochrony, 456 ujemny wykładnik, 147, 157 układ równań, 261, 268, 274, 291, 293, 305, 452 brak rozwiązania, 301 eliminowanie zmiennych, 286, 289 kolejność równań, 284 konstruowanie równań, 291 liczba rozwiązań, 305 linie równoległe, 301 metoda graficzna, 276, 280, 293 metoda podstawiania, 278, 280, 290, 293 metoda przeciwnych współczynników, 286, 288, 294, 297 nieskończona liczba rozwiązań, 302 podstawianie, 278 przekształcanie równań, 289 rozwiązanie, 273 rozwiązywanie równań, 273, 274 wizualizacja, 276 wykresy, 275, 276 zastosowanie, 275 zmienne, 284 układ współrzędnych, 171, 183, 186 kartezjański, 183 ułamki, 73, 482, 497 dodawanie, 507, 510 działania, 518 dzielenie, 498, 505, 506 licznik, 497 mianownik, 497, 501, 507 mnożenie, 498 mnożenie na krzyż, 498, 506 najmniejszy wspólny mianownik, 509, 510

NWM, 510 odejmowanie, 507, 510 odwrotność, 505 potęgi o wykładnikach ujemnych, 462 równoważne ułamki, 508 skracanie, 107, 513, 514 sprowadzanie do wspólnego mianownika, 510 upraszczanie, 516 wspólny mianownik, 507 wyznaczanie najmniejszego wspólnego mianownika, 509 zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne, 521 ułamki dziesiętne, 482, 483 dodawanie, 484 dzielenie, 488, 489 mnożenie, 487 nieokresowe, 490 nieskończone, 490 odejmowanie, 484 okresowe, 490 rozmiar części ułamkowej, 483 skończone, 490 wartość części całkowitej, 483 wyrównywanie przecinków dziesiętnych, 484 zamiana na ułamki zwykłe, 522 ułamki niewłaściwe, 501, 502 zamiana na ułamek zwykły, 501 upraszczanie dwumiany, 313 potęgowanie, 140 równamoa, 59 ułamki za pomocą drzewa rozkładu na czynniki, 516 uzupełnienie do kwadratu, 362

V VAT, 33, 494

W wartości funkcji, 402 wartości współrzędnych, 196 wartość bezwzględna, 465, 475, 476 wartość niewiadomej, 34

wartość samochodu, 450 wiele wystąpień zmiennej, 76 wiele zmiennych, 86 wieloetapowe obliczanie równania, 71 wielokrotne mnożenie, 138 wielokrotność liczby, 509 wielomiany, 310, 311 wierzchołek paraboli, 378, 379 znaczenie, 379 większy lub równy, 228, 233, 238, 259 większy niż, 228, 233, 259 wizualizacja relacje, 236 rozwiązanie nierówności, 251 układ równań, 276 wizualna reprezentacja równania, 165 własności, 111, 118, 127, 129, 131 łączność, 111, 112, 115, 120 przemienność, 111, 116, 120 rozdzielność mnożenia względem dodawania, 123, 124, 313, 322, 328 tożsamość mnożenia lub dzielenia przez jeden, 513 wspólny mianownik, 507 współczynniki równania kwadratowego, 361 współrzędne, 196, 200 wartości, 196 znaki, 200 wyciąganie wartości przed nawias, 124 wyciąganie wspólnych czynników, 328 wykładnik, 139, 141, 157, 163, 527 wartości ujemne, 147, 157, 462 wartość 0, 157 wartość 1, 157 wykresy, 165, 171, 175, 453 charakter relacji, 418 ćwiartki układu współrzędnych, 183 funkcje, 407, 411, 413, 421 funkcje zdefiniowane w wielu przedziałach, 424 kartezjański układ współrzędnych, 183 linia, 266 linie poziome, 203 linie wykresu, 185 miejsca zerowe, 421

jesteś tutaj  535 Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

Skorowidz wykresy nachylenie, 190, 191 nierówności, 249 osie, 183 postać kierunkowa równania, 207 postać ogólna równania, 206 przeciwdziedzina funkcji, 414 punkty, 171, 175, 184 punkty przecięcia z osiami, 184, 186 relacje, 173 równanie, 173, 193 równanie kierunkowe prostej, 205 równanie liniowe, 184, 206 równanie prostej przechodzącej przez punkt, 194, 196 rysowanie, 174, 182, 214 sprawdzanie poprawności, 186 sprawdzanie, czy relacja jest funkcją, 418 tabela wartości, 464 trend równania, 173 tworzenie, 172 tworzenie na podstawie postaci ogólnej, 206 układ równań, 275, 276 układ współrzędnych, 171 wartości współrzędnych, 196 współrzędne, 196, 200 zmienne, 175, 186 zmienne dla osi, 186

536

Skorowidz

Ebookpoint.pl kopia dla: Sebastian Sobiepanski [email protected]

wykresy równań kwadratowych, 373, 374 kształt, 377 oś symetrii, 378, 385 parabola, 378 położenie paraboli względem osi x, 383 wierzchołek, 378, 379 wyróżnik, 384 wyraz, 81, 90, 98, 141 łączenie wyrazów podobnych, 90 podobne wyrazy, 146 wyrażenia kwadratowe, 341 wyrażenia potęgowe, 163 wyrównywanie przecinków dziesiętnych, 484 wyróżnik, 367, 368, 391 wykresy równań kwadratowych, 384 wyznaczanie czynniki liczby, 515 dziedzina funkcji, 434 najmniejszy wspólny mianownik, 509 odwrotność ułamków, 505 przeciwdziedzina funkcji, 434 wartość bezwzględna, 475 wartość funkcji, 401 wzniesienie, 190, 196, 211, 224 wzory skróconego mnożenia, 319, 322

wzór na pierwiastki równania kwadratowego, 361, 362, 391 wyróżnik, 367 wzór na rozwiązanie równania kwadratowego, 361

Z zamiana procenty na ułamek dziesiętny, 493 ułamek dziesiętny na zwykły, 522 ułamek niewłaściwy na zwykły, 501 zasada równości, 44 zbiory liczbowe, 480, 481 zbiór rozwiązań, 232, 238 zdania matematyczne, 38, 41 zdeprecjonowana wartość, 450 zero, 479 zmiana grupowania zbioru liczb, 112 zmiana znaku nierówności, 236 zmienne, 37, 46, 61, 86, 133 indeksy, 194 izolowanie, 44, 59, 71 kontekst, 89, 90, 92 nierówności, 247 wiele wystąpień, 76 wiele zmiennych, 86 znak liczby, 468 znalezienie rozwiązania, 98 zrozumienie treści problemu, 58