1 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WZORY SPIS TREŚCI 1. Wartość bezwzględna liczby ...
85 downloads
50 Views
251KB Size
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WZORY SPIS TREŚCI 1. Wartość bezwzględna liczby ............................................................................1 2. Potęgi i pierwiastki ...........................................................................................1 3. Silnia. Symbol Newtona ...................................................................................2 4. Dwumian Newtona ...........................................................................................3 5. Wzory skróconego mnożenia ...........................................................................3 6. Ciągi .................................................................................................................3 7. Funkcja kwadratowa.........................................................................................4 8. Logarytmy ........................................................................................................5 9. Pochodna funkcji ..............................................................................................5 10. Geometria analityczna ...................................................................................... 6 11. Planimetria........................................................................................................8 12. Stereometria....................................................................................................11 13. Trygonometria ................................................................................................13 14. Kombinatoryka ...............................................................................................16 15. Rachunek prawdopodobieństwa .....................................................................16 16. Parametry danych statystycznych...................................................................17 17. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ...............................................19 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: x, dla x ≥ 0 x = − x dla x < 0 Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: x ≥0 −x = x Dla dowolnych liczb x, y mamy: x+ y ≤ x + y x− y ≤ x + y
x⋅ y = x ⋅ y
x x = y y Dla dowolnych liczb a oraz r, gdzie r ≥ 0 , mamy warunki równoważne: x−a ≤ r ⇔ a−r ≤ x ≤ a+r
Ponadto, jeśli y ≠ 0 , to
x−a ≥ r ⇔
x ≤ a − r lub x ≥ a + r
2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę: a n = a!⋅" ...# ⋅a n razy
Pierwiastkiem arytmetycznym że b n = a .
n
a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką,
1
W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:
a2 = a .
Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. _____
*
_____
Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: 1 a−n = n oraz a 0 = 1 − dla a ≠ 0 : a m n
dla a ≥ 0 :
a = n am m − 1 a n = − dla a > 0 : n m a Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0 , to zachodzą równości: s ar ar ⋅ as = ar +s = ar−s ( a r ) = a r ⋅s as −
r
r
a a ( a ⋅ b) = a ⋅ b = r b b Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 , b ≠ 0 . r
r
r
3. SILNIA. SYMBOL NEWTONA Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych: n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1 . Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek: ( n + 1)! = n ! ⋅ ( n + 1) _____
*
_____
Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy symbol Newtona: n n! = k k !( n − k ) ! Zachodzą równości: n n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ k k n n n = =1 k n−k 0 Dla 0 ≤ k < n mamy: n + 1 n n = + k + 1 k k + 1
n =1 n n n n − k = ⋅ k + 1 k k + 1
2
4. DWUMIAN NEWTONA Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy: n n n n n n ( a + b ) = a n + a n−1b + ... + a n−k b k + ... + abn−1 + bn 0 1 k n − 1 n 5. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy dla dowolnych liczb a, b: 2 3 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 ( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
( a − b)
2
= a 2 − 2ab + b 2
( a − b) _____
*
3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
_____
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór: a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + ... + a n −k b k + ... + ab n −2 + b n −1 ) W szczególności: a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b )
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) 6. CIĄGI •
Ciąg arytmetyczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i różnicy r: an = a1 + ( n − 1) r
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: Sn =
2a + ( n − 1) r a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: a +a an = n −1 n +1 dla n ≥ 2 2 •
Ciąg geometryczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q: an = a1 ⋅ q n −1 Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego: 1 − qn a Sn = 1 1 − q n ⋅ a 1
dla q ≠ 1 dla q = 1
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: an2 = an −1 ⋅ an +1 dla n ≥ 2
3
•
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p % w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem: p K n = K ⋅ 1 + 100 •
n
Granica ciągu
Jeżeli lim an = g oraz lim bn = h , to n →∞
n →∞
lim ( an + bn ) = g + h n →∞
lim ( an − bn ) = g − h n →∞
Jeżeli ponadto bn ≠ 0 dla n ≥ 1 oraz h ≠ 0 , to a g lim n = n →∞ b h n
_____
*
lim ( an ⋅ bn ) = g ⋅ h n →∞
_____
Jeżeli ( an ) , n ≥ 1 , jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q < 1 , to ciąg sum jego początkowych wyrazów S n = a1 + a2 + ... + an ma granicę: a lim Sn = 1 n →∞ 1− q 7. FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 . Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: 2
b ∆ f ( x) = a ⋅ x + − , gdzie ∆ = b 2 − 4ac 2a 4a pomocnej przy sporządzaniu wykresu. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych ∆ b − , − . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 . 2a 4a Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba pierwiastków równania ax 2 + bx + c = 0 zależy od wyróżnika ∆ = b 2 − 4ac : − jeżeli ∆ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych), − jeżeli ∆ = 0 , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek): b x1 = x2 = − 2a − jeżeli ∆ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki): −b − ∆ −b + ∆ x1 = x2 = 2a 2a
4
Jeśli ∆ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) Wzory Viéte’a: x1 + x2 =
−b a
x1 ⋅ x2 =
c a
8. LOGARYTMY Niech a > 0 i a ≠ 1 . Logarytmem log a c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c: b = log a c ⇔ a b = c Równoważnie: a loga c = c Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory: x log a = log a x − log a y log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y log a x r = r ⋅ log a x y Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to log a c log b c = log a b 9. POCHODNA FUNKCJI c ⋅ f ( x ) ′ = c ⋅ f ′ ( x ) dla c ∈ R f ( x ) + g ( x ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) ′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ⋅ g ( x ) ′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) f ( x ) ′ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) , gdy g ( x ) ≠ 0 = 2 g ( x ) g ( x) Pochodne niektórych funkcji: f ( x) = c ⇒ f ′( x) = 0 f ( x ) = ax + b ⇒
f ′( x) = a
f ( x ) = ax 2 + bx + c ⇒
f ′ ( x ) = 2ax + b
a −a ⇒ f ′( x) = 2 x x r f ( x ) = x ⇒ f ′ ( x ) = rx r −1 f ( x) =
gdzie r ≠ 0 , zaś a, b, c – dowolne liczby rzeczywiste.
5
•
Równanie stycznej
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , to równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ( x0 , f ( x0 ) ) dane jest wzorem: y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
10. GEOMETRIA ANALITYCZNA •
Odcinek
Długość odcinka o końcach w punktach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) dana jest wzorem: AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2
y
2
A = ( xA , yA )
Współrzędne środka odcinka AB: x A + xB y A + y B , 2 2 •
Wektory
•
Prosta
B = ( xB , yB )
O
x
$$$% Współrzędne wektora AB , który przesuwa punkt A na punkt B: $$$% AB = [ xB − x A , yB − y A ] % % Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [ v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to % % % u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ] a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ] Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0 , gdzie A2 + B 2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli A = 0 , prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. y y = ax + b Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: b y = ax + b Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: a = tgα α Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina. O x Równanie prostej, przechodzącej przez dwa dane punkty A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) :
( y − y A )( xB − xA ) − ( yB − y A )( x − xA ) = 0
6
•
Prosta i punkt
Odległość punktu P = ( x0 , y0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 dana jest wzorem: Ax0 + By0 + C A2 + B 2 •
Para prostych
Dwie proste, o równaniach kierunkowych y = a1 x + b1 y = a2 x + b2 spełniają jeden z następujących warunków: − są równoległe, gdy a1 = a2 , − są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 , − tworzą kąt ϕ taki, że: 0& < ϕ < 90& i tgϕ =
a1 − a2 . 1 + a1a2
Jeżeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej: A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 to odpowiednio: − są równoległe, gdy A1 B2 − A2 B1 = 0 , − są prostopadłe, gdy A1 A2 + B1 B2 = 0 , − tworzą kąt ϕ taki, że: 0& < ϕ < 90& i tgϕ = •
A1 B2 − A2 B1 . A1 A2 + B1 B2
Trójkąt
Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) , C = ( xC , yC ) , dane jest wzorem: 1 ( xB − xA )( yC − y A ) − ( yB − y A )( xC − xA ) 2 Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: x A + xB + xC y A + yB + yC , 3 3 P∆ABC =
•
Przekształcenia geometryczne % − przesunięcie o wektor u = [ a, b ] przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( x + a, y + b ) ; − symetria względem osi Oy przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( − x, y ) ; − symetria względem punktu ( a, b ) przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( 2a − x, 2b − y ) ; − jednokładność o środku w punkcie
( 0,0 )
na punkt ( sx, sy ) .
7
i skali s ≠ 0 przekształca punkt
( x, y )
•
Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku w punkcie ( a, b ) i promieniu r:
( x − a ) + ( y − b) 2
2
= r2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
lub
gdzie r 2 = a 2 + b 2 − c > 0
11. PLANIMETRIA •
Oznaczenia a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A, B, C;
C γ b α A
2 p = a + b + c – obwód trójkąta; a
α , β , γ – miary kątów przy wierzchołkach A, B, C;
β
ha , hb , hc – wysokości, opuszczone z wierzchołków A, B, C;
c
B
R, r – promienie okręgów opisanego i wpisanego. •
Wzory na pole trójkąta 1 1 1 P∆ABC = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅ c ⋅ hc 2 2 2
•
P∆ABC =
1 1 sin β ⋅ sin γ = 2 R 2 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ a ⋅ b ⋅ sin γ = a 2 2 2 sin α
P∆ABC =
abc = rp = 4R
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Twierdzenie sinusów a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
•
Twierdzenie cosinusów a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
•
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a 2 + b 2 = c 2 .
8
•
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: hc2 = AD ⋅ DB
C γ b α
•
a
hc
A
c
ab c a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β a = b ⋅ tgα = b ⋅ ctgβ 1 R= c 2 hc =
.
β D
B
Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
C
Proste AA′ , BB′ , CC ′ są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość: AB BC = A′B′ B′C ′
B A A′ •
B′
C′
Czworokąty b
D
Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu: a+b P= ⋅h 2
C h E
A
B
a D
Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: 1 P = ah = a ⋅ b ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sin ϕ 2
C h
ϕ
b
α
A
B
a
D
Romb Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych jednakowej długości. Wzory na pole rombu: 1 P = ah = a 2 ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD 2
C h
α
A
a
B
9
D A
C
B •
Koło Wzór na pole koła o promieniu r: P = π r2 Obwód koła o promieniu r: Ob = 2π r
r O
•
Wycinek koła
r
Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α & : α& 2 P =πr ⋅ 360& Długość łuku wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α & : α& l = 2π r ⋅ 360&
A
α
O
B
•
Deltoid Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu: 1 P = ⋅ AC ⋅ BD 2
Kąty w okręgu α α
O
α
2α
Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tych samych łukach, są równe.
B A
10
•
Okrąg opisany na czworokącie C
γ β
B
Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°:
D δ
α + γ = β + δ = 180& α
A •
Okrąg wpisany w czworokąt C
c
W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe:
D r
b
d
a+c =b+d B
a
A
12. STEREOMETRIA •
Oznaczenia P – pole powierzchni całkowitej Pp – pole powierzchni podstawy Pb – pole powierzchni bocznej V – objętość
•
Prostopadłościan H
G
E
F
P = 2 ( ab + bc + ac )
c
C
D
V = abc gdzie a, b, c są długościami krawędzi prostopadłościanu.
b A
a
B 11
•
Graniastosłup prosty I J H F
Pb = 2 p ⋅ h V = Pp ⋅ h
G h
gdzie 2 p jest obwodem podstawy graniastosłupa.
D E C B
A •
Ostrosłup S
1 V = Pp ⋅ h 3 gdzie h jest wysokością ostrosłupa.
h D E C B
A •
Walec
Pb = 2π rh
h
r
P = 2π r ( r + h ) V = π r 2h gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokością walca.
O
12
•
Stożek S
Pb = π rl
P = π r (r + l )
1 V = π r 2h 3 gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością, l –długością tworzącej stożka.
h l
O •
r
Kula
O
P = 4π r 2 4 V = π r3 3 gdzie r jest promieniem kuli.
r
13. TRYGONOMETRIA •
Definicje funkcji trygonometrycznych y y r y tgα = x x ctgα = y
M=(x, y)
r
sin α =
y
•
( x ≠ 0) ( y ≠0)
gdzie r = x 2 + y 2
α O
cos α =
x
M’
x
Wykresy funkcji trygonometrycznych
y = cos x
y = sin x
13
x r
y = tgx •
Związki między funkcjami tego samego kąta sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α tgα = dla cos α cos α ctgα = dla sin α 1 ctgα = dla tgα
•
•
y = ctgx
π + kπ 2
α≠
k – całkowite
α ≠ kπ
k – całkowite
kπ 2
k – całkowite
α≠
Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych α
0 ( 0& )
sinα
0
cosα
1
tgα
0
ctgα
nie istnieje
π 30& ) ( 6 1 2 3 2 3 3
π 90& ) ( 2
π 45& ) ( 4 2 2 2 2
π 60& ) ( 3 3 2 1 2
1
3
nie istnieje
1
3 3
0
3
1 0
Wzory redukcyjne
– sinα
π −α 2 cosα
π +α 2 cosα
3π −α 2 – cosα
3π +α 2 − cosα
− cosα
− cosα
sinα
– sinα
– sinα
sinα
cosα
tgα
– tgα
tgα
ctgα
– ctgα
ctgα
– ctgα
− tgα
ctgα
– ctgα
ctgα
tgα
– tgα
tgα
– tgα
− ctgα
ϕ=
−α
α
π −α
π +α
sinϕ
– sinα
sinα
sinα
cosϕ
cosα
cosα
tgϕ
– tgα
ctgϕ
– ctgα
14
2π − α − sinα
•
Funkcje sumy i różnicy kątów
Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości: sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β Ponadto mamy równości: tgα + tgβ tg (α + β ) = 1 − tgα ⋅ tgβ tgα − tgβ tg (α − β ) = 1 + tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ − 1 ctg (α + β ) = ctgα + ctgβ ctgα ⋅ ctgβ + 1 ctg (α − β ) = ctgβ − ctgα które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. •
Funkcje podwojonego kąta sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
Ponadto, dla tych kątów, dla których prawe strony są określone, mamy równości: 2tgα sin 2α = 1 + tg 2α 1 − tg 2α 1 + tg 2α 2tgα tg2α = 1 − tg 2α
cos 2α =
•
Funkcje potrojonego kąta sin 3α = sin α ( 3cos 2 α − sin 2 α ) = sin α ( 3 − 4sin 2 α ) cos 3α = cos α ( cos 2 α − 3sin 2 α ) = cos α ( 4 cos 2 α − 3)
•
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych α+β α−β cos 2 2 α −β α+β sin α − sin β = 2sin cos 2 2 α+β α−β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α−β cos α − cos β = −2sin sin 2 2 sin α + sin β = 2sin
15
14. KOMBINATORYKA •
Permutacje
Liczba sposobów, w jaki n ≥ 1 elementów można ustawić w ciąg, jest równa n ! •
Wariacje bez powtórzeń
Liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się z k (1 ≤ k ≤ n ) różnych wyrazów, jest równa n! n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) = ( n − k )! •
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk. •
Kombinacje
Liczba sposobów, w jaki spośród n elementów można wybrać k ( 0 ≤ k ≤ n ) elementów, n jest równa . k 15. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA •
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe P ( A) =
A Ω
gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω . •
Własności prawdopodobieństwa 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω P (Ω) = 1
Ω – zdarzenie pewne
P (∅) = 0
∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω )
P ( A) ≤ P ( B )
gdy A ⊂ B ⊂ Ω
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω ,
zatem P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω . •
Zdarzenia niezależne
Zdarzenia A ⊂ Ω i B ⊂ Ω są niezależne, gdy P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
16
•
Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P ( B ) > 0 . Prawdopodobieństwem warunkowym P ( A | B ) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę: P ( A ∩ B) P ( A | B) = P ( B) •
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia B1 , B2 , ..., Bn ⊂ Ω spełniają warunki: 1. Bi ∩ B j = ∅ dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j , 2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω ,
3. P ( Bi ) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość: P ( A ) = P ( A | B1 ) ⋅ P ( B1 ) + P ( A | B2 ) ⋅ P ( B2 ) + ... + P ( A | Bn ) ⋅ P ( Bn ) •
Schemat Bernoulliego
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego wyraża się wzorem: n k n−k p + q =1 ⋅ p ⋅q k gdzie: p – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, q – prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie. 16. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH •
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna n liczb a1 , a2 ,..., an jest równa: a1 + a2 + ... + an n •
Średnia ważona
Średnia ważona n liczb a1 , a2 ,..., an którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi w1 , w2 ,..., wn jest równa: w1 ⋅ a1 + w2 ⋅ a2 + ... + wn ⋅ an w1 + w2 + ... + wn •
Średnia geometryczna
Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 ,..., an jest równa: n
a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
17
•
Średnia harmoniczna
Średnia harmoniczna n dodatnich liczb a1 , a2 ,..., an jest równa: n 1 1 1 + + ... + a1 a2 an •
Mediana
Medianą uporządkowanego rosnąco ciągu n danych liczbowych a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest: − dla n nieparzystych: a n +1 (środkowy wyraz ciągu), 2
− dla n parzystych: •
1 a n + a n +1 (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu). 2 2 2
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancją n danych liczbowych a1 , a2 ,..., an o średniej arytmetycznej a jest liczba:
( a − a ) + ( a2 − a ) + ( a3 − a ) = 1 2
σ
2
2
2
+ ... + ( an − a )
2
n
Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji: σ = σ 2 .
18
17. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH α [& ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
sin α cos β
tgα ctgβ
β [& ]
0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071
0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000
90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45
α [& ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
19
sin α cos β
tgα ctgβ
0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1,0000
1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713 6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301 14,3007 19,0811 28,6363 57,2900 –
β [& ] 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
