Resnick, Halliday - Podstawy Fizyki 4

powietrze

Rys. 34.46. Zadanie 47

4 8 . Prom ień św iatła białego pada pod kątem 35" na ścianę pry­ zmatu z topionego kwarcu, którego przekrój jest trójkątem rów­ nobocznym . Naszkicuj bieg św iatła w tym pryzm acie, pokazując prom ienie, które odpowiadają światłu a) niebieskiem u, b) żółto­ zielonem u i c) czerwonemu. 4 9 . Udowodnij, że prom ień św iatła padający na powierzch­ nię szklanej płytki płasko-równoległej o grubości t wycho­ dzi z niej bez zmiany kie­ runku, a jest jedynie prze­ sunięty, tak jak pokazano na rysunku 34.47. Pokaż, że dla małych kątów padania 9 przesunięcie to jest dane wzorem n —1 x = t 9 ------- , gdzie n jest w spółczynni­ kiem załam ania światła dla szkła, a kąt 9 jest mierzony w radianach.

Rys. 34.47. Zadanie 49

5 0 . Na rysunku 34.48 brzegi zbiornika wypełnionego wodą two­ rzą dwa wzajem nie prostopadłe zwierciadła, a) Prom ień świetlny

Pro> ’¡Pień '°dzą y Rys. 3 4.4 9 . Zadanie 51 i 58

5 2 . W spółczynnik załam ania św iatła dla benzenu jest równy 1,8. Ile wynosi kąt graniczny dla światła, które rozchodzi się w benzenie w stronę pła­ skiej warstwy powietrza po­ nad benzenem ? 5 3 . Na rysunku 34.50 pro­ mień świetlny wchodzi do sztabki szklanej w punk­ cie A , a następnie doznaje całkowitego wewnętrznego odbicia w punkcie B . O sza­ cuj na podstawie tej in­ form acji m inim alną war­ tość współczynnika zała­ m ania św iatła dla szkła.

Zadania

37

5 4 , Punktowe źródło światła jest um ieszczone 80 cm pod po­ w ierzchnią wody. Znajdź średnicę okręgu wytyczanego na po­ wierzchni wody przez wychodzące z niej światło. Na rysunku 34.51 prom ień świetlny jest prostopadły do sci mv ab szklanego pryzm atu (n = 1,52). Znajdź najw iększą warlose Kąta , przy której pro­ m ień świetlny ulega całko­ witem u wewnętrznemu od­ biciu na ścianie ac, w przypadku gdy pryzm at jest um ieszczony w: a) powie­ trzu, b) wodzie.

L

Rys. 34.51. Z adanie 55

Promień św iatła białego rozchodzi się w topionym kwarcu um ieszczonym w powietrzu. W tedy gdy wszystkie barw ne skła­ dowe św iatła białego ulegają całkowitem u wewnętrznemu odbi­ ciu od jego powierzchni, prom ień odbity jest nadal prom ieniem św iatła białego. Gdyby jednak któraś ze składowych z krań­ ców zakresu widzialnego (niebieska lub czerwona) ulegała za­ łam aniu i częściowo przechodziła przez powierzchnię graniczną kw arc-pow ietrze, to w świetle odbitym udział tej składowej byłby mniejszy. Św iatło odbite nie byłoby już wtedy białe, ale na­ bierałoby zabarw ienia odpowiadającego przeciw nem u krańcowi zakresu widzialnego. (Jeżeli załam aniu ulegałaby składowa nie­ bieska, to w iązka odbita m iałaby zabarw ienie czerwonawe i od­ wrotnie). Czy możliwe jest, aby w iązka odbita m iała zabarwienie a) niebieskawe lub b) czerwonawe? c) Jeżeli tak, to jaki m usiałby być kąt padania wiązki św iatła białego na powierzchnię kwarcu (zob. rys. 34.19). 5 7 , Sześcienna kostka o długości krawędzi równej 10 mm w yko­ nana jest ze szkła o w spółczynniku załam ania św iatła 1,5 i do­ kładnie w środku ma m ałą skazę, a) Które części każdej ze ścian tej kostki należy przesłonić, ażeby niezależnie od kierunku obser­ wacji nie było widać tej skazy? (Pomiń światło, które odbija się wewnątrz kostki, a natępnie ulega załam aniom i wychodzi z kostki do powietrza), b) Jaki ułam ek całkowitej powierzchni kostki musi zostać przesłonięty? 5 8 , Przyjmijmy, że pryzm at na rysunku 34.49 m a kąt łam iący 4> = 60°, a w spółczynnik załam ania św iatła m ateriału, z którego jest wykonany, wynosi n = 1,6. a) Jaki jest najm niejszy kąt padania 9, pod którym prom ień świetlny m oże wejść do pryzm atu przez lewą i opuścić go przez prawą ścianę boczną? b) Jaki musi być kąt padania 9, aby kąt załam ania prom ienia opuszczającego pryzm at był identyczny z kątem padania 9, tak ja k to się dzieje na rysunku 34.49 ? (Patrz zadanie 51).

59, Na rysunku 34.52 do pryzm atu o kącie łam iącym 90°, w punk­ cie P , pod kątem padania 0 wchodzi światło. W punkcie Q część św iatła załam uje się pod kątem 90°. a) Podaj zależność w spół­ czynnika załam ania św iatła w pryzm acie od kąta 9. b) Jaka jest m aksym alna m ożliwa wartość liczbowa tego współczynnika za­ 38

34. Fale elektromagnetyczne

łam ania światła? Opisz, co będzie się działo ze św ia­ tłem w punkcie Q wtedy, gdy kąt padania w tym punkcie będzie c) nieznacz­ nie większy, d) nieznacznie mniejszy.

powietrze

P \

Rys. 34.52. Zadanie 59

6 0 a) Przy jakim kącie padania światło odbite od powierzchni wody będzie całkowicie spolaryzowane? bi Czy kąt ten zależy od długości fali światła? 6 1, Św iatło rozchodzące się w wodzie o współczynniku załam a­ nia św iatła 1,33 pada na płytkę szklaną o współczynniku załam a­ nia św iatła 1,53. Przy jakim kącie padania światło obite od płytki będzie całkowicie spolaryzowane? 6 2 . Oblicz górną i dolną granicę wartości kątów Brewstera dla św iatła białego padającego na topiony kwarc. Przyjmij, że granice zakresu św iatła widzialnego to 400 m i 700 nm.

6 3 Albatros szybuje poziom o ze stałą prędkością 15 m /s nad po­ wierzchnią Ziem i, w płaszczyźnie pionowej, która zawiera również Słońce (rys. 34.53). Szybuje on w kierunku ściany o wysokości h = 2 m, prześlizgując się tuż nad nią. O tej porze dnia pro­ mienie słoneczne tworzą z pow ierzchnią Ziemi kąt 6 = 30°. Z jak ą prędkością przesuw a się cień albatrosa po a) powierzchni Ziemi, a następnie b) w górę po ścianie? Nieco później po takim samym torze szybuje z taką sam ą prędkością jastrząb. I wtedy zauważasz, że kiedy cień jastrzębia osiąga ścianę, wędruje on po niej z wyraźnie w iększą prędkością niż poprzednio cień albatrosa, c) Czy teraz Słońce jest na prom ień słoneczny , * niebie wyżej, czy niżej, niż wtedy, kiedy przelatyw ał al­ batros? d) Jaki kąt 9 tworzą teraz prom ienie słoneczne z pow ierzchnią Ziem i, je ­ żeli cień jastrzębia przesuwa się po ścianie z prędkością 45 m /s?

Rys. 34.53. Zadanie 63

6 a , W poszukiwaniu grobowców. W poszukiwaniach archeolo­ gicznych nie oznaczone groby i podziem ne grobowce m ożna lo­ kalizować bez ich naruszania, korzystając z radaru. U kład rada­ rowy wysyła im puls dokładnie w głąb ziemi; impuls jest czę­ ściowo odbijany (do góry) na podziemnych przeszkodach. M ó­ wiąc inaczej, impuls jest odbijany do góry na poziom ych gra­ nicach, na których jego prędkość rozchodzenia się ulega zm ia­ nie. Układ odbiorczy radaru w ykryw a odbicie i rejestruje odstęp czasu między wysłaniem i odebraniem sygnału (impulsu). Po­ wtarzając taką procedurę w kilku m iejscach badanej powierzchni ziemi, archeolog m oże wyznaczyć kształt podziem nego obiektu.

wschód 1 3 4 5 6 7 8 ---«----e2 ----a-----a-----«-----«----_«-----«—

Rys. 34.54. Zadanie 64 Taki radar zastosowano w ośm iu m iejscach leżących w zdłuż lini prostej na badanej powierzchni, num erując je w kierunku z za­ chodu na wschód, tak ja k to pokazano na rysunku 34.54. Odstęp m iędzy kolejnym i m iejscam i pom iaru w ynosił 2 m. Pod linią po­ m iarów znajduje się pusty grobowiec z poziom ych i pionowych płyt kam iennych o jednakow ych grubościach; płyty poziom e two­ rzą dno i pokrywę grobowca, a płyty pionowe jego ściany boczne. W tabelce danej niżej zebrane są odstępy czasowe A t (w nanosekundach) zarejestrowane dla im pulsów w poszczególnych ośm iu stanowiskach pom iaru. N a przykład na stanowisku 4 po wysłaniu w głąb ziemi im pulsu radarowego zarejestrowano cztery impulsy odbite, pierw szy po 63,00 ns, a ostatni po 86,54 ns od m om entu wysłania impulsu. Przyjmij, że prędkość rozchodzenia się im pulsu radarowego w glebie ponad, pod i obok grobowca wynosi 10 cm /ns; w płytach kamiennych jest ona równa 10,6 cm /ns, a w powietrzu wewnątrz grobowca 30 cm /ns. W yznacz: a) głębokość, na jakiej znajduje się górna pow ierzchnia pokryw y grobowca, b) poziom ą długość grobowca w kierunku zachód-w schód oraz c) pionowe wym iary wewnętrzne kom ory grobowca.

N um er stanowiska

^

2

3

At

— —

63,00 115,8

63,00 66,77 82,77 86,54

4

5

6

63,00 66,77 82,77 86,54

63,00 66,77 74,77

63,00 66,77 74,77 78,54

101,2

7

8

63,00 — 93,19

6 5 . Na rysunku 34.55 prom ień świetlny rozchodzący się w po­ w ietrzu pada na płaską warstwę z m ateriału 2 , który ma w spółczynnik załam ania św iatła n 2 = 1,5. Pod tą warstwą znajduje się warstwa z m ateriału 3 o w spółczynniku załam a­ nia św iatła « 3. N a granicę pow ietrze-m ateriał 2 pro­ m ień pada pod kątem Brewstera (dla tej powierzchni granicznej). Również na granicę m ateriał 2-m ateriał 3 prom ień pada pod ką­ tem Brewstera właściw ym dla tej powierzchni granicz­ nej. Jaka jest w artość « 3?

Rys. 3 4.55. Z adanie 65

6 6 . W jakiej odległości m usiałbyś trzym ać dłonie, aby odległość m iędzy nim i odpow iadała nanosekundzie św ietlnej?

35 Obrazy

Obraz Edouarda Maneta Bar w Folies-Bergere zachwycał wszystkich od chwili swego powstania w 1882 r. Część ¡ego uroku stanowi kontrast między gotową do zabawy widownią a barmanką, której oczy zdradzają ogarniające ją zmęczenie. Ale o jego uroku stanowią również ukryte przez Maneta subtelne zniekształcenia rzeczywistości — zniekształcenia, które sprawiają, że scena przedstawiona na obrazie wydaje się „dziwna", i to jeszcze zanim się zorientujesz, co jest „nie w porządku". Czy potrafisz odnaleźć te subtelne zniekształcenia fizycznej rzeczywistości? Odpowiedź znajdziesz w tym rozdziale.

B

i l »

35.1. Dwa rodzaje obrazów Żebyś mógł widzieć, powiedzmy pingwina, do twojego oka musi dotrzeć przynaj­ mniej pewna część promieni świetlnych biegnących od pingwina, które zostaną skierowane następnie na siatkówkę znajdującą się w tylnej części twego oka. Twój aparat widzenia, zaczynający się siatkówką, a kończący się w tylnej części kory mózgowej, automatycznie i nieświadomie przetwarza informację przeno­ szoną przez światło. Identyfikuje on krawędzie, kierunki, struktury, kształty oraz barwy i szybko dostarcza do twojej świadomości obraz (reprodukcję odzyskaną ze światła) pingwina — spostrzegasz i rozpoznajesz pingwina, widzisz go w kie­ runku, z którego przyszło światło i we właściwej odległości. Twój system wzrokowy podejmuje takie przetwarzanie i rozpoznawanie rów­ nież wtedy, gdy promienie świetlne nie przychodzą bezpośrednio od pingwina, lecz docierają do twego oka po odbiciu od lustra czy załamaniu przez soczewki lornetki. Widzisz jednak wtedy pingwina w kierunku, z którego nadchodzą pro­ mienie świetlne po Odbiciu lub załamaniu, i w odległości, która może być całkiem różna od prawdziwej odległości, w jakiej znajduje się pingwin. Jeżeli na przykład promienie zostały odbite od powierzchni zwykłego pła­ skiego lustra, to wydaje się, że pingwin znajduje się z drugiej strony powierzchni lustra, bo promienie, które docierają do twojego oka, przychodzą właśnie z tam­ tego kierunku. Oczywiście pingwina tam nie ma. Ten rodzaj obrazu, który nazywa się obrazem pozornym, istnieje naprawdę tylko w twoim mózgu, ale mówimy 0 nim, że powstaje w miejscu, w którym go widzimy. Obraz rzeczywisty różni się tym (od obrazu pozornego), że może powstawać na powierzchni, takiej jak kartka czy ekran kinowy. Obraz rzeczywisty możesz widzieć (inaczej sale kinowe byłyby puste), ale jego obecność nie zależy wcale od twojego postrzegania, istnieje on w określonym miejscu niezależnie od tego, czy ty tam jesteś, czy też nie. W tym rozdziale poznamy kilka dróg wytwarzania obrazów rzeczywistych 1 pozornych, które powstają w wyniku odbicia (np. od zwierciadeł) oraz zała­ mania (np. w soczewkach). Dokonamy również wyraźnego rozróżnienia między obrazami rzeczywistymi i pozornymi. Najpierw jednak poznajmy przykład obrazu pozornego powstającego w sposób naturalny.

Miraż Popularnym przykładem mirażu (fatamorgany) jest obraz pozorny zbiornika wod­ nego (stawu, jeziora itd.), który w gorący, słoneczny dzień — jak się wydaje — leży na drodze (łub na piasku pustyni) przed tobą, ale do którego nigdy nie możesz dojść. Taki zbiornik wody to miraż (pewien typ złudzenia optycz­ nego), który tworzą promienie świetlne pochodzące z niskich obszarów niebo­ skłonu na wprost ciebie (rys. 35. la). Zbliżając się do powierzchni drogi pro­ mienie te przechodzą przez coraz gorętsze warstwy powietrza, nagrzewające się przez kontakt z zazwyczaj stosunkowo gorącą jej powierzchnią. Wraz ze wzrostem temperatury powietrza zmniejsza się nieco współczynnik załamania światła (i odpowiednio wzrasta nieco prędkość rozchodzenia się światła). Tym

promień świetlny Rys. 35.1. a) Promień świetlny biegnący z dolnego obszaru nieba ulega załamaniu przy przechodzeniu przez warstwy powie­ trza ogrzewane przez nawierzchnię drogi (nie osiągając tej na­ wierzchni). Obserwator, do którego dociera to światło, odbiera je jakby przychodziło ze zbiornika wodnego na drodze, b) Odchy­ lanie (narysowane przesadnie) promienia świetlnego biegnącego w dół przez obszary coraz gorętszego powietrza, c) Przesunięcie czół fali i związane z tym odchylenie promienia, które wynika z tego, że dolne końce czoła fali poruszają się szybciej w goręt­ szym powietrzu, d) Odchylanie promienia świetlnego biegnącego w górę przez obszary coraz chłodniejszego powietrza

zwierciadło

- miraż zbiornika wodnego

droga

a) ciepłe powietrze

szybko

ciepłe powietrze ...

cieplejsze powietrze

cieplejsze powietrze droga b)

szybciej

c)

droga

d)

samym promienie świetlne, które zbliżają się do powierzchni drogi, riapotykają warstwy powietrza o coraz mniejszym współczynniku załamania światła i są one w ciągły sposób odchylane ku górze od powierzchni drogi (rys. 35.Ib) do kierunku poziomego. Po osiągnięciu kierunku poziomego, nieco ponad powierzchnią drogi, pro­ mień jest nadal odchylany, gdyż dolna część każdego czoła fali znajduje się w nieco cieplejszym powietrzu i rozchodzi się z nieco większą prędkością niż górna część czoła fali (rys. 35.lc). Ten niejednolity ruch czół fali powoduje od­ chylanie promienia do góry. I to odchylanie do góry trwa dalej, gdyż wznoszący się teraz promień świetlny przechodzi przez warstwy powietrza, których współ­ czynnik załamania światła stopniowo wzrasta (rys. 35.Id). Twój aparat widzenia, odbierając tak biegnące światło, automatycznie wnio­ skuje, iż przyszło ono z kierunku, który jest przedłużeniem promieni świetlnych docierających do oka, i ustala, że nadeszło ono z powierzchni drogi. Jeżeli przy tym światło ma niebieskie zabarwienie nieba, to i miraż wydaje się niebieskawy, tak jak woda. Nagrzane powietrze jest turbulentne, wobec tego miraż migocze, co wygląda jak falowanie powierzchni wody. Niebieskie zabarwienie i falowa­ nie potęgują złudzenie zbiornika wodnego, ale ty oglądasz tylko obraz pozorny dolnego obszaru nieba.

35.2. Zwierciadła płaskie

Rys. 35 .2. Punktowe źródło światła P , nazywane p rzed m io tem , w odległo­ ści p od płaskiego zwierciadła. Promie­ nie świetlne wychodzące z punktu P po osiągnięciu powierzchni zwierciadła ulegają odbiciu od niej. Jeżeli do twego oka trafia część tak odbitych promieni świetlnych, to widzisz punktowe źródło światła O za zwierciadłem w odległości o. Widziane przez ciebie źródło światła O jest obrazem pozornym przedmiotu P

42

35. O brazy

Zwierciadło jest to powierzchnia, która odbija światło w jednym kierunku (nie rozpraszając go na wiele stron i nie absorbując go). Lśniąca (polerowana) po­ wierzchnia metalowa działa jak zwierciadło, a na przykład betonowa ściana nie jest zwierciadłem. W niniejszym paragrafie poznamy obrazy, jakie mogą po­ wstawać przy odbiciu światła od zwierciadła płaskiego (płaskiej powierzchni odbijającej). Na rysunku 35.2 punktowe źródło światła P , które będziemy nazywać przed­ miotem , znajduje się w odległości p od płaskiego zwierciadła. Światło padające na zwierciadło jest przedstawione za pomocą promieni wychodzących z punktu P, a światło odbite — za pomocą promieni odbitych biegnących od zwierciadła. Jeżeli przedłużymy promienie odbite poza powierzchnię zwierciadła, to

stwierdzimy, że te przedłużenia przecinają się w jednym punkcie w odległości o od powierzchni zwierciadła. Kiedy spoglądasz w zwierciadło na rysunku 35.2, wtedy do twoich oczu dociera pewna część odbitego światła. To, co widzisz, przekłada się na punk­ towe źródło światła umieszczone w punkcie przecięcia się przedłużeń promieni odbitych. Widziane przez ciebie punktowe źródło to obraz O przedmiotu P . Na­ zywamy go obrazem punktowym, bo jest punktem, i jest to obraz pozorny, bo promienie w rzeczywistości nie przechodzą przez ten punkt. (Jak się przeko­ nasz w dalszej części wykładu, w przypadku obrazów rzeczywistych promienie przechodzą przez punkt przecięcia). Na rysunku 35.3 pokazano dwa promienie wybrane spośród wielu innych promieni z rysunku 35.2. Jeden z nich pada w punkcie b prostopadle na po­ wierzchnię zwierciadła. Drugi promień pada na powierzchnię zwierciadła w do­ wolnie wybranym punkcie a pod kątem 8 . Pokazane są również przedłużenia tych promieni. Trójkąty prostokątne a P b i a O b mają wspólny bok oraz trzy równe kąty i wobec tego są trójkątami przystającymi (o jednakowych rozmiarach), a za­ tem i pozostałe ich boki mają parami równą długość. Stąd Ob = Pb,

Rys. 3 5 .3 . Dwa promienie świetlne wy­ brane z wiązki promieni na rysunku 35.2. Promień P a tworzy pewien kąt 9 z normalną do powierzchni zwiercia­ dła. Promień O b jest prostopadły do po­ wierzchni zwierciadła

(35.1)

gdzie Ob i Pb są odległościami od powierzchni zwierciadła do obrazu i do przedmiotu. Z równania (35.1) wynika, że obraz znajduje się za zwierciadłem w takiej samej odległości, w jakiej przed zwierciadłem znajduje się przedmiot. Zgodnie z umową odległości przedmiotu p są wielkościami dodatnimi, natomiast odległości obrazu o dla obrazów pozornych (tak jak właśnie w tym przypadku) są wielkościami ujemnymi. Wobec tego równanie (35.1) można zapisać w postaci \o\ = p albo w postaci zwierciadło

o = —p

(zwierciadło płaskie).

(35.2)

Oko może zebrać tylko te promienie, które po odbiciu od zwierciadła w punk­ cie a znajdują się bardzo blisko siebie. Dla oka, którym spoglądasz w zwiercia­ dło z takiej pozycji jak na rysunku 35.4, tylko niewielka część obszaru wokół punktu a (mniejsza od rozmiarów źrenicy oka) jest powierzchnią czynną pod­ czas tworzenia obrazu. Jęśli chcesz się o tym przekonać, to zamknij jedno oko, a drugim oglądaj obraz bardzo małego przedmiotu, na przykład ostrza ołówka. Przesuwaj następnie po powierzchni zwierciadła koniuszek swego palca, tak aby przykryć oglądany obraz. Przekonasz się, że tylko mały obszar zwierciadła pod koniuszkiem twego palca wytworzył obraz.

Przedmioty rozciągłe Na rysunku 35.5 rozciągły przedmiot P , którym jest strzałka (skierowana do góry) znajduje się w odległości p od płaskiego zwierciadła. Każdy mały frag­ ment tego przedmiotu odgrywa w stosunku do zwierciadła rolę punktowego źró­ dła światła, takiego jak źródło P na rysunkach 35.2 i 35.3. Jeżeli odbierasz światło odbite od zwierciadła, to spostrzegasz obraz pozorny O, który jest złoże­ niem punktowych obrazów pozornych wszystkich fragmentów przedmiotu i który

Rys. 3 5 .4 . Tylko niewielka część pro­ mieni świetlnych wychodzących z przed­ miotu P dociera po odbiciu od zwier­ ciadła do oka i tylko mały obszar po­ wierzchni zwierciadła wokół punktu a uczestniczy w odbiciu odbieranych przez oko promieni. Oko odbiera te promienie tak, jakby wychodziły one z punktu O leżącego z drugiej strony zwierciadła

35.2. Zwierciadła płaskie

43

Rys. 35.5. Rozciągły przedmiot P i jego pozorny obraz O w płaskim zwierciadle

— jak się wydaje — znajduje się w odległości o poza zwierciadłem. Odległości p i o wiąże ze sobą równanie (35.2). Położenie obrazu rozciągłego przedmiotu możemy ustalić w taki sam sposób, w jaki robiliśmy to dla punktowego przed­ miotu — rysujemy pewne wybrane promienie, które wychodzą z wierzchołka przedmiotu i padają na zwierciadło, następnie wytyczamy kierunki promieni od­ bitych od zwierciadła i rysujemy ich przedłużenia poza zwierciadłem, aż do ich przecięcia,' które jest obrazem wierzchołka przedmiotu. To samo powtarzamy dla dolnego końca przedmiotu. I tak, jak to pokazano na rysunku 35.5, stwierdzamy, że obraz pozorny O ma taką samą orientację i wysokość (mierzoną w kierunku równoległym do płaszczyzny powierzchni zwierciadła), jak przedmiot P. Bar w Folies-Bergere Maneta

Na obrazie Maneta Bar w Folies-Bergere salę oglądasz jako jej odbicie w wielkim lustrze znajdującym się na ścianie za plecami barmanki. Jednakże odbicie to jest namalowane z trzema subtelnymi błędami. Zwróć najpierw uwagę na butelki po lewej stronie. Manet namalował ich odbicia w lustrze, ale umieścił je znacznie bliżej przedniej krawędzi lady barowej, niż powinny się one znajdować. Przyjrzyj się teraz z kolei odbiciu kobiety za barem. Widzisz ją na wprost przed sobą, a więc jej odbicie powinno znajdować się dokładnie za nią i powinno być niewidoczne, a Manet namalował to odbicie całkiem po prawej stronie jej postaci. I wreszcie popatrz na odbicie w lustrze postaci mężczyzny, który stoi na wprost barmanki. To musisz być ty, gdyż odbicie pokazuje, iż znajduje się on naprzeciw barmanki, a zatem to on ogląda obraz Maneta. Patrzysz zatem w obraz Maneta (a więc i w lustro za barem) i widzisz swoje odbicie daleko z boku po prawej stronie. To jest zagadkowe albo irytujące, nie tego bowiem spodziewamy się zarówno po obrazie, jak i lustrze. 1 Na rysunku niżej spoglądasz do wnętrza układu, który tworzą dwa pionowe zwierciadła A i B , odległe od siebie o d . W punkcie P , w odległości 0,2 d od powierzchni zwieciadła A, umieszczono wyszczerzoną w uśmiechu głowę chimery. Każde zwierciadło wytwarza p ie r w sz y obraz (najbliższy powierzchni zwierciadła) chimery, który z kolei jest przedmiotem dla przeciwległego zwierciadła i w ten sposób w każdym zwier­ ciadle powstaje dru gi obraz, który z kolei jest przedmiotem dla przeciwległego zwierciadła i w ten sposób w każdym zwierciadle powstaje trze c i obraz, itd. — możesz oglądać setki obrazów uśmiechniętej chimery. W jakiej odległości od zwierciadła A powstaje pierwszy, drugi i trzeci obraz? A

B

35.3. Zwierciadła sferyczne Poznawszy obrazy wytwarzane przez płaskie zwierciadła, możemy zająć się ob­ razami wytwarzanymi przez powierzchnie zakrzywione. W szczególności roz­ ważymy zwierciadła sferyczne (albo inaczej kuliste), których powierzchnie są

44

35. O brazy

małymi wycinkami powierzchni kuli. Zwierciadło płaskie jest w istocie przy­ padkiem szczególnym zwierciadła sferycznego, które ma nieskończenie wielki prom ień krzywizny.

Jak powstaje zwierciadło sferyczne Zacznijmy od zwierciadła płaskiego (rys. 35.6a), po którego lewej stronie znaj­ duje się przedmiot P i nie pokazany na rysunku obserwator. Jeżeli zakrzywimy powierzchnię tego zwierciadła tak, że stanie się ona powierzchnią wklęsłą, jak na rysunku 35.6b, to powstałe zwierciadło jest zwierciadłem wklęsłym. Takie za­ krzywienie powierzchni odbijającej zwierciadła zmienia charakterystyki samego zwieciadła i wytwarzanego przezeń obrazu: 1.

2. 3.

4.

\* -p J ^ o -

a)

Środek krzywizny C (środek kuli, której wycinek stanowi powierzchnia zwier­

ciadła) leżał nieskończenie daleko od powierzchni zwierciadła płaskiego. W zwierciadle wkłęsłym jest on znacznie bliżej, ale nadal po stronie po­ wierzchni odbijającej zwierciadła (z przodu zwierciadła). Pole widzenia, czyli rozciągłość sceny odbijanej w stronę obserwatora jest zawężone w porównaniu z polem widzenia zwierciadła płaskiego. Obraz w zwierciadle płaskim powstawał w takiej samej odległości poza zwierciadłem, w jakiej znajdował się przed zwierciadłem przedmiot; teraz w zwierciadle wklęsłym obraz jest dalej poza powierzchnią zwierciadła niż przedmiot przed zwierciadłem, tzn. |o| jest większe niż p. Wysokość obrazu i przedmiotu były takie same, teraz w zwierciadle wklę­ słym wysokość obrazu jest większa. Z tego właśnie powodu wiele luste­ rek kosmetycznych to lusterka wklęsłe, gdyż wytwarzają one powiększony obraz twarzy.

Zwierciadło wypukłe powstaje przez zakrzywienie powierzchni zwierciadła płaskiego tak, aby stała się ona powierzchnią wypukłą, jak na rysunku 35.6c. Wynikiem takiego zakrzywienia powierzchni odbijającej jest: 1) przeniesienie środka krzywizny C p o za zwierciadło i 2) zwiększenie pola widzenia. Jednocze­ śnie obraz zostaje 3) przesunięty bliżej do powierzchni zwierciadła i 4) ulega zmniejszeniu (w porównaniu z odległością i wysokością przedmiotu w zwier­ ciadle płaskim). Lustra do obserwacji pomieszczeń, na przykład sklepowych, są zazwyczaj wypukłe —: zwiększenie pola widzenia pozwala na obserwację dużej powierzchni pomieszczenia za pomocą jednego lustra.

Ogniska zwierciadeł sferycznych Dla zwierciadła płaskiego odległość obrazu o jest zawsze równa odległości przed­ miotu p . Zanim przejdziemy do ustalenia, jak te dwie odległości wiążą się ze sobą w przypadku zwierciadła sferycznego, rozważmy odbicie światła pochodzącego od przedmiotu P , który znajduje się bardzo daleko od powierzchni zwierciadła sferycznego, na osi zwierciadła. Oś ta łączy środek krzywizny zwierciadła C ze środkiem c zwierciadła. Przedmiot znajduje się bardzo daleko od zwiercia­ dła, wobec tego fale świetlne rozchodzące się od przedmiotu i docierające do

c) Rys. 3 5 .6 . a) W zwierciadle płaskim po­ wstaje obraz pozorny O przedmiotu P . b) Kiedy powierzchnia zwierciadła jest zakrzywiana tak, że staje się powierzch­ nią w klęsłą, wtedy obraz oddala się od powierzchni zwierciadła i staje się więk' szy. c) Kiedy powierzchnia zwierciadła jest zakrzywiana tak, że staje się po­ wierzchnią w ypukłą, wtedy obraz prze­ suwa się bliżej w stronę powierzchni zwierciadła i staje się mniejszy

3 5 .3 . Z w ierciadła sferyczne

45

a)

Rys. 35.7. a) W zwierciadle wklęsłym padające nań promienie równoległe są skupiane (ogniskowane) w rzeczywi­ stym ognisku F , po tej samej stronie zwierciadła co padające nań promienie, b) W zwierciadle wypukłym padające na zwierciadło promienie równoległe two­ rzą wiązkę rozbieżną, która — jak się wydaje — wychodzi z pozornego ogni­ ska w punkcie F po przeciwnej stronie zwierciadła niż promienie padające

zwierciadła wzdłuż jego osi są falami płaskimi. Oznacza to, że wszystkie pro­ mienie reprezentujące fale świetlne docierające do zwierciadła są równoległe do osi zwierciadła. Kiedy taka wiązka równoległych promieni dociera do zwierciadła, takiego jak na rysunku 35.7, wtedy promienie bliskie osi zwierciadła (promienie przyosiowe) po odbiciu przechodzą przez jeden wspólny punkt F; dwa takie promienie pokazano na rysunku. Jeżeli w punkcie F umieścimy ekran (np. kartkę papieru), to pojawi się na nim obraz punktowy nieskończenie odległego od zwierciadła przedmiotu P. (Dotyczy to każdego nieskończenie odległego przedmiotu). Punkt F nazywa się ogniskiem zwierciadła, a jego odległość / od środka zwierciadła — ogniskową zwierciadła. W przypadku zwierciadła wypukłego promienie równoległe, po odbiciu od jego powierzchni, nie przecinają się w jednym wspólnym punkcie, ale rozbiegają się tak, jak to pokazano na rysunku 35.7b. Nasze oko odbiera te odbite promienie tak, jakby promienie wychodziły z punktowego źródła, które znajduje się po dru­ giej stronie zwierciadła. Położenie tego źródła wyznaczone jest przez wspólny punkt, w którym po drugiej stronie powierzchni zwierciadła przecinają się prze­ dłużenia promieni odbitych (punkt F na rys. 35.7b). Punkt ten jest ogniskiem F zwierciadła wypukłego, a jego odległość od powierzchni zwierciadła jest ogni­ skową / zwierciadła. Tym razem jednak na umieszczonym w ognisku zwierciadła wypukłego ekranie nie pojawia się obraz przedmiotu P, a więc charakter tego ogniska jest inny niż ogniska zwierciadła wklęsłego. Ognisko zwierciadła wklęsłego nazywa się ogniskiem rzeczywistym, nato­ miast ognisko zwierciadła wypukłego — ogniskiem pozornym. W konsekwencji tej różnicy, zgodnie z przyjętą wcześniej umową, ogniskowa / zwierciadła wklę­ słego jest dodatnia, a ogniskowa zwierciadła wypukłego ujemna. Dla obu zwier­ ciadeł ogniskowa / wiąże się z promieniem krzywizny zwierciadła zależnością f = \r

(zwierciadło sferyczne),

(35.3)

w której, zgodnie ze znakiem ogniskowej, promień krzywizny zwierciadła r jest dodatni dla zwierciadła wklęsłego i ujemny dla zwierciadła wypukłego.

35.4. O brazy wytwarzane przez zwierciadła sferyczne Zdefiniowanie ogniska zwierciadła sferycznego pozwala nam na ustalenie związ­ ku między odległością obrazu o i odległością przedmiotu p dla zwierciadła wklęsłego i wypukłego. Zacznijmy od umieszczenia przedmiotu P w dowol­ nym punkcie między ogniskiem F a powierzchnią zwierciadła wklęsłego (rys. 35.8a). Można wówczas obserwować pozorny obraz przedmiotu P w zwierciadle; obraz jest widziany po drugiej stronie powierzchni zwierciadła (poza zwiercia­ dłem) i ma taką samą orientację jak przedmiot (albo jak mówimy inaczej, jest obrazem prostym).

46

35. O brazy

promienie równoległe h - p = /-*!

c)

b) Rys. 35.8. a) Przedmiot P znajdujący się między wklęsłym zwierciadłem a ogniskiem i jego pozorny obraz O . b) Przedmiot w ognisku F . c) Przedmiot za ogniskiem i jego rzeczywisty obraz

Jeżeli będziemy odsuwać przedmiot od zwierciadła w stronę ogniska, to obraz będzie odsuwał się coraz dalej w głąb zwierciadła, coraz dalej od jego powierzchni. Po osiągnięciu przez przedmiot ogniska obraz znajdzie się w nie­ skończoności (rys. 35.8b). Obraz wówczas znika, gdyż ani promienie odbite, ani ich przedłużenia poza zwierciadło nie przecinają się i obraz O nie może powstać. Jeżeli nadal odsuwamy przedmiot od zwierciadła, na odległość większą od ogniskowej, tzn. dalej poza ognisko, to promienie odbite tworzą wiązkę zbieżną i przed zwierciadłem powstaje odwrócony obraz przedmiotu P (rys. 35.8c). Ob­ raz ten przesuwa się od nieskończoności w stronę zwierciadła, w miarę jak od­ suwamy przedmiot coraz dalej od ogniska F . Jeżeli trzymalibyśmy ekran (np. kartkę papieru) w miejscu powstawania obrazu, to obraz byłby zawsze widoczny na ekranie (w każdym miejscu, w którym jest wytwarzany przez zwierciadło) — mówimy, że obraz jest ogniskowany na ekranie przez zwierciadło. Obraz może pojawiać się na ekranie, dlatego też jest on obrazem rzeczywistym — promie­ nie świetlne rzeczywiście przecinają się, tworząc obraz, niezależnie od tego, czy obecny jest przy tym obserwator, czy też nie. Przeciwnie niż w przypadku ob­ razu pozornego, odległość rzeczywistego obrazu o od zwierciadła jest wielkością dodatnią. Widzimy również, że: Obrazy rzeczywiste powstają po tej samej stronie zwieciadła, po której znajduje się przedmiot, a obrazy pozorne powstają po jego przeciwnej stronie.

Jak pokażemy dalej w paragrafie 35.8, wtedy, gdy promienie świetlne wycho­ dzące z przedmiotu tworzą małe kąty z osią zwierciadła sferycznego, odległość przedmiotu p , odległość obrazu o i ogniskowa / są ze sobą związane następującą prostą zależnością: 1

1

---- 1— P

o

1

= —

(zwierciadło sferyczne).

(3 5 .4 )

f

Zakładamy, że kąty na naszych rysunkach, na przykład na rysunku 35.8, są wła­ śnie takimi małymi kątami, chociaż dla przejrzystości kąty, jakie tworzą promie­ nie, rysujemy znacznie większe. Przy założeniu małych kątów równanie (35.4) stosuje się do każdego zwierciadła wklęsłego, wypukłego i płaskiego. W zwier­ ciadle wypukłym i płaskim powstawać mogą tylko obrazy pozorne i to niezależnie ,

3 5 .4 O brazy w ytw arzane przez zw ierciadła sferyczne

47

od położenia przedmiotu na osi zwierciadła. Jak wynika z przykładu zilustro­ wanego na rysunku 35.6, w zwierciadle wypukłym obraz powstaje zawsze po przeciwnej stronie zwierciadła w stosunku do przedmiotu i zawsze jest obrazem prostym. Rozmiar przedmiotu i rozmiar obrazu mierzone w kierunku prostopadłym do osi zwierciadła nazywane są odpowiednio wysokością przedmiotu i wysokością obrazu. Jeżeli przez h oznaczamy wysokość przedmiotu, a przez h' wysokość ob­ razu, to stosunek t i / h nazywa się powiększeniem liniowym (poprzecznym) m zwierciadła. Zgodnie z umową, powiększenie liniowe zawsze jest dodatnie, jeżeli obraz jest prosty, i ujemne, jeżeli obraz jest odwrócony. Dlatego też wyrażenie opisujące powiększenie m zapisujemy jako h' \m\ — — h

(powiększenie liniowe).

(35.5)

Wkrótce udowodnimy, że powiększenie liniowe może być zapisywane również w postaci o m — ----

(powiększenie liniowe).

(35.6)

P

Dla zwierciadła płaskiego, dla którego o = —p , otrzymujemy m = +1. Powięk­ szenie równe 1 oznacza, że rozmiar obrazu jest taki sam, jak rozmiar przedmiotu. Znak plus oznacza, że orientacja obrazu i przedmiotu jest taka sama (obraz pro­ sty). W przypadku zwierciadła wklęsłego na rysunku 35.8c powiększenie wynosi m % —1,5. Równania (35.3)-(35.6) opisują wszystkie zwierciadła: płaskie, sferyczne zwierciadła wklęsłe i sferyczne zwierciadła wypukłe. Aby utrwalić swą wiedzę o zwierciadłach, wypełnij tabelę 35.1. W kolumnie Położenie (Obrazu) zaznacz, czy obraz jest po tej samej stronie zwierciadła co przedmiot, czy też po stronie przeciwnej. W kolumnie Rodzaj (Obrazu) zaznacz, czy obraz jest rzeczywisty, czy pozorny. W kolumnie Orientacja (Obrazu) zaznacz, czy jest to obraz prosty, czy też odwrócony. W kolumnach Znak podaj znak odpowiedniej wielkości lub wpisz ± , jeżeli znak nie jest jednoznacznie określony. Dane zawarte w tabeli będą ci potrzebne przy rozwiązywaniu zadań i testów.

Zwierciadła — podsumowanie Rodzaj zwierciadła

Położenie przedmiotu

Płaskie

dowolnie

ZC\

Wklęsłe

P
A K

p> f Wypukłe

48

35. O brazy

dowolnie

Znak

Obraz Położenie

Rodzaj

Orientacja

a-

Graficzne wyznaczanie położenia obrazu Na rysunkach 35.9a i b przedmiot P umieszczono przed zwierciadłem wklę­ słym. Położenie obrazu każdego, znajdującego się poza osią zwierciadła, punktu przedmiotu P możemy wyznaczyć graficznie, wytyczając bieg pary promieni wy­ branych spośród czterech promieni wychodzących z tego punktu, których bieg po odbiciu od zwierciadła znamy. Te promienie to: 1.

Promień równoległy do osi zwierciadła, który po odbiciu przechodzi przez ognisko F zwierciadła (promień 1 na rysunku 35.9a).

2.

Promień przechodzący przez ognisko zwierciadła, który po odbiciu biegnie równolegle do osi zwierciadła (promień 2 na rysunku 35.9a).

3.

Promień przechodzący przez środek krzywizny zwierciadła C, który po od­ biciu wraca wzdłuż tego samego kierunku (promień 3 na rysunku 35.9b).

4.

Promień padający na zwierciadło w punkcie przecięcia c osi zwierciadła z powierzchnią zwierciadła, który odbija się symetrycznie względem osi (promień 4 na rysunku 35.9b).

Rys. 35.9. a, b) Cztery promienie uży­ wane do wyznaczania położenia ob­ razu przedmiotu wytwarzanego przez zwierciadło wklęsłe. W tych przypad­ kach wytwarzany obraz jest rzeczywi­ sty, odwrócony i zmniejszony w sto- . sunku do przedmiotu, c, d) Cztery pro­ mienie używane do wyznaczania po­ łożenia obrazu przedmiotu wytwarza­ nego przez zwierciadło wypukłe. W przypadku zwierciadła wypukłego ob­ raz jest zawsze pozorny, prosty i zmniej­ szony w stosunku do przedmiotu. [Na rysunku (c) promień 2 początkowo bie­ gnie z przedmiotu w stronę ogniska F. Na rysunku (d) promień 3 początkowo biegnie z przedmiotu w stronę środka krzywizny C]

Obraz wybranego punktu przedmiotu powstaje w punkcie przecięcia się wybranej przez ćiebie pary tych promieni. Obraz całego przedmiotu można otrzymać, wy­ znaczając położenia obrazów dwóch lub więcej punktów przedmiotu nie leżących na osi zwierciadła. W przypadku zwierciadła wypukłego opis tych charaktery­ stycznych promieni należy nieco zmodyfikować, co możesz zrobić, korzystając z rysunków 35.9c oraz d.

35 .4 O brazy w ytw arzane przez zw ierciadła sferyczne

49

W yprowadzenie wzoru (35.6) Jesteśmy już przygotowani do wyprowadzenia równania (35.6), czyli wzoru na powiększenie liniowe obrazu wytwarzanego przez zwierciadło. Rozważmy pro­ mień 4 na rysunku 35.9b. Odbija się on w punkcie c tak, że promień padający i odbity tworzą z osią zwierciadła jednakowe kąty. Na rysunku tym dwa trójkąty prostokątne abc i dec są trójkątami podobnymi (mają wszystkie kąty równe) i wobec tego możemy napisać de

cd

ab

ca

‘

Wielkość po lewej stronie tej równości (pomijając na razie znak) jest liniowym powiększeniem m obrazu wytwarzanego przez zwierciadło. Gdy powstaje obraz odwrócony, jego powiększenie uważamy za ujemne i fakt ten zaznaczamy, pisząc —ot. Z konstrukcji na rysunku 35.9b wynika, że cd = o i ca = p, wobec tego otrzymujemy m = -----

(powiększenie),

(3 5 .7 )

P

co mieliśmy wyprowadzić.

Przykład 35.1 Przed zwierciadłem sferycznym, którego ogniskowa wynosi | / | = 40 cm, siedzi czujna tarantula, której wysokość wynosi h. Obraz tarantuli wytworzony przez zwierciadło jest obrazem prostym, a jego wysokość jest równa t i — 0 , 2 h. a) Czy obraz jest rzeczywisty, czy pozorny i czy znajduje się on po tej samej stronie zwierciadła co tarantula, czy po przeciwnej?

możemy skorzystać z informacji o powiększeniu. Wiemy bowiem, że stosunek wysokości obrazu h' do wysokości przedmiotu h wy­ nosi 0,2. Wobec tego z równania (35.5) otrzymamy

h'

\m\ = - = h

Przedmiot i obraz mają taką samą orientację (obraz jest prosty), wobec tego wiemy, że m musi być dodatnie: m = +0,2. Jeżeli podstawimy m do równania (35.6) i rozwiążemy je, na przykład ze względu na o, to otrzymamy o = —0 , 2 p,

ROZWIĄZANIE: Istotnym spostrzeżeniem jest fakt, że O - t ponieważ obraz jest obrazem prostym, wobec tego musi on być obrazem pozornym i musi się znajdować po przeciwnej stronie zwierciadła. (Wynik ten jest natychmiastowy, jeżeli zajrzysz do wypełnionej przez sie­ bie tabeli 35.1). b) Czy jest to zwierciadło wklęsłe, czy wypukłe i jaki jest znak jego ogniskowej / ? ROZWIĄZANIE: Na podstawie znajomości rodzaju obrazu n ie potrafim y określić, jakie jest to zwierciadło, gdyż oba rodzaje zwierciadeł sferycznych mogą wytwarzać obrazy pozorne. Nie możemy też — w rozwa­ żanym przypadku — określić rodzaju zwierciadła na podstawie znaku / . Znak ten można by wyznaczyć z równania (35.3) bądź (35.4), ale nie dysponujemy informacją wystarczającą do skorzy­ stania z któregoś z tych równań. Jednakże — i to właśnie jest kluczowym spostrzeżeniem dla odpowiedzi na to pytanie -

50

35. O brazy

0, 2.

co nie wydaje się pomocne do wyznaczenia znaku / , ale jeżeli wstawimy ten wynik do równania (35.4), to

1

i

7

i - 0,2 p

1

1

P

P

- = - ( - 5 + 1),

a stąd / = - P t 4. I to jest wynik, o który nam chodziło. Ponieważ p jest dodat­ nie, wobec tego / musi być ujemne, a to oznacza, że mamy do czynienia ze zwierciadłem wypukłym o ogniskowej / = —40 cm.

^SPRAW DZIAN 2

(odpowiedź)

Nietoperz wampir (gatunek z Ameryki Środkowej) drzemie przed zwierciadłem sferycznym (na jego osi), które wytwarza obraz nietoperza o powiększeniu m = —4. Czy obraz ten jest: a) rzeczywisty, czy pozorny, b) odwrócony, czy prosty, i czy c) znajduje się po tej samej, czy po przeciwnej stronie zwierciadła co nietoperz?

35.5. Sferyczne powierzchnie zo:
b)

pozorny

Rys. 35 .10. Sześć możliwych przypadków powstawania obrazu w wy­ niku załamania światła przez sferyczną powierzchnię załamującą o promieniu krzywizny r i środku krzywizny w punkcie C. Po­ wierzchnia załamująca jest powierzchnią graniczną między ośrodkiem o współczynniku załamania światła m i ośrodkiem o współczynniku załamania światła ri2 - Punktowy przedmiot P znajduje się zawsze w ośrodku o współczynniku załamania światła ti\ i zawsze na lewo od powierzchni załamującej. Na rysunkach ośrodek o mniejszym współ­ czynniku załamania światła nie jest zacieniowany (przyjmiemy, że jest nim powietrze, a ośrodkiem drugim jest szkło). Obrazy rzeczy­ wiste są wytwarzane w przypadkach (a) i (b), w pozostałych czterech przypadkach wytwarzane są obrazy pozorne

35.5. Sferyczne pow ierzchnie załam ujące

51

jako wynik przecięcia przedłużeń tego promienia i innych promieni, pod warun­ kiem (tak jak i w przypadku zwierciadła), że na drodze tych promieni znajdzie się obserwator. Obrazy rzeczywiste O powstają (w odległości o) na rysunkach 35.10a i b, na których po załamaniu promień jest odchylany w stronę osi optycznej. Obrazy po­ zorne powstają na rysunkach c i d, na których załamanie odchyla promień od osi optycznej. Zauważ, że na tych czterech rysunkach obrazy rzeczywiste powstają wtedy, gdy przedmiot znajduje się stosunkowo daleko od powierzchni załamują­ cej, a obrazy pozorne wtedy, gdy przedmiot jest bliżej tej powierzchni. W dwóch ostatnich przypadkach (rys. 35.10e oraz f) w wyniku załamania promień jest za­ wsze odchylany w stronę od osi i wtedy niezależnie od odległości przedmiotu od powierzchni załamującej, zawsze powstają tylko obrazy pozorne. Zanotujmy następującą zasadniczą różnicę między obrazami wytwarzanymi przez powierzchnie załamujące i przez powierzchnie odbijające. Obrazy rzeczywiste powstają po przeciwnej stronie powierzchni załamującej niż przedmiot, natomiast obrazy pozorne po tej samej stronie co przedmiot.

W paragrafie 35.8 pokażemy, że (dla promieni tworzących małe kąty z osią optyczną) zachodzi równość ni n2 p o

«2

—n \ r

(35.8)

Tak jak w przypadku zwierciadeł, odległość przedmiotu p jest dodatnia, a od­ ległość obrazu o jest dodatnia dla obrazu rzeczywistego i ujemna dla obrazu pozornego. Żeby jednak znaki wszystkich wielkości w równaniu (35.8) były pra­ widłowe, musimy stosować następującą regułę w odniesieniu do znaku promienia krzywizny r: Gdy przedmiot znajduje się przed wypukłą powierzchnią załamującą, promień krzy­ wizny r jest dodatni. Gdy znajduje się on przed powierzchnią wklęsłą, r jest ujemne.

Uważaj: Ta reguła jest odwrotna niż umowa o znakach, jaką posługiwaliśmy

się w przypadku zwierciadeł.

3: Pszczoła unosi się przed wklęsłą sferyczną powierzchnią załamującą szklanej rzeźby, a) Który z przypadków zilustrowanych na rysunku 35.10 odnosi się do tej sytuacji? b) Czy obraz wytwarzany przez powierzchnię załamującą jest rzeczywisty, czy pozorny, i czy jest on po tej samej stronie powierzchni co pszczoła, czy po przeciwnej?

Przykład 3 5 .2 Znaleziono kawałeczek bursztynu z zatopionym komarem juraj­ skim. Bursztyn ma współczynnik załamania światła 1,6. Jedna z powierzchni bursztynu jest sferyczną powierzchnią wypu­ kłą, której promień krzywizny jest równy 3 mm (rys. 35.11).

52

35. O brazy

Tak się składa, że głowa komara znajduje się na osi optycz­ nej tej sferycznej powierzchni bursztynu i kiedy ogląda się ją wzdłuż tej osi, wtedy wydaje się, że znajduje się ona na głę­ bokości 5 mm pod powierzchnią bursztynu. Jak głęboko pod powierzchnią bursztynu znajduje się w rzeczywistości głowa komara?

ROZWIĄZANIE:

otrzymujemy

Kluczowe w tym przypadku jest spostrzeżenie, że O —t tylko wy­ daje się, iż głowa komara znajduje się na głębokości 5 mm, bo promienie, które docierają do obserwatora, są odchylone w wy­ nikli załamania na wklęsłej powierzchni bursztynu. Odległość ob­ razu o różni się od rzeczywistej odległości przedmiotu p , zgodnie z równaniem (35.8). Przed zastosowaniem tego wzoru do ustalenia rzeczywistego położenia przedmiotu odnotujemy najpierw, że: 1.

2.

1,6

1

----1----;— ^ p —5 mm

1

-

1,6

----- >

—3 mm

a zatem p = 4 mm.

Przedmiot (głowa komara) i jego obraz znajdują się po tej samej stronie powierzchni załamującej, wobec tego obraz musi być pozorny, a zatem o = —5 mm. Zgodnie z umową przedmiot zawsze znajduje się w ośrodku 0 współczynniku załamania n \, wobec tego mamy: n \ = 1,6

(odpowiedź)

>

1 n2 = 1. 3.

Przedmiot znajduje się przed wklęsłą powierzchnią załamu­ jącą, wobec tego promień krzywizny r jest ujemny, a zatem r = —3 mm.

Po podstawieniu wyżej ustalonych wielkości do równania (35.8) p

o

r

Rys. 35.11. Przykład 35.2. Kawałek bursztynu z zatopionym ko­ marem z okresu jurajskiego, którego głowa znajduje się w punk­ cie P . Prawa górna część sferycznej powierzchni załamującej, ze środkiem krzywizny w punkcie C, wytwarza obraz w punkcie O , który dla obserwatora leży głębiej w bursztynie niż sam przed­ miot P (głowa komara)

35.6. Cienkie soczewki Soczewka jest przezroczystym obiektem o dwóch powierzchniach załamujących, których osie pokrywają się; ta wspólna oś jest zarazem osią soczewki. Kiedy soczewkę otacza powietrze, wtedy światło załamuje się, przechodząc z powietrza do szkła, biegnie przez soczewkę i załamuje się ponownie, przechodząc ze szkła do powietrza. Każde z tych załamań może zmienić kierunek biegu światła. Soczewkę, która sprawia, że początkowo równoległe do jej osi promienie świetlne są po przejściu przez soczewkę promieniami zbieżnymi, nazywa się (zgodnie z rozsądkiem) soczewką skupiającą. Gdy natomiast sprawia ona, iż promienie takie są rozbieżne, nazywa się ją soczewką rozpraszającą. W wy­ niku załamania przez powierzchnie soczewki promieni świetlnych wychodzących z przedmiotu, który umieszczono przed soczewką (dowolnego rodzaju), może powstawać obraz tego przedmiotu. Zajmiemy się tutaj tylko przypadkiem szczególnym, jakim jest cienka so­ czewka — tzn. soczewką, w której najgrubsza jej część jest cienka w porównaniu z odległością przedmiotu p i odległością obrazu o, a także w porównaniu z pro­ mieniami krzywizn r\ i r2 obu powierzchni załamujących soczewki. Będziemy rozważać tylko te promienie, które tworzą z osią soczewki małe kąty (niezależnie od tego, że na rysunkach, którymi się tutaj posługujemy, kąty te nie są wcale małe). W paragrafie 35.8 wykażemy, że dla takich promieni ogniskowa cienkiej soczewki / jest związana z odległościami p i o zależnością — = ---- 1—

f

p

(cienka soczewka).

(3 5 .9 )

o

35 .6. C ienkie soczewki

53

Jest to taka sama zależność, jak w przypadku zwierciadeł. Udowodnimy również, że w przypadku gdy cienka soczewka o współczynniku załamania światła n znajduje się w powietrzu, ogniskowa / jest dana wzorem

— = (n —

/

1 ) ( ------------ ) Ul n /

(cienka soczewka w powietrzu),

(35.10)

który jest nazywany w zorem , s z lifie r z y s o c z e w e k , gdyż wiąże ogniskową soczewki z jej promieniami krzywizny i ze współczynnikiem załamania materiału, z któ­ rego ją wykonano. We wzorze tym r\ jest promieniem krzywizny powierzchni, która jest bliżej przedmiotu, natomiast r-i — promieniem krzywizny drugiej po­ wierzchni załamującej soczewki. Do ustalania znaków tych promieni krzywizny stosuje się reguły podane w paragrafie 35.5 dla promieni krzywizny sferycznych powierzchni załamujących. Jeżeli soczewkę otacza ośrodek inny niż powietrze (powiedzmy olej) o współczynniku załamania światła równym m0śr, to w równa­ niu (35.10) zastępujemy n przez n /n 0śr- Zapamiętaj podstawę fizyczną równań (35.9) i (35.10):

Soczew ka m oże wytwarzać obraz przedm iotu tylko dlatego, że m oże ona odchylać prom ienie świetlne; ale m oże ona odchylać prom ienie św ietlne tylko wtedy, gdy jej w spółczynnik załam ania św iatła różni się od w spółczynnika załam ania otaczającego ją ośrodka.

Rys. 35 .1 2 . a) Prom ienie świetlne, pa­ dające na soczewkę skupiającą rów­ nolegle do osi optycznej są skupiane (ogniskowane) w rzeczyw istym ogni­ sku F2 soczewki. Soczewka jest cień­ sza niż narysowano, jej grubość jest taka, ja k ciemnej pionowej linii prze­ chodzącej przez nią, na której na ry­ sunku dochodzi do załam ania prom ieni, b) Pow iększenie górnej części soczewki z rys. (a); norm alne do powierzchni so­ czewki zaznaczono liniam i przeryw a­ nymi. Zauważ, że przy załam aniu na obu powierzchniach prom ień jest kie­ rowany w dół, w stronę osi optycz­ nej soczewki, c) Te same co poprzed­ nio rów noległe prom ienie św ietlne po przejściu przez soczewkę rozpraszającą stają się rozbieżne. Przedłużenia kierun­ ków prom ieni rozbieżnych przecinają się w punkcie F2 będącym pozornym ogni­ skiem soczewki, d) Pow iększenie górnej części soczewki z rys. (c). Zauważ, że przy załam aniu na obu powierzchniach prom ień jest kierowany w górę i odchy­ lany od osi optycznej soczewki

54

35. O brazy

Na rysunku 35.12a pokazana jest cienka soczewka o wypukłych powierzch­ niach załamujących. Promienie równoległe do osi soczewki, przechodząc przez

a)

b)

c)

d)

soczewkę, ulegają załamaniu dwukrotnie, tak jak to pokazano w powiększeniu na rysunku 35.12b. To dwukrotne załamanie sprawia, że promienie stają się zbieżne we wspólnym punkcie. Wobec tego jest to soczewka skupiająca; w punkcie F2 ma ona rzeczywiste ognisko (ponieważ promienie rzeczywiście przechodzą przez ten punkt), a jej ogniskowa wynosi / . Kiedy wiązkę równoległych promieni przepuścimy przez soczewkę w odwrotnym kierunku, po drugiej stronie soczewki znajdziemy jej drugie rzeczywiste ognisko w punkcie Fi. Dla cienkiej soczewki te dwa ogniska są równoodległe od soczewki. Soczewka skupiająca ma rzeczywiste ogniska, wobec tego przyjmujemy, że jej ogniskowe są dodatnie, tak jak to przyjmowaliśmy w przypadku rzeczywi­ stego ogniska zwierciadła wklęsłego. Jednakże ustalanie znaków w optyce nie jest wcale tak oczywiste i wobec tego dla pewności sprawdzimy je w równaniu (35.10). Lewa strona tego równania jest dodatnia wtedy, gdy / jest dodatnie; jak zatem wygląda prawa strona? Sprawdźmy kolejne wyrazy. Współczynnik załama­ nia światła n dla szkła, tak zresztą jak i dla każdego innego materiału, jest więk­ szy od 1 i wobec tego wyraz (n —1) musi być dodatni. Źródło światła (tzn. przed­ miot) znajduje się po lewej stronie przed lewą wypukłą powierzchnią soczewki, wobec tego promień krzywizny tej powierzchni ri musi być dodatni, zgodnie z regułą określającą znaki dla powierzchni załamujących. Podobnie, ponieważ przedmiot znajduje się przed wklęsłą powierzchnią prawej strony soczewki, wo­ bec tego promień krzywizny r2 dla tej powierzchni musi być, /godnie z przyjętą umową, ujemny. A zatem wyraz (1 / r l — l / r 2) jest dodatni i cała prawa strona równania (35.10) jest dodatnia, a tym samym wszystkie znaki są prawidłowe. Na rysunku 35.12c pokazano cienką soczewkę o wklęsłych powierzchniach załamujących. Promienie równoległe do osi soczewki, przechodząc przez so­ czewkę, ulegają załamaniu dwukrotnie, jak to pokazano w powiększeniu na rysunku 35.12d; promienie te po przejściu przez soczewkę są rozbieżne i nie przechodzą przez żaden wspólny punkt. Soczewka taka jest soczewką rozpra­ szającą. Jednakże przedłużenia promieni wychodzących z soczewki przecinają się we wspólnym punkcie F2, w odległości / od środka soczewki. Wobec tego soczewka ma pozorne ognisko w punkcie F2. (Jeżeli do twoich oczy trafią te rozbieżne promienie, to dostrzeżesz jasny punkt w miejscu F2, tak jak gdyby znajdowało się tam źródło światła). Drugie pozorne ognisko znajduje się po przeciwnej stronie soczewki w punkcie F\, symetrycznie względem środka so­ czewki, jeśli soczewka jest cienka. Ogniska soczewki rozpraszającej są pozorne, wobec tego przyjmujemy, że ogniskowe / są ujemne.

Rozpalanie ognia za pom ocą św iatła sło­ necznego ogniskowanego przy użyciu soczewki skupiającej wykonanej z czy­ stego lodu. Soczewkę wykonano, pod­ tapiając płaską taflę lodu z obu stron w płytkim naczyniu o wklęsłym dnie, przez co nadano jej w ypukły kształt

Obrazy wytwarzane przez cienkie soczewki Zajmiemy się teraz obrazami wytwarzanymi przez soczewki skupiające i roz­ praszające. Na rysunku 35.13a przedmiot P umieszczony jest dalej od soczewki skupiającej niż ognisko F\. Za pomocą dwóch promieni wytyczonych na tym rysunku pokazano, że soczewka wytwarza po drugiej stronie rzeczywisty, od­ wrócony obraz O przedmiotu. Jeżeli umieścimy przedmiot między ogniskiem Fi i soczewką, tak jak na rysunku 35.13b, to soczewka wytworzy po tej samej stronie co przedmiot jego pozorny, prosty obraz O. Zatem soczewka skupiająca może tworzyć zarówno

3 5 .6 . C ienkie soczewki

55

a)

b)

Rys. 3 5 .1 3 . a) Rzeczywisty, odw ró­ cony obraz O jest wytwarzany przez soczewkę skupiającą wtedy, gdy przed­ m iot P jest um ieszczony za ogniskiem F\. b) Kiedy przedm iot P znajduje się m iędzy ogniskiem i zw ierciadłem , obraz jest pozornym obrazem prostym, c) So­ czewka rozpraszająca wytw arza zawsze pozorny obraz prosty O , niezależnie od tego, czy przedm iot znajduje się za ogni­ skiem, czy też między ogniskiem a so­ czewką

c)

obrazy rzeczywiste, jak i pozorne, zależnie od tego, czy przedmiot znajduje się dalej od soczewki niż ognisko, czy też między ogniskiem i soczewką. Na rysunku 35.13c przedmiot P znajduje się przed soczewką rozpraszającą. Okazuje się, że soczewka taka wytwarza zawsze obrazy pozorne, niezależnie od tego, gdzie jest umieszczony przedmiot (niezależnie od tego, czy P znajduje się dalej od soczewki niż pozorne ognisko, czy też między nim a soczewką). Obrazy te powstają zawsze po tej samej stronie soczewki, po której znajduje się przedmiot i są zawsze obrazami prostymi przedmiotu. Tak jak w przypadku zwierciadeł, również i dla cienkich soczewek przyjmu­ jemy, że odległość o jest dodatnia wtedy, kiedy obraz jest rzeczywisty, i ujemna, jeżeli jest on pozorny.. Jednakże położenie obrazów rzeczywistych i pozornych wytwarzanych przez cienkie soczewki jest inne niż w przypadku zwierciadeł:

Obrazy rzeczyw iste powstają po przeciwnej stronie soczewki niż ta, po której znajduje się przedm iot, a obrazy pozorne po tej samej stronie soczewki.

Powiększenie liniowe m soczewek skupiających i rozpraszających jest opi­ sane przez te same wzory (35.5) i (35.6), które stosują się do zwierciadeł. Paragraf ten zawierał sporą dawkę informacji i powinieneś je uporządko­ wać, wypełniając tabelę 35.2 dla cienkich symetrycznych soczewek (tzn. takich, których obie powierzchnie załamujące są albo wypukłe, albo wklęsłe). W ko­ lumnie Położenie (Obrazu) zaznacz, czy obraz jest po tej samej stronie soczewki co przedmiot, czy też po stronie przeciwnej. W kolumnie Rodzaj (Obrazu) za­ znacz, czy obraz jest rzeczywisty, czy pozorny. W kolumnie Orientacja (Obrazu) zaznacz, czy jest to obraz prosty, czy też odwrócony. Cienkie soczewki — podsum owanie Rodzaj soczewki

Skupiająca

Położenie przedm iotu

Obraz Położenie

Rodzaj

Znak Orientacja

Pf

Rozpraszająca

56

35. O brazy

dowolnie

12fki-

Porada 1: N ie p o m y l zw ie rc ia d e ł z soczew kam i Pom yłki takie są bardzo częste. Pamiętaj o tym, że ogniskowa /

soczewki wypukłej. Natom iast zwierciadło w klęsłe m a dodatnią

zw ierciadła wypukłego jest ujem na, przeciw nie niż ogniskowa

ogniskową / , przeciw nie niż soczewka wklęsła.

Graficzne wyznaczanie położenia obrazów przedm iotów rozciągłych Na rysunku 35.14a przedmiot P umieszczono przed soczewką skupiającą w od­ ległości większej niż ogniskowa (za F\). Położenie obrazu każdego, znajdującego się poza osią soczewki punktu przedmiotu P (czyli punktu takiego, jak np. wierz­ chołek strzałki), możemy wyznaczyć graficznie, wytyczając każdą parę promieni wybranych spośród trzech promieni wychodzących z tego punktu, których bieg po przejściu przez soczewkę znamy. Te promienie to: 1. 2. 3.

Promień równoległy do osi soczewki, który po przejściu przez soczewkę będzie zawsze przechodził przez ognisko F 2 (promień 1 na rysunku 35.14a). Promień przechodzący przez ognisko F$ soczewki, który po przejściu przez soczewkę biegnie równolegle do osi (promień 2 na rysunku 35.14a). Promień przechodzący przez środek soczewki bez zmiany swego pierwotnego kierunku (promień 3 na rysunku 35.14a); w środku soczewki obie powierzch­ nie, przez które przechodzi promień, są do siebie niemal równoległe.

Obraz wybranego przez nas punktu przedmiotu (w tym przypadku wierzchołka strzałki) znajduje się tam, gdzie przecinają się dwa wybrane promienie po dru­ giej stronie soczewki. Obraz całego przedmiotu otrzymamy, ustalając położenie obrazów dwóch lub więcej jego punktów. Na rysunku 35.14b pokazano, jak można wykorzystać przedłużenia tych trzech promieni do wyznaczenia położenia obrazu przedmiotu, który umiesz­ czono przed soczewką skupiającą w odległości mniejszej niż jej ogniskowa (mię­ dzy soczewką a jej ogniskiem F\). Zwróć uwagę, że tym razem opis promienia 2 wymaga modyfikacji (jest to teraz promień, którego przedłużenie przechodzi przez ognisko F\).

Rys. 3 5 .1 4 . Trzy prom ienie świetlne, za pom ocą których m ożemy wyznaczyć położenie obrazu w ytwarzanego przez cienką soczewkę wtedy, gdy odległość przedm iotu P od soczewki skupiającej jest a) większa, b) m niejsza niż ogniskowa soczewki, c) dla dowolnego położenia przedm iotu w stosunku do soczewki rozpraszającej

3 5 .6 . C ienkie soczewki

57

Do wyznaczenia położenia obrazu tworzonego przez soczewkę rozpraszającą (zawsze po tej samej stronie soczewki, po której znajduje się przedmiot) musisz zmodyfikować opis promieni 1 i 2, a promień 3 pozostaje bez zmiany. Na rysunku 35.14c zilustrowano bieg tych trzech promieni i położenie obrazu wytwarzanego przez soczewkę rozpraszającą.

Układy dwóch soczewek Położenia obrazu wytwarzanego przez układ dwóch soczewek, których osie op­ tyczne pokrywają się, można wyznaczyć metodą kolejnych kroków. Przyjmijmy, że soczewka 1 jest bliżej, a soczewka 2 dalej od przedmiotu. Krok 1 Niech p\ będzie odległością przedmiotu P od soczewki 1. Odległość 0 \ obrazu wytworzonego przez soczewkę 1 znajdziemy albo korzystając z rów­ nania (35.9), albo metodą graficzną. Krok 2 Teraz z kolei, zapominając o soczewce 1, potraktujemy obraz wyznaczony w kroku 1 jako przedmiot w stosunku do soczewki 2. Jeżeli ten nowy przed­ miot znajduje się za soczewką'2, to przyjmujemy, że jego odległość p 2 od soczewki 2 jest ujemna. (Jest to odstępstwo od reguły, zgodnie z którą odle­ głość przedmiotu jest dodatnia; to odstępstwo spowodowane jest tym, że teraz przedmiot jest po przeciwnej stronie soczewki niż źródło światła). Oczywi­ ście, jeżeli nowy przedmiot znajduje się przed soczewką 2, to p 2 jest tak jak zawsze dodatnie. Odległość o2 obrazu wytwarzanego przez soczewkę 2 (a zarazem końcowego obrazu wytwarzanego przez układ obu soczewek) znajdujemy albo korzystając z równania (35.9), albo metodą graficzną. Takie postępowanie, krok za krokiem, można oczywiście zastosować do wyzna­ czenia położenia obrazu wytwarzanego przez układ złożony z dowolnej liczby soczewek, a także wtedy, gdy soczewkę 2 zastępuje zwierciadło. Całkowite powiększenie liniowe M układu dwóch soczewek jest iloczynem powiększeń liniowych m \ oraz m 2 każdej z nich; M — m im 2.

(35.11)

Przykład 3 5 .3 M odliszka przyczaiła się na osi optycznej cienkiej sym etrycznej soczewki, w odległości 20 cm od soczewki. Soczewka, której w spółczynnik załam ania św iatła jest równy 1,65, wytw arza obraz m odliszki o powiększeniu m = —0,25. a) Czy jest to obraz rzeczywisty, czy pozorny; czy jest to soczewka skupiająca, czy rozpraszająca; czy przedm iot (modliszka) znajduje się za ogniskiem , czy m iędzy ogniskiem a soczewką; po której stronie soczewki pojaw ia się obraz; czy jest to obraz odwrócony?

ROZWIĄZANIE: O —-w Kluczem do odpowiedzi na te wszystkie pytania jest to, że na podstawie podanej w artości pow iększenia m m ożna naprawdę

58

35. O brazy

wiele powiedzieć o soczewce i obrazie. Z rów nania (35.6) (w = —o / p ) otrzym ujem y o = —m p = —0,25 p. Nawet bez wykonywania rachunków m ożemy odpowiedzieć na postawione pytania. Ponieważ p jest dodatnie, wobec tego o też m usi być dodatnie. To oznacza, że mamy do czynienia z obrazem rzeczyw istym , a to z kolei oznacza, że soczew ka jest soczewką skupiającą (jedyną soczewką, która m oże wytwarzać obrazy rze­ czywiste). Przedm iot m usi znajdować się w odległości większej niż ogniskowa (tylko w takim przypadku m ogą być wytwarzane obrazy rzeczyw iste). Obraz jest odwrócony i znajduje się po prze­ ciwnej stronie soczewki niż przedm iot (tylko takie obrazy rzeczy­ wiste wytwarza soczewka skupiająca).

b) Jakie prom ienie krzywizny m ają obie powierzchnie soczewki?

Teraz z równania (35.9) otrzym ujem y

1 1 1

ROZWIĄZANIE:

/

Opieram y się na następujących spostrzeżeniach: Q**rf 1. Soczewka jest sym etryczna, wobec tego prom ień r\ (dla powierzchni bliższej przedm iotu) i prom ień r2 m ają taką samą wartość bezw zględną r. O —» 2. Soczew ka jest soczewką skupiającą i przedm iot znajduje się przed powierzchnią wypukłą, wobec tego r i = + r. Druga, dalsza pow ierzchnia soczewki jest dla przedm iotu powierzchnią

p

1 o

20 cm

5 cm ’

a stąd znajdujemy, że / = 4 cm. Z równania (35.10)

1 / 1 1\ /I 1 - = ( n - l ) -------- = ( „ - l ) ( - -----------/

Vri

n )

\+ r

-r

po podstawieniu znanych wielkości

1

2

------- = ( 1 , 6 5 - 1 ) - , 4 cm r

w klęsłą i wobec tego r2 = —r.

O-*-» 3. Te prom ienie krzywizny wiąże z ogniskową w zór (35.10), który jest jedynym znanym nam rów naniem zawierającym prom ie­ nie krzyw izn soczewki. O*“ t 4. Ogniskową / soczewki, odległość przedm iotu p i odle­ głość obrazu o w iąże ze sobą równanie (35.9). Znam y w prawdzie p , ale nie znamy o. W obec tego m usimy za­ cząć od w ykonania obliczeń, których nie wykonaliśmy wcześniej w punkcie (a), a zatem o = (0,25)(20 cm) = 5 cm.

otrzym am y r = (0 ,65)(2)(4 cm ) = 5,2 cm.

✓ s p r a w d z i a n 4 : Pow iększenie obrazu odcisku palca w y­ tw arzanego przez cienką sym etryczną soczewkę wynosi + 0,2 wtedy, gdy odcisk jest um ieszczony o 1 cm od soczewki da­ lej, niż wynosi jej ogniskowa. Jaki to jest obraz i jak a jest jego orientacja (w stosunku do przedm iotu) oraz jak a to jest soczewka?

soczewka 1

Przykład 3 5 .4 Ziarenko papryki jalapeńo (bardzo ostrej papryki m eksykań­ skiej) Pi um ieszczono przed układem dwóch współosiowych, cienkich soczewek symetrycznych 1 i 2 (rys. 35.15a). Ogniskowe soczewek są równe odpowiednio f\ = + 2 4 i f 2 = + 9 cm, a od­ ległość m iędzy nim i jest L = 10 cm. Ziarenko znajduje się w od­ ległości 6 cm od soczewki 1. Gdzie powstaje obraz ziarnka wy­ twarzany przez ten układ soczewek?

(odpowiedź)

soczewka 2

Pr m

a)

ROZWIĄZANIE:

soczewka 1

Pi

1

M oglibyśm y wyznaczyć położenie obrazu, korzystając z graficz­ nej m etody w ytyczania biegu prom ieni świetlnych w tym ukła­ dzie soczewek. Spróbujemy jednak wykonać obliczenia położenia obrazu. “ % Obliczenia przeprowadzim y w kolejnych krokach, najpierw dla soczewki 1, a następnie dla soczewki 2. Soczewka 1. Pomijamy obecność soczewki 2 i, korzystając z równania (35.9), wyznaczam y położenie obrazu Oi wytw arza­

L -»i

nego przez soczewkę 1:

1 Pi

1_ 1 »i

b)

f\ ’

i

Rys. 3 5 .1 5 . Przykład 35.4. a) Ziarenko P\ um ieszczone jest w od­ ległości p\ od układu dwóch soczewek, m iędzy którym i odległość w ynosi L. O rientacja ziarenka jest określona przez zwrot strzałki, b) Obraz 0 \ jest wytwarzany przez socze\ykę 1 układu, c) Obraz O i jest przedm iotem dla soczewki 2 układu, która z kolei wytwa­ rza obraz 0 2, będący zarazem końcowym obrazem wytwarzanym przez układ dwóch soczewek

c)

soczewka 2

h«—p 2-

3 5.6. C ienkie soczewki

59

Przedmiotem Pi dla soczewki 1 jest ziarenko, które znajduje się w odległości 6 cm od soczewki; podstawiamy zatem p \ = +6 cm i znaną wartość f \ :

1 +6 cm

1 _ o\

1 +24 cm

i otrzymujemy o\ = —8 cm. Ta wartość przekonuje nas o tym, że obraz O i znajduje się w odległości 8 cm od soczewki 1 i jest obrazem pozornym. (Mogliśmy się domyślić, iż będzie to obraz pozorny, na podstawie informacji, że ziarenko znajduje się między ogniskiem a soczewką 1). Ponieważ O i jest obrazem pozornym, wobec tego jest on po tej samej stronie soczewki co przedmiot P\ i jest obrazem prostym ziarenka, tak jak to pokazano na rysunku 35.15b. S o czew k a 2. Podstawą postępowania w drugim kroku na­ szych obliczeń jest O—t potraktowanie obrazu O \ jako przed­ miotu P2 dla soczewki 2 (teraz będziemy ignorować obecność soczewki 1). Zauważmy, że przedmiot P2 znajduje się za ogni­ skiem soczewki 2. Tym samym obraz O 2 wytwarzany przez tę

soczewkę musi być obrazem rzeczywistym, odwróconym i będzie musiał znajdować się po przeciwnej stronie niż przedmiot P2. Sprawdźmy to. Z rysunku 35.15c wynika, że odległość P 2 między przed­ miotem P2 i soczewką 2 jest równa P 2 = L + \o\ | =

10 cm + 8 cm = 18 cm.

Zapisując zatem równanie (35.9) dla soczewki 2

1

1 _

+ 18 cm

02

1 + 9 cm ’

otrzymujemy o 2 = +18 cm.

(odpowiedź)

Znak plus potwierdza nasze przewidywania: obraz O 2 wytwa­ rzany przez soczewkę 2 jest obrazem rzeczywistym, odwróconym i powstaje po przeciwnej stronie soczewki 2 , w stosunku do przed­ miotu P2 , tak jak to ilustruje rysunek 35.15c.

35.7. Przyrządy optyczne Oko ludzkie jest nadzwyczaj sprawnym narządem, ale jego możliwości można rozszerzyć na wiele różnych sposobów, korzystając z przyrządów optycznych, ta­ kich jak okulary, szkła powiększające, projektory filmowe, aparaty fotograficzne, kamery filmowe i telewizyjne, mikroskopy i teleskopy. Wiele takich urządzeń poszerza zakres naszego widzenia na obszary znajdujące się poza zakresem wi­ dzialnym widma, a dwa przykłady takich urządzeń to kamery na podczerwień umieszczane na satelitach i mikroskopy rentgenowskie. Poznane przez nas wzory opisujące zwierciadła i cienkie soczewki w przy­ padku większości skomplikowanych przyrządów optycznych są tylko przybliże­ niami. Soczewki w typowym mikroskopie laboratoryjnym w żadnym wypadku nie są „cienkie”. W większości przyrządów optycznych soczewki są złożonymi układami soczewek, których powierzchnie rzadko kiedy są powierzchniami ideal­ nie sferycznymi. Na razie jednak zajmiemy się trzema przyrządami optycznymi, zakładając dla prostoty, że można do nich stosować wzory dla cienkich soczewek.

Lupa (szkło powiększające) Normalne ludzkie oko może wytwarzać na siatkówce ostry obraz przedmiotu znaj­ dującego się w dowolnym miejscu między nieskończonością a pewnym punktem P„ zwanym odległością dobrego widzenia. Jeżeli przedmiot zostanie przesunięty poza ten punkt, bliżej w stronę oka, to jego obraz na siatkówce staje się roz­ myty. Odległość dobrego widzenia zmienia się z wiekiem. Wszyscy słyszeliśmy pewnie o ludziach, którzy utrzymują, iż nie potrzebują okularów, ale gazetę czy­ tają, trzymając ją na odległość wyciągniętego ramienia, gdyż ich odległość do­ brego widzenia zwiększyła się z wiekiem. Jeżeli chcesz się dowiedzieć, jaka jest twoja odległość dobrego widzenia, zdejmij okulary (albo soczewki kontaktowe),

60

35. O brazy

a) Rys. 35.16. a) Przedmiot P o wysokości h umieszczony w od­ ległości dobrego widzenia oka ludzkiego widziany jest pod ką­ tem 9 . b) Żeby zwiększyć kąt widzenia obrazu, przesunięto przed­ miot bliżej oka, wtedy jednak oko nie jest w stanie wytworzyć (na siatkówce) ostrego obrazu przedmiotu, c) Między przedmio­ tem i okiem umieszczono soczewkę skupiającą, tak że przedmiot znajduje się w pobliżu ogniska Fj soczewki. To sprawia, że ob­ raz wytwarzany przez soczewkę jest teraz dostatecznie daleko od oka i oko jest w stanie wytworzyć jego ostry obraz. Kąt widze­ nia obrazu 9' jest teraz większy od kąta, pod jakim widziany był przedmiot P na rys. (a)

jeśli ich używasz, zamknij jedno oko, a drugim, otwartym okiem obserwuj tekst na stronie książki, przysuwając go stopniowo coraz bliżej oka, aż dojdziesz do odległości, kiedy przestaniesz wyraźnie widzieć tekst. W naszych dalszych roz­ ważaniach będziemy przyjmowali, że odległość dobrego widzenia wynosi 25 cm, to znaczy nieco więcej niż wtedy, gdy się ma dwadzieścia lat. Na rysunku 35.16a przedmiot P umieszczony jest w punkcie Pn w odległo­ ści dobrego widzenia od oka. Rozmiar obrazu tego przedmiotu tworzonego na siatkówce oka zależy od kąta 9, pod jakim widziany jest przez oko. Przesuwa­ jąc przedmiot bliżej oka, tak jak na rysunku 35.16b, możesz zwiększyć jego kąt widzenia, a przez to i możliwości rozróżnienia szczegółów na przedmiocie. Jed­ nakże przedmiot znajduje się wówczas bliżej niż w odległości dobrego widzenia i jego obraz nie powstaje na siatkówce, a przez to nie jest ostry. Ostrość obrazu możesz przywrócić, umieszczając soczewkę skupiającą tuż przy oku i oglądając przez nią przedmiot P znajdujący się w odległości prawie równej jej ogniskowej / (tzn. znajdujący się prawie w ognisku F\ soczewki), tak jak to zilustrowano na rysunku 35.16c. W ten sposób oglądasz obraz pozorny przedmiotu P wytwarzany przez soczewkę. Obraz ten znajduje się dalej niż odle­ głość dobrego widzenia twojego oka i wobec tego możesz widzieć go wyraźnie. Ponadto kąt widzenia 9' obrazu pozornego jest większy niż największy kąt widzenia 9 samego przedmiotu z odległości dobrego widzenia. Powiększenie kątowe m g (którego nie należy mylić z powiększeniem liniowym n i) jest równe me = 9' ¡9. Mówimy, że miarą powiększenia kątowego lupy (szkła powiększającego) jest sto­ sunek kąta widzenia obrazu wytwarzanego przez lupę do kąta widzenia przed­ miotu obserwowanego z odległości dobrego widzenia. Korzystając z rysunku 35.16, przy założeniu, że przedmiot P umieszczony jest w ognisku soczewki, oraz że dla małych kątów tg 9 ~ 9, a tg 9' « 9', otrzymujemy 6 = h / 25 cm

i

9'^h/f.

35 .7. Przyrządy optyczne

61

Wobec tego 25 cm

mg ^ — -—

(35.12)

(lupa).

Mikroskop

Rys. 35 .17. Zasada działania mikro­ skopu. Dla uproszczenia założono, że soczewki są cienkie, a na rysunku nie zachowano skali. Obiektyw wytwarza rzeczywisty obraz O przedmiotu P tuż poza ogniskiem F[ okularu (pomiędzy ogniskiem a soczewką okularu). Obraz O jest przedmiotem dla okularu, który z kolei wytwarza końcowy obraz po­ zorny O ’ widziany przez obserwatora. Ogniskowa obiektywu jest f ob, a ogni­ skowa okularu Długość tubusu mi­ kroskopu wynosi 5

-feb l i o UU

oM e s i:

ai

w d '• -J Ct <1

U J ii

'i-

s -j-ob

\ ) l'* i \ ^~^ i "1> U

6 -•

okular obiektyw

promienie równoległe do odległego obrazu pozornego h

H’" / o b -

^

H ^ /o k ^

Obserwowany przedmiot P umieszczany jest tuż za pierwszym ogniskiem Fi obiektywu, na tyle blisko ogniska, że możemy jego odległość p od soczewki przybliżyć przez f 0b. Odległość między soczewkami reguluje się następnie tak, aby powiększony, odwrócony, rzeczywisty obraz O wytwarzany przez obiektyw powstawał między ogniskiem F[ a soczewką okularu (w odległości nieco mniej­ szej od / 0k). Zaznaczona na rysunku 35.17 długość tubusu s jest w rzeczywistości duża w stosunku do f 0b i wobec tego możemy przyjąć, że odległość o obrazu O od obiektywu jest równa s. Wprowadzając do równania (35.6) powyższe przybliżenia dla p oraz o, mo­ żemy zapisać liniowe powiększenie obiektywu mikroskopu jako m = —- =

U><

W

Na rysunku 35.17 pokazano zasadę działania mikroskopu w wersji cienkosoczewkowej. Składa się on z dwóch części: obiektywu (soczewka bliżej przedmiotu) o ogniskowej / ob i okularu (soczewka bliżej oka) o ogniskowej f 0^. Używa się go do oglądania małych przedmiotów umieszczanych bardzo blisko obiektywu.

P

(35.13) Job

Obraz O znajduje się w odległości mniejszej niż ogniskowa, wobec tego okular działa tak jak lupa i obserwator widzi wytworzony przez okular końcowy ob­ raz O który jest obrazem pozornym i odwróconym (w stosunku do pierwotnego przedmiotu). Całkowite powiększenie mikroskopu jest iloczynem powiększenia liniowego m obiektywu, opisywanego równaniem (35.13), i powiększenia kąto­ wego okularu m g , opisywanego równaniem (35.12); a zatem s 25 cm

M = mmg = --------------- (mikroskop). /o b

(35.14)

/o k

Teleskop (luneta astronomiczna) Istnieje wiele różnych typów teleskopów. Teleskop, który opiszemy tutaj, to prosty układ składający się z obiektywu i okularu, znany również pod nazwą lunety astronomicznej (lub refraktora astronomicznego). Na rysunku 35.18, ilustrującym

62

35. O brazy

okular obiektyw

ą

•;v ”'"C

s

/ e* promienie równolegle z odległego przedmiotu

::

■ 3

promienie równoległe

b) ~/ok—»j

/o b "

a) zasadę działania teleskopu, zarówno obiektyw, jak i okular reprezentowane są przez pojedyncze soczewki, chociaż w praktyce są to złożone układy soczewek (ta sama uwaga dotyczy zresztą także mikroskopu). Układ elementów optycznych teleskopów i mikroskopów jest podobny, cho­ ciaż teleskopy są przeznaczone do obserwacji dużych obiektów znajdujących się bardzo daleko (galaktyki, gwiazdy i planety), podczas gdy przeznaczenie mikro­ skopów jest dokładnie odwrotne. To różne przeznaczenie obu przyrządów narzuca odmienną budowę — w teleskopie (rys. 35.18) ognisko F 2 obiektywu winno po­ krywać się z ogniskiem F[ okularu, a w mikroskopie (rys. 35.17) te dwa ogniska są odległe od siebie o długość tubusu i. Jak pokazano na rysunku 35.18a, wiązka promieni równoległych pochodzą­ cych od odległego przedmiotu trafia do teleskopu pod kątem 60b do jego osi optycznej i tworzy odwrócony obraz rzeczywisty w punkcie, w którym leżą oby­ dwa ogniska Fi i F[. Tak powstały obraz O jest przedmiotem dla okularu, przez który obserwator widzi odległy (i odwrócony) obraz pozorny O'. Kąt widzenia tego obrazu wynosi 0ok. Powiększenie kątowe teleskopu jest równe 0 ok /# o b - Na podstawie rysunku 35.18b, przy ograniczeniu się do promieni przyosiowych, możemy napisać, że #ob = h '/ f 0b oraz 0Ok = &'//<*, ćo prowadzi do równania me = - -

/o b

(teleskop);

Rys. 35 .18. a) Zasada działania te­ leskopu (refraktora astronomicznego). Dla uproszczenia założono, że soczewki są cienkie. Do obiektywu dociera od odległego źródła światła (przedmiotu) wiązka prawie równoległych promieni, które po przejściu przez obiektyw two­ rzą obraz rzeczywisty O . (Zakładamy, że jeden koniec przedmiotu leży na osi optycznej obiektywu). Obraz O, który powstaje we wspólnym punkcie ognisk F2 i F [, jest przedmiotem dla okularu, który z kolei wytwarza końcowy ob­ raz pozorny O ' w dalszej odległości od obserwatora. Ogniskowa obiektywu jest równa / ob; ogniskowa okularu jest równa b) Obraz O ma wysokość h' i jego kąt widzenia przez obiektyw jest równy 9ob, a przez okular Ą*

(35.15)

fo k

tutaj znak minus wskazuje, że obraz O' jest obrazem odwróconym. Jednym sło­ wem miarą powiększenia kątowego teleskopu jest stosunek kąta, pod jakim wi­ dziany jest obraz wytwarzany przez teleskop, do kąta widzenia odległego przed­ miotu przez nieuzbrojone oko. Powiększenie jest tylko jednym z parametrów konstrukcyjnych teleskopu (lu­ nety astronomicznej), którego dużą wartość stosunkowo łatwo można osiągnąć. Dobry teleskop musi mieć również odpowiednią zdolność zbierania światła, która decyduje o jasności obrazu. Jest ona ważna dla obserwacji słabo widocznych obiektów astronomicznych, takich jak odległe galaktyki. Zdolność zbierania świa­ tła można zwiększyć przez wykonywanie obiektywów o możliwie jak najwięk­ szych średnicach. Teleskop powinien również charakteryzować się dużą zdolno­ ścią rozdzielczą umożliwiającą odróżnienie od siebie dwóch odległych obiek­ tów (np. gwiazd), których odległość kątowa jest mała. Innym ważnym parame­ trem konstrukcyjnym teleskopu jest pole widzenia. Teleskop przeznaczony do

3 5 .7 . Przyrządy optyczne

63

obserwacji galaktyk (dla których pole widzenia jest bardzo małe) ma zupeł­ nie inną konstrukcję niż teleskop, który jest używany do śledzenia meteoroidów (przebywających długą drogę w polu widzenia). Projektant teleskopu musi oczywiście brać pod uwagę różnice między rzeczy­ wistymi soczewkami a wyidealizowanymi cienkimi soczewkami, które stanowiły podstawę naszych rozważań. Rzeczywista soczewka o sferycznych powierzch­ niach nie tworzy ostrych obrazów i ta jej wada nosi nazwę aberracji sferycznej. Ponadto, kąt załamania światła przez dwie powierzchnie rzeczywistej soczewki zależy od długości fali i promienie świetlne odpowiadające różnym długościom fali nie są w rzeczywistej soczewce ogniskowane w tym samym punkcie; tę wadę określa się terminem aberracji chromatycznej. Ta pobieżna dyskusja parametrów konstrukcyjnych teleskopów astronomicz­ nych nie wyczerpuje całości zagadnienia; jest jeszcze wiele innych parametrów i problemów konstrukcyjnych, jakie należy rozwiązać przy projektowaniu tych przyrządów, podobnie zresztą, jak i przy projektowaniu innych precyzyjnych przy­ rządów optycznych.

35.8. Trzy wyprowadzenia Równanie zwierciadła sferycznego (35.4)

\

Na rysunku 35.19 pokazano punktowy przedmiot P umieszczony na osi optycznej sferycznego zwierciadła wklęsłego za środkiem krzywizny C zwierciadła. Pro­ mień świetlny wychodzący z P pod kątem a do osi zwierciadła, po odbiciu od zwierciadła w punkcie a przecina oś zwierciadła w punkcie O. Promień opusz­ czający P wzdłuż kierunku osi optycznej zwierciadła jest odbijany w punkcie c i wraca po odbiciu wzdłuż swojego pierwotnego kierunku, przechodząc również przez punkt O. Zatem O jest obrazem przedmiotu P; jest to obraz rzeczywisty, bo promienie świetlne rzeczywiście przecinają się w tym punkcie. Wyznaczmy teraz odległość obrazu o od zwierciadła. Z trygonometrii wiemy, że kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych trójkąta. Stosując to twierdzenie do trójkątów P a C i P a O na rysunku 35.19, mamy P = a +d

oraz

y= a+ 29.

Eliminując z tych dwóch równań 9, otrzymujemy (35.16)

a + Y = 2/3.

Kąty a , /3 i y możemy wyrazić w mierze łukowej (radianach) jako ac

ac

cP

p ’

^

ac

ac

cC

r

oraz Rys. 35 .19. Sferyczne zwierciadło wklęsłe, odbijając promienie świetlne przychodzące z punktowego przed­ miotu, wytwarza rzeczywisty obraz punktowy O tego przedmiotu

64

35. O brazy

ac ac y « — = cP o

(35.17)

Tylko wyrażenie opisujące fi jest ścisłe, gdyż środek krzywizny łuku ac znajduje się w punkcie C. Ale jeżeli kąty a i y są dostatecznie małe (co spełnione jest dla

promieni przyosiowych), to opisujące je wyżej wyrażenia są w przybliżeniu rów­ nież spełniane. Podstawienie równania (35.17) do (35.16) i skorzystanie z równa­ nia (35.3) do zastąpienia r przez 2 / prowadzi po odpowiednich przekształceniach do równania (35.4), a więc do zależności, którą mieliśmy wyprowadzić.

W zór sferycznych powierzchni załamujących (35.8) Promień świetlny wychodzący z przedmiotu P na rysunku 35.20 i padający w punkcie a na sferyczną powierzchnię załamującą ulega załamaniu zgodnie z równaniem (34.44) n i sin = « 2 sin 0 2 Jeżeli kąt a jest mały, to 9\ i 02 będą również małe i funkcje sinus tych kątów możemy zastąpić samymi kątami. Wtedy dane wyżej równanie przybiera postać

Rys. 35 .20. Rzeczywisty obraz O punktowego przedmiotu P wytwarzany w wyniku załamania światła na wypu­ kłej powierzchni sferycznej rozgranicza­ jącej dwa ośrodki optyczne

(35.18) Ponownie skorzystamy z twierdzenia, że kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych trójkąta i zastosujemy je do trójkątów C P a i O C a. Wtedy oraz

= 02 + y.

(35.19)

Jeżeli skorzystamy z równań (35.19) do wyeliminowania z (35.18) kątów 9\ i 02, to otrzymamy «1« + «2y = («2 ~ n i)p .

(35.20)

Kąty a , p i y , wyrażone w mierze łukowej (w radianach), są równe: ac

—>

y

(35.21)

Tylko drugie z tych równań jest ścisłe. Dwa pozostałe są tylko przybliżone, bo O i P nie są środkami okręgów, których częścią jest łuk ac. Ale dla małych ką­ tów (dla promieni bliskich osi optycznej) przybliżenia w równaniach (35.21) są dość dobre. Podstawienie równania (35.21) do (35.20) prowadzi bezpośrednio do równania (35.8), które chcieliśmy wyprowadzić.

Równanie cienkich soczewek (35.9) i wzór szlifierzy soczewek (35.10) Rozważmy każdą powierzchnię soczewki jako oddzielną powierzchnię załamu­ jącą i potraktujmy obraz wytwarzany przez pierwszą powierzchnię jako przedmiot dla drugiej powierzchni. Zaczniemy od grubej „soczewki” szklanej o grubości L (rys. 35.21a), której powierzchnie załamujące lewa i prawa mają promienie krzywizny odpowiednio r' i r " . Punktowy przedmiot P ' umieszczamy w pobliżu lewej powierzchni so­ czewki, tak jak pokazano na rysunku. Promień świetlny wychodzący z P ' rów­ nolegle do kierunku osi optycznej nie jest odchylany ani przy wejściu, ani przy wyjściu z soczewki.

35 .8. Trzy w yprow adzenia

65

F ć

C

C"

C

O"

/> '

ni = 1,0

szkio powietrze

c

<•'

. . powietrze

szMo

nn = n

hp'-*+—r' —H I*P'~ b) a) Rys. 35 .21. a) Dwa promienie świetlne wycho­ dzące z punktowego przedmiotu P ’, po załamaniu na dwóch sferycznych powierzchniach „soczewki”, tworzą rzeczywisty obraz O". Promienie najpierw przechodzą przez powierzchnię wypukłą (lewą po­ wierzchnię boczną soczewki), a następnie przez powierzchnię wklęsłą (prawą powierzchnię boczną soczewki). Promień przechodzący przez punkty a' i a" jest w rzeczywistości promieniem bliskim osi optycznej soczewki, b) Strona lewa i c) strona prawa „soczewki” z rys. (a) pokazane oddzielnie

c)

Drugi promień wychodzący z P \ pod kątem a do osi soczewki, pada na lewą powierzchnię w punkcie a', ulega załamaniu i pada na drugą (prawą) powierzch­ nię soczewki w punkcie a". Tam promień ulega ponownie załamaniu i przecina oś soczewki w punkcie O ", który jest obrazem przedmiotu P ', gdyż w tym punkcie przecinają się, po kolejnych załamaniach na dwóch powierzchniach, oba promienie, które wyszły z P'. Na rysunku 35.21b pokazano, że pierwsza (lewa) powierzchnia wytwarza również obraz pozorny przedmiotu P ' w punkcie O'. Do wyznaczenia położenia tego obrazu skorzystamy z równania (35.8) Ml

p

«2

o

_

«2 -

r

«1

<

Kładąc n i = 1 dla powietrza i « 2 = n dla szklanej soczewki oraz pamiętając, że odległość obrazu jest wielkością ujemną (tzn. o — —o' na rysunku 35.21b), otrzymujemy 1 n n —1 -p ' - -o = —r 7“ (35-22) W tym równaniu o' będzie dodatnie, ponieważ już wprowadziliśmy znak minus właściwy dla obrazu pozornego. Na rysunku 35.2lc pokazano ponownie drugą powierzchnię. Jeśli obserwator w punkcie a" nie jest świadom istnienia pierwszej powierzchni, może on myśleć, że promień świetlny docierający do punktu a" wychodzi z punktu O' na rysunku 35.21b i że obszar na lewo od tej (rzeczywistej) powierzchni jest wypełniony szkłem tak, jak to zaznaczono na rysunku 35.21c. Zatem obraz pozorny O' tworzony przez pierwszą powierzchnię soczewki spełnia funkcję rzeczywistego przedmiotu P" w stosunku do drugiej powierzchni. Odległość tego przedmiotu

66

35. O brazy

od drugiej powierzchni jest równa p" = o' + L .

(3 5 .2 3 )

Żeby móc zastosować równanie (35.8) do drugiej powierzchni, musimy przy­ jąć, że « 1 = n oraz że « 2 = I, ponieważ obecnie przedmiot znajduje się w szkle. Jeśli podstawimy równanie (35.23), to (35.8) przybierze postać n 1 1 —n -------- + — = -------- . (35.24) ,0 ' + L o" r" Załóżmy teraz, że grubość L naszej „soczewki” na rysunku 35.2la jest na tyle mała, że możemy ją zaniedbać w porównaniu z innymi rozważanymi wielko­ ściami liniowymi (takimi jak p ', o', p ", o ", r ' i r"). Dalej będziemy już korzystać z przybliżenia cienkich soczewek. Podstawiając do równania (35.24) L = 0 i po­ rządkując prawą stronę równania, otrzymujemy n 1 n —1 - + — = --------- . (35.25) o'

o

r"

Dodanie równań (35.22) i (35.25) prowadzi do 1 1 ~ o ~

~p ’

/ I I - ^)(\ r~ r"Ti

Wprowadzając na koniec dla pierwotnej odległości przedmiotu oznaczenie p, a dla odległości końcowego obrazu oznaczenie o, otrzymujemy 1 1 /1 1\ _ + _ = („ — 1)1 — ---- p o

\r '

(35.26)

r"}

czyli z małą zmianą oznaczeń otrzymaliśmy to, co chcieliśmy wyprowadzić — równania (35.9) i (35.10).

O b r a zy rz e c z y w is te i p o z o r n e O braz jest to odtworzenie przed­ miotu przez światło. Kiedy obraz może powstać na jakiejś po­ wierzchni, wówczas jest on o b razem rzeczyw istym . Jeżeli obraz jest odbierany jedynie przez aparat widzenia obserwatora, to jest to o b ra z p o zo rn y . 1 W y tw a rza n ie

o b ra z u

Z w ierc ia d ła

sferyczn e, sferyczn e p o ­

gdzie / jest ogniskową, a r — promieniem krzywizny zwier­ ciadła. Z w ierc ia d ło p ła sk ie jest przypadkiem szczególnym, dla którego r ->• 00 , tak że p = —o. Obrazy rzeczywiste powstają po tej samej stronie zwierciadła, po której znajduje się przedmiot, a obrazy pozorne po przeciwnej stronie.

2.

«1

w ierzchn ie za ła m u ją ce i cien kie so czew k i mogą wytwarzać obraz

Zwierciadło sferyczne:

1

1

p

o

p

2

- + - = - = f

r

(35.4,35.3)

o

r

(pojedyncza powierzchnia),

(35.8)

gdzie n \ jest współczynnikiem załamania dla ośrodka, w któ­ rym znajduje się przedmiot, natomiast «2 — ośrodka po drugiej stronie powierzchni załamujacej, a r jest promie­ niem krzywizny tej powierzchni. Jeżeli przedmiot znajduje się przed powierzchnią wypukłą, to promień r jest dodatni, jeżeli jest to powierzchnia wklęsła, to jest on ujemny. Obrazy rzeczywiste powstają po przeciwnej stronie powierzchni zała­ mującej niż przedmiot, a obrazy pozorne po tej samej stronie powierzchni załamującej.

3.

1

ni —n\

«2

----- 1----- = -----------

źródła światła — przedmiotu — zmieniając kierunek promieni świetlnych wychodzących z jego powierzchni. Obraz powstaje, gdy po zmianie kierunku przecinają się promienie (tworząc ob­ raz rzeczywisty) lub ich przedłużenia (tworząc obraz pozorny). Dla promieni dostatecznie bliskich osi optycznej zwierciadła sfe­ rycznego, powierzchni załamującej i cienkiej soczewki (promieni przyosiowych) spełnione są następujące związki między o d leg ło ­ śc ią p rzed m io tu p (która jest dodatnia) i o d leg ło ścią obrazu o (która jest dodatnia dla obrazów rzeczywistych i ujemna dla ob­ razów pozornych):

1.

Sferyczne powierzchnie załamujące:

Cienka soczewka:

1 1 1 P

/ 1

1\

V i

r2 J

- + - = - = ( « - 1 ) ----------, o

f

(35.9,35.10)

Podsum owanie

67

gdzie / jest ogniskową, n — współczynnikiem załama­ nia światła dla materiału soczewki, ri i r2 są promieniami krzywizny dwóch sferycznych powierzchni soczewki. Jeżeli przedmiot znajduje się przed powierzchnią wypukłą, to jej promień jest dodatni, jeżeli jest to powierzchnia wklęsła, to jest on ujemny. Obrazy rzeczywiste powstają po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot, a obrazy pozorne po tej sa­ mej stronie soczewki.

Trzy przyrządy optyczne, które zwiększają możliwości ludzkiego oka, to:

P rzy rz ą d y o p ty c z n e

1.

mg

3. (35.5)

M = -r, h

M ikroskop, którego p o w ięk sze n ie całkow ite M wynosi M = mnie

(35.6)

h'

me = -

'o o

i $ a)

$ temperatura

b)

Rys. 35 .22. Pytanie 1

2 . Na rysunku 35.23 pokazano rybę i podkradającego się do niej łowcę stojącego w wodzie, a) Czy widzi on rybę w pobliżu punktu a , czy punktu b l b) Czy ryba widzi (dzikie) oczy łowcy w pobliżu punktu c, czy punktu d l

68

35. O brazy

s

25 cm

fo b

fo k

(35.14)

gdzie m jest powiększeniem liniowym obiektywu, m g jest kątowym powiększeniem okularu, s jest długością tubusu, fo b i fo k są ogniskowymi odpowiednio obiektywu i okularu. Teleskop (luneta astron om iczn a ), którego powiększenie ką­ towe m s jest równe

/ob

1

(35.15)

fok

gdzie h i t i są odpowiednio wysokościami przedmiotu i obrazu.

1. Potwory wodne, trytony, rusałki, od dawien dawna były „wi­ dywane” przez obserwatorów znajdujących się na brzegu lub na dolnym pokładzie statku. Z tak nisko położonych punktów do ob­ serwatora mogą trafiać promienie świetlne pochodzące od przed­ miotów pływających po powierzchni wody (np. kloców drewnia­ nych, morświnów). Promienie takie, których kierunek ulega za­ krzywieniu (jeden z nich został przesadnie zakrzywiony na ry­ sunku 35.22a), docierając do obserwatora, powodują wrażenie ob­ serwacji przedmiotów wystających wysoko z wody (i zapewne drgających z powodu turbulencji powietrza). Miraż taki może ła­ two przypominać kształty owych osławionych stworów wodnych. Na rysunku 35.22b podano kilka wykresów zależności tempera­ tury powietrza od wysokości nad lustrem wody. Który z tych wy­ kresów najlepiej ilustruje warunki temperaturowe powietrza, w ja­ kich zakrzywienie toru promieni świetlnych prowadzi do takiego typu mirażu?

(35.12)

gdzie / jest ogniskową lupy. 2.

Powiększenie liniowe m zwierciadła sferycznego lub cienkiej soczewki jest równe

Wartość bezwzględna m wynosi

25 cm

~1~'

P o w ię k sz e n ie lin io w e (p o p r z e c z n e )

m = ---- . P

L upa (szkło p o w ię k sza ją c e ), której powiększenie kątowe m#

jest równe

Rys. 35 .23. Pytanie 2

3. Na rysunku 35.24 przedstawiono plan podłogi szklanego labi­ ryntu, w którym wszystkie ściany pokryte są lustrami. W takim labiryncie wydaje się, że w różne strony od ciebie rozbiega się wiele „wirtualnych korytarzy”. Bierze się to stąd, że oglądasz wielokrotne odbicia od luster, które' tworzą ściany labiryntu. Lu­ stra ustawione są wzdłuż niektórych boków powtarzających się na podłodze trójkątów równobocznych. Stajesz u wejścia x do labi­ ryntu. a) Którego z ukrywających się w labiryncie potworów a , b i c możesz dostrzec wzdłuż wirtualnych korytarzy rozciągających się od wejścia x? b) Ile razy każdy z tych potworów ukazuje się

5. Kiedy w filmie

Park Jurajski tyranozaur ściga jeepa, widzimy odbity obraz tyranozaura we wstecznym lusterku samochodu. Na lusterku tym widnieje (jak fia ironię) napis ostrzegawczy: „Przed­ mioty w lusterku znajdują się bliżej niż się wydaje”. Czy to wsteczne lusterko jest płaskie, wklęsłe, czy wypukłe?

6 . Na rysunku 35.25 pokazano cztery cienkie soczewki wy­ konane z tego samego materiału. Ich boczne powierzchnie są albo płaskie, albo sfe­ ryczne o promieniu krzy­ wizny równym 10 cm. Spróbuj bez wykonywa­ nia rachunków uszerego­ wać te soczewki wedle ma. ,. . , ■ . ■ ■, a) b) c) d) lejącej wartości ognisko­ wej. Rys. 35 .25. Pytanie 6 7. Przedmiot znajduje się przed cienką symetryczną soczewką skupiającą. Czy odległość obrazu tego przedmiotu od zwierciadła rośnie, maleje, czy też pozostaje taka sama wtedy, gdy zwięk­ szamy a) współczynnik załamania światła n dla materiału so­ czewki, b) wielkość promienia krzywizny obu powierzchni bocz­ nych soczewki i c) współczynnik załamania światła n oir ośrodka otaczającego soczewkę, przy czym zawsze rc0śr jest mniejsze od n?

8 . Ogniskowe wklęsłego zwierciadła i soczewki skupiającej (ze szkła o n = 1,5) są takie same i wynoszą w powietrzu 3 cm. Jeżeli umieścimy je w wodzie (n = 1,33), to czy wtedy ich ogniskowe będą większe, mniejsze, czy też nadal równe 3 cm?

Rozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod­ ręcznika: http://www.wiley.com/college/hrw Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej, wykorzystującej oprogramowanie Interactive LearningWare (na tej samej stronie)

Soczewka 1

Soczewka 2

1

skupiająca

skupiająca

P\ < f \

2

skupiająca

skupiająca

P\ > f \

3

rozpraszająca

skupiająca

Pi < f\

4

rozpraszająca

skupiająca

P\ > f \

5

rozpraszająca

rozpraszająca

P i < /i

6

rozpraszająca

rozpraszająca

Wariant

V

4 . Wzdłuż osi optycznej zwierciadła wklęsłego, od ogniska w stronę nieskończoności brnie z wysiłkiem pingwin, a) Jak po­ rusza się jego obraz? b) Czy wysokość jego obrazu ciągle rośnie, czy też ciągle maleje, a może zmienia się w bardziej skompliko­ wany sposób?

9 . W tabeli podano charakterystyki sześciu wariantów układu dwóch soczewek naszkicowanego na rysunku 35.26. (Punkty oznaczone jako F\ i F2 to ogniska soczewki 1 i soczewki 2). Przedmiot znajduje się po lewej stronie układu w odległości p \ od soczewki 1, tak jak na rysunku 35.15. a) Dla którego z sześciu wariantów jesteśmy w stanie powiedzieć b e z w ykonyw an ia o b li­ czeń, czy końcowy obraz (tzn. obraz wytwarzany przez soczewkę 2) znajduje się po lewej, czy po prawej stronie soczewki 2 i czy ma on taką samą orientację jak przedmiot? b) Dla tych soczewka 1 soczewka 2 „łatwych” wariantów po­ daj położenie obrazu jako - • ------------ * ------ * ------■----- * i „ i , Fi F') Fn „lewa strona lub „prawa strona” i orientację jako „prosty” lub „odwrócony”. Rys. 35 .26. Pytanie 9

:5

w korytarzu? c) Co jest na samym końcu korytarza? ( W skazów ka: Pokazano dwa promienie przychodzące z wirtualnych korytarzy; przeanalizuj (wstecz) ich bieg przez labirynt, korzystając z prawa odbicia od każdego z luster wzdłuż toru każdego promienia. Czy przechodzą one przez trójkąt, w którym znajduje się potwór? Je­ żeli tak, to ile razy? Dodatkową analizę problemu znajdziesz w ar­ tykule: J.Walker, The Amateur Scientist, S cientific A m erican , 254, 120-126, Jurie 1986).

10. Odchylenie kierunku promieni świetlnych w naszym aparacie widzenia dokonuje się przede wszystkim w rogówce (na granicy powietrze-oko). Współczynnik załamania światła dla rogówki jest nieco większy od współczynnika załamania dla wody. a) Czy od­ chylenie promieni świetlnych przez rogówkę jest większe, mniej­ sze, czy takie samo, jak ich odchylenie w powietrzu, jeśli znaj­ dujesz się pod wodą? b) Ryba z Ameryki Środkowej o nazwie A n a b lep s a n a b lep s może widzieć jednocześnie pod i nad wodą w obu tych ośrodkach, bo pływa z oczami częściowo wysunię­ tymi nad powierzchnię wody. Czy dla zapewnienia wyraźnego widzenia w obu tych ośrodkach promień krzywizny zanurzonej części rogówki jest większy, mniejszy, czy też taki sam, jak czę­ ści wystającej ponad powierzchnię wody?

35.2 Zwierciadła płaskie 1. Na poziomie twoich oczu, w odległości 10 cm od płaskiego zwierciadła lata ćma. Twoje oczy znajdują się w odległości 30 cm od zwierciadła. Ile wynosi odległość od twoich oczu do miejsca, w którym w zwierciadle powstaje obraz ćmy?

Zadania

69

2 . Oglądasz przez aparat fotograficzny obraz kolibra w zwier­ ciadle płaskim, odległym od aparatu o 4,3 m. Koliber zawisł na poziomie aparatu, w odległości 5 m na prawo od ciebie i 3,3 m od powierzchni zwierciadła. Ile wynosi odległość między aparatem a obrazem kolibra w zwierciadle? 3. Rysunek 35.27a to widok z góry dwóch pionowych zwiercia­ deł płaskich z umieszczonym między nimi przedmiotem P . Jeżeli spojrzysz w zwierciadła, zobaczysz wielokrotne obrazy przed­ miotu P . Możesz je znaleźć, rysując odbicia w każdym zwier­ ciadle, w obszarze kątowym między obydwoma zwierciadłami, tak jak to zrobiono dla zwierciadła po lewej stronie na rysunku 35.27b. Narysuj teraz odbicie tego odbicia i postępuj tak dalej po lewej i prawej stronie tak długo, aż odbicia spotkają się (po­ kryją) w głębi zwierciadeł. Wtedy możesz policzyć liczbę ob­ razów przedmiotu P . a) Ile obrazów przedmiotu P zobaczysz wtedy, gdy kąt między zwierciadłami jest równy 9 = 90°? b) Na­ rysuj ich położenia i orientacje (jak na rysunku 35.27b).

S-^

-ĘT■' £*Jp a)

7. Umieszczamy punktowe źródło światła S w od­ ległości d od ekranu A. Jak zmieni się natężenie światła w środku ekranu, jeżeli z tyłu za źródłem światła, w odległości d , umieścisz całkowicie odbi­ jające zwierciadło Z, tak jak to pokazano na rysunku 35.29. ( W skazów ka: Sko­ rzystaj z równania (34.27)).

Z

A

S

•

■*-d

'«

|

~

Rys. 35.29. Z"J- i e 7

i

fi

1 | t 200 1

8 . Na rysunku 35.30 mała 250 cm ' żarówka zawieszona jest nad wodą w basenie ką­ pielowym. Dno basenu sta­ nowi wielkie zwierciadło cm płaskie. Jak głęboko pod powierzchnią tego zwier­ zwierciadło ciadła znajduje się obraz / żarówki? (W skazów ka: Wy­ Rys. 35.30. Zadanie 8 tycz bieg dwóch promieni, tak jak na rysunku 35.3, ale uwzględnij odchylenie promieni świetlnych w wyniku ich załamania. Przyjmij, że promienie są bliskie osi pionowej przechodzącej przez żarówkę i skorzystaj z przybliżenia małych kątów, tzn. sin 9 ~ tg 6? ss 9).

b)

)

35.4 Obrazy wytwarzane przez zwierciadła sferyczne

Rys. 35 .27. Zadania 3 i 4

4 . Powtórz zadanie 3 dla przypadku, gdy kąt 9 jest równy: a) 45°, b) 60° i c) 120°. d) Wyjaśnij, dlaczego w przypadku (c) możliwych jest kilka odpowiedzi.

9. Wypukłe lusterko do golenia ma promień krzywizny 35 cm. Jest ono tak ustawione, że obraz twarzy golącego się mężczyzny jest 2,5-krotnie większy od samej twarzy. Jak dalektf od twarzy znajduje się lusterko?

5. Udowodnij, że wtedy, gdy płaskie zwierciadło jest obracane o kąt a, kierunek wiązki odbitej odchyla się o 2 a . Pokaż, że jest to wynik rozsądny dla kąta a = 45°.

10. Uzupełnij tabelę 35.3, której każdy wiersz odnosi się do in­ nego ustawienia przedmiotu, zwierciadła płaskiego lub zwiercia­ dła sferycznego (wklęsłego bądź wypukłego). Odległości w tabeli

6 . Na rysunku 35.28 po­ kazany jest widok z góry korytarza, na końcu któ­ rego zamontowano płaskie i? zwierciadło Z o szerokości d — 3 m. Włamywaczka W skrada się wzdłuż korytarza prosto w stronę środka zwiercia­ dła. Jak daleko od zwier­ ciadła będzie znajdować się włamywaczka w mo­ mencie, kiedy dostrzeże ją w zwierciadle strażnik ochrony S?

70

35. O brazy

T a b e lo 35.3. Zadanie 10: Zwierciadła

Rodzaj j. zwierciadła

r

o

p

20

+ 10

+20

+30

a) wklęsłe

+ 10 + 1,0

b) c)

g) wypukłe h)

nie

-40 -1 0

e) f)

Obraz Obraz rzeczywisty? odwrócony?

+60 - 0 ,5

d)

Rys. 35.28. Zadanie 6

m

+ 0,1

20 40

4 +24

0,5

tak

podane są w centymetrach. Jeżeli przy liczbie brakuje znaku, uzupełnij go. Naszkicuj każde z ustawień i wytycz bieg odpo­ wiedniej liczby promieni potrzebnych do wyznaczenia położenia przedmiotu i jego obrazu. 1 1. Krótki, prosty przedmiot o długości L leży na osi optycz­ nej sferycznego zwierciadła w ódległości p od jego powierzchni, a) Pokaż, że jego obraz ma długość L' równą L' = L

Zadanie 14: Sferyczne powierzchnie załamujące

n2

a)

1,0

1,5

+ 10

b)

1,0

1,5

+ 10

c)

1,0

1,5

d)

1,0

e) ,

1,5

f P~ f

1,0

f)

1,5

1,0

każ, że p o w ięk sze n ie p o d łu żn e m '( = L '/ L ) jest równe m 2, gdzie

g)

1,5

1,0

m jest liniowym powiększeniem poprzecznym.

h)

1,5

(W skazów ka: Znajdź położenia obu końców przedmiotu), b) Po­

1 2. a) Wzdłuż osi optycznej zwierciadła sferycznego o promieniu krzywizny r do zwierciadła zbliża się z prędkością vp świecący punkt. Pokaż, że obraz tego przedmiotu porusza się z prędkością vo = ~

y 2 p —r /

Vp,

gdzie p jest odległością świecącego punktu od zwierciadła w dane^hw ili. ( W skazów ka: Wyjdź od równania (35.4)). Przyjmij na­ stępnie, że jest to zwierciadło wklęsłe, o promieniu krzywizny r = 15 cm, i że v p = 5 cm /s. Znajdź prędkość obrazu, gdy b) p = 30 cm (daleko za ogniskiem), c) p = 8 cm (tuż za ogni­ skiem) i d) p = 10 mm (bardzo blisko zwierciadła).

35.5 Sferyczne powierzchnie załam ujące 1 3. Wiązka równoległa z lasera pada na sztywną przezroczy­ stą kulę o współczynniku załamania światła n (rys. 35.31). a) Ile wynosi współczynnik załamania światła dla kuli, jeżeli wiadomo, że na jej tylnej powierzchni powstaje obraz punktowy? b) Ile musiałby wynosić współczynnik za­ łamania światła n, aby ob­ raz powstawał w środku kuli (jelfeli jest to w ogóle moż­ liwe)? Rys. 35 .31. Zadanie 13 1 4. Uzupełnij tabelę 35.4, której każdy wiersz odnosi się do in­ nego ustawienia punktowego przedmiotu i sferycznej powierzchni załamującej (które rozdziela dwa ośrodki o różnych współczyn­ nikach załamania światła). Odległości w tabeli podane są w cen­ tymetrach. Jeżeli przy liczbie brakuje znaku, uzupełnij go. Na­ szkicuj każde z ustawień i wytycz bieg odpowiedniej liczby pro­ mieni potrzebnych do wyznaczenia położenia przedmiotu i jego obrazu. 1 5. Spoglądasz z góry na monetę leżącą na głębokości d na dnie basenu kąpielowego napełnionego cieczą o współczynniku /załamania światła n (rys. 35.32). Monetę oglądasz obojgiem oczu, a do każdego z nich docierają inne promienie wychodzące

Obraz odwrócony?

ni

+30 -13 +600

+30

+20

— 20

-20

+ 10

-6,0 -7,5

+ 100

-30 +30

+70 +600

-30

z monety, wobec tego wi­ dzisz monetę nie na głę­ bokości d , ale na głęboko­ ści dp0Z, bo tam przecinają się przedłużenia promieni dochodzących do twoich oczu. Pokaż, że przy zało­ żeniu, iż promienie docho­ dzące do twoich oczu two­ rzą małe kąty z osią pio­ nową przechodząćą-^pizez monetę, głębokość dpoz = d / n . (W skazów ka: W przy­ bliżeniu małych kątów sin$ rs te 6 6 ). 1 6 . W pojemniku warstwę cztesochlorku węgla (n = 1,46) o gru­ bości 40 mm pokrywa warstwa wody (n = 1,33) o grubości 20 mm. Na dnie tego pojemnika leży moneta. Na jakiej głęboko­ ści względem górnej powierzchni wody widzisz monetę? (W ska­ zów ka: Sporządź szkic opisanej sytuacji i skorzystaj z założeń i wyników zadania 15).

35.6 Cienkie soczewki 1 7. Przedmiot znajduje się w odległości 20 cm od soczewki rozpraszającej (po lewej stronie), której ogniskowa wynosi 30 cm. W jakiej odległości o od soczewki powstaje obraz przedmiotu? Wyznacz położenie obrazu, wytyczając bieg promieni świetlnych przez soczewkę 1 8 . Korzystając z soczewki o ogniskowej 20 cm, wytwarzasz na ekranie obraz Słońca. Ile wynosi średnica tego obrazu? (Potrzebne dane o Słońcu znajdziesz w dodatku C). 1 9 . Ze szkła o współczynniku złamania światła 1,5'należy wy­ konać soczewkę dwuwklęsłą o ogniskowej 60 mm, przy czym jedna z powierzchni wklęsłych ma mieć dwa razy większy pro­ mień krzywizny niż druga. Jakie to będą promienie?

Z adania

71

znajduje się na osi optycznej w odległości 10 cm przed soczewką rozpraszającą, a) Gdzie ten układ soczewek wytwarza końcowy , obraz przedmiotu (obraz wytwarzany przez drugą, skupiającą so­ czewkę)? b) Ile wynosi wysokość tego obrazu? c) Czy jest to obraz rzeczywisty, czy pozorny? d) Czy jest to obraz prosty, czy jest on odwrócony?

2 0 . Soczewka ze szkła o współczynniku załamania światła

1,5 ma jedną powierzchnię płaską, a drugą wypukłą (soczewka płasko-wypukła) o promieniu krzywizny 20 cm. a) Ile wynosi ogniskowa tej soczewki? b) Gdzie powstanie obraz przedmiotu umieszczonego w odległości 40 cm od soczewki? 2 1 . Wzór

j

i

P + o

1

2 7 . Soczewka skupiająca o ogniskowej +20 cm znajduje się w odległości 10 cm po prawej stronie soczewki rozpraszającej, która ma ogniskową —15 cm. Podaj położenie i pozostałe cha­ rakterystyki obrazu wytwarzanego przez soczewkę rozpraszającą dla przedmiotu, który umieszczono w odległości 40 cm po lewej stronie soczewki skupiającej.

f

nosi nazwę w zo ru so czew k o w ego G aussa. Inną postać tego wzoru, zwaną w zo rem so czew k o w ym N ew ton a, otrzymuje się, rozważając odległość x przedmiotu od pierwszego ogniska i odległość x' ob­ razu od drugiego ogniska soczewki. Pokaż, że wzór soczewkowy Newtona ma postać xx' = f .

2 8 . Przedmiot znajduje się w odległości 20 cm po lewej stro­

2 2 . Kamerą filmową, z (pojedynczą) soczewką o ogniskowej

nie soczewki o ogniskowej +10 cm. Druga soczewka o ogni­ skowej + 12,5 cm znajduje się na prawo od pierwszej soczewki w odległości 30 cm. a) Znajdź położenie i’względną wysokość obrazu wytwarzanego przez ten układ soczewek, b) Zweryfikuj wyniki przez sporządzenie rysunku (w skali 1:1) tego układu i wy­ tyczenie biegu promieni, c) Czy obraz ten jest rzeczywisty, czy pozorny? d) Czy jest on obrazem odwróconym?

75 mm filmujesz osobę o wzroście 180 cm, znajdującą się w od­ ległości 27 m od kamery. Ile wynosi wysokość obrazu tej osoby na taśmie filmowej? 2 3 . Oświetlone przezrocze znajduje się w odległości 44 cm od

ekranu. W jakiej odległości od przezrocza musi znajdować się soczewka o ogniskowej 11 cm, ażeby dawała na ekranie obraz przezrocza?

2 9 . Dwie cienkie soczewki o ogniskowych

f \ i f 2 stykają się ze sobą, tworząc układ soczewek. Pokaż, że taki układ jest równo­ ważny pojedynczej soczewce, której ogniskowa jest równa

2 4 . Uzupełnij tak dalece, jak to jest możliwe tabelę 35.5, której każdy wiersz odnosi się do innego ustawienia przedmiotu i cien­ kiej soczewki. Odległości w tabeli podane są w centymetrach. W kolumnie „Rodzaj soczewki” wpisz S dla soczewki skupiają­ cej i R dla soczewki rozpraszającej. leżeli przy liczbie brakuje znaku, uzupełnij go (nie dotyczy to współczynników załamania światła). Naszkicuj każde z ustawień i wytycz bieg odpowiedniej liczby promieni potrzebnych do wyznaczenia położenia przed­ miotu i jego obrazu.

r _

/l + f2 30. Pewna soczewka, nie pokazana na rysunku 35.33, wytwa­

rza rzeczywisty, odwrócony obraz O przedmiotu P . Odległość przedmiotu od obrazu, mierzona wzdłuż osi optycznej soczewki, wynosi d = 40 cm. Obraz ma wysokość równą połowie wysokości przedmiotu, a) Jaka musi być soczewka, która wy­ tutaj twarza taki obraz? b) W ja­ soczewka oś kiej odległości od przed­

2 5 . Pokaż, że odległość między przedmiotem a jego rzeczywi­ stym obrazem wytwarzanym przez cienką soczewkę skupiającą jest zawsze większa lub równa czterokrotnej ogniskowej soczewki.

miotu musi być umiesz­ czona taka soczewka? c) Ile wynosi ogniskowa takiej soczewki?

2 6 . Soczewka rozpraszająca o ogniskowej —15 cm i soczewka

skupiająca o ogniskowej 12 cm mają wspólną oś optyczną. Odle­ głość między nimi wynosi 12 cm. Przedmiot o wysokości 1 cm -■ .

.i '..i

Rodzaj soczewki a) S

I

Rys. 35 .33. Zadanie 30

Zadanie 24: Cienkie soczewki /

r\

n

0

P

n

+ 10

+5

c)

10

+5

d)

10

< 1,0

+5 +30

-3 0

+ 10

1,5

f)

-3 0

+30

+ 10

1,5

g)

-3 0

-6 0

+ 10

1,5

+ 10

0,5 - 0 ,5

i)

35. O brazy

Obraz pozorny?

> 1,0

e)

h)

Obraz rzeczywisty?

m

+20

10

b)

72

fi f i

nie

3 1 . Odległość D między świecącym przedmiotem i ekranem jest ustalona. Między przedmiotem i ekranem ustawiamy soczewkę skupiającą, o ogniskowej / . Rzeczywisty obraz przedmiotu uzy­ skujemy dla dwóch położeń soczewki, a) Wykaż, że odległość tych położeń wynosi d = ^ D (D -4 f).

b) Wykaż, że stosunek wysokości tych dwóch obrazów jest równy

soczewka siatkówka mięsień rogówka

soczewka efektywna

siatkówka

światło z odległego przedmiotu P a)

b)

D —d D + d

l

35.7 Przyrządy optyczne 32. Jaka musi być minimalna średnica okularu lunety astrono­ micznej, która zapewnia zebranie całego światła wchodzącego do obiektywu lunety z odległego źródła punktowego, znajdującego się na osi optycznej lunety, jeżeli średnica jej obiektywu wynosi 75 mm, a jej powiększenie kątowe jest równe 36?

33. Mikroskop pokazany na rysunku 35.17 ma obiektyw o ogni­ skowej 4 cm i okular o ogniskowej 8 cm. Odległość między obiek­ tywem i okularem wynosi 25 cm. a) Ile wynosi długość tubusu s? b) Jak daleko od obiektywu powinien znajdować się przedmiot, je­ żeli obraz O ma być wytworzony w ognisku F[ (tuż poza nim). Ile wynosi wówczas: c) powiększenie liniowe m obiektywu? d) po­ większenie kątowe okularu, oraz e) całkowite powiększenie M mikroskopu?

34. Osoba, której odległość dobrego widzenia wynosi P„ = 25 cm, trzyma przy oku lupę. Oglądany przez nią przedmiot znajduje się w takiej odległości od oka, że jego obraz powstaje w odległości Pn. a) Ile wynosi powiększenie kątowe lupy? b) Ile wynosi powiększenie kątowe wtedy, gdy położenie przedmiotu zostaje zmienione tak, że jego obraz powstaje w nieskończono­ ści? c) Oblicz powiększenia kątowe w sytuacjach (a) i (b) dla lupy o ogniskowej / = 10 cm. (Oglądanie obrazu w odległo­ ści Pn wymaga pewnego wysiłku ze strony mięśni oka, podczas gdy u większości ludzi oglądanie obrazu powstającego w nieskoń­ czoności nie wymaga wysiłku mięśni oka). 35. Na rysunku 35.34a zilustrowano budowę oka ludzkiego. Świa­ tło jest załamywane na rogówce, a następnie kierowane przez so­ czewkę oczną, której kształt (a tym samym i zdolność do ogni­ skowania światła) jest regulowany przez mięśnie oka. Rogówkę i soczewkę oczną możemy traktować wspólnie jako jedną cienką soczewkę (rys. 35.34b). „Normalne” oko może skupiać promienie równoległe biegnące z nieskończenie odległego od oka przed­ miotu P w punkcie na siatkówce znajdującej się w tylnej części oka, gdzie rozpoczyna się proces przetwarzania informacji wizu­ alnej. Kiedy jednak przedmiot znajduje się bliżej oka, mięśnie muszą zmienić kształt soczewki tak, aby promienie świetlne two­ rzyły na siatkówce odwrócony rzeczywisty obraz przedmiotu (rys. 35.34c). a) Przypńśćmy, że dla promieni równoległych na rysunku

\— p-

c)

Rys. 35 .34. Zadanie 35

35.34a i b ogniskowa’/ soczewki oka jest równa 2,5 cm. Ile musi wynosić ogniskowa / ' tej soczewki, ażeby na siatkówce mógł powstawać ostry obraz przedmiotu odległego od oka o 40 cm? b) Czy mięśnie oka muszą wówczas zwiększyć, czy zmniejszyć promienie krzywizny soczewki ocznej?

36. W pewnym mikroskopie przedmiot jest umieszczony w od­ ległości 10 mm od obiektywu mikroskopu. Odległość między so­ czewkami obiektywu i okularu wynosi 300 mm, a pośredni obraz powstaje w odległości 50 mm od okularu. Jakie jest całkowite powiększenie tego mikroskopu? 37. Na rysunku 35.35a zilustrowano budowę aparatu fotograficz­ nego. Obiektyw może być przesuwany do przodu i do tyłu, co umożliwia wytwarzanie obrazu na błonie fotograficznej w tyl­ nej części aparatu. W pewnym aparacie fotograficznym, w któ­ rym odległość o od obiektywu do błony fotograficznej jest równa / = 5 cm, równoległe promienie świetlne przychodzące od bar­ dzo odległego przedmiotu P tworzą na błonie punktowy obraz, tak jak to pokazano na rysunku. Następnie przedmiot przybliżył się do aparatu na odległość p = 100 cm i odległość obiektyw-błona fotograficzna została skorygowana tak, że na błonie powstaje od­ wrócony obraz rzeczywisty przedmiotu (rys. 35.35b). a) Ile wy­ nosi teraz odległość o między obiektywem a błoną fotograficzną? b) O ile zmieniła się odległość o l

b------ / — a)

b)

Rys. 3 5 .3 5 . Zadanie 37

Z adania

73

36 Interferencja

N a pierw szy rzut oka w ie rz c h n ia stro n a skrzydeł m o ty la m o d ra szka M o r p h o ma po prostu p ię k n e n ie b ie s k o z ie lo n e z a b a rw ie n ie . A le jest coś d z iw n e g o w tym m ig o tliw y m z a b a rw ie n iu , n ie p o d o b n y m do b a rw w iększości p rz e d m io tó w —

kie d y zm ie n ia sz p e rsp e ktyw ę o b se rw a cji

m o ty la a lb o kie d y je g o skrzydła p o ru s z a ją się, z m ie n ia się o d cie ń ich z a b a rw ie n ia . M ó w im y o tych s krzyd ła ch , że m ie n ią się b a rw a m i (o p a liz u ją ), a pod w id z ia n y m przez nas n ie b ie s k o z ie lo n y m z a b a rw ie n ie m skryw a się ich „p ra w d z iw a ", n u d n a i n ie c ie k a w a , b rą zo w a b a rw a ta k a , ja k ą m a ich sp o d n ia stro n a .

Czym zatem tak zasadniczo różni się wierzchnia strona skrzydeł od ich spodniej strony, co sprawia, że nie możemy oderwać wzroku od motyla?

Odpowiedź znajdziesz w tym rozdziale.

fc-v.

w J t K il l .1 1

i

36.1. Interferencja Jak pokazuje tęcza, światło słoneczne jest mieszaniną wszystkich barw z zakresu widzialnego widma promieniowania elektromagnetycznego. Barwy ujawniają się w tęczy dlatego, że promienie świetlne o różnych długościach fali są odchy­ lane pod różnymi kątami w trakcie przechodzenia przez kropelki deszczu, dzięki czemu powstaje łuk tęczy. Ale bańki mydlane i wycieki oleju mogą również pre­ zentować zaskakujące barwy, które nie są wcale wynikiem załamania światła, lecz rezultatem konstruktywnej i destruktywnej interferencji światła. W zjawisku in­ terferencji nakładanie się fal prowadzi albo do wzmocnienia, albo do wygaszenia światła o pewnych barwach z widma Słońca. Interferencja fal świetlnych należy zatem do zjawisk superpozycji, takich jak dyskutowane przez nas w rozdziale 17. Zjawisko selektywnego wzmacniania lub wygaszania fal ma wiele zastoso­ wań. Kiedy na przykład światło napotyka zwykłą powierzchnię szklaną, ok. 4% padającej energii ulega odbiciu i o taki procent mniejsza jest energia światła prze­ chodzącego przez szkło. Ta niepożądana strata energii może stać się dużym pro­ blemem w układach optycznych złożonych z wielu części. Cienkie, przezroczyste warstewki pewnych substancji nałożone na powierzchnię szklaną mogą w wyniku destruktywnej interferencji zmniejszać ilość odbijanego przez nią światła (a tym samym zwiększać ilość światła przechodzącego). Niebieskawy pobłysk soczewki obiektywu aparatu fotograficznego to oznaka obecności takiego pokrycia po­ wierzchni. Pokrycia interferencyjne mogą również służyć nie do zmniejszenia, ale właśnie do zwiększenia zdolności powierzchni do odbijania światła. Żeby zrozumieć interferencję, będziemy musieli wyjść poza ograniczenia narzucane przez prawa optyki geometrycznej i wykorzystać całą moc optyki fa­ lowej. Jak się dalej przekonacie, zjawisko interferencji jest bodaj najsilniejszym dowodem na to, że światło jest falą — interferencja nie może być wytłumaczona inaczej niż przez odwołanie się do jego falowej natury.

36.2. Światło jako fala Pierwszym, który rozwinął przekonującą falową teorię światła, w 1678 r., był holenderski fizyk Christian Huygens. Teoria Huygensa nie była wprawdzie tak ogólna jak późniejsza teoria elektromagnetyczna Maxwella, ale była prostsza matematycznie i do dzisiaj pozostaje użyteczna. Jej wielką zaletą jest to, że tłumaczy prawa odbicia oraz załamania i wyjaśnia sens fizyczny współczynnika ^załamania światła. Teoria Huygensa opiera się na konstrukcji geometrycznej, która umożliwia przewidywanie, gdzie będzie znajdować się określone czoło fali w każdej chwili w przyszłości, o ile tylko znamy jego aktualne położenie. Konstrukcja ta opiera się na zasadzie Huygensa, która mówi, że: ► Wszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elementarnych ku­ listych fal .wtórnych. Po czasie t nowe położenie czoła fali jest wyznaczone przez po­ wierzchnię styczną do powierzchni fal wtórnych.

Rys. 36.1. Konstrukcja geometryczna Huygensa ilustrująca rozchodzenie się fali płaskiej w próżni

3 6 .2. Światło jako fa la

75

Przeanalizujmy to na prostym przykładzie. Po lewej stronie rysunku 36.1 płaszczyzna ab prostopadła do powierzchni kartki przedstawia początkowe po­ łożenie czoła płaskiej fali rozchodzącej się w prawą stronę w próżni. Pytamy, gdzie będzie znajdować się to czoło fali po czasie A t. Potraktujemy kilka punk­ tów na płaszczyźnie ab (czarne punkty) jako źródła kulistych elementarnych fal wtórnych emitowanych w chwili t = 0. Po czasie A t promienie tych wszyst­ kich elementarnych kulistych fal wtórnych wzrosną do wartości cAf, gdzie c jest prędkością światła w próżni. Wykreślamy płaszczyznę de styczną do fal wtór­ nych w chwili A i. Ta płaszczyzna przedstawia czoło fali płaskiej po czasie Af; jest ona równoległa do płaszczyzny ab i znajduje się od niej w odległości cAi.

Prawo załam ania Skorzystamy teraz z zasady Huygensa do wyprowadzenia prawa załamania (prawa Snella), tzn. równania (34.44). Na rysunku 36.2 zilustrowano trzy stadia procesu załamania kilku czół fali na powierzchni granicznej między powietrzem (ośrodek 1) i szkłem (ośrodek 2). Narysowaliśmy czoła fali w padającej wiązce światła odległe o l i , czyli o długość fali świetlnej w ośrodku 1. Oznaczymy prędkość światła w powietrzu przez i>i, a w szkle przez vi. Przyjmiemy również, że v2 < iii, co zresztą akurat jest prawdziwe. Na rysunku 36.2a kąt 9\ jest kątem między czołem fali i powierzchnią gra­ niczną i jest on taki sam jak kąt między normalną do czoła fali (tzn. promieniem padającym) a normalną do powierzchni granicznej. Zatem 6\ jest równy kątowi padania. Fala świetlna wnika do ośrodka 2 (szkło). Zajmijmy się falą wtórną wy­ chodzącą z punktu e (rys. 36.2b) i zmierzającą do punktu c na powierzchni granicznej, odległego od punktu e o X\. Czas, w jakim ta fala wtórna osiągnie punkt c, jest równy ilorazowi odległości między obydwoma punktami i prędko­ ści fali, czyli ’k \ / v \ . W tym samym czasie fala wtórna powstająca w punkcie h dociera do punktu g w ośrodku 2 (szkle), pokonując ze zmniejszoną prędko­ ścią V2 (patrz założenie wyżej) mniejszą odległość k 2. Wobec tego czas ten musi być również równy X2/ v 2- Równość tych obu czasów prowadzi do zależności, która pokazuje, że długości fali światła w dwóch ośrodkach są proporcjonalne do prędkości światła w tych ośrodkach:

.c) Rys. 36.2. Zastosowanie zasady Huygensa do załamania fali płaskiej na po­ wierzchni granicznej powietrze-szkło. Długość fali w szkle jest mniejsza niż w powietrzu. Dla przejrzystości nie po­ kazano fali odbitej od powierzchni gra­ nicznej. Rysunki (a)-(c) obrazują trzy kolejne etapy załamania

76

36. Interferencja

r1 = - • (36.1) A-2 V2 Zgodnie z zasadą Huygensa czoło fali załamanej musi być styczne w punkcie g do łuku o promieniu krzywizny X2, którego środek krzywizny znajduje się w punkcie h. Jednocześnie musi być ono styczne w punkcie c do łuku o promieniu krzywizny Aj i środku krzywizny w punkcie e. Dlatego czoło fali załamanej będzie miało taką orientację, jak pokazano to na rysunkach 36.2b i c. Zwróćmy uwagę na to, że kąt 62 między czołem fali załamanej i powierzchnią graniczną jest równy kątowi załamania. Z trójkątów prostokątnych lice i hcg na rysunku 36.2b otrzymujemy Sin 6 \

Aj

— —

hc

(z trójkąta h ce)

oraz X-2 hc

sin 0 2 = —

(z trójkąta hcg).

Dzieląc pierwsze z tych równań przez otrzymamy sin 0i — TT = sin 02

drugie i korzystając z równania (36.1), A.1 i>i — = —. A2 V2

(36.2)

Możemy zdefiniować współczynnik załamania światła n dla każdego ośrodka jako stosunek prędkości światła c w próżni do prędkości światła v w tym ośrodku. Zatem mamy c n = — v

(współczynnik załamania światła).

(36.3)

W szczególności, dla dwóch rozważanych przez nas ośrodków, mamy C '

c

ni = —

i

772 — — •

(36.4)

V2

Vi

Łącząc równania (36.2) i (36.4), otrzymujemy sin 0i

c /n \

«2

sin 02

c/«2

«i’

czyli ni sin 0i =

«2

sin02

,£>

^

(36.5) .

(prawo załamania).

(36.6)

Jest to prawo Snella wprowadzone w rozdziale 34.

✓s p r a w d z ia n 1

Na rysunku pokazano wiązkę światła monochromatycznego przechodzą­ cego kolejno przez równoległe powierzchnie gra­ niczne, zaczynając od ośrodka a, przez ośrodki b i c i kończąc w ośrodku a. Uszereguj te ośrodki w kolejności wzrastającej prędkości, z jaką rozcho­ dzi się w nich światło.

Długość fali a współczynnik załam ania światła Przekonaliśmy się, że długość fali świetlnej zmienia się wtedy, gdy zmienia się prędkość światła, tak jak wtedy, kiedy światło przekracza powierzchnię rozgra­ niczającą dwa różne ośrodki. Z drugiej zaś strony wiemy, że prędkość światła w każdym ośrodku zależy od współczynnika załamania światła tego ośrodka zgodnie z równaniem (36.3). Siłą rzeczy zatem długość fali świetlnej w każdym ośrodku zależy od współczynnika załamania światła dla tego ośrodka. Przyj­ mijmy, że pewne światło monochromatyczne ma w próżni długość fali X i pręd­ kość c, a w ośrodku o współczynniku załamania światła n jego długość fali wynosi Xn, a prędkość v. Możemy wtedy przepisać równanie (36.1) w postaci Xn = X ~ . c

(36.7)

3 6 .2 . Światło jako fa la

77

Korzystając z równania (36.3), za v / c podstawiamy l / n i otrzymujemy Xn = ~ . n

.

(36.8)

To równanie wiąże długość fali światła w dowolnym ośrodku z jego długością fali w próżni. Wynika z niego, że im większy jest współczynnik załamania światła ośrodka, tym mniejsza jest długość fali rozchodzącego się w nim światła. A jak jest z częstością światła? Niech vn oznacza częstość światła w ośrodku o współczynniku załamania światła n. Zgodnie z ogólną zależnością opisywaną równaniem (17.12) (v — Xv) możemy zapisać v v„ = — . An

Po podstawieniu równań (36.3) i (36.8) otrzymujemy c /n Vn~ Y / n

;W ;

Rys. 36.3. Dwa promienie świetlne przechodzące przez dwa ośrodki o róż­ nych współczynnikach załamania światła

c ~

X ~ V’

gdzie v jest częstością światła w próżni. Stąd wynika, że chociaż prędkość i dłu­ gość fali świetlnej w ośrodku materialnym są różne od prędkości i długości tej fali w próżni, to jej częstość w ośrodku je st taka sama, ja k w próżni. Fakt, że długość fali świetlnej zależy od współczynnika załamania światła, tak jak to określa równanie (36.8), jest ważny w pewnych sytuacjach, w których dochodzi do interferencji światła. Przykładem tego jest sytuacja zilustrowana na rysunku 36.3. Dwa promienie (reprezentujące tutaj dwie fale) świetlne o takiej samej długości fali X i początkowo o takiej samej fazie w powietrzu (n « 1) wnikają do dwóch różnych ośrodków; jeden rozchodzi się w ośrodku 1 o współ­ czynniku załamania światła n i i przebywa w nim odległość L, drugi rozchodzi się w ośrodku 2 o współczynniku załamania światła n 2 i przebywa w nim taką samą odległość. Kiedy obie fale opuszczą te ośrodki i wyjdą do powietrza, będą miały taką samą długość X. Jednak ich długości różniły się w obu ośrodkach, dlatego też nie będą one już w zgodnej fazie. Różnica faz między dwiema falami świetlnymi może ulegać zmianie wtedy, kiedy fale te rozchodzą się w różnych ośrodkach, których współczynniki załamania światła są różne.

Wkrótce przekonamy się, że taka zrńiana różnicy faz może być odpowie­ dzialna za to, jak fale świetlne osiągające określony punkt ośrodka będą ze sobą interferowały. Żeby znaleźć związek tej nowej różnicy faz (wynikającej z przejścia fal przez różne ośrodki) z długością fali, musimy najpierw obliczyć liczbę długości fali /Vj mieszczących się na odcinku L w ośrodku 1. Zgodnie z równaniem (36.8) długość fali w ośrodku 1 określona jest wzorem /.„i = X / n \ , wobec tego L Ln i N1 = — = — ±.

(36.9)

Podobnie możemy obliczyć liczbę długości fali N 2 mieszczących się na odcinku L ośrodka 2, w którym długość fali jest równa ).„2 = X /n 2: L Lni N2 = — = — ^ . An2 ^ 78

36. Interferencja

(36.10)

W celu wyznaczenia różnicy faz między dwiema falami odejmujemy wielkość mniejszą od większej, co przy założeniu, że « 2 > n i , prowadzi do równania N2 - N i

=

Ln? Ln 1 L — ---------— = - ( « 2 - « i ) . A

A

(3 6 .1 1 )

A

Przypuśćmy, że równanie (36.11) pokazuje nam, iż różnica faz dwóch fal odpo­ wiada obecnie 45,6 długości fali. Jest to równoważne z operacją przesunięcia obu fal (które początkowo były zgodne w fazie), jedna względem drugiej, o 45,6 dłu­ gości fali. Jednak operacja przesunięcia jednej fali względem drugiej o całkowitą liczbę (taką jak 45) długości fali sprowadza obie fale do zgodności faz, dlatego też liczy się naprawdę tylko część dziesiętna (w tym przypadku 0,6). Różnica faz odpowiadająca 45,6 długości fali sprowadza się zatem do efektywnej różnicy faz odpowiadającej 0,6 długości fali. Różnica faź odpowiadająca 0,5 długości fali oznacza, iż są one dokładnie w przeciwnej fazie. Jeżeli obie fale docierające do tego samego punkty miałyby takie same amplitudy, to ich interferencja byłaby w pełni destruktywna i w punk­ cie ich spotkania zapanowałaby ciemność. Przy różnicy faz odpowiadającej 0 i 1 długości fali ich interferencja byłaby w pełni konstruktywna i ich punkt spotkania by się rozjaśnił. W naszym przykładzie, z różnicą faz odpowiadającą 0,6 długo­ ści fali, mamy sytuację pośrednią, ale bliższą destruktywnej interferencji, i punkt spotkania naszych dwóch fal byłby przyciemniony. Jak pamiętasz, różnicę faz wyrażamy w radianach i stopniach kątowych. Prze­ sunięcie fal o jedną długość fali jest w mierze łukowej równoważne przesunięciu fazy o 2tt rad lub 360°.

Przykład 36.1

w wyniku L

Dwie fale świetlne (reprezentowane na rysunku 36.3 przez dwa promienie) przed wejściem do ośrodków 1 i 2 mają długość fali 550 nm. Są one przy tym zgodne w fazie i mają takie same amplitudy. Przyjmijmy teraz, że ośrodek 1 to po prostu powie­ trze, a ośrodek 2 jest warstwą przezroczystego plastiku o grubości 2,6 (¡im i współczynniku załamania światła 1,6 .

1 a) Ile wynosi różnica faz tych fal po przejściu przez obydwa ośrodki, wyrażona w radianach i w stopniach? Ilu długościom fali to odpowiada? ROZWIĄZANIE:

Pierwsze kluczowe dla odpowiedzi na te pytania jest spostrzeże­ nie, że O*“» różnica faz między dwiema fali świetlnymi może ule­ gać zmianie wtedy, gdy fale te rozchodzą się w różnych ośrodkach optyczych, których współczynniki załamania światła są różne, a przez to różne są ich długości fali. Różnicę faz tych fal mo­ żemy obliczyć, znajdując liczby długości fali, jakie mieszczą się w grubości warstwy każdego z ośrodków i odejmując te liczby od siebie. Przy jednakowej grubości obu ośrodków wynik dany jest równaniem (36.11). W rozważanym przykładzie mamy nastę­ pujące dane’liczbowe: n \ = 1 (powietrze), n 2 = 1,6, L = 2,6 |xm i X = 550 nm. Ich podstawienie do równania (36.11) daje

N 2 - Ni = - ( n 2 - ti\)

A

= 2,84.

(odpowiedź)

A zatem różnica faz tych fal po wyjściu z obu ośrodków odpo­ wiada 2,84 długości fali. Ponieważ 1 długość fali jest równoważna 2 tc rad i 360°, łatwo możesz sprawdzić, że taka różnica faz jest równa: różnica faz = 17,8 rad ss 1020°.

(odpowiedź)

Drugim kluczowym spostrzeżeniem jest to, że O “ » o efektywnej różnicy faz decyduje tylko dziesiętna część dłu gości fa li. Otrzy­ mujemy zatem efektywna różnica faz odpowiada 0,84 długości fali. (odpowiedź) Możesz pokazać, że jest to równoważne 5,3 rad lub ok. 300°. (b) Jeżeli oba promienie będą odchylone od wzajemnej równole­ głości o niewielki kąt, tak aby mogły spotkać się we wspólnym punkcie na odległym ekranie, to jakiego typu obraz interferen­ cyjny będą one wytwarzały w tym punkcie ekranu?

36 .2. Światło jako fa la

79

✓s p r a w d z ia n 2

ROZWIĄZANIE:

Tutaj kluczowe dla odpowiedzi jest O t porównanie efektywnej różnicy faz obu fal z różnicami faz, jakie prowadzą do interferencji konstruktywnej i destruktywnej. W naszym przypadku efektywna różnica faz odpowiadająca 0,84 długości fali mieści się między 0,5 długości fali (interferencja w pełni destruktywna albo ciemność w punkcie spotkania), a 1 długością foli (interferencja w pełni konstruktywna albo najjaśniejszy możliwy obraz w punkcie spo­ tkania) i jest bliższa tej drugiej skrajnej wartości. Oczekujemy zatem, że w wyniku interferencji naszych fal powstanie na ekra­ nie stosunkowo jasny punkt.

Fale świetlne odpowiadające promie­ niom na rysunku 36.3 mają taką samą długość fali oraz am­ plitudę i początkowo są zgodne w fazie, a) Który z dwóch ośrodków ma większy współczynnik załamania światła, jeżeli wiadomo, że w warstwie ośrodka górnego mieści się 7,6 dłu­ gości fali, a w warstwie ośrodka dolnego (o tej samej grubości) mieści się ich 5,5? b) Jeżeli kierunki obu promieni tworzą nie­ wielki kąt, to czy po spotkaniu we wspólnym punkcie na odle­ głym ekranie i po interferencji promieni w tym punkcie zaob­ serwujemy najsilniejsze możliwe rozjaśnienie, czy też będzie to umiarkowane oświetlenie, bądź też obraz będzie stosunkowo ciemny, lub też dojdzie do całkowitego wygaszenia promieni?

36.3. Dyfrakcja

M M

Rys. 36.4. Ugięcie (dyfrakcja) fal roz­ chodzących się po powierzchni wody w zbiorniku. Fale są wytwarzane przez drgającą łopatkę po lewej stronie. Prze­ mieszczając się stopniowo od lewej strony na prawą, wydostają się przez otwór w barierze i rozchodzą się po ca­ łej powierzchni wody poza barierą

80

36. Interferencja

W następnym paragrafie będziemy omawiali doświadczenie, w którym po raz pierwszy wykazano, że światło jest falą. Żeby jednak przygotować się do dys­ kusji tego doświadczenia, musimy wprowadzić pojęcie dyfrakcji fali, a więc zjawiska, któremu w całości poświęcony jest rozdział 37. Jego istota jest nastę­ pująca: Jeżeli fala napotyka na swej drodze przeszkodę, w której znajduje się otwór o rozmiarach zbliżonych do długości fali, to ta część fali, która przecho­ dzi przez otwór, będzie się rozprzestrzeniać — będzie ulegać ugięciu (dyfrakcji) — w całym obszarze poza przeszkodą. Takie rozprzestrzenianie się w obszar poza barierą jest zgodne z rozchodzeniem się elementarnych fal w konstrukcji Huygensa na rysunku 36.1. Dyfrakcji ulegają fale wszystkich rodzajów, a nie tylko fale świetlne; na zdjęciu 36.4 pokazano ugięcie fal rozchodzących się na powierzchni wody w płytkim zbiorniku. Na rysunku 36.5a zilustrowano schematycznie przypadek padającej fali pła­ skiej o długości fali X, która napotyka szczelinę o szerokości a — 6X (o wysokości zorientowanej prostopadle do powierzchni kartki). Fala ugina się i rozprzestrzenia w obszar po drugiej stronie szczeliny. Na rysunkach 36.5b (szczelina o szerokości a = 3X) oraz 36.5c (a = 1,51) zilustrowano główną cechę zjawiska dyfrakcji: im węższa jest szczelina, tym silniejsze jest ugięcie fali. Dyfrakcja stanowi ograniczenie optyki geometrycznej, w której falę elektro­ magnetyczną reprezentujemy jako promień świetlny. Jeśli rzeczywiście próbu­ jemy wytworzyć promień świetlny, przepuszczając światło przez wąską szczelinę albo przez serię wąskich szczelin, to nasze wysiłki zawsze niweczy dyfrakcja, ponieważ zawsze wywołuje ona rozprzestrzenianie się światła w cały obszar poza szczeliną. Im węższa jest szczelina (którą posługujemy się w nadziei uzyskania węższej wiązki światła), tym większy jest obszar ugięcia. Prawa optyki geome­ trycznej są spełniane tylko wtedy, gdy szczeliny albo inne przesłony, które są umieszczane na drodze światła, nie mają rozmiarów porównywalnych lub mniej­ szych od długości fali świetlnej.

fala padająca

fala ugięta

-X

T a Jl

(6A)

ekran a)

c)

b)

36.4. Doświadczenie interferencyjne Younga W 1801 r. Thomas Young wykazał doświadczalnie, że światło jest falą, co było sprzeczne z poglądami większości ówczesnych uczonych. Dowód Younga polegał na wykazaniu, że światło może interferować, tak jak interferują fale wodne, fale dźwiękowe i wszystkie fale innych rodzajów. Ponadto był on w stanie zmierzyć śred­ nią długość fali światła słonecznego; wyznaczona przez niego wartość 570 nm jest imponująco zgodna ze współcześnie akceptowaną wartością 555 nm. Przeanalizu­ jemy następnie doświadczenie Younga jako przykład interferencji fal świetlnych. Schemat doświadczenia Younga zilustrowano na rysunku 36.6. Światło z od­ ległego, monochromatycznego źródła oświetla szczelinę Sq w ekranie A. Światło ulega ugięciu na tej szczelinie i rozprzestrzenia się w obszar poza ekranem A, oświetlając z kolei dwie szczeliny Si i S2 w ekranie B. W wyniku ugięcia świa­ tła na tych dwóch szczelinach, wychodzą z nich nakładaj ącć się na siebie fale koliste, które interferują ze sobą w obszarze za ekranem B. „Zdjęcie migawkowe”, jakim jest rysunek 36.6, ilustruje tę interferencję na­ kładających się fal, ale nie możemy „zobaczyć”, że interferencja istotnie zachodzi, dopóki na drodze światła nie umieścimy ekranu C. Kiedy to zrobimy, wówczas na ekranie zobaczymy szereg jasnych kresek, nazywanych jasnym i prążkami (a często niezbyt ściśle maksimami), które ciągną się przez ekran prostopadle do płaszczyzny rysunku 36.6 i które odpowiadają maksimom interferencji. Ciemne obszary — ciemne prążki, albo niezbyt ściśle minima — są wynikiem w pełni destruktywnej interferencji i są widoczne między sąsiednimi jasnymi prążkami. (Określenia maksima i minima odnoszą się ściśle do środków prążków). Obraz jasnych i ciemnych prążków na ekranie nazywa się obrazem interferencyjnym. Na fotografii 36.7 pokazano część obrazu interferencyjnego oglądanego po prawej stronie rysunku 36.6.

Rys. 36.5. Schematyczne zobrazowa­ nie zjawiska dyfrakcji. Dla danej długo­ ści fali X dyfrakcja jest tym wyraźniej­ sza, im mniejsza jest szerokość a szcze­ liny. Na kolejnych rysunkach szczelina ma szerokość: a) a = 6A, b) a = 3A i c) a = 1.5A.. We wszystkich trzech przypadkach ekran przesłaniający i dłu­ gość szczeliny rozciągają się nad i pod powierzchnią kartki, prostopadle do niej

Położenie prążków interferencyjnych W doświadczeniu interferencyjnym Younga z dwiema szczelinami, bo taką pełną nazwę nosi omówiony przez nas eksperyment, fale świetlne tworzą prążki. Chce­ my się jednak dowiedzieć, co określa ściśle położenie tych prążków. W tym

36 .4. Doświadczenie interferencyjne Younga

81

Rys. 36.6. W doświadczeniu interferencyjnym Younga padające światło monochromatyczne jest uginane na szczelinie S0, która działa następnie jak punktowe źródło wysyłające pół­ koliste czoła fali. Światło docierające do ekranu B jest uginane na dwóch szczelinach Si i S2, które działają jak punktowe źródła światła. Fale świetlne rozchodzące się ze szczelin Si i S2 nakładają się i interferują ze sobą, tworząc na ekranie obserwacyjnym C obraz interferencyjny złożony z minimów i maksimów. Ta ilustracja to przekrój przez ekrany, szczeliny i obraz interferencyjny (które ciągną się nad i pod powierzchnię kartki). W ob­ szarze pomiędzy ekranami B i C półkoliste czoła fali współśrodkowe ze szczeliną Si (lub S2) obrazują fale, które rozchodziłyby się w tym obszarze wtedy, gdyby któraś z dwóch szczelin (odpowiednio S2 lub Si) była przesłonięta

Rys. 36 .7. Fotografia obrazu interferen­ cyjnego wytwarzanego w układzie do­ świadczalnym pokazanym na rysunku 36.6 (widok z przodu części ekranu C). Naprzemiennie występujące maksima i minima nazywane są p rą żk a m i in terfe­ rencyjn ym i (z powodu ich podobieństwa do prążków dekoracyjnych na odzieży czy dywanach)

celu skorzystamy z układu na rysunku 36.8a, na którym płaska fala światła mo­ nochromatycznego pada na dwie szczeliny Si i 52 w ekranie B. Światło ugina się na szczelinach i na ekranie C powstaje obraz interferencyjny. Przez punkt le­ żący w połowie odległości między szczelinami na ekranie B prowadzimy prostą prostopadłą do powierzchni ekranu C, która służyć nam będzie jako oś odnie­ sienia. Wybieramy dowolny punkt P na ekranie, którego położenie wyznacza kąt 6. Do tego punktu dociera fala reprezentowana przez promień r\ wychodzący z górnej szczeliny i fala reprezentowana przez promień r 2 wychodzący z dolnej szczeliny. W chwili przechodzenia przez szczeliny obie fale świetlne mają taką samą fazę, gdyż są one częściami tej samej fali padającej. Ale po przejściu przez szczeliny muszą przebyć różne odległości, aby osiągnąć punkt P. Z taką samą sytuacją spotkaliśmy się już w przypadku rozważanych w paragrafie 18.4 fal dźwiękowych i wówczas doszliśmy do wniosku, że:

Różnica faz między dwiema falami może się zmieniać wtedy, gdy fale przebywają drogi o różnej długości.

82

36. Interferencja

Rys. 36 .8. a) Fale ze szczelin Si i S2 nakładają się na siebie na ekranie C w punkcie P odległym o y od osi układu. Kąt 9 może służyć jako wy­ godny wskaźnik położenia punktu P . b) Dla D > > d , promienie świetlne ri i r2 możemy traktować z dobrym przybliżeniem jak promienie równole­ głe, tworzące z osią kąt 0

b)

Zmiana różnicy faz jest spowodowana różnicą dróg A L przebytych przez fale. Rozważmy dwie fale, które początkowo mają identyczne fazy i które po przeby­ ciu dróg różniących się o AL docierają do pewnego wspólnego punktu. Jeżeli różnica przebytych przez nie dróg jest równa zeru lub jest całkowitą wielokrot­ nością ich długości fali, to w punkcie spotkania mają one dokładnie taką samą fazę i ich interferencja w tym punkcie jest w pełni konstruktywna. Jeżeli dla fal o promieniach r\ i r2 sytuacja taka zdarza się akurat w punkcie P (rys. 36.8), to punkt P jest częścią jasnego prążka. Kiedy jednak AL jest nieparzystą wielo­ krotnością połowy długości fali, to fale docierają do wspólnego punktu z dokład­ nie przeciwnymi fazami i ich interferencja jest wówczas w pełni destruktywna. v W takim przypadku punkt P jest częścią ciemnego prążka. (Oczywiście między tymi dwoma skrajnymi przypadkami interferencji możliwe są również sytuacje pośrednie i oświetlenie w punkcie P może być również pośrednie). A zatem ) Oświetlenie ^w każdym punkcie ekranu w doświadczeniu interferencyjnym Younga z dwiema szczelinami jest określone przez różnicę dróg AL, jakie przebywają promienie świetlne docierające do tego punktu.

Położenie każdego jasnego i ciemnego prążka możemy określić, przyporząd­ kowując im kąty 9 względem osi układu. Kąty 9 wyznaczymy, wiążąc je z A L . Postępujemy przy tym następująco: na rysunku 36.8 znajdujemy punkt b wzdłuż promienia r\ taki, że długość drogi od b do P jest taka sama jak odległość mię­ dzy S 2 i P. Wtedy różnicą dróg AL obu promieni jest równa odległości między Si i b. Związek odległości między S \ i b z kątem 6 jest skomplikowany, ale możemy go znacznie uprościć, jeżeli przyjmiemy, że odległość D od szczelin do ekranu C jest dużo większa od odległości między szczelinami d. Wówczas możemy w przybliżeniu traktować promienie r\ i r2 jak promienie wzajemnie równoległe i tworzące kąt 9 z osią (rys. 36.8b). Możemy również w przybliżeniu potraktować

3 6 .4. Doświadczenie interferencyjne Younga

83

trójkąt o wierzchołkach Si, S2 i b jak trójkąt prostokątny i przyjąć, że kąt przy wierzchołku S2 jest równy kątowi 9. Przy takich założeniach sin# = A L / d i wobec tego AL = 6? sin 0

(różnica dróg).

(36.12)

Wiemy już, że dla jasnego prążka AL musi być równe zeru lub całkowitej wie­ lokrotności długości fali. Korzystając z równania (36.12), możemy ten warunek zapisać w postaci AL = d sin(9 = (liczba całkowita)(A)

(36.13)

lub jako d sin# = mk ,

m = 0, 1, 2, . . .

(maksima — jasne prążki).

(36.14)

Dla ciemnych prążków AL musi być nieparzystą wielokrotnością połowy dłu­ gości fali. Korzystając raz jeszcze z równania (36.12), zapisujemy ten warunek w postaci A L =' d sin# = (liczba nieparzysta)(^ k) (36.15) lub też jako d sin# = (m + ^)k,

m — 0, 1, 2, . . .

(minima — ciemne prążki). (36.16)

Za pomocą równań (36.14) i (36,16) możemy znaleźć kąt 9 dla dowolnego prążka, a tym samym określić jego położenie; możemy przy tym wykorzystać wartości m do ponumerowania prążków. Z równania (36.14) wynika, że dla m = 0 jasny prążek znajduje się pod kątem 6 = 0, a więc na osi. To centralne maksimum znajduje się w punkcie, w którym różnica dróg fal przychodzących z obu szczelin jest równa AL = 0, a więc i różnica ich faz jest równa zeru. Na przykład dla m = 2, z równania (36.14) wynika, że jasne prążki znajdują się pod kątem 0 — arcsin

powyżej i poniżej osi. Różnica dróg obu fal w miejscu położenia prążków jest równa AL = 2k, a zatem różnica faz odpowiada dwóm długościom fali. Te prążki noszą nazwę prążków drugiego rzędu (bo m = 2) albo maksimów bocznych drugiego rzędu.

Weźmy inny przykład. Zgodnie z równaniem (36.16) ciemne prążki dla m = 1 znajdują się pod kątem 9 = arcsin

i'^ 5 k

----V d

powyżej i poniżej osi. Różnica dróg obu fal w miejscu położenia prążków jest równa AL = 1,5A, a zatem różnica faz odpowiada 1,5 długości fali. Prążki te nazywa się drugimi ciemnymi prążkami, albo minimami bocznymi drugiego rzędu, gdyż są to drugie ciemne prążki, licząc od osi. (Pierwsze ciemne prążki znajdują się w położeniach, w których w równaniu (36.16) m = 0). Równania (36.14) i (36.16) wyprowadziliśmy przy założeniu, że D d. Ale można je stosować także wtedy, gdy między szczelinami i ekranem umieścimy soczewkę skupiającą, a ekran przesuniemy bliżej soczewki na odległość odpo­ wiadając^ jej ogniskowej. (Mówimy wtedy, że ekran znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej soczewki, tzn. w płaszczyźnie prostopadłej do osi w ognisku). Jedną z właściwości soczewki skupiającej jest to, że skupia (ogniskuje) ona wszyst­ kie wzajemnie równoległe promienie w tym samym punkcie swojej płaszczyzny ogniskowej. Zatem promienie, które teraz docierają do dowolnego punktu poło­ żonego na ekranie (w płaszczyźnie ogniskowej soczewki), były ściśle (a nie tylko w przybliżeniu) równoległe, kiedy opuszczały szczeliny. Są one takie same jak początkowo równoległe promienie na rysunku 35.12a, które soczewka kieruje do jednego punktu (ogniska).

"s p ra w d z ia n 3:

Ile wynoszą różnice dróg AL (podane w wielokrotnościach długości fali) oraz ilu długościom fali odpowiada różnica faz dla dwóch promieni w punkcie P wtedy, gdy w tym punkcie znajduje się a) trzecie boczne maksimum i b) trzecie minimum obrazu interferencyjnego na rysunku 36.8a ?

I

Przykład 3 6 .2 Ile wynosi odległość na ekranie C (rys. 36.8a) między sąsiednimi maksimami w pobliżu środka obrazu interferencyjnego? Długość fali światła jest 546 nm, odległość między szczelinami d = 0,12 mm, a odległość od szczelin do ekranu D = 55 cm. Przyjmij, że kąt 9 na rysunku 36.8 jest wystarczająco mały na to, aby można było zastosować przybliżenie sin 6 & tg 9 & 6 (dla 9 wyrażanego w radianach).

Jeśli porównamy wartości 9 z tych dwóch równań, to otrzymamy

ym

mXD —

(36.17)

.

d

Dla następnego maksimum będziemy mieli

ym+i =

(m + l)X D

j

(36.18)

■

ROZWIĄZANIE:

Wybierzmy najpierw maksimum dla małej wartości m , co za­ pewni, że będzie to maksimum z centralnego obszaru obrazu in­ terferencyjnego. O “ » Kluczem jest tutaj geometria rysunku 36.8, z której wynika, iż odległość pionowa y m danego maksimum od maksimum centralnego wiąże się z kątem, pod jakim znajduje się to maksimum względem osi, zależnością

Odejmując stronami równanie (36.17) od równania (36.18), otrzy­ mujemy poszukiwaną odległość między sąsiednimi maksimami:

—ym+1

ym —

XD

(546 ■10“9 m)(55 • 10~2 m) 0,12 • 10“ 3 m

tg9 ^ 9 = — . • D

Kolejny O—t to spostrzeżenie, że kąt 9 dla m-tego maksimum jest dany równaniem (36.8) jako sin 0

mX

= 2,50 -10

m = 2,5 mm.

(odpowiedź)

Gdy wielkości d oraz 9 są małe, odległość między prążkami interferencyjnymi jest niezależna od m — prążki interferencyjne są równoodległe od siebie.

3 6 .4. Doświadczenie interferencyjne Younga

85

36.5. Spójność Warunkiem na to, żeby na ekranie C na rysunku 36.6 pojawiał się obraz interfe­ rencyjny, jest stała w czasie różnica faz fal świetlnych docierających do każdego punktu P na ekranie. Warunek ten jest spełniany dla fal na rysunku 36.6, po­ nieważ fale wychodzące ze szczelin Si i S2 są częściami jednej fali świetlnej, która oświetla obie szczeliny. Różnica faz pozostaje stała w czasie, dlatego też 0 świetle opuszczającym szczeliny Si i Sy mówimy, że jest całkowicie spójne. Światło słoneczne jest światłem częściowo spójnym, tzn. fale świetlne w dwóch punktach obserwacji będą miały stałą różnicę faz tylko wtedy, gdy punkty te są bardzo blisko siebie. Jeżeli na przykład przyjrzysz się z bliska swoim paznokciom w silnym świetle słonecznym, to możesz zobaczyć niewyraźny ob­ raz interferencyjny nazywany obrazem cętkowym, który sprawia, że paznokcie wydają się pokryte cętkami. Taki obraz powstaje dlatego, że fale świetlne roz­ praszane przez bardzo blisko siebie leżące punkty na powierzchni paznokcia są wystarczająco spójne na to, by mogły interferować ze sobą w twoim oku. Ale w doświadczeniu z dwiema szczelinami odległość między szczelinami nie jest wystarczająco mała i przy bezpośrednim oświetleniu przez światło słoneczne, światło wychodzące ze szczelin jest światłem niespójnym. Żeby uczynić je spój­ nym, musielibyśmy przepuścić je najpierw przez pojedynczą szczelinę, tak jak na rysunku 36.6; ponieważ pojedyncza szczelina jest wąska, wobec tego prze­ chodzące przez nią światło jest spójne. A dodatkowo, kiedy szczelina jest wąska, wówczas spójne światło ulega na niej ugięciu i oświetla obie szczeliny. Jeżeli układ dwóch szczelin zastąpimy dwoma podobnymi źródłami światła monochromatycznego, na przykład dwoma bardzo cienkimi drucikami żarowymi, to różnica faz fal świetlnych emitowanych przez te źródła zmienia się szybko 1 przypadkowo. (Dzieje się tak dlatego, że światło w drucikach żarowych jest emitowane przez ogromną liczbę atomów, które działają przypadkowo i niezależ­ nie w skrajnie krótkich czasach — rzędu nanosekund). W rezultacie w każdym dowolnie wybranym punkcie ekranu interferencja zmienia swój charakter szybko i przypadkowo, od całkowicie konstruktywnej do całkowicie destruktywnej. Oko ludzkie (i większość zwykłych detektorów optycznych) nie jest w stanie nadążyć za takimi zmianami i nie widzi żadnego obrazu interferencyjnego. Prążki znikają i ekran jest oświetlony równomiernie. Laser różni się tym od konwencjonalnych źródeł światła, że jego atomy emi­ tują światło w sposób skoordynowany, co sprawia, że światło lasera jest światłem spójnym. Ponadto światło lasera jest prawje monochromatyczne, jest emitowane w postaci wąskiej wiązki o znikomej rozbieżności i może być ogniskowane na obszarze o rozmiarach nieomal porównywalnych z długością fali świetlnej.

36.6. Natężenie światła w obrazie interferencyjnym Równania (34.14) i (34.16) umożliwiają nam określenie położenia maksimów i mi­ nimów (jako funkcję kąta 0) w obrazie interferencyjnym wytwarzanym przez dwie szczeliny (na ekranie C na rys. 36.8). Teraz chcemy wyprowadzić odpowiednie

86

36. Interferencja

wyrażenie, które będzie opisywać natężenie I światła jako funkcję położenia iprążków (kąta 9). Światło opuszczające szczeliny ma zgodne fazy. Przyjmijmy jednak, że fale świetlne z dwóch szczelin, docierając do punktu P , nie mają zgodnych faz, a skła­ dowe pola elektrycznego zmieniają się w czasie jak E\ = E q sincuf

(36.19)

Z?2 = E 0 sin(&>i + 4>),

(36.20)

oraz "

gdzie ¿w jest częstością kołową fal, a 0 jest fazą początkową fali E 2. Zauważ, że obie fale mają taką samą amplitudę E q i że różnica ich faz jest równa . Różnica faz nie zmienia się, dlatego też fale są spójne. Pokażemy, że te dwie fale, nakładając się na siebie w punkcie P, tę d ą dawały natężenie I równe I = 4 I0 cos2 ¡¡4>

(36.21)


(36.22)

oraz że

A

W równaniu (36.21) / 0 jest natężeniem światła, jakie na ekranie wytwarza fala z jednej szczeliny, wtedy gdy druga szczelina jest chwilowo zakryta. Zakładamy, Że szczeliny są tak wąskie w porównaniu z długością fali światła, że natęże­ nie światła z jednej szczeliny jest całkowicie równomierne w obszarze ekranu, w którym chcemy badać prążki interferencyjne. Równania (36.21) i (36.22), które razem informują nas o tym, jak zmienia się wraz z kątem 9 natężenie I w obrazie prążków na rysunku 36.8, zawierają oczywiście informację o położeniu maksimów i minimów. Spróbujmy odzyskać z nich tę informację. Z równania (36.21) wynika, że maksima natężenia w obrazie prążków będą występować wtedy, gdy ^(p = m n ,

m — 0,1,2,...

(36.23)

Jeżeli ten wynik podstawimy do równania (36.22), to otrzymamy 2tt d 2mjt = ----- sin0, 'k

m = 0, 1, 2 , . . . ,

czyli d sin(9 = m k ,

m = 0 , 1,2,...

(maksima),

(36.24)

to znaczy dokładnie równanie (36.14) określające położenie maksimów, które już wcześniej wyprowadziliśmy. Minima w obrazie prążków występują wtedy, gdy i = (m + |)7t,

m — 0, 1, 2, ...

36 .6. N atężenie św iatła w obrazie interferencyjnym

87

Jeśli połączymy tę zależność z równaniem (36.22), to natychmiast dochodzimy do równania d sin 6* = (m + ^)X, m = 0,1,2,... (minima), (36.25) czyli do wcześniej już wyprowadzonego przez nas równania (36.16) opisującego położenie minimów w obrazie interferencyjnym. Wykres zależności (36.21) przedstawiono na rysunku 36.9, który ilustruję, jak zmienia się natężenie światła w obrazie interferencyjnym z dwóch szczelin w zależności od różnicy faz fal spotykających się na ekranie. Pozioma linia ciągła odpowiada natężeniu /o, czyli (równomiernemu) natężeniu światła na ekranie, które pochodzi z jednej szczeliny wtedy, gdy druga szczelina jest przesłonięta. Zauważ, że w równaniu (36.21) i na wykresie natężenie I zmienia się od zera) w minimach do 4/q w maksimach obrazu interferencyjnego. natężenie na ekranie

4 /0 (dwa spójne źródła) 2 10 (dwa niespójne

źródła) I0 (jedno

źródło) 5te

471

3it

2 2

71

1 1

2 2,5

2n

1,5

0

0,5

2n

0 0

3tc

0,5

471

1 1

5n

2

1

0 • 0

1

TC

1,5

2

2

2.5

f m (maksima) m (minima)

AL/A

Rys. 36.9. Wykres zależności (36.21), pokazujący natężenie w obrazie interferencyjnym

z dwóch szczelin jako funkcję różnicy faz między falami biegnącymi z obu szczelin. Iq jest (równomiernym) natężeniem, jakie byłoby obserwowane na ekranie wtedy, gdyby jedna ze szczelin została zasłonięta. Średnie natężenie obrazu prążków interferencyjnych jest 2 /o, a n atężen ie m aksym aln e (dla światła spójnego) jest 4/q

Gdyby fale z dwóch źródeł (szczelin) były niespójne, tak że różnica faz między nimi nie byłaby stała, to nie powstawałby obraz interferencyjny i natężenię we wszystkich punktach na ekranie miałoby jednakową wartość 2I q (zaznaczoną na rysunku 36.9 linią przerywaną). Zjawisko interferencji nie tworzy ani też nie niszczy energii, a jedynie zmie­ nia jej rozkład na ekranie. Tym samym niezależnie od tego, czy do ekranu dociera światło ze spójnych źródeł, czy też nie, średnie natężenie musi być zawsze takie samo: 2 10. Wynika to również z równania (36.21), jeżeli bowiem podstawimy w nim średnią wartość kwadratu funkcji cosinus, tzn. 1/2, to redukuje się ono do równania I& = 2 I q.

W yprowadzenie równań (36.21) i (36.22) Złożymy składowe pola elektrycznego E\ i E%, opisane równaniami (36.19) i (36.20), korzystając z metody wskazów, omówionej w paragrafie 47.10. Na rysunku 36.10a fale o składowych E \ i £ 2 są przedstawione w postaci wska­ zów (nazywanych również fazorami lub wektorami amplitudy) o długośfci E q,

obracających się wokół środka układu współrzędnych z prędkością kołową co. Wartości chwilowe E \ i E j dane są przez rzuty odpowiednich wskazów na oś pionową układu współrzędnych. Na rysunku 36.10a pokazano wskazy i ich rzuty w pewnej, dowolnie wybranej chwili t. Zgodnie z równaniami (36.19) i (36.20) kąt, jaki tworzy wskaż E i z osią poziomą wynosi cot. a wskaż E 2 — (cot + (p). Żeby złożyć składowe pola elektrycznego E\ i Ej w dowolnym punkcie P na rysunku 36.8, dodajemy ich wskazy wektorowo, tak jak to pokazano na rysunku 36.1 Ob. Wartość (bezwzględna) sumy wektorowej jest amplitudą E fali wypadkowej w punkcie P i fala ta ma pewną fazę początkową fi. Wyznaczając amplitudę E na rysunku 36.10b, zauważmy najpierw, że dwa kąty oznaczone jako ¡3 są sobie równe jako kąty leżące naprzeciw jednakowych boków trójkąta równoramiennego. Z twierdzenia, że kąt zewnętrzny w trójkącie (kąt 4> na rYs36.1 Ob) jest równy sumie przeciwległych kątów wewnętrznych trójkąta (tutaj /} + P), wynika, że fi = 4>/2. Mamy zatem E — 2(E 0 cos fi) = 2 £ o cos(0/2). .

(36.26)

Po podniesieniu obu stron tej zależności do kwadratu otrzymujemy E 2 = 4 E q c o s 2(0 / 2 ).

b)

(36 .27)

Z równania (34.24) wiemy, że natężenie fali elektromagnetycznej jest proporcjo­ nalne do kwadratu jej amplitudy. Zatem każda z fal, które składamy na rysunku 36.10b, o amplitudzie E 0, ma natężenie I q proporcjonalne do E q, a fala wypad­ kowa o amplitucjzie E ma natężenie I proporcjonalne do E 2. Wobec tego / _ El /o

Rys. 36 .10. a) Wskazy reprezentują W chwili t składowe pola elektrycz­ nego opisywane równaniami (36.19) i (36.20). Oba wskazy mają długość E 0 i obracają się z prędkością kątową co. Ich różnica faz jest równa cj>. b) Suma wektorowa dwóch wskazów daje wskaż reprezentujący falę wypadkową o ampli­ tudzie E i fazie początkowej fi

E2'

Wstawiając E 2 z równania (36.27), otrzymujemy / = 4 / o cos2(0/2), czyli równanie (36.21), które mieliśmy wyprowadzić. Pozostało nam jeszcze do wyprowadzenia równanie (36.22), które wiąże różnicę faz
(36.28)

Różnica dróg S\b na rysunku 36.8b wynosi d sin 0 i wobec tego równanie (36.28) przybiera postać \ Ind, ó = ----- sin0, X ' a to jest równanie (36.22), które mieliśmy wyprowadzić.

36.6. Natężenie św iatła w obrazie interferencyjnym

89

Składanie większej liczby fal Czasami możemy mieć do czynienia z sytuacją, w której trzeba będzie doko­ nać złożenia w danym punkcie więcej niż dwóch fal sinusoidalnych. W takim przypadku postępujemy następująco: 1.

Każdej ż fal nakładających się na siebie w danym punkcie przyporządkowu­ jemy odpowiedni wskaż. Konstruujemy diagram (koniec jednego wskazu jest początkiem drugiego itd.), zachowując przy tym odpowiednie retacje fazowe między kolejnymi wskazami.

2.

Sumujemy wektorowo wszystkie wskazy. Długość wektora wypadkowego jest amplitudą wypadkowego wskazu. Kąt między wypadkowym wektorem sumy i pierwszym wskazem jest fazą wypadkowego wskazu, którego rzut na oś pionową układu współrzędnych określa czasową zmienność fali wypadkowej.

Przykład 3 6 .3

Możemy wykonać ten rachunek na składowych trzech wskazów. Zaczniemy od sumy ich składowych poziomych, która jest równa

Trzy fale, o składowych pola elektrycznego

Y. £ poz =

E 0 cos

0 + E q cos 60° + Eo cos(—30°) = 2 ,3 1 E 0.

E x = E 0 sino>f, E 2 = E q sin(ft)f + 60°), E 3 = E q sin(o
nakładają się na siebie w pewnym punkcie. Znajdź ich wypadkową E ( t) w tym punkcie.

Suma ich składowych pionowych, której odpowiada wartość E w chwili t = 0, jest równa

Y. Epion = E 0 sinO + Eo sin 60° + Eo sin(—30°) = 0,366E oFala wypadkowa E ( t) ma zatem amplitudę E wyp E Wyp = v'(2,37 £ 0)2 + (0,366Eo)2 = 2,4 E 0

ROZWIĄZANIE:

oraz fazę f) względem wskazu reprezentującego E i, który wynosi Fala wypadkowa to /0,366£
:

■

90

36. Interferencja

)

= M '

E = £ wyp sin (ort + fi) = 2,4£o sin(
8, 8°).

(odpowiedź)

szczególną uwagę na prawidłową interpretację kąta @ na rysunku 36.11: Jest to stały kąt między E wyp i wskazem E it który nie zmienia się podczas obrotu układu czterech wskazów jako całości wokół środka układu współrzędnych. Kąt między i?wyp i osią poziomą układu współrzędnych na rysunku 36.11 (równy fi w chwili t = 0) zmienia się w trakcie tego obrotu.

Ts n t ó ć

✓ s p r a w d z i a n 4:

Rys. 3 6 .1 1 . Przykład 36.3. Trzy wskazy reprezentujące fale o jed­ nakowych amplitudach Eq i fazach początkowych 0°, 60° i —30° (w chwili t = 0). W wyniku dodawania wskazów otrzymuje się wypadkowy wskaż o amplitudzie E wyp i kącie fi

^

Możemy teraz zapisać falę wypadkową E {t):

Każda z czterech par fal świetlnych do­ ciera do pewnego punktu na ekranie. Fale mają taką samą dłu­ gość. W punkcie spotkania na ekranie ich amplitudy i róż­ nice faz są następujące: a) 2 E a, 6 Eo i Jt rad; b) 3 E 0, 5 E 0 i jt rad; c) 9 E q, 1 E 0 i 3n rad; d) 2 Eo, 2 E 0 i 0 rad. Uszereguj te pary w kolejności malejącego natężenia światła w rozważa­ nym punkcie. (W sk a zó w k a : Sporządź diagram wskazów).

36.7. Interferencja w cienkich warstwach BarWy’ jakie widzimy wtedy, gdy światło słoneczne oświetla bańki mydlane czy cienkie warstewki rozlanego oleju, są wynikiem interferencji fal świetlnych od­ bijanych od1przednich (górnych) i tylnych (dolnych) powierzchni tych cienkich przezroczystych warstw (błonek). Grubość błonki bańki mydlanej czy warstewki oleju jest porównywalna z długością fali światła (widzialnego). (Przy większych grubościach warstw zostaje zniszczona spójność światła konieczna do wytworze­ nia obrazu barwnego). Na rysunku 36.12 pokazano cienką przezroczystą warstwę o grubości L i współczynniku załamania światła n2, jasno oświetloną światłem o długości fali X z odległego punktowego źródła światła. Załóżmy na początek, że warstwę tę z obu stron otacza powietrze, tzn. że ni = « 3 . Dla uproszczenia założymy również, że promienie świetlne padające na warstwę są do niej prawie prosto­ padłe (6 » 0). Interćsuje nas to, czy dla obserwatora oglądającego tę warstwę z kierunku prawie prostopadłego do jej powierzchni jest ona jasna, czy ciemna. (Jak mogłaby ona być ciemna, skoro jest jasno oświetlona? Cierpliwości, zaraz się o tym przekonasz). Światło padające, reprezentowane przez promień p, pada na warstwę w punk­ cie a i ulega tam zarówno odbiciu, jak i załamaniu. Promień odbity r\ trafia do oka obserwatora. Promień, który uległ załamaniu dociera przez warstwę do jej tylnej powierzchni w punkcie b i tam ulega zarówno odbiciu, jak i załamaniu. Światło odbite w punkcie b wraca przez warstwę do jej przedniej powierzchni, osiągając ją w punkcie c i w punkcie tym doznaje zarówno odbicia, jak i zała­ mania. Światło załamane w punkcie c, reprezentowane przez promień r2, dociera do oka obserwatora. Jeżeli^ fale świetlne reprezentowane przez promienie r\ i r2 mają w oku dokładnie zgodne fazy, to wytwarzają one maksimum interferencyjne i obszar ac na powierzchni warstwy jest dla obserwatora jasny. Jeżeli jednak ich fazy są dokładnie przeciwne, to wytwarzają one minimum interferencyjne i obszar ac jest dla obserwatora ciemny, mimo że je st on jasno oświetlony. Jeżeli różnica faz obu fal ma wartość pośrednią, to i jasność obszaru ac jest pośrednia. ł Tak więc kluczem do tego, co widzi obserwator, jest różnica faz fal repre­ zentowanych przez promienie r\ i r2. Oba promienie wywodzą się z tego samego promienia p , ale na drogę, jaką musiał przebyć promień r2, zanim dotarł do oka obserwatora, składa się dwukrotne przejście przez warstwę (z a do b i z b do c), podczks gdy promień r 1 docierający do oka obserwatora w ogóle nie wnikał do

Rys. 36 .12 Fala świetlna reprezentowana przez promień p pada na cienką warstwę o gru­ bości L i współczynniku załamania światła n 2. Promienie n i r2 reprezentują fale świetlne, które zostały odbite odpowiednio od przedniej i od tylnej powierzchni warstwy. (Wszystkie trzy promienie sąTrieomalprostopadłe do powierzchni warstwy). Wynik interferencji fal r\ i r2 zależy od ich różnicy faz. Współczynnik załamania światła n\ dla ośrodka po lewej stronie warstwy może różnić się od współczynnika załamania światła «3 dla ośrodka po pra­ wej stronie warstwy, na razie jednak założymy, że ośrodkiem po obu stronach warstwy jest powietrze, a więc «1 = «3 = 1 i n i < n 2

36.7. Interferencja w cienkich warstw ach

91

warstwy. Kąt 6 jest bliski zera, wobec tego możemy przyjąć, że różnica dróg przebytych przez obie fale jest równa 2L. Jednakże do wyznaczenia różnicy faz między obiema falami nie wystarczy znajomość liczby długości fal X miesz­ czących się w różnicy dróg 2 L. Takie proste podejście jest niemożliwe z dwóchpowodów: 1) różnica dróg powstaje w ośrodku innym niż powietrze i 2) zachodzi zjawisko odbicia, które może zmieniać fazę fali. i Różnica faz między'dwiema falami może się zmieniać, jeżeli jedna lub obie fale ulegają odbiciu. , i

Musimy wobec tego przerwać naszą dyskusję interferencji w cienkich war­ stwach i zapoznać się z zagadnieniem zmian fazy wywoływanych przez odbicie.

Zmiana fazy przy odbiciu Załamanie na powierzchni rozgraniczającej dwa ośrodki nigdy nie powoduje zmiany fazy fali, natomiast odbicie od takiej powierzchni możp spowodować zmianę fazy, zależnie od współczynników załamania światła po obu stronach po­ wierzchni. Na rysunku 36.13 pokazano, jak zmienia się faza impulsu rozchodzą­ cego się w strunach, przy odbiciu na granicy między dwiema strunami, z których jedna jest cięższa i impuls rozchodzi się w niej wolniej, a druga lżejsza i impuls rozchodzi się w niej szybciej. Kiedy impuls rozchodzący się stosunkowo wolno w cięższej strunie na ry­ sunku 36.13a osiąga granicę ze struną lżejszą; wtedy przechodzi on częściowo przez tę granicę, a częściowo jest od niej odbijany bez zmiany swej orientacji. W przypadku światła sytuacja taka odpowiada fali padającej, która rozchodzi się w ośrodku o większym współczynniku załamania światła n (przypomnijmy: większe n oznacza mniejszą prędkość światła). W takim przypadku fala odbita od granicy nie doznaje zmiany fazy, innymi słowy zmiana fazy przy odbiciu jest równa 0. Przed odbiciem

/ \

po odbiciu

b) Rys. 3 6 .1 3 . Gdy impuls odbija się od granicy dwóch naciągniętych strun o róż­ nych gęstościach liniowych, jego faza ulega zmianie. Prędkość fali jest więk­ sza w lżejszej strunie, a) Impuls padający rozchodzi się w cięższej strunie, b) Im­ puls padający rozchodzi się w. lżejszej strunie. Tylko w tym przypadku docho­ dzi do zmiany fazy i tylko w fali odbitej

92

36. Interferencja

Kiedy impuls rozchodzący się szybciej wzdłuż struny lżejszej (rys. 36.13b) osiąga granicę połączenia ze struną cięższą, przechodzi on częściowo przez tę granicę, a częściowo jest od niej odbijany. Tak jak poprzednio, impuls przecho­ dzący do struny cięższej ma taką samą orientację jak impuls padający, nato­ miast impuls odbity ulega tym razem odwróceniu. Dla fali sinusoidalnej takie odwrócenie oznacza zmianę fazy o tt rad, co odpowiada połowie długości fali. W przypadku światła sytuacja taka odpowiada fali padającej, która rozchodzi się w ośrodku o mniejszym współczynniku załamania światła n (przypomnijmy: mniejsze n oznacza większą prędkość światła). W takim przypadku fala odbita na powierzchni granicznej doznaje zmiany fazy o t t radianów, co odpowiada połowie długości fali. Jak widać zmiana fazy przy odbiciu od granicy ośrodków zależy od współ­ czynnika załamania światła dla ośrodka, od którego następuje odbicie. Dla fali świetlnej mamy:

Odbicie od ośrodka o współczynniku załamania mniejszym większym

Zmiana fazy przy odbiciu 0 odpowiada 1/2 długości fali

Równania opisujące interferencję w cienkich warstwach W rozdziale tym poznaliśmy, trzy przyczyny, które mogą spowodować zmianę różrficy faz między dwiema falami: 1. odbicie, 2. różnica dróg przebytych przez obie fale, 3. przechodzenie fal przez ośrodki optyczne o różnych współczynnikach załama­ nia śWiatła. W sytuacji zilustrowanej na rysunku 36.12 wszystkie trzy podane wyżej przy­ czyny wchodzą w grę. Rozważmy je kolejno. Zajmijmy się najpierw raz jeszcze dwoma odbiciami, które pokazano na ry­ sunku 36.12. W punkcie a na przedniej powierzchni rozgraniczenia ośrodków fala padająca (z powietrza) ulega odbiciu od ośrodka o większym współczynniku załamania światła, a zatem różnica faz fali reprezentowanej przez promień r\ odpowiada połowie długości fali (w stosunku do fali padającej). W punkcie b, na tylnej powierzchni rozgraniczenia ośrodków, fala odbija się od ośrodka o mniej­ szym współczynniku załamania światła (powietrze) i wobec tego jej faza nie ulega zmianie przy odbiciu i tym samym faza fali reprezentowanej przez pro­ mień r2 jest taka sama, jak fali padającej na przednią powierzchnię warstwy. Te informacje zbieramy w pierwszym wierszu tabeli 36.1, a wynika z nich, jak na razie, że w wyniku odbić przesunięcie fal r { i r2 względem siebie wynosi pół długości fali, są one zatem w dokładnie przeciwnej fazie. ¡obala 3 5 , 1 . Interferencja w cienkich warstwach (w powietrzu)3 — podsumowanie

Zmiana fazy przy odbiciu

ri r2 ------------------------------;-----------------odpowiada 1/2 długości fali 0

Różnica dróg

2L

Współczynnik załamania światła dla ośrodka, w którym powstaje różnica dróg

n2

Fazy zgodne“ Fazy przeciwne“

^

liczba nieparzysta

X

2

«2

X 2 L = liczba całkowita • — n2

a Obowiązuje dla n 2 > «1 i «2 > « 3-

Musimy teraz z kolei zająć się różnicą dróg 2 L, która wynika z dwukrotnego przebiegu fali r2 przez warstwę (drugi wiersz tabeli 36.1). Na to, aby fale r\ i r2 mogły interferować ze sobą w pełni konstruktywnie, musiałyby być one zgodne

3 6 .7 . Interferencja w cienkich warstw ach

93

w fazie, co oznacza, że różnica dróg 2 L musiałaby być równa 1/2, 3/2, 5/2, . .. długości fali. Tylko wtedy wypadkowa różnica faz odpowiadałaby całkowitej wie­ lokrotności długości fali. Zatem, aby obserwować jasną warstwę, musimy mieć liczba nieparzysta _______ _ 2L = ---- :— —----------- - (dlugosc fali)

(fale w zgodnej fazie).

_____ (36.29)

Występująca wyżej długość fali to długość fali światła k ni w ośrodku, w którym powstała różnica dróg 2 L, tzn. w ośrodku o współczynniku załamania światła n 2. Możemy wobec tego przepisać równanie (36.29) w postaci liczba nieparzysta 2L = ---------- -----------

(Me w zgodnej f.«> .

(3630)

Jeżeli natomiast fale miałyby być dokładnie w przeciwnych fazach, co ozna­ cza ich w pełni destruktywną interferencję, to różnica dróg 2L albo nie powinna powodować żadnej dodatkowej zmiany faz, albo spowodowana przez nią różnica faz odpowiadałaby 1, 2, 3, . .. długości fali. Tylko wtedy wypadkowa różnica faz będzie odpowiadała nieparzystej wielokrotności połowy długości fali. Aby obserwować ciemną warstwę, musimy mieć 2L = (liczba całkowita) • (długość fali),

(36.31)

gdzie znowu k„2 jest długością fali w ośrodku,- w którym powstała różnica dróg 2 L i wobec tego tym razem mamy 2L = (liczba całkowita) ■k„2

(fale w przeciwnej fazie).

(36.32)

Możemy teraz skorzystać z równania (36.8) (kn = k / n ) i zapisać długość fali, reprezentowanej przez promień r2 wewnątrz warstwy, jako k n2 = — , n2

(36.33)

gdzie k jest długością fali światła padającego w próżni (i w przybliżeniu w po­ wietrzu). Podstawienie (36.33) do równania (36.30) i zastąpienie „liczby nieparzystej/2” przez (m + 1/2) prowadzi do , k 2L = (m + i ) — ,

m = 0, 1, 2, . . .

«2

(maksima — jasna warstwa w powietrzu). (36.34)

Podobnie, zastąpienie „liczby całkowitej” przez m w równaniu (36.32) daje X 2L = m — , «2

m = 0,1,2,...

(minima — ciemna warstwa w powietrzu). (36.35)

Z równań (36.34) i (36.35) wynikają, dla zadanej grubości L warstwy, długości fali świetlnej, przy których warstwę widzi się odpowiednio jako jasną albo jako ciemną, przy czym określonej wartości m odpowiada jedna długość fali. Przy pośrednich długościach fali jasność warstwy jest pośrednia. Mówią one również, że dla danej długości fali k grubości warstwy, przy których warstwę widzi się odpowiednio jako jasną albo jako ciemną (w tym świetle), różnią się o jedną

grubość L dla każdej wartości m. Przy grubościach pośrednich jasność warstwy jest pośrednia. Z całkiem wyjątkową sytuacją mamy do czynienia wtedy, gdy warstwa jest tak cienka, że jej grubość L jest dużo mniejsza od długości fali A, np. gdy L < 0 ,1A. Wówczas różnica faz między r\ i r2 związana z różnicą dróg jest bardzo mała i można by przyjąć, że jest wywołana jedynie przez odbicie. Jeżeli warstwa na rysunku 36.12, dla której odbicie powoduje zmianę fazy odpowia­ dającą połowie długości fali, ma grubość L < 0 ,1A, to fazy promieni r\ i r2 są dokładnie przeciwne i wobec tego warstwa jest ciemna, niezależnie od długości fali, a nawet i od natężenia oświetlającego ją światła. Ta wyjątkowa sytuacja od­ powiada wartości m = 0 w równaniu (36.35). Możemy traktować każdą grubość L < 0,1/. jako najmniejszą grubość określoną przez równanie (36.35), dla której warstwa na rysunku 36.12 jest ciemna. (Każda taka grubość odpowiada m = 0). Kolejna większa grubość warstwy, przy której warstwa jest ciemna, odpowiada wartości m = 1. Rysunek 36.14 to zdjęcie pionowo ustawionej błonki mydlanej, której grubość wzrasta od góry do dołu w wyniku spływania wody pod działaniem siły grawitacji. Błonka mydlana jest oświetlona jasnym białym światłem, a mimo to jej górna część jest tak cienka, że pozostaje ciemna. W nieco grubszej, środkowej części błonki widzimy prążki (pasma), których barwy zależą przede wszystkim od długości fali, przy których światło odbite interferuje w pełni konstruktywnie (właśnie dla tej grubości błonki). W miarę przechodzenia do dołu błonki (coraz grubszej) prążki stają się stopniowo coraz węższe, a barwy nakładają się na siebie i zanikają.

Mieniące się barwami skrzydła motyla O powierzchni, której barwy spowodowane są interferencją w cienkich warstwach, mówi się, że mieni się barwami (opalizuje ), ponieważ odcienie barw zmieniają się wraz ze zmianą kierunku jej oglądania. Zmienność barw wierzchniej powierzchni skrzydeł motyla modraszka jest wynikiem interferencji w cienkich warstwach. Światło odbijane jest od cienkich wachlarzowatych warstw z przezroczystego podobnego do naskórka materiału na skrzydłach motyla. Warstwy te układają się jak szerokie, płaskie gałęzie na strukturze przypominającej drzewo, rozciągające się prostopadle do skrzydeł motyla. Przypuśćmy, że spoglądasz dokładnie z góry na te warstwy, a białe świa­ tło oświetla również z góry skrzydło motyla. W takiej sytuacji światło odbite od warstw w twoją stronę ulega konstruktywnej interferencji w zakresie niebieskozielonej części widma widzialnego. Interferencja światła z dugiego krańca obszaru widzialnego, odpowiadającego bairwie żółtej i czerwonej, jest tylko po części konstruktywna i natężenie tych barw jest słabsze. Dlatego też wierzchnia strona skrzydeł ma przede wszystkim zabarwienie niebieskozielone. Kiedy spoglądasz na skrzydła motyla z innego kierunku, do twego oka do­ ciera światło odbite od warstw ukośnie w stosunku do światła padającego i kon­ struktywnej interferencji ulegają fale o długości nieco innej niż te obserwowane wprost z góry. Jeśli więc oglądasz skrzydła w ruchu, to kąt, pod którym je oglądasz, ciągle się zmienia. Zmieniają się też ciągle barwy, które widzisz jako najjaśniejsze — widzisz, jak skrzydła opalizują.

Rys. 36 .14. Odbicie światła od błonki mydlanej rozpiętej na pionowej pętli. Górna część jest tak cienka, że interfe­ rencja światła odbitego od niej jest de­ struktywna, światło jest wygaszane i ta część błonki jest ciemna. Barwne prążki interferencyjne ozdabiają pozostałą część warstwy, lecz zaburza je cyrkula­ cja cieczy w warstwie spływającej stop­ niowo pod działaniem siły grawitacji

36.7. Interferencja w cienkich w arstw ach

95

Sztuka rozwiązywania zadań Porada 1 : R ów n ania in terferencji w cienkich w arstw ach

Niektórzy studenci sądzą, że równanie (36.34) opisuje maksima, a równanie (36.35) — minima, we w szystkich sytuacjach dotyczą­ cych interferencji w cienkich warstwach. To nie jest prawda. Rów­ nania te zostały wyprowadzone tylko dla sytuacji, kiedy n 2 > ni i n2 > «3 (rys. 36.12). Równania właściwe dla innych względnych wartości współ­ czynników załamania światła należy wyprowadzić, powtarzając argumentację stosowaną w tym rozdziale i sporządzając nową wersję tabeli 36.1. W każdym przypadku dojdziesz w końcu do równań (36.34) i (36.35), ale niekiedy zamieniają się one rolami — równanie (36.34) może opisywać minima, a (36.35) maksima, zależnie od tego, czy odbicia na dwóch powierzchniach rozgraniczających ośrodki wytwarzają taką samą zmianę fazy, czy też nie.

— ^ /s p r a w d z ia n 5

Na rysunku niżej pokazano są cztery możliwości odbicia światła prostopadle od cienkiej warstwy (tak samo jak na rys. 36.12) o grubości L . Współczynniki zała­ mania światła dla cienkiej warstwy i otaczających ją ośrodków są podane na rysunku, a) W którym przypadku odbicie świa­ tła od powierzchni granicznych warstwy nie zmienia różnicy faz między obydwoma odbitymi promieniami (zmiana różnicy faz jest równa zeru)? b) W którym przypadku warstwa będzie ciemna, jeśli różnica dróg 2 L obu odbitych promieni spowo­ duje zmianę fazy odpowiadającą 1/2 długości fali?

1,5

1,3

1,3

Światło białe, o jednakowym natężeniu w całym zakresie widzial­ nym od 400 do 690 nm, pada prostopadle na warstewkę wody o grubości L = 320 nm i współczynniku załamania światła n 2 = 1,33, która zawieszona jest w powietrzu. Przy jakiej dłu­ gości fali X odbijane przez warstewkę światło jest widziane przez obserwatora jako najjaśniejsze? ROZWIĄZANIE:

Podstawą odpowiedzi na to pytanie jest fakt, że O r r światło odbijane od warstwy jest najjaśniejsze dla tej długości fali X, dla której fazy promieni odbitych od obu powierzchni warstwy są zgodne. Równania wiążące długość fali X z zadaną grubością warstwy L i jej współczynnikiem załamania światła n 2 to albo równanie (36.34) albo (36.35), zależnie od tego, jak dla danej warstwy zmienia się różnica faz promieni przy odbiciu. Żeby określić, która z tych zależności będzie nam potrzebna, powinniśmy sporządzić tabelę na wzór tabeli 36.1. Jednak po obu stronach rozważanej warstewki wody jest powietrze, dlatego też sytuacja jest dokładnie taka sama, jak na rysunku 36.12 i tabela, którą mamy sporządzić, jest dokładnie taka sama jak tabela 36.1.

Przykład 3 6 .5 Soczewka szklana z jednej strony jest pokryta cienką warstwą fluorku magnezu (MgF2), która zmniejsza odbicie światła od so­ czewki (rys. 36.15). Współczynnik załamania światła dla MgF2 wynosi 1,38, a dla szkła 1,50. Jaka jest najmniejsza grubość warstwy przeciwodblaskowej, która wygasza (przez interferencję) odbicia światła ze środka zakresu widzialnego (X = 550 nm)?

96

36. Interferencja

1.5

1,4

(1)

Przykład 3 6 .4

1,3

1,4

1,4

( 2)

W (4)

(3)

Z tabeli tej wynika, że odbite promienie mają zgodne fazy (a warstewka jest najjaśniejsza) wtedy, gdy liczba nieparzysta

X

co prowadzi do równania (36.34):

2L={m+\)t2 Rozwiązanie tego równania ze względu na X i podstawienie za­ danych wartości L i n 2 daje 2 n 2L m + 1/2

_

(2)(1,33)(320 nm) _ 851 nm m + 1/2

m + 1/2

Dla m = 0 długość fali X = 1700 nm, a więc światło z zakresu podczerwieni. Natomiast dla m = 1 długość fali X = 567 nm, czyli światło o barwie żółtozielonej, z pobliża środka zakresu widzialnego widma. Dla m = 2, X = 340 nm, co odpowiada zakresowi nadfioletu. A zatem jako najjaśniejsze widziane jest przez obserwatora światło o długości fali X = 567 nm.

(odpowiedź)

Przyjmij, że światło pada nieomal prostopadle na powierzchnię soczewki.

ROZWIĄZANIE:

Punktem wyjścia jest spostrzeżenie, że O *—1 odbicie jest wyga­ szane wtedy, gdy grubość warstwy L jest taka, że fale świetlne odbite od dwóch powierzchni granicznych warstw;y są dokładnie

w fazie przeciwnej. Równania wiążące grubość warstwy L z za­ daną długością fali A. oraz ze współczynnikiem załamania świa­ tła n 2 materiału warstwy to albo równanie (36.34), albo (36.35),' zależnie od tego, jak dla danej warstwy zmienia się różnica faz promieni przy odbiciu. Żeby iokreślić, która z tych zależności będzie nam potrzebna, sporządzamy tabelę na wzór tabeli 36.1. Na pierwszą powierzch­ nię graniczną światło pada od strony powietrza, które ma mniej­ szy współczynnik załamania światła niż materiał warstwy. Zatem w naszej tabeli w kolumnie’ r\ wpisujemy (1/2 )k (co oznacza, że wystąpiła różnica faz fali świetlnej reprezentowanej przez pro­ mień r i odpowiadająca (1/2)A. przy odbiciu od pierwszej po­ wierzchni warstwy). Na drugą powierzchnię- graniczną światło pada od strony MgF2, którego współczynnik załamania światła jest mniejszy niż dla szkła znajdującego się po drugiej stronie po­ wierzchni granicznej. Wobec tego w naszej tabeli w kolumnie r2 wpisujemy również (1/2)1. Oba odbicia wywołują taką samą zmianę fazy, wobec tego różnica faz promieni r\ i r2 wynikająca z odbicia będzie równa zeru. Skoro jednak żądamy, aby obie fale reprezentowane przez te promienie miały przeciwne fazy, wobec tego różnica ich dróg 2 L musi być równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali: liczba nieparzysta X 2L = 2 n2 ’ a to prowadzi do równania (36.34). Rozwiązanie tego równania ze względu na L daje grubość warstwy, przy której wyelimino­ wane (wygaszone) jest odbicie światła od powierzchni soczewki i warstwy przeciwodblaskowej:

Przykład 3 6 .6 Na rysunku 36.16a przedstawiono przezroczysty blok z plastiku mający z prawej strony cieniutką szczelinę w kształcie klina, w której znajduje się powietrze. (Grubość klina na rysunku jest przesadnie duża). Na górną powierzchnię bloku pada pod kątem 0° (z góry na dół) szeroka wiązka czerwonego światła o długości fali X = 632,8 nm. Część światła jest odbijana z powrotem od górnej i od dolnej powierzchni klina, który działa jak cienka warstwa (powietrza) o grubości zmieniającej się z lewa na prawo rów­ nomiernie i stopniowo od wartości L l do wartości LP. (Warstwy plastiku powyżej i poniżej klina powietrza są zbyt grube na to, aby mogły działać jak cienkie warstwy). Obserwator spoglądający na blok z góry widzi wzdłuż klina obraz interferencyjny składający się z sześciu ciemnych prążków i pięciu jasnych, czerwonych prąż­ ków. Jaka jest całkowita zmiana grubości klina AL = Lp — Ll ?

powietrze n l = 1,00

MgF2

szkło

«2 = 1,38 «3 = 1,50

Rys. 36 .15. Przykład 36.5. Niepożądane odbicia od szkła można wyeliminować (dla wybranych długości fali), pokrywając szkło cienką przezroczystą warstwą fluorku magnezu o odpowiednio dobranej grubości

2 L = (m + 1/2) — , In 2

m = 0, 1, 2, . . .

(36.36)

Chcemy znać najmniejszą grubość warstwy, a więc najmniejszą wartość L, a tę otrzymamy dla najmniejszej możliwej wartości m, czyli m = 0. Po wstawieniu do równania (36.36) m = 0 i pozo­ stałych danych otrzymamy L =

■X

550 nm

4n2

(4)(1,38)

= 99,6 nm.

(odpowiedź)

tt 2. Zmiany jasności w obrazie jasnych i ciemnych prążków spowodowane są przez zmiany grubości klina. W pewnych ob­ szarach grubość klina jest taka, że fale odbite mają zgodne fazy i powstają tam jasne, czerwone prążki interferencyjne. W innych obszarach grubość klina jest taka, że fale odbite mają fazy prze­ ciwne i tam fale odbite są wygaszone (ciemne prążki). Obserwator widzi więcej ciemnych prążków niż jasnych, wo­ bec tego możemy przyjąć, że na obu końcach klina powstaje ciemny prążek. Zatem obserwowany obraz interferencyjny jest taki, jak na rysunku 36.16b. Skorzystamy z niego przy wyzna­ czaniu zmiany grubości AL klina.

O-

O H r 3. Do rozważania odbicia światła od górnej i dolnej po­ wierzchni klina, w każdym punkcie klina wzdłuż jego długości, możemy posłużyć się konstrukcją geometryczną, taką jak na ry­ sunku 36.16c, na którym L jest grubością klina w tym punkcie. Zastosujmy tę konstrukcję do lewego końca klina, na którym, jak wiemy, w wyniku odbicia powstaje ciemny prążek.

ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że: O—t 1. Jasny obraz w każdym punkcie wzdłuż długości klina, od jego lewego do prawego końca, jest wynikiem interferencji fal odbitych od górnej i od dolnej powierzchni klina.

Wiemy, że ciemny prążek powstanie wtedy, gdy fale repre­ zentowane na rysunku 36.16c przez promienie r\ i r2 mają prze­ ciwne fazy. Wiemy również, że równania wiążące grubość war­ stwy L z zadaną długością fali A oraz ze współczynnikiem za­ łamania światła n 2 materiału warstwy to albo równanie (36.34),

36 .7. Interferencja w cienkich w arstw ach

97

światło padające

m

Rzeczywiście na lewym końcu klina fale mają przeciwne fazy, wobec tego różnica dróg 2 L na tym końcu klina musi być dana równaniem

n

2 L = (liczba całkowita) ■

m

co prowadzi do równania (36.35): 2L = m — ,

n2

Rys. 36 .16. Przykład 36.6. a) Czerwone światło pada na cienki klin powietrzny w przezroczystym bloku plastikowym. Klin ma na lewym końcu grubość Ll , a na prawym końcu Lp. b) Widok z góry bloku; wzdłuż długości klina widać obraz interferencyjny złożony z sześciu ciemnych i pięciu jasnych czerwonych prąż­ ków. c) Schematyczne przedstawienie promienia padającego p , promieni odbitych r\ i r2 oraz grubości klina L w pewnym miej­ scu wzdłuż długości klina

albo (36.35), zależnie od tego, jak dla danej warstwy zmienia się różnica faz promieni przy odbiciu. Żeby określić, która z tych zależności będzie nam potrzebna, powinniśmy sporządzić tabelę na wzór tabeli 36.1. Na górną powierzchnię klina światło pada od strony plastiku, który ma większy współczynnik załamania światła od powietrza znajdującego się poniżej powierzchni. Zatem w naszej tabeli w ko­ lumnie n wpisujemy 0. Na dolną powierzchnię klina światło pada od strony powietrza, dla którego współczynnik załamania światła jest mniejszy niż dla plastiku poniżej powierzchni. Wobec tego w naszej tabeli w kolumnie r2 wpisujemy (1 /2 )X . W wyniku samych odbić promieni r\ i r2 mamy przeciwne fazy interferujących fal.

m = 0, 1, 2, . . .

(36.37)

*4. Wreszcie na koniec zwróćmy uwagę na fakt, że równanie (36.37) jest spełnione nie tylko dla lewego końca klina, ale także dla każdego punktu wzdłuż jego długości, w którym występuje ciemny prążek, włączając w to i prawy koniec klina — za każ­ dym razem dla innej wartości m (dla każdego ciemnego prążka). Najmniejsza wartość m odpowiada najmniejszej grubości klina w miejscu, gdzie obserwowany jest ciemny prążek. Wzrastające wartości m są związane ze wzrastającą grubością klina w kolej­ nych miejscach obserwacji ciemnych prążków. Przyjmijmy, że dla lewego końca klina m = rai_. Wtedy wartość m na prawym końcu klina będzie równa mL + 5, bo na rysunku 36.16b prawy koniec klina dzieli od lewego końca odległość pięciu ciemnych prążków. Poszukujemy różnicy grubości AL między prawym i lewym końcem klina. Żeby ją znaleźć, rozwiążemy najpierw dwukrotnie równanie (36.37) — raz ze względu na grubość Ll (na lewym końcu), a drugi raz ze względu na grubość Lp (na prawym końcu klina): =

L y = (mL + 5)

zn2

¿n2

.

(36.38)

Odejmując Ll od Lp oraz podstawiając znane wielkości, w tym również n2 = 1 dla powietrza w klinie, otrzymujemy A L = Lp — L l =

(mL + 5)X

m^X

5 X

2n2

2nj

2 n2

5 632,8- 10“9 m

1

= 1,58 -10

m. (odpowiedź)

36.8. Interferom etr Michelsona Interferometr jest przyrządem, za pomocą którego można z wielką dokładno­ ścią mierzyć długości lub ich zmiany na podstawie obserwacji prążków interfe­ rencyjnych. Opiszemy tutaj oryginalną wersję interferometru, opracowaną przez A. A. Michelsona w 1881 r. Przeanalizujmy światło wychodzące z punktu P rozciągłego źródła światła S na rysunku 36.17 i napotykające na swej drodze płytkę światłodzielącą M. Płytka światłodzieląca to na przykład płytka półprzepuszczalna, czyli to zwier­ ciadło, które przepuszcza połowę wiązki, a drugą połowę odbija. Zakładamy dla wygody, że zwierciadło M na rysunku 36.17 ma zaniedbywalną grubość. Tak więc na zwierciadle M światło zostaje podzielone na dwie fale. Jedna z nich biegnie w stronę zwierciadła Z \, a druga po odbiciu kierowana jest w stronę

98

36. Interferencja

Rys. 36.1 7. Interferometr Michelsona. Pokazano drogę przebywaną przez światło wycho­ dzące z punktu P rozciągłego źródła światła S. Zwierciadło półprzepuszczalne (płytka światłodzieląca) M dzieli światło na dwie wiązki, które po odbiciu od zwierciadeł Z \ i Z 2 wracają do płytki M , a stamtąd do teleskopu obserwacyjnego T . W teleskopie obserwator widzi obraz interferencyjny

ruchome zwierciadło

M

d1

zwierciadła Z2. Od tych dwóch zwierciadeł obie fale są odbijane w całości i wra­ cają w kierunku, z którego pierwotnie nadeszły, a następnie po odbiciu od zwier­ ciadła M łub po przejściu przez nie trafiają do teleskopu T . Obserwator widzi ob­ raz interferencyjny złożony z lekko zakrzywionych albo prawie prostych prążków interferencyjnych; w tym drugim przypadku prążki przypominają pręgi na zebrze. Różnica dróg obu fal nakładających się w teleskopie wynosi 2d2 — 2d\ i wszystko, co zmienia tę różnicę dróg, będzie powodować zmianę różnicy faz między obiema falami docierającymi do oka obserwatora. Jeżeli na przykład zwierciadło Z 2 zostanie przesunięte o odległość równą (1/2)A, to różnica dróg zmieni się o A i obraz prążków zostanie przesunięty o jeden prążek (tak jak gdyby na zebrze każda ciemna pręga przesunęła się na miejsce sąsiedniej ciemnej pręgi). Podobnie, przesunięcie zwierciadła Z 2 o (1/4)A. powoduje przesunięcie o pół prążka w obrazie interferencyjnym (na skórze zebry każda ciemna pręga przesunęła się na miejsce sąsiedniej białej pręgi). Przesunięcie w obrazie prążków interferencyjnych może wywołać również ustawienie cienkiego przezroczystego przedmiotu na drodze do jednego ze zwier­ ciadeł, np. Z \. Jeżeli przedmiot taki ma grubość L i współczynnik załamania światła n, to, zgodnie z równaniem (36.9), liczba długości fali mieszcząca się na dwukrotnie przebywanej przez światło drodze przez ten przedmiot jest równa 2L 2 Ln Nn = — = Xn X

(36.39)

Liczba długości fali dla takiej samej drogi 2 L, którą przebywa światło w powie­ trzu (przed wstawieniem przedmiotu), jest równa N,p ow

,2L ~X'

(36.40)'

Po wstawieniu przedmiotu zmiana fazy światła po odbiciu od zwierciadła Zj będzie odpowiadała 2 Ln 2L 2L N p - N vm = — - — ' = — { n - l ) .

(36.41)

Przy każdej zmianie fazy odpowiadającej jednej długości fali obraz prążków prze­ suwa się o jeden prążek. Zatem, zliczając liczbę prążków, o jaką przesuwa się obraz po wstawieniu przedmiotu, i podstawiając tę liczbę Np —/Vpow do równania (36.41), możesz wyznaczyć grubość L wyrażoną w długościach fali świetlnej. Metoda taka pozwala wyznaczać długość przedmiotów w jednostkach długości fali światła. W czasach Michelsona wzorcem jednostki długości — metra — była, zgodnie z międzynarodowym porozumieniem, odległość między dwiema rysami wykonanymi na pręcie z pewnego stopu metalu, który przechowywano w Sèvres pod Paryżem. Michelson za pomocą swego interferometru pokazał, że wzorzec

3 6 .8. In te rfe rom e tr M ichelsona

99

metra był równoważny 1553 163,5 długościom fali określonego monochromatycz­ nego światła czerwonego emitowanego przez źródło światła zawierające atomy kadmu. Za ten wielce precyzyjny pomiar Michelson otrzymał w 1907 r. Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki. Jego praca stworzyła podwaliny pod przyjęcie nowego wzorca długości.. W 1961 r. ostatecznie odstąpiono od wzorca długości z Sèvres, definiując metr w jednostkach długości fali świetlnej. Ale już w 1983 r. i ten wzorzec okazał się mało dokładny wobec wzrastających wymagań nauki i techniki i został zastąpiony nowym wzorcem opartym na zdefiniowanej wartości prędkości światła'.

Z a sa d a H u y g en sa Rozchodzenie się fal, w tym również fal świetlnych, w trójwymiarowej przestrzeni m ożna często przew i­ dzieć, stosując zasadę Huygensa, z której wiemy, że wszystkie punkty czoła fali zachowują się ja k punktowe źródła elem entar­ nych kulistych fal wtórnych. Po czasie t nowe położenie czoła fali je st wyznaczone przez powierzchnię styczną do powierzchni fal wtórnych. Z zasady Huygensa m ożna wyprow adzić prawo załam ania światła, zakładając, że w spółczynnik załam ania św iatła dowol­ nego ośrodka jest dany jako n = c /v , gdzie v jest prędkością św iatła w tym ośrodku, a c prędkością św iatła w próżni. D łu g o ść f a li i w sp ó łc zy n n ik za ła m a n ia św ia tła D ługość fali św iatła Xn w ośrodku m aterialnym zależy od współczynnika za­ łam ania św iatła n ośrodka: Xn = - , (36.8) n przy czym X jest długością fali św iatła w próżni. Z zależno­ ści tej wynika, że różnica faz m iędzy dw iem a falami św ietl­ nymi m oże ulegać zmianie wtedy, gdy fale te rozchodzą się w różnych ośrodkach, których współczynniki załam ania św iatła są różne. D ośw ia d czen ie Younga W doświadczeniu interferencyjnym Younga światło przepuszczone przez szczelinę kierowane je st na przesłonę z dwiem a szczelinami. Św iatło, które opuszcza te szcze­ liny, rozprzestrzenia się w całym obszarze za przesłoną (w w y­ niku ugięcia, czyli dyfrakcji) i zachodzi jeg o interferencja. Na um ieszczonym dalej ekranie m ożna obserwować obraz złożony z prążków interferencyjnych. Natężenie św iatła w dowolnym punkcie ekranu zależy od różnicy dróg od obu szczelin do tego punktu. Jeżeli różnica ta jest całkowitą w ielokrotnością długości fali, to interferencja jest konstruktyw na i w punkcie tym występuje m aksim um natężenia. Jeżeli jest ona równa nieparzystej w ielokrotności połowy długości fali, to interferencja jest destruktyw na i w punkcie tym występuje m inim um natężenia światła. W arunki występowania m aksimów i m inim ów natężenia są dane wzoram i d s i n 0 = m X,

, m = 0 ,1 ,2 ,... (m aksim a — jasne prążki),

100

36. Interferencja

(36.14)

m = 0 , 1, 2 , . . .

d sin # = (m + |) X ,

(m inim a — ciem ne prążki),

(36.16)

przy czym 6 jest kątem , jaki tworzy kierunek św iatła z osią układu, a d jest odległością między dw iem a szczelinami. S p ó jn o ść W arunkiem dostrzegalnej interferencji dwóch fal świetlnych spotykających się w jednym punkcie jest utrzym anie m iędzy nim i stałej w czasie różnicy faz, co oznacza, że fale m uszą być spójne. Kiedy spotykają się dw ie fale spójne, ich wypadkowe natężenie m ożna w yznaczyć m etodą wskazów. N a tężen ie św iatła w dośw ia d czen iu in te rfe re n cy jn y m z dw iem a szczelin a m i W dośw iadczeniu interferencyjnym Younga inter­ ferencja dwóch fal o jednakow ym natężeniu I q prowadzi do fali wypadkowej (obserwowanej na ekranie) o natężeniu I 1 = 4/oCOS2 —, 2

gdzie

= ------sin 0 . X

(36.21, 36.22)

Równania (36.14) i (36.16) opisujące położenie m aksim ów i m ini­ mów w obrazie prążków interferencyjnych są przypadkam i szcze­ gólnymi tych równań. In terfe re n cja w c ie n k ic h w arstw ach Kiedy św iatło pada na cienką przezroczystą warstwę, fale św ietlne odbite od przedniej i od tylnej powierzchni warstwy interferują ze sobą. Przy prawie prostopadłym padaniu m aksim a i m inim a interferencyjne dla św ia­ tła odbitego od warstwy znajdującej się w powietrzu, określone są przez następujące warunki nałożone na długość fali świetlnej:

'

2 L = (m +

• , A-

—, m = 0, 1, 2, . . . n2 (m aksim a — jasn a warstwa w powietrzu),

X 2L = m — ,

«2

(36.34)

m = 0 ,l,2 ,...

(m inim a — ciem na warstwa w powietrzu),

(36.35)

przy czym n 2 jest w spółczynnikiem załam ania warstwy, L — jej grubością, a X — długością fali św iatła w powietrzu. Jeżeli św iatło pada na pow ierzchnię rozgraniczającą dwa ośrodki (o różnych w spółczynnikach załam ania św iatła) od strony ośrodka o m niejszym w spółczynniku załam ania światła, to odbicie wyw ołuje zm ianę fazy (w świetle odbitym ) o n rad, co odpowiada

połowie długości fali. W przeciw nym razie odbicie nie powoduje żadnej zmiany fazy. Z ałam aniu na powierzchni granicznej nie towarzyszy, przesunięcie fazy.

nej długości interferują ze sobą, wytwarzając obraz interferen­ cyjny. Zm iana długości drogi przebywanej przez jed n ą z w ią­ zek św iatła powoduje przesuw anie się prążków interferencyj­ nych, a ich zliczenie um ożliw ia z kolei w yznaczanie z dużą

Interferometr Michelsona

W interferometrze M ichelsona św ia­ tło jest dzielone na dwie wiązki, które po przebyciu dróg o róż­

dokładnością odległości (długości) w jednostkach długości fali światła.

1. N a rysunku 36.18 trzy im ­ pulsy św ietlne a, b i c o takiej samej długości fali przecho­ dzą przez warstwy z plastiku o podanych w spółczynnikach _ załam ania światła. Uszereguj te im pulsy w kolejności m a­ lejącego czasu ich przecho­ dzenia przez warstwy.

5 . Czy dla dwóch prom ieni interferujących ze sobą w punkcie P na rysunku 36.8 występuje m aksim um , czy m inim um interferen­ cyjne, czy też stan pośredni bliższy m aksim um lub bliższy m ini­ m um, w tedy gdy różnica dróg obydwu prom ieni wynosi: a) 2,2X, b) 3,5A, c) 1,8A i d) IX? D la każdego z tych przypadków podaj w artość m związaną z odpowiednim m aksim um lub m inim um interferencyjnym .

1.60 1.50 1.55

— i

Rys. 36.18. Pytanie 1

2 . Św iatło przebyw a w cienkiej warstwie (nanostrukturze) drogę o długości 1500 nm. Czy gdy na jednym brzegu warstwy wypada m aksim um fali, wtedy na jej drugim brzegu będzie występowało m aksim um , czy m inim um fali, jeżeli wiadom o, że długość fali wynosi: a) 500 nm, b) 1000 nm? 3 . N a rysunku 36.19 pokazano dwa prom ienie św ietlne o dłu­ gości fali 600 nm, które odbijają się od powierzchni szklanych odległych o 150 nm. Prom ienie m ają początkowo zgodne fazy. a) Ile w ynosi różnica dróg przebytych przez oba pro­ m ienie? b) Czy 'p o opusz­ czeniu obszaru odbicia pro­ m ienie m ają fazy dokład­ nie zgodne, dokładnie prze­ ciwne, czy też różnica faz jest pośrednia?

1— 150 nm -H

i

i

Rys. 36.19. Pytanie 3

6 . Jeżeli w obrazie interferencyjnym z dwóch szczelin przecho­ dzim y od jednego jasnego prążka do kolejnego, leżącego bardziej na zewnątrz jasnego prążka, to: a) czy różnica dróg A L interfe­ rujących prom ieni wzrasta, czy też m aleje? b) Jak duża jest ta zm iana w jednostkach X? 7 . Czy odstęp między prążkam i w obrazie interferencyjnym z dwóch szczelin wzrasta, m aleje, czy nie zm ienia się, wtedy gdy a) odległość m iędzy szczelinam i zostaje zw iększona, b) barwa św iatła ulega zm ianie z czerwonej na niebieską i c) cała apa­ ratura zostaje zanurzona w białym winie? d) Jeżeli szczeliny są ośw ietlane białym światłem , to czy w każdym bocznym m aksim um obrazu interferencyjnego, bliżej centralnego m aksim um występuje składowa czerwona, czy niebieska?

8 . Na każdym z czterech rysunków 36.21 pokazano wskazy, wy­ obrażające dwie fale św ietlne w dośw iadczeniu interferencyjnym z dw iem a szczelinami. Ponadto każdy z rysunków odpowiada róż­ nym punktom obserwacji na ekranie i różnym chwilom . W szystkie wskazy m ają taką sam ą długość. Uszereguj te cztery punkty ob­ serwacji w kolejności m alejącego natężenia światła.

4 . Na rysunku 36.20 pokazano dw a prom ienie św ietlne, które początkowo m ają ściśle zgodne fazy i które odbijają się od kilku powierzchni szklanych. Pom iń w rozważaniach nieznaczny skos w drodze prom ienia po prawej stronie, a) Ile wynosi różnica dróg przebytych -przez obydwa prom ienie? b) Jaka m usia­ łaby być ta różnica dróg (po­ dana w jednostkach długo­ ści fali A.), aby po wszystkich odbiciach prom ienie m iały ściśle przeciw ne fazy? c) Ile wynosi najm niejsza wartość d , przy której m ożliwa by­ łaby taka końcowa różnica fazy?

T d

a)

b)

d)

c)

Rys. 36.21 . Pytanie 8

I

Rys. 3 6 .2 0 . Pytanie 4

9 . Dwa źródła, Si i S2 na rysunku 36.22 em itują we wszystkich kierunkach fale radiowe o długości fali X. Ź ródła są zgodne w fazie i odległe od siebie o 1,5A. L inia pionowa jest sym etralną odcinka m iędzy źródłami, a) Czy przesuw ając się z oznaczonego

Pytania

101

punktu startowego w zdłuż drogi 1 napotkam y na całej drodze m aksim um , czy m inim um interferencyjne, a m oże . na przem ian m aksim a i m inim a? Udziel również odpowiedzi dla przypadku b) drogi 2 i c) drogi 3.

1‘

ł3

^2

H / , start J

start J /

r tT

Rys. 36 .22. Pytanie 9 1 0 . N a rysunku 36.23 dwa prom ienie świetlne napoty­ kają powierzchnię rozgrani­ czającą dwa różne ośrodki, na której ulegają odbiciu i załam aniu. Które z fal od­ bitych i załam anych doznają zmiany fazy na powierzchni rozgraniczającej ?

n = 1,50

Rys. 36 .23. Pytanie 10

1 1 . Na rysunku 36.24a zilustrowano przekrój poprzeczny cienkiej warstwy pionowej, której grubość w zrasta z góry na dół (grawitacja

powoduje spływanie cieczy). Na rysunku 36.24b przedstawiono pow ierzchnię w arstwy z przodu, na której widoczne są cztery jasne prążki interferencyjne powstające przy prostopadłym oświetleniu warstwy w iązką św iatła czerwonego. Punkty w przekroju p o ­ przecznym odpowiadające jasnym prążkom 'zostały oznaczone na rysunku. Ile wynosi różnica grubości, w yrażona w jednostkach długości fali św iatła we­ w nątrz warstwy a) m iędzy a) b) punktam i a i b oraz b) m ię­ Rys. 36 .24. Pytanie 11 dzy punktam i b \ d l 1 2 . N a rysunku 36.25 zilustrowano przechodzenie w iązki św iatła padającej prostopadle (na rysunku dla w yrazistości nieco pochy­ lonej) na cienką warstwę otoczoną z obu stron przez powietrze, a) Czy prom ień r3 doznał zmiany fazy w w yniku odbi­ cia? Ilu długościom fali od­ pow iada zm iana fazy pro­ m ienia rĄ w wyniku odbi­ cia? c) Ile w ynosi różnica dróg prom ieni r3 i rĄ wtedy, Rys. 36 .25! Pytanie 12 gdy warstwa m a grubość L ?

Zada

R ozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod­ ręcznika: http://w ww.wiley.com /college/hrw Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktyw nej, wykorzystującej oprogram owanie Interactive LearningW are (na tej samej stronie)

36.2 Światło jako fala 1 . Ż ółte św iatło emitowane przez atom y sodu m a w powietrzu długość fali 589 nm. a) Ile wynosi jeg o częstość? b) Ile wynosi długość fali tego św iatła w szkle o w spółczynniku załam ania św iatła 1,52? c) Korzystając z wyników z punktów (a) i (b), podaj prędkość rozchodzenia się tego św iatła w szkle. 2 . O ile szybciej (w m /s) rozchodzi się światło w szafirze niż w diam encie? Patrz tabela 34.1. 3 . Ustalono na podstawie pom iaru, że w pewnej cieczy żółte św ia­ tło (z lam py sodowej) rozchodzi się z prędkością 1,92 • 108 m/s. Ile w ynosi współczynnik załam ania św iatła tej cieczy? 4 . Z ja k ą prędkością rozchodzi się w topionym kwarcu światło o długości fali 550 nm (patrz rys. 34.19)? 5 . Fale oceaniczne, przem ieszczające się z prędkością 4 m/s, bie­ gną w kierunku plaży pod kątem 30° do norm alnej do linii brzegu,

102

36. Interferencja

tak ja k to pokazano na rysunku 36.26. Przypuśćmy, że w pew­ nej odległości od plaży głębokość oceanu zm ienia się skokowo i w tym m iejscu prędkość fal m aleje do wartości 3 m/s. Jaki jest kąt m iędzy kierunkiem ru ­ chu fali a norm alną do linii brzegowej w pobliżu plaży? (Przyjmij, że prawo zała­ m ania fal oceanicznych jest takie samo, ja k prawo za­ łam ania światła). W yjaśnij, dlaczego większość fal do­ ciera do brzegu z kierunku norm alnej do linii brzego­ wej, chociaż dalej od brzegu zm ierzają one z wielu róż­ nych kierunków ? * ~ L ~ —Z,—

6 . N a rysunku 36.27 dwa im pulsy św ietlne przecho­ dzą przez warstwy plastiku o różnych współczynnikach załam ania św iatła i grubo­ ści albo L , albo 2L (patrz rysunek), a) Który z im ­ pulsów przechodzi szybciej

impuls 1,55

2

impuls

1

1,70

1,59

1,60

1,45

1,65

1,50

Rys. 3 6 .2 7 . Zadanie 6

przez całą warstwę? b) Podaj w jednostkach L /c różnicę czasów przejścia im pulsów przez warstwy. 7 . Przyjmij, że dw ie fale na rysunku 36.3 m ają długość 400 nm i że ich fazy są początkowo zgodne. Jedna z nich przecho­ dzi przez, warstwę ze szkła o w spółczynniku załam ania św iatła m = 1,6 i grubości L, a druga przez warstwę plastiku o ta­ kiej samej grubości i w spółczynniku załam ania św iatła n 2 = 1,5. a) Jaka jest najm niejsza w artość L, przy której różnica faz m iędzy obiem a falami, po ich przejściu przez warstwy, będzie równa 5,65 rad? b) Jak interferują ze sobą te fale, jeżeli następnie docierają one do wspólnego punktu?

8 . Przyjmij, że dwie fale na rysunku 36.3 m ają w powietrzu długość 500 nm. Ilu długościom fali odpow iada różnica faz tych fal po przejściu przez ośrodki 1 i 2, jeżeli: a) n\ = 1,5, n 2 = 1,6, a L = 8,5 [rm; b) ni = 1,62, n 2 = 1,72, a L = 8,5 [xm, c) » i = 1,59, n 2 = 1,79, a L = 3,25 p.m? d) Przypuśćmy, że w każdym z tych trzech przypadków obie fale po przejściu przez oba ośrodki docierają do tego sam ego punktu. Uszereguj te trzy przypadki w kolejności m alejącej jasności prążka interferencyj­ nego powstającego w punkcie spotkania obu fal. 9 . Dw ie fale świetlne, o długości 600 nm , biegnące przez pow ie­ trze m ają zgodne fazy. Fale te przechodzą następnie przez war­ stwy plastiku o grubościach < l 2 *Li = 4 n,m i L 2 = 3,5 [im n2 i w spółczynnikach załam a­ nia św iatła «i = 1,4 i n 2 = 1,6 (rys. 36.28). a) Ilu dłu­ gościom fali odpowiada róż­ nica faz tych fal po przejściu przez warstwy? b) Jak inter­ ferują ze sobą te fale po do­ tarciu następnie do wspól­ nego punktu?

«1

I------ L x -----Rys. 36 .28. Zadanie 9

1 0 . Przyjmij, że dwie fale na rysunku 36.3 m ają w powietrzu długość 620 nm i różnią się w fazie o jt radianów. W spółczynniki załam ania św iatła ośrodków są równe odpowiednio n \ = 1,45 i n 2 = 1,65. a) Ile w ynosi najm niejsza w artość L , przy której obie fale, po ich przejściu przez warstwy, będą m iały dokładnie zgodną fazę? b) Przy jakiej, kolejnej grubości L sytuacja się powtórzy?

1 3 . Przypuśćmy, że dośw iadczenie Younga jest wykonywane z użyciem zielonego św iatła o długości fali 550 nm. Odległość m iędzy szczelinam i jest równa 1,2 mm, a ekran, na którym powstaje obraz interferencyjny, jest odległy od szczelin o 5,4 m. Oblicz odległość m iędzy jasnym i prążkami. 1 4 . W układzie dośw iadczalnym dw ie szczeliny są odległe od sie­ bie o 100 długości fali światła, które przechodzi przez szczeliny, a) Ile w ynosi kąt (w radianach) m iędzy m aksim um centralnym i są­ siednim m aksim um ? b) Oblicz odległość m iędzy tym i m aksim am i na ekranie odległym od szczelin o 50 cm. 1 5 . W dośw iadczeniu interferencyjnym z dw iem a szczelinami wykonanym dla żółtego św iatła sodu o długości fali X = 589 nm powstają prążki, których odległość kątowa wynosi 3,5 ■10-3 rad. Jaką długość fali m usi mieć św iatło, aby w tym samym układzie dośw iadczalnym odległość kątow a m iędzy prążkam i była o 10% większa? 1 6 . W dośw iadczeniu interferencyjnym z dw iem a szczelinami powstające dla św iatła sodowego (X = 589 nm) prążki interferen­ cyjne są odległe od siebie o 0,2°. Oblicz ich odległość kątow ą od siebie wtedy, gdy cały układ dośw iadczalny zanurzym y w wodzie (n = 1,33). 1 7. Dwa punktowe źródła fal o częstości radiowej, odległe od siebie o 2 m, em itują w zgodnej fazie prom ieniowanie o długości fali X = 0,5 m. W płaszczyźnie zawierającej oba źródła, po torze kołowym obiega je detektor. Oblicz w pam ięci, ile m aksimów w ykryw a ten detektor. 1 8 . Ź ródła A i B em itują długie fale radiowe o długości 400 m, przy czym fala wysyłana ze źródła A w yprzedza w fazie falę w ysyłaną ze źródła B o 90°. Odległość rą źródła A od detektora jest w iększa o 100 m od odpowiedniej odległości rB. Ile w ynosi różnica faz tych fal w detektorze? 1 9 . W dośw iadczeniu interferencyjnym z dw iem a szczelinami odległość m iędzy szczelinam i w ynosi 5 mm, a odległość szczelin od ekranu 1 m. Na ekranie obserwuje się dwa obrazy interfe­ rencyjne: jeden dla św iatła o długości fali 480 nm, a drugi dla św iatła o długości fali 600 nm. Ile w ynosi na ekranie odległość m iędzy jasnym i prążkam i trzeciego rzędu (m = 3) obu obrazów interferencyjnych?

36.4 D ośw iadczenie in te rfe re n cyjn e Younga 20 . Na rysunku 1 1 . M onochrom atyczne św iatło zielone o długości fali 550 nm ośw ietla dwie wąskie, rów noległe szczeliny odległe od siebie o 7,7 ixm. Oblicz kątowe odchylenie (kąt 0 na rys. 36.8) jasnego prążka trzeciego rzędu (m = 3): a) w radianach i b) w stopniach. 1 2 . Ile wynosi różnica faz fal wychodzących z dwóch szcze­ lin i docierających do w spólnego punktu, w którym powstaje m -ty ciemny prążek w dośw iadczeniu interferencyjnym Younga z dw iem a szczelinam i?

36.29 dwa źródła Si i S2, em itujące prom ieniowa­

nie o takiej samej długości fali X i w zgodnej fazie, są odległe od siebie o d = 3X. W yznacz najw iększą odle­ głość od źródła Si, wzdłuż osi x, w jakiej interferencja jest w pełni destruktyw na. Podaj tę odległość jako w ie­ lokrotność długości fali.

5

r Rys. 36 .29. Z adania 20, 27 i 59

Z adania

103

2 1 . Po przesłonięciu jednej ze szczelin, w układzie z dwiem a szczelinami, cienkim płatkiem m iki (n = 1,58) na m iejsce cen­ tralnego m aksim um obrazu przesunął się uprzednio obserwowany (bez płatka m iki) siódmy jasny prążek interferencyjny (m = 7). Ile wynosi grubość płatka m iki, jeśli dośw iadczenie wykonywane jest z użyciem św iatła o długości fali X = 550 nm ? (Wskazówka: Rozważ długość fali św iatła w płatku miki). 2 2 . Podczas dem onstracji dośw iadczenia interferencyjnego w sali w ykładowej św iatło laserowe o długości fali równej 632,8 nm przechodzi przez układ dwóch szczelin, przebiega przez całą długość sali (20 m), po czym odbija się od ustawionego tam zw ierciadła i po przebiegnięciu raz jeszcze drogi przez całą długość sali wykładowej pada na ekran obserwacyjny. Na ekranie powstaje obraz, w którym dwa sąsiednie jasne prążki są odległe od siebie o 10 cm. a) Oblicz odległość m iędzy szczelinami, b) Jak zm ieni się obraz wtedy, gdy w ykładowca przesłoni jedną ze szczelin cienkim celofanem (zwiększając w ten sposób o 2,5 liczbę długości fali na tym odcinku drogi)?

36.6 Natężenie światła w obrazie interferencyjnym 2 3 . A m plitudy dwóch fal o takiej samej częstości są równe odpowiednio 1 i 2. Fale intereferują ze sobą w punkcie, w którym różnica ich faz w ynosi 60°. Ile w ynosi am plituda fali wypadkowej? 2 4 . W yznacz sum ę następujących wielkości: y\ = lOsinco?

i

y% = 8 sin(
wtedy, gdy kąt 9 na rysunku 36.8 jest na tyle mały, że sin 9 ~ 6 .

29*. Przypuśćmy, że w układzie dośw iadczalnym z dwiem a szcze­ linam i jed n a ze szczelin jest szersza od drugiej na tyle, że natężenie św iatła w ychodzącego z tej szczeliny i docierającego do centralnej części ekranu obserw acyjnego jest dwa razy w iększe niż natężenie św iatła w ychodzącego z drugiej szczeliny i docierającego do tego sam ego punktu. W yprowadź równanie będące odpowiednikiem równań (36.21) i (36.22), opisujące zależność natężenia św iatła I na ekranie od kąta 9. . ' , ,

36.7 Interferencja w cienkich warstwach 3 0 . N a rysunku 36.30 fala św ietlna Wi ulega jednokrotnem u odbiciu od .powierzchni zwierciadła, natom iast fala W2 odbija się od tej powierzchni dw ukrotnie i jeden raz od powierzchni kostki odblaskowej odległej o L od zwierciadła. Fale m ają długość 620 nm, a ich początkowe fazy są zgodne. Pom ijam y nieznaczne nachylenie prom ieni w sto­ sunku do powierzchni odbi­ jających. a) Ile w ynosi naj^ m niejsza wartość L, przy — ►— której fale odbite m ają dokładnie przeciw ne fazy? b) O ile trzeba przesunąć M kostkę, ażeby fale odbite ponow nie m iały dokładnie Rys. 36 .30. Z adania 30 i 32 przeciw ne fazy?

2 5 . Korzystając z m etody wskazów, dodaj wielkości: y { = lOsin&tf, y 2 = 15 sin(&)f + 30°), y3 = 5 sin(tt)f — 45°). i 2 6 . Św iatło o długości fali 600 nm pada prostopadle na dwie równoległe, wąskie szczeliny odległe od siebie o 0,6 mm. Naszkicuj obraz natężeń św iatła obserwowany na odległym ekranie, jako funkcję odległości kątowej (kąta 6) od środka obrazu, w zakresie kątów 0 ^ 0 ^ 0,004 rad. 2 7 . Si i S2 na rysunku 36.29 są punktowym i źródłam i fal elektro­ magnetycznych o długości fali 1 m. E m itują one zgodnie w fazie, z taką sam ą m ocą, a odległość m iędzy nim i w ynosi d = 4 m. a) W zdłuż osi x , w prawo od Si porusza się detektor. W jakich odległościach od źródła Si w ykryw a on trzy pierw sze m aksim a inteferencyjne? b) Czy natężenie fali w najbliższym m inim um jest dokładnie równe zeru? (Wskazówka: Czy natężenie fali emitowanej z punktowego źródła pozostaje stałe wraz ze wzrostem odległości od źródła?). 2 8 . Dw ie poziom e strzałki na rysunku 36.9 w skazują punkty, w których natężenie centralnego prążka jest równe połowie m ak­ sym alnego natężenia. Pokaż, że odległość kątowa między odpo­ wiednim i punktam i na ekranie obserw acyjnym jest równa

104

36. Interferencja

3 1 . Jasne św iatło o długości fali 585 nm ośw ietla prostopadle zaw ieszoną w powietrzu błonkę m ydlaną (n = 1,33) o grubości 1,21 |xm. Czy po odbiciu św iatła przez obie pow ierzchnie błonki jego interferencja jest bliższa interferencji w pełni konstruktywnej (jasna błonka), czy też destruktyw nej (ciem na błonka)? 3 2 . Przyjmijmy, że dwie fale świetlne z zadania 30 m ają począt­ kowo dokładnie przeciw ne fazy. Znajdź wyrażenie na w artości L (w jednostkach długości fali), dla których fale odbite m ają ściśle zgodne fazy. 3 3 . Św iatło o długości fali 624 nm pada prostopadle na zawieszoną w powietrzu błonkę m ydlaną (n = 1,33). Ile w ynoszą dwie najm niejsze grubości błonki, dla których odbicia od jej powierzchni prow adzą do konstruktywnej interferencji św iatła 3 4 . Soczew ka obiektyw u aparatu fotograficznego o współczynniku załam ania św iatła większym od 1,3 jest pokryta cienką warstwą przeciw odblaskow ą o w spółczynniku załam ania św iatła 1,25 (co elim inuje w wyniku interferencji odbicie św iatła o długości fali X padającego prostopadle na obiektyw). Jaka m usi być najm niejsza grubość warstwy przeciwodblaskowej (w jednostkach X)7

35. Błyszczące dżety ozdabiające stroje to bryłki szkła o w spół­ czynniku załam ania św iatła 1,5. Często w celu zw iększenia efektu połysku pokryw a się je warstewką tlenku krzem u o współczynniku

załam ania św iatła równym 2. Jaka m usi być najm niejsza grubość takiej warstwy, zapewniająca w pełni konstruktyw ną interferencję św iatła o długości fali 560 nm padającego prostopadle na szkiełka i odbijanego od obu powierzchni warstwy pokrywającej? 3 6 . Na rysunku 36.31 św iatło o długości fali równej 600 nm pada prostopadle na pięć sektorów struktury wykonanej z przezro­ czystego m ateriału i zawie­ szonej w powietrzu. W spółIczynnik załam ania św iatła ^ dla m ateriału, z jakiego wy­ konana jest struktura, jest I równy 1,5. Na rysunku gru­ bości poszczególnych sektoi -’/• rów podane są w jednost| kach L = 4 |im . W któ' " J rych sektorach interferencja św iatła odbitego od ich górnej i dolnej powierzchni będzie w pełni konstruk­ tywna?

-

/a)

b)

c)

i / -L ii0 d)

e)

Rys. 3 6 .3 1 . Z adanie 36

3 7 . Chcem y pokryć płaską płytkę szklaną (n = 1,5) przezro­ czystym m ateriałem (n = 1,25) po to, by w wyniku interferencji wyelim inować odbicia św iatła o długości fali 600 nm. Jaka musi być najm niejsza grubość warstwy pokrywającej, zapewniająca osią­ gnięcie tego celu? w w w 3 8 . Na rysunku 36.32 św iatło pada prostopadle na cztery cienkie warstwy o grubości L. Podane są w spółczynniki załam ania światła dla m ateriałów warstw i ośrodków otaczających je z obu stron. N iech k oznacza długość fali św iatła w powietrzu, a n 2 — współczynnik załam ania św iatła rozważanej warstwy. Weź pod uwagę tylko przechodzące przez warstwę prom ienie św ietlne, które nie doznały odbicia lub doznawały dw ukrotnego odbicia, tak jak na rysunku 36.32a. W której z ilustrowanych sytuacji wyrażenie ;2L n 2 k = ------- ,

m

a

' l >4

,4

1,6

g

I.*

b)

#' ' 1,8

l.s

1,4

1.0

r 1,6

1,4

—Ota,——— -

c)

przez warstwę ropy będziesz obserwował najw iększe natężenie, jeżeli dla odm iany zanurkujesz w wodzie pod wyciekiem ? (W ska­ zówka: Skorzystaj z rys. 36.32a, używając odpowiednich wartości współczynników załam ania światła). 4 0 . Płaska fala m onochrom atycznego św iatła pada prostopadle na jednorodną cienką warstwę oleju pokryw ającą płytkę szklaną. D łu­ gość fali padającego św iatła m ożna zmieniać w sposób ciągły. D la św iatła odbitego obserw uje się w pełni destruktyw ną interferencję jedynie przy długościach fali 500 nm i 700 nm. Ile w ynosi grubość warstwy, jeżeli wiadomo, że w spółczynnik załam ania św iatła dla oleju w ynosi 1,3, a dla szkła 1,5? 4 "!. Płaska fala m onochrom atycznego św iatła pada prostopadle na cienką warstwę oleju pokryw ającą płytkę szklaną. D ługość fali padającego św iatła m ożna zmieniać w sposób ciągły. D la św iatła odbitego obserw uje się w pełni destruktyw ną interferencję jedynie przy długościach fali 500 nm i 700 nm. W spółczynnik załam ania św iatła dla szkła wynosi 1,5. Pokaż, że w spółczynnik załam ania św iatła dla oleju m usi być m niejszy niż 1,5. 4 2 . W w yniku odbicia św iatła o długości fali 600 nm od cienkiej błonki mydlanej znajdującej się w powietrzu powstaje m aksim um interferencyjne, a dla św iatła o długości fali 450 nm — m inim um interferencyjne. Ile w ynosi grubość tej błonki (zakładając, że jest ona równom iernej grubości), jeżeli jej w spółczynnik załam ania św iatła u — 1,33? 4 3 . Na rysunku 36.33 szeroka Wiązka św iatła o długości fali 683 nm pada z góry na w ierzchnią płytkę układu tw orzonego przez dw ie płytki. Płytki, które m ają długość 120 mm, stykają się lewymi krawędziam i, a m iędzy ich światło padające prawym i krawędziam i znaj­ duje się drucik o śred­ nicy 0,048 mm. Powietrze m iędzy płytkam i zachowuje .drucik się ja k cienka warstwa. Ile jasnych prążków dostrzega obserwator, który patrzy na -120 m m -

MI I I

m = 1, 2, 3, . . . ,

opisuje długość fali św iatła, którego interferencja po przejściu przez warstwę będzie w pełni konstruktywna?

.()

jesz najjaśniejsze odbicia (wynikające z konstruktywnej interfe­ rencji), patrząc z sam olotu prosto w dół na tę plam ę ropy, jeżeli jej grubość w ynosi 460 nm, a Słońce znajduje się wprost nad tobą? b) D la jakich długości fali św iatła widzialnego przechodzącego

d)

Rys. 36 .32. Z adania 38 i 39 3 9 . Z uszkodzonego tankowca do Z atoki Perskiej wycieka ropa naftowa (n = 1, 2), tworząc na powierzchni wody (n = 1,3) wielką plam ę, a) D la jakich długości fali św iatła widzialnego zaobserw u­

ten układ z góry od strony wierzchniej płytki?.

Rys. 36 .33. Z adania 43 i 44

4 4 . N a rysunku 36.33 św iatło białe pada z góry na układ płytek szklanych. Płytki stykają się lew ym i krawędziam i, a m iędzy ich prawym i krawędziam i znajduje się drucik o średnicy 0,048 mm; powietrze m iędzy płytkam i zachowuje się ja k cienka warstwa. O bserw ator patrzący z góry na układ widzi jasne i ciem ne prążki powstające w w yniku interferencji w tej warstwie, a) C zy po lewej stronie, widzi on jasny, czy ciem ny prążek? b) N a prawo, od tego końca w różnych położeniach dochodzi do destruktywnej interferencji św iatła o różnych długościach fali. Czy pierw szy ciem ny prążek dla św iatła czerw onego powstaje bliżej, czy dalej od lewej krawędzi układu niż pierw szy niebieski prążek? .

Zadania

105

4 5 . Szeroka w iązka św iatła o długości fali 630 nm pada pod kątem 90° na cienki klin z m ateriału o w spółczynniku załam ania św iatła 1,5. Obserw ator oglądający ten klin w św ietle przechodzą­ cym w idzi 10 jasnych i 9 ciemnych prążków w zdłuż długości klina. 0 ile zm ienia się grubość klina na całej jego długości? 4 6 . C ienka warstew ka acetonu (n = 1,25) pokryw a grubą płytkę szklaną (n = 1,5). N a warstwę pada prostopadle św iatło białe. W w yniku interferencji św iatła odbitego powstaje ciem ne m inim um przy 600 nm i jasne m aksim um przy 700 nm. Oblicz grubość warstewki acetonu.

powietrze

4 7 . D w ie płytki szklane ustawiono tak, że m iędzy nim i powstał klin powietrzny. Szeroka w iązka św iatła o długości fali 480 nm pada prostopadle na pierw szą płytkę. O bserw ator oglądający układ w świetle odbitym w idzi obraz interferencyjny powstały w klinie powietrza. O ile grubszy jest klin w m iejscu, w którym występuje szesnasty jasny prążek, w porównaniu z m iejscem , w którym występuje szósty jasny prążek (licząc od m iejsca styku płytek)? 4 8 . Szeroka w iązka św iatła m onochrom atycznego pada prostopa­ dle na dw ie płytki szklane ustawione tak, że m iędzy nim i istnieje klin powietrzny. O bserw ator oglądający układ w św ietle odbitym od tego klina, działającego ja k cienka warstwa, w idzi w zdłuż dłu­ gości klina 4001 ciem nych prążków. Po odpom powaniu powietrza spom iędzy płytek w idzi on tylko 4000 ciemnych prążków. Opie­ rając się na tych danych, oblicz w spółczynnik załam ania św iatła dla powietrza. 4 9 . Na rysunku 36.34a pokazano soczewkę szklaną o prom ieniu krzywizny R um ieszczoną na płaskiej płytce szklanej i oświetlonej od góry św iatłem o długości fali X. N a rysunku 36.34b (fotografia w ykonana z góry) pokazano kołowe prążki interferencyjne (nazy­ w ane pierścieniam i Newtona), które powstają na skutek zm ieniania się grubości d warstwy pow ietrza m iędzy soczewką i płytką. W y­ znacz prom ienie r m aksim ów interferencyjnych, zakładając, że r / R « 1. :. \v

b) Rys. 3 6 .3 4 . Zadania 4 9 -52

przy założeniu, ż e m 3> 1. b) Pokaż również, że pole powierzchni - m iędzy dwom a sąsiednim i jasnym i pierścieniam i jest dane przez S = TiXR,

5 0 . W dośw iadczeniu z pierścieniam i New tona (patrz zadanie 49) prom ień krzywizny R soczewki je st równy 5 m, a średnica soczewki wynosi 20 mm. a) Ile jasnych pierścieni powstaje w tym dośw iadczeniu? Przyjmij, że X = 589 nm. b) Ile jasnych pierścieni powstanie wtedy, gdy cały układ zostanie zanurzony w wodzie (n = 1,33)? 5 1 . U kład do obserw acji pierścieni Newtona m a być zastosowany do w yznaczania prom ienia krzywizny soczewki (por. rys. 36.34 1 zadanie 49). W ykonane dla św iatła o długości fali 546 nm pom iary prom ieni jasnych pierścieni dają dla n -tego i (n + 20)-ego pierścienia w artości odpowiednio 0,162 cm i 0,368 cm. Oblicz prom ień krzyw izny wypukłej powierzchni soczewki.

przy założeniu, że m zależy od m.

5 3 . N a rysunku 36.35 nadajnik m ikrofalowy znajdujący się na w y­ sokości a nad lustrem wody szerokiego jeziora w ysyła m ikrofale o długości fali X w kierunku odbiornika, który jest umieszczony na wysokości x nad lustrem wody na przeciw ległym brzegu je ­ ziora. M ikrofale odbijające się od powierzchni wody interferują

5 2 . a) Skorzystaj z w yniku zadania 49 i pokaż, że w dośw iadcze­ niu z pierścieniam i Newtona różnica prom ieni dwóch sąsiednich jasnych pierścieni (m aksim ów) jest dana wzorem A r = rm

106

36. Interferencja

\yJXR/r,

1. Zauważ, że to pole powierzchni nie

-D Rys. 3 6 .3 5 . Zadanie 53

z m ikrofalam i docierającym i bezpośrednio z nadajnika. Przy ja ­ kiej wysokości x sygnał w odbiorniku jest m aksymalny, jeśli wiadom o, że szerokość jeziora Z), jest dużo w iększa od wysokości a i x oraz że X ^ a. (W s k a z ó w k a Czy odbicia powodują zmianę fazy fali?).

36.8 Interferom etr Michelsona 5 4 . W jednym z ram ion interferom etru M ichelsona, prostopadle do kierunku osi optycznej, um ieszczono cienką warstwę m ateriału o współczynniku załam ania św iatła n = 1,4. Spowodowało to przesunięcie obrazu interferencyjnego o 7 prążków dla św iatła o długości fali 589 nm. Jaką grubość m iała ta warstwa? 5 5 . Przesunięcie zw ierciadła Z 2 w interferom etrze M ichelsona (rys. 36.17) o 0,233 m m powoduje przesunięcie obrazu interferen­ cyjnego o 792 prążków. Jaka jest długość fali św iatła wytw arza­ jącego obraz interferencyjny? 5 6 . Atomy sodu wysyłają św iatło o dwóch długościach fali, Xi = 589,1 nm oraz X2 = 589,59 nm. Św iatło z lampy sodowej używ ane jest w interferom etrze M ichelsona (rys. 36.17). Na jaką odległość trzeba przesunąć zw ierciadło Z 2, ażeby przesunięcie w obrazie prążków interferencyjnch dla jednej z tych dwóch charakterystycznych długości fali było o jeden prążek w iększe niż w obrazie dla drugiej? 5 7 . N a rysunku 36.36 w jednym z ram ion interferom etru M i­ chelsona um ieszczono próżnioszczelną kom órkę o długości 5 cm, w yposażoną w szklane okienka. Po odpom powaniu powietrza z ko­ m órki obraz interferencyjny wytwarzany przez św iatło o długości fali X = 500 nm przesuw a się o 60 prążków. Na podstawie tych danych, oblicz w spółczynnik załam ania św iatła dla pow ietrza pod ciśnieniem atm osferycznym . kzwierciadło

- i 5cm f c l źródło

T

l

do pompy próżniowej

V/

Rys. 3 6 .3 6 . Zadanie 57 5 8 . Podaj w yrażenie opisujące natężenie obserwowane w inter­ ferom etrze M ichelsona (rys. 36.17) jako funkcję położenia ru­ chom ego zw ierciadła. Położenia zw ierciadła zacznij obliczać od punktu, w którym d2 = d\.

Zadania dodatkowe 5 9 . Na rysunku 36.29 pokazano dwa punktowe źródła Si i S2 , które em itują św iatło o długości fali X = 500 nm. E m isja z obu źródeł jest izotropowa i zgodna w fazie, a odległość między źródłam i wynosi d = 2 n,m. Fale z obu źródeł interferują ze sobą w każdym punkcie P na osi x. Przyjmijmy, że punkt P jest bardzo daleko (x «3 00). Ile wówczas w ynosi a) różnica faz m iędzy falam i przychodzącym i ze źródeł Si i S2 i b) jakiego typu jest ich interferencja (bliższa konstruktywnej czy destruktyw nej)? c) Jeżeli punkt P będzie się zbliżać po osi x do źródła S j, to czy różnica faz m iędzy falam i z obu źródeł będzie wzrastać, czy m aleć? d) Sporządź tabelę położeń x , w których różnice faz będą wynosić: 0, 0,5X, 1A, . . . , 2,51, i dla każdego z tych położeń podaj odpowiedni typ interferencji — albo w pełni destruktyw na (D), albo w pełni konstruktyw na (K). 6 0 . Pod koniec XIX w ieku większość uczonych uważała, że św iatło (i każda inna fala elektrom agnetyczna) m usi się rozcho­ dzić w jakim ś ośrodku m aterialnym , a zatem nie m oże rozchodzić się w próżni. Jednym z powodów takiego przekonania był fakt, że każdy typ znanych wówczas fał wym agał obecności m aterial­ nego ośrodka. Na przykład dźw ięk rozchodzi się w powietrzu, w wodzie, w ziem i, ale nie m oże rozchodzić się w próżni. Dlatego też, argumentowali uczeni, kiedy św iatło biegnie od Słońca do Ziem i, nie m ogąc wędrować przez próżnię, m usi rozchodzić się przez ośrodek, który w ypełnia całą przestrzeń kosm iczną i w któ­ rym również porusza się Ziem ia. O środek ten nazwano eterem i założono, że św iatło rozchodzi się w nim z prędkością c. W 1887 r. M ichelson i Edward M orley użyli interferom e­ tru M ichelsona do sprawdzenia w pływ u eteru na rozchodzenie się św iatła (w sam ym interferom etrze). Należało oczekiwać, że ruch aparatury wynikający z ruchu Ziem i wokół Słońca powinien wpływać na obraz interferencyjny obserwowany w interferom e­ trze. Badacze założyli, że Słońce jest w przybliżeniu nieruchom e w stosunku do eteru i wtedy prędkość interferom etru względem eteru jest taka, ja k prędkość v ruchu Ziem i wokół Słońca. Na rysunku 36.37a pokazano układ zw ierciadeł w ekspery­ m encie z 1887 r. Zw ierciadła zostały zam ontowane na ciężkiej płycie zanurzonej w pojem niku z rtęcią, tak że płytę m ożna było obracać płynnie wokół osi pionowej. M ichelson i M orley chcieli porównać obrazy interferencyjne przy różnej orientacji ram ion interferom etru (zm ienianej przez jego obrót) w stosunku do ru­ chu eteru. Ew entualne przesunięcie w obrazie prążków interfe­ rencyjnych związane z obrotem interferom etru byłoby w yraźnym dowodem istnienia eteru. Na rysunku 36.37b pokazano aparaturę widzianą z góry, z zaznaczonym i toram i biegu światła. Żeby zwiększyć m ożliwość obserw acji przesunięcia prążków, światło było odbijane kilkakrot­ nie w zdłuż ram ion interferom etru, a nie ja k w podstawowej jego w ersji tylko jeden raz w każdym ram ieniu (por. rys. 36.17). Te w ie­ lokrotne odbicia zw iększały efektyw ną długość każdego z ram ion do ok. 10 m. Pom im o większej złożoności tak zmodyfikowanego interferom etru działa on dokładnie tak samo ja k prosty interfe­ rom etr i wobec tego w naszych rozw ażaniach m ożemy korzystać

Zadania

107

SU

h)

g)

teleskop b)

Rys. 36.37. Zadanie 60

z rysunku 36.17, przyjm ując po prostu, że długości jego ram ion d\ i d2 są równe 10 m. Załóżmy, że eter istnieje i że prędkość rozchodzenia się w nim św iatła jest równe c. Na rysunku 36.37c pokazano ram ię o długości di widziane z boku i poruszające się w raz z interferom etrem na prawo z prędkością 5 w układzie odniesienia związanym z eterem . (Dla uproszczenia płytka św iatłodzieląca M z rysunku 36.17 została narysowana rów nolegle do zw ierciadła Z \ na drugim końcu ram ienia). N a rysunku 36.37d pokazano to ram ię w m om encie, gdy pew na „porcja” św iatła (zaznaczona jako kropka) rozpoczyna swoją wędrówkę w zdłuż ramienia. Będziem y śledzić tę porcję światła, żeby ustalić, jak a jest długość jeg o drogi od płytki światłodzielącej M do Z i i z powrotem do płytki M . W czasie gdy św iatło biegnie z prędkością c poprzez eter na prawo w stronę zw ierciadła Z 1; zw ierciadło porusza się również w prawo z prędkością v. N a rysunku 36.37e pokazano położenia M i Z \ w chwili, gdy św iatło osiąga zwierciadło Zj i odbija się od niego. Teraz św iatło biegnie poprzez eter z prędkością c w lewą stronę, natom iast M porusza się nadal na prawo. N a rysunku 36.37f pokazano położenia M i Z \ w m om encie pow rotu św iatła do płytki M . a) Pokaż, że całkowity czas przebiegu św iatła na drodze od

108

36. Interferencja

M do Z | i z powrotem do M jest równy 2 cd] i wobec tego długość drogi L i przebytej przez św iatło w zdłuż tego ram ienia interferom etru jest równa 2 c2di L l = Ct1 =

- r -------- - . CL —

.Na rysunku 36.37g pokazano ram ię interferom etru o długości d2; ramię' to również porusza się w prawo poprzez eter z prędkością v. (Tak ja k poprzednio, dla uproszczenia, płytka św iatłodzieląca M z rysunku 36.17 została narysowana równolegle do zw ierciadła Z 2 na drugim końcu ramienia). N a rysunku 36.37h pokazano to ram ię w m om encie, gdy pewna porcja św iatła (zaznaczona jako kropka) rozpoczyna swoją wędrówkę w zdłuż ramienia. Ram ię przem ieszcza się w prawo, zatem tor biegu św iatła jest nachylony w prawo w kierunku położenia, jakie będzie m iało zwierciadło Z 2 w chwili, gdy dotrze do niego św iatło (rys. 36.37i). Odbicie św iatła od' Z2 skieruje je po torze nachylonym w prawo w kie­ runku położenia, jakie będzie m iała płytka M w chwili, gdy dotrze do niej światło (rys. 36.37j). b) Pokaż, że całkowity czas prze-

biegu św iatła na drodze od M do Z 2 i z powrotem do M jest równy 2d2

h~ i wobec tego długość drogi L 2 przebytej przez św iatło wzdłuż tego ram ienia interferom etru jest równa L 2 = ct2

2cd2 V ę

2-

V

Podstaw d zam iast di i d 2 w równaniach opisujących L i i L 2. Roz­ w iń następnie obydwa w yrażenia w szereg potęgow y (korzystając ze w zoru dwum ianowego podanego w dodatku E) i zachowaj tylko dwa pierw sze wyrazy w każdym rozwinięciu, c) Pokaż, że długość drogi L i jest w iększa niż długość L 2 i że ich różnica A L jest równa dv2 AL = — . cl d) Pokaż następnie, że w teleskopie obserw acyjnym różnica faz m iędzy św iatłem biegnącym po drodze L i i biegnącym po drodze' L 2 jest równa

AL

dv2

~T~ ~ X gdzie Ajest długością fali światła. Ta różnica faz decyduje o obrazie prążków interferencyjnych wytwarzanym przez światło docierające do teleskopu w interferom etrze. Obróć teraz cały interferom etr o 90°, tak aby ram ię o długości ¿2 było rów noległe do kierunku ruchu przez eter, a ram ię o dłu­ gości d\ prostopadłe do tego kierunku, e) Pokaż, że przesunięcie w obrazie prążków wyw ołane przez taki obrót jest równe 2dv2 przesunięcie = — —. A,cL f) O ceń wielkość przesunięcia, kładąc: c = 3 ■108 m/s, d = 10 m i X = 500 nm oraz korzystając z potrzebnych danych o ruchu Ziem i podanych w dodatku C. To oczekiw ane przesunięcie prążków powinno być łatwe do zaobserwowania. Ale M ichelson i M orley nie zaobserwow ali żad­ nego -przesunięcia prążków, co ogrom nie nadw ątliło przekonanie o istnieniu eteru. I wkrótce idea eteru znikła całkowicie. A ponadto negatywny w ynik dośw iadczenia M ichelsona-M orleya przyczynił się do powstania szczególnej teorii względności Einsteina.

37 Dyfrakcja

Georges Seurat nam alow ał Popołudnie na wyspie La Grandę Jatte całkiem odm ienną, niż wówczas stosowana, techniką — zamiast zwykłych pociągnięć pędzla nałożył na płótno m iliardy małych barwnych kropek — tak powstał styl nazwany pointylizmem (puentylizmem). Przyglądając się z bliska, możesz rozpoznać kropki, ale z większej odległości nie można ich na obrazie rozróżnić. Poza tym barwa określonego fragm entu na obrazie zależy od odległości, z jakiej fragm ent ten jest oglądany — to był właśnie powód, dla którego Seurat m alował kropkami.

37.1. Dyfrakcja i falow a teoria światła W rozdziale 36, w którym mówiliśmy już o dyfrakcji (czyli ugięciu światła), rozu­ mieliśmy przez ten termin jedynie rozprzestrzenianie się światła, które wydostaje się z wąskiej szczeliny w cały obszar za szczeliną. Jednak zjawisko dyfrakcji to więcej niż tylko rozprzestrzenianie się światła, w wyniku dyfrakcji powstaje bo­ wiem złożony z prążków obraz interferencyjny, zwany obrazem dyfrakcyjnym. Kiedy na przykład światło monochromatyczne z odległego źródła (lub z lasera) przechodzi przez wąską szczelinę i pada następnie na ekran obserwacyjny, to wy­ twarza ono na ekranie obraz dyfrakcyjny, taki jak ten pokazany na rysunku 37.1. Obraz ten składa się z szerokiego i intensywnego (bardzo jasnego) środkowego maksimum, a po obu jego stronach występuje pewna liczba węższych i nie tak już intensywnych maksimów bocznych. Między nimi występują minima. W optyce geometrycznej taki obraz byłby całkowicie nieoczekiwany: jeśli bowiem światło rozchodziłoby się po liniach prostych, jak promienie świetlne, to szczelina przepuściłaby niektóre z tych promieni i na ekranie obserwacyjnym odtworzyłyby one ostrą, jasną szczelinę. I tym razem, tak jak w rozdziale 36 musimy dojść do wniosku, że optyka geometryczna jest tylko przybliżeniem. Dyfrakcja światła nie ogranicza się tylko do sytuacji, kiedy światło prze­ chodzi przez wąskie szczeliny lub otwory. Dochodzi do niej również na krawę­ dziach nieprzezroczystych przesłon, takich jak krawędzie żyletki, której obraz dyfrakcyjny pokazany jest na rysunku 37.2. Zwróć uwagę, że linie maksimów i minimów ciągną się równolegle wokół krawędzi żyletki zarówno wewnętrzych, jak i zewnętrznych. Kiedy światło pada na, powiedzmy, lewą pionową krawędź żyletki, ugina się na niej i rozprzestrzeniając się zarówno na prawo, jak i na lewo poza krawędzią, ulega interferencji, tworząc obraz widoczny wzdłuż lewej krawędzi. Większa część prawej strony obrazu znajduje się w obszarze, który zgodnie z prawami optyki geometrycznej jest obszarem cienia żyletki. Często spotykanym, niejako naturalnym przykładem dyfrakcji są efekty po­ jawiające się przy obserwacji czystego, niebieskiego nieba. Możesz wówczas w polu widzenia spostrzec plamki i włosowate struktury. Te struktury, zwane „latającymi muszkami”, powstają przy uginaniu się światła na krawędziach bar­ dzo drobnych zmętnień (zagęszczeń) w ciele szklistym przezroczystej substancji wypełniającej większość gałki ocznej. To co widzisz w polu widzenia twego oka, to obraz dyfrakcyjny wytwarzany na siatkówce przez jedno z takich zmęt­ nień. Jeżeli spoglądasz przez mały otworek w nieprzezroczystym ekranie, tak że wpadające do twojego oka światło jest w przybliżeniu falą płaską, to możesz rozróżnić poszczególne maksima i minima w obrazie.

Rys. 37.1. Ten obraz dyfrakcyjny po­ jaw ił się na ekranie obserwacyjnym , kiedy światło, które przeszło przez w ą­ ską szczelinę, dotarło do ekranu. D y­ frakcja sprawia, że św iatło pojaw ia się poza szczeliną w wielu kierunkach pro­ stopadłych do jej długich krawędzi. Po­ wstaje obraz interferencyjny składający się z szerokiego m aksim um środkowego i mniej intensywnych i węższych mak­ simów bocznych rozdzielonych m ini-

Jasna plamka Fresnela Zjawisko dyfrakcji bez trudu można objaśnić w ramach falowej teorii światła. Jednak akceptacja tej teorii, którą pierwotnie u schyłku XVII wieku wprowadził Huygens, a w 123 lata później Young wykorzystał do objaśnienia wyników do­ świadczenia z dwiema szczelinami, przebiegała bardzo powoli, głównie dlatego, że była ona przeciwstawna teorii światła Newtona, zgodnie z którą światło było strumieniem cząstek.

Rys. 37 .2. O braz dyfrakcyjny w ytw o­ rzony przez żyletkę ośw ietloną św iatłem monochrom atycznym . Zwróć uwagę na naprzem ienne linie m aksim um i m ini­ m um natężenia św iatła

37.1. Dyfrakcja i fa lo w a te o ria św iatła

111

Rys. 37.3. Fotografia obrazu dyfrakcyj­ nego nieprzezroczystego krążka. Zwróć uwagę na koncentryczne pierścienie dy­ frakcyjne i na jasn ą plam kę Fresnela w środku obrazu. Dośw iadczenie, w któ­ rym uzyskano ten obraz, jest identyczne z dośw iadczeniem wykonanym przez kom itet konkursow y sprawdzający teo­ rię Fresnela. Zarówno kula zastosowana przez wspomniany komitet, ja k i zasto­ sowany tutaj krążek m ają w przekroju poprzecznym kształt koła

Pogląd Newtona przeważał również w kręgach uczonych francuskich we wczesnych latach dziewiętnastego stulecia, kiedy to Augustin Fresnel, młody woj­ skowy inżynier, zwolennik teorii falowej światła, przedłożył Francuskiej Akade­ mii Nauk pracę o swych eksperymentach ze światłem i ich opis w ramach falowej teorii światła. W 1819 r. Akademia zdominowana przez zwolenników teorii Newtona posta­ nowiła rzucić wyzwanie teorii falowej i ogłosiła konkurs na dysertację o dyfrak­ cji. Konkurs wygrał Fresnel. Fakt ten jednak nie zmienił poglądów zwolenników Newtona, ani też ich nie uciszył. Jeden z nich, słynny matematyk i fizyk Simeon Denis Poisson, wskazał na „dziwny wynik”, do którego musiałaby prowadzić teoria Fresnela, gdyby były prawdziwa — fale świetlne ugięte na kuli powinny wytwarzać jasną plamkę w środku cienia kuli. Komitet konkursowy zorganizował test, którego celem było sprawdzenie przewidywanego przez Poissona efektu. Test ten wykazał (patrz rys. 37.3), że oczekiwana plamka Fresnela istotnie pojawia się w obrazie dyfrakcyjnym! Nic tak dalece nie umacnia wiary w prawidłowość teo­ rii, jak zweryfikowanie przez doświadczenie jej nieoczekiwanych i przeciwnych intuicji czy „zdrowemu rozsądkowi” przewidywań.

37.2. Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie: położenia m inim ów Zajmiemy się teraz obrazem dyfrakcyjnym wytwarzanym przez płaskie fale świet­ lne o długości fali X, które ulegają dyfrakcji na pojedynczej, długiej szcze­ linie o szerokości a, wykonanej w nieprzezroczystym ekranie pokazanym na rysunku 37.4a. (Na rysunku tym wysokość szczeliny jest prostopadła do po­ wierzchni kartki i rozciąga się przed i za nią, a czoła fali dobiegającej do ekranu B są do niego równoległe). W świetle ugiętym docierającym do ekranu obser­ wacyjnego C fale pochodzące z różnych punktów szczeliny interferują ze sobą i wytwarzają na ekranie obraz dyfrakcyjny, złożony z jasnych i ciemnych prąż­ ków (maksima i minima interferencyjne). Żeby wyznaczyć położenia prążków, zastosujemy procedurę zbliżoną do procedury stosowanej przez nas przy wyzna­ czaniu położeń prążków w obrazie interferencyjnym dwóch szczelin. Jednakże z matematycznego punktu widzenia zjawisko dyfrakcji jest znacznie trudniejsze i dlatego nasze obecne rozważania ograniczymy tylko do ciemnych prążków. Zanim jednak zajmiemy się ciemnymi prążkami, upewnimy się co do.obecno­ ści w obrazie centralnego jasnego prążka widzianego na rysunku 37.1. Zauważmy, że droga wtórnych (elementarnych) fal Huygensa wychodzących ze wszystkich punktów szczeliny i docierających do środka obrazu jest w przybliżeniu taka sama i wobec tego w tym punkcie fale te mają zgodne fazy. Jeśli chodzi o inne jasne prążki, to powiemy jedynie, że w przybliżeniu leżą one w połowie odle­ głości między sąsiednimi ciemnymi prążkami. Rys. 37.4. a) Interferencja fal ze skrajnych górnych punktów dwóch stref o szerokości a / 2 w punkcie Pi na ekranie obserwacyjnym C jest w pełni destruktyw na, b) D la D a prom ienie św ietlne n i r2 m ożemy traktować ja k prom ienie równoległe, tworzące kąt 6 z osią układu

112

37. Dyfrakcja

Do wyznaczenia położenia ciemnych prążków zastosujemy pomysłową (i upraszczającą) strategię, która polega na rozpatrywaniu par promieni prze­ chodzących przez szczelinę i ustalaniu, w jakich warunkach w każdej parze fale wtórne reprezentowane przez te promienie znoszą się wzajemnie. Zastosujmy taką strategię do pierwszego ciemnego prążka w punkcie Pi na rysunku 37.4a. Najpierw w pamięci dzielimy szczelinę na dwie strefy o jednakowej szerokości a /2 . Następ­ nie przedłużamy do punktu P\ promień świetlny, który wychodzi z najwyższego punktu górnej strefy, oraz promień r2, który wychodzi z najwyższego punktu dolnej strefy. Wytyczamy oś przechodzącą przez środek szczeliny i ekran obserwacyjny C . W takim układzie położenie punktu Pi względem osi określone jest przez kąt 9. W obszarze szczeliny fale, którym odpowiada para promieni r\ i r2, mają zgodne fazy, gdyż ich źródłem jest to samo czoło fali przechodzącej przez całą szerokość szczeliny. Aby w punkcie P\ powstał ciemny prążek, różnica ich faz po osiągnięciu przez nie tego punktu musi odpowiadać X /2\ ta różnica faz wynika z różnicy przebywanych przez nie dróg, gdyż droga fali wtórnej r2 do punktu P\ jest dłuższa niż droga fali wtórnej r \ . Żeby ustalić różnicę dróg, na promieniu r2 znajdujemy taki punkt b , że odległość między tym punktem i punktem P\ jest taka sama, jak droga fali wtórnej r2. Oznacza to, że różnica dróg obu fal jest równa odległości od środka szczeliny do punktu b, Kiedy ekran obserwacyjny C znajduje się blisko ekranu B ze szczeliną, wówczas matematyczny opis obrazu dyfrakcyjnego na ekranie C jest bardzo trudny. Możemy jednak ogromnie uprościć problem matematycznego opisu, bu­ dując układ doświadczalny tak, żeby odległość D ekranu obserwacyjnego od szczeliny była dużo większa niż szerokość a samej szczeliny. Wówczas możemy potraktować promienie ri i r2 jako w przybliżeniu równoległe i tworzące kąt 9 z osią (rys. 37.4b). Możemy również w przybliżeniu przyjąć, że trójkąt o wierz­ chołkach w punkcie b, najwyższym punkcie górnej strefy i najwyższym punkcie dolnej strefy szczeliny jest trójkątem prostokątnym, w którym jeden z kątów jest równy 9. Różnica dróg promieni r { i r2 (która nadal jest równa odległości od środka szczeliny do punktu b) jest wówczas równa (a/2) sin 0. ' Taką analizę możemy powtórzyć dla każdej pary promieni wychodzących z odpowiednich punktów w obu strefach (np. z punktów środkowych każdej strefy) i docierających do punktu Różnica dróg każdej takiej pary promieni jest taka sama i wynosi (a/2) sin 9. Przyrównując'tę wspólną wszystkim pa­ rom promieni różnicę dróg do X/2 (co jest warunkiem występowania pierwszego ciemnego prążka), otrzymamy

czyli a s in 9 = X

(pierwsze m inim um ).

(37.1)

Dla zadanych szerokości szczeliny a oraz długości fali X równanie (37.1) podaje kąt 9, pod jakim powyżej i poniżej osi (co wynika z symetrii) występuje pierwszy ciemny prążek. Zwróć uwagę, że jeżeli początkowo a > X, a następnie szczelina będzie zwę­ żana przy nie zmieniającej się długości fali, to kąt, pod jakim występuje pierwszy

3 7 .2. Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie: położenia m inim ó w

113

ciemny prążek, wzrasta; tzn. obszar zajmowany przez obraz dyfrakcyjny (jego szerokość) jest większy dla węższej szczeliny. Jeżeli doprowadzimy do sytuacji, w której szerokość szczeliny będzie taka jak długość fali (tzn. a = A), to kąt, pod którym występuje pierwszy ciemny prążek będzie równy 90°. Dwa pierwsze ciemne prążki wyznaczają jednocześnie krawędzie centralnego jasnego prążka, wobec tego jasny prążek musi zajmować cały ekran obserwacyjny. Położenie kolejnego, drugiego ciemnego prążka po obu stronach osi znaj­ dziemy, postępując w takim sam sposób, jak przy pierwszym ciemnym prążku, z tą tylko różnicą, że tym razem podzielimy całą szerokość szczeliny na cztery strefy o jednakowych szerokościach równych a/A (rys. 37.5a). Przedłużymy na­ stępnie promienie r \ ,r 2,r i i rą wychodzące z najwyższego punktu każdej strefy do punktu P2, w którym powyżej osi ma występować drugi ciemny prążek. Aby prążek ten występował w punkcie P2, różnice dróg między promieniami r\ i.r2, r 2 i i'-; oraz r:, i 1-4 muszą być równe X/2. padająca

a)

Wtedy gdy D a, możemy te cztery promienie w przybliżeniu traktować jak promienie równoległe i tworzące kąt 6 z osią układu. I tak jak poprzed­ nio, żeby ustalić różnicę dróg, łączymy kolejne pary promieni prostopadłym odcinkiem, tak jak pokazano na rysunku 37.5b, tworząc trzy trójkąty prosto­ kątne, w których jeden z boków jest właśnie równy różnicy dróg między pro­ mieniami każdej pary. Rozważając górny trójkąt, znajdujemy, że różnica dróg między promieniami r\ i r 2 jest równa (a/A) sin 8 . Podobnie, łatwo ustalimy, że dla pozostałych par promieni (r2 i r3 oraz r3 i r4) różnica ta jest również równa (a/A) sin0. W rzeczywistości różnica dróg dla każdych dwóch promieni wycho­ dzących z odpowiadających sobie punktów sąsiednich stref jest zawsze równa (a/4 )sin 0 . W każdym takim przypadku różnica dróg jest równa A/2, wobec tego mamy a A - sin 8 = - , 4 2 czyli a s in 8 = 2 k

Rys. 37.5. a) Interferencja fal ze skraj­ nych górnych punktów czterech stref 0 szerokości a /A jest w punkcie P2 w pełni destruktywna, b) Dla D > a możemy promienie świetlne r\, r2, o 1r4 traktować jak promienie równolegle, tworzące kąt 9 z osią układu

(drugie minimum).

(37.2)

Możemy teraz, dzieląc szczelinę na coraz większą liczbę stref o jednakowych sze­ rokościach, wyznaczać położenia kolejnych ciemnych prążków. Zawsze będziemy dzielić szczelinę na parzystą liczbę stref, tak aby wszystkie strefy (i wychodzące z nich fale) można było rozważać parami, tak jak w omówionych wyżej przy­ padkach. Ostatecznie ogólne wyrażenie opisujące położenie ciemnych prążków, powyżej i poniżej osi, ma postać a sini? = m k,

m = 1, 2, 3, . ..

(minima — ciemne prążki).

(37.3)

Zapamiętanie tego wyniku można sobie ułatwić, kreśląc trójkąt prostokątny, taki jak na rysunku 37.4b, ale dla całej szerokości a szczeliny, a wtedy, jak nietrudno zauważyć, różnica dróg między skrajnymi promieniami wychodzą­ cymi z góry i z dołu szczeliny jest równa a sin0. Wobec tego z równania (37.3) wynika że:

114

37. Dyfrakcja

► W dośw iadęzeniu nad dyfrakcją na pojedynczej szczelinie ciem ne prążki powstają tam , gdzie różnice dróg (a&mO) m iędzy skrajnymi prom ieniam i wychodzącym i ze szczeliny są równe X-, 2X, 3 X ,. . .

To może wydawać się błędne, gdyż fale reprezentowane przez te dwa szcze­ gólne promienie będą miały dokładnie takie same fazy wszędzie tam, gdzie róż­ nica ich dróg jest całkowitą wielokrotnością długości fali. Jednakże każda z nich stale będzie składnikiem pary fal, których fazy są dokładnie przeciwne; każda fala będzie znosić się z pewną inną falą, co prowadzi do ich wygaszania i ciemności na obrazie dyfrakcyjnym. Równania (37.1), (37.2) i (37.3) zostały wyprowadzone dla przypadku, kiedy D a. Mają one zastosowanie również wtedy, gdy mię­ dzy szczeliną i ekranem obserwacyjnym umieścimy soczewkę skupiającą, a ekran ustawimy w płaszczyźnie ogniskowej soczewki. Soczewka zapewnia to, że w każ­ dym punkcie na ekranie skupiane są promienie, które przy wyjściu ze szczeliny są ściśle (a nie tylko w przybliżeniu) wzajemnie równoległe. Są one takie, jak początkowo równoległe promienie na rysunku 35.12a, które soczewka skupiająca kieruje do swego ogniska.

's p r a w d z ia n 1 :

Używając długiej, wąskiej szczeliny oświetlonej św iatłem niebieskim, obserwujem y obraz dyfrakcyjny powstały na ekranie obserwacyjnym . Czy kolejne prążki dyfrakcyjne oddalą się od centralnego jasnego prążka, czy też zbliżą się do niego, gdy a) ośw ietlim y tę szczelinę św iatłem żółtym , a nie niebieskim lub też b) zm niejszym y

I

szerokość szczeliny?

Przykład 37.1 Szczelina ośw ietlana jest św iatłem białym (w którym występują w szystkie długości fali z zakresu widzialnego). a) Przy jakiej szerokości a szczeliny pierw sze m inim um dla św ia­ tła czerw onego o długości fali X = 650 nm będzie występować pod kątem 0 = 15°? ROZWIĄZANIE: Kluczem do odpowiedzi jest spostrzeżenie, że O - f przy przecho­ dzeniu przez szczelinę fale o poszczególnych długościach ulegają ugięciu pod różnymi kątam i, a położenia ich m inim ów określa równanie (37.3) ( a s in S = mX). Jeżeli położym y m = 1 (dla pierw szego m inim um ) i podstawimy do równania (37.3) podane w artości 9 oraz X, to otrzym am y 1 mX (1)(650 nm ) a = ------ = --------------5— = 2 5 1 1 nm ^ 2,5 |xm. (odpowiedz) sin 0 i sin 15 W idać stąd, że na to, aby św iatło m ogło uginać się tak mocno (± 1 5 ° do pierw szego m inim um ), szczelina m usi być rzeczyw iście bardzo w ąska — tylko ok. czterech długości fali światła. Dla porów nania podajmy, że w łos ludzki m a średnicę ok. 100 |im . b) Jaką długość fali X’ m a światło, dla którego pierw sze boczne m aksim um występuje pod kątem 15° i tym samym pokryw a się z pierw szym m inim um dla św iatła czerwonego?

ROZWIĄZANIE: Tym razem podstawowe spostrzeżenie to fakt, że O - f dla każdej długości fali pierw sze boczne m aksim um występuje w przybliże­ niu w połow ie odległości m iędzy pierw szym i drugim m inim um dla tej długości fali. Położenia pierw szego i drugiego m inim um znajdziemy za pom ocą rów nania (37.3), odpowiednio dla m = 1 i m = 2. W obec tego przybliżone położenie pierw szego bocz­ nego m aksim um będzie odpowiadać w artości m = 1,5. W ówczas równanie (37.3) jest postaci

ańn9

=

1,5A';

rozw iązując je ze względu na X', po podstaw ieniu zadanych w iel­ kości otrzym am y

X =

a sin f?

(2511 nm )(sin 15°)

1,5

1,5

= 430 nm .

(odpowiedź)

Taką długość fali m a św iatło fioletowe. Pierw sze boczne m aksi­ m um dla św iatła o długości fali 430 nm będzie zawsze pokrywać się z pierw szym m inim um dla św iatła o długości 650 nm i to niezależnie od tego, jak a jest szerokość szczeliny. Jeżeli szczelina jest stosunkowo wąska, to kąt 9, dla którego zachodzi tó pokryw a­ nie się, je st stosunkowo duży, i odwrotnie (m ały kąt w przypadku szerokiej szczeliny).

37 .2. D yfrakcja na pojedynczej szczelinie: położenia m in im ó w

115

37.3. Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny. Opis jakościowy W paragrafie 37.2 nauczyliśmy się, jak znajdować położenia minimów i maksimów w obrazie dyfrakcyjnym wytwarzanym przez pojedynczą szczelinę. Terazi zajmiemy się bardziej ogólnym problemem — będziemy poszukiwać wyrażenia opisującego rozkład natężenia światła I w obrazie dyfrakcyjnym, tzn. zależność natężenia I od kątowego położenia 8 na ekranie obserwacyjnym. W tym celu podzielimy szczelinę na rysunku 37.4a na N stref o jednako­ wej szerokości A x , tak małych, że będziemy mogli przyjąć, iż każda strefa jest źródłem elementarnej fali Huygensa. Będziemy nakładali na siebie fale, które do­ cierają do dowolnie wybranego punktu P na ekranie obserwacyjnym pod kątem 8 w stosunku do osi układu i wyznaczali amplitudę Eg składowej elektrycznej fali wypadkowej w tym punkcie. Natężenie światła w punkcie P jest proporcjonalne do kwadratu tej amplitudy. Do wyznaczenia Eg potrzebna jest nam znajomość związków fazowych fal wtórnych docierających do punktu P. Różnica faz między falami wychodzącymi z sąsiadujących ze sobą stref szczeliny jest dana równaniem: (różnica faz) = (2it/A) • (różnica dróg). W punkcie P leżącym pod kątem 8 do osi różnica dróg fal przychodzących z sąsiednich stref jest równa A x sin 8 i wobec tego różnica faz między tymi falami jest równa (37.4)

Rys. 3 7 .6 . Diagram y dla N = 18 wskazów odpowiadających podziałow i poje­ dynczej szczeliny na 18 stref. Pokazane na rysunkach wypadkowe am plitudy E e odnoszą się do: ą) centralnego m aksi­ m um (9 = 0), b) punktu na ekranie, którego położenie jest bliskie osi (mały kąt 9), c) pierw szego m inim um oraz d) pierw szego m aksim um bocznego

116

37. Dyfrakcja

Zakładamy, że fale wtórne przybywające do punktu P mają takie same amplitudy A E . Amplitudę Eg fali wypadkowej w punkcie P znajdziemy, korzystając ze znanej nam już procedury dodawania wskazów A E. Konstruujemy diagram dla N wskazów, po jednym z każdej ze stref szczeliny. Z równania (37.4) wynika, że dla punktu P$ na rysunku 37.4a (na osi 9 = 0 ) różnica faz A

tych wskazów. Taki układ wskazów prowadzi do największej wartości amplitudy wypadkowej Eg- Tę maksymalną wartość amplitudy Eg dla kąta 9 = 0 będziemy oznaczać jako E m . Zajmiemy się teraz kolejnym punktem P , którego położenie na ekranie ob­ serwacyjnym określone jest przez mały kąt 0 w stosunku do osi. Tym razem z równania (37.4) wynika, że różnica faz A (f> między falami z sąsiednich stref szczeliny nie jest już równa zeru. Odpowiedni diagram dla tej sytuacji przedsta­ wiono na rysunku 37.6b; tak jak poprzednio, wskazy tworzą układ, w którym koniec jednego wektora jest początkiem kolejnego, ale teraz kierunki kolejnych wskazów tworzą ze sobą kąt A0. Tak jak poprzednio, i w tym punkcie na ekra­ nie obserwacyjnym amplituda E g fali wypadkowej jest sumą wektorową wszyst­ kich wskazów, ale jest ona mniejsza niż w przypadku zilustrowanym na rysunku 37.6a, co oznacza, że natężenie światła w rozważanym punkcie P jest mniejsze niż w punkcie Po. Jeżeli będziemy stopniowo zwiększali kąt 9, to kąt A (f> między sąsiednimi wskazami będzie również stopniowo wzrastał i diagram będzie się zawijał, aż w końcu krzywa diagramu zamknie się w okrąg — koniec ostatniego wskazu spotka się z początkiem pierwszego wskazu (rys. 37.6c). Amplituda Eg będzie wtedy równa zeru, a to oznacza, że natężenie światła na ekranie obserwacyj­ nym będzie również równe zeru. Osiągnęliśmy punkt, w którym znajduje się pierwsze minimum obrazu dyfrakcyjnego, czyli pierwszy ciemny prążek. Różnica faz między pierwszym i ostatnim wskazem jest równa 2% radianów, co ozna­ cza, że różnica dróg promieni świetlnych wychodzących ze skrajnych krawędzi szczeliny odpowiada jednej długości fali. Przypomnijmy, że jest to właśnie znale­ ziony przez nas wcześniej warunek występowania pierwszego minimum dyfrak­ cyjnego. Jeżeli nadal będziemy zwiększać kąt 9, to kąt Ar/> między sąsiednimi wska­ zami będzie się również zwiększał i krzywa diagramu zacznie się zwijać, a po­ wstająca w ten sposób pętla diagramu będzie się zacieśniać. Amplituda Eg stop­ niowo wzrasta, aż do osiągnięcia wartości maksymalnej w sytuacji zilustrowanej na rysunku 37.6d, która odpowiada pierwszemu bocznemu maksimum w obrazie dyfrakcyjnym. Przy dalszym zwiększaniu kąta 6 zaciskanie pętli diagramu zmniejsza E g , co oczywiście odpowiada zmniejszaniu się natężenia światła. Kiedy kąt 9 osiągnie dostatecznie dużą wartość, koniec ostatniego wskazu spotka się znowu z począt­ kiem pierwszego wskazu. Doszliśmy do drugiego minimum. Moglibyśmy kontynuować te jakościowe rozważania nad maksimami i mini­ mami obrazu dyfrakcyjnego, ale przejdziemy już do rozważań ilościowych.

✓

s p r a w d z ia n 2 Rysunki obok to wygładzona w sto­ sunku do rysunków 37.6 (z w iększą liczbą wskazów) postać diagramów dla dwóch punktów obrazu dyfrakcyjnego, po dwóch przeciw nych stronach w ybranego m aksim um dyfrak­ cyjnego. a) O które m aksim um chodzi? b) Ile wynosi przy­ bliżona w artość m (w równaniu 37.3)) dla tego m aksim um ?

37.3. Natężenie św iatła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny. O pis jakościowy

37.4. Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym ' pojedynczej szczeliny. Opis ilościowy Równanie (37.3) opisuje położenia minimów w obrazie dyfrakcyjnym pojedyn­ czej szczeliny, obserwowanym na ekranie C na rysunku 37.4a, w zależności od kąta 9 zdefiniowanego na tym rysunku. Teraz zajmiemy się wyprowadzeniem wyrażenia na natężenie 1(0) światła w tym obrazie. Udowodnimy niżej, że rozkład natężenia opisuje wyrażenie / sin a \ 2

: -względne natężenie ;....... r ......r

I(.0) = Im { —

J ,

(37.5)

.. - i 0,8......i"..... f-

0.6

gdzie

ii~X

:....... -... ............. i 0,4

na

.....- i - ...... i........ 0.2

2 20

15

10

5

0

5

10

15

a) względne natężenie

■..... ;..... t"~... H # r ;....... |........ ;.......ffCs-i 1......i-----i ...

i

!

0.6 \o -

1.......:........- / h m -

a= 5X

;

i

15

10

5 0 5 6 [stopnie]

i

a= m n, 10

15

(37.6)

Wielkość a jest wygodnym parametrem łączącym kąt 9 , który określa położenie danego punktu na ekranie obserwacyjnym, z natężeniem światła w tym punkcie. /m to największa wartość natężenia światła w obrazie dyfrakcyjnym, odpowia­ dająca centralnemu maksimum (dla którego 9 = 0), natomiast 4> jest różnicą faz (w radianach) między skrajnymi promieniami wychodzącymi ze szczeliny o szerokości a. Z równania (37.5) wynika, że minima występują wszędzie tam, gdzie

j . . j / . . f 0,220

sin (9.

20

6 [stopnie]

'

X

20

m = 1 ,2 ,3 , .. .

(37.7)

Jeżeli ten warunek wstawimy do równania (37.6), to znajdziemy, że TCCl

m tc = — sin 0, x

b)

m = 1,2, 3, ...

albo ; i względne natężenie: i....... j........ i ....... i-1,%. \ ; « = 10/. ; ..... i - -....:...... :

;

!.................j-.....o.
;..

-+■■■.... 0.4 - - V i..... 4........!......... ;

:....--i-...... i........ ^ 2 20

15

III

5 0 5 0 [stopnie]

10

15

20

c) Rys. 37.7. R ozkład względnego natę­ żenia w obrazie dyfrakcyjnym pojedyn­ czej szczeliny dla trzech różnych w arto­ ści stosunku a /X . Im szersza jest szcze­ lina, tym węższe jest m aksim um cen­ tralne

118

37. Dyfrakcja

a s in 9 = m X ,

m = 1 ,2 ,3 ,...

(m inim a — ciem ne prążki),

(37.8)

:

a to jest dokładnie równanie (37.3), które opisuje położenie minimów i które wyprowadziliśmy już wcześniej. Na rysunku 37.7 pokazano rozkład natężeń w obrazie dyfrakcyjnym po­ jedynczej szczeliny, obliczony na podstawie równań (37.5) i (37.6) dla trzech różnych szerokości szczelin: a = X, a — 5X i a — 10/,. Zauważ, że w miarę jak rośnie szerokość szczeliny (w porównaniu z długością fali światła), szero­ kość centralnego maksimum dyfrakcyjnego (obszar centralnego grzbietu na wy­ kresach) zmniejsza się, tzn. światło jest słabiej uginane na szczelinie. Szerokość maksimów bocznych również ulega zwężeniu (i stają się słabsze). W przypadku granicznym, kiedy szerokość szczeliny a jest dużo większa niż długość fali X, maksima boczne znikają, światło nie jest już uginane przez szczelinę (ale nadal występuje dyfrakcja na krawędziach szczeliny, taka jak na krawędziach żyletki na rysunku 37.2).

Wyprowadzenie wzorów (37.5) i (37.6) Łuk wskazów na rysunku 37.8 obrazuje fale wtórne, które osiągają wybrany punkt P na ekranie obserwacyjnym na rysunku 37.4, dla którego kąt 6 jest mały. Amplituda Eg fali wypadkowej w punkcie P jest sumą wektorową tych wskazów. Jeżeli szczelinę na rysunku 37.4 podzielimy na nieskończenie wąskie strefy o szerokości A x , to łuk wskazów stanie się łukiem okręgu, którego pro­ mień oznaczono na rysunku przez R. Długość tego łuku musi być równa E m — amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego; jeżeli bowiem wyprostujemy łuk, to otrzymamy taki sam diagram jak na rysunku 37.6a (na rys. 37.8 pokazany w bledszym odcieniu). Kąt 4> w dolnej części rysunku 37.8 jest różnicą faz między skrajnymi wek­ torami łuku E m (na jego lewym i prawym końcu). Z konstrukcji rysunku 37.8 wynika, że
(4 > \

Eg

Sm \ 2 / = 2R

(37'9)

W mierze łukowej (w radianach) kąt (f>jest równy (gdyż E m jest łukiem okręgu)

Rys. 37.8. Konstrukcja pom ocnicza do obliczenia natężenia w obrazie dyfrak­ cyjnym pojedynczej szczeliny. Poka­ zana sytuacja odpowiada tej na ry­ sunku 37.6b

Em . R '

Obliczenie stąd R i podstawienie go do równania (37.9) prowadzi do En -

(

0

/

2

)

“

U

J

'

< 3 7 1 0 )

Z paragrafu 34.4 wiemy, że natężenie fali elektromagnetycznej jest proporcjo­ nalne do kwadratu amplitudy jej pola elektrycznego. W rozważanym tutaj przy­ padku oznacza to, że maksymalne natężenie Im (tzn. natężenie w środku obrazu dyfrakcyjnego) będzie proporcjonalne do E ^ , natomiast natężenie 1(0) będzie proporcjonalne do Eg. Możemy wobec tego napisać 2

1(0) = E ^ Im

>• E l '

(37.11)

Podstawiając do tego wyrażenia, zamiast Eg, równanie (37.10) oraz a =

= 1, ,s in “ x

czyli równanie (37.5), które mieliśmy wprowadzić. Drugie równanie, które chcemy wprowadzić, to związek między a i 9. Róż­ nica faz między skrajnymi promieniami wychodzącymi ze szczeliny wiąże się z różnicą dróg równaniem (37.4) '2 tt\ — J (a sm(9),

3 7 .4 . N atężenie św iatła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny. O pis ilościow y

119

gdzie a jest sumą szerokości Ax nieskończenie wąskich stref (na jakie podzie­ liliśmy szczelinę). Ale

^SPRAW DZIAN 3

D o dwóch oddzielnych obserw acji dyfrakcji na pojedynczej szcze­ linie użyto raz św iatła o długości fali 650 nm , a drugi raz św iatła o długości fali 430 nm. N a rysunku pokazano wyniki tych obserwacji w p o ­

staci w ykresów natężenia św ia­ tła I w obrazach dyfrakcyjnych w zależności od kąta 6. Jaka b ę ­ dzie barw a św iatła w obrazie dy­ frakcyjnym powstającym a) pod kątem A i b) pod kątem B , je ­ żeli szczelina zostanie ośw ie­ tlona św iatłem o obydwu tych długościach fali jednocześnie?

Przykład 3 7 .2

m ożem y znaleźć, podstawiając do równania (37.5) ich przybliżone położenia kątowe podane wyżej. Otrzymamy w ten sposób

Znajdź względne (m ierzone w stosunku do centralnego m aksi­ m um) natężenia pierw szych trzech m aksim ów bocznych w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny z rysunku 37.1.

I

^ sin c c^ 2

^ s i n ( m + 1 /2)jx

, Tm =

{ —

j

=

V

m = 1 ,2 ,3 ,...

( m + 1 / 2 ) TT J

Pierw sze m aksim um boczne powstaje przy m = 1 i jeg o względne natężenie jest równe

ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że:

i

/ s i n ( l + 1/2)tc \ 2

/s in ( l,5 ) i

0 * “ł 1. M aksim a boczne występują w przybliżeniu w po­ łowie odległości m iędzy m inim am i, których położenia kątowe (a = m it) określa równanie (37.7). A zatem położenia bocznych m aksim ów są w przybliżeniu dane równaniem

m

V (1 +

V

a = (m + 1 /2 )ji,

m = l , 2 , 3, . . . ,

w którym a jest wyrażone w m ierze łukowej (w radianach). O “ » 2. W każdym punkcie obrazu dyfrakcyjnego natężenie I jest odniesione do natężenia 7m centralnego m aksim um przez rów na­ nie (37.5) i wobec tego względne natężenia m aksim ów bocznych

1 /2 )jt

)

= 4,5 • 10~z «s 4,5% .

1,5h (odpowiedź)

Dla m = 2 oraz m = 3 znajdziemy, że

'

I2

— = 1,6% An

i

I3

— = 0 ,8 3 % . Am

(odpowiedź)

Natężenie kolejnych m aksim ów bocznych zm niejsza się szybko (fotografia 37.1 została celowo prześw ietlona po to, by m ożna było je dostrzec).

37.5. Dyfrakcja na otworze kołowym W tym paragrafie zajmiemy się dyfrakcją na okrągłym otworze, na przykład na okrągłej soczewce, przez którą może przechodzić światło. Na rysunku 37.9 po­ kazano obraz odległego punktowego źródła światła (np. gwiazdy), jaki powstał na błonie fotograficznej umieszczonej w płaszczyźnie ogniskowej soczewki sku­ piającej. Powstały obraz nie jest punktem, jakby to wynikało z zasad optyki geometrycznej, lecz jest krążkiem otoczonym przez kilka pierścieni o stopniowo zmniejszającym się natężeniu. Porównanie tego obrazu z rysunkiem 37.1 nie po­ zostawia wątpliwości, że mamy do czynienia ze zjawiskiem dyfrakcyjnym. Z tym

120

37. Dyfrakcja

że w rozważanym obecnie przypadku otwór jest okręgiem o średnicy d, a nie prostokątną szczeliną. Analiza takiego obrazu jest złożona. Wynika z niej, że pierwsze minimum w obrazie dyfrakcyjnym okrągłego otworu o średnicy d ma położenie kątowe X

1,22 -

sini

d

(pierwsze m inim um ; otwór kołowy).

(37.12)

Tutaj kąt 9 jest kątem odpowiadającym każdemu punktowi tego (kolistego) mi­ nimum. Porównaj ten wynik z równaniem (37.1) X

sin 9 = —

(pierwsze m inim um ; pojedyncza szczelina),

a

(37.13)

które określa położenie pierwszego minimum w przypadku długiej, wąskiej szczeliny o szerokości a. Oba wyrażenia różnią się o czynnik 1,22, który wystę­ puje dla okrągłego otworu.

Rozdzielczość To, że obrazy wytwarzane przez soczewkę są obrazami dyfrakcyjnymi, jest ważne wtedy, gdy chcemy rozdzielić (rozróżnić) dwa odległe punktowe przedmioty, któ­ rych odległość kątowa jest mała. Na rysunku 37.10 pokazano trzy różne przypadki obrazów i odpowiadających im rozkładów natężeń dla dwóch odległych przed­ miotów punktowych (powiedzmy, że są to dwie gwiazdy), których wzajemna odległość kątowa jest mała. Na rysunku 37.10a, z powodu dyfrakcji, przedmioty te nie są rozdzielone — ich obrazy dyfrakcyjne (głównie ich maksima centralne) nakładają się tak dalece, że nie można ich rozróżnić, i widziane są jak pojedynczy punktowy przedmiot. Na rysunku 37.10b oba przedmioty są ledwie rozróżnialne, a na rysunku 37.10c są one już całkowicie rozdzielone. Na rysunku 37.1 Ob odległość kątowa dwóch źródeł punktowych jest taka, że centralne maksimum obrazu dyfrakcyjnego jednego z nich przypada w miejscu, w którym w obrazie drugiego źródła przypada pierwsze minimum dyfrakcyjne

Rys. 37.9. O braz dyfrakcyjny okrą­ głego otworu. Zwróć uwagę na mak­ sim um centralne i na koliste m aksim a boczne. Z djęcie zostało prześw ietlone w celu uw idocznienia m aksim ów bocz­ nych, których natężenie jest w rzeczyw i­ stości dużo m niejsze niż natężenie m ak­ sim um centralnego

Rys. 37 .10. U góry: Obrazy dwóch punktowych źródeł (gwiazd) w ytwarzane przez soczewkę skupiającą. U dołu: Trójwymiarowe reprezenta­ cje rozkładów natężeń św ia­ tła w tych obrazach, a) O d­ ległość kątowa obu źródeł jest za m ała na to, aby ich obrazy były rozróżnialne. b) Obrazy źródeł są ledwo

a)

b)

c)

rozróżnialne. c) Obrazy są wyraźnie rozróżnialne. K ry­ terium Rayleigha jest speł­ nione w sytuacji (b), w któ­ rej centralne m aksim um je d ­ nego obrazu dyfrakcyjnego pokryw a się z pierw szym m i­ nim um drugiego obrazu

37 .5. D yfrakcja na otw orze kołow ym

121

— jest to warunek rozdzielenia nazywany kryterium Rayleigha. Z równania (37.12) wynika, że jeśli dwa przedmioty mają być ledwie rozdzielone, to ich odległość kątowa 6r musi być (zgodnie z kryterium Rayleigha) równa 0r

= arcsin(l,22X/ćż).

Kąty są małe, wobec tego sin 6r można zastąpić przez 0r (wyrażony w radianach) i wtedy mamy X 0r = 1,22— d

Rys. 37 .11. Obraz żyły z czerwonymi krwinkami, uzyskany za pomocą ska­ ningowego mikroskopu elektronowego (barwy wynikają z komputerowej ob­ róbki obrazu i nie są prawdziwe)

122

37. Dyfrakcja

(kryterium Rayleigha).

(37.14)

Kryterium Rayleigha jest tylko przybliżeniem, gdyż rozdzielczość zależy od wielu czynników, takich jak: względna jasność źródeł i ich otoczeń, turbulencje powie­ trza między źródłami a obserwatorem i sprawność wzroku obserwatora. Badania eksperymentalne pokazują, że najmniejsza odległość kątowa obiektów, jaką na ogół są w stanie rozróżnić obserwatorzy, jest nieco większa niż wartość określona na podstawie równania (37.14). Ale w naszych dalszych rachunkach przyjmiemy, że równanie (37.14) jest ścisłym kryterium, tzn.: jeżeli odległość kątowa 0 mię­ dzy źródłami jest większa niż 0R, to możemy rozróżnić źródła; jeżeli jest ona mniejsza, to nie możemy ich rozróżnić. Na podstawie kryterium Rayleigha można objaśnić barwy na obrazie Seurata Popołudnie na wyspie La Grandę Jatte (i na każdym innym puentylistycznym ob­ razie). Jeżeli stoisz dostatecznie blisko obrazu, to odległości kątowe 8 sąsiednich kropek są większe niż 0r i wobec tego widzisz oddzielnie poszczególne kropki. Ich barwa jest taka, jaką miała użyta przez Seurata farba. Kiedy jednak oglądasz obraz z dostatecznie dużej odległości, wtedy odległości kątowe 9 sąsiednich kro­ pek są mniejsze od i nie można rozróżnić poszczególnych kropek. Powstająca w twoim oku mieszanina barw, jakie docierają od każdej grupy kropek, może wówczas pobudzić twój mózg do „spreparowania” barwy dla tej grupy — barwy, która w rzeczywistości w ogóle w tej grupie kropek nie występuje. W taki właśnie sposób Seurat używa twojego wzroku do kreowania barw jego dzieł. Jeżeli do rozdzielenia przedmiotów, których odległość kątowa jest mała, za­ miast nieuzbrojonego oka chcemy użyć soczewki, to pożądany jest jak najmniej­ szy obraz dyfrakcyjny. Zgodnie z równaniem (37.14) można to uzyskać albo przez zwiększenie średnicy soczewki, albo przez korzystanie ze światła o mniej­ szej długości fali. W mikroskopach często wykorzystywane jest promieniowanie nadfioletowe, gdyż mniejsza długość fali promieniowania nadfioletowego umożliwia badanie znacznie drobniejszych szczegółów niż te, jakie w tym samym mikroskopie można obserwować przy wykorzystaniu światła widzialnego. W rozdziale 39 po­ kazujemy, że wiązki elektronów mogą zachowywać się w pewnych warunkach jak fale. W mikroskopie elektronowym wiązki takie mogą mieć efektywną długość fali rzędu 10“5 długości fali światła widzialnego. Przy użyciu takich wiązek można badać bardzo subtelne struktury, takie jak te zilustrowane na rysunku 37.11, które w mikroskopie optycznym byłyby rozmyte przez dyfrakcję.

•/SPRAWDZIAN 4:

Przypuśćmy, że dyfrakcja na źrenicy twego oka sprawia, iż dwie czerwone kropki są przez nie ledw ie rozróżnialne. Czy wtedy, gdy ośw ietlenie wokół ciebie zostanie zw iększone, co wyw ołuje zm niejszenie średnicy źrenicy twego oka, rozdzielenie czerwonych kropek poprawi się, czy też pogorszy? Rozważ tylko dyfrakcję. (M ożesz prze­

prowadzić eksperym enty, żeby sprawdzić, prawidłow ość swojej opowiedzi).

Przykład 3 7 .3 Soczewka skupiająca o średnicy d = 32 m m i ogniskowej / = 24 cm wytw arza obrazy odległych punktowych przedm io­ tów w płaszczyźnie ogniskowej soczewki. Używane jest światło o długości fali X = 550 nm. a) Jaka m usi być odległość kątowa m iędzy dwom a odległym i punktowym i przedm iotam i, ażeby przy uw zględnieniu dyfrakcji na soczewce spełnione było kryterium Rayleigha? ROZWIĄZANIE: Na rysunku 37.12 pokazano dwa odległe punktowe źródła Pt i P2, soczewkę i ekran obserwacyjny um ieszczony w płaszczyźnie ogni-

skowej soczewki. Po prawej, skrajnej stronie rysunku pokazany jest wykres zależności natężenia św iatła I od położenia na ekranie dla dwóch centralnych m aksim ów obrazów wytwarzanych przez soczewkę. Zwróć uwagę, że odległość kątow a przedm iotów 8p jest równa odległości kątowej obrazów 60. Z atem do rozw iązania zastosujem y spostrzeżenie, że O*“ w jeżeli obrazy m ają spełniać kryterium Rayleigha określające ich rozdzielenie, to odległości kątowe po obu stronach soczewki m uszą być (przy założeniu m a­ łych kątów) dane rów naniem (37.14). Podstawiając do równania (37.14) podane wyżej dane liczbowe, otrzym ujem y „ „ t „„A. (1 ,2 2 X 5 5 0 -1 0 -9 m ) „ , ,„ _ 3 , = 0o = <9r = 1 ,2 2 - = ------ — ----------- = 2 ,1 - 1 0 rad. d 32 ■10-3 m (odpowiedź) Przy takiej odległości kątowej m aksim um każdej z dwóch krzy­ wych natężenia na rysunku 37.12 przypada w m iejscu pierw szego m inim um drugiej krzywej. b) Ile w ynosi odległość A x m iędzy środkam i obrazów na płasz­ czyźnie ogniskowej soczewki? (Tzn. ile wynosi odległość m iędzy m aksim am i natężenia na krzyw ych obu w ykresów natężenia?)

ROZWIĄZANIE:

Rys. 37 .12. Przykład 37.3. Św iatło z dwóch odległych punkto­ wych przedm iotów Pi i P2 przechodzi przez soczewkę skupia­ jąc ą i tworzy obrazy na ekranie obserwacyjnym w płaszczyźnie ogniskowej soczewki. D la każdego z obu przedm iotów pokazany jest tylko jeden reprezentatyw ny prom ień świetlny. Ich obrazy nie są punktam i, lecz obrazam i dyfrakcyjnym i o- rozkładach natężeń (przybliżonych) pokazanych po prawej stronie rysunku. Kątowa odległość przedm iotów jest równa 6P, a ich obrazów 90; odległość m iędzy centralnym i m aksim am i jest A x

Tutaj klucz do odpowiedzi leży w © * - f powiązaniu odległości A x ze znanym nam już kątem 60. Z rozw ażenia dowolnego z dwóch trójkątów widocznych m iędzy soczewką a ekranem na rysunku 37.12, widać, że tg d a/ 2 = A x / 2 f . Przekształcając ten związek i zakładając, że t g 6 w 9, otrzym am y Ax = f 9 0

(37.15)

gdzie 60 wyrażone jest w m ierze łukowej. Podstawienie znanych danych daje A x = (2,24 m )(2 ,l ■ 10-5 rad) = 5 (xm.

(odpowiedź)

37.6. Dyfrakcja na dwóch szcżelinach W doświadczeniach z dwiema szczelinami, omawianych w rozdziale 36, milcząco przyjęliśmy, że szczeliny były wąskie w porównaniu z długością fali oświetlają­ cego je światła, tzn. że a
37.6. Dyfrakcja na dwóch szczelinach

123

względne natężenie

względne natężenie

?'”*** 20

15

10

5

0 9 [stopnie]

5

10

15

20

20

15

10

: 5

~ 5

10

15

20

10

15

20

b)

a)

Względne natężenie

Rys. 3 7 .1 3 . a) Oczekiwany wykres natężenia w dośw iadczeniu interferencyjnym z dw iem a szczelinam i o nieskończenie m ałej szerokości, b) W ykres natężenia dla dyfrakcji na typowej poje­ dynczej szczelinie (o skończonej szerokości a), c) Oczekiwany wykres natężenia dla dyfrakcji na dwóch szczelinach o szeroko­ ści a. Krzywa na rysunku (b) stanowi obwiednię ograniczającą natężenie prążków interferencyjnych z rysunku (a). Zauważ, że pierw sze m inim a obrazu dyfrakcyjnego z rysunku (b) tłum ią na rysunku (c) prążki interferencyjne widoczne na rysunku (a) w po­ bliżu kąta 12°

I 0 9 [stopnie]

15

10

5

0 9 [stopnie]

5

c)

Jednak w praktyce, przy korzystaniu ze światła białego, warunek a « X często nie jest spełniony. W przypadku stosunkowo szerokich szczelin w wyniku interferencji światła z dwóch szczelin powstają jasne prążki, których natężenia nie są jednakowe. Tak więc natężenia prążków wytwarzanych w wyniku interferencji światła z dwóch szczelin (dyskutowane w rozdziale 36) są modyfikowane przez dyfrakcję światła biegnącego z każdej ze szczelin (którą zajmujemy się w tym rozdziale podręcznika). Ilustrują to przykłady na rysunku 37.13. Na wykresie natężenia na rysunku 37.13a pokazano, jaki byłby rozkład natężeń wtedy, kiedy szczeliny były nie­ X); wszystkie jasne prążki interferencyjne miałyby skończenie wąskie (tzn. a jednakowe natężenia. Wykres na rysunku 37.13b odpowiada dyfrakcji na pojedyn­ czej szczelinie o pewnej skończonej szerokości, obraz dyfrakcyjny ma szerokie centralne maksimum i słabsze maksima boczne (w tym przypadku położone pod kątem ±17°). Na rysunku 37.13c pokazano spodziewany rozkład natężeń w obra­ zie interferencyjnym dwóch szczelin o skończonej szerokości. Wykres ten został sporządzony przy użyciu krzywej z rysunku 37.13b jako obwiedni dla wykresu natężeń z rysunku 37.13a. Położenia prążków nie zostały zmienione, natomiast natężenia zostały zmodyfikowane. Na rysunku 37.14a pokazano rzeczywisty obraz, na którym w oczywisty sposób uwidacznia się zarówno interferencja światła z dwóch szczelin, jak i dy­ frakcja. Jeżeli jedna ze szczelin zostanie zasłonięta, to obserwowany jest obraz charakterystyczny dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie (rys. 37.14b). Zwróć uwagę na podobieństwo obrazów i wykresów na rysunkach 37.14a i 37.13c oraz 37.14b i 37.13b. Porównując te rysunki, powinieneś pamiętać o tym, że rysu­ nek 37.14a został celowo prześwietlony po to, aby nikłe maksima boczne mogły w ogóle być widoczne, oraz że pokazane są na nim dwie pary maksimów bocz­ nych, a niejedna (jak na rys. 37.13b).

124

37. Dyfrakcja

Natężenie obrazu interferencyjnego z dwóch szczelin, po uwzględnieniu efek­ tów dyfrakcyjnych, jest opisane następującym wzorem: 2

1(0) = Im (cołp)[ —

(dwie szczeliny) ,

(37.16)

w którym (37.17) oraz (37.18) W wyrażeniach tych d jest odległością między środkami szczelin, natomiast a jest szerokością szczelin. Zauważ, że prawa strona równania (37.16) jest iloczynem Im oraz dwóch czynników: 1) czynnika interferencyjnego cos2 j3, który związany jest z interferencją światła z dwóch szczelin odległych od siebie o d (opisy­ waną równaniami (36.17) i (36.18)), oraz 2) czynnika dyfrakcyjnego [(sin a )/a ]2, który związany jest z dyfrakcją na pojedynczej szczelinie o szerokości a (opi­ sywaną równaniami (37.5) i (37.6)). Przyjrzyjmy się bliżej obu tym czynnikom. Jeżeli na przykład w równaniu (37.18) a zmierza do zera, a -» 0, to a —*■ 0 i (sinaO/a -»• 1. W takim przypadku równanie (37.16) redukuje się (tak jak tego oczekujemy) do równania opisującego obraz interferencyjny światła z dwóch szczelin o zmierzającej do zera szerokości, odległych od siebie o d. Podobnie położenie d = 0 w równaniu (37.17) jest równoważne z pokryciem się dwóch szczelin, tzn. przejściem do pojedynczej szczeliny o szerokości a. Wtedy z rów­ nania (37.17) wynika, że fi = 0 i cos2 fi = 1. W tym przypadku równanie (37.16) redukuje się (tak jak tego oczekujemy) do równania opisującego obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny o szerokości a. Obraz dwóch szczelin, opisywany przez równanie (37.16) i zilustrowany na rysunku 37.14a, jest wynikiem równocześnie zachodzących zjawisk interferencji i dyfrakcji. Oba zjawiska są wynikiem nakładania się fal o różnych fazach w okre­ ślonym punkcie. Jeżeli nakładające się na siebie fale pochodzą z niewielkiej liczby elementarnych, spójnych źródeł — tak jak w doświadczeniu z dwiema szczeli­ nami, gdy a << "k — to mówimy o zjawisku interferencji. Jeżeli źródłem nakła­ dających się na siebie fal jest pojedyncze czoło fali — tak jak w doświadczeniu z pojedynczą szczeliną — to mówimy o zjawisku dyfrakcji. To rozróżnienie mię­ dzy interferencją i dyfrakcją (które jest nieco dowolne i nie zawsze ma zastosowa­ nie) jest wygodne, ale nie powinniśmy zapominać, że oba zjawiska są wynikiem superpozycji i zazwyczaj oba występują równocześnie (tak jak na rys. 37.14a).

Rys. 37 .14. a) Prążki interferencyjne obserwowane w rzeczyw istym układzie dwóch szczelin; porównaj ten obraz z ry­ sunkiem 37.13c. b) O braz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny; porównaj go z ry­ sunkiem 37.13b 37 .6. Dyfrakcja na dwóch szczelinach

125

-obw iednia dyfrakcyjna

Przykład 3 7 .4

-m2 = 0 I

W dośw iadczeniu z dw iem a szczelinam i, odległym i o d = 19,44 [xm i o szerokości a = 4,05 pum, używ ane jest św iatło o długości fali k = 405 nm. Rozważ rów noczesną interferencję św iatła w ychodzącego z obydwu szczelin i dyfrakcję św iatła na

771,

= 7

obwiednia dyfrakcyjna

każdej ze szczelin. a) Ile jasnych prążków interferencyjnych zawartych jest pod ob­ w iednią centralnego m aksim um dyfrakcyjnego ? ROZWIĄZANIE: 0

0,1

Zacznijmy od analizy podstawowych mechanizmów, które są od­ powiedzialne za obraz optyczny powstający w tym doświadczeniu:

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie: Zauważmy, że O

t grani­ cam i centralnego m aksim um są położenia pierw szych minim ów w indywidualnym obrazie dyfrakcyjnym każdej z dwóch szczelin (por. rys. 37.13). Położenia kątowe tych m inim ów (a sin(9 = m k ) opisuje równanie (37.3). Zapiszm y to równanie jako a sm O = m ik , gdzie wskaźnik dolny 1 odnosi się do dyfrakcji na pojedyn­ czej szczelinie. D la pierw szych m inim ów w obrazie dyfrakcyjnym podstawiam y m i = 1 i otrzym ujem y a sin 0 = k .

(37.19)

Interferencja światła biegnącego z dwóch szczelin: Tu zauwa­ żamy, że O “ * położenia kątowe jasnych prążków w obrazie in­ terferencyjnym z dwóch szczelin opisuje równanie (37.14), które m ożem y zapisać jako d sinć? = m 2k ,

m 2 = 0, 1, 2,

(37.20)

0,2

0,3

6 [rad] • Rys. 37 .15. Przykład 37.4. Połowa krzywej rozkładu natężenia w dośw iadczeniu interferencyjnym z dw iem a szczelinami. O b­ w iednia dyfrakcyjna — krzywa kropkowana. W staw ka u góry — rozkład natężenia pod obw iednią dyfrakcyjną w pierw szym i dru­ gim m aksim um bocznym , powiększony w pionie

b) Ile jasnych prążków interferencyjnych zawartych jest pod ob­ w iednią każdego z pierw szych bocznych m aksim ów dyfrakcyj­ nych? ROZWIĄZANIE: Zauważmy,: że O — w zewnętrzne granice pierw szych bocznych m aksim ów są w yznaczone przez położenia kątowe drugich m ini­ mów dyfrakcyjnych, dla których kąt 9 dany jest w zorem a sin 9 = m ik , gdzie m \ = 2: a ń n e = 2k. (37.21) Po podzieleniu stronami równania (37.20) przez (37.21) m am y

Tutaj wskaźnik dolny 2 odnosi się do interferencji św iatła biegną­ cego z dwóch szczelin.

2d (2)(19,44 |xm) „ ^ m 2 = — = --------------------- = 9,6. a 4,05 |xm

Położenie pierw szego m inim um dyfrakcyjnego w obrazie in­ terferencyjnym z dwóch szczelin m ożem y ustalić, dzieląc stronami równanie (37.20) przez (37.19) i podstawiając podane wartości liczbowe; otrzym ujem y w ten sposób

Ten w ynik sugeruje, że drugie m inim um dyfrakcyjne znajduje się tuż przed jasnym prążkiem interferencyjnym dla m 2 = 10 w rów­ naniu (37.20). W obszarze każdego pierw szego m aksim um dy­ frakcyjnego znajdują się prążki odpowiadające m 2 równem u 5, 6, 7, 8, 9; w sum ie pięć jasnych prążków interferencyjnych obrazu wytwarzanego przez dw ie szczeliny, jak pokazano po prawej stro­ nie u góry rysunku 37.15. Jeżeli jednak jasny prążek odpow iada­ jący m 2 = 5, który jest silnie stłumiony przez pierw sze m inim um

d 19,44 |xm m 2 = — = -------------- = 4,8. a 4,05 [xm Ten w ynik sugeruje, że jasny prążek interferencyjny dla m 2 = 4 m ieści się w obszarze zajmowanym przez centralne m aksi­ m um obrazu dyfrakcyjnego pojedynczej szczeliny, natom iast dla m 2 = 5 leży już poza tym obszarem . W obszarze centralnego mak­ sim um dyfrakcyjnego znajduje się więc centralny jasny prążek (m 2 = 0) i cztery prążki interferencyjne (aż do m 2 = 4) po każdej jego stronie. W sum ie zatem pod obw iednią dyfrakcyjną centralnego m aksim um m ieści się dziewięć jasnych prążków in­ terferencyjnych wytwarzanych przez dw ie szczeliny. U kład tych prążków z jednej strony prążka centralnego zilustrowano na ry­ sunku 37.15.

126

37. Dyfrakcja

dyfrakcyjne, będzie zbyt słaby, aby m ożna było go zaobserwować, to pod obw iednią pierw szego bocznego m aksim um dyfrakcyjnego będą znajdować się tylko cztery jasne prążki interferencyjne.

•^SPRAWDZIAN 5 :

Jeżeli w opisanym wyżej przykła­ dzie zwiększym y długość fali św iatła do 550 nm , to czy w tedy a) szerokość centralnego m aksim um dyfrakcyjnego oraz b) liczba jasnych prążków interferencyjnych w obszarze tego m aksim um , zw iększa się, zm niejsza, czy też nie ulega zm ianie?

37.7. Siatki dyfrakcyjne Jednym z najbardziej użytecznych narzędzi do badania światła i obiektów, które emitują i absorbują światło, jest siatka dyfrakcyjna. Urządzenie to jest podobne do układu dwóch szczelin zilustrowanego na rysunku 36.8, ale ma dużo większą liczbę N szczelin, nawet rzędu tysięcy na milimetr. Na rysunku 37.16 pokazano uproszczoną siatkę dyfrakcyjną, którą stanowi tylko pięć równoległych szczelin. Kiedy świało monochromatyczne przechodzi przez szczeliny, powstają wąskie prążki interferencyjne, które można analizować w celu wyznaczenia długości fali światła. (Siatkami dyfrakcyjnymi mogą być również nieprzezroczyste powierzch­ nie z wąskimi równoległymi rowkami (rysami), które tworzą układ taki sam, jak układ szczelin na rysunku 37.16. W takim przypadku światło jest odbijane od rys, a nie przepuszczane przez szczeliny). Jeżeli do oświetlania siatki dyfrakcyjnej używamy światła monochroma­ tycznego i przechodzimy stopniowo od dwóch szczelin do coraz większej ich liczby N , to wykres natężenia zmienia się od typowego dla dwóch szczelin roz­ kładu natężenia, takiego jak na rysunku 37.13c, do znacznie bardziej skompli­ kowanego, a w końcu staje się prostym wykresem, takim jak na rysunku 37.17a. Obraz, jaki wtedy widzimy na ekranie obserwacyjnym, używając światła czer­ wonego, na przykład z lasera helowo-neonowego, pokazano na rysunku 37.17b. Maksima są teraz bardzo wąskie (i dlatego często nazywa się je liniami) i roz­ dzielają je stosunkowo szerokie ciemne obszary. Do wyznaczania położeń jasnych linii na ekranie obserwacyjnym wykorzy­ stujemy znaną już nam procedurę. Zakładamy najpierw, że ekran znajduje się dostatecznie daleko od siatki, tak że promienie świetlne docierające do wybra­ nego punktu P na ekranie wychodzą ze szczelin siatki, tworząc w przybliżeniu wiązkę promieni równoległych (rys. 37.18). Następnie dla każdej pary sąsiednich szczelin korzystamy z takiego samego rozumowania, jak w przypadku dyskusji zjawiska interferencji z dwóch szczelin. Odległość d między szczelinami nosi na­ zwę stałej siatki. (Jeżeli N szczelin zajmuje na siatce szerokość w, to stała siatki jest równa d = w / N ) . Różnica dróg między sąsiednimi promieniami jest równa, tak jak poprzednio, d sin0 (rys. 37.18), gdzie 6 jest kątem, pod jakim znajduje się punkt P względem osi siatki dyfrakcyjnej (a więc i obrazu dyfrakcyjnego). W punkcie P powstaje linia wtedy, gdy różnica dróg sąsiednich promieni jest całkowitą wielokrotnością długości fali, tzn. wtedy, gdy

Rys. 37 .1 6 . U proszczona siatka dy­ frakcyjna, na którą składa się tylko pięć szczelin, wytw arza obraz interfe­ rencyjny na odległym ekranie obserw a­ cyjnym C

natężenie

1

I I

m=0

1

0 a)

3

2

1 m =0 1

2

3

b)

dńn9=mk,

' m = 0 , 1 ,2 , .. .

(m aksim a — linie),

(37.22)

gdzie A jest długością* fali światła. Każda liczba całkowita m odpowiada innej linii i wobec tego liczby te mogą być używane do oznaczania linii, tak jak na rysunku 37.17. Liczby m nazywane są rzędami, a linie określane odpowiednio jako: linia zerowego rzędu (linia centralna o m = 0), linia pierwszego rzędu (m = 1), linia drugiego rzędu (m ~ 2) i tak dalej. Jeżeli równanie (31.22) przepiszemy w postaci 6 = aicsin(m X/d), to widać od razu, że dla dartej siatki dyfrakcyjnej położenie kątowe (kąt 0) każdej linii (np. lir^ii trzeciego rzędu) zależy od długości fali światła padającego na siatkę.

Rys. 37 .17. a) W ykres natężenia w ob­ razie wytwarzanym przez siatkę dyfrak­ cyjną o bardzo dużej liczbie szczelin składa się z wąskich linii, które tutaj oznaczone są odpowiadającym i im nu­ m eram i rzędów m . b) Odpowiadające rysunkowi (a) jasne prążki obserwowane na ekranie nazyw ane są liniami. O zna­ czone są one również num eram i odpo­ wiednich rzędów, a na rysunku poka­ zane są linie zerowego, pierw szego, dru­ giego i trzeciego rzędu

3 7 .7 . Siatki dyfrakcyjne

127

do punktu P na ekranie obserwacyjnym

różnica dróg dla sąsiednich prom ieni

Dlatego też, jeżeli na siatkę pada światło o nieznanej długości fali, to pomiar kątów 6 dla linii wyższych rzędów pozwala na wyznaczenie, za pomocą równania (37.22), długości fali tego światła. Nawet wtedy, gdy światło zawiera fale o kilku nieznanych długościach, można je w ten sposób rozróżnić i zidentyfikować. Jest to niewykonalne przy zastosowaniu układu dwóch szczelin z paragrafu 36.4, chociaż i tam stosuje się to samo wyrażenie opisujące związek położenia linii i długości fali światła. W obrazie interferencyjnym dwóch szczelin jasne prążki odpowiadające różnym długościom fali tak silnie nakładają się na siebie, że nie można ich rozróżnić.

Szerokość linii

Rys. 37 .18. Prom ienie świetlne wy­ chodzące ze szczelin siatki dyfrakcyj­ nej i zm ierzające w kierunku odle­ głego punktu P tworzą w iązkę prom ieni w przybliżeniu równoległych. Różnica dróg dla każdej pary sąsiednich pro­ m ieni j est rów na d sin 9 , gdzie kąt 9 zdefinowany jest tak ja k na rysunku. (Szcze­ liny rozciągają się ponad i pod kartką)

Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej, tzn. jej zdolność do rozdzielenia li­ nii o różnych długościach fali, zależy od szerokości linii. Wyprowadzimy teraz wyrażenie na szerokość połówkową linii centralnej (linii, dla której m = 0), a na­ stępnie podamy wyrażenie opisujące szerokości połówkowe dla linii wyższych rzędów. Szerokość połówkową linii centralnej definiujemy jako różnicę położe­ nia kątowego A 81/2 mierzoną od środka linii (0 = 0) na zewnątrz do miejsca^ gdzie linia efektywnie znika, a rozpoczyna się ciemny obszar pierwszego mini­ mum (rys. 37.19). W tym minimum N promieni świetlnych przychodzących z N szczelin wygasza się nawzajem całkowicie. (Całkowita szerokość linii centralnej jest oczywiście równa 2 (A 0 i/ 2 ), ale linie widmowe porównuje się zazwyczaj, podając ich szerokości połówkowe). W paragrafie 37.2 mieliśmy również do czynienia ze znoszeniem się (wyga­ szaniem) wielkiej liczby promieni, wywołanym przez ich uginanie się na poje­ dynczej szczelinie. Otrzymaliśmy wówczas równanie (37.3), które ze względu na podobieństwo obu rozważanych przypadków będziemy mogli zastosować teraz do wyznaczenia położenia pierwszego minimum. Zgodnie z równaniem (37.3) pierwsze minimum powstaje tam, gdzie różnica dróg między skrajnymi promie­ niami jest równa X. W przypadku dyfrakcji na pojedynczej szczelinie różnica ta

Rys. 37 .19. Na wykresie zależności natę­ żenia / od położenia kątowego 9 (takim jak na rysunku 37.17a) szerokość połówkowa A 9 y 2 linii centralnej jest m ierzona od jej środka (od m aksym alnej w artości natęże­ nia) do sąsiedniego m inim um

128

37. Dyfrakcja

Rys. 37 .20. Odległość m iędzy skrajnymi szczelinam i (gór­ ną i dolną) siatki dyfrakcyjnej o N szczelinach wynosi Nd. Różnica długości dróg prom ieni świetlnych wychodzących z tych szczelin jest równa Nd sin(A 0i/2), gdzie A 0\/2 jest położeniem kątow ym pierw szego m inim um . (Dla czytelności rysunku kąt ten został znacznie powiększony)

wynosi a sin 8. Dla siatki o N szczelinach, odległych od siebie o d. odległość między skrajnymi szczelinami (z góry i z dołu siatki na rysunku 37.20) wynosi N d i wobec tego różnica dróg między skrajnymi promieniami (wychodzącymi ze skrajnych szczelin) jest w tym przypadku równa N d sin A$i/2. Stąd wynika, że pierwsze minimum powstaje w miejscu, gdzie N d ń n A 9 l/2 = X.

(37.23)

Ponieważ A01/2 jest małe, wobec tego sin A# i /2 = A0]/2 (w mierze łukowej). Po podstawieniu tego wyrażenia do równania (37.23) otrzymujemy szerokość połówkową linii centralnej (linii zerowego rzędu): A $ i /2 =

(szerokość połówkowa linii centralnej).

(3 7 .2 4 )

Bez dowodu podamy, że szerokość połówkowa każdej innej linii zależy od jej położenia kątowego i jest równa A 9 i /2 =

X

-------------

N d cos 8

(szerokość połówkowa linii pod kątem 9).

(3 7 .2 5 )

Zauważ, że dla światła o danej długości fali X i przy zadanej stałej siatki d szerokość linii będzie się zmniejszać wraz ze wzrostem liczby N szczelin. Zatem siatka o większej liczbie szczelin N znacznie lepiej rozdziela linie o różnych długościach fali niż siatka o mniejszym N , ponieważ wytwarza węższe, a więc słabiej nakładające się linie.

Zastosowanie siatek dyfrakcyjnych Siatki dyfrakcyjne są powszechnie używane do wyznaczania długości fali światła wysyłanego przez różne źródła, od lamp po gwiazdy. Na rysunku 37.21 poka­ zano schemat służącegp, do tego celu prostego spektroskopu siatkowego. Światło ze źródła Z jest ogniskowane przez soczewkę L i na pionowej szczelinie S i, która znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej soczewki L2. Światło wychodzące z ramienia C (zwanego kolimatorem) jest falą płaską, która pada na siatkę dy­ frakcyjną G, ulega ugięciu i tworzy obraz dyfrakcyjny, na którym kąt ugięcia 6 dla zerowego rzędu (m = 0), względem osi siatki, jest równy 0°. Obraz dyfrakcyjny, powstający pod różnymi kątami 8 na ekranie obserwacyj­ nym ustawionym prostopadle do osi siatki dyfrakcyjnej, możemy oglądać w spek­ troskopie, ustawiając drugie ramię spektroskopu (czyli teleskop T) pod żądanym kątem 9 względem osi kolimatora, tak jak na rysunku 37.21. Soczewka L3 te­ leskopu ogniskuje światło ugięte pod kątem '8 (i pod kątami nieco mniejszymi i nieco większymi od 8) w płaszczyźnie ogniskowej F F ' teleskopu. Patrząc przez okular E na wytworzony tam obraz, oglądamy go w powiększeniu. Zmieniając kąt 9 ustawienia teleskopu, możemy obejrzeć cały obraz dyfrak­ cyjny. W każdym rzędzie (poza zerowym rzędem, m = 0), światło wchodzące do spektroskopu zostaje rozłożone wedle długości fali (barw), jakie się nań składają (mówimy, że powstaje widmo tego światła) i za pomocą równania (37.22) możemy ustalić, jakie długości fali są emitowane przez źródło. Jeżeli promieniowanie źró­ dła ma charakter dyskretny (występują w nim tylko pewne długości fali), to obraz,

lir Rys. 37 .21. U proszczona wersja spek­ troskopu siatkowego, używanego do po­ m iaru długości fali św iatła w ysyłanego przez źródło Z

3 7 .7. Siatki dyfrakcyjne

129

j ______________M i l ______ I

Os

10?

__i

20’

I____________ U___________ I_____ ______ J________________ I______

30°

40c

50®

60°

70:

_________I________________

80’

Rys. 3 7 .2 2 . Zerowy, pierwszy, drugi i czwarty rząd widm a em isyjnego wodoru w zakresie widzialnym. Zauważ, że odległości m iędzy liniami wzrastają dla większych katów ugięcia. (Linie stają się jednocześnie słabsze i szersze, czego nie pokazano na rysunku)

Rys. 3 7 .2 3 . Linie em isyjne kadmu z zakresu widzialnego, oglądane przez spektroskop siatkowy

jaki obserw ujemy, zmieniając ustaw ienie teleskopu w zakresie katów odpow iada­ jących określonemu rzędowi in. składa się z pionow ych barwnych linii. 7. których każda odpow iada określonej długości fali. przy czym kąt 0 jest mniejszy dla linii o mniejszej długości lali. a większy dla linii o większej długości fali. Na przykład światło emitowane przez lampę wodorową (która wypełniona jest gazowym wodorem) ma w obszarze widzialnym cztery dyskretne długości fali. Światło takie oglądane nieuzbrojonym okiem jest odbierane jako światło białe. Ale wtedy, gdy oglądamy je przez spektroskop siatkowy, możemy zoba­ czyć. że w kolejnych rzędach widma występują cztery linie, których barw y odpow jadają długościom fali z zakresu światła widzialnego (linie te noszą nazwę linii emisyjnych). Cztery rzędy widma wodoru pokazane są na rysunku 37.22. W ze­ rowym rzędzie {ni = 0) linie odpowiadające wszystkim czterem długościom fali są na siebie nałożone i dla kąta H = 0 widoczna jest ty lko pojedyncza biała linia. W widmach wyższych rzędów linie są rozdzielone. Na rysunku 37.22. dla przejrzystości ilustracji, nie pokazano widma trze­ ciego rzędu, którego linie nakładają się na linie widma drugiego i czwartego rzędu. W widmie czwartego rzędu brakuje linii czerwonej, która nie jest wytwa­ rzana przez siatkę uży tego spektrografu. Jeżeli próbujemy wy znaczyć z równania (37.22) kąt 9 dla długości fali tej czerwonej linii w czwartym rzędzie (in = 4). to otrzymujemy sin h w iększy od jedności, co nie jest możliwe. Mówimy , że widmo czwartego rzędu jest niepełne dla tej siatki: dla innej siatki o większej stałej d może ono być pełne, siatka taka daje bowiem mniejsze rozdzielenie linii (mniej­ szy odstęp między liniami) niż na rysunku 37.22. Rysunek 37.23 to fotografia linii (z zakresu widzialnego) w widmie światła emitowanego przez atomy kadmu.

✓

130

37. Dyfrakcja

s p r a w d z ia n 6 i Na rysunku pokazano dwie linie różnych rzędów wytwarzane przez siatkę dyfrakcyjną dla m onochrom atycznego św iatła czerwonego, a) Czy środek obrazu dyfrakcyjnego jest po lewej, czy po prawej stronie tego ry sunku'1 b) Jeżeli tę sam ą obserw a­ cję wykonamy, używając m onochrom atycznego św iatła zielonego, to czy wtedy szerokość połówkowa linii w tych samych dwóch rzędach będzie większa, mniejsza, czy też taka sama. jak szerokość połówkowa linii pokazanych na rysunku?

37.8. Siatki dyfrakcyjne: dyspersja i zdolność rozdzielcza Dyspersja Przydatność siatki dyfrakcyjnej do rozróżniania bliskich siebie długości fali świa­ tła (tak jak w spektroskopie siatkowym) określona jest przez jej dyspersję ką­ tową, zdefiniowaną jako Ad D — ----

(definicja dyspersji kątowej); (37.26) AA A 8 jest odległością kątową między dwiema liniami, których długości fali różnią się o AA.. Im większe jest D, tym większa jest odległość pomiędzy dwiema liniami, których długości fali różnią się o AA. Pokażemy niżej, że dyspersja kątowa siatki dyfrakcyjnej wiąże się z kątem 0 zależnością m D — --------

(dyspersja kątowa siatki dyfrakcyjnej).

dcosO

(37.27)

Żeby zatem uzyskać większą dyspersję, powinniśmy używać siatki o mniejszej stałej d (mniejszym odstępie między szczelinami siatki) i brać pod uwagę wyż­ szy rząd m. Zauważ, że dyspersja nie zależy od całkowitej liczby N szczelin. W układzie SI jednostką dyspersji D jest stopień na metr albo radian na metr.

Zdolność rozdzielcza Żeby rozdzielić linie, których długości fali są bliskie siebie (tzn. żeby linie były rozróżnialne), powinny one być możliwie jak najwęższe. Albo mówiąc inaczej, siatka powinna mieć dużą zdolność rozdzielczą R, która jest zdefiniowana jako Aśr (definicja zdolności rozdzielczej). (37.28) AA Tutaj Aśr jest średnią długością fali dwóch linii, które są ledwo rozpoznawalne jako rozdzielone pojedyncze linie, natomiast AA jest różnicą ich długości fali. Im większe jest R, tym bliżej siebie mogą być dwie linie, które siatka będzie w stanie rozdzielić. Pokażemy niżej, że zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest opisywana prostym wyrażeniem R — ——

R — Nm

(zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej).

(37.29)

Dużą zdolność rozdzielczą ma siatka o dużej całkowitej liczbie szczelin (duże N w równaniu (37.29)).

W yprowadzenie równania (37.27) Wychodzimy od równania (37.22), które podaje położenie linii w obrazie wytwa­ rzanym przez siatkę dyfrakcyjną: d sin 6 = mX.

3 7 .8. Siatki dyfrakcyjne: dyspersja i zdolność rozdzielcza

131

Potraktujemy 0 oraz X jako zmienne i zróżniczkujemy stronami to równanie. Otrzymamy więc d c o s d d d = mdX. Dla wystarczająco małych kątów różniczki te możemy przybliżyć przez małe przyrosty zmiennych i wtedy dcos9A9=mAX,

(37.30)

czyli Ad

m

AX

d cos 9

Ale stosunek po lewej stronie równości to po prostu D (por. równanie (37.26)), a więc rzeczywiście wyprowadziliśmy równanie (37.27).

W yprowadzenie równania (37.29) Wychodzimy od równania (37.30), które podaje położenie linii w obrazie wy­ twarzanym przez siatkę dyfrakcyjną i które zostało wyprowadzone z równania (37.22). Tutaj AX jest niewielką różnicą długości dwóch fal uginanych przez siatkę, a A 6 jest ich odległością kątową w obrazie dyfrakcyjnym. Jeżeli A 6 ma być najmniejszym kątem, przy którym dwie linie są rozdzielone, to musi on (zgodnie z kryterium Rayleigha) być równy szerokości połówkowej każdej z linii, którą określa równanie (37.25): A A9\ / 2 = -------------- •

'

N d cos 9

Jeżeli do równania (37.30) zamiast A 9 podstawimy podane wyżej A9\/2, to otrzy­ mamy wtedy — = m AX, N

skąd już łatwo znajdziemy, że

13,4° 9 [stopnie]

R = — = Nm, AX

czyli równanie (37.29), które mieliśmy wyprowadzić. 13,4° 9 [stopnie] siatka C

0

25,5° 9 [stopnie]

Rys. 37.24. Krzywe natężenia dla św ia­ tła o dwóch długościach fali, przecho­ dzącego przez siatki dyfrakcyjne wy­ m ienione w tabeli 37.1. Siatka B m a naj­ w iększą zdolność rozdzielczą, a siatka C najw iększą dyspersję

132

37. Dyfrakcja

Znaczenie dyspersji i zdolności rozdzielczej Zdolności rozdzielczej siatki dyfrakcyjnej nie należy mylić z jej dyspersją. W tabeli 37.1 zebrano parametry trzech siatek dyfrakcyjnych, w odniesieniu do linii pierwszego rzędu (m = 1 w równaniu (37.22)), obserwowanych dla świa­ tła o długości fali X = 589 nm. Powinieneś w ramach ćwiczenia sprawdzić, czy podane w tabeli wartości D oraz R można uzyskać, korzystając odpowied­ nio z równań (37.27) i (37.29). (W obliczeniach D konieczna będzie zamiana radianów/metr na stopnie/n-m). Dla warunków określonych w tabeli siatki A i B mają taką samą dyspersję kątową, a siatki A i C taką samą zdolność rozdzielczą. Na rysunku 37.24 pokazano rozkłady natężeń (albo inaczej kształty linii), ja­ kie byłyby wytwarzane przez te siatki dla dwóch linii o długościach fali X] i X2,

Param etry trzech siatek dyfrakcyjnych (X = 589 nm, m = 1) Siatka

N

d[ nm]

8

D [° /n m ]

R

A B

10000 2 0 000 10000

2540 2540 1370

13,4° 13,4° 25,5°

23,2 23,2 46,3

10000 2 0000 10000

c

w pobliżu linii o długości A. = 589 nm. Siatka B o większej zdolności roz­ dzielczej wytwarza węższe linie i dlatego można za jej pomocą rozróżnić linie, których długości fali są znacznie bardziej zbliżone do siebie niż w przypadku zilustrowanym na rysunku. Siatka C o większej dyspersji daje większą odległość kątową między liniami.

Przykład 3 7 .5 Siatka dyfrakcyjna m a 1,26 • 104 równoodległych szczelin na od­ cinku w = 2,54 cm. O świetla ją padające prostopadle do jej po­ wierzchni żółte światło lam py sodowej. W świetle tym występują dwie linie — znane jako dublet sodowy — o niew iele różniących się długościach fali 589 nm i 589,59 nm. a) Jakie jest położenie kątowe m aksim um pierw szego rzędu (po obu stronach środka obrazu dyfrakcyjnego dla składowej dubletu o długości fali 589 nm?

ROZWIĄZANIE: Kluczowe dla odpowiedzi na to pytanie jest spostrzeżenie, że O*- * położenia m aksim ów wytwarzanych przez siatkę dyfrak­ cyjną m ożna wyznaczyć, korzystając z równania (37.22). Stała d tej siatki jest równa w 25,4 • 10~3 m „ d= - = = 2,016 -1 0 N 1,26 ■104

= 16,99°

fm X \ (1)(589,00 nm ) — = a rc s in ---------------------) 2016 nm

Vd

17°.

(odpowiedź)

b) Korzystając ze w zoru na dyspersję siatki, oblicz odległość ką­ tową między liniam i dubletu sodowego w pierw szym rzędzie.

ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że: O —t 1. Odległość kątow a A 8 pom iędzy dw iem a liniami w pierw szym rzędzie zależy, zgodnie z rów naniem (37.26), od różnicy ich długości fali AX oraz od dyspersji siatki D (D = A 8 /A X ).

O”“» 2.

D =

1 d c o s0

(2016 nm )(cos 16,99°)

= 5,187 • 10"4 rad /n m .

W ówczas z rów nania (37.26) otrzym am y A d = D A X = (5,187 ■10~4 ra d /n m )(5 8 9 ,5 9 nm - 589 nm ) = 3,06 ■10~4 rad = 0,0175°.

(odpowiedź)

M ożesz wykazać, że w ynik ten zależy od stałej siatki d, nie zależy natom iast od całkowitej liczby szczelin siatki. c) Jaką najm niejszą liczbę szczelin powinna m ieć siatka, żeby m ożna było, korzystając z niej, rozdzielić dublet sodowy w pierw ­ szym rzędzie?

m = 2016 nm .

M aksim um pierw szego rzędu odpow iada m = 1. Jeżeli te w iel­ kości wstawimy do równania (37.22), to otrzym am y = arcsin

bletu sodowego wystąpią dostatecznie blisko siebie, żebyśmy m o­ gli obliczyć dyspersję D dla kąta 8 = 16,99°, jak i wyznaczyliśm y dla jednej z tych linii w odpowiedzi na pytanie (a). W tedy dys­ persja z równania (37.27) będzie równa

D yspersja D zależy od kąta 8, dla którego m a być ob­ liczona. M ożem y założyć, że w pierw szym rzędzie obie linie du­

ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że: 1. Z godnie z równaniem (37.29) zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej w każdym rzędzie m jest w yznaczona przez liczbę szczelin siatki (R = N m ).

2. Z godnie z rów naniem (37.28) najm niejsza różnica dłu­ gości fali AA, jak a m oże być rozdzielona, zależy od średniej długości fali dla dwóch linii i od zdolności rozdzielczej siatki (R = Xir/A X ). Na to, żeby linie dubletu sodowego były w ogóle rozdzielane (rozróżnialne jako dw ie linie) AX m usi być równa 0,59 nm , a Aśr m usi być rów na 589,3 nm. Zbierając razem te kluczowe spostrzeżenia, stwierdzamy, że najm niejsza liczba szczelin, przy której siatka dyfrakcyjna roz­ dziela dublet sodowy, jest równa R X$r N = — = m mAX

589,3 nm (1)(0,59 nm)

= 999 szczelin. (odpowiedź)

3 7 .8. Siatki dyfrakcyjne: dyspersja i zdolność rozdzielcza

133

c

Rys. 37 .25. W ytw arzanie prom ieniow a­ nia rentgenowskiego. Elektrony opusz­ czające rozżarzone włókno F są przy­ spieszane przez różnicę potencjałów V i uderzają w m etalow ą tarczę T. „Okienko” W w próżniowej kom orze C jest przezroczyste dla prom ieniowania rentgenowskiego

37.9. Dyfrakcja prom ieniow ania rentgenowskiego Promieniowanie rentgenowskie (promienie X) to promieniowanie elektromagne­ tyczne z zakresu długości fali rzędu lA (= 10-10 m). Dla porównania długość fali ze środka zakresu widzialnego widma promieniowania elektromagnetycznego, czyli światła, wynosi 550 nm, czyli 5,5 ■10“7 m. Na rysunku 37.25 pokazano zasadę wytwarzania promieniowania rentgenowskiego — elektrony opuszczające rozżarzone włókno F są przyspieszane przez różnicę potencjałów V i uderzają w metalową tarczę T, przy czym wytwarzane jest promieniowanie rentgenowskie. Do rozdzielenia dwóch linii o różnych długościach fali z zakresu promie­ niowania rentgenowskiego nie można korzystać ze zwykłej optycznej siatki dy­ frakcyjnej. Aby to sprawdzić, weźmy siatkę dyfrakcyjną o stałej d = 3000 nm i użyjmy promieniowania o długości fali X = 1 A. Jak wynika z równania (37.22), maksimum pierwszego rzędu powstaje wówczas w odległości kątowej równej

od maksimum centralnego, czyli zbyt blisko tego maksimum, gdyż takiego od­ chylenia nie da się zmierzyć. Potrzebna byłaby siatka dyfrakcyjna o stałej d « X, ale ponieważ długości fali promieniowania rentgenowskiego są bliskie rozmia­ rów atomowych, wobec tego takiej siatki nie można wykonać metodami me­ chanicznymi. W 1912 r. fizyk niemiecki Max von Laue uświadomił sobie, że krystaliczne ciała stałe, które składają się z uporządkowanych szeregów atomów, mogłyby stanowić naturalną trójwymiarową „siatkę dyfrakcyjną” dla promieniowania rent­ genowskiego. Pomysł wziął się stąd, że w krysztale, takim jak chlorek sodu (NaCl), podstawowy układ atomów (zwany komórką elementarną kryształu) jest powielany (we wszystkich trzech prostopadłych kierunkach). Z każdą komórką elementarną kryształu NaCl związane są cztery jony sodu i cztery jony chloru. Na rysunku 37.26a pokazano przekrój przez fragment kryształu NaCl i jego komórkę elementarną, która jest sześcianem o boku a o. Kiedy wiązka promieni rentgenowskich wchodzi do kryształu, takiego jak kryształ NaCl, promienie są rozpraszane we wszystkich kierunkach przez krysz­ tał. W niektórych kierunkach interferencja rozproszonych fal promieniowania rentgenowskiego jest destruktywna, co prowadzi do minimów natężenia, a w in­ nych kierunkach jest ona konstruktywna, co prowadzi do maksimów natężenia. Taki proces rozpraszania i interferencji jest rodzajem dyfrakcji, chociaż nie jest to dyfrakcja taka, jak dyskutowane przez nas wcześniej ugięcie światła przecho­ dzącego przez szczelinę, czy ugięcie światła na krawędzi. Chociaż proces dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego na krysztale jest procesem skomplikowanym, to jednak okazuje się, że maksima natężenia powstają w takich kierunkach, ja k gdyby promieniowanie rentgenowskie było odbijane od rodziny równoległych płaszczyzn odbijających {płaszczyzn sieciowych ) zawartych w regularnie uporządkowanych atomach kryształu. (W rzeczywistości promienio­ wanie rentgenowskie nie ulega zwierciadlanemu odbiciu od żadnych płaszczyzn sieciowych; posługujemy się tymi fikcyjnymi płaszczyznami w celu uproszczenia analizy rzeczywistego procesu dyfrakcyjnego).

134

37. Dyfrakcja

Cl“

N a+

ao a) prom ień 2

prom ień 1

Rys. 37 .26. a) Sześcienna struktura kryształu NaCl z pokazanym i jonam i sodu i chloru oraz kom órką elem entarną kryształu (zacieniowana). b) Padające prom ieniowanie rentgenowskie ulega dyfrakcji na strukturze (a). Ich ugięcie zachodzi tak, ja k gdyby były odbijane od ro­ dziny równoległych płaszczyzn, pod kątem odbicia równym kątowi ich padania (oba kąty są m ierzone względem płaszczyzny, a nie ja k w optyce względem norm alnej do płaszczy­ zny odbijającej), c) Różnica dróg m iędzy falami efektywnie odbitym i przez dwie sąsiednie płaszczyzny jest 2d s in # , d) Inny kierunek prom ieniowania rentgenowskiego w stosunku do struktury. W takiej sytuacji efektywne odbicie prom ieniow ania rentgenowskiego zachodzi na płaszczyznach należących do innej rodziny płaszczyzn odbijających

Na rysunku 37.26b przedstawiono trzy płaszczyzny sieciowe (jednej z wielu rodzin płaszczyzn sieciowych kryształu) o odległości międzyplaszczyznowej d, od których — jak mówimy — odbija się promieniowanie rentgenowskie. Promienie 1, 2 i 3 odbijają się odpowiednio od pierwszej, drugiej i trzeciej płaszczyzny. Kąty padania i odbicia na każdej płaszczyźnie są oznaczone jako 0. Przeciwnie niż w optyce, kąty te nie są zdefiniowane jako kąty między kierunkami promienia padającego lub odbitego a normalną do płaszczyzny, lecz jako kąty między tymi kierunkami a płaszczyzną odbijającą (dlatego nazywa się je także kątami pośli­ zgu). Na rysunku 37.26b płaszczyzny odbijające są odległe od siebie o krawędź komórki elementarnej ao. Na rysunku 37.26c pokazano odbicie od dwóch sąsiednich płaszczyzn. Pa­ dające na kryształ fale promieniowania rentgenowskiego, reprezentowane przez promienie 1 i 2, mają zgodne fazy. Po odbiciu muszą one mieć zgodne fazy, gdyż odbicie i płaszczyzny odbijające zostały zdefiniowane wyłącznie w celu ob­ jaśnienia powstawania maksimów w dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego na krysztale. Inaczej niż światło, promieniowanie rentgenowskie nie ulega za­ łamaniu przy wejściu do kryształu i nie definiujemy współczynnika załamania dla dyskutowanej sytuacji. Różnica faz między obiema falami, reprezentowanymi przez promienie 1 i 2, jest zatem po wyjściu z kryształu określona wyłącznie

3 7 .9. D yfrakcja p ro m ie n iow an ia rentgenow skiego

135

przez różnicę przebytych przez nie dróg. Żeby te promienie miały zgodne fazy, różnica dróg musi być równa całkowitej wielokrotności długości fali X. Po dorysowaniu na rysunku 37.26c dwóch prostopadłych do promieni linii przerywanych, z prostych rozważań trygonometrycznych znajdziemy, że różnica dróg jest równa 2dsin0. Jest to słuszne również dla każdej pary sąsiednich płaszczyzn z rodziny odbijających płaszczyzn sieciowych zilustrowanych na ry­ sunku 37.26b. Zatem warunek określający występowanie maksimów natężenia dla dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego będzie miał postać

2 d s in 6 = mX,

m = 1,2,3,...

(prawo Bragga),

(37.31)

gdzie m jest rzędem maksimum natężenia. Równanie (37.31) zwane jest warun­ kiem Bragga, od nazwiska brytyjskiego fizyka W.L. Bragga, który je po raz pierwszy wyprowadził. (Wspólnie ze swoim ojcem za zastosowanie promienio­ wania rentgenowskiego do badania struktury kryształów otrzymał on Nagrodę Nobla w 1915 r.). Kąt padania i odbicia w równaniu (37.31) nazywa się kątem Bragga.

Niezależnie od tego, pod jakim kątem promieniowanie rentgenowskie pada na kryształ, zawsze istnieje rodzina płaszczyzn sieciowych, od której — jak mó­ wimy — ulega ono odbiciu i możemy zastosować warunek Bragga. Zauważ, że na rysunku 37.26d struktura krzyształu jest taka sama, jak na rysunku 37.26a, ale kąt, pod jakim promienie wnikają do kryształu, jest inny niż na rysunku 37.26b. Do opisu dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego z wykorzystaniem warunku Bragga temu nowemu kątowi 6 musimy przypisać nową rodzinę płaszczyzn od­ bijających, o innej odległości międzypłaszczyznowej d. Na rysunku 31.21 pokazano, jak można powiązać odległość międzypłaszczyznową d z rozmiarem komórki elementarnej ao. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że dla pokazanej na rysunku rodziny płaszczyzn sieciowych

czyli , ao d = —=.

V5

(37.32)

Na rysunku 37.27 wskazano, jak można wyznaczyć wymiary komórki elementar­ nej, jeżeli z pomiarów dyfrakcji wyznaczono odległość międzypłaszczyznową.

Rys. 37.27. Rodzina płaszczyzn odbija­ jących (płaszczyzn sieciowych) w struk­ turze kryształu z rysunku 37.26a i ob­ jaśnienie, ja k długość krawędzi komórki elem entarnej ao w iąże się z odległością m iędzypłaszczyznow ą d

136

37. Dyfrakcja

Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego jest potężnym narzędziem umożliwiającym badanie zarówno widm promieniowania rentgenowskiego, jak i rozmieszczenia atomów w strukturach krystalicznych. Do badania widm wybiera się określony zespół płaszczyzn sieciowych o znanej odległości międzypłaszczy­ znowej. Płaszczyzny te odbijają fale o różnych długościach pod różnymi kątami. Używając detektora rozróżniającego kąty, można wyznaczyć długości fali pro­ mieniowania zbieranego przez detektor. Kryształy mogą być badane przy użyciu monochromatycznego promieniowania rentgenowskiego, co umożliwia nie tylko wyznaczanie odległości międzypłaszczyznowych dla różnych płaszczyzn krysz­ tału, ale również struktury komórki elementarnej.

Kiedy fale napotykają krawędź lub przeszkodę bądź otwór o rozm iarach porównywalnych z długością fali, rozprze­ strzeniając się za nimi, interferują ze sobą. Zjawisko to nazywa się dyfrakcją.

ległe od siebie o d , wytw arza obrazy dyfrakcyjne o natężeniu I pod kątem 6 równym

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie

gdzie p = (-¡xd/X)sin9, a a jest takie samo, ja k w przypadku dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.

Dyfrakcja

Fale przechodzące przez długą, w ąską szczelinę o szerokości a wytwarzają na ekranie ob­ raz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny, który zawiera centralne m aksim um oraz inne m aksim a rozdzielone przez m inim a, których położenia kątowe 9 w stosunku do osi układu spełniają zależność a s in 9 = m X ,

m = 1 ,2 ,3 ,...

(minima).

/ sin a \ 2 1(0) = / m(cos2 /)) I ------ j

(dwie szczeliny),

(37.16)

Dyfrakcja na wielu szczelinach

D yfrakcja na N szczelinach prowadzi do m aksim ów (linii), których położenia kątowe 9 speł­ niają zależność

(37.3) d& m 9 = mX,

m = 0 ,1 ,2 ,...

(m aksim a),

(37.22)

Natężenie obrazu dyfrakcyjnego dla każdego kąta 9 jest a linie m ają szerokości połówkowe równe

1(0) = /,

sin a

.2

a

gdzie

na a = — sin # ,

X

(37.5, 37.6) A 01/2 =

N d cos 9

(szerokość połówkowa).

(37.25)

a / m jest natężeniem w środku obrazu.

Siatki dyfrakcyjne Dyfrakcja na otworze kołowym D yfrakcja na otworze kołowym lub na soczewce o średnicy d prowadzi do powstawania central­ nego m aksim um i koncentrycznych z nim m aksim ów i minimów, przy czym pierw sze m inim um występuje pod kątem 9 danym przez równanie

Siatka dyfrakcyjna to seria „szczelin” uży­ wana do rozdzielania padającej fali świetlnej na jej składowe o różnej długości fali przez przestrzenne rozseparowanie ich mak­ simów dyfrakcyjnych. Siatkę dyfrakcyjną charakteryzują jej dys­ persja D i zdolność rozdzielcza R: D =

X

sin(9 = 1,22— d

(pierw sze m inim um ; otwór kołowy).

K ryterium Rayleigha mówi, że dwa obiekty są na granicy rozdzielenia (rozróżnienia jako osobne), jeżeli centralne m aksim um jednego z nich znajduje się w m iej­ scu pierw szego m inim um drugiego z nich. Najm niejsza odległość kątowa m iędzy nim i m usi wówczas być równa X 0R = 1 ,2 2 — d

(kryterium Rayleigha),

(37.14)

gdzie d jest średnicą otworu, przez który przechodzi światło.

Dyfrakcja na dwóch szczelinach Fala przechodząca przez dwie szczeliny o jednakow ych szerokościach a, których środki są od-

—

m

AX

d co s9

Xiy R = — = Nm. AA

(37.12)

Kryterium Rayleigha

A9

(37.26, 37.27)

(37.28, 37.29)

Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego Regularne uszere­ gowane atomy w krysztale stanowią trójw ym iarową siatkę dyfrak­ cyjną dla prom ieniowania o m ałych długościach fali, takiego jak prom ieniowanie rentgenowskie. W celu analizy zjawiska dyfrakcji na krysztale atom y m ożna opisywać jako uporządkowane w okre­ ślonych płaszczyznach o charakterystycznej odległości m iędzypłaszczyznowej d. M aksim a dyfrakcyjne (wytworzone jako w ynik konstruktywnej interferencji) pojaw iają się wtedy, gdy kierunek padania fali, określany w zględem powierzchni tych płaszczyzn, oraz długość fali prom ieniow ania X, spełniają warunek Bragga: 2d sin 0 = mX,

m = 1, 2, 3, . . .

(w arunek Bragga). (37.31)

i

1. Światło o częstości v ośw ietla długą, w ąską szczelinę i w ytw a­ rza obraz dyfrakcyjny, a) Czy wtedy, gdy szczelinę tę oświetlimy św iatłem o częstości l,3 v , jej obraz dyfrakcyjny ulegnie rozsze­

rzeniu od środka na zewnątrz, czy też zawężeniu w stronę środka? b) Jak będzie się zm ieniał obraz, jeśli całą aparaturę zanurzymy w przezroczystym syropie kukurydzianym ?

Pytania

137

2 . Przeprow adzasz dośw iadczenie dyfrakcyjne z dwiem a szcze­ linam i przy użyciu św iatła o długości fali k. Co zaobserw ujesz na odległym ekranie obserwacyjnym w punkcie, w którym róż­ nica dróg przebywanych przez prom ienie św ietlne wychodzące ze skrajnych krawędzi szczeliny (górnej i dolnej) będzie równa: a) 5X

A

B

i b) 4,51? Rys. 37 .2 9 . Pytanie 7 3 . Z takim sam ym natężeniem głosu przem aw iasz raz bez użycia, a drugi raz z użyciem megafonu. W której z tych dwu sytuacji twoje przem ówienie brzm i głośniej dla osoby, która znajduje się na w prost przed tobą?

4 . N a rysunku 37.28 pokazane są cztery m ożliwe prostokątne otwory wyjściowe ze źródła, które m oże być źródłem fal dźw ię­ kowych albo fal świetlnych. B oki tych otworów m ają długość L lub 2 L, przy czym L jest trzykrotnie w iększe od długości fali opuszczającej źródło. Uszereguj te otwory w kolejności malejącej rozciągłości fali uginającej się na nich w kierunkach: a) poziom ym

8 . Linie czerw ona i zielona na rysunku 37.30 należą do tego sa­ m ego rzędu w idm a wytwarzanego przez siatkę dyfrakcyjną. Jeżeli zw iększym y liczbę szczelin siatki (np. usuwając taśm ę, która po­ czątkowo przesłaniała połowę szczelin), to czy w tedy a) szerokość połówkowa linii oraz b) odległość m iędzy liniam i w zrośnie, zm a­ leje, czy też się nie zm ieni? c) Czy linie przesuną się w prawo, w lewo, czy pozostaną w tym sam ym miejscu?

Rys. 37 .30. Pytania 8 i 9

oraz b) pionowym.

□□ni (1)

(2)

(3)

(4)

Rys. 37 .28. Pytanie 4

5 . W dośw iadczeniu dyfrakcyjnym z pojedynczą szczeliną pro­ m ienie w ychodzące ze skrajnych krawędzi (górnej i dolnej) szcze­ liny m ają w pewnym punkcie na ekranie obserwacyjnym różnicę przebytych dróg rów ną 4 długościom fali. Z ilu zachodzących na siebie okręgów będzie składał się ich diagram (taki, ja k na ry­ sunku 37.6)?

6 . W iele osób widzi nocą pierścienie otaczające jasno św ie­ cące lam py uliczne (tzw. halo). Te pierścienie to pierw sze mak­ sim a boczne obrazu dyfrakcyjnego wytwarzanego przez struktury, które, jak się przypuszcza, w ystępują w rogówce (a m ożliwe, że w soczewce) naszego oka. (M aksim a centralne dają obraz lampy). a) Czy określony pierścień będzie stawał się węższy, czy szerszy, jeżeli barw a św iatła lampy zm ieni się z niebieskiej na czerwoną? b) Czy wtedy, gdy lam pa w ysyła św iatło białe, zew nętrzna kra­ wędź widzianego pierścienia będzie m iała barw ę niebieską, czy m oże czerwoną?

7 . Na rysunku 37.29 pokazano jasne prążki obserwowane pod obw iednią dyfrakcyjną centralnego m aksim um w dwóch dośw iad­ czeniach z dw iem a szczelinami, w których padające św iatło ma taką sam ą długość fali. Czy: a) szerokość szczelin a, b) odległość wzajem na szczelin d i c) stosunek d / a w dośw iadczeniu B są większe, m niejsze, czy też takie same, ja k w dośw iadczeniu A?

1 38

37. Dyfrakcja

9 . Jeżeli w sytuacji takiej, ja k w pytaniu 8, zwiększym y stałą siatki, to czy w tedy a) szerokość połówkowa linii oraz b) odległość m iędzy liniam i wzrośnie, zmaleje, czy też się nie zmieni? c) Czy linie przesuną się w prawo, w lewo, czy pozostaną w tym samym m iejscu? 1 0 . a) N a rysunku 37.31a pokazano linie wytw arzane przez dwie siatki dyfrakcyjne A i B ośw ietlane św iatłem o takiej samej długo­ ści fali. Obserwowane linie należą do tego sam ego rzędu, a ich po­ łożenia kątowe 9 są w obu przypadkach identyczne. Która z dwóch siatek m a w iększą liczbę szczelin? b) Na rysunku 3 7.3lb poka­ zano dwa rzędy w idm a obrazu wytwarzanego przez siatkę przy ośw ietlaniu jej św iatłem o dwóch różnych długościach fali z czer­ wonego zakresu w idm a widzialnego. Która para linii, prawa czy lewa, jest obserwow ana w w yższym rzędzie (w iększa liczba m )? c) Czy na rysunku 3 7.3l a środek obrazu dyfrakcyjnego znajduje się na prawo, czy na lewo od obserwowanych linii? d) Czy tak samo jest na rysunku 37.31b?

*[.z r_ a)

— b)

Rys. 37.31. Pytanie 10 1 1 . a) Czy dla określonej siatki dyfrakcyjnej najm niejsza różnica m iędzy dwiem a długościam i fali A X , które m ogą być rozdzielone przez tę siatkę, będzie wzrastać, maleć, czy też nie będzie się zmieniać wtedy, gdy rośnie długość fali ośw ietlającego ją św ia­ tła? b) Czy dla danego obszaru długości fali (np. dla obszaru wokół 500 nm ) A X jest w iększe w pierw szym , czy też w trzecim rzędzie?

•vw i!w

Rozwiązanie je st dostępne na stronie internetowej pod­ ręcznika: http://www.wiley.com /college/hrw Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej, wykorzystującej oprogram owanie Interactive LearningW are (na tej samej stronie)

ściany odległej o 100 m (rys. 37.32). W którym m iejscu w zdłuż tej ściany występuje pierw sze m inim um dyfrakcyjne i znajdujący się tam słuchacz m a kłopoty z usłyszeniem dźw ięku? (Zaniedbaj odbicia). 7 . Szczelina o szerokości 1 m m jest ośw ietlana św iatłem o długo­ ści fali 589 nm. Na ekranie w odległości 3 m od szczeliny widzim y

37.2 Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie: położenia m inim ów 1. Św iatło o długości fali 633 nm pada na w ąską szczelinę. Kąt m iędzy pierw szym i m inim am i dyfrakcyjnym i występującym i po obu stronach centralnego m aksim um jest równy 1,2°. Ile wynosi szerokość tej szczeliny?

obraz dyfrakcyjny. Oblicz odległość między dwom a pierw szym i m inim am i dyfrakcyjnym i występującym i po tej samej stronie cen­ tralnego m aksim um obrazu.

37.4 Natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny. Opis ilościowy

2 . Św iatło m onochrom atyczne o długości fali 441 nm pada na

8 . Szczelina o szerokości 0,1 m m jest ośw ietlana św iatłem o dłu­

w ąską szczelinę. Na ekranie obserwacyjnym , odległym o 2 m

gości fali 589 nm. Weź pod uwagę pewien punkt P , którego poło­

od szczeliny, odległość m iędzy drugim m inim um dyfrakcyjnym

żenie kątowe na ekranie obserwacyjnym wynosi 30° w stosunku

i centralnym m aksim um w ynosi 1,5 cm. a) Oblicz kąt ugięcia 9 dla drugiego m inim um , b) W yznacz szerokość szczeliny.

do osi układu. Ile w ynosi różnica faz m iędzy wtórnym i (elem en­

3 . Pojedyncza szczelina jest ośw ietlana św iatłem o długościach fali Xa i Xh, które są dobrane tak, że pierw sze m inim um dyfrak­ cyjne dla składowej Xa pokryw a się z drugim m inim um dla skła­ dowej Xb. a) Jaka zależność łączy te dwie długości fali światła? b) Czy którekolw iek inne m inim a w tym obrazie dyfrakcyjnym będą się również pokrywały?

tarnym i) falam i H uygensa w ychodzącym i ze środka szczeliny i jej górnej krawędzi, docierającym i do punktu P na ekranie? (W ska­ zówka: Patrz równanie (37.4)). 9 . Jeżeli podwoisz szerokość szczeliny, to natężenie centralnego m aksim um obrazu dyfrakcyjnego wzrośnie czterokrotnie, m im o że energia przechodząca przez szczelinę uległa tylko podwojeniu. W yjaśnij ten problem ilościowo.

4 . Ekran obserwacyjny znajduje się w odległości 40 cm od szcze­ liny oświetlanej św iatłem o długości fali 550 nm. N a ekranie od­ ległość m iędzy pierw szym i piątym m inim um w obrazie dyfrak­ cyjnym tej szczeliny jest równa 0,35 mm. a) W yznacz szerokość szczeliny, b) Oblicz kąt 9 dla pierw szego m inim um dyfrakcyj­ nego.

1 0 . Św iatło m onochrom atyczne o długości fali 538 nm pada na szczelinę o szerokości 0,025 mm. Odległość m iędzy szczeliną a ekranem obserwacyjnym w ynosi 3,5 m. Weź pod uwagę punkt na ekranie, który znajduje się w odległości 1,1 cm od centralnego m aksim um , a) Oblicz kąt 9 dla tego punktu, b) Oblicz kąt a. c) Oblicz stosunek natężenia w tym punkcie do natężenia central­

5 . Fala płaska o długości fali 590 nm pada na szczelinę o sze­ rokości a = 0,4 mm. M iędzy szczeliną i ekranem obserw acyj­

nego maksim um .

nym um ieszczona jest cienka soczewka skupiająca o ogniskowej

1 1 . Pełna szerokość centralnego m aksim um dyfrakcyjnego m ie­

+ 7 0 cm, która ogniskuje św iatło na ekranie, a) Jak daleko od

rzona w połowie jeg o m aksym alnego natężenia A 9 jest zdefi-

szczeliny znajduje się ekran? b) Ile wynosi odległość między

nowana jako kąt m iędzy dwom a punktam i w obrazie, w któ­

środkiem i pierw szym m inim um obrazu dyfrakcyjnego obserwo­

rym natężenie m a w artość połowy natężenia w środku m aksi­

wanego na ekranie?

m um (patrz rys. 37.7b). a) Pokaż, że natężenie spada do połowy w artości m aksym alnej wtedy, gdy sin2 a = a 2/ 2. b) Sprawdź, czy

6 . Fale dźwiękowe o czę­

a = l,3 9 r a d ( o k . 80°) jest rozw iązaniem rów nania w ystępującego

stości 3000 Hz i prędkości ulegają ugięciu na prosto­

w punkcie (a), c) Pokaż, że A 9 jest dana jako 2 arcsin(0,443A /a), gdzie a jest szerokością szczeliny, d) Oblicz A 6 centralnego m ak­ sim um dla szczeliny o szerokościach równych: 1; 5 i 10 długości

kątnym

fali światła, w w w

rozchodzenia się 343 m/s

i

otworze

rozchodzą

się

głośnika w

du­

żym audytorium . Otwór ma szerokość poziom ą 30 cm i znajduje się naprzeciw

H-------------- 100 m — Rys. 37 .32. Z adanie 6

1 2 . Zasada Babineta. M onochrom atyczna w iązka równoległych prom ieni świetlnych pada na „kolim ujący” otwór o średnicy i » l , Punkt P na odległym ekranie leży w obszarze cienia

Z adania

139

1 7. Znajdź odległość m iędzy dwom a punktam i na powierzchni Księżyca, które są ledw ie rozdzielane przez 200-calowy ( = 5,1 m) teleskop na M ount Palomar. Przyjmij, że ich rozdzielczość jest określona przez efekty dyfrakcyjne. Odległość Ziem i od Księżyca w ynosi 3,8 • 105 km. Przyjmij dla św iatła X = 550 nm. i!w

T

1 8 . Ściana dużego pokoju pokryta jest płytą akustyczną, w której m ałe otworki w yw iercone są w odstępach 5 m m m iędzy środ­ A

B b)

Rys. 37.33. Z adanie 12

kami. Z jakiej odległości od tej ściany obserw ator m oże jeszcze rozróżnić pojedyncze otworki? Przyjmij, że średnica źrenicy oka obserw atora jest równa 4 m m i że św iatło ośw ietlające pom iesz­ czenie m a długość fali 550 nm.

geom etrycznego (rys. 37.33a). Na otwór kolim ujący nakładane są

1 9 . Oszacuj liniową odległość m iędzy dwom a obiektam i na M ar­

kolejno dwie przesłony pokazane na rysunku 37.33b. Przesłona

sie, które w idealnych w arunkach obserw acji m ogą być rozróż­

A jest nieprzezroczystym krążkiem z otworem, natom iast prze­

nione przez obserw atora na Ziem i a) obserw ującego M arsa nie­

słona B jest „fotograficznym negatywem ” przesłony A. Korzysta­ jąc z zasady superpozycji, wykaż, że przy zastosowaniu przesłony

uzbrojonym (gołym) okiem , b) korzystającego z 200-calowego

A lub B natężenie w punkcie P jest identyczne.

dane: odległość do M arsa = 8 ■ 107 km , średnica źrenicy oka

1 3 . a) Pokaż, że wartości a , dla których występują m aksim a na­

= 5 m m, długość fali św iatła = 550 nm.

tężenia przy ugięciu św iatła na pojedynczej szczelinie, m ogą być ściśle w yznaczone przez różniczkowanie równania (37.5) wzglę­

2 0 . System radarowy krążow nika w ysyła fale o długości 1,6 cm

dem a i przez przyrów nanie w yniku do zera, co prowadzi do w arunku tg a = a . b) Sporządź wykresy zależności y = tg a oraz y = a i z punktów przecięcia się obu krzywych odczytaj w artości kąta a , które spełniają w arunek z punktu (a); m ożesz je również znaleźć m etodą prób i błędów, korzystając z kalkula­ tora. c) Znajdź w artości m (niecałkowite) odpowiadające kolejnym m aksim om w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny. Zwróć uwagę na to, że m aksim a boczne nie leżą dokładnie w połowie odległości m iędzy minimami.

( = 5,1 m) teleskopu na M ount Palomar. Zastosuj następujące

z kolistej anteny o średnicy 2,3 m. Jaka m oże być najm niejsza odległość m iędzy dw iem a łodziam i m otorowymi, żeby system radarowy krążow nika był w stanie z odległości 6,2 km rozróżnić je jako pojedyncze obiekty? 2 1 . Skrzydła trzyszczy są zabarw ione w w yniku interferencji w cienkich błonkowatych warstwach. W arstwy te są ułożone w ła­ tach, które m ają rozm iary poprzeczne 60 ^im i dają różne barwy. B arwa, którą oglądasz, jest pointylistyczną m ieszaniną barw p o ­ wstających w w yniku interferencji w cienkich warstwach, zm ie­ niających się wraz z kątem obserwacji. Z jakiej (w przybliżeniu)

37.5 Dyfrakcja na otworze kołowym 1 4 . Przyjmij, że lam pa w pytaniu 6 emituje św iatło o długości fali 550 nm. Ile wynosi przybliżona średnica struktury zawartej w oku, jeżeli sprawia ona, że widziany przez oko jasny pierścień

granicznej odległości będziesz m ógł, zgodnie z kryterium Ray­ leigha, rozróżnić różnie zabarw ione łaty na skrzydłach owada? Przyjmij, że św iatło m a długość fali 550 nm, a średnica źrenicy twojego oka jest rów na 3 mm.

w okół lam py m a średnicę kątow ą 2,5°?

2 2 . W czerwcu 1985 r. z Posterunku Optycznego Sił Pow ietrz­

1 5 . Odstęp m iędzy reflektoram i zbliżającego się sam ochodu w y­ nosi 1,4 m. a) Przy jakiej ich odległości kątowej i b) z jakiej

nych USA na wyspie M aui (Hawaje) wysłano w iązkę laserową, która odbiła się od powierzchni prom u D iscovery przelatującego

odległości będzie m ogło je rozróżnić (rozdzielić) oko obserw a­

na wysokości 354 km . Prom ieniowanie laserowe m iało długość

tora? Przyjmij, że średnica źrenicy oka jest równa 5 m m oraz że

fali 500 nm, a szerokość jego centralnego m aksim um w m iejscu

św iatło reflektorów m a długość fali 550 nm . Przyjmij również,

odbicia od prom u w ynosiła 9,1 m. Oblicz efektyw ną szerokość

że rozdzielczość ograniczają jedynie efekty dyfrakcyjne i wobec

otworu wyjściowego lasera na stanowisku naziem nym (W ska­

tego m ożna zastosować kryterium Rayleigha.

zów ka: Powodem rozbieżności w iązki laserowej jest tylko dyfrak­ cja; przyjm ij, że otwór wyjściowy m a kształt koła).

1 6 . Astronauta na pokładzie prom u kosm icznego znajdującego się na wysokości 160 km nad powierzchnią Ziem i stwierdza, że

2 3 . Radar pracujący na falach m ilim etrowych generuje węższe

jest w stanie (ledwo) rozróżnić dwa punkty na jej powierzchni. Z a­

wiązki prom ieniow ania niż radar konwencjonalny (mikrofalowy),

kładając, że panują idealne warunki, oblicz a) kątow ą i b) liniową odległość m iędzy tymi punktam i. W obliczeniach przyjmij dłu­

co czyni go odporniejszym na wykrycie i atak rakietowy, a) O b­

gość fali św iatła rów ną 540 nm i średnicę źrenicy oka astronauty rów ną 5 mm.

140

37. Dyfrakcja

licz szerokość kątową centralnego m aksim um (m ierzoną od pierw ­ szego m inim um , po jednej stronie m aksim um , do pierw szego m inim um , po jeg o drugiej stronie) w ytwarzanego przez wiązkę

radarową o częstości 220 GHz em itowaną z kolistej anteny o śred­

dyfrakcyjne tłum ią jasne prążki, gdyż wypadają w tym sam ym

nicy 55 cm. (Częstość została dopasowana do „okna” absorpcji

m iejscu. Ile jasnych prążków znajduje się pod obw iednią dyfrak­

atm osferycznej), b) Oblicz tę sam ą wielkość dla radaru opisanego

cyjną m iędzy pierw szym i drugim m inim um ?

w zadaniu 20. ww w

2 8 . W dośw iadczeniu dyfrakcyjnym z dw iem a szczelinam i odle­

2 4 . O krągła nieprzezroczysta przesłona wytw arza taki sam obraz

głość d m iędzy szczelinam i jest dw ukrotnie w iększa od szeroko­

dyfrakcyjny, ja k okrągły otwór o takiej samej średnicy (z w yjąt­

ści szczeliny w. Ile jasnych prążków znajduje się pod centralną obw iednią dyfrakcyjną?

kiem obszarów bliskich kierunku 9 = 0). Przykładem takich prze­ słon są krople wody unoszące się w powietrzu. K iedy obserw u­ jesz Księżyc poprzez zawieszone w powietrzu krople wody, takie z jakich składa się m gła, odbierasz obrazy dyfrakcyjne wytwa­ rzane przez w iele kropel. Centralne m aksim a w ytwarzane przez te krople wody tworzą biały obszar, który otacza Księżyc i roz­

2 9 . a) Przy jakim stosunku d / a w dośw iadczeniu z dwiem a szczelinam i czwarty boczny jasny prążek jest wygaszany w w y­ niku dyfrakcji? b) Które jeszcze prążki będą również wygaszane w obrazie w tych warunkach?

mywa jeg o kontury. W idać wówczas dwa słabo widoczne barwne

3 0 . Dw ie szczeliny o szerokości a i odległości wzajemnej d są

pierścienie otaczające Księżyc. M niejszy pierścień znajduje się na zewnętrznym skraju centralnych m aksim ów wytwarzanych przez

ośw ietlane spójną w iązką św iatła o długości fali X. Ile wynosi li­ niowa odległość m iędzy jasnym i prążkam i interferencyjnym i ob­

krople; nieco większy pierścień występuje na zew nętrznym skraju

serwowanymi na ekranie w odległości D od szczelin?

najm niejszych z m aksim ów bocznych wytwarzanych przez krople nim am i dyfrakcyjnym i (ciemne pierścienie) w obrazie.

3 1 . a) Ile jasnych prążków występuje m iędzy pierw szym i m i­ nim am i dyfrakcyjnym i po każdej stronie centralnego m aksim um

a) Jaka je st barw a tych pierścieni na zewnętrznych skrajach m aksi­ mów dyfrakcyjnych? b) Barwny pierścień wokół centralnych mak­

w obrazie dyfrakcyjnym z dwóch szczelin, jeżeli X = 550 nm, d = 0,15 nm i a = 30 [im ? b) Ile w ynosi stosunek natężenia

simów m a średnicę kątową 1,35 razy w iększą od średnicy kątowej

trzeciego jasnego prążka do natężenia prążka centralnego?

(por. rys. 37.9). Pierścienie są barwne, poniew aż sąsiadują z m i­

Księżyca, która jest rów na 0,5°. Przyjmij, że średnice wszystkich

3 2 . Św iatło o długości fali 440 nm przechodzi przez układ dwóch

kropel są takie same. Ile w ynosi w przybliżeniu ta średnica?

szczelin i w ytw arza obraz dyfrakcyjny. W ykres zależności natę­

2 5 . a) Ile w ynosi odległość kątowa m iędzy dw iem a gwiazdami,

żenia I od położenia kątow ego 6 dla tego obrazu pokazano na

jeżeli ich obrazy są (ledwo) rozdzielone przez teleskop refrakcyjny

rysunku 37.34. Oblicz a) szerokość szczelin i b) odległość m ię­

Thaw w Allegheny O bservatory w Pittsburgu? Średnica soczewki

dzy szczelinami, c) Zweryfikuj pokazane natężenia dla prążków

teleskopu jest równa 76 cm, a jej ogniskowa w ynosi 14 m. Przyj­ mij, że X = 550 nm. b) Oblicz odległość m iędzy tym i gwiazdami,

m = 1 i m = 2.

wiedząc, że ich odległość od Ziem i w ynosi 10 lat świetlnych, c) W yznacz średnicę pierw szego ciem nego pierścienia w obrazie

7 i ......

dyfrakcyjnym pojedynczej gw iazdy wytwarzanym przez teleskop na płycie fotograficznej um ieszczonej w płaszczyźnie ognisko­ wej soczewki teleskopu. Przyjmij, że struktura tego obrazu jest zw iązana wyłącznie z dyfrakcją na soczewce, a nie z wadami optycznym i soczewki. 2 6 . W radziecko-francuskim eksperym encie badania powierzchni Księżyca za pom ocą w iązek św iatła wysyłano w stronę Księżyca im pulsy prom ieniowania lasera rubinowego (X = 0,69 p.m) przez teleskop zwierciadlany ze zw ierciadłem o prom ieniu 1,3 m. Re­ flektor na Księżycu działał ja k koliste płaskie zw ierciadło o pro­

0

m ieniu 10 cm i odbijał to prom ieniowanie z powrotem w kierunku teleskopu na Ziem i. Św iatło odbite było ogniskowane przez tele­ skop i padało na detektor. Jaki ułam ek pierwotnej energii św iatła

5 6 [stopnie]

Rys. 37 .3 4 . Z adanie 32

odbierał detektor? Przyjmij, że dla każdego z obydwu kierunków wędrówki św iatła cała energia zw iązana jest z centralnym m aksi­ m um dyfrakcyjnym.

37.6 Dyfrakcja na dwóch szczelinach

37.7 Siatki dyfrakcyjne 3 3 . Siatka dyfrakcyjna o szerokości 20 m m m a 6000 szczelin, a) Oblicz odstęp d m iędzy sąsiednim i szczelinami, b) Pod jakim i kątam i 6 na ekranie obserwacyjnym będą występować m aksim a

2 7 . Przypuśćmy, że pod obw iednią obrazu dyfrakcyjnego dwóch

natężenia przy założeniu, że św iatło padające na siatkę m a długość

szczelin znajduje się 11 jasnych prążków i że pierw sze m inim a

fali 589 nm?

Zadania

141

34.

Siatka m a 315 szczelin/m m . D la jakich długości fali z za­

42.

Siatka dyfrakcyjna o stałej d = 1,5 (im jest ośw ietlana pod

kresu św iatła widzialnego będzie m ożna obserwować dyfrakcję

różnym i kątam i padania przez św iatło o długości fali 600 nm. Spo­

w piątym rzędzie, używając tej siatki?

rządź wykres zależności odchylenia kątowego m aksim um pierw ­ szego rzędu w zględem kierunku padania św iatła od kąta padania

3 5 . Siatka m a 400 szczelin/mm . Ile rzędów w idm a całego zakresu

(z zakresu 0-90°). (Patrz zadanie 41).

widzialnego (400-700 nm ), oprócz rzędu zerowego (m = 0), będzie m ożna obserwować, używając tej siatki? ¡Iw

43. W yprowadź równanie

3 6 . Praw dopodobnie w celu zm ylenia drapieżnika, pewne tro­ pikalne chrząszcze (krętaczki) są zabarw ione w w yniku optycz­ nej interferencji zachodzącej w ich łuskach, ustawionych tak, że tw orzą siatkę dyfrakcyjną (która nie przepuszcza światła, lecz je odbija). Kiedy prom ienie św iatła padającego są prostopadłe do siatki, kąt m iędzy m aksim am i pierw szego rzędu (po przeciwnych stronach m aksim um zerowego rzędu) dla św iatła o długości fali 550 nm w ynosi ok. 26°. Ile w ynosi stała siatki dyfrakcyjnej two­ rzonej przez łuski chrząszcza?

(37.25) opisujące szerokość połówkową

linii w obrazie siatki dyfrakcyjnej.

44.

Siatka dyfrakcyjna, która m a 350 szczelin na m ilimetrze, ośw ietlana jest prostopadle św iatłem białym . Powstałe widm o ob­ serwowane jest na ekranie obserw acyjnym w odległości 30 cm od siatki. W ekranie tym wycięto kwadratowy otwór o boku 10 mm, którego w ewnętrzna krawędź znajduje się w odległości 50 m m od centralnego m aksim um (zerowego rzędu widm a) i jest do niego równoległa. Jaki jest zakres długości fali św iatła przechodzącego przez ten otwór?

37. Św iatło o długości fali 600 nm pada prostopadle na siatkę dyfrakcyjną. Dw a sąsiednie m aksim a występują pod kątam i okre­

45*. W yprowadź daną niżej

ślonymi przez sinO = 0,2 i sin 0 = 0,3. W obrazie dyfrakcyjnym

żeń w obrazie dyfrakcyjnym „siatki dyfrakcyjnej” o trzech szcze­

brak jest m aksim ów czw artego rzędu, a) Ile wynosi stała siatki?

linach: I = 5 ^m(l + 4 c o s

b) Jaką najm niejszą szerokość m oże mieć szczelina tej siatki? c) Którego rzędu m aksim a wytw arza ta siatka (przy odpowiedzi zastosuj dane otrzym ane w punkcie (a) i (b))?

zależność, która opisuje rozkład'natę­

gdzie 4> = (2 jx d sin 0 )/A . Załóż, że a
3 8 . Siatkę dyfrakcyjną tworzy układ szczelin o szerokości 300 nm

niego w yrażenia dla dwóch szczelin, tzn. równania (36.21).

i odległych od siebie o 900 nm. Siatkę ośw ietlają m onochrom a­ tyczne fale płaskie o długości fali X = 600 nm , padające na nią prostopadle, a) Ile rzędów m a cały obraz dyfrakcyjny wytwarzany przez tę siatkę? b) Oblicz szerokość linii w pierw szym rzędzie,

37.8 Siatki dyfrakcyjne: Dyspersja i zdolność rozdzielcza

zakładając, że całkowita liczba szczelin siatki wynosi 1000.

46.

L inia D w w idm ie sodu jest dubletem o długościach fali

3 9 . Przyjmijmy um ownie, że św iatło widzialne obejm uje zakres od 430 do 680 nm. Oblicz liczbę szczelin siatki przypadającą na

m ieć siatka, która m a rozdzielać linie tego dubletu w widm ie

milimetr, przy której w idm o pierw szego rzędu będzie rozciągać

drugiego rzędu. Patrz przykład 37.5.

589 nm i 589,6 nm. Oblicz, jak ą najm niejszą liczbę szczelin musi

się na szerokości kątowej 20°. ■ 4 0 . Z ielone św iatło z gazowej rury do wyładow ań pada prostopa­ dle na siatkę dyfrakcyjną o stałej siatki 1,73 (xm. Ostre m aksim a obserwow ane są pod kątam i 8 = ± 1 7 ,6 °, 37,3°, —37,1°, 65,2° i —65,0°. Oblicz długość fali św iatła zielonego, która najlepiej pasuje do tych danych.

47.

Ź ródło zawierające m ieszaninę atom ów w odoru i deuteru em ituje św iatło czerw one o dwóch długościach fali, które różnią się o 0,18 nm i których w artość średnia jest rów na 656,3 nm. W yznacz najm niejszą liczbę szczelin, jak ą m usi m ieć siatka, która będzie rozdzielać te linie w w idm ie pierw szego rzędu. H v

4 1 . Św iatło pada na siatkę dy­

48.

frakcyjną pod kątem \jr, tak jak na rysunku 37.35. Pokaż, że ja ­

w pobliżu X = 500 nm, którą siatka ta rozdziela w drugim rzę­

Siatka dyfrakcyjna m a 600 szczelin/mm , które zajm ują sze­ rokość 5 mm. a) Ile wynosi najm niejsza różnica długości fali

sne prążki występują pod ką­

dzie widm a? b) Ile rzędów m ożna obserwować przy zastosowaniu

tam i 6, które spełniają zależność:

tej siatki?

¿ (sin xjr + sin # ) = mX,

49.

Pokaż, że dyspersja siatki dyfrakcyjnej D = (tg d )/X .

50.

Pew na siatka dyfrakcyjna um ożliw ia obserw ację (ledwo) roz­

m = 0, 1, 2, . . . (Porównaj tę zależność z rów na­ niem (37.22)). W tym rozdziale dyskutowaliśmy tylko przypadek specjalny, gdy f = 0.

142

37. Dyfrakcja

siatka Rys. 37 .35. Zadanie 41

dzielonego dubletu sodowego (p. przykład 37.5) w trzecim rzędzie w idm a pod kątem 10° do norm alnej. Oblicz; a) stałą siatki oraz b) całkow itą szerokość, jak ą zajm ują szczeliny siatki.

5 1 . Zdolność rozdzielcza siatki R = k ^ / A X = N m . a) Pokaż, że

5 7 . Udowodnij, że pom iar kątów B ragga dla kilku rzędów od­

różnica częstości linii, jakie m ogą być rozdzielone, jest dana przez

bicia nie wystarcza do równoczesnego wyznaczenia długości fali

= c /N m k . b) Korzystając z rysunku 37.18, pokaż, że różnica

padającego prom ieniow ania rentgenowskiego i odległości między-

A d

czasów, w jakich do punktu P dociera światło, rozchodzące się w zdłuż kierunków w yznaczonych przez dolny i górny prom ień

płaszczyznow ych płaszczyzn odbijających kryształu.

na tym rysunku, jest rów na A t = ( N d /c ) sinO. c) Pokaż, że

5 8 . Odbicie w pierw szym

A v A i = 1 i że relacja ta jest niezależna od różnych param etrów siatki dyfrakcyjnej. Z ałóż, że N 2> 1.

rzędzie od płaszczyzn po­ kazanych na rysunku 37.37

5 2 . a) Znajdź zależność iloczynu szerokości połówkowej linii

ka prom ieniowania rentge­

i zdolności rozdzielczej siatki dyfrakcyjnej od kąta 9, który okre­ śla położenie linii, b) Oblicz ten iloczyn dla linii pierw szego rzędu

nowskiego o długości fali 0,26 nm tworzy z górną

dla siatki z zadania 38.

pow ierzchnią kryształu kąt

37.9 Dyfrakcja prom ieniow ania rentgenowskiego

krawędzi «o kom órki ele­

zachodzi wtedy, gdy w iąz­

63,8°. Ile w ynosi długość Rys. 3 7 .3 7 . Z adanie 58

m entarnej kryształu? 5 3 . Stwierdzono, że kąt B ragga dla drugiego rzędu odbicia pro­ m ieniowania rentgenowskiego o długości fali 0,12 nm w krysz­

5 9 . Rozważ dwuw ym iarową kw adratową strukturę krystaliczną

tale fluorku litu jest równy 28°. Oblicz odległość m iędzypłaszczy-

(taką, jak ą tworzą przednie ściany kryształu na rys. 37.26a). O d­

znową płaszczyzn odbijających w tym krysztale.

stęp m iędzy płaszczyznam i odbijającymi jest zarazem krawędzią aa kom órki elem entarnej, a) Oblicz i naszkicuj pięć następnych,

5 4 . Na rysunku 37.36 przedstawiono wykres zależności natężenia od położenia kątowego w obrazie dyfrakcyjnym wiązki prom ie­ niowania rentgenowskiego ugiętej na krysztale. W iązka zawiera

m niejszych odległości m iędzypłaszczyznow ych dla takiej struk­ tury. b) Pokaż, że twoje w yniki z punktu (a) są zgodne z ogólnym w yrażeniem

prom ieniowanie o dwóch różnych długościach fali, a odległość m iędzypłaszczyznow a w krysztale jest rów na 0,94 nm. Jakie są długości fali dwóch składowych wiązki?

\ / h 2 + k2 gdzie h i k są liczbam i całkowitymi (nie m ającym i wspólnego dzielnika poza jednością), w w w 6 0 . Na rysunku

OJ

-

.......

i

'8

I

■N

U i

V : i)

ora

............................

C

........r.......... '...... . - .... -■ -

f%

:

'

■

■" ----'

:

w iązka prom ieniowania rentgenow ­

pada pod kątem 45° na

: M

............. i

37.38

skiego o długościach fali z zakresu od 95 pm do 140 pm

:t «

■ ■■ ł ■ ...........................

..........................

rodzinę odbijających płasz­ czyzn sieciowych o odle­

0

0,4

0,8 *

1,2

1,6

" 2,0**

2,4

2,8

9 [stopnie]

głości m iędzypłaszczyzno­ wej d = 275 pm. Dla jakich

długości

fali

od­

bicie od tych płaszczyzn

Rys.

37.36.

55.

W iązka prom ieniowania rentgenowskiego o nieznanej dłu­

Zadanie 54

gości fali pada na kryształ NaCl pod kątem 30° w stosunku do pewnej rodziny odbijających płaszczyzn sieciowych o odległości m iędzypłaszczyznow ej 39,8 pm . Jaka jest długość fali prom ie­ niowania rentgenowskiego, jeżeli po odbiciu od tych płaszczyzn powstaje w idm o pierw szego rzędu?

tworzyć będzie intensyw ne m aksim a? 6 1 . N iech w iązka prom ieniowania rentgenowskiego o długości fali 0,125 nm pada pod kątem 45° na górną powierzchnię krysz­ tału NaCl i zarazem na rodzinę płaszczyzn odbijających, tak jak to pokazano na rysunku 37.38. N iech odległość m iędzy płaszczy­ znam i będzie równa d = 0,252 nm. O jakie kąty należy obracać

W iązka prom ieniowania rentgenowskiego o długości fali A

kryształ wokół osi prostopadłej do płaszczyzny kartki, aby w wy­

ulega odbiciu w pierw szym rzędzie wtedy, gdy jej kąt padania

niku odbicia od tych płaszczyzn powstawały m aksim a natężenia prom ieniowania odbitego.

56.

na powierzchnię kryształu jest równy 23°, natom iast w iązka pro­ m ieniowania rentgenowskego o długości fali 97 pm ulega odbiciu w trzecim rzędzie wtedy, gdy jej kąt padania na powierzchnię tego

Zadania dodatkowe

kryształu jest równy 60°. Przyjm ując, że obie wiązki ulegają odbi­ ciu od tej samej rodziny odbijających płaszczyzn sieciowych, w y­

6 2 . Sygnały telewizyjne są nadawane z wież telewizyjnych do

znacz a) odległość m iędzy płaszczyznow ą oraz b) długość fali A .

domowych odbiorników. Nawet jeżeli sygnał nie dociera w linii

Z adania

143

prostej z w ieży do odbiornika, bo przesłaniają go wzgórza czy bu­

oka. Św iatło ugina się na zagęszczeniach w ich obszar cienia, tak

dynki, to i tak m oże być odbierany, jeżeli ugina się dostatecznie

jak w dośw iadczeniu Fresnela (patrz paragraf 37.1). N ie widzisz

silnie na przeszkodzie, wnikając do jej „obszaru cienia” . Obecnie

samych zagęszczeń, ale ich obrazy dyfrakcyjne na siatkówce. O b­

sygnały telew izyjne m ają długości fali ok. 50 cm, ale w przyszło­ ści sygnały telewizji cyfrowej m ają mieć długość fali ok. 10 mm.

razy te nazywane są „ latającym i m uszkam i”, bo kiedy poruszasz

a) Czy taka zm iana długości fali sygnału nadawczego zwiększy,

laretka), co sprawia, że obrazy dyfrakcyjne w ędrują po obszarze

okiem , ciało szkliste chybocze się (podobnie ja k w strząsana ga­

czy zm niejszy dyfrakcję w obszarze cienia przeszkód? Rozważ

siatkówki. W raz z w iekiem ciało szkliste chybocze się bardziej,

to pytanie na przykładzie sygnału przechodzącego przez odstęp

poniew aż jego połączenia z wew nętrzną ścianą oka stają się co­

o szerokości 5 m między dwom a sąsiadującym i ze sobą budyn­

raz słabsze i dlatego z wiekiem „ latające m uszki” stają się coraz

kami. Ile w ynosi kątowa rozciągłość centralnego m aksim um dy­

bardziej widoczne (i częściej przypom inają o istnieniu zjawisk

frakcyjnego (do pierw szego m inim um ) dla sygnałów o długości

dyfrakcyjnych).

fali b) 50 cm i c) 10 mm?

Do celów obserwacyjnych m ożesz zwiększyć wyrazistość tych obrazów, oglądając je przez dziurkę (np. w ykonaną końcem

6 3 . Przyjmij, że graniczna rozdzielczość oka astronauty oglądają­ cego powierzchnię Ziem i, z typowej dla prom u kosm icznego wy­

szpilki), poniew aż taki otwór działa ja k pojedyncze źródło św iatła (tak ja k na rys. 36.5c). W ówczas m ożesz zauważyć, że „ latające

sokości 400 km, jest określona przez kryterium Rayleigha. a) W w arunkach tego w yidealizowanego założenia oszacuj najm niej­

m uszki” m ogą być okrągłe z jasnym środkiem i z jednym lub kilkom a ciem nymi pierścieniam i (rys. 37.39a); m ogą one mieć

szą liniową odległość na powierzchni Ziemi, jak ą m oże rozróżnić astronauta. Przyjmij, że średnica źrenicy oka astronauty je st równa

również kształt cienkiego, włosowatego rogalika, z jasnym w nę­

5 m m , a długość fali św iatła widzialnego jest równa 550 nm.

(rys. 37.39b).

trzem i z jedną lub kilkom a ciem nym i obwódkam i po bokach

b) Czy astronauta jest w stanie zobaczyć W ielki M ur Chiński,

Oszacuj rozm iar „m uszek” w ciele szklistym oka, stosując

który m a ponad 3000 km długości, jego szerokość u podstawy

następującą procedurę. Końcem szpilki wykonaj otwór w nie­

wynosi od 5 do 10 m, u w ierzchołka 4 m, a wysokość sięga 8 m?

przezroczystym kaw ałku kartonu mniej więcej w takiej samej

c) Czy astronauta będzie m ógł zauważyć niezbite dowody istnie­ nia cyw ilizacji na Ziem i?

odległości od brzegu kartonu, ja k odległość od środka twojego oka do nosa. N a drugiej kartce kartonu zrób kropkę o średnicy

6 4 . „Latające m uszki”. Jak opisano w rozdziale 37.1, cętki i po­ dobne do włosów struktury, które czasem unoszą się w polu tw o­

w ym okiem zaś kropkę. Spoglądaj jednocześnie prawym okiem

jeg o w idzenia, to w rzeczyw istości obrazy dyfrakcyjne w ytw a­ rzane na siatkówce twojego oka. Obrazy te są zawsze obecne, ale dostrzegasz je tylko wtedy, gdy spoglądasz na pozbawione

D = 2 mm. Tuż przed prawym okiem um ieść dziurkę, przed le­ przez dziurkę na niebo, a lew ym na kropkę. Po kilku próbach za­ wsze będziesz w stanie um ieścić obraz kropki m iędzy obrazam i zagęszczeń.

szczegółów tło, na przykład na niebo lub jasno ośw ietloną ścianę.

Skoryguj odległość kropki od twojego lewego oka tak, żeby

O brazy te powstają w trakcie przechodzenia św iatła przez zm ęt­

jej rozm iar stał się zbliżony do rozm iaru jednej z pierścienio-

nienia (zagęszczenia) w ciele szklistym w ypełniającym większość

watych „m uszek” . N iech ktoś ci pom oże zm ierzyć odległość L od kropki do twojego lewego oka (wystarczy jej oszacowanie). Rysunek 37.39c to szkic objaśniający to, co widzisz: Prom ie­ nie świetlne przechodzą przez soczewkę oczną i tworzą obraz kropki na siatkówce, w odległości L ' = 2 cm od soczewki. O pie­ rając się na tym szkicu i korzystając ze zmierzonej w artości L, wyznacz średnicę D ’ obrazu kropki (i obrazu zagęszczenia) na siatkówce. Przyjmijmy, że zagęszczenie m a kształt kulisty. W ówczas jego obraz dyfrakcyjny jest identyczny (z w ykluczeniem sam ego środka) z obrazem okrągłego otworu o takiej samej średnicy. Z a­

siatkówka

siatkówka - osad

tem obraz „m uszki” , jaki w idzisz, jest identyczny (z wyjątkiem sam ego środka) z obrazem pokazanym na rysunku 37.9. Ponadto, położenie pierw szego m inim um w jej obrazie dyfrakcyjnym jest dane rów naniem (37.12) (sin# = 1,22k /d ) . Przyjmij, że długość fali św iatła jest 550 nm. Skorzystaj z rysunku 37.39d do pow ią­ zania kąta 6 z prom ieniem D '/ 2 obrazu kropki na siatkówce i od­

c)

d)

ległością x „m uszki” od siatkówki. Przyjmijmy, że x zawiera się w zakresie od 1 m m do 1,5 cm. Ile zatem (w przybliżeniu) w ynosi

Rys. 37 .39. Z adanie 64

144

37. Dyfrakcja

średnica „latających m uszek” w ciele szklistym w twoim oku?

38 Teoria względności

W spółczesna n a w ig a c ja d a le k ie g o zasię gu w y m a g a c ią g łe g o i p re cyzyjn e g o w yzn a cza n ia p o ło ż e n ia i prę d ko ści s a m o lo tu . System n a w ig a c ji s a te lita rn e j NAVSTAR p o zw a la w d o w o ln y m p u n kcie Z ie m i o kre ślić p o ło ż e n ie i p rę d ko ść z d o k ła d n o ś c ią o d p o w ie d n io 16 m i 2 cm /s. G d yb y z a n ie d b a n o e fe k ty w y n ik a ją c e z te o rii w z g lę d n o ś c i, prę d ko ści nie m ożna by w yznaczyć z d o k ła d n o ś c ią lepszą niż 2 0 cm /s , co w e w spółczesnych system ach n a w ig a c y jn y c h jest nie d o przyjęcia.

38.1. Czym zajm uje się teoria względności? Głównym przedmiotem zainteresowania teorii względności są pomiary zdarzeń (czegoś, co się dzieje) — ustalenia, gdzie i kiedy one zachodzą, a także jaka odległość dzieli je w czasie i przestrzeni. Ponadto teoria względności zajmuje się transformacjami wyników pomiarów tego typu między poruszającymi się wzglę­ dem siebie układami odniesienia. (Stąd nazwa teoria względności). Podobne za­ gadnienia omawialiśmy już w paragrafach 4.8 i 4.9. Do roku 1905 fizykom wydawało się, że doskonale rozumieją zagadnienia związane z poruszającymi się układami odniesienia i transformacjami między nimi. Właśnie wtedy Albert Einstein (rys. 38.1) opublikował swoją szczególną teorię względności. Przymiotnik szczególna oznacza, że dotyczy ona tylko iner­ cjalnych układów odniesienia, czyli takich, w których obowiązują zasady dyna­ miki Newtona. Oznacza to, że układy odniesienia nie przyspieszają, ale przeciw­ nie — poruszają się względem siebie ze stałymi prędkościami. (Stworzona także przez Einsteina ogólna teoria względności opisuje trudniejszy przypadek, w któ­ rym układy odniesienia mogą przyspieszać; w tym rozdziale, mówiąc o teorii względności, będziemy myśleć tylko o inercjalnych układach odniesienia). Einstein wprowadził w osłupienie cały świat naukowy, ponieważ wychodząc z dwóch pozornie prostych założeń, wykazał, że stare wyobrażenia na temat względności były błędne, chociaż każdy uznawał je za całkowicie zgodne ze zdrowym rozsądkiem. Ale wspomniany zdrowy rozsądek opierał się na doświad­ czeniach z ciałami, które poruszały się dość wolno. Stworzona przez Einsteina teoria względności — słuszna dla wszystkich prędkości — przewidywała wiele zjawisk, które wydawały się dziwaczne, gdyż nikt ich nie obserwował.

Rys. 38.1. E instein w pierw szych la­ tach X X w ieku przy biurku w urzę­ dzie patentow ym w Bernie, w Szwajca­ rii, gdzie pracował w m om encie opubli­ kowania szczególnej teorii w zględności

146

38. Teoria względności

W szczególności Einstein wykazał, że przestrzeń i czas są wzajemnie powią­ zane; oznacza to, że odstęp czasu dzielący dwa zdarzenia zależy od ich odległości w przestrzeni i na odwrót. Co więcej, zależności te są różne dla obserwatorów poruszających się względem siebie. Jednym z wniosków jest stwierdzenie, że czas nie płynie ze stałą szybkością, jakby odmierzał go z mechaniczną dokład­ nością jakiś absolutny zegar sterujący Wszechświatem. Szybkość upływu czasu jest zmienna — zależy od względnego ruchu. Przed rokiem 1905 tylko ma­ rzyciele myśleli w ten sposób. Dziś naukowcy i inżynierowie przyjmują to za pewnik, gdyż ich doświadczenia ze szczególną teorią względności zmieniły to, co uznajemy za zdrowy rozsądek. Mówi się, że szczególna teoria względności jest trudna. Nie wynika to ze skomplikowanego aparatu matematycznego, przynajmniej nie będzie tak w przy­ padku naszego podręcznika. Trudność bierze się stąd, że trzeba zwracać baczną uwagę na to, kto dokonuje pomiaru, co mierzy i w ja ki sposób — właśnie to spra­ wia problemy, gdyż często stoi w sprzeczności z naszym zdrowym rozsądkiem.

38.2. Postulaty Przyjrzymy się teraz dwóm postulatom, które są podstawą stworzonej przez Ein­ steina teorii; 1. Postulat względności: D la wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach od­ niesienia prawa fizyki są takie same. Ż aden z układów nie jest wyróżniony.

Galileusz założył, że prawa mechaniki są takie same we wszystkich iner­ cjalnych układach odniesienia. (Ważną tego konsekwencją jest pierwsza zasada dynamiki Newtona). Einstein rozszerzył to założenie na wszystkie prawa fizyki, w tym także elektromagnetyzmu i optyki. Postulat ten nie oznacza, że obser­ watorzy we wszystkich układach inercjalnych, którzy mierzą wielkości fizyczne, uzyskają takie same wartości — w większości przypadków wcale tak nie będzie. To prawa fizyki, które wiążą ze sobą wyniki pomiarów, mają być takie same. 2. Postulat stałej prędkości światła: We wszystkich inercjalnych układach odniesie­ nia i we wszystkich kierunkach św iatło rozchodzi się w próżni z tą sam ą prędkością c.

Ten sam postulat sformułowany inaczej oznacza, że w przyrodzie istnieje pewna nieprzekraczalna prędkość c, która ma taką samą wartość we wszystkich kierunkach i wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Okazuje się, że wła­ śnie światło porusza się z tą graniczną prędkością, podobnie jak wszystkie cząstki pozbawione masy (z dobrym przybliżeniem można za takie cząstki uważać neu­ trina, których masy są niezwykle małe). Prędkość żadnego ciała przenoszącego energię lub informacje nie może przekroczyć prędkości granicznej. Co więcej, żadna cząstka mająca masę nie może osiągnąć prędkości c, niezależnie od tego, jak długo byłaby przyspieszana. Obydwa postulaty były wielokrotnie weryfikowane i nigdy nie znaleziono jakiegokolwiek od nich odstępstwa.

Prędkość graniczna

0a3 4 2

u

1

2

3

prędkość [108 m/s] Rys. 38.2. Punkty przedstawiające wy­ niki pom iarów energii kinetycznej elek­ tronu w zależności od jeg o prędkości. N iezależnie jak ą energię przekażem y elektronow i (lub dowolnej innej cząstce o różnej od zera masie), jego prędkość nigdy nie przekroczy ani nie osiągnie prędkości granicznej c. (Krzywa bieg­ nąca przez punkty pom iarowe ilustruje przewidywania stworzonej przez E inste­ ina szczególnej teorii względności)

Istnienie ograniczenia prędkości przyspieszanych elektronów wykazał ekspery­ ment przeprowadzony w roku 1964 przez W. Bertozziego. Przyspieszał on elek­ trony, nadając im różne możliwe do zmierzenia prędkości (patrz rys. 38.2), i jed­ nocześnie niezależnymi metodami mierzył ich energię kinetyczną. Stwierdził on, że wzrost siły działającej na poruszający się z dużą prędkością elektron powo­ duje zwiększenie jego energii kinetycznej do bardzo dużych wartości, chociaż prędkość nie zmienia się w sposób znaczący. Elektrony były przyspieszane do prędkości równej 0,999 999 999 95 prędkości światła — niemal tak blisko war­ tości c, jak tylko można — ale nie zmienia to faktu, że ich prędkość była ciągle mniejsza od granicznej prędkości c. Prędkość graniczna c jest zdefiniowana jako równa dokładnie c = 299 792458 m /s.

(38.1)

Do tej pory w naszym podręczniku przyjmowaliśmy (poprawnie), że wartość c jest w przybliżeniu równa 3 • 108 m/s, ale teraz będziemy korzystać z bardziej pre­ cyzyjnego przybliżenia 2,998-108 m/s. Możecie wpisać tę dokładniejszą wartość do pamięci kalkulatora (jeżeli nie jest ona jeszcze tam zapisana), aby skorzystać z niej, kiedy będzie to potrzebne.

Weryfikacja postulatu stałej prędkości światła Jeżeli prędkość światła jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach od­ niesienia, to światło emitowane przez poruszające się źródło powinno rozchodzić się z taką samą prędkością, jak światło ze źródła spoczywającego w laboratorium. Założenie to udało się potwierdzić wprost w eksperymencie wykonanym z dużą dokładnością. Rolę „źródła światła” spełniał obojętny pion (it0) — nietrwała cząstka o krótkim czasie życia, która powstaje w zderzeniach cząstek w akcele­ ratorze. Ulega ona rozpadowi na dwa fotony y zgodnie z równaniem

y+

y-

(38.2)

Promieniowanie y jest rodzajem fal elektromagnetycznych (o wielkiej częstości) i dlatego postulat stałości prędkości światła odnosi się do niego tak samo, jak do światła widzialnego. W roku 1964 fizycy z położonego w okolicach Genewy europejskiego labo­ ratorium fizyki cząstek CERN przeprowadzili eksperyment, w którym wytworzyli wiązkę pionów poruszających się w układzie związanym z laboratorium z prędko­ ścią 0,999 75 c. Następnie zmierzyli oni prędkość promieniowania y emitowanego przez to poruszające się szybko źródło. Stwierdzili, że prędkość światła emito­ wanego przez piony jest taka sama, jak w przypadku pionów spoczywających względem laboratorium.

38.3. Jak „mierzyć" zdarzenie Zdarzenie to coś, co się dokonuje i co obserwator może wskazać, podając trzy współrzędne przestrzenne i jedną współrzędną czasową. Wśród wielu możliwych

148

38. Teoria w zględności

zdarzeń możemy wymienić na przykład: 1) włączenie lub wyłączenie żarówki, 2) zderzenie dwóch cząstek, 3) przejście impulsu światła przez określony punkt, 4) wybuch lub 5) pokrycie się wskazówki zegara z punktem podziałki na jego tar­ czy. Pewien obserwator zajmujący stałe położenie w jakimś inercjalnym układzie odniesienia mógłby na przykład przypisać jakiemuś zdarzeniu A współrzędne, które zapisano w tabeli 38.1. W teorii względności przestrzeń i czas są wzajemnie powiązane, dlatego też współrzędne te będziemy nazywać współrzędnymi czaso­ przestrzennymi. Układ współrzędnych jest częścią układu odniesienia związanego z obserwatorem. Zdarzenie może zostać zarejestrowane przez wielu obserwatorów, każdy w innym inercjalnym układzie odniesienia. Na ogół różni obserwatorzy przypiszą temu samemu zdarzeniu różne współrzędne czasoprzestrzenne. Trzeba podkre­ ślić, że zdarzenie nie „należy” do konkretnego inercjalnego układu odniesienia. Zdarzenie to coś, co dokonuje się, i każdy w dowolnym układzie odniesienia może je zaobserwować i przypisać mu współrzędne czasoprzestrzenne. W praktyce ustalenie współrzędnych może okazać się trudnym zadaniem. Wyobraź sobie na przykład, że o 1 km na prawo od ciebie wybucha balon, a w tej samej chwili 2 km na lewo rozbłyskuje raca — obydwa zdarzenia zachodzą 0 9.00. Jednakże nie możesz dokładnie o 9.00 dowiedzieć się o tych zdarzeniach, ponieważ światło jeszcze do ciebie nie dotarło. Aby poznać rzeczywisty czas zdarzeń i stwierdzić, że obydwa wydarzyły się o godzinie 9.00, trzeba obliczyć, jak długo światło podróżowało do obserwatora i odjąć wynik od wskazania zegara w chwili jego przybycia. W bardziej złożonych przypadkach opisana procedura jest skomplikowana 1 dlatego potrzebujemy prostszego rozwiązania, które wyeliminuje problemy z ob­ liczaniem czasu podróży światła od miejsca zdarzenia do obserwatora. W tym celu wyobraźmy sobie, że cały układ inercjalny wypełnia siatka prętów mierni­ czych i zegarów, sztywno związana z obserwatorem. Taka konstrukcja może się wydać skomplikowana, ale oszczędza wielu nieporozumień oraz obliczeń i po­ zwala w sposób, który dalej opiszemy, wyznaczać współrzędne przestrzenne, współrzędną czasową oraz współrzędne czasoprzestrzenne. 1.

2.

Współrzędne przestrzenne. Wyobraźmy sobie, że układ współrzędnych związany z obserwatorem wypełnia gęsta trójwymiarowa sieć prętów mier­ niczych ułożonych tak, że każdy z trzech jej podzbiorów jest równoległy do jednej z osi układu. Pręty te pozwalają odczytać współrzędną na każdej z osi. Jeżeli zdarzeniem jest na przykład zapalenie żarówki, to obserwator chcący określić miejsce zdarzenia, odczyta po prostu trzy współrzędne położenia żarówki. Współrzędna czasowa. Wyobrazimy sobie teraz, że w każdym punkcie, gdzie przecinają się pręty miernicze, znajduje się malutki zegar, którego wskazanie obserwator może odczytać dzięki światłu, które powstało w wy­ niku zdarzenia. Na rysunku 38.3 pokazano, jak można sobie wyobrażać jedną z płaszczyzn w przypominającym drabinki gimnastyczne gąszczu zegarów i prętów mierniczych. Sieć zegarów musi być prawidłowo zsynchronizowana. Nie wystarczy zgromadzenie zbioru identycznych zegarów, ustawienie na nich ten sam czas

ione-o 3:1,1 W spółrzędne zdarzenia A W spółrzędna x

W artość 3,58 m

y

1,29 m

z

Om 34,5 s

Rys. 38 .3. Jeden z przekrojów trójw y­ m iarowej sieci zegarów i prętów m ier­ niczych, um ożliwiającej obserwatorowi przypisanie współrzędnych zdarzeniu ta­ kiem u, ja k błysk św iatła w punkcie A. W spółrzędne zdarzenia są w przybli­ żeniu równe x = 3,7 długości pręta, y = 1,2 długości pręta, z = 0. W spół­ rzędna czasowa jest równa w skazaniu zegara najbliższego punktu A w chwili błysku

38 .3. Jak „m ierzyć" zdarzenie

149

3.

i przeniesienie ich w wyznaczone im położenia. Nie wiemy na przykład, czy przenoszenie zegarów nie wpłynie w jakiś sposób na szybkość, z jaką odmierzają czas. (W rzeczywistości tak właśnie będzie). Trzeba umieścić zegary we właściwych miejscach i dopiero wtedy je zsynchronizować. Gdybyśmy znali sposób na przesyłanie sygnałów z nieskończoną prędko­ ścią, synchronizacja zegarów nie nastręczałaby problemów. Jednakże żaden sygnał nie ma takiej właściwości. Do przesyłania impulsów synchronizują­ cych wykorzystamy więc światło (lub inny rodzaj promieniowania elektroma­ gnetycznego), które w próżni rozchodzi się z największą możliwą prędkością — prędkością graniczną c. Oto jedna z wielu metod, które może zastosować obserwator, aby zsyn­ chronizować sieć zegarów za pomocą sygnałów świetlnych. Załóżmy, że ma on całą rzeszę pomocników, a każdy z nich obsługuje jeden zegar. Obser­ wator staje w punkcie, który wybrał jako początek układu współrzędnych, a następnie — kiedy zegar w początku układu współrzędnych wskazuje czas t = 0 — wysyła impuls światła. Gdy impuls światła mija dowolnego pomoc­ nika, ten reguluje powierzony mu zegar tak, aby wskazywał czas t = r / c , gdzie r oznacza odległość zegara od początku układu współrzędnych. W ten sposób zegary zostają zsynchronizowane. Współrzędne czasoprzestrzenne. Obserwator może teraz przypisać dowol­ nemu zdarzeniu współrzędne czasoprzestrzenne, patrząc, jaki czas wskazuje zegar najbliższy miejsca zdarzenia, i odczytując położenie z najbliższych prę­ tów mierniczych. Jeżeli zachodzą dwa zdarzenia, to obserwator oblicza ich odstęp w czasie, odejmując wskazania najbliższych im zegarów, a odległość w przestrzeni oblicza, biorąc różnicę odczytów najbliższych prętów mierni­ czych. W ten sposób można uniknąć trudności z obliczaniem czasu podróży sygnału, który musi dotrzeć do obserwatora z miejsca każdego zdarzenia.

38.4. Względność jjednoczesności Wyobraźmy sobie, że jeden z obserwatorów (Jacek) stwierdza, że dwa niezależne zdarzenia (zdarzenie czerwone i zdarzenie niebieskie) zaszły jednocześnie. Wy­ obraźmy sobie też, że inny obserwator (Agata) poruszający się względem Jacka ze stałą prędkością v widzi te same zdarzenia. Czy również Agata stwierdzi, że zdarzenia były jednoczesne? Odpowiedź brzmi, że na ogół tak nie będzie: Dwaj obserwatorzy poruszający się względem siebie na ogół nie będą zgodni co do jednoczesności zdarzeń. Jeżeli jeden z obserwatorów stwierdzi, że zdarzenia były jednoczesne, to drugi na ogół będzie innego zdania. Nie można powiedzieć, że jeden z obserwatorów ma rację, a drugi nie. Ich obserwacje są tak samo poprawne i nie ma żadnych powodów, aby wyróżniać jeden z wyników. Wniosek, że dwie przeciwstawne opinie dotyczące zdarzenia mogą być słusz­ ne, jest zaskakującą konsekwencją teorii Einsteina. W rozdziale 18 omawialiśmy

już inną sytuację, w której ruch wpływa na pomiar, a nie daje to sprzecznych wyników. W zjawisku Dopplera częstość fali dźwiękowej mierzona przez obser­ watora zależy od względnego ruchu obserwatora i źródła. Dlatego dwaj obser­ watorzy poruszający się względem siebie zmierzą różne częstości tej samej fali i obydwa pomiary będą poprawne. Można to podsumować następująco: Jednoczesność nie je st pojęciem absolutnym , lecz względnym i zależy od ruchu ob­ serwatora.

Jeżeli względna prędkość obserwatorów jest dużo mniejsza od prędkości światła, to odchylenia od jednoczesności są na tyle małe, że nie dają się za­ obserwować. Tak jest w przypadku naszych codziennych obserwacji i dlatego względność jednoczesności jest dla nas czymś obcym.

Bliższe spojrzenie na jednoczesność Wyjaśnimy teraz względność jednoczesności, opierając się na postulatach teorii względności, nie korzystając bezpośrednio z prętów mierniczych ani zegarów. Na rysunku 38.4 przedstawiono dwa statki kosmiczne (SK ), nazwane imionami obserwatorów SK Agata i SK Jacek, które posłużą znajdującym się na ich po­ kładach obserwatorom Agacie i Jackowi za inercjalne układy odniesienia. Każdy z obserwatorów znajduje się dokładnie w połowie długości swojego statku. Statki oddalają się od siebie wzdłuż osi x , a względna prędkość SK Agata względem SK Jacek wynosi v. Na rysunku 38.4a pokazano statki w chwili, kiedy obydwaj obserwatorzy znajdują się przez moment dokładnie naprzeciwko siebie. Dwa duże meteoroidy uderzają w statki — niekoniecznie jednocześnie — i jeden wznieca czerwony płomień (zdarzenie czerwone), a drugi niebieski (zda­ rzenie niebieskie). Każde zdarzenie pozostawia trwały ślad na każdym ze statków w punktach C i C' oraz N i N '. Wyobraźmy sobie teraz, że czoła fal świetlnych związanych z obydwoma zdarzeniami docierają do Jacka w tej samej chwili (rysunek 38.4c). Załóżmy też,

d

nj

;9! Agata

C’

)

V ;CTl Jacek C ) d 1 zdarzenie niebieskie zdarzenie czerwone a) A gata spostrzega zdarzenie czerwone

N

BE b)

Jacek spostrzega obydwa zdarzenia

c) A gata spostrzega zdarzenie niebieskie

Rys. 38 .4. Statki kosm iczne Agaty i Jacka oraz zdarzenia narysowane tak, jak widzi je Jacek. Statek Agaty porusza się w prawo z prędkością v. a) Z darzenie czerw one zachodzi w punktach C i C ', a zdarzenie niebieskie w punktach N i N obydwa zdarzenia są źródłem fali św ietlnej, b) Agata spostrzega czoło fali od zdarzenia czerwonego, c) Jacek je d ­ nocześnie spostrzega czoła fal od zda­ rzenia czerw onego i zdarzenia niebie­ skiego. d) Agata spostrzega czoło fali od zdarzenia niebieskiego.

38.4. W zględność jednoczesności

151

że Jacek, mierząc położenie śladów na swoim statku, stwierdzi, iż w chwili, kiedy zdarzenia nastąpiły, znajdował się rzeczywiście w połowie odległości między punktami C i N , Powie on mniej więcej tak: Jacek: Światło związane ze zdarzeniami czerwonym i niebieskim dotarło do mnie w tym samym czasie. Na podstawie śladów na moim statku stwier­ dziłem, że w chwili, w której ujrzałem obydwa światła, znajdowałem się dokładnie w połowie drogi między ich źródłami. Oznacza to, że zdarzenia czerwone i niebieskie nastąpiły jednocześnie. Z rysunku 38.4 wynika, że Agata i czoło fali świetlnej od zdarzenia czerwonego poruszają się ku sobie. Agata i czoło fali związanej ze zdarzeniem niebieskim poruszają się w tym samym kierunku. Dlatego czoło fali od zdarzenia czerwonego dotrze do Agaty wcześniej niż czoło fali od zdarzenia niebieskiego. Usłyszymy od niej, że: Agata: Światło związane ze zdarzeniem czerwonym dotarło do mnie wcze­ śniej niż światło związane ze zdarzeniem niebieskim. Na postawie śladów na moim statku stwierdziłam, że ja także znajdowałam się dokładnie w po­ łowie drogi między obydwoma źródłami światła. Oznacza to, że zdarzenia nie były jednoczesne; zdarzenie czerwone nastąpiło wcześniej, a niebieskie — później. Obydwa raporty są ze sobą sprzeczne. Mimo to obydwoje obserwatorów mają rację. Zauważcie, że istnieje tylko jedno czoło fali związanej z każdym zdarze­ niem i to czoło fa li porusza się w obydwu układach odniesienia z taką samą prędkością c, zgodnie z postulatem stałości prędkości światła. Mogłoby się też zdarzyć, że meteoroidy uderzyłyby w statki tak, że obydwa zdarzenia właśnie Agacie wydałyby się jednoczesne. W takim przypadku to Jacek stwierdziłby, że obydwa zdarzenia nie są jednoczesne.

38.5. Względność czasu Jeżeli obserwatorzy poruszający się względem siebie mierzą pewien odstęp czasu (czyli odległość w czasie) między dwoma zdarzeniami, to otrzymają na ogół różne wyniki. Dlaczego? Ponieważ odległość zdarzeń w przestrzeni może wpłynąć na mierzony przez obserwatorów odstęp w czasie. Odstęp czasu m iędzy zdarzeniam i zależy od tego, w jakiej odległości od siebie one nastąpiły zarówno w przestrzeni, ja k i w czasie. O znacza to, że przestrzenne i czasowe odległości zdarzeń są ze sobą powiązane.

W tym paragrafie zastanowimy się, jak powiązać obydwie odległości, rozwa­ żając w tym celu pewien przykład, który jednak kryje w sobie istotne ogranicze­ nie: Dla jednego z dwóch obserwatorów obydwa zdarzenia będą zachodzić w tym samym miejscu. Bardziej ogólne przykłady podamy dopiero w paragrafie 38.7.

152

38. Teoria w zględności

Na rysunku 38.5a przedstawiono istotę doświadczenia, które wykonuje Agata, korzystając z przyrządów umieszczonych w pociągu jadącym ze stałą prędkością v względem stacji. Impuls światła opuszcza źródło B (zdarzenie 1), porusza się pionowo w górę, odbija się pionowo w dół od zwierciadła i jest rejestrowany w miejscu, w którym znajduje się źródło (zdarzenie 2). Agata mierzy odstęp czasu A/o między obydwoma zdarzeniami, który jest związany z odległością D dzielącą źródło światła od zwierciadła następującą zależnością: 2D

A fo = -----

c

(Agata).

(3 8 .3 )

W układzie odniesienia Agaty obydwa zdarzenia zachodzą w tym samym miej­ scu i dlatego do pomiaru odstępu czasu między nimi wystarcza jej tylko jeden zegar Z znajdujący się tam, gdzie źródło i odbiornik. Na rysunku 38.5a zegar Z przedstawiono dwa razy — na początku i na końcu mierzonego odstępu czasu. Zastanówmy się teraz, jak te same dwa zdarzenia opisze Jacek stojący na peronie stacji, przez którą przejeżdża pociąg. Przyrządy poruszają się, gdy świa­ tło biegnie do i od zwierciadła, dlatego też Jacek widzi drogę światła tak, jak przedstawiono ją na rysunku 38.5b. W jego układzie odniesienia obydwa zdarze­ nia zachodzą w innych miejscach i dlatego, aby zmierzyć odstęp czasu między nimi, Jacek potrzebuje dwóch zsynchronizowanych zegarów, Z \ i Z 2 , po jed­ nym dla każdego zdarzenia. Zgodnie z postulatem Einsteina światło porusza się w układzie Jacka z taką samą prędkością c, jak w układzie Agaty. Teraz jednak światło musi pokonać drogę 2 L między zdarzeniami 1 i 2. Odstęp czasu między zdarzeniami, który zmierzy Jacek, wyniesie więc 2L

At — —

c

zwierciadło

(Jacek),

(3 8 .4 )

zwierciadło

D

Jacek b)

Agata

Rys. 38 .5. a) W pociągu Agata za po­ m ocą jednego zegara Z m ierzy odstęp czasu A to dzielący zdarzenia 1 i 2, które nastąpiły w pociągu. Zegar narysowany jest dwukrotnie: pierw szy raz przedsta­ w ia odczyt dla zdarzenia 1 i drugi — odczyt dla zdarzenia 2. b) Jacek, stojąc na peronie, obserw uje zdarzenia zacho­ dzące w pociągu. Aby zm ierzyć odstęp czasu między zdarzeniam i 1 i 2, musi m ieć dwa zsynchronizowane zegary: Z] w m iejscu zdarzenia 1 i Z 2 w m iejscu zdarzenia 2. Zm ierzony przez niego od­ stęp czasu m a wartość A t

3 8 .5 . W zględność czasu

153

gdzie L = 7 (^ A t f + D \

(38.5)

Korzystając z równania (38.3), możemy tę zależność przepisać w postaci

(38.6) Jeżeli z równań (38.4) i (38.6) wyeliminujemy L i rozwiążemy otrzymane rów­ nanie względem A i, to otrzymamy

Równanie (38.7) pozwala nam porównać zmierzony przez Jacka odstęp czasu A t z uzyskanym przez Agatę wynikiem Af0. Ponieważ prędkość v musi mieć wartość mniejszą niż c, dlatego też mianownik ułamka w równaniu (38.7) jest mniejszy od jedności. Zatem wartość A t musi być większa niż A ta: Jacek zmierzy więk­ szy odstęp czasu między zdarzeniami niż Agata. Jacek i Agata mierzyli odstęp czasu między tymi samymi zdarzeniami, ale ich ruch względem siebie sprawił, że uzyskali różne wyniki. Możemy więc wyciągnąć wniosek, że względny ruch zmienia szybkość, z jaką płynie czas między dwoma zdarzeniami. U podstaw tego zjawiska leży fakt, że prędkość światła jest taka sama dla obydwu obserwatorów. Pomiary Jacka i Agaty będziemy rozróżniać dzięki następującej terminologii: Odstęp czasu zmierzony dla dwóch zdarzeń, które zaszły w tym samym miejscu w inercjalnym układzie odniesienia, będziemy nazywać odstępem czasu własnego lub krócej czasem własnym. Mierząc w jakimkolwiek innym inercjalnym układzie odnie­ sienia odstęp czasu dzielący te same zdarzenia, zawsze otrzymamy większą wartość. Widzimy, że Agata jako wynik pomiaru uzyskuje czas własny, a Jacek pe­ wien większy odstęp czasu. (Określenie własny nie jest zbyt szczęśliwe, gdyż może sugerować, że inne pomiary są niewłaściwe, a więc nierzeczywiste lub błędne. Ale to nie jest prawdą). Różnicę między zmierzonym odstępem czasu a odpowiednim czasem własnym nazywamy dylatacją czasu. (Dylatacja zna­ czy tyle, co wydłużenie lub rozciągnięcie; w tym przypadku mamy do czynienia z wydłużeniem odstępu czasu). Często bezwymiarowy stosunek v /c występujący w równaniu (38.7) ozna­ czamy symbolem f> i traktujemy jako prędkość w jednostkach c. Natomiast bez­ wymiarową odwrotność pierwiastka kwadratowego występującego w równaniu (38.7) oznaczamy przez y i nazywamy współczynnikiem Lorentza: 1

1

\/l - P2

\/l - (u/c)2

(38.8)

Korzystając z wprowadzonych oznaczeń, możemy zapisać równanie (38.7) w na­ stępującej postaci: At = yAto

154

38. Teoria względności

(dylatacja czasu).

(38.9)

Parametr ¿6 jest zawsze mniejszy od jedności, a współczynnik y jest większy od jedności, jeżeli tylko prędkość v jest różna od zera. Wartość współczynnika Lorentza nie odbiega znacząco od 1, o ile prędkość v nie przekracza 0,lc. Tak więc opis nie korzystający z teorii względności (nazywany nierelatywistycznym) daje poprawne wyniki pod warunkiem, że v < 0,1 c. Dla większych prędko­ ści v trzeba korzystać ze szczególnej teorii względności. Zgodnie z wykresem na rysunku 38.6 wartość y zaczyna gwałtownie rosnąć, kiedy parametr fi zbliża się do 1 (prędkość zbliża się do prędkości światła). Tak więc im większa bę­ dzie względna prędkość Jacka i Agaty, tym większy odstęp czasu zmierzy Jacek. Gdyby prędkość ta zrównała się z prędkością światła, odstęp czasu wydłużyłby się do „wieczności”. Można się zastanawiać, co powie Agata, słysząc, że Jacek zmierzył więk­ szy odstęp czasu niż ona. Wynik Jacka nie będzie jednak dla niej zaskoczeniem, ponieważ stwierdzi ona, że Jacek, wbrew temu, co sam twierdzi, nie zsynchro­ nizował swoich zegarów Z \ i Z 2. Pamiętajmy, że poruszający się względem siebie obserwatorzy mają różne zdania na temat jednoczesności. W tym przy­ padku Jacek będzie twierdził, że obydwa jego zegary wskazywały ten sam czas, kiedy zaszło zdarzenie 1. Ale według Agaty należący do Jacka zegar Z 2 podczas synchronizacji błędnie ustawiono tak, że wyprzedza on Z \. Dlatego Agaty nie zdziwi fakt, że Jacek, który na zegarze Z 2 odczytał czas zdarzenia 2, uzyskał za duży wynik, większy od tego, który ona uzyskała.

10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

P Rys. 38.6. W ykres zależności w spół­ czynnika Lorentza y od param etru fi ( = v /c )

Dwa testy dylatacji czasu 1.

Zegary mikroskopowe. Cząstki elementarne nazywane mionami są nie­ trwałe; oznacza to, że powstały mion żyje przez krótki czas, zanim ulegnie rozpadowi (zamieni się w inne cząstki). Czas życia mionu jest odstępem czasu między dwoma zdarzeniami: 1) jego powstaniem i 2) rozpadem. Gdy miony są nieruchome i czas ich istnienia mierzymy spoczywającymi zega­ rami (na przykład w laboratorium), stwierdzamy, że żyją one średnio 2,2 [xs. Jest to czas własny, ponieważ dla każdego mionu zdarzenia 1 i 2 zachodzą w tym samym miejscu w układzie odniesienia związanym z mionem, tzn. dokładnie tam, gdzie znajduje się mion. Ten czas własny oznaczymy przez Aio, a układ odniesienia, w którym został on zmierzony, możemy nazwać układem spoczynkowym mionu. Jeżeli miony będą się poruszać, na przykład lecąc przez laboratorium, to pomiary czasu ich życia dokonane za pomocą zegarów w laboratorium po­ winny dać większą wartość. Aby potwierdzić to przypuszczenie, zmierzono za pomocą zegara w laboratorium średni czas życia mionów poruszających się z prędkością 0,9994 c względem laboratorium. Z równania (38.8) wynika, że jeżeli fi — 0,9994, to współczynnik Lorentza ma wartość 1 1 28,87. Y = -s/l - (0,9994)2 Równanie (38.9) pozwala obliczyć wydłużony średni czas życia: A t = y A t 0 = (28,87)(2,2 |xs) = 63,51 [¿s. Faktycznie zmierzony czas życia zgadza się z tą wartością w granicach nie­ pewności pomiaru.

3 8 .5 . W zględność czasu

155

2.

Zegary makroskopowe. W październiku 1977 roku Joseph Hafele i Richard Keating wykonali bardzo pracochłonne doświadczenie. Wysłali oni cztery przenośne zegary atomowe w dwukrotną podróż dookoła świata na pokła­ dach samolotów pasażerskich. Zegary raz okrążyły Ziemię w jedną stronę, a drugi raz w przeciwną. Celem było „sprawdzenie teorii względności Ein­ steina za pomocą zegarów makroskopowych”. Powiedzieliśmy właśnie, że przewidywana przez szczególną teorię względności dylatacja czasu została sprawdzona w skali mikroskopowej, ale z pewnością jej potwierdzenie za po­ mocą „prawdziwych” zegarów dałoby uczonym wielką satysfakcję. Pomiary makroskopowe stały się możliwe dzięki niezwykle dużej dokładności współ­ czesnych zegarów atomowych. Hafele i Keating potwierdzili przewidywania teorii z dokładnością do 10%. (Ogólna teoria względności przewiduje, że siła grawitacyjna działająca na zegar również ma wpływ na jego wskazanie, a zatem i na wynik tego doświadczenia). Kilka lat później fizycy z University of Maryland przeprowadzili po­ dobne doświadczenie z jeszcze większą dokładnością. Dzięki kolejnym trwa­ jącym po 15 godzin lotom atomowego zegara wokół zatoki Chesapeake zdo­ łali potwierdzić, że wartość dylatacji czasu równa jest wartości przewidywa­ nej przez szczególną teorię względności z niepewnością mniejszą niż 1%. Obecnie, gdy zegary atomowe przewozi się z miejsca na miejsce, na przy­ kład w celu kalibracji, zawsze trzeba uwzględnić dylatację czasu wywołaną ich ruchem.

1 : W yobraź sobie, że stojąc obok torów kolejowych, w idzisz wagon relatywistyczny, tzn. poruszający się z prędkością bliską c (rysunek). W jeg o wnętrzu do­ brze wyposażony podróżny w ysyła z lasera im puls światła, który biegnie od przedniej do ty ln e j ściany wagonu, a) Czy przeprowadzony przez ciebie pom iar prędkości im pulsu da w ynik większy, mniejszy, czy taki sam, jak pom iar wykonany w wagonie przez podróż­ nego? b) Czy zm ierzony przez podróżnego czas przebycia długości wagonu przez impuls jest czasem własnym ? c) Czy pom iary czasu dokonane przez podróżnego i przez ciebie są powiązane ze sobą rów naniem (38.9)?

Przykład 38.1 Twój statek kosm iczny mija Z iem ię z prędkością w zględną 0,999c. Po 10 latach (według twojego czasu) zatrzym ujesz się na po­ sterunku obserwacyjnym nr 13, zawracasz i lecisz z powrotem w kierunku Ziem i z tą sam ą prędkością względną. Podróż po­ w rotna zajmuje kolejne 10 lat (według twojego czasu). Jak długo trw ała ta podróż według pom iarów wykonanych na Ziem i? (Pom iń

156

38. Teoria względności

wszystkie skutki przyspieszeń działających podczas hamowania, zaw racania i ponownego nabierania prędkości). ROZWIĄZANIE: N a początek przeanalizujem y tylko tę część podróży, podczas któ­ rej statek się oddalał. Zauważmy, że: O —» 1. W zadaniu m am y do czynienia z pom iaram i wykonywa­ nymi w dwóch (inercjalnych) układach odniesienia. Jeden z nich

jest związany z Ziem ią, a drugi (twój układ odniesienia) ze stat­ kiem kosm icznym , którym lecisz.

At =

O*“ » 2. W pierwszej części podróży m ożna wskazać dwa zdarze­ nia: jej początek, kiedy statek m ija Z iem ię, i koniec, kiedy dociera on do posterunku nr 13. O -- » 3. Zm ierzony przez ciebie czas podróży, równy 10 lat, jest czasem własnym Afo, poniew aż obydwa zdarzenia: początek i ko­ niec podróży zachodzą w tym sam ym m iejscu w twoim układzie odniesienia na twoim statku. O t 4. Pom iar odstępu czasu A t dokonany w układzie odnie­ sienia zw iązanym z Ziem ią — zgodnie z tym, co w ynika z rów­ nania (38.9) ( A t = yA fo) wyrażającego dylatację czasu — musi dać wartość w iększą niż A i0. Korzystając z równania (38.8), podstawiam y do równania (38.9) w spółczynnik y:

Przykład 3 8 .2 Średni czas życia spoczywającego kaonu dodatniego (K + — jedna z cząstek elem entarnych) wynosi 0,1237 |xs. Jaką drogę w ukła­ dzie odniesienia zw iązanym z laboratorium m oże przebyć pod­ czas swojego życia kaon dodatni, jeżeli w chwili swojego powsta­ nia porusza się w tym układzie odniesienia z prędkością 0,99c? O bliczenia wykonaj najpierw w ram ach fizyki nierelatywistycznej dającej dobre przybliżenie dla prędkości dużo m niejszych niż c, a następnie w ram ach szczególnej teorii względności dającej po­ prawne w yniki dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości. ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że: 11. W zadaniu m am y do czynienia z pom iaram i wykonanym i w dwóch (inercjalnych) układach odniesienia — pierw szy jest związany z kaonem , a drugi z laboratorium . O —w 2. W zadaniu m ożna wskazać dwa zdarzenia: początek podróży kaonu (w chwili jeg o powstania) oraz koniec podróży (kiedy kaon się rozpada). O*“ » 3. Droga, którą przebyw a kaon m iędzy tym zdarzeniami, jest zw iązana z jeg o prędkością v oraz odstępem czasu za pom ocą następującego równania: nrnpfl droga (38.10) odstęp czasu M ając te w iadom ości, obliczenia wykonamy najpierw w przybli­ żeniu nierelatywistycznym , a następnie skorzystamy ze szczegól­ nej teorii względności. Opis nierelatywistyczny. W przybliżeniu nierelatywistycznym, ja k wiemy: O t pom iary drogi i odstępu czasu dadzą ten sam w ynik (równanie (38.10)) niezależnie od tego, czy przepro­ wadzimy je w układzie odniesienia zw iązanym z kaonem , czy w układzie laboratoryjnym . M ożem y w ięc nie zważać na to, w ja ­ kim układzie wykonujemy pomiary. Aby w przybliżeniu nierela­

------

7 1 - (v/c)2 =

lOa ___= = (22,37)(10 a) = 224 a. V l - (0,9990cf&p-

W podróży powrotnej m am y dokładnie taką sam ą sytuację i takie same dane liczbowe. Oznacza to, że cała podróż, która według twojego czasu zajm uje 20 lat, według czasu m ierzonego na Ziem i będzie trwać A icaik = 2 ■224 a = 448 a.

(odpowiedź)

Innym i słowy, ty postarzałeś się o 20 lat, podczas gdy Ziem ia o 448 lat. C hociaż (o ile nam wiadom o) nie m ożna podróżować w czasie wstecz, m ożna podróżować w przyszłość, na przykład Ziem i, poruszając się z bardzo dużą prędkością względną, dzięki czem u wpływa się na szybkość upływ u czasu.

tywistycznym obliczyć drogę ¿„ierei kaonu, zapiszem y najpierw równanie (38.10) w postaci dnierel = VA t ,

(38.11)

gdzie Ar oznacza odstęp czasu m iędzy dwom a zdarzeniam i w któ­ rym kolw iek z dwóch układów odniesienia. Podstawiając do rów­ nania (38.11) v = 0 ,99c oraz A t = 0,1237 p,s, otrzym ujem y dnierel =

(0,99c)A f

= (0,99)(2,998 ■108 m /s)(0 ,1 2 3 7 • 10~6 s) = 36,7 m.

(odpowiedź)

Taką odległość pokonałby kaon, gdyby fizyka nierelatywistyczna obow iązyw ała dla prędkości bliskich c. Szczególna teoria względności. W ram ach szczególnej teorii w zględności m usim y spełnić następujący warunek: O*- » odle­ głość i odstęp czasu w równaniu (38.10) m uszą być zm ierzone w tym sam ym układzie odniesienia — zw łaszcza wtedy, kiedy prędkość jest bliska c, ja k w naszym przypadku. Aby obliczyć drogę dm\ kaonu, zm ierzoną w układzie odniesienia zw iązanym z laboratorium, zapiszem y równanie (38.10) w postaci d[ei = v A t ,

(38.12)

gdzie przez A t oznaczym y odstęp czasu m iędzy dwom a zdarze­ niam i, które zostały zm ierzone w układzie odniesienia związanym z laboratorium. Z anim z równania (38.12) obliczym y drogę kaonu drei, m u­ simy wyznaczyć odstęp czasu A t, korzystając z następującego faktu: O t odstęp czasu równy 0,1237 (xs jest czasem własnym , ponieważ dwa zdarzenia zachodzą w tym samym m iejscu w ukła­ dzie związanym z kaonem — dokładnie tam, gdzie znajduje się kaon. O znaczm y czas własny przez Atg. M ożem y teraz, korzysta­ jąc z równania (38.9) na dylatację czasu ( A t = y A to ), obliczyć odstęp czasu m ierzony w układzie zw iązanym z laboratorium . Podstawiając w spółczynnik y z równania (38.8), otrzym am y At =

A to

0,1237 • 10“ 6 s

= 8,769 • 1 0 -7 s.

y / l - (V/C)2 ~~ / i - (0 ,9 9 c /c )2

38 .5. W zględność czasu

157

O trzym any w ynik jest około siedem razy większy niż droga obli­

U zyskana w artość jest około siedem razy w iększa niż własny czas życia kaonu. O znacza to, że kaon żyje siedem razy dłużej w ukła­ dzie odniesienia zw iązanym z laboratorium niż w swoim ukła­ dzie spoczynkowym — czas życia kaonu ulega dylatacji. M ożemy

czona w przybliżeniu nierelatywistycznym d„ierei. Dośw iadczenia takie ja k to, które przed chw ilą opisaliśmy, będące testam i szcze­ gólnej teorii względności, stały się codziennością już kilkadziesiąt lat temu. We wszelkich urządzeniach badawczych lub m edycz­ nych, w których cząstki są przyspieszane do w ielkich prędkości, należy uw zględniać efekty relatywistyczne.

teraz, korzystając z równania (38.12), obliczyć drogę kaonu dK\ w układzie związanym z laboratorium dlei = v A t = (0,9 9 c)A / = (0,99)(2,998 • 108 m /s )(8 ,7 6 9 • 10“ 7 s) = 260 m.

(odpowiedź)

38.6. Względność długości Jeżeli chcesz zmierzyć długość spoczywającego względem ciebie pręta, to możesz bez pośpiechu odczytać na odpowiednio długiej spoczywającej miarce położenie jego końców, a następnie odjąć od siebie odczytane wartości. Jeżeli jednak pręt porusza się, to współrzędne jego końców musisz odczytać jednocześnie (w twoim układzie odniesienia), gdyż w przeciwnym razie nie będzie to pomiar długości. Na rysunku 38.7 wskazano trudności, jakie napotkamy, gdy chcąc zmierzyć grubość poruszającego się pingwina, będziemy notować położenie jego pleców i brzuszka w różnym czasie. Pojęcie jednoczesności jest względne, a wiąże się z pomiarami długości, zatem i długość musi być wielkością względną. I tak właśnie jest. Niech Lo oznacza długość pręta, którą mierzymy, kiedy pręt spoczywa (znaj­ dujemy się w układzie odniesienia pręta). Jeżeli pręt porusza się względem nas z prędkością v skierowaną równolegle do niego, to wtedy, dokonując jednocze­ snego pomiaru położenia końców, uzyskamy długość L daną wzorem L = W

1

fi2 ~ ~~~

(38.13)

(skrócenie długości).

Y

Współczynnik Lorentza y jest zawsze większy od jedności, jeżeli tylko prędkość jest różna od zera, dlatego też L ma wartość mniejszą niż L q. Ruch względny powoduje skrócenie długości. Wartość y wzrasta wraz z prędkością v, zatem skró­ cenie długości staje się tym wyraźniejsze, im prędkość v jest bliższa wartości c. ► D ługość obiektu L 0 m ierzoną w jego układzie spoczynkowym nazywam y długością własną lub długością spoczynkową. Pom iary długości przeprowadzone w innym ukła­ dzie odniesienia, który porusza się w zględem obiektu rów nolegle do m ierzonej długości, dają zawsze w ynik m niejszy niż długość własna.

-

Rys. 38.7. Jeżeli chcesz zm ierzyć gru­ bość poruszającego się pingw ina, m u­ sisz jednocześnie — ja k na rysunku (a), a nie (b) — w yznaczyć położenie jego pleców i brzucha (w swoim układzie od­ niesienia)

158

38. Teoria w zględności

E

* 4 (^ 0 ) x B (fo )

a)

b)

położenie w chwili t1

Uważaj jednak: Skrócenie długości zachodzi tylko w kierunku ruchu względ­ nego. Poza tym mierzona długość nie musi być wcale długością jakiegoś ciała, jak pręt czy obręcz; może to być odległość między dwoma ciałami spoczywającymi w tym samym układzie odniesienia, na przykład Słońcem i pobliską gwiazdą (które przynajmniej w przybliżeniu spoczywają względem siebie). Czy poruszające się ciała rzeczywiście się kurczą? Rzeczywistość jest wyni­ kiem obserwacji i pomiarów; gdy wyniki są zawsze spójne i nie można znaleźć błędów, wtedy to, co obserwujemy i mierzymy, jest rzeczywistością. W tym sen­ sie ciała rzeczywiście się kurczą. Jednakże bardziej ściśle należy powiedzieć, że według pomiarów ciała się kurczą — ruch wpływa na pomiary, a tym samym na rzeczywistość. Co powie obserwator poruszający się wraz z prętem, kiedy usłyszy, że nasz pomiar długości dał mniejszą wartość? Według niego błąd polega na tym, że po­ łożenia obydwu końców pręta nie zostały wyznaczone jednocześnie. (Pamiętajmy, że obserwatorzy poruszający się względem siebie mają różne zdanie na temat jed­ noczesności). Według obserwatora związanego z prętem najpierw zmierzyliśmy położenie przedniego końca pręta, a nieco później tylnego i dlatego otrzymaliśmy mniejszą jego długość.

Wyprowadzenie równania (38.13) Skrócenie długości jest bezpośrednią konsekwencją dylatacji czasu. Wróćmy raz jeszcze do naszej pary obserwatorów. Tym razem Agata, która przejeżdża po­ ciągiem przez stację, i stojący na peronie Jacek postanawiają zmierzyć długość peronu. Jacek, który korzysta z taśmy mierniczej, stwierdza, że długość peronu wynosi L o , co jest długością własną, ponieważ peron spoczywa względem niego. Jacek stwierdza też, że jadąca pociągiem Agata mija peron w czasie A t = L
(Jacek).

(38.44)

Odstęp czasu A t nie jest czasem własnym, ponieważ dwa zdarzenia, które go wyznaczają („Agata mija początek peronu” i „Agata mija koniec peronu”) nie zachodzą w tym samym miejscu i Jacek musi użyć dwóch zsynchronizowanych zegarów, aby zmierzyć A t. Z punktu widzenia Agaty peron porusza się obok niej. Stwierdza ona, że dwa zdarzenia, które mierzy Jacek, w jej układzie odniesienia zachodzą w tym samym miejscu. Może ona je zmierzyć, korzystając tylko z jednego, spoczywającego zegara, i dlatego zmierzony przez nią odstęp czasu A/o jest czasem własnym. Według Agaty długość peronu L można obliczyć ze wzoru L = vAto

(Agata).

(38.15)

Dzieląc równanie (38.15) przez (38.14) i korzystając z równania (38.9) opisują­ cego dylatację czasu, otrzymamy L vAto 1 Lo

vA t

y ’

czyli L = — .

y

Jest to dokładnie równanie (38.13), które wyraża skrócenie długości.

(38.16)

Przykład 3 8 .3

tem skorzystamy z odległości L m iędzy zdarzeniam i, zm ierzo­ nej w tym układzie odniesienia. Równanie (38.17) m ożna zapisać w postaci

Statek kosm iczny Jacka (o długości własnej L 0 = 230 m) m ija ze stałą prędkością w zględną v Agatę, która znajduje się w punkcie A (rysunek 38.8). Agata stwierdza, że statek Jacka m ija ją (od punktu B do punktu C) w czasie 3,57 (is. Ile wynosi w zględna prędkość v Agaty i statku kosm icznego (w jednostkach c)?

w= — . Af

N ie znamy w artości L , ale m ożemy ją powiązać z podaną war­ tością L q. Zauważmy, że O —t odległość m iędzy dwom a zda­ rzeniam i zm ierzona w układzie odniesienia Jacka jest długością w łasną jeg o statku L 0. Dlatego odległość L m ierzona w układzie odniesienia Agaty m usi być m niejsza niż L 0, co w ynika z rów na­ nia (38.13) (L = L o /y ) , które w yraża skrócenie długości. Pod­ stawiając L 0/ y jako w artość L do równania (38.18), a następnie podstawiając w spółczynnik y dany rów naniem (38.8), otrzymu-

Agata

i -o . C

Jacek

B

(38.18)

v

Rys. 38.8. Przykład 38.3. W punkcie A Agata m ierzy czas, w ja ­ kim m ija ją statek kosmiczny

jem y

L 0/ y At

ROZWIĄZANIE:

W

1 - (w /c)2 At

Rozw iązując to równanie względem v, dochodzim y do poszuki­ wanego wyniku

Załóżm y że w artość prędkości v jest bliska prędkości św iatła c. Zauważmy teraz, że:

L

1. W zadaniu m am y do czynienia z pom iaram i wykona­ nym i w dwóch (inercjalnych) układach odniesienia, pierw szym związanym z A gatą oraz z drugim , zw iązanym z Jackiem i z jego statkiem kosmicznym.

(230 m )c 7 ( 2 ,9 9 8 ■10r m 7 ś? (3 ,5 7 . iq -6 s)2 + (230 m j5 (odpowiedź)

W idzim y więc, że w zględna prędkość Agaty i statku jest równa 21% prędkości światła. Zauważ, że w tym przypadku liczy się tylko względny ruch Agaty i Jacka; to, czy któryś z ich układów znajduje się w spoczynku w zględem powiedzm y stacji kosm icz­

O*”* 3. W każdym z układów odniesienia drugi układ odnie­ sienia porusza się z prędkością v i w czasie m iędzy zdarzeniami pokonuje pewną odległość: u= odległość ^ (3g )7)

nej, nie m a znaczenia. Rysunek 38.8 wykonano tak, jakby Agata znajdow ała się w stanie spoczynku, ale równie dobrze m ożna by przyjąć, że to ona się porusza. Nie m iałoby to żadnego w pływ u na uzyskany wynik.

odstęp czasu

M am y swobodę w yboru układu odniesienia, w którym chcemy wykonać pom iary. Wiemy, że odstęp czasu dzielący zdarzenia, zmierzony w układzie odniesienia Agaty w ynosi 3,57 |xs, za­

( c A t) 2 + L l

= 0,21c.

O*- w 2. W zadaniu m ożna wskazać dwa zdarzenia: pierw sze — Agatę m ija punkt B i drugie — Agatę m ija punkt C.

Prędkość v z założenia jest bliska prędkości światła, dlatego też m usim y pamiętać, aby odległość i odstęp czasu pojawiający się w równaniu (38.17) były zm ierzone w tym sam ym układzie od­ niesienia.

qc

✓

s p r a w d z ia n 2 W om ówionym przykładzie Agata m ie­ rzy czas, w którym m ija ją statek. Załóżmy, że Jacek wykonuje ten sam pomiar, a) Który z pom iarów (m oże obydwa albo ża­ den) jest czasem w łasnym i b) w którym z pom iarów otrzy­ m am y m niejszą wartość?

38.7. Transformacja Lorentza Na rysunku 38.9 przedstawiono inercjalny układ odniesienia S' poruszający się z prędkością v względem układu S, w zgodnym dodatnim kierunku ich osi po­ ziomych (oznaczonych x i x'). Obserwator w układzie S przypisuje pewnemu zdarzeniu współrzędne czasoprzestrzenne x, y, z, t, a obserwator w układzie S' przypisuje temu samemu zdarzeniu współrzędne x ' , y ' , z', t' . Jaka jest wzajemna zależność między obydwoma zestawami liczb? Stwierdzamy od razu (chociaż wymaga to dowodu), że ruch nie ma wpływu na współrzędne y i z odczytywane z osi prostopadłych do jego kierunku, czyli

160

38. Teoria w zględności

y = y 1 i z = z '■Nasze zainteresowanie ogranicza się więc do zależności wiążą­ cych x i x' oraz i i i ' .

Transformacja Galileusza Przed opublikowaniem przez Einsteina jego szczególnej teorii względności przyj­ mowano, że cztery interesujące nas współrzędne są powiązane ze sobą transfor­ macją Galileusza: x

— X / _ ^

v t,

(transform acja Galileusza; prawdziwa dla małych prędkości).

S’

zdarzenie ^

'

(Równania te zapisaliśmy, zakładając, ze t = t' — 0 w chwili, kiedy początki układów współrzędnych S i S' się pokrywają). Pierwsze równanie można spraw­ dzić, korzystając z rysunku 38.9. Drugie równanie oznacza po prostu, że w oby­ dwu układach odniesienia czas płynie w tym samym tempie. Dla poprzedników Einsteina było to tak oczywiste, że nawet o tym nie wspominano. Gdy prędkość v jest mała w porównaniu z c, równania (38.19) są dobrym przybliżeniem.

-vt-

Rys. 38.9. D w a inercjalne układy od­ niesienia: układ S ' porusza się z pręd­ kością v względem układu S

Transformacja Lorentza Podamy bez dowodu, że równanie transformacji obowiązujące dla wszystkich prędkości, aż do prędkości światła, można wyprowadzić z postulatów teorii względności. Równania te są nazywane po prostu transformacją Lorentza1. x

= y ( x — v t) ,

y' = y,

(transform acja L orentza; prawdziwa dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości).

z = z, t' = y (t

(38.20)

— v x / c 2)

(Równania te zapisaliśmy, zakładając, że t = t' = 0 w chwili, kiedy początki układów współrzędnych S i S' się pokrywają). Zwróćcie uwagę, że współrzędna przestrzenna x i współrzędna czasowa t występują obie w pierwszym i ostatnim równaniu. To powiązanie przestrzeni i czasu było głównym przesłaniem teorii Ein­ steina — przesłaniem, które długo odrzucało wielu współczesnych mu uczonych. Rzecz jasna wymaga się, aby równania relatywistyczne przechodziły w do­ brze nam znane równania nierelatywistyczne, jeżeli prędkość c dąży do nieskoń­ czoności. Oznacza to, że gdyby prędkość światła była nieskończona, wszystkie inne prędkości byłyby „małe” i równania nierelatywistyczne obowiązywałyby za­ wsze. Jeżeli w równaniach (38.20) przyjęlibyśmy, że c -> oo, to y —> l i — zgodnie z naszymi oczekiwaniami — równania te przeszłyby w transformację Galileusza (38.19). Byłoby dobrze, gdybyście sami się o tym przekonali. 'M ożecie się dziwić, dlaczego rów nania te nie są nazywane transformacją Einsteina (a także dlaczego w spółczynnik y nie nazywa się współczynnikiem Einsteina). Jest tak, po­ nieważ wybitny holenderski fizyk H. A. L orentz wyprow adził te rów nania przed Einsteinem , ale jak sam przyznał, nie uczynił tego śm iałego kroku i nie zinterpretow ał ich jako rów­ nań opisujących prawdziwą naturę przestrzeni i czasu. Interpretacji tej, będącej istotą teorii w zględności, dokonał Einstein.

3 8 .7 . Transform acja Lorentza

161

Równania (38.20) zapisano w postaci, która jest wygodna, jeżeli znamy x i t, a chcemy wyznaczyć x' i t'. Może się zdarzyć, że chcemy dokonać przekształceń w drugą stronę. W takiej sytuacji wystarczy, że rozwiążemy równania (38.20) względem jc i i, co prowadzi do układu oraz

x = y ( x ' + vt')

t = y ( t ' + v x ' / c 2).

(38.21)

Porównanie obydwu układów pozwala dostrzec, że wychodząc z jednego ze­ stawu równań (38.20) lub (38.21), można otrzymać drugi, zamieniając zmienne primowane na nieprimowane (i na odwrót) oraz zmieniając na przeciwny znak prędkości względnej v. Równania (38.20) i (38.21) wiążą ze sobą współrzędne jednego zdarzenia widzianego przez dwóch obserwatorów. Czasami jednak chcemy znać nie współ­ rzędne pojedynczego zdarzenia, ale różnicę współrzędnych dla pary zdarzeń. Oznaczmy nasze zdarzenia, nadając im numery 1 i 2. Może nas interesować związek wielkości A x = X2 — X \ i A t = ¿2 — t\, mierzonych przez obserwatora w układzie S, oraz i

A x' = x'2 — x\

A t' = t'2 — t[,

mierzonych przez obserwatora w układzie S'. W tabeli 38.2 podano równania Lorentza w postaci różnicowej, nadającej się do analizy par zdarzeń. Równania te otrzymano bezpośrednio dzięki podsta­ wieniu różnic (takich jak A x i Ax') zamiast czterech zmiennych występujących w układach (38.20) i (38.21). Zachowaj ostrożność: Wyznaczając wartości wspomnianych różnic, trzeba postępować spójnie i nie pomylić wartości dla pierwszego i drugiego zdarzenia. Jeżeli na przykład A x jest wielkością ujemną, to nie wolno zapomnieć o znaku minus. I b b e ia 3 8 . 2 . T ransform acja Lorentza dla pary zdarzeń 1. Ax = y ( A x ' + v A t ')

1'. A x ' = y ( A x — v A t)

2. A t = y ( A t ' + n A x '/ c 2)

2'. A t' = y ( A t — v A x / c 2)

_

71

. -

_

(~vjc ~)2

.

yfl^P 2

U kład S’ porusza się z prędkością v w zględem układu S.

^SPRAWDZIAN 3 :

Na rysunku przedstawiono trzy sytuacje, w których dwa układy odniesienia — niebieski i zielony, poruszają się względem siebie we wspólnym kierunku swoich osi x i x ', co zaznaczono za pom ocą wektora prędkości jednego z układów. Jaki znak prędkości v trzeba uwzględnić w rów naniach z tabeli 38.2 dla każdego z tych przy­ padków, jeżeli założymy, że niebieski układ odniesienia jest w stanie spoczynku?

/

'4 a)

162

38. Teoria względności

b)

c)

38.8. Kilka wniosków z równań Lorentza Obecnie skorzystamy z równań zapisanych w tabeli 38.2, aby potwierdzić pewne wnioski, do których doszliśmy wcześniej, wychodząc bezpośrednio z postulatów teorii względności.

Jednoczesność Przyjrzyjmy się równaniu 2 z tabeli 38.2: At = y

-\-

vA x'

(38.22)

Jeżeli dwa zdarzenia zachodzą w różnych miejscach w układzie odniesienia S' (rys. 38.9), to wartość Ax' w tym równaniu jest różna od zera. Wynika stąd, że nawet wtedy, kiedy zdarzenia są jednoczesne w układzie S' (czyli A t ' = 0), nie będą one jednoczesne w układzie S. (Jest to zgodne z naszym wnioskiem z paragrafu 38.4). Odstęp czasu między zdarzeniami w układzie odniesienia S będzie równy v Ax' At = y — — c

(zdarzenia jednoczesne w S ).

Dylatacja czasu Załóżmy teraz, że dwa zdarzenia w układzie S' zachodzą w tym samym miejscu (Ax' = 0), ale w różnym czasie ( A t ' ^ 0). Równanie (38.22) redukuje się więc do postaci At = y A t1

(zdarzenia w tym samym miejscu w S').

(38.23)

Otrzymaliśmy więc potwierdzenie dylatacji czasu. Obydwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w układzie S', zatem odstęp czasu między nimi można zmierzyć za pomocą jednego zegara, znajdującego się w miejscu zdarzenia. Zmie­ rzony odstęp czasu jest więc czasem własnym, który oznaczamy Afo- Równanie (38.23) przybiera więc postać A t — y A/o

(dylatacja czasu),

która jest identyczna z równaniem (38.9) opisującym dylatację czasu.

Skrócenie długości Przyjrzyjmy się teraz równaniu V z tabeli 38.2: Ax' — y ( A x — v A t ) .

(38.24)

Jeżeli pręt jest równoległy do osi jc i x ’ zaznaczonych na rysunku 38.9 i spoczywa w układzie odniesienia S', to obserwator w układzie S' może zmierzyć jego długość bez pośpiechu. Może on to zrobić, obliczając różnicę współrzędnych końców pręta. Uzyskana wartość A x ' jest długością własną (spoczynkową) Lo tego pręta.

3 8 .8 . Kilka w n io skó w z rów nań Lorentza

163

Załóżmy teraz, że pręt porusza się w układzie odniesienia S. Oznacza to, że różnicę współrzędnych jego końców A x będzie można uznać za długość pręta L w układzie S tylko wtedy, kiedy odpowiednie współrzędne będą zmierzone j e d ­ nocześnie — czyli A t = 0. Jeżeli podstawimy do równania (38.24) Ax' = L0, A x = L i A t = 0, to otrzymamy L = — Y

(skrócenie długości),

(38.25)

czyli dokładnie równanie (38.13) wyrażające skrócenie długości.

Przykład 3 8 .4 Statek kosm iczny został wysłany z Ziem i do bazy na plane­ cie P1407, której księżyc jest m iejscem stacjonowania oddziałów w rogo nastawionych Reptulian. Statek lecący po linii prostej naj­ pierw m ija planetę, a następnie jej księżyc. W tym czasie załoga statku dostrzega em isję silnego prom ieniowania m ikrofalowego ze stacji Reptulian na księżycu, a 1,1 s później eksplozję w bazie Ziem ian na planecie. W edług pom iarów w układzie odniesienia związanym ze statkiem obie placówki dzieli odległość 4 • 108 m. Nie ulega wątpliwości, że Reptulianie zaatakowali Ziem ian i za­ łoga statku przygotowuje się do starcia z nimi. a) Statek porusza się w zględem planety i jej księżyca z prędko­ ścią 0,98c. Jaką odległość i odstęp czasu m iędzy em isją prom ie­ niowania i wybuchem zm ierzy obserw ator w układzie zw iązanym z planetą i jej księżycem (jak opiszą zdarzenia Ziem ianie z bazy na planecie i Reptulianie na Księżycu)?

statek księżyc (emisja promieniowania)

Rys. 38.10. Przykład 38.4. Planeta i jej księżyc związane z ukła­ dem odniesienia S', poruszają się w prawo z prędkością v w zglę­ dem układu odniesienia S związanego ze statkiem kosm icznym N iech wskaźniki „w” i „e” odnoszą się do zdarzenia wybuchu i em isji prom ieniowania. M ożem y teraz zapisać posiadane przez nas dane, uzyskane w układzie S (statek):

ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że: O —* 1. W zadaniu m am y do czynienia z pom iaram i w ykona­ nym i w dwóch inercjalnych układach odniesienia: w pierw szym związanym z planetą i księżycem oraz w drugim , związanym ze statkiem kosmicznym.

planeta (wybuch)

A x = xw — x e = + 4 • 108 m oraz

A t = fw — te = +1 s.

O t 3. M usim y dokonać transform acji posiadanych danych o od­ ległości i odstępie czasu m iędzy zdarzeniam i z układu zw iązanego ze statkiem kosm icznym do układu związanego z planetą i jej

W naszym przypadku odległość A x jest dodatnia, ponieważ na rysunku 38.10 w spółrzędna wybuchu x w jest w iększa niż w spół­ rzędna emisji xe. Odstęp czasu A t jest także dodatni, bo wartość i„ jest w iększa niż ie (wybuch zaobserwow ano później niż em isję prom ieniowania). Szukamy odległości A x ' i odstępu czasu A i', które m o­ żemy wyznaczyć, dokonując transform acji danych z układu S do układu S' związanego z planetą i księżycem. Zajm ujemy się parą zdarzeń, dlatego też skorzystamy z równań podanych w tabeli 38.2

księżycem.

(równania V i 2'):

O t 2. W zadaniu m ożna wskazać dwa zdarzenia: em isję pro­ m ieniowania i wybuch.

Zanim dokonamy transform acji, m usimy zadbać o w prow adze­ nie odpowiednich oznaczeń. Zaczniemy od naszkicowania sytu­ acji, ja k na rysunku 38.10. Przyjęliśm y tu, że związany ze stat­ kiem układ S spoczywa, a układ planeta-księżyc S' porusza się z dodatnią prędkością (w prawo). (Nasz w ybór jest oczyw iście dowolny: równie dobrze m ogliśm y przyjąć, że spoczywa układ planeta-księżyc. W takim przypadku zaznaczylibyśm y na rysunku 38.10 w ektor v jako prędkość układu S skierowaną w lewo. War­ tość v byłaby ujem na, ale w ynik obliczeń nie uległby zmianie).

164

38. Teoria względności

A x ' = y (A x — v A t)

A t' = y I Af

(38.26)

vA x\

A

(38.27)

I'

W naszym przypadku v = + 0 ,9 8 c , co odpow iada współczynni­ kowi Lorentza równem u

Y

1

1

V7! - (v / c ) 2

V7! - (0,98c /c ) 2

= 5,0252.

Równanie (38.26) pozwala wyznaczyć odległość A x ' = (5,0252)[4 • 108 m — (+ 0 ,9 8 )(2 ,9 9 8 ■ 108 m /s ) ( l, 1)] = 3,86 • 108 m,

(odpowiedź)

a równanie (38.27) — odstęp czasu A t' = (5,0252) (1,1 s)

(+ 0 ,9 8 )(2 ,9 9 8 • 108 m /s ) (4 • 108) '

wybuchu na planecie, a nie o 1,1 s p rzed w ybuchem , ja k to w i­ działa załoga statku kosm icznego. c) Czy to em isja prom ieniowania spowodowała wybuch na plane­ cie, czy m oże odwrotnie? ROZWIĄZANIE:

(2,998 ■108 m /s ) 2

= —l,0 4 s .

(odpowiedź)

b) Jakie znaczenie m a znak m inus w obliczonym przez nas od­ stępie czasu A t '7 ROZWIĄZANIE: O t ? W ażne jest, aby konsekwentnie stosować notację przyjętą w punkcie (a). Przypom nijm y sobie, że na sam ym początku zde­ finiowaliśmy odstęp czasu m iędzy em isją prom ieniow ania a wy­ buchem jako: A t = fw — fe = + 1 ,1 s. Aby zachować zgodność, m usimy przyjąć, że odstęp czasu A t' jest równy t'w — t'z. Oznacza to, że otrzym aliśm y wynik A t' = t'w - t ’e = - 1 ,0 4 s. Z nak m inus m ówi nam , że t'e > t'w, a więc w układzie odnie­ sienia planeta-księżyc em isja prom ieniowanie nastąpiła 1,04 s po

Kolejność zdarzeń zm ierzona w układzie odniesienia planetaksiężyc jest inna niż w układzie odniesienia zw iązanym ze stat­ kiem. Zauważmy, że O “ * jeżeli w pewnym układzie m a istnieć związek przyczynowy m iędzy dwom a zdarzeniam i, to m usimy zdążyć z przesłaniem inform acji o zdarzeniu z m iejsca pierw szego zdarzenia do m iejsca drugiego zdarzenia. Sprawdźmy, z jak ą pręd­ kością należałoby przesyłać inform acje w obydwu układach od­ niesienia. W układzie związanym ze statkiem wym agana prędkość wynosi 1’inln —

Ax

4 • 108

At

1,1 s

i jest w artością niedozwoloną, w iększą od prędkości światła. W układzie odniesienia planeta-księżyc otrzym am y także niedo­ zwoloną prędkość 3,7 • 108 m/s. O znacza to, że żadne z tych zdarzeń nie m ogło być przyczyną drugiego, a więc są to zda­ rzenia niezależne. Z ałoga statku kosm icznego nie powinna więc decydować się na konfrontację z Reptulianam i.

Skorzystamy teraz z transformacji Lorentza, aby przekonać się, jakie prędkości zmierzą obserwatorzy badający ruch tej samej cząstki i znajdujący się w dwóch inercjalnych układach odniesienia S i S'. Załóżmy, że cząstka poruszająca się równolegle do osi x i x' (rys. 38.11) wysyła dwa sygnały. Każdy obserwator mierzy odległość przestrzenną i odstęp czasu między tymi zdarzeniami. Wyniki czterech pomiarów wiążą równania 1 i 2 z tabeli 38.2: A x = y ( A x ' + ii A t') oraz At = y

= 3,64 • 108 m /s

vA x' A /' +

y

y

J

cząstka J i ! według pom iaru w S' u według pom iaru w S

Rys. 3 8 .1 1 . U kład odniesienia S' poru­ sza się z prędkością v w zględem układu odniesienia S. Cząstka m a prędkość u' względem układu odniesienia S ’ oraz prędkość u w zględem układu odniesie­ nia S

Dzieląc pierwsze z tych równań przez drugie, otrzymamy Ax

A x' + v A t'

At

A t' + v A x ' / c 2

Jeżeli licznik i mianownik po prawej stronie równania podzielimy przez At', to

3 8 .9. W zględność prędkości

165

stwierdzimy, że Ax

Ax'/At' + v

At

1 + v ( A x ' / A t ' ) / c 2)

W granicy A x / A t jest prędkością u cząstki w układzie odniesienia S, a A x ' / At' jest prędkością u' tej samej cząstki w układzie S'. Otrzymane równanie możemy więc zapisać w postaci

u' + v u = ------------- 1 + u 'v/c2

(relatywistyczna transformacja prędkości)

(38.28)

— jest to relatywistyczna transformacja prędkości. Równanie to redukuje się do transformacji nierelatywistycznej (Galileusza) u —u + v

(nierelatywistyczna transformacja prędkości),

(38.29)

gdy prędkość c dąży do nieskończoności: c -> oo. Innymi słowy równanie (38.28) jest słuszne dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości, podczas gdy rów­ nanie (38.29) jest tylko przybliżeniem dla prędkości dużo mniejszych niż c.

38.10. Zj awisko Dopplera dla światła W paragrafie 18.8 omawialiśmy zjawisko Dopplera (zmianę obserwowanej czę­ stości) dla fal dźwiękowych rozchodzących się w powietrzu. W przypadku fal tego typu zjawisko Dopplera zależy od dwóch prędkości, z jakimi poruszają się źródło i detektor względem powietrza. (Powietrze jest ośrodkiem, w którym fale się rozchodzą). Sytuacja wygląda inaczej w przypadku światła, które (tak jak wszystkie fale elektromagnetyczne) nie wymaga istnienia jakiegoś ośrodka i może rozchodzić się nawet w próżni. W przypadku zjawiska Dopplera dla światła mamy tylko jedną prędkość — względną prędkość źródła i detektora, którą mierzymy w jed­ nym ze związanych z nimi układów odniesienia. Niech Vo oznacza „częstość własną” źródła, czyli częstość, którą mierzy obserwator w układzie odniesienia źródła. Niech v oznacza częstość mierzoną przez obserwatora poruszającego się z prędkością v względem źródła. Jeżeli źródło i detektor oddalają się od siebie z prędkością i skierowaną dokładnie wzdłuż łączącej je linii, to mamy

(źródło i detektor oddalają się od siebie),

(38.30)

gdzie fi = v / c . Jeżeli źródło i detektor zbliżają się do siebie z prędkością v skierowaną wzdłuż łączącej je linii, to należy zmienić znaki przed obydwoma współczynnikami ¡3 w równaniu (38.30).

Zjawisko Dopplera dla małych prędkości względnych W przypadku małych prędkości (¿6 <3C 1) prawą stronę równania (38.30) można rozwinąć w szereg potęgowy względem ¡3 i ograniczyć się do wyrazów drugiego rzędu. Otrzymamy następującą zależność: v = Vo(l — P + \(32)

(źródło i detektor oddalają się od siebie, ¡3

1).

(38.31)

Odpowiednie równanie, opisujące zjawisko Dopplera dla fal dźwiękowych (i in­ nych poza świetlnymi) w przybliżeniu małych prędkości, ma pierwsze dwa wy­ razy identyczne, ale inny współczynnik przy trzecim wyrazie. Jak widać, efekty relatywistyczne dla małych prędkości względnych źródła światła i detektora wy­ stępują dopiero w wyrazie fi2. W radarze policyjnym do pomiaru prędkości v pojazdu wykorzystano zja­ wisko Dopplera dla mikrofal. Źródło umieszczone w radarze wysyła wiązkę mikrofal o częstości (własnej) v0 skierowaną wzdłuż jezdni. Samochód jadący w kierunku radaru „widzi” wiązkę o częstości większej, przesuniętej na skutek zjawiska Dopplera. Samochód odbija wiązkę do tyłu, kierując ją w stronę ra­ daru. Samochód jedzie w kierunku radaru, dlatego też detektor w radarze będzie odbierał wiązkę mikrofal o jeszcze bardziej zwiększonej częstości. Odpowiednie układy mierzą tę częstość i porównują ją z wartością vo, a różnicę przeliczają na prędkość v samochodu.

Zjawisko Dopplera w astronomii Obserwując obiekty astronomiczne, takie jak gwiazdy, galaktyki i inne źródła światła, często musimy wyznaczać prędkości, z którymi obiekty te oddalają lub zbliżają się, mierząc przesunięcie dopplerowskie docierającego do nas światła. Jeżeli pewna gwiazda spoczywałaby względem nas, to obserwowalibyśmy jej światło o pewnej częstości własnej v<). Jeżeli gwiazda ta będzie się oddalać lub zbliżać do nas wzdłuż linii łączącej ją z nami, to częstość v obserwowanego światła w wyniku zjawiska Dopplera będzie różna od częstości vo- Przesunię­ cie dopplerowskie występuje tylko w wyniku ruchu radialnego gwiazdy (ruchu wzdłuż prostej łączącej gwiazdę z obserwatorem). Prędkość, którą wyznaczymy, mierząc przesunięcie dopplerowskie, odpowiada tylko radialnej składowej pręd­ kości gwiazdy. Załóżmy, że prędkość radialna v pewnej gwiazdy jest na tyle mala (również wartość ¡3 jest mała), że możemy zaniedbać wyraz fi2 w równaniu (38.31). Za­ piszmy także jawnie znak „ ± ” poprzedzający wyraz /i. Przypominamy, że znak „minus” odpowiada oddalaniu się, a „plus” zbliżaniu się gwiazdy do nas. Po przyjęciu tych założeń równanie (38.31) można zapisać w postaci v = v0(l ± (6).

(38.32)

W pomiarach astronomicznych odnoszących się do światła zwykle posługujemy się długością fali, a nie częstością i dlatego v zastąpimy przez c / k , a vo przez c/ko, gdzie k oznacza obserwowaną długość fali, a ko jest własną długością fali. Zastępując ponadto w równaniu (38.32) ¡3 przez v / c , otrzymamy równanie

3 8 .10 . Zjaw isko D opplera dla św iatła

167

które można przekształcić, wyznaczając prędkość v X — Xo v = ± ---------c. X

Zazwyczaj zależność tę zapisuje się w postaci AX v = ---- c X

(radialna prędkość źródła światła, v
0 , (38.33)

gdzie AX (— |X —A-ol) jest dopplerowskim przesunięciem długości fali dla źródła światła. Jeżeli źródło oddala się od nas, to X ma większą wartość niż Xq i prze­ sunięcie dopplerowskie nazywamy przesunięciem ku czerwieni. (Nie oznacza to wcale, że obserwowane światło ma barwę czerwoną lub w ogóle jest widzialne; znaczy to tylko tyle, że długość fali wzrosła). Podobnie, jeżeli źródło porusza się w naszą stronę, to X ma wartość mniejszą niż ko i przesunięcie dopplerowskie jest nazywane przesunięciem ku błękitowi.

^SPRAWDZIAN 4 : Na

rysunku przedstawiono źródło św iatła o częstości własnej v0, które porusza się w prawo z prędkością c /4 zm ierzoną w układzie odniesienia S. Na rysunku pokazano także detektor, który , , , , „ ,, . ^ d e te k to r ^ z ro d ło m ierzy częstosc v > vo wysyłanego przez z' . ^ źródło światła, a) Czy detektor porusza się w lewo, czy w prawo? b) Czy pręd-

kość detektora zm ierzona w układzie S jest większa, m niejsza, czy m oże równa c /4 ?

.

j

I ( ( t t ' ' '

b -t> ^

------------------------ ^

Poprzeczne zjawisko Dopplera ?

5

p

D Rys. 38.12. Źródło św iatła Z porusza­ jące się z prędkością v m ija w pewnej odległości detektor D . Szczególna teo­ ria względności przewiduje występowa­ nie zjawiska D opplera także w punkcie P , w którym prędkość źródła jest pro­ stopadła do linii łączącej je z detekto­ rem. W opisie nierelatywistycznym ta­ kie zjawisko (poprzeczne zjawisko D op­ plera) nie powinno być obserwowane

Dotychczas — teraz i w rozdziale 18 — zajmowaliśmy się zjawiskiem Dopplera w przypadku, kiedy źródło fal i detektor poruszały się wzdłuż łączącej je linii. Na rysunku 38.12 pokazano inną sytuację, w której źródło Z mija detektor D w pewnej odległości od niego. Gdy źródło Z dociera do punktu P , jego prędkość jest skierowana prostopadle do linii łączącej Z i D. Przez moment nie zbliża się ono, ani nie oddala od detektora. Jeżeli źródło wysyła falę dźwiękową o czę­ stości vo, detektor rejestruje dokładnie tę częstość, odbierając fale, które były wysłane w punkcie P. Jeżeli jednak źródło emituje fale świetlne, nadal obserwu­ jemy zjawisko Dopplera, nazywane w tym przypadku poprzecznym zjawiskiem Dopplera. Obserwowana częstość światła docierającego ze źródła w punkcie P wynosi v = v0s j 1 - p 2 (poprzeczne zjawisko Dopplera). (38.34) Dla małych prędkości (fi 1) można rozwinąć prawą stroną równania (38.34) w szereg potęgowy względem fi, co — jeżeli ograniczymy się do wyrazów dru­ giego rzędu — prowadzi do wzoru v = v0 ( l — j fi2)

168

38. Teoria względności

(m ałe prędkości).

(38.35)

W tym przypadku pierwszy wyraz jest dokładnie taki, jakiego oczekiwalibyśmy dla fal dźwiękowych. Także i tym razem efekty relatywistyczne dla małych pręd­ kości względnych źródła światła i detektora dotyczą wyrazu fi2. W zasadzie radary policyjne mogłyby mierzyć prędkość samochodu nawet wtedy, kiedy wiązka byłaby skierowana prostopadle do kierunku jego jazdy. Z równania (38.35) wynika jednak, że ponieważ nawet dla szybko jadących sa­ mochodów wartość fi jest bardzo mała, więc człon relatywistyczny /32/2 jest bliski zera. Widzimy więc, że v ~ v0 i radar wskaże w tym przypadku prędkość równą zeru. Dlatego policjanci zawsze starają się kierować wiązkę pomiarową wzdłuż toru jazdy samochodu, aby zmierzyć przesunięcie dopplerowskie i stąd faktyczną jego prędkość. Każde odchylenie wiązki od idealnego ustawienia działa na korzyść kierowcy, ponieważ zmniejsza zmierzoną prędkość. Poprzeczne zjawisko Dopplera jest w rzeczywistości kolejnym przejawem dylatacji czasu. Jeżeli przepiszemy równanie (38.34), wprowadzając do niego okres drgań T — l / v , to otrzymamy zależność T =

T

0

= y T 0,

(38.36)

w której przez Tq ( = l/vo) oznaczyliśmy okres własny źródła. Jeżeli uwzględ­ nimy fakt, że okres drgań to nic innego, jak odstęp czasu, z łatwością zobaczymy, że równanie (38.36) to wzór na dylatację czasu (38.9).

System nawigacyjny NAVSTAR Każdy satelita należący do systemu NAVSTAR stale nadaje sygnały radiowe in­ formujące o swoim położeniu. Transmisja odbywa się na częstości, która jest stabilizowana za pomocą precyzyjnych zegarów atomowych. Częstości sygnałów odbieranych na przykład przez samolot pasażerski są zmienione na skutek prze­ sunięcia dopplerowskiego. Odbierając jednocześnie sygnały z kilku satelitów NAVSTAR, można wyznaczyć kierunek, w którym znajduje się każdy z nich, a także kierunek prędkości tego satelity. Dzięki temu, na podstawie przesunięcia dopple­ rowskiego częstości sygnału, odbiornik może wyznaczyć prędkość samolotu. Przeprowadzając proste obliczenia, spróbujemy przekonać się, jaką dokład­ ność można w ten sposób osiągnąć. Typowa prędkość satelity systemu NAVSTAR mierzona względem środka Ziemi wynosi około 1 • 104 m/s, a zatem wartość fi jest bliska 3 • 10-5 . Wyraz fi 2/2 występujący w równaniach (38.31) i (38.35) (człon relatywistyczny) ma wartość około 4,5 • 10~10. Innymi słowy teoria względno­ ści zmienia przesunięcie dopplerowskie o mniej więcej 4,5 części na 1010, czyli w stopniu, który wydaje się niegodny uwagi. W rzeczywistości jest to bardzo ważne. Zegary atomowe na pokładzie sateli­ tów są tak dokładne, że dopuszczalna zmiana częstości sygnału wynosi zaledwie 2 części na 1012. Z równania (38.35) wynika, że fi (a tym samym v) zależy od pierwiastka kwadratowego z v/v$. Oznacza to, że zmiana częstości zegara o 2 ■10-12 spowoduje względną zmianę mierzonej wartości prędkości względnej satelity i samolotu o V 2 • 1 0 -12 = 1,4- 10“6.

3 8 .1 0 . Zjaw isko D opplera dla św iatła

169

Prędkość względna samolotu i satelity r jest przede wszystkim wynikiem ogrom­ nej prędkości satelity i w ynosi około 1 • 10-1 ni/s. Dokładność, z jaką można ja wyznaczyć — a tym samym także prędkość samolotu — jest zbliżona do (1.4 • lCT6) • (1 • 10J m /s) = 1.4 cm /s. Wyobraźmy sobie, że lot samolotu trwa 1 h (3600 s). Znając prędkość z dokład­ nością do około 1.4 cm/s. możemy określić położenie samolotu na końcu lotu z dokładnością do około (0.014 m /s)(3600 s) = 50 m. która wystarcza dla potrzeb współczesnej nawigacji. Jeżeli pominęlibyśmy w obliczeniach człony relatywistyczne, to nie zdołali­ byśmy wyznaczyć prędkości z niepewnością mniejszą niż 21 cm/s. a znajomość położenia samolotu po godzinie lotu b\łaby obarczona niepewnością wynoszą co najmniej 760 m.

Przykład 3 8 .5 Zaobserwowano światło docierające do nas z m ięd/ygw iazdow cgo obłoku gazowego z galaktyki MS7. Na rysunku 38.13a przedsta­ wiono wykres zależności natężenia tego św iatła od długości lali w przypadku obserwacji św iatła w ysianego z dwóch części ob­ łoku znajdujących się po przeciwnych stronach centrum galaktyki. Jedna z krzywych osiąga m aksim um dla długości fali 499.8 nm. a druga dla 501.6 nm. Gaz okrąża centrum galaktyki po orbicie o prom ieniu r — 100 lat świetlnych, p r/y czym z jednej strony porusza się w naszą stronę, a z drugiej — w stronę przeciwną. a) Która z krzywych na wykresie odpowiada gazowi poruszają­ cemu się w naszą stronę? Ile wynosi prędkość gazu w zględem nas (i względem centrum galaktyki)?

długość fali [nm] a)

Rys. 38.13. Przykład 38.5. a) Obserwowane natężenie światła docierającego z gazu po obydwu stronach galaktyki M87 przed­ staw ione w zależności od długości fali. b) Zdjęcie centralnego Z auw ażnn. że: obszaru galaktyki M87. Kółka wskazują położenie części gazu. 1. G dyb\ gaz nie poruszał się wokół galakt} ki. obserw o­ którego prom ieniowanie przedstawiono na wykresie (a). Jądro ga­ walibyśmy jedno m aksimum natężenia św iatła. laktyki M87 znajduje się w połowie odległości między kółkami O —r 2. Ruch gazu wpływa na obserwow aną długość fali dzięki zjawisku Dopplera. Obserwowana długość fali zwiększa się dla Aż. = ż. — a0I = 501.6 nm — 500.7 nm oddalającego się źródła, a m aleje dla zbliżającego się źródła. = 0.9 nm. W ynika stąd. że krzywa o m aksimum dla długości fali 501.6 nm Podstaw iamy uzyskane przesunięcie i długość fali ż. = 501.6 nm odpowiada ruchowi w kierunku od nas. a krzywa o m aksim um do równania (38.33) i obliczam ) prędkość gazu dla długości 499.8 nm odpowiada ruchow iu ku nam. Załóżm y teraz, że zmiany długości fali spowodowane ruchem _ A>- _ 0.9 nm 2.998 • 10s m /s gazu mają jednakowe wartości. W takim przypadku za długość 501.6 nm w łasną fali m ożna przyjąć średnią arytm etyczną wartości odpo­ = 5.38 • 10' m /s. (odpowiedź) wiadających m aksimom obu przesuniętych krzy wych: ROZWIĄZANIE:

501.6 nm + 499.8 nm - 500.7 nm. '•o = — Przesunięcie dopplerowskie Aż. dla św iatła pochodzącego z ob­ łoku gazu oddalającego sic od nas jest więc rów ne

170

38. Teoria względności

b) Gaz obiega centrum galaktyki, ponieważ działa nań siła gra­ witacyjna ze strony zgrom adzonej w centrum masy XI. Ile wy­ nosi ta masa wyrażona w jednostkach równych masie Słońca ( = 1 .9 9 - 10?o k o ?

Spostrzeżenia te możemy połączyć ze sobą w postaci równania

ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że:

GMm

v2

rL

r

----— = m—.

O “ » 1. W artość siły grawitacyjnej działającej na ciało o m asie m poruszające się po orbicie kołowej o prom ieniu r jest określona rów naniem (14.1)

Rozwiązując to równanie w zględem M i podstawiając znane war­ tości, obliczym y wartość m asy zgrom adzonej w centrum galaktyki 2

v r M = — G (5,38 ■105 m /s ) 2(100 y)(9 ,4 6 • 1015 m/y)

GMm

=

O t 2. C iało poruszające się po orbicie kołowej wokół centrum galaktyki m usi m ieć przyspieszenie dośrodkowe o wartości a = v 2/ r skierowane w stronę centrum. O - r 3. Druga zasada dynamiki Newtona zapisana dla kierunku radialnego m a postać F = m a.

6,67 ■ 1041 N ■m 2/k g 2

= 4,11 ■1039 kg = (2,1 • 109)M s .

(odpowiedź)

W ynik ten oznacza, że w centrum galaktyki została zgrom adzona ogrom na m asa odpowiadająca m asie 2 m iliardów Słońc, co suge­ ruje, że m oże tam znajdować się bardzo ciężka czarna dziura.

38.11. Nowe spojrzenie na pęd Wyobraźmy sobie, że kilku obserwatorów — każdy w innym inercjalnym ukła­ dzie odniesienia — bada izolowane zderzenie dwóch cząstek. W przypadku nierelatywistycznym każdy z obserwatorów mierzy różne prędkości zderzają­ cych się cząstek, ale wszyscy twierdzą, że spełniona jest zasada zachowania pędu. Zgodnie stwierdzają oni, że pęd po zderzeniu cząstek jest taki sam, jak przed zderzeniem. Jak wygląda to z punktu widzenia teorii względności? Możemy przekonać się, że jeżeli nadal będziemy definiować pęd cząstki p jako iloczyn masy i pręd­ kości m v, to według obserwatorów w różnych inercjalnych układach odniesienia całkowity pęd n ie b ę d z ie zachowany. Mamy dwie możliwości: 1) zrezygnować z zasady zachowania pędu lub 2) zmodyfikować definicję pędu w taki sposób, aby zasada zachowania pędu w dalszym ciągu obowiązywała. Właściwym wyborem jest przyjęcie drugiej możliwości. Rozważmy cząstkę poruszającą się ze stałą prędkością v w dodatnim kie­ runku osi W ujęciu nierelatywistycznym pęd cząstki ma wartość Ax p = m v= m -^ —

(pęd nierelatywistyczny),

( 3 8 .3 7 )

gdzie Ax oznacza odległość przebytą w czasie A t. Poszukiwania relatywistycz­ nego wyrażenia na pęd zaczniemy od nowej definicji Ax

p = m ----- .

Ai0

Tak samo jak poprzednio, Ax oznacza drogę przebytą przez cząstkę, którą zmie­ rzył pewien obserwator. Jednak teraz A/o nie jest czasem potrzebnym do przeby­ cia tej drogi zmierzonym przez obserwatora patrzącego z boku na poruszającą się cząstkę, lecz czasem, który wyznaczył obserwator poruszający się wraz z cząstką. Cząstka spoczywa względem tego obserwatora i w konsekwencji czas, który on mierzy, jest czasem własnym.

38.11. N ow e spojrzenie na pęd

171

Korzystając ze wzoru na dylatację czasu (równanie (38.9)), możemy to za­ pisać w postaci równania Ax Ax At Ax p = m ---- = m ---------- = m ------y. A to A t A to At

Iloraz A x / A t to nic innego jak prędkość cząstki v, dlatego też definicja pędu wyraża się wzorem

p — ym v

(pęd).

(38.38)

Zwróćmy uwagę, że ta definicja różni się od definicji nierelatywistycznej (równa­ nie (38.37)) tylko obecnością współczynnika Lorentza y . Różnica ta jest jednak bardzo ważna: W przeciwieństwie do pędu nierelatywistycznego, pęd relatywi­ styczny dąży do nieskończoności, gdy prędkość v dąży do c. Definicję zapisaną w równaniu (38.38) można uogólnić do postaci wekto­ rowej

p = ym v

(pęd).

(38.39)

Równanie to poprawnie definiuje pęd dla wszystkich fizycznie dozwolonych pręd­ kości. W przypadku prędkości znacznie mniejszych od c redukuje się do znanej postaci nierelatywistycznej ( p = mv).

38.12. Nowe spojrzenie na energię Energia spoczynkowa Chemia przez długi czas rozwijała się przy założeniu, że w reakcjach chemicz­ nych energia i masa są zachowywane niezależnie od siebie. W roku 1905 Einstein wykazał, że w sformułowanej przez niego teorii względności trzeba rozpatrywać masę jak jedną z postaci energii. Dlatego zasada zachowania energii jest w rze­ czywistości zasadą zachowania energii i masy. W reakcji chemicznej (procesie, w którym oddziałują atomy i cząsteczki) przemianie na inne postacie energii (lub na odwrót) ulega niezmiernie mała część masy i dlatego nie ma żadnej szansy na zauważenie jej zmiany nawet wtedy, gdy posłużymy się najlepszymi wagami laboratoryjnymi. Może więc wydawać się , że masę i energię można rozpatrywać niezależnie od siebie. Jednakże w reakcji jądrow ej (procesie, w którym oddziałują jądra i cząstki elementarne) wyzwalana energia bywa milion razy większa niż w przypadku reakcji chemicznej i zmianę masy można z łatwością wyznaczyć. Uwzględnianie w reakcjach jądrowych prze­ mian masa-energia jest już od dawna standardowym postępowaniem. Masa m i równoważna jej energia E0 są powiązane ze sobą zależnością

E0 = m c 2,

38. Teoria względności

(38.40)

która — bez wskaźnika O— jest chyba najlepiej znanym równaniem fizyki. Ener­ gia związana z masą ciała nosi nazwę energii spoczynkowej. Nazwa mówi, że energię E q ma ciało nawet wtedy, kiedy spoczywa, i jest to wyłącznie konse­ kwencją faktu, że ciało ma masę. (Jeśli poznając fizykę, wyjdziecie poza ramy tego podręcznika, to prawdopodobnie spotkacie bardziej szczegółowe rozważa­ nia na temat związku masy i energii. Możecie nawet napotkać spory o to, co naprawdę oznacza podana relacja). 3. W artości energii spoczynkowej wybranych ciał Ciało

Energia spoczynkowa

M asa [kg]

Elektron

9,11 ■lO“ 31

8,19 ■1014 J

( = 5 1 1 keV)

Proton

1,67 • lO "27

1,50- 1CT10 J

( = 938 M eV)

A tom uranu

3,95 • lO“ 25

3,55 • 10“ 8 J

( = 225 GeV)

1 ■i o - ' 3

D robina kurzu

>““s

O

1,65 • 10“ 3

00 TT

M oneta 1 grosz

1 ■104 J

( = 2 kcal) ( = 41 GW h)

W tabeli 38.3 podano wartości energii spoczynkowej dla kilku ciał. Jak widać, energia spoczynkowa małej monety, na przykład grosza, jest olbrzymia — równoważna ilość energii elektrycznej ma wartość rzędu 107 zł. Z drugiej strony, cała energia elektryczna wytwarzana w ciągu roku w Stanach Zjednoczonych jest równa masie spoczynkowej kilkuset kilogramów materii (kamieni, naleśników lub czegokolwiek innego). W praktyce, w równaniu (38.40) rzadko kiedy używa się jednostek układu SI, ponieważ są zbyt duże. Masę wyraża się zwykle w atomowych jednostkach masy 1 u = 1,66 - 10~27 kg, (38.41) a energię w elektronowoltach 1 e V = 1,60- 10“ 19 J

(38.42)

lub ich wielokrotnościach. Stała c 2 ma w jednostkach przyjętych w równaniach (38.41) i (38.42) wartość c2 = 9,315 • 108 eV /u = 9,315 • 105 keV/u = 931,5 M eV/u.

(38.43)

Energia całkowita Równanie (38.40) wyraża energię spoczynkową E q związaną z masą ciała m. Energia spoczynkowa nie zależy od tego, czy ciało to spoczywa, czy się poru­ sza. Kiedy jednak ciało jest w ruchu, ma dodatkową energię w postaci energii kinetycznej E^. Jeżeli założymy, że jego energia potencjalna jest równa zeru, to energia całkowita E jest sumą energii spoczynkowej i energii kinetycznej: E = E 0 + Ek = m c2 + Ek.

(38.44)

3 8 .12 . N ow e spojrzenie na energię

173

Całkowita energia E jest też dana równaniem (co podajemy bez dowodu)

E = y m c 2,

(38.45)

gdzie y jest współczynnikiem Lorentza. Począwszy od rozdziału 7, rozważaliśmy już wiele przykładów dotyczących zmiany energii całkowitej cząstki lub układu cząstek. Jednakże nigdy to tej pory nie uwzględnialiśmy zmian energii spoczynkowej, ponieważ były one po prostu równe zeru, albo tak małe, że można było je zaniedbać. Zasada zachowania ener­ gii całkowitej obowiązuje nawet wtedy, kiedy zmiany energii spoczynkowej są znaczne. Niezależnie od tego, co się dzieje z energią spoczynkową, stwierdzenie podane w paragrafie 8.7 nadal zachowuje swą moc:

Całkow ita energia układu izolowanego nie ulega zmianie.

Jeżeli, na przykład, zmaleje sumaryczna energia spoczynkowa układu izo­ lowanego składającego się z dwu oddziałujących ze sobą cząstek, musi pojawić się energia w jakiejś innej postaci, ponieważ energia całkowita nie może ulec zmianie. Zmianę energii spoczynkowej układu, spowodowaną zachodzącą w nim reak­ cją chemiczną lub jądrową, przyjęło się oznaczać symbolem Q i nazywać energią reakcji. Wartość Q można obliczyć, posługując się następującym równaniem: /

całkowita początkowa

\

\ energia spoczynkowa układu /

/

całkowita końcowa

\

\ energia spoczynkowa układu /

/ energia \ \ reakcji / ’

czyli ^O.poc/ = ¿O.końc “I“ Q ■

(38.46)

Korzystając z równania (38.40) (Eq = m c 2), można wyrazić energię reakcji Q w zależności od całkowitej masy początkowej Mpoc?. oraz całkowitej masy koń­ cowej M k o ń c M \ vk / (' — -^końc^ "1“ Q ,

czyli

Q = M V0Czc2 - Mkońcc2 -- - A M c 2,

(38.47)

gdzie A M = Mkońc — M pocz oznacza zmianę masy układu w wyniku reakcji. Jeżeli część energii spoczynkowej ulega przemianie na przykład w energię kinetyczną, przekazywaną produktom reakcji, to całkowita energia spoczynkowa E q układu (a więc i jego całkowita masa Mo) zmniejsza się, a energia reakcji Q jest dodatnia. Przeciwnie, jeżeli reakcja wymaga, aby energia zamieniała się

w energię spoczynkową, całkowita energia spoczynkowa E q układu (a więc i jego całkowita masa) rośnie, a energia reakcji Q jest ujemna. Dobrym przykładem jest reakcja syntezy, w której dwa jądra wodoru łączą się w jedno jądro, czemu towarzyszy emisja dwóch cząstek. Całkowita energia spoczynkowa (a więc i całkowita masa) powstałego jądra i dwóch wyemitowanych cząstek jest mniejsza niż całkowita energia spoczynkowa (a więc i całkowita masa) dwóch jąder wodoru. Oznacza to, że energia Q reakcji syntezy jest dodatnia i dlatego mówimy, że w reakcji energia jest wyzwalana (zmienia się w inne formy kosztem energii spoczynkowej). Ma to dla nas wszystkich niezmiernie ważne konsekwencje, ponieważ synteza jąder wodoru we wnętrzu Słońca jest jednym z procesów, dzięki którym mamy światło słoneczne na Ziemi i może na niej rozwijać się życie.

Energia kinetyczna W rozdziale 7 powiedzieliśmy, że energia kinetyczna E k ciała o masie m i pręd­ kości v dużo mniejszej od prędkości światła c wyraża się wzorem E k = | m v 2.

(38.48)

To nierelatywistyczne równanie jest dobrym przybliżeniem tylko wtedy, kiedy prędkość ciała jest naprawdę dużo mniejsza od prędkości światła. Spróbujmy teraz znaleźć wyrażenie na energię kinetyczną, które będzie praw­ dziwe dla każdej fizycznie dozwolonej prędkości. Rozwiązując równanie (38.44) względem £ k, a następnie podstawiając do niego wartość E$ z równania (38.4), otrzymamy

Ek = E —m c 2 = y m c 2 — m c 2 = m c2( y — 1)

(energia kinetyczna),

(38.49)

gdzie y ( = \ / y / \ — ( v / c )2) jest współczynnikiem Lorentza. Na wykresie z rysunku 38.14 przedstawiono zależność energii kinetycznej elektronu od stosunku v / c w przypadku poprawnej definicji (równanie (38.49)) oraz w przybliżeniu nierelatywistycznym. Zwróćmy uwagę, że w lewej części wykresu — w obszarze małych prędkości, dla których do tej pory obliczaliśmy energię kinetyczną — obydwie krzywe się pokrywają. Widzimy, że w tym zakre­ sie prędkości mieliśmy pełne prawo posługiwać się przybliżeniem nierelatywi­ stycznym (38.48). Jednak w prawej części wykresu — kiedy prędkość ciała zbliża

Rys. 38 .14. E nergia kinetyczna elektronu w ujęciu relatyw istycznym (równanie (38.49)) i nierelatywistycznym (równanie (38.48)) w ykreślona w zależności od stosunku v /c , gdzie v jest prędkością elektronu, a c — prędkością światła. Z w róćcie uwagę, że obydwie krzywe pokryw ają się dla małych prędkości i zupełnie rozbiegają się dla wielkich prędkości. N a­ niesione punkty pomiarowe (oznaczone sym bolem x ) pokazują, że dla wielkich prędkości z wynikam i dośw iadczenia zgadza się krzyw a relatyw istyczna

3 8 .12 . N ow e spojrzenie

na energię

175

się do c — obydwie krzywe się rozbiegają. Gdy stosunek v / c zbliża się do jedno­ ści, krzywa dla przypadku nierelatywistycznego wznosi się powoli, podczas gdy linia wyznaczona na podstawie wzoru relatywistycznego pnie się bardzo stromo do góry, dążąc do nieskończoności dla ( v / c ) —> 1. Widzimy więc, że jeżeli prędkość ciała jest bliska prędkości światła c, to, obliczając energię kinetyczną, musimy korzystać ze wzoru (38.49). Na podstawie rysunku 38.14 możemy też wnioskować o pracy, jaką trzeba wykonać, aby zwiększyć prędkość ciała na przykład o 1%. Praca jest równa zmianie energii kinetycznej A ciała. Jeżeli zmiana dokonuje się w zakresie małych prędkości (lewa strona wykresu), to wymagana praca jest niewielka. Jeżeli jednak zmiana zachodzi w zakresie wielkich prędkości (prawa strona wykresu), to potrzebna praca może mieć olbrzymią wartość, ponieważ energia kinetyczna wzrasta bardzo szybko wraz z prędkością. Nadanie ciału prędkości światła c wymagałoby przekazania mu nieskończonej energii i dlatego nie jest możliwe. Energię kinetyczną elektronów, protonów i innych cząstek podaje się zwykle w elektronowoltach lub ich wielokrotnościach. Często mówiąc o energii kinetycz­ nej cząstek, pomijamy określenie „kinetyczna”; o elektronie, który ma energię kinetyczną 20 MeV, mówimy krótko — elektron o energii 20 MeV.

Pęd a energia kinetyczna W fizyce nierelatywistycznej pęd p cząstki wyraża się wzorem m v, a energia kinetyczna Ek wzorem ~ m v2. Eliminując prędkość v z obydwu tych wyrażeń, można wyznaczyć zależność między pędem a energią kinetyczną: (nierelatywistycznie).

p 2 = 2 E km

(38.50)

Podobną zależność można otrzymać w mechanice relatywistycznej, eliminując prędkość v ze wzoru na pęd (38.38) i energię kinetyczną (38.49). Po dokonaniu niezbędnych przekształceń otrzymujemy równanie ( p c j 2 = E l + 2 E km c 2.

(38.51)

Korzystając z równania (38.44), możemy powyższe równanie przekształcić tak, aby wyrażało zależność między pędem p a całkowitą energią E cząstki: E 2 = (p c f + (mc2)2.

(38.52)

Zapamiętanie tych użytecznych zależności może ułatwić diagram w kształcie trójkąta prostokątnego przedstawiony na rysunku 38.15. Spróbujcie wykazać, że we wspomnianym trójkącie, sin0=/S

i

cos 0 = l / y .

(38.53)

Rys. 38 .15. D iagram ułatwiający zapam iętanie relatywistycznych zależności między energią całkow itą E , energią spoczynkową m c 2, energią kinetyczną i pędem p

Z równania (38.52) wynika, że iloczyn p c musi być wyrażany w tych sa­ mych jednostkach co energia E\ dlatego można przyjąć, że jednostką pędu p jest jednostka energii E podzielona przez prędkość światła c. W praktyce, w fizyce cząstek elementarnych pęd często podaje się w jednostkach MeV/c lub GeV/c.

SPRAWDZIAN 5 : Czy a) energia kinetyczna i b) całkowita energia elektronu „o ener­ gii ł G eV ” jest większa, m niejsza, czy taka sama, ja k protonu „o energii 1 G eV ” ?

Przykład 3 8 .6

(wynik zgodny z tabelą 38.3). Z równania (38.54) obliczam y E = 0,511 M eV + 2,53 M eV = 3,04 M eV.

a) Ile w ynosi całkowita energia E elektronu o energii 2,53 M eV?

(odpowiedź)

ROZWIĄZANIE:

b) Jaka jest w artość pędu p elektronu, wyrażona w jednostkach M eV/c?

Zauważmy, że O t równanie (38.44) pozw ala w yrazić całkowitą energię E elektronu jako sumę jego energii spoczynkowej m c 2 i energii kinetycznej:

ROZWIĄZANIE:

E = m c2 + Ek.

Zauważmy, że O —» pęd p obliczymy z równania (38.52)

(38.54)

Określenie elektron „o energii 2,53 M eV ” w treści zadania ozna­ cza, że to energia kinetyczna elektronu jest równa 2,53 MeV. Aby obliczyć energię spoczynkową m c 2 elektronu, m usimy odnaleźć w dodatku B m asę elektronu. W ykonawszy obliczenia, otrzym am y

E 2 = (p c )2 + (m c2)2, jeżeli będziem y znać energię całkowitą E i energię spoczynkową m c 2. Rozwiązując to równanie względem p c , otrzym am y p c = y jE 2 — (m c2)2

m c 2 = (9,109 • 10“ 31 kg) (2,998 ■108 m /s ) 2

= 7 ( 3 ,0 4 M eV )2 - (0,511 M eV )2 = 3 M eV.

= 8,187 • 10“ 14 J.

Dzieląc teraz obydwie strony równania przez c, stwierdzamy, że

Jeżeli podzielim y ten w ynik przez 1,602-10~13 J/MeV, otrzym am y 0,511 MeV, czyli w artość energii spoczynkowej elektronu w M eV

Przykład 3 8 .7 Proton o największej zmierzonej kiedykolw iek energii kinetycznej dotarł na Ziem ię wraz z innymi cząstkam i składającym i się na prom ieniowanie kosmiczne. Jego zdumiewająco w ielka energia kinetyczna 3 - 1020 eV była dostatecznie duża, aby ogrzać łyżeczkę wody o kilka stopni. a) Ile w ynosi współczynnik L orentza y i prędkość v protonu o wspomnianej energii (wartości należy podać względem detek­ tora znajdującego się na Ziem i)?

p = 3 M eV /c.

(odpowiedź)

protonu podanej w dodatku B, tak jak zrobiliśmy to dla elek­ tronu w przykładzie 38.6a. Stwierdzamy, że wartość m c 2 wynosi 938 M eV (w ynik zgodny z tabelą 38.3). Podstawiając wartość energii spoczynkowej i energii kinetycznej do równania (38.55), mamy 3 ■1020 eV Y = 1+ ; 938 • 106 eV (odpowiedź)

= 3 ,1 9 8 - 1011 = s3 ,2 - 101

O —» 1. W spółczynnik L orentza y dla protonu występuje w rów­ naniu (38.45) (E = y m c 2), które wiąże energię całkow itą E z energią spoczynkową m c 2.

W artość y jest tak duża, że prędkości v nie m ożna obliczyć, po­ sługując się wprost definicją w spółczynnika Lorentza w postaci równania (38.8). Łatwo się o tym przekonać, próbując wykonać obliczenia za pom ocą kalkulatora. Okaże się, że param etr f) jest praktycznie równy 1, a więc prędkość v jest równa c. Istotnie prędkość u jest bardzo bliska c, ale chcemy uzyskać dokładniej­ szy wynik. D latego rozwiążem y równanie (38.8) względem 1 - /6 . Zaczniemy od zapisania w zoru na w spółczynnik Lorentza w po­

O—w2.

staci

ROZWIĄZANIE: Zauważmy, że:

E nergia całkowita protonu jest sum ą jego energii spo­ czynkowej m c 2 i (podanej) energii kinetycznej E^. Zapisując oby­ dwa te spostrzeżenia w postaci jednego równania, otrzym ujem y Ek Y =

m cA

m cA

= 1+ -% . m cz

1

1

1

Y =

(38.55)

Energię spoczynkową m cA m ożemy obliczyć, korzystając z masy

W ykorzystaliśm y tu fakt, że w artość p jest bardzo bliska jedności, a w ięc l + p jest prawie równe 2. Prędkość, którą chcemy obliczyć,

3 8 .12 . N ow e spojrzenie na energię

177

jest ukryta w członie 1 —/i. Rozwiązując równanie względem tego wyrazu, otrzym am y

1

1

1

2y 2

2(3,198 - 1011)'

= 4,9 ■1(T24 ^ 5 ■1(T24.

Jak widać ,8 = 1 - 5 - 1(T24. Ponieważ v = fic, więc V

SS 0,999 999 999 999 999 999 999 995c.

(odpowiedź)

b) W yobraźmy sobie, że nasz proton porusza się po średnicy Drogi M lecznej (9,8 • 104 lat świetlnych). Ile czasu — w układzie odnie­ sienia związanym z Ziem ią i D rogą M leczną — zajm ie protonowi pokonanie tej drogi?

ROZWIĄZANIE: Przekonaliśm y się, że ten ultrarelatywistyczny proton porusza się z prędkością nieznacznie m niejszą od prędkości światła. O*“ » Z definicji roku św ietlnego wynika, że jest to odległość, którą św iatło pokonuje w ciągu 1 roku. W idzimy, że przebycie odle­ głości 9,8 • 104 lat świetlnych zajm ie św iatłu 9,8 • 104 lat. In­ teresujący nas proton przebędzie tę odległość w łaściw ie w takim samym czasie. W układzie odniesienia Z iem ia-D roga M leczna podróż protonu będzie trwać A t = 9,8 ■104 a.

(odpowiedź)

c) Jak długo będzie trwać ta sam a podróż według pom iaru w u k ła ­ dzie odniesienia zw iązanym z protonem ?

P ostulaty Stworzona przez Einsteina szczególna teoria względ­ ności jest oparta na dwóch postulatach: 1.

Prawa fizyki są takie same dla obserwatorów we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Żaden z układów nie jest wyróżniony.

2.

Prędkość św iatła w próżni m a taką sam ą wartość c we wszystkich kierunkach i we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Prędkość św iatła c w próżni jest prędkością graniczną, której nie m oże przekroczyć żadne ciało niosące energię lub informację. W spółrzędne zd a rze n ia

Zdarzenie jest określone przez trzy

w spółrzędne przestrzenne i jedną w spółrzędną czasową. D o zadań szczególnej teorii w zględności należy m iędzy innymi ustalanie związków m iędzy współrzędnym i, przypisywanym i zdarzeniom przez obserwatorów poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym .

1 78

38. Teoria względności

ROZWIĄZANIE: Aby odpowiedzieć na to pytanie, powinniśm y dostrzec, że: Ot 1. W zadaniu m am y do czynienia z pom iaram i w dwóch (inercjalnych) układach odniesienia: pierw szym zw iązanym z Z ie­ m ią oraz D rogą M leczną i drugim związanym z protonem . Ot 2. W zadaniu m ożna wskazać dwa zdarzenia: pierw szym jest przejście protonu przez początek odcinka uznawanego za śred­ nicę D rogi M lecznej, a drugim — przejście protonu przez koniec tego odcinka. O*“ t 3. Odstęp czasu m ierzony w układzie odniesienia zw ią­ zanym z protonem jest czasem własnym Aio, ponieważ w tym układzie odniesienia obydwa zdarzenia zachodzą w tym samym m iejscu — tam, gdzie znajduje się proton. O r r 4. Odstęp czasu Atg w układzie związanym z protonem m ożna obliczyć, znając odstęp czasu w układzie Z iem ia-D roga M leczna, korzystając w tym celu z równania (38.9) (A r = y A to ), które opisuje dylatację czasu. Rozwiązując równanie (38.9) w zględem Aio i podstawiając doń w artość y obliczoną w punkcie (a) oraz wartość A t obliczoną w punkcie (b), otrzym am y At A i° ~ y

9,8 • 104 a ~~ 3,198 ■1011

= 3,06 • 1 0 -7 a = 9,7 s.

(odpowiedź)

W naszym układzie odniesienia podróż protonu trwa 98 000 lat. W układzie odniesienia związanym z protonem zajmuje ona za­ ledw ie 9,7 s! Jak m ówiliśmy już na sam ym początku rozdziału, ruch w zględny m oże zm ienić szybkość, z jak ą płynie czas, i teraz napotkaliśm y ekstrem alny przykład takiej zmiany.

Z d a rze n ia je d n o c ze sn e Dwaj obserwatorzy, którzy poruszają się w zględem siebie, nie będą na ogół zgodni co do jednoczesności zdarzeń. Jeżeli jeden z obserwatorów stwierdza, że dwa zdarzenia zachodzą jednocześnie w różnych m iejscach, drugi ob­ serw ator będzie innego zdania i na odwrót. Jednoczesność nie jest pojęciem absolutnym , lecz względnym , zależnym od ruchu obserwatora. W zględność jednoczesności jest bezpośrednią kon­ sekwencją skończonej prędkości granicznej c.

D ylatacja czasu Jeżeli dwa zdarzenia zachodzą w inercjalnym układzie odniesienia w tym sam ym m iejscu, to dzielący je od­ stęp czasu Aio, m ierzony za pom ocą jednego zegara znajdującego się w m iejscu tych zdarzeń, nazywam y czasem własnym m iędzy zdarzeniami. Obserwatorzy w układach odniesienia poruszających się względem tego układu zm ierzą większy odstęp czasu między tymi sam ym i zdarzeniami. Obserw ator poruszający się z prędko­ ścią w zględną v zm ierzy odstęp czasu równy

At =

A/o

Af0 = = —= = V 1 - (u /c )2

= y A f0

=

(dylatacja czasu).

< 38J0)

(38.7-38.9)

Jeżeli źródło zbliża się do detektora, to znaki przy fi w równaniu

Param etr ¡3 = v /c w yraża prędkość w zględną w jednostkach c, a param etr y = 1/ ^ l — fi2 jest nazywany współczynnikiem Lo­

(38.30) trzeba zmienić na przeciwne. W astronom ii m ierzy się zwykle długości fali. D la prędkości dużo mniejszych niż c równanie (38.30) sprowadza się do

rentza. S k ró c en ie d łu g o śc i Długość Lq pew nego ciała zm ierzona przez obserw atora w inercjalnym układzie odniesienia, w którym ciało to spoczywa, jest nazywana długością własną lub długością spo­ czynkową. Obserwatorzy w układach odniesienia poruszających się względem tego układu, w kierunku równoległym do m ierzonej długości, zm ierzą mniejszą długość ciała. Obserw ator poruszający się z prędkością względną v zm ierzy długość równą L = L a s /1 — j62 = — Y

(skrócenie długości).

AX v = — c,

gdzie AA. oznacza przesunięcie dopplerowskie (zmianę) długości fali spowodowane ruchem względnym. P oprzeczne zja w isko D opplera Jeżeli ruch źródła fali świetlnej odbywa się prostopadle do linii łączącej źródło i detektor, to wzór na obserwow aną częstość fali m a postać

(38.13)

Transform acja L o ren tza Transform acja Lorentza wiąże ze sobą w spółrzędne czasoprzestrzenne pewnego zdarzenia zarejestrowa­ nego przez obserwatorów w dwóch inercjalnych układach odnie­ sienia, S i S', przy czym układ S' porusza się względem S z pręd­ kością v w dodatnim kierunku osi x i x ' . Cztery współrzędne są powiązane następującym i równaniami:

v = v0J l - p 2.

P ęd i en erg ia N astępujące definicje pędu p , energii kinetycz­ nej Ą i energii całkowitej E cząstki o m asie m obow iązują dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości: p = ym v

z = z,

E k = m c 2(y — 1) (38.20)

t' = y ( t — v x / c 2) W zględność p rę d k o śc i Jeżeli cząstka porusza się z prędkością u' w dodatnim kierunku osi x ' inercjalnego układu odniesienia S ', który sam porusza się z prędkością v rów nolegle do osi x innego inercjalnego układu S, to prędkość cząstki u zm ierzona w układzie S będzie równa u' + v U =

-----------------------r

1 + u ’v /c 2

(pęd),

(38.39)

E = m c 2 + E-^ = y m c 2 (transform acja Lorentza; prawdziwa dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości).

(relatywistyczna ^

transform acja prędkości).

(p o .Z o J

R ela tyw istyczn e zja w isko D opplera Jeżeli źródło em itujące fale św ietlne o częstości vo oddala się od detektora ze w zględną pręd­ kością radialną v (fi = v /ć ), to częstość fali zarejestrowana przez detektor będzie równa

(38.34)

Poprzeczne zjawisko Dopplera jest przejaw em dylatacji czasu.

x ' = y ( x — v t), y' _ y

(38.33)

(energia całkowita), (38.44, 38.35)

(energia kinetyczna).

(38.49)

W tym przypadku y oznacza w spółczynnik Lorentza związany z ruchem cząstki, a m c2 jest energią spoczynkową związaną z jej masą. W ychodząc z tych równań, m ożna otrzym ać zależności łączące energię całkowitą, energię kinetyczną i pęd ( p c f = E l + 2 E km c 2

(38.51)

E 2 = (p c )2 + (m c2)2.

(38.52)

oraz

E nergia reakcji Q dla układu cząstek, w którym zachodzi reak­ cja chem iczna lub jądrow a, jest równa zm ianie całkowitej energii spoczynkowej układu ze znakiem minus: Q = MpoczC2 - M k0licc2 = - A M c 2,

(38.47)

gdzie Aip0cz i Mk0ńc oznaczają całkowitą m asę układu przed i po reakcji.

a sm

Pytania

BIB

1. Statek A (rys. 38.16) wysyła impuls laserowy w kierunku zbli­ żającego się statku B , w tym samym czasie, kiedy statek zw ia­ dowczy C się oddala. W szystkie zaznaczone prędkości zostały zm ierzone w tym sam ym układzie odniesienia. U szereguj statki według w artości prędkości impulsu (zaczynając od najw iększej) zmierzonej z ich pokładów.

0,4c

0,3c

0,5c

Rys. 3 8 .1 6 . Pytania 1 i 7

Pytania

179

2 . N a rysunku 38.17a przedstawiono dwa zegary w nieruchom ym układzie odniesienia S (w układzie tym zegary są ze sobą zsyn­ chronizowane) oraz jeden zegar w poruszającym się układzie S'. Zegary Z \ i Z\ mijając się, w skazują zero. N ieco później m ijają się zegary Z\ i Z2. a) Który z nich wskaże wtedy w cześniejszą chwilę i b) który m ierzy czas własny? 3 . Na rysunku 3 8 .17b przedstawiono dwa zegary w nieruchom ym układzie odniesienia S’ (w układzie tym zegary są ze sobą zsyn­ chronizowane) oraz jeden zegar w poruszającym się układzie S. Z egary Z \ i Z \ mijając się, w skazują zero. N ieco później m ijają się zegary Z \ i Z ’2. a) Który z nich wskaże wtedy w cześniejszą chwilę i b) który m ierzy czas własny? S’

S'

—

cP

b) Rys. 3 8 .1 7. Pytania 2 i 3 4 . Jacek opuszcza W enus na pokładzie statku udającego się na M arsa i m ija przebywającą na Ziem i Agatę z prędkością w zględną 0,5c. a) Jacek i Agata m ierzą czas trwania podróży z W enus na M arsa. Kto m ierzy czas własny — Jacek, Agata czy m oże żadne z nich? b) W trakcie podróży Jacek w ysyła w kierunku M arsa im puls świetlny. Jacek i Agata m ierzą czas podróży impulsu. Kto z nich m ierzy czas własny? 5 . N a rysunku 38.18 przedstawiono statek (z jeg o pokładem jest związany układ odniesienia S'), który mija nas (układ odniesie­ nia S). Na statku wystrzelono proton, który porusza się z prędko­ ścią bliską prędkości św iatła w zdłuż statku od części przedniej do tylnej, a) Czy odległość przestrzenna A x' m iędzy m iejscem w y­ strzelenia protonu a m iejscem jego trafienia w ścianę statku m a w artość dodatnią, czy ujem ną? b) Czy odstęp czasu A t' dzielący obydwa te zdarzenia m a wartość dodatnią, czy ujem ną?

proton -

1

-x '

dwa zdarzenia zaszły jednocześnie i w tym samym m iejscu. Czy wszyscy obserw atorzy stwierdzą, że zdarzenia te są jednoczesne? c) Czy wszyscy obserw atorzy stwierdzą, że zaszły one w tym sam ym m iejscu? 7 . Statki A i B (rys. 38.16) poruszają się naprzeciw siebie po jednej linii. Podane na rysunku prędkości zostały zm ierzone w tym samym układzie odniesienia. Czy prędkość statku A względem statku B jest w iększa niż 0,7c, m niejsza niż 0,7c, czy rów na 0,7c l 8. Na rysunku 38.19 przedstawiono jeden z czterech krążowników gwiezdnych, które uczestniczą w wyścigu. Gdy krążowniki m ijają linię startu, od każdego z nich oddziela się m ały wahadłowiec, który m knie do mety. W yobraź sobie, że pełnisz funkcję sędziego i znajdujesz się w spoczynku względem linii startu i mety. P ręd­ kości i \ krążowników m ierzone w zględem ciebie i prędkości vw wahadłowców m ierzone w zględem statku macierzystego w ynoszą odpowiednio: 1) 0,7c i 0,4c, 2) 0,4c i 0,7c, 3) 0,2c i 0,9c oraz 4) 0,5c i 0,6c. a) Nie w ykonując pisem nych obliczeń, uszereguj w a­ hadłow ce według ich prędkości w zględem ciebie, zaczynając od największej wartości, b) N ie w ykonując pisemnych obliczeń, usze­ reguj wahadłowce według odległości, jakie zm ierzą ich piloci od linii startu do linii mety, zaczynając od największej uzyskanej war­ tości. c) Każdy z krążowników w ysyła do swojego wahadłowca sygnał o pewnej częstości v0 m ierzonej na pokładzie krążownika. Nie przeprowadzając pisemnych obliczeń, uszereguj wahadłowce według częstości, jak ą zaobserw ują ich załogi, począwszy od naj­ większej wartości.

«k

i i linia startu

linia mety

Rys. 38.19. Pytanie 9 . W yobraź sobie, że na pokładzie statku kosm icznego odbie­ rasz sygnały pochodzące z czterech wahadłowców, które po linii prostej albo zbliżają się do ciebie, albo się oddalają. W szystkie sygnały m ają taką sam ą częstość w łasną vo. W artości i kierunki prędkości wahadłowców (zm ierzone względem ciebie) wynoszą: a) 0,3c, zbliża się, b) 0,6c, zbliża się, c) 0,3c, oddala się, d) 0,6c, oddala się. Uszereguj wahadłowce według częstości, którą odbie­ rasz, zaczynając od największej wartości.

Rys. 38.18. Pytanie 5 6 . W yobraź sobie, że obserwator w układzie S' (rys. 38.9) stwier­ dza, że dwa zdarzenia zaszły w tym samym m iejscu (powiedzmy w punkcie x '), ale w różnym czasie. Czy jest możliwe, aby ob­ serwator w układzie S również stwierdził, że zdarzenia te za­ szły w tym samym m iejscu? b) Pewien obserw ator stwierdza, że

180

38. Teoria względności

1 0 . E nergia spoczynkowa i energia całkowita trzech cząstek, w y­ rażona jako w ielokrotność pewnej wielkości A w ynosi odpow ied­ nio: 1) A, 2A; 2) A, 3A; 3) 3A, 4A. Nie wykonując pisemnych obliczeń, uporządkuj cząstki według: a) masy, b) energii kine­ tycznej, c) czynnika Lorentza i d) prędkości, za każdym razem zaczynając od największej wartości.

vv ,v v Rozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod­ ręcznika: http://w ww.wiley.com /college/hrw iiw Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej, wykorzystującej oprogram owanie Interactive LearningW are (na tej samej stronie)

Ziem i, poruszając się ze stałą prędkością po linii prostej, a następ­ nie w racać z taką sam ą stalą prędkością. Chciałbyś, aby Z iem ia w chwili twojego powrotu była o 1000 lat starsza, a) Z jak ą pręd­ kością powinieneś podróżować? b) Czy ważne jest, aby podróż odbywała się po linii prostej? Załóżmy, że podróżujesz przez rok po okręgu. Czy w chwili powrotu również okaże się, że zegary um ieszczone na Ziem i odm ierzyły 1000 lat?

3 8 .2 P o s t u l a t y

3 8 .6 W zględność długości

1. U kład odniesienia związany z laboratorium , nawet jeżeli pom i­ nąć ruch obrotowy i orbitalny Ziem i, nie jest dokładnie układem inercjalnym , poniew aż um ieszczona w nim spoczywająca cząstka nie będzie pozostawać w spoczynku, lecz zacznie spadać. C zę­ sto jednak zdarzenia zachodzą tak szybko, że m ożna zaniedbać przyspieszenie grawitacyjne i uznać taki układ za inercjalny. Jako przykład rozważm y elektron poruszający się z prędkością 0,992c, który wchodzi poziom o do znajdującej się w laboratorium ko­ mory. W jej w nętrzu elektron pokonuje odległość 20 cm. a) Jak długo będzie trwać podróż elektronu w kom orze? b) Jaką drogę w kierunku pionowym przebędzie w tym czasie elektron? Czy w tym przypadku m ożna byłoby uznać laboratorium za inercjalny

7 . Pręt rów noległy do osi x układu odniesienia S porusza się w zdłuż tej osi z prędkością 0,63c. Jego długość spoczynkowa w ynosi 1,7 m. Jaką długość zmierzy obserw ator w układzie odniesienia 5?

układ odniesienia? 2 . Jaki ułam ek prędkości św iatła stanowią podane dalej pręd­ kości (jaką w artość m a param etr /i)? a) Typowa prędkość dryfu kontynentów (3 cm/rok), b) M aksym alna prędkość na autostra­ dzie (90 km /h), c) Prędkość sam olotu naddźwiękowego o licz­ bie M acha 2,5 (1200 km /h), d) Prędkość ucieczki ciał z po­ wierzchni Ziem i, e) Typowa prędkość oddalania się odległego kw azara (3 ■104 km/s).

8 . Elektron, którego prędkość wyraża param etr fi = 0,999987, porusza się w zdłuż osi rury próżniowej, której długość zm ierzona przez spoczywającego w zględem niej obserw atora S w ynosi 3 m. Obserw ator S', który spoczywa w zględem elektronu, tw ierdzi, że rura porusza się w zględem niego z prędkością v ( = fic). Jaką długość rury zm ierzy obserw ator 5'? 9 . Pręt o długości 1 m w układzie S' tworzy kąt 30° z osią x '. Załóżmy, że układ S' porusza się równoległe do osi x układu odniesienia S z prędkością w zględną 0,9c. Jaką długość pręta zm ierzy obserw ator spoczywający w układzie S? 1 0 . Długość statku kosm icznego zm ierzona przez pewnego ob­ serwatora jest rów na dokładnie połowie jeg o długości spoczynko­ wej. a) Ile wynosi prędkość (w jednostkach c) statku względem obserw atora dokonującego pom iaru? b) Ile razy wolniej biegnie czas odm ierzany przez zegary um ieszczone na statku niż czas od­ m ierzany przez zegary w układzie związanym z obserwatorem prowadzącym pom iar?

3 8 .5 W zględność czasu 3 . Zm ierzony średni czas życia spoczywających m ionów wynosi 2.2 (is. Z m ierzono też, że średni czas życia prędkich m ionów w obserwowanej na Ziem i w iązce prom ieniowania kosm icznego jest równy 16 |is. Oblicz, jak ą prędkość w zględem Ziem i mają miony w w iązce prom ieniowania kosm icznego. 4 . Jaką w artość m a param etr fi, jeżeli współczynnik Lorentza y jest równy a) 1,01, b) 10, c) 100 i d) 1000? 5 . N ietrw ała cząstka o dużej energii pozostaw iła w detektorze ślad o długości 1,05 mm, a następnie uległa rozpadowi. Prędkość cząstki w zględem detektora wynosi 0,992c. Ile wynosi własny czas życia cząstki, to znaczy, ja k długo żyłaby cząstka spoczyw a­ jąc a względem detektora? 6 . W yobraź sobie, że chcesz odbyć wycieczkę statkiem kosm icz­ nym. W trakcie podróży będziesz przez 6 m iesięcy oddalać się od

1 1 . R akieta o długości 130 m m ija stację pom iaru czasu z prędko­ ścią 0,74c. a) Jaką długość rakiety zm ierzy obserw ator znajdujący się na stacji? b) Jaki odstęp czasu między m inięciem stacji przez początek i koniec rakiety zm ierzy zegar um ieszczony na stacji? 1 2 . a) Czy jest m ożliwe, aby człowiek w przeciętnym czasie swojego życia m ógł przebyć odległość dzielącą Z iem ię od środka Galaktyki rów ną około 23 000 lat świetlnych? Uzasadnienie po­ przyj argumentam i odw ołującym i się do dylatacji czasu i skró­ cenia długości, b) Jaką stałą prędkość trzeba by rozwinąć, aby podróż trw ała 30 lat (według czasu własnego)? 1 3 . Kosmiczny obieżyśw iat w yrusza z Ziem i z prędkością 0,99c w kierunku gw iazdy W ega znajdującej się w odległości 26 lat świetlnych. Jaki czas odm ierzą zegary um ieszczone na Ziem i do chwili, a) kiedy podróżnik osiągnie cel podróży i b) kiedy na Z iem ię dotrze jego wiadom ość o tym zdarzeniu? c) Ile wynosi czas podróży na Wegę obliczony nrzez obserwatorów na Ziem i w układzie odniesienia podróżnik

Z adania

181

38.8 Kilka wniosków z równań Lorentza

38.9 Względność prędkości

1 4 . O bserw ator S stwierdza, że zdarzenie nastąpiło na osi x jego

2 1 . Cząstka porusza się w zdłuż osi x ’ układu S' z prędkością 0,4c. U kład S' porusza się z prędkością 0,6c w zględem układu S. Jaką prędkość cząstki zm ierzy obserw ator w układzie S?

układu odniesienia w punkcie x = 3 • 108 m i w chwili t = 2,5 s. a) Obserw atorka w układzie S' porusza się wraz ze swoim ukła­ dem w dodatnim kierunku osi x z prędkością 0,4c. Początki oby­ dw u układów odniesienia pokryw ają się (x = x ' = 0) w chwili t = t ’ = 0. Jakie współrzędne zdarzenia poda obserw atorka 5'? b) Jakie w spółrzędne podałaby obserwatorka, gdyby poruszała się w ujem nym kierunku osi x z taką sam ą prędkością? 1 5 . Obserw ator S twierdzi, że w spółrzędne pew nego zdarzenia są równe x = 100 km

i

t = 200 (xs.

Jakie są w spółrzędne tego zdarzenia w układzie S', który porusza się względem S w dodatnim kierunku osi x z prędkością 0,95c? Przyjmij, że w chwili t = t' = 0 m am y x = x ' = 0. 1 6 . U kład inercjalny S ’ porusza się z prędkością 0,6c względem układu odniesienia S (rys. 38.9). Początki obydwu układów od­ niesienia pokryw ają się (x = x ' = 0) w chwili t = t' = 0. Rejestrujem y dwa zdarzenia. W układzie S zdarzenie 1 zachodzi w początku układu w chwili t = 0, a zdarzenie 2 — na osi x w punkcie o współrzędnej x = 3 km i w chwili t = 4 (is. Jakie w spółrzędne czasowe obydwu tych zdarzeń poda obserw ator 5'? Wyjaśnij różnicę w kolejności zdarzeń w różnych układach. 1 7 . Eksperym entator w yzw ala jednocześnie dwie lam py bły­ skowe, czego skutkiem jest silny błysk w początku jego układu w spółrzędnych oraz slaby błysk w odległości x = 30 km. Obser­ w ator poruszający się z prędkością 0,25c w dodatnim kierunku osi x również w idzi błyski, a) Jaki jest według niego odstęp czasu m iędzy błyskam i? b) K tóry błysk według obserw atora nastąpił wcześniej? 1 8 . Obserw ator S widzi silny błysk w odległości 1200 m i słaby błysk w odległości o 720 m m niejszej, dokładnie w kierunku sil­ nego błysku. Stwierdza on ponadto, że silny błysk był pierwszy, a odstęp czasu m iędzy obydwom a błyskam i w yniósł 5 (is. Ile w ynosi w zględna prędkość v (podaj wartość i kierunek) obserw a­ tora S', który stwierdził, że w jeg o układzie odniesienia obydwa błyski nastąpiły w tym sam ym m iejscu? b) Który błysk według obserw atora S' nastąpił pierw szy? c) Jaki odstęp czasu między błyskam i zm ierzył obserw ator S '? 1 9 . Zegar poruszający się w zdłuż osi x z prędkością 0,6c wskazy­ wał zero w chwili przejścia przez początek układu współrzędnych, a) Oblicz współczynnik Lorentza dla zegara, b) Jaki czas wskaże

2 2 . U kład S 1 porusza się w zględem układu S z prędkością 0,62c w dodatnim kierunku osi x. Prędkość pewnej cząstki zm ierzona w układzie S ' w ynosi 0,47c i m a dodatni kierunek osi x '. a) Ile wynosi prędkość tej cząstki w zględem układu S? Ile w ynosiłaby prędkość cząstki względem układu S, gdyby w układzie S' po­ ruszała się ona z prędkością 0,47c w ujem nym kierunku osi x '? W obydwu przypadkach porównaj uzyskane w yniki z przew idy­ waniam i nierelatywistycznych równań na składanie prędkości. 2 3 . G alaktyka A oddala się od nas z prędkością 0,35c. Galak­ tyka B, która znajduje się dokładnie w przeciw nym kierunku, oddala się od nas z tą sam ą prędkością. Jaką prędkość oddalania się zm ierzy obserw ator znajdujący się w galaktyce A a) dla naszej Galaktyki i b) dla galaktyki B? 2 4 . N a podstawie pom iarów przesunięcia ku czerw ieni św iatła docierającego z kw azara Q\ stwierdzono, że oddala się on od nas z prędkością 0,8c. Kw azar Q i leżący dokładnie w tym sa­ mym kierunku, lecz w m niejszej odległości, oddala się od nas z prędkością 0,4c. Jaką prędkość kw azara Q i zm ierzy obserwator związany z kw azarem g i ? 2 5 . R akieta o długości spoczynkowej 350 m porusza się w pew ­ nym układzie odniesienia z prędkością 0,82c. W zdłuż niej, do­ kładnie w przeciw nym kierunku przelatuje m eteoroid, którego prędkość również wynosi 0,82c. Jak długo, według obserwatora związanego z rakietą, m eteoroid będzie mijać rakietę? iIw v w a v 2 6 . A rm ada statków kosm icznych rozciągająca się na długości 1 roku św ietlnego (w jej układzie spoczynkowym) porusza się z prędkością 0,8c względem stacji naziem nej S. Ze statku znajdu­ jącego się na końcu w yrusza w stronę czoła arm ady kurier lecący z prędkością 0,95c zm ierzoną w zględem stacji S. Jak długo będzie trwać podróż kuriera według zegara a) w układzie spoczynkowym kuriera, b) w układzie spoczynkowym armady, c) znajdującego się na stacji 5?

38.10 Zjaw isko D o p p le ra dla św iatła 2 7 . Statek kosm iczny oddalający się od Ziem i z prędkością 0,9c nadaje kom unikaty na częstości 100 M H z (w układzie odniesienia statku). Na jak ą częstość należy nastroić odbiornik na Ziem i, aby m óc odbierać te kom unikaty?

zegar, mijając punkt x = 180 m? vv/v-' 2 0 . Obserw ator S widzi dwa błyski w takich samych położeniach, ja k w zadaniu 18, ale tym razem w krótszym odstępie czasu. Ile m usiałby w ynosić najm niejszy m ożliwy odstęp czasu m iędzy błyskam i w układzie 5, aby obserw ator S ’ m ógł stwierdzić, że nastąpiły one w tym samym m iejscu?

182

38. Teoria względności

2 8 . N a rysunku 38.20 pokazano, ja k natężenie św iatła dociera­ jącego na Z iem ię z galaktyki NG C 7319 położonej w odległości około 3 • 10 8 lat świetlnych zależy od długości fali. W widm ie dom inuje linia em isyjna tlenu. W laboratorium odpow iada jej dłu­ gość fali X = 513 nm, ale w w idm ie obserwowanym dla galaktyki NGC 7319 w w yniku zjawiska D opplera odpowiada jej długość

fali 525 nm (całe w idm o em isyjne galaktyki NGC 7319 jest prze­ sunięte). a) Ile w ynosi radialna prędkość galaktyki NGC 7319 w zględem Ziem i? b) Czy galaktyka ta zbliża się, czy oddala od naszej planety?

są z dużą dokładnością równe: m (p) = 1, 007825 u,

w (a ) = 4,002603 u,

m (F) = 18,998405 u,

m (O ) = 15,9949 u.

Korzystając z tych danych, oblicz energię reakcji Q. 800 ;!*i AX = + 12 nna

3 7 . U w aża się, że kw azary to jąd ra aktywnych galaktyk na wcze­ snym etapie ich powstawania. M oc emitowana przez typowy kwazar wynosi 1041 W. Z jak ą szybkością ubywa m asa kwazara, który wyprom ieniowuje taką energię? Podaj wynik, przyjm ując za je d ­ nostkę m asę Słońca na rok (m asa Słońca M s jest równa 2-1030 kg).

N G C 7319

długość fa lix : i w laboratorium j

400

3 8 . Jaką pracę trzeba wykonać, aby zwiększyć prędkość elektronu a) od 0,18c do 0,19c i b) od 0,98c do 0,99c? Zwróć uwagę, że w obydwu przypadkach prędkość wzrasta o 0,0 lc.

200

0 400

450

500

550 600 długość fali [nm]

650

700

750

Rys. 38 .2 0 . Z adanie 28 2 9 . Stwierdzono, że długość fali pewnych linii w widm ie galak­ tyki z gw iazdozbioru Panny jest o 0,4% w iększa niż w warunkach laboratoryjnych. Ile w ynosi radialna składowa prędkości tej galak­ tyki w zględem Ziem i? Czy galaktyka ta zbliża się, czy oddala? 3 0 . Oblicz, zakładając, że spełnione jest równanie (38.33), z jak ą prędkością trzeba by jechać przez skrzyżowanie, aby św iatło czer­ wone zobaczyć jako zielone? Przyjmij, że barw ie czerwonej od­ pow iada długość fali 620 nm, a zielonej 540 nm. 3 1 . Statek kosm iczny oddala się od Ziem i z prędkością 0,2c. Pa­ sażerowie w idzą, że lam pa na końcu statku wysyła św iatło barwy niebieskiej (A = 450 nm). Jaka będzie barw a św iatła w idzianego przez obserw atora na Ziem i? ilw w w w

3 8 .1 2 N o w e s p o j r z e n i e na e n e rg ię 3 2 . Jaką pracę trzeba wykonać, aby spoczywającem u elektronowi nadać prędkość: a) 0,5c, b) 0,99c i c) 0,999c? 33. Oblicz w artość param etru ß i w spółczynnika Lorentza y dla elektronu, którego energia kinetyczna wynosi: a) 1 keV, b) 1 MeV, c) 1 GeV. 3 4 . Oblicz w artość param etru ß i w spółczynnika L orentza y dla cząstki, której energia kinetyczna wynosi 10 MeV, jeżeli jest ona: a) elektronem , b) protonem i c) cząstką a ? 3 5 . Ile w ynosi prędkość elektronu (w jednostkach c), jeżeli jego energia kinetyczna wynosi 100 M eV? 3 6 . Stwierdzono, że m asy cząstek uczestniczących w reakcji

p + 19F

a

+ 160

3 9 . Pewna cząstka o m asie m m a pęd o w artości m c. Ile wynosi: a) prędkość cząstki, b) jej współczynnik L orentza i c) energia kinetyczna cząstki? 4 0 . Ile w ynosi prędkość cząstki, której a) energia kinetyczna jest dwukrotnie w iększa od jej energii spoczynkowej i b) energia całkowita jest dwukrotnie w iększa od jej energii spoczynkowej? 4 1 . Jaki pęd m usi m ieć cząstka o m asie m, aby jej energia cał­ kowita była trzy razy w iększa od energii spoczynkowej? ilw 4 2 . a) Jeżeli m ożna wyznaczyć energię kinetyczną £ k cząstki i jej pęd p , to powinno być m ożliwe obliczenie m asy cząstki, a tym samym jej identyfikacja. W ykaż, że (p c f - E\ m = -----------— 1 2Ą c 2 b) Udowodnij, że podane w yrażenie m ożna sprowadzić do do­ brze znanej postaci, kiedy m/c - * 0, gdzie u oznacza prędkość cząstki, c) Oblicz m asę cząstki, której energia kinetyczna wynosi 55 MeV, a pęd 121 M eV/c. Podaj wynik jako wielokrotność masy elektronu m e. 4 3 . Tabletka aspiryny m a m asę 320 mg. Ile kilom etrów można by przejechać sam ochodem , korzystając z energii równoważnej tej m asie? Przyjmij, że 1 litr benzyny pozwala przejechać 12,75 km, a ciepło spalania benzyny używanej w sam ochodach w ynosi 3,65 ■ 107 J/l. 4 4 . Średni czas życia spoczywających m ionów wynosi 2,2 |is. Pom iary w ykonane w laboratorium dla wiązki m ionów z akce­ leratora cząstek wykazały, że średni czas życia m ionów wynosi 6,9 (xs. Ile w ynosi w układzie zw iązanym z laboratorium : a) pręd­ kość mionów, b) ich energia kinetyczna i c) pęd? M asa m ionu jest 207 razy w iększa od m asy elektronu. 4 5 . W zderzeniu wysokoenergetycznej cząstki prom ieniow ana ko­ sm icznego z pew ną cząstką na wysokości 120 km nad poziom em m orza powstał pion. Porusza się on pionowo w dół, a jeg o całko­ w ita energia E w ynosi 1,35 • 105 MeV. Pion w swoim układzie spoczynkowym rozpadł się po 35 ns od chwili powstania. Na jakiej wysokości nad poziom em m orza — według pom iaru w układzie

Z adania

183

zw iązanym z Ziem ią — nastąpił rozpad pionu? E nergia spoczyn­ kowa pionu w ynosi 139,6 MeV. w w w 4 6 . W paragrafie 29.5 wykazaliśmy, że cząstka o ładunku ą i m a­ sie m poruszająca się prostopadle do kierunku jednorodnego pola m agnetycznego o indukcji B biegnie po okręgu o prom ieniu r danym przez równanie (29.16): mv qB W ykazaliśm y także, że okres T obiegu okręgu nie zależy od pręd­ kości cząstki. Uzyskane w yniki są prawdziwe tylko pod w arun­ kiem, że v c. W przypadku cząstek poruszających się z pręd­ kościam i bliskim i c prom ień toru m ożna obliczyć ze w zoru p

ym v

qB

ąb

mv ąB yJl - ß 2 '

Równanie to obowiązuje dla dowolnych prędkości. Oblicz prom ień toru elektronu o energii 10 M eV poruszającego się prostopadle do kierunku jednorodnego pola m agnetycznego o indukcji 2,2 T, ko­ rzystając ze w zoru a) nierelatywistycznego i b) relatywistycznego, c) Oblicz okres obiegu okręgu T = 2 j tr / u , korzystając z relaty­ w istycznego w zoru na prom ień r. Czy uzyskany w ynik nie zależy od prędkości elektronu? 4 7 . Badania jonizacji wykazały, że pewne lekkie jądro ma ładu­ nek 2e i porusza się z prędkością 0,71c. Prom ień krzywizny jego toru w polu m agnetycznym o indukcji 1 T wynosi 6,28 m. (Jądro porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola). O b­ licz m asę jądra i dokonaj jeg o identyfikacji. [W skazów ka: Lekkie jądra są zbudowane z podobnej liczby neutronów (które nie mają ładunku) i protonów (które m ają ładunek + e). Przyjmij, że m asa każdej z tych cząstek jest rów na 1 u. Skorzystaj też z zadania 46],

Oblicz wartość: a) w spółczynnika L orentza y , b) param etru ß i c) indukcji pola m agnetycznego B dla protonu o energii 500 GeV poruszającego się po orbicie o prom ieniu 750 m. (Patrz zada­ nie 46; przyjm ij, że energia spoczynkowa protonu jest równa 938,8 MeV). 5 1 * . Cząstka a o energii kinetycznej 7,7 M eV zderza się ze spoczywającym jądrem 14N. W w yniku reakcji powstaje jądro l70 i proton. Tor protonu o energii kinetycznej 4,44 M eV tworzy kąt 90° z torem padającej cząstki a . M asy cząstek uczestniczących w reakcji są równe: 4,00260 u — cząstka cc; 14,00307 u — jądro 14N; 1,007825 u — proton; 16,99914 u — jądro n O. Jaka jest wartość (w M eV) a) energii kinetycznej jądra tlenu i b) energii reakcji Q ? (W skazów ka: Prędkości cząstek są dużo m niejsze od wartości c).

Zadania dodatkowe 5 2 . Sam ochód w garażu. Pewien sam ochodziarz kupił najdłuższą lim uzynę świata, której długość w łasna Li w ynosi 30,5 m. Na rysunku 3 8 .2 ła pokazano sam ochód zaparkowany przed garażem o długości własnej L g równej 6 m. Garaż m a bram ę wjazdową (na rysunku otwartą) i w yjazdową (na rysunku zam kniętą). Nie ulega wątpliwości, że lim uzyna jest dłuższa niż garaż. W łaściciel garażu, który w ie co nieco na tem at relatyw istycznego skróce­ nia długości, zakłada się z w łaścicielem limuzyny, że m oże się ona zmieścić w garażu przy obydwu zam kniętych bram ach. Sa­ mochodziarz, który zakończył naukę fizyki, nie zaznajam iając się w ogóle z teorią w zględności, twierdzi, że coś takiego jest z gruntu niemożliwe.

4 8 . Proton o energii 10 GeV pochodzący z prom ieniow ania ko­ sm icznego porusza się w polu magnetycznym Ziem i o indukcji B z prędkością v skierowaną prostopadle do ß , w obszarze, w któ­ rym średnia w artość indukcji w ynosi 55 [iT. Ile w ynosi prom ień krzywizny toru protonu w tym obszarze? (Patrz zadanie 46). 4 9 . Elektron o energii 2,5 M eV porusza się prostopadle do kie­ runku pola m agnetycznego po torze o prom ieniu krzywizny 3 cm. Jaka jest w artość indukcji pola m agnetycznego B? (Patrz zada­

a)

nie 46). 5 0 . Synchrotron w laboratorium im. Ferm iego przyspiesza pro­ tony, nadając im energię kinetyczną 500 GeV. Przy tak dużej ener­ gii efektów relatywistycznych nie m ożna pom inąć. W szczególno­ ści wraz ze wzrostem prędkości protonu czas potrzebny na poko­ nanie kołowej orbity w synchrotronie także wzrasta. W cyklotro­ nie, w którym indukcja pola m agnetycznego i częstość generatora m ają stałe wartości, efekt w ynikający z dylatacji czasu sprawiłby, że zanikłaby synchronizacja m iędzy czasem obiegu orbity przez proton a częstością generatora, zatem nie następowałoby przyspie­ szenie protonu przy kolejnych przejściach przez szczelinę i proton nie osiągnąłby energii 500 GeV. W synchrotronie zm ienia się za­ równo indukcja pola m agnetycznego, jak i częstość generatora, tak aby efekt dylatacji czasu skompensować.

184

38. Teoria względności

Ib)

c)

Rys. 3 8 .2 1 . Z adanie 52

Aby prześledzić rozum ow anie w łaściciela garażu, zwiążm y oś x\ z lim uzyną tak, aby jej początek x\ = 0 pokryw ał się z jej tylnym zderzakiem. Oś x g zwiążem y z garażem tak, aby punkt x g = 0 pokryw ał się z przednią (otwartą) bramą. W łaściciel lim uzyny m a jechać nią na w prost bramy wjazdowej z prędkością 0,998c (co jest oczyw iście niem ożliwe ze względów technicznych i finansowych).

W łaściciel lim uzyny spoczywa w układzie odniesienia związanym z osią x\, a w łaściciel garażu w układzie zw iązanym z osią xg. M usim y rozważyć dwa zdarzenia: Zdarzenie 1. Kiedy tylny zderzak sam ochodu m ija bram ę wjazdową, ta jest zamykana. Przyjmijmy, że zarówno w łaściciel limuzyny, ja k i w łaściciel ga­ rażu przypisują tem u zdarzeniu czas równy zeru fgi = in = 0. Zdarzenie nastąpiło w punkcie xi = x g = 0. Na rysunku 38.21b przedstawiono zdarzenie ł z punktu w idzenia układu odniesie­ nia x g. Zdarzenie 2. K iedy przedni zderzak lim uzyny dociera do bram y wyjazdowej, ta otw iera się. N a rysunku 38.2lc przed­ stawiono zdarzenie 2 z punktu w idzenia układu odniesienia x g. a) Jaka jest długość lim uzyny oraz b) jakie są współrzędne cza­ soprzestrzenne x g2 i tg2 zdarzenia 2 według w łaściciela garażu? c) Jak długo lim uzyna przebywa w garażu, gdy zam knięte są oby­ dwie jego bramy? Rozważmy teraz sytuację z punktu widzenia układu xi, w którym garaż „przejeżdża” przez sam ochód z prędkością —0,998c. Ile wynoszą, według w łaściciela lim uzyny d) długość garażu oraz e) współrzędne czasoprzestrzenne xi2 i fi2 zdarzenia 2? f) Czy w pewnej chwili cała lim uzyna m ieści się w garażu, któ­ rego obydwie bramy są zam knięte i g) które zdarzenie zachodzi pierw sze? h) Naszkicuj zdarzenia 1 i 2 tak, ja k w idzi je właściciel limuzyny. (Czy istnieje zw iązek przyczynowy m iędzy obydwoma zdarzeniam i, to znaczy, czy jedno zdarzenie jest przyczyną dru­ giego?) i) Kto wygrał zakład? 5 3 . Strum ienie nadświetlne. Na rysunku 38.22a przedstawiono szkic toru drobiny m aterii w strum ieniu zjonizowanego gazu w y­ rzucanego przez galaktykę. D robina porusza się ze stałą prędko­ ścią v pod kątem 9 do kierunku obserw acji z Ziem i. D robina co pewien czas em ituje błyski światła, które m ogą być obserwowane na Ziem i. D w a błyski zaznaczone na rysunku 38.22a dzieli odstęp czasu t zm ierzony w spoczywającym układzie odniesienia w po­ bliżu źródła błysków. N a rysunku 38.22b pokazano, ja k wygląda­ łyby obydwa błyski sfotografowane na jednym kaw ałku kliszy — najpierw do Ziemi dociera św iatło z błysku oznaczonego jako 1, a następnie z błysku 2. Odległość D obs to przem ieszczenie tej

drobiny w polu w idzenia znajdującego się na Ziem i obserwatora. Tobs oznacza różnicę m iędzy czasem dotarcia na Ziem ię św ia­ tła z obydwu błysków. Obserw owana prędkość jest więc równa Uobs = D obs/ T obs. W yraź a) £>obs i b) Tobs za pom ocą wielkości v , t i 0. c) Oblicz wartość i>obs dla v = 0,98c i 0 = 30°. Kiedy po raz pierw szy zaobserwow ano w ten sposób strum ienie gazu poru­ szające się pozornie szybciej niż światło, w ydawało się, że leży to w sprzeczności ze szczególną teorią względności. Sprawa wy­ jaśniła się, gdy właściw ie zinterpretowano geom etrię obserwacji przedstaw ioną na rysunku 38.22a. tor drobiny zjonizowanego gazu

< błysk 1

s S ł(£

błysk 2

— prom ienie świetlne biegnące w kierunku Ziemi

a)

♦ błysk 1 Rys. 38 .2 2 . Zadanie 53

*

błysk 2

r

DODATEK A

Międzynarodowy Układ Jednostek (SI)*

W ielkość

N azw a

Definicja

Symbol

długość

m etr

m

„długość drogi przebytej przez św iatło w próżni w czasie 1/299792458 sekundy” (1983)

m asa

kilogram

kg

„ten prototyp [pewien walec z platyny i irydu] będzie odtąd uważany za jednostkę m asy” (1889)

czas

sekunda

s

„czas trw ania 9 1 9 2 6 3 1 7 7 0 okresów fali prom ieniowania odpowiadającego przejściu m iędzy dwom a poziom am i nadsubtelnym i stanu podstawowego atom u cezu-133” (1967)

natężenie prądu elektrycznego

am per

A

„natężenie stałego prądu elektrycznego, który — płynąc w dwóch równoległych, nieskończenie długich, prostolinio­ wych przewodach o znikom o m ałym , kołowym przekroju, um ieszczonych w próżni w odległości 1 m etra od siebie — wyw ołuje m iędzy tym i przewodam i siłę równą 2 • 10~7 niutona na każdy m etr długości przewodu” (1946)

tem peratura term odynam iczna

ilość substancji

kelw in

m ol

K

„1/273,16 część tem peratury term odynam icznej punktu po­ trójnego w ody” (1967)

m ol

„ilość substancji układu zawierającego liczbę cząstek równą liczbie atomów zawartych w 0,012 kilogram a w ęgla-12” (1971)

św iatłość

kandela

cd

„światłość, jak ą m a w danym kierunku źródło em itujące pro­ m ieniowanie elektrom agnetyczne o częstości 540 ■1012 her­ ców i którego natężenie prom ieniowania w tym kierunku jest równe 1/683 wata na steradian” (1979)

* Na podstawie pracy „The International System of U nits (SI)”, National Bureau of Standards Special Publication 330, 1972 edition. Przytoczone definicje zostały przyjęte przez Konfe­ rencję Ogólną ds. M iar i Wag (ciało m iędzynarodowe) w podanych w tabeli latach. Kandela nie jest używ ana w niniejszej książce.

/ - N iektó re jedrtosHi. pochodne Si N azw a jednostki

W ielkość

Symbol

pole powierzchni

m etr kwadratowy

objętość

m etr sześcienny

m m3

częstość

herc

Hz

gęstość

kilogram na m etr sześcienny

kg/m 3

prędkość

m etr na sekundę

m/s

prędkość kątowa

radian na sekundę

rad/s

przyspieszenie

m etr na sekundę kwadrat

m /s2

przyspieszenie kątowe

radian na sekundę kwadrat

rad/s2

siła

niuton

N

kg ■m /s2

ciśnienie

paskal

Pa

N /m 2

praca, energia, ciepło

dżul

J

N -m

wat

W

J/s

kulomb

c

A ■s

wolt

V

W /A

natężenie pola elektrycznego

wolt na m etr (lub niuton na kulom b)

V /m

N/C

opór elektryczny

om

n

V /A

ładunek elektryczny napięcie elektryczne, różnica potencjałów, siła elektrom otoryczna

pojem ność elektryczna

farad

F

A ■s/V

strum ień m agnetyczny

weber

Wb

V •s

indukcyjność

henr

H

V - s/A

indukcja m agnetyczna

tesla

T

W b/m 2

natężenie pola m agnetycznego

am per na m etr

A/m

entropia

dżul na kelwin

J/K

ciepło właściw e

dżul na kilogram i kelw in

J/(kg • K)

przewodność cieplna

w at na m etr i kelwin

W /(m ■K)

natężenie prom ieniowania

wat na steradian

W /sr

W ielkość

N azw a jednostki

Symbol

kąt płaski kąt bryłow y

radian steradian

rad sr

A2

Dodatek A. Międzynarodowy Układ Jednostek (SI)

ifr

DODATEK B

Niektóre podstawowe stałe fizyczne* ,,7 , W artość zaokrąglona

W artość najbardziej , ,, , . dokładna (1998)

Niepewność , , h w zględna0

c

3,00

108 m/s

2,997 9 2458

(dokładnie)

ładunek elem entarny

e

1,60

10” 19 C

1,602176462

0,039

stała grawitacyjna

G

6,67

lO-11 m 3/(s2 ■kg)

6,673

1500

uniw ersalna stała gazowa

R

8,31 J/(m ol ■K)

8,314472

1,7

stała Avogadra

Na

6,02

1023 m ol 1

6,0 2 2 1 4 1 9 9

0,079

stała Boltzm anna

k

1,38

10“ 23 J/K

1,380650 3

1,7

stała Stefana-B oltzm anna

a

5,67

10“ 8 W /(m 2 ■K4)

5,670400

7,0

objętość m olowa gazu doskonałego0

vm

2,27

10-2 m 3/mol

2,271098 1

1,7

stała elektryczna

£o

8,85

1 0 '12 F/m

8,854187 817 62

(dokładnie)

stała m agnetyczna

Mo

1,26

1 0 -6 H/m

1,256 637 06143

(dokładnie)

stała Plancka

h

6,63

10~34 J ■s

6,626068 76

0,078

m asa elektronu“1

mt

9,11

1 0 -31 kg

9,1 0 9 3 8 1 8 8

0,079

5,49

5,485 799110

0,0021

mp

1,67262158

0,079

1,0073 u

1,007 2 7 6466 88

1,3- 1 0 -4

1,67

1 0 '27 kg

m p/ m e

1840

1836,152 667 5

0,0021

stosunek ładunku elektronu do m asy elektronu

e /m e

1,76

1011 C/kg

1,758 820174

0,040

m asa neutronud

mn

1,68

1,67492716

0,079

1,008 6 6 4 9 1 5 7 8

5,4 ■1 0 -4

1,0087 u

(ff

stosunek m asy protonu do m asy elektronu

O 1

m asa protonud

c

prędkość św iatła w próżni

O 1

, , Sym bol 3

m asa atom u wodorud

WlH

1,0078 u

1,007 825 0316

0,0005

m asa atom u deuterud

m in

2,0141 u

2,0 1 4 1 0 1 7 7 7 9

0,0005

m asa atom u hełu-4d

WiHe

4,0026 u

4,002603 2

0,067

* W artości zebrane w tej tabeli wybrano z w artości zalecanych przez CODATA w 1998 r. (patrz: www.physics.nist.gov).

W artość najbardziej dokładna“ (1998)

N iepewność w zględna13

Symbol

W artość zaokrąglona

m asa mionu

1,88 • 1 0 -28 kg

1,883 531 09

0,084

m om ent magnetyczny elektronu

Mc

9,28 • 1(T 24 J/T

9,284763 62

0,040

m om ent magnetyczny protonu

Mp

1,41 • 10“ 26 J/T

1,410 606 663

0,041

m agneton Bohra

Mb

9,27 • 10“ 24 J/T

9,274008 99

0,040

m agneton jądrow y

Stała

Hn

5,05 • 10“ 27 J/T

5,050783 17

0,040

prom ień Bohra

<2B

5,29- lO ^11 m

5,291772 083

0,0037

stała Rydberga

R

com ptonowska długość fali elektronu

1,10- 107 n r 1

1,097 373 156 854 8

7,6 • lO "6

2,43 • 10~12 m

2,426 310215

0,0073

a W artości w tej kolum nie należy pom nożyć przez tę sam ą potęgę liczby 10 i jednostkę co odpow iednie w artości zaokrąglone, k W jednostkach 10- ^ (milionow ych częściach całości). c W w arunkach norm alnych tem peratury (0°C ) i ciśnienia (1,0 atm, czyli 0,1 MPa). d Atomowa jednostka m asy 1 u = 1,660538 73 ■10-2 7 kg.

A 4

Dodatek B. Niektóre podstawowe stałe fizyczne

c Niektóre dane astronomiczne W ybrane odległości od Ziemi do Księżyca3

3,82 ■108 m

do środka naszej Galaktyki

do Słońca3

1,50- 1011 m

do galaktyki A ndrom edy

2,1 • 1022 m

do najbliższej gwiazdy (Proxim a Centauri)

4,04 ■1016 m

do granicy obserwow alnego W szechśw iata

~ 1026

2,2 ■ 1020 m

3 O dległość średnia.

S ło ń c e , Z ie m ia i Księży

W łaściw ość

Jednostka

m asa

Słońce

Ziem ia

kg

1,99- 1030

średni prom ień

m

6,96 ■108

6,37 • 106

1,74 ■106

średnia gęstość

kg/m 3

1410

5520

3340

przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni

m /s2

274

9,81

1,67

prędkość ucieczki

km/s

618

11,2

2,38

37 d na biegunachb, 26 d na rów nikub

23 h 56 m in

27,3 d

okres obrotu3 całkowita m oc prom ieniowania0

W

5,98 ■1024

Księżyc

3,90 • 1026

a M ierzony w zględem odległych gwiazd. b Słońce — będące kulą gazu — nie obraca się ja k ciało sztywne. c Tuż nad atm osferą Ziem i energia słoneczna dociera do pow ierzchni prostopadłej do kierunku padania z szybkością 1340 W /m 2 .

7,36 • 1022

M erkury średnia odległość od Słońca, 10(’ km 57.9

Wenus

Ziem ia

M ars

Jowisz

Saturn

Uran

Neptun

Pluton

108

150

228

778

I43II

2870

4500

5900

0,615

1.00

1.88

1 1.9

29.5

84.0

165

248

0,997

1.03

0,409

0,426

-0 ,4 5 1 b

0,658

o,Jy

6,81

5.43

4.74

29.6

57.5

okres obiegu, lat

0.241

okres ohrotu3, d

58.7

prędkość na orbicie, km/s

47.9

35,0

29.8

24,1

13,1

9.64

< 28'

~ 3"

23,4'

25,0'

3,08

26.7“

7.00

3.39

1,85

1.30-

2.49

0.77

1.77

17.2

m im ośród orbity

0.206

0,0068

0.0167

0.0934

0.0485

0,0556

0,0472

0.0086

0.250

średnica równika, km

4880

12100

12 800

6790

143 000

120000

5 1800

49 500

2300

m asa (m asa Ziemi = 11

0.0558

0,815

1,000

0,107

318

95,1

14.5

17,2

0,002

gęstość (gęstość wody = 1)

5,60

5,20

5.52

3.95

1.31

0.704

1,21.

1.67

2.03

nachylenie osi względem płaszczyzny orbity nachylenie orbity względem orbity Ziem i

przyspieszenie graw itacyjne 3,78

8,60

9,78

3,72

::.9

9,05

7,77

1 1,0

0.5

prędkość u cie cz k i', km/s

4,3

10,3

11.2

5.0

59.5

35,6

21.2

23.6

1.1

liczba znanych satelitów

0

0

2

I6J

18°

17c

8C

na powierzchni0, m /s2

a M ierzony w zględem odległych gwiazd. b W enus i Uran obracają się w kierunku przeciw nym do ruchu po orbicie. c Przyspieszenie graw itacyjne je st m ierzone na rów niku planety. d + pierścień. e + pierścienie.

D odatek C. N ie któ re dane astronom iczne

I fiS !«

DODATEK D Współczynniki zamiany jednostek W spółczynniki przeliczeniowe m ożna bezpośrednio odczytać z tabel. Na przykład 1 stopień = 2,778 ■10~3 obrotów, a zatem 16,7° = 16,7 • 2,778 • 10~3 obrotów. Jednostki SI zapisano czcionką półgrubą. Tabele zostały przygotowane częściowo na podstawie pracy: G. Shortley, D. W iliam s, E lem ents o f P hysics, Prentice-H all, Englewood Cliffs, NJ, 1971.

O

//

'

radianów

obrotów

1 stopień = 1

60

3600

1,745 • 10~2

2,778 ■10^3

1 m inuta = 1,667 ■ io -2

1

60

2,909 ■10~4

4,630 ■ 10"5

1 sekunda = 2,778 • 10~4

1,667 ■ IO“ 2

1

4,848 • 10~6

7,716- 1 0 -7

1 radian = 57,30 1 obrót = 360

3438

2,063 • i O5

1

0,1592

2,16- 104

1,296 • 106

6,283

1

1 pełny kąt bryłowy = 4 t c steradianów = 12,57 steradianów

metrów

cm 1 centym etr = 1 1

metr = 100

1 kilom etr = 105 1 cal (in) = 2,540 1 stopa (ft) = 30,48 m iła (lądowa) = 1,609 • 105

km

1

io- 5 io- 3

1000

1

2,540 ■1 0 -2 0,3048 1609

io- 2

cali

stóp

mil

0,3937

3,281

6,214- 10-«

39,37

3,281

6,214 ■ 10~4

3,937 • 104

3281

0,6214

2,540 ■ 10~5

1

8,333 ■IO“ 2

1,578 ■1 0 -5

3,048 ■10~4

12

1

1,894 ■10~4

1,609

6,336 ■104

5280

1

1 angstrem = KI '11 m

] rok świetlny = 9,460 ■ 10 1- k m

1 sążeń - 6 stóp

1 ja rd - 3 stopy

1 m ila m orska = 1852 m = 1,151 mil = 6076 stóp 1 ferm i = 1 0 ~ 15 m

1 parsek = 3,084 • 1013 km

1 prom ień Bohra = 5,292 • 10-1 1 m

1 nm = ] () 1,1 m

em ­

1 metr kwadratowy = 1

it2

io 4

10.76

1550

i

1.076 ■ I0 “ 3

0,1550

1 stopa kw adratowa = 9,290 ■10~2

929,0

1

144

1 cal kwadratowy = 6,452 • 10~4

6,452

6,944 ■1 0 -3

1

! centym etr kwadratowy = 10~4

1 m ila kw adratow a = 2,788 • 10' ft"

: 640 akrów

1 akr = 43 560 ft2

1 barn = łO“ 28 m 2

1 hektar = 104 m 2 = 2,471 akrów

1 metr sześcienny = 1 1 centym etr sześcienny = 10~6 1 litr = 1,000 ■ 1 0 '3 1 stopa sześcienna = 2,832 • 10~2 1 cal sześcienny = 1,639 • 10~5

ft3

1 (litrów)

cm

106 1

1000

35,31

6,102- 104

1,000- 10~3

3.531 - 1(T5

6,102

1000

1

3.531 • 10~2

61,02

2,832 • 104

28,32

1

1728

1,639 • IO“ 2

5,787 ■l i r 4

1

16,39

■

10~2

1 galon am erykański = 4 kw arty = 231 in 3 1 galon angielski = 277,4 in3 = 1,201 galonów am erykańskich

kg

g 1 gram = 1 1 kilogram = 1000 1 atom owa jednostka m asy = 1,661 ■ 10~24 1 uncja handlow a (oz) = 28,35 1 funt handlow y (Ib) = 453,6

kg/m3

u

uncji

funtów

0,001

6,022 • 1023

3,527 - 10~

2.205 - 10~3

1

6,022 ■1026

35,27

2.205

1,661 • 10~27 2,835 ■10-2 0,4536

1 1,718 ■1025 2,732 ■1026

5,8 5 7 ■ 1 0 ' 1 16

3,662 ■ 10~27 6,250 ■ 10~2

lb/ft

g/cm 3

lb/in3

1 kg/m3 = 1

0,001

6,243 ■I O '2

1 g/cm 3 = 1000

1

62,43

3.613 • 10~2

1 lb/ft3 = 16,02

1,602- I O '2

1

5,787 • 10~4

1 lb/in3 = 2,768 ■104

27,68

17,28

1

3.613 ■10~5

a

d

1 rok = 1

365,25

8 ,7 6 6 -1 03

5,259 ■105

3,156- 107

1

24

1440

8,640 ■104

1 doba = 2,738 • IO“ 3

h

mm

s

1 godzina = 1,141 • IO '4

4 ,1 6 7 - I O '2

1

60

3600

1 m inuta = 1,901 • 10^6

6,944 • 10~4

1,667 • 10~2

1

60

1 sekunda = 3, i 69 • 1 0 '8

1 ,1 5 7 - I O '5

2,778 • 10^4

1 ,6 6 7 -1 0 “ 2

]

D odatek D. W spółczynniki zam iany jednostek

1

km /h

m /s

cm /s

1 km /h = 1

0,2778

27,78

0,6214

0,9113

1

100

2,237

3,281

1 m /s = 3,6 1 cm /s = 3,6 ■10~2

m il/h

ft/s

0,01

1

2 ,2 3 7 -lO ^ 2

3,281 -lO ^ 2

1 m ila/h = 1,609

0,4470

44,70

1

1,467

1 stopa/s = 1,097

0,3048

30,48

0,6818

1

1 w ęzeł = 1 m ila m orska/h = 1,688 fi/s

dyn

N

1 dyna = 1

G

kG

funtów

10~5

1,020 • 10“ 3

1 N = 105

1

102,0

1,020 • 10~6 0,1020

2,248 • IO“ 6

1 G = 980,7

9,807 • 10~3

1

0,001

2,205 • 10~3

1 kG = 9,807 • 105

9,807

1000

1

2,205

1 funt = 4,448 • 105

4,448

453,6

0,4536

1

0,2248

Jednostki: gram -sila (G), kilogram -sila (kG) i funt (jednostka siły) są obecnie rzadko stosowane. Są one zdefiniowane na­ stępująco: 1 gram -sila jest to siła ciężkości działająca na ciało o m asie 1 g w standardowych warunkach ciążenia (tzn. gdy — 9,80665 m /s2); analogicznie dla kilogram a-siły i funta.

atm

dyn/cm 2

1 atm osfera = 1

cali wody

cm Hg

Pa

funtów/in2

funtów/ft2

1,013 ■ 106

406,8

76

1,013 ■105

14,70

1 dyna/cm 2 = 9,869

10"7

1

4,015 ■10~4

7,501 • 10~5

0,1

1,405 • 10“ 5

2,089 ■ 10"3

1 cal w odya w temp. 4°C = 2,458

2491

1

0,1868

249,1

3,613 • 10~2

5,202

1 cm rtęcia w temp. 0QC = 1,316

io~3 IO“2

1,333 ■ 104

5,353

1

1333

0,1934

27,85

1 p a sk a l = 9,869

10~6

10

4,015 ■ 1 0 -3

7,501 ■ 10~4

1

1,450 ■ 10~4

2,089- 10~2

1 funt/in2 = 6,805

IO“ 2

6,895 • 104

27,68

5,171

6,895 • 103

1

144

1 funt/ft2 = 4,725

io- 4

478,8

0,1922

3,591 • IO“ 2

47,88

6,944 • IO -3

1

2116

a W standardowych w arunkach ciążenia (tzn. gdy g = 9,80665 m /s2). 1 har =

0 fl dyn/cm 2 = 0,1 M Pa

1 m ilibar - 103 dyn/cm 2 = 102 Pa

1 tor = 1 mm Hg

D odatek D. W spółczynniki zam iany jednostek

A 9

D w ie ostatnie jednostki nie są — ściśle rzecz biorąc — jednostkam i energii, lecz zostały w łączone do tabeli dla wygody. Odpowiadające im w artości w spółczynników przeliczeniowych wynikają z relatywistycznej równoważności m asy i energii, E = m c 2, i w yrażają energię wyzw alaną przy całkowitej zam ianie na energię masy jednego kilogram a lub atomowej jednostki m asy u (dwa ostatnie wiersze) oraz m asę, która po całkowitej zam ianie na energię daje odpow iednią energię jednostkow ą (dwie ostatnie kolum ny tabeli). erg

1 erg 1 dżul 1 kaloria 1 kilowatogodzina

J

=1 = 107 = 4,186 • 107 = 3,600 ■1013

1 elektronowolt = 1,602 ■IO“ 12

cal

kWh

■io- 8

10~7

2,389

1

0,2389

eV

\1 \

kg

u

2,778

10-14

6,242 10“

6,242 105

; ; i l : i r 10 24

2,778

IO” 7

6,242

6,242 1012

1,113 IO-»7

1018

670,2 6,702 109

4,186

1

1,163 IO“ 6

2,613

1019

2,613

1013

4,660 10~17

2,806 IO10

3,600 106

8,600 ■105

1

2,247

1025

2,247

1019

2,413 IO16

1,602

io- 19

3,827 ■IO -20 4,450 ]0 -26

1

IO“ 6

4,007 I 0 - 11 1.783 10-36

3.827 ■1 0 - 14 4,450

io- 20

10~6

1

1,783

5.610

1,074

io- 9

1 megaelektronowolt = 1,602 10~13

= 1,602- 10~6

1 kilogram = 8,987 • 1 0 ? ; : 8,987

10'°

2,146 ■10“’

2,497

10"'

10-U)

3,564 ■1 0 -"

4.146

1 0 - 17 9,320

IO35

5,610

10s

932,0

IO29

10-30

1

1.074 10 3 6,022

1 atomowa jednostka masy = = 1,492 - 1 0 -3

1,492

KM

cal/s

1 koń m echaniczny = 1 1 kaloria na sekundę = 5,615 • 10 “ 3 1 kilowat = 1,341 1 w at = 1,341 • IO“ 3

Gs 1 gaus (Gs) = 1 1 tesla (T) = 104 1 m iligaus (m Gs) = 0,001

1 tesla =

1 m akswel = 1 1 w eb er = 108

W

178,1

0,7457

745,7

1

4 ,1 8 6 -1 0 -3

4,186

238,9

1

1000

0,2389

0,001

1

mGs

i0 ~ 4

1000

1

107

IO-7

1

1 w eber/m 2

m aksweli

A 10

T

kW

w eberów 10~8 1

Dodatek D. Współczynniki zamiany jednostek

1,661

10- 27

1

IO2'1

DODATEK E Wzory matematyczne

GEOMETRIA

sin A

sin B

sin C

a

b

c

Koło o prom ieniu r: obwód = 2jxr; pole powierzchni = n r 2. Kula o prom ieniu r: pole powierzchni = 4 i tr 2; objętość = | j t r 3. Walec obrotowy o prom ieniu podstawy r i wysokości h: pole powierzchni = 2 n r 2 + 2 n r h ; objętość = n r 2h. Trójkąt o podstawie a i wysokości h: pole powierzchni = | a h .

RÓWNANIE KWADRATOWE 1 JEGO ROZWIĄZANIE Jeśli a x 4- b x + c = 0, to x —

- b ± ~Jb2 — 4ac 2a

c2 = a 2 + b 2 — 2ab cos C. Kąt zewnętrzny D = A + C.

SYMBOLE MATEMATYCZNE = równa się równa się w przybliżeniu ~ jest tego sam ego rzędu wielkości

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA 0 nie jest równe os y sin 0 = r

cos 6 = r

tg
ctg(9 = -

= jest równe tożsam ościowo, jest zdefiniowane jako > jest w iększe niż (^> jest dużo w iększe niż)

X

r sec 0 — x

y

< jest m niejsze niż (
r cosec 0 = -

jest w iększe lub równe (czyli nie m niejsze niż)

y

jest m niejsze lub równe (czyli nie w iększe niż) ± plus albo minus

TWIERDZENIE PITAGORASA

oc jest proporcjonalne do

W trójkącie prostokątnym (oznaczenia ja k na rysunku)

Xśr wartość średnia x

suma

a 2 + b2 = c2.

TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE sin(90° — 9) = cos 9

TRÓJKĄTY

cos(90° — 9) = sinS

Kąty: A, B , C.

sin 9 / cos 9 = tg 9

Boki im przeciw ległe: a, b, c.

sin2 9 + cos2 6 = 1

A + B + C = 180°.

sec2 9 — tg2 9 — 1

D

cosec2 0 — ctg2 0 = 1

ILOCZYNY WEKTORÓW

sin 20 = 2 sin 9 cos 0

N iech i, j i k będą wektoram i jednostkow ym i kierunków x , y i z.

cos 20 = cos2 0 — sin2 6 = 2 cos2 9 — 1 = 1 — 2 sin2 0

Z achodzą związki: i-i=j-j = k-k=l,

sin(ce ± /i) = sin a cos /i ± cos a sin p

i x i = j x j = k x k = 0,

c o s(a ± fi) = cos a cos P q= sin a sin p tg (a ± P ) =

i - j = j - k = k - i = 0,

i x j = k,

tg a ± tg P 1 = F tg a tg P

s in a ± s in ,6 = 2 sin ¿ (a ± P) cos | ( a

j x k = i,

k x i = j.

Dowolny w ektor a o składowych w zdłuż osi x , y i z równych ax , a y i a z m ożna przedstawić w postaci

P)

cos a + cos p = 2 cos | (a + P) cos | (a — P)

a = ax i + a vj + «,k .

cos a — cos P = —2 sin ~ (a 4- P) sin £ (a — P)

N iech a, b i c będą dowolnymi wektoram i o długościach (m odu­ łach) a , b i c. Z achodzą związki:

ROZWINIĘCIA FUNKCJI W SZEREGI POTĘGOWE a x (b + c) = (a x b) + (a x c), n (n — l ) x 2

(1 + x)" = 1 + — + — e* = 1 + * + -

+ -

7

+ ...

(*2 < 1 )

(sa) x b = a x (sb) = s (a x b)

(s — skałar).

Niech 9 będzie m niejszym z kątów m iędzy wektoram i a i Z achodzą związki:

+ ...

(wzór dwum ianowy) a ■b = b ■a = axbx + a yb x + azb , = ab cos 9, ln (l + x ) = x - \ x 2 + ^ x 3 - . . . 03 6>5 sin 0 = 0 — — + — —

i .

(0 w radianach)

02 <94 c o s (9 = 1 --------- 1--------- . . . 2! 4! q 2>

(|x | < 1)

(0 w radianach)

205

tg 0 = 0 + — +

+ ...

a x b = —b x a =

ay

az

b\-

b,

ax bx -1

j ay by

k az bz

ax

az

bx

bz

+ k

ax bx

ay b\.

(0 w radianach) (ia ybz — bya z) i + (azbx — bzax )] + (ax b y — bxay ) k, \a x b \ = ab sin 0,

WZORY CRAMERA U kład równań z dw iem a niew iadom ym i x i y ci]X + b \y = Ci

oraz

a2x + b 2y = c2

m a rozw iązanie cCi\ Cl

a\

y =

a2

h b2

a.\

Cl

ej b2 - c2b\ a t b2 — a2b\

<22

c’2

&[C2 — ¿22^1

Cl\

b\ b2

a ib 2 - a2b\

(¿2

A 12

¿1 by b2

D odatek E. W zory m atem atyczne

a • (b x c) = b ■(c x a) = c ■(a x b), a x (b x c) = (a ■c)b — (a ■b)c.

O-i

nx

POCHODNE I CAŁKI W poniższych wzorach u i v są dowolnymi funkcjami zmiennej x , a a i m są stałymi. Do każdej z całek nieoznaczonych należy dodać dowolną stalą całkowania. O bszerniejsze tablice zawiera H andbook o f Chemistry and Physics (CRC Press Inc.).

1.

f

2.

j

3.

j ( u + u)dx = j

I dx = x

auA x = a j

j

1. ^ = 1

d ,

X” (M Ax 4.

x mdx =

d Au — (au) = a — Ax Ax ,

du

m + 1

■ dx I — = In \x\ x

/

5. du

u) = dx j ^ X” dx

uAx + J

Ym+ 1

Ax

2.

uAx

.A v f Au d V dx If u — aAx = = uuvv — fI v — dx dx J dx ./

6.

J

— x m = m xm Ax

7.

5.

d 1 — ln x = dx x

8. j , sin i xdx

6.

d du Au — (uv) = u - — K v - — dx dx dx

/ e^dx = ex

• / -

/

9'

= —co sx

c o sx d x = sin x

l07

tg x d x = In | se c x |

— sin x = co sx dx

11. j

sin2 x d x =

— c o sx = — sin x dx

12. / e~“ dx = — e"

7.

— e* = e* dx

8.

9.

\ sin 2 x

■/

/

10. — tg x = sec2 x dx

13. I x e “ dx = ------ (ax + l)e

11. — c tg x = —cosec2 x dx

14. / x 2e “ dx = -------(a2x 2 + 2a x + 2)e

12. — se c x = tg x s e c x dx

15. / x ne~axAx =

a2

■/

OC

/'

13. — cosec x = —c tg x cosec x dx 16. 14. A e* = e » ^ dx dx d 15. — sin « = cos dx

Au

m—

17

dx

A Au 16. — cos u = — sin u — dx dx

18

/

J x 2ne~ar‘ Ax = 0o Ax

•/

2 r,+]a"

= ln(x + \ ! x 2 + a 2)

/

xd x

1

(x2 + a 2)3/ 2

(x 2 + a 2) 1/2

dx

x

■/

(x 2 + a 2) 3/ 2

a 2(x 2 + a 2) 1/2

f

hi V <3

Vx2 + a1

e~ax~Ax =

• 0/ ' 21

1 • 3 - 5 - . . . - ( 2 r a - 1)

xdx x + d

nl 2 a"+l

(a > 0)

= x — d ln(x + d)

Dodatek E. W zory m atem atyczne

A 13

I Właściwości pierwiastków

O ile nie podano inaczej, wszystkie dane odnoszą się do ciśnienia 1 atm.

Pierw iastek

Symbol

Liczba atom owa Z

M asa m olowa [g/mol]

Gęstość [g/cm 3] w temp. 20°C

Tem peratura topnienia [°C]

Tem peratura wrzenia [°C]

aktyn

Ac

89

(227)

10,06

1323

(3473)

am eryk

Am

95

(243)

13,67

1541

—

antym on

Sb

51

argon

Ar

18

arsen

As

33

astat

At

85

azot

N

7

bar

Ba

56

berkel

Bk

97

beryl

Be

4

bizm ut

Bi

83

Bh

107

bohr

121,75 39,948 74,9216 (210) 14,0067 137,34 (247) 9,0122 208,980 262,12

6,691 1,6626- IO"3 5,78 — 1,1649 ■ 10“ 3 3,594 14,79 1,848 9,747 —

bor

B

5

10,811

2,34

brom

Br

35

79,909

3,12 (ciecz)

cer

Ce

58

140,12

6,768 1,873

630,5

0,523 0,331

(302)

—

-2 1 0

-1 9 5 ,8 1640

—

— 1560

0,122

—

—

—

2030

—

1,11

804 28,40

chrom

Cr

24

51,996

7,19

cyna

Sn

50

118,69

7,2984

231,868

cynk

Zn

30

65,37

7,133

419,58

cyrkon

Zr

40

91,22

6,506

105

262,114

erb

Er

68

europ

Eu

63

ferm

Fm

100

fluor

F

9

fosfor

P

15

frans gadolin

Fr Gd

87 64

162,50 (254) 167,26 151,96 (237) 18,9984 30,9738 (223) 157,25

8,55 —

58

0,293

3470

0,188

690

0,243

- 7 ,2

3,214- 10~3 (0°C)

99

—

271,37

35,453

66

0,205 1,83

132,905

Es

1,03

2770

1287

17

Dy

—

729

55

einstein

0,205

613

Cs

dysproz

—

1380 -1 8 5 ,8

Cl

Db

0,092

-1 8 9 ,4

cez

dubn

[J/(g ■°C)]

817 (28 atm)

chlor

—

Ciepło właściwe

-1 0 1 1857

1852 — 1409 —

- 3 4 ,7

0,486

2665

0,448

2270

0,226

906

0,389

3580

0,276

— 2330 —

— 0,172 —

9,15

1522

2630

0,167

5,243

817

1490

0,163

—

—

— 1,696- 1 0 -3 (0°C) 1,83 — 7,90

-2 1 9 ,6 44,25

—

-1 8 8 ,2

0,753

280

0,741

(27)

—

1312

2730

— 0,234

Pierw iastek

Symbol

M asa molowa [g/mol]

Liczba atom owa Z

Gęstość [g/cm 3] w temp. 20°C

Tem peratura topnienia [°C]

Tem peratura w rzenia [°C]

C iepło w łaściw e [J/(g • ° Q ]

gal

Ga

31

69,72

5,907

29,75

2237

0,377

german

Ge

32

72,59

5,323

937,25

2830

0,322

glin

Al

13

26,9815

2,699

660

2450

0,900

hafn

Hf

72

178,49 '

2227

5400

0,144

has

Hs

108

hel

He

2

holm

Ho

67

164,930

ind

In

49

114,82

iryd

Ir

77

192,2

iterb

Yb

70

173,04

itr

Y

39

jod

I

kadm

(265) 4,0026

13,31 — 0,1664- 10^3 8,79

—

—

-2 6 9 ,7

- 2 6 8 ,9

1470

5,23

2330

0,165

2000

0,233

2447

(5300)

0,130

6,965

824

1530

0,155

88,905

4,469

1526

3030

0,297

53

126,9044

4,93

113,7

183

0,218

Cd

48

112,40

8,65

321,03

765

0,226

kaliforn

Cf

98

(251)

—

—

kiur

Cm

96

(247)

13,3

—

kobalt

Co

27

58,9332

8,85

krypton

Kr

36

83,80

3,488 ■ 1 0 -3

krzem

Si

14

28,086

2,33

ksenon

Xe

54

131,30

5,495 • 10~3

lantan

La

57

138,91

lit

Li

3

lorens

Lr

103

lutet

Lu

71

m agnez

Mg

12

6,939 (257) 174,97 24,312

7,31 22,5

0,423 0,247

2680

0,712

-1 1 1 ,7 9

-1 0 8

0,159

6,189

920

3470

0,195

0,534

180,55

1300

3,58

—

—

—

1495 —157,37 1412

9,849

1663

1930

0,155

1,738

650

1107

1,03

1244

2150

0,481

Mn

25

Mt

109

(266)

—

mendelew

Md

101

(256)

—

m iedź

Cu

29

63,54

8,96

m olibden

Mo

42

95,94

10,22

neodym

Nd

60

144,24

neon

Ne

10

neptun

Np

93

(237)

— -1 5 2

m angan

20,183

— 2900

m eitner

54,9380

156,634

7,44

7,007 0,8387 • 1 0 -3 20,25

—

—

—

—

1083,40

2595

0,385

2617

5560

0,251

1016

3180

0,188

-2 4 6 ,0

1,03

-2 4 8 ,5 9 7 637

.

—

1,26

nikiel

Ni

28

58,71

8,902

1453

2730

0,444

niob

Nb

41

92,906

8,57

2468

4927

0,264

nobel

No

102

ołów

Pb

82

207,19

11,35

1725

0,129

osm

Os

76

190,2

22,59

3027

5500

0,130

pallad

Pd

46

106,4

12,02

1552

3980

0,243

platyna

Pt

78

195,09

21,45

1769

4530

0,134

pluton

Pu

94

(244)

19,8

640

3235

0,130

polon

Po

84

(210)

254

—

potas

K

19

39,102

0,862

prazeodym

Pr

59

140,907

6,773

prom et

Pm

61

protaktyn

Pa

91

(255)

.

(145) (231)

—

9,32

7,22 15,37 (oszacowanie)

— 327,45

63,20 931

—

760

0,758

3020

0,197

(1027)

—

(1230)

—

D odatek F. W łaściwości pierw iastków

A 15

Pierw iastek

Symbol

L iczba atom owa Z

M asa molowa [g/mol]

Gęstość [g/cm 3] w temp. 20°C

rad

Ra

88

(226)

5,0

radon

Rn

86

(222)

9,96 • 10“ 3 (0°C)

Tem peratura

Tem peratura

Ciepło właściw e

topnienia [°C]

w rzenia [°C]

[J/(g • °C)]

700

—

(-7 1 )

- 6 1 ,8

— 0,092

ren

Re

75

186,2

21,02

3180

5900

0,134

rod

Rh

45

102,905

12,41

1963

4500

0,243

rtęć

Hg

80

200,59

13,55

-3 8 ,8 7

357

0,138

rubid

Rb

37

85,47

39,49

688

0,364

ruten

Ru

44

101,107

12,37

4900

0,239

rutherford

Rf

104

261,11

—

sam ar

Sm

62

150,35

seaborg

Sg

106

263,118

selen

Se

34

78,96

4,79

1,532

7,52 —

siarka

S

16

32,064

2,07

skand

Sc

21

44,956

2,99

sód

Na

11

22,9898

0,9712

srebro

Ag

47

stront

Sr

38

87,62

tal

Tl

81

204,37

107,870

tantal

Ta

73

technet

Tc

43

(99)

180,948

—

685

0,318

444,6

0,707

2730

0,569 1,23 0,234

2,54

768

1380

0,737

11,85

304

1457

0,130

16,6

3014

5425

0,138

11,46

2200

—

0,209

52

127,60

6,24

Tb

65

158,924

8,229

tlen

O

tor

Th

90

tul

Tm

69

168,934

119,0 1539

—

— 0,197

2210

Te

(232)

— 221

— 1630

960,8

10,49

tellur

15,9994

— 1072

892

terb

8

2250

1,3318 ■10~3

97,85

449,5 1357 -2 1 8 ,8 0

990

0,201

2530

0,180

-1 8 3 ,0

0,913

11,72

1755

(3850)

0,117

9,32

1545

1720

0,159

4,54

1670

3260

0,523

18,95

1132

3818

0,117

tytan

Ti

22

uran

U

92

wanad

V

23

50,942

6,11

1902

3400

0,490

wapń

Ca

20

40,08

1,55

838

1440

0,624

2,26

3727

4830

0,08375 • 10~3

-2 5 9 ,1 9

-2 5 2 ,7

47,9 (238)

węgiel

C

6

12,01115

wodór

H

1

1,00797

wolfram

W

74

183,85

19,3

3380

5930

złoto

Au

79

196,967

19,32

1064,43

2970

0,131

żelazo

Fe

26

55,847

1536,5

3000

0,447

ununnil

Uun

110

(269)

—

—

ununun

Uuu

111

(272)

—

—

ununbi

Unb

112

(264)

—

—

.

ununtri

Unt

113

—

—

—

—

ununkw ad

Unq

114

—

—

—

—

ununpent

Unp

115

—

—

—

—

ununheks

Unh

116

—

—

—

—

— (285) — (292)

7,874

—

0,691 14,4 0,134

— — —

D la pierwiastków prom ieniotwórczych w rubryce „m asa molowa” podano w nawiasach w artości liczby masowej izotopu o najdłuższym czasie życia. Podane w naw iasach w artości tem peratury topnienia i w rzenia są niepewne. D ane dla gazów odnoszą się do ich norm alnej postaci cząsteczkowej, ja k H 2 , He, O 2 , Ne itd. W artości ciep ła w łaściw ego gazów odpow iadają przem ianie pod stałym ciśnieniem . Źródło: J. Emsley, The E lem ents, w yd. III, C larendon Press, O xford 1998. Istnieje tłum . polskie: Chemia. Przew odnik p o pierw iastkach, W ydaw nictw o Naukowe PW N, W arszawa 1997. Inform acje o najnowszych danych i nowoodkrytych pierw iastkach m ożna znaleźć na stronie: w w w .w ebelem ents.com .

A 16

Dodatek F. Właściwości pierwiastków

DODATEK G Układ okresowy pierwiastków

I

1 I

m e ta le a lk a lic z n e

1

2

1

0

H

He

2

3

IIA 4

IIIA s

Li

Be

B

metale przejściowe i

a

12

Ms IIIB

IVB

VB

VIB

VI IB

IB

IIB

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

rs- 4

K

Ca

Sc

Ti

V

Cr

Mn

Fe

Co

Ni

V

37

39

40

41

42

43

44

45

Tc

Ru

Rh

3

s;

g azv s z la c h e tn e

p ó lm e ta le

IA i

Na

-

1 m e ta le I

IVA 6

VA

VIA

7

8

9

10

N

O

F

Ne

c

VI IA

13

14

15

16

17

1S

Al

Si

P

S

Cl

Ar

30

31

32

33

.u

35

36

Cu

Zn

Ga

Ge

As

Se

Br

Kr

¿6

47

4«

49

50

51

52

53

54

Pd

Ag

Cd

In

Sn

Sb

Te

I

Xe

VII IB

C/5

C 5

6

7

Rb

Sr

Y

Zr

55

56

57-71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

Cs

Ba

*

Hf

Ta

W

Re

Os

Ir

Pt

Au

Hg

Tl

Pb

Bi

Po

At

Rn

57

89-103

ICH

105

106

107

108

1U9

110

111

112

113

114

115

116

117

118

Fr

X

Rf

Db

Sg

Bh

Hs

Mt

57

5S

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

la n ta n o w c e *

La

Ce

Pr

Nd

Pm

Sm

Eu

Gd

Tb

Dy

Ho

Er

Tm

Yb

Lu

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

Ac

Th

Pa

U

Np

Pu

Bk

Cf

Es

Fm

Md

No

Lr

Ra

!

a k ty n o w c e

7

Nb Mo

Am Cm

Nazwy pierw iastków o liczbie atomowej od 104 do 109 (rutherford, duhn. seaborg, bohr. has i m eitner) zostały ustalone przez M iędzy­ narodową Unię Chemii Czystej i Stosowanej (1UPAC) w 1997 roku. Pierwiastki o lic/bie atomowej 110. 111. 112. 114 i 116 zostały juz odkryte, lecz nie nadano im jeszcze nazw. Inform acje o najnowszych danych i nowo odkrytych pierw iastkach m ożna znaleźć na stronie: w w w.w ebelem cnts.com .

ODPOWIEDZI do sprawdzianów oraz pytań i zadań o numerach nieparzystych Rozdział 3 4 SPRAWDZIANY 1. a) Skorzystaj z rys. 34.5. Po prawej stronie prostokąta E jest skierowane zgodnie z ujem nym kierunkiem osi y; po lewej stronie E + d E je st większe i m a ten sam kierunek; b) E jest skierowane w dół. Po prawej stronie B jest skierowane zgodnie z ujem nym kierunkiem osi z; po lewej stronie B + d B jest w iększe i m a ten sam kierunek. 2. dodatni kierunek x . 3. a) nie zm ienia się; b) zm niejsza się. 4. a, d , b, c (zero). 5. a. 6. a) nie; b) tak. PYTANIA

1. a) dodatni kierunek z; b) x . 3. a) nie zm ienia się; b) wzrasta; c) m aleje. 5. c. 7. a , b, c. 9. żaden. 11. b.

PYTANIA 1. c. 3. a) a i c trzy razy; b) trzy razy; c) trzy. 5. wypukłe. 7. a) m aleje; b) rośnie; c) rośnie. 9. a) wszystkie, z wyjątkiem wariantu 2; b) dla 1, 3 i 4: prawa; odwrócony; dla 5 i 6; lewa, prosty. ZADANIA

1. 40 cm. 3. a) 3. 7. nowe ośw ietlenie to 10/9 starego. 9. 10.5 cm. 13. a) 2; b) nie jest to w ogóle możliwe. 17. o = —12 cm. 19. 45 m m, 90 m m . 23. 22 cm. 27. w odległości 30 cm po lewej stronie drugiej soczewki powstaje obraz pozorny, prosty: m = 1. 33. a) 13 cm; b) 5,23 cm; c) - 3 ,2 5 ; d) 3,13; e) -1 0 .2 . 35. a) 2,35 cm; b) zm niejszyć; 37. a) 5,3 cm; b) 3 mm. Rozdział 36

ZADANIA

1. a) 0,5 m s; b) 8,4 m in; c) 2,4 h; d) 5500 p.n.e. 3. a) 515 nm, 610 nm ; b) 555 nm , 5,41 • 1014 Hz, 1,85 • 10-15 s. 5. a) będzie się stopniowo wydłużał; b) zsum owane rozbieżno­ ści m iędzy pozornym czasem obiegu i czasem obserwowanym z punktu x; prom ień orbity Ziem i. 7. 5 • 10 21 H. 9. Bx = 0, By = —6,7 • 10~9 cos[ tt • 1015(? —x /c )] , B z = 0 w jednostkach układu SI. 11. 0,1 M J. 13. 8,88 • 104 m2. 15. a) 16,7 nT; b) 33,1 m V/m 2. 17. a) 6,7 nT; b) 5,3 m W /m 2; c) 6,7 W. 19. a) 87 m W /m ; b) 0,3 nT; c) 13 kW. 21. 1 • 107 Pa. 23. 5,9 • 10^8 Pa. 25. a) 100 M H z; b) 1 p T wzdłuż osi z; c) 2,1 m _1; 6,3 • 108 rad/s; d) 120 W /m 2; e) 8 • 10~7 N, 4 • 10~7 Pa. 29. 1,9 mm/s. 31. b) 580 nm. 33. a) 1,9 V M , b) 1,7 • 1 0 '11 Pa. 35. 3,1%. 37. 4,4 W /m 2. 39. 2/3. 41. a) 2 polaryzatory; b) 5 polaryzatorów. 43. 1,48. 45. 1,26. 47. 1,07 m. 53. 1,22. 55. a) 49°; b) 29°. 57. a) należy zakryć środek każdej pow ierzchni bocznej nieprzezroczystym krążkiem o prom ieniu 4,5 m m ; b) ok. 0,63. 59. a) (1 + sin2 9 ) l/2; b) ~J2; c) św iatło wychodzi z prawej strony; d) św iatło nie wychodzi z prawej strony. 61. 49°. 63. a) 15 m /s; b) 8,7 m /s; c) wyżej; d) 12°. 65. 1.

Rozdział 35 SPRAWDZIANY 1. 0,2d , 1,8d , 2,2d . 2. a) rzeczyw isty; b) odwrócony; c) po tej samej stronie. 3. a) e; b) pozorny, po tej samej. 4. pozorny i prosty, soczewka jest rozpraszająca.

SPRAWDZIANY 1. b (najm niejsze n ), c, a. 2. a) górny; b) umiarkowane oświetlenie (różnica faz wynosi 2,1 długości fali). 3. a) 3a , 3; b) 2,5a, 2,5. 4. natężenie je st jednakow e dla a i d (am plituda fali wypadkowej 4Eo) oraz dla b i c (am plituda fali wypadkowej 2 E 0)■ 5. a) 1 i 4; b) 1 i 4. PYTANIA

1. a, c, b. 3. a) 300 nm ; b) fazy dokładnie przeciw ne. 5. a) stan pośredni bliższy m aksim um , m = 2; b) m inim um , m = 3; c) stan pośredni bliższy m aksim um , m = 2; d) m aksim um , m = 1. 7. a )-c ) wzrasta; d) niebieska. 9. a) m aksim um ; b) m inim um; c) na przem ian m aksim a i m inim a. 11. a) 0,5 długości fali; b) 1 długość fali. ZADANIA 1. a) 5,09 • 1014 Hz; b) 388 nm; c) 1,97 • 108 m /s. 3. 1,56. 5. 22°, załam anie zm niejsza kąt 6. 7. a) 3,6 p,m; b) przy­ padek pośredni, bliższy w pełni konstruktywnej interferencji. 9. a) 0,833; b) przypadek pośredni, bliższy w pełni konstruk­ tywnej interferencji. 11. a) 0,216 rad; b) 12,4°. 13. 2,25 mm. 15. 648 nm. 17.' 16. 19. 0,072 mm. 21. 6,64 p,m. 23. 2,65. 25. y = 27sin(
55. 588 nm. 57. 1,00030. 59. a) 0; b) w pełni konstruktywna; c) wzrasta.

R óżnica faz 0 0,50^ 1,00 A. 1,50A. 2,00 A. 2,50A.

Położenie x [|xm] «i OO

Rodzaj

7,88 3,75 2,29 1,50

K D K D K

0,975

D

Rozdział 37 SPRAWDZIANY 1. a) będzie się rozszerzał; b) będzie się rozszerzał. 2. a) drugie m aksim um boczne; b) 2,5. 3. a) czerwona; b) fioletowa. 4. po­ gorszy się. 5. a) wzrosną; b) nie ulegną zmianie. 6. a) po lewej; b) mniejsza. PYTANIA 1. a) ulegnie zawężeniu; b) ulegnie zawężeniu. 3. z m egafonem (większy otwór wyjściowy, m niejsza dyfrakcja). 5. a) z czterech. 7. a) m niejsza; b) większa; c) większy. 9. a) zmaleje; b) zmaleje; c) w prawo. 11. a) będzie wzrastać; b) w pierw szym rzędzie widma. ZADANIA 1. 60,4 |xm. 3. a) Xa = 2Xh ; b) te, dla których m b = 2m a. 5. a) 70 cm; b) 1 mm. 7. 1,77 mm. 11. d) 53°, 10°, 5,1°. 13. b) 0, 4,493 rad itd.; c) - 0 ,5 , 0,93 itd. 15. a) 1,3 • 10^4 rad; b) 10 km. 17. 50 m. 19. a) 1,1 • 104 km ; b) 11 km . 21. 27 cm. 23. a) 0,347°; b) 0,97°. 25. a) 8,7 ■ 1 0 '7 rad; b) 8,4 • 107 km ; c) 0,025 mm. 27. pięć. 29. a) 4; b) każdy czw arty jasny prążek. 31. a) dziewięć; b) 0,255. 33. a) 3,33 p,m; b) 0, ± 10,2°, ± 3 2 ,0 °, ± 45,0°, ±62,2°.

35. trzy. 37. a) 6 p,m; b) 1,5 |xm; c) m = O, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9. 39. 1100. 47. 3650. 53. 0,26 nm. 55. 39,8 pm. 59. a) a0/ j l , ao/* /5 , aal\/T 0 , o q / - /\ 3 , a0/ y / \ l . 61. 30,6°, 15,3° (zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara); 3,08°, 37,8° (przeciw nie do kierunku ruchu wskazówek zegara). 63. a) 50 m; b) nie, szero­ kość 10 m jest za wąska, by m ogła zostać rozróżniona; c) w ciągu dnia nie, ale łuny nocnych św iateł to niezbite dowody istnienia in­ teligentnego życia.

Rozdział 38 SPRAWDZIANY 1. a) taki sam (postulat stałej prędkości św iatła); b) nie (punkt początkowy i końcowy m ają różne położenia w przestrzeni); c) nie (w ynik podróżnego nie jest czasem własnym ); 2. a) w ynik Agaty; b) w ynik Agaty; 3. a) dodatni; b) ujemny; c) dodatni; 4. a) w prawo; b) w iększa niż c/4; 5. a) taka sama; b) m niejsza

PYTANIA 1. wszystkie równe (prędkość im pulsu św iatła zawsze rów na c) 3. a) Z j; b) Z \\ 5. a) ujem ną; b) dodatnią 7. m niejsza niż 0,7c 9. b, a, c; d

ZADANIA 1. a) 6,7 ■ 10^10 s; b) 2,2 ■ 1 0 - '8 m 3. 0,99c 5. 0,445 ps 7. 1,32 m 9. 0,63 m 11. a) 87,4 m; b) 394 ns; 13. a) 26 a; b) 52 a; c) 3,7 a 15. x ' = 138 km, t' = —374 ^ s ; 17. a) 25,8 p,s; b) słaby błysk; 19. a) 125; b) 0,8 (xs; 21. 0,81c; 23. a) 0,35c; b) 0,62c; 25. 1,2 p,s; 27. 22,9 M Hz; 29. 1 ■ 106 m /s, oddala się; 31. żółta (550 nm); 33. a) 0,0625, 1,00196; b) 0,941, 2,96; c) 0,999 999 87, 1960; 35. 0,999 987c; 37. 18 Ms /rok; 39. a) 0,707c; b) 1,41; c) 0,414m c2; 41. -JSm c; 43. 1,01 • 107 km , czyli 250 obwo­ dów Ziem i; 45. 110 km ; 47. 4 u, praw dopodobnie jądro helu; 49. 330 mT; 51. a) 2,08 MeV; b) - 1 ,1 8 MeV; 53. a) v ts in 8 ; b) t[ 1 — ( u /c )c o s $ ] ; c) 3,24c.

SKOROWIDZ

absorpcja całkowita 14, 15, 31 am plituda 30, 87 — , wektor 88 analizator 19 antena 4

E instein A. 7, 146, 147 energia 13, 172-178, 179

interferencja 75-108

— całkowita 173-175

interferom etr M ichelsona 98-100, 101

— w cienkich warstwach 91 -9 8 , 100

— kinetyczna 176-178 — spoczynkowa 172-173 jasn a plam ka Fresnela 111-112

B ertozzi W. 148 B ragg W.L. 136

fala biegnąca 9

Brew ster D. 30

— Huygensa 112

jednoczesność 151-152, 163

— padająca 76

całkowite odbicie wewnętrzne 27-28, 31 --------wsteczne 14, 15, 31 ciśnienie prom ieniow ania 13-15, 30 czas własny 154 częstość kołowa 5, 87 — w łasna 166 czoło fali 5

— płaska 4

kąt Bragga 136

— poprzeczna 4

-— Brewstera 30, 31

— św ietlna 7

— graniczny 27, 31

— załam ana 76

— odbicia 22, 31

fale elektrom agnetyczne 1-39

— padania 22

, rozchodzenie 3 -1 0

— załam ania 22, 31

— jakościow y 3 -7

Keating R. 156

prędkość 30

kierunek polaryzacji 19, 31

składowa elektryczna 5, 8 detektor 166, 167 długość spoczynkowa 158, 179 — w łasna 158, 179 dośw iadczenie Younga 81-85, 100 druga zasada dynam iki N ew tona 14 dyfrakcja 80, 111-137 — na dwóch szczelinach 123-126, 137 --------otworze kołowym 120-123, 137

— w idzenia 61

opis ilościowy 7 -1 0

— m agnetyczna 5, 9

kolim ator 129 kryterium Rayleigha 122, 137

w idm o 2, 3 — radiowe 2, 3 falowa teoria św iatła 76, 111-112 fatam organa 41 faza 5

laser 87

fazory 88 foton y 148

linie em isyjne 130

Fresnel A. 112

luneta astronom iczna 62-64, 68

liczba falowa 5 L orentz H.A. 161

--------pojedynczej szczelinie 112-115, 137 --------w ielu szczelinach 137 — prom ieniow ania rentgenowskiego 134-136, 137 dylatacja czasu 154, 155-156, 159, 163, 178

Hafele J. 156

M axwell J.C. 2

dyspersja 131-133 — kątow a 131, 132

H ertz H. 2 Huygens C. 75, 111

M ichelson A.A. 98

lupa 60-62, 68 Galileusz 148 m aksim a interferencyjne 81, 84, 100, 127, 137

m ikroskop 62, 68

8, 94,

m ikroskop elektronow y 122 m inim a interferencyjne 81, 84, 88, 94,

— , kierunek 19, 31 — liniowa 16

100, 112-115, 118, 121, 128, 137 m ion 155 m iraż 4 1 ^ t2

— pionowa 16

N natężenie 12 — fali 11 — prom ieniow ania elektrom agnetycz­ nego 13 — św iatła 18-20, 101 O obiektyw 62 obraz 4 0 -7 4 — dyfrakcyjny 111 — interferencyjny 81 — odwrócony 47 — pozorny 41, 47, 52, 56, 67 — prosty 46 — punktow y 43 — rzeczyw isty 41, 47, 52, 56, 67 obwód drgający lc 3 odbicie 21 -2 6 , 31 — całkowite wewnętrzne 2 7 -2 8 , 31 wsteczne 14, 15, 31 — , zm iana fazy 93 odległość dobrego w idzenia 60 — obrazu 43 — przedm iotu 43 ognisko 46 — pozorne 46 — rzeczyw iste 46 ogniskowa 46 ogniskowanie 47 okres własny 170 okular 62 optyka geom etryczna 31 ośrodek m aterialny 7 — przezroczysty 21

P Paskal 15 pęd 13, 15, 171-172, 176-177, 179 pętla przewodząca 8 pierw sza zasada dynam iki Newtona 147 pion 148 płaszczyzna drgań 16, 17 — padania 22 płytka półprzepuszczalna 98 — św iatłodzieląca 98 Poisson D. 112 polaryzacja 16-20, 31

C2

Skorowidz

— poziom a 16 — przy odbiciu 29-30, 31 polary zator 18-20, 31 pole elektryczne 7, 30 --------, gęstość energii 12 --------indukowane 7 -9 — m agnetyczne 6, 7, 30

— połowy 18 rozdzielczość 121-123 rozszczepienie św iatła 2 3 -2 6 równania transform acji Lorentza 162, 163-165 równanie cienkich soczewek 65-67 — zw ierciadła sferycznego 64-65 różnica dróg 89 — faz 89, 93 rzędy obrazu 127

------ - , gęstość energii 12 --------indukowane 9 -1 0 — w idzenia 45, 63 położenie obrazu 4 9 -5 0 --------przedm iotów rozciągłych 57-58

s

postulaty 147-148, 178

sferyczne pow ierzchnie załam ujące 5 1 52, 67 siatka dyfrakcyjna 127-130, 137 --------, dyspersja 131-133

— stałej prędkości św iatła 147 — w zględności 147

--------, zastosowanie 129-130 --------, zdolność rozdzielcza 131-133

pow iększenie liniowe 48, 50, 68

skrócenie długości 158, 159, 163-164, 179 soczewka 53, 54 — cienka 53 -5 8 , 67 --------, obrazy 5 5 -56 --------, równanie 65-67

Poynting J.H. 11 prawo B ragga 136 — Brewstera 2 9 -30 — Faradaya 6, 7, 8 — M axwella 6, 9 — odbicia 22 — Snella 22, 77, 78 — załam ania 22, 7 6 -77 prążki interferencyjne 81-85 prędkość fali 5, 9 -1 0 — graniczna 148 — św iatła 7, 14 prom ienie przyosiowe 46 prom ieniowanie nadfioletowe 2 — podczerw one 2 — rentgenowskie 3 --------, dyfrakcja 134-136, 137 — y 3, 148 prom ień krzyw izny 45, 46, 52 — odbity 22, 31 — — — —

padający 22, 49 przechodzący 49, 57 rów noległy 49, 57 załam any 22, 31

przedm ioty rozciągłe 4 3 -^ 4 przepływ energii 11-13, 30 --------, chwilow a szybkość 11 przesunięcie dopplerow skie 167 przyrządy optyczne 6 0 -6 4 , 68

R

— rozpraszająca 53 — skupiająca 53 spektroskop siatkowy 129 spójność 86, 100 stała fazowa 87 — siatki 127 strum ień elektryczny 9 — m agnetyczny 7, 8 system nawigacyjny NAVSTAR 169-171 szerokość linii 128-130 — połówkowa 137 szkło powiększające 6 0 -6 2 , 68 ś środek krzyw izny 45 św iatło 7 5 -8 0 — białe 24 — , falowa teoria 75, 111-112 — m onochrom atyczne 27 — niespolaryzow ane 17 — niespójne 87 — , rozszczepienie 2 3 -2 6 — spolaryzowane 17-18 częściowo 17 — spójne 86 — , teoria New tona 111 — widzialne 2, 3

reakcja syntezy 175 refraktor astronom iczny 63 reguła kw adratu cosinusa 19

— , w spółczynnik załam ania 22, 23, 76, 78 -8 0 , 101

— L enza 8

światłowody 28

teleskop 62-64, 68 teoria elektrom agnetyczna M axw ella 76 — św iatła New tona 111 — w zględności 7, 146-186 --------, ogólna 146, 156 --------, szczególna 146 tęcza M axwella 2-3 transform acja G alileusza 161 — Lorentza 160-162, 179 --------, rów nania 162, 163-165 tubus 62

w idm o prom ieniow ania elektrom agne­ tycznego 2, 30 w rażenie barw ne 3 wskazy 88

zdarzenie 148-150, 178 zdolność rozdzielcza 63, 131-133

w spółczynnik Lorentza 154, 155, 158, 174, 175, 179

— zbierania św iatła 63 zegary makroskopowe 156

— załam ania św iatła 22, 23, 75, 7 7 -8 0 , 100

— mikroskopowe 155

w spółrzędna czasowa 149-150, 161

zjawisko D opplera 151, 179 --------dla małych prędkości względnych 167

w spółrzędne czasoprzestrzenne 149, 150 — przestrzenne 149, 161 wytw arzanie obrazu 67 w zględność czasu 152-158 — długości 158-160

U układ odniesienia inercjalny 146 — spoczynkowy 155 układy soczewek 58

--------dla św iatła 166-171 --------poprzeczne 168-169, 179 --------w astronom ii 167-168

— jednoczesności 150-152

zm iana fazy przy odbiciu 92

— prędkości 166, 179

zw ierciadło 42 — płaskie 42^14, 45

w zór sferycznych powierzchni załam ują­ cych 65 — szlifierzy soczewek 54, 65-67

V von Laue M. 134

zasady dynam iki Newtona 146 zdarzenia jednoczesne 178

Y

W

Young T. 81, 111

w arunek B ragga 136, 137 wektor am plitudy 88 — Poyntinga 11-13, 30 --------, długość 11 w iązka padająca 14

T

— sferyczne 44 -4 6 , 47, 67 --------, obrazy 4 6 -5 0 --------, ogniska 45^16 --------, równanie 64—65 --------w klęsłe 45 --------w ypukłe 45

ź

zakres widzialny 3

źródło 166, 168

załam anie 21-26, 31

— , m oc 12 — punktowe 12, 30

zasada Huygensa 75, 76, 100

Do nabycia w księgarniach

R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands Feynmana wykłady z fizyki, 1 .1-3 P.G. Hewitt Fizyka wokół nas B.M. Jaworski, A.A. Dietiaf Fizyka Poradnik encyklopedyczny I.W. Sawieliew Wykłady z fizyki, 1 .1-3 H. Szydłowski Pracownia fizyczna wspom agana komputerem

Książki PWN są do nabycia w księgarniach firmowych PWN: Warszawa, ul. Miodowa 10, tel. (22) 635 80 88; Gdańsk, ul. Korzenna 33/35, tel. (58) 305 24 50; Kraków, ul. Piłsudskiego 3/1, tel. (12) 421 75 64; Łódź, ul. W ięckowskiego 13, tel. (42) 630 67 69; Poznań, ul. W odna 8/9, tel. (61) 851 74 94; Wrocław, ul. Kuźnicza 56, tel. (71) 343 54 52 oraz w księgarni agencyjnej PWN K atowice, al. Korfantego 51, tel. (32) 258 32 26. Zamówienia telefoniczne i pisem ne przyjmuje: K sięgarnia W ysyłkowa, ul. Miodowa 10, 00-251 Warszawa, infolinia 0 801 351 929, fax 69 54 179 zapraszam y do księgarni PWN w Internecie ww w.pwn.pl

§LJ

ICTWO NAUKOWE

P WN

David Halliday •Robert Resnick •Jearl Walker

PODSTAWY FIZYKI t. 1-5 Tom 1 MECHANIKA

nicl<

^ alkef

Tom 2 MECHANIKA cd. TERMODYNAMIKA

Wybrane stałe fizyczne* c

3,00 • 108 m /s

stała graw itacyjna

G

6,67

R

energetyczny rów now ażnik m asy

c2

a

6,02 • 1023 m ol 1 8,31 J/(m ol ■K) 8,99

1

N

0

stała Avogadra uniw ersalna stała gazow a

O 1

prędkość św iatła

931,5 M eV /u stała elektryczna

eo

stała m agnetyczna stała Plancka

Mo h

stała B oltzm anna

k

8,85 • 10“ 12 F/m 1,26 • 1 0 -6 H /m 6,63 • 10~34 J • s 4,14 • 10“ 15 eV • s 1,38 • 10“ 23 J/K 8,62 • 10~5 eV /K

ład u n ek elem entarny

e

1,60 • 10~19 C

m asa elektronu

me

9,11 • 1 0 "31 kg

m asa protonu

mp

1,67 • 10~27 kg

m asa neutronu

mn

1,68 • 1 0 -27 kg

m asa deuteronu

mA

3,34 ■ 10“ 27 kg

prom ień B ohra

ni

5,29 • 10“ 11 m

m agnetoń B ohra

Mb

9,27 • 10“ 24 J/T

stała Rydberga

R

5,79 ■10“ 5 eV /T 0,01097 n i r r 1

* O bszerniejszy spis stałych fizycznych, zawierający także w artości najbardziej dokładne oraz ich niepew ności, przedstaw iony je st w dodatku B.

Wybrane współczynniki zamiany jednostek* Masa i gęstość

Prędkość

1 kg = 1000 g = 6,02 • 1026 u

1 m /s = 3,28 ft/s = 2,24 m ili/h

1 u = 1,66- 10“ 27 kg

1 km /h = 0,621 m ili/h = 0,278 m /s

1 kg/m 3 = 10~3 g/cm 3

Siła i ciśnienie Długość i objętość 1 m = 100 cm = 39,4 in = 3,28 ft 1 m ila = 1 ,6 1 km = 5280 ft

1 N = 105 dyn = 0,225 funta 1 Pa = 1 N /m 2 = 10 dyn/cm 2 1 atm = 1,01 • 105 Pa = 76 cm H g

1 in = 2,54 cm 1 nm = 10~9 m = 10 A

Energia i moc

1 pm = 10“ 12 m = 1000 fm

1 J = 107 ergów = 0,239 cal 1 kW h = 3,6 • 106 J

1 rok św ietlny (y) = 9,46 • 1015 m I m 3 = 1000 1 = 35,3 ft3 = 264 galony am erykańskie

Czas

1 cal = 4,19 J 1 eV = 1,60 • 10“ 19 J 1 K M = 746 W

1 d = 86400 s

Magnetyzm

1 a = 3 6 5 1 d = 3 ,1 6 - 107 s

1 T = 1 W b/m 2 = 104 Gs

Miara łukowa kąta 1 rad = 57,3° = 0,159 obrotu ii rad = 180° = \ obrotu

* O bszerniejszy spis przedstawiony je st w dodatku D.

David Halliday Robert Resnick Jearl Walker

4

Podstawy fizyki reaktywacja :ompletny, nowoczesny podręcznik fizyki nareszcie po polsku I )arat matematyczny ograniczony do niezbędnego minimum teoria poparta licznymi przykładami tania i zadania sprawdzające po każdym rozdziale >rzejrzysty układ tekstu vspaniała szata graficzna :olorowe, sugestywne ilustracje wzbogacające i uzupełniające wykład iowość: najważniejsze zagadnienia fizyki współczesnej I

zawiera zagadnienia z następujących dziedzin: fale elektromagnetyczne optyka teoria względności t.4

t.1-5

ISBN

ñ3~0 L~ m O b O - 7

ISBN

03-01-13=1^7-3 0 1

0 1

788301

140601

Ksi ęga rni a internetowa

788301

139971

WWWi pwn.pl