·~ MONOGRAFIE MATEMATYCZNE KOMITET REDAKCYJNY: S. BANACH,·H. KNASTER, K. KURATOWSKI, S. MAZURKIEWICZ, W. SIERPIŃSKI, H.STEINHAUS ; A. ZYGMUND TOM X SE...
MONOGRAFIE MATEMATYCZNE KOMITET REDAKCYJNY: S. BANACH, ·H. KNASTER, K. KURATOWSKI, S. MAZURKIEWICZ, W. SIERPIŃSKI, H.STEINHAUS ; A. ZYGMUND
TOM X SERIA POLSKA STANISŁAW
SAKS
DOCENT UNIWERSYTETU JÓZEFA PIŁSUDSKIEGO W WARSZAWIE I
ANTONI ZYGMUND. PROFESOR UNIWERSYTETU STEFANA BATOREGO W WILNIE
FUNKCJE ANALITYCZNE ·~
·~
·~ ~
WYKŁADY
UNIWERSYTECKIE
:'{
·"f
Z
SUBWENCJI FUNDUSZU KULTURY NARODOWEJ JÓZEFA PIŁSUDSKIEGO
WARSZAWA-LWÓW-WILNO 1938
.. . „ ..
„.--~------------------
PRZEDMOWA. W uniwersyteckim nauczaniu Analizy odczuwa się na ogół metod przy przejściu od dz~edziny rzeczywistej (Ra.chunek Różniczkowy i Oałkowy) do zespolonej (Teoria Funkcyj A1rnlitycznych. 1 ) ). O ile w dziedzinie rzeczywistej dąży się do „arytmet;yr.u,cji" met;od geometrycznych, to w dziedzinie zespolonej stosuje :iiQ imjczęśeiej proces odwrotny - „geometryzację" analizy. Przez goometryza,cję tę (rozw11żając rzecz oczywiście z dydaktycznego t;ylko punktiu widzenia) rozumieć należy nie samo używanie języka . geometrycznego i posługiwanie się środkami geometrii czy topologii, lecz wp1·owadzenie do analizy pewnych intuicyjnych elementów geometryc.t::!nych bez bliższego ich sprecyzowania. W pewnych rozumowr~niach i w pewnych ujęciach są one tak silne, że przesłaniaj~ iw.w<1t. elementy czysto analityczne. Jako przykład poda-O można klasyczny dowód twierd.7ienia Cauchy'ego-Goursata, w którym uwagę vocząlikujf!!t'.ogo bardziej przyciągają mafo sprecyzowane elementy gocmwt;ry czne rozumowania (dotyczące krzywej ograniczającej obszar), u.ni.żeli prosty w gruri.ci.e rzeczy pomysł analityczny Goursata. Z<1 względów zarówno dydaktycznych jak i innych, wielu u.ut;orów starało się usunąć elementy geometryczne z wykładu Teorii Funkcyj, nawiązując systematycznie do metod Weierstrassowskieh, które definicję funkcji holomorficznej opierają bezpośrednio wymźn.f!! różnicę
Wszelkie prawa zastrzeżone. - - All rights reservlid hy "Monografie Matematyczne", W1irsaw Hl38.
PRINTED
IN
POI..1AND
JlHUlCAHNIA UNIWKH 8 Y'l'l('J'\l ,Jt\(:Jl<:Lf,(l!\181\ II•:Z l•:I~ A L" I L l l'O W8 KJ l.;t; O
1 ) Nazwa Teoria F'w1ilc
IV na poJęcm szeregu potęgowego. Wyk.łady tego typu 2) wyr6żniaj~ się konsekwencją i jednolitością; ujemną ich stroną jest, za,sadniezt~ wyrzeezenie się metod geometrycznych, a przez to zwężenje horyzontów i perspektyw rozwojowych samej Teorii. .Autorzy tej książki wybrali drogę pośrednią. Nie zrzekając 1:1ię bynajmniej stosowania aparatu pomocniczego Geometrii i Te.orii Mnogości (Topologii), starali się go ograniczyć do zakresu, w ja.kim może byó uzasadniony. i sprecyzowany bez większych trudn.ośei dln począitkującego. Zakres ten okazał się wyBtarezajf!!cym dlfL dowo
Iem
V
.u nioeo trudniejsze opatrzone zostały wskazówkami. Już t.o, że ćwi ezouia zostały zgrupowane raczej według metod niż według treści i dol:ączone do odpowiednich paragrafów, jest pewnym ułatwieniem ·dla czytelnika, gdyż podsuwa mu bezpośrednio środki, jakimi winien Hię posługiwać
w
rozwiązywaniu 3 ).
W ćwiczeniach została, też umieszczona pewna, niewielka zreszt~, ilośó tematów, które wprawdzie zaliczone być mog!!! do zasadniczych wyników Teorii, ale nie stanowiły niezbędnych ogniw w budowie książki; wymienimy tu np. twierdzenia, o zbiorach pierwszej kategorii Baire'a (Wstęp, §§ 8i11), elementarny wywód rozkładu funkcyj trygonometrycznych na czynniki (Rozdz. I, § 8), klasyfikację przekształceń b.ómogrni'ieznyoh (Rozdz. I, § i4), niektóre twierdzenia o szeregaeh potęgowych, jak twierdzenia Fejera, Taubera (Rozdz.III, -§ 2), Jen.t;zelm (Rozilz. IV, § 3), Fatou i M. Riesza (Rozdz. VI, § 3), twi.erdzeni:L lfadiLirnmia „o trzech kołach" (Rozdz. III, § 12), Bla,fwhlrngo o L>it\rwh~stlrnch funkcji ograniczonej (Rozdz. IV, § 4 i :n,o:.1d:.1. Vll, § l), lfadamarcla-Ostrowskiego o szeregach lukowyc1 (Hozdz. VI, § 2), klasyczne dowody twierdzeń Picarda i Montela, 01mrte na, własnośoiach funkcji modułowej (Rozdz. VIII, § 2), nierówności Carathćodory'ego (Rozdz. VII, § 10), rodziny quasi· norm:1lne funkcyj (Rozdz. VII, § 13). 0:1lość ksi~żki jest teoretycznie dostępna już dla słuchacza I roku, zakła.d.~1 bowiem tylko znajomość arytmetyki liczb zespolonych i :rrnw1rn wiadomości o zbieżności ciągów i szeregów, o ciągłośei iunkc,ii i t•. p., a więc wiaiiomości wchodzące dziś nawet w zakres progr~1m6w liemLluyeh. Inne wiadomości pomocnicze (z Teorii Mnogości 1 'l'opologH) z0Hfa1ły podane we Wstępie, a częściowo także {z Aualiz.y) w Rozdz. l. ;reclnakżo faktycznie książka wymaga od czytelnika już pew11ego oswojenitL z metoclami myślenia abstrakcyjnego. Dotyczy iio prze
rnia.rę
<·zyt;rmin,
dn.l~zy('.h rozdziRiłów.
a) Uzyi;t1lnikowi, kMry pmguie l'Ozszerzyć swe wiadomości z Teorii Fuukcyj,
") Ob. np. G. Vivanti, Ele.me·nti della teoria 1Zelle /unzioni anal'itioh1i e d(ll!11 fwnzioni trascendenti intere, 2 ed., Milano 1928 (przekład niemiedti z T. wyd.aniu.: Theorie der eindeuUgon analyti8ohen Funktionen, Leipzig l 92(l).
.n, jrnlnu<1zBAnio u.ahrn.t·. wprnwy w poslt1giwaniu się narzędziami Analizy, polecić moźu.n, pi1.1lrn,y i oryµ:in11luy wybór 6wi(.lzef1.: G. Pólya, und G. Szegci, 1fofgaben mili /,1•f1:rHiU::11 wu.H 1l1·r A. ·n11,lyaiR, Bnrlin 1925 (dW!l· tomy).
bn
VI Lit,eratura podręcznikowa w obcych językach z zakresu Teorii Funkcyj .Analitycznych jest bardzo obfita i podawanie jej na tym miejscu byłoby nawet kł.opotliwe. Natomia.~t w języku polskim obok jednego przekładu (E. Goursat, K urs .Analizy Matematycznej, 1;. II, z francuskiego przełożył T. J. Łazowski, Wu,rszawa 1919) mH,my jedno tylko dzieło oryginalne, mianowicie: J . Puzyna, '.l1eoriaJ11unlwyj .Analitycznych, t. I (str. XVIII+549), L wów 1898, t. II (str. XIV+693) Lwów 1900. Dzieło t o jest · prawdziwą encyklopedią Analizy: obok właściwej Teorii Funkcyj .Anali1iycznych wyłożonej częściowo w pięknym Weierstrassowski.m ujęciu zawiera wiadomości z zakresu Teorii Mnogości i Topologii (Analysis Situs), Teorii Gru.p, Algebry, Równań Różniczkowych, Funkcyj Harmonicznych. G dyby ukazało się w którymkolwiek z bardziej rozpowszechnionyeh. języków obcych, doczekałoby się dalszych, coraz dosko1u~lszynh wydań, mając wszelkie dane, by st~tć się podręcznikiem kh1syeznym. Dziś, po 40 latach od chwili ukazania się oryginału., nowe opracowanie wszechstronnego dzieła Puzyny i przystosowanie . go do współczesnych form ujmowania przedmiotu przerasta możliwości autorów tej książki. Wybrali przeto drogę opracowania książki nowej, jakkolwiek o niewspółmierni:e węższym zakresie i skromni<1jszych ambicjach. Wiele osób okazało nam pomoc przy wydaniu tej książki. P: Stefania Braunówna Ż niezwykłąi sumiennością współpracowała. z nami przy poprawianiu korekt. Zawdzięczamy jej usunięcie wielu błędów i przeoczeń - nietylko drukarskieh. P . Bronisław Kn as tcu da,l nam cenne wskazówki dotyczące ukła,du i grafiki. P. E cl w ar d Otto zechciał uprzejmie wykonaó rysunki. Wszystkim im serdecznie. dziękujemy.
Warszawa-Wilno,
wr:.iesień
1938.
S. Saks, A. Zygmund.
ERRAT.A stronica., wiersz:
jest :
ma
modc
modulo c
1J.fi4
niernal jednostajnie ograniczona
niemal ograniczona
2'.J49 .
a 1 ~1, ak=ł=O
6715
22415 24118 2965
przypuszczeniem (7 .5), ak=!=O
a1 > 1 lub a 1=1 i iż
jednej i tej samej
jednej tej samej naturalną
ak=ł=O
(7.5)
całkowitą nieujemną
Na rysunku. str. 232 oznaczenia K 1 i K 2 .Przez H.1>, i J{.1,,. \
być:
zastąpione być
winny
WSTĘP
TEORIA MNOGOŚCI § t. Definicje podstawowe. Podstawowym pojęciem teorii jest pojęcie zbioru czyli mnogości. Jeśli A jest jakimkolwiek zbiorem przedmiotów, wówczas przedmioty należące do zbioru A nazywamy jego elementami; znak aeA czytamy: „a jest elementem zbioru A" lub „a należy do A". Zbiór złożony z jednego tylko elementu a oznaczamy przez {a}. Dogodnie jest wprowadzić pojęcie zbioru pustego, t. j. nie zawierającego żadnego elementu. Zbiór taki oznaczamy przez O. Jeśli A i B są zbiorami i każdy element zbioru A należy do B, wówczas mówimy, iż A jest podzbiorem zbioru B, lub %e zawiera się w B, i piszemy ACB lub B.JA. Jeśli jednocześnie ACB i BCA, to zbiory A i B są identyczne, t. j. składają się z tych samych elementów; piszemy wówczas A =B. Ciąg {An} zbiorów nazywamy wstępującym, jeśli AnCAn+1 dla każdego n, i zstępi1,jącym, jeśli An+1CA11 dla każdego n. Ciągi wstę pujące i zstępujące zbiorów obejmujemy nazwą ciągów monotomnogości
nioznych.
Zbiór, którego elementami są również zbiory, nazywamy często lub ulcladem zbiorów (używamy także terminu ro dz ina dla oznaczenia niektórych specjalnych zbiorów; mówimy np. często rodzina funkcyj). Jeśli m jest rodziną zbiorów, wówczas zbiór tych wszystkie}}.. elementów, które należą do jednego przynajmniej ze zbiorów rodziny m, nazywamy s11,mą zbiorów rodziny m, zbiór zaś tych wszystkich elementów, które należą jednocześnie do wszystkich zbiorów rodziny m, iloczynem zbiorów tej rodziny. Sumę oraz iloczyn zbiorów rodziny m: oznaczamy odpowiednio przez L'm: or~z rrm:. rodziną
S.
:::ak~
i A.
7.y~nnrn
Fnnkcje anulity<·:r.n<'.
1
2
[§ 2]
J·eśli rodzina zbiorów jest ciągiem skończonym zbiorów .A. 1,.A. 2, .„,Am, wówezas sumę tych zbiorów oznu1czu,my również przez
m
.A.1+A 2+ ...+.A.m lub Sumę
ciągu
.1 .A.1„ 1
~=1
m
a1 iloczyn przez A1·A2·.„·A111 lub
niesko1iczonego A1, Az, „., A11, .„
oo
//A1l·
k 1
zbiorów oznaeztimy
analogicznie przez A1 +Ad- ... +All+··· lub 2:A11, H1 iloczyn przez k·cc1
oo
A 1 ·Az· ... ·Afł .„ lub f!Afl. Używamy również dla ozmwzenfai sumy fl=:1
i iloczynu ciągu· skończonego lub nieskoiiczonego zbiorów {All} znaków };.A.il i /1 A11, gdy zakres wartośei, jakie przebiega1 wskaź1z il nik k, jest skądinąd wiadomy. Zbiory, które nie posiadają elementów wspólllych, t. j. których iloczyn jest·· pusty, nazywamy rozląozn11mi. Jeśli A i B są zbiorami, wówczas .B .....:..A oznacza różnió~ ty eh dwu zbiorów, t. j. zbiór elementów, które należą do B, lecz nie Ilależą do A. Jeśli w szczególności AC.B, wówczas różnfoę B -A nazywamy dopelnieniem. zbioru A do Bi ozna1czamy przez Oe.A. Zazwyczaj w rozumowaniach występuje pewien stały zbiór II („przestrzeń"), który zawiera wszystkie inne zbiory rozważane. Wówczas dopełnienie zbj oru A do żbioru Jl nazywamy krótko dopełnieniem zbioru A i zamiast OHA piszemy O.A.. Dla każdego ciągu zbiorów {.A.11}· zawartych w li zaohodz~ wzory następujące, które noszą nazwę wzorów de Morgana: (1.1)
O};An=lJO.A.111 n
n
0/1A11=LOA11. n
n
Istotnie, jeśli a jest elementem zbiom występującego np. pv stronie lewej pierwszego ze wzorów (l.l), wówczas znaczy to, że a nie należy do żadnego ze zbiorów .A.11, t. j. iż należy do każdego ze zbiorów O.A.11, co znowu znaczy, iż należy do zbioru występująoego po stronie prawej tego wzoru. Podobnie dowodzi się drugiego ze wzorów (1.1). ĆWICZENIA. 1. Sprawdzić następujące tożsamości:
A·2Bn=2A·B,,, n 11
A+J1B11=il(A+B,,), 11 n
w których A.,B1,B2, ••• ,B11 , .„ oznaczają dowolne zbiory. Pforwsza z nich wyruża rozdzielność mnożenia zbiorów względem clodawania., druga. -- roz
Zbiory przelicza.Ine.
3
§ 2. Zbiory przeliczalne. Jeżeli każdemu elementowi zbioru A pewien element związku B w ten sposób, iż każdy element zbioru B przyporządkowany jest jednemu i tylko jednemu elementowi zbioru A, wówczas mówimy, że między zbiorami Ai.B ustalona została odpowiednioś6 jedno-jednoznaczna. Dwa zbiory, między którymi odpowiedniość taką można ustalić, nazywają się zbiorami tej samej mocy. Zbiorem przeliczalnym nazywa się każdy zbiór tej samej mocy co zbiór wszystkich liczb naturalnych 1,2, ... ,n, ... Zbiór, który nie jest skończony ani przeliczalny, nazywa się nieprzeliczalnym, podczas gdy zbiory skończone oraz zbiory przeliczalne obejmujemy wspólną nazwą zbiorów co najwyżej przeliczalnych. Zbiór jest więc co najwyżej przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy elementy jego ustawić można w ciąg skończony lub nieskończony. przyporządkowany został
Suma (iiągu,, MkM1czonego l ub nieskO'J~czmiego, {A (t))t=1,2, .•. zbior6w co najwyżej przeliczalnych jest 'również zbiorem co najwyżej przeliezalnym. vV samej rzeezy, ustawiając elementy każdego zbioru A (i) w ciąg skończony lub nieskończony a1l), a~i)' ... , ax), „., możemy uporządkować wszys.tkie elementy zbioru LA u> w ciąg 1
i
aC1) 1 '
aP> a<2> 2. '
a<1)
1 '
3 '
a<2) aCs) 2 '
1 '
a<1) a<2) a
3 '
2 '
a<4)
... '
1 '
w którym wypisane są kolejno grupy skończone wyrazów a~> o sumach wskaźników i oraz k równych odpowiednio 2, 3, 4, 5 i t. d. W szczególności np. zbiór wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny; istotnie, możemy go ustawić w ciąg O,l,-1,2,-2,„.,n,-n,„. Jeżeli A<1\A<2>, ... ,A
czonym zbiorów co najwyżej przeliczalnych, w6wczas również co najprzeliczalny jest zbiór A wszystkich ciągów sk01iczonych postaci (a<1>, a<'!.), ... , a, ... , A . D owo'd sądowo lnymi. el ementami. Ou,powieu,nw z bwrow przebiega analogicznie do rozumowania poprzedniego. Porządkujemy elementy każdego zbioru A (i) w ciąg aii), a~l), ... , a)ż), ... , po czym wszystkie elementy zbioru A, t. j. ciągi skończone postaci (a\1>, a~2 >, „., a~k>),
wyżej
1i
możemy uporządkować
12
Jk
je kolejno grupami skoń: czonymi wyrazów o sumach wskaźników dolnych ji+ f2+„.+ fk, równych 1,2,3 i t. d. w
ciąg, wypisując
l*
4
WWIWf>,
'Pooriu. innop;oKci.
[§ 3]
Z i;wierdzonfa t1<1go wynilm np., żo zhi.6r wRzysilk:foh nkhulów sko1iczonyoh (n1,n2, „:,n11 ) liezb cu,łkowii;yoh joi;t; 1n·zelieza1lny; r WrlZysi;kieh l:iczb W ta,kfoh, jż a,<.m rzodz,i1 otwarty (a, l>) zhi; Hmiil>y a, i fJ l'Ul,z,ywn,i się lcraiwam,i 1>rzeclzia.lu). 3. Poku,za,ć, iż zbiór wHzyHtldch przoclziH.ł:<'>w o kra,{1.cH,<"h wymicmi.ych .im przeliczalny (objaśnienie nazw w („w. 2). 1
§ 3. Przestrzeń topologiczna abstrakcyjna. ~hllkkolwiol w dalszym ciągu przedmiotem naszych rozważali· będą prawie w:, łącznie
zbiory zawarte w płaszczyź:t1ie i funkcje określone na ty< zbiorach, to jednak w pewnyoli 'tematach teorii :funkcyj (np. w d finicji powierzchni Riemanna,. por. rozdz. VI) dogodnie jesi1 przyj: za punkt wyjścia, ogólne przestrzenie ~tbsiir~\Jkcyjne, zdefiniowu,1 przez postulaty. Oczywiście układ ta,ldeh postula,Mw możo h; dobrany rozmaicie. Przyjmiemy tu ukhlid Hausdorf:fa 1 ), nfozniM•,r,ni. tylko zmieniony stosownie do dalszych poi;rzeb i;ego wykhMlu. Nazywać będziemy przestrzenią abstrakcyjną ka,żdy zbiór H, w którym wyróżniona została pewna rodzina, SS podzbiorów, zwn,nych otoczeniami i spełniających postulaty m1si1ępujące: I.
Jeśli
istnieją
dwa
ai b
są
rozląozne
dwoma różnymi elemlmta1ni prz<~strzen 11: II, to O'toczenia u i V taJc ie, U.: a fi u 0·1·a,z b (i 'V. 1
1
II. Dla każdego pwnktii a p?"Z(18trzeri/i H 1:8M'i 11:r~j(! wiln:i1rn otoczeniem zawierająnym p1JJnlct a,, ·'to por,zyna,jąo od r>mo 1·wj wwrto.4m: wskaźnika ri,, wszy8tlcie o·to
1
1
1
Przestrzef1 topologiczna abstrakcyjna.
5
Jeżeli a jest dowolnym punktem przestrzeni, a {U11 } ciągiem otoczeń, spełniających dla tego punktu warunek postulatu II, wówczas dla każdej pary otoczeń V i W, zawierających punkt a, bę dziemy mieli, poczynając od pewnej wartości wskaźnika n, jednocześnie Un CV oraz U11 CW. Otrzymujemy więc twierdzenie nastę pujące:
(3.1) Jeżeli pimkt a przestrzeni H
należy jednocześnie do dwu otoV i W, wówczas istnieje takie otoczenie, -które zawiera p1tnkt a i zawarte jest w każdym z otocze1}, V i W. cze·1~
Ciąg {U11} otoczeń, należących do rodziny ~ nazywamy ośrod kiem przeliczalnym (albo bazą przeliczalną) tej rodziny, jeśli dla każdego punktu a przestrzeni H i dla każdego otoczenia U zawierają cego ten punkt i8tnieje w ciągu {U11 } otoczenie Un„ takie, iż a eUn0CU. Przestrzeń H nazywa się ośrodkową, jeśli odpowiadająca jej rodzina otoczeń posiaida, ośrodek przeliczalny. Przęstrzenie specjalne, które rozważa,ne będą w dalszym ciągu (płaszezyzna, powierzchnie Riemanna,), okażą się wszystkie ośrodkowe.
b rodzina otoczeli (lla. przestrzeni metrycznej spełnia postulaty I i II. 4. Niech (!(X, y) óznacza otlległoślo, dwu punktów w przestrzeni metrycznej A . . SprnWllzić, że wzór (1 0(x,y)=(1(x,y)/[l+(!(x,y)] określa uową odległość w tej przest.rzen; (t. j. iż (1 0 (x,y) spełnia warunki odległości, podane w ćw. 3). Przy nowej tej metryce odległośe. każdych dwu punktów przestrzeni jest mniejsza od I.
20 Przestrzef1 (,\funkcyj cii~glyeh w prze(m,y), gdy m('t) i y(t) oznaezajf!! dwie dowolne funkcje ciągfo w prz(ldzialo [O~ I "I, okrc1Hlu.my ja,lrn kres górny różnicy beJ1Jwzględnej Jy('t)-x('l)J dla O.'.·:. t · 1; a0 Prz0Rtrzm'1 0 2 fuu]wy,i ciągłych m1 całej linii prostej: odlegl:oM (1(a:,y)
"
jako
sumę
bezwzglę
szeregu
~ -211 -1-·-.- M , I
.Mn , grl r.10 . .1111 11 oz11a.cza, IU'
Il
'
11=1 dht --n-::;;:k~:n;
Jy(t)-x(t)J 4° Przm1trzm'1 1'1 fnukcyj ogrnniczonyoh przedziaile [0>1]: definicja odległości ta,Jm S~1UUL jak
6wiczenia 3.
§ 4„ Zbiory domknięte i otwarte. W § tym omz w dwu §§ następnych (§§ 5 i 6) H oznacz~tć będzie dowolni<:~ ustailoną przm11mrni abstrakcyjną z odpowinidającym jej ukłaidem oi;oczeti S,), sp<~h'iiuijfJ cym postulaty I i II, § 8. Punkt ae Il nazywa1 się p1-mlc'tom ,11kupiwnia, zbioru AC li, jmf każde otoczenie zawierające punk1; a z~1wiera1 punkty zbioru A, różn od a. Zbiór utworzony z punktów zbioru A oraz jego punktó~ skupienia nazywamy domknięciem zbioru A i ozm1czamy przez A Zbiór A· nazywamy domkniętym, jeśli A=A, t. j. jeśli zbiór A za wiera wszystkie swe punkty skupienia. Ogólniej, jeśli ACBC fi, wówczas zbiór A·B nazywa się dom/cni ciem zbioN A. w zbio!ze B, przy ezym zbiór A m:iizywa się
Zbiory
domknięte
i otwarte.
7
(4.1) N a to, aby punkt a należal do domknięcia A zbioru A., konieczne 1'. wystarcza, aby byl granicą ciąg1ł.r {an} punktów tego zbioru.
jest
Dowód. Załóżmy iż a<::A.
Niech {Un} będzie ciągiem zstę j spełniających warunek postulatu II, § 3. Ponieważ a EA, więc każdemu otoczeniu Un przyporządkować możemy pewien punkt all EA. un. z drugiej strony, jeśli u jest dowolnym otoczeniem punktu a, wówczas, począwszy od pewnej wartości wskaźnika n, wszystkie otoczenia U a więc tym samym i wszystkie punkty an, zawarte są w U. Mamy więc a= lim an. pującym otocze:ń, zawierających
a
n,
.
Załóżmy
n
odwrotnie, iż a jest granicą pewnego ciągu punktów· {an} zbioru A. Rozważymy dwa przypadki: albo wszystkie elementy ciągu {a11} są, począwszy od pewnego miejsca, jednakowe j wówczas, począwszy od pewnej wartości n, mamy a=anEA.CA; albo ciąg {a11} zawiera niesko:ńczenie wiele elementów różnych i wówczas, jak widzimy natychmiast, punkt a jest punktem skupienia zbioru A, a więc a e ii. (~.2) Domknięcie dowolnego zbiorit jest zbiorem domknfętym, CZJ/li wzór A=A zachodzi dla każdego zbiorn A przestrzeni.
Do wód. Jeśli a e .A, wówczas każde otoczenie, zawierające a, zawiera punk~ zbioru A i tym samym punkty zbio.!'._u A; zate_!!l ae.A, a więc .Ac.A, co wobec oczywistego związku .Ac.A daje A=A. Punkt a zbioru A nazywamy punktern wewnętrznym tego zbioru, istnieje otoczenie U takie, iż a E UCA. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy jego wnętrzem i oznaczamy przez A 0 • Zbiór A-A. 0 nazywa się brzegiem, zbioru A.. Zbiór niepusty, który jest identyczny ze- swym wnętrzem, nazywa się otwa?·tym. Jeżeli punkt nie należy do domknięcia zbioru A, t. j. nie leży ani wewnątrz, ani na brzegu tego zbioru, powiadamy, iż punkt ten leży zewnątrz zbioru A. Mówiąc więc, iż warunek pewien spełniony jest zewn·ątrz jakiegoś zbioru, rozumiemy przez to, że spełniony jest w dopełnieniu domknięcia tego zbioru. Z definicji zbiorów domkniętych i otwartych wynika natychmiast, iż jeśli
(4.3)
Dopełnienie każdego
dopelnienie
każdego
zbioru domkniętego jest zbiorem otwartym; zbiorit otwartego jest zbiorem dornkniętym.
WH'.rl~P.
8
'fooria, rnnogo{;ei.
Jeśli A i B są dwoma dowolnymi zbi.orajmi w .J>rZHHtirznni II, wówczas, jak sprawdzamy h1iiWO na, moey tw. ::u,
(A·B) 0
Przez
=A
0
·B
0
indukcję
uogólniamy natyclnnhliHti t;o wzory na I'UiWdzamy bezpośrednio, wnętrze sumy zbiorów tej rodziny zawiera sumę wnętrz zbiorów rodziny, za,ś domknięeie iloozynu 7.ihiorów rodziny QI zawarte jest w iloczynie domknięć tyoh zh:iorów. Wynik~:L stąd twierdzenie następujące: skończoną ilość
Mówimy, iż podzbiór .A pewnHgo zbioru B jeRt wszędzir~ {Jęi'łty w B, jeśli BC.A. Jeśli B jest całą przestrzer1if:!! Jl, wóweza,s osta,imi. warunek napisać można w postaci równośei Il =A. Zbiór, którego domknięcie nie posituda, punktów W(1wnętrznych, t. j. nie zawiera, żadnego otoczenia, nazywai się nigdzie gęstym. (4.5) J e:żeli przestrzeli H jest ośrodkowa, wówozas w p~·zestrzeni tej:
zbiór E Zliw1:era, podzbiór co najwyż(~j przeliozalny, w E; 2° każdy zbiór odosobniony Z je8t oo najwyżlij prz<~lfozalny; 3° z każdej rodziny zbiorów otwartyoh, polc1"y1mijąoynh ·l<~ozni
każdy
wszędzie gęsty
Dowód. ad 1°·: Niech ( Un} będzie ośrodkiem przeliezu,lnym (§ 3, str. 5) rodziny otoczell, przestrzeni JL. Ka,żdomu otoezmliu. Un, które zawiera punkty danego zbioru E, przyporzf!Jdkujemy powi(m punkt an e Un·E. Zbiór punktów, przyporz~~dkow~iinyoh w i;eu HpoH6b otoczeniom Un, ozm10zymy przez A. Zbiór i1011 j mit; oozywhfo:io y;u,warty w E i co najwyżej przolinz~\ilny. Poka,zmny, iż jm~ii w1·w•12d.zio gęsty w E, ii. j. iz Re.A.
[§ 4]
Zbiory
domknięte
i ntwiirtB.
9
W tym celu niech a będzfo dowolnym punktem zbioru E, a U dowolnym otoczeniem, zawierającym ten punkt. W ośrodku {Un} istnieje napewno otoczenie Un takie, iż ae UnCU. Zatem U11 ·E=t=O, i otoczenie Un - a więc tym samym otoczenie dane U - zawiera punkt zbioru A (punkt an)· Przeto a eA, skąd .EC.A. ad 2°: Na mocy 1° istnieje zbiór co najwyżej przeliczalny Z 0CZ, który jest wszędzie gęsty w Z. Ponieważ jednak zbiór Z jest z założenia odosobniony, przeto łatwo zauważ.yć, iż jest identyezny z każ dym swym pOdzbiorem wszędzie gęstym ..Zatem Z=Z 0, t. j. zbiór Z jest co najwyżej przeliczalny. ad 3°: Niech ffi będzie dowolną rodziną zbiorów otwartych i G sum~ zbiorów tej rodziny. Niech następnie (jak w dowodzie 1°) {Un} będzie ośrodkiem przeliczalnym rodziny otoczeń przestrzeni .H. Każdemu punktowi a E G przyporządkować możemy takie otoczenie Un, które zawiera, punkt a i zawarte jest w jednym ze zbiorów otwa,rtych rodziny ffi. Jeśli więc przez {Unk} oznaczymy ciąg tych wszystkich otoczeń Un, które przyporządkowane zostały punktom zbioru G, wówczas będziemy mieli GC};Unk· Z drugiej strony, każde k
otoczenie Unk otrzymanego ciągu zawarte jest w pewnym zbiorze otwartym Gn 1ł rodziny ffi. Ciąg zbiorów otwartych {Gn) pokrywa tedy zbiór G, a więc tym samym pokrywa ka.Zdy zbiór zawarty w sumie zbiorów rodziny ffi. ad 4: 0 ; Na zasadzie 3° z rodziny ffi 0 wyjąć możemy ciąg skoń czony lub przeliczalny zbiorów, których suma jest identyczna z sumą zbiorów rodziny ffi 0 • Ponieważ jedrrn,k, z założenia, rodzina ffi 0 składa się ze zbiorów rozłącznych, przeto ciąg ten zawierać musi wszystkie zbiory rodziny ffi 0 , która zatem jest co najwyżej przeliczalna. Część 3° twierdzenia ~i.5 nosi nazwę twierdzenia LindelOfa i należy do typu t. zw. „twierdzeń o pokrywaniu". Inne twierdzenia tego typu (twierdzenia Borela oraz Borela-Lebesgue'a) podane będą w § H. (~WICZENIA. I. Przykłady zbiorów na, prostej, uważanej za przestrze11 metryczm1: 1f. z odleglości:1: da,1u~ przez wzór (l(x,y)=Jy-xJ (por. § 2, ćw. 2 oraz§ 3, ćw. 3 i 6). 1° Każdy przedział [li,b] jest zbiorem domkniętym, każdy przedział otw:nty (a,b) jest zbiorem ot.wartym; 2° zbiór Jmnktów 1,2,.„,n,„. jest zbiorem odosobnionym; 3° zbiór punkt6w O, 1, 1/2, 1/3, .. „ l/n, ... jest zbiorem domkniętym z jednym tylko punktem skupieniu, O; 4° zbiór punktów wymiernyeh jest zbiorem przeliezalnym wszęclzie gęstym w B.
10
wsrr1~ p.
[§ 5]
rreoria muop;m!ioi..
J.
J7
2. Zbiór nigdzie gę1:1ty Ca,ntoru,. Oznaczmy przoz .I przodzi11ił lO, I]; dzielimy I na trzy przodzialy równe i wnętrze prz<.~dziu.lu 8ro, t ..i. JH'ZO· dział otwarty (1/3, 2/3), oznaczamy przez .11 • Każdy z pozo1:1talyd1 !lwu przedziałów [O, 1/3] i [2/3, I] dzielimy znów na trzy rsóh z kn,:ii
doskonały
nigdzie gęsty (zbiokn.ztt6, iż zbiór ten. można także okroHli<: jako zbi6r wlilzy~rbkich lfozh przcHlziału [O, I], które posiadaj~1 rozwinię
5. a,) Wyznaczając w przestrzenia,ch 0 1 i 0 2 (§ 3, ćw. 5) zbiory przeliczt1ilw wszędzie gęste, udowoclni(!, że przestrzenie te 1:1ą, ośrodkowe. h) Polrn,za,6, iż w prze strzem lJ'1 (§ 3, ów. 5) funkcje, z których lrn.żda jest równn l w powHym pnnlrni~ przedziału [O, I], a poza i;ym punktem jest równa, O, tworz1li zbiór odosobniony korzystając z nieprzeliczalności zbioru ]fozll rzeezywistych przt~w<•zaH lim ('.l(an,am)=O. n,m-1-oo
7. Przestrze1\ metryczna, w której dla każdego ciągu punktów (a11 ) wiu•u. nek lim (J (an, am)= O pociąga za sobą zbieżnoM tego ci11gu, nazywit r1i1~ zw1Mlnc1,, n,m-1-oo
·
•
"
I
~
Sprawdzić, że następujtl!Ce przestrzenie Stli znpelne: 10 prostu, U (zo zwykł:i1 definicją odległości przez wzór Q(x,y)=jy--x/; 2° płaiszezyz1rn ouklidosowtt.' B 0 , t. j. zbiór wszystkich pa,r liczb rzeozywiAiiyeh (x,y) ze zwykli& clofinfo,i1~ otllog'LoAe,i przez wzór ~ (Q 1, Q2) = [(x11 - x 1 ) 2 -I- (y 2 - Yl.) 2 flu, gdzio (fr'-" (fx; 1 , :ih) i (1!2 , '(m11 ,y11 ); 3° przestrzenie C11 Q2 i lJ1 (§ 31 ów. 5).
8. W przestrzeni JU (§ 3, ów. 5) fuulwjo ch~glo tworz1t! y,bi
tworzi~
11
§ 5. Zbiory spójne. Zbiór .A w przestrzeni H nazywa się Hpójnym, jeśli nie jest sumą dwu zbiorów rozłącznych, niepustych i domkniętych w .A, t. j. takich, iż żaden z nich nie zawiera punktów
"'''°W'-*"-""ł
Ji,.
Zbiory spójne.
t,
sk1~pienia drugiego. Zbiór, złożony z jednego tylko elementu, jest oczywiście spójny. Zbiór domknięty i spójny, zawierający więcej niż jeden element, nazywa się kontynuum. Zatem:
N a to, aby zbiór flomknięty byl kontynuum, potrzeba i wystarcza, aby zawieral co najmniej dwa punkty i nie dal się przedstawió jako suma dwu zbiorów rozlącznyrh, domkniętych i niep1istych (warunek Jordana).
Zbiór otwarty i spoJny nazywamy obszarern. N a to, aby zbiór byl obszarem, konieczne jest i dostateczne, aby nie byl su'l'ną dwit zbiorów rozlącznych, otwartych i niepustych. Istotnie, jeśli zbiór otwarty G jest sumą dwu zbiorów otwartych i rozłącznych, wówczas zbiory te są zarazem domknięte w G; odwrotnie, jeśli G jest sumą dwu zbiorÓ'w rozłącznych i domkniętych w G, wówezas zbiory te są za,razem zbiorami otwartymi. Zbiór, który jest domknięciem obszaru, nazywać będziemy obszarem domkniętym. Zbiór taki jest spójny, jak wynika z następu jącego twierdzenia: otwart~f
(5.1)
JeżeU
.A jest zbiorem spójnym, wównzas
domknięcie
jego jest rów-
nież zbiorem spójnym; ogólniej, każdy zbiór B taki, iż ACBCA, jest spójny.
Dowód. Istotnie załóżmy, że zbiór B jest sumą dwu zbiorów B 1 i B 2 niepustych, domkniętych w B i rozłącznych. Wówczas .A=.A·B1+.A·B2 , przy czym zbiory .A·B1 i .A·B2 są rozłączne i żaden z nich nie zawiera punktów skupienia drugiego. Jeden więc z nich przynajmniej, np . .A·B1 , jest pusty. Zatem B 1 CB-AcJI-A, skąd wynika, iż każdy punkt zbioru B 1 jest punktem skupienia zbioru A. Ponieważ zaś .A·B1= O, a więc .ACB-B1=B2 , przeto każ.dy punkt zbioru B 1 jest punktem skupienia zbioru B 2 • Dochodzimy w ten sposób do sprzeczności. (5.2) Jeśli 6 jest rodziną zbio·rów spójnych, posiadających iospólny punkt a, wówczas s11,ma 8 zbiorów tej 1·adziny jest ?'Ównież zbiorem spójnyni.
D o wód. Załóżmy, iż 8 jest sumą dwu zbiorów rozłącznych 8 1 oraz 8 2 , z których żaden nie zawiera punktów skupienia drugiego. Niech a E 8 1 • Wówczas każdy zbiór .A rodziny 6 zawiera się
12
[§ 6]
w zbiorze Su w przociwnym howiom J%Zfo bylhy HlmHt dwu zbfo~ rów niepustych rozlącznynh, A· S 1 oraz A.· 8 2 , z klhrych zad on nfo zawiera punktów skupienia drugfogo. 7.iatann B::.: ·O, Hln~d wy11.Um, iż zbiór S jest spójny. Jeśli S jest podzbiorHm s1>ójuym JHiwrwgo Yih.ioru il. i jm'lli każdy zbiór spójny, z~1wa,rtiy w A j zrtwiora1ją<..y B, polo·ywłt Hię z R, wówczas zbiór S nazyw~1 się .i;/clculową zbioru A. Bkfad.owo ihioru są to. więc podzbiory spójne, które przy zainl10wauiu sp6jnmfoi nio mogą być już rozszerr.;on.e w danym zhiorzo. Niech a będzie dowolnym punktem zbfo:ru A. i nfooh H h.2 zbiór B j<1Ht równioż podl'Jbi.orom spójnym zbioru A i jm~t onzywiścio jego skladoWfł!· Zn,t;om: (5.3) .J{a,żlly p1tnlct zbiot1.r, ?U'tfoży vm,muij .'?klad01Mj zb 1fo1·· 11.1,. Za,uw~tżmy dnilej, iż joRli S jm;t HkhMlową pownngo 7il>ior11 A, !l.il1Ś S 1 jest dowolnym podzhiormn Hpójnym zbioru .A., poH.ia,d.H1j~~< 1·Y1Yl. pu11kt;y wspólne z B, wówcz~ts, w myśl twierdzenia o.~, zbi.61· H 1·1-'i\C A .i<\t-rt również spójny, a więc S =S +S1:JS1 . Przeto:
a jesti punktem odosobnionym zbioru. A, w6w<·.zu1H jmdi punktem odosobnionym k~tżdego zbioru B, Zt1W}t'f'1ijnym, r.n1wiomjącym punkt a, jest zbiór (aj. Zat;mn:
również
Zbiory zwarte.
13
(5. 7) Jeżeli rMZzina 6 każdy zbiór A.'
z którym ,fł'ltma
s
zbiorów spójnych zawiera pewien zbiór Ao: tej rodziny posiada prunkty wspólne, wówczas zbiorów rodziny 6 jest zbiorem spójnym.
Dowód~ Przede wszystkim w myśl twierdzenia 5.2 każdy zbiór postaci· A. 0+A, gdzie A.. e 6, · jest sp.ójny·; ponie'Yaż zaś wszystkie zbiory tej postaci posiadają punkt wspólny (np. dowolny punkt a e A 0 ), zatem suma ich jest spójna. Suma ta pokrywa się oczywiście ze zbiorem S. 1
( 5.8)
I
Jeżeli każd~ ,. dwa punktN zbi~ru
A należą
spójnego tego zbior1'1, wówczas sam zbiór A jest
\I
d~ pe(,onego podzbioru również
Dowód. Niech a. będziedowolnympunktemzbioruA,zaśSsumą wszystkich podzbiorów spójnych zbi.oru A, które zawierają punkt a. Mamy wówczas A.=S, gdyż każdy punkt zbioru A należy do jednego z tt11kich podzbiorów. Z drugiej strony, na mocy twierdzenia 5.2 zbiór S jest spójny.
§ 6. Zbiory zwarte. Zbiór A w przestrzeni H nazywa się zwa.rtym, jeśli z każdego ciągu {a11} punktów tego zbioru wyjąć można podciąg {an1) zbjeżny. Każdy podzbiór zbioru zwartego jest oczywiście także zwarty. W szczególności tedy, jeśli przestrzeń H jest zwart~i, k~1żdy
zbiór w tej przestrzeni
również
jest zwarty.
(6.1) Twie1"dt:enie Canto1·a. Jeśli {A.n} jest ciągiem zstępującym zbiorów domkniętych, zwa1-tych i niep1tstych, wówczas iloczyn tych zbiorów jes·t również niepiisty.
Do wód. Przyporządkujmy każdemu zbiorowi A11 pewien punkt au e An. Ciąg {a11 } zawiera się w zbiorze A. 1 zwartym, wyjąć więc zeń można podciąg zbieżny {ank). Niech a będzie granicą tego podciągu. Każdy zbiór A.n zawiera wszystkie wyrazy ciągu {ank}, począwszy od pewnego miejsca (mianowicie dla nk~n). Ponieważ zaś wszystkie zbiory A.n są z założenia domknięte, przeto punkt a należy do wszystkich tych zbiorów, a więc także i do ich iloczynu. (6.2) T·wie1"d~en'i.e Bo rela,. Jeżeli {6\} jest ciągie1n zóiorów otwartych, pokrywających lącznie zbiór domknięty i zwarty A, wówczas z ciągu tego wyją6 można sko'J1.czoną ilośó zbiorów, które również pokrywają 1
b"orów otwartych ich uzupełnhmia, OU11 tworz~~ tody c:iąg. ZHtlQJHl" 1 ~ b'orów d~mkniętych (por. tw. 4.3), u, zbiory A· OR" nuł!g zstQJący z 1 r . /,. ·; A (1]> ·j·O u· 0 zbiorów domkniętych i zwartych. Z~1·1ozmy, rn . · ·Lir· · ~1~\;żdej wartości n. W myśl więc twio~dzcmiu. (U, ..st;o~UJ~~o przfr kształcenia, wedle wzorów do Morgainn, (§ l), o1irzymnJomy 1 ·
oo
oo
n=1
n=1
. ..A.. O(};Rn) =A· f1 OB11 =
oo
fJ A· Olł11 =l= O, w·,1
co sprzeczne jest z założ
oo
..A. cl)e// =2JR11· 11'"''1
li''''
1
Dla pewnej tedy w~1.irtośoi .N nutm.y A„ fa (tw. 4.5 (30)), z~tstąpić moż<·uny w liWHmbrnnrn Borela ciąg zbiorów otwartych przez dowolną rodzinę zhior(>w O'tw~1r tych. Otrzymujemy w ten sposób następująco (6.4) p 1,,,i.erd?.:-en ie Borela-Lebe."Jf!'lW'a. ,Jr~ż~U
io p~z
<3WICZENIA. I. W przeHtrzeni rnt,i1r,y(•,znc1j (oh. § :l, (.,w. 3) kn,7,(ly z.hi~ll' zwarty posiada podzbiór, skończony luh prz<1li<~zu.luy, WRZQ w dowolrH::).i. prz~1 ~ strzeni · metryczne~) ff jest rodz:i:m~ zbiorów ' • t. . tych, o średnicach d1.~żi~cyoh do zera,, w dowolnej prz<~Stirzem mff Tyt~z1u:1;1 ZH· pełnej (ob. § 4, ów. 7), wów<1za.s iloezyn iiych zbiorów równioż n'in jmrl1 }mR·ty (przoz średnioę zbioru rozumiemy kres górny odleglośoi jH,kiohkolwfok wnioż zn· łożenie, iż średnice tyeh zbiorów dąż1~ clo zeru,, lill~ niozhQ
w
§ 7. Przekształcenia ciągłe. Niech E będzie dowolnym zbiorem, a F funkcją, określoną w zbiorze E i przyporządkowującą każdemu elementowi x e E jednoznacznie pewien element JJ1(x). Oznaczając przez E* zbiór wszystkich elementów x* =F(x) dla x e E 1 mówimy wówczas, iż funkcja F jest przekształceniem albo odwzorowaniem zbioru E na.zbiór E*. Zbiór E* oznaczamy przez F(E) i nazywamy obrazem zbioru E w przekształceniu F. ,Jeśli dla każdego elementu x* eF(E) istnieje tylko jeden element xeE taki, iż x*=F(x), wówczas funkcję F nazywać będziemy funkcją jednoznacznie odwracalną na zbiorze E, albo przekształceniem (odwzorowaniem) jednoznacznie odwracalnym lub jedno-jednoznacznym, zbioru E na zbiór E* -F(E); funkcję określoną na zbiorze E* i przyporządkowującą każdemu elementowi m* tego zbioru element x, spełniający równość m* F(x), ozna,czamy wtedy przez F- 1 ; funkcję tę nazywamy funkcją odwrotną (albo p1·zelcsztalceniem - lub odwzorowaniem- odwrotnym) względem funkcji F. Przekształcenie Ji1 zbioru E t~tkie, że F(x)=x dla każdego XfE, nazywa, się tożsamo.foiowym. Jeżeli JJ1 jest przekształceniem pewnego zbioru E na pewien zbiór E*, a, G przekształceniem zbioru E* na pewien zbiór E**, to przekształcenie H zbioru E na E**, określone przez wzór H(z) = G[F(z)] dla z eE, nazywamy iloczynem przekształce1i F i G i oz1rnczamy przez GF. Niech ffi będzie rodziną przekształceń jednoznacznie odwracalnych pewnego zbioru E na ten sam zbiór. Rodzina taka nazywa się gntpą przelcsztalcdi zbioru E, jeżeli iloczyn każdych dwu przekształceń należących do rodziny ffi, jak również i przekształcenie odwrotne względem ka,żdego przekształcenia należącego do tej. rodziny, należą także do rodziny ffi. Niech H i H* będą dwierna przestrzeniami topologicznymi abstrakcyjnymi (ob. § 3), zaś F funkcją określoną na pew~m zbiorze ECH i przekształcającą ten zbiór na pewien zbiór E*CH*. Będziemy mówili, iż fu:nkcjaF jest ciągla na zbiorze Ew punkcie x e E, jeśli dla każdego ciągu {xn} punktów zbioru E, zbieżnego do x (w przestrzeni .H), ciąg {F(xn)} jest zbieżny (w przestrzeni H*) do punktu F(x). Definicję powyżSZll! uważać moż1u1 za uogólnienie definicji ch'i;głości, podanej przez Heinego dla funkcyj zmiennej rzeczywistej. Możnaby również sformułować ją w postaci, uogólniającej definicję Cauchy'ego i opa~ej bezpośrednio na pojęciu otoczenia: funkcja F jest ciągła na zbiorze Ew punkcie x e E,
16
[§ 8]
PlaBzezyzua.
17
1
· 1.1· 1.\azce1nu ·l ""Wl.<'r'll"l<'OlllU Jei:11 :.otc>c·z·c, „,,,111"u ·r7* c., ""' '"','!' · 1m11ki; a:* · /1 (:x:), od powiada 'ii11,Jdo otoczenie U punktu x, }ż .T?(JD· U)C U*. O i
'
. . ' w lrnż
.E jes11 eiąigłni rn1i zhim·zH N tego zbioru, wÓwezf1s naz~wi1 sj.Q /11,nlwją przekształceniem ~ albo. fHlwzor~>wa,~hJm ··~·· .im·u E na E*,, wówcza~ mówip:~y, źe zbiór Jl)* jmit obra,zorn, oio przelcsztalceniem :homeom01·finznyrn 111b oilwzm•owa,rnilwm h<> 1mdw'rn
ficzn11m z E. Twierdz(mie rntstępujfl!ee pod~1jo m~.tin'oHi;Hz<~ wlaH1w1foi uimmlionnicze zbiorów przy przek.sziia,łeenfaeh eiąglyeh:
e.m
.711 jest przeksztafoenirwn m;ąglym zlJ'for 1.t• .Jl) r1ili, zhl w .li)*, zb'iót• A. ty(lh wszyRtkioh pimktów i'.V e EJ, illn kt
1
spójny; ( c)
jest
dla
każdego
zbior1.t, domkniQlllfJ<> 1: zwr,M"fo{lo r '/J1( U)
również domknięty
1
i zwo.lrt71.
Dowód. ad (aJ): Niech {au) hędzfo eiągfom pu.nldi6w zhforn A, zbjeżnym do pewnego· punktu ae.IO. Wówcztts .Z11(a,):c:::::linl.7?(a,n)elfl*, •
.
.
li
a że .F(a11 )eA* dla n=l,2,„. i zbiór Jl* josii domknięiiy w f!J*, więe .F(a) ·e A*,. i tym samym lt qL Zbiór A joH1i więe domkni<2t;y w 11).
. ad (b):
Możemy przyjąć, iż
B ::;::::10, it .I11(B) ~:::::JP(JD) :::~:JO*.
więn, żo
Jeżeli zbiór JE* nh~ j(~S1i spójny, im jost; stum~ w Porih~<·.71~ nych, niepusiiych i domkniętynh w IO*; w<'>wrnmi;, w rny1H (u,), zbiór E jest t~1kżo smnf!! dwu zhior6w ro7ih~c·,zny<1ll, utopw-rli,V(lll i domkniętych w 10, .it przoto równfoż rrin jrn-rb sp6jny.
ad (c): Nfoeh {011} będzie dowolnym cjągiem punktów zbioru 1 1! ( O) i nioeh ri11 oznaoznJ dla każdego ·n punkt zbioru C taki, .jż .Tf(r!11)=0~. Poniowa,ż zbiór O jest domknięty i zwarty, więc ciąg {ou}zt1wiernpodcdąg ·(cnil) zbieżny do pewnego punktu.ce O. Z uwagi więo n~t ciągłość, fm1keji P, mamy
lim c.1t/{ =lim F(cn ) ~ F(c) eF( O), /{ il li skąd wynilrn domkuiętość i zwari;ość zbioru .F( O).
(~WICZKNIE. ,fożoli · (/1 jest przekształeeniem ciągłym przestrzeni 1-I na przm,ii;rzm't Il* i A jrn:1t iloczynem ci11:gu zstępującego zbiorów domkniętych i zwartye.h (A 11 ) w przmrlirzcmi Il, ~v6wczu,s W(..:l):o--= W( An)·
/7 li
*8. Płaszczyzna.
Zbiór wszystkich liczb zespolonych nazy-
w~tć hędzimny pla,NzN~Jlzną r, kMry 'lmzywać będziemy plaszczyzną Gau.ssa, plaszczyzną do1nkn1:ctą ~tlho w.r>ros1i plaszczyzną i który oznaczać będziemy przez E. Elomenty płaszczyzny nazywamy piinktami: punkt oo - punktem w nieRko 1fi.ozonolwi1 pozostałe punkty - liczbami sko1ficzonymi albo p1,tnkta,mi w slun/,czoności. Punkt z=x+iy, gdzie tv oraz y są liczbami rzeczywis1;ymi skm~ezonymi, oznaczać także będziemy przez (x,y); liozby m omz y imzyw~1ją się czę.foią rzeczywistą i częścią 1urojoną punktu z i ozrnwz~1ć jo będziemy odpowiednio przez .:llz oraz JJ.z. Zbiór wszysi;ldch liezh rzeczywistych nazywf1my osią rzeczywistą, a zbiór wszys1;kich liczb urojonych postaci 1:y, gdzie y jest dowolną liczbą rzoezywistą
1t,rojor1dt. Pisząe
liczby zespolone w post~LCi x+yi, ii+vi it.p., rozumieć zawsze .rn·zez m, y, 'n, v, bez dodatkowych omówie11, liczby l'Z(~c·.zywi!':te o ilo oczywiśeie inny charakter tych liczb nie wynika z calolnizktltu rozważ~11l. Jeż<~li z=x+Jfi jest liczbą zespoloną, w6wc71:1;~ z ozniwzać 1)ędzhj liezhę a:-y1·, którą nazywamy sprzężoną 71. li.<.~71.JH~ z. J;iczhy .f:lprzężorn:. są.~;c · . c punkty położone symetryezrn<1 wiglę
H. SnkH i A. %y!,\'1u111Hl. l•'unlwjo annlilycz1w.
B W
•
·
2
WSl,ĘP.
18
~fooria mnogości.
[§ SJ
Jeżeli A jest dowolnym zbiorom na ph1szczyźnio, ·,vów<•,zu,1-1 !Jra,niczonym, jeśli nie ·zawiera punktu oo i jeśli zbiór w~1rtośei lwzwzględ nych punktów ze Z jest ograniczony, t. j. jeśli ist:niojo liezlm rz<~M
czywista skoń,czona m taka, że lzlweiaLK o
(8.1) gdzie t jest liczbą rzeczywistą i O~t~ l. Punkty z11 z2 nu,zywa;ji.~ Hi'2 kra1~cami odcinka [z11 z 2]. Jeśli w odcinku ·tym jodon z dwu kruii\e6w, np. z1' został wyróżniony jako początek, i1 drugi Za jako /c(HVfoo odcinka, wówczas odcinek nazywać się będzie zorien'tow(:inym i oz1u1--+
czać
go będziemy przez [z1, za]; gdy jednak nie będzio ołH1wy nieporozumienia, strzałka w symbolu powyższym będzie pomij łliirn i zit· miast „odcinek zorientowany" będziemy mówi1i wprost „odcinek". Zbiór punktów z postaci (8.l), gdy t px·zobieglt wHzyHtk:ie wartości rzeczywiste skoń,czone, Hi z11 za s~~ dowolnio uHimlonymi punktami w skończoności, nazywai sję p?'ONtą. Odcjnek, którego kra1ice (a więc i wszystkil1 punkty) sąi :rzoczywiste, będziemy nazywali przedziałem. Poza1 tym, przl~
Płaszczyzna.
19
, J~~eli a1, a2, ... ,an jest dowolnym ciągiem skończonym punktow, roznych od punktu oo, wówczas ciąg odcinków zorientowanych ~
punkty ai, az, ... , a11 wierzchołkami tej łamanej, a odcinki [~+1 ] ' jest' g d. zie k =1,2, ... ,n-1, jej bokami. Wierzchołek łamanej, który wsp?lnym krańcem więcej niż dwu jej boków, nazywać się będzie wierzchołkiem wielokrotnym. Jeśli łamana nie posiada wierzchołków wielokrotnych i ponadto żadne dwa jej boru nie mają punktów wspólnych, poza co najwyżej wspólnymi krańcami tych boków , wowczas mówjmy, iż łamana nie posiada p u.nktów wielokrotnych.' Jeśli w łamanej [ar, a2, .„, an] wierzchołkj a 1 i a11 się pokrywają, łamana nazywa się zamkniętą. Łamana, która nie jest zamknięta i nie posiada punktów wielokrotnych, nazywa się łamaną zwykłą. Należałoby w zasa,dzie odróżniać łamaną (określoną jako ciąg odcinków) od zbioru punktów tej łamanej. W wypadkach jednak nie budzących wątpliwości zamiast „zbiór punktów łamanej" bę dziemy mówili wprost „łamana ·'. tJeśli a1, b1, a2 oraz b2 są liczbami rzeczywistymi skończonymi i jeśli a1
---+
-~
te same odc.inki, jako zorientowane: [z 11 z2], [z2 , z3 ] i t. d., nazywać się będą bokami zorientowanymi prostokąta, lub zorientowanymi zgodnie z prosto ktttem [a11 b1 ; a2 , b2]; wre.szeie łamana zamknięta [z1 , z2 , z3 , z4 ,z1] (jak spostrzega.my natychmiast - bez punktów wielokrotnych) nazywać się będzie obwodem rozważanego prostokąta. Obwód prostokąta I oznaczać będziemy zwykle przez (I). Odległość {}(a, b) dwu punktów a i b płaszczyzny E określa my - w przypadku, gdy obydwa punkty leżą w skończoności przez wzór e(a,b)=lb-aj, a w przypadku, gdy jeden lub obydwa leżą w nieskończoności, przez wzór e(a, oo)= e(oo,a)=l/Jaj. Widoczne jest, iż w ten sposób określona odległość spełnia warunki następujące:
) Zakłaclamy tu zna,jomośó Ui'rytmeiiyki liczb z0Hpolon,y<1h (oztmooh d.z.ialn,(1 arytmetycznych, whtsności wartości bezwzglęcluej), ~I'. zw. 11 r>rz
1° e(a,b)=O wtedv i tylko wtedy, gdy a=b; 2° e(a, b) = e(b, a) dla każdej par11, p'ltnktów a, b; 3o (!(.a, b) + (! (b, C)?;?; (}(a, c), ilek?·oó a, b i C są pu,nktami W Sk0 1J~ czoności.
2*
20
[§ 8]
Ostu,tuia nicm'>w110KC1 1n·z<1Ht1tj11 h.v<'1 ua og«'>I prawdziwn, gd,y <'.}10(•.h,y .iodo11 z punktów a, b i ,Y z togo powodu wi~t;pi(~ o wlulw.iwości poda.nego wyżej uog6lnio11iai o<1w11ych illll,Y(''.lt twierdze1t z teorii funkcyj. Po11iżej, w (1w. I tog'<> p01la.1omy odwzo1·ow:t.11U1 homeomorficzne pła,szczyzn,y Gaussa, 1rn J><>wiorzclmię lrnli, Ha. kV1rnj ooz Y.a.
takich, iż r1
*·
1.)
gdy p e p i q r. Q. Wrmizeio .frw(\zaH 1n•zoz K(a;1·) oznaczać będziemy-w przypa,dku, gdy f.i ::!:~ c:xi -zbi6r wHzyHi;~ kich punktów z, spełnfającyeh nierównoRĆ e(a,z)<:'r :i różnych ocl 1x), a w przypadku a=oo zbiór wszysi;kieh pm1ki;ów z (łą<1znfo z punktem oo), spelnfających tę nierównoHć. Uog6lniaj~~n clo:f:infoję koht z goometrii elementarnej, wyróżniono powyżej zbiory K(ft;?") m'Hiz na,h11 płaszczyznę nazywrtić bQdzimny lwlrvm/i otwart:11ttrd ailho wproH'ti kolam/1:. Punkt a i liczba ?' nazywać Hi\~ l>Q· mieniem koła K(ap·). Koło o 1.froH't; otoczeniem - punktu a. Koło K(a; r) o środku a,j:oo jmit '(;edy zbiorem wHz,yHLldch pt.rnkt,
1· •
1
/z-a/
O, u, pia.HZ· czyzną otwarti~ E 0 , jeśli. r==OO. Koło K (oo; ir·) o Rl'oI/r; jm1t wiQe zbiorom pnHii.Ylll, gdy ?' O, n (•,n,lą ph1szczyzną B z wyłi1czeniom pnnldiu O, gdy r:;::::OO,
o kofaeh oi!Wltirt,yeh, hQdzh~1ny Z!\JWHZ<~ to koh\, o promioniaoh dodttimich, u, więo zbiory niepuste. ~fam za.ś, gdzio będl:l! mogły wyr,ii;ępować koht, o p1•ow mieniu o, będzie iio wyraiz.nio zaznar.zonP. Jeśli a j(~St punktiern płniHzc•.zy~my, 11 ?\ i ·;· 2 li.mi;lmmi 1•zo<1zywhd1ymi (sk01iezonymi lub ni'':H W<'>W< .ZH1H przez P(a; 1\,r2) ozrutczttć hędziom.y zhi(n• WHZ,YHi;Jdoh punkt;6w f:i' !"oo W dalszym
eiągu, n1ówiąe
zakładali n1ilcząco, że są
1
pierścieniowym punktu a. nazywać będziemy każdy o środku w tym punkcie i o mniejszym promieniu O, a więc każdy pierścień postaci P(a; O,r), gdzie r>O. Jak widać natychmiast, otoczenie pierścieniowe P(a; O,r) różni się od otoczenia kołowego K(a; 1·) punktu a jednym tylko punktem a, który należy do K(a; ?'), lecz nie należy do P(a; O,r). Jeśli a jest dowolnym punktem płaszczyzny i r>O liczbą rzeczywistą sko11ezoną, wówezas okręgiem o środk1t a i p1·omieniu r nazywać będziemy zbiór wszystkich punktów .~=f= oo takich, iż e( a, z)= r. Okrąg ten oznaczać będziemy przez O(a; r). Mamy oczywiście zawsze
Otoczeniem
Odleglo.foią e(ct,P) imnkt;u a, od zbioru P na phM-iri<•,zy?info JO nazywamy kres dolny liczb f!(<:i,p), gdy 1mnkti V prz<1hinga zl>.i<'>l' P, a odleglo.foią Q(P,CJ) dwu zbiorów Pi U(r>,r/),
takich, że
21
pierścień
Warto zauw~1żyć, iż w myśl przyjęboj powyż<\i
Płaszczyzna.
(1( .:>o;
·r)= 0(0; 1/r).
Punkt oo oraz wszystkie punkty w skończoności, których część rzeczywista i urojmiai są liczbami wymiernymi, obejmujemy nazwą p·unktów wyrniernych płaszezyzny. Zbiór tych punktów jest przeliezalny (por. § 1). Koła o środkach i promieniaeh wymiernych nazywać będziemy kolami wymiernymi. Ponieważ każde koło wymierne wyznaczone jest przez dwie liczby wymierne (środek i promie11), • więc zbiór tych kół jest także przeliczalny. · Przyporządkujemy ph1szczyźnie E jako układ otoczeń et zbiór wszystkich kół otwartych o promieniach dodatnich. Sprawdzamy bezpośredruo, iż postulat I, § 3, jest spełniony, gdy przyjmiemy H=E oraz ~=et;· postulat II spełniony jest również, jak sprawdzamy, obierając np. za ·'ciąg otoczeń { Un) dla ustalonego punktu a płaszczyzny ciąg kół {K(a; 1/n)}. Nadto, jak spostrzegamy natychmiast, koła wymierne tworzą ośrodek przeliczalny (por. § 3) układu otoczeń et. Płaszczyzna E, z przyporządkowanym jej układem otoczeń et, jest więc pewną przestrzenią ośrodkową. (Podobnie płaszczyznę otwartą E 0 uważać możemy także jako przestrzeń ośrodkową z rodziną kół otwartych o promieniach dodatnich i środkach w skoń, czoności, przyjętą za układ otoczeń.) Zbieżność eiągu {zn} 1rn płaszczyźnie E do granicy z (por. § 4, str. 6) równowa,żna jest związkowi e(zn,z)~o, a więc w przypadku, gdy z=limz11=f=oo, związkowi lz-,.zul-+-0. Ponieważ dla każdej Il
liczby zespolonej a jest:
ldHlil ~la/,
lclaj ~la,/,
la/~ /c'Ha./
+ jc7a/,
22
WSTĘP.
Teor.ht rnnogoi'.mi.
więc zbieżność ciągu -{z11 } punktów ph1szezyzny 1iJ do gmnfoy rikol'wzo„ nej w sensie definicji ustalonej w § 4 dlai przt~H"lirzeni ~1h1:11;r~1keyjuoj równoważna jest jednoczesnej zbieżności obydwu eiąg·6w {cfilzu} i {c'7z11} w sensie definicji przyjętej w aMlizie dfo eiągów rzoezywiAiiy<1h, a związek limz11 =z=f=oo równoważny jest parzB związków .filz11.„hv?z,
Jlz11-+dlz.
N~tomiast związek limz11=00 r6wnowttzny jmit; rozhfożn
ności do nieskończoności ciągu rzeczywistego {lzul}. Dla wię1crizej zgodności
z terminologią analizy na,zywać będziemy roz bfożnymi ciągi punktów, które nie są zbieżne do granicy skofwzonoj. Terminy „rozbieżność do oo" i „zbieżność do oo" rozru:nieć więo .iutl.oży jako równoważne. Podamy parę najprostszych przykładów zbiorów doruk1dę·byc•,h i otwartych na płaszczyźnie. Koła i pierścienie są zhiomrn.i ot;wartymi (stąd nazwa „koła otwarte'',.„pierśeienio otwa,:r.i;oH); odoinki, prostokąty, okręgi są zbiorami domkniętymi. Prost;u, joH'tl rihiorem domkniętym na płaszczyźnie otw~1rtej .E0 , nfo joAti ;jodnak !!ihiorem domkniętym na płaszczyźnie E, gdyż nie zaiwiom swogo punldm skupienia w nieskoń,czoności. Kołem domkniętym o środku a i promioni'l1, r ~O naizywać hQdziemy, w przypadku gdy r>O, domknięcie koła otwartego K((.i; ?•); • w przypadku, gdy r=O, a więc gdy K(a;O)=O, przez koło domlmięt(~ ·o środku a i promieniu ?·=O, rozumie6 będziemy zbiór złożony z jedynego punktu a. Koło domknięte o środku a, i Jrt'orniN1in r~ O oznaczać będziemy przez K(a;1·). Analogicznie, pierśm'.eń domknięty P(a;r1,r2 ) o ,frod!Mt a,, lJ'i'Omieniu mniejszym r1 ~ O i promieniu więlc.qzym r2>r1 , okrc~ś1amy ju,ko domknięcie pierścienia otwartego P(a;1·11 r2 ). Pierścieuio domlrntętc} o promieniu mniejszym r 1 =0 są kołami domkniętymi. Ogólniej, mamy zawsze: 1
(8.2) Płaszczyzna E jest przestrzenią zwartą.
Płasżczyzna.
[§ 8]
2° Ciąg {iznl} jest ograniczony. PrzyjmuJ·ąc więc x Il =cfizli , y Il =.fizli , otrzymujemy dwa ciągi rzeczywiste {xn}, {y), również ograniczone. Stosując do pierwszego z tych ciągów twierdzenie BolzanoWeierstrassa możemy wyjąć zeń, podciąg ,zbieżny {xnk}; stosując ponownie to samo twierdzenie, tym razem do ciągu {Yn ) , możemy k wyjąć z tego ciągu znów pewien podciąg zbieżny {Yn }. Obydwa kJ c~ągi {xn1) oraz {Ynk} są zbfożne, a tym samym zbieżny jest ciąg J
J
{znkJ = XnkJ + iynk)-
z tw. 8 .2 wynika zarazem,
iż na. płaszczyźnie o twa r tej E 07 za przestrzeń, zbiory zwarte pokrywają się ze zbiorami o gr a n i cz o ny mi. Natomiast na płaszczyźnie E wszystkie zbiory są zwarte. uważanej
Q są zbiorami domkniętymi na dwa p'l1.,nkty pe P oraz q e Q takie, iż
(8.3) Jeżeli P i istnieją
płaszczyźnie,
wówczas
ri(p,q)=a(P,Q).
(8.4) Odległośó
dwu, zbiorów
i tylko wtedy, gdy zbiory te
domkniętych mają
jest więc równa zeru. wtedy punkt wspólny.
Dowód. Twierdzenie jest oczywiste, gdy P·Q=f:O. Możemy tedy zbiory P i Q są rozłączne. Jeden więc z nich przynajmniej, np. zbiór P, nie zawiera na pewno punktu oo. Niech {pn} i {qJ będą odpowiednio ciągami punktów ze zbiorów P i Q, takimi iż a(p 11 ,q1)-+ri(P,Q). Z uwagi na zwartość płaszczyzny (por. tw. 8.2) możemy wyjąć z ciągu {pn} podciąg zbieżny {pnk}, a następnie z ciągu {q1;) podciąg zbieżny {q%). Niech p oraz q będą założyć, że
granicami tych dwu ciągów. Pokażemy, iż punkty te czynią zadość (8.4). Istotnie, przyjmując ą.1a skrócenia Pnk - ai, q%= bi, mamy 1 aneP, b11EQ dla. n=l,2,„. oraz
równości
(8.5)
p=Iiman e P, Il
Dowód. Niech {zn} będzie dowolnym eiągiem 1nmldi6w m1 płaszczyźnie E. Rozróżniamy dwa przypadki: 1° Ciąg {lz11I} jest nieograniczony. Wówczf1s dh1 1rn.ż.d.ej liczby naturalnej k istnieje wyraz zn11 taki, iż lznkl>7c, przy czym WYJ'HiZY t;e wybra6 możemy w ten sposób, iż nll+1>n11 dla 7t.:=l,2, „ •. M}t1:ny więe ~znk=oo i ciąg tzn 11 } jest podciągiem zbhiżnym ciągu {z11 }.
23
Rozróżnimy
q=limb11 eQ, n
lime(a11, bn)=e(P, Q). Il
dwa przypadki:
1 o q=f=oo. Wówczas, począwszy przynajmniej od pewnej warn, jest również bn=F oo, a więc
tości wskaźnika
a(P,Q)=lime(a11,b11)=limlb11-a11I = jp-ql =a(p,q)~ Il
gdyż
Il
punkt p ora.z punkty an, jako różne od oo.
należące
do P,
są
z
założenia
24
[§ 8]
20 q=oo. Począwszy od pewnej wa,r1;ośei n, nrnimy w6wmm1-1 b11=-q=oq mielibyśmy e(tMii,111 b1i1)=/bn11 -an11 /-->-00, (IO Hp:rzen.ZlW joHii jednak z ostatnim ze związków (8.5). Mamy zat1om dla, wariioM Ści n dostatecznie wielkich (.!(an, bn) = (!(f1u, oo) J //a,11/, a, Wi(J<~ a(P,Q)=lim~(a11 , b11 )=l //p/=f;>(p, oo)= Q(p, q), eo na,leżało udowodnić.
ĆWICZENIA.. I. Ozna,ezmy przez S powierzchnię kuli x2+y2+(z-R)Z=R2 i przez N punkt (0,0,2R) {„biegun póh10cny") tej. powierzchni. Przyporząd kujmy punktowi oo płaszczyzny xy punkt N, każdemu zaś punktowi P tej płaszczyzny, położonemu w skończoności, punkt przecięcia powierzehni S z proSfal! PN, różny od N. Otrzymane odwzorowanie jedno-jednoznaczne i ciągłe płaszczyzny E na powierzchnię kuli nosi nazwę rzutu stereograficznego. Ponieważ powierzchnię kuli uważać możemy za przestrzeń metryczną (ze zwykłą definicją odległości przez wzór
.„,
Udo~odnimy na zakończenie tego § i;wfordzm1.io naHt~pująco, które wyróżnia na płaszczyźnie ważną klasę zhior6w nforH·zoHeznhrych: (8.6) Każdy
zbiór doskonaly na
pla.'?zczyźnic~ jeHt 'n/bl~P'l''Zriltl
Dowód. Załóżmy, iż punkty zbioru dosko.trnłogo .A. l, (b) środek każdego kofa K11 naileży d.o zhiol'u A, (c) koło domknięte 1(11 nfo ·ZlLwfom. punktu. <111. Obierzmy w tym cefu za K 1 dowohrn koło, któl'.'ogo 1-lrocl<'k należy do zbioru A i które nie zawjera wew11ąt1·z, ani rm hrzt~gu, punktu a1 . Załóźmy następnie, iż określonych zosta.ło ?" kół.K1,H2, .„,](r w ten sposób, iż warunki (a), (b) i (c) spel:niorw są dla n<1·. Koło Kr, jako posiadające środek w pu:nkefo nailożąeyn1 do zbioru doskonałego A, zawiera niesko11,czcmio wiolo 1nmktów tmgo zbioru. Niech b będzie dowolnym punktem zbioru A, zniwar·tym w ](„ i różnym od punktu ar+1· Możemy tedy wyzwtczyć koło K„ . 1 o środku w punkcie b, tak by warunki (a), (b) i (e) spełnione hyły dfa n:=r+· l. Ciąg {Kn} jest w ten sposób określony. Niech teraz bn oznacza środek kofa JC,. Z€~ względu im ZWH1T'M tość płaszczyzny (por. tw. 8.2) możemy wyjąć z cjągu {b 11 ) JHHlehbg zbieżny, którego granica-z uwagi na warunek (b) oraz na domknię~ tość zbioru A - należy również do tego zbioru. Z drugi.ej strony, ponieważ każde koło Kn zawiera, począwszy od pewnego mfojsca, wszystkie wyrazy ciągu {bn}, granica wyjętego r)Odciągu rutleży do wszystkich kół domkniętych K„, a więc do ich Hoozynu. ()tr.zymujonry w, ten sposób spr~eczność, gdyż. z uwagi mt WH1runok (c) iloczyn kol domkniętych Kn nie może zawierać żadnego z punldi6w .zh:ioru ·.11.. Zbiór A jest więc nieprzeliczalny. . 1
Pierwszy przykład zbioru nieprzelieza,lnego pothmy zoHta,ł JH'Z
Płaszczyzna.
+ (Y2-Y1)2+ (z2-Z1)2]
f!(Q1,Q2)= [(X2-X1) 2
1 2 /
25
dla. Qi= (X1,Y1•Z.l), Qg= (x2.Y2,Z2)),
rozważany
rzut stereograficzny stanowi przekształcenie homeomorficzne czyzny E na przestrzef1 metryczną zwartą.
płasz
Pokazać, iż
w rzucie stereograficznym proste i okręgi płaszczyzny E przena okręgi na powierzchni S (proste przekształcaj~1 się na okręgi, przechoprzez biegun N kuli).
chodzą dzące
2. Zbiór nie zawierający punktu oo nazywa się wypuklym, jeżeli każdy odcinek ł:1cz~1cy dw11 jakiekolwiek punkty tego zl1ioru całkowicie zawiera się w tym zbiorze. Pokazać, iż jeżeli z1,z2 , ••• ,zn jest układem skofwzonym punktów na pła,szczyźnie ot"\ntrtej, to zbiór punktów postaei
[t1z1 +t2z2+ ... +tnzn]/(t1 +tz+ ... +t1z), gdzie tl' tv .„, tn są dowolnymi nie znikającymi jednocześnie liczbami rzeczywistymi nieujemnymi, jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierająeym punkty zpz2 , ••• ,zn (zbiór ten nazywamy zbiorem wypukłym wyznaczonym przez punkty ZpZ2 , ... ,z12 ). 3. Zbiór punktów niewymiernych każdego przedziału, nie redukującego do jednego punktu, jest nieprzeliczalny i tej samej mocy co zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. się
4. Zbjór, który przedstawić. można jako sumę cjągu zbiorów nigozie. gę stych, nazywa się (według Baire'a) zbiorem piem•sze_i kategorii .. Udowodnić, iż w przestrzeni metrycznej zupełnej dopeh1ienie każdego zbioru pierwszej kategorii jest zbiorem wszędzie gęstym w przestrzeni (twierdzenie Baire'a); żadna więc przestrzef1 metryczna zupełna nie może być przedstawiona jako suma ciągu zbiorów nigdzie gęstych w tej przestrzeni. Ponieważ każdy zbiór domknięty w przestrzeni metrycznej zupehiej uważać można również za przestrze!1 metryczną zupełną, wywnioskować stąd, iż każdy zbiór doskonały w przestrzeni metryeznej zupełnej jest nieprzeliczalny (uogólnienie tw. 8.6). Zwróeić uwagę na niezbędność założenia, że przestrzeń jest zupełna. Dowieść, że w przestrl!leni C2 (ob. § 3, ćw. 5) funkcje ciągle, ograniczone prostej, tworzą zbiór pierwszej kategorii; funkcje ciągłe nieograniczone więc w przestrzeni tej zbiór wszędzie gęRty.
5. irn
m1łej
tworz:~
[§ 9]
26 § 9. Zbiory spójne na płaszczyźnie. Linzbą <~hrt'raJctory styczną ciągu skoń,czonego ai, a2, au punktów płasz<1zyzny nazywnć będziemy największą z odległości a(a11,a11+1) kofojnyoh punktów lingo ciągu. Jeśli wszystkie punkty ciągu skoń,ezonogo
„.,
rA,
(9.1) N a to, aby zbiór domlcnięty Jl' na plalłZO /c(,r,źde
1
Dowód. 1° Warunek jest konieczny. Nfoch 1!1 hęd.zio konM tynuum, e dowolną liczbą dodatnią, ZftŚ a dowolnym p1rnktmn zbioru Jl'. Oznaczmy przez :F\ zbiór tyeh punktć>w zh:ioru .1!1, kt6rH można połączyć z a w Jl1 ciągiem sk01iezonym. pu.ukMw o lim'lhio charakterystycznej mniejszej niż e i nieeh F 2 =.7!1• ·-.71\. Nniloży dowieść, iż li1a= O. W tym celu pokażemy najpierw, iż zbiory 1111 i .1!12 są clom.knię1m. Istotnie, jeśli pe Fu wówczas istnieje punkt p1 e F 1 1mki, iż a(p 1, p )0 i, oznaczając przez zu z2 dwa dowolne punkty iutlo.żąoo odpowiednio do zbiorów P 1 oraz P 2 , widzimy natychmfasi;, że r.nmktów tych nie można połączyć w P eiągiem punkMw o liozhio <1hu,rakterystycznej mniejszej niż ~(P 1 ,P2 ). Zbi6r ,111 nie czyni więo zu,dość warunkowi twierdzenia. ·
„.,
Zbiory spójne na płaszczyźnie.
27
vVarunek Oantora (tw. 9.1) jest w wielu przypadkach dogod1liejszy niż definicja bezpośrednia, podana w § 5. Np. widoczne jest od razu, iż warunkowi temu czyni zadość każdy odcinek. Każdy odcinek jest tedy kontyni1lu.m lub redukuje się do pimktu. Z kolei przez łatwą indukcję, opierając się na tw. 5.2, dowodzimy, iż również każdą łamana się
o dowolnej
ilości
boków jest kontynuum lub redukuje
dalej, iż każdy ok1·ąg O(Zu,1·) jest kontynuum. Możemy założyć oczywiście, że z0 =J=oc, gdyż okrąg o środku oo jest identyczny z pewnym okręgiem o środku O. Przyjmując z0 =fVo+iy0 , gdzie x0 oraz y 0 są liczbarrri rzeczywistymi, widzimy, że okrąg O(z 0;r) jest zbiorem punktów z=x+iy, takich iż (x-x0 ) 2 (y-y 0 ) 2 =r2, i może być przeto przedstawiony jako suma dwu półokręgów, danych odpowiednfo przez równania y= llo [r2 -(X-fVo) 2 f~ oraz y= y 0 -[r2 -(x-x0 ) 2 f~, gdzie Xo-1·
do p·unkti1,.
Pokażemy
+
+
a
(9.2)
O(z 0 ;R1 )
+ [z + R 0
1,
z0
+ R l + O(z ;R 2
0
2 ),
z których dwa są okręgami, a jeden odcinkiem, każdy skład~ następny ma punkt wspólny z poprzednim; suma (9.2) jest przeto również kontynuum, a ja,k spostrzegamy od razu, zawiera punkty z 1 i z 2 , sama zaś zawiera się w pierścieniu P(z 0 ; r1 , 1·2 ). W myśl więc tw. 5.8 każdy pier,foi·&Jl, P(z 0 ;r11 r2 ) jest zbiorem spójnym, a więc obszarem. W szczególności obązarami są wszystkie otoczenia pim·ścieniowe. Pie1·ścienie domknięte, jako domknięcia pierścieni otwartych (por. tw. 5.1), są
kontyn,uami. Analogicznie dowodzimy,
dO'rnknięte koła
są
kontvnuami lu,b
kola otwarte są obszarami, a kola do p'l!Jnktii (przypadek
red1ikują się
sprowadza się tu do przypadku koła o środku O homeomorficzne płaszczyzny ~ =1 /z). W § 5 udowodniliśmy (tw. 5.5) dla przestrzeni abstrakcyjnych, że skhidowe zbiorów domkniętych są domknięte. Obecnie, możemy udowodnić dla płaszczyzny twierdzenie analogiczne o zbiorach otwar-
przez
o
środku oo
iż
przeksztaiłcenie
28
[§ 9]
tych. Niech mianowicie a będzie punki;em zbioru oi;wu,rt;ogo O. Istnieje przeto pewne otoczenie U tego !mnld;u, za1warti<~ w O. Poni<'-waż, jak pokazaliśmy wyżej, koło U jeHii zb:iormn Hp6jnym, 7Ja,tmn składowa zbioru G, która zawiera punkt n, za,win·, a 11.;ię<~ obszarem. · W dowodzie tw. H.3 korzystH,liśmy zc1 HJ>Ójnośei ot;o<·.zmi kołowych. Opierając się na spójności otoezt~i1 piofifofoniowych, udowodnimy twierdzenie nEtstępujące: (9.4) Jeśli JJ1 jest zbiorem odosobnionJ!m, f},Om/cniętyrn W <>bNZ1· O ·.fil j
Dowód. Niech FCG hędzio zhiormn odmiolmiouyrn,
„
G--F CG CG= G- F. (9.5) N_ a to~ aby zbiór otwarty G byl obszarem, lcorilieczno jmrt ,,; lloNta~ teczne, aby każde dwa piinkty tego zbiorn, 1•óżnf~ Olł P'lłinkM,t oo, rnożti.<:i bylo polączyó w G linią lamaną.
Dowód. Z uwagi rn1 tw. 9.4 usuną/i rnożmny zo zbioru a punkt oo, o ile zbiór G punki1 i;en z~Lwier~t. Moż<~my t;rnly zal:oży<'I; iż punkt oo ·nie należy do G.
Zbiory spójne na
płaszczyźnie.
29
Niech a będzie dowolnym punktem ,zbioru G. Będziemy mówili dla skrócenia, iż punkt posiada własność (Wa), jeśli można go połączyć z a li.nią łamaną przebiegającą w G. Dla udowodnienia konieczności warunku twierdzenia wystarczy pokazać, iż w przypadku gdy zbiór G jest obszarem, wszystkie jego punkty posiadają własność
(Wa).
zauważmy przede wszystkim, iż jeśli KC G jest dowolnym kołem i pewien punkt b tego koła posiada własność (Wa), wówczas wszystkie punkty koła K posiadają własność. (Wa). Istotnie, jeśli c <: K, to eały odcinek [c, b] zawiera się w KC G i przeto, jeśli punkt b daje się połąezyć z a łanrnną [b, b1, b2, ... , bn=a] przebiegająeą w G, to łama,na, [c, b, b1, bz, ... , b11 = a] również przebiega w G, łącząc punkt c z punktem a. Niech teraz G1 będzie zbiorem punktów posiadająeych włas ność (Wa), a G2 zbiorem pozostałych punktów obszaru G. Każdy z tych dwu zbiorów jest otwarty: istotnie, jeśli zeG i K jest dowolnym kołem, zawierającym punkt z i Z(1WaTbym w obszarze G, wówczas w myśl poprzedniej uwagi koło to zawiera się całkowicie w G1 lub G2 , zależnie od tego, czy z E G1 , ezy z<: G2 • Jeden zatem ze zbiorów G1 oraz G2 jest na pewno pusty, a że a<: G1' więc G2 = O, co znaczy, iż wszystkie punkty obszaru G posiadają własność (Wa)· Dostateczność warunku wynika natychmiast z tw. 5.8,· ponieważ każda łamana jest zbioTem spójnym.
W tym celu
(9.6) Jeżeli
a i b są clwoma p'1'1nkta1ni zbioru, d01nkniętego F, naclo ró.żnych składowych tego zbior1i, wó11Jcza,s zbiór F przedsta'lvió zawsze 1nożna jako wmę clw11, zbiorów F 1 i JJ12 domkniętych, rozłącznych i takioh, iż a f F 1 oraz b <: F 2 • leżącynii
TwieTdzenie to jest oezywiste w przypadku, gdy zbiór F posiada, tylko skończoną ilość składowych. Istotnie, za zbiór JJ11 możemy wtedy przyjąć tę składową, która zawiera punkt a, zaś za zbiór F 2 sumę składowych pozostałych. Metoda ta zawodzi jednak w przypadku ogólnym, gdyż określony w powyższy sposób zbiór JJ12 mógłby nie być clomknięty. Dowód twierdzenia wymaga wówczas rozumowm1fa nieco subtelniejszego, którego główne ogniwa wyodręb niono będą w IJOstaici dwu lemma,tów. (9.7) Jliżdi Q1 oraz Q2 są dworno, zbiorami domkniętyrni rozlącznyrni, wó1lu~za,i;; 'istn1:eją rlwa zbiory otwarte G1 oraz G2 , takie iż (9.~)
91
Zbiory spójne na
31
płaszczyźnie.
30
[§
Dowód. Niech r= a(Q 11 Q2 ). W myśl ·l;w. 8.:{ nmmy 1·:>0. Woź my pod uwagę rodzinę wszystkich kół K.(z;r/2) o środlnwh z fi (J1• Koła te pokrywają łącznie zbiór Q1 i n.ie z~liwfomją woWtlł:ktirz ivni na brzegu punktów zbioru Q2• W myśl twfordzenfo, Borofo,-l.1olrn1-1guo'u, (tw. 6.4) z rodziny tych kół wyjąć możHmy Hkolwzoiu~ .ich iloHó K1,K2, Kn, które także pokrywają ląeznio zhi6r (J 1 • Oznn<1.zaj}~C\ przez_G1 ich ~mę, ot1::'ymujemy zbiór otwt1rty G11 tu,ki .ir (J 1 C (} 1 oraz G1·Q2=(K1+„.+K11)·Q2=0. W ten sam sposób, zai1:-1tępnjł~<·· tylko zbiór Q1 przez Q2 , a zbiór 2 _przez Gu otrzymujomy .zbiór otiwm.ty G2 taki, iż Q2C G2 oraz G2 • G1 =O. Zbiory G1 i 0 2 <1zynh~ Yia,i1mn zadość warunkom (9.8).
Każdy punkt z zbforu An można połączyć w tym zbiorze z punktem a łańcuch~m punktów o liczbie charakterystycznej <1/n. Istotnie, skoro ze An, to istnieje punkt pe A 11 , taki iż
.„,
9
(9.9) Jeżeli {T11}w„-1,2.„ jest ciągiem z.irtępującyrn zbirn·ów dornk nh.::t·11oh iż każde dwa punkty zbi01·u, 1\ możnli polą
takich
ciągiem sko1~czonym punktów o liozbie cha1•aktli1•11Nt71
Jest kontymtum lub redukitje
8ię
do punktu).
. Do;vód. Zał~żmy, .iż zbiór 1.1 (domknięty i ni.o}JnHiiy w myśl twierd~en 4.4, .8.2. i 6.1) Jest sumą dwu zbiorów (J 1 i Q2 rozłąnznyoh, domkmętych i mepustych. mech G1 i G'2. będą zbiorarni fftWłlir· ty~, czyni~cy~i zadość związkom (9.8). Poniewa1.Z każdy punldi z~10ru Q1 ,daJe się połączyć w Tu z każdym punktem zbioru (J 2 cią g~~1~ skonczonym punktó~ !! liczbie charakterystycz1rnj mniejszej mz /n, z~tem ~la ~/~
+
Możemy ~rzystąpić obecnie do dowodu tw. H.6. Nieoh a, i b będą; punkta~ należącymi do różnych składowych zbioru domknię tego F. Pokazemy przede wszystkim, że istnieje ta1k:r1 liczbtt a> o, iż (9.10) każdy ciąg punktów lącząoy pimlct11 a i b liczbę charakterystyczną ~a. '
w zbiorze
]J1
'>na
· · t a k me · Jest. · 'tZałóżmy . . ' iz Istnieje więc dh.t lntżdoj liezby całow1 eJ n Ciąg skończony punktów o11 0 i· b·' . •, ·
k
oo
(9.11)
A11 =.1 ok
oo
1
k=n
oraz
(HJ.2)
A=~IJ.A11. Jl.,c,'l
(9.13)
e(z,p)
Ze względu na (9.11) dla pewnej wartoifoi k ~n mamy pe Ok; punkty p i a można tedy połączyć w zbiorze. 01zCA 11 CAn ciągiem punktów o liczbie charakterystycznej mruejszej niż l/k~l/n. Z uwagi więc na (9.13) również i punkt z można połączyć z punktem a w A11 ciągi.em punktów o liczbie eharaktery~tycznej <1 In, a przeto cią giem takim połączyć można w zbiorze An każdą parę punktów tego zbioru. W myśl tedy lemmatu 9.9 zbiór A, określony przez wzór (9.12), jest pewnym podzbiorem spójnym zbioru F; ponieważ zaś a e An oraz b e An dla każdego n, zatem również a EA oraz b e A i dochodzimy do sprzeczności z założeniem, iż punkty a i b należą do różnych składowych zbioru F. Istnieje więc liczba a>O spełniająca warunek (9.10). Oznaczmy przez F 1 zbiór tych punktów zbioru F, które można połączyć z a w zbiorze F ciągiem punktów o liczbie charakterystycznej O i t.p. Sf1 przykładami obszarów jednospójnych. Pierścienie, a w szczególności otoczenia pierścieniowe, są obszarami dwuspójnymi. Płaszczyzna otwarta, po usunięeiu z niej eiągu punktów l, 2, .„,n, .. „ staje się obszarem nieskoi'1czenie spójnym.
(9.14) l(a,żda, :skladowa zbior11, otwartego G nie czyz·ny jest obszarem je
rozcinającego
plasz-
WST.l~P.
32
Teoriu. muo~oHci.
Dowód. Na mo:cy tw. H.3 ku1żda Hkfadowu1 zbioru oLwarLogo jest obszarem, a z uwagi na tw. 4.5 (4°) m.nogośd Lyeh skh1d.owy~1,h jest co najwyżej przeliczalna„ Nfoeh ll będzio kt;{m~kolwiok z t.,yeh składowych i niech {Hn} ozrn1cza, ciąg Hklu,dowych fH>Z<>Htaly<\h, Mamy, jak łatwo spostrzec, (9.15)
Sii1iiki kwadrafowe na płaszezyźnie.
[§ 10]
OH=OG+ł:i1In=-=OG+Xlł11. . li li
Zbiór OG jest .tu· kontynuum z zaiłożenh1, tL zbiory Hn ~H~ Irnutynuami na mocy tw. 5.1. Nadiio kazdy zbiór ll11 po1-1ht
składowych
domkniętym.
33
Nfoch 6 będzie dowolnym sko1iczonym układem kwadratów C'""\(ll) ~ , a. s sumą t yc l1 kwadratów. Nazywać będziemy bokiem ulcladu 6 kf1żdy ode.inek, który jest bokiem przynajmniej jednego z kw~1drntów układu; w szczególności zaś odcinek, który jest bokiem dokładnie jednego kwadratu układu, nazywać się będzie bokiem brzftgowym. Bok t~1ki, zorientowany zgodnie z tym kwadratem układu, do którego należy, nazywać będziemy bo Mem brzegowym, zorientowanym (boki m1kreślone grubszą kreską na rys. 1, 2 i 3). Wierzchołki kwadratów układu 6 nazywać będziemy krótko wierzchołkami itkladu; wierzchołek układu 6, który należy do trzech co najwyżej kwadratów układu, nazywać się będzie wierzchołkiem brzegowym. Widoczne jest, iż brzeg zbioru S jest sumą odcinków brzegowych układu 6, m1 to zaś, aby wierzchołek tego układu był wierzchoł kiem brzegowym, konieczne jest i wystarcza, aby leżał na brzegu zbioru S. . tk"l sia
2.•Jeżeli S jest skladow11 zlJioru
a
płaszczyźnie. Nu.zywu,ć bę
Qt
dziemy siatką kwadratową rzędu n - i oznacza1Ć przez ,Q(n) ro
'"'(i
§ 10. Siatki kwadratowe na
11
się przeciwległymi.
Należy zauważyć, że wspólny bok dwu kwadratów przyległych jest w kwadratach tych zorientowany })rzeciwnie (por. § 8, str. 19), t. zn. początek i koniec tego boku ulegają przestawieniu, gdy przechodzimy od jednego z tych kwadratów do drugicwo 0 (p.rysunek). ·
I a,
a,
rij
qt I!!_; Q,J
a~
(( ~
2.
I.
a
l
3.
Nieoh a będzie dowolnym wierzchołkiem brzegowym układu 6, kra1'icem przynajmniej jednego boku brzegowego tego układu.
więc
Z~tlóżmy, że a jest np. początkiem iż
((,
wówczELS a jest
także końcem
--+
boku brzegowego[a,a1]; pokażemy, pewnego innego boku brzegowego.
--+ Istotnie, odcinek [a, a 1] jest bokiem zorientowanym pewnego kwadratu Q1 e 6. Punkt a jest więc końcem pewnego boku zoriento--+.
wanego tego kwadratu. Niech [a 2 , a] będzie tym bokiem i niech Q2 będzie kwadratem siatki, przyległym do Q1 wzdłuż boku [a 2 ,a]. Jeśli ---7:
kwadrat ten nie należy do układu 6 (rys. 1), to odcinek [a2, a] jest żądanym bokiem brzegowym o końcu w punkcie a. W przy-
--+ . p~tdkt1 przeciwnym, zważywszy, iż odcinek [a, a 2] jest bokiem zorientowt1nym kwailr}1tu Q2 , kwa,drat ten posiada również bok zoriento--:+
W}Lny o km'l.C\u w punkeie a. Oznaczymy bok ten przez [a3 , ~], a przez Q3 kw~L
3
wsrrĘP.
34
rroori11 m1wg0At•,i.
Siatki kwadratowe na
[§ 10]
[~]jest żądanym bokiem brzegowym o koi~cn w 1nmkcio a,, W pr7.io~
---+ ciwnym przypadku, zważywszy, iż [a, a,8] jest boldom zorimrtowui" --+ nym kwadratu Q3, oznaczymy przez [ (t41 a] bok r.ori011i;owuJny iiogo kwadratu o ko:ńcu w punkcie a, zaś prz(~Z (J 4 k:wadraii; IH'l'.ylogły do Q3 wzdłuż boku [a4 ,a]. Skoro jednak kwuilrai;y (JDnOf/O ruJcfo
Wierzchołek
brzegowy układu skoń,czonego kwadmMw 8fai;ki nazywać będziemy wielokrotnym, jeśli jest wspólnym kra,f~emn wiQooj niż dwu boków brzegowych układu. Z tw. 10.1. wynika httwo twiordzenie ·następujące:
6 lcWa
1
1
--+ Dowód. Niech [a,b] będzie dowolnym bokiem brzogowym zorientowanym układu 6. Na mocy tw. 10.1 określić możemy ],>rzoz
ai=a, a2=b, as, „., an,„., takiiżdlaki1iżdogo 1n ----+odcinek [a,H a11+1] jest bokiem brzegowym zorientowa,i1ym układu 6. Ponieważ jednak układ ten posiada oczywiś'cie tylko skof\ozorn~ ilość wierzchołków, zatem istnieje na pewno taka, p~11·ai r6żnyeh Wl'llrnź ników n, m, iż an= am. Niech n 0 będzie najniższym z takieh w~kaźni ków n dl::L których istnieją punkty am=a11 o wskELźniku,eh 1m:::>·1n; niech z kolei m0 będzie najmniejszym ze wsku,źników m';;::.n 0 , dln, kMrych am=an Powiadamy, iż n 0=1; gdyby bowfom 1i0 >„l, w6woz11,8 punkt ano='=amo byłby wspólnym kral'~cem trzeeh bok6w hrzogowy<1ll
35
[a11u-1, anu], [ano, a11u+1] i [amo-1, amJ, a więc wierzchołkiem brzegowym wielokrotnym. Zatem amn=a1=a i przeto łamana [a-a 1' b-a '2' a3' „.' amu] jest zamknięta.
Każdy więc bok brzegowy [-;,1] układu 6 należy do pewnej ła manej zamkniętej, utworzonej z boków brzegowych zorientowanych i-jak łatwo zauważyć-do jednej tylko takiej łamanej. Z drugiej strony, łamanych takich może być tylko ilość skończona. Wreszcie łamane te są rozłączne, w przeciwnym bowiem razie spotkałyby się w wierzchołku brzegowym wielokrotnym. (10.3) Jeżeli F 1 i F 2 są zbiorami domkniętymi rozlącznymi i zbiór F 1 nie zawiera punktu oo, wówczas każda siatka :o,
kwcul1··at
siatki :o, uklad11, 01·az ko1~cem przynajmniej jednego ta71:for10 bolMłi.
płaszczyźnie.
p
F'1C ('g Qk)
0
oraz
k=1
Do wód. Niech m
będzie dowolną liczbą całkowitą, taką iż
(10.4) Ponieważ zbiór F 1 jest domknięty i nie zawiera punktu oo, przeto jest ograniczony i siatka n_Cm) zawiera tylko skończoną ilość kwadratów, posiadających punkty wspólne ze zbiorem F 1 • Niech Ri, R2, „.,Rs będą tymi kwadratan:ri. Zbiór F 1 zawiera się oczywiście wewnątrz ich sumy. Nadto, ponieważ z uwagi na (10.4) średnice kwadratów siatki n (m) są mniejsze niż e(F11 F 2 ), ż.aden z tych kwadra" tów nie posfada punktów wspólnych z obydwoma zbiorami F 1 i F 2 jednocześnie, a przeto kwadraty Rk są wszystkie rozłączne ze zbio" rem F 2 • Zatem
indukcję~iągpunktów
s
(10.5)
s
F1C(~ Rk) 1
0
oraz
(10.6) F 2 • (,l;Rk)=O. k=1
k=1
Tak określony układ kwadratów R 1,R2, „.,R8 siatki n_
0 ••
(10.7)
oraz
(10.8)
1/2
1
11 -
WS'I1I~P.
36
1,eoria mnogości.
[§ 11]
Podzielmy każdy z kwadratów· B11 nai 4 m kwuilraMw r<'1 wnyoh i do otrzymanych w ten sposób kwadrat6w siuitki n,(u> ltl!ezmy jeszcze te wszystkie kwadraty tej siatki, którH zaiwfomj~~ w.i.m·zohołki brzegowe wielokrotne układu '.R1,R2,.„,Jt.~ (por. :ry1:1unok). Oia•zyrn.u~ jemy więc pewien układ skończony Ql, Q2, .„ ,Qp kwai) 11
Jl
1:1
1
F 1 C(2)B11)° C (,1 Q11)
wreszcie z (10.6) i
0 ;
Il .·I
k::cc1
(10.8) wynika
Funkcje zespolone i rzeczywiste.
37
Do.wód. Załóżmy, że funkcja nie przyjmuje na H pewnej waTtości c takiej, iż a
Twierdzenie to wynika natychmiast z tw. 7.1 (a), gdyż zbiór tych punktów zbioru F(H), które zawarte są w przedziale [-oo, a], jest oczywiście domknięty w zbiorze F(H). Układ
kwadratów (J1,Q2, .„,(jp speh warunki.
-męc żądane
§ 11. Funkcje zespolone i rzeczywiste. :b„unkcję, okrc H w dowolnej przestrzeni abstrakcyjnej H (ob. §§ 3, 7. i przyjmującą wartości zespolone, t. j. wartości należące do pfoszczyzny E (ob. § 8), nazywamy funkcją zespoloną na zbior'Z(~ Il. Jeżeli funkcja zespolona It nie przyjmuje nigdzie na zbiorze 11 wt1irtośc·i oo, wówczas nazywa się. skończoną na tym zbiorze, a jeśli istnieje Jfozba skończona M taka, iż IF(z)l
następujący:
funkcja JJ1 rzeczywista, skończona l oiągla, na 'zbiorze · spójnym H w dowolnej przestrzeni abstrakcyjnej przyjm1~,je na zMorze tym dwie wartości różne a oraz b, wówczas przyj.miije na nim wszytrtkie wartości przedziału [a, b]. W szczególnośm; w 1ięo fimlwja oiągla, przyjmująca na zbiorze spójnym tylko wa1rtości rzeczywiste i oallwVJ'l'to, ·jest na tym zbiorze stała. (11.1)
Jeżeli
1
Rozpatrzmy - dla przykładu oraz ze względu na dalsze zastosowania - pewne funkcje rzeczywiste, określone na płaszczyźnie. Niech F będzie dowolnym zbiorem domkniętym na płasz czyźnie E, nie redukującym się do punktu oo. Oznaczymy dla każ dego punktu z płaszczyzny przez e1(z,F) kres dolny liczb lz-mj, gdy punkt x przebiega zbiór F. Niech z1 i z2 będą dwoma punktami płaszczyzny, różnymi od oo, a s dowolną liczbą dodatnią. Istnieje więc taki punkt x1 eF, iż lz1-m1I ~ e1(zuF)+8. Zatem rii(z2,F) ~ lza-x1l ~ lz~f:-z1I
a
więc, ponieważ s
jest
+ iz1-m1I ~ e1(z1,F) + lz2-z1I +s,
dowolną liczbą dodatnią,
e1(z2,F)-e1(zuF)~ !z2-z1i· Przestawiając
punkty z1 i z2, otrzymujemy
le1(z2,F)-e1(zuF)i ~ lza-z1I dla każdej pary punktów z1=f:oo, z2=f:oo. Z oszacowania tego wynika natychmiast, iż funkcja e1 (z,F) jest dla każdego zbioru domknię tego F, nie redukującego się do. punktu oo, skończona i ciągła na płaszczyźnie otwartej E 0 • Zbadamy teraz odległość e(z,F) punktu z od zbioru domknię tego JJ1 (por. § 8, str. 20). Jeśli zbiór JJ1 me zawiera punktu oo, wówczas e(z,F)=e 1 (z,F) dla każdego punktu z=f:oo; funkcja e(z,P)
38
WSTĘP.
rreoria
mnogości.
[§ 12]
jest więc ciągła na płaszczyźnie otwartej JiJ0 • J'eśli zhi6r JP .re
e(z,F)=min{a1(z,F), 1/jzl),
gdzie· przez min{a, b} rozumiemy dla bżclej pa,r:y liczb rzo(lzywistych a, b mniejszą z tych liczb, gdy liczby te są r6ż1w, a1 WHJ><'>lru~ ich wartość, gdy są równe. Jeśli g1(z), g2(z) są funkejami rzoozywistymi i ciągłymi na pewnym zbiorze, iio - jaik hlitwo .zamważyó ;_ funkcja g(z)=min{g1(z),g2 (z)} jest ta,kże ciągfa IHli iiym zbiorze. Ze wzoru (11.3) wynika zatem,. iż funkcja a(z,11') jest e:iągłn w rntłoj płaszczyźnie otwartej. Poniewa,ż zaś zbiór JJ1 zi1wi<.rra JHlnldi oo, przeto a(oo.,.F)=O, przy czym e(z,.F)~l/jzj->-0, gdy Z-Hx.1. ]~,ullk(ljlli e(z,F) jest więc ciągła również i w n:iosk01iez01101~foi. lł1
Jeśli
(12.2)
m,
§ 12. Krzywe. Jeżeli z(t) jest funkcją eiągh~ w przodziufo skoń,czonym [a, b], przyjmującl:l! wartości na,leżąeo do przostrz(lni
abstrakcyjnej II, wówczas równanie (12.1)
Z=ż(t),
gdzie
nazywać będziemy często równaniem 7c1·zywej ~tlho wprosii , IM"Z;lf1AJą przebiegającą w przestrzeni JL i ok1·eśloną w prze
' Z=Z[
gdzie
Będziemy mówili, iż krzywe (12.1) i (12.2) nie różnią się od siebie istotnie, albo że w krzywej (12.1) została dokonana nieistotna zmiana parametr'll, jeżeli:
1° funkcja
1
2. Jeżeh tj jest rodzh1ą funkcyj rzeczywistyeh, eiągłyd1 w JH'zo14·brzoni metrycznej zupełnej A; i jeśli gómy kres wartości funlrny;j toj rodziny jost skoi'1czony w każdym punkcie tej przestrzeni (t. j. jeśli dla, lrnżdogo puuktn z" .I istnieje liczba skoliczona JJI (z). taka, iż F (z)~.111 (z) dla, lmżdej fnnkeji li' rodr.iny wówczas istnieje taka kula K w przestrzeni A omz tail
39
