projekt 10

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 - przykład 1

1

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 - przykład 1 6.1. Ćwiczenie projektowe numer 6 Wyznaczyć położenie środka ciężkości symetrycznego przekroju słupa ściskanego osiowo przedstawionego na rysunku 6.1 a następnie wyznaczyć wartości momentów bezwładności względem głównych środkowych osi bezwładności. Słup jest podparty w obu płaszczyznach w sposób pokazany na rysunku 6.1. Na koniec wyznaczyć wartość siły krytycznej tego słupa. Moduł Younga wynosi 205 GPa, granica proporcjonalności wynosi 215 MPa natomiast granica plastyczności 235 MPa.

Płaszczyzna XY

100x75x8

8,0

10,0

Płaszczyzna XZ

10,0

8,0

15,0

15,0

280

[m] 100x75x8

[cm]

Rys. 6.1. Słup ściskany osiowo

14,0

Y

28,0

10,0

Y

sc

sc

X

X

3,10

14,0

X

X

Y

Y

1,87

[cm] 7,5

2,53

[cm]

9,5

Rys. 6.2. Wymiary ceownika oraz kątownika nierównoramiennego

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 - przykład 1 7,5

Y03

9,5

9,5

2

7,5

sc3

10,0

WM

sc4

Z03

11,37 sc1

sc

sc2

14,0

11,1

8,0

Ygl = Y01 = Y02

Z04

11,37

8,0

11,1

14,0

Y04

Y05

Y06

sc6 10,0

sc5

Z05

Z01 6,97

Zgl

Z02 6,97

Z06

[cm]

Rys. 6.3. Przekrój słupa ściskanego osiowo

6.2. Charakterystyki geometryczne przekroju Rysunek 6.2 przedstawia wymiary ceownika oraz kątownika nierównoramiennego odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych. Charakterystyki geometryczne ceownika wynoszą

A=53,3 cm 2 , T 

J X =6280 cm

4

,

J YT =399,0 cm 4 . Charakterystyki geometryczne kątownika nierównoramiennego wynoszą

A=13,5 cm 2 , T 

J X =133,0 cm

4

,

J YT =64,1 cm4 . Rysunek 6.3 przedstawia położenie środka ciężkości przekroju słupa. Ponieważ osie środkowe są także osiami symetrii będą więc one także osiami głównymi. Dewiacyjny moment bezwładności wynosi więc zero. Pole powierzchni całego przekroju wynosi Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 - przykład 1

3

A=2⋅53,34⋅13,5=160,6 cm2 . Współrzędne środka ciężkości ceownika numer 1 wynoszą

y 01=9,5−2,53=6,97 cm , z 01=0,0 cm . Współrzędne środka ciężkości ceownika numer 2 wynoszą

y 02=− 9,5−2,53  =−6,97 cm , z 02=0,0 cm . Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego numer 3 wynoszą

y 03=9,51,87=11,37 cm , z 03=−8,03,10  =−11,1 cm . Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego numer 4 wynoszą

y 04=− 9,51,87 =−11,37 cm , z 04=−8,03,10  =−11,1cm . Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego numer 5 wynoszą

y 05=9,51,87=11,37 cm , z 05=8,03,10=11,1 cm . Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego numer 6 wynoszą

y 06=− 9,51,87  =−11,37 cm , z 06=8,03,10=11,1 cm . Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 - przykład 1

4

Główne momenty bezwładności wynoszą więc

J Ygl =62800,0 2⋅53,3 62800,02⋅53,3 2 133,0 −11,1  ⋅13,5 , 2 133,0 −11,1  ⋅13,5 133,011,1 2⋅13,5 133,011,1 2⋅13,5=19750 cm4 2

J Zgl =399,06,97 ⋅53,3 2

399,0 −6,97  ⋅53,3 64,111,37 2⋅13,5 . 2 64,1 −11,37  ⋅13,5 64,111,37 2⋅13,5 2 64,1 −11,37  ⋅13,5=13210 cm 4

6.3. Podstawowe właściwości Słup ściskany przedstawiony na rysunku 6.1 wykonany jest ze stali, której moduł Younga ma wartość

E=205 GPa=205000 MPa=20500

kN . cm 2

Granica proporcjonalności stali wynosi

 H =215 MPa . Granica plastyczności stali wynosi

 PL =235 MPa . Smukłość graniczna wynosi więc



GR=⋅

205000 =97,01 . 215

Długość stalowego słupa ściskanego osiowo wynosi

L=15,0 m=1500 cm .

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 - przykład 1

5

6.4. Płaszczyzna XY Długość wyboczeniowa słupa stalowego w płaszczyźnie XY wynosi

LWZ =0,7⋅1500=1050 cm . Promień bezwładności w płaszczyźnie XY wynosi

i Z=



13210 =9,069 cm . 160,6

Smukłość w płaszczyźnie XY wynosi więc

 Z=

1050 =115,8 . 9,069

6.5. Płaszczyzna XZ Długość wyboczeniowa słupa stalowego w płaszczyźnie XZ wynosi

LWY =1⋅1500=1500 cm . Promień bezwładności w płaszczyźnie XZ wynosi

iY =



19750 =11,09 cm . 160,6

Smukłość w płaszczyźnie XZ wynosi więc

Y =

1500 =135,3 . 11,09

6.6. Wyznaczenie siły krytycznej O wyboczeniu decyduje maksymalna wartość smukłości. Wynosi ona

{

=max 115,8 =135,3 . 135,3 Wyboczenie nastąpi więc w płaszczyźnie XZ.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

6. Ćwiczenie projektowe numer 6 - przykład 1

6

=135,3GR=97,01 . Mamy więc do czynienia z wyboczeniem sprężystym. Naprężenie krytyczne wynosi

 KR =

2⋅20500 kN =11,05 =110,5 MPa . 2 135,3 cm 2

Ostatecznie siła krytyczna wynosi więc

P KR=11,05⋅160,6=1775 kN .

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I