skrypt analityka 3

ANALIZA MATEMATYCZNA I

Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność rozwiązania można niemal zawsze sprawdzić za pomocą programu Wolfram R Alpha lub innego pokrewnego. Wykładowcy i Studenci spragnieni większej liczby zadań mogą sięgnąć do bliźniaczej listy 13 tygodni. Przy okazji zachęcam do lektury mojej książki Marek Zakrzewski Markowe wykłady z matematyki Analiza, GIS 2013 W serii Markowe wykłady z matematyki omawiam najważniejsze pojęcia i metody, ale szczególny nacisk kładę na konkretne, interesujące problemy. M. Z.

Lista 1 - Funkcje elementarne 1. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji: √ 1 1 a) y = x, y = x2 , y = x; b) y = , y = √ . x x 2. Podaj wartości poniższych wyrażeń w możliwie najprostszej postaci:  √ √2 √ √ √
√2 √
√8 √ 2 : ; 2 ; b) ( 2)3 · ( 4 2)2 ; c) 8 2 a) √ √ d) log√3 3 + log2 2; e) log2 3 · log3 4; f) log√10 2. 3. Wyraź y jako funkcję zmiennej x, jeżeli log y = (3/2) log x. 4. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = 2−x ;

b) y = log(x + 1);

d) y = 1 − 2x ;

c) y = log |x|;

e) y = |2x − 1|.

5. Dla funkcji f (x) = log2 x naszkicuj wykresy funkcji: a) y = f (x + 1);

b) y = |f (x)|;

d) y = −f (x);

c) y = f (|x|);

e) y = f (x2 ).

Czy pośród wskazanych wykresów jest wykres funkcji y = log 1 x? 2

6. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: a) y = 2x−1 ;

b) y = 102x ;

d)* y = 2x + 2−x , x ≥ 0.

c) y = x2 , x ≤ 0;

7. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: b) sin 2π c) cos 53 π; d) sin 54 π; a) tg π3 ; 3 ;
g) sin 35 π h) cos 11 i) tg 10 j) sin − 74 π ; 4 π; 3 π;

e) cos 43 π; k) cos 17 6 π;

f) ctg 2π 3 ; 2π l) sin 5 + sin 8π 5 .

8. Naszkicuj wykres funkcji: a) y = sin 2x;

c) y = | sin x| + sin x;

b) y = cos(x + π/4);

d) y = sin x +

√

3 cos x.

9. Wyraź: a) cos2 x oraz sin2 x za pomocą cos 2x; b) cos4 x za pomocą cos 2x i cos 4x. 10. Wykaż tożsamości: 1 1 + cos 2x sin 3x + sin x a) 1 + tg2 x = ; b) cos2 x = ; c) sin 2x cos x = . 2 cos x 2 2 11. Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta 15◦ . 12. Wyraź sin 3α za pomocą sin α. 13. Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych: a) arctg 1; √ e) arctg (− 3);

b) arcsin(−1/2); √ f) arccos( 3/2);

c) arccos(−1); √ g) arcctg(− 3); ♦

♦

√ d) arcsin( 2/2); √ h) arcsin(− 3/2).

♦

14. Sinusoidą nazywamy krzywą, którą można otrzymać przesuwając wykres funkcji y = a sin(bx + c). Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: a) y = cos x; b) y = sin2 x; c) y = sin x cos x; d) y = sin x + cos x; e) y = sin4 x + cos4 x. 15. Pokaż, że jeśli t = tg(x/2), to cos x =

1 − t2 , 1 + t2

sin x =

2t . 1 + t2

16. Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n. Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 21000 ? 17. * Jednym z pierwiastków równania 4x3 − 3x =

1 2

jest cos 20◦ . Znajdź dwa pozostałe.

Lista 2 - Granica 1. Oblicz granice ciągów: (n + 3)(2n + 1) a) an = ; (3n + 2)(2n + 3) √ e) en = n2 + 1 − n;

b) bn = f) fn =

n2 + 1 ; +n+1

n3

√

n2 + n − n;

3n + 4 n ; 5n sin n g) gn = ; n

1 + 2 + ... + n ; n2 √ h) hn = n 2n + 3n . d) dn =

c) cn =

2. Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją. a) an = (n2 + 1)/(n + 1);

b) bn = 1000n2 − n3 ;

c) cn = 3n − 2n ;

d) dn = 3n − (−2)n .

3. Jeżeli dla dodatnich funkcji f , g lim f (n)/g(n) = a, gdzie 0 < a < ∞, to mówimy, że n→∞

f , g są tego samego rzędu; jeżeli a = 1 — że są
asymptotycznie równe. a) Pokaż, że 1 + 2 + . . . + n jest rzędu n2 . b) Dla jakiego a nk jest asymptotycznie równe ank ? 4. Oblicz granice ciągów:  2n
2n+1 n an = 1 + n1 ; b) bn = n+1 ; 5. Naszkicuj wykres funkcji f (x) = limn→∞ 6. Oblicz granice funkcji: x2 − 4 a) lim ; x→−2 x + 2 x−9 ; e) lim √ x→3 √x − 3 √ 1+x− 1−x i) lim ; x→0 2x


n2 d) dn = 1 − n1 .
1 + x + x2 + . . . xn . Uważaj na dziedzinę!

c) cn =

x3 − x b) lim ; x→−1 x + 1 x3 − 1 f) lim 2 ; x→1 x − 1 tg x j) lim ; 1 + tg x x→π/2

7. Oblicz granice funkcji: sin 2x sin 2x a) lim ; b) lim ; x→0 x→0 sin x x sin x ln(1 − x) ; f) lim ; e) lim x→π x − π x→0 x


2n+1 n ; 2n

x−2 c) lim 2 ; x→2 x − x − 2 2x + 1 g) lim x ; x→−∞ 2 + 2 sin x k) lim ; x→∞ x

1 − cos x ; x→0 x2 1 − cos x g) lim ; x→0 x sin x

c) lim

√ x+ x √ ; d) lim x→∞ x − x x2 − 1 ; h) lim √ x→1 x−1 2x + 2−x l) lim . x→∞ 2x + x

e2x − 1 ; x→0 ex − 1 cos x h) lim π . x→π/2 2 − x

d) lim

8. Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: x−1 sgn x bxcx a) y = w punkcie 1; b) y = w punkcie 0; c) y = w punkcie 0. |x − 1| x x 9. Znajdź asymptoty funkcji: x3 a) y = 2 ; x −1

x3 + 8 b) y = 2 ; (x − 4)2

x2 c) y = 2 ; (x + x − 6) ♦

♦

√ d) y =

1 + x2 . x

♦

10. Niech Pn oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1, Ln jego obwód. Znajdź granice obu ciągów i wywnioskuj z nich granicę ciągu an = n sin(2π/n). 11. Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja. a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p%. b) Uzasadnij, że dla małych p okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 70/p. 12. Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > 0 p r a2 + r ≈ a + . 2a √ √ √ Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a) 10 ≈ 19/6; b) 15 ≈ 31/8; c) 2 ≈ 99/70.

Lista 3 - Ciągłość i pochodna 1. Naszkicuj wykresy oraz wskaż punkty nieciągłości podanych funkcji: a) y = (1 + sgn x)/2;

b) y = x sgn x;

c) y = b xc;

d) y = x − b xc.

2. Wskaż punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:  

1 , gdy x 6= 1, a) y = x−1  0 w p.p.;

  cos 1 gdy x > 0, b) y = x  0 x < 0;

 2  x −1 , gdy x 6= 1, c) y = x−1  2 w p.p..

3. Korzystając z twierdzenie Bolzana o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: a) x5 +x+1 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek; b) ex = 1+x+x2 ma dodatni pierwiastek; 4. Gdzie i w jaki sposób w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości?       1 n 1 n 1 = lim ln 1 + = ln lim 1 + = ln e = 1. lim n ln 1 + n→∞ n→∞ n→∞ n n n 5. Czy funkcję y = sin(1/x) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = x sin(1/x)? 6. Korzystając z definicji oblicz pochodne: a) y =

√ 1 ; b) y = x; c) y = e−x . x+1

7. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej oblicz pochodne funkcji:

√ √ 1 a) y = x(x − 2)2 ; b) y = 2 ; c) y = x; d) y = x x; e) y = x + x1 x − x1 . x √ √ 3 x+ x 0 0 8. Oblicz: a) f (1) dla funkcji y = (x + x) ; b) f (1) dla funkcji y = . x2 9. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: a) y = ex w punkcie (0, f (0)); b) y = ln x w punkcie (e, f (e)). 10. Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = 2 − x2 poprowadzonej w punkcie (1, 1) a dodatnią półosią osi Ox. Analogicznie dla stycznej w punkcie (−1, 1). p 11. Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie x funkcji: a) y = |x − 2|, x0 = 2: 0 √ b) y = 1 − x2 , x0 = 1; c) y = arcsin x, x0 = 1. 12. Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją). W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych. a) y = |x + 2|; b) y = |x2 + x|; y = |x3 + x2 |; d) y = x|x|. ♦

♦

♦

13. Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f (a + b) = f (a)f (b) oraz f 0 (0) = 1, to f 0 = f . W przyszłości pokażemy, że jedyną taką funkcją jest y = ex . 14. Pokaż, że funkcja f (x) = x sin(1/x) dla x 6= 0, f (0) = 0 nie jest różniczkowalna w punkcie zero. Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe? 15. Wyraź za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością. Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π 2 /2.

Lista 4 - Pochodna cd. 1. Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: √ a) y = 1/x2 ; b) y = x x; c) y = xex ; d) y = x2 ln x; 3 x +1 ln x sin x 1 f) y = 2 ; g) y = ; h) y = ; i) y = ; x +1 x x sin x √ k) y = sin 4x; l) y = ln(x2 + 1); m) y = sin sin x; n) y = 1 + x2 ;

e) y = sin x cos x; 2

j) y = e−x ; o) y = ln sin x.

2. Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty ex i logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: a) y = ax ; b) y = loga x, gdzie a dodatnie, różne od 1. 3. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: ex − 1 a) y = x w punkcie (0, f (0)); b) y = tg2 x w punkcie (π/4, f (π/4)). e +1 √ √ √ 4. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = 1 − x2 w punkcie ( 2/2, 2/2) dwiema metodami: a) geometrycznie; b) algebraicznie. 5. Naszkicuj wykres wielomianu: a) y = x3 − 3x + 1; b) y = x4 − 4x2 + 4x; c) x(x + 1)3 . 6. Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności podanych funkcji: √ x2 a) y = ; b) y = xe−x c) y = x2 ln x; d) y = x 4 − x2 ; x−2

e) y =

ln x . x

7. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: y = x3 − 12x na przedziale [−1, 4]. 8. Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f (x) = m dla funkcji: a) y =

x2 + x + 1 ; x2 − x + 1

b) y =

1 1 1 + + . x−1 x−2 x−3

9. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) x3 − 6x2 ;

b) y =

9 ; 2 x +9

c) y =

x2 − 1 ; x

d) y = x ln x;

e) y = xex .

10. Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: a) ex ≥ 1 + x;

b) ln(1 + x) ≤ x:

c) sin x < x dla dodatnich x.

Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji. 11. Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz granice: ln x arctg x sin ln x a) lim b) lim ; c) lim ; x→1 x − 1 x→0 x x→1 ln x  1 1 e) lim x ln2 x; f) lim − ; g) lim x1/x ; + x→∞ x→0 sin x x x→0 12. Naszkicuj wykres funkcji: a) y = xe−x ; b) y = ♦

♦

xn ; x→∞ ex

d) lim

h) lim (1 + sin x)1/x . x→0

ln x ; c) y = x ln x. x ♦

13. Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: eπ czy π e ? 14. Pokaż, że dla dodatniej funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f 0 (x) [ln f (x)]0 f (x). Naszkicuj wykres funkcji y = xx .

=

Lista 5 - Aproksymacje 1. Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: a)

√

3, 9; b) ln 1, 1; c) sin 3.

2. Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że przy odpowiednich założeniach f (x) = f (a) + f 0 (c)(x − a). Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji f (x) = x2 , oraz a = 1, x = 2. 3. Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f (x) = x3 + 2x2 + 3x + 4: a) wokół a = 0; b) wokół a = 1. 4. Oblicz przybliżoną wartość 1/e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla odpowiedniej funkcji. Oszacuj błąd przybliżenia. 5. Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sin x ≈ x −

x3 x5 + . 3! 5!

Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że |x| < π/2. 6. Znajdź: a) trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y =

√

1 + x;

b) rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln(1 + x). ♦

♦

♦

7. Wykaż, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna oraz f (a + b) = f (a)f (b) i f (0) = 1, to f 0 = f . Wywnioskuj z twierdzenia Lagrange’a, że f (x) = ex .

Lista 6 - Całka oznaczona. Techniki całkowania I 1. Oblicz podaną całę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: Z 1 Z 1 Z 2 1 a) x dx; b) x2 dx: c)* dx. x 0 1 Wsk.: b) zachodzi równość 12 + 22 + . . . + n2 = (n(n + 1)(2n + 1)/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: Z 1p Z 2p Z 4 Z 4 2 (1 + |x − 2|) dx; c) 1 − x dx; d) 2x − x2 dx. x dx; b) a) 0

0

0

0

3. Oblicz za pomocą całek pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y = 2x − x2 , x + y = 0;

b) yx = 1, y = x, y = 0, x = 2;

c) x = 0, y = arcsin x, y = π/2.

4. Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: Z Z Z p √ 7 x x a) (2x + 1) dx; b) e 1 + e dx; c) x 4 − x2 dx; Z −1 Z Z e x ex dx dx ; f) dx; g) ; e) x ln x x2 1 + e2x 5. Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: Z Z Z 2x a) x sin x dx; b) xe dx; c) x2 ln x dx; Z Z Z 2 x 2x e) x e dx; f) e sin x dx; g) ex sin x cos x dx; 6. Znajdź całkę nieoznaczoną

Z

x sin x2 dx; Z √ x h) dx. 1+x

d)

Z arctg x dx;

d) Z h)

xarcsin x dx.

Z p 1 − x2 dx za pomocą podstawienia x = sin t. Korzysta-

jąc z tej całki pokaż, że pole koła x2 + y 2 ≤ 1 jest równe π. 7. Znajdź średnią wartość funkcji: a) x2 na [0, a]; b) sin x na [0, π]; ]c) cos x na [0, π]. ♦

♦

♦ Z

π

8. Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz

sin2 x dx.

0

9. Udowodnij, że 1k + 2k + . . . + nk jest asymptotycznie równe nk+1 /(k + 1). 10. Oblicz  a) lim

n→∞

n n n + 2 + ... + 2 2 n +1 n +4 n + n2



 ;

b) lim

n→∞

1 1 1 + + ... + n+1 n+2 2n

 .

11. Aproksymując pole pod wykresem y = 1/x za pomocą prostokątów wykaż, że suma 1+

1 1 1 + + ... + 2 3 n

różni się od ln n o mniej niż 1. 12. Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh x = (ex +e−x )/2, sinh x = (ex −e−x )/2. a) Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi. b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe?

Lista 7 - Techniki całkowania II. Całka niewłaściwa i zastosowania 1. Oblicz poniższe całki nieoznaczone: Z Z Z dx dx dx a) : b) ; c) ; 2 2x + 1 x +4 (2x + 3)5 2. Rozłóż na ułamki proste i Z Z dx a) ; b) Z Z x(x − 1) x dx ; f) e) 2 Z x +4 Z dx i) ; j) x2 + 2x + 2

Z d)

x . (1 + x2 )3

znajdź całkę nieoznaczoną: Z x dx (x + 1) dx ; c) : 2 x −4 Z x(x + 1)(x + 2) (2x + 3) dx (2x + 1) dx ; g) ; 2 2 x +1 Z x +x+1 2x dx dx ; k) ; 2 3 x + 6x + 10 x + 4x

3. Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: Z Z Z 2 a) tg x; b) cos x dx; c) sin3 x dx;

x2 dx ; 2 3 Z 1+x+x +x x dx h) ; 2 Z 4x + 1 x dx l) . x4 − 1 Z

d)

Z d)

Z sin 3x sin x dx;

dx . sin x

e)

4. Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin x, 0 ≤ x ≤ π wokół osi Ox. 5. Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi Oy: a) odcinka y = x, 0 ≤ x ≤ a; b) odcinka paraboli y = x2 , 0 ≤ x ≤ a. Jak rozwiązać b) korzystając ze wzoru na obrót wokół osi Ox? 6. Korzystając ze wzoru na długość łuku: a) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (ex + e−x )/2, −1 ≤ x ≤ 1; b) sprawdź, że obwód okręgu x2 + y 2 = 1 jest równy 2π. 7. Oblicz całki niewłaściwe lub uzasadnij, że są rozbieżne: Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 dx dx dx √ ; c) √ ; d) a) dx; b) ; 2 1+x x ln x x x 1+ x 0 1 1 1 ♦

♦

Z

∞

e) 1

dx . ln x

♦

8. Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = 1/x, x ≥ 1 wokół osi Ox. a) Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona. b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzną powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby. Wyjaśnij ten paradoks. R 9. Oblicz całkę 1/(1 + x2 )2 dx kontynuując obliczenia: Z

dx = (1 + x2 )2

Z

1 + x2 dx − (1 + x2 )2

Z

x 2x dx · = ... 2 (1 + x2 )2

10. Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu x2 + (y − R)2 = r2 (R > r) wokół osi Ox. Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek. 11. Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery x2 + y 2 + z 2 = 1 płaszczyzną z = a, gdzie 0 < a < 1. Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnię walca stycznego do tej sfery.