Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II. Filia PW w Płocku, KNEIS Dr Romuald Małecki str. 1 Kierunek: Ekonomia Studia: dzienne licencjackie Matematyka ...
16 downloads
35 Views
1MB Size
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Kierunek: Ekonomia Studia: dzienne licencjackie
Matematyka w ekonomii Semestr II ……………………………………………15 godzin w. + 30 godzin ćw. Wykłady 1) Macierze i działania na macierzach. 2) Wyznacznik macierzy kwadratowej, własności wyznaczników. 3) Macierz odwrotna i wzory Cramera. 4) Przekształcenia elementarne na wierszach macierzy, macierze równoważne, postać bazowa macierzy, rząd macierzy. 5) Układy równań liniowych, tw. Kroneckera -Capellego, metoda eliminacji Gaussa, zmienne bazowe i rozwiązania bazowe układu równań liniowych . 6) Rozwiązywanie układów nierówności liniowych. 7) Funkcje wielu zmiennych, granice funkcji. 8) Pochodna kierunkowa i pochodne cząstkowe funkcji. 9) Różniczkowalność funkcji, ekstrema bezwarunkowe funkcji . 10) Ekstrema warunkowe – metoda mnożników Lagrange’a, ekstrema funkcji na zbiorach ograniczonych i domkniętych. 11) Przestrzeń probabilistyczna, własności prawdopodobieństwa. 12) Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa. 13) Zmienna losowa i przykłady jej rozkładów. 14) Parametry rozkładów zmiennej losowej. 15) Nierówność Czebyszewa, ciągi zmiennych losowych. Ćwiczenia 1) Działania na macierzach. 2) Obliczanie wyznaczników, własności wyznaczników. 3) Zastosowanie macierzy odwrotnej do rozwiązywania równań macierzowych. Wzory Cramera dla układów równań liniowych. 4) Badanie rozwiązalności układów równań liniowych, metoda eliminacji Gaussa dla układów równań liniowych. 5) Wyznaczanie rozwiązania ogólnego oraz rozwiązań bazowych układu równań liniowych. Rozwiązywanie układów nierówności liniowych. 6) Obliczanie granic i pochodnych kierunkowych funkcji wielu zmiennych. Obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. 7) Znajdowanie ekstremów bezwarunkowych funkcji wielu zmiennych. 8) Powtórzenie ćwiczeń C1- C7. Kolokwium I. 9) Znajdowanie ekstremów bezwarunkowych funkcji wielu zmiennych. 10) Znajdowanie ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych. 11) Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji na zbiorach domkniętych i ograniczonych. 12) Wyznaczanie prawdopodobieństwa zdarzeń - prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń i wzór Bayesa. 13) Rozkłady zmiennej losowej skokowe i ciągłe. Wyznaczanie dystrybuanty. 14) Obliczanie wartości oczekiwanej, wariancji, mediany i mody. Zastosowanie nierówności Czebyszewa. 15) Powtórzenie ćwiczeń C9- C14. Kolokwium II.
Literatura 1) J. Laszuk. Matematyka. Studium podstawowe. SGH. Warszawa 1996. 2) J. Piszczała. Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych. Ćwiczenia. WAE. Poznań 1997. 3) J. Piszczała. Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych. WAE. Poznań 2000. 4) Zespół pod redakcją Mariana Matłoki. Matematyka dla ekonomistów. Zbiór zadań. PWE. Poznań 2000.
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 1
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II. Efekty wiedzy
W1) Zna pojęcie macierzy, działań na macierzach, wyznacznika oraz zna własności wyznaczników. Zna pojęcie macierzy odwrotnej oraz zna podstawy teorii układów równań: wzory Cramera, przekształcenia elementarne i twierdzenie Kroneckera -Capellego. W2) Ma wiedzę dotyczącą podstaw analizy matematycznej funkcji wielu zmiennych: granicy i ciągłości funkcji, pochodnych cząstkowych, ekstremów bezwarunkowych i warunkowych. W3) Posiada wiedzę dotyczącą podstaw teorii prawdopodobieństwa, rozkładów zmiennej losowej oraz ich parametrów.
Sposób sprawdzenie efektów wiedzy. Sprawdziany; egzamin pisemny (część teoretyczna). Efekty umiejętności
U1) Potrafi wykonywać działania na macierzach, obliczać wyznaczniki oraz wyznaczać macierz odwrotną do macierzy nieosobliwej. Potrafi rozwiązywać układy równań liniowych przez stosowanie wzorów Cramera oraz przekształceń elementarnych. U2) Potrafi obliczać pochodne kierunkowe i cząstkowe funkcji wielu zmiennych oraz znajdować ekstrema bezwarunkowe i warunkowe funkcji wielu zmiennych. U3) Oblicza wartości prawdopodobieństwa w przypadku klasycznym; stosuje wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Oblicza dystrybuantę, wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę zmiennych losowych o danym rozkładzie skokowym i ciągłym.
Sposób sprawdzenie efektów umiejętności. Kolokwium I, II z zadaniami, egzamin pisemny z zadaniami. Metody oceny. 1. Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa, student może mieć trzy nieobecności, usprawiedliwione możliwie jak najszybciej . 2. W trakcie zajęć (ćwiczeń) odbędą się dwa kolokwia, na każdym z nich student może uzyskać po 18 punktów za efekty umiejętności (łącznie 36 punktów za efekty umiejętności). 3. W trakcie zajęć (ćwiczeń) odbędą się trzy sprawdziany w postaci testu dotyczącego definicji, twierdzeń i przykładów przekazanych na wykładzie, w trakcie których student może uzyskać 9 punktów za efekty wiedzy. 4. Student ma prawo do jednego sprawdzianu poprawkowego jeśli wykazuje chęć do naukiuczestniczy w wykładach i ćwiczeniach, jest systematyczny i aktywny. 5. Student ma prawo przystąpić do egzaminów w terminach podanych w harmonogramach sesji letniej i jesiennej lub wyznaczonych przez Dyrektor Kolegium. 6. W trakcie pisania sprawdzianów, kolokwiów oraz egzaminów student nie może korzystać z żadnych materiałów pomocniczych; nie może też korzystać z telefonu komórkowego. 7. Student może uzyskać z egzaminu 15 punktów za efekty wiedzy i 40 punktów za efekty umiejętności. Wynik egzaminu jest pozytywny w przypadku uzyskania przynajmniej 50% wszystkich punktów i osiągnięcia przez studenta wszystkich, zamierzonych efektów kształcenia dla przedmiotu (w 50%). 8. Ocena łączna z przedmiotu wynika z sumy punktów uzyskanych w trakcie ćwiczeń i z egzaminu (ów) z wynikiem pozytywnym: <0, 50) - 2,0; <50 , 60) - 3.0; <60 , 70) - 3.5; <70 , 80) - 4.0; <80 - 90) - 4.5; < 90,100> - 5.0. 9. W przypadku oceny niedostatecznej z przedmiotu, student ma zaliczone ćwiczenia jeśli w trakcie zajęć uzyskał co najmniej 5 punktów za efekty wiedzy i 18 punkty za efekty umiejętności oraz zaliczył każdy efekt w 50%.
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 2
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Macierze i wyznaczniki. 1. Obliczyć macierze : a) A+B, b) 2A-3B, c) AB, d) (A-B)T, e) BTAT gdzie :
3 2 3 4 A , B 2 5 5 4
2. Obliczyć iloczyny macierzy: a)
d)
3 6
1
5 1
2
2 3
1 2
2 3 1 0
0 3
b)
2 1
1 3
3 1
1 2
c)
1 2 1
2
0 1
3 1
0 2 1
3. Pokazać, że zachodzi wzór: (ATBT)T=BA dla 2 A 0
0 1
1 3 2 4
,
4. Obliczyć potęgi A2 i A3 jeśli
1 1 5 3 B 1 4 2 0
cosα sinα A - sinα cosα
5. Uzupełnić puste okienka wartościami elementów macierzy tak, aby zachodziła równość: a)
b)
1 1 1 1 4 1 1 3 5 7 0 2 1 2 3 2 7 3 1 7 14 0 3 1
0
6. Znaleźć AB-BA jeżeli: a)
2 1 0 A 1 1 2 1 2 1
3 1 2 B 3 2 4 b ) 3 5 1
1 2 1 A 1 1 2 1 2 3
4 1 1 B 4 2 0 1 2 1
7. Rozwiązać równanie macierzowe: 8. Niech f(x)=x2-5x+3. Wyznaczyć macierz f(A) dla
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 3
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Wyznaczniki, macierz odwrotna, układy równań Cramera. 1. Obliczyć wyznaczniki:
a)
b)
x 1 x , x x 1
a 2 1 ax 1 , ax 1 x 2 1
2000 2016 1234567 1234569 , 2001 2017 1234568 1234570
3 1
1
1
0
0 2
1 , 0 1 0 , 2 11 0 1
1 2
8 7
5
2
4 3 1 1
1 3
c)
1 1 0 1
0 0
0 1
0 0
1 1
1 1
0 0
,
0 1
2 1 0 4
3 0
2 1 0 2 0 0 2 1
2. Sprawdź równości: a1 b1 x a)
c)
a1 b1 x
c1
a1
b1
c1
a 2 b2 x a 2 b2 x c 2 2 x a 2
b2
c2
a3 b3 x
b3
c3
a3 b3 x
1 x
2
1
2 x
3
1
2
3 x
c3
a3
3 x ( 6 x ), d ) 2
sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 z
a
b
2
2
a
sin 2 y cos 2 y 1 0
b)
b
a3
b3
cos 2 z 1
c c 2 abc( a b )( b c )( c a ) c3
3. Rozwiązać równania: a)
x 1
x
x 1 x 2
6
5
b)
2 1
x
1 2 3 d ) 1 3 x 3 0 e) 1 2 5 x 1 1 1 1 2 x 1 g) 1 1 4 x 1
1
1
1 1 1 6 x
x 1 x 2 x 0 1 6 c) 2
1
x
0 1 x 2 1 2 1 x 8 ' 2 6 0 2 5x
0, h )
1 x x 1
x x 0
x 1
1 x 1 2 2 f) 4 6 x 6 6
1 2 4 6
1 2 0 4 x
x3 x 2 3 5 1 1
x 1 0 8 0, i ) 1 1
x2 4 1 1 x 2 1 4
9 3 9 3 0 9 3
8
2
1
x2
4
1
4
4. Obliczyć wyznacznik macierzy A (det(A)) spełniającej równanie: a) A2=AT b) AT-A-1=0
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 4
3
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
5. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy: a b 3 1 A , A , c d 2 5
2 0 0 1 1 0 4 1 1 0 B 3 2 1 , C 0 1 1 , D 0 0 0 1 8 1 0 1 0 0
0 0 0 0 3 0 1 0 3
6. Rozwiązać równania macierzowe: 3 0 1 3 - 2 2 1 2 3 X b) X 1 1 0 0 1 5 2 4 5 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 c ) X 0 - 1 1 1 - 1 1 d ) X 2 0 1 1 0 1 0 0 - 1 1 1 - 1 2 0 4 2 f ) X 4X 1 1 2 0 g ) AX BX X A gdzie a)
2 1
1 A 2 0
0 1 0
1 1 3
i
2 B 1 2
1 0 1
5 1
1 0 0
7. Stosując wzory Cramera rozwiązać układ równań:
x 3y 0 a) , b) 2 x 3 y 9 x yz 6 d ) 2 x y z 3 , x 2 y 3 z 12
2( x 1 ) y 2 sin x cos y 1 , c) 3x 2( y 2 ) 6 cos x sin y 1 x y 2z 1 2x y z 2 e) y z 2 , f ) 3x 2 y 2 z 2 x y x 2y z 1 0
x3 2 x1 x 2x x4 4 2 g) 1 x2 x3 x4 2 x1 x4 0
Filia PW w Płocku, KNEIS
2 x1 x2 2 x3 3 h ) x1 2 x2 x3 2 ,i ) x 3x x 3 2 3 1
Dr Romuald Małecki
x1 x2 2 x3 2 2 x1 2 x2 x3 3 x x x 1 2 3 1
str. 5
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
. Układy równań i nierówności: 1.Znaleźć rozwiązania bazowe i wskazać rozwiązania bazowe nieujemne dla następujących układów równań: 2 x1 x2 3x3 6 a) 2 x1 2 x2 x3 4
x3 x4 6 3x1 b) 12 3x1 2 x2 6 x3
3x1 2 x 2 5 x 3 4 x 4 2 d ) 6 x1 4 x 2 4 x 3 3x 4 5 9 x 6 x 3 x 2 x 4 2 3 4 1
4 x1 x 2 x 3 c) x1 x 2 4 x3 + x 4 = 8
2. Rozwiązać układ nierówności:
x1 x2 x3 5 b ) x1 2 x2 3x3 9 2 x 3x 3x 12 2 3 1
x1 x 2 x 3 3 a ) x1 2 x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3x 10 2 3 1
x1 x2 x3 4 c ) x1 2 x2 2 x3 2 2 x 2 x 3 x 6 2 3 1
d)
x1 x2 x3 4 2 x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 0
Funkcje wielu zmiennych – granice i pochodne cząstkowe. 1. Oblicz granice funkcji:
a ) lim
x 2 y 0
d ) lim
x0 y2
g)
x 2 xy , b ) lim x0 x
y 0
y 0
sin xy x4 y4 , e ) lim 2 , x0 x y 2 x y 0
lim ln x y ,
x0
y 2 xy , c ) lim x0 3y
2
2
y 0
Filia PW w Płocku, KNEIS
h)
lim
x0 y 0
f)
x2 y2 1 1 x2 y2
y lim 1 x x
x
y 0
x3 x2 y2
Dr Romuald Małecki
str. 6
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
2. Wykaż, że nie istnieją poniższe granice: xy x a ) lim 2 , b ) lim 2 , 2 x0 x y x0 x y 2 y 0
c)
y 0
xy
lim
x y
x2 y2
, d)
lim
x0 y 0
x y x y
3. . Zbadać ciągłość funkcji: a)
b)
x2 y 2 , dla f ( x, y ) x 2 y 2 1 dla
x, y 0,0 x, y 0,0
xy , dla x, y 0,0 f ( x, y ) x 2 y 2 0 dla x, y 0,0
4. Oblicz pochodne kierunkowe funkcji w punkcie x0, w kierunku wektora h: df x 0 dh
a) b) c)
f x1 , x2 , x3 e
x3 x1
sin x2 , x0 1,0,1, h 1,4,5,
f x1 , x2 , x3 x12 3x1 x2 x33 , x0 1,0,1, h 1,0,1,
f x1 , x2 , x3 x12 2 x23 x32 , x0 1,0,1, h 1,1,1,
5. Obliczyć gradient (wszystkie pochodne cząstkowe) funkcji: a ) f ( x , y , z ) e xyz , b ) f ( x , y ) 3xy 2 x y 2 xy 3 c) f(x,y)= x-y 2 xe xy , d ) f ( x , y ) x 2 sin x y e) f(x,y)=y cos e -x xy , g) f(x,y)= j)
f ( x , y ) x 2 y ln sin x
x+y 2y , h) (x,y)=x f , i) x-y
f ( x , y , z ,u ) xy , k ) zu
n
l)
f)
f ( x1, x 2 ,...,x n )
i 1
Filia PW w Płocku, KNEIS
xi2 ,
f ( x , y , z ) xze x y z 2 e y z
f ( x , y , z )
x y
z
n
m)
f ( x1, x 2 ,...,x n ) xi e
xi2 2 xi
i 1
Dr Romuald Małecki
str. 7
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
6. Wyznaczyć elastyczności cząstkowe funkcji a) f ( x, y )
2x 3y x y 1 3
w punktach P1(4,1), P2(2,4)
2 3
f ( K , L) 9 K L dla K>0, L>0 3 -y f(x,y)= 0.5 x e dla x>0, yR f(x,y)=x2 lny w punkcie P(2,e) 3 Wyznacz elastyczności Exf(2,1) i Eyf(2,1) dla funkcji f ( x, y) 2 x y e(3 x2 y )
b) c) d) e)
f) Wyznacz elastyczności Exf(2,3) i Eyf(2,3) dla funkcji f ( x, y) 2 x y e4 x 6 y 5
7. Sprawdzić , że dana funkcja spełnia równanie:
a ) u x u y 1 gdy u( x , y ) ln e x e y
b ) xu x yu y xy u , gdy u( x , y ) xy xe c ) u 'x u 'y
x y x y 2
gdy u( x , y ) arctg (
2
x y
x y ) x y
8. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego (macierz f’’(x,y)) funkcji f: a) f(x,y) =x2 e-xy, b) f(x,y) = x ln(xy), dla (x,y) spełniających warunek: xy>0 9. Pokazać, że dana funkcja spełnia równanie: a) b)
f x x1 f x2 x 2 f x1 x 2 f x1 x1 f x2 x 2
, 2
gdy
f ( x1 , x2 )
f x3 x3 0, gdy
x12 x22
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 x32
1
10.Która z poniższych funkcji nie jest formą kwadratową:
2
2 2 e ln x y , gdy ( x , y ) ( 0,0 ) f ( x, y ) gdy ( x , y ) ( 0,0 ) 0 ,
a)
f ( x, y ) 2 x y
c)
f x1 , x 2 , x 3 2 x12 3x1 x 2 3x 32 2, d )
2
2
xy , b )
f x1 , x 2 , x 3 e x1 3 x1 x2 3 x3 2
2
11. Znaleźć macierz formy kwadratowej oraz sprawdzić jej określoność: a)
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x 22 2 x32 6 x2 x3
b)
f ( x1 , x 2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 4 x 2 x3
c)
f ( x1 , x 2 , x3 ) x12 x22 9 x32 4 x1 x3 2 x2 x3
d)
f ( x1 , x2 , x3 ) 4 x12 x22 x32 2 x1 x3
e)
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x32 6 x 2 x3
f)
f ( x1 , x 2 , x3 ) x12 x22 x32 2 x1 x2 2 x 2 x3
g)
f ( x1 , x 2 , x3 ) x12 4 x22 2 x32 2 x1 x2 2 x2 x3
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 8
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
12.
Dla jakiego R forma kwadratowa f jest dodatnio lub ujemnie określona:
a)
f ( x1 , x 2 , x3 ) x12 8 x 22 16 x1 x 2
f ( x1 , x 2 , x3 ) x12 x 22 4 x 32 x1 x 2 x 2 x3
b)
Ekstrema lokalne (bezwarunkowe i warunkowe). 1.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a)
f ( x1 , x2 ) x12 x1 x2 x22 2 x1 x2
b)
f ( x1 , x2 ) x13 3ax1 x2 x23
c)
f ( x, y ) 4 xy
d)
f ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z
e)
f ( x, y, z ) x 3 y 2 z 2 12 xy 2 z
f)
f ( x, y, z ) xyz (4 x y z )
g)
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x3 x4 x12 2 x22 3 x32 4 x42
h)
f ( x1 , x2 ) x13 3x1 x2 x23
i)
f ( x, y ) 3 x 3 3 x 2 y y 3 15 x
j)
f ( x, y ) x 3 8 y 3 16 xy 5
k)
f ( x, y, z ) x 3 xy y 2 2 z 2 2 xz 3 y 1 y z 2 f ( x, y , z ) x x y z
l) m)
1 1 x y
f ( x, y ) e x y x 2 2 y 2
2. Znaleźć ekstrema lokalne bezwarunkowe
a)
f ( x, y ) x 4 y 4 4 xy
b) f(x, y)= x 2 y 2 xy 6 ln x d ) f ( x, y ) x y ln xy
c) f(x, y)= 2 x 2 y 4 4 xy, e) f(x, y)= x 2 y 2 4 ln xy
f) f(x, y)= x + y - x 4 - y 4 4
g) f(x, y)= sin x + cos y + cos x - y
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 9
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
3. Znaleźć ekstrema lokalne warunkowe funkcji: a)
f ( x, y ) 2( 4 x 2 y ) przy warunku g( x, y ) x 2 2 y 2 12 0
b)
f ( x, y ) x 2 y 2
przy warunku g( x, y ) x 2 y 6 0
c)
f ( x, y ) xy
przy warunku g(x, y) x y 1 0 (g( x, y ) x 2 y 2 2 0 )
1 1 x y 1 f ( x, y ) xy
przy warunku g( x, y ) x y 2 0 ( g( x, y ) x y 1 0 )
d) e)
f ( x, y )
przy warunku g( x, y ) x y 2 0 ( g( x, y ) x 2 y 2 1 0 )
f)
f ( x, y ) x 2 y 2
g)
f ( x, y ) 2 x 3 y 2
y2
przy warunku g( x, y ) x y 2 0 ( g( x, y ) xy 1 0 ) 2
przy warunku g( x, y ) x y 1 0
h)
f ( x, y ) xe
przy warunku g( x, y ) x 2 y 0
i)
f ( x, y,z ) x 2 y 2 z przy warunku g( x, y,z ) x 2 y 2 z 2 1 0
4. Jakie wymiary powinien mieć prostopadłościenny otwarty basen o pojemności 32m3, by koszt położenia płytek na ścianach i dnie był najmniejszy?. 5. Miesięczny zysk pewnej firmy wyraża się wzorem: Z(x,y)=448x+233y+xy-2x2-3y2-10000, gdzie x oznacza liczbę pracowników a y liczbę reklam zamieszczanych w prasie w ciągu miesiąca. Średnia płaca pracownika wynosi 800 zł, a koszt pojedynczej reklamy 50 zł. Miesięczny budżet firmy wynosi 65300 zł. Jaka liczba pracowników i reklam prasowych zapewni firmie maksymalny zysk? 6. Koszt K(x,y) realizacji pewnego projektu zależy od liczby x pracowników wykwalifikowanych i niewykwalifikowanych y: K(x,y)=80000+9x3-72xy+9y2. Na każdych pięciu pracowników niewykwalifikowanych jeden kierujący nimi pracownik wykwalifikowany. Znajdź liczby pracowników x i y zapewniające minimalny koszt. 7. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na danym zbiorze A:
a)
f ( x , y ) x 2 y 2 na zbiorze A ( x , y ); x 2 y 2 1
b)
f ( x, y ,z ) x 2 y 2 z 2
na zbiorze
A ( x , y , z ); x y z 1, x 0, c)
y 0, z 0
f ( x , y ) x 2 y 2 - x - y 1 na zbiorze
A ( x , y ); x y 2, x 0,
Filia PW w Płocku, KNEIS
y 0
Dr Romuald Małecki
str. 10
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Rachunek prawdopodobieństwa (wstęp). 1. Grupa studencka liczy 25 osób. Na ile sposobów można w tej grupie postawić 3 piątki, 5 czwórek, 9 trójek i 8 dwójek? 2. Ile ciągów dziesięcioliterowych (słów) można utworzyć ze słowa ANALFABETA? 3. Przy okrągłym stole zasiada 10 studentów. Oblicz na ile sposobów mogą usiąść jeśli studenci A i B mają siedzieć obok siebie? 4. W celu kontroli jakości partii towaru składającej się ze stu sztuk losuje się 5 z nich. Jeżeli choć jedna z pięciu sztuk jest wadliwa, towar nie zostaje przyjęty. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia partii towaru, jeżeli zawiera ona 5 sztuk wadliwych. 5. Z liczb 1,2,...n losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo pn, że liczba dzieli się przez 3. Jaka jest granica ? Wyznacz pn, jeśli liczba dzieli się przez 4. 6. Wiadomo, że Obliczyć 7. Wiadomo, że Obliczyć 8. Student zdaje egzamin testowy, na którym do każdego pytania dane są 3 odpowiedzi, z czego jedna jest prawidłowa. Materiał dotyczący pytań opanował dobrze w 40%, w 30% pytań umie wyeliminować jedną odpowiedź, a w 20% nie wie nic na temat pytań. Oblicz prawdopodobieństwo odpowiedzi prawidłowej na losowo wybrane pytanie tego testu. 9. W pierwszej urnie znajduje się „a” białych i „b” czarnych kul. W drugiej urnie znajduje się „b” białych i „a” czarnych kul. Przenosimy jedną kulę z pierwszej urny do drugiej, a następnie wyciągamy kulę z drugiej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała. 10. W urnie znajduje się 5 kul białych i 7 kul czarnych. Z urny wylosowano dwie kule, a następnie wylosowano kulę trzecią. . a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwie pierwsze były różnobarwne, jeśli trzecia wylosowana kula była czarna? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsze kule były jednobarwne, jeżeli trzecia wylosowana kula była biała? 11. Stosunek liczby samochodów ciężarowych do liczby samochodów osobowych przejeżdżających szosą, przy której stoi stacja benzynowa jest równy 3:2. Prawdopodobieństwo tego, że przejeżdżający samochód ciężarowy będzie nabierał paliwo jest 0,1. Dla samochodu osobowego to prawdopodobieństwo jest równe 0,2. Do stacji benzynowej podjechał po paliwo samochód. Znaleźć prawdopodobieństwo, że ten samochód jest ciężarowy. 12. Trzech strzelców oddaje po jednym strzale. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przez każdego z nich wynoszą: 0,5; 0,7; 0,9. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel został trafiony. 13. Abonent zapomniał ostatnią cyfrę numeru telefonu i wybiera ją losowo. Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie dzwonił nie więcej niż trzy razy, aby uzyskać połączenie. 14. Na podstawie obserwacji ustalono, że prawdopodobieństwo spóźnienia danego pociągu wynosi 0,1. Zakładając, że występowanie spóźnień pociągu jest niezależne od siebie i Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 11
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
jednakowo prawdopodobne, obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 20 kolejnych dni: a) pociąg spóźni się 6 razy, b) pociąg spóźni się co najwyżej 3 razy, c) pociąg przyjedzie punktualnie 12 razy. 15. Wybieramy losowo liczbę całkowitą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kwadrat tej liczby będzie kończyć się na jedynkę. 16. Urna zawiera pięć białych i cztery czarne kule. Losujemy kolejno bez zwracania 2 kule. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia : a) obie kule będą białe, b) pierwsza czarna a druga biała. 17. Zbiór {1,2,3,....,4n} (nN) podzielono w sposób losowy na dwa równoliczne podzbiory. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w każdym podzbiorze znajdzie się ta sama ilość liczb parzystych i nieparzystych. 18. Na kwadracie opisano koło. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt koła jest także punktem kwadratu. 19. Z odcinka [-2,2] wybieramy losowo dwie liczby x i y. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt (x,y) należy do dziedziny funkcji 20. Kasia i Janek przychodzą ma umówione spotkanie między godz. 12 i 12.30. Jeśli przez dziesięć minut czekania druga osoba się nie zjawi, to spotkanie nie dochodzi do skutku. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Kasia i Janek spotkają się w umówionym miejscu. 21. Z urny zawierającej kule o numerach 1,2,...,n (nN) losujemy k razy po jednej kuli. Obliczyć prawdopodobieństwo, że numery wylosowanych kul zapisane w kolejności losowania tworzą ciąg rosnący, jeśli losujemy a) ze zwracaniem b) bez zwracania. 22. Spośród cyfr 1,2,3,..., 9 wylosowano cyfrę c, a następnie spośród pozostałych cyfr wylosowano cyfrę d. Obliczyć prawdopodobieństwo parzystości liczby 12c + d.
Zmienna losowa 1. Zmienna losowa ma rozkład prawdopodobieństwa postaci: X Px
-3 -1 3 0.1 0.2 p
5 0.2
Wyznacz : a) stałą „p” b) dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X i narysuj jej wykres c) wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę zmiennej losowej X.
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 12
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
2. Znaleźć rozkład zmiennej losowej liczby orłów w 4 rzutach monetą (symetryczną). Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę. 3. Z urny zawierającej 3 kule czarne i 9 kul białych wyciągamy losowo po jednej kuli (bez zwracania), aż do wyciągnięcia kuli białej. Zmienna losowa X oznacza numer losowania, w którym wypadła pierwsza kula biała. Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę. 4. Rzucamy n razy kostką. Zmienna losowa X oznacza liczbę jedynek uzyskanych w tych rzutach. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Dla n=6 wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę. 5. Oblicz prawdopodobieństwo P(30. Znaleźć gęstość f(x) tego rozkładu (opisać analitycznie) oraz dystrybuantę F(x). Narysować wykres dystrybuanty F(x), obliczyć prawdopodobieństwo P(X<1.5a) oraz podać jego interpretację na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty. 8. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa określony funkcją gęstości: a( x 1 )dlax [ 1, 2 ] f(x) 0 dlax [ 1, 2 ]
a) c)
2a f(x) x , e e x
b)
ae 3 x dlax 0 f(x) 0 dlax 0
ax 4 f(x) 0
d)
dla
x 1
dla
x 1
Znaleźć stałą a, dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X. Obliczyć P(X>1), P(1
b)
f ( x)
1 2
e
( x m) 2
ap p 1 ax e f ( x ) ( p) x 0 ,
Filia PW w Płocku, KNEIS
(rozkład normalny N(m,) )
2 2
,
x0
;
p>1, a>0
(rozkład gamma).
x0
Dr Romuald Małecki
str. 13
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
spełniają założenia funkcji gęstości. 11.Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: X PX
-2 -1 2 5 0.3 0.1 0.2 p
a) b) c) d)
Wyznacz : stałą „p” dystrybuantę zmiennej losowej X i narysuj jej wykres, rozkład zmiennej losowej Y =2X-3 wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę zmiennej losowej Y.
12.Oblicz wartości oczekiwane rozkładów dwupunktowego, Bernouliego, Poissona, wykładniczego, Laplace'a.
Pytania do testu nr 1. 1) Podać definicję macierzy : kwadratowej, diagonalnej, jednostkowej, symetrycznej. 2) Opisać metodę Sarrussa obliczania wyznacznika stopnia trzeciego. 3) Sformułować tw. Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika względem: a) „i tego wiersza” b) „j tej kolumny” 4) Sformułować tw. o macierzy odwrotnej. 5) Opisać znane własności wyznaczników. 6) Sformułować (twierdzenie) wzory Cramera. 7) Omówić przekształcenia elementarne. 8) Podać definicję postaci bazowej macierzy, zmiennych bazowych i zmiennych wolnych, rzędu macierzy. 9) Sformułować tw. Kroneckera –Capellego.
Pytania do testu nr 2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
Podać definicję granicy Heinego funkcji dwóch zmiennych i obliczyć ją (podany będzie przykład). Podać definicję ciągłości funkcji dwóch zmiennych i sprawdzić ciągłość podanej funkcji. Podać definicję gradientu (pochodnej) funkcji i znaleźć gradient podanej funkcji. Podać definicję minimum i maksimum (ekstremum bezwarunkowe) funkcji wielu zmiennych. Sformułować tw. o warunku koniecznym na ekstremum (bezwarunkowe) funkcji wielu zmiennych. Podać definicję formy kwadratowej n- zmiennych. Wskazać te funkcje, które są formami kwadratowymi. Podać twierdzenie Sylwestra dotyczące określoności macierz (formy kwadratowej). Sprawdzić określoność danej formy. Sformułować twierdzenie o warunkach dostatecznych na ekstremum (bezwarunkowe) funkcji wielu zmiennych. Podać funkcje Lagrange'a i warunki konieczne (równania Lagrange'a) na ekstremum warunkowe. Sformułować twierdzenie o warunkach dostatecznych na ekstremum warunkowe.
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 14
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Pytania do testu nr 3. 1) Podać definicję przestrzeni probabilistycznej (przestrzeni zdarzeń elementarnych, sigma ciała zdarzeń losowych i funkcji prawdopodobieństwa). 2) Sformułować twierdzenie o znanych własnościach funkcji prawdopodobieństwa P. 3) Podać definicję prawdopodobieństwa warunkowego i niezależności zdarzeń. 4) Sformułować wzór Bayesa. 5) Opisać schemat Bernouli'ego i podać wzór Bernouli'ego. 6) Podać definicję zmiennej losowej, rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej i dystrybuanty zmiennej losowej. 7) Podać przykłady rozkładu skokowego zmiennej losowej. 8) . Podać przykłady rozkładu ciągłego zmiennej losowej. 9) Podać definicję wartości oczekiwanej zmiennej losowej 10) Podać definicję momentów zwykłych i centralnych zmiennej losowej. 11) Podać definicję wariancji zmiennej losowej, jej interpretację. 12) Sformułować nierówność Czebyszewa.
Przykłady kolokwium weryfikującego efekty umiejętności. Kolokwium nr 1 1) Rozwiąż układ równań (macierzowy) 1 1 -1 1 2 0 1 1 1 X 0 1 -1 1 -1 1 2 0 -1 1 0 0 1 0 2 1 1 1 -1 2) Stosując wzory Cramera rozwiąż układ równań 2 x1 x2 2 x3 1 x1 2 x2 2 x3 1 x 2 x x 2 2 3 1 3) Rozwiąż układ nierówności: x x x 5 1 2 3 x1 2 x2 x3 2 x x 2x 4 3 1 2
4) Wyznacz elastyczności Exf(1,2) i Eyf(1,2) dla funkcji
f ( x, y) x 2 y e(3 x y ) 5
5) Wyznaczyć ekstrema bezwarunkowe funkcji
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 15
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Kolokwium nr 2 1) Znaleźć ekstrema lokalne warunkowe funkcji:
f ( x, y ) xy
przy warunku g( x, y ) x y - 2 0
2) Rzucamy 4 razy dwoma kostkami. Sukcesem w pojedynczym doświadczeniu jest wyrzucenie w sumie parzystej liczby oczek. Oblicz prawdopodobieństwo a) sukcesu (wyrzucimy sumę parzystej liczby oczek) b) wyrzucimy co najwyżej raz w sumie parzystą liczbę oczek c) wrzucimy więcej niż dwa razy w sumie parzystą liczbę oczek. 3) Do hurtowni papieru dostarcza się towar z trzech fabryk F1, F2, F3 odpowiednio w procentach: 40%, 35% i 25%. Liczba braków dostarczanych z tych fabryk wyraża się odpowiednio w procentach: 20%, 30% i 20%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany towar będzie wadliwy? Wybrany towar okazał wadliwy. Jakie jest prawdopodobieństwo , że pochodzi z fabryki F2. 4) W partii towaru składającej się z 6 sztuk, 3 sztuki są wadliwe. Wylosowano 3 sztuki. Znaleźć rozkład (zmiennej losowej X) liczby dobrych sztuk towaru wśród wylosowanych 3 sztuk. Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, modę i medianę. 5) Dana jest zmienna losowa o rozkładzie opisanym funkcją gęstości:
a) b) c) d)
wyznaczyć stałą a i narysować wykres f(x), opisać dystrybuantę F(x) i narysować jej wykres, obliczyć E(X), V(X), medianę Me i modę m0. obliczyć P(0
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 16
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Przykład egzaminu pisemnego z matematyki dla I roku KNEIS. (Semestr II) 1. U1.Rozwiązać równanie macierzowe: Rz I
Rz II
1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 1 0 X 2 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1
1 -1 0 2 1 -1 1 0 1 X 0 1 1 1 0 2 2 0 -1 1 0 0 1 -1 2 1 -1 1 1
2. U1. Rozwiązać układ nierówności Rz I
Rz II
x1 x2 x3 4 x1 2 x2 2 x3 2 2 x 2 x 3 x 6 2 3 1
x1 x2 x3 4 2 x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 0
3. U2. Zbadać ekstrema bezwarunkowe Rz I
Rz II
f ( x1 , x2 ) x12 x1 x2 x22 2 x1 x2
f ( x1 , x2 ) x12 x1 x2 x22 4 x1 x2
4. U2. Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji: Rz I
f ( x, y ) xy przy warunku g( x, y ) x y 4 0
Rz II
f ( x, y ) x 2 - y 2 przy warunku g(x, y) 2 x y 3 0
5. U3. Opisać rozkład zmiennej losowej X (tabela). Znaleźć dystrybuantę F(x) i narysować jej wykres. Obliczyć E(X), V(X), modę m0 i medianę Me=x0,5
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 17
Matematyka w ekonomii KNEIS semestr II.
Rz I
Rz II
Wiadomo, ze statystyczny student jest przygotowany do ćwiczeń z prawdopodobieństwem p=0,5. Prowadzący ćwiczenia wybiera do odpowiedzi 3 studentów. Zmienna losowa X oznacza liczbę studentów przygotowanych do ćwiczeń spośród wybranych czterech osób.
Producent wykonuje trzy rodzaje długopisów sprzedając je na rynku po ustalonej cenie 10$ za parę. Koszty wytworzenia dla tych trzech rodzajów są następujące : 6 $, 8$ i 9$ natomiast popyt na poszczególne rodzaje producent ocenia odpowiednio na 30%, 40%, 30%, w stosunku do całego popytu na jego długopisy. Niech X oznacza zmienną losową zysku.
6. U3.Dana jest zmienna losowa o rozkładzie opisanym funkcją gęstości: Rz I Rz II
a) b) c) d)
wyznaczyć stałą a i narysować wykres f(x), opisać dystrybuantę F(x) i narysować jej wykres, obliczyć E(X), V(X), medianę Me i modę m0. obliczyć P(1
Filia PW w Płocku, KNEIS
Dr Romuald Małecki
str. 18
