PP VIII 2015

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI

P OPRAWKOWY E GZAMIN M ATURALNY Z M ATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA 2015

C ZAS PRACY: 170 MINUT Zadania zamkni˛ete Z ADANIE 1 (1 PKT ) Je´sli a = A) 23

3 2

˙ i b = 2, to warto´sc´ wyrazenia B) 1

a·b a+b

jest równa C) 67

D)

27 6

Z ADANIE 2 (1 PKT ) ˙ kazdy ˙ ˙ Dany jest prostokat ˛ o wymiarach 40 cm × 100 cm. Jezeli z dłuzszych boków tego pro˙ ˙ stokata ˛ wydłuzymy o 20%, a kazdy z krótszych boków skrócimy o 20%, to w wyniku obu przekształcen´ pole tego prostokata ˛ A) zwi˛ekszy si˛e o 8% B) zwi˛ekszy si˛e o 4% C) zmniejszy si˛e o 8% D) zmniejszy si˛e o 4% Z ADANIE 3 (1 PKT ) 5

9

Liczba 945·55 jest równa A) 4540 B) 459

C) 94

Z ADANIE 4 (1 PKT ) q q Liczba 97 + 79 jest równa q √ A) 16 B) 16 63

C) 1

3 7

D) 54

D)

√ 3+√ 7 3 7

Z ADANIE 5 (1 PKT ) ˙ Warto´sc´ wyrazenia log5 0, 04 − 12 log25 5 · log25 1 jest równa C) −2 A) −3 B) −2 41

D) 0

Z ADANIE 6 (1 PKT ) ˙ ˙ Warto´sc´ wyrazenia ( a + 5)2 jest wi˛eksza od warto´sci wyrazenia ( a2 + 10a) o A) 50 B) 10 C) 5 D) 25 Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 1

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 7 (1 PKT ) ˙ Na jednym z ponizszych rysunków przedstawiono interpretacj˛e geometryczna˛ układu rów( x + 3y = −5 nan´ Wskaz˙ ten rysunek 3x − 2y = −4.

-4

y

y

y

y

4

4

4

4

2

2

2

2

-2

2

4

-4

x

-2

2

4

-4

x

-2

-2

-4

A)

-2

2

4

-4

x

-2

-2

-4

4

x

-2

-4

-4

C)

B)

2

D)

Z ADANIE 8 (1 PKT ) Najmniejsza˛ liczba˛ całkowita˛ spełniajac ˛ a˛ nierówno´sc´ 2( x − 2) 6 4( x − 1) + 1 jest A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 Z ADANIE 9 (1 PKT ) Rozwiazaniem ˛ równania x2 ( x + 1) = x2 − 8 jest A) −9 B) −2 C) 2

D) 7

Z ADANIE 10 (1 PKT ) Funkcja f jest okre´slona wzorem f ( x ) = √ warto´sc´ √ funkcji f ( 2) jest równa √ A) 2 − 4 2 B) 1 − 2 2

2x −8 x

˙ dla kazdej liczby rzeczywistej x 6= 0. Wówczas

√ C) 1 + 2 2

√ D) 2 + 4 2

Z ADANIE 11 (1 PKT ) ˙ by´c wykresem Parabola o wierzchołku W = (−3, 5) i ramionach skierowanych w dół moze funkcji okre´slonej wzorem A) y = 2 · ( x + 3)2 + 5 B) y = −2 · ( x − 3)2 + 5 C) y = −2 · ( x + 3)2 + 5 D) y = −2 · ( x − 3)2 − 5 Z ADANIE 12 (1 PKT ) Wykres funkcji liniowej y = 2x − 3 przecina o´s Oy w punkcie o współrz˛ednych A) (0, −3) B) (−3, 0) C) (0, 2) D) (0, 3) Z ADANIE 13 (1 PKT ) Wierzchołek paraboli b˛edacej ˛ wykresem funkcji kwadratowej y = f ( x ) ma współrz˛edne (2, 2). Wówczas wierzchołek paraboli b˛edacej ˛ wykresem funkcji g( x ) = f ( x + 2) ma współrz˛edne A) (4, 2) B) (0, 2) C) (2, 0) D) (2, 4) Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 2

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 14 (1 PKT ) Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworza˛ rosnacy ˛ ciag ˛ arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciagu ˛ jest liczba A) 77 B) 84 C) 91 D) 98 Z ADANIE 15 (1 PKT ) n

1 ˛ wyraz tego ciagu ˛ jest Ciag ˛ liczbowy okre´slony jest wzorem an = 22n − +1 , dla n > 1. Piaty równy 31 9 A) −1 B) 33 C) 11 D) 1

Z ADANIE 16 (1 PKT ) Sinus kata ˛ ostrego α jest równy 34√ . Wówczas A) cos α =

1 4

B) cos α =

7 4

C) cos α =

7 16

√

D) cos α =

13 16

Z ADANIE 17 (1 PKT ) W trójkacie ˛ prostokatnym ˛ o długo´sciach przyprostokatnych ˛ 2 i 5 cosinus wi˛ekszego z katów ˛ ostrych jest równy B) 25 C) √2 D) √5 A) 25 29

29

Z ADANIE 18 (1 PKT ) Pole rombu o boku 6 i kacie ˛ rozwartym 150◦ jest równe √ √ A) 18 2 B) 18 C) 36 2

D) 36

Z ADANIE 19 (1 PKT ) W okr˛egu o s´ rodku O dany jest kat ˛ o mierze 50◦ , zaznaczony na rysunku.

O

50o

α

Miara kata ˛ oznaczonego na rysunku litera˛ α jest równa ◦ A) 40 B) 50◦ C) 20◦

D) 25◦

Z ADANIE 20 (1 PKT ) Współczynnik kierunkowy prostej, na której lez˙ a˛ punkty A = (−4, 3) oraz B = (8, 7), jest równy A) a = 3 B) a = −1 C) a = 65 D) a = 13 Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 3

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 21 (1 PKT ) Punkt S = (2, −5) jest s´ rodkiem odcinka AB, gdzie A = (−4, 3) i B = (8, b). Wtedy A) b = −13 B) b = −2 C) b = −1 D) b = 6 Z ADANIE 22 (1 PKT ) Dany jest trójkat ˛ prostokatny ˛ o długo´sciach boków a, b, c, gdzie a < b < c. Obracajac ˛ ten ˙ a˛ przyprostokatn trójkat, ˛ wokół prostej zawierajacej ˛ dłuzsz ˛ a˛ o kat ˛ 360◦ , otrzymujemy brył˛e, której obj˛eto´sc´ jest równa B) V = a2 bπ C) V = 13 b2 aπ D) V = a2 π + πac A) V = 13 a2 bπ Z ADANIE 23 (1 PKT ) Przekatna ˛ przekroju osiowego walca, którego promien´ podstawy jest równy 4 i wysoko´sc´ jest√ równa 6, ma długo´sc´ √ √ B) 20 C) 52 D) 10 A) 10 Z ADANIE 24 (1 PKT ) ˙ W grupie jest 15 kobiet i 18 m˛ezczyzn. Losujemy jedna˛ osob˛e z tej grupy. Prawdopodobien´ ˙ stwo tego, ze b˛edzie to kobieta, jest równe 1 1 15 B) 33 C) 33 D) 15 A) 15 18 Z ADANIE 25 (1 PKT ) Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, wi˛ekszych 3000, utworzonych wyłacznie ˛ z cyfr 1, ˙ ˙ cyfry moga˛ si˛e powtarza´c, ale nie wszystkie z tych cyfr musza˛ by´c 2, 3, przy załozeniu, ze wykorzystane? A) 3 B) 6 C) 9 D) 27

Zadania otwarte Z ADANIE 26 (2 PKT ) Rozwia˛z˙ równanie

2x −4 x

=

x 2x −4 ,

gdzie x 6= 0 i x 6= 2.

Z ADANIE 27 (2 PKT ) Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje si˛e 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy ˙ ˙ numer po jednej kuli z kazdego pudełka i tworzymy liczb˛e dwucyfrowa˛ w ten sposób, ze kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfra˛ dziesiatek, ˛ a numer kuli wylosowanej z ˙ utworzona liczba jest drugiego – cyfra˛ jedno´sci tej liczby. Oblicz prawdopodobienstwo, ´ ze podzielna przez 11. Z ADANIE 28 (2 PKT ) Rozwia˛z˙ nierówno´sc´ 20x > 4x2 + 24. Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 4

www.zadania.info – N AJWI EKSZY ˛ I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA N´ Z M ATEMATYKI Z ADANIE 29 (2 PKT ) Kat ˛ α jest ostry i tg α +

1 tg α

˙ = 72 . Oblicz warto´sc´ wyrazenia sin α cos α.

Z ADANIE 30 (2 PKT ) ˙ ze ˙ dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówno´sc´ Wykaz, 3 3 x + y > x2 y + xy2 . Z ADANIE 31 (2 PKT ) W prostokacie ˛ ABCD punkt P jest s´ rodkiem boku BC, a punkt R jest s´ rodkiem boku CD. ˙ ze ˙ pole trójkata Wykaz, ˛ APR jest równe sumie pól trójkatów ˛ ADR oraz PCR.

R

D

C P

A

B

Z ADANIE 32 (4 PKT ) Wyznacz równanie osi symetrii trójkata ˛ o wierzchołkach A = (−2, 2), B = (6, −2), C = (10, 6). Z ADANIE 33 (4 PKT ) Podstawa˛ ostrosłupa ABCDS jest prostokat, ˛ którego boki pozostaja˛ w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinajace ˛ si˛e przekatne ˛ ˙ podstawy, a odcinek SE jest wysoko´scia˛ ostrosłupa. Kazda kraw˛ed´z boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem ˛ 30◦ . Oblicz obj˛eto´sc´ ostrosłupa.

S

C

D E A

B

Z ADANIE 34 (5 PKT ) Funkcja kwadratowa f okre´slona jest wzorem f ( x ) = ax2 + bx + c. Zbiorem rozwiaza ˛ n´ nierówno´sci f ( x ) > 0 jest przedział (0, 12). Najwi˛eksza warto´sc´ funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f . Materiał pobrany z serwisu www.zadania.info 5