TSiS - odpowiedzi na pytania sciaga do wydruku

4.1 Wymienić i omówić założenia upraszczające stosowane podczas modelowania matematycznego procesów: Do podstawowych założeń upraszczających zalicza się: • Pomijanie małych wpływów np. przy analizie obwodu RLC pomija się rezystancje cewki, czyli te zmienne które mają znikomy wpływ na analizę problemu. Upraszcza to opis matematyczny. • Założenie że analizowany układ nie powoduje zmian w otaczającym go środowisku np. zakłada się że zmiana obciążenia w obwodzie elektrycznym nie wpływa na warunki zasilania (sztywne charakterystyki). Jeśli założymy ów wpływ lepsze staje się wówczas modelowanie symulacyjne • Zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione – ułatwia to analizę gdyż równania różniczkowe cząstkowe zastępuje się zwykłymi np. przy analizie linii długiej o parametrach rozłożonych (rezystancja, indukcyjność, pojemność rozłożone na długości linii) korzysta się z parametrów skupionych w dyskretnym punkcie. • Zakładanie prostych linowych zależności miedzy zmiennymi fizycznymi opisującymi przyczyny i skutki – przydatna przy przybliżaniu zależności zbliżonych do liniowych np. zależność między prądem a napięciem na rezystorze (w innym przypadku konieczność stosowania metod numerycznych i komputerów) • Założenie że parametry fizyczne są niezmienne w czasie (stacjonarne) – analiza modelu niestacjonarnego jest znacznie bardziej skomplikowana niż stacjonarnego. • Unikanie nieokreśloności i pomijanie szumów – czasem warto zastąpić metody stochastyczne deterministycznymi z pominięciem zakłóceń. Wówczas możliwe jest modelowanie obiektu za pomocą prostych metod. Przy dużych szumach konieczne jest stosowanie metod stochastycznych. 4.2 Co to jest model obiektu ? Wymienić rodzaje modeli i scharakteryzować je. Model obiektu stanowi pewne wyobrażenie obiektu „prawdziwego”, jego właściwości i sposób działania. Z zasady wyobrażenie to nie jest pełne,

lecz dotyczy tylko tych zjawisk które są najbardziej interesujące. • Model matematyczny – układ równań, nierówności i zależności logicznych opisujących działanie obiektu • Model symulacyjny – eksperymentalnie badany model odzwierciedlający zachowanie obiektu rzeczywistego. 4.3 Wyjaśnić sens stosowania modeli matematycznych. Modelowanie matematyczne stosujemy po to ,aby poznać prawa fizyczne rządzące danym procesem, Dokładnie ustalić wszystkie jego parametry . 4.4 Dokonać podstawowej klasyfikacji modeli matematycznych. Podać przykład dla każdego typu modelu matematycznego 1. Podział ze względu na liniowość a) Modele liniowe – opisywane przez liniowe równania matematyczne. Charakterystyki spełniają zasadę superpozycji i jednorodności b) Modele nieliniowe – opisywane przez równania nieliniowe 2. Podział uwzględniający dynamikę obiektu a) Modele statyczne – opisywane przez równania algebraiczne b) Modele Dynamiczne – opisywane przez równania różniczkowe, różnicowe, różniczkowo-różnicowe, różniczkowo-całkowe 3. Podział uwzględniający zakłócenia losowe a) Modele deterministyczne – parametry i wymuszenia są zdeterminowanymi funkcjami czasu b) Modele stochastyczne – parametry lub wymuszenia są funkcjami losowymi 4. Podział uwzględniający zmienność w czasie parametrów modelu a) Modele stacjonarne – opisywane przez równania niezależne od zera b) Modele niestacjonarne – opisywane przez równania o parametrach zależnych od czasu 5. Podział uwzględniający postać modelu a) Modele parametryczne – opisywane przez zbiór parametrów b) Modele nieparametryczne – przedstawione w postaci funkcji i wykresu 4.5 Przedstawić ogólną metodykę modelowania matematycznego. Ogólną metodykę modelowania matematycznego można

sprowadzić do trzech następujących etapów: 1. Wybór zmiennych fizycznych – wygodnie dokonać podziału na zmienne przepływu (jednopunktowe) np. prąd płynący przez rezystor, siła przez sprężynę oraz zmienne spadku (dwupunktowe) np. różnica potencjałów na końcach rezystora, spadek ciśnienia między dwoma końcami przewodu. 2. Napisanie równań równowagi lub spójności – równania równowagi wyrażają zależności między zmiennymi przepływu np. I prawo Kirchhoffa natomiast równania spójności to zależności między zmiennymi spadku np. II prawo Kirchhoffa. 3. Napisanie zależności fizycznych. 4.7 Scharakteryzować zasady i metody modelowania matematycznego układów elektrycznych Zakładamy , że układ jest zbudowany z elementów skupionych i jest złożony z elementów idealnych . Procedura wygląda tak: 1.wybór zmiennych ( oznaczenie napięć i prądów , wypisanie tożsamości , wypisanie więzów wprowadzonych przez źródła.). 2.równania równowagi lub spójności ( równowagi-1 prawo K. Spójności-2 prawo K.). 3.Zależności fizyczne ( wypisanie zależności pomiędzy napięciami i prądami dla elementów podstawowych). 4.8 Omówić podstawowe metody modelowania matematycznego układów mechanicznych Budowa modelu sprowadza się do sformułowania: 1.Zależności geometrycznych ( narysowanie układu w położeniu dowolnym w stosunku do położenia układu odniesienia , określenie układu współrzędnych i ich dodatnich zwrotów , wynotowanie tożsamości geometrycznych itd.). 2.Równań równowagi ( spójności)-równanie punktu materialnego itd. 3.Zależności fizycznych ( między zmiennymi przepływu a zmiennymi spadku) 4.9 Kiedy przy modelowaniu układów mechanicznych należy korzystać z zasady d`Alemberta, a kiedy z zasad zachowania? Zasada d`Alemberta jest inną interpretacją II zasady dynamiki, która dotyczy działania sił na

ciało zatem zależy ją stosować do równań ruchu. Zasady zachowania natomiast są całkami równać ruchu zatem dotyczą prędkości 4.10 Sformułować zasadę Hamiltona Ta zasada mówi, że ruch między położeniem A i położeniem B dowolnego liniowego układu dynamicznego znajdującego się pod działaniem danych sił, przy dowolnych warunkach początkowych, przebiega tak, że funkcjonał S przyjmuje wartość stacjonarną ( zwykle minimalną ). , T – energia kinetyczna, Venergia potencjalna 4.11. Sformułować równania Lagrange’a dla układów zachowawczych i niezachowawczych. Układ zachowawczy to taki w którym całkowita energia pozostaje stała czyli nie jest dostarczana energia w postaci pracy sił zewnętrznych oraz nie jest rozpraszana w postaci ciepła. Dla układu zachowawczego funkcja Lagrange’a nie zależy jawnie od czasu. Równanie Lagrange’a dla układów zachowawczych ma postać:

Układ niezachowawczy – występują straty energii przy pokonywaniu sił oporu lub energia jest dostarczana do układu w postaci pracy sił czynnych. Równanie Lagrange’a ma postać:

gdzie: Qi – wymuszenia zewnętrzne F – funkcja strat Rayleigha 4.12 Jakie zalety ma zastosowanie w modelu matematycznym równań Lagrange'a? 1. Liczba niezbędnych zależności geometrycznych jest znacznie mniejsza gdyż określa tylko prędkości, a nie przyspieszenia. Problem znaków nie istnieje, ponieważ w obliczeniach występuje kwadrat prędkości 2. Wyznacza się zależności między skalarami, a nie wektorami 3. W układach zachowawczych nie ma potrzeby wyznaczania sił biernych

4. Nie uwzględnia się sił wewnętrznych układu 5. Wymagana liczba równań wynika samorzutnie z liczby niezależnych współrzędnych uogólnionych tj. stopni swobody 6. Pozwala na jednolite ujęcie układów o różnym charakterze, np. układów elektromechanicznych Pyt. 4.13 Podać zasady modelowania układów hydraulicznych i pneumatycznych? a) wybór zmiennych i zależności geometrycznych ( prędkość przepływu v, natężenie przepływu Q, wysokość słupa cieczy H, ciśnienie p, gestość ρ, temperatura T) b) napisanie warunków równowagi (lub spójności) -równanie ciągłosci przepływu (wyraża zasadę zachowania masy zastosowaną dla płynu ρvf=const dla płynu nieścisliwego vf=const) -równanie sił i momentów ( równania bernouliego które wyraża zasade zachowania energii .Dla płynu nieściśliwego:

v2 2

d(

gdzie

p ρ

ξ

)+d(

v2 2

p ρ

)+d(ξ

v2 2

)=0

-energia kinetyczna,

- energia potencjalna,

v2 2

-energia strat) Dla płynu

ściśliwego

v2 2

+

m p m−1 ρ

+ξ

v2 2

=const -równanie zmiany pędu (oddziaływanie ciała stałego na płyn i odwrotnie, przy wzajemnym ruchu) c)określenie zależności fizycznych (np. równanie

p ρ

Clapeyrona =RT lub przemiany termodynamiczne: izohoryczna, izobaryczna, izotermiczna i adiabatyczna) 4.14 Wymienić rodzaje strat ciśnienia podczas przepływu płynu. Przepływający płyn przez przewody wytwarza straty energetyczne wywołaniem tarciem płynu o ściany przewodu

oraz zmianą kierunku przepływu ( zagięcie przewodu lub załamaniu ). Energia strat przepływu wynosi:

E str =ξ •

v2 2 współczynnik strat

ξ =ξ t + ξ m ; ξ t

wsp spowodowanych tarciem płynu o ścianki przewodu wsp strat miejscowych ( straty nieliniowe ) Dla przewodów o przekroju kołowym

ξt

wynosi :

współczynnik tarcia ,l długość pzrewodu , d średnica przewodu Dla przewodu laminarnego ipłynów nieścieśliwych

Re to liczba reynoldsa υ-lekość kinematyczna Przy pzrepływie płynu przez pzrewód cylindryczny przyjmuje się : 1. dla Re< 2300 – przepływ laminarny 2. dla Re >2300 przepływ burzliwy Współczynnik wyznacza na podstawie eksperymentu np. dla otworu w ścianie wynosi on 1.7do 1.9 Straty ciśnienia w przewodzie spowodowane oporami przepływu wyrażone są wzorem :

Związek między spadkiem ciśnienia a natężeniem przepływu Q jest funkcją :

4.15 Czy istnieją różnice między zasadami modelowania układów hydraulicznych i pneumatycznych? Nie występują różnice między zasadami modelowania (pyt 4.13). 4.16. Podać zasady modelowania układów cieplnych. Układy w których występuje ruch ciepła mają parametry rozłożone w przestrzeni w sposób ciągły. Przy analizie stosuje się przybliżony model o parametrach

skupionych, w których temperatura jest tylko funkcją czasu. Zakłada się że ciało ma określoną pojemność cieplną, a oporność cieplna występuje tylko na pograniczu tego ciała i środowiska. Takie uproszczenie powoduje duży błąd dlatego można obszar ciała które przewodzi ciepło podzielić na kilka elementów z których każdy ma swoją pojemność cieplną i oporność występującą na ich pograniczu.

Przykład: ściana z dwóch warstw o różnej przewodności cieplnej. Linia ciągła pokazuje jak w rzeczywistości zmienia się temperatura w ścianie, a linia przerywana jak przyjmuje się w modelu. 4.17 Jakie należy poczynić założenia, aby układ cieplny przedstawić w formie równań różniczkowych zwyczajnych? 1. Zakładamy parametry stałe , skupione 2. Temperatura zależna tylko od czasu 3. Zakładamy że układ ma określoną pojemność cieplną, a oporność cieplna występuje tylko na pograniczu układu i otaczającego go środowiska. Przyjęcie takich założeń prowadzi do dużego błędu w odwzorowaniu procesu rzeczywistego przez jego model matematyczny. Aby zmniejszyć ten błąd należy obszar układu podzielić na określoną liczbę elementów, charakteryzujących się pojemnością cieplną i opornością, występującą na ich pograniczu. Pyt. 4.18 Co wyraża pierwsze prawo termodynamiki a co równanie przewodnictwa cieplnego? I zasada termodynamiki- zmiana energii wewnętrznej ciała dU jest równa sumie dostarczonego ciepła dQ i pracy wykonanej nad ciałem dW (dU=dQ+dW). Równanie przewodnictwa cieplnego- określa temperature

układu do której dopływa lub odpływa strumień cieplny (dQ= -λ

dT Sdt dl

)

4.19 Podać równanie równowagi i spójności dla układów elektrycznych , mechanicznych , pneumatycznych , hydraulicznych i termicznych . Dla układów elektrycznych : - rów. równowagi to I prawo Kirchoffa - rów. Spójności to II prawo Kirchoffa Dla układów mechanicznych : - rów. Równowagi wynika z II prawa Newtona jest równaniem ruchu punktu materialnego :

Po wprowadzeniu kartezjańskiego układu współrzędnych :

Ri wektor siły biernej (reakcji) , Pi wektor siły czynnej W przypadku ruchu układu ruchem obrotowym

Rownanie spoójności nie jest jednoznacznie określone w skrypcie . Dla układów pneumatycznych : - rów. Równowagi : -równanie ciągłości przepływu -gęstość płynu ,v-prędkość przepływu ,f-pole przekroju Dla gazów nie ściśliwych -Równania równowagi sił i momentów są identyczne jak dla każdego ciała swobodnego .Oznacza to że zasada d’Alemberta jest słuszna w odniesieniu do swobodnych elementów płynu , tak jak dla układu ciał sztywnych . Równania Naviera-Stokesa , dla przepłyó z pominienciem tarcia zwane są równaniami Eulera , dla przepływów ustalonych równaniami Bernoulli’ego. równania Bernoulli’ego wyrażają zasadę zachowania energii przy pominięciu wpływu zmiany wysokośći położenia i

uwzględnienia strat przepływu dla danej strugi :

Równanie zmiany pędu : wyrażą oddziaływanie caiła stałego na płyny i odwrotnie Dla strugi jak na rysuku poniżej Równanie zmiany pędu ma postać dla płynu nieściśliwego :

Dla układów cieplnych : Równania równowagi przepływu ciepła dla każdego wyodrębnionego układu o pojemnosci cieplnej Cc i oporze cieplnym Rc : Lub dla modelu o stalych skupionych qdt= ρVodu+dW jest to pierwsze prawo termodynamiki dQ-ilość ceipła dostarczonego do układu dU ilość energii wewnętrznej dW praca wykona przez układ q ilość ciepła dostarczona do ukłądu w jednostce czasu Vo całkowita objętość układu , u energia wenętrzna odniesiona do masy 4.20 Jaki jest cel stosowania analogii elektrycznej? Celem stosowania analogii elektrycznej jest przeprowadzanie analizy innych układów za pomocą modelowania elektrycznego. (np. Możemy zbudować układ elektryczny, którego równania dynamiki będą miały postać identyczną z równaniami ruchu danego układu mechanicznego) Celem stosowania analogii elektrycznej jest odnajdywanie układu równań różniczkowych np. dla układu hydraulicznego za

pomocą analogi tego układu z układem elektrycznym. Należy podkreślić, że jedynym zastosowaniem analogii elektrycznej układów mechanicznych, hydraulicznych, pneumatycznych, cieplnych jest sformalizowanie i uproszczenie procedury układania równań dynamiki wymienionych układów. Obecnie zasad analogii nie stosuje się do analizy układów dynamicznych ze względu na powszechne zastosowanie symulacji komputerowej. 4.21. Omówić podstawowe zasady analogii napięciowej układów mechanicznych, pneumatycznych, hydraulicznych i termicznych. Analogia napięciowa układów mechanicznych: -siła F jest analogiem napięcia U -prędkość v jest analogiem prądu i Układy hydrauliczne i pneumatyczne: Analogia elektryczna dotyczy tu tylko modeli o parametrach skupionych. -ciśnienie p jest analogiem napięcia U -natężenie przepływu jest analogiem prądu i -bezwładność jest analogiem indukcyjności -pojemność Ch(Cp) jest analogiem pojemności elektrycznej C Układy termiczne: Przyjmując w układach termicznych , że oporność RC i pojemność cieplna Cc są skupione w elementach dyskretnych to układy takie można przedstawić w postaci analogicznych układów elektrycznych: -temperatura T – napięcie U -strumień ciepła q –prąd i -pojemność cieplna – pojemność C -oporność cieplna – rezystancja R

4.22 Wymienić odpowiedniki praw Kirchoffa w układach mechanicznych, pneumatycznych, hydraulicznych i termicznych. 1. W układach mechanicznych zasada d'Alemberta jest analogiczna do II prawa Kirchoffa, a równania równowagi są analogiczne do I prawa Kirchoffa. 2. W układach pneumatycznych i hydraulinczych prawo ciągłości przepływu(bilans natężeń przepływu) jest analogiczne do I prawa

Kirchoffa. 3. W układach termicznych I prawo termodynamiki jest analogiczne do I prawa Kirchoffa, a bilans spadków temperatur jest analogiczny do II prawa Kirchoffa. Pyt. 4.23 Na czym polega identyfikacja parametrów modelu matematycznego? Polega na budowaniu modelu obiektu na podstawie obserwacji sygnałów wejściowych i wyjściowych. Model taki nazywamy modelem wejściowowyjściowym (funkcjonalnym). Taki model najczęściej wystarcza do syntezy układu sterowania automatycznego. Jeżeli w trakcie identyfikacji wyznaczony model matematyczny ma parametry, które posiadają sens fizyczny to mówimy o modelu poznawczym (strukturalnym).

4.24 Wymienić podstawowe etapy identyfikacji . 1. Wybór struktury modelu 2. Wyznaczenie wartości współczynników modelu 3. Weryfikacja modelu matematycznego . 3.25 Wymienić i scharakteryzować metody identyfikacji. Wyróżnia się następujące kryteria klasyfikacji i metody identyfikacji: 1. Ze względu na rodzaj identyfikowanej charakterystyki: • metody identyfikacji charakterystyk statycznych • metody identyfikacji charakterystyk dynamicznych 2. Ze względu na charakter mierzonych sygnałów: • metody deterministyczne • metody statystyczne 3. Ze względu na sposób organizacji eksperymentu: • metody identyfikacji czynnej • metody identyfikacji biernej 4. Ze względu na typ identyfikowanych modeli: • metody identyfikacji modeli ciągłych • metody identyfikacji modeli dyskretnych Metody identyfikacji charakterystyk statycznych ograniczają się do identyfikacji parametrów statycznego modelu matematycznego. Metody identyfikacji charakterystyk dynamicznych – określają parametry modeli dynamicznych. Deterministyczne metody identyfikacji są stosowane do

identyfikacji obiektów, których zakłócenia są pomijalne. Najczęściej identyfikację tymi metodami przeprowadza się na podstawie odpowiedzi obiektu na zdeterminowany sygnał wejściowy (skok jednostkowy, impuls prostokątny) lub na podstawie charakterystyk częstotliwościowych tego obiektu. Statystyczne metody identyfikacji służą do identyfikacji właściwości obiektów poddanych działaniu niemierzalnych zakłóceń losowych. Praktycznie tylko te metody znajdują zastosowanie do identyfikacji złożonych procesów przemysłowych. Metody identyfikacji czynnej (eksperymentu czynnego) pozwalają na identyfikację obiektu drogą ingerencji w jego normalne warunki pracy poprzez wprowadzenie na wejście odpowiednich sygnałów pobudzających. Metody identyfikacji biernej ograniczają się do obróbki sygnałów obiektu w czasie jego normalnej pracy. Posiadają wady takie jak 1.długi czas zbierania niezbędnej ilości informacji 2. Niewielki zakres zmian sygnałów obiektu w czasie normalnej pracy. Przekłada się to na fragmentaryczność zdobytej informacji i nieduża precyzja identyfikacji. Metody eksperymentu biernego stosuje się głównie, gdy ze względów technologicznych nie jest możliwe zastosowanie metody eksperymentu czynnego. Metody identyfikacji modeli ciągłych dotyczą identyfikacji modeli w postaci transmitancji lub równań różniczkowych. Metody identyfikacji modeli dyskretnych dotyczą modeli różnicowych.