projekt 6

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

1

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6 4.1. Ćwiczenie projektowe numer 4 Wykazać geometryczną niezmienność oraz narysować wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego dla belki przedstawionej na rysunku 4.1. Zaprojektować drewniany przekrój prostokątny pręta. Przyjąć stosunek h/s równy 2,5 oraz wytrzymałość drewna równą 35 MPa. W przekroju, w którym moment zginający osiąga wartość ekstremalną narysować wykres naprężenia normalnego σX.

s

14,0 kN/m

9,0 kN

5,0

2,5

h

B

A

C [m]

120 Rys. 4.1. Belka zginana ukośnie

A

B

C

I 1 2

3

Rys. 4.2. Belka jako tarcza sztywna

14,0 kN/m Y

HA

9,0 kN B

A

C

X VA

VB 5,0

[m] 2,5

Rys. 4.3. Założone zwroty reakcji podporowych

4.2. Analiza kinematyczna belki Rysunek 4.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną. Jak widać na rysunku 4.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

2

4.3. Wyznaczenie reakcji podporowych Rysunek 4.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych. Pozioma reakcja na podporze A wynosi  X = H A=0 . H A=0,0 kN Pionowa reakcja na podporze A wynosi 1  M B=V A⋅5,0−14,0⋅5,0⋅ ⋅5,09,0⋅2,5=0 2 . V A=30,50 kN Pionowa reakcja na podporze B wynosi 1  M A=−V B⋅5,014,0⋅5,0⋅ ⋅5,09,0⋅7,5=0 2 . V B=48,50 kN Równanie sprawdzające ma postać  Y =V AV B−14,0⋅5,0−9,0=30,5048,50−14,0⋅5,0−9,0=0 . Rysunek 4.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych.

14,0 kN/m

9,0 kN

A

B 30,50 kN

C

48,50 kN 5,0

2,5

[m]

Rys. 4.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych

4.4. Wykres siły poprzecznej W przedziale AB siła poprzeczna jest funkcją liniową natomiast w przedziale BC funkcją stałą. Wartość siły poprzecznej w punkcie A wynosi T A=30,50 kN . Wartość siły poprzecznej z lewej strony punktu B wynosi Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

3

T BL  =30,50−14,0⋅5,0=−39,50 kN . Miejsce zerowe siły poprzecznej znajduje się w odległości

x L=

30,50 =2,179 m , 14,0

xP=

39,50 =2,821 m . 14,0

Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B wynosi T BP =−39,5048,50=9,0 kN . Wartość siły poprzecznej w przedziale BC i w punkcie C wynosi T BC =T C =9,0 kN . Rysunek 4.8 przedstawia wykres siły poprzecznej w belce.

4.5. Wykres momentu zginającego W przedziale AB moment zginający jest funkcją kwadratową stopnia natomiast w przedziale BC funkcją liniową. Zgodnie z rysunkiem 4.5 a) moment zginający w punkcie A wynosi M A=0,0 kN⋅m . Zgodnie z rysunkiem 4.5 b) moment zginający z lewej strony punktu B wynosi 1 M BL =30,50⋅5,0−14,0⋅5,0⋅ ⋅5,0=−22,50 kN⋅m . 2 Zgodnie z rysunkiem 4.6 ekstremalny moment zginający w przedziale AB wynosi 1 M 1=30,50⋅2,179−14,0⋅2,179⋅ ⋅2,179=33,22 kN⋅m , 2 1 M 1=48,50⋅2,821−9,0⋅ 2,52,821  −14,0⋅2,821⋅ ⋅2,821=33,22 kN⋅m . 2 Zgodnie z rysunkiem 4.7 a) moment zginający z prawej strony punktu B wynosi Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

a)

b) A

4

14,0 kN/m A

MA

MB(L) 30,50 kN

30,50 kN

5,0

[m]

Rys. 4.5. Momenty zginające w przedziale AB

a)

b)

14,0 kN/m

14,0 kN/m

9,0 kN B

A M1

30,50 kN 2,179

M1

C

48,50 kN

[m]

2,821

2,5

Rys. 4.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB

a)

b) 9,0 kN

9,0 kN

C MB(P)

C MC

[m]

2,5

Rys. 4.7. Momenty zginające w przedziale BC

14,0 kN/m

9,0 kN B

A 30,50 kN

C

48,50 kN

[m]

2,5

30,50

5,0

9,0

39,50

T(x) [kN]

2,821

2,179

0,0

33,22

22,50

0,0

2,179

M(x) [kN∙m]

2,821 Rys. 4.8. Wykresy sił przekrojowych w belce

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

5

M BP =−9,0⋅2,5=−22,50 kN⋅m . Zgodnie z rysunkiem 4.7 b) moment zginający w punkcie C wynosi M C =0,0 kN⋅m . Rysunek 4.8 przedstawia wykres momentu zginającego w belce.

4.4. Wykres naprężenia normalnego Zgodnie z rysunkiem 4.8 wartość bezwzględna ekstremalnego momentu zginającego na długości belki wynosi

∣M EXT∣=33,22 kN⋅m=3322 kN⋅cm

.

Rysunek 4.9 przedstawia rozkład momentu zginającego na składowe po kierunkach głównych osi bezwładności. Wartości bezwzględne tych składowych wynoszą

∣M Y∣=3322⋅cos  12° =3249 kN⋅cm

,

∣M Z∣=3322⋅sin  12° =690,7 kN⋅cm

.

Momenty zginające mają wartości M Y =3249 kN⋅cm , M Z =−690,7 kN⋅cm . Wskaźniki wytrzymałości przekroju prostokątnego wynoszą 2

s⋅h 2 s⋅ 2,5⋅s  WY= = =1,042⋅s3 , 6 6

W Z=

h⋅s2 2,5⋅s⋅s 2 = =0,4167⋅s3 . 6 6

Warunek wytrzymałości ma postać

X =

∣M Y∣∣M Z∣= WY

Dr inż. Justyna Grzymisławska

WZ

3249 690,7 3118 1658 4776 kN  = 3  3 = 3 ≤3,5 2 . 3 3 1,042⋅s 0,4167⋅s s s s cm BS-I

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

3322 kN∙cm

6

kN∙cm 690,7

12

0

m

kN∙c 3249

Y=Y gl

120

Z=Z gl

Rys. 4.9. Rozkład momentu na momenty składowe po kierunkach głównych osi bezwładności

Y=Ygl

sc

30,0

12,0

Z=Zgl

[cm]

Rys. 4.10. Wymiary przekroju prostokątnego

Otrzymano ostatecznie 4776 kN ≤3,5 2 , 3 s cm s3≥1365 cm 3 , s≥11,09 cm . Przyjęto przekrój prostokątny, którego wymiary przedstawia rysunek 4.10. Główne momenty bezwładności wynoszą

J Y =J Ygl = Dr inż. Justyna Grzymisławska

12,0⋅30,03 =27000 cm 4 , 12 BS-I

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

7

σX

] Pa [M

,64 27

1

,64 27

3322 kN∙cm

Y=Ygl

sc

13,29

120

2

10,0

A [cm]

Z=Zgl Rys. 4.11. Wykres naprężenia normalnego

J Z =J Zgl =

30,0⋅12,03 =4320 cm4 . 12

Funkcja naprężenia normalnego σX ma postać

 X =−

Dr inż. Justyna Grzymisławska

−690,7 3249 ⋅y  ⋅z=0,1599⋅y 0,1203⋅z . 4320 27000

BS-I

WM

4. Ćwiczenie projektowe numer 4 – przykład 6

8

Oś obojętna ma postać 0,1599⋅y 0,1203⋅z=0 , 0,1203⋅z=−0,1599⋅y ,

z=−1,329⋅y . Oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości oraz punkt A o współrzędnych

y A=−10,0 cm , z A=−1,329⋅ −10,0 =13,29 cm . Rysunek 4.11 przedstawia położenie osi obojętnej. Wartości naprężenia normalnego σX w punktach najdalej oddalonych od osi obojętnej wynoszą

 X1=0,1599⋅−6,0  0,1203⋅−15,0 =−2,764

 X2 =0,1599⋅6,00,1203⋅15,0=2,764

kN =−27,64 MPa , cm2

kN =27,64 MPa . cm 2

Rysunek 4.11 przedstawia wykres naprężenia normalnego σX w przekroju belki zginanej ukośnie.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I